Issuu on Google+

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-1

4

Time Evolution

เนื้อหา 4.1 Time Evolution Operator 4.2 Precession ของ Spin 1 Particle ในสนามแมเหล็ก 2

4.3 การหมุน 360 องศาของ Neutron 4.4 Magnetic Resonance 4.5 Ammonia Maser 4.6 บทสรุป 4.7 ปญหาทายบท วัตถุประสงคหลักอันหนึ่งของการศึกษาฟสิกส ก็คือความสามารถในการที่จะทํานายสิ่งที่จะเกิดขึ้น ในอนาคต หรือการศึกษาปริมาณทางฟสิกสที่เปลี่ยนแปลงไปกับเวลา เพราะฉะนั้นในบทที่ 4 นี้ เรา จะกลาวถึงระเบียบวิธีในทาง quantum mechanics ที่จะเปนกลไกในการศึกษาวาสถานะตางๆนั้น จะมี การเปลี่ยนแปลงไปกับเวลาอยางไร

4.1 Time Evolution Operator สมมุติวาเราทราบขอมูลเกี่ยวกับสถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 ซึ่งอาจจะเขียนใหเปนสัญลักษณ โดยใช ket ไดวา Ψ (t = 0) จากนั้น ดวยระเบียบวิธีของ quantum mechanics ที่ไดกลาวถึงในบท ที่ 2 เราสามารถจินตนาการไดวา มี operator ซึ่งอาจจะแทนดวยสัญลักษณ Uˆ (t ) โดยที่ operator ดังกลาวนี้ สามารถที่เปลี่ยนสถานะ ket ณ เวลา t=0 ใหเปนสถานะ ket ณ เวลา t หรือเขียนในรูป ของสมการไดวา Uˆ (t ) Ψ (t = 0) = Ψ (t )

______________ สมการ (4.1)

ถึงแมวาในขณะนี้ เรายังไมทราบวา operator Uˆ (t ) ดังกลาวนี้ มีรูปแบบหรือเอกลักษณในทาง คณิตศาสตรเปนอยางไร แตดวยคํานิยามในสมการ (4.1) นั้น เราเรียก Uˆ (t ) วาเปน time evolution operator หรือ operator ที่ทําใหสถานะของระบบเปลี่ยนไปกับเวลานั่นเอง

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-2

ในทํานองเดียวกันกับการศึกษา rotation operator ในบทที่ 2 ซึ่งเริ่มดวยศึกษาการหมุนที่เปนมุม เล็กๆรอบแกน z หรือที่เราใชสัญลักษณ Rˆ (dϕ k ) time evolution operator ก็เชนเดียวกัน เรา สามารถเริ่มดวยการพิจารณา Uˆ (dt ) Ψ (t = 0) = Ψ (dt )

______________ สมการ (4.2)

สมการ (4.2) แสดงถึงมุมมองวา operator Uˆ เปน operator ที่ทําการเปลี่ยนสถานะ ket เริ่มตน ให เปนสถานะผลลัพธภายหลังจากเวลาผานไปเพียง dt เทานั้น และในลักษณะเดียวกันกับ infinitesimal rotation operator ดังสมการ (2.122) ที่วา Rˆ (dϕ k ) = 1 − i i Uˆ (dt ) = 1 − Hˆ dt

Jˆ z dϕ

เราสามารถเขียน

______________ สมการ (4.3)

โดยที่ operator Hˆ ซึ่งมีหนวยเปนพลังงานนั้น โดยลักษณะความสัมพันธทางคณิตศาสตรใน สมการ (4.3) แลวจะเห็นวา Hˆ ก็คือ generator of time evolution หรือกลาวอีกนัยหนึง่ Hˆ เปน operator ที่เปนตัวกําหนดวา สถานะของระบบจะมีการเปลี่ยนไปตามเวลาในลักษณะอยางไร ดวยอาศัยสมบัติทางคณิตศาสตรดังในแบบฝกหัด 2.23 เราเขียน time evolution operator ใหอยูใ น รูปของ Hˆ ไดวา

Uˆ (t ) = e

iHˆ t

______________ สมการ (4.4)

ดังในสมการ (4.4) ขางตน เราไดเห็นถึงรูปแบบทางคณิตศาสตรของ time evolution operator Uˆ (t ) อยางคราวๆ แตทวา สมการ (4.4) นั้นไมไดมีประโยชนมากมายนัก เพราะวาเราก็ยงั ไมทราบอยูดวี า operator Hˆ แทที่จริงแลวคืออะไร มีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไรบาง ดังนั้น การเขียน Uˆ (t ) ใหอยูใ นรูปของ Hˆ จึงเปนเพียงการ "ผัดวันประกันพรุง" ตราบใดที่เรายังไมทราบวา Hˆ คืออะไร และมีรูปแบบในทางคณิตศาสตรเปนเชนใด แบบฝกหัด 4.1 จงพิสูจนวา time evolution operator Uˆ (t ) มีสมบัติเปน unitary operator กลาวคือ Uˆ

( t )Uˆ ( t ) = 1

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-3

แบบฝกหัด 4.2 จงใชความเปน unitary ของ time evolution operator เพื่อบอกวา Hˆ ดังที่นิยามใน สมการ (4.3) นั้น ตองเปน Hermitian operator [หมายเหตุ: เมื่อ Hˆ เปน Hermitian แสดงวามันเปน operator ที่สามารถแทนกระบวนการวัดทางฟสิกสได เพราะมี eigenvalue เปนจํานวนจริง] Hˆ

คือ Hamiltonian Operator

นอกจากเราจะสามารถตีความไดวา operator Hˆ ก็คือ generator of time evolution ซึ่งเปน operator ที่ กําหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของ state ใดๆ operator Hˆ ก็ยังมีความหมายอีกแง หนึ่งที่เราคุนเคยเปนอยางดี และใน Section 4.1.1 นี้ เราจะมาวิเคราะหถึงตรรกะทางคณิตศาสตร เพียง 2 ขอ และจะเปนตนตอของบทสรุปที่สําคัญอันหนึ่งที่เกีย่ วของกับความหมายของ Hˆ ซึ่ง นอกจากจะเปน generator of time evolution Hˆ ยังมีสมบัติเปน Hamiltonian operator หรือเปน operator ที่เกี่ยวของกับพลังงานรวมของระบบอีกดวย จากความสัมพันธระหวาง Uˆ (t ) และ Hˆ ดังสมการ (4.4) เราสามารถบอกไดวา [Uˆ (t ), Hˆ ] = 0 และเมื่อ Uˆ (t ) commute กับ Hˆ จาก Section 3.4 ในบทที่ 3 เราสรุปไดวา eigenstate ของ Hˆ ก็คือ eigenstate ของ Uˆ (t ) โดยอัตโนมัตินั่นเอง สมมุติวาเราพิจารณา eigenstate ของ

ซึ่งเขียนอยูใ นรูปของ Hˆ ε = E ε

______________ สมการ (4.5)

เมื่อเห็นสมการดังในลักษณะสมการ (4.5) ขางตน นักศึกษาจะตองไมลืมวา สถานะ ε นั้น ไมใชจะเปนสถานะใดๆก็ได หากแตมนั มีสมบัติเฉพาะตัว ซึ่งเปน eigenstate ของ operator Hˆ โดย ที่มี eigenvalue เปน E เนื่องจาก Hˆ commute กับ Uˆ (t ) ดังนั้น เพราะฉะนั้น

ε

จะตองเปน eigenstate ของ Uˆ (t ) ดวยโดยปริยาย

Uˆ (t ) ε = e −iEt

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

ε

______________ สมการ (4.6)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-4

สมการ 4.6 แสดงใหเห็นวา time evolution operator ไมสามารถทําใหสถานะ ε นั้นเปลี่ยนแปลง ตามเวลาได ดวยเหตุวา หลังจากที่ Uˆ (t ) มากระทํากับสถานะ ε แลว สถานะผลลัพธยังคงเปน ε เหมือนเดิม (คูณดวยคาคงที่ e − iEt เทานั้น) มาถึงจุดนี้ เราสามารถสรุปคุณสมบัติ 2 ประการที่เกีย่ วของกับ operator Hˆ ไดวา 1) operator Hˆ มีหนวยเปนพลังงาน หรือ Joule 2) eigenstate ของ Hˆ (และรวมไปถึง eigenvalue) นั้น ไมเปลี่ยนไปกับเวลา จากคุณสมบัตทิ ั้งสองขอดังที่ไดกลาวมานี้ จะเห็นไดวา operator Hˆ นั้นเกี่ยวของกับปริมาณทาง ฟสิกสที่ไมเปลี่ยนไปกับเวลา และมีหนวยเปน Joule ดังนั้น Hˆ ก็คือ พลังงานรวมของระบบ หรือ Hamiltonian นั่นเอง

สมการ Schrödinger หลังจากที่ทราบความหมายในอีกแงหนึ่งของ operator Hˆ วาเปน Hamiltonian เราก็พรอมที่จะ derive สมการ Schrödinger ที่ไดเริ่มคนพบเมื่อป ค.ศ. 1926 สมมุติวาเรามีสถานะ Ψ (t = 0) ณ เวลา t = 0 และตองการที่จะหาวา สถานะดังกลาว ณ เวลา t + dt นั้น มีลักษณะเปนเชนใด สามารถทําไดโดยใช time evolution operator Uˆ (t + dt ) Ψ (t = 0) = Ψ (t + dt )

______________ สมการ (4.7)

อยางไรก็ตาม แทนที่จะใหเวลาผานไปในคราวเดียวเทากับ t + dt ดังสมการ (4.7) ในขางตน เรา สามารถเลือกที่จะทําใหเวลาผานไปเปน 2 จังหวะ กลาวคือ 1) ใช operator Uˆ (t ) กระทํากับสถานะ Ψ (t = 0) กอน และ 2) นํา operator Uˆ (dt ) เขาไปกระทําซ้ําในรอบที่สอง ซึ่งจะไดผลลัพธ เปนการเปลี่ยนไปของเวลาเทากับ t + dt เชนเดียวกัน หรือ ในรูปของสมการจะไดวา Uˆ (dt )Uˆ (t ) Ψ (t = 0) = Ψ (t + dt )

______________ สมการ (4.8)

เมื่อพิจารณา สมการ (4.8) รวมกับสมการ (4.7) ทําใหเราสรุปไดวา

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-5

______________ สมการ (4.9)

Uˆ (t + dt ) = Uˆ (dt )Uˆ (t )

ˆ จากสมการ (4.3) เขาไปในสมการ (4.9) จะทําให เมื่อเราแทน Uˆ (dt ) = 1 − i Hdt

⎛ i ˆ ⎞ ˆ Uˆ (t + dt ) = ⎜ 1 − Hdt ⎟ U (t ) ⎝ ⎠

______________ สมการ (4.10)

ความสัมพันธดังในสมการ (4.10) นั้น สามารถจัดรูปกระชับมากขึ้นคือ i

Uˆ (t + dt ) − Uˆ (t ) ˆ ˆ = HU (t ) dt

______________ สมการ (4.11)

จะสังเกตเห็นวา ขางซายของสมการ (4.11) นั้น เราสามารถนิยามให

∂ ˆ Uˆ (t + dt ) − Uˆ (t ) U (t ) ≡ dt ∂t

ดังนั้น สมการ (4.11) สามารถเขียนใหอยูในรูปที่คลายคลึงกับสมการ Schrödinger ได ซึ่งก็คือ i

i

∂ ˆ ˆ ˆ (t ) U (t ) = HU ∂t

∂ Ψ (t ) = Hˆ Ψ (t ) ∂t

______________ สมการ (4.12) ______________ สมการ (4.13)

ซึ่งสมการ Schrödinger ดังที่เขียนในสมการ (4.13) นั้น ในอนาคต เราจะวกกลับมาวิเคราะหสมการ ดังกลาวเพื่อประยุกตใชอธิบายระบบในเชิง quantum mechanics ในบทที่ 6 แตขณะนี้ เราจะมา ศึกษาตัวอยาง 4 ตัวอยางดวยกัน ซึ่งเปนปรากฏการณในทางฟสิกสที่สามารถใชความรูเกี่ยวกับ time evolution operator มาเปนเครื่องมือในการอธิบาย dynamics ของระบบดังกลาว แบบฝกหัด 4.3 ในระบบทีซ่ ับซอนขึ้นนั้น Hamiltonian เปนฟงชันกของเวลา ในกรณีเชนนี้ จง พิสูจนวา time evolution operator สามารถเขียนอ���ูใ นรูปของ ⎡ i t ⎤ ˆ U ( t ) = exp ⎢ − ∫ dt ′Hˆ (t ′) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 0

บอกใบ - ซอย time evolution operator ใหเปนจังหวะยอยๆจาก t = 0, t = dt ′, t = 2dt ′,…

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-6

หมายเหตุ: ถาจะวิเคราะหในรายละเอียดใหลึกซึ้ง สมการขางตนมีเงื่อนไขในทางคณิตศาสตรเพิม่ เติม ที่วา ⎡⎣ Hˆ (t 1), Hˆ (t 2 ) ⎤⎦ = 0

4.2 Precession ของ Spin

1 2

Particle ในสนามแมเหล็ก

สมมุติวาเราพิจารณาอนุภาคที่มี spin angular momentum เปน 1 2 ซึ่งไมจําเปนจะตองเปน อิเล็กตรอนแตเพียงอยางเดียว เมื่ออนุภาคดังกลาวนี้ ตกอยูภายใตอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B = B0 k ที่เรียงตัวอยูในแนวแกน z เราจะมาวิเคราะหวา สนามแมเหล็กดังกลาว มีผลอยางไรกับ spin ของอนุภาคที่วานี้ z

μ

สนามแมเหล็ก B

y Magnetic moment มี interaction กับ สนามแมเหล็ก โดยที่มีพลังงาน x

H = −μ ⋅ B

อนุภาคที่มี spin ก็จะเปรียบไดกับแมเหล็กขนาดเล็กๆแทงหนึ่ง ซึ่งมี magnetic moment เปนฟงชันกที่ ขึ้นอยูกับมวล และ spin ของอนุภาคนั้นๆ ดังตอไปนี้ μˆ =

gq ˆ S 2m

_____________________ สมการ (4.14)

เมื่อ g คือคาคงที่เฉพาะตัวของอนุภาคที่กําลังกลาวถึง เรียกโดยทัว่ ไปวา g-factor ซึ่งจะสามารถวัด ไดจากการทดลอง ยกตัวอยางเชน อิเล็กตรอนมี g = 2.00 และ proton มี g = 5.58 เปนตน และ q ก็คือประจุของอนุภาคดังกลาว โดยธรรมชาติแลว เมื่อแมเหล็กที่มี magnetic moment μˆ ตกอยูภายในอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B เราสามารถเขียนไดวา พลังงานของระบบนั้นๆ ก็คือ

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

Hˆ = − μˆ ⋅ B gq ˆ S ⋅ ( B0k ) =− 2m

4-7

_____________________ สมการ (4.15)

ยกตัวอยางเชนถาเรากําลังพิจารณาอิเล็กตรอนที่มีประจุ q = −e และ spin s = 1 2 นัน้ จะไดวา ge ˆ Hˆ = ( S x + Sˆ y + Sˆ z ) ⋅ ( B0k ) 2mc ⎛ geB0 ⎞ ˆ =⎜ ⎟ Sz ⎝ 2m ⎠ Hˆ = ω Sˆ

_________________ สมการ (4.16)

0 z

ซึ่งที่มาของสมการ (4.16) นั้น เราเขียน spin operator ในรูปขององคประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ดังที่ไดกลาวมาแลวในสมการ (2.83) และ สมการ (3.4) นอกจากนี้ สมการ (4.16) ยังบอกอีกวา พลังงานของระบบที่เรากําลังพิจารณาอยูนนี้ ั้น โดยความเปนจริงแลว ขึ้นอยูกับ 1) spin angular momentum ตามแนวแกน z ของอนุภาค และ 2) ขึ้นอยูก ับคาคงที่ ซึ่งเราเขียนรวมกันดวยสัญลักษณ ω0 =

geB0 2m

จากสมการ (4.16) จะเห็นวา operator Hˆ commute กับ operator Sˆz เพราะฉะนั้นแลว eigenstate ของ Sˆz ซึ่งก็คือ + Z และ − Z นั้น เปน eigenstate ของ Hamiltonian Hˆ ดวยโดยปริยาย หรืออีกนัยหนึง่ Hˆ ± Z = ω0 Sˆ z ± Z =±

ω0

2 = E± ± Z

±Z

_________________ สมการ (4.17)

ดังนั้น ดวยความที่สถานะ ± Z เปน eigenstate ของ Hamiltonian Hˆ เราบอกไดวา สถานะ ± Z ดังกลาวนี้ จะเสถียรและไมเปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยทีส ่ ถานะ + Z และ − Z จะมี พลังงานเปน

E+ = +

ω0 2

และ E −

=−

ω0 2

ตามลําดับ

Dynamics ของระบบ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-8

เพื่อที่จะศึกษาการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของระบบ หรือที่เรียกวา dynamics ของระบบนั้น เรา จะตองมาพิจารณา time evolution operator Uˆ (t ) ซึ่งก็เปนสาเหตุที่เราใชเวลาสวนหนึ่งในตอนตน ของเนื้อหาในบทนี้ เริ่มดวยการวิเคราะห Hamiltonian Hˆ เพราะวา Uˆ (t ) นั้นมีความสัมพันธกับ Hˆ ดังในสมการ (4.4) นั่นเอง เมื่อเรามาวิเคราะหรูปแบบของ time evolution operator Uˆ (t ) ตามสมการ (4.4) และ สมการ (4.16) จะไดวา

Uˆ (t ) = e

iω0 Sˆ z t

_________________ สมการ (4.18)

ซึ่งถาเรานิยามตัวแปร ϕ ≡ ω0t จะทําให

Uˆ (t ) = e

iϕ Sˆ z = Rˆ (ϕ k )

_________________ สมการ (4.19)

โดยที่นักศึกษาเองอาจจะจํารูปแบบของ rotation operator Rˆ (ϕ k ) ที่ไดศึกษาในบทที่ 2 ซึ่งสมการ (4.19) นั้นกลาววา time evolution operator ของระบบที่เรากําลังใหความสนใจอยูนี้ ไปสอดคลอง กันพอดีกับ rotation operator ที่หมุน spin ของระบบเปนมุม ϕ = ω0t องศา เพราะฉะนั้น เราสรุปไดวา ผลของสนามแมเหล็กที่มีตอ spin ของอนุภาคนั้น จะทําให spin ของ อนุภาค precess รอบๆแกน z (หรือแกนที่ทศิ ทางขนานกับสนามแมเหล็ก B ) โดยทีค่ วามเร็วรอบ ของการ precess นั้น ก็คือ ω0 = geB0 ซึ่งแปรผันตรงกับความเขมของสนามแมเหล็กที่มีอยู 2m

นั่นเอง ความเร็วเชิงมุมของการ precess หรือ ω 0 ดังกลาว เปนปรากฏการณทสี่ ําคัญ และมีชื่อเฉพาะในทาง ฟสิกสที่เรียกวา Larmor frequency ยกตัวอยางเชน ในกรณีของ proton มี Larmor frequency เทากับ 42.5 MHz ตอสนามแมเหล็ก 1 Tesla เปนตน

สถานะ

Dr. Teepanis Chachiyo

Ψ (t

ของระบบ

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-9

นอกจากเราจะสามารถสรุปไดวา ระบบมีการ precess ดวยการอางความคลายคลึงของ time evolution operator Uˆ (t ) กับ rotation operator Rˆ (ϕ k ) ดังสมการ (4.19) แลวนั้น เราสามารถศึกษาใหชัดเจน ลงไปอีกวา Uˆ (t ) แทจริงแลว มีผลตอสถานะ Ψ (t = 0) ของระบบอยางไร เนื่องจากเราสามารถใช + Z และ − Z เปน basis state ดังนั้น สถานะใดๆของระบบ สามารถ เขียนในรูป superposition ของ basis state ไดเสมอ _________________ สมการ (4.20)

Ψ (t = 0) = c+ + Z + c− − Z

โดยที่ c± เปน probability amplitude ที่ระบบจะอยูใ นสถานะ ± Z เพราะฉะนั้นแลว การทีเ่ รา ตองการทราบวาสถานะของระบบ Ψ (t ) ณ เวลา t ใดๆ จะมีลกั ษณะเปนอยางไรนั้น ก็สามารถทํา ไดโดย การนํา time evolution operator Uˆ (t ) = e

ˆ iHt

เขาไปกระทํากับ

Ψ (t = 0)

นั่นเอง

Ψ (t ) = Uˆ (t ) Ψ (t = 0) = e

เนื่องจากสมการ (4.17) บอกวา Hˆ

ˆ iHt

( c+

±Z = ±

+ Z + c− − Z

ω0 2

±Z

)

_________________ สมการ (4.21)

ดังนั้น

Ψ (t ) = c+ e−iω0 t / 2 + Z + c− e+iω0 t / 2 − Z

_________________ สมการ (4.22)

สมการ (4.22) ในขางตนนั้น แสดงใหเห็นวา ระบบที่เรากําลังศึกษาอยูนี้ มีความเปลี่ยนแปลง สัมพันธกับเวลาอยางไร ซึ่งการเปลี่ยนแปลงดังกลาวนี้ ขึ้นอยูกับ 1) สถานะเริ่มตน ณ เวลา t=0 หรือ c±

และ 2) ขึ้นอยูกับ Larmor frequency ω0 = geB0 นัน่ เอง

Dr. Teepanis Chachiyo

2m

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-10

ภาพ 4.1 สมมุติวาเราเตรียม สถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 ใหเปน spin ในแนวแกน +x และ เราตองการทราบวา ในเวลาใดๆ y ณ เวลา t = 0 เตรียม state ของระบบ state ของระบบจะเปลี่ยนแปลงไป ใหวางตัวตามแนวแกน x อยางไร? สนามแมเหล็ก B

z

Ψ (t = 0) = X

x

เพื่อใหเห็นตัวอยางที่ชัดเจน เราลองมาสมมุติวาสถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 คือ spin ในแนวแกน +x ดังภาพ 4.1 Ψ (t = 0) = + X

_________________ สมการ (4.23)

1 1 +Z + −Z 2 2

=

เมื่อเปรียบเทียบสถานะของระบบที่ spin อยูในแนวแกน x ตามสมการ (4.23) กับสถานะที่เขียนใหอยู ในรูปทั่วไป ดังสมการ (4.20) จะไดวา สัมประสิทธิ์ c+ =

1 2

c− =

1 2

และเมื่อแทนคาสัมประสิทธิ์ดังกลาว เขาไปในสมการ (4.22) จะไดวา สถานะของระบบมีการ เปลี่ยนแปลงตามเวลาดังตอไปนี้ Ψ (t ) =

e−iω0 t / 2 2

+Z +

e+iω0 t / 2 2

−Z

_________________ สมการ (4.24)

state ดังที่เขียนในสมการ (4.24) ทําใหเราสามารถคํานวณหา probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ + Z และ − Z ซึ่งก็คือ

+ Z Ψ (t )

Dr. Teepanis Chachiyo

2

=

e−iω0 t / 2 2

2

=

1 2

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

__________________________ (4.25)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

− Z Ψ (t )

4 Time Evolution 2

=

e+iω0 t / 2 2

2

=

1 2

4-11

__________________________ (4.26)

แบบฝกหัด 4.4 จงคํานวณหา expectation value ของ Sˆz ของ state ในสมการ (4.24) แลววิจารณ วา คาดังกลาว เปลี่ยนแปลงกับเวลาหรือไม อยางไร จากสมการ (4.25) และ สมการ (4.26) จะเห็นวา ถาเราเตรียมระบบใหอยูในสถานะที่มี spin เปน + X ตั้งแตแรก จะมี probability ที่เราจะพบวา spin ของมันอยูตามแนวแกน +z หรือ -z เทากัน เสมอ และไมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ในทางตรงกันขาม ถาเราตั้งคําถามวา ความนาจะเปนทีจ่ ะพบ spin ของระบบอยูในสถานะ + X ณ เวลาตางๆ มีคาเปนเทาใด ? เราสามารถตอบคําถามไดดวยการเริ่มคํานวณ probability amplitude ⎡ 1 1 + X Ψ (t ) = ⎢ +Z + −Z 2 ⎣ 2

⎤ ⎡ e−iω0 t / 2 e+iω0 t / 2 + + −Z Z ⎢ ⎥ 2 2 ⎦ ⎢⎣

e−iω0 t / 2 e+iω0 t / 2 = + 2 2 ⎛ω t ⎞ = cos ⎜ 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠

________ (4.27)

และเราจะไดวา probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ + X Ψ (t )

⎤ ⎥ ⎥⎦

2

+X

ก็คือ

⎛ω t ⎞ = cos 2 ⎜ 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠

______________________ (4.28)

จากสมการ (4.28) จะเห็นวา ณ เวลา t = 0 ควา���นาจะเปนมีคา เปน 1 ซึ่งก็สอดคลองกับ ขอกําหนดเริ่มตนที่เราเตรียมระบบใหอยูในสถานะ + X ตั้งแตเริ่มตน แตเมื่อเวลาผานไป จะ สังเกตวา probability ดังกลาว มีการ oscillate กลับไปกลับมา ระหวางคา 1 และ 0 เราสามารถตีความ และ ทําความเขาใจกับการ oscillate ของ probability ดังกลาว ถาเรามองวา spin ของระบบที่แตเดิม เตรียมใหอยูในสถานะ + X ตั้งแตเริ่มตน มีการหมุนรอบแกน z ดังภาพ 4.2

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

z

4 Time Evolution

4-12

ภาพ 4.2 สนามแมเหล็กทําใหเกิดการ precess ของ spin รอบแกน z

สนามแมเหล็ก B

y สนามแมเหล็กทําใหเกิดการหมุนของ spin

x

แบบฝกหัด 4.5 จงพิสูจนวา เมื่อเราทําการวัด spin ตามแนวแกน x คาที่วัดไดโดยเฉลี่ย ก็คือ 2

cos (ω0t )

บอกใบ - คํานวณ expectation value ของ operator Sˆx แบบฝกหัด 4.6 จงคํานวณความนาจะเปนที่จะพบระบบอยูในสถานะ

−X

ณ เวลาใดๆ

ใน Section 4.2 ที่เราไดกลาวถึง precession ของ spin ที่อยูภายใตอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B เรา เริ่มดวยการวิเคราะหถึง Hamiltonian ของระบบ และโยงความสัมพันธไปยัง time evolution operator เพื่อเขียนสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆไดวา Ψ (t ) = c+ e−iω0 t / 2 + Z + c− e+iω0 t / 2 − Z

เมื่อ สัมประสิทธิ์ c+ , c− ขึ้นอยูกับคุณสมบัติเฉพาะของระบบทีเ่ รากําลังศึกษา เราพบวา ผลของ สนามแมเหล็กก็คือการทําให spin มีการ precess รอบแกนที่ขนานกับ B โดยที่ความถี่เชิงมุมของ การหมุน มีคาเทากับ ω0 = geB0 ซึ่งเรียกวา Larmor frequency นั่นเอง 2m

4.3 การหมุน 360 องศาของ Neutron Neutron เปนอนุภาคมูลฐานอีกชนิดหนึ่งทีม่ ี spin s = 1 จากที่ไดกลาวไปแลวในบทที่ 2 ในหัวขอ 2

ที่เกี่ยวของกับ rotational operator เมื่อเราทําการหมุน spin ของอนุภาคที่มี spin s = 1 เปนมุม 360 2

องศา จะทําให state กลายเปนลบของตัวมันเอง

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution Rˆ (2π k ) Ψ = − Ψ

4-13

______________________ (4.29)

สมบัติขอนี้นี่เอง เปนหนึ่งในพฤติกรรมในเชิง quantum mechanics ที่แตกตางอยางสิ้นเชิงจาก classical mechanics ดวยเหตุที่วา วัตถุตางๆที่เราพบไดทวั่ ไปในชีวิตประจําวัน เมื่อเราทําการหมุน ดวยมุม 2π ยอมจะกลับมาอยูใ นรูปแบบเดิม กอนที่จะมีการหมุน ในป 1975 S.A. Werner, R. Colella, A.W. Overhauser, และ C.F. Eagen ไดทําการทดลองเพื่อพิสูจนพฤติกรรมที่แปลก ประหลาดของ quantum mechanics ดังแสดงในสมการ (4.29) อันนี้ ภาพ 4.3 แสดง diagram การทดลองของ Werner et. al. ที่ประกอบดวย neutron beam พุงเขากระทบกับแผน silicon (A) ปรากฏการณ diffraction ทําให neutron beam แยกออกเปนสองเสนทาง [Credit: ภาพจาก Werner et. al. Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975)] ดังแสดงในภาพ 4.3 การทดลองของ Werner et. al. ประกอบดวย neutron beam พุงเขากระทบกับ แผน silicon (A) ปรากฏการณ diffraction ทําให neutron beam แยกออกเปนสองเสนทาง AB และ AC ในเสนทาง AC มีสนามแมเหล็กขนาดความเขม B อยูภายในชวงระยะทาง ซึ่งจาก Section 4.2 เราทราบวามีผลทําให spin ของ neutron เกิดการหมุน โดยที่มุมของการหมุนสามารถควบคุมไดจาก ความเขมของสนามแมเหล็ก และ ระยะทาง ที่ neutron เคลื่อนที่อยูภายใตอิทธิพลของ สนามแมเหล็ก Werner และผูร วมงานพบวาถาเขาทําการปรับความเขมของสนามแมเหล็กใหสอดคลองกับการหมุน 360 องศา neutron beam AB และ AC จะหักลางกันพอดี และทําใหเกิดเปนจุดต่ําสุดของกราฟใน ภาพ 4.4 ซึ่งก็หมายความวา rotational operator ที่หมุน spin s = 1 มีผลทําใหสถานะของอนุภาค 2

neutron ที่ผานเสนทาง AC มีเฟสตรงกันขามกับสถานะของอนุภาค neutron ที่ผานเสนทาง และเกิดการหักลางกันดังกลาว

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

AB

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-14

ภาพ 4.4 ผลการทดลองของ Werner at. el. แสดงปริมาณของ neutron ที่ detector นับได ภายหลังจากมีการแทรกสอด เกิดขึ้น จะเห็นวาที่ความเขมของสนามประมาณ 62 Gauss มีการหักลางกันของ neutron beam [Credit: ภาพจาก Werner et. al. Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975)]

4.4 Magnetic Resonance ใน Section 4.2 เราไดศึกษาผลของสนามแมเหล็ก B ตอการ precess ของ spin s = 1 particle ใน 2

กรณีดังกลาว ถาเรากําหนดใหทิศทางของสนามแมเหล็กใหขนานกับแกน z หรือ B zˆ แลว ความ นาจะเปนที่จะพบอนุภาคอยูใ นสภานะ + Z หรือ − Z จะไมเปลีย่ นแปลงกับเวลา หรืออีกนัยหนึง่ เราอาจจะมองภาพโดยอนุโลมไดวา สนามแมเหล็ก B ทําหนาที่เหมือนหมุดที่ พยายามตรึง spin ของอนุภาคใหเรียงตัวตามแนวแกน z เพราะฉะนั้นถาเราเตรียม spin ของอนุภาค ใหอยูตามแนวแกน z เมื่อเวลา t = 0 หรือ Ψ (t = 0) = + Z สนามแมเหล็ก B จะตรึงให ระบบอยูในสถานะ Ψ (t ) = + Z ไปโดยตลอด หรือ ถา Ψ (t = 0) = − Z สนามแมเหล็ก ก็จะตรึงใหระบบอยูในสถานะ Ψ (t ) = − Z ไปโดยตลอดเชนกัน ในกรณีที่ spin ของอนุภาคไมใชทั้ง

+Z

หรือ

superposition ของทั้งสอง state ยกตัวอยางเชน

−Z

เสียเลยทีเดียว หากแตเปนผลบวก หรือ

+X =

1 1 +Z + −Z 2 2

ในกรณีเชนนี้ spin

จะเกิดการ precess ดวยความถี่ ω0 = geB0 2m

เราอาจจะออกแบบการวางสนามแมเหล็กใหซับซอนมากยิ่งขึ้น เพื่อทีจ่ ะให spin ของระบบสามารถที่ จะเปลี่ยนแปลงจาก + Z ไปยัง − Z ไดเมื่อเวลาผานไป ดังภาพ 4.5

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

z

4 Time Evolution

ภาพ 4.5 แสดงสนามแมเหล็กที่อยูใน ระบบซึ่งประกอบดวยสวนหลัก และ สวนรอง

สนามแมเหล็ก หลัก

B0 = B0k

S

y สนามแมเหล็กรอง ที่ oscillate ตามแนวแกน x

x

4-15

B1 = B1 cos(ωt )i

สนามแมเหล็กรองมีลักษณะเปน oscillation ที่สามารถปรับความถี่ ω ได ตามตองการ สนามแมเหล็กสุทธิมีคาเทากับ B = B1 cos(ωt )i + B0k

สนามแมเหล็กที่อยูในระบบประกอบดวยสวนหลัก และ สวนรอง สนามแมเหล็กหลักชี้ในทิศแกน z แตสนามแมเหล็กรองอยูในแนวแกน x นอกจากนี้ สนามแมเหล็กรองยังมีลักษณะเปน oscillation ที่สามารถปรับความถี่ ω ไดตามตองการ สงผลใหสนามแมเหล็กสุทธิมีคาเทากับ B = B1 cos(ω t )i + B0k

______________________ (4.30)

ในทําเดียวกันกับสมการ (4.16) จะไดวา พลังงานของระบบคือ ge ˆ Hˆ = ( S x + Sˆ y + Sˆ z ) ⋅ ( B1 cos(ωt)i + B0k ) 2m geB0 ˆ geB1 = Sz cos(ωt) Sˆ x + 2m 2m Hˆ = ω 1 cos(ωt) Sˆ x + ω0 Sˆ z

______________________ (4.31)

เมื่อเรานิยาม ω0 ≡

geB0 2m

และ ω 1≡ geB1 ______________________ (4.32) 2m

ขั้นตอนตอไปในการวิเคราะหเพื่อตองการทราบการเปลี่ยนแปลงของ state กับเวลา ก็คือการใช สมการ Schrödinger ดังในสมการ (4.13) เราเริ่มดวยการเขียน state ของระบบใหอยูใ นรูป superposition ของ + Z และ − Z Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

Ψ (t ) = a (t ) + Z + b(t ) − Z

4-16

______________________ (4.33)

ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ a(t ) และ b(t ) เปนคาที่เปลี่ยนแปลงกับเวลา เพราะวา states Ψ นั้น เปลี่ยนแปลงกับเวลาดวยเชนกัน สมการ (4.33) ที่เขียนใหอยูในรูปของ ket สามารถเขียนใหอยูใ น รูปของ vector ดังที่ไดกลาวใน Section 2.3 ไดวา ⎡ a (t ) ⎤ Ψ (t ) ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ± Z basis ⎣ b(t ) ⎥⎦

______________________ (4.34)

เพื่อใหงายตอการวิเคราะหทางคณิตศาสตรในลําดับตอไป เราจะสมมุติวา ระบบ ณ เวลา t = 0 เปน สถานะที่ spin เปน + Z หรือ ในรูปของ vector จะไดวา ⎡1 ⎤ Ψ (0) ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥ ± Z basis ⎣0 ⎦

นอกจากนี้ โดยใช basis ของ ในรูปของ matrix ไดวา

±Z

______________________ (4.35)

เราสามารถเขียน Hamiltonian operator ในสมการ (4.31) ใหอยู

⎡ + Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z + Z Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ± Z basis ⎢ − Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z + Z ⎣

+ Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z − Z ⎤ ⎥ − Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z − Z ⎥⎦

ดังนั้น H =

ω1 cos(ω t ) ⎤ ⎡ ω0 ⎢ω cos(ωt ) −ω0 ⎥⎦ 2⎣ 1

______________________ (4.36)

จาก Hamiltonian ในรูปของ matrix ดังในสมการ (4.36) และ จาก state ในรูปของ vector ดังสมการ (4.34) เราสามารถเขียน Schrödinger equation จากสมการ (4.13) ไดวา ⎡d ⎤ ⎢ dt a(t ) ⎥ ω1 cos(ω t ) ⎤ ⎡ a(t ) ⎤ ⎡ ω0 =i ⎢ ⎥ ⎢ −ω0 ⎥⎦ ⎢⎣ b(t ) ⎥⎦ 2 ⎣ω1 cos(ω t ) ⎢ d b(t ) ⎥ ⎢⎣ dt ⎥⎦

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

______________________ (4.37)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-17

สมการขางตนเปน differential equation ซึ่งมี initial condition ดังในสมการ (4.35) เพื่อใหงายต���อ การหาผลเฉลยทางคณิตศาสตร เราจะวิเคราะหเฉพาะในกรณีของ resonance กลาวคือ กรณีที่ ω = ω0 ซึ่งมีผลเฉลยคือ ωt ⎡ + cos( 1 )e−iω0t ⎢ a t ( ) ⎡ ⎤ 4 ⎢ b(t ) ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −i sin( ω1t )e+iω0t ⎢⎣ 4

2⎤

⎥ ⎥ 2⎥ ⎥⎦

______________________ (4.38)

แบบฝกหัด 4.7 จงพิสูจนวา a(t ) และ b(t ) ในสมการ (4.38) ทําใหสมการ (4.37) เปนจริง (โดยประมาณ) บอกใบ: cos (ω0t ) e+iω0 t

=

1 + e+2iω0 t 1 ≅ 2 2

ถา ω0

ω1

ในที่สุดเราก็ได state ของระบบ ณ เวลาใดๆ ซึ่งอาจจะเปลี่ยนการเขียนในรูปแบบของ vector ใน สมการ (4.38) ใหเปนรูปของ ket ไดวา ωt ωt Ψ (t ) = cos( 1 )e−iω0t 2 + Z − i sin( 1 )e+iω0t 2 − Z 4 4

________________ (4.39)

ทั้งนี้เราจะตองไมลืมวา สถานะของระบบในสมการ (4.39) เปนผลเฉลยเฉพาะกรณีทเี่ กิด resonance ( ω = ω0 ) และ สถานะเริ่มตนของระบบอยูที่ Ψ (t = 0) = + Z มาถึงขั้นนี้ เราสามารถวิเคราะหหาความนาจะเปนทีจ่ ะพบระบบอยูในสถานะ คํานวณไดจาก + Z Ψ (t )

2

ωt = cos2 ( 1 ) 4

และในทํานองเดียวกัน probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ − Z Ψ (t )

Dr. Teepanis Chachiyo

2

ซึ่งสามารถ

________________ (4.40)

−Z

ωt = sin 2 ( 1 ) 4

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

+Z

________________ (4.41)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-18

การเปลี่ยนแปลงของสถานะดังกลาว สามารถทําความเขาใจไดงายๆจากภาพ 4.6

ความนาจะเปน

1

0.8

+ Z Ψ (t )

2

− Z Ψ (t )

2

= cos 2 (

ω1t

0.6

4

)

0.4 0.2 0

= sin 2 (

ω1t

เวลา

4

)

ภาพ 4.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงของระบบ ที่มีการสั่นไปมาขึ้นกับเวลาของ spin จาก + Z ⇔ −Z

จากภาพ 4.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงของ spin ที่มีการสั่นไปมาเมื่อเวลาผานไป จากกราฟจะสังเกต วาเมื่อเวลา t = 0 probability ที่จะพบอนุภาคในสถานะ + Z มีคาเปน 1 หรือ 100% ที่เปนเชนนี้ก็ สอดคลองกับเงื่อนไปเริ่มตนที่เรากําหนดให อนุภาคอยูในสถานะ + Z เมื่อเวลา t = 0 เมื่อเวลาผานไปเพียงเล็กนอย สนามแมเหล็กในทิศ B1 cos(ωt )i มีผลทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงของ ระบบ จาก + Z ⇒ − Z ซึ่งจะสังเกตไดจาก probability ที่อนุภาคจะคงอยู ณ สถานะ + Z มีคา ลดลง และเปนศูนยในที่สุดเมื่อเวลา t = 2π ซึ่ง ณ เวลาดังกลาวนี้เอง ระบบเปลี่ยนมาเปนสถานะ ω1

−Z

โดยสิ้นเชิง

ในทางปฏิบัติ สนามแมเหล็ก B1 = B1 cos(ωt )i สามารถสรางไดโดยการสงคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ สามารถปรับความถี่ได เขาไปในระบบ ถาตองการใหเกิดการ resonance จําเปนจะตองให ω = ω0 ≡

geB0 2m

ซึ่งในกรณีของอนุภาค proton จะมีความถีอ่ ยูประมาณ 42.5 MHz ตอความเขมของ

สนามแมเหล็กหลัก 1 Tesla ในกรณีที่ความถี่ของสนามแมเหล็กรองมีคาตางออกไปจากความถี่ resonance กลาวคือ ω ≠ ω0 ความนาจะเปนที่จะพบระบบอยูในสถานะ − Z ณ เวลาใดๆ ดังในสมการ (4.41) มีความซับซอน มากขึ้น probability ในกรณีดังกลาวคนพบเปนครั้งแรกโดย I.I. Rabi Phys. Rev. 1939.

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา − Z Ψ (t )

2

=

4 Time Evolution

ω12 / 4

(ω0 − ω ) 2 + ω12 / 4

sin 2 (

(ω0 − ω ) 2 + ω12 / 4 2

4-19

t)

___________ (4.42)

จะสังเกตเห็นวา probability ดังในสมการ (4.42) มีการ oscillate ดังในสมการ (4.41) แตทวา amplitude ของการสั่นเปนฟงชันกของ ω ดังแสดงในภาพ 4.7

ω12 / 4 (ω 0 − ω ) 2 + ω12 / 4

1

0.8

Rabi Formula (I.I. Rabi 1939) 0.6 0.4 0.2 0

ω

ω0 ภาพ 4.7 แสดงความนาจะเปนที่ระบบจะมีการเปลี่ยนสถานะจาก + Z ⇒ − Z ภายหลังจากเวลา ผานไปครบหนึ่งรอบ จะสังเกตเห็นวา probability ดังกลาวจะมีคามากที่สุดเมื่อ ω = ω0 และจะ ลดลงตามลําดับเมื่อความถี่มีการเบี่ยงเบนออกจาก resonance frequency

เนื้อหาของ Magnetic Resonance ดังที่ไดกลาวใน Section 4.4 นี้ มี application ที่สําคัญยิ่งในทาง การแพทย คือ MRI (Magnetic Resonance Imaging) หลักการทํางานและรายละเอียดของ MRI อยู นอกเหนือจากขอบเขตของหนังสือเลมนี้ อยางไรก็ตาม หลักการทํางานสังเขปก็คือการออกแบบ สนามแมเหล็กหลัก B0 ( x, y) ใหเปนฟงชันกที่ขึ้นกับตําแหนง ดังนั้นเมื่อระบบมีการเปลี่ยน สถานะของ spin ก็จะปลอย (emit) คลื่นแมเหล็กไฟฟาออกมาที่ความถี่ตา งกันเล็กนอย ขึ้นอยูกับ ตําแหนง ( x, y) และเมื่อเราทําการสรางแผนที่แสดงความสัมพันธระหวางความเขมของคลื่น แมเหล็กไฟฟาที่ปลอยออกมา กับตําแหนงที่เปนแหลงกําเนิดของคลื่นนั้นๆ ก็จะเกิดเปนภาพขึ้น

4.5 Ammonia Maser ที่ผานมาเราไดนําระเบียบวิธที าง quantum mechanics ที่เขียนโดยใชภาษาของ bra-ket และ matrix เขามาชวยในการแกปญหา ซึง่ แตกตางจากสิ่งที่นักศึกษาไดเรียนรูใน quantum mechanics เบื้องตน ที่ มุงเนนในเรื่องของ wave function เปนหลัก

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-20

การวิเคราะห quantum mechanics โดยใช matrix มีขอดีคือทําใหเราสามารถวิเคราะหระบบที่มีความ ไมตอเนื่อง ยกตัวอยางเชนระบบที่มี basis state อยูสอง state ดังที่ไดแสดงในตัวอยางในเรื่อง spin ของอิเล็กตรอน ซึ่งมี basis state คือ + Z และ − Z อยางไรก็ตาม ระบบที่มี basis state อยูสองสถานะมิไดจํากัดอยูแ ตเพียง spin ของอนุภาคมูลฐานเพียง เทานั้น ดังจะไดยกตัวอยางในเรื่องของ ammonia maser ซึ่งเกี่ยวของกับโครงสรางของโมเลกุล NH3 หรือ ammonia ภาพ 4.8 แสดงโครงสรางทางเคมี ของโมเลกุล ammonia อะตอม ของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูใน ระนาบเปนลักษณะสามเหลีย่ มดาน เทา

โมเลกุล Ammonia NH3 N H

H H

1

ในขณะที่อะตอมของ nitrogen สามารถที่อยู ณ ตําแหนงดานบน หรือ ดานลางของฐาน 2

โมเลกุลของ ammonia ประกอบดวย nitrogen อะตอม ซึ่งมีพันธะเคมีกบั hydrogen อะตอมอีก 3 อะตอม โครงสรางของ NH3 จะปรากฏวามีอะตอมของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูในระนาบเปน ลักษณะสามเหลี่ยมดานเทา ดังแสดงในภาพ 4.8 ในขณะที่อะตอมของ nitrogen สามารถที่อยู ณ ตําแหนงดานบน หรือ ดานลางของฐาน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห เราเรียกสถานะของระบบ ที่มีตําแหนงของ nitrogen อะตอมตางกันนี้วา 1 = สถานะที่ nitrogen atom อยูดา นบน 2 = สถานะที่ nitrogen atom อยูดา นลาง

เพื่อที่จะวิเคราะหหา eigen energy และ eigenstate ของระบบที่มีสถานะที่ไมตอเนื่องดังกลาว เราเริ่ม ดวยการเขียน Hamiltonian ใหอยูในรูปของ matrix

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

⎡ 1 Hˆ 1 →⎢ Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 , 2 basis ⎢ 2 Hˆ 1 ⎣

1 Hˆ 2 ⎤ ⎥ 2 Hˆ 2 ⎥⎦

4-21

_________________________ (4.43)

เราเริ่มดวยการหา matrix element 1 Hˆ 1 และ 2 Hˆ 2 ในสมการ (4.43) กอน ดวยการสังเกตวา เทอม 1 Hˆ 1 สามารถตีความไดวาเปน expectation value ของ พลังงานเมื่อกําหนดใหระบบอยูใน สถานะ 1 เนื่องจากระบบมีความสมมาตร เราบอกไดวา state กําหนดใหมีคาเทากับ E0 เพราะฉะนัน้

1

และ state

1 Hˆ 1 = 2 Hˆ 2 = E0

2

ควรจะมีพลังงานเทากัน ซึ่ง

_________________________ (4.44)

สําหรับ เทอม 1 Hˆ 2 และ 2 Hˆ 1 ในสมการ (4.43) นั้น เราสามารถตีความได โดยใช time evolution operator ในสมการ (4.3) เขาชวย กลาวคือ เราสามารถเขียน Hamiltonian ใหอยูใ นรูป infinitesimal time evolution operator ไดวา i i Hˆ = − + Uˆ (dt ) dt dt

_________________________ (4.45)

เพราะฉะนั้น i i 1 Hˆ 2 = 1 − + Uˆ (dt ) 2 dt dt i i =− 12 + 1 Uˆ (dt ) 2 dt dt

ถาเรากําหนดให basis state

1

และ

2

_________________________ (4.46)

นั้น orthogonal กลาวคือ

1 Hˆ 2 ∝ 1 Uˆ (dt ) 2

1 2 =0

จะไดวา

_________________________ (4.47)

ทางขวามือของสมการ (4.47) มีความหมายวา ถาเราเตรียมระบบใหอยูใน state 2 และเมื่อเวลาผาน ไปเปนเวลา dt (นั่นคือความหมายของ time evolution operator) ถามวา probability amplitude ที่ ระบบจะเปลี่ยนสถานะมาอยูใน state 1 มีคาเปนเทาใด

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-22

กลาวโดยสรุป เทอม 1 Hˆ 2 มีความสัมพันธกับความนาจะเปนที่ระบบจะเปลี่ยนสถานะจาก 2 ⇒ 1 เมื่อเวลาผานไป แตเนื่องจากเรายังไมทราบรายละเอียดที่ชัดเจนในทางคณิตศาสตรที่ เกี่ยวของกับโมเลกุล ammonia ในขั้นนี้ จึงทําไดแตเพียงนิยามให 1 Hˆ 2 มีคาเปนคาคงที่ เฉพาะตัวอันหนึ่ง เรียกวา 1 Hˆ 2 = − A เพราะฉะนั้น Hamiltonian matrix ดังในสมการ (4.43) มีคาเปน ⎡ E − A⎤ Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 0 1 , 2 basis ⎣ − A E0 ⎥⎦

_________________________ (4.48)

เพื่อที่จะหา eigen energy หรือ eigenvalue ของ Hamiltonian ดังกลาว เราเขียนสมการใหอยูใ นรูปของ eigen equation ดังตอไปนี้ Hˆ Ψ = E Ψ

_________________________ (4.49)

⎡ E0 − A⎤ ⎢ − A E ⎥ c = Ec 0⎦ ⎣

_________________________ (4.50)

หรือ ในรูปของ matrix -vector

สมการ eigen ดังที่แสดงในสมการ (4.50) ซึ่งเปน matrix ขนาด 2x2 จะปรากฏวามีผลเฉลยที่เรียกวา eigenvector c และ eigenvalue E อยูทั้งสิ้น 2 ผลเฉลยดวยกัน ดังที่ไดทบทวนมาแลวใน Section 2.3.1 ของบทที่ 2 คําตอบซึ่งเปน eigenvector และ eigenvalue ของสมการ (4.50) ก็คือ ⎡ ⎢+ c1 = ⎢ ⎢ ⎢+ ⎣

1 ⎤ 2 ⎥⎥ , EI = E0 − A 1 ⎥ 2 ⎥⎦

และ

⎡ ⎢+ c2 = ⎢ ⎢ ⎢− ⎣

1 ⎤ 2 ⎥⎥ , EII = E0 + A 1 ⎥ 2 ⎥⎦

___________ (4.51)

เนื่องจาก matrix ที่เรากําลังหาผลเฉลยของสมการ eigen อยูในขณะนี้ เปน Hamiltonian matrix เรา เรียก E1, E2 วาเปน eigen energy และเรียก c1, c2 วาเปน eigenstate Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-23

และนี่กเ็ ปนครัง้ แรกที่เราไดมีโอกาสใช matrix mechanics ในการหาคา eigenvector และ eigenvalue ของ Hamiltonian operator ซึ่งเปนโอกาสที่ดีที่เราจะไดทําความเขาใจใหลึกซึ้งในลําดับตอไป

Eigenstate และ Eigenvalue ของ Hamiltonian เชิงลึก ในตอนตนของเนื้อหา เราไดกลาวถึง time evolution operator Uˆ ซึ่งเปน operator ที่ทําหนาที่ในการ กระทํากับ state ใดๆ และทําให state นั้นๆเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ทั้งนี้ ถาพิจารณาในชวงเวลา t ที่ผานไป เราจะสามารถเขียน time evolution operator Uˆ ใหอยูในรูปแบบทางคณิตศาสตรที่สัมพันธ กับ Hamiltonian operator Hˆ ดังสมการ (4.4) ซึ่งก็คือ Uˆ (t ) = e

iHˆ t

________________________ สมการ (4.52)

เพราะฉะนั้น ถาเรากําหนดใหระบบที่อยูใ นสถานะ ε เปน eigenstate ของ Hamiltonian operator Hˆ ผลที่ตามมาก็คือ สถานะ ε จะเปนสถานะที่เสถียร ดวยเหตุที่ time evolution operator Uˆ ไม สามารถทําให สถานะ ε เปลี่ยนแปลงไปกับเวลาไดเลย เพื่อที่จะใหนักศึกษาเขาใจถึงคุณสมบัติในแงนี้ เราเริ่มดวยการนิยาม Hˆ ε = E ε

________________________ สมการ (4.53)

และเมื่อนํา operator ในสมการ (4.52) เขามากระทํากับ state ⎧ − iHˆ t ⎫ ⎪ ⎪ Uˆ (t ) ε = ⎨e ⎬ε ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

ε

จะได

________________________ สมการ (4.54)

สังเกตวา operator ทางขวามือของสมการ (4.54) นั้น เขียนอยูในลักษณะของ exponential ฟงชันก ซึ่ง ยากตอการทําความเขาใจในการที่จะนําเอา exponential ฟงชันกดังกลาวเขาไปกระทํากับสถานะ ε เพราะฉะนั้น เราสามารถเขียน operator ทางขวามือเสียใหมใหอยูในรูปของ polynomial โดยใช Taylor expansion

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

⎧ ⎛ ˆ ⎞ ⎛ ˆ ⎞ 2 ⎛ ˆ ⎞3 ⎫ iH t iH t iH t ⎪ ⎪ Uˆ (t ) ε = ⎨1 − ⎜ + − + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ε ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎝ ⎪⎭ 2 3 ⎧⎪ ⎛ i t ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ = ⎨1 − ⎜ ⎟ Hˆ + ⎜ ⎟ Hˆ 2 − ⎜ ⎟ Hˆ 3 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎪ ⎝ ⎠

⎫⎪ ⎬ε ⎭⎪

4-24

____________ สมการ (4.55)

จากนั้นใชสมบัติการกระจายของ operator เพื่อกระจาย polynomial แตละเทอม ใหตางก็เขาไป กระทํากับ state ε 2

3

⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ Uˆ (t ) ε = 1 ε − ⎜ ⎟ Hˆ ε + ⎜ ⎟ Hˆ 2 ε − ⎜ ⎟ Hˆ 3 ε + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

อาศัยสมบัติความเปน eigenstate ของ

_____ สมการ (4.56)

ดังในสมการ (4.53) ทําใหสมการขางตนเปลี่ยนรูปเปน 2

3

⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ Uˆ (t ) ε = 1 ε − ⎜ ⎟ E ε + ⎜ ⎟ E 2 ε − ⎜ ⎟ E 3 ε + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

_____ สมการ (4.57)

จะสังเกตไดวา ทุกๆเทอมทางขวามือของสมการ (4.57) นัน้ ลวนแลวแตอยูในรูปของ state ε คูณ อยูกับตัวเลขธรรมดา เพราะฉะนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบเอาตัวเลขเหลานี้เขามารวมกันเปน ผลบวก ซึ่งจะไดวา 2 3 ⎧⎪ ⎛ i t ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ Uˆ (t ) ε = ⎨1 − ⎜ ⎟ E + ⎜ ⎟ E 2 − ⎜ ⎟ E 3 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎪ ⎝ ⎠

⎧⎪ ⎛ iEt ⎞ ⎛ iEt ⎞2 ⎛ iEt ⎞3 = ⎨1 − ⎜ ⎟+⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎝

⎫⎪ ⎬ε ⎪⎭

⎫⎪ ⎬ε ⎭⎪

_____ สมการ (4.58)

เทอมในวงเล็บของสมการขางตน สามารถลดรูปใหอยูใ นรูปของ exponential ฟงชันกไดวา Uˆ (t ) ε = e

iEt

ε

_________________ สมการ (4.59)

สมการ (4.59) แสดงใหเห็นชัดเจนวา เมื่อ time evolution operator Uˆ (t ) กระทํากับสถานะ ε ผลลัพธที่ไดก็ยังเปนสถานะ เชนเดิม ε (คูณดวยคาคงที่ ซึง่ ไมมีนัยยะอะไรเปนสําคัญ) หรือกลาว Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-25

อีกนัยหนึ่ง สถานะ ε ซึ่งเปน eigenstate ของ Hamiltonian นั้น เปนสถานะที่เสถียร และ ไม เปลี่ยนแปลงกับเวลานั่นเอง ในวิชา quantum mechanics เบื้องตน เราใชเวลาสวนใหญในการแกสมการ Schrödinger เพื่อหา eigenstate ของระบบ ยกตัวอยางเชน ระบบของ hydrogen อะตอม ซึ่งปรากฏวามี eigenstate ที่สื่อ ใหเห็นถึงการกระจายตัวของกลุมหมอกอิเล็กตรอนเปนรูป ทรงกลม (s-orbital) หรือ รูป dumbbell (px, py, px orbital) ที่เปนเชนนี้มิไดหมายความวา อิเล็กตรอนไมสามารถที่จะกระจายตัวเปนกลุม หมอกรูปทรงอื่นๆเชน รูปหมวกกันน็อก หรือ รูปมะมวงได แทที่จริงแลวกลุมหมอกของอิเล็กตรอนภายในอะตอมของ hydrogen จะปรากฏอยูใ นรูปใดก็ได เพราะไมมกี ฎขอใดของ quantum mechanics ที่จะจํากัดสถานะของระบบใหอยูใ นรูปแบบใดแบบ หนึ่ง แตที่เราใหความสําคัญเปนพิเศษกับสถานะของระบบที่เปน eigenstate ก็เพราะวา มันเปนสถานะที่ เสถียร ดังนั้นจึงเปนสถานะที่มีโอกาสที่จะพบบอยที่สุดในธรรมชาตินนั่ เอง วกกลับมาที่ eigenstate ของโมเลกุล ammonia จากสมการ (4.51) เราพบวา ammonia มี eigenstate อยูสองสถานะดวยกันคือ I =

1 1 1 + 2 2 2

___________________ (4.60)

II =

1 1 1 − 2 2 2

___________________ (4.61)

และ

เพื่อความสะดวก เราเรียก eigenstate ทั้งสองนี้วา I และ II ตามลําดับ eigenstate ทั้งสองดังใน สมการ (4.60) และ (4.61) แสดงใหเห็นวา สถานะที่อะตอมของ nitrogen อยูดานบน ( 1 ) นั้นไมได เปนสถานะที่เสถียร ที่ไมเสถียรก็เพราะดวยเหตุผลทางคณิตศาสตรที่วา 1 มิไดเปน eigenstate ของ Hamiltonian matrix และดวยเหตุผลทางฟสิกสที่วา 1 มีโอกาสที่จะเปลี่ยนไปเปน 2 ยกตัวอยางเชน อะตอมของ nitrogen มีโอกาสที่จะเคลื่อนที่จะดานบนลงมาขางลางนั่นเอง สถานะ I และ II นั้น ตางก็เปน eigenstate ของ Hˆ ทําใหมันไมเปลี่ยนแปลงกับเวลา สถานะทั้งสองดังกลาว เปนสถานะที่เราไมอาจจะตัดสินใจไดวา nitrogen อะตอม อยูดานบนหรือ Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-26

ดานลาง หรือเรียกอีกอยางหนึ่งวาเปนสถานะผสม ซึ่งในทางคณิตศาสตรเราใชคําวา superposition ของ state นอกจากนี้ สถานะ I และ II มีพลังงานเทากับ E0 − A และ E0 + A ตามลําดับ สงผลใหเมื่อ ระบบมีการเปลี่ยนแปลงระหวางสถานะทัง้ สอง จะมีการปลดปลอยคลื่นแมเหล็กไฟฟาซึ่งมี พลังงานเทากับผลตางของพลังงาน hv = EII − EI = 2 A แบบฝกหัด 4.8 จากการทดลองพบวา คลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ปลอยออกมาจากการเปลี่ยนแปลง สถานะมีความยาวคลื่นเทากับ 1 1 cm จงใหความสัมพันธในสมการ (4.47) เพื่อคํานวณหาความ 4

นาจะเปนตอหนึ่งหนวยเวลา ที่ระบบจะมีการเปลี่ยนสถานะจาก transition rate)

2 ⇒1

(เรียกกันโดยทั่วไปวา

Dynamics ของโมเลกุล Ammonia สมมุติวา ณ เวลา t = 0 เรากําหนดใหอะตอมของ nitrogen อยู ณ ตําแหนงดานบนของระนาบที่ ประกอบกันขึน้ จาก hydrogen อะตอมทั้งสาม หรืออีกนัยหนึ่ง Ψ (0) = 1

___________________ (4.62)

ในสภาวะเชนนี้ เราอาจตองการที่จะทราบวา state ของระบบดังกลาว เปลี่ยนแปลงไปเชนใดเมื่อเวลา ผานไป โดยใช time evolution operator เราสามารถคํานวณหา state ณ เวลาใดๆไดวา Ψ (t ) = Uˆ (t ) Ψ (0) = e

และจากสมการ (4.60) - (4.61) เราสามารถเขียน ไดวา 1 =

1

iHˆ t

Ψ (0)

___________________ (4.63)

ใหอยูใ นรูป superposition ของ

1 1 I + II 2 2

I

และ

II

___________________ (4.64)

เพราะฉะนั้น สมการ (4.63) กลายเปน

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

Ψ (t ) = e

=

และโดยอาศัยสมบัติของสถานะ 1 − Ψ (t ) = e 2 =

1 − e 2

iEI t

4 Time Evolution iHˆ t

1 ⎧ 1 ⎫ I + II ⎬ ⎨ 2 ⎩ 2 ⎭

1 − e 2 I

iHˆ t

1 − e 2

I +

และ

1 − I + e 2 I +

___________________ (4.65)

iHˆ t

II

ที่ตางก็เปน eigenstate ของ

II

i ( E0 − A ) t

4-27

จะไดวา

iEII t

II

1 − e 2

___________________ (4.66)

i ( E0 + A) t

II

เมื่อทราบสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ ดังแสดงในสมการ (4.66) เราก็สามารถคํานวณความนาจะ เปนที่จะพบวาอะตอม nitrogen อยูดานบนของฐานสามเหลี่ยม ซึ่งก็คือ 1 Ψ (t )

2

⎛A ⎞ = cos 2 ⎜ t ⎟ ⎝ ⎠

___________________ (4.67)

แบบฝกหัด 4.9 จงพิสูจนสมการ (4.67)

N

1

โมเลกุล NH3 สามารถเปลีย่ นสถานะจาก 1 ⇔ 2 ⎛A ⎞ cos 2 ⎜ t ⎟ H ⎝ ⎠

H

1 0.8

t=

π 2A

0.6

H

0.4 0.2

2

time t ภาพ 4.9 แสดงการเปลี่ยนแปลงตําแหนงของอะตอมของ nitrogen เมือ่ เวลาผานไป สมมุติใหเมือ่ เวลา t = 0 อะตอมของ nitrogen อยูที่ดานบนของฐาน จะไดวา probability ที่จะพบ nitrogen อะตอมอยู ณ ดานบนนัน้ เปนฟงชันกของเวลา Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-28

จากการทดลองพบวา ในกรณีของโมเลกุล ammonia ความถี่ที่ nitrogen อะตอมมีการสั่นขึ้นลง ระหวางดานบนและลางมีคาเทากับ 24GHz

Maser ในขั้นตนของการวิเคราะหโมเลกุลของ ammonia เราใชความสมมาตรของระบบในการอธิบายวา พลังงานของสถานะ 1 และ 2 นัน้ มีคาเทากัน คือ E0 = 1 Hˆ 1 = 2 Hˆ 2 ใน Section 4.5.3 นี้เราจะมาพิจารณาระบบที่มคี วามซับซอนมากขึ้น และจะสงผลใหระดับพลังงานของทั้งสองสถานะ ดังกลาวมีความแตกตางกัน

โมเลกุล Ammonia NH3 ในสนามไฟฟา

-

E

+

dipole moment μe

+

1

μe

dipole moment

2

ภาพ 4.10 เนื่องจากการกระจายตัวของอิเล็กตรอนภายใน ammonia โมเลกุล ทําใหเกิดความไม สม่ําเสมอของประจุไฟฟาขึน้ เกิดเปนประจุลบสุทธิไปกระจุกตัวอยูบ ริเวณ nitrogen อะตอม และ เกิดเปนประจุบวกสุทธิไปกระจุกตัวอยูบริเวณ hydrogen อะตอม ความไมสม่ําเสมอลักษณะดังกลาวนี้ทําใหเกิด electric dipole moment μe ภาพ 4.10 แสดงลักษณะของ electric dipole moment μe ที่เกิดขึ้นโดยธรรมชาติภายใน ammonia โมเลกุล ทิศทางของ μe ขึ้นอยูกับตําแหนงของ nitrogen อะตอม หรืออีกนัยหนึ่ง ขึ้นอยูกับวา ระบบอยูในสถานะ 1 หรือ 2 นั่นเอง

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-29

เมื่อเราปอนสนามไฟฟา E ภายนอกเขาไปในระบบยอมจะทําใหเกิดอันตรกริยาระหวาง electric dipole moment และ สนามไฟฟา ซึ่งมี interaction energy คือ − μe ⋅ E เมื่อเปนเชนนี้ Hamiltonian matrix ดังในสมการ (4.48) ก็ยอมตองเปลี่ยนไป ดังตอไปนี้ ⎡ E0 + μe E Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 1 , 2 basis ⎢ −A ⎣

⎤ ⎥ E0 − μe E ⎥⎦ −A

__________________ (4.68)

สมการ (4.68) เปน Hamiltonian matrix ของ ammonia โมเลกุลภายใตอิทธิพลของสนามไฟฟา จะ สังเกตเห็นวา พลังงานของสถานะ 2 มีคาลดลงจากเดิม μe E เนือ่ งจาก electric dipole moment มี ทิศทางเดียวกันกับสนามไฟฟาภายนอก ในขณะที่พลังงานของสถานะ 1 มีคาเพิ่มขึ้นจากเดิม μe E เนื่องจากมีทิศสวนทางกับสนามไฟฟาดังกลาว เพื่อที่จะหาระดับพลังงานของระบบ เราสามารถหาผลเฉลยของ eigenvalue ของ matrix ขนาด 2x2 ในสมการ (4.68) ซึ่งจะไดวา eigen energy ของระบบก็คือ 2

E = E0 ∓ μe2 E + A2

_________________________ (4.69)

อยางไรก็ตาม เราสามารถที่จะประมาณระดับพลังงานในสมการ (4.69) ใหมีรูปแบบทางคณิตศาสตร ที่งายขึ้น โดยใชกลไกการประมาณคาที่เรียกวา Taylor expansion เพราะฉะนัน้ จะไดวา

E ≅ E0 ∓ A ∓

Dr. Teepanis Chachiyo

μe2 E

2

2A

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

_________________________ (4.70)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-30

Maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission) แยกโมเลกุล ammonia เปนสองประเภท μe2 ∂ ∂ Fz = − E ( z ) = ± E( z ) A ∂z ∂z I

NH3 II

wave cavity ที่ปรับความถี่ resonance ที่ 24GHz พอดี ภาพ 4.11 แสดงหลักการทํางานของ Maser ที่สามารถสรางคลื่นแมเหล็กไฟฟาความเขาสูง ได คลายๆกัน laser ที่เราคุนเคยกันดี เพียงแตคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ไดจาก Maser มีความถี่ 24GHz ดูผิวเผิน สมการ (4.70) เปนเพียงความสัมพันธระหวางพลังงานของระบบ และความเขมของ สนามไฟฟา E ที่ปอนเขาไปในระบบ อยางไรก็ตามความสัมพันธดังกลาว เปนหนึ่งในปจจัย สําคัญที่ทําให J.P. Gordon, H. J. Zeiger, และ C.H. Townes [Phys. Rev. 99, 1264-1274 (1955)] ได ประสบความสําเร็จในการสรางสิ่งที่เรียกวา Maser ซึ่งยอมาจาก (Microwave Amplification by Stimulated Emission) โดยที่ตอมาในป 1964 Townes ไดรับรางวัลโนเบลอันเนื่องมาจากงานของ เขาที่เกี่ยวของกับ Maser และ Laser ภาพ 4.11 แสดงหลักการทํางานของ Maser ซึ่งประกอบดวย beam ของ ammonia โมเลกุล ที่แตเดิมมี ทั้งที่อยูในสถานะ I และ II ดังแสดงดวยวงกลมสีแดงและสีน้ําเงินตามลําดับ จากนัน้ beam ของ ammonia ผานเขาสูบริเวณทีใ่ ชเปนตัวแยก state ทั้งสองออกจากกัน จากสมการ (4.70) ถาเราออกแบบใหความเขมของสนามไฟฟาเปนฟงชันกที่เปลี่ยนไปตามแกน z กลาวคือ E = E( z ) จะไดวา พลังงานของ ammonia โมเลกุลก็ยอมตองขึ้นกับพิกดั ในแกน z ที่ โมเลกุลนั้นๆปรากฏอยู

E ( z ) ≅ E0 ∓ A ∓

μe2 E( z )

2

2A

_________________________ (4.71)

และเมื่อพลังงานเปนฟงชันกของตําแหนง เราสามารถคํานวณแรงที่กระทําตอโมเลกุลของ ammonia ไดวา Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

μe2 ∂ ∂ Fz = − E ( z ) = ± E( z ) ∂z A ∂z

4-31

_________________________ (4.72)

จากเครื่องหมาย ± ในสมการ (4.72) จะเห็นวาแรงที่กระทําตอโมเลกุล ammonia ที่อยูในสถานะ I จะมีทิศตรงกันขามกับของสถานะ II เพราะฉะนัน้ beam ของ ammonia โมเลกุลจะแยกออกเปน สองสายเนื่องจาก gradient ของสนามไฟฟาที่ปรากฏอยู ในภาพ 4.11 เมื่อโมเลกุลของ ammonia ผานออกมาจากสวนที่ทําหนาทีแ่ ยก beam เขามาสูบริเวณที่ ไมมีสนามไฟฟา Gordon, Zeiger, และ Townes ออกแบบใหโมเลกุล ammonia ในสถานะ II ซึ่ง มีพลังงานเทากับ EII = E0 + A มารวมตัวกันอยูในภาชนะที่เรียกวา "resonance wave cavity" ที่ ออกแบบรูปรางและขนาดของภาชนะใหเอื้อตอการปลดปลอยคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความถี่ 24 GHz ซึ่งความถี่นี้เองเปนความถี่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่มีพลังงานเทากับ ΔE = EII − EI สงผลใหโมเลกุลของ ammonia ที่โดนแยกออกมาใหรวมตัวกันใน resonance wave cavity และ แต เดิมอยูในสถานะ II เกิดการเปลี่ยนสถานะโดยฉับพลันและโดยพรอมเพรียงกัน จาก II ⇒ I จึงเกิดเปนคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความถี่ 24 GHz ที่มีความเขมสูงปลดปลอยออกมา นักศึกษาจะสังเกตไดวา กลไกการทํางานของ Maser มีความคลายคลึงกับ Laser ที่นักศึกษาคุน เคยใน ชีวิตประจําวัน เพียงแตวา Maser เปลงคลื่นแมเหล็กไฟฟาในยานความถี่ของ microwave ในขณะที่ Laser อยูในยานของความถี่แสงนั่นเอง

4.6 บทสรุป ในบทที่ 4 ที่วาดวย time evolution เราไดเริ่มรูจักกับ time evolution operator Uˆ (t ) ที่เมื่อกระทํา กับสถานะใดๆของระบบ จะทําใหมันเปลีย่ นแปลงไปกับเวลา หรืออีกนัยหนึ่ง Ψ (t ) = Uˆ (t ) Ψ (t = 0)

เราสามารถที่จะเขียน operator Uˆ (t ) ใหอยูในรูปที่สัมพันธกับ Hamiltonian ของระบบ ซึ่งก็คือ Uˆ (t ) = e

Dr. Teepanis Chachiyo

ˆ iHt

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

_________________________ (4.73)

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-32

ความสัมพันธดังกลาวเปนเครื่องมือที่สําคัญยิ่งในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาเมื่อเราทราบ สถานะเริ่มตนของระบบ ซึ่งพอจะสรุปไดเปน 3 ขั้นตอนโดยสังเขปดังตอไปนี้ โจทย - สมมุติวาเราทราบ Hamiltonian ของระบบที่กําลังศึกษาวาเปน Hˆ และสมมุติตอไปอีกวาเรา ทราบสถานะของระบบเมื่อเวลาเริ่มตน Ψ (t = 0) คําถามก็คือ ระบบจะมีการเปลี่ยนแปลงไป อยางไรในเวลาตอมา 1. คํานวณหา eigenstate ε n และ eigen energy En ทั้งหมดที่เปนไปไดของ Hamiltonian operator Hˆ หรืออีกนัยหนึ่ง ตองทําการหาผลเฉลยของสมการ Hˆ ε n = En ε n 2. กระจายสถานะเริ่มตน

Ψ (t = 0)

ใหอยูในรูป superposition ของ eigenstate ในขอ 1 Ψ (t = 0) = ∑ cn ε n n

โดยที่สัมประสิทธิ์ cn สามารถหาไดจาก cn ≡

ε n Ψ (t = 0)

3. โดยอาศัยรูปแบบของ time evolution operator ในสมการ (4.4) และอาศัยวา ของ Hˆ จะไดวา

Ψ (t ) = e =e

− −

εn

เปน eigenstate

ˆ iHt

Ψ (t = 0) ˆ iHt

∑ cn ε n n

หรือ Ψ (t ) = e

iE t − n

∑ cn ε n _________________________ (4.74) n

โดยที่นักศึกษาจะสังเกตเห็นวา ตัวอยางที่ไดกลาวมาขางตน ไมวาจะเปน spin precession ของ อิเล็กตรอน หรือ ammonia maser ก็ดี ลวนแลวแตเปนการนําผลของสมการ (4.74) มาประยุกตใช ในการวิเคราะหทั้งสิ้น

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-33

4.7 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 4.10 พิจารณาอนุภาคที่มี spin = 1 โดยใช eigenstate ของ Sˆz เปน basis state ( j, m ∈ { 1, +1 , 1, 0 , 1, −1 } ) จงเขียน eigenstate ทั้งสาม ของ Sˆ y ใหอยูใ นรูปของ superposition ของ basis state ดังกลาว แบบฝกหัด 4.11 spin-1 particle ซึ่งมี magnetic momentum เทากับ μ =

gq ˆ S 2m

วางอยูทามกลาง

สนามแมเหล็ก B = B0k ณ เวลา t = 0 ระบบอยูในสถานะ ที่เปน eigenstate ของ Sˆ y และมี eigenvalue จงหาวา Sˆx , Sˆ y , และ Sˆz เปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไร แบบฝกหัด 4.12 จงแกสมการ (4.38) โดยตรงเพื่อหาผลเฉลยของ a(t ) และ b(t ) บอกใบ - (i) ใชวิธีเปลี่ยนตัวแปรโดยกําหนดให a(t ) = c(t )e−iω0t 2 และ b(t ) = d (t )e+ iω0t 2 จากนั้น เขียนสมการใหอยูใ นรูปของ c(t ) และ d (t ) (ii) จากนั้นกําหนดให ω = ω0 เพือ่ ก็จะได สมการอนุพันธอันดับหนึ่ง (iii) เปนใหเปนสมการอนุพนั ธอันดับสองแลวแกสมการ แบบฝกหัด 4.13 กําหนดให Hamiltonian matrix ของระบบที่มี basis state 3 state ดวยกันคือ 1 , 2 , 3 มีคาเทากับ ⎡ E0 H = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ A

a) จงหาความนาจะเปนที่ระบบจะเปลี่ยนจาก 1 ⇒ b) ถา ณ เวลา t = 0 พบวา Ψ (t = 0) = 2 จงหา c) ถา ณ เวลา t = 0 พบวา Ψ (t = 0) = 3 จงหา

Dr. Teepanis Chachiyo

0 E1 0

2

A⎤ 0 ⎥⎥ E0 ⎥⎦

และ

2 ⇒ 3

เมื่อเวลาผานไป

Ψ (t ) Ψ (t )

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา

4 Time Evolution

4-34

This page is intentionally left blank

Dr. Teepanis Chachiyo

ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน

teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009


4 Time Evolution