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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMO NÚMEROS IRRACIONALES NO TRASCENDENTALES, EL NÚMERO DE ORO Y PI.

AUTOR: ALEXANDER CASTRO MENDOZA.

Este es un borrador, el cual será editado en cualquier momento, Por lo pronto está registrado en: UNIDAD ADMINISTRATIVA ESPECIAL DIRECCION NACIONAL DE DERECHO DE AUTOR Radicación: 1-2013-17288 23/03/2013 05:53:06 p.m. Registrado como tipo de obra inédita.


1. INTRODUCCIÓN. En el siguiente trabajo se enseña una forma de hallar el valor de pi tal como se ha planteado muchas veces; que es calculando medio perímetro de un polígono inscrito en una circunferencia con radio igual a 1. La diferencia de este trabajo con otros, es que las funciones trigonométricas usadas no son números irracionales trascendentales, en ningún momento se usaron las funciones trigonométricas que vienen en un programa de cálculo, sino que se usaron números algebraicos con raíces inexactas, obtenidos por medio de la trigonometría. Encontré un hipótesis que dice que el valor de pi es representa el número de oro;

, donde

(se lee fi) y

Otra ecuación dice que

Estas expresiones de pi tienen que ver con el número de oro, y con este número fue que se trabajó hasta obtener resultados buscando un valor de pi. Se comprobó que usando el número de oro, el valor de pi que se obtuvo es el que actualmente rige como constante en las matemáticas. Lo positivo de haber investigado acerca del valor de pi, del número de oro, de la proporción cordobesa y hacer operaciones matemáticas fue aprender algo diferente lo que comúnmente se nos enseña en una clase tradicional de trigonometría. Se encontró que las funciones trigonométricas de algunos ángulos se pueden representar con números irracionales algebraicos gracias a haber utilizado la proporción aurea (número de oro) y la proporción cordobesa.

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2. JUSTIFICACIÓN. a. Plantear la hipótesis de que las funciones trigonométricas no son ejemplos de números irracionales trascendentes, sino todo lo contrario, que son números racionales fraccionarios ó irracionales algebraicos, solo hay que continuar descubriendo la representación algebraica de cada una de las funciones trigonométricas de los ángulos que no se mencionaron en el presente trabajo. Esto contradice el siguiente texto donde mencionan como ejemplo a las funciones trigonométricas como números trascendentales. “Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.)” Número irracional - (02/03/2013), WIKIPEDIA Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional

b. Demostrar que el valor de pi es el que rige actualmente, haciendo la aclaración de que se toma por lo menos 79 dígitos después de la coma, que han sido los obtenidos hasta el momento, se usaron en los cálculos hasta 200 dígitos después de la coma, los valores pueden ser todavía más exactos si se incrementa este número de dígitos para los cálculos. Lo que importa realmente es el algoritmo y los datos usados en él. c.

Demostrar que el número de oro no solo aparece en: - La naturaleza. - En la serie de Fibonacci. - En las obras de arte. - En el pentáculo o pentalfa. - Etc. Cabe añadir que fue por medio de este número (el número de oro o proporción aurea), junto con la proporción cordobesa (relacionada con el número de plata), fue que se pudo hallar expresiones algebraicas de funciones trigonométricas que permitieron los cálculos para obtener un valor del número pi.

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3.0 ANTECEDENTES. Muchos matemáticos han planteado como método para hallar el valor de pi∏, haciendo un polígono inscrito en la circunferencia     

Arquímedes, (Polígonos de 96 Lados 3,1408) Lui Hui, (Polígonos de 96 ó 192 Lados 3,14159) Aryabhata, (Polígonos de 384 Lados 3,1416) François Viète, (Polígonos de 393.216 Lados 3,141592653) Takebe, (Polígonos de 1.024 Lados - Estimo el valor de pi∏ en 14 decimales).

La forma aquí propuesta está basada en que la longitud de los lados de cada polígono es la base de un triangulo isósceles, este ejemplo solo muestra un polígono de 6 lados, pero el método usará polígonos de varios miles de lados sobrepasando polígonos con más de 4 millones de lados. La circunferencia tiene como radio = 1, y los lados iguales del triangulo isósceles son el mismo radio de la circunferencia.

Este triangulo isósceles tiene las siguientes medidas:

1

1

L Este triangulo isósceles se puede dividir en dos triángulos rectángulos opuestos pero de iguales magnitudes.

   

h

Sen 

La hipotenusa del triángulo = 1 Séno de  es una magnitud porqué la hipotenusa es igual a uno (1). Magnitud (L) es la base del triangulo isósceles. 

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El último paso hecho en el papel fue obtener de manera algebraica el seno y coseno de 3o y 4,5o sexagesimales.

Después usando identidades trigonométricas se hallo el coseno de 1.5o, pero como este procedimiento era complejo hacerlo en el papel, se tuvo que continuar haciéndolo un algoritmo que se hizo correr en un programa informático. Se hallo entonces así el coseno de 1.5o

Luego dentro del programá se obtuvo el coseno de la midad del angulo de 1.5o y asi sucecivamente hasta obtener un angulo muy pequeño.

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El coseno de 1,5o/2 es:

El coseno de 0,75 o /2:

El coseno de 0,375o/2 :

El coseno de 0,1875o/2 :

Y así sucesivamente… hasta obtener angulos tan pequeños como por ejemplo de unos pocos segundos; estas son operaciones anidadas una dentro de otra hasta obtener el ángulo deseado muy pequeño, luego se utilisó la identidad trigonométrica:

De ahí se obtiene el seno de este pequeño ángulo obtenido, el cual será el ángulo más pequeño de un triangulo rectángulo con hipotenusa igual a 1, con este triangulo rectángulo se construye un triangulo isósceles, este se obtiene del triángulo rectángulo mencionado, y otro complementario pero con las mismas proporciones. Con este triángulo rectángulo se construye el polígono, de esta manera, sabiendo la magnitud de los lados del triangulo isósceles, se sabe así la magnitud de los lados del polígono que está inscrito en la circunferencia y de esta manera se puede obtener medio perímetro del polígono, el cual será un valor que se aproxima a pi y que al tiempo es menor que pi.

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Para poder enseñar el método propuesto y hallar el valor del perímetro de un polígono inscrito en la circunferencia que tiene más de 3 millones de lados y que se aproxima a pi π, es necesario repasar conceptos tales como: los números irracionales algebraicos, y las funciones trigonométricas.

3.1. REPASO DE LAS MATEMÁTICAS 3.1.1. NUMERO. Es un concepto que expresa una cantidad. Dicho signo gráfico de un número recibe el nombre de numeral o cifra. 3.1.1.1. TIPOS DE NÚMEROS.

Naturales N 1, 2, 3 ... Enteros Z

Cero 0

Racionales Q Fracciones

Enteros Negativos -1, -2,-3 ...

Reales R Complejos C

Algebraicos Imagimarios i

Irracionales (No periodicos) Trascententales

Al conjunto {1,2 ,3, 4, …} cuyos elementos son utilizados para contar, recibe el nombre de números naturales: N = {1,2,3,4,…} Al conjunto {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…} recibe el nombre de números enteros: Z ={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…} Al conjunto {-1, -2, 3, 4,…} recibe el nombre de números enteros negativos. Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4,…} recibe el nombre de números enteros no negativos. Al conjunto {p/q / p y q Є Z y q ≠ 0} se les denomina conjunto de los números racionales. Q = {…, -2, -3/2, -1/3, 0, 1/8, 2/7, 5,…} Divulgación Matemática – Marzo de 2013 - Alexander Castro Mendoza – CC 72.188.284 Colombia.

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En el conjunto Q se aprecian dos subconjuntos: i) El de las fracciones; por ejemplo -3/2, -1/3, 1/8, 2/7. ii) El de los enteros como por ejemplo -2, 0, 4. Los números racionales Q pueden representarse como un decimal infinito periódico, así:

” Existe una parte decimal que es periódica. Se escriben los números que se repiten una sola vez, y sobre ellos se coloca una barra. No todos los números pueden expresarse como números decimales infinitos periódicos por ejemplo:

e = 2.71828182845904523536028747135…, No se le conoce período. A estos números se les llama números irracionales, como por ejemplo, y en general todas las raíces no exactas de números enteros. Al conjunto formado por la unión de los números racionales Q y los irracionales se les llama conjunto de los números reales, y se representa por R. Ejemplo de números reales R en la recta númerica

3.2. NUMEROS IRRACIONALES 3.2.1 NÚMEROS IRRACIONALES TRASCENDENTALES “Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es lo contrario de número algebraico” “La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.” Número trascendente (31/12/2012) - WIKIPEDIA Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_trascendente Ejemplo: e, log10 256, etc. Divulgación Matemática – Marzo de 2013 - Alexander Castro Mendoza – CC 72.188.284 Colombia.

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3.2.2 NÚMEROS IRRACIONALES ALBEBRAICOS. Son “aquellos que se obtienen de la extracción de raíces inexactas” Ejemplo: etc. Se decide usar estos números reales porque al dejarse tratar algebraicamente, permiten hacer operaciones matemáticas en el papel de números que tienen decimales infinitos, mientras que una calculadora electrónica muestra valores aproximados y a medida que se siguen usando estos, el error en los resultados será cada vez mayor. Otra ventaja de los números irracionales es que pueden ubicar puntos dentro de la recta numérica que no pueden ser ubicados con los números racionales Q. Los números irracionales que se usarán provienen de: - El número de oro. - El número de plata. δ - Proporción cordobesa  (La proporción cordobesa, está relacionada con el número de plata).

3.2.3. EL NÚMERO DE ORO. El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción). Representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional” Número Aureo (30/12/2012) – WIKIPEDIA – Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_de_oro

El primero en definir el número áureo fue Euclides (300-265 A.C.).

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El número áureo es la proporción entre dos segmentos de igual longitud que cumple la siguiente relación:

Para obtener el número algebraicamente se hace la sustitución: A= X y B = 1

Al sustituir la relación se representa así: Y se obtiene la siguiente ecuación: Esta es una ecuación de la forma: , Esta ecuación se resuelve usando la fórmula de la ecuación general de segundo grado.

Esta ecuación da dos valores, se toma el valor de signo positivo porque una magnitud no se representa con signo negativo. El resultado es

Este es el número de oro:

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3.2.3.1. PROPIEDADES Y REPRESENTACIONES DEL NÚMERO DE ORO. es el único número real positivo tal que si se eleva al cuadrado es lo mismo que sumarle 1.

Se puede comprobar algebraicamente

es el único número real positivo tal que si se invierte es lo mismo que restarle 1.

Otro valor para

se puede deducir de:

;

Se deducen las siguientes propiedades:

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En la trigonometría

Representación mediante raíces anidadas

3.2.4. EL NÚMERO PLATEADO El número plateado o razón plateada es una constante matemática. Su nombre es una alusión a la razón áurea; análoga a la forma en que el número áureo es la proporción limitante de la sucesión de Fibonacci, el número plateado es la proporción limitante de la sucesión de Pell. Número plateado (31/12/2012)- WIKIPEDIA - Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_de_plata El número plateado se defina como la solución de la ecuación

3.2.4.1. PROPIEDADES ALGEBRAICAS es el único número real positivo tal que si se invierte es lo mismo que restarle 2.

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3.2.4.1.1. POTENCIAS DE LA RAZÓN PLATEADA 1

3.2.4.1.3. EXPRESIONES PLATEADAS. “La expresión general se conoce con el nombre de expresión plateada. La razón dorada es una expresión plateada para , mientras que la razón plateada es para . Los valores de las diez primeras razones plateadas se muestran a la derecha” Recuperado (31/12/2012) - http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_plateado Expresiones plateadas 0 0 + √1

1

1 ½ + √1¼

1.618033989

2 1 + √2

2.414213562

3 1½ + √3¼

3.302775638

4 2 + √5

4.236067978

5 2½ + √7¼

5.192582404

6 3 + √10

6.162277660

7 3½ + √13¼

7.140054945

8 4 + √17

8.123105626

9 4½ + √21¼ 9.109772229 Número plateado (31/12/2012)- WIKIPEDIA - Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_de_plata

3.2.5. PROPORCIÓN CORDOBESA “El valor de esta proporción es 1.306562964… es la denominada proporción cordobesa. Esta proporción matemática surge como la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste”. Rectángulo cordobés (31/12/2012), - WIKIPEDIA- Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Proporci%C3%B3n_cordobesa Número cordobés =  =

,

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3.3. NÚMEROS EMPAQUETADOS. Personalmente, le he llamo números empaquetados a aquellos números a los cuales se les puede definir mediante un símbolo o una expresión corta para representar un número irracional no trascendental. Es una forma fácil de manejar números que tienen decimales infinitos.

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3.4 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Las funciones trigonométricas se hallan por medio de triángulos rectángulos. Se usan triángulos rectángulos cuya hipotenusa sea igual a la unidad, de esta manera el seno de un ángulo es igual a la magnitud de su cateto opuesto y el coseno de ese mismo ángulo es igual a la magnitud de su cateto adyacente.

3.4.1. EL TRIANGULO EQUILATERO. A un triagulo equilatero con lados igual a la unidad, si la linea que lo corta a la mitad es la bisectis del ángulo que lo forman sus dos lados iguales se obtiene:

Observación: el cateto de magnitud ½ es la mitad de magnitud 1, y el cateto de magnitud se optiene mediante el teorema de pitagoras. Un triangulo rectángulo isosceles con dos catetos iguales a la unidad es:

Las funciones trigonométricas de estos dos triángulos se deducen en la siguiente tabla: Funciones Expresión Trigonometricas Algebraica Sen 30o = Cos 60o Cos 30o = Sen 60o Sen 45o = Cos 45o A estos angulos: 300, 450, 600 y 900 se le llaman angulos notables.

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3.4.2. OTROS TRIANGULOS. Existen otros triangulos poco conocidos, estos triangulos también tienen sus angulos notables y de ellos se pueden obtener funciones trigonométricas.   

Triangulo con proporción cordobeza. Triangulo aureo mayor. Triangulo aureo menor.

3.4.2.1. TRIANGULO CON PROPORCIÓN CORDOBEZA. La proporción cordobesa es igual a . También se puede representar usando el número plateado . En un triagulo isosceles con proporción cordobesa, si la linea que lo corta a la mitad es la bisectis del ángulo que lo forman sus dos lados iguales se obtiene:

Sus funciones trigonométricas se deducen en la siguiente tabla: Funciones Trigonometricas

Expresión Algebraica

Sen 22,5o = Cos 67,5o Cos 22,5o = Sen 67,5o 22.50 y 67.50 son los ángulos notables del triangulo de proporción cordobesa.

Tambíen se puede representar la tabla anterior usando el número plateado. Expresión Funciones Trigonometricas Algebraica Sen 22,5o = Cos 67,5o Cos 22,5o = Sen 67,5o

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Para comprobar la exactitud de las expresiones algebraicas que representan sus funciones trigonometricas, se usó la herramienta de internet wolframalpha. Se parte de la premisa que dice que: “La diferencia de dos valores iguales siempre es igual a cero”.

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3.4.2.2. TRIANGULO AUREO MAYOR. Un triángulo áureo mayor es un triángulo isosceles con un angulo de 360 y dos de 720 tal que la proporción:

Si la linea que lo corta a la mitad es la bisectis del ángulo que lo forman sus dos lados iguales se obtiene:

Sus funciones trigonométricas se deducen en la siguiente tabla: Funciones Trigonometricas

Expresión Algebraica

Sen 18o = Cos 72o Cos 18o = Sen 72o 180 y 720 son los ángulos notables del triangulo aureo mayor.

Representación con número irracionales algebraicos Expresión Funciones Trigonometricas Algebraica Sen 18o = Cos 72o Cos 18o = Sen 72o

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Para comprobar la exactitud de las expresiones algebraicas que representan sus funciones trigonometricas, se usó la herramienta de internet wolframalpha. Se parte de la premisa que dice que: “La diferencia de dos valores iguales siempre es igual a cero”.

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3.4.2.3. TRIANGULO AUREO MENOR Un triángulo áureo menor es un triángulo isosceles con un angulo de 108 0 y dos de 360 tal que la proporción:

Si la linea que lo corta a la mitad es la bisectis del ángulo que lo forman sus dos lados iguales se obtiene:

Su mitad es 

Sus funciones trigonométricas se deducen: Funciones Trigonometricas

Expresión Algebraica

Sen 36o = Cos 54o Cos 36o = Sen 54o Estos angulos: 360, 540 son los ángulos notables del triangulo aureo menor.

Representación con número irracionales algebraicos Expresión Funciones Trigonometricas Algebraica Sen 36o = Cos 54o Cos 36o = Sen 54o

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Para comprobar la exactitud de las expresiones algebraicas que representan sus funciones trigonometricas, se usó la herramienta de internet wolframalpha. Se parte de la premisa que dice que: “La diferencia de dos valores iguales siempre es igual a cero”.

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3.4.2.4. TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS REPRESENTADAS ALGEBRAICAMENTE. Usar como nemotécnico las proporciones áurea y plateada permite hacer fáciles los calculos de otros angulos valiendonos de las identidades trigonométricas. Recordemos algunas de sus propiedades: es el único número real positivo tal que si se eleva al cuadrado es lo mismo que sumarle 1. es el único número real positivo tal que si se invierte es lo mismo que restarle 1.

es el único número real positivo tal que si se invierte es lo mismo que restarle 2.

Funciones Trigonometricas

Expresion Algebraica Con números Con némotecnico y δ irracionales algebraicos

Sen 18o = Cos 72o Cos 18o = Sen 72o Sen 22,5o = Cos 67,5o Cos 22,5o = Sen 67,5o Sen 30o = Cos 60o

-

Cos 30o = Sen 60o

-

*

Sen 36o = Cos 54o Cos 36o = Sen 54o Sen 45o = Cos 45o

-

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4.0 HIPÓTESIS. La siguiente hipótesis propone que las funciones trigonométricas no son números irracionales trascendentales. Hallar el valor de pi por medio del método de los polígonos inscritos en la circunferencia sin usar las funciones trigonométricas de un programa informático, sino que en su lugar se usaran expresiones trigonométricas expresadas algebraicamente como punto de partida y obtener el valor de pi es al argumento para soportar la hipótesis. 4.1. METODO PARA ENCONTRAR MEDIO PERIMETRO DE UN POLIGONO DE MAS DE TRES MILLONES DE LADOS INSCRITO EN LA CIRCUNFERENCIA. Aproximarse al valor de 2pi por medio del perímetro un poligono inscrito en la circunferencia ya se ha realizado anteriormente: Arquímides (Siglo III A.C), Fibonacci (Siglo XII), el mátemático Japones Takebe (año 1722) y otros. El planteamiento se basada en que la longitud de cada lado del polígono inscrito en la circunferencia, es el lado de menor longitud de un triangulo isósceles, la siguiente figura muestra como ejemplo un polígono de solamente 6 lados, pero el método usará polígonos de varios miles de lados sobrepasando los 4 millones de lados. La circunferencia tiene como radio = 1, y los lados iguales del triangulo isósceles son el mismo radio de la circunferencia. El triangulo isósceles está formado por dos triángulos rectángulos opuestos con hipotenusa=1 y catetos iguales.

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Uno de esos triángulos rectángulos es el siguiente:

h

Sen 

Estas son sus magnitudes:   

La hipotenusa del triángulo = 1 Seno de  es una magnitud porqué la hipotenusa es igual a uno (1). Magnitud (L) es la base del triangulo isósceles. 

Para calcular el perímetro de un poligono inscrito en una cirfunferencia de radio igual a 1, se hizo el siguiente procedimiento: 

Obtener un ángulo de 1.5o aplicando identidades trigonométricas a funciones trigonométricas conocidas que se pueden expresar en números irracionales algebraicos.

Usando otra identidad trigonométrica se obtuvo un ángulo pequeño, que fue el resultado de haber dividido el angulo de 1.5o entre 2 y así sucesivamente.

Por medio de otra identidad trigonométrica se optiene el valor del cateto opuesto de este pequenisimo ángulo ().

Una vez obtenida la magnitud del cateto opuesto al ángulo () se puede obtener la mangitud de la base del triangulo isosceles, está sera el doble de magnitud que el seno del ángulo () del triangulo rectángulo, así se puede determinar cuantos triangulos isosceles caben dentro del poligono, por lo tanto el número de lados que tiene el poligono es el número de triangulos isosceles que lo formán.

Conocido el número de lados del polígono y la magnitud de cada lado del poligono, se puede calcular medio perímero del polígono, el cual será menor que pi y a la vez muy cercano a piπ.

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4.1.1 OBTENCIÓN DEL COSENO DEL ANGULO DE 1,5O. Esto se logra haciendo uso de las identidades trigonométricas:

Por medio de los ándulos de 300 y 180 se obtiene el seno y coseno de 120

Por medio de los ándulos de 540 y 450 se obtiene el seno y coseno de 90

Por medio de los ándulos de 120 y 90 se obtiene el seno y coseno de 30

Por medio de los ándulos de 22,50 y 180 se obtiene el Seno y coseno de 4,50

Por medio de los ándulos de 4,50 y 30 se obtiene el Seno y coseno de 1,50

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4.1.1.1 OBTENER EL COSENO Y SENO DE 12O

Al operar se obtiene:

Al reemplar

se optiene:

Al operar se obtiene:

Al reemplar

se optiene:

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Para comprobar la exactitud de las expresiones algebraicas que representan sus funciones trigonometricas, se usó la herramienta de internet wolframalpha. Se parte de la premisa que dice que: “La diferencia de dos valores iguales siempre es igual a cero”.

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4.1.1.2. OBTENER EL COSENO Y SENO DE 9O

Al operar se obtiene:

Al reemplar

se optiene:

Al operar se obtiene:

Al reemplar

se optiene:

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Para comprobar la exactitud de las expresiones algebraicas que representan sus funciones trigonometricas, se usó la herramienta de internet wolframalpha. Se parte de la premisa que dice que: “La diferencia de dos valores iguales siempre es igual a cero”.

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4.1.1.3. OBTENCIÓN DEL SENO Y COSENO DE 4,5O Para esto se hizo uso de la siguiente identidad trigonométrica:

Por medio las funciones trionométricas seno y coseno de los ándulos de 720 y 67,50 se obtiene el seno de 4,50

Al operar se obtiene:

Al reemplazar

y δ se obtiene:

Usando la identidad tirgonométria

se obtine:

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En esta prueba se uso arcoseno de la función trigonometrica para verificar la expresión.

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En esta prueba se uso arcocoseno de la función trigonometrica para verificar la expresión.

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4.1.1.4. OBTENER EL COSENO Y SENO DE 3O

Al operar se obtiene:

Al reemplazar

y δ se obtiene:

Usando la identidad tirgonométria

se obtine:

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En esta prueba se uso arcoseno de la función trigonometrica para verificar la expresión.

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En esta prueba se uso arcocoseno de la función trigonometrica para verificar la expresión.

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Hasta este punto se deduce la importacia del número de oro y el número de plata para definir funciones trigonométricas. Estas funciones trigonométricas expresadas con números irracionales algebraicos se obtuvieron de triangulos aureos y de un triangulo con proporción cordobesa, luego se comprobaron con Wolfran Alpha. Wolfram Alpha “Tiene como meta que todo conocimiento sistemático y computable que posee la humanidad esté al alcance de cada persona del planeta que tenga disponible Internet. Esta página interactiva puede recopilar, organizar, combinar y estructurar cualquier conjunto de información cuantitativa para operarla bajo cualquier algoritmo, modelo o sistema matemático. Wolfram Alpha representa un logro significativo de la programación y un avance gracias a la velocidad de procesamiento de las computadoras”. ¿Qué es Wolfram Alpha? (25/02/2013) – EL EDUCADOR, Información y servicios educativos para doscentes de América Latina, Recuperado de: http://www.eleducador.com/pr/index.php?option=com_content&view=article&id=43:wolf ram-alpha-algo-mas-que-un-motor-de-busqueda&catid=25:articulos-porarea&Itemid=43 4.1.1.5. OBTENCIÓN DEL COSENO DE 1,5O Para esto se usó la siguiente identidad trigonométrica.

Por medio las funciones trionométricas seno y coseno de los ándulos de 4,50 y 30 se obtiene el coseno de 1,50

La demostración por medio de Wolfran Alpha se intento hacer para el coseno de 1.5o, pero no aceptó una expresión tan grande para hacer la demostración. También a este punto las operaciones mátematicas son tan extensas que no caben en una hoja, por lo cual se continua realizando algoritmos en un programa. Dentro del programá se obtendrá el coseno de 1.5o y luego la midad del angulo de 1.5o y asi sucecivamente hasta obtener un angulo muy pequeño.

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Para obtener el coseno de la mitad de un angulo se usa la siguiente identidad trigonométrica:

Por lo tanto el coseno de 1,5o/2:

El coseno de 0,75o/2:

El coseno de 0,375o/2 :

El coseno de 0,1875o/2 :

El coseno de 0,09375o/2 :

Y así sucesivamente…; Son operaciones anidadas una dentro de otra hasta llegar a un angulo muy pequeño.

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Este pequeñisimo angulo resultante, es el ángulo más agudo de un triángulo rectangulo con hipotenusa igual a uno. 1

Se toma este triángulo rectángulo y se coloca junto a otro triángulo rectángulo opuesto pero de iguales proporiones para formar un triánguo isosceles.

L

Obtenido un triángulo isosceles cuyos lados iguales son igual a la unidad. Se construye un poligono, que ira inscrito en una circunferencia con radio igual a la unidad. Este poligono tendra unos lados con magnitu iguales a (L), L es dos veces el seno del angulo mas pequeño del triangulo rectangulo.

De esta forma se calcula el perimetro del poligo, que debe ser menor que el perímetro de la circunferencia, y proximo a 2pi.

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4.2. EL ALGORITMO Inicio DECLARACIÓN DE VARIABLES (Números Enteros) NúmeroDeLadosDelPolígono; Contador DECLARACIÓN DE VARIABLES (Números con muchísimos decimales después de la coma) Seno(4.5); Coseno(4.5); Seno(3); Coseno(3); Coseno(1.5); AnguloActual; SenoAnguloActual; CosenoAnguloActual; LadoDeMenorLongitudTrianguloIsosceles; LongitudCadaLadoDelPolígono; MédioPerímetroDelPolígono

ASIGNAR VALORES A LAS VARIABLES

Contador = “Valor numérico ingresado por teclado”

1 Divulgación Matemática – Marzo de 2013 - Alexander Castro Mendoza – CC 72.188.284 Colombia

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1 Contador = 0

Si No

MOSTRAR EN PANTALLA “El número de lados del polígono es: (NúmeroDeLadosDelPolígono)” “Medio perímetro del Polígono es: (MedioPerimetroDelPolígono)” “NOTA: Medio perímetro del polígono es un valor menor que pi y cada vez más cercano a pi a medida que al polígono se le aumente el número de lados. FIN

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4.3 EL PROGRAMA Cuando se desea hacer correr un algoritmo se debe conocer a groso modo una variedad de programas para luego poder escoger aquel que nos vá a servir. Inicialmente se usó MATLAB y como este no sirvió para lo que se requería luego se uso Dev_C++ y tampoco sirvió para lo que se serquería. Ambos son etcelentes programas pero no eran los que se necesitaban para que hicieran el cálculo que se requeria. Que era encontrar el número pi . Los resultados no fueron los esperados ni en MATLAB ni en Dev_C++, lo errores llegaban a ser muy considerables, valores de hasta 3.1417 para pi no son correctos. Esto se debia a que MATLAB y Dev_C++ no manejan gran cantidad de digitos depués de la coma en sus cálculos, y era lo que causaba el error. Como se estaba haciendo operaciones matemáticas donde su resultado se anidaba dentro de la misma operación muchas veces (intrucción while), cada vez que ocurría esto, las últimas cifras las redondeaba y el resultado final lo afectaba. Aunque solo se necesitaba en el resultado final las primeras cifras decimales, para demostrar el valor del número pi. Se requeria que el programa cuando hiciera sus cálculos internos manejara muchísimas cifras, quizá 100 cifras decimales después de la coma o más. Esto era para que cuando redondeara la última cifra en una operación que se anida unas 50 veces o más, no llegara a afectar por lo menos las 10 primeras cifras que se necesitaba en el resultado final. Entones se decidió pedir ayuda por medio de un correo que se le escribió a los doscentes de matemática de la Univeridad de la Atlantico en Barranquilla, informando acerca de este inconveniente y solicitando que se me dijera que programa me podia servir, uno que usara en sus cálculos internos muchisimos decimales depués de la coma, fue entonces que la profesora KARINA REINA GARCÍA ARGÜELLES Matemático, Magister en Matemáticas. Me recomendó que usara el programa SAGE. QUE ES SAGE “Desarrollado por el proyecto de software libre Sagemath. Disponible en GNU/Linux y MacOS, pero no para Windows. Reune y compatibiliza bajo una única interfaz y un único entorno distintos sistemas algebraicos de software libre. Permite también integrar otras herramientas de software privativo, como Magma, Mathematica o Mapple. Es usado habitualmente en el mundo del álgebra conmutativa, la teoría de números y la geometría algebraica, aunque tiene capacidad para resolver también otro tipo de problemas”. Sistema algebraico computacional (26-02-2013) – WIKIPEDIA – Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_algebraico_computacional Así que se usó eontonces el programa SAGE para hacer correr el algoritmo que cálculara medio perimetro de un poligono de varios millones de lados inscrito en una circunferencia con radio igual a 1. SAGE es un programa que corre en linea, para acceder se crea una cuenta en la siguiente página. http://www.sagemath.org En las páginas a continuación se presenta el algoritmo que se corrio en SAGE. Divulgación Matemática – Marzo de 2013 - Alexander Castro Mendoza – CC 72.188.284 Colombia

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5 CONCLUSIONES. El método usado para hallar el número pi, es el argumento para sustentar la hipotesis de que las funciones trigonométricas no son ejemplos de números irracionales trascendentales. Se aníma a que se calculen los ángulos del triangulo sagrado egipcio, aquí las funciones trigonométricas seno y coseno son (3/5) y (4/5). También se aníma a que se calculen los ángulos del triangulo de Kepler, aquí las funciones trigonométricas seno y coseno son ( ) y ( ) donde . Lós angulos que se calculen deberán ser números irracionales algebraicos para poder expresar su exactitud. Eso permitira dar con más funciones trigonometicas expresadas con números irracionales algebraicos. En el siguiente link hay más información. http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_sagrado_egipcio http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Kepler Se aprendió de que a toda hipótesis se le debe comprobar su validés o intentar refutarla, la finalidad de este trabajo era validar la hipotesis de un valor de pi este valor de pi involucra al número de oro

,

, pero cuando se aplicó el método

para hallar el valor de pi con funciones trigonométricas que involucraron al número de oro, la hipotesis de que se cayó. Entonces por el momento pi aún sigue siendo un número irracional trascendental. Investigar acerca de algo permite llegar descubrir cosas nuevas, no importa que ese nuevo conocimiento sea algo que ya otros sabén, para el individuo que investiga será un descubrimiento y forma parte del aprendizaje autónomo. El presente trabajo permitio conocer un poco de matlab y dev_C++, y auque estos dos programas no sirvieron para hallar el número pi por no poder manejar muchos digitos depués de la coma y a la vez se redondeaban cifras que dañaban el resultado final, se aprendío algo nuevo. Indagar acerca de más programas de cálculo matemático permitió encontrar a SAGE, es de uso libre y se usa conectado a internet. El programa SAGE por manejar muchos digitos despues de la coma, si permitió hacer el cáculo de pi . Se encontró que el número de oro y la proporción cordobesa (relacionada con el número de plata), permitieron dar con las funciones trigonométricas expresadas con números irracionales algebraicos que se usaron con el programa SAGE y así hallar hallar el valor de pi. Entonces quizá sea posible que el número de oro llegue a ser tan útil así como el número neperiano. Solo falta que alguien con mucha curiosidad y geniadidad pueda descubrir más cosas acerca de este misterioso número y llevarlas a la práctica, generando así nuevo conocimiento.

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ANEXO LA SUCESION DE FINONACCI La sucesión de fibonacci es la siguiente secuencia de números: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 … “Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono”. Sucesión de Fibonacci - (05/02/20013) – Wikipedia – Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci “La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también" Sucesión de Fibonacci - (05/02/20013) – Wikipedia – Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci La sucesión de Fibonacci en la escala músical.

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LA SUCESIÓN DE FIBONACCI EN LA NATURALEZA Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. Sucesión de Fibonacci - (05/02/20013) – Wikipedia – Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci La sucesión de Fibonacci y su relación con el número de oro. * Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano también conocido como Fibonacci, vivió entre los años 1170 - 1250 de nuestra era, Fibonacci dió esta suceción de números como solución a un problema de cria de conejos, luego se encontró que esta suceción de números también esta en la naturaleza. * Euclides fue un matemático y geómetra griego, vivió en los años 325 - 265 antes de cristo. Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Fue Euclides quien describió matemáicamente una proporcióna a la cual se atribuye un carácter estético a los objetos o cosas en la naturaleza cuyas medidas guardan la proporción áurea. La sucesión de Fibonacci tiene la particularidad de que al dividir un número de la secuencia con su antecesor, se va obteniendo progresivamente el número de oro a medida que avanza la secuencia. 89÷55 = 1.618181818 144÷89 = 1.617977528 233÷144 = 1.618055556 Números de Fibonacci

377÷233 = 1.618025751 610÷377 = 1.618037135

Número De Oro

987÷610 = 1.618032787 1597÷987 = 1.618034448 2584÷1597= 1.618033813 Y así sucesivamente se ira aproximando cada vez más al valor

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APLICAR LA SECUENCIA FIBONACCI A OTROS NÚMEROS. La secuencia de Fibonacci usa como punto de partida el número 1 y le antecede el 0, dando como resultado, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…etc., pero también se pude usar otros números como punto de partida por ejemplo 2, quedando la secuencia de esta forma: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16…etc, la tabla a continuación muestra secuencias de la secuencia de Fibonacci con diferentes números base. Ejemplo1: Paso Número.

BASE - 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393

BASE 0 1,618033989 1,618033989 3,236067977 4,854101966 8,090169944 12,94427191 21,03444185 33,97871376 55,01315562 88,99186938 144,005025 232,9968944 377,0019194 609,9988138 987,0007331 1596,999547 2584,00028 4180,999827 6765,000107 10945,99993 17711,00004 28656,99997 46368,00002 75024,99999 121393 196418

BASE -

2

0 2,61803399 2,61803399 5,23606798 7,85410197 13,0901699 20,9442719 34,0344419 54,9787138 89,0131556 143,991869 233,005025 376,996894 610,001919 986,998814 1597,00073 2583,99955 4181,00028 6764,99983 10946,0001 17710,9999 28657 46368 75025 121393 196418 317811

BASE 0,523606798 0 0,5236068 0,5236068 1,0472136

4,18885438 6,80688837 10,9957428 17,8026311 28,7983739 46,601005 75,3993789 122,000384 197,399763 319,400147 516,799909 836,200056 1352,99997 2189,20002 3542,19999 5731,40001 9273,59999 15005 24278,6 39283,6 63562,2

En esta tabla curiosamente se puede ver como en los pasos 24, 25 y 26 de los números base (1, y 2) respectivamente aparece el número 121393, no es un número que indique alguna cifra en especial, pero como se explico anteriormente el número fi está relacionado con la serie de fibonacci y el la quinta columna curiosamente se observa que en los pasos 4 y 5 aparece  y . Divulgación Matemática – Marzo de 2013 - Alexander Castro Mendoza – CC 72.188.284 Colombia

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Ejemplo 2: Secuencia de Fibonacci usando el mayor angulo del triangulo aureo mayor. Paso número

Base 72o 0 1 2 3 4 5

0o 72 o 72 o 144 o 216 o 360 o

En esta tabla se observa que el angulo de 72 en el quinto paso completa la circunferencia (360º).

FORMULAS QUE TIENEN QUE VER CON LA SECUENCIA DE FIBONACCI 

Formula de Binet: Esta nos dice cómo calcular el n-ésimo número de Fibonacci.

Comprobar si un número entero positivo es un número de Fibonacci Si es un número entero positivo, es un número de Fibonacci si y sólo si . Un cuadrado perfecto es un número que al sacarle la raiz cuadrada el resultado es un número entero.

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REFERENCIAS

Juan Sánchez Martos, LEONARDO DE PISA, Los conejos de Fibonacci Recuperado de http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/31-2-o-fibo3.html

José Manuel Becerra Espinosa (2005) - Temas Selectos de Matemáticas : la Amena Forma de Aprender Más. (página 64).

Enznes - Búsqueda de la proporción perfecta - Recuperado de: http://laproporcionperfecta.blogspot.com/2011/06/proporcion-cordobesa.html

CarlB. Allendoerfer y Cletus O. Oakley, (1990). Matemáticas Universitarias (4a. ed.) Editorial Mac Graw Hill Latinoamericana S.A. Bogotá Col. Adaptación de la 3a. Ed. en español: Fundamentos de Matemáticas Universitarias por Editorial Mac Graw Hill Interamericana de México, S.A de C.V. (Original en Inglés 1965).

Frank Ayres Jr y Robert E.Moeyer (1991), Trigonometría (2da ed.) - Editorial Mac Graw Hill Interamericana de México, S.A de C.V..

Antonia Redondo Buitrago y Encarnación Reyes Iglesias - Recuperado de: http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/antonia2010/cord.pdf

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