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GUÍA DOCENTE Autoras: Irma Saiz y Cecilia Parra Edición: Gabriela Comte, Gabriel H. Lagoa y Evelyn Orfano Jefe del departamento de diseño: Lucas Frontera Schällibaum

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Hacer Matemática en 1° es un proyecto para Primer Ciclo de la Enseñanza Primaria, ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S.A. Corrección: Daniela Donni Coordinación de imágenes y archivo: Samanta Méndez Galfaso Tratamiento de imágenes: Máximo Giménez, Tania Meyer y Pamela Donnadio Fotografía: Archivo Editorial Ilustraciones: Mariela Glüzmann Diseño de interior: Silvina Álvarez Realización gráfica: Silvina Álvarez y Pamela Donnadio Gerente de Diseño y Producción Editorial: Carlos Rodríguez

Parra, María Cecilia Hacer matemática en 1º guía docente / María Cecilia Parra y Irma Elena Saiz. – 1a ed. – Boulogne Sur Mer : Estrada, 2011. 96 p. ; 28x20 cm. ISBN 978–950–01–1334–2 1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Saiz, Irma Elena II. Título. CDD 371.1

© Editorial Estrada S.A., 2011. Editorial Estrada S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Avda. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en la Argentina. Printed in Argentina. La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la discriminación, la xenofobia y el racismo (Inadi) con los editores de textos. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en xxxxx de xxxx, en los talleres Xxxxxxxx, Xxxxxxxxx.

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ÍNDICE A más de diez años…. .................................................................................................

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El libro de texto y los escenarios de enseñanza..................................................................... 6 Enseñar y aprender matemáticas en la escuela primaria...................................................... 7 Cómo pensamos Hacer Matemática en 1º........................................................................... 11 Los juegos en las clases de matemática............................................................................... 16 Organización de las fichas por ejes de contenido.................................................................. 19

NÚMERO Y OPERACIONES............................................................................................... 25 Contar y comparar colecciones y números............................................................................... 31 Resolver problemas aditivos. Utilizar procedimientos mentales para sumar y restar.................. 36 © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Utilizar los números en contextos variados............................................................................... 48 Conocer la serie numérica oral y escrita................................................................................... 54

GEOMETRÍA Y MEDIDA...................................................................................................... 63 Organización del espacio......................................................................................................... 66 Representación gráfica............................................................................................................ 71 Formas geométricas................................................................................................................ 73 Regularidades gráficas............................................................................................................ 77 Medida.................................................................................................................................... 78

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN......................................................................... 83 Identificación de elementos a partir de sus características........................................................ 86 Extracción de información presente en distintos portadores...................................................... 88

BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................... 91

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A más de diez años… Han pasado ya diez años desde que hicimos la primera versión de estos libros. A lo largo de este tiempo, hemos tenido la alegría de saber que muchos maestros los han utilizado y que han resultado productivos para la actividad matemática de sus alumnos. Hemos tenido también la enorme satisfacción de enterarnos de que a los chicos les gustan estos libros; que se alegran cuando el maestro pide que los “saquen”…, que reclaman si pasan muchos días sin usarlos, que se los quieren llevar a la casa de la abuela o llevarlos en un largo viaje. Tuvimos ocasión de reunirnos con niños que nos han entrevistado para saber cómo hicimos los libros. Les explicamos que estos libros son el producto del trabajo de mucha gente y que, además, “viven” en sus aulas gracias al trabajo de sus maestros. Les hemos dicho que ellos aprenden cuando trabajan sobre las situaciones que los maestros les proponen, cuando discuten, cuando se ponen de acuerdo. Les dijimos también que se aprende matemática trabajando y que todos pueden hacerlo. Los niños nos habrán entendido o no, quizás todavía mucha de la producción humana les parezca mágica o ajena. Pero creemos que gran cantidad de ellos han tenido oportunidades de producir y han sentido como propias algunas “piezas” del conocimiento matemático. Esos encuentros, y los que tenemos continuamente con maestros en ejercicio y en formación, así como con colegas que com-

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parten camino, nos renuevan y nos han dado fuerzas para volver a enfrentar el desafío de recuperar lo bueno que estos libros han tenido y, a la vez, saber cambiar lo que debe ser cambiado. Hemos asumido esta vez un nuevo desafío: completar la colección, producir los libros para 4º, 5º y 6º grado. Nos ha resultado difícil, quizás porque más años de experiencia también suelen traer mayor conciencia de la complejidad de la tarea. Escribir libros que ayuden a los maestros a enseñar y a los alumnos a aprender es muy complejo, porque enseñar y aprender lo son. Pero están aquí, los libros para los chicos y los libros para los docentes. Deseamos que sean motivo de buenos encuentros entre quienes enseñan y quienes aprenden matemáticas.

Agradecimientos Para elaborar Hacer matemática en 1º hemos contado con la inestimable colaboración de Gabriela Heredia, María Eugenia Martínez y Cecilia Castillo Queremos agradecer a las instituciones en las que se han formado y en las que se desempeñan, ámbitos de experiencia y reflexión que han nutrido sus aportes. Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para el Nivel Primario (EGB 1 y 2), Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires (2007-2008) Programa de Reorganización de las Trayectorias Escolares de los Alumnos con Sobreedad en el Nivel Primario de la Ciudad de Buenos Aires Colegio Saint Patrick, Corrientes

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El libro de texto y los escenarios de enseñanza Un libro de texto puede ser utilizado en escenarios de enseñanza muy diferentes entre sí. Sería vano pensar que un libro determina la situación de clase. El maestro tiene un rol relevante a jugar. El libro del alumno y el libro del docente están ahí para ayudarlo a elegir escenarios eficaces para el aprendizaje. Escenarios que conjuguen sus deseos e intenciones en diálogo con unas condiciones dadas. No existe la “mejor” manera de enseñar, con independencia de las percepciones y deseos de quienes asumen tan importante responsabilidad social, ni con independencia de unas condiciones dadas. No existe la enseñanza por fuera del proyecto intencional de los docentes. Existen aprendizajes, sí. Pero el proyecto de que todos puedan aprender matemática, sean cuales sean sus condiciones de vida, requiere de respuestas sociales, institucionales, organizadas en tiempos largos y según una visión de conjunto. Hasta el presente, en nuestras sociedades, esas respuestas las puede ofrecer la escuela, acompañada por todos los que nos consideramos concernidos por ella. Todos los libros de texto comparten algunos rasgos: están organizados por grados; se ajustan a unos contenidos establecidos socialmente en los diseños curriculares; tienen supuestos sobre la enmuy diferentes no significa que no hayan tenido, en su concepción, algunos escenarios privilegiados, algunas imágenes de actividad en la clase, que representan ideas sobre la enseñanza. La colección Hacer Matemática ha sido concebida bajo un conjunto de convicciones que ordenan nuestro trabajo y el de mucha gente, desde hace ya mucho tiempo. Gran parte de estas personas han colaborado intensamente para hacerlo posible. A muchas otras personas no las conocemos, no hemos tenido ocasión de intercambiar momentos con ellas. Sin embargo, las tenemos presente, las imaginamos, tenemos diálogos en “nuestra cabeza” con ellas. Con directores, con maestros, con formadores de maestros, con papás, con chicos. Hemos cuestionado nuestras ideas y revisado nuestras producciones, intentando que sean permeables a las variadas necesidades a las que buscan responder, a la vez que consistentes con la intención de promover una genuina actividad matemática en los alumnos. Que sean convicciones largamente compartidas no nos dispensa de presentar, una vez más, al-

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señanza a la que intentan servir. El hecho de que puedan ser utilizados en escenarios de enseñanza

gunos aspectos centrales de la enseñanza de matemática en la escuela primaria, a la que esta obra busca apoyar. Lo haremos ahora sintéticamente porque esperamos mostrar luego, con más detalle, las opciones específicas realizadas para cada grado en el marco del proyecto de conjunto.

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Enseñar y aprender matemática en la escuela primaria “Hacer matemática es un trabajo del pensamiento, que construye los conceptos para resolver problemas, que plantea problemas a partir de conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar”.1 Charlot, Bernard, “La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas”

En la escuela, los alumnos tienen que aprender a realizar actividad matemática, tienen que tener oportunidades distintas de las que ofrece la vida cotidiana, de apropiarse de los modos de pensar, de las prácticas específicas de la cultura matemática. En ese marco tienen que adquirir conocimientos específicos. Los alumnos aprenden matemáticas a partir de lo que tienen oportunidad de hacer, en relación con el conocimiento. Aprenden matemáticas trabajando frente a las situaciones que el maestro ha seleccionado y les plantea. Aprenden actuando. Aprenden pensando sobre lo que hacen y sobre lo que imaginan. Nos basamos en el convencimiento de que aun los más pequeños aprenden resolviendo problemas, discutiendo, produciendo soluciones, revisándolas, encontrando nuevas formulaciones,

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reutilizando sus conocimientos ante otras situaciones, haciendo preguntas, detectando errores, empezando otra vez... Es decir, aprenden a través de las acciones que emprenden como respuesta a las preguntas, a las consignas, a los desafíos de los que han podido apropiarse. Aprenden a raíz de volver sobre la producción propia y la de otros. Aprenden cuando expresan sus ideas y también cuando comienzan a dar sentido a signos y palabras largamente utilizados en la cultura. Aprenden cuando su propia producción es reconocida y vinculada con los conocimientos disponibles en la sociedad. Estas prácticas, estas experiencias, son posibles en el marco del proyecto de enseñanza del maestro, en el marco del proyecto formativo de la escuela. Son los maestros: quienes proponen una serie de situaciones, organizan el trabajo y la comunicación en la clase, plantean diversas tareas, identifican el conocimiento que se ha producido, lo vinculan con el saber que existe más allá del aula; quienes tienen que articular los objetivos y el trabajo en cada situación, con los propósitos de largo alcance (los del año, los del ciclo, los de la escuela); quienes pueden reconocer lo que los niños han aprendido y pueden ayudarlos a tomar conciencia de lo que saben y de lo que les falta aprender; quienes proveen variadas oportunidades y modalidades de trabajo para que los distintos alumnos, con ritmos diferentes, vayan alcanzando los logros buscados. Para tan compleja tarea, los docentes necesitan acompañamiento y recursos: hay que lograr que los chicos aprendan muchas cosas en no mucho tiempo. Se desea, se busca que lo que se les enseña tenga sentido para ellos, cobre sentido a raíz de los problemas que permite resolver, a raíz de las relaciones que pueden establecer, a raíz de las nuevas situaciones que pueden abordar utilizando esos conocimientos. Hace muchos años se ha difundido la idea de que Si no hay problema, no hay matemática. Pero ha resultado más difícil asumir en la enseñanza que Si hay problemas, no está toda la matemática. En palabras de Patricia Sadovsky: “la actividad matemática que potencialmente un problema permitiría desplegar no está contenida en el enunciado del problema sino que depende sustancialmente de las interacciones que a propósito del problema se pueden generar”.2

CHARLOT, Bernard (1986): “La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas”. Conferencia en Cannes. 2 SADOVSKY, Patricia (2005): “Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos”; Libros del Zorzal, Argentina, pág. 46. 1

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¿Cuáles son estas interacciones, a propósito del problema, que resultan constitutivas de la actividad matemática y que modifican el sentido de los conocimientos? La situación planteada a los niños puede exigirles o no la explicitación (oral o escrita) de las relaciones que ellos establecieron para resolverla. Los niños pueden estar o no sometidos a la exigencia de proponer argumentos que muestren la validez de sus resultados; pueden o no ser invitados a participar de un debate en el que se confrontan diferentes perspectivas para una misma problemática; pueden o no destinar tiempo a revisar lo que se ha hecho hace unos días y relacionarlo con lo que se está haciendo en ese momento. Cada una de las instancias mencionadas ofrece una oportunidad para poner en juego el conocimiento de una manera diferente de las otras. Las exigencias de explicitación, de argumentación, de revisión y de validación brindan oportunidades para transformar el conocimiento y hacerlo más reconocible; son, por esto, elementos esenciales en la constitución del sentido de los conocimientos. Estas prácticas permitirán que los alumnos aprendan “otra cosa” respecto del mismo objeto matemático, y se apropien, al mismo tiempo, de los modos de producción característicos de la matemática. Cuando los niños resuelven problemas, trabajan con cálculos, analizan figuras, utilizan procedimientos, ponen en juego propiedades, etc.; estos conocimientos pueden permanecer implícitos o ser explícitos, reconocidos, formulados. Las prácticas de formulación dan existencia a los objetos matemáticos. Es más, citando nuevamente a Patricia Sadovsky, “los objetos matemáticos solo existen representación que se utilicen (dibujos, lenguaje natural, signos, símbolos), aparece algo que no solo permite comunicarse, sino que permite pensar. Al mismo tiempo, el esfuerzo de interpretar representaciones producidas por otro, en el marco de la clase, o desarrolladas y estabilizadas en la cultura, es productor de conocimientos. Resolver problemas de representación puede ser una ocasión para la conceptualización. Los niños se apoyan en lo que saben para poder representar, pero al representar y comunicar, aprenden sobre los objetos matemáticos con los que están trabajando. Un pequeño ejemplo: ubicar números fraccionarios en la recta numérica. Es un problema de representación en el que se usa conocimiento sobre las fracciones, pero también se aprende mucho sobre las propiedades de este campo numérico, al tener que ubicarlos. Ninguna de las cuestiones que se acaban de enumerar va de suyo ni se produce “naturalmente”: los niños pueden tener la experiencia de que una representación ayuda a pensar si se los invita a dejar traza de sus procedimientos, si se los alienta y se los ayuda a formular sus ideas, si se les plantean situaciones para trabajar sobre las representaciones, operar sobre ellas, discutir su pertinencia, si los sistemas de representación mismos son colocados como objeto de exploración. El sistema de

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a través de las herramientas que se inventan para expresarlos”3. A través de las diversas formas de

numeración es un sistema de representación. Precisamente, las investigaciones y las prácticas de enseñanza que se han desarrollado en los últimos treinta años, han mostrado que es posible y fecundo abordarlo a partir de cómo “se presenta”, a partir de las regularidades que los niños atrapan en la numeración oral y en la numeración escrita, que resultan un apoyo y una vía de profundización del conocimiento. A falta de una mejor expresión, diremos que es necesario promover la reflexión sobre el conocimiento y, con ello, aludimos a las prácticas de volver sobre lo hecho, de mirarlo, de juzgarlo como fácil o difícil, como seguro o no tanto, como verdadero o falso. Estaríamos sugiriendo una idea reductora de la actividad matemática si no incluyéramos la práctica de dar prueba de lo que se está afirmando, de encontrarle fundamento, de tratar de explicar por qué funciona o no funciona, o en cuáles casos funciona y en cuáles no. Para identificar la importancia de este componente de la actividad matemática es necesario considerar las ideas sobre la matemática misma. Mercier plantea: “los saberes y conocimientos matemáticos pueden constituir un medio de dominar los fenómenos en la realidad: dan el poder de pensar el mundo y de actuar”.4

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SADOVSKY, Patricia (2005), ob. cit., pág. 23. MERCIER, Alain (2008): “Questions d´épistémologie des situations”. Conferencia en Bordeaux.

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Pero ese poder que confiere el conocimiento matemático solo es tal si se asume la responsabilidad de validar los resultados, si se realiza el trabajo necesario para estar seguros de que el proceso realizado es correcto y las afirmaciones producidas son ciertas. Llegar a estar “seguro” matemáticamente y poder fundamentarlo tiene importancia porque, en el sentido planteado por Mercier, con apoyo en el conocimiento se toman decisiones, se actúa en el mundo. Pero también es importante porque representa un aspecto sustantivo del quehacer matemático, porque constituye una práctica esencial de la cultura matemática con la que la escuela ha de poner en contacto al niño. Es este conjunto de prácticas –que la enseñanza tiene que promover– el que permitirá a los niños, a cada niño, adueñarse del conocimiento matemático, hacerlo propio. Hay otro aspecto en el que es necesario detenerse. Compartimos la perspectiva según la cual la matemática es un producto histórico, cultural y social. Este último rasgo es justificado del siguiente modo por Patricia Sadovsky: “La matemática es también un producto social, porque es resultado de la interacción entre las personas que se reconocen como pertenecientes a una misma comunidad. Las respuestas que plantean unos, dan lugar a nuevos problemas que visualizan otros, las demostraciones que se producen se validan según las reglas que se aceptan en cierto momento en la comunidad matemática.”5 ¿Por qué considerar esta referencia al funcionamiento de la comunidad matemática? Porque creemos que también entre los niños las respuestas que proveen unos dan © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

lugar a nuevos problemas; porque tener que interactuar con otros en torno a un problema o a partir de la reflexión sobre lo hecho constituye un motor, un motivo para la explicitación; porque tener que defender el propio punto de vista compromete al alumno en la producción de argumentos que no se elaborarían si el niño solo tuviera que convencerse a sí mismo, o si no se solicita tal convencimiento sobre la validez de los resultados. Es precisamente en la organización de las interacciones de los alumnos entre sí, en torno a las situaciones y en torno a lo producido, que encuentra el docente una herramienta fundamental para que se desplieguen y cobren sentido las prácticas aludidas. Dice Sadovsky en la misma obra mencionada: “esto lleva a considerar que es conveniente –porque es de mejor calidad– promover el trabajo en equipo de los alumnos.” Y agrega: “Mejor” no es lo mismo que “ineludible”. Lo sabemos bien. Hemos constatado muchas veces que la enseñanza de matemática transcurre en las aulas con baja interacción de los alumnos en torno al conocimiento. Se puede enseñar “eludiendo” la interacción, pero lo que aprenden los alumnos es muy distinto. Y la calidad de los aprendizajes se ve comprometida. El haber podido constatar que predomina la baja interacción nos ha conducido a interrogarnos acerca de las razones. Resulta inmediato reconocer la complejidad de organizarlas. Resulta evidente que se tiene menos “control” sobre lo que está pasando, que llevan mucho tiempo los procesos, que la diversidad de resoluciones se acrecienta, que las puestas en común son difíciles de conducir… Pero hay momentos en la enseñanza y cuestiones a aprender que son de tal importancia y complejidad que justifican, desde nuestro punto de vista, toda la “inversión” que representa organizar los intercambios entre los alumnos. Es decir, no todos los asuntos merecen esta dedicación, no todo requiere trabajo en interacción y “puesta en común”, pero el logro de los propósitos de largo alcance –la entrada en la cultura matemática, la apropiación de los conocimientos, el sentirlos propios y el convertirlos en herramientas para pensar el mundo y para actuar en él– sí requiere de un proyecto de enseñanza que valore, contemple y organice la interacción entre los alumnos como medio esencial de actividad matemática.

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SADOVSKY, Patricia (2005), ob. cit., pág. 23.

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La evolución de los conocimientos Un abordaje centrado en la resolución de problemas, que valora los aportes de cada uno y la interacción entre los alumnos, no excluye la importancia de la eficacia y el dominio de los conocimientos. Al contrario, profundizar el sentido de estos, poder abordar nuevos problemas, requiere que los conocimientos que se adquieren se conviertan en sólidos puntos de apoyo para aprendizajes posteriores. Buscando retener el sentido de lo propuesto, afirmamos que es necesario asumir un trabajo en la enseñanza que, en el marco de la resolución de problemas, favorezca la evolución de los procedimientos y de los medios de representación y comunicación con que se tratan las situaciones. Cada uno de estos aspectos (problemas, procedimientos, técnicas, trazos, escrituras) tiene especificidad: son constitutivos del conocimiento matemático, intervienen en la conceptualización y son fuente de sentido. Esto quiere decir que los logros en un aspecto no aseguran necesariamente avance en otro. Un alumno puede disponer de un procedimiento para resolver un problema, pero expresarlo con un cálculo o interpretar escrituras producidas por otro resulta un desafío, y es necesario aprenderlo. Un alumno puede ser capaz de reproducir una figura, pero elaborar un mensaje para que otro la realice constituye un nuevo problema, y en su resolución se involucran aprendizajes específicos. Por lo tanto, se requieren propuestas de enseñanza y tiempos de trabajo orientados a provocar avances en cada uno de ellos. Resulta necesaria una enseñanza que asuma y sostenga la complejidad de trabajar que los procesos no se cumplen del mismo modo y al mismo tiempo para los diversos alumnos. Concretamente, no se propone lo mismo el primer día de trabajo con un problema que en las siguientes clases en torno al asunto involucrado. Los alumnos tienen que ser, progresivamente, capaces de hacer y pensar distintas cosas. No solo distintas sino mejores, más eficaces, más poderosas. También es necesario, cuando algo se ha trabajado suficientemente, empezar a exigirlo. Por ejemplo, a cierta altura de segundo grado, los niños tendrán que poder decir rápidamente los resultados de la suma de dígitos. Ante las situaciones, los alumnos utilizan recursos; el conocimiento funciona como una herramienta. Pero la enseñanza no puede detenerse allí: los conocimientos tienen que ser reconocidos, identificados y estar disponibles para ser utilizados ante nuevas situaciones. Como hemos dicho, la enseñanza tiene que favorecer que los alumnos establezcan relaciones entre los distintos aspectos que trabajan. Se requieren oportunidades de práctica, de vuelta individual sobre algunos aspectos, de mirada sobre la producción propia y de otros para dar sentido a signos y palabras largamente utilizadas en la cultura. Son necesarias oportunidades para pensar, para hablar, para escribir, para comparar maneras de pensar y establecer relaciones.

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múltiples aspectos en simultáneo a lo largo de prolongados períodos de tiempo, sabiendo, además,

Muchas veces se escucha decir que los alumnos pueden o no hacer tal cosa, saben o no saben resolver una cuestión. Si un problema no fue resuelto en una clase, o si dio bastante trabajo, o si parece no haber sido resuelto la clase siguiente, se escucha: “Esto no es para mis alumnos”. Al respecto, consideramos que la unidad de aprendizaje no es una clase; al contrario, resulta necesario considerar tiempos largos de aprendizaje si se toman en cuenta las distintas dimensiones de los conocimientos a los que se apunta, y las distintas fases en el proceso de elaboración de una noción, que no se cumplen del mismo modo y al mismo tiempo para los diversos alumnos. El proyecto de conjunto El proyecto de enseñanza no solo tiene que jugar con una perspectiva de tiempos largos, sino que enfrenta el desafío de que, sus diversos actores, los docentes de la escuela, inscriban en él su propio proyecto, el que se juega en un año, en unos meses, en cada una de sus intervenciones, conservando el sentido del conjunto de la experiencia formativa para los alumnos. Hay en esto un elemento clave para la calidad de esta experiencia formativa. Para construir un proyecto de conjunto que sostenga el sentido de la experiencia formativa, es necesaria una fuerte interacción entre los docentes, directivos (también en diálogo con otras autoridades, con los padres, con los adultos de la comunidad), en torno a la enseñanza, en torno a lo que aprenden los alumnos, en torno a las expectativas y formas de ayuda y presencia.

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Existe un fenómeno muy extendido en nuestras escuelas: se constata mucha diferencia entre lo que se espera que sepan los alumnos al terminar el primer ciclo y lo que se espera que sepan al inicio de 4º grado. Resulta frecuente escuchar: “Lo tiene que saber” y “Si no, ¿cómo llegó a 4º grado?”. El problema es que estas apreciaciones muchas veces se realizan desde concepciones distintas sobre la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas, con más espacio para la exploración y la aceptación de diversidad de modos de tratamiento en el primer ciclo y una inclinación a una entrada más formal a los contenidos en el segundo ciclo. Sin embargo, tejer las relaciones entre diversas formas de resolución y la identificación de conceptos y técnicas es una responsabilidad de la enseñanza todo a lo largo de la escolaridad. A todos los niveles corresponde desplegar procesos que vayan de la exploración al dominio de los conocimientos. En la búsqueda de equilibrio y de continuidad del proceso formativo se puede decir, un poco esquemáticamente, que la enseñanza en el primer ciclo tiene que asegurar un mayor dominio de los conocimientos y, en el segundo ciclo, sostener la preocupación por el problema del sentido de los conocimientos y la convicción de que es a raíz del trabajo matemático desplegado ante las situaciones que se llega a los conceptos, a las técnicas, a las diversas formas de representación. La colección que estamos presentando ha buscado, sostener en este nuevo desafío de abarcar de 1º a 6º grado, la convicción de que los alumnos aprenden matemática haciendo matemática todo a lo largo de la escolaridad; que necesitan siempre oportunidades de exploración, de construcción, de estructuración y de reutilización, que todos ellos son capaces de reflexionar, que todos ellos necesitan © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

oportunidades de práctica para alcanzar seguridad y dominio, que a todos los beneficia que haya momentos de detención para evaluar lo que se ha aprendido, para poder identificar lo que se sabe y también lo que todavía requiere de esfuerzos y ayuda para ser aprendido. Hemos planteado, por ejemplo en Enseñar aritmética a los más chicos, de la exploración al dominio 6, que para sostener esos variados propósitos la enseñanza tiene que ir provocando un interjuego entre el planteo de situaciones abiertas, principalmente orientadas a promover la incorporación de los alumnos a la cultura matemática, y el planteo de situaciones organizadas en secuencias –que articulan variados aspectos– para asegurar en los alumnos la adquisición de conceptos, el dominio de procedimientos eficaces y de medios de representación y comunicación, la utilización de técnicas e instrumentos. Queremos ahora presentar de qué manera se concreta esto en la propuesta específica para primero.

Cómo pensamos Hacer Matemática en 1º Muchos niños pueden haber tenido en el Jardín de Infantes la experiencia de aprender junto a los otros trabajando con las situaciones que plantean los docentes y participando de las discusiones y de las reflexiones. Sin embargo, es muy posible que las experiencias de los niños y los conocimientos de los que disponen, sean muy variados. Es más, consideramos que este rasgo –la fuerte heterogeneidad de conocimientos y experiencias– es particularmente intenso en el inicio de la escuela primaria. Esta constatación ha intensificado el desafío que se nos plantea en toda la obra Hacer Matemática: concebir y proponer verdaderos problemas ante los cuales los niños puedan trabajar involucrando los conocimientos que tienen y que no les resulten ni demasiado sencillos ni demasiado difíciles. Es decir, compartimos el desafío que se le presenta en el aula al docente. En las versiones anteriores dimos respuesta planteando una sucesión de situaciones, pensadas a partir del análisis de lo que cada una requiere como conocimientos en los cuales apoyarse, lo que pone en juego o lo que busca convertir en disponible. Trabajamos con una imagen de los objetivos a lograr en el año y los organizamos en cuatro períodos (asimilables a los bimestres que rigen en muchas jurisdicciones). En cada período nos planteamos cuestiones que se abren, otras que se consolidan, etc. El trabajo de muchos maestros nos confirmó que era una propuesta bastante adecuada. Dado que había sido concebida bajo la convicción de que aun los más pequeños aprenden resolviendo problemas y reflexionando sobre su hacer, las situaciones propiciaban verdadera actividad

PARRA, Cecilia y SAIZ, Irma (2007). Enseñar matemática a los más chicos. De la exploración al dominio. Rosario: Homo Sapiens. (Nota de las autoras: en varias oportunidades retomamos esa obra, sin citarla cada vez).

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matemática, y lograban convocar a pensar a los niños, aun teniendo estos muy variados niveles de conocimientos numéricos y espaciales. Sin embargo, pudimos ir comprobando que, en muchas aulas, algunas cuestiones lograban ser abordadas más tempranamente de lo que habíamos previsto. Por estos motivos, en la versión que estamos presentando, hemos querido retener la lógica de complejidad creciente en sus aspectos centrales, pero hemos organizado a la vez una propuesta más “espiralada”. Es decir, hemos “adelantado” el tratamiento de algunos asuntos (por ejemplo, una más temprana presencia de una porción mayor de la serie numérica) y planteamos retomar con más frecuencia asuntos “cercanos”. No tiene nada de novedosa la idea de una planificación espiralada. Simplemente hemos tratado de hacer ajustes que puedan colaborar con ese movimiento que todo maestro está demandado a hacer: tratar asuntos de complejidad variable buscando proponer desafíos a todos y asegurar logros en todos. Aunque tengan, como de hecho tienen, conocimientos muy dispares, todos los niños en primer grado están iniciando el aprendizaje sistemático de la matemática. Esto significa, desde nuestro punto de vista, la entrada en una cierta cultura matemática que se caracteriza por un quehacer, por unos modos de hacer que le son propios y la definen. En una entrevista realizada en el diario “El País”, Ingrid Daubeches, Presidenta de la Unión Matemática Internacional, manifestó: “En Matemáticas trabajamos juntos, discutimos las cosas hasta que las entendemos y luego las escribimos en un lenguaje eficiente y preciso. Las matemáticas son una Los niños no son “pequeños” matemáticos, pero van a “adueñarse” de la matemática si se les enseña a trabajar juntos, discutir las cosas hasta que las entiendan y escribir sobre lo que están pensando, tal como describe su actividad la matemática recién citada. Estas prácticas no se producen “naturalmente”. Requieren, para existir, del proyecto y del trabajo de los maestros. Las responsabilidades de los maestros de primer grado son muy grandes, precisamente porque los niños se están iniciando en la realización de ciertas prácticas que se han de tornar sistemáticas. No estamos negando con ello la importancia de lo que puede realizarse en el Jardín de Infantes, en términos de poner a los niños en contacto con este campo cultural constituido por la matemática. Pero entendemos que la sistematicidad constituye una gran diferencia. Por ejemplo, tanto en el Jardín de Infantes como en primero se plantean problemas de reunión de colecciones, y los niños los resuelven con variados procedimientos que van del conteo al cálculo (a lo que nos referiremos más adelante con algún detalle). No es un objetivo de la sala de 5, y sí lo es de primero, asegurar que todos los niños logren trabajar en el nivel del cálculo y tengan un dominio progresivo del repertorio aditivo (propósito que se cumplirá a lo largo del primer ciclo). Para que esto sea posible, se requiere que

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forma de resolver problemas.”7

el maestro plantee un trabajo en el que se presenten problemas variados (en forma de enunciados, juegos, desafíos), los niños produzcan soluciones y participen de su análisis. Se requiere también, por ejemplo, de situaciones en las que se arman carteles de cálculo que saben resolver, se vuelve sobre ellos para ampliarlos, se ofrecen oportunidades para que los niños tomen conciencia de lo que saben y aprendan a usarlo para resolver otros cálculos, etc. Se requieren oportunidades de práctica y de evaluación, que han de permitirle, no solo al maestro sino también a los niños (y a sus papás o adultos con los que viven), identificar lo que ya pueden hacer y lo que todavía tiene que ser trabajado. Muchas veces se escucha decir que los alumnos pueden o no pueden hacer tal cosa, saben o no saben resolver una cuestión. Estamos proponiendo pensar el aprendizaje en términos más abiertos y para períodos más largos de tiempo que una clase. Para los niños (también para los matemáticos) la actividad matemática está plagada de incertezas. Existen tiempos más o menos largos de incertidumbre, de ambigüedad. Si lo describimos en términos de lo que vemos hacer a los niños, ante unas situaciones usan recursos muy elaborados; ante otras, cercanas a nuestros ojos a las anteriores, recurren nuevamente a los dibujos, al conteo, etc. En algunos casos, reconocen con relativa facilidad los recursos más pertinentes; en

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Diario “El País”, Madrid, ejemplar del 8/9/2010, pág. 36.

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otros, parecen no contar con casi ninguno. Para muchos niños resulta difícil identificar lo que se espera de ellos, o qué tiene que ver lo que hacen hoy con lo que hicieron ayer. Para muchos alumnos las cuestiones se juegan en términos binarios: “lo sé” o “no sé nada de eso”, y cuesta mucho que se sostengan en los tiempos largos del aprendizaje que involucra producción, revisión, puesta en relación. Cuesta mucho, pero “vale lo que cuesta”. Los niños son muy capaces de ponerse a trabajar cuando se los convoca a hacer algo a lo que pueden otorgar sentido. Muestran alegría cuando algo “funciona”, cuando logran resolver, cuando entienden algo y pueden dominar ese “pedacito del mundo” que el problema les propone. Crecen (incluso frente a sus propios ojos) cuando están seguros de algo que afirman, e incluso cuando pueden identificar con claridad en qué se han equivocado. Son capaces de realizar genuina actividad matemática. Sin embargo, la actividad matemática de la que estamos hablando no tiene nada de espontánea y, además, es frágil y volátil. Es por eso que entendemos necesario desplegar una enseñanza que organice y sostenga las prácticas de los alumnos en torno al conocimiento. Hacer Matemática en 1º busca ser un apoyo para tal forma de enseñanza. Las distintas fichas contienen propuestas que fueron pensadas para iniciar aprendizajes: constituyen problemas que se espera que resulten un desafío, buscan poner en juego cuestiones que los alumnos no van a dominar de entrada, precisamente porque lo van a aprender trabajando frente a la situación. Se pensaron contextos accesibles a los niños, se trató de presentar con claridad lo que los niños tienen que lograr (por © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

ejemplo, determinar quién ganó o mandar un mensaje para hacer una construcción); se analizaron los conocimientos en los que pueden apoyarse para empezar a trabajar, pero, y queremos insistir en ello, se espera que los alumnos “tengan que trabajar”: imaginar, probar, revisar, relatar. Sabemos, como lo hemos dicho recién, que los niños abordan las situaciones con muy variados niveles de conocimiento, y por supuesto esto se va a “sentir” en la clase. En la medida de lo posible, las propuestas han sido organizadas para permitir su resolución a variados niveles, e incluyen con frecuencia preguntas para provocar reflexiones que conciernen a todos. Un ejemplo puede ayudar al respecto. En la ficha 16, La torre más alta, se plantea un primer problema de reunión de colecciones y la información aparece en el enunciado: Ana trajo 5 cubos y Horacio 7 cubos, pero también están dibujados los cubos, de modo que los nenes que necesitan puedan contarlos para resolverlo. Otros niños van a contar desde 5, …6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, y otros realizarán mentalmente la suma. En el segundo problema se presenta información sobre los cubos que trajeron Carolina y Juan Pablo también en el enunciado y en forma gráfica, pero no se pregunta cuántos cubos tienen entre los dos, sino que se pregunta ¿Qué pareja puede armar la torre más alta? Es un problema de comparación de colecciones que requiere que los alumnos imaginen de algún modo las colecciones que van a comparar (no se han representado las torres armadas). Se deja abierto al trabajo de los alumnos: algunos compararán el número de cubos de la primera pareja con el número de cubos de la segunda pareja; otros pueden pensar que si Carolina trajo más cubos que Ana y Juan Pablo trajo más que Horacio, entonces Carolina y Juan Pablo pueden armar la torre más alta (comparar las colecciones parte a parte es válido para resolver el problema). Es decir, la situación es abierta y permite variados procedimientos de solución a diversos niveles. En el tercer problema se vuelve a ofrecer la información en forma gráfica y numérica, y la tarea es bastante más compleja: averiguar el valor de una parte conociendo el valor de la colección total y de una de las partes. Aun los niños que usan con comodidad los números para resolver problemas de reunión de colecciones encuentran en esta situación un desafío mucho mayor. En esta ficha no se incluyen preguntas de reflexión, pero consideramos muy pertinente organizar una puesta en común en la que los alumnos puedan comentar cómo hicieron para resolver cada uno de los problemas. Entendemos que es ocasión para que el maestro les comunique a los niños un rasgo del trabajo matemático que ya estuvo presente ante este pequeña situación: lo que hace falta considerar para resolver un problema muchas veces está dicho con palabras, otras con dibujos y también a veces, como en La torre más alta, puede ser necesario averiguar algo primero para poder tener todos los datos y responder la pregunta. Algunos niños pueden haber trabajado comparando informaciones parciales que interpretaban a partir de los dibujos; otros habrán totalizado las colecciones y comparado sus cardinales. De un modo u otro: trabajo matemático.

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Obviamente no todas las fichas tienen ese carácter de apertura; algunas representan una oportunidad de práctica, de vuelta individual sobre algún aspecto. Hay fichas de trabajo que retoman cuestiones antes iniciadas, pero en muchos casos la continuidad, la reelaboración, van a depender de propuestas del docente estructuradas en torno a las líneas de trabajo tendidas. Justamente, uno de los sentidos de este libro del docente es compartir cuáles son esas líneas que organizan la totalidad. Así como hemos intentado considerar evoluciones en el año, en los bimestres, para los contenidos de los distintos ejes, hemos intentado considerar las posibles evoluciones en torno a las situaciones, ya sea dentro de una ficha de trabajo como dentro de los “paquetes” de fichas vinculadas. Incorporamos actividades donde los niños resuelven o contestan cuestiones, pero también actividades cuyas finalidades son el intercambio y la reflexión sobre lo que han hecho, lo que han pensado o la exploración de un aspecto nuevo a partir de considerar lo producido. Cuando los alumnos abordan una situación saben algunas cosas y algunas no; usan sus conocimientos pero al mismo tiempo encuentran, con frecuencia, algo nuevo, trabajoso, que “fuerza” a producir, y como resultado de un proceso –que no es corto ni lineal– van a saber más que lo que sabían antes. Para que estos conocimientos “emerjan” y se conviertan en asunto de trabajo, para todos hemos incluido cuestiones que propician que los alumnos actúen, hablen, registren, comenten o discutan su producción con un compañero o varios. Proponemos trabajar en parejas o en equipos, cuando la complejidad de los asuntos lo requiere, cuando son posibles distintos puntos de vista y provocar la convicción de que la revisión y el análisis forman parte del trabajo de matemática. Subyace en nuestra propuesta un cierto esquema relativo a momentos de una clase o una serie de clases: Primer momento: Presentación de la situación El docente presenta la situación, busca asegurar que los alumnos tengan una representación del contexto de la propuesta presentada gráficamente o como enunciado, intenta que todos los alumnos comprendan la finalidad de la tarea, o se apropien de las reglas del juego. Básicamente, tienen que haber comprendido qué se espera de ellos y tienen que poder imaginar una manera de empezar a trabajar. Segundo momento: Trabajo individual, por parejas o en equipo Se deja a los alumnos trabajar, se los alienta o se reinterpretan las consignas si están detenidos, resituándolos en la finalidad de la tarea pero sin juzgar los emprendimientos.

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tiene sentido la discusión. En algunos casos hemos propuesto producciones simuladas intentando

Tercer momento: Puesta en común Se organizan diversas formas de interacción, según el asunto que esté en juego. Puede provocarse la necesidad de llegar a una respuesta común, u organizar la exposición de procedimientos, la formulación y confrontación de resultados, la revisión de procesos, el análisis de los mismos, etc., incluso volver atrás para rehacer con nuevas herramientas algo ya realizado. Resulta necesario planificar este momento de acuerdo al propósito, establecer la consigna y las formas de participación de los alumnos. Cuarto momento: Conclusión con los alumnos El docente hace la síntesis del trabajo de los niños, afina o introduce modos de representación del problema o de las soluciones, señala lo que se ha producido y/o lo que queda por hacer. Es un momento relevante y delicado a la vez: para que el discurso del docente tenga sentido para los niños, es imprescindible que el mismo se apoye verdaderamente en el trabajo de los alumnos. Si ello no ocurriera, se estaría frente a una ficción: el docente estaría reconociendo en el trabajo de los niños un saber que realmente no han producido. Por otra parte, es necesario ayudar a los alumnos para que puedan establecer cuáles son los aspectos de su producción personal que se relacionan con la explicación del docente. Si

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no se logra, se arriesga que los niños recuerden aspectos irrelevantes de la situación que no funcionarán como referencias importantes para nuevas situaciones. Como ha señalado Marie Jeanne Perrin–Glorian, después de una o varias clases hay niños que piensan que estuvieron recortando figuritas mientras otros identifican, por ejemplo, que las figuras tenían que cumplir condiciones y estas empiezan a aparecer como herramientas para pensar las figuras. Aunque no tenga control sobre los aprendizajes, es responsabilidad del maestro ir identificando los asuntos sobre los que se trabaja, ir realizando una “memoria de lo producido” y promoviendo el establecimiento de relaciones. La mayor parte de las propuestas del libro alimenta los dos primeros momentos mencionados. En cuanto al tercero y cuarto, entendemos que es el maestro quien, a partir de su análisis de la actividad propuesta, y munido de las observaciones que realiza durante la realización efectiva, toma decisiones respecto de realizar o no una puesta en común, qué tipo de puesta en común va a realizar y qué conclusiones pueden ser establecidas que guarden verdadera relación con el trabajo y las producciones de los alumnos. De todas maneras, en muchas fichas hay preguntas o consignas que sugieren o requieren de este tipo de trabajo. En el análisis de las fichas incluido en esta guía, con frecuencia hemos indicado la pertinencia de realizarlas para abordar algún aspecto que está en juego. El trabajo con las fichas del libro representa una parte de la actividad del aula. Sin duda, este trabajo se verá enriquecido por las propuestas de cada maestro, articuladas con las actividades cotidianas o con los diversos proyectos que están llevando adelante. Elaborar conocimientos para resolver © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

situaciones vivas de la clase favorece la construcción de sentido, no solo de los conocimientos, sino de la matemática misma.

Para practicar y evaluar En esta versión de Hacer Matemática se incorporan las fichas Para practicar al final de cada período. Las actividades allí propuestas buscan proveer oportunidades de continuar el trabajo iniciado en la ficha correspondiente. Como su nombre lo indica, esta sección tiene como propósito que los niños sigan desarrollando ciertas prácticas, que puedan afianzarlas. Las fichas se han elaborado intentando que allí no se presenten aspectos completamente nuevos, y se espera que los alumnos puedan realizar las actividades por sí mismos, con poca o ninguna ayuda. De todos modos, forman parte del aprendizaje y algunos niños pueden necesitar más acompañamiento que otros. Se incluyen evaluaciones al término de cada período, que pueden ser propuestas a los alumnos en función de las actividades de enseñanza efectivamente realizadas. Han sido elaboradas considerando los objetivos del período, lo que se puede esperar que todos los alumnos hayan aprendido. Muchos docentes han valorado que en las evaluaciones apuntamos a cuestiones centrales, sin retener toda la complejidad trabajada. Esto es una decisión explícita. No todo lo que se propone en un período puede ser exigible para el trabajo individual escrito que se plantea en la evaluación. Algunas de las propuestas tienen como propósito abrir cuestiones que continúan en otro período, e incluso en otro grado, o buscan habilitar un tipo de trabajo, promover un conjunto de reflexiones por parte del grupo, de modo que viva en la clase la cultura matemática. El docente tomará información sobre estas prácticas por parte de los alumnos, sobre los recursos con que cuentan unos y otros, pero más para retroalimentar sus decisiones de enseñanza que para evaluarlos. Después de un trabajo sostenido en el tiempo, algunos de estos asuntos sí se podrán considerar objeto de evaluación escrita individual; otros requerirán de otros instrumentos, entre los cuales se destaca la observación y registro del docente. Como hemos dicho antes, un libro de texto no tiene capacidad de contener la singularidad de los procesos reales de un aula. El maestro que decida utilizar las evaluaciones definirá la valoración de los ítems según los pesos que le haya otorgado en la enseñanza o las características que dicho proceso haya tenido. Como todo el libro, en realidad, son meras herramientas al servicio del proyecto que monitorea el docente. Hacer Matemática en 1º ha sido armado en función de una planificación anual distribuida en cuatro períodos. Proponemos una distribución dentro de cada uno que sostiene el trabajo en todos los

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ejes en paralelo. Sabemos que las versiones anteriores han sido utilizadas de muy variados modos, y también lo será esta, pero queremos insistir en que la obra ha sido concebida para favorecer una evolución en los conocimientos considerando articulaciones horizontales (entre asuntos) y longitudinales (a lo largo del bimestre, del año). Para favorecer la identificación de cómo se busca provocar la evolución en los conocimientos puestos en juego a través de las situaciones propuestas, hemos optado por presentarlas en esta guía ordenadas segun los ejes definidos. Para cada eje presentamos una breve introducción general del enfoque, y luego analizamos las fichas agrupadas por líneas de trabajo o en función de aspectos que las vinculan. El análisis de las fichas es variable en cuanto a lo que abarca pero, en general, apunta a precisar lo que constituye el desafío para los niños. Hacemos múltiples referencias a la evolución de los conocimientos y a cómo se ha tratado de propiciarla a raíz de los cambios en las situaciones que se proponen. Creemos en la importancia de animar a los niños a trabajar y de sostenerlos en la “sinuosidad” de sus procesos. Creemos que hay que confiar en que pueden aprender y, quizás por eso mismo, también pensamos que hay que exigirles. Si se ha trabajado mucho sobre algo, si se han ofrecido variadas oportunidades en torno a una adquisición, llega un momento en que corresponde exigir que se trabaje de una cierta manera, que se use una cierta técnica, un cierto modo de representar y no otro, etc. La complejización progresiva es una responsabilidad de la enseñanza. Para ello hay mucho trabajo en torno al conocimiento incluye “jalonar” la enseñanza. Dice el diccionario que “jalonar” es marcar etapas o situaciones en un determinado proceso o evolución. Esperamos que el libro que ponemos a disposición de maestros y niños pueda actuar como un articulador en el difícil y buscado acompasamiento entre enseñanza y aprendizaje.

Los juegos en las clases de matemática Hacer Matemática en 1º conserva y renueva la presencia de los juegos que caracterizaron versiones anteriores. Respecto de la utilización de los juegos, los docentes parecen dividirse en dos grupos: los que les encantan y los que no. Entre los niños no existen estos dos grupos: a todos les encantan. Queremos compartir aquí algunas reflexiones sobre las posibilidades que a nuestro criterio ofrecen los juegos. A la vez creemos que no hay que sobreestimar su papel en el aprendizaje, por lo cual, una vez más, intentaremos mostrar y fundamentar un cierto tipo de trabajo que consideramos necesario para que los juegos cumplan su propósito en el marco de las finalidades de enseñanza.

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que hacer, también por parte de los niños. La convicción de que todos pueden aprender trabajando

Muchos de los docentes que no los utilizan, manifiestan su inquietud por las dificultades que se presentan al manejar una clase en la que se juega; otros consideran que insumen mucho tiempo y esfuerzo organizativo. Respecto del primer punto, es cierto que se requiere un importante trabajo por parte del docente para que los chicos aprendan a participar de las situaciones de juego –aprendan a respetar las reglas, a respetar los tiempos de cada uno, a ejercer diferentes roles si los hay, a aceptar la finalización, a involucrarse en el trabajo que se despliega, muchas veces, a partir del juego pero que ya no es juego, etc–. Pero precisamente consideramos que los juegos reglados constituyen una oportunidad para “poner en escena” algunos rasgos de la actividad matemática que se propicia en el aula. Se quiere instalar la idea de que ante una situación hay que ponerse a trabajar, hay que buscar cómo resolver sin esperar instrucciones, aprendiendo a mirar lo que se está haciendo y obteniendo, atendiendo y eventualmente reaccionando a la producción de los pares. Precisamente, los juegos reglados organizan la interacción entre los participantes y representan momentos de actividad “independiente”. Estos momentos no están estructurados por las posiciones alumno–maestro, sino por la posición de iguales, regidos por reglas que organizan el transcurso de la actividad (posición en que se desea se sitúen los niños ante los problemas, en el marco de un trabajo concebido y resguardado por el maestro).

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Creemos también que darle un lugar a los juegos reglados en la clase tiene un papel en la transmisión de prácticas que la vida social actual no favorece mucho. Hubo épocas (probablemente estamos hablando del tiempo de los abuelos de los chicos, en muchos casos ni siquiera de los padres) en las que era frecuente que las familias compartieran juegos “de mesa” (cartas, dados, loterías, etc.), que reunían a varias generaciones en una situación común. En nuestros días sucede escasamente y, como tantas otras cuestiones, resultan muy variables las experiencias de los niños: algunos habrán tenido múltiples oportunidades en casa y en el jardín de infantes; otros, casi ninguna. Algunos habrán experimentado que se puede aprender a jugar, habrán sentido la alegría de “dominar” un poco la situación (por ejemplo, que se les ocurre qué carta jugar, que saben rápido cuál conviene o qué se puede hacer, que pueden anticipar algo de lo que va a pasar y que en muchos juegos no está todo determinado por el azar, etc.) y podrán reencontrar y ampliar en la escuela prácticas que disfrutan en otros ámbitos. Para otros, la escuela será la oportunidad de tener estas experiencias culturales de tan larga data en la humanidad. Los juegos, como las canciones y los cuentos, son vías de transmisión cultural y, entre las muchas prácticas que se desean transmitir, representan, probablemente, las de más alta vinculación con la actividad matemática que se pueden experimentar a temprana edad. También resulta interesante proponerles a los niños que inventen juegos (con toda probabilidad van a utilizar sus experiencias “puestas en juego” para nuevos materiales). Se les pueden ofrecer, por ejemplo al inicio del año, cartas con constelaciones que incluyan del 1 al 10. Los niños las pueden explorar, orde© Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

nar e inventar juegos. El maestro organiza la comunicación de las ideas que tuvieron: juegos de memoria (levantar iguales), la guerra (enfrentar cartas, la mayor gana), o armar una figura con un mazo y que el otro la copie, etc. Puede ser muy rica la actividad de codificación de las reglas; supone producir acuerdos y encontrar modos de registrarlos. Es un trabajo de simbolización muy importante. En la ficha 57, Otro juego de la pista, se propone que los niños mismos armen un juego de la oca. Se incluyen las reglas pero se invita a que inventen otras cosas que pueden suceder en el recorrido y que las escriban. Vamos a referirnos ahora brevemente a los distintos tipos de juego y actividades propuestos a través de algunos ejemplos. En los apartados siguientes de esta guía, organizados por ejes de contenido, se encontrarán análisis más detallados de algunos juegos y, en algunos casos, el relato de experiencias docentes de su utilización. Muchos de los juegos reglados involucran cantidades –que se acumulan, se pierden, indican desplazamientos, etc.– y plantean en sí mismos problemas de conteo, de comparación, de reunión de cantidades (en una vuelta o en un partido). Suscitan, con frecuencia, la necesidad de producir registro de las cantidades, lo cual permite poner en juego una de las funciones de los números: la memoria de cantidad (trascendiendo el espacio o el tiempo). Frente a estos problemas en acto, los niños ponen en juego diversos procedimientos, usan variados recursos y tienen ocasión de practicarlos en dirección a su dominio. Es decir, los juegos muchas veces dan sentido a ciertos recursos o herramientas y, a la vez, propician su mejoramiento. Hay niños que se involucran por sí mismos en las prácticas de “mejoramiento” en el dominio de los recursos. A muchos otros hay que estimularlos para que registren lo que ya pueden, y se involucren en “poder más”. Por ejemplo, algunos niños celebran cuando ante las distintas caras del dado saben decir de modo automático su cardinal. Pero, para hacer posible que todos se planteen el desafío de lograrlo, resulta necesario proponerlo explícitamente: “¿de qué caras del dado sabés decir enseguida cuántos puntos tiene?”. Puede ser que lo logre para 1, 2 y 3. Al tiempo, hay que pedirles que vuelvan a ver, intentando que constaten si pueden más que antes. Lo mismo sucede con representar cantidades con los dedos. A ambos propósitos se ordena la ficha 3, Dados y dedos, con su correspondiente propuesta Para practicar (página 41). En la ficha 28, La serpiente, los niños tienen que reunir los puntos de dos dados y, en la sección Para practicar (página 83), se ejercita el reconocimiento de constelaciones y la reunión en las dos partes de fichas del dominó y en tiros de más dados. Cuando los niños están jugando pueden estar o no enfrentando problemas interesantes. Por ejemplo, en el juego "Guerra con cartas" (ficha 7), puede suceder que en muchas vueltas la diferencia sea tan visible que no resulte necesario usar otros recursos para comparar; o también puede suceder que un

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miembro de la pareja “lleve la voz cantante” y defina siempre la carta ganadora sin dar oportunidad al otro jugador de pensarlo. Sin duda, los roles en los juegos, el respeto del tiempo del otro, son aspectos para trabajar en la actividad. Pero, además, se trata de ir instalando momentos de trabajo –fuera de la premura del juego– que aseguren que todos los alumnos enfrenten los problemas que comprometen el contenido al que se apunta. Este es el propósito del juego simulado que, en diversas formas, acompaña prácticamente todos los juegos incluidos. La idea es que los alumnos enfrenten problemas seleccionados dentro de un contexto que conocen, en el que actuaron, que funciona según reglas de las que se apropiaron, pero que lo hagan con tiempo, dejando registro de lo que han pensado, produciéndose así un “material” sobre el que se puede volver. En la ficha 7, por ejemplo, tienen que rodear la carta que gana: en algunos casos es muy “visible”; en otros, tendrán que encontrar un modo de establecerlo (“es 6 porque viene después de 5”, “porque tiene uno más”). En la ficha 19, Otra guerra con cartas, la actividad se “despega” del contexto, porque no se les pide decidir cuál gana, sino elegir una carta que gana. Esto convoca a considerar los “posibles” (asunto que el juego no requiere) y amplía la relación “6 es mayor que 5” a “cuáles son las cartas que le ganan al 3”. Este ejemplo es elocuente de la idea de un contexto desplegado a raíz de un juego pero “explotado” matemáticamente en nuevas actividades, de distinta naturaleza respecto del acto de jugar. Sin duda, esas mismas ideas están presentes en el accionar (en variado grado según los niños), pero el trabajo de la enseñanza, que el libro busca apoyar, es convertir lo que puede estar allí en asunto de trabajo para todos. pares de cartas. Es decir, el juego en sí es sencillo pero, en línea con lo recién enunciado, se lo toma como contexto significativo para plantear problemas. Los primeros son simplemente una simulación del juego (elegir el par ganador); los segundos plantean algo más complejo, como completar cartas para que haya empates (como tarea representa igualar dos sumas) y, luego, bajo el subtítulo “Discusiones sobre quién ganó”, se plantea una genuina actividad de anticipación: conociendo dos cartas de un jugador y una del contrario, los alumnos tienen que juzgar si es cierto o no lo que enuncian los jugadores. Estas expresiones, que con frecuencia se escuchan por parte de algunos alumnos y que se “dirimen” en los hechos (ganan o no), son aquí objeto de trabajo para todos. Plantearlo en las fichas tiene el propósito de producir esa detención reflexiva propia de la actividad matemática. Algunos juegos apuntan simplemente a una práctica; por ejemplo, para favorecer el dominio del repertorio aditivo. Es el caso de El doble (ficha 32), Lotería de sumas (ficha 39), Tres dados (ficha 49), etc. Pueden, una vez introducidos, formar parte de “un rincón de juegos”, a los que los alumnos recurran cuando terminaron un trabajo, o cuando se están realizando actividades diversificadas o en un recreo. Para los distintos juegos, los alumnos disponen de los materiales en las páginas recortables. Esto permite

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La ficha 41, Guerra doble, retoma la estructura del juego, pero en este caso lo que se compara son

que también puedan jugarlos en sus casas, con sus hermanos o con adultos. Cuando un alumno necesita, por ejemplo, mejorar su dominio de las sumas, los juegos pueden ser una oportunidad de realizar estas prácticas también fuera de la escuela, permitiéndoles a los papás o adultos colaborar de un modo muy concreto. Claro que, tanto en casa como en la escuela, se debe intentar que no pierdan el carácter de juegos, lo cual está peculiarmente definido por la voluntad de jugar. Las adivinanzas tienen un cierto carácter lúdico y, en algunas propuestas, se organiza la participación con forma de juego. Es el caso, por ejemplo, de la Adivinanza de figuras, incluida en la ficha 53. Sin embargo, a raíz de esta situación, como de otras, los alumnos van a ir aprendiendo a identificar y registrar informaciones que permiten averiguar, por ejemplo, de qué figura se trata, y llegar a estar completamente seguros. Es decir, van a aprender a realizar una tarea que no consiste en adivinar, sino en determinar una respuesta trabajando con los datos que se tienen o producen. En el conocido "Juego de la caja" (ficha 18), los alumnos aprenden precisamente que se puede determinar el contenido de la caja trabajando con las informaciones sin necesidad de abrirla. Estas actividades no son verdaderos juegos, entre otros motivos porque no tienen una estructura de la que los chicos puedan apropiarse para desarrollar la actividad en forma autónoma. Son situaciones de enseñanza sostenidas por el docente durante un tiempo.

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En las reflexiones presentadas sobre los juegos en las clases de matemática hemos identificado y propuesto un tipo de trabajo a realizar fuera del juego. Esto no debería ser interpretado, y queremos subrayarlo, como una desvalorización o negación de lo que los niños aprenden al jugar. De hecho nos parecen incompletas las propuestas que aluden a juegos sin realizarlos. En nuestro caso, los juegos se proponen para ser jugados. A la vez, tratando de identificar tanto las posibilidades como los límites de jugar en la clase, hemos buscado desplegar un trabajo didáctico que favorezca que todos los chicos enfrenten las situaciones y trabajen ante los problemas que los juegos y sus prolongaciones permiten plantear. Los juegos en las clases de matemáticas tienen valor como prácticas culturales pero, una vez más, serán el proyecto y el trabajo de los docentes las variables decisivas para que puedan representar también y para todos oportunidades de hacer matemática.

Organización de las fichas por ejes de contenido La propuesta de Hacer Matemática en 1º está organizada en dos ejes: Número y Operaciones y Geometría y Medida. A continuación se presentan las fichas correspondientes a cada eje organizadas por períodos. Se incluye, además, una tabla que enumera las fichas del período en que se trabajan aspectos específicos de Tratamiento de la Información; que constituye un componente de la actividad matemática © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

con un grado variable de presencia en las diversas situaciones.

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Ficha

Título

Objetivos

Pág.

Primer Período Número y Operaciones ¡Bienvenidos!

3

Dados y dedos

4

Sacapulgas

5

Seguir contando

6

Los azulejos rotos

7 10 12 14

Guerra con cartas Números ordenados Los materiales para Plástica Carrera con dados

15 16 17

¿Quién tiene más? La torre más alta Jugar a los bolos

18

El juego de la caja

19

Otra guerra con cartas Números en carrera En la casa de la abuela Otra vez el juego de la caja Nueces para las ardillas Las llaves del hotel

20 21 22 23 24

Comparar colecciones. Iniciarse en responder preguntas por Sí o por No. Producir una colección que tenga tanto como otra dada. Vincular configuraciones de dedos, constelaciones y cifras relativas a los primeros números. Generar un modo de control de la cantidad de vueltas jugadas. Registrar y comparar cantidades pequeñas. Actuar sobre una colección según la relación “tanto como”. Resolver un problema de conteo y comparar cantidades.

8 10

12

Continuar la serie oral a partir de un número dado. Completar la serie numérica escrita hasta el 12. Anticipar una cantidad. Tener ocasión de utilizar los números para resolver un problema. Comparar cantidades menores que 10. Familiarizarse con la serie escrita del 1 al 15. Interpretar informaciones numéricas. Comparar e igualar colecciones.

13

Interpretar la expresión “tantos… como…”. Producir colecciones equivalentes (puntos, casilleros). Comparar cantidades pequeñas. Resolver un problema de conteo y de comparación de cantidades. Reunir y comparar colecciones. Comparar cantidades menores que 30. Registrar una transformación en una banda numérica. Desarrollar estrategias para establecer el resultado de una transformación de una colección no presente. Producir una colección mayor que una dada. Determinar cantidades mayores a una dada. Trabajar con la serie numérica escrita. Elaborar procedimientos para resolver problemas de anticipación.

26

Explorar medios para comunicar transformaciones positivas y negativas. Comenzar a dar sentido a las escrituras a + b y a – b. Encontrar un procedimiento para repartir equitativamente una cantidad.

35

Determinar la ubicación de algunos números en un cuadro numérico del 1 al 49. Iniciar el estudio de las regularidades de la serie numérica.

38

14 15 20 22

27 28 29 30 31 32 34

37

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1

Geometría y Medida 8

9 11 13

25

¡A embocar!

Organizar en un registro la información del desarrollo de un juego. Analizar formas diferentes de registrar información de un juego. Relacionar ubicaciones espaciales de objetos con las formulaciones correspondientes. Guardas Construir una serie a partir de la repetición de un modelo. Comunicar oralmente el modelo elaborado. Los días de abril Registrar información variada en el calendario. El muñeco articulado Identificar y reproducir una posición dada a partir de un modelo o de indicaciones verbales. Representar gráficamente la posición del muñeco. Analizar representaciones gráficas de posiciones. Los carteles del patio Identificar elementos a partir de informaciones espaciales.

16

18 21 24

40

Tratamiento de la información 2 8

Las mochilas ¡A embocar!

11

Los días de abril

Identificar un objeto a partir de los elementos que lo constituyen. Organizar en un registro la información del desarrollo de un juego. Analizar formas diferentes de registrar información de un juego. Relacionar ubicaciones espaciales de objetos con las formulaciones correspondientes. Registrar información variada en el calendario.

9 16

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Ficha

Título

Objetivos

Pág.

Segundo Período

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Número y Operaciones 26 28

Cajita de 10 La serpiente

29

El cumpleaños de Marina

30 32 33

Carteles con sumas El doble Números en tiras

34

Tener 10

37 38 39

Libros ordenados Monedas y billetes Lotería de sumas

40

Peces y peceras

41

Guerra doble

42

Problemas del sacapulgas El juego de la pista

44 45 46

Un nuevo desafío Los armarios del supermercado

Trabajar los complementos a 10. Identificar constelaciones y reunir cantidades. Componer cantidades de diversas maneras. Representar gráficamente una situación. Familiarizarse con los problemas aditivos. Señalar en cada caso la operación que permite encontrar el resultado. Ampliar el repertorio aditivo de dígitos. Determinar el doble de los números del 1 al 6. Ubicar números anteriores y posteriores a uno o más números dados como datos. Continuar la serie oral a partir de un número dado. Completar la serie escrita hasta 50. Trabajar los complementos a 10 y favorecer la conciencia de los pares disponibles. Relacionar situaciones y formas de representación.

51 54

Ubicar números con apoyo en la organización de la serie numérica. Familiarizarse con billetes y monedas. Comparar y componer cantidades. Ejercitar la suma de dígitos. Resolver cálculos apoyándose en otros ya resueltos. Favorecer la toma de conciencia de resultados disponibles. Realizar particiones de una colección que respeten ciertas condiciones. Analizar las particiones realizadas en función de las condiciones del problema. Comparar cantidades formadas por pares de números. Comparar y completar descomposiciones. Argumentar sobre relaciones entre números. Ampliar el repertorio aditivo hasta el 20.

68 69 70

Interpretar desplazamientos en una pista en términos numéricos.

78

Contar en forma ascendente y descendente a partir de un número. Determinar la ubicación de algunos números en cuadros 1-49 y 50-99. Trabajar con algunas regularidades de la serie numérica organizada en intervalos de a 10.

79 80

56

59 61 62

64

72 74

76

Geometría y Medida 31

Más guardas

60

Calendario Mosaicos de colores

Reproducir una serie identificando el modelo usado. Reconocer los elementos que forman una serie. Reproducir una configuración reconociendo el modelo usado. Identificar los elementos que forman la configuración. Extraer y producir información en el calendario. Identificar las casillas de una cuadrícula para reproducir un modelo.

35

Pisos decorados

36 43 47

Los juguetes en el estante

Comparar longitudes sin superponer y verificar la estimación. Identificar un objeto por sus cualidades.

82

66 67 77

Tratamiento de la información 27

Un día de campo

29

El cumpleaños de Marina

36 40

Calendario Peces y peceras

47

Los juguetes en el estante

Explorar una imagen para responder preguntas. Formular preguntas que se puedan responder a partir de una imagen. Representar gráficamente una situación. Familiarizarse con los problemas aditivos. Señalar en cada caso la operación que permite encontrar el resultado. Extraer y producir información en el calendario. Realizar particiones de una colección que respeten ciertas condiciones. Analizar las particiones realizadas en función de las condiciones del problema. Comparar longitudes sin superponer y verificar la estimación. Identificar un objeto por sus cualidades.

52 56

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Ficha

Título

Objetivos

Pág.

Tercer Período Número y Operaciones

54 55

56

57

59 60 63 64 65 66 67 68

Mirar los precios Tres dados La alcancía Compras

Comparar y ordenar números. Interpretar la relación “entre” dos valores dados. Agilizar los procedimientos de suma de los primeros números. Practicar el conteo de a 10, de a 5 y de a 2, en el contexto del dinero. Buscar información en una imagen. Componer cantidades. Poner en juego procedimientos aditivos. Comparar números. La rifa Organizar la serie numérica en intervalos de a 10. Determinar la ubicación de algunos números en el cuadro numérico. ¿Cuál tiene más? Organizar el conteo de una colección gráfica. Comparar cantidades. Interpretar una cantidad en términos de dieces (dos manos) y unos. Realizar conteo de a 10. Mucho para sumar Encontrar recursos para facilitar la suma de varios dígitos. Usar los dobles o los complementos de 10, para facilitar la suma de varios dígitos. Dominar las restas entre los primeros seis números. Otro juego de la pista Resolver problemas aditivos relativos a desplazamientos. Producir un problema del tipo trabajado. Vincular los avances y retrocesos, en una pista, a la suma y la resta. La rifa 2 Identificar números a partir de ciertas relaciones. Observar las regularidades de la serie numérica escrita. Las golosinas Resolver problemas con variadas formas de comunicación de datos. Resolver problemas aditivos. ¿Por qué número Realizar conteo de números. van? Picnic en la laguna Construir colecciones que tengan el doble o la mitad de elementos que una dada. Comida para llevar Resolver problemas de suma y de resta con diferentes significados (reunir, quitar y completar). Guerra de cálculos y Componer números como suma de decenas mas unidades y comparar. resultados La huevera Ejercitar las sumas con cincos y dieces. Buscar recursos para facilitar esas sumas. Obtener conclusiones a partir del análisis de situaciones de juego. El colectivo Resolver problemas de suma y resta. Seleccionar datos y resolver.

93 94 97 98 102 104

106

108

112 114 118 119 120 121 122 124

Geometría y Medida 53

Armar y dibujar

58

Armar y dibujar 2

61

La fila del cine

62

Primero o último

Componer nuevas figuras a partir de otras dadas. Representarlas gráficamente. Plantear preguntas que permitan identificar una figura. Analizar preguntas y respuestas. Representar una figura compuesta mediante el dibujo. Interpretar un dibujo para construir una figura. Describir una construcción para su reproducción. Determinar la ubicación de elementos en una fila a partir de informaciones espaciales. Ordenar objetos a partir de sus longitudes.

100

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48 49 51 52

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Tratamiento de la información 50 53

Mi preferido es… Armar y dibujar

60

Las golosinas

68

El colectivo

Identificar un objeto a partir de informaciones coordinadas. Componer nuevas figuras a partir de otras dadas. Representarlas gráficamente. Plantear preguntas que permitan identificar una figura. Analizar preguntas y respuestas. Resolver problemas con variadas formas de comunicación de datos. Resolver problemas aditivos. Resolver problemas de suma y resta. Seleccionar datos y resolver.

96 100

114 124

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Ficha

Título

Objetivos

Pág.

Cuarto Período Número y Operaciones 70 71 72 74 75 77

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El cuadro de números Vuelta y revuelta El álbum de fotos Fáciles o difíciles La fábrica de mochilas El restorán

79

Billetes que valen más Los autos nuevos

80

Camino de números

81 84

Adivinanzas de números Contar y saltar

85

Rebajas

86 87

Facilitar las sumas Mundo de disfraces

88

Números, saltos y cálculos

89

La fiesta de la escuela

Determinar la ubicación de algunos números a partir de otros dados.

136

Ejercitar la resta de números menores que 40. Relacionar cantidades con el número de grupos de 10 elementos que las componen. Conocer recursos para resolver sumas de números de uno o dos dígitos. Investigar el número de soluciones de un problema dado. Resolver variados problemas aditivos con números de dos cifras. Interpretar un texto con un dibujo. Ampliar el campo de problemas aritméticos por resolver. Realizar composiciones de decenas. Ejercitar el conteo y la suma y resta de decenas. Realizar la partición de una cantidad. Considerar las condiciones del problema para producir la respuesta. Determinar números en el cuadro a raíz de desplazamientos horizontales y verticales. Producir números entre dos números dados. Interpretar informaciones positivas y negativas relativas a relaciones numéricas. Identificar números reconstruyendo sus cifras. Relacionar las escalas de 5 y de 10 con la organización del cuadro de números. Vincular las escalas ascendentes y descendentes de 10 con desplazamientos verticales en el cuadro numérico. Realizar resta de decenas. Comenzar a observar regularidades en los números que resultan. Utilizar la descomposición y asociación de sumandos para encontrar resultados. Buscar información en una imagen. Comparar cantidades. Resolver sumas de bidígitos en el contexto del dinero. Vincular la suma y la resta de decenas con los desplazamientos verticales en el cuadro de números. Trabajar las sumas y restas incompletas con apoyo en las regularidades de la serie. Identificar procedimientos para resolver sumas y restas de números bidígitos. Identificar elementos a partir de informaciones espaciales. Inventar problemas a partir de información gráfica y de cálculos. Producir memoria de los aprendizajes.

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156 157 158 160

163

Geometría y Medida 73 76 82 83

89

Con los triángulos Salvar a la princesa La clase de educación física Recorridos

La fiesta de la escuela

Componer figuras a partir de otras dadas. Elaborar procedimientos para comparar longitudes. Interpretar información espacial para completar textos. Intercambiar procedimientos para definir lateralidad en representaciones. Representar gráficamente las acciones desarrolladas en un recorrido. Identificar y realizar representaciones gráficas de desplazamientos a partir de las formulaciones correspondientes. Identificar elementos a partir de informaciones espaciales. Inventar problemas a partir de información gráfica y de cálculos. Producir memoria de los aprendizajes.

140 144 151 152

163

Tratamiento de la información 69 75 77 89

Tiro al blanco La fábrica de mochilas El restorán La fiesta de la escuela

Tratar la información presentada en distintos portadores: gráfico, tabla y enunciado. Investigar el número de soluciones de un problema dado. Resolver variados problemas aditivos con números de dos cifras. Interpretar un texto con un dibujo. Ampliar el campo de problemas aritméticos por resolver. Identificar elementos a partir de informaciones espaciales. Inventar problemas a partir de información gráfica y de cálculos. Producir memoria de los aprendizajes.

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NÚMERO Y OPERACIONES

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Número y Operaciones Número y Operaciones constituye un eje que remite al campo aritmético. Incluye propuestas orientadas a que los alumnos construyan el sentido de las operaciones y progresen en la conceptualización del Número y del Sistema de numeración. El conjunto está estructurado a partir de la actividad de resolución de problemas y la reflexión sobre procesos y resultados. Es en ese marco que los números y las operaciones cobran sentido. Los conocimientos aritméticos que los alumnos tienen que aprender en los primeros años de la escuela primaria constituyen instrumentos culturales elaborados en tiempos tan pretéritos que, con frecuencia, se olvida que fueron construidos para resolver problemas, que supusieron la elaboración de procedimientos y de técnicas, así como de medios de representación y comunicación. Bartolomé y Fregona (2003) subrayan este hecho cuando plantean: “Por ser un conocimiento socialmente muy difundido, resulta difícil pensar a los números naturales como un objeto que merece cierto análisis. Sin embargo –agregan– es necesario problematizar esta noción para tratar de cubrir, en la enseñanza, los diferentes aspectos a que se asocia”.8 Para favorecer dicho análisis, las autoras presentan un breve recorrido histórico9, de modo de ubicar los supuestos orígenes del número natural como herramienta para resolver problemas de conteo y distinguir la génesis de la noción de número

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de la génesis de los sistemas de escritura.

Breve recorrido histórico “Los números naturales son los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4… 27…89…, 9650… 23 564 456… Cada uno de estos símbolos, y el nombre correspondiente, nos permiten identificar cuántos elementos tiene una colección determinada. Los números naturales permiten responder, entonces, a la pregunta ¿cuántos hay? Los diferentes sistemas de numeración que el hombre desarrolló en el transcurso del tiempo hacen que no sea necesario tener presente los objetos para recordar cuántos hay o para comunicar cuántos tenemos; además, según el grado de desarrollo alcanzado, los sistemas de numeración permiten realizar diferentes cálculos y anticipar una enorme gama de hechos. Aunque no hay documentos escritos para reconstruir el origen de las nociones de número natural y sistema de numeración, hay testimonios que permiten asegurar que la idea de número es mucho más antigua que los descubrimientos tecnológicos, tales como el uso de los metales o de los vehículos de ruedas (Boyer, 1969). En la República Checa se descubrió un hueso en el que aparecen 55 incisiones bastante profundas distribuidas en dos series, una con 25 y otra con 30, y en cada serie las marcas están agrupadas de a cinco. A este hueso, que sobrevivió unos 30.000 años, se le atribuye significado numérico porque se supone que el hombre prehistórico a veces registraba una cantidad cortando muescas en un palo o en un trozo de hueso. ¿Por qué esas muescas sobre el hueso se relacionan con la noción de número? En realidad es una conjetura, como toda afirmación que se haga acerca de los orígenes de la aritmética, ya que los inicios de ese dominio son más antiguos que la escritura. Se supone que gradualmente surgió la idea de usar una correspondencia uno a uno, y para cantidades pequeñas empezaron a hacer corresponder un dedo (de las manos, o de los pies) a cada objeto enumerado. (…) Una correspondencia uno a uno permite abordar una cantidad sin utilizar necesariamente el número, y de ese modo podemos interpretar los registros en el hueso. Se necesitaron muchos siglos para pasar de las rayas sobre un hueso a un lenguaje (escrito o hablado) que constituyera un sistema de numeración. Las expresiones verbales numéricas primitivas se referían a colecciones específicas de objetos, tales como “dos peces” o “dos mazas”; mucho más tarde la palabra “dos” expresó la idea numérica de todas las colecciones que tienen un par de elementos. Además, a cada cantidad de

BARTOLOMÉ, Olga y FREGONA, Dilma (2003). "El conteo en un problema de distribución: una génesis posible en la enseñanza de los números naturales". En: Panizza, Mabel. 9 Lo reproducimos parcialmente aquí. 8

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objetos le correspondía una palabra diferente sin ninguna ley de formación que permitiera, como en nuestro actual sistema, recordar el nombre de los números. Es fácil imaginar entonces que había muy poca gente que sabía contar, y para grandes colecciones no había un modo de determinar su cantidad.” Cada uno de los puntos de este breve recorrido histórico merece detención. Por ejemplo, la idea de que la correspondencia uno a uno permite abordar una cantidad sin utilizar necesariamente el número. Un ejemplo permite plantearlo: si entramos a un aula en la que los niños están sentados y hay sillas vacías, podemos asegurar –sin contar– que la cantidad de sillas es mayor que la cantidad de niños. Si no hay nadie parado y no hay sillas vacías, sabemos sin contar que hay igual cantidad de niños que de sillas. Es decir, este procedimiento permite comparar cantidades y establecer cuál colección tiene más elementos, pero no permite responder la pregunta ¿Cuántos hay? El avance del apareamiento de objetos o de la realización de marcas a la acción de contar, requirió de muchos siglos y supuso, según como lo describe Tobías Dantzig en su obra El número, lenguaje de la ciencia 10, la creación de conjuntos modelos, de los cuales cada uno caracteriza una agrupación posible. Dice el autor: “El hombre primitivo encuentra tales modelos en las cosas que lo rodean: las alas de un pájaro pueden simbolizar el número dos; las hojas de un trébol el número tres; las patas de un animal el número cuatro, los dedos de su mano el cinco. Evidencias de que ese es el origen de los nombres de los números pueden encontrarse en varios idiomas primitivos. Es claro que, una que representaba originariamente. La necesidad de distinguir entre el nombre del objeto que nos servimos y el propio símbolo numérico debe haber conducido naturalmente a producir un cambio en la expresión oral, hasta que finalmente, en el transcurso del tiempo, la conexión entre los dos desapareció completamente de la memoria. A medida que el hombre aprendió a servirse más y más de su lenguaje, los sonidos reemplazaron las imágenes para las cuales fueron creados, y los modelos concretos originales tomaron la forma abstracta de los nombres de los números. La memoria y el hábito dieron una forma concreta a esas abstracciones, y es así como simples palabras se transformaron en medidas de pluralidad.” Dantzig señala que el concepto descripto corresponde al número cardinal. Aclara que el mismo se basa en el principio de correspondencia, pero no implica la acción de contar. “Para crear el proceso de contar, no es suficiente disponer de una variada agrupación de modelos, por extensa que sea; es necesario que organicemos un sistema de números, que dispongamos nuestro conjunto de modelos según una sucesión ordenada, una sucesión que progrese en el sentido de las magnitudes crecientes, la sucesión natural: uno, dos, tres…. Una vez creado este sistema, contar una colección significa

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vez que el nombre del número ha sido creado y adoptado se vuelve un modelo tan útil como el objeto

asignar a cada elemento un término de la sucesión natural en el orden de esta, hasta que la colección se agote. (…) Un sistema ordinal adquiere existencia cuando la memoria ha registrado los nombres de los primeros números en el orden en que se suceden, cuando se ha imaginado un sistema para pasar de un número cualquiera, por grande que sea, al siguiente. Nosotros hemos aprendido a pasar con tal facilidad del número cardinal al número ordinal, que los dos aspectos se nos presentan como uno solo. Cuando queremos determinar la pluralidad de una colección, o sea su número cardinal, no nos molestamos en encontrar una colección modelo con la cual compararla; simplemente, la contamos, y al hecho de haber aprendido a identificar los dos aspectos del número se deben nuestros progresos en matemáticas. En efecto, a pesar de que en la práctica es el número cardinal el que nos interesa, este último es incapaz de servir de base a una aritmética. Las operaciones aritméticas están basadas sobre la hipótesis tácita de que siempre podemos pasar de un número cualquiera al siguiente, y esta es la esencia del concepto de número ordinal. (…) Correspondencia y sucesión, los dos principios que impregnan toda la matemática, mejor dicho, todos los dominios del pensamiento exacto, están entretejidos en la verdadera trama de nuestro sistema numérico.”

10

DANTZIG, Tobías (1971). El número, lenguaje de la ciencia. Buenos Aires: Hobbs-Sudamericana.

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Otros aspectos históricos, en particular en relación a la numeración oral y escrita, serán mencionados en apartados siguientes, vinculados al abordaje didáctico en primer grado. Existen múltiples obras, además de las mencionadas, en las que se puede conocer más detalladamente la génesis y evolución histórica de la noción de número y el desarrollo de los diversos sistemas de numeración. Entre los documentos disponibles en la Web, puede mencionarse “Matemática para maestros. Proyecto Edumat-maestros”11, dirigido por Godino. En el mismo, luego de la descripción de diferentes técnicas de recuento, se plantea que las mismas “no se originaron en instituciones específicas sino que siempre han formado parte del patrimonio cultural de toda la sociedad. Actualmente la institución depositaria de este saber y la que, por tanto, legitima su práctica, sigue siendo toda la sociedad. Esto quiere decir que los matemáticos no se sienten responsables ni de la definición y principios de la técnica de contar ni de sus condiciones de uso. A pesar de que es la técnica a partir de la cual surgió el concepto de número natural, base de todas las matemáticas, los matemáticos la consideran una técnica elemental común a toda la sociedad y no específicamente matemática. Solo los aspectos más sofisticados de la técnica (combinatoria, estadística) son controlados por las instituciones de matemáticos. Además, al ser un saber no especializado, un saber que “vive” en la sociedad, la escuela, en general, no se ocupa de él. Da por supuesto que los niños conocen las técnicas de contar y les exige que las pongan en práctica cuando se necesita, pero no organiza una enseñanza específica de dichas técnicas”. © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Bartolomé y Fregona, autoras ya citadas, coinciden respecto del hecho de que pocas veces se considera el conteo como objeto de enseñanza y, menos aún, se plantea la utilización de los números como herramientas para resolver problemas. Precisamente, el funcionamiento del conocimiento en situación constituye el rasgo central del enfoque al que esta obra se ordena, con lo cual es en torno a la propuesta específica que se seguirán incorporando diversos aportes. La propuesta en Hacer Matemática en 1º Cuando llegan a la escuela, los niños ya elaboraron conocimientos matemáticos a raíz de las múltiples situaciones que enfrentan en la vida cotidiana, con motivo de las experiencias que les han sido propuestas en el Jardín de Infantes y a raíz, también, de su contacto con prácticas y objetos culturales. En continuidad con estas prácticas, en Hacer Matemática en 1º se asume un enfoque según el cual resulta vano definir, componer, simbolizar los números fuera de un contexto de utilización de los mismos, fuera de los problemas que le dan sentido. Al contrario, será a través del uso que haga, del dominio que logre, que el alumno elaborará sus propias concepciones del número, no definitivas, siempre en evolución, completadas o cuestionadas con la extensión del campo numérico que conoce, con el descubrimiento de nuevas posibilidades de utilización, con el progreso en las capacidades de calcular, etc. Por ello, la propuesta de trabajo en este eje consiste en presentar, desde la primera ficha, problemas que involucran colecciones: hay que compararlas, producir una colección que tenga tanto como otra, reunirlas, distribuir sus elementos en forma pareja, averiguar cuántos elementos tiene una colección, etc. Para resolver estos problemas, los alumnos pueden usar distintos recursos y procedimientos. A veces bastará con “mirar” (es decir, realizar una comparación global); a veces será necesario relacionar los elementos de una colección con los de otra, o contar, o relacionar informaciones presentadas de diversos modos. Algunos alumnos utilizarán tempranamente los números y ciertos procedimientos de cálculo; otros tardarán más tiempo en confiar en la información que puede brindar un número e irán descubriendo el “poder de los números”, al utilizarlos en distintos contextos y bajo variadas condiciones.

11

GODINO, Juan D. "Matemática para maestros. Proyecto Edumat-maestros" (director).

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Aunque los conocimientos que los alumnos ponen en juego son variados, parciales, con algunos errores, son ideas trabajosamente construidas y constituyen los puntos de apoyo sobre los cuales se elaborarán los conocimientos más sistemáticos, estables y disponibles a los que apunta la enseñanza. En las fichas de trabajo, como se ha dicho, se asume y se promueven diferentes formas de exploración y solución de los problemas, se busca propiciar el intercambio entre los alumnos respecto de lo que están produciendo y, muy fundamentalmente, se intenta que estos se apropien de nuevas preguntas –que aprendan a preguntarse–, que construyan medios para responder y para estar seguros de sus respuestas. Como hemos planteado, el terreno aritmético tiene una fuerte imbricación interna, permite una secuenciación más definida que otros objetos de enseñanza matemáticos y resulta posible plantear objetivos de dominio para variados aspectos a lo largo del año escolar. De todos modos, para varias de las finalidades de enseñanza de la aritmética, resulta conveniente concebir una unidad mayor que un año escolar.12 Las propuestas relativas al eje Número y Operaciones pueden ser agrupadas en líneas de trabajo que apuntan respectivamente a: Contar y comparar colecciones y números. Resolver problemas aditivos. Conocer la serie numérica oral y escrita. Estas líneas de trabajo se interrelacionan y tienen presencia en todos los períodos del libro. Precisamente, la estructura interna de cada período surge de la atención de las mismas en su complejización progresiva y de sus potenciales relaciones. En esta guía del docente hemos optado por su presentación sucesiva, con el propósito de favorecer la identificación de lo propio de cada línea y de las variables a través de las cuales se busca promover la evolución de los conocimientos. En el siguiente cuadro se han enumerado las fichas correspondientes a cada línea, cuyo análisis se inicia a continuación, distribuidas por períodos. Como es de esperar, el peso relativo de cada línea varía entre períodos.

Número y Operaciones

Primer Período

Segundo Período

Tercer Período

Cuarto Período

Contar y comparar colecciones y números

Fichas 1, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 15, 17, 19

Fichas 27, 41

Fichas 48, 51, 55, 63, 66

Fichas 72, 78

Resolver problemas aditivos. Utilizar procedimientos mentales para sumar y restar

Fichas 16, 18, 21, 22

Fichas 26, 28, 29, 30, 32, 34, 39, 41, 42, 44

Fichas 49, 52, 56, 57, 60, 65, 66, 67, 68

Fichas 69, 71, 74, 75, 78, 84, 85, 86, 87, 88, 89

Utilizar los números en contextos variados

Fichas 11, 23

Fichas 38, 40

Fichas 51, 52, 60, 64

Fichas 77, 78, 79

Conocer la serie numérica oral y escrita

Fichas 5, 10, 11, 20, 24

Fichas 33, 37, 45, 46

Fichas 51, 54, 55, 57, 59, 63

Fichas 70, 72, 80, 81, 84, 85, 88

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Utilizar los números en contextos variados.

12 Recomendamos la lectura de la Introducción del apartado “Número y Operaciones”, que se encuentra en Hacer Matemática en 2º - Guía docente.

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Contar y comparar colecciones y números El número es el conocimiento matemático que permite realizar el conteo y registrar su resultado. Los números hacen posible precisar la cantidad de objetos que tiene una colección. Ellos permiten responder a la pregunta “¿cuántos hay?” (son la “memoria” de la cantidad). Los números cobran poder a raíz de que permiten evocar una cantidad sin que esté presente, ya sea por la distancia física o porque media el tiempo (información que va a ser usada mañana, puntaje de una vuelta, de un tiro, etc.) Para que los niños puedan poner en juego esta función de los números, es necesario organizar situaciones en las que tengan que conservar memoria de una cantidad mediado el tiempo o el espacio.13 Por ejemplo, si los alumnos están organizados por equipos, se puede pedir que un nene de cada equipo vaya a buscar al escritorio de la maestra los papeles glacé que hacen falta, para que cada nene del equipo tenga uno. Al dar la consigna se evitan expresiones como “contá” o “fijate cuántos hay” o “el mismo número”.14 Algunos niños pueden ir a buscar uno por vez y hacer tantos viajes como sea necesario hasta que todos tengan. Según el análisis realizado por Brousseau15, para crear las condiciones que hagan necesario el número mediante una actividad que esté al alcance de los niños, se debe establecer en la consigna que se trata de buscar de una sola vez el número necesario y suficiente de objetos. Puede plantearse entonces, para otra situación similar, que tienen que buscar lo que hace falta en un solo viaje. Esto hace surgir la necesidad de poner en juego otros © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

recursos: los dedos, un “número en la cabeza”, etc. Para “forzar” la formulación (decir el número, registrar la cantidad en un papel) se pueden plantear nuevas condiciones; por ejemplo, tener que producir un mensaje para comunicarle al equipo la cantidad de caballos necesarios para que todos los jinetes puedan montar, o la cantidad de pasajeros que podrán viajar sentados en el tren16. Es decir, se busca que, utilizando estos recursos, analizándolos y estableciendo cuáles son más eficaces, los alumnos comprendan que el conteo es un recurso privilegiado para armar una colección que tenga tanto como otra en ausencia de esta. Un libro de texto tiene limitaciones para el planteo de situaciones como las que se acaban de enumerar, en particular para la condición de “mediar tiempo o espacio entre una colección y otra constituida o por constituir” (de modo de poner en juego la función “guardar memoria de una cantidad en ausencia de la colección”. En la ficha 6, Los azulejos rotos, se ha querido “crear distancia”, planteándoles a los alumnos que anticipen si la cantidad de azulejos que hay en las páginas recortables alcanza o no para arreglar los que están rotos. Se propone la comparación de colecciones sin tener las dos a la vista al mismo tiempo. En cambio en la ficha 1, ¡Bienvenidos!, las tareas de comparar colecciones (“¿Alcanzan las tijeras para que cada nene tenga la suya?”) y de constituir una colección que tenga tanto como una dada (“Dibujar lápices para que todos tengan y Marcar los papeles glacé necesarios”), se proponen para colecciones presentes. Este aspecto, que una colección esté presente o haya que evocarla, constituye una variable didáctica que modifica la relación con el conocimiento involucrado. En la ficha 1, los problemas se pueden resolver por correspondencia, sin requerir necesariamente el número. Hemos elegido estas tareas para la iniciación porque los niños tienen que tener oportunidad de realizarlas, también con la intención de que ellos mismos confirmen que tienen conocimientos que les permiten resolver situaciones. Sintéticamente, situaciones como las primeras enumeradas permitirán que los alumnos cobren conciencia del poder de los números y elaboren el sentido del conteo en términos de los problemas que permite resolver.

13 Para un análisis detenido de las condiciones de la situación recomendamos la lectura del artículo de Bartolomé y Fregona (2003) ya citado. 14 ¿Por qué hay que evitar determinadas palabras? Porque es necesario poner a los alumnos a pensar y a discutir respecto de cómo hacer para resolver, y en este caso, estas expresiones los inducen a un procedimiento que pueden estar pensando o no. Lo importante es que sean genuinamente las ideas de los alumnos –equivocadas o no– las que se discutan después. 15 Citado por Bartolomé y Fregona (2003), pág. 153. 16 Son ejemplos de contextos propuestos para trabajar esta situación fundamental relativa al conteo que han sido difundidos en diversas publicaciones.

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A la vez, como lo hemos planteado en la fundamentación, los recursos que los alumnos utilizan y se constituyen en conocimientos que funcionan en situación, han de ser trabajados para favorecer su mejoramiento y dominio. Resulta muy frecuente que, ante la pregunta “¿Cuántos hay?”, los niños cuenten y, para responder al insistente adulto que les pregunta: “Sí pero, ¿cuántos hay?” digan otra vez: “uno, dos, tres, cuatro, cinco…..nueve”. Se dice en este caso que los niños todavía no se han apropiado del principio cardinal, según el cual basta nombrar el último elemento del conjunto numérico ordenado con el que se ha establecido la correspondencia uno a uno para transmitir la información. Al respecto, informa Cid17: “Llega un momento en que algunas sociedades se dan cuenta de que si utilizan un conjunto numérico ordenado ya no es necesario presentar al interlocutor todo el conjunto con el que se ha establecido la correspondencia, ni enumerarlo. Con hacer referencia al último objeto es suficiente, pues el interlocutor puede evocar todos los elementos anteriores. No todas las culturas han sido capaces de llegar a este punto. Por ejemplo, los papúes de Nueva Guinea, para indicar el cardinal “siete”, hacen el gesto de tocar con su mano izquierda, sucesivamente, los dedos de la mano derecha, la muñeca y el codo. Si se hace delante de ellos el gesto único de tocar el codo no le encuentran sentido.” En esta línea, la ficha 3, Dados y dedos, apunta al reconocimientos rápido de los cardinales, facilitado por las constelaciones (forma estándar en la cual están organizados los puntos en los dados). Se puede proponer a los alumnos que compartan los juegos de dados que conocen y que inventen otros. tica temprana en la humanidad y en los niños, como ya ha hemos hecho referencia. Para este recurso, como para tantos otros recursos transitorios, entendemos que es conveniente aprender a usarlos bien, y también aprender a dejar de usarlos cuando se puede confiar en otros recursos más potentes. Es importante recordar que usar los dedos no sea una “trampa”, un “secreto” bajo la mesa, sino que se comparta su uso y que se busquen los medios que van a permitir superar sus limitaciones cuando estas se hagan evidentes. Una docente organizó en su sala la siguiente actividad: propuso que cada alumno realice las plantillas de sus manos (dibujarlas y recortarlas); luego las fueron usando para armar un afiche en el que fueron pegando plegadas según correspondieran las plantillas para representar cantidades de 1 a 30. Fue interesante la realización y la organización del afiche. Actuó como legitimación y referencia durante un tiempo, el que el grupo necesitó. Después, los chicos mismos lo reemplazaron por carteles de sumas y restas que sabían hacer sin los dedos. El juego “El sacapulgas”, propuesto en la ficha 4, prolonga la actividad con los dados y, en este caso, se trata de tachar tantas pulgas como las que indica el dado durante cuatro vueltas. La simpli-

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En el juego propuesto en esta ficha se usan los dedos para representar cantidades, lo cual es una prác-

cidad de los recursos permite que los niños mismos hagan sus tableros, pudiendo variar la cantidad de pulgas que dibujan y de vueltas que juegan. Sin embargo, el problema más complejo que se plantea en el juego es comparar la cantidad de pulgas sin tachar que le queda a cada jugador. Es un verdadero problema de conteo que luego retomaremos. La ficha 14, Carrera con dados, representa una nueva oportunidad de interpretar la cantidad que sale en el dado en términos, esta vez, de casilleros pintados. En la misma se promueve la anticipación de la acción, es decir, prever antes de tirar el dado cuál es el número de puntos que resulta necesario para ganar. Como hemos dicho, muchos niños realizan estas anticipaciones por sí mismos (Ojalá me salga el…), pero no es el caso de todos. Si el maestro observara que este juego resulta demasiado sencillo para algunos de sus alumnos, puede proponerles una variante, que en la otra versión del libro llamábamos “Ocupar territorio”. La diferencia fundamental consiste en que los dos jugadores comparten un tablero (por ejemplo de 30 casilleros) y a su turno el jugador marca con un color o forma los casilleros que le indicó el dado; luego lo hace el otro jugador con otro color o forma. Al término del partido tienen que comparar quién de los dos tiene mayor cantidad de casilleros propios. Como he-

17

CID, Eva (1995). “Las técnicas de contar. Una lección de matemáticas para maestros” Boletín SI-IDM Nº 5.

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mos mencionado recién, aparece aquí un problema de mayor complejidad, como lo es contar marcas dispersas y mezcladas con otras: un buen problema de conteo al servicio de la comparación. Si hay un juego que goza de popularidad entre los alumnos es la Guerra con cartas, propuesto en la ficha 7. Las cartas que se utilizan incluyen el dibujo de las colecciones y los números; de esta manera, los niños pueden desplegar distintos procedimientos con apoyo en diversas informaciones: comparar visualmente, relacionar uno a uno los elementos o comparar los números. En la ficha 19, como ya se comentó en el apartado relativo a la utilización de juegos, se plantean partidas simuladas que permiten, frente a ciertas situaciones específicas, analizar, por ejemplo, si existe una única carta que gane a una dada. Esta es una situación que no se presenta en el juego, restringido a la comparación de dos cartas dadas. También se plantea seleccionar, entre varias cartas posibles, aquellas que le ganan a una ya ofrecida. Esto permite que los niños analicen la pluralidad de respuestas a una pregunta, y amplíen la relación “es mayor que”, como ordenadora de más elementos que dos. En la ficha 7 se ofrece la posibilidad de tomar información de la representación gráfica de la colección o del número que aparece en la misma carta. En la ficha 12, Los materiales para Plástica, la actividad exige interpretar informaciones numéricas y compararlas con la cantidad de elementos que forman cada colección. La tarea para los alumnos, una vez comparadas estas informaciones, consiste en completar una colección (los elementos que tiene) para que tenga tanto como otra (la cantidad solicitada de cada tipo). La tarea puede resultar exigente, porque se plantea para una gran cantidad © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

de colecciones, y forma parte de la misma ubicar dónde aparece la información (para que los niños puedan realizarlo se han ilustrado los elementos solicitados en la lista de materiales de modo que la lectura pueda realizarse a partir de imágenes y no solo de palabras). Hemos planteado en el inicio de este apartado que, cuando en una actividad como la de buscar los panes que hacen falta para que todos los chicos tengan uno, se pone como condición producir un mensaje, se pone en juego el registro de cantidades. Los niños pueden usar distintos recursos para solicitar una cantidad; por ejemplo, para solicitar 5 panes, pueden aparecer mensajes como los siguientes: / / / / /

55555

1 2 3 4 5

5

En el primer caso, los niños recurren al principio de correspondencia: dibujan un pan o una marca por cada uno solicitado. En el segundo caso usan las cifras, pero lo hacen otorgándoles un papel de “marcas”, no reteniendo la información que 5 comunica. En el tercer caso, podemos ver aparecer en la escritura la ausencia de cardinalización antes comentada: quien produce este mensaje todavía no confía en que solo la cifra 5 puede comunicar la información, cuestión de la que sí está apropiado quien produce el cuarto mensaje. Si producir el mensaje se propone como tarea en equipo, ya se promoverán algunas discusiones. De todos modos, analizar lo que sucedió y tomar contacto con otros mensajes, puede favorecer la evolución y acrecentar la confianza de los niños respecto de que un único número puede comunicar la cantidad. El problema del registro de cantidades puede suscitarse también a raíz del juego propuesto en la ficha 8, ¡A embocar! (o de otro juego que se proponga), en el que se obtienen puntos a lo largo del partido. Nos hemos referido a la función de los números como memoria de la cantidad. Estos juegos en los que, lo que proveen los puntos “desaparece”, pueden ser ocasión de dar sentido al registro de cantidades y a la utilización de los números. En el juego ¡A embocar!, gana el jugador que obtuvo más puntos después de tres vueltas. Puede surgir la necesidad de anotar para poder establecer quién es el ganador; además, aparecen otros problemas relativos al registro: ¿A quién corresponden las marcas? ¿A qué vueltas? ¿Y si en una vuelta no obtuvo nada?18 18 El problema del registro de puntajes de juego será retomado en el apartado correspondiente al tratamiento de la información. Para un análisis detallado de este problema a raíz del juego “Dados de colores”, remitimos al documento “Los niños, los maestros y los números”, disponible en la página de la Dirección de Currícula del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

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El sentido de registrar las cantidades de puntos es, precisamente, poder responder con seguridad a la pregunta “¿Quién ganó?”. Los análisis de las escrituras producidas deben ordenarse a dicha finalidad: ¿ayudan para saber quién ganó?, ¿se puede saber seguro? En esta situación, como en varias otras, los libros muestran sus límites. En la ficha se ofrecen simulaciones de escrituras de niños que pueden ser analizadas, pero dicho análisis nunca será tan rico como el que se haga de las producciones efectivas de los alumnos en la clase. Bajo la convicción de que los alumnos tienen que aprender a organizar información, se presenta en esta ficha un enunciado que relata los puntajes sucesivos de un grupo de alumnos, y la tarea es registrarla en una tabla y luego interpretar gráficamente otro grupo de informaciones. Será el maestro quien decida el momento de la secuencia de trabajo en la que le parezca oportuno realizar estas actividades. Sin duda, realizar el conteo de marcas o de números en los que no es claro a quién pertenecen, o si están todos los que tienen que estar, constituye una gran dificultad, que permite plantear una de las condiciones de las situaciones de conteo: ¿cuál es el universo que tiene que ser contado? Si no se han controlado estas condiciones, no se puede confiar en los resultados del conteo. No podemos desarrollar aquí, por cuestiones espaciales, otros ejemplos de problemas de conteo que se dan en la sociedad o que se abordan en otros grados de la escuela primaria. Al respecto, recomendamos la lectura del capítulo 3, Numeración, del libro Enseñar aritmética a los más chicos.19 continuar desplegándolos, nos detendremos brevemente en algunos rasgos de la práctica de contar, tan antigua y tan frecuente, que requiere de muchos cuidados para cumplir sus condiciones: no olvidar ningún elemento y no contar ninguno dos veces. Espinoza y González20 sintetizan del siguiente modo los fundamentos centrales de estas prácticas. “Contar no es lo mismo que decir o recitar la secuencia de números. Contar incluye, además, recorrer todos los objetos de la colección una sola vez, asignar a cada objeto el nombre de un número de la secuencia, asignar al último número una doble significación: distingue al último objeto del recorrido y representa la cantidad de objetos que tiene la colección. Este número se llama cardinal, e identifica la cantidad de objetos que tiene la colección. Las técnicas para recorrer los objetos de las colecciones que hay que contar, dependen de la forma en que estas vienen presentadas. El cardinal de una colección no cambia si los objetos se distribuyen de forma distinta (Principio de conservación de cantidad).

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Vamos a restringirnos aquí a los problemas de conteo incluidos en Hacer Matemática en 1º. Antes de

Dos colecciones tienen el mismo cardinal si se pueden emparejar todos los objetos de una con los de la otra. Una colección tiene más objetos que otra si, al emparejarlas, en la primera quedan objetos sueltos. Un número es mayor que otro si la cantidad de objetos de cualquier colección asociada al primer número es mayor que la de cualquier colección asociada al segundo número. Cuando se añaden objetos a una colección, el cardinal de la nueva colección es mayor y el número asociado a ella viene después en la secuencia numérica. Para comparar dos colecciones, un procedimiento más evolucionado que emparejar, es comparar los cardinales asociados a ambas colecciones, es decir, los números. Es mayor el número que viene después en la secuencia numérica.”

PARRA, Cecilia y SAIZ, Irma (2007), ob. cit. ESPINOZA, Lorena y GONZÁLEZ, Enrique (2006) “Contar y comparar con números hasta 20”. Ministerio de Educación, República de Chile. 19 20

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Los problemas de conteo pueden variar mucho en su complejidad, dependiendo de la cantidad de elementos, de que sean móviles o fijos, se hallen ordenados –por ejemplo en filas o grupos–, o según otras características de su disposición espacial. Por ejemplo, en “El sacapulgas”, recientemente comentado, la colección se presenta gráficamente (los elementos son fijos); es posible que al tachar los alumnos no lo hagan en orden, con lo cual, para establecer cuántas pulgas le quedan sin tachar necesitan recorrer visualmente toda la colección, distinguiendo entre las tachadas y las no tachadas. Este punto resulta en muchos casos un problema de conteo: establecer cuál es la colección que tiene que ser contada. Esta situación problemática se plantea por ejemplo en la actividad de la sección Para practicar, página 45, al tener que comparar la cantidad de gallinas con la cantidad de pollitos, que están –obviamente– mezclados. La ficha 15, ¿Quién tiene más?, plantea un problema de conteo y de comparación de cantidades. Las dos colecciones son fijas y sus cantidades suficientemente cercanas como para dificultar resolverlo por comparación visual. Es posible que algunos niños “arriesguen” quién tiene más, pero la verificación está plenamente justificada. Se espera que los alumnos puedan recurrir al conteo de cada colección y a la comparación de los números. Para trabajar explícitamente las estrategias que ayudan en una situación de conteo como esta, se plantea la pregunta: ¿Qué puede ayudar para no contar ningún autito dos veces y no olvidarse de ninguno? La idea es definir (marcar, considerar las © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

manos de los niños, etc) el punto en que se inicia el conteo para saber cuándo detenerse. Realizar marcas gráficas, indicar el comienzo, etc., son estrategias útiles para tener control sobre el conteo que se está realizando y desarrollar los cuidados necesarios. La explicitación de estas ideas favorece los aprendizajes buscados. En la ficha recién analizada, los alumnos producirán información numérica sobre las colecciones, y compararán los números. En la ficha 17, Jugar a los bolos, los alumnos, como ya tuvieron que hacer en la ficha 12, tienen que comparar cantidades que se informan de distinta manera: con números y con representación gráfica (en disposición compleja). En esta ficha, las cantidades han “crecido” en consistencia con el trabajo que se viene realizando de conocimiento de la serie numérica y de conteo de colecciones más grandes. La ficha 27, Un día de campo, será analizada en el apartado relativo a tratamiento de la información. Sin embargo, forma parte de la línea de Conteo y comparación de colecciones y números, ya que muchas de las preguntas hechas o por hacer tienen que ver con identificar grupos, clases y cuantificarlas; por ejemplo, “¿Cuántas personas tienen anteojos?”. Para poder contestar, hay que constituir el conjunto explorando la imagen e identificando sus elementos. Al respecto, es interesante ver que muchos alumnos no exploran el conjunto de niños en busca de “personas”. Al analizar las respuestas, se podrán poner en discusión los pasos necesarios para contar, en particular la necesidad de determinar quiénes integran la colección que se cuenta y quiénes no. La ficha 41, Guerra doble, propone comparar cantidades formadas por pares de números. La comparación puede realizarse de varias maneras, con apoyo en propiedades de las operaciones y de las relaciones de orden, aunque las mismas no se expliciten. Es posible sumar las dos cartas de cada jugador y comparar los resultados, pero esto no es siempre necesario. Por ejemplo, si las dos cartas de un jugador son “visiblemente” mayores que las del otro, no hace falta sumar. Es decir, se pueden comparar cada uno de los términos de las sumas y si cada uno es mayor que el correspondiente término de la otra suma, su resultado también lo es. O, como en uno de los casos que se ponen en discusión, si un solo término de un par es mayor que la suma de los otros dos, se puede saber cuál par es mayor aun sin conocer el otro término. La situación planteada en la ficha 48, Mirar los precios, se apoya en el comportamiento de la relación, para un producto dado, entre el tamaño –o cantidad de elementos– y su precio. Los niños tienen la experiencia de que al aumentar la cantidad de algo, aumenta su precio. En este caso, la tarea consiste en ordenar cinco precios para hacerlos corresponder con 5 tamaños de cajas de bloques.

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En el libro solo se pueden presentar colecciones no móviles para ser contadas. Es importante que a raíz de juegos, situaciones, etc., se proponga a los alumnos contar colecciones móviles de número creciente. El recurso de organizar subcolecciones cobra sentido para contar cantidades grandes, y se vuelve más potente cuando se organizan grupos regulares, por ejemplo de 10 elementos, lo cual vincula con la organización decimal del sistema de numeración y con la habilidad de contar de a 10. El contexto del dinero y las actividades planteadas en la ficha 51, La alcancía, plantean un nuevo desafío consistente en contar de a 10, de a 5 y de a 2. Esto se vincula con los avances en el recitado de números que será tratado en el apartado Conocer la serie numérica oral y escrita. En la mencionada ficha 51 se propone que los alumnos controlen si el conteo realizado es correcto o no. La práctica de contar dinero se retoma en la ficha 78, Billetes que valen más, incluyendo, como su nombre lo sugiere, nuevos valores (20, 50). La ficha 55, ¿Cuál tiene más?, vuelve a plantear un problema de conteo para dos colecciones dibujadas (collares), que requiere de organización: determinar el punto en el que se inicia el conteo y controlar los conteos parciales (por ejemplo, haciendo marcas cada 10 cuentas). Para promover la explicitación de estas estrategias, se les propone a los alumnos la pregunta: “¿Qué pueden hacer para que sea más fácil contarlas?”. Además de un nuevo problema de comparación con informaciones gráficas y numéricas, se ofrece un juego de “Mensajes con manos”, consistente en transmitir un número entre 50 y 100 utilizando las manos. Esta actividad se vincula con el trabajo de composición aditiva de esta guía. Precisamente, la comparación entre números y su descomposición aditiva, se pone en juego en la ficha 66, Guerra de cálculos y resultados. Como se verá en los apartados siguientes, el conteo, el sobreconteo y el contar para atrás son procedimientos que los niños utilizan para resolver múltiples problemas. Por ejemplo, en una situación en la que había 12 pajaritos y se volaron 3, para averiguar cuántos pajaritos quedan, algunos niños cuentan para atrás: 12, 11, 10 y producen la respuesta: quedan 9 pajaritos. Lo que se desea señalar es que los niños están realizando un doble conteo: 12, 11, 10 y, al mismo tiempo, mentalmente o con los dedos están controlando 1, 2, 3 (la cantidad de pajaritos que se volaron). Es decir, usan la serie y cuentan números desde su interpretación de la situación. La ficha 63, ¿Por qué número van?, plantea una situación frecuente, que es la atención de los clientes en orden según su número. “Va por el 76, el señor tiene el 81, faltan… para que le toque el turno”. En este caso, se trata expresamente de contar números. Más adelante, la diferencia entre los números será posible de ser calculada. El conteo de fotos, organizadas de a 10 en hojas de un álbum, o sin organización, forma parte de las tareas de los niños en la ficha 72, El álbum de fotos. Su resolución pondrá en juego o no el

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de los números que se está trabajando en otras fichas y que se analiza también en otros apartados

apoyo en el conteo de a 10 y la conveniencia de agrupar en forma regular. En la ficha se propone que los alumnos discutan maneras rápidas de contar la colección presentada, justamente como ocasión de analizar la eficacia de diversos procedimientos y para favorecer que se establezcan vinculaciones entre los diversos conocimientos posibles de poner en juego.

Resolver problemas aditivos. Utilizar procedimientos mentales para sumar y restar

Resolver problemas aditivos, es decir, problemas que se resuelven con una suma o una resta, constituye una parte de un largo proceso, en el que los alumnos construyen el sentido de los números y de las operaciones. Si en un primer momento se plantean problemas de reunión de colecciones o relativos a un aumento de cantidades, y a ellos se vincula la suma, así como la resta se vincula con la disminución o con lo que falta para completar una colección, después, estas operaciones se mostrarán útiles para conocer lo que se tenía antes de perder o ganar, invirtiendo en el terreno de las operaciones el sentido de la acción evocada. Un largo camino en el que la evolución se va a producir trabajando –a lo largo de la escolaridad– en distintos planos: en el plano de la interpretación de las situaciones (“¿de qué se trata?, ¿qué sucede?”), en el plano de los procedimientos que utilizan los niños (avanzando del conteo al cálculo), de las formulaciones y escrituras que son

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capaces de producir e interpretar, en el plano de las propiedades que ponen en juego y que recién mucho más tarde serán identificadas, en el plano de las relaciones que pueden ser establecidas entre los distintos conocimientos producidos. Todos estos aspectos son constitutivos del sentido de las operaciones, y requieren ser tomados como objeto de trabajo en su especificidad y en sus vinculaciones. En el trabajo propuesto otorgamos mucho valor a la exploración de las situaciones por parte de los niños. Apuntamos a que traten de construirse una representación personal de la situación, que comprendan de qué se trata y qué hay que lograr o averiguar, aun cuando estén lejos de disponer de los medios operatorios para resolverla21. Pretendemos que los alumnos adquieran disposición a buscar con qué recursos cuentan para resolver los problemas “comandados” por su comprensión de la situación, aunque no puedan, como es de esperar, dominarla en un primer momento. Es precisamente en esa búsqueda y en esas primeras producciones que están construyendo el sentido de las operaciones, adaptando los conocimientos de los que disponen y produciendo algo nuevo. Las diversas situaciones propias del campo aditivo presentes en Hacer Matemática en 1º se pueden clasificar del siguiente modo: Problemas en los que interviene la reunión de dos o más colecciones © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Algunos autores los denominan problemas aditivos de composición22. En los mismos está presente la relación parte todo y, en este nivel escolar, se asocian a las acciones de tipo juntar o separar. Pueden referirse a objetos de la misma naturaleza que se distinguen por alguna característica. Por ejemplo, los cubos de Ana y los cubos de Tomás, los lápices rojos y azules, etc. Problemas relativos a transformaciones de una colección23: agregar, quitar. Hay una cantidad inicial que es modificada mediante una acción y se obtiene otra cantidad, la cantidad final. Son identificados por algunos autores como Problemas aditivos de cambio. Los problemas aditivos en que está presente una acción del tipo avanzar-retroceder se incluyen en esta misma clase. Las acciones del tipo avanzar se asocian con la suma, puesto que al avanzar se llega a una cantidad mayor que aquella del punto de partida; inversamente, la acción de retroceder se asocia con la resta, ya que se llega a una cantidad menor que la del punto inicial. Los problemas planteados en la ficha 16, La torre más alta, son del tipo reunión de colecciones. Ya se han analizado los posibles procedimientos de los alumnos. Básicamente, pueden recurrir al conteo para calcular el total de cubos. En el último problema está representada la torre; se informa que 7 de los 11 cubos los trajo Josefina y se pregunta por la cantidad de cubos que trajo Francisca. Es decir, dentro de los problemas de reunión de colecciones se incluyen problemas como estos, en los que se informa el valor del todo y de una de las partes y se pregunta por el valor de la otra parte. A esta altura los alumnos lo pueden resolver interpretando la información, marcando en la torre y contando. La ficha 18 introduce "El Juego de la caja", largamente difundido en la bibliografía desde hace muchos años. Corresponde a una situación de transformación de una cantidad inicial, ya sea agregando o quitando elementos. En la ficha se propone realizar la actividad en equipos; sería conveniente que el docente realice varias vueltas del juego con los niños antes de proponer su realización independiente. El docente coloca una cierta cantidad de tapitas en la caja, contándolas a medida que las coloca. Luego pasa un niño a colocar otra cantidad. El desafío que se plantea a la clase consiste en deter-

Volveremos sobre este punto en el apartado correspondiente a “Utilizar los números en contextos variados”. ESPINOZA, Lorena y GONZÁLEZ, Enrique. “Problemas aditivos de cambios con números hasta 30”. Ministerio de Educación, República de Chile. La descripción de procedimientos que hacemos a continuación es homóloga a la presentada en este documento. 23 Otras transformaciones de una colección como repartir, duplicar, etc., se incluyen en problemas que serán analizados en el apartado “Utilizar los números en contextos variados”. 21 22

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minar, sin abrir la caja, cuántas tapitas hay en ella. Esta condición –sin abrir la caja– tiene como propósito bloquear el conteo de los elementos. Se quiere provocar que los alumnos trabajen con los números y encuentren, a lo largo del trabajo, que la suma y la resta (cuando se quitan elementos) son los conocimientos que permiten resolver el problema. La condición planteada bloquea el conteo de las tapitas que están efectivamente en la caja; sin embargo, algunos alumnos apelarán al conteo de colecciones que representan lo que hay en la caja, como veremos enseguida al enumerar los procedimientos que pueden utilizar los niños. Supongamos que se colocaron 8 tapitas y luego 5. Los niños pueden: Tomar 8 porotos, que representan las 8 fichas que están en la caja, toman luego otros 5 porotos, y los cuentan todos. Cada poroto representa cada una de las tapitas ocultas. Es interesante considerar que los alumnos, en este caso, están constituyendo colecciones que les permiten resolver el problema y lo hacen en función de la información que recibieron. Aunque el procedimiento de resolución permanece en el nivel del conteo –no de suma–, la actividad se desarrolla a un mayor nivel de abstracción y las acciones son emprendidas por los chicos mismos a partir de su comprensión de la situación. Hacer 8 rayas en su cuaderno, que representan las 8 tapitas que están en la caja, hacen luego otras 5 rayas, y las cuentan todas. En este caso, cada raya funciona como un símbolo gráfico sigue siendo la misma: contar todos los representantes de las tapitas ocultas. Tampoco este procedimiento es una suma, es un conteo. Levantar 5 dedos de una mano y tres de la otra, para representar 8 tapitas; levantan luego sucesivamente 5 dedos y los cuentan diciendo: 9-10-11-12-13. Al llegar al quinto dedo, encuentran el número que dicen como respuesta. También algunos niños pueden usar los dedos pero partiendo de 8 y diciendo 9 al levantar el primero de 5 dedos. Decir y anotar 8 y empezar a hacer rayitas. Cada vez que hacen una rayita, dicen un número de la secuencia a partir de 8. Contabilizan 5 rayitas y el último número que dicen es el 13; por lo tanto, hay 13 tapitas en la caja. Estos dos últimos ejemplos, en los que los niños parten del primer número (la cantidad que se puso inicialmente en la caja) y agregan la otra cantidad contando (8…9, 10, 11, 12, 13), se denomina sobreconteo. Representa un avance respecto del conteo total desde 1, en dirección a la utilización de procedimientos de suma.

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de cada una de las tapitas que están en la caja. La técnica utilizada para encontrar la respuesta

Sumar, por ejemplo descomponiendo el 5 en 2 y 3 y resolviendo el problema como 8 + 2 que es 10 y 10 + 3, que es 13. En otros casos, puede que dispongan del resultado de memoria, con mayor frecuencia para sumas tipo 6 + 6, o 6 + 4, o 10 + 5, etc. Con cualquiera de estos procedimientos, los alumnos pueden anticipar la cantidad de tapitas de la caja, sin necesidad de abrir la misma y contar las que hay. En el lenguaje que resulte adecuado, se llega a la conclusión de que: Es posible anticipar la cantidad de objetos que tendrá una colección a la que se le han agregado objetos, si se sabe la cantidad que tenía y la cantidad de objetos que se agregan. A la vez que se valoran los diversos procedimientos, se los tomará como objeto de intercambio para favorecer el análisis y la difusión de los más evolucionados. Múltiples trabajos sobre las herramientas (dominio de la serie oral, resolución de cálculos “fáciles”, memorización, etc.) serán necesarios para que todos los alumnos avancen en sus procedimientos y “conquisten” la suma.

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A partir de lo desplegado en relación a la suma, es posible imaginar los variados procedimientos con que los niños pueden averiguar cuánto queda en la caja cuando se ha quitado una cierta cantidad: • Reproducir la situación, las acciones, con elementos a partir de la información. • Hacer marcas en el papel y tachar las que se han quitado. • Contar para atrás a partir de la cantidad inicial tantos números como la cantidad de tapitas que se quitaron. Este último procedimiento es el homólogo del sobreconteo: al agregar se cuenta hacia adelante a partir de la cantidad inicial, al quitar se cuenta para atrás. En ambos casos no se cuentan objetos, se cuentan números (que representan cantidades). Por ejemplo, si se pusieron 12 y se sacaron 4:

12….11…10…9….8

1…2….3…4

Los niños tienen que ir contando lo que cuentan, lo cual es elocuente respecto de su complejidad. En algunos casos, lo hacen retrocediendo en la banda numérica y controlando la cantidad de casilleros que se desplazan. Como antes, dominar estos procedimientos se hace posible a raíz de estar desarrollando otras prácticas, como por ejemplo, contar para atrás a partir de un cierto número. Es un ejemplo de la relación entre un mayor conocimiento y dominio de la serie numérica y el © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

avance en los procedimientos operatorios. Los alumnos también pueden: Restar, por ejemplo si se pusieron 12 y se sacaron 4, hacer mentalmente 12 – 2 y luego 10 – 2, o decir directamente el resultado apoyados en el conocimiento de 8 + 4 = 12. Este es el nivel de resolución hacia el que se buscará que los alumnos avancen a lo largo del año. En todos los casos, es interesante promover que los alumnos asuman la responsabilidad de verificar sus respuestas sin necesidad de abrir la caja y contar las tapitas, lo cual corresponde a una verificación empírica. El maestro puede desafiarlos preguntándoles: “¿Están seguros? ¿Cómo pueden mostrar o explicar por qué están seguros? ¿Hace falta abrir la caja o están completamente seguros sin abrirla?” Si se excluye o se retrasa la posibilidad de acción efectiva sobre los objetos y se pide a los niños que muestren mediante argumentos que su resultado es correcto –sin corroborarlo empíricamente– se está promoviendo una práctica fundamental de la matemática: la validación de tipo argumentativo. ¿De qué tipo de argumentos estamos hablando? Cuando un alumno dice: “Estoy seguro porque hice 12 tapitas, taché 4 y me quedaron 8.”, ha usado un modelo (la representación de las tapitas) y ha actuado sobre él de un modo y con unos controles que le permiten estar completamente seguro del resultado. La validación proviene de la explicitación de un procedimiento que otro puede hacer y va a conducir al mismo resultado. Sin trabajar todavía a nivel del cálculo, es un argumento de validación. Otros alumnos podrán decir: “Es seguro que en la caja hay 8 tapitas porque 12 menos 4 es 8”. Estos alumnos han trabajado a nivel del cálculo y han aprendido a confiar en lo que obtienen habiendo planteado un cálculo adecuado a la situación. Esta argumentación puede completarse con: “Es seguro que en la caja hay 8 porque 8 + 4 = 12 y, si a las 8 tapitas le agregamos 4, vamos a tener las mismas que al principio.” En el análisis de algunos procedimientos y argumentos de los alumnos ante el juego de la caja, puede identificarse lo que significa usar los números como recursos para anticipar. Justamente, la matemática permite saber que si se juntan dos colecciones de bolitas, una formada por 5 bolitas y otra por 6 bolitas, se obtendrá una colección de 11 bolitas, aunque tal colección no se haya constituido o las bolitas se encuentren muy distantes entre sí. Hemos mencionado antes a la potencia del número como memoria de la cantidad. Nos estamos refiriendo aquí a la potencia de la matemática, que permite conocer el resultado de algunas experiencias sin necesidad de realizarlas efectivamente. Por otro lado, para que la actividad matemática sea realmente anticipatoria de la experiencia, es necesario estar seguro que esa anticipación fue realizada de manera correcta; en otras palabras, es necesario validar la anticipación.

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Acabamos de comentar ciertas condiciones del juego de la caja e intervenciones docentes que promueven, precisamente, el movimiento de anticipación y validación característico de la matemática. Comprender y dominar el carácter anticipatorio de la actividad matemática, así como aprender a responsabilizarse por la validez de los resultados, representa un largo proceso, pero este trabajo puede iniciarse desde los primeros contactos que los niños establecen con ella. Deseamos señalar la importancia de proponer la anticipación de los resultados y la argumentación en torno a los mismos, aun cuando esté previsto realizar comprobaciones empíricas. Con el despliegue de estas prácticas, los niños irán asumiendo como propias las posibilidades de hacer afirmaciones dando fundamentos e irán retirando la idea de que la “verdad” o la “certeza” las establecen otros (los objetos, la maestra, la calculadora…). Hemos planteado la riqueza del trabajo que realiza un alumno cuando, ante una situación como la caja, decide por sí mismo buscar materiales, o dibuja y cuenta las colecciones que produce. Aunque permanezca en el nivel del conteo, ha interpretado la situación y ha producido los medios con los cuales tratarla. Estos recursos irán evolucionando, apropiándose del poder de los números y de las operaciones para tratar un gran conjunto de situaciones. Con el mismo carácter de situación abierta que el juego de la caja, se presentan en el primer período otros problemas. En la ficha 21, En la casa de la abuela, se plantea un problema de transformación de una colección, un reunir dos colecciones. Es decir, son problemas aditivos, que se resuelven con sumas o restas. Sin embargo, es importante diferenciar el tipo de problema respecto del tratamiento que le dan los alumnos según los recursos que utilizan. Concretamente, averiguar cuántos cachorritos quedan en la casa de la abuela puede ser resuelto en términos de anticipación con una resta, pero ello supone la posibilidad de trabajar en el nivel del cálculo, y muchos alumnos de primer grado aún no trabajan a este nivel al inicio del año. Insistimos en la importancia de plantearles a los alumnos problemas de este tipo (además de muchos otros que puede plantear el docente oralmente, o con otros enunciados escritos o información gráfica), frente a los cuales en ocasiones recurrirán al conteo, trabajarán sobre las colecciones presentes y, en otros, porque los números que intervienen lo facilitan o porque van progresando en los recursos de cálculo, van a realizar verdaderas anticipaciones, eventualmente corroboradas sobre las colecciones. En este camino de aprendizaje, los alumnos se construyen una representación de los problemas que los conocimientos matemáticos permiten responder, y los recursos (el conteo, el sobreconteo, contar para atrás, los cálculos, las escrituras) pueden cobrar sentido y evolucionar. Volveremos sobre el mejoramiento de los recursos en el apartado siguiente. En la ficha 22, Otra vez el juego de la caja, se incorpora la producción de un mensaje para que

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problema de reunión de colecciones y otro problema de comparación de cantidades, que requiere también

otro equipo tenga la información que permite averiguar cuántas tapitas hay en la caja. Los niños tienen que encontrar un modo de formular las acciones realizadas (agregar o quitar tapitas) y justamente la necesidad de distinguir estos dos tipos de acciones justifica la búsqueda de recursos para expresarlas. En este contexto, las escrituras matemáticas (+ y –) aparecerán asociadas a las acciones. Como ya hemos dicho, el libro no puede y no pretende sustituir el análisis en clase de los mensajes efectivamente producidos por los alumnos: discutir si comunican la información, si permitieron o no interpretar y averiguar, qué significan algunos símbolos que seguramente los niños van a usar porque los han visto en los cuadernos de sus hermanos, etc. En la ficha se propone una situación simulada, que justifica la necesidad de comunicar si hay que sumar o restar los números. Ya en el segundo período, en la ficha 29, El cumpleaños de Marina, se plantean problemas aditivos de los mismos tipos mencionados. Pese a que se ha propuesto trabajar el significado de las escrituras de suma y resta, no se pide en esta ficha que escriban los cálculos. Algunos niños escribirán cálculos pero no se les solicita hacerlo. La presión prematura por la escritura de cálculos puede obstaculizar que algunos niños utilicen los procedimientos que les surgen desde la interpretación de la situación y con los que se sienten más seguros.

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Dentro de los problemas en los que se relacionan parte–todo, se incorpora el caso en que se conoce el todo (los 12 invitados), una parte (los 8 que ya llegaron) y se pregunta por el valor de la otra parte (¿Cuántos invitados faltan llegar?). El procedimiento del sobreconteo –ya analizado– resulta eficaz para tratar esta situación. Este es un buen ejemplo de un problema que los alumnos pueden resolver aun sin tratarlo con la operación correspondiente, sin poder producir –todavía– un cálculo. En la ficha 44, El juego de la pista, se plantean problemas de desplazamientos en una pista para interpretarlos en términos numéricos. Sin embargo, será recién en la ficha 57 donde se tratará este asunto. En este apartado, “Resolver problemas aditivos”, hemos analizado tipos de problemas y también los distintos procedimientos con que los niños pueden tratarlos. Estos son constitutivos del sentido de las operaciones que se encuentra en elaboración. La enseñanza se debe ocupar de provocar la evolución de los conocimientos. En el próximo apartado se despliega el trabajo propuesto para que los alumnos puedan avanzar de procedimientos menos eficaces a más eficaces, es decir, que puedan abandonar procedimientos de conteo a favor, progresivamente, de la realización y dominio de cálculos.

El pasaje del conteo al cálculo Como ya hemos planteado, ante un mismo problema los niños utilizan diversos procedimientos.

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Por ejemplo, para el siguiente problema: “En el colectivo había 8 pasajeros, subieron 4. ¿Cuántos hay ahora?” Algunos niños usan los dedos o dibujan 8 marcas, luego 4 y cuentan todo. Otros, sobrecuentan: 8...9, 10, 11, 12. Algunos niños usan algún recurso de cálculo; por ejemplo 8 y 2, 10 y 2 más 12. Otros, disponen del resultado memorizado: 8 + 4 = 12. Si bien todos estos procedimientos suponen el establecimiento de relaciones pertinentes (hay que agregar 4), tienen diferencias en cuanto a sus alcances y límites. Solo los dos últimos utilizan procedimientos de cálculo. El recurso de calcular supone utilizar un modelo aritmético general, que va a poder ser empleado aun cuando se aumenten significativamente las cantidades. Supone ir logrando confianza en la validez de la utilización de los modelos que se van construyendo. Los otros procedimientos son de tipo conteo, y se apoyan en una representación figurada de la situación evocando los objetos, o en el conteo de los objetos mismos. Estos procedimientos resultarían muy poco eficaces si el mismo problema se planteara con cantidades mucho más grandes. Esto nos advierte sobre los límites para anticipar, inherentes a los procedimientos de conteo. ¿Cómo favorecer en los alumnos el pasaje de un tipo de procedimiento a otro? Se trata de proponerles problemas en los que haya que calcular aun cuando no dispongan de una solución experta. A través de la resolución de diferentes problemas, la confrontación de diversas soluciones, la puesta a prueba de los procedimientos con números más grandes, los alumnos podrán empezar a apropiarse de procedimientos vinculados al cálculo. Esta transición no se hace de manera lineal, ni al mismo tiempo para todos los niños, ni de un modo definitivo para el mismo niño. Es importante señalar que no se trata de saltear los procedimientos de tipo conteo, pues son indispensables por un tiempo para muchos alumnos y para diversos problemas. La tarea consiste en ayudar a los alumnos a superarlos y a incorporar procedimientos más vinculados a la posibilidad de operar con los números, como así también de disponer de resultados. Hay que saber aceptar que, en cada categoría de problemas, el pasaje de la utilización de procedimientos ligados al conteo y vinculados a una representación figurativa de la situación, al reconocimiento de un modelo de resolución que implica el recurso de técnicas de cálculo expertas, es frecuentemente lento, raramente definitivo para un alumno y nunca simultáneo para todos los alumnos.

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Esta observación implica muchas consecuencias: Hay que aceptar, e incluso favorecer en la clase, la pluralidad de procedimientos de resolución, porque no solo anima a los alumnos a elaborar su propia solución, sino que puede ser fuente de progreso, de aprendizaje, a partir de las confrontaciones que se pueden organizar entre ellos. Hay que aceptar también que, para situaciones aparentemente análogas, algunos alumnos dan la impresión de retroceder. El aprendizaje está lleno de dudas, de retrocesos, de aparentes detenciones, hasta que las adquisiciones se estabilizan. Una exigencia precoz de formalización de soluciones (reconocimiento del cálculo a efectuar y producción de la escritura matemática correspondiente) puede ser una fuente de obstáculos para muchos alumnos que van a tratar de producir la escritura matemática directamente a partir del enunciado, apoyándose en palabras claves, sin involucrarse en la fase esencial de tratar de comprender la situación propuesta. El medio del que dispone el docente para favorecer el pasaje de un polo a otro es fundamentalmente ir variando las situaciones que les propone a los alumnos (para los problemas aditivos y sustractivos el “tamaño” de los números es una variable decisiva), lo cual va a ir exigiendo nuevos procedimientos y mostrando los límites o la inutilidad de los anteriores. Otra herramienta fundamental de la que dispone el docente es organizar los intercambios y las discusiones entre los alumnos, así como asegurar la difusión de los “hallazgos” de los alumnos entre formas de escritura matemática, se “oficializan” y se convierten, en cierto modo, en procedimientos más o menos obligatorios, y pueden empezar a ser requeridos o planteados como condición ante nuevas actividades. Los alumnos avanzan tanto a partir de los nuevos objetos de trabajo que se les propone como a partir de cierta exigencia de producir a partir de lo ya conquistado. Como ya se ha expuesto, utilizar el sobreconteo y contar para atrás desde un número dado, constituyen jalones en el pasaje del conteo al cálculo y la enseñanza ha de promover su utilización. Hemos desarrollado ya el análisis de la línea de trabajo que corresponde al problema del conteo y de su mejoramiento. Por ejemplo, las actividades que facilitan el sobreconteo, a raiz del reconocimiento rápido de cardinales, etc. Corresponde mencionar que, para estos logros, converge el trabajo a desarrollar en cuanto a la extensión y dominio de la serie numérica oral, que se presenta en esta guía.

Los procedimientos mentales de resolución

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todos. Llegan momentos en el trabajo en el que ciertos procedimientos y, particularmente, ciertas

El desarrollo de procedimientos mentales de resolución tiene un rol fundamental en el pasaje del conteo al cálculo, y constituye un objetivo fundamental de primero y segundo grado. Primero se trabaja la suma de dígitos; luego se promueven procedimientos que se apoyan en la descomposición aditiva de los números24. Los maestros con experiencia en primero y segundo grado constatan que entre sus alumnos hay quienes disponen de procedimientos mentales de resolución y quienes no, hay quienes memorizan con facilidad y quienes tienen que reconstruir siempre todo, hay a quienes se les ocurren diversas maneras de resolver y quienes disponen de muy pocos recursos. En tanto consideramos fundamental lograr que todos los alumnos dispongan de procedimientos mentales de resolución, entendemos que estos logros no pueden constituir únicamente logros individuales, sino que tienen que ser asumidos por el docente como metas de su enseñanza. Hay un primer requerimiento, que es que los alumnos tienen que saber producir rápidamente (casi instantáneamente) una buena respuesta a lo que se suele llamar el repertorio aditivo: encontrar uno de los términos a, b o c en a + b = c, cuando a < 10 y b < 10, lo cual no excluye el conocimiento de otros resultados pero condiciona su producción. Esta es la base del cálculo, sea escrito o mental.

24 Más adelante –a mediados de segundo–, se presentan los algoritmos que se apoyan en las reglas de escritura de los números (numeración de posición).

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Diversas investigaciones afirman que los dobles, y agregar 1 a una cantidad, son más fácilmente memorizados que otras combinaciones. Entre los dobles, 2 + 2 y 5 + 5 suelen ser los resultados más memorizados, antes que otras sumas con números menores, como 3 + 3 y 4 + 4. Los dobles, además de ser fáciles de memorizar, se convierten en el apoyo para resolver otros cálculos; así, 5 + 6 puede ser resuelto como 5 + 5 + 1. Igualmente, 10 + 10 es más fácil que 9 + 9. Además, 2, 5 y 10 son apoyos fundamentales en la organización del repertorio, así como los pares de números que sumados dan 10, debido al papel estructurante del 10 en el sistema de numeración. Con apoyo en los conocimientos que están elaborando, se promueve que los alumnos construyan procedimientos personales para dar respuesta a las situaciones. La construcción de estos procedimientos personales consiste en el despliegue de diferentes caminos, a partir de decisiones que los alumnos van tomando durante la resolución. Requieren de un tipo de trabajo en la clase que promueva la búsqueda, el ensayo, el intercambio y difusión de las ideas, la revisión. Estos procedimientos, que se ponen en juego para cálculos particulares, no dependen de una técnica, pero sí requieren disponer de conocimientos en los cuales apoyarse. Así, tempranamente, para resolver 6 + 7, el trabajo se orienta a que los alumnos lo resuelvan apoyándose en conocimientos disponibles o en elaboración: por ejemplo, pensándolo como 6 + 6 + 1 (conocimiento de los dobles), o como 6 + 4 + 3 (conocimiento de los pares de números que sumados dan 10 y del comportamiento del sistema de numeración 10 + 3 = 13). © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Del mismo modo, para resolver 28 + 15, se promueve que los alumnos puedan apoyarse, por ejemplo, en la descomposición aditiva 20 + 8 + 10 + 5, reunir los dieces (o números redondos), resolver 8 + 5 y sumar ambos resultados. Otro modo de resolverlo es descomponer el 15 y pensar el cálculo como 28 + 2 + 13, completar a 30 (llegada a la decena más próxima), y luego sumarle 13. Por ello, a la vez que la búsqueda e intercambio de maneras de resolver, es necesaria la sistematización de un conjunto de resultados que permita la construcción progresiva de un repertorio de sumas y restas (disponibles en memoria o fácilmente reconstruíbles a partir de aquellos memorizados) y –progresivamente en el primer ciclo– su extensión a los múltiplos de 10, 100 y 1.000. Vamos a señalar sintéticamente las metas que se pueden ir planteando en este proceso, vinculándolas con las propuestas de las fichas de trabajo. Se plantea un trabajo sobre el repertorio aditivo, que consiste en organizarlo y ofrecer frecuentes oportunidades para que los niños memoricen algunos resultados y se apoyen en ellos para resolver los que todavía no dominan. Como se verá en relación a la primera ficha analizada, también la escritura de los cálculos es objeto de trabajo. La "Cajita de 10", actividad propuesta en la ficha 26, pone en juego una situación en la que, partir de lo que se sabe (el todo: 10 y una de las partes), se puede averiguar lo que no se sabe. Permite introducir la idea de complemento –en este caso a 10– que más adelante en la escolaridad constituirá uno de los significados de la resta (operación que permite medir la diferencia entre dos números). Los niños pueden averiguar cuánto le falta, por ejemplo a 6 para llegar a 10, por complemento, usando el sobreconteo. En algunos casos, van a ir encontrando que disponen en memoria de algunos pares de números, que sumados dan 10, y en el curso de la actividad van a ir aprendiendo otros. En la ficha 34 se retoma el juego y se propone explícitamente que los niños identifiquen los pares de números que sumados dan 10 en el contexto del juego, además de proponerles problemas de enunciado en el mismo contexto incluida la verificación de una respuesta. En la misma ficha se propone otro juego, "Tener 10", con el mismo contenido, y se busca que los relacionen. Ambos juegos se consideran buenos contextos para que cobre significado la escritura a +….. = b. Los niños habrán enfrentado problemas de este tipo (como en la ficha 29) pero, como comentamos allí, no se ha solicitado la producción de cálculos. Como se ha planteado en la introducción, lograr resolver un problema no implica necesariamente ser capaz de vincularlo a una operación, y producir cálculos adecuados representa un aprendizaje específico. Por ello, es necesario trabajar sobre las escrituras para autorizar y relacionar distintas expresiones promoviendo que se explique lo que significan los distintos núme-

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ros. En este caso, se ha elegido el contexto de los juegos para presentar un primer significado de la “suma con agujero” o, en lenguaje más matemático, la búsqueda del término desconocido de una suma. Para que adquieran su nivel de escritura matemática, es necesario que los niños entren en contacto con distintos problemas y distintas situaciones que podrán ser representadas con el mismo tipo de escritura, y que puedan desarrollar prácticas de interpretación y de análisis de su validez para problemas dados. Este trabajo apenas se inicia en primer grado y ha de continuar todo a lo largo de la escolaridad con complejidad creciente. Las escrituras en matemáticas no solo permiten comunicarse; permiten pensar. En la ficha 28 se propone un juego con dados y un pequeño tablero, “La serpiente”, que representa una ocasión para realizar sumas de dígitos hasta 6. En este juego, no todos los números (de 2 a 12) tienen la misma probabilidad de salir como resultado de la suma de los valores 1 a 6. Se propone que los niños indiquen los números más difíciles de tachar, porque se considera que es accesible a los alumnos realizar esta observación y vincularla al hecho de que para algunos números pueden encontrar varias combinaciones de dados, mientras que para otras, pocas. A medida que los niños van trabajando el repertorio aditivo, es importante que en el aula cobre presencia, como memoria del trabajo, pero sobre todo para poder constituir una referencia. Para los niños cuando resuelven, discuten, vuelven sobre lo hecho y toman conciencia de lo que trabajan y aprenden. También, para intervenciones docentes que promueven la utilización de las sumas que hay en los carmás plena en el aula bajo la dirección del docente. Nos referimos a la propuesta de la ficha 30, Carteles con sumas. Como hemos dicho, dominar los dobles de los dígitos se constituye en un importante apoyo para resolver muchas sumas y restas. La ficha 32, El doble, propone una actividad en la que los niños tienen que determinar el doble de lo que salió en el dado, solicitarlo o entregarlo y, luego de tres vueltas, comparar las cantidades obtenidas por los diversos jugadores. Una actividad sencilla, que brinda muchas ocasiones para trabajar con los números, relacionarlos, compararlos. La ficha 39, Lotería de sumas, resulta representativa de los dos aspectos que se proponen trabajar en paralelo y en relación: por un lado, ejercitar la suma de dígitos y, por otro, tener oportunidad de utilizar sumas de las que se conoce el resultado para resolver otras sumas. El tipo de trabajo que se espera es que los niños analicen qué cambió de un cálculo a otro y puedan hacer el cambio correspondiente. El razonamiento que subyace es que como en 6 + 5 hay 1 menos que en 6 + 6 porque 5 es 1 menos que 6, entonces a 12 (resultado de 6 + 6) hay que restarle 1 o contar 1 para atrás. También se propone una actividad tendiente a que los alumnos tomen conciencia de cuáles resultados

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teles para resolver otras sumas.25 Una vez más, el libro propone una parte de una actividad que será

conocen de memoria, es decir qué parte del repertorio dominan. Problemas de sacapulgas, en la ficha 42, recupera el contexto del juego ofrecido en la ficha 4, para plantear problemas de cantidades que disminuyen y brindar ocasiones de trabajar la resta. Ya en el tercer período, el juego “Tres dados”, de la ficha 49, solicita la suma de tres dígitos. Comentar cómo obtienen el resultado puede ser una ocasión para favorecer el sobreconteo: a la suma de los dos primeros números se le agrega, contando, el tercero. Algunos niños pondrán en juego otros procedimientos, ya sea porque los números permanecen dentro de la suma de dígitos que ya dominan, ya sea porque ponen en juego otras estrategias; por ejemplo de descomposición de un sumando: 9 + 5 es 14, porque 9 + 1 es 10 y 10 + 4 es 14. En algunos casos, se apoyan en el conocimiento de los números: 10 + 6 es 16 porque te lo dice el número. Estas ideas se registran y una de las mejores maneras de retomarlas es pedirles a los niños que planteen otras sumas “en las que pase lo mismo”. En el juego “Tres dados”, hay que ir rodeando los resultados en una tabla y, como en “La serpiente”, no todos los números tienen la misma probabilidad de aparecer como la suma de los valores 1 a 6. Se propone que los chicos, en equipos, traten de explicar por qué algunos números salen como re-

“Los niños, los maestros y los números” (1992), Desarrollo Curricular. Matemática para 1º y 2º grado, Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Se presenta detalladamente la propuesta de Guillaume para trabajar la memorización del repertorio aditivo en primer grado.

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sultado con más frecuencia que otros. También se plantea armar composiciones para un total dado; los niños podrán comparar sus respuestas, que no son únicas. Esta práctica de componer cantidades se pone en juego también en la simulación de Compras, propuesta en la ficha 52, que incluye variados problemas: comparación de cantidades, complemento, interpretación del significado de una escritura en un contexto. La ficha 56, Mucho para sumar, pone en juego la suma de cuatro dígitos. Representa una ocasión para que los alumnos usen los conocimientos que tienen para facilitar los cálculos. Por ejemplo, tomando decisiones sobre cuáles, sumando, reunir primero por algún motivo (dobles, complementos a 10, etc). En estas prácticas los niños ponen en juego las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. Sin necesidad de nombrarlas en términos matemáticos, es conveniente, al comentar el trabajo realizado, confirmarles que “se puede cambiar el orden, el resultado no cambia”, “se puede sumar unos primero y después agregar el resto, pero no hay que olvidar ninguno”. Los niños exploran muchas alternativas, pero necesitan confirmación de la legalidad de lo que hacen (no solo no es “trampa” sino que es válido matemáticamente). De esto hablamos cuando nos referimos a institucionalización (esta larga palabra, ese delicado e importante momento), esa fase de la enseñanza en la que el docente reconoce el conocimiento que está en acto, lo identifica, recupera las conclusiones de los niños y produce formulaciones que vinculan el conocimiento que circula en el aula con el saber formulado en la cultura, en la sociedad. © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Procedimientos del mismo tipo, con apoyo en las propiedades, utilizarán los niños ante los variados problemas aditivos que propone la ficha 60, Las golosinas26. Trabajar el repertorio aditivo incluye conocer el resultado de restas. Se proponen más tardíamente en primero (y van a acrecentar su presencia en segundo y en tercero), porque la resolución de muchas restas se apoya en el conocimiento de sumas. En la ficha 57 se propone otro juego de dados, “El Territorio”, cuyo propósito es favorecer el dominio de las restas entre los seis primeros números. Como se planteó en la clasificación de problemas, aquellos que incluyen avanzar y retroceder, se consideran parte de los problemas de transformación de una cantidad. En la ficha 57 se plantea explícitamente la vinculación de los mismos con la suma y la resta. La cantidad inicial, el punto de partida en este caso, ha “crecido” respecto de otros problemas, y los niños tienen que resolver la suma o resta de un dígito a un bidígito. Los progresos en el conocimiento de la serie numérica, el dominio del conteo a partir de cualquier número y para atrás, así como el trabajo de descomposición aditiva de los números, son las herramientas que les permitirán resolverlos. Los problemas que se plantean en la ficha 65, Comida para llevar, incluyen ese tipo de sumas o restas, así como también la suma de decenas enteras a un bidígito. Concretamente, los cálculos que relacionan los datos son: 18 – 6 = ...

20 + … = 24

25 + 20 = …

36 – 8 = …

En este caso, sí se solicita que los niños escriban los cálculos con que resuelven los problemas. Aunque no se plantea ninguna pregunta, se considera particularmente relevante analizar, en la puesta en común, las escrituras que los niños pueden haber producido para el segundo problema. La situación, ya trabajada, es que se conoce el total y una parte y se pregunta por lo que falta. Muchos niños pueden resolverlo contando “21, 22, 23, 24”, mientras despliegan cuatro dedos y “leen” en ellos la cantidad que constituye la respuesta. Pero, ¿cuál cálculo escribir? Algunos niños, que quizás encuentran la respuesta facilitada por los números (de 20 a 24 hay 4), pueden pensar que esto se relaciona con una resta: si a la cantidad que hay que preparar se le resta lo que está hecho, el resultado es la cantidad que hay que hacer, y pueden escribir una resta 24 – 20 = 4, para expresar estas relaciones (no como medio para obtener el resultado). Sin duda, la resta es la operación que permite conocer la diferencia entre el todo y una parte, pero este significado y esta potencia está lejos para muchos niños, particularmente porque no se corresponde con los procedimientos que pusieron en juego, los cuales estaban facilitados por los números. 26

Un análisis más completo de esta ficha se realiza más adelante en esta guía.

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Hemos planteado repetidas veces que trabajar sobre las escrituras, en este caso de los cálculos, constituye un aspecto específico, e interviene en la construcción del sentido de las operaciones. Es importante que en la clase se plantee una discusión sobre las producciones de los niños para el segundo problema, convocándolos al trabajo de interpretar la producción de otro y repensar la propia. No es objetivo de esta clase (ni siquiera de primer grado), que los niños construyan el referido sentido de la resta y que puedan identificarla como la operación que resuelve este problema. Sí es un propósito de la actividad discutir sobre las escrituras, interpretarlas en el contexto de la situación (“¿qué es el 24 en el problema? ¿Y el 20? ¿Y el 4?”), relacionarlas con los procedimientos (“¿Cómo supieron que tiene que ser 4?”). Queremos plantear también que, si ningún alumno propone la escritura 20 + 4 = 24, el docente puede presentarla, por ejemplo como la producción de un alumno de otro primero o simplemente como propuesta para que traten de interpretarla en el contexto de la situación. Ya se planteó en la ficha 34 la legitimación de la escritura a +… = b. Puede ser que esté disponible. De no ser así, esta ficha es ocasión de actualizarla. Se ha planteado reiteradamente que la descomposición aditiva de los números resulta una herramienta fundamental para resolver los cálculos de suma y resta en primer grado. Así, para resolver 36 + 25, se espera que los chicos puedan, entre otros recursos, sumar las decenas (30 + 20) y sumar los dígitos (6 + 5). La ficha 66, Guerra de cálculos y resultados, recupera el conocido juego, pero en este caso hay que comparar números de dos cifras con expresiones de los mismos La ficha 67, La huevera, retoma la suma de varios sumandos, con la particularidad de que los mismos son cincos y dieces. Se propone el análisis de distintas maneras de sumar, y resultan pertinentes aquí los comentarios realizados en relación a la ficha 57. Se incluye también el análisis de situaciones de comparación considerando posibilidades. Por ejemplo, en el último problema, si María obtuvo 25 puntos, Gastón tiene 10 puntos y le queda una sola bolita, los niños podrán establecer que Gastón no puede ganarle a María porque su máximo puntaje posible será 20. La última ficha del período 3 es la ficha 68, El colectivo. En la misma se presentan problemas de transformación de una colección, y se estimula a que los niños inventen otros problemas del mismo tipo. La actividad de invención de problemas implica –y permite– una profunda apropiación de la “estructura” de los problemas, aquello que puede ser común a muchos teniendo variaciones. El período 4 se inicia con la ficha 69, Tiro al blanco, que se analiza en esta guía en el apartado relativo a Tratamiento de la información. Su inclusión en este apartado se debe a que da continuidad al tipo de tareas propuestas en la ficha 67, incluyendo para las prácticas de composición de cantidades el número 50.

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en términos de sumas; es decir, pone en juego la descomposición aditiva.

La ejercitación de las restas, planteada en la ficha 57, constituye el propósito de la ficha 71, Vuelta y revuelta. Como antes para las sumas, se propone que los alumnos identifiquen las “fáciles”. Aunque es sabido que lo que es fácil para un alumno puede no serlo para otro, entendemos que es necesario ejercer una cierta “presión”, en el sentido de que algunos resultados y procedimientos deben estar disponibles para todos. No estamos incluyendo aquí comentarios sobre la sección Para practicar que acompaña cada período, pero sugerimos su revisión junto con la de las fichas. Por dar solo un ejemplo, acompañando la ficha 71 se propone otro juego que los niños pueden realizar de modo bastante independiente, y que promueve ser capaz de pensar restas que tengan un cierto número como resultado. Esta práctica enriquece las relaciones entre los números; así, 8 no será solo 4 + 4, 6 + 2, sino también el resultado de 18 – 10, de 16 – 8, etc. El hecho recién mencionado –lo que es fácil para uno puede no serlo para otro– se toma como asunto de intercambio en la ficha 74, que se llama, precisamente, Fáciles o difíciles. Al tener que explicar de dónde proviene la “facilidad”, los niños van clasificando los cálculos, explicitan aspectos –por ejemplo de la numeración oral– que ayudan a saber rápidamente los resultados. Para algunos cálculos que se estima no resultarán tan fáciles, se plantea compartir ideas. Para la suma de bidígitos, los niños pondrán en juego procedimientos que ya han sido referidos en esta guía. Estos mismos tipos de cálculos están involucrados en la resolución de los problemas que se plantean en la ficha 75, La fábrica de mochilas.

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La composición de decenas, herramienta útil en la resolución de sumas de bidígitos, se pone en juego en el contexto del dinero en la ficha 78, Billetes que valen más. Los carteles de sumas y restas, tempranamente propuestos para números más chicos, se presentan ahora para 80, 90 y, como entonces, para muchos otros números que el docente y los alumnos propongan en la clase. En el apartado Conocer la serie numérica oral y escrita se desarrolla una línea de trabajo en la que los alumnos van identificando las regularidades de la serie numérica, relacionan los nombres de los números con sus escrituras, se apropian de la organización del cuadro de números, etc. A la vez, hay un “interjuego” que se busca provocar entre el avance de los conocimientos sobre los números y su utilización como recursos para calcular. Se trata siempre de pensar los números involucrados en el problema, en el cálculo, en la situación y elegir las relaciones, la forma de descomposición, etc., que resulte más pertinente o facilite su tratamiento. En la ficha 57 se busca relacionar los desplazamientos en una pista con la suma y con la resta. En la ficha 84, Contar y saltar, se propone relacionar los desplazamientos de a 5 y de a 10 con la organización del cuadro de números. Se busca que los alumnos avancen respecto del desplazamiento uno a uno, y puedan anticipar, en el plano de los números, los efectos de desplazarse de a 10 para atrás o para adelante. En la ficha 88, Números, saltos y cálculos, se vinculan los desplazamientos verticales en el cuadro con la suma y resta de decenas. Es decir, lo que puede haber sido un recurso utilizado por muchos alumnos, se “oficializa” y se coloca como asunto de trabajo para todos. Están © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

tratando un tipo de problema propio del campo aditivo, al mismo tiempo que se apropian y apoyan en el funcionamiento del sistema de numeración decimal, “manifiesto” en la organización del cuadro de números. La ficha 85, Rebajas, también pone en juego el “– 10”, en el contexto del dinero, y propone el análisis de lo que “les pasa a los números” cuando se resta 10.27 Es decir, los alumnos se apoyan en cómo se dicen o escriben los números para facilitar las sumas y las restas, y a la vez, van comprendiendo las reglas del sistema de números cuando analizan y anticipan lo que va a pasar en la escritura de los números al sumar o restar, por ejemplo, decenas. Se espera que los alumnos dispongan de recursos. A la vez, para asegurar su difusión, es necesario proponer explícitamente como situación de trabajo la resolución de cálculos y el intercambio y confrontación sobre los modos de resolver. Este trabajo constituye el centro de la propuesta de cálculo mental como se plantea en todos nuestros libros, y en tantos otros documentos y libros. Al respecto, deseamos aclarar que no creemos que todas las ideas deban salir de los niños. Ha habido en esto un malentendido con efectos indeseados. Por ejemplo, vemos que en los docentes en formación, se produce una inhibición de la palabra del maestro: se restringen a hacer participar a los niños en la puesta en común sin intervenir, sin promover jerarquizaciones, ni producir conclusiones bajo el temor de resultar impositivos, autoritarios, etc. Estamos aludiendo a un fenómeno complejo cuyo análisis excede el presente texto. Sin embargo, queremos insistir aquí en la importancia en la clase de lo que el maestro aporta, ya sea retomando lo producido, incorporando ideas que sabe que los niños pueden comprender, que están cerca de las ideas que circulan. Cuando se plantea una idea, se origine donde se origine, se la trabaja (se la discute, se la pone a prueba, se la extiende). Por ejemplo, en la ficha 86, Facilitar las sumas, se propone que los niños formulen sus modos de resolver 25 + 8, pero también se propone una idea y se les pide que analicen alternativas opinando sobre cuál “les resulta mejor”. Se incluyen cálculos en cuya resolución se puede utilizar esa idea y también otras. Es posible, y promueve aprendizaje, pedirles directamente a los chicos que resuelvan un cálculo de un modo determinado. El hacer es fuente de aprendizaje. El doctor Brousseau suele decir: “Imitar una buena manera de hacer es un acto sumamente inteligente”. Uno de los propósitos del intercambio es, precisamente, dar oportunidad de tomar buenas ideas imitando maneras de hacer que se están comprendiendo. Finalmente, la ficha 87, Mundo de disfraces, propone un conjunto de problemas y cálculos con números de dos cifras, en este caso, en el contexto de precios y dinero. 27 En la guía del docente de Hacer Matemática en 2º se presentan relatos de clases que trabajan estos mismos contenidos, resultando particularmente interesante el despliegue de procedimientos posibles de los alumnos que realizan las docentes.

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Utilizar los números en contextos variados Hemos planteado en el inicio de la fundamentación de este eje que los niños construirán el sentido de los números y de las operaciones a partir de los problemas que enfrenten, a partir de las variadas situaciones en las que pueden utilizarlos para tratarlas. Nos hemos referido extensamente a un campo de problemas, aquellos que se resuelven con sumas y restas, porque tienen una indudable importancia en primer grado (pueden llegar al nivel operatorio y se constituyen en los conocimientos de base con que enfrentan situaciones y cálculos que más tarde identificarán como propios de otras operaciones). Pero no son estos los únicos tipos de problemas que se les pueden plantear a los chicos, tanto en Jardín de Infantes como en primer grado. Irma Saiz y Graciela Aisemberg28 presentan la siguiente situación, que se puede plantear tanto en sala de 5 como en primero, a partir de una narración: Monitos en bicicleta “Había una vez un circo en el que los monitos hacían muchas piruetas para divertir a los niños que iban a verlos. Un día, el dueño les pidió que corran una carrera de bicicletas para la función de la tarde. Los monitos se prepararon contentos para la carrera pero… solo había 4 bicicletas!!!! Los monitos se pusieron tristes porque no podrían correr todos, pero el dueño del dos asientos. Pero ahora, quiero saber si … (le dice a los niños, la maestra) Uds. pueden o no averiguar cuántos monitos pudieron correr la carrera de bicicletas. Van a ir con su compañero a las mesitas a resolver el problema que les conté. Yo les voy a dar las bicicletas (entrega 4 bicicletas de plástico o siluetas de cartón recortadas a cada pareja) y acá tienen chapitas para usar si quieren 29, para saber cuántos monitos pudieron correr la carrera. Recuerden que había 4 bicicletas y que en cada bicicleta pueden subirse 2 monitos. Cuando terminen, les preguntaré cuántos monitos creen que pudieron correr la carrera de bicicletas y luego pasaremos por las mesitas para que cada grupo nos explique por qué dice que ese es el número de monitos que pudo correr.30 Las autoras analizan del siguiente modo la tarea a la que se ven enfrentados los niños en esta situación: Se trata de construir una colección, que en este caso tiene el doble de elementos que la colección original (bicicletas). El contexto presentado como una historia ayuda a la

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circo les dijo: no estén tristes,… en cada bicicleta podrán subirse dos monitos porque tienen

representación de la situación por parte de los niños, quedando bajo su responsabilidad decidir de qué forma representarán los monitos: ¿usarán las chapitas dadas?, ¿los dedos?, ¿dibujos?, ¿otros objetos? En todos los casos, será necesario construir una colección a partir de la condición: dos objetos por cada una de las bicicletas presentes. Si bien puede parecer que esta situación es muy simple y puede reducirse a relacionar 2 monitos (¿chapitas?, ¿dedos?…) con cada bicicleta, sabemos que la mayoría de los niños de 4 o 5 años no han adquirido un procedimiento como ese que le permita asignar rítmicamente 2 objetos a uno, sin olvidar ninguna de las bicicletas ni modificar el número de monitos en cada una de ellas. Y, por último, contar el número de monitos que ha sido posible ubicar en las bicicletas.

28 SAIZ, Irma y AISEMBERG, Graciela (2004), “Trabajar con colecciones en el nivel inicial”. Remitimos al artículo para un análisis de un conjunto de situaciones, considerando el papel de la anticipación en matemáticas y el posible papel de los materiales utilizados por los alumnos. 29 La maestra colocará en cada mesita un pote con abundante cantidad de chapitas. 30 Claramente esta consigna no será recordada en su totalidad por todos los alumnos, pero es importante que sea enunciada completa al principio con el fin de comprender la situación en su totalidad, y recordada las veces que sea necesario durante la resolución del problema. En cuanto al recorrido por las mesitas, se irá utilizando en la pregunta el número de monitos encontrados en ese grupo.

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Esta situación forma parte de los problemas que más tarde se identificarán como multiplicativos. En Hacer Matemática en 1º se proponen varios problemas que podrían reconocerse como “de división” o “de multiplicación”. Sin embargo, a esta altura de la escolaridad, no se pretende que los niños usen estas operaciones (no es objetivo de primer grado). Se plantean como problemas en los que los niños pueden actuar sobre las colecciones (formando grupos, repartiendo, duplicándolas o asignando una cierta cantidad de elementos de una colección por cada uno de los elementos de otra) a partir de su interpretación de la situación. Son problemas abiertos que favorecen la exploración, la discusión y se inscriben en una visión de los aprendizajes en tiempos largos, en los que los alumnos reencuentran situaciones alcanzando cada vez formas de tratamiento más potentes. Esto les permite ensayar soluciones, relacionar conocimientos y construir diversos significados en el camino de la conceptualización de las operaciones. Estos problemas serán resueltos utilizando diversos procedimientos según las adquisiciones matemáticas de los niños, la época del año, o el año de la escolaridad en que se planteen. Un problema como el de reparto planteado en la ficha 23, Nueces para las ardillas, se resuelve matemáticamente con la división (es la operación que permite establecer cuántas nueces le tocarán a cada ardilla sin necesidad de realizar el reparto). Los nenes de primero van a ir asignando una nuez a cada ardilla trazando líneas que los unan, y después van a contar cuántas líneas –nueces– le toca a cada una. Es posible, aunque no frecuente, que los niños armen grupos de nueces, por ejemplo de a 2, y vayan © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

asignando grupos. En la puesta en común se les puede preguntar “¿Cómo hicieron para que a todos les toque lo mismo? .... y haciendo así, ¿seguro que le tocaba a todos igual? ¿Es seguro que a todos les tocó lo mismo?” Es decir, el intercambio se establece en torno a los modos que encontraron de resolver la tarea y de estar seguros del resultado. Así como señalamos la dificultad que representa contar una colección gráfica, aquí se plantea el desafío de realizar el reparto de elementos que no se pueden mover. Muchas veces, después de hacerlo, los niños toman conciencia de estas dificultades y plantean ideas para tener en cuenta al resolver un problema así: “Usar distintos colores para cada ardilla, hacer las líneas lo más prolijas y separadas posible, etc.”.31 El siguiente problema del tipo que estamos analizando, se plantea en la ficha 40, Peces y peceras: La cooperadora de la escuela compró 5 peceras para poner los 15 peces que trajeron los nenes. Como las peceras son pequeñas, no se pueden poner más de 4 peces en cada una. Busquen distintas maneras de acomodar los peces. Como otros problemas, requiere de un trabajo para asegurar que todos los niños han comprendido las condiciones de la situación, pero nuestra larga experiencia con la misma (y la de los docentes que nos acompañan desde los primeros libros), nos permite afirmar que es accesible para los chicos, que pueden abordarla. Constituye una buena oportunidad de trabajar con una situación en la que varias soluciones son posibles. Será necesario animar a los niños a buscar distintas maneras de acomodar los peces, atento a la condición “no más de 4”, cuyo sentido puede ser nuevo. Es importante considerar parte de los propósitos de enseñanza la cuestión de que los alumnos se apropien de las condiciones establecidas (todos deben estar ubicados y no más de 4 en cada pecera), —pensarlas como constitutivas del problema— y que aprendan a controlar si las condiciones se cumplen. En la confrontación de las soluciones producidas por los alumnos, el docente les solicita que establezcan si constituyen una respuesta correcta al problema o no, y el sentido de “correcto”, en este caso, significa que cumpla con las condiciones. Como en otras ocasiones, reiterando que no puede sustituir la riqueza del análisis de lo efectivamente producido en clase por los niños, se presentan en la ficha distintas soluciones para analizar. Lo ideal es proponer esta tarea después de haberla llevado adelante sobre la propia producción.

31 La importancia de estos cuidados ha sido fundamentada en el apartado correspondiente a Contar y comparar colecciones y números.

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Supongamos la siguiente distribución: 2 2 3 3 5. Cuando en la confrontación alguien señale que no está bien porque en una pecera hay 5, se pregunta por la condición que no se cumple y se solicita a todos que revisen si la tuvieron en cuenta. Por ejemplo, ante 3 2 4 2 4 3, si es rechazada porque hay más de 15 peces se pregunta si todos controlaron esto. La puesta en común tiene que permitir no solo establecer cuáles soluciones son correctas porque cumplen con las condiciones, sino también establecer los modos de control para verificarlas. Los niños pueden controlar la validez de lo que han hecho por sí mismos, sin recurrir al docente. El rol del docente, en relación con este aspecto, es el de demandar y sostener el compromiso del niño con el problema hasta estar seguro de la validez de su resultado. En la ficha 64, Picnic en la laguna, se plantea un problema como el del relato de “Monitos en bicicleta”: constituir una colección que tenga el doble de elementos que otra (en este caso, 2 sándwiches para cada niño). Como hemos dicho, se trata de problemas que pueden ser resueltos con herramientas matemáticas más avanzadas, pero los alumnos de primero lo pueden abordar asignando dos elementos a cada uno de los de la primera colección, contando 1–2, 3–4, 5–6, 7–8, o sumando 2 las veces que sea necesario. En la ficha se incluyen preguntas que exigen encontrar una colección formada por la mitad de elementos de la primera, y que puede ser resuelta asignando un elemento por cada dos de la primera colección. Las cantidades son pequeñas y la mayoría de los niños, a esta altura, sabe que el doble de 4 es 8 y la mitad de 4 es 2. Sin embargo, la complejidad (niños y sándwiches, niños y gaseosas, niños y botes) y solo pueden llevar a cabo la resolución si logran controlar la asignación en cuanto a los universos a los que corresponden y cuantificar los elementos. Están trabajando con relaciones como “una gaseosa o un bote cada dos niños”, o “dos sándwiches por niño”. Estos aspectos, constitutivos de la complejidad de la multiplicación y de la división, están involucrados en el tratamiento de los problemas planteados. La ficha 77, El restorán, propone desafíos en distintas direcciones. Primero se intenta que los niños, a partir de los datos de un enunciado, produzcan una representación gráfica de las mesas y sillas del restorán (con apoyo en un modelo convencional que se ofrece). Luego se propone que ubiquen a 16 personas en las mesas. Es un problema que admite muchas soluciones, ya que no se ponen condiciones sobre cómo distribuir las 16 personas. La única que habrá que controlar es que los 16 estén todos ubicados. Resulta una ocasión para utilizar los números, aunque no necesariamente una operación. En la ficha 79, Los autos nuevos, se informa que hay que transportar 29 autos y que en cada camión se pueden llevar 5 autos. Los niños tienen que averiguar cuántos camiones son necesarios. La

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de la situación proviene de que los niños están poniendo en relación dos universos, dos colecciones

colección de los 29 autos no está dibujada y queda a cargo de los niños si deciden utilizar un procedimiento gráfico. Es posible que surja la discusión sobre la cantidad de camiones necesarios, aunque no estén todos completos, ya que el último llevará solo 4.32 María Eugenia Martínez, docente colaboradora en la elaboración de Hacer Matemática en 1º y en 2º, relata en el siguiente texto el trabajo realizado con sus alumnos, presentando y analizando los procedimientos y producciones. Resulta muy interesante también conocer sus intervenciones en la puesta en común y los modos que encuentra de promover intercambio y avance en los modos de tratamiento por parte de los alumnos. Los autos nuevos A continuación se analizará el problema planteado en la ficha 79, Los autos nuevos, el cual, al tratarse de un problema de partición, es esperable que los chicos puedan resolverlo desplegando variadas estrategias personales. Al tener que armar grupos de 5 elementos, probablemente puedan recurrir fácilmente a cálculos que tengan en memoria, o bien a las series de 5 en 5 para facilitar el conteo. 32 Es lo que más adelante en la escolaridad se considera análisis del resto, que conduce a producir una respuesta que aumenta en 1 el número del cociente.

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Al realizar la participación los chicos verán que se obtienen 5 grupos de 5 autos y un grupo de 4 autos. Habrá que debatir entonces qué sucede con esos 4 autos que quedan. Si pueden ser transportados o no por un camión y, en ese caso, analizar si la respuesta final al problema es que necesitan 5 ó 6 camiones para poder trasladar todos los autos. La situación que se relatará fue llevada a cabo por un grupo de alumnos de primer grado, quienes trabajaron en parejas. El armado de las parejas fue hecho por la maestra de manera que en cada grupo hubiera chicos con conocimientos próximos pero no iguales, con el fin de que cada uno pudiera enriquecer las ideas del otro a partir de las diferentes estrategias que lograran desplegar. Mientras los chicos trabajaban, la maestra fue circulando entre los grupos respondiendo inquietudes, dando las orientaciones que fueran necesartias y observando las estrategias desarrolladas por cada grupo. Después de aproximadamente 10 ó 15 minutos, se les propuso hacer una puesta en común. La docente seleccionó qué equipo comenzaría a contar sus ideas y se los invitó a pasar al pizarrón para ir registrando sus ideas. Seguidamente, se presentarán algunas de las producciones de los chicos y comentarios

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obtenidos durante la puesta en común.

Grupo 1: Elisa y Mariana

Grupo 2: Nicolás y Thiago

Si bien estos dos equipos lograron hallar la respuesta al problema realizando representaciones gráficas, existen algunas diferencias entre ellas que es interesante analizar. Las nenas debieron realizar el dibujo completo de los camiones y los autos para poder comprender la situación, en tanto que a los varones les bastó con un dibujo más esquemático. Además, puede observarse que los puntos usados para representar los autos, están ubicados respetando la constelación de los dados. Cuando se les preguntó acerca de esto, respondieron “Es como cuando jugás con los dados. Así es más fácil de contar, saltás de 5 en 5 y ya sabés cuántos hay”. Durante la puesta en común se les propuso a las nenas expresar qué pensaban del trabajo de los chicos, de manera que pudieran reflexionar sobre sus propias representaciones gráficas y lograr hacerlas evolucionar; y surgió esta conversación: Maestra: ¿Qué piensan del dibujo que hicieron los chicos? Elisa: Uh, ¡que no tuvieron que dibujar tanto! Thiago: Pero nosotros hicimos eso para hacerlo más rápido, no tenés que dibujar tooodos los autos para saber cuántos camiones van… Nicolás: Así te cansás menos… Milena: Yo hice lo mismo pero sin dibujar, lo hice con números. Primero probábamos con dibujos pero nos dimos cuenta que si ponías el número era mejor. Maestra: A ver Mile, pasá a mostrarlo.

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Grupo 3: Milena y Rosario Elisa: Ah, ese sí es mejor. ¡Podés poner los números y después los sumás y listo! Maestra: Y vos Mariana, ¿qué pensás? Los chicos dicen que no es necesario dibujar todos los autos y los camiones, también se pueden escribir los números… Mariana: A mí me gusta más con la forma de dibujar los autos…

paso a paso todo lo que fueron haciendo:

Grupo 4: Santino y Emanuel

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El cuarto grupo explicó que lo había resuelto “usando los dedos y algunas cuentas que sabemos de memoria”. En el momento de plasmar su estrategia en forma escrita redactaron

Se les propuso entonces pensar si eso que habían escrito con palabras podía expresarse con alguna cuenta. Los tres grupos que se analizaron luego recurrieron a estrategias de cálculo, tanto de suma como de resta. Quienes usaron la suma, se apoyaron en cálculos que saben de memoria:

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Grupo 5: Julia y Tobías

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Grupo 6: Carola y Martín Ambos grupos pasaron al frente a contar sus ideas: Julia: Nosotros sumamos todos los 5 porque era muy fácil sumar los 5, pero al final tenías una trampita porque tenías que sumar 4… Tobías : Sí, porque si le sumás un 5 te pasás al 30, y no hay 30 autos, hay 29, así que tenía que ser uno menos… Maestra: ¿Cómo lo pensaron ustedes? (refiriéndose a Carola y Martín) Martín: Era muy fácil porque mirá, ya me sé que el 5 entra 6 veces en el 30 y como eran 29 autos tenías que sacar un auto al final… Carola: Es lo mismo que lo de los chicos pero solamente que no pusimos un 4, sumamos todos los 5.

Por último, Gabriel y Christian resolvieron el problema restando de a 5. Cuando se les pidió que contaran cómo se les había ocurrido esa idea, dijeron que ellos habían hecho una resta porque “Cada vez que llenás un camión tenés que sacar 5 autos”, “Entonces sacás 5, 5, 5, 5 pero al final nada más tenés que sacar 4 para que te quede 0.”

Grupo 7: Gabriel y Christian En estos tres últimos grupos se puede observar que además de la respuesta “6 camiones”, a pedido de la maestra los chicos explicaron también cómo habían hecho para obtener ese resultado.

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Hacia el final de la puesta en común, se les propuso reflexionar en forma conjunta acerca de esto: Maestra: Yo miro esas sumas y esas restas pero no me doy cuenta cómo hicieron para saber que se necesitaban 6 camiones. En esas cuentas no aparece el número 6 en ninguna parte, ¿cómo hicieron entonces para averiguar la respuesta? Gabriel: Te tenés que fijar cuántos resultados te quedaron, porque cada vez que sacás 5 ya estás usando un camión. Martín: Nosotros contamos todos los 5, porque mirá un 5, es un camión; otro 5, dos camiones; otro 5, tres camiones; otro 5, cuatro camiones; otro 5, cinco camiones; otro 5, seis camiones; pero tenías que sacar uno. Al realizar el análisis colectivo de este tipo de problemas, es importante que los chicos tengan la oportunidad de discutir, por un lado, cómo hacer para encontrar la respuesta cuando se hace una suma o una resta, ya que la misma no aparece al final del cálculo como sucede en los problemas de adición y sustracción. Y por el otro, cómo hacer para controlar lo que se está haciendo; es decir, cómo puedo hacer para saber cuántas veces tengo sumar o restar 5. No surgió la necesidad de plantear en la puesta en común qué pasaba con los 4 autos que quedaban, y si se necesitaban 5 ó 6 camiones; ya que todos los grupos estuvieron de acuerdo en varias veces a problemas de división y a este tipo de discusiones en relación al análisis del resto. Las situaciones que se están presentando constituyen ocasión de utilizar los números en contextos variados. Sin duda, los alumnos de María Eugenia contaban con muchos y variados recursos para resolver (habían estado expuestos a una enseñanza coherente y comprometida). Se puede “leer” en el texto un clima de trabajo abierto a que los diferentes niños o parejas produzcan con apoyo en diferentes conocimientos, a la vez que se promueve un rico intercambio, estimulando la difusión de ideas y de modos de tratar la situación cada vez más potentes.

Conocer la serie numérica oral y escrita Los números son un soporte simbólico organizado: en principio, oral; después, escrito, en el cual el niño descubre y memoriza el orden. En esta apropiación, el niño descubre que puede, gracias a los números y sus relaciones, producir otros números.

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que se precisarían 6 camiones. Esto puede deberse a que estos alumnos se han enfrentado ya

Diseño Curricular para la Escuela Primaria, G.C.B.A, 2004.

El aprendizaje de la numeración abarca un largo tiempo escolar: la numeración se construye lentamente y en profunda relación con el desarrollo de recursos de cálculo. En Hacer Matemática en 1º proponemos que los niños, al mismo tiempo que enfrentan problemas ante los cuales utilizan los números y empiezan a plantear cálculos, realicen actividades que les permitan progresar en su conocimiento de la serie numérica. El trabajo sobre el sistema de numeración propuesto busca que los niños exploren regularidades, establezcan relaciones, etc., que les permitirán realizar anticipaciones y producir nuevos números. Para que esto sea posible, es necesario poner a los niños en contacto con la serie escrita en una porción suficientemente grande que permita poner “bajo observación” dichas regularidades y el algoritmo de construcción de los números.33

33 Al ir sumando + 1, + 1, + 1, va cambiando la cifra de las unidades hasta 9. Al sumar 1 la cifra de las unidades es 0 y aumenta en 1 la cifra de las decenas. Lo mismo sucede con cada una de las cifras: al llegar a 10 se convierte en 1 unidad del orden siguiente.

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El primer contacto con la designación de los números, en el marco de la familia, los juegos, el jardín de infantes y la escuela primaria, se hace centralmente a nivel oral: los nombres de los números, el recitado de los números. El dominio del recitado que tienen los alumnos en sala de 5 y en primer grado es muy variable. Es conveniente que el docente recoja información sobre el nivel de dominio34, y proponga actividades y juegos que favorezcan un avance en todos los niños. Como hemos referido en apartados anteriores, el conteo es la herramienta fundamental con que los niños enfrentan los problemas, y en su utilización eficaz interviene el dominio del recitado. Por ejemplo, ante la tarea de constituir una colección que tenga tanta como otra dada, un nene puede estar ante una colección mayor en la que tiene que tomar los elementos necesarios. Para ello debe recordar el número de elementos y, al contarlos, tiene que detenerse en dicho número. A muchos niños les cuesta detenerse, siguen contando. Un juego posible es la “ronda del número secreto” 35, a realizar en el patio (algo muy bueno en los primeros días de clase). Otro juego consiste en arrojar algo muy alto y decir todos los números que sean posibles hasta que caiga. Resulta muy interesante también que la maestra “cuente mal” y los nenes tengan que descubrir en qué se equivoca. Uno de los avances de los niños en el dominio del recitado consiste en ser capaz de contar a partir de un número distinto de 1 y, como hemos mostrado, esta capacidad favorece que utilicen el sobreconteo, procedimiento significativo en el pasaje del conteo al cálculo. Continuar la serie oral a © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

partir de un número dado es precisamente el propósito del juego “Seguir contando”, propuesto en la ficha 5. En el contexto del juego, se propone una simulación como ocasión para completar la serie escrita de números. A los mismos propósitos responde el juego “Ronda de números” y la simulación, incluidos en la ficha 33. Un nuevo desafío es el nombre de la actividad propuesta en la ficha 45. El desafío consiste precisamente en contar para adelante y para atrás a partir de un número, combinando el trabajo relativo a la serie oral con la escrita en un juego por parejas. Como se ha señalado, “contar para atrás” o “descontar”, constituye una herramienta útil para resolver problemas de resta. Para iniciar el trabajo con la serie escrita, se puede proponer el armado de un diccionario de números.36 Para las primeras páginas se pueden explorar y tomar como referencia los muy variados libros de números o libros para contar que hay en el mercado. En cada página los niños pueden escribir el número, dibujar colecciones con esa cantidad de elementos, dibujar la o las caras del dado que corresponde. Durante el transcurso del trabajo, van completando más páginas, escribiendo números más grandes, y en la hoja de cada número, van registrando cuentas que tienen ese número como resultado. Hay diversos contextos que permiten trabajar tempranamente con una porción significativa de la serie. Uno particularmente rico es el calendario, que se toma como objeto de trabajo en la ficha 11, Los días de abril. Múltiples referencias de la presencia de los números en la vida social se ofrecen en la ficha 10, Números ordenados. Dentro de la porción de serie más amplia que se está trabajando se busca asegurar que todos los niños puedan escribir los primeros quince números. La práctica de completar una porción de la serie se retoma (y aumenta) en la ficha 20, Números en carrera. Se incorpora allí un juego denominado “Prohibido cruzar” en el que, por turnos, se deben unir los números en orden pero al hacerlo no se pueden cruzar líneas hechas por el contrario. Juegos como este pueden ser planteados para otras porciones de la serie; por ello se deja un tablero vacío de modo que, cada pareja, lo juegue “a su nivel”. La sección Para practicar correspondiente a esta ficha, retoma la clásica actividad de obtener un dibujo al seguir ordenadamente los números desde el 1 hasta el 38.

34 En el documento ya citado “Los niños, los maestros y los números”, se propone un diagnóstico de conocimientos numéricos que permite identificar los diversos aspectos sobre los cuales tomar información. 35 Dos o tres nenes son los ratones que entran y salen de una ronda formada por los compañeros. Los que forman la ronda recitan los números pero se han puesto de acuerdo en un Número secreto: cuando llegan a decirlo cierran la ronda y atrapan a los ratones que en ese momento están adentro. 36 En versiones anteriores se incluía la ficha “Libros con números”, que proponía el armado como tarea para el equipo, lo cual acrecienta su interés. Dicha actividad fue diseñada por Graciela Mauriño.

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Cuando se inició la difusión de este enfoque para trabajar el sistema de numeración, hace más de 20 años, se propuso incorporar una banda numérica en las salas de jardín y en las aulas de primer grado. Esta herramienta, junto con el cuadro de números, conquistó su lugar y ambos tienen presencia. Retomamos aquí los términos en que fue presentada, con conciencia de que entre los lectores de esta guía hay muchos maestros muy jóvenes, que eran, probablemente, alumnos de Jardín o de primero en aquellos tiempos.

La sucesión escrita37 Se guarda un registro de esta sucesión de números fabricando una banda numérica para toda la clase o para cada niño, banda que servirá de diccionario y que va a agrandarse en función de las necesidades o de sus conocimientos: cuando un niño no sabe leer “12”, cuenta sobre la banda las casillas que van desde “1 a 12” y puede así, gracias a una sucesión conocida de memoria, conocer el nombre de ese número 12. De la misma manera, cuando no sabe escribir con cifras el número llamado catorce, cuenta en la banda 14 casillas y encuentra la escritura 14. Se pasa así de una palabra “dicha” a una escritura específica con cifras y a un nombre con letras. Así, también, la organización de las escrituras en listas va a facilitar su memorización. El número 13 es leído globalmente “trece”, sin utilizar aún el hecho de que la escritura el siguiente de 12 y el anterior a 14, sin que el niño haga necesariamente la relación de que 3 es el siguiente de 2 y el anterior a 4. Es importante insistir aquí sobre el aporte específico de la serie escrita. El registro escrito y la elección de un soporte (aquí lineal) va a permitir a los niños constituirse una imagen mental, una “banda mental” que aparecerá mucho más útil cuanto más se haya recurrido a la representación concreta y esta haya resultado efectiva y frecuente. Posteriormente, la línea mental podrá jugar el mismo rol que la banda concreta: visualización del orden, representación de la amplitud y del significado de las distancias entre dos números, percepción de la infinitud de la serie, etcétera. La banda numérica no solo permite saber cómo leer o escribir un número; trabajando con ella, y con otros soportes de la serie, los niños pueden: • poner en relación los números entre ellos; • saber quién es el antecesor o siguiente de quién; • saber que cada número corresponde a un lugar en la serie;

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cifrada revela una organización basada en la idea de agrupamiento de a diez. Pero también es

• saber que un número situado en la banda a la derecha de otro, es mayor que este. Además, la banda numérica es un buen soporte para que los alumnos observen regularidades como: • después de 10 hasta el 20 todos empiezan con 1, después empiezan con 2, con 3, etc.; • los números del final se repiten, después del 9 viene el 0 y siguen 1, 2, 3, 4… Recordamos un nene de primer grado que, mirando la banda, dice a sus compañeros: “Al final, los números son siempre los mismos. Hay que ver con quién se juntan”. La ficha 33, Números en tiras, plantea una actividad en la que los niños tienen que reconstruir una banda ubicando “partes”. La distribución en el libro de la banda de base en tiras de 10 anuncia y propicia un análisis, una reorganización que conducirá, más tarde, al armado del cuadro de números. Como ya planteamos38, en los intercambios con docentes hemos comprobado que, en muchas aulas, algunas cuestiones lograban ser abordadas más tempranamente de lo que habíamos previsto en versiones anteriores. Quizás para atender las inquietudes de algunos alumnos con muchos conocimientos disponibles, nos proponían “adelantar” unas cuantas cosas. Por estos motivos, en la versión que estamos presentando hemos organizado una propuesta más “espiralada”. En algunas fichas se

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ERMEL (1991), “Apprentissages numériques et résolution de problèmes”, París: Hatier. En la sección Cómo pensamos Hacer Matemática en 1º.

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trabaja con una porción más grande de la serie organizada de a 10 (como en la 24), en otras posteriores (como la 33), se vuelven a plantear actividades sobre la banda numérica en una porción más chica, o actividades de recitado como las que hemos comentado. En la ficha 24, Las llaves del hotel, se propone un contexto: la distribución de 49 habitaciones en cinco pisos y se presenta un tablero en el que se guardan las llaves ordenadas por piso. En situaciones como esta es importante dedicar lo que sea necesario a que los niños se metan en la situación: imaginen el hotel, los pisos, comenten el funcionamiento de dejar y tomar las llaves, etc. Las preguntas, aunque son relativas a la tarea de ubicar números en un conjunto ordenado de a 10, permanecen en la lógica del contexto. Así, por ejemplo, para un par de números se les pregunta si las habitaciones a las que corresponden están o no en el mismo piso. La serie escrita, organizada en filas y columnas, aparece en distintos contextos. En la ficha 46, Los armarios del supermercado, “crece” hasta el 99. La actividad propuesta (determinar si una llave pertenece a un armario rojo o a uno azul) busca que los alumnos vayan estableciendo relaciones y ordenando el conjunto (¿Está entre 1 y 49 o entre 50 y 99?). Se plantean consignas tendientes a la identificación de regularidades (termina en 0, termina en 4). Las presentaciones de la serie con las que se propone trabajar son, a la vez, recurso y objeto, es decir, “las usan para…”, al mismo tiempo que están aprendiendo que es una serie organizada y que es posible apropiarse cómo funciona. © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Es importante remarcar la idea de que el trabajo sobre las regularidades es una aproximación a la comprensión del sistema posicional. Una aproximación centrada en cómo aparece, cómo se presenta en la oralidad y en la escritura el algoritmo de producción de los números. El principio de recursividad (con 10 elementos de un orden se forma 1 del nivel siguiente), que caracteriza a nuestro sistema de numeración decimal, se manifiesta, en la serie oral, en el hecho de que se combinan ciertas palabras o partes de palabras (“veinte–.”, con “uno, dos, …”) y después de “veintinueve” es necesario usar otra palabra, “treinta” que se combina…y así sucesivamente. Estas regularidades son observables también en la escritura de los números. Como se plantea en el Diseño Curricular del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires: “Se debe tener presente que es justamente la organización posicional la que instala un aspecto algorítmico en la escritura de los números, aspecto que puede ser aprendido por los niños aun sin comprender todavía la estructura profunda del sistema. Así, los alumnos pueden saber que entre 30 y 40 todos los números se escriben con un 3 adelante, aunque no sean capaces de dar al 3 el significado de 3 grupos de 10. La numeración hablada explicita la descomposición aditiva de un número.39 ciento veinticuatro

100 + 20 + 4

cincuenta y ocho

50 + 8

mil cuatrocientos

1.000 + 400”

Ante cálculos como 20 + 8, los alumnos suelen decir: “Es fácil, te lo dice el número: veintiocho”. En primer grado es justamente la descomposición aditiva de los números la que constituirá un foco de trabajo. Se busca que los alumnos piensen el 34 como 30 + 4 y también como 10 + 10 + 10 + 4. Es sobre todo con el apoyo en la descomposición aditiva como enfrentarán la suma y la resta de bidígitos, ítem planteado en el punto referido a las estrategias de cálculo.40 A través de la cita del texto curricular, hemos querido volver a traer las interrelaciones entre las líneas de trabajo sobre las que tanto insistimos: los niños aprenden sobre los números para poder leer, comparar y producir otros números, pero también para poder resolver cálculos. Y el trabajo en el terreno del cálculo enriquece las relaciones entre los números y los modos de pensarlos.

39 En algunos casos, la numeración oral combina aspectos de la descomposición multiplicativa con aspectos de la descomposición aditiva. Por ejemplo, es interesante comparar las expresiones “mil cuatro” y “cuatro mil”. 40 Diseño Curricular para la Escuela Primaria. Primer Ciclo. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires (2004), pág. 306.

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Las fichas que analizaremos ahora han mostrado su fecundidad a lo largo de los años, y por ello conquistaron su permanencia en esta versión. Como en la ficha 46, se plantean contextos y se trabaja con la serie ordenada desde el 1 al 100 para que los alumnos descubran regularidades y tomen conciencia del rol diferente que juega cada cifra en la escritura de un número. Más adelante se abandonan los contextos y las actividades se desarrollan en un cuadro de números. En la primera parte de la ficha 54, La rifa, se plantea que hay 100 números para vender y que cada alumno tiene un talonario de 10 números para vender. La tarea es completarlos. Los talonarios se presentan en tiras (como partes de la banda). En la última pregunta se plantea a quién tiene que recurrir quien quiere comprar el 83. La idea es que los niños piensen los números en términos de la decena a la cual pertenecen, aunque este vocabulario no sea utilizado: “el que tiene los ochentas…, el que empieza con 80, etcétera”. En la segunda página, se trabaja con el cuadro de los 100 números (donde se registran los números vendidos). Los niños irán encontrado maneras de ubicar los números que sacan provecho de la organización del cuadro: “Mirar si es un número chico y buscarlo “por arriba”, ver con cuál número empieza, dónde están los cuarentas, etc.”. Se espera que los alumnos tomen conciencia de algunas regularidades de la serie vinculadas con la organización del cuadro; por ejemplo, que todos los números que empiezan con tal cifra estén en la misma línea o fila. Buscar el 74 remite a identificar dónde están los números que empiezan con 7. números en términos de intervalos: por ejemplo, “desde 1 hasta 8”, “los que empiezan con 6”, “los que vienen después de 50”, etc. Interpretar el “dictado” que realiza el personaje es también un modo de apropiarse de modos variados de identificar números, intervalos, etc. Luego se plantea un juego, consistente en adivinar cuál o cuáles números están tapados. Sabemos que para identificar un número basta con consultar los encabezados de la fila y de la columna correspondiente; sin embargo, este es un conocimiento que está muy lejos todavía para la mayoría de los alumnos, y para cuya adquisición habrá mucho trabajo que hacer. Los niños utilizan tempranamente argumentos como: “Es 37 porque conté desde 1.” “Es 55 porque está después del 54” “Porque conté desde 50.” “Es 89 porque está debajo de 79.” “Es el 90 porque conté 10, 20, 30…” Durante el transcurso del juego, no se pide a los niños que argumenten sus decisiones, pero al responder las preguntas del juego simulado del libro el docente puede solicitar los motivos por los

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La ficha 59, La rifa 2, continúa el trabajo de apropiación de la serie, propiciando que piensen los

cuales aceptan o descartan un número. Como hemos mostrado en los ejemplos, algunos argumentos se apoyan en relaciones entre los números y otros en procedimientos. Ambos aspectos importan, y el trabajo sostenido va a permitir establecer que los procedimientos se apoyen en relaciones y que algunos sean más eficaces que otros. En la ficha 70, El cuadro de números, se demanda colocar ciertos números en el cuadro sin escribirlos todos. Esta ficha apunta a mejorar los argumentos utilizados para identificar un número: ya no sería posible decir es tal número porque está después de…o antes de…. Poner condiciones en la actividad –por ejemplo retirar información del cuadro–, “fuerza” a que los niños apelen a la organización mental que están construyendo, usen procedimientos más avanzados. Los encabezados de filas y columnas, única información escrita en esta ficha, tienen un rol importante y son tomados en cuenta por los niños en su resolución de la situación.41

41 Se podrá ver en el registro de las intervenciones de los alumnos que realiza María Eugenia Martínez para la ficha 80 la apropiación por parte de muchos de ellos de estos organizadores.

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Entre los conocimientos que se busca que desarrollen los niños, se incluye poder establecer cuántos números hay, por ejemplo, entre 34 y 40. Es decir, se propone realizar el conteo de números. Como se ha planteado en apartados anteriores, los niños se apoyan en la serie, en el conteo, el sobreconteo y en contar para atrás para resolver múltiples situaciones. En la ficha 63, ¿Por qué número van?, tienen que averiguar cuántos números faltan para que atiendan el 81 si van por el 76, o averiguar por cuál número van si después del 74 se llamaron 4 números más. Muchos niños encontrarán en el cuadro de números una herramienta útil para tratar estos problemas. Los desplazamientos en una serie y su vinculación con la suma y la resta fueron propuestos en la ficha 57, Otro juego de la pista. En la ficha 80, Camino de números, los desplazamientos verticales y horizontales en el cuadro de números se vinculan con determinación de números y su escritura. Nuevamente, contamos aquí con los aportes de María Eugenia Martínez. Resultan muy interesantes sus intervenciones: logra colaboración intelectual entre los alumnos. No le dan las respuestas a los compañeros que dudan o que se equivocaron, les dan pistas. María Eugenia nos comentó que esta práctica estaba muy disponible para los chicos porque habían trabajado con la secuencia didáctica La lotería.42 Sin dudar de estos aportes, creemos que es el trabajo sostenido de la maestra lo que configura estas escenas de genuina actividad matemática en el aula. Camino de números © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

La ficha 80, “Camino de números”, va a permitir a los chicos poner en funcionamiento los conocimientos que tienen hasta el momento acerca de las reglas y características de nuestro sistema de numeración, van a poder poner en acción aquello que saben sobre las regularidades de la serie numérica escrita. Realicé esta ficha con un grupo de chicos de 1º grado, pero introduciendo una pequeña modificación en la consigna, ya que me interesaba analizar específicamente cuáles eran los intercambios que se producían entre ellos durante la actividad. De modo que no trabajaron en forma individual, sino en grupos de tres integrantes. Debían escribir de a un número por vez y dar a sus compañeros las razones por las cuales creían que ese número iba en ese lugar. Si los compañeros estaban de acuerdo seguían jugando y si no lo estaban tenían que también justificar su parecer y tratar de ponerse de acuerdo para definir cuál era el número correcto. A continuación, se transcriben algunos de los intercambios que surgieron en dos grupos. La maestra fue realizando algunas pequeñas intervenciones para promover la explicitación de nuevas relaciones. Grupo 1: Gabriel, Inés y Juana Comienzan completando el camino azul, con la columna del 2: Inés: Acá va el 12, porque acá arriba tiene un 2 y entonces esta es la “fila” de los que terminan con 2. Si estuviera acá (señala la columna de la izquierda) terminaría con 1. Gabriel: Sí, está bien y ahora va el 22. También digo lo mismo que Inés, acá (señalando la columna), van todos los que tienen el 2 atrás. Juana: A mí me toca el 32. Maestra: ¿Cómo te das cuenta? Juana: Porque esta es la “fila” de los dos… Maestra: Es cierto, eso mismo dijeron Inés y Gabi. Esta de acá es la columna de los números que terminan con 2. Pero yo te pregunto cómo sabés que acá va el 32 y no el 52 o el 62 o el 82…

42 Disponible en: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/ propuestadidacticaprimergradolaloteria.pdf

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Juana: Ah, porque te tenés que fijar en el de adelante. El primero no tiene nada, es solamente un 2; pero después viene un 1, un 2, un 3, un 4 y así…Y como el de arriba empieza con 2 y acá (señalando la columna) todos terminan con 2, yo estoy segura de que el que viene ahora es el 32 . Maestra: ¿Qué piensan sobre lo que dijo Juana? Inés: Sí, yo también digo lo mismo, porque los de adelante están ordenados como los números. Ya sé que viene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. Ahora tengo que poner el 42. Gabriel: Y yo el 52, ¡qué fácil! Ya me sé que acá todos terminan con 2 y si mirás los que ya están puestos te ayudan a saber qué número sigue. Maestra: ¡Qué bueno eso que dice Gabi! Él dice que se pueden usar los números que ya escribieron como pistas para escribir los números que faltan, ¿se habían dado cuenta? Juana e Inés: Sí. Completan el camino amarillo, la columna del 5, sin dificultades y comienzan a trabajar en el camino verde. Comienza Juana, quien tiene que escribir el número 7: Juana: Ah, re fácil, te fijás en los que ya están y vas para atrás 9, 8 y 7. Inés: O para adelante 5, 6 y 7. Gabriel: Es como hacer una resta… Maestra: ¿Una resta? ¿Cómo es eso? Gabriel: Mirá, hacés una resta pero de – 1. Si estás en el 9 y restás 1 vas al 8, si le restás Juana: ¡Ah, y si vas para el otro lado es como de + 1! Están terminando el camino verde, ya escribieron los números 7, 6, 16, 26 y 36. Aún faltan el 37, 38 y 39. Inés escribe el 46 en vez del 37, posiblemente porque estaban completando la columna del 6 y si hubieran tenido que seguir hacia abajo el próximo número era el 46. Inés: Ahora viene el 46… Juana: No, no está en el correcto. Maestra: A ver Juana, fijate si le podés dar a Inés una pista sobre el número que te parece que va ahí pero sin decírselo… Juana: Mirá, si acá está el 35 y acá el 36; acá al lado no debe estar un cuarenti, porque estamos en la familia de los 30… ¿Cuál te parece que va? Inés: Ah, ya sé, ¡el 37! Grupo 2: Eliana, Francisco y Matías Nuevamente comienzan completando la columna del 2:

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1 vas al 7 y así…

Matías: Es el 12 porque si acá está el 0 abajo va el 10, acá al lado el 11 y acá el 12. Es el turno de Francisco y tiene que escribir el número 22, duda mucho y no se anima a hacerlo: Maestra: ¿Le pueden dar alguna pista a Fran para ayudarlo? Pero no le tienen que decir el número, eh… Eliana: Mirá el número de arriba. Matías: O si no usá mi idea. Mirá, si acá va el 0 y acá va el 10, ¿qué número te parece que viene acá abajo? Francisco: Sí, ¡ya sé! El 20, entonces acá va el 22. Completando la columna del 5: Eliana: Puse el 25 porque miré el 22 que pusimos antes y entonces esta es la fila de los veintes y si mirás para arriba está el 5. Entonces ahora tenés que juntar todo, es de la fila de los veintes y de la “fila” de todos los que terminan con 5. Es el 25. Finalmente, comienzan a trabajar en el camino verde: Francisco: Acá va el 16 porque ves, acá todos terminan con 6, es la columna de los sesentis…

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Eliana: ¡No! Esta es la columna de todos los que terminan con 6, ¡no la de los sesentis! Maestra: A ver Eli, por qué no nos explicás mejor. ¿Cuál es la diferencia entre los que terminan con 6 y los sesentis? Eliana: Que los sesentis son todos de la misma familia, de la familia del 60 y empiezan con 6. Además, no pueden estar por acá, están más abajo. Ves, vas a donde están los que terminan con 0 y te fijás, 10, 20, 30, 40, 50, 60. ¡Acá están! (señalando toda la fila). Y los que terminan con 6 van acá, van parados… Maestra: Están ubicados en una columna. Eliana: Sí, en una columna y adelante no tienen un 6 como los de los sesentas, tienen cualquier otro número. Yo no sé qué nombre tienen estos que terminan con 6, tendrían que llamarse de alguna manera… Francisco tiene que escribir el número 38 y escribe el 48. Rápidamente se da cuenta de su error y antes de que sus compañeros le digan algo toma una goma, lo borra y lo corrige: Francisco: Ah, no, no. Pará. Me equivoqué. Maestra: ¿Por qué? Francisco: Porque puse 48 y si acá está el 37 los cuarentis están para abajo, no para el costado; acá tengo que seguir con los treintis. Va el 38.

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Matías: ¡Muy bien, Fran! A través de estos registros, es posible observar cómo a partir de esta actividad los chicos lograron, no solo expresar sus ideas, argumentarlas y defenderlas desde los conocimientos que poseen sobre el sistema de numeración; sino que además en el intercambio con sus compañeros y ante cada toma de decisiones pudieron también comenzar a establecer nuevas relaciones. Las pistas que los alumnos de María Eugenia se daban unos a otros son objeto de trabajo en el libro en la ficha 81, Adivinanzas de números. Además de resolverlas, es interesante que, dado un conjunto de números, los chicos elijan uno y den pistas para que otros averigüen cuál es. El conteo de a 5 y de a 10, que se ha promovido en el contexto del dinero y en algunos juegos de recitado, se pone en juego en la ficha 84, Contar y saltar, con el propósito de favorecer su puesta en relación con la organización del cuadro de números. Muchos niños comienzan desplazándose de a 1. Para promover el intercambio de procedimientos que se apoyan en la organización del cuadro, se les pregunta a los niños si descubrieron algo que los ayude a saber cuál es el próximo casillero en que van a caer. Los niños identifican que al saltar de 10 en 10 “se baja derecho” y “se dicen números redondos”.43 Al saltar de 5 en 5 “vas al medio y al principio” y “todos terminan en 5 o en 0”. Más compleja resulta la actividad al salir de un número distinto de 0. Sin embargo, resulta clave para apropiarse y apoyarse en la regularidad de la serie y en la organización del cuadro. En el mismo contexto se promueve la práctica de contar de a 10 para atrás. Se pide que anticipen en qué número caen saltando para adelante y para atrás, fuera del cuadro de números. Muchos niños empiezan a identificar “cuál parte cambia en el número y cuál queda igual”. Este efecto de restar 10 es puesto como asunto de análisis en la ficha 85, Rebajas, a partir de un juego en el contexto del dinero.

En relación al contexto del dinero Las actividades vinculadas con el manejo del dinero ofrecen un soporte especialmente propicio para establecer las relaciones entre las descomposiciones y las escrituras de los números. Pese a la presencia del dinero en la vida social, no todos los niños lo manejan. Muchos de ellos no realizan intercambios o no participan de situaciones de compra y venta con la frecuencia con que sucedía en otras épocas. Las primeras fichas planteadas en este contexto intentan que todos los niños aprendan a manejar el dinero y dominar los cambios que pueden ser realizados con billetes de distinta denominación. 43

O la denominación que en cada grado se haya establecido.

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El dinero introduce la idea de valor (1 que vale 2, 5, 10…), y permite trabajar la descomposición de los números: 37 se arma con 10 + 10 + 10 + 5 + 2, con 10 + 10 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 1, etc. Para introducir la ficha 38, Monedas y billetes, el docente puede organizar una exploración de los billetes, en la que los alumnos pongan en juego lo que saben y planteen algunas relaciones que conocen. El juego en sí es una actividad de conteo y composición de cantidades. Precisamente la ficha 51, La alcancía, tiene como propósito practicar el conteo de a 10, de a 5 y de a 2. En las situaciones simuladas se pide que controlen prácticas de conteo. En la ficha 52, la composición de cantidades se pone en juego en un contexto de Compras. El contexto del dinero favorece el desarrollo de procedimientos de cálculo mental y se ha privilegiado para plantear problemas de suma y resta. En la ficha 78, Billetes que valen más, se propone iniciar un análisis que compromete la noción de valor y provoca la necesidad de distinguir cantidad de billetes y cantidad de dinero. Como bien sabemos, un solo billete puede tener más valor que varios de menor denominación. Sin embargo, esta idea resulta compleja e involucra un aspecto multiplicativo, que continuará siendo trabajado en grados siguientes. Aquí simplemente se desafía a los niños a armar una cantidad de dinero con más y con menos billetes que la forma presentada. Se sostiene la práctica de conteo y se propone la elaboración de carteles con sumas y restas, ahora para las decenas. Es un contexto sumamente potente para trabajar cálculos mentales que resultarán un verdadero apoyo para resolver variados

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cálculos.

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Geometría y medida Geometría y Medida están vinculadas históricamente: los primeros conocimientos geométricos se desarrollaron como respuesta a problemas relativos al espacio físico, problemas que involucraban las medidas y la representación plana de distintos espacios. En los diseños curriculares, en las propuestas de enseñanza, constituyen un eje porque integran el propósito de que los alumnos construyan conocimientos, herramientas, con las que puedan explorar y describir el espacio en que vivimos y los fenómenos y objetos que existen en él. De los múltiples aspectos que esta exploración y descripción pueden abordar, la matemática va a propiciar la organización y estructuración del espacio mediante relaciones de ubicación, orientación y desplazamiento, y el desarrollo de formas de representación que permitan comunicarse y pensar el espacio y las formas. La exploración de los objetos, las prácticas de identificación y comunicación de sus características, constituyen el marco en que se iniciará el reconocimiento de propiedades geométricas. Comparar objetos –para clasificarlos, para ordenarlos– constituye una práctica cotidiana que todos realizamos y que los niños desarrollan ya desde bebés, antes de disponer de un lenguaje con el cual comunicarse sobre el sentido o el producto de sus acciones. La descripción, la comparación, se realizan a partir de distintos atributos. El acercamiento a los usos sociales de la medida y la participación en experiencias © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

de medición efectiva van a permitir a los niños identificar los atributos cuantificables de los objetos, e iniciar un largo camino de aprendizaje relativo a las magnitudes.44 Todos estos procesos que la escuela tiene que propiciar han de tomar en cuenta lo que los niños saben y asegurar, a la vez, que a partir del trabajo realizado, sepan cada vez un poco más, confíen en su capacidad de aprender y se interroguen con más asiduidad sobre el mundo y sobre sus propias prácticas. Como lo hicimos antes para el eje de Número y Operaciones, presentaremos breves referencias históricas. Tomaremos para ello el anexo del documento “La enseñanza de la Geometría en el jardín de infantes”.45 Entendemos que, aunque resulte trabajoso y pueda parecer dudosa su pertinencia, conocer algunos aspectos de la historia de los conocimientos, sus transformaciones, la constitución de las disciplinas, etc., ayuda a identificar los distintos tipos de conocimientos y saberes que la escuela es responsable de transmitir y sugiere algunas condiciones que han de cumplir las situaciones propuestas a los alumnos para que tales conocimientos cobren sentido. Una de las fuentes del sentido de los conocimientos está dada por los problemas que permitieron resolver. Comprender la “razón de ser” de un conocimiento es un largo proceso al que, apenas, queremos convocar. El desarrollo histórico de la Geometría “La Geometría se vinculó inicialmente a la búsqueda de respuestas a preguntas relativas al espacio físico, desprendiéndose paulatinamente de este último. Por otra parte, los conocimientos geométricos, aun cuando responden a problemas espaciales, constituyen conceptualizaciones. La Geometría, como conjunto de saberes de referencia, forma parte de la ciencia desde tres aspectos: como ciencia de las situaciones espaciales, en su vinculación con otros dominios del conocimiento, como lenguaje y modo de representación (Bkouche, 1991). Este mismo autor señala que se constituyó históricamente alrededor de dos grandes problemáticas: la medida de las magnitudes geométricas (longitudes, superficies, volúmenes) y la representación plana de las situaciones espaciales. Los problemas descriptos en los papiros egipcios y en las tablas de arcilla de los babilonios muestran que empleaban reglas geométricas para calcular superficies de terrenos, estimar

44 La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles. La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia, son ejemplos de magnitudes físicas. 45 MORENO, Beatriz y QUARANTA, María Emilia (2009). La enseñanza de la Geometría en el jardín de infantes.

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la producción agrícola por parcela, los volúmenes de estructuras y la cantidad de ladrillos o piedras que necesitaban para levantar un templo o una pirámide. También, aplicaron las matemáticas a la astronomía para confeccionar un calendario y navegar. Las posiciones de los astros permitieron que los barcos establecieran su ubicación y las caravanas su ruta al cruzar los desiertos. Los desarrollos geométricos de egipcios y babilonios ejemplifican la afirmación de Bkouche referente a esas dos problemáticas. Estos antiguos pueblos no utilizaron el razonamiento deductivo para establecer la validez de métodos y resultados, solo les alcanzó la experiencia para determinar su legitimidad. En cambio, los griegos, a partir de Euclides (siglo III a.C.), convirtieron estos conocimientos prácticos de los egipcios y los babilonios en una estructura vasta, sistemática y enteramente deductiva. Es evidente la relación de las figuras elementales de la geometría euclidiana con las formas en el mundo material. Las figuras comunes de la geometría, lo mismo que las relaciones simples, como la perpendicularidad, el paralelismo, la congruencia y la semejanza, provienen de problemas formulados a propósito de la experiencia en el espacio real. Los árboles crecen perpendicularmente al suelo, y las paredes de una casa se construyen verticales para que tengan estabilidad máxima. Los modelos de objetos reales suelen ser semejantes al objeto representado, en especial cuando el modelo se va a utilizar como guía La geometría como ciencia, y en realidad toda la matemática, fue fundada por los griegos del período clásico. Estos parten de reconocer que hay conceptos o ideas abstractas como las de punto, línea, triángulos, etc., que son distintas de los objetos físicos; luego, enuncian los axiomas que contienen conocimientos que el hombre obtiene sobre estas abstracciones y, finalmente, demuestran deductivamente otras nociones a partir de esos conceptos. En otros términos, los griegos transforman el bagaje de conocimientos utilitarios que recibieron en el sistema que mencionamos. Dentro de esta perspectiva, las nociones de la matemática que consideraban fundamentales –número y figura– se conciben como puramente abstractas. Son ideas de naturaleza puramente racional: el triángulo, el cuadrado o el círculo solo existen en el pensamiento. La geometría siguió siendo la base de todo razonamiento matemático hasta el siglo XVII, época en que las necesidades de la ciencia pusieron en primer plano el número y el álgebra, hasta ese momento solo considerados como conocimientos prácticos.”

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para construir el objeto.

Las propuestas relativas al eje Geometría y Medida pueden ser agrupadas en líneas de trabajo que apuntan respectivamente a: organización del espacio (fichas 8, 25, 27, 43, 61, 82, 89); representación gráfica (fichas 13 y 83); formas geométricas (fichas 53, 58 y 73); regularidades gráficas (fichas 9, 31, 35 y 43); medida (fichas 47, 62 y 76).

Organización del espacio Cuando hablamos de organización del espacio estamos hablando de conocimientos reconocidos como importantes en la vida de toda persona, pero raramente aceptados como tales en la escuela. Nos referimos a saber interpretar un plano, dibujar un croquis para proveer cierta información de ubicación a otra persona, dar instrucciones verbales para llegar a un lugar preciso o poder representar en un plano objetos o situaciones espaciales. Muchos de estos conocimientos son además necesarios para abordar con éxito el aprendizaje de la geometría, pero no son capacidades espontáneas y son dejados, en general, bajo la responsabilidad de cada uno de los niños. La escuela tiene una gran responsabilidad en su adquisición.

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Incluimos entonces actividades a desarrollar a lo largo del año, que hacen enfrentar a los niños a situaciones que implican describir, tanto oral como gráficamente, la ubicación de objetos o personas en un lugar determinado, o interpretar una descripción realizada. Para llevar a cabo estas descripciones, es necesario establecer relaciones entre los objetos involucrados en la situación y elaborar y utilizar un vocabulario específico. En este terreno, como en toda la propuesta, se busca que los conocimientos funcionen en situación, aparezcan como herramientas útiles para resolver problemas. Sin embargo, resulta innegable que la idea de problema y la disponibilidad de un repertorio de situaciones a plantear son mucho más accesibles en el terreno aritmético que en el terreno geométrico. ¿Qué situaciones se pueden plantear a los alumnos que constituyan verdaderos problemas y permitan que avancen en sus conocimientos espaciales, por ejemplo? Los diversos diseños curriculares plantean –y ejemplifican– tipos de problemas que se pueden plantear para trabajar estos contenidos. Por ejemplo, en el Diseño curricular para la Escuela primaria (G.C.B.A) se propone para primer grado: “Resolución de problemas que requieran la comunicación y reproducción de trayectos considerando elementos del entorno como puntos de referencia. Por ejemplo: Invención y comunicación de un recorrido para que otros (que no participaron de la elaboración) lo lleven a cabo.”

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O, en el Diseño Curricular para la Educación Primaria (Provincia de Buenos Aires), también para primer grado, se propone: “Resolver problemas que involucran la comunicación oral de la ubicación de personas y objetos en el espacio. Para comenzar a estudiar el espacio, el docente podrá proponer problemas que requieren elaborar información sobre la ubicación de un objeto. Los alumnos/as darán “pistas” a otro grupo que permitan encontrar un objeto escondido, por ejemplo, en el salón. Encontrar el objeto a partir de las pistas dará cuenta del acierto, tanto en la elaboración como en la interpretación de la información. Los niños podrán analizar colectivamente la insuficiencia de ciertas pistas y avanzar hacia otras más específicas.” En Hacer Matemática en 1º se incluyen propuestas vinculadas a estos tipos de problemas. Sin embargo, antes de presentarlas, deseamos acercar una reflexión sobre los límites de un libro de texto en este sentido, y sobre la importancia de plantear problemas con propósitos que los alumnos puedan identificar con claridad que involucren cuestiones relativas a ubicación y desplazamiento en los espacios del aula, de la escuela o del barrio en el que los chicos viven. Para ello, recuperaremos las características de los problemas espaciales planteadas por Berthelot y Salin: 46 - Su finalidad concierne al espacio sensible. - Pueden referirse a la realización: • de acciones: fabricar, desplazarse, desplazar, dibujar, etc.; • de comunicaciones, a propósito de acciones o de comprobaciones. El lenguaje y las representaciones espaciales permiten comunicar informaciones que sustituyen la percepción. - El éxito o el fracaso son determinados por el sujeto por comparación entre el resultado esperado y el resultado obtenido.

46 BERTHELOT, René y SALIN, Marie Hélene (1994), La enseñanza de la geometría en la escuela primaria. Laboratorio de Didáctica de las Ciencias y Técnicas. Universidad Bordeaux I-IUFM de Aquitania. Francia.

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Este último rasgo nos permite insistir sobre la necesidad de que la situación tenga un propósito claro a los ojos de los alumnos. Por ejemplo, “Elaborar un mensaje para que los chicos del otro primero conozcan el camino que hay que hacer para ir a… (el negocio, la plaza, etc.) que han decidido visitar”, lo tiene. Los niños pueden producir y discutir sobre sus producciones ordenados a ese propósito (“Dibujemos la juguetería, tienen que pasar por ahí” “Ponele el semáforo, es para ese lado”). Los docentes pueden intervenir en el marco de tal propósito: “Les voy a ir mostrando los planos que hicieron y ustedes van a ir diciendo qué de todo eso tiene que estar en el plano que mandemos porque ayuda a saber el camino”. Hasta cierto punto los niños podrán analizar sus producciones y mejorarlas, pero la situación se vuelve más rica todavía si el plano cumple realmente su función de comunicar información y es entregado a los nenes del otro primero para su interpretación. La maestra del otro grado podrá registrar lo que los chicos entendieron y también sus preguntas y sus dudas y enviar este nuevo mensaje al grupo productor. Esta situación u otras homólogas permiten que los chicos puedan efectivamente comparar el resultado esperado con el resultado obtenido. Las dudas o preguntas pueden motorizar la revisión y mejoramiento de la producción. Somos conscientes de que su organización demanda trabajo, la participación de varios actores, etc.; sin embargo, recomendamos vivamente que por lo menos algunas veces a lo largo de la escolaridad los niños estén involucrados en proyectos con propósitos definidos, que incluyen “productos“ que tienen que satisfacerlos, es decir, tienen que lograr funcionar en la situación. Hay otro aspecto remarcable en el ejemplo planteado: para resolver esta tarea los niños tienen que a recorrerlo para observar y acordar lo que hay que poner en el plano, son insustituibles. Es cierto que se pueden organizar propuestas que funcionan con independencia del entorno en el que viven los chicos –de hecho enseguida presentaremos algunas–, pero estas no sustituyen el planteo de problemas relativos al espacio con el que interactúan los niños. Es cierto también que los medios de representación que aprendan a interpretar y a elaborar les van a permitir incluso orientarse en espacios que no conocen (esa es precisamente su función). Pero, especialmente para los más chicos, resulta un verdadero desafío interpretar, por ejemplo, un plano del aula, aunque el aula les resulte muy, muy conocida. Esto nos permite recordar que la capacidad de representar un espacio no surge de estar en él ni de caminarlo.47 Al contrario, constituye un aprendizaje específico del que la escuela tiene que hacerse cargo, tiene que favorecer. Al referirnos al entorno, no estamos aludiendo a un determinado “tamaño” del espacio (por ejemplo el barrio), sino que queremos referirnos a problemas a plantear en el espacio y con los objetos reales del aula, de la mesa de trabajo de los chicos, de la cuadra en la que queda la escuela, etc., así como con los diversos medios de representación de esos espacios y otros mayores. Es conveniente y posible plantear problemas que involucren espacios pequeños o enormes, pero debemos estar adver-

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considerar elementos del entorno como referencia. El entorno, la experiencia –por ejemplo– de volver

tidos respecto del hecho de que el “tamaño” del espacio con el que se trabaja modifica las relaciones que el sujeto establece con ese espacio.48 No es lo mismo representar el recorrido de un autito de juguete en un circuito armado en la mesa que indicar, mediante un plano, el recorrido de un colectivo. En el primer caso, el desplazamiento puede ser “visto” directamente; en el segundo, las relaciones permiten referirse a un espacio que no puede ser “visto” en su totalidad en forma simultánea, sino que requiere de desplazamientos y de la coordinación y estructuración de informaciones parciales. La diferencia que se señala apunta a tener presente la información que provee y la que demanda cada

47 “Numerosas investigaciones muestran que la adquisición de dichos conocimientos –el abordaje de las relaciones espaciales y sus representaciones– se inicia en situaciones cotidianas de interacción con el espacio físico circundante; pero, a pesar de este origen, los conocimientos que los niños y los adultos poseen en este sentido a partir de dichos aprendizajes asistemáticos no son suficientes para resolver con éxito gran cantidad de situaciones referidas a la ubicación en el espacio. Se ha subestimado la dificultad de adquisición de los conocimientos espaciales, como también las importantes relaciones que existen entre estos conocimientos y los estrictamente geométricos.” Diseño Curricular para la Escuela Primaria, G.C.B.A Primer ciclo (2004). Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. 48 Debemos al maestro Guy Brousseau, la identificación de la variable “tamaño del espacio”, como decisiva en la resolución de problemas espaciales. Así, diferencia el microespacio, el mesoespacio y el macroespacio. Cada uno de ellos conlleva modos diferentes de relación con los objetos incluidos en ese sector del espacio y, por lo tanto, modelos conceptuales diferentes para orientar la acción del sujeto. Pueden conocerse estos aportes en el artículo de Grecia Gálvez (1994) y en el documento “Enseñanza de la geometría en el nivel inicial” citados en la bibliografía.

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situación, no se está sugiriendo un orden para la enseñanza. Al contrario, subrayamos la necesidad de trabajar al mismo tiempo a distintas “escalas”, con diferentes tamaños de objetos y lugares, conscientes de que el tipo de relaciones que se pueden establecer varían. Creemos que resultan evidentes los límites de un libro en el planteo de problemas espaciales. De todos modos, de la misma manera que sucedía con diversas propuestas del eje de Número y Operaciones, en algunas fichas se propone realizar actividades en variados espacios, involucrando objetos, etc. Sin duda, que ello ocurra depende de las decisiones del docente. En otras fichas planteamos problemas a partir de representaciones, evocando situaciones u ofreciendo contextos propicios para tales actividades. A su presentación nos dedicaremos ahora. La primera actividad relacionada con la ubicación espacial se plantea en el contexto de un juego, “A embocar”, propuesto en la ficha 8. A partir de cierta información de la situación final del juego, se pide dibujar las tapitas en los lugares donde quedaron. En la ficha Para practicar (página 43), se incluye un dibujo de la situación y se pregunta por la cantidad de tapitas que cayeron, por ejemplo, “sobre la mesa pero fuera de © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

la caja”. Es decir, tanto para dibujar las tapitas como para identificar cuáles contar, en el segundo problema, los niños tienen que interpretar expresiones relativas a ubicación espacial. El vocabulario ligado al espacio es utilizado frecuentemente para ubicarse y para ubicar objetos o para identificarlos. En este caso está integrado en el planteo de problemas aritméticos. La situación planteada en la ficha 25, Los carteles del patio, también involucra interpretar informaciones espaciales dadas verbalmente, pero es la primera actividad de ubicación que utiliza como referencia la lateralidad del sujeto que actúa, por ejemplo, cuando indica “En la pared de la derecha va el cartel de los baños”. A raíz de esta actividad, es posible discutir la ubicación de objetos en función de la lateralidad de la persona que realiza la acción. El propio cuerpo de un sujeto puede ser utilizado para estructurar el espacio que lo rodea, puede delimitarse la zona que se encuentra a su derecha, la que se encuentra a su izquierda, adelante o atrás. Excede los límites de este texto referirnos al problema de la adquisición de conocimientos espaciales, pero el mismo ha sido abordado en el texto La derecha... ¿de quién? 49, cuya lectura sugerimos para acceder a un detenido análisis de las condiciones que deben satisfacer las situaciones didácticas de modo de favorecer tal adquisición. Las situaciones que comentamos ponen en juego la interpretación de expresiones; varias otras proponen la producción, como se verá enseguida. La ficha 27, Un día de campo, ofrece una rica imagen con muchos elementos, a partir de la cual se pueden desplegar diferentes actividades comentadas en otros apartados. En este caso queremos detenernos en la última consigna que propone: “Uno de ustedes elige un personaje u objeto y le da pistas al otro para que averigüe cuál es. Por ejemplo, “es una nena y está cerca de los conejos.” A través de la consigna se está sugiriendo que las pistas utilicen información espacial para poder identificar el objeto. En algunos textos se nombra a esta actividad como Veo veo espacial. Proponer una estructura de juego estableciendo preguntas: “¿de qué color?, ¿dónde está?...” puede facilitar a los niños la apropiación de la tarea.

49 SAIZ, Irma (2003), “La derecha... ¿de quién?, Ubicación espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB”. En: Panizza, Mabel (comp.).

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Para reproducir los modelos de los pisos, actividad propuesta en la ficha 43, Mosaicos de colores, es necesario determinar cuál de las casillas está pintada y de qué color, para luego identificar la misma casilla en la otra cuadrícula. Si bien no se pide que la identifiquen con letras o números, es necesario ubicar cada casilla con precisión para obtener una copia correcta del piso dibujado. Un procedimiento posible es contar el número de casillas vacías hasta la primera coloreada y realizar este proceso en cada una de las filas de la cuadrícula. La organización en cuadrícula facilita la intervención de la cuantificación (“dos vacías y luego, rosa”) y del orden (“la tercera para abajo”) para identificar los elementos. En esta ficha no se solicita la descripción verbal de las ubicaciones espaciales, y puede resolverse sin ella. Sin embargo, especialmente a partir de la actividad con interacción en pareja que se propone (“cada uno inventa un mosaico y copia el del compañero”), van a surgir comentarios, en particular, para advertir sobre errores en el copiado: “No es esa, va más arriba”. Es importante tener presente la diferencia entre que algo pueda ocurrir –pero no se plantean condiciones que lo exijan– y organizar una actividad para que algo ocurra necesariamente. Más adelante se va a comentar una actividad –el dictado de figuras–, que tiene como propósito la descripción de figuras y posiciones. En ese caso no solo va a ocurrir; constituye el conocimiento que se busca que adquieran. En la ficha 61, La fila del cine, la tarea consiste en reconstruir la fila a partir de las informaciones verbales que dan sus integrantes, involucrando relaciones como “estar delante de...” o “entre”, así como con las nociones primero y último de una serie. Trabajar con las siluetas recortadas permite que las peguen. En cambio, en la actividad planteada en la sección Para practicar correspondiente (página 129), las siluetas están dibujadas y los niños probarán alternativas anotando con lápiz y borrando cuando sea necesario. Al analizar este trabajo, es importante recalcar el valor de registrar aquello de lo que se está seguro (es el caso del primero y el último), ya que estas informaciones permiten continuar la tarea y determinar la ubicación de los siguientes. Interpretar la ubicación y posición de objetos y personas en representaciones planas es una tarea de indudable complejidad. En la ficha 25 los niños tenían que interpretar informaciones considerándose a sí mismos como referencia (a la derecha era su derecha). En la situación planteada en la ficha 82, La clase de Educación Física, es necesario considerar que los niños representados son cuerpos orientados50, tienen parte derecha y parte izquierda, que se mantienen constantes en las distintas posiciones representadas, son independientes de la lateralidad o posición de quien designa los

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los niños prueben el orden, lo discutan, lo modifiquen si así lo desean y cuando estén seguros recién

puntos de referencia, y resultan invertidas respecto de la derecha e izquierda de quien mira. Detengámonos a considerar el trabajo de tratamiento de la información que tienen que hacer los alumnos, por ejemplo para poder completar el siguiente texto: Analía va a tirar una bolsita al aro con su mano ……….

(DERECHA-IZQUIERDA)

Primero tienen que ubicar de quién se habla: explorar la imagen desde la información que “tira una bolsita”. Una vez ubicada, tienen que descentrarse de considerar su propio cuerpo como referencia para definir izquierda y derecha, para poder establecer si la mano que tiene la bolsita es la derecha o la izquierda. Es frecuente ver a los chicos rotar parcialmente su cuerpo para “ponerse como Analía”. Es decir, están haciendo “coincidir” su cuerpo con el representado para poder utilizar su conocimiento de cuál es su mano izquierda en la definición de cuál mano usa Analía. 50 Los objetos pueden ser orientados por el sujeto, proyectando sobre ellos su propia lateralidad, pero también existen objetos que pueden considerarse orientados; por ejemplo, un auto tiene puerta derecha y puerta izquierda (determinadas por su movimiento). Para profundizar el análisis de la orientación de los objetos y el problema de las representaciones, puede leerse Saiz (2003), ya citada.

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Se propone en la ficha que los alumnos discutan cómo saben qué mano o qué pie mueve cada chico. Es un genuino problema, que no va a ser dominado por todos los chicos, pero todos se verán beneficiados de la discusión que deja saber que allí hay un problema. La ficha 89, La fiesta de la escuela, provee a los niños una nueva ocasión de interpretar informaciones espaciales para identificar elementos. Como en el ejemplo anterior, es necesario tratar un conjunto de informaciones y establecer relaciones entre la información del texto y la de la imagen. Por ejemplo, la información de que un nene está en el Jardín, se tiene que relacionar con la vestimenta, ya que esta es la marca gráfica que lo identifica. A partir de las informaciones que se brindan sobre los distintos niños: sobre su ubicación con respecto a personas u objetos (cerca de la maestra, delante del kiosco), sobre su posición o la de elementos respecto de él (tiene un globo en la mano derecha), sobre su vestimenta (está en el Jardín), puede determinarse el nombre de cada uno de ellos. Algunas de estas informaciones permiten identificar a uno de los niños sin recurrir a otras; por ejemplo, Mi hija se llama Julieta y está cerca de la maestra; en cambio, otras dependen de la identificación previa de otros niños; por ejemplo, Mi hijo es el que está detrás de Julieta…. La lectura de las caracterizaciones en el sentido habitual de lectura, de izquierda a derecha, no permite identificar los niños uno a uno. Se considera conveniente que el docente las lea lentamente, la cantidad de veces que los niños lo soliciten. Después de que los niños han resuelto la actividad, la puesta en común puede poner en discusión el asunto de la unicidad de cada elemento identificado, asunto que a los niños puede ser planteado a través de preguntas como © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

las siguientes: ¿Hay un solo nene atándose los cordones? Si hay más de uno, ¿cómo se sabe cuál es Nicolás? Este análisis permite tomar conciencia de las distintas informaciones que se fueron tratando como sucesivas condiciones que permitieron recortar el universo hasta identificar un elemento. Estos aspectos serán retomados en el apartado Tratamiento de la Información.

Representación gráfica Representar gráficamente los objetos del espacio tridimensional en un plano de dos dimensiones –la hoja del cuaderno, del libro o el pizarrón– e interpretar representaciones gráficas, constituyen competencias fundamentales para el desarrollo de los niños, les permiten actuar en múltiples situaciones y también son prácticas en las que adquieren nuevos conocimientos, no solo en el ámbito de la Matemática. El pasaje del espacio al plano exige un trabajo específico que se plantea en distintas fichas a lo largo del libro. Producir una representación gráfica implica seleccionar la información que debe representarse en la situación, los objetos involucrados y las relaciones entre ellos. Por otra parte, la consideración del receptor del mensaje enviado exige hacerse cargo de la comprensibilidad del mensaje: ¿qué lenguaje y qué códigos usar? ¿Serán comprensibles? ¿Entenderán lo que se quiere comunicar? Vamos a describir estos problemas a raíz de propuestas distintas incluidas en Hacer Matemática en 1º. Una de ellas, a partir de juegos con el propio cuerpo y con un muñeco articulado; la otra, a partir de recorridos que se organizan en el patio y las formas de comunicarlos. Son conocidos los juegos como “Las estatuas”51 (un nene se pone en una cierta posición y todos los demás lo copian ) o “El espejo” (por parejas, uno copia al otro). Estos son juegos de acción y, aunque involucren ciertos análisis de las posiciones del cuerpo, no tienen por qué ser explícitos. El trabajo vinculado a matemática y a favorecer el avance en los conocimientos espaciales surge a raíz de ponerle algunas condiciones a la situación. Por ejemplo, puede plantearse que tres o cuatro nenes salen del aula. Uno de ellos se pone en una cierta posición y los otros dos o tres tienen que hacer un dibujo, cada uno, que sirva para que los demás compañeros, que están en el aula, mirándolos

51 El juego consiste en moverse mientras hay música y convertirse en estatuas cuando para. En ese momento, el “director” del juego puede proponerles a todos que copien a uno.

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se pongan en la misma posición. Esta actividad propone el desafío de representar la figura humana en distintas posiciones. Los niños están elaborando modos de comunicarse sobre situaciones en el espacio, en este caso relativa a posiciones de un sujeto. A partir de varias realizaciones, se puede promover poner a discusión qué aspectos hacen falta dibujar y cuáles no, cómo arreglárselas para dibujar a alguien sentado, etc. Como en otros casos, no se espera que los niños dominen la situación (por ejemplo, el recurso de la perspectiva será tematizado mucho más adelante en la escolaridad), sino que se involucren en el problema del pasaje de tres dimensiones a dos, de cuerpos a planos… En la ficha 13 aparece un actor: El muñeco articulado, que es una figura humana en dos dimensiones. Se propone, individualmente y en grupo, interpretar con el propio cuerpo posiciones del muñeco, así como interpretar con un dibujo descripciones verbales de posiciones del muñeco. Es particularmente interesante proponer una situación de comunicación en la que, como se relató antes pero ahora con la mediación del muñeco, un grupo elige una posición de este, lo dibuja y manda sus dibujos como mensajes a otro grupo que tiene que poner a sus muñecos en la posición del muñeco del primer grupo. Cuando comparan las posiciones de los muñecos pueden verificar si sus representaciones gráficas lograron su objetivo. Las diferencias proveen ocasión de explicitar las distintas posiciones y el análisis y búsqueda de recursos para dibujarlas.52 Con frecuencia, los niños dibujan la figura humana con los brazos pegados al cuerpo o perpendiculares al mismo. En esta actividad será necesario representar otras posiciones, como un brazo en de los distintos miembros del cuerpo, la actividad se centra en cómo comunicar al otro la posición en la que se tiene que colocar el muñeco. Se está trabajando el dibujo como medio para comunicar información. En la segunda parte de la ficha se propone identificar cuál de los dibujos realizados corresponde a la posición del muñeco que allí se presenta. La misma es una actividad simulada y no podría sustituir la riqueza de analizar las producciones efectivas de los alumnos en el aula. Esta actividad, como otras propuestas, puede ser retomada en otros momentos del año para favorecer el mejoramiento del trazo y la representación de posiciones más complejas. Puede también retomarse la discusión sobre cuál es la información pertinente, necesaria en cada situación, avanzando, por ejemplo, de los detalles de la cara (significativos para los niños pero no relevantes en esta situación) a la esquematización de las posiciones. Puede surgir la duda: ¿estamos o no propiciando el mejoramiento del dibujo de la figura humana? Indudablemente, los niños avanzan en este aspecto, pero forma parte de la actividad matemática analizar las representaciones desde el punto de vista de su capacidad de informar aquello que se desea informar. La adecuación de la producción al propósito

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alto o flexionado en el codo, las piernas abiertas o el cuello inclinado. Además de percibir la posición

definido es uno de los criterios para evaluar los productos. Estamos comentando un campo de experiencias que conciernen al espacio usual, de tres dimensiones, en el cual vivimos y nos desplazamos, y también al espacio de dos dimensiones, de la hoja de papel, de la página del libro. Estos dos espacios son muy diferentes: el ojo no los aprehende de la misma manera (en el espacio se tiene una visión muy local; en el plano de la hoja la visión puede, en principio, ser global), los términos para describir las posiciones tienen significaciones muchas veces diferentes (adelante y atrás por ejemplo), los elementos del espacio son representados según ciertas reglas, se retienen algunos rasgos y no otros. Esta breve enumeración permite actualizar la complejidad del pasaje del espacio al plano, tanto en cuanto a la ubicación de los objetos como en la interpretación y representación de desplazamientos. Los mismos se ponen en juego en la ficha 83, Recorridos. Como ya hemos argumentado, lo que va a permitir los aprendizajes buscados es la organización efectiva de la situación: organizar un recorrido con obstáculos en el patio o en el gimnasio (por ejemplo junto con los profesores de Educación Física), y en ese marco plantear la situación que se evoca en el libro: los chicos de un grado inventan un recorrido y lo dibujan para que los chicos de otro grado puedan hacer lo mismo a partir del dibujo. 52 Como los muñecos son representaciones planas, no aparece el problema de la profundidad referido al describir la actividad hecha por los chicos con su propio cuerpo.

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Representar gráficamente un recorrido, para los niños, implica identificar cuáles son los elementos de la situación pertinentes de ser representados: ¿qué dibujar: solo los objetos o también los niños? ¿Hay que dibujar el aro de básquet aunque no se use? ¿Y las rayas del piso? Implica también determinar un punto de partida y un punto de llegada, una dirección de movimiento, además de las acciones en cada estación. ¿Cómo representar la acción de pasar dentro del aro: dibujando un niño atravesándolo, dibujando una línea que lo atraviese? Y, en ese caso, ¿cómo indicar que lo atraviesa y no que pasa por encima o por debajo? Algunos de los objetos presentes en la situación, como el aro de básquet, las paredes, las puertas, pueden ser eliminados de los dibujos después que se ha identificado que no son objetos pertinentes. Las discusiones permitirán identificar también lo que sí tiene que estar. Por ejemplo, es necesario respetar las relaciones entre los objetos representados porque el orden de las estaciones no puede ser alterado. Estas son algunas de las dificultades con las que se enfrentan los niños al tener que realizar un afiche que permita a sus compañeros de otro grado o turno conocer y realizar el recorrido propuesto. La confrontación de los distintos afiches elaborados, organizada por el docente, permite buscar entre todos respuesta a las preguntas mencionadas más arriba y los mejores recursos para representar el recorrido gráficamente: ¿una línea de puntos o flechas para indicarlo? ¿Dibujar varios chicos o solamente los objetos y una línea que indique el recorrido? © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Si el afiche es enviado y los niños reciben uno del otro grupo, la experiencia es más significativa, el análisis más genuino y, seguramente, la confrontación de los distintos recursos enriquecerá la actividad. Las posibilidades de aprendizaje se amplían considerablemente y se mejoran las condiciones para abordar el trabajo sobre representaciones que propone la ficha. Vuelve a plantearse aquí el trabajo a partir de informaciones gráficas como verbales. Es ocasión para una actividad sin premura, en la que se asegura que todos participan en todas sus fases.

Formas geométricas En relación a las figuras geométricas, se tratará de empezar a identificarlas, trazarlas, describirlas y descubrir sus propiedades. Se propone trabajar con un conjunto de figuras básicas, las más conocidas, como cuadrados, triángulos, círculos y rectángulos. Se realizó la opción de involucrar a todas estas figuras en cada actividad y no presentarlas una a una, ya que es el conjunto (como antes la serie) lo que permite al niño establecer distintas relaciones entre ellas, identificarlas por sus propiedades comunes o diferentes, tomar conciencia de cuáles son las características que permiten distinguir sus representaciones gráficas. Se plantea realizar construcciones (ficha 53, Armar y dibujar) con las figuras entregadas y dibujarlas para armar una galería de dibujos. Esta propuesta apunta a que, por un lado, dibujar permite tener memoria de lo que se ha armado, y exponer los dibujos promueve que se busquen nuevas configuraciones, ya que unas cuantas ya están. Constituye una herramienta para movilizar la idea de que con los mismos elementos se pueden armar figuras diferentes. Esto también colabora para que los chicos exploren el armado de configuraciones “no figurativas”, a raíz del desafío de hacer algo distinto. En la misma ficha se propone la actividad “Adivinanzas de figuras”, que solicita de los niños la búsqueda de características que les permitan identificar la figura seleccionada por uno de sus compañeros. Tener que elaborar preguntas que solo admitan como respuesta SÍ o NO, es una condición que obliga a los chicos a caracterizarla identificando sus propiedades. Como tantas otras actividades, requiere un trabajo para que los niños entiendan la condición y se mantengan dentro de ella. Por ejemplo, tendrá que establecerse que no vale preguntar “¿Es esta?”, señalándola. En el curso de la actividad, algunos niños se van dando cuenta que pueden formular preguntas sobre propiedades co-

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munes a varias figuras y de esa manera descartar algunas y considerar un universo más restringido. Por ejemplo, la respuesta negativa a la pregunta “¿Es roja?”, permite eliminar tres figuras del universo en cuestión. Esta actividad puede ser realizada aunque los niños no conozcan aún los nombres de las figuras; en este caso buscarán formas propias de describirlas: “¿Tiene 4 puntas?, ¿es alargada?, ¿es como una casita?”. Esas formulaciones se precisarán y transformarán en las convencionales en distintos momentos según los conocimientos disponibles en los alumnos. Para muchos, esto puede suceder luego de varias oportunidades de realizar el juego, de conocer las formulaciones utilizadas por sus compañeros y también en función de los aportes del docente. Se incluyen en la ficha pequeños análisis de partidas simuladas. No se trata en este caso de elaborar preguntas, sino de analizar o responder preguntas ya planteadas, e incluso corregir errores en respuestas dadas. Esta actividad será nuevamente comentada como forma de tratamiento de la información. Para quienes quieran profundizar en el mismo, recomendamos la lectura del apartado correspondiente en la guía del docente de 2º. La ficha 58, Armar y dibujar 2, retoma la actividad propuesta en la ficha 53, pero incluye el dibujo con una función de comunicación. Se propone que un miembro de una pareja arme una configuración, la dibuje en una hoja y se la mande al compañero para que arme la figura con sus propias figuras en cuestión, en particular no agregarle elementos extraños a la configuración realizada. Esta tarea obliga a distinguir, a través del dibujo, no solo el color de las figuras, sino también la forma –lograr que el cuadrado se diferencie del círculo y del rectángulo– y, además, comunicar la posición relativa a las otras figuras que ocupa cada una de ellas. Luego, se propone otra actividad de comunicación: el dictado de figuras. Un equipo arma una configuración y luego tiene que darle a otro equipo, verbalmente, toda la información necesaria para que puedan reproducirla. Para ello, es necesario caracterizar no las figuras involucradas en la construcción, sino también las relaciones espaciales entre las distintas figuras que permiten ubicarlas, debiendo, además, elaborar un vocabulario pertinente para comunicar las informaciones seleccionadas. La discusión posterior sobre el dictado de uno de los equipos y la construcción realizada por el otro, permite precisar la descripción, formular acuerdos sobre los recursos para hacer comprender al otro la ubicación de las figuras. Por ejemplo, se podría acordar qué se entiende cuando dicen que una figura está “arriba” de otra, ya que en el contexto de la hoja arriba no indica superpuesta. Es conveniente que el equipo emisor y el equipo receptor se ubiquen, por ejemplo, uno detrás del

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piezas. La representación de figuras geométricas exige representar lo más precisamente posible las

otro manteniendo ambos la misma posición respecto de la mesa sobre la que tienen armada o van armar la configuración. De este modo, pueden usar referencias a partir de la ubicación de su propio cuerpo; por ejemplo, proyectando su lateralidad a la hoja (A la derecha va el triángulo…). El docente puede organizar esta actividad en distintas fases; luego de uno de los dictados y comparación de las figuras, se discute y se llega a uno o dos acuerdos que se ponen a prueba en el siguiente dictado. La segunda confrontación permite elaborar nuevos acuerdos que hacen evolucionar las formulaciones y mejorar las producciones. En la última parte de la ficha se propone analizar las diferencias entre dos configuraciones y anotarlas. Se vuelve a traer la idea de la galería de dibujos con los mismos propósitos enunciados. Los dibujos (las representaciones) generan un material que permite el análisis y la comparación, además de motorizar la búsqueda de otras configuraciones. Otro efecto interesante de la memoria de lo trabajado es que les permite a los niños tomar conciencia de lo que han avanzado. “Mirá cómo dibujaba el cuadrado antes… ahora me sale rebien”. Finalmente, en la ficha 73, Con los triángulos, se plantea la construcción de nuevas figuras a partir de triángulos iguales. Se pretende avanzar en el análisis de figuras obtenidas por composición

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de otras. Esta actividad, cercana a la lógica de un rompecabezas, constituye una herramienta para enfrentar variados problemas geométricos que se abordarán más adelante en la escolaridad. Las actividades propuestas: copia, dictado y adivinanzas de figuras, han alcanzado una gran difusión y es muy amplia la bibliografía que las tematiza. En particular, para interpretar su carácter de problema y sus posibilidades para el aprendizaje, recomendamos la lectura del Documento de actualización Nº 5.53 Para identificar las condiciones que debe satisfacer una situación de comunicación y conocer un detallado análisis de la emblemática situación “La granja”, recomendamos la lectura del artículo ya citado, La derecha... ¿de quién?. Precisamente, a raíz de “La granja” –pero lo mismo vale a raíz del dictado de figuras–, les preguntábamos a docentes de nivel Inicial –en ejercicio o en formación– si les parecía que la misma constituía una actividad de enseñanza o de evaluación. Dicho de otro modo, les preguntábamos si los chicos aprenden al realizarla o ponen en juego los conocimientos que ya tenían y el docente evalúa. Para la mayoría era predominantemente de evaluación. Algunas voces señalaban que se producen aprendizajes, tanto en los que emiten como en los que interpretan. El debate que se originaba era rico y sostenido y estamos seguras que no está saldado para muchos de los participantes. Evidentemente, a efectos de provocar el debate, tensionábamos los polos. Sabemos que en una actividad de enseñanza el docente evalúa –aunque sea informalmente– y trata de identificar lo que los niños están aprendiendo con ella. El punto es que para la mayoría de los estudiantes y docentes © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

resultaba –y resulta– muy difícil identificar lo que los niños están aprendiendo en estas situaciones e identificar como enseñanza a las intervenciones sugeridas para el docente. No es el terreno de Geometría y Espacio el único en que esto sucede pero, probablemente, es en el que se expresan más claramente las dificultades para llevar adelante las propuestas según el “enfoque”. Colaboran en ello muchas razones, algunas de las cuales se mencionaron en la introducción. De nuestra parte, hemos sido siempre conscientes de la complejidad de lo que estábamos proponiendo (presentar situaciones abiertas que no van a ser dominadas por los chicos, aceptar lo provisorio, valorar cada pequeño avance, integrar las propuestas, retomarlas…), al mismo tiempo que teníamos y tenemos mucha experiencia acumulada, por muchos docentes, que nos confirma que ese dificultoso camino tiene mucha más probabilidad de hacer cierta la idea de que la escuela se hace cargo, el maestro se hace cargo de brindarles a los chicos oportunidades de aprender, oportunidades que la vida cotidiana no le da, y los chicos aprenden, aprenden un montón. Sabemos, es una certeza, que los docentes necesitan (necesitamos) acompañamiento para aprender a enseñar, para revisar lo que estamos haciendo, para tolerar que los avances sean pequeños y a veces sean retrocesos. Podemos identificar cuánto aprendemos unos y otros, por ejemplo, en algunas situaciones de capacitación. Resulta elocuente al respecto el documento “Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo. Diálogos para la capacitación”.54 En él, nuestro colega Héctor Ponce, comparte un conjunto de reflexiones realizadas con los docentes, vinculadas a ciertos “problemas” con el trabajo geométrico, en particular los que surgen al trabajar con las propuestas comentadas antes: la copia, el dictado, la identificación de cuerpos o figuras. Recomendamos su lectura completa, pero deseamos compartir aquí un apartado completo. Creemos que aporta a la comprensión de lo que sucede, al mismo tiempo que sigue convocando para trabajar por la buena enseñanza, invita a preguntarse y a compartir ideas y también dudas. Las actividades de dictado de figuras analizadas en la capacitación “Al analizar estas y otras actividades de dictado, una preocupación recurrente en los docentes son los errores que aparecen en los primeros mensajes que los alumnos envían. Existe cierta “incomodidad” en desarrollar en el aula este tipo de situaciones, que no parece explicarse solamente porque los niños se equivoquen. 53 “La enseñanza de la geometría en el segundo ciclo” (1998). Documento de actualización curricular Nª 5. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. 54 Disponible en http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/cepa

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Al fin y al cabo, los niños se equivocan muchas veces durante las clases. Fueron los mismos maestros los que ayudaron a los capacitadores a entender que desde la perspectiva de quienes se están acercando a nuevas conceptualizaciones didácticas, no es sencillo aceptar que a partir de un problema planteado a los niños, sus respuestas no serán del todo efectivas, correctaso completas, y algunas veces hasta serán desacertadas. Y menos sencillo aún resulta admitir que es posible gestionar la clase de modo tal que esas mismas respuestas puedan convertirse en el motor de avance de los conocimientos que las provocan. En definitiva, lo que subyace a esta “molestia” respecto de las actividades es que los docentes asocian lo desajustado de los mensajes a su tarea de enseñanza. Esto es, creen ver en los errores de los niños una consecuencia directa de sus prácticas como maestros y evalúan, entonces, a su propio accionar como insatisfactorio o poco efectivo. Desde el punto de vista de los maestros, estas consideraciones son particularmente abrumadoras a la luz de una herencia de prácticas de enseñanza donde el error debía ser eliminado, o al menos evitado. “El error se fija” es una frase que todos hemos escuchado en nuestra historia docente. Ahora bien, atribuir a las prácticas de enseñanza el “error” de los niños, es una premisa que se apoya en un conjunto de supuestos y que suelen derivar en una serie de decisiones didácticas. Resulta interesante analizar unos y otros a lo largo de la capacitación. Identifiquemos El primero es el referido a qué es “buena enseñanza”. Pareciera ser que una buena enseñanza permitiría que los niños aprendan sin equivocarse o que estén en condiciones de encontrar desde el comienzo la mejor respuesta posible a la situación que se les propone. Dicho de otra manera, que puedan “atrapar desde el vamos” todas las relaciones que definen al objeto matemático que el problema moviliza. Estas conceptualizaciones son solidarias con el supuesto según el cual enseñar es mostrar cómo debe resolverse la situación. “Las relaciones pueden atraparse ‘de entrada’ porque la enseñanza las comunica”. Entonces, si los niños se equivocan, lo que conviene hacer –y esta es una consecuencia didáctica– es descomponer lo que se está mostrando en pasos más pequeños para que sea más fácil. De este modo, al reducir el margen de decisiones que los niños deben tomar, evidentemente, se equivocarían mucho menos. Revisar estas ideas nos permite explicitar que el enfoque que enmarca las actividades propuestas no está invitando a encontrar mejores formas de comunicar en el sentido de

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algunos de los que surgen en la reflexión con los maestros.

informarles a los niños lo que queremos que aprendan. No es un problema de comunicación, es un problema de construcción de ciertos conocimientos a partir de tener que buscar mejores recursos para alcanzar la solución de un problema en donde estos aparecen como insuficientes o insatisfactorios. Otro supuesto es que las actividades “no salen bien” porque los alumnos se equivocan. Es decir, como las primeras versiones de mensajes presentan errores o están incompletos, las actividades parecen en todo caso atractivas pero tienen problemas de implementación o encierran alguna falla de diseño porque los niños no aciertan a escribir mensajes efectivos. El “fracaso” de los primeros mensajes no es un defecto de la situación, es justamente una condición necesaria. Es a partir de constatar que con las informaciones que el propio grupo envía no es posible identificar una configuración o construir una figura –en general, no es posible resolver el problema– y a partir de reflexionar sobre esos mensajes, cómo los mismos podrán ajustarse y permitirán a los niños identificar, por ejemplo, qué aspectos de las figuras deben tener en cuenta para señalarla. Otra conjetura posible de desentrañar es aquella según la cual los errores reflejan una carencia de conocimiento. En muchas ocasiones, sin embargo, los errores de los niños no son

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una ausencia, son conocimientos que no se ajustan a la versión erudita que como docentes genuinamente aspiramos que se apropien. Es decir, lejos de mostrar algunas veces que los niños no saben, ciertos errores pueden ser interpretados como producto de concepciones y lógicas que aparecen desajustadas para el problema que se está planteando, pero que tienen cierta cohesión interna. El problema para el docente, entonces, es poder interpretar bajo qué lógica los niños han elaborado esa producción y proponer una situación que la desafíe. Un ejemplo con el que todos nos hemos encontrado es la situación en la que, al presentarle a los niños un cuadrado cuyos lados son paralelos al margen de la hoja o a los lados del pizarrón, toda la clase admite que es un cuadrado. Pero si la misma figura se presenta rotada, esto es con los lados oblicuos a los márgenes, gran parte de los niños suele afirmar que se trata de un rombo.55 A fuerza de haberles presentado los cuadrados en la misma posición y en similar tamaño a lo largo de la escolaridad, los niños han asimilado que, por ejemplo, la posición es un atributo de esta figura.56 Visto desde esta lógica, entonces, resulta razonable responder que si está rotado no se trata de un cuadrado. No es una ausencia de conocimiento, es un conocimiento que ha funcionado en ciertas ocasiones y que ahora se presenta desajustado para el problema que se plantea. Sin duda, el análisis sobre los supuestos referidos a los errores, la enseñanza y el aprendizaje © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

puede continuarse y profundizarse. Creemos que tratar de identificar cuáles acompañan la “lectura” de lo que sucede con las actividades y en las clases es un ejercicio que vale la pena. Dejamos abierta, entonces, esta discusión e invitamos al lector a avanzar sobre las mismas”.

Regularidades gráficas Alguien ha dicho que la matemática es la ciencia de las regularidades. Hemos descripto la exploración de la serie numérica, que les permite a los niños “atrapar” las regularidades y apoyarse en ellas para producir nuevos números. El mundo de las formas puede ser explorado y encontrar motivos que se repiten, descubrir regularidades y reproducirlas, continuar más y más allá. En esta tarea los niños aprenden a analizar, construyen herramientas para describir y reproducir y, sobre todo, se apropian del carácter de poder anticipatorio del conocimiento matemático: cuando descubren la regla de producción pueden anticipar lo que sigue… y también pueden detectar lo que no corresponde a esa serie. En el libro se plantean actividades con guardas o pisos que se obtienen al reproducir un cierto modelo en forma lineal (una dimensión), o en dos dimensiones. En ocasiones se tratará de determinar cuál es el modelo utilizado y, en otras, de inventarlo y comunicarlo a un compañero. Del enorme y rico universo de guardas (que vincula con el arte, con diversas culturas y sus producciones artesanales, con el gusto por la decoración, etc), en la ficha 9, Guardas, se ofrecen dos para iniciar el trabajo. Como en otras ocasiones, esto no puede sustituir el convocar a los chicos a explorar el ambiente buscando guardas (mirar lo que no se mira), el traer al aula rollos con guardas que permiten desplegarlos, replegarlos, provocar anticipación de lo que va a venir, verificarlo. La ficha tiene como propósito que los niños puedan identificar el modelo que se itera a lo largo de la guarda, pero que además puedan formularlo y representarlo gráficamente.

55 No estamos teniendo en cuenta que los cuadrados son rombos. La discusión no está centrada aquí sobre la inclusión de una clase de cuadriláteros en otra, sino en que a partir de la posición una figura específica ha dejado de ser tal para convertirse en otra. 56 En el trabajo con nenes de Jardín los hemos escuchado afirmar: “Es cuadrado, no importa cómo lo muevas, para donde lo pongas”. Es lamentable pensar que pierden conocimientos que tenían.

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Tanto en la ficha 31, Más guardas, como en la ficha 35, Pisos decorados, se plantea como consigna analizar, antes de realizar la actividad, si la guarda o el piso en cuestión podrán o no ser construidos con los mosaicos de los que disponen. Se promueve pasar del nivel de las acciones al nivel de la anticipación de las acciones. Se intenta que los niños acepten la pregunta “¿Se podrá?”, y prueben responderla a partir de sus análisis. La clase puede ser organizada a partir de un trabajo individual de análisis, seguido de una discusión en el equipo y finalmente en toda la clase, sobre la factibilidad o no de construirlos. Las discusiones entre niños que sostengan opiniones diferentes los lleva a buscar los mejores argumentos para convencer a sus oponentes. Esos momentos de discusión, moderados por el docente (en el sentido de mantener centrado el objeto de la discusión, pedir opiniones a los demás compañeros, solicitar una conclusión…) son uno de los momentos más ricos, desde el punto de vista del aprendizaje, que pueden ocurrir en la escuela. Para algunos niños es un aprendizaje costoso diferir la acción que necesitan un sostenido trabajo del maestro para animarlos a pensar, a escuchar, para calmarlos y explicarles que, posteriormente, van efectivamente a intentar armarlas. El resultado de las acciones, el éxito o el fracaso, podrán actuar como validación de la anticipación realizada. Pueden ayudar a “pensar lo que se pensó, o se dijo”. Si no hubo anticipación, muchos chicos pueden creer que son las piezas las que calzan o no. Es decir, se habrán perdido la oportunidad de experimentar el poder de anticipar, de sentir como propia la capacidad humana de identificar modelos, funcionamientos, que ordenan las piezas. Para los niños de esta edad resulta más fácil continuar una guarda que se prolonga en línea horizontal que continuar un piso realizado en dos dimensiones. Por ello, sin duda las tareas propuestas en la ficha 35 revisten mayor complejidad. Los modelos que los niños tienen que reproducir en la ficha 43, Mosaicos de colores, ya comentada, tienen que ser analizados también en las dos direcciones. En la sección Para practicar correspondiente a esta ficha, se propone, además de una actividad de copia, un interesante desafío: pintar los casilleros usando 4 colores diferentes bajo la condición de que los casilleros vecinos –en todas direcciones– no pueden tener el mismo color. No es fácil, los niños en-

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y sostener el intercambio de ideas. Son precisamente ellos los

contrarán el valor de anticipar –aunque sea un poco– de qué color pintan cada casillero.

Medida “La medida es, por un lado, una herramienta para explorar y establecer relaciones a propósito de las formas y, por otro, es generadora de la necesidad de producción de números que expresen los resultados del acto de medir. En este sentido, la medida es un puente entre el conocimiento del espacio y el conocimiento de lo numérico.” Diseño Curricular para la Escuela Primaria57

Un poco de historia acerca de la medida Desde la antigüedad, medir es una necesidad vital para el hombre. La medida surge debido a la necesidad de informar a los demás de las actividades de caza y recolección, como por ejemplo: a qué distancia estaba la presa, qué tiempo transcurría para la recolección; hasta dónde marcaban los límites de la población. Los intercambios con otros hombres de mercancías, objetos, alimentos, etc.,

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“Diseño Curricular para la Escuela Primaria. Primer ciclo” (2004), Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

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requirieron del desarrollo de formas de medición y de la utilización de ciertas unidades. Los estudios muestran que todos los sistemas de medidas de longitud derivaron de las dimensiones del cuerpo humano (codo, pie, palma, etc.) y de sus acciones. Estos sistemas tenían ventajas (los hombres portaban en todo momento las unidades que usaban), pero presentaban problemas: las medidas variaban de una persona a otra y los intercambios eran dificultosos. Posteriormente, los hombres comenzaron a usar como unidad de medición elementos externos a su cuerpo, provenientes de la naturaleza, como palos, ramas, cuerdas; o elaborados, como vasijas, toneles, etc. También desarrollaron instrumentos de medición como balanzas, relojes de sol, etc. Otros sistemas de medida, como los del tiempo, también derivaron del ser humano y más concretamente de los fenómenos cíclicos que afectaban la vida del hombre. Hubo muchos intentos de resolver el problema de la falta de una unidad común. Así, muchos reyes, emperadores, etc., establecían la medida de su pulgada o de su pie como unidad patrón. Como informa Ponce: “La elección de la medida patrón y su custodia fue generalmente un atributo del gobierno. Esto explica que los hebreos la depositaran en el Templo, los romanos en el Capitolio y en el Tempo de Júpiter y los franceses en el Archivo de París. En efecto, el establecimiento del Sistema Métrico Decimal (SMD) en Francia, en 1793, durante la Revolución, fue fundamentalmente una medida de carácter político. Por un lado, se proponía definir una © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

unidad que fuera independiente del hombre, algo que se refiera a la Tierra y fuese, por lo tanto, inmodificable, y que no perteneciera a ninguna nación en particular.”58 Aunque pasaron muchos años hasta que los diversos países lo fueron adoptando (y aún hoy convive con otros sistemas), el Sistema Métrico Decimal no solo tiene valor por ser común para gran parte del planeta, sino porque su organización decimal facilita enormemente los cálculos de medidas. Este breve recorrido histórico tiene como propósito actualizar la idea de que los conocimientos se construyeron como respuestas a problemas y que se transformaron a lo largo del tiempo favoreciendo, a su vez, otras transformaciones y desarrollos. Presentaremos algunas precisiones sobre el proceso de medir y sobre su producto, antes de acercar algunas reflexiones sobre la enseñanza de la medida. Medir es el proceso por el cual se averigua cuántas veces una cantidad –elegida como patrón o unidad de medida, convencional o no convencional– está contenida en otra de la misma magnitud. Por lo tanto, medir implica calcular cuántas veces “entra” la unidad elegida en el objeto que se desea medir. El “cuántas veces” hace referencia al número, ya que la medida es una función del número en el espacio continuo, sin dejar huecos ni realizar yuxtaposiciones. “¿Cuántos hay?”, como pregunta referida a la cantidad de elementos de una colección, es tempranamente interpretada por los niños y, para averiguarlo, recurren al conteo de los objetos de los que se trata (caramelos, pinceles, etc.). Estas cantidades se denominan discretas o continuas. Cantidades discretas son las que constan de unidades o partes separadas unas de otras, como tres lápices, cuatro mesas, dos niños, etc. Las cantidades discretas pueden ser contadas, y para ello se utilizan los números naturales. Las cantidades continuas, por el contrario, no están formadas por partes separadas entre sí. “Continuo” significa “sin interrupción”. Las cantidades continuas, como el agua, la harina, el aserrín, etc., no son contables; son medibles si seleccionamos una unidad de medida y vemos cuántas veces contiene dicha cantidad la unidad de medida elegida. Por ejemplo, dos litros de agua, tres vasos de vino. “El proceso de medir consiste en comparar una cantidad dada de longitud, masa, volumen, etc., con la longitud, masa o volumen respectivo de un objeto dado al que llamamos unidad” (Chamorro y Belmonte, 1988). Se puede decir que “medir es contar en el continuo” y requiere de construir unidades.

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PONCE, Héctor (2006), Enseñar y aprender matemática: propuestas para el segundo ciclo. Ediciones Novedades Educativas.

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Sin embargo, existen múltiples situaciones en las cuales no es necesario tener precisión en el acto de medir; es decir, no hace falta usar instrumentos de medición, sino que se pueden resolver mediante estimaciones, a través de aproximaciones (“alrededor de…”), o encuadramiento (“está entre tanto y tanto”). También hay situaciones que se pueden resolver con apoyo en la percepción (por medio de comparaciones directas –levantar dos mochilas una con cada brazo y calcular cuál es más pesada, o estimar si un mueble va a pasar por la puerta cuando es “visiblemente” mucho más angosto o mucho más ancho). Las situaciones y los modos de resolverlas que se acaban de enumerar constituyen los primeros acercamientos de los niños al trabajo con las diversas magnitudes. La realización de estimaciones y mediciones efectivas de objetos, espacios, etc. del entorno cotidiano, es importante e insustituible. Sin embargo, la vida social actual no provee muchas oportunidades en este sentido y, lamentablemente, su presencia en la escuela también es escasa. No desconocemos que realizar actividades de medición efectiva requiere un gran esfuerzo de preparación didáctica y material por parte del docente pero, en este terreno, como en tantos otros, las oportunidades que brinda o no la escuela resultan determinantes en cuanto a la elaboración y disponibilidad de los conocimientos promovidos. Se torna necesario que los niños tengan experiencias que les permitan construirse representaciode los objetos y apropiarse de las herramientas que la humanidad ha construido para resolver los problemas de medición. Al respecto, sostienen Chamorro y Belmonte (1988)59: “…solo manipulando es posible distinguir las distintas propiedades de los objetos: es difícil comprender que unos objetos son más pesados que otros usando tan solo la vista, que un recipiente tiene más o menos capacidad que otro sin recurrir al transvasado de líquidos. (…) es necesaria la existencia de talleres, laboratorios, rincones, etc., donde se trabajen las distintas magnitudes y su medida, aunque el propio entorno de la clase también da ocasiones para utilizar las distintas magnitudes, empleando los instrumentos más diversos para realizar el acto de medir.” Hemos mencionado limitaciones que tiene un libro de texto para proponer actividades en el terreno del trabajo sobre espacio y geometría. Esto sucede también en cuanto al campo de la medida. Existe variada bibliografía dirigida a docentes que proponen actividades ricas, verdaderos problemas

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nes de las magnitudes, interrogarse sobre cuáles son los atributos cuantificables y no cuantificables

a plantear en el aula. Las siguientes sugerencias bibliográficas se dirigen a la Educación Inicial, pero consideramos que resultan pertinentes para trabajar en primer grado: – González, A. y Weinstein, E. (2006): La enseñanza de la matemática en el Jardín de Infantes: a través de secuencias didácticas, Rosario, Homo Sapiens Ediciones. – Gobierno Provincia de Bs. As., Dirección General de Cultura y Educación (2009): “La enseñanza de la Geometría en el jardín de infantes”.60 Pese a no mencionarlo en el título, este documento incluye una sección relativa a Medida. En Hacer Matemática en 1º se proponen actividades relativas a longitud y un cierto trabajo con el calendario que se vincula con la medición del tiempo. La introducción de unidades convencionales de medida y el conocimiento de los instrumentos usuales hemos optado por realizarla en segundo grado y continuarla con fuerte presencia en los grados siguientes.

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CHAMORRO, María del Carmen y BELMONTE, Juan Miguel (1988), El problema de la medida. Madrid, Síntesis. Disponible en: www.abc.gov.ar

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En relación a la longitud La longitud es una de las magnitudes más presentes en la vida de los niños y, sobre ella, poseen numerosos conocimientos adquiridos en su contacto con actividades propias de su edad, saben que hay chicos más altos o más bajos, que un objeto o un lugar están más cerca o más lejos que otro. Son esos conocimientos los que les permitirán enfrentarse a problemas e imaginar procedimientos o diversos intentos para resolverlos. Si dos objetos están juntos se los puede comparar directamente y saber cuál es más alto. Las distintas maneras de medir, desde la estimación a la medición efectiva, permiten hacer afirmaciones respecto de objetos que no están juntos o que no se pueden superponer. Dependiendo de la situación, puede ser necesario verificar. Con los límites que tiene un libro para plantear problemas de este tipo proponemos en la ficha 47, Los juguetes en el estante, una simulación: en una página están dibujados unos estantes y en las páginas recortables los juguetes. La tarea para la pareja es pensar cuáles juguetes van a entrar parados y cuáles no, antes de recortarlos. En algunos casos podrán decidirlo perceptivamente; en otros pueden necesitar un “intermediario” (el ancho de dos dedos, la mitad del largo del pulgar…). Luego recortan y verifican si la estimación realizada fue adecuada. En la puesta en común se puede promover que cuenten cómo decidieron y legitimar el uso de un intermediario para mediar en el tiempo o en el espacio. © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

La ficha 62, Primero o último, hace memoria de un procedimiento que solían usar los niños para decidir el orden en que iban a participar. Esto puede proponerse efectivamente. Estas situaciones se resuelven a simple vista o por comparación directa: los palitos, lápices o tiras se pueden yuxtaponer. Aunque no se mida, se establecen relaciones entre medidas y esto permite a los niños construir el sentido de la magnitud en juego, en este caso la longitud. Una actividad parecida puede usarse como sistema para armar grupos cuando se quiere que sean al azar: cada nene toma una tirita y tiene que juntarse con los que tienen tiritas iguales de largas. Otra actividad que puede poner en juego una cierta estimación consiste en que un grupo corta dos tiritas de distinta longitud y, luego, otro miembro del grupo las observa y tiene que ir a buscar o construir una tirita más larga que la primera y más corta que la segunda. Se involucra aquí la transitividad que caracteriza a las relaciones de orden. En la propuesta de la ficha los niños tienen que considerar también dobles condiciones en el momento de dibujar palitos. En la ficha 76, Salvar a la princesa, se plantea un relato que conduce a la necesidad de comparar dos caminos. La longitud de ambos es cercana para impedir resolver perceptivamente cuál es más corto. Los niños van a necesitar usar un intermediario, como marcas en un papel, un hilo, etc. Esto puede ser sugerido. De todos modos usarlo es difícil. Al hilo cuesta ubicarlo, y al papel, ¿cómo ponerlo?

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Para medir la longitud de los dos segmentos que forman un ángulo, algunos niños colocaban el papel en el extremo inicial del primero y luego lo apoyaban en el extremo final del otro, con lo cual estaban comparando dos segmentos que no correspondían a los caminos. Como se puede ver, hay mucho que aprender para poder medir. En la clase en la que los niños trabajan con esta situación, el maestro va a tener que acercarse a cada niño para ver lo que está haciendo y enseñarle. Además, estas cuestiones requieren ser retomadas y se pueden hacer y anotar recomendaciones para medir. Es importante identificar la hoja de papel y el hilo como herramientas útiles para poder comparar la longitud de objetos que no se pueden poner uno al lado del otro. Competir por quién hace llegar más lejos su autito forma parte de los juegos de los niños. Este problema se resuelve por comparación directa, siempre y cuando los autitos hayan ido en la misma dirección. Precisamente para que tengan que comparar recorridos, eventualmente con ayuda de un intermediario para dirimir quién llegó más lejos, quién hizo el segundo recorrido más largo, etc., se

Un intermediario, una marca, permite “guardar memoria” de una longitud trascendiendo el espacio o el tiempo. Permite comparar, por ejemplo, la altura de un niño a principio y a fin de año. Es frecuente que se lleven adelante proyectos de Cuidado de la salud o de Conocimiento del propio cuerpo, en que los chicos se miden, con unidades convencionales, o realizan marcas a efectos de comparación posterior. Se les puede proponer a los niños hipotetizar sobre algunas relaciones e investigarlas. Por ejemplo: “El nene o nena más alto, ¿será también quien tiene el pie más largo?”. Como mencionamos en las breves referencias históricas, el hombre encontró en su cuerpo las

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puede armar una pista como la siguiente para cuatro jugadores.61

primeras unidades de medida de longitud. Por supuesto, los niños pueden utilizar, y de hecho lo hacen, las manos, los pies, para marcar el lugar desde el cual patear o para dirimir discusiones sobre cuál tejo está más cerca. Pueden también hacerlo ante problemas que les planteamos. Desde nuestro punto de vista, están usando un recurso pertinente, como los adultos lo hacemos en los casos en que es suficiente. Pero no lo entendemos como “trabajo con unidades no convencionales”, porque no creemos que los niños de primer grado estén en condiciones de asociarle al problema la falta de una unidad común o analizar los efectos de las variaciones de la unidad. Indudablemente, muchas otras actividades pueden ser propuestas a los niños incluyendo otras magnitudes, el conocimiento de instrumentos usuales de medida y de alguna unidad de medida, bajo el propósito de conocer las prácticas sociales de medición. En los libros de 1º a 6º se propone abordar los diferentes problemas del campo de la medida a raíz de experiencias y conceptualizaciones que involucran las diferentes magnitudes. Recomendamos la lectura del apartado correspondiente en las guías de los demás grados, para construirse una representación de la evolución de estos conocimientos. Creemos que este conocimiento es importante para un maestro de primer grado y, en este terreno, dicha representación suele estar menos disponible. 61 Para la descripción completa de la actividad ver La enseñanza de la geometría en el Jardín de Infantes, pág. 69. Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires, Primer Ciclo (2009). Diseño Curricular para la Educación Primaria.

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TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

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Tratamiento de la información En la vida cotidiana, constantemente estamos tratando informaciones muy diversas y, para ello, usamos conocimientos, habilidades, etc., que no son patrimonio exclusivo de la matemática. Pero el tratamiento de la información también está involucrado en la actividad matemática y resulta conveniente, sobre todo en los primeros acercamientos de los alumnos al aprendizaje sistemático, proponer situaciones que enfoquen aspectos particulares de dicha actividad. Identificar un elemento a partir de sus características, interpretar símbolos en un juego o representar gráficamente las reglas, registrar puntajes en una tabla, formular preguntas a partir de distintos contextos, etc., son algunos de los aspectos de la actividad matemática que pueden ser objeto de propuestas específicas de enseñanza. En versiones anteriores de los libros para los niños, y por lo tanto en las referencias en el libro para el docente, considerábamos Tratamiento de la información como un eje que articulaba un conjunto de propuestas. Sin embargo, dado que como práctica está vinculada a toda actividad de lectura –y, en ese sentido, está presente en todas las fichas– y dado que en la mayoría de los casos las actividades ponen en juego contenidos de los ejes Número y Operaciones y Geometría y Medida, hemos resuelto no presentarlo como un eje sino como un componente de la actividad matemática con un grado variable de presencia en las diversas situaciones. En este apartado, volveremos sobre fichas ya analizadas © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

y nos referiremos a situaciones específicas para desplegar, un poco más, el tipo de trabajo que se espera aprendan a hacer los niños y mencionar las intervenciones docentes que pueden ayudarlos a avanzar. Es decir, esperamos acrecentar su visibilidad. Como bien saben los maestros, algunos alumnos se plantean por sí solos preguntas y modos de ingresar a las situaciones, pero muchos otros (insistimos, con frecuencia la mayoría de los chicos), necesitan de esta actividad “pública” que provee el contexto de la clase en el marco del proyecto intencional del maestro. De hecho, muchos chicos cuentan con adultos que cuando van con ellos por la calle se detienen a mirar carteles, celebran cuando los niños pueden interpretar mensajes aunque no puedan leer los textos completos, les muestran cómo hacen para saber el precio de algo o el horario de la película que van a ver. Es decir, son niños acostumbrados a las “intervenciones didácticas” (es decir intervenciones con intención de enseñanza), por parte de los adultos, aun fuera de la escuela. No es este el caso de todos los niños. Al contrario, para muchos otros niños estas oportunidades se reducen a las que puede proveerles la escuela, la institución definida por la intencionalidad de la enseñanza. Somos conscientes de estar convocando a que la enseñanza asuma trabajar sobre aspectos que son más difíciles de precisar que los contenidos matemáticos “clásicos”, y respecto de los cuales resulta más incierta su secuenciación y menos seguros los medios para asegurar la evolución de los conocimientos por parte de los alumnos. Sin embargo, hemos tenido oportunidad de experimentar en las aulas el desarrollo de las propuestas que presentamos, y podemos afirmar que hacen diferencia. Es decir, que los alumnos aprenden al transitarlas y tienen logros importantes, algunos de los cuales se pueden identificar de pleno con los propósitos de la enseñanza de matemática, y otros forman parte del trabajo para convertirlos en miembros activos de la cultura, para favorecer su apropiación de la obra humana (sin fronteras disciplinares). Es útil distinguir dos tipos de tareas diferentes enmarcadas en el término Tratamiento de la información62: – en un caso el trabajo del alumno consiste en elegir las informaciones pertinentes sin tener que transformar los datos: se trata simplemente de buscar y obtener la información; – en otro caso, se trata de un conjunto de actividades de codificación, de cálculo, de deducción, de transformaciones lógicas sobre las relaciones entre los objetos, los números, las figuras o las propiedades.

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ERMEL (1991), Ob. cit.

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El equipo ERMEL sugiere la necesidad de ser prudentes sobre la estimación de las competencias de los alumnos, en particular en cuanto al segundo significado de tratamiento de la información. Desde nuestro punto de vista, la primera manifestación de la solicitada prudencia pasa por analizar lo que se le propone a los alumnos (como adultos muchas veces se nos “escapa” o no nos resulta visible, por ejemplo, la complejidad que comporta una tabla de registro de puntajes, los cambios de codificación de escrituras matemáticas presentes en aparentes “ejercicios de práctica de cálculos”, etc.), y a ese propósito se dirigen muchas de las líneas de este texto, y muy en particular las de este apartado. A la vez, el ser conscientes de que los alumnos necesitan aprender a tratar información, nos ha conducido a proponer tareas en este sentido en las propuestas para los diversos grados. En muchos casos, articuladas con otros propósitos del campo aritmético o geométrico, y en algunos pocos con objetivos completamente específicos. En el índice docente que se incluye en esta guía se ha agregado, para cada período, una tabla que enumera las fichas que incluyen actividades específicas de Tratamiento de la información, y su presentación en este apartado se organiza en las siguientes líneas de trabajo: identificación de elementos a partir de sus características (fichas 2, 27, 47, 50, 53, 75, 81, 89); extracción de información presente en diversos portadores (fichas 8, 11, 27, 36, 69);

Identificación de elementos a partir de sus características ¿Qué significa identificar un elemento a partir de sus características? Significa poder reconocer un atributo (o varios), una posición, una cualidad, que permiten distinguirlo de otros. Es algo que hacemos todo el tiempo, de modo implícito o explícito. Para ello establecemos semejanzas y diferencias, alternativamente. Algunos atributos de los objetos son cuantificables, otros no lo son. Algunos atributos se pueden tratar en el terreno de la lógica; otros no. Hubo un momento en la enseñanza de la Matemática, hace unos cuarenta años, en que se difundieron múltiples propuestas para estimular el desarrollo del pensamiento lógico en los niños63. Entre ellas, fueron conocidos los juegos propuestos por Z. Dienes (bloques lógicos, trimat, cuadrimat, etc.). Aunque dichas propuestas han sido objeto de revisiones, e incluso de cuestionamientos (que no podemos seriamente sintetizar aquí), eso no debería conducir a la creencia de que los niños no necesitan trabajar sobre aspectos lógicos o que la escuela no tenga nada que proponer. Luisa Higueras, en su artículo “La actividad lógica en la Escuela Infantil”64, sintetiza del siguiente modo la posición de un conjunto de investigadores y educadores:

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representación gráfica de situaciones (fichas 29, 77).

“Nos sustentaremos en una opción didáctica cuyo objetivo es generar en los niños de este nivel una actividad matemática que promueva el desarrollo de su pensamiento y razonamiento lógico. En consecuencia, desde esta opción, es necesario realizar un trabajo didáctico que permita la creación de situaciones de enseñanza que provoquen y hagan evolucionar el lenguaje, el pensamiento y la actividad lógica en estos niños.” Luisa Higueras informa que la serie de trabajos en los que se basa fue desarrollada por diversos investigadores bajo la dirección de Guy Brousseau. Los referidos trabajos permiten establecer una relación óptima entre los saberes lógicos, las actividades de acción, formulación y validación, y el desarrollo del lenguaje y del pensamiento natural en los niños de esta edad.

63 Esto se produjo en el marco de la Reforma de Matemática Moderna en confluencia con la transposición de los aportes piagetianos a la educación, cuyos efectos fueron especialmente reconocibles en el nivel inicial y en los inicios de la escolaridad primaria. 64 CHAMORRO, María del Carmen (coord. 2005), Didáctica de la Matemática para Educación Infantil. Madrid: Pearson Prentice Hall. Higueras hace su presentación dirigiéndose a la Educación Inicial; consideramos sus aportes completamente pertinentes para el nivel que nos ocupa aquí.

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Dicha autora presenta del siguiente modo los rasgos del trabajo didáctico propuesto: “Trataremos de evitar todo deslizamiento hacia un formalismo fuera de lugar; para ello hablaremos de actividades lógicas en la Escuela Infantil y, en su construcción, tendremos en cuenta que: – La actividad de simbolización incluye, en principio, esencialmente el lenguaje. El desarrollo de la lógica en los niños se encuentra asociado, en primer lugar, a la construcción del lenguaje. – La lógica no es un juego puro y gratuito. Todas las actividades deben ser portadoras de sentido. No se hace el inventario de una colección, se clasifican o bien se ordenan unos objetos bajo el influjo de una fantasía momentánea, sino porque se tiene una razón para ello (…) comprobar que no falta nada, localizarlos con rapidez y seguridad, etcétera.” De modo sintético, podemos decir que las situaciones que se planteen a los niños para propiciar avances en este terreno han de satisfacer las condiciones largamente planteadas respecto de un problema. El desafío, particularmente en nuestro medio, es convocar a los docentes a incluir en su enseñanza este trabajo que, por razones que no podemos tematizar aquí, ha cobrado poca o nula presencia en los textos curriculares, en los textos para niños, en los debates e intercambios entre docentes. © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

En la ficha 2, Las mochilas, se propone identificar un elemento a partir de los elementos que lo constituyen. Se puede proponer una actividad previa, en la que se juega tomando como universo las mochilas de los nenes del grado. La maestra da pistas sobre una de las mochilas y los nenes tienen que adivinar a cuál se refiere. Luego pueden hacerlo los nenes mismos. Cada vez que se dice una característica –es azul– se genera una clase: las mochilas azules; será necesaria una discriminación, la selección de otra característica para poder identificar un elemento dentro de esa clase, por ejemplo tiene rueditas. Es posible que todavía no sea suficiente y resulte necesario continuar seleccionando características. En la ficha se ofrece un universo más pequeño: 5 mochilas, estructurado con atributos comunes (el color), y no comunes (tener uno, dos o ningún bolsillo; tener o no rueditas; tener o no manija larga). El juego de las pistas orales puede realizarse también con este universo. Luego se introduce una actividad distinta: interpretar pistas gráficas. ¿Qué significa lo que está “diciendo” el nene? Hay allí una esquematización, un proceso de codificación que solicita interpretación. Por ejemplo, las rueditas tachadas como mensaje para identificar la mochila de Ana. Los niños dirán sus interpretaciones; entre todos se acordará. Se propone que ellos mismos elijan una mochila y armen las pistas. Algunos niños saben tempranamente escribir, los otros podrán apelar al dibujo. En la sección Para practicar correspondiente a esta ficha se prolonga la actividad en torno a cartucheras. Nuevamente hay información codificada. La docente puede leer las palabras y solicitar la colaboración de los niños para interpretar el código. Una vez que han resuelto la identificación de las cartucheras se puede proponer a los niños que le dicten a la maestra las pistas para las otras cartucheras, o que además de dibujar su cartuchera, armen su “código”. El docente puede organizar actividades como la descripta, a raíz de diversos universos con los que van trabajando. Está demostrado que la capacidad de clasificar un universo no es independiente del conocimiento que se tenga sobre él (cualquier adulto, no especialista, tendría probablemente dificultades para clasificar a los microorganismos, o a las galaxias). Cuando se está explorando un universo, se lo está conociendo, se elaboran categorías, y una profundización en su estudio permite revisarlas, ampliarlas, etc. En este apartado nos estamos deteniendo, sobre todo, en ciertas prácticas que pueden desplegarse en torno a distintos universos y pueden mejorar en su capacidad de describirlo, de identificar un elemento entre otros. En la ficha 27, Un día de campo, se propone elegir un objeto y dar pistas para que el otro lo encuentre; en la ficha 47, a raíz de los juguetes con los que se trabajó, se propone realizar un “veo veo”.

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La ficha 50, Mi preferido es…, tiene como propósito que los niños identifiquen un objeto a partir de informaciones coordinadas. El universo de los muñecos está organizado de modo que cada uno queda definido por tres características: su ocupación, su vestimenta y el elemento que tiene en la mano. Los niños pueden empezar a buscar más sistemáticamente; por ejemplo, para la pista dada primero buscar los que son soldados (son 3), entre ellos los que tienen traje rojo (son 2), y luego el que tiene fusil. Para plantear las pistas que permiten adivinar cuál es el muñeco preferido, es necesario incluir las tres características mencionadas. Para que los niños se den cuenta de la insuficiencia de dar solo una pista se plantea: Pedro dijo que su muñeco preferido es el mecánico. ¿Se puede saber cuál es? Y luego se les propone escribir pistas para identificar uno de los jardineros. La actividad “Adivinanza de figuras”, planteada en la ficha 53, pone en juego la identificación de un elemento, pero en este caso los niños tienen que hacer preguntas que el otro solo puede contestar por sí o por no. En la actividad, los niños van a poner en juego su conocimiento de las figuras geométricas y también van a aprender sobre él. Van a vivir la experiencia de que un mismo objeto, una misma clase, es designada de distinto modo por distintos sujetos. Los que para uno de ellos son “los de tres puntas”, para otro son “los techitos” y para otros “los triángulos”. Estas distintas designaciones pueden ser fuente de conflicto, de desconocimiento (“Uno pregunta si es un techito y el otro dice que de estas discusiones es que la situación resulta de aprendizaje. Cada designación pone de relieve un aspecto por sobre otro; el trabajo, el intercambio, las pueden poner en relación. A lo largo del año, ciertas designaciones resultarán oficiales porque corresponden a su identificación en la cultura matemática, pero los niños habrán tenido oportunidad de poner en relación unos significados con otros. En la ficha 81, Adivinanzas de números, las pistas permiten identificar un número en un conjunto. En algunos casos basta una sola información; en otros, es necesario considerar informaciones coordinadas: “está en la fila del 60 y es más chico que 67”. En la ficha 75, La fábrica de mochilas, se plantea un problema de búsqueda de las distintas posibilidades para fabricar una mochila de tres colores. Cada mochila queda caracterizada por los colores diferentes que le corresponden al cuerpo, a la manija y a los bolsillos. Si bien los alumnos pueden iniciar el trabajo pintando mochilas diferentes sin pensar en una búsqueda sistemática (no se espera que en un primer momento puedan encontrar todas las mochilas diferentes que surgen de las combinaciones), comparar con sus compañeros o su propio interés en encontrarlas puede llevarlos a iniciar una organización, atendiendo, por ejemplo, al color de las manijas. Colocar juntas todas las

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no, porque para él es un triángulo y no le resulta aceptable otra denominación”), y justamente a raíz

mochilas que tienen las manijas rojas, luego las que tienen las manijas verdes, etc., puede favorecer el control de las mochilas ya construidas, detectar las repetidas e identificar las faltantes. Este, como otros problemas presentados en el libro, puede ser resuelto utilizando herramientas matemáticas más potentes, pero en este nivel de la escolaridad tiene el propósito de promover la búsqueda y el análisis de las soluciones a partir de los recursos con que cuentan.

Extracción de información presente en diversos portadores En las distintas propuestas, se trata de responder o elaborar preguntas a partir de la información que pueden extraer de los portadores. En algunos casos, la información necesaria no está presente en los portadores directamente, sino que es necesario elaborarla. La ficha 11, Los días de abril, y la ficha 36, Calendario, proponen trabajar con este objeto social, tan cotidiano, cuya lectura es uno de los objetivos a lograr en la escuela. El calendario ofrece la oportunidad de trabajar con los primeros 30 números, repetidos mes a mes y presentados en una organización distinta de la que cobrarán en el cuadro de números a 100.

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El calendario permite visualizar el transcurso de los días no ya en una única línea, sino en distintas filas; luego del sábado es necesario continuar “leyendo” abajo a la izquierda en el lugar correspondiente al domingo en la línea siguiente. Se trata del día posterior, pero su representación en el calendario se encuentra alejada. La copia del calendario (del mes en que se realice) va a obligar a los niños a controlar dónde poner el 1. Es interesante hacer observar a los niños que, en distintos meses, el día 1 “cae” en distinto día de la semana. Las preguntas y tareas planteadas en las fichas pueden realizarse respecto de otros meses, así como la exploración de las formas en que se organiza la información en distintos tipos de almanaques. A lo largo del libro, en forma constante, los niños tienen que tomar información, ya sea de los textos, ya sea de las imágenes. Una imagen puede ser rica en información y ese es el caso de la que se presenta en la ficha 27, Un día de campo. Varios de los problemas y actividades que se plantean a partir de la misma han sido analizados en los ejes correspondientes. Aquí queremos detenernos en la propuesta para realizar en equipo: pensar preguntas para hacerle a otro equipo que se puedan contestar mirando la lámina. Inventar preguntas o problemas a partir de un conjunto de datos exige de los niños un trabajo más complejo que responder las preguntas que formula el docente o el libro. Implica seleccionar las personas o elementos sobre los que portará la pregunta, cuestionarse sobre cuál será la pregunta: ¿Cuántos….hay?, ¿hay más…que…?, ¿alcanzan…? La capacidad de los niños de realizar © Editorial Estrada S. A. - Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

distintos tipos de preguntas expresa que se han apropiado de tipos de problemas. La interacción para producirlas, el interés de hacer algo distinto, promueve que se piense sobre las preguntas, sobre las respuestas. La práctica de hacer preguntas se promoverá a lo largo de toda la escolaridad, porque representa otro nivel de trabajo, porque abona –deseamos– la capacidad de hacerse preguntas. Iniciamos este apartado distinguiendo situaciones en que hay que buscar información y situaciones en que la información no puede ser leída directamente del portador. Este es el caso del “Tiro al blanco”, presentado en la ficha 69. Averiguar el puntaje de Julián implica sumar los puntos obtenidos de acuerdo con los lugares donde cayeron las flechas. En la misma ficha, los alumnos tienen que interpretar información presentada en enunciados y ubicarla en una tabla. Hay muchas situaciones en el libro en las que los alumnos toman información de una lista de materiales, de una vidriera, de una pista de juego, o actúan sobre estos portadores en función de la información de los enunciados, en función de las consignas. Como hemos planteado reiteradamente, estas actividades no pueden sustituir el trabajo con los objetos sociales mismos, con los portadores de información que efectivamente se utilizan en las prácticas dentro de la escuela y fuera de ella. Pero las propuestas presentadas, el libro todo, buscan ser un apoyo para el trabajo de enseñanza, que, en este caso a partir de los diversos portadores, abre a los chicos oportunidades de aprendizaje que los objetos sociales por sí solos son incapaces de provocar.

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