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Algebra Antonio Baeza Salas

´Indice 1. Introducci´ on 1.1. Conocimientos y habilidades a examinar . . . . . . . . . . . .

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2. Resoluci´ on de Problemas 2.1. La torre . . . . . . . . . 2.2. El cubo pintado. . . . . 2.3. Armarios . . . . . . . . 2.4. Diagonales . . . . . . . .

3 3 4 5 6

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1

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1.

Introducci´ on

Si queremos aplicar cualquier clase de matem´aticas necesitamos primero expresar el problema matem´aticamente. Antes de poder aplicar las ideas y t´ecnicas del c´alculo es necesario expresar el problema en t´erminos de una f´ormula. Cada problema es diferente y debes desarrollar habilidades generales para expresar situaciones como f´ormulas. Algunos pasos a tener en cuenta a la hora de expresar un problema en t´erminos matem´aticos son los siguientes:

1.

Intentar algunos casos sencillos.

2.

Buscar un diagrama adecuado.

3.

Organizar sistem´ aticamente.

4.

Hacer una tabla.

5.

Observar pautas.

6.

Buscar una regla general.

7.

Explicar por qu´ e funciona la regla.

8.

Comprobar con regularidad.

1.1.

Conocimientos y habilidades a examinar

1. Conocimiento de la notaci´on, terminolog´ıa, convenciones y unidades matem´aticas. 2. La capacidad de comprender informaci´on presentada en forma verbal, gr´afica o tabular, y de traducir tal informaci´on a forma matem´atica. 3. La capacidad de reconocer los m´etodos matem´aticos que son adecuados para la soluci´on del problema que se est´a considerando. 4. La capacidad para aplicar m´etodos y t´ecnicas matem´aticas. 5. La capacidad para manipular expresiones matem´aticas. 6. La capacidad para realizar deducciones l´ogicas. 7. La capacidad para seleccionar y aplicar t´ecnicas apropiadas a problemas en situaciones nuevas o no familiares. 8. La capacidad para interpretar resultados matem´aticos.

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2. 2.1.

Resoluci´ on de Problemas La torre

1. ¿Cu´antos cubos son necesarios para construir esta torre. 2. ¿Cu´antos cubos son necesarios para construir otra torre como esta pero de 12 cubos de altura?. 3. Completa la siguiente tabla: No de cubos de altura No de cubos que forman la torre

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4. ¿Que regularidad se observa en la tabla anterior?. 5. Enuncia una regla que pueda relacionar el n´ umero de cubos de altura y el n´ umero de cubos necesarios para construir la torre. 6. Comprueba si tu regla concuerda con los datos obtenidos en la tabla. 7. ¿C´omo calcular´ıas el n´ umero de cubos necesarios para una torre de altura n?.

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2.2.

El cubo pintado.

1. Imagina que las seis superficies exteriores de un gran cubo se pintan de color negro. Este cubo se corta despu´es en 8×8×8 cubos. ¿Cu´antos de estos cubitos tienen: 0 caras negras?. 1 cara negra?. 2 caras negras?. 3 caras negras?. 4 caras negras?. 5 caras negras?. 6 caras negras?. 2. Ahora, sup´on que cortas el cubo en n3 cubitos... 3. Intenta organizar tu informaci´on en una tabla como la que sigue:

4


dimensi´on del cubo 0 caras negras 1 cara negra 2 caras negras 3 caras negras 4 caras negras 5 caras negras 6 caras negras

2.3.

1×1×1

2×2×2

3×3×3

4×4×4

5×5×5

Armarios

Una f´abrica vende armarios en dos anchuras: 5 dm y 7 dm. Colocando combinaciones de estos armarios, unos junto a otros, deben ajustar en habitaciones de distintos tama˜ nos. Por ejemplo, 2 armarios de 5 dm y 3 de 7 dm pueden ajustarse en una habitaci´on de 31 dm de longitud. 1. ¿C´omo podr´ıas ajustar una habitaci´on de 32 dm de longitud? 2. Explora habitaciones de diferentes tama˜ nos. ¿En cu´ales se pueden poner exactamente los armarios?. ¿En cu´ales no?. 3. Supongamos que la f´abrica decide hacer armarios en 4 dm y 7 dm de ancho. ¿En qu´e habitaciones no ajustar´ıan?. 5

6×6×6


4. Investiga la situaci´on para otros pares de medidas de los armarios. ¿Puedes predecir en qu´e habitaciones encajar´ıan y en cu´ales no?.

2.4.

Diagonales

Una diagonal de este rect´angulo 5 × 7 pasa por 11 cuadrados. Estos cuadrados han sido marcados en la figura. 1. ¿Puedes encontrar un m´etodo de predecir el n´ umero de cuadrados que atravesar´a conociendo las dimensiones del rect´angulo?. 2. ¿Por cu´antoscuadrados atravesar´a la diagonal de un rect´angulo de dimensiones 1000 × 800?.

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