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EDICION Nยบ 1. MARZO 2012

TRANSFORMADA


CONTENIDO

EDITORIAL

DEFINICION

FUNCIONES ELEMENTALES

PROPIEDADES

ENTRETENIMIENTO

TEOREMAS

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA Z

PUBLICIDAD

EJEMPLOS

EJERCICIOS


A

Apreciados y Apreciadas lectores. Le damos EDITORIAL la más cordial bienvenida ala primera edición de su revista digital “THE “ FUTURE” En Teoría de CONTROL II, TRANSFORMADA Zque pone en sus manos el futuro de control para aplicarlo en lo que deseen. Este contiene una gran variedad de información que abarca exponer la mejor manera de convertir una señal real en el dominio de tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. Espero que estas expectativas sean de gran utilidad para ustedes.

Universidad Fermín Toro Asig. Ing. Bárbara Vásquez Asig Transformada Z Teoría de Control 2

Directores generales: Alexander Gallardo Pedro González Agradc. Prof. Bárbara Vásquez

Reflexiones: En Equipo


TRANSFORMDA Z DEFINICIÓN La transformada z de una señal de tiempo discreto x[n] se define como:

nz n x z X donde z es una variable compleja. La transformada z de una señal x[n] se denota por

Mientras que la relación entre x[n] y X(z) se indica mediante

Desde un punto de vista matemático, la transformada z es simplemente unarepresentación alternativa de la señal. De este modo el coeficiente de z-n, para unatransformada determinada, es el valor de la señal en el instante n. Y por tanto, elexponente de z contiene la información necesaria para identificar las muestras de laseñal.

La transformada Z hace posible el análisis de ciertas señales discretas que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto; pudiéndose demostrar que la transformada Z se reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformación es unitaria ó sea cuando |Z| = 1 .

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo


PROPIEDADES Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces: Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z] Desplazamiento temporal. Sea X[n]una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene:

Simultรกneamente, se puede demostrar que:


Multiplicación por an Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de anX[n] está dada por X[a-1Z]. Demostración

En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para n<0. Diferenciación con respecto a Z. Si se deriva la expresión

que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se tiene:

De la expresión anterior se deduce que:


Convoluciรณn. La convoluciรณn de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es mรกs que el producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z] En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrรก que: Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z] donde H[Z] es la transformada de h[n]. Para obtener la salida y[n] bastarรก hallar la transformada inversa de y[Z] .


TABLA DE PROPIEDADES


ENTRETENIMIENTO


FUNCIONES ELEMENTALES


TRANSFORMDAS DE FUNCIONES ELEMENTALES


TEOREMAS TEOREMA DE VALOR INICIAL:

TEOREMA DE VALOR FINAL:


Teorema de traslaci贸n compleja. Si x ( t ) tiene la transformada z, X( z ) , entonces la transformada z de

Viene dada por

Teorema de traslaci贸n real. Siendo n un entero no negativo (positivo o cero), entonces

Y


Transformada Z:

La aplicación de la transformada Z se demuestra calculando la Transformada Z de Funciones Elementales tales como escalón unitario, rampa unitaria, exponencial

Es importante resaltar la aplicación de cada propiedad con Ejemplos en particular el Teorema de Corrimiento el cual representa básicamente el desplazamiento de una señal y su respectiva transformada Z.


Según los Teoremas:

El teorema del valor inicial es conveniente para verificar la incidencia de posibles errores en el cálculo de la transformada z. Debido a que x (0) se suele conocer, comprobar su valor mediante el límite ayuda a descubrir errores en la transformada z, si éstos se producen.


APLICACIONES DE LA TRANSFORMA Z Para procesar imรกgenes digitales:

Como las Utilizan: Televisores HD

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EJEMPLOS 1

Dada X[Z] como,

Halle X[Z]. Soluci贸n

Si se hacen los siguientes cambios de variables: n = -m m en la primera sumatoria n = 2m en la segunda sumatoria


n = 2m + 1 en n la tercera sumatoria se tiene: tiene

Se trata de tres series geométricas que convergen sí: |1/3Z| < 1 o sea |Z| < 3 |1/9Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/3 |1/4Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/2 El intervalo de convergencia de X[Z] será la intersección de los tres intervalos anteriores, o sea 1/2 < |Z| < 3.

por tanto:


2

Halle la transformada Z de:

Siendo a una constante. Soluci贸n:

Converge si |aZ-1| 1| o sea si |Z| > a. a


2

Si X[n] = U[n], halle X[Z].

Soluci贸n Se sabe que:

Por tanto,

que es una serie geom茅trica que converge si |Z-1| < 1 o sea si |Z| > 1.


EJERCICIOS 3 SI y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X[t] cada T segundos. Halle X[Z]. Soluci贸n

Se sabe que

por tanto,

La transformada de X[n]=l-ant es


Por tanto, en este caso se tiene:

4

Sea

Halle X[Z]. Soluci贸n

por tanto,


Como

Es una serie geométrica, la expresión para X[Z] sólo es válida sí |1/3Z-1| < 1 ó sea que |Z-1| < 3, y por tanto |Z| > 1/3. La anterior ecuación, define la región de convergencia de X[Z] en el plano complejo así:


5Considere la ecuación en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y[n] y la condición inicial y[-1]=3. 1]=3. Halle y[n] para n³0.

Solución Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuación, y Usando la propiedad de desplazamiento temporal, se Tiene:

Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]y[-1]Z)=1 Por tanto,

Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n


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Transformada Z