Page 1

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-1

6

Wave Mechanics in One Dimension

เนื้อหา 6.1 Wave Function และ Position Eigenstate 6.2 Generator of Translation 6.3 Momentum Operator 6.4 Free Particles และ Gaussian Wave Packets 6.5 Heisenberg Uncertainty Principle 6.6 Schrödinger Equation 6.7 Square Well Potential 6.8 Scattering in One Dimension 6.9 Ehrenfest Theorem 6.10 บทสรุป 6.11 ปญหาทายบท

6.1 Wave Function และ Position Eigenstate ระบบตางๆที่เราไดกลาวถึงในบทที่ผานมา ลวนแตเปนระบบที่มี basis states เปนสถานะที่ไม ตอเนื่อง ยกตัวอยางเชน spin ของอิเล็กตรอนที่มีคาไดเพียง + หรือ − 2

2

และจากกลไกของ

quantum mechanics อาทิ matrix mechanics, expectation value, หรือ time evolution operator ทําให เราสามารถวิเคราะหระบบที่ไมตอเนื่องเหลานี้ไดในหลายแงมุมทั้งในแงของพลังงาน หรือ แมกระทั่ง การเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของระบบที่เรากําลังพิจารณา อยางไรก็ตาม มีระบบในทางฟสิกสอยูจํานวนมากที่มี basis state เปนสถานะที่ตอเนือ่ ง ยกตัวอยางเชนอิเล็กตรอนที่ถูกขังอยูในบอพลังงานศักยดังทีไ่ ดเกริ่นมาแลวใน Section 1.5 ให

Dr. Teepanis Chachiyo

Ψ

แทนสถานะของอิเล็กตรอนในระบบ ________________ สมการ (6.1)

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-2

และในเมื่ออิเล็กตรอนดังกลาวสามารถที่จะอยู ณ ตําแหนงใดๆก็ไดภายในกลอง เราจึงให basis state เปนเซตของตําแหนงตางๆ ซึ่งเขียนไดโดยสัญลักษณ ให

x

แทนสถานะของอิเล็กตรอนที่อยู ณ ตําแหนง x ใดๆ ___________ สมการ (6.2)

จะเห็นวา เซตของ basis state ขางตนเปนคาที่ตอเนื่อง และมีจํานวนสมาชิกของเซตเปน infinity ดวยเหตุนี้เอง เมื่อเราเขียนสถานะ Ψ ของระบบ ใหอยูใ นรูปของ linear superposition ของ basis state x จึงมีความจําเปนจะตองเขียนอยูใ นลักษณะของ integral ดังตอไปนี้ Ψ = ∫ dxψ ( x) x

____________________ สมการ (6.3) N

โดยนัยยะสําคัญแลว สมการขางตนมิไดตางจากสมการ (2.22) หากแต summation ∑ ไดถูก i=1

เปลี่ยนใหอยูใ นรูปของ integral ∫ dx ในขณะเดียวกัน เซตของสัมประสิทธิ์ ci ที่ปรากฏในสมการ (2.22) ซึ่งเปนคาเฉพาะที่ผูกติดอยูกับ basis state φ i นั้นๆ ก็ไดถูกเปลีย่ นใหเปนฟงชันก ψ ( x) ซึ่งเปนฟงชันกของ x เพราะเปนสัมประสิทธิ์ที่ผูกติดกับ basis state

x

นัน่ เอง

และในทํานองเดียวกันทีเ่ ราสามารถตีความไดวา ci ก็คือ probability amplitude ที่ระบบจะอยูใ น สถานะ φ i ในระบบที่มีความตอเนื่องเชนนี้ ก็สามารถเขียนไดวา ψ ( x) = x Ψ

___________________________ สมการ (6.4)

สมการ (6.4) นี้เองคือคํานิยามของ wave function ที่นักศึกษาไดคุนเคยมาเปนอยางดีในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตน โดยที่ความหมายของ wave function ดังกลาวนัน้ เกีย่ วของกับความ นาจะเปนที่จะพบอนุภาค 2

ψ ( x) dx =

ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคอยูภายในบริเวณ

x → x + dx

นอกจากนี้ในบทที่ 2 เรายังไดกลาวถึงการที่เขียน operator ใหอยูในรูปของ ket-bra ซึ่งปรากฏใน สมการ 2.23 ดังตอไปนี้

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา N N

Oˆ = ∑ ∑ oij φ i i =1 j =1

6 Wave Mechanics in One Dimension φj

6-3

เมื่อ { φ i } คือ basis set _____________ สมการ (2.23)

และในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.3) เราสามารถเขียน operator ใหอยูในรูป Oˆ = ∫∫ dxdx′o( x, x′) x x′

____________________ สมการ (6.5)

จากสมการขางตนจะพบวา double summation ไดถูกเปลี่ยนใหเปน double integral และ สัมประสิทธิ์ oij ไดถูกเปลี่ยนใหเปนฟงชันก o( x, x′) และจากแบบฝกหัด 2.5 เราสามารถเขียน o( x, x′) ซึ่งเปนฟงชันกของ x และ x′ ไดวา o( x, x′) = x Oˆ x′

____________________ สมการ (6.6)

แบบฝกหัด 6.1 จงใช identity operator ในบทที่ 2 เพื่อแสดงใหเห็นวา 1ˆ = ∫ dx x x ____________________ สมการ (6.7) แบบฝกหัด 6.2 กําหนดให Ψ Ψ = 1 จงใช identity operator ในสมการ (6.7) และ คํานิยามของ wave function ในสมการ (6.3) เพื่อพิสูจนวา 2 1 = ∫ dxψ ∗ ( x)ψ ( x) = ∫ dx ψ ( x) ____________________ สมการ (6.8) คุณสมบัติทางคณิตศาสตรที่สําคัญอีกอันหนึ่ง ที่เกีย่ วของกับการใช { x } เปนเซตของ basis state คือ x′ x = δ ( x′ − x )

____________________ สมการ (6.9)

เมื่อ คือ δ ( x′ − x) Dirac delta function โดยที่สมการ (6.9) ขางตนสามารถพิสูจนไดโดยงายโดย การพิจารณา สถานะ bra Ψ Ψ = ∫ dx′ψ ∗ ( x′) x′

____________________ สมการ (6.10)

ใหสังเกตการเปลี่ยนรูปของฟงชันก ψ ( x) ในสมการ (6.3) มาเปน complex conjugate ของตัวมันเอง ในสมการ (6.10) นอกจากนี้เราทราบวา Ψ Ψ = 1 เพราะฉะนั้นแลว Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-4

Ψ Ψ = 1 = ∫∫ dx′dxψ ∗ ( x′)ψ ( x) x′ x

ในสมการขางตน ถาเราสมมุติให

x ′ x = δ ( x′ − x )

แลวจะไดวา

1 = ∫∫ dx′dxψ ∗ ( x′)ψ ( x)δ ( x′ − x) = ∫ dxψ ( x)

( ∫ dx′ψ ∗ ( x′)δ ( x′ − x) )

1 = ∫ dxψ ∗ ( x)ψ ( x)

ซึ่งก็ถูกตองเมื่อเปรียบเทียบกับสมการ (6.8) ทําใหเราทราบวาสมมุติฐานที่วา นั้น สอดคลองกับความเปนจริง

x ′ x = δ ( x′ − x )

แบบฝกหัด 6.3 พิจารณาสถานะของระบบ 2 สถานะดวยกันคือ Ψ และ Φ ทั้งนี้เมื่อเราให เซตของ basis state เปน { x } จะสามารถเขียนไดวา Ψ = ∫ dxψ ( x) x และ Φ = ∫ dxϕ ( x) x โดยที่ ψ ( x) และ ϕ ( x) เปนฟงชันกใดๆ จงใช identity matrix ในสมการ (6.7) และคํานิยามของ wave function ในสมการ (6.4) เพื่อพิสูจนวา Φ Ψ = ∫ dxϕ ∗ ( x)ψ ( x) ____________________ สมการ (6.11) นอกจากนี้ โดยทัว่ ไปแลว expectation value ของ operator Oˆ ใดๆ จะเขียนอยูใ นรูป Oˆ = Ψ Oˆ Ψ

ทั้งนี้เมื่อเราแทรก identity operator 1ˆ = ∫ dx x x เขาไปในสมการขางตน ยอมกระทําได เพราะ identity operator ไมทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงในทางคณิตศาสตร Oˆ = Ψ Oˆ Ψ = Ψ 1ˆOˆ Ψ = ∫ dx Ψ x x Oˆ Ψ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-5

โดยใชเอกลักษณ Ψ x = x Ψ ∗ = ψ ∗ ( x) และเขียน Ψ ใหอยูใ นรูป linear superposition ของ basis state Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x′ จะไดวาสมการขางตนแปรสภาพเปน Oˆ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x Oˆ x′

____________________ สมการ (6.12)

สมการ (6.12) มีความสําคัญมากในการคํานวณ expectation value ของระบบที่มี basis state เปน ปริมาณที่ตอเนื่องอาทิเชน { x } ดังจะไดยกตัวอยางการนํามาใชงานในแบบฝกหัด 6.4 แบบฝกหัด 6.4 พิจารณา operator ที่ใชวดั ตําแหนงของอนุภาค และใชสัญลักษณวา xˆ ดวยเหตุนี้ เมื่อ operator ดังกลาวกระทํากับสถานะ x ก็ยอมตองดึงเอา eigenvalue ซึ่งแสดงถึงตําแหนงใน ขณะนัน้ กลาวอีกนัยหนึ่งคือ xˆ x = x x ____________________ สมการ (6.13) จงใชคํานิยามของ operator ขางตนผนวกกับ 1) การคํานวณ expectation value ในสมการ (6.9) และ 2) เอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.12) เพื่อพิสูจนวา expectation value xˆ = ∫ dxψ ∗ ( x) xψ ( x) ____________________ สมการ (6.14) เมื่อนักศึกษาลองมองยอนไปถึงเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตน ในประเด็นที่เกี่ยวของกับ การคํานวณ expectation value ของ operator ใดๆ จะพบวา รูปแบบของสมการที่เขียนจะมีความ คลายคลึงกับที่แสดงในสมการ (6.14) มากกวาทีแ่ สดงในสมการ (6.12) ทั้งนี้ก็เพราะวา quantum mechanics เบื้องตนเนนการใช wave function เปนหลักในการคํานวณ หากแตเนื้อหาที่เรากําลังวิเคราะหอยูน ี้ มีตน ตอมาจาก matrix mechanics ซึ่งมีขอบเขตของการ ประยุกตใชงานกวางขวางกวา wave mechanics อยูมากทีเดียว ขอเสียของ matrix mechanics ก็คือ รูปแบบของสมการที่นักศึกษาจําเปนตองทําความเขาใจ คอนขางจะซับซอนกวา ดังจะเห็นไดจาก วิธีการคํานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เปนตน

6.2 Generator of Translation ในแบบฝกหัด 6.4 เราไดเห็นตัวอยางของ operator xˆ ซึ่งทําหนาที่ในการวัดตําแหนงของอนุภาค และมีคุณสมบัติในทางคณิตศาสตรคือ xˆ x = x x มี Section 6.2 เราจะมาทําความรูจัก operator อีกชนิดหนึ่งซึง่ ทําหนาที่ในการเลื่อนตําแหนงของอนุภาคเปนระยะทาง a ดวยคุณสมบัติของ operator ดังกลาวที่เราตองการนี้ สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของสมการทางคณิตศาสตรไดวา Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

translation operator

6 Wave Mechanics in One Dimension

Tˆ (a) x = x + a

6-6

____________________ สมการ (6.15)

ในสมการ (6.15) เราเรียก operator Tˆ (a) วา translation operator ซึ่งมีผลให basis state x เปลี่ยนไปเปนสถานะ x + a หรืออีกนัยหนึ่ง เลือ่ นไปขางหนาตามแกน x เปนระยะทางเทากับ a นั่นเอง โดยทั่วไปแลว อนุภาคหรือระบบที่เราตองการศึกษา มิไดมีตําแหนงที่แนนอนอยู ณ ที่ใดทีห่ นึ่ง หากแตเปน linear superposition ของตําแหนงตางๆที่เปนไปได โดยมีฟง ชันก ψ ( x) เปน probability amplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆเหลานั้น หรืออีกนัยหนึ่ง Ψ = ∫ dxψ ( x) x และก็ เปนที่นาสนใจวา translation operator Tˆ (a) จะมีผลอยางไรกับระบบที่อยูในสถานะดังกลาว ทั้งนี้ เมื่อพิจารณา Tˆ (a ) Ψ = Tˆ (a )

( ∫ dxψ ( x) x )

= ∫ dxψ ( x)Tˆ (a) x Tˆ (a) Ψ = ∫ dxψ ( x) x + a

และเมื่อเราทําการเปลี่ยนตัวแปรของการ integrate โดยนิยามให สมการขางตนเปลี่ยนรูปดังตอไปนี้

x′ ≡ x + a

จะทําให integral ใน

Tˆ (a) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′ − a) x′

อยางไรก็ตาม ตัวแปร x′ เปนเพียงตัวแปรของการ integrate ที่เราจะใชสญ ั ลักษณตวั อืน่ แทนได โดยไมผิดกติกาแตอยางใด เพราะฉะนั้นเราอาจจะเขียนไดวา Tˆ (a) Ψ = ∫ dxψ ( x − a ) x

เมื่อ

Ψ = ∫ dxψ ( x) x

__________ สมการ (6.16)

ทั้งสมการ (6.16) และภาพ 6.1 แสดงใหเห็นถึงผลของ translation operator ตอสถานะของระบบ ถา เราบงบอกสถานะของระบบดวย probability amplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆ ซึ่งแทนดวย ฟงชันก ψ ( x) จะพบวา ผลของ operator Tˆ (a) ก็คือการทําใหฟงชันกดังกลาวเลื่อนไปขางหนา ตามแนวแกน x เปนระยะทางเทากับ a Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

ภาพ 6.1 แสดงผลของ translation operator ตอ สถานะของระบบ ถาเราบงบอกสถานะของ ระบบดวย probability amplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆ ซึ่งแทนดวยฟงชันก ψ ( x) จะพบวา ผลของ operator Tˆ (a) ก็คือการทําให ฟงชันกดังกลาวเลื่อนไปขางหนาตามแนวแกน x เปนระยะทางเทากับ a

Ψ = ∫ dxψ ( x) x 1

0.5

−2

0

2

6-7

4

− 0.5

−1

Tˆ (a) Ψ = ∫ dxψ ( x − a ) x

แบบฝกหัด 6.5 จงใชสมบัติของ translation operator ในสมการ (6.15) และเอกลักษณของ Dirac delta function เพื่อพิสูจนวา x Tˆ (a) Ψ = ψ ( x − a ) __________ สมการ (6.17) แบบฝกหัด 6.6 จงใชสมบัติการ normalization ของสถานะ Ψ translation operator มีสมบัติเปน unitary operator กลาวคือ Tˆ † (a)Tˆ (a) = 1

= ∫ dxψ ( x) x

ในการพิสูจนวา

________________ สมการ (6.18)

อยางไรก็ตาม แทนที่เราจะสนใจ translation operator ที่สามารถเลื่อนสถานะของระบบเปนระยะทาง a เราอาจจะพิจารณาเฉพาะการเลื่อนอนุภาคเปนระยะทางสั้นๆ Δx หรือที่เรียกวา infinitesimal translation และในทํานองเดียวกันกับ infinitesimal rotation operator ในบทที่ 2 หรือ infinitesimal time evolution operator ในบทที่ 4 เราสามารถเขียน infinitesimal translation ใหอยูใ นรูปของ i Tˆ (Δx) = 1 − pˆ x Δx

เมื่อ

pˆ x

คือ generator of translation __________ สมการ (6.19)

สาเหตุที่เรียก operator pˆ x นี้วาเปน generator of translation ก็เพราะวามันทําหนาที่ในการกําหนด คุณลักษณะการเปลี่ยนแปลงไปของสถานะที่ operator Tˆ (Δx) กําลังกระทําอยู นอกจากนี้ ดวย เอกลักษณทางคณิตศาสตรที่ไดกลาวถึงแลวในบทที่ 2 เราสามารถเขียน

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension Tˆ (a ) = e

i − pˆ x a

6-8

________________ สมการ (6.20)

generator of translation operator pˆ x มีสมบัติทางคณิตศาสตรที่สําคัญอยู 3 ขอที่สําคัญ ซึ่งจะได กลาวถึงโดยละเอียดในลําดับตอไปนี้ 1.

pˆ x

เปน Hermitian operator สมบัติขอนี้พิสูจนไดจากคํานิยามของ infinitesimal translation

operator Tˆ (Δx) = 1 − i

pˆ x Δx

จากคุณสมบัติในสมการ (6.18) ที่วา 1 = Tˆ † (Δx)Tˆ (Δx) †

⎛ i ⎞ ⎛ i ⎞ = ⎜ 1 − pˆ x Δx ⎟ ⎜ 1 − pˆ x Δx ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i ⎛ ⎞⎛ i ⎞ = ⎜ 1 + pˆ †x Δx ⎟ ⎜ 1 − pˆ x Δx ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

และเมื่อกระจายเทอมทางขวามือของสมการจะได 1 = 1−

i

pˆ x Δx +

i

pˆ †x Δx +

1 † 2 pˆ x pˆ x ( Δx )

เนื่องจากเรากําลังพิจารณา infinitesimal operator ซึ่งก็หมายถึงวา Δx → 0 ทําใหสามารถตัดเทอม ที่ 4 ทางขวามือของสมการออกได เพราะมีคาเล็กมากเมื่อเทียบกับเทอมอื่นๆ ดังนั้นแลว _____________________ สมการ (6.21)

pˆ †x = pˆ x

ซึ่งสมการ ก็มีความหมายวา 2. [ xˆ, pˆ x ] = i

pˆ x

เปน Hermitian operator นั่นเอง

คุณสมบัติทางคณิตศาสตรขอนี้มีที่มาจากการพิจารณา commutation ระหวาง

infinitesimal translation operator Tˆ (Δx) = 1 − i xˆ

pˆ x Δx

ในสมการ (6.19) และ position operator

ในสมการ (6.13) กลาวคือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-9

⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ = xˆ ⎛⎜ 1 − i pˆ x Δx ⎞⎟ − ⎛⎜1 − i pˆ x Δx ⎞⎟ xˆ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = xˆ −

i

ˆˆ x Δx − xˆ + xp

i

pˆ x xˆ Δx

i ˆˆ x − pˆ x xˆ ) = − Δx ( xp

สมการขางตนสามารถลดรูปลงไปไดอีก ถาเราเขียน

ˆˆ x − pˆ x xˆ xp

⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ = − i Δx [ xˆ , pˆ x ] ⎣ ⎦

ใหอยูในรูป [ xˆ, pˆ x ] ดังนั้น

_____________________ สมการ (6.22)

ˆ ˆ (Δx) − Tˆ (Δx) xˆ ที่กระทํากับสถานะ นอกจากนี้ ถาเราพิจารณาผลของ operator ⎡⎣ xˆ, Tˆ (Δx) ⎤⎦ = xT

Ψ = ∫ dxψ ( x) x

ใดๆ จะไดวา

(

)

⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ Ψ = xT ˆ ˆ (Δx) − Tˆ (Δx) xˆ ∫ dxψ ( x) x ⎣ ⎦ ˆ ˆ (Δx) ∫ dxψ ( x) x − Tˆ (Δx) xˆ ∫ dxψ ( x) x = xT

และเมื่อใชสมบัติของ Tˆ (dx) ในสมการ (6.16) และ สมบัติของ xˆ ในสมการ (6.13) เทอมขางตน แปรสภาพเปน ⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ Ψ = xˆ ∫ dxψ ( x − Δx) x − Tˆ (Δx) ∫ dxψ ( x) x x ⎣ ⎦

∫ dxψ ( x − Δx) x x − ∫ dxψ ( x − Δx)( x − Δx) x = Δx ∫ dxψ ( x − Δx) x =

ฟงชันก ψ ( x − Δx) ที่ปรากฏเปน integrand ในสมการขางตน สามารถกระจายใหอยูในรูปของ Taylor expansion ψ ( x − Δx) = ψ ( x) − Δx 1 ∂ψ + ( Δx )2 1! ∂x

1 ∂ 2ψ − 2! ∂x 2

แตเนื่องจาก Δx → 0

เราจึงสามารถประมาณ ψ ( x − Δx) ≅ ψ ( x) โดยมิไดมี error มากมายนัก เพราะฉะนัน้ แลว สมการ ขางตนลดรูปเหลือเพียง ⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ Ψ = Δx ∫ dxψ ( x) x = Δx Ψ ⎣ ⎦

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-10

เนื่องจากสถานะ Ψ ที่เรานํามาพิจารณาเปนสถานะทั่วๆไป และไมเฉพาะเจาะจงวาเปนกรณีใดเปน พิเศษ สมการขางตนจึงเปนจริงในทุกๆกรณี และสรุปไดวา ⎡ˆ ˆ ⎤ ⎣ x, T (Δx) ⎦ = Δx

_____________________ สมการ (6.23)

ในทายที่สุด เมื่อเปรียบเทียบสมการ (6.23) และสมการ (6.22) จะไดความสัมพันธ

[ xˆ, pˆ x ] = i 3.

x pˆ x Ψ =

∂ ψ ( x) i ∂x

_____________________ สมการ (6.24)

ในแบบฝกหัด 6.5 เราไดคุนเคยกับสมบัติทางคณิตศาสตรของ

operator Tˆ (a) ในลักษณะเดียวกันนี้มาแลว ในคราวนี้เรามาวิเคราะหในกรณีของ generator of translation operator pˆ x กันบาง พิจารณา Tˆ (Δx) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′ − Δx) x′

จะเห็นวาเราสามารถกระจายฟงชันกใหอยูใ นรูปของอนุกรม Taylor ψ ( x′ − Δx) ≅ ψ ( x′) − Δx

∂ ψ ( x′) ∂x′

เพราะฉะนั้นแลว สมการขางตนแปรสภาพเปน

∂ Tˆ (Δx) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x′ − Δx ∫ dx′ ψ ( x′) x′ ∂x′

และเมื่อนําสถานะ bra

x

เขามาประกบทั้งสองขางของสมการ จะไดวา ∂ ψ ( x′) x x′ ∂x′ ∂ = ∫ dx′ψ ( x′)δ ( x − x′) − Δx ∫ dx′ ψ ( x′)δ ( x − x′) ∂x′

x Tˆ (Δx) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x x′

− Δx ∫ dx′

ใหสังเกตการณใช Dirac delta function ซึ่งเปนเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.9) และ อาศัยคุณสมบัติของ Dirac delta function ที่วา δ ( x − x′) = δ ( x′ − x) ทําให ∂ x Tˆ (Δx) Ψ = ψ ( x) − Δx ψ ( x) ∂x

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

_____________________ สมการ (6.25) teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

นอกจากนี้ เรายังสามารถวิเคราะหเทอม i Tˆ (Δx) = 1 − pˆ x Δx

x Tˆ (Δx) Ψ

6-11

โดยการเขียน Tˆ (Δx) ใหอยูในรูปของ

ซึ่งจะไดวา i x Tˆ (Δx) Ψ = x 1 − pˆ x Δx Ψ i = x Ψ − Δx x pˆ x Ψ

เพราะฉะนั้นแลว i x Tˆ (Δx) Ψ = ψ ( x) − Δx x pˆ x Ψ

________________ สมการ (6.26)

ทั้งนี้เมื่อพิจารณาทางขวามือของสมการ (6.25) และสมการ (6.26) แลวพบวา i

Δx x pˆ x Ψ = Δx

∂ ψ ( x) ∂x

หรืออีกนัยหนึ่ง x pˆ x Ψ =

∂ ψ ( x) i ∂x

________________ สมการ (6.27)

นอกจากนี้ สมการขางตน ยังสามารถเขียนใหอยูใ นรูป pˆ x Ψ = ∫ dx

∂ ψ ( x) x i ∂x

เมื่อ

Ψ = ∫ dxψ ( x) x

แบบฝกหัด 6.7 สมมุติใหระบบทางฟสิกสอยูในสถานะ expectation value ของ generator of translation operator Ψ pˆ x Ψ = ∫ dxψ ∗ ( x)

___________ สมการ (6.28)

Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x′ pˆ x

∂ ψ ( x) i ∂x

จงพิสูจนวา

มีคาเทากับ

________________ สมการ (6.29)

6.3 Momentum Operator คุณสมบัติทางคณิตศาสตรทั้ง 3 ขอที่เราไดกลาวมาขางตนนั้น มีความสําคัญตอการตีความหมาย ของ operator pˆ x ในทางฟสิกสเปนอยางยิ่ง ประการแรกก็คือ คํานิยามในสมการ (6.19) บังคับให operator

pˆ x

มีหนวยเปน

Dr. Teepanis Chachiyo

Joule ⋅ sec m

ซึ่งเปนหนวยของ momentum

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-12

ประการที่สอง pˆ x เปน Hermitian operator ดังที่ไดอธิบายในบทที่ 3 Section 3.6 ซึ่งมี ความหมายวา pˆ x จะตองมี eigenvalue เปนจํานวนจริง และสามารถที่จะเปน operator ที่ใชวัด observable ในทางฟสิกสได และประการที่สาม pˆ x มีคุณสมบัติดังในสมการ (6.27) ซึ่งนักศึกษาคงสามารถจดจํารูปแบบทาง คณิตศาสตรของ momentum operator ในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตนไดวา มีความ คลายคลึงกับสมการ (6.27) ดวยเหตุผลทั้ง 3 ประการนี้เองเราสรุปไดวา นอกจาก pˆ x จะมีหนาที่เปน generator of translation operator ที่เปนตัวควบคุมใหอนุภาคเลื่อนไป ขางหนาตามแนวแกน x แลว operator pˆ x ยังเปนที่รูจักกันดีในเชื่อทีว่ า momentum operator อีก ดวย ในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตนที่ใช Schrödinger equation เปนหลัก นักศึกษามักจะ คุนเคยกับ wave function ψ ( x) และ momentum operator ที่เขียนอยูใ นรูป

pˆ x ≡

∂ i ∂x

อยางไรก็

ตาม รูปแบบของ momentum operator ดังกลาวเมื่ออยูภ ายใตบริบทของเนื้อหา matrix mechanics ที่ เรากําลังศึกษาอยูนี้ เปนเพียงรูปแบบของ momentum operator ที่แสดงออกมาภายใต basis set { x } นักศึกษาตองไมลืมวา operator ตางๆนั้น จะแสดงออกมาวามีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไร ลวน แลวแตผูกติดอยูกับ basis state ที่กําลังใชอยู ไมวาจะเปน operator ในสมการ (2.23) หรือ matrix ใน สมการ (2.63) หรือ แมกระทัง่ momentum operator ในสมการ (6.27) เพราะฉะนั้น แทนที่เราจะใชตําแหนงของอนุภาค { x } เปน basis state เราอาจจะพิจารณาระบบที่ กําลังสนใจ ในแงของ momentum ที่มันมีอยู หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง พิจารณาระบบโดยใช momentum ตามแนวแกน x เปน basis state ซึ่งในที่นี้ เราจะใชสัญลักษณ { p } แทนเซตของ basis state ดังกลาว และเมื่อเราใช momentum operator pˆ x เขามากระทํากับกับสถานะ p ก็จะมีผลเทากับการวัด momentum ของสถานะนั้นๆ และดึงเอาคา eigenvalue ดังกลาวออกมา ซึง่ ก็คือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

_____________________ สมการ (6.30)

pˆ x p = p p

นอกจากนี้ เรายังสามารถที่จะเขียนสถานะของระบบ basis state { p } เหลานี้ไดวา

Ψ

6-13

ใหอยูในรูป linear superposition ของ

Ψ = ∫ dpϕ ( p) p

____________________ สมการ (6.31)

โดยทั่วไปแลว สถานะ Ψ ดังในสมการ (6.31) นั้น เราเรียกเซตของ momentum basis state { p } วา "momentum space" ในขณะที่สมการ (6.3) เปนการเขียน Ψ ใหอยูใ นรูปของ "position space" จะสังเกตวาในสมการ (6.31) ขางตนนั้น เราใชฟงชันก ϕ ( p) แทน probability amplitude ที่จะพบ อนุภาคหรือระบบที่เรากําลังสนใจ อยูใ นสภาวะที่มี momentum ตางๆกัน หรือในรูปของ bra-ket ก็คือ ϕ ( p ) = p Ψ ____________________ สมการ (6.32) และจาก probability amplitude ดังกลาว โดยคํานิยามของความนาจะเปนแลว dp ϕ ( p )

2

คือ probability ที่อนุภาคจะมี momentum อยูในชวง

p → ( p + dp)

แบบฝกหัด 6.8 ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.9) จงพิสูจนวา p′ p = δ ( p′ − p) ____________________ สมการ (6.33) คุณสมบัติของ momentum basis state ในสมการ (6.33) และการเขียน Ψ ในสมการ (6.31) จะทํา ใหเราสามารถเขียนรูปแบบทางคณิตศาสตรของ momentum operator ดังที่ปรากฏภายใต momentum space กลาวคือ

( ∫ dp′ϕ ( p′) pˆ x p′ ) p ( ∫ dp′ϕ ( p′) p′ p′ )

p pˆ x Ψ = p =

= ∫ dp′ϕ ( p′)δ ( p − p′ )

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-14

และเมื่อเราใชเอกลักษณทางคณิตศาสตรของ Dirac delta function ที่วา δ ( p − p′) = δ ( p′ − p ) และ ∫ dx f ( x)δ ( x − x0 ) = f ( x0 ) จะไดวา p pˆ x Ψ = ϕ ( p )

____________________ สมการ (6.34)

มาถึงขั้นนี้ นักศึกษาตองสังเกตใหเห็นความแตกตางอยางชัดเจนระหวางสมการ (6.27) ซึ่งดูเหมือนวา momentum operator pˆ x เมื่ออยูภายใต position space อยูมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปน differential operator

∂ i ∂x

ซึ่งกระทําอยูกับฟงชันก ψ ( x)

ในขณะที่สมการ (6.34) บงบอกวา momentum operator pˆ x เมื่ออยูในบริบทของ momentum space แลว จะมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปนเพียง identity operator (ตัวเลข 1) ซึ่งคูณอยูกบั ฟงชันก ϕ ( p) ความแตกตางดังกลาว เปนหลักฐานชิ้นสําคัญซึ่งจะทําใหเราตระหนักวา operator ตางๆที่ไดเคย ศึกษามาใน quantum mechanics เบื้องตนซึ่งใช Schrödinger equation เปนหลักนัน้ แทจริงแลวเปน การเขียน operator ที่แสดงออกมาภายใตกรอบของ position space เทานั้นเอง ในคราวนีเ้ ราจะมากลาวถึงเอกลักษณทางคณิตศาสตรสําคัญอีกอันหนึ่ง ซึ่งจะถูกนํามาประยุกตใช งานในอนาคต นั่นก็คือ เราจะพิสูจนวา 1 eipx 2π

x p =

พิจารณา จะไดวา

x pˆ x p = p x p ∂ x pˆ x p = x p i ∂x

____________________ สมการ (6.35)

นอกจากนี้ ถาพิจารณาสมการ (6.27) และกําหนดให

Ψ = p

เพราะฉะนัน้ แลว p x p =

∂ x p i ∂x

____________________ สมการ (6.36)

เนื่องจาก x p มีสถานะภาพเปนฟงชันก ทําใหสมการ (6.36) ก็มีสถานะภาพเปน differential equation ธรรมดา ซึ่งมีผลเฉลยของสมการคือ x p = Neipx

Dr. Teepanis Chachiyo

เมื่อ

N

คือคาคงที่ ____________________ สมการ (6.37)

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-15

โดยที่เราสามารถคํานวณคาคงที่ N ไดจากการพิจารณาสถานะ p ซึ่งก็ไมตางจากสถานะทั่วๆไป ที่เราสามารถเขียนอยูใ นรูปของ linear superposition ใน position space p = ∫ dx ( x p

และเมื่อนํา bra

p′

) x เมื่อ คือ

probability amplitude

x p

เขามาประกบทั้งสองขางของสมการ จะไดวา

แตจากสมการ (6.33)

p′ p = δ ( p′ − p)

p′ p = ∫ dx x p p′ x

เพราะฉะนัน้

δ ( p′ − p) = ∫ dx x p p′ x = ∫ dx x p x p′ = N

2

∫ dxe

i ( p − p′) x

Dirac delta function ที่ปรากฏอยูทางซายมือของสมการขางตน มีรูปแบบทางคณิตศาสตรที่เปนไปได อยูหลายรูปแบบ ยกตัวอยางเชน

1 δ ( x) = 2π

+∞

dk e+ikx

และเมื่อใชคํานิยามของ Dirac delta

−∞

function ดังกลาวนี้ 1 ⎛ x ⎞ i p′− p ) x d ⎜ ⎟e ( ∫ 2π ⎝ ⎠

ดวยเหตุนี้เอง ทําให

N=

1 2π

= N

2

∫ dx e

i ( p − p′) x

และเมื่อผนวกกับสมการ (6.37) ก็จะไดความสัมพันธ

x p

ดังแสดงในสมการ (6.35) การนําเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.35) มาประยุกตใชงานนัน้ ก็ไดแกการเปลี่ยนจาก probability amplitude ซึ่งแตเดิมอยูใ น position space ψ ( x) ใหกลายมาเปน momentum space ϕ ( p) โดยสมมุติวา เราทราบขอมูลของอนุภาค และ probability amplitude ที่มันจะอยู ณ ตําแหนง ตางๆกันคือ Ψ = ∫ dxψ ( x) x

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-16

เมื่อนําสถานะ bra p เขามาประกบทั้งสองขางของสมการจะไดวา p Ψ = ∫ dxψ ( x) p x ทั้งนี้โดยคํานิยามแลว ทางซายมือของสมการก็คือ ϕ ( p) = p Ψ ในขณะที่ทางขวามือของสมการก็ คือ

1 2π

∫ dxψ ( x)e

− ipx

เพราะฉะนั้นแลว

ϕ ( p) =

1 2π

−ipx

____________________ สมการ (6.38)

+ ipx

____________________ สมการ (6.39)

∫ dxψ ( x)e

และในทํานองเดียวกัน เราสามารถพิสูจนไดวา ψ ( x) =

1 2π

∫ dpϕ ( p)e

แบบฝกหัด 6.9 พิจารณาระบบที่อิเล็กตรอนถูกขังอยูในบอพลังงานศักยสูงเปนอนันตดังในภาพ (1.2) ของบทที่ 1 สมมุติวา probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงตางๆภายในกลอง 30

คือ ψ ( x) =

d5

x(d − x)

เมื่อ 0 ≤ x ≤ d

a) จงหา probability amplitude ϕ ( p) และ plot graph b) เมื่อวิเคราะหอิเล็กตรอนที่อยูในสถานะดังกลาว มีความนาจะเปนเทาใดทีจ่ ะพบวามันมี momentum อยูในชวง p → ( p + dp) พรอมทั้ง plot graph เฉลย

2

ϕ ( p) =

15

⎡8 + 2 k 2 d 2 + ( k 2d 2 − 4)2 cos(kd ) − 8dk sin(kd ) ⎤ 6 5⎣ ⎦ π k d

เมื่อนิยาม k ≡

p

นอกจากนี้ เนื่องจากความสัมพันธทางคณิตศาสตรระหวาง ψ ( x) และ ϕ ( p) ดังในสมการ (6.38) และ (6.39) ทีม่ ีลักษณะของเหมือนกันกับ Fourier transform เราเรียกฟงชันก ψ ( x) และ ϕ ( p) วา เปน Fourier transform pair (ฟงชันกที่เปน Fourier transform ของกันและกัน) ระหวาง position space และ momentum space

6.4 Free Particles และ Gaussian Wave Packet เพื่อมิใหเนื้อหาที่เกี่ยวของกับ momentum operator และกลไกทางคณิตศาสตรที่ไดกลาวมาขางตน เปนเพียงนามธรรมที่เลื่อนลอยจนเกินไป เรามาศึกษาตัวอยางที่เปนรูปธรรม ซึ่งก็คือ อนุภาคที่ เคลื่อนที่อยางอิสระตามแนวแกน x หรือที่เรียกวา free particles

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-17

Ψ = ∫ dxψ ( x) x อนุภาควางอยู ณ จุดกําเนิด

x=0

ψ ( x) = Ne

ระบบจริงที่กําลังศึกษา

− x2 2a 2

model ของ quantum mechanics

ภาพ 6.2 แสดงถึง model อีกแบบหนึ่งของ quantum mechanics ที่ใชแทนอนุภาคทีว่ างอยู ณ จุด กําเนิด คําวา "วาง ณ จุด x=0" นั้น ในความเปนจริงแลว เปนไปไมไดที่อนุภาคจะมีตําแหนงที่ แนนอน 100% อยู ณ จุดใดจุดหนึ่ง พิจารณาอนุภาคที่วางอยู ณ จุดกําเนิดดังในภาพ 6.2 ในมุมมองของ quantum mechanics คําวา "วาง ณ จุด x=0" นั้น ในความเปนจริงแลว เปนไปไมไดที่อนุภาคจะมีตําแหนงที่แนนอน 100% อยู ณ จุด ใดจุดหนึ่ง เพราะฉะนัน้ เราใหสถานะ Ψ ของอนุภาคเปน linear superposition ของตําแหนง ตางๆที่เปนไปได Ψ = ∫ dxψ ( x) x โดยมีฟง ชันก ψ ( x) แสดงถึง probability amplitude ที่จะ พบอนุภาค ณ ตําแหนงนั้นๆ model อันหนึง่ ที่เปนไปไดกค็ ือ การกําหนดให ψ ( x) = Ne− x

2 2a 2

____________________ สมการ (6.40)

เมื่อ N และ a คือคาคงที่ ซึ่งเราจะทําการคํานวณและตีความในลําดับตอไป รูปแบบของฟงชันก ในสมการ (6.40) จัดอยูในกลุมของฟงชันกที่เรียกวา Gaussian function ดังแสดงในภาพ 6.2 ขอควรระวัง probability amplitude ในสมการ (6.40) มิไดเปนขอกําหนดตายตัวที่ quantum mechanics ใชในการอธิบายอนุภาคอิสระ ขึ้นอยูกับความเหมาะสมกับระบบทางฟสิกสที่กําลัง พิจารณา ยกตัวอยางเชน บางครั้งเรา model อนุภาคอิสระที่กําลังเคลื่อนที่ดวยความเร็วสูงโดยใช probability amplitude ψ ( x) ∼ eikx เราสามารถคํานวณคาคงที่ Dr. Teepanis Chachiyo

N

ไดจากเงื่อนไข normalization ที่วา

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-18

1 = ∫ dxψ ∗ ( x)ψ ( x) +∞

=

2 − xa dx N 2e ( )

−∞ +∞

อาศัยสมบัติของ Gaussian function ∫

2

dx e − x = π

ผนวกกับสมการขางตน จะไดวา

−∞

N=

1

πa

เพราะฉะนั้นแลว probability amplitude ของอนุภาคอิสระซึ่งอยูในรูปของ Gaussian function ก็คือ ψ ( x) =

1

πa

2 2 e− x 2a

____________________ สมการ (6.41)

และเพื่อที่จะเขาใจความหมายของคาคงที่ a เราลองคํานวณ uncertainty ในการวัดตําแหนงของ อนุภาคดังกลาว จาก Section 2.4 ในบทที่ 2 uncertainty ของ operator xˆ คํานวณไดจาก Δx =

2 xˆ 2 − xˆ

____________________ สมการ (6.42)

เราเริ่มขั้นตอนในการคํานวณดวยการวิเคราะห expectation value บอกไดวา

ซึ่งจากสมการ (6.12) เรา

xˆ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x xˆ x′ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x′ x x′

จากนั้น ใชสมการ (6.9) เพื่อชวยในการ integrate ทําใหในทายที่สุด

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-19

xˆ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x′δ ( x − x′) +∞

=

dxψ ∗ ( x ) xψ ( x)

−∞

และเมื่อนําเอาคํานิยามของ probability amplitude ในสมการ (6.41) เขามา integrate +∞

xˆ =

dx

−∞

1

πa

2 2 xe − x a = 0

2

________________ สมการ (6.43)

2

ผลลัพธของ integration เปนศูนยกเ็ พราะวา e− x a เปนฟงชันกคู ในขณะที่ x เปนฟงชันกคี่ และเมื่อทําการ integrate ตลอดชวง ( −∞, +∞ ) จึงไดผลลัพธเปนศูนยโดยอัตโนมัติ แบบฝกหัด 6.10 จงใชกลไกของการคํานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เพือ่ พิสูจนวา ˆ2

x

+∞

=

dxψ ∗ ( x) x 2ψ ( x)

________________ สมการ (6.44)

−∞

ขั้นตอนตอไปคือการคํานวณ xˆ 2 =

xˆ 2

ซึ่งจากสมการ (6.44) จะไดวา

+∞

−∞

dx

2 2 a2 x 2e− x a = 2 πa

1

________________ สมการ (6.45)

เทคนิคของการ integrate ในสมการขางตน มิไดมีอะไรซับซอนไปกวาการเปดตาราง integration แบบตางๆ ที่ปรากฏอยูในหนังสือ mathematical physics ซึ่งมีอยูโดยทั่วไป ในทายที่สุด เราสามารถคํานวณ uncertainty ของตําแหนงของอนุภาคไดจาก สมการ (6.45) และ สมการ (6.43) ซึ่งก็คือ Δx =

a 2 xˆ 2 − xˆ = 2

________________ สมการ (6.46)

นอกจากเราจะมองสถานะของอนุภาคดังกลาวใน position space เรายังสามารถเปลี่ยน probability amplitude ψ ( x) ใหอยูในรูปของ ϕ ( p) ใน momentum space ซึ่งทําไดโดยอาศัยสมการ (6.38) Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

ϕ ( p) =

6 Wave Mechanics in One Dimension

+∞

1 ∫ dx 2π −∞

1

πa

6-20

2 2 e− x 2a e −ipx

integral ขางตนสามารถคํานวณไดโดยการเปลี่ยนตัวแปร นิยามให η ≡

x ipa + 2a 2

ซึ่งจะทําให

integral แปรรูปเปน ϕ ( p) =

1 2π

2 2 2 +∞ −η 2 2ae − p a 2 ∫ dη e

1

πa

−∞

π

และจะไดวา a

ϕ ( p) =

π

2 2 2 e− p a 2

________________ สมการ (6.47)

ฟงชันก ϕ ( p) ขางตน แสดงถึง probability amplitude ที่อนุภาคจะมี momentum ตางๆกัน และนั้น ก็หมายถึง เมื่อเราตองการที่จะอธิบายสถานะของระบบใหอยูในรูปแบบของ momentum basis state จะทําไดโดย ⎛ Ψ = ∫ dp ⎜⎜ ⎝

2 2 2⎞ e − p a 2 ⎟⎟ p π ⎠

a

________________ สมการ (6.48)

สถานะที่แสดงดังในสมการ (6.48) มีความสะดวกในการคํานวณ expectation value ของ momentum ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ pˆ และ การคํานวณ uncertainty ในการวัด momentum ซึ่งแทนดวย สัญลักษณ Δp expectation value pˆ สามารถคํานวณไดโดยใชสมการ (6.12) ซึ่งถึงแมตัวสมการจะเขียนอยูในรูป ของ operator ที่ใช position basis state { x } เปนหลัก รูปแบบของสมการนั้นเปนจริงในทุกๆ basis state รวมไปถึง momentum basis state { p } ดวย

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-21

pˆ = ∫∫ dpdp′ϕ ∗ ( p )ϕ ( p′) p pˆ p′ +∞

=

dp

2 2 pe− p a

a

π

−∞

2

และเมื่อใชเหตุผลที่เกี่ยวของกับฟงชันกคแู ละฟงชันกคขี่ อง integrand ขางตน เราสรุปไดวา +∞

pˆ =

dp

−∞

a

π

2 2 pe− p a

แบบฝกหัด 6.11 จงคํานวณ expectation value เพียงแตวาในกรณีนี้เปน operator ˆ2

p

+∞

=

pˆ 2 a

dp

π

−∞

Ψ = ∫ dx

1

πa

=0

________________ สมการ (6.49)

ในทํานองเดียวกับทีเ่ ราไดวิเคราะห

pˆ 2

xˆ 2

และ momentum basis state { p } และพิสูจนวา 2 2 p 2e− p a

แบบฝกหัด 6.12 จงหา expectation value position basis

2

2

=

2

2a 2

________________ สมการ (6.50)

โดยเริ่มจากการเขียนสถานะของระบบอยูในรูปของ

2 2 e− x 2a x

แทนที่จะเปน momentum basis ดังในสมการ

(6.48) นักศึกษาอาจจะตองใชสมการ (6.119) เขาชวยในการวิเคราะห จากสมการ (6.49) และ (6.50) ซึ่งบอก expectation value

และ

pˆ 2

ตามลําดับ เราบอกไดวา

uncertainty ของการวัด momentum ของอนุภาคที่เราใช model ของ Gaussian wave packet คือ Δp =

2 pˆ 2 − pˆ =

2a

________________ สมการ (6.51)

คุณสมบัติตางๆของ Gaussian wave packet ดังกลาว ไดสรุปอยูในภาพ 6.3 ซึ่งแสดง model ของ อนุภาคอิสระที่อธิบายดวย quantum mechanics และแสดงในสองลักษณะคือ 1) position space ψ ( x) และ 2) momentum space ϕ ( p) ซึ่งทั้งสองมุมมองสามารถเปลี่ยนแปลงไปมาไดโดยใช transformation equation ที่มีลักษณะคลายกันกับ Fourier transform

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

position space ⎛ Ψ = ∫ dx ⎜⎜ ⎝

momentum space

2 2⎞ e − x 2 a ⎟⎟ x πa ⎠

⎛ Ψ = ∫ dp ⎜⎜ ⎝

1

ψ ( x)

6-22

1 2π

ψ ( x) =

1

1 2π

πa

∫ dpϕ ( p)e

∫ dxψ ( x)e

− ipx

ϕ ( p)

+ ipx

= ϕ ( p)

a

x

π

p

a 2

Δx =

2 2 2⎞ e − p a 2 ⎟⎟ p π ⎠

a

Δp =

2a

ภาพ 6.3 แสดง model ของอนุภาคอิสระที่อธิบายดวย quantum mechanics และแสดงในสอง ลักษณะคือ 1) position space ψ ( x) และ 2) momentum space ϕ ( p) 1) ใน position space อนุภาคมี expectation value ของตําแหนง

xˆ = 0

ซึ่งหมายถึงวาโดยเฉลี่ย

แลวมันอยู ณ ตําแหนง x = 0 ในขณะที่ความไมแนนอนของตําแหนงดังกลาว Δx =

a 2

ซึ่งแปร

ผันตรงกับคาคงที่ a 2) ใน momentum space อนุภาคมี expectation value ของ momentum operator pˆ = 0 ซึ่ง หมายถึงวาโดยเฉลี่ยแลวมันหยุดนิ่ง และจะสังเกตวาความไมแนนอนของ momentum ดังกลาว Δp =

2a

ซึ่งแปรผกผันกับคาคงที่ a นั่นหมายถึงถาเราบอกตําแหนงของอนุภาคไดแมนยํา จะ

สงผลใหความคลาดเคลื่อนของการวัด momentum มีคาสูงขึ้น ในกรณีของตัวอยางที่เรากําลังวิเคราะหอยูน ี้ ความสัมพันธของ uncertainty ทั้งสองคือ ΔxΔp =

2

ในกรณีของ Gaussian wave packet ________________ สมการ (6.52)

Time Evolution of Gaussian Wave Packet model ของ quantum mechanics ที่ใชในการอธิบายพฤติกรรมของอนุภาค ดังที่ไดสรุปในภาพ 6.3 นั้น อาจจะมีการเปลี่ยนแปลงไดเมื่อเวลาผานไป ในคราวนี้ เราจะมาศึกษาพฤติกรรมของอนุภาคใน Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-23

แงมุมตางๆกัน ไมวาจะเปนตําแหนง, ความไมแนนอนของการวัด position และ วัด momentum, และ สถานะของอนุภาค เมื่อเวลาเปลี่ยนแปลงไป กลไกที่สําคัญในการวิเคราะหหาสถานะของระบบเมื่อเวลา t ใดๆนั้น ก็คือ time evolution operator ดังที่ไดกลาวมาแลวในบทที่ 4 ซึ่งอยูในรูปของ Uˆ (t ) = e

ˆ iHt

___________________________ สมการ (6.53)

โดยที่ Hˆ คือ Hamiltonian operator และในระบบของอนุภาคอิสระที่เรากําลังศึกษาอยูนี้ พลังงาน รวมของระบบมาจากพลังงานจลนของการเคลื่อนที่ ซึ่งก็คือ pˆ 2 Hˆ = 2m

_____________________________ สมการ (6.54)

ทั้งนี้ เนื่องจาก Hamiltonian ของระบบเปนฟงชันกของ momentum operator จึงเปนการเหมาะสมที่ เราจะเริ่มดวยการเขียนสถานะของอนุภาค Ψ ใหอยูใ นรูปของ momentum space เพราะฉะนัน้ แลว สถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ ก็คือ

Ψ (t) = e =e

− −

ˆ iHt

Ψ (t = 0) ˆ iHt

⎛ Ψ (t) = ∫ dp ⎜⎜ ⎝

⎛ dp ∫ ⎜⎜ ⎝

2 2 2⎞ e− p a 2 ⎟⎟ p π ⎠

a

ipˆ 2t − 2 2 2 ⎞ a −p a 2 e ⎟ e 2m p

π

⎟ ⎠

ipˆ 2t 2m

การที่จะวิเคราะหสมการขางตน เราจะตองทําการลดรูปเทอม e p ใหไดเสียกอน ซึ่ง ขั้นตอนก็ไมตา งจากที่เราเคยไดฝกใน Section 2.5.2 ของบทที่ 2 โดยเริ่มการการ expand operator exp(−

ipˆ 2t ) 2m

ใหอยูใ นรูปของอนุกรม Taylor จากนั้นนําพจนตางๆเขามากระทํากับสถานะ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

p

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา ipˆ 2t e 2m p −

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-24

ip 2t = e 2m p −

ซึ่งจะไดวา ทั้งนี้ใหสังเกตวาทางซายมือของสมการปรากฏเปน operator pˆ ในขณะที่ทางขวามือของสมการปรากฏเปน eigenvalue p ดังนั้น ⎛ Ψ (t) = ∫ dp ⎜⎜ ⎝

2 2 2 2 ⎞ e− p a 2 −ip t 2m ⎟⎟ p π ⎠

a

________________ สมการ (6.55)

สมการ (6.55) แสดงใหเห็นวา probability amplitude ของอนุภาคใน momentum space เปนฟงชันก ของทั้ง momentum p และ ของเวลา t ซึ่งก็คือ a

ϕ ( p, t ) =

π

2 2 2 2 e− p a 2 − ip t 2 m

________________ สมการ (6.56)

และจากขอมูลในสมการ (6.55) และ สมการ (6.56) เราสามารถคํานวณปริมาณตางๆที่เกี่ยวของอาทิ momentum เฉลี่ย และ ความไมแนนอนของการวัด momentum วาเปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไร ซึ่ง จะไดวา p =0 Δp =

2a

ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.57) ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.58)

เปนที่นาสังเกตวา สมบัติตา งๆของระบบที่เกี่ยวของกับ momentum space มิไดเปลี่ยนแปลงไปกับ เวลาแตอยางใด และในกรณีของ position space เราสามารถใช Fourier transform ดังในสมการ (6.39) เพื่อที่จะหา probability amplitude ψ ( x, t ) ψ ( x, t ) =

1 2π

และเมื่อทําการเปลี่ยนตัวแปร η ≡ p

Dr. Teepanis Chachiyo

a

∫ dp a2 2 2

π

+

2 2 2 2 e − p a 2 −ip t 2m + ipx

it − 2m

ix 2

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

a 2

2 2

ทําใหเราสรุปไดวา +

it 2m

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

ψ ( x, t ) =

6 Wave Mechanics in One Dimension

⎛ x2 1 ⋅ exp ⎜⎜ − 2 π ( a + i t ma ) ⎜ 2a 1 + i t ma 2 ⎝

1

(

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

6-25

________ สมการ (6.59)

และสงผลให xˆ = 0 Δx =

ณ เวลาใดๆ ___________________ สมการ (6.60)

2 2 a t 1+ 2 m2a 4

___________________ สมการ (6.61)

แบบฝกหัด 6.13 จงพิสูจนสมการ (6.59) , (6.60) , และ (6.61) สมการ (6.59) และ สมการ (6.61) แสดงใหเห็นวา เมือ่ เวลาผานไป ถึงแมวาโดยเฉลี่ยแลวตําแหนง ของอนุภาคจะหยุดนิ่งอยูทจี่ ดุ กําเนิด แตความไมแนนอนของตําแหนงดังกลาว กลับเพิ่มขึ้นกับเวลา และเมื่อรอจนกระทั่วเวลาลวงเลยไปมากพอสมควร เราแทบจะบอกไมไดเลยวา อนุภาคอยูที่ใด แบบฝกหัด 6.14 a) จง plot graph ของ probability density ψ ( x, t ) 2 ณ เวลาตางๆกัน b) เวลา t ผานไปเทาใด ระบบจึงจะมี uncertainty ของตําแหนง Δx เพิ่มขึ้นเปน สองเทาของ Δx ในเวลา เริ่มตน เฉลย

T=

3ma 2

___________________ สมการ (6.62)

แตทวาในความเปนจริงที่เราเห็นในธรรมชาติ ยกตัวอยางเชนเมื่อเรามองไปที่มะมวงลูกงามที่อยูบน ตน กลับมาพรุงนี้เชามะมวงก็ยังคงอยูทตี่ นเดิมไมหนีไปไหน ความเปนจริงที่สังเกตเห็นไดนี้ ขัดกันอยางสิ้นเชิงหรือไม กับสมการ (6.61) ที่บอกวา ความไมแนนอนของตําแหนงจะเพิ่มขึ้นเมื่อ เวลาผานไป ในกรณีของมะมวง สมมุตใิ หมีมวล m = 30 g และมีความแมนยําในการบอกตําแหนงอยูในชวง a = 0.1cm

จากแบบฝกหัด 6.14 เราจะตองรอถึง T =

3ma 2

∼ 1019

ป จนกวาเราจะเห็นลูก

มะมวงมี uncertainty ของตําแหนงเพิ่มขึ้นเปนสองเทา

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

ปจจัยสําคัญในการกําหนดคุณสมบัติการเพิ่มขึ้นของ Δx =

2 2 a t 1+ 2 m2a 4

6-26

นี้ ขึ้นอยูกับมวลและ

ขนาดของอนุภาคเปนสําคัญ ยกตัวอยางเชน พิจารณาอะตอมของ hydrogen ซึ่งมีมวลประมาณ m ≅ 1.67 × 10−27 kg และจินตนาการวาเราสามารถเห็นมันดวยกลอง electron microscope ซึ่ง บอกตําแหนงดวยระยะความคลาดเคลื่อนที่ a = 1A ในกรณีเชนนี้ T =

3ma 2

∼ 10−13

วินาที

ซึ่งจะเห็นวาอนุภาคอิสระซึง่ มีขนาดเล็กมากๆ มีความคลาดเคลื่อนของการวัดตําแหนงอยูมาก ทีเดียว ขอควรระวัง สมการ (6.61) เปนการวิเคราะหที่จํากัดอยูแตเพียงอนุภาคอิสระที่ไมไดตกอยูภ ายใต แรงยึดเหนีย่ วใดๆ ในกรณีของอะตอมที่ถูกยึดใหติดอยูกับวัตถุดวยพันธะเคมี จะมีพฤติกรรมที่ แตกตางกันออกไป

6.5 Heisenberg Uncertainty Principle จากการวิเคราะหกรณีตวั อยางของอนุภาคอิสระ ที่ใช Gaussian wave packet เปน model นั้น เราได สังเกตเห็นความสัมพันธของ Δx และ Δp ดังในสมการ (6.52) ซึ่งแสดงใหเห็นถึงขอจํากัดใน มุมมองของ quantum mechanics ที่ไมอาจจะวัด position และ momentum ของอนุภาคใหแมนยํา พรอมๆกันได และใน Section 6.5 นี้ เราจะมาศึกษากฎเกณฑของ quantum mechanics ที่มีขอบเขตการประยุกตใช งานกวางมากขึ้น ซึ่งมิไดจํากัดอยูแ ตเพียง operator xˆ และ pˆ ดังในตัวอยางของ Gaussian wave packet พิจารณาการวัดปริมาณทางฟสิกสที่แทนดวย operator uncertainty ในการวัดของปริมาณทั้งสองก็คือ

และ Bˆ จะไดวา ความสัมพันธระหวาง

⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ⎣ ⎦ ΔA ΔB ≥ 2

โดยที่

⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ⎣ ⎦

เครื่องหมาย

___________________ สมการ (6.63)

ˆ ˆ − BA ˆ ˆ และ มีความหมายวา expectation value ของ operator ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ ≡ AB

ที่ปรากฏอยูทางขวามือของสมการ (6.63) ก็คือ absolute value นั่นเอง

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-27

กอนที่เราจะทําการพิสูจนทมี่ าของสมการ (6.63) เรามาฝกการนําสมการดังกลาวมาใชงานเสียกอน สมมุติวาเรากําลังพิจารณาระบบที่เรากําลังจะวัด 1) ตําแหนง ซึ่งแทนดวย operator xˆ และ 2) momentum ซึ่งแทนดวย operator pˆ จากสมการ (6.24) เราทราบวา [ xˆ, pˆ ] = i

เราฉะนั้น expectation value ของ [ xˆ, pˆ ] ก็คือ

[ xˆ, pˆ ]

= Ψi Ψ =i

[ xˆ, pˆ ]

Ψ Ψ

=i

ซึ่ง absolute value ของ complex number i ก็มีคาเทากับ นั่นเอง เพราะฉะนัน้ จากสมการ (6.63) จะไดวา Δx Δp ≥

2

___________________ สมการ (6.64)

ความสัมพันธในสมการขางตน เปนจริงในทุกๆกรณี รวมไปถึงกรณีของอนุภาคอิสระ นอกจากนี้ สมการ (6.64) ยังมีชื่อที่เรียกกันทั่วไปวา Heisenberg uncertainty principle แบบฝกหัด 6.15 จงใหสมการ (6.63) เพื่อหาความสัมพันธระหวาง uncertainty ของการวัด angular momentum ตามแนวแกน x และ ตามแนวแกน y และเปรียบเทียบกับแบบฝกหัด 3.15 เฉลย

ΔJ x ΔJ y ≥

2

Jˆ z

สําหรับขั้นตอนในการพิสูจนสมการ (6.63) นั้น สรุปโดยสังเขปไดวา 1. เริ่มดวย Schwarz inequality ดังที่ไดเคยวิเคราะหในแบบฝกหัด 3.17 ที่วา αα β β ≥ α β

2. พิจารณา operator Aˆ และ ตองเปน Hermitian operator Dr. Teepanis Chachiyo

2

___________________ สมการ (6.65)

ใดๆที่ใชในการวัดปริมาณทางฟสิกส จะไดวา operator ทั้งสอง

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

3. ถาเรากําหนดให

(

α = Aˆ − Aˆ

6 Wave Mechanics in One Dimension

และ

( ) Ψ = ( ΔA ) 2 2 2 = Ψ ( Bˆ − Bˆ ) Ψ = ( ΔB ) 2

α α = Ψ Aˆ − Aˆ β β

(

β = Bˆ − Bˆ

6-28

จะไดวา

___________________ สมการ (6.66) ___________________ สมการ (6.67)

เพราะฉะนั้น ทางซายมือของ Schwarz inequality มีคาเทากับ ( ΔA ΔB )2 ในขณะที่ทางขวามืออยู ในรูปของ

(

α β = Ψ Aˆ − Aˆ

) ( Bˆ − Bˆ ) Ψ

___________________ สมการ (6.68)

ซึ่งจําเปนจะตองจัดรูปเสียใหม 4. พิจารณา operator Oˆ ใดๆ เราสามารถพลิกแพลงไดวา Oˆ + Oˆ † Oˆ − Oˆ † Oˆ = + 2 2

ทั้งนี้ถากําหนดให Oˆ = ( Aˆ −

) ( Bˆ − Bˆ )

___________________ สมการ (6.69)

แลวจะมีผลให

ˆ ˆ − BA ˆ ˆ = ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ Oˆ − Oˆ † = AB ⎣ ⎦

______________ สมการ (6.70)

ˆ ˆ + BA ˆ ˆ − 2 Aˆ Bˆ − 2 Aˆ Bˆ + Aˆ Bˆ Oˆ + Oˆ † = AB

______________ สมการ (6.71)

5. ดังนั้นสมการ (6.68) แปรรูปเปน α β = Ψ Oˆ Ψ Oˆ + Oˆ † Oˆ − Oˆ † = Ψ + Ψ 2 2 1 1 = Ψ Oˆ + Oˆ † Ψ + Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 2 2

(

Dr. Teepanis Chachiyo

______________ สมการ (6.72)

)

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-29

แบบฝกหัด 6.16 จงพิสูจนวา a) operator Oˆ + Oˆ † ในสมการ (6.71) เปน Hermitian operator เพราะฉะนั้นแลว expectation value Oˆ + Oˆ † เปนจํานวนจริงเสมอ b) operator Oˆ − Oˆ † ใน สมการ (6.70) มี expectation value เปนจํานวนจินตภาพเสมอ 6. เพราะวา

Oˆ + Oˆ †

เปนจํานวนจริง และ

Oˆ − Oˆ †

เปนจํานวนจินตภาพ จากสมการ (6.72) เรา

บอกไดวา 2

α β

และเปนธรรมดาที่

=

(

)

2 1 2 1 Ψ Oˆ + Oˆ † Ψ + Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4 4

(

)

2 1 2 1 2 1 Ψ Oˆ + Oˆ † Ψ + Ψ ⎣⎡ Aˆ , Bˆ ⎦⎤ Ψ ≥ Ψ ⎣⎡ Aˆ , Bˆ ⎦⎤ Ψ 4 4 4

เพราะวาทั้งสองเทอมในทางซายมือของอสมการลวนเปนบวกทั้งคู เพราะฉะนัน้ แลว α β

2

2 1 Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4

______________ สมการ (6.73)

7. เมื่อรวมสมการ (6.73), สมการ (6.66), สมการ (6.67) ,และ อสมการ (6.65) เขาดวยกัน จะไดวา 2

Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4

2

( ΔA ΔB )2 ≥ α β

หรืออีกนัยหนึง่ ( ΔA ΔB )2 ≥ 1

ΔA ΔB ≥

2 1 Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4

ซึ่งลดรูปใหงายลงไดในทายที่สุดก็คอื

1 ⎡ ˆ ˆ⎤ A, B ⎦ 2 ⎣

เพียงสั้นๆ 7 ขั้นตอน เราก็สามารถพิสูจนสมการ (6.63) ไดสําเร็จ

6.6 Schrödinger Equation

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-30

การศึกษา quantum mechanics คงจะขาดความสมบูรณ ถาเราไมไดกลาวถึง Schrödinger equation ถึงแมวาจะกระทั่งบัดนี้ เราพยายามทีห่ ลีกเลี่ยงการให wave function เขามาวิเคราะหปรากฏการณทาง ฟสิกสก็ตาม ใน Section 4.1.2 ของบทที่ 4 เราไดกลาวถึงสมการ Schrödinger ไปบางแลว ซึ่งสมการดังกลาว เขียนอยูใ นรูปแบบของสถานะ ket ไดวา i

∂ Ψ (t ) = Hˆ Ψ (t ) ∂t

______________ สมการ (6.74)

และเพื่อแสดงใหเห็นวา matrix mechanics ดังในสมการ (6.74) นั้นมีขอบเขตการประยุกตกวางขวาง กวา Schrödinger equation ที่ศึกษาคุนเคยใน quantum mechanics เบื้องตน เราจะมาศึกษา Schrödinger equation ที่สามารถเขียนออกมาใน 2 รูปแบบดวยกัน คือ 1) position space และ 2) momentum space

Schrödinger Equation in Position Space ใน position space เราสามารถนิยาม พลังงานรวมของระบบ หรือ Hamiltonian operator ที่ปรากฏใน ทางขวาของสมการ (6.74) ใหอยูในรูปของ pˆ 2 Hˆ = + V ( xˆ ) 2m

______________ สมการ (6.75)

ทั้งนี้เพื่อความสะดวกในการอธิบายความ เราจํากัดการวิเคราะหแตเฉพาะใน 1 มิติ ตามแกน x จาก สมการ (6.75) จะเห็นวา

pˆ 2 2m

ก็คือ kinetic energy operator หรือ operator ที่ใชวัดพลังงานจลนของ

ระบบ และ V ( xˆ ) ก็คือ potential energy operator ซึ่งเปนตัวแทนของพลังงานศักยที่ระบบอยูภายใต อิทธิพล ยกตัวอยางเชน ในกรณีของอนุภาคอิสระที่เราศึกษาใน Section ที่ผานมา V ( xˆ ) = 0 หรือ ในกรณีที่อะตอมโดนยึดติดอยูกับอะตอมอื่นๆดวยพันธะเคมี เราอาจจะ model พลังงานศักยนี้ไดวา V ( xˆ ) =

1 2 kxˆ 2

โดยที่ k เปนตัวเลขที่แสดงถึงความแข็งแรงของพันธะเคมีดังกลาว

ใน position space เราเขียนสถานะของระบบ

Dr. Teepanis Chachiyo

Ψ (t )

ใหอยูใ นรูปของ

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-31

______________ สมการ (6.76)

Ψ (t ) = ∫ dxψ ( x, t ) x

จะเห็นวา probability amplitude ψ ( x, t ) ในสมการ (6.76) นั้น เปนฟงชันกของทั้งตําแหนง และ เวลา ที่เปนเชนนี้ก็เพราะ Schrödinger equation ที่ปรากฏในสมการ (6.74) นั้นมีสวนที่เปลี่ยนแปลง ไปกับเวลาดวย ดวยสถานะดังสมการ (6.76) ทําใหสมการ (6.74) เปลี่ยนรูปเปน

∫ dx i และเมื่อนําสถานะ bra

x′

∫ dx i ∫ dx i

∂ ψ ( x, t ) x = ∫ dxψ ( x, t ) Hˆ x ∂t

______________ สมการ (6.77)

เขามาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะไดวา ∂ ψ ( x, t ) x′ x = ∫ dxψ ( x, t ) x′ Hˆ x ∂t

∂ pˆ 2 ψ ( x, t )δ ( x′ − x) = ∫ dxψ ( x, t ) x′ + V ( xˆ ) x ∂t 2m i

∂ pˆ 2 ψ ( x′, t ) = ∫ dxψ ( x, t ) x′ x + ∫ dxψ ( x, t ) x′ V ( xˆ ) x ∂t 2m

______________ สมการ (6.78) ในการคํานวณขางตน ทางซายมือของสมการ เราใชคุณสมบัติของ Dirac delta function ในขณะที่ ทางขวาประกอบดวยสองเทอมดวยกัน เทอมแรก จากสมการ (6.28) เราพิสูจนโดยงายวา x′

2 2 ∂ pˆ 2 x =− δ ( x′ − x ) 2m 2m ∂x 2

และเทอมทีส่ อง จากสมการ (6.9) เราบอกไดทันทีวา

และเมื่อผนวกกันเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับการ integrate Dirac delta function แลว จะทําใหสมการ (6.78) ลดรูปไดเปน x′ V ( xˆ ) x = V ( x)δ ( x′ − x)

i

pˆ 2 ∂ ψ ( x′, t ) = ∫ dxψ ( x, t ) x′ x + ∫ dxψ ( x, t ) x′ V ( xˆ ) x 2m ∂t

i

2 ∂ ∂2 ψ ( x′, t ) = − ψ ( x′, t ) + V ( x′)ψ ( x′, t ) 2m ∂x′2 ∂t

และในทายทีส่ ุด เพื่อความสะดวก เราสามารถที่จะเปลี่ยนตัวแปรจากเดิม i

2 ∂ ∂2 ψ ( x, t ) = − ψ ( x, t ) + V ( x )ψ ( x, t ) 2 m ∂x 2 ∂t

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

x′

ใหเปน x ซึ่งก็จะได

______________ สมการ (6.79)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-32

สมการ (6.79) ก็คือ Schrödinger equation ใน position space ซึ่งเปนตนกําเนิดสําคัญของ quantum mechanics เบื้องตนที่นักศึกษาคุนเคยเปนอยางดี และโดยปรกติแลว การที่จะไดมาซึ่งผลเฉลย ψ ( x, t ) ก็ทําไดโดยการแกสมการอนุพันธอันดับสองของสมการดังกลาว นอกจากนี้ ψ ( x, t ) ยังอาจจะหาไดโดยการใชความสัมพันธ Ψ (t ) = ∑ cn e

iEn t

εn

n

ดังที่ปรากฏใน Section 4.6 ของบทที่ 4 ซึ่งถาเราใชคํานิยาม Ψ (t ) = ∫ dxψ ( x, t ) สถานะ bra x′ เขาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะพิสูจนไดวา ψ ( x, t ) = ∑ cn e

iEn t

x

และนํา

ψ n ( x)

______________ สมการ (6.80)

ψ n ( x ) + V ( x )ψ n ( x ) = Enψ n ( x )

______________ สมการ (6.81)

n

เมื่อ ψ n ( x) เปน eigen function ของสมการ −

2

∂2

2 m ∂x 2

ในบางครั้งเราเรียกสมการ (6.81) นี้วา time independent Schrödinger equation ดวยเหตุที่วาเปน สมการอนุพันธที่ไมขึ้นกับเวลา และสําหรับการคํานวณหา wave function ψ ( x, t ) ของระบบก็จะ กระทําเปนขัน้ ตอนโดยสังเขปคือ 1. กําหนดพฤติกรรมของระบบโดยการนิยาม V ( x) 2. กําหนดสถานะเริ่มตน ณ เวลา t=0 ของระบบ ซึ่งแทนดวย probability amplitude ψ ( x, t = 0) 3. แกสมการ time independent Schrödinger equation เพือ่ หาเซตของ eigen function {ψ n ( x)} และ eigen energy {En } 4. คํานวณสัมประสิทธิ์ cn = ∫ dxψ n∗ ( x)ψ ( x, t = 0) 5. ψ ( x, t ) = ∑ cne

iEn t

ψ n ( x)

n

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-33

Schrödinger Equation in Momentum Space ในการสรางสมการ Schrödinger ใน momentum space เราจําเปนตองเริ่มดวยการศึกษาเอกลักษณทาง คณิตศาสตร p xˆ Ψ กันเสียกอน พิจารณา p xˆ Ψ = p xˆ1ˆ Ψ

______________ สมการ (6.82)

= ∫ dx p xˆ x x Ψ = ∫ dx p x xψ ( x)

ในสมการขางตน เราใช identity operator ที่เขียนอยูใ นรูปของ 1ˆ = ∫ dx นอกจากนี้ เทอม

p x x

ยังสามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ

x x

1 e−ipx 2π

x

ใหเปนประโยชน โดยใชสมการ

(6.35) เปนตัวอางอิง แต x

1 e−ipx 2π

=i

1 2π

∂ −ipx e ∂p

______________ สมการ (6.83)

และเมื่อแทนสมการ (6.83) เขาไปในสมการ (6.82) จะไดวา 1 ∂ −ipx dx i e ψ ( x) ∫ ∂p 2π ∂ 1 =i dxe−ipx ψ ( x) ∫ ∂p 2π

p xˆ Ψ =

ϕ ( p)

เพราะฉะนั้นแลว p xˆ Ψ = i

∂ ϕ ( p) ∂p

______________ สมการ (6.84)

สมการ (6.84) แทบจะเรียกไดวามีความสัมพันธควบคูไปกับสมการ (6.27) เลยทีเดียว และในขณะ นี้เราก็พรอมทีจ่ ะ derive สมการ Schrödinger ใน momentum space

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

เริ่มดวย Schrödinger equation ในสมการ (6.74) ถาเรานําสถานะ bra ของสมการจะไดวา i

∂ p Ψ (t ) = p Hˆ Ψ (t ) ∂t

p

6-34

เขาประกบทัง้ สองขาง

______________ สมการ (6.85)

pˆ 2 ∂ i ϕ ( p, t ) = p Ψ (t ) + p V ( xˆ ) Ψ (t ) 2m ∂t

ทางขวามือของสมการขางตนนั้นมีอยูสองเทอมที่จะตองขยายความ เทอมแรกนั้น เนื่องจาก

เปน

Hermitian operator ทําให

⎛ pˆ 2 ⎞ ⎛ pˆ 2 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ 2m ⎟ ⎜ 2m ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

เพราะฉะนั้น

⎧ ⎛ 2 ⎞† ⎫ pˆ 2 pˆ ⎪ ⎪ p Ψ (t ) = ⎨ p ⎜ ⎟ ⎬ Ψ (t ) ⎜ ⎟ 2m ⎪ ⎝ 2m ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ p2 = p Ψ (t ) 2m

______________ สมการ (6.86)

pˆ 2 p2 Ψ (t ) = p ϕ ( p) 2m 2m

สวนเทอมที่สองในสมการ (6.85) นั้นมีความซับซอนมากขึ้น ประการแรกก็คือ operator V ( xˆ ) สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ Taylor series V ( xˆ ) = ∑ an xˆ n ดังนั้น n

p V ( xˆ ) Ψ (t ) = ∑ an p xˆ n Ψ (t ) n

และจากสมการ (6.84) จะไดวา n

⎛ ∂ ⎞ p V ( xˆ ) Ψ (t ) = ∑ an ⎜ i ⎟ ϕ ( p, t ) p ∂ ⎝ ⎠ n

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

______________ สมการ (6.87)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

โดยที่

⎛ ∂ ⎞ ⎜i ⎟ ⎝ ∂p ⎠

n

6 Wave Mechanics in One Dimension

มีความหมายวา อนุพนั ธอันดับ n ถึงแมรูปแบบของ

6-35

p V ( xˆ ) Ψ (t )

ดังสมการ

(6.87) นั้นจะตีความในเชิงคณิตศาสตรไดชัดเจน บางครั้นเรานิยมเขียนยอๆวา n

⎛ ∂ ⎞ ∂ ∑ an ⎜ i ∂p ⎟ ϕ ( p, t ) = V (i ∂p )ϕ ( p, t ) ⎝ ⎠ n

เพราะฉะนัน้ แลว

p V ( xˆ ) Ψ (t ) = V (i

∂ )ϕ ( p, t ) ∂p

______________ สมการ (6.88)

และในทายทีสุด เมื่อรวบรวมเทอมในสมการ (6.86) และ สมการ (6.88) จะทําให i

p2 ∂ ∂ ϕ ( p, t ) = ϕ ( p , t ) + V (i )ϕ ( p, t ) 2m ∂t ∂p

______________ สมการ (6.89)

สมการขางตนเปน Schrödinger equation ใน momentum space

Operator in Position Space and Expectation Value ที่ผานมาเราพยายามที่เขียน eigenstate ใหอยูในรูปของ ket และเขียน operator ใหอยูในรูปของ ketbra โดยพยายามหลีกเลีย่ งที่จะใชรูปแบบสัญลักษณของ wave function ถาไมจําเปน ทั้งนี้ก็เพื่อ ประโยชนที่ตอ งการฝกใหนกั ศึกษาไดคุนเคยกับระเบียบวิธีทาง quantum mechanics ที่ใช ket และ matrix เปนหลัก และไมยึดติดกับ Schrödinger wave function จนเกินไป มาถึงขั้นนี้ เมือ่ เรามีความเชีย่ วชาญเกี่ยวกับ ket และ matrix เปนที่นาพอใจแลว ก็ถึงเวลาที่เราจะ สละทิ้งรูปแบบเปลือกนอกของสัญลักษณทาง quantum mechanics ไมวาจะเปน a) wave function หรือเปน b) สถานะ ket ทั้งสอง ยอมมีความหมายเหมือนกัน และเปนเพียงเปลือกที่หุมไวดวยสาระ ของ quantum mechanics อันเดียวกัน ผูเชีย่ วชาญยอมสามารถเลือกใชเครื่องมือทั้งสอง ไดอยาง คลองแคลว และสลับสับเปลี่ยนระหวางสองยุทธวิธีตามความเหมาะสม operator ที่เราคุนเคย ซึ่งเขียนอยูในรูปแบบภาษาของ wave function ก็คือ operator ที่เขียนอยูใ นรูป ของ position space อาทิเชน momentum operator ตามแนวแกน x คือ Hamiltonian operator Hˆ = −

Dr. Teepanis Chachiyo

2

2m

pˆ x ≡

∂ i ∂x

หรือ

∇ 2 + V (r )

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-36

operator ในลักษณะดังกลาวนี้ จะสามารถกระทําไดแตเฉพาะกับ wave function ใน position space เพียงเทานั้น อาทิเชน ∂ ψ ( x) i ∂x

momentum operator

pˆ xψ ( x) =

Hamiltonian operator

Hˆ ψ (r ) = −

2

2m

∇ 2ψ (r ) + V (r )ψ (r )

เมื่อเปนเชนนีก้ ็หลีกเลี่ยงไมไดที่บางครั้งจะเกิดความสับสนในการใชสัญลักษณ วา operator Oˆ ที่ เรากําลังกลาวถึงนั้น เปน operator ใน position space หรือ เปน operator ที่เขียนขึน้ ในรูปทั่วไปอยาง ในสมการ (6.5) กันแน จึงตองอาศัยประสบการณของนักศึกษาเอง ที่จะสามารถแยกแยะทั้ง 2 กรณี ออกจากกัน โดยอาศัยบริบทของเนื้อหาแวดลอม เปนตัวตัดสิน อนึ่ง การเขียน operator ใน position space นั้นคอนขางงายตอการคํานวณ expectation value หรือ คํานวณ probability amplitude กําหนดให ψ (r ) คือ wave function ที่ใชแทนสถานะของระบบ จะไดวา expectation value ของ operator Oˆ ก็คือ expectation value

Oˆ = ∫ d3rψ (r )Oˆψ (r )

in position space ______ สมการ (6.90)

หรือ ในกรณีของ matrix element ระหวางสถานะ φ (r ) และ ψ (r ) ก็สามารถคํานวณไดอยาง ตรงไปตรงมาใน position space กลาวคือ φ ψ ≡ ∫ d3rφ ∗ (r )ψ (r )

in position space ______ สมการ (6.91)

นักศึกษาจะเห็นวา สมการ (6.90) นั้นคอนจะงายกวาสมการ (6.12) อยูม ากทีเดียว ทั้งๆที่มีความหมาย เดียวกัน ทีแ่ ตกตางกันก็เพราะวา operator Oˆ ในสมการ (6.90) นั้นมีขอจํากัดก็คือจะตองเขียนขึ้น ใน position space เพียงเทานัน้ ขอจํากัดดังกลาวนี้ไมกอใหเกิดปญหามากนัก เพราะสถานการณตางๆโดยทั่วไปในทาง quantum mechanics นัน้ จะใช position space เปนหลัก

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-37

แบบฝกหัด 6.17 สมมุติวาอนุภาคมวล m ใน 1 มิติอยูในสถานะที่อธิบายดวย wave function 14

⎛ mω ⎞ ⎟ ⎝π ⎠

ψ ( x) = ⎜

2 e− mω x 2

a) จงคํานวณหา expectation value ของ พลังงานจลน b) จงคํานวณหา expectation value ของ operator

2

∂2

2m ∂x 2

1 mω xˆ 2 2

c) จงแสดงใหเห็นวา

ψ ψ =1

d) จงแสดงใหเห็นวา

⎡ 4 ⎛ mω ⎞3 ⎤ φ ψ = 0 เมื่อ φ ( x) = ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ π ⎝

14

2 xe− mω x 2

6.7 Square Well Potential เมื่อเราไดศึกษาการเขียนสมการ Schrödinger ทั้งสองรูปแบบคือ in position space ในสมการ (6.79) และ in momentum space ในสมการ (6.89) มาแลว ก็มีความจําเปนที่เราจะตองยกตัวอยางการ นํามาใชงาน ซึ่งก็คือการศึกษา quantum well ของสารประกอบ GaAs และ GaAlAs

โครงสรางของ quantum well

model ในการศึกษา V ( x)

x

x 2a บอพลังงานศักย

GaAlAs

2a

GaAs

ภาพ 6.4 แสดงชั้นของสาร GaAs ซึ่งโดยประกบอยูระหวาง GaAlAs โครงสรางของ quantum well อีกแบบหนึง่ ก็คือการนําสารกึ่งตัวนํามาประกอบกันเปนชั้นๆ ยกตัวอยางเชนในภาพ 6.4 แสดงชั้นของสาร GaAs ซึ่งโดยประกบอยูระหวาง GaAlAs ใน การศึกษาหรือทํานายคุณสมบัติของกระแสอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ผานโครงสรางลักษณะดังกลาวนี้ เราสามารถใช model ทาง quantum mechanics อยางงาย เพื่อวิเคราะหสมบัติพื้นฐานอยางหยาบๆ ดวยการมองวาอิเล็กตรอนนัน้ ตกอยูภ ายใตอิทธิพลของบอพลังงานศักยคาหนึ่ง ซึ่งมีความกวางของ บอเทากับความหนาของชั้น GaAs Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-38

บอพลังงานศักยดังกลาว เรียกกันทั่วไปวา Finite Square Well ในขั้นแรกนี้ Finite Square Well เปน บอพลังงานศักย ซึ่งมีความสูงเทากับ V0 และความกวาง 2a ดังจะเห็นในภาพที่ 6.5 โดยที่ขอบบอ ทั้งสองขาง ไดถูกวางไวใหมคี วามสมมาตร ในทั้งดานขวาและดานซายของแกน x ทั้งนี้ก็เพื่อใหงาย ตอการวิเคราะหในเชิงคณิตศาสตรในลําดับตอไป V0

−x

−a

+x

+a

ϕ I (x) ϕ II (x) ϕ III (x) ภาพ 6.5 Finite Square Well ซึ่งเปนลักษณะของบอพลังงานศักยที่มีความสูง V0 และความกวาง ของบอ 2a จากภาพที่ 6.5 เราสามารถที่แบง Finite Square Well ตามแนวแกน x ออกเปน 3 สวนดวยกัน จากนั้น เขียนสมการ Schrödinger ในแตละสวนตามลําดับไดดังตอไปนี้ ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ − ∇ + V0 ⎟ϕ I ( x) = Eϕ I ( x) ; − ∞ < x < −a ⎠ ⎝ 2 1 − ∇ 2ϕ II ( x) = Eϕ II ( x) ; − a < x < + a 2 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ − ∇ + V0 ⎟ϕ III ( x) = Eϕ III ( x) ; + a < x < +∞ ⎝ 2 ⎠

___________ สมการ (6.92)

ซึ่งถาเรามุงที่จะวิเคราะห แตเฉพาะในกรณีที่อิเล็กตรอนถูกจํากัดอยูแตภายในบอ กลาวคือ พลังงาน ของอิเล็กตรอน E < V0 จะได wave function ในทัง้ 3 สวนดังนี้ φI ( x) = A + eQ⋅ x φII ( x) = B+ cos(k ⋅ x)

φI ( x) = A − eQ⋅ x φII ( x) = B− sin(k ⋅ x)

φIII ( x) = A + e−Q⋅ x

φIII ( x) = −A − e−Q⋅ x

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

___________ สมการ (6.93)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

k 2 + Q 2 = 2V0 และ E =

k2 2

6-39

___________ สมการ (6.94)

แบบฝกหัด 6.18 จงพิสูจนหาความสัมพันธระหวาง k และ Q ในสมการ (6.94) รูปแบบของ wave function ในสมการ (6.93) นั้น ลวนแลวแตเปนคําตอบของ Schrödinger Equation ในสมการ (6.92) โดยสามารถจําแนกออกเปนสองประเภทคือ ฟงชันกคู และฟงชันกคี่ ตามที่เห็นไดจากเทอม cos(kx) และ เทอม sin(kx) ในสมการที่ (6.93) นั่นเอง จะสังเกตวาสมการในขางตนนั้น มีตวั แปรหรือคาคงที่ ซึ่งยังไมทราบคาอยูจํานวนหนึ่ง คือ A ± , B± , k และ Q การที่เราจะทราบคาที่แทจริงของตัวแปรเหลานี้ จําเปนเปนตองอาศัย คุณลักษณะอืน่ ๆของ wave function เขามาพิจารณารวมกันดวย กลาวคือ ถาเราพิจารณาตําแหนง x = −a และ x = + a ซึ่งตําแหนงทั้งสองนี้เปนรอยตอของ st ϕ I ( x) , ϕ II ( x) ,และ ϕ III ( x) จะไดวา คาของฟงชันก และ 1 derivative ของฟงชันก จะตองเทากัน ดวยเหตุที่ wave function มีความตอเนื่อง ไมขาดตอนในบริเวณรอยตอเหลานี้ ϕ II (a) = ϕ III (a) dϕ II ( x) dϕ ( x) = III dx a dx a

___________________ สมการ (6.95)

ถาเรานําขอจํากัดในขางตนมาพิจารณากับ wave function ในสมการ (6.93) โดยแยกพิจารณาสําหรับ ฟงชันกคูและฟงชันกคี่เปนกรณีๆไป จะไดวา B+ cos(ka) = A + e−Q⋅a

B− sin(ka) = −A − e−Q⋅a

-kB+ sin(ka) = −QA + e−Q⋅a

kB− cos(ka) = QA − e−Q⋅a

Even solution

Odd solution

________ สมการ (6.96)

จาก สมการ (6.96) และ สมการ (6.94) เราสามารถสรุปความสัมพันธระหวาง k และ Q ดังตอไปนี้ k tan(ka ) = Q k + Q = 2V0 2

2

Even solution

Dr. Teepanis Chachiyo

- k cot(ka) = Q k 2 + Q 2 = 2V0

________ สมการ (6.97)

Odd solution

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-40

จะมีเซตของคา {k , Q} เพียงจํานวนหนึ่งเทานัน้ ทีจ่ ะทําใหสมการ (6.97) เปนจริง โดยที่เราสามารถ หาคําตอบไดโดยการวิเคราะหกราฟ ดังแสดงในภาพ (6.6) ยกตัวอยางเชน ในกรณีของฟงชันกคู จุดตัดของวงกลม k 2 + Q 2 = 2V0 ซึ่งมีรัศมี 2V0 กับกราฟ Q = k tan(ka) เปนจุดของ {k , Q} ที่ทําให สมการ (6.97) เปนจริง แบบฝกหัด 6.19 จงพิสูจนวา ในกรณี ของ Finite Square Well ซึ่งมีความกวาง 2a และความสูง V0 จะมีจํานวน bound state ( E < V0 ) ซึ่งเปนฟงชันกคูเทากับ 1 + floor( เทากับ 1 + floor(

2V0 a

π

)

และเปนฟงชันกคี่

2V0 a

หมายเหตุ ฟงชันก

1 − ) 2 π floor( x) คือจํานวนเต็มที่มากทีส ่ ุด ซึ่งนอยกวาจํานวนจริง x

Q

k 2 + Q 2 = 2V0 Q = k tan(ka) Q = −k cot(ka)

ภาพ 6.6 แสดงการวิเคราะหกราฟเพื่อทีจ่ ะหา เซต {k , Q} ที่ทําใหสมการ (6.97) เปนจริง ยกตัวอยางเชน ในกรณีของฟงชันกคู จุดตัด ของวงกลมสีแดง k 2 + Q 2 = 2V0 และ กราฟ สีน้ําเงิน Q = k tan(ka)

k

มาถึงจุดนี้ เราสามารถที่จะคํานวณคา {k , Q} ที่เปนไปไดของระบบ โดยเฉพาะอยางยิ่ง คา k นั้น มีความสัมพันธกับระดับพลังงานตามสมการ (6.94) นอกเหนือจากนี้ คาของ B± ยังสามารถเขียนให อยูในรูปของ A ± , k, Q, และ a โดยใชสมการ (6.96) e −Q ⋅ a B+ = A + cos(ka)

e −Q ⋅ a B− = − A − sin(ka)

Even solution

Odd solution

________ สมการ (6.98)

ซึ่งถานํา B± ที่ไดในขางตน เขาไปแทนคาในสมการ (6.93) ก็จะได wave function ดังนี้

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6-41

φI ( x) = A −eQ⋅ x

φI ( x) = A + eQ⋅ x φII ( x) =

6 Wave Mechanics in One Dimension

e-Q⋅a A + cos(k ⋅ x) cos(ka)

φII ( x) = −

φIII ( x) = A + e−Q⋅ x

e −Q ⋅ a A − sin(k ⋅ x) sin(ka )

______ สมการ (6.99)

φIII ( x) = −A − e−Q⋅ x

Even solution

Odd solution

การที่เราจะได wave function ที่ครบถวนสมบูรณนั้น จําเปนตองหาคาของ A ± ในสมการ (6.99) เสียกอน ซึ่งคาของ A ± นั้น ไดมาจาก Normalization condition กลาวคือ ความเปนไปไดที่จะ พบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงใดๆ ควรจะมีผลรวมเปน 1 เสมอ หรืออีกนัยหนึ่ง −a

2

φI ( x) dx +

-∞

+a

2

φII ( x) dx +

+∞

2

φIII ( x) dx = 1

________________ สมการ (6.100)

+a

-a

การที่ผลบวกของ Integral ทั้ง 3 เทอม มีคาเปน 1 จะทําใหสามารถหาคาของ A ± ไดดงั นี้ A+ = A− =

Q 2

2

2V0 cos (ka ) + k Qa Q 2V0 sin 2 (ka ) + k 2Qa

k cos(ka)eQ⋅a

k sin(ka)e

________________ สมการ (6.101) Q⋅a

แบบฝกหัด 6.20 จงพิสูจนหาคา A ± ในสมการ (6.101) ในที่สุด เราก็ได wave function ที่ครบถวนสมบูรณ ดังจะเห็นใน สมการ (6.99) และ สมการ (6.101) ยกตัวอยางเชน ถาเรากําหนดให a = 2 Bohr และ Vo = 1 Hartrees จากการวิเคราะหกราฟที่มี ลักษณะคลายๆกับ ภาพ 6.6 เราจะมีคําตอบที่เปน bound state อยูสองคําตอบ ซึ่งมีพลังงาน E=0.166 Hartrees และ E=0.623 Hartrees ดังที่เห็นในภาพ 6.7

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-42

Ground State ฟงชันสคู k = 0.576 Q = 1.292 A+ = 3.237 E = 0.166 Hartrees

2

1

Excited State ฟงชันสคี่ k Q AE

0

−1

−5

0

= = = =

1.116 0.869 2.526 0.623 Hartrees

5

x-axis (Bohr)

ภาพ 6.7 แสดง wave function ของบอพลังงานศักยที่มคี วามกวาง 2 Bohr และความสูง Vo= 1 Hartrees คา {k,Q} ไดมาจากเทคนิคการวิเคราะหกราฟดังที่อธิบายในภาพ 6.6 เราสามารถที่จะตรวจสอบความถูกตองของ wave function ในสมการ (6.99) และ สมการ (6.101) ได โดยสมมุติให V0 → ∞ ซึ่งจะเปนระบบแบบ Infinite Square Well ดังที่ไดกลาวไวแลว ในกรณีนี้ จะไดวา จุดตัดของกราฟ ดังในภาพที่ 6.6 จะอยูที่ Q→∞ 1⎞ ⎛ ka = ⎜ n + ⎟π 2⎠ ⎝

; n = 0,1,2,…

2

1⎞ π2 ⎛ E = ⎜n + ⎟ 2 ⎠ 2a 2 ⎝

Q→∞ ka = nπ E = n2

Even solution

; n = 1,2,…

π2 2a 2

Odd solution

ทําให wave function ในสมการที่ (6.99) ลดรูปลงมาเหลือเพียง ϕ I ( x) = 0 ϕ II ( x) =

ϕ I ( x) = 0

1 a

cos(k ⋅ x)

ϕ III ( x) = 0

ϕ II ( x) =

1 a

sin(k ⋅ x)

ϕ III ( x) = 0

Even solution

Odd solution

ซึ่งก็เปน wave function ของระบบ infinite square well นั่นเอง

6.8 Scattering in One Dimension Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-43

Section ที่ผานมา เราไดศึกษาระดับพลังงานและ wave function ของระบบที่ถูกขังอยูในบอพลังงาน ศักย ซึ่งเปน model ที่เราใชในการศึกษาพฤติกรรมของอิเล็กตรอนที่อยูภ ายในชั้นของ quantum well ในคราวนีเ้ ราจะมาศึกษาระบบที่พลังงานศักยมีลักษณะเปนเหมือนกําแพง เรียกวา "potential barrier" หรือ กําแพงศักย ซึ่งกําแพงดังกลาวเปน model ในการศึกษาการทดลองที่เรียกวา scattering experiment

incident beam

reflected beam

transmitted beam

ภาพ 6.8 ในเมื่อเราจํากัดการกระเจิงใหอยูแ ตเพียง 1 มิติ ทิศทางในการ scattered จึงมีไดเพียง 2 ทิศ คือ 1) ยอนกลับ หรือที่เรียกวา reflected beam และ 2) ทะลุผาน หรือที่เรียกวา transmitted beam ใน scattering experiment อนุภาคที่มีพลังงานสูงจะถูกยิงเขาสูเปาหมาย เมื่อเขาใกลก็จะมี interaction กับสิ่งที่กําลังกีดขวาง และอนุภาคก็จะเกิดการ "กระเจิง" หรือ "scattered" ไปในทิศทาง ตางๆกัน เพือ่ ใหงายตอการศึกษา เรามาวิเคราะหการทดลองดังกลาวโดยใช model แบบงายๆใน 1 มิติ และในเมื่อเราจํากัดการกระเจิงใหอยูแ ตเพียง 1 มิติ ทิศทางในการ scattered จึงมีไดเพียง 2 ทิศ คือ 1) ยอนกลับ หรือที่เรียกวา reflected beam และ 2) ทะลุผาน หรือที่เรียกวา transmitted beam ขอควรระวัง นักศึกษาตองไมลืมวาภาพ 6.8 เปนกราฟที่แสดงความนาจะเปนที่จะพบอนุภาค ซึ่งแท ที่จริงแลว เมื่ออนุภาคพุงเขามามี interaction กับกําแพงศักยแลว จะปรากฏวามันทะลุผานหรือ สะทอนกลับนัน้ เปนเรื่องของความนาจะเปน ภาพ 6.8 มิไดหมายความวาอนุภาคพุง ชนกําแพงแลว แตกออกเปนสองเสี่ยง ซึ่งสวนหนึ่งทะลุผา นและอีกสวนที่เหลือสะทอนกลับ

Plain-Wave Model of Particle Beam แตทวา ใน scattering experiment ทั่วๆไปแลว เรามิไดใชอนุภาคเพียงอนุภาคเดียวในการทดลอง แตเปนลักษณะของ particle beam หรือ ลําของอนุภาคจํานวนมากที่พุงเขาสูเปาหมาย ยกตัวอยาง Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-44

เชนในกรณีของ particle beam พุงผานพื้นที่วางซึ่งไมมีกาํ แพงศักยกั้นอยู หรือ V (r ) = 0 เราสามารถ เขียนสมการ Time-Independent Schrödinger ไดวา −

2

2m

∇ 2ψ (r ) = Eψ ( r )

ในสมการขางตน เราเขียนใหอยูในรูปของ 3 มิติ ซึ่งมีคําตอบของสมการคือ 1 ik ⋅r ψ (r ) = e V

และ E =

k

2

2m

________________ สมการ (6.102)

จะเห็นวา normalization constant ของ probability amplitude ขางตน ก็คือ 1 V ซึ่งหมายถึง "หนึ่ง สวน square root ของปริมาตรของระบบที่เรากําลังพิจารณา" เทคนิคการเขียนฟงชันกในลักษณะนี้ มีประโยชนทาํ ใหฟงชันก ψ (r ) มีสมบัติการ normalization เปนหนึ่ง กลาวคือ

∫d

3

rψ ∗ (r )ψ (r ) = ∫ d 3r =

∫d

3

1 −ik ⋅r 1 +ik ⋅r e e V V

1 3 d r V∫

rψ ∗ (r )ψ (r ) = 1

สวน vector k ในสมการ (6.102) นั้นเรียกวา wave vector และมีความสัมพันธกับ momentum ของ particle beam ที่เรากําลังกลาวถึง ซึ่งก็คือ p= k

________________ สมการ (6.103)

แบบฝกหัด 6.21 จงแสดงใหเห็นวา probability amplitude ในสมการ (6.102) เปน eigenstate ของ momentum operator ใน 3 มิติ x pˆ x Ψ =

∂ ψ (r ) i ∂x

y pˆ y Ψ =

∂ ψ (r ) i ∂y

z pˆ z Ψ =

และพิสูจนใหเห็นวา eigenvalue ของ momentum operator ดังกลาวก็คือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

k

∂ ψ (r ) i ∂z

นั่นเอง

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-45

นักศึกษาจะเขาใจวารูปแบบทางคณิตศาสตรของ probability amplitude (หรือ wave function) ใน สมการ (6.102) นั้น มีสมบัตทิ ี่เหมาะสมที่จะใชเปน model ของ particle beam ไดเปนอยางดี ดวย การพิจารณา time evolution ของฟงชันก ψ (r ) ดังกลาวนี้ ซึ่งในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.80) จะไดวา ψ (r , t ) =

1 i ( k ⋅r − ωt ) e V

เมื่อ ω= k

2

2m

________________ สมการ (6.104)

เมื่อ plot graph ของ ψ (r , t ) ใน 1 มิติ จะเห็นวามีลักษณะเปนคลื่นที่กําลังเคลื่อนที่ดังภาพ 6.9 โดยที่ k เปนตัวกําหนดทิศทางการเคลื่อนที่ดังกลาว

probability amplitude

probability

ψ ( x, t ) ∼ exp ( ikx − iωt )

2

ψ ( x, t ) = คาคงที่

x

x

ภาพ 6.9 แสดง model ที่ใชแทนระบบของ particle beam จะสังเกตวา probability amplitude เคลื่อนที่จากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณีที่ k เปนบวก) ในทางตรงกันขาม ความนาจะเปนที่จะ พบอนุภาคที่ประกอบกันขึน้ เปน particle beam มีคาคงที่ตลอดแนวแกน x ภาพ 6.9 แสดง model ที่ใชแทนระบบของ particle beam จะสังเกตวา 1) probability amplitude เคลื่อนที่จากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณีที่ k เปนบวก) ซึ่งลักษณะทาง คณิตศาสตรเชนนี้ก็เหมือนกับการเคลื่อนที่ของอนุภาคทีป่ ระกอบกันขึน้ เปน particle beam 2) ในทางตรงกันขาม ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคเหลานี้ มีคาคงที่ตลอดแนวแกน x ซึ่งเปน ลักษณะของ particle beam ที่โดยเฉลี่ยแลว พอจะอนุโลมไดวามีลักษะเปนเนื้อเดียวกันโดยตลอดทัง้ beam เพราะฉะนั้น ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคจึงเปนคาคงที่ตลอดแนวแกน x

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-46

อยางไรก็ตาม สถานะของระบบดังในสมการ (6.104) เปนเพียงอีกสถานะหนึ่งที่เปนไปได ในความ เปนจริงแลว particle beam อาจจะประกอบดวยอนุภาคทีม่ ี momentum คาตางๆกัน หรือมีทิศทางการ เคลื่อนที่ของอนุภาคแตกตางกัน ยกตัวอยางเชนแสงที่สองจากดวงอาทิตยมีความถีต่ างๆกัน ซึ่ง หมายถึงมี momentum แตกตางกัน หรือแสงที่ปรากฏอยูภายในหองมีที่มาจากหนาตางหลายๆบาน ซึ่งหมายถึงมีวา มันมีทิศทางตางๆกัน นั่นก็หมายถึงในเมื่อเราพิจารณา particle beam ที่ซับซอนเหมือนจริงมากขึ้น สถานะของระบบ อาจจะอยูในรูปของ linear superposition ของสถานะพื้นฐานดังในสมการ (6.102) ดังจะได ยกตัวอยางการคํานวณในทาง quantum mechanics ที่เกี่ยวของกันการ scattering

Scattering from Potential Barrier Ae+ikx + Be−ikx

Ce+ikx

incident + reflected transmitted or tunneled ภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มิติของ interaction ระหวางอนุภาคที่ถูกเรงใหมีความเร็วสูง กับ target ภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มิติของ interaction ระหวางอนุภาคที่ถูกเรงใหมีความเร็วสูงกับ target ซึ่งเราแทน interaction ดังกลาวดวย potential barrier ที่มีความสูงเทากับ V0 และเขียนใหอยู ในรูปของฟงชันกไดวา ⎧0 ⎪ V(x)= ⎨V0 ⎪0 ⎩

Dr. Teepanis Chachiyo

x < −d −d < x < d

________________ สมการ (6.105)

x>d

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-47

และสมมุติใหอนุภาคมีพลังงาน E<V0 เพราะฉะนั้นจากการวิเคราะห Schrödinger equation เรา บอกไดวาผลเฉลยของสมการอยูในรูปของ ⎧ Aeikx + Be−ikx ⎪ ⎪ ψ (x)= ⎨ Feqx + Ge− qx ⎪ Ceikx ⎪⎩

x < −d −d < x < d

________________ สมการ (6.106)

x > +d

โดยที่ k และ q มีความสัมพันธกับพลังงานก็คือ k=

2mE 2

และ q =

2m ( V0 − E ) 2

________________ สมการ (6.107)

ดังสมการ (6.106) ในกรณีของ x < −d จะสังเกตเห็นวาสถานะของระบบเปน linear superposition ของ probability amplitude ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.102) ซึ่งก็คอื Ae+ikx และ Be−ikx ขอ แตกตางของสถานะพื้นฐานทั้งสองนี้ก็คือเครื่องหมายของ wave vector k เครื่องหมายที่แตกตาง กันนีแ้ สดงใหเห็นถึงทิศทางการเคลื่อนที่ของ beam ทั้งสอง หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง Ae+ikx

เปนตัวแทนของ incident beam หรือ ลําของอนุภาคที่ยิงออกมาจากแหลงกําเนิด ในขณะที่ Be−ikx เปนตัวแทนของ reflected beam หรือ ลําของอนุภาคที่สะทอนกับภายหลังจากกระทบกับ กําแพงศักยนนั่ เอง สาเหตุที่ในบริเวณ x > + d เรามิไดนาํ เทอมที่อยูในรูปของ ∼ e−ikx เขามารวมพิจารณาในสมการ (6.106) ดวยนัน้ ก็เพราะวาเทอม e−ikx มีลักษณะเปนคลื่นทีพ่ ุงยอนกลับจาก x = +∞ เขาสู x = 0 ซึ่งขัดกับขอกําหนดในทางฟสิกส เพราะเปนไปไมไดที่เมื่ออนุภาคไดทะลุผานกําแพงศักยออกไป แลว จะสามารถยอนกลับเขามาอีกได เซตของสัมประสิทธิ์ { A, B, F , G, C} ที่ปรากฏอยูในสมการ (6.106) นั้นสามารถคํานวณไดโดยใช เงื่อนไปของความตอเนื่อง (continuity condition) ณ บริเวณรอยตอ ซึ่งจะนําไปสูสมการทั้งสิ้น 4 สมการก็คือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-48

Ae−ikd + Be+ikd = Fe− qd + Ge+ qd ikAe−ikd − ikBe+ikd = qFe− qd − qGe+ qd Feqd + Ge− qd = Ceikd qFe qd − qGe− qd = ikCeikd

และเพื่อใหจํานวนตัวแปรลดลง เราหารทุกๆสมการดวย

A

และจัดรูปเสียใหมจะไดวา

be+ikd − fe− qd − ge+ qd = −e−ikd −ikbe +ikd − qfe− qd + qge+ qd = −ike−ikd −ceikd + feqd + ge− qd = 0 −ikceikd + qfe qd − qge− qd = 0

ทั้งนี้เรานิยาม b ≡ B , A

c≡

C F G , f ≡ ,g ≡ A A A

เพื่อความกระชับในการเขียนสมการ และสมการ

ขางตนมีคําตอบผลเฉลยคือ b = fe−ikd − qd + ge−ikd + qd − e−2ikd −4ikqe−2ikd

c=

(q − ik ) 2 e +2qd − (q + ik ) 2 e−2qd

f =

(q + ik )eikd − qd c 2q

________________ สมการ (6.108)

(q − ik )eikd + qd g= c 2q

ซึ่งเมื่อนําผลเฉลยดังกลาวแทนเขาไปใน probability amplitude ในสมการ (6.106) จะไดลักษณะดัง ภาพ 6.10 จะสังเกตเห็นวา ถึงแมพลังงานของระบบ จะมีคานอยกวา potential barrier ก็ตาม อนุภาคยังมีความนาจะเปนทีจ่ ะทะลุผานกําแพงศักยออกไปได ปรากฏการณเชนนีเ้ รียกวา "tunneling" tunneling เปนหนึ่งในปรากฏการณที่เกิดขึ้นจริง แตขัดแยงกับ classical mechanics โดยสิ้นเชิง นักศึกษาคงเคยปนจักรยานใหเร็วที่สุด จากนั้นปลอยใหมนั วิ่งขึ้นเนินดวยอาศัยพลังงานจลนของตัว จักรยานเอง แนนอนวาถาพลังงานจลนที่เราใสเขาไปในจักรยานดวยการปนนัน้ มีคานอยกวา พลังงานศักยทเี่ กิดจากความสูงของเนิน เรายอมขามเนินไปไมได กลาวคือ ความนาจะเปนทีจ่ ะพบ จักรยาน ณ อีกฟากหนึง่ ของเนินเปนศูนย Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-49

แตในระบบขนาดเล็กๆเชน atom หรือ molecule ปรากฏการณ tunneling เกิดขึ้นไดทั่วไป และยัง เปนที่มาของสิ่งประดิษฐทเี่ รียกวา "Scanning Tunneling Microscope" หรือ STM อีกดวย จากการวิเคราะหปรากฏการณ tunneling ดังกลาว เราสามารถนิยาม transmission coefficient วาเปน อัตราสวนของ particle beam ที่ทะลุออกไป ตอ incident beam ไดวา transmission coefficient T =

C A

2

________________ สมการ (6.109)

และในทํานองเดียวกัน reflection coefficient ก็เปนอัตราสวนที่ particle beam จะสะทอนกลับ ภายหลังจากมี interaction กับ potential barrier แลว reflection coefficient R =

B A

2

________________ สมการ (6.110)

ขอควรระวัง อยางไรก็ตาม transmission coefficient และ reflection coefficient ดังในสมการขางตน มีความหมายแคบๆที่มีขอบเขตการใชงานจํากัดอยูแตเฉพาะในการวิเคราะห potential barrier เทานัน้ คํานิยามของ coefficient ทั้งสองซึ้งใชเปนมาตรฐานสากลจําเปนจะตองนําความรูเรื่อง probability current เขามารวมอธิบาย ซึ่งเราจะกลาวถึงโดยละเอียดอีกครั้งในเนื้อหาของบท Scattering ดังตัวอยางของ potential barrier ขางตน เมื่อรวมรวมเอาสมการ (6.109) , (6.108) , และ (6.107) เขา ดวยกัน เราบอกไดวา T=

1 V02 1+ sinh 2 (2qd ) 4 E (V0 − E )

เมื่อ q =

2m ( V0 − E ) 2

__________ สมการ (6.111)

แบบฝกหัด 6.22 จงพิสูจนสมการ (6.111) บอกใบ :

(q − ik )2 e+2qd − (q + ik )2 e−2qd

Dr. Teepanis Chachiyo

2

2

2 = ⎡ 2(q 2 + k 2 ) sinh(2qd ) ⎤ + [ 4qk ] ⎣ ⎦

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-50

แบบฝกหัด 6.23 จงวิเคราะหหา probability amplitude ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.108) แตเปน ในกรณีที่ E > V0 และพิสูจนใหเห็นวา ในกรณีดังกลาวนี้ 2m ( E-V0 ) 1 เมื่อ q = __________ สมการ (6.112) T= 1+

2

V02 sin 2 (2qd ) 4 E ( E − V0 )

transmission coefficient as a function of beam energy T

T=

1

0.8 0.6

1 V02 1+ 4 E E − V0

0.4

⎧⎪sinh 2 (2qd ) E < V 0 ⎨ 2 ⎪⎩ sin (2qd ) E ≥ V0

V0

q=

0.2 0

0

1

2

3

4

−d

2m E-V0 2

+d

E V0 ภาพ 6.11 แสดง transmission coefficient ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามระดับพลังงานของ particle beam ที่ กําลังพุงเขามา (incident beam) ภาพ 6.11 แสดง transmission coefficient ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามระดับพลังงานของ particle beam ที่ กําลังพุงเขามา (incident beam) จากกราฟเมื่อพลังงานมีคาต่ํา โอกาสที่อนุภาคจะทะลุกําลังแพงศักย จึงมีคานอย และความนาจะเปนอันนี้ ก็จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เมื่อพลังงานของอนุภาคมีคามากขึ้น อยางไรก็ตาม มิไดหมายความวา พลังงานยิง่ สูง transmission coefficient จะยิ่งมากเปนเงาตามตัว เสมอไป จากภาพจะสังเกตบริเวณทีเ่ ปนเงาสี่เหลี่ยมสีฟา จะเปนชวงที่ T ( E ) มีคาลดลง ทั้งๆที่ V

E V

มีคาเพิ่มขึ้น ปรากฏการเชนนี้ อธิบายไมไดโดยใชแนวคิดพื้นฐานของ classical mechanics แบบฝกหัด 6.24 จงหาเงื่อนไขที่ทําให T = 1

6.9 Ehrenfest Theorem tunneling เปนตัวอยางหนึ่งทีแ่ สดงถึงศักยภาพของ quantum mechanics ซึ่งมีขอบเขตในการอธิบาย ปรากฏการณตางๆ ในขณะที่ classical mechanics เขาไปไดไมถึง Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-51

และเมื่อกลาวถึง classical mechanics หรือ Newtonian mechanics แลวนั้น หัวใจสําคัญของทฤษฏี ดังกลาวตั้งอยูบ นพื้นฐานของกฎขอที่สองของ Newton ซึ่งกลาววา F=

dp = ma dt

ใน Newtonian mechanics __________ สมการ (6.113)

ในมุมมองของ Newtonian mechanics กฎดังกลาวเปน axiom ที่กําหนดขึ้นโดยไมมตี รรกะรองรับ แต ดวยอาศัยผลการทดลองจํานวนมหาศาลที่พิสูจนเปนประจักพยานแลววา กฎดังกลาวถูกตอง และ ใน Section 6.9 นี้เราจะมากลาวถึงศักยภาพอีกอันหนึ่งของ quantum mechanics ที่สามารถ "derive" กฎขอสองของ Newton กอนอื่นเรามาพิจารณา Hermitian operator Aˆ ใดๆ และมาวิเคราะหวา เมื่อนํา operator ดังกลาวมา ตรวจวัดสถานะของระบบ expectation value ที่ไดจะเปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไรบาง d ˆ d A = Ψ (t ) Aˆ Ψ (t ) dt dt

และเมื่ออาศัยกฎลูกโซจะไดวา d ˆ ⎛d A =⎜ Ψ (t ) dt ⎝ dt

⎞ˆ ˆ ⎛ d Ψ (t ) ⎟ A Ψ (t ) + Ψ (t ) A ⎜ ⎠ ⎝ dt

∂ ˆ ⎞ A Ψ (t ) ⎟ + Ψ (t ) ∂t ⎠

เมื่อนํา Schrödinger equation ดังในสมการ (6.74) เขามาเปลี่ยนรูปพจนที่อยูในวงเล็บ จะทําให d ˆ ⎛i ∂ ˆ ⎞ ⎛i ⎞ A = ⎜ Ψ (t ) Hˆ ⎟ Aˆ Ψ (t ) − Ψ (t ) Aˆ ⎜ Hˆ Ψ (t ) ⎟ + Ψ (t ) A Ψ (t ) dt ∂t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i ˆ ˆ Ψ (t ) + Ψ (t ) ∂ Aˆ Ψ (t ) ˆ ˆ Ψ (t ) − i Ψ (t ) AH = Ψ (t ) HA ∂t d ˆ i ˆ ˆ Ψ (t ) + Ψ (t ) ∂ Aˆ Ψ (t ) ˆ ˆ − AH A = Ψ (t ) HA ∂t dt

เราสามารถลดรูปสมการขางตนใหกระชับขึ้นอีกโดยใชคํานิยามของ commutator ˆ ˆ = ⎡ Hˆ , Aˆ ⎤ เพราะฉะนั้นแลว ˆ ˆ − AH HA ⎣ ⎦

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

∂ ˆ d ˆ i A = Ψ (t ) ⎡⎣ Hˆ , Aˆ ⎤⎦ Ψ (t ) + Ψ (t ) A Ψ (t ) ∂t dt

6-52

__________ สมการ (6.114)

สมการขางตนอธิบายความเปลี่ยนแปลงตามเวลาของ expectation value ของ operator ใดๆ ซึ่งมี ประโยชนมากในการวิเคราะหวาระบบทีเ่ รากําลังพิจารณาอยูนั้น มี ตําแหนง, momentum, หรือ ปริมาณทางฟสิกสอื่นๆ เปนฟงชันกอยางไรกับเวลาที่ผานไป ยกตัวอยางเชน พิจารณา momentum operator

pˆ x

จากสมการ (6.114) จะไดวา

d i ∂ pˆ x = Ψ (t ) ⎡⎣ Hˆ , pˆ x ⎤⎦ Ψ (t ) + Ψ (t ) pˆ x Ψ (t ) dt ∂t

__________ สมการ (6.115)

=0

เนื่องจาก momentum operator Hamiltonian ใน 1 มิติคือ

pˆ x

ไมสวนทีข่ ึ้นกับเวลา ดังนั้นเทอมที่สองจึงเปนศูนย นอกจากนี้

pˆ 2 Hˆ = + V ( xˆ ) 2m

เพราะฉะนัน้ แลว

⎡ ˆ2 ⎤ ⎡ Hˆ , pˆ x ⎤ = ⎢ p , pˆ x ⎥ + [V ( xˆ ), pˆ x ] ⎣ ⎦ ⎢⎣ 2m ⎥⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ∑ an xˆ n , pˆ x ⎥ ⎣⎢ n ⎦⎥ = ∑ an ⎡ xˆ n , pˆ x ⎤ ⎣ ⎦ n

โดยที่ในสมการขางตน เราเขียน operator ของพลังงานศักย V ( x) ใหอยูใ นรูปของ Taylor expansion V ( xˆ ) = ∑ an xˆ 2 นอกจากนี้ จากแบบฝกหัด 6.23 เราบอกไดวา n

⎡ Hˆ , pˆ x ⎤ = i ⎣ ⎦

∑ an nxˆ n −1

=i

∂ an xˆ n ∑ ∂x n

n

⎡ Hˆ , pˆ x ⎤ = i ∂ V ( xˆ ) ⎣ ⎦ ∂x

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

แบบฝกหัด 6.25 จงหาพิสจู นวา ⎡⎣ xˆ n , pˆ x ⎤⎦ = i

6-53

nxˆ n −1 โดยเริ่มจากสมการ (6.24)

ดวยเหตุนี้เอง สมการ (6.115) จึงลดรูปเหลือเพียง d dV pˆ x = − dt dx

__________ สมการ (6.116)

นอกจากนี้ อีกตัวอยางหนึ่งของการนําเอาสมการ (6.114) มาใชวเิ คราะหก็คือ expectation value ของตําแหนงของอนุภาค หรือ ∂ d i xˆ = Ψ (t ) ⎡⎣ Hˆ , xˆ ⎤⎦ Ψ (t ) + Ψ (t ) xˆ Ψ (t ) ∂t dt =0

แบบฝกหัด 6.26 จงหาพิสจู นวา ⎡ Hˆ , xˆ ⎤ = − i pˆ x ⎣ ⎦ m

__________ สมการ (6.117)

pˆ d xˆ = x dt m

__________ สมการ (6.118)

ซึ่งจากการสมการ (6.117) ทําให

สมการ (6.116) และสมการ (6.118) ดูผิวเผินคงเปนเพียงเอกลักษณทางคณิตศาสตรอีกอันหนึง่ ที่ไมมี ประโยชนใชงานที่เปนรูปธรรมมากนัก แทจริงแลว ทั้งสองสมการมีความสําคัญและยังมีชื่อเฉพาะ วา Ehrenfest Theorem เราจะเห็นความสําคัญของ Ehrenfest Theorem ดวยการวิเคราะหตอยอดจากสมการทางคณิตศาสตร ทั้งสองอีกสักนิด ถาเรานิยามความเรงวา a ≡

d⎛d ⎞ xˆ ⎟ ⎜ dt ⎝ dt ⎠

แลวจากสมการ (6.118) จะได

1 d pˆ x m dt d ma = pˆ x dt a=

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

และจากสมการ (6.116) ถาเรานิยามแรงทีก่ ระทํากับอนุภาควา F ≡

d V ( xˆ ) dx

6-54

จะนําไปสู

ความสัมพันธที่เปนรากฐานของความรูทางกลศาสตรของมนุษยในยุคกอนป 1926 นั่นก็คือ F = ma

6.10 บทสรุป ในบทที่ 6 เราใชกลไกของ matrix mechanics เพื่อศึกษาระบบที่มี basis state เปนสถานะที่ตอเนื่อง อาทิเชน position และ momentum ซึ่งเริ่มดวยการใช position เปน basis state Ψ = ∫ dxψ ( x) x

ในลักษณะเชนนี้ bra-ket ของสองสถานะใดๆ สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ integral ไดวา Φ Ψ = ∫ dxϕ ∗ ( x)ψ ( x)

จากนั้นเราก็ไดทําความรูจักกับ operator ที่เกี่ยวของ นั่นก็คือ translation operator Tˆ (a) ซึ่งมีผลให basis state x เปลี่ยนไปเปนสถานะ x + a และแทนที่จะเลื่อนสถานะตามแนวแกน x เปน ระยะทาง a เราสามารถที่จะพิจารณาการเลื่อนเปนระยะ infinitesimal translation Δx โดยที่ i Tˆ (Δx) = 1 − pˆ x Δx

เมื่อ

pˆ x

คือ generator of translation

ทั้งนี้ นอกจาก pˆ x จะเปน generator of translation มันก็ยงั เปน momentum operator ซึ่งมีคุณสมบัติ ทางคณิตศาสตรที่สําคัญคือ

[ xˆ, pˆ x ] = i และ x pˆ x Ψ =

Dr. Teepanis Chachiyo

∂ ψ ( x) i ∂x

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-55

นอกจากการใช position เปน basis state แลวนั้น ยังสามารถใช momentum เปน basis state กลาวคือ Ψ = ∫ dpϕ ( p) p

ในกรณีดังกลาว เราเรียก ϕ ( p) = p Ψ วาเปน probability amplitude ใน momentum space ซึ่ง แตกตางจากเดิม ψ ( x) = x Ψ ซึ่งเปน probability amplitude ใน position space โดยที่ basis state ในทั้งสอง space มีความสัมพันธกันก็คือ x p =

1 eipx 2π

ซึ่งเมื่อเขียนอยูในรูปของ probability amplitude ψ ( x) และ ϕ ( p) จะมีความเกีย่ วโยงทาง คณิตศาสตรคือ ϕ ( p) =

1 2π

∫ dxψ ( x)e

−ipx

และ

ψ ( x) =

1 2π

∫ dpϕ ( p)e

+ ipx

ทั้งนี้เราไดยกตัวอยางของการใช quantum mechanics มาวิเคราะหอนุภาคอิสระ ซึ่งเราใช Gaussian wave packet เปน model ในการศึกษา และดวยการพิจารณาความไมแนนอนของการบอกตําแหนง และ momentum ของอนุภาคในอุดมคตินเี้ อง นําไปสูความสัมพันธที่เรียกวา Heisenberg Uncertainty Principle ที่วา Δx Δp ≥

2

หากแตกฎดังกลาวมิไดจํากัดอยูแตเพียง position และ momentum เทานั้น สําหรับ operator ใดๆที่ สามารถใชในการวัดปริมาณทางฟสิกส จะไดวา ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ⎣ ⎦ ΔA ΔB ≥ 2

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-56

และเมื่อมีเครื่องมือทางคณิตศาสตรที่พรอม เราก็ไดกลาวถึง Schrödinger equation ซึ่งจริงๆแลว สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ position space 2 ∂ ∂2 ψ ( x, t ) = − ψ ( x, t ) + V ( x)ψ ( x, t ) ∂t 2m ∂x 2

i

และ ของ momentum space i

∂ ∂ p2 ϕ ( p, t ) = ϕ ( p , t ) + V (i )ϕ ( p, t ) ∂t ∂p 2m

เพื่อยกตัวอยางการนํา Schrödinger equation มาใชงาน เราวิเคราะหระบบที่เรียกวา square well potential และ scattering ใน 1 มิติ ซึ่งปรากฏการณที่สําคัญของการศึกษาในครั้งนี้ ก็คือ tunneling ที่ หมายถึงการที่ particle beam สามารถทะลุผานกําแพงศักยออกมาได ถึงแมวาพลังงานจลนของมันจะ มีคานอยกวากําแพงศักยก็ตาม และในทายทีส่ ุด เรากลาวถึง Ehrenfest theorem ที่เปนทฤษฏีที่แสดงใหเห็นวา Newtonian mechanics แทที่จริงแลว เปน subset ของ quantum mechanics เทานัน้ เอง

6.11 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 6.27 จงคํานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณีของ กําแพงศักยทนี่ ิยามดวย ⎧0 V ( x) = ⎨ ⎩V0

เฉลย ถา

E < V0

แลว R = 1

T =0

ถา

x<0 x≥0

E > V0 T =

(1 + ε )2

เมื่อ ε ≡

V 1− 0 E

แบบฝกหัด 6.28 จงพิสูจนสมการ (6.39) แบบฝกหัด 6.29 จงพิสูจนวา x pˆ x x′ =

Dr. Teepanis Chachiyo

∂ δ ( x − x′) i ∂x

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

________________ สมการ (6.119)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-57

แบบฝกหัด 6.30 จงพิสูจนสมการ (6.57) และ สมการ (6.58) แบบฝกหัด 6.31 เริ่มจาก probability amplitude ใน momentum space ของ Gaussian wave packet ϕ ( p) =

a

π

2 2 2 e− p a 2

ฟงชันก ψ ( x) =

1

πa

จงพิสูจนวา Fourier transform ในสมการ (6.39) ทําใหเกิดเปน

2 2 e− x 2a

จริง

แบบฝกหัด 6.32 จงคํานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณีของ"บอ ศักย"ที่นิยามดวย ⎧ 0 ⎪ V ( x) = ⎨ − V0 ⎪ 0 ⎩

เฉลย ถา

E > V0

−d ≤ x ≤ d

1

T= 1+

Dr. Teepanis Chachiyo

x < −d

V02 sin 2 (2qd ) 4 E ( E + V0 )

x > +d

เมื่อ q =

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

2m ( E+ V0

)

2

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

6 Wave Mechanics in One Dimension

6-58

This page is intentionally left blank

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

6 Wave Mechanics in One Dimension  

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you