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Elementos de c´alculo, volumen 1
Definici´ on 5.2.
La derivada como funci´ on
Sea f una funci´ on y suponga que la derivada de f existe para todo x en un cierto dominio. Si a cada x le asociamos la derivada f 0 (x) se obtiene una nueva funci´on f 0 que se llama funci´ on derivada de f y tenemos f (x + h) − f (x) f 0 (x) = lim . h→0 h y f (x + h)
6 f6 (x + h) − f (x) h - ?
f (x)
x
x+h
- x
Figura 5.9.
F Nota: La expresi´ on anterior es una “forma alternativa de la derivada�.
Ejemplo 29.
C´ alculo de la derivada
Calcular f 0 (x) siendo f (x) = x2 + x − 1. Soluci´ on:
Tenemos
f 0 (x) = = = = = =
f (x + h) − f (x) h 2 (x + h) + (x + h) − 1 − (x2 + x − 1) lim h→0 h 2 2 x + 2xh + h + x + h − 1 − x2 − x + 1 lim h→0 h 2xh + h2 + h lim h→0 h h(2x + h + 1) lim h→0 h lim (2x + h + 1) lim
h→0
y
h→0
6
= 2x + 1 y = f (x)
Esto es, f 0 (x) = 2x + 1.
4
-x
y = f 0 (x)
Figura
5.10. f (x) = x2 +x−1 y f 0 (x) = 2x+1