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MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE DOUTORADO EM ENGENHARIA DE DEFESA

Ten Cel ALESSANDRO PICCAGLIA BAÊTA NEVES

MODELAGEM COMPUTACIONAL DE UMA CARGA OCA

Rio de Janeiro 2014


INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

Ten Cel ALESSANDRO PICCAGLIA BAÊTA NEVES

MODELAGEM COMPUTACIONAL DE UMA CARGA OCA

Tese de Doutorado apresentada ao Curso de Doutorado em Engenharia de Defesa do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obtenção do título de Doutor em Ciências em Engenharia de Defesa.

Orientador: Prof. Leonardo S. de Brito Alves – Ph.D. Co-orientador: Prof. Arnaldo Ferreira – Ph.D.

Rio de Janeiro 2014

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c2014

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha Rio de Janeiro – RJ CEP: 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluílo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e dos orientadores.

623.452 B142m

Baêta Neves, Alessandro Piccaglia Modelagem Computacional de uma Carga Oca / Alessandro Piccaglia Baêta Neves; orientado por Leonardo S. de B. Alves e co-orientado por Arnaldo Ferreira – Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2014. 210p. : il. Tese (doutorado) - Instituto Militar de Engenharia Rio de Janeiro, 2014. 1. Engenharia de Defesa – teses, dissertações. 2. Carga Oca – Modelagem Computacional. 3. Explosivos. I. Alves, Leonardo S. de Brito. II. Ferreira, Arnaldo. III. Título. IV. Instituto Militar de Engenharia. CDD 623.452

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3


Este trabalho é especialmente dedicado à minha esposa Márcia, em razão de todas as suas manifestações de apoio, solidariedade, carinho, estímulo e compreensão, efetuadas ao longo dessa jornada, e à minha pequenina Mariana que, embora ainda não tenha idade para compreender, futuramente reconhecerá que essa conquista particular representa uma parte da verdadeira riqueza que temos na vida – o conhecimento.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço a Deus por tudo. Nada menos que isso. Ao Exército Brasileiro, por ter permitido a realização deste trabalho. Ao curso de Engenharia de Defesa, pela excelência de suas aulas e pelo enriquecedor e estimulante ambiente multidisciplinar. Proposição excelente, que muito pode contribuir para o desenvolvimento científico e tecnológico brasileiro. Ao professor Cel R/1 Arnaldo Ferreira, do curso de Engenharia Mecânica, pela sugestão de um tema empolgante, muito importante para a Engenharia de Defesa, principalmente por sua natureza dual e, também, pela forma como conduziu sua orientação, caracterizada pela contínua, didática e progressiva transferência de conhecimento aliada a uma forte relação de companheirismo, amizade e lealdade, características cada vez mais incomuns nos dias de hoje. Ao professor Leonardo Santos de Brito Alves, por ter concordado com o tema sugerido para a pesquisa, pela sua forma de orientação e pelas contribuições relevantes que enriqueceram e, decisivamente, ajudaram na conclusão deste trabalho. Ao professor Marcello Goulart Teixeira, por suas decisivas contribuições relativas ao método numérico SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), principalmente na questão da detecção de contato ou busca de partículas vizinhas. Ao Cap Édio, pelas discussões relativas ao código aberto SPH que muito ajudaram no desenvolvimento deste trabalho. E, finalmente, agradecimento especial aos demais familiares e amigos, pela compreensão por tão longo período de afastamento, felizmente recompensado pela concretização de mais este importante passo em minha vida profissional.

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SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES ........................................................................................9 LISTA DE TABELAS .................................................................................................17 LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS............................................................20 LISTA DE SIGLAS .....................................................................................................22

1

INTRODUÇÃO............................................................................................25

1.1

Importância do Assunto .................................................................................27

1.2

Objetivo..........................................................................................................32

1.3

Organização do Trabalho ...............................................................................33

2

MODELAGEM ANALÍTICA DE UMA CARGA OCA..........................34

2.1

Teoria de Formação de um Jato de Carga Oca ..............................................34

2.1.1

Modelo de Birkhoff........................................................................................39

2.1.2

Teoria PER.....................................................................................................45

2.1.3

Aprimoramentos da Teoria PER ....................................................................53

2.2

Alongamento de um Jato de Carga Oca.........................................................62

2.2.1

Modelo de Hirsch...........................................................................................63

2.2.2

Modelo de Chou-Carleone .............................................................................64

2.2.3

Critério de Walters e Summers ......................................................................66

2.3

Penetração de um Jato de Carga Oca .............................................................67

2.3.1

Modelo de Penetração de Birkhoff ................................................................68

2.3.2

Modelo de DiPersio, Simon e Martin ............................................................69

2.4

Simulações Numéricas...................................................................................73

2.5

Considerações Finais .....................................................................................81

3

EQUAÇÕES DE ESTADO E EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS ............83

3.1

Equações de Estado (EOS) ............................................................................83

3.1.1

EOS Jones-Wilkins-Lee.................................................................................86

3.1.2

EOS Mie-Grüneisen .......................................................................................87

3.1.3

EOS Tillotson.................................................................................................88

6


3.2

Equações Constitutivas ..................................................................................90

3.2.1

Modelo Hidrodinâmico ..................................................................................90

3.2.2

Modelo Elástico Perfeitamente Plástico ........................................................90

3.2.3

Modelos Elasto-Plásticos ...............................................................................91

3.2.3.1 Modelo de Johnson-Cook ..............................................................................91 3.2.3.2 Modelo de Steinberg-Guinan .........................................................................93

4

METODOLOGIA NUMÉRICA.................................................................95

4.1

Métodos Numéricos .......................................................................................95

4.2

Método SPH...................................................................................................100

4.2.1

Formulação SPH 3D para problemas Hidrodinâmicos com Resistência dos Materiais...............................................................................106

4.2.2

Viscosidade Artificial ....................................................................................112

4.2.3

Código SPH....................................................................................................114

4.2.4

Integração e Passo de Tempo.........................................................................116

4.2.5

Distribuição Inicial das Partículas..................................................................117

4.2.6

Partículas Virtuais ..........................................................................................120

4.2.7

Comprimento Suavizante Variável ................................................................121

4.2.8

Estratégia Multi-Fase .....................................................................................122

5

MODELAGEM NUMÉRICA DE UMA CARGA OCA LINEAR .........125

5.1

Formulação SPH 2D, com Simetria Plana, para problemas Hidrodinâmicos com Resistência dos Materiais ............................................125

5.2

Simulações Numéricas...................................................................................127

5.2.1

Formação e Alongamento de um Jato de Carga Oca Linear..........................131

5.2.2

Penetração de um Jato de Carga Oca Linear..................................................140

5.3

Considerações Finais .....................................................................................148

6

MODELAGEM NUMÉRICA DE UMA CARGA OCA CILÍNDRICA ...............................................................................................151

6.1

Formulação SPH 2D, com Simetria Axial, para problemas Hidrodinâmicos com Resistência dos Materiais ............................................151

6.2

2ª Viscosidade Artificial ................................................................................161

7


6.3

Simulações Numéricas...................................................................................163

6.3.1

Formação e Alongamento de um Jato de Carga Oca Cilíndrica ....................164

6.3.2

Penetração de um Jato de Carga Oca Cilíndrica ............................................172

6.4

Considerações Finais .....................................................................................176

7

CONCLUSÕES ............................................................................................178

7.1

Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................................180

8

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................182

9

APÊNDICES ................................................................................................189

9.1

APÊNDICE 1 : Verificação da Ordem do Algoritmo Screening, utilizado para Detecção de Contato ...............................................................190

9.2

APÊNDICE 2 : Validação do Código SPH 2D, com Simetria Plana, para problemas Hidrodinâmicos com Resistência dos Materiais...................197

9.2.1

Impacto de Taylor ..........................................................................................197

9.2.2

Impacto em Alta Velocidade..........................................................................200

9.3

APÊNDICE 3 : Validação do Código SPH 2D, com Simetria Axial, para problemas Hidrodinâmicos com Resistência dos Materiais...................204

9.3.1

Impacto de Taylor ..........................................................................................204

9.3.2

Penetração ......................................................................................................207

8


LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.1.1

Carga Oca típica .......................................................................................... 25

FIG.1.2

Efeito Munroe (MUNROE, 1900)............................................................... 26

FIG.1.3

Diferentes efeitos de penetração obtidos para uma: (a) Carga com cavidade não revestida; (b) Carga com cavidade revestida, sem o efeito da distância de standoff e (c) Carga com cavidade revestida, com o efeito da distância de standoff .......................................................... 26

FIG.1.4

Munição anticarro........................................................................................ 27

FIG.1.5

Carga Oca típica para canhoneio (POOLE, 2005 e BAIOCO & SECKLER, 2009)........................................................................................ 28

FIG.1.6

(a) Carga Oca Linear e (b) Aplicação (BLADE®, 1996) ........................... 29

FIG.1.7

(a) Carga Oca Cilíndrica e (b) Aplicação (MILLER, 2003) ....................... 29

FIG.1.8

Quadro sintético do processo de funcionamento de uma carga oca (POOLE, 2005) ........................................................................................... 30

FIG.2.1

Hipótese do perfil linear para a velocidade dos produtos gasosos da detonação (teoria de Gurney) ...................................................................... 35

FIG.2.2

Representação de um revestimento impulsionado pela ação de um explosivo (teoria de Defourneaux) .............................................................. 36

FIG.2.3

Curvas para obtenção dos parâmetros φ0 e k (HARRISON, 1981)........... 37

FIG.2.4

Configuração simplificada para uma carga oca cilíndrica .......................... 38

FIG.2.5

Seção transversal de cada anel de elemento (i) do revestimento ................ 39

FIG.2.6

Quadro de formação do jato e da escória a partir do colapso do revestimento, para um volume de controle na junção de movimento A ..... 39

FIG.2.7

Colapso do revestimento metálico e formação do jato em uma carga oca linear (BIRKHOFF et al, 1948) ............................................................ 41

FIG.2.8

Geometria do processo de colapso do revestimento no modelo de Birkhoff ....................................................................................................... 42

FIG.2.9

Representação gráfica da posição inicial dos elementos colapsados no modelo de Birkhoff ................................................................................ 43

FIG.2.10

Colapso do revestimento no modelo de Birkhoff. Revestimento

9


original (azul), revestimento em colapso (magenta), escória (vermelho) e jato (preto).............................................................................. 44 FIG.2.11

Geometria do processo de colapso do revestimento na teoria PER ............ 46

FIG.2.12

Curva de velocidade de colapso, com aceleração infinita (teoria PER)...... 47

FIG.2.13

Vetores velocidades na junção em movimento (teoria PER) ...................... 47

FIG.2.14

Representação gráfica da posição inicial dos elementos colapsados na teoria PER............................................................................................... 48

FIG.2.15

Posição dos elementos em colapso (teoria PER)......................................... 49

FIG.2.16

Colapso do revestimento na teoria PER. Revestimento original (azul), revestimento em colapso (magenta), escória (vermelho) e jato (preto) ................................................................................................... 51

FIG.2.17

Velocidades de colapso do revestimento e do jato (teoria PER)................. 52

FIG.2.18

Ângulo de colapso do revestimento (teoria PER) ....................................... 53

FIG.2.19

Curva de velocidade de colapso, com aceleração finita (formulação de Randers-Pehrson).................................................................................... 54

FIG.2.20

Geometria do processo de colapso do revestimento com a formulação de Randers-Pehrson ..................................................................................... 55

FIG.2.21

Representação gráfica do processo iterativo para definição da geometria de colapso do revestimento com aceleração finita. k é o número da iteração ...................................................................................... 56

FIG.2.22

Carga oca padrão BRL 81,3 mm (ASELTINE, 1980) ................................ 58

FIG.2.23

(a) ângulos de projeção ( δ ) e (b) ângulos de colapso ( β )......................... 59

FIG.2.24

(a) velocidades de colapso ( VC ) e (b) velocidades de jato ( VJ ).................. 60

FIG.2.25

Vetores velocidades na junção em movimento (critério de Chanteret) .................................................................................................... 61

FIG.2.26

Velocidades de jato (critério de Chanteret) ................................................. 61

FIG.2.27

Velocidades de jato (formulação jet-tip) ..................................................... 62

FIG.2.28

Comprimento inicial dos segmentos, utilizando-se a formulação para a velocidade da ponta do jato (jet-tip) ................................................. 66

FIG.2.29

Representação simplificada do processo de penetração de um jato de carga oca, segundo descrições Eulerianas e Lagrangeanas .................... 68

FIG.2.30

“Fator de Quebra” em função da razão entre o tempo de penetração e o diâmetro do cone (DIPERSIO, SIMON & MARTIN, 1960) ................ 70

10


FIG.2.31

Curvas de penetração média em aço macio como função da distância de standoff. (ɸ) indica penetração média com o desvio médio da média. (×) indica a máxima e a mínima penetrações (BIRKHOFF et al, 1948) ......................................................... 71

FIG.2.32

Curvas de penetração versus tempo, em alvos de aço com diferentes limites de resistência (CHANTERET, 1993) ............................. 72

FIG.2.33

Representação do comprimento do jato para uma carga oca padrão BRL 81,3 mm .................................................................................. 74

FIG.2.34

Penetração normalizada em diâmetros da base do revestimento (P/D), em função da distância de standoff, para uma carga oca padrão BRL 83,82 mm ................................................................................ 77

FIG.2.35

Resultados simulados para a penetração, em função do tempo, ambos normalizados pelo diâmetro da base do revestimento, para três cargas ocas geometricamente proporcionais ................................ 78

FIG.2.36

Comparação entre os resultados simulados da carga nº 4 com os resultados experimentais apresentados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960), para a penetração em função do tempo, relativos ao diâmetro da base do revestimento................................ 79

FIG.2.37

Comparação entre os resultados simulados da carga nº 4 com os resultados experimentais apresentados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960), para a velocidade de penetração em função do tempo normalizado pelo diâmetro da base do revestimento ................................................................................................ 80

FIG.2.38

Comparação entre os resultados simulados da carga nº 4 com os resultados experimentais apresentados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960), para a velocidade do jato em função do tempo normalizado pelo diâmetro da base do revestimento .................. 81

FIG.3.1

Esquema da detonação de um alto explosivo e o perfil de pressão associado ..................................................................................................... 85

FIG.3.2

Representação das regiões de aplicação da EOS Tillotson ......................... 89

FIG.3.3

Representação do modelo Elástico Perfeitamente Plástico ......................... 91

11


FIG.4.1

Malha para simulação de uma carga oca segundo uma descrição Euleriana...................................................................................... 96

FIG.4.2

Malha para simulação de uma carga oca segundo uma descrição Lagrangeana ................................................................................ 97

FIG.4.3

Distribuição de partículas para simulação de uma carga oca pelo método SPH .................................................................................. 99

FIG.4.4

Função núcleo de suavização spline cúbica e suas respectivas derivadas...................................................................................................... 102

FIG.4.5

a) Representação das partículas dentro do raio de interação k h , e b) suas respectivas parcelas de contribuição (VASCO, MACIEL & MINUSSI, 2011) ..................................................................................... 103

FIG.4.6

Composição original do código fonte SPH e principais modificações introduzidas........................................................................... 115

FIG.4.7

Esquema de detecção do algoritmo Screening (MUNJIZA, 2004)............. 116

FIG.4.8

Esquema de integração Leapfrog (PAIVA et al, 2009)............................... 117

FIG.4.9

Distribuição inicial das partículas em células quadradas ............................ 118

FIG.4.10

Distribuição inicial das partículas em células triangulares ......................... 119

FIG.4.11

Condição matemática imposta por uma partícula virtual do tipo II, para uma fronteira em y = 0 ........................................................... 121

FIG.4.12

Interface entre dois fluidos A e B, com idênticas resoluções espaciais de partículas ................................................................................. 123

FIG.5.1

Configuração típica de uma carga oca linear (parte superior) e seu funcionamento (parte inferior) (BLADE®, 1996) ............................. 127

FIG.5.2

Representação do movimento do revestimento em colapso, para uma carga oca linear (LSC), durante a detonação (LIM, 2012b)................ 129

FIG.5.3

Descrição do processo de fabricação de uma carga oca linear (VIGIL, 1996) ............................................................................................. 129

FIG.5.4

Descrição do processo de fabricação de uma carga oca linear de precisão (VIGIL, 1996) .......................................................................... 130

FIG.5.5

Carga oca linear obtida com perfis extrudados, tiras de explosivo plástico e invólucro de espuma de poliuretano (MIZRAHI et al, 2005) ............................................................................... 131

12


FIG.5.6

Carga oca linear Mk-7 Mod 8 (GAZONAS et al, 1995)............................. 132

FIG.5.7

Representação da carga oca linear Mk-7 Mod 8: (a) com invólucro e (b) sem invólucro ..................................................................... 132

FIG.5.8

Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 1,5 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro ........................................................ 133

FIG.5.9

Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 6 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro ....................................................... 134

FIG.5.10

Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 12 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro ........................................................ 134

FIG.5.11

Instante final de colapso do revestimento: (a) 28 µs com invólucro e (b) 35 µs sem invólucro .................................. 135

FIG.5.12

Velocidades máximas dos jatos simulados, com e sem invólucro .............. 136

FIG.5.13

Velocidade do revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 100 µs ................................................................................................... 137

FIG.5.14

Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 100 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro ..................................................................... 137

FIG.5.15

Pressão máxima no revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8............ 138

FIG.5.16

Massa específica do revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8........... 138

FIG.5.17

Temperatura média do revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8....... 139

FIG.5.18

Representação da conversão da energia interna inicial do explosivo de uma carga oca linear Mk-7 Mod 8 ......................................... 139

FIG.5.19

Configuração do experimento de penetração com uma carga oca linear Mk-7 Mod 8 (GAZONAS et al, 1995) ....................................... 140

FIG.5.20

Configuração inicial da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8 .......................................................................................... 142

FIG.5.21

Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8: (a) antes do impacto, em 10 µs e (b) depois do impacto, em 15 µs .................................................................................. 142

FIG.5.22

Representação da energia do sistema para o processo de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8 ................................................... 143

FIG.5.23

Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8, em 65 µs , utilizando-se o modelo constitutivo

13


Elasto-Plástico de Johnson-Cook ................................................................ 144 FIG.5.24

Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8, em 50 µs , utilizando-se o modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico ................................................................... 145

FIG.5.25

Comparação da penetração de um jato de carga oca Mk-7 Mod 8, em um alvo de aço blindado RHA: (a) Resultado experimental (GAZONAS et al, 1995) e (b) Resultado simulado, utilizando-se o modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico ................................................................... 145

FIG.5.26

Curvas tensão×deformação para aços blindados RHA, com 2 in de espessura (MEYER Jr. & KLEPONIS, 2001)................................. 147

FIG.5.27

Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8, em 60 µs , utilizando-se o modelo constitutivo Elasto-Plástico de Johnson-Cook, com alvo de 25,4 mm de espessura ...... 150

FIG.6.1

Interface entre dois materiais A e B, em uma geometria cilíndrica 2D (r, z), com idênticas resoluções espaciais de partículas......................... 159

FIG.6.2

Representação da carga oca padrão BRL 81,3 mm simplificada ................ 164

FIG.6.3

Detonação da carga oca padrão BRL 81,3 mm simplificada, em 5 µs........ 165

FIG.6.4

Detonação da carga oca padrão BRL 81,3 mm simplificada, nos instantes de 15, 30, 45 e 60 µs .............................................................. 166

FIG.6.5

Instante final de colapso do revestimento (105 µs)..................................... 167

FIG.6.6

Efeito da 2ª Viscosidade Artificial: (a) sem viscosidade e (b) com viscosidade..................................................................................... 168

FIG.6.7

Velocidades máximas de um jato de carga oca padrão BRL 81,3 mm ....... 169

FIG.6.8

Velocidade do revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 120 µs .................................................................................................... 169

FIG.6.9

Pressão máxima no revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm ....... 170

FIG.6.10

Massa específica do revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm ...... 170

FIG.6.11

Temperatura média do revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm .. 171

FIG.6.12

Representação da conversão da energia interna inicial do explosivo de uma carga oca padrão BRL 81,3 mm..................................... 172

FIG.6.13

Configuração inicial da simulação de penetração com a

14


carga oca padrão BRL 81,3 mm.................................................................. 173 FIG.6.14

Configuração da simulação de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 165 µs ............................................................... 173

FIG.6.15

Configuração da simulação de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 250 µs ............................................................... 174

FIG.6.16

Representação da energia do sistema para o processo de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm ....................................................... 174

FIG.6.17

Configuração da simulação de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 2135 µs ............................................................. 175

FIG.6.18

Resultado final da penetração de um jato de carga oca padrão BRL 81,3 mm .................................................................................. 176

FIG.9.1

(a) Configuração inicial da carga e (b) Resultado da detonação em 3,6 µs . O tamanho da seta é proporcional à velocidade da partícula ....................................................................................................... 190

FIG.9.2

Resultados para a pressão na frente da onda de detonação em 3,6 µs ..................................................................................................... 191

FIG.9.3

Resultados para a pressão, no ponto ( x, y ) = (0, 0) , em 3,6 µs ..................................................................................................... 192

FIG.9.4

Resultados para a massa específica, no ponto ( x, y ) = (0, 0) , em 3,6 µs ..................................................................................................... 192

FIG.9.5

Resultados para a velocidade de partícula, no ponto ( x, y ) = (0, 0) , em 3,6 µs ..................................................................................................... 193

FIG.9.6

Resultados para o tempo total de CPU, consumido em 3,6 µs de simulação..................................................................................................... 193

FIG.9.7

(a) Configuração inicial do projetil e (b) Configuração final, em 59 µs , após cessarem as deformações plásticas .................................... 197

FIG.9.8

Representação da conversão da energia cinética do projetil em energia interna, durante o impacto .............................................................. 198

FIG.9.9

Temperatura das partículas, em 59 µs ........................................................ 199

FIG.9.10

Pressão das partículas, em 59 µs ................................................................. 200

15


FIG.9.11

Massa específica das partículas, em 59 µs .................................................. 200

FIG.9.12

(a) Configuração inicial e (b) Detalhe da discretização .............................. 201

FIG.9.13

Dimensões características para avaliação (FARAHANI et al, 2009) ......... 201

FIG.9.14

Dinâmica do processo de impacto de um cilindro em alta velocidade sobre uma chapa fina.......................................................... 202

FIG.9.15

(a) Configuração inicial do projetil e (b) Configuração final, em 46,5 µs , após cessarem as deformações plásticas ................................. 204

FIG.9.16

Representação da conversão da energia cinética do projetil em energia interna, durante o impacto ........................................................ 205

FIG.9.17

Temperatura das partículas, em 46,5 µs ..................................................... 206

FIG.9.18

Pressão das partículas, em 46,5 µs .............................................................. 206

FIG.9.19

Massa específica das partículas, em 46,5 µs ............................................... 207

FIG.9.20

(a) Configuração inicial e (b) Detalhe da discretização .............................. 208

FIG.9.21

Representação da conversão da energia cinética do projetil em energia interna do sistema projetil-alvo, durante a penetração ............. 209

FIG.9.22

Dinâmica do processo de penetração de um projetil de tungstênio em um alvo de aço macio, até o instante de 20 µs..................... 209

FIG.9.23

Resultado final da penetração: (a) simulação e (b) experimental (HOHLER & STILP, 1977) ........................................................................ 210

16


LISTA DE TABELAS

TAB.2.1

Geometria da carga oca de EICHELBERGER & PUGH (1952)................ 44

TAB.2.2

Propriedades dos materiais utilizados na carga oca de EICHELBERGER & PUGH (1952) – Revestimento de Aço e Pentolite como explosivo (MEYERS & MURR, 1981)........................... 44

TAB.2.3

Resultados obtidos (modelo de Birkhoff) ................................................... 45

TAB.2.4

Resultados obtidos (teoria PER).................................................................. 52

TAB.2.5

Geometria da carga oca padrão BRL 81,3 mm (ASELTINE, 1980) .......... 59

TAB.2.6

Propriedades dos materiais utilizados na carga oca padrão BRL 81,3 mm – Revestimento de cobre e composto B como explosivo (WALTERS & ZUKAS, 1989)......................................... 59

TAB.2.7

Velocidades de corte para uma carga oca padrão BRL 83,82 mm (HANCOCK, 2001)........................................................... 73

TAB.2.8

Posição da ponta do jato para uma carga oca padrão BRL 81,3 mm .......... 75

TAB.2.9

Características do jato em 209 µs (Simulação numérica)........................... 75

TAB.2.10 Geometria da carga oca padrão BRL 83,82 mm (HANCOCK, 2001)........ 76 TAB.2.11 Propriedades dos materiais utilizados na carga oca padrão BRL 83,82 mm – Revestimento de cobre e octol como explosivo (WALTERS & ZUKAS, 1989) .................................................. 76 TAB.2.12 Penetração para uma carga oca padrão BRL 83,82 mm, em função da distância de standoff.............................................................. 76 TAB.2.13 Geometria das cargas ocas proporcionais (DIPERSIO, SIMON & MARTIN, 1960)........................................................................ 77 TAB.2.14 Propriedades dos materiais utilizados nas cargas ocas proporcionais – Revestimento de cobre e composto B como explosivo (DIPERSIO, SIMON & MARTIN, 1960) ........................ 78 TAB.2.15 Penetração para a carga nº 4 (Standoff: 3D)................................................ 79 TAB.2.16 Velocidade de penetração para a carga nº 4 (Standoff: 3D)........................ 80 TAB.2.17 Velocidade do jato para a carga nº 4 (Standoff: 3D) ................................... 81

TAB.3.1

Propriedades de alguns explosivos sólidos e respectivos

17


parâmetros na relação linear de choque - (COOPER, 1996 e BARROSO, 2009)....................................................................................... 85 TAB.3.2

Parâmetros da EOS JWL para alguns explosivos - (COOPER, 1996; LEE, 2006; AUTODYN, 2009 e BARROSO, 2009)........................ 87

TAB.3.3

Parâmetros da EOS Mie-Grüneisen para alguns materiais metálicos - (MEYERS & MURR, 1981; LEE, 2006 e AUTODYN, 2009)...................................................................................... 88

TAB.3.4

Parâmetros da EOS Tillotson para alguns materiais – (AUTODYN, 2009)..................................................................................... 89

TAB.3.5

Parâmetros dos modelos constitutivos Elástico Perfeitamente Plástico e de Johnson-Cook, para alguns materiais metálicos – (LEE, 2006 e AUTODYN, 2009) ............................................................... 92

TAB.3.6

Parâmetros do modelo constitutivo de Steinberg-Guinan, para alguns materiais metálicos – (LEE, 2006 e AUTODYN, 2009) ................. 94

TAB.4.1

Equações de conservação, segundo as descrições Lagrangeana e Euleriana (LIU & LIU, 2003)...................................................................... 96

TAB.5.1

Dimensões, em mm, da Mk-7 Mod 8 (GAZONAS et al, 1995) ................. 132

TAB.5.2

Resultados simulados da repartição da massa do revestimento em jato e escória .......................................................................................... 135

TAB.5.3

Resultados experimentais e simulados para a velocidade máxima de um jato de carga oca linear Mk-7 Mod 8.................................. 136

TAB.5.4

Resultados para a penetração de um jato de carga oca Mk-7 Mod 8, em um alvo de aço blindado RHA ........................................ 146

TAB.6.1

Dimensões, em mm, da carga oca padrão BRL 81, 3 mm simplificada ..... 165

TAB.6.2

Resultados simulados da repartição da massa do revestimento em jato e escória .......................................................................................... 167

TAB.9.1

Direct Find e células quadradas .................................................................. 194

TAB.9.2

Screening e células quadradas ..................................................................... 195

TAB.9.3

Direct Find e células triangulares ............................................................... 195

18


TAB.9.4

Screening e células triangulares .................................................................. 196

TAB.9.5

Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados fornecidos por LIU & LIU (2003)....................... 198

TAB.9.6

Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados fornecidos por HOWELL & BALL (2002) e FARAHANI et al (2009) ................................................... 203

TAB.9.7

Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados experimentais fornecidos por JOHNSON & HOLMQUIST (1988) .......................................................... 205

TAB.9.8

Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados experimentais de HOHLER & STILP (1977)............................................................................................... 210

19


LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

ABREVIATURAS

c

-

Velocidade sônica.

CJ

-

Relativo à interface de Chapman-Jouguet

D, d -

Diâmetros.

E

-

Módulo de elasticidade.

EG

-

Energia de Gurney.

G

-

Módulo transversal de elasticidade.

h

-

Comprimento suavizante.

J

-

Posição do jato.

L

-

Comprimento do jato.

m

-

Massa total do revestimento.

mJ

-

Massa da porção do jato.

mS

-

Massa da porção da escória.

P, p -

Pressões.

s

-

Entropia específica.

t

-

Tempo.

tC

-

Tempo de colapso.

tb

-

Tempo de ruptura do jato.

T

-

Temperatura.

Tamb -

Temperatura ambiente.

T fusão -

Temperatura de fusão.

T0

Temperatura inicial de referência.

-

U, V -

Velocidades.

UD

-

Velocidade de detonação do explosivo.

UP

-

Velocidade de penetração do jato.

u

-

Energia interna específica.

V0

-

Velocidade final de colapso.

VC

-

Velocidade de colapso.

20


VJ

-

Velocidade do jato.

VJ _ tip -

Velocidade da ponta do jato.

VS

-

Velocidade da escória.

W

-

Função núcleo de suavização.

Z0

-

Posição inicial dos elementos colapsados.

SÍMBOLOS

α

-

Semi-ângulo da cavidade.

β

-

Ângulo de colapso.

β*

-

Pseudo-ângulo de colapso (critério de Chanteret).

δ

-

Ângulo de projeção.

ε

-

Deformação.

εp

-

Deformação plástica.

Γ

-

Parâmetro de Grüneisen.

η

-

Massa específica bidimensional (2D).

λ

-

Ângulo de incidência (teoria de Defourneaux).

ν

-

Volume específico.

ρ

-

Massa específica tridimensional (3D).

ρE

-

Massa específica relativa ao explosivo.

ρJ

-

Massa específica relativa ao jato.

ρL

-

Massa específica relativa ao revestimento.

ρt

-

Massa específica relativa ao alvo.

σ

-

Tensão total.

σH

-

Tensão hidrostática.

σD

-

Tensão desviatória.

σY

-

Tensão de escoamento.

σ yd -

Tensão de escoamento dinâmico.

τ

Tensão desviatória.

-

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LISTA DE SIGLAS

BASC

BRL Analytical Shaped Charge (Código analítico para simulação de carga oca cilíndrica)

BRL

Ballistic Research Laboratory (Laboratório de Pesquisas Balísticas)

CSC

Cylindrical Shaped Charge (Carga Oca Cilíndrica)

EOS

Equation of State (Equação de Estado)

GPU

Graphics Processing Unit (Unidade de Processamento Gráfico)

HEAT

High Explosive Antitank (Munição Anticarro Alto Explosiva)

LESCA

Linear Explosive Shaped Charge Analysis (Código analítico para simulação de carga oca linear)

LSC

Linear Shaped Charge (Carga Oca Linear)

OFHC

Oxygen-Free High Thermal Conductivity Copper (Cobre de alta condutividade térmica)

PER

Pugh, Eichelberger & Rostoker (Designação pela qual ficou conhecida uma das principais teorias de formação de um jato de carga oca)

RHA

Rolled Homogeneous Armor (Aço para proteção balística obtido por laminação)

SPH

Smoothed Particle Hydrodynamics (Método Hidrodinâmico de Partícula Suavizada)

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RESUMO

Este trabalho tem como objetivo a modelagem computacional de um tipo específico de artefato explosivo denominado carga oca. Os esforços de modelagem de uma carga oca podem ser agrupados em dois períodos: O 1º período, compreendido entre as décadas de 1940 e 1980, é caracterizado por um denso acúmulo de conhecimento, obtido através de alguns modelos analíticos acoplados com a realização de dispendiosos experimentos. No 2º período, compreendido desde o início da década de 1990 até os dias de hoje, a solução numérica das equações de conservação da mecânica do contínuo, que governam o fenômeno físico da detonação completa de uma carga oca, utilizando-se recursos computacionais cada vez mais acessíveis e de baixo custo, é uma realidade que tem possibilitado o surgimento de um número crescente de novos estudos. O presente trabalho apresenta um modelo computacional para uma simulação completa de carga oca. Neste modelo, o método hidrodinâmico de partícula suavizada (SPH) é utilizado como forma de solução das equações de conservação. Uma formulação SPH tridimensional (3D), para problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, é utilizada e simplificada em um plano bidimensional (2D). Inicialmente, utilizando-se simetria plana para a simulação de cargas ocas lineares e, posteriormente, simetria axial para a simulação de cargas ocas cilíndricas. As diversas interfaces entre os múltiplos materiais existentes em uma detonação completa de carga oca são tratadas com a utilização da estratégia multi-fase. Na simetria axial, uma 2ª viscosidade artificial é utilizada como forma de contabilizar o efeito de convergência das partículas do revestimento na direção do eixo de simetria. Todos os resultados das simulações realizadas são consistentes quando comparados com os resultados experimentais disponíveis na literatura, demonstrando que as formulações propostas são válidas e potencialmente utilizáveis em uma modelagem computacional de carga oca.

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ABSTRACT

This work has a purpose the computational modeling of a specific type of explosive called shaped charge. Their modeling efforts can be grouped into two periods: the first period, between the 1940’s and 1980’s, is characterized by a dense accumulation of knowledge, obtained through some analytical models coupled with the realization of expensive experiments. In the second period, from the beginning of the 1990’s to the present day, the possibility of numerical solution of the conservation equations of continuum mechanics, which govern the physical phenomenon of the detonation of a shaped charge, using more accessible and low cost computational resources, is a reality that has enabled an increasing number of new studies. The present work presents a computational model for a complete simulation of a shaped charge. In this model, the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method is used as a way of solving the conservation equations. A three-dimensional (3D) SPH formulation, for problems with strength of materials, is used in a two-dimensional (2D) simplified plan. Initially, using plane symmetry for the simulation of linear shaped charges and, subsequently, axial symmetry for the simulation of cylindrical shaped charges. The various interfaces among multiple materials existing in a complete shaped charge detonation are treated with the use of the multi-phase strategy. In axial symmetry, a second artificial viscosity is incorporated in order to account the convergence effect of the liner particles toward the axis of symmetry of the charge All results of the simulations are consistent when compared with the experimental results available in the literature, demonstrating that the proposed formulations are valid and potentially useful in a computational modeling of a shaped charge.

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1

INTRODUÇÃO Carga Oca (Shaped Charge) é a denominação comumente utilizada para descrever uma

carga de alto explosivo, dotada de uma cavidade revestida com algum material, normalmente metálico, na extremidade oposta ao ponto de iniciação. A FIG.1.1 ilustra uma configuração típica de uma carga oca. A cavidade, cuja geometria pode assumir as mais variadas formas axissimétricas (cônica, hemisférica, trumpete, tulipa etc), é responsável por promover um efeito intensificador dos gases da carga explosiva detonada, proporcionando o colapso do revestimento e a formação de um jato de alta velocidade e alta pressão. Este jato, quando dirigido a um determinado obstáculo, consegue produzir grandes penetrações que normalmente não seriam obtidas com a mesma carga explosiva sem a cavidade revestida.

FIG.1.1 Carga Oca típica.

Os primeiros registros de utilização de cargas explosivas com cavidades datam de 1792, quando Franz von Baader tentou realizar aquilo que mais tarde ficaria conhecido como gravação por explosão. Depressões ou outras formas de entalhes eram produzidas em cargas explosivas e estas eram colocadas sobre placas de aço. Esperava-se a impressão dessas formas após a detonação. Entretanto, os experimentos de von Baader não foram bem sucedidos, uma vez que ele utilizou pólvora negra como explosivo, a qual não é capaz de detonar e nem de gerar uma onda de choque. Somente com a descoberta dos detonadores por Alfred Nobel, em 1867, é que se pôde confirmar o efeito de uma carga explosiva com cavidade, o que foi efetivamente obtido em 1883 por von Foerster, considerado o verdadeiro descobridor da carga oca (WALTERS & ZUKAS, 1989). Em 1888, Charles Munroe formaliza o que é considerado como sendo a primeira tentativa de explicação sobre o assunto. Munroe, trabalhando em um laboratório da Marinha americana (US Navy), conduziu experimentos para gravação em placas de aço, utilizando blocos

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explosivos de nitrocelulose contendo letras entalhadas em baixo relevo, conforme FIG.1.2. Munroe concluiu que a gravação nas placas de aço era resultado do efeito dos gases do explosivo detonado, intensificado pelo vazio deixado por essas letras entalhadas nos blocos de nitrocelulose (WALTERS & ZUKAS, 1989).

FIG.1.2 Efeito Munroe (MUNROE, 1900).

É no intervalo entre as duas grandes guerras que surgem descobertas como a influência da geometria da cavidade, o efeito produzido quando a cavidade é revestida por algum material metálico e o efeito da distância da carga ao alvo, também denominada de distância de

standoff, todos retratados na FIG.1.3.

FIG.1.3 Diferentes efeitos de penetração obtidos para uma: (a) Carga com cavidade não revestida; (b) Carga com cavidade revestida, sem o efeito da distância de standoff e (c) Carga com cavidade revestida, com o efeito da distância de standoff.

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1.1 IMPORTÂNCIA DO ASSUNTO Durante a II Guerra Mundial, as principais forças envolvidas no conflito intensificaram os estudos acerca do extraordinário potencial de utilização das cargas ocas, com cavidades revestidas de materiais metálicos, para diversas aplicações em armas e munições para perfurações de blindagens, estruturas de concreto, fortificações, entre outras. A FIG.1.4 é um exemplo de munição perfurante anticarro (HEAT – High Explosive Antitank). Nesta figura nota-se a existência de um formador de onda de choque, que nada mais é do que um explosivo detonado pela espoleta, a qual é acionada quando do impacto. A onda de detonação avança até interagir com o cone, provocando seu colapso e formando um jato metálico. Por um outro lado, o desenvolvimento de materiais de blindagens mais eficientes também depende de uma melhor compreensão do processo de perfuração ocasionado por uma munição de carga oca.

FIG.1.4 Munição anticarro. (http://www.globalsecurity.org/military/systems/munitions/images/m830.jp)

Após a II Guerra Mundial, as aplicações se ampliaram tanto no meio civil como no segmento militar. Entre as atividades civis, têm-se aplicações tão diversas como o emprego nas áreas de mineração, demolição, construção de túneis, indústria aeroespacial, siderurgia e, principalmente, na indústria petrolífera. Nesta última, com destaque para as operações de canhoneio, onde a FIG.1.5 apresenta uma carga explosiva empregada nesta atividade. Após a perfuração de um poço, o mesmo é revestido com tubos de aço soldados, até a profundidade de exploração. Em seguida, ocorre a cimentação da região entre o poço e o revestimento. A interligação final com o reservatório, para escoamento do óleo, é feita com a furação do revestimento de aço e do cimento, por intermédio de um canhão múltiplo, onde as cargas ocas são dispostas radialmente (GAIO, RAMOS & MINATO, 2011). No Brasil, com a descoberta

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de campos petrolíferos na camada do pré-sal, a profundidades que chegam a 7,0 km, as operações de canhoneio se apresentam com importância crescente na comunicação com os reservatórios. A atividade de canhoneio talvez responda pelo maior consumo de cargas ocas nos dias de hoje. Embora, do ponto de vista científico, uma carga oca para fins militares funcione da mesma forma que uma carga oca para canhoneio, do ponto de vista tecnológico há diferenças relevantes, dentre as quais podemos destacar (WALTERS & ZUKAS, 1989): 1. As cargas para canhoneio utilizam explosivos quimicamente mais resistentes e, sobretudo, em quantidades muito inferiores às cargas militares. Primeiramente, em razão do ambiente hostil de um poço. Em segundo lugar, por limitação de espaço no mesmo e também a fim de evitar possíveis danos, causados pela interferência resultante da detonação entre cargas muito próximas umas das outras; 2. O revestimento das cargas para canhoneio é fabricado por metalurgia do pó, devendo ser completamente desintegrado após a perfuração, de forma a não obstruir o fluxo de óleo. Nas cargas militares, o revestimento é fabricado por deformação plástica, com embutimento e estiramento.

FIG.1.5 Carga Oca típica para canhoneio (POOLE, 2005 e BAIOCO & SECKLER, 2009).

28


Os dois tipos mais usuais de carga oca são: 1) Carga Oca Linear e 2) Carga Oca Cilíndrica. Uma carga oca linear (LSC – Linear Shaped Charge), exemplificada na FIG.1.6 (a), é utilizada, principalmente, em aplicações de corte e destruição, como observado na FIG.1.6 (b). Uma carga oca cilíndrica (CSC – Cylindrical Shaped Charge), exemplificada na FIG.1.7 (a), é utilizada em aplicações que visam à obtenção de grandes penetrações, como nas aplicações militares e nas atividades de canhoneio. A FIG.1.7 (b) é um exemplo de penetração obtida com uma carga oca militar.

FIG.1.6 (a) Carga Oca Linear e (b) Aplicação (BLADE®, 1996).

FIG.1.7 (a) Carga Oca Cilíndrica e (b) Aplicação (MILLER, 2003).

A FIG.1.8 representa, de forma simplificada, o processo de funcionamento de uma carga oca. O princípio de formação do jato ocorre com o colapso do revestimento metálico, após este ser atingido pela onda de choque da detonação do explosivo. Os elementos de massa do revestimento são impulsionados na direção do eixo de simetria da carga pela ação do explosivo. Ao atingir o eixo de simetria, os elementos de massa do revestimento são repartidos em jato e escória. O jato formado viaja em direção ao alvo atingindo altíssimos valores de velocidade, pressão e taxa de deformação, que chegam a ultrapassar 10 km/s, 200 GPa e 107s-1, respectivamente, em frações de microsegundos. A escória, normalmente com mais massa, também viaja em direção ao alvo com grandezas relativamente mais baixas. Sua velocidade fica em torno de 0,5 a 1 km/s, por exemplo.

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FIG.1.8 Quadro sintético do processo de funcionamento de uma carga oca (POOLE, 2005).

No entanto, apesar de toda importância e de tantas possibilidades de aplicações, fenômenos como o colapso do revestimento metálico, sob ação de uma onda de detonação explosiva, o comportamento dinâmico dos revestimentos metálicos, sob altas taxas de deformação, e a perfuração de um material por um jato de carga oca não são bem compreendidos. A penetração de um jato de carga oca é fortemente influenciada pelo seu processo de formação e pela dinâmica de seu alongamento e ruptura até atingir o alvo. Conseguir estimar a profundidade de penetração produzida por um jato de carga oca é muito importante, tanto na avaliação da performance de uma dada carga quanto no desenvolvimento de um novo projeto. Conceitualmente, a modelagem de uma carga oca pode ser dividida em três fases: 1. Detonação da carga explosiva, colapso do revestimento metálico e formação do jato; 2. Alongamento e quebra do jato, durante seu percurso até o alvo; 3. Penetração no alvo ou balística terminal.

Na realidade, existem muitos métodos para a simulação completa de uma carga oca ou para qualquer uma das 3 fases. Em geral, esses métodos podem ser analíticos, empíricos, numéricos e, também, combinações desses (CHANTERET, 1993). O primeiro trabalho apresentado com o intuito de descrever o colapso do revestimento metálico, a formação de um jato de carga oca e o processo de penetração desse jato em um alvo é atribuído à BIRKHOFF et al (1948). Nele, utiliza-se formulação matemática analítica, mecânica dos fluidos e observações experimentais a partir de flashes radiográficos de alta velocidade. A principal hipótese consiste em admitir que a pressão desenvolvida pelo explosivo é muito superior ao limite de resistência do revestimento, e que este pode ser considerado como um fluido incompressível e invíscido. Esta mesma hipótese também foi adotada na relação jato/alvo, possibilitando a obtenção de uma teoria hidrodinâmica para

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estimativa da profundidade de penetração, ainda muito utilizada atualmente. O modelo de Birkhoff admite que os elementos de massa do revestimento são colapsados com velocidade e ângulo constantes, razão pela qual o modelo é conhecido como estacionário. Tal característica acarreta um jato com velocidade e comprimento constantes, proporcionando sempre a mesma estimativa de penetração, independente da distância entre a carga e o alvo, denominada de distância de standoff e usualmente medida em diâmetros da carga. Este fato contrariava observações experimentais que indicavam jatos com um gradiente positivo de velocidade entre a ponta e a cauda, por essa razão, mais alongados e produzindo maiores penetrações. Pouco tempo depois, PUGH, EICHELBERGER e ROSTOKER (1952) apresentaram um trabalho, que depois ficou conhecido como teoria PER, onde conseguiram corrigir as distorções do modelo de Birkhoff. Na teoria PER, o quadro de colapso formado a partir da velocidade e do ângulo de colapso de cada elemento de massa do revestimento é considerado variável - razão pela qual a teoria é conhecida como não-estacionária. Tais variações de velocidade e ângulo de colapso proporcionam a formação de um jato mais alongado e com uma velocidade variável entre a ponta e a cauda, produzindo estimativas mais realísticas da penetração obtida por uma carga oca. Os trabalhos experimentais com carga oca, de uma forma geral, em razão das grandezas envolvidas e da duração do fenômeno como um todo, exigem uma infra-estrutura e uma instrumentação muito dispendiosa, o que sempre estimulou a utilização de recursos computacionais. Durante muitos anos, o que se conseguiu construir de conhecimento a respeito de uma carga oca pode ser atribuído à realização de numerosos trabalhos experimentais, complementados com muito pouco de simulação computacional. Inicialmente, as limitações computacionais fizeram o cenário de simulação de uma carga oca ser dominado por modelos analíticos, também denominados de códigos computacionais unidimensionais (1D). Muitos desses códigos são baseados na teoria PER e utilizam parâmetros extraídos dos trabalhos experimentais. O código BASC (BRL Analytical Shaped Charge) é considerado um dos mais importantes. Com a evolução dos métodos numéricos e dos recursos computacionais, os códigos hidrodinâmicos 2D ou 3D, baseados em propagação de ondas, utilizando métodos numéricos com malha, como elementos finitos (MEF) e/ou diferenças finitas (MDF), ou sem malha, como o método hidrodinâmico de partícula suavizada (SPH –

Smoothed Particle Hydrodynamics), ganharam espaço e passaram a ser uma ótima alternativa para a simulação completa de uma carga oca.

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Existem muitos estudos de simulação de carga oca que utilizam métodos numéricos com malha, como elementos finitos e/ou diferenças finitas (QIANKUN et al, 2001; MOLINARI, 2002; MA et al, 2008; UGRCIC & UGRCIC, 2009; JUNQING et al, 2012 e CHEN & LIU, 2012). Em todos eles, entre outros aspectos, destaca-se a complexidade dos modelos propostos para lidar com as diversas interfaces multi-materiais (explosivo, revestimento, invólucro e alvo). A utilização crescente e bem-sucedida do método SPH em problemas de mecânica dos fluidos e de mecânica dos sólidos estendeu sua aplicação também em problemas de simulação de explosivos, impactos em altas velocidades e penetrações, características encontradas em uma detonação completa de carga oca. Novamente, as interfaces multi-materiais merecem atenção especial. Trabalhos como os de QIANG et al (2008), GANG et al (2011) e FENG et al (2013) são alguns exemplos, cada qual com uma abordagem diferente para as interfaces: estratégia multi-fase, penalidade anti-penetração e correção do gradiente da função núcleo de suavização, respectivamente. Esses trabalhos utilizam uma formulação SPH 2D obtida a partir de uma formulação SPH 3D, considerando-se simetria plana. Tal simplificação contempla, exclusivamente, a simulação de uma carga oca linear. No entanto, esses mesmos trabalhos utilizam cargas hipotéticas e carecem de validação experimental. Por outro lado, também não se tem conhecimento de trabalhos de simulação de cargas ocas cilíndricas utilizando-se o método SPH.

1.2 OBJETIVO

O objetivo deste trabalho é realizar a simulação completa de uma carga oca, comparandose os resultados simulados obtidos com os resultados experimentais disponíveis na literatura. O modelo computacional proposto para esta finalidade possui a seguinte composição: 1. Método Numérico – SPH, adotando a estratégia multi-fase para as diferentes interfaces, incorporando resistência dos materiais e considerando simplificações com simetria plana para uma carga oca linear e simetria axial para uma carga oca cilíndrica; 2. Equações de Estado (EOS) – Jones-Wilkins-Lee para os produtos da detonação da carga explosiva e Mie-Grüneisen para o revestimento metálico, o invólucro e o alvo, ambos sob ação de uma onda de choque;

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3. Modelos Constitutivos – Hidrodinâmico, Elástico perfeitamente plástico ou Elastoplástico (Johnson-Cook e Steinberg-Guinan).

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho está organizado em sete capítulos. Neste primeiro capítulo é apresentada uma pequena introdução sobre o tema da pesquisa, abordando aspectos históricos, fatos e descobertas que contribuíram para o crescimento do tema em relevância. Também são apresentados conceitos, definições e aplicações que motivam e justificam a consecução dos objetivos pretendidos. No segundo capítulo, as principais modelagens analíticas são revistas e discutidas. Uma nova proposição de modelagem analítica unidimensional é apresentada. O modelo é baseado na teoria PER com alguns aprimoramentos listados em CHANTERET (1993). Os resultados das simulações numéricas, quando comparados com os resultados experimentais, evidenciam que a modelagem analítica, sob certos aspectos, ainda é atraente. No terceiro capítulo, as equações de estado (EOS) e os modelos constitutivos mais utilizados para uma simulação computacional de carga oca são apresentados. O quarto capítulo é destinado à metodologia numérica. Inicia-se com uma discussão sucinta sobre o método mais apropriado para uma simulação de carga oca. Em seguida, o método SPH é adotado e sua formulação conceitual é apresentada. No quinto capítulo, são realizadas simulações de formação, alongamento e penetração de um jato de carga oca linear. Para esta finalidade, é utilizado o método SPH com resistência dos materiais, considerando-se simetria plana. Os resultados da simulação numérica são comparados com resultados experimentais. O sexto capítulo é reservado para simulações de formação, alongamento e penetração de um jato de carga oca cilíndrica. O método SPH com resistência dos materiais é utilizado, agora em coordenadas cilíndricas, e os resultados da simulação numérica também são comparados com resultados experimentais. O sétimo capítulo é destinado a conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

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2

MODELAGEM ANALÍTICA DE UMA CARGA OCA

Este capítulo tem como objetivo apresentar algumas das principais modelagens analíticas desenvolvidas para compreensão das três fases do processo de funcionamento de uma carga oca, previamente definidas como: 1. Detonação da carga explosiva, colapso do revestimento metálico e formação do jato; 2. Alongamento e quebra do jato, durante seu percurso até o alvo; 3. Penetração no alvo ou balística terminal.

Na fase 1, as teorias de Gurney e de Defourneaux são apresentadas como opção para determinação da velocidade final dos elementos de massa colapsados, após a interação explosivo/revestimento. O modelo de Birkhoff e a teoria PER, formulações clássicas da teoria de formação de um jato de carga oca, são apresentados, exemplificados com simulações e analisados. Alguns aprimoramentos da teoria PER, listados em CHANTERET (1993), também são discutidos, formalizados e exemplificados com simulações. Na fase 2, discute-se a questão do alongamento e da ruptura do jato, e os efeitos de ambos na performance de uma carga oca. São apresentados os modelos de Hirsch, Chou-Carleone e o critério de Walters e Summers. Na fase 3, é apresentada a teoria hidrodinâmica de Birkhoff e sua modificação proposta por DiPersio, Simon e Martin, relativa à existência de um “Fator de Quebra” que reduz a capacidade de penetração do jato. Por fim, são realizadas algumas simulações numéricas e comparações com dados experimentais, utilizando-se um modelo analítico simplificado, contendo: 1) a teoria de Gurney e a teoria PER, com alguns aprimoramentos listados em CHANTERET (1993); 2) o critério de Walters e Summers, para o alongamento dinâmico do jato e 3) a teoria hidrodinâmica para a penetração, modificada por DiPersio, Simon e Martin.

2.1 TEORIA DE FORMAÇÃO DE UM JATO DE CARGA OCA

Um jato de carga oca é formado com o colapso do revestimento metálico após interação deste com a onda de choque da detonação do explosivo. Parâmetros importantes para a formação do jato, como a velocidade final de cada elemento no eixo, também conhecida como

34


velocidade de colapso, o ângulo de colapso, que vem a ser o ângulo que o elemento de massa faz com o eixo de simetria ao atingi-lo, a aceleração e o ângulo de projeção com que cada um deles é arremessado, dependem dessa interação explosivo/revestimento, onde reside um dos principais focos de estudo do fenômeno. Algumas aproximações, normalmente utilizadas para essa interação, são as teorias de Gurney e de Defourneaux. A teoria de Gurney consiste em um método simples de previsão da velocidade atingida por um metal sob ação de um explosivo. Nos anos de 1940-1950, Gurney conduziu uma série de experimentos de detonação de bombas e concluiu que a velocidade dos fragmentos era fortemente dependente da relação µ = M C , onde M é a massa dos fragmentos e C é a massa do explosivo. Gurney considerou como hipótese, que a energia química armazenada no explosivo era convertida na soma da energia cinética dos fragmentos de metal com a energia cinética dos gases do explosivo detonado. Assim, uma energia específica EG, característica de um dado explosivo, é utilizada nessa conversão e corresponde a uma fração de toda energia química liberada na detonação. Esta energia específica é denominada de Energia de Gurney (WALTERS & ZUKAS, 1989). Gurney obteve diversas relações, para as mais variadas configurações geométricas, aplicando as leis de conservação de energia e de quantidade de movimento e admitindo um perfil de velocidade linear para os gases em expansão do explosivo detonado, conforme observado na FIG.2.1.

FIG.2.1 Hipótese do perfil linear para a velocidade dos produtos gasosos da detonação (teoria de Gurney).

Para a configuração da FIG.2.1, denominada de “sanduíche face aberta”, a velocidade final do fragmento de metal impulsionado pode ser obtida pela EQ.2.1. Esta mesma equação é utilizada na configuração de uma carga oca, sendo V0 a velocidade final de colapso (CHOU & FLIS, 1986).

35


  3 V0 = 2 EG  2 1 + 5µ + 4 µ 

1

2

(2.1)

No entanto, a teoria de Gurney considera que a onda de detonação incide sobre o revestimento segundo uma direção normal. Deste modo, a velocidade final obtida também é normal à superfície original do metal impulsionado. Assim, em configurações típicas de carga oca, aproximações mais realísticas devem considerar o ângulo de incidência da onda de detonação na interação explosivo/revestimento, como é o caso da teoria de Defourneaux (WALTERS & ZUKAS, 1989). Considere a FIG.2.2, representativa da teoria de Defourneaux. A velocidade final de colapso ( V0 ) é obtida por intermédio de uma estimativa do ângulo de projeção dos elementos de massa do revestimento ( δ ), obtida pela EQ.2.2, onde φ0 e k são parâmetros obtidos em função do par explosivo/revestimento. As curvas da FIG.2.3 representam uma tentativa de generalização para obtenção de φ0 e k em configurações típicas de uma carga oca (HARRISON, 1981).

1 1 k ρJ e = + 2δ φ0 eE

(2.2)

FIG.2.2 Representação de um revestimento impulsionado pela ação de um explosivo (teoria de Defourneaux).

Da FIG.2.2, pelo triângulo OPP’, obtêm-se a relação entre o ângulo de projeção e a velocidade final de colapso:

36


sin δ =

V0 2U

(2.3)

ρ J , e , VN e VA são, respectivamente, a massa específica, a espessura, a velocidade normal e a velocidade aparente do revestimento. ρ E e eE são a massa específica e a espessura do explosivo. U é a velocidade de detonação do explosivo e λ é o ângulo de incidência (WALTERS & ZUKAS, 1989).

FIG.2.3 Curvas para obtenção dos parâmetros φ0 e k (HARRISON, 1981).

Neste capítulo, as simulações numéricas utilizam uma configuração simplificada de carga oca cilíndrica, representada pela FIG.2.4. DC é o diâmetro externo da carga explosiva (sem invólucro), D é o diâmetro externo da base do revestimento, e é a espessura do revestimento, α é o semi-ângulo da cavidade, ρ J é a massa específica do revestimento e ρ E é a massa específica da carga explosiva. A altura do cone h2 é calculada pela própria geometria do problema. h2 =

D cos α − 2 e 2 sin α

(2.4)

37


FIG.2.4 Configuração simplificada para uma carga oca cilíndrica.

Discretizando-se o revestimento em N elementos de mesmo comprimento

h2

N

, a

posição inicial (x, y), do centro de massa de cada elemento (i) do revestimento, será:

x (i ) =

h2  1  i −  N  2

(2.5)

y (i ) = x (i ) tan α +

e , com i = 1 até N. 2 cos α

(2.6)

A massa de cada elemento (i) do revestimento é obtida multiplicando-se a massa específica pelo volume de cada anel (i). Da FIG.2.5, podemos calcular a área da seção de cada anel como

h2 e h e e o volume como vol (i ) = 2π y (i ) 2 . N cos α N cos α

A massa de cada anel de explosivo, ao redor de cada anel de elemento (i) do revestimento, é obtida multiplicando-se a massa específica pelo volume de cada anel. O volume de cada anel de explosivo ( VE (i ) ) é calculado pela diferença entre o volume total do cilindro (com diâmetro DC) em torno de cada elemento, o volume do elemento do revestimento ( vol (i ) ) e o volume da região oca abaixo de cada elemento ( vazio (i ) ). vol (i ) = 2π y (i )

vazio(i ) =

h2 e N cos α

π  h2 

3

(2.7)

[

2 3   tan α i − (i − 1) 3N

3

]

(2.8)

38


VE (i ) = π

DC 2 h2 − vol (i ) − vazio(i ) , sempre com i = 1 até N. 4 N

(2.9)

FIG.2.5 Seção transversal de cada anel de elemento (i) do revestimento.

2.1.1

MODELO DE BIRKHOFF

O modelo proposto por BIRKHOFF et al (1948) é de natureza geométrica e baseado em observações experimentais de flashes radiográficos de alta velocidade. Este modelo assume o quadro de colapso como estacionário e admite que os elementos de massa do revestimento são acelerados instantaneamente até a velocidade final de colapso, considerada igual e constante para todos os elementos do revestimento.

FIG.2.6 Quadro de formação do jato e da escória a partir do colapso do revestimento, para um volume de controle na junção de movimento A.

Considere a FIG.2.6, onde um volume de controle (VC) abrange a junção de movimento A, na qual o revestimento em colapso é repartido em jato e escória. Aplicando-se a 1ª Lei da Termodinâmica para este VC, tem-se (VAN WYLEN & SONNTAG, 1976):

39


  dE   V2 V2 Q&VC + ∑ m& e  he + e + ze g  = VC + ∑ m& s  hs + s + z s g  + W&VC 2 dt 2    

(2.10)

A EQ.2.10 pode ser simplificada ao considerarmos as seguintes observações: 1) O modelo de Birkhoff considera o processo de colapso estacionário, ou seja, em regime permanente. Assim, não há variação de energia no volume de controle com o tempo, logo

dEVC

dt

= 0;

2) Pela equação da continuidade, toda massa que entra no VC, proveniente do revestimento, é igual à massa que sai, repartida entre jato e escória, assim: m& e = m& s ; 3) Todo processo de colapso acontece em frações de microsegundos, não permitindo tempo suficiente para que calor e trabalho cruzem a fronteira do VC, assim: Q&VC = W&VC = 0 ;e 4) As velocidades Ve = Vs = V , para um observador fixo na junção A, e as cotas ze ≅ z s . Por definição, a propriedade termodinâmica entalpia é h = u + p

ρ , desta forma, a

EQ.2.10 reduz-se à:

ue +

pe

ρe

+

V2 p V2 = us + s + = cte 2 ρs 2

(2.11)

Como não há variação de energia interna ( ue = u s ), se a massa específica do revestimento não variar ( ρ e = ρ s = ρ ), a pressão em qualquer ponto do revestimento em colapso determinará sua velocidade, ou seja:

p+

ρV 2 2

= cte

(2.12)

A EQ.2.12 é a conhecida equação de Bernoulli, aplicável para escoamento de fluidos incompressíveis ( ρ = cte ), sem viscosidade (tensões tangenciais nulas ou desprezíveis) e em regime permanente (FOX & McDONALD, 1988). Assim, o fundamento físico utilizado por BIRKHOFF et al (1948) consistiu em admitir que a pressão produzida pela onda de detonação do explosivo era tão elevada que a resistência do revestimento podia ser desprezada e o mesmo podia ser considerado como um fluido invíscido e incompressível.

40


A FIG.2.7 representa o quadro estacionário de colapso do revestimento metálico, em forma de cunha, de uma carga oca linear. O ângulo β é o ângulo de colapso desse revestimento que, conforme o modelo de Birkhoff, se mantém constante durante todo o processo de detonação da carga. As relações entre as velocidades são obtidas a partir da geometria do processo de colapso, representada na FIG.2.8. Durante o intervalo de tempo em que a onda de detonação, com velocidade U D , percorre o revestimento do ponto P para o ponto P’, o elemento de massa situado em P é colapsado com velocidade instantânea V0 , atingindo o ponto B, no eixo da carga. Assim, a relação entre V0 e U D pode ser obtida pela EQ.2.13, onde α é o semi-ângulo da cavidade.

V0 = UD

2 sin

(β − α )

2 cosα

(2.13)

FIG.2.7 Colapso do revestimento metálico e formação do jato em uma carga oca linear (BIRKHOFF et al, 1948).

O ponto A é a junção de movimento, onde o revestimento é repartido em jato e escória, e que se move para a direita, com uma velocidade V1 . Um observador em A vê um fluxo de massa, com velocidade V2 , entrando na junção. Para ele, o jato é formado com uma velocidade VJ = V1 + V2 , avançando para a direita, enquanto a escória é formada avançando

41


para a esquerda, com uma velocidade VS = V1 − V2 . Ainda da FIG.2.8, utilizando-se a lei dos senos no triângulo APB, temos:

 (β − α ) (β − α ) (β − α )     VJ = V0  cos sin β  + cos tan β  + sin  2 2 2     

(2.14)

 (β − α ) (β − α ) (β − α )     VS = V0  cos sin β  − cos tan β  − sin  2 2 2     

(2.15)

FIG.2.8 Geometria do processo de colapso do revestimento no modelo de Birkhoff.

Aplicando-se a conservação da quantidade de movimento na junção A, obtemos as respectivas frações de massa do revestimento, repartidas entre o jato e a escória:

mV2 cos β = mS V2 − mJ V2 mJ m = (1 − cos β ) 2

(2.16)

mS m = (1 + cos β ) 2

A posição inicial de cada elemento colapsado ( Z 0 ), no eixo da carga, pode ser obtida admitindo-se a representação gráfica da FIG.2.9. Observa-se que

Z 0 = x + QB

e

QB = PQ tan[(α + β ) 2] . Assim,  (α + β )  Z 0 = x + y tan   2 

(2.17)

42


FIG.2.9 Representação gráfica da posição inicial dos elementos colapsados no modelo de Birkhoff.

O modelo de Birkhoff, embora desenvolvido para uma carga oca linear, também pode ser utilizado em uma carga oca cilíndrica. Nesta condição, a hipótese de estado estacionário deixa de ser rigorosamente verdadeira, uma vez que o colapso do revestimento acontece por todos os lados e, assim, a massa que flui para a junção de movimento aumenta progressivamente ao longo do eixo da carga. Para que a hipótese fosse exatamente verdadeira, a espessura do revestimento deveria ser inversamente proporcional à distância ao vértice da cavidade. A FIG.2.10 apresenta um exemplo de quadro de colapso obtido com o modelo de Birkhoff acoplado com a teoria de Gurney (FERREIRA et al, 2012). A carga oca simulada é a mesma utilizada no trabalho experimental de EICHELBERGER & PUGH (1952). Observa-se que o revestimento colapsado, identificado pela linha magenta, forma um ângulo de colapso constante com o eixo de simetria da carga. A TAB.2.1 contém as características geométricas da carga oca simulada. As propriedades dos materiais utilizados: aço para o revestimento e pentolite para o explosivo, são apresentadas na TAB.2.2. As simulações foram realizadas com N =100, para o número de elementos e um intervalo de tempo ∆t = 0,01 x(1) / U D . Os resultados obtidos estão listados na TAB.2.3.

43


FIG.2.10 Colapso do revestimento no modelo de Birkhoff. Revestimento original (azul), revestimento em colapso (magenta), escória (vermelho) e jato (preto).

TAB.2.1 Geometria da carga oca de EICHELBERGER & PUGH (1952). Semi-ângulo do vértice ( α )

22º

Diâmetro externo da carga explosiva ( DC )

41,275 mm

Diâmetro externo da base do revestimento ( D )

41,275 mm

Espessura do revestimento ( e )

0,9398 mm

TAB.2.2 Propriedades dos materiais utilizados na carga oca de EICHELBERGER & PUGH (1952) – Revestimento de Aço e Pentolite como explosivo (MEYERS & MURR, 1981). Massa específica do revestimento ( ρ J )

7850 kg/m3

Massa específica da carga explosiva ( ρ E )

1660 kg/m3

Velocidade de detonação do explosivo ( U D )

7470 m/s

Constante de Gurney ( 2 EG )

3200 m/s

44


TAB.2.3 Resultados obtidos (modelo de Birkhoff). Parâmetros

Simulação

Experimento

Fração de massa do jato ( mJ m )

13,93 %

30,39 %

Fração de massa da escória ( mS m )

86,07 %

69,61 %

Velocidade de colapso ( V0 )

3051,3 m/s (constante)

3000 m/s (máximo)

Velocidade do jato ( VJ )

8024,9 m/s (constante)

7000 m/s (máximo)

Ângulo de colapso ( β )

43,83º (constante)

45º - 120º

Os resultados evidenciam uma boa concordância qualitativa quanto à forma geométrica do processo de colapso, além de boas concordâncias quantitativas quanto aos aspectos de velocidade máxima de colapso e velocidade máxima do jato. Quanto ao ângulo de colapso, o resultado experimental descreve um ângulo aproximadamente constante de 45º, durante a maior parte do processo, aumentando bruscamente no final, chegando até 120º. Entretanto, não são apresentados bons resultados quanto ao comprimento do jato (vide FIG.2.10) e quanto à repartição de massa do revestimento entre jato e escória (vide TAB.2.3). De fato, a hipótese de considerar a velocidade de colapso constante produz uma velocidade de jato também constante e, consequentemente, um jato com comprimento constante e aproximadamente igual à geratriz do revestimento, para o caso de revestimentos cônicos, contrariando os resultados experimentais que mostram jatos mais alongados. Na realidade, o modelo de Birkhoff não consegue explicar por que os jatos são mais alongados. De fato, o jato continua a se alongar mesmo após as paredes do revestimento terem colapsado. Este alongamento é explicado pela existência de um gradiente de velocidade no jato, entre a ponta e a cauda, proporcionado por uma velocidade de colapso variável, função da posição original de cada elemento no revestimento.

2.1.2

TEORIA PER

A teoria de PUGH, EICHELBERGER & ROSTOKER (1952) ou, simplesmente, teoria PER, utiliza os mesmos conceitos hidrodinâmicos do modelo de Birkhoff e introduz uma formulação que contempla a redução da velocidade de colapso desde o vértice até a base, idéia mais coerente com a relação existente entre explosivo e revestimento ao longo do eixo.

45


A teoria PER é assumida como não-estacionária, em razão da natureza variável dos parâmetros de colapso (velocidade e ângulo) dos elementos de massa, que são impulsionados também com aceleração infinita pela onda de detonação, como no modelo de Birkhoff. Considere a FIG.2.11, representativa do processo de colapso do revestimento metálico para a teoria PER.

FIG.2.11 Geometria do processo de colapso do revestimento na teoria PER.

Dela, pelos triângulos PQP’ e PQJ’, a seguinte relação matemática pode ser obtida:

V0 2 sin δ = UD cos α

(2.18)

Esta igualdade implica que, transcorrido o intervalo de tempo t − t0 , a onda de detonação, com velocidade U D , percorreu a distância PQ =

UD

cos α

enquanto que o elemento do

revestimento em P, colapsado na direção do eixo com um ângulo δ , percorreu a distância

PJ = V0 . Isto significa que a velocidade final de colapso V0 é atingida instantaneamente com aceleração infinita, no instante t0 , quando a onda de detonação atinge o ponto P. Conforme observado na FIG.2.12.

46


FIG.2.12 Curva de velocidade de colapso, com aceleração infinita (teoria PER).

A repartição da massa do revestimento entre o jato e a escória agora acontece em uma junção acelerada (J). Um mesmo observador nesta junção, continua vendo o jato se formar com velocidade VJ = V1 + V2 , avançando para a direita, enquanto a escória é formada avançando para a esquerda, com uma velocidade VS = V1 − V2 . Considerando-se o triângulo OJR, da FIG.2.13, uma representação dos vetores velocidades de formação do jato e da escória, em um dado instante desse processo de colapso não-estacionário, aplicando-se a lei dos senos e após algumas relações trigonométricas, obtêm-se:

FIG.2.13 Vetores velocidades na junção em movimento (teoria PER).

V1 V V2 = 0 = cos [β − (α + δ )] sin β cos (α + δ )

(2.19)

VJ =

V0 cos (α + δ − β 2 ) sin (β 2 )

(2.20)

VS =

V0 sin (α + δ − β 2 ) cos (β 2 )

(2.21)

47


Aplicando-se a conservação da quantidade de movimento na junção J, obtemos as respectivas frações de massa do revestimento ( dm ), repartidas entre o jato ( dmJ ) e a escória ( dmS ), agora frações variáveis a cada instante, para cada ângulo de colapso β .

dmV2 cos β = dmS V2 − dmJ V2 dmJ dm = (1 − cos β ) 2

(2.22)

dmS dm = (1 + cos β ) 2

A posição inicial de cada elemento colapsado ( Z 0 ), no eixo da carga, pode ser obtida admitindo-se a representação gráfica da FIG.2.14. Observa-se que

Z 0 = x + BJ

e

BJ = PB tan A . Da FIG.2.11, temos que A = α + δ , logo: Z 0 = x + y tan (α + δ )

(2.23)

FIG.2.14 Representação gráfica da posição inicial dos elementos colapsados na teoria PER. A teoria PER reduz-se ao modelo de Birkhoff se o ângulo de colapso β for constante. Assim, todos os elementos seriam colapsados segundo uma mesma direção de projeção δ . Igualando-se as EQ.2.13 e 2.18, encontramos que δ = (β − α ) . As EQ.2.14 e 2.15 podem, 2 então, ser simplificadas para:

VJ =

V0 cos (α 2 ) sin (β 2 )

(2.24)

48


VS =

V0 sin (α 2 ) cos (β 2 )

(2.25)

No caso do estado estacionário, assumido no modelo de Birkhoff, o revestimento em colapso permanece de forma cônica. Assim, o contorno desse revestimento, mostrado na FIG.2.8, é uma linha reta (PA) e o ângulo β pode ser determinado a partir da EQ.2.13, obtida por

trigonometria

simples,

com

V0

estimado

por

uma

teoria

de

interação

explosivo/revestimento. No entanto, com V0 diferente para cada elemento do revestimento, o contorno do revestimento em colapso não é reto, mas curvo conforme a linha JMQ na FIG.2.15. Assim, β depende da forma do revestimento em colapso na vizinhança imediata de J. Considerando-se que o revestimento em colapso é uma curva representada pela função

f (r , z ) , cuja derivada ∂r

∂z

representa as várias inclinações das retas tangentes à essa curva

para diferentes pontos (r , z ) . A inclinação de uma reta tangente ao revestimento em colapso,

( ∂z )

em r = 0 , será ∂r

r =0

= tan β , em que β é o ângulo de colapso, definido como sendo o

ângulo que o revestimento em colapso faz com o eixo de simetria.

FIG.2.15 Posição dos elementos em colapso (teoria PER). Sejam (r, z) as coordenadas cilíndricas de M, na FIG.2.15, e ( x tan α , x ) as coordenadas de M, na posição original P', no revestimento, então: r = x tan α − V0 (t − T ) cos A

(2.26)

49


z = x + V0 (t − T )sin A

Onde T = x

UD

(2.27)

é o tempo decorrido para que a onda de detonação “varra” o

revestimento, desde o vértice A até o ponto P’, e t é o tempo decorrido para que o elemento em P’ colapse até M, com velocidade V0 . Derivando-se a EQ.2.26, em relação à z, obtemos:

{

}

∂r ∂z = (∂x ∂z ) tan α − V0' (t − T )cos A + V0 cos A U D + V0 A' (t − T )sin A

(2.28)

Sendo V0' = ∂V0 ∂x e A ' = ∂A ∂x . Derivando-se a EQ.2.27, em relação à z, para eliminar

∂x ∂z da EQ.2.28:

{

}

1 = (∂x ∂z ) 1 − V0' (t − T ) sin A − V0 sin A U D + V0 A ' (t − T ) cos A

(2.29)

Dividindo-se a EQ.2.28 pela EQ.2.29, ∂r tan α − V0' (t − T ) cos A + V0 cos A U D + V0 A ' (t − T )sin A = ∂z 1 − V0' (t − T ) sin A − V0 sin A U D + V0 A ' (t − T ) cos A ∂r

∂z

(2.30)

é a inclinação do contorno do revestimento em colapso, em um instante t. O tempo

que um dado elemento atinge o eixo pode, agora, ser obtido substituindo-se r = 0 na EQ.2.26, t −T =

x tan α V0 cos A

(2.31)

Da EQ.2.18, derivando-se em relação à x, temos:

(

)

A' = δ ' = V0' V0 tan δ

(2.32)

Substituindo-se as EQ.2.18, 2.31 e 2.32 na EQ.2.30, obtêm-se: tan β =

sin α + 2 sin δ cos A − x sin α (1 − tan A tan δ )V0' V0 cos α − 2 sin δ sin A + x sin α (tan A + tan δ )V0' V0

(2.33)

A FIG. 2.16 retrata o quadro de colapso obtido com a teoria PER, acoplada com a teoria de Defourneaux, para a simulação de uma carga oca nas mesmas condições da carga utilizada no trabalho experimental de EICHELBERGER & PUGH (1952). Observa-se que a teoria

50


PER consegue corrigir a distorção relativa à inexistência de alongamento do jato do modelo de Birkhoff. O alongamento do jato, identificado pela linha preta, é consequência de um gradiente de velocidade entre a ponta e a cauda do jato, resultado de uma hipótese de colapso não-estacionário, com velocidade ( V0 ) e ângulo ( β ) variáveis (FERREIRA et al, 2012). Os resultados contidos na TAB.2.4 mostram que a teoria PER consegue melhorar a repartição de massa do revestimento entre a porção que forma o jato e a porção relativa à escória, sem comprometer as velocidades máximas obtidas para o colapso e para o jato formado. As características geométricas da carga oca simulada estão contidas na TAB.2.1. As propriedades dos materiais utilizados: aço para o revestimento e pentolite para o explosivo, são apresentadas na TAB.2.2. Para a teoria de Defourneaux, o ângulo de incidência foi considerado constante, no valor de λ = 68º , sendo φ0 = 43º e k = 3,125 × 10-3 m 3 kg . As simulações foram realizadas com N =100, para o número de elementos e um intervalo de tempo ∆t = 0,01 x(1) / U D .

FIG.2.16 Colapso do revestimento na teoria PER. Revestimento original (azul), revestimento em colapso (magenta), escória (vermelho) e jato (preto).

51


TAB.2.4 Resultados obtidos (teoria PER). Parâmetros

Simulação

Experimento

Fração de massa do jato ( dmJ dm )

36,73 %

30,39 %

Fração de massa da escória ( dmS dm )

63,27 %

69,61 %

Velocidade de colapso ( V0 )

3184,7 m/s (máximo)

3000 m/s (máximo)

Velocidade do jato ( VJ )

8194,2 m/s (máximo)

7000 m/s (máximo)

Ângulo de colapso ( β )

44,9º - 111,5º

45º - 120º

Na FIG.2.17, é interessante observar a diminuição gradual das velocidades de colapso e do jato, ao longo do eixo, em virtude da diminuição da razão massa de explosivo/massa de revestimento metálico. Da mesma maneira, pela FIG.2.18, pode-se observar que o aumento acentuado do ângulo de colapso está relacionado com o aumento da proporção de massa de revestimento que é transferida para a porção do jato.

FIG.2.17 Velocidades de colapso do revestimento e do jato (teoria PER).

52


FIG.2.18 Ângulo de colapso do revestimento (teoria PER).

2.1.3

APRIMORAMENTOS DA TEORIA PER

A partir dos resultados da teoria PER, crescentes modificações foram sendo introduzidas, no sentido de melhorar e aprimorar os cálculos de obtenção dos parâmetros de formação de um jato de carga oca. Alguns destes aprimoramentos foram discutidos por CHANTERET (1993) e os mais relevantes são: 1- A adoção de hipóteses mais realísticas para a história da aceleração dos elementos em colapso, tal qual a formulação exponencial de Randers-Pehrson; 2- O desenvolvimento de formulações para correção do ângulo de projeção dos elementos, como as propostas por Randers-Pehrson e Chou et al;e 3- O critério de Chanteret para correção do ângulo de colapso e, por conseguinte, para correção da velocidade do jato.

A hipótese de aceleração infinita para a teoria PER ignora os efeitos de inércia dos elementos de massa do revestimento, porém simplifica a obtenção de uma relação direta entre a velocidade de detonação do explosivo ( U D ), a velocidade final de colapso ( V0 ) e o ângulo de projeção ( δ ), conforme observado pelas FIG.2.11, 2.12 e EQ.2.18. Observações experimentais dão conta da existência de um empilhamento de massa na ponta do jato. Ou seja, os primeiros elementos de massa colapsados, localizados próximos ao vértice da cavidade, colidem e chegam às suas posições iniciais no eixo antes de atingirem suas velocidades finais de colapso, sendo logo alcançados por elementos colapsados

53


posteriormente. Assim, a história de movimento do revestimento em colapso supõe a existência de um movimento acelerado (CHANTERET, 1993). Uma das mais realísticas proposições para a obtenção das velocidades de colapso dos elementos de massa do revestimento talvez seja a forma apresentada por Randers-Pehrson, cuja representação gráfica pode ser visualizada na FIG.2.19. Nesta formulação, admite-se que cada elemento do revestimento é acelerado, de forma exponencial, desde o repouso até atingir sua velocidade final de colapso no eixo. Assim,

V  − (t − t0 )  = 1 − exp   V0  τ

(2.34)

Na EQ.2.34, observa-se que V = 0 para t = t0 e V → V0 para t − t0 >>> τ . Em que τ é uma

constante

de

tempo,

determinada

semi-empiricamente

em

função

do

par

explosivo/revestimento (CHOU et al, 1981).

FIG.2.19 Curva de velocidade de colapso, com aceleração finita (formulação de RandersPehrson).

A utilização da formulação de Randers-Pehrson para o movimento acelerado do revestimento em colapso pode resultar em pequenas variações nos ângulos de projeção ( δ ), obtidos inicialmente a partir de uma teoria de interação explosivo/revestimento. A EQ.2.35 é uma proposição de correção para a EQ.2.18, estabelecida empiricamente por RandersPehrson, onde V0' é a derivada de V0 ao longo da superfície do revestimento. Valores típicos de V0' e τ são 0,01 µs −1 e 1-5 µs , respectivamente (JONES, 1984).

( )

V0 cos α V0'τ V0'τ sin δ = − − 2U D 2 5

2

(2.35)

CHOU et al (1981) desenvolveram analiticamente uma outra equação para correção da EQ.2.18, considerando pequenas variações do ângulo de projeção, na seguinte forma:

54


δ=

V0 cos α V0'τ V0τ ' − + 2U D 2 4

(2.36)

Uma outra maneira de analisar as variações dos ângulos de projeção, em função do movimento acelerado do revestimento em colapso, é admitindo que a direção pela qual os elementos são “arremessados” pode variar. Para isso, considere a alteração no quadro de colapso da FIG.2.11 para o que está agora representado na FIG.2.20.

FIG.2.20 Geometria do processo de colapso do revestimento com a formulação de RandersPehrson.

Da FIG.2.20, as seguintes equações podem ser obtidas: VC = f (V0 , tC ) e PJ = Dist = ∫ V dt

(2.37)

cos (α + δ ) = y (i )

(2.38)

tC

t0

sin δ = Dist cos α

Dist 2U D (tC − t0 )

(2.39)

V0 é a velocidade final de colapso, calculada por uma teoria de interação explosivo/revestimento e VC é a velocidade de colapso, corrigida pela formulação de Randers-Pehrson, obtida quando o elemento atinge o eixo no instante tC , denominado de tempo de colapso. As EQ.2.34, 2.37, 2.38 e 2.39 definem a configuração de colapso dos elementos do revestimento e o método de solução consiste em um procedimento iterativo, iniciado com

55


estimativas do ângulo de projeção δ e da velocidade final de colapso V0 , calculadas por uma teoria de interação explosivo/revestimento e pela EQ.2.18. Sob um ângulo δ , a distância Dist a ser percorrida pelo elemento em colapso é, então, calculada pela EQ.2.38. Com essa distância Dist , o tempo de colapso tC é calculado pela EQ.2.37. Com Dist e tC , o ângulo δ é recalculado pela EQ.2.39 e comparado com o ângulo δ anterior. Enquanto não houver convergência, uma nova estimativa para o ângulo de projeção δ é realizada passo a passo, conforme a EQ.2.40. O processo é repetido até que os resultados convirjam para valores de

δ , Dist e tC que satisfaçam simultaneamente as EQ.2.34, 2.37, 2.38 e 2.39. A FIG.2.21 ilustra a geometria do processo iterativo.

FIG.2.21 Representação gráfica do processo iterativo para definição da geometria de colapso do revestimento com aceleração finita. k é o número da iteração.

δ k +2 =

δ k + δ k +1

(2.40)

2

Sendo, t Ck

PJ = Dist k = ∫ V dt t0

e

PJ ' = Dist k +1 = ∫

t Ck +1

t0

56

V dt

(2.41)


Observa-se que a existência de um tempo finito para aceleração dos elementos do revestimento proporciona uma redução da velocidade de colapso ( VC < V0 ), uma redução do ângulo de projeção ( δ k +1 < δ k ) e um aumento do tempo de colapso ( tCk +1 > tCk ), principalmente para os elementos mais próximos ao vértice da cavidade. Definida a nova geometria do quadro de colapso dos elementos do revestimento, algumas modificações precisam ser feitas nas equações de obtenção dos parâmetros de formação do jato. Da FIG.2.15, com T = x

t

UD

, A = α + δ e P ' M = ∫ V dt , podemos obter as seguintes T

relações modificadas: r = x tan α − P ' M cos A

(2.42)

z = x + P ' M sin A

(2.43)

∂r = ∂z

∂( P 'M ) cos A + ( P ' M ) A' sin A ∂x ∂( P 'M ) 1+ sin A + ( P ' M ) A' cos A ∂x

tan α −

(2.44)

No instante tC , o elemento colapsado atinge o eixo de simetria. O ângulo de colapso ( β ), obtido pela derivada da função f (r , z ) , em r = 0 , agora é encontrado com a seguinte relação:

 ∂r    =  ∂z  r =o

tC ∂  tC '  ∫T V dt  + ( ∫T V dt ) A sin A  ∂x  = tan β tC ∂  tC '  1 + sin A  ∫ V dt  + ( ∫ V dt ) A cos A  T ∂x  T

tan α − cos A

(2.45)

As porções relativas ao jato e à escória, então, se movimentam com as seguintes velocidades: VJ =

VC cos (α + δ − β 2 ) sin (β 2 )

(2.46)

VS =

VC sin (α + δ − β 2 ) cos (β 2 )

(2.47)

No intuito de exemplificar os aprimoramentos (1) e (2) da página 53, descritos em CHANTERET (1993), considere a carga oca da FIG.2.22, conhecida como carga oca padrão BRL 81,3 mm. Típica configuração de uma carga oca militar, cuja denominação “padrão” é relativa aos rigorosos controles de qualidade utilizados em sua fabricação, esta carga foi

57


utilizada em WALTERS & ZUKAS (1989) como exemplo de aplicação de diferentes modelagens analíticas para obtenção dos parâmetros de formação de um jato de carga oca. As características geométricas da carga oca padrão BRL 81,3 mm e as propriedades do explosivo (composto B) e do revestimento metálico (cobre) estão listadas, respectivamente, nas TAB.2.5 e 2.6. As simulações foram realizadas com N =100, para o número de elementos e um intervalo de tempo ∆t = 0,01 x(1) / U D . Os resultados aqui simulados foram obtidos com a teoria PER, acoplada com a teoria de Gurney

para

a

interação

explosivo/revestimento.

Foram

utilizados

os

seguintes

aprimoramentos: (1) a formulação de Randers-Pehrson para o movimento acelerado do revestimento, com constante de tempo τ = 2,375 µs (CHOU et al, 1981) e (2) a correção do ângulo de projeção, pelo quadro de colapso modificado, conforme as EQ.2.34, 2.37, 2.38 e 2.39. Para os resultados apresentados em WALTERS & ZUKAS (1989), supõe-se que o código analítico utilizado tenha sido o BASC, o qual adota a teoria PER acoplada com a teoria de interação explosivo/revestimento de Defourneaux.

FIG.2.22 Carga oca padrão BRL 81,3 mm (ASELTINE, 1980).

58


TAB.2.5 Geometria da carga oca padrão BRL 81,3 mm (ASELTINE, 1980). Semi-ângulo do vértice ( α )

21º

Diâmetro externo da carga explosiva ( DC )

81,3 mm

Diâmetro externo da base do revestimento ( D )

81,3 mm

Espessura do revestimento ( e )

1,905 mm

TAB.2.6 Propriedades dos materiais utilizados na carga oca padrão BRL 81,3 mm – Revestimento de cobre e composto B como explosivo (WALTERS & ZUKAS, 1989). Massa específica do revestimento ( ρ J )

8920 kg/m3

Massa específica da carga explosiva ( ρ E )

1717 kg/m3

Velocidade de detonação do explosivo ( U D )

7890 m/s

Constante de Gurney ( 2 EG )

2350 m/s

Os resultados obtidos para os ângulos de projeção ( δ ) e os ângulos de colapso ( β ), respectivamente apresentados nas FIG.2.23 (a) e (b), evidenciam variações entre os modelos mas mostram uma mesma tendência de comportamento.

FIG.2.23 (a) ângulos de projeção ( δ ) e (b) ângulos de colapso ( β ).

Da FIG.2.24 (a), observa-se que a magnitude das estimativas das velocidades de colapso ( VC ) é muito semelhante. Este resultado é interessante uma vez que os modelos utilizam diferentes teorias para a interação explosivo/revestimento. Como havia sido previsto, os efeitos de inércia do revestimento são mais evidentes para os primeiros elementos, localizados próximos ao vértice da cavidade, que chegam ao eixo sem conseguir alcançar a velocidade

59


final de colapso ( V0 ). A consequência disso é um gradiente inverso de velocidade na ponta do jato, visto pelas velocidades mais baixas dos primeiros elementos formadores desse jato, conforme FIG.2.24 (b). Para os resultados aqui simulados, observa-se que VC , VJ e δ tendem a se anular para os últimos elementos do revestimento ( x h2 = 1 ), perto da base, onde a quantidade de explosivo também tende a se anular, em virtude da simplificação adotada para a representação da carga. Finalmente, ainda da FIG.2.24 (b), observa-se que a velocidade máxima do jato, apresentada em WALTERS & ZUKAS (1989), é cerca de 25-30 % superior à velocidade máxima do jato aqui simulada. O aprimoramento (3) da página 53, proposto por CHANTERET (1993), foi desenvolvido para corrigir esta distorção.

FIG.2.24 (a) velocidades de colapso ( VC ) e (b) velocidades de jato ( VJ ). Pela teoria PER, o ângulo de colapso ( β ) de um dado elemento (i) é calculado tomando por base o quadro de colapso construído quando a onda de detonação do explosivo atinge o elemento subsequente (i+1), vide triângulo PQJ da FIG.2.11. O critério de Chanteret corrige a velocidade do jato a partir de um novo ângulo de colapso, agora denominado de pseudoângulo de colapso ( β ∗ ), calculado a partir das velocidades de colapso ( VC ) e de movimento da junção ( V1 ), para um mesmo elemento (i), conforme a FIG.2.25 e as EQ.2.48 e 2.49.

60


FIG.2.25 Vetores velocidades na junção em movimento (critério de Chanteret).

tan β ∗ =

VJ =

cos (α + δ )

(2.48)

V1 − sin (α + δ ) VC

(

VC cos α + δ − β ∗ 2 sin β ∗ 2

(

)

)

(2.49)

A FIG.2.26 é resultado da aplicação do critério de Chanteret, no exemplo da carga oca padrão BRL 81,3 mm. Nota-se uma velocidade de jato mais compatível com o que foi apresentado na simulação de WALTERS & ZUKAS (1989).

FIG.2.26 Velocidades de jato (critério de Chanteret).

Na realidade, o empilhamento de massa na ponta do jato, resultado do gradiente inverso de velocidade, faz com que a ponta do jato perca velocidade. Uma possibilidade de aproximação da velocidade da ponta do jato é considerar que todos os elementos empilhados

61


viajam com uma velocidade constante, denominada de VJ _ tip , obtida utilizando-se o princípio de conservação da quantidade de movimento, conforme EQ.2.50 (WALTERS & ZUKAS, 1989). Esta formulação é conhecida como formulação jet-tip e sua aplicação pode ser verificada na FIG.2.27. x tip

∫V

J

VJ _ tip =

0 x tip

∫ 0

 dmJ  dx  dx  

(2.50)

 dmJ  dx  dx  

FIG.2.27 Velocidades de jato (formulação jet-tip).

Conhecido o quadro associado ao colapso do revestimento e a definição dos parâmetros de formação do jato, inicia-se a 2ª fase do fenômeno: Alongamento e quebra do jato.

2.2 ALONGAMENTO DE UM JATO DE CARGA OCA

Após sua formação, um jato de carga oca viaja em direção ao alvo com velocidade variável entre a ponta e a cauda. É justamente essa diferença de velocidade entre os elementos do jato a responsável pelo fenômeno de seu alongamento. A profundidade de penetração obtida por um jato de carga oca, entre outros fatores, está relacionada, em proporção direta, com o comprimento alcançado pelo jato ao alongar-se. Evidências experimentais mostram que jatos mais alongados produzem maiores penetrações. Entretanto, o alongamento contínuo do jato promove o aparecimento de pontos de estricção, levando-o à ruptura. Os fragmentos

62


do jato, com massa reduzida, sofrem efeitos aerodinâmicos e oscilam em torno da direção de impacto, reduzindo a eficiência da penetração. A distância de standoff, definida como sendo a distância entre a base do revestimento e o alvo, é considerada ótima quando capaz de permitir o desenvolvimento de um jato alongado sem que haja fragmentação ou particulação. Assim, a importância de se conseguir prever o momento em que a ruptura acontece e, naturalmente, poder controlá-la, gerou uma série de esforços de modelagem para o alongamento do jato. Contudo, durante o processo de detonação de uma carga oca, o revestimento metálico exibe extrema dutilidade e sofre intenso carregamento dinâmico, caracterizado por: 1) elevadas deformações (>1000 %), 2) elevadas taxas de deformação (> 107 s −1 ) e 3) altíssimas pressões (>200 GPa). Sob tão intensas condições, faltam modelos constitutivos que consigam bem representar o comportamento dos materiais dos revestimentos. Limitação que também se estende aos métodos numéricos dos códigos hidrodinâmicos. Uma possibilidade é a utilização de formulações semi-empíricas, construídas a partir de observações dos pontos de fragmentação do jato, durante seu voo livre, por intermédio de imagens obtidas com flashes radiográficos de alta velocidade, como os modelos de Hirsch e de Chou-Carleone (GUREL, 2009).

2.2.1

MODELO DE HIRSCH

Neste modelo, o tempo de ruptura ou quebra do jato ( tb ) está associado a uma constante empírica, relativa ao material do revestimento, denominada de “velocidade plástica” ( V pl ). Alguns autores consideram que essa “velocidade plástica” nada mais é do que a velocidade de propagação das instabilidades plásticas no jato (GUREL, 2009). Outros relacionam V pl com o limite dinâmico de escoamento do material ( σ yd ), na forma

σ yd ρ J , e também com a

diferença de velocidade entre os elementos componentes do jato (WALTERS & ZUKAS, 1989). Entendendo-se que V pl mede a rapidez com que um determinado segmento de jato, com diâmetro inicial d 0 , se quebra, temos:

V pl =

d0 tb

(2.51)

63


Uma estimativa do tempo de quebra ( tb ) pode ser obtida a partir da fração de massa do revestimento que forma o jato. Da EQ.2.22, admitindo-se um comprimento inicial de jato aproximadamente igual ao comprimento original do elemento no revestimento, obtemos que:

dmJ (1 − cos β ) = dm 2

ou

πd 02 4 β  = sin 2   2πye 2

(2.52)

Utilizando-se a EQ.2.52, após simplificações, na EQ.2.51, obtêm-se:

tb =

1 β  8 ye sin  V pl 2

(2.53)

Sendo y o raio original do elemento no revestimento ou a ordenada do centro de massa desse mesmo elemento, conforme visto na FIG.2.5, e a espessura do revestimento e β o ângulo de colapso (WALTERS & ZUKAS, 1989). Em estudos mais recentes, unindo observações experimentais com métodos numéricos, Hirsch propôs a EQ.2.54 para obtenção de 1 V pl (em µs mm ), relacionando apenas a espessura (e) e o diâmetro da base do revestimento (D), independente da composição material do par explosivo/revestimento (GUREL, 2009).

e 1 = 13,886 − 101,49 V pl D

(2.54)

O tempo de quebra ( tb ) pode, então, ser obtido substituindo-se a EQ.2.54 na EQ.2.53:

e  β  tb = 13,886 − 101,49  8 ye sin   D  2

(2.55)

O modelo de Hirsch mostrou alguns bons resultados em certos tipos de cargas ocas, mas sua aplicação de forma ampla é limitada pela inconsistência de não considerar o efeito da taxa de deformação no alongamento do jato (WALTERS & ZUKAS, 1989 e GUREL, 2009).

2.2.2

MODELO DE CHOU-CARLEONE

O modelo de Chou-Carleone foi construído a partir de diversos experimentos com os mais variados tipos de carga. O tempo de quebra ( tb ), agora considerado desde o momento

64


em que a onda de detonação atinge o revestimento, é obtido pela formulação adimensional contida na EQ.2.56:

tb = 3,75 − 0,125η0 +

1

(2.56)

η0

Onde tb = 2C p tb d 0 e η0 = η0 d 0 2C p são, respectivamente, o tempo de quebra e a taxa de deformação inicial, ambos na forma adimensional. Sendo C p = σ yd ρ J uma constante plástica, d 0 o diâmetro inicial do jato e η0 = ∆V ∆x a forma dimensional da taxa inicial de deformação, em que ∆V é a variação de velocidade no segmento de comprimento ∆x do jato (WALTERS & ZUKAS, 1989). Substituindo-se tb e η0 na EQ.2.56, obtêm-se:

tb =

2C p  η d d 0   3,75 − 0,125 0 0 + 2C p  2C p η 0 d 0 

(2.57)

Da EQ.2.57, percebe-se que o tempo de quebra é dependente de observações relativas ao diâmetro inicial ( d 0 ), à taxa de deformação inicial ( η0 = ∆V ∆x ) e às propriedades dinâmicas do jato ( C p = σ yd ρ J ), o que representa uma certa limitação para a aplicação do modelo. Uma importante contribuição do modelo de Chou-Carleone é a possibilidade de analisar, qualitativamente, a influência de determinados parâmetros no tempo de quebra do jato (WALTERS & ZUKAS, 1989). Da EQ.2.57, observa-se que: 1) o tempo de quebra ( tb ) aumenta quando a taxa de deformação inicial ( η0 ) diminui; 2) o tempo de quebra ( tb ) aumenta quando o diâmetro inicial do jato ( d 0 ) aumenta; e

Derivando-se a EQ.2.57, temos:

∂tb 1,875 d 0 0,125 d 0 =− + η0 ∂C p C p2 C p2

(2.58)

Como η0 < 15 é considerado um valor típico para muitas cargas ocas, ∂tb ∂C p < 0 e o tempo de quebra é inversamente proporcional à C p = σ yd ρ J (WALTERS & ZUKAS, 1989). Assim, observa-se também que:

65


3) o tempo de quebra ( tb ) aumenta quando o limite dinâmico de escoamento ( σ yd ) diminui; 4) o tempo de quebra ( tb ) aumenta quando a massa específica do jato ( ρ J ) aumenta.

Uma outra maneira de modelar o alongamento dinâmico do jato é considerar que a ruptura ocorre quando o mesmo atinge um comprimento crítico em relação ao seu valor inicial de formação. Uma proposição nesse sentido é o critério de Walters e Summers, construído experimentalmente para revestimentos cônicos de cobre (WALTERS & SUMMERS, 1993).

2.2.3

CRITÉRIO DE WALTERS E SUMMERS

O modelo utilizado para o alongamento e a quebra do jato, nas simulações deste trabalho, é o critério de Walters e Summers. Baseado em resultados experimentais com revestimentos cônicos de cobre, o critério consiste em definir que o alongamento máximo de um segmento de jato é da ordem de 10 (dez) vezes o seu comprimento inicial. Assim, a cada dois elementos colapsados tem-se a definição de um comprimento inicial para um determinado segmento que, após juntar-se a outros elementos colapsados, tem sua ruptura no instante em que o comprimento total do segmento atinge o valor de 10 (dez) vezes o comprimento inicial. A FIG.2.28 ilustra a concepção do comprimento inicial dos segmentos do jato, onde L(i + 1) = J (i ) − J (i + 1) . J (i ) é a posição de cada elemento do jato, ao longo do tempo,

obtida pela EQ.2.59, sendo a posição inicial Z 0 definida pela EQ.2.23.

FIG.2.28 Comprimento inicial dos segmentos, utilizando-se a formulação para a velocidade da ponta do jato (jet-tip).

66


 x(i )  J (i ) = Z 0 (i ) + VJ _ tip (i )  t − − tC (i )   UD 

(2.59)

Adota-se a formulação para a velocidade da ponta do jato, e considera-se que os segmentos do jato viajam, em direção ao alvo, com velocidade constante. Pela formulação da ponta do jato, não há possibilidade de os elementos colapsados anteriormente serem ultrapassados pelos elementos subsequentes. Considera-se o formato cilíndrico para o jato, sendo o diâmetro d (i ) de cada segmento calculado pela EQ.2.60, obtida pela relação entre a massa total do segmento alongado, distribuída ao longo dos elementos que o formam ( N * ), e a massa específica do revestimento, N*

desprezando-se a massa do primeiro elemento colapsado, enquanto

∑ L(i) ≤ 10 L(k )

para

i =k

2≤k < N.

 N   4 ∑ dmJ (i )   d (i ) =  i = k N *   π ρ J ∑ L(i )  i =k   *

1

2

(2.60)

2.3 PENETRAÇÃO DE UM JATO DE CARGA OCA

A modelagem do processo de penetração de um jato de carga oca é extremamente complexa. Esta complexidade começa com as inúmeras possibilidades de pares de interação jato/alvo, passando por considerações que podem envolver efeitos de particulação do jato, compressibilidade do alvo, impacto oblíquo e, até mesmo, blindagem reativa (CHANTERET, 1993). Os primeiros experimentos de penetração com jatos de carga oca indicaram que a resistência do material do alvo pouco influía na profundidade final atingida. Esta constatação estimulou a utilização da teoria hidrodinâmica, tendo como premissa que o jato e o alvo se comportavam como fluidos (POOLE, 2005). Um dos precursores na utilização da teoria hidrodinâmica é o modelo de Birkhoff.

67


2.3.1

MODELO DE PENETRAÇÃO DE BIRKHOFF

BIRKHOFF et al (1948) consideraram, como hipótese, que o limite de resistência do material do alvo é muito inferior à alta pressão de estagnação alcançada pelo impacto do jato. Assim, jato e alvo poderiam ser tratados como fluidos incompressíveis e sem viscosidade. Considere a FIG.2.29, uma representação do processo de penetração de um jato de carga oca, segundo descrições Eulerianas e Lagrangeanas. Em um referencial Euleriano, para uma velocidade de penetração constante U , a penetração final obtida será P (i ) = U t , onde t é o tempo total de penetração. Durante esse mesmo tempo t, o jato de comprimento L(i ) será consumido com uma velocidade V − U , em um referencial Lagrangeano. Assim,

L(i ) = (V − U )t .

FIG.2.29 Representação simplificada do processo de penetração de um jato de carga oca, segundo descrições Eulerianas e Lagrangeanas.

Com pressões uniformes nos dois lados da superfície de contato, entre jato e alvo, e escoamento em regime permanente, o teorema de Bernoulli (EQ.2.12) pode ser aplicado 2 novamente, obtendo-se 1 ρ J (V − U ) = 1 ρ tU 2 . A penetração, enfim, pode ser calculada 2 2

pela seguinte equação:

P(i ) = L(i )

ρJ ρt

(2.61)

A EQ.2.61 considera o jato contínuo, com comprimento total L(i ) . Se o material do jato fosse fragmentado em pequenos segmentos, suficientemente separados para que eles não interferissem uns com os outros, a pressão produzida pelo impacto desse jato seria maior do que a indicada pelo teorema de Bernoulli (BIRKHOFF et al, 1948).

68


A pressão produzida por um jato particulado pode ser calculada, aproximadamente, dividindo-se a força total necessária para efetuar a variação de impulso do jato pela área total A de impacto. A força total é dada pela taxa de variação da quantidade de movimento

ρ J A (V − U )2 . Assim, a pressão média na superfície será ρ J (V − U )2 . Se esta pressão é definida como igual à pressão no alvo, no ponto de impacto, com o teorema de Bernoulli 2 (EQ.2.12) obtemos, ρ J (V − U ) = 1 ρt U 2 e a penetração, agora, é calculada pela seguinte 2

equação:

P(i ) = L(i )

2ρ J

(2.62)

ρt

As EQ.2.61 e 2.62 podem ser sintetizadas em uma única equação, na forma:

P(i ) = L(i )

λρ J ρt

(2.63)

Sendo P (i ) a penetração de um jato com comprimento L(i ) , ρ J a massa específica do jato e ρ t a massa específica do alvo. Com λ = 1 para jatos contínuos, λ = 2 para jatos totalmente particulados e 1 < λ < 2 para jatos parcialmente particulados ou particulados durante o processo de penetração (BIRKHOFF et al, 1948). A modificação da teoria hidrodinâmica utilizada por BIRKHOFF et al (1948), expressa pela EQ.2.63 e relacionada com a quebra do jato, foi verificada experimentalmente por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960).

2.3.2

MODELO DE DIPERSIO, SIMON E MARTIN

DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960) conduziram uma série de experimentos com cargas de mesma natureza (composto B como explosivo e revestimento de cobre) e geometricamente proporcionais, a fim de estabelecer leis de escala para parâmetros de funcionamento e de desempenho entre elas. Entre muitas conclusões importantes, destaca-se a questão da perda de efetividade de penetração, caracterizada pela existência de um “Fator de Quebra”, definido pelo termo

69


λρ J ρ t da EQ.2.63. A FIG.2.30 mostra que esse “Fator de Quebra” pode ser considerado linearmente decrescente com o tempo de penetração. Da FIG.2.30, a taxa de variação do “Fator de Quebra” pode ser estimada como:

∆(" Fator" ) =C ∆( t ) D

(2.64)

Onde D é o diâmetro do cone e t é o tempo de penetração. Para a região entre 6≤ t

D

≤ 35 , o “Fator de Quebra” varia de 1 até 0,4. Assim, C = −206,89 m/s.

FIG.2.30 “Fator de Quebra” em função da razão entre o tempo de penetração e o diâmetro do cone (DIPERSIO, SIMON & MARTIN, 1960).

A velocidade de penetração, U P , pode ser calculada pela EQ.2.65:

λ U P (i ) = VJ (i )

ρJ ρt

(2.65)

  1 + λ ρ J   ρ t  

E o tempo de penetração será: t p (i ) =

L(i ) VJ (i ) − U P (i )

(2.66)

70


A EQ2.61 representa uma penetração diretamente proporcional ao comprimento do jato e à raiz quadrada da razão entre as massas específicas do jato e do alvo. Portanto, em teoria, poderia se supor que com o crescimento da distância de standoff e o desenvolvimento de um jato cada vez mais alongado, ter-se-ia uma profundidade de penetração também crescente. Acontece que, na realidade, a curva de penetração versus standoff é um pouco diferente, conforme pode ser visto na FIG.2.31. O fato é que as hipóteses adotadas por BIRKHOFF et al (1948) na teoria hidrodinâmica não se aplicam para baixas velocidades do jato e também não contemplam a redução de efetividade de penetração proveniente da quebra do jato e/ou da oscilação radial, muito comuns em longos standoffs.

FIG.2.31 Curvas de penetração média em aço macio como função da distância de standoff. (ɸ) indica penetração média com o desvio médio da média. (×) indica a máxima e a mínima penetrações (BIRKHOFF et al, 1948).

Também não parece razoável no modelo de penetração de Birkhoff, o fato deste ignorar os efeitos da resistência mecânica do alvo. Sabe-se que, a penetração de um jato de carga oca, com revestimento de cobre, em um alvo de aço balístico é consideravelmente inferior à penetração desse mesmo jato em um alvo de aço macio, embora a relação entre as massas específicas seja a mesma. A FIG.2.32 mostra os resultados de vários experimentos de penetração, com um mesmo tipo de carga oca, em aços com limites de resistência variando de 300 até 2900 MPa. Observa-se que a penetração diminui à medida em que o limite de resistência aumenta. A

71


explicação é que, na realidade, o processo de penetração de um jato de carga oca é caracterizado por uma intensa deformação plástica, tanto na direção axial quanto na direção radial. Quanto maior for a resistência mecânica do alvo, menor será a deformação plástica na direção radial e menor será o diâmetro do furo produzido pelas partículas da frente do jato. Assim, as partículas posteriores contribuirão mais no alargamento do furo do que no resultado final da profundidade da penetração (CHANTERET, 1993). A teoria hidrodinâmica, como qualquer outra teoria, utiliza hipóteses que são válidas sob determinados limites de aplicabilidade. A principal hipótese está relacionada com a velocidade de penetração ( U P ). No limite superior, quando a velocidade de penetração é supersônica, pelos efeitos de compressibilidade que não podem mais ser ignorados. No limite inferior, em baixas velocidades de penetração, pela resistência mecânica do alvo que deixa de ser considerada desprezível (GOOCH et al, 2001).

FIG.2.32 Curvas de penetração versus tempo, em alvos de aço com diferentes limites de resistência (CHANTERET, 1993).

A velocidade da última partícula do jato que contribui, efetivamente, para aumentar a profundidade da penetração é definida como velocidade de corte ou velocidade de cutoff. Existem muitas formas para estimá-la. Normalmente, são expressões empíricas relacionadas com a dureza do material do alvo (CARLUCCI & JACOBSON, 2008). Entretanto, também existem formas mais simples que procuram relacionar a velocidade de corte com a distância de standoff. Quanto maior for a distância de standoff maior será a velocidade de corte,

72


aproximando-se da velocidade da ponta do jato. Com isso, reduz-se a capacidade de o jato conseguir penetrar ou, ainda, aumentar a profundidade da penetração (HANCOCK, 2001). A TAB.2.7 ilustra o efeito da distância de standoff, medida em diâmetros da base do revestimento (D), na velocidade de corte. Os resultados foram obtidos com testes em cargas ocas padrão BRL 83,82 mm. Esta carga é semelhante à carga oca da FIG.2.22, exceto por utilizar octol como alto explosivo.

TAB.2.7 Velocidades de corte para uma carga oca padrão BRL 83,82 mm (HANCOCK, 2001). Standoff (em D )

Velocidade de corte (km/s)

2

5

8

12

15

20

25

3,04

3,61

4,01

4,31

4,77

5,69

6,55

Os modelos de penetração, baseados na teoria hidrodinâmica, fornecem boas estimativas da profundidade de penetração obtida por um jato de carga oca. Entretanto, suas formulações simplificadas não conseguem representar o fenômeno em muitos aspectos. Atualmente, as novas modelagens incorporam resistência dos materiais, deformações plásticas e mecânica da fratura, permitindo analisar mais realisticamente a dinâmica da penetração, tanto na direção axial quanto na direção radial (POOLE, 2005).

2.4 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

A fim de avaliar a resposta e o desempenho dos diversos modelos analíticos apresentados, para descrição das três fases do processo de funcionamento de uma carga oca, algumas das principais formulações foram reunidas em um código computacional simplificado. Este código contém as seguintes particularidades: 1. A teoria de Gurney para a interação explosivo/revestimento; 2. A teoria PER para o colapso do revestimento e a formação do jato, com elementos acelerados pela formulação de Randers-Pehrson, com constante de tempo

τ = 2,375 µs (CHOU et al, 1981) e com ângulos de projeção corrigidos pelo quadro de colapso modificado, conforme as EQ.2.34, 2.37, 2.38 e 2.39; 3. O critério de Walters e Summers para o alongamento dinâmico do jato, utilizando-se a formulação jet-tip;e

73


4. A teoria hidrodinâmica para a penetração, modificada por DiPersio, Simon e Martin, utilizando-se, também, o critério da velocidade de corte ou cutoff.

As simulações tinham como foco as fases de alongamento, quebra e penetração de um jato de carga oca. O objetivo era reproduzir alguns trabalhos experimentais, avaliando e comparando os resultados. Todas as simulações utilizaram uma quantidade de elementos N = 100 e um intervalo de tempo ∆t = 0,01 x(1) / U D .

A carga oca padrão BRL 81,3 mm, da FIG.2.22, foi utilizada para simulação de avaliação do alongamento dinâmico do jato. Os resultados simulados foram comparados com os resultados experimentais apresentados por CHOU et al (1977). As características da carga oca padrão BRL 81,3 mm estão listadas nas TAB.2.5 e 2.6. A FIG.2.33 apresenta os resultados obtidos para o comprimento do jato, em três instantes diferentes: 135 µs , 169 µs e 209 µs . A TAB.2.8 sintetiza as posições alcançadas pela ponta do jato, a fim de serem comparadas com os resultados experimentais apresentados por CHOU et al (1977). A TAB.2.9 ilustra o resultado da simulação para as características do jato em 209 µs .

FIG.2.33 Representação do comprimento do jato para uma carga oca padrão BRL 81,3 mm.

Os resultados apresentados na TAB.2.8 mostram que a hipótese de considerar os elementos do jato com velocidade constante é bastante razoável, produzindo desvios da ordem máxima de 2,93 %, em relação aos resultados experimentais.

74


TAB.2.8 Posição da ponta do jato para uma carga oca padrão BRL 81,3 mm. Posição da ponta do jato (mm) Tempo ( µs )

CHOU et al (1977)

Simulação numérica

135

939

966,548

169

1206

1210,556

209

1522

1500,603

Para os resultados da TAB.2.9, observa-se que a seção transversal do jato aumenta da ponta para a cauda. Percebe-se, também, que a utilização da formulação com a velocidade da ponta do jato (jet-tip) permite caracterizar o acúmulo de massa nessa região, causado pelo empilhamento dos elementos próximos ao vértice, traduzido pelo aumento do diâmetro nos primeiros segmentos, até ocorrer a ruptura.

TAB.2.9 Características do jato em 209 µs (Simulação numérica). Posição J(i), mm

Comprimento

Diâmetro d (i ) , mm

L(i+1), mm

1500,603

14,015

2,598

1485,539

9,727

3,818

1464,895

106,478

2,184

1343,113

153,333

2,433

1171,205

178,671

2,851

971,572

195,779

3,369

753,514

220,819

4,014

511,313

195,316

5,422

298,696

164,996

7,621

A carga oca padrão BRL 83,82 mm foi utilizada em simulações numéricas para avaliação do efeito da distância de standoff na profundidade da penetração. Os alvos eram de aço blindado, tipo RHA (rolled homogeneous armor), com ρ t = 7850 kg/m3. Os resultados numéricos foram comparados com os resultados experimentais obtidos por DiPersio, Simon e Merendino, apresentados por HANCOCK (2001). As características da carga oca padrão BRL 83,82 mm estão listadas nas TAB.2.10 e 2.11.

75


TAB.2.10 Geometria da carga oca padrão BRL 83,82 mm (HANCOCK, 2001). Semi-ângulo do vértice ( α )

21º

Diâmetro externo da carga explosiva ( DC )

83,82 mm

Diâmetro externo da base do revestimento ( D )

83,82 mm

Espessura do revestimento ( e )

2,0574 mm

TAB.2.11 Propriedades dos materiais utilizados na carga oca padrão BRL 83,82 mm – Revestimento de cobre e octol como explosivo (WALTERS & ZUKAS, 1989). Massa específica do revestimento ( ρ J )

8920 kg/m3

Massa específica da carga explosiva ( ρ E )

1821 kg/m3

Velocidade de detonação do explosivo ( U D )

8480 m/s

Constante de Gurney ( 2 EG )

1896 m/s

Utilizou-se o critério da velocidade de corte ou velocidade de cutoff, com uma formulação linear desta velocidade em função da distância de standoff, obtida com os dados da TAB.2.7. Os resultados estão normalizados em diâmetros da base do revestimento (D), sendo graficamente representados na FIG.2.34 e com valores apresentados na TAB.2.12. Percebe-se um comportamento coerente da profundidade da penetração em relação à distância de standoff. Inicialmente, a penetração cresce até um valor ótimo para, em seguida, diminuir consideravelmente em longas distâncias de standoff.

TAB.2.12 Penetração para uma carga oca padrão BRL 83,82 mm, em função da distância de standoff.

Penetração normalizada (P/D) Standoff (em D)

DiPersio, Simon e Merendino (HANCOCK, 2001) Simulação numérica

2

5

8

12

15

20

25

4,79

5,54

5,51

4,77

4,64

3,42

1,62

4,10

5,18

5,74

5,74

5,25

3,95

1,53

76


FIG.2.34 Penetração normalizada em diâmetros da base do revestimento (P/D), em função da distância de standoff, para uma carga oca padrão BRL 83,82 mm.

Três diferentes cargas ocas, guardadas as devidas proporções geométricas, foram utilizadas em simulações numéricas para avaliação da penetração entre cargas proporcionais, sob uma distância de standoff também proporcional. Os resultados numéricos foram comparados com os resultados experimentais apresentados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960). As características das cargas ocas proporcionais estão listadas nas TAB.2.13 e 2.14.

TAB.2.13 Geometria das cargas ocas proporcionais (DIPERSIO, SIMON & MARTIN, 1960). Carga 2

Carga 3

Carga 4

Semi-ângulo do vértice ( α )

21º

21º

21º

Diâmetro externo da carga explosiva ( DC )

48 mm

72 mm

96 mm

Diâmetro externo da base do revestimento ( D )

48 mm

72 mm

96 mm

Espessura do revestimento ( e )

1,778 mm

2,667 mm

3,556 mm

As simulações foram desenvolvidas para uma distância de standoff de 3 (três) vezes o diâmetro da base do revestimento de cada carga. Em todas as simulações, utilizou-se uma velocidade de corte constante de 2,0 km/s em um alvo de aço macio com ρ t = 7850 kg/m3.

77


TAB.2.14 Propriedades dos materiais utilizados nas cargas ocas proporcionais – Revestimento de cobre e composto B como explosivo (DIPERSIO, SIMON & MARTIN, 1960). Massa específica do revestimento ( ρ J )

8920 kg/m3

Massa específica da carga explosiva ( ρ E )

1717 kg/m3

Velocidade de detonação do explosivo ( U D )

7890 m/s

Constante de Gurney ( 2 EG )

2350 m/s

Os resultados simulados apresentados na FIG.2.35, para as três cargas ocas proporcionais, mostram que a penetração final obtida obedece à uma proporção relativa ao diâmetro das cargas de, aproximadamente, 6 vezes D. Esta foi a mesma conclusão obtida, experimentalmente, por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960).

FIG.2.35 Resultados simulados para a penetração, em função do tempo, ambos normalizados pelo diâmetro da base do revestimento, para três cargas ocas geometricamente proporcionais.

A FIG.2.36 e a TAB.2.15 apresentam uma comparação entre os resultados simulados com os resultados dos experimentos realizados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960), somente para a carga de nº 4. Percebe-se uma boa aproximação entre os resultados, indicando que as formulações utilizadas conseguem reproduzir apropriadamente o comprimento e a velocidade do jato, características que influenciam diretamente no resultado da profundidade da penetração.

78


Cumpre recordar que o fenômeno é contínuo e que bons resultados para o alongamento e a penetração de um jato de carga oca também dependem de boas formulações para a representação da interação explosivo/revestimento, do processo de colapso e da formação do jato.

FIG.2.36 Comparação entre os resultados simulados da carga nº 4 com os resultados experimentais apresentados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960), para a penetração em função do tempo, relativos ao diâmetro da base do revestimento.

TAB.2.15 Penetração para a carga nº 4 (Standoff: 3D). Tempo normalizado (µs/cm)

Penetração normalizada (P/D) DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960)

Simulação numérica

5,02

1,59

1,59

10,85

2,91

2,95

14,89

3,71

3,69

20,24

4,50

4,50

24,90

5,03

5,06

31,20

5,56

5,66

42,80

5,82

6,33

Os resultados obtidos para a velocidade de penetração e para a velocidade do jato estão apresentados nas FIG.2.37 e 2.38 e nas TAB.2.16 e 2.17, respectivamente. Eles também

79


mostram boa concordância com os resultados experimentais obtidos por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960).

FIG.2.37 Comparação entre os resultados simulados da carga nº 4 com os resultados experimentais apresentados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960), para a velocidade de penetração em função do tempo normalizado pelo diâmetro da base do revestimento.

TAB.2.16 Velocidade de penetração para a carga nº 4 (Standoff: 3D). Tempo normalizado (µs/cm)

Velocidade de penetração, U P (m/s) DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960)

Simulação numérica

5,02

2730

2680

10,85

1760

1982

14,89

1810

1647

20,24

1320

1302

24,90

1120

1056

31,20

860

771

42,80

220

320

80


FIG.2.38 Comparação entre os resultados simulados da carga nº 4 com os resultados experimentais apresentados por DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960), para a velocidade do jato em função do tempo normalizado pelo diâmetro da base do revestimento.

TAB.2.17 Velocidade do jato para a carga nº 4 (Standoff: 3D). Velocidade do jato, VJ (m/s)

Tempo normalizado (µs/cm)

DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960)

Simulação numérica

5,02

5630

5464

10,85

4410

4337

14,89

3920

3821

20,24

3400

3313

24,90

3050

2972

31,20

2670

2603

42,80

2080

2092

2.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A simplicidade das formulações analíticas apresentadas e a facilidade de reuní-las em um código de baixo custo computacional são especialmente atraentes para uma simulação completa de carga oca. No entanto, apesar da obtenção de alguns bons resultados, os modelos analíticos possuem utilização muito limitada. Primeiramente, em virtude das próprias

81


hipóteses simplificadoras assumidas nas formulações e, posteriormente, porque quase sempre dependem de observações e parâmetros extraídos de experimentos nem sempre acessíveis. Na interação explosivo/revestimento, por exemplo, as teorias de Gurney e Defourneax são muito simplistas. Uma modelagem mais realista deveria considerar o processo de colapso do revestimento como um problema tipicamente bidimensional, associado à ação de uma onda de choque proveniente da detonação do explosivo. Igualmente para a dinâmica de formação do jato. Mesmo com alguns aprimoramentos, a teoria PER, apesar de demonstrar excelentes resultados, tem sua utilização restrita para cargas cilíndricas com revestimentos cônicos de espessura constante. Do mesmo modo, na fase de alongamento do jato, por mais que o problema possa ser simplificado como unidimensional, é desejável um tratamento mais realista utilizando-se de modelos constitutivos confiáveis, capazes de caracterizar o comportamento do jato e de prever o aparecimento de possíveis pontos de instabilidade dinâmica que poderiam levá-lo à ruptura. Finalmente, para a penetração, que de uma maneira mais realista também pode ser considerada como um problema bidimensional (ao longo do eixo do furo e na direção radial), também é desejável a utilização de modelagens constitutivas para os materiais do par jato/alvo, incorporando-se efeitos de deformações plásticas e, inclusive, mecânica da fratura. Admite-se que os modelos analíticos, associados aos trabalhos experimentais, ajudaram bastante na compreensão do processo de funcionamento de uma carga oca, principalmente entre as décadas de 1940 e 1980, caracterizada por poucos recursos computacionais e muito conhecimento prático acumulado. Nas últimas décadas, a simulação computacional ganhou espaço com métodos numéricos eficientes e recursos computacionais mais acessíveis. Entretanto, mesmo com todas as suas limitações, trabalhos como os que foram apresentados recentemente por JARAMAZ et al (2012) e LIM (2012a e 2012b), reforçam que a modelagem analítica continua tendo seu valor e ainda é considerada como um bom instrumento de informação complementar para uma simulação completa de carga oca.

82


3

EQUAÇÕES DE ESTADO E EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

A Mecânica do Contínuo explica que uma completa caracterização do estado termodinâmico de um dado material somente é conseguida utilizando-se as equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica, em conjunto com algumas equações complementares. Estas equações complementares podem estar na forma de equações de estado e de equações constitutivas. O tensor de tensões total, que aparece nas equações de conservação de quantidade de movimento e de energia interna específica, pode ser dividido em duas partes, conforme observado na EQ.3.1, onde a e b são as direções coordenadas. A primeira parte ( σ Hab ), conhecida como componente hidrostática, é calculada por uma equação de estado e responde pelas variações volumétricas do material. A segunda parte ( σ Dab ), conhecida como componente desviatória, é calculada por uma equação constitutiva e responde pelas eventuais distorções do material.

σ ab = σ Hab + σ Dab

(3.1)

Existem diversas proposições para essas equações complementares. Em todas, verifica-se a existência de parâmetros obtidos a partir de observações experimentais. Este capítulo é destinado à apresentação de algumas das mais utilizadas equações de estado e equações constitutivas, que serão adotadas no modelo numérico para simulação completa de uma carga oca.

3.1 EQUAÇÕES DE ESTADO (EOS)

Uma equação de estado normalmente relaciona três variáveis termodinâmicas: pressão ( P ), massa específica ( ρ ) e energia interna específica ( u ). Na maior parte dos códigos computacionais hidrodinâmicos, a massa específica e a energia interna são calculadas a cada ciclo e utilizadas para obtenção da pressão no ciclo seguinte. Assim, a forma mais usual para uma equação de estado é (COLLINS & MELOSH, 2002): P = P ( ρ , u)

(3.2)

83


Essencialmente, a resposta de um dado material sob ação de uma onda de choque é governada por sua equação de estado. O processo de funcionamento de uma carga oca, desde a detonação do explosivo até a penetração do jato em um alvo, envolve a interação de diversos materiais sob efeito de ondas de choque. Em todos eles será considerado o tratamento matemático para ondas de choque, desenvolvido por Rankine e Hugoniot. Para cada material envolvido, haverá uma equação de estado associada. Considere a FIG.3.1, representativa do processo de detonação de uma carga de alto explosivo. Um pulso de alta pressão caminha na direção do explosivo, em seu estado original, com uma velocidade de detonação U D , considerada constante e dependente da composição química do explosivo detonado. Imediatamente atrás da frente da onda de choque, verifica-se uma estreita zona de reação, onde ocorre a transformação do explosivo sólido em produtos gasosos da detonação, sob altas pressões. A interface na qual esta transformação é completada é denominada de interface de Chapman-Jouguet (CJ). Para que a detonação aconteça em regime permanente, a interface de Chapman-Jouguet também deve se movimentar com velocidade constante e igual à U D . Uma onda de rarefação, conhecida como onda de Taylor, desloca-se na região dos produtos gasosos da detonação. Na frente da zona de reação química existe um pico de pressão, chamado de pico de von Neumann. O pico de von Neumann é muito estreito e atenuado quase que imediatamente quando em contato com algum metal, por exemplo. Por outro lado, a atenuação na onda de Taylor é bem mais lenta, sendo seu valor máximo de pressão conhecido como pressão de Chapman-Jouguet ( PCJ ), normalmente utilizada para caracterizar o explosivo (MEYERS, 1994). As variáveis de estado, antes e depois da onda de choque da detonação do explosivo, são obtidas utilizando-se as equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica em conjunto com uma equação de estado apropriada. Para o explosivo sólido, considera-se adequada a utilização de uma relação linear entre a velocidade da onda de choque ( U D ) e a velocidade da partícula no explosivo sólido ( U P , 0 ), expressa por U D = C0 + S U P , 0 , onde C é a velocidade do som e S é uma constante empírica. O subscrito

“0” refere-se ao estado original do explosivo. Com isso, a pressão no explosivo sólido pode ser calculada pela EQ.3.3, em que v = 1

ρ é o volume específico do explosivo sólido

(MEYERS, 1994):

84


P (v) =

C02 (v0 − v) [v0 − S (v0 − v)]2

(3.3)

FIG.3.1 Esquema da detonação de um alto explosivo e o perfil de pressão associado.

A TAB.3.1 apresenta as propriedades de alguns explosivos sólidos e seus respectivos parâmetros na relação linear de choque, U D = C0 + S U P.0 , sendo ρ 0 a massa específica do explosivo original não detonado.

TAB.3.1 Propriedades de alguns explosivos sólidos e respectivos parâmetros na relação linear de choque - (COOPER, 1996 e BARROSO, 2009).

ρ0

UD

C0

(kg / m 3 )

(m / s)

(m / s)

TNT

1630

6930

2680

1,88

Comp B

1717

7980

3078

1,58

Octol

1821

8480

3140

1,72

Pentolite

1700

7530

2270

1,91

LX-14

1835

8800

2815

2,32

HMX

1891

9110

2950

2,60

85

S


Para os produtos gasosos da detonação, a relação linear de choque deixa de ser válida. Primeiramente, por razões óbvias, uma vez que essa relação linear foi desenvolvida para materiais sólidos e sem transformação de fase. Em segundo lugar, por que há uma liberação de energia na frente da onda de detonação que não pode ser ignorada (MEYERS, 1994). Diversas equações de estado foram desenvolvidas a fim de determinar a pressão dos gases do explosivo detonado. Uma possibilidade simples é admitir a expansão politrópica dos gases ideais: P v γ = P0 v0γ = cte . Onde γ é a constante politrópica, cujo valor ligeiramente inferior a 3 (três) é assumido para a maioria dos altos explosivos. A hipótese da expansão politrópica, em conjunto com as equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica, permite a obtenção da seguinte equação de estado (LIU & LIU, 2003): P ( ρ , u ) = (γ − 1) ρ u

(3.4)

Ainda utilizando-se a hipótese da expansão politrópica, algumas expressões analíticas podem ser obtidas para estimativa dos valores de pressão, massa específica e velocidade na interface de Chapman-Jouguet: PCJ =

1 ρ 0 U D2 γ +1

(3.5)

ρ CJ =

γ +1 ρ0 γ

(3.6)

U P , CJ =

1 UD γ +1

(3.7)

No entanto, a equação de estado considerada mais precisa para descrever o processo de expansão dos produtos gasosos da detonação de um alto explosivo e, portanto, mais utilizada, é a equação de estado de Jones-Wilkins-Lee (JWL), obtida através de parâmetros ajustados experimentalmente (LEE, 2006).

3.1.1

EOS JONES-WILKINS-LEE

A pressão nos produtos gasosos da detonação de um alto explosivo pode ser calculada pela EQ.3.8, onde A , B , R1 , R2 e w são parâmetros ajustados para cada tipo de explosivo (LEE, 2006).

86


  wρ  wρ   EXP  − R1 ρ 0  + B 1 −  EXP  − R2 ρ 0  + w ρ u P ( ρ , u ) = A 1 − ρ ρ     R1 ρ 0   R2 ρ 0 

(3.8)

A TAB.3.2 reúne os parâmetros da EOS JWL para alguns explosivos, sendo u0 a energia interna específica do explosivo original não detonado e PCJ a pressão de Chapman-Jouguet, também obtida experimentalmente.

TAB.3.2 Parâmetros da EOS JWL para alguns explosivos - (COOPER, 1996; LEE, 2006; AUTODYN, 2009 e BARROSO, 2009). PCJ (GPa )

A (GPa )

B (GPa )

R1

TNT

21

371,2

3,21

4,15

0,95 0,30

4,29E6

Comp B

29,5

524,2

7,678

4,20

1,10 0,34

4,95E6

Octol

34,2

748,6

13,38

4,5

1,2

0,38

5,27E6

Pentolite

25,2

540,94

9,3726

4,5

1,1

0,35

4,76E6

LX-14

37

826,1

17,24

4,55

1,32 0,38

5,56E6

HMX

39

778,28

7,0714

4,2

1,0

5,55E6

3.1.2

R2

w

0,30

u0 ( J / kg )

EOS MIE-GRÜNEISEN

A pressão em um material sólido, sob ação de uma onda de choque, pode ser determinada pela equação de estado de Mie-Grüneisen, cuja expressão é (QIANG et al, 2008):

 1  P ( ρ , u ) = 1 − Γθ  PH + Γ ρ u  2 

(3.9)

Onde θ = ρ ρ L − 1 define o grau de compressão ou descompressão do material, Γ é o parâmetro de Grüneisen e PH é a pressão calculada por ajuste das curvas experimentais de Hugoniot, conforme as seguintes relações:

a0θ + b0 θ 2 + c0 θ 3 , θ > 0 PH =  , θ ≤0  a0 θ

(3.10)

a0 = ρ L CS2   b0 = a0 [1 + 2(S S − 1)]  c = a 2(S − 1) + 3(S − 1)2 0 S S  0

(3.11)

[

] 87


Sendo ρ L a massa específica do material sob pressão nula, CS a velocidade do som e S S uma constante empírica. CS e S S são obtidas considerando-se mais uma vez, como equação de estado, a relação linear entre a velocidade da onda de choque e a velocidade da partícula no material sólido, expressa por U S = CS + S S U P , onde o subscrito “S” refere-se à onda de choque. A TAB.3.3 apresenta uma lista de diversos materiais metálicos e seus respectivos parâmetros na equação de estado de Mie-Grüneisen. Estes materiais são potencialmente utilizáveis em uma simulação completa de carga oca, na forma de revestimento, invólucro e alvo.

TAB.3.3 Parâmetros da EOS Mie-Grüneisen para alguns materiais metálicos - (MEYERS & MURR, 1981; LEE, 2006 e AUTODYN, 2009).

3.1.3

ρ L (kg / m3 )

CS (m / s )

SS

Γ

Cobre OFHC

8930

3940

1,489

1,98

Alumínio 2024

2785

5328

1,338

2

Aço SAE 1006

7896

4569

1,49

2,17

Ferro Armco

7850

3630

1,8

1,81

Tungstênio

19230

4029

1,237

1,54

Latão

8450

3726

1,434

2,04

Aço SAE 4340

7830

4569

1,49

2,17

Chumbo

11350

2051

1,46

2,77

RHA

7823

4610

1,73

1,67

EOS TILLOTSON

Originalmente proposta para tratar problemas de impacto em altas velocidades, a equação de estado de Tillotson possui duas formas distintas, que estão associadas aos estados de compressão e expansão do material, dependendo do seu nível de energia interna (COLLINS & MELOSH, 2002). Seja a FIG.3.2 uma representação simplificada das regiões limites de aplicação das diferentes formas da EOS Tillotson.

88


FIG.3.2 Representação das regiões de aplicação da EOS Tillotson. Na fase de compressão, em que u ≤ u s , a pressão no material ( PC ) pode ser calculada pela EQ.3.12 (LEE, 2006):

 b  PC ( ρ , u ) =  a +  ρ u + A µ + B µ 2 w0  

(3.12)

Na fase de expansão ou descompressão, em que u ≥ u sd , a pressão no material ( PE ) pode ser calculada pela EQ.3.13 (LEE, 2006):

bρu  PE ( ρ , u ) = a ρ u +  + A µ EXP (− β x ) EXP − α x 2  w0 

(

Sendo w0 = 1 + u

(u η ) 2

,η=ρ

t

)

(3.13)

 ρL  ρ L , µ = η − 1 e x =  ρ  − 1 . Os parâmetros A , B , a ,

b , α , β , ut , u s e u sd são obtidos, experimentalmente, para cada material. A TAB.3.4 apresenta os valores desses parâmetros para alguns materiais. Para a região intermediária, em que u s < u < u sd , a pressão pode ser obtida por interpolação, na seguinte forma (LEE, 2006):

PI ( ρ , u ) =

(u − us ) PE + (u sd − u ) PC

(3.14)

u sd − u s

TAB.3.4 Parâmetros da EOS Tillotson para alguns materiais - (AUTODYN, 2009).

α

β

ut ( J / kg )

u s ( J / kg )

u sd ( J / kg )

0,5 1,50

5,0

5,0

32,5E6

1,38E6

6,9E6

65,0

0,5 1,63

5,0

5,0

5,0E6

3,0E6

15,0E6

128,0

105,0

0,5 1,50

5,0

5,0

9,5E6

2,44E6

10,2E6

308,0

250,0

0,5 1,04 10,0 10,0

22,5E6

1,135E6

5,84E6

A (GPa )

B (GPa )

Cobre

139,0

110,0

Alumínio

75,0

Aço Tungstênio

a

b

89


3.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

A segunda componente do tensor de tensões total, conhecida como componente desviatória ( σ Dab ), também é conhecida como componente dissipativa. Nos fenômenos considerados dissipativos ou irreversíveis, é necessário considerar as variáveis que representam essas modificações irreversíveis ocorridas no estado termodinâmico de um material. Estas variáveis, tais como: deformação plástica, taxa de deformação plástica, índice de dano, índice de encruamento, entre outras, estão associadas à história de carregamento do material (LEMAITRE & CHABOCHE, 1990). Uma equação constitutiva nada mais é do que uma formulação matemática que busca relacionar essas variáveis com as propriedades físicas de um dado material, de forma a descrever o seu comportamento quando submetido a um determinado carregamento. Existem diversas possibilidades de modelagens constitutivas para descrição do comportamento de um material. De uma forma geral, essas modelagens são construídas a partir de idealizações, tratando-se de expressões matemáticas normalmente relacionadas com a tensão limite de escoamento ( σ Y ) e o módulo transversal de elasticidade (G).

3.2.1

MODELO HIDRODINÂMICO

Representado pela EQ.3.15 (LEE, 2006), este modelo coincide com as formulações matemáticas propostas por BIRKHOFF et al (1948), que foram utilizadas na descrição dos processos de colapso, de formação de um jato de carga oca e de interação deste jato com um alvo. Trata-se da hipótese de considerar o revestimento metálico e o alvo como fluidos incompressíveis e sem viscosidade, de modo que as tensões desviatórias sejam desprezíveis em relação às tensões hidrostáticas.

G = σ Y = σ Dab = τ ab = 0

3.2.2

(3.15)

MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO

Neste modelo, idealizado pela FIG.3.3, admite-se, como resposta material, que a componente de tensão desviatória é diretamente proporcional ao traço do tensor deformação,

90


até que a tensão limite de escoamento seja ultrapassada e ocorram deformações plásticas irreversíveis.

FIG.3.3 Representação do modelo Elástico Perfeitamente Plástico.

Considera-se que essas deformações plásticas não afetam a superfície de escoamento do material e, portanto, não se verifica efeito de encruamento ou endurecimento. As EQ.3.16 e 3.17 representam a formulação matemática do modelo Elástico Perfeitamente Plástico (LEE, 2006).

G = G0 = cte

e

σ Y = σ Y , 0 = cte

(3.16)

τ ab = 2G0 ε ab

3.2.3

(3.17)

MODELOS ELASTO-PLÁSTICOS

Nos modelos Elasto-Plásticos, observam-se variações no limite de escoamento do material ( σ Y ) e no módulo transversal de elasticidade (G), em virtude de fenômenos como endurecimento e amolecimento, provocados por deformação plástica e elevação de temperatura, respectivamente. São formulações usuais da modelagem elasto-plástica, as proposições de Johnson-Cook e de Steinberg-Guinan (LEE, 2006).

3.2.3.1 MODELO DE JOHNSON-COOK

Neste modelo, continuam válidas as EQ.3.16 e 3.17, exceto pelo limite de escoamento dinâmico do material, que deixa de ser constante e passa a ser calculado pela EQ.3.18 (JOHNSON & COOK, 1983):

[

]

 ε& p   1 − T∗m  ε&0 

σ Y = A′ + B′ (ε p ) 1 + C ′ ln  n

(

)

(3.18)

91


Onde A′ , B′ , C ′ , n e m são parâmetros ajustados, experimentalmente, para cada material, T∗ é a temperatura reduzida, calculada pela EQ.3.19 e ε&0 é a taxa de deformação inicial, normalmente ajustada para ε&0 = 1 .

T∗ =

T − Tamb T fusão − Tamb

(3.19)

T é a temperatura do material, que pode ser calculada pela variação da energia interna específica, utilizando-se a EQ.3.20, onde T0 é a temperatura inicial e CV é o calor específico à volume constante. T = T0 +

u − u0 CV

(3.20)

A TAB.3.5 reúne os parâmetros de alguns materiais, para utilização nos modelos constitutivos Elástico Perfeitamente Plástico e de Johnson-Cook.

TAB.3.5 Parâmetros dos modelos constitutivos Elástico Perfeitamente Plástico e de JohnsonCook, para alguns materiais metálicos - (LEE, 2006 e AUTODYN, 2009). G0 (GPa )

σ Y ,0

A′

B′

(MPa )

(MPa )

(MPa )

44,0

450,0

90,0

27,0

550,0

81,8

C′

n

m

T fusão (K )

292,0

0,025

0,31

1,09

1356

265,0

426,0

0,015

0,34

1,00

775

600,0

350,0

275,0

0,022

0,36

1,00

1811

80,0

500,0

175,0

380,0

0,060

0,32

0,55

1811

Tungstênio

160,0

1800,0

1506,0

177,0

0,016

0,12

1,00

1723

Latão

37,4

-

112,0

505,0

0,009

0,42

1,68

1189

81,8

750,0

792,0

510,0

0,014

0,26

1,03

1793

77,5

1500,0

792,2

509,5

0,014

0,26

1,03

1793,2

Cobre OFHC Alumínio 2024 Aço SAE 1006 Ferro Armco

Aço SAE 4340 RHA

92


A EQ.3.21 é uma outra possibilidade de estimativa da elevação da temperatura do material. O primeiro termo do lado direito considera os efeitos sob ação da onda de choque enquanto que o segundo computa os efeitos das deformações plásticas. O parâmetro β é conhecido como coeficiente de Taylor-Quinney, normalmente situado entre 0,8 e 1,0 (CHEN & LIU, 2012).

β DT ρ L Γ Dρ = 2 T + ε& p τ ab τ ab Dt ρ Dt ρ CV

(3.21)

Quando a temperatura do material (T ) ultrapassa a temperatura de fusão ( T fusão ), o material é tratado como um fluido e as tensões desviatórias se anulam. O mesmo tratamento também é aplicado ao modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico.

3.2.3.2 MODELO DE STEINBERG-GUINAN

A formulação matemática do modelo constitutivo de Steinberg-Guinan está representada pelo conjunto das EQ.3.22-3.28 (STEINBERG, COCHRAN & GUINAN, 1980). Pelas EQ.3.23 e 3.24, observa-se que o limite de escoamento dinâmico do material e o módulo transversal de elasticidade variam sob efeito das deformações plásticas e da elevação da temperatura.

τ ab = 2G ε ab

(3.22)

  σ Y′ ,P  P  GT′   13 +  ( T − 300 )  G    0  σ Y ,0  η 

σ Y = σ Y′ , 0 1 + 

(3.23)

  G′  P  G ′   G = G0 1 +  P  1 3 +  T  (T − 300 )  G0    G0  η 

(3.24)

σ Y′ , 0 = σ Y , 0 [1 + γ (ε p + ε p , 0 )]n

(3.25)



1

T=

u − uC CV n

uC = ∫ P (η ) 1

(3.26) dη

− 300 CV EXP a 1 − 1 η γ 0 −a   η  η 2

 γ 0 −a − 13   

2 T fusão (η ) = T fusão EXP 2 a 1 − 1 η  η    0

93

(3.27)

(3.28)


Nas diversas equações, (σ Y′ , P σ Y ,0 ) , (GT′ G0 ) , (GP′ G0 ) , a , γ , γ 0 , n1 e σ Y , 0 são parâmetros que dependem do material utilizado, u é a energia interna específica do material, uC é a energia de compressão à frio, CV é o calor específico à volume constante, η = ρ ρ L e 0 T fusão é a temperatura de fusão do material quando η = 1 . ε p , 0 é a deformação plástica

equivalente inicial, normalmente ajustada para zero. Quando σ Y′ ,0 > σ Ymáx , o limite de escoamento é, então, ajustado para σ Y = σ Ymáx . Da mesma forma que nos modelos constitutivos anteriores, para o modelo constitutivo de Steinberg-Guinan, quando a temperatura calculada pela EQ.3.26 ultrapassa a temperatura de fusão, calculada pela EQ.3.28, o material passa a ser considerado como um fluido e as tensões desviatórias se anulam. A TAB.3.6 apresenta os diversos parâmetros da modelagem constitutiva de SteinbergGuinan, para alguns materiais metálicos.

TAB.3.6 Parâmetros do modelo constitutivo de Steinberg-Guinan, para alguns materiais metálicos - (LEE, 2006 e AUTODYN, 2009). Cobre

Alumínio

Tungstênio

G0 (GPa )

44,0

27,0

160,0

σ Y , 0 (MPa)

120,0

290,0

2200,0

σ Ymáx (MPa)

640,0

680,0

4000,0

σ Y ,0 ) (GPa −1 )

0,0283

0,0652

0, 0094

(GT′

G0 ) (kK −1 )

-0,377

-0,630

-0,138

(GP′

G0 ) (GPa −1 )

0,0283

0,0652

0,0094

a

1,5

1,7

1,4

γ

36

125

7,7

γ0

2,02

2,19

1,67

n1

0,45

0,10

0,13

383

875

134

1790

1220

4520

(σ ′

Y ,P

CV ( J

kg K

0 T fusão (K )

)

94


4 METODOLOGIA NUMÉRICA

A detonação real de uma carga oca acontece em frações de microssegundos, envolvendo diferentes fases caracterizadas por intensos carregamentos, altas taxas de expansão do explosivo, altas taxas de deformação do revestimento e do alvo, interações entre múltiplos materiais, ondas de choque, efeitos térmicos etc. Existem muitas possibilidades de métodos numéricos para uma simulação com estas características. Em todos eles, são encontradas vantagens e desvantagens que pesam na decisão de escolha. Este capítulo inicia-se com uma breve discussão sobre alguns métodos numéricos e suas respectivas potencialidades para aplicação em uma simulação completa de carga oca. Em seguida, são apresentadas algumas das principais características do método Hidrodinâmico de Partícula Suavizada (SPH – Smoothed Particle Hydrodynamics), adotado para a realização deste trabalho.

4.1 MÉTODOS NUMÉRICOS

Os métodos numéricos são tradicionalmente classificados em métodos Eulerianos ou Lagrangeanos, dependendo da forma como são discretizadas as derivadas espaciais das equações diferenciais parciais que modelam o fenômeno estudado. Na TAB.4.1 são apresentadas as equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica, segundo as descrições Lagrangeana e Euleriana, para um meio contínuo onde não há fluxo de calor e nem ação de forças externas. Pela EQ.4.1, tem-se uma relação para correspondência entre as duas formas de descrição. Nela, observa-se que a derivada total ( D Dt ) é igual à derivada local ( ∂ ∂t ) mais o termo convectivo ( V ⋅∇ ). A derivada total, também denominada de derivada material, corresponde fisicamente à taxa de variação temporal associada a um dado elemento do meio contínuo em movimento. A derivada local compreende fisicamente à taxa de variação temporal em um ponto fixo. Já o termo convectivo, também denominado de termo de transporte, responde fisicamente pelas variações devido ao movimento do meio contínuo, de um ponto a outro, onde as propriedades são espacialmente diferentes (LIU & LIU, 2003). D( ) ∂( ) = + V ⋅∇( Dt ∂t

)

(4.1)

95


TAB.4.1 Equações de conservação, segundo as descrições Lagrangeana e Euleriana (LIU & LIU, 2003).

Conservação

Lagrangeana

Massa

Dρ = − ρ ∇ ⋅V Dt

Quantidade de movimento

DV 1 = ∇σ ρ Dt

Energia interna específica

Du σ = ∇ ⋅V Dt ρ

Euleriana − ρ ∇ ⋅V =

1

ρ

∇σ =

∂ρ + V ⋅∇ρ ∂t

∂V + V ⋅ (∇ ⋅ V ) ∂t

σ ∂u ∇ ⋅V = + V ⋅∇u ∂t ρ

Os métodos que utilizam a descrição Euleriana representam o material por meio de células de um reticulado fixo no espaço, conhecido como malha, tal qual ilustrado na FIG.4.1. Nesta malha, o objeto simulado é posicionado e flui através das células, que possuem forma e volume que não se alteram durante a simulação. Os fluxos de massa, quantidade de movimento e energia, que atravessam nós e contornos dessas células, são utilizados nos cálculos de distribuição de massa, velocidade e energia no domínio do problema.

FIG.4.1 Malha para simulação de uma carga oca segundo uma descrição Euleriana.

A malha é o domínio computacional da simulação, auxiliando na estimativa das derivadas espaciais das equações de governo, normalmente obtidas utilizando-se o método das diferenças finitas. A característica da malha fixa no espaço é especialmente atraente para problemas que envolvam grandes deformações. No entanto, esta mesma malha fixa tem que ser suficientemente grande para cobrir toda extensão da área que, possivelmente, o material venha a atingir sob grande deformação. Isso implica em um alto custo de memória computacional, ao armazenar regiões onde, inicialmente, não há material. Malhas esparsas

96


ajudam na eficiência computacional, mas comprometem a precisão dos resultados (LIU & LIU, 2003). Outras importantes considerações sobre os métodos Eulerianos dizem respeito à: 1- Dificuldade em se obter a evolução temporal de determinadas variáveis em um ponto fixo do material, uma vez que a malha está fixa no espaço; 2- Dificuldade para representar domínios com geometrias complicadas, utilizando-se malhas estruturadas; e 3- Perda de precisão por problemas de dissipação material através da malha computacional (QIANKUN et al, 2001).

Os métodos que utilizam a descrição Lagrangeana podem ser com malha ou sem malha. Nos métodos Lagrangeanos com malha, a representação do material é realizada mediante um conjunto de células irregulares, conectadas formando uma malha não-estruturada, como exibido na FIG.4.2.

FIG.4.2 Malha para simulação de uma carga oca segundo uma descrição Lagrangeana.

A malha não-estruturada é fixa no material. Quando o mesmo se deforma, a malha acompanha a deformação. Massa, quantidade de movimento e energia são transportados com o movimento das células da malha. Como a massa dentro de cada célula permanece constante, não há fluxo de massa atravessando os contornos das células. Um dos métodos Lagrangeanos com malha, muito conhecido e amplamente utilizado é o método dos elementos finitos. As principais vantagens dos métodos Lagrangeanos com malha, são: 1- Menor esforço computacional, em razão da inexistência do termo convectivo nas equações diferenciais de conservação; 2- Facilidade para acompanhar e obter a evolução temporal de todas as variáveis, uma vez que a malha é fixa no material em movimento;

97


3- Facilidade para aplicação em problemas com geometria complexa e/ou irregular; 4- Utilização de malhas unicamente dentro do domínio do problema; e 5- Automaticamente impor, acompanhar e determinar as condições de contorno em superfícies livres, interfaces entre materiais e fronteiras em movimento, utilizando-se de alguns nós da malha estrategicamente posicionados nessas regiões.

Os métodos Lagrangeanos com malha possuem, como principal obstáculo na simulação de uma carga oca, a difícil aplicabilidade em problemas com grandes deformações, pois as malhas distorcidas exigem constantes redefinições, levando à perda de precisão nos resultados (LIU & LIU, 2003). As vantagens e desvantagens características dos métodos Eulerianos e Lagrangeanos com malha, sugerem que a combinação deles pode resultar em um método computacionalmente mais eficiente. Nesse sentido, foram desenvolvidos alguns métodos híbridos, tais como: ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) e CEL (Coupled Eulerian Lagrangian). De uma forma geral, esses métodos são utilizados em problemas de interação fluido-estrutura e integram a grande maioria dos códigos comerciais (MSC/Dytran, DYNA2D, DYNA3D, LS-DYNA, AUTODYN etc). O método CEL utiliza as descrições Lagrangeana e Euleriana em diferentes regiões do domínio do problema. Normalmente, a descrição Lagrangeana é aplicada à região da estrutura sólida e a descrição Euleriana é aplicada à região do fluido, ou algo que se comporte como um fluido. As duas regiões interagem continuamente através de um módulo de acoplamento, no qual a informação computacional é trocada por mapeamento ou por tratamento especial de interface entre os dois tipos de malhas (LIU & LIU, 2003). O método ALE está intimamente relacionado com as técnicas de redefinição das malhas Lagrangeanas. Seu propósito é minimizar os efeitos de distorção das células. No método ALE, o movimento Lagrangeano é computado no início de cada passo de tempo, seguido por um possível estágio de redefinição no qual a malha ou não é redefinida, descrição puramente Lagrangeana, ou é redefinida para a forma original, descrição Euleriana, ou é redefinida para uma forma mais vantajosa, como algo entre as duas descrições. Em alguns estudos de simulação completa de uma carga oca, têm sido utilizados métodos com malhas que combinam descrição Lagrangeana com descrição Euleriana. Nesses estudos, explosivo e revestimento metálico são modelados segundo uma descrição Euleriana, enquanto que o alvo é geralmente modelado segundo uma descrição Lagrangeana. Em geral, os autores

98


desses trabalhos utilizam códigos comerciais, tais como AUTODYN e LS-DYNA (QIANKUN et al, 2001; UGRCIC & UGRCIC, 2009 e JUNQING et al, 2012). Os métodos Lagrangeanos sem malha utilizam, de uma maneira geral, um conjunto finito de partículas que representam fisicamente o material estudado, conforme pode ser observado na FIG.4.3. A evolução das propriedades associadas a essas partículas é determinada com a aplicação das leis de conservação de massa, quantidade de movimento e energia. As principais vantagens desses tipos de métodos são: 1- Facilidade para utilização em problemas com grandes deformações, uma vez que as partículas não apresentam nenhuma conectividade fixa; 2- Facilidade para capturar superfícies livres e suas variações; e 3- Facilidade para utilização em problemas com geometrias complexas ou irregulares, uma vez que a distribuição de partículas acontece somente no início da simulação.

O método SPH é um exemplo de método Lagrangeano sem malha. Sua origem está relacionada com a simulação de problemas astrofísicos no espaço tridimensional (LUCY, 1977 e GINGOLD & MONAGHAN, 1977). Suas características ampliaram seu espectro de utilização para problemas de mecânica dos sólidos e mecânica dos fluidos, sendo também incorporado aos principais códigos comerciais de simulação de problemas de Engenharia. Sua natureza adaptativa, especialmente atraente em problemas com grandes deformações, tem sido explorada em simulações de carga oca (LIU et al, 2003; QIANG et al, 2008; GANG et al, 2011 e FENG et al, 2013).

FIG.4.3 Distribuição de partículas para simulação de uma carga oca pelo método SPH.

99


4.2 MÉTODO SPH

O método SPH é basicamente um método de interpolação. Sua formulação pode ser compreendida em duas fases: Representação Integral e Aproximação por Partículas (PAIVA et al, 2009). Na Representação Integral, uma dada propriedade f (x) , em que x é um vetor posição, é definida pela convolução de f por uma função suave W ( x − x′, h ) , dentro do domínio Ω , cuja extensão é proporcional à h , denominado de comprimento suavizante:

f ( x ) = ∫ f ( x′) W ( x − x′, h ) dx′

(4.2)

Após algumas simplificações matemáticas, a representação integral do gradiente da propriedade f (x) pode ser obtida:

∇ ⋅ f ( x ) = − ∫ f ( x′)⋅∇W ( x − x′, h ) dx′

(4.3)

A função suave W é conhecida como função núcleo de suavização (smoothing kernel function), cuja escolha deve atender às seguintes condições (LIU & LIU, 2003): i)

Delta de Dirac;

ii) Unitária; iii) Compacta; iv) Positividade; v) Decaimento; vi) Simetria; e vii) Suavidade. Na condição delta de Dirac, limW ( x − x′, h ) = δ ( x − x′) , em que δ ( x − x′) é a função delta h→0

de Dirac.

∞ , x = x′  0 , x ≠ x′

δ ( x − x′ ) = 

(4.4)

Na condição unitária, ∫ W ( x − x′, h ) dx′ = 1 . Ω

100


Na condição compacta, W ( x − x′, h ) = 0 quando x − x′ > kh . Onde k é uma constante que dependerá da função núcleo de suavização utilizada. Por exemplo, se W é uma spline cúbica por partes, então k = 2 . Na condição de positividade, W ( x − x′, h ) ≥ 0 para qualquer ponto x′ dentro do domínio suporte de uma partícula em x . Na condição de decaimento, o valor da função suavizante W deve ser uniformemente decrescente com o aumento da distância entre as partículas. Na condição de simetria, a função suavizante W

deve ser uma função par,

W ( x − x′, h ) = W ( x′ − x, h ) . Na condição de suavidade, a função suavizante W não deve apresentar variações bruscas ou descontinuidades.

Na realidade, existem muitas possibilidades de formulação para as funções núcleos de suavização e, inclusive, técnicas para construí-las, desde que sejam obedecidas as condições anteriormente listadas. Na literatura, as funções Gaussianas e as splines por partes são muito difundidas, muito embora as funções Gaussianas não atendam, rigorosamente, à condição de funções compactas. Neste trabalho, é utilizada uma função núcleo de suavização do tipo spline cúbica por partes, descrita na EQ.4.5 (MONAGHAN, 1992). A FIG.4.4 apresenta esta função núcleo e sua primeira e segunda derivadas, W ′ e W ′′ , respectivamente.

 3 2 3 3 1 − 2 q + 4 q 3 C  1 W (q, h ) = d ×  (2 − q ) h 4   0

0 ≤ q <1 1≤ q < 2

(4.5)

q≥2

Na EQ.4.5, q = x − x′ h , d é o número de dimensões do problema (1, 2 ou 3) e C é um fator de escala que depende da dimensão d , conforme a EQ.4.6:

2 3  10  C = 7π 1  π

d =1 d =2

(4.6)

d =3

101


FIG.4.4 Função núcleo de suavização spline cúbica e suas respectivas derivadas.

A essência do método SPH está baseada em duas idéias: 1ª – as propriedades do material, em um ponto, são aproximadas pela média ponderada das propriedades ao redor desse ponto; e 2ª – o meio contínuo é aproximado por um número finito de partículas, que se movimentam livremente sob interação mútua e sob ação de qualquer força externa. Considerando-se que dx′ , nas EQ.4.2 e 4.3, é um elemento de volume infinitesimal de uma partícula j , tal que: dx′ ≡ ∆v j =

mj

ρ j , a representação integral de uma propriedade

definida pela função f , tem seu valor e seu gradiente, para uma dada partícula i , aproximados pelos seguintes somatórios interpolados ao longo de N partículas vizinhas de i : N m  f ( xi ) = ∑  j  f (x j ) Wij   j =1  ρ j 

(4.7)

N m  ∇f ( xi ) = ∑  j  f (x j ) ∇ i Wij   j =1  ρ j 

(4.8)

O sinal negativo da EQ.4.3 é removido na EQ.4.8, uma vez que ∇ i Wij é tomado em relação à partícula i .

102


Nas EQ.4.7 e 4.8, observa-se que a aproximação por partículas transforma a representação integral contínua das EQ.4.2 e 4.3 em somatórios discretos, tomados dentro de um conjunto arbitrário de partículas. Esta é considerada a característica chave que confere simplicidade ao método SPH (LIU & LIU, 2003). Na FIG.4.5, Ω ( x − x′ ≤ kh ) e h são, respectivamente, o domínio suporte e o comprimento suavizante da partícula i e rij é a distância entre as partículas i e j . O domínio suporte da partícula i é a região do domínio onde estão contidas todas as partículas vizinhas utilizadas na interpolação das propriedades de i .

FIG.4.5 a) Representação das partículas dentro do raio de interação k h , e b) suas respectivas parcelas de contribuição (VASCO, MACIEL & MINUSSI, 2011).

O comprimento suavizante (h) é um dos parâmetros mais importantes do método SPH. Seu valor determina o número de partículas utilizado nas interpolações. Um valor muito pequeno pode acarretar um número insuficiente de partículas interagindo dentro do domínio suporte, o que pode levar a resultados imprecisos. Um número muito grande também pode comprometer a precisão, pois a utilização de partículas mais afastadas pode suavizar as propriedades locais. Em problemas bidimensionais, considerando-se uma função núcleo de suavização do tipo spline cúbica por partes, tradicionalmente o número N de partículas utilizadas nas interpolações, de forma que sejam obtidos bons resultados, é N = 21 . Nesse sentido, é usual utilizar h = (1,2 a 1,5) ∆x , onde ∆x é o espaçamento inicial entre as partículas (LIU & LIU, 2003 e VASCO, MACIEL & MINUSSI, 2011). Em boa parte da literatura referente ao método SPH, é dito que sua ordem de precisão é proporcional à h 2 , ou seja, o método é de 2ª ordem (MONAGHAN, 1992; LIU & LIU, 2003;

103


VASCO, MACIEL & MINUSSI, 2011). Isso é demonstrado com uma expansão em série de Taylor de f ( x′) , em torno de x , para uma função f ( x ) diferenciável. Assim, f ( x′) = f ( x ) + f ′( x )( x′ − x ) + ou

1 2 f ′′( x )( x′ − x ) + ... 2

(4.9)

( )

f ( x′) = f ( x ) + f ′( x )( x′ − x ) + O h 2

(4.10)

Substituindo-se a EQ.4.10 na EQ.4.2, tem-se:

[

( )]

f ( x ) = ∫ f ( x ) + f ′( x )( x′ − x ) + O h 2 W ( x − x′, h ) dx′ Ω

( )

f ( x ) = f ( x )∫ W ( x − x′, h ) dx′ + f ′( x )∫ ( x′ − x )W ( x − x′, h ) dx′ + O h 2 ∫ W ( x − x′, h ) dx′ Ω

Pela condição unitária, temos que ∫ W ( x − x′, h ) dx′ = 1 , resultando em: Ω

( )

f ( x ) = f ( x ) + f ′( x )∫ ( x′ − x )W ( x − x′, h ) dx′ + O h 2

(4.11)

Considerando-se

que

a

função

núcleo

W ( x − x′, h ) = W ( x′ − x, h ) , consequentemente

de

suavização

(x′ − x )W (x − x′, h )

é

uma

função

par,

é uma função ímpar e

∫ (x′ − x )W (x − x′, h) dx′ = 0 , reduzindo a EQ.4.11 para:

( )

f (x ) = f ( x ) + O h 2

(4.12)

A simplicidade conferida pelo somatório discreto da aproximação por partículas, representada pelas EQ.4.7 e 4.8, também pode introduzir alguns problemas numéricos, como os relacionados à inconsistência de partículas e à instabilidade produzida por tensão (LIU & LIU, 2003). O conceito de consistência está relacionado com a precisão do método numérico. No método das diferenças finitas, por exemplo, a consistência indica o quanto um sistema de equações discretas consegue se aproximar das equações diferenciais parciais que modelam o fenômeno físico (PAIVA et al, 2009). No método dos elementos finitos, a precisão e a convergência são asseguradas quando a função de forma satisfaz um determinado grau de consistência. Este grau de consistência é caracterizado pela ordem do polinômio que pode ser exatamente reproduzido pela aproximação utilizando-se a função de forma. Se a aproximação

104


consegue reproduzir exatamente um polinômio de ordem k, a consistência é dita de ordem k ou C k (LIU & LIU, 2010). Analogamente, no método SPH, o conceito de consistência deve ser aplicado tanto na forma contínua da representação integral quanto na forma discreta da aproximação por partículas. Por essa razão, a consistência no método SPH, assegurada por uma seleção apropriada da função núcleo de suavização, pode ser destruída por problemas relativos à distribuição irregular das partículas e à extensão do domínio suporte que, em certos casos, pode levar ao truncamento da função nas proximidades do contorno do problema, por exemplo. Diferentes abordagens têm sido propostas para remediar a inconsistência na aproximação por partículas ou, simplesmente, inconsistência de partículas. Algumas delas envolvem a reconstrução de uma nova função núcleo de suavização, de modo a satisfazer as condições de consistência na forma discreta. No entanto, a reconstrução do núcleo não é muito utilizada, pois o núcleo reconstruído pode ser parcialmente negativo, não-simétrico e não uniformemente decrescente. Outras abordagens utilizam esquemas melhorados das aproximações SPH, baseados na expansão em série de Taylor das formulações SPH para a função núcleo e/ou suas derivadas, tal qual a proposição de correção do gradiente da função núcleo de suavização (KGC – Kernel Gradient Correction), apresentada por SHAO et al (2012) e utilizada por FENG et al (2013) em uma simulação numérica de carga oca linear. A instabilidade por tensão normalmente se manifesta em problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais. Consiste na formação de um aglomerado de partículas que se assemelha a uma fratura ou fragmentação do material, mas que na realidade é um problema numérico, resultante de um estado de tensão artificialmente produzido pela interação entre a relação constitutiva e a função núcleo de suavização. Em outras palavras, a função núcleo de suavização altera a natureza física das equações diferenciais parciais originais, produzindo um estado de tensão no material que amplifica as perturbações de deformação (VIGNJEVIC, 2004). Segundo SWEGLE et al (1995), a instabilidade por tensão não depende de aspectos como a viscosidade artificial e o esquema de integração numérica. Contudo, RANDLES & LIBERSKY (2000) afirmam que o método SPH ainda pode ser considerado como bastante útil em problemas de mecânica dos sólidos, uma vez que a taxa de crescimento do dano no material contínuo é muito mais rápida do que o desenvolvimento de uma “fratura” numérica por instabilidade por tensão.

105


4.2.1

FORMULAÇÃO SPH 3D PARA PROBLEMAS HIDRODINÂMICOS COM RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Nesta seção, os somatórios SPH serão obtidos a partir das equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica, para um meio contínuo tridimensional, onde não há fluxo de calor e nem ação de forças externas, conforme as EQ.4.13, 4.14 e 4.15, respectivamente (LIU & LIU, 2003). σ ab é o tensor de tensões total, em que a e b representam as direções coordenadas. Estas direções coordenadas correspondem à

x , y e z , em coordenadas Cartesianas retangulares.

Conservação de Massa: Dρ ∂V b = −ρ b Dt ∂x

(4.13)

Conservação da Quantidade de Movimento:

DV a 1 ∂σ ab = Dt ρ ∂x b

(4.14)

Conservação da Energia Interna Específica:

Du σ ab ∂V a = Dt ρ ∂x b

(4.15)

As EQ.4.7 e 4.8, como o próprio nome diz, são aproximações que podem produzir resultados imprecisos, destruindo propriedades de conservação de um dado sistema e, inclusive, violando princípios fundamentais da mecânica como, por exemplo, a 3ª Lei de Newton. A obtenção de resultados mais precisos é uma possibilidade que pode ser conseguida com a inclusão, nos somatórios SPH, de um termo adicional que seja baseado na expressão ∇(1) = 0 aplicado à EQ.4.8: m  ∇(1) = ∑  j  ∇ i Wij = 0   j =1  ρ j  N

(4.16)

106


Conservação de Massa:

Aplicando-se a aproximação da EQ.4.8 na EQ.4.13, temos: N m  ∂Wij Dρ i = − ρ i ∑  j  V jb   Dt ∂xib j =1  ρ j 

(4.17)

Multiplicando-se a EQ.4.16 por ρ i Vi b , obtemos: N m  ∂W ∇(1) = ∑  j  ρ i Vi b bij = 0   ∂xi j =1  ρ j 

(4.18)

Adicionando-se as EQ.4.17 e 4.18, obtemos a seguinte formulação para a evolução da massa específica de um meio contínuo, a partir de um somatório discreto SPH, onde

Vijb = Vi b − V jb : N m  ∂Wij Dρ i = ρ i ∑  j  Vijb   Dt ∂xib j =1  ρ j 

(4.19)

Uma outra formulação para a evolução da massa específica pode ser obtida utilizando-se a seguinte identidade:

∇ (ρ f ) = ρ ∇f + f ∇ρ

(4.20)

Considerando-se f = V b , temos: − ρ ∇V b = −[∇ ( ρ V b ) − V b ∇ρ ]

(4.21)

Aplicando-se a aproximação da EQ.4.8 na EQ.4.21, temos: N m  N m   N  mj  ∂Wij ∂Wij  b ∂Wij b    j  ρj − ρ i ∑  j  V jb = − ρ V − V   ∑ ∑ j j i b b       ∂xi ∂xi ∂xib  j =1  ρ j  j =1  ρ j   j =1  ρ j 

(4.22)

Simplificando-se a EQ.4.22 e voltando à EQ.4.17, obtemos: N ∂Wij Dρ i = ∑ m j Vijb Dt ∂xib j =1

(4.23)

107


Conservação da Quantidade de Movimento:

Aplicando-se a aproximação da EQ.4.8 na EQ.4.14, temos: DVi a 1 = Dt ρi

 m j  ab ∂Wij σ j  ∂xib j =1  j  N

∑  ρ

(4.24)

 σ ab  Multiplicando-se a EQ.4.16 por  i ρi  , obtemos:   m j   σ iab  ∂Wij  b = 0 ∇(1) = ∑      j =1  ρ j   ρ i  ∂xi N

(4.25)

Adicionando-se as EQ.4.24 e 4.25, obtemos a seguinte formulação para a conservação da quantidade de movimento de um meio contínuo, a partir de um somatório discreto SPH: N  σ iab + σ ab  ∂Wij DVi a j  = ∑mj    ∂x b Dt ρ ρ j =1 i j i  

(4.26)

Uma outra formulação para a conservação da quantidade de movimento pode ser obtida utilizando-se a seguinte identidade:  f  ρ ∇f − f ∇ρ ∇   = ρ2 ρ

(4.27)

Considerando-se f = σ ab e aplicando-se a aproximação da EQ.4.8 na EQ.4.27, temos:  m j  σ ab ∂Wij  1   j = ∑   ∂xib  ρ i j =1  ρ j  ρ j N

 m j  ab ∂Wij σ iab  σ j − 2 ∑   ∂xib ρi j =1  ρ j  N

 mj  ∂Wij   ρj   ∂xib  j =1  j  N

∑  ρ

(4.28)

Substituindo-se o primeiro termo do lado direito da EQ.4.28 pela EQ.4.24 e simplificando-se, obtemos: N  σ iab σ ab  ∂Wij DVi a = ∑ m j  2 + j2  ρ Dt ρ j  ∂xib j =1  i

(4.29)

108


Conservação da Energia Interna Específica:

Considerando-se que o tensor de tensões total pode ser expresso em duas parcelas, na forma da EQ.4.30, onde δ ab é a função delta de Kronecker, a equação de conservação da energia interna específica para um meio contínuo, onde não há fluxo de calor e nem ação de forças externas, também pode ser expressa, analogamente, em duas parcelas. A primeira parcela é conhecida como conservativa e está relacionada com a componente hidrostática do tensor de tensões total, sendo o valor da pressão P obtido com uma equação de estado. A segunda parcela é conhecida como dissipativa e está relacionada com a produção de entropia viscosa, sendo as tensões desviatórias τ ab obtidas a partir de uma equação constitutiva.

σ ab = − P δ ab + τ ab

(4.30)

Substituindo-se a EQ.4.30 na EQ.4.15, tem-se:

Du − P ∂V b τ ab ∂V a = + Dt ρ ∂x b ρ ∂x b

(4.31)

Aplicando-se a EQ.4.13 ao primeiro termo do lado direito da EQ.4.31, obtemos:

1º termo =

− P ∂V b − P − 1 Dρ P Dρ = = 2 b ρ ∂x ρ ρ Dt ρ Dt

(4.32)

Substituindo-se a EQ.4.19 na EQ.4.32, obtemos a aproximação SPH para o primeiro termo da equação de conservação da energia interna específica, na seguinte forma: N  P 1º termo = ∑ m j  i ρ ρ j =1  i j

 b ∂Wij  Vij  ∂xib 

(4.33)

Buscando-se a forma simétrica do primeiro termo da equação de conservação da energia interna específica, utiliza-se a seguinte identidade: 1

ρ

∇ (P f ) =

f

ρ

∇P +

P

ρ

∇f

(4.34)

Considerando-se f = V b e aplicando-se a aproximação da EQ.4.8 na EQ.4.34, obtemos:

109


1º termo =

N  P  ∂Wij 1 − P ∂V b V b b = ∇ P − ∇ P V = m j  j  Vijb ∑ b ρ ρ  ρ ∂x ρ ρ ∂xib j =1  i j

(

)

(4.35)

Assim, a forma simétrica para o primeiro termo pode ser representada pela EQ.4.36: 1º termo =

 P + Pj  b ∂Wij 1 N  Vij mj  i ∑ 2 j =1  ρi ρ j  ∂xib

(4.36)

A outra forma da aproximação SPH para o primeiro termo da equação de conservação da energia interna específica é obtida novamente com a EQ.4.32, agora utilizando-se a EQ.4.23 em vez da EQ.4.19:

∂Wij  P  N 1º termo =  i2  ∑ m j Vijb ∂xib  ρi  j =1

(4.37)

Nesta outra abordagem, a forma simétrica do primeiro termo da equação de conservação da energia interna específica é obtida utilizando-se a seguinte identidade: P f ∇   ρ

 P P  = f ∇   + ∇f  ρ ρ

(4.38)

Considerando-se f = V b e aplicando-se a aproximação da EQ.4.8 na EQ.4.38, obtemos: 1º termo =

 P  ∂Wij  PV b  N P − P ∂V b b   = ∑ m j  j2  Vijb = V ∇   − ∇ b     ρ ∂x ∂xib ρ  ρ  j =1  ρ j 

(4.39)

Assim, a forma simétrica para o primeiro termo agora é representada pela EQ.4.40: 1º termo =

P P  ∂Wij 1 N m j  i2 + j2  Vijb ∑ 2 j =1  ρ i ρ j  ∂xib

(4.40)

Para o segundo termo da equação de conservação da energia interna específica, algumas outras relações da mecânica do contínuo devem ser utilizadas. Inicialmente, considere a definição do tensor taxa de deformação ε& ab , representado pela EQ.4.41 (MASE, 1970), e sua aproximação SPH, representada pela EQ.4.42:

110


1  ∂V a

∂V b 

ε& ab =  b + a  2  ∂x ∂x  ε&iab =

(4.41)

1 N  m j a ∂Wij m j b ∂Wij  ∑ V ji ∂xb + ρ V ji ∂x a  2 j =1  ρ j i j i 

(4.42)

Finalmente, as duas formas de aproximação SPH para a equação de conservação da energia interna específica, estão representadas nas EQ.4.43 e 4.44:  P + Pj  b ∂Wij τ iab ε&iab Dui 1 N  Vij = ∑mj  i + ∂xib Dt 2 j =1  ρ i ρ j  ρi

(4.43)

P P  ∂Wij τ iab ε&iab Dui 1 N = ∑ m j  i2 + j2  Vijb + ∂xib Dt 2 j =1  ρ i ρ j  ρi

(4.44)

Para deslocamentos finitos, os modelos constitutivos representados pelas EQ.3.17 e 3.22 não significam um quadro material indiferente. Ou seja, a resposta material é dependente, de uma maneira não-física, de rotações e possíveis translações do material e do observador ao descrevê-lo (TRUESDELL & NOLL, 1965). Uma variedade de expressões para as taxas das tensões desviatórias, indiferentes do quadro material, têm sido formuladas. HERRMANN (1991) examinou os méritos relativos a cada uma delas e a taxa de Jaumann, representada pela EQ.4.45, parece ser a mais adequada e, por essa razão, a mais utilizada em códigos computacionais (LIBERSKY et al, 1993).

τ& ab − τ ac R& bc − τ cb R& ac = 2G ε& ab

(4.45)

Na EQ.4.45, o termo ε& ab está associado ao traço do tensor taxa deformação e R& ab ao tensor taxa de rotação, ambos representados pelas EQ.4.46 e 4.47, respectivamente (MASE, 1970). A EQ.4.48 representa a aproximação SPH da EQ.4.47. 1 3

ε& ab = ε& ab − δ abε& cc

(4.46)

1  ∂V a ∂V b  ab & R =  b − a  2  ∂x ∂x 

(4.47)

∂W m ∂W  1 N m R&iab = ∑  j V jia bij − j V jib aij  2 j =1  ρ j ∂xi ρj ∂xi 

(4.48)

111


Os efeitos das deformações plásticas são computados utilizando-se o critério de vonMises para a tensão efetiva ou equivalente ( J ), obtida a partir das tensões desviatórias ( τ ab ), conforme a EQ.4.49 (MASE, 1970).

J=

3 ab ab τ τ 2

(4.49)

Quando a tensão efetiva ou equivalente, calculada pela EQ.4.49, ultrapassa a tensão limite de escoamento dinâmico ( σ Y ), cujo valor dependerá do modelo constitutivo adotado, as tensões desviatórias devem, então, ser projetadas para a superfície de escoamento do material, conforme a EQ.4.50 (GANG et al, 2011).

τ ab =

σY J

τ ab

se

J > σY

(4.50)

Nestas condições, o incremento da deformação plástica equivalente pode ser obtido pela seguinte equação: ∆ε p =

4.2.2

2  J −σY    3  2G 

(4.51)

VISCOSIDADE ARTIFICIAL

Na simulação de determinados problemas hidrodinâmicos algumas oscilações nos resultados numéricos não condizem com a física do problema. A modelagem de ondas de choque, tal como na detonação de um explosivo ou na penetração de um jato de carga oca, é um exemplo onde isso acontece. Ocorre que, na frente da onda de choque, propriedades como velocidade, pressão, massa específica e entropia variam bruscamente, dando uma idéia de descontinuidade. Na realidade, na frente da onda de choque não há fisicamente uma descontinuidade e sim, uma zona de transição muito estreita, da ordem do caminho médio entre as moléculas, na qual a conversão de energia cinética em energia térmica não é corretamente capturada. Fisicamente, essa conversão de energia pode ser representada como uma forma de dissipação viscosa, a qual foi primeiramente idealizada pela viscosidade artificial de von Neumann-Richtmyer. Esse termo dissipativo artificial é introduzido nas equações de conservação de quantidade de movimento e energia interna específica, sendo somente acionado na presença de uma onda de choque, quando o material é comprimido.

112


Inicialmente, o método SPH foi desenvolvido para tratar problemas com nenhuma ou, até mesmo, baixa dissipação. Posteriormente, algumas formulações foram desenvolvidas para permitir a utilização do método em problemas com ondas de choque. A viscosidade artificial de MONAGHAN (1992) é uma das mais utilizadas. Ela não somente fornece a formulação apropriada para conversão da energia cinética em energia térmica, na frente da onda de choque, como também evita a indesejável interpenetração das partículas (LIU & LIU, 2003). As equações seguintes representam a formulação da viscosidade artificial proposta por MONAGHAN (1992):

(1) ij

µij =

 − α1 cij µij + β1 µij2 Vij ⋅ xij < 0  = ρij 0 Vij ⋅ xij ≥ 0 

hij Vij ⋅ xij 2

rij + ξ

2

, cij =

Vij = Vi − V j , hij =

(4.52)

1 1 ( ci + c j ) , ρ ij = (ρ i + ρ j ) 2 2

1 (hi + h j ) 2

(4.53)

(4.54)

Onde V e x são, respectivamente, vetores velocidade e posição das partículas; α1 , β1 e

ξ são constantes ajustadas para cada tipo de problema, com valores usuais de α1 = β1 ≅ 1 e ξ = 0,1hij e c é a velocidade do som nas partículas, que pode ser obtida pela seguinte expressão (LIU & LIU, 2003): c=

∂P ∂ρ

(4.55)

Para materiais sólidos, a EQ.4.56 representa uma formulação mais usual para a obtenção da velocidade do som nas partículas (HALLQUIST, 1998).

c=

4G ∂P + 3ρ L ∂ρ

(4.56)

113


4.2.3

CÓDIGO SPH

O livro publicado por LIU & LIU (2003) constitui uma importante referência para o estudo do método SPH. Nele, disponibiliza-se um código SPH tridimensional, para fluidos, que foi utilizado como base para o desenvolvimento do modelo computacional empregado nas simulações deste trabalho. A FIG.4.6 apresenta a composição original do código fonte e as principais modificações introduzidas. De uma forma geral, os códigos SPH possuem características muito semelhantes e utilizam um procedimento numérico estruturado por etapas. O código utilizado neste trabalho, após as modificações introduzidas, está organizado com as seguintes etapas:

1.

Definição das posições e das informações iniciais das partículas;

2.

Busca ou detecção das partículas vizinhas, dentro do respectivo domínio suporte,

para utilização nas interpolações numéricas;

3.

Cálculo de evolução da massa específica;

4.

Cálculo das forças internas produzidas nas interações entre as partículas. São

consideradas forças internas: as pressões hidrostáticas, as tensões desviatórias, as deformações etc;

5.

Cálculo das variações de quantidade de movimento e de energia interna específica

das partículas;

6.

Cálculo da viscosidade artificial e de evolução (ou não) do comprimento suavizante;

7.

Cálculo da temperatura e atualização da posição, da velocidade e da energia interna

específica de cada partícula; e

8.

Incremento do passo de tempo e retorno à etapa 2, até que se encerre o tempo total

previsto para simulação.

Na composição original do código fonte SPH, a etapa 2 é realizada utilizando-se o algoritmo de busca direta (Direct Find). Dessa forma, o processamento da detecção de todos os possíveis vizinhos envolve um número total de operações proporcional à N 2 , onde N é o número total de partículas ou elementos discretos do problema. Isso significa que o tempo total de CPU, necessário para realizar essa detecção, simplesmente quadruplicaria se o número de partículas dobrasse. Em problemas que envolvam um número muito grande de partículas, da ordem de dezenas de milhares, por exemplo, a detecção de contato pelo

114


algoritmo de busca direta compromete a eficiência computacional, tornando a utilização do código proibitiva.

FIG.4.6 Composição original do código fonte SPH e principais modificações introduzidas.

Algoritmos de busca ou detecção mais eficientes procuram reduzir o tempo total de CPU ignorando partículas, ou elementos discretos, que não estejam em contato. Ou seja, em um código computacional SPH, seriam ignoradas as partículas posicionadas fora do domínio suporte. Algumas possibilidades são os algoritmos: Árvore Binária (Binary Tree), cujo tempo total de CPU é proporcional à N log 2 N e Screening, com tempo total de CPU proporcional à N (MUNJIZA, 2004).

No algoritmo Screening, o domínio do problema é mapeado a cada passo de tempo por um reticulado de células quadradas, cujo lado é igual ao máximo diâmetro do domínio suporte ( 2k hmáx ) naquele instante. A FIG.4.7 ilustra este mapeamento, a partir do qual a busca ou a detecção das partículas vizinhas, em relação a uma partícula posicionada na célula central, acontece apenas em um número reduzido de células vizinhas.

115


FIG.4.7 Esquema de detecção do algoritmo Screening (MUNJIZA, 2004).

O algoritmo Screening, cuja descrição pode ser encontrada em MUNJIZA (2004), foi incorporado ao código fonte e sua eficiência foi numericamente verificada com a simulação bidimensional de uma carga explosiva de TNT, considerando-se simetria plana. Os resultados dessa simulação são discutidos e apresentados no APÊNDICE 1. O código fonte utiliza as equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica, na forma de um conjunto de equações diferenciais ordinárias, em relação ao tempo, que são integradas numericamente utilizando-se o método Leapfrog (LF).

4.2.4

INTEGRAÇÃO E PASSO DE TEMPO

O método LF é muito popular por sua eficiência computacional. Esquematicamente apresentado na FIG.4.8, observa-se que posição e velocidade são obtidas intercaladamente, posição nos pontos inteiros e velocidade nos pontos médios dos intervalos de tempo (PAIVA et al, 2009). Ao fim do 1º passo de tempo ( t0 + ∆t ), as variações de massa específica, energia interna específica e velocidade das partículas são utilizadas para avançar estas respectivas grandezas somente meio passo ( t0 + ∆t ), enquanto que a posição das partículas avança o 2 passo todo ( t0 + ∆t ). No início de cada passo subsequente, massa específica, energia interna específica e velocidade avançam meio passo, a fim de coincidirem com a posição anterior. Novamente, ao final do mesmo passo subsequente, massa específica, energia interna específica e velocidade avançam meio passo, enquanto que a posição avança o passo todo, e assim por diante (LIU & LIU, 2003).

116


FIG.4.8 Esquema de integração Leapfrog (PAIVA et al, 2009).

Uma importante característica de qualquer método numérico empregado na solução das equações diferenciais que governam um fenômeno físico dinâmico, é que as aproximações discretas utilizadas por ele não podem violar as leis da física. Em outras palavras, os incrementos de tempo e espaço estão sempre associados um ao outro (PAIVA et al, 2009). Para o método LF, sua natureza explícita é regida por uma condição de estabilidade, também denominada de condição CFL ou condição de Courant-Friederichs-Levy, que acarreta um passo de tempo proporcional ao comprimento suavizante (LIU & LIU, 2003). No método SPH, uma partícula influencia a sua vizinhança dentro do seu domínio suporte, de raio kh . Utilizando-se uma spline cúbica como função núcleo de suavização, esta influência acontece com uma velocidade limite de 2h ∆t , que não deve ser inferior à máxima velocidade sônica da própria partícula, ci . Ou seja, ∆t ci < 2h e ∆t < 2h ci (PAIVA et al, 2009). Em problemas onde as partículas se movimentam com velocidade superior à velocidade sônica do material considerado ( Vi > ci ), como na detonação de um explosivo ou no impacto e também na penetração de um jato de carga oca em um alvo, uma possibilidade de estimativa para o passo de tempo pode ser ∆t < 2h (Vi + ci ) (LIBERSKY et al, 1993).

4.2.5

DISTRIBUIÇÃO INICIAL DAS PARTÍCULAS

Por questões de simplicidade, todas as simulações foram realizadas em um espaço bidimensional. No caso de uma carga oca linear, a simplificação adotada foi conseguida utilizando-se simetria plana. Para uma carga oca cilíndrica, utilizou-se simetria axial. Em um primeiro momento, pensou-se em uma distribuição inicial para as partículas tal que cada uma delas fosse posicionada no centro de massa de uma célula quadrada.

117


FIG.4.9 Distribuição inicial das partículas em células quadradas.

Considere a FIG.4.9, para obtenção do comprimento suavizante inicial ( h0 ). O círculo azul tracejado representa a extensão mínima do domínio suporte da partícula i , de forma que, pelo menos, 21 partículas sejam utilizadas nas interpolações das propriedades de i . O círculo azul contínuo representa a extensão máxima do domínio suporte da partícula i , de forma que, no máximo, 25 partículas sejam utilizadas nas interpolações da partícula i , a fim de não comprometer a precisão dos resultados com a suavização de suas propriedades locais. Assim, da FIG.4.9, a seguinte expressão pode ser obtida: 4∆x 2 + ∆y 2 < k h0 < 4∆x 2 + 4∆y 2

(4.57)

Considerando-se k = 2 , para uma função núcleo do tipo spline cúbica e ∆x = ∆y , o valor médio de h0 pode ser tomado como uma estimativa para o comprimento suavizante inicial de cada partícula, em uma distribuição inicial em células quadradas, ou seja, h0 = 1,266 ∆x

(4.58)

Associando-se a dimensão da célula quadrada com o volume da partícula, a EQ.4.58 pode ser escrita da seguinte forma: hi , 0 = 1,266

mi

(4.59)

ρi,0

118


Uma outra possibilidade de distribuição inicial das partículas é utilizando-se de células triangulares, onde as partículas também são posicionadas no centro de massa de cada uma delas. Considere a FIG.4.10, para obtenção do comprimento suavizante inicial ( h0 ). Analogamente, a seguinte expressão pode ser obtida: 2

2

2

2  1   1  2     ∆x  +  ∆y + ∆y  < k h0 <  ∆x + ∆x  +  ∆y + ∆y  3  3   3  3   

2

(4.60)

Com k = 2 , para uma função núcleo do tipo spline cúbica e ∆x = ∆y , o valor médio de h0 pode ser tomado como uma estimativa para o comprimento suavizante inicial de cada

partícula, em uma distribuição inicial em células triangulares, ou seja, h0 = 0,920 ∆x

(4.61)

Associando-se a dimensão da célula triangular com o volume da partícula, a EQ.4.61 pode ser escrita da seguinte forma: hi , 0 = 1,301

mi

(4.62)

ρ i ,0

FIG.4.10 Distribuição inicial das partículas em células triangulares.

Os resultados apresentados no APÊNDICE 1, relativos à simulação bidimensional de uma carga explosiva de TNT, considerando-se simetria plana, também são utilizados para

119


discussão e comparação entre os arranjos de distribuição inicial das partículas em células quadradas ou triangulares.

4.2.6

PARTÍCULAS VIRTUAIS

Em princípio, no método SPH, não há necessidade de se impor certas condições de contorno, uma vez que o método foi desenvolvido para lidar com problemas nos campos da astronomia e da astrofísica, onde a condição de contorno comum é a fronteira livre ou aberta. Entretanto, em muitos outros problemas de engenharia, a solução depende de condições de contorno que podem ser mais restritivas, como o caso de uma fronteira rígida, por exemplo. Para essas situações, o método SPH conta com o recurso das partículas virtuais (VASCO, MACIEL & MINUSSI, 2011). As partículas virtuais são úteis, tanto para atender às condições de contorno quanto para contribuir nos somatórios das interpolações SPH, ao minimizarem os efeitos resultantes da insuficiência de partículas reais no próprio contorno (LIU & LIU, 2003). Dois tipos de partículas virtuais podem ser considerados: As do tipo I, também denominadas de partículas reativas, são utilizadas no contorno para impedir que as partículas reais saiam do domínio. Este impedimento é, de uma forma geral, obtido por intermédio de uma força de penalidade anti-penetração, como a de Lennard-Jones, por exemplo. As partículas virtuais do tipo I não mudam de posição durante o processo de simulação, muito embora contribuam nos somatórios das interpolações SPH das partículas reais. As partículas virtuais do tipo II, também denominadas de partículas fantasmas, são utilizadas fora do contorno. As partículas virtuais do tipo II podem ser definidas previamente ou criadas por “espelhamento” das partículas reais, quando estas se aproximam da fronteira, ou do contorno, a uma distância inferior ao raio do domínio suporte da partícula real ( khi ). As partículas virtuais do tipo II são idênticas às partículas reais, exceto pelas posições e velocidades que obedecem à condição da FIG.4.11, onde a fronteira é definida pelo eixo x . As partículas virtuais do tipo II contribuem nos somatórios das interpolações SPH das partículas reais e mudam de posição durante o processo de simulação (LIU & LIU, 2003 e VASCO, MACIEL & MINUSSI, 2011).

120


FIG.4.11 Condição matemática imposta por uma partícula virtual do tipo II, para uma fronteira em y = 0 .

4.2.7

COMPRIMENTO SUAVIZANTE VARIÁVEL

A hipótese de manter o comprimento suavizante constante, ao longo da simulação, é razoável em problemas onde a variação de massa específica não é significativa ou quando o número de partículas vizinhas é praticamente mantido constante. No entanto, em problemas que lidam com grandes diferenças de massa específica e também com partículas que se movimentam muito drasticamente e, dessa forma, contribuem para alterar consideravelmente a quantidade de partículas vizinhas, como em uma detonação de um explosivo, uma formulação para evolução do comprimento suavizante pode ser considerada (LIU & LIU, 2003 e QIANG et al, 2008). Uma proposição simples consiste em associar o comprimento suavizante com a massa específica, através da seguinte relação:

ρi hid = cte

(4.63)

Na EQ.4.63, d é dimensão do problema. Para um problema bidimensional, aplicando-se a EQ.4.63 nas EQ.4.59 e 4.62, obtemos a seguinte expressão para o comprimento suavizante das partículas, onde a constante 1,266 ≤ fator ≤ 1,301 é utilizada tanto para um arranjo de partículas em células quadradas quanto para um arranjo de partículas em células triangulares:

hi = fator

mi

(4.64)

ρi

Uma outra formulação para o comprimento suavizante das partículas pode ser obtida derivando-se a EQ.4.63, em relação ao tempo:

121


Dhi 1 hi Dρ i =− Dt 2 ρ i Dt

(4.65)

A EQ.4.65 deve ser integrada considerando-se a aplicação de uma das aproximações SPH, representadas pelas EQ.4.19 ou 4.23, que foram obtidas para a evolução da massa específica. As EQ.4.64 ou 4.65 devem ser utilizadas a cada passo de tempo. A evolução do comprimento suavizante associada à evolução da massa específica faz com que as partículas tenham diferentes comprimentos suavizantes ao longo da simulação. Se hi ≠ h j , o domínio suporte da partícula i pode envolver a partícula j , mas o contrário pode

não acontecer, ou vice-versa. Assim, é possível que a partícula i exerça uma força sobre j sem que j exerça uma reação correspondente em i , contrariando diretamente a 3ª Lei de Newton (LIU & LIU, 2003). Como forma de resolver esse problema, a fim de garantir a simetrização na interação entre as partículas, tal que: Wij = W (rij , hij ) , as seguintes expressões para hij podem ser utilizadas: hij = hij =

hi + h j

(4.66)

2 2hi h j

(4.67)

hi + h j

hij = min (hi , h j )

(4.68)

hij = max (hi , h j )

(4.69)

4.2.8

ESTRATÉGIA MULTI-FASE

Considere a FIG.4.12, onde dois fluidos A e B estão representados. Assumindo-se a mesma resolução espacial de partículas, tanto em A quanto em B, se a massa específica de A for aproximadamente igual à massa específica de B, o método SPH tradicional, cuja formulação foi apresentada no item 4.2.1, pode ser utilizado sem que haja imprecisão ou instabilidade numérica na interface entre A e B. Entretanto, se a diferença entre as massas específicas de A e B for acentuada, então, as partículas de A e B também terão massas acentuadamente diferentes e possíveis instabilidades numéricas poderão ocorrer na interface entre A e B, em virtude de erros e imprecisões produzidos nos cálculos dessas massas

122


específicas. Quando essas massas específicas imprecisas são utilizadas nas respectivas equações de estado de cada uma das fases fica praticamente impossível obter uma pressão de interface equilibrada e estável (OTT & SCHNETTER, 2003).

FIG.4.12 Interface entre dois fluidos A e B, com idênticas resoluções espaciais de partículas.

A proposição apresentada por OTT & SCHNETTER (2003), para corrigir esta distorção, consiste em promover a suavização da resolução espacial na interface ( n A = nB ), em vez da suavização da massa específica, na seguinte forma: nA=

1 1 = = nB v A vB

(4.70)

Aplicando-se a EQ.4.70 na EQ.4.7, para 1

vA

=

ρA

mA

, ficamos com:

N

ni = ∑ Wij

(4.71)

j =1

Derivando-se as EQ.4.70 e 4.71, em relação ao tempo, obtemos, respectivamente: Dni 1 Dρ i = Dt mi Dt

(4.72)

N Dni = ∑ (Vi − V j )⋅ ∇ iWij Dt j =1

(4.73)

Substituindo-se a EQ.4.72 na EQ.4.73, obtemos a aproximação SPH para a evolução da massa específica, com a estratégia multi-fase: N Dρ i = mi ∑ (Vi − V j )⋅ ∇ iWij Dt j =1

(4.74)

123


A EQ.4.74 é idêntica à EQ.4.23, nos casos em que m i = m j . A estratégia multi-fase é especialmente importante nas simulações deste trabalho, caracterizadas por reunirem diferentes materiais (explosivo, revestimento, invólucro e alvo) com possibilidades de grandes diferenças de massa específica entre eles. O principal obstáculo à sua utilização é que a exigência quanto à idêntica resolução espacial entre as fases impõe, no caso de uma simulação completa de carga oca, as seguintes condições: 1. A resolução espacial no explosivo deve ser suficiente para garantir que a pressão na frente da onda de detonação, ao atingir o vértice do revestimento, seja igual à pressão de Chapman-Jouguet; 2. Definida a resolução espacial no explosivo, as resoluções espaciais nos demais componentes da carga oca (revestimento e invólucro) e no alvo são, automaticamente, definidas; 3. Como a superfície do revestimento é, consideravelmente, menor que a superfície do explosivo e, por vezes, muito menor que a superfície do alvo, uma resolução mais alta para o revestimento pode aumentar demasiadamente o número de partículas, diminuindo o comprimento suavizante e o passo de tempo, deixando a simulação computacional extremamente lenta e inviável.

124


5

MODELAGEM NUMÉRICA DE UMA CARGA OCA LINEAR Neste capítulo, o funcionamento de uma carga oca linear será estudado. Os fenômenos

associados à detonação do explosivo, ao colapso do revestimento, à formação e ao alongamento do jato e, inclusive, à penetração deste jato em um alvo serão analisados com simulações e comparações com experimentos. Para a consecução desses objetivos, a formulação SPH 3D, em coordenadas Cartesianas retangulares ( x, y, z ) , apresentada no capítulo 4, será simplificada em um plano bidimensional ( x, y ) , considerando-se a hipótese de simetria plana para qualquer z . Adicionalmente, outras considerações a respeito das aplicações desse tipo de artefato, de suas características construtivas e dos esforços de modelagem computacional serão discutidas.

5.1 FORMULAÇÃO SPH 2D, COM SIMETRIA PLANA, PARA PROBLEMAS HIDRODINÂMICOS COM RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Em problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, a possibilidade de interação entre múltiplos materiais, como verificada na detonação completa de uma carga oca, é uma realidade. Quando essa interação acontece entre materiais que possuem acentuada diferença de massa específica, as pressões calculadas nas interfaces são possíveis fontes de erro que podem levar à instabilidade numérica. Uma alternativa para se evitar esta instabilidade é a utilização da estratégia multi-fase. Porém, a descontinuidade existente na interface compromete a utilização da aproximação SPH para a quantidade de movimento, obtida com base na identidade da EQ.4.27 (QIANG et al, 2008). Assim, a formulação SPH 2D, considerada mais apropriada para a simulação de problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, é a que está presente na EQ.5.1, onde os índices a e b representam as direções coordenadas, correspondentes à x e y .

 Dρ N  i = mi ∑ (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij  Dt j =1  a N  σ iab + σ ab  ∂Wij  DVi j  = m + Π ij(1)   ∑ j  ∂x b j =1 i  Dt  ρi ρ j   Du 1 N  P + Pj  τ ab ε& ab  i = ∑mj  i + Π ij(1)  (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij + i i  2 j =1  ρ i ρ j ρi  Dt 

125

(5.1)


Em problemas que envolvam um só material, é indiferente a utilização da EQ.5.1 ou de qualquer outra formulação apresentada no item 4.2.1, do capítulo 4, relativo às equações de conservação e suas aproximações SPH. A EQ.5.1, acoplada com equações de estado e modelagens constitutivas apropriadas, pode permitir a solução de uma gama variada de problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, inclusive o problema da simulação completa de uma carga oca linear. Como forma de validação preliminar da formulação SPH 2D, com simetria plana, utilizada neste capítulo, exemplos tradicionais como o teste de impacto de Taylor e a perfuração de uma chapa fina por um projetil em alta velocidade foram realizados e os resultados estão apresentados no APÊNDICE 2. No que diz respeito à simulação de uma carga oca linear, trabalhos anteriores já demonstraram a capacidade do método SPH, com destaque para: 1. QIANG et al (2008) que utilizaram a estratégia multi-fase, mas não incorporaram modelos constitutivos para analisar os efeitos das tensões desviatórias nos processos de colapso, formação e alongamento do jato; 2. GANG et al (2011) que utilizaram modelos constitutivos elasto-plásticos, mas trataram a interface explosivo/revestimento com forças artificiais do tipo penalidade anti-penetração e não chegaram a analisar a interação jato/alvo; e 3. FENG et al (2013) que, recentemente, apresentaram uma simulação completa, incorporando modelagem constitutiva elasto-plástica, tratamento de interface explosivo/revestimento, conseguido por intermédio de uma proposição para correção do gradiente da função núcleo (KGC), e interação jato/alvo. Com resultados relevantes, o trabalho de FENG et al (2013) pode ser criticado por admitir a correção do gradiente da função núcleo como sendo a única solução possível para a interface explosivo/revestimento e por não apresentar uma comparação consistente com resultados experimentais. Neste capítulo, as simulações numéricas serão comparadas com trabalhos experimentais e será mostrado que a estratégia multi-fase também é uma boa alternativa para o tratamento das interfaces entre os diferentes materiais. Pelas considerações expostas, e no sentido de enriquecer as discussões sobre o assunto, a formulação adotada para uma simulação completa de carga oca linear é a seguinte: •

EQ.5.1 com a estratégia multi-fase incorporada;

EQ.3.3 e 3.8 (EOS JWL) para a pressão no explosivo;

EQ.3.9-3.11 (EOS Mie-Grüneisen) para a pressão nos materiais sólidos;

126


EQ.3.16 e 3.18-3.20 (Modelos Constitutivos: Elástico Perfeitamente Plástico e Elasto-Plástico de Johnson-Cook, respectivamente);

EQ.4.65 e 4.66 para a evolução e a simetrização do comprimento suavizante, respectivamente;

Parâmetros de viscosidade artificial: α1 = 1, β1 = 1 e ξ = 0 ,1hij e passo de tempo: ∆t = 10 −8 s ; e

EQ.4.45 (Taxa de Jaumann) e EQ.4.49-4.51 (Critério de von-Mises).

5.2 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Antes de apresentar e discutir, especificamente, os resultados encontrados nas simulações, é interessante analisar as justificativas para a utilização da hipótese de simetria plana nesse tipo de problema. Na parte superior da FIG.5.1 tem-se uma típica carga oca linear e seus principais componentes. A principal característica desse tipo de artefato é que o revestimento colapsado, pela ação do explosivo detonado, produz um jato linear que atua como uma espécie de “lâmina de serra”, produzindo cortes extensos e profundos, conforme observado na parte inferior da FIG.5.1.

FIG.5.1 Configuração típica de uma carga oca linear (parte superior) e seu funcionamento (parte inferior) (BLADE®, 1996).

127


Na realidade, o problema da detonação de uma carga oca linear é essencialmente tridimensional. A onda de detonação que, em geral, é iniciada em um ou vários pontos no topo do explosivo, progride ao longo dos três eixos da FIG.5.1, sendo verificadas projeções simultâneas do revestimento, em várias direções, em vez de um processo de colapso gradual, em torno de um único eixo, como ocorre em uma carga oca cilíndrica. É por essa razão que a profundidade da penetração obtida por uma carga oca linear é consideravelmente inferior à de uma carga oca cilíndrica (LIM, 2012a). Com um número de aplicações bem inferior às cargas ocas cilíndricas, as cargas ocas lineares proporcionaram muito pouco estudo ao longo dos últimos 65 anos, principalmente pelo reduzido interesse da indústria de defesa (JOHNSTON & LIM, 2012). No cenário de simulação, por exemplo, o código computacional LESCA (Linear Explosive Shaped Charge Analysis), desenvolvido pelo Laboratório Sandia, ainda pode ser considerado um dos mais importantes códigos de análise, projeto e otimização construído para uma simulação de carga oca linear. Com potencial tridimensional, o código LESCA é uma reunião de diversas modelagens analíticas que incorpora as seguintes características (VIGIL, 1996): •

Propagação tangencial da onda de detonação;

Aceleração e velocidade do revestimento em colapso;

Processo de formação do jato;

Ruptura do jato;

Ângulos de impacto jato/alvo;

Penetração do jato, inclusive em alvos com múltiplas camadas; e

Resistência do alvo.

O trabalho de BIRKHOFF et al (1948), construído a partir de uma carga oca linear, ainda é a principal referência analítica. A hipótese de um processo de colapso simultâneo para o revestimento, tal que o ângulo de colapso ( β ) seja igual ao semi-ângulo da cavidade ( α ), vide FIG.2.7 e BIRKHOFF et al (1948), parece ser apropriada para a detonação de uma carga oca linear. Estudos recentes, realizados por LIM (2012a e 2012b), modificaram a formulação de BIRKHOFF et al (1948) e propuseram uma correção para a equação de movimento estacionário do revestimento em colapso. A formulação modificada utiliza a teoria de Gurney e inclui considerações relativas ao ângulo de deflexão do revestimento, ao longo do eixo longitudinal da carga (z), conforme observado nas FIG.5.1 e 5.2. Os resultados obtidos com a nova formulação analítica foram comparados com os resultados obtidos com uma simulação

128


numérica tridimensional, utilizando-se o AUTODYN. Embora não tenha apresentado uma comparação com resultados experimentais, os resultados obtidos mostraram que para α > 25º a condição α = β , da teoria de BIRKHOFF et al (1948), é apropriada, sendo válida a hipótese de um plano de colapso e formação de jato para qualquer z (LIM, 2012a).

FIG.5.2 Representação do movimento do revestimento em colapso, para uma carga oca linear (LSC), durante a detonação (LIM, 2012b).

Um outro aspecto importante a ser considerado em uma simulação numérica está relacionado com a possibilidade de utilização de certas simplificações geométricas que podem diminuir o seu custo computacional, desde que não comprometam a precisão e a confiabilidade dos resultados que serão obtidos. Nesse sentido, algumas características quanto à fabricação de uma carga oca linear podem auxiliar o processo decisório. Até meados da década de 90, uma carga oca linear era normalmente obtida a partir de um tubo metálico (alumínio ou cobre, por exemplo), carregado com explosivo granular e, em seguida, deformado até a forma final, conforme observado pela FIG.5.3 (VIGIL, 1996).

FIG.5.3 Descrição do processo de fabricação de uma carga oca linear (VIGIL, 1996).

129


As desvantagens do processo de fabricação anterior podem ser resumidas em (VIGIL, 1996): •

Falta de simetria na geometria da seção transversal da carga;

Massa específica do explosivo não-uniforme (na seção transversal e ao longo do eixo longitudinal da carga);

Dificuldade de otimizar a relação invólucro/explosivo;

Dificuldade de reprodução dos parâmetros de formação e de desempenho do jato; e

Aplicabilidade somente em situações que não exijam jatos de corte de precisão.

Aplicações mais exigentes, como em estágios de separação de foguetes, sistemas de liberação de pára-quedas, destruição de tubos de armas, destruição de pontes etc, contribuíram para o desenvolvimento de um processo de fabricação considerado de maior precisão, que está representado na FIG.5.4. Nessa configuração, invólucro e revestimento são fabricados independentemente, sob rigorosos controles de qualidade, assegurando-lhes perfeita simetria e precisão. O explosivo é carregado utilizando-se uma técnica de injeção contínua automatizada, conferindo-lhe homogeneidade (VIGIL, 1996).

FIG.5.4 Descrição do processo de fabricação de uma carga oca linear de precisão (VIGIL, 1996).

Uma outra possibilidade de obtenção de cargas ocas lineares, mais comum para experimentos em trabalhos de pesquisa, é com a utilização de perfis extrudados como revestimentos, sobre os quais tiras de explosivos plásticos são depositadas em camadas e o

130


conjunto resultante é, em seguida, moldado em um invólucro de espuma de poliuretano, conforme observado na FIG.5.5.

FIG.5.5 Carga oca linear obtida com perfis extrudados, tiras de explosivo plástico e invólucro de espuma de poliuretano (MIZRAHI et al, 2005).

Em uma carga oca, o invólucro responde pelo grau de confinamento da carga explosiva. As características construtivas de uma carga oca linear são importantes na discussão sobre a necessidade de o invólucro ser considerado, ou não, em uma simulação. WALTERS & ZUKAS (1989) comentam que um invólucro de carga oca deve possuir as seguintes finalidades: 1) Fornecer uma fragmentação anti-pessoal, 2) Evitar a liberação prematura da energia química do explosivo, minimizando a quantidade de explosivo utilizado na carga e 3) Manter a pressão de detonação alta e, assim, alterar ou manter o gradiente de velocidade do jato. Para uma carga oca linear, a finalidade (1) não se aplica e quanto à finalidade (3), os resultados apresentados em FENG et al (2013) parecem demonstrar indiferença em relação à presença, ou não, do invólucro em uma simulação. Por essas razões, as simulações deste trabalho também serão utilizadas para avaliar se a hipótese de retirada do invólucro é consistente ou não.

5.2.1

FORMAÇÃO E ALONGAMENTO DE UM JATO DE CARGA OCA LINEAR

Considere a FIG.5.6, representativa de uma carga oca linear Mk-7 Mod 8, cujas dimensões estão apresentadas na TAB.5.1. A Mk-7 Mod 8 é uma carga militar de demolição, com utilização comum em atividades de destruição de meios e materiais, limpeza de obstáculos, construção de trincheiras etc (GAZONAS et al, 1995). Foram realizadas duas simulações com o intuito de analisar os processos de colapso, formação e alongamento de um jato de carga oca linear. Uma considerando-se o efeito do

131


invólucro e outra não. Os resultados simulados foram comparados com os resultados experimentais apresentados por GAZONAS et al (1995).

FIG.5.6 Carga oca linear Mk-7 Mod 8 (GAZONAS et al, 1995).

TAB.5.1 Dimensões, em mm, da Mk-7 Mod 8 (GAZONAS et al, 1995). W

H

N

T

L

D

25,4

28,45

80º

1,35

152,4

26,92

A carga da FIG.5.6 foi simplificada no plano (x, y), conforme representação contida na FIG.5.7: (a) com invólucro e (b) sem invólucro. Nas simulações numéricas, todas as partículas são inicialmente distribuídas em células triangulares e apenas a parte positiva do eixo y é considerada, adotando-se simetria em y = 0 com a utilização de partículas virtuais do tipo II.

FIG.5.7 Representação da carga oca linear Mk-7 Mod 8: (a) com invólucro e (b) sem invólucro.

132


A carga Mk-7 Mod 8 é construída com um perfil de aço macio, do tipo SAE 1006, utilizando-se Composto B como explosivo. A detonação real acontece no topo da carga, em pontos localizados ao longo do eixo longitudinal (eixo z – vide FIG.5.1), gerando ondas de choque esféricas. Nas simulações, utiliza-se um número mínimo de partículas no explosivo de forma a assegurar que a pressão na frente da onda de choque da detonação, na iminência da interação do explosivo com o revestimento, seja igual à pressão de Chapman-Jouguet ( PCJ ). A detonação, iniciada no topo da carga, é representada por uma onda de choque com frente circular, com origem no ponto ( x, y ) = (0, 0) da FIG.5.7. A FIG.5.8 apresenta o aspecto da detonação da carga Mk-7 Mod 8, no instante de 1,5 µs , considerado imediatamente antes da onda de choque atingir o vértice do revestimento. Nestas condições, foram utilizadas 24670 partículas no explosivo e a pressão na frente da onda de choque ficou em 29,13 GPa, nas duas simulações realizadas, representando uma diferença menor que 1,3% em relação à pressão de Chapman-Jouguet para o Composto B.

FIG.5.8 Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 1,5 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro.

Revestimento e invólucro foram discretizados com 2418 e 3762 partículas, respectivamente, considerando-se a estratégia multi-fase, discutida na seção 4.2.8. O modelo constitutivo Elasto-Plástico de Johnson-Cook foi utilizado em ambas as simulações, como forma de incorporar os efeitos das deformações plásticas e da elevação da temperatura. As FIG.5.9 e 5.10 demonstram que a estratégia multi-fase consegue caracterizar as interfaces descontínuas de massas específicas entre os múltiplos materiais que compõem a

133


carga oca linear Mk-7 Mod 8 (explosivo/revestimento/invólucro), sem que se verifiquem instabilidades.

FIG.5.9 Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 6 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro.

Da FIG.5.10, observa-se que a formulação utilizada consegue contemplar o fenômeno do empilhamento de massa na ponta do jato, mais acentuado quando o invólucro é considerado na simulação, conforme pode ser visto no detalhe da FIG.5.10 (a).

FIG.5.10 Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 12 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro.

Observando-se ainda as FIG.5.9 e 5.10, verifica-se uma pequena diferença no ângulo de colapso do revestimento ( β ) para as duas simulações, com e sem invólucro. Nesse sentido, a hipótese de se considerar o invólucro na simulação, ou não, pode afetar o desempenho da carga, pois a energia cinética do jato também depende da repartição de massa do

134


revestimento, entre o jato e a escória, que depende desse ângulo de colapso. Um modo de avaliar essa repartição de massa pode ser conseguido no instante em que o último elemento colapsado, que forma o jato, atinge o eixo da carga, conforme pode ser compreendido pela FIG.5.11. Dela, percebe-se que o invólucro acelera o processo de colapso, como visto em (a). A TAB.5.2 apresenta as frações de massa do jato e da escória, obtidas ao admitir-se que todas as partículas que estão à esquerda do ponto A representam a porção da escória e à direita a porção do jato.

FIG.5.11 Instante final de colapso do revestimento: (a) 28 µs com invólucro e (b) 35 µs sem invólucro.

TAB.5.2 Resultados simulados da repartição da massa do revestimento em jato e escória. Com invólucro

Sem invólucro

Fração de massa do jato

34,82 %

42,39 %

Fração de massa da escória

65,18 %

57,61 %

Os resultados experimentais apresentados em GAZONAS et al (1995) estão restritos à velocidade da ponta do jato, obtida de duas formas distintas. Na primeira forma, a velocidade do jato é calculada a partir de observações de flashes radiográficos, captados em instantes próximos a 60 µs . Na segunda forma, a velocidade do jato é medida entre os instantes de 20 e 60 µs de voo livre, por intermédio de um aparato experimental formado por um circuito de fios elétricos conectados a osciloscópios. As simulações, com e sem invólucro, foram realizadas até o instante de 100 µs , consumindo tempos computacionais de 6 h e 40 min e 6 h, respectivamente. As curvas obtidas para as velocidades máximas dos jatos, nessas simulações, estão apresentadas na FIG.5.12. Para efeito de comparação com os resultados experimentais, as velocidades dos

135


jatos simulados foram consideradas no instante de 50 µs . Os resultados estão sintetizados na TAB.5.3 e mostram que ambas as simulações produzem jatos com velocidades muito semelhantes aos resultados experimentais. Por outro lado, diferentemente do que foi comentado por FENG et al (2013), a velocidade do jato é 11,8 % mais elevada quando o invólucro é considerado na simulação.

FIG.5.12 Velocidades máximas dos jatos simulados, com e sem invólucro.

TAB.5.3 Resultados experimentais e simulados para a velocidade máxima de um jato de carga oca linear Mk-7 Mod 8. Experimento (GAZONAS et al, 1995)

Simulação numérica (50 µs )

(m/s)

(m/s)

Flashes radiográficos

Circuito com fios

( ≅ 60 µs )

elétricos (20-60 µs )

Com invólucro

Sem invólucro

3326-3503

3520

3689,1

3297,6

O efeito do invólucro na simulação numérica pode ser visualizado na FIG.5.13. Com esta figura, que associa a velocidade do elemento colapsado com a sua posição original no revestimento, percebe-se que os segmentos de jato formados na simulação com invólucro (em azul) possuem, sistematicamente, velocidades superiores às velocidades dos segmentos formados na simulação sem invólucro (em vermelho). Estas diferenças entre as velocidades ajudam a explicar por que o jato obtido na simulação com invólucro é 38 mm mais alongado que o jato obtido na simulação sem invólucro, no instante de 100 µs , conforme pode ser

136


observado na FIG.5.14. Como o comprimento do jato formado pode afetar o desempenho da carga oca, lembrando que jatos mais alongados são capazes de produzir maiores penetrações, a hipótese de descartar o invólucro na simulação deve ser analisada especificamente para cada caso estudado.

FIG.5.13 Velocidade do revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 100 µs .

FIG.5.14 Detonação da carga oca linear Mk-7 Mod 8, em 100 µs : (a) com invólucro e (b) sem invólucro.

137


As FIG.5.15 e 5.16 apresentam, respectivamente, os valores máximos de pressão e massa específica do revestimento, coletados no mesmo instante de tempo para ambas as simulações, com e sem invólucro. Pelas duas figuras, não são observadas diferenças significativas entre os resultados das simulações. Os picos de pressão e massa específica, em ambas, foram registrados em 2 µs , com valores de 53,5 GPa e 9409 kg/m3, respectivamente.

FIG.5.15 Pressão máxima no revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8.

FIG.5.16 Massa específica do revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8.

138


A temperatura média do revestimento pode ser verificada pela FIG.5.17. Observa-se que o confinamento da carga proporciona uma maior elevação da temperatura do jato, que tende a se estabilizar em torno de 1129 K contra um valor de 990 K para a carga sem invólucro. No entanto, nos dois casos, a elevação da temperatura não chega a ser suficiente para que o jato ultrapasse sua respectiva temperatura de fusão (1811 K para o aço SAE 1006).

FIG.5.17 Temperatura média do revestimento da carga oca linear Mk-7 Mod 8.

A conservação da energia total do sistema considerou a carga com invólucro e pode ser confirmada pela FIG.5.18. A energia interna inicial, contida no explosivo, é convertida em energia cinética do revestimento colapsado (jato e escória), dos fragmentos do invólucro e também em energia cinética dos produtos gasosos da detonação.

FIG.5.18 Representação da conversão da energia interna inicial do explosivo de uma carga oca linear Mk-7 Mod 8.

139


5.2.2

PENETRAÇÃO DE UM JATO DE CARGA OCA LINEAR

A carga militar de demolição Mk-7 Mod 8 também será utilizada para simulação da penetração de um jato de carga oca linear. Novamente, os resultados simulados serão comparados com os resultados experimentais, disponibilizados em GAZONAS et al (1995). Com o intuito de tornar a simulação numérica o mais realista possível, o invólucro da carga Mk-7 Mod 8 será considerado. A FIG.5.19 mostra a carga Mk-7 Mod 8 (GAZONAS et al, 1995), que é detonada sobre uma placa de aço blindado, do tipo RHA, com standoff uniforme de 12,7 mm.

FIG.5.19 Configuração do experimento de penetração com uma carga oca linear Mk-7 Mod 8 (GAZONAS et al, 1995).

O alvo utilizado em GAZONAS et al (1995) possuía espessura de 50,8 mm; largura de 200 mm e comprimento de 450 mm. No plano (x, y), as dimensões do problema seriam 50,8 mm × 200 mm. Com estas características e utilizando-se os requisitos da estratégia multi-fase, o alvo foi discretizado com 397500 partículas, considerando-se uma distribuição inicial em células triangulares. Cabe recordar que a proposta deste trabalho é o desenvolvimento de um modelo computacional, tal que as simulações numéricas possam ser realizadas em computadores pessoais. Nesse sentido, um número muito grande de partículas poderia deixar a simulação inviável. Neste trabalho, as simulações numéricas foram realizadas utilizando-se os seguintes recursos computacionais: •

Processador: Intel(R) Core (TM) Duo CPU T2350 @ 1,86 GHz 1,87 GHz;

140


Memória (RAM): 1,00 GB;

Sistema Operacional de 32 Bits;

Compaq Visual FORTRAN Professional Edition 6.6a; e

MATLAB 7.10.0 (R2010a).

Face aos recursos computacionais listados anteriormente, o número máximo de partículas utilizadas nas simulações ficou limitado a um valor entre 100 e 120 mil, dependendo do número de interações que possam acontecer. Assim, para que a simulação da penetração de um jato de carga oca linear Mk-7 Mod 8 pudesse ser realizada, o alvo precisou ser reduzido. O problema é que esta redução, ou simplificação, pode comprometer a confiabilidade dos resultados da simulação. Quanto à espessura, um valor mínimo deve ser assegurado para que o alvo não seja transpassado ou que também não ocorra nenhum efeito de fragmentação na face oposta ao ataque do jato, decorrente das ondas de choque geradas pela penetração e suas reflexões. Quanto à largura, também deve ser assegurado um valor mínimo, de modo que as deformações laterais do alvo não interfiram na deformação da cavidade perfurada. Com base no resultado experimental apresentado em GAZONAS et al (1995), que dá conta de uma profundidade de penetração de 17 mm, uma primeira tentativa de simulação foi realizada considerando-se o alvo com espessura de 25,4 mm e largura de 80 mm. Nessas condições, o alvo ficou com 79500 partículas e a simulação total aconteceu com 110350 partículas (Explosivo: 24670, Revestimento: 2418, Invólucro: 3762 e Alvo: 79500). Cada 1 µs de simulação consumiu, aproximadamente, 18 minutos de tempo computacional. No entanto, os resultados mostraram que a espessura de 25,4 mm não foi suficiente para evitar a fragmentação do alvo na face oposta ao ataque do jato e que a largura de 80 mm foi insuficiente para evitar as deformações laterais do alvo. Como o número total de partículas utilizadas na primeira tentativa já estava próximo do limite máximo, as seguintes modificações foram realizadas como alternativa para que a simulação da penetração pudesse acontecer satisfatoriamente: 1. Aumentar a espessura do alvo; e 2. Aumentar o espaçamento entre as partículas do alvo, baixando a sua resolução sem comprometer a estratégia multi-fase.

As simulações foram, então, realizadas considerando-se o alvo com 35 mm de espessura e 80 mm de largura. A dimensão da célula triangular, onde as partículas são inicialmente

141


posicionadas, subiu de 0,16 mm para 0,25 mm, deixando o alvo com 44800 partículas e a simulação total com 75650 partículas. Nestas condições, o tempo computacional ficou entre 12 e 13 minutos para cada 1 µs de simulação. A FIG.5.20 mostra a configuração inicial da simulação da penetração de um jato de carga oca linear, onde o alvo é representado pelas partículas de cor verde. O standoff (SO) da carga é de 12,7 mm.

FIG.5.20 Configuração inicial da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8.

Na simulação, as deformações plásticas e os efeitos térmicos são contabilizados com a utilização do modelo constitutivo Elasto-Plástico de Johnson-Cook, para todos os materiais metálicos. A FIG.5.21 retrata, respectivamente, a configuração da simulação, antes e depois do impacto do jato no alvo, nos instantes de 10 e 15 µs decorridos do início da detonação da carga.

FIG.5.21 Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8: (a) antes do impacto, em 10 µs e (b) depois do impacto, em 15 µs .

142


Pela FIG.5.21 (b), observa-se que a proximidade do alvo impede o desenvolvimento de um jato mais alongado, pois o colapso de parte do revestimento, localizado mais próximo à base da carga, é interrompido ao ser atingido pela cratera deformada do alvo após o impacto e o início do processo de penetração do jato. O fim da simulação pode ser caracterizado pelo instante a partir do qual não se verifica mais um aumento na profundidade da penetração e, também, pela fração insignificante da energia cinética que é convertida em energia interna, para todo sistema. Da FIG.5.22, percebe-se que esse instante acontece em torno de 65 µs .

FIG.5.22 Representação da energia do sistema para o processo de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8.

Da FIG.5.22, também pode ser observada uma queda na energia cinética do sistema, após o instante de 10 µs , por consequência do impacto do jato no alvo. A FIG.5.23 ilustra o aspecto da simulação no instante de 65 µs . Os resultados da simulação indicam que a penetração atingiu uma profundidade de 20,75 mm, cerca de 22 % acima do valor experimental de 17 mm. Quanto à largura da cratera perfurada, GAZONAS et al (1995) relatam uma abertura de 10 mm contrastando com o resultado simulado de 16,70 mm. A diferença acentuada entre os resultados obtidos para a largura da cratera perfurada destaca o nível de interferência da deformação lateral do alvo no resultado da simulação, característica que também pode ser observada pela FIG.5.23.

143


FIG.5.23 Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8, em 65 µs , utilizando-se o modelo constitutivo Elasto-Plástico de Johnson-Cook.

Em princípio, essa diferença acentuada entre os valores simulados e os valores experimentais pode sugerir que a simplificação adotada na discretização do alvo não foi apropriada. Como forma de verificar a validade dessa conclusão, a simulação foi repetida nas mesmas condições anteriores, modificando-se, unicamente, a modelagem constitutiva de Johnson-Cook para Elástico Perfeitamente Plástico, para todos os materiais metálicos. Nessas novas condições, os parâmetros de formação do jato, analisados no item 5.2.1, mostraram diferenças entre as duas simulações não superiores a 1,2 % e por isso não são repetidos aqui. Entretanto, os resultados simulados da penetração mostraram diferenças bem mais acentuadas: 15,75 mm para a profundidade máxima, atingida em 50 µs de simulação, e 13,4 mm para a largura da cavidade perfurada. A FIG.5.24 ilustra a configuração do resultado da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8, utilizando-se o modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico. A FIG.5.25 compara os resultados experimentais, para as dimensões características de profundidade e largura da cavidade perfurada, com os resultados simulados, obtidos com a utilização do modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico.

144


A TAB.5.4 reúne todos os resultados obtidos para a penetração de um jato de carga oca linear Mk-7 Mod 8, em um alvo de aço blindado RHA.

FIG.5.24 Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8, em 50 µs , utilizando-se o modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico.

FIG.5.25 Comparação da penetração de um jato de carga oca Mk-7 Mod 8, em um alvo de aço blindado RHA: (a) Resultado experimental (GAZONAS et al, 1995) e (b) Resultado simulado, utilizando-se o modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico.

145


TAB.5.4 Resultados para a penetração de um jato de carga oca Mk-7 Mod 8, em um alvo de aço blindado RHA. Profundidade (mm) Experimento

Largura da cavidade (mm)

17

10

Simulação

20,75

16,70

Diferença (%)

22

67

17

10

Johnson-Cook

Experimento Elástico Perfeitamente

Simulação

15,75

13,4

Plástico

Diferença (%)

7,4

34

Os resultados apresentados na TAB.5.4 mostram que a largura de 80 mm, utilizada para o alvo nas simulações, é insuficiente para impedir o efeito indesejável de interferência da sua própria deformação lateral no crescimento da largura da cavidade perfurada, independente do modelo constitutivo empregado. Duas alternativas podem ser consideradas de modo a evitar essa interferência indesejável: 1) utilizando-se partículas virtuais do tipo II, na largura do alvo, de modo que sua deformação lateral seja impedida e 2) aumentando-se a largura do alvo com a utilização de partículas com mais massa. Em ambas, o aumento do número de partículas utilizadas na simulação pode comprometer a eficiência computacional. Quanto à profundidade da penetração obtida, o modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico parece fornecer resultados mais realísticos. As diferenças encontradas entre os resultados simulados, utilizando-se os modelos de Johnson-Cook e Elástico Perfeitamente Plástico, reforçam as dificuldades de obtenção de parâmetros confiáveis para a caracterização do comportamento dinâmico dos materiais. Para o aço blindado RHA, em particular, variações nos parâmetros da formulação de Johnson-Cook parecem ser mais comuns. O aço blindado RHA é considerado um padrão de referência para avaliação e proteção balística. A capacidade de proteção de um sistema blindado é, normalmente, descrita em termos de “Equivalência RHA”, uma medida que relaciona o nível de proteção real desse sistema com a proteção RHA que seria requerida para se ter o mesmo nível de proteção. Disponível em espessuras que variam de 6,35 mm (1/4 in) até 152,4 mm (6 in), o aço blindado RHA é fabricado por um processo de laminação que confere às menores espessuras

146


uma dureza superficial mais elevada que nas maiores espessuras, resultado do encruamento proporcionado pelas sucessivas deformações plásticas (SCHRAML, 2012). Por essa razão, trabalhos como o de MEYER Jr. & KLEPONIS (2001), que procuraram obter os parâmetros da formulação de Johnson-Cook, especificamente para placas de aço blindado RHA com 2 in de espessura, são usuais. A fim de incorporar o efeito da espessura nas propriedades do aço blindado RHA, MEYER Jr. & KLEPONIS (2001) sugeriram a utilização da EQ.5.2, como forma de obtenção do parâmetro A′ da EQ.3.18.

A′ = (−0,1428) ln(e A ) + 0,8772

(5.2)

Obtida a partir de ajustes de dados experimentais, a EQ.5.2 relaciona a tensão limite de escoamento dinâmico ( A′ em GPa), tomada à temperatura ambiente e sob taxa de deformação de 1s −1 , com a espessura do material ( e A em in). A utilização da EQ.5.2 é considerada uma prática comum nas simulações numéricas com aços blindados RHA (SCHRAML, 2012).

FIG.5.26 Curvas tensão×deformação para aços blindados RHA, com 2 in de espessura (MEYER Jr. & KLEPONIS, 2001).

A FIG.5.26 apresenta algumas curvas tensão×deformação para aços blindados RHA, com 2 in de espessura. Observam-se os efeitos da elevação da temperatura e da elevação da taxa de deformação, pela redução (amolecimento) e pelo aumento da tensão limite de escoamento

147


(endurecimento), respectivamente. A simplicidade da idealização do modelo Elástico Perfeitamente Plástico, representando as diferentes curvas da FIG.5.26 pelo limite superior de 1,5 GPa para a tensão de escoamento dinâmico (vide FIG.3.3 e TAB.3.5), contribui para explicar por que os resultados simulados da penetração de um jato de carga oca Mk-7 Mod 8, em um alvo de aço blindado RHA, obtidos com o modelo Elástico Perfeitamente Plástico foram considerados mais realísticos do que com o modelo Elasto-Plástico de Johnson-Cook.

5.3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A formulação SPH 2D, com simetria plana, para problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, consegue simular a detonação completa de uma carga oca linear. A carga utilizada nas simulações é a carga militar de demolição Mk-7 Mod 8, representada pela FIG.5.6. Os resultados experimentais relativos à velocidade de um jato produzido por esse tipo de carga e ao desempenho da penetração desse jato em um alvo de aço blindado RHA de 2 in de espessura, apresentados em GAZONAS et al (1995), são considerados como referência para comparação com os resultados das simulações realizadas. Após comparação, as seguintes considerações finais podem ser formuladas: 1. A estratégia multi-fase é incorporada à formulação SPH e os resultados demonstram sua habilidade em caracterizar as diversas interfaces entre os diferentes materiais existentes em uma detonação completa de carga oca linear, inclusive na interação jato/alvo; 2. A formulação SPH contida na EQ.5.1, que incorpora a estratégia multi-fase, foi considerada mais apropriada para lidar com múltiplos materiais uma vez que as outras aproximações para a conservação da quantidade de movimento (EQ.4.29) e para a conservação da energia interna específica (EQ.4.44), quando utilizadas, não conseguiram produzir resultados, pois o código não convergiu; 3. A influência do invólucro da carga é analisada nas simulações de formação e alongamento do jato. Quanto à velocidade do jato, uma simples comparação entre os resultados simulados e os resultados experimentais não é suficiente para avaliar se a hipótese de considerar, ou não, o invólucro na simulação é relevante. Por outro lado, quando a comparação é somente entre os resultados simulados, com e sem invólucro, observam-se diferenças na forma da ponta do jato (vide FIG.5.10), na repartição da massa do revestimento (vide TAB.5.2), na velocidade máxima do jato (vide FIG.5.12

148


e TAB.5.3) e no comprimento do jato (vide FIG.5.14), que contrariam algumas das conclusões apresentadas por FENG et al (2013); 4. As FIG.5.15 e 5.16, relativas aos valores máximos de pressão e massa específica para o revestimento, respectivamente, destacam picos rigorosamente iguais para as duas configurações da carga oca Mk7-Mod 8 (com e sem invólucro), obtidos no mesmo instante. Este resultado, de surpreendente coincidência, pode ser proveniente da própria característica geométrica da carga oca Mk7-Mod 8, devendo a análise da influência do invólucro nos valores máximos de pressão e massa específica para o revestimento ser feita caso a caso; 5. Contudo, uma análise mais detalhada da FIG.5.15, relativa à pressão máxima no revestimento, mostra que entre os instantes de 4 µs e 12 µs a pressão máxima na carga com invólucro é superior à da carga sem invólucro, o que contribui para explicar por que a velocidade do revestimento da carga com invólucro é superior à da carga sem invólucro (vide FIG.5.12 e 5.13). Este resultado evidencia uma das finalidades do invólucro de uma carga oca (vide finalidade (3) da página 131); 6. Em relação à elevação da temperatura média do revestimento, apresentada na FIG.5.17, os resultados das simulações, com e sem invólucro, mostram que o jato permanece no estado sólido, o que confirma uma importante característica a respeito de um jato de carga oca, muito difícil de ser comprovada experimentalmente; 7. Ainda quanto à influência do invólucro da carga, a razão entre o tempo computacional total da simulação sem invólucro, pelo tempo computacional total da simulação com, mostra que a hipótese de retirada do invólucro leva a uma redução da ordem de 10 %, sob risco de se ignorar características relevantes de uma simulação completa de carga oca linear; 8. Em relação às curvas de energia, representadas pelas FIG.5.18 e 5.22, observa-se uma pequena distorção inicial no valor da energia total, que sofre uma pequena elevação até se estabilizar. Este resultado pode ser proveniente da falta de imposição de uma condição inicial para a detonação da carga explosiva; e 9. Para a simulação da penetração de um jato de carga oca Mk-7 Mod 8, em um alvo de aço blindado RHA, dois modelos constitutivos são utilizados: 1) Elasto-Plástico de Johnson-Cook e 2) Elástico Perfeitamente Plástico. Inicialmente, com o modelo de Johnson-Cook, uma primeira tentativa com o alvo simplificado para as dimensões de 25,4 mm de espessura e 80 mm de largura, mas com o espaçamento entre as partículas

149


no valor recomendado pela estratégia multi-fase ( ∆x = 0,16 mm), mostra que a espessura considerada não é suficiente para evitar a fragmentação na face oposta ao ataque do jato, conforme observado na FIG.5.27. Uma segunda tentativa, aumentandose a espessura do alvo para 35 mm e o espaçamento entre as partículas, utilizando-se ∆x = 0,25 mm, os valores de profundidade da penetração e de largura da cavidade perfurada, consideravelmente superiores aos resultados experimentais (vide TAB.5.4), sugerem que a simplificação utilizada na discretização do alvo possa ter comprometido a simulação. Em uma terceira tentativa, nas mesmas condições da segunda, utilizando-se o modelo constitutivo Elástico Perfeitamente Plástico, resultados mais favoráveis são obtidos, indicando que a simulação computacional pode ser mais afetada pela confiabilidade dos parâmetros ajustados dos diferentes modelos constitutivos, do que por eventuais simplificações na discretização do problema.

FIG.5.27 Configuração da simulação de penetração com a carga oca Mk-7 Mod 8, em 60 µs , utilizando-se o modelo constitutivo Elasto-Plástico de Johnson-Cook, com alvo de 25,4 mm de espessura.

150


6

MODELAGEM NUMÉRICA DE UMA CARGA OCA CILÍNDRICA As principais aplicações existentes para uma carga oca, principalmente no segmento da

indústria de defesa, estão relacionadas com a obtenção de grandes profundidades de penetração. De uma forma geral, esse tipo de resultado é conseguido com cargas ocas cilíndricas. Nos últimos 10 anos, o método SPH vem demonstrando capacidade de simular uma carga oca. Entretanto, não se tem registro de sua utilização na simulação de cargas ocas cilíndricas. Os resultados obtidos no Capítulo 5, referentes à simulação numérica de uma carga oca linear, sinalizam positivamente quanto ao sucesso de uma aplicação do método SPH na simulação numérica de uma carga oca cilíndrica. Neste capítulo, uma formulação SPH 2D, com simetria axial, para problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, será desenvolvida e utilizada em uma simulação completa de carga oca cilíndrica. Do mesmo modo que na simulação de uma carga oca linear, os fenômenos associados à detonação do explosivo, ao colapso do revestimento, à formação e ao alongamento do jato e, inclusive, à penetração deste jato em um alvo serão analisados com simulações e comparações com experimentos.

6.1 FORMULAÇÃO SPH 2D, COM SIMETRIA AXIAL, PARA PROBLEMAS HIDRODINÂMICOS COM RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Por questões de simplicidade conceitual, a maioria dos códigos SPH utiliza as equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica em coordenadas Cartesianas retangulares 3D (PETSCHEK & LIBERSKY, 1993). Em muitos problemas hidrodinâmicos, dependendo das características geométricas, relevantes ganhos computacionais seriam obtidos com simplificações 2D ou 1D, através da utilização de planos e eixos de simetria. Nesse sentido, o trabalho de PETSCHEK & LIBERSKY (1993) é considerado um dos precursores. Nele, as equações de movimento são obtidas por transformações de coordenadas Cartesianas retangulares para cilíndricas, tomando um valor médio com simetria axial. Mostrou alguns bons resultados em problemas de impacto com resistência dos materiais, além de incorporar o termo associado à tensão anular, também conhecido como termo de “hoop stress”, previsto para aparecer em coordenadas cilíndricas. Sua desvantagem é utilizar como núcleo de interpolação SPH uma função Gaussiana, a qual não é mais adotada por falta de suporte compacto.

151


Na proposição apresentada por BROOKSHAW (2003), as equações SPH são obtidas derivando-se o Lagrangeano para fluido compressível em escoamento isentrópico. A formulação SPH obtida incorpora o termo de “hoop stress” e o núcleo de interpolação utilizado é a clássica spline cúbica. Contudo, a formulação de BROOKSHAW (2003) parece demonstrar inconsistência no eixo de simetria, em r = 0 . Em OMANG et al (2006), uma outra formulação é construída a partir de núcleos de suavização especialmente adaptados para a geometria cilíndrica. O resultado não somente contempla o termo de “hoop stress” como também não apresenta singularidade no eixo de simetria, em r = 0 . O principal inconveniente é o tempo computacional, pois o núcleo de suavização resultante não possui uma expressão analítica e a simulação torna-se dependente da solução numérica de uma integral elíptica para cada partícula, a cada passo de tempo. Em GARCÍA-SENZ et al (2009), a proposição de BROOKSHAW (2003) é utilizada e dois fatores analíticos de correção são introduzidos nas equações SPH, como forma de resolver o problema da singularidade em r = 0 . Esses fatores atuam somente nas partículas que se movimentam a uma distância inferior à 2h, em relação ao eixo z, sendo h o comprimento suavizante. Uma nova formulação de viscosidade artificial também é apresentada e os resultados simulados obtidos, para alguns problemas astrofísicos, parecem solucionar o problema da inconsistência no eixo de simetria. Neste trabalho, a proposição de BROOKSHAW (2003) será adotada e utilizada após modificações associadas aos efeitos das tensões desviatórias e à estratégia multi-fase. Os somatórios SPH serão obtidos a partir das equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia interna específica, em coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ), para um meio contínuo bidimensional, em ( r , z ), onde não há fluxo de calor e nem ação de forças externas (LEE & KWAK, 1986).

Conservação de Massa: Dρ  ∂r& ∂z& r&  = −ρ  + +  Dt  ∂r ∂z r 

(6.1)

Conservação da Quantidade de Movimento:   ρ &r& =   ρ &z& = 

∂σ rr ∂σ rz 1 rr + + σ − σ θθ ∂r ∂z r ∂σ zz ∂σ rz σ rz + + ∂z ∂r r

(

)

(6.2)

152


Conservação da Energia Interna Específica:

ρ

Du ∂r& ∂z& r&  ∂r& ∂z&  = σ rr + σ zz + σ rz  +  + σ θθ Dt ∂r ∂z r  ∂z ∂r 

(6.3)

A principal característica da proposição de BROOKSHAW (2003) é considerar que a massa específica 2D ( η ) é obtida a partir da massa específica 3D ( ρ ), pela seguinte relação:

η = 2π r ρ

(6.4)

Derivando-se a EQ.6.4, em relação ao tempo, e dividindo-se o resultado pela própria equação, temos:

η& r& ρ& = + η r ρ

(6.5)

Conservação de Massa:

Substituindo-se a EQ.6.5 na EQ.6.1, tem-se: Dη  ∂r& ∂z&  = −η  +  Dt  ∂r ∂z 

(6.6)

Como η = η ( r ) , as seguintes identidades podem ser consideradas:

∂r& ∂η ∂ &  ∂r (rη ) = η ∂r + r& ∂r ∂ ∂z& ∂η  ( z&η ) = η + z& ∂z ∂z  ∂z

(6.7)

Substituindo-se a EQ.6.7 na EQ.6.6, tem-se: Dη ∂ ∂η ∂ ∂η = − (r&η ) + r& − ( z&η ) + z& Dt ∂r ∂r ∂z ∂z

(6.8)

Aplicando-se a EQ.4.8 na EQ.6.8, obtêm-se a formulação para a evolução da massa específica 2D, na geometria cilíndrica: N Dηi = ∑ m j (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij Dt j =1

(6.9)

153


( ∂r , ∂ ∂z ) é um operador

Onde s = ( r , z ) é o vetor posição de cada partícula (i ou j) e D = ∂

diferencial aplicável a uma função núcleo de suavização Wij = Wij (si − s j , h ) .

Conservação da Quantidade de Movimento:

Substituindo-se o tensor de tensões total, expresso pela EQ.4.30, na EQ.6.2, agora com a e b representando as direções coordenadas r , θ e z , temos:  ∂P ∂τ rr ∂τ rz 1 rr θθ & & ρ r = − + + + τ −τ  ∂r ∂r ∂z r  zz rz rz ∂ ∂ ∂ P τ τ τ  ρ &z& = − + + +  ∂z ∂z ∂r r

(

)

(6.10)

Sejam as seguintes identidades, considerando-se a aplicação da EQ.6.4:  1  ∂σ    ρ  ∂r   1  ∂σ  ρ  ∂z 

 ∂  rσ  rσ ∂η  2π   + 2  = − σ + 2π    ∂ r η η    η ∂r    ∂  rσ  rσ ∂η    + 2  = 2π      ∂z  η  η ∂z 

(6.11)

Utilizando-se as identidades da EQ.6.11 na EQ.6.10, simplificando e organizando seus termos em duas partes, relativas à pressão isotrópica ( P ) e às tensões desviatórias ( τ ), temos:

  ∂  rP  rP ∂η  2π P − 2π    + 2 r&& =  + Desvia _ r η  ∂r  η  η ∂r     ∂  rτ rr  rτ rr ∂η   ∂  rτ rz  rτ rz    Desvia _ r = 2π    + η 2 ∂r  + 2π  ∂z  η  + η 2 ∂ r η            &z& = −2π ∂  rP  + rP ∂η + Desvia _ z     2   ∂z  η  η ∂z   rz rz zz zz  Desvia _ z = 2π  ∂  rτ  + rτ ∂η  + 2π  ∂  rτ  + rτ      2 2     ∂r  η  η ∂r   ∂z  η  η 

∂η  2π θθ τ − ∂z  η

(6.12)

∂η   ∂z 

Aplicando-se a EQ.4.8 na EQ.6.12, obtêm-se a formulação para a conservação da quantidade de movimento, na geometria cilíndrica:

154


N   P r P r  ∂W 2π & & π r = P − 2 m j  i 2 i + j 2 j  ij + Desvia _ ri i ∑ i η ηi η j  ∂ri j =1   i  N N  rz  rr τ rz r τ rr r  ∂W  Desvia _ ri = − 2π τ iθθ + 2π ∑ m j  τ i ri + j j  ij + 2π ∑ m j  τ i ri + j j  η2  η2 η 2j η 2j  ∂ri  ηi j =1 j =1  i  i  N &z& = −2π m  Pi ri + Pj r j  ∂Wij + Desvia _ z ∑ j  i  i ηi2 η 2j  ∂zi j =1   N N  τ irz ri τ rzj r j  ∂Wij  τ izz ri τ zzj r j  ∂Wij    + 2π ∑ m j  2 + 2   Desvia _ zi = 2π ∑ m j  2 + 2   η ∂ r η j  ∂zi η η  j =1 j =1 j  i  i  i

 ∂Wij   ∂z  i (6.13)

Na EQ.6.13, o 1º termo do lado direito da equação da aceleração, em r, é o termo associado à tensão anular ou “hoop stress”. Ele significa que a força de pressão exercida na superfície externa do anel toroidal, que representa a partícula em coordenadas cilíndricas, é superior à força de pressão exercida na superfície interna desse mesmo anel (PETSCHEK & LIBERSKY, 1993 e BROOKSHAW, 2003).

Conservação da Energia Interna Específica:

Da mesma forma que nas equações de conservação da quantidade de movimento, o tensor de tensões total, expresso pela EQ.4.30, será agora substituído na EQ.6.3:

ρ

Du ∂r& ∂r& ∂z& ∂z& r& r&  ∂r& ∂z&  = − P + τ rr − P + τ zz + τ rz  +  − P + τ θθ Dt ∂r ∂r ∂z ∂z r r  ∂z ∂r 

(6.14)

A EQ.6.14 pode ser organizada em duas parcelas, conforme apresentado na EQ.6.15. A primeira parcela, denominada conservativa, está associada à pressão isotrópica ou hidrostática (P). A segunda parcela, conhecida como dissipativa, está associada à produção de entropia viscosa pelo efeito das tensões desviatórias. r& ∂r& ∂z&  Du  ρ Dt = − P r − P ∂r − P ∂z + entropia _ viscosa  r& ∂r& ∂z&  ∂r& ∂z&  entropia _ viscosa = τ θθ + τ rr + τ rz  +  + τ zz  ∂z r ∂r  ∂z ∂r 

Considere as seguintes identidades reunidas na EQ.6.16:

155

(6.15)


σ r  ∂r&   =   η  ∂r  σ r  ∂z&   η  ∂z  =    σ r  ∂r&  =  η  ∂z  σ r ∂z&     =  η  ∂r 

∂  σ r r&  ∂ σ r    − r&   ∂r  η  ∂r  η  ∂  σ r z&  ∂ σ r     − z&  ∂z  η  ∂z  η  ∂  σ r r&  ∂ σ r    − r&   ∂z  η  ∂z  η  ∂  σ r z&  ∂ σ r    − z&   ∂r  η  ∂r  η 

(6.16)

Aplicando-se as identidades da EQ.6.16 na EQ.6.15 e utilizando-se, também, a EQ.6.4, tem-se:  Du  ∂  P r r&   ∂  P r z&  P ∂  P r  ∂  P r  = −2π r& − 2π    − r&   − 2π    − z&   +  ∂z  η  η  ∂r  η  ∂r  η   ∂z  η   Dt  + entropia _ viscosa  θθ rr rr entropia _ viscosa = 2π τ r& + 2π  ∂  τ r r&  − r& ∂  τ r  +       η  ∂r  η  ∂r  η  (6.17)   rz rz rz rz  ∂  τ r r&   ∂  τ r z&  ∂  τ r  ∂  τ r    − r&   + 2π    − z&   + + 2π   z z r r ∂ ∂ ∂ ∂ η η η η               ∂  τ zz r z&   ∂  τ zz r      & z + 2 − π     z z ∂ η ∂ η      

Aplicando-se a EQ.4.8 na EQ.6.17 e após algumas simplificações, obtêm-se a formulação para a conservação da energia interna específica, na geometria cilíndrica: N  Du P r  Pi i & r m j  j 2 j  (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij + entropia _ viscosai = − 2 + 2 π π  ∑ i  η  ηi j =1  Dt  j   θθ N  τ rr r  ∂W entropia _ viscosai = 2π τ i r&i − 2π ∑ m j  j j  (r&i − r&j ) ij − 2   ηi  ∂ri j =1  ηj    N  τ rz r   ∂W ∂W   − 2π ∑ m j  j 2 j  (s&i − s& j ) ⋅  ij , ij  −  η   j =1  ∂zi ∂ri   j    N  τ zzj rj  ∂W  − 2π ∑ m j  2  (z&i − z& j ) ij  η  ∂zi  j =1  j 

156

(6.18)


A forma simétrica da aproximação SPH para a energia interna específica, na geometria cilíndrica, pode ser obtida considerando-se, inicialmente, as identidades da EQ.6.7 acrescidas das identidades da EQ.6.19:

∂r& ∂η ∂ &  ∂z (rη ) = η ∂z + r& ∂z ∂ ∂z& ∂η  (z&η ) = η + z& ∂r ∂r  ∂r

(6.19)

Em seguida, aplicando-se as EQ.6.7 e 6.19 na EQ.6.15, e utilizando-se, também, a EQ.6.4, tem-se:  Du P P ∂ ∂η  P ∂ ∂η   Dt = −2π η r& − 2π η 2 r  ∂r (r&η ) − r& ∂r  − 2π η 2 r  ∂z ( z&η ) − z& ∂z  +       + entropia _ viscosa  rr rz θθ entropia _ viscosa = 2π τ r& + 2π τ r  ∂ (r&η ) − r& ∂η  + 2π τ r  ∂ (r&η ) − r& ∂η  (6.20)  η η 2  ∂r ∂r  ∂z  η 2  ∂z  τ rz  ∂ τ zz  ∂ ∂η   & & π η π + 2 ( ) − + 2 (z&η ) − z& ∂η  r z z r 2 2     η  ∂r ∂r  ∂z  η  ∂z 

Após a utilização da EQ.4.8 na EQ.6.20, obtêm-se uma segunda formulação para a conservação da energia interna específica, na geometria cilíndrica:

 Dui  Pi ri  N Pi  2  ∑ m j (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij + entropia _ viscosai & = − + 2 r 2 π π  i Dt η i  ηi  j =1   ∂W  τ rr r  N τ iθθ r&i − 2π  i 2 i  ∑ m j (r&i − r&j ) ij − entropia _ viscosai = 2π ∂ri ηi  ηi  j =1    τ irz ri  N  ∂W ∂W   − 2π  2  ∑ m j (s&i − s& j ) ⋅  ij , ij  −   ηi  j =1  ∂zi ∂ri   ∂W  τ izz ri  N   2  ∑ m j (z&i − z& j ) ij − 2 π  ∂zi  ηi  j =1 

(6.21)

Finalmente, a forma simétrica da aproximação SPH para a conservação da energia interna específica, na geometria cilíndrica, é obtida combinando-se as EQ.6.18 e 6.21:

157


N  Du Pr P r  Pi i & π π 2 r m j  i 2 i + j 2 j  (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij + entropia _ viscosai = − +  ∑ i η ηi η j  j =1  Dt  i  θθ N  rr τ rr r  ∂W entropia _ viscosai = 2π τ i r&i − π ∑ m j  τ i ri + j j  (r&i − r&j ) ij − 2 2   ηi ηj   ∂ri j =1  ηi   N  τ rz r τ rz r   ∂W ∂W   − π ∑ m j  i 2 i + j 2 j  (s&i − s& j ) ⋅  ij , ij  −  η  η j  j =1  ∂zi ∂ri   i   N  τ izz ri τ zzj rj  ∂W  − π ∑ m j  2 + 2  (z&i − z& j ) ij  η η j  ∂zi  j =1  i

(6.22)

Outras aproximações SPH para as equações de conservação podem ser obtidas com base na 3ª Lei de Newton, utilizando-se a seguinte igualdade extraída da comparação entre as EQ.4.26 e 4.29: ab σ iab + σ ab σ ab σ j = i 2 + j2 ρi ρ j ρi ρj

ab σ iab σ j = ρi ρj

(6.23)

A EQ.6.23 pode ser estendida para a geometria cilíndrica, considerando-se o efeito da posição radial da partícula, conforme a EQ.6.4 da proposição de BROOKSHAW (2003): ab σ iab ri σ j rj = ηi ηj

(6.24)

Aplicando-se a EQ.6.24 nas EQ.6.13 e 6.22, obtêm-se duas novas formas de aproximação SPH para as equações de conservação de quantidade de movimento (EQ.6.25) e energia interna específica (EQ.6.26), respectivamente: N   P r + Pj rj  ∂Wij 2π  & & Pi − 2π ∑ m j  i i + Desvia _ ri ri =  ηη  ∂r η j = 1  i i j   i  N N  τ rr r + τ rrj r j  ∂Wij  τ irz ri + τ rzj rj  ∂Wij  Desvia _ ri = − 2π τ iθθ + 2π ∑ m j  i i   + 2π ∑ m j      ∂z ηi η η η η r  ∂ j =1 j =1 i j i j   i   i (6.25)  N &z& = −2π m  Pi ri + Pj rj  ∂Wij + Desvia _ z ∑ j i  i ηi η j  ∂zi j =1   N N  τ irz ri + τ rzj rj  ∂Wij  τ izz ri + τ zzj rj  ∂Wij     + 2π ∑ m j   Desvia _ zi = 2π ∑ m j     ∂z η η ∂ r η η j =1 j =1 i j i j   i   i 

158


N  Du  P r + Pj rj  Pi i  (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij + entropia _ viscosai & π π 2 r mj  i i = − +  ∑ i  ηη  ηi j =1  Dt i j    θθ N  τ rr r + τ rrj rj  ∂W entropia _ viscosai = 2π τ i r&i − π ∑ m j  i i  (r&i − r&j ) ij −   ηi  ∂ri j =1  ηi η j    N  τ rz r + τ rzj rj   ∂W ∂W    (s&i − s& j ) ⋅  ij , ij  − −π ∑mj  i i  ∂z   ηη  ∂ri  j =1 i j i      N  τ izz ri + τ zzj rj  ∂W  (z&i − z& j ) ij  −π ∑mj   ηη  ∂zi  j =1 i j  

(6.26)

Em problemas hidrodinâmicos onde a possibilidade de interação entre múltiplos materiais é uma realidade, duas novas formas para a evolução da massa específica 2D ( η ) podem ser obtidas utilizando-se a estratégia multi-fase. Considere a interface entre dois materiais A e B, com grande diferença de massa específica, representada pela FIG.6.1. Nesta figura, observase uma partícula i interagindo com N partículas j, que se encontram dentro do domínio suporte de i. Com base na EQ.4.70 e admitindo-se uma mesma resolução espacial entre A e B, dentro desse domínio suporte de raio kh, tem-se: ni =

ηi mi

=

ηj mj

= nj

(6.27)

FIG.6.1 Interface entre dois materiais A e B, em uma geometria cilíndrica 2D (r, z), com idênticas resoluções espaciais de partículas.

Derivando-se a EQ.6.27, em relação ao tempo, e utilizando-se a EQ.4.73, obtemos a primeira de duas novas formas de aproximação SPH para a evolução da massa específica 2D, na geometria cilíndrica, com a estratégia multi-fase:

159


N Dηi = mi ∑ (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij Dt j =1

(6.28)

A segunda forma é obtida substituindo-se a EQ.6.27 na EQ.6.28: N η  Dηi = ∑ m j  i  (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij η  Dt j =1  j

(6.29)

Para o cálculo das tensões desviatórias, as EQ.4.41, 4.42 e 4.45-4.51 continuam válidas para a geometria cilíndrica. Nesse caso, considerando-se os índices a e b associados às direções coordenadas r e z. A diferença é que a EQ.6.30 deve ser adicionada à formulação para o cálculo da tensão efetiva ou equivalente, obtida pela EQ.4.49.

τ θθ = −(τ rr + τ zz )

(6.30)

A simplificação de um problema cilíndrico 3D, conforme a proposição de BROOKSHAW (2003), em um plano bidimensional (r, z), permite acreditar que permaneçam inalteradas certas características de uma simulação SPH 2D, tais como: 1) O arranjo inicial de distribuição de partículas; 2) O número ideal de partículas vizinhas para as interações; e 3) A forma de evolução do comprimento suavizante.

Assim sendo, para a formulação SPH 2D, com simetria axial, o comprimento suavizante inicial será definido pela EQ.6.31, com 1,266 ≤ fator ≤ 1,301 , independentemente se o arranjo de distribuição foi construído com células quadradas ou triangulares, e sua evolução temporal poderá ser obtida pela EQ.6.32 ou pela EQ.6.33. hi , 0 = fator

hi = fator

mi

(6.31)

ηi , 0 mi

(6.32)

ηi

Dhi 1 h Dηi =− i Dt 2 ηi Dt

(6.33)

160


A viscosidade artificial de MONAGHAN (1992), apresentada no item 4.2.2, do capítulo 4, também será utilizada na formulação SPH 2D, com simetria axial, para problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais. Nessas novas condições, a maneira mais simples de introduzir essa contribuição viscosa artificial nas equações de conservação de quantidade de movimento e de energia interna específica é contabilizando-se o efeito de variação da massa da partícula em função de sua posição radial, conforme a EQ.6.4. Dessa forma, a aceleração viscosa artificial ( aivisc ) resulta em (GARCÍA-SENZ et al, 2009): N

aivisc = ∑ m j Π ij(1) Di Wij

(6.34)

j =1

As EQ.4.52-4.54 são, então, modificadas para o que está agora representado pelas EQ.6.35-6.37, permanecendo válidas as EQ.4.55 e 4.56, calculadas com a massa específica 3D ( ρ ):

(1)

ij

µij =

 − α1 cij µij + β1 µij2  = ηij 0 

hij s&ij ⋅ sij 2

sij + ξ

2

, cij =

s&ij = s&i − s& j , hij =

s&ij ⋅ sij < 0

(6.35)

s&ij ⋅ sij ≥ 0

1 1 ( ci + c j ) , ηij = (ηi + η j ) 2 2

1 (hi + h j ) 2

(6.36)

(6.37)

No entanto, na geometria cilíndrica, o tensor de tensões que aparece nas equações de Navier-Stokes (EQ.6.2 e 6.3) também inclui um termo proporcional ao divergente da velocidade, através de um denominado segundo coeficiente de viscosidade. Nesse sentido, um termo extra, contendo a magnitude

(r& r ) ,

deve ser adicionado à Π ij(1) como forma de

contabilizar o efeito de convergência das partículas na direção do eixo de simetria (GARCÍASENZ et al, 2009).

6.2 2ª VISCOSIDADE ARTIFICIAL O termo extra Π ij( 2) , aqui denominado de 2ª viscosidade artificial, é adicionado à EQ.6.34, levando a aceleração viscosa artificial ( aivisc ) à seguinte equação:

161


N

(

)

aivisc = ∑ m j Π ij(1) + Π ij( 2 ) Di Wij j =1

(6.38)

Essa 2ª viscosidade artificial ( Π ij( 2) ) deve atender a quatro requisitos básicos (GARCÍASENZ et al, 2009): 1) Ser desprezível longe do eixo de simetria; 2) Ser nula quando r& ≥ 0 ; 3) Proporcionar uma aceleração viscosa desprezível nas contrações homólogas ( r& ∝ r ⇒ q ∝ cte ); e 4) Ser simétrica em relação às partículas i e j, para assegurar a conservação da quantidade de movimento. Neste trabalho, a formulação empregada para a 2ª viscosidade artificial ( Π (ij2) ) é a proposição apresentada por GARCÍA-SENZ et al (2009), que cumpre os quatro requisitos listados anteriormente e que está representada nas EQ.6.39 e 6.40.

 − α 2 cij qij + β 2 qij2 r&i e r&j < 0  = ηij 0 outros casos 

(6.39)

qij =

1  hi r&i h j r&j  + 2  ri r j 

(6.40)

(2)

ij

Segundo GARCÍA-SENZ et al (2009), o requisito (3) é automaticamente satisfeito, para q ∝ cte , pois o gradiente de ηij Π ij( 2 ) é nulo. Na presença de ondas de choques divergentes,

Π ij( 2) desaparece e somente a parte Cartesiana da viscosidade artificial ( Π ij(1) ) é utilizada. Por essa razão, continuam usuais os valores de α1 = β1 ≅ 1 e ξ = 0,1hij . Com ondas de choque convergentes, o efeito de Π ij( 2) produz um aumento da viscosidade artificial, introduzindo mais amortecimento no sistema. Consequentemente, valores para α 2 e β 2 precisam ser ajustados para cada tipo de problema. As EQ.6.35, 6.36, 6.37, 6.39 e 6.40 são utilizadas dentro de somatórios, representados pelas EQ.6.41-6.43, que devem ser adicionados às aproximações SPH das equações de conservação da quantidade de movimento e da energia interna específica, respectivamente:

162


(

N

Quantidade de Movimento (r ) = −∑ m j Π ij(1) + Π ij( 2) j =1

) ∂∂Wr

(6.41)

i

(

N

Quantidade de Movimento ( z ) = −∑ m j Π ij(1) + Π ij( 2) j =1

Energia Interna Específica =

ij

) ∂∂Wz

ij

(6.42)

i

(

)

1 N m j Π ij(1) + Π ij( 2) (s&i − s& j ) ⋅ Di Wij ∑ 2 j =1

(6.43)

As formulações desenvolvidas neste capítulo foram utilizadas em duas simulações numéricas de problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, considerados típicos na geometria cilíndrica e muito empregados para a validação de diferentes formulações: 1) Impacto de Taylor; e 2) Penetração de um projetil com elevada energia cinética.

Os resultados simulados são apresentados, comparados com resultados experimentais e discutidos no APÊNDICE 3.

6.3 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Os resultados apresentados no APÊNDICE 3, utilizados para a validação da formulação SPH 2D, com simetria axial, principalmente os referentes ao item 9.3.2 (Penetração), mostram que a estratégia multi-fase é uma alternativa bastante atraente para problemas hidrodinâmicos com múltiplos materiais, também na geometria cilíndrica. Nesse sentido, a princípio, propõese a seguinte formulação para uma simulação completa de carga oca cilíndrica: •

EQ.6.29 para a conservação de massa com a estratégia multi-fase;

EQ.6.25, 6.41 e 6.42 para a conservação da quantidade de movimento;

EQ.6.26 e 6.43 para a conservação da energia interna específica;

EQ.3.3 e 3.8 (EOS JWL) para a pressão no explosivo;

EQ.3.9-3.11 (EOS Mie-Grüneisen) para a pressão nos materiais sólidos;

EQ.3.18-3.20 (Modelo Constitutivo Elasto-Plástico de Johnson-Cook);

EQ.6.33 e 4.66 para a evolução e a simetrização do comprimento suavizante, respectivamente;

163


Parâmetros de viscosidade artificial: α1 = β1 = 1 , ξ = 0 ,1 hij , α2 = −2 e β 2 = −3 e passo de tempo: ∆t = 10 −8 s ; e

EQ.4.45 (Taxa de Jaumann), EQ.4.49-4.51 (Critério de von-Mises) e EQ.6.30.

A carga oca cilíndrica considerada nas simulações é uma simplificação da carga oca padrão BRL 81,3 mm, apresentada na FIG.2.22. Os resultados simulados foram comparados com alguns resultados experimentais fornecidos por RAFTENBERG (1992), que realizou testes de perfuração em chapas de aço blindado RHA, detonando cargas ocas BRL 81,3 mm em longas distâncias de standoff.

6.3.1

FORMAÇÃO E ALONGAMENTO DE UM JATO DE CARGA OCA CILÍNDRICA

Considere a carga oca padrão BRL 81,3 mm, simplificada pelo o que está representado na FIG.6.2. Admite-se que o fundo da carga, na região do detonador, exerce pouca influência no confinamento do explosivo real, permitindo que a representação do invólucro aconteça somente na superfície externa da carga. As dimensões utilizadas nas simulações estão presentes na TAB.6.1.

FIG.6.2 Representação da carga oca padrão BRL 81,3 mm simplificada.

164


TAB.6.1 Dimensões, em mm, da carga oca padrão BRL 81, 3 mm simplificada. DC

AC

L

e

i

80

50

150

2,4

4

A distribuição inicial de todas as partículas utilizou um arranjo de células triangulares, considerando-se somente a parte positiva do eixo r. Diferentemente da simetria plana, na simetria axial as partículas são anéis, representando, portanto, toda a extensão circunferencial da carga. Por essa razão, não são utilizadas partículas virtuais do tipo II, no eixo de simetria, em r = 0 . A carga oca padrão BRL 81,3 mm é construída com Composto B como explosivo, revestimento de cobre OFHC e invólucro de alumínio. Em uma carga real, a detonação é iniciada no ponto (r , z ) = (0, 0) da FIG.6.2, o que proporciona uma frente esférica de propagação para a onda de choque. No entanto, o efeito combinado da dimensão da altura da cabeça (AC) com a conicidade do invólucro, vide FIG.2.22, permite que a onda de detonação do explosivo progrida, ao longo do eixo z, com uma frente de propagação aproximadamente plana, característica de um modelo ideal de detonação. Nas simulações, utiliza-se um número mínimo de partículas no explosivo de forma a assegurar que a pressão na frente da onda de choque da detonação, na iminência da interação do explosivo com o revestimento, seja igual à pressão de Chapman-Jouguet ( PCJ ). Utiliza-se o modelo ideal de detonação, representado por uma onda de choque com frente plana, com origem em z = 0 na FIG.6.2.

FIG.6.3 Detonação da carga oca padrão BRL 81,3 mm simplificada, em 5 µs.

165


A FIG.6.3 apresenta o aspecto da detonação da carga no instante de 5 µs , antes da onda de choque atingir o vértice do revestimento. Nestas condições, foram utilizadas 7969 partículas no explosivo e a pressão na frente da onda de choque ficou em 28,77 GPa, representando uma diferença menor que 2,5% em relação à pressão de Chapman-Jouguet para o Composto B. Com a utilização da estratégia multi-fase, revestimento e invólucro foram discretizados com 1068 e 1200 partículas, respectivamente. Os efeitos das deformações plásticas e a elevação da temperatura, durante o processo de detonação, foram analisados empregando-se o modelo constitutivo Elasto-Plástico de Johnson-Cook. Os resultados simulados de formação e alongamento do jato foram obtidos até o instante de 120 µs, contados a partir do início da detonação da carga. Quatro diferentes instantes podem ser visualizados na FIG.6.4: 15, 30, 45 e 60 µs. Em todos eles, observa-se que a estratégia multi-fase também consegue caracterizar as diferentes interfaces descontínuas de massa

específica

entre

os

diversos

materiais

que

compõem

uma

carga

oca

(explosivo/revestimento/invólucro), agora na geometria cilíndrica.

FIG.6.4 Detonação da carga oca padrão BRL 81,3 mm simplificada, nos instantes de 15, 30, 45 e 60 µs.

166


Da FIG.6.4, percebe-se o efeito do termo de “hoop stress”, que aparece na formulação SPH 2D com simetria axial, atuando nas partículas do explosivo em expansão, que vão se afastando em relação ao eixo de simetria da carga. O mesmo fenômeno é verificado no colapso do revestimento, cujas partículas procuram convergir em direção a esse eixo de simetria, mas tem essa convergência afetada pela singularidade em r = 0 e também pelo termo de “hoop stress”. Ainda pela FIG.6.4, pode ser observada a evolução gradual do processo de colapso do revestimento, proporcionando a formação de um jato veloz que, consequentemente, vai se alongando na direção positiva do eixo de simetria da carga e de uma escória lenta e volumosa. As frações de massa do jato e da escória, resultantes da repartição da massa do revestimento durante o processo de colapso, são obtidas no instante de 105 µs, considerado como o instante final desse processo. A FIG.6.5 ilustra somente o revestimento colapsado, nesse instante de 105 µs, e a TAB.6.2 apresenta as respectivas frações de massa repartidas, admitindo-se que todas as partículas que estão à esquerda do ponto A representam a porção da escória e à direita a porção do jato.

FIG.6.5 Instante final de colapso do revestimento (105 µs).

TAB.6.2 Resultados simulados da repartição da massa do revestimento em jato e escória. Massa (g)

Frações (%)

Revestimento

274,1

100

Jato

53,23

19,42

Escória

220,87

80,58

O efeito da 2ª viscosidade artificial pode ser visualizado na FIG.6.6 (a) e (b). Em (a), tem-se o resultado de uma simulação, para o instante de 35 µs, considerando-se α 2 = β 2 = 0 . Nessa condição, surgem resultados incoerentes em relação às observações experimentais, para

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a ponta do jato e para a retaguarda da escória. Na ponta do jato, observam-se partículas com velocidades excessivamente altas, que se afastam abruptamente, de modo inconsistente. Na retaguarda da escória, observam-se partículas com velocidades axiais negativas. Em (b), são apresentados os resultados obtidos no mesmo instante de 35 µs, para a simulação efetivamente considerada neste trabalho, com α 2 = −2 e β 2 = −3 .

FIG.6.6 Efeito da 2ª Viscosidade Artificial: (a) sem viscosidade e (b) com viscosidade.

As velocidades máximas do jato, registradas ao longo da simulação, estão representadas na FIG.6.7. O valor máximo de 8730 m/s acontece no instante de 105 µs, sendo 13 % superior ao valor experimental de 7730 m/s, relatado por RAFTENBERG (1992). Por outro lado, os resultados apresentados na curva da FIG.6.8, relativos às velocidades das partículas do revestimento, no instante de 120 µs, mostram que a formulação utilizada consegue produzir um perfil de velocidade para um jato de carga oca cilíndrica muito semelhante ao perfil produzido com uma formulação analítica (linha preta tracejada). Da FIG.6.8, observa-se, também, a obtenção de um perfil de velocidade muito mais regular para a porção da escória.

168


FIG.6.7 Velocidades máximas de um jato de carga oca padrão BRL 81,3 mm.

FIG.6.8 Velocidade do revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 120 µs.

As FIG.6.9 e 6.10 apresentam, respectivamente, os valores máximos de pressão e massa específica do revestimento, coletados no mesmo instante de tempo durante a simulação. Nas duas figuras, observa-se uma oscilação muito grande nos resultados, sendo registrados picos de 259 GPa, para a pressão, e 13196 kg/m3, para a massa específica, nos instantes de 18 e 16 µs, respectivamente.

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FIG.6.9 Pressão máxima no revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm.

FIG.6.10 Massa específica do revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm.

As oscilações nos resultados de pressão e massa específica do revestimento, visualizados nas FIG.6.9 e 6.10, podem ser compreendidas como consequência dos efeitos do termo de “hoop stress” e da singularidade em r = 0 . As partículas do revestimento em colapso, sob ação da onda de choque da detonação, convergem na direção do eixo de simetria da carga. Ao se aproximarem desse eixo ( r → 0 ), sob elevado estado de compressão e alta pressão

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hidrodinâmica, o termo de “hoop stress” produz uma aceleração radial positiva que afasta as partículas do eixo. Como na geometria cilíndrica as partículas são anéis, esse afastamento em relação ao eixo aumenta o volume da partícula, diminuindo sua massa específica, uma vez que a massa da partícula é constante. Com a massa específica menor, a pressão hidrodinâmica diminui e a partícula volta a convergir na direção do eixo, num processo oscilatório que se repete até que o termo de “hoop stress” contribua para uma aceleração radial nula e as partículas se estabilizem, movimentando-se somente na direção axial z. A evolução da temperatura média do revestimento é calculada pela variação da energia interna específica, conforme a EQ.3.20. O resultado pode ser verificado pela FIG.6.11, onde se observa uma tendência de estabilização em torno de 2000 K, valor muito acima da temperatura de fusão do cobre OFHC (1356 K). Este resultado contraria as evidências experimentais de que o jato continua no estado sólido, conforme apresentado por von HOLLE & TRIMBLE (1976), que relatam um valor máximo de 705 ± 76 K para todo o processo de formação e alongamento de um jato de carga oca BRL 81,3 mm.

FIG.6.11 Temperatura média do revestimento da carga oca padrão BRL 81,3 mm.

Uma possível explicação para esse valor excessivamente elevado, relativo à temperatura média do revestimento, assim como os resultados superestimados da velocidade máxima do jato, vide FIG.6.7, pode estar relacionada a um problema conhecido do método SPH tradicional, denominado inconsistência de partículas. Durante o processo de colapso e formação do jato, as partículas do revestimento mostram muita dispersão e dificuldade para se aproximarem do eixo de simetria da carga, em virtude do termo de “hoop stress” e da

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singularidade em r = 0 , vide FIG.6.4. Esta dispersão acarreta um número insuficiente de partículas para serem utilizadas nas aproximações SPH, comprometendo a precisão dos resultados. A conservação da energia total do sistema pode ser confirmada pela FIG.6.12. A energia interna inicial, contida no explosivo, é convertida em energia cinética do revestimento colapsado (jato e escória), dos fragmentos do invólucro e também em energia cinética dos produtos gasosos da detonação.

FIG.6.12 Representação da conversão da energia interna inicial do explosivo de uma carga oca padrão BRL 81,3 mm.

6.3.2

PENETRAÇÃO DE UM JATO DE CARGA OCA CILÍNDRICA

A FIG.6.13 ilustra a configuração do experimento realizado por RAFTENBERG (1992). Uma chapa quadrada de aço blindado RHA, com 197 mm de largura e 13 mm de espessura, é utilizada como alvo, com standoff (SO) de 1238 mm. Um anteparo em forma de disco, com diâmetros interno de 80 mm e externo de 197 mm, é utilizado para fixar o alvo, impedindo-o de se movimentar longitudinalmente.

172


FIG.6.13 Configuração inicial da simulação de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm.

Adotando-se a estratégia multi-fase, o alvo é discretizado com 2574 partículas, inicialmente distribuídas em células triangulares com dimensão de 1 mm. Para o anteparo, são utilizadas 1482 partículas virtuais do tipo II, obtidas por reflexão do alvo. O impacto do jato no alvo acontece no instante de 168 µs. A FIG.6.14 ilustra a simulação no instante de 165 µs, considerado o momento imediatamente anterior ao impacto do jato no alvo. A partir desse instante, as partículas do explosivo e do invólucro são retiradas da simulação, pois não contribuem mais na impulsão do revestimento (jato+escória). Esta eliminação de partículas é fundamental para acelerar a simulação, cujo término requer um tempo muito longo em virtude da baixa velocidade da porção da escória (em torno de 500 m/s).

FIG.6.14 Configuração da simulação de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 165 µs.

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A FIG.6.15 apresenta o resultado da simulação no instante de 250 µs. Neste momento, considera-se que o alvo foi completamente perfurado pelo jato, o que significa um tempo total de 82 µs para a perfuração. Este valor é cerca de 3,14 % superior ao valor apresentado por RAFTENBERG (1992), que relata um tempo de 79,5 µs, obtido com o auxílio de imagens captadas por flashes radiográficos de alta velocidade.

FIG.6.15 Configuração da simulação de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 250 µs.

FIG.6.16 Representação da energia do sistema para o processo de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm.

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A conservação da energia total do sistema pode ser visualizada pela FIG.6.16, que na realidade é uma continuação da FIG.6.12. Da FIG.6.16, percebe-se uma redução na energia cinética do sistema, entre os instantes de 150 e 200 µs, que acontece como consequência do impacto do jato no alvo, no instante de 168 µs. Ainda pela FIG.6.16, observa-se uma tendência de estabilização do sistema após o instante de 500 µs. O fim da simulação é considerado no instante em que a fração mais volumosa da escória atravessa o alvo. Este instante acontece em 2135 µs e está representado na FIG.6.17. Ainda por esta figura, observa-se que o anteparo construído com partículas virtuais do tipo II consegue impedir o movimento longitudinal do alvo. Como resultado final, o diâmetro da perfuração ficou em 25 mm, na maior parte do furo, chegando a atingir até 32 mm, na face de ataque do jato, conforme pode ser observado na FIG.6.18. Em contrapartida, o resultado experimental apresentado por RAFTENBERG (1992) descreve um furo com diâmetro final uniforme de 36,2 mm. Possivelmente, o resultado muito superior do diâmetro final da perfuração real pode ter sido efeito da oscilação radial do jato, muito comum em longos standoffs, mas inexistente na formulação utilizada para a simulação.

FIG.6.17 Configuração da simulação de penetração com a carga oca padrão BRL 81,3 mm, em 2135 µs.

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FIG.6.18 Resultado final da penetração de um jato de carga oca padrão BRL 81,3 mm.

6.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Uma formulação SPH 2D, com simetria axial, para problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, é desenvolvida e utilizada em uma simulação completa de carga oca cilíndrica. A carga considerada é uma simplificação da carga oca padrão BRL 81,3 mm. Os resultados experimentais relativos à velocidade de um jato produzido por esse tipo de carga e ao desempenho da penetração desse jato em um alvo de aço blindado RHA, apresentados em RAFTENBERG (1992), são considerados como referência para comparação com os resultados das simulações realizadas. Após comparação, as seguintes considerações finais podem ser formuladas: 1. A estratégia multi-fase é aplicada à formulação SPH desenvolvida e os resultados demonstram novamente sua habilidade em caracterizar as diversas interfaces entre os diferentes materiais existentes em uma detonação completa de carga oca, agora na geometria cilíndrica; 2. Os resultados simulados, apresentados no item 6.3.1, parecem estar adequados às características de uma carga oca padrão BRL 81,3 mm. Quanto à repartição da massa do revestimento colapsado, a obtenção de frações aproximadas de 20 %, para o jato, e 80 %, para a escória (vide TAB.6.2), também foi relatada para outras cargas BRL, geometricamente semelhantes, em DIPERSIO, SIMON & MARTIN (1960). Ainda sobre a massa de um jato produzido por uma carga oca padrão BRL 81,3 mm,

176


WALTERS & ZUKAS (1989) apresentam um resultado simulado, obtido com o código BASC, que dá conta de um valor ligeiramente superior a 50 g. Em relação às velocidades das partículas do revestimento, os resultados da FIG.6.8 também evidenciam um perfil para a velocidade do jato compatível ao perfil obtido com um modelo analítico para a carga considerada, vide FIG.2.24 (b); 3. No tocante à 2ª viscosidade artificial, sua utilização demonstra ser bastante interessante na simulação de uma carga oca cilíndrica, inclusive como forma de adequação dos resultados simulados aos resultados experimentais. Destaca-se que a utilização de valores positivos para α 2 e β 2 , conforme sugerido por GARCÍA-SENZ et al (2009), trouxe instabilidade numérica à simulação. Uma solução a contento só foi conseguida com valores de α 2 e β 2 negativos; 4. O problema da singularidade em r = 0 e o efeito do termo de “hoop stress” parecem introduzir oscilações indesejáveis nos resultados máximos de pressão e massa específica do revestimento, ao longo da simulação (vide FIG.6.9 e 6.10). No entanto, os picos registrados parecem estar adequados às características de uma carga oca padrão BRL 81,3 mm, conforme valores descritos em WALTERS & ZUKAS (1989) e CHEN & LIU (2012), que dão conta de algo em torno de 200 GPa e 13000 kg/m3 para a pressão e a massa específica máximas do revestimento, respectivamente; 5. Ainda como consequência da singularidade em r = 0 e do termo de “hoop stress”, a dispersão observada nas partículas do revestimento, durante o processo de colapso, traz a tona o problema da inconsistência de partículas nas aproximações SPH, que pode levar a resultados imprecisos, como os que foram verificados para a velocidade máxima do jato (FIG.6.7) e para a temperatura média do revestimento (FIG.6.11); 6. Na simulação da penetração, a comparação entre os resultados encontrados e os resultados experimentais demonstra que a formulação utilizada é apropriada para esse tipo de problema, ainda que com as imprecisões verificadas e discutidas nos itens 4 e 5; e 7. Em relação ao tempo computacional, os resultados da penetração, em 2135 µs, foram obtidos após 50 horas de simulação. Ressalta-se que, durante a maior parte desse processo, o número de partículas não foi superior a 5124 (revestimento + alvo + anteparo), o que pode significar um obstáculo em outras simulações, envolvendo longas penetrações em alvos mais espessos, característica mais comum para uma carga oca cilíndrica.

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7

CONCLUSÕES

Este trabalho apresenta um modelo computacional para simulação completa de cargas ocas. Entende-se por uma simulação completa o conjunto de todas as fases de seu funcionamento, envolvendo desde a detonação do alto explosivo até a interação final do jato formado em um alvo. Amparado no trabalho desenvolvido, considerando as hipóteses adotadas e os resultados obtidos, as seguintes conclusões podem ser formuladas: 1) O modelo apresentado, utilizando o método numérico SPH (Smoothed Particle Hydrodinamics) como forma de solução das equações de conservação da mecânica do contínuo, permite reproduzir com boa precisão o fenômeno de colapso do revestimento metálico da carga oca, bem como simular a penetração do jato formado em um alvo de modo bastante satisfatório; 2) O código desenvolvido incorpora os efeitos de resistência dos materiais nas equações que governam o fenômeno físico, conforme indicam as EQ.4.14 e 4.15 (pág. 106), para uma carga oca linear, e as EQ.6.2 (pág. 152) e 6.3 (pág. 153), para uma carga oca cilíndrica; 3) Na simulação de uma carga oca linear Mk-7 Mod 8 (pág. 127), foi utilizada uma formulação SPH 2D com simetria plana (pág. 125). Na simulação de uma carga oca cilíndrica BRL 81,3 mm (pág. 163), empregou-se uma formulação SPH 2D com simetria axial (pág. 151), derivada da proposição de BROOKSHAW (2003). Em ambas, os resultados obtidos de penetração, quando comparados com observações experimentais, evidenciam o desempenho de uma carga oca, mostrando que as formulações utilizadas estão apropriadas, conforme se verifica pela FIG.5.25 (pág. 145), para a carga oca linear, e pela FIG.6.18 (pág. 176), para a carga oca cilíndrica; 4) A estratégia multi-fase (págs. 122 e 159) é adotada com sucesso, como forma de resolver o problema da descontinuidade de massa específica nas diferentes interfaces existentes, quando da simulação completa de uma carga oca (explosivo/invólucro, explosivo/revestimento, invólucro/revestimento e jato/alvo). Os resultados de todas as simulações demonstram que ela é capaz de caracterizar as descontinuidades nas diferentes interfaces, como pode ser observado pelas

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FIG.5.9 e 5.10 (pág. 134), para a carga oca linear, e pela FIG.6.4 (pág. 166), para a carga oca cilíndrica; 5) A principal desvantagem da estratégia multi-fase é a imposição de idênticas resoluções espaciais entre as fases. Uma baixa resolução no revestimento pode acarretar um número insuficiente de partículas utilizadas nas interpolações, o que pode comprometer a precisão dos resultados. Em contrapartida, um número muito grande de partículas no revestimento pode aumentar excessivamente as resoluções no explosivo e no alvo, comprometendo a eficiência computacional; 6) Os resultados obtidos na simulação de uma carga oca linear demonstram o quanto a formulação utilizada parece estar consolidada para esse tipo de problema. As diferenças observadas entre algumas das conclusões apresentadas neste trabalho e as conclusões citadas por FENG et al (2013), para aspectos como a forma da ponta do jato, produzida pelo empilhamento de massa dos primeiros elementos colapsados, e para a influência do invólucro na velocidade máxima do jato e na pressão máxima do revestimento, reforçam a importância da realização de trabalhos experimentais como forma de validação dos modelos computacionais, conforme ilustrado nas FIG.5.10 (pág. 134), 5.12 (pág. 136) e 5.15 (pág. 138), respectivamente; 7) Uma 2ª viscosidade artificial é utilizada na geometria cilíndrica, como forma de contabilizar o efeito de convergência das partículas do revestimento, durante os processos de colapso e de formação do jato. Os resultados evidenciam que seu efeito pode ser positivo para uma simulação de carga oca cilíndrica, conforme se verifica pela FIG.6.6 (pág. 168); 8) Para uma carga oca cilíndrica, observa-se que a formulação SPH 2D com simetria axial demonstra, satisfatoriamente, capacidade para simulação desse tipo de carga. Os resultados simulados obtidos (pág. 165 a 172) demonstram estar quantitativamente consistentes, quando comparados com alguns resultados experimentais e, inclusive, alguns resultados numéricos, obtidos por outros métodos (pág. 177); 9) As oscilações de pressão (FIG.6.9) e massa específica (FIG.6.10), verificadas na simulação de uma carga oca cilíndrica (pág. 170), tiveram comportamento semelhantes a outras formulações SPH 2D, com simetria axial, como a formulação de GUSTAFSSON (2006), utilizada no escoamento de pelotas de

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minério de ferro, reforçando que maiores atenções precisam ser consideradas com respeito à singularidade em r = 0 e à tensão anular da partícula (“hoop stress”); 10) A questão da singularidade em r = 0 , previamente conhecida na formulação de BROOKSHAW (2003), foi objeto de duas tentativas de correção: A primeira, utilizando-se os fatores de correção propostos por GARCÍA-SENZ et al (2009) e a segunda alterando-se as equações de conservação de massa (EQ.6.1) e quantidade de movimento (EQ.6.2), após aplicação da regra de L’Hospital, para o que está representado nas EQ.7.1 e 7.2, respectivamente, conforme proposto por BATRA & ZHANG (2008). Estas tentativas não produziram o sucesso esperado; Dρ  ∂r& ∂z&  = −ρ  2 +  Dt  ∂r ∂z 

(7.1)

r&& = 0 zz rz  ρ &z& = ∂σ + 2 ∂σ  ∂z ∂r

(7.2)

11) As diferenças encontradas entre os resultados simulados obtidos e os resultados experimentais para a carga oca cilíndrica, relativos à velocidade máxima do jato (FIG.6.7 da pág. 169) e à temperatura média do revestimento (FIG.6.11 da pág. 171), parecem estar relacionadas a um problema típico do método SPH, denominado inconsistência de partículas, causado por um número insuficiente de partículas que são utilizadas nas interpolações. Em uma simulação de carga oca, esse problema é ainda mais agravado pela reduzida fração do revestimento que é convertida em jato, durante o processo de colapso.

7.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Ao término dos trabalhos desenvolvidos nesta Tese, são apresentadas a seguir algumas propostas a serem estudadas visando dar continuidade ao assunto e, possivelmente, aprimorar os resultados obtidos: 1) A utilização de computadores com mais núcleos, computação paralela, processamento em placa de vídeo (GPU) etc, pode permitir a realização de novas e mais realísticas simulações para futuras comparações com experimentos, principalmente em alvos de grandes dimensões. Este procedimento é uma

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tentativa de evitar a limitação do número de partículas que afeta tanto a simulação completa de uma carga oca linear quanto à de uma carga oca cilíndrica; 2) Utilizar proposições para a correção do gradiente da função núcleo de suavização (KGC), como a apresentada por SHAO et al (2012) para a simetria plana, as quais podem ser estendidas e implementadas para a simetria axial, como alternativa à baixa resolução de partículas no revestimento, imposta pela estratégia multi-fase. Esta investigação pode resolver o problema da inconsistência de partículas, talvez mais evidente na simulação de uma carga oca cilíndrica; 3) Usar o núcleo de suavização da formulação proposta por OMANG et al (2006), como uma solução para o problema da singularidade em r = 0 , desde que as limitações computacionais não mais constituam um obstáculo à simulação; 4) Ainda em relação ao problema da singularidade em r = 0 , considerar a utilização de novas proposições de fatores de correção e de 2ª viscosidade artificial, como àquelas apresentadas por GARCÍA-SENZ et al (2009), mas que sirvam especificamente para uma simulação de carga oca cilíndrica; 5) Incluir novas formulações constitutivas, principalmente para o alvo, de modo que sejam contabilizados efeitos de mecânica da fratura e parâmetros de dano durante o processo de penetração de um jato de carga oca; 6) Adaptar o código para simulações tridimensionais, com o objetivo de avaliar os efeitos de falta de simetria, alinhamento do cone, imperfeições de fabricação etc; 7) Avaliar o efeito produzido por um revestimento de espessura variável; 8) Estudar a alteração da configuração do revestimento para buscar um perfil cônico adequado para uma aplicação específica; 9) Investigar o efeito do colapso de dois cones superpostos, existentes em munições, para atuar contra blindagens reativas; 10) Levantar parâmetros ideais de um explosivo para produzir um efeito desejado de carga oca contra um alvo específico.

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8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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188


9.

APÊNDICES

189


9.1 APÊNDICE 1 : VERIFICAÇÃO DA ORDEM DO ALGORITMO SCREENING, UTILIZADO PARA DETECÇÃO DE CONTATO.

Esta seção é dedicada à simulação bidimensional de uma carga explosiva de TNT, utilizando-se a formulação SPH, com simetria plana. Diversas resoluções de partículas são empregadas e os resultados são utilizados para demonstrar a eficiência, em termos de tempo total de CPU, do algoritmo Screening sobre o algoritmo de busca direta (Direct Find). Adicionalmente, as simulações também serviram para analisar as diferenças nos resultados de pressão, massa específica e velocidade de partícula, decorrentes da distribuição inicial das partículas em células quadradas ou triangulares. Considere a carga bidimensional de TNT, com 80 mm de largura e 30 mm de comprimento, conforme a FIG.9.1. Na FIG.9.1 (a), ilustra-se o aspecto de uma distribuição inicial em células quadradas, na parte superior, e de uma distribuição inicial em células triangulares, na parte inferior. O modelo adotado para as simulações considera que a onda de choque da detonação percorre o explosivo com uma frente plana, iniciada em x = 0 . As simulações acontecem até o instante de 3,6 µs , ilustrado pela FIG.9.1 (b), onde as setas correspondem aos vetores velocidades das partículas.

FIG.9.1 (a) Configuração inicial da carga e (b) Resultado da detonação em 3,6 µs . O tamanho da seta é proporcional à velocidade da partícula.

A FIG.9.2 e as TAB.9.1-9.4 apresentam os resultados da pressão na frente da onda de detonação, para diferentes resoluções de partículas, com distribuição inicial em células

190


quadradas ( ) e em células triangulares (∆). Observa-se que a pressão na frente da onda de detonação converge para o valor da pressão de Chapman-Jouguet ( PCJ = 21 GPa) à medida que a resolução de partículas aumenta. Observa-se, também, que essa convergência é mais rápida quando as partículas são distribuídas em células triangulares. Quanto à influência do algoritmo de busca, observa-se que Screening ou Direct Find produzem, praticamente, os mesmos resultados. A formulação utilizada nas simulações está apresentada na EQ.9.1.

FIG.9.2 Resultados para a pressão na frente da onda de detonação em 3,6 µs .

N  Dρi =  Dt ∑ m j (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij j =1  N  Pi Pj  ∂Wij  (1)  &x&i = −∑ m j  2 + 2 + Π ij  j =1  ρi ρ j  ∂xi  N   Pi Pj  ∂Wij (1)  &y&i = − ∑ m j  2 + 2 + Π ij  j =1   ρi ρ j  ∂yi  N   P  Dui = 1 ∑ m j  Pi + j + Π (1)  (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij ij 2 2   Dt 2 j =1  ρi ρ j   P = P ( ρ,u ) ⇒ EQ.3.8 (EOS JWL)  Comprimento suavizante ⇒ EQ.4.65 e 4.66  −8 α1 = 1, β1 = 10 , ξ = 0 ,1 hij e ∆t = 10 s

(9.1)

As FIG.9.3, 9.4 e 9.5 apresentam, respectivamente, as curvas de pressão, massa específica e velocidade de partícula, no ponto

191

(x, y ) = (0, 0) ,

obtidas com diferentes


abordagens de distribuição inicial de partículas e algoritmos de detecção. Os resultados evidenciam uma flutuação inicial de valores, quando em baixa resolução de partículas, que tendem a se estabilizar quando o número de partículas aumenta. Outra vez, observa-se que a distribuição inicial em células triangulares parece estabilizar os resultados mais rapidamente. Os valores de pressão, massa específica e velocidade de partícula, no ponto ( x, y ) = (0, 0) , estão reunidos nas TAB.9.1-9.4.

FIG.9.3 Resultados para a pressão, no ponto ( x, y ) = (0, 0) , em 3,6 µs .

FIG.9.4 Resultados para a massa específica, no ponto ( x, y ) = (0, 0) , em 3,6 µs .

192


A comparação entre os algoritmos de busca ou detecção é representada na FIG.9.6. O critério adotado foi o tempo total de CPU consumido nas simulações. As TAB.9.1-9.4 apresentam esses tempos associados às diferentes resoluções de partículas e aos algoritmos.

FIG.9.5 Resultados para a velocidade de partícula, no ponto ( x, y ) = (0, 0) , em 3,6 µs .

FIG.9.6 Resultados para o tempo total de CPU, consumido em 3,6 µs de simulação.

Verificação da Ordem para o tempo total de CPU: Direct Find → O( N 2 ) → ao dobrarmos o nº de partículas o tempo computacional aumenta 4 vezes.

193


Screening → O( N ) → ao dobrarmos o nº de partículas o tempo computacional aumenta 2 vezes. Isso significa que a razão entre os coeficientes angulares das retas que representam os algoritmos de busca deve ser igual a

log10 ( N 2 )

log10 ( N )

= 2 . Assim, com células quadradas:

log10 (7322,422) − log10 (18,267) = 2,03 log10 (126,392) − log10 (6,599)

E com células triangulares: log10 (5074,929) − log10 (29,421) = 2,05 log10 (105,004) − log10 (8,534)

TAB.9.1 Direct Find e células quadradas. Nº de

Pressão *

Massa

Velocidade

Pressão na frente

Tempo de

partículas

(GPa)

específica *

de partícula *

da onda - PCJ

CPU

(kg/m )

(m/s)

(GPa)

(s)

3

600

1,1176403

832,33801

1723,2273

13,1384

10,413

900

1,4117002

915,34944

1227,8683

14,0152

18,267

1536

1,0190834

793,25189

1599,1471

14,7105

43,524

2400

1,0977129

830,41414

1365,4304

15,6301

91,853

3700

0,8011378

714,72371

1691,1656

16,3147

202,504

5704

0,8747985

749,06065

1592,2749

16,8551

466,777

9600

0,8159963

727,99336

1644,2325

17,4647

1281,790

14800

0,9521530

786,37477

1536,7576

18,2419

2999,896

23250

0,8373304

741,25716

1615,3205

18,4983

7322,422

*Partícula em x= xmín≅0 e y=ymín≅0; tempo: 3,6µs; ∆t: 10-8s.

194


TAB.9.2 Screening e células quadradas. Nº de

Pressão *

Massa

Velocidade

Pressão na frente

Tempo de

partículas

(GPa)

específica *

de partícula *

da onda - PCJ

CPU

(kg/m3)

(m/s)

(GPa)

(s)

600

1,2512822

872,73698

1910,9874

13,0773

6,146

900

1,3527776

899,27810

1241,4258

13,9809

6,599

1536

1,0012838

786,54521

1686,2692

14,6586

9,578

2400

1,1004974

831,17067

1435,8277

15,6049

14,680

3700

0,8180828

722,38674

1757,1759

16,3044

21,902

5704

0,8419431

734,27642

1627,9893

16,8377

30,561

9600

0,7963403

717,97257

1701,5234

17,4565

50,716

14800

0,9227134

774,39435

1564,6215

18,2314

76,784

23250

0,8109171

727,77685

1626,7207

18,5026

126,392

*Partícula em x= xmín≅0 e y=ymín≅0; tempo: 3,6µs; ∆t: 10-8s.

TAB.9.3 Direct Find e células triangulares. Nº de

Pressão *

Massa

Velocidade

Pressão na frente

Tempo de

partículas

(GPa)

específica *

de partícula*

da onda - PCJ

CPU

(kg/m3)

(m/s)

(GPa)

(s)

1200

1,1133365

824,63091

1713,3476

14,3225

29,421

1800

1,1591474

841,53118

1354,1952

15,1520

55,864

3072

1,1154399

833,69445

1660,5819

16,1007

145,907

4800

1,0025979

795,94594

1440,5008

16,7944

331,671

7400

0,9294735

771,28468

1635,1908

17,5667

768,518

11408

0,9308152

774,38936

1613,7729

18,4172

1797,868

19200

0,9001480

764,91610

1548,7597

19,2022

5074,929

*Partícula em x= xmín≅0 e y=ymín≅0; tempo: 3,6µs; ∆t: 10-8s.

195


TAB.9.4 Screening e células triangulares. Nº de

Pressão *

Massa

Velocidade

Pressão na frente

Tempo de

partículas

(GPa)

específica *

de partícula*

da onda - PCJ

CPU

(kg/m3)

(m/s)

(GPa)

(s)

1200

1,1045296

821,12974

1714,3020

14,3003

8,534

1800

1,2536687

870,18793

1387,9717

15,1206

11,419

3072

1,0898661

824,65168

1671,2432

16,0930

17,410

4800

1,0514306

812,29312

1481,9735

16,7869

26,458

7400

0,8688468

746,47544

1645,2670

17,5628

39,390

11408

0,9175464

768,71675

1586,3609

18,4178

60,076

19200

0,8576462

746,76021

1584,6021

19,2072

105,004

30000

0,9727393

793,54356

1640,9174

20,1844

170,352

46500

0,9659281

794,10922

1619,1628

21,1722

253,672

*Partícula em x= xmín≅0 e y=ymín≅0; tempo: 3,6µs; ∆t: 10-8s.

196


9.2 APÊNDICE 2 : VALIDAÇÃO DO CÓDIGO SPH 2D, COM SIMETRIA PLANA, PARA PROBLEMAS HIDRODINÂMICOS COM RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS.

Nesta seção, dois exemplos são utilizados para validar a formulação SPH 2D, com simetria plana, para problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais. O primeiro exemplo trata-se do clássico problema de impacto de Taylor, onde um projetil de ferro Armco colide perpendicularmente a uma superfície rígida. No segundo exemplo, tem-se um problema de impacto em alta velocidade, de um cilindro de aço comum em uma chapa fina de alumínio. A validação é realizada comparando-se os resultados simulados obtidos com os resultados disponíveis de outras simulações, apresentados em trabalhos que foram considerados como referências.

9.2.1

IMPACTO DE TAYLOR

Considere o impacto de um projetil de ferro Armco, com 25,46 mm de comprimento e 7,60 mm de largura, a uma velocidade de 221 m/s, sobre uma superfície rígida, conforme a FIG.9.7 (a). O projetil é discretizado utilizando-se um total de 1340 partículas, distribuídas em células quadradas, sendo 20 partículas ao longo da largura e 67 no comprimento. A superfície rígida é modelada com 380 partículas virtuais do tipo II, simetricamente espelhadas em y = 0 . O comprimento suavizante, inicialmente calculado pela EQ.4.59, é mantido constante durante a simulação.

FIG.9.7 (a) Configuração inicial do projetil e (b) Configuração final, em 59 µs , após cessarem as deformações plásticas.

197


Sob impacto, o projetil sofre um processo transiente de contínua deformação plástica, até o instante de 59 µs , quando as deformações se encerram e considera-se atingido o regime permanente, conforme pode ser observado na FIG.9.7 (b). Durante esse processo, a energia cinética do projetil é convertida em energia interna, cuja variação pode ser utilizada para estimativa da elevação da temperatura pela EQ.3.20. A FIG.9.8 representa a conversão da energia cinética em energia interna, durante o impacto do projetil. Os resultados de largura e comprimento do projetil, após o impacto, estão reunidos na TAB.9.5, e foram comparados com os resultados apresentados por LIU & LIU (2003). Percebe-se uma boa concordância entre eles, exceto pelo tempo necessário para se atingir o regime permanente. A formulação SPH utilizada está contida na EQ.9.2, onde a e b representam as direções coordenadas, correspondentes à x e y .

FIG.9.8 Representação da conversão da energia cinética do projetil em energia interna, durante o impacto.

TAB.9.5 Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados fornecidos por LIU & LIU (2003). Tempo para o regime Largura (mm)

Comprimento (mm)

permanente ( µs )

Simulação

21,26

19,23

59

LIU & LIU (2003)

24,04

19,25

90

198


N  Dρ i =  Dt ∑ m j (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij j =1  a N  σ iab σ ab  ∂Wij  DVi  2 + j2 + Π ij(1)  m = ∑  j  ∂x b ρj j =1 i  ρi   Dt  Du 1 N  P P  τ ab ε& ab  i = ∑ m j  i2 + 2j + Π ij(1)  (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij + i i  ρi 2 j =1  ρ i ρ j  Dt   P = P ( ρ,u ) ⇒ EQ.3.9 - 3.11 (EOS Mie-Grüneisen)  Modelo Constitutivo ⇒ EQ.3.16 e 4.45 (Elástico Perfeitamente Plástico)  Elevação de Temperatura ⇒ EQ.3.20  Comprimento suavizante ⇒ Cte  −8 α1 = 1, β1 = 1 , ξ = 0 ,1hij e ∆t = 10 s

(9.2)

As FIG.9.9, 9.10 e 9.11 apresentam, respectivamente, as curvas de temperatura, pressão e massa específica das partículas, na condição final de regime permanente, em 59 µs . Pelas FIG.9.9 e 9.10, observa-se que a temperatura máxima atingida, calculada pela variação da energia interna específica, é bem inferior à temperatura de fusão (T fusão = 1811 K ) e que a pressão máxima final não é muito superior ao limite de escoamento dinâmico para o material considerado (σ Y = 500 MPa) , não havendo, portanto, nenhuma possibilidade de se tratar o projetil como um fluido incompressível e invíscido, nessas condições.

FIG.9.9 Temperatura das partículas, em 59 µs .

199


Pela FIG.9.11, observa-se que os estados de compressão e expansão, nas partículas do projetil, podem ser caracterizados por valores finais de massa específica, acima e abaixo, respectivamente, do valor inicial de 7850 kg m3 .

FIG.9.10 Pressão das partículas, em 59 µs .

FIG.9.11 Massa específica das partículas, em 59 µs .

9.2.2

IMPACTO EM ALTA VELOCIDADE

Neste exemplo, um cilindro de aço comum de 10 mm de diâmetro, com velocidade de 3,1 km/s, colide em uma chapa fina de alumínio, de 2 mm de espessura e 100 mm de largura,

200


conforme está representado na FIG.9.12 (a). No detalhe (b), desta mesma figura, observa-se que o cilindro está discretizado com um arranjo circunferencial de partículas, a fim de conferir uma representação mais realista, totalizando 2057 partículas. Para a chapa, utiliza-se uma distribuição de partículas em células triangulares, sendo utilizado um total de 6400 partículas.

FIG.9.12 (a) Configuração inicial e (b) Detalhe da discretização.

Para validação dos resultados simulados, o aspecto do impacto é avaliado, no instante de 8 µs , comparando-se os valores encontrados para algumas dimensões características, representadas na FIG.9.13, com valores fornecidos pelas referências utilizadas.

FIG.9.13 Dimensões características para avaliação (FARAHANI et al, 2009).

201


Na FIG.9.13, Lcra é a largura da cratera produzida na chapa, Lexten é a extensão residual do cilindro e L proj é a dimensão projetada da perfuração da chapa, todas após o impacto. A formulação utilizada está reunida na EQ.9.3, sendo a interface entre os dois materiais abordada com o emprego da estratégia multi-fase. Os índices a e b representam as direções coordenadas, correspondentes à x e y . N  Dρ i = m i ∑ (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij  Dt j =1  a N  σ iab + σ ab  ∂Wij  DVi j  = m + Π ij(1)  ∑  j  ∂x b j =1 i  ρi ρ j   Dt  Du 1 N  Pi + Pj  τ iab ε&iab (1)  i   = ∑mj + Π ij (Vi − V j )⋅ ∇ i Wij +  2 j =1  ρ i ρ j ρi  Dt   P = P ( ρ,u ) ⇒ EQ.3.12 - 3.14 (EOS Tillotson)  Modelo Constitutivo ⇒ EQ.3.16 e 4.45 (Elástico Perfeitamente Plástico)  Elevação de Temperatura ⇒ EQ.3.20  Comprimento suavizante ⇒ EQ.4.64 − 4.66  −8 α1 = 1, β1 = 1 , ξ = 0 ,1hij e ∆t = 10 s

(9.3)

A FIG.9.14 ilustra a dinâmica do impacto, nos instantes de 2 µs , 4 µs , 6 µs e 8 µs . Além do aspecto e das dimensões características da simulação, a pressão no centro do cilindro, após 1 µs do momento do impacto, também é utilizada como informação complementar para a comparação entre os resultados. Os resultados obtidos na simulação estão apresentados na TAB.9.6 e demonstram boa concordância com os resultados de duas referências: HOWELL & BALL (2002) e FARAHANI et al (2009).

FIG.9.14 Dinâmica do processo de impacto de um cilindro em alta velocidade sobre uma chapa fina.

202


TAB.9.6 Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados fornecidos por HOWELL & BALL (2002) e FARAHANI et al (2009).

Simulação HOWELL & BALL (2002) FARAHANI et al (2009)

Pressão no cilindro após 1 µs

Lcra (mm)

Lexten (mm)

L proj (mm)

16,2

8,6

22,6

30

16

-

23

27,9

15

-

22

-

203

(GPa)


9.3 APÊNDICE 3 : VALIDAÇÃO DO CÓDIGO SPH 2D, COM SIMETRIA AXIAL, PARA PROBLEMAS HIDRODINÂMICOS COM RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS.

Diferentemente do APÊNDICE 2, onde a formulação SPH 2D, com simetria plana, foi validada por comparação com resultados obtidos de outras simulações, nesta seção, a formulação SPH 2D, com simetria axial, para problemas hidrodinâmicos com resistência dos materiais, será validada por comparação com resultados experimentais disponibilizados na literatura. Dois exemplos são simulados para validar a formulação: No primeiro exemplo, repete-se o clássico problema de impacto de Taylor, entre um projetil cilíndrico de ferro Armco e uma superfície rígida. No segundo, tem-se um problema de penetração em alta velocidade, de um projetil cilíndrico de tungstênio em um alvo espesso de aço.

9.3.1

IMPACTO DE TAYLOR

Um projetil cilíndrico de ferro Armco, com 25,46 mm de comprimento e 7,60 mm de diâmetro, impacta perpendicularmente sobre uma superfície rígida, a uma velocidade de 221 m/s, conforme a FIG.9.15 (a). O projetil é discretizado utilizando-se um total de 6030 partículas, distribuídas em células quadradas, sendo 30 partículas ao longo da parte positiva do eixo r e 201 partículas ao longo do eixo z. A superfície rígida é modelada com 1710 partículas virtuais do tipo II, simetricamente espelhadas em z = 0 . O comprimento suavizante, inicialmente calculado pela EQ.4.59, é mantido constante durante a simulação.

FIG.9.15 (a) Configuração inicial do projetil e (b) Configuração final, em 46,5 µs , após cessarem as deformações plásticas.

204


O processo de deformação plástica do projetil acontece até o instante de 46,5 µs , quando as deformações se encerram e considera-se atingido o regime permanente, o que pode ser visto pela FIG.9.15 (b). Durante esse processo de deformação, a energia cinética do projetil é convertida em energia interna, conforme representado na FIG.9.16. A TAB.9.7 reúne os resultados simulados e os resultados experimentais, apresentados por JOHNSON & HOLMQUIST (1988), referentes ao diâmetro e ao comprimento do projetil, após o impacto. Observa-se uma concordância muito boa entre eles.

FIG.9.16 Representação da conversão da energia cinética do projetil em energia interna, durante o impacto.

TAB.9.7 Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados experimentais fornecidos por JOHNSON & HOLMQUIST (1988). Tempo para o regime Diâmetro (mm)

Comprimento (mm)

permanente ( µs )

Simulação

14,2

19,3

46,5

Experimento

13,7

19,8

-

Diferença

3,65 %

2,53 %

A elevação da temperatura das partículas, durante o impacto, é obtida pela EQ.3.21, que considera o efeito combinado de ação da onda de choque com o trabalho de deformação plástica. O resultado final, na condição de regime permanente, é apresentado na FIG.9.17.

205


Observa-se um pico de elevação superior ao que foi apresentado na FIG.9.9, para simetria plana, subindo de 633 K para 830 K. Quanto aos valores de pressão e massa específica das partículas, na condição final de regime permanente, as FIG.9.18 e 9.19 mostram muita semelhança com as FIG.9.10 e 9.11, respectivamente, permitindo que as mesmas conclusões e os mesmos comentários apresentados para os resultados da formulação com simetria plana sejam estendidos para a simetria axial.

FIG.9.17 Temperatura das partículas, em 46,5 µs .

FIG.9.18 Pressão das partículas, em 46,5 µs .

206


FIG.9.19 Massa específica das partículas, em 46,5 µs .

A formulação SPH utilizada está contida na EQ.9.4:

 Equações de Conservação : Massa ⇒ EQ.6.9  Quantidade de Movimento ⇒ EQ.6.13, 6.41 e 6.42   Energia Interna Específica ⇒ EQ.6.22 e 6.43  P = P ( ρ,u ) ⇒ EQ.3.9 - 3.11 (EOS Mie-Grüneisen)  Modelo Constitutivo ⇒ EQ.3.16 e 4.45 (Elástico Perfeitamente Plástico)  Elevação de Temperatura ⇒ EQ.3.21  Comprimento suavizante ⇒ Cte α = 1, β = 1, ξ = 0 ,1 h e ∆t = 10 −8 s 1 ij  1 α2 = 0 e β2 = 0

9.3.2

(9.4)

PENETRAÇÃO

Este problema envolve um projetil cilíndrico de tungstênio, com 2,8 mm de diâmetro e 29,12 mm de comprimento (L/D = 10,4). Este projetil, viajando a uma velocidade constante de 3,58 km/s, impacta perpendicularmente em um alvo espesso de aço macio, tipo SAE 1006, penetrando-o. Considera-se este alvo com 70 mm de espessura e 60 mm de largura. São utilizadas 520 partículas no projetil e 26250 partículas no alvo, inicialmente distribuídas em

207


células quadradas e em células triangulares, respectivamente, conforme pode ser observado pela FIG.9.20. O espaçamento entre as partículas do projetil é de 0,28 mm e a razão entre o número de partículas do alvo pelo número de partículas do projetil obedece ao princípio de utilização da estratégia multi-fase, apresentada no item 4.2.7 do capítulo 4.

FIG.9.20 (a) Configuração inicial e (b) Detalhe da discretização.

A formulação SPH utilizada está contida na EQ.9.5:

 Equações de Conservação : Massa ⇒ EQ.6.29  Quantidade de Movimento ⇒ EQ.6.25, 6.41 e 6.42   Energia Interna Específica ⇒ EQ.6.26 e 6.43  P = P ( ρ,u ) ⇒ EQ.3.9 - 3.11 (EOS Mie-Grüneisen)  Modelo Constitutivo ⇒ EQ.3.16 e 4.45 (Elástico Perfeitamente Plástico)  Elevação de Temperatura ⇒ EQ.3.20  Comprimento suavizante ⇒ EQ.6.33 e 4.66 α = 1, β = 1, ξ = 0 ,1 h e ∆t = 10 −8 s 1 ij  1 α2 = 0 e β2 = 0

(9.5)

O processo de penetração também pode ser caracterizado pela conversão integral da energia cinética do projetil em energia interna específica do sistema projetil-alvo, o que pode ser visualizado pela FIG.9.21. Nela, observa-se que esta conversão encerra-se a partir do instante de 40 µs, quando a profundidade da penetração pára de crescer e considera-se atingido o regime permanente. A FIG.9.22 ilustra a dinâmica do processo de penetração. Observa-se que as partículas do projetil (em vermelho) parecem ficar aderidas às paredes da cratera produzida no alvo,

208


contrariando o resultado que foi relatado em HOHLER & STILP (1977), no qual foi dito que nenhum resíduo de tungstênio havia sido encontrado nas paredes do furo produzido.

FIG.9.21 Representação da conversão da energia cinética do projetil em energia interna do sistema projetil-alvo, durante a penetração.

FIG.9.22 Dinâmica do processo de penetração de um projetil de tungstênio em um alvo de aço macio, até o instante de 20 µs.

209


HOHLER & STILP (1977) também relatam que o furo produzido nos experimentos ficou com diâmetro constante de, aproximadamente, 12 mm ao longo de um comprimento final de 48 mm, exceto na face de ataque, caracterizada por um pequeno “lábio” onde o diâmetro do furo ficou ligeiramente maior, visto na FIG.9.23 (b). Os resultados da simulação, visualizados na FIG.9.23 (a), mostram uma profundidade incrivelmente semelhante, mas um furo com diâmetro variável ao longo do eixo, que vai se estreitando à medida que se aproxima da face de ataque. A TAB.9.8 sintetiza e compara os resultados obtidos na simulação com os resultados experimentais apresentados por HOHLER & STILP (1977).

FIG.9.23 Resultado final da penetração: (a) simulação e (b) experimental (HOHLER & STILP, 1977).

TAB.9.8 Quadro comparativo entre os resultados da simulação realizada e os resultados experimentais de HOHLER & STILP (1977). Tempo para o regime Diâmetro (mm)

Comprimento (mm)

permanente ( µs )

Simulação

13,4 (máximo)

47,94

40

Experimento

12

48

-

Diferença

11,67 %

0,13 %

-

210

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