Issuu on Google+

1

BAB I INTEGRAL STANDAR KOMPETENSI: 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR 1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu 1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana 1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar INDIKATOR  Mengenal arti Integral tak tentu  Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan  Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri  Mengenal arti integral tentu  Menentukan integral dengan dengan cara substitusi  Menetukan integral dengan dengan cara parsial  Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri  Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral  Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu  Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.  Menghitung volume benda putar. INSPIRASI

Anda tentu masih ingat bagaimana menentukan luas segi tiga, segi empat, lingkaran dan bangun-bangun beraturan lainnya. Anda juga tentu masih ingat bagaimana menentukan volume kubus, balok, tabung, limas, kerucut, bola, dan bangun-bangun beraturan lainnya. Lalu bagaimanakah seandainya kita menemukan bangun-bangun yang bentuknya tidak beraturan? Pada bab ini kita akan mencoba untuk menentukan luas bidang datar dan volume sebuah benda yang bentuknya tidak beraturan, yaitu dengan menggunakan integral. Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

2

A. Pengertian Integral Dalam matematika, dikenal operasi balikan. Contohnya, operasi penjumlahan dengan pengurangan, pembagian dengan pengurangan. Begitu juga dengan diferensial (turunan) dengan integral. Jadi, Integral adalah anti turunan / anti diferensial. Atau disebut juga kebalikan / invers dari turunan. Perhatikan contoh berikut! No. F(x) F’(x) = f(x) 2 1. 3x + x + 70 6x + 1 2 2. 3x + x 6x + 1 3. 3x2 + x – 7 6x + 1 2 4. 3x + x – 1000 6x + 1 2 5. 3x + x + C 6x + 1 Tabel 1.1 Ket. Operasi dari kiri ke kanan adalah operasi turunan. Bagaimanakah kalau kita ingin mengembalikan dari kanan ke kiri? Sekarang ini kita akan membahas operasi balikan dari turunan, yang disebut dengan ”Integral”. B. Integral Tak Tentu Dari tabel 1.1, diperoleh keterkaitan antara operasi pendiferensialan dan operasi pengintegralan sehingga diperoleh rumus-rumus sebagai berikut: ∫ ( ) = ( ) + f(x)= y = axn maka anti differensial(integral)  f ( x)dx  F ( x)  c a n1 x c n 1 keterangan : disebut notasi integral

 ax

n

dx 

f(x) = fungsi yang diintegralkan (Integrand) dx diartikan integral terhadap variable x F(x) hasil integral Integral Fungsi aljabar a n 1   ax n dx  x C ,n ≠–1 n 1 Contoh a. ∫ 8 = +C = 2x4 + C

Jadi, ∫ 8 b. ∫ √

=∫ =

+C

= =

+C √

+C

Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat : a. b.

 kf ( x) dx = k  f ( x)dx  [ f ( x)  g ( x)]dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

3

Contoh 1. ∫(8

+ 2 − 5)

= ∫8 + ∫2 − ∫5 4 2 = 2x + x – 5x + C

2. Diketahui f’(x) = 4x + 3 dan f(4) = 10. Tentukanlah f(x)! Jawab. Karena f(x) = ∫ ʹʹ ʹ ( ) = ∫(4x + 3 ) f(x) = 2x2 + 3x + C f(4) = 2.42 + 3.4 + C = 10 2.16 + 12 + C = 10 44 + C = 10 C = 10 – 44 C = – 34 Jadi, f(x) = 2x2 + 3x – 34 3.

2x  3 2x  3 1 1 1 dx   1 dx   2 x 2  3 x 2 dx x x2

1

  2 x 2  3x

 12

dx 

2 12 1 3  12 1 x  x c 1  12  1 2 1

4 x x 6 x c 3

4. Diketahui F’(x) = 4x - 2 ,tentukanlah peersamaan fungsi F(x) jika F (2) = 4. 4 11 x  2x  c  2x 2  2x  c 11 Untuk mendapatkan c maka substitusikan x = 2 dan F(x) = 4 , diambil dari pengertian

Jawab : F ( x )   F ' ( x )dx   4 x  2dx  F(2) = 4, sedemikian sehingga : 4 = 2.(2)2 – 2(2) + c 4=8–4+c c=0 jadi F(x) = 2x2 – 2x

5. Gradien garis singgung kurva y = f(x) ditunjukkan

dy  6 x  4 , tentukanlah persamaan dx

kurva fungsi dititik singgung (-1 , 2). Jawab : dy 6 y   dx   6 x  4dx  x 2  4 x  c  3x 2  4 x  c dx 2 Karena dititik (-1 , 2) artinya x = - 1 , y = 2 substitusikan : 2 = 3 (-1)2 – 4(-1) + c 2=3+4+c c=-5 jadi persamaan fungsi kurva : y = 3x2 – 4x - 5

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

4

6. Diketahui turunan kedua dari kurva y = F(x) ditunjukkan F”(x) = 2x – 6 , dan F’(2) = 4 tentukanlah persamaan kurva tersebut yang melalui titik ( 1,1) 2 2 x  6 x  C1  x 2  6 x  C1 2 Dari F’(2) = 4 artinya x = 2 , F’(x) = 4 substitusikan : 4 = 22 – 6 (2) +C1 4 = 4 – 12 + C1 C1 = 12 , jadi : F’(x) = x2 – 6x + 12 1 6 1 F ( x )   F ' ( x)dx   ( x 2  6 x  12)dx  x 3  x 2  12 x  C 2  x 3  3 x 2  12 x  C 2 3 2 3 melalui titik (1 , 1) artinya x = 1 , F(x) = 1 substitusikan : 1 1 = (1) 3  3(1) 2  12(1)  C 2 3 1 1= - 3 + 12 + C2 3 1 C2 = - 8 3 1 1 Jadi F ( x)  x 3  3x 2  121x  8 3 3 LATIHAN 1 Untuk no.1 sampai dengan 10, tentukan integral-integral tak tentu berikut ini: 1. ∫ 6 2. ∫ 6 3. ∫ 3 4. ∫( 12 − 2 + 7) 5. ∫( + 5) 6. ∫

Jawab : F ' ( x )   F " ( x)dx   (2 x  6)dx 

7. ∫ √ 8. ∫ 9. ∫ 10. ∫

Untuk no.11 dan 12, tentukan fungsi f(x)! 11. Diketahui f’(x) = 4x + 1 dan f(2) = 6 12. Diketahui gradient suatu fungsi adalah

Matematika Kreatif

=3

Ahmad Hermansyah

+ 2 dan fungsi tersebut melalui (3,6)

SMAN 3 Cilegon

5

Integral Fungsi Trigonometri Untuk menentukan integral tak tentu dari fungsi trigonometri, perlu diingat kembali turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana table di bawah ini No. f(x) f’(x) 1. Sin x Cos x 2. Cos x –Sin x 3. Tan x Sec2 x 4. Cot x –Cosec2 x 5. Sec x Tan x. sec x 6 Cosec x –Cot x. Cosec x Dengan menggunakan aturan integral tak tentu dari fungsi aljabar di atas, ∫ ( ) = ( ) + , maka integral untuk fungsi trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut: a. b. c. d. e. f.

 sin x dx = – cos x + C  cos x dx = sin x + C 2  sec x dx = tan x + C 2  cosec x dx = – cotan x + C  tan x . sec x dx = sec x + C  cot x . cosec x dx = – cosec x + C

Kalau kita kembangkan, akan diperoleh: 1

a.  cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + C a 1

b.  sin (ax + b) dx = – cos (ax + b) + C a 1

c.  sec2 (ax + b) dx = tan (ax + b) + C a 1

d.  cosec2 (ax + b) dx = – cotan (ax + b) + C a e.  tan (ax + b).sec (ax + b) dx = – 1 sec (ax + b) + C a 1

f.  cot (ax + b) . cosec (ax + b) dx = – cosec (ax + b) + C a Contoh a. ∫ 4 cos x dx = 4 sin x + C 1 b. ∫ sin (3x + 5) dx = – cos (3x + 5) + C 3 2

c.

cos 4 x dx =

1  1  cos 2 x  2   2  dx = 4  (1 + 2 cos 2x + cos 2x) dx 1 1 1 =  dx +  cos 2x (2) dx +  (1 + cos 4x) dx 4 4 8

=

Matematika Kreatif

3 1 1 x + sin 2x + sin 4x + c 8 4 32

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

6

Latihan 2 Selesaikan integral fungsi trigonometri berikut ini: 1. ∫ 2 sin 2. ∫ 3 cos 6 3. ∫ 2 sin(4 − 3) 4. ∫ 4 sec (1 − ) 5. ∫ 6cosec (3x + 7) dx 6. ∫ 4 sin 7. ∫ 4 dx 8. ∫ 2 5 9. ∫ 6 5 10. ∫ 2 5 3 Untuk menyelesaikan integral fungsi trigonometri, seringkali diperlukan perubahan bentuk trigonometri. Berikut ini beberapa kesamaan trigonometri yang mungkin diperlukan untuk menyelesaikan integral fungsi trigonometri:  2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A–B)  2 sin A sin B = cos (A–B) – cos (A+B)  2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A–B)  2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A–B)  sin2 A = ½ (1 – cos 2A)  cos2 A = ½ (cos 2A + 1) C. Integral Tentu Mendapatkan integral tentu harus memiliki konsep integral taktentu. Integral tentu dapat dirumuskan sebagai penentuan luas suatu daerah, lihat gambar berikut :

b

b

 f (x) dx  F(x) a  F(b)  F(a) a

keterangan : a = batas bawah , b = batas atas [ a

 x  b]

Integral tentu hasilnya merupakan nilai bukan persamaan fungsi

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

7

Sifat-sifat Umum Integral Tentu Berikut ini diberikan sifat-sifat yang berlaku pada integral tentu: a

(1)

 f ( x) dx  0 a b

(2)

a

 f (x )dx    f (x) dx a b

(3)

b b

b

 { f ( x )  g(x )} dx   f (x ) dx   g(x ) dx a c

b

a

b

a

a

c

a

(4)  f ( x ) dx   f (x ) dx   f (x ) dx

Contoh soal ]3 2 = 3 (3)2 – 3 (2)2 = 3 . 9 – 3. 4 = 27 – 12 = 15 2 2. ∫ 12 =4 ] −1 = 4(2)3 – 4(–1)3 = 4 . 8 – 4 . (–1) = 32 + 4 = 36 1. ∫ 6

=3

3. ∫ (12

− 6 )

2 )] −1 = (4(2)3 – 3(2)2) – (4(–1)3 – 3(–1)2) = 32 – 12 – (–4 – 3) = 20 –(–7) = 27 = (4

−3

π

4. ∫ 2 cos

= 2 sin x] 0 = 2 sin ( ) – 2 sin 0 = 2.1 – 0 =2

1

5.

 3x

2

 4 x  1 dx  2 p  1 tentukanlah nilai p.

0

Jawab : 1  2 x 2  x   13  2.12  1  0  2 p  1 0 1 0  2 p 1  p  2

x

3

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

8

Latihan 3 1. ∫ (12 2. Jika

− 8 + 5) =3

+ 6 + 2 dan f(2) = 25, maka f(x) = ....

3. ∫ 6 sin 2 4. ∫ (2

= ....

= ....

− 8√x)

= ....

5. ∫ (2x + 5) = 6. ∫ 8 sin cos 7. ∫ 8 sin 3 cos 8. ∫ 6 sin 4 sin 2 9. ∫ 6 10. ∫ 6 D. Integral dengan Substitusi Dalam berbagai persoalan integral. Seringkali kita tidak bisa menyelesaikan pengintegralan dengan cara-cara seperti yang telah diuraikan sebelumnya. Oleh karena itu, kita memerlukan teknik-teknik khusus. Diantara teknik khusus itu adalah dengan rumus integral substitusi. Berikut ini yang akan dibahas dalam rumus integral substitusi: 1. Pengintagralan yang dapat diubah ke bentuk ∫ ( ) 1

n n+1 + C, dimana U = f(x)  U du = n  1 U

Contoh 1. ∫ 12(2x – 5)

= ....

Misal, u = 2x – 5 du= 2 dx = dx ∫ 12(2x – 5)

=∫ 12

.

= ∫6 = u6 + C = (2x – 5)6 + C 2. ∫ 12x (2x – 5)

= ....

2

Misal, u = 2x – 5 du = 4x dx = dx ∫ 12x (2x – 5)

= ∫ 12x u = ∫3 = u3/2 + C

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

9

+

=2

= 2 (2x2 – 5) 2x – 5 + C 3. Tentukan

sin x dx ! x

Jawab : Misalkan u = sehingga

du =

x = x1/2 1 1 / 2 x dx maka 2

sin x 1  dx = 2  sin x  x 1 / 2  dx x 2  = 2  sin udu

= - 2cos u + c = - 2cos x + c Latihan 4 1. ∫ 12x(2x – 5) 2. ∫ 8(2x – 7) = 3. ∫ = (

– )

(

=

4. ∫ )

5. ∫ 2 sin x cos x = 6. ∫ = 7. ∫ 12 sin x cos x 8. ∫

=

2

9.

 18 x

3x 2  4 dx

0

10. ∫

√ √

=

2. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan). a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n ax  b Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n ax  b Contoh : Hitung

x

3

Jawab : Misalkan u = Shg

x

3

x  4dx =

x  4dx

x

 (u

3

3

3 2 x  4dx maka u = x – 4 dan 3 u du = dx

 4)u.3u 2 du 

3 4 3 ( x  4) 7  ( x  4) 3  c 7 2 2 2 2 2

b. Integran yang memuat bentuk a 2  x , a  x , x  a Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

10

Contoh : 1. Tentukan

4  x2 dx x2

Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan

4  x 2 = 2 cos t , shg

4  x2 dx = x2

2 cos t ( 2 cos t ) dt   ctg 2 tdt = - ctg t – t + c 2 t

 4 sin

=

4  x2  x  sin 1    c x  2

Latihan 6

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

11

1. 2. 3. 4. 5.

∫ √25 − ∫ √64 − ∫ √4 − ∫ 16 √9 − ∫

6.

7.

8.

9.

(

)

10. ∫

E. Integral Parsial  u dv = uv –  v du

Contoh = ... ∫6 Misal, u = 6x dv = cos x du = 6 dx v = sin x 6 = 6x. Sin x − . 6 ∫ ∫ = 6x sin x + 6 cos x + C Latihan 5 1. ∫ 3 2. ∫ 8 2 3. ∫ 3 (6 − 5) 4. ∫ 12 cos (2 − 4 ) 5. ∫ 2 6. ∫ 3 7. ∫ (2 + 3) 8. ∫ (2 − 8) 9. ∫ 12 √2 − 5 dx 10. ∫ 6 (2 + 3)

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

12

F. LUAS DAERAH Menentukan nilai integral menggunakan definisi yaitu: Jika y = f(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi dalam interval tertutup [a, b] sehingga n

lim  f ( xi ).xi ada (mempunyai nilai), maka integral tertentu f(x) terhadap x x 

i 1

b

dari x = a sampai x = b dinyatakan oleh :

n

f ( x) dx  lim  f ( xi ).xi n

a

i 1

Berikut ini akan diuraikan beberapa kondisi untuk merumuskan menghitung luas daerah yaitu:

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan sumbu.X Misal : kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b kontinu, lihat gambar berikut : Luas daerah yang diarsir Dengan ketentuan : a. f(x) ≥ 0 , a ≤ x ≤ b Grafik berada diatas sumbu x b

L   f ( x ) dx a

b. f(x) ≤ 0 , a ≤ x ≤ b Grafik berada dibawah sumbu x

b

L    f ( x)dx a

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

13

Sebagai ilustrasi dari dua daerah tersebut, contohnya ditunjukkan dalam gambar berikut :

2. Luas daerah yang dibatasi oleh x = f(y) dan sumbu Y Jika kurva diproyeksikan terhadap sumbu y, seperti pada gambar berikut : Luas daerah yang diarsir : a. Dengan ketentuan :f(y) ≥ 0 , c ≤ y ≤ d

d

L   f ( y )dy c

b. Dengan ketentuan :f(y) 0 , c ≤ y ≤ d

d

L   f ( y)dy c

3. Luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dan y = g(x) terhadap sumbu x dalam interval a ≤ x ≤b Misal : kurva y = f(x) dan y = g(x) kontinu di a ≤ x ≤ b ,lihat gambar berikut

b

L   ( f ( x)  g ( x))dx a

Dengan ketentuan: F(x) ≥ g(x) , a ≤ x ≤ b

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

14

Rumus luas ini tetap meskipun dua kurva berada di bawah sumbu x atau f(x) ≤ 0 dan g(x) ≤ 0 Dalam tinjauan geometris bahwa grafik diatas kurangi grafik dibawah. Jika batas integral tidak diketahui berarti merupakan nilai absis titik potong kedua grafik. 4. Luas daerah yang dibatasi oleh x = f(y) dan x = g(y) terhadap sumbu y dalam interval c ≤ x ≤d

d

L   ( f ( y )  g ( y ))dy c

Dengan ketentuan : f(y) ≥ g(y) , c ≤ y ≤ d

Contoh: 1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x + 3, sb.X, sb.Y, dan x = 5 Jawab L = ∫ ( + 3) 5 +3 | 0 = . 5 + 3.5 − ( . 0 + 3.0) = = = 27 satuan luas

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

15

2. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x + 3, sb.X, sb.Y, dan x = 5 Jawab L = − ∫ (− − 3) 5 −3 | ] 0 −[− . 5 − 3.5 − − . 0 −

= −[− = 3.0 ] =

= 27 satuan luas

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = 4 – x2 dan y = 3x. Jawab: Gambar kedua kurva tersebut, kemudian kita tentukan titik potong kedua kurva tersebut. y = y 3x = 4 – x2 x2 + 3x – 4 = 0 (x + 3) (x – 1) = 0 x=-3 x=1

L = ∫ (−

− 3 + 4) 1 =− − +4 ] −3 1 3 3 2 =− 3 . 1 − 2 . 1 + 4.1 − 1

3

(− 3 (−3)3 − 2 (−3)2 + 4. (−3)) =

Rumus Alternatif D D Luas = 6a 2 2 ax + bx + c = 0 dan D = b2 – 4ac Silakan buktikan!!!

125 6 5

= 20 6 Satuan Luas

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

16

Latihan 7 Tentukan luas daerah yang dibatasi 1. Garis y = x, x = 1, x = 3, dan sumbu x 2. Kurva y = x2 – x – 12 dan sumbu x 3. Kurva y = –x2+ x + 12 dan sumbu x 4. Garis y = x, y = 2x, x = 1, dan x = 2 5. Kurva y = 16 – x2 dan y = 6x 6. Kurva y = x2 – 2 dan y = x + 4 7. Kurva y = x2+ 2, y = – x , x = –2, dan x = 2 8. Kurva y = sin x, y = cos x, sumbu x, dan sumbu y 9. Kurva y = –sin x, y = –cos x, sumbu x, dan sumbu y 10. Kurva y = sin x, y = sin 2x, dari 00 ≤ x ≤ 600.

G. Volume Benda Putar Perhatikan gambar berikut:

Daerah segi tiga diputar mengelilingi sumbu y

Daerah segi tiga diputar mengelilingi sumbu X

Dari gambar-gambar di atas, diperlihatkan pasangan daerah di bidang datar dengan benda putar yang diperoleh sebagai hasil perputaran dari daerah bidang datar tersebut. Definisi: Benda Putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Berikut ini diberikan beberap cara untuk menghitung volume benda putar yang terjadi, jika daerah tertentu diputar mengelilingi sumbu x ataupun sumbu y sebesar 3600.

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

17

Perputaran Mengelilingi Sumbu X

Perputaran Mengelilingi Sumbu Y

Jika darah yang akan diputar dibatasi oleh dua kurva misalnya y1 dan y2, maka voleme benda putar yang terjadi jika diputar Mengelilingi Sumbu X adalah b

Vx   ( y12  y 2 ) dx 2

a

Jika darah yang akan diputar dibatasi oleh dua kurva misalnya x1 dan x2, maka voleme benda putar yang terjadi jika diputar Mengelilingi Sumbu Y adalah b

Vy   ( x12  x 2 ) dy 2

a

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

18

Contoh: 1. Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 5, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu X. Hitunglah volume benda putar yang terjadi. Jawab 5 2

V = ∫0

5

= ∫0 ( + 3)2 = ∫ ( =

(

+ 6 + 9) +3

+9 |

V= 161

2. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, y = 1, y = 3, dan sumbu Y, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu Y. Hitunglah volume benda putar yang terjadi V=

=

∫( )

=

V=

Latihan 8 1. Tentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 2, sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 2, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu X ! 2. Tentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 1, sumbu Y, dan garis y = 2x, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu X ! 3. Tentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 2, sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 2, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu Y! 4. Tentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x , sumbu Y, garis y = 1, dan garis y = 2, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu Y! 5. Tentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = x2 dan garis x = y2, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu X! Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

19

LATIHAN ULANGAN BAB I 1 Nilai dari ∫(6x2 + 4x)dx adalah ... A. 2x3 + 2x2 + C

D. 3x2 + 4x + C

B. 2x3 – 4x2 + C

E. 3x3 + 2x2 + C

C. 2x3 + 2x2 – C 2

2  4(x – 1) dx adalah …. A. 43 x3 + 4x2 + 4x + C B. 43 x3 – 4x2 – 4x + C

D. – 43 x3 + 4x2 – 4x + C E. 43 x3 + 4x2 – 4x + C

C. 43 x3 – 4x2 + 4x + C 3

x 2 1 x

1

5

1

2 x 5  2x 2 5

B.

2 x 2  2x 2 5 2 2x5

5

C.

2

1

D.

2 x 2  2x 2 5

+C

E.

 2 x 2  2x 2 + C

1  2x 2

5

+C 1

5

+C

2 5 x2x + C 2 5 x x + C 2

 (x

5

+C

 xx dx adalah …. A. 3 x x + C D.

B.

5

2

A.

C. – 4

dx adalah …

E.

2 x x + C 5 2 x2x + C 5

 2) dx adalah ……(Ebtanas 1987)

A. 1 x3 + 2x + c 3

3

B. 2x + 2x + c

D 1 x2 + 2x + c E

3 1 x + 2x2 + c 3

C. 1 x3 + 2x + c 2

6 Diketahui f’(x) = 6x2 + 4x + 1 jika f(1) = 5, maka f(x) = … A. x3 + 2x2 + x + 1 D. 2x3 + 2x2 + x -1 B. x3 + 2x2 + x – 1

E. 2x3 + 2x2 + x

C. 2x3 + 2x2 + x + 1 7 Gradien garis singgung sebuah kurva pada setiap titik (x,y) adalah =3 Jika kurva tersebut melalui titik (3 , 10) maka persamaan kurvanya adalah … A. y = x3 + 2x2 – 3x + 10 D. y = x3 + 2x2 – 3x - 26 B. y = x3 + 2x2 – 3x - 16

+ 4 − 3.

E. y = x3 + 2x2 – 3x + 26

C. y = x3 + 2x2 – 3x + 16

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

20

8 Hasil dari

 cos x cos4x dx = …( Ebtanas 2000)

A.  1 sin 5x  1 sin 3x + C

D 1 cos 5x + 1 cos 3x + C

5

3 1 1 B. sin 5x + sin 3x + C 10 6 2 2 C. sin 5x + sin 3x + C 5 3

9 Jika b > 0 dan ∫ (2 − 3)

2 2 1 E  sin 5x  1 sin 3x + C 2 2

= 12 , maka nilai b = …

A. 3

D. 6

B. 4

E. 7

C. 5 2

10 Nilai  18 x 3 x 2  4 dx = ….( Ebtanas 2000) 0

A. B. C. D. E.

4 2 16 112 128 168

11 Hasil

x

A. 32

2x2  1 dx = …( Ebtanas 2001)

B. 4

C. 2

2 3

D. 2

E.

2 3

12 ∫ = ⋯(SIMAK UI 2009) A. 4 + 2 ln|3 − 2| + B. 4 + 4 ln|3 − 2| + C. 2 + 2 ln|3 − 2| + D. + 2 ln| − 1| + E. + ln| − 1| + 13 Jika ∫

= , maka

√ √

= 4 − 3 untuk k=….(Ujian Tulis UGM 2009) ∫ √ A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2 14 Hasil substitusi

=

+ 1 pada ∫ √ + 1

adalah….(SNMPTN 2009)

A. ∫ ( − 1) √ B. ∫

C. ∫ ( − 1)√ D. ∫ ( − 1) E. ∫ ( − 1) √ Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

21

15 Hasil dari ∫(6 + 9)√ + 3 − 5 = ⋯(UN 2009) A. −2( + 3 − 5)√ + 3 − 5 + B. ( + 3 − 5)√ + 3 − 5 + C. 2( D. 3( E. 2(

+ 3 − 5)√ + 3 − 5)√ + 3 − 5)√

+3 −5+ +3 −5+ +3 −5+

16 Hasil dari ∫ 4 sin 6 cos 2 = ⋯(UN 2009) A. cos 8 + cos 4 + sin 8 + sin 4 +

B.

C. − cos 8 − cos 4 + cos 8 − cos 4 +

D.

E. − sin 8 + sin 4 + (3 6 3 1 -3 -6

17 JIka ∫ A. B. C. D. E. 18

5

 sin

−4

= 3 , maka nilai p yang memenuhi adalah…(UN 2009)

x cosx dx adalah ……( Ebtanas 1988)

A. 1 sin6x + c B.

+ 4)

6 1 6

D.  1 cos6x + c

6

cos x + c

6 1 E. sin4x + c 4

C.  1 sin6x + c 6

19 Hasil dari A. 4

1

1

x 2(x  6) dx = …( Ebtanas 2002)

B.  1

D. 1

C. 0

2

2

E. 4 1

2

1

20 Nilai  5x (1  x )6 dx = …( Ebtanas 2000) 0

A.

75 56

B. 10

56

C. 5

56

D.  7

56

E.  10

56

21 Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x , sumbu x dan garis x = 5 adalah … A. 50 satuan luas D. 68 satuan luas B. 52 satuan luas

E. 70 satuan luas

C. 65 satuan luas 22 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = cos 2x, sumbu x, x = 0 dan x = 3  adalah 4

…(Ebtanas 1987) A. 8 satuan C. 3 satuan B. 6 satuan Matematika Kreatif

E. 1 1 satuan 2

D. 2 satuan Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

22

23 Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3  1, sumbu-x, x = 1 dan x = 2 adalah …( Ebtanas 2000) A. 3 satuan luas D. 3 1 satuan luas 4

4 3 E. 4 satuan luas 4

B. 2 satuan luas C. 2 3 satuan luas 4

24 Luas yang dibatasi parabola y = 8  x2 dan garis y = 2x adalah ……( Ebtanas 2002) A. 36 satuan luas (D) 46 satuan luas 1 B. 41 satuan luas (E) 46 2 satuan luas C. 41

3 2 3

3

satuan luas

25 Bentuk integral yang menyatakan luas daerah yang diarsir (A dan B) pada gambar adalah…(UN 2009) A. ∫ (4 − + 3 ) + ∫ ( − 3 ) = −3 B. ∫ (−

+ 3 + 4)

C. ∫ ( D. ∫ (

−3 )

E. ∫ (

−3 )

−∫ (

−3 )

4

− ∫ ( −3 ) − 3 − 4) − ∫ ( − 3 ) +∫ (

A

−3 )

-1

B

3

-2----26 Gambar disamping merupakan kurva dengan persamaan y = x 30  30 x 2 . Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan ……( Ebtanas 2002) A. 6  satuan volume B. 8  satuan volume C. 9  satuan volume D. 10  satuan volume E. 12  satuan volume 27 Volum benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva x = 22 pada interval y

0

2  y  4 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 adalah …( Ebtanas 2001) A. –6 < x < 2 D. x < –6 atau x > 2 B. –2 < x < 6 E. x < –2 atau x > 6 C. x < 2 atau x > 6 28 Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh 2 kurva y = 1  x , sumbu-x, sumbu-y, diputar mengelilingi sumbu X adalah …( Ebtanas

4

2000) A 52  satuan volume 15 16 B  satuan volume 12 C 16  satuan volume 15

Matematika Kreatif

D  satuan volume E 12  satuan volume 15

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon

23

29 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yamg dibatasi oleh parabola y = x2 dan parabola y2 = 8x diputar mengelilingi sumbuY sejauh 3600 adalah …….(Ebtanas 2000) A 9 45 satuan volume 4  5 4 C4 5  D 3 45  E 2 45 

B5

satuan volume satuan volume satuan volume satuan volume

30 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir pada gambar diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu Y adalah….(UN 2009) y=x A. =4 B. C. D. E.

Matematika Kreatif

Ahmad Hermansyah

SMAN 3 Cilegon


coba