Page 1

MÉTODOS NUMÉRICOS

EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL 1. Considere la siguiente tabla, donde x0 ≠ x1 :

x

x0

x1

y

y0

y1

Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla. 2. Considere la siguiente tabla

x y

0 1

1 1

2 2

4 5

¿Cuántos polinomios de grado a lo más tres interpolan la tabla? Justificar su respuesta. Calcular el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpola la tabla. Hágalo de dos maneras: Paso a paso (constructivamente) y mediante la tabla de diferencias divididas. 3. Considere la tabla:

x y

x0

f ( x0 )

x1

f ( x1 )

Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado uno que interpole la tabla dada. 4. Considere la tabla:

x y = f (x )

0 1

1 1

2 2

4 5

Obtener el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpole la tabla dada.

1 f (x ) = 2 x para x∈(− ∞,∞ ) . 2 a) Calcular el polinomio p ( x ) que interpola a f (x ) en los nodos x0 = 0 , x1 = 1 , x 2 = 2 y x3 = 3 . b) Calcular el error relativo que se comete al aproximar f (3 2 ) mediante p (3 2 ) .

5. Considere la función

6. El polinomio de Newton p 2 (x ) = 2 x −

1 x (x − 6) interpola la tabla x vs. y 9

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

1


MÉTODOS NUMÉRICOS

x y

x0

x1

x2

0 0 y0

6 12 y1

15 15 y2

Se agrega como cuarto nodo a x3 = 30 y y 3 = 0 . Se pide calcular el polinomio de Newton p3 (x ) que interpola la nueva tabla. Los cuatro puntos de la tabla se obtuvieron de la semicircunferencia de la figura siguiente (radio 15).

(1 3 )

Usar la fórmula simple de Simpson

para aproximar el área del semicírculo, con ayuda de los

polinomios p 2 ( x ) y p 3 (x ) . Estudiar la calidad de esta aproximación y concluír. Calcular los errores relativos.

7. Considere una tabla de 4 entradas, en la que x0 , x1 , x 2 y x 3 son números distintos:

Llame y k = f ( xk ) = f

k

x

x0

x1

x2

x3

y

y0

y1

y2

y3

, k = 0 , 1, 2, 3 .

a) Plantear una expresión para el polinomio de grado cero p 0 (x ) que interpola la primera columna de la tabla. Verificar que p 0 (x ) = y 0 = f 0 = f [x0 ] = c0 .

b) Escriba una expresión para el polinomio de grado a lo más uno, p1 (x ) que interpola las dos primeras columnas de la tabla, construido a partir de p 0 (x ) .

Verificar que p1( x ) = p0 (x ) + f [x 0 , x1 ] (x − x 0 ) donde f [x 0 , x1 ] = c) Con la misma idea obtener p 2 ( x ) a partir de p1 (x ) .

f1 − f 0 =: f01 =:c1 x1 − x0

Verificar que p 2 (x ) = p1( x ) + f 012 (x − x0 )(x − x1 ) ,donde

2

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín


MÉTODOS NUMÉRICOS

f [x1 , x 2 ] − f [x0 , x1 ] =: f [x0 , x1 , x2 ] =: f 012 =:c2 x 2 − x0 Usted notará que la expresión de f 012 no aparece explícita sino que se debe construir. d) Con la misma metodología obtener p 3 (x ) a partir de p 2 ( x ) . Verificar que p 3 (x ) = p2 (x ) + f 012 ( x − x0 )(x − x1 ) + f 0123 (x − x0 )(x − x1 )(x − x 2 ) , donde f [x1 , x 2 , x3 ] − f [x0 , x1 , x2 ] =: f [x0 , x1 , x2 , x 3 ] =: f 0123 =:c3 x3 − x0 Para efectos de simplificar aún más la escritura se sugiere introducir la notación xi − x j =:x j i . f 3 − f 0 − f 01 x03 − f 012 x03 x13 x 03 x13 x23 Concéntrese y sea paciente para construir c3 . Por ejemplo, avanzando Usted notará que le aparece c3:=

f3 − f0 =

( f3 − f2 ) x23

x23 +

( f 2 − f1 ) x12

x12 +

f1 − f 0 x01 = f 23 x 23 + f 12 x12 + f 01 x01 , etc. x01

Pero recuerde que también puede retroceder, empezando con la expresión que se dio de c3 .

8. Considere la siguiente tabla, que tiene como elementos

f (x ) 2 6

x 1 2

f ′( x ) 3 7

f ′′( x ) 8

Construir la tabla de diferencias divididas. Recordar que debe repetir la fila para x = 1 , y para x = 2 se plantean tres filas. Además, debe usar la definición de diferencia dividida con repetición. Dar el polinomio de Hermite que ajusta los valores de la tabla dada. Respuesta: p (x ) = 2 + 3(x − 1) + (x − 1) + 2(x − 1) (x − 2 ) − ( x − 1) ( x − 2) 2

2

2

2

9. Considere la siguiente tabla:

x 0 1 2

f (x ) 2 −4 44

f ' (x ) −9 4

Usar el método de diferencias divididas con repetición para calcular un polinomio de grado 4 que ajuste los valores de la tabla. Verificar que su respuesta satisface lo esperado.

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

3


MÉTODOS NUMÉRICOS

10. Ampliando la tabla del problema 9 con f (3) = 2 , obtener un polinomio que ajuste la nueva tabla. Verificar su respuesta. 11. Considere la siguiente tabla:

k

xk

fk

f k′

f k′′

0 1

0 1

1 1

−2 0

6 −8

Usar el método de diferencias divididas con repetición para obtener el Polinomio de Hermite de grado

5 correspondiente que interpola la tabla. Verificar. 12. Lo mismo que en el problema 11, pero para la siguiente tabla:

y = f (x ) 1 2 1 2

x 0 1 3 4

y ′ = f ′ (x )

y ′′= f ′ ( x )

3 2 5

3 6

13. Usando la Técnica de Hermite, calcular el Trazador Cúbico Sujeto que interpola la tabla:

x

y

−1 0 2

−6 9 6

y′ 0 −1

Verificar su respuesta. 14. Usando la técnica de Hermite, calcular el Trazador Cúbico Natural que interpola la tabla:

x −1 0 2

y −6 9 6

Verificar su respuesta. 15. Calcular el polinomio que interpola la tabla siguiente:

x −1 0 2

4

y 1 −1 7

y′

y ′′

0

0

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín


MÉTODOS NUMÉRICOS

16. Calcular el polinomio que interpola la tabla siguiente:

x -1 1

y′ 4 4

y -1 3

y ′′ -6 6

17. Considerar la función T (x ) definida como sigue:

2 x 3 + x 2 − 22 x + 26 ,  T (x ) = 7 x 2 − 28x + 28 , − 3 3 + 34 2 − 109 + 271 x x ,  x

0 ≤ x ≤1 1≤ x ≤3 3≤ x ≤4

Explicar cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple T (x ) para ser un Trazador Cúbico natural de la siguiente tabla:

x y

0 26

1 7

3 7

4 187

18. Considere la tabla siguiente, en la cual x0 , x1 , x2 , x3 y x4 son números distintos:

x

x0

x1

x2

x3

x4

y

y0

y1

y2

y3

y4

Con precisión, expresar todas las propiedades que debe tener el Spline Cúbico T (x ) natural, que interpole la tabla dada. 19. Considerar la siguiente función:

 − 5 x 2 − 11x + 7 , x∈[− 1,0 ] S (x ) =   − 14 x 3 + 27 x 2 − 11x + 7 , x∈[0,1] a) Inspeccionar si S ( x ) satisface o nó la siguiente tabla: x vs. y :

x −1 0 1

y 13 7 9

b) Determinar si la función S ( x ) es un Trazador Cúbico natural para la tabla dada en a). Precisar cuáles condiciones se cumplen y cuáles no. Analice y concluya.

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

5


MÉTODOS NUMÉRICOS

20. Calcular el Trazador Cúbico natural que interpola la siguiente tabla, x contra y :

x 0 2 3

y 0 −2 0

Explicar cada uno de los pasos dados para hallar el Trazador. 21. Calcular el Trazador Cúbico S ( x ) para la tabla siguiente x vs. y:

−1 0

x y

1 2

2 0

que satisfaga S ′(0 ) = −1 y S ′′(2 ) = 0 . Verificar que sus cálculos sean correctos. 22. Calcular el Trazador (Spline) Cúbico natural T que interpola la tabla x vs. y:

x y

0 −1

1 1

3 37

4 67

Usar aritmética exacta para los cálculos. Graficar x vs. T (x ) , x vs. T ′ (x ) , y x vs. T ′′ (x ) . 23. Calcular el Trazador cúbico que interpola la tabla

x y y′ y ′′

0 -1

1 0

3 26

4 60 39

0

24. Considerar la tabla siguiente en la cual xo < x1 < x2 < x3 < x4 :

x y = f (x )

x0

x1

x2

x3

x4

y0

y1

y2

y3

y4

Llame T ( x ) el Trazador (Spline Cúbico) que interpola la tabla dada. Mirando a T ( x ) como una función, precisar su dominio DT , su Codominio y la regla para calcular T ( x ) con x ∈ DT . Cuántos coeficientes no conocidos le aparecen en la regla para calcular T( x ) ?

Enuncie las condiciones que le va a imponer a T ( x ) , que permitirán el cálculo de lo no conocido en

T ( x ) . Tiene tantas condiciones como incógnitas?

6

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín


MÉTODOS NUMÉRICOS

Explique dos maneras usuales de completar las condiciones (Trazador sujeto, Trazador natural). Dar explícitamente a T ′( x ) y T ′′( x ) .

Hacer gráficas ilustrativas de x vs. T ( x ) , x vs. T ′( x ) y x vs. T ′′( x ) . Completar en los casos siguientes: T ( x ) es polinomial de grado ___?____ a trozos.

T ′(x ) es polinomial de grado ___?___ a trozos. T ′′( x ) es polinomial de grado ___?____ a trozos.

25. Continuación problema 24. Para obtener el Trazador cúbico que interpola la tabla dada, se seguirá la siguiente estrategia: Como T ′′( x ) es lineal a trozos, dando por conocida su ecuación, podremos integrar dos veces para obtener T ( x ) . Simultáneamente, usamos las condiciones sobre T ′(x ) y T ( x ) para obtener las

constantes de integración consiguiendo al final un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas. Para los datos (x0 , y 0 ) , (x1 , y1 ) ,..., (x n , y n ) desarrolle la idea general anterior así: Llame

T ′′(x 0 ) = z0 , T ′′( x1 ) = z1 ,..., T ′ (xn ) = z n se desconocen los números z0 , z1 ,..., zn .

( xi , z i ) x ∈ [xi , xi +1 ] , considere la función pi′′(x ) .

Escriba la ecuación de la recta que pasa por

x y . Para

(

(1)

)

y xi + 1 , zi + 1 , i = 0, 1,..., n − 1 en un plano

Para x ∈ [xi , xi +1 ] integre dos veces entre xi y x . Verificar que obtiene:

pi ( x ) = p' i (xi )( x − xi ) +

1 zi+1 (x − xi )3 + 1 zi (xi + 1 − x )3 + 1 zi hi ( x − xi ) − 1 zi hi 2 + yi .......(2) 6 hi 6 hi 2 6

donde hi = xi +1 − xi . Calcule pi (xi+1 ) , despeje pi′ (x i ) y sustitúyalo en (2), obteniendo para i = 0, 1, 2,..., n − 1 :

yi +1 − yi 1 1 1z 1z 1 pi (x ) = z i hi (x − xi ) − z i+1 hi ( x − xi ) + ( x − xi ) + i +1 (x − xi )3 + i xi +1 − x 3 − zi hi 2 + yi 6 6 hi 6 hi 6 hi 6

(

)

La ecuación anterior se puede escribir en la forma:

pi ( x ) =

z h  y 1 zi 1z 1 1 y xi +1 − x 3 + i+1 (x − xi )3 +  i +1 − i+1 i (x − xi )+ zi hi (x − xi ) − i ( x − xi ) − z i hi 2 + yi 6 hi 6 hi 6  6 hi 6  hi

(

)

para x ∈ [xi , xi +1 ] , i = 0 , 1,..., n − 1 .

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

7


MÉTODOS NUMÉRICOS

Donde sea conveniente cambie x i por su igual xi +1 − hi , para conseguir la expresión

pi ( x ) =

z h  y  1 zi 1 z i +1 3 ( x − xi )3 +  i +1 − i +1 i (x − xi )+  zi hi − yi xi+1 − x + 6 hi 6 hi 6  hi  6  hi

(

)

 ( x − xi+1 ) 

(3)

para x ∈ [xi , xi +1 ] , i = 0 , 1,..., n − 1 . De las condiciones impuestas aún no se ha usado la existencia de la primera derivada en los nodos interiores x1 , x2 , ..., xn −1 . Use que pi′−1 (x i ) = pi′ (xi ) , i = 1, 2,..., n − 1 para obtener que

6 ( y i+1 − yi ) − 6 ( yi − y i−1 ), i = 1, 2 ,..., n − 1 hi hi −1 6 Para i = 1, 2,..., n − 1 , llame ui := 2(hi −1 + hi ) , bi := ( yi +1 − yi ) , vi :=bi − bi − 1 . hi hi −1 zi −1 + 2(hi−1 + hi )zi + hi zi +1 =

Darle valores a i = 1, 2,..., n − 1 para conseguir el sistema de n − 1 ecuaciones lineales en las

n + 1 incógnitas z0 , z1 ,..., zn siguiente: h0 z0 +u1 z1 + h1 z 2  h1 z1 + u2 z 2 + h2 z 3  h2 z 2 + u3 z 3 + h3 z 4    

= v1 = v2 = v3 M hn− 2 zn− 2 + u n−1 z n−1 + hn−1 z n = vn−1

En el caso del Trazador Cúbico natural, dar el sistema lineal de n − 1 ecuaciones con incógnitas z1 , z 2 ,..., zn −1 . Pruebe que la matriz de coeficientes del sistema es E.D.D. por filas. Observar que el sistema es tridiagonal. ¿Qué haría usted para definir el Trazador una vez conseguidos z1 , z 2 ,..., z n−1 ? En el caso del Trazador sujeto, se dan como datos y ′0 y y n′ . De la ecuación donde se tiene pi′( x )

para x ∈ [xi , x i+1 ] , i = 0,1,..., n − 1 , obtener:

2h0 z0 + h0 z1 =b0 − 6 y ′0

y

hn−1 z n−1 + 2hn−1 z n = − bn−1 + 6 y ′n

Escribir el sistema lineal de n + 1 ecuaciones con las n + 1 incógnitas z0 , z1 ,..., zn . Observe que el sistema es tridiagonal y la matriz de coeficientes es E.D.D. por filas (probarlo!). ¿Cómo calcular el Trazador sujeto T (x ) ?

8

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín


MÉTODOS NUMÉRICOS

26. Considere la ecuación x − 9 a) b)

−x

Graficar y = x y y = 9 ecuación dada? Defina f (x )= x − 9

−x

=0

−x

.

. En qué intervalo parecen cortarse. Cómo se interpreta esto para la Construya la tabla de valores de la funcióm f para los números

x0 = 0, x1 = 1 2 y x2 = 1 , y para estos datos haga lo siguiente: i. Obtenga el polinomio de interpolación de Newton para la tabla. ii. Use fórmulas del problema (6) para obtener el Trazador cúbico natural que intepola la tabla.

iii. Use las aproximaciones polinomiales, obtenidas en i. y ii. para estimar la raíz de f (x ) = 0 .

En caso necesario, use DERIVE o su calculadora para ayudarse en los cálculos y en la comparación y discusión de resultados. Las soluciones son: Para la parte i.: p 2 ( x ) = −1 +

(

7 8 x − x x − 12 3 9

)

13 3 71  9 x + 36 x − 1 , Para la parte ii. : T (x ) =  13(1 − x )3 + 65 x − 11 ,  9 36 12

 1 x ∈ 0,   2 1 x ∈  ,1 2 

27. Para la siguiente tabla

x y = f (x )

−1 0

0 3

1 11

2 24

Calcular el Trazador cúbico natural que interpola la tabla. Seguir los lineamientos del problema 25. Verificar su respuesta. 28. Considerar la tabla

x y = f ( x) y = f ′ (x ) y = f ′′ ( x )

−2 1

0 −1 2 1

Usar la técnica de Hermite para obtener el polinomio que interpola la tabla dada. Si la tabla se completa con f (1) = 2 y f ′ (1) = −1 , calcular el polinomio que cumple con todos los datos.

28. Los datos de la siguiente tabla corresponden a una cierta función f .

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

9


MÉTODOS NUMÉRICOS

x −1 1 2

y = f ( x) 4 4 11

y ' = f ' ( x) −2 12

Analizar si la función T (x ) definida mediante:

 x 2 + 3, − 1 ≤ x ≤ 1 T (x ) =  3  x + 3, 1 ≤ x ≤ 2 es o no el Trazador cúbico sujeto que interpola la tabla dada de la función f. propiedades satisface y cuáles no.

Indicar cuáles

29. Considerar la siguiente función T:

  − 1 + 2 x + T (x ) =   −1 + 2 x + 

1 2 1 3 x − x , 2 2 1 2 1 3 x − x , 2 6

−2≤ x≤0 0 ≤ x ≤1

a) Calcular T ' (x ) , T ′′(x ) . Graficar a T (x ) , T ' (x ) y T ′ (x ) . b) Estudiar si T es el Trazador cúbico natural de la siguiente tabla:

x y = f ( x)

−2 1

0 −1

1 2

29. Calcular el trazador cúbico que ajusta la tabla:

x y y'

0 0 0

1 2 6

3 2

Verificar su respuesta. 30. Discutir el problema de encontrar un polinomio p ( x ) de grado menor o igual que tres, que tome los valores p (0 ) = 0 , p (1) = 1 y p ′ ( 1 2 ) = 2 . Utilizar dos métodos.

31. Discutir el problema de encontrar un polinomio p ( x ) de grado menor o igual que dos que tome los siguientes valores: p (0 ) = 0 , p (1) = 1 y p ′ ( 1 2 ) = 2 . Utilizar dos métodos.

32. ¿Qué condición se debe imponer a los nodos x0 y x1 para que el problema de interpolación

p (xi ) = ci 0 , p ′ ( xi ) = ci 2 , i = 0, 1 se resuelva con un polinomio cúbico p ( x ) , para cualquier

escogencia de los valores ci0 , ci 2 ?.

10

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

Ejercicios interpolación  

ejercicio de iterpolación

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you