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PROSPETTIVA CENTRALE Scopo della geometria descrittiva è quello di rappresentare le figure spaziali sopra un piano, in modo tale che, dalla rappresentazione piana, si possa risalire alla figura spaziale. La corrispondenza tra una figura spaziale e la sua rappresentazione piana non è però purtroppo biunivoca, quindi permette solo di rappresentare le figure, ma non di risolvere graficamente, mediante solo costruzioni piane, problemi di geometria spaziale a meno di non introdurre altri eventuali dati aggiuntivi. Ciascuno dei sistemi di regole che permettono la rappresentazione piana costituisce un "metodo" della geometria descrittiva. Poiché, la parte principale di tutti i metodi più usati nel passaggio dalla figura spaziale alla sua rappresentazione, è costituita da una proiezione, tali metodi si chiamano anche "metodi di proiezione". ELEMENTI PRINCIPALI della prospettiva:

 Punto di vista (PV):punt odoves ii mma g i nal ’ oc c hi ode l l ’ os s e r va t or e  Piano di terra o geometrale (PG):pi a nos ulqua l evi vel ’ ogge t t odarappresentare  Quadro o piano prospettico (PP):pi a nope r pe ndi c ol a r ea lpi a nodit e r r apos t of r al ’ ogg e t t oe di lPV; ès ue s s oc hes if or mal ’ i mma g i nei npr os pe t t i vade l l ’ ogge t t o  Piano di orizzonte (PO): piano immaginario passante per PV e parallelo al piano di terra  Punto principale (P): proiezione ortogonale del punto di vista sul quadro detta anche distanza pr i nc i pa l eos e mpl i c e me nt edi s t a nz ape r c héi ndi c al adi s t a nz ade l l ’ os s e r va t or eda lqua dr o  Punto di stazione (Ps): proiezione ortogonale del punto di vista sul piano geometrale  Linea di terra (LT):r e t t ad’ i nt e r s e z i o n ef r ai lqua dr oe di lpi a nodit e r r a  Punto sulla linea di terra (Pt): proiezione ortogonale del punto principale e del punto di stazione sulla linea di terra  Linea di orizzonte (LO): retta d’ i nt e r s e z i onef r ai lqua dr oe di lpi a nodior i z z ont e .Pe rc os t r uz i oneè pa r a l l e l aa l l al i ne adit e r r ael as uadi s t a nz adae s s ai ndi c al ’ a l t e z z ade l l ’ oc c hi ode l l ’ os s e r va t or e .


 Raggi visuali:r e t t ec hec ong i ung onoi lPVc onipunt ic hec os t i t ui s c onol ’ ogg etto da rappresentare (quali ad esempio retta PV-A,PV-B,PV-C) La s c e l t ade l l apos i z i onede lpunt odiv i s t ar i s pe t t oal l ’ ogge t t oa s s umeun’ i mpor t a nz af onda me nt a l e pe rl ani t i de z z ade l l avi s i oneepe rl ’ e f f i c a c i ade l l apr os pe t t i va .I na l t r epa r ol ei lpunt odi vista dovrà e s s e r es c e l t oi nmodot a l ec hel ar a ppr e s e nt a z i onede l l ’ ogg e t t oc henes e gues i ai lpi ùpos s i bi l es i mi l e a l l ar a ppr e s e nt a z i oner e a l e .At a lf i neène c e s s a r i ot e ne r ebe npr e s e nt ei lc a mpovi s i vode l l ’ os s e r va t or e cioè quella porzione di spazio misurata in gradi che una persona può vedere tenendo testa ed occhi assolutamente immobili. Ne l l at e c ni c ade ldi s e g nopr os pe t t i c ol ’ a mpi e z z ad e lc a mpovi s i vos ii de nt i f i c ane lcono ottico ottenuto tirando dal PV raggi visuali che hanno una ben precisa propr i e t à :nonde vonof or ma r ec onl ’ a s s evi s i vo PV-P angoli maggiori di 30°. Ent r ot a l ig r a dii nf a t t il ape r c e z i onede g l iogg e t t ièbuonaet a l er i s ul t ae s s e r ea nc hel ’ i mma gi ne prospettica. Se invece si ampliasse il cono ottico in modo di avere angoli maggiori di 30°, si andrebbe i nc ont r oade l l epa r t i c ol a r ii mpos t a z i onipr os pe t t i c hec hede f or me r e bbe r ol ’ i mma g i nede l l ’ ogg e t t oi n que s t i oneda n dol uog oa l l ec os i dde t t e“ a be r r a z i oniot t i c he ” . Laba s ede lc onoot t i c o( i lc e r c hi ovi s i vo )ède t e r mi na t oda l l ’ i nt e r s e zione dei raggi visuali con il quadro es idi c ec hel ’ i mma g i neè“ pe r c e t t i va me nt ec or r e t t a ”qua ndoir a gg ivi s ua l i ,por t a t ia g l ie s t r e mi de l l ’ ogge t t o,s t a nnoa l l ’ i nt e r node lc ono.

I lpr i mopa s s ope rc os t r ui r eun’ i mma g i nepr os pe t t i c aèl ar i c e r c ade ipunti di fuga. Il punto di fuga di una retta è la traccia sul quadro della parallela alla retta stessa passante per il PV. Poiché esso a ppa r t i e nea l l al i ne adior i z z on t ec her a ppr e s e nt ai npr os pe t t i val ’ i mma g i nede l l ’ i nf i ni t o( t a l ei nf a t t ièl a distanza tra LO e LT) il punto di fuga di una retta r a ppr e s e nt al apr os pe t t i vade ls uopunt oa l l ’ i nf i ni t o.Dac i ò discende immediatamente il fatto che rette parallele hanno il medesimo punto di fuga F. In particolare:  Le rette parallele al quadro non hanno punti di fuga, o meglio ammettono come punto di fuga il punto improprio della LO. Esse sono rappresentate prospettivamente da rette tutte parallele fra loro ed alla LT; la loro distanza reciproca cambia al variare della distanza dal quadro prospettico.


 Le rette perpendicolari al quadro hanno come punto di fuga il punto principale P. Se proviamo infatti a tracciare dal PV una parallela alla retta data incontreremo la LO in P.

 Le rette inclinate di 45° rispetto al quadro hanno invece come punti di fuga punti particolari: essi vengono denominati punti di distanza e sono le intersezioni del cerchio di distanza con la LO.

Le altezze in prospettiva I segmenti perpendicolari al PG e quindi le altezze di solidi, edifici, ecc., rimangono tali in prospettiva. Le lunghezze di tali segmenti dipendono dalla distanza che essi hannor i s pe t t oal l ’ os s e r vat or e . Illustriamo ora il procedimento che si utilizza per realizzare la prospettiva di un segmento AB perpendicolare al PG. Come primo passo costruiamo la pr os pe t t i va A’di A intersecando il raggio visuale PV-A con il quadro. In secondo luogo conduciamo da A la pe r pe ndi c ol a r ea l l al i ne a di t e r r ac he i ndi vi due r ài l punt o A” ; da t a l e punt ot r a c c i a mo pe r pe ndi c ol a r me nt ea l l aLTuns e g me nt oA” B”a ppa r t e ne nt ea lqua dr oe dug ua l ea dAB.Un i a moB” c onP;t a l es e g me nt oi nt e r s e c ai nB’l ape r pe ndi c ol a r eaLTpe rA’ . I ls e g me nt oA’ B’c os ìde t e r mi na t or i s ul t ae s s e r el ’ i mma g i nepr os pe t t i c adiAB. Sios s e r vac heit r i a ng ol iPVABePVA’ B’s onos i mi l ipe rc os t r uz i one .


I metodi usati in prospettiva centrale Di ve r s is onoipr oc e di me nt ius a t ii npr os pe t t i vape rot t e ne r el ’ i mma g i nepr os pe t t i c adiunaf i g ur ama tutti portano allo stesso risultato. Nella prospettiva centrale i metodi più usati sono:  Il metodo dei raggi visuali  Il metodo del prolungamento dei lati  Il metodo dei punti di distanza  Il sistema di ribaltamento

Il metodo dei raggi visuali Cons i de r i a moi lpi a noge ome t r a l ePGvi s t oda l l ’ a l t o;i nque s t oc a s ol a linea di terra LT coinciderà con la linea di orizzonte LO, il punto di vista PV con il punto di stazione Ps ed il punto principale P con il punto sulla linea di terra Pt. Supponiamo di voler determinare l ’ i mmagi ne pr os pe t t i c a diun rettangolo. Conduciamo quindi da PV i raggi visuali a ciascuno vertice del rettangolo; essi incontreranno LT rispettivamente nei punti A’ , B’ , C’ , D’equi ndipr oi e t t i a moor t og ona l me nt et ut t iive r t i c ide l r e t t a ng ol os ul l aLTot t e ne ndoipunt iA” ( =D” ) , B” ( =C” )( s inot ic hel e coppie di punti A-D, B-C hanno la medesima proiezione) Poniamo ora la nostra attenzione solo sul quadro ed uniamo con P le proiezioni dei vertici del rettangolo su LT appena ottenute ottenendo così le perpendicolari prospettiche del qua dr o. Cos t r ui a mo qui ndi i ve r t i c i de l l ’ i mma g i ne prospettica ottenuti come punti di intersezione fra le pe r pe ndi c ol a r ia l l a LT pa s s a nt ida A’ , B’ , C’ , D’e l e perpendicolari prospettiche.

Immagine prospettica di un esagono regolare. Tracciamo dal PV i raggi visuali a ciascun vertice dell'esagono e chiamiamo A', B', C', D', E', F' le loro intersezioni con la LT (punti rossi). Proiettiamo ortogonalmente tutti i vertici dell'esagono sulla LT ottenendo i punti F” ,A” ( =E” ) ,B” ( =D” ) ,C”( punt ive r di ). Sul quadro determiniamo i vertici dell'esagono intersecando le perpendicolari alla LT passanti da A', B', C', D', E', F' con le perpendicolari prospettiche ottenute unendo P aF” ,A” ,B” ,C”r i s pe t t i va me nt e .


Il metodo del prolungamento dei lati Come nel caso precedente consideriamo dapprima una visione da l l ’ a l t ode lp i a nog e ome t r a l e . Vediamo, mediante tale procedimento, come fare per determinare l ’ immagine prospettica di un esagono. Unavol t adi s e g na t ol ’ e s a g onopr ol ung h i a moil a t iEFeDCf i noa determinare le rispettive tracce 1,2 sulla LT. Tracciando quindi da PV le parallele ai lati ne determiniamo i punti di fuga in Fs e Fd. Ne lc a s ode l l ’ e s a g onor e g ol a r ei nf i g ur a ,i nFsc onc or r onoil a t iFA, DC e la diagonale EB; mentre in Fd i lati CB, EF e la diagonale DA.

Concentriamoci ora esclusivamente sul quadro e riportiamo su LO i punti P, Fs, Fd. Tracciando dai punti 1, 2, A, B le rette concorrenti ai rispettivi punti di fuga è possibile determinare t ut t ig l is pi g ol ide l l ’ e s a gono.

Nella figura sottostante si è ampliato il procedimento al fine di ottenere la prospettiva di una pavimentazione a maglia esagonale. Per ottenere ciò è sufficiente continuare a riportare sulla LT la mi s ur ade ll a t ode l l ’ e s a gonope rl ’ e s t e ns i o nevol ut a . E’pos s i bi l ec o mpl e t a r ei ldi s e g noi nf i g ur as e nz ade t e r mi na r eul t e r i or it r a c c es ul l aLTmauni c a me nt e completando il prolungame nt ode il a t ia l l ’ i nf i ni t o.


Il metodo dei punti di distanza Questo metodo è basato sulla determinazione del cerchio di distanza come luogo geometrico dei punti di fuga delle rette inclinate di 45° rispetto al quadro. Infatti per individuare il punto di fuga di una retta basta portare da PV una parallela alla retta stessa: se questa è una retta a 45° il suo punto di fuga D disterà dal punto principale P di una misura uguale a PV-P. Viceversa, disegnare sul quadro il cerchio di raggio PD significa determinare il cerchio di distanza e quindi i punti di fuga di tutte le rette a 45°. Consideriamo quindi la nostra solita visione da l l ’ a l t o dove l ’ ogg e t t o da r a ppr e s e n t a r ei n prospettiva è un quadrato e tracciamo da PV le rette inclinate di 45° rispetto alla LO de t e r mi na ndoipunt ididi s t a nz aD eD’ .Pe rc i a s c unve r t i c ede l quadrato conduciamo le parallele ad una di queste rette (ad esempio la retta per D') e quindi proiettiamo A,B,C,Es uLTot t e ne ndoipunt iA’ ( =E’ )eB( =C’ ) . Consideriamo ora soltanto il quadro e r i por t i a mos ul l aLTipunt i1,2,3eA’ , B’me nt r es u l l aLO ipunt iD,P,D’ . Congiungiamo 1, 2, 3 rispettivamente c onD’eA’ ,B’c onP.Lei nt e r s e z i onidi queste ultime con forniscono i vertici del quadrato in prospettiva cercato. Osserviamo infine che avremmo ottenuto la stessa figura prospettica se avessimo ripetuto lo stesso procedimento considerando le parallele alla retta per D.


Il sistema di ribaltamento Tutti i metodi visti finora presentano, sostanzialmente, una grossa scomodità dovuta al fatto che, anche pe rde t e r mi na r el ’ i mma gi nepr os pe t t i c adiunogg e t t omol t os e mpl i c equa l ea de s e mpi ounq ua dr a t o, bisogna ricorrere alla suddivisione del lavoro in due parti: la figura preparatoria sul PP e, in secondo luogo, la costruzione della figura prospettiva sul quadro. Con il sistema di ribaltamento, per pr e pa r a r el ’ e s e c uz i onei npr os pe t t i va occorre ribaltare di 90° sia il semipiano su cui giace la figura, sia il semipiano su cui sta il punto di vista in modo che entrambi si trovino sullo stesso semipiano. In altre parole, con tale procedimento, s ir i por t a nol ’ ogge t t oi ni z i a l ee di lPV sul medesimo semipiano in modo tale c heque s t ’ ul t i mos ipos s ac ons i de r a r e come il prolungamento del quadro sotto la LT. Nella fase esecutiva si proiettano sulla LT i punti significativi della figura che, in un secondo tempo, vengono uniti ai relativi punti di fuga mediante le rette pr oi e t t a nt i . L’ i nt e r s e z i one de l l e l i ne e pr oi e t t a nt i forniscono i punti che uniti fra loro determinano l ’ i mma g i nepr os pe t t i c ade l l ’ ogge t t o. Os s e r vi a moc hel ’ ogge t t odar a ppr e s e nt a r e ,c o ns i de r a t o nel semipiano sottostante al quadro, risulta rovesciato in pianta rispetto alla relativa immagine prospettica e che tali risulteranno essere anche le rette necessarie per determinare i punti di fuga.

Riassumendo, tre sono le caratteristiche di tale procedimento:  c ic ons e nt edive de r ei nmodoi s t a nt a ne oi lva r i a r ede l l ’ i mma g i nepr os pe t t i c aa lmut a r ede l l e di me ns i onide l l ’ ogg e t t oc ons i de r a t o.  Pos s i a move de r es uununi c opi a nol ’ ogge t t oi ni z i a le e la sua immagine prospettica (e quindi non abbiamo più la necessità di suddividere il lavoro)  Permette una notevole rapidità esecutiva. Que s t ’ ul t i mome t odoappe nade s c r i t t oappar epe r t ant oc omei lpi ùs e mpl i c ee dal l os t e s s ot e mpo il più completo nella determinazione delle immagini prospettiche.


Esempio 1: Pannelli in prospettiva Alla luce di quanto visto ora, determiniamo la prospettiva di due pannelli uguali aventi ciascuno quattro finestre e disposti perpendicolarmente al quadro, come nella figura seguente.

Osserviamo che due sono i particolari salienti che si rilevano subito guardando la figura: ďƒ˜ Le due altezze dei pannelli che appartengono al quadro non muteranno affatto in prospettiva e quindi manterranno le proprie misure poichè coincidenti con i segmenti originari ďƒ˜ Le basi del pannello e tutte le rette parallele ad esse avranno il loro punto di fuga in P in quanto ortogonali al quadro. Come primo passo, dato il nostro foglio di lavoro, tracciamo su di esso la linea di terra LT e quella di orizzonte LO; consideriamo quindi i nostri pannelli posti nel semipiano inferiore del quadro ed aventi la base superiore appartenente alla LT e proiettiamo ortogonalmente su di essa i punti che delimitano le finestre dei pannelli (punti azzurri). Tracciamo quindi le prime due altezze con le misure originarie e dai punti che delimitano le altezze delle finestre tracciamo le rette convergenti in P. Il secondo passo consiste nel trasferire "prospettivamente" i punti appartenenti alla LT (punti azzurri) sulle perpendicolari prospettiche z, z' rispettivamente. Per far questo li riportiamo sulla verticale mediante circonferenze (punti blu) e ricaviamo i punti di fuga delle rette congiungenti che corrisponderanno ai punti di distanza in quanto risultano essere inclinate di 45° rispetto al quadro.


Una volta tirate le rette ai rispettivi punti di concorso, consideriamone le intersezioni con z e z' rispettivamente. Tali punti rappresentano i corrispondenti dei punti dati. Infine tracciamo da essi le relative perpendicolari al piano. I punti ottenuti come l'intersezione fra tali rette e le rette per P forniscono gli estremi dei segmenti che delimitano le finestre.

Esempio 2: Prospettiva di una scala ascendente Come ultima applicazione di questi metodi, determiniamo la prospettiva di una scala ascendente. Anche in questo caso il metodo utilizzato è il solito, anche se questa figura si differenzia dalle altre per la presenza di un punto dif ug aP’ma it r a t t a t opr e c e de nt e me nt e . Fino a questo momento abbiamo trattato esclusivamente rette parallele tra loro ed ortogonali al piano, mentre non ci siamo mai interessati al caso di rette inclinate rispetto al piano orizzontale. Ebbene i punti di fuga di tali rette si trovano esattamente sulla verticale innalzata dai punti di fuga delle rispettive prime proiezioni, sopra o sotto l aLOas e c ondade l l ’ a nda me nt ode l l er e t t ec ons i de r a t e . Ne l l anos t r af i g ur a ,oc c or r es e r vi r s ide lpunt oP’a lqua l es ir i c or r epe r trovare la posizione prospettica degli scalini e delle linee inclinate (il parapetto e le tangenti agli spigoli dei gradini). Il metodo per individuare la prospettiva degli scalini è sempre lo stesso: si riporta sul quadro la linea delle altezze sulla quale si segnano le altezze degli scalini che concorrono poi in P. L’ i nc ont r odique s t ec onl ec onc or r e nt iaP’f or ni s c onol apos i z i oned i ciascuno scalino.


LA PROSPETTIVA ACCIDENTALE La prospettiva accidentale si differenzia da quella centrale per la diversa disposizione del quadro prospettico. Questo, in genere, non è paral l e l oa il a t ide l l ’ ogg e t t odar a ppr e s e nt a r er i s pe t t oa iqua l i assume inclinazioni varie. Ciò dipende dagli effetti prospettici a cui si vuole giungere. Una buona prospettiva si ottiene disponendo il quadro nella figura preparatoria con inclinazioni diverse, come ad esempio 30°, 60° rispetto ai lati del rettangolo entro il quale è inquadrato l ’ ogg e t t o,qua l or al os t e s s ononpr e s e nt it a l ic a r a t t e r i s t i c he . L’ a ng ol omi nor eèbe ner i f e r i r l oa ll a t opi ùi mpor t a nt ede l l a costruzione. La scelta del punto di vista ha una parte predominante per la buona riuscita del disegno prospettico: la posizione è arbitraria ma è c ons i g l i a bi l e por l oa d una di s t a nz at a l ec he l ’ a ng ol o f or ma t ot r air a gg ivi s ua l ire dr ’ ,c heda lPV ve ng onodi r e t t i verso gli estremi della figura rappresentata in pianta, sia contenuto attorno ai valori di 45°. In questo modo ci assicuriamo che i raggi visuali stiano all'interno del cono ottico e quindi che l'immagine risultante sia percettivamente corretta evitando così il fenomeno dell'aberrazione ottica. L’ a mpi e z z a dit a l ea ng ol o di pe nde s e mpr e da l l e di me ns i onide l l ’ o gg e t t o da r a ppr e s e nt a r ei n pr os pe t t i va .I nol t r eèbe nec hei lpr ol ung a me nt ode l l apr oi e z i onede lPV s ulqua dr oc a daa l l ’ i nt e r no della pianta.

I metodi usati in prospettiva accidentale Come la prospettiva centrale, anche la prospettiva accidentale ha i suoi procedimenti per determinare l ’ i mma g i nepr o s pe t t i c ade l l ’ ogge t t oc ons i de r a t o.Es s is ono:  Il metodo dei raggi visuali  Il metodo dei punti di distanza  Il metodo dei punti di fuga e delle perpendicolari al quadro  Il metodo dei punti misuratori Osserviamo che i primi due metodi si utilizzano anche nella prospettiva centrale.

Il metodo dei raggi visuali Consideriamo dapprima il piano geometrale vi s t oda l l ’ a l t oer i por t i a mol al i ne adit erra LT (coincidente con LO), il punto di vista PV e la sua proiezione su LT Pt (coincidente con P). Supponi a mo divol e rde t e r mi na r el ’ i mma g i ne prospettica di un rettangolo ABCD. Seguendo le ormai note operazioni preparatorie, si conducono dal PV le parallele ai lati del rettangolo di cui sopra che determinano i punti di fuga Fs ed Fd. In essi concorrono rispettivamente tutte le rette parallele alle


semirette che li hanno determinati. Dal PV si conducono i raggi visuali verso i punti della pianta che intersecano la LT nei punti 1, 2, 3, 4 (si osservi che il punto 3 è coincidente con A). Per la costruzione della prospettiva consideriamo il solo quadro e tracciamo su di esso la LT e la LO alla distanza che crediamo più opportuna. Sulla LO riportiamo, nel rapporto stabilito, i punti di fuga e sulla LT i punti 1, 2, 3, 4. Successivamente da 3 conduciamo le concorrenti ad Fs ed Fd che, intersecate dalle verticali condotte dai punti 1 e 4 r i por t a t is ul l aLT,f or ni s c onoipunt iD’e B’ . Poi c hé r e t t e pa r a l l e l e hanno il me de s i mopunt odif ug a ,t r a c c i a modaB’l ar e t t ape rFsedaD’l ar e t t ape rFd. Que s t eul t i meduer e t t es ii nc ont r e r a nnone lpunt oC’c hedovr àc oi nc i de r ec onl ape r pe ndi c o l a r eaLT tracciata dal punto 2.

Il metodo dei punti di distanza Anche questo metodo ricalca fedelmente la costruzione fatta nel paragrafo precedente. Consideriamo sempre il nostro piano g e ome t r a l evi s t o da l l ’ a l t o ec os t r ui a mo l a prospettiva di un quadrato avente uno dei vertici appartenente alla LT. Una volta scelto il PV, tracciamo sulla LT (coincidente con la LO) il punto Pt e i punti didi s t a nz aD eD’ .Qui ndida ive r t i c ide l nostro quadrato conduciamo le parallele alla retta passante per PV e D che intersecheranno la LT nei punti 1, 2, 3 rispettivamente. Tracciamo poi le proiezioni de ive r t i c iB,C,Es ul l aLTot t e ne ndoip u nt iB’ ,C’( c oi nc i de nt ec on1) ,E’ . Abbiamo così ottenuto tutti gli elementi essenziali per determinare la nostra immagine prospettica. Poniamo ora la nostra attenzione esclusivamente sul quadro. Riport i a mol aLOc onipunt iP,D,D’el aLT su cui tracciamo i punti appena determinati. Uniamo le proiezioni dei vertici con il punto principale P e congiungiamo i punti 1, 2, 3 con D. Abbi a moc os ìt r ova t oive r t i c iB’ ’ ,C’ ’ ,E’ ’ de l l ’ i mma g i nepr os pe t t i c ac e rcata.


Il metodo dei punti di fuga e delle perpendicolari al quadro Questo metodo si basa sul principio de l l ’ i ndi vi dua z i one di qua l s i a s i s pi g ol o de l l ’ ogge t t oa t t r a ve r s ol ar i c e r c ade lp unt o di fuga della retta passante per esso. Determiniamo la prospettiva di un quadrato iniziando a determinare i punti necessari alla costruzione sulla pianta. Consideriamo la visione da l l ’ a l t ode ln o s t r opi a nog e ome t r a l e . Come primo passo determiniamo i punti di fuga Fd, Fs dei lati del quadrato tracciando dal PV rette parellele ad essi. Quindi prolunghiamo i lati del quadrato in modo da ottenere i punti 1, 2 come intersezione di questi ultimi con la LT. Consideriamo ora solo il quadro e riportiamo i punti trovati sulla LT. Uni a mo A’( pr os pe t t i vadiA)c on FseFd ottenendo così la prospettiva dei lati AE ed AB rispettivamente. In modo analogo congiungiamo il punto 2 con Fs ed il punto 1 con Fd ottenendo così la prospettiva dei lati BC ed EC rispettivamente. Per ultimare la figura basterà segnare le intersezioni di queste ultime r e t t ec hef or ni r a nnoive r t i c iA’ ,B’ ,C’ ,E’de l quadrato prospettico. Osserviamo che, qualora uno dei due punti 1 e 2 fosse risultato in pianta troppo lontano dal punto Pt, avremmo potuto trovare ugualmente la prospettiva della figura ricorrendo almeno ad altri due procedimenti. Il primo ricorre al metodo delle rette perpendicolari al quadro, il secondo si avvale dell'aiuto della geometria proiettiva. Applichiamo entrambi al nostro esempio. Metodo delle rette perpendicolari al quadro Supponiamo che il prolungamento del lato CB cada sulla LT troppo lontano e che quindi il punto 2 esca dal nostro piano di lavoro. Per ovviare il problema consideriamo il vertice di tale lato che si trova più vicino alla LT (B) e proiettiamolo ortogonalmente su di e s s a .Ot t e ni a mounnuovopunt o2’ . Per la costruzione della figura si procede esattamente come in precedenza: uniamo i punt i1 e d A’ c on Fd e 2’ c on P. L’ i nt e r s e z i one f r al er e t t e A’ Fd e 2’ P f or ni s c ei lve r t i c eB’de lqua dr a t oc heun avol t auni t oc onFsda r àl uog oa lve r t i c eC’ .


Ricerca dell'asse di collineazione Come è possibile congiungere un punto P c onl ’ i nt e r s e z i onedidue rette che si intersecano fuori del foglio di lavoro? La geometria proiettiva, di cui non parliamo, serve a rispondere al problema. Tracciamo per P due segmenti che intersecano r ed r ’ in A e B e in A’e B’rispettivamente, in modo tale che le due rette AA’e BB’si intersechino nel foglio, in un punto O.

P

r ’

Ora tracciamo una ulteriore retta per O, che intersecherà r ed r ’ in C e C’rispettivamente. Intersechiamo i segmenti BC’e B’ C, otterremo un punto Q. La retta PQ passa per il punto comune alle due rette (si chiama asse di collineazione della prospettività di centro O tra le due rette).

Ec c ol ’ i mma g i nec hei l l us t r a la costruzione della figura del cubo, se dobbiamo congiungere un punto D con il punto 2 fuori dal foglio.

r

O A

B C

P

r Q

A’

B’

C’

r ’


Il metodo dei punti misuratori Tutti i metodi finora descritti presentano una certa difficoltà nella riproduzione delle dimensioni reali de l l ’ ogge t t on e l l ’ i mma g i nepr os pe t t i c a .I nf a t t il emi s ur ede g l is pi g ol ive ng onos e mpr epr oi e t t a t es ul l a LT con rapporti di riduzione od ingrandimento e mai nelle loro dimensioni effettive. Il metodo dei punti misuratori, che deriva direttamente da quello dei punti di fuga, supera queste difficoltà basandosi sui principi contenuti nel teorema di Talete sui segmenti proporzionali: rette parallele che intersecano due qualsiasi rette appartenenti allo stesso piano determinano su queste ultime segmenti proporzionali. Ne s e g uec hel edi me ns i onide l l ’ ogge t t ove ng onor i por t a t ef e de l me nt eodi nmodopr opor z i ona l es ul l a LT. Costruiamo quindi la figura preparatoria considerando la vi s i oneda l l ’ a l t ode lge ome t r a l e . Una volta scelto il PV determiniamo sulla LT i punti di fuga Fs e Fd relativi ai lati AD (CB) e AB (DC) rispettivamente. Centriamo quindi in Fs ed Fd e ribaltiamo il PV sulla LT dando luogo ai punti Ms ed Md rispettivamente. Successivamente centriamo in A e ribaltiamo i punti B e D sulla LT dando origine ai punt iB’eD’ . Poiché il segmento che congiunge B c on B’ r i s ul t a pa r a l l e l oa l s e g me nt oc hec ong i ungei lPVc onMd,que s t ’ ul t i mos a r ài ls uopunt odic onc or s oomi s ur a t or e . Los t e s s odi c a s ipe rMsc her i s ul t ae s s e r ei lpunt omi s ur a t or ede ls e g me nt oDD’( pa r a l l e l oa lsegmento PVMs) Pa s s a ndo a l l ’ i mma g i ne pr os pe t t i c a , posizionati gli usuali elementi della prospettiva LO, LT, P, ed i punti di fuga Fs ed Fd r i por t i a mo s ul l ’ or i z z ont ea nc he ipunt i misuratori Ms ed Md. I punti misuratori sono punti di fuga che esercitano la loro influenza nelle porzioni di spazio in cui si sono eseguiti i ribaltamenti, per cui nel disegno prospettico, una volta determinate le linee principali della prospettiva (ovvero le rette AFs ed AFd) dobbiamo percorrere, dalle tracce sulla LT, le porzioni di spazio comprese fra la LT e le linee principali della prospettiva concorrendo ai propri misuratori situati dal lato opposto; nella restante porzione di spazio, compresa fra le AFs ed AFd, le rette concorreranno normalmente ai rispettivi punti di fuga.


Esempio: Prospettiva accidentale di un edificio Per la costruzione del disegno prospettico di un edificio, data la pianta ed i prospetti, si procede per f a s i ,da l l ade f i ni z i onede l l ’ i ng ombr oma s s i mode l l ’ e di f i c i o,a l l as uc c e s s i vade f i ni z i onede ivuoti e dei pi e nia l l ’ i nt e r n ode lvol ume .  PRIMA FASE Par t e ndodal l api ant ade l l ’ e di f i c i os c e gl i amol apos i z i onede lPV.Que s t as c e l t aèdif ondame nt al e importanza per il risultato finale, in quanto condiziona completamente il tipo di visione ed il suo taglio. Una volta determinata la traccia del quadro, scegliamo la posizione del PV, usando gli accorgimenti pr e c e de nt e me n t ede s c r i t t ipe rqua nt or i g ua r dal as uapos i z i oner i s pe t t ol ’ ogg e t t oel as uadi s t a nz ada l quadro. Definiamo poi il punto Pt e ricerchiamo gli elementi necessari per la prospettiva secondo i metodi illustrati sopra.  SECONDA FASE Ne ldi s e gnopr os pe t t i c o,de f i ni t al ’ al t e z z at r al aLO el aLT,r i por t i amogl ie l e me nt it r ovat ie quindi procediamo alla costruzione della pianta utilizzando uno dei metodi appena visti. I ns e g ui t o,unavol t ar i por t a t al ’ a l t e z z ada l l os pi g ol oc oi nc i de nt ec onl aLT,de f i ni a mol ’ i ng ombr o ma s s i mode l l ’ e di f i c i o.  TERZA FASE E’que s t al af as ei nc uis il avor ai lvol umede f i ni t oi nmodot al edar i c avar ei ne s s ol er i e nt r anz ee le partiture che lo caratterizzano e da stabilire il grado di definizione grafica che il lavoro deve assumere ricercando o meno i minimi particolari. At i t ol od’ e s e mpi oi l l us t r i a mopa s s oapa s s ol et r ef a s ic os t r ue ndol apr os pe t t i vaa c c i de nt a l ediun edificio quale il Palazzo di Giustizia di Milano.


 PRIMA FASE Cons i de r i a mol avi s i oneda l l ’ a l t ode lnos t r opi a noe ,c omepr i mac os a ,t r a c c i a mos ulnos t r of og l i odi lavoro la linea LT coincidente con la LO. Disegniamo quindi i tratti essenziali della pianta de l l ’ e di f i c i ot r a c c i a ndos udie s s aa nc h eipunt ic he individuano le finestre della facciata. In seguito scegliamo il PV in modo tale che: 1. l ’ angol of o r mat odair aggivi s ual ic ondot t idal PV agli estremi della figura sia di circa 45°. 2. il prolungamento della proiezione del PV sul quadr oc adaal l ’ i nt e r node l l api ant a .

Procediamo alla costruzione della figura preparatoria ricorrendo al metodo dei punti misuratori. Tr a c c i a mo da PV l e pa r a l l e l ea il a t ide l l ’ e di f i c i o individuando i due punti di vista Fs ed Fd. Centriamo quindi in Fs prima ed in Fd poi e ribaltiamo sulla LT il PV ottenendo i punti Ms ed Md rispettivamente. Successivamente centriamo nel punto di base della pianta PB e ribaltiamo sulla LT tutti i punti evidenziati in rosso. Osserviamo che, per non appesantire troppo la figura ne vengono rappresentati solo alcuni (i punti blu).


 SECONDA FASE Si a moor apr o nt ipe rpr oc e de r ea l l ac os t r u z i onede l l apr os pe t t i vade l l api a nt ade l l ’ e di f i c i o. Fi s s i a mol aLTe ,adi s t a nz aoppor t una ,l al i ne ad’ or i z z ont eLO.Suque s t ’ ul t i mar i por t i a moipunt idi fuga Fs, Md, P, Ms, Fd, mentre sulla LT tutti i punti segnati in blu precedentemente determinati. Tr a c c i a mo da lpunt o ba s es e gna t os ul l a LT ( l ’ uni c o punt or os s o)l er e t t e pe rFse d Fd c he rappresenteranno l apr os pe t t i vade iduel a t ide l l ’ e di f i c i o;qui ndit r a c c i a modac i a s c unpunt os ul l aLtl a retta per il proprio punto di concorso. Più precisamente: i punti alla sinistra del punto base concorreranno in Ms (rette verdi), mentre quelli alla sua sinistra in Md (rette blu). Le loro intersezioni con le due rette per i punti di fuga appena determinate forniscono le tracce delle finestre del palazzo in prospettiva. Per ultimare la pianta sarà sufficiente unire ciascun punto così trovato con il rispettivo punto di fuga.

Unavol t af i s s a t al apr os pe t t i vade l l api a nt as c e g l i a moun’ a l t e z z aoppor t unadaa s s oc i a r ea lnos t r o edificio e determiniamone il massimo volume occupato unendo gli estremi superiori delle altezze con i rispettivi punti di fuga.

Si osservi che sull ar e t t adi s e g na t ai nbl u,ol t r ea lpunt oc hec a r a t t e r i z z al ’ a l t e z z ade l l ’ e di f i c i o,s ono stati segnati anche i punti che delimitano le altezze delle finestre e la distanza fra esse.


 TERZA FASE Unavol t ade t e r mi nat el eal t e z z ede l l ’ e di f i c i oer i por t at es udi esse i punti occorrenti per la determinazione delle finestre, arricchire la figura di particolari e quindi completarla risulta molto semplice. Infatti, per ultimare la prospettiva sarà sufficiente condurre da ciascun punto appartenente alla linea delle altezze (linea blu) le due rette per i punti di fuga e quindi tirare le perpendicolari alla LT dai punti in prospettiva sulla pianta. La figura che segue mostra una fase della lavorazione.

Per ultimare la costruzione basterà determinare la prospettiva delle porte di ingresso che si ottengono facilmente una volta fissata la loro altezza. Il procedimento è analogo a quello appena fatto.

Il risultato finale è rappresentato nella seguente figura: Osserviamo che le proporzioni ottenute non sono del tutto fedeli a quelle reali. Que s t ononèd ovut oa dun’ e r r a t aa ppl i c a z i onede lme t odobe ns ìèdaa ppor t a r ea lf a t t oc hel api a nt a i ni z i a l ede l l ’ e di f i c i oès t a t ade dot t ada l l af i g ur as t e s s aenonda l l ar e a l epl a ni me t r i a .Que s t ohaf a t t os ì che gli eventuali errori di misurazione commessi inizialmente si manifestassero non solo sulla pianta ma anche a lavoro ultimato.


La Prospettiva  

Questa è la spiegazione completa del concetto Prospettiva

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