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Biografías Matemáticos Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î

Apolonio de Perga Arquímedes Bernoulli Cardano Cauchy Descartes Diofanto Fermat Fibonacci Galton Hamilton Hiparco de Nicea Lagrange Laplace & Bayes Leibniz Moivre Pappus de Alejandría Ptolomeo


BIOGRAFÍA

APOLONIO DE PERGA En el panorama de la matemática griega destacan tres nombres: Euclides, Arquímedes y Apolonio. A este último, que es quizá el menos conocido de ellos, se le lla-maba el gran geómetra. Apolonio había nacido en Perga, ciudad de la antigua Grecia Jonia situada en la que hoy es costa turca del Mediterráneo. Teniendo en cuenta la imprecisión en la que se manejan los datos cuando no existen documentos fiables, suele darse como año de nacimiento el 262 a.C., y el 190 a.C. como el de su muerte, por ello, al ser unos años más joven que Arquímedes, pudo beneficiarse de alguno de los logros científicos del genio de Siracusa, con quien parece que mantuvo algún intercambio epistolar. Desde Perga, Apolonio se trasladó a Alejandría, en cuyo Museo estudió y trabajó con los sucesores de Euclides durante bastantes años; el Museo, es decir, el templo de las musas, no era exactamente lo que ahora significa esta palabra, sino más bien un centro de investigación científica parecido a una universidad. También residió Apolonio en Éfeso, pero donde ultimó su obra más im-portante, el Tratado de las Cónicas, y donde permaneció viviendo hasta su muerte, fue en Pérgamo, ciudad situada en el Asia Menor en la que existía una biblioteca y museo creadas a imagen y semejanza de las de Alejandría, y cuyo nombre es, por cierto, el origen de la palabra pergamino. En su obra sobre las cónicas, que constaba de ocho libros de los que siete han llegado hasta nosotros, Apolonio sistematiza y generaliza los conocimientos anterio-res sobre las secciones cónicas, al tiempo que introduce una visión de la forma en que se generan todavía hoy vigente: haciendo girar una recta en torno a una circunferencia y manteniendo fijo uno de sus puntos, dicha recta genera por rotación un doble cono, probando después cómo, según la inclinación del plano que secciona a esta figura, aparecen la elipse, la parábola, la hipérbola o el círculo. Como suele ocurrir, lo que hoy nos resulta evidente, es decir, algo que no requiere de-mostración, hace 22 siglos suponía el trabajoso hallazgo de una mente prodigiosa. Apolonio escribe otras obras: Sobre los lugares planos, Sobre las inclinaciones o Sobre las secciones de razón; también es un importante astrónomo, dedicando gran parte de sus estudios a los movimientos lunares. Así mismo, en un libro sobre la cuadratura del círculo, dice haber mejorado la aproximación de Arquímedes del número π .

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas


Al igual que ocurre con otras obras de la antigüedad clásica, los tratados de Apolonio siguen un azaroso camino hasta llegar a nuestros días. En primer lugar, el comentarista Pappus, del SIGLO IV d.C., se hace eco de sus libros que posteriormente son traducidos al árabe por matemáticos como Tabit ibn Qurra en el SIGLO IX; en el XVI aparecen las primeras traducciones al latín y en el XVII el maestro de Newton, Isaac Barrow, publica parte de la obra de Apolonio en Londres. En esta tarea de divulgar su obra destaca la figura del astrónomo y físico inglés E. Halley (1656-1742) que aprende árabe en Oxford con el propósito de traducir, directamente de este idioma, los siete libros de las cónicas que habían perdurado1 . La influencia de la obra de Apolonio es perceptible en gran parte de la matemática posterior. Con ella aprenden geometría Descartes y Fermat entre otros muchos, además de estar presente en las leyes de la dinámica planetaria de Kepler o en las de la gravitación universal de Newton.

(1) En español pueden verse amplios extractos, no solo de Apolonio sino también de los más importantes pensadores griegos, en la obra en dos tomos Científicos griegos del extremeño Francisco Vera, matemático e historiador de la ciencia que tras la guerra civil se exilió a Buenos Aires donde publicó también una Breve historia de la matemática.

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas


BIOGRAFÍA

ARQUÍMEDES Se suele considerar a Arquímedes el matemático más importante de la antigüedad. Nació y vivió la mayor parte de su vida en Siracusa, ciudad siciliana que en aquella época era una colonia griega. Se educó en Alejandría, situada en el norte de Egipto y que, durante siglos, fue el centro del pensamiento griego. Una de las principales fuentes sobre la vida de Arquímedes es el historiador Plutarco, ya que en sus Vidas paralelas, al escribir sobre el cónsul Marco Claudio Marcelo que comandaba las legiones romanas que mantuvieron sitiada durante años la ciudad de Siracusa, hace referencia al gran hombre que, con su invención de aparatos guerreros tales como catapultas mortíferas o el sistema de espejos que conseguía incendiar las naves, mantuvo a raya a una fuerza muy superior en número. Cuenta también la anécdota de su muerte cuando un soldado romano entra en su casa para detenerle y él, absorto en las figuras geométricas que dibujaba en la arena del suelo, le grita: “¡No toques mis diagramas!”, ante lo cual el soldado le atraviesa con la espada. Sabemos también que Arquímedes (287-212 a.C.) era hijo de un astrónomo llamado Fidias y formaba parte de la nobleza de la ciudad; nunca tuvo cargo alguno y pudo dedicarse plenamente a sus trabajos científicos y a sus inventos; estos últimos, según Plutarco, eran únicamente la diversión del geómetra*. Sin embargo, Arquímedes escribió varios tratados prácticos como Sobre la flotación de los cuerpos, Sobre el equilibrio de los planos, Sobre palancas y Sobre centros de gravedad. En cuanto a los números se refiere, Arquímedes en su Medida del círculo, realiza un cálculo bastante preciso de la razón de la circunferencia al diámetro, estableciendo aproximaciones por defecto y por exceso: 10 1 3+ <π<3+ 71 7 (*) “(Arquímedes) estaba en posesión de un espíritu tan alto, un alma tan profunda y una riqueza tal de conocimientos científicos que, a pesar de que estos inventos le habían proporcionado la celebridad de tener más que sabiduría humana, no dejaría tras él ningún trabajo escrito sobre tales cuestiones, sino que, considerando como innobles y viles los trabajos mecánicos y de todo tipo de arte que se puede usar y aprovechar directamente, centró su mayor ambición en aquellas especulaciones cuya belleza y sutileza no añaden nada a las necesidades habituales de la vida”. Unidad 1. Números reales


Igualmente conoce el valor aproximado de otros números irracionales. Además, ante la reticencia que despertaban las magnitudes muy pequeñas o muy grandes, muestra series geométricas decrecientes como 1, 1 , 1 , 1 , ... En el 4 16 64 Cálculo de los granos de arena, amplía el sistema de numeración griego con objeto de poder escribir números del tipo 1016, 1032 hasta 10800 000 000. En esta obra, también conocida como el Arenario, trata de demostrarle a su príncipe Gelón que puede escribir un número mayor que el que supondrían los granos de arena de toda la Tierra. Sus cálculos comienzan cifrando en una miríada –10 000– el número de granos que cabría en una semilla de amapola, después considera a esta como una esfera cuyo diámetro sería 10 de la anchura de un dedo, y así sucesivamente llega a la 71 conclusión de que el número total de granos de arena no superaría la cantidad de 1063.

Unidad 1. Números reales


BIOGRAFÍA

BERNOULLI Los Bernoulli constituyen una excepcional familia de científicos cuyos logros están presentes a lo largo de tres siglos, del XVII al XIX, ya que, al menos ocho de sus miembros, alcanzaron gran relevancia dentro de las matemáticas y la física. Su origen reside en Amberes, pero, a causa de las violentas persecuciones a que fueron sometidos los protestantes en los Países Bajos, emigraron para instalarse definitivamente en Suiza. De todos ellos, cabe mencionar aquí especialmente a dos, Jacques y su sobrino Daniel, ya que fueron los que tuvieron un mayor contacto con los temas de combinatoria, estadística y probabilidad. Jacques Bernoulli (1654-1705) nació en Basilea y es, junto con su hermano Jean, lo más relevante de la saga en cuanto a matemáticas se refiere. Su padre quiso dedicarle a la teología, pero finalmente prevaleció su interés por la física, las matemáticas y la astronomía. Se relacionó con Leibniz y se interesó por el cálculo; tuvo también un gran interés por el estudio de las curvas y en la descripción de una de ellas, la que hoy se conoce como “lemniscata de Bernoulli”, utilizó por primera vez en un texto una ecuación en coordenadas polares (r2 = a · cos 2θ). También escribió un Método para enseñar matemáticas a los ciegos. Hasta trece años después de su muerte no se publicó una obra dedicada al cálculo de probabilidades, Ars conjectandi (Arte de la conjetura). Dividida en cuatro partes, la primera reproduce los trabajos en este campo del astrónomo y físico holandés Cristian Huygens y en las restantes trata sobre el análisis combinatorio, juegos de azar, series, etc. Pero, además, en la cuarta parte incluye el célebre teorema sobre la repetición de un gran número de ensayos semejantes, conocido como ley de los grandes números*, que posteriormente sería expuesto de forma más rigurosa por Laplace.

( * ) Si p es la probabilidad de un cierto suceso y m es la frecuencia absoluta del mismo en n pruebas; si ε > 0 m es un número suficientemente pequeño y P es la probabilidad de que se verifique la desigualdad – p < ε, n entonces lím P = 1.

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n→∞

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

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Daniel Bernoulli (1700-1782) es más conocido como físico debido a sus trabajos en hidrodinámica, pero sus estudios de las funciones trigonométricas y de las ecuaciones diferenciales hacen también importante su contribución a las matemáticas. En cuanto al tema de la probabilidad, encaminó sus investigaciones hacia aspectos prácticos como los negocios o la medicina. Su formación se llevó a cabo en el seno familiar, con su padre Jean y su hermano Nicolaus, ambos, por cierto, serían también decisivos en la educación matemática de Leonhard Euler. A los veinticinco años, Daniel se trasladó a San Petersburgo, junto con su hermano, para ejercer ambos como profesores en la Academia de Ciencias. De esa época procede el problema sobre la esperanza matemática de dos jugadores en el lanzamiento de una moneda, conocido con el nombre de “paradoja de San Petersburgo”. En este campo también escribió varias memorias sobre la aplicación de las probabilidades en temas tan variados como las inclinaciones de las órbitas planetarias o las ventajas de la vacunación contra la viruela.

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad


BIOGRAFÍA

CARDANO Durante el Renacimiento, y especialmente durante la primera mitad del siglo XVI, se produce en Italia un impulso del Álgebra en el que participan un grupo heterogéneo de científicos. El primero de ellos, Luca Pacioli, un fraile amigo de Leonardo da Vinci, es el autor de la Summa, compendio de los conocimientos aritméticos de la época. Le siguen Scipione del Ferro, a quien se atribuye ser el primero que resuelve la ecuación x3 + px = q, Jerónimo Cardano, quizás el más conocido, Niccolo Fontana –también llamado Tartaglia–, Ludovico Ferrari o Rafael Bombelli. Algunos, curiosos personajes cercanosa la picaresca, participaron en la resolución de las ecuaciones de tercer grado y se disputaron, a veces con la espada, la paternidad de los éxitos algebraicos. Jerónimo Cardano (1501-1576) nació en Pavía, estudió en Padua y fue profesor en Milán y Bolonia. Además de matemático, ejercía también otros oficios: se hizo célebre en toda Europa como médico y permaneció un año en Escocia con el encargo de curarle el asma a un arzobispo. Practicaba también la astrología, a pesar de que algunas de sus predicciones fueron calificadas de heréticas y, en consecuencia, fue expulsado de la universidad. Dado que era un jugador empedernido y la baraja le sirviera a veces como medio de subsistencia, escribió un pequeño tratado sobre juegos de azar, por lo que algunos le consideran un precursor del cálculo de probabilidades. En la Ars Magna, obra publicada en 1545, que constituye un hito para todos los algebristas de la época, se atribuye a sí mismo, junto con una serie de hallazgos propios, una solución del problema de la ecuación cúbica que, en realidad, le había sonsacado a Tartaglia con la firme promesa “ante los Santos Evangelios” de no revelarla jamás. Este hecho da lugar a una serie de libelos con acusaciones mutuas e incluso a un duelo entre Ferrari, discípulo de Cardano, y Tartaglia. Por otra parte, Cardano fue un autor prolífico que no eludió escribir también sobre su turbulenta vida: “He escrito más de lo que he leído, he enseñado a los otros más de lo que me han enseñado” . Entre las varias leyendas que le rodean, una de ellas se refiere a la peculiar forma que tuvo de hacer entrar en razón a uno de sus indisciplinados hijos: le cortó las orejas. Curiosamente, a pesar de haber sido considerado un hereje, al final de su vida el Papa le concedió una pensión y se trasladó a vivir a Roma, donde falleció. Unidad 3. Álgebra


Aun considerando ciertas las acusaciones de plagio que se le han hecho a Cardano, bien podría decirse que su genio mejoraba los originales. Fue el primero en concluir que toda ecuación de tercer grado tiene tres raíces y, si bien le desconcertaba la aparición de números negativos o imaginarios, a los que él llamaba números ficticios, no por ello dejaba de utilizarlos*, lo cual supuso un impulso para el estudio de dichos números. Las siguientes generaciones de matemáticos no pudieron ya pasarlos por alto y fueron avanzando hacia su “normalización”.

(*) Por ejemplo, descompone 40 como el producto de los factores complejos conjugados 5 ± do un simbolismo en el que la R es la raíz cuadrada, p es más y m es menos: 5p:Rm:15 Asimismo, para expresar bajo el signo radical.

Unidad 3. Álgebra



√√ 7 + √ 14

5m:Rm:15

25m:m:15

√–15

, utilizan-

qd. est 40

escribe R.V.7.p:R14, donde la V indica que todo lo que sigue está


BIOGRAFÍA

AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY Cauchy (1789-1857) nació en París en el seno de una familia acomodada. Su padre, importante personaje del Senado, quiso que tuviera una buena formación humanística, por lo que cursó estudios de composición literaria, griego y latín. Después, a partir de los quince años, y por recomendación de dos de los grandes matemáticos de la época, Laplace y Lagrange, se matriculó en la Escuela Politécnica y se diplomó como ingeniero de caminos. Cauchy era un hombre profundamente religioso: consideraba que la labor principal de un científico era la búsqueda de lo absoluto, de la verdad. Además, en política, era un monárquico conservador que hacía gala de una firme adhesión a los Borbones. Todo ello le supuso algunos quebrantos y, durante años, vivió un exilio voluntario, primero en Suiza y después en Turín y Praga. Más tarde, ya de vuelta en París, recibió los honores de Napoleón III y, nombrado profesor de Astronomía en la Sorbona, permaneció dedicado a la docencia hasta su muerte. En 1823, Cauchy publicó sus Lecciones sobre el cálculo infinitesimal, donde unas apropiadas definiciones de función, continuidad y, sobre todo, de límite1 le permiten asentar el análisis sobre unas bases más aritméticas que geométricas y más firmes que las de sus antecesores. Un infinitésimo, lo que hasta entonces se consideraba un número constante infinitamente pequeño, pasa a verse como una variable2 . En cuanto a su conocida definición de continuidad en un punto, permanece hoy, con pequeñas variaciones, tal y como él la concibió. Por otra parte, la integración, en lugar de tratarla como la operación inversa de la diferenciación, la plantea como límite de una cierta suma, lo que supone un giro respecto al trabajo en este campo durante el siglo XVII, a la par que una vuelta a posiciones anteriores al mismo. Por último, es fundamental la aportación de Cauchy a la teoría de funciones de variable compleja, donde culmina el trabajo de sus predecesores en este campo, Euler. (1) “Cuando los valores sucesivamente atribuidos a una misma variable, se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que llegan a diferir tan poco como se quiera de él, este último se llama el límite de todos los demás”. (2) “Cuando los valores numéricos sucesivos de una misma variable decrecen indefinidamente de manera que disminuyen por debajo de todo número dado, esta variable resulta ser lo que se llama infinitamente pequeña o una cantidad infinitamente pequeña. Una variable de esta especie tiene cero como límite”. Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones


Además de los temas citados, los trabajos de Cauchy abarcan también los determinantes, los números complejos, la teoría de números y otras cuestiones. Su inmensa obra, editada en Francia, ocupa veintisiete volúmenes, sin contar los libros dedicados a la enseñanza y los múltiples artículos. Probablemente, solo Euler le supera en este aspecto. A diferencia de otros matemáticos que no tenían demasiada preocupación por los aspectos pedagógicos de su obra, y tampoco publicaban todo lo que escondían sus cajones, Cauchy era un asiduo de las revistas científicas de la época y en sus exposiciones estaba siempre presente un afán didáctico. También impartió conferencias en algunas ciudades europeas, entre ellas, alguna española. A menudo se le compara con Gauss, al ser los dos grandes matemáticos de la primera mitad del siglo XIX, si bien podría decirse, usando el lenguaje actual, que aún sin tener la primacía, Cauchy supo vender mejor su producto que Gauss.

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones


BIOGRAFÍA

DESCARTES René Descartes (1596-1650) es, al igual que Leibnitz, tan conocido por sus trabajos en Filosofía como en Matemáticas. En 1637 publica el Discurso del método para dirigir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias, como introducción a tres tratados científicos, uno de los cuales, la Geometría, es la única obra que dedica a las matemáticas. En ella introduce como unidad un segmento arbitrario a imagen de lo que en Aritmética supone el número uno, asignando a cada punto del plano dos números que expresan su distancia a dos líneas rectas no necesariamente perpendiculares entre sí. En realidad, en su Geometría*, no aparecen explícitamente los términos coordenadas o ejes, pero sí las ideas que les dan origen (Descartes emplea únicamente una recta horizontal como eje X y, además, no utiliza las abscisas negativas). Por otra parte, indica los datos a través de letras, siguiendo métodos algebraicos, y expresa las relaciones entre las letras, es decir ecuaciones. Un siglo después Voltaire se referirá a Descartes como el inventor del método que permite asignar ecuaciones algebraicas a las curvas. Según Rey Pastor, Descartes aspira a una ciencia única en la que las matemáticas constituirían únicamente la envoltura, y manifiesta a veces un cierto cansancio de los aspectos formales. Para él la Geometría está siempre tan ligada a consideraciones sobre las figuras que no pueden ejercer el intelecto sin cansar mucho la imaginación, y en el álgebra se está tan sujeto a ciertas reglas y ciertas letras que en lugar de una ciencia que eduque a la mente se convierte en un arte oscuro y confuso que la turba. A pesar de este aparente menosprecio, las aficiones geométricas de Descartes son tempranas; así, en su juventud, descubre la fórmula c + v = a + 2, que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo. También resuelve algunos problemas planteados doce siglos antes por Pappus, el matemático de Alejandría. Ya en su madurez, polemiza con su contemporáneo Fermat sobre la forma de determinar la tangente a una curva.

(*) Descartes ironiza al final de su tratado con la siguiente frase: “Mi objeto no es escribir un libro abultado; trata más bien de muchas cosas en pocas palabras (...). Espero que la posteridad me juzgue con benevolencia, no solo por las cosas que he explicado, sino también por aquellas que he omitido intencionadamente, para dejar a los demás el placer de descubrirlas”. Unidad 8. Geometría analítica


Descartes se educó con los jesuitas, quienes le inculcaron la curiosa costumbre de quedarse estudiando en la cama buena parte de la mañana, costumbre que al parecer mantuvo durante mucho tiempo. Bertrand Rusell, hablando de su capacidad para permanecer horas y horas absorto en sus disquisiciones filosóficas, escribe: “Sócrates podía meditar días enteros entre la nieve, pero la mente de Descartes solo trabajaba cuando él estaba caliente”. Abandona definitivamente Francia en 1628 para instalarse en Holanda bajo la protección del príncipe de Orange, época considerada como la más fructífera, ya que se dedicó por entero a la ciencia y a la filosofía. Veinte años después viajó a Suecia invitado por la reina Cristina, que tenía verdadera obsesión por acumular nuevos conocimientos, y obligaba diariamente a Descartes a darle clases de madrugada. Ello, unido al clima frío de Estocolmo, hizo que contrajera una neumonía y falleciera a los cuatro meses de su llegada.

Unidad 8. Geometría analítica


BIOGRAFÍA

DIOFANTO Diofanto es el primer matemático griego que plantea los problemas aritméticos en un campo totalmente abstracto, rompiendo de esa forma la costumbre bastante arraigada de escribir los enunciados aludiendo a historias mitológicas o cálculos de agrimensor. Sus ecuaciones no tratan de resolver cuestiones geométricas, sino que constituyen un fin en sí mismas. Las matemáticas comienzan a interesarse por las operaciones que pueden realizarse con cualquier número, y esta idea de cualquier número desconocido o incógnita permite dar el salto desde la Aritmética al Álgebra. En este contexto, Diofanto introduce símbolos para designar incógnitas y operaciones, y utiliza algunas abreviaturas. Todo ello supone el comienzo de una nueva etapa del Álgebra que suele denominarse Sincopada o Intermedia. La anterior expresaba todas las cuestiones con palabras del lenguaje ordinario: Álgebra retórica. Y, ya a partir del siglo XVI, se introduce un simbolismo completo y un lenguaje formal con un grado mayor de abstracción: Álgebra simbólica. Sobre la vida de Diofanto se conoce muy poco: vivió en Alejandría y cronológicamente se le sitúa en la segunda mitad del siglo II d.C. Gracias al conocido epitafio1 incluido en una Antología griega del siglo V, se sabe que murió a los 84 años. En dicha antología y bajo la forma de epigramas, se recogen problemas muy variados, la mayoría de ellos resolubles mediante una ecuación de primer grado.

(1) “Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto. Es verdaderamente maravillosa porque, gracias a un artificio aritmético, descubre toda su existencia. Dios le permitió ser niño durante la sexta parte de su vida; luego de una doceava sus mejillas se cubrieron de barba; después de una séptima se encendió la llama del matrimonio, del que, a los cinco años, tuvo un hijo; pero este niño, desgraciado aunque amado apasionadamente, murió apenas llegado a la mitad de la vida alcanzada por su padre, el cual vivió cuatro años más mitigando su dolor con investigaciones sobre la ciencia de los números”. Unidad 3. Álgebra


La principal obra de Diofanto es la Aritmética2 , que inicialmente constaba de 13 tomos, y de los que solo se conocen los 6 primeros; en el siglo XV fueron recuperados por Johann Müller, también llamado Regiomontano. En esta obra no aparecen teore-mas propiamente dichos, sino que incluye 189 problemas con sus soluciones; la mayoría de ellos son ecuaciones de primer y segundo grado, desechando aquellas que presentan soluciones negativas o imaginarias. En sus planteamientos aparecen también potencias de exponente mayor que tres, lo que resulta una novedad, ya que la matemática griega, al tener siempre como referente del problema su significado geométrico, no podía concebir productos de más de tres factores. Sin embargo, en un sentido netamente aritmético, dicha restricción desaparece. Diofanto resuelve correctamente en su Aritmética problemas con ecuaciones indeterminadas, de ahí que se suela llamar análisis diofántico a esta rama. Su obra ejerció gran influencia en el matemático francés Fermat, y su famoso teorema surge al intentar generalizar una proposición que leyó en el tomo II de la Aritmética: “dividir un cuadrado dado en dos cuadrados”.

(2) Diofanto escribe en el preámbulo de su Aritmética: “Como sé, muy honorable Dionisio, que quieres aprender a resolver problemas numéricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los números, empezando por las bases que sustentan estas cuestiones. Es posible que parezcan más difíciles de lo que son por ser desconocidas aún y que los principiantes duden de conseguir alcanzarlas, pero las comprenderás fácilmente gracias a tu actividad y a mis demostraciones, pues que el deseo unido a la enseñanza conduce rápidamente al conocimiento”.

Unidad 3. Álgebra


BIOGRAFÍA

PIERRE DE FERMAT A menudo resulta más conocido el problema de Fermat* que la propia figura del matemático francés, lo que no deja de ser un signo de cómo en ocasiones una obra eclipsa al propio autor y oculta en parte el resto de sus hallazgos. Pierre de Fermat (1601-1665) nació cerca de Toulouse y vivió toda su vida en el sur de Francia, lejos, por tanto, de los grandes centros europeos del saber. En realidad, su verdadera profesión era la de jurista y la amplia participación que tuvo en las matemáticas de su tiempo se produjo a través de las cartas que se cruzaba con otros estudiosos. De hecho, prácticamente ninguno de sus trabajos fue conocido hasta mucho después de su muerte. No era una persona vanidosa, y las matemáticas eran para él un entretenimiento, de manera que sus resultados más bellos a menudo aparecen en los márgenes o como apéndices de tratados escritos por otros. Sus trabajos inciden en temas tan variados como la teoría de números, el cálculo de probabilidades y la geometría analítica. En cuanto a las funciones y al cálculo diferencial e integral que nos ocupan en estos capítulos, Fermat desarrolló una regla para la determinación de los puntos extremos de las funciones algebraicas. Traducido al lenguaje de hoy se formularía así: Si f(a) es un valor máximo o mínimo de la función f(x), entonces f'(a) = 0. Por otra parte, paralelamente a su compatriota y contemporáneo Descartes, estudió la determinación de la tangente a una curva sentando el principio de que es posible “sustituir las coordenadas de las curvas por las de las tangentes”, y “los arcos de las curvas, por las longitudes correspondientes de las tangentes halladas”.

(*) Para n > 2 no existen x, y, z, números enteros positivos que verifiquen la igualdad: xn + yn = zn. Lo que dicho con las palabras del propio Fermat: “ ... es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuarta potencia suma de dos cuartas potencias o, en general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener”. En realidad, desconocemos si Fermat llegó a demostrar su teorema. Recientemente, un matemático inglés, Andrew Wiles, publicó en 1995 una demostración rigurosa que ha recibido las bendiciones de la comunidad científica. Unidad 10. Las funciones elementales


Si en los temas de cálculo diferencial e integral los trabajos de Fermat son una parte del edificio que culminaría con Newton y Leibniz, él mismo era un continuador de los matemáticos de épocas anteriores. En este sentido es perceptible una gran influencia de los matemáticos de la escuela de Alejandría, Diofanto y Pappus, que pro-tagonizaron lo que se ha dado en llamar la Edad de Plata de la matemática griega durante los años que van del 250 al 350 d.C. Son célebres las observaciones que, so-bre la obra de Diofanto, iba escribiendo en los márgenes de un tomo que contenía una traducción de los problemas del griego. En definitiva, la contribución de Fermat está presente en muy distintos campos de las matemáticas, si bien, en opinión de algún historiador, estaba absorbido por sus preocupaciones y era prisionero de su genio, lo que le hacía correr de descubrimiento en descubrimiento y, a pesar de ser partidario de una demostración rigurosa, a menudo ni siquiera tenía tiempo de exponerla, por lo que daba generalmente el resultado sin más desarrollo. Quizá sea esa la explicación de que su famoso problema no haya tenido demostración durante 350 años.

Unidad 10. Las funciones elementales


BIOGRAFÍA

LEONARDO DE PISA (FIBONACCI) En el siglo XIII se produjo un despertar cultural y científico de gran relevancia. En matemáticas, buena parte de este avance se debió a la obra de un matemático y mercader italiano llamado Leonardo de Pisa (117-1250), más conocido como Fibonacci (“hijo de Bonaccio”). Su padre, Guglielmo Bonaccio, era agente de comercio en un puerto del norte de África y Leonardo, aunque nacido en Pisa, fue educado inicialmente por maestros árabes que le pusieron al corriente de los muchos conocimientos matemáticos que poseían, heredados de los griegos a través de los matemáticos indios. Durante su juventud residió en Argelia y recorrió zonas de influencia árabe. Así, se puso en contacto con estas culturas y conoció las ventajas de sus métodos de numeración. Esto le llevó a publicar, en 1202, su obra más conocida, el Liber Abaci (Libro del Ábaco), que poco tiene que ver, en realidad, con el ábaco y que constituye, fundamentalmente, una colección de problemas aritméticos y algebraicos, junto con una apasionada defensa de la superioridad de los métodos de numeración de los árabes (notación posicional con las nueve cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 más el 0, el céfiro de los árabes, de donde provienes nuestas palabras cero y también cifra). En 1228 publicó una segunda edición, ampliada y reelaborada, del Liber Abaci, aunque en su época no fue muy apreciada (la mayor parte era muy avanzada para ser entendida por sus contemporáneos). La obra no apareción hasta el siglo XIX. El problema más famosos que aparece en el Liber Abaci es el siguiente: En una granja hay, al principio del año, una pareja de conejos que acaban de nacer. Al cabo de dos meses, esta pareja está preparada para reproducirse. Produce cada mes una pareja de conejos que, al cabo de dos meses, está a su vez preparada para empezar a reproducirse, dando otra pareja cada mes. ¿Cuál es el número de parejas de conejos en la granja el día quince de cada mes del año? Este problema da lugar a la llamada “sucesión de Fibonacci”: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34..., donde cada término de la sucesión es suma de los anteriores; es decir, Unidad 2. Sucesiones


an = an – 1 + an – 2, para n ≥ 3. La sucesión de de Fibonacci tiene propiedades matemáticas muy curiosas e interesantes (por ejemplo, dos términos consecutivos cualesquiera son primos entre sí; y, si consideramos los cocientes an – 1 / an para valores cada vez más grandes de n, obtenemos números cada vez más pró√5 + 1 ximos al número de oro, φ = . Por otra parte, aparece de modo natural en 2 las situaciones más diversas (crecimiento de seres vivos...). Aunque Fibonacci fue principalmente un algebrista, utilizaba el álgebra también para resolver problemas geométricos y escribió obras como Practica geometriáe, en la que incluía, entre otras cosas, una demostración de que las medianas de un triángulo se cortan unas a otras en segmentos que están en la razón 2 : 1. Leonardo de Pisa, Fibonacci, fue sin duda el mejor y más original matemático del siglo XIII.

Unidad 2. Sucesiones


BIOGRAFÍA

FRANCIS GALTON Sir Francis Galton (1822-1911) fue el creador de la escuela biométrica inglesa, cuyo programa consistía en la introducción de métodos estadísticos para el estudio de la biología, labor en la que también participó un brillante matemático, Karl Pearson, que popularizó el término “chi-cuadrado” y que es, además, el autor de una extensa biografía de Galton. Este último desarrolló el concepto de regresión, en el contexto de sus investigaciones sobre la herencia, al plantearse de qué manera determinados rasgos de los padres pueden influir en la reproducción, por parte de los hijos, de los mismos rasgos, y al buscar las relaciones entre los distintas variables que intervienen, intentando expresarlas mediante un coeficiente numérico*. Se considera a Galton un pionero del siglo XIX dentro de la, entonces relativamente reciente, teoría estadística, y muchas de sus intuiciones en este campo fueron desarrolladas posteriormente y con un mayor rigor por Pearson y otros. Tenía un amplio abanico de intereses que le llevó, con veintitrés años, a visitar países como Egipto, Sudán y Siria, o a emprender exploraciones en territorios ignotos de África del Sur, llevando a cabo investigaciones geográficas y astronómicas. El profesor James R. Newman escribe que Galton “no era un matemático, pero poseía una actitud matemática. Solía estar obsesionado por la idea de contar y medir. En su laboratorio medía cabezas, narices, brazos, piernas, color de ojos y pelo, capacidad respiratoria (...). Hizo un mapa de la belleza de las islas Británicas, clasificando a las chicas que veía pasar en las diferentes localidades como atractivas, indiferentes o repelentes, anotando sus observaciones usando un método que consistía en ir haciendo estratégicos agujeros en un trozo de papel que llevaba escondido en el bolsillo”. Galton, autor de libros como Genio hereditario, Investigaciones en torno a las facultades humanas o Herencia natural, había nacido en Birmingham –el mismo año que el botánico austriaco Mendel–, su padre era banquero y en su familia había también otro sabio eminente, Charles Darwin. El autor de El Origen de las especies era primo suyo, y esta obra, publicada en 1859, ejerció una gran influencia en Galton, quien cree, sobre todo, en el progreso evolutivo de la especie humana aplicando para su perfeccionamiento las leyes biológicas de la herencia o, dicho con sus palabras, “el fin del esfuerzo humano no es el cielo, sino el superhombre”. Unidad 13. Distribuciones bidimensionales


BIOGRAFÍA

HAMILTON El estudio de los números imaginarios, como empezaron a denominarse, seguía inspirando a lo largo de los siglos XVII y XVIII una gran desconfianza: se les consideraba algo enigmático y causaban la misma reticencia que la que anteriormente habían producido los números negativos. Pero teniendo en cuenta que el gran motor que hace avanzar las matemáticas es la resolución de problemas, se iba llegando a la convicción de que si los números imaginarios permitían resolver las ecuaciones de segundo y tercer grado, permitirían resolver también ecuaciones de cualquier grado. En este camino que inicia Cardano y sigue entre otros De Moivre, son fundamentales las aportaciones de Euler y Gauss. Este último considera las partes real e imaginaria de un número complejo como las dos coordenadas de un punto en el plano al que se asociaría dicho número complejo y, a través de esta “visión”, se van eliminando todas las cautelas y generalizando su uso. Al irlandés Hamilton se le debe un paso importante dentro del campo complejo. Trabajando con vectores descubre lo útil que resulta establecer correspondencias entre las operaciones con complejos y las transformaciones geométricas. La dificultad que se le plantea es que en la Física se manejan magnitudes en el espacio –fuerzas, velocidades, etc.– y, por tanto, necesita encontrar algo semejante a los números complejos, pero en tres dimensiones. Hamilton introduce un tipo de números, los cuaterniones, de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c y d son números reales e i, j, k representan los vectores unitarios asociados a los ejes de coordenadas. Sumar-los no le ofrecía ninguna dificultad, pero para poder multiplicarlos tuvo que olvidar-se de las leyes tradicionales de la conmutatividad del producto al considerar ij = –ji, lo que suponía una revolución dentro del campo del álgebra*. Además de sus investigaciones con los complejos y de ser, en cierta forma, precursor del concepto de matriz que más tarde desarrollaría el matemático inglés Cayley, Hamilton es también un físico eminente y son conocidos sus trabajos en dinámica y óptica.

(*) Hamilton tardó 10 años en encontrar la solución a este problema; al principio trabajaba con ternas de la forma a + bi + cj, hasta que un día de 1843, tras mucho discurrir y mientras paseaba con su esposa por un puente de Dublín, se le ocurrió la feliz idea de transformarlos en cuádruplas y de cómo efectuar el producto. Estableció entonces las igualdades, i2 = j2 = k2 = ijk = 1, ij = k, ji = k, y así suce-sivamente. Unidad 6. Números complejos


William Rowan Hamilton nació en 1805 en Dublín. Se educó en el Trinity College, del que más tarde, a los 21 años, fue nombrado profesor de Astronomía, cargo que desempeñó hasta su muerte en 1865. Ya en su infancia se le consideraba un talento precoz que dominaba gran número de lenguas como el latín, el griego, el árabe, el sánscrito o el hebreo, y siempre mantuvo un gran interés por la filosofía y por la literatura, materias de las que solía conversar con sus amigos Wordsworth y Coleridge, dos de los grandes poetas románticos ingleses.

Unidad 6. Números complejos


BIOGRAFÍA

HIPARCO Hiparco de Nicea (180-125 a.C.), llamado así por haber nacido en esta antigua ciudad de Bitinia, región situada al NO del Asia Menor, llamada hoy Iznik. La mayor parte de sus escritos se perdieron, por lo que su vida y obra se reconstruyen a través de los documentos de comentaristas posteriores, sobre todo de Ptolomeo. En la historia de las matemáticas suele aparecer como el fundador de la Trigonometría griega. Por otra parte, sus trabajos en Astronomía son fundamentales, no solo por sus resultados, sino también por los instrumentos que introduce y por sus renovadas técnicas de observación. En este campo, Hiparco siguió la estela de los astrónomos que le precedieron: Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.), contemporáneo de Platón, autor de una hipótesis sobre esferas concéntricas que pretendía explicar los movimientos aparentes del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos hasta entonces; Aristarco de Samos (310-230 a.C.), que se adelantó 17 siglos a Copérnico al afirmar que la Tierra y los planetas giraban alrededor del Sol; el gran geómetra Apolonio de Perga1 (262-190 a.C.), que realiza un estudio definitivo de las cónicas; y, por último, Eratóstenes (276-194 a.C.), al que se deben los primeros cálculos rigurosos para determinar las dimensiones de la Tierra. Una de las obras de Hiparco es la construcción de una tabla de cuerdas, considerada un precedente de la tabla de los senos. En ella se calculan, para una serie de ángulos, los valores correspondientes de los arcos y sus cuerdas. Al mismo tiempo comienza a utilizar la división del círculo en 360º. También se le atribuye el método de localización de posiciones geográficas a través de latitudes y longitudes.

(1) Varios de los matemáticos griegos de la escuela de Alejandría eran conocidos también con el nombre de una letra, Apolonio es Épsilon y Eratóstenes es Beta. Sin embargo, en contra de lo que a menudo se piensa, este sobrenombre no obedece necesariamente a una clasificación deportiva. En la astronomía de Apolonio estaba muy presente la Luna y el símbolo que se utilizaba para designar a nuestro satélite era ε . Por otra parte, Eratóstenes era conocido como βητα lo que, al parecer, se debía a que era considerado el segundo en varias ramas del saber, quedando reservado el primer lugar a algún especialista de cada materia, aunque menos erudito. Unidad 4. Resolución de triángulos


Hiparco realizó observaciones astronómicas en la isla de Rodas y en Alejandría a lo largo de 35 años. Para ello perfeccionó un primitivo instrumento geodésico, llamado la dioptra, e inventó el astrolabio2 . La aparición de una estrella nova (134 a.C.) le lleva a revisar el mapa estelar, y redacta el primer catálogo de estrellas conocido que contiene un total de 1026 cuerpos celestes. También lleva a cabo mediciones sobre la irregularidad de los movimientos lunares, determina la inclinación de la eclíptica y descubre el fenómeno conocido como precesión de los equinoccios. Hiparco efec-túa cálculos muy precisos sobre la duración del año, llegando a distinguir entre dos magnitudes muy próximas entre sí: el año solar medio o trópico –tiempo compren-dido entre dos pasos del Sol por el mismo punto equinoccial– y el año sidéreo –tiempo comprendido entre dos pasos consecutivos del Sol ante la misma estrella–. Para apreciar la aproximación que alcanzó esta medición hay que tener en cuenta que la diferencia entre ambos se cifra hoy en día en 20'.

(2) El astrolabio es un instrumento que permite medir la posición de los cuerpos celestes. Consiste en un círculo dividido en grados, con un brazo móvil enclavado en el centro. Al dirigir el punto cero del círculo al horizonte y observar el brazo, puede medirse la altura o acimut de cualquier astro.

Unidad 4. Resolución de triángulos


BIOGRAFÍA

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE Lagrange (1736-1813) está considerado como uno de los grandes matemáticos del siglo XVIII, junto con su amigo y protector Leonhard Euler. Por otra parte, es uno de los miembros de la brillante generación de matemáticos franceses, como D’Alembert, Monge, Laplace o Legendre, que ejercieron su labor en la época convulsa de la Revolución. Sin embargo, Lagrange había nacido en Turín, donde cursó sus primeros estudios, y fue profesor en la Escuela de Artillería. En esa ciudad publicó sus primeros trabajos y fundó la Academia de Ciencias. En 1766, y por recomendación de Euler, ocupó el cargo que este había abandonado en la Academia de Berlín para trasladarse a San Petersburgo. La invitación formal para este puesto se la había formulado el rey de Prusia, Federico II, en estos términos: “El más grande rey de Europa debía tener en su corte al más grande matemático”. Allí estuvo hasta 1787, año en que acepta la invitación de Luis XVI para entrar en la Academia de Ciencias de París, ciudad en la que permaneció hasta su muerte. Estas tres etapas de su vida son también apreciables en su obra. En Turín inició una relación epistolar con Euler, a quien le expuso su versión del cálculo de variaciones, y trabajó con funciones de varias variables y ecuaciones con derivadas parciales. Después, en Berlín, se editaron sus Reflexiones sobre la resolución algebraica de las ecuaciones. Sus estudios en este campo* son la base de los trabajos posteriores de dos matemáticos pertenecientes a la generación siguiente a la de Lagrange, Abel y Galois –ambos, curiosamente, dos genios de vida breve, veintisiete y veintiún años, respectivamente–. También se interesa por la descomposición de los números, resolviendo un enunciado de Fermat: “Todo entero positivo es la suma de, como mucho, cuatro cuadrados perfectos”.

(*) Su resolución de ecuaciones utiliza las soluciones de ecuaciones auxiliares para obtener después las de la ecuación original. Por ejemplo, para resolver x3 + mx + n = 0, parte del cambio x = y – gar a y 6 + ny 3 –

m3 m3 = 0. Posteriormente, haciendo s = y3 , llega a s2 + ns – =0 27 27

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

( 3my ) para lle-


Por último, en París publicó diversos tratados o lecciones sobre funciones analíticas, en los que expuso los principios del cálculo infinitesimal. Alguno de ellos tuvo gran difusión como manual para estudiantes, incluso en Norteamérica. Pero quizá la obra más conocida de esta etapa es la Mecánica analítica que, como su nombre indica, supone el predominio del análisis, como manifiesta el propio autor en el prólogo: “No se encontrarán figuras en esta obra, solo operaciones algebraicas”. La obra de Lagrange se caracteriza por su variedad e importancia: sus tratados son notables por la claridad en la exposición y por su elegancia, cualidades que no siempre son frecuentes en el mundo científico. En cuanto a los símbolos, de él proviene la notación mediante ápices f '(x), f ''(x), f'''(x), así como el uso de la palabra derivada.

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Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas


BIOGRAFÍA

LAPLACE y BAYES El matemático francés PIERRE SIMON DE LAPLACE1 (1749–1827) contribuye en gran medida a sistematizar el cálculo de probabilidades. En 1812 publicó su Teoría analítica de las probabilidades en la cual resumía los trabajos que, sobre este tema, había efectuado hasta entonces. En este tratado desarrolla el cálculo que permite asignar un grado de credibilidad racional a los sucesos aleatorios o, dicho también con sus palabras, en el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido común expresado con números. Curiosamente, la segunda edición de su Teoría va acompañada de un amplio preámbulo, Ensayo filosófico sobre las probabilidades, que carece de fórmulas matemáticas escritas y donde Laplace concluye que el futuro del mundo está totalmente determinado por su pasado y que, por consiguiente, con un conocimiento exhaustivo –matemático– del presente, podría predecirse el futuro. Se considera a Laplace un matemático profundo, si bien algo difícil de leer, y a este respecto se cuenta la anécdota sobre las muchas horas que debían emplear sus discípulos para poder descifrar algunos pasos de sus desarrollos, carentes de toda argumentación y con un único comentario al margen: “es fácil de ver”. El matemático escocés Eric Temple Bell le atribuye un uso desmedido de los resultados ajenos2 y menciona en este sentido su deuda con Lagrange, a quien, a pesar de su larga amistad, nunca le manifestó en sus escritos su agradecimiento por las considerables aportaciones a sus textos. En cualquier caso, su contribución a la ciencia permanecerá no solo por su teoría de las probabilidades, sino también por su otra gran obra, la Mecánica Celeste, cinco volúmenes que culminan la teoría de Newton sobre la gravitación.

(1) Laplace había nacido en Normandía y, tras sus estudios, se estableció en París, donde consiguió el apoyo de D’Alembert, por aquel entonces el matemático más importante de Francia, al remitirle un brillante ensayo sobre los principios generales de la mecánica. También conoció a Lagrange, con quien colaboró estrechamente. El hecho fortuito de ser examinador del cuerpo de artillería en el momento en el que por allí pasaba un tal Napoleón Bonaparte le fue muy útil más adelante. (2) “Se caracterizó [Laplace] por robar desvergonzadamente, a diestro y siniestro, todo aquello en lo que podía posar sus manos, perteneciente a sus contemporáneos o predecesores y que él podía usar”. Unidad 14. Cálculo de probalidades


THOMAS BAYES, nacido en Londres en 1702, era un clérigo presbiteriano que investigó sobre las probabilidades de causas desconocidas, deduciéndolas de acontecimientos observados. Su conocida fórmula sería publicada en 1763, en una memoria póstuma, dos años después de su muerte. La fórmula de Bayes fue al prin-cipio poco aceptada. Más tarde, combinada con los teoremas de probabilidad total y compuesta, permitió a Laplace calcular la probabilidad de numerosos fenómenos, basándose en observaciones anteriores. El matemático francés había analizado el teorema de Bayes en su Teoría analítica de las probabilidades. Ya en la primera mi-tad del siglo XX, gracias al trabajo del matemático inglés Fisher, su importancia se fue consolidando al propiciar el comienzo de una teoría matemática del razonamiento inductivo. En palabras de Fisher: Bayes tiene asegurada la inmortalidad, al ser el primero en emplear la probabilidad matemática inductivamente, es decir, razonando de lo particular a lo general o del individuo a la masa.

Unidad 14. Cálculo de probalidades


BIOGRAFÍA

GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) nació en la ciudad alemana de Leipzig. Fue diplomático, político y manifestó un gran interés por la filosofía, la teología, la jurisprudencia y, por supuesto, las matemáticas. Sus misiones diplomáticas le permitieron viajar por Europa, lo que facilitó su comunicación con otros pensadores, como el astrónomo y físico Christian Huygens, en París, o los Bernouilli, en Suiza, y con-trastar con ellos sus curiosidades científicas. En esto se diferencia de otros matemáticos, como el ya mencionado Fermat, o incluso el omnipresente Gauss, que se caracterizaron por permanecer durante toda su vida sin salir de su entorno geográfico. Leibniz estaba poseído por una pasión de universalidad e intentó unificar toda la complejidad del pensamiento del siglo XVII bajo un único lenguaje que ensamblara matemáticas, física, metafísica, psicología y teología. En sus escritos aparecen a veces estas mezclas; por ejemplo, al tratar el tema de los números complejos, donde consigue factorizar la expresión x4 + a 4 , muestra sus reticencias al uso de la expresión i = √–1 con las siguientes palabras: “la √–1 es un anfibio entre el ser y la nada”. Todo ello, teniendo en cuenta sus convicciones religiosas y sus preocupaciones teológicas, permite afirmar a algunos investigadores, como C. B. Boyer, que Leibniz identificaba la, todavía en su tiempo, naturaleza ambigua de la unidad imaginaria con la situación a medio camino entre la existencia y la no existencia del Espíritu Santo dentro de la teología cristiana. Una gran parte de la notación para el cálculo que se utiliza hoy se debe fundamentalmente a Leibniz: recomendó el uso de los paréntesis para separar los términos de las expresiones algebraicas, en lugar de una línea que se situaba sobre los mismos, llamada vinculum, y que se usó durante mucho tiempo; introdujo ~ para designar “es semejante a” y ≅ para “es congruente con”. Pero, quizá, entre los símbolos más conocidos, figuran los correspondientes al cálculo diferencial e integral, como diferencial de x, dx, y, para indicar la sumación directa de una infinidad de infinitamente pequeños, la s alargada en la expresión f(x)dx.

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones


En el cálculo fue desarrollando la idea de función, y su concepción del mismo le llevaba a identificar el problema inverso de las tangentes con el de la cuadratura o in-tegración, es decir, al determinar las tangentes y observar la figura formada por la función y los ejes, el triángulo característico, consideraba los tres lados del mismo como diferencias: diferencia dx de la abscisa, diferencia dy de la ordenada, diferencia ds del arco. Entonces, si el problema inverso consistía en pasar de las diferencias a las mismas funciones, la operación inversa de las diferencias es la de las sumas. Leibniz, en cuanto a matemáticas se refiere, era un autodidacto, lo que explica que algunos de sus resultados fueran ya conocidos, aunque él los redescubriera. A pesar de la cantidad de hallazgos que se le asocian, algunos investigadores todavía se lamentan de lo que habría supuesto en caso de haberse dedicado íntegramente a las matemáticas, y recuerdan la cantidad de años que dedicó a la diplomacia o a resolver asuntos triviales entre los poderosos de su país. Pero eran cuestiones que a él también le interesaban y le permitían viajar y mezclarse con la gente y sus problemas, en lugar de vivir de forma rutinaria en una aburrida ciudad universitaria.

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones


BIOGRAFÍA

ABRAHAM DE MOIVRE De Moivre (1667-1754), nacido en Francia, vivió desde los veintiún años en Inglaterra. Por su origen protestante se vio afectado por la decisión del llamado Rey Sol de revocar el Edicto de Nantes, lo que supuso la persecución y el exilio de los hugonotes o calvinistas franceses. Una vez en Londres formó parte del círculo de amigos y discípulos de Newton y del astrónomo Halley. También mantuvo relación epistolar con los hermanos Bernoulli y con Leibniz. No obstante, a pesar de todas sus relaciones y de ser miembro de diversas sociedades y academias de ciencias, nunca consiguió una cátedra de matemáticas, por lo que tuvo que sobrevivir dando clases particulares durante toda su larga vida. Sus trabajos en matemáticas se desarrollan fundamentalmente en torno a dos temas: la teoría de la probabilidad y el aspecto analítico de la trigonometría. En sus dos libros sobre probabilidades, De Moivre utilizó una notación propia (por ejemplo, si x es la probabilidad de un suceso, llama 1 – x a la probabilidad de que no se produzca). Se le atribuye también el cálculo de la probabilidad de un suceso compuesto como el producto de las probabilidades de sus componentes. Por otra parte, en una de sus obras aparece por primera vez la curva normal descrita por Gauss cincuenta años después, y en ella escribe una aproximación de la fórmula de las probabilidades: √ π2 ∞ e –x2 dx = 2 0

De Moivre había llegado a la famosa campana a través del estudio de los juegos de azar. En trigonometría, el otro sector de las matemáticas que ha hecho ilustre el nombre De Moivre, enunció su conocida fórmula, (cosθ + i senθ)n = cos nθ + i senθ, en términos menos claros y sin demostración*. Asimismo, demuestra que la raíz enésima (*) Según la Historia de la matemática, de Rey Pastor y Babini, De Moivre escribió la fórmula que lleva su nombre de la siguiente forma: x=

1 2



√l + √ l2 – 1 + n

1/2 

√l + √ l2 – 1 n

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

, donde l = cos A; x = cos B; A = nB


de a +

√– b

, lo que él llama “binomio imposible”, se calcula como hacemos ahora

tomando la raíz enésima del módulo, dividiendo el argumento entre n y añadiendo 2π los múltiplos de . n Una muestra de su capacidad de trabajo y de la amplitud de sus conocimientos viene expresada por la frase que Newton, al final ya de su vida, dirigió a aquellos que van a plantearle cuestiones de matemáticas: “Vayan, vayan a ver a Mr. De Moivre; él sabe esas cosas mejor que yo”.

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad


BIOGRAFÍA

PAPPUS Pappus es el autor de la Colección Matemática, en la que se presenta un panorama histórico de la matemática clásica y se comentan los trabajos de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y otros, a la vez que se incluyen algunas demostraciones alternativas y nuevas proposiciones geométricas de gran importancia. A esta obra, en ocho libros, se la suele considerar como el último de los grandes tratados. Gracias a ella han llegado hasta nosotros documentos que de otra forma habrían sido ignorados. Posteriormente, durante mil años más, se siguieron escribiendo obras en griego, si bien no alcanzaron la altura de la Colección. Durante el siglo XVI fue traducida y publicada en Italia y ejerció gran influencia entre los matemáticos de la época. En cuanto a la vida de Pappus, sabemos que vivió en Alejandría a finales del siglo III y principios del IV. Fue contemporáneo de Theón de Alejandría, al que, junto con Proclo, también se incluye dentro del grupo de los llamados “comentaristas”. Theón, por cierto, era el padre de la primera matemática griega conocida de la historia: Hypatia, personaje relevante, víctima de la intolerancia religiosa surgida en una época en la que la nueva civilización cristiana conseguía imponerse a la vieja civilización grecorromana. Por aquel entonces, Alejandría contaba con una población de 300 000 personas y recogía enormes riquezas provenientes del comercio con Arabia, India y África Ecuatorial. Sin embargo, los tesoros científicos que albergaban los templos y bibliotecas de la ciudad fueron poco a poco destruidos y, lo poco que quedaba, fue quemado por los musulmanes al conquistar Egipto en el siglo VII. La colección rescata y amplía una serie de problemas clásicos: la trisección del ángulo, las cónicas, el estudio de las medias aritmética, geométrica y armónica; da también una generalización del teorema de Pitágoras y, comentando lo que en la antigüedad era conocido como el Tesoro del Análisis, Pappus se refiere a él como “un método que consiste en considerar como conocido aquello que se busca y obtener las consecuencias de ello hasta llegar a algo que se admite ya como un resultado de síntesis”. En el libro VII aparece un precedente del cálculo integral, conocido bajo el nombre de teorema de Guldin por el matemático suizo del siglo XVII que lo redescubrió, que dice que “si se hace girar una curva cerrada y plana alrededor de una recta que no la corta y situada en su mismo plano, entonces el volumen del sólido enUnidad 7. Vectores


gendrado se obtiene multiplicando el área encerrada por la curva, por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de esta área en un giro completo”. En el libro V de la Colección, dedicado a estudiar las figuras geométricas con el mismo perímetro, Pappus escribe un interesante texto no exento de cierto estilo literario, en el que glosa la habilidad matemática de las abejas al construir las celdillas de sus panales de miel*.

(*) Al final de un largo párrafo dedicado a las figuras isoperimétricas y a la elección, por parte de las abejas, del hexágono, Pappus concluye: “Las abejas conocen solamente lo que les es útil, o sea que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que con una misma cantidad de materia gastada para la construcción de cada figura, el hexágono podrá contener más miel. Pero, en cuanto a nosotros, que pretendemos poseer una parte mayor que las abejas en la sabiduría, investigaremos algo más amplio, a saber, que de todas las figuras planas equiláteras y equiángulas de idéntico perímetro, la que tiene un número mayor de ángulos es siempre mayor, y la mayor de todas es el círculo que tiene su mismo perímetro”.

Unidad 7. Vectores


BIOGRAFÍA

PTOLOMEO Del matemático y astrónomo Ptolomeo se sabe que trabajó en Alejandría durante el siglo II d.C., pero los datos acerca de su vida (¿100-170?) son imprecisos. Sin embargo, pudo conservarse su obra a lo largo de los siglos. Lo más importante es un tratado de trigonometría y astronomía en trece tomos denominado Almagesto, nombre árabe derivado del original griego que significa obra magna o sintaxis matemática. Ptolomeo vive ya en una época en la que la cultura clásica griega se encuentra en decadencia. En trigonometría, Ptolomeo continúa y engrandece los trabajos de Hiparco y de Menelao, otro de los matemáticos de Alejandría de finales del siglo I d.C. En el círculo, cuya división en 360 partes o grados ya era conocida, divide a su vez cada una de ellas en 60 partes minutae primae y estas en otras 60 partes minutae secundae, siguiendo así el camino iniciado por los matemáticos babilonios. Este sistema sexagesimal se aplica también a las cuerdas del círculo y al diámetro, al que divide en 120 partes. Los griegos desconocían las razones trigonométricas tal y como hoy las entendemos, sin embargo, usaban algo equivalente para sus cálculos: las líneas trigonométricas en forma de cuerdas, como también hicieron después los hindúes o los árabes. En el Almagesto, Ptolomeo considera un polígono regular de 720 lados inscrito en una circunferencia cuyo radio divide en 60 unidades, obteniendo un valor para la cuerda de medio grado que le permite llegar a una medida de π = 3° 8' 30'', 8 30 es decir, 3 + + = 3,1416, mejorando la aproximación dada por Arquímedes. 60 602 En geometría demuestra el teorema que hoy lleva su nombre: “el producto de las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia es igual a la suma de los productos de los lados opuestos”. Este teorema, en el caso particular de que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro, conduce a las actuales fórmulas trigonométricas del seno y coseno de la suma y la diferencia de dos ángulos. Asimismo, conocida la medida de la cuerda de un arco, Ptolomeo calcula la cuerda del arco miα 1 – cos α tad, y, traducida al lenguaje actual, escribe la fórmula: sen = . Con todo 2 2 ello construye una tabla de cuerdas, o tabla trigonométrica, muy precisa que aparece

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas


en el libro primero del Almagesto y que abarca desde 1/2° hasta 180°, instru- mento fundamental para los astrónomos. La obra de Ptolomeo, que también es autor de tratados de geografía, óptica y música, tiene gran influencia en la astronomía. Sus concepciones se basan en la idea de que el Sol se mueve alrededor de la Tierra, lo cual fue un principio incuestionable entre los griegos, con la única excepción de Aristarco, que defendió la tesis heliocéntrica. La teoría geocéntrica de Ptolomeo* y todo el cuerpo teórico que la sostiene es la referencia principal en la astronomía desde el siglo II hasta el XVI, en el que aparece la obra del astrónomo polaco Nicolás Copérnico.

(*) En el Almagesto Ptolomeo escribe: “El astrónomo debe esforzarse todo lo posible por hacer que las hipótesis más sencillas concuerden con los movimientos celestes; pero si no lo consigue, debe tomar las hipótesis que más le convengan”.

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas


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