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Página 96 s24 a) Considera la matriz A =

(

1 0 –1 2 1 1

)

y calcula el rango de las matrices

AAt y AtA. b) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AtA. c) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AAt. a) A =

(

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 0 –1 2 1 1

At

)

8 At =

1 2 0 1 –1 1

1 2 1 0 –1 2 1 = · 0 1 = 2 1 1 1 6 –1 1

At · A =

1 2 5 0 1 · 1 0 –1 = 2 2 1 1 –1 1 1

8 ran (AA t ) = 2

2 1 1

1 1 2

8 ran (A t A) = 2

b) Como el rango es 2, seleccionamos el menor:

| 52 21 | = 1 ? 0 Podemos suprimir la 3.a ecuación y pasar la z al segundo miembro: 5x + 2y = –z ° ¢ 8 x = z, y = –3z 2x + y = –z £ Soluciones: x = l, y = –3l, z = l c) Como ran (AA t ) = 2 = n.° de incógnitas, el sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0

( ) ( )

–3 1 1 s25 Dadas A = 1 –2 0 0 2 0

0 2 0 y B = 1 –2 1 : 2 0 1

a) Halla A–1 y B –1. b) Halla la matriz inversa de A · B. c) Comprueba que (AB )–1 = B –1 · A–1. a) | A | = 2 ? 0 8 Existe A –1

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1

aij ÄÄÄ8 Adj (A) ÄÄÄ8

(Adj (A))t ÄÄÄ8 | | (Adj (A))t A

(

0 0 2

0 0 2 –2 0 –6 2 –1 5

) ( 8

0 2 2

0 0 1

2 6 5

) ( 8

2 0 6

2 1 5

)

8

(

0 1 · 0 2 2

2 0 6

)

2 1 = A –1 5

Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes

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M2CCSST03-Resolución de sistemas con determinantes  

Ejercicios de sistemas de ecuaciones y de determinantes.

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