Page 1

2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu 2.1. Równanie o zmiennych rozdzielonych Def. 74 dy f ( x) = Równanie postaci (albo równoważnie - h(y)dy=f(x)dx) nazywamy dx

g ( y)

r. r. o zmiennych rozdzielonych Rozwiązanie otrzymamy całkując obie strony równania

∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx + C Tw. 60 Jeżeli f(x) ciągła w przedziale (a, b) a g(x) ciągła w przedziale (c, d) i różna od zera, to powyższy wzór przedstawia całkę ogólną r.r. o stałych rozdzielonych. Ponadto przez każdy punkt tego prostokąta przechodzi y x dokładnie jedna krzywa całkowa, którą można wyznaczyć ze wzoru ∫ g (t )dt = ∫ f (t )dt y0

x0

Przykład Rozwiązać równanie y’ =e-ycos2x przy warunku początkowym y(0)=0 Mamy f(x)=cos2x, g(y)=ey Rozdzielamy zmienne eydy=cos2xdx Całka szczególna przy warunku początkowym y(0)=0 x y x y sin 2 t sin 2 x  sin 2 x  t t y e dt = cos 2 tdt ⇒ e = ⇒ e − 1 = ⇒ y = ln 1 +  ∫0 ∫0 0 2 0 2 2  

sin 2 x Inny sposób obliczenia całki szczególnej: znajdujemy całkę ogólną e y = +C 2 i wyznaczamy stałą C z war. pocz.: sin 2 ⋅ 0 sin 2 x  sin 2 x  e0 = + C ⇒1 = 0 + C ⇒ C =1⇒ ey = + 1 ⇒ y = ln1 +  2 2 2  


2.2. Równania dające się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych 2.2.1. Równanie jednorodne Niech f(u) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) taką, że f(u) ≠ u Równanie

dy  y = f   o niewiadomej y(x) nazywa się równaniem różniczkowym jednorodnym dx x

Równanie jednorodne można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x)=y/x Przykład dy x + y = Znaleźć całkę ogólną równania dx

x

Najpierw trzeba sprawdzić, czy jest to równanie jednorodne. Wykonując wskazane dzielenie dy y = 1 + . Podstawmy za y/x u(x) czyli dx x dy d [ xu ( x)] du y = xu ( x) i = = u ( x) + x dx dx dx du du dx u ( x) + x = 1 + u ( x) ⇒ x = 1 ⇒ du = ⇒ u = ln x + C ⇒ y = x ln x + Cx dx dx x

otrzymamy


2.2.2. Równanie y’=f(ax+by+c) Jeżeli b≠0, równanie y’=f(ax+by+c) można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x)=ax+by+c Przykład Znaleźć całkę szczególną równania y’=(4x+y+7)2 przy warunku y(0)=-5 Podstawiamy u(x)=4x+y+7. Stąd y=u-4x-7 i y ' =

dy du = −4 dx dx

u d  du du du 1 2 1 u − 4 = u2 ⇒ = 4u 2 ⇒ = dx ⇒ = dx ⇒ arctg   = x + C1 ⇒ u = 2tg (2 x + C ) dx dx 4 + u2 2  u 2 2 2 1+   2 4 x + y + 7 = 2tg (2 x + C ) ⇒ y = 2tg (2 x + C ) − 4 x − 7

Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C − 5 = 2tgC − 7 ⇒ 2tgC = 2 ⇒ C = π / 4

I ostatecznie szukana całka szczególna y = 2tg (2 x + π / 4) − 4 x − 7


2.3. Równanie

 a x + b1 y + c1 y ' = f  1  a 2 x + b2 y + c 2

  

ównanie takie można sprowadzić do równania jednorodnego b do równania o zmiennych rozdzielonych Jeżeli wyznacznik

W =

a1

b1

a2

b2

stosuje ≠ 0 się podstawienia

ξ = x−h

i

η = y-k

gdzie stałe h i k wyznacza się z układu równań a1 h + b1 k + c1 = 0 a 2 h + b2 k + c 2 = 0

o takim podstawieniu równanie przyjmie postać Jeżeli wyznacznik Podstawiając

W =

a1

b1

a2

b2

wówczas =0

η    a1 + b1  dη ξ  = f (równanie jednorodne)  η dξ  a 2 + b2  ξ  a1 b1 = =λ a 2 b2

równanie o zmiennych rozdzielonych z = a 2 x +otrzymamy b2 y  λz + c1  dz  = a 2 + b2 f  dx  z + c2 


Przykład Znaleźć całkę ogólną równania W =

dy x+ y−2 =− dx x− y−4

1 1 = −2 ≠ 0 1 −1

Zachodzi przypadek 1. Rozwiązujemy układ równań h + k − 2 = 0 h−k −4=0

Układ ma jedno rozwiązanie h=3, k=-1

η Podstawiamy ξ = x − 3 i η = y + 1 co daje dη = − ξ + η = − ξ η dξ ξ −η 1− ξ η Jest to równanie jednorodne, żeby je rozwiązać podstawiamy u ( ξ ) = ξ 1+

u −1 dξ du = W ten sposób otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych ξ − u 2 + 2u + 1 2 2 2 Po scałkowaniu − 0,5 ln − u + 2u + 1 = ln ξ − ln C1 ⇒ ξ (−u + 2u + 1) = C 2

Podstawiamy teraz ξ = x − 3 co daje ostateczne rozwiązanie

i

u(ξ ) =

η y +1 = ξ x−3

x 2 + 2 xy − y 2 − 4 x − 8 y = C


2.3. Równanie liniowe Def. 75 dy Równanie dx + p ( x) y = f ( x) o niewiadomej y(x), gdzie p(x) i f(x) są to dane funkcje, ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Równanie takie nazywa się jednorodnym, gdy f(x)=0 i niejednorodnym w przeciwnym przyp.

3.1. Równanie liniowe jednorodne dy + p( x) y = 0 dx

st to równanie o zmiennych rozdzielonych. Jednym z rozwiązań jest żeli y(x)≠0, można rozdzielić zmienne

y ( x) ≡ 0

y dy = − p ( x)dx ⇒ ln y = − ∫ p( x)dx + ln C1 ⇒ ln = − ∫ p ( x)dx ⇒ y = Ce − ∫ p ( x ) dx y C1

Tw. 61 Jeżeli p(x) ciągła w przedziale (a, b), to powyższy wzór przedstawia całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

Przykład Znaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=0 przy warunku y(π /2)=2 − ∫ p ( x)dx = − ∫ ctgxdx = − ∫ y = Ce − ∫ p ( x ) dx = Ce

ln sin x

cos xdx = ln sin x sin x

= C sin x


Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C. Ale najpierw trzeba zobaczyć, czemu jest równy sin x . Nasz warunek początkowy jest podany dla x= π /2. Dla 0<x<π sin x = sin x , zatem w tym przedziale całka ogólna naszego równania y = C sinx 2 = C sinπ/2 = C czyli C=2 i ostatecznie szukana całka szczególna y = 2 sinx 2.3.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach Jest to przypadek szczególny równania liniowego jednorodnego, w którym p(x)=k (stała). y’ +ky=0 Rozwiązanie tego równania otrzymamy z rozwiązania równania liniowego jednorodnego

y = Ce − ∫ p ( x ) dx = Ce − ∫ kdx = Ce − kx 2.3.3. Równanie liniowe niejednorodne Rozwiązuje się w oparciu o rozwiązanie równania jednorodnego jedną z dwóch metod: 1. Uzmienniania stałej 2. Przewidywań


2.3.3.1. Metoda uzmienniania stałej Polega ona na tym, że w rozwiązaniu równania jednorodnego stałą C zastępuje się nieznaną funkcją C(x), którą dobiera się tak, by wzór y = C ( x)e − ∫ p ( x ) dx

przedstawiał rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. Jak to zrobić? Można zróżniczkować powyższy wzór: dy = C ' ( x)e − ∫ p ( x ) dx + C ( x)[− p ( x)]e − ∫ p ( x ) dx dx

Wstawiając oba te wzory do równania różniczkowego niejednorodnego otrzyma się C ' ( x)e − ∫ p ( x ) dx + C ( x)[− p( x)]e − ∫ p ( x ) dx + p ( x)C ( x)e − ∫ p ( x ) dx = f ( x)

Po uporządkowaniu czyli a stąd

C ' ( x)e − ∫ p ( x ) dx = f ( x) C ' ( x) = f ( x)e ∫ p ( x ) dx C ( x) = ∫ f ( x)e ∫ p ( x ) dx dx + C1

Udowodniliśmy zatem Tw. 62 Jeżeli p(x) i f(x) ciągłe w przedziale (a, b), to całka ogólna równania liniowego niejednorodnego wyraża się wzorem

y ( x) = C1e − ∫ p ( x ) dx + e − ∫ p ( x ) dx ⋅ ∫ f ( x)e ∫ p ( x ) dx dx

Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.


Przykład Znaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=sin2x przy warunku y(-π /2)=1. Mamy zatem p(x)=-ctg x i f(x)= sin2x Można skorzystać z tw. 62, ale łatwiej jest wykorzystać obliczone poprzednio rozwiązanie równania jednorodnego i obliczyć C(x) jak w dowodzie tego twierdzenia. Przyjmijmy zatem y = C(x) sin x. Różniczkując otrzymamy y’ = C’(x) sin x + C(x) cos x a wstawiając y i y’ do równania wyjściowego dostaniemy C’(x) sin x + C(x) cos x – ctg x C(x) sin x= sin2x Stąd C’(x) = sin x więc C(x) = -cos x + C1 Zatem ostatecznie y(x) = C(x) sin x = -cos x sin x + C1 sin x = -0,5 sin 2x + C1 sin x Z warunku początkowego

1=-0,5 sin(- π) + C1 sin (-π /2)= - C1 C1 =-1 i rozwiązaniem szczególnym jest y(x) = -(0,5 sin 2x + sin x) Tw. 63 Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego.


2.3.3.2. Metoda przewidywań Oparta jest o tw. 63. Wystarczy odgadnąć jakąkolwiek całkę szczególną równania niejednorodnego. Zakres zastosowań: 1. Równanie jest równaniem o stałych współczynnikach tzn. p(x)=k i 2. Funkcja f(x) jest jednej z poniższych postaci: a. Wielomian Wn(x) b. Funkcja typu a1sinωx + a2cosωx c. Funkcji postaci a ebxy gdy b różne od –k d. Suma lub iloczyn funkcji tych trzech typów Całkę szczególną przewidujemy w tej samej postaci co f(x) zachowując odpowiednio: a. Stopień wielomianu n b. Liczbę ω c. Liczbę b Pozostałe stałe (współczynniki wielomianu, stałe a1, a2 i a) wyznaczmy z równania.


Przykład 1 Znaleźć całkę ogólną równania y’+4y =x3 Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= x3 jest wielomianem, zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą przewidywań. f(x) jest wielomianem stopnia 3, zatem odgadywana całka szczególna y1 też będzie wielomianem stopnia 3 czyli y1 =Ax3 +B x2 +C x+D y1 musi spełniać równanie y’+4y =x3 Liczymy y1’=3A x2 +2B x+C Wstawiając do równania otrzymamy 3A x2 +2B x+C+4[Ax3 +B x2 +C x+D]= x3 Po uporządkowaniu 4Ax3 +(3A+4B)x2 +(2B+4C) x+(C+4D)= x3 Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x otrzymamy: 4A=1 3A+4B=0 2B+4C=0 C+4D=0 Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych A=1/4; B=-3/16; C=3/32; D=-3/128 i całką szczególną jest y1 = 1/4 x3 -3/16 x2 + 3/32 x -3/128 Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce-4x zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63) y=Ce-4x + 1/4 x3 -3/16 x2 + 3/32 x -3/128


Przykład 2 Znaleźć całkę szczególną równania y’+2y =xex spełniającą warunek początkowy y(0)=2 Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= xex jest iloczynem wielomianu stopnia 1 i f. wykładniczej zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą przewidywań. Odgadywana całka szczególna y1 też będzie iloczynem wielomianu stopnia 1 i funkcji wykładniczej czyli y1 =(A x+B) ex y1 musi spełniać równanie y’+2y =xex Liczymy y1’=Aex + (A x+B) ex Wstawiając do równania otrzymamy Aex + (A x+B) ex +2(A x+B) ex =xex Po podzieleniu przez ex i uporządkowaniu otrzymamy 3Ax+(A+3B)=x Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x otrzymamy: 3A=1 A+3B=0 Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych A=1/3; B=-1/9 i całką szczególną jest y1 = 1/3 (x-1/3) ex Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce-2x zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63) y=Ce-2x + 1/3 (x-1/3) ex Uwzględniając warunek początkowy y(0)=2 mamy 2=C e0 +1/3(0-1/3) e0 =C-1/9 -2x

x


Tw. 64 Suma całki szczególnej równania I całki szczególnej równania Jest całką szczególną równania.

dy + p ( x) y = f1 ( x) dx dy + p( x) y = f 2 ( x) dx dy + p ( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x) dx

Twierdzenie przydatne, gdy prawa strona jest sumą funkcji różnych dopuszczalnych typów

Porównanie metod rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych 1.

Metoda uzmienniania stałej: Uniwersalna, może być zawsze stosowana, ale często mozolna

2.

Metoda przewidywań: Prostsza, zwykle mniej obliczeń, ale bardzo ograniczony zakres zastosowań


3. Równania różniczkowe drugiego rzędu 3.1. Równania sprowadzalne do równań różniczkowych pierwszego rzędu 3.1.1. Równanie typu F(x, y’, y’’)=0 Nie występuje w nim zmienna y(x) Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za pomocą podstawienia u(x)=y’ bo y’’=u’ i otrzymujemy równanie F(x, u, u’)=0 Przykład Znaleźć całkę ogólną i całkę szczególną przy warunkach pocz. y(0)=2, y’(0)=1 równania y’’=y’ lny’ Po podstawieniu y’=u; y’’=u’ dostaniemy u’=u ln u Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać. Rozwiązaniem jest ln u=Cex Stąd ln y’=Cex C ex ex y’ =eCex =(e ) =(C ) x 1 y = ∫ (C1 ) e dx + C2 e0 Z warunku y’(0)=1 można wyznaczyć =C1 x x stałą C1 1 =(C1 ) e e y = ∫ (C1 ) dx + C2 = ∫ 1 dx + C2 = ∫ 1dx + C2 = x + C2 Stąd


3.1.2. Równanie typu F(y, y’, y’’)=0 Nie występuje w nim zmienna x Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za pomocą podstawienia y’=u(y) bo y’’=u’y’=u’u i otrzymujemy równanie F(y, u, uu’)=0 Przykład Znaleźć całkę ogólną równania 1+(y’)2=2yy’ Po podstawieniu y’=u(y); y’’=u’y’=u’u dostaniemy 1+u 2 = 2yuu’ Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.

2udu dy = 1+ u2 y ln(1 + u 2 ) = ln y + C ln y + C = ln y + ln C1 = ln C1 y C1 y = 1 + u 2 u = y ' = ± C1 y − 1 Jest to ponownie równanie o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.


dy = dx ± C1 y − 1 Podstawiajac zatem ±

C1 y − 1 = z mamy dz =

2 dz = dx, C1

± 2 C1 y − 1 = C1 x + C , i ostatecznie

y=

± 2dz = C1dx

C1dy dy 2 i = dz 2 C1 y − 1 2 C1 y − 1 C1

± 2 z = C1 x + C

4(C1 y − 1) = (C1 x + C ) 2

C1 1 (C2 ± x ) 2 + , 4 C1

gdzie C2 =

C C1

3.2. Równanie liniowe Def. 75a Równanie y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x), gdzie p(x), q(x) i f(x) są to dane funkcje, ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym liniowym drugiego rzędu. Równanie takie, podobnie jak liniowe równanie pierwszego rzędu, rozwiązuje się rozwiązując najpierw odpowiadające mu równanie jednorodne y’’+p(x)y’+q(x)y=0 3.2.1. Równanie liniowe jednorodne y’’+p(x)y’+q(x)y=0 Def. 76 Dwie całki y1(x) i y2(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian y1 ( x) y2 ( x) ≠ 0 y1 ' ( x) y2 ' ( x) Józef Maria Wroński (1778-1853)


Tw. 65 Jeżeli dwie całki y1(x) i y2(x) równania liniowego jednorodnego stanowią układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

y=C1y1(x)+C2y2(x)

Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek podstawowych dla dowolnych funkcji p(x) i q(x). Potrafimy rozwiązać równanie liniowe jednorodne tylko w szczególnych przypadkach z których najważniejszym jest 3.2.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach y’’+py’+qy=0 (p, q – stałe) Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego r2+pr+q=0 Rozwiązanie zależy od wyróżnika tego równania Δ= p2-4q


Przypadek A – Δ>0 Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r1, 2 = −

p ∆ ± 2 2

(r1 = −

p ∆ + , 2 2

r2 = −

p ∆ − ) 2 2

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

y = C1e r1x + C2 e r2 x Przypadek B – Δ=0 p Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny) r0 = − 2

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

y = (C1 x + C2 )e r0 x

Przypadek C – Δ<0 Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych – ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone r1 = α + iω , r2 = α + iω p α =− ; 2 Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

αx

−∆ ω= = 2

y = e (C1 sin ωx + C2 cos ωx)

4q − p 2 2


Przykład Znaleźć całkę szczególną równania y’’+4y’+5y =0 Spełniające warunki początkowe y(0)=0, y’(0)=1 Równanie charakterystyczne tego równania różniczkowego r2 +4x+5=0 Δ=16-20<0 Przypadek C αx Całka ogólna tego równania y = e (C1 sin ωx + C2 cos ωx) p gdzie α = − = −2; 2

4q − p 2 20 − 16 ω= = =1 2 2

Zatem y=e-2x(C1sin x + C2cos x) Do uwzględnienia war. pocz. trzeba policzyć pochodną y y’=-2e-2x(C1sin x + C2cos x)+e-2x(C1cos x - C2sin x) Dostajemy układ równań 0=e0(C1sin 0 + C2cos 0)=C2 1=-2e0(C1sin 0 + C2cos 0)+e0(C1cos 0 - C2sin 0)=-2C2 +C1 Stąd C2 = 0; C1 =1 i ostatecznie y=e-2xsin x


3.2.3. Równanie liniowe rzędu drugiego niejednorodne y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) otrzymuje się z rozwiązania równania jednorodnego tymi samymi metodami, co równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego, tj. 1. Uzmienniania stałej 2. Przewidywań i wykorzystując tw. 63 i 64

3.3. Równanie Eulera x2y’’+xpy’+qy=0 (p, q – stałe) Równanie Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach przez podstawienie x=eu d2y dy + ( p − 1 ) + qy = 0 du 2 du

Przykład Znaleźć całkę ogólną równania x2 y’’+xy’-y =0 Po podstawieniu x=eu otrzymuje się

d2y −y=0 du 2

Rozwiązaniem tego równania jest y=C1eu + C2e-u= C1x + C2/x


4. Równania różniczkowe n-tego rzędu 4.1. Równanie liniowe y(n) +pn-1(x)y(n-1) + ... +p2 (x)y’’+p1(x)y’+ p0(x) y=f(x) Rozwiązuje się tak samo, jak równanie liniowe rzędu drugiego tj. rozwiązując najpierw odpowiednie równanie jednorodne, a potem otrzymując z niego rozwiązanie równania niejednorodnego metodą uzmienniania stałej lub przewidywań. Def. 76 i tw. 65 stosuje się analogicznie: Def. 76a n całek y1(x), y2(x), ... yn(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian y1 ( x)

y2 ( x)

yn ( x)

y1 ' ( x)

y2 ' ( x)

yn ' ( x )

y1( n −1) ( x)

≠0

y2( n −1) ( x)  yn( n −1) ( x)

Tw. 65a Jeżeli całki y1(x), y2(x), ... yn(x) równania liniowego jednorodnego stanowią układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

y=C1y1(x)+C2y2(x)+ ... + Cnyn(x)

Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek podstawowych


4.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach y(n) +pn-1y(n-1) + ... +p2 y’’+p1y’+ p0y=f(x) (pn-1, ... p2, p1, p0 – stałe) Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne. Jego rozwiązanie zależy od pierwiastków równania charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego rn+ pn-1rn-1+ p2 r2 +p1r +p0=0 Przypadek A – równanie charakterystyczne ma n różnych pierwiastków rzeczywistych Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w tym przypadku przedstawia wzór

y = C1e r1x + C2 e r2 x +  + Cn e rn x Analogicznie postępujemy w innych przypadkach


IV. R贸wnania r贸偶nicowe


1. Ciągi liczbowe a funkcje 1.1. Sposoby przedstawiania ciągów liczbowych Ciąg

Znany opis ciągu

Inny opis ciągu

a, a, a, a,...

yn = {a}

yn +1 = yn , y1 = a

1,3,5,7,...

yn = {2n − 1}

yn +1 = yn + 2, y1 = 1

2,4,8,16,...

yn = {2 n }

yn +1 = 2 yn , y1 = 2

1.2. Ciąg liczbowy jako funkcja Ciąg liczbowy możemy uważać za funkcję, której wartość określona jest tylko dla wybranych (całkowitych) wartości argumentu, czyli funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych – D={N} Wiele pojęć dla funkcji (pochodna, różniczka, całka, równanie różniczkowe) ma swoje odpowiedniki dla ciągów.

y = f ( x)

y ' = f ( x, y ),

y ( x0 ) = y0

y = 4x

y ' = 4,

y (0) = 0

y = 2x3

y ' = 12 x 2 ,

y (1) = 2


1.3. Różnica Δ Def. 77 Wyrażenie yn+1- yn nazywamy różnicą wyrazu yn, i oznaczamy Δ yn =yn+1- yn Przykład Dany jest ciąg

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... czyli yn ={n2} Δ y1 = y2- y1 = 4-1=3 Δ y2 = y3- y2 = 9-4=5 Δ y3 = y4- y3 = 16-9=7 Δ y4 = y5- y4 = 25-16=9

Otrzymujemy nowy ciąg (ciąg różnic) Δ y1 , Δ y2 , Δ y3 , Δ y4 ,... 3, 5, 7, 9, ... czyli Δ yn ={2n+1} Różnicę wyrazu yn możemy uważać za odpowiednik pochodnej funkcji w punkcie x0 =n, a nowy ciąg różnic – jako odpowiednik (funkcji) pochodnej danej funkcji f(x). Odpowiednikiem drugiej pochodnej będzie druga różnica ciągu yn Przykład poprzedni Δ (Δ y1)= Δ y2- Δ y1 = 5-3=2 Δ (Δ y2)= Δ y3- Δ y2 = 7-5=2 Δ (Δ y3 )= Δy4- Δ y3 = 9-7=2 itp. Czyli otrzymujemy ciąg drugich różnic Δ2yn= {2}


Def. 77a Wyrażenie Δk yn = Δ (Δk-1 yn) nazywamy k-tą różnicą wyrazu yn. Δ2 yn = Δ (Δyn) Δ3 yn = Δ (Δ2yn) Δ4 yn = Δ (Δ3yn) itp Ponieważ różnicę możemy uważać za odpowiednik pochodnej funkcji, to własności różnicy są podobne do własności pochodnej, w szczególności: Δ (yn + zn )= Δyn+ Δzn Δ (cyn)= cΔyn Δ (yn zn )= yn+1 Δzn+zn Δyn

yn z n ∆yn − yn ∆yn ∆ = zn z n z n +1

Def. 78 operatora Δ-1 Δ (Δ-1 yn)= yn Łatwo wykazać, że:

n −1

∆ yn = C + ∑ yk −1

k =1

Analogia z sumowaniem, a dla funkcji ciągłych – z operacją odwrotną do różniczkowania czyli całkowaniem


2. Równania różnicowe Równanie różnicowe to zależność między różnicami pewnego ciągu w jednym lub kilku punktach Przykłady Δyn+1 -n2 Δ2yn-1=1 (Δ2yn )2-yn+2 +3=0 Każdą różnicę można wyrazić poprzez wyrazy ciągu: Δ yn =yn+1- yn Δ2 yn = Δ (Δyn) = Δ(yn+1- yn)= Δyn+1- Δyn= (yn+2- yn+1)- (yn+1-yn )= yn+2- 2yn+1+ yn itp., w szczególności Δk yn można wyrazić przez yn , yn+1 , yn+2 , ..., yn+k zatem w równaniu różnicowym zamiast różnic można wstawić odpowiednie wyrazy ciągu Przykłady yn+2 - yn+1 -n2 (yn+1 - 2yn +yn-1 ) =1 (yn+1 - 2yn +yn-1 ) 2-yn+2 +3=0 Def. 79 (równania różnicowego) Równaniem różnicowym k-tego rzędu nazywamy równanie F(n, yn , yn+1 , yn+2 , … yn+k)=0 w którym niewiadomą jest ciąg yn Por. def. 70 równania różniczkowego!!!!


Podobnie jak dla równań różniczkowych możemy poszukiwać dla równania różnicowego 1. rozwiązania ogólnego 2. rozwiązania szczególnego Rozwiązanie ogólne równania różnicowego rzędu pierwszego zawiera jedną dowolną stałą C, a równania rzędu k – k dowolnych niezależnych stałych. Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania różnicowego, należy podać (podobnie jak dla równania różniczkowego), odpowiednie warunki początkowe (brzegowe). Tw. 66 (por. def. Zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego) Równanie różnicowe k-tego rzędu F(n, yn , yn+1 , yn+2 , … yn+k)=0 wraz z k niezależnymi dodatkowymi warunkami umożliwiającymi wyznaczenie k wartości ciągu yn ma jednoznaczne rozwiązanie

Przykład Rozwiązaniem ogólnym jest Jeżeli znamy warunek brzegowy

yn+1 =(n+1) yn yn=Cn! (C- dowolna stała) y2 =6, to C=3 i yn=3n!


3. Równania różnicowe liniowe Równaniem różnicowym liniowym k-tego rzędu nazywamy równanie postaci: yn+k+pk-1(n) yn+k-1 + ... +p2 (n) yn+2+p1(n) yn+1+ p0(n) yn=f(n)

3.1. Równania o stałych współczynnikach yn+k+pk-1yn+k-1 + ... +p2 yn+2+p1yn+1+ p0 yn=f(n)

(pk-1, ... p2, p1, p0 – stałe)

Gdy f(n)=0 – równanie jednorodne; dla dowolnego f(n) – równanie niejednorodne. 3.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach jednorodne Równanie pierwszego rzędu yn+1+ pyn=0 yn+1=-pyn Rozwiązanie ogólne yn=C(-p)n Rozwiązanie szczególne przy warunku yk=a yk=C(-p)k=a Stąd C(-p)k=a (-p)-k czyli yn=a(-p)n-k Przykład Rozwiązaniem ogólnym jest

yn+1 -3 yn =0 yn=C 3n (C- dowolna stała)


Równanie drugiego rzędu yn+2+ pyn+1+ qyn=0 Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego równania różnicowego r2+pr+q=0 a te pierwiastki zależą z kolei od wyróżnika tego równania Δ= p2-4q Przypadek A – Δ>0 p ∆ r = − ± 1, 2 Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastkin rzeczywiste n 2 2 Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

yn = C1r1 + C2 r2

Przypadek B – Δ=0 p r = − 0 Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny) 2 n Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

yn = r0 (C1n + C2 )

Przypadek C – Δ<0 Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych n Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

gdzie

yn = q 2 (C1 sin ωn + C2 cos ωn)

2 4q − p 2 2 −∆ ω = arctg = arctg −p −p


Przykład Rozwiązać równanie

yn+2 - 7yn+1 +10 yn =0

Równanie charakterystyczne

r2-7r+10=0 Δ= 49-40=9

=> r1 =2, r2 =5

Rozwiązaniem ogólnym jest

yn=C1 2n + C2 5n

(C1, C2 - dowolne stałe)

Jeżeli znamy warunki brzegowe

y1 =12, y2 =54 to y1 = C1 21 + C2 51 =12 y2 = C1 22 + C2 52 = 54, stąd C1=1, C2 =1 i yn= 2n +2 5n

Równania wyższego rzędu Rozwiązuje się analogicznie przez wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego dla naszego równania różnicowego rk+ pk-1rk-1+ p2 r2 +p1r +p0=0 Np. gdy równanie charakterystyczne ma wszystkie różne pierwiastki rzeczywiste, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór n

n

yn = C1r1 + C2 r2 + ... + Ck rk

n


3.1.2. Równanie liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne Rozwiązuje się tak samo jak równania różniczkowe korzystając z Tw. 63a Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i jakiegokolwiek rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

Rozwiązanie szczególne znajduje się metodą przewidywań Przykład Rozwiązać równanie

yn+2 - 7yn+1 +10 yn =n-1

Rozwiązaniem ogólnym jest

yn=C1 2n + C2 5n

(C1, C2 - dowolne stałe)

Rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci yn=an+b a(n+2)+b-7[a(n+1)+b]+10(an+b)=n-1 4an+4b+2a-7a+10b=n-1 Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach n 4a=1 -5a+14b=-1 Stąd a=1/4, b=1/56 Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego yn=n/4+1/56 Ponieważ rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest yn=C1 2n + C2 5n to rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest yn=C1 2n + C2 5n +n/4+1/56


3.2. Równania o współczynnikach zależnych od n 3.2.1. Równanie pierwszego rzędu Równanie jednorodne yn+1- p(n)yn=0 yn+1=p(n)yn Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

yn=Cp(1)p(2)...p(n-1) Przykład Rozwiązać równanie yn+1 -n yn =0 Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C.1.2.3...(n-1)=C(n-1)! Równanie niejednorodne yn+1- p(n)yn=f(n) Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

n −1   f (k )  yn = p (1) ⋅ p (2) ⋅ ... ⋅ p (n − 1) C + ∑ p ( 1 ) ⋅ p ( 2 ) ⋅ ... ⋅ p ( k ) k =1   Przykład Rozwiązać równanie yn+1 -n yn =1 n −1 1  y = ( n − 1 )! C +   ∑ n Rozwiązaniem ogólnym jest k ! k =1  

gdzie C- dowolna stała


4. Równania różnicowe nieliniowe Łatwo rozwiązuje równania sprowadzalne do równań liniowych Przykład Rozwiązać równanie

yn2+1 − 3n yn2 = 4n Podstawiając yn2 = z n otrzymujemy z n +1 − 3n z n = 4n

KONIEC

Calki  

too hard for me