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Universidad "Fermín Toro” Vice-Rectorado Académico Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Lic. Administración

Compendio de técnicas para la toma de decisiones

Alumna : Adriana Rivero CI 21.129.130 CABUDARE, enero 2013


Programación lineal La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Variables Las variables son números reales mayores o iguales a cero. En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera. Restricciones Las restricciones pueden ser de la forma:

      

Donde: A = valor conocido a ser respetado estrictamente; B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; C = valor conocido que no debe ser superado; j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones); a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos; X = Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N. En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M. Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.


Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

Función Objetivo La función objetivo puede ser:

Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

Tipo A Tipo B

inversión X Y

rendimiento 0,1x 0,08y 210000

0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4 x y x y x y x y 0 210000 130000 0 0 60000 0 0


210000 0

130000

65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)

Método simplex El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como se verá en el método Gráfico, dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número


de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar. Resolver mediante el método simplex el siguiente problema: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x≥0,y≥0 Se consideran las siguientes fases: 1. Realizar un cambio de variables y normalizar el signo de los términos independientes. Se realiza un cambio en la nomenclatura de las variables. Estableciéndose la correspondencia siguiente: 

x pasa a ser X1

y pasa a ser X2

Como los términos independientes de todas las restricciones son positivos no es necesario hacer nada. En caso contrario habría que multiplicar por "-1" en ambos lados de la inecuación (teniendo en cuenta que esta operación también afecta al tipo de restricción). 2. Normalizar las restricciones. Se convierten las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura, exceso y artificiales según la tabla siguiente: Tipo de desigualdad

Tipo de variable que aparece

- exceso + artificial

=

+ artificial


+ holgura

En este caso se introduce una variable de holgura (X3, X4 y X5) en cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2·X1 + X2 + X3 = 18 2·X1 + 3·X2 + X4 = 42 3·X1 + X2 + X5 = 24 3. Igualar la función objetivo a cero. Z - 3·X1 - X2 - 0·X3 - 0·X4 - 0·X5 = 0 4. Escribir la tabla inicial del método Simplex. La tabla inicial del método Simplex está compuesta por todos los coeficientes de las variables de decisión del problema original y las de holgura, exceso y artificiales agregadas en el paso 2 (en las columnas, siendo P0el término independiente y el resto de variables Pi coinciden con Xi), y las restricciones (en las filas). La columna Cb contiene los coeficientes de las variables que se encuentran en la base. La primera fila está formada por los coeficientes de la función objetivo, mientras que la última fila contiene el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj. La última fila se calcula como sigue: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Aunque al tratarse de la primera tabla del método Simplex y ser todos los Cb nulos se puede simplificar el cálculo, y por esta vez disponer Zj = -Cj. Tabla I . Iteración nº 1 3

2

0

0

0

Base

Cb

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P3

0

18

2

1

1

0

0

P4

0

42

2

3

0

1

0

P5

0

24

3

1

0

0

1

0

-3

-2

0

0

0

Z

5. Condición de parada. Si el objetivo es la maximización, cuando en la última fila (fila indicadora) no existe ningún valor negativo entre los costes reducidos (columnas P1 en adelante) se alcanza la condición de parada.


En tal caso se llega al final del algoritmo ya que no existe posibilidad de mejora. El valor de Z (columna P0) es la solución óptima del problema. Otro caso posible es que en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos. Esto indica que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. Ante esta situación no es necesario continuar iterando indefinidamente y también se puede dar por finalizado el algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos de forma iterativa. 6. Elección de la variable entrante y saliente de la base. 0. Se determina en primer lugar la variable que entra en la base. Para ello se escoge la columna cuyo valor en la fila Z sea el menor de entre todos los negativos. En este caso sería la variable X1 (P1) de coeficiente -3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde). 1. Una vez obtenida la variable que entra en la base, se procede a determina cual será la variable que sale de la misma. La decisión se toma en base a un sencillo cálculo: dividir cada término independiente (columna P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que ambos elementos sean estrictamente positivos (mayores que cero). Se escoge la fila cuyo resultado haya resultado mínimo. Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente. En caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición se habría cumplido la condición de parada y el problema tendría una solución no acotada (ver teoría del método Simplex). En este ejemplo: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] El término de la columna pivote que en la división anterior dio lugar al menor cociente positivo indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. En este caso resulta ser X5 (P5), de coeficiente 3. Esta fila se llama fila pivote (en color verde). Si al calcular los cocientes, dos o más resultados cumplen la condición para elegir el elemento saliente de la base (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (siempre que sea es posible). 2. La intersección de la fila el elemento pivote, en este caso el 3.

pivote y columna

pivote marca

7. Actualizar la tabla. Los nuevos coeficientes de la tabla se calculan de la siguiente manera:


En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como: Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote

En el resto de las filas cada elemento se calcula: Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote)

Con esto se normaliza el elemento pivote y su valor pasa a ser 1, mientras que el resto de elementos de la columna pivote se anulan (análogo al método de Gauss-Jordan). Se muestran a continuación los cálculos para la fila P4: Anterior fila P4

42 Anterior Elemento Fila en Columna Pivote 2 x Nueva fila pivote 8 = Nueva fila P4 26

2 2 x 1 = 0

3 2 x 1/3 = 7/3

0 2 x 0 = 0

1 2 x 0 = 1

0 2 x 1/3 = -2/3

La tabla correspondiente a esta segunda iteración es: Tabla II . Iteración nº 2 3

2

0

0

0

Base

Cb

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P3

0

2

0

1/3

1

0

-2/3

P4

0

26

0

7/3

0

1

-2/3

P1

3

8

1

1/3

0

0

1/3

24

0

-1

0

0

1

Z

8. Al comprobar la condición de parada se observa que no se cumple ya que entre los elementos de la última fila hay uno negativo, -1. Se continúa iterando nuevamente los pasos 4, 5 y 6. 

5.1. La variable que entra en la base es X2 (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.

5.2. Para calcular la variable que sale, se dividen los términos de la columna P0 entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]. Como el menor cociente positivo es 6, la variable que sale de la base es X3 (P3).

5.3. El elemento pivote es 1/3.

6. Actualizando nuevamente los valores de la tabla se obtiene:


Tabla III . Iteración nº 3 3

2

0

0

0

Base

Cb

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P2

2

6

0

1

3

0

-2

P4

0

12

0

0

-7

1

4

P1

3

6

1

0

-1

0

1

30

0

0

3

0

-1

Z

9. Una nueva comprobación de la condición de parada revela que entre los elementos de la fila indicadora vuelve a haber uno negativo, -1. Significa que aun no se ha llegado a la solución óptima y hay que seguir iterando (pasos 4, 5 y 6): 

5.1. La variable que entra en la base es X5 (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.

5.2. Se escoge la variable que sale calculando el cociente entre los términos de la columna de términos independientes y los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6]. En esta ocación es X4 (P4).

5.3. El elemento pivote es 4.

6. Después de actualizar todas las filas, se obtiene la tabla siguiente: Tabla IV . Iteración nº 4 3

2

0

0

0

Base

Cb P0

P1

P2

P3

P4

P5

P2

2

12

0

1

-1/2

1/2

0

P5

0

3

0

0

-7/4

1/4

1

P1

3

3

1

0

3/4

-1/4

0

33

0

0

5/4

1/4

0

Z 10. Fin del algoritmo.

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos cumpliéndose, por tanto la condición de parada. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los términos independientes (P0), en este ejemplo: 33. En la misma columna se puede ver el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: X1 = 3 y X2 = 12. Deshaciendo el cambio de variables se obtiene x = 3 e y = 12


Lógica Bayesiana EL MODELO BAYESIANO El llamado MODELO BAYESIANO, como bien lo señala su nombre, no es otra cosa que la aplicación de las fórmulas derivadas del TEOREMA DE BAYES a la determinación de las llamadas PROBABILIDADES REVISADAS; asociadas a un conjunto dado de HIPOTESIS (Escenarios factibles de presentarse) mutuamente excluyentes, como consecuencia de las EVIDENCIAS (hechos) observados. Formalmente hablando se trata de “ estimar” el valor de las probabilidades revisadas asociadas a cada hipótesis (Escenarios) a través de la siguiente formula:  Hi   i   * ...P H & E1 & E 2 & .....& En  ( H i ) * P En  E1    m  Hi   H i & E1   H i & E1 & E 2 & .....& En   * P  * ...P  P 0 ( H i ) * P En  E1   E2   

P i 1

 E1 & E2 & .....En    P Hi  

0

Tal expresión [ 1] aunque aparenta ser engorrosa, es muy fácil de aplicar. Ante todo, vamos a explicar el significado de cada término en [ 1] : El término:

Hi   P   E1 & E 2 & ..En  Representa la probabilidad de ocurrencia de la HIPOTESIS (ESCENARIO) “ Hi”, dado que han ocurrido los EVENTOS E1 E2...... En; es decir , la Probabilidad de que ocurra “ Hi”, en base a LAS EVIDENCIAS OBSERVADAS. El término:

P 0 H i 

Representa la probabilidad de ocurrencia de “ Hi” SIN EVIDENCIAS ( EVENTOS) observados. Esta probabilidad suele llamarse la probabilidad a priori de la HIPOTESIS“ Hi” o también la probabilidad inicial. Esta probabilidad es asignada al inicio del EJERCICIO DE PRONOSTICO. El término:

  Ej P  H & E1 & E 2 & ..Ej  1    i  Representa la probabilidad (condicionada) de ocurrencia de “Ej” dado que “ Hi” ES CIERTA y han ocurrido los EVENTOS E1, E2........, Ej-1. Estas probabilidades SON EL INSUMO BASICO DEL MODELO, por ello su interpretación tiene que estar muy clara, para evitar errores conceptuales que desvirtúen el uso del modelo. Así, es importante entender que estas probabilidades son la estimación (a juicio del grupo ) de que OCURRA el EVENTO “ Ej”, sobre la base de

1


que la HIPOTESIS “ Hi” ES CIERTA; y además de esto, se han observado los hechos o eventos E1, E2 , .......... Ejemplo. La situación que se vive en ese país, es de un interés primordial no solo para la SEGURIDAD de todo el continente, sino para el equilibrio geopolítico de la región y por ende el desarrollo económico y social de la misma. Para el inicio de este EJERCICIO HIPOTETICO, se formulan (4) HIPOTESIS o ESCENARIOS, las cuales describen en forma general, pero muy realisticamente las POSIBLES SITUACIONES que pudiesen presentarse, como consecuencia de la desbordante situación de violencia que se vive en ese país. El pronóstico asume un horizonte temporal de 2 años a partir de la fecha actual.

HIPOTESIS O ESCENARIOS FORMULADOS

H1: Se mantiene la situación tal como esta hoy en día. Esto quiere decir que continúa la guerra de baja intensidad en ese país; sin dominio definitivo de ninguna de las partes; manteniéndose, la inseguridad en todo su territorio, y de sus zonas fronterizas con otros países.

H2: Producto de la escalada del conflicto, se materializa la intervención de UNA FUERZA MULTILATERAL encabezado por (XX). El poderío militar y tecnológico de (XX) aniquila militarmente a la guerrilla y desarticula el apoyo logístico y económico de la misma. En un lapso no mayor a (2) años el país en referencia, retoma la calma y la paz política y social.

H3: Aún con la INTERVENCION DE UNA FUERZA MULTILATERAL de la OEA encabezada por (XX), la situación no es controlada. Se presenta un fenómeno de Vietnamización, que repercute en otros países del Continente. Hay una extensión de la guerra por lo menos de 2 a 3 años más o incluso por un periodo indefinido de tiempo.

H4: Las negociaciones entre el Gobierno y la guerrilla de ese país, encuentran formulas de ENTENDIMIENTO; por lo que se inicia una NUEVA ETAPA política, signada por la paz y una lucha netamente democrática.

PROCEDIMIENTO A SEGUIR:


Paso #1:

El grupo procederá a hacer la asignación “a priori” de las probabilidades subjetivas de ocurrencia de cada una de las HIPOTESIS (ESCENARIOS) planteados, esto es Po(Hi). Para ello, cada miembro del grupo deberá dar SU PROPIO JUICIO DE VALOR (opinión) acerca de la Po(Hi)´s. Utilice el siguiente formato para recolectar dichas opiniones:

Opinione s

1

2

......... .....

K

Po(Hi) PROM EDIO

1.0 0

1.00

......... .....

1.00

1.00

Hipótesis Escenarios H1 H2 H3 H4

P

0 Hi

Aquí; 1, 2,...........k es el # de personas del grupo. El valor PROMEDIO es la media aritmética de las probabilidades asignadas por los miembros del grupo a cada HIPOTESIS o ESCENARIO. El valor Po(Hi) de la última columna, es el valor final que se obtiene para cada HIPÓTESIS.

Paso #2:

En base a LAS EVIDENCIAS (cúmulo de eventos obtenidos en un lapso dado) que se tienen en el lapso en cuestión, proceda a determinar las llamadas:

  Ej  P  Hi & E1 & E 2 & ... & Ej 1 


Esto es, LA PROBABILIDAD DE QUE SÉ DE LA EVIDENCIA (EJ), O SEA QUE OCURRA, BAJO LA PREMISA DE QUE “Hi” ES CIERTA, Y ADEMAS HAN OCURRIDO LAS EVIDENCIAS ANTERIORES (E1, E2,....EJ-1).

Las opiniones o juicios de valores relativos a estas PROBABILIDADES son EL INSUMO BASICO del modelo de predicción. La CONFIABILIDAD o GRADO DE ACERTACION de los resultados obtenidos “dependerán estrictamente” de la calidad de estos insumos, en términos de conocimiento, experiencia, sentido común e intuición.

Como sé valor de

esta

trabajando

  Ej  P Hi & E 1 & E 2 & ... & Ej 1  

en

“GRUPO”,

tómese

como

el valor promedio de las opiniones del

grupo

para cada cálculo. Para ello, puede utilizar formatos de la forma:

 E1  P  CALCULO DE Hi 

Analista : 1 Probabilidad

 E1  P   H1 

2

3

.........

K(*)

PROMED IO


 E1  P   H2

 E1  P   H3

 E1  P   H4

(*) K- # de analistas que participan en el ejercicio.


CALCULO DE P E 2     Hi & E1 

Analista : 1 Probabilidad

 E2  P   H 1 & E1   E2  P   H 2 & E1 

 E2  P   H 3 & E1 

 E2  P   H 4 & E1 

2

3

.........

K

PROMED IO


E3   P  CALCULO DE Hi & E1 & E 2 

Analista : 1 Probabilidad

E3   P   H 1 & E1 & E 2  E3   P   H 2 & E1 & E 2 

E3   P   H 3 & E1 & E 2 

E3   P   H 4 & E1 & E 2 

2

3

........

K

PROMED IO


En   P   Hi & E1 & E 2 & E 3 & .... & En 1  n-ésimo CALCULO DE

Analista : 1

2

3

.........

K

PROMEDIO

Probabilidad En   P   H1 & E1 & E 2 & E 3 & .... & En 1  En   P   H 2 & E1 & E 2 & E 3 & .... & En 1 

En   P   H 3 & E1 & E 2 & E 3 & .... & En 1  En   P   H 4 & E1 & E 2 & E 3 & .... & En 1 

Para hacer los cálculos de estas probabilidades, se utilizarán como INSUMOS DE INFORMACION las evidencias que aparecen en la llamada TABLA DE EVIDENCIAS.

Paso #3:

Proceda a calcular LAS PROBABILIDADES REVISADAS; es decir, las probabilidades de ocurrencia de cada HIPOTESIS ó ESCENARIO formulado a la luz de las EVIDENCIAS OBSERVADAS tomando como insumos LOS CÁLCULOS DEL PASO #2. Para ello, utilice la siguiente tabla que le facilitará los cálculos requeridos.


TABLA PARA CALCULO DE PROBABILIDADES REVISADAS.

i

P o Hi

E3  .........  E1   E 2  P  P   P  Hi   Hi & E1   Hi & E1 & E 2 

En   P   Hi & E1... & En 1 

i

Hi   P  E 1 & E 2 ... & En  

1 2 3 4 1.00

Paso #4:

T

Graficar los RESULTADOS OBTENIDOS.

Paso #5: Saque sus conclusiones; esto es, un resumen ejecutivo con EL PRONOSTICO de su equipo en base a las evidencias de seguimiento que le fueron suministradas.

Teoría de juegos La teoría de juegos es una rama de la economía que estudia las decisiones en las que para que un individuo tenga éxito tiene que tener en cuenta las decisiones tomadas por el resto de los agentes que intervienen en la situación. La teoría de juegos como estudio matemático no se ha utilizado exclusivamente en la economía, sino en la gestión, estrategia, psicología o incluso en biología.


En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer, tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo que pensamos que harán los demás, ellos actuarán pensando según crean que van a ser nuestras actuaciones. La teoría de juegos ha sido utilizada en muchas decisiones empresariales, económicas, políticas o incluso para ganar jugando al póker. Para representar gráficamente en teoría de juegos se suelen utilizar matrices (también conocidas como forma normal) y árboles de decisión como herramientas para comprender mejor los razonamientos que llevan a un punto u otro. Además los juegos se pueden resolver usando las matemáticas, aunque suelen ser bastante sofisticadas como para entrar en profundidad. Tipos de juegos La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen: Juegos simétricos y asimétricos : Juego simétrico Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quien las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.3

E

F

E

1, 2

0, 0

F

0, 0

1, 2

Un juego asimétrico

Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores. Juegos de suma cero y de suma distinta de cero Juego de suma cero A

B

C

1 30, -30 -10, 10 20, -20 2 10, -10 20, -20 -20, 20


En los juegos de suma cero el beneficio total para todos Un juego de suma cero los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1. La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del prisionero, son juegos de suma distinta de cero, porque algunos desenlaces tienen resultados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se hubiera dado la negociación. Se puede analizar más fácilmente un juego de suma distinta de cero, y cualquier juego se puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio" adicional ("el tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los jugadores. La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a la derecha. Criterios «maximin» y «minimax» Los criterios «maximin» y «minimax» establecen que cada jugador debe minimizar su pérdida máxima: 

Criterio «maximin»: el jugador A, elige que su cobro mínimo posible sea el mayor.  Criterio «minimax»: el jugador B elige que el pago máximo a A sea el menor posible. Equilibrio de Nash. Los equilibrios de las estrategias dominantes están muy bien cuando aparecen en los juegos, pero desafortunadamente, eso no ocurre con frecuencia. Un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección del jugador A es óptima, dada elección de B, y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash puede interpretarse como un par de expectativas sobre la elección de cada persona tal que, cuando la otra revela su elección, ninguna de las dos quiere cambiar de conducta. Juegos cooperativos Un juego cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad. Dos jugadores negocian tanto quieren invertir en un contrato. La teoría de la negociación axiomática nos muestra cuánta inversión es conveniente para nosotros. Por


ejemplo, la solución de Nash para la negociación demanda que la inversión sea justa y eficiente. De cualquier forma, podríamos no estar interesados en la justicia y exigir más. De hecho, existe un juego no cooperativo creado por Ariel Rubinstein consistente en alternar ofertas, que apoya la solución de Nash considerándola la mejor, mediante el llamado equilibrio de Nash. Simultáneos y secuenciales Los juegos simultáneos son juegos en los que los jugadores mueven simultáneamente o en los que éstos desconocen los movimientos anteriores de otros jugadores. Los juegos secuenciales (o dinámicos) son juegos en los que los jugadores posteriores tienen algún conocimiento de las acciones previas. Este conocimiento no necesariamente tiene que ser perfecto; sólo debe consistir en algo de información. Por ejemplo, un jugador1 puede conocer que un jugador2 no realizó una acción determinada, pero no saber cuál de las otras acciones disponibles eligió. La diferencia entre juegos simultáneos y secuenciales se recoge en las representaciones discutidas previamente. La forma normal se usa para representar juegos simultáneos, y la extensiva para representar juegos secuenciales. Juegos de información perfecta

Un juego de información imperfecta (las líneas punteadas representan la ignorancia de la parte del jugador 2). Un subconjunto importante de los juegos secuenciales es el conjunto de los juegos de información perfecta. Un juego es de información perfecta si todos los jugadores conocen los movimientos que han efectuado previamente todos los otros jugadores; así que sólo los juegos secuenciales pueden ser juegos de información perfecta, pues en los juegos simultáneos no todos los jugadores (a menudo ninguno) conocen las acciones del resto. La mayoría de los juegos estudiados en la teoría de juegos son juegos de información imperfecta, aunque algunos juegos interesantes son de información perfecta, incluyendo el juego del ultimátum y el juego del ciempiés. También muchos juegos populares son de información perfecta, incluyendo el ajedrez y el go. La información perfecta se confunde a menudo con la información completa, que es un concepto similar. La información completa requiere que cada jugador conozca las estrategias y recompensas del resto pero no necesariamente las acciones. En los juegos de información completa cada jugador tiene la misma "información relevante al juego" que los demás jugadores. El ajedrezy el dilema del


prisionero ejemplifican juegos de información completa. Los juegos de información completa ocurren raramente en el mundo real, y los teóricos de los juegos, usualmente los ven sólo como aproximaciones al juego realmente jugado. John Conway desarrolló una notación para algunos juegos de información completa y definió varias operaciones en esos juegos, originalmente para estudiar los finales de go, aunque buena parte de este análisis se enfocó en nim. Esto devino en la teoría de juegos combinatoria. Descubrió que existe una subclase de esos juegos que pueden ser usados como números, como describió en su libro On Numbers and Games, llegando a la clase muy general de los números surreales. Juegos de longitud infinita (SuperJuegos) Por razones obvias, los juegos estudiados por los economistas y los juegos del mundo real finalizan generalmente tras un número finito de movimientos. Los juegos matemáticos puros no tienen estas restricciones y la teoría de conjuntos estudia juegos de infinitos movimientos, donde el ganador no se conoce hasta que todos los movimientos se conozcan. El interés en dicha situación no suele ser decidir cuál es la mejor manera de jugar a un juego, sino simplemente qué jugador tiene una estrategia ganadora (Se puede probar, usando el axioma de elección, que hay juegos —incluso de información perfecta, y donde las únicas recompensas son "perder" y "ga

Método de localización y transporte Es una técnica de aplicación de la programación lineal, un enfoque cuantitativo que tiene como objetivo encontrar los medios menos costosos (óptimos) para embarcar abastos desde varios orígenes (fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes) hacia varios destinos (cualquiera de los puntos que reciben bienes). En los problemas de localización, este método se puede emplear para el análisis de la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez, y en general, para cualquier reconfiguración de la red. Para utilizar el método de transportación hay que considerar los siguientes pasos: 1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno. 2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno. 3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. 

MODELO TABLA DE TRANSPORTE. Se plantea el modelo de tabla de transporte EQUILIBRADA.


REFERENCIAS: PARTICIPACIÓN 2.

** Después de haber planteado el Problema de Transporte se procede a darle solución por medio de la técnica de transporte, la cual consta de los siguientes pasos (Participación 7): 1. Hallar una solución básica factible: Ésta la podemos encontrar fácilmente a través de tres métodos, el método de la esquina noroeste, el método de costos mínimos y el método de Voguel. 2. Hallar la variable de entrada: Se encuentra a través del método de multiplicadores. 3. Construcción de un ciclo: Se comienza en la variable de entrada con +Θ , Θ y se va moviendo por las variables básicas siguiendo la regla 2 por renglón y 2 por columna. 4. Hallar la variable de salida: Es el mínimo de las - Θ. Como comúnmente en el problema de transporte lo que se requiere es minimizar costos ¿Podríamos aplicar el Problema de Transporte y su Técnica de Solución para Problemas de Maximización? la respuesta es si con la variante de cambiar algunos criterios descritos a continuación. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN

Dos plantas abastecen a tres clientes con suministros médicos. Las GANANCIAS unitarias, junto con los suministros y demandas se dan en la siguiente tabla:


1. ¿Cómo cambian los criterios de los métodos que generan la solución inicial?  Esquina Noroeste: No considera costos por tanto no cambia.  Costos Mínimos: En vez de considerar a los costos más pequeños debemos ver a los costos máximos.  Voguel: Las penalizaciones se calcularan de los dos costos más grandes (tanto por renglón como por columna) y de éstas se elegirá al valor más pequeño. 2. ¿Qué criterio se utilizará para determinar la variable de entrada?  Método de multiplicadores: Se aplica sin cambios el método de multiplicadores pero al elegir la variable de entrada se toma al Zj - Cj más negativo. 3. ¿Cómo es el criterio de la variable de salida?  Construcción de un ciclo: Con la construcción de un ciclo que inicia y termina en la variable de entrada, la variable de salida será θ = min { Xij | Xij - θ, Xij es variable básica }. 4. ¿Encontrar la solución óptima?

X11 = 10 X12 = 10 X13 = 10 X14 = 5 X24 = 50 Z = 1500

Aplicando

Aplicando Multiplicadores:

Solución: Ya hemos encontrado la solución óptima ya que al aplicar el método de multiplicadores ya no encontramos ningún Zj - Cj negativo (números en rojo tabla anterior. Por tanto:

el

Método

Método

de

Voguel:

de


Para que las ganancias sean lo mayor posible la planta 1 debe abastecer a los clientes 1, 2, y 3 con 10 suministros médicos para cada cliente.

Técnica de MonteCarlo La técnica de MonteCarlo es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en elLaboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D. En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödingerpara la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya seaestocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como

en virtud delteorema del límite central.

Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores {x0, x1 , x2, ... xn-1}, con probabilidades {p0, p1, p2, ... pn-1}. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar monedas, los posibles resultados son {cara, cruz}, y sus probabilidades son {1/2, 1/2}. En la experiencia de lanzar dados, los resultados posibles son {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sus probabilidades respectivas son {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}. Realicemos ahora la experiencia de hacer girar una ruleta y apuntar el número del sector que coincide con la flecha. En la ruleta de la izquierda de la figura los resultados posibles son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, y la probabilidad de cada resultado es 1/8. En la ruleta de la derecha de la figura los posibles resultados son {0, 1, 2, 3}, y las probabilidades respectivas {1/4, 1/2, 1/8, 1/8}, proporcionales al ángulo del sector.


En los tres primeros ejemplos, la variable aleatoria X se dice que está uniformemente distribuida, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en el último ejemplo, la variable aleatoria X, no está uniformemente distribuida. El problema crucial de la aplicación de los métodos de Montecarlo es hallar los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribución de probabilidad dada por la función p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1), proporcionada por el ordenador o por una rutina incorporada al programa. Para simular un proceso físico, o hallar la solución de un problema matemático es necesario usar gran cantidad de números aleatorios. El método mecánico de la ruleta sería muy lento, además cualquier aparato físico real genera variables aleatorias cuyas distribuciones difieren, al menos ligeramente de la distribución uniforme ideal. También, se puede hacer uso de tablas de cifras aleatorias uniformemente distribuidas, comprobadas minuciosamente en base a pruebas estadísticas especiales. Se emplean solamente cuando los cálculos correspondientes a la aplicación del método de Montecarlo se realiza a mano, lo que en estos tiempos resulta inimaginable. En la práctica, resulta más conveniente emplear los denominados números pseudoaleatorios, se trata de números que se obtienen a partir de un número denominado semilla, y la aplicación reiterada de una fórmula, obteniéndose una secuencia {x0, x1, x2, ... xn} de números que imitan los valores de una variable uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1).


Referencias bibliogrรกficas http://actividadesinfor.webcindario.com/proli.htm http://teoriadecisiones.blogspot.com/2009/11/teoria-bayesiana.html http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos#Tipos_de_juegos_y_ejemplos : http://www.monografias.com/trabajos55/metodos-localizacion-instalaciones/metodoslocalizacion-instalaciones3.shtml#ixzz2rZ5CMhOm http://crissmr02.blogspot.com/p/ejercicios-problema-de-transporte.html http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/montecarlo/aleatoria/aleatoria.ht m

Programación lineal  
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