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METODO SIMPLEX DUAL ¿PUEDE SER UTIL?

REVISTA LINPROG!

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DEFINICIÓN

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Historia

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¿COMO HACERLO?

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¡ME PUEDE SERVIR!


¿Qué ES EL METODO SIMPLEX DUAL?

1 DEFINICIÓN

No

solo se debes conformarte con saber como solucionar un problema con el método simplex dual, también es importante conocer su significado e historia. El método simplex dual es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima El método dual-simplex requiere de la aplicación de dos criterios para su solución: El criterio de optimalidad que asegura que la solución permanecerá óptima todo el tiempo y el criterio de factibilidad que forza las soluciones básicas hacia el espacio factible.

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Historia

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¿COMO HACERLO?

De aceurdo a lo anterior también debemos definir que es criterio de factibilidad y criterio de optimalidad. • Criterio de Factibilidad. La variable saliente será aquella variable básica que tenga el valor más negativo en el vector bi. Si todas las variables básicas son positivas o sea 0se tiene la solución final, óptima y factible.

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¡ME PUEDE SERVIR!


¿Qué ES EL METODO SIMPLEX DUAL? • Criterio de Optimalidad: La variable entrante se selecciona de entre las variables no-básicas como sigue Dividir los coeficientes de la ecuación cero entre los coeficientes de la ecuación asociada con la variable saliente, ignorando denominadores positivos y/o ceros La variable entrante será aquella cuyo cociente sea el menor, si el problema es de minimizar o el de menor valor absoluto si es de maximizar. Si todos los denominadores son ³0, el problema no tendrá solución factible

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Historia

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¿COMO HACERLO?

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¡ME PUEDE SERVIR!


Historia El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado Durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en1975. El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex.

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DEFINICIÓN

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Historia

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¿COMO HACERLO?

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¡ME PUEDE SERVIR!


Historia En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial.

Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas

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DEFINICIÓN

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Historia

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¿COMO HACERLO?

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¡ME PUEDE SERVIR!


¿COMO HACERLO?

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Historia

Antes de explica como es el procedimiento para solucionar problemas de programación lineal con el método Dual-Simplex analicemos las diferencia con el método Simplex: Método Simplex

Método Dual-Simplex

Empieza: Solución factible –Básica per no optima.

Empieza: Solución Infactible y Básica y además optima.

Busca: Optimalidad.

Busca: Factibilidad.

Solución final: Basica.factibe y optima

Solución final: Basica.factibe y optima

Teniendo en claro las difernecias, iniciemos con el paso a paso del método Simplex – Dual: Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables básicas iniciales

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¿COMO HACERLO?

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¿COMO HACERLO? Paso 2: Prueba de factibilidad •Si todas las variables básicas son no negatívas, la actual solución es la óptima. •Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de salida, •(llamémosla (XB)s ), a aquella con el valor mas negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente. Paso 3: Prueba de inmejorabilidad •Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del modelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso. •Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s, hay al menos un coeficiente de intercambio negativo , se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada variable no básicas y su correspondiente coeficiente de intercambio negativo. Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes. Se toma como variable de entrada (Llamémosla Xe) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto •Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s •El empate se puede romper arbitrariamente. •Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s •Repetir el algoritmo a partir del paso 2.

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Historia

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¿COMO HACERLO?

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¿COMO HACERLO?

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Historia

Paso 4: Análisis de Sensibilidad Si deseas puedes aplicar este paso, el cual después de que se ha obtenido la solución óptima de un problema de programación lineal (PL), puede darse el caso de que uno o varios parámetros de la formulación original cambien dando origen a un nuevo problema, sin embargo mediante la aplicación de la técnica llamada análisis de sensibilidad no será necesario volver a resolver el problema desde el principio. La utilidad del análisis de sensibilidad en los modelos de PL consiste, en que permite una interpretación razonable de los resultados ya obtenidos. En muchos casos la información generada por la aplicación del análisis de sensibilidad es más importante y mucho más informativa que el simple resultado obtenido en la solución óptima. En cierto sentido, el análisis de sensibilidad convierte la solución estática de los modelos de PL. en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes.

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¿COMO HACERLO?

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¡ME PUEDE SERVIR!

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Historia

Claro que puede servirte. Mia los siguientes ejemplos, que podrán ayudarte en la tu vida académica y laboral: • Ejemplo No. 1:

2 DEFINICIÓN

Considere el siguiente modelo de Programación Lineal y determine su solución por el método dualsimplex. Minimizar: Z= 2X1 + X2 S.A. 3X1 +X2 ³ 3 4X! +3X2 ³6 X! +2X2 # 3

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¿COMO HACERLO?

X1³0 , X2³0 X3³0 Igualando a cero la función objetivo y agregando las variables de holgura para obtener ecuaciones de restricción. Minimizar. Z-2X1 - X2 = 0 S.A. -3X1 -X2 +X3 =-3 -4X! -3X2 +X4 =-6 X! +2X2 X5 = 3 X1³0 , X2³0 X3³0

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¡ME PUEDE SERVIR!


¡ME PUEDE SERVIR! Obteniendo la forma tabular procedimiento del dual-simplex.

1

para

aplicar

Historia

el

2 DEFINICIÓN

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Obteniendo la forma tabular procedimiento del dual-simplex. Conclusión. La solución óptima es: X1 = 3/5 X2= 6/5 Con Z optima = 12/5

para

aplicar

¿COMO HACERLO?

el

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¡ME PUEDE SERVIR!


¡ME PUEDE SERVIR!

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Ejemplo No. 2: Considere el siguiente modelo de PL y correspondiente solución inicial y solución óptima. Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 S.A. 3X1 +5X2 # 15 5X! +2X2 # 10

X1>=0 ,

Historia

su

2 DEFINICIÓN

X2 >= 0

TABLA INICIAL

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¿COMO HACERLO?

TABLA OPTIMA

Si se decide experimentar un cambio en el vector

a

¿Cuál es el nuevo problema y cuál es la nueva solución óptima? Solución: El nuevo problema a resolver es:

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¡ME PUEDE SERVIR!


¡ME PUEDE SERVIR!

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Historia

Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 S.A. 3X1 +5X2 # 5 5X! +2X2 #5 X1>=0 ,

X2>=0

Aplicando la técnica de análisis de sensibilidad no es necesario volver a resolver el problema desde el principio, lo primero que debemos definir es la propiedad que aplica, para los cambios en el vector b siempre se aplicará la siguiente propiedad: B

2 DEFINICIÓN

= B-1b*

Identificando valores: B-1 =

b* =

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¿COMO HACERLO?

Sustituyendo valores: B

=

=

4 Como

B

=

la solución sigue siendo factible optima=CB

B

=CBB-1b*

La solución óptima para el nuevo modelo es:

¡ME PUEDE SERVIR!


¡ME PUEDE SERVIR! optima=CB

B

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Historia

=CBB-1b*

Identificando valores: CB =

2 DEFINICIÓN B

=

CBB1 =

3 b* =

¿COMO HACERLO?

Sustituyendo valores: optima=CB

B

optima =

=

La otra manera de obtener optima = CBB

4

-1b*

optima es:

¡ME PUEDE SERVIR!


¡ME PUEDE SERVIR!

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Historia

Sustituyendo los valores: optima =

optima =

Conclusión: La solución óptima del nuevo modelo obtenida por análisis de sensibilidad es:

2 DEFINICIÓN

X1= X2 =

3 optima =

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¿COMO HACERLO?

¡ME PUEDE SERVIR!


REVISTA LINPROG!

Alex Paredes Franklin Rangel

Jhon Fuentes Ingrid Melo

Revista liprog  

Revista cuyo objetivo principal es dar a concecer la importancia del metodo Simplex-Dual.

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