Page 1

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ τΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙ ΚΑ ΜΑiΟΣ Ι ΙΟΥΝΙΟΣ 2000 ΤΟΜΟΣ

7 Ι τΕΥΧΟΣ 3

2.300 ΔΡΧ

• Πόσο πίθηΚfJι είμαστε; • Λ πJ.ά μαθήματα φυσικής •

για στpαrηyοιχ;

• Λpχές πις Οεωpίας στpοβίλιιι, • Λ ναbpομίι ιπιιv εξέ).l(η wv μαθημαnκών: 19Qθ-l950 • Η yέrν~ιπι των άστpωv ιw.ι ~~6πιτα

• Οι ανισ6rητtς yίνονται ισι)rηrες • Κατα(J1(1;Ι)ές με κανόνα και δwβήπι

• Γκαζόζες, υπipθεpμα υypά και θάλιιμοι φοσσJ.ίδωv

• O)fya m:pί τpι'/(fιvov

ΕΚΔΟΣΕtΣ ΚΑΤΟΠΤΡΟ


ΠΙΝΑΚΟΘΗΚΗ ~

Σαλmyκτές της αυτοκpατοpικήι; φρουράς ι:ου Ναπολέοντα

(1812/ 1814), tου Theodore Gericau.lt

ΜΕ ΤΟ ΝΊΎΣΙΜΟ ΤΟΥΣ ΔΕΙΧΝΟΥΝ ΝΑ ΕΝΔΙΑΦΕ­ η APOTJ ροvται περισσότερο για εmδείξεις απ' ό,τι γιο μάχες,

ψcτe πώς οι ατμοσφαιριχές ζώνες mγής μnορεf και να κα­ θόρισαν την τύχη της Ευρώπης στη μάχη του Βατερλώ,

τα tφιππα μέλη της αυτοκραtορικ:ής φρουρός αnστελού­

γυρfστc στο άρθρο •Αnλά μαθήματα φυσικής για στρα­

σσν μέσο emκσινων{ας και συνεννόησης κατ6 τη διάρ­

τηγούς- (σελJΟΟ

κεια των ναπολιόνuιων πολέμων. Αυτσ{ ήταν που οόλ­ mζαν τη διαταγή για έφοδο, διέδιδαν το ηαρ6γγελμα για

ρες οληραφαρίες σχετικά με ης αιτίες και άΑλων κυμαu­

υποχώρηση και εμψύχωναν το οτρ6τευμα

η&ριβαλλοντικές συνθήκες μπορούν να cπηρcάσουν τηv

εφόσον φυ­

σικά κατάφερναν να ακουστούν. Έτσι, για να ανσ.καλύ-

60).

Σ' αυτό θα βρefu και μeριιιiς έγιαι­

κών φαινομένων όπως και την αιτιολόγηση γιατί κάποιες άποψή μας για τον κόσμο.


ΜΑiΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

ΤΟΜΟΣ

7I

ΤΕΥΧΟΣ

3

ΑΡΘΡΑ

8

Ιστορία των μαθηματικών

Μσeιιματικά: Πkhomirov

V.

17

1900·1950

Αστροφυσική

Ένα αστέρι yεννιέται ν

24

Surdin

Αντιπαλότητα

Γεωμετρία ολισθαινόντων διανUσμάτων Υ.

42

So/ovyov κοι Α. Sosinskly

Υγρό σε περιδίνηση

οι αρχές της Θεωρίας στ~λων Εικοvοyρόφηση:

Ν.

Jose Garcio

Όταν οι άνθρωποι που •U:fνουν χε(· ρο β<)ηθε(ας• είναι πολλοί, δev απο­

ιtλεfεται να δείτε τις προσπάθειές

ΜΟΝΙΜΕΣ ΣΤΗΛΕΣ

2 ο κόσμος των ψιντων OJ

τους να φέρνουν το αντίθετο αποτέ­

λεσμα από το αναμενόμενο. Βέβαια, αυτή η περίπτωση δεν αναφέρεται στον τοξοβόλο που εικονiζεται στο εξώφυλλό μας- αυτός απλώς μοι6.ζει

να έχει •μπλέξει τα μπράτσα του•. Για ένα mo τυnικό παράδειγμα του ότι •όπου λαλούν πολλοί κοκόροι αρ­ γεί να ξημερώσει•, γυρίστε στη σελ.

24, στο άρθρο

•Γεωμετρία ολ.ισθαιν6-

ντων διανυσμάτων•, και ανακαλύψ­ τε πώς ένα •θηριοτροφείο• κατάφε­ ρε να σταματήσει τους τροχούς •της

προ6δου•.

Zhul<ovsky

7

57 Όπερ έδει δείξαι

εντ:Jμότατοι φiλοι μας

Με κανόνα και δΙαβήτη (μέρος α')

ΣπσζαΚεΦαλιές

23 Πώς λύνεται; 32 Στα πεδία της φυσ8ής Μαγvηnκές αιχμές

60

Αr1λό μαθήpαw φυσικής για σ-φατηyούς

64

36 Στο μαυροπίνακα ι Ολ ύμmα πpοσπάθε1α

38

scrιρta

manent

Στο μαυροπίνακα ιι OJ αVJσότηreς yiνοvται Ισότητες

69

Στο ερyαστήριο Σχόλια στα φαινόμενο του βρασμού

40 ΚαλειδοσΚόπιο Περί φιyώνου

72

ΑnαVτήαεις, Ίnοδείξεις και Λύσεις

78

Πληροφορική

49 Βόλτες στο Διαδίκτυο ΕργαοτιJ>Ια φυσικής ανά τον κόσμο

53

Με λίyη φαντασία

Το μυpμήγκ1 του

Langton

Αναδρομές Τα πειpάματα των και

Frank

Hertz QUAIΠUM I ΠΕΡιΕΧΟΙΙΕΝΑ

1


Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

οι εντιμότατοι

μας

«Οντις έπλασε ο θ1ος την Οικουμένη. το Ληξούρι και τόσους άλλους τόπους .

Η

ΠλλλΙΟλΝθΡΩΠΟΛΟΠΑ, ίσως περισοοτιφο αnό

κάθε άλλη tmστήμη, ι. )(tl μια IIDOtlμημivη ει­

κάνα εξαιτίας της σπουδαιό­

εinε στο νου του: -Α. τώρα δε μου μένε~ πόρι να nλόσω. γιε μου, και τ'ς αθρώnους. Και κει που εκρότειε τον Αδάμ στερνόνε

Πρ6σφατα, παραχολουθώ­ ντας μια χολιγουντιανή τη­ λεοπτική εκδοχή της δίκης

του 'nε: -Συ να 'σαι. Αδάμ. το ζω του ζώνε.

του Scoρes•, μου έκανε εξαι· ρετιιcή εντύπωση η αnόδαση

Ήγουν, να 'σα καλUτερος aπ' όλα·

της πανηγυριιcής ατμόσφαι­

τητας νl.ων ανακαλύψεων.

Είναι κάτι που εξi1JD}lleτtl' τα μέσα μαζικής ενημέρω­ σης. καθώς αρ6:ικοντω στην κο cά καιρούς δροματοποιη­

να 'χης το γόιδορο οποκότουθέ σου.

ρας στην πόλη, fipι αι:ι6 το δικαστήριο. Στο φόντο φα(­

να θρέφεσαι μnαρμποίΜ και τριόλα. να 'ναι Ot λαγγόδες όλες εδικές σου.

νονταν πλακάτ 1<01 αφίσες

μtνη παρουσfαση eν6ς αι:ιο­

Ot σκύλοι ταnεrνοl να σε υnακοίινε

θρωπος &:ν εξελ{χθηκε αnό

λιθώματας το οποίο, 6πως α­

και γιο σένονε οι κόπες να γεννούνε.

τους πιθήκους•. Και το αnο­

ναyγο.λουν, αναιρεί συμπε­

βόνω στην εξουσJα σου τα σnονόκια.

ράσματα ή αιφνιδιάζι:ι τους

ον θέλης ναν τα κόνης τσιγαρίδt· για σένονε φυτεύω ροnανόιοο·

επιστήμονες. Μα αν όντως οι παλαιοανθρωπολόγοι βρί­ οχονταν μονίμως εκτ6ς τό-

μια σκηνή του πανηγυριού να καπνiζει κάτω από tνα

ωρίες τους δεν θα μπορού­ σαν να tmβεβαιώνονται συ­

και σ' αγαπόω πολύ. γιστi μου μοιάζεις!•

νeχώς. Κάnοτε eχνeυρίστη-

-Ανδρέας Λοοκσράτος

κα τ6οο πολύ αη6 τ€τοιου

κορύφωμα της γελοιότητας, παρουσfαζι: ένα χιμπαντζή

εσύ να τρως το μήλο K<J το σίδι· όλα νον τα 'χης, χωρίς να κοnόζης·

που και χρόνου, τότε οι θε­

που διακήρυσσαν άτι •ο άν­

οαν6 οου έγραφe: ·Ο Δαρβί­ νος lι<ανε λάθος, οι m'θηκοι εξελίχθηκαν αn6 τον άνθρω­

πο•! Σήμερα. κοντά tναν αι­ ώνα μετά τη δίκη, αναρωηέ­ μαι πόσο γελοίο είναι το μή­

.___

είδους ανακοινώσεις και την ανeπάρ­

ναι μια αn6 τις eπαναστατιχι!ς προ­

νυμα του πανό. Όχι η πρώτη φρά­

Ι<tια που αnιδιδαν στις ικανότητες

όδους σταν τρόπο που οργανώνουμε

ση του, μα η δεύτερη. Ποια ακριβώς

των παλωοανθρωπολ6γων να ανα­

τις γνώσεις μας· αnοτελεί αδιαμφι­

είναι η οχtση μας με τους ανθρωπο­

πτύσσουν ισχυρι!ς

cιδείς πιθήκους••;

νακοίνωση μιας εργασfας στα διεθνιj

σβήτητα πιv επαναστατική πρ6οδο οτη βιολογfα. Ωστ6οο, παρ6 το yεyrr ν6ς άτι η cξι\ιξη εξηγεί την κατα­ γωγή μας και την ετερογtνειά μαc;.

συνέδρια φυσικής ανθρωπολογίας,

ή (σως και tξαι τίας αυτού, στις μι..

με τίτλο •Πρωτοφανής νέα ανακά­

ρες μας η εξέλιξη αμφισβητείται ευ­

λυψη ανατρtπeι όλες τις προηγού­

ρ€ως. ΠερισσcSτeρο δυσάρεστη για

μενες θeωρίες για την ανθρώmνη ε­

κάθε δύσπιστο ε(ναι η υπονοούμενη

ξιλιξη•. Σε μια κρίση ιιχόμη

mo

Ο]{έση μας με τα άλλα ψ,α -φαiνε­

μαύρου χιούμορ, η ιφιmtή εmτροπή αι:ιοδι!χτηu την πρόταση και μου e-

ται να υπονομεύα αυτό που γνωρί­ ζουμε όλοι μας; ότι οι άνθρωποι e(.

pc:uo: -.η ~ "'Κ rΙ.f1ιξης UiN ~

οtβαλε να ετοιμάσω την ανιιχοίνωση.

ναι μοναδικοί και ξeχωριΟΊ:οί. Δυ·

""' ....,. (ι:ιων, aU6 μ6vο -.η διδαmαιliα

θεωρίες για την

ανθρώπινη cξι\ιξη, που σε μια κρί­

ση μαύρου χιούμορ πρότεινα την α­

' lσωρuιή δΟΟ, I1A)U διeξήχθη w 1925 <no Nt6wv, ιης Πολιτelας tOU τ.ν.αι. ιιαι ιuιτε­ ypόιpη ως •η δ(χη """ mθιj...,•. Anfα umjρ­ ξt η ποραj!Ι'οοη cης Δι6ταξης Butler an6 wv Jobn Scopoι. ωιιφωντι ... Π) διduιξη, ~ ριuόuιν vα διMouC<u cnι> δημ6ο1ο oxoAda wu Τονrο( οοοιαδήποτe θιωρiα ορνdωι cη

θefo Διuι-Ρvιο τοu ιινθι>ώοοο 6οωc; οzρι· ypι~opew <nη ΒΦΑο. Το δ>6wyμο δον ~

""'

ταyωyής tOU ανθρώnοu απ6 μια 1<0-u.\tq)ll t6-

Η εξtλιξη. η αναγνώριση πως ό­

011.ολ6τερη αιι6μη είναι η αποδοχή

λες οι tμβιες μορφι!ς συοχετiζοντω

ξη (ι:ιων. ο J . Scopoι ~= μσθηpαυχός ""'

μ€σω Ι<Οινής καταγωγής και ότι οι

αυτού που μαθαfνουν τα παιδιά στο οχολείο, άτι •ο άνθρωπος κατάγεται

γενετικές αλλαγές οδηγούν στην

αn6 τους πιθήκους•. Αλλά όντως α­

ποικιλομορφία της ζωής στη Γη, εί-

ληθεύει αυτά;

χο ασθeνοWτα καθηγητή. Καcαδιχόοτηκε ""

2

ΜΑIΟΣ Ι ιΟΥΝιΟΣ 2000

δlδαξe w μ6θημα r..N φumοyνωcn;υιών yια δύο ι:βδομdιδιις <rν<ιnληρώνον14 wv ανιfσtοι· χρηματικd nρdοτιμο

200

δολαρlων. α:.τ.ε.)


!Ία να κατανοήσετε πώς είναι να

ερώτημα της θέσης ταυ ανθρώmνου

ερευνά ένας εξελικτικός βιολ6γος το παρελθόν, και τις aπογοητεύσεις βέ·

είδους μέσα στη φύση. Επίσης eγεί·

βωα που δοΙUμάζει, φανταστείτε πως

τρόπου δηλαδή κατάταξης των οργα­

τοποθετείτε δύο καθρέφτες τον ένα

νισμών σύμφωνα με

πόσο στενή

των ανθρώπων· όποτε η περιγραφή τους γινόταν με όρους ανθρώmνων χαρακτηpιστι.κών, προβάλλονταν ως σχεδόν αποτυχημlνες προσπάθειες να γίνουν άνθρωποι. Ο ισχυρισμός

αντίκρυ στον άλλο. Αν σταθeίτε α· νάμεσό τους, στη σωστή θέση, βλi·

εiναι η Ο)(iση τους. Η ταξΙνόμηση α­

ότι •Ο άνθρωπος κατάγεται αοό τους πιθήκους. υπονοd την υποτιμητική

πετε στον πρώ\Ο καθριφτη τον εαυ·

ποοttοπεi στην απεικόνιση της εξε­ λικτικής διαδικασfας ~ήθως υ·

τό σας ακριβώς όπως στέκεται μιψο·

ποτfflεται πως τα περισσότερο όμοια

στά του. θα δείτε ακόμη ένα δεύτε·

σε μορφή ειδη έχουν στενότερη συγ­

γνώμη μας για τούτα τα δυστυχή πρωτεuοντα που δεν εξcλίχθηκαν ποτέ. Ωστόσο, ουνειδητοποιώντας ό­

ρο μικρότερο είδωλο του εαυτού σας

γένει.α. Ωστόσο, τον προηγούμενο αι­

τι οι άνθρωποι δεν κατάγονται από

να κατοπτρ{ζεται από τον δεύτερο

ώνα μάθαμε όπ οι μορφολογικές <r

τους ζώντες σήμερα πιθήκους, αυΊ:ή

καθρέφτη στον πρώτο, και ένα cικό­

μοιόtητες μπορεί να είναι ένας πα­

μη μικρότερο είδωλο να κατοmρ{ζε·

ραπλανητικός οδηγός όσον αφορά τη ουyγένεια, και πως στην ιιροσnάθειά

η πρόταση μπορεί απλώς να σημώ· ν&ι ότι τούτα τα μεγαλόσωμα πρω·

τω από τον ορώ το στον δεύτερο και

ρει το ζήτημα της ταξΙνόμησης, του

tO

τεύοντα έμοιαζαν στον κοινό μας

ξανά πίσω στον πρώτο, κ.ο.κ. Οι κα­ θρέφτες δεν είναι τέλειοι, και υποθέ·

μας να αντιληφθούμε τα σημαντικό·

πρόγονο (βλ. Σχήμα

τερα χαρακτηpιοτικά για την κατά·

στε πως το πρώτο και μεγαλύτερο

ταξη είναι εύκολο να ξεχάσουμε όπ

εξέλιξη του ανθρώπου συνεχιζόταν έως τα σημερινά της enίmδα, η rlt-

είδωλο είναι λfγο διαφορετικό από

η ταξινόμηση δεν συνιστά κατάτα­

λιξη για τους mθήκους σταμάτησε

σας. Το αμέσως μικρότερό του θα εί­

ξη των ομοιοτήτων αλλά γενεαλογfα

πριν καν της δοθεί η ευκαιρία να

ναι περισσότερο διαφορετικό, και το

των ειδών. Τα ταξινομικά ονόματα

αρχfσeι. Είμαστε τα άπτερα δίποδο

μικρότερο αυτού ακόμη πιο διαφορε.

και η διευθέτησή τους σε δενδρο­ γράμματα αναπαριστούν ιστορικές

με τους ανeπτυγμένους εγκεφάλους

σχέσεις και όχι ομοιότητες -όπως οι

χέρια μας απcλεuθeρωμένα από τις

όροι της ανθρώπινης ουyγένeιας (πα­

αοαιτήσεις της μετ.οκfνησης ώστε να

τέρας, εξάδελφος) δείχνουν τη γενε­

μεταφeρουμε και να χρησιμοποιουμε

αλογία των ατόμων και 6χι τ.ο κατά πόσο μοιάζουν. Αλλά όπως με κάθε υποπρο!όν της επιστημονικής σκέ­

εργαλεία για να εκμεταλλευόμαστε το ιιεριβάλλον. Αντιθέτω<;, εκεfνα ε!·

ψης, η ταξινόμηση mθανόν απeικ<r

ιcριά χέρια ένοι.κοι των δέντρων, συ·

κτική επιστήμη. Από καιρού εις και­ ρόν εμφαν{ζεται και κάποια καθαρή

ν{ζει

τις προκα­

νεχιστι!ι; της φήμης του Ταρζάν, που

εικόνα -μια •νοο ανακάλυψη•.

ταλήψεις και τις προλήψεις των τα­

ποτέ δεν κατάφεραν να •προβιβα­

ξινομιστών. Κι όταν αvτικεfμενο της

στούν•. Κι αυτό οι ταξινομιστές το

ταξινομικής γίνεται ο άνθρωπος, η

απεικονίζουν στην κατάταξη των

ταξινόμηση μετατρέπεται οε ερyα·

λείο εδραίωσης της σημαντικής θέ­ σης μας και της υπeροχής μας, διχά­

ευμεγέθων πρωτευόντων με τη δια· κλάδωση σε α>θρωπi&ς και nσνyκ(. δες (τις δύο οικογένειες των ανθρω­

e-

ποειδών nρωtευ6ντων). Οι ανθρωπf·

mβάλλοντας μια μορφή αν tιnαλότη· λους•. Η εκτίμησή μας για τη σπου·

δες αποτελούνται απ6 τους ανθρώ­ πους και όλους τους προγόνους μας ώς το διαχωρισμό με τους mθήκους·

δαιότητα και τη μοναδικότητα του

οι ηονγιdδες αποτελούνται από τους

ανθρώπινου είδους έχει σταθεί εμπό­ διο στο να κατανοήσουμε τη θέση μας μέοα στη φύση και να αντιλη­ φθούμε την αληθινή σχέση μας με

πιθήκους και όλους τους προγόνους

τικό! Αλλά όταν οι διαφορές αυτές γίνονται αρκετές ώστε να καθιστούν τα είδωλα ενδιαφέροντα, αυτά πλέον είναι τόσο μικρά που δυσκολεύεστε να τα διακρfνειε. Τούτες οι μη εστι­ ασμένες εικόνες συνιστούν την έν· δειξη που διαθέτουμε για το τι άλ­ λαξε -την αφeτηρία για την eξελι·

'().

μωι;, όσο σημαντικές κι αν ε(ναι οι

εικόνες αυτές, δεν μας δείχνουν την εξέλιξη· μας δείχνουν μόνο τις

ne·

ριοχές που εξηγεί η εξέλιξη. Η πρό­ οδος στην κατανόηση της ανθρώπι· νης εξέλιξης δεν θα μπορούσε να α­ πορρέει μόνο απ6 την περιορισμένη, στενή και αποσnασματlκή θΟΟση του

παρελθόντος. Οι προσδοκfeς μας εi· ναι πολύ σημ.αντικότερeς απ6 τις α­ νακαλύψει.ς -οι οποίες μπορεf να ε­ πιβεβαιώνουν τις προσδοκfες ή να τις αποκλεiουν. Δεν είμαι ο πρώτος που εmσημώνει ότι δεν βλέπουμε τα πράγματα 6ηως είναι, αλλά 6πως

φαίνονται από τη δική μας σιιοmά. Η αναζήτηση του παρελθόντος μας εγείρει κάποια φιλοσοφικά ζητή­

ματα, διότι εμπεριέχει το θεμελιώδες •• Στη ouνtxm του οαρόνwς dρθροu, Υ"' Α6yους ουωνομίος .... !Ιό-'0, θα Q\-..φlpou)tt ι;οος ~ι&{( m/Jrfl«)ις (αuτ~ ως yνω­ σ«Ν elvtu η ορθή απόδοοη του όροu ψ•) α­ πλώς ως ιrι/Jrfi<I)OIς. (!:.τ.ε.)

oe σημαντι.κό βαθμό

ζοντας έτσι την ανθρωπότητα και

τας ανάμεσα •σε μας• και •τους άλ·

1)· ότι καθώς η

πάνω στα άτριχα σώματά μας· με τα

.

'

ναι οι κτηνώδεις, τριχωτοί, με μα·

τους έως το διαχωρισμό με τους αν· θρώnους. Έτσι, με αυτή την ξεκά· θαρη κατάταξη, διαχωριζόμαστε και

τα άλλα ειδη του πλανήτη.

.Ο άνθρωπος και οι πίθηκοι• εi· ναι μια έκφραση ιης ταξινομικής

Άνθρωnοι (σύγχρονοι)

σχέσης αλλά και μια aτυχής φράση

εξαιρετικά ανθρωποκεντρική. Οι με­ γαλόσωμοι πfflηκοι -ο γορίλλας και ο χιμπαντζής της Αφρικής, ο ουρα· yκοτάγκος και ο γιγαντοιιίθηκος της νοτιανατολική<; Ασίας (που πρόσφα· τα εξέλειψε)- για μεγάλο διάστημα θεωρούνταν εξελικτικά ο aντίποδας

Πίθηι;αι (aνθρωποειδείς)

"'ν Πρ6yονος των

Q\'ilpωOotJ8ώv

Σχήμα

1

Η κ.λωική /iαpβινική 6ιrοψη rης καπηωyιk

rov

ονθpώποv.

QUλNTUM I Ο ΚΟΣ.ΙΙΟΣ ΤΟΝ ΚΒΑΝΤΟΝ

3


τυπικά απ' αυτούς -και γιατί όχι,

νει διίο άτομα. Αλλά, εσείς και ο ε­

γαλείων, τη βράχυνση των κυνοδό­

αφού αληθώς είμαστε διαφορετιχοί; Όλοι yνωρ«,ουν άτι υπάρχει χά­

ξάδελφός σας &ν αποτελείτε αδελφή

ντων και την αύξηση του μεγέθους

ομάδα, διότι με τον αδελφό σας μοι­

σμα ανάμεσα στους αν9ρώnους και

ράζεστε μια

του εγκεφάλου. Υοοοτήριξι: πως οι πρώτοι άνθρωποι υηιjρξι)ν αποτέλε­

ιους πιθήκους, μια σε:ιρci σταθερών διαφορών που βοηθά στη cnuαγρci­

yή απ'

Το γεγονός άτι ο κοινός πρόγονος

της διαιτητικής αλλαγής (από τη δι­

φηση του ανθρώπινου είδους. Μερι­

ατροφή με φύλλα και καρπούς στο

ματος, κίνηση με τα κάτω άκρα)· οι

του ανθρώπου και του mθήκου δεν ήταν ούτε άνθρωπος ούτε m'θηκος έ­ χει γίνει αντιληπτό από πολύ καιρό (αν και η λcιϊκή αντίληψη εξαχολου­ θεί να θεωρεί πως καταγόμαστε από

εγκtφαλοί μας είναι ανεπτυγμένοι

τους mθήκους). Όμως το πρόβλημα

κυν6δαντες)- το βάδισμα στα δύο ά­

και μας επιτρέπουν σύνθετους τρό­

δεν είναι αυτά· το πρόβλημα πηγάζει

κρα απελευθέρωσε τα χέρια ώστε να

πους συμπεριφοράς (κοινωνιχές αλ­

χρησιμοποιούν εργαλεία και όαλα· και οι πολυσύνθετες yνώσεις τις ο­

νοι ρόλοι)· €χουμε αδύναμα και σχε­

από την έρευνα της τiliυταίας εικcr σcιετίας η οποία δείχνει ότι οι άν­ θρωποι &ν ε{ναι αδελφή ομάδα των

τικά άτριχα σώματα, οnόtε βασιζό­

πιθήκων! Μεγάλο μiρος αυτής της

αν6yκη για κοινωνική εξουσία

μαστε στη yνώση και την τεχνολ<r

έρευνας ανήκει στην nαλαιονταλ<r

δημιούργησε αυτή) οδήγησαν στις

γία· δΙαθέτουμε ιχανάτητec; και πα·

γία. Συγιwφιμένα, στ~αι γύρω

αλλα-yiς wυ εγκεφάλου.

νουργία για να μπορούμε να εmβιώ­

από την ανάλυση και την ερμηνεία

οουμe και να διατηρηθούμε στη lμή. Άλλec; διαφοραποιήσεις ανακύnτουν

ενός απολlθώματος ορωτwοvτος nου

Τα υπολείμματα λοιπόν τ.ου ορώ­ του ΡαμΜιθήκου διέθεταν τ.ους μΙ·

ονομάζεται ΡαμQΠfθηκος και χραν<r

κρούς ιtυν6δοvτες που απαιτούσε τα

απ6 τις κοινωνίες των mθήκων. Πε­

λοyείται από

μοντέλο του Δαρβίνου -κατά το

ριλαμβάνουν ομοιότητες στο ενδιαί­

έτη πριν -tνα πρωτεύον που κάncr

ποίο η λειτουργία της κοπής μέσω

-ιημα (πολλοί πίθηκοι ζουν σε ουκνό

τε υποθέταμε πως ανήκε σιους αν­

των κυνοδόντων αντιιι:αταοτ6θηκε

τροπικά δάσος), ομοιότητες στο μέ­

με την κοπή μέσω εργαλείων- για

μα, πολύ εΙΙιμηκυσμένα άνω άκρα σε σχtση με τα κάτω, σπονδυλική στή­

θρωοίδες επειδή το θεωρούσαμε μcr ναδικ6 πρόγονο των ανθρώπων. Η σχέση του ΡαμQmθήκου με τη γραμμή που οδήγησε στον άνθρωπο

την περίοδο γέννησης του ανθρώ­ που. Κιιι καθώς αναχαλύπτονταν 6-

λη με βραχείς οσφυϊκούς σnονδύ­

(βλ. Σχήμα

2) προοδιορfστηκε αρχι·

Ραμαmθήιιου, γίνονταν οροσnάθειες

λ.ους), παράξενο μείγμα δενδρόβιων

κά από τη μελέτη των χαρακτηρι­

να καταδειχτef nως και αυτά ταίρια­

κινήσεων (αναρρίχηση, αιώρηση με

στ!Ι<ών των υπολειμμάτων σιαγόνων

ζαν σιο μοντιλο του Δαρβfvου -μi­

τα χέρια, σφιχτή λαβή με τα πόδια,

και δοντιών που ανακαλύφτηκαν

χρι σημείου να αρχίσει έρευνα για

ενεργητική αιώρηση ταυ σώματος με

στα 6ρη Σ!βάλlχ της ηπειρωτικής Ιν­

στοιχεία των πέτρινων εργαλείων

εναλλακτική μετάθεση των χεριών -βραχιόνωση), εδαφόβια οροσαρμ<r

δfας. λfγα χρόνια μετά τη δίχη του

που •nράιει• να κα'rοσχεύαζαν αυ­

Scoρee! Όταν βρέθηκαν τα πρώτα α­

wί οι πρώιοι αν9ρωπfδες. Τόση ή­

yή που φοvερώνει πως αυτά τα πρω­

πολlθωμένα οστά χω δόντια του Ρα­

ταν η υπερίσχυση της θεωρίας ένα­

τεύοντα ε(ναι ικανά για βάδιση και

μαmθήκου, θι:ωρήθηκαν υπολείμμα­ τα του ανθρώπινου προγόνου, διότι ταίριαζαν με τη δαρβινική θεωρία για την προέλευση του αν9ρώπου.

ντι των στοιχείων, ώστε τα ατeλή υ­ οολεfμματα του ΡαμQmθήκου ήταν

Ο Δαρβfνος ενέκυψε σε αυτά που

με τη δαρβινική θεωρία για την πριr

κές απ6 τις διαφορές αυτ6; είναι μcr ναδικ6; για μας. Για παράδεlyμα, εί­ μαστε δίποδοι (όρθια στάση του σώ­

ληλεπΙδράσεις. γλώσσα, κατανεμημέ­

γεθος και τη μορφή (για παράδειγ­

με τα πόδια και με τα τέσσερα άκρα (χρησιμοποιώντας τις aρθρώσεις του ταραού και τις γροθιές τους παρά

6, τι

mo πρόσφατη κα'roy<.r

με τον εξάδελφο.

10

ώς

σμα της εδαφικής προσαρμογής και

14 εκατομμύρΙα

τις παλάμες των άνω άκρων). Καθώς η ταξινομική αντιμετωπί­

θεωρούσε ως τα τέσσερα ιδιαίτερα

ζει αυτά τα γεγονότα με έναν -ι;υm­

χαρακτηριστικά του ανθρώmνου εί­

κ6, συστηματικά τρόπο, το αποτέλε­ σμα μοιάζει αδιαμφισβή-ι;ητο. Αλλά εδώ αναφύεται ένα πρόβλημα. Η τα­ ξινομική αντιθeση μεταξύ αν9ρωm­

κυνήγι). Στην αλυσίδα των αιτιολ<r yήσεώv του, η χρήση των εργαλεί­ ων κατέστη σημαντική για την από­ κτηση λεfας (τότε σμικρύνθηκαν οι

ποίες αιιαι τοlίσε η τεχνολογία (και η

nou

cr

λο και περισσότερα υπολείμματα του

•yνωοτ6• ως αυτ6 Ί>ων πρώτων αν­

θρωπιδών -δεδομένου ότι ταίριαζαν έλευση των ανθρωπιδών.

Κάτι άλλο σημοvτικό εκείνο τον δους: τη δfποδη στάση, τη χρήση ερ- καιρό σε οχtση με τον ΡαμQffi'θηιι:ο ήταν η υπόδειξη πως η γραμμή που οδηγεί στον άνθρωπο έφτανε ποΜ Άν6ρωnοι rορ!λλο; Χιμnα­ Οuραγ.ο­ μcικριά στο παρελθ6ν- πως οι πράγ<r vτζήδεc;

δών και nονγχJδών αφορά στενά συ­ σχετιζόμενα εiδη τα οποία ονομάζου­

ιόyι<ΟΙ

νοι των ανθρώπων ήταν παρόντες στα μέσα της Μειόιιαιvης nερι6δαυ,

με αδελφ6; ομάδες. Ο όρος σημαίνει ποίες συγγενικά συνδέονται στενά

τουλάχιστον 14 εκατομμύρια χρόνια πριν, πολύ νωρfτερα από τη διά0)(1· ση μεταξύ των ζώντων ειδών των

και μοιράζονται μια κοινή και ά]α·

mθήκ.ων. Η περίπτωση του Ραμαnι­

ση καταγωγή. Εσεiς και ο αδελφός

θήκου έμοιαζε να δείχνει αυτά που

αυτό που υποδηλώνει: ομάδec; οι ο­

σας, ας πούμε, αποτελείτε παράδειγ­

Σχήμα

2

και οι συγκριτικοί ανατόμοι θεωρού­

μα αδελφής ομάδας που περιλαμβά-

fl σvμ{!αnιιή καrιfrά{ιι.

σαν δεδομένο: ότι οι άνθρωποι είναι

4

ΜΑIΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000


η αδελφή ομάδα όλων των mθήκων.

περίπου την εποχή του Ρομαπιθή­

σμούς του τύπου •οι δικές μου εν­

Τούτη -την αντίληψη την άλλαξαν

κου, άρα αυτός δεν μπορεί να ανή­

δείξεις είναι καλύτερες από τις δικές

δύο ανακαλύψεις -η μία κάnοιων απολιθωμάτων, η άλλη σε ένα εργα­ στήριο γενετικής- και η θεώρηση πως η ταξινόμηση σκοπό έχει να προβάλει τη γενεαλογία και ό){1 απα­

κε στους ονθρωπίδεc;. Επειδή τούτα

σου•. Ένα όμως είναι βέβαιο: το κα­

τα αιιοτελέσματα έρχονταν σε αντί­

λύτερο αποτέλεσμα προκύπτει όταν

θεση με την αποδεκτή ερμηνεία ότι

καθεμιά από τις δύο επιστήμες δρα

οι Ραμαπίθηκοι ήταν αvθρωπίδες,

ως ανεξάρτητος ελεγκτής των υπο­

πολλοί παλαιοονθρωπολόγοι επέμει­ ναν σε αυτή, διότι γνώριζαν καλύτε­

θέσεων που διατ\/Πώνει η άλλη. Μέ­

πρόβλημα αναδύθηκε όταν

ρα τις δικές τους πηγές δεδομένων.

στε σε ξεκάθαρες προβλέψεις ότι οι

βρέθηκαν σχεδόν αλήρη υπολείμμα­

Οι γενετιστές ανθρωπολόγοι, πάλι,

γενετικές σχέσεις ανάμεσα στα ζώ­

τα του Ραμαπιθήκου. Τα καλύτερα διατηρημένα δείγματα θ>ειξαν ότι οι

επεμειναν στα

προηγούμενες ερμηνείες είναι λαν­

•ερα, και έτσι ξεκίνησε μια μακρο­

ντα είδη ερμηνεύονται αιιό το αρχείο απολιθωμάτων της Αφρικής. Για πα­ ράδειγμα, προσδοκούμε η ανατομία

θασμένες και ότι πραγματική συγγέ­

χρόνια έχθρα. Στις μέρες μας αιιοτε­

του γορίλλα να εμφανίζει κοινά γνω­

νεια αυτού του πανάρχαιου ασιατι­

λεί ρουτίνα η άμεση σύγκριση των

ρίσματα με την προγονική κατάστα­

κού πρωτεύοντος δεν υπάρχει με

δομών του

DNA (δηλαδή, η ακριβής

ση των αφρικαVJκών ειδών. Ακόμη,

τους ανθρώπους αλλά με τους aσια­

ακολουθία των ζευγών βάσεων στο

μπορούμε να εκτιμήσουμε τη χροVJ­

τικούς mθήκους. όπως οι ζώντες σή­

μόριο του

για την εξαιφiβωση

κή στιγμή διαχωρισμού του ανθρώ­

μερα ουραγκοτάγκοι. Οι ομοιότητες

της σωστής σειράς αιιόκλισης. Σήμε­

που αιιό το ){1μπαντζή (το πόσο πρό­

με τους ανθρώπους παρέμεναν ου·

ρα, μπορούμε με επαρκή βεβαιότητα

σφατη είναι)· μια τρέχουσα εκ-ιίμη­

σιαστικές, αλλά εξεταζόμενες μέσα στο πλαίσιο των πλήρων δειγμάτων

να προσδιορίσουμε από μια ομάδα

ση μέσω μελέτης του μηοχονδρια­

τριών ειδών ποιο δύο είδη απέκλι­

κού

κατέστη φανερό ότι -τα όμοια χαρα­

ναν περισσότερο πρόσφατα (δηλαδή,

κτηριστικά απεικόνιζαν την ανατο­

ποια δύο είδη είναι αδελφά).

μύρια έτη. Η προσεκτική ανάγνωση του αρχείου των αιιολιθωμάτων μάς πείθει πως αυτές οι προβλέψεις μπο­

ραιτήτως την ομοιό•ητα. Το

.

' συμπερασματα

της γε-

νετικής. την οποία γνώριζαν καλύ­

DNA)

σα από αυτή τη θεώρηση οδηγούμα­

DNA κα•αλήγει στα 5-7 εκατομ­

μία του l!:Οινού προγόνου όλων των

Η μεγάλη έκπληξη, λοιπόν, συνί­

mθήκων και των ανθρώπων- δεν α­

σταται στο ότι το αδελφό προς τους ανθρώπους είδος δεν είναι ούτε η ο­

ρούν να επιβεβαιωθούν.

μοιράζονταν ο Ραμαπίθηκος και ο άνθρωπος εξαιτίας μιας ειδικής σχέ­

μάδα των μεγαλόσωμων πιθήκων

τές οι λεπτομέρειες για το γενικότε­

(βλ. Σχήμα

η τα­

ρο ερώ•ημα του πώς (και του γιατί)

σης τουc;. Μnορούμε βέβαια να μελε­

ξινομική, ούτε η ομάδα των αφρι­

τήσουμε το θέμα από τη σκοmά του

κανικών mθήκων (){1μπαντζήδες και

οι άνθρωποι σχετίζονται με τους πι­ θήκους; θα πρέπει να τονίσω 6τι,

ποιος απέκλινε πρώτος. Η πρότερη

γορίλλει;), όπως υπθ>ειξαν τα πρώτα

κατά την ταξινόμηση, όλα τα κατα­

σκέψη ήταν πως πρώτοι απέκλιναν

γενετικά δεδομένα· σχεδόν με βεβαι­

τασσόμενα μέλη πρέπει να μοιάζουν

οι άνθρωποι, κι έτσι απετέλεσαν την

ότητα, είναι μόνο ο χιμπαντζής (βλ.

με μια οικογένεια που παίρνει θέση

αδελφή ομάδα όλων των οσιατηι:ών

Σχήμα 3). Για την αδελφή ομάδα των

για τη χριστουγεννιάτικη φωτογρα­

και αφρικανικών ειδών πιθήκων. Τα

ανθρώπων και των ){1μπαντζήδων, ο

φία; καvι(ς δεν πρέιτει να μείνει απ'

πιο αλήρη aπολιθωμένα υπολείμμα­

στενότερος συγγενής είναι ο γορίλ·

έξω. Οι ταξινομικές ομάδες, είτε ωιο­

τα του Ραμοmθήκου δείχνουν ότι

λαc;. Ο μεγαλόσωμος aσιατικός πίθη­

τελούν•αι από τα μέλη της οικογέ­

πρώτοι aπέκλιναν οι ουραγκοτάγκοι (βλ. Σχήμα 3) και ότι αυτοί αποτε­ λούν την αδελφή ομάδα των αφρικα­ νικών πιθήκων (Χιμπαντζήδες και

κος, ο ουραγκοτάγκος, αποτελεί την

νειάς σας είτε αιτό τα είδη ένα εκ

αδελφή ομάδα και των τριών αυτών

των οποίων είναι και το ανθρώπινο,

αφρικανικών πρωτευόντων.

πρέπει να είναι μονοφυλετικiς· να α­

Η γενετική και η παλαιοανθρω­ πολογία έχουν ιστορία αντικρουόμε­

ποτελούνται από τον πρόγονο και ό­

Η πρόσθετη ένδειξη για τη σχέση

νων ερμηνειών για την εξέλιξη, οι

ποντας κάποια aπολωλότα πρόβατα

ανάμεσα σε mθήκους και ανθρώπους

οποίες συχνά οδήγησαν σε ισχυρι-

της ομάδας. η εικόνα μπορεί να yί­

ποτελούσαν χαρακτηριστικά που τα

γορίλλες) '"" των ανθρώπων.

βασι"ζι:ται σε μια αρκετά διαφορετική πηγή -τις γενετικές συyιφίσεις των

ζώντων ειδών. Αρχικά, μερικ€ς δε­ καετίες πριν, οι γενετικές σχέσεις ε­ κτιμούνταν έμμεσα από τις μελέτες

των γονιδιακών προϊόντων, όπως οι πρωτείνες. Αυτή η έρευνα λοιπόν έ­

δειξε πως οι ουραγκοτάγκοι σχετίζο­ νταν εξίσου με τους αφρικανούς

m-

Ουραγκοτάγκοι

1), όπως προτείνει

Και λοmόν, τι σημαίνουν όλες αυ­

λους τους aπογόνους του. Παραλεί­

νε•αι περισσότερο αποδεκ•ή αλλά ταξινομικά είναι λανθασμένη. Για roρflleς Χιμua- Άνθρωποι την ανθρώmvη οικογένεια είναι εύ­ vτζήδες κολη η δημιουργία μιας μονοφυλετι­

~..•

θήκους και τους ανθρώπους· επομέ­

κής ομάδας -αρκεf να συμπεριλά­ βουμε όλους τους εν ζωή ανθρώ­ πους. Εντάξει για μας, αλλά ποιοι

άλλοι ανήκουν •στην παρέα μας•; Το γνωρίζουμε: οι πίθηκοι. Εξετάζοντας όμως αυτό τον όρο

νως, aπέκλιναν πρώτοι. Ο συγκεκρι­

Σχήμα

3

υπό το φως tων εξελικτικών σχέσε­

μένος διαχωρισμός συνέβη χρονικά

Η τρέχοιχια καrόrά{ιι.

ων όπως τις κατανοούμε τώρα, δεν

OUANTUM I Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝ1ΏΝ

5


αναφέρεται πλέον σε μια μονοφυλε­

τική ομc!δα. Δεν υπc!ρχει οικογένεια που να αποτελείται μόνο από mθή­ κους. ούτε υφίσταται ισχύων όρος σε κανένα ταξιvομητικό σύστημα που να αναqiρεται σ' αυτούς και μόνο. Η

ΠΕΡΙ ΟΔ Ι ΚΟ Γ Ι Α ΥΙΣ ΦΥΣ Ι ΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑθΗΜΑΥΙΚΑ ~"Κ ε.._κ~-~ ·ΝsτΑJ

αnώτηση ότι κανένας από την οικο­ γtνεια δεν πρέπει να παραλειφθεί ση­ μο(νιι πωι; και οι άνθρωποι πρέπει να συμnεριληφθούν! Αλλιώς, θα ήταν

μι ΠΙ ""μιrpοζ>ι Πf< ~ Έ....,. ΚDθrιrιJ>ών -ιπk ΙλλΡ'f) roo ΕθνιΦ6 EtpJJot.l/'.ou ΚtJSιπrιτώΥ ΝοθrιJι<mιι;wν fNCΊ'NJ των Hflλ

m.

λΜΕΡΙΚλΝΙΚΒ ΕΚΟΟΣΗ

σαν να tβyαζες μια φωτογραφία της

Ειtδdι,ς

οικογένειάς σου με τα αδέλφια, τους

Oerald Ρ. Wheeter. Διοιχιμι.κ~ διe.uθvν~~ς. NS"J'λ

γονείς. τις γιαγιάδες, τους θείους και

τις θείες και όλα τα ξαδέλφια σου, με εσένα απόντα. Συνεπώς, η θιοη μας

λmnunιt.ι.ων Eιt66πtc

S.rιιoy Κι<>tον. Δι<UθΙΜΙ\<. Γροφ<iο Knn~ Καθηγητή< ΦwiOf\<. Πολι<ι....S Παναtοοt!\μ>ο <η< ΜΟΟΧο<

Yurt

1fU1iuι Ρ.

nontoD.. Mt'ιd..\b) Φι.\'f''ς <Μσθημοu&4), Παvσιιοtι\)ιιο της ~ M:aiριthO

τω φανερή: rΊα να αποτελούν οι οi­ θηκοι μονοφυλετιιιή ομάδα, πρέηει

να συμπεριληφθούν σ' αυτήν και οι άνθρωποι. Αν υπάρχει ταξινομική ο­ μόδα που να συμπεριλαμβάνει mθή­

Larry D.

~~ ...

s•-••. κ.eql"'l•lk Φwuuic:. ι........ο.. 4>uαuι4< . .. Τηνώαyίας ο;ης ΙΙDαισο:

λlbm ι.

~ ~ ... Jlοθιιμοnιι4 Marl> 8. Saul. !:ύμjlαu.l.o< Υ~. ~ ..., Μιφ6vφι.\. Νι!ο Υ6ρ&η

Ιror

F.

8h.U')"'bι. Καθιινιιαk Μcι&zu,ιοτuώΥ. Κρaιtd ΠCΙΥaιιοιr{μ.tΟ ιης Μ6οχος AνunιιnlUovoo Αρχtσvνώχτριο J~D.Δίfa' .Μ.. •·υ.ι

και εμε(ς ε(μαστε πίθηκοι, με κάθε mθανή σημασία της λέξης. οπτική για ,;ο •ποιοι είναι οι εντιμό­ τατοι φfλοι μας• προέρχεται το κέρ­

σχf.σεων, t{μoqrε mθηκοι, αν και α­ ποτελούμε μια πολύ ιδιώτερη κατη­ γορ(α τους. Αυτό που είμαστε δεν

μας έκανε η προέλευση του ανθρώ­ που· ούτε λ6γος της μοναδικότητάς

r ..

,..,

Tod νlttltoo. Σtrνι~ Καθηyηnk Φuouujς. JWA>oς. Φ.\4ρ>νιa Pettr νιιιιcmeιι. Κtνιρο θttuιώv ~ aσι Wαθημσιwaν. Aό•Oιt'f'k,. Μ fιοητσν Bλo\HNDDI ΕΚΔΟ:&ΙΙ

ε.&fπι< Ι ~ λλάD<; Μάpα}.ης

r au\4

Γιώρyος Κawιλ.ιtρηι;·-φuοuόι; και λλiaος Μι\μαλ.ης.φuοιιι6c;

1!1&ιιrοf οι.ινtρ)'d1tς λ"Δt EnJ«ημιmidX (Jf}μ/kw.ωι Κώοwς Βαοιλιι6.δης, λνοnlηρωτ-~ς Κοθη•ιφής ΥοολοyιοWν, Ποvmιο"fμιο

πει να ανακαλύψουμε για το είδος

μονοπότι και

6)(1

το σημείο απ' όπου

το μονοπότι ξεκfνησε.

- Milford

Η.

Μrιdφροοιι kΩJ EnwrlfJI(rνtκ.?/ unμ/J.ιuι ιο ιιιtχος σuνtρ\~ltCI\' οι a..&.: εt.Διος ΖαΧQΡiοο-μοθημοι ιώ::,

ΜιχcU.ης Μμnροu .μο&ημaηιιιSς, Ιωάννα λoooώlou-fιoλ6yoc;, ll~yoς Μaλ.άμηι;-~ιa.\6γac;.

μπαν μας. Αν υπάρχει κόtΊ που πρέ­

ναι τα βήματα που έκανε σε αυτό το

Mllford

Η.

θρω~

Wolpoff,

Γιώρyος &η,Φος, Διtυ&υνnk tvo11ιoU-tou Μ<φια:a:ιΧ Bιo.\oylaς, Ί3ρι,ιμσ Τηνο1Δγ(ος cοι Έρwvας Μ>χ6.\η< Λ6puρou, λνani.Ju>ω•ιk Καθηyηnk Μοθηι>ο<ι•ών . Πονmισtl(μ"' Κρ4ιης ε.ι.ονοc: Τραχονόο, •uοι&όο;. Ειδικόο; Εn>σι!\μων λ" ΒοθμJ&(. ~ "rηνo.loyloς""' ~ θ<οδ<Ιοης J<4ιιcnοδου1όJυιο;. 8αιιια<ιρος Καθηyη•ιk Φυο•&Ι\<. nοντσ.... !\μιο λθην<Ιν

""'"""""' ιιοφl}.ι.. Βιι· Ι'Ιιοοlοιι<

Wolpoff

oro

Πaνt11wdfμιo rov Mί­

JJξW κριnκή που ο.mαί οπι θtωρw της

·Εύαι;• -aτά την οποw οι ιniyxpovoι άνθρωποι αποrtλούv ένα vlo ιiδος που εμφανfοιηκι στην Αφρική μεrαl,ιJ

και

6

200 χιλιάδων

Ν. llov.W..loς

χαθηyηιής αν­

myxαv, ιfwu παlύ yvωοτός yισ πι δpι­

ι:rών πριν.

ΜΑIΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

100

rou Οχάιο

Πiιpo4t Δήωας, Εnfιιοuρος Κaθηyηιής Φvοι~ς. Γlονιη ιοι~μφ Κρήιηc;

ι:ια.-

Ο

Ro...,.

λιtlov Eι.eabatt. τμήpο θnutώv ~. Μ&.,. ι.... Νι!ο Ycfιwl Κοι;ιο Jo.....oa. Κοθqτηιριο Φvο1χήc. Ο.ι.......ι Πaνιιt>011\μιο βdι>αος Κcφoli•O< Μ- J . Κ....οy, ΚΔθηyήιρια Μαθημση&ών , Κώιy>Ο •>1< 8οcn4νης. Μ_.ιΗη λluιuMI4r Sοιι.... ΚαθηΥ'Ι <1\< Μαθημσταώο, n........,.μ Κοlφlνιο, Κο.\οι>6νιο tαptνy&C 8arl>ara L Stotl, Καθητητριο Moe>woη...... ΛΟuιο ωu ~ Λοuι(ιm

νια επιτυχία, άγνωστη στον πλανή­

μας από τη θαλή προϊστορία του, εί­

ι.

V. ΚbOUJ'Y, λνώιcρος e&ιιλιισt~ uοιS.Uηλος. MPf Joh.Ω λ. 1'borpe. Διοιχηfιa.όι; Δ.ιιv&uηιk, Ncn.t G~rιt BeπM.,t, Κοθηyητ~ς Μο&ημα~ιa.ών. fvcnιt:od1o 1ι.χνολοvιCιι: Ro.Halman., Ιπιdνσ

ξειι!νημό μας ακολουθήσαμε ένα μο­ νοπότι που μας οδήγησε σε μια οnά­

ρι'ζουμε, χωρίς ταίρι ατο κοντινό σύ­

.....e<Δ

κ

Ευμ.βοώ.tυrlkl{ cnιφonιf

θemanl

μας είναι η γενεαλογ{α μας. Από το

τη πριν από μας και, απ' όσο γνω­

ΥηΝθuνος v4t•~ θιr:μΔt:ων

~ οιΜο{ος τιmothy Weber. 1'tωc; <Ψχιοvνι4ι.της \OU Quιnιum YuH Dulloν, EρtUVηrήc: Α' ΒοΟμ;δος. lvoυ,o\!10 Κιιrthιtον Yeνrenlya Moroaoνa. Αρχισννώχ.τρια, Γροφι(ο K•-.at

Από τούτη την ευμετάβλητη προ­

τού μας. Βόσeι των γενεαλογικών

-.q

IUrltpaιήdι, Κoθql"'lnk ~ Ο.ι........S !ΙαναDΟt!\μιο ιης ιια.,άνσς

κους και ανθρώπους, σημώνει πως

δος μιας βαθιάς επίγνωσης του εαυ­

16p4.-τtιtQί Δια.~ς Wηοl.ιι< Οιιιlpyωa. Πρ6eιδρος. Γpοιιιιίο

K•u.t Sbtld.oD Lee Oleιhow. Βρaριiο Ν~ (Φvσwi). floνmwrcι{μtO ιοu ΧάρCΙιαρn

στη φύση και η πραγματική σχέση

ανθρώπων και πιθήκων τώρα γίνε­

.... Htlλ

....... r_.., κ.,.,., ..., l'ωoml< ~tος ε•......,..;..

v-...

~

Μ. ΜόpΔ1η

Bo,!Uo&ιvlo

θ, Αρχονιοο1άιαις

Το ιιο--- -llllλ ...S aς- Spιlιφw -...., EIWδo ....S aςΙ!οδ6- ιι.ίισσφο ΥηΝθuνος \"10 ιηv t.Uηvw\ 6ιΙΙοοη ......... μο uι νdμο' λΙ. 114μa.Ιης Qιιοιιhι.ιιι. Ιιιιιιιvιeιfο rιιpΜΔιU. ΙSS~· ΙΙΟS.!$81 Copτripι C yισ πιv t.Uιιvιια( τλώι,σο:: λλ. Jιι4μώηc.. ΔlιΟιtfi)L(οtιις ωι ιιι:νιpιισf 3ιd.θrmι: !•&6οι:ι~ Κάτοmρο. Jοοdρων 10 ιιι:ιι A04MitιJJ\1Jt, 114 71 Αθήνα, tηλ.:

tOH 364S'2'72, 31WSOM.

(aι;

(01) 8641864.

Bιp.\ιonωA.t:fo: tι.od \OU 'ιβλ.(ου < Πονtaιοιημίοv 49J.

106 64

Αθήνο., \ηλ.: (Οιt

3247786.

4

Αιιοyοιι:ιakιο.ι ιι ~~ μt'ιdδοόη pι: ο~ δήαοtt μiοινν ιS 1pSot Qoo ~ μipouc; ""' rrριοδι· :ι.Ο\1 χω,t~ ιη• Ιyyροφη 6δuι:ι 10υ tddιη. Τιμ~ • • tιι.fxwc; οιι:ι ρι~Jonω.lt(a: 2.300 &ρχ. Εtήσιο w4ρομι{: 12.000 6ρχ y.οιδ~1rς. 21.000 δρχ. yιcι βι,βλJο&ιίι.ec. J~μο.,ι:ι ιιοι oρyav~

Τιμή οολωών uιιχών

010 Μ'λιοιιω1ι:Ιο: 2.800 δρχ.


ΣΠΑΖΟΚΕΦΜΙΕΣ

,

Για να περνά η Σ181 Κοπw.σnκrί αvαζήl7/ση. Γράφουμε διαδο){lΚά όλους τους φυσικούς αριθμούς αρχίζοντας από το 1. Ποιο ψηφίο είναι το 500.000..6 σε αυτή την ακολουθία;

Σ182 Αyωνισnκά npοβ1ήμ.ατα. Σε μια αθλητιχή διοργάνωση, μέρος σε αγωνίσματα στiβου,

48

50

100

μαθητές έλαβαν

συμμετείχαν σε αγώνες κολUμβησης κα.ι

σε αγώνες σκοποβολής. Το πλήθος των μαθητών που έλαβαν μέρος σε

&να μόνο είδος αγωνισμάτων ήταν διπλάσιο από το πλήθος των μαθητών που έλαβαν μtρος σε δuο είδη αγωνισμάτων και τριπλάσιο από αυτούς που έλαβαν μέρος σε τρία είδη. Ποιο είναι -ι;ο πλήθος των μαθητών που συμμετείχαν στη διοργάνωση;

Σ183 Καυτό npόβ.ιηpa. ΧρησιμοποιοUμε τέσσερα ηλεκτρικά μάτια ταυ-ι;όχρονα για να τηγανίσουμε μmφτέκια. Οι συνδέσεις των ηλεκ φι κών μαηών και οι τιμές των αντιστάσεών τους παρουσιάζονται στην ειχόνα. Σε ποιο θα ετοιμαστοUν πρώτα τα μπιφτέιuα;

Σ184 Ομαλιί άνοδος. Δύο κυκλιχοί πύργοι έχουν το ίδιο ύψος αλλά διαφορετικές

διαμέτρους. Κάθε πύργος περιβάλλεται από μια ελικοειδή σκάλα, από τη βάση έως την κορυφή. Οι δύο σκάλες έχουν ίσες και σταθερές κλίσεις. Ποια σκάλα είναι μακρύτερη;

-"'"" ~ ο

<

'8, -e

Σ185 ΠαvδαισUι χpωμ.ότων. Διευθετήστε στο επίπεδο

""']

11 μη εnικαλυnτόμενα

..,

ίσα τετράγωνα έτσι ώστε με όποιον τρόπο και αν τα χρωματίσουμε,

.., "!!..

χρησιμοποιώντας τρία χρώματα, να υπάρχουν δυο ακριβώς τετράγωνα με ίδιο χρώμα που εφάιπονται κατά μήκος μ.ιας πλευράς.

Ω

.."

:r

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΥΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΕί\.

;"

~

72

QUANTUM / ΣΠΑΖΟ ΚΕΦΜΙΕΙ

7


ικά:

1900·1950

Μια επισκόπηση του πρώτου μισού του 20ού αιώνα

ν. τikhomlroν

τΕΛΟΣ 1ΌΥ 19οΥ AIUNA ΚΑΙ Β ΑΡΧΗ 1'0Υ 200Υ

Τα ernτεύγματα των μαθηματικών ~<ατά τον 2Οό αιώ­

σφραyfστηΙ<αν από την πρωτοφανή ανάπτυξη της ε­

να ξεπερνούν mθανότα~α οτιδJinοτe εηετεdχθη τις προ­

πιστήμης Ι<αι της τεχνολογίας. Το

ηγούμενες δυόJ11οt χιλιετίες. Πώς θα iπρeπe να προσεγ­ yfσουμε τ.α επιτεύγματα αυτJ\c; της επιστήμης; Κατ' αρ­ χάς θα οχολlάσουμε τα οφέλη ιιου μπορούν να προσπο­ ρίσουν τα μαθηματιΙ<ά στην ανθρωπότητα.

1895,

ανΟ.J<άλυψε τις 01<τίνeς Χ, ο Ρορον και ο

φηύραν το ραδι6φωνο. Το

ο Rδntgen

Marconi

ε-

1896, ο Antoine-Henri Becque-

rel αν01<άλυψε τη φυσιl<!\ ραδιενέργεια των αλάτων του ουρανίου. Το 1900, ο Planck ανέnwξε τη θεωρία της θερ­ μικής ακ tινοβολίας βασιζόμενος στην κβαντική υπ60ε­

Στόχοι των μaθιψστιΙών

πρώτο ~ροπλάνο που Ι<ατασκεύαοον οι αδελφοί Wrigbt

Τον 19ο αιώνα υπήρξε μια σημαντική διαφωνία ανά­ μεσα σε δύο εξέχοντες επιστήμονες: τον γάλλο Jean Fourier και τον γερμανό Κarl Jacobi. Ο Fourier υποστήριξε

eκτιλεσε μια πτήση

59 δeυτeρολέπτων. Το 1905, ο Α'iν­

ότι σκοπός των μαθημα-.ΙΙ<ών είναι να υηηρeτούν τη με­

στάιν ανέπτυξε την eιδιi<J\ θεωρία της ΟΧΠΙΙ<ότητας (πα­

λέτη των νόμων της φύσης. Ο Jaωbί ιοχυριζότ.αν ότι ο

ρόμοιες ι&!ει; eίχe αναπτύξει wυτόχρονα ο

Poincan!) και

στόχος τους είναι να εξυψώνουν tO ανθρώmνο πνεύμα·

έδωσε νtα ώθηση στην κβαντική θεωρία (eξήyησe θεω­ ρητικά το φωτοηλeκτρΙΙ<ό φαινόμενο), θeμeλίωσε τη θεω­

υποστήριζε ότι τα μαθηματΙJ<ά tχουν Ιtάποιο •εσωτερι­

ρία της κίνησης Brown ιtα1 δημοοίευοε wv τύπο Ε = mc'.

χνης. δύσκολα μπορε( να eξηyηθεf.

ση. Την !δια εποχή εισήχθη ο όρος yοv!διο και δημιουρ­ yJiθηκe το υπέροχο πεδίο της γενετικής. Το 1903, το

κό• νόημα που, όπως το νόημα της ποίησης ή της τέ­

Εκείνη την εποχή πολλοί άνθρωποι πίστεψαν ότι η

Αλλά πiρα από τη μελιτη της φύσης και την •εξύψω­

πρόοδοc; εnρόuι~ο να φέρει την παγκόσμια ευημερία και

ση του ανθρώmνου πνεύματος•, το &ρέθισμα για νέες μαθηματικές έρευνες στην εποχή μας το έδωσαν προnά­

την επικρότηση της λογικής.

Αλfμονο, αυτές οι προσδοκίες δεν έμελλε να επαληθευ­ θούν. Πολλά τραγικά γεγονότα συνέβησαν κατά •ον 206

ντων οι πρΟ.J<πκές eφορμογiς στη μηχανολογ(α, στην τε­

αιώνα: πόλεμοι, γενοκτονίες, περιβαλλοντική υποβάθμι­

μαθηματικά συνέβαλαν και στη φιλοσοφιi<J\ κατανόηση

ση, φρικτά εγκλήματα, κ.ο.κ. Την παρούσα στιγμή, το

του κόσμου μας.

χνολογ(α, τα οικονοJ11κά και τη βιολογία. Επιπλέον, τα

ανθρώπινο eιδοc; αντιμετωm~ι ιδιώτερο σοβαρά προβλή­

Στη συνέχεια, θα nεριγράψουμε την ιστορική ανά­

ματα και, αν δεν καταφέρουμε να ενωθούμε και να ακού­

πτυξη των μαθηματικών κατά τον

σουμε τη φωνή της λογικής. μπορεί να οδηγηθούμε στον αφανισμό. Τον προηγούμενο αιώνα μια τέτοια κατάστα­ ση ήταν αδιανόητη; τα πλούτη της Ι'ης έμοιαζαν ανεξά­

άλλαζε γρήγορα, και το ιδιο συνtβη με τα μαθηματΙJ<ά.

Η επιστήμη (ιιαι ιδιώτερα τα μαθηματικά) διαδρομά­

τιοαν σημαντικό ρόλο σε όλες τις αλλαγές που συντελέ­ στηκαν τον 206 αιώνα. Ποιeς αλλαγές, λοιιιόν, συνέβη­ σαν στα μαθηματικά κατά τη διάρκειά του; Στο παρόν

Ο κόσμος

σχολές Ώς τις αρχές του 20ού αιώνα η ανάπτυξη των μαθη-

ντλητα ιιαι ουδeίς αισθανόταν όπ απειλείται η !δια η ύ­ παρξη της ζωής.

206 αι<δνα.

ματικών υπήρξε Ιtατά κύριο λόγο υπόθεση ορισμένων μόνο χωρών.

Ο 19oc; αιώνας οφραγfστηιι:ε από wv ανταγωνισμό δύο

0

~ φ

1 ·;;:

?.

"'

g.

μαθηματικών σχολών: της γαλλll<!\ς ιtα1 της γερμανιl<!\c;. ~ Ο

F.

Κleίn έδωσε μια εvτυnωσιΟ.J<ή, αν και μεροληπτι-

~

άρθρο θα εξετάσουμε την ιστορlα των μαθηματικών κα­

1<1\, nεριγροφή αυτού του ανταγωνισμού στο εξαιρετικά -~

τά το πρώτο ήμισυ του 20ού αιώνα.

ενδιαφέρον βιβλlο του Ανάιπvξη των μοθημαnκών κατά

8

MAIOI / ΙΟΥΗΙΟΣ 2000

-


ι

, ,. , . ,.

... t •

ι

v

J'Wιι

....... »

.ιι.ιιι a•JJ

• •

Friday tιSII)fJ

-=t

·-

...

OUAN1ΊJM I ΑΡθΡΟ

9


rον 19ο αιώνα. Στην αρχή εκείνου του αιώνα ηρυτόνeυe

τοπολογία, την πολυδιάστατη μιγαδική ανόλυση, την αλ­

στα μαθηματικό ο

γεβρική γεωμετρία, τις ομόδες

Gauss και στο τέλος του ο Poίncan!.

Στο γύρισμα του αιώνα εμφανίστηκαν και 6λλι:ς μα· θηματι.ιι6; σχολές. όnως η ιταλική, η ουγγρική, η αυ·

παραστάαεων. Οι

mo

Lie και τη θεωρία ανα­

ξακουστές emτυχίες ιιαι τα πλέοv

στριαιιή, η σουηδική Lά. Στο μiσα του 19ου αιώνα εμ· φανιζtται η ρωσική σχολή (κνρίως στην Πeτρούnολη)·

τιμη1:1ιιά βραβεiα ανήκουν σε μαθηματικούς που eργά· ζονται στα προαναφερθέντα πεδία. Ωστόσα, αντή η αλλαγή στις προτεραιότητες συνέβη

ιιαtό τη δεύτερη δeιtαeτία του 20ού αιώνα~

μεtό τον Β' Παγιιόσμιο Πόλeμο και βρίσιteΊ>αι έΙμ από

θηιιε αnό τη σχολι1 της Μ6σχαc;. που αναδείχθηκ.e στη

το πλαίσιο του άρθρου. Ποιοι ή~αν οι νέοι κλάδοι των

σημαντικότερη nαγιιοσμίως σχολή κατά τη δeιtαetία του

μαθηματικών που αναnτύχθηκαν στις αρχές του αιώνα;

Στην αρχή του 20ού αιώνα παρουσιάζονται και οι

Πρώτα αn' όλους. η σvναρrησ14Κι[ ονιUυση, η ronaλoyίa και η θεωρία. σvναρrήσεων. θα ξεκινήσουμε την emσκό· πηση των εmτευyμάτων των μαθηματικών κατά το πρώ­

1930.

πρώτοι σημαντικοί μαθηματικοί στην Αμeρικ~. Τέλος, μετά τον Α' Παγιι6ομιο Πό4μο εμφαν(ζεται η πολωνι· ~σχολή. Αυτή ήταν η κατόσταση στις αρχές του αιώνα. Στις μέρες μας. η κατόσταση αλλάζει άρδην. Τα μαθηματικό

μεταμορφώνονται σε μια πραγματικά διεθνή entστ~μη. Το όραμα του Hilbert γtα f:ναν κ6σμο eνωμtνο σε μια μοναδι~ μαθηματική κοινότητα αρχfζει να nρογματο­ ποιdtαι. Οι eρeυνητικές κατευθύνσεις αnέιηησαν μeyα­ λιheρη nοι!αλfα και οι αροτ;εραιότη~ tχουν αλλόξeι.

το ~ισυ του 20ού αιώνα με την εξέταση αυτών Ί;ων κλάδων.

Συναρtησιαιcή ανάλuσπ Η εμφάνιση της συναρςησιακ~ς ανόλυσης αποτώi tνα από τα σπουδαιότερα γεγονότα στην εξέλιξη των μαθηματικών πριν αnό τον Β' Παγιι:όσμιο Πόλεμο.

Tou·

τος ο νiος κλάδος των μαθηματικών συνδύασε πολλές έννοιες της κ.λασικ.ής ανάλυσης. της γραμμικής άλγεβρας

Νέες εξελι'ξε1ς

και της γεωμετρίας.

Για να σχηματίσουμε μια yev1Xιj ιδΟΟ σχεtικό με 'tO

Ήδη

on6

'tO τέλος του 19ου αιώνα είχαν eπισημαν·

nοιοι κλόδοι των μαθηματικών εμφανiζοvταν ως οι ση.

θεf ορισμένες ομοιότητες μεταξύ της θεωρfας των γραμ·

μαντι.κότεροι στις αρχές του 20ού αιώνα, αρκεί να δού·

μικών αλγεβρικών εξισώσεων μe πeπeρασμtνο πλήθος

με Ί>Ον κατόλογο των θεμάτων του Δεύτερου Μαθημα·

μεταβλητών και Ί>ων αnειροδιάστατων αναλόγων

τικού Συνεδρίου των Παρισίων, που πραγματοποιήθηκε το 1900. Το συνέδριο αυτό άσκησε σημαντιι~:ότατη επί­

των γραμμικών ολοιιληρωτικών εξισώσεων. Το αποφα· σιστι.κό βήμα το πραyματοnοfησε ο Fredholm το 1900. Αντικατέστησε την ολοιιληρωtική εξίσωση

δραση στην ιστορία των μαθηματικών, διότι εκεί ο

bert

Hil·

διατύnωσε τα περίφημα προβλήματό του. Στο συ·

νtδριο ααρουσιάστηttαν τέσσερα ιώρια θέματα: αριθμητι·

χ(ι) - λ

κ.ή και όλγεβρα, ααeιροστικός λογtσμός, γεωμετρία, μη· χανtΙή και μαθηματική φυσική. Υπήρχαν δύο αρόσθε­ τα θιματα: ιστορία και βιβλιογραφία, δtδασιιαλία και μt-·

θοδολογία. Οι αλλαy6; που emtελioθηJtOV στη διόρκεια του 20ού

•JK(t, r)x(r)dτ = y(t ), •

wύμενη συνόρτηση, με

w

t-ξής σύστημα γραμμικών εξι·

σώm:ων:

(2)

των θεμάτων Ί>ων σύyχρονων μαθηματικών συνεδρίων:

όλγεβρα, θεωρία αριθμών, γεωμετρία, τοπολογία, αλγε· βρική γεωμετρία, μιγαδική ανόλυση, ομόδες Lie και θεω­ ρία αναnαραστόσεων, πραyμαη~ και συναρτησιαιιή

( 1)

όπου y (') ιιαι Κ(·,·) δεδομένες συναρτήσεις ιιαι χ(') η ζη­

αιώνα καθίσταντα1 nρ6δηλες αν δούμε Ί>ουc; καταλόγους μαθηματική λογική και θεμελίωση των μαθηματιιιών,

wuc;.

Προς τούτο, αντι.καWστηοε 'tO ολοκλήρωμα με προσεγ· γ(σεις ολοιιληρωτικών αθροισμάτων διαμερίσεων

ι, =

νόλυση, θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματική στατιστι­

a + ih,

kv = K(t1,

κή, μeριχές διαφορικές εξισώσεις. συνήθεις διαφορικές ε·

χ, = χ(ι,), .Υι

a

y(ι,>.

r), 1 S i, j S n .

ξισώσεις. μαθηματική φυσική, αριθμητικές μέθοδοι και

Οι μέθοδοι γtα την ε.πίλυση των σuστημότων γρομ·

θεωρία uπολογtσμού, διαιφιτά μαθηματιιιά και συνδυα· στι~, μαθηματιχiς ατυχiς της αληροφορικής. εφαρμο­ γές μαθημαηιιών σε μη φυσικές emστήμες. ιστορία των μαθηματικών και διδαιιτική τους.

μικών εξισώm:ων αναπτύχθηιιαν καtό τον 18ο αιώνα. Η πρώτη yνωριμiα με τις μεθόδους αυτlς γίνεται στο λύ­ ιιειο, ιωι η πλήρης θεωρία με4τ6ται στο πρώτα έτος του

Πολλοί αnό αU'tΟύς wυς κλάδους των μαθηματικών

πανemοτημiου. Με τη βο~θεια αυτών των μεθόδων ιιαι παfρνονταc; τα όρια των προσεyγίσεων, ο Fredholm ανα·

ήταν όyνωστοι πριν από τον 20ό αιώνα. EIUJJ!roν, οι

κόλυφe συνθήκες εmλυσιμότητας και αλγοριθμουc; γtα

προτεραιότητες έχουν αλλάξeι: Πριν από τον Β' Παγιι6-

την επίλυση της εξίσωσης

σμιο Πόλεμο Ί>Ο ενδιαφέρον στα μαθηματικά enικeντρω­ νόταν στην ανόλυση και τους κλόδους tηc; (εξισώσεις

έδωσαν το f:νανσμα γtα την ανάπτυξη μιας θεωρίας που

της μαθημαηκής φυσικής. θεωρία πtθανοτήτων και θε·

φαρμόζεται σε αντικείμενα ενός χώρου άπειρων διαστά·

ωρία μιγαδικών μεταβλητών). Μεtό τον πόλεμο, τα ενδι·

σεων. Έτσι, γεννήθηκε η ypαμμιιeι[ σvναρτη(JΙ4Κι[ ανά·

αφέροντα πολλών μαθηματικών μετατοnfστηκαν στην

λυσιz.

10

ΜλiΟΣ Ι ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

(1).

Τα αnοτελέσματα αυτό

συνδυάζει αλγεβρικές και γεωμεtρικές μεθόδους και ε­


Ένα άλλο σημαηικΌ μέρος της συναρτησιακής ανά­ λυσης ιjταν η θεωρία των rεrραyωvικώv μορφών, που

την ανέmυξε αρχικά ο Hilbert την περίοδο Κάθε τετραγωνική μορφή

1904-1906.

Q<x,, χ2) = a x + 2a,H, + a.,x; 2 11 1

μετατρέπεται στη διαγώνιο μορφή λ1y1' + λ~i με κατάλ­ ληλη στροφή των αξόνων. Ο Hilberι απέδειξε ένα ανά­ λογο θεώρημα ytα την τετραγωνική μορφή b b

JJ K(t, r)x(t)x(τ)dtdr,

Q(x(·)) =

•• όπου K(t, r) = Κ(τ, t ) ytα κάθε t και τ του [a, b]. Εδώ το όριομα, αντί για ένα διάνυομα χ = (χ 1 , χ,), είναι μια τε­ τραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση χ(·). ΜΙα συνάρ­ τηση καλείται τετραγωνικά ολοκληρώσιμη αν

Jx' (t )dt < ~.

Το σύνολο αυτών των συναρτήσεων εκλήθη χώρος Hilbert και συμβολίζεται συνήθως με L,. Η θεωρία των τετραγωνικών μορφών στους χώρους

Hilbert απετέλεσε

το μαθηματικό θεμελιο της κβαντικής μηχανικής.

Ανάπτυξη της τΟΠΟλΟyίας Συς μέρες μας χρησιμοποιούμε τη λέξη τοπολοyία για να αναφερθούμε σε δύο διαφορετικούς κλάδους των μα­ θηματικών. Από της eμφανίσeώς τους, για να διακρίνο­ νται οι δύο κλάδοι, η λέξη rono.loyίa χρησιμοποιούνταν σε συνδυαομό με δύο rιροοδιοριστικά επίθετα. Ο πρώτος κλάδος, που τον ανέπτυξε αρχικά ο Poiπcare, ονομάστη­ κε συνδυαοτικι[ τοπολοyία, και ο άλλος, που πρώτος τον ονομάστηκε yενικι[, ή σvνο1οθεω­

pη,πκή, τοπaλοyία. Η γενική τ.οπολογία συνδέεται στενά με τη θεωρία συνόλων και βρίσκεται στα θεμέλια των μαθηματικών, σύμφωνα με το σχέδιο που ανέrιτυξαν yt' αυτή την επι­ στήμη οι διάδοχοι του Cantor -ο Hilbert, ο Η. Weyl και ά.\λοι. Η εν λόγω αξιωματική θεωρία έχει ως αντικείμε­ νο τη μελέτη εννοιών όπως το όριο, η σύγκλιση, η συ­ νέχεια, κ.ο.κ. Κατά τον

206 αιώνα,

ο

Uryson, που βρήκε τραγικό θάνατο σε ηλικία 26 ετών. Σήμερα, όταν αναφερΌμαστε στη γεωμετρική τοπολο­

γfα, το eοίθετο σvνδuαιmκι[ συνήθως παραλείπεται. Ο

όρος ronaλoyία, εκτός αν δηλώνεται διαφορετικό, αναφέ­ ρεται στο έργο του Poincare. Η μοίρα των δύο τοπολογιών ή ταν διαφορετική. Η γενική τοπολογία, εξυπηρετεί κυρίως την ανύψωση του

ανθρώπινου πνεύματος, αλλά δεν εμπλέκεται άμi:σα στη μελέτη των νόμων της φύσης και την εφαρμοομένη έ­ ρευνα.

Για μεγάλο διάστημα, και η γεωμετρική τοπολογία

εθεωρείτο επίσης αφηρημένη επιστήμη. Πολύ ορόσφα· τα, όμως, αποδείχθηκε ότι μπορεί να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε τη δομή του σύμπαντος. Επιπλέον, τοπο­ κά τους κλάδους των μαθηματικών: την ανάλυση, τη

Cantor,

ένας εκπρόσωπος της σχολής μαθηματικών της Μόσχας,

λογtκ.ές μέθοδοι χρησιμοποιούνται σε όλους κυριολεκτι­

b

εξερεύνησε ο

ψε μια μέθοδο επίλυσής του), ο ολλανδό<; μαθηματικός Brouwer, ο Γάλλος Lebesgue, ο Αυστριακός Menger και

η θεμελίωση της γε­

θεωρfα των διαφορικών εξισώσεων, κ.ο.κ. Η τοπολογία αποτελεί πλέον έναν an6 τους κεντρικούς κλ6δους των μαθηματικών.

Θεωρία συvαρτήσεων Στην αρχή του αιώνα ο

Lebesgue

ολοκλήρωσε την

κατασκευή της θεωρίας του μέτρου και της ολοκλήρω­ σης. Κατά τον 19ο αιώνα, ακολουθώντας τον Caucby και τον

Riemann,

οι μαθηματικοί όριζαν το ολοκλήρωμα

•Jf(x)dx •

ως το όριο αθροιομάτων

Riemann.

Δηλαδή, ως προσεγ­

γιστικές τιμές του ολοκληρώματος λαμβάνονται οι επό­ μενες παραστάσεις:

Σrιξ,)(χ, - χ,_,). ,., b εfναι μια διαμέριση του διαστήματος ολοκλήρωσης κω ξ1 ένα σημείο του δια­

όπου

a = .χ0

<χ,

< ...

<χ. _, < χ. =

στήματος 1:%1 _ 1, .χ,].

Ο

Lebesgue εισήγαγε έναν διαφορετικό τρόπο προσέγ­

νικής τοπολογίας επετεύχθη από τον γερμανό μαθηματι­

γισης. Αντί του άξονα χ διαμέρισε τον άξοναy με σημεία

κό Hausdorff, τον πολωνό Kuratowski, τον εξέχοντα ρώ­ σο μαθηματικό Ρ. Alexandroν της σχολής της Μόσχας, και άλλους.

... Υ, _1 <Υ, < ..., υποστηρίζοντας ότι στην περίπτωση των

Η συνδυαστική τοπολογία είναι κλάδος της γεωμε­

aσυνεχών συναρτήσεων είναι αδύνατο να επιλέξουμε ένα σημείο ξ, που θα εκπροσωπεί κατάλληλα τη συνάρτηση στο διάστημα [χ, • 1, χ,]. Ωστόσο, τα σύνολα Ε, επί του

τρίας. Μελετά τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων

άξονα χ για τα οποία ισχύει Υ, _ 1

που παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από αμφιμονοσήμα­

αποδειχθούν αρκετά αλλόκοτα εφόσον η εξεταζόμενη συ­

ντες συνεχείς αnεικονίσεις. Ο

κατασκεύασε μια

νάρτηση είναι αρκούντως περίπλοκη. Επομένως, ytα να

αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση ενός ευθύγραμμου τμήμα­ σήμαντη συνεχής απεικόνιση ενός τμήματος επί ενός

αναπτυχθεί η θεωρία ολοκλήρωσης, έπρεπε nρώtα να α­ ναπτυχθεί η θεωρία του μέτρου. Με άλλα λόγια, έπρεπε να μάθουμε πώς μπορούν να μετρηθούν τ€τοια αλλόκο­

τετραγώνου. Αυτό το θεώρημα αποδεικνύεται στη θεω­

τα σύνολα. ΠρΌκειται για ένα πρΌβλημα που τη λύση

ρία των διαστάσεων. Αρκετοί εξέχοντες μαθηματικοί συμ­

του την οφείλουμε στον

Cantor

τος επί ενός τετραγώνου. Όμως, δεν υπάρχει αμφιμονο­

μετείχαν στην ανάπτυξη αυτού του κλάδου της τοπολο­ γίας: ο

Poincare

(που έθεσε το πρόβλημα και περιέγρα-

Ο

Lebesgue

Borel

S: f{x) < y 1 μπορεί να

και τον

Lebesgue.

όρισε το μέτρο ενός συνόλου Ε (ας πού­

με, στο διάστημα

[0, 1])

ως εξής. θεώρησε το κατώτερο

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

11


φράγμα των αθροισμάτων των μηκών των διαστημάτων

λο των μαθηματικών στη μελέτη των νόμων της φύσης.

που καλύπτουν το Ε και το ον6μασε ανώrφο μέrρο rού

Θ φυc8ή

Ε. Το ανώτερο μέτρο ορίζeται για κάθε σύνολο. Το σύ­ το άθροι­

Κατά το τέλος του ι9ου αιώνα η φυσική δημιουργού­

σμα του ανώτeρου μέτρου τού Ε και αυτ6 του συμnλη­

σε την εντύπωση εν6ς ολοιcληρωμένου γνωστικού πε­

ρώματ6ς του (ως προς το διάστημα [Ο, ι]) ισούται μe ι.

δίου. Σύμφωνα με iνα θρύλο, ένας νtος' που ήθελε να

Σε αυτή την περίπτωση, το ανώτερο μέτρο τού Ε ονο­

ασχολ.ηθεf μe τη φυσικ:ή ζήτησε τη γνώμη εν6ς φτασμέ­

νολο Ε ιιαλefται μεrpήσιμο ιrοτά

μάζεται μέrρο

Lebe$gue

Lebesgue eάν

του συνόλου Ε και συμβολίζe­

οπτικέ<; σ' αυτ6 το γνωστικό πεδίο -μόνο δύο προβλή­

ται με

mes(E). Lebesgue

νου φυσικού. Εκείνος του απάντησε ότι δεν tβλεηε προ­

Riemann

ματα παρέμεναν άλυτα: η ερμηνεία του πειράματος των

που χρησιμοποιούνταν για τον ορισμό του ολοκληρώμα­

Michelson-Mσrley και η διαλε6κανση των νόμων της

τος με αθροίσματα της μορφής

ακτινοβολίας. Η λύση τους δεν θα βράδυνε πολύ, ιιαι

Ο

οντικατrοtησε τα αθροίσματα

τότε δεν θα απέμενε πλέον τίποτε άλλο να γίνει στη φυ­

Σ ιι;mes(E, }

σική.

Έπειτα από μερικά χρόνια, το πρώτο πρόβλημα θα

6ηου η, είναι ένα σημείο του διαστήματος

(y1 _ 1, y,).

Πt­

ριέγροψε γλαφυρό τα nλεονeκτήματα της μeθόδου του ουyιφίνοντας τον φόπο που χρησιμοποιούν Μο υnάλ­ ληλοι για να μetρήσουν ένα χρηματικά ποο6. Ένας άπει­ ρος υπάλληλος μeτρό τα νομίσματα μe τη ιmρό που φτά­

νουν σ' αυτόν. Ένας πεπειραμένος και μeθοδικ6ς υπάλ­ ληλος ενεργεί ως eξήc;: Έχω

mes(E 1)

νομίσματα της μίας

δραχμής. το άθροισμα των οποίων ισούται με ι χ

Έχω των

mes(E 1).

mes<E,) νομίσματα τ-ων δύο δραJQΙών, το άθροισμα οποίων ισούται με 2 χ mes(E,}. Έχω mes(E•} νομί­

σματα των rιέντε δραχμών, το άθροισμα των οποίων ι­ σούται με 5 χ mes(E.J, κ.ο.κ. Τeλικά, έχω ι χ mes(Eι) +

2

χ

mes(E 2} + 5

χ

mes(E4) + ...

δραχμές. Βεβαίως, και οι

δύο υπάλληλοι καταλήγουν στο ίδιο αηοτι!λεσμα. Όμως, στην περίπτωση εν6ς άπειρου πλήθους aπειροστών πο­ σοτήτων, η διαφορά των δύο μεθόδων είναι θεμελιώδης. Η ν&J θεωρία μέτρου γέννησε μια νέα προσtγγιση στη

θεωρία των συναρτ-ήσεων -τη μεrpική θεωρfα συναρrιf­ οι:ων. Επίσης. μeτασχημαuστηκε και η θεωρία συνόλων. Η νέα θεωρία ξeιt!vησε από τρeιc; γάλλους μαθηματικούς -τον Borel, τον Baire και τον Lebesgue. Είναι γνωστή ως περιγραφική θεωρία συνόλων και μελετά τη δομή δια­

οδηγούσε στην ειδική θεωpfα της οχeπκ6τητας και το

δεύτερο στην κβαντr.ια[ μιιχοvικι( -&ωρίeς που ανέτρε­ ψαν όλcς τις ιδέες μας για τη δομή του κ.όσμου. Ί'ην ειδικ:ή θεωρία της οχeτικότητας την ανέmυξαν

το

1904-1906 οι Lorenu, Αϊνστάιν και Poinc:ιιtt. Η δομή

του φυσικού κόσμου, όπως την περιγρόφeι η εν λόγω θεωρία, ήταν εξαιρετικά ηαρόδοξη. Ερχόταν σε αντfθε­ ση με τη φυσική διαίσθηση που είχε αναητυχθεί στη δι­ άρκεια των προηγούμενων τριών αιώνων. Τα μαθημα­ τικά θεμέλια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας τα

διατύπωσε ο εξέχων γερμαν6ς μαθηματικός Herman Minkowski, ο οποίος κατόρθωσε να συνδέσει αυτή τη θεωρία με τη yeωμετρία Lobacheνaky. θα παρουσιάσσυμe την ιδ&J του με τον εξής τρόπο. θeωρούμe δύο αεροαλάνα που neτούν τσ ένα προς το άλ­ λο, το πρώτο με ταχύτητα υ ως προς τη Γη και το δεύ­ τερο με ταχύτητα υ' (mίσης ως προς τη Γη). Σύμφωνα

μe τη νευτώνεια μιιχανικ:ή, η ταχύτητα ταυ δεύτερου αε­ ροπλάνου ως προς το πρώτο ισούται μe υ + υ'. Όμως. η ειδική θεωρfα της σχeτutότητας μας δίνει έναν διαφορε­ τικό τύπο:

υ+ υ'

φ6ρων αλλόκοτων συνόλων.

Στη δεκαετία του 1920, ο ηyeτικ6ς ρόλος στη θεωρία των συναρτήσεων πέρασε στη ρωσική μαθηματική σχο­ λή, που την εκπροσωπούσαν ο Nikolai Ν. Lusio και οι μαθητές του Ρ. Aleksaπdroν, Ν. Βaή, Α. Κolmogoroν, D. Meπshoν, Μ. Suslίn, Α. Κhinchiπ, κ.ά. Αυτοί οι εmστή­ μονeς ίδρυσαν τη σχολή μαθηματικών της Μόσχας. Αφού έκαναν τα πρώτα τους βήματα στη θεωρία συναρτήσι­

ων, οι μαθητές του Lusin συνέχΙσαν με τη μελέτη δια­ φ6ρων άλλων μαθηματικών πεδίων. Οι Κolmogoroν και Κhinchin εργάστηκαν στη θεωρία mθανοτήτων, οι Alek-

sandrov και Uryson στην τοπολοy{α, οι Lyu.stemik ι:αι Shnirelman στη μη γραμμική ανάλυση, ο Νονίkον στη μαθηματική λογική, ενώ ο Laνrentev συνέβαλε στη μα­ θηματική ανάλυση και τη μηχανικ:ή. Μόνο οι Menshoν και Βaή συνέχισαν να μeλeτούν τη θεωρία συναρτήσε­ ων. Κατά τη δειιαετία του 1930, καμία άλλη μαθηματι­

υυ

ι + ­

'

c•

όπου με c συμβολίζουμε την ταχύτητα του φωτός. Αν θεωρήσουμε ότι τα αεροπλάνα δεν κινούνται στην !Οια ευθεία αλλά μόνο στο ιδιο επίπεδο, τότε ο τύπος για την πρόσθεση των ταχυτήτων συνδέεται μe ένα μετασχημα­

τισμό του εmαέδου Lobachevsky. Μπορούμε να τα δια­ τυπώσουμe όλα αυτό εν συντομία ως εξής: Ο χώρος rων rαχιιτι[rων στην Ειδική θεωρfα της οχεπκ6rrιτας npαy­ μarώvmu αιz6 ro miτuiίo Lobα.cheυslιy, 6nου ο rύιroc; της np6σθιmις rων raxvrιfrων ορ([pαι μίσω της ιάvησης αv­

rού rου επιπέδου. Αποδείχθηκε ότι ο χρόνος ι:αι ο χώρος δεν εmτρέπε­ ται να θεωρούνται ξεχωριστές οντότητες -ο κόσμος μας είναι τετραδιάστατοc;. Η διαπίστωση αυτή είχε αηο-ι;έλε-

κή σχολή στον κόσμο δεν ουyκέντρωνε μια τέτοια ομά­

δσ τόσο λαμπρών μαθηματικών. Στο επόμενο μέρος του όρθρου θα εξeτάσουμε το ρ6-

12

MAIOI I ΙΟΥΝΙΟΣ 2<100

1. Εnρ6wτο Υ'" τον Μιu Planι:k. Ο φημιομtνος φuσu<cSc; ήταν ο Philipp VOD JolJy.


σμα να αποκτήσει φυσικό νόημα η πολυδιάστατη γεω­

&

μετρία.

Τούτο το γεγονός στάθηκε εξαιρετικά σημαντιιιό για τους μαθηματικούς, διότι θeωρfeς που πολλοί άνθρι.ιποι θeωρούοαν εξαιρετικό αφηρημένες και εντελώς αποκομ­ μένeς από την πραγματικότητα αποδe!χθηκαν χρήσιμες

για την περιγραφή θεμελιωδών χαρακτηρισuκών του

Η ορμή χαρακτηρiζtται από μια άλλη συνάρτηση, την

]'(p)

(στη βιβλιογραφία αναφέρεται και ως κυματοσυνάρ­

τηση ορμής). Αυτή η συνάρτηση ορίζεται επίσης στην

ευθεία ιtαι ικανοποιεί τη συνθήκη

σύμπαντος.

Ι ΙΡ(p~'dρ

Δέκα χρ6VΙα αργότeρα, ο ΑΙνστάιν ανtοτυξe τη yeVJ·

κή θεωρία της σχετικότητας, η οποία καtiρριψε όλeς τις καθιeρι.ιμένeς ιδιeς πeρί •mίπεδου• κόσμου. Η γeωμε· τρία του κόσμου μας αποδeίχθηιιe •καμουλωμένη• ιtαι συνδεδqιένη με τη βαρύτητα. Οι ενδe(ξeις των μeτρητι­ κ~ συσιιeυ~ θα διαφtρουν ανάλογα με την τροχ>ά που αιtολουθαύν από σημείο σε σημείο. Πρόιtεηαι για ένα

-

την έννοια της συνο­

χής, η οποfα μας εmτρέnει να ορίσουμε την παράλληλη μετατόmση σε καμπυλωμένες επιφάνειες. Αυτή η έννοια

μελετήθηκε αnό γeωμlτρeς της ιταλικής οχολής στις αρ­ χlς του 20ού αιώνα (τον

Levi-Civita

και άλλους).

Αυτό τα γεγονότα έδωσαν <Wηση στην εντατιιtή ανά­

πτυξη της γεωμετρίας κατά τις δεκαετίες του 1920 κα.ι του 1930 και της τοπολογίας στις μιρeς μας. τη δεκαετία του 1920 η ανθρι.ιοότητα αvτιμε.ώmσε

του

b)) να βρiσιιεται η τιμή της ορμής σωματ!διου στο διάστημα [a, b] δiνεται από την εξί­

σωση

• την κίνηση του σωματίδιου, ή μάλλον την εξέλιξη

της κυματοσυνάρτησής του, την καθορiζtι μια μeρική διαφορική εξ{σωση που ονομόζεται εf;fοωσιι Schrodinger. Ένα αο6 τα σημαντικότερα σημεfα της κβαντικής μηχανικής είναι ότι η κυματοσυνάρτηση κα1 η συν6ρ­

τηση της ορμής συνδέονται μέσω του μεrασχημ4nσμοιJ

Fourier ιf

-

Ρ (ρ) = (2π11 } 112 JΧ(χ )e. ••dx,

ένα αιtόμα σοκ -τη γέννηση της κβαντικής μηχανικής.

Μια από τις σταθερότερες αρχlς της επιστήμης ανατρά­ πηκε -η αρχή της προβλεψιμότητας του μιλλοντος με βάση το παρελθόν. Αοοδείχθηκε ότι ο μικρόκοσμος εί­ ναι κατ' αρχήν αnρόβλεnτος. Ας υποθοοουμε ότι ένα ηλε­ κτρόνιο διlρχεται από ένα άνοιγμα και προοn!m;ει σε μJα οθόνη. Αοοδeικνύεται ότι το μόνο που μπορούμε να προ­ βλέψουμε είναι η τrιθαν6rηrο να βρeθεf το ηλεκτρόνιο σε ένα συγκεκριμένο σημείο της οθόνης. Αυτό φαινόταν

= 1.

Η mθον6τητα9'p((a,

cpαιν6μενο που συνδitται στενά με μ1α αnό τις σημαντJ­ ιt6τερeς έννοιες της γeωμeτρίας

.9I«a. bD = JIX(x~ d:r.

(3)

6που tι είναι η σταθερό του Planck. Οι μέσες τιμές της συντεταγμένης του σωματιδίου και της ορμής του δrνο­

--

νται αοότουςτύnους

ξ

-

= 1χ~χ<χr dx,

--

η

= 1PIP(p ~· dp.

αnίστeυτο αιtόμη και σε έναν τόοο μεγάλο εmστήμονα

Εφ6σον οι ανωτέρω μέσες τιμές ισούνται με το μηδiν, τότε οι διασπορές της συντεταγμένης και της ορμής δί­

6πως ο ΑΙνστών -και εκ των θεμελιωτών της κβαντι­

νονται αο6 τους τύπους

κής μηχανική«-, που διαιtήρυξe e.ιιανειλημμένα ότι δεν οίστευε πως ο θεός ·έnαιζt ζάρια• με το σύμπαν. θα προσπαθήσουμε τώρα να εξηyήοουμe το dδος των μαθηματιχ~ που υπόκεινται αυτού του cpαινομένου. Στην ιtλασική μηχΟV1Κή, η ιtίνηση ενός σωματιδfου χα­ ρακτηρίζtται από τη συντεταγμένη του

--

Από την εξίσωση

(3) έπεται

:r και την ορμή

D'χ D', > -

του p. Υποτι'θεται ότι αυτiς οι δύο μeταβλητiς εmδ€χο­ νται ταυτόχρονη μeτρηση, και όη η μελλοντική ιtίνηση του σωματιδiου καθορίζεται μονοσήμαντα απ6 μια δια­ φορική εξίσωση.

Στην κβαντική μηχανΙκή, η θlση ενός σωματιδίου ορiζtται από μια (μιγαδική) κυματοσυνάρτηση X (r) στο χώρα Hilbert L2(R). Αυτή η συνάρτηση ικανοποιεf τη συνθήκη

-J

IX(x ~· d:r

--

=1,

και ορiζtι την mθονότητα .!l"x((a, b)) να βρούμε το σω­ ματίδιο (μια 0\Jγl(εκριμένη χρονική στιγμή) στο διάστη­ μα [a, b] σύμφωνα με τον τύπο

-

η ΟVJσότητα

ΙΙ' 4

'

η οποία καλείται αρχή αnpοοδιοpιιπfαι; rιw Heiιenberg και ανταναιtλ6 το γεγονός ότι είναι αδύνατο να μnρή­ οουμe ταυτόχρονα με ακρίβεια τόοο τη θιση 6οο και την ορμή εν6ς σωματιδiου. Η αρχή αοροσδιοριστiας του

Hei-

senberg ανέτρεψε κάθε eλοίδα για αιτιοκρατία και πλή­ ρη γνώση του μJιtρόιtοομου. Τα μαθηματικά θεμιλ!α της κβαντικής Ρ11Χανικής τα ανιπτυξαν ο

Hilbert

και οι μαθητiς του Μγο πριν την

εμφάνισή της. Μάλιστα, η ιοοδυναμiα των δύο προσεγ­ γίοeων στην περιγραφή του μιιιρόκοομου που πρότειναν

ο Schrδdinger και ο Heisenberg αοοδεiχθηκε γρήγορα χάρη στο γεγον6ς ότι ένας από τους ιδρυτές της νέας επιστήμης, ο Max Born, εfχε παρακολουθήσει τις διαλέQUANτ\JM I ΑΡθΡΟ

13


ξεις του Hilbert yια τη συναρτη(Jiο.ιtή ανάλυση και τη θεωρία των τετραγωνικών μορφών 6πειρων διαστάσεων. Ιδού μία ο.ιtόμη ιστορία. Όταν ο άγγλος βοτανολόγος Brown ανο.ιtάλvψε τη χαοτική κίνηση των μικρών σω­ ματιδίων που αιωρούνταν εντός ενός υγρού, ούτε οι μα­ θηματικοί ούτε οι φυοικοl έδωσαν οημασfα στην ανο.ιtά­ λvψή του. Ί'η θεωρία της κίνησης πρώτοι ο Αϊνστάιν (το

1905,

Bro\YD

την ανέπτυξαν

την ίδια χρονιά που δημι­

ούργησε τα θεμέλια της θεωρίας της σχετικότητας και της κβαντομηχανικής) και ο πολωνός ψυ(J!Κός Μ. Smo-

θεωρία πιθανοτήτων

(Kolmogorov) αξιωματικοποιήθη­

καν επίσης. Έχουμε αναφέρει νωρίτερα τα πεδία της γε­ νικής τοπολογίας και της θεωρίας μέτρου. Άρχισαν επί­ σης να αναπτύσσοντα.ι και nολλές άλλες aξιωματικές θεωρίες.

Στο τέλος της δεκαετίας του 1930, μια ομάδο γάλλων μαθηματικών αnοφό(Jiσε να παρου(Jiάσει τα μαθηματικά σε αξιωματική βάση. Η ομάδα αυτή παρουσίασε τις ερ­ γασίες της υπό το συλλογικό ψευδώνυμο Nicolas Bour-

bak.i

-το όνομα ενός γάλλου στρατηγού ελληνικής κα­

Ο πρώτος που πρ6τεινε τη μαθηματική θεω­

ταγωγής, του Νικολάου Βούρβα)(Ιl. Στη βάση της όλης

ρία της κίνησης Brown ήταν ο Norbert Wίeπer. Αποδεf­ χθηκε ότι οι τροχιές των σωματίδιων Brown είναι συ­

κατασκευής βρισκόταν η θεωρία συνόλων. Στη συνέχεια κατασκευάστηκε ο πρώτος όροφος: διατεταγμένες δομές,

νεχεfς και μη παραγωγί(Jiμες συναρτήσεις.

άλγεβρα, γενική τοπολογία και θεωρία μέτρου. Μετά, έ­

Το πρώ-ι;ο παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης η οποία δεν έχει παράγωγο σε κανένα σημείο το διατύπωσε ο

πρεπε να κατασκευαστεί ο δεύτερος όροφος, όπου οι αλ­ γεβρικές και γεωμετρικές δομές θα συνδυάζοv-ι;αν με το­

Weίerstras.s το

Οι μαθηματικοί αντιμε-ι;ώmσαν με

πολογικές και διατεταγμένες δομές, και ούτω καθεξής.

σκεπτικισμό την ανο.ιtάλvψη: πολλοί πίστεψαν ότι αυτό το τέρας δεν έχει καμία σχέση με την πραγματικότητα.

Το έργο παραμένει ανολοκλήρωτο. Αυτή καθαυτή η ιδέα

Ένας από τους γνωστότερους μαθηματικούς τ;ου 19ου

την εξέλιξιι της επιστήμης. Οι προσπάθειες των

αιώνα, ο Charles Hermite, ομολόγησε ότι τον άφηναν αποσβολωμένο τέρατα όnως οι συνεχείς συναρτήσεις χω­

baki, ωστόσο, δεν απέβησαν μάταιες. Το σπουδαιότερο δε, δημιούργησαν μια γλώσσα που χρη(Jiμεύει ο.ιtόμη ως μέ­

ρΙς παραγώγους. Για μία ο.ιtόμη φορά, η συμβατική ιδέα

σο επικοινωνίας μεrοξύ των μαθηματικών.

ότ ι τα πάντα στον κόσμο είναι .λεία• ανατράmικε. Απο­ δείχθηκε ότι ο κόσμος βρίθει από •τέρατα•. Ί'ην πλήρη μαθηματική θεωρία της κίνησης Brown

ΜαβnμαΈικά και το στρατιωτικΟfqιmmκό

luchowsk.i.

1872.

την ανέητυξε ο Α.Ν. Kolmogoroν. Η συγκεκριμένη θε­

ωρία αποτελεί ένα από τα σημαντικότερο επιτεύyμα-ι;α των μαθηματικών κατά το πρώτο μισό του 20ού αιώνα.

μοιάζει ουτοmκή, διότι δεν είναι δυνατόν να μιμηθούμε

Bour-

σύμπλεyμα Τα μαθηματικά διαδραμάτισαν οημαv,;ικό ρ6λο σε

πολλά ιστορικά γεγονότα του αιώνα, μερικά αnό τα ο­ ποία παρ' ολfγον να οδηγήσουν στον rιαyκόσμιο όλεθρο.

Ανάπτυξη αφnρnμένων Κλάδων των μaθnματικών

Συγκεκριμένα, πολλοl μαθηματικοί •και από τις δύο

Η εmθυμία εξύψωσης του ανθρώπινου πνεύματος α­ νεξάρτητο από οποιονδήποτε πρακτικό στόχο απετέλεσε

χρονων όπλων.

nλευρές των χαρακωμάτων• έλαβαν μέρος σε διάφορα προγράμματα που είχαν στόχο την ανάπτυξη των σύγ­

κίνητρο για τις προσπάθειες πολλών μαθηματικών και

Οι ακτίνες Χ και η ραδιενέργεια οδήγησαν σταδιο.ιtά τους επιστήμονες στην ιδέα της χρήσης της ατομικής

μερικές φορές τους οδήγησε σε •ζούγκλες• που δεν εί­

ενέργειας. Αρ)(Ικά οι φυσικοί δούλεψαν χωρίς τους μαθη­

χαν καμία σχεδόν σχέση με την πραγματικότητα.

ματικούς. Ωστόσο, η ανάοτυξιι της ατομικής βόμβας, και

Στο πρώτο μισό του 20ού αιώνα αναδύθηκε η ιδέα της aξιωματικής κατασκευής ολόκληρου του κορμού των

ιδιαίτερα της βόμβας υδρογόνου, απαιτούσε την ανάπτυ­

μαθηματικών. Όπως αναφέρει ο

σύμφωνα

υπολογισμών. Πολλοί εξέχοντες μαθηματικοί έλαβαν μi­

με την ιδέα αυτή, στα θεμέλια των μαθηματικών βρίσκε­ ται η καθαρή θεωρlα συνόλων -η πνευματική κληρο­

ρος στη δημιουργία της ατομικής βόμβας. Αυτό είχε ως

νομιά του

Τούτη η θεωρία άφησε βαθιά σημά­

κών μαθηματικών και να αναπτυχθούν ισχυροί υπολο­

δια στην ιστορία των μαθηματικών. Πίστευαν ότι ο Cantor ανακάλυψε έναν •παράδεισο• για τους μαθηματι­

γιστές. Φαίνεται ότι δεν έχει φτάσει ακόμη η στιγμή (τουλάχιστον στη Ρωσία) για να αnοτιμηθεί η συμβολή των μαθηματικών στη δημιουργία των πυρηνικών ό­

Cantor.

Kolmogorov,

κούς. Όταν ανακαλύφθηκαν aντινομίες στη θεωρία των

συνόλων και πολλοί επιστήμονες άρ)(Ισαν να αμφιβάλ­ λουν yια τη θεμελίωσή της, ο Hίlbert δήλωσε: •Ουδείς μπορεί να μας εκδιώξει από τον παράδεισο του

ξη περίπλοκων μαθημαcικών μοντέλων και μεγάλο όγκο

αποτέλεσμα να αναθεωρηθούν οι αρχές των υnολοyιστι­

πλων. Αναμφίβολα όμως η συμβολή τους υnήρξε οημα­ ντική.

Cantor.•

Οι αδελφοl Wrίght κατασκεύασαν το αεροαλάνο τους

Η ανάπτυξη της aξιωματικής συνδέθηκε με την ιφι­ τική ανάλυση των θεμελίων των μαθηματικών.

χωρίς να χρη(Jiμοποιήσοuν μαθηματικά. Όμως η περαι­

Η εξαιρεcική ανάπτυξη της άλγεβρας κατά τη δεκαε­

της αεροδυναμικής και της αεροναυτικής. Ανάμεσα στους

τέρω αν6πτuξη της αεροπορίας οδήγησε στην ανάπτυξιι

τlα του 1920 οδήγησε στην αλγεβρικοποίηση όλων των μαθηματικών. Σημαντική συμβολή σε αυτή τη διαδικα­

koνsky και τους μαθητές του Chaplygίn, Golubeν, κ.ά.

σία είχε η

Αυτοί εφάρμοσαν τη θεωρία των μ.ιγαδικών συναρτήσε­

Emmy Noether

der Waerdeπ.

14

και ο μαθητής της

Η στοιχειώδης γεωμετρία

ΜΑίΟΣ / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

B.L. van (Hilbert} κα.ι η

κλασικούς αυτής της εmστήμης συναντάμε τον Ν.

Zhu-

ων (κα.ι ταυτόχρονα την ανέmυξαν) στη θεωρία πτήσης.


Στη δεκαετfα •ου

1940 εμφανίστηκε η

υπερηχητική αε­

Η γενική θεωρία της σχετικότητας έδωσε

w

ερέθισμα

Auro

ροδυναμική. Η εφεύρεση wυ ραδιοφώνου οδήγησε στην ανάπτυ­

γ1α την ανάnwξη της κοομολογ(ας. οδήγησε στη θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης, η onofα υποθέτει την u -

ξη εν6ς νέου μαθηματικού αεδfου -της θεωρfας των μη

παρξη εν6ς αρχικού σημείου στη ζωή του σύμπαντος.

γραμμικών •αλαντώσεων. Μεταξύ των δημιουργών της

Σύμφωνα με τις σύyχρονες εκτιμήσεJς, •ο σύμπαν υπάρ­

θεωριΌς συναντάμε και εξέχοντες ρώοους εmστήμονες:

χει τα πολύ επί

τον Mandelstaιn και τους μαθητές και συνεργάτες του Papaleksi, Andronoν, κ.ά.

•yεμάτο• σύμπαν, αν και διαστελλόμενος, αποδείχθηκε

φραyμένος. Η θεωρία του •συστελλόμενου σύμπαντος•,

Τα προβλήματα eλtγχου των βολών του πυροβολικού

η οποία προβλέπει ότι το σύμπαν τeλικώς θα καταρρεύ­

οδήγησαν στην ανάπτυξη πολλών κλάδων της θεωρίος

σει σε ένα σημείο, παραμένει αναπόδεικτη. Ο εξtχων ρώ­

πιθανοτήτων (νοn

σος εmστήμονας

Neumann, Wiener

και

Kolmogorov).

101' έτη. Ο χώρος που καταλαμβάνει το

Friedmann

είχε σημαντική συμβολή

Τα ηροβλήμαw κρυπτογράφησης διαβαθμισμtνων μη­

στην ανάπτυξη των κοομολογ11<ών θεωριών. Πολύ πρό­

νυμάτων και της αποδοτικής μετάδοσης μέσω των γραμ­

σφατα αναmύχθηκαν εξωτικές θεωρfες που δ€χον= την

μών εmκοινωνίας οδήγησαν στη γέννηση εν6ς νέου μα­

Uηαρξη πολλαπλών περιοχών Ί>Ου σύμπαντος οι οποίες

θηματικού κλάδου: της θεωρfας πληροφορfας (Κ. Shannon) και της θεωρfας κωδικοποίησης.

διαφέρουν ως προς την κατεύθυνση ροής του χράνου

Τα προβλήματα αυτόματου ελέγχου στη βιομηχανία

Σημαντικά προβλήματα ανέκυψαν ατην πλειονότητα

και τις διαστημικές πτήσεις έδωσαν

(Sakharov).

έναυσμα στην α­

των θεωριών που ασχολούνται με την προέλευση του

νάnwξη της θεωρίας βέλτιστου ελέγχου (Pontryagin και Bellman). Τα ίδια μπορούν να ειπωθούν και γ1α πολλούς

ηλιακού συστήματος. Η προέλευση της Γης και Ί:ης ζω­ ής, η εξέλιξή >Ους και η καταγωyή Ί:Ου ανθρώmνου εf­

άλλους κλάδους των καθαρών και των εφαρμοσμένων

δους μοιάζουν ακόμη πιο αινιyματικά.

μαθημα τ;ικών.

Η σκιά της αμφιβολίας έπεσε και σε πολλές μείζονες φιλοσοφικές έννοιες. Το βασικό αξίωμα της μετανευτώ­

w

Πολλά από αυτά που εmτεύχθηκαν σε μυστικά εργα­

στήρια κατέληξαν αργότερα να αnοτeλούν κοινή γνώση. Η αντιπαλότητα μεταξύ των δύο κοινωνικών συστημά­ των κατά τη διάρκεια του φvχρού πολέμου οδήγησε σε

νειας επιστημονικής φιλοσοφίας ήταν ότι ο κόσμος διέ­

μια άνευ προηγουμένου ανάπtυξη .ων τεχνικών βελτιώ­ σεων και τ;ην ιιαρούσα πληροφοριακή έκρηξη που προ­

τμήμα αυτού •ου τακτοποιημένου κόσμου: μόνο στα τυ­ χερά παιχνίδια φαινόταν ότι μπορεί να εμφανιστεί κάτι

κάλεσε η καθολική χρήση των υπολογ1στών. Οι πρώτοι

απράβλεmο. Ο PascaJ, ο Fermat, ο

υπολογιστές εμφανίστηκαν καrο το τέλος της περιόδου

place

που εξετάζουμε, και οι μαθηματικοί έπαιξαν βασικό ράλο

της τύχης.

στην ανάnwξή τουc;. Ειδικότερα, ο von Neumann εfχε τη σημαντικότερη συμβολή στην ανάmυξη των αρχών του σχεδιασμού υπολογ1στών χαι του προγραμματισμού. Βεβαfως, τα μαθηματικd εfναι ουσιώδη και

YJO τη μη­

πεται από διαφορικ€ς εξισώσεις. Με άλλα λόγ1α, ότι εί­ ναι τελείως προβλtψιμος. Το χάος κυβερνούσε ένα μικρά

J. Bernoulli

και ο

La-

υπήρξαν οι πρώτοι που περιέγροψαν τους νόμους

Ωστ6σο, η περιοχή nου κατελάμβανε το χάος διευρυ­ νόταν σταθερά. Η θεωρία πιθανοτήτων -η επιστήμη του τυχαίου- αναπτυσσόταν ουνeχώc;. Κατά •ον

206 αι­

ώνα πήρε οργανωμένη μορφή. Πριν από μισό αιώνα φαι­

χανολογ(α, τη βιολογ(α και άλλα πεδία της ανθρώπινης

νόταν ότι

γνώσης. Μεταξύ των εξεχόντων μηχανολόγων και μηχα­

συγκρlσιμα μεytθη. Μόνο στις μέρες μας άλλαξε αυτή η

νικών που είχαν σημαντική συμβολι1 στα μαθηματικά

αντίληψη.

μπορούμε να αναφέρουμε τους Bubnoν, Ιον, 'Γimoshenko,

G. Taylor

GaJerkin,

Κry­

και νοn κarmaη. Ο κατάλο­

γος αυτ6ς μnορεf βεβαίως να εμπλουτιστεί.

~ κcι ψιλΟσοφία

ro

βασίλεια του χάους και της rοξης έχουν

Σε αηfθeση με την άποψη του Νεύτωνα και του

La-

place, πολλοί εmστήμονες mστεuουν πλέον ό•ι τα nάνrα είναι χάος, και μπορούν να προβάλουν αρκετούς ισχυ­ ρούς λόγους γ1α να στηρίξουν την πεποίθησή τovc;. Σε σοβαρή αμφιβολία tχει τεθεf η ιδέα που ήθελε τις

Ο 206ς αιώνας υπήρξε εποχή μεyαλεfου -μια εποχή

ικανότητες της ανθρωπόΊ:ητας απεριόριστες. Έχουμε ή­

που άλλαξε γ1α πάντα τον τρόπο με τον οποίο κατανο­

δη αναφέρει τη θεωρία πληροφορίας -•ον νέο κλάδο

ούμε τον κ6σμο yύρω μας. Τα μαθηματικά έπαιξαν ση­

των μαθηματικών που εμφανlστηκε στη δεκαετία του

μαντικό ρόλο σε αυτή τη διαδικασία.

1940.

Στην αρχή του αιώνα φαινόταν ότι η επιστήμη βρι­ σκόταν πολύ κοντά στην κατανόηση της δομJiς του κό­ σμου. Οι ορθολογιστές παρέμεναν βέβαιοι ότι είναι δυ­

αε ένα ευρύτερο εmστημονικό πεδίο που ονόμασε /(Ι)βερ­

νατόν να ανακαλυφθούν οι νόμοι της φύσης, ότι το

συνείδησης. Οι περιοοότεροι πίστευαν ότι μόνο οι άν­

σύμπαν υπήρχε και θα υπάρχει γ10 πάντα, όντας απερι6-

τα μάτια μας αποτελούν προϊόν της φυσικής εξέλιξης. Ο

θρωποι είναι προικισμένοι με την ικανότη•α να σκέπτο­ νται. Στη δεκαετία του 1940, όμως, ο 'ruring και ο Wiener έθεσαν το ζήτημα της κατασκeαής εν6ς μοντέλου της ανθρώmνης συνείδησης. Έως πολύ πράοφατα, η ιδέα ε­

αιώνας μας όμως έριξε σκιές αμφιβολίας σε όλα αυτά τα

ν6ς υπολογ1στή που μπορεf να νικά τον παγκόσμιο πρω­

γεγονότα.

ταθλητή στο σκάκι φαινόταν τρελή. Τρeλό ή όχι, ουνέ-

ριστο χωρικά και χρονικά, ότι η Ι'η δημιουρyήθηκε με φυσικό τρόπο, όπως και η ζωή, και ότι όσα αντικρίζουν

Ο

Norbert Wieπer ενέταξε τη θεωρfα πληροφορίας

νηnκή. Η ανάπτυξη αυτι1ς της εmστήμης συνδέεται με πολλές φιλοσοφικές ιδέες, και ειδικά με την έννοια της

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

15


βη! Η σvζήιηση σχειικά με τη δυνατότητα κατασκευής

"' τε);νητων

,.

;

,

οντων προικισμενων με την ικανοτητα για

τις ρίζες της συνάρτησης ζήτα και η υn6θεση του συνε­ χούς τ-ου Canιor.

σκέψη εμninτει στο πεδίο μια νέας φιλοσοφίας που ανα­ δύθηκε στην εποχή μας.

Το διασημότερο σύνολο προβλημάτ-ων στον 206 αιώ­ να αποτελεί ο κατάλογος των προβλημάτων του Hilbert,

Στις αρχές του αιώνα, πολλοί μαθηματικοί (και ιδιαί­

τον οnοίο €χουμε ήδη αναφέρει. Την πρώτη θέση αυτού

τερα ο Hilbert) πίστευαν ότι •κάθε πρόβλημα μπορεί να λυθεί•. Φαινόταν ότι ήταν δυνατόν να σχεδιάσουμε άαν tην τυmκή περιγραφή μιας αξΙωματικής θεωρίας και να

του καταλόγου καταλαμβάνει το πρόβλημα του συνε­ χούς: Υπάρχει J.Ul αpιθμήριμο σιiναλ.ο που μπορε( να απει­ ιrονισrεί μαν6nμα στο μοναδιαίο διιίοrημ4, αλλά ro μονα­ διαίc διάστη;ια να μην μπορεί να aπεικονιστεί μονόnμα

αποδείξει όλα τα θεωρήματα αυτής της θεωρίαc;. Αnοδεί­

σe

χθηιtε ότι το σχέδιο μπορούσε να υλοποιηθεί (κατ' αρ­

μεyαλrfrερη από αιmί rου aριθμήσιμου συνόλου αλλά μι­

χήν) στην περίπτωση της στοιχειώδους γεωμετρίας, αν

κρQπρη από εκείνη του μοναδιαίου διαστι[μαrος;

και η μηχανή θα έπρεπε να εργαστεί επί εξαιρετικά με­ μέρος από τα γνωστά θεωρήματα της γεωμετρίας. Το φι­

Το τελευτώο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε στο τέλος του 20ού αιώνα. την εικασία του Goldbach •σχε­ δόν• την απέδειξε ο !.Μ. Vίnogradoν· το 1937 απέδειξε

λόδοξο αυτό σχέδιο, όμως, είναι αδύνατο να υλοποιηθεί

ότι κάθε αpκούνr«<, μεyά.Wς περιττός αριθμός μπορεί να

για την πλειονότητα των άλλων θεωριών (και ιδιώτερα,

αναπαρασταθεί ως άθροισμα τριών πρώτων. Τα προβλή­ ματα του Euler και του Riemann παραμένουν άλυτα. Ας εξηγήσουμε με ποιον τρόπο λύθηκαν αρκετά από τα προβλήματα του Hilbert. Ο Hilbert σε μεγάλο βαθμό

αλγόριθμο που θα επέτρεπε σε μια JliiXDvή να διαβάσει

γάλο χρονικό διάστημα για να αποδείξει άα αξΙόλογο

την αριθμηΊ:ική). Πρόκειται για άα σnουδώο θεώρημα που το απέδειξε ο Gδdel το 1931. Στη συνέχεια, ας πούμε λίγα πράγματα για τα προβλή­

ματα που διαwοώθηκαν ή λύθηκαν στη διάρκεια του αι­ ώνα μας και για το ρόλο που έπαιξαν στην ανάπτυξη της εmστήμης. Το θέμα βέβαια θα απαιιούοε άα ιδιώτερο άρθρο. Εδώ θα κάνουμε μια σύντομη επισκόπηση.

aur6;

Με άλλα λόγια, υπάρχει σιiναλ.ο με π.\ηθικ6rηrα

αποδεfχθηκε καλός μάντης, αλλά σε αρκετ€ς περmtώσεις η διαίσθησή του τον ξεγέλασε. Κατά κανόνα, σε όσες πε­

ριπτώσεις •έπεσε έξω•, τούτο πρέπει να αποδοθεί οτην αισιόδοξη άποψη για τον κόσμο που χαρακτήριζε τον προηγούμενο αιώνα.

ΠρQμήματα

Ο

Hilbert έθεσε το πρόβλημα του αυνεχούς θεωρώ­

Η μελέτη των νόμων της φύσης, η ανάπτυξη των α­

ντας ότι μπορεί να απαντηθεί με τον άαν ή τον άλλο

φηρημάων μαθηματικών, τα επιτεύγματα tων eφαρμο­ σμάων μαθηματικών και ο προβληματισμός για τα φι­ λοσοφιχά θεμέλια του κόσμου οδήγησαν στην ανάδυση

τρόπο. Όμως, αποδείχθηκε ότι η υnόθεση του συνεχούς δεν μnορεf ούτε να επαληθευθεί ούτε να διαψευσθεί μέσα στο αλώσιο της συμβατικής αξιωματιχής θεωρίας συνό­ λων και της μαθηματικής λογιχής. Το γεγον&; ότι δεν μπορεί να διαψευσθεί αποδείχθηκε αηό τον Gδdel το

νώιν μαθηματικών κλάδων και καινούργιων θεμελιακών εννοιών, στην επίτευξη εξαιρετικών αποτελεσμάτων και

στην ανάπτvξη ν€ων θεωριών και αnοτέλεσματικών με­ θόδων.

Στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο των Παρισίων, το ρωμ{:vη στη διατ6uωση σημαντικών μαθηματιχών προ­

τότητες της ανθρώmνης νόησης εκφράζεται στον αφο­ ρισμό του: ·Αν θέλουμε να μάθουμε, θα μάθουμε•. Λόγω

βλημάτων, ο

αυτής της εμπιστοσύνης ήιαν βέβαιος ότι κάθε μαθημα­

1900,

στην εισαγωγή tης διάλεξής του που ήταν αφιε­

1936. Το ότι δεν μπορεί να επαληθευθεί αποδείχθηκε από τον Cohen το 1963. Η εμmστοσύνη του HiJbert οτις απεριόριστες δυνα­

Hilbert

ανέφερε: ·Είναι αδύνατο να αρνη­

θούμε rον σημαντικό ρόλο συγκεκριμένων προβλημάτων

τικό πρόβλημα πρέπει να ψι λύση. Έτσι, ως

για τα μαθηματικά στο σύνολό τους και για συγκεκρι­ αι­

βλημα έθεσε το εξής: Δεδομάου ενός πολυωνύμου Ρ με n μεταβλητές και με ακέραιους συντελεστές, βρείτε άαν αλγόριθμο που θα προσδιορίζει αν η εξίσωση Ρ = Ο δια­

ώνα πολλά σπουδαία προβλήματα. Το παλαιότερο από

θέτει ή όχι ακέραιες λύσειc;. Η απάντηση και σε αυτό το

αυτά εfναι το τελευτώο θεώρημα τοιτ

πρόβλημα είναι αρνητική, όπως απέδειξε ο Matίyasevich

να με το οποίο, για κάθε ακέραιο

το

μένες έρευνες.•

Οι προηγούμενοι αιώνες κληροδότησαν στον

206

Fermat, σύμφω­ n > 2, η εξίσωση χ• +

y• = z• δεν έχει ακέραιες θετικές λύσεις. Το πρόβλημα τέθηκε τον 17ο αιώνα. Δύο περίφημα προβλήματα της θεωρίας αριθμών -η εικασία του Goldbach και η εικα­ σία του

lOo πρό­

1970. Ο HiJbert ήταν τόσο βε'βαιος ότι οι συναρτήσεις τριών

μεταβλητών έχουν περισσότερα περίπλοκη δομή από τις συναρτήσεις δύο μεταβλητών ώστε έθεσε την επόμενη υnόθεση ως 13ο πρόβλημα: Υπάρχει μια συνάρτ:ηση τρι­

Euler- €φτασαν σ' εμάς αnό τον 18ο αιώνα. Ο Goldbach, σε μια εmστολή του προς τον Euler το 1742,

ών μεταβλητών που δεν μπορεί να παρασταθεί ως επαλ­

ισχυρίστηκε ότι κάθε nεpιrrιX; φυσικιΧ; αpιθμά; μεyαΜ­

ληλία (υπέρθεση) συνεχών συναρτ:ήσεων δύο μεταβλη­

πpος του

τών. Αυτή την υπόθεση την διέψευσαν ριζικά ο Arnold και ο Kolmogoroν το 1957. Αποδείχθηκε ότι οποιαδήπο­ τε συνάρτηση n μεταβλητών μπορεί να παραοταθεf ως

6 ισοrfrαι μt ro άi}pοιομα rpιώv πpώrωv.

Ο

Euler

επισήμανε ότι για να αποδειχθεί αυτό αρκεί να δείξουμε

ότι κάθε άρnος φυσικός αpιθμά; μεyαλύrεpος rου

2 ισού­

rαι με -το άθροισμα δύο πpώrων.

επαλληλία της ωιλούοτερης συνάρτησης δύο μεταβλη-

Τα διασημότερα μεταξύ των προβλημάτων που τέθη­ καν τον 19ο αιώνα είναι

16

to

ΜΑίΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

πρόβλημα του Riemanπ για

Η συνέχεια στη οtλ.

48

Q


Ένα αστέρι γεννιέται Η βαρύτητα ως βασικός συντελεστής στη δημιουργία των άστρων

V. Surdin

lΣΊΌΡΙΑ ΜΑΣ ΞΕΚΙΝΑ ΣΤΗ ΜΕΓλλΗ

BPETANIA

ΣΊΊΣ

αρχές του 2Οού αιών<L Ο James Hopwood Jeans (1877-1946), αρκετά χρόνια αφότου ολοκλήρωσε με εξαιρετική εnιτυχία τις σπουδές του στο Πανεπι­

περίοδο

1899-1900 διετέλεσε πρόεδρος της Βασιλικής Α­ στρονομικής Εταιρείας, προέβλεπε ότι ο σερ James θα κατελάμβανε την iδια θέση έπειτα από ένα τέταρτο του αιώνα και ότι θα καθιέρωνε τις ετήαιες Διαλέξεις

Darwin

στήμιο του Καίμnριτζ, πραγματοποlησε μια σειρά ιδιώ­

προς τιμήν του μέντορά του.

τερα σημαντικών μελετών σε ποικίλα πεδία της θεωρη­

Όσο παράδοξα και αν ηχεί κάτι τέτοιο, ο σύνδεσμος μεταξύ των δύο αυτών κορυφαίων αστρονόμων υπήρξε ακόμη βαθύτερος. Ο George Darwi.n απέκτησε μεγάλη

τικής φυσικής: δημοσίευσε μια μονογραφία με αντικεί­ μενο την κινητική θεωρία των αερlων καθώς και εργα­

σίες στη μοριακή φυσική και τη θεωρία της ακτινοβο­ λίας. Ο Jeans, τελώντας υπό την επιρροή του George Howard Darwin, καθηγητή φυσικής και αστρονομlας στο Πανεnιστήμ1ο του Καlμπριτζ (πρόκειται ΥJα το "YJO του διάσημου βιολόγου και διανοητή Κάρολου Δαρβίνου), ο­ λοκλήρωσε αρκετές μελέτες στη θεωρητική αστροφυαι­

φήμη χάρη στις μελέτες που πραγμα,;οποίησε με αντι­

κή_ Μετιiξύ αυτών περιλαμβανόταν και μΙα θεμελιώδους

κού συστήματος, η οποία έχαιρε ευρύτατης αποδοχής

σημασίας εργασία που έφερε τον τίτλο •Η ευστάθεια ενός σφαιρικού νεφελώματος• και δημοσιεύθηκε το 1902 στα Πρακτικά της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου. Η εν λόγω εργασία περιέγραφε πώς συμπεριφέρονται οι αεριώδεις συμπυκνώσεις υπό τη δράση της iδιας τους της βαρύτητας, και αnετέλεσε τον ακρογωνιαίο λiθο της

κατά το πρώτο ήμισυ ~ου 20ού αιώνα. Σύμφωνα με την

κεlμενο τις παλι"ρροιες και το σχήμα των περιστρεφόμε­ νων ρευστών σωμάτων. Ο

Jeans

συνέ)(1σε τις μελέτες

,;ου ρόλου που διαδραματίζουν τα παλιρροϊκά φαινόμε­ να στην κοσμολογία και έφτασε στο σημείο να αναnτύ­

ξει την παλιρροϊκή θεωρία VJα τη δημιουργία του ηλια­

εν λόγω θεωρία, η γέννηση ενός πλανητικού συστήμα­ ,;ος συνιστά εξαιρετικά σπάνιο γεγονός, που προκαλεί­

ται από τη διέλευση κάποιου άστρου σε μικρή απόστα­ ση από έναν ήλιο· το άστρα, τότε, αποσπά ένα μέρος της συμπυκνωμένης πρωτοηλανη,;ιχής ύλης από το εξωτε­

σύyχρονης θεωρίας της βαρυτικής αστάθειας, η οποία

ρικό κέλυφος του ήλιου. Μολονόη πρόκειται ΥJα μια υ­

εξηγεί την προέλευση ουαιαστικά όλων των δομικών

πόθεση που, όσον αφορά το δικό μας ηλιακό σύστημα,

στοιχεlων του σύμπαντος, από τους γαλαξίες και τα σμή­ ρυφόρους τους. Έχει καθιερωθεί πλέον οι χαρακτηριστι­

μόνο ιστορικό ενδιαφέρον παρουαιάζει πλέον, ο μηχανι­ σμός της παλιρροϊκής αλληλεniδρασης αναμφιβολα δια­ δραματίζει σnουδώο ρόλο στον κόσμο των γαλαξιών,

κές διαστάσεις ή μάζες των βαρυτικά aσταθών αεριωδών

τ;ων αστρικών σμηνών και, πΙθανότατα, στη διαδικασία

συμmικνώοεων να αναφέρονται ως διαστάσεις ή μάζες

σχηματισμού των άστρων, δηλαδή στο λεγόμενο στάδιο

νη γαλαξιών έως τα άστρα, τους ηλανήτες και τους δο­

Jeans

και στο συμβολισμό τους να εμφανίζεται πάντοτε

ο δεfκτης J. Έται, η μάζα και η ακτίνα Jeans, για πα­ ράδειγμα, συμβαλι"ζονται αντίστοιχα με Μ, και RJ. Δεν χωρεί αμφιβολία ότι ο

της πρωτοαστρικής εξέλιξης. Αλλά ας εmστρέψουμε στο βααικό έργο τ;ου

Jeans, τη θεωρ(α της βαρυτικής αστάθειας. Αφότου ο Jeans έθεσε

George Howard Darwin

τ;α θεμέλιά της στις αρχές του 20ού αιώνα, οι αστρονό­

είχε κάθε λόγο να αισθάνεται υπερήφανος επειδή κατόρ­

μοΙ χρειάστηκαν εβδομήντα ακόμη χρόνια για να ανα· καλύψουν τη συνιστώσα τ~υ μεσοαστρικού μέσου που

θωσε να εστιάσει την προσοχή του νεαρού και πολλά

υποσχόμενου Jeaπs στην αστρονομία: η συμβολή του μαθη•ή του στην ανάπτυξη της κοσμολογίας και της δυναμικής των άστρων υπήρξε εντσπωαιακή. Δεν γνω­ ρίζουμε, ωστόσο, κατά πόσον ο Darwin, ο οποίος την

εμπλέκεται άμεσα στο σχηματισμό των άστρων, και στην οποία πρέπει να εφαρμοστεί η θεωρ(α του

Jeans ώστε να

οδηγήσει σε ορθές προβλέψεις Ύlα ,;ις χαρακτηριστικές

παραμέτρους των νεογέννητων άστρων. Το διάστημα

OUAN1UM I ΑΡθΡΟ

17


nου μeοολ6βηοε ανάμεσα στις θεωρητu:iς nροβλέψι:ιι; και

ro

ntJραματικά euρήμαuι δεν μuορd οαρ6 να ιφί­

vι:ται εvτuιιωcnOJtci μαιφcS αpοΙtUμένοu -y1α μια σύγχρο­

νη και τα~ αναnτuσσόιuνη εmστήμη. Οι αοορχtι; τηc; θε>;)ρ.ίος τηc; βαρ\ΠW\<; αστιlθe1ος ~­ ντοnίζονtαι στο γραιπά του nατtρα τηc; vι:ότφηc; φu­ ΙJΙ.Ι<ής σqι Ισαta Ν~να

(1643-1727).

Μiα ηι:ν-ι;απία

αφότου ο Νεύτων δημοσίευσε το νόμο της οαγτ6σμιας έλξης. ο vι:αρ6ς φίλος του και κληρJΙός Riehard

Bent.ley, ο οοοίος ώtι: ιj τον διwθυπής του τrinity CoUege mo Κώμο ρ ι«, σε μια emστολιj του τον ρώτησε οι: nοιουι; λόγους θα μπορούσε να αnοδοθεί ο σχιuιατιομός ιων 6mρων. Ειδιιcόtφα, τον Beotley τον αοασχολούσε το ε­ ρώτημα ιι.ατά nόοον η οροσφότως ανΟJtαλυφθefσα βα­ ρuτιΣή δύναμη θα μuορούσε να αοοtι:λεί την αιτfα της

δημιουργίας των άστρων. (Η διαtύιιωση του ερωτήμα­ τος αυτού μας emτράω να σuμmριλιiβοvμe τον Beot.ley mouς nατtρι:ς τηc; ιδέοι; τηc; 1\αρuτιΣής ιιοτc\&ιας.) Σ:την ορώτη αοανtητιΣή tOU εmστολιj οροι; τον δρα

R.

Βeοι.

ley βρίσκουμε τον οερ Ιοαάιι ΝεοΠωνα vo γράφΘ uι εξιjc; ·Μου φαfvι:ται ότι Θάν η ύλη τοu Ίll.ιου ιι:ω των αλο· νηtών, ιι:αθώς ιι:ω 6λη η ύλη τοu σύμnαvu>ς. qιφαν{στη­ ι:e ορχιιι:6 ισομeρώι; ιια,;ανqιημ€νη σε 6λα τον ουρανό,

ιι:ω αν κάθe αωματ/διο ef~ μια αuμφυιj βαρu 'ιΣή έλξη nροι; όλα ro υο6λοιnα οωμαΊ:/δια, ιι:αι αν ολόκληροι; ο χώρος στον οποίο βρισκόταν καταvι:μημένη αυτιj η ύλη

δεν ιjrον οαρ6 nι:nεροομένας. τότε η ύλη στις εξωτφι­ ιιiι; nεριοχtς αuwύ του χώρου θα έτεινε -λόγω της

βαρύτητάς της- οροι; το ούνο!ο της ύλης στο eοωτφι· ιιό του χώρου· κατά συνέι:ιεlα, 6λη η ύλη θα ιι:α~ στο ιιέντρο ολόιι:ληρου του χώρου, 6οου ιιω θα δημιουρ­ γούσε μια μεy6!η οφα.ιριΣή μάζα.

ισομ~ ιιατανqιημένη σε μn~

nott να

All6 αν

tmv άmlρο

η ύλη ιj τον

χώρο, δεν θα

συρρu;νωθei σε μfα μοναδική μάζιι·

τοuναντίον, η ύλη εν μfρει θα συρρικνωνόταν σε μια

μάζιι eδώ ιι:αι εν μiρeι σε κάποια άλλη ι:ιώ, δημ.ιοuρyώ­ παι; itcn ένα άπειρο αλήθας μεyά!ων μαζών διασκορ­ mομένων οε μq'6λ.ει; ~ ιι:αι ααλωμένων οε ολtS­ ιι:ληρο τον 6οωρο χώρο. Κω ιι:α,;' αvτcS τον τρόπο θα ιj· ταν δυνατόν να σχιuιατfοτηιιαν ο "Ήλιοι; ιι:αι οι ααλαvι:ίς αΟΊ:έρeς. ι:φόσον επιπροσθέτως υnοtεθεί όη η ύλη ef~ φωτεινιj φύση.•

Όπως βλtnouμe, ο Νεύτων ειιεξιψyάοτηn την ιδια της αuμnύιι:νωοης της aρχέγονης ύληι:. θeώρηοε την ύ­ λη αuτιj αοολύtωc; οδρανιj ιιαι qnιχρή ι:αι, σuνεn6)ς. α· νίιιανη να οροβ6.!ω την nαριqιιιι:ριj αντfΟΊ:αοη ΟΊ:η σu­ μιn6ζοuαα βαρύτητο. Επομένως. ιι:αt6 τον Ν~ ιι:6θe ι:ιeριοχιj υφη!ότφηc; οπνότητος δεv μοορι:{ παρά να ουστΟ.!εται οροοδeυτι.:ά, ιιω itcn να yίvι:ται ολοένα DV·

Οι~ ιη1ι:ς φιιzpο6 _ , . _ [ οφ(οο ~ .... οοο6'4'; anoιdό<iν 1"ισνnc>f<ι ~ )'10 fO ά 6mpo. 8ι­

μ4ιος ""' ~ ""' λιισι1, JU4( .......νιfς nφιοχιfο; σχ1/}ΙQΠ• tJpt>ό ciοφων • οrιο(ο J!ρ{οοι:ασ. ....... _.,..ι ""' -ο.-:. σι: αn67.(}(}() mW φωιτΙς "' /)ι.

ιι:νότφη eξαιτfας τηc; βαρύτηταc;.

Jeans cnιμιιiραvι: όtι η βαρυτιΣή ουσtαλιj αρχίζει μ6νο

Προς τα ςiλη του 19ου αιώνα, οι φσσιιι:οί efxav ιι!ι­ ον ιιvτιληφθεf οοφώς όn η eλιισt.ιιι:ότηuι σuvιΟΊ:ά OUCJ1ώ. δeς ιι:αι αναyιι:αfα χορΟJtτηρΙΟΊ:tιι:ό ιι:άθe μορφής ύλης. του

όταν η δύνομη τηc; βαρύτητας υι:ιeρvιιι:ήΟQ την (eοωτε­ ρι.ιι:ιj) οίeοη -του αερίου.

αραιού αερίου ουμιοφιλαμflαναμέvου: πρόκειται για την

ΙΊα να οροσδιορίσοιιιu nc; συνθιjιι.ες που καθιστούν δuνατιj μια τέ-τοια εξέ!.ιξη, θα οροβού)tt σε μερΙ.ΙΙ.ές αnΑι&;

ιδιότηuι η onofα αooteλef την υnοιιefμενη β6οη φαινο­

φυcnιιiς ειιτιμήοειι:. Ας εΕ,eτάοοuμε οοιες διαδurοοfες ε­

μένων όπως η ύπαρξη ηχητΙΚών κυμάτων σου διαδ/δο­

οόyω η μιιι:ρή στοχαΟΊ:ιχή αuμn(εοη ~ός όγκου αερίου

vται στο χώρο. Ειιιι.ινώνται; από την αφετηρία αυτιj, ο

με ΧΟρΟJttηριΟΊ:ιχή γραμμική διάmαοη λ ιι.αι οπνόtη·

18

IIAioΣ / IOYIIIOΣ 2000


ιαρ. Αnό τη μια, η δύναμη ιης ρ.φόιηιοc;οvvιtλeί στην

.

.•. •.

παράταση της αuμnίeσης. Αν cuιouoiαζt ~ η πίε· ση του αερfου, όλη η μάζα της cnιμηύΊtνωσης θα καιέρ·

'• ''

ρεε στο κέντρο της σε διάστημα ioo προς το χρ6νο eλeύ­

8 '',

/ .. . .. ...

θερης πτώσης

ι. - (GpΓ'~. ο οποfος εfναι ανeξάρτητος των διαστάσεων της περιο­ χής όnou εκδηλώνεται η διαταραχή.

Ο ανωτέρω τύπος μπορεί να εξηγηθεί με τη βοήθεια του τρίτου ν6μου του

Kepler.

•'

..

.. . · .·

.

·..

Η πτώση οποιουδήποτε

σωματΙδίου προς το κέντρο ιου νέφους συντ&λείτω unό την επίδραση της ελκτικής δύναμης που οαρ6γει η μάζα

Μ

- pa', 6ιιου το a δηλώνει την αρχική αn6οταση του

σωματιδfου αn6 το κένψο του νtφους. Η διάρκεια της πτώσης ισούται με τη μΙσή περfοδο περιφοράς κατά μή­ κος μιας πολύ στενής έλλειψης της οποίας η μ[α εστfα συμnιΊrτει με το κέντρο του νέφους. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του

Kepler,

η περfοδος της κίνησης κατά

Η tkιlθtpη σι>σrο.1.ιf ιν6ς νlφοιις υnό rιιν ιnlδ{ιοοη πις wιοβαρύrη· rd<: IQC! μnopd "" θtωpqfld ωι; μ•α κivηοη 6.\ων rων αωμLmδ<ων nocι

ro αnαpr{{puν καrό ιnfκος tl.αφmιώ tπιμιιιηχιμbωο t.Unnnκών τροχιών οι orrι>kt; IJIUiλ'OCioυν cποc.οι; νόμοιις ιοu Κφlu.

μήκος μιας Οιλειψης με μεγάλο άξονα a ισούται με την περίοδο περιφοράς σε κυκλ.ική τροχιά ακτίνας ιι/2 γύρω

λ

αn6 τη μάζα Μ. (Διευιφινfζουμε 6τι το σωματfδιο θα

(Gp) v•u.,. - (RT/pGμY 12 •

ακολουθήσει την lλλειψη του ν6μου του Κepler μόνο

εφ6σον στην πτώση προς το κέντρο βάρους συμμεtέ· χουν όλα το σωματίδια που αnαρτιζουν το νέφος. και μά·

λιστα κατά τέτοιον τρόπο ώστε η μάζα που περιέχεται στη συστελλ6μενη σφαίρα επf της οποfας κεfταt το κάθε σωματίδιο κατά την πτώση του να παραμένει σταθερή

καθ' όλη τη διάρκεια της διαδικασfας.) Η περ(οδος μtας τέτοιας κυWιtής κίνησης μnορe( εύκολα να υηολοΥJοτεί μe τη βοήθεια του δεύτερου ν6μου του Νεύτωνα. (ΙΊα τον ακριβή tύno και την αναλυτική εξαγωγή του, ο ανα­

Διαπιστώνουμε ότι ΟΙ διαταραχές μικρής κλfμακας α

θα διαρκούσε επί διάστημα ίσο μe τον λεγόμενο •δυναμt· κό χρόνο•, του οποίου μtα εκτίμηση μας παρέχet ο τύπος

t, - -λ ,

στική ουμιήεση, σε αντίθεση με τις διαταραχές μεγάλης

κλiμαχας α» <RT/pGμ) 112) ΟΙ οποίες είναι ασταθείς: αφ' ης στιγμής εμφανΙστούν, αποκλείεται να αnοσβεστούν μέσω της διαστολής του αερίου.

Συνεπώς. η συλλογιστική μας οδηγεί στην ακόλουθη εκιίμηση γΙα την κρίσιμη γραμp!Κή διάσταση 1,:

6που με

v

συμβολίζουμε την τcηιύτητα του ήχου σιο

αέριο, η ο~οία δεν διαφέρει ως προς την τάξη μεγiθους αnό την ταχύτητα της μοριακής κίνησης στο fδιο αέριο:

υ 'U

RT

λ, - ( pGμ

)m ,

η οποία μας εmτρέneι να εκτιμήσουμε και την κρίσιμη μάζα Μ,:

Μ

_

'

v.,

«

(RT/p()μ)") εmδεικνύουν ευστάθεια ως προς τη στοχα·

γνώστης μπορ&( να ανατρι!ξει στο πρόβλημα Φ167 του

τεύχους Νοεμβρίου/Δεκεμβρίου 1999.) Από την άλλη, εάν αnουοiαζe η βαρύτητα, η οίeση του αερίου θα ανάγκαζε το ν€φος να διαοταλεi, διαδικασία που

λ

ρλ

J' ρ·"'. 11

1

_

'

( RT Gμ.

Αν εξαιρέσουμε κάποιους μη ουσιώδεις αριθμtιτικούς συ· ντeλeοτές. οι δύο τύποι μας συμπίπτουν με τους περί· φημους νόμους του

Jeans.

ΙΊα να αντιληφθούμe βαθύτερα το ν6ημα των αnοτe­ λεσμάτων αυτών, θα τα εξαγάγουμε εκ νέου από τη συν· θήκη tοορροπlας για ένα αερΙώδες νlφος που τeλeί υπ6

_ JRT_

την επfδραση της μοριακής ώεσης και ιης βαρύτητας,

μ

ισορροπία η οποία, σύμφωνα με τον ορισμό των λ, και

(Εδώ το R δηλώνει την παγκ6σμια σταθερά των αερίων

Μ" αnοκαθίσταται ακριβώς όταν έχουμε λ= λ, και Μ =

και το μ τη γραμμομοριακή μάζα.)

Μ,. Η τιμή που χαρακτηρίζει την εnιτάχιrνση της ελεύ·

Πραρανώς. αν ι,« ι•. η μοριακή πίεση θα έχει αρκε· τό χρ6νο στη διάθεσή της για να ανακατανείμει την ύλη

θερης πτώσης στο νlφος δίνεται (ως προς την τάξη μe·

κατά τρόπον ώστε να εμποδίσει την περαηέρω βαρυτι­ κή της συστολή. Anffieτa, αν ι.

« t40

η συστολή συ·

νuλείτω ταχύτερα αn' ό,τι η διαστολή του αερίου λόγω

γέθοuς) αn6 την έκφραση

Μ g - G -- pGλ λ'

.

της μοριακής κίνησης. Ας προσδιορίσουμε το λ6γο των

Η πίεση του αερίου πρέπει να εξισορροπεί τη δύναμη της

ι, και ι.:

βαρύτητας· προς τούτοις, η rιίεοη πρ~πει να μεταβάλ-

QUANrull / ΑΡθΡΟ

19


λεται απά την τιμή μηδtν στο eξωtερΙJ<ά σύνορο του νέ­ φους ώς την ~ιμή

Ρ

- ρgλ - Gρ'λ'

στα βάθη του (σας υπενθυμίζουμε τον nασίγνωο1:ο τύ­ πο της υδροστατικής πίεσης Ρ ~ pgh). Εάν αντικαταστή­

σουμε στον ανωτέρω τύπο την τιμή τής Ρ που δίνει η καταστατική eξfσωση του ιδανικού αερίου

Ρ . pRT • μ

καταλήγουμε στις ιδιες εκτιμήσεις γ1α τη λ, και τη Μ, - p.l/ άπως και προηγουμένως. Αν εφαρμ6οεJ κανdς mo προωθημένες μαθημα~ιιιiς τεχνικές. μπορεί να προσδι­ ορfοeι τα λ, και Μ, με μεγαλύτερη αιφqlεια (οι κατωτ€­ ρω Wποι δεν πρ6κειται να αποδειχθούν εδώ): λ,

-_ ( 2RT )"a , ρGμ

Μ,

-_ ( RT )'" ρ _,, . 2Gμ

Τούτοι οι απλοί ν6μοι αιιοτελούν τους αιιρογωνιαfους λίθους της θεωρίας της βαρυτuιής αστάθειας. Η συγιιe-

Μrοοασrpικοί <σίqκ.rνtc;• σπιv καρόιιί rου νιφι:4}μα.ος rης ΑιμΥΟθι!.\ιιοοο.;. Η μqάlη θrρμοκpααιοχι[ διαφcρό ανιίμιοο σπι θrρμι[ ιnιφά· νtιο κιu ro ψv;w6 eοωttpικιί rων νοφών. οιιν&>ά(6μενη ~ την n(ltJη rου αιιrρικού φωrός, μπορι:( να πaparιfyrr ισχυρ{ς διαrμιμ-ικiς ιcf«u; οι oπoft<: συσrpέφ<Jυν ro νlφη πpοσδfδοvrιίς roL-ς μw μορφι[ που θvμ(ζtι 11fφωνα. Το vιφι\ωμο rης λιμνο/Ιd.\ιιοοο.; καθώς και οιιίφοpσ νtφt· .Ιιδμοrα σι: ιiλ.Ιοος ~ες οποrr..Ιοι!ν r6nοιις όπου yεννιοι!νιοι νlο dmpo από νtφη jJlJ(IUlκoύ O<pfoυ και οκόvης.

20

ΜΑiΟΣ / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000


κριμένη θεωρία μάς λέε1 όtΙ αν σε ένα αιψ1ώ&ς μ€οο δη­

τη μάζα του Ήλιου, ενώ η aστρονομική μονάδα

μιουργηθούν για οποιονδήποτε λόγο διαταραχές της nu· κν6τη τας διαφ6ρων εκτάσεων, t6τε, γtα 6ιmι; αn6 αυτές έχουν μάζα η onofα υπερβαίνει την τιμή Μ.ι> η διαδικα­ οfα συστολής ιαυς είναι μη αναστρέφtμη και θο οδηyή·

σούται εξ ορΙσμού με τη μέση οn6σταση της Γης αnό τον

σει στη μετατροπή τους σε πυκνή ύλη. Εντούτοις, οι με·

μουκνώσeιc; στα μeσοαστρικά μοριακά νέφη, όπου εm·

γάληc; κλίμακας διακυμάνσεις πυκνάτη τας συνιστούν ρο τηρούνται μόνο μtιtρής κλίμακας διακυμάνσεις πυκν6-

ιφατεί θερμοιφασία τ= 5-20 κ και η αριθμητική nυκvό­ τητα του υδρογόνου, n~, κυμαίνεται μεταξύ των τι­ μών ιο• cm-> και ιο• cm . Επομένως, ο' αυτές τις πε­

τητας. Συνεπώς. η βαρυτlltή συστολή αναμένεται με συ·

ριοχές έχουμε Μ,

ντριπτική πιθανότητα να εκδηλώνεταΙ σε διαταραχές

νομικές παρατηρήσεΙς, οι μάζeς των περισσ6•ερων ά·

μάζας Μ

στρων εμπίπτουν σε τούτη την περιοχή τιμών. Συνεπώς,

σπάνια γεγονότα, ενώ ουνήθωc; στο αεριώδες ν6ρος nα·

a

Μ,.

Διακ6αια σαράντα χρ6νια αφ6του ο Νεύτων συνέτα·

AU

ι·

Ήλtο (1 AU = 1,5 - 101' cm).

Όπως αvακαλύφθηιre προσφ6-τ;ως, οι τυmχές περιοχές σχημαησμού των άστρων είναι οι μικρής κλίμακας συ·

= (0,02-2)Μ0•

Όπως έδεΙξαν

01

aστρο­

η θεωρία του Jeans οδηγεί σε σωστές προβλέψεις!

ξι: την επιστολή του οροc; τον Bentley, ο Jeans έγραψε στο βιβλfο του The Stars in their Courses (τα άστρα στις

μπορεί να υποβληθεί σε παρατηρησιακό έλεγχο είναι •ο

οορεiες τους

•Υποθάπε άτι στην αρχή του χρό­

μι!γεθος του •προγονικού• νέφους των άστρων. Στην nε­

νου ένα αέριο κατελάμβανε όλα τα χώρο... Μπορεί κα­

ρίnτωση του Ήλιου, αυτό -τ;ο μέγtθος εκτιμάται ότι α­

νείς να αnοδε(ξει 6τ1 ένα τέτοιο αέριο θο ήταν αδύνατο

νέρχεται σε 104 AU: πρόκeιται γtα μΙα τιμή nου ουμni­

να παραμe.ίνeι ομοιογενώς καιαvεμημένο στο χώρο κ.αι

πτει με την οκτfνα του nυκvού εσωτερικού του νέφους

άτι θο άρχιζe αμtοως να συμnuκνώνεται σε σφαίρες. Μά·

του

λtστα, μποροUμε να υπολογίσουμε π6οο αέριο χρeιάζeται

των πυρήνων των κομητών. Σε ΠΟΙΟ σχέση βρίοκ.εται η

γtα να σχηματιστεί κάθε σφώρα.•

ουyκεκριμένη τιμή με ttς προβλέψεις ιης θεωρίας του

Δυστυχώς, ο Jeans υπερεκτίμησε ελαφρώς τις δυνα­ τότητές του: αδυνατούσε να παράσχει μια επαρκώς τεκ· μηριωμένη αn6δειξη γtα την εγκυρότητα του τύπου του, διότι στην εποχή του δεν ήταν γνωστά σχεδόν τίποτε

Jeans;

σχετικά με τις φυσικές ιδιότητες και τη σύσταση του με·

τος πρέπεΙ να ισούται με εκείνη του Ήλιου, και υπο­

σοαστρικού αερfου από το οποίο σχηματ{ζονται τα άστρα.

θέτοντας 6τ1 Τ

Τώρα, όμως, βρισκόμαστε πλέον σε θέση να αναλάβου­

R, = ι ο• AU, τιμή η οποία συμπίπτει με την αρχική α­

με το eγχείρημα μιας τέτοιας απόδειξης στηριζόμενοι στα

κτfνα του νέφους του

σύγχρονα παρατηρησιακά δεδομένα.

σθετες αnοδείξεtς γtα την εγκυρότητα της θεωρίας του

Οι αστρονόμοι αnι!δειξαν ότι τόσο τα άστρο όσο και ιο μεσοαστρικό αέριο έχουν μια πολύ σταθερή χημιιtή σύνθοοη: κάθε 1.000 άτομα υδρογ6νου συνοδeύονται αοό

Jeans·•

100 άτομα

- 1931):

ηλfου και

2-3 άτομα άλλων (βαρύτερων) στοι·

Μια άλλη κρίσιμη πρόβλεψη της εν λόγω θεωρίας που

Oort, το οποίο περιέχεΙ

την nερισο6τερη από τη μάζα

Η ακτίνα του αερΙώδους θραύσματος όταν πρωτοεχ­ δηλώνεται η βαρυτική του αστάθεΙα λαμβάνεταΙ φυσΙ· ολογtκά ίση με

R, = .ιj4.

Εφόσον η μάζα του θραύσμα­

: 20 Κ, βρfσκουμe n(H2) = ιο• cm-> και

Oort. Χρειαζόμαστε άραγε εnΙnρό­

Φυοικά, οι απλοί τύποΙ του Jeana δεν λαμβάνουν υπόψη πολλές αnό τις φυσικές διαδικασίες που συντελού­ νται στο μeσοαστριιιό νέφος. Ο1 ουyκεκριμένοι τύnοι ι·

χeίων. Στα ψυχρ6 και nυκvά νέφη όπου γεννιούνται τα

σχύουν στην περίπτωση

άστρα, το υδρογόνο υπάρχει υπό τη μορφή του μορίου ~. με γραμμομοριακή μάζα μ(Η,) : 2 g/mol. Αν λάβου­

το οποίο αιαvητ&ί, κάτι που στην πραγματικότητα ουδέ­

με υπόψη μας και τη μικρή παρουσία άλλων χημικών στοιχεfων, η μέση γραμμομοριακή μάζα -τ;ου μεοοαστρι·

ev6c; ιδανιχού ομογενούς αερίου

ποτε απαvtά στη φύση. Η αληθινή μεσοαστρlltή ύλη βρίσκεται σε διαρκή ιόvηση, συχνά μάλΙστα αναπτύσσο­ ντας ταχύτητες που υπερβαίνουν εκείνη του ήχου. Ε­

κού αερίου ανέρχεται σε μ"""J : 2,3 g/mol. Στην αστρονομία, η nυκvοτητα του μεσοαστρικού αε· ρίου ρ = (μ...JN.)n εκφράζεται ουνήθως μέσω της λε· γ6μενης αριθμητικής πυκνότητας ταυ μορΙακού υδρογό­

nιnλέον, πρόκειται για μ1α ιόνηση που λαμβάνει χώρα

νου,

πt:μπαυν τα λαμπρότερα εξ αυτών. Ως εκ τούτου, δεν προκαλεf απορία το γεyον6ς ότι μετά τον Jeans πολλοί φυσικοί χpε1άστηιre να μοχθήσουν για να αναnτυχθεί η θεωρία της βαρυτικής αστάθεΙας και να διασαφηνιστούν

n (H 2). Αν λάβουμε υπόψη μας τη σύσταση του με­

σοαστρικού αερίου, βρίσκουμε στώντας το

p

και το

n

n=

l,ln(~). Αντ1καθ1·

στους τύπους του

Jeans,

κατα­

λήγουμε στη σύγχρονη μορφή τους:

υπό την ισχυρότατη επίδραση των μαγνητικών πεδίων, της βαρυτ1κής έλξης των γειτονικών άστρων του Γαλα­ ξία καθώς και της πίεσης της ακτΙνοβολίας την οποία εκ­

οι λεnτομέρεJές της. Ανάμεσά τους αξΙζtι να μνημονευ­ 4

.t, • 3,2 · (10

Μ, =

πΙ τ ιο• cm... Α-ι lO Κ n{H.)

. Ο,3Μ.,( κ ) ,.( τ

10

..

10' cm"'

n(H, )

1 )"

θούν

,

)"' ·

01 Ε.Μ. J.ifsbits, S. Chandrasekhar, και J. Silk.

Υ.Β.

Zeldovich

Η ανάπτυξη της θεωρίας αυτής έχει φτάσει nλέσν σε υψηλά επίπεδο: λαμβάνeι υπόψη τη διαστολή και την πε­ ριστροφή του αιψ1ώδους μέσου καθώς καΙ την αλληλε­ πfδρασή του με τα μαγνητικά πεδία και τις εξωτερικές πηγές βαρύτητας. Ωστ6αο, η ανάλυση τούτων των πρό·

Στον τελευταίο tύπο, με Μ0 = 2 · 10,. kg ουμβολ{ζουμε

σθετων φυσικών φαινομένων δεν οδήγησε σε ρΙζική α·

OUANTUM I ΑΡθΡΟ

21


·ε,οω; ασrpικός π(δακιις (ιο .kmό θυοανωrό ανnιαίμεvο nου ·&fχνει• npιx; πιν πάνω opumpιf γων(α rης φωτοypαφfαι;) σrο Τρwχι&ς νεφέ­ lωpα npoεf.ixει από rην •ιwpαλιί• ενός πυι<νΟd νέφους και tκrdvι:roι Ot μιfκιχ: rpU,:,V rmfprων rου έrοοι; φωrός σrο rοωπpιιcό rου wφελώ­ μσrος. Η πηyή rου mδαΙ<Δ t(YQJ Ι;νσ πο.w νrop6 ασrpικό ανπκείμεvο που βpίσκεrαι •θαμμiνο• μLoa σrο νίφος. Οι n~ αιnΟ<ί rου ninoυ αποre.Ιούν rα καvσαiρια rης δuvSIJ<(J(J(aς σχημιnομΟ<ί <ων άσrpων. Η αιmνοβο).ίq. που πpcip:rnαι an6 το }lt)'<i\ιις μάζας άστρο σrο κf:νrρο

rου vcφclώμaroς κάνu ro aipιo roo mδακα να λάμnα, ακpιβ<:χ; όπως συμβαfνeι και με ro υn6.\οιπο νεφέ.Ιωpα.

ναθεώρηση των θεμελΙωδών θεωρητικών συμπερασμά­

ντικά πραβλήματα στη θεωρία που περιγράφει το σχη­

των: στις περισσότερες σύγχρονες μελέτες εξακολουθούν

ματισμό των άστρων και των γαλαξΙών, (lΠηύθυνε την

να χρηmμσποιούνται οι τιμές της μάζας και της ακτίνας

εξής προειδοποίηση: •Στην παρούσα κατάσταση της γνώ­

Jeaos προκειμένου να διαwοωθούν εκτιμήσεις για τα α­ ποτελέσματα που παράγει η β<ιρυτική αστάθεια. Ένας από τους λ6γους σταυς οποίους οφείλεται αυτή η επιστη­ μονική μακροβιότητα έγκειται στις περιορισμένες δυνα­ rόcητες των σύγχρονων aστρονομικών οργάνων: σε σπά­ νιες μόνο περιπτώσεις καθίσταται δυνατ6ς ο προσδιο­ ρισμός κάποιων άλλων παραμέτρων του πρωτοαστρικού μέσου πλην της πυκνότητάς του και της θερμοκρασ{ας του.

Ο ίδιος ο σερ James ήταν έμπλεος ενθουmασμού από τα αποτελέσματα των μελετών του, πρωτίστως δε λόγω της απλής και σαφούς φύσεώς cους. Έγραφε σχετικά: ·Είναι σαφέι; γιατί όλα τα άστρα έχουν παραπλήσιες μά­ ζες· όλα τους σχηματίστηκαν μέσω της ίδιας διαδικασ{ας.

σης μα<;, κάθε nροσnάθεια να unαγορεύσουμε την τελΙ­

κή λύση των κοσμολογικών προβλημάτων δεν θα συνι­ στούσε τίποτε άλλο παρά καθαρό δογμα-cισμό.• Από τη διακήρυξ!ι του σερ

για τσ σχηματισμό των άστρων και παράλληλα έδειξε ότι η θεωρία της βαρυτικής αστάθειας του

του χρόνου. Δεν συμφωνείτε ια εσείς ότι πρόκειται για κά-ι;ι πραγματικό υπέροχο στον αιώνα της κβαντικής και

,

,.

,

,

της σχετικιστΙΚ.ης φυmκης -οι οποιες εκαναν τις περισ-

σότερες κλαmκές θεωρίες να φαντάζουν ανεπανόρθωτα παρωχημένες; ιίΙ

πό την ίδια μΙJΧανή.•

• W.A.

ΜΑiΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

Jeans aντεπεξήλ­

θε επι-cυχώς στη δυσκολότερη δοιαμασία, τη δοκιμασία

Δείτε ακόμη τα άρθρα:

.22

παρήλθε σχεδόν έ­

νας αιώνας. Ο αιώνας αυτ6ς απέφερε πλούσια δεδομένα

Πιθανόν να μοιάζουν με τα προϊόντα που παράγονται α· Επί του παρόντος, γνωρίζουμε ότι οι aστρικές μάζες μπορεί να διαφέρουν έως και κατά έναν παράγοντα 1.000. Οι παράμετροι "&ΟΙJ μεσοαστρικού μέσου nαρου· σιάζουν ακόμη μεγαλύτερες διακυμάνσεις. Συνεπώς, ο ενθουσιασμ6ς του Jeans μπορεί να θεωρηθεί πρόωρος. Ε· ντσύτοις, ο Jeans είχε σαφή επίγνωmι της συγκεκριμέ­ νης κα•άστασης και αντιλαμβανόταν όη δεν είχε ξεπε· ραστεί παρά μόνο το πρώτο από τα εμπόδια στον μακρύ και τρα)ίύ δρόμο προς τα άστρα. Προβλέποντας τα μελλο-

James

Hisεook, •Μαύρες τρύπες: είναι αναπόφευ­

κτες!•, ΜάιοqΙούνιος

1995.

• Α. Sakharov, •Υπάρχει στοιχειώδες μήκος;•, Ιούλι­ ος/Αύγουστος

1997.

• S. Silich, •Μεσοαστρικές φυσαλJ'δες•, βρουάριος

ΙανουόριοςΙΦε­

1998.

• I. Novikov, ·Το θερμοδυναμικό Σύμπαν•, Μάιος/1ούνΊος

1998.

• Α. Kuzin, •Η ανθρωnική αρχή•, Μάρτιος/Απρίλιος 1999.


ΠΩΣ ΛΥΝΕτΑΙ;

Προκλήσεις Μαenμστικά Μ181 Τιτράn..V:υριz αναζήrιιοη. Ένα τe­ τρόηλεuρο

ABCD

eίναι eyyeyρoμμi­

νo σε κύχλο. Έστω Μ το σημd'ο το­ μής των διαγωνίων του και L το μi· σο του τόξου AD (αυτού που δεν πε­ ριι!χει τις άλλι:ς κορυφtς του τετρο­ πλεύρου). Αnοδeιξτε ότι οι αποσtά· σεις των κiντρων των εyyεyραμμ€­ νων στα τρίγωνα λΒΜ ι;αι

κλων από το σημd'ο

L

CDM κύ­

είναι ίσες.

Μ182 Περιπbtισ σιο ποrιiμι. 'Ενας μα·

θηματικός περπατούσε δίπλα σε ι!να μικρό ποτάμι, με κατeύθυνση αντiθε· τη από αυτή του ρeύματος και με τα· χύτητα ίση με μιάμιση φορά την τα­ χύτητα του ρeύματος· φορούσε κα­

ιιιλο και κρατούσε ι!να ραβδ( Ήθελε να πετάξει το ραβδί στ.ο ποτάμι αλλά

κατά λάθος πέταξε το καπιλο του· ω­ στόσο συνlχισε να περπατά με την ίδια ταχύτητα. Μερικά λεπτά αργό­ τερα κατάλαβε το λάθος του, αέταξε το ραβδί στο νερό και ιtρeξε προς το πίσω με ταχύτητα διπλάσια από αυτή nου περπατούσε. Πρόλαβε το καπ€λο, το μάζεψε (στιyμιαfα) και άρΧJσε πά· λι να περπατά αντιθετα προς το ρεύ· μα με την αρ)(1Κή του ταχύτητα. Δέ·

κα λεπτά μετά τη στιγμή που περι· μάζεψε το καπέλο του, ο μαθηματι· κός συνάντησε το ραβδί, το οποίο ε· nέπλεε. Πόση ώρα νωρίτερα θα έφτα­ νε στο σπίτι του αν δεν είχε μπερ­

είναι ίσα, με την προϋπόθεση ότι ο

κός κώδων εfναι μια συnευή που

αριθμητής και ο παρονομαστής πε· ριέχουν τέσσερα μηδι!ν και το ίδιο αλήθος μονάδων (οι ενδιάμεσες τe· λείες~ μιαν ακαλου­ θία από 1). Βρdτε το ανάγωγο Jtλά.

χρησιμεύeι στην &Ιtιλεση υnοβρύ·

σμα που ισούται με αυτά τα κλά­

βάση του προς τα οάνω. Τι π6χος πρUιeι να txoυv τα τοιχώματα και η βάοη του (δηλαδή η οροφή της αυ­ οχwήc;) προι<ε1μι!νου ο κύλΙνδρος να

σματα.

Μ184 Ελάχw.ο ηιήμα. Δίνεται σημείο Μ του γραφήματος της συνόρτησηςy =

~.~υμε ι;ά&τηuήτην~ μενη του γραφήματος σου διtρχεται

μία μόνο βάση, ο οοοίος καςαj!ιβάζe­ ται από το nάφος ώς το βuθ6 με τη

παραμεfνει ακίνητος στον πυθμένα

μιας λίμνης βάθους Η

= 3 m;

Δίνο­

νται η εσωτερuαj ιι:πfνα του κατα­

από το σημd'ο Μ. Η κιi&.η αποιιό­ ιπeι ι!να χωρίο της παραβολής. Βρεi·

τασκευασμι!νος από χdλυβα, ο οποίος

τε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού

έχει πυκν6τητα Pz =

αυ ιού ι.ου χωρίου.

7,8 · 10' Ιφ'n:ι3•

Φ183

Μ185 Σφηνωμένο φί-yωνο. Δύο κύdοι και ι!να τρίγωνο διευ&τούνται όπως στο Σχήμα 1. Βρείτε το ύψος που ά·

Στο εσωrφuα} ε..sc; mιnωrή. ΜΙα πλ6κα πάχους λ, κατααuυααμένη α· nό υλικ6 που άγει ααθενώς το ηλε­ κτρικό ρεύμα και ι!χει eιδuαj αντί·

σταση ρ, τοποθeτεfται στο εσωτερι­ κ6 ενός πυκνωτή με παριiλληλους ο­ πλlσμούς και παράλληλα ορος αυ· τούς. Ο πυκνωτής φορτl'ζεται μέχρι τάσης νr Προσδιορfστe τη μtyιστη τιμή του ρeύματος που θα διι!Αθeι α­ πό την πλάκα 6ταν θα βραχυκυκλώ­

Σχήμα

σουμε τον πυκνωτή. Δ(νεται το εμ·

1

βαδ6ν

γεται προς τη βάση του τριγώνου αν

το άθροισμα των διαμιτρων των κύ· κλων ισούται με

2.

Φυσιχή Φ181

Μ183

Σι:.tηνιακiς nαρi)4ις. Πώς εnηρε· ιiζει η Σελήνη την τροχιά της Ι'ης

101011 ... 10101 110011 ... 10011

κύλΙνδρο με λεπτά τοιχώματα και με

δuτΙΙΙ.ού κώδωνα r = 1 m ιιαι το ύφος του λ = 2 m· θεωρήστε ό{ι efναι κα·

δέψει το καπέλο με το ραβδί;

Α>όyωγσς rύπος. Αnοδε/ξτε όu όλα τα κλάσματα της μορφής

χιων εργασιών. Πρόωται για ι!ναν

περί τον Ήλlο;

(Α.

Dozorov)

Φ182

S των οπλlσμών του πυκνω­

τή. Η απ6σταση των οπλισμών είναι d, και θεωρεfται πολύ μικρότερη από τις γραμμικiς διαστάσeιι; των οπλι­

σμών. Το εμβαδ6ν -rης πλάκας στο ε­ σωτeρι1!'6 του πυκνωτή e(ναι 6σο και αυτό των οπλlσμών.

(V. Deryabkin)

Φ184 Ιιπιiμενο n.\.αομοeιδΊς. Οι φωτο­ yραφ(ες των ακuνοβολούνtων σφαι­

ρικών πλασμοειδών (πρόκειται για

Καrαδυπκ6ς κώδων. Ο καταδυtι·

OUANfUM I ΠΩΣ ΛYNEfAI;

23


-----------------

Γεωμετρία ολισθαινόντων διαwσμάτων Ο Κύκνος κινά για τον ουρανό, Η Καραβlδα τραβά προς τα π/σω, η Πέστροφα ανεβαίνει το ρεύμα.

Υ. Solovyoν και Α. Sosinskίγ

noιa είδη &ανυσμάτωv

ρέα οΙΠε καθορισμtνο σημείο εφαρ­ μογής ονομάζονται ελεύθερα. ΙΊα nα· ρόδeιγμα, ~α διανύσματα της μαγνη· τικής επαγωγής ι:νός σταθερού μα·

υπάρχουν;

αδρανειακού συστήματος συντεταγ·

ΥΠσrrrΛΟΣ ΠΡΟΕΡΧΕΊΆΙ ΑΠΟ Ε­

ρίας -rης θf:ωρ(ιu; rων α.Ιuιθαι>όνrων

να γνωστό παραμύθι του διά­

διανυσμάτων.

σημου ρώσου συγγραφέα Ι.Α. Κryloν. Σe αυτό, ο Κ,Jκνος. η Καραβιδα και η Πέστροφα προσπα­ θούν να σύρουν μια άμαξα, αλλά δι:ν μπορούν να τη μετακινήσουν επει­

δή τραβόνε προς διαφορετικές κατευ­ θύνσεις. θα μπορούσατε να πρασδιο­ ρfσeτε την κfνηση της άμαξας αν σας δοθούν οι δυνάμeις και οι κατευθύν­ σεις προς τις οποίες τραβούν σ Κύ­ κνος. η Καραβιδα και η Πέστροφα;

·ενα διάνυσμα στο επίπεδο ή στο

χώρο αnεικονfζεται συνήθω.;_ με ένα προσανατολισμένο φήμα ΑΒ. Αυτό

ορ{ζεται από δύο σημεία: την αρχή του (ή σruaro εφορμοyής) Α και το riισς του Β. Αν προεκτείνουμε το τμιUια ΑΒ και προς τις δύο κατευ­

γνητικού πεδfου ή η ταχύτητα ι:νός μένων ως προς ένα άλλο αδρανειακά

σύστημα εfναι ελεύθερα διανύσματα. Μnοραύ}Ιε να θεωρήσουμε άτι εφαρ· μ6ζονται σε οποιοδήποτε σημείο. Οι μαθηματικοf, όπως και οι φυσικοί,

μtλετούν ελεύθερα διανύσματα. Το διάνυσμα που ορίζιι μια μeτατόmση αnοτtλεί το απλούστερο παρ6δeιγμα.

μεfα ι:νός στερeού σώματος. Πώς θα

θύνοeιc;. πώρνουμe μια ι:υθεlα η ο­ ποία ονομάζεται ιpορι'ας (ή δΙΕύθυνση) του διανύσματος ΑΒ. Π6τε δύο διανύσματα θεωρούνται

κινηθεf το σώμα; Όσο περfεργο κι

ίσα; Η αn~iντηση στο σuyιι.εκριμένο

μείου μι!σω της μετατόmσηc;.

αν φα(νeται, η συνήθης αντιμετώm­

ερώτημα ορίζιι τον τρόπο με τον ο­

ση μέαω διανυσμάτων που διδάσκε­ ται στα πλαf01α της φυ01Κής και των μαθηματικών στο σχολείο είναι τε­

ποfο αντιλαμβανόμαστε τα διανύσμα·

με συχνά φυσικές ποσότητες που

τα και εξαρτάται αnό τα φυσικά με­

αντιπροσωπεύονται από διανύσματα τα οποfα εfναι αδύνατο να τα διαχω­

Αυτό το πράβλημ.α εμφανι"ζεται

πολύ σuχvά: σuyκε.ιφιμtνες δυνάμεJς εφαρμόζονται σε σuyιι.εκριμένα ση­

γέθη nου αντιπροσωπεύουν. Μπο­

Όταν tνα τέτοιο διάνυσμα εφαρμό­ ζεται

oe tνα σημείο, το Woc; του υ­

nοδeικνύεJ την e.ιχόνα αυτού τσu ση­

2.

Αnό ιην άλλη, πάλι, συναντά-

ρούμε να θεωρήσουμε τουλάχιστον τρεις τύπους διανυσμάτων.

ρίσουμε αnό το σημε(ο εφαρμογής

Αν, εκτός από τη μάζα, πρWει να

ι. Είναι δυνατόν δύο -yεωμεrpικώ<;

νται εφορμcστ6. Το διάνυσμα της

λάβουμε υπόψη μας και τα μέγεθος του σώματος. αν αντιμετωm'ζουμε έ­

(σα διανύσματα να απεικονίζουν το

στιγμιαfας ταχύτητας ι:νός κινούμε­ νου υλιχού σημefου αποτελεί τέτοιο

να οραγμαηκό σώμα και όχι ένα υ­

Ι'διο φυσικό ή μηχανικό μέγεθος. [θuμηθεfτε ότι στη γεωμετρία δύο

λιχ6 σημεfο, δι:ν είναι πάντοτε προ­

διανύσματα (πρασανατολισμtνα τμή­

ωρήσοuμe ανεξciρτητα από το ι:ινού-

φανής ο τρόπος πρόσθεσης των δυ­

μαrο) εfναι fσα αν οι φορείς τους εί­

μι:νο oηιrefo (φυσιι:6, υποθέτουμε άτι ~

νάμεων που ασκούνται !re διαφορετι­

ναι παράλληλοι, τα μήι:η τους ίσα,

κά σημεία του σώματος οΙΠε τα τι

και η σeιρά των σημε(ων τους ορίζεt

μπορούμε να κάνουμε με τα αντίστοι­

την ιδια φορά πάνω στους φορείς

τα άλλα σημεfα του χώρου δι:ν κι- ~ νούνται μe την ιδια ταχύτητα). g 3. Τέλος. μπορεf δύο γεωμετρικώς s::-

χα διανύσματα. ΊΊ είναι, πράγματι,

τους. Με άλλα λόγια, αν τα διανύ­

{σα διανύσματα να αντιπροσωπεύουν

~

αυτά τα •αληθινά• διανύσματα; Το

σματα εfναι {σα υπό παράλληλη με­

fσες φυσικές ποσότητες μόνο αν

ο

παρόν άρθρο απαντά στο πρόβλημα

τατόπιση.] Τέτοια διανύσματα, τα ο­

&χουν τον ιδιο φορέα. Παράδειγμα α-

μέσω μιας μικρής μαθηματικής θεω-

ποfα δι:ν έχουν ούτε καθορισμένο φο-

rιοτελούν τα διανύσματα rιου αντι- ώ

λείως ακατάλληλη για τη λύση ι:νός τέτοιου προβλήματος.

24

ΜΑIΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

τους. Τέτοια διανύσματα ονομάζο­

παρ6δeι γμα. Δι:ν μπορούμε να το θe-

-~

"~

e~


OUANfUM I ΑΡθΡΟ

25


προσωπεύουν δυνάμεις οι οποlες α­

.'

σκούνται σε ένα cnερεά σώμα. Τέτοια διανύσματα, τα onofα δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ανεξάρτητα από την εu-θεία δράσης τους, ονομάζονται ο­

''

που -τ;ο σημείο

-- -

.'

νάμεις ποu- ασκούνται σε cnερεά σώ­

σύστημα που

(u , v) cno σύστημα που αποτελεfται από ένα μοναδικό διάνυσμα (w ). Υπάρχει η αντίστροφη aυτής.!!J..ς

a-

πείρως μικρά υλικά σημεία. Η στερε­

ότητα του σώματος επf του οποίου ασκούνται οι δυνάμεις αnοτελεf ση­

w

αποτελεfται από τα δύο διανύσματα

c

ματα με σu-yκειφιμένο μέγεθος και σχήμα, και όχι σε αφηρημένα κω

ώδης πράξη. Ανάγει

ν

α

προκύπτει από την

πρόσθεση των τριών ελεύθερων δια· νυσμάτων ΑΒ + AC = AD με τον κανόνα του παρσλλη,;tοypάμμοv (Σχήμα la). Αυτή η πρόσθεση •τεμνόμενων• διανυσμάτων εfναι η πρώτη στοιχει·

λιοθαίvοvrα. Τα διανύσματα αυτά,

λοιπόν, μπορούν να παριστάνουν δυ­

D

πράξης:

β

κάθε διάνu-σμα ν

yta

= ΑΒ

μπορούμε να επιλέξουμε δύο τυχαί­

μαντικό στοιχείο. Τέτοια σώματα ού·

ες ευθεiες που διέρχονται αοό ένα τυ­

τε διαστέλλονται ούτε συcnέλλοντω,

χαίο σημεfο της ευθείας δράσης του

ενώ η δύναμη μεταφέρεται κατά το

(ας πούμε, αοό το σημεfο Α) και να

φορέα της χωρίς μεταβολή του μέ·

αvαλύοουμε 'tO διάνυσμα ΑΒ βάσει

τρου της. Συνεπώς, το σu-yκεκριμέ­ νο σημείο εφαρμογής της δύναμης πάνω στο φορέα της εfναι αδιάφορο,

κω η δύναμη μπορεl να •ολισθώνει• πάνω

cno

φορέα της.

Σε τούτο το άρθρο θο ασχοληθού· με με ολισθαfνοντα διανύσματα. Για τη σuνeχεια η λ€ξη διά'VIXJ}W- θα ση· μαfνει ολισθοίνσν διάνυσμα, εκτός αν επισημαίνετ;αι κάτι διαφορετικό. Οι

περιπτώσεις ελεύθερων ή εφορμο· στών διανu-σμάτων θα δηλώνονται σαφώς. θα συμβολίζουμε τα (ολισθώνο­

ντα) διανύσματα με έντονα γράμμα­ τα, ytα παράδειγμα ματα

v, ή με δύο γράμ­ υπεργραμμισμένα, yta παρά­

δειγμα ΑΒ. Τα ελεύθερα διανύσματα θα συμβολίζονται με γράμματα που φέρουν από πάνω_lους ένα βέλος, για παράδειγμα ή ΑΒ.

v

Συστήματα Ολισeaινόντων διavυσμάτων =

Έτσι, ένα (ολιοθα!νοv) διά'VIXJ}W- v ΑΒ ορίζετω από την ευθεία l = ΑΒ

-το φορέα του- και το προσανατο­ λισμένο τμήμα ΑΒ πάνω σε αυ ιιj την

ευθεία. Δύο διανύσματα v = ΑΒ και 11 = CD θεωρούνται ίσα αν ορiζουν το ίδιο ελεύθερο διάνυσμα (ΑΒ = CD)

- -

-

Σχήμα

του κανόνα του παραλληλογράμμου

1

(Σχήμα lβ). Επομένως, αοό το μονα·

σειρά αρίθμησης •ων διανυσμάτων δεν έχει σημασία. Όμως, το ί'διο διά­ νυσμα μπορεί να εμφονiζεται πολλές φορές στο σύστημα, και πρeπει να το

λάβουμε υπόψη όλες τις φορές ποu­ εμφανfζετω. Στόχος μας είναι να μάθουμε να μετασχηματίζουμε τέτοια συστήματα διανυσμάτων και να ανάγουμε, αν εί­

ναι δυνατόν, ένα wχώο σύστημα σε ένα απλούστερο. Για να το επιτύχοιι· με, θα χρειαστούμε μερικές στοιχει­ ώδεις πράξεις πάνω στα συστήμαια διανu-σμάτων και μια έννοια ισοδυνa· μίας.

Στοιχειώδεις πράξεις και ισοδUναμία συστημάτων Αν οι φορείς δύο διανu-σμάτων

δικό διάνυσμα

CD

φορεfς που τέμνονται ή συμπίπτουν. Η πρόσθεση των διανυσμάτων με ί·

διοu-ς φορείς είναι εξαιρετικά αολή. Ειδικά, η πρόσθεση δύο αντίθε•ων διανυσμάτων ν = ΑΒ και

δίνει το μηδενικό διάνυσμα: Ο (βλ. Σχήμα 2).

Η δεύτερη στοιχειώδης πράξη συ· νίσταται στην αnα.wιφι[ ενός μηδεvι­ ιωύ διανύομιποι;: δηλαδή, στη μετά· βαση από το σύστημα (ν 1 , v 2, ... , v1 , ν, -v) στο σύστημα (vι, v,, ... , v 1). Ειδικά, ytα k = Ο το απλό ζeύγος (ν,

- v)

σύστημα, το

ΜΑίΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

onofo

συμβολίζεται, ό­

ρούμε να τα προσθέσουμε κατά φυ­

επlσης την aντίστροφή της: είναι η yένvηση rov μηδενικού διανύσματος, δηλαδή η μετάβαση αοό το σύστημα

σικό τρόπο: Αν

u = ΑΒ και v = CD

(όπου Α εfναι το σημεfο τομής των φορέων ή οποιοδήποτε σημείο του κοινού φορέα όταν αυτοf συμπf­

w = u +v ορίζεται ως το διάνυσμα w = AD όπτοουν ), τότ;ε το διάνυσμα

(v 1, ν2,

Σχήμα

2

... , ν ) οτο σύστημα (νι,

v1 , v, - v),

1

v 2,

.. . ,

όπου ν είναι ένα τuχώο

διάνυσμα.

-

στοιχούν σε συστήματα δυνάμεων

26

ανάγεται στο κενό, ή μηδενικό,

Η δεύτερη στοιχειώδης πράξη έχεJ

Τέτοια συστήματα αντι­

ηου aσκούνται σε στερεά σώματα. Η

= ΑΑ

πως και το μηδενικό διάνu-σμα, με Ο.

u

συμπίmουν).

v,.

= ΒΑ

τέμνονται ή συμπίπτουν, μπο­

κω

να διανύσματα θα θεωρήσουμε πε· περασμένα συσrήματα διανυσμάτων .. . ,

-v

v

Στη συνέχεια, αντί για μεμονωμέ­

v 1, v 2,

παίρνουμε ένα σύ·

στημα δύο διανυσμάτων (vι, v,). Παρατηρούμε ότι μπορούμε να προσθέσουμε μόνο διανύσματα με

και έχουν τον ί'διο φορέα (οι ευθείες ΑΒ και

(v)

θα λέμε ότι δύο συστήματα διανυ·


...•

• •• ••

·'

••• ••• • • • • •

-

u

:

. ι

-

u ν

ι. •

.,/

όχι μόνο πειραματικά, αλλά και σνα­ λοΥΙζόμενοι απλώς το φυσικό νόημα

:•

, .,

..

ι

ι

' w)..

.,.,"

:• .•", •

των στοιχειωδών πράξεων. Με την αναγωγή των περίπλοκων συστημά· των σε απλά, είναι ευκολότ;ερο να κα· τανοήσουμε τη δράση ενός δεδομέ­ νου πολύπλοκου συστήματος επί ε­ νός στερεού σώματος Πρόβλημα

α) διJο τεμνόμcνα διανύσματα αε ένα μοvαδικ6 διάνιοομα

1.

Πώς λειτουργούν

αυτές οι στοιχειώδεις πράξεις όταν

• '•

-

-

. ... .. .... .-- ·--. ... ' ', .'.

u-w ··-: / u+w ,: ,: , ' • ,• • • . . ..: . ... ---, '

.

••

•• •'

'• '

'

εφαρμόζονται σε ελεύθερα διανύσμα· τα; Σε εφαρμοστά διανύσματα;

lεύyος &aνυσμάτων Το Σχήμα

3

παρουσιάζει με ποιον

τρόπο ανάγονται μέσω στοιχειωδών πράξεων μερικά απλά συστήματα δι· ανυσμά-ι;ων του εmnt%ou σε άλλα συστήματα. Συνιστούμε στους ανα­

γνώστες να παρακολουθήσουν αυτές

β) διJο διανύομαrα ι0Ια( φορι!ς (ομιίρρ<>rια) αε διJο τeμνόμcνα δrονιJομαrα

τις πράξεις προσεκτικά και να τΊς ε­ φαρμόσουν σε διάφορες περιπτώσεις γ

u

-

ν

w

Το Σχήμα 3δ αξι'ζει ιδιώτερης προ­

--- -.'

σοχής Παρουσιάζει συστήμα-ι;α δύο

-w

•• •• •

αντίθετων διανυσμάτων ίσου μήκους με παράλληλους φορείς Τέτοια συ·

u

' ·---

στήματα ονομάζονται, για συντομία, ζεύγη. Από το σχήμα διαmστώνου­ με ότι ένα ζεύγος διανυσμάτων δεν

yJ διJο

δu>vιJoμara ανrt'θ<rης φορόr. κα• διαφt>f>et•κού μιfι.»υ<; αε διJο rεμνό}'ζνa διαvύομαια

απλοποιείται· μπορεί μόνο να περι· στραφεί (να με.,;ασχηματιστεί σε άλ­

λο ζεύγος).

-

ν

• '• '

...',

-

••

-~~'-Jt-~~\.. Ί

••

-w

·· -- u

.•• •• -. --...... .• .•

Το Σχήμα 4 ηαρουσιάζει μια άλλη

'• ''

'"-•• • •• •• ' '

~ ----

'

ι

..

' • ••

ντί να απλοποιήσουμε το αρχικό σύ­ στημα του ενός διανύσματος το nε­ ριπλέκουμε: από νο αρχιιtό διάνυσμα

• • ..,. • •

'•

'•

σειρά στοιχειωδών πράξεων. Εδώ, α­

προκύπτει ένα διάνυσμα με διαφορε·

•• ••

u+ w -.. ~

•• •

'

τικό φορέσ και ένα ζεύγος. Όμως, αν διαβάσουμε το σχήμα με την αντίθε­ τη σειρά (κάτι που έχει νόημα, αφού

δ) ζειίyος διανιισμάτωv σε ένα ά.Uο ζειίyος διανιισμάrων

Σχήμα

κάθε στοιχειώδης πράξη έχει την

3

ντίστροφή της), προκύπτει μια απλο·

Οι απ.\οιiοτrροι μεrαοχημαr:ισμοί επίπεδων οvσrιιμάrων διανιισμάrων.

σμάτων

<u.. u,, ..., u,) και (ν1 , ν2 , ...,

ν1) είναι ιοοδWαμα αν το ένα μπορεί να αναχθεί στο άλλο μέσω μιας πε·

'

Από την άποψη της μrιχανικής, είναι προφανέc; γιατί ενδιαφεράμαστε για στοιχειώδεις πράξεις και ισοδύνα­

''

--~-•

'

περασμένης ακολουθίας στοιχειωδών πράξεων.

ποίηση: το σύστημα οου αnο•ελείται

()... J'

... . ..

'

ν

'' •''r••• ••'\

.'

..

Σχήμα

4

'

-

a-

-- Υ

-ο;

ν/2

χ

Γ

••• •

....

u=a+b

!-- Ω ν/2

-y

-

Υ

...

····~

χ

μα συστήματα. Πράγματι, δύο ισοδύ­ ναμα συστήματα δυνάμεων δραυν πανομοιότυπα σε ένα στερεό σώμα.

Μπορείτε να επιβεβαιωθείτε Υ'' αυτό

Μεrοοχιιμαnομό<; ε-οόι; διονιJομαrας αε ένα διόVΙ,J(}μα που δο(ρχεrα• οπό δι:Ιkιμtνο σημείο ιιιιι ένα ζειίyος διαvl)()μάrων.

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

27


αnό ένα διάνυσμα κα.ι ένα ζεύγος α·

οσημεfωτο θεώρημα: Κ6θε nεnepa· σμiνο σιJστιιμα ολισθαινόντων διανυ·

νάyεται σε: ένα μοναδικό διάνυσμα. Ο

-+ (u , χ,

μετασχηματισμά; (ν)

y ) εί­

σμάrων rου επιrrlδσυ ανόyεrαι ε(τε σe

ναι ιδιαίτερα σημαvtικά;. θα τον

tva μοναδικό δuiνυσμα elτε σe tva ζι:ύ·

χρησφοποιήσουμε συχνά στα eπόμe·

yος δι.ανυομιΠων.

να θeμαtα.

ΑncSδαξη. Αν το δεδομένο σύστη·

Επισημώνουμε ότι οι μtθοδοι που χρη01μοποιούνται στα επίπεδα συ· στήματα μπορούν να εφαρμοστούν

και σε προβλήματα στο χώρο. Χάριν παραδείγματος. στο Σχήμα δ παρου· 01άζουμε ένα μοντiλο των προσnα­

θειών που καταβάλλουν τα ά wχα πλάσματα του Κryloν. Το διάνυσμα s εκφράζει τη δύναμη που ασκεί ο Κύκνος. το

c

αντιστοιχεf στη δύνα·

μη της Καραβίδας. το φας, ενώ το

p

στης Πtστρο.

g αντιπροσωnει1ει το βα­

ρυτικό πεδίο. Όπως και ο Κryloν,

s = - g και ΙcΙ =IPI· Τότε, αν θέσουμε c =a + ν, p = b + u (Σχήμα δα), όπου b • - a, μπο­ χουμε emλέξει

ρούμε να αναγάγουμε το σύστημα

c, p, g)

στο επίπεδα σύστημα

(u,

(s, ν).

Ροιιi δΙσνύσμαtος ιαι ροιιί ζεύyοuς ζειjγος διανυσμάτων δεν μπορεί πά·

ντα να αναχθεί σε: ένα μοναδικό ολι­ οθαfνον διάνυσμα. Όμως. το ζειjγος

εμφανίζει ένα ενδιαφέρον διανυσμα· τικό χαρακτηριστικό.

Υποθέ"!!!!l'ε ότι δίνεται ένα διάνυ·

=

ΑΒ ~ Ο και ένα σημείο Ο

εκτά; του φορώ του. Τότe, η ροπ ιf του δι.αvύσματος

μα αποτελείται από ένα μοναδικό δι·

6

άνυσμα, το θεώρημα αποδείχθηκε. Αν

ενώ το μήκος του Ι()ΜΙ είναι το γι· ν6μενο του μήκους τοι1 ν και του μή· κους της καθέτου από το σημείο Ο

προς την eυθeία ΑΒ. Η φορά του δια· νύσμα τος ΟΜ ειολ.έyεται έτ01 ώστε η φορά περιστροφής του

v

όπως την

παρατηρούμε από το σημείο Μ να

ef.

ναι θeτική (δηλαδή, αριστερόσtροφη -δtfτε το Σχήμα

6). Αν το σημείο Ο φορtα τού v ή αν v = Ο,

ανήκει στο

η ροπή ισούται με μηδέν. Η ροπή ε· νά; διανύσματος παίζει σημαvtικό ρόλο στην ανάλυση των περιστρο· φών και βρίσκει κομψές εφαρμογές στη γεωμετρία.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι δίνεται έν~ύγος διανυσμάτων v = ΑΒ , v' = Α'Β' και ένα σημείο Ο. (θυμηθεί· τε ότι όταν αναφερόμαστε σε: ζεύyος

Έχουμε ήδη διαηισ ~ώσει ότι ένα

σμα ν

Σχήμα

v

ως rrpoς

ro

σημε(ο

Ο είναι ένα εφαρμικπ6 στο σημefο αυ· τό διάνυσμα ΟΜ· ως φορώ του θe· ωρούμe την κάθετη στο εοίηeδα ΟΑΒ

διανυσμάτων εννοούμε ότι τα διανύ· σματα δρουν σε παράλληλες ευθeίες και είναι αντίθετα.) 'Εστω ΟΜ και

ΟΜ' οι ροnές τών ν και v' ως προς το σημείο σ. Πρόβλημα

2.

Δείξτε ότι το μήκος

και η φορά του αθροfσματος των ρο­

πών των διανυσμάτων v και v' ως προς το σημefο Ο είναι ανεξάρτητα από την εnιλογή του σημείου. Δη­ λαδή, αποδείξτε ότι αυτό το άθροι· σμα είναι στην πραγματικότητα ένα eλεύθερσ διάνυσμα. Το εν λόγω eλεύθερσ διάνυσμα ()ο νομάζεται (διανυσματική) ροπή του ζειjγους (ν,

v'). Πρόβλημα S.

.

.• ' .

ο

•• :

..,' .

8

........

Σχήμα

28

ή περισσότερα τέτοια διανύσματα, τότε τουλάχιστον δι1σ από αυτά ι.

χουν την ίδια κατεύθυνση. Σvvenώς. μπορούμε να αολσποιήσσυμe περαι· τiρω το σύστημα (βλ. Σχήμα 3β). Ά· ρα, οι μετασχηματισμοί 3α και 3β μας επιτρέπουν να αναγάγουμε την

απόδειξη του θεωρήματος στην πε­ ρίπτωση των δύο διανυσμάτων μe α· ντίθeτη φορά nllά παράλληλους ~ ρeίς. Αν τα μήκη αυτών των διανυ­ σμάτων είναι διαφορετικά, τότε ο με·

τασχηματισμά; 3γ ακολουθούμενος από το μετασχηματισμό Sα μας δί· νουν ένα μοναδικό διάνυσμα. Αν τα μήκη εfναι fσα, τότε έχουμε ζεύγος

διανυσμάτων. Έτσι, το θεώρημα ποδείχθηκε πλήρως.

Παρατηρούμε ότι δεν αποδείξαμε

μόνο το θεώρημα nllά δώσαμε και fχαν απστελwμαnκό αλγόριθμο για την wρεση του ισοδύναμου διaνύ· σματος (ή ζειjγσυς). Εnίσης. αν μας

δοθεί ένα οποιοδήποτε στοθερ6 ση· μtίο, μπορούμε να εχτtλtοουμε τις

στοιχειώδεις πράξι:ις με τiτοιο τρόπο ώστε να αναγάγουμε το δεδομένο σύ· στημ.α σε tνα ζειjγος και ένα διάνυ·

σμα με φσρlα που διtρχεται από το δr&μένο σημefο. Πράγματι, αν το

μα ανάγεται σε ένα μοναδικό διάνυ·

νυσματική ροπή του ζεύγους

(v , v')

τό προφανώς αληθeύεt. Αν το σύστη· σμα, τότε η πράξη που παρουσιάζε·

Δείξτε ότι ένα ζεύ·

ται στο Σχήμα 4 μετασχηματlζιι αυ· τό το διάνυσμα σε ένα ζεύγος και ένα

γος διανυσμάτων ανάγεται στο μηδέν

διάνυσμα με φορέα που διeρχεται α·

αν και μόνο αν η διανυσματική του

πό το δεδομένο σημείο.

d . ιvι.

Πρόβλημα

4.

ροπή είναι μηδέν.

θα αποδείξουμε τώρα <Ο εξής αξι·

ΜΑIΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

ράλληλους φσρεiς. Αν υπάρχουν τρία

σταση μεταξύ των παράλληλων ~ ρ€ων ΑΒ και Α'Β', δείξτε ότι η δια·

d

συστημάτων

5

απλοποιηθεί (βλ. Σχήμα Sα) iως ότου απομείνουν μόνο διανύσματα με πα·

σύστημα ανάγεται σε ένα ζειjγος. αυ­

Αν

Αναyωyή αίπεδων

β

τεμνόμενσυς φορείς. τόu μπορef να

εfναι η από­

ισούται με

.·~ ··· .. • + Ι • Ο

το σύστημα περιtχει διανύσματα με

ΥΠΟλοyισμΟί με συστι1ιmι διαVUαμάτων. Βάσεις Έχουμε μάθει να ανάγουμε συ· στήμαtα επίπεδων διανυσμάτων σε


απλούστερα συστήματα. Είναι δυνα·

σύνολο των συστημάτων ολισθαινό­

θερό άξονα. Η ταχύτητα όλων των

τόν επίσης να εκφράσουμ.ε ένα σύ·

ντων δ.ιανυσμάτων του επιπέδου και

σημείων που ανήκουν σε αυτό τον

στημα διανυσμάτων συναρτήσει άλ·

ότι, επομένως, το σύνολο rωv κλάσε­

άξονα είναι μηδενική, ενώ η τσχύτη­

λων συστημάτων. Με αυτό τον τρό·

ων ιοοδwαμιώv ολιοθαιν6νrων διανυ­

τα οποιουδήποτε άλλου σημείου εί­

πο μπορούμε να εκτελέσουμε υπολο· γισμούς σε συστήματα ολισθαινό·

σμάτων σrο επ(πεδο οχημαrίζει έναν

ναι κάθετη στο επίΌεδο που διέρχε­

ντων συστημάτων οι οποfοι εfναι ό·

πpος πς npάξεις πς οποίες οp[οαμε

ται από το εν λόγω σημείο και τον άξονα. Το μέτρο της ταχύτητας είναι

μοιοι με τους υπολογισμούς που ε·

παpαnά.vω.

ανάλογο της απόστασης του σημείου

διαvuσμαπκό χώpο διάστασης

κτελούμε σε ελεύθερα διανύσματα.

3

ως

• ••

από τον άξονα. Τα σημεία του άξονα

Για να περιγράψουμε τους εν λό·

Σε αυτό το σημείο οι συγγραφείς

δεν ΚΙνούνται καθόλου, και όλα τα

γω υπολογισμούς, ως άθροισμα των

είχαν μια διαφωνία σχετικά με το

άλλα σημεία κινούνται πάνω σε κύ­

= (u 1, ο,, ..., u, ) ν1) ορfζουμε τον

ποιες εφαρμογές των ολισθαινόντων διανυσμάτων θα έπρεπε να περιλη­

κλους που έχουν κέντρο επί του ά­

φθούν στο παρόν άρθρο. Η θεωρία

κτηρίζε= από ένα μοναδικό ολισθώ­

αυτή χρησιμοποιείται στη στατική,

νον διάνυσμα ω με φορέα ταυτόση­

στη δομική μηχανική και στην ΚΙνη­

μο του άξονα. Το διάνυσμα ω ονομά­

ματική και δυναμική του στερεού

ζεται γωνιακή ταχύτητα.

δύο συστημάτων Ν

= (ν1 , ν2, ...,

και Μ

•ελεύθερο συνδυασμό• τους, δηλαδή

w

L

σύστημα =Ν+ Μ=

(u 1,

...., u,, ν 1 , ν2 ,

ο,

ν,).

...,

ξονα. Αυτός ο τύπος κfνησης χαρα­

σώματος. Οι γενικεύσεις της χρησt·

Κατά την ομαλή ι:λ.ικ.οειδι[ κ(vιzση

Η ερμηνεία που δίνουμε εδώ στην ισότητα των δύο συστημάτων διανυ·

μοποιούνται σε μεριιιούς σύγχρονους

ένα στερεό σώμα περιστρ€φεται ομα­

κλάδους της γεωμετρίας. Αλλά στο

λά γύρω από έναν άξονα (που ονομά­

σμάτων είναι ότι ιιαθένα ανάγεται

άρθρο θα δώσουμε μόνο ένα παρά­

ζεται άξονας της έλικας) και ταυτό­

στο ίδιο σύστημα μέσω στοιχειωδών

δειγμα από την κινηματική του στε­

χρονα Ι<Jνείται κατά μήκος του με

πράξεων. Το yιν6μενο του συστήμα·

ρεού και στο τέλος θα παραθέσουμε διάφορα προβλήματα.

σταθερή ταχύτητα. Η ταχύτητα κάθε

τος Ν επί έναν αριθμό λ ορίζεται ως το νέο σύστημα

λΝ

περιστροφή στερεού σώματος

= <λu.. λα,, ... , λu,),

σημείου είναι το άθροισμα των δια­ νυσμάτων

της γωνιακής και της

γραμμικής rοχύτητας (Σχήμα

7). Τα

Ενδιαφερόμαστε για το επόμενο

σημεία του σώματος διαγράφουν ε­

όπου το λu συμβολίζει το διάνυσμα με τον ίδιο φορέα όπως το u , με μή·

πρόβλημα κινηματικής: πώς μπορεί

λικοειδείς καμπύλες, και μόνο τα ση·

να περιγραφεf η κfνηση στερεού σώ­

μεία του άξονα κιvούν,;αι πάνω σε

κος λ

ματος που περιστρέφεται γύρω από

αυτόν. Αυ-τός ο τύπος κίνησης χα·

έναν άξονα όταν αυτός, με τη σειρά

ρακτηρίζεται από ένα ζεύγος διανυ­

του, περιστρέφεται γύρω από έναν

σμάτων (ν' ω): το ελεύθeρο διάνυ­

άλλο σταθeρό άξονα; Το πρόβλημα

σμα της γραμμικής ταχύτηrος ν και

θα λυθεί αν δώσουμε μια μέθαδο εύ·

το ολιοθα)νον διάνυσμα της γωνια­

ρεσης της ταχύτη-τας κάθε σημείου

κής ταχύτητας ω (Σχήμα

του σώματος ως προς ένα σταθερό

Βεβαίως, οι δυνατοί τύποι κfνη­ σης ενός στερεού σώματος δεν εξα­

u,

· IUI

αν .ι

>

και φορά την ίδια με του Ο, και αντίθετη, αν λ

ενώ συμβολίζει το Ο, αν λ

=

<

Ο,

Ο.

θα λέμe ότι το σύστημα Ν εκφpά· ζεrαι ypαμμικά συναρτήσει των συ· στημάτων Μ1 , ... , Μ. αν υπάρχουν αριθμοί λ,, λ2, ... , λ. τέτοιοι ώστε

Ν= λ,Μ, + λ.,Μ, + ... + λ.Μ•. Πρόβλημα

σύστημα αναφοράς. Με τη βοήθεια των ολισθαινόντων

7).

ντλούνται σε αυτά τα παραδείγματα.

vκαι

5. Έστω Ο ένα τυχαίο

διανυσμά-των μπορούμε να διατυπώ­

Για παράδειγμα, τα διανύσματα

σημείο του εmηέδου. Έστω ακόμη Ι

σουμε κομψά τη λύση. Πριν την πα·

ω μπορεί να εξαρ-τώνται από το χρό· νο. Όμως, ισχύει η επόμενη αξιοση­

διανύσματος τέτοια ώστε

~ Ο, τα

ρουσtάσουμε θα σχολιάσουμε τα διά· φορα είδη κίνησης ενός στερεού σώ·

να μην είναι συγγραμμικά και τα

ματος. θα αρχίσουμε με απλά παρα­

10):

να εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο

δείγματα.

νηση στερεού σώματος, η στιγμιαία

=I και J =j δύο συστήματα του ενός i, j i, j

i, j

Ο. Έστω Κ ένα μη μηδενικό ζεύγος

μείωτη πρόταση (δείτε το Πρόβλημα Όσο σύνθετη και αν είναι η κί·

Κατά την ευθιJ-tpαμμη ομαλή ιdvη­

κατανομή των ταχυτήτων των ση·

i, j .

ση ένα στερεό σώμα κινείται προς ο­

μείων του συμπίπτει με έναν από

Αποδεfξτε ότι για κάθε σύστημα Ν διανυσμάτων του εmπ€δου υπάρ­ χουν μοναδικοί αριθμοί α, β και y

ρισμένη κατεύθυνση με σταθερή τα­ χύτητα. Η ταχύτητα είναι ίδια για

τέτοιοι ώστε

πό -το χρόνο. Όλα τα σημεfα κινού­

διανυσμάτων του επιπέδου των

Ν

= αi + βj + yk.

Οι αναγνώστες που είναι εξοικει­ ωμένοι με την έννοια του διανυσμα­

όλα τα σημεία του και ανεξάρτητη α­ νται σε παράλληλες ευθείες και η κίνηση χαρακτηρίζεται από ένα μο­

ναδικό ελεύθερο διάνυσμα

v (την τα­

. . •

••

••

.••

.

..

•'

••

.

•••.

ν

'' ••'

ω

• •• ••• •• •

..

χύτητά του).

τικού χώρου θα αναγνωρίσουν ότι τούτη η πρόταση βεβαιώνει πως τα

ένα στeρεό σώμα κινείται με σταθε·

Ι, J και Κ αποτελούν μια βάση για το

ρή γωνιακή ταχύτητα γύρω από στα-

Κατά την ομολι[ κυwκή κ(vησιz

Σχήμα

7 QUANfUII / ΑΡθΡΟ

29


τους τρεις τύπους που μόλις περι­ γράψαμε. Παρεμmπτόντωι;, εmση­ μαίνουμε ότι η ευθύγραμμη και η

κυκλική κfνηση μπορούν να θεωρη· θούν ειδικές περurτώσεις της ελικο­ ειδούς. Δύο παραδείγματα ηεριπλο­ κότερων κινήσεων παρουσιάζονται στα Σχήματα

8

και

9.

Για να εmστρέψουμε στο πρ6βλη· μά μας, ας vποθέσουμε ότΊ ο ΙUνού ·

Σχήμα

8

Β

μενος άξονας Μ,Ν, στρέφεται με στα­ θερή γωνΙακή ταχύτητα ω0 γύρω α­

Σχήμα

πό τον σταθερά άξονα ΑΒ και ότι το σώμα στρέφεται γύρω από τον άξο· )(11τητα ω,. Τονfζοvμε ότι η δεύτερη γωνιακή ταχύτητα, θεωρούμενη ως

μάζουμε συνισrαμένιι pοπιί του συ­

ω, = ω, (ι), διότΙ ο φορέας Μ,Ν, αλ­ λάζει. Πώς μπορε.ί να περιγραφεί η

στήματος ως προς αυτό το σημείο.

Αποδείξτε ότι δύο ισοδύναμα συστή­ ματα έχουν ίδια συνιστάμενα δΙανύ­

προκύπτουσα κίνηση; Αυτό εξαρτά·

1.

10

ως προς ένα σημείο Ο το ονο­

..., v.

ολισθαίνον δΙύνυσμα, μεταβάλλεται:

ΑΒ και Μ,Ν,.

Ν,

ζουμε συνισrά}JΕΙ'ο διύνυσμα του δε­ δομένου συστήματος. Το άθροισμα των ροπών των διανvσμάτων v,, v 2,

να Μ,Ν, με σταθερή κατά μέτρο 'ι:Ο·

τα1 από τη σχετική διευθέτηση των

Q,

Σχήμα

9

σματα και ίδιες συνιστάμενες ροπές ως προς το αυτό σημείο Ο.

Οι άξονες σuμπίτrrουν. Σε αυτή

την περίπτωση, το σώμα στρέφεταΙ

ρίπτωση είναι παρόμοια με την Πε­

2. Αποδείξτε ότι κάθε σύστημα δι­

γύρω από τον σταθερό άξονα ΑΒ = Μ,Ν, με σταθερή ταχύτητα ω = ω0 + ω,. Παράδειγμα αποτελεί η κίνηση

ρίπτωση 2: σε κάθε χρονική στΙγμή ι, το σώμα έχει έναν στιγμ ιαfο άξο­

ανvσμάτων ενός εmπέδου είναι ισο­ δύναμο με φfα διανύσματα που έ­

να περιστροφής και στιγμιαία γωνι­

χουν φορείς τις πλευρές ενός τυχαί­

του λεπτοδείκτη ή του ωροδείκτη ε­

ακή ταχύτητα ω = ω0

νός ρολογΙού που βρίσκεται στον Βό­

+ ω,.

Η δια­

φορά έγκειται στο ότΙ ο στΙγμΙαίος ά­

ρειο Πόλο. 2. Οι άξονες είναι ιrαρά,Ltιιλοι κοι ω0 '# -ω1 • Σε κάθε χροVΙκή στιγμή ι

ξονας, αντί να διαγράφει κύλινδρο,

οι ταχύτητες όλων των σημείων του

των αξόνων. Τέτοιο παράδειγμα α­

σώματος είναι ίδιει; με αυτές που θα

ποτελεί η μεταητωτική κίνηση μιας

είχαν αν

σβούρας (Σχήμα

w

σώμα στρεφόταν ομαλά

με γωνΙακή τα){Ίίτητα ω γύρω από

όπως στην Περίπτωση

2,

διαγράφει

κώνο με κορυφή το σημείο τομής

5.

9).

Οι άξονες e[νσι ασύμβατοι. Σε

την ευθεία P,Q,, την ευθεία δράσης του διανύσματος ω = ω0 + ω, (εδώ το

αυτή -ι;ην περίπτωση, το σώμα έχει

σύμβολο Ί:ης πρόοθεσης δηλώνει το

ελικοειδή άξοναι> (δείτε τα Προβλή­

άθροΙσμα δύο ολισθαινόντων διανv­

ματα

έναν, τρόπος του λtγειν, •στιγμιαίο

6

και

ου τριγώνου του ίδιου επmέδου.

3.

στημα διανvσμάτων τα οποία είναι κάθετα στα μέσα των πλευρών ενός κυρτού n-γώνου ισοδυναμεί με το δι­ άνυσμα Ο αν τα μήκη αυτών των δι­ ανvσμάτων είναι ανάλογα με τα μή­ κη των αντίστοιχων πλευρών και όλα τα διανύσματα κατευθύνονται προς το εσωτερικό του πολυγώνου (ή όλα προς το εξωτερικό του).

4.

7).

Αποδείξτε ότι κάθε επίπεδο σύ·

Διατυπώστε και aποδείξτε μια

και

Δ1αιηστώνουμε ότΙ η λύση του

πρόταση YJO το τετράεδρο παρόμοια

10). Λέμε ότι το σώμα έχει στιγμιαία

προβλήματος κινηματικής που θέαα­

με αυτή του προηγούμενου προβλή­

γωνιακή ταχύτητα ω και στιγμ1αίΌ

με διατυπώνεται κομψά μέσω της

ματος.

σμάτων, όπως στα Σχήματα

άξονα περισψοφής τον

P,Q,.

3

Στην

πρόοθεσης ολισθαινόντων διανvσμά­

περίπτωση που εξετάζουμε, ο στιγ­

των. Αφήνουμε τις απλές αποδείξεις

μιαίος άξονας περΙστρέφεται γύρω α­

των Προτάσεων

πό τον σταθερό άξονα ΑΒ, παραμένο­ ντας παράλληλος προς αυτόν.

τους αναγνώστες.

3. Οι άξονες ε{ναι παρά.l\ηλοι και ω0 = -ω,. Σε αυτή την περίπτωση το

1-4

ως άσκηση για

s•. Αποδει'ξτε ότι κάθε σύστημα διανvσμάτων του χώρου είναι ισοδύ­ ναμο με έξι διανύσματα που έχουν φορείς τις ακμές ενός τυχαίου τετρα­ έδρου.

Πραμήματα 1. Υποθέτουμε ότι δίνεται ένα σύ­

6•.

Αποδείξτε ότι κάθε σύστημα

σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτη τα ίση με τη ροπή του ζεύγους (ω0 , ωι>· Παράδειγμα α­

στημα ολισθαινόντων διανυσμάτων (v, v2, ... , ν.). θεωρούμε τα ελεύθe­

διανυσμάτων στο χώρο είναι ισοδύ­

ποτελεί το κινούμενο τμήμα του πε­

στοιχα, με τα δεδομένα ολισθαίνοντα

από τυχαίο σημείο) και ένα ζεύγος.

ντάλ ποδηλάτου {Σχήμα 8). 4. Οι άξονες ΙέμνΟVΙαι. Αυτή η πe-

διανύσματα. Το άθροισμα αυτών των

Από το γεγονός αυτό να συναγάγετε

ελεύθερων διανυσμάτων το ονομά-

ότι τα συστήματα ολισθαινόντων δι-

v

30

ΜΑίΟΣ Ι ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

ρα διανύσματα νι,

v,, ..., ν"' !οα, ο.ντ;(.

ναμο με σύστημα που αποτελείται α­ πό ένα διάνυσμα

{w οnοίο διέρχεται


aνυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο

(λαμβάνοντας υπόψη και τις κλάσεις

των των σημείων του κάθε χρονική στιγμή είναι ίδια με αυτή που θα ef·

ισοδυναμιών τους) σχηματ{ζουν ΓΝαν

χαμε αν το σώμα εκτελούσε ομαλή

διανυσματικό χώρο έξι διαστάσεων.

(ευθlίyραμμη, οεριστροφική ή ελtκο­ ειδή) κίνηση.

Υπόδειξη. Να αναγάγετε πρώτα

το δeδομΓΝο σύστημα σε τρία ολι­ σθαίνοντα διανύσματα που διέρχο­ νται ααό τρία wχαία σημεία (αναλu·

οντας κάθε διάνυσμα σε τρetς φορeίς) και στη συνtχι:ια να eφαρμόσeτε την

ίδια τexvw1 για δυο διανύσματα, ΓΝα από τα οποία διέρχeται από το δcδο­ μΓΝο σημείο. Τi!ος. να eφαρμόσετe την κατασκευή του Σχήματος

4.

11. Η ροοή του διανύσματος ΑΒ ως πρας το σημείο Ο έχει μέτρο όσο

το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώ­ νου ΟΑΒ. Χρησφοποιήστε αυτό το γεγονός για να αποδείξετε ότι ο γτω­ μετρικ6ς τόπος των σημείων στο ε­ σωτερικό ενός κυρτού πολυγώνου για τα οοοία το 6θροισμα των αοο­ οτ6σεων από τις πλευρές του (ακρι·

Σtερe6 σώμα στ~ω μe -yω­

βέστερα, από ης ευθείες που περιέ·

νιο.κή ταχUτ η τα ω ylίρω από άξονα

χουν τις πλeυρ€ς) ισούται μe δοθείσα

που eκτeλεί cυθlίyρομμη ομαλή κ(.

σταθερά είναι efτε ένα ευθlίyραμμο

νηση με ταχUτητα ν. Αnοδειξτe ότι,

τμήμα είτε ολόκληρα το πολύγωνο

(α) αν ω 11 το σώμα eκτeλeί ελικο­ ειδή κ(νηση· (β) αν ν .L ω, το σώμα έχει ΓΝαν στιγμtαίο άξονα περιστρο­ φής· (γ} αν η ν δeν είναι οlίτe παράλ­ ληλη οlίτε κάθετη στην ω, το σώμα

είτε το κενό σύνολο.

7•.

v,

έχει ΓΝαν στιγμιαίο ελικοειδή άξονα (αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία μιας γραμμής -του ελικοειδή 6ξο­

να- έχουν ίδιες ταχUτητες ν με φο­ ρέα αυτό τον άξονα, και ότι οι tαxU· τη τες όλων των άλλων σημείων εί­ ναι ίσες με το άθροισμα της ν και του διανύσματος της στιyμtαfας γω­ VΙο.κής ταχUτητας ως πρας τον ελΙκο­

ειδή άξονα).

s•.

ιοαιν ομόνοια δεν ιιιάρχει,

Μιχάλης Μακράκης

π ειιτυχία νά 'ρβει..•• Ας επιστρέψουμε στο παραμύθι που αναφέραμε στην αρχή του άρ·

θρου. Υποθέστε ότι μια βαριά ορθο· γώνια άμαξα βρίσκεται ακίνητη στη μέση του δρόμου. Στην άμαξα ασκεί­

τω το βάρας της g (μπορούμε να υ· ποΟέσουμε ότι ασκείται στο κέντρο βιίρους tης άμαξας). Η δύναμη αυτή εξιοορροοείται από την αντίδραση του εδ6φους, οπότε η άμαξα δeν ΚΙ· νεfται . Τρεις νέοι παράγοντες ~

που παρουσιάσαμε στο άρθρο απο­

Κύκνος. η Καραβίδα και η Πέστρο­ φο- αρχίζουν να έλκουν την άμαξα

δeιξτε ότι οτην περίπτωση των α­

πρας διαφορeτικtς κατευθύνσεις με

σlίμβατων αξόνων ΑΒ και Μ,Ν, το σώμα έχet ΓΝαν στιγμιαfο tλtκοeιδή άξονα οαράλληλο πρας το διάνυσμα

δυν6μeις s,

c και p , αντίστοιχα, όοως

στο Σχήμα

5.

Στο ορόβλημα κινηματικής

Τι θα σιηtβεί;

Σύμφωνα μe τη θεωρία μας, το

w+ w ο οποίας τέμνει την κοινή

σύστημα των δυν6μeων

κάθετη των αξόνων ΑΒ και Μ, Ν,.

όπως και ι<6θε 6Αλο σύστημα διαvυ·

Περιγράψτε αχριβέστeρο τη θέση

σμ6των, αν6yετω σε ΓΝα ζεύγος δtα·

του στtyμtώου ελtκοeιδοuς άξονα και

νυσμάτων και ΓΝα δι6vυσμα (δείτε το

την ταχlίtητα κατά μήκας του.

Πρόβλημα 6). Αυτό το έχουμε ήδη κ6νει, ι<αι βρήκαμε to συνιστάμενο

0

1

Υnόδttξη.

Πρόβλημα

9°.

ΧρησΙμοποιήστε

ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣ Ε

το

7.

Περιγράψτε τη συνισταμένη

χfνηση ενός σώματος που στιγμιαία εκτελεί ελικοειδή κίνηση ως πρας ά·

ξονα ο οποίος, με τη σειρά του, ε­ κτελεί ελtκοεtδή κίνηση ως πρας έ· ναν σταθερό άξονα.

ιο•. Αnοδειξτε ότι, όσο περίπλοκη κt αν είναι η κίνηση ενός στερεοu σώματος, η κατανομή των ταχυτή-

(s, c, p, g),

ζeύyος (u , ν) στο οριζόντtο επίπeδο. Είναι nροφανtς ότt η άμαξα θα περι·

Το ξεκίνημα Αvδρlας nαπαvδρlαν,

1933-1943

Το βιβλίο nαρουσtάζει μια πρώτη προσπάθεια σύνθεσης ενός τμήματα>

βιογραφ(ας τον Ανδρέα Γ. Παπαν­ δρέου, που καλύπτει ttς γυμνασιι:ιχtς και πανεπιστημιακές σπουδtς του στην Αθήνα και τις μεταιmιχιακές του στο Πανεπισnjμιο του Χιίρβαpντ. Δεν πφιορί1;εται μόνο στα &δομlνα και τα αρχεία, αJJ.ά προσφ{ρeι και

το χλίμα της επ.οχή>. όπως διαμορφώθηκε στα ιδρύματα στα οιιοια φο(­ τησε ο μεγάλος πολιtuιός. Ο συyyραφtας ερευνιί και σnκ­ χεiα πtραν των σπουδών, -yια να t· ντοπίσει χαρακτηριΟ'IIJ<ά που παρέ·

μει'w μονiμως στον yραιπ6 ιδ(ως λόγο του Πα;τανδρέου. Ένα απ6 τα ερωτήματα που θnει είναι πώς χατά τη ζωή του στις Ηνωμένες Πολιτε(ες ο Ανδρέας α;τεμπ&.ησε τον nρώιμο μαρξισμό του και yιιrτ( επανήλθε, ώρψος rιJ.έον, στο νεομαρξισμό.

στραφεί παραμΓΝοντας στη θέση της.

Ο Μ. Μακράκης lχει κιίνει μετα-

ΕnομΓΝως, μπορούμε να eιπβεβαιώ­ οουμε τα λόγια του παραμυθιού: ·Εί­

πwχιακlς σπουδές στην εφαρμοσμέ· νη φυσικ~ στο ΜΠ και το Πανεπι­

μαι οίγουρας ότι η άμαξα μΓΝει ακό·

σnjμιο τον Χάρβαρντ.

μα εκεf.•

11

ΣU.: 212. Χορ<6δεrο:

14 χ 21

ε., ΝΜ.

4.100 δρχ., Πα>6δnο : S.500 δρχ,

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ιστοpητής/χάτοπτpο

QUANTUM I ΑΡθΡQ

31


ΠΑ ΠΕΔΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

, αιχμες rrTo μυστικό

του μαγνητισμού, αυτό, γιά εξηγήστε τόμου!

Δεν υπάρχει μυστικό μεγαλύτερο, παρεκτός της αγάπης και του μίσους.ιι

-Johann Wolfgang von Goethe

Larry D.

Kir1<patήck και

Arthur Elsenkraft

ΝΑΣ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΒΑΣΙΚΟΥΣ ΣΊ'Ο·

τών, όταν ο δαν6ς επιστήμονας Hans

ατομικό επίπεδα. Σημειώστε ότι όλα

χους της σύγχρονης φυσικής εί­

Christian Oersted

ανακάλυψε ότι έ­

αυτά συνέβαιναν τρία τέταρτα του

ναι να αναγάγει όλες τις δυνά­

νας ρε\ηlαταpόρος αγωγός εκτρέπει

αιώνα προτού ανακαλυφθεf το ηλε­

μεις της φύοης οε ειs:δηλώσεις

μια μαγνηnκή βελ6να. Εrrιιιλέον, ο

κτρόνιο και, βέβαια, πριν από τη δη­

μίας μοναδικής δύναμης. Μάλιστα,

Oersted διαπfστωσε ότι

μοσfευση της θεωρfας του

το βραβείο Νόμπελ Φυσικής του

βελόνα προοανατολι'ζεται κάθετα προς

το άτομο του υδρογόνου, η οποi'α α­

1999 απονφήθηκε στους ολλανδαύς φυσικούς Gerardus t' Hooft και Martinus J.G. Veltman για τη συμβολή

το ρεύμα και ότι κάνει στροφή εκα­

κολούθησε έπειτα από μfα ακόμη δε­

τόν ογδόντα μοιρών όταν αντιστρέ­

καετfα.

τους στην ενοποfηση της ηλεκτρομα­

Εντός μfας μόνο εβδομάδας από

pt.iste Biot και Felix Savart εξήγαγαν

γνητικής και της ασθενούς αλληλε·

την ανακοfνωση της ανακάλυψης

την ποσοτική έκφραση της στοιχει­

πίδρασης. Οι θεωρητικές μέθοδοι τις

του

Oersted, το 1820, ο γάλλος φυ­ αικ6ς Andre Ampen! διατύπωσε τον

~υς συνεισφοράς

κανόνα του δεζιού χεριοιί: εάν •χου­ φτώσετε» ένα σύρμα με το δεζιό σας

ται σε ένα στοιχείο ρεύματος

λεκτροσθενούς και της ισχvρής αλ­ ληλεηίδροσης στο πλώσιο μιας Με­

χέρι έτσι ώστε ο αντfχειράς οας να

γνωστή ως νόμος των Biot-Saνart,

δεfχνει στην κατεύθυνση του ρεύ­

έχει ως εξής:

γάλης Ενοποιημένης θεωρίας. Το με·

ματος, η μαγνητική βελ6νη θα δεf­

γαλύτερο από τα εναπομένοντα προ­

χνει στην κατεύθυνση των υπόλοι­

βλήματα έγκειται στο πώς θα ενσω­

πων δακτύλων. Σε σύγχρονη γλώσ­ σα, θα λέγαμε ότι οι μαγνητικές δυ­

οποfες εισήγαγαν οι δύο εmστήμονες εφαρμόστηκαν και σε ποικίλες προ­ σπάθειες για την ενοποfηση της η­

η μαγνητική

φεται η φορά του ρεύματος.

Bohr

Κατά την ίδια περίοδο, οι Jean

dB

για

Ba-

σε σημείο Ρ

μαγνητικού πεδίου η οποία οφείλε­

Jds.

Η

αλήρης έκφροση, η οποfα εfναι mα

dB

= μ0

Ids χ rΊ

r '

ματωθεf η βαρυτική αλληλeπJδροση σε μια •θεωρfα των Πάντων•.

ναμικές γραμμές σχηματfζουν κύ­

όπου το

Κατά τις αρχtς του 19ου αιώνα, οι

κλους γύρω από το σύρμα, και πως

άνυσμα με κατεύθυνση από το στοι-

φυσικοί αφιέρωσαν μεγάλο μέρος

τα δάκτυλά σας δείχνουν στην κα­

των προσπαθειών τους στην ανακά­

τεύθυνση του μαγνητικού πεδfου.

λυψη των συναφειών μεταξύ των η­

Λiγο αργότερα, ο

Ampere ανέπτυ­

f

δηλώνει ένα μοναδιαίο δι­

.., χεi'ο ρεύματος προς το σημεi'ο Ρ, ενώ ; με μ0 συμβολ(ζοΙJ11ε τη μαγνητική "'

διαπερατότητα του κενού χώρου, η οποfα έχει τιμή 4π - ιο·' Τ· m/A.

~ {?;

λεκτρικών και των μαγνητικών δΙJ·

ξε έναν τύπο για τον υπολογισμό της

νάμεων. Μολονότι εfχε γ{νει εκτετα·

μαγνητικής δύναμης που ασκείται

μένη συζήτηση περί των πιθανών

μεταξύ δύο ρε\ηlαταpόρων αγωγών.

συναφειών, η πρώτη σύνδεση διαπι­

Προέβαλε επίσης την άποψη ότι τα

Ρ από ρε\ηlαταpόρο αγωγό πεπερα-

-&

στώθηκε μόλις το

1819, στη διάρκεια

μαγνητικά πεδfα οφείλονται σε ηλε­

σμένου μήκους, πρέπει να αθροfσου·

μιας ιστορικής πειραματικής επίδει­

κτρικά ρεύματα, περιλαμβανομένων

με τις συνεισφοpές από όλα τα στοι-

~

ξης μπροστά σε ακροατήριο φοιτη-

και εκεfνων που εμφαν(ζονται στο

xefα ρεύματος:

ω

32

MAiOI I ιΟΥΝΙΟΣ 2000

Για να βρούμε το ολικό μαγνητι-

κό πεδίο που παράγεται στο σημεfο ~ ~


OUANTUM I ΗΑ ΠΕΔΙΑ ΤΗΙ ΦΥΙΙΚΗΙ

33


8 = μ0

Jlds χ f,

... . ..• •• ••.•• Ρ

r2

• •

Επtβάλλeται να εmσημάναυμε ότι α­

• ••

πολογiζουμε ένα τέτοΙο ολοκλήρωμα,

δ16τ1 η ολοκληρωτέα παράσταση εί­ ναι διανυσματική και πρέπει να λαμ­ βάνεταΙ υπόψη η κατεύθυνσή της.

.

..

Παρατηρήστε την ομοΙότητα nου

••

...•

παΙτείταΙ ΙδΙαίτερη προσοχή όταν υ­

.

. ••

.•..

\

.•

•• ''

• θl

"

παρουσ1άζtι ο νόμος των Biot-Saνart με το νόμο του με τον πρώτο,

Coulomb.

tva

Σύμφ<.>να

στοιχείο ρεuμα­

τος παράγει μαγνητικό πεδfο το ο­

Σχήμα Σχήμα

1

ποfο μεταβάλλεται ως το αντίστροφο

Αφού εκteλf.σουμε τ1ς ανωτέρω ανtl­

τετράγωνο της απόστασης από το

χειώδη συνεισφορά στο μαγνητικό

στοΙχείο ρεύματος. Κατά το νόμο του

πεδίο η οποία είναι κάθετη στη σε­

Coulomb, από την άλλη, ένα σημεt­

λίδα και f.χει φορά προς τον αναγνώ­

ακά φορτfο παράγει ηλεκτρικό πεδίο που μεταβάλλεται ως το αντίστροφο τετράγωνο της απόστασης από το ση­ μειακά φορτίο. Εντούτοις, όταν στρέφουμε την προσοχή μας στο ζήτημα των κατευ­ θUνο&~ν, ~α δυο πεδία παρουσιάζο­

σ-.η. Συνεπώς, το ολικό μαγνητιι:ό πεδίο, άν τα ς άθροισμα παράλληλων και ομάρροnων διανυσμάτων, θα έχει τσι, δεν μας μένεt παρά να υπολογί­ σουμε το μέτρο του. Αυτό σημώνει ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε

το εξωτερικό γινόμενο

Coulomb το ηλεκτρΙκό πεδίο είναΙ

μέτρο του d:ι:ημθ, όπου θ έχουμε ο­ νομάσει τη γων(α ιιου σχηματίζει η κατεuθuνση του στοΙχείου ρεύματος με την κατεύθυνση προς το σημείο Ρ, όπως δείχνει και τσ Σχήμα 1.

κτινικό -είτε δείχνει προς το σημεΙ­ ακό φορτfο εfτε στην ακρΙβώς αντί­ θετη κατεύθυνση. Στο νόμο των Biot-Saνart, αντιθέτως, το μαγνητικό πεδίο έχεt κατεύθυνση κάθετη Wσο στο δΙάνυσμα θέσης του σημεiου πα­ ρατήρησης 6οο και στο στοιχείο ρεύ­ ματος

δείχνεΙ κατά την κά&το στο

εnfuεδα που ορ{ζουν το στοιχείο ρεύ­ ματος και το σημείο Ρ.

κα τασ-.όοεΙς, μας μtνει να uηολογi­ σουμε το ολοκλήρωμα

Β = μ.ι ι8• ημθdθ 4118 Jι,

= μ•/ (συν θ, - σuνθ2 ).

και εκείνο την ιδια κατεύθυνση· έ­

νταΙ πολύ δΙαφορετικά. Στο νόμο του α­

2

ds χ f με το

Προτού συνεχίσουμε, παρατηρού­

με όt1 έχουμε εtσαγάγεt περιοο6τερες μεταβλητές απ' όσες χρειαζόμαστε. Αν εn ιλιξοuμε tνα δεδομένο στοιχείο ρεύματος. τότε αυτομάτως προσδιο­ ρ{ζοντω

4118

Οι γωνίες θ, και θ2 ορίζονται στο Σχήμα

2.

Αν περιοριστούμε στην ειδική πε­ ρίπτωση ενός ευθύγραμμου ρευμα­ τοφόρου αγωγού άπειρου μήκους,

τότε f.χουμt 0 1 = Ο και θ, = π, οοότε το μαγνητικό πεδίο δίνεται από τον τύπο

Β = μ.Ι. 2υ

Το πρόβλημα που καλείστε να λύ­ σεtοt στο παράν τεύχος βασίζeται σε

Ας εφαρμόσουμε τώρα το νόμο

01 τιμtς και των τριών με­ ταβλητών r, χ και θ. Σ:υνεπώς, προ­

των Bioι-Saνart για να προσδιορί­ σουμε το μαγνητΙκό πεδίο το οποίο

τού προχωρήσουμε στην ολοκλήρω­ ση, ορ€ηει να εκφράσουμε τις δύο α·

παράγεταΙ από f.ναν λεπτό ευθύγραμ­

πά αυ-τ;tς τις μεταβλητtς συναρτήσεt

μο αγωγό που τον δΙαρρέεΙ ρεuμα σταθερής έντασης Ι. Ας συμβολJ'σου­ μc τα γεωμετρικά δεδομένα του προ­ βλήματος καΙ τΙς δΙάφορες μεταβλη­

της τρί-τ;ης. Ας επΙλέξουμε να εκφρά­

ρεύμα σ-.αθερής eντασης

σουμε τα πάντα συναρτήσει της γι.r

ται ώστε να σχηματιστεί ένα .ν. γω·

vfας θ. Εν τοιαύτη περιmώσει, έχου­

νίας 2φ, όπως φαίνεται σ-.ο Σχήμα 3. Α. ΠοΙα κατεύθυνση έχει το μα· γνητικ6 πεδiο στα σημεία Ρ και Σ;

με

τές που θα χρησιμοποιήσουμε στον

r = -

υπολογΙσμό μας όπως υποδεικνύεται

ημθ

στο Σχήμα Ι. Ο αγωγός εκτείνεται κατά μήκος του άξονα wν :ι: με τα

ρεύμα να ρέε1 κο τά τη θετική φορά του. Το σημείο Ρ κείται επί του θε­

8

χ =- ειpθ .

μένων μας.

ση, βρίσκουμε

ΙΙΑIΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

λύ μακρύ σUρμα που το διαρρέεΙ

[

κάμπτε­

Β. Προσδιορίστε το μέτρο του μα-

---Ι

Δtαφορ{ζοvτας την τελεuταία έκφρα­

34

στην Πάντοβα της Ιταλίας. ·Εvα πο­

8

ση 8 από την αρχή Ο των συντεταγ­

σ-.οΙχείο ρεύματος παράγει μια στοι-

οργανώθηκε πέρυσι το κα!οκώρ1

και

τΙκοu ημΙάξονα τ{ι)ν y και σε απόστα­

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του δε­ ξιού χεριού, δΙαπΙστώνουμε 6-.Ι κάθε

ένα πρόβλημα το οποίο ιι!θηκε στη Διεθνή Ολυμmάδα Φuσικής που δι­

··---·----··· < .... ~ ..- Σ---------

Ρ

ι--.:::

d

d:ι: = adθ

ημ'θ

..-

Σχήμα

3

d

-


200

yνητικού πεδίου στο ση~ίο Ρ.

r. Προσδιορίστε το μέτρο του μα­

180

γνητικού πεδίου στο σημείο Σ.

Η διάαιwι είναι δύσκολη Στο t'Ι:ύχος Νοeμβρίου/Δεκι:μβρί­ ου

1999 είχαμ& θέσει

./

160

ερωτιjματα σχ&­

τικά με την ενέργεια που απελευθε­ ρώνεται στην πορεία μιας αντίδρα­

/

> ., 140 ; 120 .,

έλλειμμα μάζας για την αντίδραση

20 ο

~υ + ~η -+ ·~xe + ~Sr + 2~n.

•:ee

ράλληλη εκπομπή ηλεκτρονίων αμε­ λητέας μάζας. Δεδομένων των ακό­

λουθων μαζών:

..

236U

235,004 amu

'n 1,009 amu ο ... Ce 139,905 amu

/

60 40

Xe διασπάται ταχέως προς και το Sr προς ::zr με πα­

.........

80

σης σχάσεως. Α. Ζητούσαμε να υπολογιστε( το

όπου το

~

~ 100

t

' 10

ο

Σχήμα

20

30

.. Zr

Ετοιμάζουμε ένα λογιστικό φύλλο

των δύο θραυσμάτων ισούται με το

για να υπολογίσουμε τις cνέργειες

άθροισμα των aχτίνων τους,

σύνδεσης για όλα τα δυνατά ζεύγη

RG

=

9,74 ·10"" m.

θυγατρικών οvρήνων. Προς τούτο,

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε -,;ην ηλεκτροστατική δυναμική ενέρ­

ορέnε:ι να αποφαοίσουμe nώς θα κα­

R,

βρίσκουμε ότι η αρχική μάζα και η

236,013 amu

και

235,829 amu,

γεγο­

9 ·10

0,184 amu

απελευθέρωση ενέργειας

περίπτωση όπου οι δύο θυγατρικοί οvρήνες qουν

9,74 . ιο·•• m

νται ίσοι με το του

= 343MeV.

που την εισήγαγαν στην επιστημονι­

Όπως παρατηρούμε, οι τιμές που υ­

κή πρακτική ανεξάρτητα ο

η

πολογίσαμε στα μέρη Α και Β παρου­

σύμφωνα με

νέργεια κατά τη σχάση την παρέχει

σιάζουν σχετικά μικρή διαφορά. Ζητούσαμε να αποδειχτεί ότι η αιιελευθερούμενη ενέργεια λαμβάνει

η μεταβολή της ηλεκτρικής δυναμι­

τη μέγιστη τιμή της στη σπάνια πε­

κής εν€ργειας των προϊόντων της, α­

ρίπτωση της συμμετρικής σχάσης

πό τη στιγμή του σχημα<ισμού τους

του ουρανίου. Ο ημιεμnειρικός τύ­

(όταν τρόπον τινά •εφάmοvται•) έως

πος του

ότου βρεθούν οε άπειρη απόσταση το

σύνδεσης είναι

Joliot,

Fri.sch,

την οποία την αnελευθερούμενη ε­

ένα από το άλλο. Οι aχτίνες των

62

πρωτόνια,

236,

(30/92) και το (62/92)

αντίστοιχα.

Αφού συμοληρώοουμε το λογιστι­

r.

Weizsacker για την

και

πλήθη των νουκλεονfων) λαμβάνο­

= 5,49. 10 11 J

171 MeV.

30

οι αντίστοιχοι μαζικοί αριθμοί (τα

Β. Ζητούσαμε από τους αναγνώ­ στες να ακολουθήσουν μια μιθοδο

Meίtner και ο

=

c•- -

και αντίστοιχη

τανeίμουμ& τα νετρ6ν1α στους θυγα­

τρικούς πυρήνες. Εnιλέγουμe να τα μοιράσουμε έτσι ώστε ο λόγος των νε φονίων να ισούται με το λόγο των πρωτονίων. Για παράδειγμα, στην

ιΝ · m2

νός nου σημαίνει μεταβολή της μά­ ζας κατά

cνέργεια

κό φύλλο, κάνουμε τη γραφική πα­ ράσταση της αnελeυθeρούμενης ε­

νέργειας συναρτήσει του ατομικού αριθμού eνός απιS τους θυγατρικούς πυρήνες (Σχήμα 4). Όπως διαοιοτ~ νουμε, η απελευθερούμεvη ενέργεια λαμβάνει τη μέγιστη ημή της για τη συμμετρική σχ6ση, 6που καθένας από τους θυγατρικού<; nvρήνες έχει

46

πρωτόνια.

I}

nv-

ρήνων Ce και Zr υπολογίζονται ~ τη βοήθεια του προσεγγιστικού τύ­ που

• Γ. ΚΟΡΦΙΑΤΗΣ • 8

=

15,753Α -17,804Α'" -

Το φυσικομαθηματικό

R = ΚΑ"3,

βιβλιοπωλεiο. τώρα

όπου Κ = 1,0 · ιο·'-' m. Έτσι, βρί­

και στα ξινόyλωσσα

σκουμε τις εξής τιμές;

Rσ. .. 5,19 · 1ο·" m Rz, : 4,55 · ιο·" m.

70

Η απόσταση μεταξύ των κέντρων

υ = kq,q,

τελική μάζα ιοούντο.ι αντίστοιχα με

4

γεια:

93,906 amu,

40

αrομικ6<; αpιθμά;

08

..

...............

Ιπποιφάτους 6. Τηλ.-Faχ:

106 79 λθήvσ. 3628492

QUANl'UM I ΠΑ ΠΕΔ!λ ΤΗΣ 8Υ1ΙΚΗΣ

35


... ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ

I

Ολύμπια προσπάθεια Οι εκπλήξεις των εξετάσεων

ν. τikhomirov

ΦΟΙτΗΤΩΝ ΣτΟ ΜΑ·

εξαγόταν στο κεντρικό αμφιθέατρο

τα. Κάθε ομάδα προβλημάτων έπρε­

θημα~ικό τμήμα του Πανεmστη­

του Μαθηματικού Τμήματος. Σύμ­

πε να περιλαμβάνει ένα αουνήθιστο

μίου της Μ6οχας έχει τον ολυ­

φωνα με ένα θρύλο, ο ήρωας της Ι·

πρόβλημα.

μmακό της ηγέτη ι. Το iδιο ουνέβη κω με τη δική μου.

στορfας μου κέρδισε κ6.οοτε μια στοί·

"Ίσως αναρω-ι;ιέστε τι είναι ένα α­

βα βιβλίων ψηλό-ι;ερη από τον ίδιο.

ουνήθιστο πρόβλημα. Όταν και εγώ

Τα μέλη της οικογένειάς του διη·

Όπως και να έχει το πράγμα, ήταν

γούνται ότι πριν ακόμη αρχίσει να

πάντα ο νικητής. Πιστεύω ότι τα ε­

έκανα την ίδια ερώτηση, έλαβα την απάντηση: Πες ότι υπάρχει ένα πα­

αρθρώνει σωστά έλεγε πως ήθελε να ασχοληθεί με την •αλιθμητική•. Άρ­

mτεύγματά του έχουν μείνει αξεπέ­

λΙό και άλυτο πρόβλημα· είναι δυνα­

ραστα.

τ6ν μiοω αυrού να διαγνωστεί ένας rα­

χισε να λαμβιίνει μέρος στις μαθημα­

Αργότερα, ο ήρωάς μου και eγώ

τικές Ολυμmάδες όταν ήταν στην έ­

βρεθήκαμε στο Μαθηματικό Τμήμα

Στον αθλη-ι;ισμό mστεύουν ότι έ­

κτη δημοτικού, παρόλο που για να

του Πανεmστημίου της Μ6οχας, ερ­

χουν λύσει τούτο το ζήτημα. Κάπο­

συμμετάσχεις στο διαγωνισμό έπρε­

γαστήκαμε μαζf και γίναμε φίλοι.

τε είδα με ποιον τρόπο εξετάζονtαι

πε να ήσουν τουλάχιστον στην τρί­

Αυτός κατέληξε ένας εξέχων μαθη·

mo απίστευτο

ματικ6ς και μπορούσε να λύνει πά­

τα πωδιά για να διαmστωθεί αν θα έαρεπε να ασχοληθούν με -ιη γυμνα­

είναι το γεγονός ότι πάντα έλυνε τα

ντα οποιοδήποτε πρόβλημα ολυμπια­

στική. 'Ενα κορίτσι ήρθε μπροστά

προβλήματα ιtαι ότι πάντα βρισκό­

κού τύπου.

στη γυμνάστρια που ήταν υπεύθυνη

ΑθΕ

f'ENIA

-ι;η γυμνασίου. Ακόμη

1970, ένας καθηγητής που έαρε­

για την εξέταση. Η γυμνάστρια άρ­ παξε τους γλουτούς του φτωχού Κ()­

πε να ετοιμάσει τα θέμα-ι;α των ει­

ριτmού και είπε: ·Είναι πολύ χο­

Μαθηματική Εταιρεία -ι;ης Μόσχας,

σαγωγικών εξετάσεων έφυγε για ένα

ντροί. Δεν κάνει.• Η διαδικασία κρά­

-ι;ο Πανεmστήμιο της Μ6οχας και --ι;η

μακρόχρονο επαγγελματικό ταξίδι

τησε ένα δευτερόλεπτο. Εντυnωmά­

Διεύθυνση ΕκnαJδευσης -της Μ6οχας.

στο εξωτερικό. Είχε ξεκινήσει την ε­

Οι νικητές -ι;ων πρώτων βραβείων έ­

τοιμασία των θεμάτων αλλά δεν την

παιρναν μια μεγάλη στοίβα βιβλίων,

εfχε ολοκληρώσει. Το ζήτημα ήταν ε·

οι νικητές των δεmερων μια μικρό­

πείγον (βρισκόμασταν στον Μώο και

στηκα wιό την αnλ6τητά της. Ωστό­ σο, δεν γνωρίζουμε κατά πόσον υ­ πάρχει μια απλή διαδικασία εξέτασης του μαθηματικού ταλέντου. Όπως

τερη στοίβα, των -ι;ρί-ι;ων βραβείων

οι εξετάσεις θα γίνονταν τον ΙούλΙο)

έγραψε ο Α.Ν. Kolmogoroν, δεν εί­

μια ακόμα μικρό-ι;ερη ενώ όσοι λάμ­

και μου ζητήθηκε να ολοκληρώσω

ναι σίγουρο ότι υπάρχει, αν μάλΙστα

βαναν •εύφημο μνεfα• βραβεύονταν

λάβουμε υn6ψη την ιδιαίτερη ατμ6-

ήταν όμορφο. Όλα τα βιβλfα ήταν υ­

την εργασία. Ο κατάλογος των συνα­ δέλφων που υποτίθεται ότι θα με βο­ ηθούσαν περιελάμβανε και το όνομα

πογεγραμμένα από διάσημους μαθη­

του φίλου μου· συμφώνησα λοιπόν

μηθούν οι προοπτικές ενός μαθητή

ματικούς και η τελετή βράβευσης δι-

να αναλάβω τη δουλειά.

σε έναν συγκεκριμένο κλάδο της ε­

ταν ανάμεσα στους νικητές.

Κάποτε, στα μέσα της δεκαετfας

λαντούχος;

Εκείνη την εποχή οι μαθηματικές Ολυμπιάδες οργανώνονταν από -ι;η

του

με ένα μοναδικό βιβλfο, που πάντως

Ι. Ανιιφερdμαστε, φuσιιώ, σ<ις μαθηματι·

.t<; Ολuμuιόδες.

36

ΜλiΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

Τα εύκολα προβλήματα εfχαν ήδη

σφαιρα των εισαγωγικών εξετ.άοεων που χρηmμοποιούντω γιο. να εκτι ­

πιστήμης.

ε-ι;οιμαστεί, αλλά εκκρεμούσαν ακό­

Τα αουνήθιστα nροβλήματα λοι­

μη τα δυσκολότερα, και μάλιστα τα λεγόμενα •ασυνήθιστα• προβλήμα·

πόν είχαν ως στ6χο, μεταξύ άλλων, να ελέγξουν αν ένας μαθητής είχε ή


όχι ταλέντο στα μαθηματιχά. ΤέτοΙα προβλήματα έπρεπε να περιλαμβά­ νουν ένα δύσκολο στοι~ο που ήταν αδύνατο να αντιμετωmστεί με τις συνήθεις μεθόδους. Υποτίθεται ότι

ρeς -όχι, όμως. μία ολόκληρη βδο­

μόνο ταλαντούχοι μαθητές θα μπο­

θανόν για κάποιον άλλο λόγο. Ποια είναι η δική σας γνώμη; Τh­ στεuειε ότι αποτελεί πρόβλημα κα­ •άλληλο για να διαγνώσουμε ένα τα­ λf:.Jτα; Προοπαθήστε να το λύσετε.

ρούσαν να τα λύοουν. Το αοvνήθιστο πρόβλημα, παρα­ δοσιακά, βρισκόταν πέμπtα στον κα­ τάλογο των θεμάτων. Όλοι γνώριζαν ότι είναι πολύ δύσκολο, και μόνο οι φιλόδοξοι μαθητές προοπαθούσαν να

απλώς δεν προοπάθησε να λuοει το

- βχ'

0'1/yJtUριμένο αρόβλημα, ίσως επειδή

Αν αvτιιι:αταστήσοuμε στην πρώτη

δεν το tβρισκε αρκεrο κομψό -ή

σvνθήκη του προβλήματος (την eξ(­

m-

Παρεμπιπτόντως. ο φίλος μου και εγώ δεν καταφέραμε να σvνθέσοuμε

ματα όσων εiχαν λύσει το αοvνήθι­

στο ιφόβλημα δεν ανακοινώνονταν·

λοι σvνάδελφοι.

έτσι, αγνοώ ποιοι από τους πραyμα­ τιχά ταλαντούχους μαθηματΙΚούς έ­

χουν λύσει ένα τέτοιο πρόβλημα σnc;

Αν δεν θέλετε να προσπαθήσετε μόνοι σας να λύσετε το πρόβλημα, ιδού η δική μου λύση (που mθανόν

εισαγωγικές εξετάσεΙς τους.

δεν είναι η καλύτερη).

An' όσο γνωρίζω, τΌ ονό­

να βρω ένα αοvνήθιστο πρόβλημα

Σuμβολ(ζοuμe το (.τ+ 2y)2 με z. Η σvνάρτηση 2z - r' λαμβάνει το μέγι­

και ζήτησα από τον ήρωα τούτης της

στό της για z z

ιστορiας να με βοηθήσει. Όπως ήταν

πρώτη eξ(οωση βρίσκουμε ότι

Ανάμwα σε άλλα, λοmόν, έπρεπε

φυσικό, με ρώτησε τι είναι ένα ασv­

4y 2

νήθιστο πρόβλημα. Αντi να δώσω μα­ χροσκελεiς εξηγήσεις, του έδειξα τον

κατάλογο με •α θtματα των εξετάσε­ ων του προηγούμενου έτους και του

Με f:.Jαν τόνο δυοαρέπκειας στη φω­ νή, τον ρώτησα γιατί δεν είχε εmκοι·

μα. Ιδού ποιο ήταν: Bpεlτt 6λα τα ζι:ύyq (χ, y) τrpaΎJ14·

-

2.r

9

= 2.r'

+ J2c.r + 3

r - <χ + ar.

Έχουμε ήδη παρατηρήσει ότι η σv­ νάρτηση στο unόρριζο λαμβάνει τη

μtγιστη τιμή της, που e(ναι ι, όταν

.r + 3

=1. Συνεπώς 9ς

2χ'

+

ι,

δηλαδή, .r' 2: 4. ΤελΙΚώς, καταλήγουμε στο εξής σvμπtρασμα: υπάρχουν δύο μ6νσ ζεύ­ )'11 αριθμών ιrσu ικανστrσιούν nς σvν­ θι[ιιες του ιrρσ{Jλήpαrσς; (0,

- lfl) και

(-2, 3/2). Το άρθρα ·Οι ανισότητες y(νονται ισότητες• (σελ. 64) ασχολείται διεξο­ wnoυ.

Αν Ο€λετe να μάθετε τη γνώμη μου για τη διάγνωση του ταλέντου, μου φοiνεται αμφ(βολο ότι είναι δυ· νατόν να ανακαλύψουμε μια σύντο·

μη διαδικασία μέσω της οποίας θα

s 4y2 -

μαθητής μπορεί ή όχι να γfνει επΙ­

4y - 2,

στήμονας. Ποια eiναι η δΙΚή σας

ή

γνώμη;

ιτ•

- 2y>' ς 41

- 4y - 2.

Από την ιελeuταία σχέση έnεrot ότι

χ• ς 2y + J4y1

(2)

4y - 2.

-

Επομtνως.

4y' S 2x2 + 1S 4y + 2,j,4""" ..y•;-_-..,. 4y- - """ 2 +

ι,

η οποία εiναι ισοδύναμη με την ανι­ σότητα

4y2 - 4y - 1 -

συνθήκες

4y

S 1. (1)

+ 4y + 2 s ο,

.r' - 4y.r2 + 4y2

nκών αριθμών που ικανοποιούν nς

2

σωση) βρiσχουμe

μπορούμε να σuμπερόvουμε αν ένας

νωνήοει μαζί μου. Μου απάντησε με­

λαγχολικά και χαμηλόφωνα ότι δεν είχε καταφέρει να λύσει το πρόβλη­

+ 8 ς Ο και, επομένως. χ' S 4.

διχότερα με θέματα του παραπάνω

ή

δύο-τρeις μίρeς.

λειά, και έτσι τ~υ τηλεφώνησα εγώ.

J2z - z'

χ' - 4y.r'

λογώ πως δεν είχα λύσει). Συμφωνή­

Ωστόοα, πέρασε μία ολόκληρη ε­ βδομάδα και δεν μου είχε τηλεφωνή­ ΟeΙ. Πιεζόμουν να τελειώσω τη δου­

2χ' =

Συνεπώς, από την

φτεί ως

καταλόγου (το οποίο, όμως. εγώ ομο­ σαμε να μου τηλeφωνήσeΙ έπειτα από

-

1.

Η δεύτερη ανισότητα μπορεί να γρα­

ζήτησα να κατασκευάσει ένα πρό­ βλημα παρόμοιο με το πέμπτο του

Στη δeuτeρη ιιερiπτωση txouμe χ'

μάδα. Νομ(ζω λοιπόν ότι ο φίλος μου

ένα ασυνήθιστο πρόβλημα για εκείνη τη χρονιά. Τη δουλειά ανέλαβαν άλ­

το λύσουν.

νει χ' + 2χ2 S Ο, δηλαδή, χ = Ο.

..;;..,--~

2

J2(x + 2yf - (χ+ 2yf,

χ' + 2

s

4y(x• - 1~

z./tιy' ανισότηω

(J~ιy•

μου με κορόιδεψε. Δεν mστεύω ότι

γότερα κατάφερα να λύσω το πρό­

βλημα ο iδιος· μου πήρε αρκετές ώ-

4y - 2 ς ο.

Αnό την τελευταία σχέση έπεται η

Νομίζω ότι ο αεριώνυμος φίλος

υπάρχει πρόβλημα τύπου Ολυμπιά­ δος που δεν μπορούσε να λύσει. Αρ­

-

- 4y -

Άρα, 4y

2

- 112

-

2-

ι'f

s

ο.

4y - 2 = 1. Συνεπώς,

=

ή y 3{2. Στην πρώτη πε­ ρίπτωση, η δεύ~ερη συνθήκη του προβλήματος (η ανισότητα) μας δf-

y =

Τώρα. το ΧρονιιιD rοιι Χρόνοο

-

fιΚlJ\IΟyρσφημtνσ

κυκλοφοριJ σε όλες τις χώρες

σε χαρτόδετη έκδοση. Ιιλ.

ι:ιι.. 'ΕΊJ(ρωμο. δρχ.

248. ι 9 • 2S

8.000

OUANl'UMI ΠΟ ΜΑΥΡΟΠιΝΑJ<Α ι

37


SCRIPTA

ΜΑΝΕΝΤ

Ανθολόγιο λέ εων και ιιΛ6γος έργου σκιήιι -Δημόκριτος, στο Περi nσiδων Αγωγής του Πλουτάρχου Μιχόλης Λόμnρου

:\Jι1 ιιοιι ι οι ι ι; κιrκ\ους ΗψfΗ tt. Περ(φημη φράση του Αρχψήδη, την

ono(o,

σύμφωνο με την παράδοση,

διοWπωσε λίγο πριν τον θανοτ.ώσε.ι ένας ρωμοfος στρατιώτης, κατά την κατάληψη των Συρακουσών οπό τον Μόρκελλο, το

212

π.Χ. Το ενδιαφέ­

ρον είναι ότι η ιδια η φράση δεν σώ­ ζεται στο ελληνικά αλλά είναι καθι­ ερωμένη μετάφραση της αντίστοι­

χης λατινικής •Noli turbare circulos mcos•, ογνώοιου προελεύσεως, που έφτασε μέχρι τις μέρες μας. Αντίθε­ το, σώζονται ελληνικές φράσεις γιο

ιο ιδιο περιστατικό οι οποίες, στον tνον ή τον άλλο βαθμό, αnοτελούν

παραλλαγές της nοραnόνω φράσης. Ποραδεfyμοτος χάριν, ο Δίων Κάσ­

σιος στη Ρωμιιiκή uπopίa του ανα­ φέρει ότι •καi εiπών (ο Αρχtμήδης)

"ώtόοτηΟι, ά~ ά;τ.ό της )'(Χlμ· μής" παρώξιινέ τε αirιόν (τον ρωμώο τελe(ως οψοσ~ωμtνος στο σχήμα και

τρεπόμε\οος· εί ~ iξεψyάοθη τότε είς

Ο βυζαντινός πολυίστωρ Ιωάννης

μη γνωρ(ζοντας tιοιος τον τραβά, του

τ.ό τέλος τό θεωροΨtναν

Τζέτζης στις Χιλιάδει; του γράφει οτ έμμετρη μορφή: •ίις δέ Ρωμαίος έπι­

εfnε "Μην οκουμπός, άνθρωπε, το

μοτικότατος Αρχιμήδης, όταν εμφα­

σχήμα μου"). •

οτΟς εiλκe αίχμαλωτίζων./'0 δέ τοϋ

Ένας σχολιαστής στις Καrηyορfι:ς

vfστηκε ο εχθρός τού εfπε με έντα­

διαγράιψατ.ος &ος ύπόqχων τότε,/ τ\ς ό Υ.αθέλκων οiικ είbώς, iλf:yε πρός έ­

του Αριστοτέλη παραθέτει άλλη φρά­

μη σβήσει το σχήμα, για τ( δεν εfχε

ση. Συγκeκριμtνα γράφει: •καi 'Αρ­

φτάσει στο τέλος εκε(νου που σκε­

χείνσv·f"'Α,-τόσπfλ, ώ ~ τσϋ δι­

χψί)bηι; δέ ποτε 6οQ6άοων έπιστόvτων

αγράιψατ.ός μου" (

= Ήλθε tνος ρω.

mότον). • Άλλη παραλλαγή,

ταiς Σ\J()ΟΚΟ\iσοις. οiικ lφιryεν, ~

ντινή στην ποροnάνω φράση, σώζε­

μώος στρατιώτης με σκοπό να τον

μό t\ ytωμεΊ(ΙΙ>ιόν Υ.ατιrιι>άφων, ά)J.'

αιχμολωτ(οτι. Ο δe (Αρχιμήδης) ήταν

iφη, ''tάν Υ.tφο).άν καί μη τάν )'(Χlμ·

ται σε άλλη λατινική πηγή. Ο Βα­ λέριος Μάξιμος στο Factorum et Di-

στρατιώτη) καi κατεΥ.ό.-τη..

(=

Ο μαθη­

ση να χτυπήσει το κεφάλι του και να

mo

κο­

μάν" •. Παρόμοιο με την τελευτώο

ctorum

είναι ιιαι η πληροφορfα του Παχυμέ­

στρατηγός Μάρκελλ.ος εfχε δώσει ε­

ρη οιο Σύνταγμα των τεοο6pων μαθη­

ντολή να σεβαστούν οι Ρωμώοι τη

μ4των του, όπου λέει: .·ο μαθημα­

ζωή του Αρχtμήδη ιιοτά τη διάρκεια

τικώτατος 'Αρχψι)δης, ''tάν Υ.εφα).άν

της λεηλασίας που ακολούθησε την

γραμμα ιεrας που tyl\·oν γνωστές αnό την ι­

πλήττειν, μή τάν yραιψάν άφανίζειν",

στορ(α tων eιιισιημών.

έπιστάντι τιjι πολφίφ iνι:ατικώς προ-

κατάληψη των Συρακουσών. Ένας στρατιώτης, όμως, καθώς εισέβαλε

Σιι.οn6ς ιης naρούοος στήλης είναι να οιψο<ι­

σι6ζD την προι\Luση ""' την tρμη\m λίξe­ ων. αριθμών χαι φράοοων <ης αρλ'ώαι; tλλη­ νικ~ς. λαtινιιιής. βuζαV\ινής και σύγχρο-.ης

38

MAIOI / IOYNIOI 2000

tMmorαbilium γράφει ότι ο


στο σπίτι του Αρχιμήδη τον ρώτησε ποιος είναι. Ο Αρ­ χιμήδης, αψοο~ωμένος στη λύση εν6ς προβλήματος, δεν

ΚΥΚΛΟΨΟΡΗΣΕ ΕΝΑ λ)(C),Mii

ΜΕ ΥΛI ΚΟ ΤΟΥ

μn6ρεοε να απαντήσει. Το μc:Sνο nου έκανε ήταν να ση·

κώσει το χέρι του και να πει •πoli

BIMIO

({UANTUM

obsecro istum distrur·

bare ( = παρακαλώ μην μου καταστρέψεις το σχήμα).• Ωc; αποτέλεσμα, ο στρατιώτης τον μαχαίρωσε. Για το θάνατο του Αρχιμήδη σώζονται και άλλε<; εκ· δοχές αλην της παραπάνω Ιο Πλούταρχος στους Βίους nαρα.Uή;\ους (Μάρια:λ.l.ος) παραθέτει τρεις). Η παραnά· νω είναι αυτή που ενWνευ<Π πολλούς ζωγράφους να α·

ποwnώσουν το θάνατο του μεγάλου μαθηματικού. Περιώνυμη φράση του Αρχιμήδη 6ταν tλu<Π εmτuχώς ένα πράβλημα ποu τοu έθε<Π ο ραννος των Σuρακοuοών Ιέρων. Ο τύραννος uποπτεuc:S­ F.ύρηκιο. πίρηκιι.

ταν ότι ο χρυσοχόος τοu uπεξο.ίρεοε μια ποσc:Sτητα χρυ· σού και τον αντικατέστησε με άρyuρο κατά την κατα­ σκευή εν6ς στέμματος. Ζήτησε τ6τε αnc:S τον Αρχιμήδη

-

να ερευνήσει την uπ6θεση, αλλά χωρ(ς να καταστρέψει

το στέμμα. Ο Αρχιμήδης, την ώρα που έκανε το λουτρά του στο Βαλανείο, εηινtλαβε την αρχή της άνωσης μέσω της οποίας εmβεβαίωσε την απάτη. Τ6τε ενθοu01ασμέ· νος βyήκε αnc:S το λουτρά τοu στους δράμους yuμνc:Sς. φω­ νάζοντας •ε\Jοηκα, είιQrικα•. Η αρχαι6τερη πηγή μας εί­

Ψυσικής γυμνάσματα 17

δnμοσκψινρ ~Ω!

10

αδtψοαιwaι ιrιtμινρ

~ ιηJΙΜς ·Καλιιδοαιιιι.-

ναι στα λατινικά, το έργο Archίtecturα του Βιτρούβιου:

• ldque cum eius rei ratioπcm explicationis ostendi.ssct, non est moratus, sed exsίluίt gaudio motus dc solio ct nudus vadeπs domum versis significabat clara voce inνe­ nisse quod quaereret. Nam currens identidem gτaece cla· mabat "εύρηχα εύρηχα" ( Μc:Sλις, μετά αn6 σκέψη για

=

το αίτιο του φαινομένου, βρήκε την ερμηνε(α, δεν ιιερί­ μενε άλλο, αλλά αναπήδησε συγκινημένος απ6 το λου· τρό του, και τρέχοντας yuμν6ς προς το οιι(τι τοu φώνα­ ξε δυνατά c:Sτι βρήκε εκε(νο

nou αναζητούσε. Δι6τι

τρέχα·

tn~

cύV.δ και ιn

•m

nap4Sινo

ηο:ραλιφόμtlια mς icrtoριo~ ~ ~­ Οι αnα\fτήαε~ς οτα φιιm'Ιμαw ηαρο118&ντcιι ατο

ντας φώνα[f_ εηινέχεια στα ελληνικά "εύρηκα, εύρηκα").• Παρόμοιο είναι το χωρίο τοu Πλοuτάρχοu στο Kar' Επί· ιrovpov,

'

και βιολοy'Ιας, κc:ιι

δώΊφο μipoG toU 8ιlλ/οu. Σύ..:

160, 25 χ (7 ι.ιι.. Λ/Μ. 5.300 δρχ•• tJιnιo/lno

).ουόμΕνος, ώ; φαοιν, έκ τής ύπΕ.ρχύσεως έν­

νοί}ΟΟς τήν τοίι στεφ<iνοιι μέτρ.μν ot:ov έκ τινος χατοχiΊς ή έm'οοίαι; έξήλατο 6οών "ri>Qrιxα" ( = λου6μενος, 6πως

ΑΚΟΜΗ ΚΥΚΛΟ'ΡΟΡΟΥΝ

λένε, αφού αη6 την υnερχειλιοη του νερού αντιλήφθη·

κε τη μέτρηση του στι:φανιού, σαν να τον καUλαβε ο(· στρος ή έμπνευση, βyήιι:ε φωνάζοντας "εiίρτιγ.α")• Κατά λα,η, •tκεfνο που €πρεπε να αποδειχτεί, αποδείχτηκt•. Σuρεάτυηη φράση η οποία α· nαντάται σε μαθηματικά κιfμενα, ouxvά ως αρκτικ6λε· ξο •6.έ.δ.•, μετά το πέρας της αnc:Sδειξης θεωρημάτων. Σήμερα η χρήση rης εfναι περιορισμένη, αλλά στα αρ­ χαία ελληVΙκά μαθηματικά κe(μενα, c:Sπως yια παράδειγ­ Οιιrρ r'δrι δriιιιι.

μα στα Στοιχεία του Ευκλείδη, ήταν απαρώτητο δηλω­ τικc:S της ολοκλήρωσης της αηc:Sδειξης. Η πρώτη χρήση

της στα Στοιχεία είναι στο α' Βιβλrο, Πράταση δ', μετά την απc:Sδειξη κριτηρfοu ισc:Sτητας τριγώνων. Η ίδια φρά­ ση αποδίδεται στα λατινικά ως •quod erat demonstran· dum•, ή αιτλώc; •q.e.d.• . Σε αντιδιαστολή, μετά την ολο­ κλήρωση γεωμετρικών κα•ασκευών ετίθετο η φράση ,ί).

Ο λύκος , ο Μυνχδοu:uν

Μαδrψατικοl ypιφοι

και ο ΝώtWν

- 1

Lιλ.i

ZIU, 25 χ . 17 οοι λ(Μ. 6λΟ(1 ?'fi"-1. ~νν>δ/,"ιο

περ έδει. ποιi]οαι• (για ι1αράδειγμα, βρfσκετ.aι στο τέλος της πρώτης κι6λας πρc:Sτασης στα Σrοιχε(α).

(tJ QUANTUM I SCRIPTA ΜΑΝΕΝΤ

39


περί Μια έρευνα 4.000 ετών Ο Ί'ΡΙrΩΝΟ ΕΙΝΑΙ

1'0 ΑΠΛΟΥΣΊ'Ε­

ρο πολύγωνο -έχει τρεις κο­ ρυφές και τρεις πλευρές. Η

μελέτη των τριγώνων γέννησε

καν πολυάριθμες μελέτες για το τρί­

fΝαν κλάδο των μαθηματικών -την

γωνο, ειδικά τον 18ο αιώνα. Αυτές οι

τριγωνομετρία- στον οποίο οι με­

μελέτες συνιΟ'&ούν μεγάλο μέρος της

πτονται σε μία αλευρά

τρικές ιδιότητες του τριγώνου εκ­ φράζονται μέσω συναρτήσεων των

επίπεδης γεωμετρίας που εκλήθη νέα

του τριγώνου και στις

yεω~rpw rου rριyώνου.

προεκτάσεις των άλλων

γωνιών του. Η ανάπτυξη αυτής της

Ιδού ένα αξιοσημείωτο θεώρημα

εmστήμης στηρίχτηκε σε πρακτικές

που αnέδειξι: ο Eώer: Τα μiσα των πλευρών του τpιyώνου, τα fy;vη των

μα

υψών του και τα μiσα των rμη;ώ:rων

κεντρα εν6ς τριγώνου

ανάγκες. Η τριγωνομετρία χρησιμο­ ποιήθηκε για τη μέτρηση εδαφικών

δύο πλευρών -βλ. Σχή­

2). Ας συμβολίσουμε με Η το ορθό­

κνύεται ότι τα

περιοχών, την κα'&ασκευή χαρτών

Β

και το σχεδιασμό μηχανών. Οι πρώτες αναφορές στο τρίγωνο βρίσκονται σε αιγυπτιακούς παπύ­

BCH

και

ABC. Αποδει­ τρίγωνα ABC, ABR,

CAH έχουν

τον ίδιο κύκλο

εννέα σημείων. Επομένως, ο κύκλος των εννέα σημείων εφόmεται στους

4.000

δεκαέξι κύκλους που είναι εγγεγραμ­

ετών. Για παράδειγ­

μένοι ή nαραγεγραμμ{Νοι των τριγώ­

ρους ηλΙκίας μεγαλύτερης των

νων

μα, οι Α1y6mιοι

ABC,

ΑΒΗ,

BCH

και CΑΗι.

γνώριζαν έναν προσεγγιστι­

κό τύπο για τον υπολογι­

σμό του εμβα­ δού εν6ς ισο-

A~----~~~~--~c

Σχήμα

1

που σvνδέοvv τις κορυφές του ~

ro

σκελούς τριγώ-

ορθόκεντρο (το σημεw rομι[ς των υ­

γώνου: θεωρούσαν

ψών του rριyώνου) ανήκουν σε έναν κύκ.\c. Αυτός ο κύκλος απ ει κον (ζε­ ται στο Σχήμα 1. Συχνά καλεί= κύ­ κλος των εννέα σημείων (λόγω των

το εμβαδόν ίσο με το γινόμενο του μισού της βάσης επί την πλάγια πλευρά. Αυτ6ς ο τύπος δίνει μια ικα­

νοποιητική προσέγγιση όταν η απέ­ ναντι στη βάση γωνία είναι μικρή. Στην αρχαία Ελλάδα, 2.000 χρόVΙα αργότερο, επετεύχθη σημαντική πρό­ οδος στη μελέτη των ι­

διοτήwν του τριγώνου. Αρκεί να θυμηθούμε το πυθαγόρειο θεώ­

εννέα αξιοπρόσεκτων σημείων που ανήκουν σ' αυτόν). Ονομάζεται επί­ σης κύκλος του Eώer, ή κύκλος του

Feuerbach, προς τιμήν του γερμανού μαθηματικού wυ 19ου αιώνα, Κ.

Feuerbach

Σχήμα

2

(α·

δελφού του εξέχοντος φι­

Η ακτίνα του κύκλου των εννέα

L. Feuerbach)

σημείων ισούται με το μισό της ακτί­

που απέδειξε ότι αυτ6ς ο κύκλος εφάπτεται στον

νας του περιγεγραμμένου κύκλου, και το κέντρο του βρfσκεται στο μέ­

Έπειτα από μια με­

εγγεγραμμένο κύκλο του

σο του τμήματος που συνδέει το κέ-

γάλη περίοδο πολΙτισμι­

τριγώνου και σε όλους

κής παρακμής, τον 15ο

τουςπαραγεγραμμένους

αιώνα άρχισε η Ανα·

κύκλους του (δηλαδή,

γέννηση. Εμφονίστη-

στους κύκλους που εφά-

ρημα και τον τύπο

του Ήρωνα.

40

MAIOI / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

λοσόφου

1.

Δefu σχετικό και το άρθρο για τον

Feuerbach στο τεύχος Ιm•ουαρί­ οu/Φεβρουαρίου 2000. (Ε.τ.μ.) κύκλο tου


,

ινωνου :μνΕ~χiζι~ται μέχρι πς μέρες μας μη κυρτών γωνιών στις ιtορυφι!ς του τριγώνου (δηλαδή ε­ κείνων που προστι­ αρχώοι έλληνες μαθηματιχοί θα ή­

θέμενες στις αρ­

ταν δυνατόν να έχουν αποδεlξει αυ­ τό το θεώρημα. Κατά πάσα πιθανό­ τητα, όμως, δεν ανακάλυψαν το εν

χιχές γωνίες δί­

360

λόγω αξιοσημείωτο γεγονός επειδή

σημεία τομής αυ­

μελετούσαν μόνο τις κατασκευές ατι­ τ€ς που μπορούσαν να γίνουν με κα­ νόνα και διαβήτη. Αλλά οι τριχο•ό­

τών των δεκαοκτώ

(I) ισόπλευρα τρίγωνα, οι πλευρές

μοι των γωνιών δεν είναι δυνατόν

των οποίων είναι παράλληλες με τις

να κατασκευαστούν με κανόνα και

πλευρές του βασικού τριγώνου

ντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

διαβήτη (αυτό δεν είχε αποδειχτεί

Jey. Μια ειδι κή αναφορά στο θtμα πα­

με το ορθόκεντρο του τριγώνου. Η

μtχρι τον 19ο αιώνα).

ρουσιάστηκε στο Μαθηματικό Συνέ­

νουν άθροισμα μοιρών. Τα

τριχοτόμων σχηματίζουν δεκαοκτώ

δριο της Μόσχας του 1966.

ευθεία που περιέχει αυτό το τμήμα ονομάζεται εvθεfα Euler. Το σημείο

Mor-

IJ

τομής των διαμέσων του φιγώνου, το βαρύκεντρο, ανήκει επίσης στην εν λόγω ευθεία. Είναι γνωστό ότι ο Ναπολι!ων α­ φιέρωνε μέρος του χρόνου ιου στα

μαθηματικά. Το επόμενο κομψό θε­

ώρημα αποδίδεται ιre αυτόν': Τα κέ­ ντρα των ιοόn.kvpων τριyώνων nοιι κ.ατιuικεvιίζοvται ε(.ωτερι κά των πλευ­ ρών ενός nιχαfοιι rριyώνοιι οχιιpατ{­

ζοιιν ιοόnλrορο τρ(yωνο. Αυτό το ισό­ πλευρο τρίγωνο σνομάζι:ται εlμτεριια5 vano.Wvrειo rρίyωνο. Me παρ6μοιο τρ6πο μπορούμε να κατασuυάοουμe το rοωrερικό vαπα.\ιόνreιο rρfyωνο. Ακόμη και τον

206 αιώνα

απέμε­

ναν να γίνουν μερικές ανακαλύψεις στη γεωμετρία του τριγώνου. " Ετσι, το

1904

ο αpερικανός μαθηματικός

Σχήμα

3

Κα t6 τα μ€σα του αιώνα μας επε­ τεύχθη μια yενiκευση του θεωρήμα­ τος

Morley.

Σε κάθε γωνία μπορού­

με να θεωρήσουμε τρεις τύπους τρι­ χοτόμων. Το πρώτο είδος εξετάσθη­

ανακάλυψε ότι αν τριχο­ τομηθούν οι γωνίες ενός τυχαίου

κε προηγουμένως. Το δεύτερο περι­

τριγώνου τότε τα σημεία τομής των

τόμους των εξω-

F. Morley

διαδοχικών τριχοτόμων σχηματιζουv ισόπλευρο τρίγωνο (βλ. Σχήμα

3).

Οι

λαμβάνει tριχο­

.

'

τερικων γωνιων

που είναι προ­ σκείμενες στη

2. Δtfte οχeιικ6 και to 6ρθρο ·Το θcώ­ ρημα tou Ναnολlοντο • οτο τeοJχος Σtιιτεμ­ βρίου/Οκtωβρfου 1995.

δεδομένη γωνία.

Το τρίτο περιλαμβά­ νει τριχοτόμους των

QUANTUM I ΚΑΛΕΙΔΟΣΚΟΠΙΟ

41


οι αρχές της θεωρίας στ Στην καρδιά της υδροδυναμικής του

'λων

Helmholtz

Ν. Zhukoνskγ

ΜΗΧΑΝΟΟ! ΥΠΗΡΖΕ ΤΕΚΝΟ ΤΩΝ

βάλαμε εάν λέγαμε ότι η ανάπτυξη

συνδυασμένων προσπαθειών που

της σύγχρονης υδροδυναμικής οφεί­

κατέβαλαν γεωμέτρες και ανα­ λύστες. Στην ιστορία της δεν

λεται ως επί το πλείστον στον Helmholtz. Ωστόσο, η πλέον σημαντική

σπανίζουν οι περιπτώσεις όπου οι

εργασία του μεγάλου αυ tσύ ε ο ισtή­

πολύπλοκοι αναλυτικοί τύποι aπο­

μονα δεν δημοσιεύθηκε παρά μόνο το

κάλυπταν το βαθύτερο περιεχόμενό

1858,

τους παίρνοντας σαφή ορατή μορφιj

σαράντα τριών ετών αφότου ο

με τη βοιjθεια εμπνευσμένων γεωμε­

cby

τρικών διαγραμμάτων_ Οι ερμηνείες

βαν κάπου μέσα στον όγκο τους την

αυτού του είδους παρουσίαζαν το με­

αρχή διατήρησης της κυκλοφορίας_

ρη του ρευστού περιδινούvται γύρω

γάλο πλεονέκτημα ότι αγκάλJαζαν το

Η αρχή αυτή συνεπάγεται ότι οε ένα

από αυτή τη στήλη με ταχύτητα α­

πρόβλημα σε όλη τη μεγαλοπρέπειά

ιδανικό ρευστό είναι αδύνατο να δη­ μιουργηθεf ή να καταστραφεί ένας

ντιστρόφως ανάλογη της απόστασής

στρόβιλος (ιj δίνη, όπως OUJ(Vά ανα­

τm, η ταχύτητα του ρευστού αυξά­

ποίες παρέβλεπαν οι καθαρά αναλυ­

φέρεται στη βιβλιογραφία) παρά μό­

τικές μελέτες- Μια τέτοια περίπτωση

νο με έξωθεν παρέμβαση_ Εντούτοις,

νεται καθώς ιανούμαστε προς τον 6ξονα του κυλfνδρου για να συμπέσει

ιjταν το πρόβλημα της περιστροφής

ο

Cauchy πραyματεόθηκε τα αποτε­

με την ταχύτη τα των σωματιδίων

ενός στερεού σώματος γύρω από το

λέιηιατά του μόνο από τη οκοnιό της

της κεντρικής στιjλης στη (νοητή)

κέντρο βάρος του. Πρώτος το έλυσε ο μέγας Leonard Euler οε αναλυτική

ανάλυσης και δεν προέβλεψε τα πο­

συνοριακή της επιφάνεια.

λυάριθμα ερωτήματα που θα μπο­

Μια τέτοια κίνηση στα ρευστά ο­

μορφή. Ωστόσο, η λύση εξακολουθού­

ρούσε να απαντηθούν με τη βοήθεια

νομάζεται στρόβιλος, και η χαρακτη­

σε να μένει θαμμένη κάτω από έναν

της αντίστοιχης γεωμετρικής ερμη­

ριστικιj στιjλη καλείται στροβιλοσω­

τεράστιο όγκο σκοτεινών τύπων έως

νεfας των συμπερασμάτων του.

λιjνας. Ορίζουμε ως ένταση του στρο­

του και την πληρότητά του και αnο­ σαφήVΙζαν πολλές όψεις του τις ο­

ότου τη διασαφήVΙσε ο

έπειτα από μια μακρά περίοδο

Cau-

εξήγαγε τους τύπους που έκρυ­

Σχήμα

1

τους από τον όξονα του δοχείου_ Έ­

Louis Poinsot

θα προσnαθιjσω να εξηγήσω με

βίλου •ο ήμισυ του γινομένου της

με απλές γεωμετρικές ερμηνείες των

τον απλούστερο δυνατό τρόπο την

ταχύτητας του ρευστού πάνω στην

~

εμπλεκόμενων μεγεθών_ Ένα άλλο

έννοια του στροβίλου όπως την επε­

επιφόνεια του στροβιλοσωλήνα επ(

"

συναφές παράδειγμα αποτελεί το έρ­

ξεργάστηκε ο Helmholtz. Φανταστεί­

την περιφέρεια της εγκόρmας δια το-

γο του

τε ένα κυλινδρικό δοχείο πεπερασμέ­

μής της. Το διπλόσιο του εν λόγω

u1!

ος έριξε άπλετο φως σε πολλές από

νου ύφους (Σχήμα

γινομένου ονομάζεται κυκλοφορfα.

;;

τις σκοτεινές γωνιές που έκρυβαν τα

γάλης βάσης, γεμάτ-ο με ρευστό (ένα

προβλήματα των κινούμενων ρευ­

Στη γεvικιj περίπτωση, η κυκλοφο- ~

αέριο ή ένα υγρό). Υποθέστε ότι το

ρία κατά μήκος μιας κλειστής κα­

στών_

εν λ6γω ρευστό κινείται με τον εξής

Hermann Helmholtz,

ο οποί­

-ολες σχεδόν οι εργασίες που συ­ νέγραψε ο

1)

και μάλλον με­

τρόπο: μια κεντρική κυλινδρική στή­

με αντικείμε­

λη ορισμένης διαμέτρου περιστρέφε­

νο τη μηχανικιj εστιάζονταν σε υδρο­

ται περί τον άξονα συμμετρίας της

μΙJΧανικά προβλήματα_ Δεν θα υπερ-

ως στερεό σώμα, ενώ τα υπόλοιπα μέ-

42

Hel.mboltz

ΜΑ!ΟΣ / IOYNIOI 2000

c

~

μπύλης εντός ενός κινούμενου ρευ- ~ ατού ισούται με το γινόμενο του μή-

'"

επί τη μέση eφαnτομενική τ-αχύτητ-α

;!

~ου υγρού κατά μήκος της.

r>i

κους της συγκεκριμένης καμπύλης >~


I.

r

QUANTUII I ΑΡθΡΟ

43


Εφόσον στο κινοι}μενο υγρό που αnεικονίζεται στο Σχήμα

1

οι ταχύ­

τητες έχουν μέτρο αντιστρόφως ανά­

λογο προς την ακτίνα, οι κυκλοφο­ ρίες κατά μήκος όλων των οριζόντι­ ων κύκλων που τα κ&ντρα τους κεί­

νται επί του άξονα της στήλης (και οι οποίοι την περικλείουν) είναι ταυ· τόσημες και ίσες με το διπλάσιο της έντασης του στροβιλοσωλήνα.

Αντίθετα, η κυκλοφορία κατά μή­

Σχήμα

3

Σχήμα

κος μιας καμπύλης που δεν περικλεί­ ει το σωλήνα (η γραμμή

4

ABCD στο

ος παράγεται από &ναν ευθύγραμμο

νό κέντρο περιστροφής -.;ους κείται

Σχήμα 2) και αποτελείται αnό δύο τόξα ομόκεντρων κύκλων -όπως ε·

στροβιλοσωλήνα, αυτός θα παραμένει

στο άπειρο, οπότε αμφότεροι οι σω­ λήνες κινούνται παράλληλα κατά

νικών τμημάτων ισούται με μηδ&ν.

ακίνητος. Εντούτοις, αν στο δοχείο δημιουργηθούν δύο τέτοιοι στρόβι­ λοι που περιδινούνται γljρω από πα· ράλληλους σωλήνες, οι σωλήνες θα

Αυτή η ιδιότητα επιδέχεται γενίκευ­

κινούνται. Το Σχήμα

ση· όπως μπορεί να αnοδείξει κανείς, η κυκλοφορία κατά μήκος οιασδήπο­ τε κλειστής καμπύλης η οποία περι­ κλείει το σωλήνα ισούται με το δι­

κάτοψη δύο στροβιλοσωλήνων δια­ φορετικών εντάσεων όπου η περιδί­

Το Σχήμα 6 δείχνει τις τροχιές που διαγράφουν τρεις στροβιλοσω· λήνες οι οποίοι περιδινούνται και κο.· τά τις δύο δυνατές φορές -οι μεν 1

νηση γfνεται κατά την ίδια φορά. Ε­

και

κείνοι που περιγράψαμε ανωτέρω­ τα οποία 01Νδέονται μέσω δύο ακτι·

3

δείχνει την

φόσον ο στρόβιλος που παράγεται α­

την κάθετο προς την ευθεία που ε­ νώνει τα κέντρα τους (Σχήμα

5).

2 κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ο δε 3 κατά την αντίθετη.

πλάσιο της έντασης του στροβίλου,

πό τον αριστερό σωλήνα περιστρέφει

ενώ η κυκλοφορία κα•ά μήκος κάθε

ολόκληρη τη μάζα του υγρού γύρω

Οι δείκτες που 01Νοδεύουν τους α­ ριθμούς 1, 2, και 3 στο σχήμα δηλώ­

κλειστής καμπύλης που δεν περι­

από τον άξονα ,;ου σωλήνα κατά τη

νουν χρονικές στιγμές: η σύμπτωση

κλείει w σωλήνα μηδενίζεται. Η ιδιότητα που μόλις περιγράψα­ με καθιστά δυνα·cή την ανίχνευση ε·

φορά των δεικτών του ρολογιού, ο δεξιός σωλήνας θα αποκτήσει μια τα­

των τιμών των δεικτών σημαίνει ό-τ;ι

χύτητα κάθετη προς την ευθεία που

χουν οι σωλήνες την ίδια χρονική

ν6ς στροβιλοσωλήνα σε &να κινοι}με­

ενώνει τους άξονες -.;ων δύο στροβί­

στιγμή.

νο ρευστό. Προς τούτο, κανείς πρέ­

λων και με φορά προς τα κά.ω. Για

πει να σχεδιάσει μια κλειστή καμπύ­

τον ίδιο ακριβώς λόγο, ο στρόβιλος

Η έννοια του ευθύγραμμου στρο· βιλοσωλήνα που δημιουργεf~αι μέσα

λη και να υπολογίσει την κυκλοφο­

που οαράγεται από τον δεξιό σωλή­

σε ένα αρκούντως ευρύ κυλινδρικό

ρία κατά μήκος της. Εάν ο υπολογι­

να θα προσδώσει στον αριστερό σω­

σμός δώσει μη μηδενικό αποτέλεσμα,

λήνα μια ταχύτητα με κατεύθυνση

δοχείο μπορεί να yενικευθεf ιιαι στην περίπτωση στροβιλοοωλήνων οι ο­

τότε μέσα αnό την καμπύλη διέρχε­

προς τα πάνω. Ως εκ τού,;ου, αμφό­

πο(οι δημιουργούνται σε οποιαδήπο­

ται &νας στροβιλοσωλήνας. Δεν έ]ιου­

τεροι οι σωλήνες περιστρέφονται κα·

με πλέον παρά να συστείλουμε βαθ­

τά τη φορά των δεικτών του ρολο­

τε μάζα ρευσwύ. Ο εντοπισμός αυ· τών των σωλήνων επι~υvχάνεται με

μιαfα την καμπύλη μας ώσπου να δι­

γιού γύρω από ένα ορισμένο σημείο.

τον υπολογισμό της κυκλοφορίας κα­

απιστώσουμε κάποια μεταβολή της

την ακριβή θέση τού εν λόγω σημεf­

τά μήκος κλεισ-.;ών καμπυλών, με

κυκλοφορίας. Με αυτό τον φόπο κα· τορθώνουμε να ανιχνεύσουμε την ε­

ου μπορούμε εύκολα να την καθορf.

την ίδια ακριβώς μεθοδολογfα που ε­

σουμε εάν τοποθετήσουμε στα κέ·

φαρμόσαμε και στην περίπτωση του

πιφάνεια του σωλήνα.

ντρα των δύο σωλήνων μάζες ανά­

ενός ευθύγραμμου σωλήνα. Εάν δημιουργηθούν στρόβιλοι σε

Εφόσον στο ευρύ δοχείο μας πε­

λογες -.;ων εντάσεών τους και βρού­

ριέ]ιεται μόνο ένας στρόβιλος ο οποί·

με το κ&ντρο μάζας του συστήματος που θα προκύψει. Εάν οι στρόβιλοι nεριδινούνται κατ' αντiθετες φορές (βλ. Σχήμα 4}, οι στροβιλοσωλήνες περιστρέφονται

Α

Β

πρόκειται για -τ;ις θέσεις που κατέ­

ένα μη 01Νεκtιιιό ρευστό (δηλαδή σε ένα ιδανικό ρευστό, χωρfς εσωτερική τριβή} -οο οποίο τελεί υπό την επί-

γύρω από έναν άξονα ο οποίος βρί­ σκεται στην προέκταση της ευθείας που τους ενώνει και προς το μέρος t@

σωλήνα με τη μεγαλύτερη έντα·

ση, και η περιστροφή αυτή έχει την

ίδια φορά με την περιδίνηση του ι­

Σχήμα

44

σχιιρό-τ;ερου στροβίλου. Εάν οι δύο

2

στρόβιλοι έ]ιουν ίσες εντάσεις,

ΜΑiΟΣ / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

w

κοι-

Σχήμα

5


ποκολληθεί ο στροβιλσσωλήνaς από

/1

τα τοιχώματα του δοχείου, η βάση ταυ θο έπρεπε να συρρικνωθεί σε ένα

σημείο. Εφ6σον η κυκλοφορία κατά μήκος της περιφέρειας της βάσης πρέπει κατ' ανάγκην να παραμένει

σταθερή, μια τέτοια συστολή θα α· παιτούσε το υγρό να περιδινείται με

Σχήμα

ι

άπειρη τaΧ\hητa στη βάση του στρι>­ βίλου, πράγμα προφανώς aδύνa,;ο.

6

Σε ένα ρευστό η υδροδυναμική nf. εση μειώνεται όταν η ταχύtητα αυ­

δραση δυν<iμεων που δεν παραβιά­ ζουν την αρχή διατήρησης της ενέρ­ γειας. τότε ισχVει το ακόλουθο αξι­

ξ<iνεται. Έτm, όταν η βάση του στρι>­

οαημείωτο θεώρημα: οε ένα τέτοιο

θα επιφέρει τη μείωση της πiεσης ε­

θώς κατ-ευθυνόμαστε από την εmφά·

υγρό, η κυκλοφορία κατ<i μήκος

<>-

κεί, με απο.ιλεσμa το παρακείμενο

ποιαοδήποτε κλειστής κυλn<ής κα­

ρευστό να ωθεί τα σωματίδια tης βά­

νειa προς το εσωτερικό του δακτυ­ λίου, κa.ι μηδενίζεται σε κάποια aξι>­

μπύλης -δηλαδή μιας κλειστής χα·

σης τ~υ στροβίλου προς το τοίχωμα

νική γραμμή. Η ταχύτητα eπiσης

μηύλης που αποτελdται από τα ίδια

και να εμποδίζει την αποκόλλησή

μει~νεται καθώς αυξ6νεται η από­

πάντα σωματίδια του υγρού- διατη­

της. Μοιάζει σαν ο στροβιλσσωλήνας

σwση απ6 το δακτύλΙο μtσα στη μά­

ρεί σταθερή την ••μή της καθ' όλη

να •κολλ<i• στα τοιχώματα του δο­ χείου και με τα δύο του άκρα. Αν κά­

ζα του οaρακείμενου ρευσwύ. Για σωματίδια πολύ απομακρυσμένα από

Το ανωτtρω θεώρημα συνεπάγε­

ποιο από τα άκρο του βρίσκεται στην

το δακτύλιο, η ταχύτητα είναι aντι­

ται ότι καθώς μετατοπίζεται ένας

ελεύθερη εmφciνεια, η •κόλληση• κa­

στρόφως αν<iλογη προς ταν κύβο της

στρόβιλος, τα σωματίδια του υγρού

θίσταtαι ορατή λόγω του •κρατήρα•

απόστασής τους αοό αυτόν.

που σχηματίζουν το σωλήνα του θο

που σχηματίζεται στην επιφάνεια του

Όπως είδαμε ήδη, δύο παράλληλο;

συγκροτ;ούν ιιιiν τα tνα στροβιλοσω·

ευθύγραμμοι οτροβιλοσωλήνες ίσης

απόρροια του fδιου θεωρήματος είναι

ρευστού κοντ6 σtην απόληξη του σωλήνα. Εάν τα <iκρα του σωλήνα δεν βρίσκονται στα σύνορα του υ­

ότι σε ένα τtτοιο υγρό αποκλείεται

γρού, τότε αναγκαστικά πρέπει να

νούνται κατά την ιι<iθετο ορος το

να εμφανιστούν νοοι στροβιλσσωλή­

συμπίπτουν, πράγμα που σημαίνει ό­

πίπeδα στο οποίο ανήκουν και οι δύο

€·

τι ο στροβιλσσωλήνας οφείλει να εί­

σωλήνες. !Ία wν ι'διο λόγο, ο δακτυ­

να στροβιλοσωλήνα υnολοΥJ'ζοντας

ναι κλειστός: τα άκρα του .συγκολ­

λιοειδής στροβιλοσωλήνας δεν θα πα­

τις τιμές της κυκλοφορίας κατά μή­

λούνται• μεταξύ τους.

ραμείνει ακίνητος. αλλά θα ιονηθεί

τη δι<iρκεια της κίνησης.

λήνα της αυτής tντασης. Μια άλλη

νες. Πράγμαu, αν αναζητήσουμε

βίλου στο τοίχωμα του δοχείου συ­

Σχήμα

7

στtλλε,;αι, η αύξηση της ταΧ\hηwς

έντασης. οι οποίοι περιστρέφονται σε

ένα ρευστό με αντfθετες φορές, ΚΙ·

e-

κος συγκεκριμένων κλειστών υλΙ­

Η αιιλούστερη μορφή που μπορεί

καιό την κάθετο ορος w eπίπeδα wυ

κών καμπυλών, θα βρούμε μηδενικό

να λάβει ένας κλειστός στροβιλοσω­

δακτυλfου ιι:αι προς την πλευρά ε­

αποτέλεσμα ΥJα όλες τις καμπύλες α­

λήνας είναι ο δακτύλΙος (ή 01tείρα, ή

κείνη απ' όπου το ρευστό εξέρχεται

πό τις οποίες δεν διtρχεται ο σωλή·

τόρος), όπως φαίνεται στο Σχήμα

απ6 το δακτύλΙο.

νας. και την fδια σταθερή τιμή ΥJα όλες τις καμπύλες που τον περικλεί­ ουν. Επιπλέον, οι τιμές αυτές θα πα­

Όλα τα σωματίδια του ρευστού που

7.

βρίσκονται εκτός του δακτυλίου ΚΙ·

Το Σχήμα 7 δείχνει άτι τα σωμα· τίδιa του ρευστού που κ.ινούνται κα­ τά μήκος των κλεισιών γρομμ~ν ρι>­

ραμένουν αμετ<iβλητες καθ' όλη τη

νούντaι κατ6 μήκος κλεισtών κα· μπuλών •περασμένων• στο δακtύλlο

διόρκeια της κίνησης. Συνεπώς, θα

με τέτοιο τρόπο ώστε οι τιμές της κυ­

θα ωθήσουν το κ<iτω <iκρο του προς

καταλήξουμε στο συμπέρασμα όu α·

κλοφορίας κατ6 μήκος όλων αυτών

τα δεξιό. Ομοίως. τα σωματίδια που

πό τις eπι.λι:γείσες υλικές καμπύλες

των γραμμών ροής να είναι ταυτό­

κινούνται κατά μήκος των κλειστών

διέρχεται πάντοτε ένας σωλήνας της

σημες και ίσες προς την κυκλοφορία

γραμμών ροής στο κατώτερο μέρος

ίδιας έντασης.

κατά μήκος της περιφέρειας tης &·

του δακtυλfου θα ωθήσουν το πάνω

Μ.ια άλλη συνέπεια που απορρέει από το ίδιο θεώρημα είναι ότι καθ'

άκρο του προς την fδια χατεύθυνση.

όλη τη διάρκεια της κίνησής του ο

γκάρmας διατομής του δακτυλίου. Εόν •εισχωρήσουμε. στο δακτύλιο, λaμβ<iνουμε διάφορες τιμές YJO την

στροβιλσσωλήνaς ή θα έχει τα άκρα

κυκλοφορία ιι:ατ<i μήκος των γραμ­

δεξιό και θα πάρει μαζί ταυ το μiρος

του στο σύνορο του ρευστού (στα

μών ροής επί των οποίων 1<1νούνται

του ρευστού που περιδινεί-.:αι γύρω

τοιχώματα του δοχείου ή στην ελεύ­

στιγμιαία τα σωματίδιά του. Τις μe·

του. Η κίνηση αυτή τείνει να γίνει

θερη εnιφciνειa) ή αλλΙώς θα παραμέ­

γαλύτερeς ταχύτητες τις έχουν -.:α

ταχύτερη όσο μειώνεται το μέγεθος

νει κλειστός.

σωμaτι'δια στην eπιφciνειa του δα­ κτυλίου. Η ταχύ τη τα μειώνεται κα-

του δακτυλίου και αυξάνεται η έντα·

Στην πρaγμα,;ικότητα, για να α-

ής στο ανώτερο μtρος του δακτυλίου

Ως εκ wύτου, ολόιtληρος ο δακτύ­ λΙος θα μετατοπιστεί ομ.αλά ορος τα

σή ,;ου.

OUANτuM / ΑΡθΡΟ

45


Όπως είπαμε παραπάνω, εντός ε­

το νερό αρχfζει να εκρέει, κινούμε­

νερό τίθεται σε περιστροφικ!]. κίνη­

νός ιδανικού ρευστού οι ήδη υπάρ­

νο από το τοίχωμα του δοχείου προς

ση με τη βοήθεια ενός ταχέως περι­

χοντες στροβιλοσωλήνες θα έπρεπε

τον άξονά του. Τα σωματίδια του νε­

στρεφόμενου ανεμιστήρα τοποθετη­

να διατηρούνται για πάντα, ενώ κα­

ρού διαγράφουν ολοένα μικρότερους

μένου σε ορισμένο ύψος πάνω από

νένας νέος στροβιλοσωλήνας δεν θα

κύκλους, το κέντρο των οποίων κεί­

την εmφάνεια του νερού (Σχήμα

εμφανιζόταν ποτέ_ Στη φύση, ωστό­

,;αι πάνω στον άξονα του κυλίνδρου.

Ο aόρατος στρόβιλος του αέρα αρπά­

σο, μας δfνεται συχνά η ευκαιρfα να

Εφόσον η κυιιλοφορfα κατά μήκος

ζει το νερό μέσα στον αξονικό του

παρατηρ!].σουμε τόσο τη γέννηση ό­

των εν λόγω κύκλων εfναι σταθερ!].,

σωλήνα και το σηκώνει σαν μια ανυ­

σο και το θάνατο στροβίλων. Πρόκει­

τη μείωση της ακτίνας τη συνοδεύ­

ψούμενη και περιδινούμενη υδάτινη

ται για μια διαπίστωση η οποία μας

ει μια αντίστΟι){ΙΙ αύξηση της ταχύ­

στ!].λη που θυμίζει την προβοσκίδα

υπενθυμίζει ότι το νερό και ο αέρας

τητας των σωματιδίων. Καθώς nλη­

θαλάσmου σίφωνα και φτάνει ώς τον

δεν είναι ιδανικά ρευστά αλλά πα­

mάζουμε τον άξονα του κυλίνδρου,

ανεμιστήρα.

ρουmάζουν κάποια συνεκτικότητα (ή

η ταχύτητα της περιστροφής αυξάνε­

Δακτυλιοειδείς στρόβιλοι στον αέ­

ιξώδες), πράγμα που σημαίνει πως η

ται μέχρις ότου συναντήσουμε έναν

ρα είναι δυνατόν να εmδειχθούν με

θεωρητικ!]. μας συλλοyιστικ!]. πρέπει

ευδιάκριτο στρόβιλο με τον χαρα­

τη βοήθεια τη<; διάταξη<; Tait. Η διά­

να τροποποιηθεί ελαφρώς προκειμέ­

κτηριστικό βαθύ κρατήρα του.

ταξη Ί'ait αποτ;ελείται αn6 ένα κυλιν­

10).

νου να περιγράφει τη συμπεριφορά

Στρόβιλος μπορεf εηfαης να παρα­

των πραγματικών στροβίλων. Από τη

χθεί με τη βοήθεια ενός ταχέως πε­

μια, οι στρόβιλοι δημιουργούνται κα­

ριστρεφόμενου δίσκου, όπως φαίνε­

δρικ6 τύμπανο (Σχήμα 11) που η ο­ πfσθια βάση tου έχει αντικατασταθεί με ένα καλ6 τεντωμtνο κομμάτ;ι δέρ­

τά κύριο λόγο στις περιοχές όπου δύο

ται στο Σχήμα

9. Από το κέντρο του

ματος ενώ η πρόσθια φέρει στο κέ­

στρώματα του ρευστού κινούνται με

πυθμένα ενός γυάλινου κυλίνδρου

ντρο της στόμιο με οξύ χείλος. Το

διαφορετικές ταχύτητες ολισθαίνο­

περνάμε έναν κατακόρυφο αξονίσκο

σχήμα του στομίου μπορεί να γίνει

ντας το ένα πάνω στο άλλο· από την

ο οποίος φέρει στο άνω άκρο του

6-

κυκλικό, ελλειπτικό, τετραγωνικό,

άλλη, οι στρόβιλοι που δημιουργού­

ναν μικρό δίσκο. Κατόπιν γεμίζουμε

κ.ο.κ. με τη βο!].θεια ειδικών εξαρτη­

νται δεν έχουν παρά έναν περιορι­

τον κύλινδρο με νερό και από πάνω

μάτων.

σμένο χρόνο ζωής και βαθμιαiα εκ­

προσθέτουμε λάδι. Όταν ο δίσκος αρ­

rια να καταστούν ορατοί οι δα­

φυλίζονται.

χfσει να περιστρέφεται, βαθμιαiα θέ­

κτυλιοειδείς στροβιλοσωλήνες, μέ­

τει σε περιστροφική κίνηση το νερό

σα στο κουτί τοποθετούνται δύο δο-

Ί'η δημιουργιΌ σε υγρά ευθύγραμ­ μων στροβίλων την επέδειξε ο

Helm-

και δημιουργεf ένα στροβιλοσωλήνα.

holtz σε ένα υπέροχο πείραμα που πε­

Ο στρόβιλος διακρίνεται καθαρά λό­

ριγράφεται στη διάλεξή του για το

γω του κρατήρα που Ο){Ιiματίζεται

φαινόμενο του στροβιλώδους σάλου.

στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού­

Εδώ θα επαναλάβουμε την επίδειξη

νερού. Ο κρατήρας γεμίζει με λάδι,

αυτή. rεμίζουμε με νερό ένα κυλινδρικό

το οποfο κατέρχεται προς το δίσκο

δοχείο που στον πυθμένα του φέρει

Μόλις το λάδι έρθει σε επαφή με το

μια μικρ!]. οπή κλεισμένη με ένα πώ­

δfσκο, αυτομάτως ολόκληρη η μάζα

μα (Σχήμα

του διασκορπίζεται μέσα στο νερό.

8).

Με τη βο!].θεια ενός

ωσάν σίφων (σίφουνας) εν πτώσει.

λεπτού σωλήνα κατευθύνουμε μια

Ευθύγραμμοι στρόβιλοι στον αέρα

δέσμη αέρα προς τη μια πλευρά της

είναι δυνατόν να παραχθούν και να

ελεύθερης εmφάνειας του νερού, έ­

καταστούν ορατοί με μια εξαιρετικά

τm ώστε να το αναγκάσουμε να πε­

ενδιαφέρουσα μέθοδο. Ο αέρας που

ριστρέφεται αργά. Αφού ανοίξουμε

υπέρκεηαι ενός ανοιχτού δοχείου με

την

onl].

στον πυθμένα του δοχεfου,

Σχήμα

10

000 Σχήμα

46

8 MAiOI / IOYNIOI 2000

Σχήμα

9

Σχήμα

11


'

χεία: το ένα περιέχει υδροχλωρικό ο­

όταξη

Tait σβήνει όποτε η φλόγα του

ξύ και το άλλο υγρή αμμωνία. Οι α­

π1αστεί σ' ένα δακτύλιο. Στα ν1άτα

νεται πολύ λόγω της φυγοκέντρου δυνάμεως. Εάν εισαγάγουμε στο νερό

τμοί των χruιικών αυτών ουσιών πα­

μου επ1χείρησα να ανακαλύψω για­

μερικέ<; φυσαλίδες αέρα τη στιγμή

ράγουν μια πuκνή ομίχλη από σωμα­ τίδια χλωριούχου αμμωνίου. Χτunώ­

τί η πυροδότηση εν6ς καψουλιού &· πικρούσεως από ένα πιστόλι μπορεί

που δημ1ουργείται ένας δακτυλιοει­ δής στροβιλοσωλήνας, εκείνες μετα·

ντας με τη γροθιά ή με ένα σφυρί το

να σβήσει ένα αναμμένο κερί που

κινούνται γρήγορα στο μέρος του υ·

τεντωμένο δέρμα, ωθούμε γρήγορα

βρίσκεται σε μεγάλη απόσταση. Τώ­

γρού όπου επικρατεί η ελόJ(Ιστη πί·

μια μάζα αέρα γεμάτη ομίχλη χλω­

ρα γνωρ{ζω την απάντηση: το αιατό­

εοη, δηλαδή στον άξονα του δακτυ­

ριούχου αμμωνίου έξω από τον κύ­

λι δεν εκ-.οξεύει μόνο τη σφαίρα,

λίου. Οι φυσαλιΟες θα διατηρηθούν

λινδρο. Αυτή η μάζα περνά μέσα α­

αλλά συνάμα εξαπολύει και έναν δα­

εκεί επί όσο χρόνο ο δακτυλιοειδή<;

πό τον ακίνητο αέρα αναγκάζοντάς

κτυλιοειδή στροβιλοσωλήνα αέρα. Έ­

στροβιλοσωλήνας ταξιδεύει στο νερό,

τον να περιδινείται. Ο σχηματιζόμε·

νας -.έτοιος δακτύλιος μπορεί να δια­

παρότι ο αέρας έχει πυκνότητα οκτα·

νος δακτυλιοειδής ατροβιλοσωλήνας

νύσει μεγάλη αnόαταση χωρίς να εκ­

κόσιες φορές μικρότερη από εκείνη

διακρίνεται καθαρότατα λόγω της ο­

φυλιστεί.

του νερού.

μίχλης που τον γεμίζει. Προφανώς,

Προηγουμένως βγάλαμε τους δα­

Ιδού μια διάταξη με την οποία

ο αέρα<; κοντά ατο δακτύλιο θα πε­

κτυλίους μας από ένα στρογγυλό

μπορούμε να παραγάγουμε δακτυλf­

ριατρέφεται με τέτοιο τρόπο ώστε ο

στόμιο. Μπορούμε κάλλιστα να δώ·

ουι; αέρα στο νερό, ορα~ύς με τη βο­

ατραβιλοσωλήναι; να απομακρύνεται

οουμε δtαφαρεnκό σχήμα στους δα­

ήθεια φυσαλί&ιν αέρα. Η εν λόγω

από το στόμιο της συσκευής.

κτυλίου<; βγάζοντάς τους από ελλει­

διάταξη αποτελείται αnό ένα μεγάλο

πτικό ή τετραγωνικά στόμια. Ωστό­ σο, οι δακτύλιοι αυτού τ~u εiδους δεν

δοχείο (Σχήμα

θύγραμμοι στρόβιλοL Παρακολουθώ­ ντας τους δακτυλιοειδείς ατροβιλο­

διατηρούν το σχήμα τοuς και ταλα­

γάλης διατομής και κειι.αμμένος έτσι

ντώνονται προσπαθώντας να λάβουν

ώατε να σχηματ{ζεΙ ορθή γωνία εμ­

σωλήνες που παράγει η διάταξη Tait, ' ' μπορουμε να ιtαρα τηρηοουμε sαι πε-

το •σωστό• κυκλιl<ό σχήμα, που απο­

βυθlζεται στο δοχείο. Το πάνω άκρο

τελεί τη μοναδική ευαταθή μορφή

του διατηρείται πάνω αnό την εm­

ριπτώσεις αλληλεπίδρασης μεταξύ

για έναν κλειστό στροβιλοσωλήνα.

φάνεια του νερού και συνδέεται με

Είδαμε προηγουμένως (Σχήματα

3-6)

πώι; αλληλεmδρούν μερικοί ευ­

12)

γεμάτο με νερό.

Ένας γυάλινος σωλήνας σχετικά με·

αυτών. Όταν οι δακτύλιοι έρχονται

Αι; στραφούμε τώρα στην εmορα­

οε εnαφή πλευρικά, αλληλοαπωθού­

ση των υλικών σωμάτων πάνω στους

έζοντας τη φαόσκα μπορούμε να ω­

νται. Επίσης. ο ένας δακτύλιος μπο­

δακτυλιοειδείς στροβιλοσωλήνες. Τα

θήσουμε αέρα μέσα στο σωλήνα, ανα­

ρεί να περάσει μέσα από τον άλλο.

στερεό σώμα τα που βρίσκον-.αι ατα

γκάζοντας έτσι το νερό να εξέλθεΙ α­

Πρόκειται για ένα εξαιρετικά ενδια­

πλευρά εv6ς κινούμενου δακ-.υλίου

πό αυτόν. Πιέζοντας λοmόν αnότομα

το

τον aπωθούν. Ωστόσο, όrον ο δακ-.ύ·

τη φούσκα, εκδιώκουμε το νερό αnό

διερεύνησε λεπτομερώς και έδωσε την πλήρη θεωρητική του εξήγηση. Ο Helmholtz απέδειξε ότι ο δακτύ­

λιος συναντά ένα επίπεδο εμπόδιο το­

το οριζόντιο σκέλος του κεκαμμένου

ποθετημένο παράλληλα προς το δικό του επίπεδο, διαατέλλεται ολοένα και

σωλήνα και προωθούμε τον αέρα ώι;

λιος που έπεται μικρώνει σε μέγεθος

περισσότερο, σαν να απλωνόταν vύ·

το χείλος του. Κατ' αυτό τον τρόπο όχι μόνο εκβάλλουμε το νερό από το

sαι αποκτά αυξημένη ταχύτητα. Α­ ηiθετα, ο δακτύλιος που προηγείται γίνεται μεγαλύτερος και εηιβραδύνε· ται. Οι αλλαγές αιιτέ<; συνεχ{ζονται ώσπου ο δακτύλιος που έπεται να δι­

ρω από το εμπόδιο. Εάν τοποθετή­

σωλήνα, αλλά και εισάγουμε μ1α μJ·

σουμε ένα μαχαίρι στην πορεία του

κρή ποσότητα αέρα στο λουτρό. Α­

δακτυλίου κατά τρόπον ώστε το επί­

φού εγκαταλείψει το σωλήνα, η ορ1·

έλθει μέσα από τον άλλο. Στη συνέ­

πεί σε δύο ημιδακτυλίοuς, που τα ά·

χεια, οι δακτύλιοι ανταλλάσσουν ρό­

κρα τους θα ολισθαίνουν πάνω στη

λους; ο δακτύλιος ο οποίος έμεινε πf.

λεπίδα. Όταν οι ημιδακτύλιοι θα έ·

σω προλαβαίνει εκείνον που προη·

χουν πια περάσει το μαχώρι, τα άκρα

γείται και περνάει από μέσα του. Δ υ·

τους θα •συγκολληθούν• ώστε να α­

στυχώς, αιιτό το παιχνίδι των δύο δα­

ποκατααταθεί ο αρχικ6ς δακτύλιος.

φέρον φαινόμενο που ο

Helmholtz

μια λαατ1χένια σφαιρική φούσκα·

m-

πεδο της λεmοος του να περιέχει τον άξονα του δακτυλίου, εκείνος θα κο­

κτυλCων παρατηρείται αρκετά σπά­

Εκτός αnό τους δακτυλίους κα­

νια· το βλέπουμε μόνο όταν τα με­

πνού στον αέρα, μπορεί κανείς να πα­

γέθη και οι εντάσεις τους βρίσκονται

ρατηρήσει και δακτυλίοuς στο νερό,

ατις κατάλληλες σχέσεις.

που η παροuσfα τοuς επισημαίνεται

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο

από την ύπαρξη φυσαλ1'δων αέρα.

δακτυλιοειδής στροβιλοσωλήνας πα­

Αυτό το ενδιαφέρον φαΙνόμενο, που

ρασύρeι ταχέως περιστρεφόμενο αέ·

εκ πρώτης όψεως μοιάζεΙ παράδοξο,

ρα κατευθύνοντάς τον προ<; ένα α­

επιδέχεται αnλή εξήγηση. Το βασικό

ναμμένο κερί. Ένα κερί τοποθετη­

είναι ότι η πίεση στον άξονα του δα­

μένο οε μεγάλη απόσταση από τη δι-

κτυλιοειδούς στροβιλοσωλήνα μειώ-

Σχήμα

12 OUANTUM I ΑΡθΡΟ

47


ζόνιια στήλη νερού συστρέφεται σχηματίζοντας έναν δακτυλιοειδή στραβιλοοωλήνα. Μερικές φυσαλi&ς αέρα από το σωλήνα θα διασπαστούν

rών Ι της συνάρτησης πρόσθεσης ~. y) -t χ + y] και συνεχών συναρτήσε·

σε μικρότερε<; φυσαλίδες, που παίρ­

ων μίας μεταβλητής.

Συνέχεw από rιι οε.ι.

<>

16

<>

Συνέ_rεια από rιι οε.ι.

23

απομονωμένα σύνολα ηλεκτρονίων,

νουν Ής θέσεις τους στον άξονα -τ;ου

Η ανάδυση της τοπολογίας συνο­

κυλίνδρου. Τούτες οι •λαμπερές χά­

δεύτηκε από σπουδαία επιτεύγματα. Ιδού ορισμένα παραδείγματα. Ένας κύκλος διαιρεί το ε.πίnεδο σε δύο μέ­

ιόντων και ουδι!τερων σωματιδίων τα οποία διατηρούν την οντότητά τους επί διάστημα πολλαπλασίως μεγαλύ­ τερο από τον μέσο χρόνο ελεύθερης διαδρομής των σωματιδίων) που ε­ κτελούν ομαλά επιβραδυνόμενη κί­

ρη, πράγμα που σημαίνει ότι είναι

νηση μοιάζουν με ταινίες μήκους Ι.

αδύνατο να ενώσουμε μέσω μιας συ­

Το μέγιστο πλάτος των εν λ6γω ταt­

ντρες• αποκαλύπτουν καθαρό τον υ­

δάτινο στρόβιλο που ταξιδεύει στο νερό. Αφού διατρέξουν ολόκληρο -τ;ο μήκος του δοχείου, οι δακτύλιοι προ­ σκρούουν στο απέναντι τοίχωμα, δι­

νεχούς καμπύλης ένα αιιμείο εκτός

αστ-έλλονται και τελικά αnοσuντίθε­ νται.

Με τη βοήθεια της ίδιας διάταξης μπορούμε να εmδείξουμε ξεκάθαρα

και την ανάκλαση των δοκτυλfων α­ πό την ελεύθερη επιφάνεια του νε­

νιών ισούται με

Το πλάσμα

του κύκλου με ένα αιιμείο στο εσω­

d « l.

απέχει απόσταση

L από

τον αντικει­

τερικό του χωρίς να τμήσουμε τον

μενικό φακό μιας φωτογραφικής μη­

κύκλο. Ο γάλλος μαθηματικός του 19ου αιώνα Jordan αnέδειξε ότι κά­ θε ομοιομορφική (δηλαδή, συνεχής

χανής, του οποίου η εστιακή αnόστα· ση ισούται με Έστω r ο ελάχιστος χρόνος έκθεσης που απαιτείται για

αμφιμονοσήμαντη) εικόνα ενός κύ­

ρού. rια να το επιτύχουμε, δεν χρει­

κλου διαιρεί επίσης το επίπεδο σε δύο

άζεται παρά να στρέψουμε τα χαμη­ λότ-ερα χείλος του σωλήνα ελαφρώς

μέρη. Ο ολλανδός μαθηματικός Brou-

προς τα πάνω. Όταν κάποιος δοκτύ· λιος φτ;άνει στην εmφάνεια του νε­ ρού, υφίστατ.αι ανάκλαση. Σημειωτ;έ­

ον δε ότι οι γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης είναι ίσεc;.

Εφόσον τα πραγματικά ρευστά εί­ ναι συνεκτικά και κατ;ά την κίνησή

τους τρίβοv-ι;αι αάνω στα τοιχώματα των δοχείων, μέσα σ' αυτά συνεχώς

δημιουργούνται πολυάριθμοι στρο­ βιλοσωλήνες. Ο Helmholtz απέδειξε

wer γενίκευσε αυτό το αnοτέλεσμα για την ομοιομορφική εικόνα μιας

πολυδιάστατης σφοίρας. Στην από­ δειξή του ανι!nτυξε τις ιδέες του

Poincare.

Συγκεκριμένα, απέδειξε έ­

να αξιοσημείωτο θεώρημα που ονο­ μάζεται θεώρημα σταθερού σημε[Qυ

rου Brouwer. Στην απλούστερη αερί­ πτωση, το θεώρημα αυτό είναι το ε· ξής: Κάθε συνεχι[ς απεικόνιση ενός ε­ πiπ:ε&υ δwκου σrον εαυr6 του έχει έ­ να σταθερό σημε[Q. Η πρόοδος της το­

ότι από τη στιγμή που μια μάζα υ­

πολογίας οδήγησε σε γενικεύσεις αυ­

γρού τίθεται σε οποιαδήποτε κίνηση πρέπει να θεωρούμε ότι μέσα της πα·

πέτυχαν οι αμερικανοί Alexander και

ράγονται αδιάκοπα στραβιλοοωλή­ νεc;. Μάλιστα, ο

Helmholtz δεν περιο­

ρίστηκε στη διαπίστωση αλλά ανέ­ πτυξε μαθηματικά και φυαικά εργα­ λεία για τη μελέ'tη της κίνησης των σωλήνων αυτών.

(ί}

Δείτε αχόμη τα άρθρα: • S. Kuzmin, •Περιστροφή μέσα σε

τών των αnοτελεσμάτων, τις οποίες

ο γερμανός Hopf, οι ρώσο1 Aleksandroν, Kolmogoroν, Pontrya-

Lefshetz,

gin, Ο

f.

να αποτυπωθεί μ1α εικόνα στο φωτο­

γραφικό φιλμ. Να βρεθεί η επιβρά­ δυνση των πλασμοειδών. Ο αντικει­ μενΙκός φακός παραμένει ανοιχτός

ώσπου τα πλασμοειδή να ακινητοποι­ ηθούν εντελώς.

Φ185 Σφαιρικός φακός. Από ένα ημι· σφοiριο ακτίνας R κατασκευασμένο από διαφον€ς γυαλί με δείκτη διά­

θλασης n : 2 αφαιρείτα1 ένα μονο­ βααικό τμήμα σφαίρας έται ώστε να σχηματιστεί μια συμμετρική κοιλό­ τητα. Το πάχος του γυαλιού κατά μήκος του άξονα που διέρχεται αnό

τα κι!ντρα και των δύο σφαιρών ι­ σούται με R/2 (Σχήμα 2). Μια σημει-

κ.ά.

Poincare έθεσε διάφορα κομψά

τοπολογικά προβλήματα. Ένα παρά­

δειγμα αποτελεί το πρόβλημα ιων τριών κλειστών γεωδαιαιακών. Ας υ­ ποθέσουμε ότι παίρνουμε μια λεία πέ­ τρα και προσπαθούμε να τυλι'ξουμε

Α

Σχήμα

2

ρεύμα αέρα•, Νοέμβριο9Δεκέμβριος

γύρω της ένα λάστιχο. Αν το λάστι­

1994.

χο δεν γλιστρά, έχουμε ανακαλύψει

ακή φωτεινή πηγή βρίσκεται στο κιS­

μια κ.λειστή γεωδαιαιακή. Ο Poincare διατύπωσε την εικασία ότι σε κά­ θε λείο ωοειδές σώμα υπάρχουν τρεις κλειστές yεωδαιαιακές, και ότι αυτό το πλήθος δεν μπορεί να αυξηθεί. ΠΙο συγκειφιμι!να, σε ένα ελλειψο­

ντρα της εξωτερικής σφαιρικής επι­

• Α. Stasenko, •Στρόβιλοι στο διά­

ειδές με τρεις διαφορετικούς άξονες

νει τα κι!ντρα των δύο σφαιρών;

δρομο απογείωσης•, Σεπτέμβριος/Ο·

το πλήθος αυτό ισούται ακριβώς με

(Α.

κ"t>ώβριος

τρlα. Το εν λόγω πρόβλημα το έλυ­ σαν οι σοβιετικοί μαθηματι·κοl Lyu· sternik και Shnirelman. tiJ

• J. Raskin , •Πετώντας με το φαι­ νόμενο βριος

Coanda•, Νοέμβριος/Δεκέμ­ 1994.

• Α. Stasenko, •Υπερηχητικά και γλυκοκολοκύθεc;•, Ιούλιος/Αύγουστος

1995.

48

1997.

ΜΑiΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

φάνειας (αιιμείο Α). Πού θα βλέπει την πηγή αυτή ένας παρατηρητής ο οποίος στέκεται σε πολύ μεγάλη από­ σταση αnό το φακό και έχει τα μά­ τια του πάνω στην ευθεία που ενώ­

Zilberman).

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑ1 ΑΥΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΕΑ.

72

1


ΒΟΛΤΕΣ ΣτΟ

ΔΙΑΔΙΚτΥΟ

Εργαστήρια

,

, 11

ι

ικης

,

ava τον κοσμο

Και «naραλογιαμοίιι στον γαλάζιο πλανήτη

Κώστας Βασιλειάδης

ΡΟΣ ΊΌ τΕΛΟΣ ΊΌΥ ΤΡΕΧΟΝΤΟ!:

P:I'Ovt, ΔΥΟ ΔΙΑΣΊΉ­

μόπλοια θα έχουν πλησιάσει ιον πλανήτη Δία και

θα μπορούν να tον παρακολουθούν ταυτόχρονα. Η εiδηση μας έρχεταΙ από την Πασαντήνα, ένα απ' τα προάστια της πόλης του Λος Άντζελες. Στην Πασαντή­ να βρίσκεται το γνωσtό Εργαστήpιο Αεριώθησης (JPL), το οποίο λtιτουργεί υοό την εποπτεία του Τεχνολογικού Ινστιτούτου της Καλιφόρνιας

(Ca!Tech)

για λογαριασμό

ηλιακών ανέμων εώ των μαγνητικών πεδίων που περι· βάλλουν τον Δία, εντ6ς των οποίων θα βρίσκεται ήδη και θα eργόζι:ται ο Γαλιλαίος. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να βρουν περισσότερες πληροφορίες για τα προγράμματα εξερεύνησης του Δία και -του Κρόνου, αλλά και για τις υπόλοιπες ερευνητι·

κές δραστηριότητες του διεύθυνση

της

NASA και ασχολείται αιιοκλειστικιl με τις διαπλανη· τικ€ς έρευνες του ηλιακού μας συστήματος. Το JPL eχει μέχρι σήμερα σ·τειλει διαστημόπλοια σε όλους τους πλα­ νήτες εκτ6ς του Πλούτωνα. Προκειμένου μάλιστα να παρακολουθεί τις αποστολές των διαστημοπλοίων του, χρησιμοποιεί τρία συστήματα κeραιών τεράστιων διαστά· σεων τα οποία βρfσκοντω εγκατεστημένα στην έρημο

Μοχάβι της Κnλιφ6ρνιος. στη Μαδρfτη της Ισnονiας και στην Καμπέρα της Αυστραλiας. Παρά τις πρόσφατες ο­ τυχrες και απώλειες που έπληξαν τα διαστημικά πρα­ γρόμμοτό του, το

JPL

ώων του βρίσκεται ο αλανήτης Δίας. Τα δύο διαστημό­

πλοια τα οποία βρίσκονται καθ' οδ6ν και τον πλησιόζουν είναι ο Γαλιλαίος και ο Cassini. Ο Γαλιλαίος, του οποfου η κατασκευή στοίχισε 1,5 δισεκατομμύριο δολάρια, εισήλθε στην τροχιά του Δία το

1995. Σημερινή αποστολή

του Γαλtλαίου είναι η μελέ­

τη του Γανυμίδη και των άλλων δορυφόρων του Δία. Το

δεύτερο διαστημόπλοιο βρίσκεται σε διαφορετική απο­ στολή, η οποία το κατευθύνει προς ταν αλανήτη Κράνο ~οστολή που στοιχ«,eι Προς το τέλος του

2000,

3,5

δισεκατομμύρια δολάρια.

λοιπόν, ο Cassiπi θα πλησιόζι:ι

τον Δία και με τη βοήθεια της βαρύτητας του γιγαντιώ­

ου πλανήτη θα •εκσφενδονιστεf• προς τον Κρόνο. θα είναι η πρώτη φορά στην ιστορfα του διαστημικού προ­ γράμματος κατιl την οποία δύο διαστημόπλοια θα εξερευ· νούν ταυτόχρονα έναν τόσο μακρινό πλανήτη. Ο

ni

http://www.jpl.nasa.gσv Ας επανέλθουμε όμως tώρα στον δικό μας γαλάζιο πλανήτη, την όμορφη Γη. Αν σας απασχολεί κάποιο ε· ρώτημα σχεtικά με μ1α εmστήμη και θέλετε να μάθειε tι λένε οι ειδικοί, tόtε η διεύθυνση ιου Παγκόσμιου Ιστού η οποία ακολουθεί είναι ό,τι ηρέηeι για σας. Αν εmnλέον θέλετε να διαβάσετε ••ς ερωτήσεις που ίθeσαν κάποιοι άλλοι πριν αοό εοάς, μαζί με .ις απαντήσεις tις οποίες έλαβαν, ε, μην το σκέφτεστε· πληκτρολογήστε

συνeχ«,eι αnτόητα τις αποστολ€ς

του. Αυτή τη φορά λοιnόν στο στόχαστρο των τηλεσκο­

Cassi·

θα μελετά από απόσταση την επfδροση ιων ισχυρών

JPL, με μια επίσκεψή τους στη

h ttp:/fwww .sciam.com και αρχίστε να πφιδιαβάζι:τε τα αρχεfα του περιοδιχού

Scίenti{ic AmericιJn. Ο πλούτος των πληροφοριών που περιλαμβάνει θα σας εντυοωιnόσει. Αρκεf να tχeιt δίψα

για μάθηση και χρόνο για να διαβάσετε όσα θα βρείτε. Το Scientίfic Americαιι mστεύω πως δεν χρήζι:ι ειδι· κής μνείας για τους αναγνώστες μας· είναι παγκοσμ.fως γνωστό τόσο στο ειδικ6 επιστημονικό ιcοιν6 όσο και στο γενικό. Ας υπενθυμίσουμε μόνο πως πουλάει παγκοσμf­ ως

640

χιλιάδες αντίτυπα το μήνα, εχ tων οποίων

630

χιλιάδες στις ΗΠΑ και τον Καναδά. Με τέtοιες αστρονο­

μΙΙtές κυκλοφορίες και τόσο πλούσιους προϋπολογισμούς πώς θα μπορούσε να μην είναι εντυοωιnακή η παρου· σία του στο Διαδίκτυο; θα αποφύγω λοιnόν να κατανα­ λώσω το χώρο της στήλης με γενικές εντυπώσεις και θα αναφερθώ μόνο στη διεύθυνση http:l/www.sciam.comlaskeΣpert όπου μπορεί κανείς να βρει πληθώρα ερωτήσεων αη6

QUANTUIII / ΒΟΛΤΕΣ ΣτΟ ΔΙΑΔΙΚrΥΟ

49


mσχέπτες της ιστοσελi'δας και τις αντfστοιχες απαντή­

Το Εργαστήριο Lawτence Liνermore διεξάγει έρευνα

σεις που Ο.αβαν. Οι ερωτήσεις είναι οργανωμένες σε τμή­

στον στρατιωτικό τομέα, την ενέργεια, το περιβάλλον

ματα που καλύιπουν εννέα διαφορετuιοt!ς τομε(ς: αστρο­

και τις βασικ6; εmστήμες. Για λ6γους ασφαλείας. το ερ­

νομfα, βιολογfα, γeωλογfα, ιατρuαj, μαθηματuιά, περι­ βάλλον, υπολοyιστι!ς. φυΟΙΚή και χημefα. θα βρefτe α­

γαστήριο πρ6οφατα ενέτεινε τα μέτρα προστασ(ας του,

πάντηση σε ερωτήσεις όπως:

ον να είναι προmτές στο ευρύ κοινό.

• Εfναι δυνατόν να ταξιδέψουμε με ταχοnητες μεγαλt!­

• Το

τερες αnό αυτή του φωτ6ς; Το αnαγορe\!eι ή όχι η θeωρfα

σης λειτουργεί υπό την εποπτεfα του Πανεαιστημ(ου της

του ΑΙνστάιν;

ΚαλΙφόρνιας γtα λογαριασμό του Υπουργείου Ενέργειας

• Αληθε\!ει ότι το yuali είναι υλuιό σε υγρή φάση; • Ποιοι ακριβώς παράγοντες καθορ(ζουν το μέγεθος εν6ς

των ΗΠΑ:

ουράνιου τόξου στο στερέωμα;

• Γιατf παράγει σπινθήρες ένα μεταλλικό αντικεfμενο όταν τοποθετεfται μέσα στο φο\!ρνο μικροκυμάτων;

• Πότε εfναι μεγαλύτερη

η ζημιά που υφfσταται ένα αυ­

τοκfνητο, όταν συγκρούεται μeτωmχά με άλλο αντfθε­

τα κινούμενο ή όταν mSφτει πάνω σε ένα μεγάλο δέντρο;

• Εfναι

θεωρητuιά δυνατόν να ταξιδέψουμε αντfθετα στο

χρ6νο;

και πολλές υπηρεσ(ες της ιστοσελιδας του tπαφαv πλέ­

http://www.laπl .gov 1Ό συγκεκριμένο εργαστήριο ασχολefται με θέματα εθνι­ κής ασφάλειας και με nληθιδρα άλλων θεμάτων που ε­

κτεfνονται από τις βιολοyικι!ς επιστήμες ιδς τη μελέτη μοντιλων καιρικιδν συνθηκών και κ.Μματος σε παγκό­ σμΙα κ.Μμακα.

• Το Εθνικό Εργαστήριο της Σαντfα, που

σeτι;

βρfσκεται στην

πάλη Άλμπουκερκι της Πολιτεfας του Νιου Μέξικο: http://www.ιandla.goν

Σε κάθε τομtα οι εαισUιπες ενθαρρ\!νονται να υπο­ βάλουν ης δuιlς τους ερωτήσεις. Εσεfς yιατf να δeιλιά­

Εθνικό Εργαστήριο του Λος Άλαμος, το οποίο επί­

Το Εργαστήριο της Σαντfα ασχολεfται με τη σχτδfαση όλων των μη-nuρηνικιδν εξαρτημάτων των πυρηνικών

αμυντικών συστημάτων, καθώς και με την έρευνα γtα

Ερευmτιtά ερναστιίρια ψυαιΙής Κάλλιστα θα μπορούσαμε να καλύψουμε τις σελίδες

ολόκληρου βιβΜου με τις διευθ\!νσεις των ερευνητικιδν &ργαστηρfων που λeιτουργο\!ν ανά τον κόσμο. Η επίσκε­ ψή σας σε μfα και μόνο διεόθυνση αρκεί για να σας απο­ καλύψει πάνω απ6 διακόσια εργαστήρια. Εκ των πραγ­ μάτων, λοιπόν, η παρουσίαση που ακολουθεf δεν προ­

βάλλει αξιιδσεις πληρότητας· είναι καθαρά δειγματολη­ πτική, και έτ41 εξηγεfται γιατί απουmάζουν τα ερευνη­ τικά κέντρα πολλών χωρών.

Εκτ6ς του Εργαστηρίου Fenni, το οποίο αvαιpιραμε ήδη στο προηγούμενο τεύχος, και το οποfο μπορefτε να εmστεφτεfτε στη διεόθυνση

την αντιμετώπιση στραtΙωτικών και οικονομικιδν απει­ λιδν. Αξίζει να προσέξετε εδώ την είδηση ότι έχει συ­

γκροτηθεί και δρα μια ομάδα τριιδν επιστημόνων που επεξεργάζονται θtματα •παράλογης φυΟΙΚής•, όπως την αποκαλο\!ν. Οι επιστήμονες αυτοί κατασκεύασαν ηλε­

κτρονικές πλακέτες από ημιαγωγό κράμα ινδfου-γαλ­ Μου-αροεvιδίου-νιτριδfου και σκοπεύουν να τις χρηm­ μοnοιήσουν ως πηγlς φωτοβολταiκής ενέργειας σε τηλε­ mκοινωνιακούς δορυφόρους.

• Στην Ελβετία υπάρχει το Ευρωπαlκό Κέντρο Πυρηνι· κιδν Ερευνιδν, το γνωστό CERN, το onofo ιδρύθηκε το 1954 και σήμερα περιλαμβάνu eίκοm μαη-κράτη. Το CERN διαθέτει εmταχυντ6; στοιχειωδών οωματιδfων που

http://www.fnal.gov

επιτυγχάνουν ταχύτητες ελαφρώς μΙΚρότερες της ταχύ­

(βρίσκεται στην Πολιτεfα του ΙλΙνόις και ερευνά τις θε­ μελιιδδεις δομlς της ύλης και της ενέργειας), υπάρχει οε ολόκληρο τον κόσμο μια μεγάλη σειρά κρατικών και μη

τητας του φωτός και ανιχνευτ6; ικανούς να καταστή­

σουν τα στοιχειώδη σωματίδια •ορατά•. Το εργαστήριο μπορεfτε να το εmσκεφτεfτε στη διεύθυνση:

εργαστηρfων. Ανάμεσά τους λοιπόν συγκαταλέγονται και

http://www.cern.ch/public

τα εξής {την κρατuιή ή μη υπόσταση του κάθε εργαστη­

ρfου στις HJlA τη μαρτυρά η ύπαρξη ή η απουσία της κατάληξης .gον στην ηλεκτρονική του διεύθυνση).

Το Εθνικό Εργαστήριο Αρyκ6ουν, το

onofo βρfσκεται

στα περfχωρα του Σικάγου:

http://www.anl.cov Το Εργαστήριο Αρyκ6ουν διεξάγει πειραματική και θε­ ωρητική ιpευνα στις φυσικές και τις neριβαλλοντικlς ε­ πΙστήμες.

• Το Εθνικό Εργαστήριο Lawrence Liνermore, στην Κα­

Εκτ6ς αυτού, το CERN σας παρέχει έναν τεράστιο αλ­ φαβητικά οργανωμένο κατάλογο διακοσfων εργαστηρfων φυσικής υψηλών ενεργειών (ΗΕΡ) ανά τον κόσμο, που

μπορείτε να τον βρεiτε στη διεύθυνση:

http://www.cern.ch/physlcs/REP.htm.l • Το Εθνικό Εργαστήριο του Μnρουκ)('έιβεv, που βρfσκε­ ται στην ΠολΙτεία Ί:ης Νtας Υόρκης και ασχολεfται με την τεχνολογfα των επιταχυντών σωματιδίων και την πυρηνική φυmκή:

http://www.bnl.gov/bnl.html

λιφόρνια, το οποfο λειτουργεf υπό την εποmεfα του Πα­ νεπιστημfου της Καλιφόρνιας για λογαριασμό του Υ­

• Τα

πουργεfου Ενέργειας των !:ΠΙΑ:

νται στις διευθ\!νσεις:

http://www.llnl.gov 5Ο

MAIOI / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

ερευνητικά κέντρα φυσικής της Ιαπωνίας βρfσχο­

http://is2.kek.jp/hep


http:l/www.Jιek.jp

www.nevis .colu.mbia.edu

Στο ιαπωνικό Εργαστήριο κεκ ατώίται eρευνα στα στοιχειώδη σωματι'δια, την πυρηνική φυσική και την τεχνολογία των υλtκώv, με χρήση επιταχυντών τελευ­

Στο εργαστήριο αυτό διεξάγεται έρευνα στη φυσικι1 υ­ ψηλών ενεργειών και στην πuρηνική φυσική. • Στο Πανεmστήμιο Cornell, στην Ίθακα της Πολιτείας

ταίας τεχνολογίας.

της Νέας Υόρκης:

• Στο

Ινστιvούvο

Paul &herrer της Ελβετίας διεξάγεται

http://www.physics.cornell.edu}physics/ prof.pages.html

έρευνα στις φυσικiς εmστήμες και την τεχνολογία, και

βρίσκεται στη διεύθυνση:

Το εργαστήριο αυτό, εκτός από την έρευνα που διεξά­

htpp://www.ps i.ch

γει στην ατομική φυσική και τη φυσική στερεάς κατά­

Για να ενημερωθείτε πλήρως γtα τις δραστηριότητες του ινστιτούτου, εmσκεφτείτε τη διεύθυνση:

h ttp://www.p si.ch/psi_www_main_index.btml • Το Εργαστήριο DESY ( Deutsches E\ektronen-Synchrotron) βρίσκεται στο Αμβούργο της Γερμανίας. Σ' αvτό διεξάγεταΙ έρευνα στις υψηλές ενέργειες και στην πα­ ραγωγή και χρήση της ακτινοβολίας σύγχροτρον:

στασης, ασχολείται και με τη μελέτη των χαμηλών θερ­ μοκρασιών και της συμπυκνωμένης ύλης.

• Στο Εθνικό Ινστιτούτο Προτύπων και Τεχνολογίας (NIS'r), κοντά στην πόλη της Ουάσιγκτον, πραyματοποι­ οΊίνται ακριβείς μετρήσεις που αφορούν διάφορες ηλε­ κτρονικές και οπτικές τεχνολογίες καθώς και μετρήσεις συγκεκριμένων ακηνοβολtών. Το εργαστήριο αvτό βρί­ σκεται στη διεύθυνση:

http://www.desy.de •

Στο Εργαστήριο Σωματιδιακής Φυσικής

http://physics.nist.gov (LPP)

το ο·

ποίο υπάγεται οτο Ινστιτούτο Πυρηνικών Ερευνών της

Ρωσίας και βρίσκεται στην πόλη Ντούμπνα, βορείως της Μ6σ)(ας, διεξάγεται έρευνα στη φvσική των στοιχειωδών σωματιδίων:

htt p://sunse.jinr.dubna.su • Το

Ε&νικό Ινστη;ούτο Πυρηνικής Φυσικής και Φυσι­ κής Υψηλών Ενεργειών της Ολλανδίας συντονίζει και υποστηρίζει όλες τις δραστηριότητες της πειραματικής

Στο Πανεηιστlίμιο του Πρίνστον, στην ΠολΙτεία του

ΝΙου Τζέρσυ, υπάρχει το ΕργαστήρΙο lliάσματος:

http://www.pppl.gov Σ' αυτό διεξάγεται έρευνα στην πυρηνική σύντηξη. • Στο ΠολJtειακό Πανεπιστήμιο της Φλ6ριvτα, οτην πό­ λη Ταλλαχάσση, υπάρχει παράρτημα του Ε&ν1κού Ερ­ γαστηρίου του Λος Άλαμος, με ειδίκευση στο μαγνητι· κά πεδία υψηλής έντασης:

http:/fwww .nhmfl.gov

φυσικής οτην υποατομική ύλη στη χώρα αυτή. Το εργα­ στήριο βρίσκεται στο Άμστερνταμ, και μπορείτε να το εmσκεφτείτε στη διεύθυνση:

http://www.nikhef.nl • Το Καναδικό Ε&νικό Εργαστήριο Πυρηνικής Φυσικής 'rRIUMF, στην πόλη Βανκούβερ της Βρετανικής Κολομ­ βίας, οτη δυτικι1 αλευρά του Καναδά, μπορείτε να το βρείτε στη διεύθυνση:

http://www.triumf.ca • Το

..

I

Κέντρο Επιταχυντή της Νοτίου Αφρικής:

• Το Εθνικό Κέντρο Επιταχυντή με την επωνvμία Tbomas Jefferson βρfσκεται στην πόλη Ν1ούαορτ Νιους της ΠολΙτείας της Βφτζίνια και tχει διεύθυνση:

http://www.cebaf.gov Σ' αυτό ερευνούν τη δομή της πυρηνικής ύλης προσπα­ θώντας να δΙευρύνουν την υπάρχουσα γνώση γtα τα χα­ ρακτηριστικά και τ1ς αλληλεmδράσεΙς των κουάρκ. • Το Κέντρο Αστροφυσικής υπεριώδους ακτινοβολίας πο­ λύ υψηλής συχνότητας, -του Πανεmστημίου της Καλι­ φόρνιας, στο Μαέρκλεiί, βρίσκεταΙ στη δΙεύθυνση:

http://www.nac.ac.za Το εργαστήριο διεξάγει έρευνες στη ραδιοθεραηεία και τη θεραπεία -ι;ου καρκίνου, καθώς επίσης και στην πα­ ρασκευή ραδιοϊσοτόπων γtα την πυρηνική ιατρική. • Το Ε&νικό Κέντρο Πυρηνικής Φυσικής της Ιταλίας (INFN) ιδρύθηκε το 1951 και διαθέτει εργαστήρια σε διά­ φορες ιταλικές πόλεις. Η παρουσία του στο Διαδίκτυο μας έρχεται από την πόλη της Τεργέστης:

bt tp:/lwww. ts.infn.it Το εργαστήριο είναι υπεύθυνο γtα το συντονισμό και τη χρηματοδάτηση της έρευνας στο πυρηνικό και υποπυ­ ρηvικό επίπεδο. Ιδού μερικές ακόμη διευθύνσεις εργαστηρίων:

Στο Πανεπιστήμιο

όρκης:

Columbia,

στην πόλη της Νέας Υ­

http://www.cea.berkeley.edu • Το

Κέντρο Φυσικής της πόλης του ί\σπεν, της Πολt­

τεfας του Κολοράντο, προωθεί την έρευνα της φυσικής του Διαστήματος:

• Το man

http://andy.bu.edu}aspen Εργαστήριο Πυρηνικών Μελετών Floyd R. New-

είναι ένα από τα ερευνητικά κέντρα του ΠανεπΙ· στημίου Cornell με αντικείμενο ερευνών την ατομική φυσική και τη φυσική στερεάς κατάστασης:

http://w4.lns.cornelJ.edu Τέλος, μια ενδιαφέρουσα συλλογή εργαστηρfων απ'

όλο τον κόσμο μπορείτε να βρεfτε στη διεύθυνση:

http://uct2.phy.uct.ac.zal-luca/pirolabs.htmJ Από την παραπάνω συλλογή εmλέγουμε:

OUANTUM I ΒΟΛΤΕΙ ΠΟ ΔΙΑΔΙΚJΥΟ

51


• Τα τρ(α εργαστήρια που υποστηρίζονται αnό το Κι:νΊρι­ κό Βρετανικό Εργαστήpιο του Συμβουλίου Επιστημο­ νικής Έρευνας (CLRC). Τα eργασtήρια αυτά ε(ναι το

ΚΥΚΛΟ Φ ΟΡΕΙ

Rutheήord Appleιon στο Τσίλτον της Αγγλίας. ιου Ντe­ αρζμnερυ και του Τσώλντμπ6λτον, μe διεuθύνιreις; http://ww w.clrc.ac.ulι

http://sspgl.bnsc.rl.ac.uk/sh are • Το Εργαστήpιο θεωρητικής Φumχής της Μ6σχας βρf­ σκεται στη διεύθυνση:

http://wWwtbeor.itep.ru • Το Ινστιτούτο Φuσικής Υψηλών Ενεργειών (Π-ΙΕΡ) του Πρ6tβινο, νότια της Μ6σχας, βρfσκεται στη διεύθυνση:

http://www.ihep.sulih ep/eng/ihep2.btm • Το Εργαστήpιο του Νοβοσιμώρσχ (Μ') λeιτουρyε( ως οαρ6ρτημα της Ρωσικής Ακαδημίας Εmστημών στη Σι­ βηρ(α, με δραστηριότητες στην οuρηνική φυmχή, τη θtωρ(α ιου ολόσματος. τη θeρμοοuρη~ σUντηξη και τα λtιζ&ρ ελWθερων ηλεκtραν(ων:

Οι υnολοyισrές στο παρόν

http://www.inp.nsk .su

και το μέλλον

• Το Ινστιτούτο Πυρηνικής Φuσικής (INP) της Αγfας Πετρούπολης, με διεύθuνση:

Οι~~,_ 6ιi1frJw, 6φί ιrαι

http ://www.pnpi.spb.ru Η σUνtομη αναζήτησή μας στο Διαδίκτυο αντfστοιχων

1fl λΟτοιιpγh ~

εργαστηρfων αnό τον ελληvutό χώρο απ€φερε οερισο6τερες από εκατό διευθύνσεις ινστιτούτων, κ€ντρων, πόρ­ κων και μονόδων έρεuνας. Επομ€νως, για να καλύψου­

τρ πώι; λει10ιιρyούV οι υπο.\ογισtt~ ιπιοτελd tvq ζιΡΙ!­ ιια ΙΠΚΙ πpοκαλtf δtος Ο1ΟUς περιοσ6τtρQΙΚ. ανθpώΠοος εκιfνο 10 οποίο διν yναιρfζοιιv -~ ποο κσrσδει·

με τις ελληνιχiς διευθύνσεις, θα χρειαστούμε μeλλοvτικό €να ~ωριστό όρθρο. Προς στιγμήν, ας κόνοuμε μόνο

ΙΜίιι με εξαιρεnιαj σαφιfνειο 10 ποp(Ν βιβλ/ο- ε/ναι ότι οι φοnισμενtκά περ/πλοκις λιιτουρyfις πιιν υrrο.Ι.σyιστών

μια δειγματολογική αναφορό; • Το Κiνtρο Επιστημονικών Ερεuνών •Δημόκριτος•, με

στηpiζονrαι σι οπλlς ι6tις οι οηοίις ι.ιπιpfJα/νοw την l t·

οκτώ ινστιτούτα: οuρηνικής φυmχής. εοιστι\μης υλι­ κών, οληροφορικής και τηλεmκοινωνιών, φυοικοχημtf· ας, μικροηλεκτρονικής, κ.λn., με γενική διεύθuνση:

_xyo.lιoyfa: ίφpσν στο παpιλθ(Ν ια:ιr θο IOJIOOIN νια nάνnι. Ο ~των~ Dinitl HAs ι•ιpφι ,.α 1ό­

σο ώ.\ηπτη ιξήyιιοη νια

ro ιιιιι; νtςιω ιι ε

τuιv δεδομlvοΝ. ώ<m οι λιιτοuρyΙιr; rοιι ~ ια φοfνσιιrοι στον ~ τόσο οπλtς όσο ιισι σεtιιει;

htt p ://www.demokri tos.gr • Το Αστεροσκοοε(ο Αθηνών με το Ινστηούτο Διαστη­ μικής Έρευνας, στις διευθύνσεις:

100 ποδήλστοιι.

.ΞΟΟI'ά δίvοvrας tvo yινιl\'6 περ/ypσμμο της βοσι~ς λογικής. ώ<m να προεπιιμ(ισιι 10 tδοφος γιο την πφ,ι·

htt p://www.gein .noa.gr http://sat l.space .n oa.gr • Το Κiνtρο Ανανεώσιμων Πηγών Εν€ργειας. με διεύ­ θυνση:

bttp://www.cres .gr/kape • Το Εηιοτημοvutό και Τεχνολογικό Πάρκο της Κρ~της, με διεύθυνση:

bttp :/fwww.stepc.gr Στο σημcfο αυτό, όμως, θα στοματήσοuμe, λόγω ιλ­ λeιψης χώρου και μόνο. Στο εοόμενο τεύχος θα προχω­ ρ~οοuμe στην παρουσίαση των εmστημονικών βόσeων

γραφή των yλωσοωv τrpσyρσμμοτιοιιο(ι, τωv οt.γορίθ­ μωv και της μνιjμης ποο tm:τοι. Καιόmν. ο6ηyε( τον ovoyvώcm) με απλά β(ιμοτο tως πς mo αvναρποσπιιtς ιfι}Jψς σιην ιιπολοy!σπιαj τού οιjμερσι τοvς κβαντικούς uιroλoyrσJiς, πς ~ς JII"D(OVtι;. τσ νευρωνικά δί­

rmιο. τσ ~ οωιιpιια. Το βιβλlο tχει δλις πς οριrtς οι οπο(ις θο 10 ονσ· 6εifρuv σι t.vav αηο.\Urως ονσyιιοlο οδηy6 γιο 6σοιις ε· mθuρούV να ιιοτσνοιjοοw σι βόθος mίις λεπουρyd I)

rrλttN δrοδεδομlνη και σιιμανnια) οπό τις μrp(O'Jέl; που κστσσκιιίοσι ποτt ο ά'Υθρωnος: ο cιnολοyιστιjς.

δeδομ€νων που unόρχouv διαθισιμες στο Διαδίκτυο, και

ΣΕλ.r 2:0. 21 ιc 14 or., ΝΜ ΜΟΟ 6ρΧ.

οι οnοfες διαδραματ(ζουν σημαντικότατο ρ6λο στο επι­

κάτοmpο ΕΚΔΟΣΕ/l

στημονικό έργο των ερευνητών.

52

ΜΑIΟΣ / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

~

11


ΑΝΑΔΡΟΜΕΣ

τα πειράματα των

Frank και Hertz

Μια πρώτη πειραματικη επιβεβαίωση των αιτημάτων του

Bohr

Α. Leνashoν

I λΡΧΕt 1ΌΥ 200Υ λ1ΩΝΑ t'I'A·

φεις άνοιξε νέους ορίζοντες στην

θηκαν μια συγκλονιστική nερf­

ανθρώπtνη γνώση yια ιον υλιχό κό­

οδοc; yια την ιστορία της φυσt­ κ.ής. Είχε σημάνει η ώρα να α­ ναθεωρηθούν οι πατροπαράδοτες και σεπτές βασtκές έννοιες της δομής του υλικού κόσμου. Σε ορισμένες περι­

σμο. Δεν νοeίται, όμως. ανώιτυξη νέ­

πτώσεΙς, μciλιστα, δεν eπρόκεΙtο γΙα

θ~σεων διαδραματίζουν έναν εξόχως

αναθεώρηση, αλλά yια ρΙζική eπανά­

σtιΡαντικό ρόλο στην eωστήμη.

ων θεωρητικών ιδεών όταν λείπει μια αξιόmστη πειραματική βάση που να τις στηρίζει. Κατά συνέπεια, οι nειραματικο( έλeγχοι των νέων unο­

στααη, η οποία κατέλυσε εκ βάθρων τους παλιούς καλούς νόμους της

Jaιnes

κλασικής μηχανικής και της ηλε­

κτικά υnήρξe η πρώτη πειραματική

κτροδυναμικής.

εmβeβώωαη των κβαντιχών αιτημά­

Το

1900 ο Max Planck δημιούρ­

Α

των του

2

I

1

c

Το έργο των γερμανών φυσικών

Frank και Gustav Hertz

2

. +---4---' •• ••

προ·

Σχήμα

1

Bohr. Αnό ιστορική άποψη,

yιιοe την κβαντική θεωρία της ηλ&­

τα ιwράματά τους αιιετιλεσαν τη συ­

θ6δου

κτρομαγνητικής ακuνοβολίας. Το

νέχεια του tρyου του γερμανού φυ­

1905 ο ΑΙνστών διατύπωσε tΙς θεμε­

σικού

λιώδεις αρχές της ειδιχής θεωρίας

σπάθησε να προσδιορίσει πειραμαu­

της σχετικότητας. Στη διάρκεια της

κά την ενiρyeια ιονισμού των ατό­

την πηγή 1 μπορe! να ρυθμιστεί με τη βοήθε.ια tηc; μeταβλητιjς αντίστα­ σης Rι. Ομοίως. η τάση V7 που εφαρ­

ίδιας περιόδου, η επιστήμη ασχολή­ θηκε συστηματικά με το πρόβλημα

μων πολύ προτού eμφανιστεf το ατο­

ιιλέγματος Ο αιtό την πηγή

μικό μοντέλο του

της φύσεως και της εσωτεριχήc; δο­

1902

μής του ατόμου. Το 1911 ο Ernest Rutherford δημΟσtοnοίησε τα αnοτε­ λέομα~α των περίφιιμων πειραμάτων

εξαιρετικά ενδιαφέρον πεfραμα. Το

επfσης να ρυθμιστεί με τη βοήθεια της μεταβλητής αντίστασης R2• Η ιδέα του πειράματος ή•αν εξαι­

κύριο μiρος της διάταξης που χρη­

ρετικά απλιj. Τα ηλεκτρόνια που εκ­

σιμοπο(ηοε ήταν ένας yυciλινος σω­

πέμπονται ω1ό την κάθοδο εmταχύ­

του, τα οποία unήρξαν οι ακρογωνι­

αίοι λίθοι του πuρηνιχού μοντέλου

λήνας που €φερε τρία μεταλλικά η­ λεχτρόδια. Στην πραγματικότητα e-

νονται από ένα ηλεκτρικό πεδίο στο χώρο C·G και κατευθύνονται με με­

του ατόμου και έρχονταν σε ευθεία

πρόκειτο yια προπομπό της τριόδου

γάλη ταχύτητα προς το αλiγμα. ας

αντίθeαη με την κλασική φυσική. Το

λ\J](Vίας, η onofα αnετέλeοε τη βάση

εκ τούτου, η διαφορά δuναμιχού Vι

1913 ο Niels Bohr διατύπωσε μια σει­

της ηλuτρονικής κατά το πρώτο ή­

καλείται •εmtαχύνουοα τάση•. Περ­

ρά κβαντικών αιτημάτων τα οποία ναι μεν εξηγούσαν το ατομιχό μοντέ­

νώντας μέοα αnό το ιιλέγμα, τα η­

και το χαρα:ιmj­

μισυ του 20ού αιώνα. Ο σωλήνας αληρούνταν με το αiριο τσυ οποίου επρόκειτο να μετρηθεί η ενέργεια ι­

ρα των ατομικών φασμάτων, πλην

ονισμού. Η πfεαη του αερίου εντός

όμως iρχονταν επίσης σε αντίθεση

του σωλήνα ανερχόταν στα 0,01

τόσο με την κλασtκή μrυιανΙκή όσο

Hg

και με την ηλεκτροδυναμική.

ται σχηματικά στο Σχήμα

λο του

Rutherford

Η καθεμία από αυτές τις ανακαλύ-

Philip Lenard,

ο

Lenard

ο onofoς προ­

Rutherford. Το

πραγματοποfησε ένα

C

και του ιιλέγματος

G από

μόζεται μεταξύ της ανόδου Α και του

2

μπορεί

λεκτρόνια εισtρχονται στο χώρα

G-

A. Εδώ το ηλεκτρικό πεδίο έχει την

mm

αντiθετη κατεύθυνση, και t'cσt entβραδύνει τα ηλεκτρόνια. Λόγω της

περίπου. Η διάταξη απεικονίζε­

λειτουργίας την οaοία εnηελεf, η δι­

1. Η τάση

Vι που εφαρμόζε•αι μεταξύ της κα-

αφορά δυναμικού

V,

ονομάζεται •ε·

mβραδύνουσα τάση•. Προφανώς, α-

OUANTUM I ΑΝΑΔΡΟΜΕΙ

53


νάλογα με τη σχέση στην οποία βρf·

κρούσεις των ηλεκ•ρονίων με τα ά·

συνεργασία τους στο Πανεmστήμlο

σκον'tαι οι V, και V,, τα ηλεκτρόνια

τομα θα μεvατρέπονταν σε ανελαστΙ· κέι;. Εν τοιαύτη περιπτώσει, το ηλε· κ•ρόνιο μεταβιβάζει ουαιαστικά 6λη

του Βερολίνου το 1911. Εκείνη την εποχή μελετούσαν τη δίοδο ηλεκτρι· κού ρεύμα•ος διό των αφίων και, όπως ήταν φυαικό, τους ενδιέφερε &-

G-A (V1 <

την κινητική ενέργειά του στο ά'tΟ· μο, και αυτή η ενέργεια θέτει σε κf.

vτονα η τιμή της ενέργειας ιοvtσμού

aντιστρέφουν τη φορά της κf·

νηση την εσωτερική ατομική διαδΙ·

των ατόμων. Για να την προσδιορί·

νησής τους και τελικά δεσμεύονται

κασία που οδηγεί στον ιονισμ6 του

σουν, χρηαιμοποίησαν αρχικά τη μέ·

απ6 το πλtγμα για να επιστραφούν

α•όμου. Ως αποτtλεσμα του ιονισμού,

θοδα του

στην πηγή

εμφανίζονται δευτερογενή φορ•ιομέ· να σωμα•iδια: ηλεκτρόνια και θετικά

αργότερα επέφεραν σημαντικές βελ·

εmβραδύνουσα τάση είχε πάν'tοτε υ­ ψηλότερη τιμή από την εnιταχύνου·

Ιόντα (δηλαδή άτομα από τα οποία

ησαν το σωλήνα. Συγκεκριμένα, &-

λείπει ένα τουλάχιστον ηλεκτρόνιο).

καναν την απόσταση μεταξύ καθό·

σα, οπότε τα εκπεμπ6μενα ηλεκτρό·

Όλα τα ηλεκτρόνια του αερίου (τόσο

δου και πλέγματος πολύ μεγαλύτερη

νια δεν κατάφερναν να φτάοουν στην

•α δευτερογενή όοο και τα πρωτογε­

από την απόοταση μεταξύ πλέγματος

άνοδο.

νή -δηλαδή όσα εκπ€μφθηκαν από

και ανόδου, ενώ αύξησαν την nίεση

αποφάσισε να προβεί

την κάθοδο) 'tελικά διοχετεύονται

του αερίου (ή του ατμού) σε

στα πειράματά του εκ:κ.ινώντας από

στο κύκλωμα 'tου πλέγματος. Αν'tί­

Hg -έ'tσt τα ηλεκ'tρόνια που εκπέ·

ορισμένες παραδοχές σχετικά με τις

θετα, τα θετικά ιόν'tα τα οποία εΙ­

μπονταν από την κάθοδο υφίσταντο

αλληλεπιδράσεΙς των ηλεκτρονίων

σχώρησαν στην περιοχή

κατευ·

πολλαπλές κρούσεις με τα άτομα του

καΙ των ατ6μων, τις οποίες καΙ θα

θύνον'tαι προς την άνοδο υπό την ε·

αερίου. Επιπλέον, μείωσαν την εm­

παρουαιάσουμε ευθύς αμέσως. Στο

m'δραση ενός ηλεκτρικού πεδίου που

βραδύνουσα τάση και τη σταθεροποί·

χώρο C-G τα ηλεκτρόνια συγκρού· ονται με τα άτομα του αερίου. Οι κρούσεις που λαμβάνουν χώρα εκεί μπορεί να είναι δύο ειδών: ελαστικές

τα επιταχύνει. Επομένως, το ρεύμα

ησαν (στην περιοχή τιμών μεταξύ

που εμφανίζεται στο κύκλωμα της

και

ανόδου οφείλεται αποκλειστικά στα

κύκλωμα της ανόδου εμφανιζόταν

θεtΙκά ιόντα.

μόνο όταν η εmταχύνουσα τάση

και ανελαστικές. Κα•ά •ις ελαστικές

Έ'tσι, σύμφωνα με την ανάλυση

(V1 > V2)

είτε φτάνουν στην άνοδο

παράγοντας ηλεκτρικά ρεύμα που το καταγράφει ένα αμπερόμεψο είτε ε· πιβραδύνον'tαι στο χώρο

V0) ,

στο κύχλωμα του πλέγ·

l

ματος. Στα πειράματα του

Ο

Lenard

Lenard

η

G-A

κρούσεις, η κινητΙκή ενέργεια ,;ων

του

ηλεκ•ρονfων δεν μεταβάλλεται αι· σθητά. Πράγματι, επειδή τα άτομα έχουν χιλJάδες φορές μεγαλύτερη μά· ζα από τα ηλεκτρόνια, η ελαστική

ρεύματος στο κύκλωμα της ανόδου θα έπρεπε να φανερώνει την έναρξη

κρούση εmφέρει τη μεταβολή της

v, δηλώνουμε την τιμή της v,

κατεύθυνσης της ταχύτητας του η· λεκτρονfου αλλά όχι και του μέ•ρου

Lenard,

η εμφάνιση ηλεκτρικού

Lenard,

στην οποία όμως

τιώσεις. Πρώτα απ' όλα, τροποποί­

2,0 V).

1 mm

0,5

Ως εκ ,;ούτου, ρεύμα στο

V1

υπερέβαΙνε •ην επιβραδύνουσα τάση

v•.

Οι Frank και Hertz, ακριβώς ό­ πως και ο Lenard, επεδίωκαν να με·

του ιονισμού των ατόμων. Η ενέρ·

τρήσουν την ενέργεια ιονισμού ως

γεια ιονισμού ισούται με eV,, όπου με

πρώτ.ο βήμα για •ην υλοποίηση "tων

για

περαιτέρω ερευνητικών τους σχεδί·

την οποία πρωτοεμφανίζεται aνοδικό

ων. Τα αποτελέσματα ενός από -τ;α

ρεύμα. Αν και ορισμένες τιμές της

εmταχύνουσας τάσης Vι όντως έδω­ σαν aνοδικό ρεύμα, ο Leπard δεν κο·

πειράματα που εκτέλεσαν με ένα σω­ λήνα πλήρη ατμών υδραργύρου φαί­ νονται στο Σχήμα 2. Η καμπύλη δεί·

τόρθωσε να συλλέξει αξιόmστα δεδο­

χνει οώς μεταβάλλεται το ανοδutό

μένα λόγω των τεχνικών α'tελειών

ρεύμα καθώς αυξάνεται η επιταχύ· νουσα 'tάση

μέγιστη τιμή της, η οποfα καθορfζε·

που παρουσίαζε η πειραματική •ου διάταξη.

τω από το νόμο δΙατήρησης της ε­

Είναι σημαντΙκό να υπογραμμί­

της. Έτσι, τα επιταχυνόμενο ηλε·

κτρόν1α κινούνvαΙ προς το πλέγμα ακολουθώντας τεθλασμένες τροχιές. Όταν το ηλεκτρόνιο πλησΙάζει στο πλέγμα, η ενέργεΙά του αποκτά τη

νέργειας

σουμε ότι ο

Lenard είχε ως αφετηρία

του εσφαλμένες παραδοχές σχε1;1κά

mv 2

-2 όπου με

m

και

e

συμβολi'ζουμε αντί·

Αυξανομένης της επΙταχύνουοας

V,,

αυξάνεται και η ενέργεια

του ηλεκτρονίου. Ο

Lenard

υπέθεσε

ότι όταν η μ€γtστη ενέργεΙα των η·

λεκτρονίων κοντά στο πλέγμα θα γt· νότον ίση ή θα υπερέβαινε κατά τι την ενέργεια ιονισμού του αερίου, οι

54

MAiOI / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

ρεύμα μετριέται σε

αυθαίρε•ες μονάδες). 'rην προσοχή Ι

με tΙς αλληλεmδράσεις .ων ατόμων

= eV1'

στοιχα τη μάζα και το φορτίο του η· λεκτρονίου. τάσης

(•ο

(\

και των ηλεκ•ρονίων, καθόσον δεν

300

μπορούσε να γνωρίζει ό'tι στα άτομα

250

υπήρχαν διακριτές ενεργειακές στάθ­ μες. Γι' αυτό το λόγο, άλλωστε, και

200

το πείραμά του, μολονότΙ εξαιρετικά

150

ενδιαφέρον, δεν απετέλεσε ορόσημο

100

στην ιστορία της φυαικήι;. Μια βελ­

τιωμένη εκδοχή •ης μεθόδου του Lenard ακολούθησαν αργότερα οι

Frank

και

Hertz

στο κλασΙκό τους

πείραμα.

Ο

Frank

και ο

Hertz

άρχισαν τη

50

1'\

J

I

/

ο

Σχήμα

5

2

10


μας την τραβά αμέσως η πcρίερyη

αποτέλεσμα να μη φτόσει στην άνο­

μορφή του γραφήματος; το ~ύμα αυξομειώνεται •περιοδικά• δίνοντας

δο αλλό να δεσμευτεί από το πλέγμα.

δεν εμφανιζόταν κανένα ίχνος εκπο­ μπής ακτινοβολίας. Ωστόσο, όταν η

Η δεύτερη ανελαστική κρούση λαμ­

-ι;άση €φτασε στην τιμή

τοπικά μέγιστα στα άκρα ισομήκων

βάνει χώρα κοντά στο πλέγμα, το ο­

που, το ρεύμα μειώθηκε απότομα

διαστημάτων της τάσης

και, ταυτόχρονα, ένας φασματογρά­

φές του ρεύματος αντιστοιχούν σε

ποίο και παγιδεύει το δίχως κινητι­ κή ενέργεια ηλεκτρόνιο. Ως εκ τού­

τάσεις

του, το aνοδικό ρεύμα μειώνεται για

κος κύματος ακριβώς 2.536 ΑΙ

V1•

Οι κορυ·

4,9

ν η&ρί­

φος κατέγραψε ακτινοβολία με μή­

4,9 ν, 2 4,9 ν και 3 · 4,9 ν. Οι Frank και Hertz ερμήνευσαν

δεύτερη φορά. Στο διάγραμμα, αυτή

'tα δεδομένα τους ως ακολούθως. Ό­

τη διαδικασία την αναπαριστά το κα­

οι

ταν αυξάνεται η εmταχύνουσα τάση,

τωφερές τμήμα μετό τη δεύτερη κο­

τι ναι μεν στις περισσό-.ερες περι­

το aνοδικό ρεύμα προοδευτικά ενι­

ρυφή.

πτώσεις ανελαστικών κρούσεων η ε­

Στη βάση αυτών των δεδομένων,

Frank

και

Hertz

συμπέραναν ό­

σχύεται (αοό τη στιγμή βέβαια που η V, υπερβεί τη V~- Όταν η ν, γί­

Όπως θα έχει αντιληφθεf ο ανα­

νέργεια των ηλεκτρονίων δαπανάται

γνώστης, το τρίτο μέγιστο φανερώ­

στον ιονισμό -.ων ατόμων, ενίοτε ό­

νει ίση με

ελαφρώς μεγαλύ·

νει ότι καθ' οδόν προς •ο αλέγμα το

μως προκαλεί και την εκπομπή ακτι­

τερη, το επιταχυνόμενο ηλεκτρόνιο

ηλεκτρόνιο υφίσταται τρεις ανελα­

νοβολίας. Τούτα τα δεδομένα εξηγή­

αποκτά κατά τη διαδρομή του προς

στικές κρούσεις, κ.ο.κ.

θηκαν σωστά τέσσερα χρόνια αργό­

τερα, ό-.αν η θεωρία του

κρούσεις στη γειτονιά του πλέγμα­

Στη βάση όλων των παραπάνω, οι Frank και Hertz συμπέραναν ότι η

τος καθίστανται ανελαστικές. Ως

ενέργεια ιονισμού του υδραργύρου

της επιστημονικής κοινότητας. Ου­

ηοτέλεσμα μιας τέτοιας κρούσης, κά·

αν€ρχεται στα

οιαστικά, τα πειράματα -ι;ων

ποιο άτομο ιονίζεται, ενώ το ηλε­

ισούται με την ενέργεια την οποfα

κτρόνιο που απώλεσε την κινητική του ενέργεια παγιδεύεται αοό το πλέγμα. Συνεπώς, το ανοδη<ό ρεύμα μειώνεται δραστικά.

αποκτούν τα ηλεκτρόνια στο διόστη­ μα μεταξύ δύο διαδοχικών ανελαστι­

και Hertz αοετέλεσαν την πρώτη ά­ μεση εηιβεβαfωση της εν λόγω θεω­ ρίας -μολονότι ο ιδιος ο Bobr δεν το

κών κρούσεών τους με τα άτομα του

αντιλήφθηκε τότε.

4,9 ν ή

πλέγμα ενέργεια

'to

4,9

eν, οπότε σι

Με την περαι 'έρω αύξηση της ε­ mταχύνουσας τάσης, τα ηλεκτρόνια αποκτούν την κρίσιμη ενέργεια των

4,9

eν προτού φτάσουν στο πλέγμα,

eν, 111α τιμή που

4,9

υδραργύρου.

Niels Bobr

όρχισε να κατακτό την αναγνώριση

Fraok

Σύμφωνα με το πρώ-.ο αίτημα του

Μολονότι οι

Fraok

και

Hertz

θε­

το άτομο είναι δυνατόν να υ­

Bobr,

ωρούσαν αξιόmστη για την ενέργεια ιονισμού του υδραργύρου την τιμή

πόρχει μόνο σε ορισμένες καταστά­

των

διακριτές τιμές. Στα πειράματα των

4,9

eν στην οποία κατέληξαν,

σεις όπου η ενέργειό του λαμβόνει

οπότε η περιοχή όπου συντελούνται

αποφ6σισαν να ελέγξουν τα αποτελέ­

Fraok

οι ανελαστικές κρούσεις μετατοπίζε­ ται προς την κάθοδο. Αφού συμμε­

σματά τους με έναν ανεξάρτητο τρό­

ποστηρίζεtαι από το γeγονός ότι η

πο. Γνώριζαν ότι οι ατμοί υδραργύ­

αnόtομη μείωση του ανοδικού ρεύ­

τάσχει σε μια τέτοια κρούση, το η·

ρου απορροφούν έντονα την υπερι­

ματος εμφανιζόταν σε τιμ€ς τής

λεκτρόνιο έχει μεν απολέσει όλη την

ώδη ακτινοβολία σε μήκος κύματος

που !}ταν ακέραια πολλαπλάσια της

κινητική του ενέργεια, πλην όμως

ιδιας κρfσιμης τιμής 4,9 ν. Αυτό ση­

συνεχίζει την εmταχυvόμενη κίνησή

λ = 2.536 λ. Σύμφωνα με τη θεωρία του Planck, τα κβάντα της ηλεκτρο­

μαίνει 6tι

του (ξεκινώντας με μηδενική ταχύ·

μαγνητικής ακτινοβολίας με αυτό το

κρούσεις το άτομο του υδραργύρου

τητα) rιρος το πλέγμα. Εφόσον η ε­

μήκος κύματος έχουν ενέργεια

αοορροφ6 ενέργεια κα-ι;ό καθορισμέ­

πιτάχυνσή του είναι αρκετά μεγάλη

eV,,

Ε

θα υ­

=

περνικήσει την αντίσταση της εηι­

βραδύνουσας τάσης V2 και θα φτάσει

Hertz

αυτό το αίτημα υ­

V1

στις ανελαστικές του

να ποσά: αδυνατεί να •Καταπιεί• ε­

ώστε να προλάβει να αποκτήσει ε­

νέργεια μεγαλύτερη από

και

hc

=-

λ

~

νέργεια μικρότερη από

4,84 eV.

4,9

eν. Με

άλλα λόγια, τα άτομα μεταβάλλουν την ενέργειά τους με άλματα ή, α­

Η ανωτέρω τιμή προσεγγίζει εξαι­

πλούστερα, κατά κβάντα. Αν το άτο­

στην άνοδο. Τη διαδικασlα αυτή την

ρετικό την τιμή της ενέργειας ιονι­

αναοαριστ;ά στο διάγραμμα το aνω­

σμού που €δωσε το πεlραμα

Fraok-

μο του υδραργύρου έχει στη θεμε­ λιώδη του κατάσταση ~ηλαδή στην

φερές τμήμα της καμπύλης του ανο­

Hertz.

Επρόκειτο άραγε για καθαρή

κατάσταση όπου η ενέργεια λαμβάνει

δικού ρεύματος μετά την πρώτη μεί­

σύμπτωση; Οι

λοι­

την ελάχιστη δυνατή τιμή της- ε­

ωση.

πόν, αποφ6σισαν να ελέγξουν κατό

νέργεια Ε00 τότε η εν€ργεια της ηρώο

Fraok και Hertz,

Όταν η ν, γίνει αρκούντως μεγά·

πόσο στους aτμούς υδραργύρου πα­

λη ώστε ένα ηλεκτρόνιο που απώλε­

ράγεται ακηνοβολία με μήκος κύμα­

λαστική κρούση του να καταφέρνει

τος λ = 2.536 Α όταν η τάση λάβει την τιμή = 4,9 ν.

να αποκτήσει κατό την περαιτέρω

Τα αποτελέσματα υπήρξαν θεαμα­

σε εν&ργεια

4,9

eν στην πρώτη ανε­

v,

της διεγερμένης κατάστασής του θα

ισούται με Ε, =Ε, + 4,9 eν. Τα πειράματα του Frank και

Hertz

προσέφεραν στήριξη και στο

δεύτερο από τα αιτήματα του

Bohr.

πορεία του προς το πλέγμα την fδια

τικό. Όσο η τόση

V μεταξύ πλέγμα­

Το περιεχόμενο του εν λόγω αι-τήμα­

κρίσιμη ενέργεια των 4,9 eν, τότε το

τος και καθόδου παρέμενε j11Ιtρότερη

τος συνίστα-ται στο ότι όταν ένα ό­

ηλεκτρόνιο αυτό θα συγκρουστ~ί α­

από

τομο μεταβαίνει από μια κατάσταση

νελαστικό με ένα δεύτερο ότομο, με

αυξανόταν αυξανομένης τt}ς

4,9

ν, το ρεύμα του πλέγματος

V, αλλά

μεγαλύτερης ενέργειας Ε, .

QUANTUII I ΑΝλΔΡΟΙΙΕΣ

1

σε μια

55


κατάσταση χαμηλό~ερης ενtρyειας Ε•• εχπέμπειαι tνα φωτόνιο του 0110fου η ενέργεια hν (όπου ν η συχνότη­ τα tης ακτινοβολίας) καθορίζεtαι από την εξίσωση hv ~

Ε

ιι•l

- Ε•' απ' όπου προκι:ίπτει ν = (Ε. .. 1

-

Ε.>Ιh. Τώρα

πλiον καθίσταται προφανές γtατ{ το δεύτερο ώτημα του

Bohr

αναφtρeται και ως •κανόνας ιων συχνοτήτων•.

Τα πειρ6ματα του Frank και του Hertz με tνα σω­ λήνα από χαλαζ{α γεμάτο με aτμούς υδραργύρου επαλή­ θευσαν την εξής υπ6θεση: έχοντας απορροφήσει ενέργεια

4,9 eV στη διάρκεια μιας ανελαστικής κρούσης, το άτο­ μο υδραργύρου μεταπηδά αnό τη θεμελιώδη του κατά­ σταση Ε, σιην πρώτη διεyερμtνη ~ου κατάσταση με ε­

νέργεια Ε, + 4,9 eV. Η αντίστροφη μετάβαση προς τη θεμελΙώδη κατάσταση συνοδεύεται από την εκπομπή ε­ νός φωτονίου ενέργειας 4,9 eV, το οποίο παρατηρείται

ως υπεριώδης ακτινοβολία με μήκος κύματος 2.536 λ.

Συνεπώς. το φαινόμενο που πραγματικά παρατήρησαν σι Frank και Hertz ήταν, όχι ο ιονισμός των ατόμων του υδραργύρου, αλλά η διέyεροή τουι;. Και ό,τι εψ.αβαν ως ενέργεια ιονισμού δεν ήταν παρ6 η ενέργεια της πρώ­ της διεγερμtνης κατάστασης.

Η διάταξη ιων Frank και

Hertz

ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ

δεν προσφερόταν γtα

Ε

- , Q XI ΤΟΣΟ :. ΕΥΚΟΛΑ

ΚΟΜΜΑΤΙΑ

-----·-... ._

... :;φι. .

tzι,....,.,.

-·.,.....ιι,Μιιι

•.....a••.-.. Μιιι<

RICHARD

Ρ.

FEYNMAN

να μετρηθούν οι ενέργειες και των 1J11111λότερων διεyερ­ μtνων καταστάσεων. Άnα.ξ και συμμετείχαν σε μία κρού­ ση, τα ηλειι.τρ6νια αnοιι.λειόταν στη συνέχεια να αnο­

κτήσουν ενέργεια μεγαλύτερη από 4,9

eV, επειδή ο αριθ­

μός των •εμποδίων• (των ατόμων) ηου σvναντούσαν

στην πορεία τους ήταν υπερβολικά μεγάλοι;. Συνεπώς, την εηιτάχvνση του ηλεκτρονίου τη διέκοπταν τα υ­ περβολικά πολλά άτομα-στόχοι που aπορροφούσαν την ενέργεια του ηλεκτρονίου σε αλλεπάλληλες ανελαστικές

κρούσεις. rια να καταστεί δυνατή η μέτρηση των ενερ­ γειών που χοροχτηρίζουν τ ις 1J11111λότερες διεγερμtνες καταστάσεις ενός ατόμου, αυτό το εμπόδιο έπρεπε να πα­ ραμεριστεί πάση θυσiα. Αργότερα ο Hertz τροποποίησε το πείραμα, διαχωρί­ ζοντας την περιοχή όπου ελciμβαναν χώρα οι κρούσεις με τα άτομα. Με τη συyκεκριμtνη τροποποίηση, το ηλε­ κτρόνιο μπορούσε πλέον να αποκτήσει ενeρyεια μεγαλύ­ τερη από 4,9 eV επειδή δεν συναντούσε εμπόδια στην πε­ ριοχή όπου επιταχυνόταν. Τα πειρ6ματα έδειξαν ότι όταν η ενtρyεια του ηλεΣτρονίου έφτανε στα 9,8 eV, η κρού­ ση του με το ότομο του υδραργύρου γινόταν ανελαστι­ κή. Απορροφώνται; ενέργεια 9,8 eV, τα άτομα του υδραρ­ γύρου μεταπηδούν στη δεύτερη διεyερμtνη κατάστασή

τους. Έτσι, η τραποποιημtνη μέθοδος απεκάλυψε και τις 1J11111λότερες ενεργειακές καταστάσεις των ατόμων. Το 1925 οι James Frank και Gustav Hertz τιμήθηκαν

Richard Feynman Έξι 6χι τ6σο εύκολα κομμ6τισ ΠρόλDγος:

Roger Penrose

.οι διαλtψς 'IOU Feynman μοιάζουν με τις σuμφωνΙες του Μότσαρr. Όσο μεγαλώνουν οι απαιτήσεις που πpοβόλ­ λοuν ένανrι του αναγνώστη τους, τόσο πιο απολαυστικό αnοδεικνίιεται το τελικό αποτέλεσμα. Το να ονοβαπτlζε­

ται κανεlς στο λάγο του Δι:ισκiJΜ1.J ξαναδιαβόζσνrος τού­ τες τις υπέροχες δ«Ιλtξεtς aπottλd μα (81ό τις μεyαλίι­

τερες επιβραβεύσεις των προσπαθειών που πρέπει να καταβόλει για να είναι εmστημσνutό καταρnσμένος.• -OAVIO GOODSTEIN, Κσθηγηrής φυσυιfις στο Τε)(VΟλογ~ιιό Ινστιτούτο της Καλιφόρνιας ..ο FeyM1<11\ κστtληξt ί:νος θρύλος, nρωtiστως χάρη στο

μεγόλο ταλέντο του νο εξηγεί τα θέματα της επιστήμης. Πρόκειται για σοφό εmλεγμένα κείμενο aπό τη σεφό των Διαλtξι;ι.iιν του τα ono(o αnι:m:λούν συναρπαστικό ανόγνω­ σμα για κόθε άνθρωnο με ανηουχiες, ανεξόρτητα από το επίπεδο της εmστημονιισ'Jς του κατόρτιοης.•

-GOROON ΚΑΝΕ, Καθηγητής φυσυιής στο Παvεπισrfιμιο του Μίσιγκαν

με το βραβείο Νόμπελ για την ανακάλυψη των νόμων

που περιγράφουν τις κρούσεις μεταξύ ηλεκτρονfων και

Μια απαράμιλλη εισαγωγή στον κόσμο της φυσυιής

11

από έναν σπ' τους διασημόrερους φuσυιούς και πιο

ατόμων. Δείτε αχόμη τα άρθρα:

• S.R. Fi!onovich, •Η δύναμη της ομοιότητας•, Μάρ­ uοςΙΑnρίλtοc; 1997. • Α. Korzhuyev, .το κβαντικό άλμα του Bohr•, Μάρ­ τιο<;/Απριλιοc; 1999.

56

ΜΑ/ΟΣ Ι ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

αγαπητούς δασκάλους όλων των εποχών. Σελ.: 222, 14 χ 21

eac., Α/Μ, Πανόδετο, 6.600 δρχ.

ΕΚΔΟΣΕΙΣ κ6τοπτpο


ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΔΕΙΞΑΙ

,

η ιμέρος

κανονα και

a1

«Και παντί κέvτρω και διαστήματι κύκλοv γράφεσθαι. >> -Ευκλείδη Στοιχεία, αίτημα γ'

Μιχόλης Λόμnρου

χώα Αfγυnτο και Μεσοnοτ.αμfα είχε ωc; μfα αn6 τις ασχολlες της τη μέτρηση του εμβαδού διαφ6-

ση 6τι η ευθεfα και ο κύκλος ήταν τα δύο τε.Wότερα yeωμετρικά σχήματα. ΧαρακτηριστΙΧά, ο Πυθαγόρας ονό­ μασε τον κύκλο •κάλλ.ιστσν σχήμα•.

ρων σχημάτων: Η γεωμετρία, λέει ο Πρόκλος στα

Η προσκόλληση στα δύο κατεξοχήν γεωμετρικά σχή­

Σ,Χά!.ι<ι σrοα'rων .Στοιχείων, .tκ tής τών χωρίων άνσμε­

ματα ήταν ριζωμένη βαθιά. Ο fδιος ο Πλάτων είχε προ­

τρiιοεως λα6οiιοα την γένεσιν». Στις αρχώες Ινδfες. άλ­

τείνει μόνο την ευθεία και τον κύκλο ως τα κύρια γεω­

λωστε, στα ιεροτελεστικά κείμενα των Sulνasutra της

μετρικά σχήματα, ακόμη και για tη μελ~τη της αστρο­

βεδικής περι6δου δfνονται πρακτικοί καν6νες για κα­

νομfας: Για την εξήγηση των κινήσεων των πλανητών,

τασκευή βωμών με συγκεκριμένες γεωμετρικές ιδι6-

ιδiως μει6 την rιαρατήρηση των ανωμαλιών στην τροχιά

τητες. Ένα ευι6 τα προβλήματα, παροδdγματος χάριν, που λύνονται στις Sulνasutra είναι η κατασκευή πλα­ κ6στρωτου τετράγωνου βωμού ισεμβαδΙΙtού με άλλον ορθογώνιου σχήματος ή ισεμβαδΙΙtού με w άθροισμα δύο δοθtντων τετράγωνων βωμών.

του Ερμή και της Αφροδίτης, ο μεγάλος φιλ6οοφος πρό­

Α

ΠΟ ΤΙΣ ΚλΤλΒΟΛΕ!: τΗΣ:, Η ΓΕΩΜΕ'fΡΙΑ tτΗΝ λΡ·

ί\σκηση

1.

Λύστε τα δύο αυτά προβλήματα με κα­

ν6να και διαβήτη.

(Υn6δειξη: Το πρώτο απαιτεί μήκος χ με χ'

ιεινε ωc; πρόβλημα το «αjιζειν τά φαινόμεm» με ερμη­ νείες που να βατη'ζονται μόνο σε ου tά ια σχήματα.

Όσο \'10 την εύρεση εμβαδών ιι:αι 6γκων, οι αρχαίοι Έλληνες αναβάθμισαν την πρακτική των προγενέστε­

ρων εμπειρικών γεωμετρών να ειι;φράζοvν το αnοτiλε­ σμα με αριθμητU<ή, συχνά προσεΥΥΙοtική, τιμή. Η ακρί­

Τt­

βεια αξίωνε τη σύγκριση ενός εμβαδού με το εμβαδόν άλ­

τοιο είναι το ύψος επί την υποτείνουσα ορθογώνtου

λου, αλλά aπλούστερου, σχήματος. Παραδείγματος χά­

τριγώνου, αν το ύψος αυτό τη μερίζει σε τμήματα μή­

w δεύτερο πρόβλημα αρκεί να κατα­

ριν, ο τετρα~ μηνfσΙ<ων αn6 τον Ιποοκράτη τον Χίο ήταν η πρώτη εηη;υχής σύγκριση εμβαδού καμπυ­

οκευάοοuμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλεvρ€ς

λόγραμμου σχήματος με ευθύγραμμο. Συγκεκριμένα, αν

α και β, αφού αιι6 το πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει

σε ένα ημικύκλιο ΒΑΓ γράψουμε εξωτερικά δύο μικρ6-

κους σ και β. rΊα

= αβ.

= α' +β~. 6που γ η υποτείνουσα).

f

εiς ~ χ.αί άπό τοίιtοu έni Υ0Ιιν» και <<έπη\Ι;ήθησαν

ιερα ημικύκλια ΑΔΒ, ΑΕΓ, τότε τα καμrιυλόγρομμα χω­ ρία μεταξύ των τόξων ΑΔΒ, ΑΖΒ και ΑΕΓ, ΑΗΓ ονομά­ ζονται μηνίσκοι του Ιnποκρ6ιη. Ο συγκεκριμένος γεω­ μέτρης έδειξε 6τι τα άθροισμα των εμβαδών των δύο μη· νfοκων ισούται με το εμβαδ6ν τοv ορθογώνιου τριγώ­

τά θεωρψατα χ.αί ιt()Οήλθεν (η γεωμετρία) εiς έπιστη­

νου ΑΒΓ.

Όταν οι πρακτικές γεωμετρικές γνώαεις αn6 το λf. κνο του πολιτισμού έφτασαν στον αρχαίο ελληνΙΙt6 χώρο, έΥΙνε μετάβαση της γεωμετρίας <<άπb αiαθήσεως

μονυ<ωtέQαν ούcnα.σινν, σύμφωνα με τον Πράκλο. Έτσι efχαμε την f#λιξη της γεωμετρfας σε αφη· ρημtνη και αξιωματΙΧά θεμελιωμένη εmστήμη, η

Ε

o-

nofα 6φτασε στο αποκορύφωμά της με την έκδοση των .Στσιχεfων του Ευκλεfδη. Ή ταν φυεπκ6, η συστηματU<ή ενασχόληση της γε­ ωμετρίας να αρχfσει με τη μελέτη απλών σχημάτων,

όπως είναι τα ευθύγραμμα ή ο κύκλος. Υπήρχε εξάλ· λου στους πρώτους έλληνες φιλοσ6φους η πεποίθη-

QUANY\JMI

ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΔΕΙΞΑΙ

57


Ασιι:ηση

2. Αnοδeίξτε τον ισχυρισμό του Ιnnο&ράτη. Me χριjση του mRΙαγόρeιου θι:ωριjματος εύ­

νόνα και διαβήτη. Αnό εκεf και πέρα. όμως. οι Ύtωμε­ τριιι;ές κατασκευές θα χρησιμοποιούν αυτά και μόνο αυ·

κολα αnοδειχνύεται ότι το εμβαδόν του ημllt\Jilloυ ΒΑΓ

τά τ;α όργανα. Παραδεfyματος χάριν, στο β' Βιβλfο, Πρό­

ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο μικρότε­

ταση 14, ζητεfται να κατασκευαστεί τετράγωνο ισψβα­ δικό με δοθέν πολύγωνο: «ΤΨ δοθένtι εiJθυyοάιψφ ίοον τε· τQά-ιωνσν σuστήοασθαι>>, ενώ στο στ' Βιβλfο, Πρόταση 25, έχε! την περfφημη κατασκευή πολυγώνου fσου προς 00θιν και ομοίου ιιρος άλλο: "τφ δοθέvtι ~ δμοι­

(Υπ6δειξη:

ρων ημιχυκλfων ΑΔΒ και ΑΕΓ. Αφαιρούμε και από τα δόο μέλη αυτιjς της ισότητας το κοινό τους χωρfο, που εfναι τα δύο κuκλ.ικά τμιjματο ΑΖΒ, ΑΗΓ.)

Υπάρχουν βέβαια πολλά παρσδdyμα,;α σύγ1φισης εμ­ βαδών με απλούστερα. Ιδιαfτερσ εvδιαφiρσν παρουσιά­

σν χαi ά).),φ τψ δοθέvtι ίοσν τό αiπό ΟIJΟ'tήσαοθαι.•

ζουν διάφορα θι:ωριjματα •ου Αρχιμιjδη, όπως «Πάσης

Το τελευτώο αnοδιδεται στον Πυθαγόρα που, κατά τον Πλούταρχο (στο Σvμποσuικών πpοβλημdrωv και στο Όn οvδ' ηδέως ζήν 6:mv κατ' Εnlκαvρqν, αντfστσιχα)

σφαίeας ή έπιφάνεΙα τεtQΟΠλαάα έσd του μεγiστου χύκλοu

τών έν α\nfι>> (Αρχιμιjδους, Πepί σφαιpοeι&ων και κω­ νοειδtων, Πρόταση 33). Με άλλα λόγια, πρόu.ιται για τον

ήτπν .-γεωιιεφy.ώτατσν• και σuγχριτικά •γλαφυρώτερον

•ύnο 4..a για το εμβαδόν εmφανεfας σφαfρσς ακ.τfνας α.

χαi μοοοιχώτερον• ακόμη και από το περικλεές θεώρημα

Ο τύnος αυτός δεν εfναι απλό να αnοδeιχθeί, ιuας και α­

της υποτείνουσας. Τόσο ικανοπο.ιήθηκε ο Πυθαγόρας α­

οαιm μεθ6δοuς wυ aπειροστικού λογισμού. Με την ευ­

πό το εnfτευγμά του αυτό ώστε «iτγεtσ 6ιΜΝο(ην», δηλα­

καιρία όμως. για όσους γνωρίζουν αnειρσστικό λογισμό,

δή προοέφeρe θυσία ένα βόδι.

2

πρσ•είνοuμe ένα απλούστερα θεώρημα του Αρχιμήδη. Άσιι:ηση 3. (Αρχιμιjδους, Πεpf eλfκων, 24). Δε(ξτε ότι το εμβαδόν του χωρfου μίας περιφοράς της lili.κας του Αρχιμήδη, δηλαδιj της καμπύλης r ντε-ιαγμένες. για Ο

S θ S 2Jι,

σε πολικές συ­

ισούται με το

1/3 του εμβα­ δού •συ κύκλου ακτfνας ΟΑ: στη &>ρικιj διάλεκτο wu ιδfου: «tό ~ χωψJΥ ύπό τε τΟς tλuως τΟς έν πeιίm;ι ;ιφ~ γεyραμμέναι; χαi tδι; εΟΟειας tδι; Π(_)ό}­

'*

"tας τίiν έν

'*

O.VX.fι. τδι; ;ιφφοράς τρ(τσν μiQος έσd του

Κ1ίκλοu του ΠQώtου.» 2

(Υπόδειξη: Το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με <ll2>J:' r dθ ιιου εfναι (413).-', δηλαδιj όσο το 113 του Σύκλου ακτf­

Ασιι:ηση

τασης

14

Διεκπεραιώστε τις κα,;ασκeυtς της Πρό­

του β' Βιβλίου και της Πρότασης

δεύτερα πρόβλημα βρefτε, όπως στο πρώτο, δύο τετρά­ γωνα ισεμβαδικά με τα δοθέντα. Ο λόγος των πλευρών των δύο τετραγώνων δfνει το λόγο ομοιότητας.) λ

r

z

2• \ \

Ε

Ας επανέλθουμε στο θέμα των κατασκευών. Ο σuγ­ yραφώ.ς των οερfφημων Σrσιχείων, ο Ευκλefδης. ήταν

μαθητής •ου Πλάτωνα, οπό τ.ον οποfο επηρeάστηχε βα­ θύτατα: «tiΊ προαιQέοο. δέ Πλατωνικός έσd (ο Ευκλεfδης) χαi τη φcλσσοφί(ι ταύτη ΟΟ:χείος>> (Πρόκλου, ΣχdJ.ια). Στα Στοιχεία, οι μόνες Ύtωμε•ρικές κατασκευι!ς που επιτρ€­ nονται ρητά εfνω αυτι!ς που χρησιμοποιούν (μόνο) κανό­ να και διαβιjτη. Η προϋπόθεση αυτή εfναι καταγεγραμ­ μtvη στα αξι~ματα των Σrοιχεiων που προδιαγράφουν:

- Ήιτησθω άπό παντb; σφιiοο έπί πάν σηιεiον ~αν yραμ­ μίJν άγι:r-ιείν Κο!. πσντί κένteφχα\ διαστή.ιατι χiικλον '!Φφεσθαι.

Με άλλα λόγια, τα αξιώματα επιτρtηουν τη χρήση κα-

58

ΙΙΑiΟΣ / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

του στ'

(Υπ6δειξη: Κα•ασκευάστε πρώτα ένα πολύγωνο ισεμβα­ δικ.ό με w δοθέν, αλλά με μfα πλευρά λιγό>;ερη (βλ. το παρακάτω σχήμα). Εnανο.λάβe>;ε τη διαδuιασία για να κα­ ταλήξετε, σταδιακά, σe ισψβαδικό τρiγωvο. Από το τρf­ γωνο κατασκευάστε ισεμβαδιχό ορθογ~νιο και, 6οως στην Άσκηση 1, βpefte το ζητούμενο τετράγωνο. Για το

Α

-

25

Βιβλfου των Σrοιχε{ωv.

νας ΟΑ = 2L)

4.

Δ

.,.. ,. Δ'

Το πρόβλημα της κατασκευής τετραγώνου διπλάσιου εμβαδού από δοθέν efναι βέβαια ειδική περfητωση του τελeυτώου, αλλά και πολύ mo απλού και γνωστού προ­ βλιjματος. Ο Σωκράτης. λόγου χάριν, στο Μένwνα, ή Περ( αρmfς ερεuπικ6ν διάλο)ον, του Πλά,;ωνα, ότπν α· ναnτύσσει τα εmχειριjματά του για τη θι:ωρfα της ανά· μνησης, εκμαιεύει αυτήν ακριβώς την κατασκευή από τον αμόρφ<ιηο nαfδα (ο οπο(ος ανακαλύπτει ότι η ζητού­

μενη πλευρά ισούται με τη διαγών1ο του αρχικού). Οι αρχώοι Ύtωμtτρeς κατtληξαν σe τρfα κατεξοχήν πρσβλιjματα κατασκευών, τα onofα επεκράτησε στη βι­ βλιογραφfα να ονομάζονται •ta περίφημα άλυτα ορσβλιj­ ματα τ-ης αρχαιότητας•. Πρόu.ιται για το διn.J.ασuισμe

rov

κιJβοv, τον mpα-yωνι.σμ6 rσv κιJκ.Μv και την τp•χο­

r6μτι.στι. yωνίας. Και τ;α τρfα ήταν φυσικtς σuνtπειες των γεωμετρικών γνώσεων και ερωτημάvων της εποχής. Για


τον τετραγωνισμό του κύκλου, λ6γου χάριν, μετά την

εύθiιyραμμα τοϊς περιφεροyράμμας ίοο δεικνύναι δυνα­

νται με κανόνα και διαβήτη. Ο Πάππος στη Συvαyωyιf του είναι απερίφραστος σε αυτό το θέμα. • Τρία 'γένη εί­ ναι• λέει •WN έν γεωμετ.ρψ προ6λψάτων, κσί τά μέν αirrών bΜεδα καλεϊσθαι, τά δε στεeεά, τά δε γραμμικά. και εξηγεί ότι τα επίπεδα είναι εκείνα που -δι" εiJθεΙας

τόν>>. Ομοίως, η τριχοτόμηση γωνίας είναι το αμέσως ε­

Y.ai κύκλου

πόμενο ζήτημα yια μελέτη μετά την επιτυχή διχοτόμη­ ση, ενώ ο διπλασιασμός του κύβου είναι το τρισδιάστα­ το ανάλογο του διπλασιασμού του τετραγώνου που ~<ατά­

άζονται κωνικές τομ6ς λέγονται σrερεά, ενώ εκείνα που

φερε αχόμη και ο αμόρφωτος παις του σωκρατικού δια­

δούμε σε επόμενα άρθρα), ονομάζονται ypαμμικά. Εξη­

λόγου. Στα περίφημα άλυτα προβλήματα, οι γεωμέτρες

γεί αχόμη ότι «.οι παλαιοί γεωμέτρες>> όταν θέλησαν να

ανά τους αιώνες ενδιέτριψαν με ιδιώτερη εmμέλεια. Α­

λύσουν το πρόβλημα της τριχοτόμησης με κανόνα και

κόμη και φυλακισμένος ο Αναξαγόρας, κατά τον Πλού­

διαβήτη •ήπόρηοαν•, δηλαδή δεν τα κατάφεραν, διότι δεν κατανόησαν ότι το πρόβλημα δεν ήταν ειtίπεδο. Όσο για

κατασκευή παραλληλογρόμμου ιοεμβαδικού με πολύγω­ νο υπό κ6nοιες άλλες 011Vi!ήιαι; !Σrοιχεία, α', 45) γρό­

φει ο Πρόκλος ότι είναι «ζη1ήοεως όξισν» μήπως «κσί τά

ταρχο στο Περί φυyιίς, προσπαθούσε να λύσει το πρόβλη­

δυνάμενα λiJεοθαι,.. Αντίθετα, εκείνα που χρει­

χρειάζονται ακόμη

mo

πολύπλοκες γραμμ6<;, όπως είναι

η τετραγωνίζουσα, η κονχοειδής ή η κισσοειδής (θα τις

μα του τετραγωνισμού του κύκλου, αφού έγραφε •άν­ θρώπου ούδείς άφαιeείται τόπος εύδαψ.ονίαν [. ..] έv τφ

το διπλασιασμό του κύβου, αναφέρει ειρωνικότατα ότι

δεομωτηρiφ τόν τoii κίιΥ.λοv ~όν·. Το όνομα

άδένσι δt έπιπέδον θεωρίας• τη λύση. Συνqι'ζει τότε ο

άλλωστε του λύτη θα έμενε ανεξίτηλα χαραγμένο στην

Πάππος λέγοντας yια τον ανώνυμο •προσποιούμενο• αυ­

ιστορία των μαθηματικών από εύνοια της μητέρας των

τό γεωμέτρη ότι είχε το θρόσος να αξιώνει να του πει ο

εννέα Μουσών, της Μνημοσύνης, χω όΧJ της Λήθης, θυ­ γατέρας της Έριδος, που προσωποποιούσε την αγνωμο­

ίδιος τη γνώμη του για την κατασκευή! Σε τούτο το ση­

σύνη.

διαφόρων γεωμετρών, τόσο yια τα δύο αυ-,;ά προβλήμα­

Δυστυχώς, όλες οι προσπάθειες να αντιμετωmστούν

•μέγας -nς γεωμέτρης

[. ..]

δQιοεν άμt.ιθώς• όταν •lφασκ.εν

μείο, ο Πάππος παραθέτει αρκετές λύσεις μ& γραμμές, τα όσο και yια το τρίτο !Συvαyωyή, Βιβλία β' και δ').

με κανόνα και διαβήτη τα περίφημα άλυτα προβλήμα-ι;α

Αξι'ζει εδώ να προστεθεί μια περικοπή του Ιωάννη του

της αρχαιότητας κατέληξαν σε αποτυχία. Η αιτία της κα­

Φιλόπονου, ο οποίος θεωρεί τόσο δεδομένο ότι δεν διπλα­

κοδαιμονίας έγινε κατανοητή μόνο με σύγχρονα μαθη­

σιάζεται ο κύβος με κανόνα και διαβήτη (αλλά απαιτεί­

ματικά, όταν αποδείχθηκε ότι τα προβλήματα δι:ν λύνο­ νται μόνο με τα δύο αυτά όργανα. Σε επόμενο άρθρο θα

ται στερεά καμπύλη) ώστε χρησιμοποιεί αυτή τη •γνώ­ ση• για να στηρίξει ένα φιλοσοφικό του εmχείρημα. Ό­

ερμηνεύσουμε περισσότερο την αιτία του αδυνάτου· προς

πως λέει το σχετικό χωρίο στα Σχ6λια σrα αναλunκά

το παρόν, ας ανατρέξει ο αναγνώστης μόνος του σε βι­

ύσrερα rου Αρισrοτ&υς, «ούδέ οί δύο κύ6οι κWος γεω­

βλία τα οποία αναφέρονται στη θεωρία Galois που, σ:χε· δόν όλα, περιέχουν την απόδειξη του ανέφικτου.

μετe(ας f.σnν άποδεi1;αι, οτεeεφετρ(ας δέ μάλλον. Γεωμε­

Αυτό rιου προκαλεί εντύπωση είναι ότι η βαθιά γεω­ μετρική διαίσθηση των αρχώων ελλήνων μαθηματικών

τούς είχε ενσταλάξει την πεποίθηση (όΧJ όμως και την απόδειξη) ότι τα περίφημα άλυτα προβλήματα δι:ν λύνο·

τρία μέν yόe περι τά έπiπεδα έχει, στερωμετρίtι δε περι τά ιmρε(ι

[. ..]

τούς δύο κi&υς ένα ποιήσαι.

[...]

την πο­

λUJρίιληtον ίσtορίtιν [ ...) Δηλίοις λοψώξαοιν>>. Τις αντιμετωπίσεις αυτ6<; θα τις δούμε στο επ6μενο

8

τεύχος.

Jayant V. Narlikar Η ΦΩτΕΙΝΗ ΠΛΕΥΡΑ ΊΉΣ ΒΑΡγτΗΤΑΣ Κυ~λοφόβ?σε η β' tκόι>f111, αvαθεωpημέvη κα• έ"'ΙV(ημ{:vη Η βαρUτητα ε(ναι η πιο αινιγματική από τι; θεμελιώδεις δννάμεις της φύσης και διlπει τα πάντα -από την κίνηση τ<ον ωκεάνιων παλιρροιών μέχρι τη διαστολή τοv

ΣVμπσνιος. Πολλά βιβλία, στην προσπάθειά tovς να εξη-yήσονν αυτή την παράξενη δυναμη, χρησιμοποιούν δUσχολα μαθημιm.κά. Στο βιβ).(ο αυτ6, όμως, η παροοοίαση του θέματος ε(ναι απολύτως σαφής και χωρίς τεχνικές λεπτομέρειες. Οι>«:ίες ανοΜηίες. ενδιαφέροvσες ιστορ(ες και πολλές εικόνες αποσαφψ(ζονν λεπtά νοήμ<rια και δύΟΥ.ολα σημεία. Και το περιεχόμενο παραμένει κατανοφό και δεν Η ωrει Ν Η ΠΛ&ΥΙ'Α

οοτερεί σε ακρ(βεια. Η παρούσα δεύτερη έκδοση είναι πλήρως αναθεωρημένη

τιπ: Βλi'ΥΠΠΑΙ)

βάσει των πιο :φόσφστω'' στοιχείων και διεuρvμένη <ίJΟ'tε να περ<λαμβάνει την ανακάλυψη γιγαντιαίων βαρvτικών φα>.ών στο Δι.άστημα, τα wρήματα του δορuφ6ροv ωΒΕ, τα στοιχεία

rov

προγράμματος MACHO, tις έρε-υνες για

το πρώιμο Σύμπαν και άλλες νέες ιδέες της κοσμολογίας. Σcl.. :

252, 17

χ

25, AJM,

Πονόδετο.

Εκό6σεις Κάτοιιτpq

Ένα ευαvάyvωσιο χαι tλκvστικό βιfjλlο ποv ιαιροοοιάζει τη .φωτεινή.. όψη rης πιο σχοτειvής δwαμης στο Σύμπαν μας.

QIIAN1UM I ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ AEI:.\1

59


ΜΕ ΛΙΓΗ ΦΑΝΤΑΣΙΑ

Απλά μαθήματα

, ι

11

,

κης για στρατηγους

«Στρατηγέ/π ζητούσες στη Λόρισα/συ/ένας/Υδραίος;» -Νίκος Εγγονόπουλος. ΜnολJβόρ

Α.

Α

Stosenko

ΚΟΜΗ ΚΑΙ 1'0ΤΕΛΕΥΊ'λ10 ΨΑΡΙ ΞΕΡΕ! ΑΡΚΕΊ'Α ΠΑ ΤΑ

νερού. Συνεπώς, όταν το φως εισέρχεται

κύματα και τις nαραλfες. Αλλά το θέμα μας δεν εf­

πυκνότερο μέσο

ναι αυτό. Εμείς emδιώκοuμε να ξeκαθαρfοοuμε tνα

ζει ορας την κάθετο οερισσ6τερο απ' ό,τι η προσπίπτου­

ζήτημα αρχής -γιατf τα κύματα ορμούν προς την

κύματα δείχνουν να αγνοούν τ6σο την κατεύθυνση του

σα: α2 < α,. Ο νόμος του Snell για τη διάθλαση iχει καθο­ λική ισχU: δεν εξαρτάται από τη φύση των κυμάτων. Πρώτα απ' όλα, ας οροσnαθιjσοuμε να βρούμε την τα­ χύτητα με την οοοία διαδίδονται τα θαλάσσια κύματα

ανέμου 6σο και την προηγούμενη ιιορεία τους στην α­

κοντά στην παραλία. Αnό τι μnορεl να εξαρτάται; Αν δη­

νοιχτιj θάλασσα. Με άλλα λ6για, το ενδιαφέρον μας ε­ στιάζεται στο ερώτημα γιατf οι γραμμές οι κάθεuς προς

μιουργήσουμε ένα •εξόγκωμα• στην επιφάνεια tOU

παραλ(α με το μέτωπό τους παράλληλο προς την ακτο­

γραμμιj. Με τη οκανδαλώδη αυτιj συμπεριφορά τους, τα

τα μέτωπα των κυμάτων (οι κuματιιιiς ακτfνt<;) ιcομnu­

(n > 1),

oe

ένα οπτικά

η διαθλώμeνη ακτίνα πλησιά­

QXU•

μαντοu νερού ~η θάλασσα, οε μια λίμνη ή σε μια με­ γάλη στέρνα βάθους h (Σχήμα Ι)- και κατ6π1ν αφήσου­

λώνονται κα~ τέτοι.ον τράοο ώστε να φτάνουν στην ξη­ ρά κάθετες προς την ακτογραμμιj. Σ~η φυσιχιj, πολλά πράγματα, τα οποfα εκ πρώτης όψεως φαίνονται άσχετα, σuνδΟΟν τα ι άμεοο μεταξύ τους. Έτ.m, το συγκεκριμένο πράβλημα οuνδέεται άμεσα με το φαινόμενο της διάθλασης των φωτεινών ακτίνων στο σύνορο διίο διαφορετικών οπτικών μέσων -όπως. για

με ια πράγματα να εξελJJ(θαύν χωρίς να παρεμβαίνου­

παράδειγμα, όταν το φως περνά από τον αέρα στο νερά.

φανιστεί μια κοιλότητα, προκαλώντας έτσι την ανύψω­

Πράκειιαι για μια αn.~ούστατη διαδιχασfα: στ~ν αέρα το φως διαδιδew.ι με ταχύτητα υ1 , ενώ στο νερά ιανείται με ταχύτητα υ1 (υ1 < υ1 ). Ο λόγος των δύο αυτών ταχυτή­ των ορ(ζεται ως ο σχετικ6ς δείκτης διάθλασης του νε-

ση της υδάτινης επιφάνειας που την περιβάλλει ~πότε

'

.

ρου ως προς τον αερα:

n.,

υ,

n1

v2

με, το εξόγκωμα θα ιuνηθεί nρας τα κάτω υπό την enf. δραση της δύναμης της βαρύτητας (η οποfα φυσικό εί­ ναι ανάλογη προς την εmτάχuvση της βαρύτητας). Ό~αν το εξόγκωμα θα φτάσει στην αρχιχιj του (αδιατάρακτη)

θέση, λόγω της αδράνειάς του δεν πράκ&ιται να σταμα­ τήσει eκε{. Συνεπώς. στη θΟΟη του εξαγιcώματος θα εμ­

σχηματίζεται ένα κυκλικό υδάτινο •όρος-. Συνεπώς. ως αποτιλεσμα τούτης της διαδιιιασfας δημιουργείται tνα οδeuον υδάτινο κύμα. Ποιες πσαότητες (και αντίστοιχες διαστάσεις) μπορεί να επηρεάζουν την ταχύτητα των υδάτινων κυμάτων;

n = _.. • -'- > 1. Εν προκειμένω, τα n 1 και n 2 δηλώνουν τους απόλυτους δείκτες διάθλασης του cιiρα και του νερού, δηλαδή τους δείκτες διάθλασης των εν λ6γω μέοων ως προς το uvό.

Σύμφωνα με το νόμο του Snell για τη διάθλαση iχου­

h

με ότι

-- --

(1) κ

όπου με α, σuμβολi'ζοuμε τις γωνfες που σχηματ(ζουν οι

α κ ~(νες με την κάθετο στη διαχωριστική εmφάνεια cιiρα-

60

ΜΑiΟΣ / ΙΟΥΝΙΟΙ 2000

Σχήμα

1


Γνωρ(ζουμε ότι τα κύμα~α που σπάζουν στην παραλiα

οποfος λαμβάνεται κάθετος προς την ακτή. Τώρα, μπο­

δεν είναι μικρές ρυτιδώσεις, οπότε μπορούμε να αγνοή­

ρούμε να γράψουμε το νόμο του Sπell για 6λec; τις λω­

σουμε το συντελεστή εmφανειαχής τάσης. Τα θαλάσσια

ρίδες ωc; εξής:

κύματα έχουν ύψος συγκρίσιμο με το βάθος του νερού -τουλάχιστον στην παράιtτια ζώνη. Ως εκ τοuτου, δεν υπάρχουν παρά μόνο δύο φυσικές παράμετροι που ανα­

μένεται να καθορ(ζουν κατά κuριο λόγο την ταχύτητα των θαλάσσιων κυμάτων: το βάθος h (m ) και η επιτά­

χυνση της βαρύτηταςg (rn/s"'J . Ούτως εχόντων των πραγ­ μάτων, η διαστατική ανάλυση μας οδηγεί αμέσως στον ακόλουθα τUπο:

v - fiiί.

ημα 2

=

= · .. =

.βί;

ημα(χ)

Jh(x)

= σταθ .

(3)

Ακόμη και τούτη η προκαταρκτική εξίσωση δεiχνει ότι αν το βάθος τείνει στο μηδέν, τό•ε και η γωνία που σχη­ ματ(ζει η ακτίνα με την κάθετο προς την ακτογραμμή τείνει επfσης να μηδενιστεf. Και μόνο αυτό το χαρακτη­ ριστικό μάς αρκεί προκειμένου να εξηγήσουμε γιατί τα

(2)

Επομένως, τα κύματα διαδίδονται με μικρότερη ταχύτη­ τα στις ρηχές περιοχές (αυτό αληθεuει Υlα τα μάλλον α· βαθή νερά, όπου η ταχύτητα δεν εξαρτάται από το μή· κος κύματος). Όταν λοmόν το κύμα πλησιάζει την ακ-ι;ή, εισέρχεται σε περιοχές μικρότερου βάθους, με αποτέλε­ σμα η ταχύτητά του να μειώνεται. Σκεπτόμενοι κατ' αναλογία με την οπτική, μπορούμε να πούμε ότι τα κύ­ ματα διαδίδονται σε ένα μέσο που ο δείκτης διάθλασής

του ολοένα και αυξάνεται. Ας αναφέρουμε παρεμπιπτόντως ότι μπορούμε ευκο­

λότατο να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο μιας τέτοιας

βαθμιαίας μεταβολής του δείκτη διάθλασης σε ένα ποτή· ρι νερό, άπου το διαθλαστικά μέσο καθiσταται βαθμηδόν

κύματα πλησιάζουν την ακτή ιuνούμενα κάθετα προς αυτήν. Ωστόσο, μπορούμε να προχωρήσουμε λfγο περισ· σότερο και να βρούμε την εξίσωση την οποία ικανοποι·

εί η ίδια η ακτiνα. Από το Σχήμα ψουμε

=

dy = εφα(χ) dx

ημα(χ) =

συνα(χ)

ημα(χ)

J1 - ημ2 α{χ)

Με τη βοήθεια της εξίσωσης (3) μπορούμε να προσδιο­ ρίσουμε τη σχέση που συνδέει τη γωνία κλfσης α της α­ κτίνας ωc; προς την κάθετο σε οποιαδήποτε απόσταση χ απ6 την ακτή και την τ1μή της α 1 οε οποιαδήποτε δεδο· μένη απόσταση χ 1 :

οπτικά πυκνότερο όαο αυξάνεται το βάθος. Προς τοuτο,

Jϊίϊlί; ημα,

dy

παρασκευάζουμε διάλυμα εmτραπέζιου αλατιοu πολύ με­

d;

γάλης συγκέντρωσης, το μεταγγi'ζουμε στο ποτήρι, και κατόπιν προσθέτουμε διαλύματα αλατιού όλο και μικρό­

2 μπορούμε να γρά·

=

(4)

~ι - (hlhι )ημ•α,

Μένει πλέον να διαλέξουμε μια συγκεκριμένη κατατομή

τερης συγκέντρωσης. Σημειωτέον ότt, Υlα να εm-ι;ύχει το

του θαλάσσιου βυθού, δηλαδή μια μορφή εξάρτησης του

εγχείρημά μας, η έγχυσή wυς σw ποτήρι πρέσει να γi­

βάθους του από την απόσταση ώς την ακτή,

νει κατά στρώματα. Τέλος, ολοκληρώνουμε τη διαδικα­

σία προσθέτοντας καθαρό νερό. Το σUνθετο οπτικό μας μέσο είναι έτοιμο! Αν είχαμε τοποθέτησει μέσα στο ποτή­ ρι ένα κουταλάκι του γλυκού, τούτο δεν θα φαινόταν

σπασμένο αλλά ομαλά καμπυλωμένο. Ας διαιρέσουμε την εmφάνεια της θάλασσας σε λωρί­ δες πλάτους dx παράλληλες προς την ακτογραμμή (Σχή­

μα 2). Κάθε λωρίδα χαρακτηρίζεται από τις ιδιαiτερες τιμές της γtα το βάθος h, την ταχύτητα διάδοσης του

η εξίσωση

h(x).

Τότε,

(4) μπορεί να ολοκληρωθεί αμέσως.

Ας θεωρήσουμε, χάριν παραδείγματος, ότt η κατατο­

μή του βυθοu είναι παραβολική: συγκεκριμένη εmλοyή, έχουμε

h = h1(x/x1) 2•

Με τη

Jdy = Υ - y, = J

(χ!χ,)~α,' dx. '• ~ι - (χ/χ,) ημ α,

'•

Σ' αυτ6 το στάδιο αισθάνεται κανείς έντονα τον πειρα­

κύματος, το δεfκτη διάθλασης (ο οποίος είναι αvrιιπρό·

σμό να προστρέξει στους μαθηματιχούς γtα να τον συμ­

φως ανάλοyος προς nιν ταχύπιτα αυnι} και τη γωνία που

βουλέψουν πώς να τα βγάλει πtρα με ένα τέτοιο τtρας.

σχηματt'ζει η κυματική ακτίνα με τον άξονα των χ ~

Ωστόσο, η τόλμη υπερνικά όλα τα εμπόδια -ας πρασηα­ θήσουμε λοmόν να αντιμετωπίσουμε το ολοκλήρωμα μό· νοι μας. Κατ' αρχάς, προβαίνουμε στην εξής αλλαγή με­

χ

ταβλητής ολοκλήpωσης:

ι-(:. )' ημ'αι = u. Διαφορ(ζοντας την ανωτέρω εξίσωση, βρiσκουμε

Υ

ο

dx χ

2 --ημ α, Χι Χι

= - du.

Κάνοντας τις δύο παραπάνω αντικαταστάσεις στην ολο­

Σχήμα

2

κληρωτέα παράσταση, παίρνουμε

QUANTUMI ΜΕ ΛΙΓΗ ΦΑΝΤΑΣΙΑ

61


Υ - Υι

:ι: /ημα J

=

1 •J du

ι

=- 2

ιι1

r;;r

τu = - νuι.,

Jι - ημ•α, - Jι -(~ )'ημ•α,. ·--·--.. -...

Ο κάπως άχομψοc; τύnοc; στον οποίο καταλήξαμε δί­ νει τη ζητούμενη εξίσωση της ακτίναςy(r). Για τι είδους καμπύλη πρόκε1ται άραγε; Μεταφέρουμε τον πρώτο όρο του δεξιού μέλους στο αριστερό μέλος και στη συνέχεια

τετραγωνίζουμε και τα δύο μέλη. Αφήνοντας στο δεξιά μέλος μόνο τη μονάδα, βρίσκουμε

Υ - Υι

( .χ, /ημα,

_

συνα

1

)' + (

Α'

Σχήμα

4

ιιατώτερα. Ως α τούτου, οι απίνeς που προέρχονται, ας

.χ.Jημα,

ιιάνω, ξεγελώντας έτσι τον κατάχοπο ταξιδιώτη που ε­

)• • 1.

γtα την εξίσωση t:νός κύχλου! Φυσικά, αν διαλέγαμε μια

άλλη κατατομή γtα το βυθ6, θα καταλήγαμε και σι: δια­ φορετική εξίσωση γtα την κυματική ακτίνα.

Ας προχωρήσουμε παραπέρα. Ο νόμος του

SneU γtα

τη διάθλαση εξηγεί πολλά ακάμη φυσικά φαιν6μt:να, πε­ ριλαμβανομevης και της αrμοοφαφικιί,ς διάθ.λοοης ιων

3).

... ...

πούμε, από το σημείο Α (Σχήμα 4) ειιτρέ:πονται προς τα

Δt:v σας θυμίζι:ι κάτι αυτός ο τύοοc;; Πρόκειται βεβώως

ηλιακών ακτίνων (Σχήμα

n ο

Εφ6σον η mnν6τητα του

ατμοοφαιρικού αέρα αυξάνε-.;αι 6οο πλησιάζουμε την ε· πιφάνεια της Γης, ο δείκτης διάθλασής του θα μειώνε­

ται όσο ανερχ6μαστε σι: μεγαλύτερα υψόμετρα. Ως εκ τούτου, οι ηλιακές ακτίνες κάμnτσν-ι;αι κατά τέτοιον τρό­ πο ώστε Ενας παρατηρη,;ής στο έδαφος να βλέπει τον ΊDυο ιιαι wί ορισμένο χρόνο μετά τη •γεωμετρική δύ­ ση• ή πριν απ6 τη •yεωμεφική ανατολή•. Κατά συνέ­ πεια, το φως της ημέρας παρατείνεται κατά μερικά λε­ πτά -φα.ινόμt:νο που μάλλον πρίnει να δυσαρεοτεί τους εραστές της νύχτας. Αντιθeτα, στα πολύ μεγάλα γεωγρα­

φικά πλά,;η, άπου η εξαιρετικά μακρά διάρ&εια ~ν π~ λικών νυχτών τείνt1 να δυσχερώνει τη ζωή των ανθρώ­

κλαμβάνει το σημεfο Α' ως είδωλο του Α μέσα σι: μια δροσερή λίμνη στα βάθη της ερήμου

η οποfα, δυστυ­

χώς. είναι ανύπαρκτη.

Αλλά ας enανtλθουμε στο πώς βλέπει ένα ψάρι τον ιι6σμο. Το μέσα t:ντ6ς του οποίου ζει και ιανείται (το νι:ρ6) έχει δείιtτη διάθλασης σημαντικά μεγαλtίτερο αn6

τη μονάδο (n

=4/3). Συνειιώς, για να εστιάζει τις φω­

τεινtς ακτίνες, το μάτι του ψαριού πρίηeι να έχει ακ6-

μη μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης. Μήπως λοmόν η φύση θα έπρenε να φτιάχν~ι τα μάτια ~ν ψαριών από μολu­ βδύαλο ή κορωνύαλο; Πρόκειται για ένα δύσκολο πρό­ βλημα, και ο ,;ρόποc; μe τον onofo το έλυσε η φύση θα έιιρeιιε να αποτελέσει αντι&εfμt:νο ιδιαίτερου άρθρου. Εδώ απλώς θα υnt:νθυμίσουμε ότι ο εξtχων φυσικός του

19ou αιώνα σερ James Clerk Maxwell επινόησε μια τι­ τοια διάταξιι και ιην ονόμασε .μάτι του ψαριού•. Πρό­ κειται γtα ένα αnέρατο διαθλαστικό μέοο με δeίιtτη διά­ θλασης που εξαρτάται μόνο απά την απόσταση

r ώς Ενα

δεδομένο σημεfο:

n(r) = 1 + ~!Rf '

πων, η συντόμευση της νύχτας χάρη στην ατμοοφαιρική

όπου τα "• και R εfναι κάποιες σταθερές. Αποδεικνύε­

διάθλαση γίνεται δεκτή ως ιδιαίτερα ωφέλιμη συνέπεια

ται ότι σε Ενα τέτοιο μέσα κάθε φωτεινή ακτ(να διαγρά·

του νόμου του

φει κύκλο, ανεξαρτήτως του σημεfοu αη6

SneU.

Η ιδια εξίοωοη της διάθλασης εξηγεί τους αντικα~

w

οποίο εκ­

πέμπεται ή της αρχικής της κατεύθυνσης.

mρισμούς στην έρημο. Η καυτή άμμος θερμαίνει τα γει­ τονικά στρώματα αέρα, οπάτε ο δείκτης διάθλασης στα

κή. Εντούτοις. τα ιδια φαινόμενα συναντά ιιανεfς ιιαι

υψηλότερα στρώμ.ατα γίνεται μεγαλύτeρας απ' ό,τι στα

στην ακουστική, επειδή η εξίσωση (1) περιγρόφει μια γε­

Εκ πρώτης 6ψεωc;. όλα τούτα υnάγοvται στην οmι­

νική ιδιότητα των α.κτίνων γtα κύματα πάσης φύσεως, οι οποίες κάμπτονται προς την περιοχή όπου η ταχύτη­ τα διάδοσης Ί;Ου κύμα τοc; μειώνεται. Τις ηλιόλουστες μέρες η άμμος στις παραλίες θερμαίνεται εξαιρετικά, οn6-

τε ο ήχος διαδιδεται στα γειτονικά ιης θερμά στρώματα αέρα με μεγαλύτερη ταχύτητα απ' 6,τι στα υψηλότερα στρώματα (η ταχtίτητα του ήχου είναι ανάλογη με την

τετραγωνική ρίζα της θερμοκρασίας). Όπως και στην nε­ ρfπτωοη ιων οπτικών ψευδαισθήσεων, οι •ηχηtικeς α· ιιτίνες- αποiliνουν προς ια πάνω, με αnοτέλωμα στην .καυτή• παραλία οι φωνiς να ονfγονται. Απεναντfας. το

βράδυ το έδαφος ψύ~ται πριν από τα υψηλότερα στρώ­

Σχήμα

62

ματα του αέρα, και έτσι παρατηρείται τα αντίθετο φαι-

3 ΜΑIΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000


νόμενο: οι ΙJΧ11tικές aκιrνec; που εκ­ nέμnονl:αι οπό κόπου ψηλά κάμmο­ ηαι προς τα κάτω -ο ήχος των βρα­

δινών κωδωνοκρουσιών πραγματικά ακούγεται σε μεγόλες αnοστc!σεις στους αγρούς.

Ωστόσο, ενώ ο ήχος των νυχτερι­ νών ασμάτων φτάνει πc!ρα ιιολύ μα­ κριά, μπορεί κάλλιστα να μην ακού­ γεται κάπου κοντc!. Κατά τις ιστο­ ρικές μά:χec; του μακρινού παρελθό­ ηος, όπου rιερrσσευε η χλαπαταγή και η μάνη τα, μερικiς φορι!c; εnικρα­

Το καλύτερο ικπαιδrοτικδ/επιστημονικό περιοδικό yια τις φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά

τcούσαν τcέτοιec; αηιοσφωρικiς σvν­ θήκec; ώστε γύρω από το ntδro ιης μάχης δημιουργούνταν ·ζι.δνec; σι­ γής•. (Φuσικά, σ' αυτό το φαινόμε­

νο συμβάλλουν και τα παρακε(μενα νέφη καθώς και όλλοι nαρc!γσντec; οι οπα(οι περιγράφονται στα εγχeιριδια ακουστικής. )

ΙΊα παράδεtγμα, ο θόρυβος της μά­ χης του Βατερλώ ακουγόταν σε ιιολύ

ΕΚΔΟΣΕΙΣ κάτοπτρο

μεγόλες αποστάσεις, όχι όμως και στη γειτονική θέση όι·ιου περCμενε ο

στρατηγός του Μεγόλου Ναπολέοντα μαρκήσιος Εμμανουήλ ντε rκρουσύ

ΠΡΟΗΙΌΥΜΕΝΑ 'fEYXH

με τα στρατεύματά του. Δυστuχι.δς.

Το Quanιum ιΗόlόιται ιπα ιλληvιχά

ο στρατηγός δεν έσπευσε να σώσει τον αuτοκρc!τορc! του. Έτσι, ένα α­ κουστuι:ό φαινόμενο illoξε τον ροu της ευρωnώκής ιστορ{ας.

txovν

/994. Μtψ (}Ιjμερο. κvιιλοφοprjοει 37 tιnJxη roo.

Λυτ(ι, yια 6<Η> JΡ(ινο θα ιηιdρχοvν

όιαθtσιμα avτlnmd rοος, μ~opelτt wι

Όποιος μοχθεr για να μάθει φυ­ σική, ποτέ δεν μετανιώνει για τις

nροοπάθειες και τους κόπους του· αυτή είναι μια γενική αλήθεια nου ισχύεt ακόμη και για τους στρατη­

8

γούς.

α.~6 τον Μάιο τοο

Δdu wrομη uι άρθρα:

τα προμηθnjrιπι αιιό

ra

{!ιβλ.Μwλι:Ια.

α;τό τα yρο.ιr-ιίο. ιj το βι!Jλ;οπωλι:Ιο τοιι πιpιοόιχοιί.

rj μι

αvτιχαταβολιj.

Η τιμή rovς ιlvαι flιια μι aιmf τοu τρiχοvτος rιιJχ~ Το Qwιιιnun ιlvαι 1Uf"οόιχ6

βιβλ.οθήιοκ· '('IXWflott "" μ~ χάοπe Χ{Ι.νhα tε-ύχο; tou..

• ν. νorobyoν, •ΤρΙΣUJΙ.Ιομένeς 66λαοοι:χ;-, ΙούλJΑύy. 1994. • D. T&r8.90v, L. Taresoν, ·Το nαι­ χνιοι του φωτcός·, ΙούλJΑύγ. 1996. • L. Taresoν, •Η nράmνη αναλα­ μπή•, ΜάρJΑπρ.

1997.

• Α. νarΙamoν, Α. Ma\y8rovθk;y, ·Ω­ κeάvlα τηλiφωνα•, ΜάρJΑπρ. 1998.

• ν.

Noνaι;eltzeν, •Ερμηνώοηας τα θαύματα•, ΙούλJΑύγ. 1998. • L.A. Ostrovsky, ·θαλάσσια κύ­ ματα•, Ιαν ./Φεβ.

1999. • Α. Eisenkralι, L.D. Κirkpatrick, •Τό 'χουν τα μάτια•,lούλJΑύγ. 1999.

QUANTUM I ΜΕ ΛΙΓΗ .ΑΝΤΑΙΙΑ

63


~

•,

'11" I '''Ι"'"' "1 Ι I I

,

' Ι

'

"

' t"l'r Ι•ΨΙIΙΙ""""'"Ι!1 I I " ΙΙ

'

' '

"

'

"' "'

' '

'

I

'" I

'"

ΣΤΟ ΜΑΥΡΟ ΠΙΝΑΚΑ 11

οι ανισότητες γίνονται ισότητες Επίλυση προβλημότων υπό ακραίες συνθήκες

Α. Egoroν

44) ΠΕΡΙΙ'ΡΑΦΕΙ ΜΙΑ

Σε τούτο το όρθρο θα συζητήσουμε προβλήματα παρό­

μάλλον διασκεδαστική καwσταση: ένας πρώτης κα­

μοια με το πολύ δύσκολο nράβλημα που προαναφέραμε.

τηγορίας μαθηματικός αδυνατεl να εmλύσει γρήγο­

Συνδέονται με διάφορα θέματα, τα onolα θα εmσημαίνου­

ρα ένα πρόβλημα εισαγωγικών εξετάσεων. Αυτό συ-

με στην noρelα.

Ο ΑΡθΡΟ ΤΟΥ TIΚHOM!R.OV (Σ:ΕΛ.

νέβη το

1973.

Ένας άλλος αξιόλογος μαθηματικός μού

είπε ότι έμαθε για το ίδιο ακριβώς πρόβλημα κάποια μέρα που θα αναχωρούσε από τη Μόσχα για το Βλαδιβοστόκ. Προσπάθησε να το λύσει κατά τη διάρκεια της οκτάω­ ρης πτήσης του, αλλά δεν τα κατάφερε. ενδιαφέρονται για προβλήματα εξετάσεων. Συνεπώς, το γεγονός ότι ο υπογράφων ενδιαφέρθηκε για το πρόβλη­

μα αντανακλά το ότι υπάρχει σε αυτό κάτι το ιδιώτερο. Δυστυχώς, τα προβλήματα των εισαγωγικών εξετάσεων χρόνια.

Αύοτε rην εξίσωση

Jx - 1 + J3- χ

~

-"'

MAiOI I ΙΟΥΝΙΟΙ 2000

= χ~

- 4χ

+ 6.

Λύση. Αν προσπαθήσουμε να βρούμε τη λύση με σvμ­

ψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη της εξ{σωσης, θα καταλήξουμε σε εξlσωση ογδόου βαθμού η οποlα λιίνε­ ται εξαιρετικά δύσκολα. Ας προσπαθήσουμε να χρηωμο­ ποιήσουμε ω επόμενο απλό γεγονός. Το αριστερ6 μiλος της εξlσωσης, -οο

15 y =

c >

64

1.

βατικές μεθόδους, δηλαδή να εξαλεlψουμε τα ριζικά υ­

θα πρέπει να αναφέρουμε ότι οι μαθηματικοl σnανlως

σπανίως έχουν ενδιαφέρον, ιδιαlτερα τα τελευvαία

Πρόβλημα

Jx- 1 + J3 - χ


ορίζεwι yJα

S 3 ι<αι φι γράφημα σupμετριχό ως προς την καταχόρυφη ευθεία :ι • 2. Φαίνεται αρκε~ά ΠΙ·

1S

Πρόβλημα (όnου

n

3. Να emJ.vθd ro σύσιημα ιωv εψ,ώσι:ωv

θεπκός ακiραιος)

θαν6 το σημείο :ι = 2 να έχει κ6ηοια ιδιώτερη ιδιότητα. Ποια είναι αυτή; Στην πραγμαηκότητα, όπως θα απο·

χ + Υ

{.τ'" + y'l"

δείξουμε στη συνέχτια, το αριστερό μέλος της εξίσωσης

λαμβάνεΙ τα μέγ1στό ταυ σε αυτό αι<ριβώς το σημείο. Ας θεωρήσουμε το τετράγωνο του αριστερού μtλους της εξίσωσης:

y2 =

1 + ./3 - :ι

(.Jx -

r = 2 + 2./(χ - 1)(3 - χ).

= 1,

s

Λύση. Από τη δεl)τερη εξiσωοη έπεται ότι l:rl 1 και Ι.ΥΙ :S Ι . Τότε, από την πρώτη εξj'σωοη έχουμε χ ~ Ο και y ~ 0. Αν 0 <χ < 1 χαι 0 < y < 1, τότε χ., + y"' <χ+ y = 1. Επομένως, βρίσκουμε άμεσα ιη λύση. Απάντηση. ο, ο>. ιο. 1ι

Η παράσταση αυτή λαμβάνεΙ μέyJστη tιμ.ή όταν το vnόιr

Ιδού ένα άλλο παράδεΙγμα.

ριζο πάρει τη μέγιστη τιμή ταυ, δηλαδή yJα :ι = 2. Πρόγ·

Πρόβλημα

ματ ι,

2

(χ - 1)(3 - :ι) = - 3 + 4χ - χ = 1 - (χ -

χ• - 4χ και ισούται με το

όταν χ

= 2. Άρα, το πρόβλημα

λύθηκε.

y2

*Ο. Συνεπώς, -χ <

Αnάvtηση.

τού ταυ τύπου. Ας θεωρήσουμε το επόμενο κλασικό πα·

5.

Να επιλυθεί το σιJσrημ4 rωv εψ,ώσι:ων

:r + y+z = 2, { 2:ry - z' = 4. Λύση. Εδώ tχουμε δύο εξισώσεις και τρεις αγνιf>·

2.

μάντεις. Οι λύσεις γtα τις οποίες εfτε ημ:ι

= 1 εί'tε

συν:r

είναι προφανείς:

n

2

+

2πk και χ

= 2nk, k

ε Ζ, αηίστοιχα.

Επομένως. (r - 2)2 άραy = 2. Αnάvtηση.

1.

Ας vnοθέσουμε ότι ημ:ι to Ο, 1

3

2

1 καt

συνχ

ημ'χ < ημ χ και συν χ < συν :r. Επομένως.

* Ο, 1. Τότε,

ημ•χ + συν'χ < ημ1χ + συν'χ = 1. Για ημ:ι = Ο ή συν:r με ήδη μαντέψει.

= Ο βρίσκουμε uς λύσεις που έχου·

(2, 2, - 2).

Άλλο ένα πρόβλημα 6που το πλήθος των αγνώστων υπερβαίνει το πλήθος των εξιοιf>σεων. Πρόβλημα

Προς τούτο, είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι γtα κάθε άλλο χ το αριστερό μέλος της εξίσωσης είναι μικρότερο

+ (χ + z>' = Ο.

Από τη σχΟΟη αυτή έηεtαΙ ότι χ

θα αποδείξουμε όu η εξj'σωοη δεν έ)ιει 6λλες λύσεΙς.

6.

Να επιλυθεί τι ε{Wωση

2(χ• - 2.χ2 + 3)(y• - 3y1 + 4) = 7. Λύση. Κάθε παράγοντας στο αριστερό μέλος της εξf· σωσης είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο· το πριf>το ως προς

χ• και το δεύτερο ως προςy'. Εύκολα φοίνεται ότι οι nα· ράγοντες πώρνουν ιην ελάJ(Ιστη τιμή τους για :r2 3 1

και I

a

312, αντίστοιχα. Αν αντaαταστήσουμε, βλέnου·

με ότι και οι δύο αυτές ελάJ(Ιστες τιμές είναι θετικές. Τούτο σημαίνει ότι και οι δl)ο παράγοντες είναι θετικοί γtα όλα τα χ και

y,

και συνεπώς το γινόμεν6 τους πώρ·

νει την ελάχιστη τιμή του όταν και οι δύο παράγοντες

Απάvtηση.

n

2 + 2πk, 2πk , k ε

γίνουν eλάJ(Ιστοι. Μπορούμε εύκολα να υnολογ(οουμc Ζ.

Το επόμενο πρόβλημα είναι παρόμοιο με το Πρόβλη­

2.

και

=

+ συν':ι: = 1.

θόδους αποτυγχάνουν. Ας προσπαθήσουμε να γίνουμε

μα

= 2, z = -χ = -2,

2(2 - (χ + z))x - z' = 4, 4χ - 2χ 2 - 2xz - z• 4.

Λύση. Όλες οι προσπάθειες λύσης με σupβατιχtς με·

του

και

ας αντικαταστήσουμε στη δεύτερη εξj'σωοη:

Να εmλυθεt η ε{Wωση

ημ'χ

=

z και :r,

στους. Ας εκφράσουμε το y συναρτήσει των

y = 2 - (:r + z),

Πρόβλημα

.:ι:

όπου συνεnάγeται ότι το αρι·

Ας εξετάσουμε τώρα ένα σύστημα εξισώσεων.

ρόδεtγμα.

=1

- 1, απ'

... 1. Δηλαδή, χ > 1 yJα y

(1, 0)

ναρτήσεις, η μία από τις οποίες έχει μέyJστο στο σημείο

λης. Σε τούτο το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα ου·

1 ~ - 1.

= Ο, χ = 1.

Στο προηγούμενο nρόβλημα ασχοληθήκαμε με δύο συ·

-το μέγιστο της μιας σuμnίmει με το ελάJ(ΙστΟ της άλ·

Jx - y 2 -

στερό μέλος της ανισότητας είναι μικρότερο από το δe·

2.

χ = 2 ενώ η 6λλη έχει στο ίδιο σημείο το ελάJ(Ιστό της

-

τιι<ό, διαπιστώνουμε ότι χ ~ y'

Πρόβλημα

Απάντηση. χ =

-

Να enLWθef η αvιο6rηrα

Λύση. Αφού το unόρριζο δεν μπορεί να είναι αρνη·

ξι6. Άρα, y

+ 6 = (:ι - 2)1 + 2,

2 μόνο

4..

2)1•

Επομένως, το αριστερό μέλος είναι μΙΚρότερο ή ίσο του 2, χω ισούται με 2 μόνο όταν χ = 2. Όμως. το δεξιό μέλος της εξj'σωσης είναι μεγαλύτερο ή ίσο ταυ 2, διότι

= 1.

ότι ισ ελάχιστα αυτού του γtνομένου είναι 7. Απάντηση. Το πρόβλημα έχει τtοσερις λύσεις:

(±1, ±J3/2 ). OUAIΠUM I ΠΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 11

65


Πρόβλημα

Να επιλυθεί το σύιπηpα των αvιΟ<Πήτων

7.

χ 2 - 6χ

{y

2

+ 6y

(

~ Ο,

Από αυτό έπεται, πρώτον, ότΙ 2χ2

2xy + 9 ~ Ο.

-

2χ' + Υ - Η ~ ο.

δεύτερον, ότι όλες οι παραπάνω αVΙσότητες είναι στην

Λύση. Αν προσθέσουμε τις πνισότητες, προκύπτει

(x-y)'- 6(χ -y) + 9 ~ο,

-=

πραγματΙΚότητα ισότ.ητες. Αν λάβουμε υnόψη ό•ι t (χ - y)2 = 1/4, καταλήγουμε στο επόμενο σύστημα εξι­ σώσεων:

ή

1 4• 1 2χ' +Υ = 2 ,

(χ - y - 3) 2 ~ Ο.

Υ .-

Από την τελευταία ανισότητα έπεται ότι χ -

y : 3.

Επίσης, όλες οι ανισότητες πρέπει να γίνουν ισότητες (αν οποιαδήποτε ανισότητα τοu συστήματος είναι γνήσΙα,

2χ' =-

(χ - yf

τότε το άθροισμά τους θα είναι επίσης γνήσια ανισότη­

=

τα, πράγμα αδύνατο, διότι ένα τετράγωνο δεν μπορεί να

είναι αρνητικό). Συνεπώς, y

=χ -

+ y - 1/2 = Ο, και,

3 και χ'

- 6χ

+ 6y

=Ο.

Άρο

~. 4

Μπορούμε να λύσουμε αuτό το σύστημα αν, ytα παρά­

δειγμα, λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς y , αντικα­

χ =

Απάντηση. Πρόβλημα

±3../2

και y

= -3 + 3../2.

(3../2, 3./2 - 3} (-3../2, -3../2 - 3) 8.

Να εn~Wθεί το σύσπιμα

ταστήσουμε στην τρίτη εξlσωση κω στη συνέχεια ελέγ­ ξουμε

nv

επαληθεύεται η πρώτη εξίσωση.

Απάντηση.

(0, 1{2), (-1, - 3{2).

Ιδού ένα παρόμοιο πρόβλημα με παράμετρο. Πρόβλημα θ. Βρε(ι:ε όλις nς τιμiς του

a

yιa nς οποί-

ες το επ6μενο σύσπιμα εξωώcεων έχει μοναδική 1ύση:

~~(χ - Υf - (χ - Υ J = Υ 2 Ζχ' •

x<:(y - af , { y<:(x - af.

-

y <: 4χ'

+ 4yx 2 + 1 .

Λύση. Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι αν (χ00

2

Λύση. Ορίζουμε t = (χ

- y ) 2•

Τότε, το αριστερό μέλος

της πρώτης εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως

f (t)

= ~~ t -

t' .

ναι μια λύση τοu δεδομένου συστήματος, τότε η

είναι επίσης λύση του. Άρα, αν η λύση είναΙ μοναδtκή, τότε χ0

= y0 .

Συνεπώς, η πνισότητα

χ

t = 1/4.

Επομένως, η μέγΙστη τΙμή τοu

αριστερού μέλοuς Ισούται με

maxf(t ) =

/~ · ~- .!_ = ~V2 4 16 4

Αντtκαθιστούμε τώρα την πρώτη εξίσωση με την αvtσό­ τητα (αuτό ε!ναι το αποφασιστικό βήμα ytα τη λύση)

1 - <: y' - 2χ'. 4

y

+

~

<:

4χ' + 4yr' + ~ + y 2 - 2χ2 •

(χ -

a)'

χ' - (2a + 1)χ +

a' S Ο

πρέπει επίσης να έχουν μοναδική λύση. Επομένως, η διακρίνουσα του δευτεροβάθμιου tριωνύμοu στο αριστε­

ρό μέλος πρέπει να ιοούτω με μηδέν:

(2a + 1)2 Άρα,

4a2 =

-

Ο.

a = - 1/4.

Απομένει να επαληθεύσουμε ότι ytα

a = - 1{4 το δεδο­

μένο σύστημα έχει μοναδική λύση. Αντtκαθιστούμε το a = - 1/4 στο σύστημα και προσθέτουμε τΙς ανισότητες. Καταλήγουμε στην ανισότητα

Αν προσθέσουμε αυτή την αvtσότητα στη δεύτερη ανι­ σότητα τοu συστήματος, παίρνουμε

<:

και η ισοδύναμη αvtσότητα

Το υπόρριζο είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο που λαμβά­ νει μέγιστο στο

y 0) εί­ (y0, χ0)

2

χ + Υ <: Υ +

Υ

1

2 + 16 + χ

,

χ 1 + 2 + 16 '

η οποία ανάγεταΙ στην

Αυτή η πνισότητα μπορεί να γραφτεί ως Επομένως, η χ

= y = 1/4

στήματος.

ή

66

Απάντηση.

ΜΑiΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

a = -1/4.

είναι η μοναδική λύση του συ­


Τα επόμενα δύο προβλήματα μας ζητούν να προσδιο­

Απάντηση.

ρίσουμε το μέγιστο και το ελόχιστο συγκεκριμένων τρι­

πm) ( 4π+~2 • ~+ 4 2 •

γωνομετρικών συναρτήσεων. θα χρηmμοποιήσουμε επα­

νειλημμένα την εnόμενη αλγεβρική ανισότητα: Αν Α> Ο, τότε

όπου

Α+ Α~ 2,

( 1)

Απόδειξη. Έχουμε

JA -

J±)'

=

Α+

±-

2JA

της παράστασης{():)

= aημχ + bσυνχ

μέσω μιας βοηθη­

τικής γωνίας. Ας θυμηθούμε πώς γίνεται αυτό. Γράφου­ με την {l.x) ως

= 1.

με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν Α

$ (

Ζ.

Σε μερικά προβλήματα απαιτείται ο μετασχηματισμόc;

1

Ο

m + n. εfναι άρτιο και m, n. e

~ = Α + ~ - 2.

{(χ) = .Ja• + b'(.Ja' 8+ b' ημχ + Ja' b+ b' συνχ). θεωρούμε ένα σημείο με συντεταγμένες

Από την τελευταία σχέση έπεται το αποτέλεσμα'. Επί­ σης έχουμε ισότητα όταν

Α

=

8

.!., δηλαδή Αa = 1, οπότε (αφού Α > 0) Α = 1. Α

Πρ6βλημα σώσεων

10.

Να εrrLiυθεί το επ.όμevο σύσrημα εξι­

( .Ja• + b' ' .Ja' b+ b 2 } Το mιμείο αυτό ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο. Επομένως, υπάρχει μια μοναδική γωνία Ο $ φ $ 2π τέτοια ώστε

συνφ = a/.Ja• + εφaχ

+ σφ 2χ = 2ημ'y,

{ ημ 'y + συν z = 1.

f(x) =

Λύση. Έστω εφ'χ = t. Τότε, t >Ο. Το αριστερό μέλος

της πρώτης εξίσωσης είναι ι" + lfi', και επομένως (από τον τύπο (1)) είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 2. Το δεξιό

Άρα,

εφ'χ = 1, ημ2y = 1, συν2z

laημχ + bσυνχl

= Ο.

+ πk, ;(2/ + 1). ;(2m+ 1)} k, /, m

Πρόβλημα

11.

εφ'χ + εφ'y Λύση. 'Ε<nω

Ε Ζ.

ab

ημ3χ- 2ημ18χημχ = 3J2 - συν3χ

+ 2σφ'χσφΎ = 3 + ημ2(χ + y).

a = εφ'χ ιs:αι b = εφ2y. Τότε, το αριστε­ + 2ab + ~ ab

s .Ja• + b',

(3)

Νά ιs:αι ένα πρόβλημα ηου χρη01μοποιεf αυτή τη μέ­ θοδο. Πρ6βλημα 12. Να επι.λυθε( η εξ(σωση

Νο εnι.λυθεί η εξίσωση

~ = (a - b f

(2}

ενώ η ισότητα ισχύει για κόθε χ τέτοιο ώστε ημl.χ + φ) = 1 ή ημ(χ + φ) = - 1, δηλαδή για χ = ,-> ± n/2 + 2kπ (k Ε Ζ}.

~ (a - b f

+ 2συνχ.

Λύση. Μετασχηματ(ζουμε τη δεδομένη εξ{σωση ως

ημ3χ + συν3χ - 2(ημ18χημχ + συνχ} = 3J2.

ρά μέλος της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως

a' + b' +

.Ja' + b2 (συνφημχ + ημφσυνχ) = .Ja' + b' ημ(χ + φ ).

Έχουμε συνεπώς την εκτίμηση

2.

Απάντηση.

(±:

και ημφ = b/.Ja• + b'.

Άρα,

2

μέλος της εξίσωσης είναι μιιφότερο ή ίσο του

b'

Λόγω της (3) &χουμε

+ 4.

[Χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα (1} για Α = ab.] Επο­ μένως, το αριστερό μέλος της ανΙσότητας Ισούται του·

Ιημ3χ (εδώ a = 1, Ομοίως,

λάχιστον με 4, και είναι 4 αν a = b καΙ ab = 1. Όμως, το δεξιό μέλος είναι μικρότερο ή fσο του 4, και ισούται με 4 μόνο αν ημ21.χ + y } = 1. Συνεπώς, αnομένει να λύσου­ με το σύστημα

ημ2(χ + y } = 1, εφ'χ = εφ'y, εφ2χεφΎ = 1.

+ συν3χΙ

b = 1 και φ =

2jημ18χημχ + συνχl (εδώ

s J2

π/4).

s

2~1 + ημ 2 18χ

s

2./2

a = ημ18χ και b = 1, και έχουμε χρη01μοποιήσει το

γεγονόc; ότι ημ18χ

S 1).

Από αυτές τις ανισότητ-ες έπεται ότι το μέτρο του αρι·

στερού μέλους εfναι το πολύ 3./2, ιs:αι ισούται με 3./2 μόνο όταν ημ'18χ 1, δηλαδή αν ημ18χ = 1 ή ημ18χ = -1.

=

Ι. Η ανισότητα aιrt~ αοοτε.\d στην πραγματικότητα ειδική ιttρί­ οτωση της ανιαόιηιαc; αριθμητut()ύι"/εωμeφικού μι'σου για δόο μeια­ βλητ6ς.

Οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να ισούται το αριστερό μέλος με το δεξιό είναι QUANτuM I ΠΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 11

67


{

..fl.,

ημ3χ + συν3χ = ημ18χ = 1,

Α=

..fl.,

ημχ + συνχ =

{

ημ18χ

-ημχ

!Αημπχ - συνπχl ς JA'

Ji,

ίσο του

τη και μετά θα ελέγξουμε ποιες αnό τις λύσεις της ικα­ νοποιούν ης άλλες δύο εξισώσεις.

2,

και ισούται με το

=

3

μόνο αν

=ο

2

'

δηλαδή Υlα χ =

και βρίσκουμε ότι

ημχ + συνχ = Jiη+ + : }

2n ,nεΖ.

3

(4)

Γι' αυτά τα χ, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

J3ημπχ - συνπχ = 2

Άρα,

~χ+:)=ι,

(aντικαθιστούμε enfτηδες •ο :r σε ορισμένες θέσεις αλλά ό)(J σε άλλες). Αν λύσουμε την τελευταία εξίσωση, βρίσκουμε

και, επομένως, χ Γι' αυτά τα

π

=- + 4

2πn

ε Ζ).

(n

ή

:r,

ημ3χ

συν3χ

+

=

ημ

-

+

4

συν

-

4

χ

=Ο.

=

Για το δεύτερο σύστημα έχουμε, κατ' αναλογία,

+ 2m, m

ε Ζ.

2n 2 3 = -3 +2m•

ή

και, επομένως,

n =3m+ 1. χ

= -

4

+

2πn

(n

ε Ζ).

= 2 (3m+ 1~

Συνεπώς, χ

Γι' αυτά τα χ,

+

3

-

ημ(χ-:) = 1,

ημ3χ

2

Βάσει της (4) προκύπτει

Συνεπώς, το πρώτο σύστημα δεν έχει λύσεις.

3

m ε Ζ.

Απάντηση. συν3χ

9π + συν9π = = ημ -

4

4

"" ν2

2

3

και

27π

ημιsχ = ημτ

= - 1.

Άρα, τα εν λόγω χ ικανοποιούν τη δεύτερη εξίσωση και,

+2m, mεZ.

Ολοκληρώνουμε προσφέροντάς σας τις επόμενες α­ σκήσεις. Ασκήσεις

1. Να επιλυθούν οι εξισώσεις και τα συστήματα που

συνεπώς, και την αρ)(1κή.

έπονται:

Απάντηση. 3π

4

+

2πn,

n

ε Ζ.

Τελειώνουμε εξετάζοντας ένα ακόμη πρόβλημα. Πρόβλημα 13. Να εnιλυθεf ιι εξf.οωση

( ~3 - εφ2~πχ )ημπχ Λύση. Έστω

68

2

εφ.3πχ

Για να λύσουμε την τρίτη εξίσωση χρησιμοποιούμε τη

=

1 J4- εφ• ;χ.

Διαmστώνουμε ότι το φρόγμα αυτό είναι μικρότερο ή

+ συνχ = -Ji.

ναι η απλούστερη. Γι' αυτό το λόγο ας τη λύσουμε πρώ­

J2

+

= -1,

Ας λύσουμε το πρώτο σύστημα. Η τρίτη εξίσωση εί­

(2)

3

Εκτιμούμε το αριστερό μέλος της εξίσωσης:

ή

ημ3χ + συν3χ =

J3 - εφ• ;χ.

ΜΑiΟ.Σ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

συνπχ = 2.

(α)

Jx + 2

+

J6 -

χ = 3:r2

(β) ημΙS2χ + συν'"2:r (γ) ημχ (δ)

+

ημ9χ

-

12χ + 16,

= 1,

= 2,

x+y+z=J3 {χ 2 + y 2 + z2 = 1, Η συνiχεια στη σελ.

77

Q


ΣτΟ Ε ΡΓΑΠΗΡ ΙΟ Ι

Σχόλια στο

I

ινομενο του ρασμου

Γκαζόζες, υπέρθερμα υγρά και θάλαμοι φυσαλίδων Α

Borovoi

1950, ο Donald Arthur Gla-

vαμικης, μια τέτοια διαδικασία θα έχει ως αποτέλεσμα να οδηγηθεί το υγρό σε κατάσταση βρασμού.

ένας vεαρ6ς επιστήμονας από το Πανεπιστήμιο

Ωστόσο, ο βρασμός δεν μπορεί να αρχίσει αμέσως: ώς

του Μίσιγκαν, επινόησε μια πρωτότυπη διά~αξη yια

την έναρξη του βρασμού μεσολαβεί κάποιος λανθάνων

την καταyραφή των στοιχειωδών σωμα~ιδίων. Η διάτα­

χρόνος αναμονής. Εάν κάποιο φορτισμένο σωματίδιο συ­

ξη αυτή έγινε γνωστή ως θάλαμος φυσαλiδων. δων. Πρόκειται ytα μια μάλλον μεγάλη εγκατάστ.αση που

ναnήοει στην πορεία του ένα τέτοιο υπερθερμασμένο (σε σχέση με το σημείο βρασμού) υγρό κατά τη διάρκεια τοιι διαστήματος αστού, θα αφήσει κατά μήκος της δια­

καταλαμβάνει ένα ολόκληρο κτίριο με αρκετούς ορό­

δρομής του ένα ίχνος από ιόντα, που η παρουσία τους

φους, εξοπλισμένη με εξαιρετικά εκλεπτυσμένες συσκευ·

εmσιιμαίνεται από φυσαλίδες ατμού. Μπορούμε τότε να

ές και ελεγχόμενη από πανίσχυρους υπολογιστές. Στην

φωτογραφίσουμε το ίχνος του σωματιδίου και να αυξι\·

εποχή μας, μάλιστα, πολλοί θάλαμοι φυσαλίδων έχουν

σουμε την πίεση εκ νέου. Με την αύξηση της ηίεσης οι

και ονόματα, όπως

φυσαλίδες συνθλίβονται, και ο θάλαμος είναι έτοιμος για

ΩΣ: ΛΕΙτοΥΡrΕΙ ΕΝΑΣ: θΑΛΑΜΟΣ: ΦΥΣΑΛΙΔΩΝ; Σ:ΊΊΣ: ΑΡ·

χες ~ης δεκαετίας ~ου

ser,

Το Σχήμα

1

δείχνει έναν σύγχρονο θάλαμο φυσαλί·

Ludmila, Mirabelle

και

Gargamelle.

Εντούτοις, τα πρώτα μοηέλα θαλάμου φυσαλίδων

την πραγματοποίηση νέας μέτρησης.

που κατασκεύασε ο Glaser σε καμία περίπτωση δεν θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν •εντυπωσιακά• (Σχήμα

Οι θάλαμοι φυσαλίδων απέβησαν εξαιρετικά χρήmμοι για τη μελέτη της φυσtκής των στοιχειωδών σωμιm­

2). Το κύριο μέρος τους ήταν ένα φιαλiδιο

δίων. Στο Σχήμα

γεμάτο με αι­

θέρα, ο όγκος του οποίου ανερχόταν σε μερικά μόλις κιιβικά εκατοστά. 'ΙΌ υγρό θερμαινόταν και σιιμmεζόταν στις 20 Atm (1 Atm Ξ ιο• N/m 2). Με τη βοήθεια ενός α·

3 βλέπετε μια φωτογραφία

η οηοία ελή­

φθη μέσα σε έναν τέτοιο θάλαμο. Εύλογα ανακύnτει το ερώτημα: ΓιαΠ οι φvσαλtδες εμφανίσrηκαν ακριβώς κατά μήκος rης τροχιά<; rοιι σωματιlίwιι;

πλού μηχανισμού μπορούσε να επιτειιχθεί ταχεία μείω­ ση της πίεσης. Σύμφωνα με τους νόμους της θερμοδυ-

Σχήμα

2

Ο θc!λαμος φιιοαlι&.ιν ιιypο<1 ιιδ'ρο)ό>οιι ·Mirαbelle• αnοπ.Ιεί βαmκ6 ερyαλε!ο σrο Εριυνιιnκ6 Iwmτoύro Φwικιfς Υψη,Ιώv

Τροχιά tpopnoμboυ σrοrχεrώδοιις οωμ.αΟΟίου τwv ιrοrεwάφη σrο θό.Ιαμο φιιοαlι&.ιν rου

Εvιρyειώv.

GIO$er.

Σχήμα

1

Σχήμα

3

Φωrσypαφία μ14ς διαδr1<011ίαι; α.l\η.Ιεπί~ης κιu μαιιτpοnιfς qωμιπι$Ιων σε θό.Ιαμο φιιοαlι'δων

υypού vδι>οJ.όγου.

QUANτuM

I ΠΟ ΕΡΓΑΙΤΗΡΙΟ

69


Ας ξaVαθψιθΟύμε

mφυσική

λών

lt(U

των δοκ:ιμαστικών σωλήνων) ώστe ο βρασμός

να μην αρχίζει προτού η θερμοκροσfο ανiΑθει στους

του~

140°C. Το νερό σε τέτοια κατάσταση ονομάζεται υπέρ­

Τα εγχειρίδια φυσικής μάς πληροφσρούν ότι ο βρα­ σμός είναι η διαδικασία σχηματισμού φυσαλίδων σε ο­

θερμο. Είναι εξαιρετικά εmκίνδυνο: αιι6μη και ένας κόκ­

λόκληρο τον όyιtο υγρού, οι οποίες μεγαλώνουν και ο­

ουyκρότητο. Ο λόγος έyιtειται στο όη οι φυσαλίδες πα­

νέρχον~αι στην επιφάνεια. Προφανώς, στο εαωτερuό

των φυοολfδων επικροτεί πίεση μεγαλύτερη απ' ό,τι στο υγρό -ot αντίθετη περίπ1iωση, οι φυσαλίδες θα συνθλί­ βονταν. Όπως γνωρίζουν οι πόντες, υπό κανονική ατμο­

σφαιρική πίεση το νερό βρόζει στους ιοο•c. Σ' αυτήν ακριβώς τη θερμοκροσίο η τάση των ι<ορrομένων υδρο­ τμών γίνεται αρκετό μεγόλη ώστε να ποροχθούν φυοο· λίδες, και tτm το νερό ορχ(ζει να βρόζει. Αλλά qουν όντως έτσι το πρόγμοτο, και βρόζει πάντοτε ένα υγρό υπό τ€τοιες συνθήκες; Ας πάρουμε δύο δοκ:ιμοστικούς σωλήνες. Τον έναν anό ουωύς τον ξεnλένουμε πολύ προσειιτικό. Ο συγu­ κριμένος δοκιμαστικός σωλήνας δεν πρέπει να φέρeι χο­

ρόγμοτο ούτε να nεριέχει ίχνη fpιων ουmών. Τον γεμί­

ζουμε με αποσταγμένο νερό (περίπου 10 cm3) . Από την άλλη, ο δεύτερος δοκ:ιμαστικός σωλήνας δεν πρέπει να είναι ιδιαίτερο καθαρός. Τον γεμίζουμε με την ίδιο πο­ σότητα νερού οπό τη βρύση και ρίχνουμε μέσο ένα κομμάτι κιμωλίας. θερμαίνουμε και τους δύο δοκιμαστι­ κούς σωλήνες υπό ταυτόσημες ουνθήκες, αποφεύγοντας

να τους φέρουμε σε όμεση επαφή με τη φλόγα. Όπως αποδεικνύεται, στους δύο αυτούς σωλήνες το νερό βρό. ζει με εντελώς διοφορε;ικό τρόπο (Σχήμα

4).

Στον δοιuμαστικό σωλήνα που περιtχει το νερό της βρύσης ο βρασμός ορχι'ζει νωρίτερο και είναι μια ήσυ­ χη και συνεχής διαδικασία. Κατά κανόνα, οι φυσαλίδες παράγονται πόνω στην ειιιφάνειο της κιμωλίας. Στον

δοκιμαστικό σωλήνα με το αποσταγμένο νερό, αντίθετο, ο βρασμός αρχι'ζει αργότερο (οε υψηλότερη θeρμοκροσfα) και εl,ι:λίοοεται κάπως ανώμαλο. Πότε πότε εμφον(ζονται μεγάλες φυοαλ.ιδeς, που

t6oo ο σχηματισμός τους όοο και

η διάρρηξή τους συνοδεύονται οπό δυνατά τριξίματα. Εάν χρησιμοποιήσουμε νερό διπλής απ6οταξης, είναι

δυνατόν να επιτύχουμε τέτοια καθαρότητα του νερού και των γυόλJνων σκευών (των αποστακτήρων, των φια-

κος να πέσει μέσα του, το νερό θα αρχfσο να βρόζει ο· ράγονται με εξαιρετικά υψηλό ρυθμό. Οι χημικοf γνωρ(ζουν πολύ καλό αυτή την επιχfνδυ­ νη ιδιότητα των υγρών. Για να προστατεύονται από τις λεγόμενες εκτινάξεις και να εξασφαλίζουν μια ήρεμη και

ομοιογενή διαδικασία βρασμού, τοποθετούν στο δοχεiο όπου βρόζει το υγρό τους λεγόμενους πυρήνες βρασμού (κομμάτια γυαλιού και σωλήνες nορσελόνης, ή θραύσμα­ το μαρμάρου).

Τα εντυπωοιοχά χορακτηριστικc! του βρασμού που μόλις περιγράψομε εξηγούνται αν λc!βουμε υπόψη την επιφανειακή τάση του υγρού. Μπορούμε να φον;οστού­

με την επιφάνεια του υγρού οαν ένα τεντωμένο ελαστι­ κό υμένιο. Ένα τέτοιο υμένιο •θέλει• να συσταλεί, οπό­ τε η επιφανειακή τόση προσπαθεί να συνθλίψει κόθε οχηματιζόμενη φυσαλίδα. Όοο μικρότερη είναι η ακτίνα της φυσαλιοος τ6οσ υψηλότερη γίνεται η ιmερπίεση που

οφείλεται στην εηJφανειοκή τάση, ι η οποία καταστέλ­ Λει το βρασμό εν τη γενέσει του. Έτm εξηγείται γtατf ένα καθαρό ομογενές υγρό μπορεί να ιmερθερμονΟεί. Ταυτοχρόνως δε, εξηγεfται και γιατί η ετερογένεια του

ίδιου του υγρού ή η παρουσία fpιων σωμάτων εντός του διευκολύνουν το βρασμό. Εν προκειμένω, τι!τοιες {ι!Jνες euρογένειος δrιμιουρ­ γούνται κατά μήκος της τροχιάς ενός φορτισμένου σω­

ματιδfου, με αποτέλεσμα το σχηματισμό φυσαλιοον που ιmοδεικνύουν την πορεfα του. Καθfστοται λοιπόν προ­ φανtς το γtατί η ομοιογένεια του αιθέρα και η καθαρό­ τητα και η λειότητα του φιαλιδίου οιιοτελούν τις πλέον σημαντικές συνθήκες για τη λειτουργfο του θολόμου

φυσαλίδων του

Glaser.

Μεριάς ενδιαΦέροuσες ιιaρατιιρfίΙJΘC Τι!τοιες παρατηρήσεις είναι δυνατόν να πραγματοποι­ ηθούν με συνηθισμένο αεριούχο νερό, το οποίο ενίοτε

παρουmάζει ουμnεριφαρό όμοιο με εκείνη τ~υ υπέρθερ­ μου υγρού. Τούτο το γεγονός εγεfρeι το οχόλουθο ερώ­ τημα: 1'ιαή και υιι:6 ιι:οίες ιιvνθιίκι:ς μnορεi το οφιούχο

νερό να χρηοι~ύοει ως μovnao cν6ς υιι:€pθερμου υyρού; Για τα πcιρόμοτό μας θα χρειαστούμε ένα μπουκάλι γκαζόζα, ένα ποτήρι, ένα κοuταλώu του γλυκού, ζάχα­ ρη και ένα κομμάτι σοκσλότο (εν πόση περιπτώσει, ένα

πείραμα όπου χρηmμοποιούνται ttτοιο υλικά δεν μπο­ ρεί πορό να qει και μeριχό ευχάριστα παρεπόμενα). Αρ-

Σχήμα

4

Η δUJSIΚtJIJfD rοιι βpαομι>ι5 npοyματοποιιiται τι,k(ως δuιφορmκ.ό.

"" δύο δοκφ<Jαrικο,Jς οωlιf>τς που vεp6 ""' ο ι1Uοι; vεp6 nzς fiι><iοιις.

70

MAiOI I ιοΥΙΙιΟΙ 2000

ο /να( nφιiχει onaaτoyμbo

ι. Η υnιφώιχJη nοοι δημιοορyr.( οτο roωttj)uώ πις φuοα.\.iδας η omφaνttaιDj uΙοη uηολογιrμιu OD6 ων ώnο Ρ • 'lΔir. ά:κιυ μι ο ouμ­ βol!ζwn ο ~ αnφιιντιαιαjς ιώηc: του υγρού ιw μι r η axtf..'O <ης φυοαλJδcιι;. Η Ιδιο nfeorι οοιΦtσι ιw αu> ιιγρ6 11001 ntριi­ X""" ""tvov φιχοοιδή οωλήvο cuφιβώς ιtά.ω cιn6 την ιαιρτή ηιuοφαι· ρική ολtύθερη εmφάνcιό ως μην(οχος).

tou

(η οποlα ανοφtρew ιπη ΜΙ.Ι.ιογρο.φfο


μπου·

(δηλαδή η συγκέντρωσή του εκφρασμένη μέσω του γραμ·

κάλl με το αεριούχο νερό. Α.καριώα, ένα αραιό συννε­

μομοριακού κλάσματος της διαλυμ&νης ουσίας) θα είναι

φάκι καπνού εμφανfζεται πάνω από το λαιμό του μπου­

ανάλογη προς τη (μερική) πίεση του αερίου πάνω από

καλιού. rιατί άραγε να συμβαίνει κάτι tέτοιο; ριμένουμε ώσπου να εξαφανιστεί ο αφρός, οπότε πια θα

την επιφάνεια του διαλύματος. Υπάρχουν κ.αι άλλες μέ­ θοδοι για την παρασκευή αεριούχου νερού στο σπίτι με τη βοήθεια χυμού λεμονιού ή σόδας, ~.ο.κ.

βλέπουμε μόνο μεμονωμένες φυσαλιΟες να ανέρχοντω

Εάν ανοι'ξσυμε γρήγορα ένα μπουκάλι αεριούχο νερό,

μέσα στο νερό. Βάζουμε ένα εφαρμοστό σκέπασμα πάνω

το συμπιεσμένο αέριο που βρίσκεται πάνω από την επι·

στο ποτήρι και το κλείνουμε όσο το δυνατόν πιο ερμη­

φάνεια του υγρού εκτονώνεται ταχέως και ψύχεται. Οι

τικά. Έπειτα από λfyo, ο σχηματισμός φυσαλι'&>ν στα­

υδρατμοί που απελευθερώνονται μαζί με -οο αέριο θα συ·

ματά. Αν ξεσκεπάσουμε το ποτήρι, οι φυσαλιοες κάνουν

μπυκνωθούν και θα σχηματίσουν ένα θολό νέφος. Αφού

εκ νέου την εμφάνισή τους.

η πίεση πάνω από το υγρό μειωθεί αισθητά, το διαλελυ·

χίζουμε την έρευνά μας ανοίγοντας γρήγορα

to

Ρίχνουμε τώρα το αεριούχο νερό στο ποτήρι και πε·

I'uJn;

Ρίχνουμε μια πρέζα ζάχαρη στο ποτήρι. Ο •βρασμός•

μένα διοξείδιο του άνθρακα εκλύεται από το νερό με δύο

~ου αεριούχου νερού εντείνεται, κω στην επιφάνειά του

τρόπους: διό της διαχωριστικής επιφάνειας νερού-σερί·

παραυσιάζετω και πάλΙ αφρός. Προφανώς,

ου, αφ' ενός, και υπό μορφή φυσαλι'&>ν που σχημα-ι;fζο­

to

νερό πε­

ριείχε αιι.όμη αρκετό διοξείδιο του άνθραιι.οc;. 'Γ! εμ.π6δι·

νται μέσα στον όγκο του νερού, αφ' ετέρου.

οε πrv σπελευθiρωοή του πpοηyουμ.ένως, κσι yισή πpοκά·

Αμέσως μετά το άνοιγμα του μπουκαλιού, όταν tχου·

λεοε αυτή τη δισδιιαισία η κpυστσ.U.ική ζάχαρη; Ας προ­

με τη μέγιστη διαταραχή της ισορροπίας και όταν -ι;ο

σθέσουμε παρεμπιπτόντως ότι υπάρχουν και άλλοι τρό­

νερό περιέχει διοξείδιο του άνθραιι.α σε μεγάλη περίσ­

ποι για να προκαλέσουμε το σχημαtισμό αφρού -για πα·

σεια, οι φυσαλίδες παράγονται εύκολα και σε μεγάλους

ράδειyμα, αναδεύοντας το νερό ή μεταγγίζοντάς το από

αριθμούς. Ως εκ τούτου, στην εmφάνεια του υγρού εμ­

το ένα ποτήρι στο άλλο.

φανίζεται αφρός. Βαθμηδόν ο αφρός εξαφανίζεται, μολο·

Μπορούμε να εκτελέσουμε μια θεαματική επίδειξη ρί·

νότι στο νερό παραμένει κάποια •πλεονάζουσα• ποσότη·

χνοντας ένα μικρό κομμάτι σοκολάτα μέσα σε ένα ποτήρι

τα αερίου. Ωστόσο, ο σχημα-ι;ισμός φυσαλι'&>ν αναιι.ό·

γεμάτο με αεριούχο νερό. Εφόσον η σοκολάτα έχει με· γαλύτερη πυκνότητα από το νερό, θα βυθιστεί γρήγορα

πτεται τώρο επειδή η συγκέντρωση του αερίου έχει μει­ ωθεί σημαντικά, και επομένως η πιθανότητα να συγκε·

στον πυθμένα του ποτηριού. Εκεί καλύπτεται με ένα

ντρωθούv τα μόρια του αερίου και να σχηματίσουν φυ·

παχύ στρώμα φυσαλιοον, οι οποίες, δρώντας ως πλωτή­ ρες, σηκώνουν το βυθισμένο κομμάτι της σοκολάτας. '().

σαλιΟες είναι εξαιρετικά μικρή. Οι φυσαλιοες εμφανί­

ταν εκείνο φτάσει πια στην εmφάνεια, οι φυσαλιΟες οκά­

γ&νειας του νερού, και αυτή η διαδικασία μοιάζει πάρα

ζουν και το αέριο εκλύεται στον αέρα, οπότε η σοκολάτα

πολύ με το βρασμό του υπέρθερμου νερού. Έπειτα από

βυθίζεται εκ νέου. Ενίοτε αυτός ο κύκλος βύθισης-ανά­

την ανάλυση που παρουσιάσαμε, ελm'ζουμε ότι οι ανα­

δυσης επαναλσμβάνεται και δέκα φορές.

γνώστες μας δεν θα δυσκολευτοιίν να εξηγήσουν όλα τα

Πώς μπορά να aιιαντηeούν τούτα τα ερωτήμστσ; Ουσιαστικά, όλα αυτά τα ερωτήματα είναι δυνατόν να

ζονται και μεγαλώνουν αλέσν μόνο στις περιοχές ετερο­

υπόλοιπα πειράματα.

Μια σvαπάντεχn εφσρμοyή

του αεριούχου νερού

αναχθούν στο αρχικό πρόβλημα: rιατί η συμπεριφορά

Το άρθρο μας άρχισε με μια ιστορία σχετικά με το θά·

του αεριούχου νερού παρουσιάζει ομοιότητες με εκείνη

λcιμο φυσαλιοον. Προηθέμεθα να το ολοκληρώσουμε με

ενός υπέρθερμου υγρού;

μία αιι.όμη ιστορία, η οποία αναφέρεται επίσης σε μια ε­ φαρμογή των φυοαλίδων -και πάλΙ στη φυσική των

Πιθανόν να γνωρίζετε πώς μπορεί να παρασκευαστεί στο σιιίτι νερό εμπλουτισμένο με διοξειοιο του άνθραιι.α.

στοιχειωδών σωματιδίων.

Αυτό μπορεί να εmτεοχθεί με την προσαρμογή ενός μι­ κρού μπαλονιού γεμάτου με διοξείδιο του όνθραιι.α (C02) πάνω στο στόμιο ενός δοκιμαστικού σωλήνα γεμάτου με νερό. rια να εmταχυνθεί η διάλυση του διοξειδίου •ου άνθραιι.α, ο σωλήνας πρέπει να αναταράσσεται δυνατά.

Πριν από μερικό χρόνια, οι σοβιετικοί φυσικοί που διερευνούσαν τις ιδιότητες των νετρίνων βρ&θηκαν α· νιιμέτωποι με ένα εξαιρετικό δυσεπίλυτο πρόβλημα. Ή­

Το αέριο συνεχίζει να διαλύεται στο νερό ώσπου να απο­

κές εκατοντάδες λίτρα) ως αποτέλεσμα συγκρούσεων με

κατασταθεί η ισορροπία. Αν θεωρήσουμε ότι το συγκε·

νετρίνα. Το συγκεκριμένο αέριο (νέσν-23) ε(ναι ραδιενερ­

κριμένο αέριο δεν αντιδρά χημικώς με το νερό,' στην κα­

γό και ιδιαίτερα aσταθές: τα άτομά του διασπώνται σε

τάσταση ισορροπfας η περιεκτικότητα του διαλύματος

λιγότερο από ένα λεπτό. Έτσι, οι σοβιετικοί φυσικοί

ταν ανάγκη να εξαγάγουν μερικά άτομα αερίου το οποί­ ο σχηματιζόταν μέσα σε έναν μεγάλο όγκο υγρού (μερι·

χρειαζόταν να εντοπίσουν

5·10 άτομα νέου

ανάμεσα στα

10 άτομα του υγρού, να τα εξαγάγουν από το υγρό, να 28

2.

tτηv nερίιπωση rou διοfι:ιδίοu του άνθρω<α ιtαι του νερού, η

6λη διαδικασία περιπλέκεται ιtάDως, εαειδή οι συγιιεκριμtνες ουσ(ες

6ντως ανuδρούν χημ1Κώς μεtοξύ του~ Ωστ6σο, το nαρογόμενο οξύ εί· ντο ασrοθ€ς και διασnόtω noM ούνtομα.

τα μεταφέρουν σε έναν aπαριθμητή και τελικά να τα μεΗ συνέχεια στη σελ..

QUANTUMI ΠΟ ΕΡΓΑΠΗΡΙΟ

77

Q

71


ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙ=ΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Μαθηματικά Μ181 Έιπω Ι,

J

τα κέντρα των εγγε­

γραμμένων κύκλων των τριγώνων

ΑΒΜ και

CDM, αντfιποιχα (βλ.

Σχή­

ευκολότερα αν χρη01μοποιήσουμε f.. να από τα τεχνάσματα των φυσικών. Ας θεωρήσουμε όλα τα γεγονότα από την αλευρά κάποιου που πλέει. ακο­

{β) {αφού το καοέλο και το ραβδf πα­ ραμένουν σtό01μα). Π6σο χρόνο θα

λουθώντας το ρεύμα του πο-ι;αμού.

επομένως ι

Δηλαδή, ας θεωρήσουμε tνα σύστη­

2,5ν; Έχουμε ότι10· 2,5v =t · 2v, και

= 12,5

λεπτά. Συνεπώς,

τα μέρη (α) και (β) μας δίνουν

22,5

εfναι σvγγραμ­

νερό. Ι'ια αυτό το σύιπημα αναφο­

Πράγματι,] εfναι το σημεfο τομής

ακfνηrο αλλά ο μαθηματικός (και το

λεοτό χαμένου χρόνου. ΙΊα το μέρος (γ), παρατηρούμε ότι το σnfτι •διήνυσε. 22,5v μέτρα κατά to διάσιημα που διήρκεσαν οι διαδι­

σοfτι του!) κινούνται αντίθετα προς

κασίες (α) και (β). Ο μαθηματικός κι·

το ρeύμα (σαν να βρfσκονταν πάνω σε έναν ιμάντα μεταφοράς). Μπορούμε να χωρίσουμε τον χα­ μένο χρόνο σε τρfα μέρη: (α) το χρό­ νο που χάθηκε 6οο ο μαθηματικός

νεfται 1,5v ταχύτερα από το σπfτι, και επομiνως καλύπτει αυτή την α· π6οταση σε 22,5/1,5 = 15 λεmά. Άρα, ο μαθηματικός ι!χασε συνολι­

περπα-ι;ούσe στην ίδια κατεύθυνση

Mnoρef να οας φανef διασι:εδοιπι­ κό να nρο011αθήσετε να τα βρείτε ό­

μα

1).

Καταρχάς. παρατηpούμε ότι

τα σημεfα

!, Μ και J

μικά.

ιων διχοτόμων του τριγώνου ΑΒΜ, και επομένως η lM διχοτομεf τη

LBMA, και άρα την κατακορυφήν της

L.CMD.

Συμπίπτει λοιπόν με τη

MJ. Στη συνqmα δείχνουμε ότι το τρfγωνο IJL εfναι ισοσχελ€ς. Η L.LTM εfναι εξωτερική γωνfα του τριγώνου ΙΒΜ, και επομένως L.LIM

μα αναφοράς που ιuνείται μαζ( με το

χρειαστε( κινούμενος μe ταχύτητα

ράς. το καηιλο και το ραβδί μένουν

με το ρεύμα, από το ραβδ( nίσω προς

κά

37,5

λειml

το καπέλο, (β) το χρόνο που χάθηκε 6οο περπαταύσε αντιθετα προς το

λα αυτό με τη συμβατική άλγεβρα.

CMJ), έχουμε όtt LLJM = LCMJ + LMCJ. Όμως, L.TMB = LDMJ = LCMJ και L.JBM =L.MCJ

ρεύμα, από το καπέλο μf.χρι το ρα­

χνασμα του φυ01Κού εfναι όη η από­

βδf, και {γ) το χρόνο που χάθηκε ε­

ιπαση μεταξύ του ραβδιού και του

πε,ιδή το σπίτι μετακινήθηκε •πάνω

καπέλου, από τη ιπιγμή που βρfσχο­

(βαίνουν σε ίσα τόξα του κύκλου).

στον ιμάντα μεταφοράς• στη διάρ­

νται στο ποτάμι, δεν αλλάζει.

Άρα, L.LIJ = ποδεfχθηκε.

κεια όλων αυτών των γεγονότων. Ας υποθέσουμε ότι η ταχύτητα

Μ183

+ LIBM.

= LlMB

Ομοfως (από το

τρίγωνο

L.LJI, και

η πρόταση α­

του ρεύματος είναι ν (μέτρα ανά λε­

Μ182

Η βασική ιδlα που κρύβετ~ στο τt­

θα αποδείξουμε πρώτα ότι και ο αριθμητής και ο παρανομαιπής διαι­

Ο χρόνος καθυσιέρησης αρχfζει α­ πό τη ιn;ιγμή που ο μαθηματικός ρί­

πτό). Τότε, ο μαθηματικός περπατά αντίθετα προς την κατeύθυνση του ρεύματος με ταχύτητα 1,5v. Σε αυτή

χνει το ραβδf οτο νερό. θα μπορού­

την ταχύτητα πρέπει να προσθέσου­

και περιέχει τ6σες μονάδες όσο

σαμε να τον ιmολογfσουμε χρη01μο­

με την ταχύτητα του ιμ.άντα μεταφο­

ναι το πλήθος των

ποιώντας άμεσες αλγεβρικές μεθ6-

ράς. Επομένως, από τη δική μας ό·

ή τον παρανομαιπή του δεδομeνου

δους, αλλά ο υπολογtσμ6ς θα γ(νει

2,5v. Όταν επιιπρέ·

τη λύση θα εξετάσουμε την περίπτω­ ση που ο αριθμητής και ο παρανομα· στής περιeχουν από δι!κα 1. Σε αυτή την οερfπτωση, ο παρο­ νομαιπής efναι 11001111110011 και

πρι!πει τώρα να αφαιρέσουμε την τα·

χύτητα του ρεύματος (τρέχει προς

την ίδια κατεύθυνση με το ρεύμα). Άρα, η ταχύτητά του είναι 2 ν. Σε ό,τι αφορά το μέρος {β), γνω­ ρ(ζουμε ότι περπατώντας αντι'θετα προς το ρεύμα χρειάιπηιcε

10

λεπτά

για να καλύψει την αη6σταση μετα­

72

ΜΑiΟΣ / ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

1 στον αριθμητή

κλάσματος. Για να αnλοποιήσουμε

φει γtα να βρει το καοιλο του, τρέ­ )(tJ με ταχύτητα 3v, από την οποία

1

ef·

ποψη, περπατά αντίθετα προς το ρeύ· μα με ταχύτητα

Σχήμα

ρούνται με το 111... 111, τον αριθμό που αποτελεfται αποκλmστιιιά από 1

ξύ του ραβδιού και του καπιλου. Στο μέρος (α), η απ6σταση που δι­

ήνυσε είναι ίδια με αυτή στο μέρος

μπορεf να γραφτεf ως (ομαδοποιούμε • • • τα ψηφια για να ειναι ευαναγνωστοι

οι αριθμοι):

11 111111110 000 + 1111111111 - 111 111111 100. (Οι αναγνώστες μπορούν να επαλη­ θεύσουν ότι ισχύει πράγματι αυτή η


σχέση.) Το συγχεκριμένο άθροισμα ισούται με:

s = J (-.!.χ+ ι• +.!:. - χ' \.ιy ή

(I 111 111 111)(10 000 + 1 - 100) = (1 111 111 111)(9901).

Μπορούμε να αντ ιμετωπίσουμε ανά­ λογα τον αριθμητή χαι να βρούμε ό­ τι ισούται με:

11111111110000 + 111 111111 100 + 1 111111 111 - ι 111111111 100 11 111111 110,

1.

Μ184 > Ο,

ένα ση­

μείο της παραβολήςy = χ' (Σχήμα 2). Η κλίση της εφαιπομiνης σε αυτό το

= _.!_ . ~ + (ι• +.!:.)Υ - χ~ 1 2ι 2 2 3J -ι - -21

r

J'

ι

= :ι!. Έχουμε την εξ!οωση 2 1 2 χ = -- χ+ι

21

+

θροισμα των ριζών είναι (112)ι, και ε­

πομένως η δεύτερη ρίζα ισούται με χ

..

- t- -

1

.

Το εμβαδcSν του χωρίου είναι

Μ185

ποτέλεσμα να nεριφtρονται αμφόu­ ρες γύρω από το σημείο Ρ (Σχήμα 4), το οποίο είναι και το κέντρο μάζας

Η αμοtβα{α βαρuτική έλξη ανάμε-

=a, AC =

3, ΑΒ = BC

2b και h είναι to ύψος του τριγώνου.

Αν λάβουμε υπόψη ότι οι εφαπτόμε­ νες nου φέρουμε από ινα σημείο αpος tvαv κύκλο εfναι ίσει;. θα βρούμε ότι

του ενιαίου σuστιiματος. Το κέντρο μάζας της Σελήνης διαγράφει κατά την περιφορά του κύχλο αχ τ ίνας rz

;: 380.000 km, ι:νώ η αντίστοιχη τιμή

AL = AQ, BQ = ΒΚ και Οι = ΟΚ. για την τροJ(lά του κέντρου μάζας Άρα, οι + BQ = ΟΚ + ΚΒ = ΟΒ. Ε­ της Ι'ης ανέρχεται σε rr;: 4.700 km. πομένως. <ΑΟ - AL) + (ΑΒ - AQ) = Το σύστημα Ι'ης-Σελήνης neριφtρε­ ΟΒ. Αφού AL ~ AQ, έχουμε ται γύρω από τον 'Ηλ!ο υπό την ε.­

AQ =

CM =

m'δραση του ηλtαχού βαρυτιιtού πε­ δίου. Έτσι, το σημείο Ρ διαγράφει

Ξ.<Αο + ΑΒ - ΟΒ) 2

κυχλική τροJ(lά με κέντρο τον Ήλtο και aχτίνα R0 ;: 150 -10• km.

Λόγω της neριφοράς της Σελήνης

kBo + CB -

γύρω αnό τη Ι'η, το κέντρο μάζας

OC)

του πλανήτη μας αρJ(1Κά βρίσκεται από το ένα μέρος του σημείου Ρ (α-

2

Οπ.6τe,

νάμεσα στο Ρ και τον Ήλιο)

JtQJ

αρ­

ΑQ + CM = .!.(ΑΟ + ΑΒ + BC - OC) γότερα περνά από το άλλο μέρος του

ίδιου σημείου (δηλαδή στην προtnα-

2

=

.!:. (2ΑΒ _ AC) = 8

_

b.

ση της ευθεfας που ενώνει τον Ή-

,

περιφορά γύρω αnό τον 'Ηλ!ο χατά

λιο με το Ρ και προς το μέρος του Ρ). Ως εκ τούτου, η rη δι:ν εκτελεί απλή

2

Αν r και R efναι οι ωιτίνtς, τοτε r R AQ = CM =

1

~

180

-

φ)

_ -

φ

μήκος κuχλικής τροJ(lάς ακ tίνας R0,

~· αλλά εmπλtον ταλαντώνeται γύρω

όπου φ είναι η παρά τη βάση γωνfα t~υ ιοοσκελούς τριγώνου ABC. Επο­

από τη σuγκεκριμινη τροJ(lά. Η μ€-

μένως,

r+R φ AQ + CM = σφ2 •

LA

ο

2

Φυσ1Ιή

σα στη Ι'η και τη Σελήνη έχι:ι ως α­

Υ

Σχήμα

οπότε r + R =h. Άρα, h = 1.

4/3.

-1 2

= ι. Το ά­

b•

ναι

Μία ρίζα αυτής της εξίσωσης αντι­

στοιχεί στο σημείο Μ: χ,

8 -

Φ 181

+- . 2

μής της καθiτου Ν με την ιιαραβο­

Jι.

την ελάJ(lσtή της τtμή στο σημείο ι

1

2

Ας βρούμε το δεύτερο σημείο το­ λή y

1 - (b/a) =

Με τον ίδιο τράnο βρίσκουμε όtt

1 "'- - χ+ 2t

ημφ

h/a

4 , 1 1 4 (ι Ι = -ι + ι + - + ----; = +- . 3 4ι 48t 3 4ι

σημείο είναι 21, η κλίση της κάθετης είναι -1/(21), και η εξίσωση της κα­ θέτου εfναι

φ

,. + R

a - b = σφ2=ι-σvνφ-

1

Στο Σχήμα

Συνεπώς. το αρχιιtό χλάσμα ισούται με 909119901. Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο παράμοιο κλάσμα, 6σα και

Έστω Μ(ι, ι'), όπου ι

Γ

2

= 1/2, και η ίδια η ελάχtστη τιμή εί-

(1111111111)(9091).

αν είναι τα

21

Η συνάρτηση αυτή του ι παίρνει

που γρά~ται ως

Υ

_, - .!.

Σχήμα

3

Σχήμα

4

QUA/IYUMI ΑΠΑΝΤΗΣΕLΣ, ΥΠΟΔΕLΞΕLΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

73


γιστη απόσταση του κtντρου της Ι'ης από το κέντρο του Ίiλlου ισούται με

R0 + rr ενώ η ελάχιστη μι: R, - r,..

Η ΣιWjνη εκ. τελεί μία πλήρη πε­

ριφορά γύρω από τη rη σε χρόνο Τ: ~ 27 ημέρες, 7 ώρες, 43 λεmό και 11 δευτερόλεπτα (27 ,322 ημέρεc;). Στον ιδιο χρόνο. το κέντρο της Γης διανύ­ ει απόσταση s = 2πrr a 29.500 km. Πρόκειται για κίνηση μόλλον βρα­

=

δe!α: η ταχύτητά της ν ιιτt a 12,5 m/a μόλις ξεπερνά τη μtγlστη ταχύ­

ι

Σχήμα

5

τητα που μπορεί να αναπτύξει ο άν­

αλήρους περιφοράς μπορεί να αναπα­

θρωπος

ταχύτητα της τροχιακής κίνησης του

ρασταθεί ως διαδοχικό τμήματα μιας ημιτονοειδούς ι<αμούλης που την «Κά­

σημείου Ρ περί τον Ήλιο είναι κατά

μπτουμε• ώστε να σχηματίσει ιιύ·

πολύ μεγαλύτερη: V a 30 km/s. Το τμήμα της τροχιάς που διατρέ­

ιιλο. Ο αριθμός των .ταλαντώσεων•

χει το σημείο Ρ οτη διάρκεια ενός

τροχιά ετησίως ισούται με (1 έτος)/

μικρότατου χρονικού διαστήματος

Tr

(a 10 m/s).

Απεναντίας, η

που εκτελεί η Γη ως προς τη βασική

μπορεί να προσεγγtστεί με ένα ευθύ­

Ξ 13,5. Συνεπώς, έπειτα από το ετήmο ταξίδι του στο Διάστημα, το

γραμμο τμήμα. Πράγμαη, η ημερή­

κέντρο μάζας της Ι'ης δεν θα βρεθεί

σΙα στροφή της επιβατικής aχτίνας

στο ίδιο σημείο αιι' όπου ξεκίνησε.

του GΙ]μείου Ρ ανέρχεται σε α Ξ Ξ

δεν εκτελεί περιοδική κίνηση. ΙΊα να

τόξο της τροχιάς πρακτικά δεν δια­

ακριβολογούμε, λόγω της φύσεως

φέρει από ένα ευθύγραμμο τμήμα. Με όλλα λόγια, μπορούμε να θεωρή­

της κίνησής της γύρω από τον Ή­

0,99•,

σουμε ότι κατά τη διάρκεια ενός μι·

λιο, ο ορισμός κάποιας rιeρι6δου γι' αυτήν καθίσταται αΜνατος. Αnό μα­

κρού χρονΙΚού διαστήματος η ταχύ­

θηματική άποψη, περιοδική μπορεί

τητα του σημείου Ρ διατηρεί την κα­

να χαρακτηριστεί μόνο η κίνηση του

τεύθυνσή της σταθερή. Συνenώς,

Μώου συστήματος Γης-ΣιWjνης γύ­

στο cnιyι<αριμένο διάστημα, η προ­

ρω από τον ΉλΙο. Η τροχιά του κέ­ ντρου μάζας ιης rης απεικονίζεται

βολή της ταχύτητας ν της Ι'ης περί το Ρ πάνω στην κατεύθυνση της βα­ σικής τροχιάς μπορεί να γραφεί ως

v0 = Ι'Ι)μ(ωt + φι), όπου με ω =

6

Η

Σχήμα

7

Διαπιστώνουμε, λοmόν, ότι η Γη

οπότε το αντίστοιχο

21\/365

Σχήμα

στο Σχήμα

6.

Φ182 Όταν ο καταδυτικός κώδων μόλΙς

πολύ μικρό σε σύγκριση με την Ο· ι<τίνα και το ύψος του. Το βάρος του

νερού που εκτοπίζει ο κώδων καθο­ ρίζεται από τον όγκο τ·ου στρώματος

του αέρα (2"/'χ), των τοιχωμάτων (2πrhΔ) και της οροφής [π(r

+ Δ)2Δ

Ξ ιv"Δ]. Το πάχος Δ μπορεί να προσ­ διοριστεί αιιό τη οuνθήκη όη το βά­ ρος του κώδωνα πρέπει να είναι μ&·

γαλύτeρο ή ίσο από τη δύναμη της άνωσης:

P. (nr'x + 2nrhΔ + nrΔ)g ~ p,(πr'Δ + 2πrhΔ)g,

(• )

συμβολίζουμε τη

και ακουμπά στον πυθμένα της λί­

γωνιακή ταχύτητα της περιφοράς, ε·

μνης, υπάρχει ένα λεπτότατο υδάτι­

όπου Ρ, = Ι Ο' kg1mJ η ουκνότητα του

νώ η αρχική φάση εξαρτάται μόνο

νο στρώμα που τον χωρίζει από τ:η

νερού και g η εαιτάχυνση της βαρύ­

αιιό την εαιλοyή της αρχής για τη

στερεά εmφάνεια του βυθού (Σχήμα 7). Όσο λεπτό κι αν είναι αυτό το υ· δάτινο στρώμα, μας προσφtρει δύο κλειδιά για την εοι:λυση του προβλή­

τητας.

μώχνεται • κάτω από την οροφή τη

ματος: πρώτον, καθορίζει αμέσως

στιγμή κατά την οποία ο κώδωνας

την πίεση του αέρα μέσα στον κώδω­

•προσγειώνεται• στο βυθό της λ{.

να· δεύτερον, μας επιτρέπει να εφορ­

μνης. Ο αέρας μέσα στον κώδωνα δέ· χεται εξωτερική πίεση

v/rr

μεταβλητή του χρόνου ι. Στη διάρ­ κεια ενός μΙΚρού χρονΙΚΟύ διαστήμα­ τος, η ταχύτητα του κέντρου μάζας

της rης ως προς τον Ήλιο επίσης μεταβόλλεται σύμφωνα με έναν ημι­ τονοειδή νόμο (Σχήμα 5)

ΙVrl = V + ν0 = V

+ τημ(ωι + φι).

μόσουμε την αρχή του Αρχιμήδη, δε· δομένου ότι ο κύλινδρος δεν έρχεται

Έτσι, στη διάρκεια ενός μικρού χρονικού διαστήματος, η τροχιό την οποία διαγράφ&Ι η Ι'η ι<ατό την πε·

σε επαφή με τfοοτε όλλο παρά μόνο

ριφορά της γύρω από τον Ήλιο α­

δεύτερη προσέγγιση. Χάριν απλότη­ tος. υποθέτουμε ότι τόοο το τοίχω·

ποτελεί ένα μικρά κομμότι μιας η·

μιτονοειδούς καμπύλης. Ολόκληρη η τροχιά της Γης στη διάρκεια μιας

74

ΜΑίΟΣ / IOYNIOI 2000

με το νερό της λίμνης. Ας ξεχ.ινήσουμε ακολουθώντας τη

μα όοο και η οροφή του κώδωνα έ­

χουν το ίδιο πάχος Δ, που θεωρείται

Ας υπολογίσουμε τώρα το πάχος χ του στρώματος του αέρα που •στρι­

p.g [H + Η• - (h - χ)), όπου ο όρος p.gH. αντιπροσωπεύει την εξωτερική αtμοσφαιρική πίεση (Η0

= 10,3 m).

Σύμφωνα με το γνω­

στό μας νόμο του

Boyle, θα ισχύει P,RH,jιιv" P,R[H0 +Η- (h - χ)]χιv",

=

απ' όπου παίρνουμε την εξίσωση


χ'+ (Η0 + Η -

h)x - Η,Jι =Ο,

η οποfα δfνει το αποτέλεσμα χ Ξ

1,6 m.

Τελικά, η σνισότη-τ;α

(•)

μας επι­

νη τιμή του πάχους του τοιχώματος και της οροφής:

Ρ r'x

(p

1

-

ρ,Ηr' + 2rh)

ψέnουν να υπολογίσουμε την εmτό­

R

·---ιιικ~-· Σχήμα

τρέπει να υnολσγfσουμε τη ζητούμε­

Δ=

C

χυνση του nλασμοeιδούς:

8

lv\ =

φtρουμε λοιπόν ΙΙCοντό σε ένσν αοό

τους οπλισμούς. Το Σχήμα 8 δεfχνει ένα κύιι.λωμα ισοδύναμο με αυτή •η

διορfσουμε τη μέγιστη τιμή της δύ­

τους απόσταση με d - h.. Ο πυκνω­ τής φορτ!ζε-τ;αι μέχρι τάσης V0• Η α­ ντfσταση που έχει συνδεθεί σε σειρά

ναμης της άνωσης είναι να εφαρμό­

με τον πυκνωτή έχει τιμή

σουμε το νόμο του

Το μέγιστο ρεύμα θα περάσει από την ανtfσταση αμέσως μόλΙς κλείσει w κύιι.λωμα:

Pascal

(εδώ έχου­

με ακόμη μfα περίπτωση όπου μας

βοηθά το λεπτό υδάτινο στρώμα μέ­ σα στον κώδωνα). Ο αέρας που nεριt­

φή, η οποfα έχει εμβαδόν πr', μια δύ­

ρ.g[}l0 + Η - (h - x)]v. Η δύναμη που αοκεfται προς •α πά­

νω στην επιφάνεια του χείλους του κώδωνα η οποfα •ακουμπά• στον πυθμένα της λ{μνης λόγω •ης πίεσης

R

Προφανώς. -τ;ο μέγιστο nλότος της

ταινfας καθορfζεται από τη διάμετρο D του πλασμοειδούς. Η εγκάρσια με­

m

της φωτογραφικής μηχα­

νής δίνεται από τον τύπο

περιβάλλοντος νερού μια δύναμη προς •α κάτω !ση με

p.g(H 0 + Η - h - Δ)(v + 2πrΔ).

οπότε

=d(m. Για να αοοwοωθεί

D

μια ειιιόνα πάνω στο φιλμ, το ολα­

σμοειδές πρέπει να έχει ταχύτητα u αριtετά μιιι;.ρού μέτρου ώστε στη δι­ όριtεια του χρόνου r να διανύσει α­ πόσταση μικρότερη από D. Αν από

Η άνωση ισούιαι με τη διαφορά της

τη στιγμή κατό την οποία πρωτο­

ολικής δύναμης που ασκείται προς

σχηματfζεται το εfδωλο ώσπου να α­

τα πάνω μείον τη δύναμη που ωθεί

κινητοποιηθε( nλήρως το nλασμοει­

τον κώδωνα προς τα κάτω:

δές παρέρχεται χρόνος ι, τότε κατά

ρ.giH0 + Η - (h - xJ]πr2

+ ρ,g( Η0 + Η)2πrΔ

- p,g (H 0 + Η - h - Δ)(πr' + 2πrΔ) Ξ ρ.g!πr'χ + (2ιtrh + πr')Δ},

Εάν μeτατοπ(οουμε •ην αyώΥJμη

r2 =

R2 + (r - R/2)2,

η οποία μπορε( να λυθef ως προς

r.

'Έτσι, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα

r = 1,25R.

με, σχεδιάζουμε την αχτ(να να

npo-

σnfπ-reι στις σφαιρικές εmφάνειες σε μια σχετικά μεγάλη γων(α (δι6τι δια­

φορeτΙΙtά δεν θα μπορούσαμε να δια­ κρίνουμε τις λεπτομέρειες στο σχή­

εfδωλο το δημιουργούν ακτίνες οι ο­ ποfες σχηματfζουν πολu μικρές γω­ ν(ες με τον κύριο οmικό άξονα. Και τούτο Υ'α δύο λ6γους: πρώτον, επeι · δή η κόρη του ματιού του παρατη­

ρητή είναι στενή· και δeύτερον, διό­ τι σύμφωνα με την εκ~νηση του προβλήματος, ο παρατηρητής βρf· σχ:ι:•αι σε μεγάλη απόσταση αοό το φακό. ευνεπώς. στο παρόν πρόβλη­ μα θα εφαρμ6οουμε τις βολικές προ­ σεyyfσεις της τριγωνομετρίας των μι-

το εfδωλο το nλασμοειδές έχει ταχύ· τητα Ιυl

= lγlt,

η οποία ικανοποιεί τη

Q

συνθήιι;.η

(1)

Σχήμα

(• ).

Φ183

νουμε την εξ(σωση

τη στιγμή που πρωτοσχηματfζεται

έκφραση η οποfα συμπ(πτει με το α·

ριστερό μέλος της

9)]. Από το ορθογώνιο τρίγωνο παίρ­

μα). Στην πραγματικότητα, 6μως, το

εξωτερική επιφάνεια της οροφής, η 2ιτrΔ, ασκε(ται λόγω της πίεσης του

κής σφαιρικής επιφόνειαc; (Σχήμα

γή {Σχήμα 10). rια να διευχολυνθού­

+ Η)2πrΔ. Τέλος, στην

σπο!α έχει εμβαδόν ιτ(r + Δ)' Ξ πr' +

[ισούται με την ακτfνα της εσωτερι­

που ειtηέμπεται από τη φωτεινή πη­

του λεπτού σtρώματος νερού ισού­

ται με p.g(H0

Ως πρώτο βήμα, ας βρούμε την α­ κτfνο καμπυλ6τητας της κοιλότητας

Ας χαράξουμε τώρα μια aχτίνα

ph

Φ184

γέθυνση

Φ185

R = ph/S.

l =~= v.s _

χεται στον κώδωνα ασχεί στην ορο­ ναμη προς -τ;α πάνω !ση με

d'lι-L~ 2Ιτ' I

πυκνωτή δεν μεταβάλλεται. Ας •η

. ., νοο διάταξη. Σ' αυ-τ;ό, -τ;ο εμβαδόν των 4 6 10 ' m. οnλισμών ισούται με S και η μεταξύ

Ένας άλλος τρόπος για να προο·

d' 2m/r1 =

9

Από •ην άλλη, ώσπου να αιuνητο­

ποιηθεi εντελώς. το nλασμοειδές δια­ vuει την απ6ο ταση

nλάχα σ-τ;ο εσωτερικό του πυκνωτή

χωρfς να την περιστρέψουμε (δηλα­ δή εφόσον η πλάκα συνεχfζει να πα­

ραμένει παράλληλη προς τους οnλι­ σμούς), το ηλεκτρικό πεδίο εντός του

8

ι ==ιvιι• -. m 2

{2)

Οι εξισώσεις (1) και {2) μας επι-

Σχήμα 1 Ο

OUANTUM I ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΑΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ λΥΣΕΙΣ

75


κρών γωνιών: θα θlτουμε nς τιμές

τομή της εξωτερικής σφαιρικής επι­

J(ύτερα το ηλειιτρι.ιιό μότι με τη με­

των ημιτόνων και των εφanτομiνων

φάνειας και του κύριου οπτικού άξο­

γαλύτερη ισχύ. Το ρaίμcι που διέρ­

ίσες με τις ίδιες τις γωνίες, με την

να). Εφόσον, αν eξαιρέσουμε τον πε­

χεται απ6 τα δύο ιDσω ηλι:Στρuι:ά μά­

προ0π6θεση ότι οι τeλευτώες με­

ριορισμό της μικρής γωνίας πρ6-

τια δίνεται από τα ν6μο του

τρούνται σε ακτίνια_

σmωσηc;. εmλέξαμe tντελώς uιχώα

= V!R•.

Ohm: Ι.

Ας θεωρήσουμε τη διαδρομή την

την ακτfνα που οδεύεJ από την πηγή

Αφού τα δύο μάτια συνδέονται

οποfα αιtολουθεί μ ια ακτίνα που εκ­

στη σειρά, θα διαρρ6:ινται από το ίδιο

πtμπεται υπό γωνία α ως προς τον

προς το φακό, η θέση του σημεfου Β δεν eξαρτάται αnό την τιμή της συ­

κύριο οπτικό άξονα. Η εν λόγω ακτί­

γκεκριμένης γωνίας (μeώ τη διάθλα­

ντιστοιχεf στο δcξιό:

να τlμνει την εσωτερutή σφαιρική

ση φαfνεται να εκπέμπεται από το

επιφάνεια σε ένα σημείο που απέχει

συγκεκριμένο σημείο μια στενή δέ­

αnό τον κύριο οπτικό άξονα απόστα·

σμη φωτ6ς). Συνεπώς, βρήκαμε τη

ση 0,5Rα. Χαράξτε τώρα την κάθετο

θέοη του ειδώλου που παρατηρef το

προς την εσωτερική σφαιρutή επιφά­

μάτι αnό ένα απομακρυσμένο σημείο

νεια στο σημείο της τομής. η οποία

του κύριου οπτικού άξονα.

ρεύμα, οοότe η μεyαλύτερ.η ισχύς α­

v•

Ρ.ι • r:R., = R' R.ι

v•

=

(30 Ωf

Ω)

(20

=

2VZ

90 Ω

συμπίπτει με την ευθeία που άγεται

Αν κάνουμε τον αντfστοιχο υnο­

προς το εν λόγω σημείο από το Ο. Η

λοyισμ6 για το μπροστΙνό ζευγάρι

eυθεfα αυτή σχτuιατiζει με τον κύριο

ματιών, βρfσκουμe:

οπτΙΙtό άξονα τη γωνfα β, η οποία

συνδUται με τη γωνία α μέσω της

Σ181 Το 500.000-ό ψηφίο είναι το

0,5Ra • rβ = 1,25Rβ, Η nροσπfπτουσα ακτίνα σχτuιατf­

μαστούν ταχύτερα στο ηλεκτρlltό

Απομένει να βρούμε το

500.000 -

αφού διαθλαστεί στην επιφάνεια του

λουθfα των eξαψιiφιων αριθμών. Πα­

γυαλιού που έχει δείιιτη διάθλασης 11 = 2, θα σχηματ(ζει πλέον με την κά­ θετο γωνία 0,3α. Ταvτόχρονα, η προ­

ρατηρούμε ότι

έκταση της εν λόγω ακτίνας τlμνει

101.851.

τον κύριο οπτικό άξονα υαό γωνία Η ακτfνα θα συ­

ναvτιiw την εσωτερutή όψη της ε­

ξωτεριιιιic; επιφάνειας σε απόσταση 0,5Rα + 0,5R · Ο, 7α = 0,85Ra από τον

.

+ 2 · 90 + 3 · 900 + 4 · 9.000 + 5 · 90.000 = 488.889 ψηφfα. 488.889 • 11.111-6 ψηφfο στην ακο­

= 0,7α.

245Ω

Επομένως. τα μmφτt:κια θα ετοι­

ζει με την κάθετο γωνία 0,6α, οπότε,

0,4α

2V"

ριθμούς από το 1 έως το 99.999 χρειαζόμαστε 9

β = 0,4α.

+

-

Πράγματι, για να γράψουμε τους α­

σχέσης

0,3α

Ρ~"'

5.

μάτι με αvτfσταση

20

Ω.

Σ184 Υποθέτουμε 6τι σε κάθε σκάλα τα

11.111 = 6 · 1.851 + 5.

σκαλοπάτια είναι 6μοια (μια συνθή­

Ειιομέvως, το ζητούμενο ψηφίο εί­

κη που εmβάλλει στους μηχανικ.ούς

ναι το πέμπτο ψηφίο του αριθμού

η νομοθεοfα, δι6τι 6ταν τα σκαλοπά­

Αν γράφαμε όλους αυτούς

τια είναι αν6μοια οι άνθρωποι συνή­

τους αριθμούς. μe ταχύτητα έναν α­

θως παραπατούν και πέφτουν). Αφού

ριθμό το δευτερόλεπτο, θα χρειαζό­

οι δύο σκάλες έχουν ίδια κλίση, κάθε

μασταν σχεδόν ιξι ημlρες!

σκαλοπάτι της μfας σκάλας θα έχtJ ίδιο μήκος ιιαι ύψος με τα σκαλοπά­

Σ182

τια της άλλης (ο λόγος του ύψους

κύριο οπτικό άξονα_ Ας φέρουμε την

Συμβολfζουμe το πλήθος τ-ων μα­

προς τα μιiιcος ισούται με την κοινή

κάθετο στην εξωτερική σφαιρl!tή ε­

θητών που έλαβαν μiρος οε ένα μόνο

πιφάνεια στο εν λόγω σημεfο (πρό­

είδος αγωνισμάτων με

Τότε, 3χ

κλfοη). Αφού οι δύο πύργοι έχουν ίδιο ύψος. οι δύο σκάλες πρέπει να

κειται για την eυθεία που άγεται προς

μαθητtς έλαβαν μέρος σε δύο είδη α­

έχουν το ίδιο πλήθος σκαλοπατιών

αυτό αnό το σημεfο Α, το κέντρο της

γωνισμάτων και 2χ έλαβαν μiρος σε

-συνεπώς πρ€πει να eχουν και ίδιο

επιφάνειας). Η γωνiα μεταξύ αυτής

φfα είδη αγωνισμότων. Αν προσθέ­

μήκος. Επισημαfνουμε ότι δεν χρη­

της ευθεfας και του κύριου οπτικ.ού

σουμε τα πλήθη που δfνονται στο

σιμοποιήσαμε το γeγον6ς ότι οι δύο

άξονα είναι

0,85α, ο­

πρόβλημα, τότε κάθε μαθητής που

πύργοι είναι κυκλικοf. Η λύση ισχύ­

πότε η γωνfα πρόοmωσης ισούται με

ουμμeτefχε οε ένα μόνο είδος αyωνf­

ει για οποιεσδήποτε σχόλες για τις

0,15α. Μετά τη διάθλαση,

σματος απαριθμεfται μία φορά, αvτοί

οποfeς η λέξη "κ.λ(ση • έχει νόημα,

η γωνfα διπλασιάζεται και yfνεται

που ουμμeτe(χαν σε δύο απαριθμού­

και οι οποfες έχουν την ίδια κλίση.

0,3α. Έτσι, μετά την έξοδό της από

νται δύο φορές. και αυτοί που ουμ­

το γυαλί η ακτίνα σχτuιατ(ζει με τον

μετείχαν οε τρfα απαριθμούνται τρεις

κύριο οπτικό άξονα μια γωνία δ

=y

φορές. Επομένως. eχουμe την eξίσω­

0,55α. Επομένως, η προέ­

ση 100 + 5Ο + 48 ; & + & + &, απ' όπου βρfσκουμε χ = 11. Άρα συμμε­ τείχαν συνολικά & + 3χ + 2χ = ll.x

y-

-

0,7α

0,3α

y = 0,85RαJR =

κτασή της τtμνει τον κύριο οπτικό όξονα στο σημείο Β, σε απόσταση

L

= 0,85Rα/0,55α = 17R/11 Ξ 1,55R από το σημεfο eξόδου της ακτίνας από το φακό (για τις αξονικές ακτfνες, το σημεfο αυτό σχεδόν συμπίπτει με την

76

ΜΑIΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

= 121

&.

μαθη'tές.

Σ183 Τα μπιφτέκια θα τα τηγανfσει τα-

Σ185 Μια mοια διευθέτηση των τετρα· γώνων παρουσιάζεται στο Σχήμα

11.

Ας αποδείξουμε ότι αυτό το σύνολο τετραγώνων ικανοποιεί τις συνθήκες

του προβλιiμα τος. Υποθέτουμε το α­ ντίθeτο. Αν χρωματίσουμε τα δύο nό­ νω ενδιάμεσα τετράγωνα με τα χρώ­ ματα

1

και

2

(όπως στο Σχήμα

11),


Συνέχεια από τη σc.i.

Q

68

I

3

(ε) (%' - 2χ + 3)(y2 + 6y + 12) = 6,

3 2

(στ) 2ιοι - συνy + log,0(1 + .r' + IYI) = Ο,

I

2 (ή 3)

ι

3 (ή 2)

(ε)(ημ•.r +

2 ( ή 3)

2.

\

ημχ

J (συν'.r +

+

1

, )'

συν.r

= 12 + .! 2

ημy.

Βρείτε όλα τα 8 για τ.α οοοfα τα επόμενα συστήμα·

τα έχουν μοναδική λύση:

Σχήμα

=

(β) {.r + y + z 8, .... + y ' = z.

11

προJώmει αυtόμα1:α ο χρωματιομός τeσοόρων ακόμα

u-

ψαγώνων (των δόο αριστερό και των δύο δεξιά από τα τετρ6γωνα που χρωματίσαμε). Διαπιστώνουμε τώρα ότι

3.

επόμενες συνθήκες:

η επόμενη οtιρό τετραγώνων μπορεί να χρωματιστεί μό­ νο με τα χρώματα

2

και

3.

Με όποιον τρόπο και να γί­

νει αυtό, είναι αδύνατο να χρωματίσουμε τα δύο κάτω

y• + y• + 2.r' = (α)

τετρ6γωνα με τον απαιτούμενο τρόπο.

Q

Συνέχεια από τη οελ.

71

τρήσουν. Εκ πρώτης όψεως, το πρόβλημα φαινόταν α­ νεπίδεκτο λύσης. Παρά ταύτα, το πρόβλημα λύθηκε, κcιι μάλtστα με τη

βοήθεια ενός cιεριο\fχου υγρού. Πριν cιοό την ακτινοβό­ ληση, στο υγρό διcιλύθηκε διοξεfδιο του όνθρακα μtχρι κορεομού. Αμέσως μετό την ακτινοβόληση, το δοχείο ανοίχτηκε και το υγρό υπεβλήθη οε tvτovη ανάδευση. Με τον τρόπο αυτό προκλήθηκε τυρβώδηc; βραομός, ο οποίος εfχε ωc; αποτtλεομα να αυξηθεf το eμβαδόν της

διαχωριστικής ι:mφόνειας cιερίου-νερού κατό δεχόδες χι·

λιάδες φορές· ωc; εκ τούτου, επιταχύνθηκε δραστικά και η διαφυγή α~όμων νι!ου από το υγρό· καθώς εξαερωνό­ ταν το διοξείδιο του άνθρακα, τα nαρώυρε μακριό από το δοχείο με το υγρό που tβραζe. Το μείγμα του διοξει· δίου του άνθρακα και του νι!ου μεταφiρθηκε oe tνα όΑΑο δοχείο, όπου tνα αλχαλιιιό διάλυμα απορρόφησε w διο­

ξείδιο του άνθρακα. Εν συνεχεία, τα ότομα του νοου συ­ νελέγησαν oe tvαv ειδικό δοκιμαστικό σωλήνα, ο οποίο­ ς τοποθετήθηκε γρήγορα μέσα στον απαριθμητή. Η όλη διαδικασία διήρκεσε λιγότερο cιοό 20 δευuρόλεπτα. Ό· πως βλέπετε, λοιπόν, τα cιεριο\fχα υγρό δεν εfναι μόνο ευχάριστα, αλλά καt χρήοψα. 111

Βρείτε όλα τα ζεύγη αριθμών που ιιtανοnοιούν τις

β)

{4.ry 3 +

y

J2χΎ'

-

{

3

+

ι

2

2.r' + Jι + (2.r -

.

yf,

χΎ'

= y 8 + .r'(1 - χ). Jι + (.r + yf + .r(2y8 + .r•) s ο.

4. Να επιλυθούν οι εξισώσεις (α) 2.J3ημ5.χ - .J3ημ.r

=

συν24χσυνχ + 2συν5.χ -

'i

+

2πn)

(β) <Jι- σφ'2Π>:)συνπχ + ημJ&t = ./2. 5. ΙΊ.α όλες τις τιμές του b, να eπιλυθε! η εξίσωση 3συν.χημb- ημ.rσυνb- 4συνb = 3.J3.

8

David Cohen ΝΟΜΟΣ, ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΟ'IΊfΓΑ ΚΑΙ ΚΟ(" Ω~ Β ~ ιιις :ιfuuf; ιmp ιιλασιιαf λΙιfwι «σοο. από φάς νομΙΙ;ιψε πως t(· χαιιε πραχωρήσει αpxerd σnιν χα· ~ανόηση των πρ<m)παιν ποu δο­ μούν ~ις πρα.χτιχtς της ανδρικljς

ομοφιιλοφιλ(ας χαι της μοιχε(ας

Διαβάστε cιχόμη τα άρθρα...

Α. Eisenkraft και L.D. Κirkpatrick, ·Πεδfα εστια· ομού•, Μόρτιος/Απρίλιος 1996. • H.D. Schreiber, •Παιχνfδια με τα ονόματα των ατοι· χείων•, Νοtμβριος/Δεκtμβριος 1996. • Ι. Mazin, •Φuσική στην κουζfνα•, Νο€μβριος/Δεκέμ· βριος 1997. • S. Κrοlον και Α. Chemoutsan, •Ψυχρός βραομός-, Μάρτιος/Απρίλιος 1999.

<!

J.ry - .r'y'.

σtην αρχαία Αθήνα( ...) θα πρbιει

να αναθεωρήσουμε τη θέση μας.• -Πιc π- π,ιw &lwalooι Sιφ,ι...-

ΚΥΚΛΟΦ()ΡΕt Σελ.: 322, 25 χ ~7 <1<., 7.000 δρχ,

ΑΠΟ ΤΙΣ ΒΚΑΟΣΕΙJ)

ιστοpητής/ιιάτοπrpο

OUANTUII / ΑΠΑΝlΉΣΕΙΙ, ΥΠΟΑΕΙ~ΕΙΙ ΚΑΙ ΛΥΙΕΙΣ

77


ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

το μυρμή~ του

Langton

Ας γνωρίσουμε τη φύση των κυψελωτών αυτομάτων

Don Piele 10

μαυσμός απαιτεί, πρώτον, να yvωρfζeτe ποιες δομί;ς δεδο­

•παιχνιδι της ζωής• του John Conway. Εμφανίστη­ κε γtα πρώτη φορά στη cm)λη ιου Martin Gard-

μένων σάς προσφέρet η γλώσσα προγραμμαησμού και,

ΟΛΛΟΙ θΑ EXErE ΑΚΟΥΣΕΙ, Ή ΙΣΩΣ ΚΑΙ ΠλΙΞ:ΕΙ,

ner

·Ψυχαγωγtκά ΜαθηματU<ά• στο

mericαn τον Οκτώβριο ιου

1970.

& ienJi{ic A-

δεύτeρον, να μπορείτε να κατασχeuάcπτε αλγορίθμους που εmλύουν προβλήματα μtοω αυτών των δομών.

Όταν διc\βαοα εχείνη

Ας αρχfσουμε ονομάζοντας την τετράγωνη περιοχή

τη στήλη εντυπωσtclστηκα από την ποιΚΙλία των tμβιων

antland

και ορίζοντάς την ως ένα τετράγωνο πίνακα κε­

μορφών που προκύπτουν από ένα τόσο αιτλό σύνολο κα­

λιών με αρχικό χρώμα Ο (δηλαδή, άσπρο).

νόνων. Επιπλέον, γνωρίζοντας τους κανόνες και την έμ­ βια μορφή στην πρώτη γεvtcl, φαινόταν αδύνατο να ηρο­ βΜψεις ποια εξέλιξη θα εμφανιστεί στη συνέχεια. Τέτοια είναι η φύση του κόσμου των •κυψελωτών αυτομάτων•.

eize ;;; 10; antland ~ τ.oble (O, {a 1ze l, MatrixFor=(antland]

Σε αυτή tη στήλη θα εξιφευνήσουμε μια μικρή γωνιά

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

αυτού του κόσμου μέσα από τα μάτια του μυρμηγκιού

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

του Langt.on, το οποίο δημιούργησε ο Chris Langt.on του

ο

ο

ο ο

ο

ο

ο

ο

ο

ο

Ινστιτούτου της Σάντα Φε.

ο

ο

ο ο

ο

ο

ο

ο

ο ο

ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο

οι κσν6νες

ο ο ο ο ο

ο

ο ο ο ο

ο ο ο ο ο

ο

ο ο ο ο

ση ιuας μεγάλης τετράγωνης περιοχής με κελιά -όπως μια σκακι€ρα. Φανταστείτε ότι όλα τα κελιά είναι χρω­

ο ο

ο

ο

ματισμένα c\σπρα. Κρατάτε στα χέρια σας ένα μαύρο και

ο

Φανταστι:ίτε πως eίσαστε ένα μυρμήyιu (ant) στη μέ­

ο

ο ο ο

ο ο

ο ο ο

ο

ο ο

ο ο

ο

ο

4.

χ

a

y •

floor

Επαναλάβετε τα βήματα

l-3.

Μπορe(τε να προβλέψετε το σχήμα που θα δημιουρ­ γήσουν τα μαuρα τετράγωνα; θα προκύψει ένα αναγνω­

ρίmμο μόρφωμα ή θα έχουμε αιτλώς μια τυχαία διαδοχή μαύρων κουκιδων; ΙΊα να απαντήσουμε σε αυτtς τις ε­ ρωτήσεις θα γράψουμε τους απαρα(τητους αλγορίθμους και θα κατασκευάσουμε ένα πρόγραμμα στο Maιhem4/ioo γtα να τους εκτελέσει.

Η μετάφραση ενός συνόλου κανόνων τους οποίους κα­ τανοούμε στον πραγματικό κόσμο σε ένα σύνολο διαδι­

ο

[eize]

.

2

το τετράγωνο που βρίσκεστε είναι μαύρο, βάψ­

τε το άσπρο και στρίψτε αριστερά κατά οο•.

ο

ντά στο κέντρο της περιοχής.

2. Αν το τετράγωνο που βρίσχeστε είναι άσπρο, βάψ­ τε το μαύρο και στρίψτε δεξιά κατά οο•.

ο ο ο

Ας τοποθετήσουμε το μυρμήγκι αρχικά στο (χ, y), κο·

οδηγίες που έχετε λάβeι είναι οι ακόλουθες: ι Κινηθείτε ένα κελί μπροστά.

ο

ο ο ο

ένα άσηρο μαγικό μολύβι και κοιτάτε προς το βορρά. Οι

3. Αν

{a1zeΙJ ;

Η κατάσταση κάθε θέσης χ, y εfναι η τιμή της ant-

land[[x, y]].

Φυmκά, στην αρχή έχουμt

antland[[x, y]] =

Ο γtα όλα τα .χ, y.

Αλλαyή κυώσtασιις Αν ιο μυρμήyιu βρεθεf σε λe\nιό κελί

(0),

πρέπει να

το χρωματίσουμε μαύρο

(1), και αντιστρόφως. Παρατη­ ρούμε ότι αν πάρουμε το {0, I ) και προσθέσουμε l σε κάθε θέση, θα προκύψει το {1, 2). Αν τώρα πάρουμε το αποτέλεσμα mod 2, καταλήγουμε στο {1, Ο} -δηλαδή, έχουμε αντιστροφή των τιμών. Συνεπώς έχουμε τον πρώ­

κασιών τις οποίες μπορεί να εκτελέσει ένας υπολογιστής

το μας αλγόριθμο που αλλάζει την κατάσταση ιου τε·

συνιστά την τέχνη του προγραμματισμού. Ο προγραμ-

φαγώνου πάνω στο οποίο βρίσκεται το μυρμήγκι: Προ-

78

ΜΑIΟΣ I IOVNIOΣ 2000


οθέτουμε 1 m;ην ψέχουσα κατάσταση του κελJού και υπολογίζουμε την ημή

antland[[x ,y))

;

mod 2.

Mod[•ntland[[x ,y)

+

1,

2).

Πληκτρολογήm;ε αυτή την εντολή αρκετές φορές και παρατηρήστε την κ01:άσταση να αλλάζει από Ο σε

1, και

αντιστρ6φως.

Αλλαyή κατεύ8uvσης Η κατεύθυνση προς την οποία κοιτά το μυρμήγκι

καθσρfζει το πού θα βρεθε( όταν κινηθεί ένα κελί μπρο­ στά. Αριθμο6μe τις τέσσερις κατευθ6νσεις ως εξής: Βορ­ ράς = Ο, Ανατολή = ι, Νότος 2, Δύση = 3. Αρχικά το

=

μυρμήγΚΙ κοιτά προς το Βορρά -δηλαδή κατεύθυνση= Ο. Ας εξετάσουμε nώς αλλάζουν οι κατευθ6νσεις έπειτα από μια &ξιά στροφή. ΞεΚΙνάμε με {Β, Α, Ν, Δ}

1, 2, 3}

= {0,

και κάνουμε μια δεξιά m;ροφή. Προφανώς, Β~

Α, Α ~ Ν, Ν ~ Δ και Δ ~ Β ή {Ο, ι,

2, 3}

~

(1, 2, 3,

Ο}. Αιnό είναι ίδιο ακριβώς με το αποτέλεσμα που θα πά· ρουμε αν προσθέσουμε το 1 στο {Ο, ι, 2, 3} (οπότε θα έχουμε {ι, 2, 3, 4}) και θεωρήσουμε το αποτέλεσμα mod

4.

Μπσρο6με εύκολα να διαmστώσουμε ότι η αριστερή

στροφή προκύπτει αν αφαιρέσουμε το 1 και θεωρήσου· με το αποτέλεσμα mod 4. Αν υποθέσουμε ότι dir είναι ο ψέχων αριθμός κατευθυνσης, -τ;ότε οι επόμενες εντολές, right'l'urn και left'furn, αλλάζουν με τον σωστό τρό­ πο την κατεύθυνση.

rigbt'l'urn ;; dir ; Mod[dir + 1, 4) lef tτurn := dir • Mod(dir - 1, 4 ) dir ; {Ο, 1, 2 , 3}; r i gbt'l'urn; dir {1, 2, 3 , ΟΙ

Σύνδεση των ειί μέροuς στοιΘιw Έστω size η διάσταση τ;ων πλευρών της antland. Ας συμφωνήσουμε ότΙ η dir ξεκινά πάντα κοιτώντας Βόρει­ α. Έστω tourLength τ;ο συνολικό πλήθος βημάτων που θα κάνει το μυρμήγκι και έστω moνes το τρέχον πλήθος

βημάτων που έχουν γίνει. Συνεχίζουμε να εκτελούμε βήματα όσο το μυρμήγκι βρίσκεται στην περιοχή και το πλήθος των βημάτων είναι μικρότερο από την τιμή της tourLength. Ιδού το πρόγραμμα LάngtonsAnt που εμπε­ ριέχει όλους τους αλγορίθμους που περιγράψαμε.

<< Graphica 'Colors ' La.ngtoneAnt (tourLengtb_, si.ze_) := MOdule ( {dir • Ο, zιove s • Ο, χ e y =

Floor[ siz e/2 ) } , • n tland • Table[O, {oi z e}, Ι•i ze }); r iqh tτurn := clir • Mod(dir + 1, t ); let tτurn :• dir • Mod [dir - 1, 4] : llhile [1110ve o < tour!Angtb " 1 <= χ <• .size '' 1 <= y <= aiι.e , a ntl and( (x ,y) Ι = Modl• ntl and( (x ,y) + 1 , 2) ; If(a ntland [ [x ,y)) = ι, l e ft'rurn, rigbtTurn); Switch[dir , Ο, y++, 1, χ+ + , 2, -y--, 3, χ-- ) ; IDOV8 8++); Sbow [Grapbica [ Raaterλrray( ant1and) I. {Ο - > llhit.e, 1 -> Bl ack} Ι , A.opec tRatio -> Autoaιa tic) Ι

Ιδού η τελική κατάσταση της

antLand έπειτα

από

96

ιανήσεις.

Κίνησn προς τα ειιιρός

L&ngtonaAnt[96,

11 )

Τώρα ας επεξεργαστο6με τον αλγόριθμο της κίνησης προς τα εμπρός. Ανάλογα με -ι;ην κατεύθυνση στην Ο· ποία κοιτάμε, η Ι!'ίνηση από -ι;ο (χ, y) προς τα εμπρός έχει

διαφορετικά αποτελέσματα. Ιδού οι μετασχηματισμοί για κάθε κατεύθυνση: Βόρεια (%, y) ~ (χ, y + 1), Ανατολικά (χ, y) ~ (% + 1, y), Νότια (χ, y) ~ (χ, y - 1) και Δυτικά (χ, y) ~ (χ - 1, y). Dto Mαthematica θα χρησψοποιή­ σουμε την εντολή Switch για να αλλάξουμε τη θέση (χ, y) ανάλογα με την κατεύθυνση dir προς την οποία κοιτά το μυρμήγκι. ΕπΙσημώνουμε ότΙ η χ++ αυξάνει το χ κατά

1

ενώ η χ-- μεΙώνει το χ κατά ι. Αν

dir = Ο, dir = 2 τότε y- - , αν

τότε y++, αν dir = 1 τότε χ++, αν dir = 3 τότε χ--. Αυτά τα εκφράζουμε με τη διαταγή

Switch(dir,

Ο,

y++,

1,

χ++,

2, y--,

3,

χ--) ;

Μεγάλες ΙCΜίσειc; Έπειτα από ιΟ.ΟΟΟ κινήσεις του μυρμηγκιού του Langton σε μια περιοχή πλευράς ιοο, δεν παρατηρο6με τίπο,;α το ενδιαφέρον.

LangtonaAnt/ 10000,

100)

Σημείωση: Ένας πίνακας του Mαthematica ξεκΙνά με το (1, 1) m;η βορειοδυτική γωνία καΙ όχι στη συνήθη νοτΙοδυτική. Για να δο6με όμως το δημΙουργο6μενο σχή­ μα θα χρηmμοποιήσσυμε μια δΙαταγή Graphics που λαμβάνει υπόψη αυτό το γεγονός. Ας υποθέσουμε ότι έ­ χουμε το σύνηθες σύστημα συντεταγμένων χ, y όπου η κίνηση προς το Βορρά αυξάνει το y και η κίνηση προς το Νότο μειώνεΙ το

y. QUANTUM I Πο\ΗΡΟ.ΟΡΙΚΗ

79


Αν όμως προχωρήσουμε λlγο ακόμα, βλέπουμε κάτι να

L&ngton&Ant(l2000,

1001

αναπτύσσεται. L&ngtonaλnt(llOOO ,

100)

L&ngtonaλnt(l.2000 ,

100 )

Ολυμιάδες

στο

Πάνω από 150 σπουδασΦ; από τριάντα μ[α χώρες έ­ λαβαν μέρος στον φθινοπωρινό διαγωνισμό της USAOO τον Νοtμβριο του

1999. Τα

προβλήματα αυτού του δια·

γωνισμού προγραμματισμού αποστέλλονται μοοω ηλε·

κτρονικού ταχυδρομείου σε άσους εγγράφονται στον κα· τάλογο (listserv) της USAOO στη διεύθυνση

majordomo@delos.com. Οι ttσσερις πρώτοι ιου διαγωνίσματος ήταν οι Pezcy Liang από τtς ΗΠΑ, Oιnid Etesami και Siamak Tazari από το Ιράν και

Το μυρμήyιο ακολουθεί πλtον ένα σχήμα και κατα· σκευάζει ένα δρόμο προς το άπειρο. θα μπορούσατε να το προβλέψετε αυτά; Αυτή είναι η φύση και η ομορφιά των κυψελωτών αυτομάτων.

Η σεφά σας τώρα ι. Ως πρώτη διερεύνηση, προσπαθήστε να αλλάξετε μια γραμμή του προγράμματος

LangtonsAnt

για να δι·

αnιστώοετε αν dναι δuνατόν να βλέπετε όλο τα κελ.ιά τα οποία εnισκέnτεται το μυρμήγκι. Όπως είναι το ορά­

γραμμα τώρα, μπορείτε να δείτε μόνο όσα κελ.ιά εnισκέ· mεται περιττό πλήθος φορών. Χρωματίστε τα κελ.ιά με άρτιο πλήθος επισκέψεων μπλε, αυτά με περιττό πλήθος εnισκtψεων μαύρα, και άσπρα τα κελ1ά που δεν έχει ε· πιοκεφτεί. Η εικόνα που θα πάρετε θα μοιάζει με αυτήν

που βλέπετε στη διnλανή στήλη .

2.

Τροποποιήστε τους κανόνες του Προβλήματος ι

tτσι ώστε όταν το μυρμήγκι εnισκέmeται μολε τετρά· yωνο να μην του αλλάζει χρώμα, και στο επόμενο βήμα να μετακινdται προς τα εμπρός αντί να στρίβει. Τα α· nοτελtσματα είναι τελείως διαφορετικά και απρόσμενα.

3. Πειραματιστείτε με δικοl!ς σας κανόνες. Με ενδια· φtρει ιιάθε ασυνήθιστο μόρφωμα που θα ανακαλύψετε.

80

Μλ!ΟΣ I ΙΟΥΝΙΟΣ 2000

Jing Xu

από την Κiνα.

Κάθε χρόνο διοργανώνονται τρεις διαγωνισμοί στο

Διαδίκτυο, τον Ιανουάριο, τον Μάρτιο και τον Νο€μβριο. rια περισσότερες πληροφορίες δείτε τη διεύθυνση

www.usaco.org.

και τέλος... Χάρη στο Διαδίκτυο δεv efναι ιιλίον απαραίτητο να περιμένετε δύο μήνες για να δείτε τη λύση ενός προβλή­ ματος. 'Ετσι, όλες οι απαντήσεις στα προβλήματα που

προτείνει η στήλη μπορούν να βρεθούν στην ιστοοελί· δα μας. στη διεύθυνση http:/lwww.uwp.edu/academic.lmathematiεs/usaco/

informatica/. Μπορείτε να μου στείλετε τις λύσεις σας στη διεύθυνση

piele@uwp.edu. Για την πλήρη συμμετοχή σας σε αυτή τη σtήλη εί· ναι απαραίτητο να tχετε πρόσβαση στο Mαlhemαlίoα . Εχετικές πληροφορίες μπορείτε να βρείτε σtην ιστοοε· Μδα της Wolfram στη διεύθυνση

http://www. wolfram.com/products/studcnt/.

IJ

Quantum τόμος 7 τεύχος 3 μαι ιουν 2000  
Quantum τόμος 7 τεύχος 3 μαι ιουν 2000  
Advertisement