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CAMPUS PATO BRANCO

´ CURSO DE MATEMATICA PARA ALUNOS INGRESSANTES

´ Projeto Institucional da Area de Matem´ atica do campus Pato Branco

Pato Branco - PR, 2011


Sum´ ario 1 N´ umeros Naturais 1.1 N´ umeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4

1.2 1.3

M´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ınimo M´ ultiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6

1.4 1.5

Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´aximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9

2 Fra¸ co ˜es

11

2.1 2.2

Opera¸co˜es com fra¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Outras opera¸co˜es com fra¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Potencia¸ c˜ ao e Radicia¸ c˜ ao

16

3.1

Potencia¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Exerc´ıcios para Fixa¸ca˜o! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2

Radicia¸ca˜o e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1 Propriedades da Radicia¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Express˜ oes num´ ericas 4.1 4.2

21

Ordem das Opera¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Equa¸ca˜o do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Express˜ oes Alg´ ebricas e Polinˆ omios 25 5.1 Express˜oes Alg´ebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2

5.3

5.1.1 Opera¸co˜es com Monˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Polinˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.1 Opera¸co˜es com Polinˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.2 Opera¸co˜es com polinˆomios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Decomposi¸ca˜o de Polinˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3.1

Fra¸co˜es Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Exponencial e Logaritmo 6.1 6.2 6.3

38

Equa¸co˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Inequa¸co˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.3.1

Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2


7

Trigonometria 44 7.1 Introdu¸ca˜o a` trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.2 7.3

7.1.4 C´alculo do seno, cosseno e tangente de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Arcos, aˆngulos e o c´ırculo trigonom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.3.1 Arcos e aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.3.2 7.3.3

7.4

Raz˜oes trigonom´etricas no triˆangulo retˆangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ˆ Angulos Not´aveis: 30o , 45o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 C´alculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Estudo do C´ırculo Trigonom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Express˜ao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3.4 Circulo Trigonom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Identidades Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.4.1 Identidades Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8 Respostas dos Exerc´ıcios 59 8.1 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.2 8.3

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Respostas dos Exerc´ıcios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.4 8.5 8.6

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.7 8.8

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Referˆ encias

76


Cap´ıtulo 1

N´ umeros Naturais 1.1

N´ umeros Naturais

O sistema de numera¸ca˜o mais usados em nossos dias ´e o indo-ar´abico, que tem base decimal e ´e de car´ater posicional, ou seja, o valor de cada algarismo ´e definido em fun¸ca˜o da posi¸ca˜o que ele ocupa na express˜ao do n´ umero. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}. Exemplo 1 Escreva o conjunto dos n´ umeros naturais menores que 12: Solu¸ c˜ ao: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Nota: N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} ˆ APRENDE FAZENDO VOCE 1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos: (a) O conjunto dos n´ umeros naturais que s˜ao ´ımpares. (b) O conjunto dos n´ umeros naturais que s˜ao pares. (c) O conjunto dos n´ umeros ´ımpares e menores que 12. (d) O conjunto dos n´ umeros ´ımpares menores ou iguais a 11. 2) Escreva em extens˜ao, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma propriedade: (a) A = {n ∈ N|n < 1}

(d) D = {n ∈ N| 2 < n < 10}

(b) B = {n ∈ N∗ |n ≤ 11}

(e) E = {n ∈ N|n ≥ 2 e n ≤ 10}

(c) C = {n ∈ N|n > 2 e n < 10}

(f) F = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10}

3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N: (a) A = {1, 2, 3, 4, 5}

(c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}

(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4


5

(e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...}

(f) F = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}

4) ) Represente em extens˜ao os conjuntos: (a) A = {2n|n ∈ N}

(c) C = {2n ∈ N|0 < n < 5}

(b) B = {2n ∈ N|n > 0 e n < 5}

(d) D = {2n ∈ N|0 ≤ n ≤ 5}

5) Represente na reta num´erica os seguintes subconjuntos dos n´ umeros naturais: (a) A = {0, 1, 2, 3}

(d) D = {n ∈ N|n < 10}

(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}

(e) E = {n ∈ N∗ |n < 12}

(c) C = {3, 4, 7, 10}

(f) F = {N ∈ N|n > 2 e n < 9}

´ LOGICO ´ E ! Num certo planeta, os dias tˆem 17 horas e 17 minutos. L´a costuma se praticar o zists. As partidas de zists come¸cam sempre a`s 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam?

1.2

M´ ultiplos

Defini¸ c˜ ao 1 : Chamam-se m´ ultiplos de um n´ umero ao produto desse n´ umero por um n´ umero natural qualquer. O conjunto dos m´ ultiplos de um n´ umero natural n˜ ao nulo ´e infinito e podemos consegu´ı-lo multiplicando-se o n´ umero dado por todos os n´ umeros naturais. Exemplo 2 M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...} Observa¸ c˜ ao 1 O n´ umero zero (0) ´e m´ ultiplo de qualquer n´ umero.

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE 1) Determine e indique os conjuntos em N: 1. M(1)

2. M(2)

3. M(6)

4. M(10)

2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirma¸co˜es abaixo. (a) O n´ umero zero ´e m´ ultiplo de qualquer n´ umero natural. (b) O maior m´ ultiplo de um n´ umero ´e o pr´oprio n´ umero. (c) O conjunto dos m´ ultiplos de um n´ umero ´e infinito. (d) Todo n´ umero natural ´e m´ ultiplo de si mesmo. (e) O n´ umero um s´o ´e m´ ultiplo dele mesmo.

5. M(12)

6. M(50)


6

3) Quais s˜ao os m´ ultiplos de 12 menores do que 50? 4) Quais s˜ao os m´ ultiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40? 5) Qual ´e o menor m´ ultiplo de um n´ umero natural? 6) Qual ´e o nome que se d´a ao conjunto dos m´ ultiplos de 2? 7) Considere n ∈ {1, 2, 3}. Sabendo que a = 2n e b = 3n, escreva os m´ ultiplos comuns de a e b menores que 50. 8) Escreva o conjunto dos n´ umeros naturais que s˜ao m´ ultiplos de 3 e tamb´em, de 6. 9) Escreva o conjunto dos n´ umeros naturais que s˜ao m´ ultiplos de 4 e tamb´em, de 5. 10) Escreva o conjunto dos n´ umeros naturais que s˜ao m´ ultiplos de 5 e tamb´em, de 6. ´ LOGICO! ´ E Na pirˆamide abaixo, tem-se que o n´ umero de cada tijolo ´e a soma dos n´ umeros dos dois tijolos vizinhos, do andar de baixo.

1. Usando x, como se indica o n´ umero do tijolo escuro? 2. Usando x, como se indica o n´ umero do tijolo hachurado? 3. Qual ´e o valor de x? 4. Determine o valor de cada tijolo da pirˆamide. Resp: x = 11

1.3

M´ınimo M´ ultiplo Comum (M.M.C)

Defini¸ c˜ ao 2 Tendo-se dois ou mais n´ umeros naturais n˜ ao nulos, o m.m.c. deles ´e o menor n´ umero n˜ ao nulo que seja m´ ultiplo de todos eles.


7

Exemplo 3 Obter m.m.c de 28 e 36.

Observa¸ c˜ ao 2 Decompor um n´ umero composto em fatores primos significa expressar este n´ umero como produto de outros que sejam primos. Defini¸ c˜ ao 3 N´ umeros Primos s˜ ao aqueles que s˜ ao divis´ıveis apenas por 1 e por ele mesmo. Defini¸ c˜ ao 4 N´ umeros Compostos s˜ ao aqueles que podem ser escritos atrav´es do produto de n´ umeros primos elevados a uma potˆencia. Observa¸ c˜ ao 3 Os n´ umeros 0 e 1 n˜ ao s˜ ao nem primos, nem compostos.

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Determine o m.m.c. entre os n´ umeros: 1. 14 e 21

2. 8,12 e 16

3. 10,15 e 20

4. 12, 18, 30 e 36

5. 2,3, 5,7 e 10

2) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de 3 em 3 horas. Se a` meia-noite ele tomou os dois rem´edios, a que horas ele voltar´a a tomar os dois rem´edios juntos? 3) Do porto de Santos, partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40 dias. Se, num certo dia, sa´ıram navios das duas na¸co˜es, quantos dias demorar´a para ocorrer uma nova partida conjunta? 4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O primeiro completa cada volta em 24 minutos e o segundo em 18 minutos. Ap´os quantos minutos da partida os dois v˜ao estar juntos outra vez? 5) Numa esta¸ca˜o rodovi´aria, os oˆnibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B de 8 em 8 horas. Numa ocasi˜ao, um oˆnibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B. Quanto tempo depois isso acontecer´a de novo? 6) Um pa´ıs tem elei¸co˜es para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4 anos. Em 1988, essas duas elei¸co˜es coincidiram. Dˆe os anos das trˆes pr´oximas vezes em que elas voltar˜ao a coincidir. ´ LOGICO ´ E ! Um po¸co tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do po¸co sobe quatro metros durante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, trˆes metros. Em quantos dias sair´a do po¸co?


8

1.4

Divisores

Defini¸ c˜ ao 5 Sendo a e b dois n´ umeros inteiros, com a 6= 0, dizemos que a ´e divisor de b quando b ´e

divis´ıvel por a.

Exemplo 4 1) Determine os divisores de 14. Solu¸ c˜ ao: D(14)={1, 2, 7, 14}

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Escreva os n´ umeros naturais que: 1. S˜ao divisores de 12.

4. S˜ao divisores de 30, mas n˜ao de 12.

2. S˜ao divisores de 30. 3. S˜ao divisores de 12, mas n˜ao de 30.

5. S˜ao divisores comuns de 12 e 30.

2) Quais s˜ao os divisores de um n´ umero primo p? 3) O conjunto dos divisores de 10 ´e indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(34). Apresente os conjuntos: 1. D(10)

2. D(24)

3. D(10) ∩ D(24)

4. D(10) ∪ D(24)

4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham mais de 3 balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo n´ umero de balas e n˜ao deve sobrar nenhuma das 200 balas. Quais s˜ao as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes? 5) O professor Elder, de artes, quer dividir a classe em grupos que tenha no m´ınimo 3 alunos e no m´aximo 6. Sabendo-se que a classe tem 36 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo n´ umero de alunos, quais s˜ao as maneiras poss´ıveis de o professor Elder formar os grupos? 6) Um torneio de futebol de sal˜ao vai reunir 24 equipes. O organizador quer formar grupos que tenham o mesmo n´ umero de equipes, com no m´ınimo 2 e no m´aximo 8 equipes. Quais s˜ao as maneiras poss´ıveis de formar estes grupos? 7) Encontre todas as maneiras poss´ıveis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, de modo que cada pilha tenha no m´ınimo 2 e no m´aximo 10 caixas. 8) Disse um matem´atico: “O produto das idades de meus dois filhos ´e igual a 18 anos.” Quais s˜ao as poss´ıveis idades (em anos) dos filhos deste matem´atico? ´ LOGICO ´ E ! Usando 32 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar retˆangulos como o da figura abaixo:


9

Agora, responda: ´ poss´ıvel formar outros retˆangulos usando todos os quadrinhos? (a) E (b) Quais as medidas dos lados desses retˆangulos?

1.5

M´ aximo Divisor Comum (M.D.C)

Defini¸ c˜ ao 6 Tendo-se dois ou mais n´ umeros naturais n˜ ao nulos, o m.d.c. deles ´e o maior n´ umero natural divisor de todos eles. Exemplo 5 Determine o m.d.c de 12 e 16. MDC(12)= {12} MDC(16)= {16} Observa¸ c˜ ao 4 O m.d.c. ´e o produto dos fatores comuns com o menor expoente: 22 = 4.

m.d.c.{12, 16} =

Exemplo 6 Determinar o mdc entre 20 e 9. D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e D(9) = {1, 3, 9} Assim, mdc{20, 9} = 1 Aten¸ c˜ ao: Dois n´ umeros s˜ao primos entre si, se o m.d.c. entre os dois for 1. ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Obtenha: 1. o m.d.c. (27, 36)

2. o m.d.c. (45, 75)

3. o m.d.c. (20, 26)

4. o m.d.c. (16, 21)

2) Um professor d´a aulas numa 7a s´erie, de 30 alunos, e numa 8a s´erie, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7a como na 8a ) tinham o mesmo n´ umero de alunos. Qual ´e o maior n´ umero de alunos que cada grupo pode ter? 3) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois n´ umeros naturais n˜ao nulos, quando um deles ´e divisor do outro? 4) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois n´ umeros primos diferentes? 5) Na escola de Laura, a 5a s´erie A tem 36 alunos e a 5a s´erie B tem 42. Para participar de uma exposi¸ca˜o de artes, cada classe formar´a equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo n´ umero de alunos. Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposi¸ca˜o, responda:


10

(a) Qual o n´ umero m´aximo de alunos por equipe? (b) Quantas ser˜ao as equipes da 5a s´erie A? E da 5a s´erie B? 6) Para confec¸ca˜o de uma tela, dois rolos de arame de 350 cm e 140 cm v˜ao ser divididos em peda¸cos da mesma medida e a maior poss´ıvel (sem sobras). Qual o n´ umero de peda¸cos que ser˜ao obtidos de cada rolo? 7) Para montagem de uma estante, trˆes peda¸cos de madeira (caibros) medindo 240 cm, 320 cm e 400 cm devem ser divididos em peda¸cos iguais de maior medida poss´ıvel (sem sobras). Qual o n´ umero total de peda¸cos que ser˜ao obtidos? 8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir trˆes pe¸cas de fazenda em partes iguais e de maior tamanho poss´ıvel. Sabendo que essas pe¸cas medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o n´ umero de partes em que ser´a dividida cada pe¸ca e o comprimento dessas partes. ´ LOGICO ´ E !

Quantos quadrados h´a na figura?


Cap´ıtulo 2

Fra¸co ˜es 2.1

Opera¸co ˜es com fra¸co ˜es

• Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao Exemplo 7 (b)

7 5

3 8

=

(a)

7 8

8.7−5.3 40

+

5 6

=

3.7 24

56−15 40

=

+ =

4.5 24

=

21 24

+

20 24

=

41 24

31 40

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Efetue as adi¸co˜es e se poss´ıvel, simplifique os resultados: 5 7 + 35 (b) 84 + 23 (c) 12 + 24 (d) 12 + 49

(a) 76

2) Calcule as adi¸co˜es e expresse os resultados na forma de fra¸ca˜o irredut´ıvel: (a)

7 18

+

7 8

5 (b) 36 +

1 24

9 (c) 28 +

10 21

(d) 17 +

14 21

3) Efetue as adi¸co˜es: 3 (a) ( 10 + 53 ) +

(b)

3 10

3 4

(d)

12 25

+ ( 35 +

(e)

10 21

+

7 15 )

+ ( 35 + 34 )

(c) ( 59 + 23 ) +

4 5

6 7

+

3 5 14 6

+

2 5

+4

4) Transforme os n´ umeros mistos em fra¸co˜es impr´oprias e efetue as adi¸co˜es: (a) 2 13 + 5 53 = 9 (b) 2 10 + 4 54

2.3+1 3

+

5.5+3 5

=

7 3

+

28 5

=

5.7+3.28 15

=

(c) 5 83 + 3 34

119 15

(d) 5 14 + 5 12

11


12

5) Calcule as diferen¸cas: (a)

5 7

(b)

10 12

3 8

(c)

11 12

1 7

2 3

(d)

13 9

5 6

1 18

(e) ( 98 − 35 ) − −

5 18

(f) ( 72 − 2) − (3 − 78 )

1 21

6) Calcule: (a)

20 5

− ( 34 − 12 )

3 (b) ( 20 5 − 4) −

1 2

(c)Considerando os resultados obtidos em a e b, responda: (1) O que vocˆe observa neles? (2) A subtra¸ca˜o de n´ umeros fracion´arios ´e associativa? (Pesquise o que ´e uma opera¸ca˜o associativa). 7) Transforme os n´ umeros mistos em fra¸co˜es impr´oprias e efetue as subtra¸co˜es: (a) 5 55 − 2 13 =

5.5+5 5

2.3+1 3

=

28 5

7 3

=

84−35 15

49 (d) 2 56 − = 15

1 3

(e) 5 15 − 5 (b) 4 58 − 1 43

(f) 3 − 1 34

(c) 3 58 − 1 61

(g) 16 − 12 13

8) No s´ıtio de Lucas,

1 3

da planta¸ca˜o ´e de milho,

1 4

´e de arroz e o restante ´e de soja. Qual ´e a fra¸ca˜o

correspondente a` planta¸ca˜o de soja? 9) Rui, No´e e Isa ganharam uma caixa de bombons “Quero-Quero”. Rui comeu Isa comeu

1 5

1 6

, No´e comeu

1 10

e

. Que fra¸ca˜o sobrou dos bombons?

10) Uma pra¸ca retangular tem lados medindo 100 m e 60 m. 13 da pra¸ca ´e reservado para a a´rea de recrea¸ca˜o infantil, 14 ´e constitu´ıdo de cal¸cadas e o restante ´e gramado. Qual a a´rea, em m2 , reservada para o gramado? 11) Uma piscina ´e um bloco retangular de arestas medindo 25 m, 12 m e 1,5 m. Se apenas um ter¸co da piscina cont´em a´gua, quantos litros faltam para encher completamente essa piscina? 12) F´abio tem uma barraca de feira onde vende frutas. Das trinta caixas de laranjas que comprou, 1 um meio estavam verdes. Das caixas restantes 15 estavam estragadas e as demais estavam maduras. Quantas caixas de laranjas maduras F´abio comprou? ´ LOGICO ´ E ! Um grupo de seis alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe. O professor disse: - Vocˆes s˜ao apenas um quinto da classe. S´o darei outra prova se a metade da classe pedir. Vocˆes n˜ao sabem o trabalho que d´a para corrigir... Quantos alunos precisar˜ao se juntar ao grupo para que o professor dˆe a prova?


13

2.2

Outras opera¸co ˜es com fra¸co ˜es

• Multiplica¸ c˜ ao: Exemplo 8

(a)

7 5 8.3

=

(a)

3 5

6 4

7.5 8.3

=

35 24

(b)

5 2 .(−3)

(b)

5 2

= 25 .( −3 1 )=

−15 2

= − 15 2

• Divis˜ ao: Exemplo 9

÷

= 35 . 46 =

3.4 5.6

=

12 30

=

2 5

÷ (−3) =

5 2

5 ÷ ( −3 1 ) = −6

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Determine o produto e simplifique quanto puder: (a)

5 6

×

6 8

(d)

7 2

×

5 3

(g)

(b)

3 4

×

1 3

(e)

6 5

×

7 4

(h) 3 45 × 3

(c)

6 5

×

4 3

(f)

11 8

×

2 5

×

2 3

×

3 5

×

3 8

×

4 9

(i) 1 21 × 2 34

5 33

2) Calcule: (a) A metade de uma dezena

(d) A metade de um ter¸co

(b) Um ter¸co de uma d´ uzia

(e) A metade de um quarto

(c) A metade da metade

(f) A ter¸ca parte de uma d´ uzia e meia

3) Determine os quocientes e simplifique se puder: (a)

5 7

(b)

7 12

÷

(c)

15 4

÷

÷

(d)

5 12

÷

1 3

5 12

(e)

11 15

÷

3 5

3 4

(f)

3 4

4 7

÷

2 5

(g)

7 8

÷

2 3

(h)

2 3

÷

1 2

4) Transforme os n´ umeros mistos em fra¸co˜es impr´oprias e efetue as divis˜oes: (a) 28 ÷ 1 34

(c) 2 14 ÷ 1 35

(b) 7 ÷ 3 14

(d) 6 16 ÷ 2 16

5) Um aluno acertou

4 5

de uma prova de 10 quest˜oes. Quantas quest˜oes ele errou?

6) Um guardanapo de papel ´e quadrangular e tem lados medindo de papel correspondem a 100 guardanapos? 7) Um ladrilho ´e quadrangular e tem lados medindo

1 4

1 5

m. Quantos metros quadrados

m. Para fazer o piso de uma sala retangular

de lados medindo 10 m e 12 m, quantos ladrilhos iguais a esse ser˜ao necess´arios?


14

8) O piso de um sal˜ao, que ´e quadrado, vai ser coberto por 400 placas de borracha. Essas placas s˜ao quadradas e seus lados medem 25 m . (a) Qual ´e a a´rea em m2 , de sal˜ao?

(b) Qual o per´ımetro, em m, desse sal˜ao?

13 9) Uma empresa de transporte coletivo vai muito mal: 20 dos seus oˆnibus est˜ao quebrados. Isso corresponde a 520 oˆnibus quebrados. Quantos oˆnibus tˆem essa empresa?

10) Para evitar problema com a coluna, as crian¸cas n˜ao devem carregar mais de

1 10

do pr´oprio peso.

1 5

Adultos podem carregar at´e do pr´oprio peso. Sabendo disso, um adulto e uma crian¸ca fizeram seus c´alculos: ele pode carregar at´e 14 kg e a crian¸ca at´e 4. Quantos quilogramas tem esse adulto e essa crian¸ca? 11) Eu tenho

3 5

da quantia que vocˆe tem.

(a) Se vocˆe tiver R$1.800, 00, quanto eu terei? (b) Se eu tiver R$1.800, 00, quanto vocˆe ter´a? 12) Uma estrada de 308 km acaba de ser inaugurada. S´o que ´e a terceira vez que isso acontece. Na primeira vez, apenas 27 da estrada estavam asfaltadas; na segunda, mais 14 da estrada, e desta vez, mais 2 11 .

Quantos quilˆometros da estrada est˜ao sem asfalto?

´ LOGICO ´ E ! Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus trˆes filhos com este bilhete. “Dividam igualmente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou 31 do dinheiro e saiu. O segundo chegou e n˜ao viu ningu´em. Pensando que era o primeiro, pegou 31 do dinheiro que tinha pela frente e saiu. O terceiro encontrou 8 notas de R$1, 00. Achou que era o u ´ltimo, pegou tudo e saiu. a) Que fra¸ca˜o de dinheiro deixado pela m˜ae o segundo filho pegou? b) Que fra¸ca˜o do dinheiro deixado pela m˜ae sobrou, quando o segundo filho saiu? c) Quantos reais dona Ester deixou? d) Devido ao engano do segundo filho, algu´em saiu beneficiado? E prejudicado? Quem?

2.3

Decimais

Defini¸ c˜ ao 7 As fra¸co ˜es com denominadores 10, 100, 1000, 10000 (potˆencias de 10) s˜ ao fra¸co ˜es decimais. Exemplo 10

(a)

5 10

= 0, 5

(b)

13 100

= 0, 13

(c)

45 1000

= 0, 045

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Coloque na forma decimal as seguintes fra¸co˜es: (a)

2 3

(b)

8 100

(c)

5 100

(d)

234 1000


15

2) Substitua 2 por = ou 6=: (a)

1 10 20, 1

(b)

1 1000 20, 01

1 (c) 0, 102 10

(d) 0, 720, 700 (e) 21221, 0

(f) 0, 70120, 71

3) Escreva o n´ umero decimal correspondente a cada uma das fun¸co˜es decimais: (a)

3 10

(b)

1 100

(c)

7 1000

(d)

21 100

(e)

43 1000

(f)

1235 10

(g)

57802 1000

(h)

61004 10000

4) Transforme em fra¸ca˜o decimal: (a) 0, 5

(b) 1, 3

(c) 0, 08

(d) 0, 212

(e) 8, 71

(f) 0, 485

(g) 5, 278

(h) 9, 3164

(f) 0, 422

(g) 0, 425

(h) 5, 008

5) Expresse o n´ umeros na forma de fra¸ca˜o irredut´ıvel: (a) 0, 60

(b) 0, 225

(c) 0, 155

(d) 0, 45

(e) 0, 006

´ LOGICO ´ E ! Responda: (1) Qual ´e o menor n´ umero decimal que somado a 6,032 resulta em um n´ umero natural? (2) Qual ´e o menor numero decimal que subtra´ıdo de 6,032 resulta em numero natural? (3) Qual ´e o menor numero decimal, n˜ao nulo, que somado a ele mesmo resulta em um n´ umero natural?


Cap´ıtulo 3

Potencia¸c˜ ao e Radicia¸c˜ ao 3.1

Potencia¸c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 8 Potencia¸ca ˜o ´e a opera¸ca ˜o em que determinamos o produto de fatores iguais: an = a.a.a....a | {z } nf atores

Exemplo 11 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

Propriedades da Potencia¸ c˜ ao (1) Multiplica¸ca˜o: am .an = am+n (2) Divis˜ao: am ÷ an = am−n (3) Potencia¸ca˜o: (am )n = am.n √ n (4) Radicia¸ca˜o: a m = m an (5) Potˆencia de um produto: (a.b)n = an .bn (6) Potˆencia de um quociente: ( ab )n =

an bn ,

com b 6= 0

(7) Potˆencia com expoente inteiro negativo: a−n =

1 an ,

com a 6= 0

(8) a1 = a, a 6= 0 (9) a0 = 1, a 6= 0 ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Reduza a uma s´o potˆencia: (a) 6.69

(b) 7.70

(c) 72 .73 .75

(d) 103 .102 .104

(c) 310 ÷ 312

(d) 89 ÷ (8.86 )

2) Dˆe o resultado na forma de potˆencia: (a) 124 ÷ 123

(b) 28 ÷ 23

3) Reduza a uma s´o potˆencia: 16


17 (a) (34 )2

(c) (73 )4 ÷ 78

(e) [(102 )3 .(103 )4 ] ÷ (106 )3

(b) (43 )5

(d) (62 )5 ÷ 63

(f) [710 ÷ (78 )2 ].(75 )2

4) Aplique a propriedade de potˆencia de um produto: (a) (3.a)2

(b) (4.a)5

(c) (x.y)3

(d) (2.x.y)7

5) Use as propriedades da potencia¸ca˜o para transformar cada express˜ao em uma s´o potˆencia: 13 (a) (− 13 21 ) × (− 21 )

(d) (− 79 )5 ÷ (− 97 )2

(g) [( 54 )−2 ]3

8 2 8 −3 (b) ( 33 ) × ( 33 )

−2 −5 ÷ (− 21 (e) (− 21 4 ) 4 )

(h) (0, 03)−7 ÷ (0, 03)−4

−2 −3 × ( 17 (c) ( 17 5 ) 5 )

11 2 3 ) ] (f) [( 12

(i ) [(0, 03)5 ]−2

6) Resolva as potˆencias abaixo, usando a propriedades 8 e 9: (a) 31 =

(d) (0, 5)0 =

(b) 30 =

(e) (1/2)1 =

(c) (0, 5)1 =

(f) (1/2)0 =

(g)

2 =

(h)

2 =

1

0

7) Dˆe um exemplo de uma potˆencia em que: (a) A base e o expoente s˜ao inteiros, mas a potˆencia n˜ao ´e. (b) A base n˜ao ´e um n´ umero inteiro, mas o expoente e a potˆencia s˜ao.

´ LOGICO ´ E ! Represente as express˜oes com uma s´o potˆencia de base 2: (a)

1 16

× 0, 25 × 128 ×

1 32

1 3 4 (b) ((0, 5)2 )3 × [( 16 ) ]

Outros Exemplos: 1) Calcule as express˜oes seguintes (sem usar sua calculadora). (a) 91/2

(c) 8−1/3

(b) 272/3

1 −3/2 (d) ( 100 )

3.1.1

(e) 50

Exerc´ıcios para Fixa¸c˜ ao!

1) Usando as propriedades elencadas anteriormente, calcule as seguintes express˜oes: (a) 161/2

(c) 23 .25

(b) 4−1/2

(d)

25 23

(e) (34 )2 (f) (5.6)2


18 3

(g) (−3)3

(i) (5) 4

(h) (−1, 2)−2

(j) (π) 4

(l)

102 10−5

1

2) Calcule o valor das potˆencias: (a) (−5)−1

(e) (0, 01)−2

(b) ( 13 )−3

(f) ( 1012 )−1

(c) (0, 4)

−1

(g)

√ (i) ( 3)−2 (j) ( √32 )−4

(− 32 )−1

(l) [(

(h) ( 83 )−2

(d) 10−2

√ 3 9 −2 −3 ] 4 )

3) Escreva na forma de potˆencia: (a)

(b)

√ 4

7

(c)

23

(d)

√ 5

32

1 √ 3 4

(e)

1 (−2)3

(f)

1 ( 32 )5

4) Escreva na forma de radical: 1

1

3

(c) (a3 b) 4

(a) 2 5 1

(e) m− 4 1

(d) (m2 .n)− 5

(b) 8− 2

5) Fatore os radicandos e escreva na forma de potˆencia com expoente fracion´ario: (a)

√ 3

32

(b)

√ 3

25

3.2

(c)

√ 4

√ 8 512 √ (f) 8 625

27 √ (d) 7 8

(e)

Radicia¸c˜ ao e suas propriedades √ n

a=b ←→

bn = a,

n≥2

Onde:

n √

3.2.1

´Indice.

b

Raiz.

Sinal radical.

a

Radicando.

Propriedades da Radicia¸c˜ ao

a2 = |a| √ √ √ 2. n a × b = n a × n b, com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.

1.

3.

p n a

b=

√ n a √ n , b

com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.


19

4.

√ n

√ am = ( n a)m ,n ¿ 1

√ n

an = a, com n > 1 √ √ n÷p 6. n am = am÷p p√ √ 7. n m a= n×m a √ m 8. n am = a n 5.

˜ RACIONALIZAC ¸ AO: √ √ √ √ b a a a b a b a b = √ = Exemplo 12 (a) √ = √ . √ = √ b b b b b.b b2 √ √ √ 3 2 3 3 b a a a b2 a b2 √ √ √ = . (b) √ = = 3 3 3 3 b b b 3 b2 b √ √ √ √ 7 21 + 7 2 7 3+ 2 21 + 7 2 √ = √ . √ = = =3+ 2 (c) 9 − 2 7 3− 2 3− 2 3+ 2 √ √ √ √ 2 2 a−2 b 2 a− b √ =√ √ .√ √ = (d) √ a−b a+ b a+ b a− b √ √ √ 3 3 3 3 3 3 = (e) √ = √ . √ = 2.3 6 2 3 2 3 3

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE 1) Calcule o valor das express˜oes: √ √ (a) 2 3 27 − 3 6 64 √ √ √ (b) 100 − 64 + 3 400 − 8 4 0, 0001

(c)

√ 5

√ √ 0, 00032 − 4 0, 0064 − 2 3 −0, 027

2) Simplifique os radicais: (a)

√ 7

x17

(b)

√ 4

81

(c) (d) (e)

√ 3

64.b6

p 5

1024.x5 .y 10

25a4 x

(f)

1 3

45

(l)

√ 6 a12 x13 √ (h) 3 81 √ (i) 9 1024 √ (j) 52 (g)

(m) (n) (o)

q

288.a2 75.b4

q 3

x6 .y 5 a7

x2 + 6x + 9 =

p

y 2 + 10y + 25

3) Efetue as opera¸co˜es com radicais, simplificando o resultado sempre que poss´ıvel:: √ √ √ √ (a) 3 20 + 3 5 − 45 − 80 q q q 8 32 72 (b) + 2 − 3 27 108 243

√ √ √ √ (c) −3b a + 7 b2 a − 3a a − a3 √ √ (d) 3 81 ÷ 3 9

√ √ (e) 3 6 125 ÷ 5 4 24 √ √ √ (f) 3 b.5 3 b. 31 4 b (g) ( 2a b

q

2b 2 2 a )


20 √ (h) (3a a4 b)3 r q (i) 4 ab 5 ab

(j)

r q 3

x y

4

4) Racionalize os denominadores das fra¸co˜es: (a)

a √ 2 b

(d)

22 √ 4+ 5

(b)

a2 b √ ab

(e)

√2a−1 2a−1

(c)

ab √ 5 ab3 c4

(f)

√ 3+√3 3− 3

x2 y3


Cap´ıtulo 4

Express˜ oes num´ ericas 4.1

Ordem das Opera¸co ˜es

• Ordem das opera¸ co ˜es: (1) Potˆencia e/ou raiz (2) Multiplica¸ca˜o e/ou divis˜ao (3) Soma e/ou subtra¸ca˜o (4) Considere-se as opera¸co˜es na ordem em que aparecem 1 15 3 2 3 1 × ) + 3 − [( )−1 ÷ ] − + 81 2 = 13 5 3 2 4 3 3 1 √ 15 × 3 2 ) + 3 − [ ÷ ] − + 81 = ( 13 × 5 2 2 4

Exemplo 13 (

3 2 ( 3×3 13 ) + 3 − [ 2 × 3 ] −

(

1 4

+9=

9 1 ) + 3 − [1] − + 9 = 13 4

9 1 + −1 − + 9 = 13 4

595 36 + 156 − 52 − 13 + 468 → 52 52 ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1) Determine o valor das express˜oes: (a) (− 34 ) × (−2) −

3 8

(e) (−4, 7)(6, 8 − 9, 4) − [18, 3 × (−4, 5)] (f)

(b)

5 6

× (− 43 ) −

(c)

3 4

+ (− 32 ) × (− 35 ) − 4 × [( 34 − 58 ) × 8]

(d)

(− 87 )

÷

3 16

3 2

[ 52

÷

(− 12 )]

6 7

(− 54 ) (− 78 )

(g) (−198, 07 + 16, 8 − 12, 003) × 0, 006 (h)

2) Calcule o valor das express˜oes:

21

6 7 (− 53 + 15 ) ÷ (1 − 10 ) 9 5 4 7 15 ÷ [ 20 − (− 2 ) × 5 ]


22 (a) ( 12 )2 × (− 59 )−1 + (− 32 )2 ÷

7 9

(b) [(− 12 )−2 × 43 ]−1 − ( 35 )−1

8 ) − (2−2 )]3 (c) [(− 76 ) ÷ ( 21

(d) −

q

25 81

+

q

(e)

100 9

(f)

q

q

9 4

25 36

q

×

9 4

q

×

q

81 100

+

36 81

q

49 64

÷

q

196 144

3) Resolva as express˜oes: (d) [(− 23 )(− 34 ) + ( 12 )−1 ]2 ÷ (− 15 8 ) q q q 4 4 64 (e) 9 − 25 + 9 ÷ (−16)

(a) (−1) ÷ 1 × 10 + (2 × 5) × 10 (b)

10 4

15 × (− 25 ) × (− 16 10 ) × (− 4 )

4 (c) (−5 58 × 4 23 ) ÷ [1 11 × (−3 19 )]

(f)

(− 21 )2 − 34 (2)−2 + 85

´ LOGICO! ´ E Uma escola tem 354 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto, contou a 3 colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses 3 contou a novidade a 3 colegas que ainda n˜ao conheciam. Assim, cada um que recebia a not´ıcia a transmitia a 3 colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto. a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no terceiro minuto? b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato nos trˆes primeiros minutos? ´ FALAR, PENSAR E FAZER MATAMETICA!

Defini¸ c˜ ao 9 (M´ odulo ou Valor absoluto de um n´ umero) O m´ odulo ou valor absoluto de um n´ umero ´e o pr´ oprio n´ umero, se ele for positivo. Caso ele seja negativo, torna-se o sinal contr´ ario, tornando-o positivo. |x| =

Exemplo 14

(

x

se

−x se

x≥0

x<0

(1) | − 5| = 5

(2) |5| = 5 ou seja, por defini¸ca ˜o: -(-5)=5. Observa¸ c˜ ao 5 (N´ umeros Inteiros Opostos) Quando dois n´ umeros inteiros tˆem o mesmo valor absoluto e sinais contr´ arios, dizemos que s˜ ao opostos ⇒ +a o oposto de −a. Exemplo 15

(1) -3 ´e oposto de +3.

(2) +100 ´e o oposto de -100. Observa¸ c˜ ao 6 Ordena¸ c˜ ao dos n´ umeros inteiros (Seja a > 0 e b > 0 1) +a > −b 2) +a > +b ⇒ | + a| > | + b|,

3) −a > −b ⇒ | − a| < | − b|, 4)−a < 0 < +b.


23

4.2

Equa¸c˜ ao do primeiro grau

Defini¸ c˜ ao 10 Equa¸ca ˜o ´e uma senten¸ca matem´ atica, que cont´em uma ou mais letras com valores desco nhecidos (inc´ ognitas), formada por duas express˜ oes ligadas pelo sinal de igual. Equa¸ca˜o do primeiro grau ´e uma equa¸ca˜o do tipo ax + b = 0, onde a e b representam n´ umeros reais com a 6= 0 Exemplo 16

(1) 3x + 1 = 0

(2) 2x + 3 = 3(x − 1)

−1 3

3x = −1

x=

2x + 3 = 3x − 3

2x − 3x + 3 + 3 = 0 x=6

−x + 6 = 0

Observa¸ c˜ ao 7 Num dado universo U,dizemos que uma senten¸ca que expressa uma igualdade ´e uma equa¸ca ˜o em U, quando e somente quando essa senten¸ca determina um conjunto verdade V, que est´ a contido em U. (V ⊂ U ). Exemplo 17 Se U = {1, 2, 3} e x + 3 = 5 ent˜ ao V = {2}. ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE 1) Resolva as seguintes equa¸co˜es para U = Q: (a) 2x + 3 = 19

(c) 2x − 1 =

(b) 8x − 4 = 60

(d)

3 7

− 5x =

5 4

(e)

x−4 3

1 2

(f)

3x−1 5

=

x−2 2

+2=

−1

(g)

4x+1 3

3x 4

(h)

3(x−2) 2

+5

=

5(5x+2) 2

=

4(5−x) 3

2) Escreva uma equa¸ca˜o para cada senten¸ca: (a) O dobro de um n´ umero mais seu triplo ´e igual a 50. (b) A metade de um n´ umero mais sua ter¸ca parte ´e igual a 15. (c) A diferen¸ca entre um n´ umero e sua metade ´e 40. (d) A soma de dois n´ umeros consecutivos ´e 11. (e) A diferen¸ca entre o triplo de um n´ umero e sua metade ´e 25. (f) A soma de duas idades ´e 20. O mais mo¸co nasceu 4 anos depois do mais velho. (Use uma s´o vari´avel) (g) A diferen¸ca entre duas idades ´e 20 anos. O mais velho tem triplo da cidade do mais mo¸co. 3) Determine o n´ umero que, somado aos seus 3/5, ´e igual a 24. 4) Determine o n´ umero tal que a diferen¸ca entre ele e os seus 2/3 seja 8. 5) Um n´ umero, somado a` sua quinta parte e a` sua metade, ´e igual a 51. Qual ´e esse n´ umero? 6) A soma de dois n´ umeros ´e 63 o quociente entre ambos ´e exato e vale 6. quais s˜ao esses n´ umeros? 7) Na classe de Rosana, 49% dos alunos foram para a praia nos feriados, 25% para as montanhas e 14 alunos n˜ao sa´ıram da cidade. Quantos alunos tˆem essa classe?


24

8) Numa fabrica trabalham, 532 pessoas entre homens, mulheres e menores. O n´ umero de homens ´e o dobro do de mulheres e este ´e o dobro do de menores. Quantos s˜ao os homens, as mulheres e os menores? 9) Um pai tem 46 anos e um filho tem 10. Daqui a quantos anos a idade do pai ser´a o qu´adruplo da idade do filho? 10) A soma das idades de um pai e um filho ´e de 42 anos. H´a trˆes anos, a idade do pai era onze vezes a idade do filho. Determine as idades. 11) Repartir 36 figurinhas entre dois garotos de modo que um ganhe o dobro do outro. 12) Num estacionamento, h´a um total de 200 ve´ıculos, entre motos e carros. Se h´a 20 motos a mais que carros, quantas motos e quantos carros est˜ao nesse estacionamento? ´ LOGICO! ´ E Descubra os n´ umeros do seguinte circuito:


Cap´ıtulo 5

Express˜ oes Alg´ ebricas e Polinˆ omios 5.1

Express˜ oes Alg´ ebricas

Defini¸ c˜ ao 11 Express˜ oes que apresentam uma ou mais vari´ aveis e, ainda, as express˜ oes que s´ o tˆem n´ umeros s˜ ao chamadas express˜ oes alg´ebricas. Exemplo 18 3x + 2xy − 3. Defini¸ c˜ ao 12 Monˆ omios, s˜ ao express˜ oes alg´ebricas que apresentam apenas um n´ umero, apenas uma vari´ avel ou multiplica¸co ˜es entre n´ umeros e vari´ aveis. Exemplo 19

(a) 5x2 y 3

(b) 2x (c) x3 (d) 12 Observa¸ c˜ ao 8 (Monˆ omios Semelhantes) S˜ ao aqueles que tem a mesma parte literal semelhantes. Exemplo 20

(a) 7x3 y 2 e −5x3 y 2

(b) −6x e x

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE

(1) Escreva estas senten¸cas, utilizando vari´aveis. (a) Todo n´ umero real multiplicado por um resulta no pr´oprio n´ umero real. (b) Todo valor real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor. (c) Numa multiplica¸ca˜o de dois n´ umeros reais quaisquer, a ordem dos fatores n˜ao altera o produto. (d) Todo n´ umero real somado com seu oposto d´a zero. (2) Tenho 35,00 e minha irm˜a tem x (ela nunca me diz quanto tem!). (a) Responda com uma express˜ao alg´ebrica: ganhando 16,00, com quanto minha irm˜a ficar´a? 25


26

(b) Qual ´e o valor num´erico dessa express˜ao quando ´e igual a 59? (3) Houve um tempo em que os t´axis cobravam 4,00 pela bandeirada, mais 1,40 por km rodado. (a) Responda com uma express˜ao alg´ebrica: quantos reais eram pagos num percurso de quilˆometros? (b) Qual ´e o valor dessa express˜ao quando vale 10? (4) Escreva estas senten¸cas, utilizando vari´aveis: (a) Todo n´ umero real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse n´ umero. (b) Numa adi¸ca˜o de dois n´ umeros reais quaisquer, a ordem das parcelas n˜ao altera a soma. (5) Considere estas adi¸co˜es: 1+1 2+2+2 3+3+3+3 4+4+4+4+4 ... Observe: na 1a adi¸ca˜o as parcelas valem 1 e o n´ umero de parcelas ´e 2. Na 2a adi¸ca˜o as parcelas valem dois e n´ umero de parcela ´e 3, e assim por diante. (a) A terceira adi¸ca˜o d´a 12. Quanto d´a a 30a adi¸ca˜o? (b) Qual ´e o resultado da en´esima adi¸ca˜o? Para responder, use a vari´avel .

(6) Escreva a parte literal de cada monˆomio. (a) 5x5 y 5

(c) x4 y 2

(b) −2x3

(d) 4, 2y 3

(7) Escreva os coeficientes dos monˆomios: (a) 7ax6

(c) − 12 x2 y

(b) −ax4

(d) 31ay 2

5.1.1

Opera¸co ˜es com Monˆ omios

(1) Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao: Considerando 7x3 y 2 + 5x3 y 2 , para som´a-los, pode-se pensar assim: temos 7 monˆomios x3 y 2 mais 5 desses monˆomios, logo, temos 7+5, ou seja, 12 monˆomios x3 y 2 . Portanto: 7x3 y 2 + 5x3 y 2 = 12x3 y 2 . Quando falamos em adi¸ca˜o alg´ebrica de monˆomios, podemos estar nos referindo tanto a uma adi¸ca˜o de monˆomios, quanto a uma subtra¸ca˜o.


27

(2) Multiplica¸ c˜ ao: Acompanhe a multiplica¸ca˜o do monˆomio x4 pelo monˆomio x3 : Exemplo 21 (6x2 y 3 ).(5x4 y 4 z) = 6.5.x2 .x4 .y 3 .y 4 .z = 30x6 y 7 z Observa¸ c˜ ao 9 Essa propriedade ´e a base qualquer da multiplica¸ca ˜o de monˆ omios.

(3) Divis˜ ao: Acompanhe a divis˜ao do monˆomio x5 pelo monˆomio x3 : Exemplo 22

x5 x.x.x.x.x = = x2 3 x x.x.x

Exemplo 23

12 x5 y 3 z 4 12x5 y 3 z 4 = . . . = 4x2 yz 3 3x3 y 2 z 3 x3 y 2 z

(4) Potencia¸ c˜ ao: Exemplo 24 (2x3 y 4 )3 = (2x3 y 4 ).(2x3 y 4 ).(2x3 y 4 ) = 2.2.2.x3 .x3 .x3 .y 4 .y 4 .y 4 = 8x9 y 12 Exemplo 25 (−2x3 y)4 = (−2x3 y).(−2x3 y).(−2x3 y).(−2x3 y) = (−2).(−2).(−2).(−2).x3 .x3 .x3 .x3 .y.y.y.y = 16x12 y 4

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE

1)Efetue as adi¸co˜es e subtra¸co˜es: (f) −y − 12y + 3x2 − 18y + x2

(a) 5x2 + 12x2 (b) 8xy 2 − 8xy 2

(g) 5x2 y 2 − 72 x2 y 2 − 52 x2 y 2

(c) −2xy 5 z − 2xy 5 z

(h) 2y 2 − 34 y 2 + y 2 −

(d) 2x3 − 21 x3

3 2 10 y

(i) −7x3 y + 8x3 y − 15x3 y

(e) 12x2 y − 8x2 y − x2 y + x2 2) Efetue as multiplica¸co˜es e divis˜oes: (a) 2y 2 .y 3

(c) x2 .(xy)

(e) (−2x2 ).(−4y 2 ).(−5x3 y 4 )

(b) −5y.(−8y 2 )

(d) (3x2 z 2 ).(−2xy).(6z 2 )

(f) ( 25 x2 y 2 ).( 37 x3 y 3 )


28 (g) (4a2 b3 )2 (h) (xy 2 z 3 )8 (i)

x3 y 3 x2 y 2

(j)

63a4 x5 −9a3 x2

(l)

−8a5 y 6 −40ay

(m)

25a3 x2 y 4 5x2

(n)

− 52 a5 b5 4 2 − 15 a b

(o) (2x3 y)4 − (5x6 y 2 )2 2 3 (p) ( x2 y 2 )3 .( xy 3 )2 3 4 (q) x2 .x4 + x.x5 + x3 .x3 − 2x5 .x (r)

3x2 y−7x2 y+3x2 y x2

3) Indique com um monˆomio: (a) A a´rea do retˆangulo I (b) A a´rea do retˆangulo II (c) A a´rea do quadrado III (d) A a´rea total da figura.

4) Escreva o monˆomio que: (a) Subtra´ıdo 3x5 y d´a −2x5 y

(c) Somado com 12x3 y 8 resulta zero

(b) Subtra´ıdo de −6y d´a −10y

(d) Somado com 4xy d´a 4xy.

5) Calcule o valor num´erico das express˜oes alg´ebricas a seguir, para x = −2 e y = 13. Mas, antes, efetue as adi¸co˜es dos monˆomios semelhantes. x2 y 4

x2 y 2

x2 y 4

(a) 23xy − 18xy + 17xy − 216xy

(c)

(b) 2x5 y + 3x5 y + 5x5 y

(d) 7x − 9y − 9x + 8y

+

+

6) Na figura a seguir, a parte hachurada ´e formada por quatro retˆangulos. As medidas est˜ao em cent´ımetros. Determine:


29

(a) A a´rea da figura hachurada pode ser obtida como uma adi¸ca˜o de monˆomios. Efetue essa adi¸ca˜o. (b) Calcule a a´rea da figura hachurada nestes dois casos: quando x = 0, 5 e quando x = 2. (c) Para que valor de x a figura hachurada tem uma a´rea de 82cm2 .

5.2

Polinˆ omios

Defini¸ c˜ ao 13 Um polinˆ omio na vari´ avel x ´e toda express˜ ao P(x) que pode ser reduzida a forma n n−1 n−2 1 P (x) = an x + an−1 x + an−2 x + ...a1 x + a0 Em que ai ∈ C e n ∈ N Sendo: (1)

an xn , an−1 xn−1 , an−2 xn−2 , a1 x1 , a0 , s˜ao os termos ou monˆ omios do polinˆomio, sendo a0 , denominado termo independente da vari´avel x;

(2)

an , an−1 , an−2 , a1 , a0 , s˜ao os coeficientes do polinˆomio.

(3)

O grau de um Polinˆomio n˜ao nulo ´e o maior expoente da vari´avel, dentre os termos de coeficientes n˜ao nulos.

(4)

Ao atribuir um valor complexo a vari´avel x, o resultado da express˜ao obtida ´e chamado de valor num´ erico do polinˆ omio para a x = α. Indica-se esse valor num´erico como P (α)

(5)

O grau de um polinˆomio indica a o n´ umero de raizes que existem como solu¸ca˜o da express˜ao. Sendo que, chama-se de raiz do polinˆomio P(x) todo n´ umero complexo tal que P (α) = 0

(6) Polinˆ omios Idˆ enticos: dizemos que os polinˆomios p e q s˜ao idˆenticos quando possuem os coeficientes correspondentes iguais, ou seja, sejam p(x) = an xn + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 e q(x) = bn xn + · · · + b2 x2 + b1 x1 + b0 . Assim, p = q ⇔ ai = bi , para todo i ∈ {0, 1, · · · , n}.

Exemplo 26 A express˜ ao 5x4 − 3x3 + 2x2 − 4x + 7 ´e um polinˆ omio de grau 4.


30

(1)

5, −3, 2, −4 e 7 s˜ ao seus coeficientes;

(2)

x ´e sua vari´ avel;

(3)

5x4 , −3x3 , 2x2 , −4x, 7 s˜ ao seus termos ou monˆ omios.

(4)

7 ´e seu termo independente.

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE

1) Quais das express˜oes representam um polinˆomio na vari´avel x? (a) x5 + x3 + 2

(b) 0x4 + 0x2

(c) 3

(d) x 2 + 3x2

√ (e) ( x)4 + x + 2

√ (f) x x + x2

(g) x15

(h) x + 2

(i) x2 + 2x + 3

(j)

(k) x + x3 + x6 + x4

(l) (3x2 − 5x + 3)(7x3 + 2)

5

1 +x x4

2) Determine a, b, c de modo que a fun¸ca˜o f (x) = (a+b−5)x2 +(b+c−7)x+(a+c) seja identicamente nula.

5.2.1 (1)

Opera¸co ˜es com Polinˆ omios

Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao : Ambas consistem no agrupamento de monˆomios semelhantes, usando a propriedade distributiva. Veja: Exemplo 27 (a) (2x3 − 3x2 + 4x − 1) + (x3 + 2x2 − 5x + 3) (b) (4x2 + 3x − 4) − (2x3 + x2 − x + 2) Solu¸ ca ˜o: (a) (2x3 + x3 ) + (−3x2 + 2x2 ) + (4x + (−)5x) + (−1 + 3)= (b) (0 − 22x3 ) + (4x2 + x2 ) + (3x − (−x)) + (−4 − 2)=

(2)

3x3 − x2 − x + 2

−2x3 + 3x2 + 4x − 6

Multiplica¸ c˜ ao: Usando-se a propriedade distributiva, expandimos o produto de dois ou mais polinˆomios ou monˆomios. Veja: (3x + 2)(4x + 5) = 3x(4x − 5) + 2(4x − 5) −15x + 8x −10 = 12x2 − 7x − 10

= (3x)(4x) − (3x)(5) + (2)(4x) − (2)(5) =

12x 2


31

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE

1) Dados os polinˆomios: f (x) = 7 − 2x + 4x2 g(x) = 5 + x + x2 + 5x3 h(x) = 2 − 3x + x4 Calcule (f + g)(x), (g − h)(x) e (h − f )(x). 2) Sendo dados os polinˆomios:

f

= 2x2 , g

= 2x2 + 3x4 , h = 3x2 + 2x4 − x6 e

k = 3x6 − 2x4 + 4x2 , obtenha os n´ umeros reais a, b, c de modo que se tenha k = af + bg + ch. 3) Determine a, b c de modo que se verifique cada identidade: 1. a(x2 − 1) + bx + c = 0 2. a(x2 + x) + (b + c)x + c = x2 + 4x + 2

5.2.2

Opera¸co ˜es com polinˆ omios II

Divis˜ ao:

Pode-se efetuar a divis˜ao de polinˆomios se utilizando de 2 diferentes m´etodos:

BRIOT-RUFFINI (Dispositivo Pr´atico):Utilizado quando o divisor for um polinˆomio do 1 grau da forma x-a ou x+a. Este processo opera apenas com os coeficientes e a raiz dada pelo polinˆomio de grau 1. Escrevemos os coeficientes do polinˆomio em quest˜ao na parte superior de uma linha tra¸cada, sem esquecer os termos nulos(grau zero) apartir do grau do polinˆomio e tamb´em o termo independente da equa¸ca˜o. Exemplo 28 P (x) = 3x5 − 2x4 + 3x2 + 1 dividido por D(x)=x-2


32

Obtendo-se ent˜ ao: Q(x) = 3x4 + 4x3 + 8x2 + 19x + 38 e R(x) = 77. ´ METODO DAS CHAVES: Se o divisor n˜ao for um polinˆomio de grau 1, pode-se utilizar esse m´etodo. Ao efetuar a divis˜ao de dois polinˆomios, P (x) e D(x)(6= 0) encontraremos Q(x) e R(x), visto que: P (x) = D(x).Q(x) + R(x). Exemplo 29 Vejamos como obter o quociente e resto da divis˜ ao pelo m´etodo das chaves do polinˆ omio P (x) = 2x5 + 4x4 + 4x3 + 9x2 + 3x + 1 por D(x) = x2 + 2. 1 - Dividir o monˆ omio de mais alto grau de P(x) pelo monˆ omio de mais alto grau de D(x) 2 - Subtrair do dividendo o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, obtendo o primeiro resto parcial. 3 - Dividimos o monˆ omio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monˆ omio de mais alto grau do D(x). 4 - Subtraimos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) o resultado obtido no terceiro passo, obtendo o segundo resto parcial. E assim sucessivamente, at´e obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condi¸co ˜es: ∂R < ∂D ou R(x) ≡ 0


33

Temos ent˜ao: Q(x) = 2x3 + 4x2 + 1 e R(x) = 3x − 14

H´a casos em que se deseja saber apenas o resto da divis˜ao de um polinˆomio por outro do primeiro grau. Ent˜ao utiliza-se o TEOREMA DO RESTO: Teorema 1 (Resto) O resto da divis˜ ao de um polinˆ omio P (z) pelo polinˆ omio ax + b (a 6= 0) ´e o valor b num´erico de P (x) para x = − (raiz de ax + b) a R = P (− ab ) Observa¸ c˜ ao 10 Existe uma consequˆencia imediata do Teorema do Resto conhecida como: Teorema 2 (D’Alembert) Um polinˆ omio P(x) ´e divis´ıvel por ax + b (a 6= 0), se, e somente se, b P (− ) = 0 a Exemplo 30 2x3 + 2x2 − 2x + 4 ´e divis´ıvel por 2x + 4? P ( −4 2 ) = P (−2) P (−2) = 2.(−2)3 + 2.(−2)2 − 2.(−2) + 4 = 0 Ou seja, O polinˆ omio em quest˜ ao ´e divis´ıvel por 2x + 4 Observa¸ c˜ ao 11 Divisibilidade pelo produto: Se um polinˆ omio ´e divis´ıvel separadamente pelos binˆ omios x − a e x − b, ent˜ ao P (x) ´e divis´ıvel pelo produto (x − a).(x − b).

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE

1) Dados os polinˆomios: P(x)= 3x4 + 2x3 + x − 1, Q(x) = 5x4 + 3x + 7, A(x) = 6x3 + 2x2 − 3x,

B(x) = 4x2 + 5x − 1 e C(x) = 9x − 2, calcule:


34 2

(a)

P (x) + Q(x)

(d)

A(x) − B(x)

(g)

C(x)

(b)

P (x) − Q(x)

(e)

4A(x)

(h)

2A(x) − 3B(x)

(c)

A(x) + B(x)

(f)

B(x).C(x)

(i)

A(x).C(x) + B(x)

2) Efetue as opera¸co˜es, sendo P (x) = 5x2 − 3x + 2 e Q(x) = 4x − 6 (a)

3P (x)= 15x2 − 9x + 6

(b)

P (x).Q(x) = 20x3 − 42x2 + 26x − 12

3)Utilize os dois m´etodos citados para encontrar o quociente e confira o resultado do resto pelo teorema do resto. P (x) ÷ D(x) P (x) = x2 + 6x − 1; D(x) = x − 1 4) Dividindo o polinˆomio P (x) = 6x3 + 4x2 + 2x − 1 pelo polinˆomio D(x), obtˆem-se o quociente

Q(x) = 3x + 2 e o resto R(x) = 11x + 5. Determine D(x).

5) Trˆes polinˆomios, P (x), Q(x) e T (x), s˜ao tais que,∂P = 7, ∂Q = 5, ∂T = 5. Qual das afirma¸co˜es seguintes pode ser falsa? (a)

O grau do polinˆomio P (x) + Q(x) ´e 7.

(b)

O grau do polinˆomio P (x) − Q(x) ´e 7.

(c)

O grau do polinˆomio P (x).Q(x) ´e 12.

(d)

O grau do polinˆomio Q(x) + T (x) ´e 5.

6) Sendo x3 + 1 = (x + 1)(x2 + ax + b), para todo x, com x ∈ C, quais s˜ao os valores de a e b? 7) Sejam os polinˆomios f = (x + 1)2 , g(x) = x2 − 1 e h = x4 − 2x3 + x2 − 2x − 1.O polinˆomio f.g − h ´e igual a?

5.3

Decomposi¸c˜ ao de Polinˆ omios

Teorema 3 Todo polinˆ omio de grau n, com n ≥ 1, P (x) ≡ an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a0 pode

ser fatorado sob a forma P (x) ≡ an (x − r1 ).(x − r2 ).(x − r3 )...(x − rn ), em que r1 , r2 , r3 , rn , s˜ ao todas as ra´ızes de P(x). Exemplo 31 Para fatorar um polinˆ omio, P (x) = 3x3 − 20x2 + 23x + 10, sabendo que uma de suas raizes

´e 5, ou seja, este polinˆ omio ´e divis´ıvel por x − 5 e P (x) ≡ (x − 5)Q(x). Obtem-se o polinˆ omio Q(x) por Briot-Ruffini. Desta forma reduzimos o grau da equa¸ca ˜o e podemos encontrar as outras 2 raizes. P (x) = (x − 5)(3x2 − 5x − 2) Fazendo, x − 5 = 0 e 3x2 − 5x − 2 = 0, encontramos: x1 = 5,

x2 = 2 , x3 =

decomposi¸ca ˜o temos que:

−1 , e pelo teorema da 3

P (x) = 3(x − 5)(x − 2)(x + 31 ). Observa¸ c˜ ao 12 (Multiplicidade de raiz:) Se uma raiz comparecer k vezes(com k > 1), esta ´e chamada ˜o. de raiz de multiplicidade k da equa¸ca


35

5.3.1

Fra¸co ˜es Polinomiais

Defini¸ c˜ ao 14 Chama-se fra¸ca ˜o polinomial toda express˜ ao do tipo

P (x) , em que P (x) e Q(x) s˜ ao Q(x)

polinˆ omios complexos de vari´ avel complexa, com Q(x) 6= 0. Exemplo 32 Dado a identidade: a b 5x + 1 + ≡ 2 . x−1 x+1 x −1

Encontre as constantes a e b Solu¸ca ˜o: 5x + 1 a(x + 1) + b(x − 1) ≡ 2 (x − 1)(x + 1) x −1 (a + b)x + a − b ≡ 5x + 1 e, portanto:

(

(I) a + b = (II) a − b =

5 1

Somando o membro (I) e (II), obtemos 2a = 6 → a = 3. Substituindo a = 3 em (I), obtemos: 3 + b = 5 → b = 2. Exemplo 33 (Vocˆ e vai utilizar em C´ alculo I!!) Decomponha a fra¸ca ˜o abaixo em uma soma: x−3 = x2 + 3x + 2

Fra¸ca ˜o 1 + Fra¸ca ˜o 2

1 Passo) Decompor o denominador! Para isso encontra-se as raizes desse polinˆ omio utilizan do-se de baskhara ou soma e produto (como preferir). Neste caso, as raizes s˜ ao -1 e -2. Ou seja, x2 + 3x + 2=(x+1)(x+2)

.

2 Passo) Igualar a fra¸ca ˜o polinomial a uma soma de fra¸co ˜es, cujos numeradores a princ´ıpio s˜ ao desconhecidos, e por isso representa-se por uma inc´ ognita qualquer: A B x−3 = + x2 + 3x + 2 x + 2 x + 1 3 Passo) Encontrar o MMC dessa soma, de tal modo que torne poss´ıvel anular os denominadores da igualdade em quest˜ ao. Obtemos assim a seguinte igualdade: x−3 A(x + 1) + B(x + 2) = x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2)

(...)

A(x + 1) + B(x + 2)= x − 3 4 Passo) Igualar os termos semelhantes da igualdade e montar um sistema para poder descobrir o valor dos numeradores, ou seja, A e B. ( Ax + Bx = 1 A + 2B = −3


36

3:

Sabendo que A = 5 e B = −4, substituimos esses valores na igualdade montada inicialmente no passo

x2

x−3 5 4 = − . + 3x + 2 x+2 x+1

ˆ APRENDE! FAZENDO VOCE

(1)

Quais s˜ao as raizes da equa¸ca˜o (x − 2)3 (x − 5)(x − 4)2 = 0 e que multiplicidade apresentam?

(2)

Determine as constantes a e b na identidade: b 3x a + ≡ 2 x−3 x+3 x −9

(3)

Escreva as fra¸co˜es na forma de uma soma: (a) (b)

(4)

2x − 1 + 5x + 6 5x + 3 x2 − 3x + 2 x2

Decomponha P (x) como o produto de uma constante por polinˆomios de 1 grau, em cada um dos seguintes casos: (a) P (x) ≡ 4x2 − x − 3 (b) P (x) ≡ x3 − 8x2 + 12x

(5)

Sabendo que o polinˆomio P(x)≡ 3x4 − 25x3 + 59x2 − 47x + 10 satisfaz a condi¸ca˜o P(1)=P(2)=0, represente P(x) como o produto de uma constante por polinˆomios do primeiro grau.

IMPORTANTE: Produtos Not´aveis 2

2

Exemplos 2

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2

(x − 3)2 = x2 − 6x + 9 (x + 3)(x − 3) = x2 − 9

(a + b) = a + 2ab + b

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab ∗(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ∗a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

(x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)

Observa¸ c˜ ao 13 *Veja como o uso do parˆentese muda totalmente o resultado!!

→ Fatore os polinˆomios a seguir: (a)

x3 + 2x2 − x − 2 =

(b)

x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2 =

(c)

x3 + 2x2 − 3x =

(d)

x3 + 3x2 − 4x − 12 =


37

(e)

x3 + 6x2 + 11x + 6 =

Respostas: (a)

(x − 1)(x2 + 3x + 2)

(b)

(x − 1)2 (x2 − x − 2) ou (x − 1)2 (x − 2)(x + 1)

(c)

(x − 1)(x + 3)x

(d)

(x + 3)(x2 − 4) ou (x + 3)(x + 2)(x − 2)

(e)

(x + 2)(x2 + 4x + 3) ou (x + 2)(x + 3)(x + 1)

Observa¸ c˜ ao 14 Seja P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 um polinˆ omio com coeficientes inteiros. Se α for um n´ umero inteiro e uma ra´ız de P (x), ent˜ ao α ser´ a um divisor do termo independente a 0 .


Cap´ıtulo 6

Exponencial e Logaritmo 6.1

Equa¸co ˜es exponenciais

Defini¸ c˜ ao 15 Chama-se equa¸ca ˜o exponencial toda equa¸ca ˜o que cont´em inc´ ognita no expoente. Exemplo 34

1. 2x = 16

2. 3x−1 = 27 3. 3x+1 + 3x−2 = 9 4. 4x − 2x = 8 M´ etodo da redu¸ c˜ ao a uma base comum Este m´etodo, como o pr´oprio nome j´a diz, ser´a aplicado quando ambos os membros da equa¸ca˜o, com as transforma¸co˜es convenientes baseadas nas propriedades de potˆencias, forem redut´ıveis a potˆencias de mesma base a (0 < a 6= 1). O m´etodo da redu¸ca˜o a uma base comum ´e baseado no seguinte resultado: Teorema 4 Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Ent˜ ao: ax = ay ⇐⇒ x = y. Demonstra¸ c˜ ao: ax ax = ay ⇔ y = 1 ⇔ ax−y = 1 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y a



ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

Exemplo 35

1. 2x = 16

2. 3x−1 = 27 1 3. 8x = 32 4. 100x = 0, 001 5. 73x+4 = 492x−3

6. 52x

2

−32

=1

7. 4x − 2x = 56 8. 9x + 3x = 90 9. 4x+1 − 9 . 2x + 2 = 0 38


39

10.

6.2

3x + 3−x =2 3x − 3−x

Inequa¸co ˜es exponenciais

Defini¸ c˜ ao 16 Inequa¸co ˜es exponenciais s˜ ao as inequa¸co ˜es com inc´ ognita no expoente. Seguem alguns exemplos de inequa¸co˜es exponenciais: 1. 2x > 32  x 1 1 2. < 3 81 3. 4x − 2 > 2x M´ etodo da redu¸ c˜ ao a uma base comum Este m´etodo ser´a aplicado quando ambos os membros da inequa¸ca˜o puderem ser representados como potˆencias da mesma base a (0 < a 6= 1). Faz-se uso do seguinte resultado: Teorema 5 Sejam x e y n´ umeros reais. Ent˜ ao: se a > 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x > y; se 0 < a < 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x < y. Demonstra¸ c˜ ao: Faremos a demonstra¸ca˜o para o caso a > 1. O outro caso ´e an´alogo. ax ax > ay ⇔ y > 1 ⇔ ax−y > 1 ⇔ x−y > 0 ⇔ x > y. a

Exemplo 36 Classifique em Verdadeiro ou Falso: 1. 32,7 > 1 2. (0, 3)0,2 > 1

3. π 2 > 1  −1,5 4 >1 4. 5

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

Exemplo 37 Resolva: 1. 2x > 128

2. 32x+3 > 243

3.

 x 1 1 > 3 81

4. 3x <

1 27


40

Observa¸ c˜ ao 15 N˜ ao aprofundaremos o assunto, para fun¸ca ˜o exponencial, mas deixamos aqui alguns lembretes sobre: Fun¸ca ˜o exponencial ´e fun¸ca ˜o R → R definida por f (x) = ax , onde a ∈ R e 0 < a 6= 1. Ou seja, a base dessa fun¸ca ˜o sempre dever´ a ser positiva, e diferente de um. O dom´ınio da fun¸ca ˜o exponencial sempre abrager´ a todos os n´ umeros reais. J´ a a imagem, todos os n´ umeros reais positivos, exceto zero. Quando a base for maior que 1, sabemos que a fun¸ca ˜o ´e crescente. Quando a base estiver entre 0 e 1, a fun¸ca ˜o ser´ a decrescente.

6.3

Logaritmos

Lembremos que no estudo de equa¸co˜es e inequa¸co˜es exponenciais, feito anteriormente, s´o tratamos dos casos em que pod´ıamos reduzir as potˆencias a` mesma base. Se queremos resolver a equa¸ca˜o 2x = 3, por exemplo, sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 21 < 2x = 3 < 22 , mas n˜ao sabemos qual ´e esse valor nem o processo para determin´a-lo. A fim de que possamos resolver este e outros problemas, iniciamos o estudo de logaritmos. Defini¸ c˜ ao 17 Sejam a e b dois n´ umeros reais positivos, com a 6= 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar a ` base a de modo que a potˆencia obtida seja igual a b, isto ´e, loga b = x ⇐⇒ ax = b Em loga b = x, dizemos: a ´e a base do logaritmo b ´e o logaritmando x ´e o logaritmo

Exemplo 38 2. log3

1. log2 8 = 3, pois 23 = 8

1 1 = −2, pois 3−2 = 9 9

3. log5 5 = 1, pois 51 = 5 4. log7 1 = 0, pois 70 = 1

Exemplo 39 Resolva: 1. log81 3 2. log0,25 32

3. log0,5 8 √ 4. log2 2


41

Teorema 6 Sejam 0 < a 6= 1 e b > 0. Ent˜ ao: 1. loga 1 = 0

3. aloga b = b

2. loga a = 1

4. loga b = loga c ⇐⇒ b = c

Demonstra¸ c˜ ao: Aplica¸ca˜o imediata da defini¸ca˜o de logaritmo.

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

Exemplo 40

1. Se A = 5log5 2 , determine o valor de A3 .

2. Determine o n´ umero cujo logaritmo na base a ´e 4 e na base

a ´e 8. 3

Nota¸ co ˜es: log10 x ´e denotado simplesmente por log x (logaritmo decimal). loge x ´e denotado por ln x (logaritmo neperiano ou natural).

6.3.1

Propriedades dos logaritmos

Teorema 7 (Logaritmo do produto) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, ent˜ ao loga b.c = loga b + loga c Demonstra¸ c˜ ao: Fazendo loga b = x, loga c = y e loga b.c = z, provemos que z = x + y. De fato: loga b = x ⇒ ax = b;

loga c = y ⇒ ay = c;

loga b.c = z ⇒ az = bc.

Assim, az = bc ⇒ az = ax ay = ax+y ⇒ z = x + y



Teorema 8 (Logaritmo do quociente) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, ent˜ ao loga

  b = loga b − loga c c

Teorema 9 (Logaritmo da potˆ encia) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e α ∈ R, ent˜ ao loga (bα ) = α(loga b) Corol´ ario 1 Se 0 < a 6= 1, b > 0 e n ∈ N∗ , ent˜ ao loga

√ n

1

b = loga b n =

1 loga b n


42

CUIDADO! loga (x ± y) 6= loga x ± loga y ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

Exemplo 41

2. Seja x =

1. Se m =

bc , determine log m. d2

a , determine log x. bc

3. Se log 2 = 0, 301, calcule o valor da express˜ ao log 20 + log 40 + log 400.

4. Determine a raz˜ ao entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer.

5. Se log2 (a − b) = m e a + b = 8, determine log2 (a2 − b2 ).

Teorema 10 (Mudan¸ ca de base) Se a, b e c s˜ ao n´ umeros reais positivos e a e c s˜ ao diferentes de 1, ent˜ ao loga b =

logc b logc a

Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a = z e notemos que z 6= 0, pois a 6= 1. y Provemos que x = . z De fato: loga b = x ⇒ ax = b;

logc b = y ⇒ cy = b;

logc a = z ⇒ cz = a.

Assim, x

(cz ) = ax = b = cy ⇒ zx = y. 

Corol´ ario 2 Se a e b s˜ ao reais positivos e diferentes de 1, ent˜ ao loga b =

1 logb a

Demonstra¸ c˜ ao: Usando o teorema da mudan¸ca de base e observando que, por hip´otese, b 6= 1, temos: loga b =

1 logb b = . logb a logb a 


43

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

Exemplo 42

1. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, determine log6 5.

2. Calcule o valor de log0,04 125.

3. Determine o valor de: log3 2 . log4 3 . log5 4 . log6 5 . log7 6 . log8 7 . log9 8 . log 9

Exemplo 43 Resolu¸ca ˜o de equa¸co ˜es exponenciais via logaritmos 1. 2x = 3.

4. 32x+1 = 2.

2. 52x−3 = 3.

5. 4x + 6x = 2.9x .

3. 7

x

= 2.

6. log2 (3x − 5) = log2 7.

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

Exemplo 44 (Resolu¸ca ˜o de equa¸co ˜es logar´ıtmicas) Nos exemplos seguintes, sempre observar as condi¸co ˜es de existˆencia do logaritmo. 1. log3 (2x − 3) = log3 (4x − 5).

4. log22 x − log2 x = 2.

2. log2 (3x − 1) = 4. 3. log3 (x2 + 3x − 1) = 2.

5.

2 + log3 x log3 x + = 2. log3 x 1 + log3 x


Cap´ıtulo 7

Trigonometria 7.1

Introdu¸c˜ ao ` a trigonometria

A Trigonometria, que ´e uma palavra de origem grega: trigono (triangular) e metria (medida), tem por objetivo estabelecer rela¸co˜es entre os elementos b´asicos (lados e aˆngulos) de um triˆangulo.

7.1.1

Raz˜ oes trigonom´ etricas no triˆ angulo retˆ angulo

Um triˆangulo ´e retˆangulo quando um de seus aˆngulos internos ´e reto. Observando o triˆangulo retˆangulo ABC, (Aˆ = 900 ), temos:

BC = hipotenusa = a; AC = cateto = b; AB = cateto = c; ˆ0 ; ˆ + Cˆ = 90 B ˆ AC = cateto oposto ao aˆngulo B; ˆ AB = cateto adjacente ao aˆngulo B; ˆ AC = cateto adjacente ao aˆngulo C; ˆ AB = cateto oposto ao aˆngulo C; Considerando o que vimos no triˆangulo retˆangulo da figura anterior, temos: ˆ= senB

AC BC

ˆ= senB

ˆ cateto oposto a B hipotenusa 44

ˆ= senB

b . a


45 ˆ = AB cos B BC ˆ= tg B

AC BA

⇒ ⇒

ˆ ˆ = cateto adjacente a B cos B hipotenusa ˆ= tg B

ˆ cateto oposto a B

⇒ ⇒

ˆ cateto adjacente a B

ˆ = c. cos B a

ˆ = b. tg B c

Teorema 11 ( Teorema de Pit´ agoras) O quadrado da hipotenusa ´e igual a soma dos quadrados dos catetos: a2 = b 2 + c 2

7.1.2

ˆ Angulos Not´ aveis: 30o , 45o e 60o

´ o caso daqueles que Alguns aˆngulos, devido ao seu contante uso, merecem um estudo especial. E medem 30o , 45o e 60o . Vamos considerar que num triˆangulo equil´atero a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo aˆngulo interno coincidem. Observe o triˆangulo equil´atero ABC, cujos lados medem l e alturas medem h.

Aplicando o teorema de Pit´agoras no triˆangulo AMC, podemos calcular a altura h: l h2 + ( )2 = l 2 2 h2 = l 2 − h2 = 3

l2 4

√ l 3 h= 2 .

l2 4


46

7.1.3

C´ alculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o

Observe o triˆangulo AMC:

Temos: sen 30o =

l 2

l

1 = lq 2 3 2

3 = l √ 2 l 3 2 o tg 30 = √ = l 3 3 2q √ l 23 3 o = sen 60 = l 2 l 1 2 o cos 60 = = l 2 √ l 3 √ tg 60o = 2 = 3 2 o

cos 30 =

7.1.4

C´ alculo do seno, cosseno e tangente de 45o

Vamos considerar um triˆangulo retˆangulo e is´osceles ABC cujos catetos medem l e a hipotenusa mede x. Aplicando o teorema de Pit´agoras no triˆangulo ABC: √ √ x2 = l2 + l2 ⇒ x2 = 2l2 ⇒ x = 2l2 ⇒ x = l 2. Vamos agora calcular o seno, cosseno e tangente de 45o : sen 45o =

l √ l 2 l √ l 2

=

cos 45o = = l o tg 45 = l = 1.

√1 √2 2 2

=

√ 2 2

Organizando os resultados, constru´ımos a tabela:


47

α sen α cos α tg α

300 1 √2 3 √2 3 3

450 √ 2 √2 2 2 1

600 √ 3 2 1 2 √ 3

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

Exemplo 45 1. Uma pessoa com 1, 80m de altura est´ a distante 80m da base de um pr´edio e vˆe o ponto 0 mais alto do pr´edio sob um a ˆngulo de 16 em rela¸ca ˜o a ` horizontal. Sabendo-se que tg 160 ∼ = 0, 28, determine a altura do pr´edio. 2. Um avi˜ ao levanta vˆ oo num ponto B, e sobe fazendo um a ˆngulo constante de 15 0 com a horizontal. a e qual a Sabendo-se que sen 150 ∼ = 0, 27, determine a que altura estar´ = 0, 26 e que tg 150 ∼ distˆ ancia percorrida quando passar em linha vertical sobre uma igreja situada a 2km do ponto de partida B.

3. Calcular a medida z na figura:

7.2

Exerc´ıcios

1. Calcule os lados de um triˆangulo retˆangulo, sabendo que a altura relativa a` hipotenusa ´e h = 4 e ˆ = 300 . um aˆngulo agudo ´e B 2. Calcule os lados de um triˆangulo retˆangulo, sendo que a altura relativa a` hipotenusa mede 4 e 0 forma um aˆngulo de com o cateto b. √ √ 15 √ √ 2 + 6 6− 2 e cos 750 = . Dados: sen 750 = 4 4 3. Uma escada de bombeiro pode ser estendida at´e um comprimento m´aximo de 25 m, formando um aˆngulo de 700 com a base, que est´a apoiada sobre um caminh˜ao, a 2 m do solo. Qual ´e a altura m´axima que a escada atinge?


48 4. Um observador vˆe um pr´edio, constru´ıdo em terreno plano, sob um aˆngulo de 60 0 . Afastando-se do edif´ıcio mais 30 m, passa a ver o edif´ıcio sob aˆngulo de 450 . Qual ´e a altura do pr´edio? 5. Calcule a distˆancia entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-c´eu, conhecendo os aˆngulos (α e β) sob os quais s˜ao observados de um ponto O do solo, a` distˆancia d do pr´edio. 6. Um top´ografo foi chamado para obter a altura de um edif´ıcio. Para fazer isto, ele colocou um teodolito a 200 metros do edif´ıcio e mediu um aˆngulo de 30o . Sabendo que a luneta do teodolito est´a a 1,5 m do solo, qual o valor aproximado, da altura do edif´ıcio?

7.3 7.3.1

Arcos, ˆ angulos e o c´ırculo trigonom´ etrico Arcos e ˆ angulos

Se dois pontos encontram-se sobre uma circunferˆencia esta fica dividida em duas partes denominadas, arcos de circunferˆencia, ou arcos. Se dois pontos A e B forem coincidentes, um dos arcos fica reduzido a um ponto, e outro a pr´opria circunferˆencia. A medida do comprimento de uma circunferˆencia (2π = 360) ´e dado por c = 2πr. Para os diversos arcos que podem ser formados numa circunferˆencia, tamb´em ´e possivel calcular seu comprimento, visto que eles s˜ao proporcionais a essa medida. Veja no exemplo abaixo:

Exemplo 46 A orienta¸ca˜o de uma circunferˆencia pode ser no sentido hor´ario (-) ou anti-hor´ario (+). Sendo poss´ıvel, portanto, obter equivalˆancia de um arco de sentidos opostos.

Exemplo 47 −90 = 270. −315 = 45. −180 = 180. −225 = 135.


49

7.3.2

Estudo do C´ırculo Trigonom´ etrico

Defini¸ c˜ ao 18 Dado um arco AM, de medida α, chama-se de cos α e sin α, a abcissa e a ordenada do ponto M, respectivamente.

A circunferˆencia trigonom´etrica ´e dividida em 4 quadrantes de 90 cada, seguindo sentido antihor´ario.Esses quadrantes s˜ao formados na origem do eixo cartesiano, onde se intersepta o eixo da abcissa (cosseno), com o eixo das coordenas (seno).

Os sinais dos arcos variam conforme o eixo, ou seja, conforme a fun¸ca˜o. Por exemplo, a fun¸ca˜o seno apresenta o 1 e o 2 quadrantes positivos, j´a o cosseno, tem o 2 e o 3 quadrante positivo, os outros s˜ao negativos. Quanto a tangente, nos quadrantes ´ımpares ´e positiva, nos pares negativa. Veja, abaixo:

O c´ırculo trigonom´etrico ´e sim´etrico e portanto, um arco pode ser trazido (reduzido), ao primeiro quadrante. No caso do arco 330 , contido no quarto quadrante, ele pode ser reduzido ao primeiro, obtendo-se assim um arco de 30 . Isso por que, se andassemos no sentido hor´ario da circunferˆencia trigonom´etrica, pode-se verificiar que 330 =-30 . Logo, tem-se que o arco sim´etrico primeiro quadrante ´e 30 . No caso da medida do arco ser maior que 360 , isto ´e, ele possui mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360 ou 2π rad, com base nessa informa¸ca˜o podemos reduzi-lo a` primeira


50

volta, realizando o seguinte c´alculo: 1- Dividir a medida do arco em graus por 360 (volta completa), 2- O resto da divis˜ao ser´a a menor determina¸ca˜o positiva do arco. Exemplo 48 (a) Fa¸ca a redu¸ca ˜o do arco 4380 e diga onde o mesmo se localiza. 4380 ÷ 360 = 4320 + 60 Logo, tem-se que o resto da divis˜ ao ´e 60 , o que indica que a determina¸ca ˜o principal do arco,pertence ao 1 quadrante.

Observa¸ c˜ ao 16 No caso de se desejar as infinitas solu¸co ˜es de uma equa¸ca ˜o ou inequa¸ca ˜o trigonom´etrica, deve-se observar com aten¸ca ˜o o intervalo dado para solu¸ca ˜o, bem como a divergˆencia de sinais em cada quadrante! Veja o exemplo que segue... Exemplo 49 Dado a figura e as afirma¸co ˜es abaixo, identifique quais s˜ ao verdadeiras e falsas.

(A)

sin(180 − α) = sin α

(D)

sin(180 + α) = − sin α

(B)

sin(180 − α) = − sin α

(E)

sin(360 − α) = sin α

(C)

sin(180 + α) = sin α

(F)

cos(360 − α) = − sin α


51

(G)

cos(180 − α) = cos α

(H)

cos(180 − α) = − cos α

(M)

cos(360 − α) = cos α

cos(180 + α) = cos α

(N)

cos(360 − α) = − cos α

(I)

(J)

cos(180 + α) = − cos α

Observa¸ c˜ ao 17 (Arco Cˆ ongruo): Dois arcos s˜ ao cˆ ongruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma regra pr´ atica eficiente para determinar se dois arcos s˜ ao cˆ ongruos consiste em verificar se a diferen¸ca entre eles ´e um n´ umero divis´ıvel ou m´ ultiplo de 360 , isto ´e, a diferen¸ca entre as medidas dos arcos dividida por 360 precisa ter resto igual a zero. Menor determina¸ ca ˜o α: ´e o menor arco n˜ ao negativo dentre todos os congruos, assim, podemos afirmar 0 ≤ x < 360.

7.3.3

Express˜ ao Geral

A partir de um arco de midade α, pode se obter outros infinitos arcos de mesmas extremidades, quando consideramos que podemos dar infinitas voltas. Dado isso, torna-se necess´ario criar uma express˜ao para representar todos esses infinitos arcos. A express˜ao geral se apresenta da seguinte forma: AM = 360k + α, k ∈ Z,

ou

AM = 2kπ + α, k ∈ Z. Portanto fica estabelecida uma correspondencia biun´ıvoca entre os n´ umeros reais e os pontos da circunferˆencia trigonom´etrica.

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE

1- Determine a medida de x do arco da primeira volta positiva (0 ≤ x < 360) que possui a mesma

extremidade do arco de: (a)

7850

(b)

1853

(c)

−50

(d)

1190

2- Verifique o sinal de cada um desses produtos: (a)

y= cos 110. sin 130

(d)

y= cos π4 . sin π4

(b)

y= sin 200. cos 190

(e)

2π y= sin 2π 3 . cos 3

(c)

y= sin 300. cos 330

(f)

7π y= sin 7π 6 . cos 6

3- Como poderiamos escrever a express˜ao geral para os arcos formados na quest˜ao 1, anterior? (qual intervalo de k?)


52

4- Dois arcos de medidas opostas quaisquer, α e −α, tˆem extremidades sim´etricas em rela¸ca˜o ao eixo dos cossenos. Identifique quais das afirmativas abaixo s˜ao verdadeiras: (a)

cos(−α) = cos α

(c)

sin(−α) = sin α

(b)

− cos(α) = cos α

(d)

sin(−α) = − sin α

5- Se F: R → R ´e uma fun¸ca˜o definida por F (x) = sin x + cos x, o valor de f (π) + f ( 3π 2 ) ´e? f ( π2 ) 6- Determine o valor da express˜ao: sin 330 + cos2 300 sin 200 + cos 70 + sin2 240 7- Simplifique a express˜ao: A=

7.3.4

cos(π + x) + cos(−x) + cos(π − x) sin(−x) + sen(π − x) + cos(x)

Circulo Trigonom´ etrico

Como estudado nas se¸co˜es anteriores, eis que se apresenta o circulo trigonom´etrico, com suas simetrias e equivalˆencias:


53

7.4

Identidades Trigonom´ etricas

Para iniciar o conte´ udo, de identidades trigonom´etricas, vamos primeiramente entender o significado das novas rela¸co˜es que ir˜ao surgir: (a)

COTANGENTE: Seja a reta s tangente a` circunferˆencia trigonom´etrica no ponto B=(0,1). Esta reta ´e perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferˆencia intersecta a reta tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, ´e definida como a cotangente do arco AM correspondente ao aˆngulo a. Observa¸ c˜ ao 18 Possui os mesmos sinais da tangente no c´ırculo trigonom´etrico.


54

(b)

SECANTE: Seja a reta r tangente a` circunferˆencia trigonom´etrica no ponto M=(x’,y’). Esta reta ´e perpendicular a` reta que cont´em o segmento OM. A interse¸ca˜o da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, ´e definida como a secante do arco AM correspondente ao aˆngulo a. Observa¸ c˜ ao 19 Possui os mesmos sinais do cosseno no c´ırculo trigonom´etrico.

(c)

COSSECANTE: A interse¸ca˜o da reta r com o eixo OY ´e o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, ´e definida como a cossecante do arco AM corres pondente ao aˆngulo a. Ent˜ao a cossecante do aˆngulo a ´e dada pelas suas v´arias determina¸co˜es. Observa¸ c˜ ao 20 Possui os mesmos sinais do seno no c´ırculo trigonom´etrico.

7.4.1

Identidades Trigonom´ etricas

Abaixo, tem-se as principais indentidades trigonom´etricas. Os exercicios seguintes ser˜ao baseadas nas mesmas. Na seguˆencia, pode-se verificar a demostra¸ca˜o de algumas identidades. (1)

sin2 x + cos2 x = 1


55

Demonstra¸ c˜ ao:

Aplicando o teorema de Pit´agoras: a2 = b 2 + c 2 , 12 = cos2 x + sin2 x, cos2 x + sin2 x = 1. (2)

sec =

1 cos x

(3)

csc =

1 sin x

(4)

cot =

1 = tan x

(5)

sec2 x = 1 + tan2 x

2

cos x sin x

Demonstra¸ c˜ ao: Dividindo ambos os membros da rela¸ca˜o fundamental trigonom´etrica (cos 2 x + sin2 x = 1) por cos2 x, temos: cos2 1 sin2 + = 2 cos cos2 cos2 ↓ tan2 x + 1 = sec2 x. 2

Observa¸ c˜ ao 21 Podemos obter a rela¸ca ˜o trigonom´etrica (6), adotando o passo a passo acima, entretanto, ao inv´es de dividir a rela¸ca ˜o fudamental trigonom´etrica por cos 2 x, divide-se por sin2 x. (6)

csc2 x = 1 + cot2 x

(7)

sin 2x = 2 sin x. cos x


56

Demonstra¸ c˜ ao: Atrav´es da rela¸ca˜o (12), que faz a soma do seno de dois arcos diferentes: sin(a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b, podemos fazer a soma de dois arcos iguais, procedendo da seguinte forma: sin(a + a) = sin a. cos a ± cos a. sin a ↓ sin 2a = 2 sin a. cos a. 2 O mesmo procedimento pode ser adotado para obter as rela¸co˜es (8) e (9), entratanto, muda-se a rela¸ca˜o inicial para cada fun¸ca˜o. Ou seja, para obter a rela¸cao (8) do cosseno de dois arcos. Para obter a rela¸ca˜o (9)

tan 2x =

de dois arcos.

cos 2x = cos2 x − sin2 x, utiliza-se a rela¸ca˜o (13), que faz a soma

2 tan x , utiliza-se a rela¸ca˜o (14), que faz a soma da tangente 1 − tan2 x

(8)

cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 −1

(9)

tan 2x =

(10)

sin2 x =

1 + (1 − cos 2x) 2

(11)

cos2 x =

1 + (1 + cos 2x) 2

(12)

sin(a

±

b) = sin a. cos b ∓ cos a. sin b

(13)

cos(a

±

b) = cos a. cos b

(14)

tan(a + b)=

(15)

tan(a − b)=

2 tan x 1 − tan2 x

sin a. sin b

tan a + tan b 1 − tan a. tan b tan a − tan b 1 + tan a. tan b

´ Que tal lembrar das LEI DOS SENOS (16) COSSENOS (17) e a LEI DA AREA(18) de um triˆangulo ?


57

(16)

(17)

(18)


58

ˆ APRENDE ! FAZENDO VOCE 1 - Encontre o valor da express˜ao: (a)

y=

cos 1305 − sin 1305 sec 1740 + tan 855

(b)

2- Determine cos α, sabendo que sin α =

y=

tan 315 × csc 1200 sin 1560 − cos 1650

1 e que α corresponde a uma arco do 2 quadrante. 3

3- Simplifique as express˜oes abaixo sob as condi¸co˜es de existˆencia. (a)

E=(sec x − cos x)(csc x − sin x)(tan x + cot x)

(b)

E=

2 tan(180 + α) − tan(180 − α) 5 tan(360 − α)

(tan α 6= 0)

4- Para escorar um muro vertical localizado em um terreno plano e horizontal, foi usada uma barra de ferro de 2,6 m. de comprimento, reta, apoiada em um ponto P do terreno e em um ponto √ Q do muro. −2 3 A medida α do aˆngulo obtuso que a barra forma com o terreno ´e tal que sec α = . Calcule a 3 distˆancia entre o ponto Q e o solo. 5- Dˆe o conjunto solu¸ca˜o de acordo com o intervalo dado para as equa¸co˜es abaixo: √ 3 tan x = 0

(a)

tan2 x −

(b)

(tan2 x − 3)(sin x + 1) = 0

[0, π] [0, 2π]

6- Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 5cm e 10,cm e formam entre si um aˆngulo de 120 . Calcule as medidas das diagonais desse pol´ıgono. 7- Determine o valor de x nas figuras a seguir:


Cap´ıtulo 8

Respostas dos Exerc´ıcios 8.1

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1

˜ 1.1 SEC ¸ AO 1. (a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...}

(b) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}

2. (a) A = {0}

(b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

(c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

(c) C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (e) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 3. (a) A = {n ∈ N ∗ |n 5 5} (c) C = {n ∈ N |2 ≤ n ≤ 10} (e) E = {n ∈ N|n ≥ 5}

(d) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (f) F = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(b) B = {n ∈ N ∗ |n ´e par e n ≤ 8} (d) D = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10} (f) F = {n ∈ N|n ≥ 1} ou N∗

4. (a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} (c) C= {2,4,6,8}

(b) B = {2, 4, 6, 8} (d) D = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

5.

(a)

(b)

59


60

(c)

(d)

(e)

(f) ˜ 1.2 SEC ¸ AO 1. (a) R (b) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...} (c) {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...} (d) {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60...} (e) {0, 12, 24, 36, 48, 60...} (f) {0, 50, 100, 150, 200, 250...} 2. (V)= a, c, d, e

(F)= b

3. {0, 12, 24, 36, 48} 5. {o}

7. 9.

4.

{6} 0,20,40,60..

{26, 39} 6. n´ umeros pares

8. {0, 6, 12, 18, 24, 30...} 10. {0, 30, 60, 90...}

˜ 1.3 SEC ¸ AO 1. (a) 42 2. 15 : 00

(b) 48

(c) 60

3. 80 dias

(d) 180

(e) 210

4. 72 minutos

5. 1 dia

˜ 1.4 SEC ¸ AO 1. (a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} (b) {1, 3, 5, 610, 15, 30} (d) {5, 10, 15} (e) {1, 2, 3, 6} 2. 3.

1 e ele mesmo.

(c) {4, 12}

6.{2008, 2028, 2048}


61

(a) {1, 2, 5, 10} (c) {1, 2}

(b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} (d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}

4. duas maneiras

5. 3 maneiras

6. 5 maneiras

7.

4 maneiras

8.

1,18;2,9;3,6.

˜ 1.5 SEC ¸ AO 1. (a) 9 2. 6

(b) 15

5. (a) 39

(b) a = 6,

6. 20

8.2

(c) 2

3. O menor ´e o m.d.c

7. 60

(d) 1 4.

Sempre 1

b=7

8. Em 5,6,8 pe¸cas; Comprimento= 36 m

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2

˜ 2.1 SEC ¸ AO 1. (a)

17 6

8 3

(b)

17 24

(c)

2. (a)

91 72

3. (a)

33 20

(b)

33 20

(c)

91 45

4. (b)

77 10

(c)

73 8

(d)

43 4

5. (a)

1 21

6. (a)

13 72

(b)

(b)

75 20

11 24

(c)

(c)

11 4

(d) 67 84

61 84

(d)

17 21

(d)

(d)

116 75

10 18

(e)

65 42

89 360

(e)

(f)

(f)

157 30

−5 8

55 20

(b)

(c) (1) O agrupamento diferente gera resultados diferentes.

(2) A opera¸ca˜o n˜ao ´e associativa

(Opera¸ca˜o que independe da ordem). 7. (b)

8.

23 8

59 24

(c)

5 12

9.

(d)

8 15

10.

15 6

(e)

5 12

1 5

11.

(f)

5 4

300.000 L

˜ 2.2 SEC ¸ AO 1. 5 (a) 8 21 (e) 10

(b)

2. (a) 5u 3.

1 4

(f)

(b)

(c) 11 132 4u

(c)

8 5 (g)

(d) 3 45

1 u 4

(d)

35 6 57 (h) 5 1 u 5

(e)

(i) 1 u 8

33 8 (f) 6u

(g)

11 3

12.

14 caixas


62

(a)

5 4

7 5

(b)

4. (a) 16

(c) 5 28 13

(b)

(c)

1 16

6. 4m2

5. duas quest˜oes

5 4

(d)

(e)

(f)

15 8

21 16

(g)

(h)

4 3

37 13

(d) 7.

11 9

1920 ladrilhos

8. (a) 64m2 (b) 40m 9. 800 oˆnibus 10. Adulto : 70 Kg, Crian¸ca: 40 Kg 11. (a) 1.080 reais 12. 87 Km

(b)3.000 reais

˜ 2.3 SEC ¸ AO 1. (a) 0, 66... 2. =:

(b) 0, 08

a),(b),(c),(d),(e)

3. (a) 0, 3

(b) 0, 01

(e) 0, 043

(f) 123, 5

4. 1 (a) 2 (e)

871 100

5. 3 (a) 5 (e)

(c) 0, 05

3 500

(b)

13 10

(f)

485 1000

(b)

9 40

(f)

211 500

6=:

(d) 0, 234

(b) e (f).

(c) 0, 007

(d) 0, 21

(g) 57, 802

8 100

(c)

(d)

5278 1000

(g)

(c)

(h) 6, 104

212 1000 93, 164 10

(h)

23 200

(d)

9 20

17 40

(h)

626 125

(g)

˜ ?? SEC ¸ AO 1. V= a, c, e

F=

b, d, f

2. (a) 500dcm2

(b)

11.400cm2

3. (a)

61, 17

(b)

5.000.047, 51

4. (a)

10min 45seg

5. (a)

13h 16min 52seg

7.

11 : 53

9. (a)

8.

(b)

(c)

0, 055km2 (c)

90, 5

42min 17seg (b)

5h 8min

(c)

(d)

735mm2

(e)

6, 47m2

(d)

14.735

(e)

58.684

5h. 10min 49seg

(c)

18h 46min

108dl

100min 10seg

(b)

1h 1min 1seg

(c)

2h 30min

(d)

1h 7min 30s


63

8.3

Respostas dos Exerc´ıcios do Capitulo 3

˜ 3.1 SEC ¸ AO 1) (a)

610

(b)

71

(c)

710

(d)

109

121

(b)

25

(c)

3−2

(d)

82

(d)

128x7 y 7

(g)

5 ( )−6 4

(h)

(0, 03)−3

(i)

(0, 03)−10

(g)

(h)

1

(j)

√ 4 π

(l)

107

2) (a)

3) (a)

38

(d)

67

(b)

415

(e)

100

(c)

74

(f)

74

(c)

x3 y 3

(e)

(

4) (a)

9a2

(b)

10245

(c)

(

5) (a)

(b)

(

(

−13 2 ) 21 8 −1 ) 33

(d)

(

17 −5 ) 5 −7 3 ) 9

(f)

(

−21 3 ) 4 11 6 ) 12

6) (a)

3

(c)

0, 5

(e)

(b)

1

(d)

1

(f)

7) a)2−3

b)

1 2 1

2

( 21 )−2

˜ 3.1.1 SEC ¸ AO 1) (a)

4

(d)

4

(g)

(b)

1 2

−27

(e)

6561

(h)

(

(c)

256

(f)

900

(i)

2)

1 2 ) 1, 2 p 4 (5)3


64

(a)

−1 5

(d)

0, 01

(g)

(b)

3

(e)

10.000

(h)

(c)

2, 5

(f)

100

(i)

−2 3 64 9 1 3

(j)

4 81

(l)

81 4096

3) (a)

72

1

(c)

35

2

(e)

(−2)−3

(b)

24

3

(d)

4

−1 3

(f)

3 ( )−5 2

4) (a)

√ 5

2

(c)

√ 4 a3 b

(b)

1 √ 8

(d)

√ 5

(e)

1

1 √ 4 m3

m2 n

5) (a)

23

5

(c)

34

3

(e)

28

9

(b)

53

2

(d)

27

3

(f)

52

4

(b)

26 5

(c)

12 25

(f)

(a)

17 x7

(l)

√ 12 2a √ 5 3b2

(b)

3

(g)

a 6 x8

(c)

4b2

(h)

√ 333

p x2 y 3 y 2 √ (m) a2 a

(d)

4xy 2

(i)

√ 292

(n)

x+3

(e)

√ 5a2 x

(j)

√ 2 13

(o)

x+5

(h)

3 27a × b 2

(i)

1

(j)

√ √ 4 x3y

1

˜ 3.2 SEC ¸ AO 1) (a)

2) 5

3) (a)

√ 2 5

(b)

0

(c) (d)

(e) √

4b a − 4a a 3 √ 3 3

30 20

(f)

p 5b 12 (5b)

(g)

4

9


65

4) √ a b 2b √ a b ab √ 5 a 4 b4 c c

(a) (b) (c)

8.4

(d)

√ 8−2 5

(e)

(f)

2+

2a + 1 √

3

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4

˜ 4.1 SEC ¸ AO 1) 9 8 −17 (b) 8

−57 20 1 (d) 3

(a)

(e) 94, 57

(c)

(f)

(g) −11, 59

−4 7

(h)

−7 2

2) (a)

17 140

(c)

−125 8

(e)

1 2

(b)

−17 12

(d)

25 9

(f)

3 2

3) 3267 448 −10 (d) 3

(a) 90

(c)

(b) −6

−3 10 −4 (f) 7

(e)

˜ 4.2 SEC ¸ AO 1) (a) 8

(c)

9 8

(e) x = 4

(b) 8

(d)

− 70 1

(f) x =

−64 3

(g) x = (h)

58 17

2) (a) 2x + 3x = 50

(b) x +

x = 15 3

n = 40 2 (d) x + (x + 1) = 11 x (e) 3x − = 25 2 (c) n −

(f) 2n − 4 = 20

(g) 2n = 20

−28 67


66

3) 15 4) 24 5) 30 152, Menores= 76 9) 2 anos

6) 9 7) 54 alunos 8) Homens= 304, Mulheres= 10) Pai= 36; Filho= 6 11) x1 = 12, x2 = 24 12) Car-

ros= 90; Motos= 110 ˜ ?? SEC ¸ AO 1) (a)

x = 1;

y = −4

(b)

x = 2;

(b)

34

y = −6

2) (a)

64

3) 36 e 58 8) x=39 e y=12

8.5

4) 24 carros e 4 motos

5)

24 32

06)

63 rosas e 21 margaridas

9) 40 galinhas e 60 coelhos

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5

˜ 5.1 SEC ¸ AO 1) (a)

x ∈ R/x ∗ 1 = x

(c)

(x, y) ∈ R/x ∗ y = y ∗ x

(b)

x ∈ R/x + x = 2x

(d)

x ∈ R/x + (−x) = 0

x + 16

(b)

75

f (x) = 4 + 1, 4x

(b)

18 reais

x ∗ x = x2

(b)

(x, y) ∈ R/x + y = y + x

930

(b)

n + n2

2) (a)

3) (a)

4) (a) 2 5) (a) 6)

7) 20 atores e 40 cantores


67

(a)

x5 y 5

(c)

x 2 x2 y 2

(b)

x.x.x

(d)

y.y.y

(c)

− 21

7) (a)

7

(b)

−1

(d)

3, 1

˜ 5.1.1 SEC ¸ AO 1) (a)

17x2

(d)

3 3 2x

(g)

−x2 y 2

(b)

0

(e)

x2 (3y + 1)

(h)

39 2 20 y

(c)

−4xy 5 z

(f)

4x2 + 31y

(i)

(a)

2y 5

(g)

16a4 b6

(n)

3 3 4 2a b

(b)

40y 3

(h)

x8 y 16 z 24

(o)

(c)

x3 y

(i)

xy

−9x12 y 4

(p)

1 8 12 6x y

(q)

x6

(r)

−y

−14x3 y

2)

3

(d)

−36x yz

(e)

−40x5 y 6

(f)

6 5 5 35 x y

4

3

(j)

−7ax

(l)

1 4 5 5a y

(m)

5a3 y 4

3) (a)

3xy

(b)

2xy

(c)

x2

(d) AT = x2 + 3xy + 2xy

−5x5 y

(b)

−4y

(c)

−12x3 y 8

(d)

4xy

5044

(b)

−4160

(c)

52

(d)

−9

4) (a)

5) (a)

6) (a)

10x

˜ 5.2 SEC ¸ AO

(b)

5 e 20

(c)

8, 2cm


68

(1)

R: a, b, c, e, g, h, i, k, l

(2)

a = −1; b = 6 e c = 1

˜ 5.2.1 SEC ¸ AO (f + g)(x) = 5x3 + 5x2 − x + 12;

(1)

(g − h)(x) = x4 + 5x3 + x2 + 4x + 3; (h − f )(x) = x4 − 4x2 + x − 5. 31 4 ; b = ; c = −3 6 3

(2)

a=

(3)

a = b = c = 0 ou a = b = 1, c = 2.

˜ 5.2.2 SEC ¸ AO (1) (a) 8x4 + 2x3 + 4x + 6

(f) 28x2 + 26x + 2

(b) −2x4 + 2x3 − 2x − 8

(g) 81x2 − 36x + 4

3

2

(c) 6x + 6x + 2x − 1

(d) 6x3 − 2x2 − 8x − 1

(h) 12x3 − 8x2 − 21x + 3

(e) 24x2 + 8x2 − 12x

(i) 54x4 + 6x3 − 27x2 − x − 1

(a) 15x2 − 9x + 6

(b) 20x3 − 42x2 + 26x − 12

(2)

(3)

Q(x) = x + 7 e R(x) = 6

(4)

D(x) = 2x2 − 3

(5)

D

(6)

a=b=1

(7)

P (x) = 4x3 − x2

˜ 5.3 SEC ¸ AO (1)

Raizes : 2, 5, 4, com multiplicidade trˆes, um e dois respectivamente.

(2)

a=b=

(3)

a) b)

3 2

7 −5 + ; x+2 x+3 −8 13 + x−1 x−2


69

(4) 3 (a) (x − 1)(x + ) 4 (5)

8.6

(b) (x − 2)(x + 6)x

1 (x − 1)(x − 2)(x − 5)(x − ) 3

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6

Exemplo 35: 1 2

−3 2 10

(7)

3

(8)

2

(6)

+−4

(9)

−2 e 1

(2)

x>1

(3)

x<4

(4)

x < −3

(6)

−5 2

(7)

−3

(8)

1 2

(2)

a = 6561

(1)

4

(4)

(2)

4

(5)

(3)

−5 3

(10)

Exemplo 37: (1)

x>7

Exemplo 38 (5)

1 4

Exemplo 40 (1)

a=8

Exemplo 41 (1) (2)

log bc − 2 log d

1 log a − log bc 2

(3)

5, 50

(5)

m+3

(4)

2

(2)

−3 2

(3)

lg 2

Exemplo 42 (1)

1 − 2a a+b

Exemplo 43 (1)

∼ = 1, 58

(3)

∼ = 0, 13

(5)

0

(2)

∼ = 1, 84

(4)

−0, 18

(6)

4

Exemplo 44


70

(1)

8.7

(2)

17 3

(3)

−5 e 2

(1)

h = 24, 2m

(2)

h = 0, 54 Km; d = 2 km

(3)

z = 40 cm

˜ 7.2 SEC ¸ AO

(2) (3) (4)

√ √ 16 3 8 3 a= ;b= ;c=8 3 3 √ √ √ √ a = 16; b = 4 2( 3 − 1); c = 4 2( 3 + 1) 25, 49m √ 30 3 √ m 3−1

(5)

h = d(tg β − tg α)

(6)

117m

˜ 7.3 SEC ¸ AO 1) (a)

290

(b)

53

(c)

50

(d)

110

2) 3)

2

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7

Exemplo 45

(1)

(4)

Negativo: A,C, E

Positivo: B, D, F.

360K + 290, com 0 ≤ k ≤ 21 360K + 53, com 0 ≤ k ≤ 5 360K + 50, com k = 0 360K + 110, com com 0 ≤ k ≤ 3 4) VERDADEIRAS: A e D. FALSAS: B e C.

(5)

1 9


71

5) −2 6)

−1 3

7) −1 ˜ 7.4 SEC ¸ AO (1) (a) (b) (2)

0 − 3 2

− √ 3 2 2

(3) (a) (b) (4)

1 − 5 3

1, 3 m.

(5) (a)

S={0, 60, 180}

(b)

S={60, 120, 240, 270, 300}

(6)

√ √ 5 7e5 3

(7)

Fig.1: x = 7

8.8

Fig.2: x = 5

Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 8

˜ ?? SEC ¸ AO 1. (a) −1 + i

(b) −3 +

2. (a) (0, 5)

(c) −2i

(d) −1 − i

3−i 10

(b)

4. z1 = 1 − 5i ;

z2 = 2 − 14i

5. (a) x = 0

e

6. (a) −5 + 6i −35 − 5i 6

8. (a) i (g) −5 + 43i

5

(b) (0, −10)

3. (a) −2i − 3,

7. (a)

x=1 (b)

(b) x = + − 1 7 i 3

(c)

(b) −2 + 2i

(b) −1 (c) −i (h) −5 + 10i

(c) x = − + 2

(d) x = 0

2 − 4i (c) 25 (d) −i

9. Tem-se delta negativo. Resolver Baskhara.

(e) −1

(f) 1 − i


72 ˜ ?? SEC ¸ AO 1. (z1 )

−3 + 3i

(z2 )

1 + 4i

(z3 )

2i

(z4 )

−4i


73

(z5 )

2 − 3i

(z6 )

3

(z7 )

−4

2.

3 − 3i;

3. (a)

b = −2

−1 − 4i; −2i.


74

(b)

−a = −1 e b > 0

(c)

a=0eb>0

(d)

a ≤ 3 e b ≥ −3

(e)

a>0


75

(f)

a>2eb≥3

˜ ?? SEC ¸ AO 1. (a) 1 − 5i √ (f) 2 − 2i 2. (a) 25 3.

(b) −2i (b)

−49

−1 − 2i

4. (a)

8−i 5

5. (a)

−4 − 12i 5

(c) 0

(b)

(e)

(c) 2

3 − 2i 13

(b)

(d) −4 − 2i

(c) 1 − i

(d)

−i

50 − 75i 13

6. 2 ± 3i ˜ ?? SEC ¸ AO 1. (a)

2

√ 2. (a) 4 5

(b)

13

(b) 12 + 5i

3. x2 + 10x + 29 = 0

(c)

5

(c) i + 2

(d) 5 (d) −3 + 2i

−1 + i


Referˆ encias BONGIOVANI, Vicenzo; LEITE, Ol´ımpico Vissoto; LAUREANO, Jos´e Luiz Tavares. Matem´ atica e o ´ Vida. Vol. 1,2,3,4, 1 grau. S˜ao Paulo: Atica, 1990. ´ DANTE, Luiz Roberto. Matem´ atica. Vol. 1. S˜ao Paulo: Atica, 2009. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, Jos´e Nicolau; IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Cole¸ c˜ ao Fundamentos de Matem´ atica Elementar. Vol. 1 a 10. S˜ao Paulo: Atual, 2004. JAKUBOVIC, Jos´e; LELLIS, Marcelo. Matem´ atica na medida certa. Vol. 1,2,3,4, 1 o grau. S˜ao Paulo: Scipione, 1994. NETO, Scipione Di Pierrˆo. Matem´ atica. Vol. 1,2,3,4, 1o grau. S˜ao Pauo: Scipione, 1995.

Apostila pre calculo pato branco%5b1%5d  

Preparação para cursar cálculo

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