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TAREA 5

Adriรกn Riquelme Guill


Didáctica y aproximación al currículo de las matemáticas

Tarea 5

Para la realización de la tarea se ha escogido un problema de 3º de E.S.O. que podemos encontrar en el libro de texto de la editorial Santillana en el tema de sistemas de ecuaciones. El problema dice así: “Hace tres años la edad de un tío era el triple que la edad de su sobrino, pero dentro de cinco años será sólo el doble. ¿Cuáles son las edades del tío y del sobrino?” A continuación se va a resolver el problema siguiendo las cuatro etapas esenciales de Polya.

1. Comprender el problema. En primer lugar, los alumnos leerán el enunciado lentamente. A continuación contestarán las siguientes preguntas: -

¿Cuáles son los datos? O ¿Qué conocemos? Sabemos que hace 3 años la edad del tío era el triple que la del sobrino. Y que dentro de 5 años la edad del tío será el doble que la del sobrino

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¿Cuáles son las incógnitas? O ¿Qué buscamos? Queremos averiguar la edad del tío y del sobrino, por lo que las incógnitas serán: x = edad del tío. y = edad del sobrino.

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Encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Esto consiste en plantear el sistema de ecuaciones, es decir, convertir el enunciado a lenguaje algebraico. Edad

Edad hace 3 años

Edad dentro de 5 años

Tío

x

x–3

x+5

Sobrino

y

y–3

y+5

La edad del tío es el triple que la del sobrino: x–3=3(y–3)

La edad del tío es el doble que la del sobrino: x+5=2(y+5)

Por lo tanto el sistema a resolver es el siguiente: x–3=3(y–3) x+5=2(y+5)

2. Concebir un plan. -

¿Este problema es parecido a otro que ya conocemos? Un vez llegados a este punto se trata únicamente de resolver el sistema obtenido. Comprobamos que este es muy parecido a los que se ven en el tema de la forma ax + by = c a’x + b’y = c’

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¿Se puede plantear el problema de otra forma? Sí, se puede expresar de la forma anterior quitando los paréntesis y agrupando términos, para ello se realizan las siguientes operaciones: x–3=3(y–3)

x – 3 = 3y – 9

x – 3y = -6

x+5=2(y+5)

x + 5 = 2y + 10

x – 2y = 5

De modo que hemos obtenido el mismo sistema pero con una estructura más sencilla, lo que simplifica su resolución. A continuación se trata de resolver el sistema empleando cualquiera de los métodos de resolución que se ven en la unidad, es decir, podemos resolver por sustitución, igualación, reducción o empleando el método gráfico. De este modo, obtendremos los valores de x e y, es decir, las edades del tío y el sobrino. -

Suponiendo que el problema ya esté resuelto, ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de salida? Como solución del problema obtendremos que el tío tiene x años y el sobrino y años. Esta solución está relacionada con el problema planteado, de modo que si sustituimos los años del tío por la x y los del sobrino por la y, en cualquiera de los sistemas planteados, se cumplirán las dos igualdades. Si esto no ocurre indica que o bien nos hemos equivocado planteando el problema o bien resolviéndolo.

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¿Se utilizan todos los datos? Como se puede observar en el apartado anterior al relacionar los datos con las incógnitas, se han utilizado todos los datos de los que se disponía.

3. Ejecución del plan. En este apartado se trata de resolver el problema planteado, a partir del plan trazado anteriormente. Por tanto, resolveremos el sistema simplificado obtenido en el apartado anterior. El sistema se puede resolver por sustitución, igualación, reducción o con el método gráfico. En este caso vamos a resolver por reducción. Para ello multiplicamos la 2ª ecuación por -1 y sumamos las dos ecuaciones. x – 3y = -6 -x + 2y = -5 -y = -11  y = 11 A continuación sustituimos y = 11 en la 1ª ecuación para obtener la x. x – 3·11 = -6  x – 33 = -6  x = 33 – 6 = 27 Por tanto obtenemos que el tío tiene 27 años y el sobrino tiene 11 años. -

Comprobar cada uno de los pasos. En primer lugar comprobamos que no hemos cometido ningún error al pasar el enunciado a lenguaje algebraico. A continuación comprobamos que no hemos

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cometido fallos quitado los paréntesis y “arreglando” el sistema. Por último comprobamos que las operaciones realizadas son correctas. -

¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? En la resolución del sistema se puede ver claramente que cada paso es correcto, esto es debido a que se ha realizado de una manera ordenada y a que antes de realizar las operaciones se explica brevemente qué se va ha hacer.

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Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y plantear el problema de nuevo. Si el bloque surge en la resolución del sistema se puede volver al sistema inicial, y probar con otro método de resolución.

4. Examinar la solución obtenida. -

Leer de nuevo el enunciado y ver que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. En este caso, se pedía obtener la edad del tío y el sobrino, que es exactamente lo que se ha obtenido.

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¿La solución parece lógicamente posible? Sí, ya que el tío es mayor que el sobrino.

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¿Se puede comprobar la solución? Sí, para ello en el sistema inicial sustituimos la x e y obtenidas. x–3=3(y–3)

x = 27

27-3 = 3(11-3)

24 = 24

x+5=2(y+5)

y =11

27+5 = 2(11+5)

32 = 32

Como las igualdades se cumplen, la solución obtenida es correcta. -

¿Hay algún otro modo de resolver el problema? Sí. Uno vez tenemos el sistema lo podemos resolver por cualquiera de los cuatro métodos anteriormente comentados.

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¿Se puede hallar alguna otra solución? No. La solución es única, ya que hay un único valor de x y otro de y tales que se cumplan las dos igualdades (se trata de un sistema compatible determinado).

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Acompañar la solución de una explicación. Al final del problema se debe escribir lo que hemos hallado, es decir, se debe poner: El tío tiene 27 años y el sobrino tiene 11 años.

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Tarea Polya  

Resolución de tarea siguiendo las cuatro etapas esenciales del Polya

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