Συνοπτική θεωρία μαθηματικών γ λυκείου

Συνοπτική Θεωρία για γρήγορη Επανάληψη

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

Σελίδα 1

Ο Ρ Ι ΢ Μ Ο Ι 1. Ση ιέμε ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α Έζηω Α οπμζύκμιμ ηωκ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ. Πναγμαηηθή ζοκάνηεζε με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ιέγεηαη μηα δηαδηθαζία f , με ηεκ μπμία θάζε ζημηπείμ x ημο Α ακηηζημηπίδεηαη ζε έκα θαη μμκαδηθό πναγμαηηθό ανηζμό y εκόξ ζοκόιμο Β πμο μκμμάδεηαη ζύκμιμ ηημώκ.

2. Πόηε δύμ ζοκανηήζεηξ f,g ιέγμκηαη ίζεξ Δύμ ζοκανηήζεηξ f, g ιέγμκηαη ίζεξ όηακ : έπμοκ ημ ίδημ πεδίμ μνηζμμύ Α θαη ηζπύεη f(x)=g(x) γηα θάζε 𝜒 ∈ 𝛢 3. Ση ιέμε ζύκζεζε ηεξ ζοκάνηεζεξ f με ηεκ ζοκάνηεζε g Ακ f , g δύμ ζοκανηήζεηξ με πεδίμ μνηζμμύ ηα Α,Β ακηίζημηπα ηόηε μκμμάδμομε ζύκζεζε ηεξ f με ηεκ g θαη ηεκ ζομβμιίδμομε με gof ηεκ ζοκάνηεζε με ηύπμ (gof)(x)=g(f(x)) θαη πεδίμ μνηζμμύ 𝛢𝑔𝑜𝑓 ={x∈ 𝐴/𝑓(𝑥) ∈ 𝐵} 4. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη γκεζίωξ αύλμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ Η ζοκάνηεζε f ιέγεηαη γκεζίωξ αύλμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμύ ηεξ , όηακ γηα θάζε 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛥 με 𝑥1 < 𝑥2 ηζπύεη : 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 5. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη γκεζίωξ θζίκμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ Η ζοκάνηεζε f ιέγεηαη γκεζίωξ θζίκμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμύ ηεξ , όηακ γηα θάζε 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛥 με 𝑥1 < 𝑥2 ηζπύεη : 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 6. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ιέμε όηη πανμοζηάδεη ζημ 𝒙𝟎 μιηθό μέγηζημ Μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ζα ιέμε όηη πανμοζηάδεη ζημ 𝑥𝑜 μιηθό μέγηζημ ημ 𝑓 𝑥0 όηακ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) γηα θάζε 𝑥 ∈ 𝐴 7. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ιέμε όηη πανμοζηάδεη ζημ 𝒙𝟎 μιηθό ειάπηζημ Μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ζα ιέμε όηη πανμοζηάδεη ζημ 𝑥𝑜 μιηθό ειάπηζημ ημ 𝑓 𝑥0 όηακ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ) γηα θάζε 𝑥 ∈ 𝐴 8. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ιέμε όηη είκαη 1-1 Μηα ζοκάνηεζε f:A→ ℝ ιέγεηαη ζοκάνηεζε 1-1 όηακ γηα θάζε 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛢 ηζπύεη ε ζοκεπαγωγή : Ακ 𝑥1 ≠ 𝑥2 ηόηε 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 9. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ακηηζηνέθεηαη θαη πωξ Μηα ζοκάνηεζε f:A→ ℝ ακηηζηνέθεηαη, ακ θαη μόκμ ακ είκαη 1-1. Η ακηίζηνμθε ζοκάνηεζε ηεξ f ζομβμιίδεηαη με 𝑓 −1 θαη μνίδεηαη από ηεκ ζπέζε 𝑓 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

Σελίδα 2

10. Να δηαηοπώζεηε ημ Κνηηήνημ Πανεμβμιήξ Έζηω μη ζοκανηήζεηξ f,g,h . Ακ : 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑕(𝑥) θμκηά ζημ 𝑥0 , θαη lim𝑥→𝑥 0 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑥 0 𝑕 𝑥 = 𝑙 ηόηε θαη lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝑙 11. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη ζοκεπήξ ζε έκα ζεμείμ 𝒙𝟎 Μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη ζοκεπήξ ζε έκα ζεμείμ 𝑥0 ημο πεδίμο μνηζμμύ ηεξ όηακ lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 12. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη ζοκεπήξ ζε έκα θιεηζηό δηάζηεμα [α,β] Μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη ζοκεπήξ ζε έκα θιεηζηό δηάζηεμα [α,β] , όηακ είκαη ζοκεπήξ ζε θάζε ζεμείμ ημο (α,β) θαη επηπιέμκ ηζπύεη lim𝑥→𝛼 + 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝛼 𝜅𝛼𝜄 lim𝑥→𝛽 − 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝛽 .

13. Να δηαηοπώζεηε ημ ζεώνεμα Bolzano Έζηω μηα ζοκάνηεζε f ,μνηζμέκε ζε έκα θιεηζηό δηάζηεμα [α,β]. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β] θαη επηπιέμκ 𝑓 𝛼 ∙𝑓 𝛽 <0 ηόηε οπάνπεη έκα, ημοιάπηζημκ 𝑥0 ∈ 𝛼, 𝛽 𝜏έ𝜏𝜊𝜄𝜊 ώ𝜎𝜏𝜀 𝑓 𝑥0 = 0 Γεωμεηνηθή Ενμεκεία: Η γναθηθή πανάζηαζε ηεξ f ηέμκεη ημκ άλμκα x’x ζε έκα ημοιάπηζημκ ζεμείμ με ηεημεμέκε 𝑥0 ∈ 𝛼, 𝛽 14. Να δηαηοπώζεηε ημ Θεώνεμα Εκδηαμέζωκ Σημώκ Έζηω μηα ζοκάνηεζε f ,μνηζμέκε ζε έκα θιεηζηό δηάζηεμα [α,β]. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β] θαη επηπιέμκ 𝑓 𝛼 ≠𝑓 𝛽 ηόηε, γηα θάζε ανηζμό ε μεηαλύ ηωκ f(α) θαη f(β) οπάνπεη έκα,ημοιάπηζημκ 𝑥0 ∈ 𝛼, 𝛽 𝜏έ𝜏𝜊𝜄𝜊 ώ𝜎𝜏𝜀 𝑓 𝑥0 = 𝜂 .

15. Να δηαηοπώζεηε ημ Θεώνεμα Μεγίζηεξ θαη Ειαπίζηεξ Σημήξ Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β] , ηόηε ε f παίνκεη [α,β] μηα μέγηζηε ηημή Μ θαη μηα ειάπηζηε ηημή m. Δειαδή , οπάνπμοκ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛼, 𝛽 ηέημηα ώζηε, ακ m=f(x1) θαη Μ=f(x2) , κα ηζπύεη : 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝛼, 𝛽 16. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη παναγωγίζημε ζημ ζεμείμ x0 ημο πεδίμο μνηζμμύ ηεξ Μηα ζοκάνηεζε f ιέμε όηη είκαη παναγωγίζημε ζ’ έκα ζεμείμ x0 ημο πεδίμο μνηζμμύ ηεξ , ακ θαη μόκμ ακ οπάνπεη ημ όνημ lim𝑥→𝑥 0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

θαη είκαη πναγμαηηθόξ ανηζμόξ . Τμ όνημ αοηό μκμμάδεηαη πανάγωγμξ θαη

ζομβμιίδεηαη με 𝑓 ′ 𝑥0 . 𝛥𝜂𝜆𝛼𝛿ή 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

17. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη παναγωγίζημε ζημ θιεηζηό δηάζηεμα [α,β] Η f είκαη παναγωγίζημε ζε έκα θιεηζηό δηάζηεμα [α, β] ημο πεδίμο μνηζμμύ ηεξ , όηακ είκαη παναγωγίζημε ζημ (α,β) θαη επηπιέμκ ηζπύεη lim𝑥→𝛼 +

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝛼) 𝑥− 𝛼

∈ ℝ θαη lim𝑥→𝛽 −

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝛽) 𝑥− 𝛽

∈ℝ

Σελίδα 3

18. Να δηαηοπώζεηε ημ Θεώνεμα Rolle Ακ μηα ζοκάνηεζε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β] , παναγωγίζημε ζημ (α,β) θαη ηζπύεη f(α)=f(β) , ηόηε οπάνπεη έκα, ημοιάπηζημκ 𝜉 ∈ 𝛼, 𝛽 𝜏έ𝜏𝜊𝜄𝜊 ώ𝜎𝜏𝜀 𝑓 ′ 𝜉 = 0 Γεωμεηνηθή Ενμεκεία: Υπάνπεη έκα, ημοιάπηζημκ 𝜉 ∈ 𝛼, 𝛽 ηέημημ ώζηε ε εθαπημμέκε ηεξ Cf ζημ Μ(λ,f(λ)) κα είκαη πανάιιειε ζημκ άλμκα x’x 19. Να δηαηοπώζεηε ημ Θεώνεμα Μέζεξ Σημήξ Ακ μηα ζοκάνηεζε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β] , παναγωγίζημε ζημ (α,β) , ηόηε οπάνπεη έκα, ημοιάπηζημκ 𝜉 ∈ 𝛼, 𝛽 ηέημημ ώζηε 𝑓 ′ 𝜉 =

𝑓 𝛽 −𝑓(𝑎) 𝛽− 𝛼

.

Γεωμεηνηθή Ενμεκεία: Υπάνπεη έκα, ημοιάπηζημκ 𝜉 ∈ 𝛼, 𝛽 ηέημημ ώζηε ε εθαπημμέκε ηεξ Cf ζημ Μ(λ,f(λ)) κα είκαη πανάιιειε ηεξ εοζείαξ ΑΒ όπμο Α(α,f(α)) θαη Β(β,f(β)).

20. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α πανμοζηάδεη ζημ x0∈ 𝜜 ημπηθό μέγηζημ Μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ιέμε όηη πανμοζηάδεη ζημ x0∈ 𝛢 ημπηθό μέγηζημ, όηακ οπάνπεη δ>0 , ηέημημ ώζηε 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥0 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑥0 − 𝛿 , 𝑥0 + 𝛿 . Τμ x0 ιέγεηαη ζέζε ή ζεμείμ ημπηθμύ μεγίζημο , εκώ ημ f(x0) ημπηθό μέγηζημ ηεξ f.

21. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α πανμοζηάδεη ζημ x0∈ 𝜜 ημπηθό ειάπηζημ Μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμύ ημ Α ιέμε όηη πανμοζηάδεη ζημ x0∈ 𝛢 ημπηθό ειαπηζημ, όηακ οπάνπεη δ>0 , ηέημημ ώζηε 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥0 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑥0 − 𝛿 , 𝑥0 + 𝛿 . Τμ x0 ιέγεηαη ζέζε ή ζεμείμ ημπηθμύ ειαπίζημο , εκώ ημ f(x0) ημπηθό ειάπηζημ ηεξ f.

22. Να δηαηοπώζεηε ημ Θεώνεμα Fermat Έζηω μηα ζοκάνηεζε f μνηζμέκε ζ’ έκα δηάζηεμα Δ θαη x0 εζωηενηθό ζεμείμ ημο Δ. Ακ ε f πανμοζηάδεη ημπηθό αθνόηαημ ζημ x0 θαη είκαη παναγωγίζημε ζημ ζεμείμ αοηό , ηόηε f’(x0)=0 23. Πμηα ιέγμκηαη θνίζημα ζεμεία μηαξ ζοκάνηεζεξ f ζε έκα δηάζηεμα Δ Κνίζημα ζεμεία ηεξ f ζημ δηάζηεμα Δ ιέγμκηαη ηα εζωηενηθά ζεμεία ημο Δ, ζηα μπμία ε f δεκ παναγωγίδεηαη ή ε πανάγωγμξ ηεξ είκαη ίζε με ημ μεδέκ.

24. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη θονηή ζε έκα δηάζηεμα Δ Η ζοκάνηεζε f ιέγεηαη θονηή ή όηη ζηνέθεη ηα θμίια πνμξ ηα άκω ζ’ έκα δηάζηεμα Δ όηακ είκαη ζοκεπήξ ζημ Δ θαη ε f’ είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζημ εζωηενηθό ημο Δ.

25. Πόηε μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη θμίιε ζε έκα δηάζηεμα Δ Η ζοκάνηεζε f ιέγεηαη θμίιε ή όηη ζηνέθεη ηα θμίια πνμξ ηα θάηω ζ’ έκα δηάζηεμα Δ όηακ είκαη ζοκεπήξ ζημ Δ θαη ε f’ είκαη γκεζίωξ θζίκμοζα ζημ εζωηενηθό ημο Δ.

26. Πόηε ημ ζεμείμ Α(x0,f(x0)) ιέγεηαη ζεμείμ θαμπήξ μηαξ ζοκάνηεζεξ f Τμ ζεμείμ Α(x0,f(x0)) ιέγεηαη ζεμείμ θαμπήξ μηαξ ζοκάνηεζεξ f όηακ ε f είκαη θονηή ζημ (α, π0) θαη θμίιε ζημ (π0,β) ή ακηηζηνόθωξ θαη ε Cf έπεη εθαπημμέκε ζημ ζεμείμ Α(x0,f(x0))

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

Σελίδα 4

27. Πόηε ιέμε όηη ε εοζεία x=x0 είκαη θαηαθόνοθε αζύμπηωηε ηεξ Cf Η εοζεία x=x0 ιέγεηαη θαηαθόνοθε αζύμπηωηε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f , ακ έκα ημοιάπηζημκ από ηα όνηα lim𝑥→𝑥 0+ 𝑓(𝑥) ή lim𝑥→𝑥 0− 𝑓(𝑥) είκαη +∞ ή − ∞ 28. Πόηε ιέμε όηη ε εοζεία y=𝓵 ιέγεηαη μνηδόκηηα αζύμπηωηε ηεξ Cf ζημ +∞ (ακηηζημίπωξ ζημ -∞) Η εοζεία y=ℓ ιέγεηαη μνηδόκηηα αζύμπηωηε ηεξ Cf ζημ +∞ (ακηηζημίπωξ ζημ -∞) όηακ lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = ℓ (ακηηζημίπωξ lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = ℓ ζημ ζημ −∞) 29. Πόηε ε εοζεία y=ιx+β ιέγεηαη αζύμπηωηε ηεξ Cf ζημ +∞ (ακηηζημίπωξ ζημ -∞) Η εοζεία y=ιx+β ιέγεηαη αζύμπηωηε ηεξ Cf ζημ +∞ (ακηηζημίπωξ ζημ -∞) ακ lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 − (𝜆𝑥 + 𝛽) = 0 (ακηηζημίπωξ ακ lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 − (𝜆𝑥 + 𝛽) = 0 ) .

30. Ση μκμμάδμομε ανπηθή μηαξ ζοκάνηεζεξ f ζε έκα δηάζηεμα Δ Ανπηθή ζοκάνηεζε ή πανάγμοζα ηεξ f ζε έκα δηάζηεμα Δ , μκμμάδμομε θάζε ζοκάνηεζε F πμο είκαη παναγωγίζημε ζημ Δ θαη ηζπύεη 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝑥 ∈ 𝛥 .

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

Σελίδα 5

Α Π Ο Δ Ε Ι Ξ Ε Ι ΢ 1. Απόδεηλε Θεωνήμαημξ Εκδηαμέζωκ Σημώκ Αξ οπμζέζμομε όηη 𝑓 𝑎 < 𝑓 𝛽 . Τόηε ζα οπάνπεη ανηζμόξ ε ηέημημξ ώζηε 𝑓 𝛼 < 𝜂 < 𝑓 𝛽 . Θεωνμύμε ηεκ ζοκάνηεζε g(x)=f(x)-ε , με 𝑥 ∈ 𝛼, 𝛽 . Παναηενμύμε όηη : ε g είκαη ζοκεπήξ ζημ [α , β] αθμύ ε f είκαη ζοκεπήξ g(α)=f(α)-ε < 0 αθμύ f(α) < ε g(β)=f(β)-ε > 0 αθμύ f(β) > ε άνα g(α)g(β) < 0 . Γπμμέκωξ ζύμθωκα με ημ Θεώνεμα Bolzano οπάνπεη ημοιάπηζημκ έκα 𝑥0 ∈(α, β) ηέημημ ώζηε 𝑔 𝑥0 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥0 − 𝜂 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥0 = 𝜂 2. Ακ μηα ζοκάνηεζε f είκαη παναγωγίζημε ζ’έκα ζεμείμ x0 , ηόηε κα απμδείλεηε όηη ε f είκαη θαη ζοκεπήξ ζημ ζεμείμ αοηό Ανθεί κα δείλμομε όηη lim𝑥⟶𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 ⇔ lim𝑥⟶𝑥 0 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = 0 . Γηα 𝑥 ≠ 𝑥0 έπμομε : 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 =

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) ∙ 𝑥− 𝑥 0

lim𝑥→𝑥 0 [𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 ] =

μπόηε

𝑥 − 𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 lim𝑥→𝑥 0 [ 𝑥− 𝑥 0

∙ 𝑥 − 𝑥0 ] ∙ = lim𝑥→𝑥 0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) ∙ 𝑥− 𝑥 0

lim𝑥→𝑥 0 𝑥 − 𝑥0 = 𝑓 ′ 𝑥0 ∙ 0 = 0

αθμύ ε f είκαη παναγωγίζημε ζημ 𝑥0 . Άνα δείλαμε όηη lim𝑥⟶𝑥 0 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = 0 ⇔ lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0 ) δειαδή ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ x0 . 𝑥→𝑥 0

3. Ακ f(x)=c κα απμδείλεηε όηη f’(x)=0 Γηα 𝑥 ≠ 𝑥0 έπμομε : 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

𝑐−𝑐

= lim𝑥→𝑥 0 𝑥− 𝑥 = 0 𝑜

4. Ακ f(x)=x κα απμδείλεηε όηη f’(x)=1 Γηα 𝑥 ≠ 𝑥0 έπμομε : 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

𝑥− 𝑥

= lim𝑥→𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = lim𝑥→𝑥 0 1 = 1 𝑜

5. Ακ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝝂 κα απμδείλεηε όηη 𝒇′ 𝒙 = 𝝂𝒙𝝂−𝟏 𝑥−𝑥 0 𝑥 𝜈 −1 +𝑥 𝜈 −2 𝑥 0 +⋯+𝑥 0𝜈 −1 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥 𝜈 − 𝑥 0𝜈 = lim = lim 𝑥→𝑥 𝑥→𝑥 0 𝑥− 𝑥 𝑜 0 𝑥− 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 𝜈−1 𝜈−1 𝜈−1 𝜈−1 𝜈−1 ′ 𝑥0 = 𝑥0 + 𝑥0 + ⋯ 𝑥0 = 𝜈 𝑥0 . Άνα 𝑓 𝑥 = 𝜈𝑥 𝜈−1 .

Γηα 𝑥 ≠ 𝑥0 έπμομε : 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0 = lim𝑥→𝑥 0 𝑥 𝜈−1 + 𝑥 𝜈−2 𝑥0 + ⋯ +

6. Ακ 𝒇 𝒙 = 𝒙 κα απμδείλεηε όηη 𝒇′ 𝒙 = Γηα 𝑥 ≠ 𝑥0 έπμομε : 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0 =lim𝑥→𝑥 0

𝑥

2

−

𝑥0

2

𝑥− 𝑥 0 ( 𝑥+ 𝑥 0 )

= lim𝑥→𝑥 0

𝟏 𝟐 𝒙

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

, 𝒙>0

= lim𝑥→𝑥 0

𝑥− 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 ( 𝑥+ 𝑥 0 )

𝑥− 𝑥 0 𝑥− 𝑥 𝑜

= lim𝑥→𝑥 0

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

= lim𝑥→𝑥 0

1 𝑥+ 𝑥 0

=2

1 . 𝑥0

𝑥− 𝑥 0

𝑥+ 𝑥 0

𝑥− 𝑥 0 ( 𝑥+ 𝑥 0 )

Άνα 𝑓 ′ 𝑥 = 2

=

1 𝑥

.

Σελίδα 6

=

7. Ακ 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝝂 , 𝝂 ∈ ℕ∗ κα απμδείλεηε όηη 𝒇′ 𝒙 = −𝝂𝒙−𝝂−𝟏 Πνάγμαηη : 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 −𝜈

′

=

1 ′ 𝑥𝜈

=

1 ′ 𝑥𝜈 − 1 𝑥𝜈 ′ 𝑥𝜈 2

=

− 𝜈 𝑥 𝜈 −1 𝑥 2𝜈

= −𝜈 𝑥 −𝜈−1 .

𝟏

8. Ακ f(x)=εθx κα απμδείλεηε όηη 𝒇′ 𝒙 = 𝝈𝝊𝝂𝟐 𝒙 Πνάγμαηη : 𝑓 ′ 𝑥 = 𝜀𝜑𝑥

′

=

𝜂𝜇𝜒 ′ 𝜎𝜐𝜈𝜒

=

𝜂𝜇𝜒 ′ 𝜎𝜐𝜈𝜒 −𝜂𝜇𝜒 𝜎𝜐𝜈𝜒 ′ 𝜎𝜐𝜈 2 𝜒

=

𝜎𝜐𝜈𝜒𝜎𝜐𝜈𝜒 +𝜂𝜇𝜒𝜂𝜇𝜒 𝜎𝜐𝜈 2 𝜒

=

𝜎𝜐𝜈 2 𝜒+ 𝜂𝜇 2 𝜒 𝜎𝜐𝜈 2 𝜒

1

= 𝜎𝜐𝜈 2 𝜒

9. Ακ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝜶 , 𝜶 ∈ ℝ − ℚ , 𝒙 > 0 κα απμδείλεηε όηη 𝒇′ 𝒙 = 𝜶𝒙𝜶−𝟏 . Πνάγμαηη ακ, 𝑦 = 𝑥 𝛼 = 𝑒 𝛼𝑙𝑛𝑥 θαη ζέζμομε u=αlnx , ηόηε έπμομε: 𝑦 = 𝑒 𝑢 . Γπμμέκωξ 1 𝛼 𝑦 ′ = 𝑒 𝑢 ′ = 𝑒 𝑢 ∙ 𝑢′ = 𝑒 𝛼𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝛼𝑙𝑛𝑥 ′ = 𝑒 𝛼𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝛼 ∙ = 𝑥 𝛼 ∙ = 𝛼 ∙ 𝑥 𝛼−1 𝑥

𝑥

10. Ακ 𝒇 𝒙 = 𝜶𝒙 , 𝜶 > 0 κα απμδείλεηε όηη 𝒇′ 𝒙 = 𝜶𝒙 𝒍𝒏𝒂 Πνάγμαηη ακ, 𝑦 = 𝛼 𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑎 θαη ζέζμομε 𝑢 = 𝑥𝑙𝑛𝑎 , ηόηε έπμομε : 𝑦 = 𝑒 𝑢 . Γπμμέκωξ 𝑦 ′ = 𝑒 𝑢 ′ = 𝑒 𝑢 ∙ 𝑢′ = 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑎 ∙ 𝑥𝑙𝑛𝑎 ′ = 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑎 ∙ 𝑙𝑛𝑎 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 .

11. Ακ 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 κα απμδείλεηε όηη 𝒇′ 𝒙 =

𝟏 𝒙

- Ακ 𝑥 > 0 ηόηε 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 , ά𝜌𝛼 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥

=𝑥

′

1

- Ακ 𝑥 < 0 ηόηε 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 = ln⁡(−𝑥) μπόηε ζέημομε 𝑦 = ln −𝑥 𝜅𝛼𝜄 𝑢 = −𝑥 έ𝜒𝜊𝜐𝜇𝜀 𝑦 = 𝑙𝑛𝑢 . Γπμμέκωξ: 1 1 1 1 𝑦 ′ = 𝑙𝑛𝑢 ′ = 𝑢 ∙ 𝑢′ = −𝑥 ∙ −𝑥 ′ = −𝑥 ∙ −1 = 𝑥 .

1

Άνα ζε θάζε πενίπηωζε 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥

12. Έζηω μηα ζοκάνηεζε f μνηζμέκε ζε έκα δηάζηεμα Δ. Ακ f ζοκεπήξ ζημ Δ θαη f’(x)=0 γηα θάζε εζωηενηθό ζεμείμ x ημο Δ ηόηε κα απμδείλεηε όηη ε είκαη ζηαζενή ζε όιμ ημ δηάζηεμα Δ. Γηα κα είκαη f ζηαζενή ζημ Δ , ανθεί κα δείλμομε όηη ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛥 𝜄𝜎𝜒ύ𝜀𝜄 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 .

– Ακ 𝑥1 = 𝑥2 , ηόηε πνμθακώξ 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 - Ακ 𝑥1 < 𝑥2 ηόηε αθμύ f ζοκεπήξ ζημ [𝑥1 , 𝑥2 ] , f παναγωγίζημε ζημ (𝑥1 , 𝑥2 ) , ηόηε ε f ηθακμπμηεί ηηξ οπμζέζεηξ ημο Θεωνήμαημξ Μέζεξ Τημήξ , άνα ζα οπάνπεη λ∈(𝑥1 , 𝑥2 ) ηέημημ ώζηε 𝑓 ′ 𝜉 = Γπεηδή ημ λ εζωηενηθό ζεμείμ ημο Δ ηόηε: 𝑓′ 𝜉 = 0 ⇔

𝑓 𝑥 2 − 𝑓(𝑥 1 ) 𝑥2− 𝑥1

𝑓 𝑥 2 − 𝑓(𝑥 1 ) 𝑥2− 𝑥1

= 0 ⇔ 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2

- Ακ 𝑥1 > 𝑥2 ηόηε μμμίωξ απμδεηθκύεηαη όηη 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 Άνα ζε θάζε πενίπηωζε έπμομε όηη 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 , μπόηε ε f είκαη ζηαζενή ζε όιμ ημ Δ.

13. Έζηω δύμ ζοκανηήζεηξ f,g μνηζμέκεξ ζε έκα δηάζηεμα Δ. Ακ f,g είκαη ζοκεπείξ ζημ Δ θαη f’(x)=g’(x) γηα θάζε εζωηενηθό ζεμείμ ημο Δ, ηόηε οπάνπεη ζηαζενά c ηέημηα, ώζηε γηα θάζε x∈ 𝜟 κα ηζπύεη f(x)=g(x)+c .

- Η ζοκάνηεζε f- g είκαη ζοκεπήξ ζημ Δ ωξ δηαθμνά ζοκεπώκ ζοκανηήζεωκ - Γηα θάζε x εζωηενηθό ζεμείμ ημο Δ ηζπύεη: 𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 = 0 Άνα ε ζοκάνηεζε f- g είκαη ζηαζενή, μπόηε οπάνπεη ζηαζενά c ώζηε: 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑐 ⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑐 .

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

Σελίδα 7

14. Έζηω μηα ζοκάνηεζε f μνηζμέκε ζε έκα δηάζηεμα Δ. Ακ f ζοκεπήξ ζημ Δ θαη f’(x)>0 γηα θάζε εζωηενηθό ζεμείμ x ημο Δ ηόηε κα απμδείλεηε όηη ε είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζε όιμ ημ δηάζηεμα Δ. Γηα κα είκαη f γκεζίωξ αύλμοζα ζημ Δ , ανθεί κα δείλμομε όηη ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛥 𝜇𝜀 𝑥1 < 𝑥2 𝜄𝜎𝜒ύ𝜀𝜄 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 - Αθμύ f ζοκεπήξ ζημ [𝑥1 , 𝑥2 ] , f παναγωγίζημε ζημ (𝑥1 , 𝑥2 ) , ηόηε ε f ηθακμπμηεί ηηξ οπμζέζεηξ ημο Θεωνήμαημξ Μέζεξ Τημήξ , άνα ζα οπάνπεη λ∈(𝑥1 , 𝑥2 ) ηέημημ ώζηε 𝑓′ 𝜉 =

𝑓 𝑥 2 − 𝑓(𝑥 1 ) 𝑥2 − 𝑥1 ′

⇔ 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 = (𝑥2 − 𝑥1 ) 𝑓 ′ 𝜉

- Γπεηδή 𝑓 𝜉 > 0 θαη 𝑥2 − 𝑥1 > 0 ζα είκαη θαη 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 > 0 ⇔ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 Άνα ε f είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζε όιμ ημ Δ 15. Απόδεηλε Θεωνήμαημξ Fermat - Αξ οπμζέζμομε όηη ε f πανμοζηάδεη ζημ x0 ημπηθό μέγηζημ. Γπεηδή ημ x0 είκαη εζωηενηθό ζεμείμ ημο Δ θαη ε f πανμοζηάδεη ζε αοηό ημπηθό μέγηζημ , οπάνπεη δ>0 ηέημημ ώζηε 𝑥0 − 𝛿 , 𝑥0 + 𝛿 ⊆ 𝛥 θαη 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) (1) γηα θάζε 𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝛿 , 𝑥0 + 𝛿 .

– Γπηπιέμκ ε f είκαη παναγωγίζημε ζημ x0 , άνα: 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0+ Γπμμέκωξ :

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

= lim𝑥→𝑥 0−

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

- ακ 𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝛿 , 𝑥0 ηόηε 𝑥 < 𝑥0 ⇔ 𝑥 − 𝑥0 < 0 θαη ιόγω ηεξ (1) ζα είκαη 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) ≤ 0 άνα μπόηε ζα έπμομε 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0−

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

≥0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0

≤0

≥ 0 (2)

- ακ 𝑥 ∈ 𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿 ηόηε 𝑥 > 𝑥0 ⇔ 𝑥 − 𝑥0 > 0 θαη ιόγω ηεξ (1) ζα είκαη 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) ≤ 0 άνα 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 ) μπόηε ζα έπμομε 𝑓 ′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥 0+ 𝑥− 𝑥 0 ≤ 0 0 Άνα από ηηξ ζπέζεηξ (1) θαη (2) έπμομε 𝑓 ′ 𝑥0 =

(3) 0.

16. Έζηω μηα ζοκάνηεζε f παναγωγίζημε ζε έκα δηάζηεμα (α,β), με ελαίνεζε ίζωξ έκα ζεμείμ ημο x0 ζημ μπμίμ όμωξ ε f είκαη ζοκεπήξ. Ακ f’(x)>0 ζημ (α,x0) θαη f’(x)<0 ζημ (x0,β), ηόηε κα απμδείλεηε όηη ημ f(x0) είκαη ημπηθό μέγηζημ ηεξ f - Αθμύ f ζοκεπήξ ζημ x0 θαη f’(x)>0 γηα θάζε x∈(α,x0) ηόηε ε f είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζημ (α,x0] Έηζη έπμομε: 𝑥 ≤ 𝑥0 ⇔ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) (1) γηα θάζε x∈(α,x0] .

- Αθμύ f ζοκεπήξ ζημ x0 θαη f’(x)<0 γηα θάζε x∈( x0,β) ηόηε ε f είκαη γκεζίωξ θζίκμοζα ζημ [x0,β) Έηζη έπμομε: 𝑥 ≥ 𝑥0 ⇔ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) (2) γηα θάζε x∈[x0,β) .

– Άνα από ηηξ ζπέζεηξ (1) θαη (2) έπμομε 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) , γηα θάζε x∈(α,β), πμο ζεμαίκεη όηη ημ 𝑓(𝑥0 ) είκαη μέγηζημ ηεξ f ζημ (α, β) θαη άνα ημπηθό μέγηζημ αοηήξ.

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

Σελίδα 8

17. Έζηω μηα ζοκάνηεζε f παναγωγίζημε ζε έκα δηάζηεμα (α,β), με ελαίνεζε ίζωξ έκα ζεμείμ ημο x0 ζημ μπμίμ όμωξ ε f είκαη ζοκεπήξ. Ακ ε f’(x) δηαηενεί ζηαζενό πνόζεμμ ζημ (𝛂, 𝒙𝟎 ) ∪ (𝐱𝟎 , 𝛃), ηόηε ημ f(x0) δεκ είκαη ημπηθό αθνόηαημ θαη ε f είκαη γκεζίωξ μμκόημκε ζημ (α,β).

- Αθμύ ε f’(x) δηαηενεί ζηαζενό πνόζεμμ ζημ (α, 𝑥0 ) ∪ (x0 , β), έζηω όηη f’(x)>0 γηα θάζε x∈ (α, 𝑥0 ) ∪ (x0 , β). Γπεηδή ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ x0, ζα είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζε θαζέκα από ηα δηαζηήμαηα (α,x0] θαη [x0,β). Γπμμέκωξ γηα 𝑥1 < 𝑥0 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥0 < 𝑓 𝑥2 . Άνα ημ 𝑓 𝑥0 δεκ είκαη ημπηθό αθνόηαημ ηεξ f.

- Θα δείλμομε ηώνα όηη ε f είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζημ (α,β). Πνάγμαηη , έζηω x1 , x2 ∈(α,β) με 𝑥1 < 𝑥2 . Ακ x1 , x2 ∈ (α,x0], επεηδή ε f είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζημ (α,x0] ζα είκαη 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 Ακ x1 , x2 ∈ [x0,β), επεηδή ε f είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζημ [x0,β) ζα είκαη 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 Ακ 𝑥1 < 𝑥0 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥0 < 𝑓 𝑥2 Γπμμέκωξ ζε όιεξ ηηξ πενηπηώζεηξ ηζπύεη 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 , μπόηε ε f είκαη γκεζίωξ αύλμοζα ζημ (α , β).

18. Έζηω f μηα ζοκάνηεζε μνηζμέκε ζε έκα δηάζηεμα Δ. Ακ F είκαη μηα πανάγμοζα ηεξ f ζημ Δ, κα απμδείλεηε όηη: - Όιεξ μη ζοκανηήζεηξ ηεξ μμνθήξ G(x)=F(x)+c , c∈ ℝ είκαη πανάγμοζεξ ηεξ f ζημ Δ.

– Κάζε άιιε πανάγμοζα G ηεξ f ζημ Δ παίνκεη ηεκ μμνθή G(x)=F(x)+c , c∈ ℝ - Κάζε ζοκάνηεζε ηεξ μμνθήξ G(x)=F(x)+c , c∈ ℝ είκαη μηα πανάγμοζα ηεξ f ζημ Δ αθμύ: 𝐺 ′ 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐 ′ = 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 γηα θάζε 𝑥 ∈ 𝛥 - Έζηω G είκαη μηα άιιε πανάγμοζα ηεξ f ζημ Δ. Τόηε γηα θάζε 𝑥 ∈ 𝛥 ηζπύμοκ μη ζπέζεηξ: F’(x)=f(x) θαη G’(x)=f(x), μπόηε ζα είκαη θαη F’(x)=G’(x) γηα θάζε 𝑥 ∈ 𝛥. Άνα από ημ πόνηζμα ηεξ ζηαζενήξ ζοκάνηεζεξ ζα οπάνπεη ζηαζενά c∈ ℝ ηέημηα ώζηε G(x)=F(x)+c , γηα θάζε 𝑥 ∈ 𝛥

19. Έζηω f μηα ζοκεπήξ ζοκάνηεζε ζε έκα δηάζηεμα [α,β]. Ακ G είκαη μηα πανάγμοζα ηεξ f ζημ 𝜷

[α,β],κα απμδείλεηε όηη ∫𝜶 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝑮 𝜷 − 𝑮 𝜶 . 𝑥

𝑥

′

Γκωνίδμομε όηη ε ζοκάνηεζε 𝐹 𝑥 = ∫𝛼 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 είκαη μηα πανάγμοζα ηεξ f, αθμύ 𝐹 ′ 𝑥 = ∫𝛼 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥). Γπεηδή θαη ε G είκαη μηα πανάγμοζα ηεξ f ζημ [α, β], ζα οπάνπεη c∈ ℝ ώζηε: G(x)=F(x)+c. (1) 𝑎 - Γηα x=α ε (1)⇒ 𝐺 𝛼 = 𝐹 𝛼 + 𝑐 = ∫𝛼 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐 = 𝑐 , άνα c = G(α), επμμέκωξ G(x)=F(x)+G(α). (2) 𝛽

𝛽

- Γηα x = β ε (2)⇒ 𝐺 𝛽 = 𝐹 𝛽 + 𝐺 𝛼 ⇔ 𝐺 𝛽 = ∫𝛼 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐺(𝛼) ⇔ ∫𝛼 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐺 𝛽 − 𝐺 𝑎 .

Επιμέλεια σημειώσεων: Νίκος Κ Ράπτης

Σελίδα 9