Page 1

Unidad 2 – Polinomios y fracciones algebraicas PÁGINA 35

SOLUCIONES 1. Diremos que: a) Resto 0; Cociente x 2 − 4 x + 4 b) Resto 14; Cociente x 3 + 2 x 2 + 4 x + 7

2. Utilizando el teorema del resto: Resto = A( −3) ⇒ 5 = ( −3)3 + a ( −3) 2 − 7(−3) − 2 ⇒ a =

13 9

3. La descomposición queda: a) x 3 − 5 x 2 + 6 x = x ( x − 2) ( x − 3 ) b) x 4 − 16 = ( x − 2) ( x + 2) ( x 2 + 4)

4. Operando obtenemos: x2 + 1

( x − 1) ( x + 1)

x ( x − 1) 2

x +1

=

x x +1

21


PÁGINA 49

SOLUCIONES 1. Sí puede ser cierto; se trata de dos padres que se han casado cada uno con la hija del otro. 2. Diremos que: a1 = 7 a2 = 8 ⋅ an = 7 + (n − 1) ⋅1= n + 6 Además sabemos que an + n = 42 ⇒ n = 18 damas. an = 42 − 18 = 24 caballeros. Había 18 damas y 24 caballeros.

3. Luis tarda 15 minutos en llegar a la sierra. La perra, por lo tanto, ha estado moviéndose durante 15 minutos. Por tanto ha recorrido: 16 km :4 = 4 kilómetros. h 4. Diremos que: 2 000 − 19 xy = 9 + x + y 2 000 − (1000 + 900 + 10 x + y ) = 9 + x + y ⇒ 11x + 2y = 91 ⇒ x = 7

y =7

Es decir, Astérix nació en el año 1 977 y en el año 2 000 tendrá 23 años.

22


PÁGINA 52

23


SOLUCIONES 1. Quedan del siguiente modo: • Mediante identidad de polinomios:

( x 2 − 3)(ax + b ) = x 3 + 2 x 2 − 3 x − 6 ax 3 + bx 2 − 3ax − 3b = x 3 + 2 x 2 − 3 x − 6 Identificando coeficientes obtenemos: a = 1, b = 2 ⇒ el polinomio A( x ) = x + 2 • Mediante división:

A( x ) =

x 3 + 2x 2 − 3 x − 6 x2 − 3

=x+2

2. El cálculo queda: a) ax 2 + 6 x + b = (2 x + c )2

ax 2 + 6 x + b = 4 x 2 + 4cx + c 2

⎧a = 4 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨b = 9 4 ⎪ ⎪c = 3 ⎩ 2

b) ( x − 2)(ax 2 + bx + c ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 14 x − 8

⎧a = 2 ⎪ ⎪b − 2a = −9 3 2 2 3 2 ax + bx + cx − 2ax − 2bx − 2c = 2 x − 9 x + 14 x − 8 ⇒ ⎨ ⎪c − 2b = 14 ⎪ ⎩−2c = −8

⇒ a=2 ⇒ b = −5 ⇒ c=4

3. Quedarían: P(2) = (3 ⋅ 2 − 2)2 = 16 Q( 2) = (4 2 − 1)(4 2 + 1) = 31 2

⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ P ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⋅ − 2 ⎟ =1 ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ − 1⎟ ⎜ + 1⎟ = 3 Q⎜ − ⎟ =⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ R(0) = − 9

24


4. Operando y utilizando la identidad de polinomios: a =1

b=− 2

5. Las descomposiciones pedidas son: a) A(x) = ( x − 3)( x + 3)( x − 4)( x + 4) b) B(x) = x ( x + 1)2 c) C(x) = ( x − 1)2 ( x + 1)

⎛ ⎝

d)D(x) = 8 ( x − 1) ⎜ x −

1 ⎞⎛

3⎞ ⎟⎜ x + ⎟ 4 ⎠⎝ 2⎠

e)E(x) = ( x + 1)2 ( x + 1)( x − 3) 6. En cada uno de los casos descomponemos los polinomios en factores y calculamos el MCD y el mcm.

a) A( x ) = x ( x − 3) ( x − 2)⎫ ⎪

⎬ ⇒

B( x ) = ( x + 3) ( x − 2) ⎪ ⎭

b) C( x ) = ( x − 3) ( x 2 − x + 2)⎫ ⎪ D( x ) = ( x − 2)2 ( x − 1)

MCD [ A( x ), B( x )] = ( x − 2) mcm [ A( x ), B( x )] = x ( x − 3) ( x − 2) ( x + 3) MCD [C ( x ), D( x )] = 1

⎬ ⇒ mcm [C ( x ), D( x )] = C ( x ) ⋅ D( x ) ⎪⎭

⎫ MCD [E ( x ), F ( x )] = 2 ( x − 2) c) E( x ) = 2 ( x + x + 1) ( x − 2)⎪ ⎪ ⎬ ⇒ mcm [E ( x ), F ( x )] = –2 ( x − 2) ( x 2 + x + 1) ⎛ x + 5 ⎞ ⎜ ⎟ 5 ⎛ ⎞ 2⎠ ⎝ F( x ) = –2 ( x − 2) ⎜ x + ⎟ ⎪ 2⎠ ⎪ ⎝ ⎭ 2

25


7. Quedaría: a) El resto de dividir P(x) por x − 3

1

debe ser cero.

2 2

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 Resto = P ⎜ ⎟ ⇒ 2 ⎜ ⎟ − K ⎜ ⎟ + + 6 = 0 ⇒ K = 27 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 b) Ha de ser divisible por ( x − 2) y por ( x + 2) . Por tanto: A(2) = 0 ⎫ ⎪

8 + 24 + 2a + b = 0 ⎫ a = −4 ⎪ ⎬ ⇒ ⎬ ⇒ −8 + 24 − 2a + b = 0 ⎪ A( −2) = 0 ⎪ b = −24 ⎭ ⎭

c) Queda:

(

Resto = − 3

)

5

(

−4 − 3

)

3

(

)

−m − 3 =5 3 ⇒ m = 2

d) Queda:

⎛ ⎝

Resto = C ⎜ −

1 ⎞

⎛ 2⎠ ⎝

⎟= ⎜−

1 ⎞

2

⎛ 1 ⎞ 1 ⎟ − 2⎜− ⎟+ = 2 2⎠ 2⎠ 2 ⎝

e) Queda: Para que sea divisible por (x – 2 ) ⇒ B(2) = 0 ⎫

8 + 4a + 2b + c = 0 ⎫ a = −3 ⎪ ⎪ ⎪ Para que sea divisible por (x+1) ⇒ B( −1) = 0 ⎬ ⇒ −1 + a – b + c = 0 ⎬ ⇒ b = 0 ⎪ ⎪ c=4 c=4 ⎭ ⎪ Para que dé resto 4 al dividir por x ⇒ B(0) = 4 ⎭

26


PÁGINA 53

27


SOLUCIONES 8. Queda en cada caso:

5 x − 15 x

5 x ( x − 3)

2

a)

b)

c)

10 x + 15 x 3

2x − 4 x − 4x + 4 2

6−x−x

x + 2x − 8

5 x (2 x + 3)

( x − 2)

2

=

x −3 2x + 3x 2

2 x −2

( x − 2) ( x + 3) ( −1)

=

( x − 2) ( x + 4)

x − x − 8 x + 12

=

−x − 3 x+4

( x − 2) ( x + 3)

2

2

x − 6 x + 2 x + 12 3

=

2

2 ( x − 2)

=

2

2

3

d)

=

2

2

=

( x − 2) ( x − 4 x − 6) 2

=

( x − 2) ( x + 3) x − 4x − 6 2

x +x−6 2

=

x − 4x − 6 2

9. Queda en cada caso: a)

b)

c)

d)

e)

5x x +3

2x − 1 x −4 2

7x x −3

3

+

2 x+2 5

2x − 6

2

x −2

x +3

5x − 7x + 9

=

( x + 3 ) (x − 2)

=

x −1

:

x −4 6x

+

2

5x + 5

x 2 −1

2 x + 6 −3 x − 9

=

=

7 x + 22 x + 15 2

x −9

x − 1 4 x − 12 2

3 2

=

x −9 2

2 ( x − 3) ⋅ 5 ⋅ ( x + 1) ( x − 1) (x + 1) ⋅ 4 ⋅ ( x − 3) ( x − 1) ⋅ ( −3) ⋅ ( x + 3) 2 ( x + 3 ) (x − 1) (x + 1)

=

=

5 2x − 2 −3 2x + 2

x − 6 x + 5 2 x 2 − 8 2 x − 10 ( x − 1) (x − 5 ) ⋅ 2 ⋅ (x − 2 ) (x + 2 ) ⋅ x ⋅ (x + 3 ) f) : = x−2 ⋅ = ( x + 2 ) (x + 3 ) ⋅ x ⋅ (x − 1) ⋅ 2 ⋅ (x − 5 ) x + 5x + 6 x − x x + 3x 2

2

2

2

1 ⎞ x −1 x −1 x −1 ⎛ g) ⎜ x − ⎟ : : = = x +1 x⎠ x x x ⎝ 2

28


x ⎞ ⎛ x ⎞ x x − 2x x ( x − 1) x : = = ⎟:⎜x − ⎟= x − 1⎠ ⎝ x − 1⎠ x − 1 x − 1 ( x − 1) ⋅ x ⋅ ( x − 2) x − 2

⎛ ⎝

2

h) ⎜ x +

2

2

⎛ x 3 ⎞ x + 9 x x − 9 x + 9 x ( x − 3 ) (x + 3) ⋅ x ⋅ ( x + 9) − ⎟⋅ = ⋅ = = x −3 3x 3 ⋅ x ⋅ ( x − 3) ⎝3 x ⎠ x −3 3

2

3

2

i) ⎜

(x + 3 ) (x + 9)

x + 3 x + 9 x + 27

2

=

j)

3

3

=

2

3

x +1 ⎛ 1 −2 ⋅ (x + 1) −1 1 ⎞ x +1 −2 = = ⋅⎜ − = ⋅ ⎟ 2x ⎝ x + 1 x − 1 ⎠ 2 x ( x + 1) (x − 1) 2 ⋅ x ⋅ ( x + 1) (x − 1) x − x 2

10. La descomposición en cada caso queda: a)

b)

c)

5x + 2

=

3x + x 2

5x + 2 x (3 x + 1)

2 x + 10 3

x − 2x + 3 x − 6 2

2x − 1 x + 2x − 8 2

=

=

( x − 2 ) (x + 3) 2

=

x − x + 2x − 2 2 x − 10 x + 20

x − 2x − 4 x + 8 2

2x + x − 2x − 2 3

f)

x +x −2 x + 2 x − 4 2

g)

3

x − 4x x +2 2

h)

i)

x +1

=

( x − 1) (x + 2)

x − 2x + 1 2

2 x − 10 x + 20 ( x + 2 ) (x − 2)

2

3

2

+

x −1 3

=

x+2

x +1 x +2 2

+

(2 x − 1) (x + x ) − x − 2

2 ( x − 2)

2

+

2

=

= (2 x − 1) +

x +x 2

−2 x + 2 x − 4 x ( x − 2 ) (x + 2)

x +1

=

=

2

=

x +3

3

2

=

−2 x − 2

2 + 2 x−2 x+4

2

( x + 1) (x − 1) + 3

2 − x − x2

=

+

x−2

1

4x + 5

2

2

2

=

2

2

3

3x + 1

( x − 2 ) (x + 4)

2

e)

1

2x − 1

4x + 5 3

x

2 x + 10

2

d)

2

=

= x − 1+

−( x + 2 ) (x − 1) (x − 1)

2

=

=

1 x

+

−1 x−2

+

−1 x −2 −x − 2 x ( x + 1)

= 2x − 1 +

−2 x

+

1 x +1

−2 x+2

3 x +1

−x − 2 x −1

= − 1−

3 x −1

29


11. Los valores en cada caso son: a)

−2

+

Ax + B

x − 2 ( x + 1)

2

−2 ( x + 1) + ( Ax + B ) (x − 2) 2

=

(x − 2 ) (x + 1)

2

⇒ −2 ( x + 1) + ( Ax + B ) (x − 2) = 3 x − 12 x − 6 2

2

Por el principio de identidad de polinomios obtenemos:

b)

−2 x−2

+

A ( x+1)

2

+

B x +1

A =5 y B=2

−2 ( x + 1) + A ( x − 2) + B ( x − 2) ( x + 1) 2

=

( x − 2) ( x + 1)

2

⇒ −2 ( x + 1) + A ( x − 2) + B ( x − 2) ( x + 1) = 3 x − 12 x − 6 2

2

Por el principio de identidad de polinomios obtenemos:

A =− 3 y B=5

12. Queda:

El polinomio es : P( x ) = ax 2 + bx + c Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos : P (0) = −5 ⇒ c = −5

a=2 ⎫ ⎪ P ( −1) = 0 ⇒ a − b + c = 0 ⎬ ⇒ b = −3 ⎪ P ( −2) = 9 ⇒ 4a − 2b + c = 9 ⎭ c = −5 El polinomio buscado es : 2 x 2 − 3 x − 5.

30


PÁGINA 54

31


SOLUCIONES 13. Utilizando el binomio de Newton y operando obtenemos: a) ( 3 + x ) = 243 + 405 x + 270 x 2 + 90 x 3 + 15 x 4 + x 5 5

b) (1+ 2 x ) = 1+ 12 x + 60 x 2 + 160 x 3 + 240 x 4 + 192 x 5 + 64 x 6 6

c) ( 4 − x ) = 16 384 − 28 672 x + 21504 x 2 − 8 960 x 3 + 2 240 x 4 − 336 x 5 + 28 x 6 − x 7 7

(

d) −2 + 2

)

4

= 68 − 48 2 5

1 ⎞ 61484 3 297 676 ⎛ e) ⎜ 3 3 − ⎟ = − 3⎠ 27 243 ⎝

(

f) −3 + 2 x 2

)

5

= 32 x 10 − 240 x 8 + 720 x 6 − 1080 x 4 + 810 x 2 − 243

4

1 3 27 2 27 3 81 4 ⎛1 3 ⎞ g) ⎜ − x ⎟ = − x + x − x + x 32 32 256 ⎝ 2 4 ⎠ 16 8 5

1 5 10 2 ⎛1 ⎞ h) ⎜ − 3 x ⎟ = + x+ x − 30 x 3 + 135 x 4 + 243 x 5 3 243 27 3 ⎝ ⎠ 14. En cada uno de los casos quedaría: 4

1 ⎞ 945 ⎛7⎞ 3 ⎛ a) T5º = ⎜ ⎟ ⋅ ( 3 x ) ⋅ ⎜ − ⎟ = x ⎝ x⎠ ⎝ 4⎠ 5

1⎞ 189 ⎛7⎞ 2 ⎛ b) T6º = ⎜ ⎟ ⋅ ( 3 x ) ⋅ ⎜ − ⎟ = − 3 ⇒ Coeficiente = − 189 x ⎝ x⎠ ⎝5⎠ 3

1⎞ ⎛7⎞ 4 ⎛ c) T4º = ⎜ ⎟ ⋅ ( 3 x ) ⋅ ⎜ − ⎟ = − 2835 x ⇒ Exponente del término en x es 1 ⎝ x⎠ ⎝3⎠ 15. Desarrollando cada una de las potencias mediante la fórmula del binomio de Newton obtenemos:

( x + 3)4 + ( x − 3)4 = ( x 4 + 12 x 3 + 54 x 2 + 108 x + 81) + ( x 4 − 12 x 3 + 54 x 2 − 108 x + 81) = = 2 x 4 + 108 x 2 + 162

32


16. Ambos resultados quedan: 1 a)

(1 − 2 x ) ⋅ (1 − x ) 1 1+ x 1− x (1 − x ) ( 1 + x ) = = = x − 2x x (1 − 2 x ) x (1 − x ) ( 1 + x ) ( 1 − 2 x ) x ( x + 1) 1− x 1− x 2

2

1+ 2 x b)

1 − 2x

x

5

−2

5 ⋅ ( x − 2) 1 x −2 = x −2 = = 2 + 4x 5x 5 x ( x − 2) x 1+ x −2 x −2

17. Los polinomios pedidos son: a) P(x) = − 1⋅ ( x − 1)

( x − 0 )( x + 1) = − x + x + x − x b) P(x) = 2 ⋅ ( x + 1) ( x + 2 ) = 2 x + 10 x + 18 x + 14 x + 4 c) P(x) = a ⋅ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 )( x − 4 ) = a ⋅ ( x − 10 x + 35 x 2

4

3

4

3

3

2

2

4

3

2

− 50 x + 24)

18. Operamos y aplicamos el principio de identidad de polinomios:

5 x 2 − x + 12 x3 + 4x

=

(

)

A x 2 + 4 + ( Bx + C ) x

(

x x2 + 4

)

⎧ A=3 ⎪ ⇒ 5 x − x + 12 = ( A + B ) x + Cx + 4 A ⇒ ⎨ B = 2 ⎪C = − 1 ⎩ 2

2

19. Queda lo siguiente:

⎛ 10 ⎞ 5 5 2 ⋅ (1) ⋅ ( x ) = 252 x ⎟ 5 ⎝ ⎠

a) T6º = ⎜

⎛ 12 ⎞ 6 6 6 6 6 6 ⋅ ( 3 ) ⋅ ( −4 x ) = 924 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ x = 2 759 049 216 x ⎟ 6 ⎝ ⎠

b) T7º = ⎜

⎛ 12 ⎞ 2 12 − n ⎟⋅( x ) ⋅ ⎝n⎠

c) Tn + 1 = ⎜

Por tanto :

24 −

3n 2

( ) x

= 18

n

⎛ 12 ⎞ 24 − 2 ⎜ n ⎟⋅ x ⎝ ⎠

3n

=

⇒ n = 4 es el término quinto.

33


20. Desarrollamos:

⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ Tn +1 = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ ⎝ x ⎠

6−n

⎛6⎞ n n ⋅ ( −2 x ) = ⎜ ⎟ ⋅ x n − 6 ⋅ x n ⋅ ( − 2 ) = ⎝n⎠

⎛ 6 ⎞ 2 n −6 n ⋅ ( −2 ) ⎜ n ⎟⋅ x ⎝ ⎠

Por tanto, el término independiente cumplirá : 2n − 6 = 0 ⇒ n = 3 El valor del término independiente es : 3

⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 T4º = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ( −2 x ) = − 160 ⎝3⎠ ⎝ x ⎠

21. Ambos resultados quedan:

x −a a)

x +a 2

2

−2ax

x+a −2ax ( x + a ) = x −a = = −4ax −4ax ( x − a ) ( x + a ) 2 x − 2a ⎛ x −a ⎞ ⎜ x + a ⎟ −1 ( x + a) ⎝ ⎠

x +a

x −a 2

2

2

2

2

2

2

2

m ⎞ 2 ⎛ 1 1 2m + 1 + ⎜ 1− m + 1 ⎟ ⎠ ⋅ m m = (m + 1) ⋅ m = b) ⎝ 2

2

1+ =

m

1 m ( m − 1) 2

1−

m +1 =

2

1

2m + 1

m −1

m

m +1

m

(2m + 1) ⋅ ( m + 1) ⋅ m ( m + 1) ⋅ (2m + 1) ⋅ m ⋅ ( m − 1) 2

2

=

1 m −m 3

34

Tema 2  

Soluciones de los ejercicios sobre polinomios y fracciones algebraicas del tema 2

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you