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Considere la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ‬− 3 a).- Determine su dominio. b).- Encuentre los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes coordenados. c).- Localice su vértice. d).- Represente la gráfica de la función. (Madrid, 2010) Las funciones de la forma ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ܽ‫ ݔ‬ଶ + ܾ‫ ݔ‬+ ܿ son funciones cuadráticas cuya representación gráfica se corresponde con una parábola. Para representar una parábola es necesario determinar los siguientes elementos: • • • • •

Vértice Puntos de corte con el eje X Puntos de corte con el eje Y Eje de simetría Algunos puntos adicionales

Para cualquier valor de la variable independiente x es posible hallar su correspondiente valor de la función f(x), por tanto el dominio de estas funciones es ℝ: ሺ−∞, +∞ሻ

Vértice

 Coordenada “x” del vértice: ଶ௔ = ଶ = 1 ି௕

 Coordenada “y” del vértice: ݂ ቀ ଶ௔ ቁ = ݂ሺ1ሻ = 1 − 2 − 3 = −4 ି௕

Por tanto V = (1, – 4)

Corte con el eje X Se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado:

2+4 =3 2 ± − 4 · 1 · ሺ−3ሻ 2 ± 4 ඥ4  ‫ ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ‬− 3 = 0 → ‫= ݔ‬ = =൞ 2 2−4 2 2 = −1 2

La parábola corta al eje X en los puntos: (3,0) y (−1, 0).

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Corte con el eje Y

Se obtiene calculando ݂ሺ0ሻ = −3

La parábola corta al eje Y en el punto (0, – 3) Eje de simetría

La parábola es simétrica respecto al eje vertical ‫= ݔ‬

ି௕ ଶ௔

En este caso la parábola es simétrica respecto a la recta x = 1.

Otros puntos Hallamos el valor de otros puntos por los que pasa la parábola. ݂ሺ2ሻ = 4 − 2 · 2 − 3 = −3

݂ሺ−2ሻ = 4 + 2 · 2 − 3 = 5 ݂ሺ4ሻ = 16 − 2 · 4 − 3 = 5

Con esta información ya podemos realizar la representación gráfica de la parábola en unos ejes coordenados.

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