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Cuaderno de Aprendizaje – 2012

CUADERNO DE APRENDIZAJE

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012

Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito.-

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012

Unidad 1: Nivelación de la Matemática APRENDIZAJE ESPERADO 1. Resuelven problemas de aplicación sencillos y ejercicios numéricos aplicando la operatoria y propiedades del conjunto de los números naturales, enteros, racionales y reales, con ayuda de calculadora científica. Criterio 1.1. Aplica las reglas de operatoria, divisibilidad y propiedades de orden en el cálculo de ejercicios numéricos en el conjunto de los números naturales. Ejercicio 1 Una cadena de supermercados realiza un pedido de 3.000 kg de pan a una panificadora distribuidora. Primero le envían 854 kg, al día siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos días después 156 kg más que la primera vez. ¿Cuántos kilógramos faltan por enviarle? Solución: 1° 854 Kg 2° (854 – 12) Kg 3° (854 + 156) Kg En total:

854   854  12  854  156   2706 Por lo tanto, faltan por enviarle: 3.000 – 2.706 = 294 Kg.

Ejercicio 2 Tres motocicletas giran alrededor de una pista, un corredor da la vuelta al circuito cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada 1 minuto. A las 6:30 de la tarde, los tres coinciden. ¿A qué hora vuelven a coincidir nuevamente los tres motociclistas? Solución: Para encontrar la hora que volverán a encontrarse, debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre los 12seg, 18seg y 60seg (1 minuto).

12 18 60 2 6 9 30 2 3 9 15 3 1

3 1

5 3 5 5 1

Multiplicando los números de la derecha, es decir, 2  2  3  3  5 , resulta 180 segundos = 3 minutos Respuesta: Por lo tanto los tres motociclistas vuelven a coincidir a las 6:33 de la tarde. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


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Ejercicio 3 Para realizar una inauguración, se dispone de un coctel de 48 porciones de bebestibles, 24 porciones de cóctel calientes y 12 porciones de cóctel frio. Se desea que cada invitado reciba la misma cantidad de bebida, cócteles calientes y cócteles fríos. ¿Cuál es el mayor número de personas que es posible atender en esta recepción? a) 3 b) 4 c) 6 d) 12 Solución:

1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 Los divisores de 24 son: 1,2,3,4,6,8,12,24 Los divisores de 12 son: 1,2,3,4,6, ,12 Los divisores de 48 son:

Por lo tanto el máximo común divisor es 12, por lo que, el mayor número de personas que es posible atender son 12 personas. Respuesta: La alternativa correcta es d)

Criterio 1.2. Aplica las reglas de operatoria y de orden en el cálculo de ejercicios numéricos en el conjunto de los números enteros y racionales. Ejercicio 4 Encuentre el valor numérico de, 7    3  5   8    9  7   3  14:2 , (utilice calculadora para verificar el resultado). Solución:

7    3  5   8    9  7   3  14:2

7   8  8  16  3  7 7   16   19  7

112  19  7 Respuesta: El valor numérico de la expresión es 138.

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Ejercicio 5

 2 3  1  3 7   Encuentre el valor de           5 7  8  4 2   1313 a)  1120 b)

1302 1120

c)

1313 1120

d) 

1302 1120

Solución:  2 3  1  3 7    5  7   8   4  2      

 29 1 11  35  8   4   

Resolviendo los paréntesis, se tiene:

Resolviendo la multiplicación, se tiene:

 29 11   35  32   

1313 1120 Respuesta: Alternativa correcta c)

Ejercicio 6 Ordenar de mayor a menor los números 4,6 - 4,8 4,56 -4,78 -4,82. Solución: Los números negativos son siempre menores que los números positivos. Para compararlos, se recomienda que la cantidad de decimales sean las mismas, así obtenemos que: 4,60 > 4,56 -4,78 > -4,80 > -4,82

recordar que en los números negativos el mayor está más cerca del 0.

Respuesta: El orden de los números de mayor a menor es 4,60 > 4,56 > -4,78 > -4,80 > -4,82.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.3. Transforma números decimales a fracciones, fracciones a decimales, número mixto a fracción impropia y viceversa comprobando las equivalencias con ayuda de la calculadora científica. Ejercicio 7 Transforme los siguientes números decimales a fracción: a) 0,7 b) 3,75 c) 7,2 d) 1,32 Solución: a) El número 0,7 es un número decimal finito, por lo tanto, se utilizan potencias de 10. Como el número 0,7 tiene un decimal se fraccionará por 10.

0,7 =

7 10

b) El número 3,75 , también es un número decimal finito. El número 3,75 tiene dos decimales, luego se fraccionará por 100. 3,75 =

75 375 =3 100 100

c) El número 7,2 es un número decimal infinito periódico, en este caso utilizaremos 9. Como el número 7,2 tiene un decimal periódico se fraccionara por un 9

7,2  7

2 9

d) El número 1,32 en un número decimal semi-periódico, en este caso utilizaremos potencias de 10 y 9. Como el número 1,32 tiene un decimal periódico se fraccionará por un 9, y como tiene un número decimal finito se fraccionará por un 10.

1,32 = 1

29 32  3 = 1 90 90

En el numerador se resta el decimal que no es periódico.

Ejercicio 8 Transformar las fracciones

2 7 y  a decimales. 5 90

Solución: Para realizar la transformación de una fracción a decimal, dividimos el numerador por el denominador.

2  0,4 5

2 : 5 = 0,4

. Así

- 7 : 90 = - 0,07

. Así 

7  0,07 90

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 9 Transformar la fracción impropia

13 a número mixto. 4

Solución: Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor al denominador, y un número mixto está formado por un número entero y una fracción. Para realizar esta transformación proseguimos de la siguiente manera: 13 : 4 = 3 1 El cociente 3 representa al número entero, el resto 1 será el numerador de la fracción y el denominador se mantiene. Así, 13 1 3 4 4

Ejercicio 10 Transformar el número mixto 2

3 a fracción. 4

Solución: Los 2 enteros equivalen a

8 3 8 3 11 , por lo que, 2 =   . 4 4 4 4 4

Una forma equivalente de realizar esta transformación es: 3 2  4  3 8  3 11 2 =   4 4 4 4

Criterio 1.4. Evalúa expresiones aritméticas dadas, utilizando reglas de operatoria y propiedades de orden en el conjunto de los Números Reales. Ejercicio 11 Encontrar el valor de; 

7 4 5  0,5:  6,12   1,3 . Exprese el resultado en fracción. 3 5 4

Solución:

7 4 5  0,5:  6,12   1,3 3 5 4

Los números decimales se transforman a fracciones.

7 5 4 551 5 13  :    3 9 5 90 4 10

Se realiza la división y multiplicación de fracciones,

simplificando la fracción resultante.

7 25 551 13 .     3 36 72 10 119 959 = 7  120 120

Se saca m.c.m, se amplifica cada fracción y luego se simplifica

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 12

1 7  1 El valor numérico de la expresión  3  2  : 0,5  0,2  1 es: 2 8  8 13 a) 8 17 b) 8 23 c)  8 13 d) 4 Solución:

1 7  1  3 8  2 2  : 0,5  0,2  18  

Los números mixtos y decimales se transforman a fracción

2 15  25 5  5  8  2  : 10  10  8  

Se desarrolla el paréntesis y se aplica la propiedad para dividir fracciones

 5  10 2 15  8   5  10  8  

Se desarrolla las multiplicaciones

50 30  40 80

Simplificando y sumando, tenemos,

5 3 13   8 4 8 Respuesta: La alternativa correcta es a)

Criterio 1.5. Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas de operatoria y propiedades de orden en el conjunto de los números naturales, enteros y racionales. Ejercicio 13 Un estanque de combustible tiene 800 litros de petróleo. Por la parte superior del estanque, un llave vierte 25 litros por minuto, y por otra llave en parte inferior salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de petróleo habrá en el estanque, después de 15 minutos de funcionamiento? Solución: 1° Petróleo inicial 800 litros 2° En 15 minutos se vierte 25  15 litros de petróleo = 375 litros de petróleo. 3° En 15 minutos sale 30  15 litros de petróleo = - 450 litros de petróleo.

800  375  450  725 Respuesta: Después de 15 minutos, hay en el estanque 725 litros de petróleo.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 14 Una bomba extrae agua de un pozo de 975 metros de profundidad y lo eleva a un estanque que se encuentra a 48 metros de altura ¿Qué nivel supera el agua? a) 1.023 metros b) 1.100 metros c) 1.200 metros d) 1.350 metros Solución:

48 metros

975 metros

48  975 1.023 metros. Respuesta: La alternativa correcta es a)

Ejercicio 15 De una piscina inicialmente llena de agua, se saca un día la cuarta parte y al segundo día, la tercera 3 parte del agua que quedaba, quedando 450 m de agua en la piscina. Determine la capacidad total de la piscina. Solución: Inicialmente: x (lleno)

1 1 de x, es decir  x 4 4 1  1  1 3 1 1 Segundo día: se extrae de lo que quedaba, es decir   x  x    x  x 3  4  3 4 4 3 Primer día: se extrae

Entonces, entre los dos días se extrae:

1 1 1  x +  x =  x , es decir, la mitad de la piscina queda con agua. 4 4 2 Como quedo 450 m en la piscina, la piscina tiene la capacidad de 450  2 = 900 m de agua. 3

3

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Ejercicio 16 En una fábrica de textiles, se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 horas. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: 1 1 1 del tiempo, se dedica a la fabricación de camisas, de la jornada para pantalones, del tiempo 4 2 3 1 que se ocupa para la fabricación de camisas, se utiliza para bordar los botones, del tiempo 3 1 destinado a pantalones, se usa para afinar detalles, del tiempo utilizado para bordar los botones, se 2 destina para almorzar. El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? a) b) c) d)

Media hora Una hora Una hora y media Dos horas

Solución: Las horas de trabajo son 12 horas.

1 = 4 horas. 3 1 Tiempo para los pantalones, = 3 horas. 4 1 Tiempo para bordar botones, del tiempo para las camisas, es decir, 2 horas. 2 1 Tiempo para afinar detalles, del tiempo para los pantalones, es decir, 1 hora. 3 1 Tiempo para almorzar, del tiempo para bordar botones, es decir, 1 hora. 2 Tiempo para las camisas,

Total: 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11 horas. Tiempo para actividades recreativas, 12 – 11 = 1 hora Respuesta: La alternativa correcta es b)

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Unidad 2: Álgebra en los Reales. APRENDIZAJE ESPERADO 2. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar con razones y proporciones, con ayuda de calculadora científica. Criterio 2.1. Aplica el concepto de razón en la resolución de problemas. Criterio 2.2. Interpreta razones en el marco de casos dados. Ejercicio 17 Una empresa importadora de verduras, exportó en Febrero del 2010, 5.200 cajas de tomates. Para Marzo del 2010, ante las eventualidades del alza del combustible y variaciones en el cambio peso dólar, la exportación se debe reducir a 1.300 cajas del producto. Determine la razón entre la importación del mes de Febrero del 2010, en relación a Marzo del 2010 e interprete el resultado Solución: Se establece la razón entre ambas exportaciones:

Febrero del 2010 5.200 4   Marzo del 2010 1.300 1

Respuesta: Se concluye que la importación en Febrero del 2010 es cuatro veces, a la del mes de Marzo del 2010.

Ejercicio 18 Se realiza un presupuesto de materiales para una obra, entre vigas de techumbre de 2 x 6 pulgadas, de pino corriente y pino oregón. Si la viga de pino corriente tiene un valor unitario de $7.550 y la viga de pino oregón $15.400. Determine cuantas veces es mayor el valor del pino oregón respecto al pino corriente. Solución: Se establece la razón entre ambas cantidades,

15.400  2,0397 7.550

Respuesta: El pino oregón es 2,0397 veces mayor que el pino corriente.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 19 Dos compañías internacionales del área informática, realizarán inversiones de 20 millones y 22,5 millones de dólares respectivamente, entonces la cantidad de veces que la segunda compañía supera a la primera en inversión es de: a) B 1,25 A b) B 1,15 A c) B 1,125 A d) B  0,889 A Solución: Se establece la razón entre

compañía B 22,5   1,125 veces compañía A 20

Luego, la Compañía B = 1,125 veces la Compañía A Respuesta: La alternativa correcta es la c)

Criterio 2.3. Aplica propiedades y el teorema fundamental de las proporciones en el cálculo del término desconocido de una proporción. Ejercicio 20 ¿Cuál es el valor de x en la proporción

6 18 ?  15 x

Solución: Multiplicando cruzado en

6 18 , se tiene:  15 x

6x 18  15 6x  270

/: 6

x  45

Ejercicio 21

2 x 3 ¿Cuál es el valor de x en la proporción  ? 3 4 4 Solución: Para reducir esta expresión, podemos multiplicar los extremos y los medios: 2 3  x y nos queda 8  x , luego multiplicando cruzado, 3 4 9 4 4 9x  32 /:9 32 x 9 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 22

1 3 El valor de x en la proporción 2  5 es: 4 x 7 105 a) 8 8 b) 105 4 c) 7 7 d) 4 Solución: Multiplicando cruzado, se tiene: 3 1 4 , multiplicamos las fracciones. x  2 5 7

3 4 x 2 35 Nuevamente, multiplicamos cruzado:

35  3x  4  2 105 x  8 x

/:105

8 105

Respuesta: La alternativa correcta es b)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.4. Resuelve problemas contextualizados aplicando el concepto y teorema de las proporciones. Ejercicio 23 La remuneración de un trabajador de este mes, ha disminuido con respecto al mes anterior en la razón 3: 8. Si la remuneración de este mes es de $456.430. ¿Cuál es el valor de la remuneración correspondiente al mes anterior? Solución:

ingreso mes actual 3  ingreso mes anterior 8 456.430 3  x 8 Multiplicando cruzado,

3x  456.430  8 /:3 3x  3.651.440 x  1.217.146,666... Respuesta: La remuneración del mes anterior es de $1.217.147.

Ejercicio 24 En la bodega de la empresa de zapatillas “Nika” se entrega el siguiente recuento: “La suma de las zapatillas de damas y varones es de 464 pares y la razón entre los mismos es de 3: 5” encuentre la cantidad de pares de zapatillas correspondientes a cada rubro. Solución: Sea D los pares de zapatillas de damas, y V los pares de zapatillas de varones.

D  V  464

D 3  V 5

y

Usando propiedades de las proporciones, se tiene:

D 3  D V 3  5 D 3  464 8 Multiplicando cruzado,

8D  464  3 8D  1.392 D  174

/:8

Como D  V  464 , entonces: 174  V  464 /-174 V  290 Respuesta: Hay 174 pares de zapatillas de damas y 290 pares de zapatillas de varones. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 25 Las recomendaciones de higiene señalan que, para que exista una adecuada desinfección se debe realizar con tres productos: A, B y C. ¿Cuántos mililitros se requieren de cada producto, si se necesitan preparar en total 268 ml, en la relación, A : B = 8 : 5 y B : C = 4 : 3? Solución: Si

A 8  , multiplicando cruzado, obtenemos: B 5 8B  5A 5 B A 8

Si

B 4  C 3

, multiplicando cruzado, obtenemos:

4C  3B

4C  3 

/:8

, reemplazando el valor de B 

5 A 8

5 A 8

15 /:4 A 8 15 C A 32 Reemplazamos el valor de B y C en A  B  C  268 , así obtenemos: 4C 

A  B  C  268 5 15 A A A  268 /multiplicando cada término por 32. 8 32 5 15 32A  32  A  32  A  32  268 8 32 32A  20A  15A  8576 /:67 67A  8576 A  128 5 Como B  A , entonces: 8 5 B   128 8 B  80

15 A , entonces: 32 15 C  128 32 C  60

Y como C 

Respuesta: Se requieren 128 ml del producto A, 80 ml del producto B y 60 ml del producto C.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 26 Un agente de la bolsa de comercio, puede invertir en tres tipos de acciones del tipo X más dos acciones del tipo Z por un total de $478.000. Si las acciones del tipo X respecto de las del tipo Z están en la razón 5: 2 ¿Cuánto pagó el agente por cada una de las acciones? a) b) c) d)

X =$330.000 X =$340.000 X =$300.000 X =$125.789

Z= $148.000 Z= $138.000 Z= $178.000 Z= $ 50.316

Solución: Como las acciones son del tipo X e Z, entonces,

3 X  2Z  478.000 Además, X 5  Z 2 Usando propiedades de proporciones, se tiene: X 5 / 3  Z 2 3 X 15  Z 2 3 X  2Z 15  2  2  Z 2 3 X  2Z 19  / Reemplazando la primera equivalencia se tiene, Z 2 478.000 19  / multiplicando cruzado, Z 2 19Z  478.000  2 19Z  956.000 /:19 Z  50.315,7

X 5  , reemplazando tenemos, Z 2 X 5  , multiplicando cruzado: 50.315,7 2 2 X  50.315,7  5 2 X  251.578,5 /:2 X  125.789,25

Como

Respuesta: El agente pagó $125.789 por la acción X, y $50.316 por la acción Z. La alternativa correcta es d)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 3. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar con variaciones proporcionales, con ayuda de calculadora científica. Criterio 2.6. Resuelven problemas relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos, etc., con variaciones proporcionales directas e inversas. Ejercicio 27 En la elaboración de un producto de limpieza, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad del producto a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás: Aguarrás (ml)( x)

165

330

495

660

825

990

Cera (gramos)(y)

82,5

165

247,5

330

412,5

495

a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad b. Si se requieren 750 ml de aguarrás, determine la cantidad de cera necesaria (en gramos). Solución: a. Al realizar el cuociente entre el aguarrás y la cera, se tiene,

165 330 495 660 825 990       2= k 82,5 165 247,5 330 412,5 495 Luego, la relación es directamente proporcional, donde y 

x 2

b. Como el aguarrás es x = 750 ml, tenemos que: 750 y 2

y  375 gr Respuesta: La cantidad de cera necesaria son 375 gr.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 28 El costo de 3 computadores es de $1.245.000. Si por necesidad de la empresa, se requieren comprar 35 computadores de las mismas características, ¿cuánto se debe cancelar? Solución: Analizar, que si la cantidad de computadores aumenta, el costo a pagar por los computadores también aumentará. Entonces, la proporción es directa:

cant. de comp. $ 3 1.245.000 35

multiplicando cruzado (por ser directa).

x 3x  43.575.000

/:3

x  14.525.000 Respuesta: La empresa debe cancelar $14.525.000 por los 35 computadores.

Ejercicio 29 Una llave que arroja 60 litros por minuto, llena un estanque en 12 minutos. ¿Cuánto se demora en llenar el mismo estanque, una llave que arroja 90 litros por minuto? Solución: Se puede analizar que, si la llave arroja más cantidad de agua, el estanque se llena en menos tiempo, por ende la proporción es inversa.

cant. de litros 60

tiempo 12 minutos

90

x

Por ser inversa, multiplicamos hacia al lado.

90x  60  12 90x  720

/:90

x 8 Respuesta: Se demora 8 minutos en llenar el estanque.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.7. Interpreta gráficos de variaciones proporcionales directas e inversas, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos, etc. Ejercicio 30 El siguiente gráfico entrega el comportamiento de las variables número de latas adquiridas, versus el precio en pesos a cancelar por ellas. a. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? b. Determine la constante de proporcionalidad c. Si se compran 12 latas de bebidas ¿Cuál es el precio a cancelar?

Solución: a. Como el gráfico es una recta, la relación es directamente proporcional. b. Por ser una proporción directa, la constante de proporcionalidad será el cuociente entre el dinero a 350 700 1.050 cancelar y el número de latas    ................  350 = k 1 2 3 c. Como es una proporción directa, se tiene que y  k  x . Donde x es el número de latas e y es el precio. Así las 12 latas corresponde a la variable “x” y la variable “y” es nuestra incógnita.

y  350  12 y  $4.200

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 31 Se quieren transportar 1.200.000 Kg de chatarra. En un determinado tipo de camión caben 8.000 Kg ¿Cuántos viajes tendrá que hacer para transportar la chatarra?

2 3 5 6 Nº de camiones 1 Nº de viajes 22223 22223 22223 2222322223 a. Completar la tabla y realiza un gráfico. b. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? c. Si se utilizan 10 camiones, ¿Cuántos viajes hay que realizar? Solución: a. Nº de camiones Nº de viajes

1 150

2 75

3 50

5 30

6 25

Nº de viajes

Nº de viajes

140 120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

Número de camiones

b. Se observa que cuando una variable aumenta, la otra variable disminuye. Además, el producto entre las variables es constante (k =150), por lo que la relación es inversamente proporcional.

k . Donde “x” es el número de camiones e “y” el x número de viajes. Reemplazando x = 10, k = 150, se tiene: 150 y 10 c. Como es una proporción inversa, se tiene que y 

y 15

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 32 En la figura, P y Q son dos magnitudes inversamente proporcionales. La expresión algebraica de tal relación es: a) P  60Q

P

b) P  Q  90

10

60 c) P  Q d) Q 

4

3 P 10

Q 6

15

Solución: Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene que: k P Q Además, en una proporción inversa, la constante de proporcionalidad k se determina multiplicando los valores de ambas constantes, es decir,

k  10  6  4  15  60 Luego, P 

60 Q

Respuesta: La alternativa correcta es c)

Criterio 2.8. Resuelve problemas de variación proporcional directa e inversa, relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad. Ejercicio 33 Un camión que puede transportar 25 cajas por viaje, debe hacer 6 viajes para transportar una cantidad de cajas. ¿Cuántos viajes, debe realizar un camión que puede transportar 15 cajas por viaje? Solución:

cajas por viaje 25

viajes 6

15

x

Como el camión puede transportar menos cajas por viaje, debe realizar más viajes. Es decir, mientras una variable disminuye, la otra variable aumenta, por lo que debemos multiplicar ambas variables:

15x  25  6 15x  150 /:15 x  10 Respuesta: Debe realizar 10 viajes.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 34 Tres pintores tardan 10 días en pintar una casa. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? a) 2 b) 5 c) 18 d) 20 Solución:

pintores 3

días 10

6

x

Si la cantidad de pintores aumenta, tardarán menos días en pintar la casa. La proporción es inversamente proporcional, así se tiene:

6x  10  3 6x  30 x 5

/:6

Respuesta: La alternativa correcta es b) Ejercicio 35 Un kilo de lomo liso cuesta $6.000. ¿Cuál es el precio de 200 gramos de lomo liso? Solución: Un kilo = 1.000 gramos Así se tiene:

Gramos 1.000

$ 6.000

200

x

Observar que, si compramos menos gramos de lomo liso, menos dinero pagaremos. Como esta proporción es directa, multiplicaremos cruzado. 1000x  6000  200 1.000x  1.200.000 /:1.000 x  1.200 Respuesta: El precio de 200 gramos de lomo liso es $1.200

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 4. Resuelven problemas del mundo cotidiano y de la especialidad en el cual se apliquen porcentajes, con ayuda de la calculadora. Criterio 2.10. Calcula porcentajes de cantidades dadas, utilizando proporciones y procedimientos dados. Ejercicio 36 Calcular el 5,4% de 6.500 Solución: El 5,4% equivale a la fracción

5,4 100

El 5,4% de 6.500 equivale a: 5,4 6500  5,4 35100  6500    351 100 100 100 Otra forma de resolver este mismo ejercicio, es plantear una proporción. Hay que considerar que todo porcentaje es una proporción directa.

Cantidad

%

6.500

100

x

5,4

Multiplicando cruzado, se tiene: 100x  6.500  5,4 100x  35.100 /:100 x  351 Respuesta: El 5,4% de 6.500 es 351.

Ejercicio 37 Calcular el 19% de $25.000 Solución: El 19% equivale a la fracción

19 y al decimal 0,19. 100

Luego, El 19% de $25.000 es: 0,19  $25.000 $4.750 De igual manera que en el ejercicio anterior se puede formar una proporción y se obtendrá la misma solución, $4.750

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.11. Calcula cantidad total dado un porcentaje, utilizando proporciones y procedimientos dados. Ejercicio 38 ¿De qué número 12 es el 25%? a) b) c) d)

75 70 62 48

Solución: El número que estamos buscando, equivale al 100% Formando una proporción, se tiene:

Cantidad 12 x

% 25 100

Multiplicando cruzado, se tiene: 25x  100  12 /:25 25x  1.200 x  48 Respuesta: La alternativa correcta es d)

Ejercicio 39 Calcular el número, donde el 19% es 3.420. Solución: El número que estamos buscando, equivale al 100% Formando una proporción, se tiene:

Cantidad

%

3.420

19

x

100

Multiplicando cruzado, se tiene: 19x  3.420  100 19x  342.000 /:19 x  18.000 Respuesta: El número es 18.000.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.12. Calcula porcentaje correspondiente de una cantidad sobre otra, utilizando proporciones y procedimientos dados. Ejercicio 40 ¿Qué tanto por ciento es 2.940 de 8.000? Solución: Los 8.000 equivalen al 100%, y se busca el % equivalente a 2.940. Formando una proporción, se tiene:

Cantidad 8.000

% 100

2.940

x

Multiplicando cruzado, se tiene: 8.000x  2.940  100 /:8.000 8.000x  294.000 x  36,75 Respuesta: 2.940 es el 36,75% de 8.000

Ejercicio 41 ¿Qué % es 80 de 15? Solución: Los 15 equivalen al 100%, y se busca el % equivalente a 80. Formando una proporción, se tiene:

Cantidad 15 80

% 100 x

Multiplicando cruzado, se tiene: 15x  80  100 /:15 15x  8.000

x  533,3 Respuesta: 80 es el 533, 3 % de 15.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.13. Resuelve problemas de porcentajes dados en el mundo cotidiano y de la especialidad con ayuda de calculadora científica. Ejercicio 42 En una investigación realizada en un colegio mixto, sobre la cantidad de inasistencias entre hombres y mujeres, se entregó la siguiente información: De un día investigado, asiste el 80% de los alumnos, de los cuales, sólo 210 eran mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los alumnos de este colegio no son hombres. a. ¿Cuántas mujeres hay en el colegio? b. ¿Cuál es la cantidad total de alumnos? c. ¿Cuál es la cantidad de alumnos inasistentes el día investigado? Solución: a. Como 210 mujeres corresponden al 70% del total de mujeres, y nos interesa el 100% de las mujeres, formamos la siguiente proporción.

Mujeres 210 x

% 70 100

Multiplicando cruzado, se tiene: 70x  210  100 70x  21.000 /:70 x  300 Respuesta: En el colegio hay 300 mujeres.

b. Si el 30% no son hombres, implica que el 30% son mujeres, es decir 300. Por ende el 100% del curso es:

Alumnos 300

% 30

x

100

Así, obtenemos que el 100% del curso, son 1.000 alumnos. Respuesta: En el colegio hay 1.000 alumnos.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 43 La asistencia a los cines de la ciudad ha disminuido a un 75% de los espectadores, con respecto al año anterior. Si este año asistieron 8.100.000 espectadores, ¿cuántos asistentes se contabilizaron el año anterior? Solución: Los 8.100.000 espectadores corresponden al 75% del año anterior. Necesitamos encontrar los asistentes del año anterior, es decir, el 100%.

Espectadores 8.100.000 x

% 75 100

Multiplicando cruzado, se tiene: 75x  8.100.000  100 /:75 75x  810.000.000 x  10.800.000 Respuesta: Se contabilizaron 10.800.000 espectadores el año anterior.

Ejercicio 44 Por una asesoría realizada, Manuel recibe $750.000 líquido, los cuales, son cancelados con boleta de honorarios. Si se le retiene el 10% legal, ¿Cuánto dinero se retiene? Solución: Los $750.000 corresponden al 90%, debemos calcular el dinero que se retiene que es el 10%. Formando la proporción, se tiene:

$ 750.000

% 90

x

10

Multiplicando cruzado, se tiene: 90x  750.000  10 /:90 90x  7.500.000

x  83.333,3 Respuesta: A Manuel se le retienen $83.333

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 45 Un automóvil tiene el valor de $5.355.000 con el 19% de impuesto incluido (iva). ¿Cuánto dinero correspondió al iva? Solución: Si el automóvil incluye el iva, los $5.355.000 corresponden al 119%. Lo que nos interesa encontrar es el 19%.

$ 5.355.000

% 119

x

19

Multiplicando cruzado, se tiene: 119x  5.355.000  19 /:119 119x  101.745.000 x  855.000 Respuesta: El iva del automóvil corresponde a $855.000.

Ejercicio 46 En una tienda se liquidan pantalones por cambio de temporada. Si el primer día la rebaja es de un 20%, el segundo día un 15% más de rebaja y el tercer día se descuenta $1.504 por cada pantalón, para quedar con un valor de $ 7.200. Determine el valor del pantalón antes de iniciar la liquidación. Solución: El valor del segundo día es de: $7.200 + $1.504 = $8.704 El valor del primer día es: $ %

8.704

85

x

100

Multiplicando cruzado, se tiene: /:85 85x  870.400 x  10.240 El valor inicial es: $

10.240

% 80

x

100

Multiplicando cruzado, se tiene: 80x  1.024.000 /:80 x  12.800 Respuesta: El valor del pantalón antes de iniciar la liquidación era de $12.800.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 5. Realizan operaciones con potencias y raíces con ayuda de calculadora científica. Criterio 2.15. Realiza operaciones combinadas con potencias, aplicando sus propiedades, utilizando calculadora científica. Ejercicio 47 El resultado de  2   2   2 9

4

es:

Solución: Cuando el exponente no aparece, debemos colocar un 1, así:

 2

9

  2   2

4

=  2   2   2 9

1

4

Aplicando la propiedad de la multiplicación de igual base, que debemos sumar los exponentes, tenemos que:

 2

9

  2   2

4

=  2   2   2 9

1

4

=  2 

6

= 64

Ejercicio 48 2

 1  1 Determinar el valor de  1    3   4  8

1

Solución: Cada número mixto lo transformamos a fracción. 1 5 1 25 1  y 3  4 4 8 8 Así,

5  1  1 1 4    3 8  =       4 2

1

2

 25     8 

1

a /aplicamos propiedad   b

n

b   a

n

2

4  8  =      5   25  =

/desarrollamos con ayuda de calculadora

1 6 8 128   2 5 2 5 625

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 49 3

 2 El valor de    equivale a:  5 8 a) 125 8 b) 5 8 c)  5 8 d)  125 Solución: 3

2 2 2 8  2   5    3  3   3   125   Respuesta: La alternativa correcta es d)

Criterio 2.16. Realiza operaciones combinadas con raíces, utilizando sus propiedades. Con ayuda de la calculadora científica. Ejercicio 50 Simplificar la siguiente expresión

75  12  147 .

Solución: Usando propiedades tenemos que:

75  25  3  12  4  3  147  49  3 

25  3  5 3 4  3 2 3 49  3  7 3

Así,

75  12  147 = 5 3  2 3  7 3 = 0 Lo cual, se puede comprobar con la calculadora.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 51

555.

Calcula el valor de Solución:

Usando la definición de raíz, se tiene: 1

1

5  52

5

y

5  55

Luego, 1

1

1 1  5

5  5 5 = 52  55 = 52

52

7

= 5 10 = 510 = 10 57  3,085

Lo cual, puede ser comparado con la calculadora.

Criterio 2.17. Resuelve expresiones y problemas de aplicación de potencias y raíces utilizando calculadora científica Ejercicio 52 Una población de bacterias se duplica cada 10 minutos. Si inicialmente hay 1 sola bacteria. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 3 hrs y media? Solución: Recordar que una hora es equivalente a 60 minutos, por lo que, 3,5 horas es equivalente a 210 minutos. Luego, 0 minutos 10 minutos 20 minutos 30 minutos 40 minutos

    

0

1 bacteria = 2 bacterias 1 2 bacteria = 2 bacterias 2 4 bacteria = 2 bacterias 3 8 bacteria = 2 bacterias 4 16 bacteria = 2 bacterias

. . . 21

210 minutos  2

bacterias = 2.097.152 bacterias

Respuesta: Al cabo de 3 horas y media, habrán 2.097.152 bacterias. Ejercicio 53 Andrés ha recibido 9 cajas, cada caja contiene 9 paquetes, cada paquete contiene 9 estuches y cada estuche contiene 9 lápices. ¿Cuántos lápices ha recibido Andrés? Solución: 1 estuche tiene 9 lápices, por lo que, 9 estuches contienen 9  9  92  81 lápices. 1 paquete contiene 9 estuches y los 9 estuches contienen 81 lápices, por lo que, 9 paquetes contienen 9  81  729  93 lápices. 1 caja contiene 9 paquetes y los 9 paquetes contienen 729 lápices, por lo que, 9 cajas contiene 6561 lápices, pues 9  729  6561  94 lápices. Respuesta: Andrés recibió 6561 lápices, lo cual, se podría haber calculado como 9 4 . Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 54 El estanque de agua de una máquina, tiene la forma de un cubo. Si el volumen del estanque es de 3 46.656 m . Determine la medida de cada lado del estanque. Solución: El volumen de un cubo se determina elevando a 3 el lado. En este caso, me dan el volumen, por tanto, debemos calcular la raíz cúbica del volumen. Es decir, 3

46.656 = 36 , lo que podemos comprobar con la calculadora.

Respuesta: Cada lado del estanque mide 36 metros.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 6. Realizan procedimientos matemáticos operando expresiones algebraicas, con apoyo de calculadora científica. Criterio 2.19. Realiza valorización de expresiones algebraicas con ayuda de la calculadora científica. Ejercicio 55 Sea x = 4, y = 2, z = – 1. Determine x 2  xy  z2 . Solución: Se reemplaza el valor numérico de cada letra, según la información dada, así:

x 2  xy  z2 = 42  4  2   1

2

= 16  8  1 = 23 Ejercicio 56 Si a # b  a2  a  b , determine 3 # 4 . Solución: En este caso, a = 3 y b = 4. Reemplazando, se tiene:

a # b  a2  a  b 3 # 4  32  3  4

 9  12

 3

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 57 El volumen de un paralelepípedo está dada por la fórmula V  a  b  c ; donde a es el largo, b es el ancho y c es el largo. Si el largo del paralelepípedo es 15 cm, el ancho es la tercera parte del largo y la altura es el doble del largo. Determine el volumen del paralelepípedo. Solución: El largo a es 15 cm. El ancho b es la tercera parte del largo, es decir,

15  5 cm 3

La altura c es el doble del largo, es decir, 2  15  30 cm Reemplazando la información en la fórmula dada, se tiene:

V  abc V  15  5  30 V  2.250 cm

3

Criterio 2.20. Realiza reducción de términos semejantes y eliminación de paréntesis utilizando los procedimientos matemáticos establecidos. Ejercicio 58 Sumar los siguientes polinomios:

P   2x 4  5 x 3  2x 2  3 x  5 Q  8 x 3  2x  5 R   x 4  3x 2  x  2 S  6 x 3  2x  5 Solución: Podemos ordenar los polinomios según el grado de él.

2 x 4  5 x 3  2 x 2  3 x  5  2x  5

8x 3 x

 3x  x  2

4

2

6x 3

Sumando en forma vertical, se tiene:

 2x  5

3x 4  19x 3  x 2  2x  3

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 59

 

Reduzca la expresión x  3x 2  x 3  9  8  7x  x 2  5x  7

Solución: Primero eliminamos los paréntesis. Recordar que cuando adelante del paréntesis hay un signo positivo o simplemente no tiene signo, el paréntesis se elimina. Cuando adelante del paréntesis hay un signo negativo, el signo negativo desaparece y todos los números que están dentro del paréntesis cambian de signo (si la letra no tiene número, es porque en forma implícita hay un 1). Así tenemos:

 x  3x

2

 

 x 3  9  8  7x  x 2  5x  7

x  3x  x  9  8  7x  x  5x  7 x 3  3 x 2  x 2  x  7x  5x  9  8  7 x 3  2x 2  x  10 2

3

2

 , ordenamos términos , reducimos términos semejantes

Criterio 2.21. Desarrolla productos algebraicos y los productos notables: Cuadrado de binomio y suma por su diferencia, siguiendo procedimientos establecidos. Ejercicio 60 Al efectuar el producto de  3  5x    2  3x  , se obtiene. a) 15x 2  x  6 b) 15x 2  x  6 c) 15x 2  x  6 d) 15x 2  x  6 Solución: Debemos multiplicar término a término:

 3  5x    2  3x   6 3  5x    2  3x   6  9x 3  5x    2  3x   6  9x  10x 3  5x    2  3x   6  9x  10x  15x 2 Reduciendo términos, obtenemos 15x 2  x  6 Respuesta: La alternativa correcta es c)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 61

Desarrollar 3 x 2  2y

2

, utilizando cuadrado de un binomio.

Solución: El desarrollo del cuadrado de un binomio es: - Primer término al cuadrado

3x  2

2

 9x 4

- El doble del primer término por el segundo término 2  3x 2  2y  12x 2 y - El segundo término al cuadrado

 2y  Así,

 3x

2

 2y

2

2

 4y 2

 9x 4  12x 2 y  4y 2

Ejercicio 62 Desarrollar 2m2  2n  2m2  2n , utilizando “suma por su diferencia”



Solución: El desarrollo de una suma por su diferencia es: - El primer término al cuadrado

 2m  2

2

 4m4

- Se resta el segundo término al cuadrado

  2n   4n 2 2

Así, 2m2  2n  2m2  2n  4m4  4n2



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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 63

Al desarrollar t 3  2s 2 a) b) c) d)

2

, se obtiene:

t 6  2s 2t 3  2s 4 t 6  4s 2t 3  4s 4 t 6  4s 2t 3  2s 4 t 6  4s 4

Solución: El desarrollo del cuadrado de un binomio es: - Primer término al cuadrado

t  3

2

 t6

- El doble del primer término por el segundo término 2  t 3  2s 2  4s 2t 3 - El segundo término al cuadrado

 2s  2

2

 4s 4  2y   4y 2 2

Así,

t

3

 2s 2

2

 t 6  4s 2t 3  4s 4

Respuesta: La alternativa correcta es b)

Criterio 2.22. Factoriza expresiones algebraicas siguiendo los patrones y procedimientos establecidos. Ejercicio 64 Factorizar las siguientes expresiones: a) 3ab3  6ab b) 49x 2  56xy  16y 2 c)

1 1 2  n 4 25

Solución: a) Se aplica factor común. Se puede observar que el máximo común divisor entre 3 y 6 es 3 (¿Porqué número se puede dividir el 3 y el 6? Se escoge el mayor), además, de las letras que se repiten se escoge la de menor exponente. De esta manera el factor común de 3ab3  6ab es 3ab , así se tiene: 3ab3  6ab = 3ab  

-

Ahora, debemos determinar por cuanto hay que multiplicar

3ab para obtener como resultado 3ab3 . Respuesta b 2 .

3ab3  6ab = 3ab  b2 

Respuesta: 3ab  6ab  3ab b  2 3

2

Ahora, debemos determinar por cuanto hay que multiplicar

3ab para obtener como resultado 6ab . Respuesta 2 .

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 b) La expresión 49x 2  56xy  16y 2 , es el desarrollo de un cuadrado de binomio, pues:

49x 2  56xy  16y 2   7x   2  7x  4y   4y  2

2

Luego,

49x 2  56xy  16y 2   7x  4y 

2

1 1 2  n , es una diferencia de cuadrados, por ende, el desarrollo de una suma por 4 25 su diferencia, pues: c) La expresión

2

1 1 2  1  1   n      n 4 25 2 5 

2

Luego,

1 1 2 1 1  1 1   n    n  n 4 25 2 5  2 5 

Ejercicio 65 Al Factorizar la expresión 3a3  2a2  3a  2 resulta:

a)  3a  2  a2  1

 3a  2  a c)  a2  1   a  2 d)  a  1   a  3  b)

2

Solución: Asociaremos en forma conveniente, de la siguiente manera, 3a3  2a2  3a  2  3a3  2a2   3a  2

Aplicaremos factor común de cada paréntesis 3a3  2a2  3a  2  3a3  2a2   3a  2

 a  3a  2  13a  2 2

Como existe una suma entre las 2 expresiones, nuevamente aplicaremos factor común 3a3  2a2  3a  2  3a3  2a2   3a  2

 a  3a  2  13a  2 2

2   3a  2  a  1

Respuesta: La alternativa correcta es a)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 7. Resuelven problemas sencillos relacionados con el área económica, comercial, tecnológica, etc., que impliquen operar con ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, con ayuda de calculadora científica. Criterio 2.24. Resuelve ecuaciones de primer grado, orientando su estudio al área de la economía, comercio, tecnología, etc., con ayuda de la calculadora científica. Ejercicio 66 Un vendedor comisionista recibe un sueldo base de $ 144.000 y una comisión del 5% por las ventas que realice. ¿Qué cantidad en dinero debe vender para obtener un ingreso de $200.000? Solución:

5  0,05 100 Por lo tanto la ecuación que resuelve nuestro problema es: Recordar que el 5% equivale a

144.000  0,05x  200.000 Al resolver la ecuación, debemos agrupar la incógnita en uno de los lados, y luego despejarla.

144.000  0,05x  200.000 0,05x  200.000  144.000 0,05x  56.000 x  1.120.000

/ 144.000 / : 0,05

Respuesta: Debe vender $1.120.000, para recibir $200.000 de sueldo.

Ejercicio 67 Se distribuyen 48.000 euros por concepto de utilidades, entre dos socios, de modo que la parte del 5 que recibe menos equivale a los de la parte del socio que recibe más. Determinar que cantidad 7 recibe cada socio. Solución:

5 x el socio que recibe menos dinero. 7 Lo que distribuyen son 48.000 euros, así la ecuación es: Sea x el socio que recibe más dinero y

5 x  48.000 7 5 7 x  7  x  7  48.000 7 7x  5x  336.000 12x  336.000 x  28.000 x

/ 7

/ reduciendo términos / : 12

Respuesta: Un socio recibió $28.000 y el otro $20.000

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 68 En una hostal de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, entonces el número de habitaciones del segundo piso es: a) 8 b) 16 c) 20 d) 40 Solución: Sea x : habitaciones del primer piso x : habitaciones del segundo piso 2 Como el total de habitaciones es 48, se tiene: x x   48 / 2 2 2x  x  96 / :3 3x  96 x  96 : 3 x  32 Respuesta: Las habitaciones del segundo piso son

x 32   16 en total. 2 2

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.25. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, orientando su estudio al área de la economía, comercio, tecnología, etc., con ayuda de la calculadora científica. Ejercicio 69 Una persona tiene un depósito de 2.000 dólares en dos bancos. Uno le paga un interés de un 6% anual y el otro 8%. Si ganó un total de 144 dólares de intereses durante un año. ¿Cuánto depositó en cada banco? Solución: Aplicaremos el método de sustitución, para resolver el sistema de ecuaciones:

x  y  2.000 0,06 x  0,08 y 144 Despejamos x en la primera ecuación

x  y  2.000 x  2.000  y

/ y (*)

Lo reemplazamos en la segunda ecuación.

0,06x  0,08y 144

0,06  2.000  y   0,08y 144

/ distribuyendo

120  0,06y  0,08y  144 / reduciendo términos 120  0,02y  144 / 120 0,02y  24 /: 0,02 y  1.200 Reemplazando el valor de y en (*), se tiene:

x  2.000  y x  2.000  1.200 x  800 Respuesta: Depositó 800 dólares al 6% de interés y 1.200 dólares al 8% de interés.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 70 Entre las 7:00 y 9:00 de la mañana, el metro transporta 1.000 personas. Si los escolares cancelan $190 por el pasaje y los adultos $670 por el pasaje, el ingreso total obtenido en ese horario es de $574.000 ¿Cuántos escolares y cuántos adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la mañana? Solución: Sea

x : la cantidad de escolares y : la cantidad de adultos x  y 1.000 190 x  670y  574.000

Multiplicando la primera ecuación por -190, se tiene:

190 x  190y   190.000 190 x  670y  574.000

Sumando ambas ecuaciones, se tiene:

480y  384.000

/ : 480

y  800 Como x  y  1.000 , entonces x  200 . Respuesta: 200 escolares y 800 adultos, utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la mañana. Ejercicio 71 Una pizzería tiene dos tipos de pizza: margarita, que tiene un valor de 4 euros, y cuatro quesos, la cual vale 6 euros. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 388 euros. Entonces el número de pizzas cuatro quesos vendidas es de: a) b) c) d)

28 40 46 50

Solución: Sean

x : Cantidad de pizzas margarita y : Cantidad de pizzas cuatro quesos x  y  74

Multiplicando la primera ecuación por -4, se tiene:

4 x  6y  388 4 x  4y  296 4 x  6y  388

Sumando ambas ecuaciones, se tiene:

2y  92 / : 2 y  46 Respuesta: La alternativa correcta es c)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012

Unidad 3: Las funciones reales como modelos descriptivos. APRENDIZAJE ESPERADO 8. Analizan las gráficas de funciones básicas, relacionando su estudio con la resolución de problemáticas en el ámbito de la economía, los negocios, la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, con ayuda de calculadora científica. Criterio 3.1. Determina dominio y recorrido de una función en forma gráfica o algebraica, usando el concepto de función. Ejercicio 72 Dados los siguientes gráficos, ¿Cuál (es) representan una función?

Solución: Un gráfico representa una función, si para elemento del dominio (x), existe una única imagen (y). Gráficamente se traza una recta paralela al eje y, si esta recta toca un solo punto de la gráfica, entonces es función, y si esta recta toca dos o más puntos de la gráfica entonces no es función. El gráfico I, no representa una función, ya que dos elementos diferentes del dominio, tienen la misma imagen, ejemplo el 1 y el –1 tendrían la misma imagen. Los gráficos II y III son funciones, ya que, todos los elementos del dominio (x), tienen sólo una imagen. Ejercicio 73 Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) f  x   x  1

1 x4 c) f  x   x 2  3 b) f  x  

Solución: El dominio de una función, son los valores que puede “tomar” la variable x. a) La raíz cuadrada de un número negativo no está definida, es necesario que x – 1 sea mayor o igual a cero. Para que eso se cumpla los valores de x pueden ser 1 – 2 – 3 – etc. Inclusive los números

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 decimales que están entre los números enteros. Así, Dom f(x) son todos los valores desde el 1 en adelante, es decir, desde el 1 hasta el infinito. b) En esta función, la única restricción es que el denominador de la fracción no puede ser cero. Es por eso que x  4 debe ser distinta de cero, es decir, x debe ser distinto de 4 ( x  4 ). Así, Dom f(x) son todos los números reales excepto el 4. c) En esta función, no existe ningún tipo de restricción. Así, Dom f(x) son todos los números reales. Ejercicio 74 Determinar el dominio y recorrido de la función f ( x )  x 2 , cuyo gráfico es,

Solución: Se observa que la gráfica (parábola) se está abriendo siempre, por ende, el Dominio serán todos los números reales. Si observamos la función, no existe ningún tipo de restricción, por lo que también podemos concluir que el dominio son todos los números reales. Además, gráficamente se observa que los valores de “y” parten desde el 0 hacia arriba, es decir, desde el cero hasta el infinito. Si analizamos la función, los valores de “y” siempre serán positivos o cero, pues todo número real al cuadrado siempre será positivo o cero, por lo que, el recorrido (valores de “y”) son desde el 0 hasta el infinito.

Ejercicio 75 El dominio de la función f ( x )  x 2  1 es: a) Desde el 1 hasta el infinito b) Desde el – 1 hasta el infinito c) Todos los números reales d) Todos los números reales positivos Solución: 2

Como x es siempre positivo y la raíz siempre es positivo, no existe ningún tipo de restricción para la función dada, por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales. Respuesta: La alternativa correcta es c)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 3.2. Calcula imagen y preimagen en funciones reales sencillas, a partir de su forma algebraica y gráfica. Ejercicio 76 Dada la función f ( x )  2x 2  x  1. Calcular: a) f 1 b) f ( 2)

c) f (a) Solución: Lo primero que se hace, es reemplazar el valor de la x en la función y así se determina lo solicitado. a) f ( x )  2x 2  x  1

f (1)  2  12  1  1

f (1)  2 b) f ( x )  2x 2  x  1

f (2)  2   2   2  1 2

f (2)  2  4  2  1 f (2) 11 c) f ( x )  2x 2  x  1

f (a)  2a2  a  1

Ejercicio 77 Dada la función y 

x 5 , calcular: x 2

a) f 1(3) b) f 1( 2) c) f 1(a) Solución: Primero se despeja la variable x.

x 5 x 2 y  x  2  x  5 y

/   x  2 / distribuyendo

xy  2y  x  5 xy  x  2y  5

/ agrupando términos

x  y  1  2y  5

/ :  y  1

x

/ factorizando

2y  5 y 1

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Como debemos encontrar f 1( x ) , cambiaremos “x” por f 1( x ) e “y” por “x”. Así, tenemos:

f 1  x  

2x  5 x 1

Ahora, calcularemos lo pedido:

2x  5 x 1 2 3  5 f 1(3)  3 1 11 1 f (3)  2

a) f 1  x  

b) f 1  x  

f 1( 2) 

reemplazamos x  3

2x  5 x 1 2   2   5

reemplazamos x  2

2  1 1 f 1( 2)   3

2x  5 x 1 2 a5 f 1(a)  a 1

c) f 1  x  

reemplazamos x  a

Ejercicio 78 Si f  x  

x 1 . Calcular f (5) .  x  2   x  3 

1 6 1 b) 7 2 c) 7 1 d) 3 a)

Solución: Si f  x  

f (5) 

x 1  x  2   x  3  5 1

 5  2 5  3 

reemplazamos x  5

2 1  14 7

Respuesta: La alternativa correcta es b)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 79 Dado el siguiente gráfico, determine el valor de e  20  2e  40   3e 80   e 100  .

Solución: En el gráfico, la función es e  t  . Para calcular e  20  , debemos observar que cuando t  20 , el valor de e es 20, luego e  20   20 . De esta manera: e  40   30 , luego 2e  40   2  30  60

e  80   30 , luego 3e  80   3  30  90 e 100   0 , luego e 100   0 Luego, reemplazando en: e  20  2e  40   3e 80   e 100  20 

 90  0  10 Respuesta: El valor de e  20  2e  40   3e  80   e 100   10

60

Criterio 3.3. Identifica gráficamente funciones reales sencillas en el plano cartesiano. Ejercicio 80 ¿Cuál de los siguientes gráficos, corresponde a la función f  x   3,4 ? I.

II.

III.

Solución: La función f  x   3,4 , nos indica que f  x  , recta vertical en el plano cartesiano, siempre tendrá el mismo valor para cualquier valor de x que nos demos, que es 3,4. Por lo que, la recta que satisface eso es la recta del gráfico I.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 81 Determine a qué función corresponde el siguiente gráfico:

a) f  x   5 b) f  x   x c) f  x    x d) f  x   x Solución: La alternativa a) no puede ser, pues f  x   5 representa una función constante en la cual, los valores de “y” es siempre 5. La alternativa b) representa una recta y los valores de “y” pueden ser positivos o negativos, sin embargo el gráfico muestra que “y” nunca puede ser negativo, entonces la alternativa b) tampoco puede ser. De igual manera que en la alternativa b) la función de la alternativa c) no corresponde al gráfico dado. La alternativa d) es la correcta, pues el valor absoluto indica que la función siempre es positiva o cero, como se observa en el gráfico. Además, se puedo corroborar haciendo el gráfico respectivo con una tabla de valores. Respuesta: La alternativa correcta es la d)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 3.4. Representan gráficamente funciones reales sencillas en el plano cartesiano. Ejercicio 82 Graficar la función

y   2x  5 .

Solución: Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. Si x  1  y   2  1  5  2  5  3 Si x  2  y   2  2  5  4  5  1 Si x  3  y   2  3  5  6  5  1 Si x  4  y   2  4  5  8  5  3 Si x  5  y   2  5  5  10  5  5 Luego, representamos los pares ordenados 1,3  ,  2,1 ,  3, 1 ,  4, 3  y  5, 5  en el plano cartesiano.

Ejercicio 83 Graficar la función y  x 2  1 . Solución: Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. Si x  3

 y   3   1  9  1  10

Si x  2

 y   2  1  4  1  5

Si x  1

 y   1  1  1  1  2

Si x  0.5

 y   0,5   1  0.25  1  1.25

Si x  0

 y  02  1  0  1  1

Si x  0.5

 y   0,5   1  0.25  1  1.25

Si x  1

 y 12  1  1  1  2

Si x  2

 y  22  1  4  1  5

Si x  3

 y  32  1  9  1  10

2

2

2

2

2

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Luego, representamos los pares ordenados

1,2 ,  2,5  y  3,10 

 3,10  ,  2,5  ,  1,2 ,  0.5 , 1.25 ,  0,1 , 0.5 , 1.25 ,

en el plano cartesiano.

Si consideramos más valores para “x”, podemos obtener una mejor gráfica, como:

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 9. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo, con ayuda de calculadora científica. Criterio 3.6. Identifica la función lineal a través de su gráfica, intersección con los ejes e intercepto (coeficiente de posición). Ejercicio 84 Dadas las siguientes funciones: I.

y  2x  3

II. y  x 2  3x  2 III. y  x 3 IV. y   3 x  5 Identifique cual(es) representa(n) una función lineal. Solución: Las funciones I y IV representan una función lineal, ya que ambas tienen la forma En cambio la función II es cuadrática y la función III es cúbica (por sus exponentes)

y  mx  n .

Ejercicio 85 Identifique cual de las siguientes gráficas, representa la función lineal y   3 x  5 I.

II.

III.

Solución: La gráfica I representa la función lineal y   3 x  5 . La gráfica II no representa la función lineal y   3 x  5 , pues en el eje “y” intercepta al 2 y no al 5, como debería ser. La gráfica III no representa la función lineal y   3 x  5 , pues la inclinación (pendiente) es positiva y no negativa, como debería ser.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 86 Dada la función lineal f ( x )   5 x 

1 podemos afirmar que: 2

a) Tiene pendiente positiva. b) Corta al eje de las abscisas en  5 c) Corta al eje de las ordenadas en d) Corta al eje de las abscisas en

1 2

1 2

Solución: La función f ( x )   5 x 

1 , es lineal con pendiente negativa -5, recordar que la pendiente es m en 2

f ( x )  mx  n .

1 , pues cuando f ( x )  0 se tiene: 10 1 1 5 x   0  10 x  1  0  10 x  1  x  2 10 1 Corta al eje de las ordenadas en , pues es el intercepto. 2 Corta al eje de las abscisas en

Respuesta: La alternativa correcta es c)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 3.7. Determina la pendiente de una recta, a partir de su forma algebraica y gráfica, con ayuda de calculadora. Ejercicio 87 Determinar la pendiente de la función f ( x )  

5 1 x . 6 2

Solución: La forma particular de una función lineal es f ( x )  mx  n , donde m es la pendiente y n es el intercepto. De esta manera se tiene que m  

Respuesta: La pendiente de la función es 

5 1 y n . 6 2

5 . 6

Ejercicio 88 Determine la pendiente de la recta, con ecuación y  3x  2  0 . Solución: Debemos tener claro que y  f ( x ) , luego y  mx  n . Por lo tanto, en la ecuación dada y  3x  2  0 , debemos despejar la variable “y”.

y  3x  2  0

/+ 3x – 2

y  3x  2 De esta manera se obtiene que m  3 Respuesta: La pendiente de la recta y  3x  2  0 , es 3 .

Ejercicio 89 Una recta, pasa por los puntos  2, 3  y  8,7  . Determine la pendiente de dicha recta. Solución: Dado 2 puntos  x1, y1  y  x2 , y 2  , la pendiente (m) la calculamos de la siguiente manera:

m

y 2  y1 x2  x1

ó

m

y1  y 2 x1  x2

Sea  x1, y1  =  2, 3  y  x2 , y 2  =  8,7  Así,

m

m

m

y 2  y1 x2  x1 7   3  8  2

10 10

m  1 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 90 Dada la siguiente gráfica, determine la pendiente de la recta.

Solución: Al observar la gráfica, se tiene que la recta intercepta los puntos  4,0  y  0,4  , luego aplicando la

 x1, y1   x2, y 2 

fórmula se tiene:

m

y 2  y1 x2  x1

m

40 0   4 

4 4 m 1

m

Además, analizando la fórmula podemos decir que la pendiente es el cociente entre la distancia que hay entre el punto de intersección de “y” hasta el origen (cero), y la distancia que hay entre el punto de 4 intersección de “x” hasta el origen (cero). Es decir, . La pendiente, será positiva si es creciente y 4 será negativa si es decreciente. En este caso la pendiente es creciente, luego, la pendiente es positiva. Así, 4 m  1 4

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 3.8. Determina la ecuación de la recta, expresándola en sus formas principal y general, con ayuda de la calculadora científica. Ejercicio 91 Determinar la ecuación de la recta en sus formas principal y general, que pasa por los puntos P1  (3,  2) y P2 (5, 4) Solución: Para determinar la ecuación de la recta dado dos puntos, usaremos la fórmula

y  y1  Así, siendo (3,  2)   x1, y1 

y 2  y1 x  x1  x2  x1

y ( 5, 4)   x2, y 2  se tiene:

y  y1  y   2  

y 2  y1 x  x1  x2  x1

4   2  53

 x  3

6  x  3 2 y  2  3  x  3 y 2 

y  2  3x  9 y  3x  11

/ multiplicando / 2

Luego, la ecuación de la recta principal es y  3x  11 Para encontrar la ecuación de la recta general, debemos igualar a cero y darle la forma: ax  by  c  0 .

y  3x  11 /  1 3x  y  11  0 3x  y  11  0

/ 3x  11

Luego, la ecuación de la recta general es 3x  y  11  0

Ejercicio 92 Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P  (1,  3) , siendo su pendiente 2, en sus formas general. Solución: Usando la fórmula y  y1  m  x  x1  y siendo (1,  3)   x1, y1  , se tiene:

y   3   2  x   1 

y  3  2  x  1 y  3  2x  2 2x  y  1  0

/ multiplicando / 2x  2 /  1

2x  y  1  0 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 93 La ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,  7) y (2, 3) , está dada por: a) y  5x  13 b) y   5x  13 c) y   5x  13 d) y  5x  13 Solución: Usando la fórmula

y  y1 

y 2  y1 x  x1  y siendo (4, 7)   x1, y1  y (2, 3)   x2, y2  , se tiene: x2  x1

y   7  

3   7 

 x  4 24 10 y 7   x  4 2 y  7   5  x  4

/ multiplicando

y  7   5x  20

/ 7

y  5x  13 Respuesta: La alternativa correcta es c)

Criterio 3.9. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo. Ejercicio 94 Encuentre la expresión lineal, que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 estufas ingresaron 4.500 euros, y por la venta de 15 estufas del mismo tipo el ingreso fue de 2.000 euros. Solución: Con la información dada, podemos decir que  40,4.500   x1, y1  y (15, 2.000)   x2, y 2  . Reemplazando en la fórmula, se tiene:

y  y1 

y 2  y1 x  x1  x2  x1

2.000  4.500  x  40  15  40 2.500 y  4.500   x  40  25 y  4.500  100  x  40  / multiplicando y  4.500 

y  4.500  100 x  4.000

/ + 4.500

y 100 x  500 Respuesta: La expresión lineal para el ingreso es y 100 x  500 Donde x: cantidad de estufas, y: dinero que ingresa en euros.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 95 Dadas las ecuaciones de oferta O : p  2x  1 y demanda D : p  28  x de un artículo. Determinar el precio p (pesos) y la cantidad x (unidades) de equilibrio del mercado Solución: Como p  2x  1 y p  28  x , podemos formar el sistema de ecuaciones

p  2x  1 p  28  x

, el cual,

resolveremos con el método de igualación.

2x  1  28  x / + x / 1 3x  1  28 /:3 3x  27 x 9 Como p  2x  1, reemplazamos el valor de x:

p  29 1 p  19 Respuesta: La cantidad en equilibrio es de 9 unidades y el precio de $19

Ejercicio 96 Un supermercado recibe 25 dólares por cada unidad de producción vendida de una marca de licores. Sus costos variables por unidad son de 15 dólares y un costo fijo de 1.200 dólares. ¿Cuál es el nivel de utilidad, si se producen y venden 200 unidades? a) 600 dólares b) 800 dólares c) 900 dólares d) 950 dólares Solución: La función de utilidad es la diferencia entre la función ingreso y la función costo, es decir: U x  I x C x Siendo la función ingreso I  x   25x y la función costo C  x   15x  1.200 . Luego, la función utilidad es: U  x   25x  15x  1.200 

U  x   25x  15x  1.200 U  x   10x  1.200 Nos interesa determinar la función utilidad cuando se producen y se venden 200 unidades, entonces, reemplazando x  200 , se tiene: U  200   10  200  1.200

U  200   2.000  1.200 U  200   800 Respuesta: La alternativa correcta es la b) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 10. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando como modelo la función exponencial. Criterio 3.11. Identifica la función exponencial de la forma y  a  b x , y la caracterizan a través de sus parámetros y gráfica, cuando 0  b  1 y cuando b  1 . Ejercicio 97 Dada la función y  2 , identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus parámetros, ceros y gráfica. x

Solución: Es una función exponencial, ya que es de la forma y  a  b . El dominio de una función exponencial x

son todos los números reales, es decir   ,   , el recorrido en este caso (por ser a positivo, a  0 ) son todos los números reales positivos, es decir  0,  . La función exponencial es una función continua, y como b  1 la función es creciente. Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. 4

4

1  1     0,0625 16 2

Si x  4

 y 2

Si x  2

1  1  y  22      0,25 2 4  

2

1

   4;0.0625     2;0.25 

  1;0.5 

Si x  0

 1 1  y  21      0,5 2 2 0  y 2  1

Si x  1

 y 2  2

 1;2 

Si x  1,5

 y  2  2,828

 1.5;2.828 

Si x  1

1

1,5

  0;1

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 98 x

 1 Dada la función y    , caracterícela a través de sus parámetros y gráfica. 2 Solución: Es una función exponencial, ya que es de la forma y  a  b . El dominio de una función exponencial x

son todos los números reales, es decir   ,   , el recorrido en este caso (por ser a positivo, a  0 ) son todos los números reales positivos, es decir  0,  . La función exponencial es una función continua, y como b  1 la función es decreciente. Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. 2

Si x  2

 1  y   2

 22  4

  2;4 

Si x  1

 1  y     21  2 2

   1;2 

Si x  0

 1  y    1 2

Si x  1

 1 1  y      0,5 2 2

Si x  2

1  1  y      0,25 4 2

Si x  4

1  1  y     0,0625 16 2

1

0

1

2

4

  0;1  1;0.5    2;0.25    4;0.0625 

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 99 Dada la función exponencial y  e x , entonces: a) La gráfica de la función es creciente b) El dominio de la función es 0,   c) La gráfica de la función es decreciente d) El recorrido de la función es  ,   Solución: Como se dijo anteriormente el dominio de una función exponencial son todos los números reales, por lo que, la alternativa b) no es correcta. Como y  a  b es la forma general de una función exponencial, y a  0 , entonces el recorrido de la función son los reales positivos, por lo que, la alternativa d) no es correcta. x

x

1  1 En y  e  x    , como b   1 la función es decreciente, por lo que, la alternativa a) no es e e   correcta sino la alternativa c) Respuesta: La alternativa correcta es c)

Criterio 3.12. Resuelve ecuaciones exponenciales usando propiedades, con ayuda de calculadora científica. Ejercicio 100 ¿El valor de x en la ecuación 8x  16  4x  2 es? Solución: En la ecuación dada, debemos igualar todas las bases, en este caso como 8, 16, 4 y 2 son potencias de 2, la base será 2. Luego, aplicamos propiedades de potencia. 8x  16  4x  2

2  3

x

 

 24  22

x

 21

23 x  24  22 x  21 23 x 4  22 x 1 3 x  4  2x  1 x  4 1 x  3

/como las bases son iguales, las eliminamos. / 2x / 4

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 101 ¿El valor de x en la ecuación a

x 1 3

a

2 x 5 4

3x

 a 5  a0 es?

Solución: Como las bases son iguales, aplicaremos propiedad de la multiplicación de potencias y luego resolveremos la ecuación. a

x 1 3

a

2 x 5 4

3x

 a 5  a0

x 1 2 x 5 3 x  

a 3 4 5  a0 /como las bases son iguales, las eliminamos. x  1 2x  5 3 x    0 / multiplicamos por el m.c.m. entre 3, 4 y 5, que es 60. 3 4 5  x  1  60   2x  5   60  3 x  60  0 60  3 4 5 / multiplicamos 20   x  1  15   2x  5   12  3 x  0

20x  20  30x  75  36x  0 86x  95  0 86x  95 95 x 86

/ reducimos términos / 95 / : 86

Criterio 3.13. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial, con ayuda de la calculadora. Ejercicio 102 La demanda semanal de una nueva línea de refrigeradores, t meses después de introducido al mercado está dada por la siguiente expresión D(t )  2.000  1.500 e0,05t , t  0 . ¿Cuál es la demanda del producto después de dos años? Solución: Como t esta expresado en meses, 2 años  24 meses. Reemplazando t  24 , tenemos: D(24)  2.000  1.500 e0,0524 D(24)  2.000  1.500 e1,2 D(24) 1.548,2

Respuesta: La demanda por los refrigeradores, después de 2 años es de 1.549 refrigeradores.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 103 Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por v (t )  P  1,1 . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2004. ¿Cuál será su precio en el año 2013? t

Solución: Reemplazando t  9 y P  40.000.000 , se tiene:

v (9)  40.000.000  1,19 v (9)  94.317.907,64 Respuesta: El precio de la casa en el año 2013 es $94.317.908

Ejercicio 104 El ingreso I (en dólares) de un cierto producto viene dado por la expresión I ( x ) 150 x  e venden 50 unidades del producto, entonces, el ingreso es de:

x 25

. Si se

a) 55.417,92 dólares b) 1.015,01 dólares c) 2.030,35 dólares d) 1.050,32 dólares Solución: Reemplazando x  50 , se tiene:

I (50) 150  50  e

50 25

I (50)  7.500  e2

I (50) 1.015,01 Respuesta: La alternativa correcta es b)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 11. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función logarítmica como modelo. Criterio 3.15. Identifica la función logarítmica de la forma y  a  b  log x , y la caracterizan a través de sus parámetros y gráfica. Ejercicio 105 Dada la función y  log x , identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus parámetros y gráfica Solución: Es una función logarítmica, ya que es de la forma y  a  b  log x . El dominio de la función y  log x por ser a  0 y b  0 son todos los números reales positivos, es decir  0,  , el recorrido de la

función logarítmica siempre serán todos los números reales, es decir   ,   . La función logarítmica es una función continua, y como b  0 la función es creciente. Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. Si x  4

 y  log(4)  0,602

  4;0.602

Si x  2

 y  log(2)  0,301

  2;0.301

Si x  1

 y  log(1)  0

 1 ;0 

Si x  0,5

 y  log(0,5)  0,301

  0.5; 0.301

Si x  0,25

 y  log(0,25)  0,602

  0.25; 0.602

Si x  0,1

 y  log(0,1)  1

  0.1 ; 1

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 106 Dado el gráfico logarítmico, caracterícelo a través de sus parámetros, ceros y gráficas Solución:

La gráfica corresponde a una función creciente, por otro lado la curva se acerca indefinidamente al eje “y”, en la medida que “x” se acerca a cero, es una curva continua que pasa por el punto 1, 0  Ejercicio 107 Dados los siguientes gráficos. ¿Cuál de ellos representa una función logarítmica?

I

II

III

IV

a) Gráfico I b) Gráfico II c) Gráfico III d) Gráfico IV Solución: El gráfico I corresponde a función exponencial creciente, el gráfico II es una función racional, el gráfico III es una función exponencial decreciente y el gráfico IV corresponde a una función logarítmica. Respuesta: La alternativa correcta es d)

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 3.16. Resuelve ecuaciones logarítmicas usando propiedades dadas y con ayuda de calculadora científica. Ejercicio 108 Determine el valor de “x” en la ecuación log log x 3  1 .

Solución: Recordemos que la definición de logaritmo es logb a  x  b x  a , aplicándola a nuestra ecuación, se tiene: log log x 3  1

log10 log10

 x   1 3

101  log10 x 3  log10 x 3 

1 10

, aplicando nuevamente la definición, se tiene:

1

1010  x 3 3

/3

1

1010  x 1

1  101  3 30 x  10  10  x    

Ejercicio 109 Encuentre el valor de “x” en la ecuación log  x  a   log  x  a   log x  log  x  a  . Solución:

a Primero aplicaremos la propiedad de la resta de logaritmos log a  log b  log   . b log  x  a   log  x  a   log x  log  x  a   x a  x  log    log  x  a  x  a     x a x  x a x a  x  a  x  a   x  x  a  x 2  ax  ax  a2  x 2  ax ax  ax  a2  ax a2  3ax a2 x 3a a x 3

, eliminamos los logaritmos. , multiplicamos cruzado

, agrupamos términos / : 3a con a  0

a  x , debe satisfacer la ecuación log  x  a   log  x  a   log x  log  x  a  3 la cual, no la satisface pues, reemplazando el valor de “x”, se tiene: Debemos considerar que

a  a  a a  log   a   log   a   log    log   a  3 3 3 3        

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012  2a   4a  a  2a  log     log    log  3   log   3  3 3         El logaritmo de un número negativo no existe, así:  2a  - Si “a” es positivo log    no existe.  3  a - Si “a” es negativo log   no existe. 3 Respuesta: La ecuación log  x  a   log  x  a   log x  log  x  a  , no tiene solución.

Criterio 3.17. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo logarítmico, con ayuda de la calculadora. Ejercicio 110 Un equipo de fútbol considera que la cantidad de dólares “ x ” que gana semanalmente en la venta de  400  sus productos (camisetas, gorros, etc), está dada por la expresión y  200 ln   . Calcular la  500  x  cantidad de unidades que se deben vender, para que la ganancia sea de 139 dólares.

Solución: Reemplazamos el valor de x  139 en la función dada,  400  y  200 ln    500  x 

 400  y  200 ln    500  139   400  y  200 ln    361  y  20,517 Respuesta: Por lo tanto, la cantidad que se debe vender es de 21 unidades.

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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 111 El nivel de agua de un pueblo se reduce de acuerdo a la relación N  1.000e0,016t , donde t se mide en años y N en millones de litros. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad? Solución: Para determinar la cantidad actual de agua, reemplazamos t  0 y obtenemos que N  500 . Ahora, determinaremos la cantidad de año: 500  1.000e0,016t 0,5  e0,016t

ln(0,5)  0,016t

/:500 / ln / : 0,016

ln(0,5) t 0,016 43,32  t Respuesta: Deben transcurrir 43,32 años para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad.

Ejercicio 112 Las ventas de un producto (en miles de pesos), vienen dadas por la siguiente expresión V  m  (ln x )  b . Si sabemos que m 19,4 b 18 , y “ x ” representa la producción del producto. Determine las ventas, si se producen 200 unidades. Solución: Reemplazamos los datos y obtenemos:

V  m  (ln x )  b V 19,4  (ln200)  18 V 120,787 Respuesta: Las ventas serán de $120.787.

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Introducción a la matemática mat101  

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