Page 1


- If you know how to spend less than you get, you have the philosopher’s stone Benjamin Franklin (1706-1790) Estadista i científic nord-americà

2


Agraïments Desitjo donar les gràcies a tots aquells que m’han recolzat moralment mentre duia a terme aquest treball. Un especial esment a la meva tutora del treball qui, tot i les poques hores de les que disposava, m’ha sabut orientar i ajudar en tot moment. Especial agraïment a Carolina Díaz , qui m’ha assessorat tot el que a pogut dins els termes teòrics del treball.

3


ÍNDEX 0.

INTRODUCCIÓ .................................................................... 6

1.

LEONARDO DE PISA ........................................................... 9

1.1.

2. 2.1.

3.

OBRES PUBLICADES .................................................................................... 11

ELS NOMBRES DE FIBONACCI ........................................... 13 LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI ..................................................................... 14

ELS NOMBRES DE FIBONACCI EN EL MÓN ........................ 16

3.1.

ANIMAL ..................................................................................................... 16

3.2.

ARQUITECTÒNIC ........................................................................................ 17

3.3.

ARTÍSTIC .................................................................................................... 19

3.4.

BORSARI .................................................................................................... 20

3.4.1.

Retraccions de Fibonacci ........................................................................................... 20

3.4.2.

Arcs de Fibonacci ....................................................................................................... 24

3.5.

4.

BOTÀNICA .................................................................................................. 27

EL MERCAT DE VALORS .................................................... 28

4.1.

MERCAT PRIMARI ...................................................................................... 29

4.2.

MERCAT SECUNDARI .................................................................................. 30

4.3.

LA BORSA DE VALORS ................................................................................ 31

5.

GALERIA D’IMATGES ........................................................ 32

6.

CONCLUSIONS .................................................................. 35

4


7.

BIBLIOGRAFIA .................................................................. 37

8.

ANNEXOS

A) ANÀLISIS D’ACCIONS -RETRACCIONS DE FIBONACCI -ARCS DE FIBONACCI

5


0. INTRODUCCIÓ

Des de fa temps el mercat de valors o més familiarment anomenat com la borsa, ha tingut un gran ressò dins l’actualitat social. La borsa és simple lloc on la llei de l’oferta i la demanda és la principal base, que promulga tot el moviment d’accions. Tot i això te com a funció principal i essencial: promoure els estalvis de la inversió productiva. Dit això, s’ha de tenir clar que la borsa, és un lloc seriós on hi ha una part de persones que viuen de la compra/venta d’accions (minoria) i d’altra part la resta de gent que es pensa que la borsa és un lloc on sempre es guanya, i tothom que i inverteix pot assolir unes grans quantitats de diners al seu favor. Vull remarcar, que vivim en un moment en que la societat, la borsa i els mercats monetaris internacionals estan en constant moviment dràstic, aquest fet dona un plus de no poder preveure les pèrdues i els guanys al invertir. A l’hora de planteja’m el tema amb que em basaria, m’he decantat amb la borsa, i tot el tema de les cotitzacions que segueixen les accions, però en part també volia relacionar-ho amb un fenomen estrany per alguns i casualitat per a d’altres com és la famosa Successió de Fibonacci , una sèrie de nombres que regeixen bona part de la naturalesa. Dins la part pràctica, me decantat per preveure, segons la successió i els seus derivats, les pujades i baixades de les accions amb un temps determinat. Faré varis anàlisis amb diferents durades, mercats, i formes de preveure el camí de les accions. Com podreu veure més endavant, la majoria d’accions són de grans empreses multinacionals que tenen una gran rellevància al nostre dia a dia, també que fossin presents als mercats més importants del món. Cal esmentar l’elecció de les accions ha set de manera uniforme per escollir les que fossin fàcils d’entendre i que més o menys s’escaiguessin bé per poder aplicar-les a les formes d’anàlisis .

6


La principal font de motivació, que ma dut donar un pas endavant amb aquest tema al treball és, la previsió del transcurs de les accions durant la seva cotització. D’altra banda com a fonts secundaries de motivació trobem la borsa, un fenomen que em captiva molt, les funcions que es duen a terme dins d’ella com ara , l‘acció de compra i venda. I per acabar com no, poder-ho relacionar totes les meves fonts de motivació amb Fibonacci un gran comerciant i matemàtic de l’Edat Mitjana. Per dur a terme el treball, l’any passat vaig començar a pensar de quina manera podria estructurar el treball, a mesura que anava acotant el tema vaig escriure el primer esborrany del treball. A més a més, vaig elaborar un esquema per organitzar millor el temps, per tal de dur-lo a terme d’una manera equilibrada i no tenir que corre a l’últim moment. Primer em vaig dedicar a llegir articles i llibres sobre on tenia lloc la sèrie de Fibonacci principalment dins la borsa, també vaig llegir algunes web i hemeroteques relacionades amb la borsa. A partir d’aquesta primera lectura, vaig començar a escriure i parlar de manera detinguda sobre els temes teòrics. En un principi vaig començar analitzant l’impacte que te Fibonacci als nostres voltants, ja que d’aquesta manera la feina no seria tan feixuga, donat que si hagués començat per tot el tema borsari, el camí cap a la finalització del treball hauria sigut més dur. Vull remarcar que ja tenia importants idees sobre els mercats i sobre la successió això va fer que la feina sigues més àgil de fer. En una segona part, amb els coneixements adquirits sobre la successió i els mercats, s’ha analitzat una sèrie d’accions amb diferents temps (mes, setmana...). Finalment, després de tota la redacció, s’han exemplificat molts termes del treball a través d’una galeria d’imatges, ja que gràcies a les figures es podrà entendre millor alguns del continguts. Dins dels annexos, hi ha distribuïda la part pràctica, amb el comentari de varies accions, a partir dels coneixements obtinguts especialment dins del punt borsari del treball. Puc afirmar que, tot el treball i esforç deixats en aquest treball de recerca, tot el temps emprat, ha set una experiència enriquidora i molt bona que en un futur si algun dia vull provar sort a la borsa ja tindre uns coneixement i unes tècniques aptes.

7


Malgrat que des d’un principi tenia l’objectiu de realitzar la majoria del treball durant l’època estiuenca, molt bona part del treball ha sigut redactada al llarg de tot el segon curs. En general estic satisfet del treball realitzat, sóc partidari que totes les hores de recerca d’informació i redacció han donat el seus fruits. Tot i que la temàtica del treball, principalment Fibonacci, la informació no és nova, perquè la successió no ha variat, he après nous mètodes per preveure el futur de les accions i també molts ingredients sobre la borsa, que segur que en un futur seran molt profitosos. L’objectiu del treball és fer un pas més enllà, en la simple cotització de les accions i si es pot arribar a preveure el camí posterior d’elles. Poder-les interpretar mitjançant els coneixements adquirits al llarg d’aquests dos anys de treball, a partir de la simple Successió de Fibonacci.

8


1. LEONARDO DE PISA

Leonardo Pisano va néixer a la ciutat italiana de Pisa l’any 1170, i va morir l’any 1250 a la mateixa ciutat natal. De gran rellevància per la successió, que duu el seu nom, però també per difondre a bona part de l’occident els seus coneixements científics del món àrab. (Vegeu Figura 1). És conegut pel nom de Fibonacci, que significa fill de Bonacci (filius Bonacci). A finals del segle XII, la República de Pisa, era una gran potencia comercial amb molts territoris al nord d’Àfrica. Dins d’una delegació i treballava Guglielmo Bonacci, el pare de Leonardo, el seu pare era corresponsal dins l’oficina duanera de la ciutat de Bugia 1. A partir d’aquell moment fou quan Leonardo va comença a formar-se com a mercader i matemàtic. Durant aquella època de finals del segle XII és quan Leonardo estudia amb un mestre musulmà i comença aprendre mètodes algebraics àrabs, l’ús dels nombres hindús i la llengua àrab. D’aquesta manera Leonardo coneix el nombre 0, (l’enumeració estudiada per ell fins aquells moment és la grega i la romana, que no te el nombre 0). Ell l’acaba instaurant. Leonardo aprofita tots els viatges arreu de la Mediterrània: Síria, Egipte, Grècia, França i Sicília, per contactar amb els erudits i els matemàtics més emblemàtics de l’època, al mateix temps li servirà per descobrir i estudiar els Elements de Euclides 2, que els farà servir com a estil per postular-ne ell. També va a Provença i estudia alguns tractats àrabs sobre aritmètica, possiblement a partir d’una obra del matemàtic andalús, Juan de Sevilla, aquest va traduir al llatí una obra d’aritmètica àrab de l’any 1140 sobre aquest tipus de càlculs. Leonardo torna a Pisa a principis del segle XIII i en aquell moment escriu una notable quantitat de llibres i textos sobre matemàtiques, entre ells el famós llibre anomenat “Liber Aba1

(Bejaïa), Ciutat d’Algèria situada al golf de Bejaïa sent la capital de la província de Bejaïa. La ciutat està al peu de la muntanya Djabal Gouraya i te una població superior al 900.000 habitants. 2 Conegut com Euclides d’Alexandria, fou un matemàtic grec. Va néixer a Alexandria i es conegut com el pare de la geometria.

9


ci” (llibre de càlculs) l’any 1202, que és l’obra més coneguda. Però entre l’any 1202 i 1220 no escriu cap llibre, animat pel mestre Dominicus Hispanus3, va compondre el seu segon llibre. Durant l’any 1223, ja instaurat a Pisa, passa per ella Frederic II4, amb el que te una sèrie de discussions sobre matemàtiques, amb Juan de Palerm5, que dona origen a un dels problemes dels seus llibres. Actualment és conserven copies d’alguns d’aquells llibres però molts s’han perdut durant el transcurs de la història. Per a tots els escrits seus es basa amb les obres d’Euclides, Hero 6, l’espanyol Savasorda 7i una multitud d’escriptors àrabs, però sobretot amb un geni desconegut fins aquell moment que fou Diofant d’Alexandria8. Al 1225 Leonardo és reconegut com uns dels millors matemàtics, per no dir el millor matemàtic del moment a nivell mundial. En aquell moment fa d’assessor en diferents corts, poblacions, comerços i també és l’acompanyant de l’emperador Frederic II del Sacre Imperi Romanogermànic, un gran interessat amb l’astrologia i les matemàtiques. A partir del 1240 a Leonardo se li concedeix un salari anual, donat per la ciutat de Pisa, com a reconeixement de la rellevància a nivell mundial i els seus serveis prestats a l’administració de la ciutat. Leonardo durant la seva etapa de vida, va ser el responsable a treure, els erudits i matemàtics grecs de dins als monestirs, per emetre la ciència de les matemàtiques als comerciants. Clarament Leonardo fou el matemàtic i economista més extravagant i versàtil de l’Edat Mitjana, tot i que bona part dels seus treballs van ser massa complexos per ser compresos pel contemporanis. 3

Filòsof de la cort de Frederic II Anomenat el Barba-roja, de la dinastia Hohenstaufen. Nascut l’any 1122 i mort l’any 1190. Fou Rei dels Romas (Rei d’Alemanya), Rei d’Italià i Emperador del Sacre Imperi. 5 Filòsof de la cort de Frederic II 6 Sacerdotessa d’Afrodita en la mitologia grega. 7 Matemàtic, astrònom i filòsof hebreu, que visqué entre 1065 i 1136. 8 Matemàtic grec expert en àlgebra que va viure fins a finals del segle II. Va escriure l’obra Arithmetica. 4

10


1.1.

OBRES PUBLICADES

Els llibres, més rellevants de Leonardo de Pisa, que foren escrits entre els primers 25 anys de segle XIII són: 

Liber Abaci

És un llibre escrit per primera vegada l’any 1202, un dels més importants sobre matemàtiques durant l’Edat Mitjana, ja que suposava la introducció dels nombres àrabs i els seus mètodes a tota Europa. És més que un simple llibre és podria dir que és una enciclopèdia de les matemàtiques del segle XIII, tant amb part teòrica com en part pràctica. El Liber Abaci desenvolupa la teoria a partir d’exemples geomètrics fets per Euclides, a partir d’ells, són aplicats amb situacions financeres i comercials com per exemple: el canvi de monedes, de mesures, el càlcul d’interessos... Al cap del temps, fou traduït a una llengua més moderna. El Liber Abaci passa de tenir un interès sols per historiadors a tenir una gran rellevància dins l’àmbit principalment matemàtic.

Practica Geomitrae,

És un altre dels grans llibres de Fibonacci, escrit l’any 1220. Com molt bé ens indica el títol, el llibre es dedicat a la geometria, conte una gran recopilació de problemes geomètrics, organitzats amb 8 capítols, la majoria d’ells basats amb teoremes d’Euclides, també ni ha algun sobre Hero. A part dels teoremes geomètrics, exemplificats amb proves molts precises, el llibre inclou un capítol, sobre com calcular objectes relativament alts a partir de triangles. Per acabar el capítol final si esmenta, com calcular els costats d’un pentàgon i un decàgon a partir del diàmetre de la circumferència a la qual són inscrits.

11


Carta a Teodor

És una simple carta que Leonardo envia a l’astròleg de Frederic II. En la qual si resolen una sèrie de problemes. El primer és algebraic i el segon geomètric.

Flos o Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium,

Llibre escrit l’any 1225, són un conjunt de solucions als problemes plantejats per Diofant d’Alexandria i alhora també hi ha problemes determinats, que recorden a: Euclides, els àrabs i xinesos. Resulta interesant el tractament de Leonardo sobre l’equació x3+2x2+10x=20, ja que demostra que és impossible treure una arrel entera.

Liber Quadratorum,

Escrit al mateix any que “Flos”, el 1225. Aquesta obra tracta de l’anàlisi indeterminat, conte una gran varietat de problemes. Un d’ells recorda la manera sorprenent sobre com composava problemes Diofant.

Hi ha dos llibres, que s’han perdut al llarg de tota la història: 

Di minor guisa (tracta d’aritmètica comercial)

Comentari al llibre X dels Elements d’Euclides

12


2. ELS NOMBRES DE FIBONACCI

Són cadascun dels nombres que formen, una successió de nombres infinita, és present amb tot el que ens envolta i com a finalitat, determina la seqüencia de creixement de la naturalesa. Feta per Leonardo de Pisa (Fibonacci), aplicada a les matemàtiques principalment, però també de gran rellevància en àmbits: arquitectònics, naturals, quotidians entre d’altres. Fou escrita per ell, com una solució per un problema sobre la cria de conills. El seu problema era el següent: Fibonacci volia saber quants conills hi havia amb una granja al cap d’un anys, en la qual començava amb una sola parella de conills al primer mes. L’experiment va començar amb una parella de conills al mes 1, al mes 2 continuaven havent-hi la mateixa parella ja que no havien arribat a la maduresa per criar, a partir del segon mes al tenir la primera parella de cries ja no és tenien que esperar 2 mesos. Al tercer mes hi ha dos parelles al mes 4 ni hi ha 3 parelles, al quint mes ja hi ha 5 parelles, al sisè mes ja ni ha 8 així fins arribar a un any. Mesos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Parelles

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

La qual cosa si observem, el nombre de parelles obtenim la Successió de Fibonacci. La majoria de propietats de la successió foren descobertes per Édouard Lucas 9, que la va anomenar “La Successió de Fibonacci”.

9

François Édouard Anatole Lucas, matemàtic francès nascut l’any 1842 i mort l’any 1891. Va treballar a l’observatori de París. Se li coneix sobretot pels seus treballs sobre la sèrie de Fibonacci.

13


2.1.

LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

La Successió de Fibonacci, es forma mitjançant la suma de dos nombres consecutius, començant amb el nombre 1 per obtindré el següent, que serà el següent dins la successió. Exemple: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..... 3+5=8 En l’exemple sumem 3 més 5 i ens dona 8 , si a continuació sumem 5 més 8, donarà la següent xifra 13 . Hi ha d’altres relacions entre els nombres de Fibonacci és la següent: -

Si multipliquem dos termes imparells, al lloc que recauen dins la successió, és una unitat més que la xifra envoltada per ells, elevada al quadrat.

Exemple: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..... 2 x 5 = 10 32 + 1 = 10 -

I alhora si multipliquem dos termes parells al lloc que recauen dins la successió, és una unitat menys que la xifra envoltada per ells, elevada al quadrat.

Exemple: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..... 1x3=3 22 - 1 = 3 -

S’agafen quatre nombres consecutius de la seqüencia, és multipliquen els dos dels extrems i seguidament els dos interiors. El primer producte serà una untat més gran o una unitat menor que el segon.

Exemple: 21, 34, 55, 89 21 x 89 = 1869

14


34 x 55 = 1870 1870-1869 = 1 -

La suma dels deu primers nombres seguits és igual a 11 vegades el setè nombre dels deu primers.

Exemple: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 21 x 11 = 231 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 = 231 -

Finalment trobem la relació d’aquesta mítica sèrie de Fibonacci amb la proporció àuria. És un fenomen estrany ja que si agafem alguns nombres a l’atzar, dins de la Successió de Fibonacci el 144 i el 233, si dividim el més gran pel més petit, ens dona la xifra de 1.61805555... i el següent que és el 377 (233 + 144) i el dividim entre 233, ens dona la xifra de 1.61802577... les relacions que anem obtenint s’aproximen a la xifra, de la Secció Àuria (φ)10 que és 1.618033989... , coneguda pels matemàtics des d’abans de 300 a.C. Degut aquesta relació, es pot observar la famosa espiral de Fibonacci. Formada de la següent manera: primer per dos petits quadres d’un cm. de costat, el seu costat més gran serà de 2cm. que servirà de costat pel pròxim quadrat, el qual l’ajuntem als anteriors i obtenim un rectangle de 3 x 2 a partir d’aquest fet es va repetint el procés i és van ajuntant quadrats els quals els seus costats son els nombres de la Successió de Fibonacci. (Vegeu Figura 2).

10

Relació que hi ha entre dos segments a i b, si entre el total i el segment major hi ha la mateix relació que entre el segment major i el menor.

15


3. ELS NOMBRES DE FIBONACCI EN EL MÓN

Des de temps molt remots, els nombres han sigut una font d’interès per als humans, no sols per la aplicació a la vida quotidiana, sinó que també per la finalitat dins el seu interior. Els Nombres de Fibonacci, són uns nombres que més relació amb la vida quotidiana tenen, ja que han sigut molt investigats per prestigiosos matemàtics.

3.1.

ANIMAL

Hi ha molts fets en l’àmbit animal, que són donats per aquesta successió, més ben dit per l’espiral de Fibonacci. Alguns dels més coneguts són els següents:

-

Mol·luscos

Seguint la formació de l’espiral de Fibonacci, esmentada anteriorment podem observar , que una relació correspon amb la mitja conquilla11 d’un nàutil12. Ja que la forma de la mitja conquilla, segueix la forma de l’espiral. (Vegeu Figura 3).

-

El cos humà

Moltes de les relacions del cos humà, són donades per la proporció àuria, com per exemple: o A la mà humana: la longitud del metacarpià, és la suma de les dos falanges proximals. La longitud de la primera falange, és la suma de les dos falanges distals13. (Vegeu Figura 4). o La relació, que observem a la majoria de persones. La relació entre la seva altura i l’altura del melic. (Vegeu Figura 5). 11

Cobertura dura, i rígida de l’exterior dels mol·luscs. Animals marins de la família dels cefalòpodes. 13 Allunyades de la base. 12

16


-

Els falcons

El vol dels falcons segueix, una mena d’espiral logarítmica (espiral àuria), d’aquesta manera assegura un mateix angle de visió a mesura que es va apropant a la presa. Degut aquest fet innat, per part dels falcons, capten un 40% més de camp visual entorn a la presa. (Vegeu Figura 6).

-

El mite dels conills,

Apareix al Liber Abaci, te la següent explicació. Es suposa que una parella de conills cria, una altra parella cada mes, tenint això en compte, els conills són fèrtils a partir del segon mes de vida, quants conills es poden tenir al cap d’un any?. La solució donada per Fibonacci, va ser que cada mes hi hauria les mateixes parelles de conills del mes anterior més una parella nova, degut aquest fet obtenim la seqüència que rep el seu nom. (Vegeu Figura 7).

3.2.

ARQUITECTÒNIC

Els números de Fibonacci tenen propietats matemàtiques interessants, i moltes operacions aritmètiques entre ells tornen a donar ells mateixos. Una d’elles, aconseguida per l’astrònom Johannes Kepler14, és la següent: si anem dividint entre ells mateixos, els números de Fibonacci, consecutius cada vegada majors, el seu quocient s’acosta al valor 1.618033.. Aquesta constant es denominada el número d’or, o divina proporció, històricament se li atribueix propietats estètiques.

14

Matemàtic, astrònom i físic alemany. Nascut l’any 1571 i mort el 15 de novembre del 1630. Figura clau a la revolució científica i es conegut per les seues lleis sobre el moviment dels planetes al voltant del Sol.

17


-

Piràmide de Kheops

El primer ús conegut del número d’or (relació amb la successió de Fibonacci) sorgeix, a la construcció de la gran piràmide de Kheops15 datada de l’any 2.550 a.C. Aquesta piràmide, te cadascuna de les seves cares formades per dos mitjos triangles auris, no és l’única relació harmònica amb el nombre d’or, però si la més identificable a primera vista. (Vegeu Figura 8). Característiques de la piràmide: -

230m. de costat a la base

-

52900m2 àrea de la base

-

146,6m. alçada des del centre fins al punt més alt

-

186,81m. des d’una cantonada de la base fins al punt més alt Àrea de la base (230 x 230 = 52900m2 ) 146.6 (altura central piràmide) / 115 (meitat base lateral) = 1.272 146.6 x 1.272 = 186.81m (relació mig de la base fins al pic de la piràmide) (A x B) /2 =(115 x 186.81) / 2 = 21483.15m2 (àrea lateral piràmide) 21483.15 x 4 (cares laterals) = 85932.6m2

85932.6 / 52900 = 1.624 aproximat φ 2

85932.6 + 52900 = 138832.6m (àrea total piràmide) 138832.6 / 85932.6 = 1.615 aproximat φ

-

El Partenó

És un temple grec consagrat a la deessa grega Atena Pàrtenosa16, la qual era la protectora del poble d’Atenes. Construït al segle V a.C., és actualment el monument més antic de l’Acròpoli17(Vegeu Figura 9).

15 16

Faraó de la dinastia IV de l’antic Egipte que va governar durant uns 23 anys (2470a.C:-2490a.C.) Escultura de la deessa grega Atena, feta per Fídies.

18


S’observa clarament, un rectangle auri a la façana lateral del Partenó, a la figura podem comprovar que AB/ CD = φ, com també AC / AD i CD / CA, totes elles donen com a relació el nombre d’or. (Vegeu Figura 10).

3.3.

ARTÍSTIC

El nombre auri, ha sigut utilitzat des de l’època dels egipcis, per la construcció d’edificis, fent obres d’art i també escultures. Principalment a les obres pictòriques i abunden les espirals de Fibonacci i al mateix temps rectangles d’or.

-

La Gioconda o Mona Lisa

És l’obra sens dubte més famosa de Leonardo18, és plena de rectangles d’or. Si ens imaginem una recta des del canell dret de la dona, fins al colze esquerre i estenem un rectangle vertical fins a la part superior del seu cap, tindrem un rectangle auri. Si comencem a dibuixar, quadrats proporcionals dins d’aquest rectangle, trobem que les vores dels rectangles arribaran a llocs tant importants com poden ser: la barbeta, els ulls, el nas i finalment a la seva boca. (Vegeu Figura 11). Es creu que Leonardo, com matemàtic que era segueix aquestes línies de pintura, per promoure la incorporació de les matemàtiques dins l’art.

-

Leda atòmica

Una important obra de l’artista Salvador Dalí19, amb ella si te que fer un minuciós anàlisi de la proporció àuria, ja que i és present en molt bona part d’ella. Tot i que i va haver un gran esforç, per part de Dalí, no es veu a simple vista. A la imatge, surt la Leda20, vista de cara

17

Calta, que feia de funció defensiva i de culte durant l’era grega. Leonardo da Vinci (1452-1519), artista florentí al mateix temps enginyer i anatomista entre altres. 19 Pintor i escultor surrealista català (1904-1989). 20 Una de les filles de Testi i esposa de Tíndar, dins la mitologia grega. 18

19


seguda amb un pedestal i amb la mà dreta toca un cigne que representa Zeus21. La Leda està pensada seguint la proporció àuria, ja que el cigne i ella són inscrits dins d’un pentàgon, el qual dins seu hi ha una estrella de cinc puntes, a l’estrella és pot obtenir la proporció, al dividir els segments de l’estrella. També hi ha la proporció àuria si es divideix el llarg del quadre, per la línia que divideix el cel i el mar.

3.4.

(Vegeu Figura 12).

BORSARI

Dins el camps dels mercats financers la realitat és que no importa molt els nombres en si de la successió sinó les ràtios que formen entre ells, aquestes ràtios s’utilitzen per determinar els nivells de resistència o suport, per localitzar els preus i la possible durada d’un moviment específic del mercat.

3.4.1. Retraccions de Fibonacci Quan el mercat està amb constant moviment, amb una direcció donada, algunes vegades es podria retreure, a mesura que els inversors obtinguin els seus beneficis pertinents. Aquest fenomen és l’anomenat retracció, i serà profitós ja que gràcies a ell es formaran bones oportunitats per tornar a compra accions, quan es torni a reactivar l’acció. Els nivells de retracció més importants són els del 38.2% (format per la divisió dels nombres no consecutius de la sèrie, es a dir 1/3, 2/5, 3/8..., observarem que el resultat obtingut és el de 0.382), també hi ha el de 61.8% (format per la divisió dels nombres consecutius de la sèrie, es a dir 2/3, 3/5, 5/8.., el resultat que obtindrem tendeix aproximar-se al nombre 0.618) i finalment el 23.6% que és el menys popular i no treballarem amb ell (format per la divisió de dos nombres no consecutius de la sèrie, és a dir 1/5, 2/8, 3/13... observem que tendeix a 0.236). A tots aquest nivells se’ls hi ha d’afegir el 50% i el 100% que no tenen res a veure amb Fibonacci.

21

Déu suprem de l’Olimp, a la mitologia grega.

20


-

Una retracció al nivell 38.2% marca una reversió de la tendència, el que significa que davall d’aquest nivell l’àrea serà de venda. També actua com a nivell de suport i per contrari quan el mercat caurà fins aquest nivell el preu és mourà a la alça fins al 61.8%.

-

Una retracció al nivell 61.8% marca el començament d’una nova tendència, el que significa que per damunt d’aquest nivell serà una bona opció de compra. També actua com a una resistència.

-

El nivell 50% és fa servir per diferents estratègies, a partir d’altres senyals.

Les retraccions de Fibonacci, les observem al seleccionar dos punts extrems d’un gràfic. Sovint s’apliquen a les parts en les quals el mercat ha demostrat una tendència determinada (a la alça o a la baixa), les retraccions s’utilitzen per detectar els nivells en els que el preu es retraurà i canviarà de tendència. Les retraccions, solen frenar-se amb un percentatge de Fibonacci, explicat en l’exemple. Entre les franges del 38.2% i del 61.8%. És molt possible que possible que el canvi de tendència, sigui el suficient fort per marcar una senyal d’alarma i formar un canvi de tendència principal. Al moment de posar els nivells de retracció, col·loquem el punt 0% al màxim obtingut i el 100% al mínim. Podrem observar que rebota diverses vegades als nivells de 38.2% i 50% principalment. Mitjançant aquesta eina d’anàlisis, tindrem sempre una bona ràtio de risc / guany, ja que la distancia entre el punt d’entrada i el de Stop Loss és molt menor que la distancia entre l’entrada i l’objectiu. Ho veurem tot molt més clar amb l’exemple següent: -

EXEMPLE 1 (A LA ALÇA):

A la gràfica semestral de Research in Motion (RIMM) 22 que cotitza dins del mercat NASDAQ23, podem veure que cadascun dels nivells ha sigut calculat a partir de la tendència

22

Empresa de telecomunicacions canadenca, principalment coneguda per ser la desenvolupadora de dispositius BlackBerry.

21


marcada per la línia discontinua vermella (relaciona el mínim i el màxim). Cada nivell, ens marca el moment d’entrada i de sortida de la inversió, a mesura que l’acció inicia un canvi de o tendència contraria de la que prové. Dins l’exemple observem que, després de que el preu faci una pujada des de 6.22 fins a 14.21, aquet preu farà un retrocés de 14.21 fins a 10.59 (STOP LOSS). Seguidament pujarà (ENTRADA) cap a la direcció desitjada 18.32 (OBJECTIU). Quan fa el retrocés observem que repica el preu al nivell 50 % més o menys i al 38.2%, aquest nivell marcarà la compra segura d’accions fins al preu objectiu (igual o major que el nivell 0%).

En aquest cas, la tendència és a la alça, per lo tant estarem comprant i buscant l’oportunitat de col·locar una ordre de compra al preu més baix. S’haurà d’esperar a que els preus es retreguin, és a dir cauran alguns als nivells de Fibonacci, al 0.500 i 0.382 (en aquest exemple). Degut aquest fet, en aquell moment col·locaríem l’odre de compra.

23

National Associaton of Securities Dealer Automated Quotation, és el mercat electrònic d’accions més gran de EEUU.

22


EXEMPLE 2 (A LA BAIXA):

-

Amb aquest segon exemple tenim una gràfica, també semestral de la corporació Halliburton (HAL)24 que cotitza dins del mercat NYSE25. Podem observar una línia discontinua, la qual marca la fluctuació de l’acció, a la baixa. Aquesta línia relaciona el màxim amb el mínim obtingut durant aquests 6 mesos (línia de tendència). Al ser baixista situarem el nivell 100% al màxim i el nivell 0% al mínim. Podem veure que el preu te una clara tendència baixista, tot i que acaba recuperant-se, marca el mínim semestral al 29.75. També es pot observar que a cadascun dels nivells de retracció, el preu a tingut una mica de conflicte alhora de superar-lo, això és degut a la importància dels nivells ja que la retracció acaba defallint i continua amb la tendència anterior. Conflictes: -

Entre el 34.35 i el 32.82, produeix un conflicte entre el nivell del 50% i del 38.2%.

-

Entre el 35.38 i el 33.74, produeix un conflicte entre el nivell del 61.8% i el del 50%.

24 25

Dedicada a la prestació de serveis als jaciments petrolers. Te 300 empreses afiliades. New York Stock Exchange, és el major mercat de valors del món en volum monetari.

23


En aquest cas la tendència és principalment a la baixa, de tal manera que col·locarem una ordre de venda d’accions i seguidament buscarem l’estacionament de l’acció i ordenarem l’acció de compra d’accions (33.74).

3.4.2. Arcs de Fibonacci Són semicercles relacionats per la línia de tendència (a la alça o a la baixa). El primer arc és basa amb les proporcions de Fibonacci 0.382 i el segon arc 0.618. Aquests números arrodonits a 38% i 62%, entremig d’ell hi ha l’arc del 0.500. Els arcs de Fibonacci, serveixen per identificar els nivell de resistència i suport o també els punts d’inversió correctius26. Un rebot després d’una caiguda, es considera una tendència contraria, a la tendència de la qual prové i trobarà una resistència al moment en el que les dos tendències s’ajuntaran. Els arcs són més imprecisos ja que si un preu s’aproxima a un arc no vol dir que la tendència canviarà. Com a base d’explicació continuem mantenint, la de les retraccions, els nivells 0.382, 0.500 i 0.618. Els arcs es mesuren fen servir la línia de tendència des d’un punt A fins a un punt B, la unió d’aquests punts determinarà la tendència. Si el punt A és màxim i el B mínim la tendència serà a la baixa i si és a l’invers, la tendència serà a la alça. Aquest arcs marquen les zones potencials de reversió de la tendència, el que marquen aquestes zones són els canvis de tendència. Elements dels Arcs de Fibonacci: BASE LINE

Línia que relaciona el Punt A amb el punt B

PRIMER ARC

Radi = 0.382 de la Base Line

SEGON ARC

Radi = 0.500 de la Base Line

TERCER ARC

Radi = 0.618 de la Base Line

26

Són els punts que el moviment és correctiu. Una retracció després d’un avanç es considera una correcció, que tindrà el seu suport al principi del punt de moviment.

24


Per poder completar millor la explicació. Observeu els exemples següents: -

EXEMPLE 1 (SUPORT):

Amb aquest primer exemple tenim una gràfica semestral de Chuy’s Holdings, Inc. (CHUY)27 cotitzant a la NASDAQ, en la qual podem observar la tendència de la línia (a la alça). Per això situarem la punta de la Line Base al 16.55 que n’és el mínim fins a 28.44 (màxim). L’arc blau s’estén des del punt més baix de mitjans d’Agost, fins al punt més alt de principis d’Octubre, que és on es produeix un canvi de tendència. A principis d’Octubre les accions cauen ràpidament, però agafen una altra vegada tendència, entre els arcs de 38% i 50%. Però si seguim passant dies, des de principis de Novembre fins a mitjan d’aquest mes hi ha una forta baixada, que posteriorment canviarà de tendència de forma més forta que l’anterior.

27

Empresa estatunidenca, de menjar preparat te restaurants a 38 llocs de EEUU.

25


-

EXEMPLE 2 (RESISTÈNCIA):

A la gràfica 2, de més de dos anys de durada, per poder concretar més la resistència mitjançant els arcs. La gràfica és de l’empresa Unifi, Inc. (UFI) 28 cotitzant a la NYSE. Podem veure la Line Base unint el punt A 21.16 fins al punt B 7.01, a la baixa ja que A és un màxim i B un mínim. La Line Base marca la caiguda constant dels preus, des del Febrer de l’any 2011 fins al Gener del 2012, a partir del Gener canvia de tendència i augmenta el preu fins al Juliol del 2012 que hi haurà una petita davallada fins al mes de Setembre d’aquell mateix any tot això emmarcat pel nivell 68.1%. La zona marcada amb un requadre vermell, ens indica la zona de resistència ja que entre el Juliol i l’Agost hi haurà uns dies estacionats amb un valor alt, tots ells envoltats pels nivells 50% i 62%. La resistència es confirmada per l’alt que tindrà al mes de Juliol.

28

Empresa americana, referencia en sistemes Wifi arreu del país.

26


3.5.

BOTÀNICA

El creixement de la naturalesa, sorgeix una gran quantitat de casos seguint un ordre molt especial determinat per la successió de Fibonacci. -

Ramificació d’arbres i plantes

Segons la fil·lotaxi29, les rames i les fulles de les plantes i arbres respectivament, es distribueixen de manera que sempre busquen rebre el màxim de llum solar possible. Per això cap fulla o rama neix damunt l’anterior. La distribució de les fulles al voltant de la tija o de les branques al voltant del tronc, són produïdes basant-se amb la successió de Fibonacci. (Vegeu Figura 13).

-

Llavors dels Gira-sols i les Margarites

Al centre dels gira-sols o les margarites, si observem trobem les espirals de tipus logarítmic, d’aquesta manera s’aprofita tot l’espai, del nucli central. Si es compte el nombre d’espirals logarítmiques, tan cap a la dreta com cap a l’esquerra, són nombres seguits, un darrere l’altre de la famosa successió de Fibonacci. Gira-sols 55 i 89 o 89 i 144, margarites 21 i 34. (Vegeu Figura 14).

-

Les pinyes

Qualsevol varietat de pinya, presenta sempre un nombre d’espirals que coincideix amb dos termes seguits de la successió de Fibonacci. O bé 8 i 13 o 5 i 8. (Vegeu Figura 15).

29

Disposició de les fulles a la tija d’una planta.

27


4. EL MERCAT DE VALORS

Els mercats de valors, són una agrupació d’institucions financeres en les quals es negocien diversos tipus d’actius, com podrien ser: accions, obligacions, fons ... Classificació bàsica d’actius financers, formats mitjançant un contracte que concep a l’inversor una sèrie de drets S’han de tenir en compte, aquests drets segons com són poden fer variar l’emissió. Hi ha una amplia ret d’actius.

-

Actius financers a renda fixa: Primer de tot tenir em compte el terme renda fixa, són tots els actius financers que prometen a l’inversor l’abonament dels fluxos30 a caixa prèviament especificats, els anomenats títols de cupó zero, si sols hi ha un flux i si hi ha diferents fluxos, són els anomenats cupons. Quan es fa el contracte, si estipula la data d’amortització, denominada així la data a partir de la qual l’inversor no rep més fluxos. Finalment no ens em d’oblidar, que l’emissor del títol, promet entregar tots els fluxos a la data esmentada al contracte i junt a ella el valor nominal inicial del títol.

Hi ha una gran varietat de títols a renda fixa, els principals productes a renda fixa espanyola, són dividits amb dos grans grups, segons el seu venciment:

Emissions del mercat monetari, caracteritzades pel seu curt termini d’amortització i l’alta liquiditat.

Obligacions i bons, emesos a partir del mercat de capitals. Tenen durada fins al seu venciment, la majoria superiors a l’any.

30

Interessos

28


-

Actius financer de renda variable: Són tots els actius, els quals els fluxos provenen i depenen del benefici de la companyia, repartits en forma de dividends. En aquest apartat tenim les accions que són cadascuna de les parts en les quals es dividit el capital d’una societat anònima.

Els inversors, (les persones que compren accions), és converteixen en socis de les empreses emissores d’accions i tenen dret als guanys de l’empresa, quan aquesta els distribueix amb forma de dividends. El principal objectiu dels mercats de valors, és augmentar el moviment dels capitals de les empreses, entre elles. D’aquesta manera hi haurà una estabilitat financera, perquè els fons estaran en constant moviment. És un sistema actiu i segur ja que el sistema monetari sempre ha d’estar amb moviment. Els mercats de valors estan dividits en el mercat primari i el mercat secundari. La principal diferència entre ells dos, és que en el secundari el flux de les accions i els bons és molt més gran. Amb unes altres paraules el mercat secundari te moltes més funcions i activitat que el primari. El mercat primari estableix el volum de les operacions, en part el mercat secundari reflexa la liquiditat, són complementaris l’un de l’altre, però no jeràrquicament.

4.1.

MERCAT PRIMARI

Podríem definir el mercat primari com aquell mercat en el qual els interessats (empreses i bancs), tenen la necessitat d’adquirir un ràpid finançament. D’una banda emeten valors de deute, els anomenats bons, i per altra banda emeten valors de risc, les anomenades accions. L’empresa tracta directament o en primera persona amb l’inversionista. -

Els bons, s’adquireix el diner prestat amb l’obligació de retornar-lo amb un temps definit i amb ell un interès.

29


-

Les accions, són parts proporcionals d’una empresa venudes per obtenir solvència a curt termini , a canvi de cedir una part corresponent als guanys anuals de l’empresa.

Dins el mercat primari, tots els actius tenen un valor de primera emissió31, aquest valor sols es pot definir en el moment d‘emetre els documents, la qual cosa no el podrà variar l’empresa. Tots els documents emesos, sense tenir en compte qui és el portador, són equivalents a ells mateixos. Quan una empresa entra al mercat per primera vegada, és a partir d’una Oferta Pública de Venda (OPIs)32, depenent de l’oferta pública s’atribueix un valor inicial a les accions de l’empresa. El dia de l’apertura, les accions d’aquella empresa poden pujar o baixar, depenent dels inversionistes i les seves expectatives.

4.2.

MERCAT SECUNDARI

És la part de mercat de capitals financers, on es negocien els valors emesos pel mercat primari. És a dir el mercat primari realitza les emissions de valors (lletres, bons...) que són col·locades entre els inversors, i aquest inversors al mateix temps també ho fan al mercat secundari. Te molta més liquiditat pels inversionistes, d’aquesta manera és molt més atractiu cotitzar al segon que al primer. Existeixen mercats secundaris, de valors oficials i de no oficials, els oficials són les borses, i les no oficials són els mercats paral·lels. Degut a l’abundant compra/venda d’accions i el gran moviment monetari hi ha un sistema tècnic i jurídic que garanteix la seguretat econòmica i jurídica dels participants. Així com tots els mercats, te unes regles i les borses poden emetre accions quan ho considerin necessari.

31 32

Conjunt de valors emesos per una mateixa empresa, i iguals entre ells. Acció de la primera venda d’accions d’una empresa al mercat..

30


Per altra part els mercats paral·lels són aquells que sorgeixen de forma uniforme en els quals no hi ha una visió clara del futur. Aquests mercats permeten el finançament a empreses que no arriben a entrar dins la borsa, acostumen a ser PYMES, les quals busquen finançament a curt i llarg termini.

4.3.

LA BORSA DE VALORS

És un mercat on s’adquireixen per primera vegada les accions, però després es negocia amb elles tot el temps. És una manera de donar seguretat, a part garanteix que pots descanviar els valors amb una liquiditat immediata, donada a qualsevol moment. És el lloc on es troben empreses i estalviadors. Les empreses necessiten diners per arribar als seus objectius emetent actius financers, i per altra banda els estalviadors (institucions i particulars) volen obtenir el màxim de rendibilitat, dels estalvis invertits. Per aquest fet la borsa te la funció essencial de fer créixer l’economia d’un país, ja que mou tots els estalvis cap a una inversió productiva. Serveix com a òrgan per finançar empreses. Amb la condició de mercat secundari que te, la Borsa ofereix valors mobiliaris amb la possibilitat de convertir-los amb diners al moment oportú. El preu dels valors financers és un preu objectiu ja que és el que el mercat paga per ells. Per duu a terme totes les funcions s’ha de tenir una gran eficiència amb la informació, tota la informació que pot influir al mercat ha de ser difosa de forma clara i rapida, la transparència objectiva és un compromís de la borsa. La inversió amb accions, protegeix els estalvis de la inflació, les accions són les parts dels actius reals, les quals el seu valor monetari creix per efecte de la inflació d’aquesta manera augmenta el seu preu. Al ser un mercat oficial la Borsa dona seguretat jurídica a tots els moviments que es duen a terme.

31


5. GALERIA D’IMATGES Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

32


Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

33


Figura 11

Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15

34


6. CONCLUSIONS

La majoria de patrons o successions matemàtiques, no són molt difícils de trobar exemples per elles mateixes. Degut això la gent, provoca i crea els errors, al llarg de la història, donats per les successions i creient que regnen per damunt de qualsevol altra cosa, principalment la naturalesa. Aquest fet es veu recolzat, quan hi ha un cas d’igual importància tant per una banda com l’altra. En aquest cas la successió matemàtica per damunt de l’àmbit econòmic. Els resultats no coincideixen exactament, i es fa ús de la simetria. Generalment s’acostumen aproximar o manipular les xifres, però hi ha coses que no es poden manipular ni adaptar amb aquest retoc tipificat. Sovint, com el treball ha procurat demostrar, l’aparença totalment transparent i nítida dels fets regits per la Successió de Fibonacci, dins dels mercats de valors i temes financers. Envoltant això, hi ha una polèmica sobre si els mercats financers realment són moguts pels cànons de la seqüencia, o bé si aquests cànons funcionen com a nivell de suport i resistència. Com eh dit abans, molta gent a canviat els patrons al llarg de la història i s’han cregut esdeveniments produïts principalment per l’atzar, podríem dir. També s’ha de tenir en compte que els mercats financers, són moguts per l’oferta i la demanda de les companyies i envers això les successions i els patrons no i poden fer res, es a dir si una empresa a tingut fallida i els preus de les seves accions estan caient sobtadament, això trastoca el plans de les successions ja que no es regeixen ni tenen total perseverança. El cos del treball s’ha basat en descobrir el camí, que segueixen les accions al llarg del seu transcurs pels mercats financers, especialment la borsa. Ara bé, observant gràfiques i més gràfiques eh intuït i conclòs que les successions, si formen part de la historia de la humanitat però tenen algun ressò majoritari, ja que amb els arcs de Fibonacci i les retraccions (eines utilitzades per fer els anàlisis) esdevenien un, no absolut però abundant percentatge a favor de la successió a favor, es a dir a favor de que coincideixen nivells i variabilitat de les accions.

35


Un exemple clar, en la gràfica biennal, de la companyia Michael Kors Holdings Limited. En ella observem una clara tendència alcista, ja que te un mínim absolut al 23.64 aproximadament a finals d’any 2011 i el màxim es situat al 62.05. Principalment, observant la gràfica a simple vista amb els nivells de les retraccions hi ha un cert parentiu, ja que la majoria dels canvis de tendència es produeixen al canvi de nivell. Clarament es veu entre el nivell 68.1 i el del 38.2 on hi ha una àrea de resistència molt clara, per més casualitat al següent nivell que va des del 38.2 fins al 0, hi ha una altra àrea de resistència molt ben confeccionada. Finalment dir que cada acció, és un món diferent. En referencia això, podem veure a simple vista que no serà el mateix una acció, d’una multinacional que d’una empresa entrant als mercats financers: el seu potencial, els màxims i mínims, l’àrea que abasten etc... La Successió de Fibonacci, en el món financer, diguem-ho per acabar, és un camp infinit però no molt clar. Degut que aquesta vegada a sortit positiu per a les successions i patrons però sols s’ha analitzat un mínim de gràfiques.

36


7. BIBLIOGRAFIA

LLIBRES - EGIDO, T . Gran Historia Universal (El Renacimiento 4). Madrid. Club Internacional del Libro 1986.

- BOYER, C. Historia de la Matemática. Alianza Editorial 2007. - GUZMÁN, BALDOMERO. Problemas, conceptos y métodos del anàlisis matemático. Editorial Piramide 1990.

- GHYKA MATILA, C. El Número de Oro I y II. Editorial Poseidón 1968. -

GHYKA MATILA, C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Editorial Poseidón 1977.

-

PACIOLI, L. La Divina Proporción. Ediciones Akal, S.A. 1991. Traducción del original de 1509.

-

SCHOCH, R. El misterio de la piràmide de Keops. Editorial EDAF, 2008.

-

SIGL, L. Fibonacci’s Liber Abaci. Springer, 2003.

-

MORENO, R. Fibonacci, el primer Matemático Medieval. Editorial Nivola 2004.

-

DAGNESE, J. Fibonacci, el sonador de Números. Editorial Joventud, 2011.

-

VICENS, E. Métodos Cuantitativos. Volumen 2. Editorial Reproval, 1998.

-

MILLER, HEEREN, HORNSBY. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones 10/e. Editorial Pearson, 1995.

-

STEINER, E. Matemáticas para las ciencias aplicadas. Editorial Reverté, 2003.

-

BEBCZUK, R. Informació asimètrica en mercados financieros. Editorial AKAL, 2003.

-

CÓRDOVA, M. La pràctica de los mercados financieros. Editorial DYKINSON, 2011.

-

MURPHY, J. Análisis técnico de los mercados financieros. Editorial Gestión 2000, 2003.

-

HERNÁNDEZ, B. Bolsa y Estadística Bursátil. Ediciones Díaz de Santos, 1999.

-

PÉREZ, R. Teoría y práctica de la bolsa: Todo lo que debe saber el inversor sobre los mercados financieros. Ediciones Díaz de Santos, 2010.

-

SALA, X. Apuntes de crecimiento económico, Editorial Antoni Bosch, 2002.

37


ARTICLES -

MASCAREÑAS, J. Activos financieros de renta fija (Universidad Complutense de Madrid) (1991).

PROGRAMA PER DUR A TERME LES GRÀFIQUES -

Stock Chart 3.0.

http://stockcharts.com/freecharts/index.html Última visita 2/2013

PRODUCCIONS INFORMÀTIQUES (TEXTOS ELECTRÒNICS) Pàgines Web http://library.thinkquest.org/27890/applications6.html Última visita 12/2012 http://www.mundo-forex.com/fibonacci.php http://www.tecnicasdetrading.com/2011/08/sistema-de-fibonacci-bobokus.html http://www.economiasimple.net/activos-de-renta-variable.html http://www.tecnicasdetrading.com/2011/08/tecnica-trading-basada-fibonacci.html http://www.bolsamadrid.es/esp/Inversores/Formacion/QueeslaBolsa.aspx http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/sucesiones/nivel1/teoria/situaciones.h tm http://www.invertirenbolsa.info/analisis_tecnico/analisis_tecnico_soportes_resistencias.ht m http://bibliotecadeat.blogspot.com.es/2007/06/estrategias-y-aplicaciones-defibonacci.html Última visita 10/2012

38


http://www.tecnicasdetrading.com/2011/08/sistema-de-fibonacci-bobokus.html http://www.tecnicasdetrading.com/2010/06/fibonacci-forex-trading.html

Última

visita

12/2012 http://www.cam.educaciondigital.net/acquaviva/elementos/REALES/NUMERODEOR02010. ppt Última visita 7/2012 http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/8218988/Fibonacci-en-la-naturaleza_-laarquitectura-y-el-arte.html Última visita 9/2012 http://unfibonaccideoro.ieselcarmen-cazalla.es/vuelo.html Última visita 9/2012 http://www.slideshare.net/soniaballico/la-sucesin-de-fibonacci-4335980 http://www.sabiask.com/sabiasque/ciencia/la-sucesion-de-fibonacci.html http://es.paperblog.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza-655727/ http://www.tecnicasdetrading.com/2011/08/el-abanico-de-fibonacci.html http://crislosi.wordpress.com/2007/03/24/la-sucesion-de-fibonacci-y-la-naturaleza/ http://economiaes.com/bolsa/primario-secundariomercado.html http://www.bloganavazquez.com/tag/serie-de-fibonacci/ Última visita 9/2012 www-history.mcs.st-and.ac.uk./~history/Mathematicians/Fibonacci.html http://www.arrakis.es/~mcj/fibonacc.htm Última visita 11/2012 www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Última visita 10/2012 http://www.abc.es/20120907/economia/abci-mercado-secundario-201209071133.html http://www.divisasforex.com/Aplicacion-Herramienta-Fibonacci-Retrazado-y-ExtensionMetodo-y-Ejemplo.html Última visita 1/2013

39

TDR  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you