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COMPITO A Parziale 1, Laboratorio di Matematica Generale, Scienze di Internet (Fioresi) Novembre, 2007 NOME: COGNOME: NUMERO DI MATRICOLA:

Non sono permesse calcolatrici, telefonini, libri o appunti. E’ permesso un foglio A4 con massimo 10 formule. Ci sono 5 esercizi per un totale di 90 punti. Tutto il lavoro deve essere svolto su queste pagine. Non fate la brutta e siate chiari nei ragionamenti. In tutto il compito siano a, b, c le ultime tre cifre non nulle del proprio numero di matricola.

1 2 3 4 5 Totale


Esercizio 1 (20 punti) a) Sia dato il piano π, 2x + ay − z = 3. Si trovi la retta r perpendicolare al piano π e passante per il punto P = (1, 1, 2). Si scriva la retta r come intersezione di due piani. b) Si trovi, se esiste, un punto sulla curva t 7→ (t2 , at, t) in cui la curva ha retta tangente parallela a r.


Esercizio 2 (20 punti) a) Si approssimi usando la serie di Taylor fino al secondo ordine il valore: √ a ∗ 1.02 1.03.

b) Si dimostri che il seguente limite non esiste:

xy 2 + ax2 y 2 . (x,y)−→(0,0) x3 + y 3 lim


Esercizio 3 (20 punti) In una fabbrica la funzione produzione e’ data da: P (x, y) = ax2 y 2 ove x e’ l’investimento del capitale e y e’ il tempo totale di utilizzo della forza lavoro. Il produttore vuole espandere la produzione quando l’investimento di capitale x = 1 e il tempo totale e’ y = 2. a) Come devono variare l’investimento x e il tempo totale y affinche’ la produzione subisca il massimo aumento? b) Se aumenta l’investimento di capitale x di 10 unita’, di quanto deve aumentare il tempo y?


Esercizio 4 (20 punti) a) Si calcolino massimi e minimi locali della funzione f (x, y) = x2 y +x2 −a2 y. b) Si calcolino il massimo e il minimo assoluto della funzione di cui sopra nel dominio delimitato dalla parabola y = −x2 e dalla retta y = −1.


Esercizio 5 (10 punti) a) Disegnare usando Mathematica la funzione dell’esercizio 4 punto (b) le sue curve di livello (su due grafici diversi). b) Si diano con chiarezza le definizioni di prodotto scalare e vettoriale di due vettori e si indichino le istruzioni di Mathematica corrispondenti. c) Credito Extra (5 punti): dati tre vettori u, v e w in R3 , e’ vero che se u × v = u × w allora v = w? Si motivi accuratamente la risposta.

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