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PORTAFOLIO DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL III


InterpretaciĂłn geomĂŠtrica de la derivada

GeomĂŠtricamente, la derivada de una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) en un punto dado đ?‘Ž da la pendiente de la recta tangente a đ?‘“(đ?‘Ľ) en el punto đ?‘Ž.

La recta dibujada forma un cierto ångulo que llamamos β.

Evidentemente, este ångulo estarå relacionado con el pendiente de la recta, que hemos dicho que era el valor de la derivada en el punto de tangencia. Por lo tanto, se puede concluir: tan = � ′ (�)

InterpretaciĂłn fĂ­sica de la derivada La derivada desde el punto fĂ­sico representa la variaciĂłn instantĂĄnea de una magnitud dependiente con respecto a otra independiente. La derivada estĂĄ presente en aquellos casos donde se necesita medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situaciĂłn. Es una herramienta de cĂĄlculo fundamental en los estudios de fĂ­sica, quĂ­mica, biologĂ­a y en ciencias sociales, como el caso de la economĂ­a y la sociologĂ­a.


Ejemplo: Un conductor recorre los 40 km que separan su casa de su oficina en 20 minutos. ¿Cuål es la velocidad media? La velocidad media se define como el incremento de distancia �� (o sea, la distancia recorrida) dividido por el incremento de tiempo �� empleado en recorrerla.

đ?‘Łđ?‘š =

đ?›Ľđ?‘‘ 75 = 3.75đ?‘˜đ?‘š/â„Ž đ?›Ľđ?‘‘ 20

Regla de derivaciĂłn de funciones algebraicas. Las reglas de derivaciĂłn son los mĂŠtodos que se emplean para el cĂĄlculo de la derivada de una funciĂłn Dependiendo del tipo de funciĂłn se utiliza el mĂĄs adecuado.

Regla de la función constante. "La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar." Ejemplo: Cierta universidad realizo un estudio para conocer el rendimiento de sus alumnos. Se encontró que el rendimiento promedio de cada alumno en un examen de dos horas es de R(t) = 90 – t donde t es el tiempo en minutos. La universidad quiere determinar en quÊ momento aumenta o disminuye el rendimiento. Para resolver este problema necesitamos derivar R(t); es decir, debemos derivar cada tÊrmino de la función: �

R´(t)=�� (90) Sobre el primer tÊrmino,

đ?‘‘(90) đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(t)=

đ?‘‘(90) đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

- đ?‘‘đ?‘Ą

, se sabe que 90 es una constante.


La constante se puede representar mediante un nĂşmero real o un sĂ­mbolo, como đ?œ‹ o 90, de modo que si la funciĂłn constante es đ?‘“(đ?‘Ľ)= c, y queremos la derivada đ?‘“´(đ?‘Ľ) = entonces: lim

đ?‘“(đ?‘Ľ+ ∆đ?‘Ľ)−đ?‘“(đ?‘Ľ) ∆đ?‘Ľ

∆→∞

= lim

đ?‘?−đ?‘?

∆→∞ ∆đ?‘Ľ

= lim

0

∆→∞ ∆đ?‘Ľ

= lim

0

∆→∞ ∆đ?‘Ľ

=0

En otras palabras, la derivada de una funciĂłn constante es 0. đ?‘‘(đ??ś)

FĂłrmula: đ?‘‘đ?‘Ľ = 0

Ejemplo:

đ?‘‘(5) đ?‘‘đ?‘Ľ

=0

Regla de la funciĂłn de identidad. Una funciĂłn identidad es una funciĂłn matemĂĄtica de un conjunto h a sĂ­ mismo, que devuelve su propio argumento.

�→�

Ejemplo:

Si đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ , entonces đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1; esto es, đ??ˇđ?‘Ľ(đ?‘Ľ) = 1 đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = lim

ℎ→0

đ?‘“(đ?‘Ľ+â„Ž)−đ?‘“(đ?‘Ľ)= â„Ž

lim

đ?‘Ľ+ ℎ−đ?‘Ľ

ℎ→0

â„Ž

lim

â„Ž

ℎ→0ℎ

=1

Regla de la potencia. Si đ?‘“(đ?‘Ľ)= đ?‘Ľ đ?‘› , donde n es un entero positivo, entonces đ?‘“´(đ?‘Ľ) = đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 ; esto es, đ??ˇđ?‘Ľ( đ?‘Ľ đ?‘› ) = đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1

Ejemplos: đ?‘“(đ?‘Ľ)= đ??ˇđ?‘Ľ( đ?‘Ľ 3 ) = 3đ?‘Ľ 3−1 đ?‘“´(đ?‘Ľ) = đ??ˇđ?‘Ľ( đ?‘Ľ 3 ) = 3đ?‘Ľ 2

đ?‘‘đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ľ

,


Regla de la suma. Si f y g son funciones derivables, entonces (� + �)´(�) = �´(�) + �´(�); esto es,

đ??ˇđ?‘Ľ[đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ)] = đ??ˇđ?‘Ľđ?‘“´(đ?‘Ľ) + đ??ˇđ?‘Ľđ?‘”´(đ?‘Ľ) En palabras, la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

Ejemplo: đ?‘‘ (7đ?‘‹ 4 + 3đ?‘‹ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ

�(�) = 7� 4 = �´(�) = 28� 3 �(�) = 3� 2 = �´(�) = 6�

ℎ´(�) = 28� 3 + 6�

Regla de la diferencia. Si f y g son funciones derivables, entonces (đ?‘“ − đ?‘”)´(đ?‘Ľ) = đ?‘“´(đ?‘Ľ) − đ?‘”´(đ?‘Ľ); esto es,

đ?‘Ťđ?’™[đ?’‡(đ?’™) − đ?’ˆ(đ?’™)] = đ?‘Ťđ?’™đ?’‡Â´(đ?’™) − đ?‘Ťđ?’™đ?’ˆÂ´(đ?’™) đ?‘‘ 1 = − đ?‘Ľ − 3đ?‘‹ 2 − 15 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 1

1

1

đ?‘“(đ?‘Ľ) = − 5 = − (2) (1)đ?‘Ľ = đ?‘“´(đ?‘Ľ) − 5

đ?‘”(đ?‘Ľ) = −3đ?‘‹ 2 = −(3)(2)đ?‘Ľ 2−1 = đ?‘”´(đ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ

1

ℎ´(đ?‘Ľ) = − 5 − 6đ?‘Ľ


Regla de la multiplicaciĂłn o producto. La derivada de un producto de dos funciones es la primera por la derivada de la segunda, mĂĄs la segunda por la derivada de la primera. Si f y g son funciones derivables, entonces

(đ?’‡. đ?’ˆ)´(đ?’™) = đ?’‡(đ?’™)đ?’ˆÂ´(đ?’™) + đ?’ˆ(đ?’™)đ?’‡Â´(đ?’™) Esto es, đ??ˇđ?‘Ľ[đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘”(đ?‘Ľ)] = đ?‘“(đ?‘Ľ)đ??ˇđ?‘Ľđ?‘”(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ)đ??ˇđ?‘Ľđ?‘“(đ?‘Ľ) Ejemplo:

đ?‘‘ = (7đ?‘‹ 6 )(3đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘ˆÂ´(đ?‘Ľ) = 42đ?‘Ľ 5 đ?‘‰Â´(đ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ = đ?‘ˆÂ´(đ?‘Ľ)đ?‘‰(đ?‘Ľ) + đ?‘ˆ(đ?‘Ľ)đ?‘‰Â´(đ?‘Ľ) = {(42đ?‘Ľ 5 )(3đ?‘Ľ 2 )} + {(7đ?‘Ľ 6 )(6đ?‘Ľ)} đ?‘“´(đ?‘Ľ) = 126đ?‘Ľ 7 + 42đ?‘Ľ 7

Regla para el cociente. Sean � y � funciones derivables con �(�) ≠0. Entonces

đ?’‡ đ?’ˆ(đ?’™)đ?’‡Â´(đ?’™) − đ?’‡(đ?’™)đ?’ˆÂ´(đ?’™) ( ) ´(đ?’™) = đ?’ˆ đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) Es decir, đ??ˇđ?‘Ľ (

đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ)đ??ˇđ?‘Ľđ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘“(đ?‘Ľ)đ??ˇđ?‘Ľđ?‘”(đ?‘Ľ) )= đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘”2 (đ?‘Ľ)


Ejemplo: đ?‘‘ = (đ?‘¤ 2 + 3đ?‘¤ − 7)/(2đ?‘¤ 2 − 4) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ˆÂ´(đ?‘Ľ) = 2đ?‘¤ + 3 đ?‘‰Â´(đ?‘Ľ) = 6đ?‘¤ 2 = {(2đ?‘¤ 2 − 4)(2đ?‘¤ + 3) − {(đ?‘¤ 2 + 3đ?‘¤ − 7)(6đ?‘¤ 2 )} = 4đ?‘¤ 4 + 6đ?‘¤ 3 − 8đ?‘¤ − 12 − [6đ?‘¤ 4 + 18đ?‘¤ 3 − 42đ?‘¤ 2 ] đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

−2đ?‘¤ 4 + 12đ?‘¤ 3 + 42đ?‘¤ 2 − 8đ?‘¤ − 12 đ?‘‰Â´(2đ?‘¤ 3 − 4)2

Regla de la raĂ­z cuadrada. La derivada de la raĂ­z cuadrada de una funciĂłn es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raĂ­z. Esto, es decir,

�´

√ đ?’– = đ?&#x;? √đ?‘ź Ejemplo:

đ?‘‘ = (√5đ?‘Ľ4 + 3đ?‘Ľ − 7) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

20đ?‘Ľ 3 + 3 2√5đ?‘Ľ4 + 3đ?‘Ľ − 7


Regla de la raĂ­z enĂŠsima. la radicaciĂłn de orden n de un nĂşmero a es cualquier nĂşmero x tal que

(đ?‘ź)đ?’?∕đ?&#x;? =

đ?‘źâ€˛ đ?’?(đ?‘ź)đ?&#x;?−đ?&#x;?∕đ?’?

đ?‘‘ = (√5đ?‘Ľ4 + 3đ?‘Ľ − 7) đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘ˆÂ´(đ?‘Ľ) = 20đ?‘Ľ 3 + 3

20đ?‘Ľ 3 + 3

=

2−1

2 (√5đ?‘Ľ4 + 3đ?‘Ľ − 7) đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

20đ?‘Ľ 3 + 3 (√5đ?‘Ľ4 + 3đ?‘Ľ − 7)

Regla de la cadena. Si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razĂłn de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razĂłn de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razĂłn de cambio de u con respecto a x.

đ?’—đ?’? = đ?’?đ?’—đ?’?−đ?&#x;? . đ?’—´ Ejemplo: 4

đ?‘“(đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ + 2 đ?‘ˆ =đ?‘Ľ+2 đ?‘‰Â´ = 1 đ?‘›=4 đ?‘‰(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ + 2)−3∕4 1 = (đ?‘Ľ + 2)−3â „4 . (1) 4


= 𝑎−𝑛 = 1 ∕ 𝑎 1⁄4 ⋅

1 . (1) (𝑥 + 2)3⁄4

𝑓´(𝑥) =

1 4

4 √(𝑥 + 2)3

Portafolio de matematica iii  
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