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Unidad 3 – Sistemas de ecuaciones lineales PÁGINA 55

SOLUCIONES 1. Las soluciones son: a) La solución es x = 4, y = 3 b) La solución es x = 4, y = − 2, z = 3

2. Llamando x el número de personas que juegan a cartas, y el número de personas que charlan y z el número de personas que bailan e imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos:

x + y − 3z = 0 x = 11   x−y =4 ⇒ y =7   z=6  y − z =1  

Luego hay 24 personas en la reunión.

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SOLUCIONES 1. La solución queda:

Restando la primera igualdad a la segunda obtenemos: Arturo − Carlos = − 10 Sumando a ésta la tercera obtenemos: Arturo − Diana = 64 Esta igualdad es la misma que tenemos en cuarto lugar. Luego no es posible determinar el peso de cada uno ya que nos queda un sistema indeterminado con más incógnitas que ecuaciones. El sistema tiene una única solución si reemplazamos la tercera igualdad, sustituyéndola por la expresión: Arturo + Carlos = 74 Kg con lo cual obtenemos que: Arturo pesa 32 Kg; Berta pesa 37 Kg; Carlos pesa 42 Kg y Diana pesa 32 Kg. 2. En la siguiente tabla podemos ver todas las situaciones que se pueden plantear:

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En todos los casos lleva cinta roja excepto en (2), (5) y (6). (2) no es posible, pues en esta situación Luis hubiera sabido que su cinta era roja, ya que si hubiera sido amarilla Ana hubiera sabido el color de la suya. (5) no es posible pues en esta situación ana hubiese dicho que su cinta era roja. (6) no es posible, pues en esta situación Luis hubiera dicho que su cinta era roja. Por tanto en todos los demás casos la de Clara es roja. 3. Queda así:

1, 3, 6, 10, 15, … Es una progresión aritmética de 2º orden y su término general es

n2 + n , 2

por tanto:

Vamos a probarlo por inducción: Suponemos que es cierto para n = 1 , n = 2 , …, n = n y veamos si es cierto para n = n + 1 .

Habría que ver si esa igualdad es cierta. Operando el segundo miembro:

Es cierta esta igualdad. Por tanto queda probado que para «n» se cumple:

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SOLUCIONES 1. Las soluciones son: a) La solución es x = 2, y = 1. b) El sistema es incompatible. c) El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son: x = t , y = 2t − 3 con t ∈ » . d) La solución es x = 3, y = − 2, z = 0. e) Las soluciones son: x = 5 − 7t , y = − 2 + 5t , z = t con t ∈ » . f)

El sistema no tiene solución.

2. Queda así: a) Por ejemplo, la ecuación añadida para que el sistema sea incompatible es 3 x + 2z = 5. b) La ecuación añadida para que el sistema sea compatible indeterminado puede ser 3 x + 2z = 2. 3. Queda: a) Si m = − 1 , el sistema es incompatible. b) Si m = 1 , el sistema es compatible indeterminado. c) Si m ≠ 1 y m ≠ − 1 , el sistema es compatible determinado. d) El valor de m es −4 . 3 4. Queda:  1 0 1 1 0 1 8      * a) Sean A =  2 1 1  y A =  2 1 1 10  . 3 2 a 3 2 a 5      El rango de A es 2 independientemente del valor de a. El determinante de A es A = a − 1. Discusión:

• Si a ≠ 1, el rango de A es 3 y el rango de A* es 3. El sistema es compatible determinado y su solución es: 8a − 1 −6a − 1 −7 x = y = z= a −1 a −1 a −1 • Si a = 1, el rango de A es 2 y el rango de A* es 3. El sistema es incompatible.

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 1 1 0 1 1 0 5     * b) Sean A =  0 1 3  y A =  0 1 3 a  .  1 0 1  1 0 1 1    

El rango de A es 3 para cualquier valor de a. El sistema es siempre compatible determinado y su solución es: 8 −a a + 12 a −4 x = y = z= 4 4 4  2 −1   c) Sean A =  a 3  y A* =  3 −1  

 2 −1 a    a 3 4  3 −1 2   

El rango de A es 2 para cualquier valor de a. El determinante de A* es A = − a 2 − 7a + 8 . Discusión: • Si a ≠ 1 y a ≠ 8, el rango de A es 2 y el rango de A* es 3. El sistema es incompatible. • Si a = 1, el rango de A es 2 y el rango de A* es 2. El sistema es compatible determinado y su solución es x = 1; y = 1. • Si a = -8, el rango de A es 2 y el rango de A* es 2. El sistema es compatible determinado y su solución es x = 10; y = 28.

5. Queda: a) El rango de A es 2 y el rango de A* es 2. El sistema es compatible determinado y las dos rectas se cortan en el punto de coordenadas x = 7/5; y = 1/5. b) El rango de A es 2 y el rango de A* es 2. El sistema es compatible indeterminado y los tres planos se cortan en una recta. c) El rango de A es 3 y el rango de A* es 3 El sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en el punto de coordenadas x = 2,2; y = -0,8; z = -1,6. 6. Queda del siguiente modo: a) Si a ≠ -1, el rango de la matriz A es 3 y el rango de A* es 3. El sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un punto. Si a = 1, el rango de A es 2 y el rango de A* es 3. El sistema es incompatible y los tres planos se cortan dos a dos.

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b) Si a ≠ 1, el rango de la matriz A es 3 y el rango de A* es 3. El sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un punto. Si a = 1, el rango de A es 1 y el rango de A* es 2. El sistema es incompatible y de los tres planos dos coinciden y el tercero es paralelo a los dos anteriores. c) Si a ≠ 1, el rango de la matriz A es 2 y el rango de A* es 2. El sistema es compatible determinado y las dos rectas se cortan en un punto. Si a = 1, el rango de A es 1 y el rango de A* es 1. El sistema es compatible indeterminado y las dos rectas coinciden. 7. Queda: a) Si k = − 3 el sistema es compatible indeterminado. La solución de este sistema en este caso es la siguiente: x = 2t , y = − 5t , z = 3t ∀ t ∈ » . Si k = 2 el sistema es compatible indeterminado. Su solución es: x = t, y = 0, z = − t ∀ t ∈ » Si k ≠ − 3 y k ≠ 2 el sistema es compatible determinado y su solución es: x = 0; y = 0; z = 0 b) Si k = − 8 el sistema es compatible indeterminado. La solución de este sistema en este caso es la siguiente: x = t, y = 7t , z = 19t ∀ t ∈ » . Si k ≠ − 8 el sistema es compatible determinado y su solución es la trivial: x = 0; y = 0; z = 0

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SOLUCIONES 8. Llamando x, y, z al precio por unidad de cada uno de los ingredientes obtenemos el siguiente sistema:

2 x + 2y + z = 23 − 3  x = 8   1x + 2y + 2z = 17 − 3 ⇒ y = 1   z = 2 x + y z = 14 − 3   Cada unidad de A cuesta a 8 euros, cada una de B a 1 euro y cada una de C a 2 euros. 9. Llamando x a los kg de cacao, e y a los kg de almendra, queda: 2( x + y ) = kg de leche Imponiendo las condiciones del problema obtenemos: 2( x + y ) + x + y = 9 000  3 x + 3 y = 9 000   x = 2000 ⇒ ⇒  2( x + y ) ⋅ 0,8 + 4 ⋅ x + 10 ⋅ y = 22 800  5,6 x + 11,6 y = 22800   y = 1000

Utiliza 2 000 kg de cacao, 1 000 kg de almendra y 6 000 kg de leche. 10. Llamamos x, y, z al precio de las localidades de los tres tipos. Obtenemos:

z / y = 19 / 18  x = 15    y / x = 6 / 5  ⇒ y = 18 x + y + z = 52 z = 19  La localidad de Fondo cuesta 15 euros, la de General 18 euros y la de Tribuna 19 euros. 11. Llamamos x al número de viajeros que pagan el billete entero, y a los que pagan el 20% y z a los que pagan el 50%. Obtenemos:

 x = 120    9 x + 1, 8 y + 4, 5z = 2 142 ⇒ y = 240   z = 140  y = 2x   x + y + z = 500

12. Sea x la edad de Andrés, y la de Juan y z la de Luis:

2 x + 3 y = 4z + 3 2 x + 3 y − 4z = 3  x = 17     3z − 2y = 2 x − 7  ⇒ 2 x − 2y + 3z = − 7 ⇒ y = 15 2 x + 2z = 5 y − 3  2 x − 5 y + 2z = − 3 z = 19 

Andrés tiene 17 años Juan tiene 15 años Luis tiene 19 años

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13. Llamando x, y, z al número de vehículos que importa de las marcas A, B, C respectivamente, e imponiendo las condiciones del problema obtenemos:

 x = 6 000    7 500 x + 9 100 y + 12 000z = 201, 8 ⋅10  ⇒ y = 8 000   z = 7 000  x = ( 40 / 100)( y + z )   x + y + z = 21000

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6000 vehículos marca A 8000 vehículos marca B 7000 vehículos marca C

14. Sean x, y, z los valores de una chaqueta, una blusa y un pantalón, respectivamente. El enunciado nos permite escribir el sistema: = 200 2 x + y   x + y + z = 100 El sistema es compatible indeterminado y sus soluciones pueden expresarse en la forma:

z   x = 100 − 3   y = 2z  3 Si compramos 5 chaquetas, un pantalón y una blusa, nos cobrarán: 5 x + y + z = 5(100 −

z 2z 5 z 2z )+ + z = 500 − + + z = 500 euros 3 3 3 3

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SOLUCIONES 15. Se tiene que:

3 x − 2y + 4z = 8 3 x − 2y + 4z = 8 3 x − 2y + 4z = 8 3 x − 2y = 8 − 4z   ⇔ 5 y + 2z = − 5 ⇔  ⇔  x + y + 2z = 1 5 y + 2z = − 5 5 y = − 5 − 2z 7 x − 8 y + 8z = 22 10 y + 4z = − 10   Las soluciones son: x = 2 − 8t ; y = − 1− 2t ; z = 5t con t ∈»

16. El sistema es incompatible. Las dos últimas rectas son paralelas y la primera corta a ambas. 17. Queda:

2m + 3   x  1  3   =  1   y  1  − 3m

a) 

b) Si m ≠ −

Si m = −

1 y m ≠ − 1 , el sistema es compatible determinado. 2

1 , el sistema es incompatible. 2

Si m = − 1 , el sistema es compatible indeterminado. c) Para m = 5 , la solución es: x = −

2 1 ,y = 33 11

18. Queda: a) El sistema es compatible indeterminado y sus soluciones en este caso vienen expresadas del siguiente modo: x = 1+ 2t , y = 2 + t , z = t con t ∈» . b) Con la ecuación − x + y + z = 1, el sistema es compatible indeterminado. Con la ecuación x + y + z = 3 , el sistema es compatible determinado. Con la ecuación − x + y + z = 5 , el sistema es incompatible.

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19. Llamando x, y, z a las edades del padre, madre e hijo, respectivamente, obtenemos:

y = 3z  x + y + z = 80  x = 40 años     x + y + z = 80  ⇒ y − 3z = 0  ⇒ y = 30 años  y + 5 + z + 5 = 5 + x + 5  x − y − z = 0  z = 10 años 

20. Llamando x, y, z al número de hombres, mujeres y niños que van de excursión, obtenemos:

x + y + z = 20 x + y + z = 20  x = 48    x + y = 3z  ⇒ y + y − 3z = 0 ⇒ y = 7   − x + y = −1  z = 5  y +1 = x    Van de excursión 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. 21. Sea el numero xy.

 x + y = 16  x + y = 16  x = 7  ⇒ ⇒ ⇒  Luego el número es 79. 10 x + y + 18 = 10 y + x  9 x − 9 y = − 18 x − y = − 2 y = 9 x + y = 16

22. La solución queda:

 2 1

 a) A ⋅ At =   1 6

El sistema pedido es:

 5 2 1   b) A ⋅ A =  2 1 1   1 1 2   t

2x + y = 0   Y su única solución es x = 0; y = 0 . x + 6 y = 10

5 x + 2y = 1  El sistema pedido es: 2 x + y = 1 x + y = 2 

Este sistema es compatible determinado y su solución es: x = − 1; y = 3

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23. La solución queda:

El lunes fueron al cine x personas, el martes fueron fueron

112 x personas y, por tanto, el miércoles 100

88 112 ⋅ x personas. 100 100

A partir del enunciado, obtenemos: x = 36 +

88 112 ⋅ x ⇒ x = 2 500 Personas. 100 100

El lunes hubo 2 500 espectadores, el martes hubo 2 800 espectadores y, finalmente, el miércoles hubo 2 464 espectadores. 24. La discusión queda: • Si t = − 3 el sistema es compatible indeterminado. • Si t = 2 el sistema es compatible indeterminado. • Si t ≠ − 3 y t ≠ 2 el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial x = 0; y = 0; z = 0 .  x = 2t  • Si t = − 3 la solución es:  y = − 5t con t ∈ »  z = 3t  Para z = 1 la solución es: x =

2 −5 ; y= ; z =1 3 3

x = − t  • Si t = 2 la solución del sistema es:  y = 0 con t ∈ » z = t  Para z = 1 la solución del sistema es: x = − 1; y = 0 ; z = 1

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Sistemas de ecuaciones lineales para mates ccss

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