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Ancora su zero alla zero ... Gentile Redazione, ho letto con interesse la risposta. di Corrado Giustozzi al sig ..Arca.ngeli e mi sembra di poter concludere che entrambi abbiano in parte ragione, essendo tuttavia necessa.rio restituire a Cesa.requel che è... di Cesa.re.È infatti senz'aJtro vero che l'analisi matematica sia in grado di attribuire un signiticato in senso limite all'espressione 'zero alla zero'; come pure è esatto (e rigorosamente dimostrato da.Giustozzi) che il limite per x tendente a zero da.destra di x alla x è 1. Tuttavia ciò non signitica che alla forma indeterminata 'zero alla zero " si possa attribuire il valore 1in ogni =! Una,dimostrazione più accurata mostra in effetti che alla suddetta espressione - signiticativa solo in senso simbolico - si deve attribuire un valore dipendente dalla situazione particolare. Mi spiego meglio: Corrado pone g(x) =x, f(x) =x, (funzioni inJini.tesime al tendere a zero de110ro argomento x) e calcola il limite per x che tende a zero da.destra dig(x) 'f(x), ottenendo come risultato (corretto) il valore 1. Tuttavia., si ottiene ancora 10 stesso valore scegliendo in modo diverso la coppia di funzioni f( x) e g( x)? La,risposta. è negativa! (segue dimostrazione che omettiamo per brevità - n.d.r.) Resta. così confermato il fatto che non si può affermare nulla (a priori) su una forma indeterminata! Complimenti per la rivista. e... grazie per 10 spazio riservato ai lettori più "attenti'~ Stefano Lagrasta, Roma

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QuandO ho scritto la risposta al sig. Arcangeli non pensavo certo di suscitare un simile vespaio! A giudicare dal numero di lettere giunte a commento sembra che i lettori di MCnon aspettassero altro che l'occasione di cimentarsi in una disfida matematica, come quelle che andavano di moda nel Medio Evo. Devo dire che ciò fa piacere: sapere di possedere un nutrito stuolo di lettori che ti vagliano gli scritti parola per parola è quanto meno stimolante. Al contrario, mi dispiace che parte di questo feedback sembri dettato più da amore di polemica che da altro, quasi che noi si sbagliasse (anche ammesso) per far dispetto ai lettori: mi riferisco in particolare agli interventi dei signori Franco Fedeli di Caltanissetta, il quale scrive "in nome della Verità Scientifica", e Walter Tross di Roma, che si congratula con me per "essere riuscito per primo ad applicare il teorema di Da l'HospitaJ ad una forma 'infinito su infinito', giungendo anche al risultato corretto" (grazie delle congratulazioni, ma non ho alcun merito: prima di me ci era arrivato ad esempio il Ghizzetti - cfr. Lezioni di Analisi Matematica, voI. I, ed. 1972, teorr. 9.14.1 e 9.14.II, ed anche pago 191 e segg.). Fra gli interventi più "seri" cito quelli di Mauro Serra di Cagliari e di Stefano Lagrasta di Roma, quest'ultimo pubblicato in quanto maggiormente circostanziato ma anche per essere giunto per primo in redazione, essendovi stato portato di persona dallo stesso Lagrasta. cercherò di chiarire adesso la questione, e non solo dal punto di vista matematico, sperando così di mettere definitivamente fine alla diatriba. Dunque: i vari interventi concordano tutti (a ragione) nell'affermare che una cosa è una forma indeterminata ed un'altra è il valore limite di una particolare funzione in un particolare punto; sciogliere una forma indeterminata per un caso particolare non vuoI certo dire assegnarle definitivamente il valore trovato. E fin qui tutto bene, non mi sognerei certo di affermare il contrario. Vorrei però far notare che poi, nella pratica, le cose cambiano. Ad esempiO: intuitivamente si è portati a confondere il limite col valore nel punto, cosa a rigore non lecita in quanto in generale le due quantità possono non coincidere; ma nei casi di interesse pratico si verifica sempre che coincidono, e così si danno valori a quantità che in teoria non ne hanno, a meno di infinite precauzioni, ma che poi vanno benissimo nella pratica. In questo senso si può benissimo dire che zero alla zero "fa" uno, sottintendendo di identificare la quantità imprecisata "zero alla zero" con limite per x tendente a zero da destra di x alla x, il quale, come ormai sappiamo, si dimostra esistere ed essere uguale ad uno. Ciò è perfettamente lecito anche dal punto di vista matematico: l'origine è sì punto di discontinuità per la "x'x", ma di discontinuità eliminabile, visto che il suddetto limite esiste determinato e finito; e quindi la funzione risulta perfettamente definita e continua anche per x = O,dove vale l (questo soprattutto per il sig. Serra). La.questione che solleva Stefano è invece che non è lecito dire che 0'0 fa uno adducendo il fatto che x'x in Ovale l, e questo perché esistono molte altre funzioni (in realtà infinite) che nell'intorno di un punto diventano

del tipo "zero alla zero", coma la ''x alla x", ma non hanno per limite l; e quindi non ha senso dire che zero alla zero "fa" l se non si precisa quale funzione si sta considerando. E questo è perfettamente vero. Però anche qui entrano in ballo considerazioni di ordine pratico, e non vorrei che l'aver trascinato la questione su di un piano formale abbia fatto perdere di vista la portata originale del problema, molto più terra-terra. Ricordo quindi che si discuteva se fosse più o meno giusto che l'interprete Basic 0-86 del Casio FP-6000 rispondesse il valore l all'atto di effettuare l'operazione 0'0, anziché segnalare errore. La.dimostrazione riportata a sc0po illustrativo nella rispostaa al sig. Arcangeli serviva a chiarire che la quantità "zero alla zero" non è un assurdo a priori ma può avere anche un significato analitico, da assumere come base per attribuire ad essa un valore convenzionale (quando ci si metta d'accordo sui termini della questione). Su questa base, e senza entrare in troppi dettagli, ritenevo di aver giustificato la mia affer· mazione originaria sulla correttezza del O86; Il)a forse non ho motivato chiaramente la mia opinione, e quindi lo faccio adesso per non dare adito ad ulteriori dubbi. Dunque: sono d'accordo che in generale alla forma indeterminata "zero alla zero" si possa attribuire qualunque significato, in base alle particolari funzioni scelte nel passaggio al limite; credo però che nel caso pratico dell'interprete Basic sia più corretta la risposta l che qualunque altra, ivi compresa la segnalazione d'errore; e mi spiego subito. Se adottiamo la simbologia usata da Stefano, e consideriamOillimiteperxtendenteaO+ dif(xyg(x), vediamo che questo limite vale l se le due funzioni vanno a zero con la stessa rapidità, ossia sono infinitesime dello stesso ordine (ed in particolare se sono uguali); in caso contrario il limite può tendere a qualunque altro valore reale. Orbene, usando un calcolatore ci si accorge di cosa succede molto prima di arrivare al limite: nel in questione basta fare il calcolo in un punto molto prossimo allo zero. Ricordo che per qualunque calcolatore il range dei reali non può avvicinarsi indefinitamente allo zero: tipicamente in Basic il numero positivo più piccolo rappresentabile è lE-38; dopodiché, con un salto piuttosto brusco, si passa direttamente allo zero. Benché non sia corretto dal punto di vista teorico, in pratica basta fare il calcolo (perché è questo infine che ci interessa), anziché direttamente in x=O ad esempio in x= lE-20; il valore di f(xyg(x) sarà praticamente coincidente con quello del limite (teorico) in x=O. Qujndi non c'è problema di incorrere in errori dovuti al calcolo diretto in x = O;ai fini pratici il calcolo in x = lE-20 è più che sufficiente. Rimane quindi da esaminare il in cui si calcoli O-Odirettamente, ossia non come limite ma come, ad esempio, operazione fra interi. Credo che a questo proposito il valore

=

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Stroncato dalla leucemia che lo aveva colpito poco meno di tre anni fa, il 17 gennaio è mancato Giancarlo Atzori, che fin dalla nascita della Technimedia aveva prestato il suo fondamentale contributo di lavoro. Ci stringiamo intorno alla sua famiglia nel ricordarlo con alletto.

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Febbraio 1985

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