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Seconda parte dedicata all'Insieme di Ma ndelbro t. Questo mese, guidati da Vivaldo Moscatelli e Francesco Maria • Le/ario, vediamo i listati in TurboPascal che ci permetteranno di studiare di persona l'affascinante geografia complessa introdotta il mese scorso. I sorgenti relativi, come al solito, sono a disposizione di tutti su MCLink .•

L

o scorso mese, se VI ncordate, abbiamo fatto conoscenza con quell'oggetto incredibile che è l'insieme di Mandelbrot. Una conoscenza piuttosto superficiale, però, in quanto buona parte della puntata se n'è andata per introdurre quel minimo di nozioni per cosÌ dire propedeutiche allo studio dell'insieme stesso, quali la definizione di piano complesso e le regole di calcolo fra numeri complessi. E quindi dell'insieme vero e proprio non ho avuto molto tempo di parlare, se non per spiegare cos'è e come viene fuori (introducendo la cosiddetta «Legge di Mandelbrot» ). In questa puntata, pertanto, il discorso sarà un pò più concreto che in quella precedente. Vedremo da vicino l'insieme di Mandelbrot e, anche con i suggerimenti dei nostri due lettori romani, discuteremo degli algoritmi per calcolare e visualizzare questo affascinante oggetto matematico. A corredo della puntata un listato in TurboPascal che calcola e visualizza l'insieme sullo schermo di un PC IBM (o compatibile). In effetti i programmi preparati da Vivaldo e Francesco sono più di uno, come avrò meglio modo di chiarire in seguito; tutti sono scritti in TurboPascal ma sono facilmente adattabili anche a macchine e linguaggi diversi, e possono essere liberamente prelevati tramite MCLink. MCmicrocomputer

Turbo Mandelbrol I listati in TurboPascal per studiare /'Insieme di Mandelbrot in due o tre dimensioni di Corrado Giustozzi Dov'è l'Insieme? Riepilogando, l'insieme di Mandelbrot è il luogo dei punti del piano complesso i quali soddisfano alla proprietà per cui, detto c il punto in questione, la successione prodotta iterando la relazione "z z-2 + c", con z inizialmente pari a zero, non diverge. La formula "z z-2 + c" si chiama, lo ricordo, «Legge di Mandelbrot».

n. 63 - maggio 1987

L'insieme di Mandelbrot si trova in un intorno piuttosto ristretto dell' origine del piano complesso, che è il punto 0+ Oi o, se volete, (0,0). Per la precisione, tutto quanto l'insieme (riprodotto nella foto a pago 99 del mese scorso che introduceva l'articolo) è racchiuso nel rettangolo i cui lati sono compresi fra - 2 e +0,5 lungo l'asse reale (quello orizzontale) e -1,25 e + 1,25 lungo l'asse

complesso (verticale). Il punto (0,0) si trova proprio dentro l'insieme, come è facile verificare a mente: in esso la legge di Mandelbrot converge istantaneamente al valore zero. L'insieme in sè e per sè è tutto ciò che nelle immagini pubblicate appare in nero; tutto il resto sono punti fuori dell'insieme, colorati in modo da evidenziare il comportamento in essi della Legge di Mandelbrot, come avrò meglio modo di chiarire fra un attimo. Come si calcola? Un algoritmo semplicissimo per calcolare l'insieme di Mandelbrot discende immediatamente dall'applicazione della legge stessa. Una volta scelta la zona di piano complesso che si intende studiare la si suddivide in una griglia più o meno fitta di punti e poi, per ogni punto della griglia, si va a vedere se appartiene o meno all'insieme. Per fare questo non si fa altro che usare pari pari la legge di Mandelbrot: si prendono il punto c in esame e la quantità z (inizialmente pari a zero), e si sommano c ed il quadrato di Z. (Ricordo che dire «punto» equivale a dire «numero complesso», e quindi queste operazioni fra punti sono in realtà operazioni fra numeri compIessi). Quello che viene fuori diventa il nuovo valore di z con cui ripetere il procedimento. Si va avanti cosÌ finché non si è dimostrato che 127

063 MCmicrocomputer  

Maggio 1987

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Maggio 1987

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