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e note pertanto come curve di Peano. Queste sono strane entità che confusero non poco i matematici verso fine del secolo scorso, e portarono infine a modificare profondamente il significato del termine curva inteso nell'analisi. Il motivo per il quale queste "curve" crearono tanto scompiglio furono le loro proprietà quantomeno insolite: tanto per cominciare, una curva di Peano pur essendo una funzione continua non ammette un'unica tangcnte in ogni suo punto; nel nostro caso ciò equivale a dire che in nessun punto del cammino possiamo essere in grado di specificare in che direzione si sta muovendo il nostro robottino, nonostante che esso proceda lungo il percorso con continuità e con moto uniforme. Alcune fra le curve di Peano sono di lunghezza infinita pur racchiudendo un'area finita del piano; altre permettono al nostro camminatore di passare almeno una volta per ogni punto interno ad un quadrato in un tempo finito; altre circoscrivono un'area nulla pur essendo di lunghezza infinita e senza autointersezioni. Nella nostra ottica ci troviamo certamente ben lontani dalle tranquille passeggiate iterative viste la volta scorsa! Eppure anche le "passeggiate di Peano" sono ricche di interesse, ragion per cui andremo avanti nel loro esame. Vediamo quindi in figura I i primi tre passi della costruzione di una curva di Hilbert; il procedimento ricorsivo appare chiaro, ma lo possiamo vedere esplicitato in maggiore dettaglio in figura 2. Il meccanismo è il seguente: si parte da un quadrato 4 x 4 contenente la curva iniziale (di ordine zero, come si dice),

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Figura 2

della curva di Hilbert si spostino sempre più verso i vertici superiori del quadrato: in effetti la curva limite inizia nel vertice in alto a sinistra e termina, dopo un tragitto di lunghezza infinita, in quello in alto a destra. È facile anche vedere che la curva limite avrà lunghezza infinita: infatti dalla figura 2 si vede che il segmento di lunghezza unitaria diventa una spezzata di lunghezza 3,5 mentre il segmento e la spezzata lunghi 2 unità generano spezzate di lunghezza 4, per cui globalmente la lunghezza del percorso aumenta di un po' più del doppio nel passaggio da un ordine al successivo. Tuttavia l'intera curva rimane confinata in un'area quadra-

sa di quattro segmenti, in pratica un quadrato (figura 3). Ad ogni lato del quadrato applichiamo la trasformazione di figura 3a, che muta ogni segmento in una greca. Continuiamo quindi ad applicare la stessa trasformazione a tutti i segmenti della curva cosÌ generata, e procediamo ricorsivamente. In figUia 3 vediamo i primi due ordini della curva generata, denominata "fiocco di neve quadrato" dal suo scopritore, il matematico polacco contemporaneo Benoit Mandelbrot. La curva naturalmente rimane chiusa e può essere considerata come il perimetro di una certa regione del piano. Notiamo ora una cosa interessante: nel

ta del piano avente una superficie di 16 unità quadrate. Col crescere dell'ordine aumenta la complessità della curva, misurata ad esempio dal numero di "svolte" ossia cambiamenti di direzione del nostro robottino ambulante. È chiaro come, nella curva limite, i cambiamenti di direzione avvengano con frequenza infinita: ed è questo in effetti il motivo per cui risulta impossibile specificare la direzione di percorrenza istantanea del robot, visto che cambia bruscamente infinite volte in ogni infinitesimo del percorso! Come accennato in precedenza, la curva di Hilbert non è la sola costruzione ricorsi va che generi una passeggiata di Peano. Possiamo quindi passare oltre, per vederne qualcun'altra di tipo diverso. Partiamo questa volta con una spezzata chiu-

passaggio da un ordine al successivo la lunghezza della curva raddoppia, come è facile vedere; ma l'area da essa racchiusa non varia, in quanto la spezzata a greca "aggiunge" esattamente quanto toglie, con un risultato complessivo pari a zero. Ecco quindi che la curva limite, benché di lunghezza infinita, continua a circoscrivere un' area finita, esattamente pari a quella del quadrato iniziale! Prendiamo due punti qualsiasi sulla curva limite, e chiamiamoli A e B: quanto tempo impiegherà il nostro robot per andare da A a B se viaggia ad una velocità costante unitaria? La risposta ovviamente è che il nostro povero vagabondo dovrà camminare per l'eternità, in quanto anche un piccolo sottoinsieme della curva ha lunghezza infinita!

Figura 3

Figura 3a

ossia una specie di U. Si considerano quindi i sottoinsiemi della figura formati da quadrati 2 x 2, e si trasforma ognuno di questi sottoinsiemi nel modo specificato in figura 2. Il risultato globale è la curva di Hilbert di ordine uno. Applicando ricorsi vamente lo stesso procedimento si va avanti a generare curve di ordine sempre maggiore. Ognuna di queste curve, lo ripetiamo, non è la curva di Peano; la successione cosÌ generata, tuttavia, tende alla curva di Peano, ossia si avvicina sempre di più ad essa. Notiamo come i due estremi

n. 42 - giugno 1985

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