Page 1

№1

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (0, -2) и (5,8) соответственно. Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют длины 5 – 0 = 5 (горизонтальная) и 8 – (-2) = 10 (вертикальная). Тангенс угла наклона касательной t = 10/5 = 2 Ответ 2

№2


В какой точке отрезка [-5, -1] функция принимает наименьшее значение? Решение. На рисунке изображен график производной. Во всех точках отрезка [-5, -1] производная положительна, т.е. функция на отрезке монотонно растет. Значит, наименьшее значение функция принимает на левом краю отрезка – в точке -5. Ответ -5 №3

Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-17 тогда и только тогда, когда производная равна 2. На графике видно, что график пересекает прямую y=2 в двух точках


Ответ 2

№4

Решение Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (-6, 3) и (2, 7) соответственно. Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют длины 2 – (-6) = 8 (горизонтальная) и 7–3=4 (вертикальная). Тангенс угла наклона касательной t = 4/8 = 0,5 Ответ 0,5

№5

Решение. В точке касания графиков двух функций выполнены два условия. Во-первых, совпадают значения функций, во-вторых, совпадают значения производных. В данном случае это дает систему двух уравнений с одним неизвестным. Такая система не всегда имеет решение. Это и не удивительно: не всякая прямая имеет с данной кривой точку касания. Посмотрим, что будет в нашей задаче. 1)

Равенство значений функций:


3x+8 = x3+x2-5x -4 2)

Равенство значений производных: 3 = 3*x2 + 2x -5

Решим второе уравнение. 3*x2 + 2x -8 = 0 D= 4+96 = 100= 102 x1 = (-2+10)/6 = 4/3;

x2 = (-2 -10)/6 = -2

Проверим, выполнено ли для этих значений аргумента условие равенства значений функций. Для x=4/3 условие не выполнено; для x =-2 – выполнено (и в том, и в другом убеждаемся подстановкой). Ответ -2

№6

Решение. Производная отрицательна там, где функция убывает, то есть график функции идет вниз. По условию задачи, нам интересуют пересечения графика с вертикальными линиями сетки. Таких точек на рисунке 4 . А именно: -5, -2, 2, 3. Ответ 4

№7


Решение. На рисунке изображен график производной. Экстремумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак. На отрезке [-4, 6] таких точек две. Ответ 2 №8

Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x)параллельна прямой a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном


случае a = -1. Точек, в которых значение производной равно -1 (т.е. где график производной пересекает горизонталь y=-1) на рисунке 3. Ответ 3

№9

Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = 0 [b = -20, но это для решения не важно]. Точек, в которых значение производной равно 0 (т.е. где график производной пересекает ось абсцисс) на рисунке 2. Ответ 2

№10


Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (0, 0) и (6, -3) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 6 – 0 = 6 (горизонтальная) и (-3) – 0 = -3 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-3)/6 =- 0,5 Ответ -0,5

№11


Решение. На рисунке изображен график производной. Минимумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак с минуса на плюс. На отрезке [-6, 8] такая точка одна. Ответ 1

№12

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два


узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (-5, -5) и (1, -2) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 1 – (-5) = 6 (горизонтальная) и (-2) – (-5) = 3 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны положительна, т.к. большему значению абсциссы соответствует большее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = 3/6 = 0,5 Ответ 0,5

№13

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (-4, -4) и (4, -6) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 4 – (-4) = 8 (горизонтальная) и (-6) – (-4) = -2 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-2)/8 =- 0,25. Ответ - 0,25. №14


Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x)параллельна прямой a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = 1. Точек, в которых значение производной равно 1 (т.е. где график производной пересекает горизонталь y=1) на рисунке 4. Ответ 4

№15

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (3, 6) и (6, 0) соответственно


(точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 6 – 3 = 3 (горизонтальная) и 0 – 6 = -6 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-6)/3 =- 2. Ответ -2 №16

Решение. На рисунке изображен график производной. Максимумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак с плюса на минуса. На отрезке [-12, 7] таких точек три. Ответ 3

№17


Решение На рисунке изображен график производной. Экстремумам исходной функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0. На отрезке [-9, 7] таких точек четыре. Ответ 4 Пояснение. Это точки -8, -3, 3 и 5. В точках -8 и 3 слева от точки (то есть, при меньших значениях x) значение производной положительно, а справа от точки (то есть, при больших значениях x) значение производной отрицательно. Значит, до точки функция растет, а после точки - убывает. Таким образом, точки -8 и 3 - это точки максимума. Аналогично можно понять, что точки -3 и 5 - точки минимума.

№18

Решение Пусть прямая y = 5x-7 касается графика функции y = 6x2 + bx -1 в точке x= t. Это означает, что: 1)

Производная к функции y = 6x2 + bx -1 в точке x= t имеет значение 5;

2)

Значения 5t - 7 и 6t2 + bt -1 равны.

Учитывая, что (6x2 + bx -1)’ = 12x-b, получаем систему уравнений c двумя неизвестными b, t: 12t + b = 5

(1)


6t2 + bt -1 = 5t – 7

(2)

Решим эту систему. Из (1) находим: b = 5 – 12t. Подставляем в (2): 6t2 + (5 – 12t)*t -1 = 5t – 7 6t2 + 5t – 12 t2 -1 = 5t – 7 6t2 = 6 t = 1 или t = -1. По условию, t < 0, следовательно, t = -1. Из (1) получаем: 12*(-1) + b = 5 b = 5 + 12 = 17 Ответ 17

№19

Решение Из рисунка видно, что угловой коэффициент касательной равен -1/4 = -0.25 Ответ -0.25


№20

Решение Производная обращается в 0 в точках локальных экстремумов, т.е. локальных минимумов и максимумов. На рисунке таких точек шесть: x = 0 (максимум); x = 1 (минимум); x = 2 (максимум); x = 3 (минимум); x = 5 (максимум); x = 9.5 (минимум); Ответ: 6 Замечание. Производная элементарной функции обращается в 0 в точках, где касательная параллельна оси Ox. Это не обязательно точки экстремумов. Например, производная функции y = x3 равна 0 при x = 0, но ни минимума, ни максимума в этой точке нет. Но в этой задаче таких точек нет.

№21 Найдите касательную к графику функции y=x2+6x−7, параллельную прямой y=5x+11. В ответе укажите абсциссу точки касания. Решение


Касательная к графику функции y = f(x) в точке x0 – это прямая с уравнением вида y = f’(x0)*x+b, где b – число. [ Это число можно найти, учитывая, что касательная проходит через точку (x0, f(x0)), но в этой задаче нам нужно найти только абсциссу точки касания].

В нашем случае f(x) = x2+6x−7. Поэтому

f’(x0) = 2*x0 + 6. Две прямые y = a1*x + b1 и y = a2*x + b2 параллельны тогда и только тогда, когда a1 = a2. Так как наша касательная параллельна прямой y=5x+11, то для абсциссы точки касания получаем уравнение: 2*x0 + 6 = 5 Отсюда x0 = (5-6)/2 = -0.5 Ответ -0.5

№22 На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых точек интервала (−2;11), в которых производная функции f(x) положительна.

Решение Ответ 4

№23


На рисунке изображен график функции y=f′(x) на интервале (−16;4).

На отрезке [−11;0] найдите количество точек максимума функции. Решение Ответ 1

№24 На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−1;13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение Ответ 5

№25


На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−4;10). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение Ответ 4

№26

Решение На рисунке - график производной функции f(x). Если не вдаваться в детали, функция убывает в тех точках, в которых производная отрицательна. На рисунке видно, что есть ровно две таких целых точки: x= 5 и x=6. Сумма чисел 5+6 = 11. Ответ: 11

№27


Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= −14t4+7t3+7t2−7t+15 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени t=2с. Ответ дайте в метрах в секунду. Решение Ответ

№28

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (1, 1) и (4, -5) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 4 – 1 = 3 (горизонтальная) и (-5) – 1 = -6 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-6)/3 =- 2. Ответ -2

Практика b9 егэ по математике  
Практика b9 егэ по математике  
Advertisement