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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla ¡ Segovia

 

Recuperación  de  Física  –  1º  Bachillerato  –  16/01/2012    

1. Una   partĂ­cula   se   mueve   en   el   plano   XY,   siendo   la   ecuaciĂłn   de   su   movimiento:                             đ?‘&#x; = 4đ?‘Ą ! − 1 đ?š¤ + đ?‘Ą ! + 3  Calcula:  (1’5ptos)   a) La  velocidad  instantĂĄnea  de  la  partĂ­cula.   b) El  desplazamiento  realizado  por  la  partĂ­cula  en  los  dos  primeros  segundos.   c) Su  velocidad  media  en  esos  dos  primeros  segundos.   d) La  ecuaciĂłn  de  su  trayectoria.    

a) La  velocidad  instantĂĄnea  se  calcula  derivando  la  posiciĂłn  respecto  del  tiempo:   đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘Ą đ?’— đ?’• = = đ?&#x;–đ?’•! + đ?&#x;?đ?’•!  đ?’Ž/đ?’”   đ?‘‘đ?‘Ą  

b) Para  calcular  el  desplazamiento  a  los  dos  segundos  sustituimos  primero  đ?‘Ą = 0  đ?‘   en  la  ecuaciĂłn   de  la  posiciĂłn:   đ?‘&#x; 0đ?‘  = 4 ¡ 0! − 1 đ?š¤ + 0! + 3 đ?šĽ  đ?‘š = −đ?š¤ + 3đ?šĽ  đ?‘š    

Sustituimos  � = 2�:      

đ?‘&#x; 2đ?‘  =

4 ¡ 2! − 1 đ?š¤ + 2! + 3 đ?šĽ  đ?‘š = 15đ?š¤ + 7đ?šĽ  đ?‘š  

  Calculamos  el  desplazamiento:    

∆đ?‘&#x; = đ?‘&#x; 2đ?‘  − đ?‘&#x; 0đ?‘  =

 

15 + 1 đ?š¤ + 7 − 3 đ?šĽ  đ?‘š  

∆đ?’“ = đ?&#x;?đ?&#x;”! + đ?&#x;’!  đ?’Ž  

 

c) Calculamos  los  valores  de  la  velocidad  en  0  �  y  2  s:    

� 0� = 0� + 0�  �/�         →         � 0�

 

� 2� = 16� + 4�  �         →         � 2�

 

= 0  đ?‘š/đ?‘    ≈ 272  đ?‘š  

Por  lo  tanto,  la  velocidad  media  serå:    

��  

=

đ?‘Ł 0đ?‘  + đ?‘Ł 2đ?‘  2

=

0  �/�   +

272  �/�

2  �

≈

đ?&#x;–! đ?&#x;?  đ?’Ž/đ?’”  

d) Expresamos  đ?‘Ś đ?‘Ľ  eliminando  el  parĂĄmetro  temporal:   đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ = 4đ?‘Ą ! − 1     →       đ?‘Ą ! =   4 đ?‘Ś = đ?‘Ą ! + 3         →       đ?‘Ą ! = đ?‘Ś − 3    

 

Igualando  � ! :  

 

đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ + 1 12 = đ?‘Ś − 3   →      đ?‘Ś = +   →      đ?’š 4 4 4

đ?’™ =

đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘   đ?&#x;’

Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org


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2. Por  un  punto  A  de  una  carretera  pasa  un  camión  con  velocidad  constante  de  45  km/h;  10  s  mås  tarde   pasa  por  el  mismo  punto  un  automóvil.  Calcula:  (2ptos)   a) Si  el  automóvil  pasa  con  una  velocidad  de  90  km/h,  ¿dónde  se  encuentra  el  camión  cuando  el   coche  pasa  por  A?   b) Si  el  automóvil  sale  de  A  (10  segundos  despuÊs  que  el  camión),    ¿con  quÊ  aceleración  constante   debe  salir  si  quiere  alcanzar  al  camión  15  s  despuÊs  de  pasar  por  A?   c) ¿QuÊ  velocidad  tiene  el  coche  en  el  momento  de  alcanzar  al  camión?     a) Dado  que  el  camión  se  mueve  con  velocidad  constante,  y  como  nos  piden  la  posición  del  mismo   respecto  del  punto  A  pasados  10  segundos:     � = �! + �! ¡ � = 12! 5  �/�   ¡ 10  �    

đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“  đ?’Ž  (đ?’…đ?’†đ?’”đ?’…đ?’†  đ?‘¨)  

  b) Utilizamos   las   ecuaciones   de   movimiento   rectilĂ­neo   uniforme   para   el   camiĂłn   y   movimiento   rectilĂ­neo  uniformemente  acelerado  en  el  caso  del  automĂłvil.  Si  tomamos  A  como  el  punto  de   origen,   entonces   la   posiciĂłn   inicial   del   camiĂłn   serĂĄn   los   125   m   calculados   en   el   apartado   anterior:     đ?‘ ! = đ?‘ !! + đ?‘Ł! ¡ đ?‘Ą                                   â&#x;ś       đ?‘ ! = 125  đ?‘š + 12! 5  đ?‘š/đ?‘  ¡ 15  đ?‘  = 312′5  đ?‘š     ! ! ! đ?‘ ! = đ?‘ ! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ! đ?‘Žđ?‘Ą !     â&#x;ś       đ?‘ ! = 0  đ?‘š + 25 ! ¡ 15  đ?‘  + ! đ?‘Ž ¡ 15  đ?‘  ! = 375  đ?‘š + 112! 5  đ?‘  ! ¡ đ?‘Ž       La  condiciĂłn  para  que  el  automĂłvil  alcance  al  camiĂłn  es  que  coincidan  en  el  mismo  punto  a  la   vez  â&#x;š   đ?‘ !   15  đ?‘  = đ?‘ ! (15  đ?‘ ):     312! 5  đ?‘š − 375  đ?‘š ! ! ! 312 5  đ?‘š = 375  đ?‘š + 112 5  đ?‘  ¡ đ?‘Ž       â&#x;ś      đ?‘Ž =   112! 5  đ?‘  !  

đ?’‚ = −đ?&#x;Ž! đ?&#x;“đ?&#x;”  đ?’Ž/đ?’”đ?&#x;?  

 

c) Aplicamos   la   expresiĂłn   de   la   velocidad   para   un   movimiento   rectilĂ­neo   uniformemente   acelerado:   đ?‘Ł! đ?‘Ą = đ?‘Ł!! + đ?‘Žđ?‘Ą     Como  el  tiempo  para  el  cual  el  automĂłvil  alcanza  al  camiĂłn  son  15  s,  sustituimos:     đ?‘Ł! 15  đ?‘  = 25  đ?‘š/đ?‘  − 0! 56  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ 15  đ?‘   

 

 

 

đ?’—đ?‘¨ đ?&#x;?đ?&#x;“  đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;”! đ?&#x;”  đ?’Ž/đ?’”   Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org


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3. Se  lanza  un  objeto  verticalmente  hacia  arriba  con  velocidad    v  =  40  m/s.  Cuando  se  encuentra  subiendo   y  a  50  m  de  altura,  se  lanza  otro  cuerpo  con  la  misma  velocidad.  Calcula:  (2ptos)   a) ¿  Dónde  se  encuentran?     b) ¿Cuål  es  la  altura  måxima  alcanzada  por  el  primero?     c) ¿Dónde  estå  el  segundo  cuando  el  primero  estå  bajando  y  se  encuentra  a  50  m  de  altura?    

a) Ambos   cuerpos   describen   un   movimiento   rectilíneo   uniformemente   acelerado   (MRUA).   Si   empezamos  a  contar  el  tiempo  en  el  momento  en  el  que  se  lanza  el  segundo  cuerpo,  tendremos   que  calcular  la  velocidad  inicial  que  lleva  el  primero  en  ese  momento,  ya  que  serå  su  velocidad   inicial.  Calculamos  primero  el  tiempo  que  tarda  en  llegar  a  esos  50  m:    

1 đ?‘† = đ?‘†! + đ?‘Ł! đ?‘Ą + đ?‘”đ?‘Ą !       â&#x;ś      50  đ?‘š = 0  đ?‘š + 40  đ?‘š/đ?‘  ¡ đ?‘Ą − 4! 9  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ đ?‘Ą !   2

 

�! = 1! 54  �      �      �! = 6! 62  �  

 

Como  nos  interesa  el  tiempo  que  necesita  el  cuerpo  1  para  llegar  a  50  metros  por  primera  vez  (a   la  subida)  utilizaremos  �! .  Ahora  podemos  calcular  la  velocidad  que  lleva  a  esa  altura:    

đ?‘Ł! = đ?‘Ł! + đ?‘Žđ?‘Ą!       â&#x;ś       đ?‘Ł! = 40  đ?‘š/đ?‘  − 9! 8  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ 1! 54  đ?‘  = 24! 9  đ?‘š/đ?‘   

 

Planteamos  ahora  las  condiciones  iniciales  del  problema,  para  ello  llamaremos  cuerpo  A  al  que   sale  primero  cuerpo  B  al  que  sale  despuÊs:    

�!! = 50  �  

 

�!! = 24! 9  �/�  

�!! = 0  �    

 

�!! = 40  �/�  

 

 

Planteamos  las  ecuaciones  de  posición  y  las  igualamos,  ya  que  se  encontrarån  cuando  ambos   estÊn  a  la  misma  altura:    

1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą ! = 50  đ?‘š + 24! 9  đ?‘š/đ?‘  ¡ đ?‘Ą − 4′9    đ?‘š/đ?‘  ! ¡ đ?‘Ą !   2   1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą ! = 0  đ?‘š + 40  đ?‘š/đ?‘  ¡ đ?‘Ą − 4′9    đ?‘š/đ?‘  ! ¡ đ?‘Ą !   2  

Simplificando  e  igualando:      

50 + 24! 9 ¡ đ?‘Ą − 4! 9 ¡ đ?‘Ą ! = 40 ¡ đ?‘Ą − 4! 9 ¡ đ?‘Ą !   50 = 15! 1 ¡ đ?‘Ą   →      đ?‘Ą =

 

50 = 3! 3  �   15! 1

Sustituyendo  el  valor  del  tiempo  en  una  de  las  ecuaciones  obtenemos  la  altura:      

đ?‘†! = 40  đ?‘š/đ?‘  ¡ 3! 3  đ?‘  − 4′9  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ 3! 3  đ?‘ 

!

  →       ��

′

= đ?‘şđ?‘Š = đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;’  đ?’Ž  

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b) Derivamos  la  expresiĂłn  de  la  posiciĂłn  del  primer  cuerpo  e  igualamos  a  cero,  ya  que  su  velocidad   serĂĄ   nula   cuando   alcance   la   altura   mĂĄxima.   Calculamos   de   esta   manera   el   tiempo   que   tardarĂĄ   el   alcanzar  dicha  altura:     đ?‘Ł! = đ?‘Ł!! + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"# = 24! 9  đ?‘š/đ?‘  − 9′8    đ?‘š/đ?‘  ! ¡ đ?‘Ą!"# = 0  đ?‘š/đ?‘      24! 9  đ?‘š/đ?‘  đ?‘Ą!"# = ! = 2! 54  đ?‘    9 8  đ?‘š/đ?‘  !   Para  calcular  la  altura  mĂĄxima  sustituimos  en  la  ecuaciĂłn  de  la  posiciĂłn  el  tiempo  hallado:     1 ! đ?‘†!"# = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą!"# + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"# = 50  đ?‘š + 24! 9  đ?‘š/đ?‘  ¡ 2′54  đ?‘  − 4′9    đ?‘š/đ?‘  ! ¡ 2! 54  đ?‘  !   2  

   

đ?‘şđ?’Žđ?’‚đ?’™ = đ?&#x;–đ?&#x;?! đ?&#x;”đ?&#x;‘  đ?’Ž  

c) Calculamos  el  tiempo  que  tarda  el  primero  en  llegar  a  50  m  a  la  bajada:     1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą !       â&#x;ś      50  đ?‘š = 50  đ?‘š + 24′9  đ?‘š/đ?‘  ¡ đ?‘Ą − 4′9  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ đ?‘Ą !   2   đ?‘Ą! = 0  đ?‘  ! ! ! 4 9 ¡ đ?‘Ą = 24 9 ¡ đ?‘Ą   →       đ?‘Ą! = 5′08  đ?‘    El  primer   tiempo  no  es  vĂĄlido  para  nuestro  problema,  tomamos  la  segunda  soluciĂłn   ya  que  es  el   tiempo  que  tarda  en  volver  (bajando)  a  dicha  posiciĂłn.  Sustituimos  en  la  ecuaciĂłn  del  segundo   cuerpo:     1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą! + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą!! = 0  đ?‘š + 40  đ?‘š/đ?‘  ¡ 5′08  đ?‘  − 4′9  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ 5′08  đ?‘  !   2

 

       

   

đ?‘şđ?‘Š = đ?&#x;•đ?&#x;”! đ?&#x;•đ?&#x;“  đ?’Ž  

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4. Desde  un  campanario  de  15  m  de  altura  lanzamos  hacia  arriba  un  petardo  la  noche  de  San  Juan  con   una  velocidad  inicial  de  30  m/s  y  con  un  ångulo  con  la  horizontal  de  60º.  Calcular:  (2ptos)   a) El  alcance  (distancia  horizontal  en  el  suelo).   b) La  velocidad  a  la  que  cae  el  petardo.   c) La  altura  måxima  a  la  que  llega.    

 

a) Primero   planteamos   las   condiciones   iniciales,   para   ello   tendremos   que   calcular   las   componentes   de  la  velocidad  inicial:   �! = 0  �            �! = 15  �         �!! = �! ¡ cos � = 30  �/� ¡ cos 60° = 15  �/�   �!! = �! ¡ sin � = 30  �/� ¡ sin 60° = 15 3  �/�    

Para   calcular   el   alcance   horizontal   tendremos   en   cuenta   que   la   condición   que   se   cumple   cuando   el   petardo   vuelve   al   suelo   la   altura   es   cero   �   �!"# = 0  �.   Aplicamos   la   expresión   de   la   posición   para   la   componente   vertical   y   así   calculamos   el   tiempo   que   tardarå   el   petardo   en   llegar   al  suelo.   1 ! � �!"# = �! + �!! ¡ �!"#$% + � ¡ �!"#$%   2  

!

!

 0 = 15  đ?‘š + 15 3  đ?‘š/đ?‘  ¡ đ?‘Ą!"#$% − 4 9  đ?‘š/đ?‘  ¡

! đ?‘Ą!"#$%       â&#x;ś      

 

đ?‘Ą ! = −0! 53  đ?‘  !

!

 

� = 5 83  �

Tomamos  el  tiempo  positivo  como  resultado  y  lo  sustituimos  en  la  ecuación  de  la  posición  para   la  componente  horizontal:    

   

�!"# = � �!"#$% = �! + �!" ¡ �!"#$% = 0  � + 15  �/� ¡ 5! 83  �  

đ?’™đ?’Žđ?’‚đ?’™ = đ?&#x;–đ?&#x;•! đ?&#x;’đ?&#x;“  đ?’Ž  

 

b) Para   calcular   la   velocidad   a   la   que   cae   el   petardo   tendremos   que   tener   en   cuenta   las   componentes  vertical  y  horizontal.  La  componente  horizontal  de  la  velocidad  es  constante  y  ya  la   conocemos.  Tenemos  que  calcular  la  componente  vertical.  Sustituimos  el  tiempo  de  vuelo  en  la   expresión  de  la  velocidad:      

đ?‘Ł! đ?‘Ą!"#$% = đ?‘Ł!! + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"#$% = 15 3  đ?‘š/đ?‘  − 9! 8  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ 5! 83  đ?‘  = −31′15  đ?‘š/đ?‘   

Por  lo  tanto,  la  velocidad  serå:      

đ?‘Ł đ?‘Ą!"#$% = 15đ?š¤ − 31′15đ?šĽ  đ?‘š/đ?‘   

Y  el  módulo  de  la  velocidad  valdrå:    

 

đ?’— đ?’•đ?’—đ?’–đ?’†đ?’?đ?’?

=

152 + 31′152 =

đ?&#x;‘đ?&#x;’! đ?&#x;“đ?&#x;•  đ?’Ž/đ?’”  

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c) Para   calcular   la   altura   måxima   tendremos   en   cuenta   que,   cuando   el   cuerpo   alcanza   dicha   altura,   su  componente  vertical  de  la  velocidad  se  anula:    

 

đ?‘Ł!!"# = đ?‘Ł!! + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"#       â&#x;ś      0 = 15 3  đ?‘š/đ?‘  − 9! 8  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ đ?‘Ą!"#   đ?‘Ą!"# =

 

15 3  �/� = 2! 65  �   9! 8  �/� !

Sustituyendo  el  tiempo  que  tarda  en  alcanzar  la  altura  måxima  en  la  ecuación  de  la  componente   vertical  de  la  posición  obtendremos  dicha  altura:   1 ! �!"# = �! + �!! ¡ �!"# + � ¡ �!"#   2  

   

 

đ?‘Ś!"# = 15  đ?‘š + 15 3  đ?‘š/đ?‘  ¡ 2! 65  đ?‘  − 4! 9  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ 2! 65  đ?‘  !  

đ?’šđ?’Žđ?’‚đ?’™ = đ?&#x;’đ?&#x;—! đ?&#x;’đ?&#x;’  đ?’Ž  

   

5. Un  avión  vuela  horizontalmente  con  velocidad  vA  =  900  km/h  a  una  altura  de  2000  m,  suelta  un   paquete  de  alimentos  que  debe  caer  en  un  barco  que  se  estå  moviendo  con  la  velocidad  de  vB  =  40   km/h  y  en  la  misma  dirección  y  sentido  que  el  avión.  Determinar:  (2’5ptos)   a) ¿QuÊ  tiempo  tarda  el  paquete  en  llegar  al  barco?   b) ¿QuÊ  distancia  recorre  el  barco  desde  el  lanzamiento  hasta  el  impacto?    

a) Estamos  ante  un  problema  de  tiro  horizontal.  Planteamos  las  condiciones  iniciales  lo  primero:    

 

�! = 0  �            �! = 2000  �         �!! = �! ¡ cos � = 250  �/� ¡ cos 0° = 250  �/�   �!! = �! ¡ sin � = 250  �/� ¡ sin 0° = 0  �/�   El  tiempo  que  tarda  en  llegar  el  paquete  al  barco  es  el  tiempo  de  vuelo  del  mismo.  Lo  calculamos   con  la  expresión  de  la  componente  vertical  de  la  posición,  teniendo  el  cuanta  que,  cuando  el   paquete  llegue  al  barco  la  altura  serå  cero:   1 ! � �!"# = �! + �!! ¡ �!"#$% + � ¡ �!"#$%   2  

 

! 0  đ?‘š = 2000  đ?‘š − 4! 9  đ?‘š/đ?‘  ! ¡ đ?‘Ą!"#$%       â&#x;ś       đ?‘Ą!"#$! =  

 

2000  �   4! 9  �/� !

đ?’•đ?’—đ?’–đ?’†đ?’?đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž! đ?&#x;?  đ?’”  

b) Dado  que  el  barco  realiza  un  movimiento  uniforme:    

� = �! + � ¡ �!"#$% =  

100  �/� ¡ 20′2  �   9

đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’! đ?&#x;’đ?&#x;’  đ?’Ž   Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org


Examen - física - 1º bachillerato - 16-01-2012  

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