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UNIVERSIDAD FERMIN TORO DECANATO DE INGENIERIA CABUDARE-EDO. LARA

SISTEMAS DE ECUACIONES Br. Mario Torrealba. Prof. María Paredes.


Gabriel Cramer Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 - 4 de enero de 1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra. Mostró gran precocidad en matemática y ya a los 18 recibe su doctorado y a los 20 era profesor adjunto de matemática. Profesor de matemática de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Carátula del libro Introducción a l’analyse de lignes courbes algébriques Editó las obras de Johann Bernoulli (1742) y de Jacques Bernoulli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la Introduction à l’analyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algebraicas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por N puntos situados sobre ella,1 donde N viene dado por la expresión: N= n.(n+3)/2 La Regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introducción à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).


Resolver el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer:

Para la variable y 2 3 −1 ൥− 1 − 3 4 ൩ 1 4 −3

2 3 −1 ൥ ൥ ൥ ൥− 1 − 3 4 ൩ 1 4 −3 = 2൥3 ∗ 3 − 4 ∗ 4൥ − 3൥1 ∗ 3 − 1 ∗ 4൥ − 1൥− 1 ∗ 4 + 3 ∗ 1൥ = − 10

Solución: LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA ES 2 ൥− 1 1

1 2 −2

−1 4 −3

Para la variable z

3 − 3൩ 4

2 1 3 ൥− 1 2 − 3൩ 1 −2 4

IDENTIFICAMOS LA MATRIZ DE VVARIABLES Y EL VECTOR SOLUCION RESPECTIVAMENTE 2 ൥− 1 1

1 2 −2

2 1 3 ൥ ൥ ൥ ൥− 1 2 − 3൩ 1 −2 4 = 2൥2 ∗ 4 − 3 ∗ 2൥ − 1൥− 1 ∗ 4 + 1 ∗ 3൥ − 3൥1 ∗ 2 − 2 ∗ 1൥ = 5

−1 3 4 ൩ El vector solución es ൥ − 3 ൩ −3 4

FINALMENTE LA SOLUCION ES

CALCULANDO EL DETERMINANTE POR EL METODO DE COFACTORES TENEMOS 2 ൥ ൥ ൥ ൥− 1 1

AHORA

1 2 −2

BIEN

BUSCANDO

INDIVIDUALMENTE

CADA

UNA

DE

DETERMINANTES POR VARIABLES. Para la variable x 3 ൥− 3 4

1 2 −2

Para la variable x

−1 4 ൩= 2൥2 ∗ − 3 + 2 ∗ 4൥ − 1൥1 ∗ 3 − 1 ∗ 4൥ − 1൥1 ∗ 2 − 2 ∗ 1൥ = 5 −3

−1 4 ൩ −3

3 ൥ ൥ ൥ ൥− 3 4

1 2 −2

−1 4 ൩ −3

= 3൥2 ∗ − 3 + 2 ∗ 4൥ − 1൥3 ∗ 3 − 4 ∗ 4൥ − 1൥3 ∗ 2 − 2 ∗ 4൥ = 15

Para la variable y LOS

Para la variable z

൥൥ : ൥=൥ ൥ −൥൥ ൥ = ൥ = −൥ ൥ ൥ ൥= ൥=൥ ൥ ൥=


Para la variable y Solución:

1 ൥7 2

La matriz aumentada es 1 −1 −1 ൥7 1 1 2 −3 −1

6 34 4

−1 1 ൩ −1

1 ൥ ൥ ൥ ൥7 2

−1 1 ൩ −1

= 1൥34 ∗ − 1 − 1 ∗ 4൥ − 6൥7 ∗ − 1 − 1 ∗ 2൥

6 34 ൩ 4

− 1൥7 ∗ 4 − 34 ∗ 2൥ = 56

La matriz de variables es:

Para la variable z

1 −1 −1 6 ൥7 1 1 ൩ Y la columna solución es ൥ 34 ൩ 2 −3 −1 4

1 ൥7 2

−1 1 −3

6 34 ൩ 4

1 ൥ ൥ ൥ ൥7 2

−1 1 −3

6 34 ൩ 4

= 1൥1 ∗ 4 − 34 ∗ − 3൥ + 1൥7 ∗ 4 − 34 ∗ 2൥

Buscando el determinante tenemos

+ 6൥7 ∗ − 3 − 2 ∗ 1൥ = − 72

1 −1 −1 ൥ ൥ ൥ ൥7 1 1 ൩= 1൥1 ∗ − 1 + 1 ∗ 3൥ + 1൥− 1 ∗ 7 − 1 ∗ 2൥ − 1൥7 ∗ − 3 − 2 ∗ 1൥ = 16 2 −3 −1 Para la variable x 6 −1 −1 ൥ 34 1 1൩ 4 −3 −1

6 34 4

6 −1 −1 ൥ ൥ ൥ ൥ 34 1 1൩ 4 −3 −1 = 6൥1 ∗ − 1 + 1 ∗ 3൥ + 1൥34 ∗ − 1 − 4 ∗ 1൥ − 1൥34 ∗ − 3 − 1 ∗ 4൥ = 80

FINALMENTE LA SOLUCION ES Para la variable x Para la variable y Para la variable z

൥൥ ൥ = ൥ ൥൥ ൥൥ ൥ ൥ = ൥ = ൥൥ ൥ −൥ ൥ ൥ ൥ = ൥ = − ൥൥ ൥ ൥ =


Sistemas Compatibles Un sistema de ecuaciones sobre R puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones S, de acuerdo con este criterio un sistema puede ser: • Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en: • Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, • Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua, • Sistema Incompatible cuando no admite ninguna solución,


Discutir y resolver cuando el sistema sea compatible:

1 ൥0 0

0 1 0

2 0 ൥ ൥ 1 → ൥ 1 − ൥ 3 TERMINAMOS EL PROCESO DE CON ESTE 1

1 0 1

2− ൥

CAMBIO

Solución: PARA COMENZAR EL METODO DE GAUSS JORDAN TENEMOS QUE SACAR

FINALMENTE TENEMOS

LA MATRIZ DE COEFICIENTES 2 1 ൥ ൥1 0 1 1 1 1

3 2 ൩MARCAMOS EL PRIMER PIVOTE INTERCAMBIANDO FILAS 2

൥ 0 1 ൥2 1 ൥ 1 1 1

2 ൥ 2 →൥ 2 − 2൥ 1 CON ESTOS DOS CAMBIOS ELIMINAREMOS 3൩ ൥ 3 →൥ 3 − ൥ 1 2

PRIMERA COLUMNA 1 0 1 2 ൥0 1 ൥ − 2 − 1 ൩ ൥ 2 ↔ ൥ 3 INTERCAMBIAMOS FILAS CON LA FINALIDAD DE 0 1 0 0 UBICAR EL SEGUNDO PIVOTE 1 0 1 2 ൥ 2 →൥ 3 − ൥ 2 ൥0 ൥ ELIMINAMOS LAS FILAS DE LA SEGUNDA 0 0൩ 0 1 ൥ − 2 −1 COLUMNA 1 0 1 2 ൥3 ൥0 1 ൥ 2 ↔ ൥ − 2 PARA EL ÚLTIMO PIVOTE 0 0൩ 0 0 ൥ − 2 −1

‫ێێێێێێۍ‬ 1 0 ‫ێێێێێێێ‬ 0‫ ێ‬1 ‫ێێێێێێ‬ 0‫ ێ‬0 ‫ێێێێێێ‬ ൥

0 0 1

1 ‫ێێێێێێې‬ 2−‫ۑ‬ ൥ ‫ێێێێێێ‬ 0 ‫ێێێێێێۑ‬ 1 ‫ێێێێێێۑ‬ 2 − ൥ ‫ێێێێێێێێێے‬

2−

LA SOLUCIÓN SERÁ ൥ = ൥ = ൥ =

൥ − ൥ −൥ ൥ ൥

൥ −൥

EXISTE SOLUCIÓN SIEMPRE Y CUANDO A SEA DIFERENTE DE 2.


Sistemas Homogéneos Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo . Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0. La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.


Resolver el sistema Homogéneo:

AL ELIMINARSE UNA FILA TERMINAMOS EL PROCESO 1 0 3/ 5 ൥ 0 1 4/ 5 ൩ 0 0 0

Solución: USANDO METODO DE ELIMINACION DE GAUSS TENEMOS 2 1 2 ൥ 3 − 1 − 2 ൩൥ 1 ↔ − ൥ 3 INTERCAMBIANDO FILAS −1 2 1 1 − 2 − 1 ൥ 2 →൥ 2 − 3൥ 1 ൥3 − 1 − 2 ൩ ELIMINAMOLOS QUE NO SON PIVOTES EN LA ൥ 3 →൥ 3 − 2൥ 1 2 1 2 COLUMNA 1 −2 −1 ൥0 5 4 ൩൥ 3 →൥ 3 − ൥ 2 0 5 4 1 −2 −1 1 ൥0 5 4 ൩൥ 2 → ൥ 2 5 0 0 0 1 −2 −1 4 ൦ ൪൥ 1 →൥ 1 + 2൥ 2 0 1 5 0 0 0

ESTO SE HACE VOLVIENDO AL SISTEMA DE ECUACIONES Y DESPEJANDO X y Y EN FUNCIÓN DE Z 3 ൥ 5 4 ൥ = − ൥ 5 ൥ = −

DONDE PARA CADA VALOR DE Z, SE PUEDE OBTENER UNA SOLUCIÓN.


Sistemas de Ecuaciones