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FLUIDOS Solución de Problemas. Estática y dinámica de fluidos. UNIVERSIDAD DEL NORTE DIVISIÓN DE INGENIERÍAS DPTO. DE FÍSICA

Andrés Cristancho M. Luis Yepes. Hans Van Strahlen.


Problema 1. Un bloque cúbico de madera de 10cm por lado flota en la interfaz entre aceite y agua con su superficie inferior 1.5cm bajo la interfaz (Fig.1). La densidad del aceite es de 790 kg/m3. a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie de arriba del bloque? b) ¿Y en la cara inferior? c) ¿Qué masa y densidad tiene el bloque?

Fig.1 problema 1.

Solución: Dimensiones del cubo

por consiguiente el Volumen

El volumen de la porción del cubo sumergido en el agua corresponde a:

El volumen de la porción del cubo sumergido en el aceite corresponde a:

a) La presión manométrica está dada por donde es la densidad del fluido en la cuel la masa está sumergida, es la altura que hay de la superficie de la masa hasta la superficie del fluido. Y la gravedad. Para obtener la presión manométrica sobre la superficie de arriba del bloque tenemos


b) Para obtener la presión que ejerce el fluido sobre la superficie inferior del bloque debemos calcular la presión que ejerce el aceite en el sistema.

Entonces la presión absoluta

c) Diagrama de cuerpo libre y sumatoria de fuerzas.

Reemplazando en la ecuación anterior los valores correspondientes a la densidad del aceite , la densidad del agua , y los volúmenes sumergidos y obtenemos que la masa del cubo de madera es:


Problema 2. Un tubo en forma de U abierto por ambos extremos contiene un poco de mercurio. Se vierte con cuidado un poco de agua en el brazo izquierdo del tubo hasta que la altura de la columna de agua es de 15 cm (fig.2). a) Calcule la presión manométrica en la interfaz agua-mercurio. b) Calcule la distancia vertical entre la superficie del mercurio en el brazo derecho del tubo y la superficie del agua en el brazo izquierdo.

Fig.2. Problema 2.

Solución. a) Sabiendo que la altura que hay de la superficie del agua a la interfaz es La densidad del agua la presión manométrica en la interfaz aguamercurio es

b) para hallar la altura la que se muestra en la fig2. debemos relacionar la presión que existe con respecto a dos puntos del fluido, los más apropiados son, el punto 1 que corresponde a la interfaz agua-mercurio, y el punto 2 que corresponde al que se encuentra en el brazo derecho a la misma altura, es decir una altura por debajo de la superficie del mercurio en el brazo derecho.

Siendo

la presión atmosférica y

igual en la interfaz agua-mercurio.


Igualando

Despejando

de las dos ecuaciones anteriores tenemos lo siguiente.

de la ecuación anterior

El valor obtenido es solo la altura que hay de la superficie del mercurio hasta la misma línea de la superficie de la interfaz agua-mercurio, entonces

Problema 3. El tubo horizontal de la Fig.3 tiene un área transversal de 40cm 2 en la parte más ancha y de 10cm2 en la construcción. Fluye agua en el tubo, cuya descarga es de 6×10-3 m3/s (6 L/s). Calcule a) la rapidez de flujo en las porciones ancha y angosta; b) la diferencia de presión entre estas porciones; c) la diferencia de altura entre las columnas de mercurio en el tubo con forma de U.

Fig. 3. Problema 3.


Solución: a) Para obtener la rapidez de flujo utilicemos la ecuación de flujo descarga,

es el área de la sección transversal y

, donde

es la

es la rapidez de flujo que hallaremos.

En la sección ancha del tubo la rapidez está dada por

En la sección angosta del tubo la rapidez la podemos obtener con la ecuación de continuidad.

b) la ecuación de Bernoulli relaciona la presión en dos puntos del tubo, por ende utilizaremos la ecuaciones de Bernoulli para establecer la diferencia de presiones en las dos secciones transversales del tubo.

Donde


La deferencia de presiones entre las dos secciones transversales es

c) para hallar la diferencia de alturas entre las columnas de mercurio, comparamos la presión en dos puntos, los puntos más apropiados están en la interfaz de agua-mercurio, así

Donde P es igual en el tubo U, entonces

Problema 4. Suponga que un trozo de espuma de poliestireno, se mantiene totalmente sumergido en agua (Fig.4). a) Calcule la tensión en la cuerda usando el principio de Arquímedes. b) Use para calcular directamente la fuerza que el agua ejerce sobre los dos lados inclinados y la base del trozo; luego demuestre que la suma vectorial de estas fuerzas es la fuerza de flotación.

Fig.4. Problema 4.


Soluci贸n: a) Para obtener la magnitud de la tensi贸n analicemos el diagrama de cuerpo libre del sistema.

El volumen del trozo de espuma es

b) llamemos a la profundidad que hay de la superficie del fluido hasta la superficie inferior del trozo de poliestireno, llamemos la longitud de la pieza y la longitud de los dos lados del triangulo. La ley de pascal establece que la presi贸n aplicada a la superficie de un fluido encerrado se transmite sin disminuci贸n a todas las porciones del fluido, esto es


Fig.5 cara frontal del trozo de poliestireno. Presión es fuerza normal por unidad de área, entonces la fuerza de presión sobre la superficie inferior es

Encontremos ahora las fuerzas perpendiculares a las superficies inclinadas. Debido a que el área de estos dos lados es igual la fuerza de presión que actúa sobre ellas es equivalente. Para la expresión que representa la presión que actúa sobre las superficies inclinadas, la profundidad es (ver Fig.5). Las fuerzas están dadas por

, puesto que se toma el centro de la superficie

Solo tendremos en cuenta las componentes de las fuerza de presiones verticales, puesto que las horizontales van en direcciones opuestas y tienen la misma magnitud entonces la sumatoria de fuerzas es cero. Así que la componente vertical de es


Sea el volumen del trozo de poliestireno Como vemos el resultado de la suma vectorial de las fuerzas de presión es equivalente a la fuerza de empuje

Problema 5. Un recipiente cilíndrico con un líquido incompresible (densidad ) gira con velocidad angular constante alrededor de su eje de simetría, que tomamos como eje (Fig.6). a) Demuestre que la presión a una altura dada dentro del fluido aumenta en la dirección radial (hacia afuera desde el eje de rotación) según b) Integre esta ecuación diferencial parcial para obtener la presión en función de la distancia del eje de rotación a lo largo de una línea horizontal en c) Combine el resultado de la parte (b) con la ecuación ( , para demostrar que la superficie del líquido tiene forma parabólica, es decir, la altura del líquido está dada por . (Esta técnica se usa para hacer espejos de telescopios parabólicos; se gira vidrio líquido, dejando que se solidifique mientras gira.

Fig. 6. Problema 5.


Solución: a) para demostrar que la presión a una altura dada dentro del fluido aumenta en la dirección radial según Tomaremos un elemento diferencial de masa , un objeto cilíndrico con una base de área y longitud . El volumen del elemento es .

Teniendo en cuenta que la fuerza neta sobre el objeto es

tenemos

Reemplazando el valor de

Debido a que el cuerpo está girando con respecto al eje centrípeta.

este tiene una aceleración

Derivando parcialmente con respecto a

b) Integrando esta ecuación diferencial parcial obtenemos la presión en función de la distancia del eje de rotación a lo largo de una línea horizontal en


c) en la ecuaci贸n valor de

Es decir la superficie del l铆quido

tenemos que

tiene forma parab贸lica.

,

hallaremos el


Experiencia de laboratorio. En la figura 7. Se observa un recipiente que contiene en la parte inferior glicerina, y en la parte superior agua colorada, el recipiente se encuentra girando sobre su propio eje de simetría vertical .

Fig. 7 recipiente girando, menisco curvado hacia arriba .

Normalmente cuando el recipiente está girando y contiene un líquido no hasta el tope del recipiente, este forma un menisco curvado hacia arriba.

¿Por qué se produce el menisco? Este menisco se produce debido a dos razones, depende de la forma del recipiente, aunque esta razón no es tan relevante, podemos ver que en un recipiente que posee una base curvada hacia arriba, por ejemplo en un tubo de ensayo que contiene agua, que aquí el menisco se pronuncia mucho más, a diferencia de un recipiente que contiene una base plana, como por ejemplo una probeta donde no podemos observar el menisco a simple vista. La segunda razón más importante es debido a la atracción entre las moléculas del líquido y del recipiente. En el caso del agua la cohesión que existe entre las moléculas que la componen cerca de las paredes del recipiente es menor que la adhesión entre dichas moléculas y las del recipiente (ver Fig.7).


Fig.8. Menisco curvado hacia abajo.

Un menisco curvado hacia arriba se produce debido a que la cohesión entre las moléculas del líquido es mayor que la adhesión entre sus moléculas y las del recipiente. Por eso cuando llevamos el agua hasta el tope del recipiente observamos ahora un menisco curvado hacia abajo, ya que las moléculas de agua no encuentran paredes para adherirse por ende la cohesión entre ellas mismas es mayor.

¿Por qué la glicerina y el agua no se mezclan? Una característica del agua, es que sus moléculas son polares es decir que se disuelven con sustancias que también posean moléculas polares, ocasionando una mezcla con carga total cero. Ocurre el caso contrario con aceites y grasas, estas sustancias poseen moléculas no polares, permitiendo que se disuelvan en sustancias que tengan las mismas características. Debido a la diferencia entre las características de las moléculas del agua y el aceite, estas dos sustancias no se pueden disolver una en la otra (Ver Fig.7).

FLUIDOS.  

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