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“Funciones Exponenciales y Logarítmicas”


Identificar una función exponencial y su inversa, la función logarítmica, describiendo todas sus propiedades para finalmente trazar su gráfica. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Formular una función exponencial o logarítmica para poder modelar un comportamiento exponencial o logarítmico.


Las propiedades de una función exponencial o una función logarítmica para bosquejar su gráfica. Las propiedades de los exponentes y los logaritmos en la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Problemas de interés compuesto y continuo, empleando los conocimientos adquiridos en esta unidad.


Una función función exponencial exponencial es es una una función función de de la la forma forma f(x)=a f(x)=axx,, Una donde a a es es un un número número real real positivo positivo yy distinto distinto de de 1. 1. El El dominio dominio de de donde es el el conjunto conjunto de de todos todos los los números números reales. reales. ff es Propiedades de los exponentes

a0 = 1

(ab)n = an bn

am an = am+n

(a / b)n = an / bn

am / an = am-n

a-m = 1/(am) = (1/a)m

(am)n = amn

1x = 1

Observe Observe que que en en la la definición definición de de función función exponencial, exponencial, a≠1, a≠1, ya ya x que que la la función función yy = =1 1x sería sería una una función función constante. constante.


x se se hace hace una una distinción distinción entre entre la la función función yy = = aax para para aa > >1 1 yy para para 0< 0< aa < < 1. 1.

f(x)=a f(x)=axx aa>>11

0< 0<aa<<11

Dominio (-∞, ∞)

Dominio (-∞, ∞)

Rango (0, ∞)

Rango (0, ∞)

Intersecciones –x : ninguna

Intersecciones –x : ninguna

Intersecciones –y: 1

Intersecciones –y: 1

Asíntota horizontal: eje x cuando x→ - ∞ f es una función creciente f es uno a uno y pasa por (0, 1) y (1, a)

Asíntota horizontal: eje x cuando x→ ∞ f es una función decreciente f es uno a uno y pasa por (0, 1) y (1, a)


Graficación Graficaciónde defunciones funcionesexponenciales exponencialesa>1 a>1 Haga una tabla de valores y gráfique los puntos resultantes para f(x)=2x x

f(x)=2 x

-3

2

-2

2-2=1/4

-1

2-1=1/2

0

20=1

1

21=2

2

22=4

(2, 4)

1/8

-3=

(0,1) (-2,1/4)

(-3,1/8)

(1, 2) (-1,1/2)

La Lagráfica gráficanunca nuncava vaaa llegar llegaraatomar tomarel elvalor valorde de 00en enel elrango, rango,ese esees essu su límite. límite.


Graficación Graficaciónde defunciones funcionesexponenciales exponenciales0<a<1 0<a<1 Haga una tabla de valores y grafique los puntos resultantes para f(x)=1/2x

x

La Lagráfica gráficanunca nuncava vaaa llegar llegaraatomar tomarel elvalor valorde de 00en enel elrango, rango,ese esees essu su límite. límite.

f(x)=1/2 x

-2

1/2-2=4

-1

1/2

2

-1=

0

1/20=1

1

1/21=1/2

2

1/22=1/4

3

1/23=1/8

(-2, 4) (-1, 2)

(0,1)

(1, 1/2)

(2, 1/4)

(3,1/8)


La Labase baseee El El número númeroeese sedefine definecomo comoel elnúmero númeroal alque quetiende tiendela la nn expresión expresión(1+1/n) (1+1/n) cuando cuandon→ n→∞. ∞. Grafique f(x)= ex (utilice su calculadora para obtener las y’s). x

f(x)=e x

-2

0.14

-1

0.37

0

1

1

2.72

2

7.39

(2, 7.39) (1, 2.72)

(-2, 0.14)

(-1, 0.37)

(0,1)


La función logarítmica base a, donde a>0 y a≠1, se denota y=logax (se lee “y es el logaritmo base a de x”) y se define como: Y= Y=log logaaxx si, si,yysólo sólosi, si,x=a x=ayy Ejemplos, cambio de expresiones exponenciales a logarítmicas y viceversa 1.23=m

entonces

loga4=5

entonces

3=log1.2m a5=4

Encuentre el valor exacto de una expresión logarítmica Log28= Para la expresión logarítmica y= log28 tenemos la expresión exponencial 2y=8 2y=8 2y=23 y=3 Por lo tanto log28=3


Dominio Dominio de de una una función función logarítmica logarítmica La Lafunción funciónlogarítmica logarítmicay=log y=logaaxxes esla lainversa inversade dela lafunción funciónexponencial exponencial y=a y=axx..Por Porlo lotanto tantoel eldominio dominiode deuna unaes esel elrango rangode dela laotra. otra.

y=a x

y=x

La intersección de la gráfica con el eje x es 1. No existe intersección con el eje y. el eje y es una asíntota vertical de la gráfica. Una función logarítmica es decreciente si 0<a<1 y creciente si a>1. y=log a x


En las propiedades dadas a continuación, M y a son números reales positivos, con a≠1, y r es cualquier número real.

alogaM=M

logaMr=r logaM

logaar=r

Si M=N, entonces logaM=logaN

logaMN=logaM+logaN

Si logaM=logaN, entonces M=N

loga(M/N)=logaM-logaN

logaM=logbM/logba

loga(1/N)=-logaN

logaM=logM/loga Y logaM=lnM/lna

Compruebe todas estas propiedades


Ecuaciones Ecuacionesexponenciales exponenciales

e

− x2

e

− x2

e

− x2

( )

= e

x 2

= e •e 2x

=e

1 e3 −3

2 x −3

x + 2x − 3 = 0 ( x + 3)( x − 1) = 0 x + 3 = 0; x − 1 = 0 2

o

ln5x-2=ln33x+2 (x-2)ln5=(3x+2)ln3 (ln5)x-2ln5=(3ln3)x+2ln3

− x2 = 2x − 3

x=-3

5x-2=33x+2

x=1

(ln5)x-(3ln3)x=2ln3+2ln5 (ln5-3ln3)x=2ln3+2ln5 x=

2ln3+2ln5 (ln5-3ln3) x≈ -3.212


Escriba Escriba la la siguiente siguiente expresión expresión como como un un solo solo logaritmo logaritmo logax+loga9+loga(x2+1)-loga5 loga9x+loga(x2+1)-loga5 loga9x(x2+1)-loga5 loga9x(x2+1)/5

Escriba Escriba la la siguiente siguiente expresión expresión como como varios varios logaritmos logaritmos loga5√1+x /x2 loga5√1+x -logax2 loga5+loga√1+x -logax2 loga5 + loga(1+x)1/2 -logax2 loga5 + 1/2 loga(1+x) -2logax


Utilizando Utilizando las las propiedades propiedades de de los los logaritmos logaritmos yy el el cambio cambio de de logaritmos y exponenciales resuelve las siguientes ecuaciones. logaritmos y exponenciales resuelve las siguientes ecuaciones. Ecuaciones Ecuacioneslogarítmicas logarítmicas log3(4x-7)=2 4x-7=3

2

4x-7=9

4x=9+7 x=16/4 x=4

log4(x+3) + log4(2-x)=1 2log5x=log59

log5x2=log59 x2=9

x=3

o

x=-3

log4[(x+3) (2-x)] =1 (x+3)(2-x)=41 -x2-x+6=4 X2+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 x=-2

o

x=1

Verifique los resultados recuerde que en la expresión logaM, a y M son positivos y a≠1.


Interés simple: Si se presta un capital de P dólares durante un periodo Interés simple: Si se presta un capital de P dólares durante un periodo de t años con una tasa de interés anual r, expresada como un de t años con una tasa de interés anual r, expresada como un decimal, el interés I cobrado será: decimal, el interés I cobrado será:

Interés compuesto: La cantidad A generada después de t años por un Interés compuesto: La cantidad A generada después de t años por un capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesta n veces por capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesta n veces por año es: año es:


Composición continua: continua La cantidad A después de t años obtenida Composición continua: continua La cantidad A después de t años obtenida mediante un capital P invertido a una tasa de interés anual r mediante un capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesto de manera continua es: compuesto de manera continua es:

Valor presente: El valor presente P de á dólares a ser recibidos Valor presente: El valor presente P de á dólares a ser recibidos después de t años, con una tasa de interés anual r compuesta n después de t años, con una tasa de interés anual r compuesta n veces por año, es: veces por año, es:

Si el interés es compuesto de manera continua, continua entonces: Si el interés es compuesto de manera continua, continua entonces:


Interés Interés simple simple Sofía Gutiérrez le hace un préstamo a su hermano, Saúl. El 5000 con un interés simple de monto de préstamo es de $5000, 6% anual, y Saúl tendrá que devolverlo 3 años después. ¿Qué interés le pagará Saúl a Sofía transcurridos los 3 años? i = pr t = 5000 (0.06) (3) = 900 ¿Cuánto dinero en total deberá pagar? 5000 + 900 = 5900 Monto inicial + Interés


Interés Interés compuesto compuesto Catalina Carmona recibe un reembolso de impuestos por $1425, 1425 e invierte este dinero para ayudar a pagar el primer semestre de la universidad de su hermano. Catalina invierte el dinero en un certificado de depósito que le ofrece una tasa de interés anual de 3% compuesto de forma mensual después de 18 meses. ¿Cuánto valdrá el certificado luego de 18 meses?

A = p ( 1 + r n )nt 12 (1.5)

=1425 1+ 0.03 12 =1425(1.04596912) =1490.51

12(1.5)

1+ 0.03 12 =(1+0.0025)18 =1.04596912


Composición Composición continua continua El 2 de enero de 1996 se colocaron $2000.00 2000 en una cuenta de retiro que pagará un interés del 10% anual compuesto de manera continua. ¿A cuanto ascenderá la cuenta el primero de enero del año 2016? La cantidad A después de 20 20 años es: A=Pert = 2000 e(0.10) (20) =14,778.11

La cuenta ascenderá a $14,778.11 luego de 20 años.


Valor Valor presente presente Un bono “cupón cero” (sin intereses) puede ser amortizado en 10 años por $1000.00.¿Cuánto dinero estaría dispuesto 1000 a pagar por él ahora si quiere obtener un rendimiento de: a) 8% 8% compuesto en forma mensual mensual?

b) 7% compuesto en forma continua? b)=

a)=

P=Ae-rt

P=A(1+ r/n)-nt P= 1000 (1+ 0.08 /12) =450.52

-12(10)

P= 1000 e

-(0.07)

=496.59

(10)

Leccionlogaritmos exponenciales ecuaciones propiedades  

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

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