Issuu on Google+

Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. 9 класс» Ю.Н. Макарычев и др., М.: «Просвещение», 1999 г.

учебно-практическое пособие

1


1.

а) f(−1)=−3⋅(−1)2+10=7; б) f(0)=−3+10=–3⋅02+10=10; 1 1 1 2 в) f( )=−3⋅( )2+10=–3⋅ +10= 9 . 9 3 3 3

2. 0 − 0,5 −0,5 = = −1 ; 0 + 0,5 0,5 1,5 − 0,5 1 = ; б) f(1,5)= 1,5 + 0,5 2 −1 − 0,5 −1,5 в) f(−1)= = = 3. − 1 + 0,5 − 0,5

а) f(0)=

3.

а) f(5)=53−10=125−10=115. б) f(4)=43−10=64−10=54. в) f(2)=23−10=8−10=−2. г) f(−3)=(−33)−10=−27−10=−37.

4.

1) ϕ(0)=02+0+1=1; 2) ϕ(1)=12+1+1=3; 3) ϕ(2)=22+2+1=4+2+1=7; 4) ϕ(3)=32+3+1=9+3+1=13; ϕ(0)+ϕ(1)+ϕ(2)+ϕ(3)=02+0+1+12+1+1+22+2+1+32+3+1=1+3+7+13=24.

5. 11 =−2,2. −5 4 б) −5x+6=−3; 5x=6+3; 5x=9; x=1 . 5 1 в) −5x+6=0; 5x=6; x=1 . 5

а) −5x+6=17; -5x=17−6; x=

6. а) x(x+4)=0; x1=0, x+4=0; x2=−4. x + 1 = 0 x +1 =0;  ; x=−1. б) 5− x 5 − x ≠ 0 2

www.5balls.ru


7. 4 =1;4=1⋅(6+x); 4-6=x; x=−2. 6+ x 4 б) =−0,5; 4=-0,5(6+x); 8=−6−x; x=−14. 6+ x 4 в) =0; 4=(6+x)⋅0; 4=0; нет решений. 6+ x а)

8. а) 0,5x−4=−5, 0,5x=−1, x= −

1 , x=−2. 0,5

4 , x=8. 0,5 6,5 в) 0,5x−4=2,5, 0,5x=6,5, x = , x=13. 0,5

б) 0,5x−4=0, 0,5x=4, x =

9. а) Область определения – все числа. б) Область определения – все числа. в) 5−x≠0, x≠5. Область определения – все числа, кроме 5. г) (х–4)(х+1)≠0; x−4≠0; x≠4 и x+1≠0; x≠−1. Область определения – все числа, кроме x=5; x=−1. д) x2+1=0 — нет решений. Область определения – все числа. е) х−5≥0; х≥5. Область определения: х≥5.

10. а) y=10x;

б) y=

6 5 x − 35

11. а) Область определения – все числа. б) 1+x≠0; x≠−1. Функция не определена при x=−1. в) 9+x≥0; х≥−9. Функция определена при всех x≥−9.

12. а) g(−4)=−3; g(−1)≈−2; g(1)=3; g(5)=3; б) g(х)=у при х≈1,3, х≈4,4; g(х)=−4 при х=−3; g(х)=0 при х=−5, х=0; в) Наибольшее значение функции равно 6 при х=3; наименьшее значение равно –4 при х=–3. г) Область значений: [−4; 6]. 3

www.5balls.ru


13. а) D(f)=(–∞; ∞); E(f)=(–∞; ∞). б) D(f)=(–∞; ∞); E(f)=(–∞; ∞).

в) D(f)=(–∞; 0)∪ (0; ∞); E(f)=(–∞; 0)∪(0; ∞). г) D(f)=(–∞; 0)∪ (0; ∞); E(f)=(–∞; 0)∪(0; ∞).

14.

1) y=x2: D(y)=R, E(y)=[0;+∞]. 2) y=x3: D(y)=R, E(y)=R. 3) y= x : D(y)=[0:+∞), E(y)=[0;+∞).

15. а) y=

2 ; x

б) y=−

2 ; x

в) y=

x ; 2

г) y=

x −2; 2

д) у=2−

x . 2

16. При x=0 y=−1, при x=

1 имеем y=0, значит, искомая функция 2

y=2x−1.

17.

а) |x|=3,5 при х=3,5 или x=–3,5; б) |x| <2 при х∈(−2; 2); в) |х|≥4 при х∈[4;∞) или x∈(−∞; −4]. Наименьшее значение функции достигается при x=0 и равно 0; наибольшего значения нет; Е(у)=[0; +∞). 4

www.5balls.ru


18. а) E(f)=(–8; 8); х∈[−3; 3] x −3 −2 y 8 −3

−1 7

б) E(f)=(0,5; 8); x∈[−1,5; 6] x 0 −1,5 −1 y 8 4 2

0 0

1 −7

1 4 3

3 4 5

2 −8

4 2 3

3 3

5 4 7

6 1 2

19. р(20)=2⋅20+20=60; р(40)=100; р(50)=100; 2 2 р(60)=− ⋅60+140=−40+140=100; р(90)=− 90+140=−60+140=80. 3 3

На промежутке времени [0, 40] вода нагревается, на [40; 60] — вода кипит, на промежутке времени [60; 150] — остывает. 5

www.5balls.ru


20. s(0)=15⋅0=0; s(1)=15⋅1=15; s(1,4)=17,5; s(2)=−12⋅2+35,5−24=11,5.

Велосипедист 1 ч 10 мин ехал в одну сторону, потом 20 мин стоял, а потом 1 час ехал в обратную сторону.

21.

а) −0,5(3x−4)+15x=4(1,5x+1)+3; −1,5x+2+15x=6x+4+3; 7,5х=5; 2 5 х= = . 7,5 3 б) (2x−3)(2x+3)−x2=12x−69+3x2; 4x2−6x+6x−9−x2=12x−69+3x2; 2 4x −x2−3x2−12x=9−69; −12x=−60; x=5.

22. а) 6x2−3x=0; 3x(2x−1)=0; 3х=0; x1=0 или 2x−1=0; x2=

1 . 2

б) x2+9x=0; x(x+9)=0; x1=0, х+9=0; x2=−9. в) x2−36=0; x2=36; x1,2= ± 36 ; х1=6; х2=−6. 1 г) 5x2+1=0; 5x2=−1; x2=− . Нет решений, т.к. квадрат любого 5 числа больше или равен нулю. д) 0,5x2−1=0; 0,5x2=1; x2=2; x1,2= ± 2 ; x1 = 2 ; x2 = − 2 . 1 −0,6 е) 0,6x+9x2=0; x(0,6+9x)=0; x2=0; 9х+0,6=0; x = ; x1=− . 9 15

6

www.5balls.ru


23. а) x2+7x+12=0; D=72−4⋅1⋅12=1; x1,2=

− 7 ± 1 − 7 ±1 = ; x1=−4, 2 ⋅1 2

x2=−3.

2 ± 12 x1=−5, x2=7. 2 5±7 1 в) 2x2−5x−3=0; D=(−5)2−4⋅2⋅(−3)=49; x1,2= , x1=− , x2=3. 2 4 8± 2 2 г) 3x2−8x+5=0; D=(−8)2−4⋅3⋅5=4; x1,2= , x1=1, x2=1 . 6 3 б) x2−2x−35=0; D=(2)2−4⋅1⋅(−35)=144; x1,2=

24. а) [0;6]; б) [14;16]; в) [6;14].

25.

В промежутке времени от 0 до 13 мин вода нагревалась от 20оС до 100оС, затем остывала до 70оС в промежутке от 13 до 28 мин. Время наблюдения — 28 мин. Наибольшее значение температуры равно 100°С.

26.

а) f(x)=0 при x=−5; −3; 1; 4. б) f(x)>0 при −7≤x<−5, −3<х<1 и 4<х≤5; f(x)<0 при −5<х<−3 и 1<х<4. в) f(x) возрастает при −4<х<−1 и 2<х<5, убывает при −7<х<−4 и −1<х<2

27. Функция g(х) определена на промежутке [–5; 5]; возрастает при х∈[−5; 0) и (2; 5], убывает при х∈(0; 2), отрицательна при х∈[−5; 3), положительна при −3<х≤5, при х=−3 равна нулю. Наименьшее значение g(−5)=−4, наибольшее −g(5)=6.

28. Функция имеет 4 нуля. g(x)=0 при х=–8; –2; 4; 8. а) g(х)<0 при х∈[−10; −8)∪(−2; 4)∪(8; 10]. б) g(х) убывает при х∈(−5; 0)∪(6; 10).

7

www.5balls.ru


29.

а)

б)

30. y

y

–3

0

3

а)

y 5

1 –4

x

0

2

x

б)

–3

0

x

2

в)

31. а) −0,8x+12=0; −0,8x=−12; x =

−12 = 15 . − 0,8

б) (3x−10)(x+6)=0; 3x−10=0, или x+6=0; т.е. x1=3

1 ; x=−6. 3

в) 4+2x=0 и x2+5≠0; 2x=−4; x=−2. г) нулей нет.

32. а) У уравнения 2,1x−70=0 существует решение (x=33

1 ), значит, 3

функция имеет один нуль. б) Уравнение 4x(x−2)=0 имеет 2 решения (x=0 и x=2), значит, функция имеет два нуля. 6− x в) У уравнения =0 существует одно решение (x=6), следоx вательно, функция имеет один нуль.

33. 1)

а) f(x)=−0,7x+350 f(x)=0 ⇒ −0,7x+350=0;

−0,7x=−350;

−350 = 500 . x= − 0,7

2)

f(x)>0

500

−0,7x+350>0;

−0,7x+350>0;

−350 = 500 . −0,7x>−350; x<500; x < − 0,7

8

www.5balls.ru


3) f(x)<0 ⇒ −0,7x+350<0; −0,7х<−350; х>500. б) f(x)=30x+10

1 −10 =− . 30 3 1 −10 2) f(x)>0 ⇒ 30х+10>0; 30х>−10; х> =− . 30 3 1 −10 3) f(x)<0 ⇒ 30х+10<0; 30х<−10; х< =− . 30 3

1) f(x)=0 ⇒ 30x+10=0; 30x=−10; x= 1 3

34. y=8x−5 (k=8>0) — возрастающая; у=−3x+11 (k=−3<0) — убывающая; y=−49x−100 (k=−49<0) — убывающая; y=x+1 (k=1>0) — возрастающая; y=1−x (k=−1<0) — убывающая.

35. а) y=1,5x−3 — линейная возрастающая функция, ее график — прямая. 1) y=0 ⇒ 1,5x−3=0; 1,5x=3; x=2. 3 2) y>0 ⇒ 1,5х−3>0; x > ; х>2. 1,5 3 3) y<0 ⇒ 1,5х−3<0; 1,5х<3; x < ; х<2. 1,5 4) k=1,5>0 ⇒ функция возрастает.

б) y=−0,6x+5 — линейная убывающая функция, ее график — прямая 9

www.5balls.ru


−5 1 =8 . − 0,6 3 −5 1 ; x<8 . 2) y>0 ⇒ −0,6x+5>0; −0,6x>−5; х< − 0,6 3 −5 1 ; x>8 . 3) y=0 ⇒ −0,6x+5<0; −0,6x<−5; x> − 0,6 3 1) y=0 ⇒ −0,6x+5=0; −0,6x=−5; x=

36. а) y=1,6x — график функции − прямая, k>0 1) y=0 при x=0 2) y>0 при x>0 3) y<0 при x<0 4) функция возрастает б) y=−0,4x — графиком функции является прямая, k<0 1) y=0 при x=0 2) y>0 при x<0 3) y<0 при x>0 4) функция убывает

37. 78 ; x=6. 13 78 б) f(x)>0 ⇒ 13x−78>0; 13x>78; x> ; x>6. 13 78 в) f(x)<0 ⇒ 13x−78<0; 13x<78; x< ; x<6. 13 k=13>0 ⇒ функция возрастающая. а) f(x)=0 ⇒ 13x−78=0; 13x=78; x=

38.

y=x2; D(y)=R, E(y)=[0; +∞); y=0 при x=0; y>0 при x≠0; функция возрастает при x>0 и убывает при x<0. y=x3; D(y)=R, E(y)=R; y=0 при x=0; y>0 при x>0; y<0 при x<0; функция возрастает при всех x. y= x ; D(y)=[0; +∞), E(y)=[0; +∞); y=0 при x=0; y>0 при всех x; функция возрастает при всех x∈D(y). y=|x|; D(y)=R, E(y)=[0; +∞); y=0 при x=0; y>0 при x≠0; функция возрастает при x>0 и убывает при x<0. 10

www.5balls.ru


39. 3 x 1) x≠0 ⇒ нулей нет; 2) k=3>0 ⇒ y>0 при х>0; 3) k=3>0 ⇒ y<0 при х<0; 4) k=3>0 ⇒ функция убывает на (−∞; 0)∪(0; ∞). а) y=

4 x 1) y≠0 ⇒ нулей нет; 2) k=−4<0 ⇒ y>0 при х<0; 3) k=−4<0 ⇒ y<0 при х>0; 4) k=−4<0 ⇒ функция возрастает на (−∞; 0)∪(0; ∞).

б) y=−

40.

а) 0,6x2−3,6x=0; 0,6x(x−6)=0; x1=0 или x−6=0; x1=6. б) x2−5=0; x2=5; x1,2= ± 5 ; x1 = 5 ; x2 = − 5 . в) 2x2+17x=0; x(2x+17)=0; x=0 или 2x+17=0; x2=0, 2x=−17; 17 x= − ; x1=−8,5. 2 9 . Нет решений, т.к. квадрат люг) 0,5x2+9=0; 0,5x2=−9; x2=− 0,5 бого числа есть число неотрицательное. 11

www.5balls.ru


41. а) g(2)= б) g(2)=

1 2

2 +5

1 1 1 1 1 = ; g(−2)= = = ⇒ g(2)=g(−2). 2 4+5 9 ( −2) + 5 4 + 5 9

=

−2 2 2 2 = ; g(−2)= = − ; т.е. g(2)>g(−2). 2 9 9 2 +5 (−2) + 5 2

в) g(2)= −2 = −2 = − 2 ; g(−2)= −(−2) = 2 = 2 ; т.е. g(2)<g(−2). 2 2 2 +5

4+5

9

(−2) + 5

4+5

9

42.

а) 4x–x3=x(4–x2)=(4−x2)x=(2+x)(2−x)x. б) a4–169a2=(a2−169)a2=(a+13)(a−13)a2. в) с3–8с2=(с−8)c2.

43.

Сначала решим уравнение x2–6x+7=0; D=(−6)2–4⋅1⋅7=8; 6± 8 ; x1=3+ 2 , x2=3– 2 . Следовательно, корнем уравнения x1,2= 2 является 3– 2 .

44. −1± 5 ; x1=–3, x2=2. 2 9±3 1 2 ; x1= , x2= . б) 9x2–9x+2=0; D=(−9)2–4⋅9⋅2=9; x1,2= 18 3 3 − 3 + 5 в) 0,2x2+3x–20=0; D=32–4⋅0,2(–20)=25; x1,2= x1=5, x2=–20. 0,4 г) –2x2–x–0,125=0, 16x2+8x+1=0; D=42–4⋅8⋅1=0; −8 ± 0 1 x1,2= =− . 32 4 −0,4 2 д) 0,1x +0,4=0; 0,1x2=–0,4; х2= ; x2=–4; Нет решений, т.к. 0,1 квадрат любого числа есть число неотрицательное. е) –0,3x2+1,5x=0; –3x=0; х1=0; х−5=0; х2=5. а) x2+x–6=0; D=12–4⋅1⋅(–6)=25; x1,2=

45. а) 10x2+5x–5=0; 2x2+х–1=0; D=12–4⋅2⋅(–1)=9; x1,2=

12

www.5balls.ru

−1 ± 3 ; 4


x1=

−1 − 3 2 1 = –1, x2= = . 4 4 2

6+0 =3. 2 2 ± 20 в) x2–2x–4=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(–4)=20; x1,2= ; x1=1– 5 , 2 x2=1+ 5 . б) –2x2+12x–18=0; x2–6x+9=0; D=(−6)2–4⋅1⋅9=0; x=

г) 12x2–12=0; 12(x2–1)=0; х2−1=0; х2=1; х= ± 1 ; x1=1, x2=–1.

46.

а) D=(−8)2–4⋅5⋅3=4>0, два корня. б) D=62–4⋅9⋅1=0, один корень. в) D=62–4⋅7⋅2=–20<0, нет корней. г) D=52–4⋅3=13>0, два корня.

47. а) D=16–4⋅4⋅(–3)=64>0. D=(−4)2−4⋅(−4)⋅3=64>0; два корня. б) D=16–4⋅4⋅3=–32<0; нет корней. в) D=144–4⋅9·4=0; один корень. г) D=144–4⋅9⋅(–4)=288>0; два корня.

48.

а) x2–6x–2=x2–2⋅x⋅3+32–32–2=(x–3)2–11 б) x2+5x+20=x2+2⋅x⋅2,5+(2,5)2–(2,5)2+20=(x+2,5)2+13,75. в) 2x2–4x+10=2(x2–2x+5)=2(x2–2⋅x⋅1+12–12+5)=2(x–1)2+8. 1 1 1 1 г) x2+x–6= (x2+2x–12)= (x2+2⋅1+12–12–12)= (x+1)2–6,5. 2 2 2 2

49.

а) x2–10x+10=x2–2⋅x⋅5+52–52+10=(x–5)2–15. 3 9 9 13 3 б) x2+3x–1=x2+2⋅x⋅ + − –1=(x+ )2– . 2 2 4 4 4 в) 3x2+6x–3=3(x2+2x–1)=3(x2+2⋅x⋅1+12–12–1)=3(x+1)2–6. 1 1 1 1 г) x2–x+2= (x2–4x+8)= (x2–2⋅x⋅2+22–22+8)= (x–2)2+1. 4 4 4 4

50.

а) x2–6x+10=x2–2⋅x⋅3+32–32+10=(x–3)2+1>0. б) 5x2–10x+5=5(x2–2x+1)=5(x–1)2≥0. в) –х2+20x–100=–(x2–20x+100)=–(x–10)2≤0. 13

www.5balls.ru


г) –2x2+16x–33=–2(x2–8x+ +

33 33 )=–2(x2–2⋅x⋅4+42–42+ )=–2((x–4)2+ 2 2

1 )=–2(x–4)2–1<0. 2

51.

1) x2–6x+11=x2–2⋅x⋅3+32–32+11=(x–3)2+2>0. 2) –x2+6x–11=–(x2–6x+11)=–((x–3)2+2)<0

52.

2x2–4x+6=2(x2–2x+3)=2(x2–2⋅x⋅1+12–12+3)=2((x–1)2+2)=2(x–1)2+4. При x=1 выражение 2x2–4x+6 принимает наименьшее значение, 2⋅12−4⋅1+6=2−4+6=4.

53. 1 2 1 1 1 x +2x+4= (x2+6x+12)= (x2+2⋅x⋅3+32–32+12)= ((x+3)2+3)= 3 3 3 3 1 1 = (x+3)2+1. При x=–3 выражение x2+2x+4 принимает наимень3 3 1 шее значение, (− 3)2 + 2(− 3) + 4 = 1 . 3

54. Пусть длина одного из катетов равна x см, тогда длина другого равна (6–x) см. Найдем площадь тре1 1 угольника: S(x)= x(6–x)= x2+3x. Вы2 2 1 делим квадрат двучлена: – x2+3x= 2 1 2 1 =– (x –6x+9–9)=– ((x–3)2–9)= 2 2 1 2 9 =– (x–3) + . Это выражение прини2 2 мает наибольшее значение при x=3, а это означает, что треугольник равнобедренный.

55. В соответствии с условием запишем квадратный трехчлен h(t): –5t2+50t+20=–5(t2–10t–4)=–5(t2–10t+25–25–4)=5(t–5)2+5⋅29. При t=5 выражение –5t2+50t+20 принимает максимальное значение. В этом случае h=h(5)=–5⋅25+250+20=270–125=145 (м). 14

www.5balls.ru


56. 0,5 x − 1 1 =0; 0,5x–1=0, 0,5х=1; х= ; x=2. 0,5 6 0,5 x − 1 1 ; x>2. >0; 0,5x–1>0, 0,5x>1, x > б) f(x)>0 ⇒ 0,5 6 0,5 x − 1 1 ; x<2. <0; 0,5x–1<0, 0,5x<1, x < в) f(x)<0 ⇒ 0,5 6

а) f(x)=0 ⇒

57. а) l(0)=60, l(25)=60(l+0,000012⋅25)=60(1+0,0003)=60+0,018= =60,018; l(25)–l(0)=60,018−60=0,018 (м). б) l(25)=60,018,l(50)=60(l+0,000012⋅50)=60(1+0,0006)=60+0,036= =60,036; l(50)–l(25)=60,036-60,018=0,018 (м).

58.

а) 3(x+4)2=10x+32; 3(x2+8x+16)=10x+32; 3x2+24x+48=10x+32; 2 − 14 ± 4 ; x1=–2 , x2=–2. 3x2+14x+16=0; D=142–4⋅3⋅16=4; x1,2= 6 3 б) 31x+77=15(x+1)2; 31x+77=15(x2+2x+1); 31x+77=15x2+30x+15; 1 ± 3721 ; x1=–2, 15x2–x–62=0; D=(−1)2–4⋅15⋅(–62)=3721; x1,2= 30 1 x2=2 . 15

59.

а) ab+3b–5a–15=−5(a+3)+b(a+3)=(b−5)(a+3). б) 2xy–y+8x–4=4(2x−1)+y(2x−1)=(4+y)(2x−1).

60. а)

3x2–24x+21=0;

x2–8x+7=0;

D=(−8)2–4⋅1⋅7=36;

x2=

24 + 6 =5. 3x2–24x+21=3(x–3)(x–5). 6

б)

5x2+10x–15=0;

x2=

−2 + 4 =1. 5x2+10x–15=5(x+3)(x−1). 2

x2+2x–3=0;

D=22–4⋅1⋅(–3)=16;

x1=

x1=

24 − 6 =3, 6

−2 − 4 =–3, 2

15

www.5balls.ru


1 1 2 1 x + x+ =0; x2+3x+2=0; D=32–4⋅1⋅2=1; 6 2 3 −3 + 1 1 1 1 2 1 =–1. x + x+ = (x+2)(x+1). x2= 6 2 3 6 2 в)

x2–12x+24=0;

г)

D=(−12)2–4⋅1⋅24=48;

x1=

x1=

−3 − 1 =–2, 2

12 − 4 3 =6–2 3 , 2

12 + 4 3 =6+2 3 . x2–12x+24=(x–6+2 3 )(x–6−2 3 ). 2 y2–16y+15=0; D=(−16)2–4⋅1⋅15=196; д) –y2+16y–15=0;

x2=

16 − 196 =1, 2 =(1−y)(y−15). y1=

y2=

16 + 196 =15. 2

–y2+16y–15=–(y–1)(y–15)=

е) –x2–8x+9=0; x2+8x–9=0; D=82–4⋅1⋅(–9)=100; x1=

− 8 − 100 =–9, 2

− 8 + 100 =1. –x2–8x+9=–(x+9) (x–1) = (x+9) (1–x). 2 5 +1 3 5 −1 =1, x2= ж) 2x2–5x+3=0; D=(−5)2–4⋅2⋅3=1; x1= = . 4 2 4 3 3 2 2x –5x+3=2(x– )(x–1)=2(x−1)(x− )=(x−1)(2x−3). 2 2 − 2 + 64 3 − 2 − 64 2 2 = , y2= =–1. з) 5y +2y–3=0; D=2 –4⋅5⋅(–3)=64; y1= 10 10 5 3 3 5y2+2y–3=5(y– )(y+1)=5(y+1)(y− )= =(y+1)(5y−3) 5 5 5 − 81 и) –2x2+5x+7=0; 2x2–5x–7=0; D=(−5)2–4⋅2⋅(–7)=81; x1= =–1, 4 7 5 + 81 7 x2= = . –2x2+5x+7=–2(x+1) (x– )=(x+1)(7−2x). 4 2 2 x2=

61. 1 1 1 1 1 =2(x2–x+ )=2(x2−2⋅ x + )=2(x– )2 4 2 2 4 2 б) –9x2+12x–4=–(9x2–12x+4)=−((32x)2−2⋅2⋅3x+22)=–(3x–2)2. в) 16a2+24a+9=((4a)2+2⋅3⋅4a+32)=(4a+3)2. г) 0,25m2–2m+4=((0,5m)2−2⋅2m⋅0,5+22)=(0,5–2)2. а) 2x2–2x+

16

www.5balls.ru


62. а) 2x2+12x–14=0; ⇒ x2+6x–7; D=62–4⋅1⋅(–7)=64; x1= 7, x2=

− 6 − 64 =– 2

− 6 + 64 =1. 2x2+12x–14=2 (х+7) (x–1). 2

б) –m2+5m–6=0; m2–5m+6=0; D=(−5)2–4⋅1⋅6=1; m1=

5 −1 =2, 2

5 +1 =3. –m2+5m–6=−(m−2)(m−3)=(2−m)(m−3). 2 −5 − 7 −5 + 7 1 =–2, x2= = . в) 3x2+5x–2=0; D=52–4⋅3⋅(–2)=49; x1= 6 6 3 1 3x2+5x–2=3(x+2)(x− )=(x+2)(3x−1). 3 13 − 5 2 13 + 5 3 2 = , x2= = . г) 6x –13x+6=0; D=(−13)2–4⋅6⋅6=25; x1= 3 2 12 12 2 3 2 6x –13x+6=6(x– ) (x– )=(3x–2) (2x–3). 3 2

m 2=

63. а)

10x2+19x–2=0;

D=192–4⋅10⋅(−2)=441;

x1= −19 − 21 =–2, 20

x2= −19 + 21 =0,1. 10x2+19x–2=10(x–0,1)(x+2). 20 б) 0,5x2–5,5x+15=0; x2–11x+30=0; D=(−11)2–4⋅1⋅30=1; x1= x2=

11 + 1 =6. 0,5x2–5,5x+15=0,5(x–6)(x–5). 2

11 − 1 =5, 2

64.

а) –3y2+3y+11=0; D=32–4⋅(−3)⋅11=141>0. Можно. б) 4b2 –9b+7=0; D=(−9)2–4⋅4⋅7=–31<0. Нельзя. в) x2 –7x+11=0; D=(−7)2–4⋅1⋅11=5>0. Можно. г) 3y2 –12y+12=0; D=(−12)2–4⋅3⋅12=0. Можно.

17

www.5balls.ru


65. 1 а) 1) 3x2+2x–1=0; D=22–4⋅3⋅(–1)=16; x1= −2 − 4 =–1, x2= −2 + 4 = . 3 6 6 1 2 3x +2x–1=3(x– ) (x+1)= (x+1) (3x–1). 3

2)

4x + 4

2

3x + 2 x − 1

=

4( x + 1) 4 . = ( x + 1)(3 x − 1) 3 x − 1

б) 1) 2a2–5a–3=0; D=52–4⋅2⋅(–3)=49; a1=

5−7 1 5+ 7 =– , a2= =3; 2 4 4

1 ) (a–3) = (2a+1) (a–3). 2

2a2–5a–3=2(a+

2 2) 2a − 5a − 3 = (2a + 1)(a − 3) = 2a + 1

3a − 9

3(a − 3)

3

в) 1) b2–b–12=0; D=(−1)2–4⋅1⋅(–12)=49; a1= b2–b–12= (b+3) (b–4). 2)

16 − b 2 2

b − b − 12

=

1+ 7 1− 7 =–3, a2= =4; 2 2

(4 + b ) (4 − b)(4 + b) =− (b + 3) (b + 3)(b − 4)

г) 1) 2y2+7y+3=0; D=72–4⋅2⋅3=25; y1=

1 −7 − 5 −7 + 5 =–3, y2= =– ; 2 4 4

1 )= (y+3) (2y+1). 2 2 2) 2 y + 7 y + 3 = ( y + 3)(2 y + 1) = 2 y + 1 . ( y − 3)( y + 3) y −3 y2 − 9

2y2+7y+3=2 (y+3) (y+

д) p2=

1)

p2–11p+10=0;

D=(−11)2–4⋅1⋅10=81;

p1=

11+ 9 =10; p2–11p+10= (p–1) (p–10). 2

2) –p2+8p+20=0; p2–8p–20=0; D=(−8)2–4⋅(–20)=144; p1= p2=

11− 9 =1, 2

8 + 12 =10; –p2+8p+20=– (p+2) (p–10). 2 p 2 − 11 p + 10 ( p − 1)( p − 10) p −1 . =− = 2 ( p − 10)( p + 2) p+2 20 + 8 p − p

18

www.5balls.ru

8 − 12 =–2, 2


66. а) 1) x2–11х+24=0; D=(−11)2−4⋅1⋅24=25; x1= 11 − 5 =3. 2 x 2 − 11x + 24 ( x − 8)( x − 3) x − 3 2) = = ( x − 8)( x + 8) x + 8 x 2 − 64

11 + 5 =8, 2

x2=

б) y2=

2y2+9y–5=0;

1)

D=92–4⋅2⋅(–5)=121;

y1=

−9 − 11 =–5, 4

1 −9 + 11 1 = . 2y2+9y–5=2 (y+5) (y– )= (y+5) (2y–1). 2 2 4

2)

2y2 + 9y − 5 2

4y −1

=

( y + 5)(2 y − 1) y+5 . = (2 y − 1)(2 y + 1) 2 y + 1

67. а) 1) x2–7x+6=0; D=(−7)2–4⋅1⋅6=25; x1=

7 + 25 7 − 25 =1, x2= =6. 2 2

x2–7x+6=(x–1) (x–6). 36 − x 2 (6 − x)(6 + x) 6+ x x+6 . 2) = = = 2 ( x − 1)( x − 6) − ( x − 1) 1 − x 6 − 7x + x 6 + x −9 + 6 −3 = При x=–9, = = −0,3 . 1 − x 1 − (−9) 10 6 + x −99 + 6 −93 = = = −0,93 . 1 − x 1 − ( −99) 100

При x=–99, При x=–999, б) x2=

x + 6 −999 + 6 −993 = = = −0,993 . 1 − x 1 − (−999) 1000

4x2+8x–32=0;

1)

D=82–4⋅4⋅(–32)=576;

x1=

−8 − 24 =–4, 8

−8 + 24 =2. 4x2+8x–32=4 (x+4) (x–2). 8

2)

4 x 2 + 8 x − 32 2

4 x − 16

При x=−1,

=

4( x + 4)( x − 2) x + 4 = 4( x − 2)( x + 2) x + 2

x + 4 −1 + 4 =3. = x + 2 −1 + 2

19

www.5balls.ru


x+4 5+4 2 = =1 x+2 5+2 7 x + 4 10 + 4 1 При x=10, = =1 . x + 2 10 + 2 6 При x=5,

68. Область определения функции у=х−х: x∈(–∞;+∞) и имеет графиком прямую. x 2 − 6x + 8 Функция y= не определена при x=2; решим уравнеx−2 ние x2–6x+8=0: D=(−6)2–4⋅1⋅8=4, отсюда x1=2, x2=4 и x2–6x+8=(x– x 2 − 6 x + 8 ( x − 4)( x − 2) = при x≠2 совпадает с 2)(x–4). Поэтому x−2 x−2 функцией y=x–4 при всех значениях, кроме х=2.

69. а)

x 2 −1 –11x–11=0; x 2 − 1 − 22 x − 22 =0, x2–22x–23=0; D=(−22)2– 2

22 − 24 22 + 24 =–1, x2= =23. 2 2 3( x 2 + x) − 2(8 x − 7) x 2 + x 8x − 7 =0; =0, 3x2+3x–16х+14=0; б) − 2 3 6 1 13 − 1 13 + 1 x2–13x+14=0; D=(−13)2–4⋅1⋅14=1; x1= =2, x2= =2 . 3 6 6 –4⋅1⋅(–23)=576; x1=

70.

а) 4x2–6x+2xy–3y=−3(2x+y)+2х(2x+y)= (2x–3) (2x+y). б) 4a3+2b3–2a2b–4ab2=4a(a2–b2)+2b(b2–a2)=4a(a2–b2)–2b(a2–b2)= 2 =(a –b2)(4a–2b)=2(a–b)(a+b)(2a–b).

71. С первого по 6-й день уровень воды возрастал от 0 до 6,2 дм, затем начал убывать и на 12-й день опустился до 4 дм.

72. Функция f(x) возрастает, проходя через III, II и I четверти, g(x) убывает, проходя через II, I и IV четверти. Значит, точка пересечения графиков может оказаться или во II, или в I четверти. Так как f(0)=2,1<g(0)=3 во II четверти точек пересечения нет. Значит, графики пересекаются в I четверти. 20

www.5balls.ru


73. x y

0 0

2 1

–2 1

–4 4

−3 9 4

3 9 4

−4 4

1 ⋅ 2,52 = 1,5625 ; 4 х=−1,5; у=0,5625; х=3,5; у=3,0625. б) При y=5 x≈–4,6 и 4,6. При y=3 x≈–3,4 и 3,4. При y=2 х≈–2,8 и 2,8. в) В (–∞; 0] — убывает; в [0; ∞) — возрастает. а)

х=−2,5;

y=

74. x

0

1

−1

2

–2

1 2 y 0 –2 –8 –8 −2 1 − 2 а) При х=1,5 у≈–4,5. При х=0,6 у≈–0,7. При х=1,5 у≈4,1. б) При у=–1,5 х≈–0,9 и 0,9. При у=–3 х≈– 1,2 и 1,2. При у=1,5 х≈–1,6 и 1,6. в) В (–∞; 0] — возрастает; в [0; ∞) — убывает. −

75. 1) x 0 y1 0

1 1

2) x 0 y2 0

1 1,8

2 4

3 –1 –2 –3 9 1 4 9 2 7,2

–1 1,8

–2 7,2

3) x 0 y3 0

1 2 3 –1 –2 –3 1 1 3 1 3 1 1 1 3 3 3 3 y2(0,5)>y1(0,5)>у3(0,5); y2(1)>y1(1)>у3(1); y2(2)>y1(2)>у3(2).

21

www.5balls.ru


76. 1) x 0 1 y1 0 0,4

2 1,6

3 3,6

–1 0,4

–2 1,6

–3 3,6

2) x 0 1 2 3 –1 –2 –3 y2 0 –0,4 –1,6 –3,6 –0,4 –1,6 –3,6 Е(у1)=[0;∞); Е(у2)=(∞; 0].

77. а) 1) При х=0 у=0; 2) при х≠0, то у<0; 3) у(х)=у(–х); 4) возрастает в (–∞; 0], убывает в [0; ∞); 5) при х=0 функция принимает наибольшее значение у=0; 6) Е(у)=(–∞; 0]. б) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0 у>0; 3) у(х)=у(–х); 4) убывает в (–∞; 0], возрастает в [0; ∞); 5) при х=0 функция принимает наименьшее значение у=0; 6) Е(у)=[0; ∞).

78. а) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0, то у>0; 3) у(х)=у(–х); 4) убывает в (–∞; 0], возрастает в [0; ∞); 5) при х=0 функция достигает наименьшего значения у=0; 6) Е(у)=[0; ∞). б) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0 у<0; 3) у(х)=у(–х); 4) возрастает в (–∞; 0], убывает в [0; ∞); 5) при х=0 функция принимает наибольшее значение у=0; 6) Е(у)=(–∞; 0]. 22

www.5balls.ru


79.

а) у=2х2; у=50. Приравняем: 50=2х2; x2=25; x=5 или x=–5. Пересекаются. б) у=2х2; у=100. Приравняем: 100=2х2; x2=50; x=5 2 или x=– 5 2 . Пересекаются. в) у=2х2; у=–8. Приравняем: –8=2х2; x2=–4. Нет корней, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. Не пересекаются. г) у=14х–20; у=2х2. Приравняем: 2x2=14x–20; 2x2–14x+20=0; 7+3 7−3 =5 или x= =2. При x=5 x2–7x+10=0; D=49–4⋅10=9; x= 2 2 y=14⋅5–20=50. Пересекаются.

80.

а) y(1,5)=(–100)·(1,5)2=–225 ⇒ принадлежит; б) y(–3)=(–100)·(–3)2=–900 ⇒ принадлежит; в) y(2)=–100⋅22=–400≠400 ⇒ не принадлежит.

81.

y=–x2; у=2x–3. Приравняем эти функции: 2x–3=–x2; x2+2x–3=0; −2 + 4 −2 − 4 D=4–4⋅(–3)=16; x1= =1, x2= =–3. 2 2

Если х=1 у=–(–3)2=–9.

у=–12=–1;

если

х=–3

82.

График функции S − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при r2 положителен), ее вершина — в точке (0, 0). Так как r≥0 получим график S(r) (r≥0) — это правая половина параболы у=πх2. x 1 2 3 S π 4π 9π 23

www.5balls.ru


а) S(1,3)≈5,3, S(0,8)≈2, S(2,1)≈13,8. б) S(r)=1,8 при r≈0,7, S(r)=2,5 при r≈0,9, S(r)=6,5 при r≈1,5.

83. Площадь поверхности куба есть сумма площадей его граней. Так как они — равные квадраты, их шесть; то S(x)=6x2. Так как x — ребро куба, то x≥0. Следовательно, график функции у=S(x) — это половина параболы y=6x2, расположенная в первой координатной четверти.

24

www.5balls.ru


1 3 1 5 1 2 2 3 2 3 6 2 3 1 2 16 13 24 y 0 3 2 2 3 а) S(0,9)≈4,9; S(1,5)≈13,5; S(1,8)≈19,5; б) S(x)=7 при x≈1,2; S(x)=10 при x≈1,3; S(x)=14 при x≈1,6. x

0

84.

а) 3x2–8x+2=0; D=(−8)2–4⋅3⋅2=40>0. Два корня. 1 б) – y2+6y–18=0; y2–12y+36=0; D=(−12)2–4⋅1⋅(−36)=0. Один ко2 рень. в) m2–3m+3=0; D=(−3)2–4⋅1⋅3=–3<0. Нет корней.

85. а) a2=

1)

10a2–a–2=0;

D=(−1)2–4⋅10⋅(–2)=81;

a1=

2 1 − 81 =– , 5 20

2 1 1 + 81 1 = ; 10a2–a–2=10 (a+ )(a– )= (5a+2) (2a–1). 20 2 5 2 2a − 1 (2a − 1) 1 2) = = 10a 2 − a − 2 (2a − 1)(5a + 2) 5a + 2 б) 1) 6a2–5a+1=0; D=(−5)2–4⋅6⋅1=1; a1=

6a2–5a+1=6 (a– 2)

1 1 )(a– )= (3a–1) (2a–1). 3 2

6a 2 − 5a + 1 1 − 4a 2

5 +1 1 5 −1 1 = , a2= = ; 12 3 2 12

=

(2a − 1)(3a − 1) (3a − 1) 1 − 3a . =− = − (2a − 1)(2a + 1) (2a + 1) 1 + 2a

86.

(x+3)2–(x–3)2=(x–2)2+(x+2)2; x2+6x+9–x2+6x–9=x2–4x+4+x2+4x+4; x +6x+9–x2+6x–9–x2+4x–4–x2–4x–4=0; −2x2+12x−8=0; x2–6x+4=0; 2

D=(−6)2–4⋅1⋅4=20;

x1=

6 + 20 = 3+ 5 ; 2

x2=

6 − 20 = 3− 5 , 2

25

www.5balls.ru


87.

а)

б)

в)

г)

88. y=x2 y=(x–5)2 y=(x+3)2

y=–x2+3 y=x2–4

89. y=x2+2

y=x2

y=(x+4)2

y=–x2–1

26

www.5balls.ru

y=–(x–3)2


90.

а) График функции y=10x2+5 − парабола, полученная из графика функции y=10x2 сдвигом на 5 единиц вверх. Значит, график функции y=10x2+5 расположен в I и II четвертях. б) График функции y=–7x2–3 получается из графика y=–7x2 сдвигом на 3 единицы вниз. Значит, график функции y=–7x2–3 расположен в III и IV четвертях. в) График функции y=–6x2+8 − парабола, полученная из графика функции y=–6x2 сдвигом вверх на 8 единиц. Значит, график функции y=–6x2+8 расположен во всех четырех четвертях. г) График функции y=(x–4)2 − парабола, полученная из графика функции y=x2 сдвигом вправо на 4 единицы. Поэтому график функции y=(x–4)2 расположен в I и II четвертях. д) График функции y=–(x–8)2 получается из параболы y=–x2 сдвигом вправо на 8 единиц, значит, график функции y=–(x–8)2 расположен в III и IV четвертях. е) График функции y=–3(x+5)2 получается из параболы y=–x2 сдвигом на 5 единиц влево и растяжением в 3 раза по вертикали, поэтому график функции расположен в III и. IV четвертях.

91. (x+3)2

а)

в)

(x+3)2

б)

г)

27

www.5balls.ru


92.

а)

б)

93. y=(x–2)2+3 y=x2

y=–(x–3)2+5

94. y=(x+3)2–4 y=x2

y=–(x–3)2–2

95. 1 (x+4)2 — это парабола, у которой ветви 3 направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами x=–4, y=0. 1 б) График функции y= (x–4)2 — это парабола, у которой ветви 3 направлены вверх, а вершина находится в точке с координатами x=4, y=–1. а) График функции y=–

28

www.5balls.ru


1 2 x +4 – это парабола, у которой ветви 3 направлены вверх, а вершина находится в точке с координатами x=0, y=–4. 1 г) График функции y=– x2–2 – это парабола, у которой ветви 3 направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами x=0, y=–2. в) График функции y=–

96. а) y=12x2–3; нуль функции: 12x2–3=0; 12x2=3; x2= x1=–

3 1 1 = ; x2= , 12 4 2

1 . 2

4 . Нет корней, 6 т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. в) y=–x2–4; нуль функции: –x2–4=0; –x2=4; x2=–4. Нет корней, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. б) y=6x2+4; нуль функции: 6x2+4=0; 6x2=–4; x2=–

97. y=0 ⇒ ax2+5=0; ax2=–5; х2= число неотрицательное, то −

−5 . Т.к. квадрат любого числа есть a

5 ≥ 0 ⇒ а < 0. a

98.

а) 0,6a–(a+0,3)2=0,27; 0,6a–a2–0,6a–0,09–0,27=0; −а2−0,36=0; a =–0,36, нет корней, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. y2 − 2y =0,5y(6–2y); y2–2y=2y(6–2y); у2−2у=12у−4у2; y2–2y– б) 4 12y+4y2=0; 14 5y2–14y=0; y(5y–14)=0; y=0 или 5y–14=0, 5у=14, у= =2,8. 5 2

99. а) 5x–0,7<3х+5,1; 5х–3х<5,1+0,7; 2х<5,8; х<

5,8 = 2,9. 2 29

www.5balls.ru


0,5 = 0,025. 2 3,6 в) 2x+4,2≤4х+7,8; 2x–4x≤7,8–4,2; –2х≤3,6; х≥ = –1,8. −2 −0,5 = 0,2. г) 3x–2,6>5,5х–3,1; 3х–5,5х>–3,1+2,6; –2,5х>–0,5; х< − 2,5

б) 0,8x+4,5≥5–1,2х; 0,8x+1,2х≥5–4,5; 2х≥0,5; х≥

100.

y(5)–y(2)=52–22=25−4=21. y(8)–y(5)=82–52=64−25=39. Таким образом, приращение функции при изменении х от 2 до 5 меньше приращения функции при изменении х от 8 до 5.

101. −4 b =2 уВ=22–4⋅2+7=3, (2; 3) — координаты верши=– 2a 2 ны х=2 — ось симметрии параболы. а) xВ=–

б)

xВ=–

−5 1 b =– = −1 2a 2 ⋅ (−2) 4

уВ=–2⋅(–

1 5 2 5 ) –5⋅(– )–2=1 , 4 4 8

1 1 1 ; 1 ) — координаты вершины; х=–1 — ось симметрии па4 4 8 раболы. (–1

102.

1) Т.к. коэффициент при х2 отрицательный, то график функции у=–х2+2х+8 − парабола, у которой ветви направлены вниз. 2) Найдем координаты вершины: хВ=–

b 2 =– =1; уВ=–12+2⋅1+8=9; (1; 9) 2a 2 ⋅ ( −1)

— координаты вершины; х=1 — ось симметрии параболы. 3) x 0 2 3 –1 –2 4 y 8 8 5 5 0 0 30

www.5balls.ru


а) При х=2,5 у≈6,5, при х=–0,5 у≈6,5, при х=–3 у≈–7. б) При у=6 х≈–0,8 и 2,8, при у=0 х=–2 и 4; при у=–2 х≈–2,2 и 4,4. в) х=–2;4 — нули функции; у>0 при х∈(–2; 4); у<0 при х∈(–∞; –2)∪(4; +∞). г) Возрастает при х∈(–∞; 1]; убывает при х∈[1; +∞); Е(у)=(–∞; 9].

103.

1) График функции у=2х2+8х+2 − парабола, у которой ветви направлены вверх. 2)

Найдем

координаты

вершины:

2

уВ=2(–2) +8(–2)+2=–6; х=–2 – ось симметрии. 3) x –1 –3 0 –4 y 4 –4 2 2

xв=– b = − 8 = 2a

2⋅2

=–2;

а) При х=–2,3 у≈–5,8, при х=–0,5 у=–1,5; при х=1,2 у≈14,5. б) При у=–4 х=–1 или 3; при у=–1 х≈–0,4 или –3,6; при у=1,7 х≈–0,2 или –3,8. в) х=–2+ 3 и х=–2– 3 — нули функции; у>0 при х∈(–∞; –2– 3 )∪(–2+ 3 ;+∞); у<0 при х∈(–2– 3 ; –2+ 3 ). г) Функция убывает при х∈(–∞; –2], возрастает при х∈[–2;+∞); при х=–2 функция достигает наименьшего значения, равного –6.

104. 1 3

а) 1) Графиком функции у= х2–4х+4 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Координаты вершины: (6; –8); х=6 – ось. 3) x 4 8 2 1 0 3 −1 31

www.5balls.ru


y

–6

2 3

–6

2 3

–2

2 3

1 3

4

8

1 3

−5

а) у=0 при х=6–2 6 ; 6+2 6 ; б) при х=0 у=4; в) график функции расположен в I, II, IV четвертях; г) график функции симметричен относительно оси х=6; д) возрастает при х∈[6; +∞), убывает при х∈(–∞; 6]; е) наименьшее значение функции у=–8 при х=6; Е(у)=[–8;+∞); 1 б) 1) Графиком функции у=– х2+х–1 является парабола, у кото4 рой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). 2) Координаты вершины: (2; 0); х=2 – ось симметрии. 3) x 1 3 0 –2 2 −1 y 0 –1 4 1 1 1 −2 – 4 4 4 а) При х=0 у=–1; б) при х≠0 у<0; в) график функции симметричен относительно оси х=2; г) функция возрастает при х∈(–∞; 2], убывает при х∈[2; +∞); д) при х=2 функция достигает наибольшего значения, равного 0; Е(у)=(–∞; 0]. в) 1) Графиком функции у=х2+3х является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Координаты вершины: (–1,5; –2,25); х=–1,5 – ось. 3) x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 0 –2 –2 0 4 10 18 а) При х=0 у=0; б) график функции расположен в I, II, III четвертях; в) график функции симметричен относительно оси х=–1,5; г) функция убывает при х∈(–∞; –1,5], возрастает при х∈[–1,5; +∞); 32

www.5balls.ru


д) наименьшее значение, равное 2,25 функция достигает при х=– 1,5; Е(у)=[–2,25; +∞).

105. 1 2 х +5 яв2 ляется парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины 0 b 2) хВ=– =− = 0; 1 2a 2⋅ − а) 1) Графиком функции у=–

( ) 2

1 уВ=– ⋅02+5=5; (0; 5). 2 3) x 1 –1 2 –2 0 y 4,5 4,5 3 3 5 б) 1) Графиком функции у=х2–4х является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положительный). Найдем координаты вершины b −4 =− = 2 ; уВ=22–4⋅2=–4; 2) хВ=– 2a 2 ⋅1 (2; –4). 3) x 0 1 4 −1 −2 y 0 –3 0 3 12 в) 1) Графиком функции у=–х2+6х–9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины 2) хВ=– (3; 0). 3) x y

106.

2 0

b 6 2 =− = 3 ; уВ=–3 +6⋅3–9=0; 2a 2 ⋅ ( −1)

0 −3

1 –4

2 –1

3 0

4 –1

5 –4

а) 1) Графиком функции у=0,5х2–2 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положительный). Найдем координаты вершины 33

www.5balls.ru


хв=–

2)

b 0 =− =0; 2a 2 ⋅ 0,5

ув=–0,5⋅02–2=–2;

(0; –2). 3) x y

–3 –2 –1 0 1 2 3 0 –1,5 −2 –1,5 0 1 1 2 2 2 2 б) 1) Графиком функции у=х2–4х+4 является парабола, у которой ветви направлены вверх, (т.к. коэффициент при х2 положительный).

−4 b = 2 уВ=22–4⋅2+4=0; (2; 0). =− 2a 2 ⋅1 3) x 0 1 2 3 −1 y 9 4 1 0 1 в) 1) Графиком функции у=–х2+2х является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины

2) хВ=–

b 2 =− = 1 , уВ=–12+2⋅1=–1+2=1; (1; 1). 2a 2 ⋅ (−1) −3 –2 –1 0 1 2 3 –15 –8 –3 0 1 0 –3

2) хВ=– 3)

x y 34

www.5balls.ru


107.

а) 1) Графиком функции у=(х–2)(х+4)=х2+2х–8 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положительный). Найдем координаты вершины: b 2 2) хВ=– =− = −1 , уВ=(–1)2+2⋅(–1)–8=–9; (–1; –9). 2a 2 ⋅1 3) x 0 –2 –1 1 2 –4 0 y –8 –8 –9 –5 0 0 −8

б) 1) Графиком функции у=–х(х+5)=–х2–5х является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины 2) хВ=–

−5 b =− = −2,5 , уВ=–(–2,5)2–5⋅(–2,5)=6,25; (–2,5; 6,25). 2a 2 ⋅ (− 1)

3)

x –1 0 1 y 4 0 –6 Используя симметрию относительно прямой х=–2,5 найдем еще три точки.

108. На рисунке изображена парабола, у которой ветви направлены вверх значит, это не у=–х2–6. Кроме того, нули изображенной функции расположены в точках х=0 и х=6 но у=х2+6х не обращаются в 1 2 х –3х – обращается в нуль и при х=0, и при х=6. 2 1 Значит, искомая функция –у= x 2 − 3x . 2

нуль при х=6, а у=

35

www.5balls.ru


109. 1) 3a2+5a–2=0; D=52–4⋅3⋅(–2)=49; a1=

−5 + 7 1 −5 − 7 = ; =–2, a2= 6 3 6

1 )(a+2)=(3a–1)(a+2); 3 (1 − 3a ) 2 (3a − 1) 2 3a − 1 = = . 2) 2 a a a+2 ( 3 1 )( 2 ) − + 3a + 5a − 2

3a2+5a–2=3(a–

110.

а) у=х2+3; E(y)=[3;+∞).

б) у=(х+1)2; E(y)=[0;+∞).

в) у=–х2+2; E(y)=(–∞; 2].

111.

а) (x–1)2+(x+1)2=(x+2)2–2x+2; x2–2x+1+x2+2x+1=x2+4x+4–2x+2; x +1+x2+1–x2–4x–4+2x–2=0; x2–2x–4=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(–4)=20; 2−2 5 2+2 5 =1– 5 , x2= =1+ 5 . x1= 2 2 2 б) (2x–3)(2x+3)–1=5x+(x–2) ; 4x2–9–1=5x+x2–4x+4; 3x2–x–14=0; 1 − 169 1 + 169 1 =–2, x2= =2 . D=(−1)2–4⋅3⋅(–14)=169; x1= 6 6 3 2

112. Обозначим площадь участка х га, тогда 35x (т) — соберут в первый раз 42x (т) — соберут во второй раз. Запишем уравнение: 35х+20=42х–50; 7х=70; х=10.

113. Пусть было х машин. Тогда 3,5х (т) — погрузили в первый раз 4,5x (т) — погрузили во второй раз. Запишем уравнение: 3,5х+4=4,5х–4; х=8.

114.

а) 1) График функции y=x2+2x−48 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 36

www.5balls.ru


2)

Решим

уравнение

x2+2x−48=0;

D=22−4⋅1⋅(−48)=

=196; x1= −2+ 2 196 =6, x2= −2− 2 195 =−8. 3) (–∞; 6). б) 1) График функции y=2x2−7x+6 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем корни уравнения 2x2−7x+6=0; D=(−7)2−4⋅2⋅6=1; x1= 7 − 1 =1,5, x2= 7 + 1 =2. 4 4 3) (–∞; 1,5)∪(2; ∞). в) 1) График функции y=−x2+2x+15 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −x2+2x+15=0; D=22−4⋅(−1)⋅15=64; x= 2 + 8 =5 или x= 2 − 8 =−3. 2 2 3) (–∞; –3)∪(5; ∞). г) 1) График функции y=−5x2+11x−6 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение–5x2+11x–6=0; 5x2–11x+6=0; D=112–4⋅(−5)⋅(−6)=1; x= 11+ 1 =1,2 или х= 11− 1 =1. 10 10 3) (1; 1,2). д) 1) График функции y=4x2–12x+9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 4x2–12x+9=0; D=(−12)2−4⋅4⋅9=0; x= 12 + 0 =1,5 8

3) (–∞; 1,5)∪(1,5; ∞). е) 1) График функции y=25x2+30x2+9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 25x2+30x+9=0; D=302− –4⋅25⋅9=0; x= −30 + 0 =−0,6 50

3) нет решений

37

www.5balls.ru


3) (0; 0,9).

ж) 1) График функции y=–10x2+9x является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –10x2+9x=0; x(–10x+9)=0; x=0 или −10x+9=0; 10x=9; x=0,9. з) 1) График функции у=–2x2+7х является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –2x2+7x=0; x(–2x+7)=0; x=0 или –2x+7=0; 2x=7; x=3,5.

3) ( -∞;0)∪(3,5; ∞).

115.

а) 1) График функции y=2x2+3x–5 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2+3x–5=0; D=32–4⋅2⋅(−5)= =49; x= −3 + 7 =1 или x= −3 − 7 =–2,5 4

4

3) (−∞; −2,5]∪[1; +∞). б) 1) График функции y=–6x2+6x+36 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –6x2+6x+36=0; x2–x–6=0 D=12–4⋅1⋅(–6)=25; x= 1+ 5 =3 или x= 1− 5 =–2 2

3) [-2; 3]

2

в) 1) График функции у=–x2+5 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –x2+5=0; x2=5; x= 5 или x= − 5

3) (–∞; − 5 ]∪[ 5 ; +∞)

116.

а) 1) График функции y=2x2+13x–7 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

38

www.5balls.ru


D=132–4⋅2⋅(−7)= Решим уравнение 2x2+13x=0; =225; х= −13 + 15 =0,5 или х= −13 − 15 =–7. 4 4 3) (–∞; –7)∪(0,5; ∞). б) 1) График функции y=–9x2+12x–4 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т. к коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –9x2+12x–4=0; 9x2– 2 +. 0 = 2 . 0; D=122–4⋅9⋅4=0; x= 12 + 0x==12 12x+4=0; D=122–4⋅9⋅4=0; 18 318 3 3) (−∞; 2 ) ∪ ( 2 ; ∞) . 3 3 в) 1) График функции y=6x2–13x+5 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 6x2–13x+5=0; D=132–4⋅6⋅5= =49; x= 13 + 7 = 1 2 или x= 13 − 7 = 1 . 12 3 12 2 1 2 3) [ ; 1 ] . 2 3 г) 1) Графиком функции y=–2x2–5x+18=0; является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –2x2–5x+18=0; 2x2+5x–18=0;

2)

D=52–4⋅2⋅(–18)=169; x= −5 + 13 =2 или x= −5 − 13 = 4

4

=–4,5. 3) (–∞; –4,5]∪[2; ∞). д) 1) График функции y=3x2–2x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 3x2–2x=0; x(3x–2)=0; x=0 или 3x–2=0; 3x=2; x= 2 . 3

3) (–∞; 0)∪( 2 ; ∞). 3

е) 1) График функции y=–x2+8 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение 8–x2=0; x2=8; x= 2 2 или 39

www.5balls.ru


x=− 2 2 3) (–∞; – 2 2 )∪( 2 2 ; ∞ ).

117.

а) 1) График функции y=2x2+5x+3 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2+5x+3=0; D=52–4⋅2⋅3=1; x= −5 + 1 =–1 или x= −5 − 1 =–1,5. 4

4

3) (–∞; –1,5)∪(–1; +∞). б) 1) График функции y=–x2 − 1 х − 1 является 3

36

параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффицие��т при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –x2 − 1 х − 1 =0; –x2+ 3 36 1 2 − +0 + 1 х + 1 =0; D=  1  − 4 ⋅ 1 =0; x= 3 =−1 .  3 36 2 6 3 36 3)  − ∞;− 1  ∪  − 1 ; + ∞  

6

118.

3) (−4; 4).

 6

а) 1) График функции y=x2–16 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2–16=0; (x–4)(x+4)=0; x–4+0; x=4 или x+4=0; x=−4. б) 1) График функции y=x2−3 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2−3=0; x2=3; x= 3 или x=− 3 .

3) (−∞; − 3 ]∪[ 3 ;+∞). 40

www.5balls.ru


в) 1) График функции y=0,2x2−1,8 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 0,2x2−1,8=0; 0,2x2=1,8; x2=9; x=3 или x=−3. 3) (−∞;−3)∪(3;+∞). г) 1) график функции у=–5x2–х является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −5x2−x=0;−x(5x+1)=0; x=0 или 5x+1=0, т.е. 5x=−1, x=− 1 . 5

3) (−∞; − 1 ]∪[ 0; +∞) 5

д) 1) График функции y=3x2+2x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 3x2+2x=0; x(3x+2)=0; x=0 или 3x+2=0, т.е. 3x=−2, x=− 2 3

3)  − 2 ; 0   3  е) 1) График функции y=7x−x2 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение 7x−x2=0; x(7−x)=0; x=0 или 7−x=0, т.е. x=7. 3) (−∞; 0)∪(7; +∞).

119.

а) 1) График функции y=0,01x2−1 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 0,01x2−1=0; 0,01x2=1; x2=100; x=10 или x=−10. 3) [−10; 10]. б) 1) График функции y= 1 x2−12 является параболой, у которой 2 ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

41

www.5balls.ru


2) Решим уравнение 1 x2−12=0; 1 x2=12; x2=24; 2 2 x= 2 6 или x=− 2 6 . 3) (−∞; − 2 6 )∪( 2 6 ;+∞). в) 1) График функции y=x2+4x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен) 2) Решим уравнение x2+4x=0; x(x+4)=0; x=0 или x+4=0, т.е. x=−4. 3) [−4; 0]. г) 1) График функции y= 1 х 2 − 1 является параболой, у которой 3 9 ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 1 х 2 − 1 =0; 1 х 2 = 1 ; 3 9 3 9 3 3 x2= 1 ; x= или x= − . 3 3 3 3 3 )∪( ;+∞). 3 3 д) 1) График функции y=5x2−2x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 5x2−2x=0; x (5x−2)=0; x=0 или 5x−2=0 т.е. 5x=2, x=0,4.

3) (−∞; −

3) (−∞; 0)∪(0,4;+∞). y x –0,5 0

120.

е) 1) График функции y=−0,6x2−0,3x является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −0,6x2−0,3x=0; −0,3x(2x+ +1)=0; x=0 или 2x+1=0 т.е. 2x=–1, x=–0,5. 3) (−∞; –0,5)∪(0; +∞).

а) 3x2+40x+10<−x2+11x+3; 2 3x +40x+10+x −11x−3<0; 4x2+29x+7<0. 1) График функции y=4x2+29x+7 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 4x2+29x+7=0; 2

–7

42

www.5balls.ru


D=292−4⋅4⋅7=729; x= −29 + 27 = − 1 или x= −29 − 27 =−7. 8 4 8 3) (−7; − 1 ). 4 б) 9x2−x+9≥3x2+18x−6; 9x2−x+9−3x2−18x+6≥0; 6x2−19x+15≥0. 1) График функции y=6x2−19x+15 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 6x2−19x+15=0; D=192−360=1; x= 19 + 1 = 1 2 или x= 19 − 1 = 1 1 . 12 3 12 2 1 2 3) (−∞; 1 ]∪[ 1 ; +∞). 2 3 2x2+8x−111<6x2−10x+18x−30; в) 2x2+8x−111<(3x−5)(2x+6); 2 2 2 2x +8x−111−6x +10x−18x+30<0; −4x −81<0. 1) График функции y=−4x2−81 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −4x2−81=0;−4x2=81; x2= − 81 нет корней, т.к. квадрат любого числа 4 есть число неотрицательное. 3) (−∞; +∞). г) (5x+1)(3x−1)>(4x−1)(x+2); 15x2+3x−5x−1>4x2−x+8x−2; 2 2 2 15x −4x +3x−5x−8x+x−1+2>0; 11x −9x+1>0. 1) График функции y=11x2−9x+1 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 11x2−9x+1=0; D=92−44=37; x= 9 + 37 или x= 9 − 37 . 22

22 3) (−∞; 9 − 37 )∪( 9 + 37 ; +∞). 22 22

121.

а) 2x(3x−1)>4x2+5x+9; 6x2−2x>4x2+5x+9; 2 2 6x −2x−4x −5x−9>0; 2x −7x−9>0. 1) График функции y=2x2−7x−9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2

43

www.5balls.ru


2) Решим уравнение 2x2−7x−9=0; D=72−4⋅2⋅(−9)=121; x= 7 + 11 =4,5 4

или x= 7 − 11 =−1. 4 3) (−∞; −1)∪(4,5; +∞). б) (5x+7)(x−2)<21x2−11x−13; 5x2+7x−10x−14−21x2+11x+13<0; −16x2+8x−1<0. 1) График функции y=−16x2+8x−1 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −16x2+8x−1=0; 16x2−8x+1=0; D=82−4⋅16⋅1=0; x= 8 + 0 = 1 32 4 1 1 3) (−∞; )∪( ;+∞). 4 4

122. а) y= 12 x − 3 x 2 т.к. подкоренное выражение должно быть неотрицательно ⇒ 12x−3x2≥0. 1) График функции y=−3x2+12x является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −3x2+12x=0; 3x(−x+4)=0; x=0 или −x+4=0 т.е. x=4. 3) [0; 4]. 1 Т.к. подкоренное выражеб) y= 2 x 2 − 12 x + 18 ние должно быть неотрицательно, значит, 2x2−12x+18≥0. Но 2x2−12x+18≥0 стоит в знаменателе ⇒ 2x2−12x+18≠0 Значит, 2x2−12x+18>0 1) График функции y=2x2−12x+18 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2–12x+18=0; x2–6x+9=0; D=(−6)2–4⋅1⋅9=0; x= 6 + 0 =3. 2

3) (−∞; 3)∪(3; +∞).

123.

а) 1) График функции y=7х2−10х+7 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 7х2–10х+7=0; D=(–10)2–4⋅7⋅7=−96<0. 3) х — любое.

44

www.5balls.ru


б) 1) График функции y=−6x2+11x−10 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −6x2+11x−10=0; 6x2−11x+10=0; D=(−11)2−4⋅6⋅10=−119<0. 3) x — любое. в) 1) График функции y= 1 x2−8x+64 является па4 раболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 1 x2−8x+64=0; 2) Решим уравнение 4 D=64−4⋅ 1 ⋅64=0; x= 8 +1 0 =16. 4 2

3) x — любое. г) 1) График функции y=−9x2+6x−1 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −9x2+6x−1=0; 9x2−6x+1=0; D=36−4⋅9⋅1=0; x= 6 + 0 = 1 . 18 3 3) x — любое.

124.

а) 1) График функции y=4x2+12x+9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 4x2+12x+9=0; D=144−4⋅4⋅9=0; x= −12 + 0 =−1,5. 8 3) x — любое. б) 1) График функции y=−5x2+8x−5 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −5x2+8x−5=0; 5x2−8x+5=0; D=64−4⋅5⋅5<0. 3) x — любое.

45

www.5balls.ru


125.

а) x2+7x+1>x2+10x−1; x2+7x+1+x2−10x+1>0; 2x2−3x+2>0. 1) График функции y=2x2−3x+2 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2−3x+2=0; D=(−3)2−4⋅2⋅2<0. 3) x — любое. б) −2x2+10x<18−2x;−2x2+10x−18+2x<0; −2x2+12x−18<0. 1) График функции y=−2x2+12x−18 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −2x2+12x−18=0; x2−6x+9=0; D=(−6)2−4⋅1⋅9=0; x= 6 + 0 =3. 2 3) х≠3.

126. Обозначим длину меньшей стороны прямоугольника x см, тогда длина большей стороны (x+7) см, а площадь прямоугольника x(x+7) см. Получим x(x+7)<60; x2+7x–60<0. Решим уравнение x2+7x–60=0; D=72+4⋅60=49+240=289; x= −7 + 17 =5 или x= −7 − 17 =−12 2 2 График функции y=x2+7x−60 — это парабола, у которой ветви направлены вверх. x2+7x−60<0 при −12<x<5. Так как по смыслу условия x>0, то окончательно 0<x<5.

127. Обозначим ширину прямоугольника x см, тогда его длина (x+5) см. x(x+5) см2 — площадь. По условию, x(x+5)>36; решим x2+5x−36>0. 1) График функции y=x2+5x−36 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2+5x−36=0; D=25− –4⋅(−36)=169; x= −5 + 13 =4 или x= −5 − 13 =−9. 2

3) x>4 см. 46

www.5balls.ru

2


128.

0,5 ⋅ 0 − 2 = − 2 ⇒ (0; − 2 ) точка пересечения с Оу. 3 3 3 0,5 х − 2 2) y=0 ⇒ =0; 0,5x−2=0; 0,5x=2; x=4 ⇒ (4; 0) — точка пе3 ресечения с Ох 3) Функция возрастающая. 1) x=0 ⇒ y=

129. 4 x − 21 < 0, а)   x + 3,5 > 0; 5 x − 9 ≤ 0, б)  2 x + 7 ≤ 0;

4 x < 21, −3,5<x<5,25   x > −3,5; 5 x ≤ 9, x≤−3,5  2 x ≤ −7;

5 x − 4 ≤ 10, 5 x ≤ 14, в)  1<x≤2,8  1 − 3x < −2; − 3x < −3; 3x − 6 > 5, 3 x > 11, нет решений. г)   1 − 4 x > 8; − 4 x > 7;

130. а) y4−y3+0,25y2=y2(y2−y+0,25)=у2(у2−

2

1 1 1 ⋅2⋅у⋅   ) =у2(2− ) 2 2 2  2 2

1 1 б) x3− 1 x2+ 1 x=x(x2– 1 x+ 1 )=х(х2−2⋅ ⋅х+   ) =x(x− 1 )2 2 16 2 16 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 в) x y +2x −8y −16=x (y +2)−8(y +2)=(y +2)(x −8)=(y +2)(x+2 2 )(x−2 2 ) г) 6a2b2+3b2−8a2−4b2=3b2(2a2+b)−4(2a2+b)=(2a2+b)(3b2−4)= =(2a2+b)(b 3 +2)( b 3 −2).

131. а)

б) (−∞;−8)∪(5;+∞)

в) (−∞; −8,5]∪[3,5; +∞)

. (−10; 14)

г) [− 1 ;− 1 ] 3 8

47

www.5balls.ru


132. а)

б) (−25; 30)

в)

(−∞;−6)∪(6;+∞) г)

[1;1 ] 5 3

(−∞; −6,3;]∪[−0,1; +∞)

133. а)

б) (−∞; −7)∪(−1; 4)

(2;5)∪(12; +∞) в) (−∞;−5)∪(−1; 0)∪(8;+∞)

134. а)

б) (48; 37)∪(42; ∞)

(−∞; −0,7)∪(2,8; 9,2)

135. а)

б) (−∞; −9)∪(2; 15)

(−6; 0)∪(5; +∞)

в) (1; 4)∪(8; 16)

136. а) 5(x−13)(x+24)<0; ; (x−13)(x+24)<0; (−24; 13). 1 1 1 1 б) −(x+ )(x+ )≥0 (x+ )(x+ ) ≤ 0; − 1 ;− 1  7 7 3 3  3 7 в) (x+12)(3−x)>0; −(x+12)(x−3)>0; (x+12)(x−3)<0; (−12; 3) 1 1 г) (6+x)(3x−1)≤0; 3(x+6)(x− )≤0; (x+6)(x− )≤0; − 6; 1  3 3 3 

137.

а) 2(х−18)(х−19)>0; (х−18)(х−19)>0; (−∞; 18)∪(19; ∞) б) −4(х+0,9)(х−3,2)<0; (х+0,9)(х−3,2)>0; (−∞; 0,9)∪(3,2; ∞) в) (7х+21)(х−8,5)≤0; 7(х+3)(х−8,5)≤0; (x+3)(x–8,5)≤0; [−3; 8,5] г) (8−х)(х−0,3)≥0; −(х−8)(х−0,3)≥0; (х−8)(х−0,3)≤0; [0,3; 8] 48

www.5balls.ru


138. а) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ (5−x)(x+8)≥0; −(x−5)(x+8)≥0; (x−5)(x+8)≤0; [−8; 5] б) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ (x+12)(x−1)(x−9)≥0; [−12; 1]∪[9; +∞)

139. а) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ (2х+5)(х−17)≥0; 2(х+2,5)(х−17)≥0; (х+2,5)(х−17)≥0; (−∞; −2,5]∪[17; +∞) б) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ x(x+9)(2x−8)≥0; 2x(x+9)(x−4)≥0; x(x+9)(x−4)≥0; [−9; 0]∪[4; +∞)

140.

а) х − 5 <0 ⇒ (х−5)(х+6)<0; (−6; 5)

х+6 1,4 − х <0 ⇒ (1,4−х)(х+3,8)<0; −(х−1,4)(х+3,8)<0; б) х + 3,8

(−∞; −3,8)∪(1,4; +∞) 2 х >0 ⇒ 2x(х−1,6)>0; х(х−1,6) > 0; (−∞; 0)∪(1,6; +∞) х − 1,6 5 х − 1,5 г) >0 ⇒ (5х−1,5)(х−4)>0; 5(х−0,3)(х−4)>0; (х−0,3)(х−4)>0; х−4

в)

(−∞; 0,3)∪(4; +∞)

141.

а) х − 21 <0 ⇒ (х−21)(х+7)<0; (−7; 21)

х+7 х б) + 4,7 >0 ⇒ (х+4,7)(х−7,2)>0; (−∞; −4,7)∪(7,2; +∞) х − 7, 2 6х + 1 >0 ⇒ (6х+1)(3+х)>0; 6(х+ 1 )(х+3)>0; (х+ 1 )(х+3)>0; в) 6 6 3+ х

(−∞; −3)∪(− 1 ;+∞) 6

г) 5 х <0 ⇒ 5х(4х−12)<0; х(4х−12)<0; 4х(х−3)<0; х(х−3)<0; 4 х − 12 (0; 3)

49

www.5balls.ru


142.

1) График функции y=x2−0,5x+1,5 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Вычислим координаты верш��ны: xв= −

−0,5 b =− =0,25; 2 2a

2 yв=  1  − 1 ⋅ 1 + 3 = 23 = 1 7 .

4

2 4

2

16

16

3)

x 1 2 0 y 2 4,5 1,5 Т.к. парабола симметрична относительно прямой x=0,25, найдем еще три точки графика. а) При x=0 у=1,5. б) График расположен в I и II четвертях. в) График симметричен относительно оси х=0,25. г) Функция убывает в (−∞; 0,25] возрастает в [0,25; ∞). 7 функция достигает при х=0,25. д) Наименьшего значения 1 16 7 Е(у)=[1 ; ∞). 16

143.

а) График функции у=3х2+4 можно получить из параболы у=3х2 сдвигом вверх на 4 единицы, значит, расположен в I и II четвертях. б) График функции у=−5х2−1 можно получить из параболы у=−5х2 сдвигом вниз на 1 единицу, значит, расположен в III и IV четвертях. в) График функции у=2х2−4 можно получить из параболы у=2х2 сдвигом вниз на 4 единицы, значит, расположен во всех четвертях.

144. 1 1 + 6х 6 + х 0)∪(0;+∞).

а) у=

⇒ х ≠ 0; и 6+х≠0; х≠−6; D(y)=(−∞;−6)∪(−6;

 х ≥ 0,  х ≥ 0, б) у= х − х − 4 ;  ⇒ ; D(y)=[4; +∞).  х − 4 ≥ 0;  х ≥ 4; 1 1 ; х≠0; ≠−1 ⇒ х≠−1; D(y)=(−∞;−1)∪(−1; 0)∪(0; ∞). в) у= 1 х 1+ х 50

www.5balls.ru


145. y=10x; D(f)=[0; 7]; f(0)=0, f(7)=70; E(f)=[0; 70].

146. Вычислим

высоту треугольника АВС: h= 25 − 9 = 16 = 4 (по теореме Пифагора). Так как

h 4 х = = , у AC 6

6 4

то:

y= x =1,5x.

Итак,

y=f(x)=1,5x; D(f)=[0; 4]; E(f)=[0; 6].

147. 2 −8 − 2 −10 −10 − 2 −12 3 = =1 ; = ; f(−8)= = 3 −8+ 2 −6 − 10 + 2 − 8 2 6−2 4 1 10 − 2 8 2 = = . f(−5)= −5 − 2 = −7 = 2 1 ; f(10)= = = ; f(6)= 6+2 8 2 10 + 2 12 3 3 −5+ 2 −3

f(−10)=

148. а) f(x)=5x−2; f(x)=10 ⇒ 5x−2=10; 5x=12; x=

12 5

б) f(x)=x2; f(x)=10 ⇒ x2=10; x= 10 или x=− 10 в) f(x)=x2+1; f(x)=10 ⇒ x2+1=10; x2=9; x=3 или x=−3.

149. 1) Найдем точку пересечения с Оy: x=0 ⇒ y= 2) Найдем точку пересечения с Ох: y=0 ⇒

1 02 +1

1 2

х +1

1 = =1 ⇒ (0; 1) 1

=0 — нет решений ⇒

нет точек пересечения с Ох. 3) График функции расположен в I и II координатных четвертях.

150. Скорость катера на пути от А до В (вниз по течению) равна 16+4=20 (км/ч), на обратном пути (вверх по течению) его скорость составляет 16−4=12 (км/ч). Расстояние от А до В катер пройдет за 60:20=3 (ч), расстояние от В до А — за 60:12=5 (ч). Получим: 20t , t ∈ [0; 3),  l(t)= 60, t ∈ [3; 5), 60 - 12t, t ∈ [6;10].  На отрезке [0;3] l(t} растет (катер удаляется от А), на [3; 5] l(t) не изменя51

www.5balls.ru


ется (катер на стоянке), на [5; 10] l(t) убывает (катер возвращается в А).

151. 6

1 –3

0 1

4

152.

2 x + 11 11 =0; 2x+11=0; 2x=−11; x=− . 2 10 6 =0; нулей функции нет. б) При y=0 ⇒ 8 − 0,5 x а) При y=0:

в) При y=0 ⇒

3 x 2 − 12 =0; 3x2−12=0; 3x2=12; x2=4; x1=−2, x2=2. 4

153. а) y=−0,01x k=−0,01; функция убывающая, т.к. k < 0. 1 1 б) y= х +3 k= ; функция возрастающая, т.к. k > 0. 7 7 в) y=16x k=16; функция возрастающая, т.к. k > 0. г) y=13−x k=−1; функция убывающая, т.к. k < 0.

154.

Функция y=x2: D(y)=(−∞; +∞); x2≥0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ y=x2 функция сохраняет знак. Функция y=x2+5: D(y)=(−∞; +∞); x2+5>0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ y=x2+5 функция сохраняет знак. 5 и 2x+5<0 Функция y=2x+5: D(y)=(−∞; +∞); 2x+5>0 при x≥ − 2 5 при x< − ⇒ функция не сохраняет знак на D(y). 2 Функция y=x3: D(y)=(−∞; +∞); y≥0 при x≥0 и y<0 при x<0 ⇒ функция не сохраняет знак на D(y). Функция y=−x2: D(y)=(−∞; +∞); y≤0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ функция сохраняет знак. 52

www.5balls.ru


Функция y=−x2−4: D(y)=(−∞; +∞); y≤0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ функция сохраняет знак. Функция y= x : D(y)=[0; +∞); y≥0 для всех x≥0 ⇒ функция сохраняет знак. Функция y= x +1: D(y)=[0; +∞); y≥0 для всех x≥0 ⇒ функция сохраняет знак. Функция y=x4+x2+6: D(y)=(−∞; +∞); y≥0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ функция сохраняет знак.

155. Изображенная на рисунке функция имеет область определения D=(−∞; 1]. Из данных функций только y= 1 − х определена на этой области (D( 1 − х )=[1; +∞); D( х + 1 )=[−1; +∞).

156. Функция y=|x−2| принимает нулевое значение в единственной точке х=2. Следовательно, ей соответствует график, изображенный на рисунке 41,б.

157. 1) Функция не определена только в точке х=0: при x>0 имеем 6 6 y= , при x<0 имеем y=− . Функция симметрична относительно х х оси Oy. 2) Составим таблицу значений функции: 1 2 3 5 6 x −6 −5 −3 −2 −1 6 6 2 3 6 6 3 2 1 y 1 5 5 3) Построим график.

53

www.5balls.ru


4) Функция возрастает на интервале (−∞; 0), убывает на интервале (0; +∞), множество ее значении — (0; +∞).

158. Подставим значение x=10−2 5 в трехчлен x2–20x+80. Получим (10−2 5 )2–20(10−2 5 )+80=100−40 5 +20−200+40 5 +80=0. Следовательно, 10−2 5 является корнем указанного трехчлена.

159. −4 + 8 1 2 2 =2, x + x−2=0; x2+4x−12=0; D=42−4⋅1⋅(−12)=64; x1= 6 3 2 −4 − 8 x2= =−6. 2 1 2 1 1 x − x− =0; 6x2−4x−3=0; D=(−4)2−4⋅6⋅(−3)=88; б) 2 3 4 2 + 22 2 − 22 , x2= . x1= 6 6 а)

в) −x2+4x−2 x2=

4+ 5 3 , =0; 4x2−16x+11=0; D=(−16)2−4⋅4⋅11=80; x1= 4 2

4− 5 . 2 г) 0,4x2−x+0,2=0; 2x2−5x+1=0; D=(−5)2−4⋅2⋅1=17; x1=

x2=

5 + 17 , 4

5 − 17 . 4

160.

а) Например, (x−2) (x+7)=x2+7x−2x−14=x2+5x−14. б)

Например,

(x−3− 2 )(x−3+ 2 )=x2−(3− 2 )x−(3+ 2 )x+

+(3− 2 )(3+ 2 )=x2−3x+ 2 x−3x− 2 x+9−2=x2−6x+7.

161.

Так как x=0 — корень трехчлена 2рх2−2х−2р−3, то −2p−3=0 ⇒ 3 3 3 3 p=− . При p=− имеем: 2(− )x2−2x−2(− )−3= 2 2 2 2 2 =−3x2−2x=−x(3x+2), поэтому второй корень трехчлена равен x=− . 3 54

www.5balls.ru


162.

а) 2x2−10x+3=0; D=(−10)2−4⋅2⋅3=76>0; по теореме Виета, x1+x2= b −10 c 3 =− = − =5, x1x2= = . a 2 a 2 1 б) x2+7x−2=0; x2+21x−6=0; D=212−4⋅1⋅(−6)=465>0; по теореме 3 Виета, x1+x2=−21, x1x2=−6. в) 0,5x2+6x+1=0; D=62−4⋅0,5⋅1=34>0; по теореме Виета, x1+x2=−12, x1x2=2. 1 2 1 1 1 2 1 1 1 x + x+ =0; D=   − 4 ⋅ (− )  = 0 > 0 ; по теореме Вие3 2 2 2 2   9  3 2 та, x1+x2= , x1x2=−1. 3

г)−

163. Выделим квадрат двучлена: а)

2x2−3x+7=2(x2− 3 x+ 7 )=2(x2−2⋅x⋅ 3 + 9 − 9 + 7 =2((x− 3 )2− 47 )= 2

2

4

16 16

4

2

16

=2(x− 3 )2−5 7 . 4 8 б) 2 1 −3x2+4x−1=−3(x2− 4 x + 1 )=−3(x2−2⋅x⋅ 2 + 4 − 4 + 1 )=−3((x− )2− )= 3 9 3 9 9 3 3 3 2 2 1 −3(x− ) + . 3 3 9 в) 5x2−3x=5(x2− 3 x)=5(x2−2x⋅ 3 + 9 − 9 )=5((x− 3 )2− )= 5

10 100 100

10

100

=5(x− 3 )2− 9 . 10

20

г) −4x2+8x=−4(х2−2x)=−4(x2−2⋅x⋅1+1−1)=−4((x−1)2−1)=−4(x−1)2+4.

164. а) Выделим квадрат двучлена: −х2+20x−103=−(x2−20x+103)=−(x2−2⋅x⋅10+100−100+103)= =−((x−10)2+3)<0. б) Выделим квадрат двучлена: х2−16х+65=x2−2⋅x⋅8+64−64+65=(x−8)2+1>0.

55

www.5balls.ru


165. а)

Выделим

квадрат

двучлена:

3x2−4x+5=3(x2−

4 5 + )= 3 3

2 4 4 5 2 11 2 11 + − + )=3((x− )2+ )=3(x− )2+ ⇒ наибольшего 3 9 9 3 3 9 3 3 2 2 значения нет; наименьшее 3 . При x = . 3 3 б) Выделим квадрат двучлена: −3x2+12x=−(x2−4x)= 2 2 2 =−3(x −2⋅x⋅2+4−4)=−3((x−2) −4)=−3(x−2) + +12 ⇒ наименьшего значения нет; наибольшее 12. При х = 2

3(x2−2x

166. Так как по условию, a+b=40 то a=40−b, тогда их произведение равно ab=b(40−b)=−b2+40b=−(b2−40b+400−400)=−(b−20)2+400. Наибольшее значение этого выражения достигается при b=20; тогда и a=40−b=40−20=20.

167.

а) 0,8х2−19,8х−5=0. Найдем корни: D=392,04−4⋅0,8⋅(−5)=408,04; 1 1 4 1 x=25 или x= − ; 0,8x2−19,8x−5= (x+ )(x−25)= (4x+1) ( x−5). 4 5 4 5 2 16 1 2 100 б) 3,5−3 x+ x2=0. Найдем корни: D= −4⋅3,5⋅ = ; 3 3 9 3 9 31 + 4 7 31 − 4 3 1 2 2 3 7 x= 23 3 = или x= 23 3 = ; 3,5−3 x+ x2= (x− )(x− )= 2 3 3 3 2 2 2 ⋅2 ⋅2 3 3 в) x2+x 2 −2=0. Найдем корни: D=2−4⋅1⋅(−2)=10; x= − 2 + 10

2 − 10 − 2 − 2 − 10 2 − 10 + 2 или x= x +x 2 −2=(x− )(x− ). 2 2 2 г) x2−x 6 +1=0. Найдем корни: D=6−4⋅1⋅1=2; x= 6 + 2 или 2 6− 2 2 6− 2 6+ 2 x −x 6 +1=(x− )(x− ) x= 2 2 2

168. а) 1) m2+6m+8=0; D=62−4⋅1⋅8=4; m1= m2+6m+8=(m+2)(m+4). 56

www.5balls.ru

−6 + 2 −6 − 2 =−2, m2= =−4; 2 2


2m 2 − 8

2)

2

m + 6m + 8

=

2(m 2 − 4) 2(m − 2)(m + 2) 2(m − 2) . = = (m + 2)(m + 4) (m + 2)(m + 4) m+4

б) 1) 2m2−5m+2=0; D=(−5)2−4⋅2⋅2=9; m1=

5−3 1 5+3 =2, m2= = ; 4 4 2

1 )=(m−2)(2m−1); 2 (m − 2)(2m − 1) 2m − 1 2m 2 − 5m + 2 (m − 2)(2m − 1) 2) = = = n−3 ( m − 2)(n − 3) mn − 2n − 3m + 6 n(m − 2) − 3(m − 2)

2m2−5m+2=2(m−2)(m−

169. а)

4x2−3x−1=0;

1)

D=(−3)2−4⋅4⋅(−1)=25;

x1=

3+5 =1, 8

3−5 1 1 = − ; 4x2−3x−1=4(x−1)(x+ )=(x−1)(4x+1); 4 8 4 37 x − 12 37 x − 12 x+4 x+4 2) − = − = x − 1 4 x 2 − 3 x − 1 x − 1 ( x − 1)(4 x + 1) x2=

=

( x + 4)(4 x + 1) − (37 x − 12) 4 x 2 + 16 x + x + 4 − 37 x + 12 = = ( x − 1)(4 x + 1) ( x − 1)(4 x + 1)

=

4( x 2 − 5 x + 4) ( x − 1)(4 x + 1)

3)

4x2−20x+16=0;

x2−5x+4=0;

D=(−5)2−4⋅1⋅4=9;

x1=

5+3 =4, 2

5−3 =1; 4x2−20x+16=4(x−4)(x−1); 2 4( x 2 − 5 x + 4) 4( x − 4)( x − 1) 4( x − 4) = = 4) . ( x − 1)(4 x + 1) ( x − 1)(4 x + 1) 4x + 1 −3 + 1 −3 − 1 =−1, x2= =−2; б) 1) x2+3x+2=0; D=32−4⋅1⋅2=1; x1= 2 2 x2+3x+2=(x+1)(x+2);

x2=

2) x − 1 − x+2

1− x 2

x + 3x + 2

= x −1 − x+2

1− x  1 = 1 = ( x − 1)  + ( x + 1)( x + 2)  ( x + 2) ( x + 1)( x + 2) 

x +1+1 ( x − 1)( x + 2) x − 1 = = (x–1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2) x + 1

57

www.5balls.ru


170. а) 1) x2−x−20=0; D=(−1)2−4⋅1⋅(−20)=81; x1=

1− 9 1+ 9 =−4; =5, x2= 2 2

x2−x−20=(x−5)(x+4); 7 x − x 2 x 2 − x − 20 x(7 − x)( x − 5)( x + 4) ⋅ 2) = =х(х−5)=x2−5x. 7−x x+4 ( x + 4)(7 − x) б)

1)

x2+11x+30=0;

D=112−4⋅1⋅30=1;

x1=

−11+ 1 =−5, 2

−11− 1 =−6; x2+11x+30=(x+5)( x+6); 2 x 2 + 11x + 30 x + 5 ( x + 5)( x + 6)( x − 5) x + 6 = : 2) . = 3x − 15 x −5 3( x − 5)( x + 5) 3 3+5 3−5 =4, x2= =−1; в) 1) x2−3x−4=0; D=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=25; x1= 2 2 x2−3x−4=(x−4)(x+1); x2=

2x 2 − 7

2) =

3)

x 2 − 3x − 4

2 x +1 + − 2 x 2 − 7 − ( x + 1)( x + 1) = 2x 7 − x 1 = = x − 4 ( x + 1)( x − 4) x − 4 ( x − 4)( x + 1)

2

2 x − 7 − ( x 2 + 2 x + 1) 2 x 2 − 7 − x 2 − 2 x − 1 x 2 − 2x − 8 = = ( x − 4)( x + 1) ( x − 4)( x + 1) ( x − 4)( x + 1)

x2−2x−8=0;

D=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=36;

x1=

x2−2x−8=(x−4)(x+2);

2+6 =4, 2

x2=

2−6 =−2; 2

2 ( x − 4)( x + 2) x + 2 4) x − 2 x − 8 = . =

( x − 4)( x + 1)

( x − 4)( x + 1)

x +1

г) 1) 3x2−5x+2=0; D=(−5)2−4⋅3⋅2=1; x1= 3x2−5x+2=3(x−1)(x− 2) =

2 + x − x2 2 − 5 x + 3x 2

+

5 +1 5 −1 2 =1, x2= = ; 6 6 3

2 )=(x−1))(3x−2); 3

2 + x − x2 10 x 10 x 2 + x − x 2 + 10 x( x − 1) = + = = 3 x − 2 ( x − 1)(3 x − 2) 3x − 2 ( x − 1)(3 x − 2)

2 + x − x 2 + 10 x( x − 1) 2 + x − x 2 + 10 x 2 − 10 x 9x 2 − 9x + 2 ; = = ( x − 1)(3x − 2) ( x − 1)(3x − 2) ( x − 1)(3x − 2)

58

www.5balls.ru


3)

9x2−9x+2=0;

9x2−9x+2=9(x−

D=(−9)2−4⋅9⋅2=9;

x1=

9+3 2 = , 18 3

x2=

9−3 1 = ; 18 3

1 2 )(x− )=(3x−2)(3x−1); 3 3

2 (3x − 2)(3x − 1) 3x − 1 4) 9 x − 9 x + 2 = =

( x − 1)(3x − 2)

( x − 1)(3x − 2)

x −1

171. а) x=5; y=−7 ⇒ a⋅52=−7; 25a=−7; a=−

7 . 25

б) x=− 3 ; y=9 ⇒ a⋅(− 3 )2=9; 3a=9; a=3. 1 1 1 1 1 1 1⋅ 4 =−2 в) x=− ; y=− ⇒a⋅(− )2=− ; a=− ; a=− 2 2 2 2 4 2 2 ⋅1 10 1 г) x=100; y=10 ⇒ a⋅1002=10; 10000a=10; a= = = 0,001. 10000 1000

172.

y 1) График функции у=−0,25х2 − па–6 –4–2–1 12 рабола, у которой ветви направлены 2 x вниз (т.к. коэффициент при x отрицательный). y=–0,25x2 –4 2) Найдем координаты вершины: b 0 =0; yв=0; (0; 0). xв=− =− 2a 2 ⋅ (−0,25) 1 3) x 2 −2 3 −3 −1 −6 y −1 −1 −2,25 −2,25 −0,25 −0,25 −9 4) Наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно y(–6)=–9.

173.

а) При a>0 имеем: y=ax2 ≥ 0 ⇒ E(y)=[0;+∞); б) при a < 0 имеем ⇒ E(y)=(−∞; 0].

174.

y=ax2; y=ax. Найдем точки пересечения: ax2=ax; ax2−ax=0; ax(x−1)=0; x=0 или x−1=0; x=1. При x=0 получим точку пересечения (0; 0) при x=1 получим (1; a).

59

www.5balls.ru


175.

Перенеся параболу y=7x2 вверх на 5 единиц, получим новую параболу — график функции y=7x2+5. Перенеся ее влево на 8 единиц, получим параболу — график функции y=7(x+8)2+5. Итак, y=7(x+8)2+5.

176.

а) График функции у=−х3 получается из графика функции у=х3 вертикальным отражением относительно оси Ох. График функции у=(х−3)3 получается из графика функции у=х3 при сдвиге на 3 единицы вправо. График функции у=х3+4 получается из графика функции у=х3 при сдвиге вверх на 4 единицы. б) График функции у=− х получается из графика функции у= х при отражении относительно оси Ох. График функции у= х + 5 получается из графика функции у= х при сдвиге на 5 единиц влево. График функции у= х − 1 получается из графика ф��нкции у= х при сдвиге на 1 единицу вниз.

177.  x, x > 0 - x, x < 0

1) Строим график функции y=|x|= 

2) График функции y=|x−4| получается из построенного графика при сдвиге на 4 единицы вправо. 3) График функции y=|x−4|−3 получается из графика функции y=|x−4| при сдвиге на 3 единицы вниз.

178.

График функции у=х2−6х+с есть парабола, у которой ветви направлены

вверх.

Координаты

вершины:

ув=9−18+с=с−9. 60

www.5balls.ru

хв=− b = 6 =3; 2a

2


График функции располагается выше данной горизонтальной прямой, если выше нее будет расположена вершина параболы. а) График располагается выше прямой у=4 при с−9>4, т.е. при c>13. б) График располагается выше прямой у=−1 при с−9>−1 т.е. при с>8.

179*. Вычислим

координаты

вершины

параболы:

хв=−

b , 4

b2 b2 b2 . Чтобы вершина оказалась в точке (6; –12), − +c = = c− 4 4 2 2 2 b положим: − = 6 , b=−12; c − b = −12 , c= b − 12 , так как b=−12, 2 4 4

ув=

c= 144 − 12 = 36 − 12 = 24 . 4

180. Прямая является осью симметрии параболы, когда на этой прямой лежит вершина параболы. хв=

16 8 8 = ; должно быть = 4 , т.е. 2а а а

а=2.

181. у=ах2+с; у=0 ⇒ ах2+с=0; ах2=−с; х2=− с ⇒ уравнение имеет реа

шения при 1) а>0, с≤0 2) а<0, с≥0 3) а=0, с=0.

182*. Так как график проходит через M(1; 2), имеем: 2=a+b−18. Так как он проходит через N(2; 10), имеем: 10=4a+2b−18. Из первого уравнения получим a=20−b; из второго получим 10=4(20−b)+2b−18; 28=80−4b+2b; b=40−14=26, откуда a=20−26=−6.

183.

а) 1) Графиком функции у=х2+2х−15 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Найдем координаты вершины:

61

www.5balls.ru


хв=− 3)

b 2 =− = −1 ; yв=(−1)2+2·(−1)−15=−16; (−1; −16). 2a 2 ⋅1 x −3 −2 −1 0 1 2 y −12 −15 −16 −15 −12 −7

б) 1) Графиком функции y=0,5x2−3x+4 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Найдем координаты вершины: xв=− (3; − 3)

b −3 =− =3; 2a 2 ⋅ 0,5

1 2

1 2

yв= ⋅ 9 − 9 + 4 = − ;

1 ). 2

0 1 3 2 4 5 −1 4 1 1 − 7 1,5 0 y 0 1,5 2 2 в) 1) Графиком функции y=4−0,5x2 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0 ; yв=0+4=4; (0; 4) xв=− 2a 2 ⋅ (−0,5) x

 координаты вершины. 3) 0 1 −1 2 x y 4 3,5 3,5 2 62

www.5balls.ru

−2 2


г) 1) Графиком функции y=6x−2x2 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2) Найдем координаты вершины: хв=− b = − 2a

3)

3 6 3 = 1,5 ; yв=6· − 2  =4,5; (1,5; 2 2 2 ⋅ ( −2 )

4,5). 3 −1 −2 х 1 2 0 0 −8 −20 у 4 4 0 д) y=(2x−7)(x+1)=2x2−7x+2x−7=2x2−5x−7. 1) Графиком функции y=(2x−7)(x+1) является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Найдем координаты вершины: b −5 =1,25; =− 2a 2⋅2 1 1 1 =−10 ; (1 ; −10 ). 4 8 8

хв=−

ув=2(

5 2 5 ) −5 −7= 4 4

2 x 1 0 −1 −2 0 11 y −10 −7 −9 Остальные три точки найдем, используя симметрию этих точек относительно прямой 3)

х=1

1 4

е) y=(2−x)(x+6)=2x−x2+12−6x=−x2−4x+12. 1) Графиком функции y=(2−x)(x+6) является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2)

Найдем

координаты

вершины:

ув=−(−2)2−4·(−2)+12=16; (−2; 16). 3) x 0 −1 −3 −4 y 15 15 12 12

2 0

хв=−

−4 b =− =−2; 2a 2 ⋅ (−1)

−2 16

63

www.5balls.ru


184. а) Графиком функции является парабола, у которой ветви направле0,5 1 1 , = = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 ⋅ 3 12 1 1 1 1 1 1− 2 + 3 1 1 1 1 . Так как yв= , yв=3· = − + = = − ⋅ + + 24 16 48 24 16 48 24 144 2 12 1 E(y)=[ ; +∞). 24

ны вверх. Найдем координаты вершины: хв=

б) Графиком функции является парабола, у которой ветви направлены 1,2 6 3 вверх. Найдем координаты вершины: xв= − =− = − =−0,3; 4 5⋅4 10 yв=2·0,09–1,2·0,3+2=0,18–3,6+2=2,18–3,6=0,42. Следовательно, E(y)=[0,42; +∞). в) Графиком функции является парабола, у которой ветви направлены yв=−

вниз.

Найдем

координаты

вершины:

1 16+4·4−5,5=−8+16−5,5=8−5,5=2,5. 2

xв=

4 =4, 2 ⋅ 12

Следовательно,

E(y)=(−∞; 2,5]. г) Графиком функции является парабола, у которой ветви направлены

вниз.

Найдем

координаты

64

www.5balls.ru

вершины:

xв=

2 1 =− 2⋅3 3

,


yв=−3·

1 1 14 1 2 14 −1 + 2 − 14 13 1 + 2⋅ − =− + − = = − = −4 9 3 3 3 3 3 3 3 3

Следова-

1 тельно, E(y)=(−∞; − 4 ]. 3

185. График зависимости высоты от времени — парабола, у которой ветви направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: tв= −24 = 12 = 120 = 2 22 (с ) . Максимальная высота, на которую − 2 ⋅ 4,9

поднялся

4,9

49

мяч,

49

это

ордината

вершины

h в:

hв=24·

120 − 49

2

24 ⋅120 120 ⋅12 24 ⋅120 − 12 ⋅120 24 ⋅120 49 ⋅120 2  120  − = = − = − 4,9 ⋅   = 2 49 49 49 49 49 10 ⋅ 49   12 ⋅120 1440 19 (м). Заметим, что мяч поднимался в проме= = = 29 49 49 49 жутке времени [0; 2 22 ]. Найдем момент падения мяча: h(t)=0; 49

24t−4,9t2=0; Мяч упадет при 24−4,9t=0 (при t=0 его бросили). 4,9t=24; t= 240 = 4 44 (с) . Итак, мяч падал в промежуток времени

49 49 22 44 [ 2 ; 4 ] и при t= 4 44 упал на землю. 49 49 49

186*. а) График такой функции — парабола, у которой ветви направлены вверх, а абсцисса вершины равна –3. Например, функция y=(x+3)2 удовлетворяет условию задачи. б) График этой функции — парабола, у которой ветви направлены вниз, а абсцисса вершины равна 6. Например, функция y=–(x–6)2 удовлетворяет условию задачи.

187*.

а) y=0 при x=3 и x=4 ⇒

q = −3( p + 3), 9 + 3 p + q = 0, q = −3( p + 3),    16 + 4 p + q = 0; 16 + 4 p − 3( p + 3) = 0; 16 + p − 9 = 0; q = −3( p + 3), q = 12,    p = −7;  p = −7;

65

www.5balls.ru


б) При x=0 имеем y=6, при x=2 имеем y=0 ⇒ q=6; 4+2p+q=0 ⇒ 4+2p+6=0; 2p=−10; p=−5. Итак, q=6, p=−5. в) При x=6 функция достигает наименьшего значения ⇒ координаты вершины параболы, являющейся ее графиком, (6; 24). Поскольку xв=− b , имеем: 6=− p , т.е. p=−12. Поскольку yв=24, имеем: 2

2a

36+6p+q=24 ⇒ 36−6·12+q=24; 12−6·12=−q, −q=−5·12, q=60. Итак, q=60, p=−12.

188*. а) Ветви параболы направлены вниз, значит, а < 0. Выделим квадрат двучлена: ax2+bx+c=a(x2+

b b 2 b 2 x)+c=a((x+ ) −( ) )+c. Заметим, a 2a 2a

что сдвиг вдоль оси Ох зависит от знаков a и b: если они совпадают, это — сдвиг влево на сдвиг вправо на

b единиц, если они разных знаков, это — 2a

b единиц. В данном случае график сдвинут вправо 2a

от y=0, значит, b и a имеют разные знаки, т.е. b>0. Так как ax2+bx+c=x(b+ax)+c, коэффициент c определяет сдвиг вдоль оси Оу графика функции x(b+ax). В нашем случае у a и b разные знаки, значит, один нуль квадратичной функции x(b+ax) равен 0, а второй лежит правее нуля. Так как на данном графике оба корня лежат правее нуля, произошел сдвиг вниз, следовательно, с<0. б) Ветви параболы направлены вверх, следовательно, а>0. График сдвинут вправо от оси Оу, значит, а и b разных знаков, т.е. b<0. Так как а и b разных знаков, второй нуль функции ax2+bx правее х=0. Т.к. на данном графике оба нуля лежат правее оси Оу, значит, произошел сдвиг вверх, т.е. с>0. Итак, а>0, b<0, с>0.

189.

а) 1) График функции y=x2−5x−50 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Решим уравнение x2–5x–50=0; D=(–5)2–4⋅1·(–50)= 5 + 15 5 − 15 =10, x2= =−5. =225; x1= 2 2 3) (−5; 10).

66

www.5balls.ru


б) 1) Графиком функции y=−m2−8m+9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при m2 отрицательный). 2) Решим уравнение –m2–8m+9=0; D=(–8)2–4·(– 1)·9= =100; m1=

8 + 10 8 − 10 =−9, m2= =1. 2 ⋅ (−1) −2

3) [−9; 1]. в) 1) Графиком функции z=3y2+4y−4 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при y2 положительный). 2) Решим уравнение 3y2+4y−4=0; D=42−4·3·(−4)= −4 − 8 −4 + 8 2 =−2. = , y2= 6 6 3 2 3) (−∞; −2)∪( ;+∞). 3

=64; y1=

г) 8p2+2p−21≥0. 1) Графиком функции 8p2+2p−21 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при p2 положительный). 2) Решим уравнение 8p2+2p−21=0; D=22−4·8·(−21)= −2 + 26 −2 − 26 =676; p1= =1,5, p2= =− 1,75 16 16 3) (−∞; −1,75)∪(1,5; +∞). д) −4x2+12x−9≤0. 1) Графиком функции y=−4x2+12x−9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный) 2) Решим уравнение −4x2+12x−9=0; 4x2−12x+9=0; −12 + 0 =1,5. D=122−4·(−4)·(−9)=0; x= −8 3) (−∞; +∞). е) −9x2+6x−1<0. 1) Графиком функции y=−9x2+6x−1 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2) Решим уравнение −9x2+6x−1=0; 9x2−6x+1=0; D=(−6)2−4·9·1=0; x=

6+0 1 = . 18 3

67

www.5balls.ru


1 1 3) (−∞; ) ∪ ( ; + ∞) . 3 3

190.

а) 2(x2+x−3x−3)>x2+5x−7x−35; x2−2x+29>0. 1) Графиком функции y=x2−2x+29 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Решим уравнение x2−2x+29=0; D=(−2)2−4·1·29<0 — нет корней. 3) x — любое. x2+5x−7x−35≤4x2+8x−16x−32; б) (x+5)(x−7)≤4(x2+2x−4x−8); 2 2 2 x +5x−7x−35−4x −8x+16x+32≤0; −3x +6x−3≤0. 1) Графиком функции y=−3x2+6x−3 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный) 2) Решим уравнение −3x2+6x−3=0; x2−2x+1=0; 2+0 =1. D=(−2)2−4·1·1=0. x= 2 3) x — любое.

191.

а) 1) Т.к. подкоренное выражение неотрицательно, то 144–9x2 ≥ 0 и 144–9x2 стоит в знаменателе ⇒ 144–9x2 ≠ 0 Значит, 144–9x2>0. 2) Графиком функции y=144–9x2 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 3) Решим уравнение: 144–9x2=0; 9x2=144; x2=16; x=4 или x=–4. 4) (–4; 4). б) 1) Так как подкоренное выражение неотрицательно, то 16 − 24 x + 9 x 2 ≥ 0 . Т.к. x+2 стоит в знаменателе дроби, ⇒ x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2 . 2) Графиком функции y=9x2–24x+16 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 3) Решим уравнение 9x2–24x+16=0; D=(−24)2– 24 + 0 4 4·9·16=0; x = = . 18 3 4) (−∞;−2) ∪ (−2;+∞) 68

www.5balls.ru


192*.

Решим первое неравенство. Рассмотрим уравнение x2+6x–7=0; − 6 + 64 − 6 − 64 =1, D=62−4⋅1⋅(−7)=64; = −7 ; x1 = x2 = − 2 2 ( x − 1)( x + 7) ≤ 0 при −7 ≤ x ≤ 1 . +

– –7

Решим

+

–3

+ –

1

второе

неравенство: 2+8 D=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64; x1 = =5, 2 ( x − 5)( x + 3) ≤ 0 при −3 ≤ x ≤ 5 . Общие решения неравенств: −3 ≤ x ≤ 1 .

5

+

x 2 − 2 − 15 ≤ 0 ; 2−8 x2 = = −3 ; 2

193*. а) Решим первое неравенство системы. 4 x 2 − 27 x − 7 = 0 ; 27 + 29 56 D=(−27)2−4⋅4·(−7)=841; или x1 = = =7 8 8 1 1 27 − 29 2 1 и x >7. x2 = = − = − ; ( x − 7)( x + ) > 0 при x < − 8 8 4 4 4 Учитывая второе уравнение системы, получаем: x>7. б) Решим первое неравенство системы. − 3 x 2 + 17 x + 6 < 0 ; 3x 2 − 17 x − 6 > 0 . Рассмотрим уравнение 3x 2 − 17 x − 6 = 0 ; 17 + 19 36 D=172+6·12=289+72=361; = =6 или x1 = 6 6 1 1 17 − 19 1 = − ; ( x − 6)( x + ) > 0 при x < − и x>6. Учитывая x2 = 6 3 3 3 1 второе уравнение системы, получаем: x < − . 3 в) Решим второе неравенство системы: 2 x 2 − 18 > 0 ; 2( x 2 − 9) > 0 2( x − 3)( x + 3) > 0 при x < −3 и x > 3 . Из первого неравенства следует, что x<–1 , получаем: x<–3. г) Решим второе неравенство системы: 3x2–15x>0; 3x(x–5)<0 при 0<x<5. Из первого неравенства следует, что x>4 , получаем: 4<x<5.

69

www.5balls.ru


194*. а) Решим первое неравенство системы. Рассмотрим уравнение −1 + 5 −1 − 5 x2+x–6=0; D=12−4⋅1⋅(−6)=25; x1 = = 2 , x2 = = −3 ; (x– 2 2 2)(x+3)<0 при –3<x<2. Решим второе неравенство системы: –x2+2x+3>0; x2–2x–3<0; 2+4 2−4 = 3 или x2 = = −1 ; (x– D=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=16; x1 = 2 2 3)(x+1)<0 при –1<x<3. Учитывая решение первого неравенства, получаем: –1<x<2. б) Решим первое неравенство системы. Рассмотрим уравнение −4 + 6 −4 − 6 2 = 1 , x2 = = −5; (x– x +4x–5=0; D=42−4⋅1⋅(−5)=36; x1 = 2 2 1)(x+5)>0 при x<–5 и x>1. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим уравнение: x2– 2+6 2−6 = 4, = −2; 2x–8=0; D=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=36; x1 = x2 = 2 2 (x+2)(x–4)<0 при –2<x<4. Учитывая решение первого неравенства системы, получаем: 1<x<4.

195. а) (x+1,2)(6–x)(x–4)>0; –(x+1,2)(x–6)(x–4)>0; (x+1,2)(x–6)(x–4)<0; (−∞;−1,2) ∪ (4;6) 1 1 1 ( − x)( − x)( − x) < 0; 3 2 7 1 1 1 ( x − )( x − )( x − ) > 0; 3 2 7

1 1 1 − ( x − )( x − )( x − ) < 0; 3 2 7

б)

1 1 1 ( ; ) ∪ ( ;+∞) 2 7 3 –(x+0,6)(x+1,6)(x–1,2)>0;

в) (x+0,6)(1,6+x)(1,2–x)>0; (x+0,6)(x+1,6)(x–1,2)<0;

(−∞;−1,6) ∪ (0,6;1,2) г) (1,7–x)(1,8+x)(1,9–x)<0; (x –1,7)(x+1,8)(x–1,9)<0; (−∞;−1,8) ∪ (1,7;1,9)

70

www.5balls.ru


196. а) (3x–5)(x+4)(2–x)=0; 3x–5=0 или x+4=0 или 2–x=0; т.е. x = 1

2 или 3

x=–4 или x=2. б)

5 − 3( x − )( x + 4)( x − 2) > 0 ; 3

(3x–5)(x+4)(2–x)>0;

5 ( x − )( x + 4)( x − 2) < 0 . 3

2 (−∞;−4) ∪ (1 ;2) 3 в) (3x–5)(x+4)(2–x)<0; − 3( x − 5 )( x + 4( x − 2) < 0; ( x − 5 )( x + 4)( x − 2) > 0 . 3

3

2 (−4;1 ) ∪ (2;+∞) 3

197. а) 18(x–2)(x–7)>0; (x–2)(x–7)>0; (−∞;2) ∪ (7;+∞) б) –(x–7,3)(x–9,8)>0; (x–7,3)(x–9,8)<0; (7;3) ∪ (9;8) в) –(x+0,8)(x–4)(x–20)<0; (x+0,8)(x–4)(x–20)>0; (−0,8;4) ∪ (20;+∞) г) –10(x+0,3)(x–17)(x–5)≥0; (x+0,3)(x–17)(x–5)≤0; (−∞;−0,3) ∪ (5;17)

198. 2 б) ( x − )( x − 11)( x + 11) < 0 ; 3

а) (x–4)(x+4)(x+17)>0;

в) x(x–5)(x+5)<0;

2 (−∞;−11) ∪ ( ;11) 3 г) x(x–0,1)(x+0,1)>0;

(−∞;−5) ∪ (0;5) д) (x–3)(x+3)(x–1)(x+1)>0;

(−0,1;0) ∪ (0,1;+∞) е) x(x–15)(x–6)(x+6)<0;

(−17;−4) ∪ (4;+∞)

71

www.5balls.ru


(−∞;−3) ∪ (−1;1) ∪ (3;+∞)

(−6;0) ∪ (6;15)

199*.

а) Т.к. x2+17>0 при всех х, решим только неравенство (x–6)(x+2)<0; его решение: –2<x<6. б) Т.к. 2x2+1>0 при всех х, решим только неравенство x(x–4)<0; его решение: x<0 или x>4. в) Т.к. (x–1)2≥0 при всех х, этот множитель не влияет на знак неравенства. Но т.к. неравенство строгое, исключим из решения x=1. Решим неравенство x–24<0; x<24. Учитывая, что x≠1, получаем x<1 или 1<x<24. г) Т.к. (x – 4)2 ≥ 0 при всех х, этот множитель не влияет на знак неравенства. Но т.к. неравенство строгое, исключим из решения x=4. Решим неравенство (x+7)(x – 21) > 0. Его решение: x<–7 или x>21. Получаем x<−7 или x>21.

200. а) Т.к. (3x–1)(6x+1) стоит под корнем, то (3x–1)(6x+1)≥0. Т.к. (3x–1)(6x+1) стоит в знаменателе ⇒ (3x–1)(6x+1)≠0. Следовательно, 1 1 1 1 (3x–1)(6x+1)>0; 6·3(x– )(x+ )>0; ( x − )( x + ) > 0; 3 6 3 6 1 1 (–∞; – )∪( ; +∞). 6 3 б) y=

7 (11x + 2)( x − 4)

. Т.к. подкоренное выражение неотрица-

тельно ⇒ (11x+2)(x–4)≥0. Т.к. (11x+2)(x–4) стоит в знаменателе ⇒ 2 (11x+2)(x–4)≠0. Следовательно, (11x+2)(x–4)>0; ( x + )( x − 4) > 0; 11 2 (−∞;− ) ∪ (4;+∞). 11 а) Выражение

x−3 не определено в точке x=–1, поэтому в реx +1

шение первого неравенства эта точка не входит. Но она входит в решение второго, т.к. при x=–1 левая часть второго неравенства равна нулю, значит неравенства не равносильны. б) В решение первого неравенства точка x=8 не входит, а второго — входит, следовательно, неравенства не равносильны.

72

www.5balls.ru


202*.

x −8 6− x а) ≥0; (−∞;−4) ∪ (8;+∞) . г) ≤0; (−∞;4) ∪ (6;+∞) . x +1 x−4 x + 16 2x − 4 <0 ⇒ (х+16)(х−11)<0; (–16; 11). д) б) ≤ 0; (–1; 2]. x − 11 3x + 3 1 5 x− 5 x +1 5x − 1 3 1 ≥0; (−∞;− ) ∪ [ ;+∞) . в) ≥0; [–1; 3). е) ≥0. ⋅ 3 2 5 3− x 2x − 3 2 x− 2

203.

а) 5; б) 6; в) 5; г) (x+8)(x−7)=x2+8х−7х−56=0, его степень 2; д) 1; е) 5х3−5х(х2+9)=17 ⇒ 5х3−5х2−20х=17 ⇒ −20х−17=0, его степень равна 1.

204.

а) (8x–1)(2x–3)–(4x–1)2=38; 16x2–2x–24x+3–(16x2–8x+1)=38; 16x2– 2x–24x+3–16x2+8x–1–38=0; –18x–36=0; –18x=36; x=–2. б) (15 x − 1)(1 + 15x) = 2 2 ; (15 x − 1)(1 + 15 x ) = 8 ; 225x2–1=8; 225x2=9; 3

3

3

3

9 3 3 ; x1= , x2=– . x= 225 15 15 в) 0,5y3–0,5y(y+1)(y–3)=7; 0,5y3–0,5y(y2+y–2y–3)–7=0; y2+1,5y– 2

7=0; D=2,25+28=30,25; y1= г) x4–x2=

−1,5 + 5,5 −1,5 + 5,5 = 2 , y2= = −3,5. 2 2

(1 + 2 x 2 )(2 x 2 − 1) 4 2 2 2 4 2 4 ; 4(x –x )=(1+2x )(2x –1); 4x –4x =4x –1; 4

4x4–4x2–4x4=–1; 4x2=1; x2=

1 1 1 ; x1=– , x2= . 4 2 2

205.

а) (6–x)(x+6)–(x–11)x=36; 36–x2–(x2–11x)–36=0; 36–x2–x2+11x–36=0; –2x2+11x=0; x(–2x+11)=0; x=0 или –2x+11=0, т.е. –2x=–11, x=5,5. б)

1− 3y 3 − y 5(1 − 3 y ) − 11(3 − y ) – =0; =0; 55≠0 ⇒ 5–15y–33+11y=0; – 5 11 55

4y=28; y=–7. в) 9x2–

(12 x − 11)(3 x + 8) =1; 36x2–(36x2–33x+96x–88)–4=0; 36x2–36x2+ 4

+33x–96x+88–4=0; –63x=–84; x=

4 1 =1 . 3 3 73

www.5balls.ru


г)

( y + 1) 2 1 − y 2 − = 4; 12 4

( y + 1) 2 1 − y 2 − − 4 = 0; 12 4

2( y + 1)2 − (1 − y ) 2 − 96 = 0; 24

24≠0 ⇒ 2(y2+2y+1)–1+y2–96=0; 3y2+4y–95=0; D=42–4·3·(–95)=1156; y1=

−4 + 34 −4 − 34 1 =5, y2= =–6 . 6 6 3

206.

5x6+6x4+x2=–4. В левую часть уравнения х входит только в четной степени ⇒ число неотрицательное, а в правой части — число отрицательное, значит уравнение корней не имеет.

207. Пусть существует корень x0<0. Так как отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное, найдем знак левой части: 12x05+7x03+11x0–3<0, а в правой части 121>0. Т.е. равенство не выполняется ни при каких х, т.е. нет корней.

208. 8 8 было целым числом, а должно быть де. Чтобы a a лителем 8, т.е. a=1, 2, 4, 7. Так как возможны и отрицательные решения, окончательно получаем: –8; –4; –2; –1; 1; 2; 4; 8. ax=8; x =

209. 9x=p – 2; x =

p−2 . p – 2 < 0; p < 0. 9

210. а) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. 2x2+6x+b=0; D=36–4·2·b=36–8b>0; 36–8b>0; –8b>–36; b<4,5. б) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. 5x2– 4 4x+3b=0; D=16–4·5·3b=16–60b>0; 16–60b>0; –60b>–16; b< . 15 в) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. 3x2+bx+3=0; D=b2–4·3·3=b2–36>0; (b–6)(b+6)>0. (–∞; –6)∪(6; +∞). г) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. D=b2–7·1·5=b2–20>0; (b– 2 5 )(b+ 2 5 )>0; x2+bx+5=0; (–∞; – 2 5 )∪( 2 5 ; +∞).

74

www.5balls.ru


211.

а) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 3x2–6x+3u=0; D=36– 36 =1,5. 4·3·2u=36–24u=0; 24u=36; u= 24 б) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 5x2+2ux+5=0; 100 =25; u=5 или u=–5. D=4u2–4·5·5=4u2–100=0; 4u2=100; u2= 4 в) Уравнение имеет один корень, когда D=0. x2–3ux+18=0; D=9u2–4·18=9u2–72=; 9u2=72; u2=8; u=2 2 или u=–2 2 . г) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 2x2–12x+3u=0; D=144–4·2·3u=144–24u=0; 24u=144; u=6.

212.

а) Уравнение не имеет корней, если D<0. 6x2+tx+6=0; D=t2– 4·6·6=t2–144<0; (t–12)(t+12)<0; –12<t<12. б) Уравнение не имеет корней, если D<0. 12x2+4x+t=0; D=16– 16 1 4·12·t=16–48t<0; 16<48t; t> ; t> . 48 3 в) Уравнение не имеет корней, если D<0. 2x2–15x+t=0; D=225– 225 1 ; t>28 . 4·t=225–8t<0; 225<8t; t> 8 8 г) Уравнение не имеет корней, если D<0. 2x2+tx+18=0; D=t2– 4·2·18=t2–144<0; (t–12)(t+12)<0; –12<t<12.

213. а) y3–6y=0; y(y2–6)=0; y1=0 или y2–6=0, y2=6, y2= 6 , y3=– 6 . б) 6x4+3,6x2=0; x2(6x2+3,6)=0; x1=0 или 6x2+3,6=0, т.е. 6x2=–3,6, 2 x =– 0,6. Во втором случае нет решений, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. в) x3+3x=3,5x2; x(x2–3,5x+3); x1=0 или x2–3,5x+3=0; D=12,25–4·3= 3,5 + 0,5 3,5 + 0,5 = 2 , x3= = 1,5 . =0,25; x2= 2 2 3 2 2 г) x –0,1x=0,3x ; x(x –0,3x–0,1)=0; x1=0; x2–0,3x–0,1=0; D=0,09– 0,3 + 0,7 3,5 + 0,5 =–0,2. = 0,5 ; x3= 4·9(–0,1)=0,49; x2= 2 2 д) 9x3–18x2–x+2=0; (9x3–18x2)+(–x+2)=0; 9x2(x–2)–(x–2)=0; (x–2)(9x2–1)=0; (x–2)(3x–1)(3x+1)=0; x–2=0 или 3x–1=0 или 3x+1=0; 1 1 x1=2; x2= ; x3=– . 3 3 75

www.5balls.ru


е) y4–y3–16y2+16y=0; y3(y–1)–16y(y–1)=0; (y–1)(y3–16y)=0; y(y–1)(y2–16)=0; y(y–1)(y–4)(y+4)=0; y=0 или y–1=0 или y–4=0 или y+4=0; y1=0; y2=1; y3=4; y4=–4. ж) p3–p2=p –1; p3–p2–p+1=0; (p3–p2)+(–p+1)=–0; p2(p–1)–(p–1)=0; 2 (p –1)(p–1)=0; (p–1)(p+1)(p–1)=0; (p–1)2(p+1)=0; p–1=0 или p+1=0; p1=1; p2=–1. з) x4–x2=3x3–3x; x4–x2–3x3+3x=0; x2(x2–1)–3x(x2–1)=0; (x2–1)(x2– –3x)=0; x(x–1)(x+1)(x–3)=0; x=0 или x–1=0 или x+1=0 или x–3=0; x1=0; x2=1; x3=–1; x4=3.

214. 3 а) 0,7x4–x3=0; x3(0,7x–1)=0; x1=0 или 0,7x–1=0; 0,7x=1, x2= 1 . 7 б) 0,5x3–72x=0; x(0,5x2–72)=0; x1=0 или 0,5x2–72=0, т.е. 0,5x2=72, x2=144, x2=12 или x3=–12. в) x3+4x=5x2; x3+4x–5x2=0; x(x2–5x+4)=0; x1=0 или x2–5x+4=0; 5−3 5+3 D=25–4·4=9; x2= =4 или x3= =1. 2 2 г) 3x3–x2+18x–6=0; x2(3x–1)+6(3x–1)=0; (3x–1)(x2+6)=0; 3x–1=0

или x2+6=0; 3x=1, x=

1 или x2=– 6. Нет решения, т.к. квадрат любого 3

числа есть число неотрицательное. д) 2x4–18x2=5x3–45x; 2x4–18x2–5x3+45x=0; 2x2(x2–9)–5x(x2–9)=0; 2 (x –9)(2x2–5x)=0; x(x–3)(x+3)(2x–5)=0; x1=0 или x–3=0 или x+3=0 или 2x–5=0; x2=3; x3=–3; x4=2,5. е) 3y2–2y=2y3–3; 3y2–2y–2y3+3=0; y2(3–2y)+(3–2y)=0; (3– 2y)(y2+1)=0; 3–2y=0 или y2+1=0; 2y=3, y=1,5 или y2=–1 — нет решений, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное.

215.

x3+2x–3=0; x3=3–2x. 1) График функции y=x3 − кубическая парабола, расположенная в I и III ч. x –2 –1 0 1 2 y –8 –1 0 1 8 76

www.5balls.ru


2) График функции y=3–2x − прямая. x 0 2 y 3 −1 x=1.

216.

1) График функции y=x2–3 − параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). b = 2) Найдем координаты вершины: xb=– 2a 0 =0; yb=0–3=–3; (0; –3), x=0 — ось симмет=– 2 ⋅1 рии. 3) x 1 –1 2 –2 0 y –2 –2 1 1 −3 Возрастает на [0;+∞); убывает на (–∞; 0].

217.

а) 1) График функции y=x2–10x+21 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2–10x+21=0; D=(−10)2– 10 + 4 10 − 4 =7, x2= =3. 4·1·21=16; x1= 2 2 3) (3; 7). б) 1) График функции y=x2–8x+16 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2–8x+16=0; D=(−8)2–4⋅1·16=0; 8+0 =4. x= 2 3) (–∞; 4) ∪ (4; +∞). в) 1) График функции y=3x2–14x+16 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 3x2–14x+16=0; D=(−14)2– 14 − 2 14 + 2 2 =2 , x2= =2. 4·3·16=0; x1= 6 3 6 2 3) (–∞; 2]∪[ 2 ; +∞). 3 г) 1) График функции y=5x2–6x+1 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 77

www.5balls.ru


2) Решим уравнение 5x2–6x+1=0; D=(−6)2–4·5·1=16; x1=

6+4 10

=1, x2=

6−4 10

=0,2

3) [0,2; 1].

218. Обозначим скорость второго автомобиля х км/ч, тогда скорость 540 ч — время движения второго автопервого равна (x+10) км/ч; x 540 540 540 мобиля, больше ч — первого. По условию на x + 10 x x + 10 3 540 540 3 540 540 3 . Получим: − = ; − − = 0; 4 x x + 10 4 x x + 10 4 2160( x + 10) − 2160 x − 3x( x + 10) x(x+10)≠0, 2160x+21600– = 0; 4 x( x + 10) –2160x–3x2–30x=0; x2+10x–7200=0; D=102–4⋅1⋅(–7200)=28900; −10 + 170 −10 − 170 = 80 , x2 = = −90 — не подходит, т.к. скоx1 = 2 2 рость положительна. Если x=80, то x+10=80+10=90. Ответ: 80 км/ч; 90 км/ч.

219. а) (x+8)(x–1,5)<0; (–8; 1,5).

б)

12 − x > 0; (12–x)(x+11)>0; –(x–12)(x+11)>0; (x–12)(x+11)<0; x + 11

(–11; 12).

в) (15–2x)(x+6)>0; –2(x–

г)

6 − 4x < 0; x + 0,5

15 )(x+6)>0; (x–7,5)(x+6)<0; (–6; 7,5). 2

(6–4x)(x+0,5)<0;

1,5)(x+0,5)>0; (–∞; –0,5)∪(1,5; +∞).

78

www.5balls.ru

–4(x– 6 )(x+0,5)<0; 4

(x–


220.

а) (2x2+3)2–12(2x2+3)+11=0. Обозначим 2x2+3=v ⇒ v2–12v+11=0;

D=(−12)2–4·11=100; v2= 12 + 10 = 11 или v1= 12 − 10 = 1; 2x2+3=11 или 2

2

2x2+3=1. 1) 2x2=8; x2=4; x2=2 или x1=–2; 2) 2x2=–2; x2=–1 — нет решений, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. б) (t2–2t)2–3=2(t2–2t). Обозначим t2–2t=v ⇒ v2–3=2v; v2–2v–3=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(–3)=16; v2 = 2 + 4 = 3 или v1 = 2 − 4 = −1; t2–2t=3 или

t2–2t=–1;

2

2

t2–2t–3=0

или

t2–2t+1=0;

2−4 2+0 2+4 = ���1; t 3 = = 1. = 3 , t2 = 2 2 2

t1 =

в) (x2+x–1)(x2+x+2)=40. Обозначим x2+x=v ⇒ (v–1)(v+2)=30; v2–v+2v–2–40=0; v2+v–42=0; D=12–4⋅1⋅(–42)=169; v2 =

− 1 + 169 =6 2

− 1 − 169 2 2 2 = −7; x +x=6 или x +x=–7; x +x – 6=0 или 2 −1 + 5 −1 − 5 x2+x+7=0; x1 = = 2 , x2 = = −3. Второе уравнение не име2 2

или v1 =

ет корней. Т.к. D=12–4⋅1⋅7=−27<0. г) (2x2+x–1)(2x2+x–4)+2=0. Обозначим 2x2+x=v ⇒ (v–1)(v–4)+2=0;

v2–v–4v+4+2=0;

v2–5v+6=0;

D=(−5)2–4·1·6=1;

v2 =

5 +1 =3, 2

5 −1 2 2 2 2 = 2; 2x +x=3 или 2x +x=2; 2x +x–3=0 или 2x +x–2=0; 2 −1 + 5 − 1 + 17 3 −1 − 5 ; x 4 = − 1 − 17 . = 1 или x2 = x1 = = − ; x3 = 4 2 4 4 4

v1 =

221.

а) (x2+3)2–11(x2+3)+28=0. Обозначим x2+3=v ⇒ v2–11v+28=0; 11 + 3 11 − 3 = 7 ; v1 = = 4 ⇒ x2+3=7 или D=(−11)2–4⋅1⋅28=9; v2 = 2 2 x2+3=4; x2=4 или x2=1; x1=2 или x2=–2; x3=1 или x4=–1. б) (x2–4x)2+9(x2–4x)+20=0. Обозначим x2–4x=v ⇒ v2+9v+20=0; −9 − 1 −9 − 1 D=92–4·1·20=1; v2 = = −4 или v1 = = −5; x2–4x=–4 или 2 2

79

www.5balls.ru


x2–4x=–5; x2–4x+4=0 или x2–4x+5=0; x =

4+0 = 2 ; второе уравнение 2

решений не имеет, т.к. D<0. в) (x2+x)(x2+x–5)=84. Обозначим x2+x=v ⇒ v(v–5)=84; v2– 15 + 19 = 12 или 5v−84=0; D=(−5)2–4·1·(–84)=361; v2 = 2 5 − 19 = −7; x2+x=12 или x2+x=–7; x2+x–12=0 или x2+x+7=0; v1 = 2 −1 − 7 −1 − 7 x1 = = 3 или x 2 = = −4; у второго уравнения нет 2 2 2 корней, т.к. D=1 −4⋅1⋅7=−27<0.

222.

а) x4–5x2–36=0. Обозначим x2=v ⇒ v2–5v–36=0; D=(−5)2–4⋅1⋅(– 5 + 13 5 − 13 36)=169; v2 = = 9 или v1 = = −4 ⇒ x2=9 или x2=–4; из 2 2 первого уравнения x=3 или x=–3; у второго уравнения нет решений, т.к. квадрат любого числа неотрицателен. б) y4–6y2+8=0. Обозначим y2=v ⇒ v2–6v+8=0; D=(−6)2–4⋅1·8=4; 6+2 6−2 v2 = = 4 или v1 = = 2; y2=4 или y2=2; y1=2 или y2=–2; 2 2 y 3 = 2 или y 4 = − 2 . в) t4+10t2+25=0. Обозначим t2=v ⇒ v2+10v+25=0; D=102–4⋅1·25=0; −10 + 0 v= = −5; t2=–5; нет корней. 2 г) 4x4–5x2+1=0. Обозначим x2=v ⇒ 4v2–5v+1=0; D=(−5)2–4·4·1=9; 1 5−3 1 5+3 v2 = = 1 или v1 = = ⇒ x2=1 или x 2 = ; x1=1 или x2=– 8 4 8 4 1 1 1; x4 = или x3 = − . 2 2 д) 9x4–9x2+2=0. Обозначим x2=v ⇒ 9v2–9v+2=0; D=(−9)2–4·9·2=9; v2 =

9+3 2 9−3 1 2 2 1 или v1 = или x2= ; x1 = = = ; x = 18 3 18 3 3 3

x2 = −

1 2 1 ; x3 = ; x4 = − . 3 3 3

80

www.5balls.ru

2 или 3


е) 16y4–8y2+1=0. Обозначим y2=v ⇒ 16v2–8v+1=0; D=(−8)2– 1 8+0 1 1 1 = ⇒ y2= ; y2= ; y1=– . 4·16·1=0; v = 2 32 4 4 2

223.

а) x4–25x2+144=0. Обозначим x2=v ⇒ v2–25v+144=0; D=(−25)2– 25 + 49 25 − 49 4⋅1·144=49; v2 = = 16 ; v1 = = 19 ⇒ x2=16 или 2 2 x2=9; x1=4; x2=–4; x3=3; x4=–3. б) y4+14y2+48=0. Обозначим y2=v ⇒ v2+14v+48=0; D=142– −14 + 2 −14 − 2 = −6 ; v1 = = −8 ⇒ y2=–6 или y2=–8; 4·1·48=4; v2 = 2 2 — нет корней, т.к. квадрат любого числа неотрицателен. в) x4–4x2+4=0. Обозначим x2=v; v2–4v+4=0; D=(−4)2–4⋅1·4=0; 4+0 v= = 2; x2=2; x1 = 2 ; x 2 = − 2 . 2 г) t4–2t2–3=0. Обозначим t2=v; v2–2v–3=0; D=(−2)2–4⋅1·(–3)=16; 2+4 2−4 = 3 или v1 = = −1 ⇒ t2=3 или t2=–1; t1 = 3 или v2 = 2 2 t 2 = − 3 ; у второго нет корней, т.к. квадрат любого числа неотрицателен. д) 2x4–9x2+4=0. Обозначим x2=v ⇒ D=92–4·2·4=49; v2 = v1 =

9+7 = 4; 4

1 1 9−7 1 2 2 ; x4 = = ⇒ x =4 или x = ; x1=2; x2=–2; x 3 = − 2 4 2 2

1 . 2

е) 5y4–5y2+2=0. Обозначим y2=v ⇒ 5v2–5v+2=0; D=(−5)2– 4·5·2=−15<0 — нет корней.

224.

а) y=x4–5x2+4. Точка пересечения с Оу. x=0 ⇒ y=04–5·02+4=4 ⇒ (0; 4). Точка пересечения с Ох y=0 ⇒ x4–5x2+4=0; обозначим x2=v ⇒ v2– 5+3 5−3 = 4 или v1 = = 1 ⇒ x2=4 5v+4=0; D=(−5)2–4⋅1·4=9; v2 = 2 2 или x2=1; из первого уравнения x1=2 или x2=–2 из второго x3=1 или x4=–1. (2; 0); (–2; 0); (1; 0); (–1; 0). б) y=x4+3x2–10.

81

www.5balls.ru


Найдем точку пересечения с Оу: если x=0 ⇒ y=04+3·02–10=–10; ⇒ (0; –10). Если y=0 ⇒ x4+3x2–10=0; обозначим x2=v ⇒ v2+3v–10=0; D=32– −3 + 7 −3 − 7 = 2 или v1 = = −5 ⇒ x2=2 или x2=–5; 4⋅1·(–10)=49; v2 = 2 2 из первого уравнения x1 = 2 ; x 2 = − 2 , у второго уравнения корней нет. ( 2 ;0); (− 2 ;0) — точки пересечения с Ох. в) y=x4–20x2+100. Найдем точку пересечения с Оу: если x=0 ⇒ y=04–20·02+100=100 ⇒ (0; 100). Если y=0 ⇒ x4–20x2+100=0; обозначим x2=v ⇒ y=v2–20v+100=0; 20 + 0 D=(−20)2–4⋅1·100=0; v = = 10 ⇒ x2=10; x1 = 10 ; x 2 = − 10 . 2 ( 10 ;0); (− 10 ;0) — точки пересечения с Ох. г) y=4x4+16x2. Найдем точку пересечения с Оу: если x=0 ⇒ y=4·0+16·0=0 ⇒ (0; 0). Если y=0 ⇒ 4x4+16x2=0; 4x2(x2+4)=0, x=0; (0; 0) — точка персечения с Ох.

225.

а) (x2–1)(x2+1)–4(x2–11)=0; x4–1–4x2+44=0; x4–4x2+43=0; обозначим x2=v ⇒ v2–4v+43=0; D=(−4)2–4⋅1·43<0. Нет корней. б) 3x2(x–1)(x+1)–10x2+4=0; 3x2(x2–1)–10x2+4=0; 3x4–3x2–10x2+4=0; обозначим x2=v ⇒ 3v2–13v+4=0; D=(−13)2–4·3·4=121; 1 13 − 121 1 13 + 121 v2 = = 4 или v1 = = ⇒ x2=4 или x2= ; из пер6 3 3 6 1 1 ; x4 = . вого уравнения x1=2 или x2=–2; из второго x 3 = − 3 3

226.

а) x5+x4–6x3–6x2+5x+5=0; x4(x+1)–6x2(x+1)+5(x+1)=0; (x+1)(x4– –6x2+5)=0; x+1=0, x1=–1 или x4–6x2+5=0. Обозначим x2=v ⇒ v2–6v+5=0; D=(−6)2–4⋅1·5=16; v2 =

6+4 6−4 2 = 5 или v1 = = 1 ⇒ x =5 2 2

или x2=1; из первого уравнения x2=– 5 ; x3= 5 ; из второго x4=1; x5=–1.

82

www.5balls.ru


б) x4(x–1)–2x2(x–1)–3(x–1)=0; (x–1)(x4–2x2–3)=0; x–1=0, x1=1 или x –2x2–3=0. Обозначим x2=y ⇒ y2–2y–3=0; D=(−2)2–4⋅1·(–3)=16; 4

v 21 =

2+4 2−4 2 2 = 3 или v1 = = −1 ⇒ x =3 или x =–1; из первого 2 2

уравнения x2=– 3 ; x3= 3 , у второго уравнения корней нет, т.к. квадрат любого числа неотрицателен.

227. 4 − гиx пербола, у которой ветви расположены в I и III ч. x 1 2 3 4 –1 –2 –4 –6 –8 1 1 1 – y 4 2 1 –4 –2 –1 2 2 б) График функции y=–3x+6 − прямая. x 0 3 y 6 −3 а) График функции y =

228.

а) 3x2+2px+5=0; уравнение имеет 4p2–60>0; D=(2p)2–4·3·5=4p2–60>0;

2 корня, когда D>0: 4(p2–15)>0; p2–15>0;

( p − 15 )( p + 15 ) > 0. (−∞;− 15 ) ∪ ( 15 ;+∞)

б) 6x2–4x+p=0; уравнение не имеет корней, если D<0; D=16–4·6·p=16–24p<0; –24p<–16; p>

2 2 16 ; p> . (−∞; ) 3 3 24

229.

а) –x2+6x–8>0. 1) График функции y=–x2+6x–8 − парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). 2) Решим уравнение –x2+6x–8=0; x2–6x+8=0; 6+2 6−2 = 4 ; x2 = = 2. D=(−6)2–4⋅1·8=4; x1 = 2 2 3) (2; 4). б) 2x2–9x–45<0. 1) График функции y=2x2–9x–45 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 83

www.5balls.ru


уравнение 2x2–9x–45=0; 9 + 21 9 − 21 –42·2·(–45)=441; x1 = = 7,5 ; x2 = = −3. 4 4 3) (–3; 7,5).

2)

D=(−9)2–

Решим

5

4( x − 4 ) 5 − 4x в) > 0, < 0. x x + 30 + x г) < 0. –30 x − 30

+ 0 –

+ 1,25

+ 30

(0; 1,25).

(–30; 30)

230.

а) x=–1; y=3 ⇒ (–1)2–3+2=0. Следовательно, (–1; 3) является решением уравнения. б) x=–1; y=3 ⇒ (–1)·3+3=6. Следовательно, (–1; 3) не является решением урвнения.

231.

а) x=–2; y=1. (–2)2+(1)2=5; 6·(–2)+5·1=–12+5=–7. Следовательно, (–2; 1) не является решением системы. б) x=1; y=–2,12+(–2)2=5; 6·1+5·(–2)=–4. Следовательно, (1; –2) является решением системы.

232. а) 2; б)1; в) 4+2=6; г) уравнение эквивалентно такому: x–xy–4=0, его степень равна 2; д) уравнение эквивалентно такому: x4–4x2y2+4y4–5y=0, его степень равна 4; е) уравнение эквивалентно такому: 7x8–12xy+y–7x8–7x2=0, т.е. – 12xy+y–7x2=0, его степень равна 2.

233.

1) График функции y=x2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный) 2) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0 ⇒ yb=0; (0; 0). xb = − 2a 2 ⋅1 3) x 1 3 –3 0 −1 y 1 9 9 0 1 4) График функции y=2x+3 − прямая. x 1 −1 84

www.5balls.ru


y 1 5 (–1; 1); (3; 9)

234.

1) График x2+y2=25 − окружность с центром в (0; 0). 2) График функции y=x2–6 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 3) Найдем координаты вершины: b 0 xb= − =− = 0; yb=02–6=–6; (0; –6). 2a 2 ⋅1 4) x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 3 –2 5 −6 –5 –2 3 ≈(3,2; 3,9); ≈(–3,2; 3,9); ≈(–1,1; –4,9); ≈(1,1; –4,9).

235.

1) График уравнения x2+y2=100 − окружность с центром в (0; 0). 1 2) График функции y = x 2 − 10 − парабола, у которой ветви на2 правлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

1 3) Найдем координаты вершины: xb= − b = − 0 1 = 0; yb= 02–10=

2a

= –10; (0; –10). 4) x −3

–2

–1

0

1

2

2⋅

2

2

3

85

www.5balls.ru


11 –8 –4,5 −10 –9,5 –8 11 − 2 2 (–10; 0); (6; 8); (–6; 8). y

236.   y = а)  y = 

6 , x 2 x − 2. 3 6 − гипербола, у x которой ветви расположены в I и III ч. (т.к. k=6>0). x –1 –2 –3 –6 1 2 3 6 y –6 –3 –2 –1 6 3 2 1 2 2) График функции y= x − 2 − прямая. 3 x 0 6 y –2 2 1) График функции y=

≈(4,8; 1,2); ≈(–2; –3,2). ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 4, б)   y = x 2 . 1) График уравнения (x–3)2+(y–4)2=4 − окружность с центром в точке (3; 4) и радиусом 2. 2) График функции y=x2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 3) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0; y b = 0; (0;0) xb=– 2a 2 ⋅1 4) x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 ≈(1,6; 2,5); ≈(2,4; 5,8).

237.  x 2 + y 2 = 16, а)   x + y + 2 = 0;

 x 2 + y 2 = 16,   y = − x − 12.

86

www.5balls.ru


1) График уравнения x2+y2=16 − окружность с центром в (0; 0) и радиусом 4. 2) График функции y=x–2 − прямая. ≈(–3,6; 1,6); ≈(1,6; –3,6). 8   xy = 8, y = , б)  x   x + y + 3 = 0;  y = − x − 3.  8 − гипербола, x у которой ветви расположены в I и III ч. (т.к. k=8>0). 2) График функции y=–x–3 − прямая. Решений нет. 1) График функции y=

238. y = x3 ,  а)  12  xy = − . x  1) График функции y=x3 − кубическая парабола, расположенная в I и Ш ч.

12 − гипербола, у которой ветви располоx жены во II и IV ч. (т.к. k=–12<0). Решений нет. 2) График функции y=–

87

www.5balls.ru


 y = x 2 + 8, б)   y = − x 2 + 12; 1) График функции y=x2+8 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем координаты вершины: xb= − b = − 0 = 0, yb=8; (0; 8) 2a

2 ⋅1

3) График функции y=–x2+12 − парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 4) Найдем координаты вершины: xb= − b = − 2a

0 = 0, yb=12; (0; 12). 2 ⋅ (−1)

5) 2 решения.

 y = x 2 + 1,  в)  3 y = x .  1) График функции y=x2+1 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0, yb=1; (0; 1) xb= − 2a 2 ⋅1

3) График функции y =

3 − гипербола, у которой ветви расположеx

ны в I и III ч. 4) Одно решение.  x 2 + y 2 = 9, г)  ( x − 10) 2 + y 2 = 16. 88

www.5balls.ru


1) График уравнения x2+y2=9 − окружность с центром в (0; 0) и радиусом 3. 2) График уравнения (x–10)2+y2=16 − окружность с центром в (10; 0) и радиусом 4. Нет решений.

239. ( x − 4) 2 + ( y − 5) 2 = 9, а)   y = x. 1) График уравнения (x–4)2+ +(y–5)2=9 − окружность с центром в (4; 5) и радиусом 3. 2) График функции y=x − прямая (биссектриса I и III ч.) ≈(2,4; 2,4); ≈(6,6; 6,6).  y = x 2 , б)   y = 6 − x. 1) График функции y=x2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем координаты вершиb 0 =− = 0; yb=0. ны: xb=– 2a 2 ⋅1 3) x –1 –2 –3 0 1 2 3 y 1 4 9 0 1 4 9 4) График функции y=6–x − прямая. x 0 2 y 6 4

240.

а) 1) График функции у=25х2+6х − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положителен). 89

www.5balls.ru


2) Решим уравнение 25х2+6х=0; х(25х+6)=0, х1=0; 25х+6=0; 25х=–6, x2 = − 6 . 25 6 3) − ;0  25 

(−∞;−13)∪ (13;+∞ )

б) (х–13)(х+13)>0 2

в) х –10х–24<0. 1) График функции у=х2–10х–24 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положителен). 2)

Решим

уравнение

− 4 ⋅ (− 24 ) = 196 ; х1 =

D = (−10) 2 −

х2–10х–24=0;

10 + 14 10 − 14 = 12 ; х2 = = −3 2 2

3) (–2; 12). г) 15х2–30–22x–7>0; 15x2–22x–37>0. 1) График функции y=15x2–22x–37 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) ��ешим уравнение 15х2–22х–37=0; D=484–4·15·(– –37)=2704; x2 = 22 + 52 = 2 7 ; x1 = 22 − 52 = −1 . 30

5

30

3) (− ∞;−1)∪  2 7 ; ∞   15 

241.

11(1 + 2 y ) − 9 y = 37, 11 + 22 y − 9 y = 37, 13 y = 26,  y = 2, а)   x = 1 + 2 y;  x = 1 + 2 y;  x = 1 + 2 ⋅ 2 = 5.  x = 1 + 2 y;    16 x − 4(3 x − 2 ) = 5, 16 x − 12 x + 8 = 5, 4 x = −3,  x = −0,75, б)   y = 3 x − 2;  y = 3 x − 2;  y = −4,25.  y = 3 x − 2;   

242. − 10 x − 4 y = −60, − 7 x = −63,  x = 9, 3 x + 4 y = −3; 3 ⋅ 9 + 4 y = −3;   2 y − 4 x = −170,  x = −43,  x = −43, б)    5 x − 2 y = 127; 5 ⋅ (− 43) − 2 y = 127;  y = −171.

а)  3 x + 4 y = −3;

90

www.5balls.ru

 x = 9,  y = −7,5. 


243. Обозначим скорость 1-го велосипедиста х км/ч, тогда скорость 2-го равна (x + 2 ) км/ч.  36  ч — время 1-го;  36  ч — время 2 x   x+2 го. По условию  36  больше  36  на 1 , составим уравнение: 4  x   x+2 36 − 36 = 1 ; x x+2 4

36 − 36 − 1 = 0 ; x x+2 4

144(x + 2 ) − 144 x − x(x + 2 ) = 0; 4 x(x + 2 )

x(x + 2) ≠ 0; 144x+288–144x–x2–2x=0; x2−2x–288=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(– 288)=1156; x2 = −2 + 34 = 16 ; x1 = −2 − 34 = −18 — не подходит по 2 2 смыслу задачи. Если x=16, то x+2=16+2=18. Ответ: 16 км/ч, 18 км/ч.

244.  y 2 − x = −1,  y 2 − ( y + 3) = −1,  y 2 − y − 2 = 0, а)     x = y + 3;  x = y + 3;  x = y + 3. Решим уравнение y2–y–2=0; D=(−1)2–4⋅1·(–2)=9; y2 = 1 + 3 = 2 ; 2 y1 = 1 − 3 = −1 . 2  y = −1  y1 = 2, или  2  5 ; x =  x 2 = 2.  1  y = x − 1,  y = x − 1, б)  2   x − 2 y = 26;  x 2 − 2( x − 1) − 26 = 0; Решим уравнение x2–2x–24=0; x2 = 2 + 10 = 6 или x1 = 2 − 10 = −4 . 2 2  x 2 = −4,  x1 = 6, или   y = 5 ;  y 2 = −5.  1  xy + x = −4, ( y + 6) y + y + 6 = −4, в)    x − y = 6;  x = y + 6;

 y = x − 1,  2  x − 2 x − 24 = 0. D=(−2)2–4⋅1·(–24)=100;

 y 2 + 6 y + y + 6 + 4 = 0,  y 2 + 7 y + 10 = 0,    x = y + 6;  x = y + 6; 91

www.5balls.ru


Решим уравнение y2+7y+10=0; D=72–4⋅1·10=9; y2 = −7 + 3 = −2 ; 2 7 3 − − y1 = = −5 . 2  y = −5,  y2 = −2, или  1   x1 = 1.  x2 = 4;  x + y = 9,  y = 9 − x, г)  2   y + x = 29 (9 − x) 2 + x = 29;  y = 9 − x,  81 − 18 x + x 2 + x − 29 = 0; Решим уравнение

 y = 9 − x,  2  x − 17 x + 52 = 0; x2–17x+52=0;

D=(−17)2–4⋅1·52=81;

x2 = 17 + 81 = 13 ; x1 = 17 − 81 = 4. 2 2  x = 4,  x2 = 13, или  1   y1 = 5.  y2 = −4;

245.  x = 3 − y,  x = 3 − y,  x = 3 − y, а)  2  2   y − x = 39;  y − (3 − y ) − 39 = 0;  y 2 + y − 42 = 0; Решим уравнение y2+y–42=0; D=12–4⋅1·(–42)=169; y2 = − 1 + 169 = 6 ; y1 = − 1 − 169 = −7. 2 2  y1 = −7,  y2 = 6, или    x1 = 10.  x2 = −3;  y = 1 + x, б)   x + y 2 = −1;

 y = 1 + x,   x + (1 + x) 2 + 1 = 0;

 y = 1 + x,  2  x + 3x + 2 = 0.

Решим уравнение x2+3x+2=0; D=32–4⋅1·2=1; x2 = −3 + 1 = −1 ; 2 3 1 − − x1 = = −2. 2  x = −2,  x2 = −1, или  1   y1 = −1.  y2 = 0;

92

www.5balls.ru


 x 2 + y = 14, в)   y − x = 8;

 x 2 + (8 + x) − 14 = 0,   y = 8 + x;

 x 2 + x − 6 = 0,   y = 8 + x.

Решим уравнение x2+x–6=0; D=12−4⋅1·(−6)=25; x2 = −1 + 5 = 2 2 1 5 − − или x1 = = −3 . 2  x1 = −3,  x2 = 2, или    y1 = 5.  y2 = 10;  x + y = 4,  y = 4 − x, г)    y + xy = 6; 4 − x + x(4 − x) − 6 = 0;

 y = 4 − x,  2 − x + 3 x − 2 = 0.

Решим уравнение x2–3x+2=0; D=(−3)2−4·2=1;

x2 = 3 + 1 = 2 ; 2

x1 = 3 − 1 = 1. 2  x 2 = 2,  x1 = 1,  y = 2; или  y = 3.  2  1

246.  x − y = 3,  x = 3 + y,

 x = 3 + y,

а)    2  xy = −2; (3 + y ) y = −2; 3 y + y + 2 = 0. Решим уравнение y2+3y+2=0; D=32−4⋅1·2=1; y1 =

y2 =

−3 + 1 = −1 ; 2

−3 − 1 = −2 2

 y1 = −2,  y 2 = −1,  x = 2; или   2  x1 = 1.  y = − x + 2,5,  y = − x + 2,5, б)   2  x(− x + 2,5) = 1,5; − x + 2,5 x − 1,5 = 0. Решим уравнение x2–2,5x+1,5=0; D=(−2,5)2–4⋅1⋅1,5=0,25; 2,5 + 0,5 2,5 − 0,5 = 1,5 или x1 = = 1. x2 = 2 2  x2 = 1,5,  x1 = 1,    y2 = 1;  y1 = 1,5.

93

www.5balls.ru


 x + y = −1, в)  2  x + y 2 = 1;

 y = − x − 1,  2  x + (− x − 1) 2 = 1;

 y = − x − 1,  2  x + x 2 + 2 x + 1 − 1 = 0;

 y = − x − 1,  x2 = 0,  x1 = −1,  y = − x − 1, или    2  = − 1 ; y 2 x ( x + 1 ) = 0 ; 2 x + 2 x = 0;   2  y1 = 0.  x − y = 2, г)  2  x − y 2 = 17;

 x = y + 2,  ( y + 2) 2 − y 2 − 17 = 0;

 x = y + 2,  x = y + 2,  2  2  y + 4 y + 4 − y − 17 = 0; 4 y = 13;

21   x = 4 ,  13 y = .  4

247.  x + y = 8,  x = 8 − y,  x = 8 − y, а)    2  xy = −20; (8 − y ) y + 20 = 0; 8 y − y + 20 = 0. Решим уравнение y2–8y−20=0; D=(−8)2–4⋅1·(–20)=144; 8 + 12 8 − 12 = 10 или y1 = = −2. y2 = 2 2  y1 = −2,  y2 = 10, или    x1 = 10.  x2 = −2;  x = 0,8 + y,  x − y = 0,8,  x = 0,8 + y, б)    2  xy = 2,4; (0,8 + y ) y − 2,4 = 0; 0,8 y + y − 2,4 = 0. Решим уравнение 5y2+4y–12=0; D=42–4·5·(–12)=256; −4 + 16 −4 − 16 y2 = = 1,2 или y1 = = −2. 10 10  y1 = −2,  y2 = 1,2, или    x1 = −1,2.  x2 = 2;  x 2 − y 2 = 8, (4 + y ) 2 − y 2 = 8, 16 + 8 y + y 2 − y 2 − 8 = 0, в)     x − y = 4;  x = 4 + y;  x = 4 + y; 8 y = −8,  y = −1,    x = 4 + y;  x = 3.

94

www.5balls.ru


 x 2 + y 2 = 5, г)   x + y = −3;

(− x − 3) 2 + x 2 − 5 = 0,   y = − x − 3;

 x 2 + 3 x + 2 = 0   y = − x − 3 −3 + 1 = −1 ; Решим уравнение x2+3x+2=0; D=32–4⋅1·2=1; x2 = 2 −3 − 1 = −2. x1 = 2  x2 = −1,  x1 = −2,    y2 = −2;  y1 = −1.  x 2 + 6 x + 9 + x 2 − 5 = 0, 2 x 2 + 6 x + 4 = 0,    y = − x − 3;  y = − x − 3.

248.  y = 2 x + 2,  y − 2 x = 2,  y = 2 x + 2, а)  2  2  5 x − y = 1; 5 x − (2 x + 2) − 1 = 0; 5 x 2 − 2 x − 3 = 0. Решим уравнение 5x2–2x–3=0; D=(−2)2–4·5·(–3)=64; 2+8 2−8 = 1 ; x1 = = −0,6. x2 = 10 10  x2 = 1,  x1 = −0,6,    y2 = 4;  y1 = 0,8.  x − 2 y 2 = 2, б)  3x + y = 7;

 x − 2(7 − 3 x) 2 = 2,   y = 7 − 3 x;

 x − 2(49 − 42 x + 9 x 2 ) − 2 = 0,  x − 98 + 84 x − 18 x 2 − 2 = 0,    y = 7 − 3 x;  y = 7 − 3x; − 18 x 2 + 85 x − 100 = 0,   y = 7 − 3x. Решим уравнение 18x2–85x+100=0; 85 + 5 2 85 − 5 x2 = = 2,5 ; x1 = =2 . 36 9 36 2 1    x2 = 2 2 ,  x1 = 2 9 ,   y = − 1 ; y = 1 . 2 1  2  3

D=(−85)2–4·18·100=25;

95

www.5balls.ru


 x 2 − 3 y 2 = 52, в)   y − x = 14;

 x 2 − 3(14 + x) 2 − 52 = 0,   y = 14 + x;

 x 2 − 588 − 84 x − 3x 2 − 52 = 0, − 2 x 2 − 84 x − 640 = 0,    y = 14 + x;  y = 14 + x. Решим уравнение x2+42x+320=0; D=422–4⋅1·320=484; −42 + 22 −42 − 22 = −10 ; x1= = −32. x2 = 2 2  x2 = −10,  x1 = −32,    y1 = −18.  y2 = 4; 3 x 2 + 2 y 2 = 11, г)   x + 2 y = 3;

D = ±22 ;

3(−2 y + 3) 2 + 2 y 2 = 11,   x = −2 y + 3;

3(4 y 2 − 12 y + 9) + 2 y 2 − 11 = 0,   x = −2 y + 3;

14 y 2 − 36 y + 16 = 0,   x = −2 y + 3.

7 y 2 − 18 y + 8 = 0   x = −2 y + 3 Решим уравнение 7y2–18y+8=0; D=(−18)2–4⋅7⋅8=100; 18 + 10 18 − 10 4 y2 = = 2 или y1 = = . 14 14 7 4   y1 = 7 ,  y2 = 2, или    x2 = −1; x = 1 6 . 1 7   4 2 16 ( y ) + y 2 = 100,  y 2 + y 2 = 100,  x 2 + y 2 = 100,  3 9 д)    3 x = 4 y;  x = 4 y;  x = 4 y; 3 3    25 2  9 y = 100,   x = 4 y;  3

 y 2 = 36,  y = −6,  y2 = 6,  или  1   4  x1 = −8.  x = y;  x2 = 8; 3 

96

www.5balls.ru


2 x 2 − y 2 = 32, е)  2 x − y = 8.

2 x 2 − (2 x − 8) 2 = 32,   y = 2 x − 8;

2 x 2 − 4 x 2 + 32 x − 64 − 32 = 0,   y = 2 x − 8;

− 2 x 2 + 32 x − 96 = 0,   y = 2 x − 8.

 x 2 − 16 x + 48 = 0   y = 2 x − 8 Решим уравнение x2–16x+48=0; 16 + 8 16 − 8 = 12 ; x1 = = 4. x2 = 2 2  x = 4,  x2 = 12, или  1  y 16 ; =  y1 = 0.  2

D=(−16)2–4⋅1·48=64

249. 2 xy − y = 7, 2 y (5 y + 2) − y = 7, 10 y 2 + 3 y − 7 = 0, а)     x = 5 y + 2.  x − 5 y = 2;  x = 5 y + 2; 2 D=32–4·10·(–7)=289; Решим уравнение 10y +3y–7=0; −3 + 17 −3 − 17 = 0,7 ; y1 = = −1. y2 = 20 20  y = −1,  y2 = 0,7, или  1  x 5 , 5 ; =  x1 = −3.  2 2 x 2 − xy = 33, б)  4 x − y = 17;

2 x 2 − x(4 x − 17) = 33,   y = 4 x − 17;

2 x 2 − 4 x 2 + 17 x − 33 = 0,   y = 4 x − 17;

− 2 x 2 + 17 x − 33 = 0,   y = 4 x − 17.

2 x 2 − 17 x + 33 = 0   y = 4 x − 17 Решим уравнение 2x2–17x+33=0; 17 + 5 17 − 5 x2 = = 5,5 или x1 = = 3. 4 4  x = 3,  x2 = 5,5, или  1   y1 = −5.  y2 = 5;

D=(−17)2–4·2·33=25;

97

www.5balls.ru


в)

 x 2 + 2 y = 18,  3 x = 2 y;

 2 2 ( y ) + 2 y − 18 = 0,  3   x = 2 y;  3

4 2  9 y + 2 y − 18 = 0,   x = 2 y.  3

2 y 2 + 9 y − 81 = 0   2 x = y 3  Решим уравнение 2y2+9y–81=0; D=92–4·2·(–81)=729; −9 + 27 −9 − 27 = 4,5 ; y1 = = −9. y2 = 4 4  y = −9,  y2 = 4,5, или  1   x1 = −6.  x2 = 3;  x − y − 4 = 0, г)  2  x + y 2 = 8,5;

 x = y + 4,  ( y + 4) 2 + y 2 − 8,5 = 0;

 x = y + 4,  2  y + 8 y + 16 + y 2 − 8,5 = 0;  x = y + 4  2 4 y +!6 y + 15 = 0 Решим уравнение 4y2+16y+15=0; −16 + 4 −16 − 4 = −1,5 или y1 = = −2,5. y2 = 8 8  y2 = −1,5,  y1 = −2,5,    x2 = 2,5;  x1 = 1,5.  x 2 + 4 y = 10, д)   x − 2 y = −5;

D = ±27 ;

 x = y + 4,  2 2 y + 8 y + 7,5 = 0

D=162–4·4·15=16;

(2 y − 5) 2 + 4 y = 10,   x = 2 y − 5;

4 y 2 − 20 y + 25 + 4 y − 10 = 0, 4 y 2 − 16 y + 15 = 0,    x = 2 y − 5;  x = 2 y − 5. 2 Решим уравнение 4y –16y+15=0; D=(−16)2–4·4·15=16; 16 + 4 16 − 4 = 2,5 ; y1 = = 1,5. y2 = 8 8

98

www.5balls.ru


 y1 = 1,5,  y2 = 2,5, или    x1 = −2.  x2 = 0;  x − 2 y + 1 = 0, е)  5 xy + y 2 = 16.

 x = 2 y − 1,  5 y (2 y − 1) + y 2 − 16 = 0;

 x = 2 y − 1,  x = 2 y − 1,   2 2 10 y − 5 y + y − 16 = 0; 11y 2 − 5 y − 16 = 0. Решим уравнение 11y2–5y–16=0; D=(−5)24·11·(–16)=729; 5 5 − 27 5 + 27 D = ±27 ; y2 = = 1 ; y1 = = −1. 11 22 22 5   y2 = 1 11 ,  y = −1, или  1   x1 = −3.  x = 1 10 ;  2 11

250. 2 x + 4 y = 5( x − y ), 2 x + 4 y = 5 x − 5 y,  x = 3 y, а)  2  2   x − y 2 = 6; (3 y ) 2 − y 2 = 6;  x − y 2 = 6;  x = 3 y,  x = 3 y,   2  3 2 9 y − y = 6;  y 2 = . 4  б)

  3 3 , ,  y2 =  y1 = −   2 2 или   3⋅ 3 3⋅ 3    x2 = 2 ;  x1 = − 2 .

u − v = 6(u + v ),  2 2 u − v = 6;

7  u = − 5 v,  7 ( − v) 2 − v 2 = 6;  5

7  u = − 5 v,  49  v 2 − v 2 = 6;  25

u − v = 6u + 6v,  2 2 u − v = 6;

− 5u = 7v  2 2 u − v = 6

7  u = − 5 v,  v 2 = 25 ;  4

v2 = 2,5, v1 = −2,5, или   u 2 = −3,5; u1 = 3,5;

251. 5 y − 6 x − 50 = 0, 6( y − x) − 50 = y, 6 y − 6 x − 50 = y,  а)   24   y − xy = 24;  y (1 − x) = 24; y = 1− x ;  99

www.5balls.ru


 5 ⋅ 24 − 6 x − 50 = 0,  1 − x  24 y = ;  1− x

120 − 6 x (1 − x ) − 50(1 − x) = 0,  1− x  24 y = ,  1− x

120 − 6 x + 6 x 2 − 50 + 50 x = 0,  24   y = 1 − x ;

6 x 2 + 44 x + 70 = 0,  24   y = 1 − x .

Решим уравнение 3x2+22x+35=0; −22 + 8 −22 − 8 1 = −2 ; x1 = = −5. x2 = 6 3 6

3x 2 + 22 x + 35 = 0  24   y = 1 − x

D=222–4·3·35=64;

1   x 2 = −2 3 ,  x = −5, или  1  1  y1 = 4. y2 = 7 ; 5   p = 3t  p + 5t = 2( p + t ),  p + 5t = 2 p + 2t ,  p = 3t ,  pt − t = 10; 3t ⋅ t − t − 10 = 0;  2   3t − t − 10 = 0

б)   pt − t = 10;

Решим уравнение 3t2–t–10=0; 1 + 11 1 − 11 2 = 2 или t1 = = −1 . t2 = 6 6 3 2  t 2 = 2, t = −1 , или  1 3   p2 = 6;  p1 = −5. 

D=(−1)2–4·3·(–10)=121;

252. ( x − 2)( y + 3) = 160, ( x − 2)( x + 4) = 160, а)    y − x = 1;  y = x + 1;  x 2 − 2 x + 4 x − 8 − 160 = 0,  x 2 − 2 x − 168 = 0,    y = x + 1;  y = x + 1; Решим уравнение x2+2x–168=0; D=22–4⋅1·(–168)=676; −2 + 26 −2 − 26 x2 = = 12 или x1 = = −14. 2 2  x1 = −14,  x2 = 12, или    y1 = −13.  y2 = 13; ( x − y )( y + 10) = 9, ( y + 10)( y + 10) = 9, б)    x − y = 11;  x = 11 + y; 100

www.5balls.ru

D = ±26 ;


 y 2 + 20 y + 100 − 9 = 0,   x = 11 + y. Решим уравнение y2+20y+91=0; −20 + 6 −20 − 6 y2 = = −7 или y1 = = −13. 2 2  y1 = −13,  y2 = −7, или    x1 = −2.  x2 = 4;

D=202–4⋅1·91=36;

253.  y = 0,5 x 2 − 2,  y = 0,5 x 2 − 2,    y − x = 2;  y = x + 2. 1) График функции y=0,5x2–2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

2) Найдем координаты вершины: x в = − (0;–2). 3) y

–3 –2 –1 0 1 2 0 –1,5 −2 –1,5 0 5 2 4) График функции y=x+2 − прямая. x 0 2 y 2 4 5) Решение системы: (–2; 0); (4; 6).  y = x + 2, 6) 

b 0 =− = 0; y в = −2; 2a 2 ⋅ 0,5

3 5 2

 y = x + 2,   x + 2 = 0,5 x − 2; 0,5 x 2 − x − 4 = 0. 2

101

www.5balls.ru


Решим уравнение x2–2x–8=0; D=(−2)2–4⋅1·(–8)=36; x2 = 2−6 = −2. 2  x = −2, ��� x1 = 4, или  2  = y 6 ;  y 2 = 0.  1

2+6 =4; 2

x1 =

254.

а) 1) График уравнения x2+y2=16 − окружность с центром в т. (0; 0) и радиусом 4. 2) График функции y=x–4 − прямая. x 0 2 y –4 −2 3) Решения системы: (4; 0); (0; –4).  x 2 + y 2 = 16, ( y + 4) 2 + y 2 − 16 = 0, 4)    x = y + 4;

 x − y = 4;

 y 2 + 8 y + 16 + y 2 − 16 = 0,  y 2 + 8 y = 0, 2 y ( y + 4) = 0,     x = y + 4;  x = y + 4;  x = y + 4;  y = −4,  y 2 = 0, или  1   x1 = 0.  x2 = 4;

 y = x 2 + 1,  y = x 2 + 1, б)    x + 2 y = 5;  x = −2 y + 5. 1) График функции y=x2+1 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент x2 при положителен).

2) Найдем координаты вершины: xB = − 3)

x −3 –2 –1 0 y 10 5 2 1

1 2

b 0 =− = 0; yв=1; (0;1). 2a 2 ⋅1

2 3 5 10

102

www.5balls.ru


4) График функции x=–2y+5 − прямая. x 1 5 y 2 0 5) Решения системы: ≈(–1,5; 3,2); (1; 2).  x = −2 y + 5,  x = −2 y + 5, 6)   2 (−2 y + 5) + 1 − y = 0; 4 y 2 − 21y + 25 + 1 = 0. Решим уравнение 4y2–21y+25=0; D=(−21)2–4·4·26=25; 21 + 5 1 21 − 5 = 3 или y1 = = 2. y2 = 8 4 8 1   y1 = 2,  y2 = 3 , 4 или    x1 = 1.  x2 = −1,5;

255.  x 2 + xy − y 2 = 11, (2 y + 1) 2 + (2 y + 1) y − y 2 = 11, а)    x − 2 y = 1;  x = 2 y + 1; 4 y 2 + 4 y + 1 + 2 y 2 + y − y 2 = 11,   x = 2 y + 1;

5 y 2 + 5 y − 10 = 0,   x = 2 y + 1.

 y 2 + y − 2 = 0   x = 2 y + 1 Решим уравнение y2+y–2=0; D=12–4·1·(–2)=9; y2 = y1 =

−1 − 3 = −2. 2

−1 + 3 =1; 2

103

www.5balls.ru


 y1 = −2,  y2 = 1, или    x1 = −3.  x2 = 3;  x 2 + xy − 3 y = 9, б)  3x + 2 y = −1;

 x 2 + xy − 3 y = 9,  2 y = −3x − 1;

 x 2 + x(−1,5 x − 0,5) − 3(−1,5 x − 0,5) = 9,   y = −1,5 x − 0,5;  x 2 − 1,5 x 2 − 0,5 x + 4,5 x + 1,5 − 9 = 0,   y = −1,5 x − 0,5;

− 0,5 x 2 + 4 x − 7,5 = 0,   y = −1,5 x − 0,5.

 x 2 − 8 x + 15 = 0   y = −1,5 x − 0,5 Решим уравнение x2–8x+15=0; D=(−8)2–4·15=4; x2 = 8−2 = 3. 2  x1 = 3,  x2 = 5, или    y1 = −5.  y2 = −8;

x1 =

256.  x 2 + y 2 + 3 xy = −1, а)   x + 2 y = 0;

(−2 y ) 2 + y 2 + 3 y (−2 y ) + 1 = 0,   x = −2 y;

4 y 2 + y 2 − 6 y 2 = −1,   x = −2 y;

 y 2 = 1,   x = −2 y;

 y = −1,  y2 = 1, или  1   x1 = 2.  x2 = −2; u + 2v = 4, б)  2 u + uv − v = −5;

u = 4 − 2v,  (4 − 2v) 2 + (4 − 2v)v − v = −5;

u = 4 − 2v, u = 4 − 2v,   16 − 16v + 4v 2 + 4v − 2v 2 − v = −5; 2v 2 − 13v + 21 = 0.

104

www.5balls.ru

8+2 =5; 2


Решим уравнение 2v 2 − 13v + 21 = 0; 13 + 1 13 − 1 v2 = = 3,5 или v1 = = 3. 4 4

D=(−13)2–4·2·21=1;

v 2 = 3,5, v1 = 3, u = −3; или u = −2.  2  1

257.  x − y = 5,

 x = y + 5,

 x = y + 5,

   6 y + 6( y + 5) − y ( y + 5) 6 а)  1 1 1  6 + = ; + − 1 = 0;  = 0;

 x y 6  y + 5 y  y ( y + 5)  x = y + 5, x = y + 5  x = y + 5,  2  2  2 y y y y y y 7 30 0 ; 6 6 30 5 0 ; − + + = + + − − =   y − 7 y − 30 = 0 

Решим уравнение y2–7y–30=0; 7 + 13 7 − 13 = 10 или y1 = = −3. y2 = 2 2  x = 2,  x2 = 15, или  1   y1 = −3.  y2 = 10;  x + y = 6,  б)  1 1 1 x − y = 4; 

 y = 6 − x,  1 4  x − 6 − x − 1 = 0; 

 y = 6 − x,  24 − 4 x − 4 x − 6 x + x 2 = 0;

D=(−7)2−4⋅1⋅(−30)=169;

 y = 6 − x,   4(6 − x) − 4 x − x(6 − x) = 0;  x (6 − x ) 

 y = 6 − x,  2  x − 14 x + 24 = 0.

Решим уравнение x2–14x+24=0; 14 + 10 14 − 10 x2 = = 12 или x1 = = 2. 2 2  x1 = 2,  x2 = 12, или   y = − 6 .  y1 = 4;  2 3x + y = 1,  y = 1 − 3 x,   в)  1 1 2 2 + = − 2 , 5 ; x y  x + 1 − 3x + 5 = 0;  

D=(−14)2–4·1⋅24=100;

 y = 1 − 3 x,   2(1 − 3x) + 2 x + 5 x(1 − 3 x) = 0;  x(1 − 3x)  105

www.5balls.ru


 y = 1 − 3 x,  y = 1 − 3 x  y = 1 − 3 x,    2 2 2 − 6 x + 2 x + 5 x − 15 x = 0; − 15 x + x + 2 = 0. 15 x 2 − x − 2 = 0 Решим уравнение 15x2–x–2=0; D=(−1)2–4·15·(–2)=121; 1 + 11 2 1 − 11 1 x2 = = ; x1 = =− . 30 5 30 3 2  1   x2 = 5 ,  x1 = − , или  3  y = − 1 ;  y1 = 2.  2 5 3 1 1 1 3 − 1 = 0,  − = ,  − г)  y x 3  y 2 y + 2  x − 2 y = 2;  x = 2 y + 2;    3(2 y + 2) − 3 y − y (2 y + 2) = 0,  y (2 y + 2)   x = 2 y + 2;  − 2 y 2 + y + 6 = 0,   x = 2 y + 2.

6 y + 6 − 3 y − 2 y 2 − 2 y = 0   x = 2 y + 2

2 y 2 − y − 6 = 0   x = 2 y + 2

Решим уравнение 2y2–y–6=0; 1+ 7 1− 7 = 2 ; y1 = = −1,5. y2 = 4 4  y = −1,5,  y2 = 2, или  1 .  6 ; x =  x1 = −1.  2

D=(−1)2–4·2·(–6)=49;

258.  y = x 2 − 8 x + 16, а)  2 x − 3 y = 0;

 y = x 2 − 8 x + 16,  2 x − 3( x 2 − 8 x + 16) = 0;

 y = x 2 − 8 x + 16,  2 x − 3 x 2 + 24 x − 48 = 0;  y = x 2 − 8 x + 16  2 3x − 26 x + 48 = 0

106

www.5balls.ru

 y = x 2 − 8 x + 16,  − 3x 2 + 26 x − 48 = 0;


Решим уравнение 3x2–26x+48=0; 26 + 10 26 − 10 2 x2 = = 6 ; x1 = =2 . 6 6 3 7  y =1 ,  y2 = 4,  1 9 или   x = 6 ; 2  x = 2 2 . 1 3 

D=(−26)2–4·3·48=100;

107

www.5balls.ru


[

( x â&#x2C6;&#x2019; 5) 2 + ( y â&#x2C6;&#x2019; 4) 2 = 65, ( x â&#x2C6;&#x2019; 5) 2 + ( y â&#x2C6;&#x2019; 4) 2 = 65,   3 x â&#x2C6;&#x2019; y + 6 = 0;  y = 3x + 6;

 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 10 x + 25 + 9 x 2 + 12 x + 4 â&#x2C6;&#x2019; 65 = 0,   y = 3 x + 6;

10 x 2 + 2 x â&#x2C6;&#x2019; 36 = 0,   y = 3 x + 6.

5 x 2 + x â&#x2C6;&#x2019; 18 = 0   y = 3 x + 6

J_rbf

mjZ\g_gb_

2 x +xâ&#x20AC;&#x201C;18=0;

â&#x2C6;&#x2019;1 + 19 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 19 x2 = = 1,8 ; x1 = = â&#x2C6;&#x2019;2. 10 10 x = â&#x2C6;&#x2019;2,  x2 = 1,8, beb  1   y2 = 11,4;  y1 = 0.

D=12â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;Ã&#x201A; ±



259.  x â&#x2C6;&#x2019; y = 4,   y = x 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 x + 5;

 y = x â&#x2C6;&#x2019; 4,   x â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019; x 2 + 5 x â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0;

 y = x â&#x2C6;&#x2019; 4,  2 â&#x2C6;&#x2019; x + 6 x â&#x2C6;&#x2019; 9 = 0.

 y = x â&#x2C6;&#x2019; 4  2  x â&#x2C6;&#x2019; 6 x + 9 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_

x2â&#x20AC;&#x201C;6x+9=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;6)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A;

m=3â&#x2C6;&#x2019;4=â&#x2C6;&#x2019;1



x=

6+0 = 3, 2

 y = â&#x2C6;&#x2019;1,   x = 3.

260.  y = 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 x + 1,  y = 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 x + 1,   2 x + y + 3 = 0;  y = â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2C6;&#x2019; 3; â&#x2C6;&#x2019; 2 x â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 + 5 x â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0,   y = â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2C6;&#x2019; 3;

â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 + 3x â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0,   y = â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2C6;&#x2019; 3.

2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x + 4 = 0   y = â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2C6;&#x2019; 3

J_rbf mjZ\g_gb_ x2â&#x20AC;&#x201C;3x+4=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;3)2â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;Ã&#x201A; â&#x2C6;&#x2019; Ld D lh g_l dhjg_c â&#x2021;&#x2019; djb\u_ g_ bf_xl lhq_d i_j_k_q_gby 

1

www.5balls.ru


261.  x + y = 12,   xy = â&#x2C6;&#x2019;6; 2

Z

2

 6 2 2 (â&#x2C6;&#x2019; y ) + y = 12,   x = â&#x2C6;&#x2019; 6 ;  y

 36 2  2 + y = 12, y   x = â&#x2C6;&#x2019; 6 ;  y

 y 4 â&#x2C6;&#x2019; 12 y 2 + 36 = 0,  6  x = â&#x2C6;&#x2019; y .  J_rbf mjZ\g_gb_ y4â&#x20AC;&#x201C;12y2  H[hagZqbf y2=v â&#x2021;&#x2019; v2â&#x20AC;&#x201C; 12 + 0 12v+36=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;12)2â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;â&#x2039;&#x2026;36=0; v = = 6; y2=6 â&#x2021;&#x2019; y2 = 6 ; 2  y = â&#x2C6;&#x2019; 6, 6. 6 , y1 =â&#x2C6;&#x2019;y2 = beb  1   x2 = â&#x2C6;&#x2019; 6 ;  x1 = 6 . 36 + y 4 = 12 y 2   6 x = â&#x2C6;&#x2019; y 

[

2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 34,   xy = 20;

20 2  2 2 x â&#x2C6;&#x2019; ( x ) â&#x2C6;&#x2019; 34 = 0,   y = 20 ;  x

2 x 4 â&#x2C6;&#x2019; 400 â&#x2C6;&#x2019; 34 x 2 = 0,   20 . y = x  J_rbf mjZ\g_gb_ x4â&#x20AC;&#x201C;17x2± 200=0;

D=(â&#x2C6;&#x2019;17)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A; ±



H[hagZqbf

x2=v â&#x2021;&#x2019; v2â&#x20AC;&#x201C;17vâ&#x20AC;&#x201C; 17 + 33 v2 = = 25 beb 2



17 â&#x2C6;&#x2019; 33 = â&#x2C6;&#x2019;8; x2  beb x2 ± 2 x =xâ&#x2C6;&#x2019;5, beb x1=â&#x20AC;&#x201C;5. mjZ\g_gby  x2 = 5,ihemqZ_f beb  1 2   y1 = â&#x2C6;&#x2019;4.  y2 = 4; v1 =

 2 400 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 34 = 0, x  20 y = ;  x

²

g_l dhjg_c ba i_j\h]h

262.

Z

 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 y 2 = 14, 2 x 2 = 32,   2  x + 2 y 2 = 18;  x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 y 2 = 14;

 x 2 = 16  2  x â&#x2C6;&#x2019; 2 y 2 = 14

2

www.5balls.ru


 x = 4,  2 4 â&#x2C6;&#x2019; 2 y 2 = 14;  x = 4,  2  y = 1;

beb

beb

 x = â&#x2C6;&#x2019;4,  x = 4   (â&#x2C6;&#x2019;4) 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 y 2 = 14; 2 y 2 = 2

beb

 x = â&#x2C6;&#x2019;4  2 2 y = 2

 x = â&#x2C6;&#x2019;4,  2  y = 1;

 x2 = 4,  x1 = â&#x2C6;&#x2019;4,  x4 = 4,     y2 = 1;  y1 = 1;  y4 = â&#x2C6;&#x2019;1; xy + x = 56,  x â&#x2C6;&#x2019; y = 2, [    xy + y = 54;  xy + y = 54;

 x3 = â&#x2C6;&#x2019;4,   y3 = â&#x2C6;&#x2019;1.  x = y + 2,  ( y + 2) y + y â&#x2C6;&#x2019; 54 = 0;

 x = y + 2,  2  y + 3 y â&#x2C6;&#x2019; 54 = 0. J_rbf mjZ\g_gb_ y2+3yâ&#x20AC;&#x201C;54=0; â&#x2C6;&#x2019;3 + 15 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; 15 y2 = = 6 beb y1 = = â&#x2C6;&#x2019;9. 2 2 y = â&#x2C6;&#x2019;9,  y2 = 6, beb  1   x2 = 8;  x1 = â&#x2C6;&#x2019;7.  x = y + 2,  2  y + 2 y + y â&#x2C6;&#x2019; 54 = 0;

D=32â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A; ±



263.

Z

 9 2 ( ) + y 2 â&#x2C6;&#x2019; 18 = 0,  x + y = 18,  y    xy = 9; x = 9 ;  y 2

2

 81 2  y 2 + y â&#x2C6;&#x2019; 18 = 0   x = 9  y

 y 4 â&#x2C6;&#x2019; 18 y 2 + 81 = 0,  9  x = y . 

J_rbf mjZ\g_gb_ D=(â&#x2C6;&#x2019;18)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A;  x2 = 3,   y2 = 3;

beb

y4â&#x20AC;&#x201C;18y2  h[hagZqbf y2=t; t2â&#x20AC;&#x201C;18t+81=0; 18 + 0 = 9 y2=9 â&#x2021;&#x2019; y2  beb y1=â&#x20AC;&#x201C;3.  t = 2  x1 = â&#x2C6;&#x2019;3,   y1 = â&#x2C6;&#x2019;3.

3

www.5balls.ru


[

 x 2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 11,   xy = 30;

30 2  2  x â&#x2C6;&#x2019; ( x ) â&#x2C6;&#x2019; 11 = 0,   y = 30 ;  x

 2 900  x â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 11 = 0   y = 30  x

 x 4 â&#x2C6;&#x2019; 11x 2 â&#x2C6;&#x2019; 900 = 0,   30 y = . x  J_rbf mjZ\g_gb_ x4â&#x20AC;&#x201C;11x2±  H[hagZqbf x2=tâ&#x2021;&#x2019; t2â&#x20AC;&#x201C;11tâ&#x20AC;&#x201C;900=0; 11 + 61 11 â&#x2C6;&#x2019; 61 D=(â&#x2C6;&#x2019;11)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A; ±  t 2 = = 36 beb t1 = = â&#x2C6;&#x2019;25; 2 2 2 2 x =36; x1  beb x2=â&#x20AC;&#x201C;6; x ± ² dhjg_c g_l x = â&#x2C6;&#x2019;6,  x1 = 6, beb  2   y1 = 5;  y 2 = â&#x2C6;&#x2019;5.

\

 x 2 + y 2 = 61, 2 x 2 = 72,   2  x â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 11;  x 2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 11;

 x2 = 6,  36 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 11;

beb

 x 2 = 36,  2  x â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 11;

 x1 = â&#x2C6;&#x2019;6,  36 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 11;

 x1 = 6,  x 2 = 6,  x 3 = â&#x2C6;&#x2019;6,     y1 = 5;  y 2 = â&#x2C6;&#x2019;5;  y 3 = 5; 3 x â&#x2C6;&#x2019; xy = 10, 3 x + y = 16, ]    y + xy = 6;  y + xy = 6;  y = â&#x2C6;&#x2019;3 x + 16,  â&#x2C6;&#x2019; 3x + 16 â&#x2C6;&#x2019; 3x 2 + 16 x â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0;

 x 4 = â&#x2C6;&#x2019;6,   y 4 = â&#x2C6;&#x2019;5.  y = â&#x2C6;&#x2019;3x + 16,  â&#x2C6;&#x2019; 3 x + 16 + x(â&#x2C6;&#x2019;3 x + 16) â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0;  y = â&#x2C6;&#x2019;3 x + 16,  â&#x2C6;&#x2019; 3 x 2 + 13 x + 10 = 0;

 y = â&#x2C6;&#x2019;3 x + 16  2 3 x â&#x2C6;&#x2019; 13 x â&#x2C6;&#x2019; 10 = 0

J_rbf

mjZ\g_gb_ x2â&#x20AC;&#x201C;13xâ&#x20AC;&#x201C;10=0; 13 + 17 13 â&#x2C6;&#x2019; 17 2 x2 = = 5 beb x1 = =â&#x2C6;&#x2019; . 6

 x2 = 5,   y2 = 1;

6

beb

3

2   x1 = â&#x2C6;&#x2019; , 3   y1 = 18. 

4

www.5balls.ru

D=(â&#x2C6;&#x2019;13)2â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;Ã&#x201A; ±




264.  x 2 + y 2 = 36,  x 2 + ( x 2 + 6) 2 â&#x2C6;&#x2019; 36 = 0,   y = x 2 + 6;  y = x 2 + 6;

Z 

 x 2 + x 4 + 12 x 2 + 36 â&#x2C6;&#x2019; 36 = 0   y = x 2 + 6  x 4 + 13x 2 = 0,   y = x 2 + 6;

j_r_gbc

 x 2 ( x 2 + 13) = 0,  x = 0,    y = x 2 + 6;  y = 6.

 x 2 + y 2 = 16,  ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) 2 + y 2 = 36; ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) 2 â&#x2C6;&#x2019; x 2 = 20;  x 2 + y 2 = 16,

[ 

beb

 x 2 = â&#x2C6;&#x2019;13   y = 6



g_l

 x 2 + y 2 = 16  2  x â&#x2C6;&#x2019; 4 x + 4 â&#x2C6;&#x2019; x 2 = 20

 x 2 + y 2 = 16,  x 2 + y 2 = 16 16 + y 2 = 16  y = 0     4 x = â&#x2C6;&#x2019;16;  x = â&#x2C6;&#x2019;4  x = â&#x2C6;&#x2019;4  x = â&#x2C6;&#x2019;4

265.

Z

 y = x 3 ,   y = 15 x;

=jZnbd nmgdpbb y=x3 â&#x2C6;&#x2019; dm[bq_kdZy iZjZ[heZ jZkiheh`_ggZy \ , b ,,, q  =jZnbd nmgdpbb y=15x â&#x2C6;&#x2019; ijyfZy ijhoh^ysZy q_ j_a gZqZeh dhhj^bgZl  j_r_gby 

[

10   xy = 10,  y = , x    y = x;  y = x; 

=jZnbd nmgdpbb `_gu \ , b ,,, q



y=

10 â&#x2C6;&#x2019; x

]bi_j[heZ m dhlhjhc \_l\b jZkiheh-

5

www.5balls.ru




=jZnbd nmgdpbb y=x â&#x2C6;&#x2019; ijyfZy [bkk_dljbkZ , b ,,, q   j_r_gby \

 x 2 + y 2 = 36,   y = x 2 + 3;

=jZnbd mjZ\g_gby x 2 + y 2 = 36 â&#x2C6;&#x2019; hdjm`ghklv k p_gljhf \   b jZ^bmkhf  2  =jZnbd nmgdpbb y=x +3 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g  b 0 =â&#x2C6;&#x2019; = 0; y\=3; (0; 3)  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu  x B = â&#x2C6;&#x2019; 2a 2 â&#x2039;&#x2026;1  j_r_gby 

266.

Z

x(xâ&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C;x(0,2x+0,5)<0,6xâ&#x20AC;&#x201C;4;

0,2x2â&#x20AC;&#x201C;0,2xâ&#x20AC;&#x201C;0,2x2â&#x20AC;&#x201C;0,5xâ&#x20AC;&#x201C;0,6x+4<0;

1 . 13 [ x(3â&#x20AC;&#x201C;x)+0,4x(3xâ&#x20AC;&#x201C;1)<x+1,1; 1 2,2x<1,1; x< . 2

3,6xâ&#x20AC;&#x201C;1,2x2+1,2x2â&#x20AC;&#x201C;0,4xâ&#x20AC;&#x201C;xâ&#x20AC;&#x201C;1,1<0;

â&#x20AC;&#x201C;1,3x<â&#x20AC;&#x201C;4; x>3

267.

Z ±x2â&#x20AC;&#x201C;2x+168>0. 2  =jZnbd nmgdpbb y=â&#x20AC;&#x201C;x â&#x20AC;&#x201C;2x+168 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba ld dhwnnbpb_gl ijb x2 hljbpZl_e_g2  2  J_rbf mjZ\g_gb_ x +2xâ&#x20AC;&#x201C;168=0; D=2 â&#x20AC;&#x201C;

6

www.5balls.ru


â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A; ±



x1 =

â&#x2C6;&#x2019;2 + 26 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; 26 = 12 ; x2 = = â&#x2C6;&#x2019;14. 2 2

3) (â&#x20AC;&#x201C;14;12). [ x2+xâ&#x20AC;&#x201C;2<0.

 m dhlhjhc \_l\b gZijZ\ =jZnbd nmgdpbb y=15x2+xâ&#x20AC;&#x201C;2 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ e_gu \\_jo ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g 2 

J_rbf mjZ\g_gb_ x +xâ&#x20AC;&#x201C;2=0; D=12â&#x20AC;&#x201C; 

â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;Ã&#x201A; ±



x1 =

2 â&#x2C6;&#x2019;1 + 11 1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 11 = ; x2 = =â&#x2C6;&#x2019; . 30 5 30 3

 2 1 3)  â&#x2C6;&#x2019; ;   5 3 \ x + 14 <0; 3 â&#x2C6;&#x2019; 2x x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 <0; x + 25

x + 14 >0; x â&#x2C6;&#x2019; 1,5

(â&#x20AC;&#x201C;â&#x2C6;&#x17E;; â&#x20AC;&#x201C;14)â&#x2C6;ª(1,5; â&#x2C6;&#x17E;)

]

6 â&#x2C6;&#x2019; 5x >0; x + 25

(â&#x20AC;&#x201C;25; 1,2)

268. xy

Imklv i_j\h_ qbkeh jZ\gh x Z \lhjh_ ² y ba mkeh\by x+y  Ihemqbf kbkl_fm   x + y = 12,   xy = 35;

 y = 12 â&#x2C6;&#x2019; x,   x(12 â&#x2C6;&#x2019; x) = 35;



b

 y = 12 â&#x2C6;&#x2019; x,  12 x â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 35 = 0;

 y = 12 â&#x2C6;&#x2019; x  2  x â&#x2C6;&#x2019; 12 xx + 35 = 0

J_rbf

mjZ\g_gb_

12 + 2 x2 = =7; 2  x2 = 7, beb   y2 = 5;

Hl\_l  b 

12 â&#x2C6;&#x2019; 2 x1 = = 5. 2  x1 = 5,   y1 = 7.

x2â&#x20AC;&#x201C;12x+35=0;

D=(â&#x2C6;&#x2019;12)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A;



269.

Imklv f_gvr__ ba qbk_e jZ\gh x lh]^Z [hevr__ jZ\gh x  Ih mkeh\bx x(x ± Ihemqbf mjZ\g_gb_  7

www.5balls.ru


â&#x2C6;&#x2019;7 + 1 â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;3 ; x2 = = â&#x2C6;&#x2019;4. 2 2  ijb x=â&#x20AC;&#x201C;4, x+7=â&#x20AC;&#x201C;4+7=3.

x2+7x+12=0; D=72â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;â&#x2039;&#x2026;12=1; x1 =

Ijb x=â&#x20AC;&#x201C;3, x ± Hl\_l  b ± beb  b ± 270.

H[hagZqbf klhjhgu ijyfhm]hevgbdZ IbnZ]hjZ a2+b2  b ih mkeh\bx a+2b a 2 + b 2 = 100,  2a + 2b = 28;

a 2 + b 2 = 100,  a + b = 14;

a = 14 â&#x2C6;&#x2019; b,  196 â&#x2C6;&#x2019; 28b + b 2 + b 2 â&#x2C6;&#x2019; 100 = 0

a

kf b b kf Ih l_hj_f_ Ihemqbf kbkl_fm



a = 14 â&#x2C6;&#x2019; b.  (14 â&#x2C6;&#x2019; b) 2 + b 2 = 100;

a = 14 â&#x2C6;&#x2019; b,  2 2b â&#x2C6;&#x2019; 28b + 96 = 0

a = 14 â&#x2C6;&#x2019; b  2 b â&#x2C6;&#x2019; 14b + 48 = 0

J_rbf

mjZ\g_gb_

14 + 2 14 â&#x2C6;&#x2019; 2 b2 = = 8 ; b1 = = 6. 2 2 b = 6, b2 = 8, beb  1  a2 = 6; a1 = 8.

b2â&#x20AC;&#x201C;14b+48=0;

D=(â&#x2C6;&#x2019;14)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A;



Hl\_l  kf b kf

271.

H[hagZqbf ^ebgm i_j\hc klhjhgu ijyfhm]hevgbdZ x kf Z \lhjhc ² y kf lh]^Z x+14=y Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ x2+y2=262  KhklZ\bf kbkl_fm  x 2 + y 2 = 676,   x + 14 = y;

 x 2 + ( x + 14) 2 = 676,   x + 14 = y;

 x 2 + x 2 + 28 x + 196 â&#x2C6;&#x2019; 676 = 0,   y = x + 14;

2 x 2 + 28 x â&#x2C6;&#x2019; 480 = 0,   y = x + 14.

 x 2 + 14 x â&#x2C6;&#x2019; 240 = 0   y = x + 14

8

www.5balls.ru


J_rbf mjZ\g_gb_

x2+14xâ&#x20AC;&#x201C;240=0; D=142â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1Ã&#x201A; ±  â&#x2C6;&#x2019;14 + 34 â&#x2C6;&#x2019;14 â&#x2C6;&#x2019; 34 x1 = = 10 ; x2 = = â&#x2C6;&#x2019;24 â&#x20AC;&#x201D; g_ ih^oh^bl ih kfukem 2 2

aZ^Zqb

 x = 10,   y = 24.

Hl\_l  kf kf 272.

Imklv ^ebgZ mqZkldZ jZ\gZ x f Z rbjbgZ ² m f >ebgZ ba]hjh^b jZ\gZ i_jbf_ljm mqZkldZ 2 x + 2 y = 200  IehsZ^v mqZkldZ ² om  Bf__f kbkl_fm 2 o + 2 m = 200,  o + m = 100,  o = 100 â&#x2C6;&#x2019; m     om = 2400;  om = 2400; (100 â&#x2C6;&#x2019; m )m â&#x2C6;&#x2019; 2400 = 0;

J_rbf

mjZ\g_gb_

 o = 100 â&#x2C6;&#x2019; m,  100 m â&#x2C6;&#x2019; m 2 â&#x2C6;&#x2019; 2400 = 0.

m â&#x2C6;&#x2019; 100 m + 2400 = 0; 2

D = (â&#x2C6;&#x2019;100) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 2400 = 400; 100 â&#x2C6;&#x2019; 20 = 40. 2  1 = 40, beb   = 60 ;  1 

y1 =

100 + 20 = 60 ; 2

y2 =

o m

o 2 = 60, m 2 = 40.

Hl\_l  f b  f 273.

H[hagZqbf ^ebgu dZl_lh\ Z kf b b kf Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ I_jbf_lj lj_m]hevgbdZ a + b + 37 = 84  Bf__f kbkl_fm a 2 + b 2 = 37 2 = 1369 a 2 + b 2 = 1369,  a + b + 37 = 84;

a 2 + b 2 = 1369,  a + b = 47;

(47 â&#x2C6;&#x2019; b )2 + b 2 â&#x2C6;&#x2019; 1369 = 0,  a = 47 â&#x2C6;&#x2019; b.

a 2 + b 2 â&#x2C6;&#x2019; 1369 = 0  a = 47 â&#x2C6;&#x2019; b

2b 2 â&#x2C6;&#x2019; 94b â&#x2C6;&#x2019; 840 = 0,  a = 47 â&#x2C6;&#x2019; b.

b 2 â&#x2C6;&#x2019; 476 + 420 = 0  a = 47 â&#x2C6;&#x2019; b

9

www.5balls.ru


J_rbf mjZ\g_gb_

b2â&#x20AC;&#x201C;47b+420=0 D = (â&#x2C6;&#x2019;47) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 420 = 529; 47 + 23 47 â&#x2C6;&#x2019; 23 = 35 ; b2 = = 12. D = ±23 ; b1 = 2 2 b = 12, b1 = 35, beb  2  a1 = 12; a 2 = 35. 1 S â&#x2C6;&#x2020; = â&#x2039;&#x2026; 35 â&#x2039;&#x2026;12 = 210 kf2. 2

274.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h hljy^Z o dfq Z \lhjh]h m dfq Lh]^Z i_j\uc hljy^ ijhr_e x df Z \lhjhc y df Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ y)2+(4x)2=242 ih mkeh\bx xâ&#x20AC;&#x201C;4,8=4y Ihemqbf kbkl_fm 4 x â&#x2C6;&#x2019; 4,8 = 4 y,  x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 = y,   (4 y )2 + (4 x )2 = 24 2 ; 16(x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 )2 + 16 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 576 = 0;  x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 = y,  x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 = y,   2 2 (x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 ) + x â&#x2C6;&#x2019; 36 = 0;  x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2,4 x + 1,44 + x 2 â&#x2C6;&#x2019; 36 = 0;

 x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 = y  2  x â&#x2C6;&#x2019; 1,2 x â&#x2C6;&#x2019; 17,28 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_ 1,2 + 8,4 x1 = = 4,8 beb 2 kfukem aZ^Zqb

x2â&#x20AC;&#x201C;1,2xâ&#x20AC;&#x201C;17,28=0; D=1,44â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A; ±  1,2 â&#x2C6;&#x2019; 8,4 x2 = = â&#x2C6;&#x2019;3,6 ² g_ ih^oh^bl ih 2

 x = 4,8,   y = 4,8 â&#x2C6;&#x2019; 1,2 = 3,6.

Hl\_l  dfq b  dfq 275.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h l_eZ q_j_a o fk Z \lhjh]h ² q_j_a m fk Lh]^Z i_j\h_ l_eh aZ  k ijhoh^bl x f Z \lhjh_ l_eh aZ  k ijhoh^bl m f Ih mkeh\bx x=8y AZ  k i_j\h_ ijhoh^bl imlv x f Z \lhjh_ l_eh ² m f Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ (15x )2 + (15 y )2 = 9. Bf__f kbkl_fm

10

www.5balls.ru


6 x = 8 y,  225 x 2 + 225 y 2 = 9; 3   y = 25 , beb y= â&#x2C6;&#x2019; 3  4 25 x = ;  25

4   x = 3 y,  25 16 y 2 + 25 y 2 = 1;  9

²

4   x = 3 y,  y2 = 9 ;  625

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb 

Hl\_l  fk b  fk 276.

H[hagZqbf ^ebgu klhjhg ijyfhm]hevgbdZ q_j_a Z kf b b kf Lh]^Z iehsZ^b d\Z^jZlh\ 2ihkljh_gguo gZ klhjhgZo ijyfhm]hevgbdZ  khhl\_lkl\_ggh jZ\gu a kf2 b b2 kf2 Ih mkeh\bx a2+2b2=122. IehsZ^v ijyfhm]hevgbdZ jZ\gZ ab  Ihemqbf kbkl_fm 2  2 2a 2 + 2b 2 = 122, a + b = 61,   30 ab = 30; ; a = b 

 900 2  2 + b = 61, b  a = 30 ;  b

 30  2   + b 2 = 61,  b   30  a = b ;

900 + b 4 â&#x2C6;&#x2019; 61b 2 = 0,   30 ; a = b 

J_rbf mjZ\g_gb_

H[hagZqbf

b 2 = t  lh]^Z 61 + 11 t 2 â&#x2C6;&#x2019; 61t + 900 = 0 ; D = (â&#x2C6;&#x2019;61) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 900 = 121; t1 = = 36 beb 2 61 â&#x2C6;&#x2019; 11 t2 = = 25  lh]^Z b 2 = 36 beb b 2 = 25. 2 b = 6 beb b = â&#x2C6;&#x2019;6 g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  b = 5 beb b = â&#x2C6;&#x2019;5 g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  a = 6, a = 5, beb   b = 6; b = 5. b 4 â&#x2C6;&#x2019; 61b 2 + 900 = 0 

Hl\_l  kf b  kf

11

www.5balls.ru


277.

H[hagZqbf ^ebgu dZl_lh\ lj_m]hevgbdZ ² a kf b b kf Ih mkeh\bx S â&#x2C6;&#x2020; = 1 ab = 24. Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ a 2 + b 2 = 100. AZibr_f 2 kbkl_fm 1  ab = 24, 2 a 2 + b 2 = 100; 

ab = 48,  2 a + b 2 = 100;

48  a = b ,   2  48  + b 2 = 100;  b 

H[hagZqbf

48  , a = b  2304 + b 4 â&#x2C6;&#x2019; 100b 2 = 0. 

b2 = t 

J_rbf mjZ\g_gb_

t 2 â&#x2C6;&#x2019; 100t + 2304 = 0. 100 + 28 t= = 64 beb 2

D = (â&#x2C6;&#x2019;100) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 2304 = 784.

100 â&#x2C6;&#x2019; 28 = 36 ; b 2 = 64 beb b 2 = 36 . b  beb b ± g_ ih^oh^bl 2 ih kfukem aZ^Zqb  b  beb b ± g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  b = 6, b = 8, beb   a = 6 ;   a = 8. t=

Hl\_l  kf b  kf 278.

H[hagZqbf ^ebgu dZl_lh\ lj_m]hevgbdZ ² Z kf b b kf Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ a2+b2=132  ?keb i_j\uc dZl_l m\_ebqblv gZ  kf lh _]h ^ebgZ klZg_l a kf Z ^ebgZ ]bihl_gmau [m^_l jZ\gZ 2 2   kf Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ a+4) +b  Ihemqbf kbkl_fm 

Z Z

 2 + b 2 = 169,  ( + 4)2 + b 2 = 225;

Z

b 2 = 169 â&#x2C6;&#x2019; 2 ,  2 a + 8a + 16 + 169 â&#x2C6;&#x2019; b = 12, (b  a = 5;

± ²

Z

b 2 = 169 â&#x2C6;&#x2019; 2 ,  ( + 4)2 + 169 â&#x2C6;&#x2019;

Z

Z 2 = 225;

Z 2 = 225; b 2 = 169 â&#x2C6;&#x2019; Z 2 , b 2 = 169 â&#x2C6;&#x2019; 5 2 ,   8a = 40;

g_ ih^oh^bl ih kfukem 

Hl\_l  kf b  kf 12

www.5balls.ru

a = 5.


279.

H[hagZqbf \j_fy jZ[hlu i_j\h]h wdkdZ\ZlhjZ aZ x q Z \lhjh]h aZ y q Ih mkeh\bx o+4=m I_j\uc wdkdZ\Zlhj jZ[hlZy hl^_evgh \uihegbl aZ  qZk 1 qZklv \k_c jZ[hlu Z \lhjhc ² 1 qZklv \k_c ²

x

y

jZ[hlu JZ[hlZy \f_kl_ aZ  q hgb \uihegyxl jZ[hlu Z aZ



q



fbg

 

1 1  +  x y

qZklv \k_c

q hgb \uihegyl \kx jZ[hlm  l_

15  1 1   +  = 1  AZibr_f kbkl_fm  4  x y   x + 4 = y,  x + 4 = y,   1  15  1 1   1    4  x + y  = 1; 15 x + x + 4  = 4;       x + 4 = y  15(x + 4) + 15 x â&#x2C6;&#x2019; 4 x(x + 4) =0  x(x + 4) 

J_rbf mjZ\g_gb_ x+60+15xâ&#x20AC;&#x201C;4x2â&#x20AC;&#x201C;16x=0; 2x2â&#x20AC;&#x201C;7xâ&#x20AC;&#x201C;30=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;7)2â&#x20AC;&#x201C; 7 â&#x2C6;&#x2019; 17 5 7 + 17 = 6 ; x2 = =â&#x2C6;&#x2019; g_ ih^oh^bl ih 4Ã&#x201A;Ã&#x201A; ±  x1 = 4 4 2 kfukem aZ^Zqb   x = 6,   y = 10.

Hl\_l  q b  q 280.

Imklv i_j\uc dhf[Zcg_j jZ[hlZy hl^_evgh \uihegbl jZ[hlm aZ Z \lhjhc ² aZ m q Lh]^Z o24=m AZ  q jZ[hlZy hl^_evgh i_j\uc dhf[Zcg_j m[_j_l 1 qZklv ihey Z \lhjhc ² 1 qZklv ihey JZx q

x

y

[hlZy kh\f_klgh ^\Z dhf[Zcg_jZ m[_jml \k_ ihe_ aZ 1 1 35 +  = 1  Ihemqbf kbkl_fm x y



q  l _ 

13

www.5balls.ru


 x + 24 = y,   35 35  x + y = 1; 

 y = x + 24,  35  35  x + x + 24 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0; 

 y = x + 24   35(x + 24) + 35 x â&#x2C6;&#x2019; x(x + 24) =0  x(x + 24)  J_rbf mjZ\g_gb_ x+840+35xâ&#x20AC;&#x201C;x2â&#x20AC;&#x201C;24=0; x2â&#x20AC;&#x201C;46xâ&#x20AC;&#x201C;840=0; 46 + 74 46 â&#x2C6;&#x2019; 74 D=(â&#x2C6;&#x2019;46)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;(â&#x20AC;&#x201C;840)=5476; x1 = = 60 beb x2 = = â&#x2C6;&#x2019;14 2 2

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb   x = 60,   y = 84.

Hl\_l  q b  q 281.

H[hagZqbf \j_fy aZ dhlhjh_ i_j\Zy [jb]Z^Z aZZknZevlbjm_l mqZklhd ^hjh]b aZ x q Z \lhjZy ² aZ m q Ih mkeh\bx xâ&#x20AC;&#x201C;4=m AZ  qZk jZ[hlZy hl^_evgh i_j\Zy [jb]Z^Z aZZknZevlbjm_l 1 qZklv mqZkldZ x

^hjh]b Z \lhjZy [jb]Z^Z ²

1 y

qZklv mqZkldZ JZ[hlZy \f_kl_ aZ 

qZk h[_ [jb]Z^u aZZknZevlbjmxl lZy \f_kl_



1 1 + x y

qZklv \k_]h mqZkldZ JZ[h-

qZkZ hgb aZZknZevlbjmxl

1 1 24 +  = 5  Ihemqbf kbkl_fm x y  x â&#x2C6;&#x2019; 4 = y,  x â&#x2C6;&#x2019; 4 = y,   1   1 1  1   = + 24 5 ;  x y 24 x + x â&#x2C6;&#x2019; 4  â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0;       x â&#x2C6;&#x2019; 4 = y   24(x â&#x2C6;&#x2019; 4 ) + 24 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x(x â&#x2C6;&#x2019; 4 ) =0  x(x â&#x2C6;&#x2019; 4 ) 

14

www.5balls.ru



mqZkldh\ l_


J_rbf mjZ\g_gb_

24(x â&#x2C6;&#x2019; 4) + 24 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x(x â&#x2C6;&#x2019; 4) = 0. x(x â&#x2C6;&#x2019; 4)

24xâ&#x20AC;&#x201C;96+24xâ&#x20AC;&#x201C;

â&#x20AC;&#x201C;5x2+20x=0; 5x2â&#x20AC;&#x201C;68x+96=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;68)2â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;Ã&#x201A;  D = ±52 ; 68 + 52 68 â&#x2C6;&#x2019; 52 x1 = = 12 beb x2 = = 1,6 10 10 y = â&#x2C6;&#x2019;2,4,  y = 8, beb  ² g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb   12 . = x x   = 1,6;

Hl\_l  q b  q 282.

â&#x20AC;&#x201D;

H[hagZqbf fZkkm ^_lZeb klZjh]h lbiZ o d] Z ^_lZeb gh\h]h lbiZ

m d] Ih mkeh\bx o=m Ba  d] f_lZeeZ ihemqblky gh\h]h lbiZ Z ba  d] f_lZeeZ ihemqblky Ih mkeh\bx

2+

24 22  = 2 + x y   x = y + 0,2; 

24 x

22 y

^_lZe_c

^_lZe_c klZjh]h lbiZ

24 22  Ihemqbf kbkl_fm  = x y 22  24 +2â&#x2C6;&#x2019; = 0,  0 , 2 + y y   x = y + 0,2. 

 24 y + 2 y (y + 0,2) â&#x2C6;&#x2019; 22( y + 0,2) =0  y ( y + 0,2)   x = y + 0,2 

24 y + 2 y ( y + 0,2) â&#x2C6;&#x2019; 22( y + 0,2) = 0. y2+1,2yâ&#x20AC;&#x201C; y ( y + 0,2) â&#x2C6;&#x2019;1,2 + 3,2 y1 = = 1; D=1,44â&#x20AC;&#x201C;4(2,2)=10,24; 2

J_rbf mjZ\g_gb_ 2,2=0;

â&#x2C6;&#x2019;1,2 â&#x2C6;&#x2019; 3,2 y2 = = â&#x2C6;&#x2019;2,2  y = 1,2   x = 1 + 0,2 = 1,2.

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb 

Hl\_l  d] b  d]

15

www.5balls.ru


283.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h i_r_oh^Z ²o dfq Z kdhjhklv \lhjh]h ² m dfq AZ  qZkZ i_j\uc i_r_oh^ ijhc^_l o df Z \lhjhc ² 4m df JZkklhygb_ f_`^m gbfb khklZ\bl  df Ihemqbf mjZ\g_gb_ 4o+4m  l_ o+m  AZ  qZk i_j\uc i_r_oh^ ijhr_e o df ihke_ q_]h _fm ^h \klj_qb hklZehkv ijhclb ±o df Wlm qZklv imlb hg ijhc^_l aZ \j_fy  20 â&#x2C6;&#x2019; x  q qlh jZ\gh \j_f_gb aZ dhlhjh_ ijhc^_l 

x



iheh\bgm imlb \lhjhc i_r_oh^ l_  x + y = 9;   20 â&#x2C6;&#x2019; x 20  x = y ; 

 y = 9 â&#x2C6;&#x2019; x;  20  20 â&#x2C6;&#x2019; x  x â&#x2C6;&#x2019; 9 â&#x2C6;&#x2019; x = 0

J_rbf mjZ\g_gb_

20 â&#x2C6;&#x2019; x 20 =  Ihemqbf kbkl_fm  x y y = 9 â&#x2C6;&#x2019; x   (20 â&#x2C6;&#x2019; x )(9 â&#x2C6;&#x2019; x ) â&#x2C6;&#x2019; 20 x =0  x(9 â&#x2C6;&#x2019; x ) 

(20 â&#x2C6;&#x2019; x )(9 â&#x2C6;&#x2019; x ) â&#x2C6;&#x2019; 20 x = 0 . x(9 â&#x2C6;&#x2019; x )

49 â&#x2C6;&#x2019; 41 = 4. 2  y = â&#x2C6;&#x2019;36  x = 4, ² g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  beb    x = 45  y = 5;

D=(â&#x2C6;&#x2019;49)2â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;â&#x2039;&#x2026;180=1681; x =

49 + 41 = 45 2

x2â&#x20AC;&#x201C;49x+180=0;

beb

x=

Hl\_l  dfq b  dfq 284.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h lmjbklZ o dfq Z \lhjh]h ² m dfq Lh]^Z x=m I_j\uc lmjbkl ijhc^_l imlv ba F \ N aZ 18 q Z \lhx

jhc aZ

18 y

q Ih mkeh\bx \lhjhc lmjbkl ijbr_e \ N gZ  fbg

q iha`_ i_j\h]h l_  x = y + 1,  18 9 18  x + 10 = y ; 

18 9 18 + = x 10 y



Ihemqbf kbkl_fm

 x = y + 1,  9 18  18  y + 1 + 10 â&#x2C6;&#x2019; y = 0 

16

www.5balls.ru

9 10


x = y + 1  180 y + 9 y ( y + 1) â&#x2C6;&#x2019; 180( y + 1) =0  10 y ( y + 1)  J_rbf mjZ\g_gb_ 180 y + 9 y(y + 1) â&#x2C6;&#x2019; 180(y + 1) = 0. 180y+9y2+9yâ&#x20AC;&#x201C; 10 y ( y + 1) â&#x2C6;&#x2019;1 + 9 y1 = 180yâ&#x20AC;&#x201C;180=0; y2+yâ&#x20AC;&#x201C;20=0; D=12â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;(â&#x20AC;&#x201C;20)=81; = 4; 2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 9 y2 = = â&#x2C6;&#x2019;5 g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  2 [ =    \ = 

Hl\_l  dfq b  dfq 285.

H[hagZqbf kdhjhklv fhlhpbdebklZ ba F o dfq Z kdhjhklv fhlhpbdebklZ ba N m dfq Ih mkeh\bx hgb \klj_lbebkv q_j_a  fbg 1 q agZqbl ijh_oZeb \f_kl_ \_kv imlv hl F ^h

o+m



Fhlhpbdebkl ba F ijh_^_l imlv ba F

pbdebkl ba

N

ijh_^_l imlv ba

50 25 50 2 1 2 + =  l _  + = y 60 x y 60 x



N

\ F aZ

Ihemqbf kbkl_fm

 x + y = 100,  x = 100 â&#x2C6;&#x2019; y,   2 2 1 2 2 1 + = ;  y 60 x  y + 60 â&#x2C6;&#x2019; 100 â&#x2C6;&#x2019; y = 0;    x = 100 â&#x2C6;&#x2019; y  120(100 â&#x2C6;&#x2019; y ) + y (100 â&#x2C6;&#x2019; y ) â&#x2C6;&#x2019; 120 y = 0 =0  60 y (100 â&#x2C6;&#x2019; y ) 

J_rbf

â&#x20AC;&#x201C;120y=0;

2 1 1 N: x + y = 50, l_ 2 2 50 \ N aZ q Z fhlhx 50 q Ih mkeh\bx y

2

mjZ\g_gb_

y +140yâ&#x20AC;&#x201C;12000=0;

2 ±y+100yâ&#x20AC;&#x201C;y â&#x20AC;&#x201C;

D=19600â&#x20AC;&#x201C;4(â&#x20AC;&#x201C;12000)=67600;

17

www.5balls.ru


−140 + 260 = 60 ; 2

y1 =

y2 =

kfukem aZ^Zqb 

−140 − 260 = −200 2

g_ ih^oh^bl ih

 y = 60,   x = 40.

Hl\_l  dfq b  dfq 286.

Z

 y = −3 x − 4,  2  x − (− 3 x − 4 )2 − 2 = 0;

J_rbf x=

mjZ\g_gb_

 y = −3 x − 4,  2  x − 9 x 2 − 24 x − 16 − 2 = 0.

4 x 2 + 12 x + 9 = 0;

D = 122 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 0;

−12 + 0 = −1,5. 8  x = −1,5,   y = 0,5.

[

 y = −3 x + 2,  2  x − x(− 3 x + 2 )2 − 3,36 = 0;

J_rbf

 y = −3 x + 2,  2  x + 3 x 2 − 2 x − 3,36 = 0;

mjZ\g_gb_

2 x 2 − x − 1,68 = 0; 1 + 3,8 1 − 3,8 D = (−1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 1,68) = 14,44; x1 = = 1,2 ; x2 = = −0,7 4 4 x = −0,7,  x1 = 1,2, beb  2   y1 = −1,6;  y 2 = 4,1.

287.

Z

 y = x 2 − 3x + 3;  2 x − y − 1 = 0;

 y = x 2 − 3x + 3;  2 x − x 2 − 3x + 3 − 1 = 0;

(

)

 y = x − 3 x + 3;  2 − x + 5 x − 4 = 0; 2

J_rbf x1 =

mjZ\g_gb_

x 2 − 5 x + 4 = 0;

5+3 5−3 = 4 ; x2 = = 1. 2 2

18

www.5balls.ru

D = (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 9;


 x2 = 4,   y2 = 7;

beb

 x1 = 1,   y1 = 1.

2 2   [  m = 2 o â&#x2C6;&#x2019; o + 1,  m = 2(1,5) â&#x2C6;&#x2019; 1,5 + 1,

 o = 1,5; o 2 2 2   2 \  o + m = 100, (14 â&#x2C6;&#x2019; m ) + m â&#x2C6;&#x2019; 100 = 0,  o + m = 14;  o = 14 â&#x2C6;&#x2019; m; 196 â&#x2C6;&#x2019; 28 m + m 2 + m 2 â&#x2C6;&#x2019; 100 = 0, 2 m 2 â&#x2C6;&#x2019; 28 m + 96 = 0,    o = 14 â&#x2C6;&#x2019; m;  o = 14 â&#x2C6;&#x2019; m.  = 1,5;

m o

 y = 4,5 â&#x2C6;&#x2019; 1,5 + 1  = 4,    x = 1,5  = 1,5.

 y 2 â&#x2C6;&#x2019; 14 y + 48 = 0   x = 14 â&#x2C6;&#x2019; y

J_rbf mjZ\g_gb_ m 2 â&#x2C6;&#x2019; 14 m + 48 = 0; m1 = 14 + 2 = 8 beb m2 = 14 â&#x2C6;&#x2019; 2 = 6 . 2

m = 6,  m2 = 8, beb  1   o2 = 6;  o1 = 8;

D = (â&#x2C6;&#x2019;14) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 48 = 4;

2

288.

Z o(o â&#x2C6;&#x2019; 6) < 0; (0; 6); [ o(8 + o ) â&#x2030;¥ 0; (â&#x20AC;&#x201C;Â&#x2019; ±@â&#x2C6;ª[0; +Â&#x2019;  2 \ o â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;¤ 0; (o â&#x2C6;&#x2019; 2)(o + 2) â&#x2030;¤ 0; [â&#x20AC;&#x201C;2; 2]; 2 (â&#x20AC;&#x201C;Â&#x2019; ± 6 ]â&#x2C6;ª[ ] x â&#x20AC;&#x201C;6>0; (xâ&#x20AC;&#x201C; 6 )(x+ 6 )>0;

6 ; +Â&#x2019;

289.

Z x3(x2â&#x20AC;&#x201C;1)=0; x3(x+1)(xâ&#x2C6;&#x2019;1)=0; x1=0, x2=1, x3=â&#x20AC;&#x201C;1. [ x6â&#x20AC;&#x201C;4x3 4=0; x4(x2â&#x20AC;&#x201C;4)=0;2 x4(x+2)(xâ&#x2C6;&#x2019;2)=0; x1=0, x2=2, x3=â&#x20AC;&#x201C;2. \ x â&#x20AC;&#x201C;32x=0; x(0,5x â&#x20AC;&#x201C;32)=0; x1=0, x2=8, x3=â&#x20AC;&#x201C;8. ] x4â&#x20AC;&#x201C;4x2=0; x2(0,2x2â&#x20AC;&#x201C;4)=0; x1=0, x2=2 5 , x3=â&#x20AC;&#x201C;2 5 . 290.

Z

(

(Z

2

)(

)

Z Z â&#x2C6;&#x2019; 25 = 0; 2

2

)

â&#x2C6;&#x2019; 4 Z 2 + 4 = 25Z 2 â&#x2C6;&#x2019; 16; Z 4 â&#x2C6;&#x2019; 16 â&#x2C6;&#x2019; 25Z 2 + 16 = 0; Z 4 â&#x2C6;&#x2019; 25Z 2 = 0;

Z  beb Z 2 â&#x2C6;&#x2019; 25 = 0, Z 2 = 25, Z2 = 5 beb Z3 = â&#x2C6;&#x2019;5. 1

19

www.5balls.ru


(o

[

2

)(

)

o 4 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 6o 2 + 1 = 0

â&#x2C6;&#x2019; 1 o 2 + 1 = 6 o 2 â&#x2C6;&#x2019; 1;

o1 = 0 beb o

2

â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0,

o

2

= 6, o2 = 6

beb

(

)

o 2 o 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0;

o3 = â&#x2C6;&#x2019; 6 .

291.

Z o 2 (o â&#x2C6;&#x2019; 1)â&#x2C6;&#x2019; 4(o â&#x2C6;&#x2019; 1)2 = 0; (o â&#x2C6;&#x2019; 1)(o 2 â&#x2C6;&#x2019; 4(o â&#x2C6;&#x2019; 1)) = 0; o â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0 beb o 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 o + 4 = 0; ba i_j\h]h mjZ\g_gby o1 = 1; ba \lhjh]h D = (â&#x2C6;&#x2019;4) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 4 = 0;

o 2 = 4 +2 0 = 2.

[ 2 m 2 (m + 1)â&#x2C6;&#x2019; (m + 1)2 = 0; (m + 1)(2 m 2 â&#x2C6;&#x2019; (m + 1)) = 0; m + 1 = 0 beb 2 m 2 â&#x2C6;&#x2019; m â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0; ba i_j\h]h mjZ\g_gby m1 = â&#x2C6;&#x2019;1  ba \lhjh]h D = 1 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 2(â&#x2C6;&#x2019; 1) = 9;

\

(

(5o

3

m 2 = 1 +4 3 = 1 beb m 3 = 1 â&#x2C6;&#x2019;4 3 = â&#x2C6;&#x2019;0,5.

)(

)

+ 40 â&#x2C6;&#x2019; 19 o 2 + 38 o = 0;

)

5(o + 2 ) o â&#x2C6;&#x2019; 2 o + 4 â&#x2C6;&#x2019; 19 o (o + 2 ) = 0; 2

( ) (o + 2)(5(o â&#x2C6;&#x2019; 2 o + 4)â&#x2C6;&#x2019; 19 o ) = 0;

5 o 3 + 2 3 â&#x2C6;&#x2019; 19 o (o + 2 ) = 0 ; 2

o + 2 = 0 beb 5o 2 â&#x2C6;&#x2019; 10 o + 20 â&#x2C6;&#x2019; 19 o = 0; ba i_j\h]h mjZ\g_gby o1 = â&#x2C6;&#x2019;2; D = (â&#x2C6;&#x2019;29) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 5 â&#x2039;&#x2026; 20 = 441; ba \lhjh]h 5o 2 â&#x2C6;&#x2019; 29 o + 20 = 0; o 2 = 2910+ 21 = 5 beb o 3 = 2910â&#x2C6;&#x2019; 21 = 0,8.

6(o + 1)â&#x2C6;&#x2019; 31o (o + 1) = 0; )( ) (o + 1)(6(o â&#x2C6;&#x2019; o + 1)â&#x2C6;&#x2019; 31o ) = 0; o + 1 = 0 beb 6 o â&#x2C6;&#x2019; 6 o â&#x2C6;&#x2019; 31o = 0; ba i_j-

(6 o

]

3

+ 6 â&#x2C6;&#x2019; 31o 2 + 31o = 0;

3

2

2

o1 = â&#x2C6;&#x2019;1; ba \lhjh]h 6 o 2 â&#x2C6;&#x2019; 37 o + 6 = 0; 37 + 35 37 â&#x2C6;&#x2019; 35 1 D = (â&#x2C6;&#x2019;37) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 6 â&#x2039;&#x2026; 6 = 1225; o3 = = 6 beb o2 = = . 12 12 6

\h]h

mjZ\g_gby

292.

=jZnbdhf nmgdpbb m = o 3 y\ey_lky dm[bq_kdZy iZjZ[heZ jZkiheh`_ggZy \ , b ,, q_l\_jlyo 

x

â&#x20AC;&#x201C; 2

y

â&#x20AC;&#x201C; 8

â&#x20AC;&#x201C;

0

1

2

â&#x20AC;&#x201C;

0

1

8

1 1

=jZnbdhf nmgdpbb m = o y\ey_lky ijyfZy 3) o 3 â&#x2C6;&#x2019; o = 0; o(o 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) = 0; o(o + 1)(o â&#x2C6;&#x2019; 1) = 0;



20

www.5balls.ru


o1 = 0, o3 = 1, o2 = â&#x2C6;&#x2019;1. 293*.

MjZ\g_gb_ wd\b\Ze_glgh lZdhfm  o 3 = â&#x2C6;&#x2019;Zo â&#x2C6;&#x2019; b; dhebq_kl\h j_r_gbc jZ\gh dhebq_kl\m lhq_d i_j_k_q_gby m dm[bq_kdhc iZjZ[heu 3 m = o b ijyfhc m = â&#x2C6;&#x2019; Zo â&#x2C6;&#x2019; b. 1) Z = 0. IjyfZy m = â&#x2C6;&#x2019;b bf__l h^gm lhqdm i_j_k_q_ gby k dm[bq_kdhc iZjZ[hehc  2) Z > 0. IjyfZy m = â&#x2C6;&#x2019;Zo â&#x2C6;&#x2019; b bf__l h^gm lhqdm i_j_k_q_gby k dm[bq_kdhc iZjZ[hehc 3)

Z < 0.

Z b = 0. IjyfZy m = â&#x2C6;&#x2019;Zo i_j_k_dZ_l dm[bq_kdmx iZjZ[hem \ lj_o lhqdZo [ JZkkfhljbf \k_\hafh`gu_ ijyfu_ iZjZee_evgu_ m = â&#x2C6;&#x2019;Zo. Kms_kl\m_l lZdZy ijyfZy dhlhjZy i_j_k_q_l iZjZ[hem jh\gh \ ^\mo lhqdZo  Kbff_ljbqgZy _c hlghkbl_evgh lhqdb H ijyfZy lZd`_ i_j_k_dZ_l iZjZ[hem \ ^\mo lhqdZo  Wlb ijyfu_ bf_xl dhwnnbpb_gl b = b0 > 0 b â&#x2C6;&#x2019;b < 0. Ijb b > b0 b b < â&#x2C6;&#x2019;b0 ijyfZy i_j_k_dZ_l dm[bq_kdmx iZjZ[hem \ h^ghc lhqd_  Ijb ± b0<b<b0 ijyfZy i_j_k_dZ_l iZjZ[hem \ lj_o lhqdZo 

21

www.5balls.ru


294*.

o 3 = 4 o − 1. Ihkljhbf ]jZnbdb nmgdpbc

ijyfZy i_j_k_dZ_l Ho \ lhqd_

1   ,0  4 

m=o

b

3

m = 4o − 1

b Hm \ lhqd_ (0,−1)  =jZnbdb

i_j_k_dZxlky \ lj_o lhqdZo  GZc^_f bo o1 ≈ 1,7; o 2 ≈ 0,3; o 3 ≈ −2,1. Mlhqgbf agZq_gby ⇒

(1,5)3 = 3 3 < 4 ⋅ 3 − 1 = 5

2 3 = 8 > 4 ⋅ 2 − 1 = 7,

1)

1,5 <

o1 < 2. Ld (1,8)

3

8

2

= 5,832 < 4 ⋅1,8 − 1 = 6,2,

(1,9)3 = 6,859 > 4 ⋅1,9 − 1 = 6,6, lh 1,8 < o < 1,9. Ld (1,85)3 ≈ 6,33 < 4 ⋅1,85 − 1 = 6,40, (1,87 )3 = 6,52 > > 4 ⋅1,87 − 1 = 6,48, lh 1,85 < o < 1,87. LZd qlh

o1 ≈ 1,86.

3

2)  1  = 1 > 4 ⋅ 1 − 1 = 0, 4

64

4

3

1 1 1 1 < 4 ⋅ −1 =   = 3 27 3 3   0,25 =

(0,27)3 ≈ 0,0197 < 4 ⋅ 0,27 − 1 = 0,08,

(0,26)

3

o 2 ≈ 0,25.

1 1 < o2 < = 0,33... 4 3

0,25 < o 2 < 0,27.

LZd

= 0,0175776 < 4 ⋅ 0,26 − 1 = 0,04.

qlh

(− 2)3 = −8 > 4 ⋅ (− 2) − 1 = −9,

3)

(− 2,1)3 = −9,261 > 4 ⋅ (− 2,1) − 1 = −9,4 (− 2,3)3 = −12,167 < −4 ⋅ (2,3) − 1 = −10,2 ⇒ −2,3 < o 3 < −2,1 3 (− 2,2) = −10,748 < −4 ⋅ 2,2 − 1 = −9,8; −2,2 < o < −2,1 3 (− 2,15) ≈ −9,94 < −4 ⋅ 2,15 − 1 = −9,6. LZd qlh o 3 ≈ 2,12. 295.

t 2 − 5t − 24 = 0; H[hagZqbf o 2 + 6o = t ⇒ 5 + 11 5 − 11 D = (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 24) = 121 t1 = = 8 beb t 2 = = −3;

Z

2

22

www.5balls.ru

2


x 2 + 6 x = 8;

D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 8) = 68;

x 2 + 6 x − 8 = 0;

− 6 + 2 17 − 6 − 2 17 = −3 + 17 beb x 2 = = −3 − 17 beb 2 2 x 2 + 6 x = −3; x 2 + 6 x + 3 = 0; D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 24;

x1 =

−6−2 6 = −3 − 6 . 2 2 − 2 − 5 = t ⇒ t 2 − 2t − 3 = 0; [

H[hagZqbf 2+4 t1 = D = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 3) = 16; =3 beb t2 = 2 − 4 = −1; 2 2 2 2 2 x − 2 x − 5 = 3; x − 2 x − 8 = 0; D = (−2) − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 8) = 36; x3 =

x1 =

−6+2 6 = −3 + 6 2

beb

2+6 =4 2

x2 =

beb

x4 =

\

o

o

2−6 = −2; 2

beb

D = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 4) = 20;

x 2 − 2 x − 4 = 0;

beb

x4 =

x3 =

x 2 − 2 x − 5 = −1; 2+2 5 = 1+ 5 2

2−2 5 = 1 − 5. 2

H[hagZqbf

x 2 + 3 x − 25 = t ⇒ t 2 − 2t + 7 = 0;

D = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 7 < 0.

H[hagZqbf D = (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 12) = 49;

(y + 2)2 = t ⇒ t 2 − t − 12 = 0;

]

t1 =

1+ 7 =4 2

beb

t2 =

1− 7 = −3; 2

(y + 2)2 = 4; y 2 + 4 y = 0; y(y + 4) = 0; m1  beb m2=–4; beb (y + 2)2 = −3 g_l j_r_gbc ^ H[hagZqbf x 2 + 2 x + 1 = t ⇒ (t − 1)(t + 1) = 3; t1 = 2 beb t2 = −2; ( x + 1) 2 = 2; x = −1+ 2 beb x = −1− 2 ; beb ( x + 1) 2 = −2 ² g_l dhjg_c _ H[hagZqbf x 2 − x = t ⇒ (t − 16)(t + 2) = 88; t 2 − 14t − 120 = 0; D = (−14) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 120) = 676; t2 =

t1 =

14 − 26 = −6; 2

14 + 26 = 20 2

beb

23

www.5balls.ru


x 2 − x = 20;

D = (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 20) = 81;

x 2 − x − 20 = 0;

1+ 9 1− 9 = 5 beb x 2 = = −4; beb x 2 − x = −6; x 2 − x + 6 = 0; 2 2 D = (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = −23 < 0 ² g_l dhjg_c x1 =

` H[hagZqbf

2 2 x 2 + 7 x = t ⇒ (t − 8 )(t − 3) − 6 = 0; t − 11t + 18 = 0; 11 + 7 11 − 7 D = (−11) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 49; t1 = =9; t2 = = 2; 2 2 2 x 2 + 7 x − 9 = 0; D = 7 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 9) = 121; 2 x 2 + 7 x = 9;

−7 + 11 =1 2

x2 =

beb

−7 − 11 = −4,5; 2

beb

D = 7 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 2) = 33;

2 x 2 + 7 x − 2 = 0; x3 =

x1 =

x4 =

2 x 2 + 7 x = 2; − 7 + 65 4

beb

− 7 − 65 . 4

296*. x 2 +1 =t x

Z H[hagZqbf 1 5 t + − = 0; t 2

Lh]^Z



2t 2 + 2 − 5t = 0, 2t

x 2 +1 = 2; x 2 + 1 = 2 x x x 2 +1 1 = ; x 2

2) 2

[ H[hagZqbf

(x ≠ 0);

x 2 +1 =

 1 D =  −  − 4 ⋅1 ⋅ 1 < 0  2

²

1 5 t+ = ; t 2

J_rbf

mjZ\g_gb_

t ≠ 0.

2t 2 − 5t + 2 = 0; D = (−5) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9; t = 1)

1 1 t+ =2 ; t 2

5±3 , t1 4



beb

o

t2 =

1 . 2

o

x 2 − 2 x + 1 = 0; ( −1)2=0, =1.

1 x (x ≠ 0 ); 2

x2 −

1 x + 1 = 0; 2

dhjg_c g_l

x2 + 2 = t. 3x − 2

Lh]^Z

3t 2 − 8t − 3 = 0; 3t 2 − 3 − 8t = 0; 8 ± 10 1 t= , t2  beb t1 = − . 6 3 24

www.5balls.ru

1 2 t− =2 ; t 3

1 8 t − − = 0; t 3

D = (−8) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−3) = 100;


x2 + 2 = 3; 3x â&#x2C6;&#x2019; 2

1)

D = (â&#x2C6;&#x2019;9) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 8 = 49; x = x2 + 2 1 = ; 3x â&#x2C6;&#x2019; 2 3

2)

2   x â&#x2030;  ; 3 

x 2 + 2 = 9x â&#x2C6;&#x2019; 6 9±7 , 2

o  beb o =1. 2

x 2 + 2 = â&#x2C6;&#x2019;x +

D = 3 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 3 â&#x2039;&#x2026; 4 = â&#x2C6;&#x2019;39 < 0

²

x 2 â&#x2C6;&#x2019; 9 x + 8 = 0;

1

2 3

g_l dhjg_c

2   x â&#x2030;  ; 3 

3x 2 + 3x + 4 = 0;

297.

Z H[hagZqbf 9+3 t1 = = 6 beb 2

x2 = â&#x2C6;&#x2019; 6 ;

D = (â&#x2C6;&#x2019;9) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 18 = 9;

x 2 = t â&#x2021;&#x2019; t 2 â&#x2C6;&#x2019; 9t + 18 = 0; 9â&#x2C6;&#x2019;3 t2 = = 3; x 2 = 6, 2

x 2 = 3,

hldm^Z

hldm^Z

x1 = 6

beb

x3 = 3

beb

x 4 = â&#x2C6;&#x2019; 3;

â&#x2C6;&#x2019; 6 â&#x2C6;&#x2019; 3 + 6 + 3 = 0.

[ H[hagZqbf x 2 = t â&#x2021;&#x2019; t 2 + 3t â&#x2C6;&#x2019; 10 = 0; D = 32 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019; 10) = 49; â&#x2C6;&#x2019;3 + 7 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; 7 t1 = = 2 beb t 2 = = â&#x2C6;&#x2019;5; x 2 = 2  hldm^Z x1 = 2 beb 2

2

g_l dhjg_c H[hagZqbf

x 2 = â&#x2C6;&#x2019; 2 ; x = â&#x2C6;&#x2019;5 2

\

²

D = (â&#x2C6;&#x2019;12) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 = 128; t2 =

t1 =

( )

2 + â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0. x 2 = t â&#x2021;&#x2019; 4t 2 â&#x2C6;&#x2019; 12t + 1 = 0; 12 + 8 2 = 1,5 + 2 8

12 â&#x2C6;&#x2019; 8 2 = 1,5 â&#x2C6;&#x2019; 2 ; x 2 = 1,5 + 2 , 8

x 2 = â&#x2C6;&#x2019; 1,5 + 2 ;

x 2 = 1,5 â&#x2C6;&#x2019; 2 ,

hldm^Z

hldm^Z

x1 = 1,5 + 2

x 3 = 1,5 â&#x2C6;&#x2019; 2

beb beb beb

x 4 = â&#x2C6;&#x2019; 1,5 â&#x2C6;&#x2019; 2 ;

1,5 + 2 â&#x2C6;&#x2019; 1,5 + 2 +  1,5 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 1,5 â&#x2C6;&#x2019; 2  = 0.   ]

H[hagZqbf y 2 = t â&#x2021;&#x2019; 12t 2 â&#x2C6;&#x2019; t â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0; 1+ 7 1 t1 = D = (â&#x2C6;&#x2019;1) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 12 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019; 1) = 49; = beb t2 = 1 â&#x2C6;&#x2019; 7 = â&#x2C6;&#x2019; 1 ; 24 4 24 3

25

www.5balls.ru


y2 =

g_c

1 , 3

hldm^Z

y1 =

1 3

beb

y2 = â&#x2C6;&#x2019;

1 3



beb

y2 = â&#x2C6;&#x2019;

1 , 4

²

g_l dhj-

1 1 â&#x2C6;&#x2019; = 0. 3 3

298*.

Z

Ih^klZ\bf 4

3+ 5

\

mjZ\g_gb_

2

 3 + 5  â&#x2C6;&#x2019; 6 3 + 5  + 3 = 0.        

(3 + 5 ) â&#x2C6;&#x2019; 6(3 + 5 )+ 3 = 9 + 6 2

[

Ih^klZ\bf 4

5 + 5 â&#x2C6;&#x2019; 18 â&#x2C6;&#x2019; 6 5 + 3 = â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;  0. 5â&#x2C6;&#x2019; 2

\

mjZ\g_gb_

2

 5 â&#x2C6;&#x2019; 2  â&#x2C6;&#x2019; 10 5 â&#x2C6;&#x2019; 2  + 23 = 0.        

(5 â&#x2C6;&#x2019; 2 )

2

(

)

â&#x2C6;&#x2019; 10 5 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 23 = 25 â&#x2C6;&#x2019; 10 2 + 2 â&#x2C6;&#x2019; 50 + 10 2 + 23 = 0.

299*.

MjZ\g_gb_ g_ bf__l dhjg_c  _keb ihke_ aZf_gu khhl\_lkl\mxs__ _fm d\Z^jZlgh_ mjZ\g_gb_ g_ bf__l g_hljbpZl_evguo dhjg_c  H[hagZqbf b=x2. Z  W  â&#x2C6;&#x2019; W  + F = g_ bf__l dhjg_c ijb D<0; D=144â&#x20AC;&#x201C;4c ijb 



4c>144, c>36.

ijb D â&#x2030;Ľ 0 bf__l dhjgb t = 12 Âą D . Ijb 2 D â&#x2030;Ľ 0 h[Z hgb hljbpZl_evgufb [ulv g_ fh]ml  HdhgqZl_evgh c>36. [  t 2 + ct + 100 = 0 g_ bf__l dhjg_c ijb D < 0; D = c 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 100 < 0 ijb c 2 < 400, â&#x2C6;&#x2019;20 < c < 20. 2) t 2 â&#x2C6;&#x2019; 12t 2 + c = 0

2) t 2 + ct + 100 = 0 câ&#x2030;¤0 c! c>

ijb

Dâ&#x2030;Ľ0

bf__l dhjgb

t=

â&#x2C6;&#x2019;cÂą D . 2

Ijb

h^bg ba dhjg_c h[yaZl_evgh g_hljbpZl_e_g (â&#x2C6;&#x2019; c + D â&#x2030;Ľ 0); ijb bf__f â&#x2C6;&#x2019; c + D < 0, c > D  gh D = c 2 â&#x2C6;&#x2019; 400 < c 2 , ihwlhfm D \k_]^Z BlZd c! HdhgqZl_evgh c>â&#x20AC;&#x201C;20.

26

www.5balls.ru


300*.

MjZ\g_gb_ bf__l dhjgb _keb ihke_ aZf_gu khhl\_lkl\mxs__ d\Z^jZlgh_ mjZ\g_gb_ bf__l g_hljbpZl_evgu_ dhjgb  t 2 â&#x2C6;&#x2019; 13t + k = 0 bf__l dhjgb ijb D = (â&#x2C6;&#x2019;13) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; k â&#x2030;¥ 0, l_ ijb k â&#x2030;¤ 169 ; hgb jZ\gu 4

13 ± D , 2

b ohly [u h^bg ba gbo iheh`bl_e_g  Z MjZ\g_gb_ bf__l q_luj_ jZaebqguo dhjgy  _keb h[Z dhjgy khhl\_lkl\mxs_]h d\Z^jZlgh]h mjZ\g_gby iheh`bl_evgu b jZaebqgu  l_ D! l_ 13 â&#x2C6;&#x2019; D > 0; 13 â&#x2C6;&#x2019; 169 â&#x2C6;&#x2019; 4k > 0; 13 > 169 â&#x2C6;&#x2019; 4k ; 169 169 > 169 â&#x2C6;&#x2019; 4 k ; 4 k > 0; k > 0; hdhgqZl_evgh 0 < k < . 4 [ MjZ\g_gb_ bf__l ^\Z dhjgy  _keb h^bg ba dhjg_c khhl\_lkl \mxs_]h d\Z^jZlgh]h mjZ\g_gby hljbpZl_e_g  Z \h \lhjhc g_hljbpZl_e_g l_ 13 â&#x2C6;&#x2019; D < 0; l_ 13 < 169 â&#x2C6;&#x2019; 4k ; l_ ±k>0, k eb[h dh]^Z D  l_ k = 169 . t=

4

301*.

Z K^_eZ_f aZf_gm t=x2. JZkkfhljbf d\Z^jZlguc lj_oqe_g t 2 â&#x2C6;&#x2019; 20t + 64; j_rbf mjZ\g_gb_ t 2 â&#x2C6;&#x2019; 20t + 64 = 0. 20 ± 12 , t1  beb t2  Ihwlhfm D = (â&#x2C6;&#x2019;20) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 64 = 144; t = 2

t 2 â&#x2C6;&#x2019; 20t + 64 = (t â&#x2C6;&#x2019; 16 )(t â&#x2C6;&#x2019; 4 );

(x

2

)(

)

â&#x2C6;&#x2019; 16 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 = (x + 4 )(x â&#x2C6;&#x2019; 4 )(x + 2 )(x â&#x2C6;&#x2019; 2 ).

[ t=x . J_rbf mjZ\g_gb_ t 2 â&#x2C6;&#x2019; 17t + 16 = 0; D=(â&#x2C6;&#x2019;17)2â&#x20AC;&#x201C;4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;16=225; 17 ± 15 t= ; t1  beb t2=1. Ihwlhfm t 2 â&#x2C6;&#x2019; 17t + 16 = (t â&#x2C6;&#x2019; 16 )(t â&#x2C6;&#x2019; 1); 2

2 x â&#x2C6;&#x2019; 16 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 = (x + 4 )(x â&#x2C6;&#x2019; 4 )(x + 1)(x â&#x2C6;&#x2019; 1).

(

2

\

)(

)

t=x2.

J_rbf

mjZ\g_gb_ 5 ± 13 t= ; t1  beb

t 2 â&#x2C6;&#x2019; 5t â&#x2C6;&#x2019; 36 = 0;

t1 ± Ihwlhfm 2 t 2 â&#x2C6;&#x2019; 5t â&#x2C6;&#x2019; 36 = (t â&#x2C6;&#x2019; 9 )(t + 4 ); x 2 â&#x2C6;&#x2019; 9 x 2 + 4 = (x + 3)(x â&#x2C6;&#x2019; 3) x 2 + 4 .

D=(â&#x2C6;&#x2019;5)2â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;36)=169;

(

)(

)

(

)

27

www.5balls.ru


]

J_rbf

t=x2.

D = (â&#x2C6;&#x2019;3) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;4) = 25;

mjZ\g_gb_ 3±5 t= ; t1  beb

t 2 â&#x2C6;&#x2019; 3t â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0;

2 2 2 2 t â&#x2C6;&#x2019; 3t â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0; x â&#x2C6;&#x2019; 4 x + 1 = (x + 2 )(x â&#x2C6;&#x2019; 2 ) x 2 + 1 .

(

)(

^ J_rbf mjZ\g_gb_

)

(

9t â&#x2C6;&#x2019; 10t + 1 = 0; 2

)

t 2 = â&#x2C6;&#x2019;1.

Ihwlhfm

D = (â&#x2C6;&#x2019;10) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 9 â&#x2039;&#x2026; 1 = 64;

10 ± 8 1  1 ; t1 = 1 beb t 2 = . Ihwlhfm 9t2â&#x20AC;&#x201C;10t+1=9(tâ&#x20AC;&#x201C;1)  t â&#x2C6;&#x2019; ; 18 9  9 1 1 1       9 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1  x 2 â&#x2C6;&#x2019;  = 9(x + 1)(x â&#x2C6;&#x2019; 1) x +  x â&#x2C6;&#x2019;  =(x+1)(xâ&#x2C6;&#x2019;1)(3x+1)(3xâ&#x2C6;&#x2019;1) 9 3  3   t=

(

)

_

t=x2.

J_rbf

D = (â&#x2C6;&#x2019;17) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 4 â&#x2039;&#x2026; 4 = 225;

mjZ\g_gb_ 17 ± 15 t= ; t1  beb 8

4t 2 â&#x2C6;&#x2019; 17t + 4 = 0; 1 t 2 = . Ihwlhfm 4t2â&#x20AC;&#x201C; 4

 1 17t+4=4(tâ&#x20AC;&#x201C;4)  t â&#x2C6;&#x2019; ;  4

(

)

1 1  1   4 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 4  x 2 â&#x2C6;&#x2019;  = 4(x + 2 )(x â&#x2C6;&#x2019; 2 ) x +  x â&#x2C6;&#x2019;  = (x+2)(xâ&#x2C6;&#x2019;2)(2x+1)(2xâ&#x2C6;&#x2019;1) 4 2 2    

302.

Z

 y = â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; x,   y = x â&#x2C6;&#x2019; 10.

=jZnbd nmgdpbb y = â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba ld dhwnnbpb_gl ijb x 2 hljbpZl_e_g  â&#x2C6;&#x2019;1 b 1 =â&#x2C6;&#x2019; =â&#x2C6;&#x2019; ;  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu  x < = â&#x2C6;&#x2019; 2a 2 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 

2

 1  1 1 y B = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2019;  = ;  2  2 4 3) 0 x â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 0 y â&#x2C6;&#x2019;2

1 â&#x20AC;&#x201C;2

2 â&#x20AC;&#x201C;6

HklZevgu_ lhqdb bf kbff_ljbqgu hlghkbl_evgh ijyfhc

1 x=â&#x2C6;&#x2019; . 2 

=jZnbd nmgdpbb y=xâ&#x20AC;&#x201C;10 â&#x2C6;&#x2019; ijyfZy x y

0 â&#x20AC;&#x201C;10

5 â&#x2C6;&#x2019;5

28

www.5balls.ru


§  ±  § ± ± 

[  =jZnbd nmgdpbb (x â&#x2C6;&#x2019; 2 )2 + y 2 = 9 â&#x2C6;&#x2019; hdjm`ghklv k p_gljhf \   b jZ^bmkhf  2  =jZnbd nmgdpbb y = x â&#x2C6;&#x2019; 4 x + 4 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo 

GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu  x < = â&#x2C6;&#x2019; b = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 = 2; 2a

y B = 4 â&#x2C6;&#x2019; 8 + 4 = 0; 4) x â&#x2C6;&#x2019;2 y 16

â&#x20AC;&#x201C;1 9

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

2 â&#x2039;&#x2026;1 5 9

§    §   

\  =jZnbd nmgdpbb  b jZ^bmkhf 

x 2 + y 2 = 25 â&#x2C6;&#x2019; hdjm`ghklv k p_gljhf \



29

www.5balls.ru


=jZnbd nmgdpbb y = 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 14 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo 

GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu  x < = â&#x2C6;&#x2019; b = â&#x2C6;&#x2019; 0 = 0; 

2a

y B = â&#x2C6;&#x2019;14; 4) x y

â&#x20AC;&#x201C;3 4

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;6

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;12

0 â&#x2C6;&#x2019;14

1 â&#x20AC;&#x201C;12

2 â&#x20AC;&#x201C;6

2â&#x2039;&#x2026;2

3 4

§    § ±   §  ±  § ± ± 

]  =jZnbd nmgdpbb x2+y2=10 â&#x2C6;&#x2019; hdjm`ghklv k p_gljhf \   b jZ^bmkhf 10 .  =jZnbd nmgdpbb xy=3 â&#x2C6;&#x2019; ]bi_j[heZ m dhlhjhc \_l\b jZkiheh `_gu \ , b ,,, q_l\_jlyo 3)

x y

â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1,5

â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;3

1 3

1,5 2

2 1,5

§ ± ±  § ± ±  §    §   

y

0

1

30

www.5balls.ru

x

3 1


^  =jZnbd nmgdpbb x+y=8 â&#x2C6;&#x2019; ijyfZy



 =jZnbd nmgdpbb b jZ^bmkhf 

x 0 4 y 8 4 2 2 x+1) +y =81 â&#x2C6;&#x2019; hdjm`ghklv

k p_gljhf \ ±

(8; 0); (â&#x20AC;&#x201C;1; 9).

y

x 0

1

_  =jZnbd nmgdpbb y=â&#x20AC;&#x201C;x2+4 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba b  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu  x\= â&#x2C6;&#x2019; = 0; y\=4. 2a

y

0

3)

,,

x y

â&#x2C6;&#x2019;2 0

â&#x2C6;&#x2019;1 3

 =jZnbdhf nmgdpbb q_l\_jl_c

0 4 y=|x_

1

x

1 3

2 0

y\ey_lky h[t_^_g_gb_ [bkk_dljbk , b

§    § ±  

303*.

Z I_j\h_ mjZ\g_gb_ y = x 2 + 11; \lhjh_ mjZ\g_gb_ y = â&#x2C6;&#x2019; x 2 + 4. =jZnbd i_j\hc nmgdpbb ihemqZ_lky ba ]jZnbdZ nmgdpbb y = x 2 k^\b]hf \\_jo gZ  _^bgbp \lhjZy ² ba y = â&#x2C6;&#x2019; x 2 k^\b]hf \\_jo gZ  _^bgbpu Ld hgb g_ i_j_k_dZxlky  lh j_r_gbc g_l  31

www.5balls.ru


[ I_j\h_ mjZ\g_gb_ ² wlh mjZ\g_gb_ hdjm`ghklb k p_gljhf b jZ^bmkhf  \lhjh_ ² mjZ\g_gb_ hdjm`ghklb k p_gljhf   b jZ^bmkhf  LZd dZd hdjm`ghklb g_ bf_xl h[sbo lhq_d  lh j_r_gbc g_l ± ±

\ <lhjh_ mjZ\g_gb_ y = 1 x 3 aZ^Z_l dm[bq_kdmx iZjZ[hem i_j2 \h_ ² ^\_ ihemijyfuo y=x ijb x â&#x2030;¥ 0 b y=â&#x20AC;&#x201C;x ijb x Ld ]jZnbdb wlbo nmgdpbc i_j_k_dZxlky \ ^\mo lhqdZ  lh kms_kl\mxl ^\Z j_r_gby

304*.

I_j\h_ mjZ\g_gb_ aZ^Z_l hdjm`ghklv k p_gljhf   b jZ^bmkhf ihemqZxsmxky ba iZjZ[heu

r <lhjh_ mjZ\g_gb_ aZ^Z_l iZjZ[hem  y = â&#x2C6;&#x2019; x 2 k^\b]hf \\_jo gZ  _^bgbpu

32

www.5balls.ru


< aZ\bkbfhklb hl r kbkl_fZ fh`_l bf_lv     j_r_gbc 305*.

=jZnbdhf i_j\h]h mjZ\g_gby y\ey_lky hdjm`ghklv k p_gljhf  5  \lhjh]h ² ijyfZy y=xâ&#x20AC;&#x201C;m ihemqZxsmxky ba  b jZ^bmkhf [bkk_dljbku , b ,,, dhhj^bgZlguo m]eh\ k^\b]hf gZ ±m ih \_jlbdZeb Z Kbkl_fZ bf__l h^gh j_r_gb_  dh]^Z mjZ\g_gb_ x2+(oâ&#x20AC;&#x201C;m)2=5 x 2 + x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2mx + m 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0; bf__l h^gh j_r_gb_ 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2mx + m 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0; D = ( â&#x2C6;&#x2019;2m ) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 2(m 2 â&#x2C6;&#x2019; 5). MjZ\g_gb_ bf__l _^bgkl\_ggh_ j_r_gb_ ijb D  l_ 4m 2 â&#x2C6;&#x2019; 8(m 2 â&#x2C6;&#x2019; 5) = 0; â&#x2C6;&#x2019; 4m 2 + 40 = 0; m 2 =

40 = 10; m = ± 10 . 4

[ Kbkl_fZ bf__l ^\Z j_r_gby  dh]^Z mjZ\g_gb_ x2+(oâ&#x20AC;&#x201C;m)2=5 bf__l ^\Z j_r_gby L_ ijb D>0 D = â&#x2C6;&#x2019;4m 2 + 40 > 0, l_ m 2 < 10, hldm^Z â&#x2C6;&#x2019; 10 < m < 10 . 33

www.5balls.ru


306.  x = −3 y − 1,  (− 3 y − 1)2 + 2 y (− 3 y − 1) + y − 3 = 0;  x = −3 y − 1,  x = −3 y − 1,   2 2 9 y + 6 y + 1 − 6 y − 2 y + y − 3 = 0; 3 y 2 + 5 y − 2 = 0.

Z

J_rbf mjZ\g_gb_ 3 y 2 + 5 y − 2 = 0. −5 + 7 1 −5 − 7 y2 = = beb y1 = = −2; 6

D = 52 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 2) = 49;

6

3

1   y1 = −2,  y2 = , 3 beb    x1 = 5;  x2 = −2;   y = 2 x − 1, [   x(2 x − 1) − (2 x − 1)2 + 3 x + 1 = 0;  y = 2 x − 1,  2 2 x − x − 4 x 2 + 4 x − 1 + 3 x + 1 = 0;

 y = 2 x − 1,  y = 2x − 1   2 − 2 x + 6 x = 0  x( x − 3) = 0

x = 3,  x1 = 0, beb  2   y1 = −1;  y 2 = 5.  y = 11 − 2 x, \  2 x + 5(11 − 2 x ) − (11 − 2 x )2 − 6 = 0;  y = 11 − 2 x,  2 x + 55 − 10 x − 121 + 44 x − 4 x 2 − 6 = 0;

 y = 11 − 2 x,  − 4 x 2 + 36 x − 72 = 0;

 y = 11 − 2 x  2  x − 9 x + 18 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_ x 2 − 9 x + 18 = 0; 9+3 9−3 x2 = = 6 beb x1 = = 3; 2  x2 = 6,   y2 = −1;

beb

2  x1 = 6,   y1 = 5.

34

www.5balls.ru

D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 9;


2(4 + y )2 − 3 y 2 − 5(4 + y ) − 2 y − 26 = 0,   x = 4 + y;

]

32 + 16 y + 2 y 2 − 3 y 2 − 20 − 5 y − 2 y − 26 = 0,   x = 4 + y;

J_rbf mjZ\g_gb_ y 2 − 9 y + 14 = 0; 9+5 9−5 y2 = = 7 beb y1 = = 2; 2  y2 = 7,   x2 = 11;

^

 y 2 − 9 y + 14 = 0,   x = 4 + y.

D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 14 = 25;

2

beb

 y1 = 2,   x1 = 6.

4 x 2 − 9 y 2 + x − 40 y = 19,  2 x = 3 y + 5;

4(1,5 y + 2,5)2 − 9 y 2 + 1,5 y + 2,5 − 40 y − 19 = 0,   x = 1,5 y + 2,5; 9 y 2 + 30 y + 25 − 9 y 2 + 1,5 y + 2,5 − 40 y − 19 = 0,   x = 1,5 y + 2,5; − 8,5 y = −8,5,  y = 1,    x = 1,5 y + 2,5;  x = 4. 2 2  _ 3( − 2) + + 8( − 2) + 13 − 5 = 0,  = − 2;

m

m o m

m

m

m

3 2 − 12 + 12 +   = − 2.

o m

m

m 2 + 8 m − 16 + 13 m − 5 = 0,

J_rbf mjZ\g_gb_ 4 m + 9 m − 9 = 0; m2 = −9 + 15 = 3 beb m1 = −9 − 15 = −3; 2

8

    

m2

3 = , 4

o2 = −1 41.

m

o m

D = 9 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 9) = 225;

8

4

beb

m

4 2 + 9 − 9 = 0,   = − 2.

  

m1 = −3, o1 = −5;

35

www.5balls.ru


307.

o m m m m(m + 4) − 3 = 0; o m  o = m + 4, x = y + 4  2 2 m m m m − 8 m − 3 = 0; − m − 4 m = 0;  y( y + 4) = 0 m = −4,  m1 = 0, beb  2   o1 = 4;  o 2 = 0. m = o + 1, [  (2 o + 3)(o − 1) − o(o + 1) − 1 = 0;  m = o + 1,  y = x + 1  m = o + 1,   2  2 2 o + 3 o − 2 o − 3 − o − o − 1 = 0;  o 2 − 4 = 0; ( x + 2)( x − 2) = 0 o = −2,  o2 = 2, beb  1   m2 = 3;  m1 = −1. m = 2 o − 5, \  (o + 1)(2 o − 1) − 2 o(2 o − 5) + 1 = 0;  m = 2 o − 5,  m = 2 o − 5,   2 2 2 o + 2 o − o − 1 − 4 o + 10 o = 1 = 0; − 2 o 2 + 11o = 0;  = + 4,  ( + 3)( + 1) − 2  = + 4,  2  + 3 + + 3 − 2

Z

 y = 2x − 5   x(2 x − 11) = 0  1 = 0, beb     1 = −5;

o m

]

o

m

 = 1 − ,  − ( + 5) −

o 2 = 5,5, m 2 = 6.

o

m

 = 1 − ,  + 12 = 0 − 2 − 5 −

mm m  o = 1 − m,  − 2 m 2 − 5 m + 12 = 0; 2

m

m m 2 + 12 = 0;

 x = 1 − y  2 2 y + 5 y − 12 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_ 2 m 2 + 5 m − 12 = 0; m2 = −5 + 11 = 1,5 beb m1 = −5 − 11 = −4 4

4

36

www.5balls.ru

D = 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 12) = 121;


  

m2 = 1,5, beb  m1 = −4, o2 = −0,5;  o1 = 5.

308.

Z

 12  2  −  +    12   =− ; 

m

o

m o

m

m

144

m 2 = 40,  m 2 + m 2 − 40 = 0,   o = − 12 ;  m 

 4 − 40 2 = 144 = 0,  12   =− ; 

m

J_rbf mjZ\g_gb_

m − 40 m + 144 = 0. 4

2

144 + y 4 − 40 y 2 = 0   12 x = − y 

H[hagZqbf

t 2 − 40t + 144 = 0; D = (−40) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 144 = 1024; t1 = 40 − 32 = 4 ⇒ m2 2  1 = 6,  2 = −6,    1 = −2;  2 = 2;

t2 =

m o

[

o

m o

m

beb

= 36

  

m

2

m =t

40 + 32 = 36 2

beb

2

=4.

m 3 = 2,  m 4 = −2, o3 = −6;  o 4 = 6.

 2 = 228 − 2 2 ,  3 228 − 2 2 − 2

(

m ) m 2 − 172 = 0;  x 2 = 228 − 2 y 2  o 2 = 228 − 2 m 2 ,  o 2 = 228 − 2 m 2 ,    684 − 6 m 2 − 2 m 2 − 172 = 0; − 8 y 2 + 512 = 0  m 2 = 64;  m = −8,  m = 8, beb  2  2  o = 100;  o = 100  o1 = 10,  o 2 = −10,  o 3 = −10,  o 4 = −10,      m1 = 8;  m 2 = 8;  m 3 = −8;  m 4 = −8;

309.

Z

(

)

 x 2 + 3 x − 4 2 x − x 2 − 5 − 20 = 0,   y = 2 x − x 2 − 5; 37

www.5balls.ru


 x 2 + 3 x − 8 x + 4 x 2 + 20 − 20 = 0,   y = 2 x − x 2 − 5;

5 x 2 − 5 x = 0,   y = 2 x − x 2 − 5;

 x( x − 1) = 0   y = 2 x − x 2 − 5  x1 = 0,   y1 = −5;

[

beb

 x2 = 1,   y2 = −4;

3 x = y − y 2 + 1,  2  y + 6 x − 2 y = 1;

 y − y 2 +1 , x =  3  2  2 6 y − y +1 − 2 y − 1 = 0;  y + 3

(

)

 y − y2 + 1 x = 3  y2 + 2 y − 2 y2 − 2y −1 = 0 

 y − y 2 +1 , x = 3   y 2 = 1;   y2 = 1,   1  x2 = 3 ; 

beb

 y1 = −1,   1  x1 = − 3 . 

310.  x + y + xy = 5, 2 y = −8,  y = −4  y = −4,     x − y + xy = 13 ; x + y + xy = 5 ; x − 4 − 4 x = 5     x = −3; 2 x + 2 xy + 2 y = 20, 3 xy = 22, [    xy − 2 x − 2 y = 2;  xy − 2 x − 2 y = 2; 22  22  x = 3 y ,  x = 3 y ,    22 y − 2 ⋅ 22 − 2 y − 2 = 0; 22 y − 44 − 6 y 2 − 6 y = 0;   3 y 3y

Z

38

www.5balls.ru


22  x = 3 y  3 y 2 − 8 y + 22 = 0 

J_rbf

mjZ\g_gb_ 2 D = (−8) − 4 ⋅ 3 ⋅ 22 = −200 < 0  G_l dhjg_c 311*.

Z (x + y )(x − y ) = 0 ⇒ x + y = 0 beb kbkl_fu

x − y = 0.

3 y 2 − 8 y + 22 = 0;

Ihemqbf ^\_ gh\uo

 x 2 = 1,  x − y = 0,  x = y, 1)    2 x − y = 1; 2 y − y = 1;  y 2 = 1. 1   x1 = 3 ,  y = − 1 ;  1 3 (x − 7 y )(x + 7 y ) = 0 ⇒ x − 7 y = 0 beb x + 7 y = 0.

 x + y = 0,  x = − y, 2)   2 x − y = 1; − 2 y − y = 1;

[

gh\u_ kbkl_fu 1)

 x 2 + y 2 = 100;  x 2 + y 2 = 100;    x + 7 y = 0;  x = −7 y;

Ihemqbf ^\_

(− 7 y )2 + y 2 = 100;   x = −7 y;

49 y 2 + y 2 = 100   x = −7 y

J_rbf i_j\h_ mjZ\g_gb_ y = 2 beb y = − 2 . Hlkx^Z

 y2 = 2 ,   x2 = 7 2

 x 2 + y 2 = 100; 2)   x − 7 y = 0;

beb

49 y 2 + y 2 = 100; 50 y 2 = 100; y 2 = 2;

 y1 = − 2 ,   x1 = −7 2

(7 y )2 + y 2 = 100;   x = 7 y;

Ba i_j\h]h mjZ\g_gby

y= 2

beb

49 y 2 + y 2 = 100   x = 7 y

y = − 2.

Hldm^Z

39

www.5balls.ru


 y 3 = 2 , y = â&#x2C6;&#x2019; 2, beb  4   x 4 = 7 2  x 3 = â&#x2C6;&#x2019;7 2 \ (x â&#x2C6;&#x2019; 3)(y â&#x2C6;&#x2019; 5) = 0 â&#x2021;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 3 = 0

kbkl_fu

beb

y â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0.

IhemqZ_f ^\_ gh\u_

 x 2 + y 2 = 25,  x 3 = 0, 1)    y = 5;  y 3 = 5.  x 2 + y 2 = 25, 2)   x = 3;

 y 2 = 16,  y1 = 4,    x = 3;  x1 = 3

] x(y + 1) = 0 â&#x2021;&#x2019; x = 0 beb

y = â&#x2C6;&#x2019; 1.

beb

IhemqZ_f ^\_ gh\u_ kbkl_fu 

 x 2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 50,  x 2 = 51,  x1 = 51, 2)     y = â&#x2C6;&#x2019;1;  y = â&#x2C6;&#x2019;1;  y1 = â&#x2C6;&#x2019;1;

m.

 x 2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 50, 2)   x = 0;

â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 50,   x = 0;

312.

Z Ba \lhjh]h mjZ\g_gby gb_

²

beb

 x 2 = â&#x2C6;&#x2019; 51, 1   y 2 = â&#x2C6;&#x2019;1.

dhjg_c g_l ld ±m2â&#x2030;¤ ijb \k_o

y = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5;

1 1 1 + = ; x 2x â&#x2C6;&#x2019; 5 6

 y 2 = â&#x2C6;&#x2019;4,   x 2 = 3.

ih^klZ\bf \ i_j\h_ mjZ\g_ 6(2 x â&#x2C6;&#x2019; 5) + 6 x â&#x2C6;&#x2019; x(2 x â&#x2C6;&#x2019; 5) = 0; 6 x(2 x â&#x2C6;&#x2019; 5)

5  2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 23x + 30 = 0;  x â&#x2030;  0; x â&#x2030;  ; 2  23 ± 17 3 D = (â&#x2C6;&#x2019;23) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 2 â&#x2039;&#x2026; 30 = 289; x = ; x2 = 10 ; x1 = â&#x2C6;&#x2019; . HdhgqZ2 4

12 x â&#x2C6;&#x2019; 30 + 6 x â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 + 5 x = 0;

l_evgh

3 3    x1 = â&#x2C6;&#x2019; ,  x1 = â&#x2C6;&#x2019; , beb  2 2   y1 = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5;  y1 = â&#x2C6;&#x2019;8. mjZ\g_gby x = 14 â&#x2C6;&#x2019; 2 y, ih^klZ\bf \ i_j\h_

 x2 = 10,  x2 = 10,    y2 = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5;  y2 = 15.

[ Ba \lhjh]h gb_

1 1 1 1 1 1 â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; = ; ; 14 â&#x2C6;&#x2019; 2 y y 20 2(7 â&#x2C6;&#x2019; y ) y 2 â&#x2039;&#x2026;10

40

www.5balls.ru

mjZ\g_ -


10 y â&#x2C6;&#x2019; 20(7 â&#x2C6;&#x2019; y ) â&#x2C6;&#x2019; y (7 â&#x2C6;&#x2019; y ) = 0; 2 â&#x2039;&#x2026;10 y (7 â&#x2C6;&#x2019; y )

(y â&#x2030;  0, y â&#x2030;  7 ); y=

y 2 + 23 y â&#x2C6;&#x2019; 140 = 0;

10 y â&#x2C6;&#x2019; 140 + 20 y â&#x2C6;&#x2019; 7 y + y 2 = 0;

D = 232 + 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;140) = 1089;

â&#x2C6;&#x2019;23 ± 33 ; 2  beb 1 ± HdhgqZl_evgh 2 y = â&#x2C6;&#x2019;28,  y2 = 5,  y2 = 5,  y1 = â&#x2C6;&#x2019;28, beb  1     x2 = 14 â&#x2C6;&#x2019; 2 y;  x2 = 4.  x1 = 14 â&#x2C6;&#x2019; 2 y;  x1 = 70.

m

\ H[hagZqbf

m

x =t y

Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby 

12t 2 + 12 â&#x2C6;&#x2019; 25t =0 12t

(t â&#x2030;  0);

D = (â&#x2C6;&#x2019;5) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 12 â&#x2039;&#x2026; 12 = 49; t =

25 ± 7 4 ; t1 = 24 3

1 25 t+ = ; t 12

12t 2 â&#x2C6;&#x2019; 25t + 12 = 0;

beb

t2 =

3 . 4

Bf__f

4  4   x = 3 y,  x = y ,  x1 = 8, beb 3     y1 = 6 .  y + 4 y = 14;  y = 6;   3 3  x 3 3   x = 4 y,  x = y ,  x 2 = 6,  = , y 4 4      y 2 = 8.  x + y = 14;  y + 3 y = 14;  y = 8;   4 x ] H[hagZqbf = t  Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby  t â&#x2C6;&#x2019; 1 = 5 ; t 6 y x 4  = , y 3  x + y = 14; 

6t 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 â&#x2C6;&#x2019; 5t = 0; 6t 2 â&#x2C6;&#x2019; 5t â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0 (t â&#x2030;  0); D = (â&#x2C6;&#x2019;5) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 6 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;6) = 169; 6t 5 ± 13 2 3 t= ; t1 = beb t 2 = â&#x2C6;&#x2019; . Bf__f 12 3 2

41

www.5balls.ru


2   x = â&#x2C6;&#x2019; 3 y,  â&#x2C6;&#x2019; 2 y â&#x2C6;&#x2019; y = 2;  3 3 3    x = 2 y,  x = 2 y ,  x1 = 6,     3 y â&#x2C6;&#x2019; y = 2;  1 y = 2;  y1 = 4.  2  2 2 x  =â&#x2C6;&#x2019; , y 3   x â&#x2C6;&#x2019; y = 2; 

2   x = â&#x2C6;&#x2019; 3 y,  â&#x2C6;&#x2019; 5 y = 2;  3

4  x 3  x 2 = 5 ,  = , y 2   y = â&#x2C6;&#x2019; 6 .  x â&#x2C6;&#x2019; y = 2;  2 5 

beb

313*.

<uql_f i_j\h_ mjZ\g_gb_ ba \lhjh]h   y 2 + 4 y = 12,  3 x â&#x2C6;&#x2019; 4 y = â&#x2C6;&#x2019;2,  2 2  x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; y = 100.

J_rbf mjZ\g_gb_ \=

â&#x2C6;&#x2019; ± 





m =â&#x20AC;&#x201C;6; m 2

1 

y 2 + 4 y â&#x2C6;&#x2019; 12 = 0;

D = 4 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;12) = 64;

Bf__f

 y = â&#x2C6;&#x2019;6,  y = â&#x2C6;&#x2019;6,   3 x â&#x2C6;&#x2019; 4 y = â&#x2C6;&#x2019;2, 3 x + 24 = â&#x2C6;&#x2019;2,  2  2 2 2  x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; x + y = 100;  x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; x + y = 100;    y = â&#x2C6;&#x2019;6, 26  , x = â&#x2C6;&#x2019; 3   26  2 26   â&#x2C6;&#x2019; 36 + â&#x2C6;&#x2019; 6 = 100.  3  3

Gh  26   3 

2

+

m

26 â&#x2C6;&#x2019; 42 â&#x2030;  100  agZqbl â&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;6 3

 y = 2,  3 x â&#x2C6;&#x2019; 4 y = â&#x2C6;&#x2019;2,  2 2  x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; x + y = 100;

 y = 2,   x = 2,  2 2  x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; x + y = 100;

42

www.5balls.ru


Gh gbc

2 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 2 â&#x2030;  100,

ke_^h\Zl_evgh kbkl_fZ g_ bf__l j_r_-

314*.

J_rbf kgZqZeZ kbkl_fm

 x + y = 7,  x + y = 7,  x + 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 = 7,    2 x â&#x2C6;&#x2019; y = 2;  y = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2;  y = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2; 5   x = 3 , 3 x = 5,    y = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2;  y = 4 .  3

M wlbo ^\mo nmgdpbc lhevdh h^gZ h[sZy lhqdZ _keb \k_ ljb ]jZnbdZ bf_xl h[sb_ lhqdb lh wlh ^he`gZ [ulv gZc^_ggZy lhqdZ  2 Ijh\_jbf  5  + 5 â&#x2039;&#x2026; 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 17 â&#x2030;  1  AgZqbl g_ kms_kl\m_l h[s_c 3

3 3

lhqdb ^ey lj_o ]jZnbdh\

3

9

315*.

Z Keh`bf b \uql_f mjZ\g_gby 

2 x 2 + 2 x = 24, ( x â&#x2C6;&#x2019; 3)( x + 4) = 0,  2  2 y + 2 y = 12; ( y â&#x2C6;&#x2019; 2)( y + 3) = 0;  x1 = 3,  x 2 = 3,  x 3 = â&#x2C6;&#x2019;4,  x 4 = â&#x2C6;&#x2019;4,      y1 = 2.  y 2 = â&#x2C6;&#x2019;3  y 3 = 2.  y 4 = â&#x2C6;&#x2019;3

[ H[hagZqbf om q_j_a

t ba i_j\h]h mjZ\g_gby  t 2 + t â&#x2C6;&#x2019; 72 = 0; â&#x2C6;&#x2019;1 ± 17 ; t1=â&#x20AC;&#x201C;9; t2  IhemqZ_f ^\_ kbkl_fu  D=12â&#x2C6;&#x2019;4Ã&#x201A;1â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;72)=289; t = 2  xy = â&#x2C6;&#x2019;9;  x(6 â&#x2C6;&#x2019; x ) = â&#x2C6;&#x2019;9; â&#x2C6;&#x2019; x 2 + 6 x + 9 = 0;  x 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 x â&#x2C6;&#x2019; 9 = 0 1)      y = 6 â&#x2C6;&#x2019; x  y = 6 â&#x2C6;&#x2019; x;  x + y = 6;  y = 6 â&#x2C6;&#x2019; x;

J_rbf mjZ\g_gb_

x=

x 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 x â&#x2C6;&#x2019; 9 = 0;

D = (â&#x2C6;&#x2019;6) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;9) = 72;

6±6 2 ; x2 = 3 + 3 2 beb x1 = 3 â&#x2C6;&#x2019; 3 2 ; 2  x2 = 3 + 3 2 , x = 3 â&#x2C6;&#x2019; 3 2, beb  1   y2 = 3 â&#x2C6;&#x2019; 3 2 ;  y1 = 3 + 3 2 .

hldm^Z

43

www.5balls.ru


 x(6 â&#x2C6;&#x2019; x ) = 8; 6 x â&#x2C6;&#x2019; x 2 = 8  x 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 x + 8 = 0  xy = 8; 2)      y = 6 â&#x2C6;&#x2019; x;  y = 6 â&#x2C6;&#x2019; x  x + y = 6;  y = 6 â&#x2C6;&#x2019; x; 6±2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 x + 8 = 0; D = (â&#x2C6;&#x2019;6) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 8 = 4; x = ; x3  beb x4=2. 2 x = 2,  x 3 = 4, beb  4   y 4 = 4.  y3 = 2

\ H[hagZqbf x+y=t Lh]^Z ba i_j\h]h mjZ\g_gby  t1=5, t2 ± IhemqZ_f ^\_ gh\uo kbkl_fu  g_l

 x + y = â&#x2C6;&#x2019;3;  x = â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; 3; 1)    xy = 14; (â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; 3) y â&#x2C6;&#x2019; 14 = 0;

2)

 x + y = 5;   xy = 6;

 x = 5 â&#x2C6;&#x2019; y;  (5 â&#x2C6;&#x2019; y ) y â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0;

 x = â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; 3;  2  y + 3 y + 14 = 0;  x = 5 â&#x2C6;&#x2019; y;  2  y â&#x2C6;&#x2019; 5 y + 6 = 0;

t2â&#x20AC;&#x201C;2tâ&#x20AC;&#x201C;15=0;

²

dhjg_c

 x2 = 3,   y2 = 2;

 x1 = 2,   y1 = 3;

] H[hagZqbf x+y=t Lh]^Z ba i_j\h]h mjZ\g_gby  t2â&#x20AC;&#x201C;4tâ&#x20AC;&#x201C;45=0; t1=9, t2 ± H[hagZqbf xâ&#x20AC;&#x201C;y=z Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby  z2â&#x20AC;&#x201C;2zâ&#x20AC;&#x201C; 3=0; z1=3, z2 ± <hafh`gu q_luj_ \ZjbZglZ   x + y = 9;  x + y = 9;  x + y = â&#x2C6;&#x2019;5;  x + y = â&#x2C6;&#x2019;5;      x â&#x2C6;&#x2019; y = 3;  x â&#x2C6;&#x2019; y = â&#x2C6;&#x2019;1;  x â&#x2C6;&#x2019; y = 3;  x â&#x2C6;&#x2019; y = â&#x2C6;&#x2019;1.

HdhgqZl_evgh

 x1 = 6;  x 2 = 4;  x 3 = â&#x2C6;&#x2019;1;  x 4 = â&#x2C6;&#x2019;3;      y1 = 3;  y 2 = 5;  y 2 = â&#x2C6;&#x2019;4;  y 4 = â&#x2C6;&#x2019;2.

316*.

GZc^_f dhwnnbpb_gl ijb x 2 : â&#x20AC;&#x201C;aâ&#x20AC;&#x201C;2a+b=8, b=8+3Z Z dhwnnbpb_gl ijb x: 2+ab=â&#x20AC;&#x201C;2; ab ± Ihemqbf kbkl_fm b = 8 + 3a, b = 8 + 3a,   ab = â&#x2C6;&#x2019;4; a (8 + 3a ) = â&#x2C6;&#x2019;4;

J_rbf a=

mjZ\g_gb_

b = 8 + 3a,  2 3a + 8a + 4 = 0;

3a 2 + 8a + 4 = 0;

â&#x2C6;&#x2019;8 ± 4 2 ; a2 = ; a1 = 2 3 6

44

www.5balls.ru

D = 8 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 3 â&#x2039;&#x2026; 4 = 16;


2  a1 = â&#x2C6;&#x2019;2, a2 = â&#x2C6;&#x2019; , 3   b1 = 2; b = 6.  2

317.

H[hagZqb\ i_j\h_ qbkeh Z \lhjh_ ² b Bf__f kbkl_fm a + b = 5(a â&#x2C6;&#x2019; b ),  2 a â&#x2C6;&#x2019; b 2 = 180;

6b = 4a,  2 a â&#x2C6;&#x2019; b 2 = 180;

2  b = 3 a,   2 a 2 â&#x2C6;&#x2019;  2 a  = 180;  3 

2  2  b = 3 a, b = a, 3   a 2 = 180 â&#x2039;&#x2026; 9 ; a 2 = 324;   5 a = 18, a = 18,  ; a=â&#x2C6;&#x2019;18 ± g_ m^h\e_l\hjy_l mkeh\bx aZ^Zqb  2 â&#x2039;&#x2026; 18  b = 3 ; b = 12.

Hl\_l  b  318.

H[hagZqb\ i_j\h_ qbkeh a Z \lhjh_ ² b Bf__f kbkl_fm ab = 15(a + b ), (100 â&#x2C6;&#x2019; 2b )b = 15(100 â&#x2C6;&#x2019; 2b ) + 15b,  a + 2b = 100;

 a = 100 â&#x2C6;&#x2019; 2b. J_rbf mjZ\g_gb_ b2â&#x20AC;&#x201C;155b+1500=0; 115 + 35 115 â&#x2C6;&#x2019; 35 = 37,5 beb b1 = = 20; b2 = 4 4 b = 20, b2 = 37,5, beb  1  = a 25 ;  2 a1 = 60.

D=1152â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;Ã&#x201A;



Hl\_l  b  beb  b  319.

H[hagZqb\ i_j\h_ qbkeh a Z \lhjh_ ² b Bf__f kbkl_fm  30 + 2b  2 2 a â&#x2C6;&#x2019; b = 100,  3  â&#x2C6;&#x2019; b â&#x2C6;&#x2019; 100 = 0,   3a â&#x2C6;&#x2019; 2b = 30;  30 + 2b ; a = 3 2

2

45

www.5balls.ru


900 + 120b + 4b 2 â&#x2C6;&#x2019; 9b 2 â&#x2C6;&#x2019; 900 = 0,   30 + 2b ; ï��´a = 3  â&#x2C6;&#x2019;b(5b â&#x2C6;&#x2019; 120) = 0 ; b1  beb b2=24; b1 = 0,  a1 = 10;

beb

â&#x2C6;&#x2019; 5b 2 + 120b = 0,   30 + 2b ; a = 3 

b2 = 24,  a2 = 26.

Hl\_l  b  beb  b  320.

H[hagZqbf i_j\mx pbnjm qbkeZ q_j_a o Z \lhjmx ² m Lh]^Z qbkeh jZ\gh 10 x + y; bkoh^y ba mkeh\by khklZ\bf kbkl_fm  x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x = 0,  x = 3, 10 x + y = 4(x + y ),  y = 2 x,  10 x + y = 2 xy.

  2 x + 10 x = 4 x 2 .  y = 2 x.

  y = 6.

ijb o  qbkeh g_ y\ey_lky ^\magZqguf  qlh g_ m^h\e_l\hjy_l mkeh\bx 321.

H[hagZqb\ qbkebl_ev o Z agZf_gZl_ev m ihemqbf kbkl_fm  x2 = 2,   y â&#x2C6;&#x2019;1   x â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 ;  y + 1 4

 x 2 = 2(y â&#x2C6;&#x2019; 1),  4 x â&#x2C6;&#x2019; 4 = y + 1;

 x 2 = 2(4 x â&#x2C6;&#x2019; 6 ),   y = 4 x â&#x2C6;&#x2019; 5;

J_rbf mjZ\g_gb_ x 2 â&#x2C6;&#x2019; 8x + 12 = 0; 8+4 8â&#x2C6;&#x2019;4 x1 = = 6 beb x2 = = 2.

 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 8 x + 12 = 0,   y = 4 x â&#x2C6;&#x2019; 5;

D = (â&#x2C6;&#x2019;8) 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 1 â&#x2039;&#x2026; 12 = 16;

2 2 x = 2,  x2 = 6, beb  1  y 19 ; =  2  y1 = 3. Hl\_l 6 , beb 2 . 19 3

322.

H[hagZqbf qbkebl_ev o Z agZf_gZl_ev m ihemqbf kbkl_fm

46

www.5balls.ru


x +7  y2 =    x =  y + 6

3 , 4  y = 2 x − 6,  1 4 x + 28 = 3(2 x − 6) 2 , 2,

 y = 2 x − 6,  2 3 x − 19 x + 20 = 0.

mjZ\g_gb_ o2–19o+20=0; D=(−19)2–4⋅3⋅20=121; 19 + 11 19 − 11 4 x1 = = 5 beb x2 = = ² g_ ih^oh^bl ih mkeh\bx aZ 6 6 3 ^Zqb J_rbf

 x = 5,   y = 2 ⋅ 5 − 6 = 4.

Hl\_l

5 . 4

323.

H[hagZqbf ^ebgu klhjhg ijyfhm]hevgbdZ o b m Lh]^Z ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ x 2 + y 2 = 152 = 225  b ihemqbf kbkl_fm  x 2 + y 2 = 225,  x 2 + y 2 = 225,    2(x + y )  x+ y ; x − 6 + y − 8 = ; 2(x − 6 ) + 2( y − 8) = 3 3   2 2  x 2 + y 2 = 225,  x + y = 225,   3 x + 3 y − 42 = x + y;  x + y = 21; (21 − y )2 + y 2 − 225 = 0, 441 − 42 y + y 2 + y 2 − 225 = 0    x = 21 − y  x = 21 − y; 2 y 2 − 42 y + 216 = 0,   x = 21 − y;

J_rbf mjZ\g_gb_ y 2 − 21y + 108 = 0; 21 + 3 21 − 3 y2 = = 12 beb y1 = = 9; 2  x2 = 9,   y2 = 12;

D = (−21) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 108 = 9;

2

beb

 x1 = 12,   y1 = 9.

Hl\_l  kf b  kf

47

www.5balls.ru


324*.

H[hagZqbf \j_fy aZiheg_gby [Zkk_cgZ i_j\hc ljm[hc Z qZkh\ Z \lhjhc ± b qZkh\ Lh]^Z aZ  q i_j\Zy ljm[Z gZihegy_l 1 qZklv [Zk-

a 1 k_cgZ Z \lhjZy ² qZklv [Zkk_cgZ Ihemqbf kbkl_fm b b = 5 + a, b = 5 + a, b = 5 + a,    5 7,5 2 3 2  2  a + b = 1,  a + a + 5 = 5 , 10a + 50 + 15a = 2a + 10a. J_rbf mjZ\g_gb_  2â&#x20AC;&#x201C;15 â&#x20AC;&#x201C;50=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;15)2â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;2â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;50)=625; 15 + 25 15 â&#x2C6;&#x2019; 25 5 a1 = = 10 beb a2 = = â&#x2C6;&#x2019; ² g_ ih^oh^bl ih kfukem 4 4 2

Z

Z

aZ^Zqb

a = 10,  b = 5 + 10 = 15,

AZ



q kh\f_klghc jZ[hlu h[_bo ljm[ [m^_l aZiheg_gZ [Zkk_cgZ ke_^h\Zl_evgh \_kv [Zkk_cg aZihegblky aZ 

1 1 1 + = 10 15 6

q

Hl\_l  q 325.

H[hagZqbf \j_fy aZiheg_gby [Zkk_cgZ i_j\hc ljm[hc Z qZkh\ Z \lhjhc ± b qZkh\ Lh]^Z aZ  q i_j\Zy ljm[Z gZihegy_l 1 qZklv [Zka

k_cgZ Z \lhjZy ²

1 b

a = 1,5b,  2 1 1  a + 4( a + b ) = 1;

Hl\_l  q b  q

qZklv [Zkk_cgZ Ihemqbf kbkl_fm a = 1,5b,  6 4  a + b = 1;

a = 1,5b, a = 12,  8  b = 8.  b = 1;

326.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h ih_a^Z o dfq Z \lhjh]h ² m dfq Bf__f kbkl_fm

48

www.5balls.ru


270   x + y = 3 ,  270 270 21  = +1 ;  x y 60

o

 = 90 â&#x2C6;&#x2019; y,  270 81  270  90 â&#x2C6;&#x2019; y = y + 60 ; 

 x = 90 â&#x2C6;&#x2019; y,  x = 90 â&#x2C6;&#x2019; y,  10 1   10 2  90 â&#x2C6;&#x2019; y = y + 20 ; 200 y = 18000 â&#x2C6;&#x2019; 200 y + 90 y â&#x2C6;&#x2019; y ;   x = 90 â&#x2C6;&#x2019; y  2  y + 310 y â&#x2C6;&#x2019; 1800 = 0

J_rbf

D=3102â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;18000)=168100; â&#x2C6;&#x2019;310 â&#x2C6;&#x2019; 410 = â&#x2C6;&#x2019;360 2  y = 50,   x = 90 â&#x2C6;&#x2019; 50 = 40.

y2 =

m +310mâ&#x20AC;&#x201C;18000=0;

mjZ\g_gb_

²

2

y1 =

â&#x2C6;&#x2019;310 + 410 = 50 2

beb

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb 

Hl\_l  dfq b  dfq 327*.

H[hagZqbf kdhjhklb Z\lhfh[be_c o dfq b m dfq >h hgb ^\b]Zebkv 90 q b i_j\uc Z\lhfh[bev ijhr_e 90 x df Z \lhjhc x+ y 90 y df Lh]^Z hklZlhd imlb jZ\guc df i_j\uc Z\lhfh[bev x+ y ijhr_e aZ 90 y q Z \lhjhc ² aZ 90 x q Ihemqbf kbkl_fm x( x + y ) y( x + y) x+ y

90 y x+ y

5  90 y  x( x + y ) = 4 90 y y( x + y ) 90 ( x + y)  = â&#x2021;&#x2019; = â&#x2021;&#x2019;  90 x ( x + y) 90  90 x = 4 x( x + y )  y ( x + y ) 5 + =90. u + v = 90, u = 50,   4v â&#x2C6;&#x2019; 5u = 0; u = 40.

om

Hl\_l  dfq b  dfq

49

www.5balls.ru


328.

H[hagZqbf x dfq ² kdhjhklv i_j\h]h lmjbklZ m dfq ² kdhjhklv \lhjh]h KgZqZeZ  qZkh\ \lhjhc lmjbkl r_e h^bg b ijhr_e jZkklhygb_ m AZl_f hgb ^\b]Zebkv h^gh\j_f_ggh ^h f_klZ \klj_qb  ijhc^y Wo+Wm df ]^_ t ± \j_fy ^\b`_gby ^h \klj_qb  Hl f_klZ \klj_qb \lhjhc r_e  q b ijhr_e m df Z i_j\uc ²  q b ijhr_e x df Ih mkeh\bx mqZklhd ^ebgghc m df i_j\uc ijhr_e aZ \j_fy 9 m = t o qZkh\ Z \lhjhc aZ wlh `_ \j_fy ijhr_e jZkklhygb_ yâ&#x20AC;&#x201C;6y kh kdhjhklvx m bf__f mjZ\g_gb_ 9 y = 8 x â&#x2C6;&#x2019; 6 y  LZd dZd d fhf_glm \klj_qb x

y

\lhjhc ijhr_e gZ  df [hevr_ bf__f \lhjh_ mjZ\g_gb_ xâ&#x20AC;&#x201C;9m=12. Ihemqbf kbkl_fm

m o m o m o m

m2

m

m

12 + 3  24 9 â&#x2C6;&#x2019;6 = , 8 y 2 = 16 + 4 y + 12 y + 3 y 2 , 9  = 8 ,  4 + 3y      12 + 9 y + 3 ( 4 3 y )  = 8 â&#x2C6;&#x2019; 9 = 12;  = ; 8    8 5 y 2 â&#x2C6;&#x2019; 16 y â&#x2C6;&#x2019; 16 = 0   12 + 9 y x = 8  J_rbf mjZ\g_gb_ y2â&#x20AC;&#x201C;16yâ&#x20AC;&#x201C;16=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;16)2â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;5â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;16)=576; 16 + 24 16 â&#x2C6;&#x2019; 24 = = 4 beb 1 = = 0,8 ² g_ ih^oh^bl ih kfukem 10 10

m

o

o

m

aZ^Zqb

 y = 4,   x = 6.

Hl\_l  dfq b  dfq 329. 3;

6;

9;

12;

â&#x20AC;¦

a1 = 3;

a 5 = 3 â&#x2039;&#x2026; 5 = 15;

a10 = 3 â&#x2039;&#x2026;10 = 30;

a100 = 3 â&#x2039;&#x2026;100 = 300; an=3n.

330. â&#x20AC;&#x201C;1; 0; â&#x20AC;&#x201C;1; 0; â&#x20AC;&#x201C;1; 0; â&#x20AC;&#x201C;1; 0; k 2 e +1 = â&#x2C6;&#x2019; 1 .

k10 = 0 ;

k 25 = â&#x2C6;&#x2019;1 ; k 253 = â&#x2C6;&#x2019;1; k 2 e = 0;

50

www.5balls.ru


331. 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100,

a 20 = 20 2 = 400;

a 40 = 40 2 = 1600; a n = n 2 .

332.

Z a100 , a 201 , a n +1 , an , a n+ 2 , a 2n +1 [ a 70 , a99 , a n−3 , a n+ 2 , a 3n −1 333.

Z o32 , o33 , o34 ; [ o n+1 , o n+ 2 , o n+3 , o n+ 4 , o n+5 ; \ o n−3 , o n−2 , o n−1 ; ] o n−1 , o n , o n+1 . 334.

o1 = 2 ⋅1 − 1 = 1 ; o3 = 2 ⋅ 3 −1 = 5 ; o 5 = 2 ⋅ 5 − 1 = 9 ; o 6 = 2 ⋅ 6 − 1 = 11 .

o4 = 2 ⋅ 4 −1 = 7 ;

Z

[

o1 = 1 + 1 = 2 ;

o2 = 2 + 1 = 5 ;

2

o 4 = 4 + 1 = 17 ; o 5 = 5 + 1 = 26 ; 2

2

\ o1 =

o5

o

1 1 = ; 2 = 1+1 2 5 5 5 = = ; 5= = 5 +1 6 5 +1

o

o 3 = 3 + 1 = 10 ;

2

2

Ë =   +  =  .

2 2 = ; 2 +1 3 5 . 6

o 3 = 3 3+ 1 = 34 ; o 4 = 4 4+ 1 = 54 ;

] o1 = (− 1)1+1 ⋅ 2 = 2 ; o 2 = (− 1)2+1 ⋅ 2 = −2 ; o 3 = (− 1)3+1 ⋅ 2 = 2 ; o 4 = (− 1)4+1 ⋅ 2 = −2 ; o5 = (− 1)5+1 ⋅ 2 = 2 ; o 6 = (− 1)6+1 ⋅ 2 = −2 . ^ o1 = 21−3 = 1 ; o 2 = 2 2−3 = 1 ; o5 = 2

5− 3

_

4 = 4 ; o 6 = 2 6−3 = 8 ;

2

o1 = 0,5 ⋅ 4 = 2 ;

o3 = 2

3− 3

= 1 ; o 4 = 2 4−3 = 2 ;

o 2 = 0,5 ⋅ 4 = 8 ;

1

o 3 = 0,5 ⋅ 4 = 32 ;

2

3

o 4 = 0,5 ⋅ 4 = 128 ; o 5 = 0,5 ⋅ 4 = 512 ; o 6 = 0,5 ⋅ 4 = 2048 . 4

5

6

335. b5 = 5 2 − 5 = 20 ; b10 = 10 2 − 10 = 90 ; b50 = 50 2 − 50 = 2450 .

51

www.5balls.ru


336.

Z

b1+1 = b 2 = b1 + 3 = 10 + 3 = 13 ;

b2 +1 = b3 = b2 + 3 = 13 + 3 = 16 ;

b3+1 = b4 = b3 + 3 = 16 + 3 = 19 ; b4 +1 = b5 = b4 + 3 = 19 + 3 = 22 .

[

b2 = b1+1 =

b4 = b3+1 =

337. a)

b1 = 20 ; 2

b3 = b2+1 =

b2 20 = = 10 ; 2 2

b3 10 b 5 = = 5 ; b5 = b4+1 = 4 = = 2,5 . 2 2 2 2

a1 = 1 ;

a 2 = a1 + 1 = 1 + 1 = 2 ;

a3 = a2 + 1 = 2 + 1 = 3 ;

a 4 = a3 + 1 = 3 + 1 = 4 ; a5 = a 4 + 1 = 4 + 1 = 5 . [

a3 = a2 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = a1 = 1000 ; a 2 = a1 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = 1000 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = 100 ; = 100 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = 10 ; a 4 = a 3 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = 10 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = 1 ; a 5 = a 4 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = 1 â&#x2039;&#x2026; 0,1 = 0,1 .

\

a1 = 16 ;

a 2 = â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026; a1 = â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026;16 = â&#x2C6;&#x2019;8 ;

a 3 = â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026; a 2 =

= â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;8) = 4 ; a 4 = â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026; a 3 = â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026; 4 = â&#x2C6;&#x2019;2 ; a 5 = â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026; a 4 = â&#x2C6;&#x2019;0,5 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;2 ) = 1 .

]

a1 = 3 ;

a 4 = a 3â&#x2C6;&#x2019;1 = 3 â&#x2C6;&#x2019;1 =

338.

Z

b1 = 5 ;

a2 =

a1â&#x2C6;&#x2019;1

=3

1 1 ; a 5 = a 4â&#x2C6;&#x2019;1 =   3 3

â&#x2C6;&#x2019;1

1 = ; 3

a3 =

a 2â&#x2C6;&#x2019;1

1 =  3

â&#x2C6;&#x2019;1

= 3;

â&#x2C6;&#x2019;1

= 3.

b2 = b1 + 5 = 5 + 5 = 10 ;

b3 = b2 + 5 = 10 + 5 = 15 ;

b4 = b3 + 5 = 15 + 5 = 20 .

[

b1 = 5 ;

b2 = b1 â&#x2039;&#x2026; 5 = 5 â&#x2039;&#x2026; 5 = 25 ;

b3 = b 2 â&#x2039;&#x2026; 5 = 25 â&#x2039;&#x2026; 5 = 125 ;

b4 = b3 â&#x2039;&#x2026; 5 = 125 â&#x2039;&#x2026; 5 = 625 .

339.

Bkoh^y ba mkeh\by aZibr_f kbkl_fm  x 2 + y 2 = 45,  x 2 + (2 x )2 â&#x2C6;&#x2019; 45 = 0, 5 x 2 = 45   y = 2 x;

  y = 2 x;

Ih mkeh\bx x, y ! AgZqbl x=3, y=6.

  y = 2 x

52

www.5balls.ru

 x 2 = 9   y = 2 x


340.

o2 = t

Z

H[hagZqbf 2 D = 4 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 15) = 256 ;

t1 =

⇒ x 2 = 1,5  beb x 2 = −2,5

[ Imklv o

−4 + 16 = 1,5 8

g_l dhjg_c 

beb

4t 2 + 4t − 15 = 0 ; −4 − 16 t2 = = −2,5 8

x1 = 1,5

beb

x 2 = − 1,5

= t ⇒ 2t − t − 36 = 0 ; D = (−1) − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 36) = 289 ; 1 + 17 1 − 17 t1 = = 4,5 beb t 2 = = −4 ⇒ x 2 = 4,5  beb x 2 = −4 g_l 4 4

dhjg_c 

2

2

x1 = 4,5

beb

2

x 2 = − 4,5

341.

(

Z

)(

)

1 3 −6 1 a b ⋅ 3a − 2b 5 = ⋅ 3 a 3 ⋅ a − 2 b − 6 ⋅ b 5 = 2 2 3 3 − 2 − 6 + 5 3 −1 3a = a ⋅b = ab = 2 2 2b 1 − 3 3 [ 3a − b ⋅ (4ab ) = 3a − b ⋅ 4 −1 ⋅ a −1 ⋅ b −1 = 3 a −3 a −1 bb −1 = 3 a − 4 . 4 4 \ a–6b10(2a–2b4)–2= 4a −6b10 ⋅ 2−2 ⋅ a 4 ⋅ b−8

(

=

(

)(

]

10ab −5

)( )

)

4 −6 4 10 −8 a a b b = a −6+4 ⋅ b10−8 = a −2b 2 4 1 33

−2 3

a b

=

( )(

)

10 ⋅ 3 aa 2 b − 5b − 3 = 3a1+ 2 ⋅ b − 5 + (− 3) = 3a 3b −8 . 10

342.

Z 81 ⋅ 3− 6 = 34 ⋅ 3− 6 = 32 = 34 − 6 = 3− 2 = 1 [

(− 3 )

−3 3

−9

−2

\ 9 −5 ⋅  1  9

]

9

=

(− 3) 4 − (3)−

−3

(− 3 ) ⋅ 27 −3 2

−9

=

3

4

3

9

= 3 4 −9 = 3 −5 =

( ) ⋅ (3 )

= 32 3

−5

− 2 −3

= 3 −10 ⋅ 3 6 = 3 − 4 =

( ) =3

= (− 3) ⋅ 3 −6

3 3

1 . 243

−6

⋅3 = 3 = 3 9

3

1 3

4

−6+9

=

1 . 81

= 33 = 27.

53

www.5balls.ru


343.

Z

a n = a1 + d (n − 1) ;

a1 = 10 ;

a 3 = 10 + 4 ⋅ (3 − 1) = 10 + 8 = 18 ; a 5 = 10 + 4 ⋅ (5 − 1) = 10 + 16 = 26 .

a 2 = 10 + 4 ⋅ (2 − 1) = 10 + 4 = 14 ; a 4 = 10 + 4 ⋅ (4 − 1) = 10 + 12 = 22 ;

a n = a1 + d (n − 1) ; a1 = 1,7 ; a 2 = 1,7 − 0,2(2 − 1) = 1,7 − 0,2 = 1,5 ; a3 = 1,7 − 0,2(3 − 1) = 1,7 − 0,2(3 − 1) = 1,7 − 0,4 = 1,3 ; a4 = 1,7 − 0,2(4 − 1) = = 1,7 − 0,6 = 1,1 ; a 5 = 1,7 − 0,2(5 − 1) = 1,7 − 0,8 = 0,9 ;

[

\

a n = a1 + d (n − 1) ; a1 = −3,5 ; a 2 = −3,5 + 0,6(2 − 1) = = −3,5 + 0,6 = −2,9 ; a 3 = −3,5 + 0,6(3 − 1) = −3,5 + 1,2 = −2,3 ; a 4 = −3,5 + 0,6(4 − 1) = −3,5 + 1,8 = −1,7 ; a 5 = −3,5 + 0,6(5 − 1) = −3,5 + 2,4 = −1,1 ;

344.

Z bn = b1 + d (n − 1) ; b7 = b1 + d (7 − 1) = b1 + 6d . [ b26 = b1 + d (26 − 1) = b1 + 25d . \ b231 = b1 + d (231 − 1) = b1 + 230d . ] bk = b1 + d (k − 1). ^ bk +5 = b1 + d (k + 5 − 1) = b1 + d (k + 4). _ b2k = b1 + d (2k − 1). 345.

Z c n = c1 + d (n − 1) ; c5 = 20 + 3(5 − 1) = 20 + 12 = 32 . [ c n = c1 + d (n − 1) ; k 21 = 5,8 − 1,5 ⋅ (21 − 1) = 5,8 − 30 = −24,2. 346.

Z a n = a1 + d (n − 1) ; a11 = −3 + 0,7(11 − 1) = −3 + 7 = 4. [ a n = a1 + d (n − 1) ; a 26 = 18 − 0,6(26 − 1) = 18 − 15 = 3. 347.

Z

=

1 1 1 a1 = ; a 2 = −1; d = a 2 − a1 = −1 − = −1 ; an = a1 + d (n − 1) = 3 3 3

1 1 1 4⋅9 2 1 1 1 1 1 2 1 = −11 . − 1 (n − 1) = − 1 n + 1 = 1 + 1 n; a10 = − 1 ⋅ 9 = − 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

54

www.5balls.ru


[

b1 = 2,3;

b2 = 1;

d = b2 â&#x2C6;&#x2019; b1 = 1 â&#x2C6;&#x2019; 2,3 = â&#x2C6;&#x2019;1,3;

EQ = E + G (Q â&#x2C6;&#x2019; ) =  â&#x2C6;&#x2019; (Q â&#x2C6;&#x2019; ) =  â&#x2C6;&#x2019; Q +  =  â&#x2C6;&#x2019; Q E =  â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2039;&#x2026;  =  â&#x2C6;&#x2019;  = â&#x2C6;&#x2019;

348.

Z

a 2 = â&#x2C6;&#x2019;6,5; d = a 2 â&#x2C6;&#x2019; a1 = â&#x2C6;&#x2019;6,5 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;8) = 1,5;

a1 = â&#x2C6;&#x2019;8;

a n = a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) = â&#x2C6;&#x2019;8 + 1,5(n â&#x2C6;&#x2019; 1) = â&#x2C6;&#x2019;8 + 1,5n â&#x2C6;&#x2019; 1,5 = 1,5n â&#x2C6;&#x2019; 9,5;

a 23 = â&#x2C6;&#x2019;8 + 1,5(23 â&#x2C6;&#x2019; 1) = â&#x2C6;&#x2019;8 + 33 = 25.

[

a1 = 11;

a 2 = 7; d = a 2 â&#x2C6;&#x2019; a1 = 7 â&#x2C6;&#x2019; 11 = â&#x2C6;&#x2019;4;

DQ = D + G (Q â&#x2C6;&#x2019; ) =  â&#x2C6;&#x2019; (Q â&#x2C6;&#x2019; ) =  â&#x2C6;&#x2019; Q +  =  â&#x2C6;&#x2019; Q a 23 = 15 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 23 = â&#x2C6;&#x2019;77.

349.

a1 = 7; d = 3; a n = a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); a 8 = 7 + 3(8 â&#x2C6;&#x2019; 1) = 7 + 3 â&#x2039;&#x2026; 7 = 28.

Hl\_l  f 350.

Kdhjhklv ih_a^Z v20 \ dhgp_ c fbgmlu ² c qe_g Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkbb Z1=0; d=50; an=a1+d(nâ&#x2C6;&#x2019;1), a21=0+50â&#x2039;&#x2026;20=1000. Hl\_l  ffbg 351.

JZkkfhljbf û2$1B1 b û2$nBn. â&#x2C6;&#x2020;H:< ~ â&#x2C6;&#x2020;H:nBn lZd dZd â&#x2C6; O â&#x20AC;&#x201D; OA n OB n =  Hlkx^Z h[sbc 2$n=nOA1, OBn=nOB1, â&#x2021;&#x2019; OA 1

A n B n OA n = = n; AnBn=nA1B1. A 1 B1 OA 1 A5B5=5Ã&#x201A;  kf $10B10=10Ã&#x201A;



OB1

kf

352.

Z x n = x1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); o1=xnâ&#x2C6;&#x2019;d(nâ&#x2C6;&#x2019;1); x1=x30â&#x2C6;&#x2019;d(30â&#x2C6;&#x2019;1)=128â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;29=12. [ xn = x1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); x1=x45â&#x2C6;&#x2019;d(45â&#x2C6;&#x2019;1)=â&#x2C6;&#x2019;208â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;7)â&#x2039;&#x2026;44=100. 353.

Z

[

yn â&#x2C6;&#x2019; y1 22 â&#x2C6;&#x2019; 10 = 3. ; d= n â&#x2C6;&#x2019;1 5 â&#x2C6;&#x2019;1 y â&#x2C6;&#x2019; y1 â&#x2C6;&#x2019;21 â&#x2C6;&#x2019; 28 49 y n = y1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); d = n =â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;3,5 ; d= n â&#x2C6;&#x2019;1 15 â&#x2C6;&#x2019; 1 14

y n = y1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); d =

55

www.5balls.ru


354.

Z

c n = c1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1);

c1=26â&#x2C6;&#x2019;0,7(26â&#x2C6;&#x2019;1)=1,5.

[

c n = c1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); d =

355.

c1=cnâ&#x2C6;&#x2019;d(nâ&#x2C6;&#x2019;1);

cn=c1+d(nâ&#x2C6;&#x2019;1);

1,2 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; 10) cn â&#x2C6;&#x2019; c1 = 0,8 . ; d= 15 â&#x2C6;&#x2019; 1 n â&#x2C6;&#x2019;1

an â&#x2C6;&#x2019; a1 1 â&#x2C6;&#x2019; 5 = = â&#x2C6;&#x2019;0,5 . 9 â&#x2C6;&#x2019;1 n â&#x2C6;&#x2019;1 a 2 = a1 + d (2 â&#x2C6;&#x2019; 1) = 5 â&#x2C6;&#x2019; 0,5 â&#x2039;&#x2026;1 = 4,5;

a1=5; a9=1; 1) d = 2)

a 4 = 5 â&#x2C6;&#x2019; 0,5 â&#x2039;&#x2026; 3 = 3,5; a 5 = 5 â&#x2C6;&#x2019; 0,5 â&#x2039;&#x2026; 4 = 3; a 7 = 5 â&#x2C6;&#x2019; 0,5 â&#x2039;&#x2026; 6 = 2; a 8 = 5 â&#x2C6;&#x2019; 0,5 â&#x2039;&#x2026; 7 = 1,5.

356. a1 = 2,5; a 6 = 4; 1) d =

a 3 = 5 â&#x2C6;&#x2019; 0,5 â&#x2039;&#x2026; 2 = 4; a 6 = 5 â&#x2C6;&#x2019; 0,5 â&#x2039;&#x2026; 5 = 2,5;

an â&#x2C6;&#x2019; a1 4 â&#x2C6;&#x2019; 2,5 = = 0,3 . 6 â&#x2C6;&#x2019;1 n â&#x2C6;&#x2019;1

2) a 2 = 2,5 + 0,3(2 â&#x2C6;&#x2019; 1) = 2,5 + 0,3 = 2,8; a 3 = 2,5 + 0,3(3 â&#x2C6;&#x2019; 1) = 2,5 + 0,3 â&#x2039;&#x2026; 2 = 3,1; a 4 = 2,5 + 0,3 â&#x2039;&#x2026; 3 = 3,4; a 5 = 2,5 + 0,3 â&#x2039;&#x2026; 4 = 3,7.

357.

Z c n = c1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); c1 + 4d = 27 â&#x2C6;&#x2019; 22d = â&#x2C6;&#x2019;33 d = 1,5 d = 1,5     c1 + 26d = 60; c1 + 4d = 27; c1 = 27 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026;1,5; c1 = 21. [ c n = c1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1); c1 + 19d = 0 â&#x2C6;&#x2019; 46d = 92 d = â&#x2C6;&#x2019;2  d = â&#x2C6;&#x2019;2     c1 + 65 = â&#x2C6;&#x2019;92; c1 + 19d = 0; c1 = â&#x2C6;&#x2019;19 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019; 2 ); c1 = 38.

358.

x n = x1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1);

 x1 + 15d = â&#x2C6;&#x2019;7 10d = 62 d = 6,2 d = 6,2      x1 + 25d = 55;  x1 + 15d = â&#x2C6;&#x2019;7;  x1 = â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2019; 15 â&#x2039;&#x2026; 6,2;  x1 = â&#x2C6;&#x2019;100.

359.

a1=2; a2=9 â&#x2021;&#x2019; d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1=9â&#x20AC;&#x201C;2=7; an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=2+7(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=â&#x20AC;&#x201C;5+7n.

Z =â&#x20AC;&#x201C;5+7n; n=23 AgZqbl a23=156. [  ±n; n= 42 6 â&#x2C6;&#x2030;N AgZqbl â&#x2C6;&#x2030;(an). 7

56

www.5balls.ru


360. an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=32â&#x20AC;&#x201C;1,5(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=32â&#x20AC;&#x201C;1,5n+1,5=33,5â&#x20AC;&#x201C;1,5n. Z  Âąn; n= 22 1 â&#x2C6;&#x2030;N â&#x2021;&#x2019; 0â&#x2C6;&#x2030;(an); 3 [ Âą  Âą n; n  AgZqbl a41=â&#x20AC;&#x201C;28.

361. x1=8,7; d=â&#x20AC;&#x201C;0,3; xn+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); xn=8,7â&#x20AC;&#x201C;0,3(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=8,7â&#x20AC;&#x201C;0,3n+0,3=9â&#x20AC;&#x201C;0,3n; Z Âąnâ&#x2030;Ľ0; nÂ&#x201D; [ Âąn<0; n>30.

362. a1=20,3; a2=â&#x20AC;&#x201C;18,7; d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1=â&#x20AC;&#x201C;18,7+20,3=1,6; an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=â&#x20AC;&#x201C;20,3+ +1,6nâ&#x20AC;&#x201C;1,6=1,6nâ&#x20AC;&#x201C;21,9;

1,6nâ&#x20AC;&#x201C;21,9<0;

a14=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=â&#x20AC;&#x201C;20,3+1,6Ă&#x201A;

1,6n<21,9;

n<

;

nÂ&#x201D;



363.

Z an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z ke_^h\Zl_evgh y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c  [ an+1â&#x20AC;&#x201C;an=(n+1)2â&#x20AC;&#x201C;5â&#x20AC;&#x201C;n2+5=2n l_ jZaghklv f_`^m khk_^gbfb qe_gZfb ijh]j_kkbb aZ\bkbl hl n Z agZqbl Zn ² g_ y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c \ an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z agZqbl y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c â&#x20AC;&#x201C;  l_ jZaghklv f_`^m kh ] an+1â&#x20AC;&#x201C;a n= k_^gbfb qe_gZfb ijh]j_kkbb aZ\bkbl hl n Z agZqbl Zn ² g_ Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby ^ an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z agZqbl y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c _ an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z agZqbl y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c 364.

DZ`^uc \uimdeuc n m]hevgbd ihemqZ_lky ba nm]hevgbdZ ^h[Z\e_gb_f lj_m]hevgbdZ k kmffhc m]eh\  jZ\ghc Â&#x192; ke_^h\Zl_evgh Sn+1â&#x20AC;&#x201C;Sn Â&#x192; l_ ihke_^h\Zl_evghklv Sn y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c k jZaghklvx d=180°.

57

www.5balls.ru


365.  y = â&#x2C6;&#x2019;3 x + 2,  2  x â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;3 x + 2) 2 + 12 = 0;

3 x + y = 2.  2  x â&#x2C6;&#x2019; y 2 = â&#x2C6;&#x2019;12;

 y = â&#x2C6;&#x2019;3 x + 2,  2  x â&#x2C6;&#x2019; 9 x 2 + 12 x â&#x2C6;&#x2019; 4 + 12 = 0;

J_rbf mjZ\g_gb_ o2=

3â&#x2C6;&#x2019;5 =â&#x20AC;&#x201C;0,5; 4  y1 = â&#x2C6;&#x2019;4, beb   x1 = 2.

 y = â&#x2C6;&#x2019;3 x + 2,  â&#x2C6;&#x2019; 8 x 2 + 12 x + 8 = 0

x â&#x20AC;&#x201C;3xâ&#x20AC;&#x201C;2=0; D=9â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;Ã&#x201A; ±  o = 3 +4 5  beb 2

1

 y 2 = 3,5,   x 2 = â&#x2C6;&#x2019;0,5.

366.

Z



x(x2+4xâ&#x20AC;&#x201C;32)=0; x1 beb x2+4xâ&#x20AC;&#x201C;32=0; D=16â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x2C6;&#x2019;4 + 12 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 12 x1 = = 4 beb x 2 = = â&#x2C6;&#x2019;8. 2 2 [ x2(x â&#x20AC;&#x201C;10)+4(x â&#x20AC;&#x201C; 10)=0; (xâ&#x20AC;&#x201C;10)(x2+4)=0; x=10 (x2

Ã&#x201A; ± 

  ² g_l dhj-

g_c 

367.

Z  xâ&#x20AC;&#x201C;0,5)(x+8)>0; (xâ&#x20AC;&#x201C;0,5)(x+8)>0; (â&#x20AC;&#x201C;â&#x2C6;&#x17E;; â&#x20AC;&#x201C;8)â&#x2C6;ª(0,5; â&#x2C6;&#x17E;). [ ± xâ&#x20AC;&#x201C;33)(x+8)â&#x2030;¤0; (xâ&#x20AC;&#x201C;33)(x+8) â&#x2030;¥0; (â&#x20AC;&#x201C;â&#x2C6;&#x17E;; â&#x20AC;&#x201C;8] â&#x2C6;ª [33; â&#x2C6;&#x17E;). 368.

Z â&#x20AC;&#x201C;1Ã&#x201A;2=(53)â&#x20AC;&#x201C;1Ã&#x201A; 2)2=5â&#x20AC;&#x201C;3Ã&#x201A;4=51=5. [ Ã&#x201A; 3)2Ã&#x201A;  â&#x20AC;&#x201C;2=10â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;6Ã&#x201A; â&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C;2=10â&#x20AC;&#x201C;4Ã&#x201A;6Ã&#x201A;2=104=10000. \

16 â&#x2C6;&#x2019;3 4 5 (2 4 ) â&#x2C6;&#x2019;3 (2 2 ) 5 2 â&#x2C6;&#x2019;12 210 1 1 = = = 2 â&#x2C6;&#x2019;12 210 2 â&#x2C6;&#x2019;3 = 2 â&#x2C6;&#x2019;5 = 5 = 3 3 8 32 2 2 2

] 4Ã&#x201A;

 

)â&#x20AC;&#x201C;3

Ã&#x201A;

â&#x20AC;&#x201C;4

Ã&#x201A;  ) Ã&#x201A;  )

=(32)4

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;3

Ã&#x201A; Ã&#x201A;

4 â&#x20AC;&#x201C;4= 8

3

9

â&#x20AC;&#x201C;16

=3.

1

www.5balls.ru


369. (a1 + a n ) â&#x2039;&#x2026; n ; 2 (3 + 57) â&#x2039;&#x2026; 60 60 â&#x2039;&#x2026; 60 = = 1800 S60= 2 2 (â&#x2C6;&#x2019;10,5 + 51,5) â&#x2039;&#x2026; 60 41 â&#x2039;&#x2026; 60 S60= = = 1230 2 2

Sn=

Z

[

370. Sn=

2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2039;&#x2026; n; 2

Z a1=â&#x20AC;&#x201C;23; a2=â&#x20AC;&#x201C;20; d=â&#x20AC;&#x201C;20+23=3; S8= 2 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;23) + 3 â&#x2039;&#x2026; (8 â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2039;&#x2026; 8 = â&#x2C6;&#x2019;100. 2 [

a1=14,2; a2=9,6; d=9,6â&#x20AC;&#x201C;14,2=â&#x20AC;&#x201C;4,6; 2 â&#x2039;&#x2026; 14,2 â&#x2C6;&#x2019; 4,6 â&#x2039;&#x2026; (8 â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2039;&#x2026; 8 = â&#x2C6;&#x2019;15,2 S= 8

2

371. 2b1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2039;&#x2026; n; 2 2 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;17) + 6 â&#x2039;&#x2026; (9 â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2039;&#x2026; 9 = 63 . S9= 2 2 â&#x2039;&#x2026; 6,4 + 0,8 â&#x2039;&#x2026; (9 â&#x2C6;&#x2019; 1) S9= â&#x2039;&#x2026; 9 = 86,4 . 2

Sn=

Z

[

372. Sn=

( x1 + xn ) â&#x2039;&#x2026; n; 2

Z x1=4Ã&#x201A;

 x =4n+2; S = 6 + 42n + 2 â&#x2039;&#x2026; n =(4+2n)n=2n(2+n) n

n

S50=2â&#x2039;&#x2026;50(2+50)=5200; S100=2â&#x2039;&#x2026;100(2+100)=20400. 5 + 2n + 3 â&#x2039;&#x2026; n = (n + 4)n; xn=2n+3; Sn= [ x1=2 2 S50=50(50+4)=2700; S100=100(100+4)=10400.

Ã&#x201A; 

373. a1=3â&#x2039;&#x2026;1+2=5; a20=3â&#x2039;&#x2026;20+2=62; S 20 =

5 + 62 â&#x2039;&#x2026; 20 = 670. . 2

2

www.5balls.ru


374.

Z a1=2; an=2n; Sn= (a1 + an )n = (2 + 2n)n = 2n(n + 1) = (n + 1)n . [

2 2 2 (1 + 2n â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2039;&#x2026; n 2n â&#x2039;&#x2026; n 2 = =n . a1=1; an=2nâ&#x20AC;&#x201C;1; Sn= 2 2

375.

Z a1=1; a150=150; n=150; S150= (150 + 1) â&#x2039;&#x2026;150 = 11325 . 2 [ â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤120; a1=20; a101=120; n=101 (a1 + a101 ) â&#x2039;&#x2026;101 (20 + 120) â&#x2039;&#x2026;101 = = 7070 . 2 2 \ an=4n; 4nâ&#x2030;¤300; nâ&#x2030;¤75; a1=4; a75=4 (4 + 300) â&#x2039;&#x2026; 75 = 11400 . S75= 2 S101=

Ã&#x201A; 

] an=7n; 7nâ&#x2030;¤130; nâ&#x2030;¤   ; n=18; a1=7; a18=7Ã&#x201A; 

S18=



(7 + 126) â&#x2039;&#x2026;18 = 1197. 2

376. a1=10; d=3; a n=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); a15=10+3(15â&#x20AC;&#x201C;1)=52; a30=10+3(30â&#x20AC;&#x201C;1)=97; (a + a n )n (a + a 30 )16 (52 + 97)16 = = 1192. ; S= 15 Sn= 1 2 2 2

377. a1=21; d=â&#x20AC;&#x201C;0,5; an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); a6=21â&#x20AC;&#x201C;0,5(6â&#x20AC;&#x201C;1)=18,5; a25=21â&#x20AC;&#x201C;0,5(25â&#x20AC;&#x201C;1)=9; (a + a n ) â&#x2039;&#x2026; n ( a + a 25 ) â&#x2039;&#x2026; 20 (18,5 + 9) â&#x2039;&#x2026; 20 Sn= 1 = = 275. ; S= 6 2 2 2

378. 1) cn=c1+d(n1); c1 + 6d = 18,5,  c1 + 16d = â&#x2C6;&#x2019;26,5;

10d = â&#x2C6;&#x2019;45, d = â&#x2C6;&#x2019;4,5, d = â&#x2C6;&#x2019;4,5,    + = 6 18 , 5 ; c d = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2019; 18 , 5 6 ( 4 , 5 ); c  1 1 c1 = 45,5. 2c + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 â&#x2039;&#x2026; 45,5 â&#x2C6;&#x2019; 4,5( 20 â&#x2C6;&#x2019; 1) 2) Sn= 1 â&#x2039;&#x2026; n; S20= â&#x2039;&#x2026; 20 = 55. 2 2

3

www.5balls.ru


379.

bn â&#x2C6;&#x2019; b1 15,9 â&#x2C6;&#x2019; 4,2 = 1,3 ; d= 10 â&#x2C6;&#x2019; 1 n â&#x2C6;&#x2019;1 2b + d ( n â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 â&#x2039;&#x2026; 4,2 + 1,3 â&#x2039;&#x2026; (15 â&#x2C6;&#x2019; 1) 2) S n= 1 â&#x2039;&#x2026; n; S15= â&#x2039;&#x2026; 15 = 199,5 2 2

1) bn=b1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); b1=4,2; b10=4,2; d =

380.

Ihke_^h\Zl_evghklv hn=h(n ijhc^_gguo aZ n k_dmg^ jZkklhygbc ih mkeh\bx ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k h1  b d  AgZqbl, 2h + d (5 â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 â&#x2039;&#x2026; 4,9 + 9,8 â&#x2039;&#x2026; 4 H = 1 â&#x2039;&#x2026;5 = â&#x2039;&#x2026; 5 = 122,5 . 5

2

Hl\_l  f 381.

2

Z h(7)=h7=4,9+6Ã&#x201A; Ã&#x201A; [

AZ  k_dmg^

 f  l_eh

ijhc^_l

h +h 4,9 + 63,7 H=S7= 1 7 â&#x2039;&#x2026; 7 = â&#x2039;&#x2026; 7 = 68,6 â&#x2039;&#x2026; 3,5 = 240,1 (f). 2 2

jZkklhygb_

Hl\_l  f  f

382.

Dhebq_kl\h rZjh\ \ dZ`^hf jy^m ij_^klZ\ey_l kh[hc Zjbnf_lb q_kdmx ijh]j_kkbx k i_j\uf qe_ghf Z1  b jZaghklvx d  Qbkeh rZjh\ \ lj_m]hevgbd_ ba n jy^h\ jZ\gh Sn= 2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2039;&#x2026; n  Ihwlhfm

2 2 â&#x2039;&#x2026; 1 + 1(n â&#x2C6;&#x2019; 1) n( n + 1) 120= , n(n+1)=240; â&#x2021;&#x2019; â&#x2039;&#x2026;n = 2 2 â&#x2C6;&#x2019;1 + 31 2 + 29 D=12â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;1(â&#x2C6;&#x2019;240)=961; n= = 16 (n>0); S30= 2 2

rZjh\ 

n2+nâ&#x20AC;&#x201C;240=0;

Ã&#x201A; Ã&#x201A; 

383. an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); 4d = 4,8, d = 1,2, a1 + 6d = 8, d = 1,2,     a1 + 10d = 12,8; a1 + 6d = 8; a1 = 8 â&#x2C6;&#x2019; 6 â&#x2039;&#x2026;1,2; a = 0,8;

384. a1=20,7; a2=18,3; d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1=18,3â&#x20AC;&#x201C;20,7=â&#x20AC;&#x201C;2,4; an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=20,7â&#x20AC;&#x201C; 23,1 â&#x2C6;&#x2019; an â&#x20AC;&#x201C;2,4n+2,4=23,1â&#x20AC;&#x201C;2,4n; cn=23,1â&#x2C6;&#x2019;2,4n; n = 2,4 4

www.5balls.ru


Z

[

23,1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; 1,3) = 3,7 â&#x2C6;&#x2019; g_ p_eh_ qbkeh 2,4 23,1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; 3,3) = 11 l _ an=â&#x2C6;&#x2019;3,3. 2,4

n=

 l_ â&#x2C6;&#x2019;1,3â&#x2C6;&#x2030;a . n

 

385.

Z

2 2  2 9 x + 9 â&#x2039;&#x2026; ( 3x ) = 13,  y = 2 ;  3x

J_rbf mjZ\g_gb_

x +

4

2

x

2

  imklv

â&#x20AC;&#x201C; 13=0; 9x4â&#x20AC;&#x201C;13x2

x2=t â&#x2021;&#x2019;

Ă&#x201A;Ă&#x201A;  t= 1318+ 5 = 1 beb t= 1318â&#x2C6;&#x2019; 5 = 94 ; x =1

9t2â&#x20AC;&#x201C;13t+4=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;13)2â&#x20AC;&#x201C;4

2

beb x2=  ; x1=1; x2=â&#x20AC;&#x201C;1; x3= 2 ; x4=â&#x20AC;&#x201C; 2 . 3



 x1 = 1,  2   y1 = 3 

[

 x 2 = â&#x2C6;&#x2019;1,  2   y2 = â&#x2C6;&#x2019; 3 

2   x3 = , 3   y3 = 1 

 x 2 + 9 + 4 x 2 = 29,  2  y = 9 + 4 x 2 ;

 x = 2,  2  y = 25

beb

3

2  x4 = â&#x2C6;&#x2019; , 3   y 4 = â&#x2C6;&#x2019;1. 

5 x 2 = 20,  2  y = 9 + 4 x 2 ;

 x 2 = 4,  2  y = 9 + 4 x 2 ;

 x 2 = 4,  2  y = 25;

 x = â&#x2C6;&#x2019;2,  2  y = 25;

 x1 = 2,  x 2 = 2,  x 3 = â&#x2C6;&#x2019;2,  x 4 = â&#x2C6;&#x2019;2,      y1 = 5  y 2 = â&#x2C6;&#x2019;5;  y 3 = 5;  y 4 = â&#x2C6;&#x2019;5.

386.

Z nĂ&#x201A;

 Ă&#x201A; =5 n

2

n+2

.

[ Ă&#x201A;n=54Ă&#x201A;2n=54+2n.

387. bn+1=bnq;

Z b1=6; b2=6Ă&#x201A;  b3=12Ă&#x201A;  b4=24Ă&#x201A;  b5=48Ă&#x201A;  [ b1=â&#x20AC;&#x201C;16; b2=â&#x20AC;&#x201C;16Ă&#x201A; 1 =â&#x20AC;&#x201C;8; b3=â&#x20AC;&#x201C;8Ă&#x201A; 1 =â&#x20AC;&#x201C;4; b4=â&#x20AC;&#x201C;4Ă&#x201A; 1 =â&#x20AC;&#x201C;2; b5=â&#x20AC;&#x201C;2Ă&#x201A; 1 =â&#x20AC;&#x201C;1. 2

2

2

2

5

www.5balls.ru


\

b5=81

]

b1=â&#x20AC;&#x201C;24; b2=â&#x20AC;&#x201C;24

Ã&#x201A; ± ±

b5=0,8

Ã&#x201A;

b1=0,4; 2

Ã&#x201A;

Ã&#x201A; ± 

b2=0,4

Ã&#x201A;

b3=36

2;

Ã&#x201A; ± ±

b3=0,4

Ã&#x201A;

2

Ã&#x201A;

b4=â&#x20AC;&#x201C;54

2 =0,8;

Ã&#x201A; ± 

b4=0,8

Ã&#x201A;

2;

2 =1,6.

388.

kn=c1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; Z c6=c1q6â&#x20AC;&#x201C;1=c1q5 \ c125=c1q125â&#x20AC;&#x201C;1=c1q124 ^ ck+3=c1qk+3â&#x20AC;&#x201C;1=c1qk+2

[ c20=c1q20â&#x20AC;&#x201C;1=c1q19 ] ck=c1qkâ&#x20AC;&#x201C;1 _ c2k=c1q2kâ&#x20AC;&#x201C;1

389. xn=x1qnâ&#x20AC;&#x201C;1;

Z x7=x1q7â&#x20AC;&#x201C;1=x1q6=16Ã&#x201A;  1 

6

=24â&#x2039;&#x2026;2-6=2-2=

2

[ x8=x1q8â&#x20AC;&#x201C;1=x1q7=â&#x20AC;&#x201C;810Ã&#x201A;  1  \ x10=x1q10â&#x20AC;&#x201C;1=x1q9= ] x6=x1q6â&#x20AC;&#x201C;1



7

Ã&#x201A; ± 2 ) =â&#x20AC;&#x201C; ( 2 ) 5 1 =x q =125Ã&#x201A; =5 Ã&#x201A;   =5 â&#x2039;&#x2026;5 5 9

2

5

â&#x2C6;&#x2019;10 10 =â&#x2C6;&#x2019; =â&#x20AC;&#x201C;2,7. 27 33

=â&#x2C6;&#x2019;10â&#x2039;&#x2026;34â&#x2039;&#x2026;3-7=

3

5

.



3

1

10

3

=â&#x20AC;&#x201C;25=â&#x20AC;&#x201C;32.

-5

 

=5-2=

1 . 25

390.

bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1;

Z b5=b1q5â&#x20AC;&#x201C;1=b1q4= 3 â&#x2039;&#x2026;  2  4 3

[

4

=

3 â&#x2039;&#x2026;16 4 = . 4 â&#x2039;&#x2026; 81 27

3

3 â&#x2C6;&#x2019;  3  = 1,8 â&#x2039;&#x2026; 3 2 = 1,8 â&#x2039;&#x2026; 3 â&#x2039;&#x2026; 3 = 3 . b4=b1q =b1q =1,8   3  27 5   4â&#x20AC;&#x201C;1

3

Ã&#x201A;

391.

Z o1=2; x2=â&#x20AC;&#x201C;6; q= â&#x2C6;&#x2019; 6 =â&#x20AC;&#x201C;3; xn=x1qnâ&#x20AC;&#x201C;1=2Ã&#x201A; ± nâ&#x20AC;&#x201C;1; x7=2Ã&#x201A; ± 6=2Ã&#x201A; 2

[

â&#x2C6;&#x2019;

x1=â&#x20AC;&#x201C;40; x2=â&#x20AC;&#x201C;20; q=

â&#x2C6;&#x2019;20 1 = ; xn=(â&#x20AC;&#x201C;40) â&#x2C6;&#x2019; 40 2

40 5 =â&#x2C6;&#x2019; . 64 8 6

www.5balls.ru

Ã&#x201A;  )

nâ&#x20AC;&#x201C;1

; x7=â&#x20AC;&#x201C;40



Ã&#x201A; 12 ) =0 6


\

x1=–0,125;

x2=0,25;

x7 = −0,125(− 2 ) = x1=–10;

0,25 =–2; − 0,125

xn=–0,125

 ±

n–1

64 = −8 . − 0,125

6

]

q=

x2=10;

q=

 ±

 ±

10 =–1; − 10

xn=(–10)

Â

n–1

=(–1)n

x7=(–1)7

392.

Z x1=48; x2=12; q= 12 = 1 ; xn=x1qn–1; x6=48Â  )5= 48

4



3 ; xn=48 64

[ x1= 64 ; x2=– 32 ; q= − 32 ⋅ 9 = − 3 ; x6=x1q5= 64 ⋅  − 3  9

3 ⋅ 64

3

=–54; xn=

64  3  ⋅−  9  2

]

Â

n–1

5

=−

n–1

.

64 ⋅ 243 = 9 ⋅ 32

n −1

.

\ x1=–0,001; x2=–0,01; q= xn=–10–3

9  2

2

  )

−0,01 =10; x6=x1q5=–10–3 − 0,001

 =–10 =−100; 5

2

.

x1=–100; x2=10; q=

10 1 ; x6=x1q5=–100 =− − 100 10

 1 =10–3=0,001; xn=x1qn–1=–102  −   10 

Â

 ± 101 ) =10 ⋅10 5

2

-5

=

n −1

393.

û$n+1BCn+1aû$nBCn. Wlh agZqbl qlh iehsZ^b lj_m]hevgbdh\ khklZ\eyxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_kkbx (Sn kh agZf_gZl_e_f q=

1 4

 hldm^Z S =S (  ) ; S = 7689 = 3 ⋅ 49 9

9

1

9

4

4

4

=

3 3 = 5 1024 4

kf2.

394.

Z bn=b1qn–1 ⇒

b1 =

bn 3 1 1 ; b1 = 5 = 4 = . 81 q n −1 3 3

7

www.5balls.ru


[ bn=b1qnâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2021;&#x2019;

b1 =

bn

q n â&#x2C6;&#x2019;1

=

1 17 2

1  â&#x2C6;&#x2019; 2  2 

4

=

56 . 125

395.

Z cn=c1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; c5=c1Ã&#x201A;q5â&#x20AC;&#x201C;1=c1Ã&#x201A;q4; c7=c1Ã&#x201A;q6;

c 7 c1 q 6 â&#x2C6;&#x2019; =q2= =9; q=3 = 4 c 5 c1 q â&#x2C6;&#x2019;

q=â&#x20AC;&#x201C;3. c8 c1 q 7 9 3 = =q2= ; q= 25 5 c 6 c1 q 5

[ c6=c1q5; c8=c1q7;

beb q=â&#x20AC;&#x201C; 3 . 5

396.

Z xn=x1qnâ&#x20AC;&#x201C;1;

x1 =

[ xn=x1qnâ&#x20AC;&#x201C;1;

x5 x1q 4 2 â&#x2C6;&#x2019;18 1 1 = ; q1= = =q = 2 9 â&#x2C6;&#x2019; 162 3 x3 x1q

xn 0,32 ; x1 = = 0,32 â&#x2039;&#x2026; 55 = 1000 . q n â&#x2C6;&#x2019;1 (0,2)5

beb q2=â&#x20AC;&#x201C; 1 . 3

397.

Z  b3=b1Ã&#x201A;q2; q2=

±

5 1 1 1 ; q= beb . = 125 25 5 5 1 5 125 1 beb b6=125 )= 2) b6=b1q5; b6=125 = 5 3125 25 [ b3=b1q2; q2= â&#x2C6;&#x2019;22 =9; q beb q=â&#x20AC;&#x201C;3;

Ã&#x201A;



â&#x2C6;&#x2019;

2) b7=b1q6; b7=â&#x20AC;&#x201C;

\



2 9

125 1 Ã&#x201A; ± 15 ) =â&#x20AC;&#x201C; 3125 . =â&#x2C6;&#x2019; 25 5



3

Ã&#x201A; ± beb b =â&#x20AC;&#x201C; 92 Ã&#x201A; ± =â&#x20AC;&#x201C;162. 6

6

7

b4=b1q3; b6=b1q5;

b6 b1q 5 2 2 â&#x2C6;&#x2019; = =q ; q = =100; q â&#x2C6;&#x2019; b4 b1q 3

q=â&#x20AC;&#x201C;10. 2) b4=b1q3; b1=

b4 q

3

; b1=

â&#x2C6;&#x2019;1 10

3

± beb b = 1

398. b1=2; b5=162. 8

www.5balls.ru

â&#x2C6;&#x2019;1 (â&#x2C6;&#x2019;10) 3

=0,001.

 beb


Ã&#x201A;

 Ã&#x201A; =81; q  beb q=â&#x20AC;&#x201C;3;   Ijb q  lh b =b q=2Ã&#x201A;  b =b q =2Ã&#x201A; =18; b =b q =2Ã&#x201A; =54;  Ijb q ± lh b =b q=2Ã&#x201A; ± ± b =b q =2Ã&#x201A; ± =18; b =b q =2Ã&#x201A; ± =â&#x20AC;&#x201C;54.

1) bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; b5=2 q5â&#x20AC;&#x201C;1=2 q4=162 â&#x2021;&#x2019; q4= 2

2

3

4

1

3

2

3

2

3

1

4

1

3

1

1

2

3

2

1

399. 1 1 1 = 2 â&#x2039;&#x2026; q3 â&#x2021;&#x2019; q3 = â&#x2021;&#x2019; q = 4 8 2

a=2â&#x2039;&#x2026;q; b=2â&#x2039;&#x2026;q2;

2

a = 2â&#x2039;&#x2026;

1 1 1 =1; b = 2â&#x2039;&#x2026;  = . 2 2 2

400.

b2=b1â&#x2039;&#x2026;q=6; b4=b1â&#x2039;&#x2026;q3=24 â&#x2021;&#x2019; q2=4; q1=2; q2=â&#x2C6;&#x2019;2 1) ijb q=2 b6=b4â&#x2039;&#x2026;q2=24â&#x2039;&#x2026;4=96 2) ijb q=â&#x2C6;&#x2019;2 b6=b4â&#x2039;&#x2026;q2=24â&#x2039;&#x2026;4=96.

401.

?`_]h^gh kmffZ \deZ^Z \hajZklZ_l gZ  l_ \  jZaZ Ke_^h\Zl_evgh q_j_a  ]h^Z hgZ \hajZkl_l \  3 jZaZ S3=800Ã&#x201A;  3  j 402.

< jZ\ghklhjhgg_f lj_m]hevgbd_ kh klhjhghc an 3 2

hn=

 ke_^h\Zl_evgh p

n+1=3hn=

3 2

Ã&#x201A;a = n

Zn

\ukhlZ jZ\gZ

 l_ i_jbf_lju

3 pn 2

lj_m]hevgbdh\ h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_ e_f p6=24

q=

Ã&#x201A;

3 . p6=p1( 2

 

)5=

9 3 25

p1;

p1=3

Ã&#x201A; 

AgZqbl

Ã&#x201A; 9 53 =3Ã&#x201A; Ã&#x201A; 9 53 = 274 3 kf 3

2

2

403.

LZd dZd klhjhgu dZ`^h]h ke_^mxs_]h lj_m]hevgbdZ y\eyxlky kj_^gbfb ebgbyfb ^ey ij_^u^ms_]h  lh an+1= 1 an, 2

9

www.5balls.ru


pn+1=3an=3

 12 a = 12 p , l_ i_jbf_lju lj_m]hevgbdh\ y\eyxlky qe_ n

n

gZfb ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkbb kh agZf_gZl_e_f q= 1 Â 2

1 p8=( )7p1; p1=3 2

 p = 7  1

8

2

48 3 4 = = 128 8

kf

404.

an − a1 2 − (− 45,6) 47,6 = = = 3,4 . 15 − 1 14 n −1 2a + d (n − 1) 2 ⋅ (−45,6) + 3,4 ⋅ 49 n; S50= 2) Sn= 1 2 2 1) a1=–45,6; an=a1+d(n–1); d =

Â

 

405.

Z 2n:9n–1=32n:(32)n–1=32n:32n–2=32n–(2n–2)=32=9. [ nÂ6–2n=(22)nÂ6–2n=22nÂ6–2n=22n+6–2n=26=64. \ 1+2nÂn=24:(22)1+2n 3)n=24:22+4nÂ3n=24–2–4n+3n=22–n. 406.  x 2 − y 2 = 30,   x + y = 5; 25 − 10 y +   x = 5 − y; − 10 y = 5,   x = 5 − y;

407.

(5 − y ) 2 − y 2 − 30 = 0,   x = 5 − y;

y 2 − y 2 − 30 = 0,  y = −0,5,  y = −0,5,   x 5 ( 0 , 5 ); = − −   x = 5,5;

Z  =jZnbd nmgdpbb y=2x2–13x–34 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo  ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g   J_rbf mjZ\g_gb_ x2–13x–34=0; D=(−13)2–

 ±  x = 13 +4 21 =8,5; x = 13 −4 21 =–2. 3) (–’ ±]∪[8,5; +’  [ x(5–2x)<0; x(x–2,5)>0; (–’ ]∪[2,5; +’  4

1

10

www.5balls.ru

2


408. Sn=

E T Q − 

; T −

Z S5= [ S5=

8 ⋅  

( ) − 1 1 5 2

1 2

−1

500 ⋅  

( ) − 1

1 2

1 5 5

−1

( − 1) = 31 = − 16 1 − 1 = 16 − 1 = 15 1 .

8⋅

=

1 32 1 −2

500 ⋅

=

  32

2

(

1 3125 4 −5

 

2

2

) = 3124 =624,8.

−1

5

409.

Z b1=3; b2=–6; q = −6 =–2; Sn= E T

− 

; T −

3

)

3 ⋅ (− 2 ) − 1 3 ⋅ (64 − 1) = =–63. − 2 −1 −3 36 2 b1=54; b2=36; q= = ; 54 3

S5=

[

(

Q

S6=

6

54 ⋅  

( ) − 1 2 6 3

2 3

−1

54 ⋅

=

(

64 729 1 −3

\ b1=–32; b2=–16; q= −16 − 32 ⋅   S6= 1 2

( ) − 1 1 6 2

−1

] b1=1; b2=–

) = 665 ⋅ 54 ⋅ 3 = 1330 = 147 7 .

−1

− 32

729 ⋅1

=

9

9

1 ; 2

 1  = 64 − 1 = 1 − 64 =–63.  64  1

−2

1 ; 1 2   1  1 6 − 1 1 ⋅  − 2 − 1 2 −  =  64  = 21 . S6=  1 −3 32 − 2 −1 

; q=

=−

( )

11

www.5balls.ru


410. Sn=

c1 ( q n − 1) ; q −1

Z

[ S9= 1 ⋅ ((− 2

S9=

) )

(

)

− 4 ⋅ 39 − 1 =– 3 −1

−1 =171. − 2 −1

39364.

9

411.

Z

bn+1 0 ,2 ⋅ 5n +1 = bn 0,2 ⋅ 5n

 AgZqbl b ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby n

kh agZf_gZl_e_f q=5. Sn= [

bn +1 3 ⋅ 2n = bn 3 ⋅ 2 n −1

 AgZqbl b ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby kh n

agZf_gZl_e_f q=2. Sn= \

bn +1 3n + 2 = n +1 bn 3

b1 ( q n − 1) 0,2 ⋅ 5 ⋅ (5 n − 1) 5 n − 1 . = = q −1 5 −1 4

b1 (q n − 1) 3 ⋅ 2 0 ⋅ (2 n − 1) =3(2n–1). = q −1 2 −1

  AgZqbl b ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby kh n

agZf_gZl_e_f q=3. Sn=

b1 (q n − 1) 3 2 ⋅ (3 n − 1) 9 n = = (3 − 1) . 3 −1 2 q −1

412.

Z b1=1; b2=3; q= 3 =3; Sn= 1

b1 (q n − 1) 1 ⋅ (3 n − 1) 3 n − 1 . = = q −1 3 −1 2

[ b1=2; b2=4; q= 4 =2; Sn= 2 ⋅ (2 2

\ b1= 1 ; b2=– 1 ; q= 2

4

1

−4 1 2

− 1) =2 n–1). 2 −1 1 1 n  n  2 − 1 − 1 − 1 1 2   2 =– ; Sn= . = 1 2 3 − −1 n

 

() 2

] b1=1; b2=–x; q= − x =–x; Sn= 1⋅ ((− x)

(− x) n − 1 − 1) . =− x +1 − x −1

1

^ b1=1; b2=x2; q= x

2

1

( )

=x2; Sn=

n

1( x 2 n − 1) x 2 −1

12

www.5balls.ru

=

x 2 n − 1) x 2 −1

.


_ b1=1; b2=â&#x20AC;&#x201C;x3; q= â&#x2C6;&#x2019; x

3

=â&#x20AC;&#x201C;x3; Sn=

1

1 â&#x2039;&#x2026; (( â&#x2C6;&#x2019; x3 ) n â&#x2C6;&#x2019; 1) (â&#x2C6;&#x2019; x3 )n â&#x2C6;&#x2019; 1 . =â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019;1 x3 + 1

413.

Z b7=b1q6; b1= b76

=

6,4 â&#x2039;&#x2026; (1,5 7 â&#x2C6;&#x2019; 1) 102,95 72,9 = 205,9. = =6,4; S7 = 6 0,5 1,5 â&#x2C6;&#x2019; 1 1,5

[ b5=b1q4; b1= b54

=

16  2  16 â&#x2039;&#x2026; 34 :  = =9; 9 3 9 â&#x2039;&#x2026; 24

q

q

S7 =

9 â&#x2039;&#x2026;  

( ) â&#x2C6;&#x2019; 1 2 7 3

2 3

â&#x2C6;&#x2019;1

4

==

9â&#x2039;&#x2026;

(

) = 2059 = 25 34 .

128 2187 1 â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2C6;&#x2019;1

81

81

414.

Z x5=x1q ; x1= 4

S5 =

90 

q

( ) â&#x2C6;&#x2019; 1 1 5 3

1 3

â&#x2C6;&#x2019;1

[ x4=x1q3; x1= S5 =

x5

(

4

()

10 â&#x2039;&#x2026; 81 =90; 9

=

3

==

x4 q

=

10 9 1 4

3

=

)

90 â&#x2039;&#x2026; 242 â&#x2039;&#x2026; 3 4 = 134 . 2 â&#x2039;&#x2026; 243 9 121,5

(â&#x2C6;&#x2019; 3)3

=â&#x20AC;&#x201C;4,5;

â&#x2C6;&#x2019; 4,5 â&#x2039;&#x2026; (3) â&#x2C6;&#x2019; 1 9 â&#x2039;&#x2026; 244 =â&#x20AC;&#x201C;274,5. = â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019;1 4â&#x2039;&#x2026;2 5

415. b1=1; b5=162; b5=b1q4; q4=

b5 162 = =81 â&#x2021;&#x2019; q 2 b1

 beb q ± gh q=3

² g_ m^h\e_l\hjy_l mkeh\bx aZ^Zqb  ld ijhp_kkby agZdhi_j_f_ggZy  ke_^h\Zl_evgh q=â&#x20AC;&#x201C;3; S6=

2 â&#x2039;&#x2026; ((â&#x2C6;&#x2019;3) 6 â&#x2C6;&#x2019; 1) 728 =â&#x2C6;&#x2019; =â&#x20AC;&#x201C;364. â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019;1 2

13

www.5balls.ru


416.

Ă&#x201A;

b2=b1q; b4=b1 q3; â&#x2021;&#x2019;

54 b b4 b1q 3 = 9 ; q1=3; q2=â&#x2C6;&#x2019;3 = = q2 ; 4 = 6 b2 b1q b2

ih^oh^bl ih mkeh\bx ke_^h\Zl_evgh S7=

q=3.

b1=

Âą g_

b2 6 = =2; q 3

2 â&#x2039;&#x2026; (3 7 â&#x2C6;&#x2019; 1) = =2186. â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019;1

417. bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1 â&#x2021;&#x2019; b7= b1q6; b1=

Ă&#x201A; 

b7 0,012 = =187,5; bn=187,5 q6 0,26

nâ&#x20AC;&#x201C;1

.

418.

Z n+3â&#x20AC;&#x201C;2n=2nĂ&#x201A;3â&#x20AC;&#x201C;2n=2n(23â&#x20AC;&#x201C;1)=2nĂ&#x201A; [ n+3â&#x20AC;&#x201C;3nâ&#x20AC;&#x201C;1=3nâ&#x20AC;&#x201C;1+2â&#x20AC;&#x201C;3nâ&#x20AC;&#x201C;1=3nâ&#x20AC;&#x201C;1(9â&#x20AC;&#x201C;1)=8Ă&#x201A;nâ&#x20AC;&#x201C;1. \ nâ&#x20AC;&#x201C;5nâ&#x20AC;&#x201C;1=52nâ&#x20AC;&#x201C;5nâ&#x20AC;&#x201C;1=5nâ&#x20AC;&#x201C;1+n+1â&#x20AC;&#x201C;5nâ&#x20AC;&#x201C;1=5nâ&#x20AC;&#x201C;1(5nâ&#x20AC;&#x201C;1â&#x20AC;&#x201C;1). 419.

Z

x(1,5 â&#x20AC;&#x201C;x)â&#x2030;¤0; x(xâ&#x20AC;&#x201C;1,5)â&#x2030;Ľ0; (â&#x20AC;&#x201C;

Â&#x2019; Âą]â&#x2C6;Ş[1,5; +Â&#x2019; 

[  =jZnbd nmgdpbb m=x2+x+6 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g   J_rbf mjZ\g_gb_ x2+x+6=0; D=12â&#x20AC;&#x201C;4Ă&#x201A;â&#x2039;&#x2026;6< Âąg_l dhjg_c 3) (â&#x20AC;&#x201C;

Â&#x2019; Â&#x2019; 

420.

Z b1=9; b2=3; q= 3 = 1 ; |q|=|  |=  <1; S= S=

9 1

1â&#x2C6;&#x2019; 3

9 3 9 â&#x2039;&#x2026; 3 27 = = =13,5. 2 2





1

E ; â&#x2C6;&#x2019; T

â&#x2C6;&#x2019; [ b1=2; b2=â&#x20AC;&#x201C; 1 ; q= 2 = â&#x2C6;&#x2019; 1 ; |q|=|â&#x20AC;&#x201C;  |=  <1; 2 2 4   2 2 2â&#x2039;&#x2026;4 S= = 5 = = 1,6 . 1 5 1+

4

4

14

www.5balls.ru


\ b1= 4 ; b2= 5

S=

4 5

1−

] b1= S=

3

( ) 1

1− −

3 1+

=

2 2

_ b1=3

4 2

2

5 5

=

15 5 5− 5

2 2

2

2 −1 3

1

5 −1

3 +1

3

<1;

.

2 2 2 <1; ; |q|=| |= 2 2 2

=

.

1

=

15

=

|= 3

=

1

=

4

3 5

1 3

3 +1

=

2− 2

; |q|=|–

3⋅ 3

3

5 ; b2=3; q=

3 5

3

=

1

2 ; b2=2; q=

1−

1−

=

3

2 2

S= =

1

3 ; b2=–1; q= −

^ b1=2

S=

4⋅5 =1. 25 ⋅ 4

=

1 5

4 4⋅5 1 1 1 ; ⇒ q= = ; |q|=| |= <1; 25 25 ⋅ 4 5 5 5

5

=

5 5 5 ; |q|=| <1; |= 5 5 5

.

421.

Z b1=1; b2=

1 1 1 ; q= :1= ; 10 10 10 b 1 1 1 10 S= 1 ; S= = 1 = 9 = =1 . 1− q 9 9 1− 10

[ b1=–

 

; b2=

 

10

; q= 1

1 1  :(– )=– ; 4 2  1 − 1⋅ 2 1 = 12 = − =− . ⋅ 2 3 3 12

S=

b1 2 ; S= = 1 1− q 1− −

\

1 3  =– ; b1=6; b2=–1 ; ⇒ q=– 2  2⋅6

( ) 2

15

www.5balls.ru


S=

b1 ; S= = 1â&#x2C6;&#x2019; q



 

â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2019;

] b1=  ; b2=  





=

 

â&#x2021;&#x2019; q=

 

=



â&#x2039;&#x2026; 

=

 

=4

 

.



E  2 4 â&#x2039;&#x2026; 3 2 = ; = : = E  3 9 â&#x2039;&#x2026; 2 3

2

S=

2â&#x2039;&#x2026;3 E =2. ; S= 3 2 = â&#x2C6;&#x2019; T 3 1â&#x2C6;&#x2019; 3

422.

Z b1=1; b2=a; q= a =a; S= 1

b1 1 = ; 1â&#x2C6;&#x2019; q 1â&#x2C6;&#x2019; a

[ b1=1; b2=â&#x20AC;&#x201C;a; q= â&#x2C6;&#x2019;a =â&#x20AC;&#x201C;a; S= 1

\ b1=1; b2=a2; q= a

2

1

=a2; S=

] b1=a; b2=â&#x20AC;&#x201C;a4; q= â&#x2C6;&#x2019; a a

b1 1 1 = = ; 1 â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; a) 1 + a

b1 1 = ; 1â&#x2C6;&#x2019; q 1â&#x2C6;&#x2019; a 2

4

=â&#x20AC;&#x201C;a3; S=

b1 1 1 = ; = 3 1 â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; a ) 1 + a 3

423.

M ijZ\bevgh]h lj_m]hevgbdZ jZ^bmk \ibkZgghc hdjm`ghklb \^\h_ f_gvr_ jZ^bmkZ hibkZgghc hdjm`ghklb L_ mdZaZggZy \ aZ^Zq_ ihke_^h\Zl_evghklv Rn jZ^bmkh\ y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc r ijh]j_kkb_c agZf_gZl_ev dhlhjhc jZ\_g q= \i = 1 , |q|<1 >ebgu Rhi

2

Ď&#x20AC;R n2+1

R  =  n +1  = q 2 ,  Rn 

hdjm`ghkl_c ln Â&#x152;Rn lZd`_ h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1  Z iehsZ^b djm]h\ Sn Â&#x152;Rn2 h[jZamxl ]_hf_l2

jbq_kdmx ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f 2

|q

_ Hlkx^Z l S = 1 1 Â&#x152;Ă&#x201A; Â&#x152; kf S = l

S

1â&#x2C6;&#x2019; 2

S1 1â&#x2C6;&#x2019;

1 4

=

qâ&#x20AC;˛ =

Ď&#x20AC;R n2

Ď&#x20AC; â&#x2039;&#x2026; 25 â&#x2039;&#x2026; 4 100Ď&#x20AC; = 3 3

16

www.5balls.ru

2

kf


424.

Hlghr_gb_ jZ^bmkZ dZ`^h]h ke_^mxs_]h djm]Z d jZ^bmkm ij_ ^u^ms_]h _klv hlghr_gb_ klhjhgu d\Z^jZlZ d _]h ^bZ]hgZeb  l_ 2 , 2

ke_^h\Zl_evgh hlghr_gb_ iehsZ^_c ^\mo ihke_^h\Zl_evguo

djm]h\ jZ\gh R1=

1 , |q|<1 2

 GZc^_f iehsZ^v i_j\h]h djm]Z S Â&#x152;R

2

1

,

 kf S=Ď&#x20AC;â&#x2039;&#x2026;4 =16Ď&#x20AC;. BlZd ihemqbf

a1 2

S=

q=

2

S1 16Ď&#x20AC; =32Ď&#x20AC; kf2. = 1â&#x2C6;&#x2019; q 1â&#x2C6;&#x2019; 1 2

425.

Z    â&#x20AC;&#x201D; ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby  gZc^_f __ kmffm b1=0,6; b2=0,06; q= 0,06 =0,1; (|q|=|0,1|=0,1<1); 0,6 b 0,6 0,6 2 = = ; S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,1 0,9 3

[    ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby  gZc^_f __ kmffm b1=0,1; b2=0,01; q= 0,01 =0,1; (|q|=|0,1|=0,1<1); 0,1 b1 0,1 0,1 1 = = ; ; S= S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,1 0,9 9

\    kby gZc^_f __ kmffm b1=0,36;

² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kb2=0,0036;

q=

(|q|=|0,01|=0,01<1); b 0,36 0,36 4 = = ; S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,01 0,99 11

0,0036 =0,01; 0,36

]         jbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,81;

² ]_hf_lb2=0,0081;

0,0081 q= =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,81 b 9 9 0,81 0,81 9 = = ; 1,(81)=1+ =1 ; S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 11 11 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,01 0,99 11 17

www.5balls.ru


^   ±      ± ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,3; b2=0,03; q= 0,03 =0,1; 0,3

(|q|=|0,1|=0,1<1); b 0,3 1 1 1 7 = ; 0,2(3)= â&#x2C6;&#x2019; + = . S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,1 3 10 3 30

_   ±      ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,45; b2=0,0045; q=

0,0045 =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,45 b 5 357 0,45 5 13 = ; 0,32(45)= â&#x2C6;&#x2019; + = . S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,01 11 100 11 1100

426.

Z    ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby  gZc^_f __ kmffm b1=0,5; b2=0,05; q= 0,05 =0,1; (|q|=|0,1|=0,1<1); 0,5 b 0,5 0,5 5 = = . S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,1 0,9 9

[       ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,72; b2=0,0072; q=

0,0072 =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,72 b 0,72 0,72 8   = = ; 1,(72)=1+ =1 . S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q   1 â&#x2C6;&#x2019; 0,01 0,99 11

\   ±      ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,6; b2=0,06; q= 0,06 =0,1; 0,6

(|q|=|0,1|=0,1<1); b 0,6 0,6 2 1 2 7 = = ; 0,4(6)= â&#x2C6;&#x2019; + = . S= 1 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,1 0,9 3 5 2 15

]     

   « ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby  gZc^_f __ kmffm b1=0,12; b2=0,0012;

q=

0,0012 =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,12 18

www.5balls.ru


S=

b1 0,12 12 4 1 4 37 = = ; 0,01(12)= . ; S= (1 + ) = 1− q 1 − 0,01 99 33 100 33 3300

427. x1=0,375; x2=0,75; q=

0,75 =2; 0,375

0,375(2 − 1) x1 (q n − 1) =0,375 ; S6= q −1 2 −1 6

Sn=

 

428.

Z 2x2+4x=0; 2x(x+2)=0; x1=0; x2=–2 — kms_kl\mxl [ 2x2+4x=30; 2x2+4x–30=0; x2+2x–15=0; D=22–4⋅1Â ± >0 — kms_kl\mxl \ 2x2+4x=–4; 2x2+4x+4=0; x2+x+2=0; D=22–4⋅1Â −7<0 — g_ kms_kl\mxl 429.

Z G_jZ\_gkl\h \_jgh ijb ex[hf x _keb mjZ\g_gb_ x2–4x+m=0 g_ bf__l dhjg_c l_ D<0 dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_evguc)

D=16– –4

ÂÂm=16–8m=8Â ±m)<0; 2–m<0; m>2.

[ G_jZ\_gkl\h \uihegy_lky ijb ex[hf x _keb mjZ\g_gb_ mx2+5x±  g_ bf__l dhjg_c dh]^Z dhwnnbpb_gl ijb x2 hljbpZl_evguc b D=25– –4m ± m< Ihemqbf kbkl_fm 25  25 + 16m < 0, m < − , 9 16 m< − 1 .   16 m < 0; m < 0; 

430.

Z k1=–2Â2+7=5; k2=–2Â2+7=–1; k3=–2Â2+7=–11;

k4=–2

 +7=–25; k =–2 +7=–43.

[ k1=

2

2

5

19 100 100 50 100 ; k3= 5 ; =3 = = 27 27 2 −5 3 − 5 238 119 1 −5 100 100 100 10 5 ; k5= 5 . = = = k4= 5 4 − 5 1019 5 − 5 312 156 \ k1=–2,5 1=–5; k2=–2,5 2=–10; k3=–2,5 3=–20; k4=–2,5 4=–40; k5=–2,5 5=–80. ] k1=3,2 –1=1,6; k2=3,2 –2=0,8; k3=3,2 –3=0,4; k4=3,2 –4=0,2; k5=3,2 –5=0,1.

Â

Â

100 5

 Â

=–25; k2=

100 5

=

 Â

 Â

 Â

19

www.5balls.ru


^

k4=

k1=

k2=

(â&#x2C6;&#x2019;1) 2â&#x2C6;&#x2019;1 1 =â&#x2C6;&#x2019; ; 4â&#x2039;&#x2026;2 8

k3=

(â&#x2C6;&#x2019;1) 3â&#x2C6;&#x2019;1 1 = ; 4â&#x2039;&#x2026;3 12

k3=

1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) 3 2 = ; 2 â&#x2039;&#x2026;3 +1 7

(â&#x2C6;&#x2019;1) 4 â&#x2C6;&#x2019;1 (â&#x2C6;&#x2019;1) 5â&#x2C6;&#x2019;1 1 1 = â&#x2C6;&#x2019; ; k5= + . 4â&#x2039;&#x2026;4 16 4â&#x2039;&#x2026;5 20

_

k4=

( â&#x2C6;&#x2019;1)1â&#x2C6;&#x2019;1 1 = ; 4 â&#x2039;&#x2026;1 4

k1=

1 â&#x2C6;&#x2019; ( â&#x2C6;&#x2019;1)1 2 = ; 2 â&#x2039;&#x2026;1 + 1 3

k2=

1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) 2 0 = =0; 2â&#x2039;&#x2026; 2 +1 5

1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) 4 1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) 5 2 = . =0; k5= 2 â&#x2039;&#x2026; 4 +1 2 â&#x2039;&#x2026; 5 + 1 11

431.

Z an=5n; a1=5Ã&#x201A;  a2=5Ã&#x201A;  a3=5Ã&#x201A;  [ an=5n+1; a1=5Ã&#x201A;  a2=5Ã&#x201A;  a3=5Ã&#x201A;



432*.

Z y2=y1+10=â&#x2C6;&#x2019;3+10=7; y3=y2+10=17; y4=y3+10=27. [ y1=10; y2Ã&#x201A;y1=2,5; y2= 2,5 =0,25; y3Ã&#x201A;y2=2,5; y3= 2,5 10

0,25

Ã&#x201A;

=10; y4 y3=2,5;

y4=0,25. \ y1=1,5, y2â&#x20AC;&#x201C;y1=1; y2=1+y1=2,5; y3=2+2,5=4,5; y4=3+4,5=7,5. y3=â&#x20AC;&#x201C;22 y4=â&#x20AC;&#x201C;32 ] y1=â&#x20AC;&#x201C;4; y2:y1=â&#x20AC;&#x201C;12; y2=â&#x20AC;&#x201C;12

Ã&#x201A; ± 

Ã&#x201A; ±

Ã&#x201A; ± 

433.

Z

a3=â&#x20AC;&#x201C;19; a4=â&#x20AC;&#x201C;11,5; d=a4â&#x20AC;&#x201C;a3=â&#x20AC;&#x201C;11,5+19=7,5; an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); a5=a4+d=â&#x2C6;&#x2019;4; a3=a4â&#x2C6;&#x2019;d=â&#x2C6;&#x2019;19; a2=a3=â&#x2C6;&#x2019;26,2; a1=a2â&#x2C6;&#x2019;d=â&#x2C6;&#x2019;34. [ â&#x2C6;&#x2019;8,5+2d=â&#x2C6;&#x2019;4,5 â&#x2021;&#x2019; d=2; a2=a1+d; a1=a2â&#x20AC;&#x201C;d=â&#x20AC;&#x201C;8,5â&#x20AC;&#x201C;2=â&#x20AC;&#x201C;10,5; an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); a5=â&#x20AC;&#x201C;10,5+2(5â&#x20AC;&#x201C;1)=â&#x20AC;&#x201C;10,5+8=â&#x20AC;&#x201C;2,5; a6=â&#x20AC;&#x201C;10,5+2(6â&#x20AC;&#x201C;1)=â&#x20AC;&#x201C; 10,5+10=â&#x20AC;&#x201C;0,5.

434.

²





p=a1+a2+a3=24, a1, a2, a3 Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby agZqbl a2=a1+d, a3=a1+2d, ihwlhfm i_jbf_lj p=3a1+3d=3(a1+d); 3(a1+d)=24; a1+d=8; gh a1+d=a2 agZqbl a2=8. pâ&#x20AC;&#x201C;8=a1+a3=16, a3=16â&#x20AC;&#x201C;a1. Ke_^h\Zl_evgh a1 fh`_l ijbgbfZlv ex[h_ p_eh_ agZq_gb_ hl ^h BlZd klhjhgu û jZ\gu Z, 8, 16â&#x20AC;&#x201C;Z ]^_ Zâ&#x2C6;&#x2C6;Z, 1 Z .







Â&#x201D; Â&#x201D;

435.

 



Ï&#x2022;1+Ï&#x2022;2+Ï&#x2022;3=180°; Ï&#x2022;2=Ï&#x2022;1+d, Ï&#x2022;3=Ï&#x2022;3+d=Ï&#x2022;1+2d. Lh]^Z Ï&#x2022;1+Ï&#x2022;2+Ï&#x2022;3=Ï&#x2022;1+Ï&#x2022;1+d+Ï&#x2022;1+2d=3Ï&#x2022;1+3d; 3(Ï&#x2022;1+d)=180°; Ï&#x2022;1+d=Ï&#x2022;2=60°.

20

www.5balls.ru


436*.

Z < Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkbb an=anâ&#x20AC;&#x201C;1+d; an+1=an+d; ba \lhjh]h jZ\_gkl\Z an=an+1â&#x20AC;&#x201C;d; keh`bf ^\Z wlbo \ujZ`_gby ^ey an:2an= 1 =anâ&#x20AC;&#x201C;1+d+an+1â&#x20AC;&#x201C;d=anâ&#x20AC;&#x201C;1+an+1; agZqbl an= (anâ&#x20AC;&#x201C;1+an+1), ql^ 2 [ Imklv \ ihke_^h\Zl_evghklb (an) ^ey ex[h]h n \uihegy_lky jZ\_gkl\h an=  (anâ&#x20AC;&#x201C;1+an+1); 2an=anâ&#x20AC;&#x201C;1+an+1; an+an=anâ&#x20AC;&#x201C;1+an+1; anâ&#x20AC;&#x201C;anâ&#x20AC;&#x201C;  1=an+1â&#x20AC;&#x201C;an. Ke_^h\Zl_evgh  gZc^_lky lZdh_ qbkeh d=anâ&#x20AC;&#x201C;anâ&#x20AC;&#x201C;1 qlh an+1=an+d, l_ (an ih hij_^_e_gbx Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby  437*.

Z a4â&#x2C6;&#x2019;a2=2d; a2n+2â&#x2C6;&#x2019;a2n=2d Ke_^h\Zl_evgh (a2n) ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZaghklvx 2d. [ (an+1â&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C;(anâ&#x20AC;&#x201C;1)=an+1â&#x20AC;&#x201C;an=d Ke_^h\Zl_evgh (anâ&#x20AC;&#x201C;1) ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZaghklvx d. \ 2an+1â&#x20AC;&#x201C;2an=2(an+1â&#x20AC;&#x201C;an)=2d Ke_^h\Zl_evgh (2an) ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZaghklvx 2d. ] an+12â&#x20AC;&#x201C;an2=(an+1â&#x20AC;&#x201C;an)(a1+dn+a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1))=d(2a1+d(2nâ&#x20AC;&#x201C;1)) â&#x20AC;&#x201C; aZ\bkbl hl n. Ke_^h\Zl_evgh (an2) â&#x20AC;&#x201D; g_ y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_k kb_c. 438.

Z

an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1);

a12=9 3 â&#x20AC;&#x201C;2+(2â&#x20AC;&#x201C; 3 )

Ã&#x201A; ± 

3 â&#x20AC;&#x201C;2+22â&#x20AC;&#x201C;

11 3 =20â&#x20AC;&#x201C;2 3 .

[ an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); a8= 5 =

3 â&#x2C6;&#x2019;7 3â&#x2C6;&#x2019;2 + 3 3

Ã&#x201A; ±

5 3 â&#x2C6;&#x2019; 7 7 3 â&#x2C6;&#x2019; 14 = + 3 3

5 3 â&#x2C6;&#x2019; 7 + 7 3 â&#x2C6;&#x2019; 14 12 3 â&#x2C6;&#x2019; 21 = =4 3 â&#x20AC;&#x201C;7. 3 3

439.

an â&#x2C6;&#x2019; a1 â&#x2C6;&#x2019;2,94 â&#x2C6;&#x2019; 1,26 + 1 = n; + 1 = 15 . â&#x2C6;&#x2019; 0,3 d [ an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); a5=a1â&#x20AC;&#x201C;0,6 a1â&#x20AC;&#x201C;2,4=â&#x20AC;&#x201C;3,7; a1=â&#x20AC;&#x201C;1,3; an=â&#x20AC;&#x201C;1,3â&#x20AC;&#x201C;0,6(nâ&#x20AC;&#x201C; 1)=â&#x20AC;&#x201C;0,7â&#x20AC;&#x201C;0,6n=â&#x20AC;&#x201C;9,7; 0,6n=9; n=15.

Z

Ã&#x201A;

21

www.5balls.ru


440.

Z

bn=b1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1);

3 59 47 2 ; + n=14 = 4 4 20 5

 

3 2 3 2 2 47 2 + (nâ&#x20AC;&#x201C;1)=2 + nâ&#x20AC;&#x201C; = + n; 4 5 4 5 5 20 5 59 47 295 â&#x2C6;&#x2019; 47 248 248 â&#x2039;&#x2026; 5 ; n= =31; â&#x20AC;&#x201C; = n= = 4 20 20 20 20 â&#x2039;&#x2026; 2 bn=2



ke_^h\Zl_evgh b31=14 3 . 4 [) bn=b1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); bn= 47 + 2 n; 47 + 2 n=8,35; 2 n=8 7 â&#x20AC;&#x201C;2 7 =6; 5 20 5 20 5 20 20 6â&#x2039;&#x2026;5 ke_^h\Zl_evgh b15=8,35. n= 1â&#x2039;&#x2026; 2





441*.

Z

1 1 1 1 1 1  )â&#x20AC;&#x201C;(â&#x20AC;&#x201C;10 )= ; an=â&#x20AC;&#x201C;10 +(nâ&#x20AC;&#x201C;1) ; â&#x20AC;&#x201C;10 +(nâ&#x20AC;&#x201C;1) >0; 4 2 4 2 4 2  43 1 1 1 3 1 1 â&#x20AC;&#x201C;10 + nâ&#x20AC;&#x201C; >0; â&#x20AC;&#x201C;10 >â&#x20AC;&#x201C; n; n> ; n>43 â&#x2021;&#x2019; n=44. 2 4 4 4 4 4 4 Ke_^h\Zl_evgh Z44=â&#x20AC;&#x201C;10 1 + 43 =â&#x20AC;&#x201C; 21 + 43 = 43 â&#x20AC;&#x201C; 21 = 43 â&#x2C6;&#x2019; 42 = 1 . 2 4 2 4 4 4 4 4 1 2â&#x2C6;&#x2019;3 1 1 1 1 1 = ; an=8 +(nâ&#x20AC;&#x201C;1)d; 8 +(nâ&#x20AC;&#x201C;1)(â&#x20AC;&#x201C; )<0; [ d=8 â&#x20AC;&#x201C;8 = 2 6 6 6 3 3 3 1 25 1 50 + 1 1 â&#x20AC;&#x201C; n+ <0; < n; n>51 â&#x2021;&#x2019; n=52 6 6 3 6 6 Ke_^h\Zl_evgh Z52=8 1 +(52â&#x20AC;&#x201C;1)(â&#x20AC;&#x201C; 1 )=8 1 â&#x20AC;&#x201C; 51 = 50 â&#x2C6;&#x2019; 51 =â&#x20AC;&#x201C; 1 . 6 6 3 3 6 6 d=(â&#x20AC;&#x201C;10



442.

Z mn=m1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); m2=m1+d; m7=m1+6d; m4=m1+3d; ke_^h\Zl_evgh m2+m7â&#x20AC;&#x201C;m4â&#x20AC;&#x201C;m5=m1+d+m1+6dâ&#x20AC;&#x201C;(m1+3d)â&#x20AC;&#x201C;(m1+4d

m5=m5+4d;



l _ 

m2+m7=m4+m5. [ mn=m1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); mnâ&#x20AC;&#x201C;5=m1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;6); mn+10=m1+d(n+9); mn+5=m1+d(n+4); ke_^h\Zl_evgh mnâ&#x20AC;&#x201C;5+mn+10â&#x20AC;&#x201C;mnâ&#x20AC;&#x201C;mn+5=m1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;6)+m1+d(n+9)â&#x20AC;&#x201C;m1â&#x20AC;&#x201C;d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C;m1â&#x20AC;&#x201C; d(n+4)= =d(nâ&#x20AC;&#x201C;6+n+9â&#x20AC;&#x201C;n+1â&#x20AC;&#x201C;n l _ mnâ&#x20AC;&#x201C;5+mn+10=mn+mn+5.



±   

443. xm=x1+d(mâ&#x20AC;&#x201C;1); xn=x1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1). xmâ&#x20AC;&#x201C;xn=x1+d(mâ&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C;x1â&#x20AC;&#x201C;d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=dmâ&#x20AC;&#x201C;dn=d(mâ&#x20AC;&#x201C;n), â&#x2021;&#x2019; d= 22

www.5balls.ru

xm â&#x2C6;&#x2019; xn . mâ&#x2C6;&#x2019;n


444.

Z a37=a20+17d â&#x2021;&#x2019; d = a37 â&#x2C6;&#x2019; a20 = â&#x2C6;&#x2019;0,1 . 17 [ a100=a10+90d=270+90(â&#x2C6;&#x2019;3)=0. 445.

Z a1= 2 ; a2= 3 ; d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1= 3 â&#x20AC;&#x201C; 2 = 9 â&#x2C6;&#x2019; 8 =

1 ; 4 4 3 12 12 2a + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) n; Sn= 1 2 2 1 4 3 +4 2 â&#x2039;&#x2026; 3 + 12 (10 â&#x2C6;&#x2019; 1) (16 + 1) â&#x2039;&#x2026; 5 5 3 10= 10= S10= =10 ; 2 2 12 12 3

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

[ a1=

Ã&#x201A;

3 ; a2= 12 ; d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1= 12 â&#x20AC;&#x201C; 3 =2 3 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 3 2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) n; Sn= 2 2 3 + 3 (10 â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 3 +9 3 3; 10= 10=11 3 S10= 2 2

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

Ã&#x201A; 

Ã&#x201A;

446.

Z

a1=2; a2=6; d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1=6â&#x20AC;&#x201C;2=4; Sn=

+4(nâ&#x20AC;&#x201C;1); n=50; S50=

[

a1=95;

Ã&#x201A;

2 â&#x2039;&#x2026; 2 + 4(50 â&#x2C6;&#x2019; 1) 50=5000; 2

a2=85;

Ã&#x201A;

d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1=85â&#x20AC;&#x201C;955=â&#x20AC;&#x201C;10;

â&#x20AC;&#x201C;155=95â&#x20AC;&#x201C;10(nâ&#x20AC;&#x201C;1); n=26; S26=

447.

2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) n; 198=2+ 2



Sn=

2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) n; 2

Ã&#x201A;

2 â&#x2039;&#x2026; 95 â&#x2C6;&#x2019; 10(26 â&#x2C6;&#x2019; 1) 26=â&#x20AC;&#x201C;780. 2

Ã&#x201A;

²

Imklv O â&#x20AC;&#x201D; \_jrbgZ A1, â&#x20AC;¦, A12 gZ h^ghc klhjhg_ m]eZ (AkAk+1=a) B1, â&#x20AC;¦ B12 â&#x20AC;&#x201D; gZ ^jm]hc klhjhg_ m]eZ ûOAkBk~ûOA1B1. AgZqbl â&#x2C6;&#x2020;A k B k = OA k =k; AkBk=kA1B1; Ak+1Bk+1â&#x20AC;&#x201C;AkBk=A1B1. A 1 B1 OA 1



Ke_^h\Zl_evgh ^ebgu hlj_adh\ y\eyxlky qe_gZfb Zjbnbf_lbq_kdhc ijh]j_kkbb k i_j\uf qe_ghf a1=3 b jZaghklvx

23

www.5balls.ru




d=a1

Z

kmffZ

bo

2a + d (12 â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 â&#x2039;&#x2026; 3 + 3 â&#x2039;&#x2026;11 12= 12=6 S12= 1 2 2

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

^ebg

Ã&#x201A;  Ã&#x201A;  kf;

jZ\gZ

448.

Z

an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=a1+11(â&#x20AC;&#x201C;0,4); 2,4=a1â&#x20AC;&#x201C;4,4; a1=6,8 2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 â&#x2039;&#x2026; 6,8 â&#x2C6;&#x2019; 0,4 â&#x2039;&#x2026;11 â&#x2039;&#x2026;12 =6 9,2=55,2. n; S12= Sn= 2 2 2a + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019;70 + 5(n â&#x2C6;&#x2019; 1) [ Sn= 1 n=250; n=250; n2â&#x20AC;&#x201C;15nâ&#x20AC;&#x201C;100=0; 2 2 15 ± 25 ; n=20 beb n=â&#x20AC;&#x201C;5, g_ ih^oh^bl ih D=(â&#x2C6;&#x2019;15)2â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;100)=625; n= 2 kfukem aZ^Zqb an=a20=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=â&#x20AC;&#x201C;35+5 a + 50 n; 5050=(a1+50)n. < lh`_ \j_fy \ Sn= a1 + an n; 2525= 1 2 2

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); 50=a1+

Ã&#x201A; 

 

5050 = a1 n + 50n;  1 1  50 = a1 + 2 n â&#x2C6;&#x2019; 2 ; 

±  Bf__f kbkl_fm

(n

101 â&#x2C6;&#x2019; n  2 â&#x2039;&#x2026; n + 50n = 5050  a = 101 â&#x2C6;&#x2019; n  1 2

101 n2 + 50n ; nâ&#x2C6;&#x2019; n2â&#x20AC;&#x201C;201n+10100=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;201)2â&#x20AC;&#x201C; 2 2 201± 1 1 ; n1=100 beb n2=101; n1=100, a1= ; n2=101, 4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;10100=1; n= 2 2 1 1 a1=0. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 29 2 ] Sn= a1 + an n; â&#x20AC;&#x201C;450=â&#x20AC;&#x201C; 2 n; 900=30n; n=30. an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1); 2 2 5050=

â&#x20AC;&#x201C;29

 

Ã&#x201A;

=â&#x20AC;&#x201C;

 

+d(30â&#x20AC;&#x201C;1); â&#x20AC;&#x201C;29

Ã&#x201A;

 

=â&#x20AC;&#x201C;

 

+29d; â&#x20AC;&#x201C;29=29d; d=â&#x20AC;&#x201C;1.

449*. x10=x1+9d; 1=x1+9d; S16=

kbkl_fm

2 x1 + 15d 16; 4=(2x1+15d)8. 2

Ã&#x201A;

24

www.5balls.ru

Ihemqbf


7   x1 = â&#x2C6;&#x2019; 2 ,  d = 1 .  2

 x1 + 9d = 1,  x1 = 1 â&#x2C6;&#x2019; 9d ,  x1 = 1 â&#x2C6;&#x2019; 9d ,    4 x1 + 30d = 1; 4(1 â&#x2C6;&#x2019; 9d ) + 30d = 1; 6d = 3;

450.

Z

d=1; Sn=

qbk_e  [

+ G Q â&#x2C6;&#x2019; 



nâ&#x20AC;&#x201C;1; n=90; S

90=

d=1; Sn=

qbk_e 

D

Ã&#x201A;n GZc^_f dhebq_kl\h ^\magZqguo 2 â&#x2039;&#x2026;10 + 1(90 â&#x2C6;&#x2019; 1) 90=4905. 2

Ã&#x201A;

2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) n 2

Ã&#x201A;  GZc^_f dhebq_kl\h ^\magZqguo

nâ&#x20AC;&#x201C;1;

n=900; S900=

2 â&#x2039;&#x2026;100 + 1(900 â&#x2C6;&#x2019; 1) 900=494550. 2

Ã&#x201A;

451.

Z an=2n. 2nâ&#x2030;¤200; nâ&#x2030;¤100. a1=2; a100=2Ã&#x201A;

 S = a1 +2 an Ã&#x201A;n; n

(2 + 200) 100=10100. 2 [ an=2nâ&#x20AC;&#x201C;1. 2nâ&#x20AC;&#x201C;1â&#x2030;¤150; 2nâ&#x2030;¤151; nâ&#x2030;¤75,5; n=75 a1=1; a75=2 (1 + 149) a +a 75=5625. Sn= 1 n n; S75= 2 2 \ a1=102; a33=198=a1+33(nâ&#x20AC;&#x201C;1); n=33; an=3n. (102 + 198) 33=4950. S33= 2

Ã&#x201A;

S100=

452*.

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;± 

Ã&#x201A;

 





Z QbkeZ g_ djZlgu_ lj_f bf_xl \b^ bn=1+3(nâ&#x20AC;&#x201C;1) b cn=2+3(nâ&#x20AC;&#x201C; 1). Ihemqbf 1) bn<100; 1+3(nâ&#x20AC;&#x201C;1)<100; 3(nâ&#x20AC;&#x201C;1)<99; nâ&#x20AC;&#x201C;1<33; n<34, lh]^Z 2 â&#x2039;&#x2026;1 + 3(n â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 + 3 â&#x2039;&#x2026; 32 Sn=S33= n= ; 2 2 98 2 2) cn<100; 2+3(nâ&#x20AC;&#x201C;1)<100; 3(nâ&#x20AC;&#x201C;1)<98; nâ&#x20AC;&#x201C;1< ; n <32 +1. Lh]^Z 3 3 2 â&#x2039;&#x2026; 2 + 3(33 â&#x2C6;&#x2019; 1) 4 + 3 â&#x2039;&#x2026; 32 33= 2+3 50 50; S33= 2 2 3) S=1657+1650=3267.

Ã&#x201A;

Ã&#x201A; Ã&#x201A; Ã&#x201A; Ã&#x201A; 



Ã&#x201A;

Ã&#x201A; Ã&#x201A; Ã&#x201A; Ã&#x201A; 

25

www.5balls.ru


[ JZkkfhljbf Zjbnf_lbq_kdb_ ijh]j_kkbb an=51+(nÂą b  gZc^_f San b Sbn:

bn=55+5(nâ&#x20AC;&#x201C;1), lh]^Z bkdhfZy kmffZ S=Sanâ&#x20AC;&#x201C;Sbn

1) an=149; 149=51+nâ&#x20AC;&#x201C;1; n=149â&#x20AC;&#x201C;50=99. San=S99=

Ă&#x201A;

=99 100=9900. 2) bn=145 â&#x20AC;&#x201D; gZb[hevr__ qbkeh 145=55+5(nâ&#x20AC;&#x201C;1); 145=55+5nâ&#x20AC;&#x201C;5; 55 + 145 19=100 19=1900. Sbn=S19= 2 3) S=Sanâ&#x2C6;&#x2019;Sbn=9900â&#x2C6;&#x2019;1900=8000.

Ă&#x201A;

149 + 51 99= 2

Ă&#x201A;

 djZlgh_  b f_gvr__  5n=145â&#x20AC;&#x201C;50=95;

n=19;

Ă&#x201A;

453*.

Z an=1+(nâ&#x20AC;&#x201C;1); lh]^Z

Sn=

2 â&#x2039;&#x2026;1 + 1(n â&#x2C6;&#x2019; 1) n n= (n 2 2

Ă&#x201A;

  ih mkeh\bx a



n+1=Sn;

 

n n n +(nâ&#x20AC;&#x201C;1)+1)= (n+1); 5(n+1)= (n+1); l d n+1â&#x2030; 0; lh]^Z =5, n=10. 2 2 2 Bkdhfh_ qbkeh an+1=a11=1+(11â&#x20AC;&#x201C;1)=11. [ Ih mkeh\bx an+1=Sn; n+1= Q (n+1); Q =1; n=2; ZgZeh]bqgh a3=3.





454*.

a1=2; a2=5; d=a2â&#x20AC;&#x201C;a1=3; an=2+3(nâ&#x20AC;&#x201C;1)=3nâ&#x20AC;&#x201C;2. Ijb aZf_g_ q_lguo qe_gh\ gZ ijhlb\hiheh`gh_ qbkeh ihke_^h\Zl_evghklv bf__l \b^  â&#x20AC;&#x201C;5; 8; â&#x20AC;&#x201C;11; 14; â&#x20AC;&#x201C; Ijb n=2k __ qe_g xn=â&#x20AC;&#x201C;an, ijb n=2k+1 bf__f xn=an; ke_^h\Zl_evgh xn=(â&#x20AC;&#x201C;1)n+1 an=(â&#x20AC;&#x201C;1)n+1(3nâ&#x20AC;&#x201C;2). KmffZ n qe_gh\ wlhc ihke_^h\Zl_evghklb jZ\gZ Sn=x1+x2+x3+...+xn=a1â&#x20AC;&#x201C;a2+a3â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;a4+...+(â&#x20AC;&#x201C;1)n+1 an=(a1+a3+...)â&#x20AC;&#x201C;(a2+a4+...). S50=Sâ&#x20AC;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;Sâ&#x20AC;? ]^_ Sâ&#x20AC;&#x2122; kmffZ g_q_lguo

 Âą qe_gh\ Sâ&#x20AC;? Âą kmffZ q_lguo qe_gh\ Ihke_^h\Zl_evghklv g_q_lguo qe_gh\ (an): a1; a3; ...; a2kâ&#x20AC;&#x201C;1; ... nâ&#x2030;¤50, l_ kâ&#x20AC;&#x201C;1â&#x2030;¤50, 2kâ&#x2030;¤51; kâ&#x2030;¤ Wlh ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZagh klvx d: a2kâ&#x20AC;&#x201C;1â&#x20AC;&#x201C;a2(kâ&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C;1=a1+(2kâ&#x20AC;&#x201C;1â&#x20AC;&#x201C;1)dâ&#x20AC;&#x201C;a1â&#x20AC;&#x201C;(2(kâ&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C;2)d=(2kâ&#x20AC;&#x201C;2)dâ&#x20AC;&#x201C;(2kâ&#x20AC;&#x201C;4)d= =2d. S1=

2a1 + 2d â&#x2039;&#x2026; 24 2

Ă&#x201A; Ă&#x201A; Ă&#x201A; 

Ihke_^h\Zl_evghklv a2k q_lguo qe_gh\ (an); y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c k jZaghklvx 2d b k i_j\uf qe_ghf jZ\guf a2; 2 â&#x2039;&#x2026; a 2 + 2d â&#x2039;&#x2026; 24 Ă&#x201A; Ă&#x201A; Ă&#x201A;  2kâ&#x2030;¤ l_ kâ&#x2030;¤25. S2= 2 BlZd bkdhfZy kmffZ Sâ&#x20AC;˛50=1850â&#x20AC;&#x201C;1925=â&#x20AC;&#x201C;75. 26

www.5balls.ru


455. x â&#x2039;&#x2026; x 2 â&#x2039;&#x2026; x3 â&#x2039;&#x2026; ... â&#x2039;&#x2026; x n x1+ 2 +...+ n = 1+ 3+...+ 2 n â&#x2C6;&#x2019;1 ; 3 5 2 n â&#x2C6;&#x2019;1 x â&#x2039;&#x2026; x â&#x2039;&#x2026; x â&#x2039;&#x2026; ... â&#x2039;&#x2026; x x

Z

n

(n +1)

1 + (2n â&#x2C6;&#x2019; 1) x2 1+3+...+(2nâ&#x20AC;&#x201C;1)= n=n2; 2 xn

Ã&#x201A;

[

1+2+...+n= 1

= x2

2

n n2 + â&#x2C6;&#x2019;n2 2

Ã&#x201A;

1+ n n n= (n+1); 2 2

=x

nâ&#x2C6;&#x2019;n2 2

.

x 2 â&#x2039;&#x2026; x 4 â&#x2039;&#x2026; x 6 â&#x2039;&#x2026; ... â&#x2039;&#x2026; x 2 n x 2 + 4 +...+ 2 n ( x 2 )1+ 2 +...+ n = 1+ 2+...+ n = 1+ 2 +...+ n = x â&#x2039;&#x2026; x 2 â&#x2039;&#x2026; x3 â&#x2039;&#x2026; ... â&#x2039;&#x2026; x n x x 1+ 2 +... + n

 x2  =   x   

n

= x1+ 2 +...+ n = x 2

( n +1)

.

456*.

Z a1=8,2; a2=7,4; d=7,4â&#x20AC;&#x201C;8,2=â&#x20AC;&#x201C;0,8. Hij_^_ebf ghf_j ihke_^g_]h iheh`bl_evgh]h qe_gZ ijh]j_kkbb  an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)>0; 8,2+(â&#x20AC;&#x201C;0,8)(nâ&#x20AC;&#x201C;   1)>0; 8,2â&#x20AC;&#x201C;0,8n+0,8>0; 0,8n<9; n<9:0,8; 9:0,8=9Ã&#x201A; =11,25; n<11 , l_   nâ&#x2030;¤ BlZd ihke_^gbf iheh`bl_evguf qe_ghf y\ey_lky an Lh]^Z 2a1 + 10d 2 â&#x2039;&#x2026; 8,2 + 10 â&#x2039;&#x2026; 0,2 = 2 2 a1=â&#x20AC;&#x201C;6,5; a2=â&#x20AC;&#x201C;6; d=â&#x20AC;&#x201C;6+6,5=0,5.

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

S11=

Ã&#x201A;

(8,2+1) 11=101,2.

Hij_^_ebf ghf_j ihke_^g_]h [

hljbpZl_evgh]h qe_gZ ihke_^h\Zl_evghklb  an=a1+d(nâ&#x20AC;&#x201C;1)<0; â&#x20AC;&#x201C; 6,5+0,5(nâ&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;1)<0; â&#x20AC;&#x201C;6,5+0,5nâ&#x20AC;&#x201C;0,5<0; 0,5n<6,5+0,5; 0,5n<7; n<14. BlZd ihke_^gbf hljbpZl_evguf qe_ghf y\ey_lky a13. Lh]^Z 2a1 + 12d â&#x2C6;&#x2019;6,5 â&#x2039;&#x2026; 2 + 12 â&#x2039;&#x2026; 0,5 3= 2 2 â&#x2C6;&#x2019;13 + 6 7 = â&#x2039;&#x2026; 13 = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2039;&#x2026; 13 = â&#x2C6;&#x2019;45,5 . 2 2

Ã&#x201A;

S13=

457*. S10= S30=

l_fm

¶ ¶

+ G 

Ã&#x201A;0=(2a +9d)Ã&#x201A;  a +9d=20

+ G 

Ã&#x201A;3=

1

1

Ã&#x201A;30=(2a +29d)Ã&#x201A;  a +29d=60. Ihemqbf kbk1

1

2a1 + 9d = 20 2a1 + 9d = 20 2a1 + 9d = 20 a1 = 1     d = 2 d = 2 2a1 + 29d = 60 20d = 40 27

www.5balls.ru


S40=

2a1 + 39d 40=(2+2 2

Ã&#x201A;

Ã&#x201A; Ã&#x201A; Ã&#x201A; 

458. 2a1 + 19d 20=(2a1+19d) 2 2a + 39d S40= 1 40=(2a1+39d) 2

Z S20=

Ã&#x201A;

1

Ã&#x201A;  a +39d=500. Ihemqbf

Ã&#x201A;

kbkl_fm

Ã&#x201A;  a +19d=100 1

2a1 + 19d = 100 2a1 + 19d = 100 a1 = 140 ;    d = 20 2a1 + 39d = 500 20d = 400; a50=a1+49d=â&#x20AC;&#x201C;140+49 2a + 4d a1+2d=0,1 [ S5= 1 5=(a1+2d) 2 2a + 14d a1+7d=â&#x2C6;&#x2019;5,4 S15= 1 15=(a1+7d) 2

Ã&#x201A;

Ã&#x201A; Ã&#x201A;  Ã&#x201A;  Ã&#x201A; ±

Ã&#x201A;

lh]^Z

a1 + 2d = 0,1, a1 + 2d = 0,1 a = 2,3    d = â&#x2C6;&#x2019;1,1 a1 + 7d = â&#x2C6;&#x2019;5,4; 5d = â&#x2C6;&#x2019;5,5 Lh]^Z a50=a1+49d=2,3+49(â&#x20AC;&#x201C;1,1)=â&#x20AC;&#x201C;51,6.

459.

Z an=2n+1; a1=2Ã&#x201A;

(a1 + a2 ) (3 + 2n + 1)n 4n + 2n 2 = n= =2n+n2. 2 2 2 ( 2 + 3 â&#x2C6;&#x2019; n) (a1 + a2 ) 5n â&#x2C6;&#x2019; n 2 n= an=3â&#x2C6;&#x2019;n; a1=3â&#x20AC;&#x201C;1=2; Sn= n= . 2 2 2

Ã&#x201A;

Sn=

[



Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

460*.



Sn=n2â&#x2C6;&#x2019;8n; a1=S1=â&#x20AC;&#x201C;7, l d Sn=Snâ&#x20AC;&#x201C;1+an, lh an=Snâ&#x2C6;&#x2019;Snâ&#x20AC;&#x201C;1=n2â&#x20AC;&#x201C;8nâ&#x20AC;&#x201C;((nâ&#x20AC;&#x201C;1)2â&#x20AC;&#x201C; 8(nâ&#x20AC;&#x201C;1))=n2â&#x20AC;&#x201C;8nâ&#x20AC;&#x201C;(n2â&#x20AC;&#x201C;2n+1â&#x20AC;&#x201C;8n+8)=2nâ&#x20AC;&#x201C;8=â&#x20AC;&#x201C;6+2(nâ&#x20AC;&#x201C;1). Ke_^h\Zl_evgh (an) y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c a5=â&#x20AC;&#x201C;6+2



Ã&#x201A; 

461*. Sn=

2a1 + d (n â&#x2C6;&#x2019; 1) d d d n=a1n+ (nâ&#x20AC;&#x201C;1)n= n2+n(a1â&#x20AC;&#x201C; ). 2 2 2 2

IjbjZ\gy_f dhwnnbpb_glu ijb h^bgZdh\uo kl_i_gyo qbf 28

www.5balls.ru

 ihem-

n


Z Sn=â&#x20AC;&#x201C;n2+3n= d n2+(a1â&#x20AC;&#x201C; d )n. dâ&#x20AC;&#x201C;2; a1+1=3, a1=2. 2 2 [  \  ] g_ y\eyxlky Zjbnf_lbq_kdbfb ijh]j_kkbyfb  lZd dZd \ bo nhjfmeZo kmffu n qe_gh\ ijbkmlkl\m_l keZ]Z_fh_  g_ aZ\bkys__ hl n. 462.

Z

b1=

q=

b3 135 3 =â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; =â&#x20AC;&#x201C;0,6; 225 5 b4

b2=

b2 â&#x2C6;&#x2019;135 â&#x2039;&#x2026; 3  3 = =81; b6=b5 q=81  â&#x2C6;&#x2019;  =â&#x20AC;&#x201C;48,6. â&#x2C6;&#x2019;5 q  5 b b 36  =1,5; b3= 4 = [ q= 5 = =24; q 1,5 b4 

Ã&#x201A;

Ã&#x201A;

b1=

b3 225 â&#x2039;&#x2026; 3 = =â&#x20AC;&#x201C;135; â&#x2C6;&#x2019;5 q

b2=

b3 24 = =16; q 1,5

b2 16  = =1 ;  q 1,5

463*.

Z

 GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc n ijh]j_kkbb yn +1 = xn +1 + 1 = x1qn â&#x2C6;&#x2019;1+ 1 â&#x20AC;&#x201D; aZ\bkbl hl n ke_^h\Zyn xn + 1 x1q + 1 l_evgh (y ) g_ y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkb_c  [ y =3x ; y =3x  GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc y 3x + 1 x + 1 ijh]j_kkbb n +1 = n = n =q agZqbl y y\ey_lky ]_hf_ly 3x x yn=xn+1; yn+1=xn+1

n

n

n

n+1

n+1

n

n

n

n

jbq_kdhc ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f q. \ yn= xn2 ; yn+1= x n2+1  GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc

ijh]j_kkbb agZqbl q2.

(yn)

y n +1 x n2+1 ( x1 q n ) 2 x12 q 2 n = 2 = = = yn xn ( x1 q n â&#x2C6;&#x2019;1 ) 2 x12 q 2( n â&#x2C6;&#x2019;1)

=

q 2n q 2( n â&#x2C6;&#x2019;1)

=q2;

y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f

29

www.5balls.ru


]

yn=

1 1 ; yn+1= xn xn +1

ijh]j_kkbb

 GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc

y n +1 x 1 = n = ; yn x n +1 q

agZqbl

(yn)

y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc

1 . q

ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f 464.



Imklv x1, x2, x3 â&#x20AC;&#x201D; Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby lh]^Z x2=x1+d, x3=x1+2d=x2+d. Imklv x1, x2, x3 â&#x20AC;&#x201D; ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby lh]^Z x2 x3 = , x22 =x1 x3; (x1+d)2=x1(x1+2d); x12 +2x1d+d2= x12 +2dx1; d2=0, x1 x2 d=0 wlh agZqbl qlh o1=o2=o3 ex[u_ qbkeZ g_ jZ\gu_ gmex



Ã&#x201A;



±







465*.

Z Imklv (bn) â&#x20AC;&#x201D; ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby  lh]^Z bn+1=qbn; lh]^Z bn2 =q2 bn2â&#x2C6;&#x2019;1 =q2 bn â&#x2C6;&#x2019;1 EQâ&#x2C6;&#x2019; =q bn â&#x2C6;&#x2019;1 bn= bn â&#x2C6;&#x2019;1 bn +1 . [ Imklv

lh]^Z

bn2 = bn â&#x2C6;&#x2019;1 bn +1 ,

bn b = n +1 = q , bn b n â&#x2C6;&#x2019;1

bn=qbnâ&#x20AC;&#x201C;1;

Z wlh b hagZqZ_l

qlh (bn) â&#x20AC;&#x201D; ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby  466.

Z GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc ihke_^h\Zl_evghklb 

xn + 1 2n +1 = n = xn 2

 ke_^h\Zl_evgh x y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijhn

]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f q=2. [ GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc ihke_^h\Zl_evghklb  xn + 1 3 â&#x2C6;&#x2019; n â&#x2C6;&#x2019;1 1 1 = â&#x2C6;&#x2019; n = xn+1= xn xn 3 3 3

 ke_^h\Zl_evgh x y\ey_lky ]_hf_ljbn

q_kdhc ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f q= 1 . 3 \ GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc ihke_^h\Zl_evghklb 

xn + 1 (n + 1) 2 n 2 + 2n + 1 = = xn n2 n2 ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby .

² aZ\bkbl hl n, ke_^h\Zl_evgh (x ) g_

30

www.5balls.ru

n


467.

Z bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; b8= 243 â&#x2039;&#x2026;  2 

8 â&#x2C6;&#x2019;1

256  3 

[ bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; b5=

=

( )

2 â&#x2039;&#x2026;â&#x2C6;&#x2019; 6 3

5 â&#x2C6;&#x2019;1

35 â&#x2039;&#x2026; 2 7 1 1 = 1 2 = . 8 7 18 2 â&#x2039;&#x2026;3 2 â&#x2039;&#x2026;3 =

2 â&#x2039;&#x2026;( 6)4

= 36

3

6 = 12 6 . 3

468.

5 1 1 E  â&#x2039;&#x2026;  = ; q1= ; q2=â&#x20AC;&#x201C; ; ; b9=b5q4; q4=  = E  â&#x2039;&#x2026;  3 3 3 1 1 1 1 1) q= ; b6=135 =45; b7=45 =15; b8=15 =5. 3 3 3 3  1 1 1 )=â&#x20AC;&#x201C;45; b7=â&#x20AC;&#x201C;45 )=15; b8=15 )=â&#x20AC;&#x201C;5. 2) q=â&#x20AC;&#x201C; ; b6=135  3 3 3

b5=135; b9=

Ă&#x201A;

Ă&#x201A;

Ă&#x201A; Âą

469.

Ă&#x201A;

Ă&#x201A; Âą



Ă&#x201A; Âą



bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; bn+1=b1qn JZkkfhljbf jZaghklv bn+1â&#x20AC;&#x201C;bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1(qâ&#x20AC;&#x201C;1)>0; Z b1>0, q> ke_^h\Zl_evgh bn+1>bn. [ b1>0, 0<q< ke_^h\Zl_evgh bn+1<bn. \ b1<0, q> ke_^h\Zl_evgh bn+1<bn. ] b1<0, 0<q< ke_^h\Zl_evgh bn+1>b1.

   

   

470.

Z an=a1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; a2=a1q; a3=a1q2; a5=a1q4; a6=a1q5. a1qĂ&#x201A;a1q5â&#x20AC;&#x201C;a1q2Ă&#x201A;a1q4= a12 q6â&#x20AC;&#x201C; a12 q6  Ke_^h\Zl_evgh a2a6=a3a5. [ an=a1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; anâ&#x20AC;&#x201C;3=a1qnâ&#x20AC;&#x201C;4; an+8=a1qn+7; an+5=a1qn+4. a1qnâ&#x20AC;&#x201C;4Ă&#x201A;a1qn+7â&#x20AC;&#x201C;a1qnâ&#x20AC;&#x201C;1Ă&#x201A;a1qn+4= a12 q2n+3â&#x20AC;&#x201C; a12 q2n+3  ke_^h\Zl_evgh

anâ&#x20AC;&#x201C;

3an+8=anan+5

471.

 JZkkfhljbf hlghr_gb_  ke_^h\Zl_evgh b =b q .

bn=b1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; bm=b1qmâ&#x20AC;&#x201C;1 1)

=qnâ&#x20AC;&#x201C;m

bn b q n â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 m â&#x2C6;&#x2019;1 =qnâ&#x20AC;&#x201C;1â&#x20AC;&#x201C;(mâ&#x20AC;&#x201C; bm b1q

nâ&#x20AC;&#x201C;m

n

m

31

www.5balls.ru


472*. x (q n â&#x2C6;&#x2019; 1) Sn= 1 ; q â&#x2C6;&#x2019;1 x1=

20

5

1 â&#x2C6;&#x2019;1 3

;

Ã&#x201A;

1 61 4 ( â&#x2C6;&#x2019; )=x1( â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x20AC;&#x201C;1); 3 3 3

61 â&#x2039;&#x2026; 4 3 5 61 â&#x2039;&#x2026; 4 â&#x2039;&#x2026; 3 3 244 â&#x2039;&#x2026; 27 = â&#x2039;&#x2026; = =27, xn=x5=27 9 1 + 35 244 1 + 35 â&#x2C6;&#x2019;1 q â&#x2C6;&#x2019;1

[ Sn=x1 q

n

\

 

=

1 x1 = ; 2 â&#x2C6;&#x2019;



(â&#x20AC;&#x201C;1)n=1;

]

Q

Q 



â&#x20AC;&#x201C;1; =

 

Q

8q â&#x2C6;&#x2019; 1  15 = q â&#x2C6;&#x2019; 1 ,  q n â&#x2C6;&#x2019;1 = 8; 

qn â&#x2C6;&#x2019; 1 1 Sn=x1 = q â&#x2C6;&#x2019;1 2 1 (â&#x2C6;&#x2019;1)n = n ; 64 2 ; n=6. xn=x6=

q = 3 ; Sn=





4



=

1 . 3

7q = 14, q = 2,  n â&#x2C6;&#x2019;1  q = 8; n = 4.

(â&#x2C6;&#x2019; ) Ã&#x201A;

1 n â&#x2C6;&#x2019;1 2 ; 3 â&#x2C6;&#x2019;2

1 >0 â&#x2021;&#x2019; n 64

 1 n    â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2019; 1 ;  2    

21 1 =â&#x20AC;&#x201C; 64 3

± q_lgh

â&#x2021;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1)n=1

5

1  1 1 1 .  â&#x2C6;&#x2019;  =â&#x20AC;&#x201C; 6 =â&#x20AC;&#x201C; 2  2 64 2

Ã&#x201A;

3 â&#x2039;&#x2026;18 â&#x2C6;&#x2019; x1 xn q n â&#x2C6;&#x2019; x1 18 3 â&#x2039;&#x2026; 3 â&#x2C6;&#x2019; x1 ; 26 3 +24= ; = q â&#x2C6;&#x2019;1 3 â&#x2C6;&#x2019;1 3 â&#x2C6;&#x2019;1

(26 3 +24)( 3 â&#x20AC;&#x201C;1)=3 x1=2

Ã&#x201A;  â&#x2C6;&#x2019; 13 

 Bkoh^y ba mkeh\by aZibr_f kbkl_fm

 q n â&#x2C6;&#x2019;1 , 165 = 11 q â&#x2C6;&#x2019;1   n â&#x2C6;&#x2019;1 88 = 11q ;

â&#x20AC;&#x201C;

1 = 3

( ) â&#x2C6;&#x2019; 1

 1 x1  â&#x2C6;&#x2019; 3 

Ã&#x201A;±x ; 1

; xn=x1qnâ&#x20AC;&#x201C;1; 18 3 =2 3 ( 3

26

Ã&#x201A;



n â&#x2C6;&#x2019;1 )nâ&#x20AC;&#x201C;1; 9= 9 4 ;

â&#x20AC;&#x201C;26



â&#x20AC;&#x201C;24â&#x20AC;&#x201C;3

Ã&#x201A; ±x ; 1

n=5.

473*. xn=Snâ&#x20AC;&#x201C;Snâ&#x20AC;&#x201C;1;

xn=

Ã&#x201A; Ã&#x201A; Ã&#x201A;

3 n 3 3  (5 â&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C; (5nâ&#x20AC;&#x201C;1â&#x20AC;&#x201C;1)= (5nâ&#x20AC;&#x201C;5nâ&#x20AC;&#x201C;1)= 5nâ&#x20AC;&#x201C;1 4 4 4 

Ke_^h\Zl_evgh (xn y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkb_c k

q=5.

32

www.5balls.ru

nâ&#x20AC;&#x201C;1

x1=3

.

b


474*. S5=b1 =

(

q 5 − 1 11 = ; q − 1 64

) Â

S10 − S 5 = b1 ⋅

q10 − 1 q5 − 1 − b1 ⋅ = q −1 q −1

Â

Â

11  b     q10 − q 5 =q5 S5=– ; – =q5 ; q5=– =– =–32. q −1 2      b b S15–S10= 1 (q15–1–q10+1)= 1 q10(q5–1)=q10 S5=(–32)2 S5= q −1 q −1

Â

=16

Â

ÂÂ  =16Â  

475. −1 x 5 −1 ; S5= q −1 x −1

Z q=x; Sn= b1 q

n

−1 − x 7 −1 x 7 +1 = . ; S7= q −1 − x −1 x +1

[ q=–x; Sn= b1 q

n

476.

Z

1 2 1

q=

=

2− 2 ; 2

S=

2− 2 =

2 (2 − 2 )( 2 )

=

2 2 2 −2

=

1 2 −1

=

 2− 2  b1 1 = = : 1 − q − 1 2 − 2  2 

2 +1 = 2 +1; 2 −1

[

S=

q=

 2− 2  2+ 2 2 2 +2 b1 = =1: 1 − = =  2+ 2  q −1 2⋅2 2 2  

2− 2 2+ 2

;

2 +1 . 2

477.

Z b1=1; b2=sin30°= 1 ; q= 1 ; S= 2

2

b1 1 =2. = q −1 1− 1 2

( )

33

www.5balls.ru


[

=

b 3 3 1 ; q=â&#x20AC;&#x201C; ; S= 1 = q â&#x2C6;&#x2019;1 1+ 2 2

b1=1; b2=â&#x20AC;&#x201C;cos30°=â&#x20AC;&#x201C;

2( 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 ) (2 + 3 )(2 â&#x2C6;&#x2019; 3 )

3 2

=

2 2+ 3

=

= 2( 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 ) .

478*. q=

2 , 3

ke_^h\Zl_evgh ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby

m[u\ZxsZy S= Z 4,5= [

b1 1â&#x2C6;&#x2019;

2 3

b1 . q â&#x2C6;&#x2019;1 ; b1=

1 3

Ã&#x201A;  15

2

5  3  15 ; S= 4 2 = 3 b3= ; b3=q b1; b1=   = 4  3 2 1â&#x2C6;&#x2019; 

² [_kdhg_qgh

2

Ã&#x201A;

3

Ã&#x201A;  =11 14 .

479. b2=18; S=81; S= =

b2 b b b1 ; q(1â&#x20AC;&#x201C;q)= 2 = ; b2=b1q; b1= 2 ; S= 1â&#x2C6;&#x2019; q q (1 â&#x2C6;&#x2019; q ) q S

2 18 2 = ; q â&#x2C6;&#x2019; q 2 = ; 9q2â&#x2C6;&#x2019;9q+2=0; D=(â&#x2C6;&#x2019;9)2â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;9â&#x2039;&#x2026;2=9; 9 81 9 19 + 3 2 19 â&#x2C6;&#x2019; 3 1 q1= = ; q2= = . 18 3 18 3 2 2 Ijb q= , b3=b2q=18 =12. Ijb q= 1 , b3=b2q=18 3 3 3



Ã&#x201A;

480.



Z 2,01(06)=2,01+0,01Ã&#x201A;    

q_kdZy ijh]j_kkby GZc^_f __ kmffm 2,01(06)=2+

Ã&#x201A;  =6.

 ² ]_hf_ljbq=0,01, |q|=<1; S=

1 2 7 + =2 . 100 3300 660

34

www.5balls.ru

0,06 2 = ; 0,99 33


[ 5,25(21)=5,25+0,01Ã&#x201A; 21); 0,(21)=0,21+0,0021... â&#x20AC;&#x201D; ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby GZc^_f __ kmffm q=0,01, |q|<1; S= 0,21 = 7 ;

0,99 33 25 7 208 =5 5,25(21)=5+ . + 100 3300 825 \ 0,00(1)=0,01 1+0,01+... â&#x20AC;&#x201D; ]_hf_ljbq_kdZy ijh ]j_kkby GZc^_f __ kmffm q=0,1, |q|=<1; S= 0,1 = 1 ; 0,00(1)= 1 0,9 9 900 ] 0,28(30)=0,28+0,01 ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby GZc^_f __ kmffm q= 0,0030 =0,01, |q|<1; 0,30 0,30 10 28 10 924 + 10 934 467 = ; 0,28(30)= = = = . S= + 0,99 33 100 3300 3300 3300 1650

Ã&#x201A;       Ã&#x201A;      ²  



481.

JZ^bmku djm]h\ â&#x2C6;&#x2019; ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby Rn kh agZf_gZl_e_f q= 1 < b R1=R klhjhgu d\Z^jZlh\ â&#x2C6;&#x2019; ]_hf_ljbq_2

kdZy ijh]j_kkby (an kh agZf_gZl_e_f q= Z >ebgu hdjm`ghkl_c ]j_kkbx kh S=

2Ï&#x20AC;R 1â&#x2C6;&#x2019;

1 2

==

2Ï&#x20AC;R 2 2 â&#x2C6;&#x2019;1

1 2

<

 b a =R 1

2.

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh 1 agZf_gZl_e_f q= ;

ln=2Ï&#x20AC;Rn

2

=2 Ï&#x20AC;R(2 + 2 ) .

[ IehsZ^b djm]h\

Sn=2Ï&#x20AC;Rn

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_k-

2

 1  Ï&#x20AC;R 2 1  = ; S= =2 Ï&#x20AC;R 2 .  1 2 1â&#x2C6;&#x2019; 2  2

kbx kh agZf_gZl_e_f q= 

\ I_jbf_lju d\Z^jZlh\

]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q=

pn=4an

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh -

1

4R 2

2

; S=

1â&#x2C6;&#x2019;

1 2

=

8R 2 â&#x2C6;&#x2019;1

=8R(1+ 2 ).

35

www.5balls.ru


] IehsZ^b d\Z^jZlh\

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh -

Sn= ¶Q , 2

 1  2R 2 1  = ; S= =4 R 2  1 2 1− 2  2

]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q=  482*.

>ebgu klhjhg lj_m]hevgbdZ y\eyxlky qe_gZfb ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkbb (an kh agZf_gZl_e_f 1 < b a1=a JZ^bmku hdjm`ghkl_c 2 y\eyxlky qe_gZfb ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkbb (rn) kh agZf_gZl_e_f 1 a < b r1= . 2

2 3

Z I_jbf_lju lj_m]hevgbdh\ pn=3an h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx =6a. ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= 3a1 = 3a 1 1− 2

2

a n2

[ IehsZ^b lj_m]hevgbdh\ Sn=

3

]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= 2

] IehsZ^b djm]h\

kbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= 4

3 3 4

=a2

3 . 3

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh -

ln=2πrn

Sn=π UQ

2

4⋅

4

\ >ebgu hdjm`ghkl_c

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx

4

ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= a

2

2πa 2 3

1 2

=

2πa 3 . 3

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_k πa 2 3

12 ⋅ 4

=

πa 2 . 9

36

www.5balls.ru


f ( x) , f ( x) = â&#x2C6;&#x2019; f (â&#x2C6;&#x2019; x), g ( x) = â&#x2C6;&#x2019; g (â&#x2C6;&#x2019; x), agZqbl g ( x) f (â&#x2C6;&#x2019; x) â&#x2C6;&#x2019; f ( x) = = = y ( x) ; y(x) â&#x20AC;&#x201D; q_lgZy nmgdpby g (â&#x2C6;&#x2019; x) â&#x2C6;&#x2019; g ( x)

] y ( x ) =

m(â&#x2C6;&#x2019;o)=

642.

=jZnbdhf nmgdpbb f ( x) = x â&#x2C6;&#x2019; 2 [m^_l ijyfZy o 0 1 m -2 -1 

=jZnbdhf nmgdpbb f ( x) = â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 2 [m^_l ijyfZy o 0 -2 m -2 0 

643. =jZnbd nmgdpbb g ( x) = x 2 + 1 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ [heu b 0 x\ = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; = 0; g \ = 1. 2a 2 o 1 2 0 -1 m 2 5 1 2 =jZnbd nmgdpbb g ( x) = â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZijZ\e_ gu \gba GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ [heu x\ = â&#x2C6;&#x2019;

0 b =â&#x2C6;&#x2019; = 0; g \ = â&#x2C6;&#x2019;1. 2a 2 â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;1)

o -1 -2 -3 0 m -2 -5 -10 -1

1 -2

2 -5

3 -10

644. Z =jZnbdhf nmgdpbb f(x)= ijyfZy o 0

 

oâ&#x2C6;&#x2019; [m^_l

4 1

www.5balls.ru


um

1 −1 [ =jZnbd nmgdpbb f(x o2−o − iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZijZ\e_gu \\_jo  Dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu  E =− −  m =1. o\=− \ D  ⋅

\ Ijb o≥ ]jZnbd nmgdpbb ijb ihkljhbf ih lhqdZf ijb o≤ ]jZnbd [m^_l kbff_ljbq_g ihkljh_gghfm hlghkbl_evgh Hm o 0 1 4 9 m 0 1 2 3

645. Z =jZnbd nmgdpbb g(x)=x2 − iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZijZ\e_gu \\_jo GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu o\=−

o m

E =−  =0; g =0. \ D  ⋅ 0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

[ =jZnbd nmgdpbb g(x o2−o − iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZ ijZ\e_gu \\_jo

2

www.5balls.ru


GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu  o\=â&#x2C6;&#x2019; g\=4â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;2=â&#x2C6;&#x2019;4. o 0 1 m 0 â&#x2C6;&#x2019;3

2 4 â&#x2C6;&#x2019;4 0 \ Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb g(x)=

o m

0 0

1 1

4 2

E =â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; =2; D  â&#x2039;&#x2026;

Ã&#x2039;: 9 3

16 4

646.

Z =jZnbd nmgdpbb y=f(x y\ey_lky kbff_ljbqguf hlghkbl_ev gh hkb hj^bgZl Ihwlhfm _keb (x0; f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm  lh b (â&#x20AC;&#x201C;x0; f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm  Ke_^h\Zl_evgh f(â&#x20AC;&#x201C;x0)=f(x0) lh _klv f(x0) ² q_lgZy nmgdpby [ =jZnbd nmgdpbb y=f(x y\ey_lky kbff_ljbqguf hlghkbl_ev gh gZqZeZ dhhj^bgZl  Ihwlhfm _keb (x0; f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnb dm lh b (â&#x20AC;&#x201C;x0; â&#x20AC;&#x201C;f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm  Ke_^h\Zl_evgh f(â&#x20AC;&#x201C;x0)=â&#x20AC;&#x201C; f(x0) lh _klv f(x) ² g_q_lgZy nmgdpby

647.

Z >Z ijb k=0 y=b â&#x20AC;&#x201D; q_lgZy nmgdpby [ >Z ijb b=0: y=kx â&#x20AC;&#x201D; g_q_lgZy nmgdpby

648. >Z ijb b



b Zâ&#x2030;  m Zo2k ² y\ey_lky q_lghc nmgdpb_c 

649. Z Nmgdpby m o100 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ 5 >4100. 100

>â&#x2C6;&#x17E;),

agZqbl

3

www.5balls.ru


[ Ld < b nmgdpby m o100 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ [0;+â&#x2C6;&#x17E;  agZqbl 100<0,89100. Nmgdpby m o261 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;;+â&#x2C6;&#x17E;  agZqbl 1,5 <1,6261. \

261

] Nmgdpby m o261 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;;+â&#x2C6;&#x17E;  agZqbl      



  >   



.

650.

Z Nmgdpby m o10 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ >â&#x2C6;&#x17E;  agZqbl 2 <310. [ Nmgdpby m o5 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;;+â&#x2C6;&#x17E;  agZqbl 5 0,3 >0,25. \ Nmgdpby m o17 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;;+â&#x2C6;&#x17E;  agZqbl 10

     



]

  >      



. 

    =  â&#x2021;&#x2019;     



  =      





  =       



;

^ 7=(23)7â&#x2C6;&#x2019;221 m o21 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;;+â&#x2C6;&#x17E;  agZqbl 3 >221 l_ 21>87. _ 6=(362)3=12963 Nmgdpby \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;;+â&#x2C6;&#x17E; b <1296, 12963>12503 l_ 6>12503. 21

651.

Z Nmgdpby f(x o7 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;; +â&#x2C6;&#x17E;)â&#x2021;&#x2019;f(25)>f(12)â&#x2021;&#x2019; f(25)â&#x2C6;&#x2019;f(12)>0. [ Nmgdpby f(x o7 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;; +â&#x2C6;&#x17E;)â&#x2021;&#x2019;f(â&#x2C6;&#x2019;30)<f(â&#x2C6;&#x2019;20)â&#x2021;&#x2019; f(â&#x2C6;&#x2019;30)â&#x2C6;&#x2019;f(â&#x2C6;&#x2019;20)<0. \ f(0)â&#x2039;&#x2026;=0 â&#x2021;&#x2019;f(0)â&#x2039;&#x2026;f(60)=0. ] Nmgdpby g(x o10 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ > +â&#x2C6;&#x17E;)â&#x2021;&#x2019;g(17) â&#x2C6;&#x2019;g(5)>0. ^ g(â&#x2C6;&#x2019;9)>o; g(â&#x2C6;&#x2019;17)>0â&#x2021;&#x2019;g(â&#x2C6;&#x2019;9)â&#x2039;&#x2026;g(â&#x2C6;&#x2019;17)>0. _ Nmgdpby g(x o10 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ > +â&#x2C6;&#x17E;)â&#x2021;&#x2019;g(38)> g(0)â&#x2021;&#x2019; g(38)â&#x2C6;&#x2019;g(0)>0.

652. 4

www.5balls.ru


Z JZkkfhljbf jZaghklv o n+1â&#x2C6;&#x2019;xn=xn(xâ&#x2C6;&#x2019;  LZd dZd xâ&#x2C6;&#x2C6;[0;   lh x â&#x2030;¥ oâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤ ke_^h\Zl_evgh on+1â&#x2C6;&#x2019;xnâ&#x2030;¤ lh _klv on+1â&#x2030;¤xn. [ JZkkfhljbf jZaghklv o n+1â&#x2C6;&#x2019;xn=xn(xâ&#x2C6;&#x2019;  LZd dZd xâ&#x2C6;&#x2C6;(1; +â&#x2C6;&#x17E;  lh n x â&#x2030;¥ oâ&#x2C6;&#x2019;1> ke_^h\Zl_evgh on+1â&#x2C6;&#x2019;xn> lh _klv on+1>xn. n

653.

Z  n agZqbl n=3. [  n agZqbl n=2. \  â&#x2C6;&#x2019;3)n agZqbl n=4. ] â&#x2C6;&#x2019;32=(â&#x2C6;&#x2019;2)n agZqbl n=5.

654.

Z  n, y=2n \hajZklZ_l 22=4<5<82=23 agZqbl g_ kms_kl\m_l [   )n agZqbl n=8. \  ± n agZqbl n=2m. 415=(â&#x20AC;&#x201C;5)2m=25m y=25m â&#x20AC;&#x201D; \hajZklZ_l 25'=25<415<625=252 agZqbl g_ kms_kl\m_l ] ± â&#x2C6;&#x2019;7)n agZqbl n=3.

655.

,

x y

Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb m o3 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;8

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

   

0 1 2 3 0 1 8 9

Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb m o4. 0 1 2  o â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2  â&#x2C6;&#x2019; ,,

m â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;16



â&#x2C6;&#x2019;

 



0 1 16

 

5

www.5balls.ru


Z =jZnbd nmgdpbb m â&#x2C6;&#x2019;o3 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ihevamykv kbff_ljb_c hlghkbl_evgh hkb o  [ =jZnbd nmgdpbb m o3â&#x2C6;&#x2019;1 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpm \gba \^hev hkb m  \ =jZnbd nmgdpbb m oâ&#x2C6;&#x2019;2)3 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgd pbb m o3 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpu \ijZ\h \^hev hkb o ] =jZnbd nmgdpbb m oâ&#x2C6;&#x2019;2)3 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb ^\mo iZjZee_evguo i_j_ghkh\ â&#x20AC;&#x201D; k^\b]Z m o3 gZ  _^bgbpu \ijZ\h b gZ  _^bgbpm \\_jo ^ =jZnbd nmgdpbb m â&#x2C6;&#x2019;o4 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o4 ihevamykv kbff_ljb_c hlghkbl_evgh hkb o  _ =jZnbd nmgdpbb m o4â&#x2C6;&#x2019; fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgd pbb m o3 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpm \gba \^hev hkb m ` =jZnbd nmgdpbb m oâ&#x2C6;&#x2019;3)4 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o4 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpu \ijZ\h \^hev hkb o a =jZnbd nmgdpbb m oâ&#x2C6;&#x2019;3)4 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb ^\mo iZjZee_evguo i_j_ghkh\ ² k^\b]Z m o4 gZ  _^bgbpu \ijZ\h b gZ  _^bgbpm \\_jo 6

www.5balls.ru


656.

Z  dhjgy [  dhj_gv \ g_l dhjg_c ]  dhj_gv ^  dhj_gv _  dhj_gv

657. Z â&#x2C6;&#x2019;0,5 [ â&#x2C6;&#x2019;



^

_









=1,5



 



â&#x2C6;&#x2019;

=â&#x2C6;&#x2019;0,5â&#x2039;&#x2026; 

â&#x2C6;&#x2019;  =

â&#x2039;&#x2026;



â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2039;&#x2026;









\  ]



â&#x2039;&#x2026;



 













[

Ã&#x2030;=

 











=





5

 3   â&#x2039;&#x2026;   = . =5   â&#x2039;&#x2026; =  2   â&#x2039;&#x2026; 



â&#x2039;&#x2026;





= â&#x2C6;&#x2019;3 53 â&#x2039;&#x2026;0,1=â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2039;&#x2026;0,1=â&#x2C6;&#x2019;0,5.







=









  ;( Ã&#x2030; )3=    













(x ) = 0,04 â&#x2021;&#x2019; o=0,04. 1 ; (y ) =   â&#x2021;&#x2019; m .  2 1 2

2

1 3



     â&#x2039;&#x2026;  =   â&#x2039;&#x2026; = = .      â&#x2039;&#x2026;   

â&#x2039;&#x2026;

3

3

\ ¶ =â&#x2C6;&#x2019; g_l j_r_gbc ld dhj_gv qbkeZ _klv qbkeh g_hljbpZl_evgh_ 

^

_





 



]

â&#x2039;&#x2026;3=2.

=

Ã&#x2039; =0,2; ( Ã&#x2039; )2=0,22; 



=

=1,5â&#x2039;&#x2026;2=3.

658. Z

=â&#x2C6;&#x2019;0,5·2=â&#x2C6;&#x2019;1.











hc

kl_i_gb ba ex[h]h

E =2; ( E )4=24; (b ) = 24 â&#x2021;&#x2019; b=16. 8 Ã&#x2039; =1; ( Ã&#x2039; )8=18; (x ) = 18 â&#x2021;&#x2019; o 



4

1 4



1 8



3

3

( ) = (â&#x2C6;&#x2019; 2) â&#x2021;&#x2019; o â&#x2C6;&#x2019;8. 1

Ã&#x2030; =â&#x2C6;&#x2019;2; ( 3 â&#x20AC;º ) =(â&#x2C6;&#x2019;2) =â&#x2C6;&#x2019;8; x 3

3

3

659.

Z Ijb oâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2030;¥0; oâ&#x2030;¥ \ujZ`_gb_ bf__l kfuke  â&#x2C6;&#x2019; Ã&#x2039; [ Ijb â&#x2030;¥ oâ&#x2030;¤9. 

7

www.5balls.ru


\ Ijb ex[hf o \ujZ`_gb_ bf__l kfuke  ] Ijb Zâ&#x2C6;&#x2019; Zâ&#x2C6;&#x2019;2)â&#x2030;¥ l_ ijb Z â&#x2030;¤ beb aâ&#x2030;¥5. ^ Ijb m2â&#x2C6;&#x2019;mâ&#x2030;¥ J_rbf mjZ\g_gb_ m 2â&#x2C6;&#x2019;m  D=52â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;6=1; + â&#x2C6;&#x2019; 2 m =3 beb m  m â&#x2C6;&#x2019;m mâ&#x2C6;&#x2019; mâ&#x2C6;&#x2019;2)â&#x2030;¥ l_ mâ&#x2030;¤ beb mâ&#x2030;¥3. 



_ Ijb â&#x2C6;&#x2019;b2+6bâ&#x2C6;&#x2019;8â&#x2030;¥ J_rbf mjZ\g_gb_ â&#x2C6;&#x2019;b2+6bâ&#x2C6;&#x2019;8=0; b2â&#x2C6;&#x2019;6b+8=0; 6+ 4 6â&#x2C6;&#x2019; 4  beb b= =2â&#x2021;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;b2+6bâ&#x2C6;&#x2019;8= 2 2 =â&#x2C6;&#x2019;(bâ&#x2C6;&#x2019;4)(bâ&#x2C6;&#x2019;2)â&#x2030;¥0; (bâ&#x2C6;&#x2019;4)(bâ&#x2C6;&#x2019;2)â&#x2030;¤ l_ â&#x2030;¤bâ&#x2030;¤4.

D=62â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2039;&#x2026;8=4;

b=

660. Z o6  o [ o9  o \ o7=â&#x2C6;&#x2019; o ] o11  o ^

_

4

Â&#x201C; 



 





.

. â&#x2C6;&#x2019;  =â&#x2C6;&#x2019;





.



.

(

â&#x20AC;º + 1 =2; ( 4 â&#x20AC;º + 1 )4=24; (x + 1)

Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;  =1;( Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;  )





5

=15

1 4

oâ&#x2C6;&#x2019; 

) =2 4



o

4

â&#x2021;&#x2019; o



o





661.

Z o8o4â&#x2C6;&#x2019;  Imklv o4=y; y2+6yâ&#x2C6;&#x2019;7=0; D=62â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;7)=64; â&#x2C6;&#x2019; 6 + 64 â&#x2C6;&#x2019; 6 â&#x2C6;&#x2019; 64 beb y2= =â&#x2C6;&#x2019;7; x4=â&#x2C6;&#x2019; \ i_j\hf kemqZ_ 2 2 o1  beb o2=â&#x2C6;&#x2019; \h \lhjhf kemqZ_ g_l j_r_gbc  ld ijZ\Zy qZklv jZ\_gkl\Z o4=â&#x2C6;&#x2019; ± hljbpZl_evgh_ qbkeh  [ o12â&#x2C6;&#x2019;o6  Imklv o6=y; y2â&#x2C6;&#x2019;9y+14=0; D=92â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;14=25; y 1=

9 + 25 9 â&#x2C6;&#x2019; 25  beb y2= =2 â&#x2021;&#x2019; o6  beb o6 2 2 kemqZ_ o1,2=±   \h \lhjhf kemqZ_ o3,4=±  . \ o6o3  Imklv o3=y; y2+11y+24=0; D=112â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;24=25; y 1=





8

www.5balls.ru



\ i_j\hf


â&#x2C6;&#x2019; 11 + 25 â&#x2C6;&#x2019; 11 â&#x2C6;&#x2019; 25 =â&#x2C6;&#x2019; beb y2= =â&#x2C6;&#x2019;8â&#x2021;&#x2019;o3=â&#x2C6;&#x2019; beb o3=â&#x2C6;&#x2019;8; 2 2 o1=â&#x2C6;&#x2019;  beb o2= â&#x2C6;&#x2019;  =â&#x2C6;&#x2019;2. ] o14â&#x2C6;&#x2019;o7  Imklv o7=y; y2â&#x2C6;&#x2019;5y+6=0; D=25â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;6=1; + â&#x2C6;&#x2019; y 1=  beb y2= =2 â&#x2021;&#x2019;o7  beb o7  l_ x1   o2=  . y 1= 











662.

Ã&#x2039; =5; ( Ã&#x2039; )3=53=125; (x ) = 53 â&#x2021;&#x2019;o  2) Ã&#x2039; >5; ( Ã&#x2039; )3>53o>125. 3) Ã&#x2039; <5; ( Ã&#x2039; )3<53 o<125. 4 [  Ã&#x2039; =2; ( Ã&#x2039; )4=24; (x ) = 2 4 â&#x2021;&#x2019; o  2) Ã&#x2039; >2; ( Ã&#x2039; )4>24o>16. 3) Ã&#x2039; <2; ( Ã&#x2039; )4<24; 0Â&#x201D;x<16. Z 



1 3













1 4











3

663.

Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb m Ã&#x2039; o 0 1 8 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;27 m 0 1 2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;3 

Z

[

\









<





;

â&#x2C6;&#x2019; < â&#x2C6;&#x2019; ; â&#x2C6;&#x2019;  < â&#x2C6;&#x2019;  . 



664. Z LZd dZd < lh  â&#x2C6;&#x2019;  <0. 





<



 

ke_^h\Zl_evgh



9

www.5balls.ru




[ LZd dZd 





â&#x2C6;&#x2019;





>



 



lh





>





 



ke_^h\Zl_evgh

>0.



\ LZd dZd >0,99, lh >   ke_^h\Zl_evgh 

1â&#x2C6;&#x2019;





>0.

] LZd dZd lh 







â&#x2C6;&#x2019;





<



 



= 

 

<

 

,

ke_^h\Zl_evgh

<0



665. Z

â&#x2C6;&#x2019;[ =

I â&#x2C6;&#x2019;[ =

[

=

I [

Df=R Ke_^h\Zl_evgh I [ ² q_lgZy nmgdpby Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb y= I [ .

Ijb xÂ&#x2022; y= I [ = [ Ijb x<0 ]jZnbd [m^_l kbff_ljbq_g hlghkbl_evgh Oy. y

1 1

[

I â&#x2C6;&#x2019;[ =



â&#x2C6;&#x2019;[ =



[

=

4

I [

Df=R â&#x20AC;&#x201D; kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey  Ke_^h\Zl_evgh I [ ² q_lgZy nmgdpby Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb y= I [ . 10

www.5balls.ru

x


Ijb xÂ&#x2022; y= I [ = [ Ijb x<0 ]jZnbd y\ey_lky kbff_ljbqguf hlghkbl_evgh Oy. 

y

2 1

x

666. Z <o< ke_^h\Zl_evgh <o<

[

1<



Ă&#x2039;<





<





<

Ă&#x2039;<







; 0<



ke_^h\Zl_evgh

Ă&#x2039; <1.





<



Ă&#x2039;<





;

.

10 <o<10 

\







Ă&#x2039; <10.

ke_^h\Zl_evgh





<



Ă&#x2039;<







;

667.

Z oâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2030;Ľ oâ&#x2030;Ľ2. [ â&#x2C6;&#x2019;oâ&#x2030;Ľ oâ&#x2030;¤ oâ&#x2030;¤2,5. \ m





Ă&#x2039;+

hij_^_e_gZ ijb ex[hf o 

668. y

y=x

[

y= 2

y= 1

Z

o2=1

4



[

x

8

x = x  agZqbl x = x 2  o oâ&#x2C6;&#x2019;1)=0 â&#x2021;&#x2019; x1 = 0, x2 = 1  l_ o1=0, 1 2

x = x  agZqbl x>0 ld dhj_gv l_evgh_

hc

1 2

kl_i_gb qbkeh g_hljbpZ -

x > x  agZqbl o oâ&#x2C6;&#x2019;1)< l_ 0<x<1. 11

www.5balls.ru


[ 3 x = x  agZqbl o=o3 l_ o(o2â&#x2C6;&#x2019;1)=0; o(oâ&#x2C6;&#x2019;1)(o

o2=1, o3=â&#x2C6;&#x2019;1. 3

x < x  agZqbl x<x3; x(x2â&#x2C6;&#x2019;1)>0; â&#x2C6;&#x2019;1<x<0 beb x>1

3

x > x  agZqbl x>x3; x(x2â&#x2C6;&#x2019;1)<0; x<â&#x2C6;&#x2019;1 beb 0<x<1.



l _ 

670. Z

 â&#x2039;&#x2026; 





[



\





â&#x2039;&#x2026;



]







=





=

3

â&#x2039;&#x2026;







=





5





=







â&#x2039;&#x2026;



= 



6



4 â&#x2039;&#x2026; 3 12 = . 5 5

=

34

2 â&#x2039;&#x2026; 5

4





5

3

4



â&#x2039;&#x2026;







43 â&#x2039;&#x2026; 3 33

3









â&#x2039;&#x2026;





=











â&#x2039;&#x2026;

 

=

 â&#x2039;&#x2026; 





=

4

4

(3 ) â&#x2039;&#x2026; 5 (7 ) (3 ) (2 ) â&#x2039;&#x2026; 5 2 5

5

5

2 5

6

2 3â&#x2039;&#x2026; 3

2 6

6

=

4 5

 â&#x2039;&#x2026;

=

= 6



â&#x2039;&#x2026;









=











=



â&#x2039;&#x2026;

.



=

 

.

=1

 

671. Z



[



\



]



Ã&#x2039;Ã&#x2030;= 



Ã&#x2039;



Ã&#x2039;Ã&#x2030; =4 [ [\ .

â&#x2039;&#x2026;

DE = E â&#x2039;&#x2026; DE = 4 34 b 4 â&#x2039;&#x2026; 4 ab3 3b DE . 3 3 3 3 3 2 D [ = D [ â&#x2039;&#x2026; D = 5 a x â&#x2039;&#x2026; a = 5Zo D  E \ =  E \

\ = 4b4m2 \ . 







































 



672. 

Z Z

¶

[ o



\ b





Ã&#x2039;





E

¶ ¶



=



=





=

Ã&#x2039; Ã&#x2039; E E









=





¶.



= 3 23 x 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 = 2 = 4 3b 4 â&#x2C6;&#x2019; 3 =







Ã&#x2039;.

E.



12

www.5balls.ru



.

.

o1=0,


]  k





Ã&#x2021;



=



Ã&#x2021; Ã&#x2021;

 â&#x2039;&#x2026;





= 5 2c 5 â&#x2C6;&#x2019; 4 =



Ã&#x2021;.





673.

Z LZd dZd ! Lh]^Z 32 =

15

15

2 =

5 15 2





5

[ LZd dZd 





=



<



<









>

15

8=

15

2 = 3

3 15 2

=

1 25 ;

lh]^Z









=

1 23



â&#x2C6;&#x2019;







< 

\ LZd dZd ! lh]^Z 

N

=N >



N

 



N



â&#x2C6;&#x2019;



<

 

N



<





=N

N



] LZd dZd 





N



 

â&#x2C6;&#x2019;



N



> 

lh]^Z





N





< .



674. Z



 

=

= 







=



=











LZd dZd  ke_^h\Zl_evgh [



=







=





<











=

 

<



<





;



5

3

243 8 23 2 5  3 0,3 = 15   = 15 < 15 = 3â&#x2039;&#x2026;5 3 = 5 = 0,2 , 100000 1000 10 10  10 

ke_^h\Zl_evgh



<





675. Z



â&#x2C6;&#x2019;



â&#x2039;&#x2026;



+



=1.

3â&#x2039;&#x2026; 2

<





.

(2 â&#x2C6;&#x2019; 3 ) â&#x2039;&#x2026; 3

6

7+4 3 =

13

www.5balls.ru


= 6 (2 â&#x2C6;&#x2019; 3 ) 2 â&#x2039;&#x2026; 6 7 + 4 3 = =



 â&#x2C6;&#x2019; 



=



 â&#x2C6;&#x2019; 

=1.

[

+   + 

 â&#x2C6;&#x2019; 



 





=



6

â&#x2C6;&#x2019; 



â&#x2C6;&#x2019; 



=





=1.

3

3

â&#x2039;&#x2026;  + 



  + 

( 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)

=







2

â&#x2C6;&#x2019; 

=

2

=



( 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)

3 â&#x2C6;&#x2019; 2 2 : 2â&#x2039;&#x2026;3 3â&#x2C6;&#x2019; 2 2

= 6 (3 â&#x2C6;&#x2019; 2 2 ) : 6 ( 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 = 6

=



 â&#x2C6;&#x2019; 

â&#x2C6;&#x2019;  =1.



 â&#x2C6;&#x2019;



â&#x2C6;&#x2019;





=

=

 

â&#x2C6;&#x2019; 



+

=

676. 3

Z

3

3

[

25

3

2

3

10

= =



\



â&#x2C6;&#x2019;

2

]

3

3 â&#x2C6;&#x2019;1

3

3

( 25 ) 5 3 3

5

2

3

5 5

=

7 3

5+ 2 3



3

3

3

=

+ 

=

125

25 5

15

=

+ 

3

15 . 5

25 . 5

2 +1

(3 3 â&#x2C6;&#x2019; 1)(3 32 + 3 3 + 1) 

+





2

=

+ =  â&#x2C6;&#x2019;

2(3 32 + 3 3 + 1)

( 3) â&#x2C6;&#x2019;1 3

3

3

(3 5 + 3 2 )(3 5 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 5 â&#x2039;&#x2026; 3 2 + 3 2 )

3

=

o2



o

[



Ã&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;

2



Ã&#x2039; =0;

(

)

7 3 25 â&#x2C6;&#x2019; 3 10 + 3 4  == 5+2



Ã&#x2039; =2 Ã&#x2039; ; 

(





â&#x2C6;&#x2019;



=



Ã&#x2039; )6=(2 Ã&#x2039; )6;

o oâ&#x2C6;&#x2019;  o1  beb o2=0. Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;0,1=0; Ã&#x2039; =0,1; ( Ã&#x2039; )6=0,16 o 

+.

=

677. Z



+1.

7( 3 5 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 5 â&#x2039;&#x2026; 3 2 + 3 2 2 )

=

3



2



=

( 2 ) â&#x2C6;&#x2019;1

2(3 32 + 3 3 + 1)

( 5) + ( 2) 3

3

3

â&#x2C6;&#x2019; 

7(3 25 â&#x2C6;&#x2019; 3 10 + 3 4 ) 3

= 

= =

2

3

=

3

2 3 32 + 3 3 + 1 = =  2

^

5



14

www.5balls.ru





+





.

(x ) = 2 (x ) ; 1 3

6

6

1 6

6


Ã&#x2039; +5=0; Ã&#x2039; =â&#x2C6;&#x2019; g_l j_r_gbc ld dhj_gv hc kl_i_gb \

qbkeh g_hljbpZl_evgh_  ] Ã&#x2039; +2 Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;  imklv Ã&#x2039; =y, 2y2+yâ&#x2C6;&#x2019;1=0; D=1+1â&#x2039;&#x2026;2â&#x2039;&#x2026;4=9; 









â&#x2C6;&#x2019;1± 9  , y1=â&#x2C6;&#x2019; beb y2=  < i_j\hf kemqZ_ j_r_gbc g_l  ld 4  dhj_gv hc kl_i_gb ± qbkeh g_hljbpZl_evgh_  \h \lhjhf kemqZ_ y=



Ã&#x2039;=o 









o

 



Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;5 Ã&#x2039; 

=

 

.

imklv Ã&#x2039; =y lh]^Z y2â&#x20AC;&#x201C;5y+6=0;  ± D=252â&#x2C6;&#x2019;6â&#x2039;&#x2026;4=25â&#x2C6;&#x2019;24=1; y1,2= ; y1=3 beb y2=2. < i_j\hf kemqZ_ ^











Ã&#x2039;



_

o1=3  \h \lhjhf kemqZ_ Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;2 Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;  imklv 4



Ã&#x2039;  o2=24=16. Ã&#x2039; =y lh]^Z







y2

â&#x2C6;&#x2019;2yâ&#x2C6;&#x2019;3=0;

2 ± 16 ; y1=3 beb y2=â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201D; dhjg_c g_l ld D=22+3â&#x2039;&#x2026;4=4+12=16; y= 2

e_\Zy qZklv x=6561.

±

iheh`bl_evgZy Z ijZ\Zy

hljbpZl_evgZy





[ = 

678. 



Z  



=2,5â&#x2039;&#x2026;2 3



=5





=5â&#x2039;&#x2026;  =5â&#x2039;&#x2026;  â&#x2039;&#x2026;  = 





=5â&#x2039;&#x2026;  â&#x2039;&#x2026;  = 5 2 â&#x2039;&#x2026;  . 







[ â&#x2C6;&#x2019;8â&#x2039;&#x2026; \ a





=â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2039;&#x2026;  = â&#x2C6;&#x2019; 2

D =aâ&#x2039;&#x2026; D



 

3+



=a

1+

1 2





=â&#x2C6;&#x2019; 



.

3

= a2 1+

] â&#x2C6;&#x2019;bâ&#x2039;&#x2026; 3 b =â&#x2C6;&#x2019;bâ&#x2039;&#x2026; E = â&#x2C6;&#x2019; b 

1 3

1 3

4

= â&#x2C6;&#x2019; b3 . 1

^ x+1)2â&#x2039;&#x2026; 4 x + 1 =(x+1)2â&#x2039;&#x2026; ( x + 1) 4 = (x + 1)

2+

1

_ yâ&#x2C6;&#x2019;5)3â&#x2039;&#x2026; 3 y â&#x2C6;&#x2019; 5 =(yâ&#x2C6;&#x2019;5)3â&#x2039;&#x2026; ( y â&#x2C6;&#x2019; 5) 2 = ( y â&#x2C6;&#x2019; 5)

1 4

3+

1 2

9

= ( x + 1) 4 . 7

( y â&#x2C6;&#x2019; 5) 2 .

679. Z ! ihwlhfm 15

www.5balls.ru


3

2

1

1

512 = 6 83 = 8 6 = 8 2 > 6 64 = 6 82 = 8 6 = 8 3

6

[ ! ihwlhfm 1

4

1

3

625 = 24 54 = 5 24 = 5 6 > 24 512 = 24 83 = 8 24 = 8 8 \  ihwlhfm 24

4 12 3

81 = 3 = = ] ! ihwlhfm 12 4

12

1 33

4 48

< 125 = 12

5 =

12 3

3 12 5

=

3

1

81 = 48 34 = 3 48 = 312 > 48 64 =

1 54

1

43 = 4 48 = 4 16 .

48

680. 1

1

Z ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) 2 =4; ( ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) 2 )2=42; xâ&#x2C6;&#x2019;2=16; x=18. [ xâ&#x2C6;&#x2019;2)

2

1 = 42 

Iheh`bf xâ&#x2C6;&#x2019;2=yâ&#x2021;&#x2019;y2= 4 =2;

y=± 2 ; xâ&#x2C6;&#x2019;2=± 2 ; x1=2+ 2 , x2=2â&#x2C6;&#x2019; 2 . 1

\ ( y + 3) 4 =â&#x2C6;&#x2019;1; 4 y + 3 =â&#x2C6;&#x2019; g_l j_r_gbc ld dhj_gv gb ± qbkeh g_hljbpZl_evgh_  1 1 1 = ; y+3=4; y=1. ] ( y + 3) â&#x2C6;&#x2019;1 = ; 4 y+3 4

hc

kl_i_-

1

^ ( a â&#x2C6;&#x2019; 5) 3 =0; aâ&#x2C6;&#x2019;5=0; a=5. _ aâ&#x2C6;&#x2019;5)0=

1 g_l j_r_gbc ld Zâ&#x2C6;&#x2019;5)0 3



gh

1 â&#x2030; 1. 3

681. Z

5

1 5 < x < 5 1  agZqbl 32

2

2

2

1 5 < x 5 <1 5  agZqbl 32

[

2

5

1

5

1

1 < x 5 < 15 ; 25 2

5

1 < x 5 <1; 1024

1

1

2

5

1 < 5 x < 5 32 ; 1< x 5 < 5 25 ; 1 < x 5 < 2 ; 2

2

2

2

2

1 5 < x 5 < 32 5 ; 1< x 5 < 5 1024 ; 1< x 5 < 45 ; 1< x 5 <4. 5

16

www.5balls.ru

2

1 1 < x 5 <1; < x 5 < 1 . 5 4 4


1

1

\

32 < 5 x < 5 1000 ;

5 2

2

25 < x 5 < 5 1000 ; 2 < x 5 < 5 1000

5

2

2

32 5 < x 5 <1000 5 ;

5

1 5

1024 < x 5 < 5 1000000 ;

2

45 < x 5 < 5 10 ⋅ 105 ; 4< x 5 < 105 10 .

682. 3 5 x

Z

3

3

= x5

2

3 2 − 10 15

=x

18 − 9 − 4 30

5

1

= x 30 = x 6 .

x 10 ⋅ x 15

[

a −3,5 ⋅ a 3,8 a −3,5 + a 3,8 a 0,3 = = 0, 2 = a 0, 3− 0, 2 = a 0,1 . a 2,1 ⋅ a −1,9 a 2,1−1,9 a

\ m−0,6 ⋅ m0,2 )2,5=( m−0,6 + 0, 2 )2,5=( m−0,4 )2,5=m−0,4⋅2,5= m −1 =  3 −1  ]  c 4 c 6     

−1

2 7

 9− 2  =  c 12     

1 3

9 7

=c

7 9 ⋅ 12 7

1

1

 25a − 2  2  = ^  4   4b   8 x12  _  6   y 

25 ⋅ (a − 2 ) 2

=

1

5a

4 ⋅ (b 4 ) 2

− 2⋅

2b

4⋅

1 2

1 2

=

.

5a −1 5 = 2 2b 2ab 2

6

1

 y6  3 =  12  =  8x 

=c

3 4

1 . m

y3 1

12

=

83 x 3

y2 . 2x4

683. 3

Z

[

5

x3 ⋅

8 4

x

x −1

10

=

9

3

x 9 = x 5 ⋅ x 10 = x 5 1 x8

x

1 4

1 1 + 4

= x8

1 1

=x 2

+

9 10

1+ 2 8

=x

6+9 10

15

3

= x 10 = x 2 .

3

= x8 . 1

2 1 + 12

\ 3 x 2 4 x = ( x 2 x 4 ) 3 = x 3 ⋅ x 12 = x 3

9

3

= x 12 = x 4 .

17

www.5balls.ru


684.  8 â&#x2C6;&#x2019;2  x3 â&#x2039;&#x2026; x 3 Z  4  3  x 1 = x â&#x2C6;&#x2019;1 = x

?keb x   [    

[ =

â&#x2C6;&#x2019;

[

â&#x2039;&#x2026; â&#x2039;&#x2026;

    

â&#x2C6;&#x2019;

3 2

 8â&#x2C6;&#x2019; 2  x3 3 = 4  3  x

lh



    

â&#x2C6;&#x2019;

3 2

 2 x = 4  3 x









  â&#x2C6;&#x2019;  [ â&#x2039;&#x2026;[   =    [ â&#x2039;&#x2026;[â&#x2C6;&#x2019;    

[ â&#x2039;&#x2026;[ [ â&#x2039;&#x2026; [â&#x2C6;&#x2019; 



â&#x2C6;&#x2019;

3 2

=

 3 2 â&#x2C6;&#x2019;  x  2 4  3 â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2019;  2

x3



















   =    

[

â&#x2C6;&#x2019; +

[

 





â&#x2C6;&#x2019;







=

  

â&#x2039;&#x2026; â&#x2039;&#x2026;



=[

â&#x2C6;&#x2019;

 



[



=[











â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;



=[

â&#x2C6;&#x2019;

1

=



.

 

?keb x



685.

lh x

â&#x2C6;&#x2019;

1 4

=

[ =  Z  \ = 

[ =    \ = â&#x2C6;&#x2019;

[ =  [   \ = 

[ =    \ = â&#x2C6;&#x2019;



4

x

1 4

(0,5)4















686. Z om t [ o

2 t3 1

â&#x2C6;&#x2019;

1 2

=

1

â&#x2039;&#x2026;t2 =t 1 (t 3 ) 2 1

x â&#x2C6;&#x2019;3 = x â&#x2C6;&#x2019;3+2 = â&#x2C6;&#x2019;2 x

=

1 1 = =125. x 0,008



â&#x2C6;&#x2019;

    

1 1 â&#x2C6;&#x2019; + 2 2

= t 0 =  om



m2 o m2. 1

\ o t 2  o2=( t 2 )2=t=( t 3 )3 m3 o3 m3.

687. 18

www.5balls.ru

=

1 =2. 0,5

[

â&#x2C6;&#x2019;

[

















=


Z a

1 1 2 − 3 b 3 (a 3

2 =a3

1 − ⋅a 3

1 = a3

1 − ⋅b 3

1 − ⋅b 3

+

+

2 + b3

1 1 − a 3b 3









[ [ + \ 







2 2 2 1 − 3 3 b ) − (a b 3 ) 2

1 − ⋅a 3

1 − a3

[

 

1 − ⋅b 3

1 − ⋅b 3

=



−\



+

=

2 1 − (a 3 ) 2 1 1 − a 3b 3

\









⋅ (b

2 1 3 )2

=

.

= [

 

− \











+\ = 

= [−\ +\ = [.

688. Z  a −0,5 −3a=a−0,5(2a−0,5+0,5−3a1+0,5)= a −0,5 (2−3 a1,5 ). [  a −0,5 +5 a 0,5 =Z−0,5(3Z−0,5+0,5+5Z0,5+0,5)= a −0,5 (3+5a). \ a−1=Z−0,5(6Z1+0,5−Z−0,5)= a −0,5 (6 a1,5 − a −0,5 ).

689. 1

2

1

⋅2

1

1

Z x 3 −4= x 3 − 23 = ( x 3 ) 2 − 2 2 =( x 3 −2)( x 3 +2). 4

2

1

2

2

[ a 3 −5=( a 3 )2−( 5 2 )2=( a 3 − 1

1



1

⋅2

)( a 3 +



1

). 1

\ m 2 −25= m 4 −52= (m 4 ) 2 − 52 = ( m 4 −5)( m 4 +5). 1

1

1

1

1

1

] −2 x 3 =( 3 2 )2−( 2 2 x 6 )2=( 3 − 2 x 6 )( 3 + 2 x 6 ). ^ c 0,8 − x 0,5 =( c 0, 4 )2−( x 0,25 )2=( c 0, 4 − x 0,25 )( c 0, 4 + x 0,25 ) _ p− p0,6 = p

1 2

⋅2

− p 0,3⋅ 2 =(p0,5)2−(p0,3)2=( p0,5 − p 0, 3 )( p 0,5 + p0, 3 ).

690. 1

1

⋅3

1

Z Z−8= a 3 −23= (a 3 ) 3 − 23 = ( a 3 −2)( 1

⋅3

1

D



1



+2 a 3 +4).

1

1

2

[ 1+27b=13+33 b 3 = 13 + (3b 3 ) 3 =(1+3 b 3 )(1−3 b 3 +9 b 3 ). \ a 0,6 − b0,6 =( a 0,2 )3−( b0,2 )3=( a 0,2 − b0,2 )( a 0,4 + a 0,2 b0,2 + b0,4 ). ] x 0,9 +125=x0,3⋅3+53=( x 0,3 )3+53=( x 0,3 +5)( x 0,6 −5 x 0,3 +25). 19

www.5balls.ru


691. x − y +x−y= x − y +( x )2−( y )2=( x − y )+

Z

+( x − y )( x + y )=( x − y )(1+ x + y ); a +a+ b −b=( a + b )+( a )2−( b )2=( a + b )+

[

+( a − b )( a + b )=( a + b )(1+ a − b );

[

\

3



3

3

3

+4 x 4 +4=( x 4 )2+2⋅2 x 4 +22=( x 4 +2)2;



]

1

1

1

1

⋅2

1

1

1

⋅2

x−2 x 2 a 2 +a= x 2 − 2 x 2 ⋅ a 2 + a 2

1

1

1

1

a 2 )2; 1

1

1

1

^ x+2 x 2 −8= ( x 2 ) 2 + 2 x 2 + 1 − 9 = ( x 2 + 1) 2 − 32 = 1

1

1

1

= ( x 2 + 1 − 3)( x 2 + 1 + 3) = ( x 2 −2)( x 2 +4);

_  [ =3 x

1 4



−5 x



(2 x

1 4

1 4

+1=6 x

−1)−(2 x

1 4

1 2

−3 x

−1)= (3 x

1 4 −

−2 x 1 4

1 4

+1=

−1) (2 x

1 4

−1).

692. Ijb x=

1 a2

xy = x+ y

1)

2)

1 a2

1

b2

+

1 + b2

; y=

1 b2

1









E

D

E

 + E

 D

1 b2 1 a2

1 − b2

1

1

a2

b2

1 + b2

1

a 2 − b2

D  D

1 a2 1 a2

1

a2

+

1 a2

 − E

=

1 − b2



 D

 + E

1

=

 − E  

1

+

 D

 − E

;

1

   D E   D

1

1

(ab) 2

=

1

1

⋅2

a2 − b2 1

1

⋅2

1 1 + b 2 )(a 2

20

www.5balls.ru

1 − b2 )

(ab) 2 ; = a−b

1

a 2 (a 2 − b 2 ) + b 2 (a 2 + b 2 ) 1 (a 2

1

= ( x 2 )2−2 x 2 a 2 +( a 2 )2=( x 2 −

=


=

a+

1 1 a 2b 2

1 1 â&#x2C6;&#x2019; b2a2

+b

a â&#x2C6;&#x2019;b 1

=

a+b ; aâ&#x2C6;&#x2019;b

1 1

1 1

(ab) 2 a + b a 2 b 2 ( a â&#x2C6;&#x2019; b) a 2 b 2 3) : = . = a â&#x2C6;&#x2019; b a â&#x2C6;&#x2019; b ( a â&#x2C6;&#x2019; b)( a + b) a + b

693. 1

Z Iheh`bf c 2 =y; 18m2+3mâ&#x2C6;&#x2019;10=0; D=32â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;18â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;10)=729; y=

5 â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; 729 =â&#x2C6;&#x2019; <0, 36 6

â&#x2C6;&#x2019; 3 + 729 2 = 36 3

dhjg_c g_l ld c 2 ^he`gh [ulv g_hljb 2

1

22 2 4  2 k   = = . 2 3 9 3 3  

1

[ Iheh`bf x 2 =y; 21y2â&#x2C6;&#x2019;6yâ&#x2C6;&#x2019;15=0; D=62â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;21â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;15)=1296; 6 + 1296 6 â&#x2C6;&#x2019; 1296 5  beb y= =â&#x2C6;&#x2019; <0, y= 42 42 7 dZd x

â&#x2C6;&#x2019;

1 2

²

^he`gh [ulv g_hljbpZl_evguf qbkehf  x

1 \ Iheh`bf y 3 =v;

dhjg_c g_l lZd â&#x2C6;&#x2019;

1 2

=1; x=1.

3v2+5vâ&#x2C6;&#x2019;2=0;

D=52â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;3â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;2)=49; â&#x2C6;&#x2019; 5 + 49 1 = beb v 1= 6 3 1 1 . y=( )3= 3 27 â&#x2C6;&#x2019;

beb

1

²

pZl_evguf qbkehf  c 2 = â&#x2C6;&#x2019;

y=

v2=

â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2019; 49 =â&#x2C6;&#x2019;2, 6

²

dhjg_c

g_l

1

] Iheh`bf a 3 =y; 2y2â&#x2C6;&#x2019;7y+3=0; D=72â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;2â&#x2039;&#x2026;3=25; 7 + 25 7 â&#x2C6;&#x2019; 25 1  beb y2= = ; y 1= 4 4 2 1 1 , a=8. a1=3â&#x20AC;&#x201C;3 beb a2=( )â&#x20AC;&#x201C;3; a= 2 27 21

www.5balls.ru


694. 2

1

Z v=

+1=

2 t3

1+ t 3

=

2 t3

2

u

; t 3 =uâ&#x2C6;&#x2019; ke_^h\Zl_evgh v=

2 t3

u ; u â&#x2C6;&#x2019;1

v(uâ&#x2C6;&#x2019;1)=u; vuâ&#x2C6;&#x2019;v=u; vu= u+v; [ u4=t+2; v4=2â&#x2C6;&#x2019;t; u4+v4=4.

695. 1

5

1

1

1

1

1

1

1

1

m 2 â&#x2C6;&#x2019; n 2 m 6 + m 3 n 2 (m 2 â&#x2C6;&#x2019; n 2 ) â&#x2039;&#x2026; m 3 (m 2 + n 2 ) Z 

â&#x2039;&#x2026; = 1 =1 1 1 1 1 1 mâ&#x2C6;&#x2019;n 3 3 2 2 2 2 m m â&#x2039;&#x2026; (m â&#x2C6;&#x2019; n )(m + n ) 1

2)

=

1

1

1 1 m3 n3

â&#x2C6;&#x2019;

1 1 m6 n 6

1 1 1 1 m 3 n 3 (m 6 n 6 1

1

m 2 n 2 â&#x2C6;&#x2019; m6 n 6

1

1

â&#x2C6;&#x2019; 1)

1

1

â&#x2C6;&#x2019;1=

1

1

1

1 1

1

1

m 2 n 2 â&#x2C6;&#x2019; m6 n 6 â&#x2C6;&#x2019; m 3 n 3 + m6 n 6

1

1 1 m3n3

1 1 m6 n 6

â&#x2C6;&#x2019;

1 x 6 (1 â&#x2C6;&#x2019;

1 x6 )

=

1

= m6 â&#x2039;&#x2026; n 6 .

n 6 m 6 (m 6 n 6 â&#x2C6;&#x2019; 1)

[ 

=

1 x 6 (1 â&#x2C6;&#x2019;

1 x6

1 x3

â&#x2C6;&#x2019; 1+ x

1 x6 )

1+ x

+

1â&#x2C6;&#x2019;

+

1â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019;

1 x3

1 x6 2 x3

+

1 x 6 )(1 +

1 x3)

1 13 + ( x 3 )3

1

1â&#x2C6;&#x2019; x 2 1+ x 2) â&#x2039;&#x2026; = 1+ x 1â&#x2C6;&#x2019; x

â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2019;

[

[

=

=

 â&#x2C6;&#x2019;

[

(1 +

 

(1 â&#x2C6;&#x2019;

+

 + +

[ [



â&#x2039;&#x2026;

 

 

 

1+ x

 +

[





=



+

696.

22

www.5balls.ru

[

 

.

1 x 6 )(1 +

1 x 3 )(1 â&#x2C6;&#x2019;

+[

1 x3

 

1 x3)

+

2 x3)



=

â&#x2C6;&#x2019;

[ [

+



;

=


1

1

( a + b) 2 + (a â&#x2C6;&#x2019; b) 2 (a

=

=

1 + b) 2

a+b+

1 2( a + b) 2 ( a

1 ((a + b) 2 ) 2

5(a +

=

=

1

1

1

((a

1 â&#x2C6;&#x2019; b) 2

1 + b) 2

+ a â&#x2C6;&#x2019;b

1 â&#x2C6;&#x2019; ((a â&#x2C6;&#x2019; b) 2 ) 2

â&#x2C6;&#x2019; (a =

1 â&#x2C6;&#x2019; b) 2 ((a

1 + b) 2

+ (a

1 â&#x2C6;&#x2019; b) 2 )

=

2a + 2 ( a + b)(a â&#x2C6;&#x2019; b) = a+bâ&#x2C6;&#x2019;a+b

2 a + 2 a 2 â&#x2C6;&#x2019; b 2 2( a + a 2 â&#x2C6;&#x2019; b 2 ) a + a 2 â&#x2C6;&#x2019; b 2 = = . 2b 2b b

?keb b=

=

â&#x2C6;&#x2019; (a

1 â&#x2C6;&#x2019; b) 2

1

((a + b) 2 + (a â&#x2C6;&#x2019; b) 2 )((a + b) 2 + (a â&#x2C6;&#x2019; b) 2 )

4a a + a 2 â&#x2C6;&#x2019; b2 b a>0 lh = 5 b

a + a2 â&#x2C6;&#x2019; 4a 5

16a 2 25 =

25a 2 â&#x2C6;&#x2019; 16a 2 9a 2 3a ) 5(a + ) 5(a + ) 25 25 5 = 5(5a + 3a ) = = = 4a 4a 4a 4a â&#x2039;&#x2026; 5

5 â&#x2039;&#x2026; 8a 8a = =2. 4 a â&#x2039;&#x2026; 5 4a

23

www.5balls.ru


697.

â&#x2C6; AOB=150°; â&#x2C6; AOD=210°; â&#x2C6; AOC=540°; â&#x2C6; AON=â&#x2C6;&#x2019;45°; â&#x2C6; AOL=â&#x2C6;&#x2019;135°.

698.

{ A{C=â&#x2C6;&#x2019;210°; A{D=240°.

A B=400°;

699. Z α=282°; 270°<282°<360° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb [ α=190°; 180°<190°<270° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,,, q_l\_jlb \ α=100°; 90°<100°<180° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,, q_l\_jlb ] α=â&#x2C6;&#x2019;20°; 270°<â&#x2C6;&#x2019;20°<360° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb ^ α=â&#x2C6;&#x2019;110°; 180°<â&#x2C6;&#x2019;110°<270° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,,, q_l\_jlb _ α=4200°; 4200°=360°â&#x2039;&#x2026;11+240°; 180°<240°<270° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;III q_l\_jlb

700. Z α=179°; 90°<179°<180° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,, q_l\_jlb [ α=325°; 270°<325°<360° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb \ α=â&#x2C6;&#x2019;150°; 180°<â&#x2C6;&#x2019;150°<270° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,,, q_l\_jlb ] α=â&#x2C6;&#x2019;10°; 270°<â&#x2C6;&#x2019;10°<360° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb ^ α=800°; 800°=360°â&#x2039;&#x2026;2+80°; 0°<80°<90° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;, q_l\_jlb _ α=10000°; 10000°=360°â&#x2039;&#x2026;27+280°; 270°<280°<360° agZqbl αâ&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb 24

www.5balls.ru


701. Z °=2â&#x2039;&#x2026;360°+50°; â&#x2C6;&#x2019;310°=â&#x2C6;&#x2019;360+50°. [ °=360°+120°; 1560°=4â&#x2039;&#x2026;360°+120°; â&#x2C6;&#x2019;240h=â&#x2C6;&#x2019;360h+120h.

702. Z °=360°+60°; α=60°; [ â&#x2C6;&#x2019;210°=â&#x2C6;&#x2019;360+150°; α=150°; \ â&#x2C6;&#x2019;700°=â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2039;&#x2026;360°+20°; α=20°.

703. sin35°=

\ â&#x2030;&#x2C6;  â&#x2030;&#x2C6;0,58; 5 

cos35°=

x  sin 35$ â&#x2030;&#x2C6; â&#x2030;&#x2C6;0,82; tg35°= = R  cos35$

\ â&#x2030;&#x2C6;  â&#x2030;&#x2C6;0,71; [ 

[ â&#x2030;&#x2C6;1,4. \ \  sin160°= â&#x2030;&#x2C6; â&#x2030;&#x2C6;0,37; 5  Ã&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;0,93; tg160°= \ â&#x2030;&#x2C6;  â&#x2030;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;0,39; cos160°= â&#x2030;&#x2C6; 5  [ â&#x2C6;&#x2019;  [ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;2,55. ctg160°= â&#x2030;&#x2C6; \  \ â&#x2C6;&#x2019;2,25 â&#x2030;&#x2C6;â&#x20AC;&#x201C;0,75; cos230°= x â&#x2030;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2030;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;0,65; sin230°= â&#x2030;&#x2C6;  R 5 3 \ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;&#x2C6;1,15; ctg230°= x â&#x2030;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;&#x2C6;0,87; tg230°= â&#x2030;&#x2C6; R â&#x2C6;&#x2019;  5 â&#x2C6;&#x2019; \ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;0,97; sin(â&#x2C6;&#x2019;75°)= â&#x2030;&#x2C6; [  Ã&#x2039;  â&#x2030;&#x2C6;0,27; tg(â&#x2C6;&#x2019;75°)= \ â&#x2030;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;3,625; cos(â&#x2C6;&#x2019;75°)= â&#x2030;&#x2C6; 5  [  [  â&#x2030;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;0,28. ctg(â&#x2C6;&#x2019;75°)= â&#x2030;&#x2C6; \ â&#x2C6;&#x2019;  ctg35°=

25

www.5balls.ru


704.

\ ; cosα= [ ; 5 5 [ \ tgα= ; ctgα= . \ [ \  1) sin50°= ≈ =0,8; 5  [  cos50°= ≈ =0,6; 5   \ tg50°= = ≈1,33; [  [  ctg50°= ≈ ≈0,75. \  \  =0,14; 2) sin175°= ≈ 5  [ − =−1; cos175°= ≈ 5  \  =−0,14; tg175°= = [ − [ − ≈−7,14. ctg50°= ≈ \  sinα=

y 5

1 1

3) sin(−100°)= cos(−100°)=

\ ≈ − =–1; 5 

[ ≈ − =−0,2; 5 

\ = − =5; [ − [ − =0,2. ctg(−100°)= ≈ \ − tg(−100°)=

705. Z FRV°+



cos30°=2⋅

[ VLQ°−ctg45°=5⋅

 

 

−1=

+





=3

^  WJ°⋅sin60°=4⋅



_ VLQ°⋅cos60°=12⋅

 

  

 

=1+

3 1 =2 . 2 2

5 3 −1 = . 2 2 

\ VLQ°+6cos60°−4tg45°=2⋅ ] WJ°⋅tg60°=3⋅1⋅

5 x



+6⋅

 

−4⋅1=1+3−4=4−4=0.

.

= 2( 3 ) 2 = 2⋅3=6.  

=

12 ⋅ 3 =3 4

26

www.5balls.ru



.


706. Z VLQ°⋅ctg60°=2⋅

 

[ sin45°−4cos30°=2⋅ \ WJ°⋅ctg30°=7⋅

 

] FWJ°−2sin60°=6⋅





 

−4⋅ 

 

=

( 3 )2  = =1. 3  

=7⋅

−2⋅

=



−2



.

( 3 )2 3 = 7 : = 7. 3 3

 



=2





=



.

707. Z VLQα=1; α=90°; α=810°+360°=1170°;…

α=90°+360°=450°;

α=450°+360°=810°;

[ kRVα=−1; α=180°; α=180°+360°=540°; α=540°+360°=900°; α=900°+360°=1260°;... \ VLQα=0; α=0°; α=720°+360°=1080°;...

α=0°+360°=360°;

α=360°+360°=720°;

] WJα=0; α=0°; 180°; 360°;...

708. Z sinβ=−1; β=−90°; β=−90°+360°=270°; β=270°+360°=630°; [ cosβ=1; β=0°; β=0°+360°=360°; β=360°+360°=720°; \ cosβ=0; β=90°; β=90°+360°=450°; β=450°+360°=810°; ] ctgβ=0; β=90°; β=450°; β=270°.

709. Z LZd dZd –1”VLQα” lh ”1+sinα”2; [ LZd dZd ”FRVα” lh ”2–cosα”3.

710. Z LZd dZd −1”VLQα” lh ”1–sinα”2; [ LZd dZd −1”FRVα” lh 1”2+cosα”.

711. 27

www.5balls.ru


Z ι=90°; 450°; 270°; 810°; [ ι=0°; 360°; 180°; 540°.

712. Z g_ fh`_l lZd dZd [ fh`_l lZd dZd





<1;



+

\ g_ fh`_l lZd dZd ] fh`_l lZd dZd

>1;



>1;



â&#x2C6;&#x2019;





<1.

713.

Z FRV°â&#x2C6;&#x2019;4sin90°+5tg180°=2â&#x2039;&#x2026;1â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;1+5â&#x2039;&#x2026;0=2â&#x2C6;&#x2019;4+0=â&#x2C6;&#x2019;2. [ FWJ°â&#x2C6;&#x2019;3cos270°+5sin0°=2â&#x2039;&#x2026;0â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2039;&#x2026;0+5â&#x2039;&#x2026;0=0. \ WJ°â&#x2C6;&#x2019;

 

sin270塉&#x2C6;&#x2019;



cos180°=0â&#x2C6;&#x2019;





â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;1)â&#x2C6;&#x2019;



 

â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;1)=

 

714. Z VLQ°+2cos60°=0+2â&#x2039;&#x2026; [ WJ°sin60â&#x2039;&#x2026;ctg30°=

  

=1. â&#x2039;&#x2026;

 

â&#x2039;&#x2026;

=



 

.



\ VLQ°â&#x2C6;&#x2019;3cos180°=4â&#x2039;&#x2026;1â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;1)=4+3=7. ] FWJ°â&#x2C6;&#x2019;3sin270°=3â&#x2039;&#x2026;0â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;1)=3.

715.

Z VLQι+cosι=sin0°+cos0°=0+1=1. [ VLQι+cosι=sin45°+cos45°=



+





=



  = 



.

\ VLQÎą+cosÎą=sin90°+cos90°=1+0=1. ] VLQÎą+cosÎą=sin180°+cos180°=0+(â&#x2C6;&#x2019;1)=â&#x2C6;&#x2019;1.

716. Z FRVι+cos3ι=cos30°+cos45°=

 

+

 

=

  +0= .   \ FRVÎą+cos3Îą=cos180°+cos270°=â&#x2C6;&#x2019;1+0=â&#x2C6;&#x2019;1.

[ FRVι+cos3ι=cos60°+cos90°=

28

www.5balls.ru



+ 



.

+

 

=1.


717.

Z VLQ°+sin2â&#x2039;&#x2026;30°+3sin3â&#x2039;&#x2026;30°=sin30°+sin60°+sin90°= 1 3 + +1= 2 2

=

+



+



[ WJ°+tg30°=1+

+

=



=





.



+  . 

718. (a 0,5 + b 0,5 )(a 0,5 + b 0,5 ) â&#x2C6;&#x2019; b 0,5 a 0,5 a 0 ,5 + b 0 ,5 b 0, 5 â&#x2C6;&#x2019; 0, 5 = = 0, 5 a a + b 0 ,5 a 0, 5 ( a 0 , 5 + b 0, 5 )

1) =

D + D E + E â&#x2C6;&#x2019; E D D D + E



D

2) 





D+D D



=( D



D





+E

D



E













+E

+E

)2â&#x2C6;&#x2019;( E







=



D+D D



=



D

D

E





D+D E +E ; D D + E







+E

+E

â&#x2C6;&#x2019;E









=

D













E + E â&#x2039;&#x2026; D D D D + D E + E









D

D + D

E









+E



=

)2=aâ&#x2C6;&#x2019;b.

719. [ â&#x2C6;&#x2019; \ =  Z   [ + \ =  2 + 3â&#x20AC;&#x201D;  ,  x = 2  2  ( 2 + 3 y ) + y 2 = 20;  4

2 + 3â&#x20AC;&#x201D;  , x = 2   x 2 + y 2 = 20;  2 + 3y  , x = 2  ( 2 + 3 y ) 2 + 4 y 2 = 80; 

2 + 3y  x = 2  4 + 12 y + 9 y 2 + 4 y 2 = 80  13y2+12yâ&#x2C6;&#x2019;76=0; D=122â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2039;&#x2026;13â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;76)=4096>0; ke_^h\Zl_evgh ijyfZy b hdjm`ghklv i_j_k_dZxlky \ ^\mo lhq -

dZo

29

www.5balls.ru


 Ë +  É =   Ë =  −  É [    Ë + É =    −  É + É =  







 x = 50 − 7 y  2500 − 700 y + 49 y 2 + y 2 = 50 J_rbf mjZ\g_gb_ y2−14y+49=0; D=142−4⋅49=196−196=0; Ke_^h\Zl_evgh ijyfZy b hdjm`ghklv bf_xl h^gm lhqdm i_j_ k_q_gby l_ ijyfZy dZkZ_lky hdjm`ghklb 

720. 

Z

 

[



2



−  

−   



=



 

1 − 4 4 (3 ) 2



− 

3

((33 ) 3 − (2 4 ) 4 )



=

32 − 2 3 = (9 − 8) ⋅ 3 = 3 ; 3−1

1

((23 ) 3 − (25 ) 5 ) (5 3 )

=

1 3

=

2 2 − 21 = (4 − 2) ⋅ 5 = 10 . 5−1

721.

Z α=48° lZd dZd °<α<90° lh α∈, q_l\_jlb ihwlhfm VLQα>0; cosα>0; tgα>0; ctgα>0. [ α=137° lZd dZd °<α<180°; α∈,, q_l\_jlb ihwlhfm VLQα>0; cosα<0; tgα<0; ctgα<0. \ α=200° lZd dZd °<α<270°; α∈,,, q_l\_jlb ihwlhfm sinα<0; cosα<0; tgα>0; ctgα>0. ] α=306° lZd dZd °; 270°<α<360°; α∈,9 q_l\_jlb ihwlhfm sinα<0; cosα>0; tgα<0; ctgα<0.

722.

Z LZd dZd °<179°<180° lh α=179°∈,, q_l\_jlb ihwlhfm sin179>0. [ LZd dZd °<280°<360° lh α=280°∈,9 q_l\_jlb ihwlhfm cos280°>0. \ LZd dZd °<175°<180° lh α=175°∈,, q_l\_jlb ihwlhfm tg175°<0. 30

www.5balls.ru


] LZd dZd °<359°<360° lh α=359°â&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb ihwlhfm ctg359°<0. ^ LZd dZd FRV °=cos(360°+50°)=cos50° lh °<50°<90°; α=50°â&#x2C6;&#x2C6;, q_l\_jlb ihwlhfm FRV°>0. _ LZd dZd WJ°=tg(360°+140°)=tg140° lh °<140°<180°; α=140°â&#x2C6;&#x2C6;,, q_l\_jlb ihwlhfm WJ°<0. ` LZd dZd sin(â&#x20AC;&#x201C;75°)=sin(360°â&#x20AC;&#x201C;75°)=sin285° lh 270°<285°<360°; αâ&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb ihwlhfm VLQ â&#x2C6;&#x2019;75°)<0; a

LZd dZd cos(â&#x20AC;&#x201C;116°)=cos(360°â&#x20AC;&#x201C;116°)=cos244° lh 180°<244°<270°; αâ&#x2C6;&#x2C6;,,, q_l\_jlb ihwlhfm FRV â&#x2C6;&#x2019;116°)<0.

723.

Z LZd dZd °<315°<360° lh α=315°â&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh FRV°>0. [ LZd dZd °<109°<180° lh α=109°â&#x2C6;&#x2C6;,, q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh VLQ°>0. \ LZd dZd °<145°<180° lh α=145°â&#x2C6;&#x2C6;,, q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh WJ°<0. ] LZd dZd °<288°<360° lh α=288°â&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh FWJ°<0. ^ LZd dZd cos(â&#x20AC;&#x201C;25°)=cos(360°â&#x20AC;&#x201C;25°)=cos335°; 270°<335°<360°; αâ&#x2C6;&#x2C6;,9 q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh FRV â&#x2C6;&#x2019;25°)>0. _ LZd dZd tg(â&#x20AC;&#x201C;10°)=tg(360°â&#x20AC;&#x201C;10°)=tg350°; 270°<350°<360°; αâ&#x2C6;&#x2C6;IV q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh WJ â&#x2C6;&#x2019;10°)<0.

724.

Z VLQα> \ , b ,, q_l\_jlb FRVα> \ , b ,9 q_l\_jlb ihwlhfm αâ&#x2C6;&#x2C6;I q_l\_jlb [ VLQα< \ ,,, b ,9 q_l\_jlb FRVα> \ , b ,, q_l\_jlb ihwlhfm αâ&#x2C6;&#x2C6;IV q_l\_jlb \ VLQα< \ ,,, b ,9 q_l\_jlb FRVα> \h ,, b ,,, q_l\_jlb ihwlhfm αâ&#x2C6;&#x2C6;III q_l\_jlb ] VLQα> \ , b ,, q_l\_jlb WJα< \ , b ,,, q_l\_jlb ihwlhfm αâ&#x2C6;&#x2C6;I q_l\_jlb ^ WJα< \ ,, b ,9 q_l\_jlb FRVα> \h , b ,9 q_l\_jlb ihwlhfm αâ&#x2C6;&#x2C6;IV q_l\_jlb

31

www.5balls.ru


_ FWJα> \ , b αâ&#x2C6;&#x2C6;III q_l\_jlb

,,,

q_l\_jlb

VLQα<

\

,,,

725.

b

,9

q_l\_jlb ihwlhfm

Z °<100°<180°, sin100°>0; 270°<300°<360°; sin100°>0, cos300°>0; sin100°â&#x2039;&#x2026;cos300°>0 [ °<190°<270°, sin190°<0; 180°<200°<270°; sin190°<0, tg200°>0; sin190°â&#x2039;&#x2026;tg200°<0 \ °<320°<360°, cos320°>0; 0°<17°<90°;cos320°>0, ctg17°>0; cos320°â&#x2039;&#x2026;ctg17°>0 ] °<170°<180°, tg170°<0; 400°=360°+40°, 0°<40°<90°; tg170°<0, cos400°>0; tg170°â&#x2039;&#x2026;cos400°<0

726.

Z \ , b ,,, q_l\_jlyo [ \ , ,, ,,, ,9 q_l\_jlyo \ \ , ,, q_l\_jlyo

727. Z VLQ â&#x2C6;&#x2019;30°)=â&#x2C6;&#x2019;sin30°=â&#x2C6;&#x2019;



[ FRV â&#x2C6;&#x2019;60°)=â&#x2C6;&#x2019;cos60°=



.



\ WJ â&#x2C6;&#x2019;45°)=â&#x2C6;&#x2019;tg45°=â&#x2C6;&#x2019;1. ] FWJ â&#x2C6;&#x2019;30°)=â&#x2C6;&#x2019;ctg30°=â&#x2C6;&#x2019; ^ FRV â&#x2C6;&#x2019;90°)=cos90°=0 _ VLQ â&#x2C6;&#x2019;45°)=â&#x2C6;&#x2019;sin45°=â&#x2C6;&#x2019;

.





 

.

728. Z VLQ â&#x2C6;&#x2019;60°)=â&#x2C6;&#x2019;sin60°=â&#x2C6;&#x2019;

 

.

[ FRV â&#x2C6;&#x2019;60°)=cos60°=â&#x2C6;&#x2019;1. \ VLQ â&#x2C6;&am