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2.1.2. Aprender cónicas con herramientas digitales: 2.1.2.1 Cónicas Objetivos generales:

Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de

la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo. 

Observar los comportamientos de las figuras geométricas que componen estas, dichos comportamientos los

observamos desde algunas herramientas que están disponibles en internet, programas y aplicaciones, las cuales van a hacer muy útiles para experimentarlas

Introducción a las actividades:

En esta secuencia se abordarán los siguientes aspectos: las cónicas como secciones del cono y el uso del programa Winplot, Tinkercad, Desmos como herramienta para la construcción.

Objetivos de las actividades:

Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares en la realización de los gráficos.

Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol

del docente como orientador y facilitador del trabajo.

2.1.2.2 Utilización del programa Tinkercad: En principio diremos que las cónicas surgen de la intersección entre un doble cono cilíndrico y un plano, los elementos más importantes del cono son las generatrices y el eje de generatriz. Para poder observar estas intersecciones utilizaremos la herramienta digital de tinkercad.

A continuación, a modo de actividad les pediremos la construcción de las figuras y sus respectivas intersecciones.


Actividad 1: Con el programa Tinkercad se le pedirá que crearan un cono. En la barra derecha tienen las figuras básicas. Se pondrán las medidas a gusto y luego se rotará 90° o -90° para que sea más simple de maniobrar posteriormente presionando donde tiene la flechita con ambas direcciones que está por encima de la figura.

Luego se pedirá que se copie la figura que es mucho más fáciles con los comandos (Ctrl + C) y que lo pegue (Ctrl + V) a lo que les aparecerá de esta forma.

Se trabajara con el nuevo cono y se girara 180° o -180° para que queden enfrentados de la siguiente manera.


El siguiente paso sería agruparlos con el botón que aparece arriba a la derecha o como dice en la imagen con los comandos (Ctrl + G), esto me permitira trabajar con un cono doble en vez de tener dos conos aislados, al maniobrar se moverán los dos juntos sin separarse.

Al presionar en el siguiente botón me quedará la superficie hueca, esto me servirá más adelante para apreciar más las intersecciones.


Actividad 2

A continuación necesitaremos crear un plano con lo cual la manera más sencilla es colocar la figura de un cubo y en las medidas agrandar a gusto la anchura y longitud, pero a su vez se debe achicar toda la altura para que quede un plano así como se muestra en las siguientes imágenes.


Luego se girara y se moverรก de forma que corte de las siguientes maneras al cono.

Actividad 3 Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una circunferencia.


Si se lo corta con el plano verticalmente se obtiene la cรณnica llamada circunferencia

Actividad 4 Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una elipse.


Si se inclina el plano de forma tal que corte el cono de forma diagonal pero sin llegar a cortar la base del cono (ya que sino tendrĂ­amos otro tipo de cĂłnica), a esta se la llama elipse.

Actividad 5 Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una parĂĄbola.


Como habíamos hablado antes, si el plano corta al cono de tal manera que se corte también la base de uno de los conos obtendremos la cónica denominada parábola.

Actividad 6 Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una hipérbola.


Y por último si dejamos el plano horizontalmente o de tal manera que corte a ambos conos obtendremos la cónica llamada hipérbola. Al finalizar estas construcciones tendremos finalizado el recorrido que se debe realizar y sacando conclusiones para saber la manera en que tendrían que estar los planos para que con su intersección con el cono me den uno de los 4 tipos de cónicas.

2.1.2.3. Utilización del programa Winplot Intersección de parábolas:

Utilizaremos para examinar desde otra perspectiva la aplicación de winplot, donde observamos que las diferentes elipses, que cada vez se hacen más pequeñas, forman un sombreado de color azul en el plano. En un determinado momento, dentro del sombreado, queda formada una elipse que tiene el mismo color que el plano (rojo punteado).


Actividad 1

Graficar un cono con winplot

Para graficar un cono en winplot debemos saber que su ecuación es de la siguiente forma z^2 = x^2+y^2 (éste cono tendrá su eje en z).

lo primeros que haremos es ir a la aplicación; con el puntero iremos a “ventana”; “3-dim” en donde se abrirá una nueva ventana.

Luego con el puntero ir a la barra “Ecua”; ”3.implicita …”


Consecuente abrirá otra ventana en donde pondremos la ecuación ”z^2 = x^2+y^2” de la cónica y daremos “ok”; siguiente “ok”.

A continuación se abrirá una ventana donde deberemos hacer clic en niveles; consecuente se abrirá otra ventana;


En esta nueva ventana debemos hacer clic poniendo la opción “x” luego click en “auto”, a continuación hacer lo mismo con “y” con “z”.

Hacer click en conservar cambios donde me quedará el siguiente cono;

Si quiero ponerle los ejes, “Ctrl+E”

Actividad 2

Construir un plano de forma tal que con la intersepcion con el cono me forme una elipse.

Luego de construir los conos vamos a “Ecua”; “Explícita” consecuente se abrirá una ventana en donde en el eje “z=” pondremos una ecuación de forma tal que me forme un plano que corte dicho cono y me quede una elipse:


elipse - winplot

La herramienta de winplot nos permite ver las respectivas ubicaciones del plano y el doble cono, pero en este caso es necesario observar su posición. Éste se encuentra totalmente horizontal. Cuando el plano corte en esta posición al cono (excepto cuando pase por el vértice del cono) queda determinada una circunferencia, ya que el ángulo que forma el plano con el eje de generatrices es de 90 grados.


Actividad 3:

Construir una circunferencia, una hipérbola y una parábola consecuente de una intersección de un cono y un plano

Con el mismo procedimiento de la construcción de la elipse, cambiaremos los valores de forma tal que me de un plano perpendicular al eje “z” y su intersección forme una circunferencia.

Circunferencia - winplot

al igual que hicimos con la construcción de la elipse y la circunferencia, esta vez manipularemos los valores para que su resultado(plano) con la intersección del cono sea una hipérbola

Hipérbola - winplot


Parรกbola - winplot

2.1.2.4. Las siguientes actividades son realizadas con la aplicaciรณn Desmos: Actividad 1:

Armar una elipse.

Para poder realizar el grรกfico de una Elipse, vamos a la parte izquierda de la pantalla y podemos acceder a una ventana con

una

grรกfica

nueva

para

poder

analizar

la

funciรณn.


Al

abrir

la

Nos

Actividad 2:

nueva

grรกfica,

permite

podemos

volcar

volcar

la

funciรณn

en

los

la

fรณrmula

general

datos

que

aparece:

en:


Ver los movimientos de “a” y “b” en el graficador.

Para poder analizar el movimiento que pueden hacer los radios dependiendo el valor que tengan, se puede usar el deslizador para poder visualizar cómo se mueven “a” y “b”. Podemos ver en la imagen que si movemos “a” y “b” con el deslizador de esa manera, podemos ver como se achica la elipse. Cuando “a” es mayor que “b”.

Si movemos “a” y “b” con el deslizador de la siguiente manera, podemos ver como se agranda la elipse. Cuando “a” es menor que “b”.


Actividad 3:

Realiza el gráfico de la elipse cuando “a” y “b” son iguales.

Para darles valores iguales a “a” y “b” hacer doble clic en el valor de a y doble click en el valor de b para poder cambiarlos

Actividad 4:

Mostrar las diferentes solución que toma la elipse cuando se cambia el signo ;<;;> .


Las soluciones de las funciones pueden estar dadas de las siguientes maneras:

En donde el gráfico está representado como figura en la imagen. Las soluciones serán las que estén fuera de la elipse, o sea todo lo que está pintado en color rojo.

Cuando la fórmula esté dada de la siguiente manera:

En

este

caso,

la

solución

sería

la

línea

punteada

y

todo

lo

que

aparece

en

color

rojo.


Ahora,

si

a

la

funciรณn

la

presentamos

de

la

siguiente

manera:


El conjunto solución serían todos los valores que están dentro de la elipse y el borde de ésta.

Y por último, si analizamos la siguiente función:


La gráfica quedaría de la siguiente manera. En donde el conjunto solución es lo que está en rojo.

Para la siguiente función


La gráfica queda de la siguiente manera: En donde el conjunto solución sería lo que está marcado en rojo

2.1.2.4. Utilización del programa Geogebra Actividad 1 Construir un cono doble unido por su vértice

Antes que nada se debe activar la vista gráfica 3D como se muestra en la imagen y se puede sacar la vista gráfica 2 (que sería en 2D)


Luego en la parte superior izquierda seleccionamos esa funciĂłn y seleccionamos donde dice punto y colocamos 2 puntos que estĂŠn verticales por ejemplo en el eje Z (la recta azul) (0;0;0) y (0;0;4)


Luego seleccionamos la opción donde aparece una pirámide y presionamos en cono. Para formar el cono nos piden que presionemos en el punto central de la base de nuestro cono que seria (0;0;0), luego el vértice de la misma (0;0;4) y por último nos pide un radio, por ejemplo 2.

Se pide que se haga de la misma manera otro cono que esté unido al cono anterior por su vértice, por lo tanto tendríamos que hacer el mismo procedimiento a los que nos quedaría el centro de la base por ejemplo en el punto (0;0;8) y el vértice en (0;0;4) manteniendo el radio en 2.


Actividad 2 Crear un plano e intersecarlo con los conos de manera tal que nos quede una elipse

Iremos a la opciรณn plano por tres puntos como se muestra en la imagen y colocaremos esos 3 puntos sobre el plano X e Y (mismo plano que la base del cono inferior).


Una vez colocado los puntos vamos a la opción donde aparece la imagen de una flecha que sirve para poder mover los elementos, en este caso los puntos últimos. Así podremos mover el punto (F) en este ejemplo para poder manipular el plano creado de color celeste

Si hacemos clic derecho y presionamos en ejes y plano quedará la construcción más limpia para poder trabajar.


Aca ya tenemos la construcción pedida, se podría pedir que marquen la intersección. Para esto podríamos utilizar el botón de intersección y nos pide que seleccionemos los 2 elementos para poder marcar la intersección. Presionamos en el plano y luego en el cono y nos quedara de la siguiente manera. (Queda marcado con el color naranja).


Actividad 3 Se pide que se obtenga en la intersecciรณn a una parรกbola.

Lo unico que deberiamos hacer es manipular el plano de tal manera que me corte un solo cono y que a la vez me corte la base del cono seleccionado, en este caso elegimos el cono superior para verlo mejor desde arriba

Actividad 4 Mover el plano de tal manera que me quede una hiperbola en su interseccion.


En este caso me tiene que cortar ambos conos y los pinte de color verde para que se vea mรกs (clic derecho en la intersecciรณn, propiedades, color)

Actividad 5 Mover el plano de tal manera que me quede una circunferencia


En este caso es muy difĂ­cil que a ojo me pueda quedar el plano para que se me forme una circunferencia ya que tiene que estar el plano perpendicularmente a la base de ambos conos. Por eso si vamos a la columna izquierda donde aparecen los elementos que fuimos haciendo, los puntos (D), (E) y (F) son los que conforman al plano, si presionamos doble clic y le cambiamos la tercer coordenada por 2 por ejemplo en los 3 puntos ya me va a quedar determinada la circunferencia (presionar enter luego de cada cambio de valores en los puntos sino no se realizarĂĄ).

Otra cosa que se puede hacer es ir haciendo clic derecho en los objetos e ir haciĂŠndolos invisibles presionando donde dice objeto visible para que solo aparezcan las intersecciones al mover los puntos del plano.


Parรกbola - Geogebra

Elipse - Geogebra


Hipérbola - Geogebra

Circunferencia – Geogebra

Secuencia didactica conicas  

Secuencia didactica de conicas utilizando herramientas digitales

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