Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
8 Central Potential
8-63
เมื่อเปรียบเทียบ associated Laguerre equation (8.104) กับสมการ (8.99) เราสามารถเขียนผลเฉลย ของ radial equation ไดวา l +1) Rn,l ( ρ ) = N ρ l e− ρ 2L(2 n − l −1 ( ρ )
ซึ่ง
∞
N
ก็คือ normalization constant ที่จะทําให ∫ dr r 2 ⎡⎣ Rn,l (r ) ⎤⎦
2
หรือในรูปของ
=1
ρ
0
3∞ 2 ⎛ na0 ⎞
2 2 ⎡ l − ρ 2 (2l +1) ⎤ =1 N ⎜ d e ρ ρ ρ L ( ρ ) ⎟ ∫ n −l −1 ⎣ ⎦ ⎝ 2Z ⎠ 0
และจากเอกลักษณทางคณิตศาสตรของ associated Laguerre functionsในสมการ (8.107) จะพบวา ∞
∫ dρ
0
2 l +1) ⎤ = 2n ( n + l ) ! ( ) ρ 2 ⎡ ρ l e − ρ 2L(2 ρ n − l −1 ⎣ ⎦ ( n − l − 1)!
ดังนั้น
⎛ 2Z ⎞ N =⎜ ⎟ ⎝ na0 ⎠
32
( n − l − 1)! และ 2n ( n + l ) !
ในทายที่สุด ⎛ 2Z ⎞ Rn,l (r ) = ⎜ ⎟ ⎝ na0 ⎠
32
( n − l − 1)! ρ l e− ρ 2n ( n + l ) !
2 (2l +1) L n − l −1 ( ρ )
เมื่อ ρ = 2Z ⋅ n
r a0
____________________ สมการ (8.109) ยกตัวอยางเชน ⎛Z ⎞ R1,0 (r ) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ a0 ⎠
32
⎛ Z ⎞ R2,0 (r ) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2a0 ⎠
e− Zr a0
32
1 ⎛ Z ⎞ R2,1 (r ) = ⎜ ⎟ 3 ⎝ 2a0 ⎠
⎛ Z ⎞ R3,0 (r ) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ 3a0 ⎠
Dr. Teepanis Chachiyo
⎛ Zr ⎞ − Zr 2a0 ⎜1 − ⎟e ⎝ 2a0 ⎠
32
Zr − Zr 2a0 e a0
3 2⎛
2 Zr ⎜1 − 2Zr + ( ) ⎜ 3a0 27 a02 ⎝
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
2
⎞ ⎟ e− Zr 3a0 ⎟ ⎠
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009