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La programación lineal

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L LA AP PR RO OG GR RA AM MA AC CIIÓ ÓN NL LIIN NE EA AL L 01.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – junio 2010

Fabada Móvil sólo comercializa dos platos: fabada tradicional y light. Cada ración de fabada tradicional lleva 100 g de fabes y 100 g de compango, mientras que cada ración de fabada light lleva 110 g de fabes y 50 g de compango. Cada día Fabada Móvil dispone de 11000 g de fabes y de 6200 g de compango. Tiene un cliente fijo que compra cada día 4 raciones de fabada light y que Fabada Móvil se ha comprometido a abastecer. (a) ¿Cuántas raciones de cada tipo puede preparar Fabada Móvil en un día para cumplir con todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuántas raciones de cada tipo debería preparar para maximizar el número total de raciones de fabada que puede poner a la venta? ¿Cuántas tendría que preparar para maximizar el número de raciones de fabada tradicional que puede poner a la venta? RESOLUCIÓN apartado (a) DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de raciones de fabada tradicional" y ≡ "Número de raciones de fabada light" CONJUNTO DE RESTRICCIONES

100x + 110y ≤ 11 000 → fabes 100x + 50y ≤ 6200 → compango y≥4 x≥0 y ≥ 0∗ (∗) Restricción ya incluida en el contexto del problema

10x + 11y ≤ 1100 2x + y ≤ 124 y≥4 x≥0 y ≥ 0∗ ∗ LA REGIÓN FACTIBLE

Realizamos unas sencillas tablas de valores... 10x + 11y = 1100 2x + y = 124 x y x y 0 100 0 124 110 0 62 0 En la PAU tendremos que ir realizando la actividad con lápiz y papel, en un solo dibujo, aunque en el aula podremos utilizar herramientas auxiliares como lo puede ser una calculadora gráfica, en nuestro caso, la CG – 20 de CASIO. Para una mejor comprensión por parte del alumnado, vamos a mostrar, de forma pautada, las imágenes de cómo se va obteniendo la región factible en cada momento. (a) Cada una de las funciones serán representadas en trazo grueso. (b) Dibujaremos su correspondiente semiplano determinado por la inecuación, fácilmente visible en forma de sombreado. (c) En cada momento, a la derecha, figura el nombre de la inecuación y la comprobación para, tomado un punto al azar de uno de los semiplanos, comprobar si verifica dicha inecuación. (d) En los sucesivos “fotogramas” irán apareciendo las nuevas inecuaciones, los semiplanos y la intersección de todos los que hasta ese momento han sido estudiados.


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Veamos, a continuación, todo el proceso descrito: 10x + 11y ≤ 1100 Punto (0, 0) 0 ≤ 1100 SÍ se verifica (0, 0) ∈ región factible

2x + y ≤ 124 (0, 0) 0 ≤ 124 SÍ se verifica (0, 0) ∈ región factible

y≥4 (0, 0) 0≥4 No se verifica (0, 0) ∉ región factible x≥0 Todos los valores del primero y cuarto cuadrantes y≥0 Todos los valores del primero y segundo cuadrantes Finalmente podremos observar la solución del sistema de inecuaciones en forma de zona sombreada, los vértices y los nombres de las rectas.

Las distintas combinaciones de fabada tradicional y fabada ligth vienen representadas por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible (sombreada), donde "x" es número de raciones de fabada tradicional e "y" es el número de raciones de fabada ligth, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales (siempre y cuando no se puedan pedir raciones fraccionarias).


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RESOLUCIÓN apartado (b1)

¿Cuántas raciones de cada tipo debería preparar para maximizar el número total de raciones de fabada que puede poner a la venta? LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES

Teorema fundamental de la programación lineal: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados. Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que constituye la región factible: CÁLCULO DE VÉRTICES

Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: A(0, 4) Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: B(0, 100) C(x, y) Resolvemos el sistema 2 x + y = 124  (−5)  (1) 10 x + 11y = 1100

− 10 x − 5y = −620  → 6y = 580 → y = 80 10 x + 11y = 1100  2x + 80 = 124 2x = 124 – 80 → x = 22

x = 22 → y = 80 → C(22, 80) D(x, 4) Resolvemos el sistema 2x + y = 124  → y=4 

2x + 4 = 124 →

2x = 120

x = 60 → y = 4 → D(60, 4) LA FUNCIÓN OBJETIVO

N(x, y) = x + y ANÁLISIS DE ÓPTIMOS

Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices A(0, 4) B(0, 100) C(22, 80) D(60, 4)

N(x, y) = x + y 0+4= 0 + 100 = 22 + 80 = 60 + 4 =

Valor 4 100 102 64

Para maximizar el número total de raciones habrá que preparar 22 de fabada tradicional y 80 de fabada light, momento en el que se prepararán 102 raciones. RESOLUCIÓN apartado (b2)

¿Cuántas tendría que preparar para maximizar el número de raciones de fabada tradicional que puede poner a la venta?

Para contestar a la pregunta, habrá que observar cuál es el mayor valor que toma "x" dentro de la región factible. Vemos que se encuentra en el punto D(60, 4) Para maximizar el número de raciones de fabada tradicional habrá que poner a la venta 60 raciones de este tipo de fabada y 4 de light. Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial: (a) Plantear las inecuaciones: 0.75 puntos. Representar la región factible: 0.75 puntos. (b) Cada cuestión: 0.50 puntos.


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