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` DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI FACOLTA Corso di Laurea Specialistica in Fisica

Tesi di Laurea Specialistica

Funzioni di struttura e correlazioni di velocit` a in stormi di uccelli in volo Un’analisi empirica nell’ambito del progetto Starflag

Relatore:

Candidato:

Correlatori:

Matricola 697913

Giorgio Parisi

Alessio Cimarelli

Andrea Cavagna Irene Giardina

Anno Accademico 2008–2009


Sommario Le manifestazione del comportamento collettivo sono numerose e sempre spettacolari, specialmente nei sistemi biologici direttamente accessibili alla nostra esperienza, come quelli animali. La Fisica ha imparato nell’ultimo secolo a trattare il problema della complessità studiando i sistemi all’equilibrio e la possibilità che gli strumenti e i concetti in tal modo sviluppati possano essere applicati con successo anche ai sistemi fuori dall’equilibrio, come quelli biologici, sta appassionando e impegnando una vasta parte della comunità scientifica internazionale già da qualche decennio. Accanto al lavoro teorico è però fondamentale estendere ed intensificare quello sperimentale, avendo sempre presente lo spirito profondamente empirico e quantitativo della Fisica e la necessità di coniugarlo con le peculiarità del mondo della Biologia: la natura multidisciplinare del problema pone la necessità di una stretta collaborazione tra numerosi settori della Scienza e la ricerca di una sua soluzione richiede senz’altro un proficuo scambio di metodi e conoscenze. Il progetto Starflag si inquadra in questo contesto, riuscendo per la prima volta ad ottenere ricostruzioni statiche (coordinate tridimensionali) e dinamiche (campi di velocità e traiettorie) di stormi di uccelli in volo composti da migliaia di individui. In questo lavoro presento il quadro teorico e l’originale setting sperimentale grazie ai quali abbiamo raggiunto questo importante risultato e l’analisi finora condotta sulla struttura spaziale e sui campi di velocità degli stormi, mediante l’uso di avanzati strumenti di Fisica della Materia Condensata come le funzioni di correlazione a due punti densità– densità e velocità–velocità. Nel primo caso riscontriamo una struttura a metà strada tra quella dei gas e quella dei liquidi, con evidenze di una scala di omogeneità non sempre definibile a causa della presenza di forti gradienti di densità dal centro al bordo dello stormo. Nel secondo caso evidenziamo la presenza di un ordine a lungo range per il grado di libertà angolare delle fluttuazioni di velocità, trasverso al parametro d’ordine del sistema (velocità globale), dovuto alla rottura della simmetria rotazionale continua, come necessario nei sistemi all’equilibrio per d > 2 a causa del teorema d Goldstone. Ci sono evidenze però che anche le fluttuazioni longitudinali mostrino uno scaling con l’estensione del sistema, suggerendo che sia la lunghezza di correlazione totale del sistema nella sua fase ordinata ad essere infinita, a fronte di un range di interazione finito e topologico.


Ai miei genitori, a Giulia, a Iaia


Come oscure stelle pilotate tracciate volti, braccia, fugaci animali. Sfidate ogni legge nei vostri disegni per cercare poi riposo, nei cedri, fieri e solenni guardiani dei vostri sogni. Dove siete al primo sole? Cosa cercate, volteggiando pianure, costeggiando vallate? Dov’è la forza che vi sa orientare? Feroce libertà e morale è per me vedervi nell’imparare che nulla sa domare il trepido sventolar d’ali. Nell’aria dei vostri viaggi. . . nei sogni dei nostri cuori. Stormi di storni, Michele Villetti


...


Indice

Introduzione

1

1 Comportamento collettivo

7

1.1

Sistemi biologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Modelli e simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Progetto Starflag

33

2.1

Gli storni a Roma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Base teorica e setting sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3

Ricostruzione tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4

Ricostruzione dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5

Risultati storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Analisi strutturale 3.1

3.2

73

Caratterizzazione della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1.1

Problema del bordo in un sistema finito . . . . . . . . . 75

3.1.2

Osservabili globali

3.1.3

Gradienti interni di densità . . . . . . . . . . . . . . . 81

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Fluttuazioni e correlazioni di densità . . . . . . . . . . . . . . 84 3.2.1

Scala di omogeneità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.2

Funzione di densità condizionale . . . . . . . . . . . . . 88

3.2.3

Funzione di distribuzione a coppie . . . . . . . . . . . . 94 v


4 Campi di velocità 4.1 Caratterizzazione dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Velocità individuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Fluttuazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Correlazioni di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Domini di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Campi sintetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Parametro d’ordine vettoriale e teorema di Goldstone

. . . . . . . .

99 100 103 107 110 112 113 118 127

Conclusioni

133

Bibliografia

145

vi


Introduzione

Dove vadano durante il giorno, che funzione abbia nella strategia della migrazione questa sosta prolungata in una città, cosa significhino per loro questi immensi raduni serali, questi caroselli aerei come per una grande manovra o una parata, il signor Palomar non è riuscito ancora a capirlo. Le spiegazioni che si dànno sono tutte un po’ dubbiose, condizionate da ipotesi, oscillanti tra varie alternative; ed è naturale sia così, trattandosi di voci che passano di bocca in bocca, ma si ha l’impressione che anche la Scienza che dovrebbe confermarle o smentirle sia incerta, approssimativa. Palomar, Italo Calvino

Il comportamento collettivo è forse tra le manifestazioni naturali più affascinanti, sia da un punto di vista funzionale che puramente estetico, e benché sia parte integrante dell’esperienza dell’Uomo da sempre [1], è solo negli ultimi 60 anni che ha catalizzato innumerevoli sforzi da parte degli scienziati nel tentativo di carpirne i segreti. La Fisica ha imparato a trattarlo nello studio della Materia Condensata ed è stata in grado di sviluppare poderosi strumenti tecnici e teorici1 , nell’ambito di quel paradigma della complessità che dai lavori pionieristici di von Bertalanffy [2], Ashby [3] e Wiener [4] ha riscontrato tanto successo. È nell’ambito biologico, però, che il comportamento 1

Finora i grandi successi ottenuti riguardano per lo più sistemi all’equilibrio e solo recentemente si sta approfondendo la connessione tra le proprietà di questi e i sistemi fuori dall’equilibrio, tipici del mondo biologico.

1


INTRODUZIONE collettivo colpisce maggiormente la fantasia e stuzzica il senso di stupore: dai banchi di pesci nell’oceano [5] agli sciami di insetti [6], dalle lunghe file di formiche [7] alle mandrie di mammiferi [8], dagli sciami di batteri in sospensione [9] al traffico cittadino [10], dalle folle in piazza [11] agli stormi di uccelli in volo [12], dagli applausi nei teatri [13, 14] alla dinamica delle dune di sabbia [15], dalle ola negli stadi [16] alle fluttuazioni di prezzo nelle Borse [17]. Scale diverse di svariati ordini di grandezza e sistemi incommensurabili, eppure comportamenti globali simili, che suggeriscono connessioni profonde e ancora solo parzialmente esplorate tra realtà lontane sì, ma in qualche modo intimamente legate. Interazioni locali e dinamiche globali

Qualitativamente il comportamento collettivo implica un gran numero di componenti interagenti (semplici come spin o complessi come animali) che insieme producono un gruppo che agisce come un tutt’uno, capace di dinamiche o comportamenti irriducibili alla somma delle proprietà dei singoli individui. Questa definizione è ben riassunta dall’efficace massima aristotelica l’intero è maggiore della somma delle sue parti, epitaffio tombale ante litteram del riduzionismo meccanicistico. In altre parole, per quanto siano particolari e numerose e complesse le caratteristiche dei singoli, quando questi si compongono in un gruppo abbastanza grande le proprietà delle interazioni tra di essi possono divenire tanto importanti da essere determinanti per il comportamento macroscopico dell’aggregato. Ciò suggerisce la possibilità di formalizzare le interazioni mediante modelli semplici, che prescindano almeno in parte dalle caratteristiche individuali e che così possano cogliere gli elementi essenziali in modo da spiegare il comportamento collettivo in generale, in un contesto teorico universale che accomuni tutti i fenomeni citati in precedenza. Le proposte sono numerose: termodinamica dei sistemi aperti [18], criticità auto-organizzata [19], generalizzazione della distribuzione normale a quelle con legge a potenza [20], reti booleane [21], automi cellulari [22], ma c’è generalmente accordo sul fatto che siamo ancora lontani da una teoria veramente universale del comportamento collettivo, della complessità, dell’auto-organizzazione, dell’emergenza. Soprattutto a causa della cronica mancanza di dati sperimentali adeguati ed affidabili, molto difficili da ottenere nella maggior parte dei casi (ad es., sciami tridimensionali di migliaia 2


INTRODUZIONE di individui), impossibili in altri (ad es., folle in preda al panico). Mancanza che ha prodotto uno squilibrio evidente tra la mole considerevole di modelli teorici e numerici da una parte e la scarsità di analisi sperimentali dall’altra, spesso poco più che qualitative, con cui confrontarli in un approccio falsificazionista. La chiave per il superamento di queste difficoltà sta probabilmente nella natura profondamente multidisciplinare di questo campo di ricerca, nella possibilità di un’efficace cross-fertilization tra i metodi e l’esperienza dei biologi, dei fisici, degli etologi, dei matematici, degli psicologi, degli economisti: discipline apparentemente lontane fra loro che il paradigma della complessità ha avvicinato enormemente, arricchendone ed espandendone gli orizzonti. Il progetto Starflag2 a cui ho partecipato attivamente in questi ultimi tre anni si inquadra proprio nel contesto appena tratteggiato, con l’esplicito obiettivo di contribuire con decisione alla ricerca nell’ambito del comportamento collettivo sfruttando proprio il lavoro multidisciplinare di gruppi con estrazione scientifica diversa [23]. All’interno del gruppo di Roma con cui ho lavorato, sia nella fase di presa dati sia in quella di analisi, abbiamo affrontato efficacemente e con successo il problema della scarsità di dati empirici, riuscendo mediante metodi sperimentali originali ad ottenere per la prima volta dati tridimensionali di stormi in volo composti da migliaia di uccelli, su cui è stata condotta e si sta conducendo tutt’ora un’approfondita analisi riguardante la struttura e la dinamica, che ha fruttato pubblicazioni su prestigiose riviste scientifiche internazionali [24–27] e l’attenzione sia della stampa specializzata [28, 29] che di quella a più ampia diffusione [30–33].

Note metodologiche L’approccio metodologico al problema del comportamento collettivo è una questione centrale su cui sostanzialmente si basa l’efficacia della sinergia tra le varie discipline interessante al problema, in primis la Fisica e la Biologia,

2

Starlings in flight: understanding patterns of animal group movements.

3

Natura multidisciplinare del problema

Il progetto Starflag


INTRODUZIONE quest’ultima intesa non tanto nel senso accademico del termine, quanto in quello più propriamente etimologico. Durante tutta l’esperienza all’interno del progetto Starflag è sempre stato chiaro che davanti a dati inediti di un fenomeno complesso come quello del flocking 3 , partendo da un background teorico e pratico sviluppato in ambiti apparentemente lontani da esso, l’uso di determinati strumenti e tecniche deve procedere sotto un controllo continuo, operato mediante sistemi semplici in cui sono evidenti e prevedibili i risultati. Nel caso della Fisica la possibilità di estendere il campo di applicazione di molti concetti che storicamente le appartengono non deve mai essere considerata scontata, ma verificata esplicitamente ad ogni passo. Un esempio lampante è l’estensione della meccanica statistica dell’equilibrio ai sistemi dinamici fuori dall’equilibrio. Nel caso della Biologia è poi fondamentale perseguire il massimo rigore statistico per assicurare la necessaria significatività alle osservazioni e analisi quantitative; un esempio è la gestione dei bias dovuti alla presenza del bordo degli aggregati animali e in generale agli effetti di taglia finita dei sistemi studiati. Questa posizione metodologica si applica allo stesso modo al tema della comunicazione tra gli attori della ricerca in questo ambito: spesso concetti ben radicati in una disciplina non lo sono altrettanto in altre e bisogna sempre aver chiaro non solo ciò che si dice, ma anche ciò che l’interlocutore sta effettivamente capendo.

Struttura della tesi Nel Capitolo 1 presenterò una vasta panoramica di esempi di comportamento collettivo nei sistemi biologici, descrivendo a grandi linee le domande che hanno posto e le eventuali risposte trovate negli ultimi decenni. Sulla scorta del gran numero di modelli ideati per riprodurre e spiegare i fenomeni osservati, descriverò i fondamenti dell’approccio matematico e simulativo al 3

Il termine inglese flocking, che indica l’atto di riunirsi in stormi, è comunemente usato per definire il fenomeno generale, a prescindere dalla determinazione della specie di uccelli coinvolti.

4


INTRODUZIONE problema e alcuni risultati a cui ha portato finora. Inquadrato il problema della quantità e della qualità dei dati sperimentali, mi soffermerò ampiamente sul progetto Starflag, sia da un punto di vista prettamente sperimentale, sia riguardo le basi teoriche su cui poggia e i notevoli risultati a cui è giunto prima del mio ingresso nel gruppo. I due capitoli successivi sono dedicati interamente alla mia ricerca originale all’interno del gruppo Starflag di Roma, nell’ambito del mio lavoro di tesi. Il Capitolo 3 è dedicato alle analisi che abbiamo condotto sulla struttura spaziale degli stormi, in particolare incentrate sull’applicazione inedita di tecniche e strumenti teorici propri delle teorie dei liquidi agli stormi in volo. Nel Capitolo 4, infine, discuterò l’analisi dei campi di velocità degli stormi, questi ultimi ottenuti grazie al lavoro di Stefanini [34], riguardante soprattutto le correlazioni a grande scala delle fluttuazioni delle velocità individuali degli uccelli.

Figura 1 Uno degli stormi fotografati, ricostruiti ed analizzati durante la seconda stagione del progetto Starflag.

5


Capitolo

1

Comportamento collettivo L’intero è maggiore della somma delle sue parti. Metafisica, Aristotele

indice del capitolo 1.1

1.2

Sistemi biologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Colonie di formiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sciami di locuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Banchi di pesci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stormi di uccelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cellule e batteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dinamiche di folla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applausi a teatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelli e simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approccio Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approccio Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approccio a multi-agente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 13 14 17 19 20 21 22 22 28 31

Con il termine comportamento collettivo si intende l’emergenza di proprietà del gruppo irriducibili a quelle dei singoli individui che lo compongono, caratteristiche per lo più dipendenti dalle mutue interazioni tra di essi. Condizione fondamentale per un comportamento emergente è che ogni individuo interagisca con gli altri alla pari, con le stesse modalità, che non ci siano cioè elementi primari (ad es. leader ) che dettino il comportamento ad altri elementi secondari, né elementi esterni che influiscano globalmente 7

Configurazioni ordinate


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO sul sistema, individuo per individuo indipendentemente. Le interazioni hanno normalmente natura locale, vale a dire che ogni individuo interagisce con un numero limitato di altri suoi simili, rimanendo sostanzialmente all’oscuro del comportamento globale del gruppo a cui appartiene, molto più vasto della sua sfera di interazione. Spesso l’interazione con un ambiente esterno dinamico è centrale, specialmente nei sistemi biologici. Il principale indizio della presenza di un comportamento collettivo è l’apparire di patterns macroscopici ordinati, di configurazioni particolari e persistenti del sistema su scala maggiore dell’estensione dei singoli individui. Questa è una condizione necessaria, ma non sufficiente, in quanto ci sono casi in cui è sufficiente il teorema del Limite Centrale per spiegare fenomeni ordinati e apparentemente coordinati [35, 36]. Auto-organizzazione

I principi base dell’auto-organizzazione, condizione primaria del comportamento collettivo emergente, possono essere individuati in feedback positivi e negativi, in meccanismi di amplificazione di fluttuazioni casuali, di inibizione, catalizzazione, risposta a soglia, ridondanza e sincronizzazione [35]. Tutta la ricerca che in questi decenni è andata sotto il nome di complessità ha insegnato che meccanismi di questo genere possono prodursi a partire da elementi legati tra loro da semplici regole, per lo più di natura non lineare. Ha insegnato come normalmente ci sia un parametro critico, interno o esterno al sistema, il cui valore permette la presenza o meno di uno stato ordinato, l’emersione quindi di un comportamento collettivo: la teoria delle transizioni di fase e dei fenomeni critici è una delle maggiori conquiste della Fisica moderna e sta dimostrando di essere applicabile con successo a tutti i fenomeni che mostrino auto-organizzazione.

Particolarità dei sistemi biologici

Nel caso di sistemi biologici, però, non si può prescindere dall’evoluzione e dalla selezione naturale dovute ad un’interazione continua e profonda con l’ambiente, per cui devono essere considerati anche meccanismi di massimizzazione della sopravvivenza e minimizzazione dei rischi, sia per gli individui, sia per l’intero gruppo. In un’ottica evolutiva l’aggregazione nel mondo biologico porta all’emersione di nuove funzioni che il gruppo riesce ad espletare molto meglio del singolo individuo o che sono addirittura fuori dalla portata di quest’ultimo. Esempi sono l’abilità di costruire un formicaio, di regolare 8


termicamente un alveare, di procacciarsi il cibo, di difendersi dai predatori, di aumentare l’efficacia delle scelte in un processo decisionale complesso [35]. Tutto ciò può far pensare che la selezione naturale abbia individuato nel comportamento collettivo un efficace mezzo per sopravvivere meglio all’ambiente, ma spesso questa connessione non è affatto immediata. Ad esempio l’aggregarsi in certi casi aiuta a difendersi dai predatori, ma in altri li attira: si pensi ai banchi di pesci, un incubo per gli squali, ma una benedizione per i pescatori. Inoltre i singoli animali sono molto più complessi di qualsiasi spin o molecola e nel comportamento collettivo le dinamiche sociali devono sempre confrontarsi con quelle individuali: ad esempio la ricerca di cibo all’interno di una mandria è più efficiente, ma in caso di risorse scarse richiede la suddivisione tra tutti i suoi membri. Questo che potremmo definire dilemma dell’individualità [37] si può tradurre nella domanda: su che scala agisce la selezione? Quali variabili determinano il punto oltre il quale il comportamento collettivo si esplica in configurazioni realmente adattative e con quali modalità? Queste domande appaiono ancora più importanti alla luce degli studi che hanno mostrato come l’auto-organizzazione sia un ingrediente centrale anche a livello genetico e di sviluppo dell’embrione [38]. Queste peculiarità dei sistemi biologici rende a volte difficile il rapporto tra la forma mentis propria della Fisica, fondamentalmente basata sul principio del rasoio di Occam 1 , e quella propria della Biologia, per cui è centrale lo studio e la piena considerazione della bio-diversità. La combinazione dei due approcci, infatti, pone il problema di individuare anche la presenza ed eventualmente la natura di una funzione adattativa delle configurazioni emergenti, oltre che svelare i dettagli della connessione tra queste e le interazioni individuali. La natura profondamente multidisciplinare del paradigma della complessità richiede quindi una collaborazione continua e a tutti i livelli delle varie professionalità di volta in volta coinvolte. Nel seguito, senza alcuna pretesa di essere esaustivo o esauriente, presenterò e descriverò una parte degli studi sulla grande varietà di fenomeni biologici che a buon titolo rientrano nella categoria comportamento collettivo, 1

A parità di fattori la spiegazione più semplice tende ad essere quella esatta, William of Ockham.

9

Evoluzione e selezione naturale

Tra Fisica e Biologia


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO sia dal punto di vista biologico e sperimentale (Sezione 1.1), che da quello matematico e computazionale (Sezione 1.2). In tal modo sarà chiaro il contesto in cui si inquadra la ricerca del progetto Starflag e il suo apporto inedito e prezioso alle conoscenze che stanno maturando nell’ambito di studio appena tratteggiato.

1.1

Sistemi biologici

In alcuni casi le manifestazioni del comportamento collettivo sono spettacolari, altre volte sono invisibili, ma fondamentali per la stessa esistenza della vita. Ne presento alcune, particolarmente importanti perché alla base delle prime riflessioni sul problema o semplicemente spettacolari e/o curiose. Colonie di formiche Una delle prime evidenze della presenza di meccanismi di auto-organizzazione nel mondo biologico si è avuta studiando le formiche2 e il loro sistema

Lunepithema humile

Code di turisti

Si sta parlando della famiglia delle Formicidae, a cui appartengono più di 12000 specie componenti il 10% dell’intera biomassa animale e il 50% di quella degli insetti. 2

10


1.1. SISTEMI BIOLOGICI di comunicazione e coordinamento basato su tracce chimiche di feromone3 . In molte specie le formiche operaie (foragers) rilasciano durante il loro cammino una sostanza volatile rilevabile dalle altre, con cui riescono a tracciare una pista invisibile dal formicaio alle risorse di cibo. Essendo volatile, la persistenza della pista dipende dalla frequenza del suo utilizzo da parte delle formiche, che la rafforzano seguendola. Questo è un tipico esempio di feedback positivo, unitamente ad un meccanismo di inibizione (la volatilità del feromone). La possibilità che si instauri un procacciamento stabile di cibo basato sulle tracce di feromone dipende fortemente dal numero di operaie impegnate in questo compito, o in altre parole dalla dimensione del formicaio: vari esperimenti hanno dimostrato che il passaggio da una ricerca individuale e casuale ad una basata sulle tracce chimiche ha le stesse caratteristiche delle transizioni di fase del primo ordine, confermate anche da simulazioni apposite [39].

Alveare di api

Traffico a Los Angeles

3

In generale prende il nome di stigmergia il metodo di comunicazione tra elementi di un sistema decentralizzato basato sulla modifica dell’ambiente circostante.

11

Meccanismo chimico


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO Storicamente lo studio delle società di insetti è considerato alla base del paradigma dell’auto-organizzazione, perché inizialmente le incredibili capacità del formicaio o dell’alveare nel risolvere problemi molto al di là delle capacità della singola formica o ape apparivano incomprensibili senza appellarsi a improbabili capacità percettive e comunicative della regina. Poi, attraverso osservazioni, modelli e soprattutto un cambio di paradigma interpretativo, è stata individuata tutta una serie di abilità e comportamenti con alla base meccanismi auto-organizzativi. Due esperimenti esemplificativi

Ad esempio la presenza di fenomeni di biforcazione e di rottura spontanea di una simmetria: in un classico esperimento si costruiscono due vie identiche ma alternative tra il formicaio e una risorsa di cibo e si scopre che, superato un certo numero di operaie, l’utilizzo prima simmetrico di esse viene a mancare in favore di un solo cammino (cfr. Figura 1.1a). Vi è cioè un meccanismo di amplificazione delle fluttuazioni iniziali, che implica l’azione di interazioni non lineari. Da notare che se le due vie sono diverse, per esempio una più lunga dell’altra, la deposizione del feromone fa sì che sia più concentrato lungo la via più breve e che quindi a regime sia sempre questa la più usata dalle operaie [40, 41].

(a) Selezione spontanea di un percorso verso il cibo attraverso un ponte a diamante da parte di Lasius niger.

(b) Gocce di Lunepithema humile cadono non appena raggiungono una taglia critica.

Figura 1.1 Esempi di configurazioni auto-organizzate nelle colonie di formiche [42].

12


1.1. SISTEMI BIOLOGICI È interessante anche un altro esperimento che dimostra come sia importante nei sistemi biologici un buon bilanciamento tra comportamento sociale e individuale, quest’ultimo modellizzabile in qualche caso come rumore statistico. Introducendo una risorsa di cibo nei pressi di un formicaio, dopo qualche tempo una formica scout la individuerà e, nel caso ci siano abbastanza operaie, si formerà una traccia persistente e un flusso stabile di cibo. Introducendo ora una nuova risorsa più energetica, la possibilità che il formicaio la scopra e la sfrutti dipende dall’accuratezza delle formiche nel seguire la vecchia traccia: solo se le caratteristiche comportamentali individuali sono abbastanza forti le operaie sono in grado di stabilire una nuova traccia verso la nuova risorsa, abbandonando la vecchia [42]. Da quando il meccanismo delle tracce chimiche è stato scoperto, si è dimostrato che è alla base di numerose abilità delle formiche: raccolta di cibo, ottimizzazione dei percorsi anche sulla scala dei chilometri [43], strategie di combattimento [44], costruzione di formicai sotterranei [45]. Appare ora chiaro del perché quello degli insetti sia un esempio paradigmatico: a fronte di interazioni non lineari locali dirette (contatto e sfregamento) e indirette (deposito di feromone), grazie a meccanismi di feedback positivo (rafforzamento della traccia) e negativo (volatilità del feromone), si produce un qualche tipo di transizione di fase dipendente dalle dimensioni del formicaio, da cui emergono abilità collettive che amplificano enormemente le capacità dei singoli insetti.

I formicai come paradigma dell’autoorganizzazione animale

Sciami di locuste Le locuste sono insetti molto particolari il cui comportamento collettivo è purtroppo tristemente famoso: per lunghi periodi della propria vita sono insetti solitari, che tendono a mantenere territori separati l’uno dall’altro, ma in vari momenti attraversano fasi di aggregazione, formando sciami di miliardi di individui capaci di devastare completamente qualsiasi terreno attraversino, inclusi naturalmente quelli coltivati dall’uomo [46]. Per avere un’idea dell’imponenza di questi sciami, le loro dimensioni possono raggiungere i 1000 km2 con una densità media di ben 50 milioni di 13

Qualche cifra sulle dimensioni


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO

Stormo di pipistrelli

Sciame di locuste

locuste per km2 , viaggianti a 10 ÷ 15 km/h per migliaia di km: tenendo conto che ogni insetto mangia l’equivalente del proprio peso al giorno, si sta parlando di un consumo dello sciame pari a 200 milioni di kg al giorno! Le dinamiche interne di questi sciami sembrano simili a quelle dei fluidi e sono trattabili matematicamente in modo analogo, cioè mediante modelli continui, grazie alle loro dimensioni e densità. Il principale problema è capire come possa mantenersi la coesione dello sciame su dimensioni così grandi rispetto a quelle del singolo insetto e i meccanismi che sono alla base della transizione alla fase di aggregazione [47, 48]. Banchi di pesci Tra le innumerevoli specie di pesci molte presentano comportamenti di aggregazione4 , che originano da interazioni diverse da quelle viste per le formiche. Non si tratta ora di utilizzare l’ambiente come deposito del proprio segnale perché l’interazione è diretta, riassumibile nella terna di regole repulsione-allineamento-attrazione, ognuna agente a scale differenti. La fase ordinata è individuata dal grado di allineamento dei pesci e anche in questo caso sono stati forniti indizi della presenza di una transizione dal disordine all’ordine al variare della densità.

4

Nel suo storico lavoro [49], Pitcher definisce i gruppi di pesci genericamente shoal, mentre riserva la parola school ai banchi in cui è presente un forte allineamento.

14


1.1. SISTEMI BIOLOGICI

I primi tentativi di analisi quantitativa risalgono a metà degli anni ’70, con un lavoro di Graves in cui si presenta un setting sperimentale originale per fotografare banchi di pesci nel loro ambiente naturale e stimarne densità e distanza media di primo vicino [50]. Dal 1983, con [51] e [52] si inizia ad utilizzare la tecnica stereoscopica5 per ricostruire le posizioni individuali dei pesci all’interno del banco, ottenendone una stima della densità, delle distanze reciproche, della distanza media di primo vicino, della forma e delle proporzioni. In [53] vengono utilizzate tecniche di videofotografia stereo e un algoritmo di tracking per ricostruire le velocità dei pesci ed individuare così l’emergenza di una fase con fortes allineamento a partire dalle interazioni di primo vicino in tre dimensioni, ma limitandosi a soli 8 pesci.

Figura 1.2 Qualche esempio suggestivo di banchi di pesci nella loro fase di aggregazione. 5

La stessa usata nel progetto Starflag, cfr. Sezione 2.2.

15

Breve storia degli studi quantitativi


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO

Problematiche sperimentali

Funzione adattativa dell’aggregazione

In [54] sono invece videoregistrati gruppi di Nile Pilatias (Oreochromis niloticus L.) di un centinaio di elementi, costretti però a muoversi in due dimensioni all’interno di una vasca opportunamente progettata. Su tempi di decine di secondi Becco et al. hanno tracciato le traiettorie dei singoli pesci e sono stati in grado di portare a termine analisi sulla struttura e sulla dinamica del banco in funzione della sua densità: distribuzione delle distanze di primo vicino e grado di allineamento hanno mostrato indizi di una transizione di fase disordine-ordine ad una densità critica di circa 500 pesci/m2 . Purtroppo fino ad ora conclusioni sperimentali quantitative sono praticamente assenti, a causa di grandi problemi metodologici non ancora del tutto risolti: estrema ristrettezza della base statistica dovuta allo studio di non più di un centinaio di pesci, forti bias introdotti dalle dimensioni e forme delle vasche, limitazioni dovute alle tecniche di tracciamento dei pesci6 e da una non sempre corretta gestione degli effetti di taglia finita. Da un punto di vista etologico e biologico molto lavoro è stato fatto per comprendere la funzione adattativa delle varie caratteristiche della fase ordinata, tra cui la forma del banco, i profili interni di densità, le posizioni dei pesci collegate alla loro grandezza o al grado di familiarità, ecc. Le due funzioni primarie sono senz’altro la protezione dai predatori e la ricerca di cibo, mentre i meccanismi di base individuati vanno nel primo caso dalla diluizione del rischio all’effetto di confusione, dalla capacità di individuare prima

Mandria di bufali

Formiche Matabele

6

Questo è il principale motivo per cui esistono molte analisi bidimensionali e pochissime realmente 3D.

16


1.1. SISTEMI BIOLOGICI il predatore al coordinamento di manovre di evasione, mentre nel secondo caso consistono in una maggiore velocità di trasferimento dell’informazione sulla distribuzione delle risorse di cibo (per un’ampia lista di referenze, cfr. [55, 56]). I banchi di pesci sono anche alla base di moltissimi modelli, poi efficacemente adattati anche ad altre specie animali come gli uccelli: le interazioni dirette a corto raggio descritte prima sono facilmente implementabili in algoritmi bottom-up che hanno dimostrato di poter riprodurre non solo la transizione alla fase ordinata, ma anche parte delle caratteristiche di quest’ultima riscontrate negli esperimenti ([55, 57], cfr. anche Sezione 1.2). Stormi di uccelli Nel caso degli uccelli, l’approccio sperimentale è ancora più problematico rispetto al caso dei pesci, dato che non è possibile ricorrere ad una situazione controllata in laboratorio ed è obbligatorio considerare tutte e tre le dimensioni spaziali [58]. A parte lavori pionieristici degli anni ’60 [59, 60], in [61] vi è la prima ricostruzione delle posizioni degli uccelli, limitata a 70 individui in volo dalle campagne ai dormitori, seguita da quella delle traiettorie complete di poco più di 16 individui in [62]. È evidente come qualsiasi analisi su una base di dati così ristretta non possa che portare a risultati solo qualitativi, con il rischio di introdurre bias non controllabili7 . Il problema primario di questa mancanza di dati sperimentali nello studio degli uccelli sta prevalentemente nelle tecniche di ricostruzione delle posizioni che non possono essere chiaramente invasive e devono essere implementate sul campo. Per questi motivi sono tecniche per lo più di tipo ottico (stereoscopia, metodo ortogonale) che prevedono l’utilizzo di immagini sincrone del gruppo e che richiedono di risolvere esplicitamente il problema del matching, cioè il riconoscimento dello stesso individuo in ogni immagine [58]. Prima del progetto Starflag, finalmente in grado di ricostruire mi7

Si pensi al problema del bordo: in tre dimensioni trattare piccoli gruppi significa considerare per lo più individui sul bordo e quindi ottenere risultati pesantemente affetti da problemi di taglia finita. Affronterò questo importante aspetto della questione nella Sezione 2.3 e nella Sezione 3.1.1.

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Cronica mancanza di dati sperimentali


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO

Figura 1.3 Esempi degli stormi più suggestivi visibili a Roma nel periodo invernale (foto dell’autore e della squadra Starflag).

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1.1. SISTEMI BIOLOGICI gliaia di uccelli in volo all’interno di uno stormo [12], queste difficoltà hanno reso impossibile una comparazione adeguata tra modelli teorici, numerici e dati sperimentali, perché il comportamento collettivo emerge all’aumentare del numero di individui e limitarsi a piccoli gruppi spesso non permette di studiarne efficacemente le caratteristiche globali. Ora il problema di avere dati empirici di stormi liberi in volo è stato sostanzialmente risolto, anche se c’è da sottolineare che l’esperimento Starflag, così come finora è stato implementato e che vedremo in dettaglio nella Sezione 2.2, non si pone l’obiettivo di studiare eventuale presenza e caratteristiche di una transizione alla fase ordinata, ma solo le proprietà a regime di quest’ultima, che discuterò ampiamente nei prossimi Capitoli.

Cellule e batteri Alla base dei meccanismi genetici che regolano la vita delle cellule, che siano vegetali, animali o batteriche, ci sono complesse interazioni non lineari, con effetti di autocatalisi, inibizione, ecc. che sono in grado di produrre il massimo dell’ordine a grande scala conosciuto: la vita. Il paradigma del comportamento collettivo è quindi perfettamente applicabile anche a livello di organismo e non solo di gruppi di organismi e fino ad oggi è stato ampiamente usato per tentare di spiegare la formazione di pattern colorati sui mantelli di molte specie animali e lo sviluppo embrionale degli organi [38], la formazione, la crescita e la migrazione di colonie batteriche [9, 63] e di cellule tissutali [64], la gestione dell’informazione da parte delle reti neurali [65] e molto altro. Ad esempio in [64], mediante tecniche di videomicroscopia è stata seguita la dinamica di una coltura di cheratociti, le cellule che costituiscono l’epidermide esterna dei pesci, che hanno mostrato l’emergere di una fase ordinata con forte allineamento al crescere della loro densità, esattamente come i pesci o gli uccelli, in accordo con semplici modelli numerici basati esclusivamente su interazioni di primo vicino di repulsione e attrazione. Lo studio delle colonie batteriche è ritenuto importante perché si tratta del sistema biologico più semplice che si conosca, quindi il più vicino ai modelli numerici e teorici sviluppati per svelare i meccanismi profondi del19

Punti di forza e limiti di Starflag


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO l’emergere di configurazioni auto-organizzate. Ad esempio colture batteriche hanno mostrato moti collettivi a disco o ad anello e migrazioni coordinate, in parte riproducibili con modelli minimi basati su semplici interazioni a corto raggio [9, 63]. Dinamiche di folla A volte si dice che l’intelligenza di una folla di persone è inversamente proporzionale al numero di cervelli che la compongono. Questa massima deriva dall’osservazione che spesso le dinamiche interne di una folla appaiono irrazionali se viste dall’esterno, tanto da produrre veri e propri disastri nelle situazioni di pericolo, vero o presunto, che scatenano il panico. Si pensi ad incendi in edifici chiusi, ma anche a concerti di star famose o all’apertura della stagione dei saldi in alcuni grandi magazzini. Questi fenomeni sono in aumento con il crescere delle dimensioni di eventi che attirano grandi masse, ma è solo da poco più di un decennio che si stanno studiando e sviluppando teorie quantitative e modelli delle dinamiche di folla ([11], discuterò un semplice modello nella Sezione 1.2). Simulazioni di questo tipo (cfr. anche [66]) hanno permesso di migliorare la comprensione di questi fenomeni e individuare tutti quegli elementi,

Folla a Longchamp, Parigi

Sciame di batteri M. Xanthus

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1.1. SISTEMI BIOLOGICI architettonici e psicologici, che contribuiscono a rallentare o a rendere più pericolosa la fuga in situazioni di panico: ad esempio uscite strette o allargamenti prima delle uscite ostacolano il deflusso, che invece è facilitato dalla presenza di colonne poste asimmetricamente di fronte alla uscite che spezzano gli ingorghi. Inoltre sono risultati utili nello studio anche di altre formazioni, come il traffico automobilistico [67, 68] o le ola negli stadi [16]. Applausi a teatro Studiando le dinamiche ritmiche degli applausi della folla in teatro, Neda et al. hanno scoperto che seguono sempre delle configurazioni fisse: una prima fase di applauso molto forte, ma scoordinato, seguita da un coordinamento del battito delle mani che produce però meno rumore, e quindi una nuova fase scoordinata più intensa [13, 14]. Questo effetto è stato spiegato mediante l’uso di un classico risultato matematico riguardo gli oscillatori accoppiati [69] ed è emerso in una grande quantità di altri sistemi biologici, tutti assimilati dalla presenza di un qualche meccanismo di sincronizzazione temporale: cellule del muscolo cardiaco, neuroni cerebrali, danze delle lucciole, sistema nervoso centrale delle lamprede [70]. Modellando i vari elementi del sistema come oscillatori accoppiati è possibile predire sotto quali condizioni il gruppo può giungere o meno ad una sincronizzazione globale e in questo caso quale sia il comportamento collettivo che ne conseguirebbe.

Api da miele

Dune di sabbia

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CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO

1.2

Matematica del comportamento collettivo

Modelli e simulazioni

Il principio di fondo del paradigma della complessità richiede da un lato che alla base di dinamiche e configurazioni macroscopiche ci siano interazioni semplici tra le parti che compongono il gruppo, e dall’altro che il meccanismo dell’emergenza si inneschi quando il numero di individui diviene abbastanza grande. Nel primo caso è utile un approccio bottom-up, regno delle simulazioni numeriche, che permette di studiare in estremo dettaglio la dipendenza delle caratteristiche macroscopiche dai parametri microscopici. Nel secondo caso possono essere applicati metodi analitici continui tipici delle teorie dei fluidi, che permettono di inquadrare il fenomeno in una cornice matematica rigorosa. In generale si possono individuare tre approcci alla base della vastissima letteratura che affronta teoricamente il problema del comportamento collettivo: quello Lagrangiano (individual-based ), quello Euleriano e quello a multi-agente [37, 58]. Approccio Lagrangiano Nel primo caso si considerano individualmente gli agenti componenti il gruppo e si fissano le loro equazioni del moto sulla base delle interazioni locali ipotizzate, ispirate alle forze sociali che si suppongono in gioco. È così possibile seguire con estremo dettaglio la dinamica del gruppo, ma da un punto di vista analitico è praticamente impossibile risolvere tali sistemi di equazioni accoppiate per interazioni non banali: per questo vengono studiati utilizzando tecniche di approssimazione oppure mediante simulazioni numeriche esplicite [37]. Storicamente i primi modelli sono stati ispirati dai banchi di pesci e dagli stormi di uccelli [71] e successivamente applicati a numerosi altri sistemi biologici, dalle colture di cellule alle mandrie di mammiferi (cfr. [58] per una bibliografia estesa). L’obiettivo fondamentale delle simulazioni è ottenere configurazioni coese e allineate degli agenti8 a partire da valori particolari 8

Efficacemente chiamati boids (contrazione di bird-oid objects) da Reynolds nel suo storico lavoro [71].

22


1.2. MODELLI E SIMULAZIONI dei parametri fissati a priori e studiarne le caratteristiche e la stabilità al variare di questi ultimi. Naturalmente la forma funzionale delle equazioni individuali del moto può essere qualsiasi, ma sulla base delle proprietà delle specie biologiche si considerano generalmente solo tre contributi che derivano da altrettante regole di comportamento. 1. Rimani vicino ai tuoi simili : forza di attrazione reciproca, in modo tale che possa esserci coesione. 2. Evita le collisioni: forza di repulsione da contatto, per assicurare l’integrità individuale. 3. Imita i tuoi vicini : tendenza all’allineamento delle velocità, generalmente in base a quelle dei primi vicini, per ottenere configurazioni polarizzate. Matematicamente si tiene conto di queste regole mediante forze che intervengono nell’equazione del moto:  nin  ~rij (t) 1 X ~ ~ di (t + 1) = wj dj (t) + fij + ~ηi (t) . nin j=1 |~rij (t)|

(1.1)

Operativamente si tratta di un’equazione che definisce l’aggiornamento del vettore direzione d~ di ogni agente ad ogni tempo e dipende solo dalla posizione e dallo stato dinamico dei primi nin vicini (eventualmente pesando ogni contributo con wj ). Il primo termine nella sommatoria indica la tendenza all’allineamento, il secondo contiene le forze di repulsione e attrazione (~rij (t) indica la distanza orientata tra una coppia di agenti) e ~ηi (t) è un rumore statistico sia in angolo che in modulo che contrasta il perfetto allineamento delle velocità [58]. La maggior parte dei modelli presenti in letteratura parte da questo tipo di equazione, differenziandosi l’uno dall’altro rispetto alla determinazione delle distanze su cui agiscono i vari contributi. In Figura 1.4 nella pagina successiva sono riportati schematicamente tre esempi, uno estremamente semplice e gli altri due basati su proprietà sperimentalmente determinate degli organi sensori dei pesci o degli uccelli. 23


CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO

(a)

(b)

(c)

Figura 1.4 Possibili definizioni delle regioni di interazione in un modello repulsione (giallo) – allineamento (verde) – attrazione (azzurro). a) Modello di base, l’interazione ha simmetria sferica [58]. b) Viene preso in considerazione un campo visivo più realistico con un angolo cieco posteriore [53]. c) Nei pesci gli organi principalmente responsabili dell’allineamento solo le linee laterali, vi è un angolo cieco posteriore e una zona di esclusione prevalentemente frontale [56].

Modello di Vicsek

Al di là dei dettagli che si possono introdurre per aumentare la verosimiglianza dei modelli, le simulazioni fatte dimostrano che questo tipo di regole producono effettivamente una transizione da una fase disordinata (basso allineamento) ad una ordinata (alto allineamento), almeno per una scelta appropriata dei parametri. Si tratta della prova esplicita dell’esistenza di un meccanismo di auto-organizzazione e da un punto di vista teorico è importante individuare l’insieme di regole minimo che produce una transizione di questo genere. A questo proposito riveste un’importanza notevole il modello di Vicsek [72], che definisce una vera e propria classe di universalità per questo tipo di transizione, anche se originariamente era stata classificata come continua, mentre successivamente è stato dimostrato essere discontinua, almeno nel limite di grandi volumi [73, 74]. L’obiettivo primario di Vicsek e colleghi [72] è quello di mostrare come un sistema di particelle puntiformi in moto casuale in un spazio bidimensionale possa transire da uno stato disordinato (velocità del centro di massa nulla) ad uno stato di trasporto netto (velocità media diversa da zero) con la sola interazione locale del tipo (2), cioè la tendenza ad allinearsi ai primi vicini. Oltre a non considerare eventuali forze di attrazione-repulsione, l’assunto importante è la costanza 24


1.2. MODELLI E SIMULAZIONI in modulo delle velocità individuali, che posseggono solo il grado di libertà angolare. Questa ipotesi caratterizza una classe molto vasta di modelli che va sotto il nome di self-propelled particles (SPP). Il modello di Vicsek, in due dimensioni, si basa sulle seguenti equazioni del moto: ~xi (t + 1) = ~xi (t) + ~vi (t)∆t (1.2) ϑi (t + 1) = hϑi (t)ir + ∆ϑ , in cui ~xi (t) indica la posizione della particella i-esima al tempo t, ϑi (t) la relativa direzione della velocità (il cui modulo è una costante pari a v0 ), h · ir la direzione media delle particelle incluse in una sfera di raggio r centrata in ~xi e ∆ϑ ∈ [−η/2, η/2] un numero random con distribuzione uniforme. Questo semplicissimo modello rende evidente la corrispondenza tra un sistema ferromagnetico all’equilibrio e un sistema dinamico fuori dall’equilibrio, con l’identificazione delle velocità con gli spin e del rumore angolare con la temperatura9 . I parametri liberi del sistema sono v, % = LN2 e η: fissando il primo ci aspettiamo che il comportamento collettivo sia determinato dal variare del valore degli ultimi due. Sappiamo che in due dimensioni per un sistema all’equilibrio non ci può essere transizione di fase per il teorema di Merming-Wagner [75]. Essendo però fuori dall’equilibrio, possiamo aspettarci comunque una transizione allo stato ordinato per il modello di Vicsek, con una rottura della simmetria rotazionale continua. È proprio quello che avviene, per grandi valori della densità e piccoli valori del rumore [72]. Per studiare la transizione è necessario introdurre un parametro d’ordine, la polarizzazione: N 1 X ϕ= ~vi , N v0 i=1

e studiarne il valore al variare di % e η, in quanto è una quantità nulla per velocità uniformemente distribuite e tende all’unità per velocità allineate nella stessa direzione. D’ora in poi userò indifferentemente i termini allineamento e polarizzazione. 9

Nel limite di v0 → 0 il modello di Vicsek si riduce infatti al modello XY.

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CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO

Starflag e la transizione

È doveroso sottolineare che nella maggior parte dei modelli ad interessare è proprio la transizione, cioè il momento in cui emerge il comportamento collettivo, più che le caratteristiche della fase ordinata in sé. Questa considerazione è molto importante nell’ambito del progetto Starflag, perché il suo obiettivo non è la transizione disordine-ordine, che per altro non è ancora stata osservata chiaramente negli uccelli studiati, ma l’analisi della fase ordinata, cioè le proprietà di gruppi di uccelli già formati. Questo ha in parte portato alla curiosa situazione per la quale a fronte di centinaia di lavori sui modelli che fino a pochi anni fa lamentavano la mancanza di dati sperimentali di riferimento, ora si possono portare avanti analisi approfondite della fase ordinata senza un vero e chiaro confronto con gli stormi simulati. Sempre nell’ambito Starflag, però, questa lacuna si sta rapidamente colmando.

Modellizzare il comportamento umano

Sul prototipo del modello di Vicsek se ne sono ideati e studiati moltissimi, variando in mille modi la forma funzionale dell’interazione per renderla biologicamente più vicina possibile alla particolare specie in esame, anche nel caso dell’uomo. In generale può sembrare impossibile modellizzare il comportamento umano, a causa del quasi monopolio del libero arbitrio che ci attribuiamo, ma studiando la letteratura socio-psicologica e mediante osservazioni sul campo, Helbing et al. individuano in [11] nove contrassegni del comportamento indotto dal panico: 1. le persone tendono a muoversi più rapidamente del normale; 2. tendono a spingersi e le interazioni individuali assumono una natura prevalentemente di contatto fisico; 3. l’attraversamento di strettoie non è coordinato; 4. alle uscite si formano code o archi; 5. si formano ingorghi; 6. nei contatti fisici si possono produrre pressioni elevate tra gli individui, anche pericolose; 7. la fuga è rallentata dalla presenza di persone ferite o cadute a terra; 26


1.2. MODELLI E SIMULAZIONI 8. le persone hanno la tendenza a seguire la massa e imitare i loro vicini; 9. eventuali uscite alternative sono bloccate o comunque utilizzate poco efficacemente. Avendo così ridotto il comportamento in tali situazioni di un essere umano è possibile implementare un modello di self-driven particles, cioè un modello di pedone che si muove in mezzo ad altri pedoni in balia di forze di attrazione e/o repulsione reciproche che ricordino le interazioni sociali appena elencate. Matematicamente ogni individuo obbedisce ad una legge di Newton del tipo: mi

X v 0 (t)~ei (t) − ~vi (t) X ~ d~vi = mi i + fij + f~iW , dt τi W j6=i

in cui il primo termine indica la tendenza del pedone ad adattare la propria velocità a quella desiderata vi0 (t), eventualmente nella direzione di quella dei vicini (contributi in ~ei ), il secondo contiene le forze inter-individuali, tra cui la tendenza a non stare troppo vicini e due forze di contatto, una legata alla compressione e l’altra allo sfregamento di due corpi, e infine il terzo contiene interazioni con le pareti simili al secondo. Mediante questo semplice modello, fissando valori ragionevoli e realistici dei parametri, è possibile riprodurre numerosi fenomeni osservabili nelle dinamiche di folla (cfr. Figura 1.5 nella pagina seguente). • Il flusso attraverso le uscite rimane regolare fino a che la velocità desiderata vi0 non supera una certa soglia, legata alla densità della folla: si formano archi di fronte alle uscite (colli di bottiglia) che rendono intermittente il flusso. • Gli individui con le velocità istantanee maggiori di fatto si muovono più lentamente, a causa della natura intermittente dell’uso delle uscite. • Comportamenti individualistici o di imitazione da soli possono essere entrambi controproducenti: nel primo caso la ricerca delle uscite è totalmente casuale, nel secondo tutti si riversano su un’unica uscita. L’optimum si raggiunge con un bilanciamento delle due tendenze.

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CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO

(a) Formazioni ad arco di fronte alle uscite, che producono un flusso intermittente.

(b) Anche l’allargamento dei corridoi prima di un’uscita produce pericolose formazioni ad arco.

Figura 1.5 Esempi di comportamenti simulati della folla in preda al panico in un luogo chiuso [11].

Approccio Euleriano Dal punto di vista opposto si studiano modelli in cui si scrivono e si risolvono equazioni alle derivate parziali per il campo di densità del sistema, dopo aver condotto un appropriato limite al continuo. Si ottengono così equazioni tipiche delle teorie idrodinamiche dei fluidi, nello spirito delle equazioni di Navier-Stokes, spesso ricavate euristicamente tenendo conto delle possibili interazioni attive a livello microscopico. Naturalmente ogni tentativo di rendere il modello biologicamente più realistico porta ad un aumento della difficoltà nella risoluzione delle equazioni, che spesso richiedono strumenti avanzati come il Gruppo di Rinormalizzazione o sono trattabili solo qualitativamente. Inoltre il passaggio al continuo è un’operazione delicata, perché in sostanza richiede che il gruppo si sia già formato e che sia composto da un numero abbastanza grande di individui, impedendo uno studio del sistema al di sotto della scala sia spaziale che temporale del coarse-graining su cui si basa. Si tratta di modelli comunque molto utili da un punto di vista conoscitivo, anche perché la difficoltà di risolvere le equazioni richiede il massimo della semplificazione e quindi di cogliere gli elementi fondamentali e necessari per l’emergenza del comportamento collettivo. Toner e Tu, una teoria quantitativa del flocking

A metà degli anni ’90, ad esempio, Toner e Tu presentano in [76, 77] un’estesa trattazione della fase ordinata degli stormi, partendo da considera28


1.2. MODELLI E SIMULAZIONI zioni sulle simmetrie di un modello simile a quello di Vicsek [72] e scrivendo in base ad esse un’equazione idrodinamica dell’aggregato, analizzata e risolta nell’ambito della teoria dello scaling e del Gruppo di Rinormalizzazione Dinamico. A prescindere dall’imponente trattazione matematica utilizzata, le considerazioni sia preliminari che finali dei due autori sono illuminanti riguardo l’approccio Euleriano di cui stiamo parlando e interessanti nell’ottica dell’analisi dei campi di velocità che mostrerò nel Capitolo 4. Il sistema che si propongono di modellizzare è uno stormo isotropo, cioè un gruppo composto da un numero N di individui in uno spazio di dimensione d generica che si muovono cercando di rimanere allineati ai propri primi vicini. L’isotropia sta nel fatto che individualmente ogni agente non ha una direzione di volo preferita, ogni direzione dello spazio è equivalente. La forza sociale di allineamento è contrastata da un rumore casuale, biologicamente un errore che l’agente fa nello stimare la velocità altrui, esattamente come nel modello di Vicsek già descritto. La trattazione analitica di quest’ultimo a partire dalle equazioni individuali del moto 1.2 è proibitiva, ma è possibile nell’ambito di una descrizione idrodinamica dello stormo che si focalizzi sul suo comportamento a grande scala, indipendente dai dettagli microscopici se questi danno vita a sistemi appartenenti alla medesima classe di universalità. Il primo passo per giungere alle equazioni idrodinamiche è individuare le simmetrie e le leggi di conservazione a cui lo stormo ubbidisce: innanzitutto abbiamo l’invarianza rotazionale, che restringe notevolmente il numero e il tipo di contributi all’equazione idrodinamica, poi abbiamo semplicemente la conservazione del numero di uccelli10 . È interessante notare come uno stormo non sia invariante sotto le trasformazioni di Galileo: essendo le velocità individuali le variabili dinamiche, una trasformazione arbitraria in un sistema di riferimento inerziale (un boost ~vb ) non lascia invariante la dinamica successiva dello stormo11 . Conseguenza immediata di ciò è la non conservazione della quantità di moto e l’inadegua10

Falchi permettendo... Nel modello originario di Vicsek qualsiasi boost è impossibile, dato che i moduli delle velocità sono costanti, ma quanto detto vale evidentemente anche nel caso di uccelli che possano accelerare e rallentare. 11

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CAPITOLO 1. COMPORTAMENTO COLLETTIVO tezza in questo caso delle equazioni di Navier-Stokes per un fluido semplice, invariante galileano. Individuate le simmetrie, le variabili idrodinamiche da considerare derivano da una procedura di coarse-graining, che come detto impedisce una corretta descrizione del sistema a piccole scale: il campo di velocità ~v (~r, t) e quello di densità %(~r, t) degli uccelli. I valori dei campi in ~r vanno intesi come media sugli elementi presenti nel volume identificato da ~r, abbastanza grande affinché questa media sia significativa, ma con un’estensione dell’ordine di una qualche scala microscopica (come la distanza media di primo vicino). In realtà calcolare esplicitamente il coarse-graining necessario per ricavare le equazioni continue del sistema è estremamente difficile, quindi si scrive la forma più generale di equazione idrodinamica per ~v e % includendo solo i termini (al primo ordine) che soddisfano le simmetrie e le leggi di conservazione sopra esposte. Ottenute le equazioni e risolte sotto opportune condizioni nell’ambito di una teoria di scaling, gli autori concludono che nella fase ordinata la rottura spontanea della simmetria rotazionale completa porta all’esistenza di un modo soft di Goldstone associato alle fluttuazioni nella direzione delle velocità rispetto alla velocità globale. La lunghezza di correlazione di queste fluttuazioni angolari risulta quindi infinita, anche in due dimensioni dove nei sistemi all’equilibrio la rottura della simmetria è vietata dal teorema di Mermin-Wagner. Questo a causa della presenza di termini non lineari nelle equazioni idrodinamiche. Mostrano inoltre che vi è un mescolamento di questi modi con quelli dovuti alla conservazione del numero di uccelli, il che porta a modi acustici che fisicamente si presentano come grandi fluttuazioni di densità all’interno dello stormo. Tutto ciò appare molto interessante alla luce di quanto vedremo nel Capitolo 4, riguardo proprio lo studio dei campi di velocità biologici, considerando che nel loro studio Toner e Tu trattano anche una variante anisotropa del modello in cui in d dimensioni esiste un piano privilegiato del moto, giungendo a considerazioni simili al caso isotropo. Questa variante sembra molto adatta agli stormi da noi studiati, che mostrano moti globali preferibilmente sui piani perpendicolari alla gravità. Gli autori calcolano esplicitamente anche un gran numero di funzioni di 30


1.2. MODELLI E SIMULAZIONI correlazione, sia statiche che dinamiche, e indicano diversi modi per misurarle in esperimenti o in simulazioni; purtroppo richiedono anche delle condizioni periodiche cilindriche al bordo, ammettendo la difficoltà di imporle ad un sistema biologico. In più il loro è un modello che tratta sostanzialmente un fluido di particelle, tanto è vero che è stato usato per interpretare i dati derivanti da esperimenti su sospensioni di batteri, e quindi non è adeguato nel caso di gruppi compatti come gli stormi. Ciononostante si tratta dell’unico studio quantitativo che tratta alcune osservabili dinamiche che vedremo più avanti, quindi va senz’altro tenuto a mente, benché con le dovute cautele. Per concludere, più in generale l’approccio Euleriano ha portato ad interessanti risultati soprattutto nell’ambito della propagazione dell’informazione all’interno di uno sciame [48, 78]. Approccio a multi-agente Accenno brevemente anche ad un terzo approccio che non considera equazioni esplicite per la dinamica microscopica, ma codifica quest’ultima mediante regole discrete tipiche del mondo degli automi cellulari. Da un punto di vista visivo queste simulazioni appaiono molto attraenti, perché producono sulla base di regole estremamente semplici configurazioni macroscopiche anche molto simili a quelle biologiche, ma non bisogna dimenticare che spesso insiemi di regole diverse possono dar luogo alla medesima dinamica macroscopica e che quest’ultima è simile a quella biologica solo visivamente. In altre parole è vero che comportamenti complessi possono emergere da regole semplici, ma non è detto che queste siano necessariamente alla base dei sistemi biologici [37, 79].

31


Capitolo

2

Progetto Starflag Volano gli uccelli volano nello spazio tra le nuvole con le regole assegnate a questa parte di universo, al nostro sistema solare. Gli uccelli, Franco Battiato

indice del capitolo 2.1 2.2

2.3

2.4 2.5

Gli storni a Roma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Base teorica e setting sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tecnica stereometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scatti in sequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Setting sperimentale finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ricostruzione tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prima fase: la segmentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seconda fase: il matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Terza fase: le coordinate tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quarta fase: identificazione del bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ricostruzione dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risultati storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 38 38 44 46 48 49 53 57 57 61 66

Il progetto Starflag, finanziato da un grant della Commissione Europea nell’ambito del Sesto Programma Quadro dell’Unione Europea, ha come obiettivo un inedito studio quantitativo del fenomeno del flocking: mediante un’avanzata attrezzatura e un setting originale studiato appositamente 33


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Obiettivi del progetto

nell’ambito del progetto, siamo in grado di ricavare con sufficiente precisione le coordinate tridimensionali di ogni individuo all’interno di uno stormo, in modo da sottoporre quest’ultimo ad analisi che possano fornire informazioni sulla sua struttura, sulla sua dinamica e sul comportamento biologico sottostante. La fondamentale novità rispetto a passati tentativi analoghi sta nelle dimensioni degli stormi ricostruibili e analizzabili, dell’ordine delle migliaia di individui, grazie alla tecnica stereoscopica: scattando fotografie sincrone da punti di osservazione differenti e applicando le cosiddette formule stereometriche è possibile ricostruire con un’ottima precisione le posizioni tridimensionali degli uccelli in volo. L’obiettivo generale del progetto è dare una caratterizzazione quantitativa del fenomeno del flocking e di comprendere i meccanismi microscopici che ne sono responsabili. Schematicamente si può strutturare in 4 fasi. • Esperimento di fotografia stereoscopica e raccolta di immagini digitali ad alta risoluzione di grandi stormi in volo. • Manipolazione delle immagini stereoscopiche e ricostruzione delle coordinate e delle traiettorie di ogni individuo all’interno dello stormo mediante algoritmi originali appositamente sviluppati. • Analisi statistica dei dati tridimensionali così raccolti. • Interpretazione biologica dei risultati.

Il mio contributo

La mia partecipazione attiva al progetto si è svolta a più livelli: Raccolta dei dati fotografici 4 mesi di esperimento sul campo durante la seconda stagione di presa dati con utilizzo, manutenzione, calibrazione e ottimizzazione dell’intero apparato sperimentale; Produzione delle ricostruzioni tridimensionali Utilizzo del software precedentemente sviluppato per ottenere i dati tridimensionali e i campi di velocità dai dati fotografici; Analisi statistica dei dati Studio delle proprietà statistiche degli stormi, con particolare riguardo alle fluttuazioni di densità interna e alle correlazioni dei campi di velocità. 34


2.1. GLI STORNI A ROMA Nel seguito di questo Capitolo descriverò in maniera esauriente l’apparato sperimentale (Sezione 2.2) e gli algoritmi usati per ottenere coordinate e traiettorie degli uccelli a partire dalle immagini stereoscopiche (Sezione 2.3 e 2.4) e presenterò brevemente i risultati delle prime analisi precedenti al mio ingresso nel progetto (Sezione 2.5). I due Capitoli successivi saranno invece dedicati alle analisi a cui mi sono dedicato personalmente, sia sulla struttura che sui campi di velocità degli stormi ricostruiti.

2.1

Gli storni a Roma

Lo storno è un uccello dell’ordine dei passeriformi, lungo 20 ÷ 23 cm con peso variabile tra i 36 g e i 112 g.

Morfologia ed abitudini alimentari

Il piumaggio presenta differenze stagionali, nero con macchie chiare in inverno, con riflessi violacei-verdi d’estate, mentre non è presente una evidente differenziazione morfologica tra i sessi. Si ciba prevalentemente a terra, seguendo una dieta onnivora e stagionale in risposta alla disponibilità contingente di cibo. È originario dell’Eurasia e dell’Africa settentrionale, ma è stato portato dall’uomo anche in Nord America e Australia. Oggi è diffuso in quasi il 30% delle terre emerse, con una popolazione stimata in circa 600 milioni di esemplari, di cui circa 140 milioni negli Stati Uniti [80], dove viene considerato l’uccello più abbondante. Attualmente in Europa si assiste ad una diminuzione delle popolazioni nei Paesi del nord (Germania, Regno Unito, Paesi Scandinavi), anche superiore al 50%, a causa dell’intensificarsi dell’attività agricola, mentre nei Paesi mediterranei (Francia, Spagna, Italia) è in aumento, per fattori ancora non del tutto noti.

Distribuzione geografica

Nel nostro Paese la situazione è particolarmente complessa, perché lo storno è un uccello che non può essere definito né migratore, né stanziale: in Italia mostra un comportamento migratorio specifico a seconda dell’area di origine. Nelle regioni del Nord al di fuori del periodo riproduttivo le colonie tendono a spostarsi completamente, raggiungendo anche il Nord Africa, mentre quelle nate nelle regioni del Centro sono più sedentarie. Quelle delle

Lo storno in Italia

35


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG regioni nord-orientali mostrano anche un comportamento intermedio ([81], cfr. Figura 2.1 nella pagina successiva). Periodi migratori

I primi storni provenienti dall’estero raggiungono l’Italia a metà agosto, ma la migrazione vera e propria, che interessa alcune decine di milioni di individui, si verifica dalla fine di settembre alla prima decade di novembre, con culmine tra la seconda metà di ottobre e l’inizio di novembre. La migrazione pre-riproduttiva di ritorno, invece, va da metà febbraio a fine marzo – primi di aprile.

Comportamento cittadino

Abitualmente lo storno passa la giornata nei parchi o nelle campagne circostanti le città, per poi spostarsi nelle zone centrali poco prima del calar del Sole, dove predilige gli alberi e le facciate di edifici e monumenti per passare la notte. Negli ultimi decenni questi dormitori sono in aumento, in quanto questi passeriformi hanno imparato a sfruttare alcune condizioni favorevoli che trovano in città: l’effetto isola di calore e l’assenza di molti predatori, sia alati che terrestri, non ultimo l’uomo che negli ambienti urbani non può cacciare. Inoltre la sistematica distruzione delle zone umide circostanti i centri urbani, luoghi prediletti originariamente dagli storni, ha sicuramente favorito lo spostamento dei dormitori in città.

Roma e gli storni

Tra le città italiane, Roma è sicuramente quella dove oggi è più elevata la presenza di storni svernanti. A partire dall’inverno 1925-26 lo storno ha cominciato a frequentare la città, localizzando sugli alberi di alcune zone cittadine i propri dormitori notturni, definiti siti di roosting (cortile di Palazzo Venezia, Villa Torlonia, piazza Cavour). Nel 1970 erano presenti a Villa Ada, Villa Pamphili, via XX Settembre, viale Trastevere e lungo via Appia Nuova. Nei primi anni ’80 gli storni hanno formato dormitori anche sui platani presenti lungo la riva destra del Tevere, tra ponte Matteotti e ponte S. Angelo. È nei pressi di questi luoghi che nei minuti prima del tramonto danno vita alle loro spettacolari danze, raggruppandosi in stormi capaci di rapidi volteggi, plastici cambiamenti della forma, veri e propri combattimenti con i falchi pellegrini, loro predatori naturali. Nel corso degli anni il numero degli storni svernanti a Roma è andato progressivamente aumentando fino ad arrivare all’attuale consistenza numerica che tocca anche punte di circa 5 milioni di individui. 36


2.1. GLI STORNI A ROMA

Figura 2.1 Distribuzione aggiornata al 1993 dei siti di nidificazioni degli storni in Italia [82] e alcune varietĂ  di Sturnus vulgaris.

37


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

2.2

Base teorica e setting sperimentale

L’importanza dei dati prodotti dal progetto Starflag sta nel numero di uccelli componenti gli stormi, alcune migliaia, e il fatto che essi siano animali liberi, per nulla influenzati dall’esperimento stesso. Queste due caratteristiche, che sono senz’altro i principali punti di forza del progetto, sono state in un certo senso una conseguenza della scelta della specie da studiare (non è possibile ottenere stormi di storni in una situazione controllata come un laboratorio) e hanno suggerito la tecnica di ricostruzione da utilizzare: si tratta della stereometria [83], i cui limiti sulle distanze sono legati soltanto alla risoluzione ottica a disposizione e alla precisione con cui si determinano gli angoli in gioco.

Tecnica stereometrica La stereometria è alla base della visione binoculare: lo stesso oggetto visto da due posizioni differenti presenta uno spostamento relativo all’interno del campo visivo bidimensionale ed è proprio lo studio di questo shift stereoscopico che permette di ricavare la distanza dell’oggetto dall’osservatore. Piani focali paralleli

In Figura 2.2 a fronte è riportato lo schema più semplice, in cui due macchine distanti d (linea di base, o baseline) l’una dall’altra hanno i piani focali perfettamente allineati: lo stesso oggetto appare in due diverse posizioni nelle due CCD, a distanza uSX e uDX dal centro del rispettivo frame lungo la linea di base. La differenza s = uDX − uSX è lo shift relativo, legato alla distanza dell’oggetto z, alla linea di base d e alla lunghezza focale Ω dalla semplice relazione s = uSX − uDX =

Ωd . z

(2.1)

Dato che Ω è fissato dall’ottica delle macchine e che s, misurato in unità discrete, ha un limite inferiore di 1 pixel, l’Equazione 2.1 mostra come sia il valore di d a determinare la massima distanza ricavabile da un’analisi stereometrica. Per quantificare quanto detto, studiamo uno spostamento dell’oggetto di ∆z = z2 − z1 , che si traduce in una variazione di ∆s dello 38


2.2. BASE TEORICA E SETTING SPERIMENTALE

Figura 2.2 Apparato stereoscopico elementare: i piani focali di fotocamere identiche sono paralleli. Le quantità uDX e uSX rappresentano le posizioni dell’uccello sul piano del sensore rispetto al centro. La differenza tra queste due posizioni definisce lo shift stereoscopico, connesso alla distanza dell’oggetto tramite la lunghezza focale Ω e la distanza tra le fotocamere d mediante l’Equazione 2.1 a fronte.

shift, rilevabile solo se > 1 pixel. Differenziando l’Equazione 2.1 si ottiene ∆z =

z2 ∆s , Ωd

che invertita fornisce

∆z >1. z2 Si ottiene così la condizione su d cercata: ∆s = Ωd

d>

z2 . Ω∆z

39

(2.2)


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Esempi numerici

Convergenza dei piani focali

Forniamo qualche valore di riferimento: utilizzando ottiche da 35 mm, quindi Ω = 4273 pixel, volendo risolvere un uccello a distanza di 150 m con una sensibilità minima di ∆z = 0.5 m, dobbiamo avere d > 10 m. Per z = 200 m, abbiamo bisogno di d > 20 m, ecc. Notiamo che l’incertezza su z qui indicata appare piuttosto grande considerando che è pari all’apertura alare degli storni, ma sottolineamo che si tratta di un errore sulla distanza assoluta, come vedremo molto maggiore rispetto a quello sulla distanza relativa. Non è poi possibile aumentare a piacere la linea di base rimanendo nella geometria semplice mostrata in Figura 2.2 nella pagina precedente, dato che più le macchine sono lontane tra loro, minore è l’area di sovrapposizione dei due frame, quindi più piccola è la regione in cui si deve trovare interamente contenuto lo stormo osservato. Per linee di base maggiori, quindi, è necessario abbandonare l’allineamento dei piani focali e far convergere i campi visivi delle macchine. In presenza di un angolo di convergenza α, all’Equazione 2.1 si aggiunge un contributo in prima approssimazione ad esso proporzionale: s=

Ωd − Ωα . z

(2.3)

La precisione sulle distanze z dipende anche dall’errore di allineamento: ∆z =

z2 z2 z2 ∆s − ∆α = ∆zALL − ∆α . Ωd d d

Otteniamo quindi che imponendo un errore sulla distanza dell’1%, ∆z = 1 m su z = 100 m, abbiamo bisogno di una precisione di 0.002 rad sulla determinazione di α. Per lo 0.03% (1 m su 300 m circa) di ∆α = 0.0006 rad, ecc. Contributi agli errori sulle distanze assolute

Gli errori associati alla determinazione della linea di base d e dell’angolo di convergenza α si riflettono quindi sulle distanze assolute e la loro importanza aumenta con z: tenendo conto del fatto che gli stormi si trovano tipicamente tra i 100 m e i 300 m e che hanno estensione in z di decine di metri, possono influenzarne negativamente la stessa morfologia. È quindi importante scegliere una linea di base grande, che come mostrato appare 40


2.2. BASE TEORICA E SETTING SPERIMENTALE sempre al denominatore nelle espressioni dell’errore in z, anche se questo porta naturalmente a tutta una serie di problemi pratici, primo fra tutti quello dell’allineamento. La determinazione del valore di d viene fatta mediante un distanziometro laser professionale con precisione al millimetro, prima dell’allineamento finale. Questo introduce un piccolo errore ulteriore, in quanto il vettore che connette le due macchine si modifica da d~ = (d, 0, 0) a d~0 = (d, 0, dα/2), ma in questo modo i due moduli differiscono di un termine al second’ordine in α, che viene ignorato.

Linea di base e laser

Il setting sperimentale adottato prevede una linea di base di d = 25 m e un angolo di convergenza di α = 0.22 rad, buon compromesso tra il massimo errore in z accettato ad una distanza di z ∼ 100 m e una sufficiente sovrapposizione tra i frame di tutte le macchine. È importante sottolineare che molti degli studi che in passato hanno avuto i nostri stessi scopi hanno utilizzato una linea di base tra i 2 m e i 5 m, corrispondente ad una risoluzione sulle distanze che va dai 2.3 m ai 4.6 m, decisamente insoddisfacente nel caso degli storni in esame, i quali possono trovarsi a distanze relative dell’ordine di 0.3 ÷ 0.5 m gli uni dagli altri.

Tecniche di allineamento

Tutto l’apparato viene montato all’inizio di ogni sessione sul tetto di un edificio pubblico e questo richiede che ogni operazione, prima fra tutte quella dell’allineamento delle macchine, sia semplice, rapida e flessibile. Ogni macchina fotografica è fissata ad una barra rigida in lega di alluminio di lunghezza L. Il fissaggio avviene facendo aderire con cura il dorso della scocca sul fondo della barra stessa. Le tre barre sono montate su altrettanti cavalletti a tre piedi. La determinazione di α è affidata ad una comune lenza da pesca di diametro a = 0.25 mm, connessa agli estremi esterni delle barre, come mostrato in Figura 2.3 nella pagina successiva. Una volta tesa, si modifica l’inclinazione delle barre in modo che passi in un punto predeterminato dei loro estremi interni, indicato da due tacche su di un calibro millimetrico. Quantitativamente, chiamando H l’altezza alla quale passa il filo sul calibro, si ricava l’angolo α di convergenza relativo delle barre: α=

2H . L

41

(2.4)

Angolo di convergenza e filo


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Figura 2.3 Metodo per l’allineamento. Le macchine fotografiche sono montate su barre rigide, collegate l’una all’altra da un sottile filo da pesca. Il filo passa attraverso un calibro ortogonale montato all’estremo interno di ciascuna barra. Questo garantisce un errore sull’angolo di convergenza sufficientemente piccolo, ∆α = 0.0004 rad su un α = 0.22 rad che con d = 25 m permette ad uccelli a 100 m dalla linea di base di essere fotografati al centro delle immagini di entrambe le macchine.

Evidentemente l’errore su α è ora determinato dall’errore in lettura sul calibro, paragonabile al diametro del filo stesso, mediante la relazione differenziale a ∆α = . (2.5) L Dai valori L = 680 mm e a = 0.25 mm, si ottiene un errore ∆α = 0.0004 rad, di un ordine di grandezza inferiore rispetto a quanto richiesto. Notiamo che in realtà il valore di a utilizzabile nell’Equazione 2.5 è tale 42


2.2. BASE TEORICA E SETTING SPERIMENTALE solo nel caso di un filo perfettamente fermo, mentre su 25 m il vento causa oscillazioni che possono essere anche di qualche millimetro. Varie prove sul campo hanno però dimostrato che ∆α rimane accettabile per una velocità del vento inferiore ai 12 m/s, valore raramente raggiunto durante le stagioni di presa dati. In generale le posizioni relative delle barre sono fissate da tre angoli di Eulero: abbiamo appena trattato l’angolo di convergenza α e sempre mediante il filo è possibile annullare l’angolo di tilt γ. Rimane da fissare l’angolo β che la barra forma con il terreno, che nel seguito chiameremo alzo (cfr. Figura 2.4). Quest’ultimo quantifica la rotazione attorno all’asse identificato dal filo, quindi necessita di uno strumento indipendente per essere determinato.

Angolo di alzo e clinometro

Figura 2.4 Tre angoli di Eulero per le rotazioni delle barre. In questo esempio, i piani focali giacciono sul piano (x, y, 0) e l’asse z è parallelo all’asse degli obiettivi delle fotocamere. Rotazioni attorno all’asse y permettono di controllare l’angolo α di convergenza dei piani focali.

Il setting sperimentale richiede un punto di vista dal basso verso l’alto, in modo da escludere dal campo visivo di tutte le macchine oggetti come il parapetto del tetto, le cime degli alberi, le lampade dei lampioni. Per questo viene fissato su tutte le barre un alzo relativo al piano del terreno di 35◦ o 40◦ , mediante clinometro di precisione (errore di 0.02 rad). In questo modo si annulla anche l’angolo relativo β delle barre, con un errore pari al doppio di quello del clinometro (∆β = 0.04 rad). Si tratta di un errore grande rispetto a quello relativo agli altri due angoli, ma influisce poco sulle equazioni di ricostruzione [84]. Dalla discussione appena fatta emerge chiaramente quanto sia delicata la determinazione degli angoli di allineamento, per minimizzare l’errore sul43

Angoli ed errori


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG lo shift e quindi sulle distanze assolute e relative degli uccelli. Durante le due stagioni di presa dati abbiamo fatto numerosi test per quantificare al meglio i vari contributi agli errori su z e così mettere in campo strategie per ridurli al minimo. Al termine di questo lavoro lungo, ma necessario per avere ricostruzioni il più accurate possibili, abbiamo raggiunto una precisione di ∆z < 0.4 m sulle distanze assolute (∆α < 0.0023 rad) e di ∆z < 0.04 m su quelle relative. Questo risultato è leggermente peggiore rispetto a quello teoricamente raggiungibile prendendo in considerazione i soli angoli ed è da imputarsi ad una residua distorsione radiale delle lenti non meglio controllabile. Scatti in sequenza

Frequenza e sincronia

Il sistema appena descritto permette di ottenere coppie stereoscopiche di foto di uno stormo, da cui ricostruire le posizioni istantanee nello spazio di ogni singolo uccello. È evidente che scattando foto in sequenza è possibile ottenere la dipendenza temporale delle coordinate, naturalmente campionata alla frequenza di scatto delle macchine. L’aspetto fondamentale da tener presente è che la coppia stereoscopica di immagini deve essere presa nello stesso istante, quindi in una sequenza di scatti le macchine devono mantenere una sincronizzazione adeguata. Nel nostro caso le macchine sono in grado di scattare fino ad un massimo di 8.5 fps (fotogrammi al secondo), ma l’esperimento richiede due proprietà fondamentali: frequenza costante1 e sincronia tra le due macchine. Si tratta di due caratteristiche niente affatto scontate per macchine sì professionali, ma pur sempre commerciali, per cui lo scopo dello scatto in sequenza è per lo più quello di cogliere l’attimo. Per questo nel nostro esperimento non sono stati utilizzati i controller in dotazione alle macchine, ma si è affidata la gestione di questa delicata operazione ad un timer digitale esterno appositamente progettato. Per la scelta della frequenza si è preso come riferimento la velocità media degli uccelli, di circa 10 m/s, optando quindi per 10 fps. Evidentemente è un valore fuori dalla portata di una singola macchina, ma è possibile 1

In altre parole il tempo tra uno scatto e il successivo deve essere costante lungo tutta la sequenza.

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2.2. BASE TEORICA E SETTING SPERIMENTALE raggiungerlo utilizzando una seconda coppia di macchine interlacciata alla prima, come mostrato nella Figura 2.5.

Figura 2.5 Interlacciamento degli scatti. Le singole macchine fotografiche scattano ad una frequenza di 5 fps. L’interlacciamento si realizza facendo sì che la coppia stereoscopica 1 scatti in controfase rispetto alla coppia 2. La frequenza finale è di 10 fps.

In altre parole le due coppie scattano alternativamente, ognuna a 5 fps, rimanendo lontane dal limite costruttivo di 8.5 fps e quindi minimizzando eventuali problemi di desincronizzazione durante la sequenza. Un altro accorgimento per raggiungere quest’ultimo risultato consiste nello scegliere apertura ampie del diaframma, che implicano durate maggiori dello scatto e quindi un’influenza minima di eventuali fluttuazioni della frequenza. È possibile ricavare le desincronizzazione media di una coppia di macchine, pari a circa 10 ms a 5 fps, e da questa l’errore conseguente sulla posizione dell’uccello, a partire dalla sua velocità: a 10 m/s in 10 ms l’errore sulla posizione è di circa 10 cm, ben inferiore all’estensione fisica di un uccello che ha 40 cm di apertura alare [85].

Errori dalla desincronizzazione

Naturalmente raggiungere i 10 fps mediante due coppie interlacciate, oltre che richiedere un impegno economico doppio, pone alcuni problemi assenti in un sistema composto da macchine prodotte appositamente. Ad esempio ogni macchina è affetta da imperfezioni proprie indipendenti dalle altre e questo produce errori non controllabili, né a priori, né a posteriori. Ma la

Errori dalla traslazione

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CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG difficoltà più evidente sta nel fatto che le macchine appartenenti alle due coppie non possono trovarsi fisicamente nella stessa posizione, quindi una coppia è traslata rispetto all’altra e produrrà ricostruzioni a zig-zag 2 . Tutte le analisi che coinvolgono le velocità e la dinamica devono tenere debitamente in conto questo fatto. Setting sperimentale finale Periodo di presa dati

I dati che abbiamo fin qui raccolto in sostanzialmente due stagioni di presa dati, nei periodi 12/2005 - 02/2006 e 12/2006 - 02/2007, sono state scattate sopra la stazione Termini di Roma, dalla Terrazza di Palazzo Massimo, Museo Nazionale Romano, la cui vista sulla stazione è mostrata nella Figura 2.6.

Figura 2.6 Uno sguardo oltre il parapetto del tetto di Palazzo Massimo, circa 30 m sopra la Stazione Termini di Roma. Sono ben visibili gli alberi-dormitori degli storni e un piccolo stormo in lontananza.

Sito ed attrezzatura

Si tratta di un sito posto a circa 30 m da terra, a poche centinaia di metri dai gruppi di alberi che costituiscono i dormitori notturni degli storni, esposto a venti che non hanno mai superato i 12 m/s. In media gli stormi volteggiano a circa 100 m dell’apparato sperimentale, costituito primariamente da 6 (3 + 3 interlacciate) macchine3 fotografiche digitali professionali 2

L’effetto globale dell’avere due coppie di macchine interlacciate può essere quantificato in una traslazione delle ricostruzioni di una coppia rispetto all’altra di circa 1 cm. 3 Benché la tecnica stereometrica ne richieda solo due, più avanti vedremo che il problema del matching è notevolmente semplificato se si utilizzano 3 punti di osservazione, grazie al cosidetto metodo trifocale (Sezione 2.3).

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2.2. BASE TEORICA E SETTING SPERIMENTALE Canon EOS-1d Mark II, caratterizzate da una risoluzione di 3504 × 2336 pixel ed equipaggiate con obiettivi Canon da 35 mm. Le condizioni di scarsa luminosità delle ore vicine al tramonto e le caratteristiche tecniche delle macchine hanno consentito tempi di scatto compresi tra 1/1000 s e 1/250 s, con un’apertura di diaframma da f 2.0 a f 4.0 e una sensibilità ISO limitata tra 100 e 800. La procedura sperimentale prevede il montaggio di 3 cavalletti professionali Manfrotto, modelli 400 e 450, su ognuno dei quali sono disposte 2 macchine fotografiche, fissate su barre di acciaio dal basso coefficiente di dilatazione termica appositamente progettate. Due cavalletti (nel seguito chiamati A quello a destra e C quello a sinistra) sono disposti a 25 m l’uno dall’altro e sono quelli che permettono la ricostruzione tridimensionale (cfr. Sezione 2.2). Il terzo cavalletto (nel seguito chiamato B), situato ad un paio di metri all’esterno del cavalletto A, è necessario per sfruttare il metodo trifocale (cfr. Sezione 2.3). Sui cavalletti sono montati 2 sistemi parzialmente indipendenti, ognuno composto da tre macchine accuratamente allineate (nel seguito chiamate con un’etichetta del tipo MN, in cui M indica il cavalletto A, B o C e N la coppia stereoscopica 1 o 2), i quali scattano in sequenza ripetuta alla frequenza di 5 fps in maniera interlacciata, in modo che le sequenze ottenute (al massimo 35 × 2 = 70 fotogrammi) risultino avere una frequenza di 10 fps. Un timer esterno, progettato e realizzato appositamente per questo scopo, gestisce la frequenza e la sincronizzazione degli scatti. Per ciascuna sessione sperimentale è stato possibile catturare una media di 20 eventi e per quelli selezionati sono state ottenute le posizioni tridimensionali di circa l’88% degli uccelli componenti lo stormo e mai meno dell’80%. Lo schema generale dell’apparato è riportato in Figura 2.7.

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CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Figura 2.7 Schema generale dell’apparato. I cavalletti A e C sono distanti 25 m e sono utilizzati per la ricostruzione, il cavalletto B permette invece di utilizzare il metodo trifocale. Su ciascun cavalletto ci sono 2 macchine cosicché sono 2 i sistemi di ricostruzione che scattano a 5 fps interlacciati (in totale 10 fps). Lo stormo deve essere contenuto nel campo visivo di tutte e sei le macchine contemporaneamente, condizione che si raggiunge a circa 120 m dalla linea di base.

2.3 Eventi raccolti

Condizioni per la selezione degli eventi

Ricostruzione tridimensionale

In tre stagioni del progetto, circa 80 sessioni effettive di presa dati, abbiamo raccolto più di 1000 eventi, ognuno composto da un massimo di 70 scatti consecutivi. Personalmente ho partecipato attivamente all’esperimento durante la seconda stagione, raccogliendo quasi la metà degli eventi suddetti. Naturalmente non tutti possono essere considerati nella successiva ricostruzione, perché è necessario che abbiano tutta una serie di caratteristiche a cui l’algoritmo di ricostruzione è sensibile. La prima condizione richiede che lo stormo sia interamente contenuto nel campo visivo comune a tutte e sei le macchine, almeno per un sotto intervallo dell’intera serie. La distanza massima a cui si può trovare uno stormo è poi non superiore a circa 250 m, a causa di limitazioni dovute alla risoluzione delle CCD. È molto importante che la densità dello stormo4 non sia così 4

Per l’esattezza non si tratta della densità propria dello stormo, quanto quella degli

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2.3. RICOSTRUZIONE TRIDIMENSIONALE elevata da non permettere di risolvere i singoli uccelli nemmeno ad occhio. Normalmente si preferiscono eventi in cui è presente chiaramente un solo stormo, non impegnato in danze con altri stormi che li portino a sovrapporsi o ad unirsi. Degli eventi fotografati 70 hanno superato la prima fase di selezione a mano e di questi ne abbiamo scelti 25 per le analisi vere e proprie, riferendoci a parametri quali la coesione spaziale, la nettezza dei bordi, il numero non troppo ristretto di uccelli (almeno 400). Gli eventi sono nominati con un’etichetta del formato XX-YY in cui XX è il numero di sessione e YY è il numero dell’evento all’interno della sessione. Le foto che compongono la serie sono invece etichettate con XX-YY_NNN_M in cui NNN è il numero di foto scattate dall’inizio della sessione e M è la coppia di macchine interlacciate. Prima fase: la segmentazione Il primo passaggio riguarda l’individuazione degli uccelli, che nella foto appaiono come gruppi di pixel scuri, da tutti gli altri elementi che compongono l’immagine, sfondo in primis. La strategia adottata fa uso di due caratteristiche fondamentali che differenziano gli uccelli dal fondo: sono quasi sempre più scuri e cambiano posizione tra uno scatto e quelli successivi, avendo sempre una componente della velocità parallela al piano focale. Questo permette all’algoritmo di segmentazione di riconoscere i pixel di sfondo da quelli degli uccelli e di sottrarli, ottenendo così gruppi di pixel più o meno grandi ben distinti, a cui sono associate le coordinate bidimensionali del loro centro geometrico. Per far questo viene preso automaticamente un certo numero di foto precedenti e successive a quella in esame all’interno della stessa serie5 . Vengono poi separate le componenti RGB e si crea una nuova immagine i cui pixel hanno il valore più alto per ogni canale tra il gruppo di foto selezionate. In questo modo si è ricostruita l’immagine dello sfondo, cioè di tutti quegli elementi che non sono uccelli: dato che un uccello si muove, difficilmente uccelli proiettati sulla superficie bidimensionale della foto. 5 Nel caso di foto agli estremi, il sistema di adatta scegliendo automaticamente solo quelle che precedono o seguono.

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Strategia generale

Individuazione dello sfondo


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Sottrazione dello sfondo

Parametri sensibili

Blob splitting

occuperà lo stesso pixel per più di una o due foto consecutive, quindi selezionando la sua intensità maggiore nella sottoserie stiamo ponendo in una stessa immagine solo i pixel di sfondo, prendendoli tra tutte le foto selezionate. A questo punto si sottrae pixel per pixel e canale per canale l’intensità di questa immagine dello sfondo a quella della foto in esame, ottenendo uccelli chiari su uno sfondo quasi nero. La separazione ora è immediata con una semplice soglia in intensità. Eventuali problemi per questo algoritmo possono venire dal rumore, aumentato dal fatto che abbiamo a che fare con immagini JPEG compresse, e dal numero di foto della sotto serie che prendiamo in considerazione per la stima del fondo. Nel primo caso il rischio è che dopo la sottrazione lo sfondo non sia proprio nero e gli uccelli non siano proprio bianchi ed è così utile applicare un filtro standard di riduzione del rumore. Nel secondo una sotto serie lunga aumenta la probabilità che un pixel sia occupato in almeno una foto dallo sfondo, ma rischia di far considerare mobili oggetti lenti che non sono uccelli, come le nuvole. Praticamente sono sempre bastate 3 o 5 foto per ottenere buoni risultati. Individuati i pixel appartenenti agli uccelli, abbiamo però sempre una proiezione bidimensionale di un oggetto tridimensionale, in cui non sono rare le sovrapposizioni di due o più uccelli nella stessa zona della foto: non sempre ad un gruppo di pixel isolato corrisponde cioè un singolo uccello. In questo caso si parla di blob ed è possibile riconoscerlo e risolverlo mediante una procedura di blob splitting. Si tratta di una variazione del cosiddetto metodo watershed [86]: selezionato un blob sospetto, si calcola l’intensità dei suoi pixel come media delle intensità di ogni canale, ottenendo così un’immagine in b/n. Si aumenta poi gradualmente una soglia fino a che l’oggetto non rivela due valori di intensità distinti sopra soglia. A questo punto si calcolano le posizioni di questi massimi e si individuano le coordinate bidimensionali dei due uccelli che prima componevano il blob6 . Uno schema dell’algoritmo è riportato in Figura 2.8 a fronte. Solitamente per ognuno di essi viene reiterata la procedura per 6

Come ci si può aspettare, le coordinate così ottenute sono meno precise rispetto a quelle del centro geometrico di uccelli isolati.

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2.3. RICOSTRUZIONE TRIDIMENSIONALE

(b) Blob con 4 uccelli distinti.

(a) Singolo uccello.

(c) Schema dell’algoritmo di blob splitting. Figura 2.8 L’identificazione di uccelli isolati è un compito abbastanza facile, diversamente dal caso in cui molti di essi si trovano ad essere parzialmente sovrapposti. Per separare due oggetti si aumenta gradualmente una soglia fino a che non diventa maggiore dell’intensità minima tra i due oggetti. A quel punto gli oggetti si separano e si possono calcolare i due centri di massa.

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CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG separare eventualmente altri uccelli. Il procedimento è abbastanza lento, perché per ogni blob c’è un ciclo sulla soglia, che deve prevedere variazioni dell’intensità abbastanza piccole per non perdere coppie di massimi, ma non troppo per non essere sensibile a fluttuazioni casuali. Per questo motivo solo una parte degli insiemi di pixel segmentati vengono selezionati come blob sospetti e sottoposti a questa procedura, sulla base di parametri legati alla dimensione e alla forma. Clustering bidimensionale

Una volta ricavate le coordinate bidimensionali di tutti gli uccelli presenti nella foto, a volte capita che appartengano a diversi stormi contemporaneamente visibili nell’immagine: per selezionarli opportunamente si applica un algoritmo di clustering 2D detto Friend-Of-Friend, basato su di un parametro dF oF che deve essere inferiore alla distanza minima tra due stormi, ma superiore alla distanza tipica tra gli uccelli all’interno di uno stormo. Operativamente si parte da un punto qualsiasi dell’insieme e gli si associano tutti i vicini a distanza minore di dF oF . Questi saranno i centri del ciclo successivo, che ora non considereranno i vicini già associati al medesimo cluster. L’algoritmo termina quando non trova più vicini che possano essere nuovi centri, benché ci siano ancora punti dell’insieme non associati: è stato individuato un cluster compatto ed è possibile lanciare nuovamente l’algoritmo sui punti rimanenti per individuarne altri. Oppure quando sono stati toccati tutti i punti dell’insieme: la soglia non è adeguata per separare gli eventuali cluster presenti. Quest’algoritmo è quindi utile quando le separazioni tipiche tra cluster sono decisamente maggiori delle distanze medie di primo vicino degli elementi di ogni cluster (al variare della soglia, per un intervallo abbastanza esteso del suo valore, il numero di cluster deve rimanere costante). In caso contrario o si ottiene un unico grande cluster (soglia troppo grande), oppure una miriade di piccoli gruppi di punti arbitrariamente separati dagli altri (soglia troppo bassa).

Output

Al termine della segmentazione, dalle tre foto si ottengono tre liste di punti, una per ogni macchina, identificati da un’etichetta numerica e descritti da due coordinate. Ad essi si applica una trasformazione non lineare a partire da una serie di parametri geometrici ed ottici delle lenti, per compensare almeno in parte gli effetti della distorsione radiale. 52


2.3. RICOSTRUZIONE TRIDIMENSIONALE

(a) Foto sinistra (C)

(b) Foto destra (A)

Figura 2.9 Matching stereoscopico o problema delle corrispondenze. Ciascun individuo della foto a destra deve essere associato al corrispondente nella foto di sinistra. Nei riquadri colorati sono indicate tre corrispondenze. Lo stormo è costituito da circa 1200 uccelli che si trovano a circa 100 m (baseline di 25 m). Si può notare la deformazione stereoscopica tra le due foto e che la forma degli uccelli sia a tutti gli effetti inutilizzabile ai fini del matching.

Seconda fase: il matching Per ricavare la distanza di un oggetto si deve misurare il suo spostamento relativo all’interno del frame delle due foto stereoscopiche. Condizione necessaria per questa misura è la capacità di riconoscere l’oggetto in entrambe le foto: questo problema prende il nome di matching e nel caso di immagini con migliaia di oggetti è un problema algoritmicamente molto duro. Le strategie sviluppate nell’ambito del progetto Starflag permettono di risolvere efficacemente e brillantemente questo problema, facendo uso di tecniche originali assieme a tecniche standard di computer vision. Naturalmente il matching, essendo condizione necessaria per la ricostruzione tridimensionale, è un problema già abbondantemente affrontato e nel tempo sono state trovate molte strategie diverse per risolverlo. La maggior parte dei metodi fin qui sviluppati, però, si basano sul riconoscimento di caratteristiche peculiari dell’oggetto, come il colore, la forma, le dimensio53

Individuare le corrispondenze


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Geometria proiettiva e rette epipolari

Metodo trifocale

ni, l’orientamento, che aiutano enormemente il lavoro. Purtroppo nel caso della ricostruzione di grandi stormi a distanze elevate queste caratteristiche mancano completamente, in quanto si ha a che fare sostanzialmente con piccoli gruppi di pixel scuri prima della fase di segmentazione e con coppie di coordinate che individuano il baricentro di ogni uccello dopo. Il metodo utilizzato nel progetto Starflag si basa su considerazioni di geometria proiettiva, che permettono di porre dei vincoli sulla posizione di un punto in una foto una volta scelto nell’altra [87]. Seguendo la convenzione di chiamare A e C le foto stereoscopiche7 di destra e sinistra, rispettivamente, è possibile individuare in C una retta, detta epipolare, corrispondente ad un punto scelto in A. Nel caso semplice di piani focali paralleli lungo x (la linea di base), questa retta sarà anch’essa parallela ad x e la posizione esatta del match in C sarà data dallo shift stereoscopico. Nel caso generale di piani non paralleli la retta epipolare avrà una sua inclinazione e in presenza di rumore (ad esempio errori sugli angoli) il match non vi si troverà esattamente sopra, ma nelle sue vicinanze (cfr. Figura 2.10 nella pagina successiva). Il concetto di fondo, però, rimane lo stesso [88]: invece di cercare il match in C su tutta la foto, restringiamo il campo al solo intorno della retta epipolare (da migliaia a centinaia di uccelli candidati). Per restringere ancor di più il campo, e in assenza di rumore risolvere completamente il problema del matching, si può utilizzare una terza macchina fotografica B, nel nostro caso posta a circa 2 m alla destra di A e grosso modo allineata ad essa. I campi visivi delle macchine A e B sono sostanzialmente coincidenti e il problema del matching in questo caso è molto più facile, in quanto gli shift sono molto ridotti. Supponendo di averlo risolto, ora possiamo calcolare per il medesimo uccello due rette epipolari in C, che non saranno parallele perché A e B non coincidono: il punto di intersezione delle due rette fornisce, se non il match esatto, una regione della foto molto ristretta in cui può trovarsi (da centinaia a poche decine di candidati). Da questa idea si può sviluppare un apparato matematico più avanzato, come fatto in [84, 87, 89] e in [12], che porta alla definizione di un tensore trifocale. 7

Ricordo che le foto stereoscopiche sono quelle riprese dalle omonime macchine A e C, distanti 25 m l’una dall’altra.

54


2.3. RICOSTRUZIONE TRIDIMENSIONALE

(a) Foto della macchina C, rette epipolari e candidati match

(b) Foto della macchina A, uccelli da individuare

Figura 2.10 Rette epipolari. L’immagine di un uccello nella fotografia della macchina A individua una retta nella fotografia della macchina C vicino alla quale giace l’altra immagine dello stesso uccello.

Purtroppo per calcolarlo esplicitamente, oltre alla soluzione di gran parte del matching per le foto A–B, sono necessari anche alcuni match giusti per le stesse foto A–C, nel nostro caso circa un centinaio. Questo perché, in qualche modo che non è necessario approfondire in questa sede, il tensore trifocale deriva da una procedura di fit non lineare, che richiede la determinazione di un insieme minimo di condizioni iniziali. È necessario così uno strumento indipendente dalla geometria epipolare e dal metodo trifocale per individuare automaticamente questi primi match 8 e fornire l’input all’algoritmo appena discusso. Si tratta di un algoritmo automatico basato su una strategia di pattern recognition, ideato e sviluppato per la prima volta nell’ambito del progetto Starflag. Il cuore dell’algoritmo si basa sul fatto che nelle due foto ogni singolo uccello sarà traslato a causa dello shift stereoscopico, ma che questo sia

8

È facile immaginare che, essendo condizioni iniziali, questi primi match debbano essere i più sicuri possibile, per non compromettere l’efficienza del metodo trifocale.

55

Necessità di un Matching Zero

Pattern recognition


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG molto simile per uccelli vicini9 . Di conseguenza piccoli gruppi di uccelli, che costituiscono i punti di un pattern bidimensionale, non saranno deformati eccessivamente tra una foto e l’altra: risolvere il matching per questi pattern permette di dare un peso ai match candidati fino a individuare quello più probabile (per una discussione approfondita, cfr. [12, 34]).

(a) Sinistra (C)

(b) Destra (A)

Figura 2.11 Riconoscimento dei pattern. Il Matching Zero si basa sull’ipotesi secondo cui le geometrie formate da uccelli vicini sono simili nelle due fotografie stereoscopiche. Identificando queste geometrie si può in linea di principio risolvere il problema del matching. Le figure riportano un ingrandimento di uno stormo reale da due fotografie stereoscopiche con una baseline di 25 m. Efficienza del matching

Ovviamente minore è lo shift stereoscopico, minore è la deformazione dei pattern, maggiore è l’efficienza del Matching Zero. Per questo quando applicato alle macchine A-B, con linea di base di soli 2.5 m, è capace di superare il 90% di corrispondenze sul totale, mentre sostanzialmente fallisce con una linea di base di 25 m (macchine A-C e B-C). Il suo compito in questo caso è però quello di assicurare solo un centinaio di match buoni al successivo calcolo del tensore trifocale, che ha permesso di ottenere una media dell’88% di match sul totale e di non scendere mai sotto l’80%. Test su dati sintetici hanno dato come risultato una percentuale di errori10 minore del 5% ed è stato inoltre possibile verificare che l’algoritmo di matching appena esposto non introduce alcun bias nell’analisi successiva. 9

Rigorosamente parlando stiamo trattando una proiezione bidimensionale, quindi è possibile avere uccelli apparentemente vicini, ma molto lontani in profondità (e quindi con shift molto diversi tra loro). In generale, però, la maggior parte degli elementi di un gruppo di una decina di uccelli sono effettivamente vicini nello spazio (l’analogia delle costellazioni suggerita dalla Figura 2.11 è giusta, ma negli stormi non vi è per fortuna la profondità dell’Universo). 10 Mismatch, cioè corrispondenze individuate tra uccelli in realtà diversi.

56


2.3. RICOSTRUZIONE TRIDIMENSIONALE Terza fase: le coordinate tridimensionali Fin qui abbiamo due liste di punti (macchine A e C) individuati da coppie di coordinate bidimensionali ed etichettati secondo il risultato del matching: stesso nome per lo stesso uccello nelle due foto. Con una generalizzazione dell’Equazione 2.1 nella pagina 38 è agevole ricavare per ogni tripletta di punti la posizione tridimensionale dell’uccello, applicando uno dei numerosi algoritmi sviluppati allo scopo [84]. In breve la geometria epipolare permette di legare le quattro coordinate (xL , yL ; xR , yR ) note e le tre coordinate tridimensionali (X, Y, Z) incognite di ogni uccello mediante quattro equazioni, tutte indipendenti a causa del rumore presente. È necessario così un metodo di risoluzione che minimizzi una qualche funzione costo e ottimizzi i valori di X, Y e Z. In letteratura se ne trovano diversi e nel progetto Starflag è stato scelto di ottimizzare le coordinate tridimensionali minimizzando i residui, funzioni del rumore, delle quattro equazioni.

Sistemi di equazioni e rumore

Ottenute così le coordinate tridimensionali, si conclude escludendo dall’output tutti quegli uccelli presenti nella foto, ma non specificatamente appartenenti allo stormo in esame. Nella fase di segmentazione viene già affrontato questo problema, ma il limite del clustering 2D sta nel fatto che gli stormi devono essere ben separati sul piano della foto, cosa non possibile nel caso di stormi posti uno di fronte all’altro rispetto alle macchine. Per questo al termine della ricostruzione viene utilizzato nuovamente l’algoritmo di clustering Friend-Of-Friend, questa volta nella sua versione a tre dimensioni, per ottenere solo lo stormo voluto. Evidentemente valgono le medesime considerazione fatte per la sua variante 2D.

Clustering 3D

Quarta fase: identificazione del bordo Lo stormo è riconosciuto come tale se possiede un suo grado di compattezza e una sua forma riconoscibile: parleremmo altrimenti di uccelli sparsi, per quanto numerosi, che non costituiscono un gruppo coeso. Uno dei problemi più importanti da affrontare, quindi, è la determinazione del bordo, cioè l’identificazione degli uccelli che si trovano ai limiti estremi 57


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Statistica degli effetti di bordo

Comportamento biologico al bordo

dello stormo, ma che ancora ne fanno parte. Da questi, poi, è possibile estrapolare una superficie che definisce il bordo propriamente detto. Non si tratta solo di un problema fine a sé stesso11 perché rientra in praticamente tutte le analisi, soprattutto strutturali, successive, sia per motivi puramente matematici e statistici, sia per motivi biologici. In entrambi i casi il motivo è il medesimo: la struttura locale e/o il comportamento riferiti ad un uccello sono differenti che esso si trovi all’interno del gruppo o al suo margine. Nel primo caso si ha a che fare con una questione ben nota in Fisica: nello studio di sistemi aggregati normalmente si analizza il sistema localmente e poi si effettuano delle medie per estrapolare informazioni e caratteristiche globali. Dato che però la struttura locale attorno ai punti di bordo è profondamente diversa da quella attorno ai punti interni, non considerare adeguatamente questa distinzione può portare a risultati non precisi o anche grossolanamente sbagliati. A volte questi effetti di bordo vengono giustamente ignorati per il semplice fatto che il loro peso sui risultati è proporzionale al rapporto tra superficie e volume del sistema e si ha a che fare con sistemi abbastanza grandi12 , se non infiniti. È interessante notare che questo rapporto scala con il numero di elementi come 1/N 1/3 , il che implica che in sistemi che ne abbiano fino a poche centinaia essi siano posti per lo più proprio sul bordo, rendendo incontrollabile il bias introdotto da quest’ultimo. È purtroppo il caso di molti esperimenti del passato, specialmente riguardanti i banchi di pesci, come abbiamo visto nel Sezione 1.1. Gli stormi analizzati nell’ambito del progetto Starflag non ricadono invece in nessuna delle due precedenti categorie (pochi elementi o infiniti elementi), ed è possibile ottenere risultati veramente significativi a patto di tenere sotto controllo i bias introdotti dal bordo con adeguati accorgimenti che verranno discussi a pari passo con l’analisi dei dati. Nel secondo caso, avendo a che fare con organismi biologici, si deve tenere conto che processi decisionali e comportamenti conseguenti dipendono dalla percezione dell’ambiente esterno, differente nel caso ci si trovi all’interno o al bordo del proprio gruppo. Si pensi ad esempio alla diversa visuale dello 11

Si pensi all’interesse per la definizione di un volume dello stormo per il calcolo della densità media. 12 In tre dimensioni sono necessari sistemi dell’ordine di milioni di punti per poter ignorare il bordo senza troppi pensieri.

58


2.3. RICOSTRUZIONE TRIDIMENSIONALE spazio circostante o ad una consapevolezza istintiva del grado di pericolo dovuto all’esposizione al predatore. Il metodo più semplice ed esatto per identificare il bordo di un insieme discreto di punti prevede il calcolo del suo inviluppo convesso, univocamente definito, e prende il nome di algoritmo Convex Hull (cfr. Figura 2.12b nella pagina successiva). Come suggerisce il nome, però, si tratta di uno strumento adatto a sistemi convessi e inadeguato in caso di concavità importanti (inclusi buchi), a causa delle quali sovrastimerebbe notevolmente il volume, oltre a non fornire il bordo corretto. Per insiemi discreti di punti, in generale, non è possibile definire univocamente un bordo e un volume perché, in ultima analisi, hanno misura nulla. Per farlo è necessario scegliere a priori una scala minima delle concavità da individuare, facendo attenzione che sia comunque superiore a quella della distanza media di primo vicino. Questo parametro α definisce il raggio di una collezione di sfere che vengono poste attorno al sistema in modo da avere almeno tre punti sulla superficie e nessuno al proprio interno. In questo modo è come se le sfere scavassero il sistema, sensibili solo alle concavità più grandi del proprio raggio: i punti posti sulle loro superfici definiscono il bordo del sistema, tutti gli altri sono punti interni. L’algoritmo appena descritto prende il nome di α-shape e può essere naturalmente applicato in due dimensioni considerando dischi con almeno due punti del sistema sul proprio perimetro, come mostrato in Figura 2.12 nella pagina seguente. Inoltre si riduce al Convex Hull nel limite di raggio delle sfere infinito. La scelta del raggio minimo delle concavità non è banale, perché non si vogliono perdere strutture reali, ma non si vogliono neanche considerare piccole fluttuazioni dovute allo spostamento casuale di pochi uccelli. Un metodo oggettivo ideato ad-hoc per fissare la scala più adatta ad ogni stormo prevede lo studio dell’andamento della densità13 in funzione del parametro α, un esempio del quale è riportato in Figura 2.13 nella pagina 61. Partendo da α = ∞, man mano che il raggio delle sfere diminuisce, aumenta il numero 13

Calcolata come rapporto tra il numero dei punti interni e il volume calcolato dall’αshape ad un dato α.

59

Convex Hull

α-shape

Scelta della scala delle concavità


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

(a) Distribuzione concava di punti

(b) Convex Hull (R = ∞)

(c) R = R1

(d) R = R2 < R1

Figura 2.12 Convex hull (CH) e α-shape (AS). La distribuzione di punti 2D mostrata in (a) presenta due evidenti concavità di diverso raggio. L’algoritmo CH, che identifica il bordo convesso, le eliminirebbe entrambe (b). D’altra parte l’algoritmo AS in (c) e (d) permette di definire un raggio minimo per le concavità e di conseguenza un bordo più realistico (immagini da [90]).

dei punti di bordo a scapito di quelli interni, per cui la densità diminuisce lentamente, dato che il volume rimane grosso modo costante. Non appena il valore di α è sufficiente ad individuare una concavità, il volume diminuisce bruscamente e la densità cresce di conseguenza altrettanto bruscamente. Tutto ciò fino a che α non è abbastanza piccolo da permettere alle sfere di penetrare nel sistema e spezzarlo in più parti, facendo crollare la densità a zero. Identificate così le dimensioni delle concavità, non resta che scegliere la scala desiderata. 60


2.4. RICOSTRUZIONE DINAMICA

α-shape dello stormo 69-10 0,16

Densità [m-3]

0,14 0,12

25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15

0,1 0,08 0,06 0,04 0,02

5m

-5 0

0 1

(a) Esempio con distribuzione poissoniana bidimensionale (immagine da [90]).

5

5 10 15 20 25 30

10 α [m]

100

(b) Stormo 69-10

Figura 2.13 Come fissare la scala delle concavità. a) Una distribuzione di punti 2D random con due chiare concavità di diverso raggio, R1 = 3 e R2 = 8 (nell’inset). Graficando la densità in funzione di α si trovano dei salti evidenti in corrispondenza dei raggi delle due concavità. In questo modo è conveniente fissare α poco sotto il valore della concavità più piccola. b) Proiezione bidimensionale dello stormo 69-10 (nell’inset), in cui è presente una concavità di ∼ 5 m, evidenziata dall’andamento della densità in funzione del valore di α.

2.4

Ricostruzione dinamica

Tutto il processo di ricostruzione tridimensionale parte da terne di foto scattate nello stesso istante da posizione diverse e giunge alla lista di coordinate in tre dimensioni di (quasi) tutti gli uccelli componenti lo stormo d’interesse. Ogni ricostruzione è però indipendente dalle altre, quindi da questo punto di vista avere singoli scatti di stormi diversi o scatti successivi dello stesso stormo è assolutamente equivalente. Il problema centrale del processo di ricostruzione dinamica consiste nel matching degli uccelli tra due o più istanti successivi, in modo da applicare la stessa etichetta allo stesso punto in tutte le foto di una serie temporale. Se ci si limita a due istanti successivi questo permette di ricavare le velocità istantanee di ogni uccello dello stormo, nel momento dato. Generalizzando il discorso, è possibile ricavare le traiettorie complete di ogni uccello, campionate istante per istante a 10 fps. In questa sede non ci occuperemo della ricostruzione delle traiettorie complete, ma forniremo elementi del solo mat61

Definizione del problema


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG ching dinamico di primo livello, rimandando il lettore interessato al lavoro originale [34]. Generalizzazione del Matching Zero

L’idea di fondo è implementare una tecnica di pattern recognition su gruppi di uccelli in diversi istanti temporali in modo da associare una probabilità ai match candidati, esattamente come avviene nel Matching Zero già visto nel processo di ricostruzione tridimensionale. In questo caso però vi è un evidente vantaggio: i pattern sono ora oggetti realmente tridimensionali e non proiezioni bidimensionali, dal che ci si aspetta un’efficienza migliore. In questo contesto ci sono però delle peculiarità che richiedono adeguamenti dell’algoritmo. Ad esempio la ricostruzione statica non è perfetta e soprattutto gli uccelli che non riesce a ricostruire sono in parte diversi da istante ad istante: in altre parole, dato un uccello ricostruito nella prima foto, non è detto che sia presente in tutti gli istanti successivi.

Identificazione dei candidati

Consideriamo un insieme di punti in due istanti consecutivi, individuiamone i centri geometrici e trasliamoli fino a farli coincidere. Fissiamo ora il raggio R della sfera entro cui cercare nella seconda foto il candidato match di un uccello della prima foto. Vogliamo associare ai pattern dei k vicini di tutti i possibili candidati della seconda foto un grado di somiglianza con il pattern dell’uccello in esame della prima foto. Per farlo trasliamo le due strutture fino a sovrapporre i candidati, dopodiché definiamo una sfera di raggio r centrata su ciascun vicino del primo candidato. Ciascuna di esse che include un vicino del secondo candidato, e non più di uno, incrementa il punteggio del match. Tutte le altre non contribuiscono. Un punteggio proporzionale al numero di sfere dei vicini per cui questo accade viene assegnato sia al match tra i due candidati, sia a quelli tra tutti i vicini che hanno rispettato la suddetta condizione.

Matrice dei punteggi

In questo modo si costruisce una matrice dei punteggi che risulta essere molto sparsa, ma che in parte già contiene un’informazione chiara sui match. Ad esempio una riga può essere composta da diversi punteggi non nulli, ma molto bassi, ed un unico punteggio più elevato in corrispondenza del match evidentemente più probabile: con un meccanismo a soglia è così possibile annullare tutti gli elementi della riga tranne quest’ultimo. I casi sono molteplici e spesso la situazione è molto complicata, cosicché è necessario compiere 62


2.4. RICOSTRUZIONE DINAMICA varie operazioni sulla matrice in modo da ottenerne una con dei picchi pronunciati. Gli algoritmi utilizzati sono due: l’algoritmo di k-assignment e l’algoritmo di massimizzazione dei monogami. Per approfondimenti si rimanda alla letteratura [91] e al lavoro originale [34]. Il risultato finale è una lista di match, cioè di coppie costituite da un punto nella prima foto e un punto della seconda, identificati da opportune etichette. La velocità istantanea dell’uccello non è altro che la differenza delle coordinate dei due punti. Le prestazioni dell’algoritmo dipendono dalla qualità della ricostruzione statica, soprattutto nel numero di punti ricostruiti. In media si ottiene circa l’85% di match, quasi indipendentemente dal numero di uccelli nello stormo. Dove le ricostruzioni statiche sono più complete si è ottenuto anche il 90%.

63

Filtro a soglia

Efficienza dell’algoritmo


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

(a) Visuale delle macchine

(b) Foto sinistra (C)

(d) Piano XY

(c) Foto destra (A)

(e) YZ

(f ) Piano XZ

Figura 2.14 Esempio di ricostruzione tridimensionale dello stormo 69-19. Le sfere viola indicano gli uccelli interni, quelle azzurre gli uccelli che appartengono al bordo individuato mediante Îą-shape. Le immagini sono state prodotte mediante il software AViz [92]. a) Stormo ricostruito proiettato sul piano focale delle macchine fotografiche. b-c) Foto stereoscopiche. d-f ) Proiezioni dello stormo ricostruito sui tre piani coordinati.

64


2.4. RICOSTRUZIONE DINAMICA

(a) Foto destra (A)

(b) Foto successiva (A)

(c) Velocità assolute

(d) Velocità relative al C.d.M. Figura 2.15 Esempio di ricostruzione del campo di velocità dello stormo 69-19, stessa foto della Figura 2.14 nella pagina precedente. I coni indicano la direzione istantanea dei singoli uccelli nel riferimento dell’osservatore (c) e nel riferimento del C.d.M. (d). Il modulo delle velocità relative è stato riscalato per chiarezza grafica. Le immagini sono state prodotte mediante il software AViz [92]. a-b) Due foto successive della stessa macchina, distanti nel tempo 0.2 s. c-d) Ricostruzione dinamica delle velocità individuali, proiettate sul piano focale delle macchine fotografiche.

65


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

2.5

Risultati storici

Illustro in questa Sezione i principali risultati ottenuti prima che io entrassi nel gruppo, sia per mostrare lo stato dell’arte su cui mi sono basato per le mie ricerche successive, sia per introdurre concetti utili nella discussione del mio contributo originale descritto diffusamente nei prossimi due Capitoli. Range sensoriale vs. range topologico

Mappe di densità angolare dei primoi vicini

Funzione di anisotropia

Il principale risultato ottenuto nella prima stagione del progetto Starflag sta nella scoperta che l’interazione locale tra gli storni non si basa su di una distanza metrica, ma su di un range topologico [24]. Più esattamente ogni uccello appartenente ad uno stormo interagisce con i suoi primi 7 vicini, indipendentemente dalla loro distanza metrica, e non con tutti coloro che si trovano entro una certa distanza ben definita, come sempre supposto precedentemente e come normalmente imposto nelle simulazioni. Il primo indizio è venuto dall’osservazione delle mappe della posizione angolare media dell’n-esimo primo vicino. Per ricarvarle si considera un uccello di riferimento e si controlla dove si trova il suo n-esimo primo vicino, quindi si media su tutti gli uccelli dello stormo. Le distribuzioni angolari sono visualizzate in Figura 2.16 a fronte. Per n = 1, 2, 3, . . . le mappe mostrano una forte anisotropia angolare, con una notevole mancanza di uccelli lungo la velocità totale dello stormo14 . Per n & 10, invece, la distribuzione angolare risulta uniforme, compatibile con il caso isotropo non interagente. Dai vettori che identificano l’n-esimo primo vicino si è quindi calcolata una funzione γ(n) per quantificare l’anisotropia osservata e ciò ha permesso di ricavare un valore esplicito del range topologico: nc = 6.5 ± 0.9, costante entro l’errore per ogni evento analizzato. Per ottenere γ(n), in primis si ricava la matrice (n) Mαβ

N 1 X (n) (n) · ~u · ~u , = N i=1 i,α i,β

(2.6)

in cui N è il numero di uccelli interni dello stormo, ~u(n) è il vettore che identifica l’n-esimo primo vicino e α, β = x, y, z. Da essa si calcola l’autovettore 14

Ottenuta dalla differenza vettoriale tra i centri di massa di due stormi in istanti successivi.

66


2.5. RISULTATI STORICI

Figura 2.16 Mappe della densitĂ  angolare dei primi vicini dellâ&#x20AC;&#x2122;evento 25-11: (a) per il primo vicino, (b) per il decimo vicino (immagine da [24]).

67


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Figura 2.17 La funzione γ(n) misura l’anisotropia della mappa di distribuzione angolare in funzione del grado di vicinanza n. Il caso isotropo corrisponde a γ = 13 (immagine da [24]). a) Grafico della funzione γ(n) per gli stormi 32-06 e 25-11: la struttura risulta isotropa solo oltre il settimo vicino (nc , range topologico) in entrambi i casi. b) Distanza media dell’n-esimo vicino in funzione di n, come da Equazione 2.8 a fronte: la pendenza della retta coincide con il valore della distanza media di primo vicino r1 . c) Non c’è nessuna evidente correlazione tra il range topologico e r1 . d) Chiara dipendenza lineare del range metrico da r1 : l’interazione ha natura topologica (vedi testo).

~ (n) relativo all’autovalore più piccolo, che individua la direzione di densità W (n) angolare minima dei vettori ~ui . A questo punto la funzione di anisotropia è definita come ~ (n) · V~ i2 γ(n) = hW

(2.7)

e mostra l’andamento riportato in Figura 2.17 (γ = 31 , indipendentemente da n, corrisponde al caso isotropo non interagente). Presenza di un range topologico

La principale evidenza di quanto appena illustrato ruota attorno al fatto che, a fronte di una grande variabilità della densità negli eventi osservati, i range topologico nc e metrico rc non possono essere entrambi costanti da stormo a stormo. In altre parole, se nello scenario topologico il numero 68


2.5. RISULTATI STORICI di uccelli interagenti rimane fisso, in quello metrico esso deve cambiare al variare della densità. È necessario quindi collegare i due range sotto esame alla densità degli eventi osservati e scartare quello che mostra una chiara dipendenza funzionale. Per farlo partiamo dalla semplice relazione rn ∼ n1/3 r1

(2.8)

che lega la distanza media dell’n-esimo primo vicino alla densità (o, in questo caso, alla distanza media di primo vicino r1 ∝ %−1 ∈ [0.68 : 1.51] m per gli eventi analizzati in [24]). Naturalmente i due range di interazione soddisfa1/3 no la stessa relazione, rc ∼ nc r1 , per cui si hanno le seguenti possibilità, mutualmente escludenti:

rc costante ⇒ nc costante ⇒

− 31

nc

∼ r1

rc ∼ r1

(scenario metrico) (scenario topologico)

I grafici in Figura 2.17 a fronte evidenziano chiaramente una correlazione lineare tra rc e r1 15 , a differenza della coppia di variabili nc e r1 : il range ha quindi natura topologica e ogni uccello interagisce con i suoi primi 6 ÷ 7 vicini, indipendentemente dalla densità dello stormo. Si può tentare di individuare una base biologica per questi risultati, prendendo in considerazione la visione, le capacità cognitive degli uccelli, una maggiore capacità di resistere agli attacchi predatori. In molti esperimenti si sottolinea la natura anisotropa della visione sia negli uccelli che nei pesci: in particolare queste specie posseggono assi visivi laterali e un settore cieco posteriore [93–95] (cfr. anche la Figura 1.4c nella pagina 24). Questo fatto potrebbe essere correlato alla minore densità di primi vicini nella direzione fronte-retro riscontrata dalle mappe di anisotropia. Sono state avanzate numerose altre ipotesi per la spiegazione del fenomeno, 15

Notare che matematicamente la descrizione topologica è equivalente ad una basata su un range metrico normalizzato: rc0 = rc /r1 .

69

Base biologica


CAPITOLO 2. PROGETTO STARFLAG

Interazione vs. correlazione

alcune legate alla visione, ma non specificatamente alla struttura dell’occhio, altre di natura aero o idrodinamica, altre da considerazioni puramente energetiche [61, 96–104], ma nessuna appare al momento soddisfacente. Il motivo per cui in tutti gli stormi analizzati gli uccelli interagiscano proprio con un massimo di 7 vicini, invece, può essere collegato ad esperimenti fatti per stimare le loro abilità cognitive [105], in cui hanno dimostrato di riuscire a distinguere ed a seguire proprio fino ad un massimo di circa 7 oggetti. Infine si è verificato in simulazioni numeriche esplicite che una interazione topologica produce una maggiore capacità di mantenere la coesione dello stormo, indipendentemente dalla sua densità o dalle fluttuazioni di quest’ultima (cfr. Figura 2.18 a fronte). Pongo l’accento su un particolare importante: benché il range di interazione sia finito, come ci si poteva comunque aspettare per agenti biologici, questo non implica necessariamente una lunghezza di correlazione finita. In altre parole, il fatto che ogni uccello controlli attivamente i suoi primi 7 vicini in uno stormo di migliaia di individui non significa affatto che non possa risentire di una perturbazione generata in un punto ben oltre la propria sfera di interazione. Magari in un punto qualsiasi dello stormo, indipendentemente dalle sue dimensioni. È il problema che affronterò nel Capitolo 4.

70


2.5. RISULTATI STORICI

Figura 2.18 Simulazione numerica 2D. a) Schema dell’esperimento. Uno stormo si muove in direzione opposta al predatore, il quale esprime su ciascun individuo dello stormo una forza repulsiva che va come l’inverso della distanza. b) Nel caso di interazione metrica lo stormo iniziale si divide in M > 1 gruppi separati. c) Nel caso di interazione topologica lo stormo non si separa, dunque M = 1. Parametri della simulazione: n = 200 particelle; T = 2000 passi; Nin = 5000 differenti condizioni iniziali nel caso metrico, Nin = 2000 nel caso topologico; rc = 0.15; nc = 3; vi = 500 s−1 ; densità d = 0.9; forza di repulsione F0 = 0.05. All’inizio gli uccelli sono confinati in una regione di raggio R = 1 e tutte le velocità sono allineate. I risultati sono robusti ad ampie variazioni dei parametri (immagine da [24]).

71


Capitolo

3

Analisi strutturale Stormi d’uccelli neri, Com’esuli pensieri, Nel vespero migrar. San Martino Giosué Carducci

indice del capitolo 3.1

Caratterizzazione della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Problema del bordo in un sistema finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Osservabili globali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distanza media di primo vicino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morfologia e orientazione degli stormi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Gradienti interni di densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fluttuazioni e correlazioni di densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Scala di omogeneità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Funzione di densità condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Funzione di distribuzione a coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 . 75 . 77 77 80 81 . 81 84 . 85 . 88 . 94

La possibilità di avere a disposizione ricostruzioni tridimensionali di stormi biologici composti da migliaia di uccelli mi ha permesso di studiare la loro struttura con un dettaglio finora inedito in questo tipo di ricerche. L’ampia base statistica dei data set prodotti ha reso possibile l’uso di sofisticati strumenti di analisi, sviluppati e ampiamente usati nell’ambito della Fisica della Materia Condensata. 73


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Uccelli come molecole

Sostanzialmente, una volta associata ad ogni uccello una terna di coordinate indicante la sua posizione nello spazio1 , si può trattare lo stormo come un insieme tridimensionale di punti, delimitato da un bordo2 . Le proprietà strutturali dello stormo coincidono con le proprietà della distribuzione spaziale dei punti, analizzabile con metodi standard dello studio dei gas, dei liquidi, dei solidi cristallini. Questo fatto permette anche di tracciare un parallelo tra alcune proprietà biologiche degli stormi, ancora poco conosciute, e quelle ben note delle varie fasi della materia condensata. Nel corso di questo Capitolo riporterò il mio lavoro sulla caratterizzazione strutturale degli stormi analizzati, a partire da proprietà semplici come il volume, il numero di uccelli, la densità media e la relativa distanza media di primo vicino, la packing fraction; caratteristiche più avanzate come l’andamento di alcune di queste quantità in funzione della distanza dal bordo e dal fronte; un’analisi approfondita delle fluttuazioni di densità, mediante l’uso delle funzioni di densità condizionale integrata Γ(r) e di distribuzione a coppie g(r). Mostrerò come strutturalmente gli stormi siano a metà strada tra i gas e i liquidi, avendo caratteristiche tipiche dell’una e dell’altra fase della materia, e come siano caratterizzati da una lunghezza di repulsione (hard-core scale), da una distanza di interazione (distanza media di primo vicino) che dipende dalla densità, in accordo con un range di interazione topologico e non metrico (cfr. Sezione 2.5), e dalla presenza o meno di una scala di omogeneità inferiore all’estensione dello stormo, cioè di una distanza oltre la quale ha senso definire una densità media. Ho evidenziato che non si tratta di una caratteristica universale perché in diversi stormi la presenza di un forte gradiente di densità crescente dal centro al bordo non permette di definirla.

1 2

Originariamente nel sistema di riferimento delle macchine fotografiche. Per una trattazione estesa del calcolo e della gestione del bordo, si veda la Sezione 2.3.

74


3.1. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA

3.1

Caratterizzazione della struttura

Condizione imprescindibile per operare un’analisi significativa su un aggregato di punti nello spazio è una base statistica sufficiente, dato che di fatto le operazioni coinvolte sono medie su distribuzioni. Come abbiamo visto, questo tipo di studi sono stati finora condotti su sistemi al massimo di un centinaio di agenti e questo limite si è sempre rivelato eccessivamente stringente per sperare di ricavare informazioni certe, e non solo indiziarie, da osservabili globali o locali [61, 93, 94, 106–110]. L’avere a disposizione la ricostruzione di stormi composti da migliaia di uccelli permette di lasciarsi alle spalle questi limiti e di ricavare una caratterizzazione completa e informativa della struttura di questi aggregati, identificando proprietà universali valide non solo per tutti gli stormi, ma anche in generale per i sistemi biologici che mostrino un coordinamento spontaneo. Le tecniche di ricostruzione impiegate (cfr. Sezione 2.3) limitano certamente alcuni parametri relativi agli eventi analizzabili, soprattutto in termini di numero di uccelli (limite teorico a 8000, ma di fatto il più grande stormo analizzato ha circa 3000 uccelli) e di dimensioni (3504 × 2336 pixel l’area della foto). All’interno di questi limiti, però, gli stormi a disposizione coprono comunque un vasto intervallo sia in numero di uccelli, sia in densità (cfr. Figura 3.1 nella pagina successiva).

3.1.1

Problema del bordo in un sistema finito

I sistemi a disposizione sono distribuzioni di punti nello spazio tridimensionale limitati sia in volume che in numero. Si ha quindi a che fare con sistemi finiti. Un’analisi condotta su questi sistemi non può prescindere dal fatto che sulle quantità calcolate a partire da punti posti sul bordo influisca proprio la loro posizione: in altre parole la presenza di un bordo introduce un bias che va tenuto debitamente in conto. In tre dimensioni è evidente che all’aumentare della grandezza del sistema il contributo del bordo diminuisce fino a diventare irrilevante nelle medie statistiche che vengono fatte su tutti i punti, ma ciò avviene per un numero dell’ordine di 106 , molto al di là degli stormi a disposizione. Non tenere conto del bordo non solo introduce 75


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

3,5e+04

Distribuzione delle densità

3,0e+04 Bassa densità

2,0e+04

r1-3 [m-3]

Volume [m3]

2,5e+04

1,5e+04 1,0e+04

5 4 3 2 1 0 0 0,20,4 0,60,8 ρ [m-3]

5,0e+03

Alta densità

0,0e+00 500

1.000

1.500 2.000 Punti interni

2.500

Figura 3.1 Distribuzione delle densità degli stormi analizzati. Nell’inset l’andamento lineare tra la densità % e l’inverso del cubo della distanza media di primo vicino r1 , in accordo con l’Equazione 3.1 nella pagina 80.

correzioni artefatte alle quantità di interesse, ma può anche produrre risultati attribuibili erroneamente a fattori inerenti il sistema in esame (nel caso specifico, fattori biologici). Correzioni di bordo

Una volta calcolato il bordo, cioè individuati i punti che ne fanno parte e quindi che sono affetti dal bias che introduce, come mostrato nella Sezione 2.3, è necessario calcolare quelle che sono definite correzioni di bordo, in modo da introdurre correttamente questi punti nelle statistiche necessarie per ricavare le quantità di interesse. L’origine principale del bias sta nel fatto che i punti di bordo hanno attorno a sé molto spazio vuoto e ciò rende differente la distribuzione dei loro vicini rispetto a quella dei punti interni. Per esempio è evidente come la distanza di primo vicino risulterà più grande per i punti sul bordo piuttosto che per quelli interni [90]. Simile discorso vale per le analisi basate sulle posizioni dei vicini (distribuzioni angolari), quindi 76


3.1. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA inerenti la struttura del sistema. Ci sono diversi modi per ridurre il bias del bordo. Il più semplice prevede che non si tenga conto dei punti di bordo nella media statistica, benché entrino nel calcolo quando il punto di riferimento è interno. Nella misura della distanza media di primo vicino, per esempio, si mediano le distanze di primo vicino per tutti i punti interni, tenendo in considerazione però il fatto che un punto di bordo possa essere il primo vicino di uno interno. Questo metodo è semplice da implementare, ma non è accurato, perché lascia inalterato il bias dovuto a punti interni non appartenenti al bordo, ma molto vicini ad esso. Una tecnica più raffinata e soprattutto molto più precisa richiede la determinazione del bordo completo, quindi anche delle superfici che connettono i punti di bordo. In questo modo è possibile ricavare per ogni punto interno la propria distanza dal bordo e considerarlo nella statistica solo se la scala di analisi è inferiore a quest’ultima. Si tratta del cosiddetto metodo di Hanisch, per un discussione approfondita rimando a [111]. Ad esempio, sempre nel calcolo della distanza di primo vicino, un punto interno non viene conteggiato nella media se la distanza del suo primo vicino risulta essere superiore alla propria distanza dal bordo. In tutte le analisi di questo tipo abbiamo utilizzato proprio il metodo di Hanisch e la sua variante pesata, mostrato schematicamente nella Figura 3.2 nella pagina seguente.

3.1.2

Osservabili globali

Densità La densità è forse l’osservabile più semplice, immediatamente calcolabile non appena si risolve il problema della determinazione del bordo del sistema: è data dal rapporto tra il numero dei punti interni e il volume dell’aggregato. Da un punto di vista fisico è una quantità cruciale perché di fatto il suo valore è intimamente legato alla natura della fase del sistema, una volta fissata l’estensione degli elementi che lo compongono. Si tratta però di una quantità delicata, che non sempre può essere definita perché affetta, in special modo nei sistemi finiti, da fluttuazioni che possono essere importanti. Nella 77

Metodo di Hanisch


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Schema del metodo di Hanisch

C

B

A D

Figura 3.2 Il metodo di Hanisch prevede l’inclusione nella base statistica dei soli punti interni la cui distanza dal bordo sia superiore alla scala in esame. I cerchi tratteggiati indicano la distanza dal bordo dei punti interni A, B, C, D, le frecce rosse i loro primi vicini, le frecce blu i loro secondi vicini. Nel calcolo della distanza media di primo o secondo vicino vengono considerati solo i punti i cui vicini siano contenuti nella sfera tratteggiata (frecce continue). I punti di bordo non possono chiaramente essere centri di sfere.

Tabella 3.1 nella pagina successiva sono riportati i valori mediati all’interno delle serie per gli stormi analizzati, ma devono essere considerati più come indicazione di ordine di grandezza che come valori esatti, in quanto nel tempo il volume, e quindi la densità, può cambiare3 , con espansioni o contrazioni dello stormo (cfr. Figura 3.9), oltre che possono esserci dei gradienti anche forti di densità all’interno dello stormo stesso (cfr. Sezione 3.1.3).

3

Naturalmente il numero di uccelli si conserva nell’intervallo temporale della serie, a meno di errori nella ricostruzione tridimensionale, che comunque sono sempre inferiori a circa il 10% del totale (cfr. Sezione 2.3 nella pagina 48).

78


79

Durata T [s] 4.0 3.8 3.0 2.8 3.2 1.6 2.0 3.8 1.9 1.8 3.4 2.2 2.0

Uccelli N 2941 717 1571 1047 1176 1246 2126 809 797 3242 1129 1947 803

Volume Densità Estensione 3 −3 V [m ] % [m ] L [m] 28128 ± 2078 0.081 ± 0.006 79.2 2407 ± 928 0.24 ± 0.08 32.1 12643 ± 1212 0.091 ± 0.011 59.8 2056 ± 131 0.342 ± 0.018 33.5 2339 ± 125 0.384 ± 0.013 43.3 1840 ± 75 0.538 ± 0.021 36.5 33456 ± 967 0.045 ± 0.001 76.8 922 ± 230 0.781 ± 0.242 22.2 711 ± 73 0.846 ± 0.054 19.2 29197 ± 788 0.092 ± 0.004 85.7 7032 ± 2690 0.121 ± 0.033 47.3 10448 ± 448 0.150 ± 0.007 44.8 1526 ± 300 0.375 ± 0.049 26.4

Distanza di primo vicino r1 [m] 1.274 ± 0.039 0.997 ± 0.100 1.192 ± 0.040 0.844 ± 0.019 0.773 ± 0.012 0.700 ± 0.011 1.479 ± 0.017 0.666 ± 0.063 0.619 ± 0.011 1.194 ± 0.012 0.863 ± 0.456 1.036 ± 0.014 0.728 ± 0.035

Tabella 3.1 Tabella riassuntiva delle principali osservabili globali che caratterizzano gli stormi analizzati. T) Durata temporale della serie, per il numero di foto su cui si sono fatte le medie moltiplicare per 10. N) Numero medio di uccelli totali componenti lo stormo (le variazioni non superano il 5% dovuto alla ricostruzione statica). V) Volume medio ottenuto dall’α-shape dopo l’ottimizzazione della scala delle concavità. %) Densità media dello stormo, pari al rapporto tra i punti interni e il volume. L) Stima dell’estensione media dello stormo, pari alla distanza massima di una coppia di uccelli. r1 ) Distanza media di primo vicino, mediata nella serie.

16-05 21-06 25-08 25-10 25-11 28-10 31-01 32-06 49-05 57-03 69-10 69-13 69-19

Serie

3.1. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE Distanza media di primo vicino Strettamente legata alla densità è la distanza media di primo vicino, che nel caso di distribuzioni omogenee è data da 3 −3 % ∼ 0.24 %−3 . (3.1) 4π Come ben visibile nell’inset della Figura 3.1 nella pagina 76, l’Equazione 3.1 è ben riprodotta dai dati biologici, con coefficiente angolare A ∼ 0.23. L’importanza del calcolo di r1 , però, va ben oltre la sua capacità di stimare la densità. La distribuzione dei suoi valori fittata con un modello hard-core, infatti, permette di ricavare il raggio della zona di esclusione che risulta essere costante negli stormi e pari a rH = (0.19 ± 0.02) m [25], valore vicino alla misura dell’apertura alare degli storni. Questo risultato, molto ragionevole da un punto di vista biologico, in quanto non sorprende che uccelli in volo evitino di avvicinarsi troppo per non rischiare collisioni, se visto nell’ottica della Sezione 2.5 porta ad una semplice conclusione: l’interazione tra gli uccelli è caratterizzata da due scale, una metrica a corto raggio e una topologica ad un raggio intermedio. Indicazioni preziose per futuri modelli e simulazioni che vogliano essere il più realistici possibile. La determinazione dell’estensione della zona di esclusione permette di ricavare la packing fraction, osservabile molto più adatta della densità stessa per quantificare la compattezza di un sistema. Definita per i sistemi di sfere dure come 4 3 , (3.2) Φ = π%rH 3 non è altro che il rapporto tra il volume e il covolume4 del sistema. Per riferimento il valore tipico di packing fraction per una distribuzione cristallina di sfere è superiore a 0.49, fino ad un massimo di 0.79 per il cosiddetto random close packing. Come riportato in [25], tutti gli stormi analizzati presentano valori di Φ inferiori a 0.012, il che porta a classificarli come sistemi assimilabili ai gas, più che ai solidi. Questo è in qualche modo sorprendente per un r1 =

Zona di esclusione

Packing fraction

4

Volume occupato fisicamente dagli elementi del sistema.

80


3.1. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA osservatore casuale di questo fenomeno, ma va considerato che normalmente l’occhio è ingannato dalla proiezione bidimensionale dello stormo, che lo rende molto più denso di quello che è in realtà. Morfologia e orientazione degli stormi Nello studio di sistemi finiti e delimitati nello spazio non solo è necessario calcolare e tenere in considerazione la presenza del bordo, ma è importante anche la sua forma e in generale la morfologia complessiva del sistema. Gli stormi finora analizzati hanno mostrato una forma non banale, con un rapporto approssimativamente di 1:3:6 tra i tre assi principali [25]. L’asse minore è strettamente legato al volume e al numero di uccelli dello stormo, ma le proporzioni sono sorprendentemente costanti per stormi molto differenti tra loro in numero di uccelli e in volume. Il fatto che ci sia un asse di estensione molto minore rispetto agli altri due ha una ricaduta importante sui calcoli statistici, proprio a causa del principio alla base del metodo di Hanisch: considerare nelle medie solo i punti la cui distanza dal bordo è superiore alla scala in esame fa sì che quest’ultima sia sostanzialmente limitata dall’estensione dell’asse minore, come vedremo trattando le funzioni di densità condizionale nella Sezione 3.2.2. Gli stormi sono inoltre orientati in maniera peculiare nello spazio, con l’asse minore prevalentemente parallelo alla gravità e quello maggiore perpendicolare ad essa. Quest’ultimo, poi, non sembra correlato con la velocità globale, sempre perpendicolare alla gravità. In entrambi i casi è possibile invocare motivazioni aerodinamiche ed energetiche, per le quali è meno dispendioso per gli uccelli volare su piani paralleli al terreno, sopprimendo le fluttuazioni parallele alla gravità [25].

3.1.3

Gradienti interni di densità

Come già accennato, la misura della densità all’interno degli stormi non è banale come potrebbe sembrare dalla sua definizione, in quanto ha senso solo per sistemi omogenei. La correlazione tra r1 e % sembra suggerire che questa richiesta sia sempre soddisfatta, ma in realtà ho dimostrato che in 81

Aspect ratio

Orientazione degli assi


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Gradiente radiale

alcuni stormi è presente un gradiente di densità crescente dal centro al bordo [25]. È infatti sufficiente dividere il sistema in shell, considerando in ognuna di esse i punti interni che abbiano una certa distanza d dal bordo. All’interno di ogni shell si calcola poi la distanza media di primo vicino e la si riporta su di un grafico in funzione di d. In Figura 3.3 è visibile l’andamento di r1 (d) per gli stormi che mostrano un gradiente più marcato.

r1(d) [m]

Gradiente di densità dal bordo al centro 1,8

1,8

1,6

1,6

1,4

1,4

1,2

1,2

1

1

57-03 25-08 69-10 69-19

0,8 0,6

0,8 0,6

0,4

0,4

0,2

0,2 0

0,5

1

1,5

2

2,5 d [m]

3

3,5

4

4,5

5

Figura 3.3 Distanza media di primo vicino calcolata all’interno di shell distanti d dal bordo. In tutti gli stormi è stato riscontrato un gradiente di densità più o meno forte, per cui il bordo risulta più denso rispetto alle zone centrali. In questo grafico sono riportati i quattro casi con gradiente più marcato. Le linee tratteggiate sono da intendersi come semplice guida all’occhio.

Predazione e tensione superficiale

La presenza di un chiaro gradiente di densità dal bordo al centro in molti degli stormi analizzati contraddice i risultati di alcuni recenti modelli del comportamento collettivo degli animali, come ad esempio [112]. Possiamo avanzare qualche ipotesi biologica per questa caratteristica, rifacendoci all’assunto comunemente accettato che il comportamento collettivo degli ani82


3.1. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA mali abbia fondamentalmente una motivazione evolutiva, quindi un’utilità anti-predatoria: gli uccelli vicini al bordo sono oggettivamente più esposti agli attacchi dei predatori ed essendone consapevoli (il loro campo visivo è molto più ampio rispetto agli uccelli interni, almeno in particolari direzioni) probabilmente tendono a rientrare nel gruppo, producendo così una sorta di tensione superficiale e il gradiente di densità riscontrato. Inoltre avere una superficie più densa permette al gruppo di apparire molto più compatto e numeroso di quanto non sia in realtà, confondendo ulteriormente il predatore che ha così difficoltà a concentrarsi su un singolo individuo per catturarlo (confusion effect). In altri lavori [56, 57, 112, 113], focalizzati soprattutto su osservazioni e modelli numerici di banchi di pesci, si conclude che la pressione esterna del predatore sul gruppo comporti una densità più alta nella sua parte frontale rispetto a quella posteriore, utile anche nella ricerca di cibo. Già in [25], calcolando semplicemente il bilanciamento degli stormi, cioè la distanza orientata tra il centro geometrico e quello di massa5 , avevamo sottolineato come non ci fosse alcuna evidenza di una maggiore densità sul fronte (bilanciamento positivo e parallelo alla velocità globale). Ho raffinato questa analisi separando lo stormo in settori e calcolando in essi la distanza media di primo vicino, ottenendo una funzione r1 (α) dipendente dall’angolo tra il vettore posizione di ogni uccello rispetto al C.d.M. e la velocità globale. Come riportato in Figura 3.4 nella pagina seguente, i risultati confermano quanto da noi precedentemente trovato e non permettono di generalizzare i risultati in letteratura ottenuti sui banchi di pesci. A questo punto dell’analisi non è possibile affermare se si tratta di una differenza specifica nel comportamento di uccelli e pesci oppure di una caratteristica universale in contrasto con quanto riportato in letteratura. Probabilmente un’analisi dinamica delle traiettorie dei singoli individui all’interno del gruppo, condotta focalizzando l’attenzione proprio su questa problematica, potrà fornire ulteriori indizi in favore dell’uno e dell’altro caso.

5

Nel primo caso si mediano i valori delle tre coordinate dei soli punti di bordo, nel secondo si considerano tutti i punti dell’insieme.

83

Gradiente fronte-retro


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Distanza media di primo vicino [%]

Gradiente di densità fronte-retro 10

10

5

5

0

0 17-06 25-08 29-03 31-01

-5

-5

-10

-10 -1

-0,5 0 0,5 Posizione rispetto al C.d.M lungo la velocità globale

1

Figura 3.4 Distanza media di primo vicino per settori dello stormo individuati dal prodotto scalare tra la posizione degli uccelli rispetto al C.d.M. e la velocità globale (in ascissa, ~ ). In ordinata vi è la differenza in percentuale rispetto alla distanza media cos(ϑi ) = ~ri · V di primo vicino r1 calcolata su tutto lo stormo. Sono riportati solo 4 casi caratteristici, che evidenziano come non ci sia un andamento universale né tanto meno un gradiente fisso di densità fronte-retro decrescente come riscontrato nei pesci.

3.2

Fluttuazioni e correlazioni di densità

Essendo la densità media un’osservabile globale, può assumere lo stesso valore per un’infinita di distribuzioni spaziali di punti, a parità di numero e di volume, ma le sue fluttuazioni nello spazio possono essere utili indizi per ottenere informazioni sulla struttura di queste distribuzioni. In particolare dai risultati ottenuti finora emergono due questioni che coinvolgono densità e struttura che devono essere approfonditi. Innanzitutto abbiamo trovato che alcuni stormi presentano forti gradienti di densità al loro interno e questo pone il problema di se e quanto questi stormi siano effettivamente omogenei. Inoltre lo studio dell’anisotropia della Sezione 2.5 ha mostrato come nello 84


3.2. FLUTTUAZIONI E CORRELAZIONI DI DENSITÀ stormo vi sia una struttura non banale, indicata dalla distribuzione angolare statisticamente non isotropa dei vicini di ogni uccello. In questa Sezione affronterò queste due importanti questioni.

3.2.1

Scala di omogeneità

Come visto, il concetto di densità è molto utile per caratterizzare un insieme di punti, anche se per tratteggiare un parallelo con le fasi solida, liquida e gassosa è più adatto il concetto di packing fraction. In termini rigorosi, però, la definizione di densità richiede una sorta di limite termodinamico, in cui N → ∞ e V → ∞. In altre parole, se si considera un volume finito, le fluttuazioni di densità devono avere una dipendenza da esso del tipo %V = % ±

Sistemi omogenei

%

−−−→ % . (3.3) V 1/2 V →∞ Se ciò è vero, il sistema si dice omogeneo: la densità calcolata prendendo una sfera interamente contenuta in esso è indipendente dalla posizione e dal raggio della sfera stessa, a meno di fluttuazioni dell’ordine di V −1/2 . In sistemi finiti è importante porre attenzione al fatto che le sfere in cui si calcola la densità debbano essere interamente contenute in essi, per non introdurre bias dovuti alla presenza del bordo al risultato6 . Questo è una variante del metodo di Hanisch già discusso e la particolare morfologia degli stormi limita il raggio massimo delle sfere con cui calcolare la densità all’estensione dell’asse minore. Il risultato appena enunciato è rigorosamente valido solo per distribuzioni poissoniane di punti, generati in maniera casuale e in assenza di correlazioni reciproche. Un esempio è riportato in Figura 3.6a nella pagina 87. Nel caso invece ci siano dei vincoli sulla generazione dei punti, il sistema non risulta rigorosamente omogeneo: l’esempio più semplice è la presenza di un hardcore, cioè di una zona di esclusione attorno ad ogni punto in cui la probabilità che se ne trovi un altro è nulla (cfr. Figura 3.6b nella pagina 87). Finché le 6

Se per esempio solo metà sfera si trova all’interno del sistema, la densità risulterà più bassa che altrove, ma solo perché si è considerato una porzione di volume non appartenente al sistema.

85

Scala di omogeneità


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Sistemi non omogenei

sfere con cui si calcola la densità hanno raggio inferiore a quello dell’hardcore, le densità rilevate oscillano tra i valori 0 e 1/V . Al di sopra dell’hardcore, invece, il sistema appare nuovamente omogeneo e si può definire una sua densità globale. Quando è presente una interazione più complicata tra i punti vi sono anche correlazioni nelle densità locali e in questo caso ci si aspetta che l’omogeneità venga raggiunta su scale maggiori. Il discorso si generalizza introducendo il concetto di scala di omogeneità: il valore del raggio delle sfere oltre il quale il sistema appare omogeneo [111]. Non sempre si può definire una scala di omogeneità: le distribuzioni frattali, ad esempio, sono intrinsecamente non-omogenee, in quanto ad ogni scala sono presenti strutture di punti o zone vuote (self-similarity), e vi si può definire solo una densità locale (cfr. Figura 3.5, per una trattazione più approfondita sui frattali cfr. [111, 114]). Attrattore di Hénon 0,4 0,3 0,2

0,28 0,26

0,1 0 -0,1

0,24

Figura 3.5 Esempio di un frattale bidimensionale (DF ∼ 1.25), nell’inset è evidente la proprietà di self-similarity: a qualsiasi scala è presente una struttura non omogenea di punti e zone vuote, per cui non è definibile una scala di omogeneità per questi oggetti.

0,22 0,2 0,18 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

-0,2 -0,3 -0,4 -1,5

Fluttuazioni di densità

-1

-0,5

0

0,5

1

È evidente che all’interno dello stormo gli uccelli sono soggetti ad un qualche tipo di interazione, che sappiamo già influenzare la loro distribuzione spaziale dall’analisi dell’anisotropia nella posizione dei primi vicini. Per caratterizzare al meglio la loro distribuzione spaziale, quindi, è necessario andare oltre la semplice misura di una densità globale ed analizzare le fluttuazioni della densità a varie scale, in modo da individuare quale degli scenari precedentemente descritti, tra omogeneo, non-omogeneo oppure omogeneo solo oltre una certa scala, riproduca meglio il sistema biologico in esame. Si può anticipare qualche risultato considerando le caratteristiche già conosciute degli stormi: gli uccelli posseggono una propria zona di esclusione metrica, quindi a piccole scale ci si aspetta una situazione simile ai sistemi 86


3.2. FLUTTUAZIONI E CORRELAZIONI DI DENSITÀ

(a) Distribuzione poissoniana

(b) Distribuzione di sfere dure con rHC ∼ 0.1 Figura 3.6 Scala di omogeneità per distribuzioni poissoniane (a) e con hard-core (b). I tre colori delle sfere indicano tre scale a cui si calcola la densità. Le sfere tratteggiate non contano nella media perché non interamente contenute nel sistema.

87


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE con hard-core. Sono però soggetti ad una interazione non banale, quindi la loro scala di omogeneità sarà sicuramente maggiore del raggio di hard-core. Scale più grandi forniranno informazioni sulla natura della distribuzione degli uccelli, ma il valore del raggio delle sfere sarà fortemente limitato dalla dimensione lineare più piccola dello stormo che, come sappiamo, è molto inferiore alle altre due a causa della sua forma appiattita.

3.2.2

Densità condizionale integrata

Funzione di densità condizionale

Lo strumento standard per lo studio dell’omogeneità dei sistemi è la cosiddetta densità condizionale integrata Γ(r), che misura la densità a varie scale a partire da sfere centrate sui punti del sistema. In questo senso è una misura della densità su scala r ([111, 115], cfr. le curve nere della Figura 3.7 a fronte per degli esempi riguardo solidi cristallini e liquidi). Per ottenere operativamente la Γ(r) si calcola la densità di sfere centrate sui punti del sistema, dividendo il numero di punti contenuti in ogni sfera, escluso il centro, per il suo volume, e si media: Γ(r) =

Minus-sampling e correzione all’errore

nc Ni (r) 1 X , nc i=1 4/3πr3

(3.4)

in cui nc è il numero di sfere considerate alla scala r, Ni (r) e 4/3πr3 sono rispettivamente il numero di punti contenuti nella sfera di raggio r centrata nel punto i-esimo e il volume di quest’ultima. Il fatto che le sfere debbano essere contenute interamente nel sistema7 limita fortemente la base statistica su cui mediare man mano che r cresce e ciò rende preziosa la possibilità di avere a disposizione stormi anche di migliaia di uccelli per avere un errore abbastanza piccolo da rendere la media significativa. Vicino alla massima scala possibile, comunque, il numero di centri disponibili diviene molto basso e in più le sfere centrate in essi sono così estese da avere una grande sovrapposizione l’una con l’altra. Questo pone un problema di significatività della base statistica a grandi scale: mediare le densità di diverse sfere è sensato se le regioni che esse includono sono 7

Questo metodo prende il nome di minus-sampling, per approfondimenti cfr. [111].

88


Funzioni di densità condizionata [m-3]

3.2. FLUTTUAZIONI E CORRELAZIONI DI DENSITÀ

Γ(r) g(r)

Γ(r) g(r)

2,5

2,5 2

2

1,5

1,5

1

1

0,5

0,5

0

0 0

1

2

3 4 r [m]

5

0

6

(a) Cristallo Simple Cubic

1

2

3

r [m]

4

5

6

(b) Liquido

Figura 3.7 Esempi di Γ(r) (in nero) e g(r) (in rosso) per un sistema cristallino (a) e per un liquido (b). Nel primo caso sono presenti delle δ nella g(r) che individuano il passo reticolare (primo picco a r = 1.5) e la posizione delle altre shell di punti (si noti che la g(r) lavora con sfere, mentre la simmetria del cristallo è cubica). Nel secondo caso i picchi più smooth individuano le prime shell della struttura del liquido, evidenziando come sia omogeneo a grandi scale. In entrambi i casi è evidente come la g(r) fornisca informazioni più precise riguardo la struttura rispetto alla sua variante integrata.

indipendenti l’una dall’altra, ma ciò non avviene quando si sovrappongono parzialmente. In altre parole l’errore associato alla media deve tener conto del volume dell’intersezione delle sfere considerate. In Figura 3.8 nella pagina successiva riporto un primo insieme di Γ(r) [26]: al di sotto di una scala dell’ordine della distanza media di primo vicino le curve sono nulle, quindi raggiungono rapidamente un valore massimo, coincidente con il raggio della prima shell di vicini e quindi con la distanza media di primo vicino, e successivamente un asintoto che costituisce a tutti gli effetti una misura della densità globale dello stormo. Nell’inset della Figura 3.8 vediamo che questa misura è consistente con la definizione più grezza della densità, ottenuta dividendo il numero di punti interni dello stormo per il suo volume. Le curve non sono riscalate e ciò mostra come sia la scala di hard-core sia l’asintoto siano caratteristiche proprie di ogni stormo. La forma generale 89

Stormi omogenei


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Esempi di funzioni di densità condizionata integrata 1,2

Γ(r) [m-3]

1 0,8 0,6

1

ρas [m-3]

49-05 32-06 28-10 25-11 21-06 25-10 69-13 16-05 31-01

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ρint [m-3]

0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r [m] Figura 3.8 Esempi di Γ(r) di stormi biologici che presentano un chiaro asintoto orizzontale, quindi omogenei oltre la distanza media di primo vicino r1 : si evidenzia il contributo della zona di esclusione e la stima di r1 (primo picco della curva). Il valore asintotico corrisponde grosso modo al valore della densità globale media (inset).

delle curve è comunque universale in tutto l’ampio range di valori di densità degli stormi presentati e si evidenzia il fatto che il loro asintoto, la densità globale, non dipende dalle dimensioni assolute dello stormo. Per un confronto diretto tra curve di stormi diversi è utile rinormalizzarle, misurando la scala metrica in unità di distanza media di primo vicino (ascissa) ed eventualmente dividendo la curva per il valore dell’asintoto (ordinata). Per gli esempi riportati la posizione del primo picco indica la scala di omogeneità, ma in generale essa è definita dalla scala oltre la quale la Γ(r) rimane costante, dato che ciò significa che la densità non dipende più dal raggio delle sfere. Gli stormi presentati in Figura 3.8 sono omogenei oltre la scala fissata dalla loro distanza media di primo vicino. Come detto la scala massima a cui si può calcolare la Γ(r) è pari alla 90


3.2. FLUTTUAZIONI E CORRELAZIONI DI DENSITÀ lunghezza dell’asse minore dello stormo e per questo le curve hanno lunghezze diverse, sia in metri, sia in unità topologiche. Se ci si sofferma su un solo stormo nella sua evoluzione temporale, lo studio delle Γ(r) istante per istante permette di evidenziare l’andamento della densità e quindi, dato che il numero di uccelli è costante, di caratterizzare contrazioni ed espansioni del sistema ([26], cfr. Figura 3.9).

21-06 - Espansione

32-06 - Contrazione 1,6

0.15 s 0.75 s 1.25 s 1.55 s 1.85 s

1,4 1,2 1 0,8 0,6

0.05 s 0.35 s 0.65 s 1.15 s 1.75 s

0,4

0,3 Γ(r) [m-3]

Γ(r) [m-3]

Espansioni e contrazioni

0,4

0,2

0,1

0,2 0

0 0

0,5

1

1,5 2 r [m]

2,5

3

0

(a) Stormo in contrazione

0,5

1

1,5

2

2,5 r [m]

3

3,5

4

4,5

(b) Stormo in espansione

Figura 3.9 Due esempi di stormi in cui l’andamento nel tempo della forma delle Γ(r) ne evidenzia un’evoluzione della dimensione e della forma. I tempi in legenda si riferiscono ai secondi trascorsi dal primo scatto. Durante la contrazione (a) l’asintoto della Γ(r) cresce con la densità, mentre la posizione del primo picco diminuisce con la distanza media di primo vicino. La variazione del volume dello stormo coinvolge l’asse minore, in quanto le Γ(r) si accorciano al suo diminuire. Viceversa nel caso dell’espansione (b), durante la quale la lunghezza dell’asse minore rimane sostanzialmente invariata.

I comportamenti appena visti non sono universali, perché ci sono stormi che mostrano una forma della Γ(r) differente, priva di un chiaro asintoto [26]. A piccole scale l’effetto dell’hard-core è il medesimo, ma dopo il massimo alla distanza media di primo vicino, di valore più alto rispetto alla densità globale, la curva mostra una discesa continua, più o meno accentuata, limitata solo dalla scala massima accessibile (cfr. Figura 3.10 nella pagina successiva). Non è presente alcun asintoto, quindi non è possibile definire come fatto in precedenza una scala di omogeneità di questi stormi. Non necessariamente 91

Stormi non omogenei


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE questo risultato implica però distribuzioni degli uccelli caratterizzate da selfsimilarity [114].

Esempi di Γ(r) discendenti Γ(r) [m-3]

0,12

Γ(r) [m-3]

0,1 0,08

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 r [m]

0,06

57-03 25-08 69-10 69-19

0,04 0,02 0 0

2

4

6

8

r [m] Figura 3.10 Quattro esempi di Γ(r) discendenti, che evidenziano l’assenza di una scala di omogeneità inferiore alle dimensioni dello stormo.

In effetti dall’analisi precedente (cfr. Sezione 3.1.3) sappiamo che gli stormi non sono omogenei, in quanto possiedono un gradiente più o meno forte della densità dal centro al bordo. Vediamo ora come tale fatto sia direttamente connesso con l’andamento peculiare delle Γ(r). Proviamo infatti a considerare un insieme di punti estratti da una distribuzione con gradiente radiale di densità. Dalla sua definizione operativa si può intuitivamente ricavare la forma della Γ(r): a piccole scale la densità interna ad ogni sfera è abbastanza uniforme, ma ci sono molte più sfere sul bordo, ad alta densità, rispetto alla zona centrale, a bassa densità. Ecco il picco che indica valori più alti rispetto alla densità globale media. Man mano che la scala aumenta, sempre più le sfere prenderanno contributi sia dalla zona centrale sia da quel92


3.2. FLUTTUAZIONI E CORRELAZIONI DI DENSITÀ la prossima al bordo, ma quest’ultima occupera un volume sempre minore della sfera rispetto alla prima. La Γ(r) quindi diminuirà, fino alla scala massima accessibile, ad un valore minore rispetto alla densità globale. A piccole scale, quindi, il bordo più denso porterà a sovrastimare la densità totale, mentre a grandi scale la zona centrale meno densa porterà a sottostimarla (cfr. Figura 3.11).

Figura 3.11 Distribuzione poissoniana di punti con gradiente di densità crescente dal centro al bordo. A piccole scale la densità calcolata è costante all’interno della singola sfera, ma dipende fortemente dalla sua posizione (rosso). A grande scala all’interno di una sfera la densità non è più uniforme e pesa di più il volume della zona a bassa densità rispetto a quello della zona ad alta densità (verde e blu).

Per verificare questa ipotesi ho condotto un’analisi approfondita del comportamento della Γ(r) calcolata su distribuzioni sintetiche di punti: ho generato un numero di punti paragonabile al numero di uccelli all’interno di un volume sferico mediante una distribuzione spaziale radiale a potenza, quindi ho mappato la sfera in un ellissoide che avesse le medesime proporzioni degli stormi da analizzare. Confrontando l’andamento della distanza media di primo vicino in funzione della distanza dal bordo dell’insieme sintetico e dello stormo biologico ho scelto il valore dell’esponente della potenza che rendesse le due curve più simili. Il confronto successivo delle due Γ(r) dimostra come la discesa della curva sia ben riprodotta da una distribuzione casuale di punti con un gradiente radiale di densità a potenza (cfr. Figura 3.12). 93

Non omogeneità e gradiente di densità


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Figura 3.12 Confronto tra le Γ(r) (a sinistra) e le relative r1 (d) (a destra) di due stormi biologici con due distribuzioni sintetiche con gradiente di densità radiale a potenza (in rosso).

Ciò comporta che quando il gradiente di densità all’interno di uno stormo è abbastanza forte distrugge la scala di omogeneità e il valore della densità globale media perde di significato. In questo caso solo l’intero andamento della curva della densità condizionale fornisce una descrizione coerente dello stormo.

3.2.3

Funzione di distribuzione a coppie

La funzione di densità condizionale fornisce un’accurata descrizione della densità media su scala r, ma integrando l’informazione sulla distribuzione dei punti a tutte le scale inferiori a quella data nasconde dettagli sulla struttura spaziale del sistema in esame. La funzione di distribuzione a coppie, invece, analizza le correlazioni di densità attorno a due punti del sistema distanti r: nc X 1 X g(r) = δ(r − rij ) . 4πr2 nc i=0 j6=i

(3.5)

In un sistema infinito coincide con la probabilità di trovare una coppia di punti distanti r tra loro, da cui il nome, mentre nel nostro caso vi è 94


3.2. FLUTTUAZIONI E CORRELAZIONI DI DENSITÀ il problema del bordo, controllato con il medesimo metodo di Hanisch già descritto. Operativamente ciò significa calcolare la densità media della sola buccia spessa dr delle sfere centrate sui punti del sistema (cfr. Figura 3.13).

Figura 3.13 Calcolo della g(r), viene misurata la densità all’interno della superficie delle sfere, spessa dr.

Analiticamente le due funzioni di densità sono legate da un’operazione di integrale: 1 Γ(r) = 4/3πr3

Z

r

4πg(s)s2 ds .

0

La g(r) è uno strumento molto usato nello studio dei liquidi e più in generale per analizzare la struttura in spazio reale della materia condensata [111, 115]. Ad esempio, come già anticipato nella Figura 3.7 nella pagina 89, nei solidi cristallini mostra picchi molto pronunciati, localizzati alle distanze fisse tra le particelle del reticolo, che non decadono a grandi scale. Nei liquidi non vi è un tale ordine a lungo range, ma le correlazioni statistiche sono ancora abbastanza forti da determinare la presenza di picchi che decadono all’aumentare di r e che danno alla g(r) una caratteristica forma oscillante. I picchi individuano le distanze delle varie shell di vicini, sempre meno ordinate man mano che cresce la distanza. Per concludere questa casistica, nel caso dei gas è presente solo il primo picco, che individua l’ampiezza della zona di 95


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE

Esempi di g(r) oscillanti 0,12 0,1 g(r) [m-3]

1 0,8 g(r) [m-3]

Oscillazioni nella g(r)

esclusione, mentre per una distribuzione poissoniana di punti la curva non presenta alcuna struttura. Analizzando i valori di packing fraction siamo giunti alla conclusione che gli stormi sono molto più vicini ad una fase gassosa, piuttosto che ad una liquida, quindi se presenti ci possiamo aspettare picchi poco pronunciati e a rapido decadimento. Per questo la Γ(r) non è lo strumento più adatto, perché l’integrazione che introduce li attenuerebbe ulteriormente. La g(r) invece ne è molto più sensibile, anche se d’altra parte la sua natura differenziale aumenta notevolmente l’effetto del rumore statistico. Per ottenere infatti una vera misura della densità dalla sua definizione 3.5 è necessario moltiplicare per un dr che, a seconda del suo valore, aumenta o diminuisce la risoluzione e il rumore statistico, in ragione inversa l’una dall’altro.

0,6

0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

2

4 6 r [m]

8

0,4

49-05 28-10 31-01

0,2

32-06 25-11 16-05

0 0

1

2

3

4

5

6

r [m] Figura 3.14 Sei esempi di stormi che presentano una g(r) oscillante, con ben visibili almeno due picchi.

96


3.2. FLUTTUAZIONI E CORRELAZIONI DI DENSITÀ In Figura 3.14 riporto le g(r) degli stormi che mostrano una struttura liquid-like, in cui sono sempre visibili almeno due picchi, anche se molto deboli, per valori di densità anche molto diversi tra loro. Vi è chiaramente un problema di base statistica che non permette di distinguere chiaramente eventuali picchi dal rumore dipendente dal binning: il valore dello spessore dr deve essere abbastanza piccolo per fornire risultati quantitativaemente differenti rispetto alla Γ(r), ma il numero di uccelli degli stormi analizzati, per quanto grande, non risulta sufficiente per avere la risoluzione richiesta dalla g(r). C’è anche da notare, comunque, che la g(r) è uno strumento sostanzialmente metrico che integra sugli angoli, mentre abbiamo visto che l’interazione degli uccelli è topologica e che la struttura suggerita dalle mappe di anisotropia riguarda per lo più le direzioni reciproche delle posizioni dei primi vicini. Per questi motivi la g(r) non ha fornito informazioni aggiuntive a quelle suggerite dalle mappe di anisotropia. La forma delle g(r), comunque, esclude l’ipotesi che ci sia una struttura approssimativamente cristallina all’interno degli stormi, piuttosto suggerisce una struttura a metà strada tra quella dei gas e quella dei liquidi: i valori della packing fraction sono tipici del primo caso, mentre la presenza di una debole correlazione tra gli uccelli è tipica del secondo. Nell’ambito della materia condensata questo è un comportamento anomalo, in quanto le tre fasi sono caratterizzate da packing fraction ben definite e molto diverse fra loro. L’interazione che lega gli uccelli, però, è molto diversa da quella che lega le molecole, perché ha una natura topologica [24]. Non importa quanto sia denso lo stormo, o equivalentemente quanto siano distanti i primi vicini, ogni uccello interagisce con essi sempre allo stesso modo. È questa caratteristica dell’interazione che assicura una struttura e una coesione all’interno dello stormo indipendentemente dalla sua densità [26]. Di fronte a g(r) che sembrano mostrare una debole struttura oscillante si può pensare di tentare di evidenziarne la periodicità mediante un’analisi nello spazio dei momenti. Senza entrare nei dettagli, abbiamo fatto qualche tentativo utilizzando il cosidetto fattore statico di struttura S(~k), sia nella sua versione scalare che vettoriale, ma i parziali risultati a cui siamo giunti non hanno fornito informazioni più chiare sulla struttura degli stormi 97

Lo stormo tra gas e liquido

Analisi in spazio di Fourier


CAPITOLO 3. ANALISI STRUTTURALE rispetto a quanto già visto. La S(|~k|) scalare soffre evidentemente degli stessi problemi della g(r) nel tentativo di identificare una struttura prevalentemente angolare, mentre la S(kx , ky , kz ), senz’altro più adatta a questo scopo, amplifica enormemente il problema della ristrettezza della base statistica a disposizione.

98


Capitolo

4

Campi di velocità Come gli stormi d’anitre che passano gridando, che nelle notti d’autunno passano gridando verso lagune del sud che non han viste mai e non sanno chi le sospinge né verso cosa muovono. Come gli stormi d’anitre che passano gridando Ernest Cardenal

indice del capitolo 4.1

4.2

Caratterizzazione dinamica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.1

Velocità individuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1.2

Fluttuazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Correlazioni di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.1

Domini di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.2

Funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2.3

Campi sintetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.4

Parametro d’ordine vettoriale e teorema di Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

L’algoritmo di ricostruzione dinamica presentato e discusso in [34] e nella Sezione 2.4 ha permesso di ricavare le velocità individuali degli uccelli all’interno di uno stormo, fornendo la possibilità di caratterizzare anche dinamicamente gli stormi, di verificare quantitativamente molti dei risultati ottenuti dai modelli numerici e testarne così le ipotesi di lavoro: tratterò tutto ciò nella Sezione 4.1. 99


CAPITOLO 4. CAMPI DI VELOCITÀ Nella Sezione 4.2, invece, mostrerò forse il risultato più rilevante del mio lavoro all’interno del progetto Starflag: l’evidenza sperimentale della presenza di correlazioni a lungo range delle fluttuazioni delle velocità individuali degli uccelli, sia riferite al grado di libertà orientazionale che al loro modulo. La presenza di una velocità globale non nulla dovuta all’alta polarizzazione, considerata il parametro d’ordine del sistema, rompe la simmetria rotazionale e produce modi soft di Goldstone per il grado di libertà trasverso al parametro d’ordine, quello angolare. Il teorema di Goldstone risulta quindi valido anche per sistemi non hamiltoniani e fuori dall’equilibrio come gli stormi, ma non ne esaurisce le proprietà: risulta infatti che anche il modulo delle fluttuazioni di velocità, grado di libertà questa volta longitudinale al parametro d’ordine, sia correlato a lungo range. Interpreterò in chiave biologica questi notevoli risultati in un contesto di scambio di informazione all’interno dello stormo: la correlazione completa a lungo range permette al gruppo di rispondere collettivamente ad una qualsiasi perturbazione esterna, mediante la trasmissione di stati dinamici.

4.1 La polarizzazione come parametro d’ordine

Caratterizzazione dinamica

Riprendendo quanto visto nel Capitolo 1, in tutte le simulazioni in letteratura la transizione dalla distribuzione iniziale casuale delle velocità degli agenti ad una fase ordinata è indicata dalla variazione di un parametro d’ordine, la polarizzazione, che descrive il grado di allineamento globale del gruppo. Se chiamiamo ~v le velocità individuali, la definizione formale della polarizzazione è

N

1

X ~vi

(4.1) ϕ=

, N

|~vi |

i=1

si tratta cioè del modulo della media dei versori delle velocità individuali assolute. Self-Propelled Particles Models

I modelli che vanno sotto il nome di Self-Propelled Particles models (SPP), poi, considerano solo il grado di libertà angolare, fissando ad una costante il modulo delle velocità individuali. 100


4.1. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA Studiando i campi di velocità biologici ho potuto verificare nel primo caso la bontà della definizione del parametro d’ordine, vicino ad 1 per tutti gli stormi analizzati, e nel secondo l’erroneità dell’assunto dei modelli SPP, in quanto i moduli delle velocità individuali risultano essere distribuiti secondo una Γ-distribution attorno al modulo della velocità globale: f (x; k, ϑ) = xk−1

exp(−x/ϑ) . Γ(x)ϑk

(4.2)

In letteratura è presente un solo lavoro, risalente al 1980, che prevede esplicitamente la distribuzione 4.2 delle velocità individuali [116]. Per l’analisi che segue è utile introdurre accanto alle ~v le fluttuazioni di velocità ~u, definite come ~ui = ~vi − V~ , (4.3) dove

N 1 X ~vi V~ = N i=1

Velocità assolute e relative

(4.4)

è la velocità globale. La definizione 4.3 implica banalmente il vincolo N X i=1

~ui =

N X

(~vi − V~ ) =

i=1

N X

~vi − N V~ = 0 ,

(4.5)

i=1

in quanto le ~u non sono altro che le velocità individuali rispetto al centro di massa dello stormo. Scegliere un sistema di riferimento per queste quantità vettoriali associate agli uccelli non è banale, come non è scontato che effettivamente esista un sistema di riferimento privilegiato. Naturalmente non può essere quello delle macchine fotografiche, assolutamente arbitrario. La proposta più naturale e qui adottata è il sistema di riferimento individuato dai tre vettori V~ (velocità ~ (gravità) e V~ × G ~ (direzione alare), insieme all’origine coincidente globale), G con il centro di massa dello stormo. In realtà i primi due vettori non sono rigorosamente perpendicolari, ma l’evidenza mostra come il loro prodotto scalare sia comunque sempre molto piccolo [24]. Su questa base ho analizzato in particolare la polarizzazione delle velo101

Scelta di un sistema di riferimento


CAPITOLO 4. CAMPI DI VELOCITÀ cità assolute, la distribuzione dei moduli sia di ~v che di ~u, la distribuzione di ~u · ~r, con ~r posizione dell’uccello rispetto al C.d.M., e la distribuzione del~ Nelle seguenti le componenti di ~u parallela e perpendicolare a V~ e a G. sezioni approfondirò e mostrerò i risultati per ognuna di queste analisi, separando quelle eseguite sulle velocità assolute (Sezione 4.1.1) da quelle sulle fluttuazioni (Sezione 4.1.2).

Serie 16-05 17-06 21-06 25-08 25-10 25-11 28-10 29-03 31-01 32-06 42-03 48-17 49-05 54-08 57-03 58-06 63-05 69-09 69-10 69-13 69-19 72-02 77-07

Uccelli N 2940 552 717 1571 1047 1176 1246 440 2126 809 431 871 797 4268 3242 442 890 239 1129 1947 803 122 186

Velocità globale |V~ | [m/s] 15.2 9.4 11.8 12.1 12.5 10.2 11.1 10.4 6.8 9.8 10.4 11.2 13.9 19.1 14.1 10.1 9.9 11.8 11.9 9.6 13.8 13.2 9.3

Polarizzazione ϕ 0.962 0.935 0.973 0.962 0.991 0.959 0.982 0.963 0.844 0.981 0.979 0.886 0.995 0.966 0.978 0.984 0.978 0.985 0.987 0.937 0.975 0.992 0.978

Estensione L [m] 79.2 51.8 32.1 59.8 33.5 43.3 36.5 37.1 76.8 22.2 29.9 31.1 19.2 78.7 85.7 23.1 52.9 17.1 47.3 44.8 26.4 10.6 9.1

Tabella 4.1 Caratteristiche dinamiche globali ed estensione degli stormi analizzati (medie all’interno della serie). È stato considerato L ∼ Rmax , distanza massima tra due uccelli appartenenti allo stormo.

102


4.1. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA

4.1.1

Velocità individuali

In tutti i modelli numerici la polarizzazione definita dall’Equazione 4.1 costituisce il parametro d’ordine del coordinamento degli agenti, analogo alla magnetizzazione per sito nei materiali magnetici. Esso assume un valore prossimo allo 0 in caso di un campo di velocità non ordinato e prossimo a 1 in caso contrario. Si può apprezzare la differenza dei due casi dalla Figura 4.1: i campi vettoriali sono stati prodotti generando per ogni vettore 4 numeri reali casuali con distribuzione uniforme e scorrelati l’uno dall’altro (x1 , x2 , ∆x1 , ∆x2 ), indicanti le coordinate della base (x1 , x2 ) e della testa (x1 + ∆x1 + A, x2 + ∆x2 + A) del vettore. Il parametro A è una costante e si ha |∆xi |  A nel caso di ϕ ∼ 0 e |∆xi |  A nel caso di ϕ ∼ 1.

(a) ϕ ∼ 0.0

Polarizzazione

(b) ϕ ∼ 0.9

Figura 4.1 Esempi di campi di velocità sintetici con ϕ differenti. Per i dettagli sulla loro generazione, vedi il testo. I vettori sono stati debitamente scalati per migliorare la leggibilità dei grafici.

Un sistema che presenti un’alta polarizzazione è evidentemente caratterizzato da una velocità globale non nulla. È utile riformulare questo fatto in altri termini [72, 77]: lo spazio vuoto in sé è isotropo, nel senso che le leggi del moto a cui ubbidisce un corpo libero sono invarianti per rotazioni tridimensionali, e qualsiasi stato del corpo in questione, identificato dal proprio vettore velocità, è equivalente. Se è presente un campo gravitazionale come quello terrestre lungo un asse, la simmetria rotazionale completa viene rotta, ma permane sui piani perpendicolari al vettore gravità. Le leggi del moto degli storni, quali esse siano, sono ancora invarianti sotto rotazioni bi103

Un’alta polarizzazione implica una rottura della simmetria rotazionale


CAPITOLO 4. CAMPI DI VELOCITÀ dimensionali ed ogni uccello lasciato a sé stesso può muoversi liberamente in qualsiasi direzione sul piano. Nel momento in cui si trova all’interno di uno stormo nella sua fase ordinata, però, la sua velocità è allineata con quella degli altri e le direzioni sul piano non sono più per esso equivalenti. Lo stormo nel suo complesso può ancora muoversi indifferentemente sul piano, ma i singoli uccelli no, altrimenti la velocità globale sarebbe nulla. Eppure le leggi del moto non sono cambiate: vi è una rottura, questa volta spontanea perché non dovuta alla presenza di un campo esterno, della simmetria rotazionale. I modelli numerici con interazioni isotrope mostrano una effettiva rottura di questa simmetria e l’emersione di una velocità globale non nulla, riproducendo aggregati con ϕ ∼ 1 dopo un transiente temporale più o meno lungo [58]. La verifica fatta sui campi di velocità biologici a disposizione, che si trovano chiaramente nella loro fase ordinata, mostra coerentemente sempre un valore molto alto della polarizzazione (cfr. Tabella 4.1). In particolare se ne è ricavato un valore medio pari a hϕi = 0.964 ± 0.007 su 23 eventi. Un’alta polarizzazione implica fluttuazioni delle velocità piccole in modulo

La presenza di un’alta polarizzazione implica che le fluttuazioni delle velocità nella fase ordinata in cui si trova il sistema in esame siano piccole. È interessante che in questa fase le principali correzioni alla polarizzazione sono espressamente dovute alle fluttuazioni ortogonali alla velocità globale. Deriviamo questa relazione nel caso di modulo delle velocità costante (|~vi | = v, ∀i), scomponendo la velocità individuale nella componente parallela alla velocità globale e in quella ortogonale, molto più piccola in modulo k rispetto alla precedente a causa dell’alta polarizzazione: ~vi = vi n ˆ + ~u⊥ i , con n ˆ versore della velocità globale. ϕ2 =

1 X k k 1 X ⊥X ⊥ 1 X ~ v · ~ v = ~ v ~ v + ~u ~u i j N 2 v 2 ij N 2 v 2 ij i j N 2 v 2 i i j j

P P k Il secondo termine è nullo, perché per l’Equazione 4.5 i ~u = i ~ui + P ⊥ ui = 0 e le due somme, essendo vettori perpendicolari, devono annuli~ larsi separatamente. Il primo termine può invece essere sviluppato ponendo 104


4.1. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA k

vi =

p

1 2 v 2 − (u⊥ i ) ∼ v[1 − 2 (

u⊥ i )2 ] v

e ottenendo così

!  ⊥ ⊥ X u 1 1 u 1 j 1 − ( )2 ϕ2 ∼ 2 1 − ( i )2 N ij 2 v 2 v  1 X u⊥ ( i )2 + O (u⊥ )4 2 N ij v  1 X ⊥ 2 =1− (ui ) + O (u⊥ )4 . 2 Nv i

=1−

Quindi per alte polarizzazioni (ϕ2 ∼ 1 e V . v) è presente una correzione piccola che dipende dal solo modulo della componente delle fluttuazioni perpendicolare alla velocità globale. Si può ripetere il medesimo conto considerando il modulo delle velocità individuali non più costante, come avviene per il caso biologico: si ottiene esattamente lo stesso risultato, perché ulteriori termini sono comunque di  ordine O (u⊥ )4 .

(a) Velocità assolute

(b) Fluttuazioni

Figura 4.2 Campo di velocità dello stormo 49-05: il modulo delle velocità relative al C.d.M. è di un ordine di grandezza più piccolo rispetto a quello delle velocità assolute.

In Figura 4.2 si può già apprezzare visivamente come gli stormi analizzati abbiano fluttuazioni del campo delle velocità molto più piccole in modulo delle velocità individuali. Verifichiamo ora esplicitamente che le velocità individuali degli uccelli non sono costanti come assunto dai modelli SPP, considerando che nella realtà sono presenti attriti e accelerazioni dovuti all’aerodinamica e soprattutto vi 105

La distribuzione del modulo della velocità segue una Γ-distribution


CAPITOLO 4. CAMPI DI VELOCITÀ è l’azione di meccanismi cognitivi alla base del comportamento reale degli animali.

Distribuzioni del modulo delle velocità 0,30

Velocità assolute {v} Fluttuazioni {u}

0,25

P(|v|)

0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0

5

10

15 20 Velocità [m/s]

25

Figura 4.3 Fit mediante Γ-distribution (definita in 4.2) della distribuzione delle |~v | e |~u| nella foto 122 macchine 2 della 16-05 (∼ 2500 uccelli). Valori dei parametri: kv = 30.706 ± 1.322, ϑv = 0.499 ± 0.022 con χ2v = 2,37 · 10−5 e ku = 2.618 ± 0.193, ϑu = 1.296 ± 0.117 con χ2u = 3,56 · 10−4 . Notare come il modulo delle fluttuazioni sia di un ordine di grandezza inferiore rispetto a quello delle velocità assolute.

La Figura 4.3 mostra chiaramente come la distribuzione del modulo delle velocità assolute all’interno di uno stormo non è una δ(~vi − V~ ), ma è compatibile con una Γ-distribution, definita dall’Equazione 4.2, come già evidenziato in [116] sui banchi di pesci. In conclusione, la polarizzazione è un buon parametro d’ordine per la fase ordinata del sistema, mentre l’ipotesi di base dei modelli Self-Propelled Particle non è pienamente supportata dai dati biologici, ma è un’approssimazione tanto più buona quanto più stretta risulta la distribuzione dei moduli delle velocità. 106


4.1. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA

4.1.2

Fluttuazioni

Ciò che può fornire informazioni sull’interazione che lega gli uccelli nella fase ordinata è il campo delle fluttuazioni {~u} delle velocità individuali, che nel contesto del teorema di fluttuazione-dissipazione è legato alla risposta del sistema a perturbazioni esterne1 . Come anticipato nel paragrafo precedente e come atteso dall’alto valore della polarizzazione, il modulo delle fluttuazioni è di un ordine di grandezza più piccolo rispetto a quello delle velocità assolute (cfr. Figura 4.3). Se si separano i contributi longitudinale e trasversale delle fluttuazioni rispetto alla velocità globale, la loro importanza relativa è determinata dal valore della polarizzazione e dalla larghezza della distribuzione delle {~v }. In particolare, dati i valori tipici osservati di queste grandezze e l’Equazione 4.1.1 nella pagina 105 che abbiamo ricavato, ci si aspetta una fluttuazione per lo più trasversale alla V~ , come effettivamente si ricava dalle distribuzioni dei prodotti scalari tra ~u e V~ (in Figura 4.4a nella pagina successiva un esempio tipico). L’unica eccezione notevole è lo stormo 17-06, caratterizzato dalla larghezza maggiore della distribuzione delle ~v , le cui fluttuazioni longitudinali sono preponderanti (cfr. Figura 4.4b con la didascalia corrispondente). Questo risultato suggerisce che la diffusione degli uccelli all’interno dello stormo avvenga prevalentemente sui piani ortogonali alla velocità globale, ragionevole anche da un punto di vista energetico: all’interno di una struttura in movimento traslatorio i moti interni longitudinali sono meno vantaggiosi rispetto a quelli trasversali. Ciò risulta vero anche per la distribuzione angolare delle fluttuazioni rispetto alla gravità, che risulta avere quasi sempre un massimo in zero (cfr. Figura 4.4c nella pagina seguente): la direzione di diffusione privilegiata sembrerebbe quindi quella alare. Questo risultato è coerente con l’analisi sulla diffusione degli uccelli effettuata in [34] sullo stesso insieme di dati: calcolando l’esponente e il coefficiente di diffusione medio in alcuni stormi, infatti, a partire dalla relazione σ 2 = h~x2 (t)i − h~x(t)i2 = 6Dtα , 1

(4.6)

Che nel presente caso hanno prevalentemente origine predatoria, si pensi all’attacco di un falco.

107

Contributi trasversali e longitudinali

Legame con le proprietà di diffusione degli uccelli


CAPITOLO 4. CAMPI DI VELOCITÀ

17-06 - Distribuzione angolare anomala delle fluttuazioni {u} rispetto alla velocità globale V

32-06 - Distribuzione angolare tipica delle fluttuazioni {u} rispetto alla velocità globale V 1

<P(|v|)>

0,1

0,8

<P(cos(θ))>

1

<P(cos(θ))>

0,12

0,9

1,2

0,8 0,6 0,4

0,7

0,06 0,04 0,02

0,6

0

0

0,5

5 10 15 20 Velocità assolute [m/s]

0,4

0,2

0,3

0

0,2

-1

-0,5

0 cos(θ)

0,5

1

-1

~ (a) Distribuzione tipica di ~u · V

-0,5

0 cos(θ)

0,5

1

(b) Stormo 17-06

21-06 - Distribuzione angolare tipica delle fluttuazioni {u} rispetto alla gravità G

17-06 - Distribuzione angolare anomala delle fluttuazioni {u} rispetto alla gravità G

1,2

1

1

0,8 <P(cos(θ))>

<P(cos(θ))>

0,08

0,8 0,6 0,4

0,6 0,4 0,2

0,2 0

0 -1

-0,5

0 cos(θ)

0,5

1

-1

(c) Distribuzione tipica di ~u · G

-0,5

0 cos(θ)

0,5

1

(d) Stormo 17-06

~ (in alto) Figura 4.4 Distribuzione di cos(ϑ) con ϑ angolo delle fluttuazioni rispetto a V ~ e G (in basso). La notevole eccezione della serie 17-06 (a destra) è dovuta al fatto che sono presenti in realtà due stormi, in allontanamento l’uno dall’altro. Si tratta cioè di uno stormo in separazione, il che probabilmente spiega il doppio picco nella distribuzione delle ~ e in parte a G. ~ ~v (nell’inset) e le fluttuazioni prevalentemente longitudinali a V

risulta sempre un comportamente superdiffusivo (α ∼ 1.40 > 1), con valori del coefficiente di diffusione D diversi a seconda della direzione di diffusione scelta. In particolare i valori ottenuti in [34] mostrano come la diffusione sia più forte sul piano perpendicolare alla velocità globale e che su questo sia minore nella direzione parallela alla gravità, in perfetto accordo con i risultati e le considerazione energetiche appena esposte (cfr. Tabella 4.2 nella pagina successiva).

108


4.1. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA Diffusione Scalare Parallela a V~ Perpendicolare a V~ ~ Parallela a G ~ Perpendicolare a G

α 1.39 ± 0.01 1.46 ± 0.05 1.46 ± 0.26 1.36 ± 0.06 1.40 ± 0.25

D [m2 /s] 3.68 ± 0.87 0.50 ± 0.08 3.00 ± 0.87 0.96 ± 0.10 2.30 ± 1.18

Tabella 4.2 Parametri di diffusione (esponente α e coefficiente D, cfr. Equazione 4.6 nella pagina 107) misurati in [34] per gli stessi stormi che mostrano distribuzioni angolari delle fluttuazioni che privilegiano prevalentemente la direzione alare (cfr. Figura 4.4 nella pagina precedente).

Analizzando i moti relativi al centro di massa è anche possibile stabilire se ci sia preferenzialmente un moto verso l’interno o verso l’esterno, in modo da caratterizzare gli stormi in espansione o in contrazione. Calcolando la distribuzione media della quantità h~u · ~ri, con ~r vettore posizione dell’uccello rispetto al C.d.M., effettivamente, si ritrovano un po’ tutti i casi, confermati dall’andamento del volume nel tempo (cfr. Figura 4.5) e in accordo con quanto già ottenuto nella Sezione 3.2.2 studiando le funzioni di densità condizionale (cfr. Figura 3.9 nella pagina 91). 69-19 - Distribuzione angolare delle fluttuazioni rispetto alla posizione dal C.d.M.: contrazione

21-06 - Distribuzione angolare delle fluttuazioni rispetto alla posizione dal C.d.M.: dilatazione 2

1

3,0x103 2,5x103 3

2,0x10

1,5x103 1,0x103

1

Volume [m3]

3,5x103

<P(cos(θ))>

<P(cos(θ))>

1,5

Volume [m3]

4,0x103

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Tempo [s]

2,2x103 2,0x103 1,8x103 1,6x103 1,4x103 1,2x103 1,0x103

0

0,5

1

1,5

Tempo [s]

2

0,5

0,5

0

0

-1

-0,5

0 cos(θ)

0,5

-1

1

(a) Espansione

-0,5

0 cos(θ)

0,5

1

(b) Contrazione

Figura 4.5 Esempi di distribuzioni medie di cos(ϑ) con ϑ angolo tra ~u e il vettore posizione dell’uccello rispetto al C.d.M. dello stormo. Negli inset l’andamento del volume dello stormo nel tempo.

109

Moti espansivi e contrattivi


CAPITOLO 4. CAMPI DI VELOCITÀ In conclusione, lefluttuazioni dellevelocità sono piccoleeprevalentemente ortogonali alla velocità globale, come ci si può aspettare dall’alto valore della polarizzazione. In accordo con semplici considerazioni energeticheecon i risultati sulla diffusione in [34], la distribuzione angolare di queste fluttuazioni privilegia la direzione alare rispetto non solo a quella lungo la velocità globale, ma anche a quella lungo la gravità. Il fatto che i principali modelli contemplino solo velocità con una distribuzione infinitamentestretta attorno alla velocità globale, a differenza di quanto verificato negli stormi biologici, rende difficile qualsiasi paragone tra dati sintetici e biologici riguardo i moduli delle fluttuazioni e soprattutto delle loro proiezioni lungo la velocità.

4.2 Correlazioni di velocità

110


BM I TO TTE "P D M LO A S B NU I O SC LO RI GY PT "

SU 4.2. CORRELAZIONI DI VELOCITÀ

111-132


Conclusioni

Comprendere la complessità non è difficile quanto spiegarla con parole semplici. La complessità, Fabio Montuori

Il progetto Starflag (Capitolo 2) costituisce ormai un punto fermo imprescindibile nello studio sperimentale del fenomeno del comportamento collettivo animale. Ha sostanzialmente risolto il grave problema della scarsità di dati empirici quantitativi che ha afflitto questo campo di ricerca per decenni (Sezione 2.2), ponendosi come punto di riferimento per tutti gli esperimenti futuri che abbiano il medesimo obiettivo: ricostruire posizioni, velocità e traiettorie di grandi aggregati di agenti in movimento. Come hanno dimostrato questi primi anni di analisi dati, poter lavorare su aggregati di migliaia di uccelli permette un’accuratezza e una significatività senza precedenti dei risultati, ottenuti mediante tecniche e strumenti sviluppati ed usati comunemente in campi molto differenti. Parallelamente considerare sempre la necessaria presenza di basi evolutive del comportamento animale fornisce un’importante aiuto sia in fase di scelta degli obiettivi e di progettazione dell’analisi, sia in fase di interpretazione dei risultati ottenuti. Ecco due prodotti di quella preziosa cross-fertilization tra Fisica e Biologia di cui ho parlato nell’Introduzione. La prima fase di analisi (Sezione 2.5) ci ha portato ad una completa caratterizzazione delle principali osservabili globali degli stormi quali densità, distribuzione dei valori della distanza di primo vicino, packing fraction, 133

Caratterizzazione della struttura ed anisotropie


CONCLUSIONI morfologia e orientazione spaziale. Centrale in queste ricerche è stato il trattamento del bordo, sia per la sua determinazione che per la gestione dei suoi effetti statistici, troppo spesso trascurato in studi precedenti su aggregati molto più piccoli (Sezione 2.3 e 1.1). La ricerca di una struttura interna dell’aggregato ci ha spinto ad uno studio approfondito delle anisotropie angolari dei primi vicini, che hanno mostrato un risultato inatteso: il range di interazione non è metrico, come tutti i modelli hanno sempre assunto, bensì topologico, o, come l’abbiamo definito collegandolo alle abilità numeriche del cervello dello storno, cognitivo. La possibilità di ogni uccello di interagire con un numero fisso di compagni di volo indipendentemente dalle dimensioni o dalla densità dello stormo permette al gruppo di mantenere una maggiore coesione, in particolar modo nei casi di attacco predatorio. Correlazioni di densità

Ispirati dall’impianto teorico e sperimentale dello studio dei liquidi abbiamo approfondito l’analisi della densità degli stormi (Capitolo 3), evidenziando mediante funzioni di correlazione a due punti che non è sempre presente una scala di omogeneità inferiore alle dimensioni del sistema. A fronte di stormi omogenei oltre la scala della distanza media di primo vicino, ne abbiamo identificati diversi che presentano una funzione di correlazione densitàdensità integrata Γ(r) decrescente. Abbiamo mostrato come la presenza di un forte gradiente di densità crescente dal centro al bordo è responsabile della mancanza di omogeneità sulla scala del sistema e abbiamo argomentato come questa proprietà possa essere legata a una maggiore capacità di difesa del gruppo nei confronti dei predatori (confusion effect). Abbiamo inoltre eseguito un’analisi della struttura spaziale dello stormo attraverso la funzione di correlazione a coppie g(r). In alcuni stormi è possibile evidenziare la presenza di almeno due deboli picchi nella g(r), indice di una debole struttura liquid-like, anche se la risoluzione a disposizione, nonostante le dimensioni notevoli degli stormi, non è sufficiente per caratterizzare meglio questa proprietà strutturale. Considerando però i valori estremamente bassi della packing fraction misurati, caratteristici delle fasi gassose della materia, concludiamo che gli stormi abbiano una struttura intermedia tra liquidi e gas, possibile grazie alla natura topologica dell’interazione che la 134


CONCLUSIONI determina (alta coesione nonostante una bassa packing fraction). Lo studio condotto sui campi di velocità all’interno dello stormo (Capitolo 4) ha portato ad un immediato confronto dei dati sperimentali con i modelli numerici, che basano prevalentemente le interazioni tra gli agenti sull’allineamento reciproco delle velocità individuali. Abbiamo evidenziato come il parametro d’ordine comunemente usato, la polarizzazione, sia efficace nel caratterizzare la fase ordinata di questo tipo di sistemi, in quanto i suoi valori misurati per gli stormi sono tutti molto vicini ad 1. Abbiamo però verificato che l’assunto di tutti i modelli SPP (Self-propelled particles models, Sezione 1.2) non sia adeguato per gli stormi di uccelli, in quanto presentano tutti una distribuzione dei moduli delle velocità individuali compatibile con una Γ-distribution e non con una δ-distribution. A fronte di valori così alti della polarizzazione ci siamo concentrati sullo studio delle fluttuazioni angolari delle velocità individuali rispetto a quella globale, che ha evidenziato come il campo delle fluttuazioni sia strutturato in domini di correlazione, le cui dimensioni scalano linearmente con l’estensione totale dello stormo. Questo chiaro scaling con la taglia del sistema ci ha suggerito il calcolo di funzioni di correlazione angolare che hanno mostrato un punto di annullamento, e quindi una lunghezza di correlazione, molto maggiore rispetto al range di interazione, pari alla dimensione lineare dei domini e quindi come quest’ultima legato linearmente all’estensione dello stormo. Abbiamo verificato la connessione tra queste tre osservabili, dimensione dei domini, zero della funzione di correlazione e lunghezza di correlazione, studiando approfonditamente campi di velocità sintetici prodotti imponendo una correlazione angolare analitica con lunghezza di correlazione sia finita (esponenziale) che infinita (a potenza). Ne è emerso che lo zero della funzione di correlazione è un buon estimatore dell’estensione dei domini ed è proporzionale alla lunghezza di correlazione del sistema solo quando quest’ultima è notevolmente inferiore all’estensione dello stormo. Oltre una certa scala, pari a circa un terzo dello stormo, divengono determinanti gli effetti di taglia finita, che fissano la dimensione massima dei domini benché la lunghezza di correlazione possa essere più grande. Questo comportamento suggerisce una 135

Correlazioni di velocità


CONCLUSIONI natura infinita della lunghezza di correlazione angolare, cioè che le fluttuazioni del campo di velocità degli stormi siano soggette da una correlazione a grande scala, quindi ad un ordine a lungo raggio. A fronte di un’interazione finita e a corto raggio la fase ordinata del sistema mostra una correlazione macroscopica tra le direzioni delle velocità, o, in altre parole, del grado di libertà trasverso al parametro d’ordine del sistema, quello angolare. Nonostante si tratti di un sistema non hamiltoniano e fuori dall’equilibrio, lo stormo ubbidisce quindi al teorema di Goldstone, rompendo spontaneamente una simmetria continua, quella rotazionale, come previsto da alcuni modelli teorici. Oltre però le conseguenze del teorema, anche la lunghezza di correlazione del modulo delle fluttuazioni mostra di risentire degli effetti di taglia finita, suggerendo che l’ordine a lungo raggio sia esteso anche al grado di libertà longitudinale al parametro d’ordine. La presenza di un ordine a lungo range in un sistema ordinato e coeso come uno stormo di uccelli è naturalmente attesa, ma è notevole il coinvolgimento del teorema di Goldstone e soprattutto la prova che lo stormo vada oltre le sue conseguenze necessarie. La possibilità per gli uccelli di scambiarsi informazioni sullo stato di volo direttamente, senza codifiche intermedie, mediante la presenza di correlazioni su estensioni spaziali anche di centinaia di metri, permette loro una risposta immediata ed efficace a qualsiasi tipo di perturbazione esterna, specialmente predatoria, agendo come un tutt’uno. Nei termini del paradigma della complessità, mediante semplici interazioni di repulsione-allineamento-attrazione, agenti su scale sia metriche (1,3) che topologiche (2), è possibile l’emersione auto-organizzata di una fase ordinata del sistema avente caratteristiche e capacità ben al di là dei singoli individui che lo compongono, evidentemente efficaci in un’ottica di selezione naturale. Scenari futuri

Da un punto di vista sperimentale tutto l’apparato di Starflag è perfettamente riproducibile e applicabile ad un gran numero di fenomeni di comportamento collettivo animale. In particolare tutto il sistema di ricostruzione, dalle foto alle traiettorie, avendo una struttura modulare e seriale, è sostanzialmente indipendente dalle modalità effettive di presa dati. Queste ultime sono naturalmente ottimizzate per lo studio di stormi di storni in volo sui propri siti di roosting all’interno di una città, ma con relativamente 136


CONCLUSIONI piccoli adeguamenti è possibile applicarle anche ad altre specie simili, come pipistrelli e moscerini3 , o semplicemente agli stessi storni, ma puntando ad eventi di diverso tipo: stormi più grandi, più densi, con forme più varie come quelle tubulari, fenomeni di separazione o unione di sotto-stormi, di formazione della fase ordinata o di attacco di un falco, per fare qualche esempio. Per tutti gli altri sistemi si dovrà naturalmente sviluppare un setting di presa dati anche molto differente dal nostro (si pensi al caso dei pesci, quindi di una presa dati in apnea), ma finché questo sarà basato sulla stereometria e sul metodo trifocale tutto il sistema di ricostruzione sarà pienamente utilizzabile. Questo non dovrebbe essere un problema nel caso di sistemi sostanzialmente fermi in uno spazio limitato (come il cielo sovrastante un parcheggio), mentre probabilmente sarebbe inapplicabile per studi su specie in migrazione. Dal fronte dell’analisi dei dati già in nostro possesso, c’è ancora un intero mondo da esplorare. Intanto è possibile aumentare il numero di eventi ricostruiti raffinando la selezione di quelli fotografati, ma scartati in un primo momento, e così estendere le analisi già eseguite su una base statistica maggiore. Per quanto riguarda la struttura degli stormi è senz’altro necessario approfondire lo studio delle anisotropie spaziali e sviluppare nuovi metodi per tentare di identificare un pattern delle prime shell di vicini, la cui presenza è suggerita sia dalle mappe di anisotropia, sia dalle oscillazioni rilevate nella g(r). Abbiamo fatto già qualche tentativo in questa direzione, calcolando distribuzioni angolari e definendo funzioni di correlazione dei vettori dei primi vicini o di combinazioni di questi, ma senza risultati rilevanti o che non fossero già contenuti nelle mappe. Abbiamo anche provato la strada di uno studio in spazio di Fourier, supponendo una per quanto debole struttura periodica dello stormo, mediante il calcolo del fattore di struttura statico S(~k), ma senza riuscire ad isolare caratteristiche e universali per tutti gli eventi. 3

È attualmente in studio un esperimento proprio sugli sciami di questi insetti, che sono sì molto piccoli, molto numerosi e molto veloci, ma hanno il vantaggio di formare aggregati poco estesi, quindi potenzialmente riproducibili in laboratorio.

137


CONCLUSIONI Riguardo i campi di velocità, l’analisi qui presentata è solo la punta di un iceberg. Oltre a caratterizzare meglio la correlazione a lungo range del modulo delle velocità, considerando anche in questo caso opportuni campi sintetici con correlazione data, è possibile analizzare la dipendenza del moto di ogni individuo in funzione per esempio della sua posizione all’interno dello stormo oppure dello stato dinamico dei suoi vicini, aprendo così la porta del mondo delle correlazioni dinamiche, cioè a tempi diversi. Queste permettono di capire come le correlazioni su una certa scala spaziale decadano nel tempo, quindi forniscono indizi sui meccanismi di propagazione dell’informazione. Può essere interessante per esempio cercare di studiare direttamente eventuali onde di orientazione e di densità, un tipo particolare di scambio di informazione dinamica all’interno dello stormo, sviluppando metodi appositi. Si potrebbero così studiare esplicitamente i moti collettivi interni macroscopici e collegarli con quelli individuali, tracciando un ponte sperimentale tra l’approccio Euleriano e quello Lagrangiano dei modelli (Sezione 1.2). Dallo studio delle correlazioni dinamiche, poi, può venire la prova definitiva dell’adeguatezza della regola sociale allineati con i tuoi vicini alla base di tutti i modelli a partire da quello di Vicsek e probabilmente indicazioni per renderla ancor più biologica. A questo proposito, man mano che il progetto Starflag e affini proseguono con la raccolta e l’analisi dei dati, sarebbe prezioso un’approfondimento dal lato della modellizzazione, per individuare quelle interazioni microscopiche e quelle condizioni che riproducano le proprietà dell’aggregato rilevate negli stormi biologici. Un lungo viaggio

Quanto mostrato in questo lavoro, necessariamente una sintesi di quanto è stato effettivamente fatto in questi anni4 , è probabilmente solo una piccola scalfittura sulla superficie della Complessità e i suggerimenti appena dati sui prossimi possibili traguardi solo una minima parte di ciò che le magnifiche manifestazioni del comportamento collettivo ancora ci celano, ma dopotutto la strada verso la conoscenza del mondo è infinita e noi tutti sappiamo quanto ci piace percorrerla. 4

Inclusi tentativi, errori, ripensamenti...

138


GALLERIA STARFLAG

16-05

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GALLERIA STARFLAG

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GALLERIA STARFLAG

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Ringraziamenti

Quando un lungo viaggio finisce, una nuova strada si snoda sempre di fronte al viandante. Prima di intraprenderla vien voglia di fermarsi e rivolgersi indietro, con un sorriso a tutti coloro che hanno accompagnato il cammino e che solo in parte imboccheranno la stessa via. Il mio primo pensiero non può che andare alla mia famiglia, che mi ha sostenuto, supportato e sopportato per il tempo maggiore: è tanto ovvio quanto straordinario il fatto che senza di loro non sarei giunto a nulla, a loro va la mia riconoscenza e il mio affetto. Un bacio speciale a Giulia, a cui ho dedicato questo lavoro con piacere e un po’ anche come umile esempio: le difficoltà sono tante e onnipresenti, ma son lì per essere superate e farci crescere. Un grazie grande quanto il più grande stormo che abbiamo fotografato ad Andrea e Irene, punti di riferimento professionale di rara eccellenza ed umanità. Tra mille difficoltà, ma altrettante soddisfazioni, devo a loro tutto ciò che ho imparato sulla pratica scientifica e su come si affronta un lavoro tanto vasto e difficile, quanto appassionante. Quel foglio appeso sbilenco su un’anonima porta dell’Edificio Fermi si è tramutato in un’avventura scientifica e formativa che ha lasciato tracce indelebili in me. Un bacio ai loro splendidi bimbi, Elsa e Francesco detto Ciccio, con l’augurio che raggiungano la piena realizzazione personale, nei campi che più li appassioneranno (due fisici in famiglia possono andare bene, ma 4 è un esperimento genetico! :)). Accanto a loro ringrazio Giorgio Parisi per la sua disponibilità e il suo esempio di acutissima riflessione e chiarezza scientifica. La Scienza fornisce le chiavi della comprensione della Natura, ma a me ha portato anche amicizie importanti e indimenticabili. Estremo di un dipolo dalle forsennate vibrazioni, Fabio mi ha fatto conoscere un tipo di persona per me inedita, che ha contribuito a far crescere in me la stima per questo nostro popolo un po’ scalcagnato. Raro e prezioso esempio di una miscela di sensibilità artistica, di ironia immensa, di intuito e di professionalità scientifiche, gli auguro una straordinaria carriera in quel di Zurigo: cervello in fuga, ma senza paura perché vero cittadino del mondo. A Raffaele posso solo dire di volergli un gran bene. Soprattutto dalla fine della sua collaborazione con il progetto, la nostra amicizia si è saldata tanto che chissà che non ci porterà ad un futuro cammino professionale comune. Grazie ragazzi, non dimenticherò mai il nostro transiente di random walk prima di decidere cosa e dove mangiare. Un abbraccio corale a tutti i miei compagni di viaggio in questi lunghi 7 anni, studenti e docenti con cui ho condiviso brevi tratti o mille avventure. Un pensiero speciale a Chiara

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RINGRAZIAMENTI e alle centinaia di chilometri fatte per accompagnarla la sera a casa, a Margherita per i suoi sempre puntuali suggerimenti e consigli, ad Angelo e Chiara per il tanto tempo piacevole passato insieme, a Kristian e ai folli racconti delle sue avventure, le cui riflessioni hanno sempre lasciato un segno. Un saluto a Michele, Enrico, Giulia, Flavio, Vittorio, Simona, Erica, Matteo, Michela e a tutti quei conoscenti di vista che hanno riempito la giornata di saluti. Un saluto anche al prof. Federico Ricci-Tersenghi, al dott. Piero Vicini e al dott. Davide Rossetti a cui devo la mia dissertazione, ai prof. Mario Mattioli, Paolo Postorino e Paolo Dore per le piacevoli conversazioni durante i laboratori, alla prof. Lucia Zanello per i tanti incontri e chiacchierate e a tutti gli altri che hanno posto anche un solo mattone delle mie attuali conoscenze. Un bacio affettuoso a Sara, straordinaria scienziata e donna, sempre vicina quando necessario e punto di riferimento professionale e umano: un cuore colmo di tutte le energie e le qualità necessarie per costruire un futuro importante. Un abbraccio forte a Riccardo, scienziato e musicista che ha il merito speciale di avermi insegnato a sentire il basso, musicalmente e metaforicamente. Un bacio a Pietropaolo, forse la persona più eclettica che abbia mai conosciuto, con la certezza che le nostre infinite discussioni proseguiranno ancora a lungo. La vita all’interno dell’università non è solo studio e desidero ringraziare tutta la comunità di accatagliato, che ha permesso la nascita e il successo di un’iniziativa all’inizio considerata folle o superflua dai più. Merito speciale va a Carlo e alla sua capacità di conoscere chiunque e di avere un’idea al minuto, alla sua passione e serietà. Un grazie mai sufficiente a Silvia e ai suoi appunti non lineari. Un grazie agli amministratori e ai moderatori che animano e gestiscono il sito della comunità ogni giorno. Sento il bisogno di ringraziare tutta la comunità mondiale che supporta l’open-source, in special modo quella attorno GNU/Linux, LATEX, Ubuntu e KDE. Un grazie anche ad alcuni privati, come Packard Bell, Asus, Google. Senza dimenticare naturalmente Tim Berners-Lee. Ho poi l’obbligo morale di salutare e ringraziare il protagonista indiscusso di questa vicenda, lo storno, che non ho mai guardato davvero negli occhi, ma con cui ho passato davvero tanto tempo. E infine desidero chiudere questa tesi e questa avventura universitaria ringraziando un magico carrello della spesa, che mi ha aiutato nell’impresa più importante di questi anni: legare con un sentimento infinitamente profondo il mio cuore con quello di Emma, il cui amore in mille modi mi ha sostenuto e sospinto fino a questo traguardo e che mi accompagnerà per le prossime sei ere glaciali. Almeno. Alessio Cimarelli

144


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Funzioni di struttura e correlazioni di velocità in stormi di uccelli in volo