Issuu on Google+

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ τιΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ / ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

1998

ΤΟΜΟΣ 5 ΠΕΥΧΟΣ 6

1 700 ΔΡΧ.

Μιι ευκλείδειες ϊ<ωμετpίες • • ιωι φιισιιως ι.:οσμος ΕιrιστιίJΙΙΙ και διο.νο1fπκό στυJ. Γιατί δε~· ιrετούv τα σ.ι;pοπlάι·α

με Ι'ΙipΟΠIΙΙ'τή; Η αιωλουθία Fibonucci Πφί ΟλΌυσπκιύv ιιιψάτcιι• μεγιΊJ.ης iντο.ιπις Οι νόμοι διιzrήp'fιπις σπς

υι;ιιιίiς rο.χύτιιτες τα πυλιίrιιπο

' ' \ ' ' '' ' \

Τι yrωpίζετε γιο. τους υδpο.rμούς;

.. Ί

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΑΤΟnτΡΟ

ga

ι:-.δ

Η εικασία του φυσφού και

\ "~

)

) \I

·" '

'

\

\

' ' \

\

'

)

'

\

'

'\

'

\

Ί

Ί

'\

\


ΠΙΝΑΚΟΘΗΚΗ (ϊ]

Συ.Ιλοyη Ch<'>"r fλύ•.

e

Η αγία Λοvκία (nερίnου

Ι998Δiο.•ηιι•όΣυμβουλιο. Εθ>•ική 11J•·Ο1t.οθιι-.η. Ουάιιινy•ιον

1625-1630), του Francisko de Zurbaran

Η ζωοε τα μό ιια της και τα προσέφερε ο ιον ρωμαίο ει·

Η οχeοη της νεαρής αγίας με ια μάτια είναι πιθανόν να ηραι\ρχεται από τη λατινική ρίζα του ονόματός της, Lux

δωλολάτρη μνηοτψα tiJ<; επειδή, όnως εκείνα; διαuινό­

!αγγλικά:

ιαν, η ωραιότητά της δεν τον άφηνε να ειρηνεύσει. Αυιή

άρρηκια με την όραση. Ωοτόοο, αν εσείς διαmσtώοειε Ο·

η rφόξη ευσέβειας συγκλόνwε τόσο πολύ τον ρωμαίο ε·

nοιοδήηοτε nρόβλημα με την όρασή αας, rιρέοει αναμφίβο­

θνικό ώο ιε ο ιάθηκε η αιτία της μεταστροφής του οτο χρι •

λα να εmσκeφreitt έναν οφθαλμiαφο. Αλλά καλού-κο·

οιιανισμό. Αργότερο, κάποια ημέρα κατά τη διι\ρκεια της προσευ •

κ ου κ ρο τηστι: στη μνημη ο ας και την ημερα που εορτα

λi"IA

AOYKIA,

ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ εΥΝΛΞΛΡΙ ΊΉΣ, ~1-

.

light, ελληνικά:

.

φωςΙ -και το φως συνδέεται

.

.

.•

χής ιιJς, η αγία Λουκία επανέκτησε Οαιιμαιουρyικά την

ζει η αγία Λουκία: 13η Δεκεμβρίου. Αν τώρα εruθvμείιε να διαβάσετε ένα όρθρο rιcιιι διαπραγμa ιεύεται το φως και

όρασή τικ

ιην όραση, ανατρέξτε στη οελlδο

52.


ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

1998

ΤΟΜΟΣ

5 I ΤΕΥΧΟΣ 6

Α ΡΘΡΑ

5

Μια μαθηματική ματιό στο μέλλον

Εύκαμπτες πολυεδρικές επιφάνειες V.A. Afexondrov

10

Δυναμική των πτήσεων

Γιατί αεροπλάνα παvτός καιρού;

S.Κ.

16

Belyoev

Στέρεες λύσεις

Η ακαμψία των κυρτών ΠΟλυέδρων

~J '

Ν.Ρ.

"" Εικονοyράφιισιι:

VasEy Vlasov

Εδώ στην Ουάσινγκτον. cην έδρα του

27

ι.

38

του πρώτου προέδρου της χώρας μας. Δυστυχώς, πολλά μέλη του Κον ­ γκρέσου -του νομοθεtΙκού οργάνου που περιλαμβάνει τη Βουλή και tη Γερουσία- φαίνεται να εμπνέονται από την έλλειψη ευκαμψίας του μνη­

μείου· ιδιαίτq>α, μάλιστα, όταν nλησιάζει ο καιρός για ισοστάθμιση του προiίΙΙολογισμού. ~ nαρελθόν, μάλι-

2

καμψία και την ακαμψία των nολυέ­

δρων έχουν παγκόσμιο χαρακτήρα·

Rudenko και V.O. Cherkezyon

ο κόσμος των ΚΒάντων

48 Στο μαυροπίνακα 11 Βοηθηι:rκά πολυώνυμα

Ceterίs paribus

9

Σπαζοκεφαλιές

52

24

Στα πεδία της φυσικής

57

Στο εργαστήριο

πάλι εδώ!

62

Το μαyvηrικό nεδfα

36 Καλειδοσιόιιο Πό<Jα yvψίζει:ε στ' αλήθεια

και για να τους γνωρίσετε, πρέπει να α να τρέξετε στο άρθρο της σελίδας 5.

για r.ι:ιυς υδραφυύς;

45

Μαθηματικά απρόοπτα Ο Fibonacci είvω και

Ψηλά, ψηλά και μακριά

34

Στο μαυροπίνακα ιιι Είδωλα υψηλής εΙΙκpiνcιας

23 Πώς λύνεται;

κομματικές γραμμές έβλαψε τη λει ­

επεκταθούμε σε τοπικά μας προβλή ­ ματα. Οι κανόνες nου διέπουν την ευ ­

Μη γραμμική φυσική Η ισχύς του ήχου

ΜΟΝ Ι Μ ΕΣ ΠΗΛΕΣ

στα, η στενή προσκόλλησή τους σε τουργία του κράτους. Αλλά ας μηγ

Sobifov

Ο. V.

τενίζουμε ένα από τα διασημότερα ά ­ -το μνημείο του George Washington,

Εναλλακτικές γεωμετρίες

ΕυΚλείδειες περιπλοκές

Quantιιm, έχουμε την ευκαιρία να α ­

καμπτα πολύεδρα όλων των εποχών

Do/bf/fn

Απαvτήσεις, Υποδείξεις

και Λύσεις 6θ

Ιnηολοyισμοί Εξολοθρευτής μ υyώv

Στο μαυροπίνακα ι Νόμω διατήρησης κω 11ψηλές <αχύι:rτrες

QUANTUM / ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1


Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

ceteris paribus ιιΤο σύμπαν ολόκληρο είναι ένα όστρακο που εκκολάφτηκε μέσα του τ' ακριβό μαργαριτάρι ο άνθρωπος.» -Νικηφόρος Βρεττάκος

Α

rΑΠΗΤΕ ΜΟΥ ΚΥΡΙΕ

του φανταστικό. Ας υποθέσουμε ότι

λώς διαφορετικές συνθήκες: (α) όταν

Η καλή σκέψη απαιτεί διανοητι·

αναζητούσατε τον τρόπο με τον οποίο

κόστυλ. Το στυλ συνίσταται κυ­ ρίως στην αποφυγή κάποιων ση­

οι άνθρωποι παίρνουν τις αποφάσεις

το αποτέλεσμα είναι ιδιαιτέρως επιθυ­ μητό, αν και με μικρές πιθανότητες να

μαντικών λαθών, τα οποία δυστυχώς είναι τόσο διαδεδομένα όσο και καΊ;ι, .

τους υπό συνθήκες που αποκλείουν την πρόσβαση σε όλες τις σχετικές

συμβεί, και (β) όταν το αποτέλεσμα δεν

πληροφορίες. Ο κόσμος αγοράζει λα·

είναι αρκετά επιθυμητό αλλά οι ΠΊθο· νότητες να εmτευχθεί είναι μεγάλες.

οφοφικό. Η σκέψηαπαιτείτακατάλ­

χεία χωρίς να ξέρει ποιος αριθμός θα

Τούτο αποτελεί ηροφανή συνέπεια της

ληλα εργαλεία-βοηθήματα· και το ερ ­

κληρωθεί· υποβάλλει α1tήσεις πρόσ­

nαραιιάνω ιδέας σας: ο ένας ποράγο·

γαλείο για το οιιοίο θέλω να μιλήσω

ληψης σε εργασίες χωρίς να γνωρίζει

mo ταπεινό όλων -τ.όσο

εάν είναι ο καλύτερος υποψήφιος· συ ­

ντας αυξάνεται κι ο άλλος μειώνεται, αλλά το γινόμενό τους παραμένει στα­

δυσδιάκριτο μέσα στις θεωρίες και τα

μπεριφέρεται φιλικά σε ανθρώι1ους που θα ήταν προτιμότερο να τους απο ­

ίσως είναι το

επιχειρήματα nou πολλοί όνθρωποι δεν αντιλαμβάνονται καν την παρου­ criα του. Αλλά το εργαλείο αυτό χρη­

θερό. Υποθέτω ότι αισθάνεστε ιδιαιτέ­ ρως ικανοποιημένος με την ανακάλυ •

φύγει. Σε τέτοιες συνθήκες, τώρα το γνωρίζετε καλά, οι άνθρωποι λαμβά­

ψή σας, μια και φαίνεται να έχει εφαρ ­

μοyή σε πολλές περιστάσεις. Μπορεί

mμοποιείται. Κι όχι μόνο χρησιμοποι­ είται, αλλά δίχως αυτό αδυνατούμε να

νουν την απόφαση είτε εάν αντιλη ­

να εξηγήσει, επί παραδείγματι, για τ! η

φθούν ότι έχουν την ικανότητα να

κάνουμε επιστήμη. Κατά τη γνώμη

φτάσουν στο επιδιωκόμενο αποτέλε­

προσέλευση για εγγραφή σε ορισμένες δύσκολες πανεmστημιακές σχολές ε!­

μοιι, δεν μπορούμε να σκεφτούμε ο ­

σμα είτε αν το προοδοκόμενο α ποτέ­ λεσμα το επιθυμούν σφοδρά. Έχετε

ποιοδήποτε πρόβλημα -κι όχι μόνο ε­ πιστημοVΊκό- με τρόπο που να έχει νόημα. Επιτρέψτε μου να επιμείνω. Υπάρχει διαφορά ανάμεσα σε αυτούς

διατυπώσει την πρόταση, και τούτο αποτελεί τ;η σημαvττκή ανακάλυψή σας, ότι η mθανότητα να πόρeι κάποιος

ναι μεγάλη ή γιατί κάποια λαχειοφό­ ρα παιχνίδια αποδεικνύονται πιο δη­ μοφιλή από άλλα. Ας υποθέσουμε, όμως, για τη συνέ­ χεια, ότι παρουσιάζετε την ανακάλυ­

που χρησιμοποιούν το εν λόγω εργο • λείο και σε εκείνους που δεν το χρη.

μια ν απόφαση προκύπτει από τον πολ ­

ψή σας σε διάφαρα οκροατίpΙα. Σε α υ­

λαπλοσιασμόαυτών των δύο παραγό­

τή τη φανταστική περίπτωση, ουδείς

σιμοποιούv- αυτά τα δύο διαφορετικά

ντων -πράγμα

είδη ανθρώπων επικο"•ωνούν δύσκο ­

μετρήσεις την πιθανότητα της επιτυ­ χίας και την επιθυμητότητα του <ι π ο ­

έχει σκεφτεί τη λήψη αποφάσεων και την αβεβαιότητά της με τον παραπά­

λα μεταξύ τους. Το εργαλείο έχει ένα λατινικό όνομα,

nou το κάνει σεβοστό

nou

σημαίνει ότι, αν

νω μαθηματικό τρόπο -η .aρχή" σας

τeλέσματος, τότε το γινόμενο των δύο μετρήσεων δίνει την αιθανότητα να ο­

είναι κάn το εντελώς καινούργιο. Προ­

οε μετάφραση, r;a έτερα ίσα. Αν αφιε • ρώσετ.ε λiγο χρόνο να στοχαστείτε tι , '

δηγηθεί κάποιος στη συγκεκριμένη α­ ηόφαση. (Αφήνω κατά μέρος τα σχε ­

δών αντιδράσεις -αφήνοντας έξω ό­ σους δεν θα καταλάβαιναν για ποιο

πραγματικο σημαι\"ει τουτη η φραση

τικά τεχνικά προβλήματα που αναφύ­

πράγμα μιλάτε. Καταρχάς, κάποιοι θα

και πώς μπορούμε να τη χρησιμο­ ποιούμε, τότε θα ανογνωρίσε·rε μια

οντ~ι. τα οποία εσείς, ένα γερό μαθη­

προέβαλαν αντιρρήσεις γιο διάφορες

ματικό κεφάλι, έχετε εmλύσει.) Η εν

aπό τις σημαντικότερες πλευρές του

λόγω αρχή έχει ενδιαφέρουσες συνέ­ πειες. Για παράδειγμα, φαίνεται να

πλευρές της θεωρίας σας. Για παρά­ δειγμα, θα έλεγαν ότι δεν θα έπρεπε να

και μυστηριώδες: cereris paribus-κaι

.

.

διονοητικοίι στυλ.

βλέπω ότι θα aντιμετωπίζατε δύο ει­

μιλάτε για την πιθανότητα της επιτυ ­

Για να μπορέσω να δείξω τη οημα­ σία αυτού του εργαλείου, θα παραθέ­

προβλέπει πως οι άνθρωποι έχουν την ίδια πιθανότητα να πάρουν μια συ­

χίας ή την εαιθυμητότητα του αποτε­ λέσματος, αλλά γι' αυτά που ο κόσμος

σω ένα παράδειγμα -κατά ένα μέρος

γκεκριμένη απόφαση υπό δύο εντε·

αντιλαμβάνεται ως τέτοια -οι άνθρω-

2

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998


fiOι δε" δρουν ανάλογα με το πώς εί­

·Πρώτο απ' όλα, δεν υπήρξε φιλο­

ζεις μια θεωρία δεν σημαίνει ότι λα μ ·

ναι στην πραγματικότητα τα πράγμα­

δοξία μου να περιγράψω τον τζόγο ή

βάνεις υπόψη αου όλες τις δυνατές ό ­

τα, αλλά ανάλογα με το πώς νομίζουν

τις προσπάθει.ες για επαγγελματικό

ψεις των φαινομένων που περιγρά ­

όn είναι. θα σας έλεγαν ότι η αρχή σας

nροοανατ{)λισμό ή και αηοκατόοταση,

φεις. Αντίθετα, σημαίνει ότι εστιάζεις

θα iιταν rιφισσότερο ρεαλιστική αν στην εξίσωσiι σας ιφοοθέτατε κι ένα ν

αλλά τα κοινά τους χαρακτηριστικό.

τις προσπάθειες σε κάποιες όψεις που

Αν περιγράφω ό,τι είναι κοινό σε ου­

μπορούν να περιγραφούν με όρους α­

τρίτο παράγοντα: το κόστος της λήψης

τές ης rιεριπτώσεις, δεν είναι επειδή

φηρημένων γενικεύσεων, υποθέτο­

μιας αιιόφασης -tχοντας ίσες πιθα­

τις θεωρώ ταυτόσημες, αλλά επειδή

ντας, χάριν aπλότητας, ότι οι υπόλοι­

νότητες να κερδίσουν το ίδιο ποσό, οι άνθρωποι θα αγόραζαν μάλλον το φθη­

πιστεύω ότι μπορεί να έχουν κάποια

πες είναι •ουδέτερες• -δηλαδή ·ίσες•. Αυτό ακριβώς εκνευρίζει κάποιους

νότερα λαχείο. θα ακούγονταν κι άλ­

που ισχυρίζονται ότι τα άλλα δev εί­

λες παρόμοιες αντφρήσεις -δυσάρε­

θέλησα να ηερι γράψω tι κάνει κά­ ποιος όταν προσπαθεί να επιτύχει τα

στες μάλλον, μια και θα έδειχναν ότι

επιθυμητά αποτελέσματα και να απο ­

nερίnτωση στην άλλη -ηώς μπορείς

η θεωρία σας απέχει πολύ από το να

να aπο��ασίζεις έτ01 για το τι συμβαί­

είναι tέλεια. Ωστόσο εσείς είστε ένας

φύγει τα ανεmθύμητα. Και αγνόησα τις εξαιρέσεις, όταν οι άνθρωποι από ι­

ηραγματικόςεmστήμων· η αναζήτηοη

διοτροπία προσπαθούν να αποτύχουν

της αλήθειας δεν σχετiζεται με την οί­ ηαη και τη ματαιοδοξία. Ας κοnάμε

ή όταν είναι διανοητικά διαtαραγμέ­ \'ΟΙ. Πώς μπορείτε, λοιπόγ, να προβά­

nλοκότητα των φαινομένων; Όποια κι αν είναι τα φαινόμενα

μόνο μπροστά, λοιπόν.

λετε τόσες άστοχες αντιρρήσεις;•

σημαντικά κοινά στοιχεία. Δεύτερον,

ναι ίσα, ότι μεταβάλλονται από τη μια

νει, μέσα στην ποικιλία και την πολυ ­

που θέλουμε να ερμηνεύσουμε, ορέ­

Δυστυχώς όμως, μια άλλου είδους

Το t\πραξαν, διότι δεν αντιλήφθη­

πει γα θυμόμαστε ότι όλες οι έγκυρες θεωρίες βασίζονται στην απόφαση να

κριτική φαίνεται να είναι ουσιαστικό­ τερη. Κάποιοι θα προέβαλαν αντιρρή­

καν ότι η αρχή ο ας, ότ.αν τη διατυπώ ­

θεωρούν όλα τα άλλα ίσα. Χωρίς ου ­

νατε, είχε την ηρωμετωπίδα τα ~rερα

τήν δεν μπορούμε γα περιγράψουμε

σεις όχι για το ηώς συνθέσατε τη θε­ ωρία σας, αλλά yια την ίδια την ιδέα

ίσα. Ίσως δεν το καταλάβατε ΚΙ εσείς.

ακόμη και το mo απλό φαΙνόμενο. Και έχουμε πολλά παραδείγματα τέτοιων

μιας τέτοιας θεωρίας. θα σας έλεγαν:

Έκαναν άστοχες παρατηρήσεις, επει­

αποφάσεων από την ι<αθημερινή μας

•Δεν έχει νόημα να μιλάμε για αν­

δή αγγοούν το νόημα αυτής της φρά • σης ή επειδή δεν τους αρέσει το διανο­

θρώπους που παίρνουν αnοφόσεις στο

ητικό στυλ που αντιπροσωπεύει. Για

μα, που δεν χρησιμοποιεί πραχωρημέ ­

κενό, χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη το

nολλούς α νθρώrιους, το να ασχολείσαι

νη επιστήμη. Όταν εξετόζεις την όρο ­

γενικόιερο πλαίσιο. Πρώτον, οι απο­

με την επιστήμη σημαίνει να ανακα­ λύπτ-εις •<αυτό που πραγματικά συμ­

οr'ι σου, η οπτική σου οξύτητα μετριέ ­

βαίνει•, nέρο αιιό προκαταλήψεις και

κάποιων γραμμάτων σε έναν mνακα,

είναι ίδιο με ι:ο να αναζητάς δουλειά·

aποκαλύψεις. Οι επιστήμονες θεω­

περίπου τρία μέτρα μακριά σου. Πρό­

οπότε, γιατί να υπάρχει μια κοινή "λο­ γική" σ' αυτές τις διαφορετικές ηερι ­

ρούνται άνθρωποι που περιγράφουν τα rιράγματα όπως nράγματι είναι. Ως

κειται για κεφαλαία yρόμματα, που προβάλλονται σε μια φωτεινή οθόνη.

rrτώσεις; ΊΌ τι κάνουν οι άνθρωποι με

εκ τούτου, οι θεωρίες τους πρέπει να

Το υπόλοιπο του δωματίου βρίσκεται

τα λαχεία εξαρτάται από τις απόψεις

ανταnοκρiνονται στην αλήθεια. Αυτό

στο μισοσκόταδο προκειμένου να φω ­

τους γι' αυτά, ενώ το τι κάνουν όταν

βέβαια είναι nολ ύ κολακευτικό για

τiζεται η οθόνη. Οι γιατροί, λοιπόν,

ζητούν εργασία εξαρτάται από τις φι ­

τους εmστήμονες, αλλά απολύτως α­

αρκούνται να μετρήσουν την οπτική

λοδοξίες τους -άρα ηρέιιει να μελε­

νόητο. Οι εΙΗοτημονικές θεωρίες α­

τηθούν με λεnι:ομέρεια αυτές οι ειδι ­ κές συνθήκες. Δεύrερον, όλοι μας γνω­

νταποκρίνονται στην αλήθεια μόνο υ ­ nό την έννοια ότι οι ενδείξεις αnοτε­

σου οξύτητα και να σου σνστήοουν γυαλιά αγάλογα με την απόδοσή σου

ρίζουμε ανθρώnους που δρουν ανορ­

λούν το μοναδικό κριτήριο που αξι­

δεν καταλαβαίνεις την αρχή ra ~τερα

θοl ·>yικά. Μπορεί όταν αγοράζουν λα­

ολογεί το σωστό και το λανθασμένο

ίσα, μπορείς να προβάλλεΙς διάφορες

χεία •α είναι μεθυσμένοι· μπορεί ναέ­

στην επιστήμη. Ένα περιπλεγμένο και

αντιρρήσεις για την εν λόγω βεβαιό ­

χουν μεγάλη ιδέα για τις ικανότητές

ακατανόητο γεγονός έχει το ίδιο βάρος

τητα: ό'tι αυτό το τεστ δεν λαμβάνει υ­

τους· μπορεί να υποκινούνται από πα­

με μια ικανοποιη;;ική και κομψή θεω­

nόψη του το φυσικό γενικό πλαίσιο

ράλογεςεηιθυμίες και πάθη. Άρα η αρ­

ρία -ΚΙ αυτό μερικές φορές κάνει την επιστημονική διαδικασία αnογοητευ­

της κανονικής όρασης· αυτό που δια ­

τικ ή. Από μια άλλη άποψη, οι εnιστη­

προτάσεις με σημασία κι όχι μι:μονω­

δεν καταφέρατε να πείσετε τους πά­

μονικές ιδέες δεν είναι, δεν μπορούν

μένα κεφαλαία γράμματα· σπάνια δια ­

ν τες για τη θεωρία οας. Αλλά σε αυτή

να είναι, και δev πρέπει να είναι η ίδια η αλήθεια. Κι αυτό ακριβώς εκφράζει

βάζουμε σε μια φωτεινή οθόνη σ' ένα

πραγμα tικά η φράση

ro έτερα ίσα. Δεν

ρες φορές τα αντικείμενα έχουν χρώ­

υπάρχει τίποτε το εξαιρετικά ηερίrιλο­ κο σ' αυτήν. Το εξηγήσατε μόλις πριν,

μα ι<αι υφή, καθώς και σαφείς σχέσεις με άλλα αντικείμενα -άρα αυτό που

απαντώντας στις aνόητες αντιρρήσεις.

μετρούν οι γιατροί δεν έχει σχέση με

λον παρανόησαν. Και η απάντησή σας

Και για να το θέσουμε με κάπως πιο

τηγ •πραγματιι<ή• οπτική οξύτητα.

δεν μnορεί παρά να είναι κάJlως έτσι:

αφηρημένους όρους, όταν κατασκευά -

φάσεις λαμβάνονται υπό διάφορες συνθήκες. Το να αγοράζεις λαχεία δεν

χή σας είναι άνευ νοήματος.• Και πάλι θα δυσαρεστηθείτε, διότι

τη φανταστική συζήτηση δίκιο έχετε &σείς· και νομίζω ότι είναι σημαντικό να κατανοήσουμε το λόγο. Υποθέτω, λοmόν, ότι μόλις rιεράοει η αρχική δ υ­ οαρέσκειά σας, θα σκεφτείτε ότι μάλ­

ζωή. θα αναφέρω ένα απλό παρά δε ι γ­

cαΊ χονδρικό μέοι~ cης ανάγνωσης

σ' αυτό το τεσt. Α ν δεν γνωρίζεις ή αν

βάζου με συνήθως είναι λέξεις και

σκοτεινό δωμάτιο· και ης ηeριοοότε ­

Ας επανέλθουμε στην εmστημονι -

QUANTUM I Ο ΚΟΙΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

3


κή σας θεωρία για τη λήψη των απο­ φάσεων. Με την .αρχή• oas (που νομί • ζω όπ είναι εξαιρετικά απλή κι έχει το πλεονέκτημα να είναι αληθινή), ξεκι­ νήσατε μια λαμπρή καριέρα ως ειδικός

της λήψης αποφάσεων σε συνθι'Jκες α­ βεβαιότητας. Δεν πρέπει να δίνετε υ·

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ 'Ειr.&>οη ιης Ένωοηι;Καθη}'ηrών θεnι;ών Εmοτημων<ΝSΤΑι ιr..ι,•JmA ~ιαι rov T(Κlφc/ov Kntnt rης Ρωvικής λκσ6ημίαςΕmστqμώ\', JJE τησύμιφοξη ιης Αμ.φικανικι)ς Ένr.)(7ης KaQηyηrώ'' Φυ01ι.cιk tλΑΡΊΊ l(αJ wv Εθνιχοtί I:υpβovJι'ou Καθηyηrών .Μαθημοπ«ων rNC'fM.Ι t6>\' ΗΠ.-'\

περβολική σημασία σε άσχετες ενστά­ σεις. Πρέ11ει να συνειδητοποιήσετε, ωστόσο, ότι ο δρόμος σας θα είναι γε­

AMEPIΚANUill ΕΚΔΟΣU

μάτος με τέτοια ανόητο επιχειρήματα.

&δόnι<

Κι αυτό διότι, όπου κι αν κινηθείτε, θα συναντήσετε περισσότερους ανθρώ­

πους που δεν καταλαβαίνουν εο

ce-

Gerald t \\' heel('r, ΔιοικηηκόςδJtuθυvtής. NSI'A 4

Λ vtt·ιuuu!λAωv εχ&ίι:ης Sergιιy Krotoν. Διrυfhιν~i)ς. Γροφeiο Κ νanι. ΚαθηνηtήςΦuοικ~ Πολιuιαl(ό Πα...•cιιισtήμΙο της Μiισχa.ς

terίs parίbusαπ' όσους εο καταλαβαί­ νουν. Έχουν διαφορετικά νοητικά πλαίσια, ανήκουν σε διαφορετικές

κουλτούρες. Αυτά ακριβι:ις είχε κατά νου κι ο ρώσο ς συγγραφέας

Alex-

ander Ζίπονίeν όταν στο βιβλίο του

Ιδpuαιιοι' Oιt-vθuvtir:uύvτo(ης

Yuri Ol!ls:ipyan, Πρόεδρος. Γραφείο Κνenι Sheldon Lee Gla$bow. Βραβtiο Νόμnt"λ <Φvιnχ.ή), Παvεwστήμιοtου Χ~ντ Wίlljam Ρ. Thun-ton, Μtιά..\,\Jο Φιλνt"Ι; < ΜαΟημοt:utό). n ανι:ωοιήμιο Lης Κα.\Ιφόρ\'Jας, Μαίρκ.\t:Ο ΔJευθtι~'U"ς σύνr.οξης_οτη Φι.ισJΙtJj

Larry Ο. Kirkpatrlck. Κοθι)γητήι; Φι.ισucήι;. rιo.U ttιax6 ΠανenισtήμJο της Μοντδνaς Albert L. 5ίυe.nko, Κeι&ηyηιήι;:Φvοικ.ής.ΙηιιηοVι<ι Φννικής και TcxvW.oyWς, tης Μόσχος

Yswnίng Ηeίghls(Πλατιά ύψη) έγρα­ φε για τις ·δύο αρχές• που ελέγχουν τη νοηuκή δραστηριότητα: •Η εmστη­ μονική αρχή δημιουργεί αφαιρέσεις, η αντιεπιστημονική αρχή τις καταστρέ·

Διεuθvντ~ σι>νιιψ?;: σrιr Μρθω.ιο ι:ικQ

Mark Ε. Saul, ΣύμβQυλος YncMo\'ισtώv, Σχολή ιοu MnρόvfJ)ι.\. Νοο Υ6ρκη Ιιοr F.

Sh.a.-yJ(1n, ΚαθJιyηι~ Μcιθημ<ι ιutώ''. Κραn.χό Παvt:αιστήμιο της Μόσχος

Αρχιοuvιt'ιktης

Α vu-ιιιt.ηiλλ<ιuοο αρχιυvηάκφιο Jennifer Wanι

)llke- Donaldsoa

ΣUμβ()vλοι qU~·ωξης

φει με τη δικαιολογία ότι αυτό ή εκεί­

Yull Danllov, ~uvηtf)ς Α' ΒcιθμΙ&ς, I\•ΟτnούΦ Kurthιιtov

νο δεν λήφθηκαν υπόψη. Η επιστη ­

lrίn• Ofe)•nik, λρ>;ιοuvιόκ.ιριο , Ι'ραφr1ο Κπnt

μ ονική αρχή γεννά σαφείς έννοιες, η

αντιεπιστημονική αρχή τις καθιστά

Υn~ύθι1vας ι::ιιι.ςινογpόφηο ης !krgty Ινιι.nον

βentJΙrd

L'υj.Ιβου.\rυω.κή rmrpom1

V. Κhoury, Α\·ώιrρος rJC.teλ.rotutός υι:.ιάλ.\ηλοc;. λΑΡ'Ι'

χτούμε το συγκεκριμένο διανοητικό

John Α. Thorpe. ΔlοtΙU}tιιι:όςδιtυθυ~ NC'rM George Bei"''Senyi. ΚαΟηγηLής Μαθημαnχώ\•.lνσnτούtο 1't:('•ο.\ογiας Roδe·Huιman, l\•nό.vcι Arthur Eisen.luaft, 1'μήμα θtοιι.ώ\· Εn1οι-ημ<ι\ν, λUxm Ροχ l,.an(!, N~a Υόριtη Κarcn John.non, Καθηγήτριa Φuιnχής, Ιlο.U~ιcιιι:ο Πcιvtmotήμ1o Βόρtι<:ιι; ΚοροΑί,·<ι<; Margaret J. Kenney, Καθη)• ηφιο Μaθημοιιιι.ών, ΚοΑιyι<ί ιης βcιaιι~νης... Μα<ισηχοΙ.ΙΟ I. ιι.η Alexande.r Soifer, Κaθηγηtής ΜaΟημοοκ(.)ν, Πιιvι;ιιιοιήμιο tOV KQ.\q>ovto, Κο!φόvtο Σ:αρινγιις Barbara Ι. Stotι, ΚaΕhιγfιφκι Μο.θιtμuι.ιιtώ'' • ΛUιctιο ιοu Ρ!βeρ\•ι.tι..\, Λοuιύά..-α Ted Vlttltot-. Σ:uντοξιούχος ιι:αθηyηtής Φuσιιr..ί'f;. Πάρριι;. ΦλδριΝt.a

πρόγραμμα; Ο κύριος λόγος που μας

Pet~r Vunoνicb. Κfvιpοθεtιχών Εmστημών και Μοθημαuχών. Λδνσι\'γ1t, Mitmyκa..-

θολές με τη δικαιολογία ότι έτ01 απο­ καλύπτει την πραγμαοική τους nολυ-

'

μορφια. •

Γιατί όμως θα έπρεπε να αnοδε­

εnιβόλλει να σκεφτόμαστε με αυτά τον

ΕΛΛUΝιΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

τρόπο, να αnομονώνουμε τους διάφο­

6.κδόrqt; •' Διtvθtf\~ Αλt.ιι.ος Μ<ι.μaλqς

ρους παράγοντες και να εξιδαVΙκεύ ­ ουμε την πραγματικότητα, είναι διότι

αποτελεί απαραίτητο όρο για να κό • νου με επιστήμη και επειδή η επιστή­

Μtι6Ιf7ΧΙ'σ'η ""' ΕιuvrqμQη..κή ι:uιpC..Wιo

Σ' auώ ω ttι'rχι>t;Ο ιJνq))'6ι:ιtηιιαv 0\ κ. ιt.: ΣttAJoς; Ζαχαρtοu -μαθημοtu.ός. Κώσtας Dk(Ι.νδάλης-μαθημο;ιιχός, Αθηνό Τσαyιtο\'tωρyα ·φυσικός., t"ιώρyος Kαtolλtt:ρ-rκ ·φυιnιtόc:,

μη έχει αποδειχτεί η πιο εmτυχής νοιι­

Βαyytλης Καφι\ζόuουλος-ψuχiαtρος ιιαι Αλiιιος Μάμcι.\ης·φοοιιtόι;

τική δραστηριότητα ώς σήμερα. Έχει

Ι&pιπικός&ι.tΙΙθιινrής: σύνrο(ης και Ε-ι6ιιt6ςουηφy6rης: rιώρyος Εuαyy~λόnουλος

εξηγήσει σε μεγαλύτερη έκταση από οποιονδήποτε άλλον τρόπο σκέψης τα

mo πολλά πράγματα nου αφορούν τον κόσμο μας. Είναι επομένως κaλύrερη._ όλα τα άλλα είναι ίσα, ασφαλώς.

-Pascal Boyer

Τυnογpαφικtςδlορ(JώοtJι,• Μαρiα Τσαοόση

Πανεωστήμισ ιου Καίμπριr.ζ. Η έρcυνό του αφορά κυρίως τη οχέση της a'•θpωno· Μι1ος με nς yvωσιακιfς επΙστήμες, &ίχvο •

νr:ας πώς ta διάφορα ιιολ1τισμικά φωvό· μcva καθοpίζονwι αιιό ια κοθ<>λ11ι6 χα·

pακτφισn~d r.ιιι;αvθρώnιvης ''όησης.

4

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

Υιιιι)θu,•η Αοyιο ιφί<>υ ~tαρία Μiφαλ.η

Εnισrημσvικοι' σιiμ(JοvΑοΙ ΜaχΔληι; Λό.μnροu, λν<ιιιλφωιης χάΟηγη~ήc: Μαθημοτnών, Ποvεmστήμιο Κρήτης Κώοτ.ας Dκονδάλης,. Εn:ίχο\φο~ κ.αtfηyη* Μοθιwοηκών, J)Ο\'tιιιοιι}μιο Κρήτης Σt~νος Τρα;<(Ι.νάι;.φuοιιι:ός,. Ειδutός,ε.mοtήμων Α' (Ιο.θμiδaς, 'lδρuμο Ttxνoλnyfaι; κcι.ι 'F.ρtuνl)~ θtοδόοης Χρισw&uλάc.ης. ΕrιJιtuυρος ιtuθηγηtήl:, ΦυtΗιtής, Ιlονι:ωο"tήμιο Αθηνών

Σwι;rtιcθwiα. σι·.lι6οοοiηση

Ο Pascal Boyer cfvω rιpωrοβdθμΙος ει· δικός cρeυvηr~ rου Kίng's CoJ/ege σrσ

Ί'\mort:.\'''lιc.ιf ~nιp.ιΗε;ιο θ<:ιν6οης Νιούοηcο

λβ. Μαχαιρiδης

Φιλp, μοη.άζ Χρ.Μήwηc;

Ειηι'mωοη Ν. [Jouλonouλoς

Rοβλοοδ<τιlο θ. Αρχονtοuλάκηιe

Το Quιιntum ικ&δmu σuς 1Π1Α αnό 'tO\' ε.δοαιώ οίχο Sprlnctr ιωι στην Βλλά&ι αιιό ος: Εκ&6οtιις JUιωιtφο Υιοού'Ου\·οc για tη\' tλlηνuιή tιι-&ση σύμφωνcι μt tcι νόμο: Αλ. Μάμο.\.ι:ις Qwιnι"m,διμηV1οkι nq~ιο&κ~ Ι~: 1106·2681 Ccιp)·risht e \'Ιa την ι:Η.ηνική,•lωσσι.ι: Αλ .\4άμaλrις. Δι~υι:ις και κι;vtpιaη διόθwη: Ε:χδόσι:Η; Κiιιqιι ιρn. ΙοοVρων 10 ~ιa.ι Διιφ~·ο.μι'μq, 114. 11 Αθήνα, ιη.\.: (01) 364.3272. 3&1.5008. rιu: ι.οι 1364Jδδ.ι. Οιβ.\ιοιιωλelιο:

Nto στοά

λροαιttιοu {Ωονtmστηpίοu

10564 Αθήνα. πμ.. ιΟΗ324778S.

·1.9].

λnογφc-υtτο.ι η cινο&.ψοοituοη ημι-ώ&σημtοοωοlίtι·

ttott

μέσον ό.\ον ή μiροuς ~ou αeριοδιιtΟΟ χωρι, ιηv

tηΡQψηό/5nι.ι 11)1J Γlt~\1)

'()μη κaθr tM1XU\Κ:~ βιβ.).1ιmΜλιiα: 1 .7006ρχ. gιήοια οuνδρομή: &.ΟΟΟδρχ. ~·ιο ιδιωuς. J6,000{iρx. )'10 βιβ.\ιι:ιθήιιeι:. ι!9ύpιιω Jιάl ορ~·4vιόμοuι;. Ί'ιμή nuλαιcί'ιv ι:ι:uχω,· οιο β1\λι<Ιnω.λcΜ:ι:

1.700 δρχ.


Εύκαμπτες πολυεδρικές επ

ι ες

Αναζητώντας τους κανόνες μαζί με τους Eυler, Cαυchγ και Bricαrd

V.A. Alexandrov 0 ZJITHMA ΤΩΝ Π Οι\ ΥΕΔΡΙΚΩΝ

λά οποιοσδήποτε θελήσει να ασχολη­

επιφανειι,)ν έrιαιζε ανέκαθε'' κε ­

θεί με τη στερομετρία μπορεί εύκολα

Υποθέτουμε ότι απαγορεύεται να

ντρικό ρόλο στη ο tερεομεφiα. Επιπλέον, οποιοσδήποτε προοπα­

να ια αντιμετωπίσει. Το δυσκολόr.ερο πρόβλημα του καταλόγου είναι το t4 ).

αλλάξουμε ι.η μορφή και το μέγεθος ο­ nοιασδήποτε έδρας (δηλαδή φανταζό­

τ

θήσει να αποκτήσει βαθύτερη γνώση

Αν aνυπομονείτε να μάθετε πώς απο ­

μαστε ότι οι έδρες αποτελούντ{Ιι από

·της στερεομετρίας ανακαλύπτει ότι το

ζήτημα αυτό συνδέεται με πολλά ερω­

δεικνύεται ro θεώρημα του Cauchy, μπορείτε να ανατρέξετε στο άρθρο της

στερεά ιίλη1. Όμως, δεχόμασ-ιε όtι επι ­ τρέπεται να αλλάξουμε τις δίεδρες γω­

τήματα. Για παράδει γμα, μπορούμε να

σελίδας

νίες (σαν οι έδρες να ήταν συνδεδεμέ ­

ξεκινήσουμε με τον ειιι\μενο κατάλο­

16.

που ανήκουν στις ακμές.

Εδ~> θα εξετάσουμε μερι κ <'ι ερωτή­

νες με αρμούς). Θα ονομάζουμε μια

ματα που συνδέονται με το θεώρημα

tιολυεδρική επιφάνεια εύκαμιπη όταν

του

Συγκεκριμένα, θα αιιο­

είναι δυναtή η αλλαγή της μορφής ιης

κανονικών rιολυ~δρων ~ tεφαέδρου , κύβου, οκταέδρου, εικοοαέδρου και

δeiξουμε μέσω ενός αντιιιοραδείγμα­

μέσω συγεχών μετασχηματισμών των

τοςότι το θεώρημα δεν επεκτείνεται σε

δίεδρωγ γωνιιi>ν της. Προφανώς, η (μη

δωδεκαέδρου) που είναι περιγεγραμ­

μη κυρτό πολύεδρα <ένο εντυπωσιακό

κλεισtιj) ηολυεδρική εrιιφάνεια rιou

μέ,•α (ιi eyγεγραμμέ,·α) σε κύκλο δε­

γεγονός ιιου από ιην απόδειξη του

αποτελείται από δύο τρίγωνα συνδεό­

δομένης διαμέτρου. (2 ) Αnοδείξτε το θεώρημα του

θεωρήματος του

μενα κατά μήκος μίας πλευράς τους ' κο μπτη. ε 'ι ναι ευ

γο προβλημάτων: ω Βρείτε το μήκος της ακμής των

Euler

Cauch)'·

ρέμεινε επί

Cauchy, το 1813, πα ­

150 χρόνιο αδιευκρίνισrοι

-δηλαδή ότι σε κάθε κυρτό πολύεδρο

Πριν προχωρήσουμε, όμως, ας δώοοιι­

ισχύει η ισότητα

με μερικούς ορισμούς.

Κ -Α+ Ε =

Πι>λυeδρικήcπιφάveιαείναι μια ο ­

2,

Στο υ πόλοιuο άρθρο θα εξετάσου ­ με το ερώτημα της ιlπαρξης κλειστών, εlίκομmων πολυεδρικών επιφανειών

αοιαδήοο ιε εωφάνεια του τριοδιάστιι ­ του χώρου που αποτελείται από πεπε­

που δεγ tέμγουΥ τοΥ εαυτό τους.

κορυφών, των ακμιδν και cu>v εδρι:ιν του πολυέδρου, αντίm.οιχα.

ρuσμέ\•ο πλήθος πολυγώνων.

νεια είναι κυρτή αν είναι το σύνορο ε ­

Q,•ομάζουμε έδρες της επιφάνειας

νός κυρτού συνόλου σημείων. (Ένα

<3JΧρησφοποιήστε το θε~ψημα του Euler για να αποδείξετε ότι ο κατάλο­

αυτό τα πολύγωνα και οκμι!ςτις nλευ ­ ρές τους. Υποθέτουμε ότι κάθε ακμή

σύνολο σημεlων είναι κυρτό αν κάθε

γος κανονικών ηολιιέδρ<vν που παρα­ τίθεται οτο Πρόβλημα (1) είναι πλίpης.

ανήκει σε δύο το πολύ διαφορεrικές έ­

σημεία του περιέχeτα.1 στο σύνολο.\ Α­

δρες της επιφάνειας. Αν όλες οι ακμές

Cau -

αν1jκουν σε δύο έδρες, τ-ότε λέμε την

chy, σύμφωνα με το οποίο δύο κυρtές

εωφά νεια κιlειστή. Ένα καλό παρά­

ται όrι καμjα κλειοιή, κuρtή πολυγω­ νική επΙφάνεια δεν είναι ειlκαμπτη.

και κλειστές πολυεδρικές επιφά,•ειες

δει γ μα κλειστής ιιολυεδρικήι; ειιιφά ­

με ίσες τις αντίστοιχες έδρες, και των οποίων οι έδρες συνδέονται με τον ίδιο

νειας είναι η εωφάνεια τοu κύβου \αν αφαιρέσουμε μια έδρα από αυτή, το

Bricaι·d πφιέγραψε όλα τα δυ,•ατό εύ­ καμπτα οκτάεδρα. Σύpφωνα με τα θεώ ­

τρόπο, είναι ίσες.

μέρος που απομένει δεν είναι κλειστή

ρημα του Caιιchy, κανένα από αυτά

αολuεδρική εrιιφάνειαι. Τονίζουμε όrι είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε και αυ­

δεν μηορεί να είναι κυρτό. Συνηθίζε­

<ΜCμ vόμενcς cπιφανcιι:ς. οι έδρες των

δρα, γνωστά επiσης και ως οκτάεδρα

<2>και (3\ δεν περιλαμβάνονιαι

οι1οjωγ έχουγ και άλλu κοl\•6 σημεία

Bricard,

συνήθως στο σχολικό πρόγραμμα, α λ-

εκτός των κορυφών και των σημείων

άρθρο θα θεωρήσουμε έ\•αν μό,·ο rύno.

όπου Κ, Α και Ε είναι το πλήθος των

(4 } Αποδείξτε το θεώρημα του

Το Πρόβλημα (1) δεν ξεφεύγει από rα όριο της συνηθισμένης ύλης των σχολικών μαθηματικών. Τα Προβλή­ ματα

Θα λέμε ότΙ μια πολυεδρική επιφά­

ευθύγραμμο τμήμα ιιοv οvνδέει δύο

ro θει;Jρημα ταυ Cauchy συνεπάγε ­

Το

1897 ο

γάλλος μαθηματ~κός

R.

ται να χωρίζουμε τα εύκαμπτα οκτάε­

σε τρεις τύπους. Σε α υ tό το

QUANTUM I ΑΡΘΡΟ

5


ια εχουν ιτσι, ας θεωρησουμε τη δίε · δρη γωνία S με ακμη EF. εδρες της ο· ποίας είναι ιο ημιeπίπεδοs1 που διέρ­ χεται από το Β και το ημιεnίπεδο s.1 που

b...

. /

••

d

'.· - - - - ~ - ~.,~-· ··

.

....'

διcρχεcαι από το

C.

Ας οιρέψουμt το

μnορουμε γα το κανουμε μόνο με τη

ψοΥιαοία μας, διόη η εν λόγω διαδι· κασία δημιοιφγεί ιομές της επιφά ·

νειας με ιον εαυτό cης. Για ιιαράδειγ • μα, οι έδρες ADE και BCE θα tέμνο·

ημιεrιίπεδοs1 περί την ΕFέιcι ώστε το

nαι κο τά μήκος μιας ευθείας που δεν

Α. Δηλαδή, το στρέφουμε προς τη με ·

ριά ιου παροτηρητη κο ιό γωνια ιση με

χfζουμε να μετακινούμε ιην κορυφή F. η ευθεια αυτη ολλαζει θεοη πάνω

ιη διεδρη γωνία στην ακμηΕFτου tε·

οιις έδρες

δύναtον να μιμηθοίιμε ιη ουγκεκρι· μένη διαδικασία σε ένα χόριινο μο·

Πρώτα θα εξηγήσουμε τον φόπο

φσeδρου B.4EF. Παρόμοια, οφέφου · με το ημιεπίπεδο s., περί την ευθεία EF έτσι ώστε to νέο ημιεrιίηεδο ι, να πε ­ ριtχει το σημείο D. Δηλαδή, το στρέ ­

κατασκευής ενος χάρυνου μοντέλου

φουμε αντίθετα ιιρος ιον παρο ιηρητη

οπό τα οκτάεδρα Brίcard. Όπως και τα

αυτού του οιηαέδρου. Αντιγράφουμε

κο τά γω,•ία ίση με τη δίεδρη γωγία

συνηθιομέ,•α οι<τάεδρο tχει 6 κορυφές

ιο αποτελούμε,•ο από έξι φίγωνα πο ·

στην ακμή

λύγωνο του Σχήματος

Ομως, ανεξάρτητα αιιό ι η θέση ιου

~όνι. Τα γράμμαtο 8,

σημείου

"to ημιεrήηεδο t 1 να uεριtχει to σημείο b Σχήμα

1

είναι ακμή ιης εmφάνειας Q. Όταν αρ·

ADE και BCE. και είναι α ·

νcέλο.

Επομένως, η επιφάνεια Qείναι ένα

βολίζουν τα μήκη των αηiστοιχων

ιων ιεφαέδρων είναι ίσες Ιδεί τε το

tA, Β, C, D, Ε και Fl, 12 ακμtς tA8, AD, ΑΕ. AF, BC, ΒΕ, BF, CD. CE, CF. DE και DF) και 8 έδρες \ΑΒΕ, ABF, BCE, BCF, CDE, CDF, ADE και ADFJ. 'Q .

ακμών. Για παράδειγμα, μας διευκο·

Σχήμα

2), και επομι\νως αυτά είναι ί · σα. Άρα η δίεδρη γωνία Τ που σχημα · τίζουν το ημιεηiηεδα Ι και ι 1 είναι ίση με ι η διεδρη yωνία S.

μως,αντίθετα με τα συνηθισμένα. το ο ·

Συνεπώς. στα tετράεδρο ΒCΕFκαι

την κατασκευήέι.οι ώσιε να εξαφονι·

τα μήκη.) Κόβουμε κατά μήκος των

ΑDΕFμπορούμε να εν ι.οnίοουμε nένtε

οτούν οι τομές της επιφαvειας με τον

σuνεχc;η• γραμμών και στη συνέχεια

ζεύγη ίσων αηίστοιχα ακμών ιΒΕ :

εαυιό tης.

διπλώνουμε κατά μήκος των διακε ·

AF, BF =ΑΕ, CF = ΟΕ, CE = DF ενώ

κομμένων ως εξής; Διιιλώνουμε προς

Ε}' είναι η κο1νή τους ακμή) και ένα

ιο μέρος μας ια δύο φιγωνικά οιερύ · για tη μία πλευρά των οποίων ισούται

ζεύγος ίσων δίεδρων γωνιών'

λύνει να πάρουμε a και d =

11. !Οι

1 σε ένα χαρ· b, c και dσυμ­

• 12, b = 10, c =5

αvαy\•ώστες μπορού\•

''α επαληθεύσουν όιι όνιως οι ακμές cνός πολυέδρου μπορεί να έχουν αυτά

με c) που βρίσκονται αρισ ιερά του σχήματος και ενώνουμε τις πλευρές

EF του ιετραέδρου CDEF.

F, οι αγτίστοιχεςακμές αυτών

s και τ.

που βρίσκονται απέναντι από ης έκτες ακμες τους tBC και AD. αντιστσιχαl. Συνεπώς, τα τετράεδρα

BCEF και και, επομένως, AD =

κτόεδρο του Brίcard είναι ευκαμmο. μη κυρτό, και τέμνεται με τον εαυτό του . θα τροnοποιησουμε τώρα αυτή

Η ειιψάνεια του θα αρχίσουμε ενώνοντας με ένα

συγκεκριμένο τρόπο δύο όμοια αYti· yραφα Ρικαι Ρ! της πολυεδρικής επι­ φονειας Ρ. θα συμβολίσουμε τις κορu •

φές ιης eιιιφάνειας Ρ1 με τα ίδια γράμ ·

ιιρος την αντίθετη κατεύθυνση και e· νώνουμε ης πλευρές μήκους c. Προ·

ADEF είναι ίσα BC = d για όλες ιις δυν<ιτές θέσεις της κορυφής F. Αφού το μήκος ι ης AD είναι στο·

κύπrει η μη κυρτή, μη κλειστή πολυε­

θερό και ανεξάρτητο από τη θέση του

κ tη ι. Παρόμοιο συμβολισμό θα χρη·

δρική εmφά.-εια Ρ του Σχηματος 2. 01

F, ουμrιεpαiΥοuμε ότι μπορούμε να ε·

σιμοιιοιηοουμε για την επιφάνεια Ρ,.

συ,•εχείς γραμμές σε αυτό το σχήμα

πισυνάψουμε δυο φανιαοιικα χάρη·

αντιπρασωπεύουν ιις ορατές ακμές

να ιρίγωνα

Σχεδιάζουμε τώρα στο χαρτόνι το τετράπλευρο που αποrελeίrοι οΙΙό ια

ιης επιφάνειας ενώ οι διακεκομμένες

φάνεια Ρ έτσι ώστε η ιιροκύπτουσα

δύο iοα φίγωνα του Σχήμοτος

ι ι ς ακμές που καλύιι τον τα ι αηό τις έ·

κλεισcή πολυεδρική επιφάνεια Q να παραμένει εύκαμοτη. Φυσικά. αυτό

γράμματα a και eδηλώνουν, όπως και

μήκους

c.

Διπλώνουμε \Ο δύο όμοια

ι1ιερύγ1α στο δεξί μέρος του οχήμαιος

δρες. Οι ακμές ΑΕ,

ED, DFκαι FA ο·

ποτελούν το σύνορο αυιής τηςεπιφά· νειας και καθεμια τους συνδέεται με

ADE και ADF στην επι·

ε

μα τα ιιου χρησιμοποιήσαμε για τις α·

νιiοιοιχες κορυφές της ειιιφάνειας Ρ χρησιμοποιώντας εmαλέον και το δεί •

3. Τα

προιιγουμένως, τα μήκη των αντίστοι­ χων πλευρών. Αν προηγουμένως δια· λέξατt

a = \2, θα σας διευκολύνει να e = 17. Κόψιε το σχήμα κατά

μία μόνο έδρο της επιφάνειας Ρ. Πραφσνώς, η ιιολυεδρικη επιφά­

θέσετε

νεια Ρ είναι εύκαμntη: Αν θεωρήσου·

nλώ<ι ιε το κο tά μήκος της διακεκομ ·

με σταθερή τη θέση rου τριγώνου

BCE

μένιις γραμμής. θα προκύψει η μ η

στο χ6ψο, μπορούμε να μετακινήσου· με το σημείο F nρος τις κατευθύνσεις

κλειστή πολυεδρική επιφάνεια του Σχήματος 3, την οποία ονομάζουμε R.

ιιου δείχνουν τα βέλη ο το Σχήμα

μηκος ιω'' συνεχώγ γραμμών και δι·

2- Οι

Σταθεροηοιούμε τη θέση τηςεmφά·

θέσεις των σημείων Α και D μπορούν

νειας Rστο χώροετοι ώστε ηαnόσtο· ση μεταξυ των L και Ν να γiνει d. Με

επίσης να αλλάξουν αλλά και αυτό είναι το mo σημαντικό- η μειαξύ τους

άλλα λόγια, στη οuνiχεια δεν θα αλ·

αιιόο ιαοη παραμένει σταθερή. ΓΊα να βεβωωθούμc ότι τα πράγμα-

6

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

λάξουμε ιην tιμή ιης δίεδρης γωνίας

Σχήμα

2

με ακμή ΚΜτης εmφάνειας R.


... Παρομοίως, τοποθετούμε το σημείο

Ε, nόνω στο Μ, το D2 στο L και το Α,

11

στο Ν. Στη οuνέχεια ενώνουμε τις επι­ φάνειες Ρ2 και R κα τό μήκος ιων ακ ­ μών Α.Ε, και ΜΙ\' και ιιαtά μήκος των ακμών και LΜ(Σχήμα 4}. Διαm­

e ····-···.

DA

ιι

οτώνουμε όιι

to σημείο F2 μιιορεί

να

κινηθεί κατά μήκος του ίδιου κύκλου στον οποίο κινείται το F1• Επομένως, αν δώσουμε μια ιυχαία μορφήσιην ε­ πιφάνεια Ρ, (δηλαδή αν σταθεροποιή­

σσυμε τη θέση της κορυφής F 1 στον ιιροαναφερθcντα κύκ.\ο) μπορούμε να

Σχήμα

1

3

Ε,, το Α, στο L και το D1 στο Ν. Στη

συνέχεια ενώνουμε τιc;εmφάνειες Ρ

και R κατά μήκος των ακμών Α 1Ε1 κ~ KL και

κατά μήκος των ακμών Ε

D

και ΚΝ <Σχήμα 4). Είναι φανφό ό ..~

όπως και nροηγουμένως, μπορούμε να

φανειών που επινόησε ο

R. Connclly .

Το 1995ο ρΟΟος μαθηματικός Ι.Η . Sabίιον αnέδeιξε την εικασία. Σκεφτείτε το: η εmφάνeια του

Steffen

θα παρέ ­

μενε εύκαμπτη ακόμη και αν τη σφρα­ γίζαμε ερμητι κά και τη γεμίζαμε με έ ­ να ασυμιήεστο υγρό!

Προκύπr.ει φυσιολογικό ιο ερώτη­ μα: ΥπάρχοU\• άλλα μεγέθη που χαρα­ κ τηρlζουν μια πολυεδρική εrιιφόνεια και ιιαραμένουν σιαθερά όταν τη συ­

στρέψουμε; Ένα τετριμμένο παρδδειγ­

οuστρέψοuμε ι ην εmφάνεια Ρ (δια ­

μα τέτοιου μεγέθους είναι το εμβαδόν

npώντας σταθερες uς έδρες της φυσι •

της επιφάνειας. Ε'•α ακόμη σημαηι­ κότερο nαρόδειγμα προκύπτει από την επόμενη κατασκευή.

κό> έτσι ώστε να συμπέσουν οι κορυ­ Τοnοθεcούμε tO οημείο Κ ιιάνω στο

στών, εύκαμmων πολυεδρικών εm ­

φές

F,

και

στούν οι

f', . Τόιε όμως θα ιαυτι ­ ακμές A 1F 1 και D F,, όπως 1

A.f'.,

Ορίζουμε την εοωι;εpική δίεφη yω­ ••ία στφ• ακμή μιας κλειστής πολυε­

και οι ακμέςD1 Fι και και θα nρο­ κύψει ιuα κλεισιή πολυεδρική επιφα­ νεια, που είναι εύκαμπτη, διότι έχου­

δρικής εmφάνειας ως το μέτρο της δίε­

με ελευθερία επιλογής στη θtση του

προκύπτει αν μετρήσουμε από την

σημείου F, (ή, ισοδύναμα, του F,J. Η ε.

πλευρά της πολυεδρικής εrιιφόνειας

δρης γωνίας (οε αυτή την ακμήΙ ιιου

μετακινήσουμε την κορυφή Fι παρό­

στην οποία πρόσκειτοι το πεπερασμέ ­

λο που η θtοη της επιφονειας R είναι σταθερή (διότι η σταθερή απόσταση με­ ταξύ τω'' σημείων Α και J) δεν αφαι ­ ρεί οπό ι ο οκ ιόεδρο Bricard cην ι κο­

νου όγκου σώμα που φράοσειαι αιιό τη\' εmφάνεια (μπορεί να είναι με γα­

λ ύτερο από ιsο•ι. Πο.\λαπλασιάζοuμε ιο μίικος ιης ακμιις μιας nολυεδρικιiς

νότητα οuστροφήc; και η Ρ εί\•αι ο­

επιφόνειας εni την τιμή της εσωτερι­

πλώς ένα τμημα αυτού του οκταέ­

δρου). ΕnιπΗον, το σημείο F, μπορεί

κής δίεδρης γωνίας σε αυτή την α κ μη και προσθέτουμε τα γινόμενα για όλες

να κινηθεί ελεύθερα κο ιό μήκος του κύκλου που ανήκει σε ένα ειήπεδο

νομόζεται μέση καμαυλόnμα της no-

1

τις έδρες. Ο αριθμός ιιου προκύιιτει ο­

κάθετο σιο ιμήμα A 1D1 και έχει κt­

Σχήμα

μορφή των εδρών των ειιιφανειών R και Ρ, δεν θα αλλάξει ~α μεταβλη­ θούv μόνο μερικές συγκεκριμένες δί ­

πιφάνεια αυιη ονομάζεται πολυε4>ι­

εδρες γωνίες.

φή ιιαραηδνω από τον κύβο. (θα σας

5

ντρο ιο μέσο αυτού του τμήμαrος. Η κή επιφάνεια του Steffen. Έχει εννέα

μόνο κορυφές, δηλαδή μία μόνο κορυ­ βοηθήσε:ι αν κατοσκευάσeτε το τρίγω ­ νο KLM αnό διάφανο υλικό: θα μnο­ ρ~οειε να δείτε ιι συ μβαίνει στο εσω­ τερικό της εnιιρόνειας Steffc11 όταν τη

.w

κ~------------~

συστρέφετε.J

ε

L

1

Ας σχολιάσουμε τώρα ορισμένες ι -

διόιηιες των tυκαμmωv πολυεδρι­ κών εmφανειών. Κάθε κλειστή πολυ ­ εδρική εmφάνεια που δεν τέμνεται με τον εαυτό της αnοιελεί το σύνορο ενός σώματος στον τρισδιάστατο χώρο. Το σώμα αυτό ίχει πεπερασμένο όγκο.

Σύ μφωνα με τη λεγόμενη εικασία ιου

4

ρικανός μαθηματικός

R. Alexander

απέδειξε ότι, όταν συστρέφεταΙ μια κλειστή, εύκαμπtη πολυεδρική εmφά ­ νeιο, η μ~ση καμιιυλόι1Jτι'ι tης δεν με­ ταβάλλεται.

Vliιρxow εψαρμοyές σtOV ψUσι(όκόαμο; θα πρέπεΙ να ομολογήσουμε ότι στα είκοσι χρόνΙα που ακολούθησαν tην αναβίωση του eνδιαφέρονtος για nς κλειστές, εύκαμπτες επιφάνειες δε'· έ. χουν ανακαλυφθεi πρακτικές εφαρ­

μογές. Δε ν ηρέιιcι όμως να απcλιιιζό­ μαστc, διότι πολύ συχνά στην ιστορία της εmστήμης οι nροιι uκές εφαρμογές ενός φαινομένου που ίχει οποδι:ιχιεί

θεωρηtικά εμφανίζονται μόνο έπειτα

φυσηtψα, αν η επιφάνεια είνα ι εύκα ­

αnό εην 11άροδο πολλών ετών. rια πα­

μιιτη όταν τη ουστρέφαυμε. ο όγκος

ράδειγμα. περισσότερα αnό πενήντα

αυτού ταυ σώμαιος πορομένει ο~αθε­

Σχήμα

λυεδρικής εmφάνειας. Το 1985, ο αμε­

χρόνιο μεσολάβησαν μεταξύ της θεω­

ρός. Η εν λόγω εικασία εμφονίαιηκε

ρητικής ανακάλυψης των ηλεχτρομα ­

το

yνητικών κυμάτων και της πρώτης

1978

ως αποτέλεσμα της μελέτης

των πρώτων παραδειγμάτων κ λ ει-

ραδιοφωνικής εκnομιιής.

OUAHTUMI ΑΡθΡΟ

7


Και παρόλο που δεν γνωρίζουμε α­ κόμη κάποια μη ιeιριμμένη εφαρμο ­

ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ

γήαυτής τηςθeωρίας. μπορούμε να υ­ ποδείξουμε μια nολλά υποοχόμενη γραμμή fρεll'•αc;. Η σύγχρονη χημεία εξηγεί πολλtς ιδιότητες διαφόρων ου­

σ ιών βάσει ι ης yεωμειρικής δομής των μορίων τους. Είναι δυνατόν να θεω­ ρήοuυμε ένα μόριο ως πολύεδρο, με τα άτομα να ονιιστοιχούν στις κορυφές

IIDI

του και τις συνδέσεις μεταξύ των αtό­

ιι:ι~ι

μων νcι αντιστοιχούν στις ακμές του.

Και ιιcιρ' ότι οι αποστάσεις μεταξύ των ατόμων δεν μπορούν να μεταβάλλο­ νται, tίποιe δεν εμποδίζει την αλλαγή

των δίεδρων γωνιών μeιαξύ των ε­ δρών α υιού του πολυέδρου. Έtσι, μπορούμε να φανταστούμε κάποια ουσία τα μόρια ιης οποίας έ­ χουν tη μορφή εύκαμπτης επιφόνειας.

Οι χημικές και φυmκές ιδιότητες α υ­ τής της ου οίας θα αλλάζουν καθώς θα μειαβάλλειαι η μορφή των μορίων της!

Ακόμη, βέβαια, δεν έχει ανακαλυφθεί μια τέτοια ουσία. Ποιος όμως μπορεί

να ξέρει τι θcι συμβι:ί στο μέλλον;

(I)

Raymond Smullyan Την κυpfα ή την τίypη;

flPOHΓOYMENA ΤΕΎΧΗ

και άλλα αινίγματα μαθηματικής λογικής Το Quanιum ικι\lδιται

σια ι.U.,..ιιά από rov AfιUo 100

/994.

Mtrpι

σιjμιρα tχουν Χ1•χλοq-.ορήοrι elx.om ΟΧΙώ rιtίχη rou. Avtά..

Το βιβλίο. αποτελΕί μια εξαιρετική συλλογή προβλημάτων -παραδόξων. μcταγρiφων. αινιγμάτων συνδuαοτικήc;. κ.λπ.- τηc; σuνχρονηc;

μαθηματικής λσγ!κήc;. και έχει ως κύριο σκοπό τοu να εξηγήσει.

j

yιa ι!οιι ΊJ><h>o θα uπάρχ,..,. όιαθtσιμα αvτ(ηιπά τονς, μποpιίrl' να tα

με τρόπο μοναδικό. το θεώρημα της μη πληρότητας τοu Gόdel

και το θεώρημα της τυmκής μη ορισιμότητας :rηc; αλήθειας τοu Ta~ki.

από

προμηθι.ύrιπr ιι.πό •α

βιβλιοπωλrlfJ, ωτό τα yμαφtfa ~το

1 α.JΑΝτιΜ .... ·- - ··-

/Jιβλιοπωλtlο ""' πιιχοόιχο~.

cΕπινθηpοβόλα συΜογή προβλημάτων κcιι παpa66{ωv της λοj'1κής

*

ιιr

ανtικαrαβολή.

•"Ε(υπvcι. 6ι6cικτικό. 6ισοκε6αστικό βιβλίο... Ο τtΛturcιloς μιτσγpίφος •ποιος ιlvaι ο κcιτάοκοπος;• αποτελει τον πιο ευφυή γpιφο λογικής

που 6ιστυπώθηκε ποτl. .. •

Η τιμή rοι>ς ιlνω Ιδια

#'( (lttrή

C. Boolos, Κcιθηyητης ιpιΛοσοιpιcις στο Μιτ

[(JtJ

•ιήιιnος Jιι)χοι>ς. Το Quanιuιn ιlνω :ιιρ.οlΗχό

/Ιι/Ιλιοθιlχ 'Κ· f/JOI'flσιr να μη Χάσιtt

_

κανlwι rtιixoς

rov πιο ψυχαγωγικό mcιiovrcι της μαθηματικής λογικής και της θεωp!cις ουvόλωv που υπήp(t ποτt...• Martίn Cardner

rou.

α.mτι..Μ I Μ:τορι:lffακόμηνα

•Ο Rily Smυl/ydn εlvaι ο ιew;s Cmo/1 της ιποχης μας. ..• Ρ. lhnnlnι. Καθηγητής πληpcφοpικης στο Πονtmοτιjμιο l'drrlυe

Ένα βιβλίο για κάθε λάτρη «>υ εiδοος: από μοθητtς λuιιιιαυ μεχρι ώριμους μοθηματικοίις. λογικολόγοuς κατ επιστημονες των υπολογιστών.

:rρομηθεντι1rι και ης χαλαlοθηft> θήχες

~ 8

rοιι, μr αντικαταβολή ~ από ω /Ιιβλιοπωλtlο ιιας, για τηv αl'!-ειοθt· rrισ)J των tε1Jχαιv σας.

ΝΟΕΙΙΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

ΕΕΛ. : .l6~ Ι~ χ .11 α. Πtlf.'ό6πρ,

5 .JOO 6ι»:

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚάΠJnτpο BιβWnαW!a Στοά τοιι βιβλίου (Πεσμαζόγλου

S). ΙΟS 64 Αθ~να. rηλ. : 3247785

Web sire: wWΙν.kaιoρtro.gr


ΣΠΑΖΟΚΕΦΜ Ι ΕΣ

Για να περνά η ώρα Σ136 Φιιιtική τριάδα. Κάποιος υποστηρίζει ότι γνωρίζει τρεις φυσικούς αριθμούς χ,

y και z, που ικανοποιούν την εξίσωση 28χ + 30y + 3lz =365. Έχει δίκιο;

Σ137 Εύφλεκ ra χpov6μcrpo. Έχεrε δύο κομμάτια φιτιλιού, καθέ,•α από το οποία καί ­ γετ.αι μέσα σε 1 λεπτό. Μετρήστε με τη βοήθειά τους 45 δευτερόλεπτο. Δεν ε ­ ιιιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε ψαλίδι και ο ρυθμός καύσης μπορεί να με τα­ βάλλε ιαι και:.ά μήκος κάθε φιτιλιού.

Σ138 Η ε{αφάνισιι των κομμάιωv. Ένας μαθητής έγραψε στον ιιίνακα τρεις φυοι. κούς αριθμούς που είναι διαδοχικά στοιχεία μιςις αριθμητικής προόδου. Στη συνέχεια, έοβφε τα κόμματα που χώριζαν τους αριθμούς και δημιούργησε ένα γ επτ-αψήφιο αριθμό. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του αριθμού;

Σ139 Κατασκευή κύβου. Αφαιρούμε το κεντρικό τετράγωνο αηό ένα πλέγμα δια ­ στάσεων

5

χ 5. Κόψτε το σχήμα που προκύmει σε δίιο τμήματα το οποία μπο·

ρούν να διιιλ(,)θούν έτσι ώστε να σχηματιστεί ένας κύβος με ακμή μήκους

2

τετραγώνων.

1 ~ ;:-

g. & ·g_ ~ ~

Σ140 Η αvιανάκλαση που ξεφεύγει. Είχα πάει κάποτε με το γιο μου βαρκάδο ο τη λίμνη και θαυμάζαμε την αντανάκλαση του δάσους πάνω στην ήρεμη επιφά­

νειά της. Ο γ ιός μου, rιρότεινε: •Ας πάμε μέχρι εκεί. Θέλω να&.> το δtντρα κάτω από τα πόδια μου!,. Προσnαθήσαμε να το καταφέρουμε, αλλά aποτύχαμε: ιο εί&~λο του δάσους μας ·ξέφευγε>• ουνεχ~Jς. Γιατί;

ο

"

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Α ΥΣΕΙΣ ΣΊΉ ΣΕΛ.

62 QUANTUM I ΣΠΑΖΟΚΕΦΑΛΙΕΣ

9


Γιατί αεροπλάνα παντός καιρού; Πώς μια νεροποντl] μπορεί να βοηθl]σει κάποιον να αυζl]σει τις γνώσεις του S.Κ.

Betyaev

Μ

ΒΡΟΧΕΡΗ ΦΘΙΝΟΠ!JΡΙΝΗ

Μήπως ο βροχερός και ­

νύχτ.α, καθώς ο φlλος μου κι εγώ περιμέναμε ο ι;ο αεροδρό­

ρός αποτελεί πρόσχημα για να συγκαλυφθούν

μιο για την πτήση μας, μπορέ­

άλλοι λόγοι;"

ΙΑ

σαμε και ανακαλύψαμε για"ti

αε­

·Μη βιάζεσαι να κο­

ροπλάνα αδυνατούν να nεtόξουν ό­ ταν εmκρατεί κακοκαιρία. Χρειαστή­

ταλήξεις σε συμπερά • σματο. Ας σχεδιόοσιιμε

καμε βέβαια περισσό.ερο από μισή η­

τη μορφή της ροής γύ-

μέρα, αλλό τα καταφέραμε. Εγώ, μά­

ρω από μια αεροτομή ε -

w

γράψω την περιπέτειά μας προς χάρη

νός αέριου ρεύματος που περιέχει σταγονίδια ν ε-

των επερχόμενων γενεών.

ρού.•

•Η πτήση 429 έχει καθυστέρηση λόγω των καιρικών συνθηκών .., ανα­

κρη το φλι'tζάνι του με

κοίνωσε η φωνή σ το μεγάφωνο.

τον καφέ, ο φίλος μου

λιστα, έφτ.αοα στο σημείο να κατα­

Ei-

χα ν ανοίξει οι καταρράκτες του ου ­ ρονού και τα φώτα ιων δρόμων μόλις

~

~ \

-~

(71

\

Α

~~

/)

l

I ιt'....,ι::-?ί-....::~ι;;.c::::;C:;~~::._.:::;_

----'"~Τι -it99--~--<!:~--:!!ο--Ι

,

ιγ

Αφού έβαλε στην ό.. ι.., ... :u ::•• χ; •

πήρε ένα φύλλο χαρτί

Σ ή

Χ μα 1

και μερικά χρωματιστά στυλό και έ­

άλλη, οι σταγόνες τ.ης βροχής πέ­

φτιαξε στα γρήγορα ένα σ κι:ιρίφημα

φτουν με σταθερή τ.αχύτητα

·Γιατί άραγε να καθυστερούν οι

(Σχήμα 1). Τότε είπε: ·Α<; εξετάσουμε

Επομένως μιιορού με να αγνοήσουμε

πτήσεις όταν εiναι τέτοιος ο καιρός;•

την mήση στο σύστημα αναφορός του

σκέφτηκα μεγαλόφωνα. «Οι κεραυνοi

αεροπλάνου. Ένας παροτηρητ;ής ακί­

τη βαρirtητα.• ·Και τότε πώς τα σταγονίδια χτυ -

και οι αστ.ραηές σταμάτησαν για τα

νητος ως προς αυτό το σύστημα ανα ­

πουν την πτερυγα; •

καλά, ζήτημα να σχηι.ιατιστεί ιιάγος

φοράς βλέπει το ρεύμα του αέρα με τα

·Καλά, λοιπόν, ας εξεmσουμε αυτή

στην πτέρυγα δεν γεννάται με τη ζέ­

σταγονίδια του νερού να προοπimει

τη διαδικασiα. Α ν άμεσα στις φοχιές

στι) που κάνει, και οι μοντέρνες συ­

στην πτέρυγα, η οποία ηρεμεί. Σε με ­

των κινούμενων σωματιδίων του νε­

σκευές πλοήγησης εmτρέπουν τον έ­

γάλε<; αποστάσεις από την πτέρυγα, η

ρού υιιάρχουν δύο που εφάmοντuι

λεγχο των πτ.ήσεων ακόμη και με

ταχότητα της ροής του αέρα ισούται

στο όριο τη<; αεροτομής του σκαριφή­

μηδενική ορατότητα.•

κατά μέτρο με την ταχύ τι]τα του αε­

ματός μας (Σχήμα

.Αχό! Ξέρω γιατί•, είπα έπειτα από nαροτεταμένη σιωπή. •Οι έλικες tων

ροπλάνου ως 11ρος ένα σύστημα ανα­

A'B'D'.

φοράς οτερε~ψένο στο έδαφος.•

πάνω από την ΑΒDκαι κάτω από την

που διακρίνονταν μέσα στη θύελλα.

αεροrιλά νων δεν είναι σχεδιασμένες

..και

με τη δύναμη της βαρύ τητας

.

10 m fs.

'

1):

η

ABD

και η

Οι τροχιές που βρίοκοντ01

A'B'D' δεν

συναnούν την πτέρυγα.

για να δοv λεύουν με τόσο υψηλή υ ­

τι γίνεται:• ρώτησα κοιιάζον τας το

Η περιοχή που είνα ι χρωμσ ιισμένη

γρασiα.• •Δεν αποκλείετ.αι να είσαι ειδικός

σκαρίφημα.

κόκκινη παραμένει 'Ότεγνή'' επειδή

σ1;ους έλικες• απάνιησε ο φίλος μοιι •αλλά, ξέρεις, το αεροπλάνο μας είναι

σει εδώ. Από τη στιγμή που εγκατα­

οι σταγόνες του νερού είναι αδύνα ­ to\' να φτάσουν εκεί. Αηιθέτως, ο

λείπει το διάδρομο αrιογείc~οης και

τομέας

αεριωθούμενο. Λίγο νερό στην τουρ ·

ώοnου να βρεθεί πάνω από τα σύν ­

από σιαγόνες. Όποιε κάηοια σταγό ­

μη( να δεν πρόκειται να το επηρεάσει

νεφο της βροχής, ένα σύγχρονο εrιι ­

να προσκρούει στην nτέρυγα, η ορμή

κaJ πολύ .... ·Τότε 1101i βρίσκεται τ.ο πρόβλημα;

βατικό αεροπλάνο αναπτύσσει μέση

ιι]ι; σταγόνας μεταβάλλεται, rιράγμu

ταχύτητα περίπου

που σημαίνει ότι επενεργεί rιάνω ιιjς

10

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1998

·Δεν χρειάζεται να μας απασχολή·

70 m / s.

Από την

BCB'

βομβuρδiζετω σιινεχώς


QUANTUM

Ι ΑΡθΡΟ

11


%2"i 755?

,,

θ

~

Α

(!'

~

Ε

-

Ρ

/!

s '

;.t'

'

ο

&

ρ

~

"""

--

'

ιι'

~

Σχήμα2

σουται με ιη δυναμη

ηράγματι δεν μπορούν να παρεμπο­

που ασκείταΙ στην

δίσουν μια πτήση. Ωστόσο, υπάρχει

πτέρυγα. Δρα αντί­

ακόμη μία δύναμη ηου παίζει σημα ­

θειο με την κατεύ­ θυνση της πτήσης. Ε­

ντικό ρόλο -η δύναμη αντίστασης

πομtνως. η α vτίστα ·

κατά τη διεύθυνση της εφαιι τομέvης

στασ η του αέρα ενι.

της πτέρυγας. Ας εξετάσουμε λεπτο­

οχυεται από μια δυ­

μερως τη ουγκεκριμtνη δυναμη.

ναμη εκ πιέσεως

F

Προφανώς, όταν βρέχει, και μάλJσια

που οφείλεται στις ηροαnιπιουοες στο-

δυνα ιό, η ητiρυγα θα ει ναι υγρή -θα περιβάλλεταΙ από νερό και όχι αnό

γονες και η ~ιιοια ι.

αέρα. ΈτσΙ, μπορού με να αναμένου­

σούιαι καιό προαέγ­

με μια σημαντική αύξrιση ιηc; δύνα­

yιση με Ρ.S,.,,υ'.

μης α ντίοτασης (της οmοθtλκουσας).•

.

·Ο ίδιος ιυηας περιγράφει και ιη δύ ·

\οπισθέλκουσα τριβιiς) ιιου αακείιαι

Ο φίλος μου σχεδtαοt μια πτέρυγα nου ιην κάλυπτε ένα λεπτό υδάτινο

μια δύναμη λόγω της πτέρυγας. Συ ·

να μη εκ πιέσεως ιου αι'ρα εν α που·

νε πώς, και η ο>αγόνα ασκεί μια δύ · νο μη ίσου μέτρου οιιιν πτέρυγα. Ό­

οία σταγονιδίων. με ιιι διαφορά ότι, οιην nερίmωσιι αυτή, ιη θέση τής Ρ,

δεν διαθέτουν, όπως και όλα ~α μηχα­

Π6\ς μπορείς να δεις, c.ιυ ιή η δύναμη

ιφέrιει να την καταλόβει η ηuκνόιη­

νήματα, πρόσθετη ισχύ προκειμένου

έχει αντίθετη κατεύθυνση από την

τα ιοιι αέρα p1: Fι ;; ρ,S,.,,υ'. Σε κα · νονικι'ς συνθήκες. ρ1 1.300 g

να uνιιμετωπίζουΥ τέτοια προβλήμα-

Αρα, ο λόγος των δυνάμεων εκ mέ­

·Έχεις δίκιο και ιιάλ ι. Αλλά ηόση

επιπρόσθετη αηιοταοη.•

οeως που αφείλο\'l:αι αντίστοιχα αια

ισχύς οιJαιτείιαι ώστε να υπερνικη­

Ωστε αυτός ειναι ο .\όγος 110υ ο­ δηγει στη μαιαίωση ιων πτήσεων ό­

σταγονίδια του ''rρού και σια μόρια 1ου αέρα θα ισούται κα cά nροοέγγι •

θεί αυτή η ορόαθειη αντίσταση; Προ­

ιαν βρέχει ραγδαία;•

ο η με FΊ F1 : Ρ. ΙΡ, : 10 '.

cικόμη εκτιμήσεις, γεγονός που επι­

ωχύτητα του αεροη.\ανου. Ιδου, λ οι­ πόν, ο μηχανισμός rιου παράγει τψ

·Προτρέχεις καJ ιιόλι ... με μάλωσε

=

m'.

οτρωμα !Σχήμα

31.

•Όμως• aντέτεινα •tO αεροπλάνα

τα~·

τείνω να εηιχειρηοοvμr ορισμένες βάλλει να υιοθετήσουμε μερικές και ­

ο φίλιις μου. ·Α<; εκτιμήσουμε το μέ ­

•Αnό ου ιή ι ην cκ ιlμηση διαπΙστώ­ νουμε εύκολα πως η συμβολή των

τρο αυτής ιης δύναμης. Οι μειεωρο­

σταγονιδίων του vειχιυ 11 ιηv ο.\ικη

υιιnθέσουμε όη. μέσα ο ιο λεmό υδά ·

λόγοι Υ''ωρίζουν πως οι ισχυρότερες

ΙΙ\'Ο οτρωμα, όλα τα οωματιδια ιου

l!ροχές χαρακτηρίζονται από σιαγοη­

δυναμη εκ ΠΙέαtως eιναι ειαιpεnκά μικρη. Στην nρογματικότητα, μάλΙ­

νερου δεν ΙUνούνται με ι φ• ίδια τα·

δια διαμέτρου

στα, εχουμε υπερεκιιμφει ιιι συμβο­

χύτητα: παραμένουν ακίνητο στην ε ­

πυκνότητας

λή α υ ιή, επειδή κονtά στην mέρuγα

ιηφάνειa της nτέρυγcις <εδώ ιιι νερό

ιιροσέγγιση, ος δεχτοίιμε πως τα στα· γονίδια δεν εκφέrιονιαι από ης αρ­

οι τροχιές των σταγονΙδίων αποκλi ·

"κολλάει" ο την πτέρυγα), και η ταχύ ·

νουν αιιό τις ευθείες γραμμές που

τη ιό ιους αυξάνει καθώς μεγαλ61νει

χικές τροχιές τους, οιιότε οι γραμμές

σχεδίασα. Έτσι, αρκειό από τα σωμα­

η αιιόαταοή τους οπό την rιτtρυγα.

ABD και A'B'D'

nαραμiνουν ευθεί ­

τίδια που η ταχύτητά τους οιο "όιιcι •

tς. ι Ο φί.\ος μου σχεδίασε το σκαρί· φημα του Σλ'ήματος 2.1

ιχ>" δείχνει όιι θα συγκρουστούν με

·Το όn η ταχύτητα ειιιδεικνυει tε · ιοια συμnεριφορο εξηγειται από ιις

την mέρυγα, μιας και 'Όημαδtυουν"

δυναμεις που α'·απτυοσονται λόγω

S,.., Ιόnως έχει

εσωτερικής τριβής οε ένα υγρό το ο-

d;; 2 mm και μeοης p0 ;; 2 g Im'. Σε πρώτη

·Το πλήθος των ο ι.a γονιδίων που

την εγκάρσια διατομι\

npoonίnrouν ο την πτέρυγα ανό μο­

οχcδιιισιεί στο σκα-

νάδcι χρόνου είναι

uSn. Εδώ το S

ρίφημά μας [Σχιi-

συμβολίζει το εμβαδόν της μέγιστης

μα Ι)Ι,τeλικάθοα-

διατομης της mέρυγας ιιου είναι κά­

οτοχήσουν.•

θετη προς την ωχύτητα ιδηλαδήσυμ­

·Άρα η βροχή δε'

βο.\ίζει το εμβαδόν της διατομής ΒΒΊ

μιιορει να παρακω­

και

λύσει τφ• πτήση. Τότε. uμως, τι φται­

n = p.ι m είναι ο αριθμός των στα­

γονιδίων αΥ(ι μονuδο όγκου. Δεδομέ­ νου ότι κάθε σταγονίδιο μάζας m χά­

νει όλη του ιιιν ιuχύτιιιιι καθώς ου­

ε ι ~ιt είncι nροο ιιu ·

γκρουεται ανελαστικό με tην ητέρυ ­

θώ,•τας να ειια vuφtρω τη συζήτηση

γα, συντελείται μεταφορά ορμής

οιιιν προβληματική

mu

προς την mερυγα Έτσι, στο σύνο.\ό τους οι προσnίπτουοeς σταyόvτς τής

μας mήοη.

προσδίδουν, κατά προσeγγιοη, ορμή

φί.\e μου! Έχεις δίκιο. Οι

υ S,,

κρούσεις με τα στα-

nmv

ανό μονόδα χρόνου. Εξ

ορισμού, η συγκεκριμένη ποσότητα ι·

12

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΑΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

•Υ πο μανή,

γονίδια του νερού Σχήμα 3

νουργιες nαραδοχές. Είναι φυσικό να


ποίο βρiοκειαι οε κίνηοrι: Κοθe λειηό

στρι~μα ενός κινούμενου υγρού δέ­ χεται την επίδραση τόσο του υrιοκεί­

θηκε αrιό ιον Ιοοιίκ Νcιί cωνα στο rιcριώ­ νυμο έργο cου Prίn ·

μεν ου όμορου στρώμα τος ι το οποίο

cipίa Matbematίca: Η

βρίσκεται πλησιεσtεpο στην πτiρυ­

ειδική σmσθtλκουσα

yol, όπου rι δηναμη φιβής έχει α\•τί­

r καθορίζεται από την

θετη κατεύΟιινση αιιό τη ροή, όσο και από το υπερκείμενο όμορο σφώμα. ό­ ιιου η δύναμrι της ιριβης καιευθυνε­ ται παράλληλο προς τη ραη Οιαν ο ουηελεστής εσωτερικής ιριβης (το

πρώτη παρα γωγο της

ιξ~Ιδες) ωιι ρrυστού είναι μικρός, η

αvά μονάδα ε πι φα ­

ταχύτητα Οα λάβει την ασυμπτωnκή

νrίας είναι ευθέως α­

τιμή της ι την τιμή που έχει στο άπει­

ν{ιλογη με

ροι υ σε πολύ μικρη απόσταση απο

γκεκριμέ,,η nαρόγω-

τφ• πτέρυγα. Με άλλα λόγιο, οι δυ­

γο:

0

ιαχύτητας

u(yl

.-

κατά

την καθετο στην ε πι­ ι

φα νεια -δηλαδη από

την dυ 1d.r. Η τριβή

ο

'

~

~

'r·-'••'

• ... $, ..,,.,,. -

- -" - --

~

~

ι η ου­

Σχήμα

ναμεις εκ φιβιiς είναι σημανηκές μό­

4 όΙΙΟΙΙ ιο δ ουμβολlζει ιο χαριικ ιηρι ­

du

σιικό πάχος του οριακού σc~ψαιος.

νο στο λεπτό οριακό στρώμα που γειt­ νtάζει με την πτcρυγα. Ας δεχτούμε

r = η-.

οιι αυτές ακριβώς οι συνθήκες ισχύ­

οπου ο ουν~λεστης α\•αλογιας η εί •

ουν και στην περίπτωση μας.• Λέγο­

ναι γνωστός ως δυναμικός σuνιελε ­ οτιiς εσωu:ρικής τριβής. Ο ο υγκεκρι ­

ντας αυτά, ο φlλος μου οχεδίασε το σκαρίφημα rιου φαίνεται στο Σχήμα 4.

-- s - -..,,.,. -

dy

το

S το εμβαδόν

χειου και το dυ

της βάσης του οτοι­

dt

το μέτρο της εm ­

ιο χ υ νσ ης.ι.

.. Όμ ως,

έτοι, μόλις rιροοΟέοα με

μένος τύπος αrιοδείχτηκε σωστός σε

σιις άγνωστες ιιοοόιητες και μια και­

μια ευρύτατη ιιεριοχή ομών. Όσα μέ ­ σα υπακούουν ο' αυτή την εVσωσηο­

νοιίργια, την dυ dt ... • ·Για τη\' ακρίβεια, δε\• nρόκειται

νομάζονται νευιι~νεια. Και το σπου­

για τη μοναδική καινούργια ιιοοόιη­

αnό τη συζήτηση ώστε δεν προσέξα ­

δωότερο, το μέσα που μας cνδιαφέ­

με ιιωι; η βροχή είχε σχεδόν σταματή­

ρΟΙΙ\' (ο αέρας και

τα. Ούτε και το πάχος του οριακού στρώματος είναι μια δεδομένη παρά ­

σει. Οι οάνιες γύρω μας είχαν κινη­ τοποιηθει· η ώρα δεν οροοφερόταν yια

ειιιοτημο,•ικtς αναλυσεις. Όταν πια είχαμε βολευ ιεί ανεια ο ιις Οtοεις μη ς

λέγο\"tαι πρόγματι στα νευτώνεια.• ·Α<; δεχτουμε ότι αυτη η ουλλογι ­ οιική είvω ορθιJ. Και nαλι, όμως, δεν κι·ρδίσαμε ιιuλλά πράγματα. Απλώς

μέσα στο αεροπλάνο, έδωσα οηνέχεια

ονtι καιαοιήοαμε ιη μια άγνωστη τι ­

προσέγγιση, πράγμα ηου σημαίνει ι ­

στη συ<ήτηση.

σότητα μόνο ώς την τάξη μεγέθους

•θα ήθελα \'α ξεκαθαρίσουμε το

μή, την τ, με μια άλλη, την ~ du ' d.vl.• ·Δεν έχεις άδικο. Ωστόσο, ο τύπος

πρόβλημα της υγρής πτέρυγας. Είχες

του Νεύτωνα απλώς παρέχει μια φυ ­

μιιορεί να α\"tικατασταθει με τον α ­

οrαματήοει στο οριακό στρώμα.• •Α. ναι. Ας υποθέσου με πως αυτό

σική εξήγηση για την οnιοθcλκουσα. Tn επόμενο βήμα για τον nροοδιορι­

νιίσιοιχο ιηειιεραο μένοΙ λόγο. Έιοι, ανti της dυ /dy μπορούμε νcι γρά ­

ιο οριακό οιρ.:φα "μεταβιβάζει " τη

σμό των δυνόμεων που ασκουνται

δύναμη της προοιιίnτουσαςροήςστην

σιην mέρυyα ιο πραγματοποίησε ο

πτiρυγα, παράγοντας έιοι την πρό­

θεμελιωτης της θεωρίας του οριακού

τα εντός του οριακού στρώματος εί ­

οθειη ανιiοταση. Τότε μπορούμε να ' ' της συγκεκριε κ cιμηοου με ιι1ν τιμη

στρώματος, ο γερμανός καθηγητής της μηχανuu\ς των ρευστώ'' Lud,vίg

να ι γραμμικι\ συνάρτηση του

μένης αντίο ιασης. Μας ενδιαφtρει η

Prandtl. Στο οριακό στρώμα η δρόση

ιός ο τύπος αντιπροσωπεύει μόνο μ1α

δm·αμη που ασκεiται εφαπτομεηκά

των δυ,·όμεων εκ φιβής είναι ουσιώ­

rιροοέγγιση, όπως και η αρχικη εξί­

προς την επιφανειο της πτέρυγας. Ό­

δης, οπότε φαlνεται εύλογο να tιnο­ Οέσοuμε nως αυιές οι δυνάμεις τεί­

οωοη

Αυτή την κρίσιμη στιγμή άκουσα μια ανακοίνωση που αφορούσε την

ιιτηοη μας. Ειχαμε ηαραουρθει τόσο

tαν Ι} δύναμη αυτή ασκείται σε επι­ φάνεια μοναδιαίου εμβαδού cιvαφέ­

co νερό) συγκατα ­

ρεται ως ~ιδική οmσθι'λκουσα ιστη

νου ν νο επιβραδι'ινΟU\' ιο υγρό. Για το στοιχείο όγκου που απεικονίζεται

μrιγαvική των ρευστών είναι Υ'·ωστη

στο Σχήμα 4. μrιορεί ''α διαιυnωθει με

ως διατμητική ιάση).• •θα nρέιιει να είναι ανεξάρτητη α­

τη μορφη

από τη συνθήκη ιης ιιρόσφυοης (ή μη

ρακολουθησουμε το συλλογισμό του. Εφόοον η εξlοωσ ι1 (1) ο.nοιελεί μια

ιης μονάδας, η πρώτη nοράγωγος

ψουμε υ0 Ι δ. Η ισότητα dυ 'd.v = υ0 1 lJ ειναι ακριβής μόνον όταν η ιαχύτη­

.r:

υ

=

υ.,y!δ. Σε κάθε άλλη περίπτωση. ου­

( 1 ).

Τώρα ας εκτιμήσουμε την

dυ /dt. Το μηκος nου χαρακιηρίζει τη γραμμική διάσταση του οριακού στρώ­ ματος παράλληλα προς την επιφάνεια ιης πιέρυyας ιοουται με <Ο μήκος

χορδής tηι; αεροτομής ι. ! το τμήμα

co

υ•ιοθέοουμε rιως ισχύει η σχέση

dυ dt

ή

-

tΟ\' .ν= Ο. Αλ.\α, τότε. από τι εξαρτα­ τω η ειδικιi οηιοθέλκουοο:• •Η απάντησι} στο ε~ηημίι σου δό -

ρε να εκτιμήσει την τιμή της. Ας πα ­

στο Σχήμα η Συνεπώς, μπορούμε να

du nι- « τS dt .

ηό t l]\' ιαχύτι)tο» μάντεψα ..επειδή ολίσθησης) η ταχύτητα μηδενίζεται ό­

μειρος. Εηούιοις. ο Prandtl κο ταφe­

_, 5 du "" ' dt

«

ηdυ S

d.Υ '

υ:

o<-

ι. ·

(l) .ο Α ν απλοποιήσοι.ιμε τn

S κιιι

QUANτull / ΑΡθΡΟ

α ιιό

13


•α δύο μέλη της εξίοωοης (1) και ει­

F = Ρ1 ΔS - Ρ,ΔS = Ι Ρ,- Ρ2 )Δ5.

σαγάγουμε ης τιμές των dυ/dy και

Εφόσον

dυ ' dt. παίρνουμε

όπου Re1 =ρ1 υ11ι,Ιη1 • Για να οροοδιο­

ρίοουμε τον παράγοντα κατδ ταν ο­

ποίο αυξάνεται η αντίσταση όταν ο καιρός είναι βροχερός, ας εξετάσουμε το λόγο r/ ι 1 • Λομβόνονιος υπόψη ης

όπου βρίσκουμε

on'

τότε

dP

dP

dx

dx

F = -- ΔlΔS = -- ΔV,

σχέσεις ανόμεσα στις ποσότητες από

τιςοηοίεςεξαρτώνuιι τα rκαι τ,, βρί­ σκουμε

όπου ΔV

=

ΔιΔS είνα ι ο όγκος του

rιαραλληλεπιnέδου. Το έργο που πα­ ή

r

( ρ );( η)~( υ0 )~

;.- = Ρ:

ι

δ« ι. Re• .

C2)

οπου ο αδιάστατος συντελεστής Re

η;

Vοι

ράγεται καιc\ τη μετατόπΙση του πα­ ραλληλεπιπέδου στην κατεύθυνση

.•

του άξονα των χ καθορίζετ.οι από το

·ΊΊς τιμές των ρ, ρ1, η και η1 μπο ­

=

ρούμε να τις βρούμε σε κάποιο εγχει­

Reynolds.

ρίδιο. Αλλά ηώς θα καταφέρουμε να

Το όνομά της τα οφείλει στον άγγλο

οροοδιορίσουμε την τιμή του υ,Ι υ01;•

pυ,ι 0 Ι η λέγεται αριθμός υδροδυναμικό

Osborne Reynolds,

ο

•Αυτό μπορούμε να το εnιτύχου ­

οποίος υπι)Χ,ε ο πρώτος που ανο!\ά­

με με τη βοήθεια της ειίσωσης του

λ υψε ιο ρόλο αυτού ταυ αδιάστατου ουνιελεοτή στον καθορισμό ταυ τύ ­

BernoυL\i, η οποία μας παρέχει τη

που της ροής. Ένα υγρό θεωρείται πως

σχέση που συνδέει την ταχύτητα των σωματιδίων του ρευστ<>ύ και την πίε­

έχει χαμηλό συντελεστι'ι εσωτερικής

ση. Στην περίπτωσή μας, ο αέρας rιου

τριβής όταν ο

του είναι μεγάλος.

ρέει γύρω από την πτέρυγα κινείται

Αντίθετα, θεωρείται πως eχει υψηλό

ουσιαστικό σε ένα οριζόν-rιο εοίπεδο,

συντελεστή εσωτερικής τριβής όταν ο Re του είναι μικρός. Όπως είπαμε

οπότε η εξίσωση ιου

Re

συντελεστή εσωτερικής τριβής. Στην αεροπορία , η περιοχή των aριθμώ'•

Reyno1ds εκτείνεται οπό 10' ώς 10'.• •Ε. λοιπό''• τα ζήτημα ταυ δ ξεκο ­ θορίσιηκt• είπα έπειτα από μια πού ­ ση •αλλά α υιό που μας ενδιαφέρει εί­ ναι το ι,110υ θα μας αποκαλύψει κατά πόσον ο κινητι\ρας μπορεί να ανα­ π•ύξει την ο ναγκαία προωοτική ισχύ

σε καιρό βροχής ή όχι.• ·Μπορούμε εύκολα να λύσουμε το συγκεκριμένο πρόβλημα με τη βοή­ θεια της εξίσωοης

(2)

και υπολογίζο­

ντας την ειδική οπισθέλκουσα. Στον πυθμένα του οριακού στρώματος έ­ χουμε

την εξής μορφή:

η υ, .. ηυ•

δ

Rel.

ι.

•Μια παρόμοια σχέση ισχύει και

ρ+τ = σταθ.

b. έχουμε

w =J••Fcι~ = -ΔV s••dP - dx dx •Από ιην άλλη, το συγκεκριμένο

πιπέδου W = ( Κ• - Κ.Ι (εδώ θεωρούμε

•Η εξαγωγή αυτής της εξίσωσης

βήc;):

δεν πnρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες. Ας δεχτούμε ότι η πίεση μεταβάλλε­ ται στην κατεύθυνση της ροής ως p(x)

= kx + σταθ.• ω φίλος μου σχεδίασε ιη γραφική παράσταση που απεικονί ­

από την οποiα οδηγούμαστε στην εξί­

ζεται στο Σχήμα

οωοη

5.) «Εξω από το ορια­

κό σφώμα της ρο­

ής ενός ρευστού

W

κρό παρολληλε-

f

. -·

θεωρούμε ένα μι - ~ Ρω πίπεδο μήκους Δt και παράπλευρης επιφάνειας ΔS.

1

-

δρα ταυ παραλλη­ λεπιπέδου ασκεί­ τω η δύναμη Ρ1 ΔS, ενώ στη δεξιά η

που αναφtρονται στον '"αέρα" θα -rις

ολΙκή δύναμη που

συμβολίζουμε θέτοντας έναν κάτω

δρα στο γραμμοο­

δείκτη

κιαομένο nαραλ­ ληλεnfnεδο είναι

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 199&

σημείο χ =

αμελητέο το έργο των δυνάμεων φι­

δύναμη Ρ,ΔS. Η

14

μετατοπίζεται από το σημείο χ= a στα

νητικής ενέργειας του παραλληλε­

ρυ '

για τη ροή ξηρού αέρα. ΊΊς οοοότητες

1:

Έιοι, όταν το παρολληλεοίnεδο

έργο ισούται με τη μεταβολή της ιu­

Στην αριστερή έ­

r ..

JFιi.Y.

έχει

Bernou\1i

προηγουμένως, οριακό στρώμα σχη­

ματίζεται μόνο σε υγρά με χαμηλό

ο,\οκλψωμα

Σχήμa5

- ι -

,_

-


·Τι~. ας διευθετήσουμε το ζήτη­ μα

u.>v

Ρ και Ρ . Το παραλληλεπίπε ­

δο ιιου επιλέξαμε κινείιοι μαζί με τη

ή

ροή ουσιαστικα στην οριζόντια διεύ­ θυνοη. Δηλαδή η κατακόρυφη ταχύ­

υ'

Ρ+ρ - =σταθ.•

2

τητά του είναι μηδέν. Έτσι, οι δυνά­

μεις που δρουν π4νω του εκ των άνω

·Λοιπόν, αυτό τακτοποιήθηκε•, εί ­

και εκ των κό ιω είναι ίσες. Ωστόσο,

πα. •Ο τρόπος με οον οποίο εξάγεται

και στις δύο περιn τώσcις (και με το υ­

•1 εξίσωση

αποσαφηνί­

γρό στρώμα και χωρίς αυτό) η δύνα­

στηκε. Αλλά πώς θα προσδιορίσουμε

μη που δρα αrιό rιόνω είναι η πίεση

το υ(Ι / υ1Η;rο

ιιου ασκείιαι α ιιό την ""εξωτερική" ροή

·Με ιην ίδιο εξίσωση. Ισχύει τόσο

του αέρα. Έιοι, ια ιιαραλληλεπίπεδα

για τη ροή των αερίων όσο κοι των υ ­

τόσο του ""αtρα"" όσο και του •·υyρού""

γρ<:>ν. Όπως κόναμε και προηγουμέ­ νως, θα συμβολlζοuμε τις ποσότητες

δeχογται από πάνω nς ίδιες δυνάμεις. Επομένως, η ύπαρξη ενός λεmού υ­

που αναφέρονται στον αέρα χρησψο­

δάτινου οτρώμαιοςδeν επηρεάζει την

ποιώ,rτος το δeίιηη ι Ετσι, για το υ­

κατακόρυφη κατανομή της niεοης, ο­

γρό στρώμα που σχηματίζεται γύρω

πότε οι τιμtς της πίεσης είναι ίσες

οπό ιην επιφάνεια της πτέρυγας έ­

στην ιδια διατομή της ροής ιου αέρα

tου

Bernoulli

χουμε

αλάνα ότ.α." ανοίγουν οι κρου,τοi του ουρανού.

Καταλήξαμε ο ' αυτι') την εκτίμηση υποθtτοντας ότι υπάρχει ένα υδάτι­ νο οριακό στρώμα στφ• εmφάνεια της πτέρυγας, που το περιβάλλει ο αέρας. Αμέσως, ένα ερώτημα μας έρχεται στο

νου: Ποια προωστική ισχύ θα έπρεπε να διαθέτει ένας κινηιίpας ώσtε να

καθιστά δυνατή την κίνηση ενός αε­ ροnλάνου μέσο σε συνεχή ροή νερού; Σος προκαλώ να λύσετε το πρόβλη­ μα στηριζόμενοι ο τις δικές σας δυvά ­

μεις. Ιδού η απάντηση: Για να μετα ­ τρέψετε ένα αεροπλάνο σε υποβρύχιο, η ισχύς του κινητήρα θα έπρεπε να αυξηθεί καtό τον παρόγοντα

!_ = τ,

και ταυ υγρού: Ρ · Ρ, .•

υ•

Ρ+ ρ2 = Οl:Οθ.,

(.! . . )~(.!]_)~ Ξ 230. ρ,

η,

·Τώρα καταλαβαίνω•, διέκοψα τ<> φίλο μου. •Από τη συνθήκη Ρ= Ρ, προκύmει όn

ενώ για τη ροή του αέρα ισχύει

'

υ

Ρ, + ρ 1 Τ = σταθι·

ΣιινεΙΙ(~ς I

.rια να συγκρίνουμε τις υ και υ,

υ =(ρ.ι)'..

χρειαζόμαστε μια σχέση nου να συν ­

δέει ης σταθ,., Ρ και Ρ,. ·θυμήσου nως, όταν συγκρίναμε ης δυνάμεις εκ πιέσεως γtα ης ΙΠή ­ σεις σε υγρό και ξηρό καιρό, διαm ­ σιώσαμε ότι είναι ουσιαοοικά ίσες.

Αυtό σημαινει ότι η πiεση στο σημείο

C (στο

Σχήμα

1)

υ,

ρ

Τελικό, συμπεράναμε πως, όταν βρέχει δυνατό , η αντίσταση που δρο στην πτέρυγα αυξάνεται κατά τον παρόγο,•τα

Διαβάστε ακόμη τα άρθρα ... • S. Betyaeν, • Υδροnαρόδοξα•, Σε­

μπορεί να θεωρηθεί

nτέμβριος /Οκτώβριος

ίδιο και ο τις δύο περιπ ιώσεις. Οι ιο ­

• S. Kuzmin,

χύτητες του υγρού και των σωματι ­

δίων του αέρα ο' αυτά ιο σημείο εί ­ ναι μι)δέν. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη,

1998.

·Περιστροφή μέσα σε

ρεύμα αέρα•, Νοέμβριος /Δεκέμβριος Η φωνή OtO μεγάφωνο μας ιιληρο­

1994.

• ι. Leoπoνich, •Υγρό και αέρια σε

μπορού με να γράψουμε την ακόλου ­

φόρηοε πως ιο αεροπλάνο μας είχε

θη σχέση για το υγρό που ρέει γύρω

προσγειωθεί. Τις σημειώσεις που μου

κίνηση-, Μάρτιος/ Απρίλιος

έδωσε ο φίλος μου ης φύλαξα στην

• Α. Mitrofanoν, ·Κόντρα στ<> ρεύ­ μα•, Ιούλιος /Αύγουστος 1996. • J. Raskin, •Πεtώντας με τ<> φαι­ νόμενο Coanda•, Νοέμβριος/Δεκέμ ­ βριος 1994. • Η. Schreiber, ·Περί ιξώδους•, Ια­ νουαριος ι Φεβρουάριος 1996. • Α. Stasenko, ·Στρόβιλοι πάνω στο

οπό πτέρυγα:

τσάντα μου. υ•

P + ρ'i=Pc. Και γιο rη ροή του αέρα, έχουμε

υ'

Ρ, +ρ1 f=Pc . Συνεπώς,

Στα σπίιι συμβουλευτηκσ μερικά βιβλία αναφοράς και βρήκα όλες ης αναγκαίες τιμές ιης πυκ,•ότητας και

του δυναμικού συντελεστή εσωτερι­ κής τριβής. Εισόγοντ4ς τες στον τε ­

λευταίο τύπο, κατέληξα στο αποτέλε­ σμα r/ rι Ξ 1,5. Συνεπως, ένα αεροπλά­ νο •παντός καιρού• rιρέnει να διαθέ­ rει ισχύ κατά

50'k μεγαλύτερη από έ­

1996.

διάδρομο aπογείωσης•, Σεπτέμβριος/

ΟκτώβρΙος 1997.

• I. Vorobyov,

•θόλοι και υπόγεια

να συμβατικό αεροπλάνο. Ιδού. λοι­

ρεύματα•, Σεπτcμβριος / ΟκτώβρΙος

πόν, ο λόγος που δεν πετούν τα αερο-

1995.

QUANTUM I λΡθΡΟ

15


,

Η aκa

των κυρτών πολυέδρων

Οι ευέλικτες ανακαλύψεις των Cαuchy και Euler

Ν.Ρ.

Σ

Dolbllin

το λΡθΡΟ t:ΥΚΑΜΙΠΕΣ ΠΟΛ ΥΕ­

Το ερωtημα σχεΌκα με ι ην ακαμψiα

δρικέςεπι~γειeς• (σελ. 5~ μά~­

ενός πολυέδρου είναι παλιό και, όπως αποδείχιηκε, ιδιαίτερο δύσκολο γεω ­

με τον τροπο καταοκευης ενος

ευκαμιιιου πολυέδρου. Εδώ θα

τοΥ διασημο γερμανό μαθηματικό Felix Klein, •λόγω ιω'' θαυμαστών επι­ τευγμάτων του οε ιιοικίλους κλάδους

μετριιιό ιιρόβλημα. Τελικά λύθηκε μό ­ λις ιιριν 20 χρόγια· το πρώτο βήμα το

των μαθημαιικών μηόpούμε να

έκανε το

23 ε ­

δο με τον Gaιιss•·. Α u τ ή η έ κφραση

Οιtοιυυδrίnοιε κ α ταοκεύασε ή α­

τών, ο εξαίρετος γάλλος μαθημα ιικι\ι;

υψηλ ής εκτίμησης για ιο έργο ωιι

wu ένα χάρ ­

Α ugu~ιin- ιοu is Caιιchy , απόφοιτος

Cauchy

τηι; διάσημης Πολυτεχνικής Σχολής.'

λόγω του οξύ ω του ανταγων1σμού με­ ταξύ των γάλλων και γ..ρμανών μσ •

εξετάσουμε γιατί

w εύκαμπτα πολύε­

δρο δι:v πρtπει να είγαι κιιριά. πλώς κράτησε στα χέρια

τινο μοντέλο nολιJέδροΙΙ θα παρατήρη­

σε ιιιθανιΊτατα ό<Ι δεν είναι εύκαμπτο και ίσως μάλιστα διερωτήθηκε για ποιο λόγο συμβαίνει αυrό. Όσοι ιιροβλη­ μαιιοιήκαιt για το ζήτημα μπο­ ρεί να ουμπeρόνα τε διαιοθητι­ κα ότι δεν πρόκειται για

τυχαίο γεγονός αλλά για κάιι nou καθορίζεται αιιό κάιιοιες εσωιε­

ρικές, κρυμμένες σχέσεις μεταξύ ιων εδρών του πολυέ­ δρου.

Ο

1813,

Cauchy

οε ηλικία μόλις

ιελeίωιιc την Πολ υτε ­

χνική Σχολή w

1807 και, σύμφωνα με

rov

tο11όθετήοουμr σ ι.σ ίδιο σχεδό'' επίπε­

tχε ι ιδιαίτερη σημασία, διόη

θημαηκών η κάθε πλευρά σ ναγνώριζε εξαιρετικά σπάνια τα ηροοό­

ντα των ανι111άλων της, Τα αποτε.\έοματα nου χaρισα'' τη φημη του eξoi­ ρεισυ μαθημαηκού οτογ

Cauchy

είχαν να κά ­

νοu" κατά κύριο λόγο με τον απειροστικό λο γισμό, την άλγεβρα, ιη μοθηματικήφυσι­ κι\ και τη μηχανική.

Η εργαοίcι τοu στη

γεωμετρία θα είχε nιΟανόν περάσει αnαραιήρ ηιη μέσα στον τερά­ ο τι ο όγκο του εηιο-.:ημογικού

του έργου 25 ο ­ γκώδεις τόμοι- αν δεν υrιήρχε το άρθρο του ·Περί πολυγώνων και

nολ u ιόιιων • που δημοσιεύΙ.!:χcιικό μr tη\' •ο1ι~ία της Ιlολυτε· Χ'''κ~Σ);ο.Ι~,δriι< ιο~·Επαναστατι ­ κή διδc:ισκολlο• oto τtύχος Moiou /louνiou 1998 του ε.\..\η\'LΚΟ\) QlιJ1nt urrι.


τηκε σrο Journal

de ι· Ecole Po~γtech •

nique το 1813.

το θεώρημα μοναδικότmας τoucaucιιy Το αρθρο ιου

Cauchy για

ιο nολύγω\•α ερευνά το εξής φυσικ ό ερι;>tημα:

l:ε ποιο ]Jαθμό καθορί • ζουν ιη μορφή ενός

πολυέδρου οι εδρες ιου και η σειρα με ιην

οποία συνδέονται με· τα ξ υ τους; Ας διαλευ ·

Το 1766 ο Euler δια­

κό νου με το ο κοιιό α υ· τού του ερωtήματος μέσω ενός ηαραδειγμαιος. θεω­

τυπωσε την ε ·

ραυμε δύο πολύεδρα: έ,·α,­

ξης εικασία: .'Ε­

πυργο με σιεγη που onotε·

να κλειστό χωρικό

,\είιαι από τέσσερα κεκλιμέ •

σχήμα δεν

να τμ ήματα στηριγμένα σε

μεταβολή παρά μόνο αν

μια κυβική βάση και έναν άλ·

κοπεί•. ΊΌ •κλειστό χωρι · κόσχήμα• ιου Ευlerαrιςμt·

λο πύργο που αποτελείται από τις ίδιες έδρες με τη διαφορά όη η •Οιέγη• είναι ιραβηγμένη προς το μέσα \Σχήματα ι και

2J.

Είναι φανερό ότι αυιά ια δύυ ιιο­ λύεδρα rιαρ' όιι ωιοι:ελούνται από iσες,

αντίστοιχα, πολυγωνικές έδρες που ε·

φάπτονται μeιαξυ ιους με ιο'' ιδιο ιρι\πο, δεν εί,·αι ίσα. Ο Caucby απtδει • ξε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατον να

συμβεί όταν και ι;,α δύο πολύεδρα εr • ναι κυρτά.

... ...... ·"' .. . '

ρες μας ονομάζεται κλειστή ε­

πιφάνεια. Η ειιιασια του θεώρημα Cauchy: Αν δύο κυρτίι πολύεδρα έχουν ίσες αντίστοιχες έ­ δρες και α,· αυτές συνδέονται μεταξύ ιους με ιον ίδιο τρόπο, ιαιε είναι ίσα. Ο ρωοος ακαδημαϊκός A.D. Alex ·

andrιΙν χαρακτηρίζει την ιιύρια ιδέα

ωμετρία•. Με την πάροδο του χρόνου

που ορίζεται από nολύyωνa και όχι το

ιο όμορφο αυιο επι:χτiρημα

eyl\•e μια συΥήθης μιθοδος απόδειξης θεc.ιρημά •

σώμα που ιιεριβαλλεται οπό αυτά. θα υποθέσουμε επίσης ότι το nολύτοnό

των μοναδικότητας.

μας αποτελείται από πεπερασμένο

1

αμετάβλητες. είχε nροσελχύσει το εν ­

θετο, μπορεί να αλλάξει καιό κάιιοιο φόnο 11αρ' ότι οι έδρες του ιιοραμένουν διαφέρον των μαθηματικών πολύ πριν

"..,

'

I

,..

.... J

~

\

,

\

'

,,..

.·"

ι , "

Απλά ΠΟίΜοπσ

πω\ ύ ιιιπο ( ή nολ ύεδρο! ι ην εrιιφά,·ειa

νιο τρόπο από τ.ιςέδρες του ή αν, οΥτi­

......

ση πάντως των πολυέδρ<.ιν έμοιαζε α­ πό.\ υτα ορθη.

ματα που εμφανίστηκαν ιισιέ στη γε­

• . --····--------... ..-

7

επομένως δε" αψορούοε .\υεδρικές επιφάνειες. Στην ιιερίιιιω­

ως ·ένα οπό το ευφυέστερα ειιιχειρή­

Το ερώtημα ον η μορφή ενός πο­ λυέδρου καθορίζεται κατά μονοοήμο­

/ :\

Euler μόνο 1-ις rιο •

Πριν ουγεχίσουμε, ας ξεκαθαρί • οουμε μερικές έννοιες. Ορίζουμε ως

στην αιιόδειξη αιιcοiι ιοιι θεωρήματ:ος

Η aασία του Eιιler

Σχήμα

δέχ~ τα ι

πλήθος πολυγωνικώ" εδρ.C:ιν και ότι κάθε ακμή έδρας συνδέεται με ακρι­ βώς μια άλλη έδρα. ι Είναι δύσκολο να δώσουμε έ\•Ον αυσ τηρό μaθηματικο Ο · ρισμό ιου nολ υ'όιιου ο οποίος θα πε • ριλcιμβάνει και τα κυρτa και τα μη

κυρτό 110λύγωνα. και έτσι δεν θα το ΙΙροοrιαθήοουμε.! Τα ηολύτοπα που ι · κανοποιούν την τελευταία σuνθηιιη

τον Cauεhy. Πραγματι , και ο σ που. δαιος Euler εξέτασε ιο πρόβλημα της

Ο\•ομαζονται κ.Ιειστα. Αυτός ο ορισμός

μο"αδικόιητας.

συναντάμε στο σχολείο Ιπρiσμοια ,

... .... ' \r · 1"1

είναι φυσικός. Ολα τα πολυτοπα που πυραμίδες, κανονικά πολύεδρα! είναι κλεισ tά. Ένα ξεοκέrιασιο χάρηνο κο υ· ti δεν είναι κλειστό, ενώ ένα σκεnα­ σμέ,•ο ειναι.

θα ιιποθέσουμe επίσης ότι τα πολύ· τοnό μας είναι ιοπολογικέι; σφαlρες.

Σχήμα

2

Σχήμα

3

1Όnολοyική σφαίρα εiναι οιιοιaδήι1ο ·

OUAHfUM I ΑΡθΡΟ

17


u: ειιιφόνειο

ιιου μπορεί να συ γκρι­

πο, μπορούμε να ρωτήσουμε αν eivoι

διόστοτα πολύγωνα με περισσότερες

θεί με μια ξεφούσκωτη μπάλα ποδο­

δυνατόν να μειαβόλλουμε συνεχώς

από τρεις πλευρές: Τα εμβαδά οους δεν

σφαίρου. Με άλλα λόγια, αν τσ nσλύ­

τη μορφή του πολυtόπου έwt ώοτε να

καθορίζονται μόΙ•Ο από τα μήκη tων

τοπό μας ήταν κατασκευασμένο από

παραμείνουν σταθερές όλες οι έδρες

πλευρών τους.)

ελαστικό υλικό θα ήτα,· δυνατό,- Υα τα

ιου εγώ θα αλλάζουν οι μεταξύ ιαυς

Εmσημαίνουμε ότι αιτό το θεώρη ­

μετασχηματίσουμε σε σφαίρα χωρίς

διεδρες γωνίες. Αν αυτό μπορεί νο

μα οουCauchyουνεnάγεταιόu τα εύ­

να χρειαστεί να το κόψουμε και να το

συμβεί, ονομάζουμε ιο nολυτοπο εύ­

καμπτα πολύτοπα δεν εfναι κυρτά.

ξονοκολλι'ιοουμε. Συμφωvούμε να ο·

καμπτο- διαφοpεtικό το ονομάζουμε

Προφανώς, όταν ένα nολύταπο είναι

νομάζουμε αυτά tα nολύτοnα απλά. Όλα τα κυρτά ιιολύrοπα είναι απλά,

άκαμπτο. Επομένως, κάθε μετασχηματισμός

εύκαμπτο, τότε υπάρχουν άλλα πολύ ­ τοrια οιιοιελούμενα από τις ίδιες έδρες

καθώς και

του πολυr.όιιου, αν υπάρχει, συvδέε·

συνδεδεμένες με την ίδια σειρά, τα ο­ ποίο διαφέρουν αιιό ω αρχικό διόu οι

ζεται ένα ιιαράδειγμα σπειροειδούς

ιαι με το εύκαμπτο tων δiεδρωγ γω­ νιών του. Επιπλέον, αν και κάθε ζεύ­

πολυ r.όπου, το οποίο δεν είναι απλό.

γοc; γειτονικών εδρών μπορεί, όταν

ro δύο nολύτοπα των Σχη· μάτων 1 και 2. Στο Σχήμα 3 παρουσιά­

δίεδρες γωγίες τους είναι ελαφρώς διαφορετικές. Ταυτοχρόνως, αν το αρ­ χικό πολύτοπο είναι κυρ~ό. τότε και αυτό με τις ελαφρώς διαφορεΌΙΙές δίε ­

Μερικές φορές ένα πολύτοηο cjγαι

είναι μόνο ιου, •να διαλέξει• ελεύθε­

tόοο •περιπλεγμένο• ώott δυσκολευ­ όμασιε γα καταλόβουμε αν είγαι ή όχι

ρα την τιμή της δiεδρης γωνίας που σχηματίζει, όιαν υπάρχουν και άλλες

απλό. Επομένως, το γεγονός όu μπο·

έδρες χάνει κατά πόσα πιθανότητα

μωc; τα αρχικό μας εύκαμπτο πολύε­

ρούμε να αποφασίσουμε α'' ένα πολύ·

αυτή την ελευθερια. Ο

πρέπει

δρο ήιαν κυρτό. ιότε θα μπορούσαμε

τοπο είναι απλό ή όχι ακόμη και σnς

να μειαβόλλουμε tΙς δίεδρες γω,•ίες

πeριπτώοeις που η εικόνα του μας δη­

μάλλον να βόσισε ι ην εικασία του για την ακαμψία των κλειστών πολυτό­

μιουργεί σύγχυση είναι αξιοσημείωrο.

πων σε •εύλογα εωχειρήμοτο• αυτού

τητα ώοτε να σχηματιστεί ένα νέο κυρ­

Ας υποθέσουμε ότι κάποιος μας λέει ότι ιο π λ ήθος των κορυφών του είναι

του τύπου.

Κ, των ακμών του Α και των εδρών του

τι ο

Euler

Το άρθρο στη σελίδα 5 μας δείχνει ό •

δρες γωνiες είναι επίσης κυρτό. Αν ό·

του κατά μια κατάλληλα μικρή ποσό­

τό πολύεδρο· αυτό βρίσκεται σε αντί ­ φαση με

ro θεώρημα του Cauchy, σύμ •

φωνα με το οποίο τέτοια nολύτοπα εί ­

Ε. Τότε, μπορούμε να υπολογίσουμε

Euler εfχe άδικο. Διόn, rιαρ' όn το 1975 αποδείχτηκε ότι •σχεδόν όλα• το

την ιιοοόιηω φ(Χ) που ορίζεται από

πολύεδρα είναι όκcψιΙCο, το σχεδόν ό­

τον τύπο

λα δεν σημαfνει όλα και το rιροηγού ­

Προχωρούμε τώρα στις κύριες ιδέες της απόδειξης του θεωρήματος του

μεν ο όρθρο μας έδωσε &να ηοράδειγ •

Cauchy.

μα ενός εύκαμπτου πολυιόnου. Το πρώτο παράδειγμα eύκαμποου rιολυέ ­

το λήμμα του C3Ud1Y για τα ιωρτά ηολύyωw

ψ(ΧJ • Κ - Α + Ε. Ο αριθμός ψ(ΧΊ ονομάζεται χαρο •

νοι ίσο.

κrφισrικη Euler ταυ πολυτόnου Χ. Α υιός ο αριθμός δηλώνει αν οο πολύ­

δρου προτάθηκε μόλις τα 1978αnό οον

τοπο είναι απλό ή όχι: Το πολύταnο Χ είναι απ,\ό αν και μόνο α\· έχει χαρα ­

Επί τη ευκαιρία, είναι αρκετό δύ­ σκολο να βρeθεί ένα τέτοιο πολύτοπο.

Cauchy πρέιιeι

κτφιστικη

Elller ίση με 2. Οι χαρα­ κτηριστικες Euler των μη απλών πο­

fiα ιιαράδειγμα, ο φυσητήρας (φυσε­

λυ τόπων δεν υπερβαίνουν το Ο. Η

δει γ μα διότι η ικανότητά του \'Ο ο λ·

πολυγώνων. Η λέξη αολυγωvο δεν βρίσκεοοι τυχαlα σιον τίτλο του έργου

χαρακτηριστική των σπεψοειδών πο­

λάζει μορφή δεν οφείλεtαι στη γεω­

λυτόπων συγκεκριμένα ΙΣχήμα 3) ι­ σούται με Ο (ο αναγνώστης μπορεί να

μετρική του δομή αλλά στην ελοσu ­

ιιροοιιαθι\σει να ιο εrιαληθεύσει).

nκότητα, ένας φυσητήρας φτιαγμένος

Εύκαιrιτα πολύτοπα

όnωςέγα εύκαμπτο πολύτοπο θα ήταν άχρηστος, διότι ένα ιέτοιο πολύτοπο

αμερικανό μαθηματU<ό R. Cannelly.

ρό) δεν αnοτελεi το ζητούμενο παρά­

κότι1τα rου υλικού του. Στην ηραγμα­

Για να αποδειξσυμε οο θεώρημα του ηρώια να eξεtόσουμε

nιο nροοειτuκά μερικές ιδιότητες των

του

Cauchy για τα πολύεδρα. Φα'-το­

στείτε ένα επίπεδο πολύγωνο που α ­ nοtελeίιαι από ράβδους οι οποίες φέ­ ρουν αρμούς στα άκρα τους. Στην περίπτωση του τριγώνου, τα μήκη των

ράβδων καθορίζουν τις με~αξύ τους γωνίες <το κριτήριο ισότητας tριών πλευρών για τα φίγωνο) και η κατα ­

Φανταστείτε ένα πολύτοηο το οποίο

διατηρεί σταθερό τον όγκο του κατά t()

αnοτελεfται από αρκετά χάρτινα πο­

μετασχημαησμό του . (Αυτή η πρότα­

λύγωνα που ενώνονται μεταξύ τους

ση είγαι η εικασία ιου φυσητήρα που

με μονωτική ταινία (αυτό, φυσικά, θα

απέδειξε οο

είναι πεηεραομc\'0. κλειστό και απ.\ό).

1995 ορώοος μαθημαΌΙΙόc; L Sabίtoν. Στη'' ηρογμαιικοτητα, α Sa •

εφαρμογών στην καθημερινή ζωή: Ό • λες οι καιασκeυές με ράβδους που φέ ­

Όλες οι συνδlσεις είναι εύκαμπτες

bίιον βρήκε για το πολυτοπο ε,·αν

και, επομένως, θα μπορούσαμε να πε­

τύπο, ανάλογο με το" ιυπο του Ήρω­

ρουν μεγάλο φορτίο (δοκοί γεφυρών, βραχίονες γερανών, στέγες, κλπ. Ι πε ­

ριστρέψουμε οποισδηηοτε ζεύγος

να, που εκφράζει τον όγχο οου ιιολυτό-

ριέχουν ιριγωνικά στοιχεία χάριν α­

δρ(J>ν γύρω από τη'· κοινή τους ακμή

που ουναριησει του

-αλλάζον ιας με ου ιό τον τρόπο τη

μών του και του εμβαδού των εδρών

καμψίας και στερeότηιας. Αν το ιιλήΟος των πλευρών του πο ­

μεταξύ τους δ!εδρη γωνία- ... αν δεν

του. Αυτό αιιοtελε! ένα αξιοσημείωτο

υnι'pχαν άλλες έδρες.

Όιαν λοιιιόν συνδέονται όλες οι έ·

αποτέλεσμα. Ειιισημαίγουμε, γιο ηα· ράδειγμα, ότι δεν υ ιι6ρχει κάποιο ανά ­

δρες για να σχημαιίοοιι ν ένα πολύτο-

λογο ιου ιύπου οου Ήρωνα γιο τα δισ-

18

e-

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1998

.

' μηκους

των ακ -

σκευή είγαι όκαμιιιη. Αυτό w γνωστό γεωμετρικό γεγονός βρίσκει πλήθος

λυγώνου είναι μεγαλύτερο του 3, τότε οι γωνίες ιου δεν ιιροοδιορίζονται από τα μήκιJ των πλευρών του, και ειιομέ· νωc; ούτε κα ι το πολύγωνο. Όμως, ο


επισήμανε ένα γεγονός γι'

eφοmομένων που άγονται στο σημείο

αυτά τα πολύγωνα που τον βοήθησε

τομής των πλευρών (τόξων) του πο­

στην απόδειξη του θεωρήματός του.

λυγώνου (δηλαδι} στην κορυφή του).

Cauchy

Έστω Α = ΑιΑ2 ••• Α. και Β =Ββ, ...

Η γωνία αυτή ισούται με το γραμμικό

Β. κυρτά n-γωνα tέτοια ώστε Α,Α. =

μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχημα ·

Β1 Β2,

τίζουν τα επίπεδα των αντίστοιχων

.•• ,

Α •. 1Α• = Β•• ,Β., Α.Α ι = Β.Β,.

Α γτιστοιχούμε τα ορόσημα •+• ή •- • σε κάθε κορυφή Α, τσυ πρώτου πολυ­

κύκλων (Σχήμα

γώνου ανάλογα με το αν

περιέχεται εξ ολοκλήρου στο ένα από

με κυpr6 ένα σφαιρικό πολύγωνο αν

LA, > LB1 ή

LA, < LB,. Αν LA, = LB,,

5). Τρίτο, θα καλού·

δεν αντι­

τα δύο ημισφαίρια στα οποία χωρίζε •

στοιχούμε πρόσημο στην κορυφή Α,

τα ι η σφαίρο από τον μέγιστο κύκλο

(θα καλούμε αυτές τις κορυφές •αχα·

Σχήμα

5

που 11εριέχει μία από τις πλευρές ωυ.

ρακτήριστες.). Πριν διατυπώσουμε το

θα αποδείξουμε

στοιχη τεθλασμένη Β,Β,. ,... Β του πο­

το κύριο λιφι του caucιιy

1. θεωρούμε δύο κυρτά

λ υγι.i>νου Β, α ν αυξήσουμε μερικές α· πό τις γωνίες της τελευταίας. Είναι

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο μη ίσα πολύεδρα που ικανοποιούν τις

πολύγωνα με ίσες τις αγτίστοιχες

προφαγές ότι με αυτή 1;η διαδικασiα το

συνθήκες του θεωρήματος Cauchy. θα

πλευρές, στα οποία μερικές από τις α·

μπορούσαμε τότε να t\•tοπίσουμε σε

ντίστοιχες γωνίες τους δεν είναι ίσες.

μήκος του 1;μήματος που συνδέει την αρχή και το τέλος της τεθλασμένης

Τότε, η διαφορά των αντίο τοιχωv γω­ νιώγ πρέπει να αλλάζει ορόσημο τσυ ·

γραμμής θα αυξηθεί -δηλαδή Α,Α, > Β,Βί' (Η αυστηρή απόδειξη αυτού του

δρων γωνιών. Θα σημειώνουμε το

λάχιστον τέσσερις φορές, καθώς δια ·

γεγονότος είναι αρκετά κουραστική

nολuέδρων αν η δίεδρη γωνία σε αυτή

φέχοιιμε τις περιμέφους των δύο

και θα την παραλείψουμε.)

Από την άλλη πλευρά, η δεύτερη

rην ακμή είναι μεγαλύτερη από nιν α ­ ντίστοιχη δίεδρη του άλλου πολυέ·

Εύκολα διαπιστώνουμε όn τσ πλή­

τεθλασμένη γραμμή Α Α • , ... Α, τσυ

δρου· αν είναι μικρότερη, θα σημειώ­

θος των εναλλαγών nρέ11ει να είναι άρτιο και μη μηδενικό. Επομένως, αρ ­

πολυγώνου Α προκύπτει από την α­

νουμε το

ντίστοιχη τεθλασμένη BfJ;. ι"' Β, του

μπορεί να μην έχουν πρόσημο, διότι οι

κεί να αποδείξουμε ότι δεν ισούται με

πολυγώνου Β αν μειώσουμε μcρικές

αντίστοιχες δίεδρες γωνίες είναι ίσες.

2 -<ιυτή είναι η βασική ιδέα της από­

από τις γωνίες cης ιελευ ιαίας. Το φή­ μα που συ,•δέει τα άκρα της τεθλα ·

Έστω Ο μια κορυφή του nολ ιrέ · δροu, η οποία είνω άκρο μιας προση ­

σμένης ευθείας θα μικρύνει. Συμπε­

μασμένης ακμής. Σχεδιάζουμε μια

λύyωγο Α χωρίζεται σε δύο τεθλασμέ­

ραίνουμε εΙΙομένως όη Α;Α; < Β,.Β,­ Αυτές οι δύο ανισότητες αντιφάσκουγ,

αφαίρα S, μικρής ακτίνας, με κένφο το Ο. Με το .. μικρή ακτίνα• εγνοούμε ότι

νες γραμμές: Μερικές από τις κορυφές

και επομένως η αρχική υπόθwη ότι υ ·

είναι τόσο μικρή ώστε η σφαίρα

της πρώτης τεθλασμένης, Α,Α,, 1... Α ,

πόρχουν δύο ακριβώς εναλλαγές rιρο •

μην τέμνει άλλες ακμές του nολυέ·

σήμου είναι λαγθασμένη. Άρα το πλή • θας των εναλλαγών είναι μεγαλiιτερο

δρου εκτός αυτώ" που έχουν άκρο το

ή ίσο του τέσσερα.

μία φορά ακριβώς, και αυτές οι τομές

λήμμα του

Cauchy,

την εξής πρόταση:

Λήμμα

1

πολυγώνων.

δειξης. Ας υποθέσουμε ότι το πλήθος των εναλλαγών ισούται με

έχουν πρόσημο

•+•

2. Τότε, το no·

1

ενώ καμία τους

δεν έχει πρόσημο •- •. Η δεύτερη τε­ θλασμένη, Α1Α,. ι ... .4 1, περιέχει μερι­ κές κορυφές με πρόσημο •-• και κα · μία με πρόσημο •<+• <Σχήμα 4).

Επομένως, η τεθλασμένη Α,Α, . 1...

Α, μπορεί να προκύψει από την αντί·

1 1

Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιή­

S

να

Ο. Τέτοιες ακμές τέμνουν τη σφοίρα

ορίζουν ένα κυρτό σφαιρικό πολύγω ­ νο Μ οι γωνίες του οποίου ισούνται με

με το θεώρημα

τις α'"tiστοιχeς δίεδρες γωνίες του πο ­

όμως να το τροποποιήσουμε ελαφρά

λυέδρου. Α" τώρα σχεδιάσουμε μια άλλη

γωνα μιας σφοίρας. Η διατύπωση και η απόδειξη αυτής της παραλλαγής του

σφαίρα

Λήμματος

1 παραμένει ίδια αλλά πρέ •

πολυέδρου, θα προκύψει ένα άλλο

πει να εξηγήσουμε τους αντίστοιχους

πολύγωνο Μ'. Οι πλευρές τσυ πολυ •

ορισμούς.

γώνου Μ' ισούνται μe τις αντίστοιχες

S'

με ίδια ακτίνα και κέντρο

την αντίστοιχη κορυφή 0' του άλλου

Ο ορισμός του σφαιρικού πολυγώ ­

πλευρές του πολυγώνου Μ. Η ισότη­

νου είναι απολύτως όμοιος με τον ορι •

σμό του επίπεδου πολυγώνου. Πρέπει

τα αυτή προκύπτει άμεοα από tις ου ν · θήκες του θεωρήματος: Στις αντίστοι­

απλώς να έχουμε αρκετά πράγμα ·

χες κορυφές των πολυγώνων πρόσκει ­

τα κατά νου. Πρώτον, η πλευρά ενός

νται αντίστοιχα ίοες έδρες. Έφτασε τώρα η στιγμή να χρησιμο·

.

γιστου κύκλου, και μψcος της πλευ ·

.

4

•-•. Βεβαίως, μερικές ακμές

1 για να αrιοδείξου . του Cauchy -πρέπει

σφαιρικού ιιολυγώνου είναι τόξο μέ ­

Σχήμα

πρόσημο •+• σε κάθε ακμή αυτών των

σουμε το Λήμμα

ώστε να αναφέρεται σε κυρτά πολύ ·

Β.Ι τ ι

αυτά ζεύγη αντίστοιχων άνισων δίε •

.

'

ποιήσουμε το Λήμμα

1. Υποθέτουμε

ρας ει ναι το μηκος του αντιστοιχου το·

ότι το θεώρημα μοναδικότη-ι;ας του

ξου. Δεύ τερον,

του σφαιρικού

Cauchy δε'' ισχύει. Επομι\νως, πρέπει

πολυγώνου είναι η γωνία μεταξύ των

να υπάρχει τουλάχιστον μία ακμή με

'

YG!''ia

QUANTUM I ΑΡΘΡΟ

19


Σχήμα

Σχήμα

Σχήμα

6

7

8

χου συν ιελεσ cή στην 121, που δεν υ­ περβαίνει το n. Συνεπώς, από τις εξ! ­

... .. ή •-•. Αν εφαρμόσουμε το

ξουμε μια ιοχυpόιερη tl\•ιοότηια: Ν s;

Λήμμα I σ τα rιολύγωνα Μ και ΜΌ

4Κ - 8. Εύκολα διcιrιισιt:Ινου με ότι το ου­ νολικό ΙΙλήθος ιων εναλλαγών nρα­

σώσε ις

σήμου γύρω αrιό όλες ας κορυφές ι­

χουν μερικες ακμές χωρίς πρόσημο, η

σούται με tO nληθος ιων εναλλαγών προοήμου που απαριθμοuμε όταν δια ­ φέχουμε ιις ακμι'ς όλω'' των εδρών.

απόδειξη περιπλέκεται από ασήμαντες

~lnoρεt να φαίνεται όn urιόρχει με­

Πράγμα π, κάθε ζεύyος διαδοχικών ακ­

γα.\η αιιόσtοση μεuιξυ ουτης της ο ­

μών με ακρα oe μία κορυφη είναι εrιί­

Ειιιοημοινουμε ότι στην απόδειξη του Λήμματος 2 δε" χρηοιμοποιήαα­

rιλης ιιαpοιηpησης και ι ης πλήρους α·

σης και ζεύγος διαδοχικών ακμώ'' στην

με την κυριότητα ιι~ν κλεισtώγ nο­

nόδειξης του θεωρήματος

Cauchy. Σε τού ιο ιο οημείο όμως ο Cauchy είχε μια rιρω ιό ιυιιιJ ιδέα με ι ην οποία η ιι •

11εpίμειρα τηςαντiο-wιχης έδρας ΙΣχi)­

λυτόηων: το λήμμα αυτό ισχύει για έ­

μα

να τυχαίο κλειστό πολύεδρα. Η υπό ­

rιόλοι ι ιιJ απόδειξη έγινε απλό θέμα τε­

εδρών του

χνικής. Αποδεικνύεται ότι ισχύει η ε­

Ί'όι;ε

πρόσημο

διαrιισιώ,·ου με ότι. αν υπάρχει μια

αρΟΟημαομένη ακμή σε μια κορυφή, cόιc ιφtιιcι να tχουμε τουλάχιστον τεοσερις εγαλλαγtς στα πρόσημα των ακμώ'" που βρ!σκονιαι γύρω αnό την κορυφη.

7). Έοιω Ε,

ιιό μr,·η ιιμόιιιοη.

Λήμμα

to rιλi)θος ιων n-γωνικών ιιολυτόπου (n <: 3J.

ε - ε,+ ε,+ ε. + ε. +...

2. Έστω ότι έχουμε χαρα­

01

12)

και

15! ουνειιάγεται η ζη­

τούμενη ανισόιηια:

Ns 4Κ- 8.

Ι Στη γενική περίπτωση, όταν urιάρ ­

τεχηκες λεπτομερειrς τις οποίες πα­

ραλειnοuμε.Ι

θεση ιη<; κυρτό ιηιας χρησιμοnοJi)θη­ κε μό,•ο για να ικανοποιηθούν οι συν ­ θήκες t~Ιυ Λήμμα ι ο<; I. Ας αναδιατυιιώοουμε το τελικό μας ουμπι'ρασμα. Αν δεν ίσχιιε ιο θεώρη­

ι<τηpισει μερικες από τις ακμές ενός

Ί'ο πλήθος των εναλλαγών ιιροοήμοu

κλεισιου, κυρτού rιολυιόιιου με •+• ή

μα Cauchy τότε, σύμφωνα με το Λήμ ­

κατά μηκος της περιμcτραu ενός n -

μα

- . θεωρούμε

όλες τις κορυφές του

ενώ. δια ν to

ορέιιει ,.α υnαρχrι μηαξύ τους μια

Συ,•ειιώς

κορυφη ιιοu ουνδέειαι με ακμές σιις οποιες εμφα,•ίζο,•ται λιγότερες από

n tlναι

Σχήματος

6 έχουμε δύο κορυφές στις

οποίες ιο ιιλι\θος ιων εναλλαγών των

οημων ιισυ θα ονιιοιοιχούσαγ σε κά­

ntριηό, ιοούτοι

θε ακμη. και αυτό θα ηταν. ΟU)Jtρω'·α

το πολυ με ιι - Ι.

Ν

με το Λημμα

• 6Ε6 1 6Ε, -ι ...

121

Επειδή κάθε ακμή ανήκει σε δύο έδρες, έχουμε

Ας ξαγαγρόψουμε τον τύπο του

κυρίου λήμματος γίνεται πιο ξεκάθα­

με τψ εξής μορφή:

ακμές ειγαι προοημαομένες. Ας υnο·

4Κ - 8

Α,· αηικαιασιησσυμε στην

κορυφωγ ιου πολυtόπου, Α ιο πλή­

οαiργουμε

θος tω\' ακμών του, Ε το πλήθος ιω,­ εδρων του και Ν το συνολικό πλήθος ιων ε'οα.\λαγών σια πρόσημα γύρω από όλες ιις κοριιφές. rια να αποδει­ χθεί ιο Λήμμα

2, αρκεί να δείξουμε όη

AJexancii'CW

Euler (41

λοί άλλοι μαθηματικοi ερεύνησαν πα­

=4Α - 4Ε.

θέσουμε όη αυtό αληθεύει. Όnως και ιιραηγουμε,•ως. εοτω Κ το πλήθος των

το θεώριψα επάρκειας του Όταν δημοσιεύτηκε το άρθρο του Cauch.Y για τα πολύγωνα, τα &\'διαφέ­ ροντα του συγγραφέα του είχαν ήδη

= 3Ε3 + 4Ε, + 5Ε, + 6Ε• + ... (3)

προοιΊ.μων ιοούιω με 2. Η βασική ιδέα ο ι ην απόδειξη του ρη οιηγ ειδικη περίπτωση που όλες οι

2. αδύ,·αιο. Του τη ειναι

η βασικη ιδέα στη>' απόδειξη του θεω ­ ρήματος Couεh)•

s 2Ε, .. 4 Ε, + 4Ε,

ιεοοcρις &\•αλλαγές προσήμων.

rια rιαρόδειγμα, οιιι οκτάεδρο του

n.

γώΥου ει,·αι μικρότερα ή ίσο του

πολ υwποu που ει ναι άκρα μiας του ­ ,\οχιοιον ιιροοημασμένηςαχμής. Τότε

1. θα πραέκυπιε ένα σύνολο πρα ­

14 1 ια

Ε

και Α βάσει tω\' eξιοώσεω,· t ! ι και t3Ι,

αιιομcι κρυ νθcί ιιολύ από αυτό τον κλαδο τ~>ν μαΟημαιικών. Όμως. πολ· ρόμοια ερωτήματα Για παραδειγμα, σημα\'tικό αηοuλεοματα στο εν λόγω πεδιο α,·ακαλυψαν ο ρωοος μαθημα ­

τι κός A.D Alexιιndro'' και οι μαθητές tου. Το

4Κ - 8 = 2Ι3Ε1 + 4Ε, + 5Ε, + ... Ι

-

2ι2Ε, + 2Ε, + 2Ε, -

2Ε,

+ 4Ε, + 6Ε,, ._ ...

... ι Ι 51

1939 ο Alexandroν απέδειξε έ ­

να θεώρημα rιου μας δίνει τις α να ­ γκιιίες συνθήκrς για ιον προσδιορισμό του ανcιmύγμα ιος cγός κυρτού πολυ ­

Ν< 4Κ. θα οκολουΟήοουμε την επιχειρη­

Ο συντελεστής τού Ε. στηγ εξίσωση (51

2tn - 21. Λρα, αν n <: 3, εi ·

έδρου. Σε γενικές γραμμές, ω ανάπτυγμα

μαιολογία ωιr

ναι μεγαλύτερος ή ίσος του αντίστοι-

ενός πολυέδρου είνα ι το πολύγωνο

20

Cauchy και θα αιιοδεi·

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

ισού ιαι με


Α

Α

Α

χτηκε το

1942 οrιό τον νεαρό μαθητή του S.P. Oloνianishnίkoν .'

Α

Παρά ιις μαιιραχράνιες προσοα ­

θειες, η nλiρης γενίκευση του θεωρή­ ματος

Caucby,

η οποία θα περιελάμ­

βa,·ε ιυχώες επιφάνειες (καΙ όχι μό,•ο

πολύεδρο) δεν είχε επιτευχθεί. Ας φα­ Ε

Σχήμα

Ε

Ε

Ε

νταστούμε μια τυχαία επιφάνεια που

β

αποτελείται από ένα λεπτό, εύκαμπτο υλικό (το οιιοίο δεν μπορούμε όμως να ιενtωσουμε). Είναι δυνατόν να τη με ­

9

που προκύιιτει ον κόψουμε την επι ­

γύρω οπό κάθε κορυφή κατά τη δια·

φάνεια του πολ uέδρου έτσι ώστε να μπορούμε να ·απλωσουμε• ιις έδρες

δικασία της ένωσης (συγκόλλησης}

ιου σe ένα εrιίπeδο. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 8 παρουσιάζεται τα τυmχό

τ.ις

ανάπτυγμα ενός κύβου. Είναι πολύ δwκολότερο να αντιληφθούμε όn και

w

πολύγωνο του Σχήματος 9α είναι

επίσης ανάπτυγμα ενός κύβου. Τα

των εδρών δεν πρέπει να υπερβαίνει

τασχηματίσουμε σε μια διαφορετική ε· nιφάνεια διατηρώντας την κυριότητά της; Αν η αρχική επιφάνεια είναι κυρ­ τό πολύτοπο, δεν μιιοραύμε. Αυτή εί­ ναι μια ειδική rιερίπτωση του θεωρή ­

360°.

Η ιδέα ιου θεωρήματος του Alexandroν είναι εντυπωσιακό απλή: Οι συνθήκες (I ) και (11) δεν είναι απλώς αναγκαίες αλλά και ικανές για να μπορέσουμε να καθορίσουμε ότι το α­

ματος μοναδικότητας των Caυcby­ Aiexandroν -Oioνianishπikoν. Η τελική γενίκευση του θεωρήμα­ τος C<ιuchy, που περιέλαβε την περi· mωση των τυχαίων επιφανειών, δό­ θηκε το 1949 από τον γεωμέτρη A.V. Pogore)oν, έναν άλλο μαθητή του Al-

γράμματα που οντισwιχούν στις κο­ ρυφές του Σχήματος 9α καθορίζουν

νάmυγμα είναι ενός κυρrού πολυγώ­

τις πλευρές που πρέπει να ενωθούν γtα να σχημο τιστεί ο κύβος (Σχήμα 9β).

πλωσουμε w cσωιερικό κάποιων πο­

exaπdrov. Ο Pogorelov απέδειξεότ.ι εί­ ναι αδύνατος ο μει.αοχηματ.ισμός μιας

Πρέπει να ειιιοημόνουμε ότι τα πολύ ­

λυγώνων wυ αναπτύγματος). Αργότερα, ο Alexandroν ανέπτυξε

κλειστής, κυρτής επιφάνεΙας, όταν

γωνα ιου αναιιtύγμοτος δεν συμπί ­

τις ιδέες του θεωρήματός του σε μια ο·

πρέπει να είναι κυρτές όλες οι εmφά·

mουν υrιοχρι:ωτ.ικό με τ.ιςέδρες rου α­ ντίσwιχου πολυτόπου. Μια έδρο μπο­

λόκλιJΡη νέα θεωρία: την εσωτερική γεωμετρία ιων κυριών επιφανειών

νειες που εμφανίζονται κατά τη δια· δικασία του μετασχηματισμού. Το θε­

ρεί να αnοιελεί~οι από ένα ή περισσό­

~να ν από τους πλέον σημαντικούς

ώρημα μοναδικότητας του Pogoreloν

κλάδους της σύγχρονης γεωμετρίας.

καθώς και το θεώρημα επάρκειας του

Ας ξαναδούμε το Σχήμα 9α. Ακόμη και αν δεν βλtπαμε τα Σχήμα 9β. θα μπορούσαμε να διαπιστωσουμε ότι

A!exandrσν αποτελούν σπουδαία εm ­

τερα τμήματα διαφορετικών πολυγώ­ νων του αναπ-τύγματος. Εniσης, δεν είναι υποχρcωτικό να συμnimουν ό ­ λες οι κορυφές του αναπτύγματος με τ.ις κορυφές του πολυτόπου: μερικές

νου (αν και μπορεί να χρειαστεί να δι­

τεύγματα γtα τη γεωμετρία.

μπορei να σχηματίσει tνα κυρτό πο ­

Πολλά εί,•αι το συνδεόμενα ενδια­ φέροντα ιφαβλήματα που περιμiνουν

μπορcί να •Κρύβονται• σw εσωτερικό

λύ-τοπο, ελtγχοντας απλώς ης συνθή­

τον ερευνητή. Μερικά tχουν eξαιρεu­

μιας ακμής ή μιας έδρος του πολυτό­

κες του θεωρήματος Alexandrσv. Πο1σ είναι το πλήθος των διαφορετικών

κά απλή διατύπωση. !Ία παράδειγμα,

Ας θεωρήσουμε ένα τυχαίο ανά· πτυγμα: Παίρνουμε διάφορα χάρτινα

κυρτών nολυιόrιων που προκύπτου"

το nράβλημα του κανονικού αναmύγ • μαtος: Αληθεύει όιι μπορούμε πάντα

από έΥα ανάπτυγμα; Οι έδρες aυτών

νο κόψουμε ένα κυρτό ηολύτοπο κα­

κυρτό πολύγωνο και σημειώνουμε τ.ις

των πολυιόπων δεν ορίζονταΙ κατά

τά μήκος -των ακμών του (αφήνοντας

πλευρές nου πρέπει να ενωθούν μετα­ ξύ τους. Φυοικά, rιρέnει να προσέξου •

μοναδικό τρόπο και επομένως το θεώ·

άθικτες ης έδρες του) έτσι ωστε η προ-

με να είναι ίσο ια μήκιι τι.ιν αντίστοι­

θήσει στη συγκεκριμένη περίπτωση.

χων πλευρών. Στη συνέχεια ενώνου ­

Έτσι, ο Alexandroν απόδειξε ένα άλλο

που .

ρημα C<ιuchy δεν μπορεί να μας βοη­

με τα πολύγωνa για να σχηματιστεί το πολύ-τοπο (επισημαίνουμε ότ.ι εmτρέ­

θεώρημα που από τη μια πλευρά ισχυ­

οεται να διπλωσουμε τα πολύγωνα

τηγ άλλη ουμπλίvιωσe τα δικό του θε­

του αναπτύγματος). Προκύπτει w εύλογο ερώτημα: Ποια

ώρημα: Αν είναι δυνατόν να σχημα· >ίσου με tνα κυρτό ιιολύτοπο από έ'•α

αναπτύγματα μπορούν με αυτή τη μέ­ θοδο να δημιουργήσουν ένα κυρτό πο­

ανάπτυγμα, τότε w πολύ-τοπο καθο­ ρίζεται κατά μοναδικό φόnσ.

λύεδρο; Οι παρακάτω δύο συνθήκες

Επιπλέον, είναι αδύνατον να σχη­

είναι αναγκαίες:

(Ι)Τοονόπτυγμα ιιρέπει να συμφωνεί με τον τύπο του Eιιler (Κ- Α+ Ε= 2). (Π) Το άθροισμα ιων εrιίιιεδων γωνιών

ροοοίησε το θεώρημα

Cauchy και από

ματίσουμε από αυτό το ανάπτυγμα οποιαδήποτε άλλη κυρτή επιφάνεια

-{)χΙ μόνο πολυεδρική, αλλά και κ α­

2.

Ο Oloνionishnikoν ήtαν νικηtι]ς τη.;

nρώτηι; Σοβιeηκής Μαθημαηκής Ολuμmlιδος c1934ι Τα )'tγονότο της rπ<Ιμeνης δεκαετίας άφησαν βαθιά σημάδια cnη δύσιιο.\η ζωή των tcλονιούχων vlω"' ιης cηοχής,. Το 1941 ο ()kn-iani:shnιk.ov ωJιOφOίtrpt ono ιο Παvtm · σuίuο

wu

Λivιvyιφονt ιιωουνtχιαr:ωςμt��

tαnιυχιο.aός φοιιηιής. Ειιιοtημονιι:ός wu αύμj!ουΑος ήιαν α λ.D. λleΙWΙdroν. Σύνwμα 6ρ)(10C ο Β' Παγχ6ομιος πδλεμοι;. ιθe.\ο­ ντήςοτ.ομέ.ωποκω φοuμαόιπηn rοφθινό­ πι.φο ιου 194 ι !Μ "οοοοιομtiο tyροφε tl\'' φ ·

m'J\,.

γασiα που \'<νiκeυε

w ~ημο rou Cιιuchy.

μπυλόγραμμη. Το συμπλήρωμα αυτό

Επέσφεψε ow μtuοπο και πeθανε w Δεχέμ · ιψιο τ.ου 1941 oc μια άγρια μι\χη σrο προάστια

~οιι θεωρήματος Alexandroν αποδεί-

wu Λtνινγκρονι..

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

21


c

c ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ

Σχήμα

10

κύπτουσα εmφάνεια να μπορεί να α­

ναπτυχθεί, χωρίς τομές με τον εαυτό της, σε μια επίπεδη περιοχή; Το πρόβλημα είναι ότι κάθε πολύε­

δρο έχει πολλά επίπεδα αναπτύγματα. Μερικά από αυτά rιροκύιττουν ό ταν κόβουμε το πολύτοπο κατά μήκος των ακμών του χωρίς να αγγίξουμε ης έ ­

δρες του. Παρόδειγμα τέτοιου ανα­ πτύγματος παρουσιάζεται στο Σχήμα 8 (τέτοια αναrrτύγματα ονομάζονται κατά ακμή σvaστύyματα). Θα ονομά­

ζουμε ένα κατά ακμή ανάn-τ:υγμα ενός πολυτόπου κανονικό αν αrιοτελείται

Richard Feynman

αrιό μια μοναδική περιοχή (έτσι ώστε να μην εmκαλύιπονται οι έδρες του).

Έτσι, για παράδειγμα, όλα τα κατά ακμή αναnτύγματα ενός τετραέδρου είναι κανονικά. Όμως, υπάρχουν πο ­ λ ύτοπα, με πέντε μόλις έδρες, τα οηοία

Νόμπελ Φuσιχής

ΤΟ NOflMATΩN ΠΡΑΓΜΆΤΩΝ Σκέψεις ενός πολίτη-επιστήμονα

έχουν μερικό κατά ακμή αναπτύγμα ­

<Μια θαυμάσια συλλογή προσωπικών ιστορ<ών και στοχuσμών yια πι ~ωιj, στο

τα που δεν είναι κανονικά. θεωρήσtε για παράδειγμα μια κόλουρη κανονι ­ κή πυραμίδα με μία από τις εοίηεδες

αvθεvτικό σnιλ τοv Feynnιan. Ένα βιβλίο yια TQV πραyμαtικό άνθρωπο και τα

γωνίες των παράπλευρων εδρr~ν της μεγαλύτερη των ιοο· (δείτε το llρό ­

βλημα Μ114 στο τεύχος Ιανουαρίου Ι Φεβρουαρίου

1998

του ελληνικού

Quantum). Το πολύεδρο αυτό έχει και κανονικά και μη κανονικά κατά ακμή αναπτύγματ.α (Σχήμα

10). Εηομcνως,

προβί.ήματά τοv, όχι yια φιί.οσοφικές αφο.ιρtσεις....

F""man Dysσn. Τhι New York R.,;ιw of Βοοk.ι .ιι\λη μια φορά tvα, αεικlνητος

Peynman...> τimolby Feπis. The Ν<Μ> Yark 1imtιι

«Διι.ιmιεόαστικό και προκλητικό fJι(Jλio... Ο

Peynman έχει ποίλά ακόιιη να

μας πει -ακόμη κι από εκι{ ποv βρίσκεται..•

Marcus Cbown. The Νιν.• Scit!nιi.sι •Μια πνευματώδης <1\ίνοψη πις φιλοοοq;Ιας τοv Feynntan yια την επιστήιιη,

το πρόβλημα είναι το εξής: Έχουν όλα

αλλά και ιιια εξαιρεηκή φι).οοοφία yια πι ζωιj...•

τα κυρτά πολύεδρα κανονικό (κατά

Jobn Gήbbin, Tht SuΙΙd>j• Times tΟIIΑονόίνοv

ακμή) ανάπτυγμα;

Τελειώνουμε με την ιιαρα tήρηση ό ­ τι όλα τα θεωρήματα που αναφέραμε

στο άρθρο μας αποδείχτηκαν από μα­ θηματικούς σε ηλικία μικρότερη των

30 ετών. Τα

μαθημαηκά οροο&:ύουν

με τις προσπάθειες των νέων. Όπως είπε ένας διάσημος μαθημα τικός, οι νέες ιδέι:ς •γεννιώνται• στα κεφάλια νέων μαθηματικών, αλλά οι παλιοί ε­

ξακολουθούν να είναι χρήσψοι ως •μαίες...

22

C1J ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

<θαvμάctιο βιβλίο... Ο κόσμος tχει πο}..ί.a να κιρδίσrι από τη διεισόιιτική ματιd και την ι>Sεlα αvτΟ.ηψη τοv

Feynman. ..•

PauJ Davles. καθηγηnjς φιλοσοφίας των φυσικώ1• t~ιιι<rιιιιhν. Πανεπισnjμιο της Αδιί.αtΟΟ,

•Το παρόν fJιiJλlo θα α.wτελtσrι αναμφισ{!ήτητα μέρος τοv θεμε)4ιiιόοuς tρyou τοv...•

Tony }!oy, καθηγηnjς ηί.εκτροvικιjς, Ειλ.:

Πανιπισπjμιο ωu Σαοuθάιιm<ιν

144, /4 χ 21 ••·• Πανόδετο, 4.300 δpχ. ΕΚΔΟtειtχάτιmτρο

Βι/Μιοπω!.ιlο: Στοά wv βtβ)Jov (Πεσμα~ί.αu 5), 105 64 Αθήνα. τη)..: 3247785

IVeb siιe: W\\w. k aιoptro.gr


ΠΩΣ ΛΥΝΕΤΑΙ;

Προκλήσεις Μαθnματιχά Μ136 Τcrράyωvα και κύβοι. βρεiτε όλες nς ηρα γμοΌκές λύσεις της εξίσωσης

Κ6θεrη οπόδει~ "Εστω Μ w σημεiο τομής tωv διαγωνίων του εγγεγραμ­ μένου τcτροπλεiιρου ABCD, όπου η LA!.m εiναι οξεiο. Κατασκευάζουμε

στηβάσηΒCτο ισοσκελές φiγωvοΒCΚ έτσι ώοτε LKBC + LAMB • 90•. Απο ­ δεiξιε όη η ΚΜ είναι κάθετη στην AD.

Ασκήσεις πυρόσβεσης. Μια φωτιή

στη Φλόριντα εξαπλώνεται με ταχύ­ τητο

I km {h προς όλες τις κατευθύν­

σεις. Μια μπουλντόζα φτάνει σιο μc­ τωηο τηc; φωτιάς τη στιγμή που έχει

κάψει κύκλο ακτίνας 1 km. Η μπουλ­ ντόζο κινείιαι με ιοχύtητο 14 km lh κατασκευάζοντας μια αντιπυρική ζώ­

νη. Ποια διαδρομή πρέπει να ακολου­ θήσει, ώοιε η φωιιιl να κόψει το πολύ ο.εριοχή εμβαδού (α) 4n kmΌ (β) 3π km'. (Μnορε!τε να υποθiσειε ότι η διαδρο­ μή της αιιοτeλείιαι από ευθύγραμμα τμήματα κα1 τόξα κύκλου.)

a + b + c=7, ιιbc • 9.

σύρμα

(d2 = 0,6 mml, τηκετοι όιαν το διαρρέει ρεύμα 1~ = 5 Α. Για ποια nμή

Φυσιιcή Φ136 Η opa cόrητα

νη με ταχύτητα υ

• 20 km ι h, διοm­

ο tώνει rιως στην περιοχή του στόμα·

.

' μονο

.

. .

Ορθογώνιος κόιτμος. Ο ιιλανήτης Τούβλο είναι ένα ορθογώνιο nαραλλη­

λεniηεδο με ακμές I, 2 και 4 km. Ο πρίγκιπας του Τούβλου έκτισε το πα­

λάτι του στο κέντρο μιας αιιό ιις με­ γο.\ύτ.ερες έδρες. Ποιο είναι η απόστα­ ση του πολοnού οnό w πλέον οnομα­ ιφυομένο σημείο του πλανήτη; (Η α­ πόσταση μεταξύ δύο σημείων ορiζεται ως το μήκος της συντομότερης διαδρο­ μής που συνδέει το οημεiα πάνω στην

ποιούν τις συνΟήκες

Φ139 Μαγνητικό ανασήκωμα. Ένας ά ­

mουν Ν1 =50 νιφάδες ονό λεπτό. Α­ ποφασiζει λοιπόν, καλού - κακού, να γυρiσει πίσω. Κατά την εmσφοφή, κι­

νεια και βρίσκεται εντός ομογενούς μαγνητικού πεδίου 8, του οποίου οι δυναμικές γραμμές είναι οριζόνnεc;. Ο δακτύλιος tχει μάζα m και αιηίνο R. Ποιο ρεύμα πρέπει να διαρρeει ιο δο­ κτύλιο ώστε να τον κάνει να αναση­ κωθεί οπό την εmφάνεια; (S. Krotoν)

νούμενη με την ίδια ταχύτητα. διοm­

στώνει ότι στην περιοχή του ο<όματός της προσnίιηουν μόνο Ν2 =

30

νιφά­

δες ανά λεπτό. Εκnμήστε την ορατό­ τητα της οκιερ κο τό ιη διάρκεια της

χιονοθυελλος. θεωρήστε ότι το εμβα­ δόν της εκτεθειμένης περιοχής του ητόμοτό<; της (στη διεύθυνση της κi­

νηοης) είναι s~ 24 cm'. και όπ η μέση διάμετρος των νιφάδων είναι d = ι cm.

Φ140 Ακrη•οyραφfα. Μια συσκευή ακτi­

νων Χ οποτελεirαΙ από σημειακή πηγή

S και δέκτη R σtερεωμένο ο' ένα nλni­ σιο. Ένα κυλινδρικό δοχείο με παχιά τοιχώματα τοποθετεiται ανάμεσα στο Sκαι R (Σχήμα 1). Το διάγραμμα δεί-

Ήλιο υn6 πfeση. Στην κυκλική δι­ εργασία που εξε-u'ιζουμε, η ανηγμένη

θερμοκροοία

t =

τ ι ·r. •ου ηλiου εξαρ­

tάrαι καtά cέτοιον τρόπο από την ο­

"

os

Α

1.0 ο8

νηγμένη πiεσή του δ = Ρ! Ρ0, ωστε να

παριστάνεrοι οε διάγρομμα δ- τ ως κύ­

κλος με w κέντρο του σw σημείο Ο, 11. Η ελάχιστη ονη\•μt,•η θερμοκρασiα του ηλiου στην εν λόγω διεργασία ι­ σούται με r.,,•. Προσδιορίστε το λόγο της μέγιστης nρος την ελάχιστη τιμή

Φ138 ικανο­

ρciλληλα; (Α. Κhoduleν )

κείται σε μη αγώγιμη οριζόνnο εmφά­

Μ140 b, c

μη λεπτά σύρματα τα οποίο έχουν το ίδιο μήκος και είναι συνδεδεμένα nο­

της nou είναι εκτεθειμένο- προοπι­

εmφάνειο του πλανήτη.)

πραγματικοί αριθμοί ιι,

κη σύρματα σε παράλληλη ουνδεση; Για ποια τιμή του ρεύμοιος θα •καεί• η ασφάλεια αν, εκτός οιιό το χοντρό

καμmος λεπτός αγώγιμος δακτύλιος

της οτομικής συγκέντρωσης του ηλίου ο' αυτή τη διεργασία . (V. Pogozheν)

Προσδιορισμός πεδίου rιμών. Οι

eόν οnοτελείτοι οπό δύο τέτοιο ισομή­

ιμημο του σωματος

Φ137

Μ139

ιοu ρεύμαrος θα •καεί• μια ασφάλεια

σύρμα. περιλαμβάνει και είκοσι cικό­

rης σκιέρ. Μια σκιέρ διοσχiζcι την κορυφογραμμή ενός βου­ νού γλιστρώντας με το πέδιλά της και ενώεmκρατεi χιονοθύελλα. Κινουμε­

τος της -το

Μ138

Α, ενώ ένα άλλο, επίσης μολύβδινο

Βρείτε το πεδίο tων δυνατών τιμών γιο καθεμιά οnό nς μεταβλητές .ιι. b, c.

Ιχ' + ΙΟΟ >' =<χ' - 100>3•

Μ137

O<ιι s bsc,

Σύνθετη rηκrη ασφαλεια. Ένα μο­ λύβδινο σύρμα διαμέτρου d, = 0,3 mm τήκειω όrαν το διαρρέει ρεύμα lι = 1,8

0,4 0,2

.

όR Σχήμα

Ο

-1 0

I 2 3 4

κ (Cm)

1

χνει πώς μεταβάλλεται η ένταση tων

ακdνων Χ συναρτήσει της συντεταγ ­ μένης χ. Υιιάρχει μέσα σ τον κύλινδρο

κάποιο ουσία που απορροφά την οκτι­ νοβολiο; (Α. Andrianoν) ΑΠλΝ'rΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Α ΥΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΕΛ. 62

OUANTUM I ΠΩΙ ΛΥΝΕτΑΙ;

23


ΣΤΑ ΠΕΔΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣ ΙΚ Η Σ

Ψηλά, ηλά και μακριά Arthur Elsenkraft και Larry D.

((

Kίrkpatrick

ΗΡλΝ ΤΛ ΜΥ ΑΛΛ τQΥ

Χέρια. κόντε ό, τι σας προστόζω:

ραμείνει ακριβώς ίδιο εάν

αέρα•. Έκφραση κοθη

φέρτε το μπαλόνι του νου,

κάποιο άllo αντικείμενο ο ­

μερινή, που σημαίνει

ότι ο άνθρωπος παύει

που φουσκώνει και παραδέρνει

ντικοιαστηοει τον θεωρού­ μενο υδδιινο όγκο. Εάν, ό ­

απ' το φύσημα του ανέμου,

μως. το εν λόγω αντικείμενο είναι βορύcερο οπό το νερό

να έχει ακριβή συναίσθηση των δυνατοτήτων ιου, όtι υπερε κτιμά τις ικανότητές του και φαντάζεται ιιως μιιορεί να κα ­ ιαφέρνει ιιράγματα ακατόρθω -

πίσω στη στενή καλύβα του.

- W/11/am Butter Yeats

τα, ότι aποθρασύνεται και ίσως

που εκτοπίζει, τότε θο βυθι ­ στεί. Αντιθέτως, ον είναι ε ­ λαφρό τερ,ο αrιό το νερό που

μικρότερο οπό την όνωση που δέχε ­

εκτο11ίζει , τότε θα οναδυθεi. Το νερό παρουσιάζει μηδαμινή συ ­

αέρα: •αέρας κοπανιστ;ός• -λόγια κε­

ται μέσο στον ψυχρότερο περιβάλλο­ ντο αέρα. Ανεβαίνει έως ότου η άνω ­

μn1εοι:όtητα, οπότε οι διαφορές οiεσης θα παραμείνουν οιοθερtς ανεξαρτή­

νό περιεχομένου, ανόητο-, •κουβt­

ση εξισωθεί με το βόρος του μπαλο­

ν reς ιου αέρα • -λόγια χωρίς αξία και

νιού και του αέρα που περιέχει. Έτ;σι,

τως της θέσης την οποία κοrολομβά­ νει ο υδάτινος όγκος μέσα στο υγρό.

οιισιοστικό αντίκρισμα-. -σου δίνω

για να κατανοήσουμε την ανύψωση και την αιώρηση του μπαλονιού, θα

ηαραφέρετ;αι . Αλλά δεν είναι και η μόνη έκφραση ιιοιι έχει -εγκλωβίσει•

αέρα •

αφήνω περιθώρια υπεβολικ:ής

οικειότητας, φtραμοι πολύ ελαστικό. Ποιο είναι άραγε εκείνο το χαρακτη­ ριστικό τοιι αέρα που σηματοδοτεί την

υπέρβαση των επιτρεπτών ορίων, που γεννά την ειρωνεία στις παραπάνω εκφράσεις; Ενδεχομένως να πρέπει να αναζητηθεί στο ότι ο περισσότερος κό­

πρέπει να ονοοκοπήσουμε τον θεμε ­

λιώδη νόμο της άνωσης, την αρχή τ{)υ Αρχιμήδη, καθώς και το πώς καθορί­ ζεται η πυκνότητα του ψυχρότερου

Η οτμόοφαιρα, όμως, είναι συμεnε ­ στή, με αποτέλεσμα η πίεση και η π υ­ κνότητα του αέρα να μεταβάλλεται με το υψόμετρα. Εάν δεχτούμε ότι η οiε­ ση είναι ανάλογη της πυκνότητας (ό­ πως ον η θερμοκρασία του αέρα ήταν

αέρα σε διάφορο υψόμετρο.

παντού σταθερή), μnορούμε νο συνα­

Ο Αρχιμήδης, προτού αρχίσει να περιέρχεται δρομαίος τις οδούς ο να­

γάγουμε την εξίσωση που συσχετίζει την πίεση με ro ιιψόμεερο.

σμος τείνει να θεωρεί τον αέρα -και

φωνώντας •Εύρηκαl•, αν·ιι λήφθηJCε

Θεωρούμε πως tνα στοιχείο του

ιιεριοσότcρο tον θερμό- ως κάη ο τε­

πως κάθε αντικείμενο δέχεται μια ο­

ρευσιού ισορροπεί εντός μεγαλύτε­

ρούμενο βόρους,

νωστική δvναμη ίση με το βόρος του

ro οποίο χάνεται στις • οιιρανου.

ρευστού που εκ ιοηίζει . Για να δώ­

Ως οιιουδαστές ιης φυσικής, όμως,

σουμε μια κομψή απόδειξη της εν λό­

τον αέρα τον έχουμε σε μεγαλύτερη

γω αρχής, αρκεί να θεωρήσουμε ότι έ­

εκτίμηση. Συχνό φουσκώνουμε μπα­ λόνια, και μέσα οπό αυτό μελετούμε

νας όγκος νερου, οχήματος ορθογώ­

πολλούς νόμους της φύσης. Γ'νωρί­ ζουμε όη ο θερμός αέρας τείνει να α­

• ακρες

του

ρου όγκου rου ρευστού. Γιο να πλη­

ρούται η συνθήκη ιοορροπiος του ου­ γκεκριμένου στοιχείου, η δύναμη που το ωθεί προς το πάνω λόγω της niεοης στην κάτω επιφάνειά του θα

_,c

πρέπει να ισούται με το άθροισμα του

~

στο υπόλοιπο νερό. Η στατική ισορ­

βόραυς cου και ιης δύναμης που το

"'

ωθεί προς το κά ιω λόγω της οiεσης

και η σκέψη μας μπο­

ροniο που nαρα ιηραι!με δεν μπορεί να εξηγηθεί παρεκτός ον η άνωση, η

στην οάνω επιφάνειά ιοιι.

ρεί μαζί του να πεtά σε μεγδλα επι ­

οποίο οφεί.λετοι στη διαφορά α νόμε­

στημονικό ύψη. Αλλό ας μείνουμε σε

PS •< P + dPJS+dB

σο τις πιέσεις που ασκούνται στην

αυτό τοφaινόμενο.'Ενο μπαλόνι φου ­

πάνω και tην κότω εrιιφόνεια του υ­ δδτινου όγκου, ισούται με το βάρος

νυψώνεται

σκωμένο με θερμό αέρα αρχίζει να υ­ ψ6)νεται ειιειδή το βάρος το υ είναι

24

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1998

νιου παραλληλεπιπέδου, πλέει μέσο

του νερού. Η διαφορά πίεσης θα οα -

PS =<Ρ+ dPJS +ρgSdy dP - · -pg dy .

{!.

""~ 9-

·g, ~ ~

ι;)


QUANTUM I ΣτΑ

ΠΕΔΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

25


της ορμής. Από αυτήν προκύπτει η ε­

ρούμε να nροοδιορfσουμε την εξάρτη­

θeρή θερμοκρασία 110•C· στη συνέ­ χεια το αnελευθερώνουμε. Το μπαλό­ νι ανυψώνετaι ισόθερμα στην ατμό­ σφαιρα, η οιιοiα θεωρείται οως έχει σταθeρή θερμοκρασία -ιο•c. Καθορi · στε το ύψος που κερδίζει το μπαλό'"

ση της πίεσης από το υψόμετρο ως

υιιό τις ανωτέρω συνθήκες.

εξής:

Δ. Το μnαλόVJ αιωρείται στο ύψος που υnολογίσ τηκ ε στο ερώτημα Γ.

ενώ η τελική ταχύτητα της μπάλας ισούται με μηδέν. Συνεπώς,

Όπως διαπιστώνουμε λοιπόν, η ni-

εση μειωνεται με την αύξηση του υ­ ψομέφου. Εφόσον θεωρούμε όη η πυκνότη­ τα ειναι ανάλογη με την πίεοη, μπο­

- ·ρ

Ρ

Ρο

Ρο

dP

f,ίσωση

mu •

όοου με ν συμβολίζουμε την ταχύ­ τητα του κέντρου μάζας της ράβδου,

Μαζεύουμε ιο οκοινf ώστε να το απο­

111

V = Μυ.

μακρύνουμε από τη θέση ισορρσnfας

=

του κατά Δh lO m και το αφήνουμε ελεύθερο. Περιγράψτε την κίνηση

Ρ

- =-gpdy • Ρ0

Μν,

που θα εκτελέσει το μπαλόνι αφότου

Εφόσον η μι1άλα χ-.;υπά -.;η ράβδο κάθετα και κοντά στο ένα από τα ό­

απελευθερωθεί και μετά. θα οεριμένουμε, με χαρά όπως οά­

ορος το κέντρο μάζας της ράβδου εί­

νια, τις λύσεις σας στη διεύθυνση του

κρο της, η στροφορμή της μπάλας ως ναι

ελληνικού Qusπtυm.

περί

Έχον ι.ας οι η διάθεσ~ μας την αρχή

του Αρχιμήδη και την εξάρτηση της πίεσης από το υψόμετρο που μόλις εξαγάγcιμε, ι·fμοσιε nλtον έτοιμοι να επ ιχειρήσουμε την περιήγησή μας στο nρόβλημα του παρόντος τεύχουι;. Πρό­ κειται για διασκευή ενός προβλήμα ­

τος οου τέθηκε στη Διεθνή Ολ υμmά­ δα Φυσικής του 1982. η οποία διε­ ξήχθη στη Γερμανfο.

κινήσειι(

Τρεις αναγνώστες μάς απέστειλαν λύσεις γιο το πρώτο από τα προβ.\ή­ ματα nου θέσαμε στο τεύχος Μαίου I Ιουνίου του Qusntum, καθεμιά από ιις οιιοίες στηρίζεται και σε διαφο­ ρετική μέθοδο. Ο ιφώιος, καθηγητής στη μέση εκπαίδευση, υποστήριξε πως

όταν ιο θρούομα αηοχωρiζεται από τσ χείλος του περιστρεφόμενου δίσκου, δεν ασκεί ώθηση στο δίσκο, οπότε η

οτροφορμη του ικαι, συνακολούθως. η γωνιακή του ταχύτητα) δεν μετα­

σκωμtνο, οιαθeρό όγκο ν, = 1,10 mj.

mlfω1 ενώ η ttλική mυR. Αλλά υ = ω.,R. οπότε η σφοφορμή του σωμαη­

είναι m• ., 0,187 kg, ενώ σ όγκος του θεωρείιαι ομεληιtος. Η αρχική τtμή

δίου δεν μεταβάλλεται . Λόγω της δια­

της θερμοκρασίας του περιεχόμενου

μαtος, συμπεραίνουμε ότι και η ο-τρο­

= 20,o•c, ενώ στσ εξω­

φορμή του δίσκου παραμένει αμετiι­

tcρικό του μιιαλονιού εηικροτεί αtμο­

βλψη. Ο τρίτος αναγνιi>στης προσέγ­

σφαφική πfcοη Ρ0

γισε το rιρόβλημα με περισσότερο μα­

αέρα είναι θ,

=1,013 · 10' Ν Im'.

Υπ' αυτές τις συνθήκες, η πυκνότη­

τα τσυ αtρο είναι Ρι = 1,20 kg / m3. Α. 'Ως ποια θερμοκρασία πρtnει να θeρμανθεί ο οtρος του μπαλονιού ώ­

τήρησης της οιροφορμής του συστή­

θηματικό rινεύμα. Η διατήρηση της

e.ωο =< θ. - mR'Jω, + mR'ω•. Αναδιατάσσοντας τους όρους, κατα­

Β. Το μπαλόνι δένεται με σχσινi στο έδαφος και, εν συνεχεία, σ περιεχό­ μενος αέρος θeρμαίνειαι ώσnσυ να α­

λήγουμε στην εf,ίοωο-η

οοκτήσει στοθeρη θερμοκροοiα

ΣV'τεnως, ω,

Ποια θα είναι η ολική δυναμη που α­

σκείται στο μπαλόνι όταν το απελευ­ θερώνουμε;

Γ. Το μπαλόνι δένετω με σκσινί σ ιο έδαφος, και ο αέρας που οεριέχει θερμαίνεται ώσιιου να αποκτήσει στα-

26

ΝΟΕΙΙΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΙΙΒΡΙΟΣ 1998

όιιου με ω συμβολίζουμε τη γωνιακ~ ταχύτητα της ράβδου ως rιρος τσ κέ­ ντρο μάζας fllς. Η διατήρηση ιης σιροφορμής μάς εmτρέοει να υπολογίσουμε την οτ. 6mυ

ω =- .

Ms

Ο πρωτος αναγ,•ώστης κατόρθωσε να προοδιορίσει τη συνθήκη που ο­ φείλουν να ικανοποιούν οι μάζες οροκειμeνου να καταοιεί δυνατή μια τtτοια κρούση. !'νωρiζουμε ότι η κι­

νητική ενέργεια μετά την κρούση δεν μπορεί να υπερβαίνει τη διαθέσιμη ΚJ­ νητική ~νeργεια ιιρο της κρούσεως. Σιινεnώς,

στροφορμής συνεπάγεται τη σχέση

σιe αυτό να αρχίσει να α1ωpείται:

no•c.

ι

G, = θω ~ ί2 Μa 1 ω,

προηγουμfνου, ηαροτrρησε όn η αρ ­

xudJ σ1ρ0ψ0pμή του σωμαnδίου είναι

=

το κέντρο μάζας της εfναJ

βάλλεται. Ο δεύτερος, μαθητής του

Ενα μπαλόνι έχει, όιαν είναι φου­

Η μάζα του ελασηκού περιβλήματος

Η στροφορμή της ράβδου ως προς

ιe. - mlflω. = < θ.- mlflω,. = ω,.

Το πρόβλημα όιιου μια μπάλα μά ­

ζας

m και

ταχύτητας

u χτυπάει ρά­ βδο μάζας Μ και μήκους a αnοδείχτη­ κε κάrιως δυσκολότερο. Όπως και σε όλα τα ηροβλιiματα κρούσεων, ηρέnει

να σιηριχ τού με στην αρχή διατήρησ-ης

1 ' -mυ

2

2:. -ι

2

Μ ν' +-σω 1 "'··' 2

. -(-Ma

1 m I Ι =-Μ(-υ) + 2 12 2 Μ 1 "' 2mυ

2

-Ma ).

χ 6mυ

'(4m1 Μ!

οπότε καταλήγουμε σιη συνθήκη

Μ Ο! 4nι.

00


Ευκλείδειες περιπλοκές Ό,τι αληθεύει τοπικά σύμφωνα με τον Ευκλείδη μπορεί να μην ισχύει όταν ταξιδεύουμε όλο και πιο μακριά

I. Sabitov

Η

ΓεΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΜΑ.Σ:ΤΕ

μία nαράΗηλος

στο σχολείο ονομάζεται ευκλεί­ δεια προς τιμήν του αρχαίου έλ ­

ληνα μαθημαtικού που χρησι­ μοποίησε την αξιωματική μέθοδο για

><

πολλtς παράλληλοι

να συστηματοποιήσει αυτή την εm ­

στήμη. Από τα αξιώμαrο nου διατύ­ πωσε ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του,

_____:><

καμία παράλληλος

Πόσες παράΗηλες υπάρ.fουν;

διασημόtερο είναι το πέμmο αίτιwα -το αίτημα των παραλλήλων. Σύμ­ φωvα με t9 αξίωμα α υ rό, για κάθε σημείο εκτός μιας δεδομένης ευθείας

Σχήμα2 Σrη yεωμεrρια ιου Ευκλει'δη, σrη \'εωμεrpι'α

Σχήμα3

tου

έρχεται από το δεδομένο σημείο και είναι παράλληλη στη δεδομένη ευ­

αξιώμαtσ 110pαλλ.ήλωv.

Σε ι'\•α αεριοpωμέvο rμήμα ωυ χώρου &:v μπορούμc "'α διαπJσtώσουμε άμεσα ποιο α(ίt•μα παρσ.Ηή,\ωv ισλ'ύtι.

θεία. Στα Στοιχεία, το αξίωμα αυτό

δεν είναι η μοναδική λογικά δυναtή:

δυνατtς, γεωμεφiες -του Ευκλείδη,

διαtυπώνεται με διαφορετικό αν και

υπάρχουν μη ευκλείδειες γεωμετρίες

του

ισοδύναμο τρόπο:

ευθεία rέ ­

στις οποίες το αξίωμα των παραλλή­

είναι αληθής στον πραγματικό, φυσι­

μ νει δύο άλλες ευθείες και αrιό rη μια πλευρό της σχημα rίζονr~ι εσωτερικές

λων είναι τελείως διαφορετικό. Αν

κό μας κόσμο; Δεν είναι εύκολο να δώσουμε γρή­

yωvίες με άθροισμα μικρότερο τωv

σημείο εκτός αυτής, μπορούμε να κά ­ νουμε διαφορετικές υποθέσεις σχετι­

γορη απάντηση στο ερώtιJ]1α. Δεν εί­

κά με την ύπαρξη ευθειών που διέρ­

επαληθευτεί πειραματικό το αξίωμα

χονται από το δεδομένο σημείο και

tων παραλλήλων. Αποτελεί γεγονός

είναι παράλληλες προς τη δεδομένη

ότι μόνο θεωρητικά μπορούμε να εnε­

ευθεία. Η υπόθεση ότι υπάρχουν δύο

κtεiνουμε μια ευθεία στο άπειρο. Στην πραγματικότητα, ακόμη και τα καλ ύ­

υπάρχει μiα μοναδική ευθεfα 110υ δι­

av μιa

δύο ορθών, τότεοιδύοευθεfες τέμνο­ ντοι προς την πλευρό που βρfσκονται οι 8ύο γωνίες. Ωστόσο, η ευκλείδεια γεωμετρία

Lobachc,•sky και οtη yεωμεrpiα wυ Riemann χ.ρηqιμοαοιοιίv ιω διαφιιpt rικά

ξεκινήσουμε με μία ευθεία και eνα

τουλάχιστ()ν riτοιει; cυθεlει; μάς οδη­

Σχήμα 1 Αν La + Lβ < 180°, τό τε ro ιtημεfυ ι-οpής rι.n· ευθε1ώv m κα1 n βρiσκε tαι στα δrtιά f1_}'ς ευ­ θclας ι.

Lobachevsky

ή του

Riemann-

ναι προφανές το πώς θα μπορούσε να

. .

γεί οτη γεωμετρία που έχει πάρει το όνομα του μεγάλου ρώσου μαθημα­

τερο τηλεσκόmα μπορούν να προοεγ-

τικού

N.l. Lobacheνsky. Επιπλέον, έ­

του σύμπαντος. Επιπλέον, όπως μnο ­

να διαφορετικό αξίωμα -<>τι δεν υ­ πάρχουv ευθείες που διέρχονται αιιό

ρούμε να δούμε και 0 <0 Σχήμα 3, unάρχουν πολλές ευθείες του δεδομέ­

co δεδομένο σημείο εκτός

νου ειηπέδου που διέρχονται από

cης ευθεlας

.

.

.

γισουν μονο ε να πεπερασρενσ τμημα

w

που να μην τiμνουν τη δεδομένη ευ­

δεδομένο σημείο και δεν τέμ,•ουν τη

θεία- μάς οδηγεί στη γεωμετρία του

δεδομένη ευθεία μέσα στο διαθέσιμο

(ή ελλειπτική γεωμετρία )

προς παρατήρηση πεδίο (ακόμη και αν

Riemann

(βλ. Σχήμα

2).

Ποια από αυτές τις φεις, λογικά

ισχύει το ηέμmο αξίωμα). Οπότε, ηώς. θα μrιορέαουμε να ε-

OUANTUM I ΑΡθΡΟ

27


28

~ΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1~$$


naληθείιοοιιμε to αξίωμα tωv ηαραλ ­

να δεχτούμε προκαταβολικά ότι ένα

λ ήλων;

αξίωμα ισχύει σε ολόκληρο το χώρο

το θεμέλιο της γεωμετρίας;

αν ισχύει σε μια περιορισμένη περιΟ· χη του.

.•

·--·----•

••

• •• Cο · -- : -· .J·---- .. · t---1,

Αποδεικνύεται ότι, κατ.> αρχήγι εί­

Επομένω<;. καταλι\γουμε στο εξής

ναι δυνατόν να εηαληθεύσουμε το α·

ερώτημα: αν υποθέσουμε ότι τα ευ­

ξίωμα των rιαραλλήλι,>ν. Το αξίωμα

κλείδειο αξιώματα αλιιθεύουν •τοπι ­

αυτό είναι ισοδύναμο με την πρόtα­

κά• -δηλαδή. μέσα στην εμβέλεια

ση όn το άθροισμα των γ(.>νιών ενός

των οργά ν ων μας- σε κάθε σημείο

τριγώνου ισούται με 180•.' Σrη γεω­

του •πραγμαηκού χώρου• (οπουδή­

μετρία του Lobacheνsky το άθροισμα

ποτε βρίσκεται ο παρατηρητής), αλη·

αυτό είναι μικρό-ι;ερο των ιsο·. ο

θεύει ότι ο πραγματικός χι))ρος είναι

ρα του συνήθους ευκλείδειου χώρου.

Gauss προσπάθησε με γεωδαιτικές

Σε αυτό το άρθρο δεν θα μπορέσου ­

μετρήσεις γα υπολογίσει το άθροισμα

και συνολικά ευκλείδειος; Με άλλα λόγια, είναι ο ευκλείδειος φισδιόστα·

tων γωνιών του τριγώνου που σχη­

τος χώρος κατάλληλο μοντέλο ολό­

ματίζανε φεις κορυφές των ορέω'' Χαρτς (οι Μπρόκεν, Χοχενχάγκεν και

κλφοu ιου φυσ1κού χώρου; Αυτό το σημαντικό cστην ουσία, κοσμολογικό)

Ίνσελμπεργκ), οι οποίες απέχουν με ­

ερώτημα είναι δυνατόν να διατιιπω­

δισδιάστατους χώρους. Τέτοιοι χι))ροι ονομάζονται τοnικά ευκλεlδεια επί­

ι;αξύ τους

χιλιόμεφο. Α·

θεi με καθαρά μαθηματικοiις όρους,

πεδα. Το πρόβλημά μας, λοιπόν, μπο ­

πό την άλλη μεριά, ο Lobacheνsky

πράγμα που θα αποτελέσει το στόχο

ρεί να διατυπωθεί ως εξής: Ποια είναι

διάλεξε γιο τους υπολογισμούς του

του παρόντος άρθρου.

η εικόνα tων τοmκά ευκλείδειων ε·

100 περίπου

κοσμικές αποστάσεις: μέτρησε το ά · θροισμα των γωνιών του τριγώνου

Διατύπωσn του ηροpλήματος Έστω ό" για κάθε σημείο του χc~ ­ ρου υπάρχει μια nεριοχή -μια γειτο·

ουρανού. Όμως, κοι οτο δύο πειράμα •

νιά- (ας πούμε, μια σφαίρα με κέ­

τα, οι αποκλίσεις uιιό τις

χτηκαν μικρότερες από το πιθανό

ν ιρο α υ ιό <Ο σημείο) μέσο στην οποία αληθεύουν οι προ-ι;άσεις της ευκλεi •

σφάλμα των μετρήσεων, και έτσι δεν

δειας γεωμεφiας. Είναι φυ01κό να

κατέστη δυνατόν να εξαχθούν ορι·

διαιυrιt:>οουμε με τέτοιο tρόι'Ιο αυτές

στικά συμπεράσματα για τη γεωμε­

τις προτάσεις ώστε να έχουν νόημα

τρία του πραγματικού κόσμου.

μέσα στη σφαίρα

Ας υποθέσουμε, όμως, όtι κάrιοιος παρατηρητής καταφέρνει να αnοδεί ­

αξίωμα των παραλλήλων rιρέrιει να

ξει με αλάνθαστη ακρίβεια ότι το ά­

άθροισμα των γωνιών ενός φιγώνου

θροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

ισούται με

είναι ιsο·. θα σημαίνει αυτό όtι η γε ­

πούμε για τη γεωμεφία του χώρου

ωμετρία ωιι χt::ψοιι μας είναΙ ειικλεί.

συνολικό;

για παράδειγμα, το

αvtικατασταθεί με την πρόταση ότι το

180•, κ.ο.κ. Τι μπορούμε να

Ένας χώρος που είναι ευκλείδειος

δει α;

Η απάντηση είναι καταφατική αν συμφωνήσουμε ότι το θε~Ιρημα ιοιι

Απtφοι; κιίλινδροι;.

με να εξετάσουμε τοmκά ευκλείδει­ ους τρισδιάστατους χώροιις. θα περι­ οριστούμε σε τοπικά ευκλείδειους

πιπέδι.ιν στο ουνολ>κό χώρο;

που ο)(JlJlατίζουν η Γη, ο Ήλιος και ο Σείριος, ο φωτεινότερος απλα νής του

180° αrιοδεί •

Σχήμα4

στην περιοχή κάθε σημείου του ονο • μόζεται ωnικά ευκλεfδειος.

Legendre είναι σωστό. Όμως. το θεώ­

Ιδού ένας μαθηματικώς ορθότ~ος

ρημα αυτό αποδεικνύεται βάσει άλ­

ορισμός του υοπικά ευκλείδειου χώ •

λων ευκλείδειων αξιωμάτων. Το ερώ­

ρου. Δύο σύνολα Α και Α', στο καθέ·

tημπ έγκειται στο κατά πόσον τα αξι •

YU από τα οποία ορίζετω η απόσταση μεταξύ κάθε ζεύγους σημείων τους,

!::'

ώματα αυτά ισχύουν στον πραγμα τι· κό κόσμο. Για παράδειγμα, ηώς μηο •

~

ρούμε να ξέρουμε ότι δύο ευθείες που

~

τέμνονται σε ένα φύλλο χαρτί δεν

αμφιμονοοήμανtη αντιστοιχία μετα­ ξύ των σημείων τους που διατηρεί την

1$.

πρόκειται να ξανασυναvtηθούv αν τις

απόσταση. Αυτό σημαίνει ότι αν ιι,

~

προεκτείνουμε en' άπειρον; Πρ&ιιει να

ε Α και α ν a' και

~

είμαστε εξίσου αυστηροί με όλα τα

χα σημεία του Α', τότε η απόσταση

~

αξιώματα του Ευκλείδη -δεν πρέπει

Ιablισούται με την απόσταση Ιιι'bΊ.

ο κύλινδρος και το αvάπτυγμά του Το ίδιο το ευκλείδειο εrήπεδο είναι

φυσικά

ro απλούστερο παράδειγμα ε­

νός τοmκά ευκλείδειου επιπέδου. Δεν θα ασχοληθούμε με αυτή την περί · rιτωοη αλλά με έγα άλλο, αρκετά α­

πλό παράδειγμα -την άπεφη κυλιν­ δρική επιφάνεια, ή απλώς τον κύλιv· δρο. Το Σχήμα 4 παρουσιάζει α υ rή την εmφάνεια ως το σύνολο τ{Uν σημείων ιων οριζόντιων ευθειών (γεννητριών) οι οηοiες διέρχονται από όλα τα ση­ μεiα του μοναδιαίου κύκλου

ο \'άλλος μαθημαιικός Λ.

Legend.re uηέδt:ιξι:. ίη.ι

ιο αξiwμα ιωv πuρuλ ­

λή.\ων αληθεύει αν υπάρχει wυιlάχιοrογ έ\'α ψίyωνο με δθροιομα yωνι~>ν ίσο με

180°.

(δι·

ευθέτουσο) nου ανήκει στο κατακό­

ρυφα επίπεδο ο. Αλλά, δεν έχουμε ακόμη κάποια

Μ

ονομάζονται ισομετρικό αν υπάρχει

b' είναΙ

b

τα αντίσwι·

ο

Ένας χ~ιρος ογομάζεται Ίοπικά ευ·

1. Εrιιιtλtοv,

C0

κλείδειος αν έχει οριστεί μια απόστα · ση για κάθε ζεύγος σημείων του και αν για κάθε σημείο υrιάρχει μια ιιερι ·

.

. οχ η που ει ναι ισομετρικη με μια σφαι.

'

Μ'

b ιV

χ

Σχήμα5 Q κtίλιvδρος (μια λωρίδα με

rαιιt1ομέ\•ι·ς rις

διίο πλευρές rης) εiναι rοπικιi ευκλci&:ιος.

QUANτuM I ΑΡθΡΟ

29


•γεωμετρία• σwν κύλινδρό μας. Πρέ­ πει να ορίσουμε μια απόσταση μετα ­

όντως συμπίπτει. Η απόδειξη, όμως.

κατευθυνθεί προς την πληοι&στερη

τούτου, που συνδέεται με την Ο\•ομα ­ ζόμενη διαφορική yεωμεrpία, βρίσκε­

τηλεφωνική συσκευή (ακόμη και αν

Η ίδια ασυνήθιστη απόσταση υ­

λιν6ρσ, κ.ο.κ. rια να εισαγάγουμε αυ­

ται iξω από τα όρια του παρόντος άρ­ θρου.

τούς τους ορισμούς, κόβουμε τον κύ­ λιν6ρσ κατά μήκος μιας γεννήτριάς

r~ιετρία στσν ιιύλινδρο

ξύ ιων σημεiων, να καθορίσουμε ποιες είναι οι -ευθείες γραμμές• στον κύ­

βρίσκεται στην αντiθετη κα τεύθυνοη). πάρχει στη λωριδα μας με τις w ιm ­ σμcνες άκρες. Πράγματι. ας θεωρή­ σουμε τα σημεία Α, Β και

C της λωρί ­

του και τον αναπτύσσουμε στο εni ­

Αποδείξαμε όιι η γεωμετρία του

ηεδο των συντεwγμέvων ως μια ά­ πειρη λωρίδα Π, τα σημεία της οποίας

κυλίνδρου είναι τοmκά ευκλείδεΙα.

ταξύ των συντετα yμένων

Ποια είναι η εικόνα της γεωμετρίας

μείων Α κα ι

ικανοrιοιούν την ανισότητα Ο ~.Υ~ 2π

του κυλίνδρου (δηλαδή της λωρίδας Π

τερη από το ήμισυ του rιλότους της

(βλ. Σχήμα 5). θα θεωρήσουμε ότι η ε­ πίπεδη λωρίδα Π με τις όκρες της •κολλημένες• (αν δηλαδή θεωρήσου ­

με ταυτισμένες άκρες) μέσα στο ευ ­

λωρίδας Π, η απόσταση είναι η συνή­

ρύτερο πλαίσιο; Πώς μεφιcιαι η •α­

θης -δηλαδή είν(Ιι το μήκος του δια­

πόσταση• στον κύλινδρο; Ποιες είναι οι -ευθείες γραμμές• του; Ποια αξιώ­

στήματος ΑΒ. Ομως, για

με όrι τα υτίζονwι όλα τα σημεία της μορφής

(b, 0) και (b, 2π)) ορίζει τη γε­

ματα ισχύουν;

ωμετρία του κυλiν6ρσυ. Οι μαθημα­ τικοί λένε ότι rαυdζουμε τα ζεύγη

Πριν απαντήσουμε σε αυτά ro ε­ ρωτήμαrο, ας εξετάσουμε ένα μάλλον

των σημείων της μορφής (b,

0) και ( b,

ασυνήθιστο nαρόδειγμα. Ας φαντα­

b, και μελετάμε τη γεω­

στούμε ένα βασίλι:ιο στο οποίο υπάρ­

μετρία της λωρίδας Π χρησψοποιώ­

χουν δύο παράλληλοι δρόμοι κατά

ντας αυτή tην ταύτιση.

μήκος των οποίων βρίσκΟ\'tαι, σε μι­

2κ), για κάθε

Ας επαληθεύσουμε όrι η γεωμετρία

κρή αnόσταοη ο ένας από τον άλλο,

του κυλίνδρου είναι τοπικά ευκλεί­

χώροι στάθμευσης (στο βασίλειο μπο­

δειο. θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο

ρεί, επίσης, να υπάρχουν και άλλοι δρόμοι). Οι χώροι ο ιάθ μευσης που

Α(κ, γ) Ε Π. Αν το σημείο Α = Α 1 δεν

βρίσκεwι στην άκρη της λωρίδας α:χή­

βρίσκονται απέναντι ο ένας από τον

μα 5), όλα είναι ξεκάθαρα. θεωρούμε

άλλο, σε διαφορετικούς δρόμους, συν­

r εί­

δέονται με τηλεφωνική γραμμή, ενώ

ναι μιιφότερα από την απόσταση του

δεν υπάρχει τηλeφωνική σύνδεση με­

σημείου Α από την πλησιέστερη άκρη της .\ωρίδας. Ο κύκλος περιέχεται εξ

ταξύ των γειτο\•ικών χώρων στάθ­

μευσης του ίδιου δρόμου. Ορίζουμε

ολοκλήρου στη λωρίδα Π και, φυm­

ως απόσταση μεταξύ δύο σημείων τον

κά, είναι tνας ου\•ηθισμένσς ευκλεi­

ελάχιστο χρό\'Ο που απαιτείται γta να

δεισςκύκλσς. Αν wσημciοΑ =Α, βρί­

μεταδοθεί κάποιο μήνυμα από το ένα

σκεται ο την άκρη της λωρίδας (Σχή­

στο άλλο. Ας υποθέσουμε όn θtλου­

μα 5), τότε οι συντεwγμένες του εί­

με να στείλουμε ένα μήνυμα από το

ναι της μορφής

σημείο Α wυ βασιλείου στο σημείο Β.

έναν κύκλο α κ τίνος

r, όπου

(b, 0) "( b,

το

2π). Στην

περίπτωση αυτή, η ένωση των δύο η­

Παρόλο που

μικυκλίων με κέντρα τα σημεία

(b, 0)

δέονwι με έναν δρόμο, ο αγγελιαφό­

2π) μ πορεί να θεωρηθεί μια

ρος είναι πιθανόν να προτιμήσει να

και

(b,

δος Π (βλ. Σχήμα

6). Α ν η διαφορά με­ y

των ση­

B,y. και y/Ι'είναι μικρό ­

ro σημεία

Α

και C, για τα οποία έχουμε IY. - Υι~> ιτ, η απόσταση ισοiιται με ΙΑΚΊ + ικcι = ΙA'Ci, όπου το Α' nροκύιnει από την

-

παρόλ.\ηλη μετατόπιση του Α προς τα πανω κατά το διάνυσμα ΑΑ', μήκους Κ είναι το σημείο τομης του τμή­ ματος CA' με ιην άκρη της λωρίδας

2•,

-

και ΚΚ' = -ΑΑ' (Σχήμα 6 ). rια να επι <Ιψψουμε στο παράδειγμά μας με ης τηλεφωνικές γραμμές, είναι προτιμό ­

τερο να στείλουμε έναν αγγελιαφό­

ρο από το

C στο

Κ, να μεwδώσουμε

στιγ μιαία μέσω τηλεφώνου το μ ήνυ ­

μα από το Κ στο Κ', και ο τη συνέχεια να το στείλουμε με άλλον αγγελια­ φόρο από το κ· στο Α. Πρόβλημα Ι .Αnοδείξιεότισεμια .\ωρίδα με wυτισμtνες άκρες η από­

σταση μεrοξύ των σημεiω" Αιr•. yA ) και &χ, y 8 1δίνεται από τον τύπο

Jιχ. - x 8 ) 2 + <y.

αν

ro Α και Β μπορεί να συν­

-y 8 )

7

IY. - y8lsπ,

IABI=

κυκλική ιιεριοχή του σημείου Α = Α2.

Αφού τα ημικύκλια ενώνονται κατά μήκος των διαμέφων τους ΜΝ• Μ'Ν,

Α'

μετά την ένωοή τους <τη συγκόλλη­

Οι •ευθείες γραμμές•, όπως και οι

• ••• •• •

νος μοναδιαίος ευκλείδειος κύκλος.

θα ήταν φυσικό να ορίσουμε ως απόσταση μεταξύ δύο σημείων του κυλίν6ρσυ το μήκος της μικρότερης κει στον κύλιν6ρσ. θα μπορούσαμε

Υ

κ-c •

σή τους) προκύπτει ένας συ\'Ι}θισμέ­

γραμμής που τα ενώνει και που ανή­

·.. κ

αποστάσεις, εiναι ιδιαίτερες στη γεω­ μετρία μας. Μπορεί να είναι φιών ει­

•••

δών (βλ. Σχήμα 7α). Πρώτον, κάθε συ ­

•••

ιφeς της λωρίδας ε!ναι ευθεiα γραμ ­

νήθης ευθε!α παρόλληλη προς rις ά­

Β._

.•

μή. ~ύτερον, κάθε τμήμα nου σvνδέ­

Λ..i

να αναιιτύξουμε μια άλλη γεωμετρία

σε ου τ ή τη βάση. Ένας προσεκτικός

Κ'

ει ταυτισμένα σημεία, κάθετο στις ά • ο

χ

αναγνώστης θα μπορούσε να ρωτήσει αν η εν λόγω γεωμετρία συμninτει με τη γεωμετρία ιης λωρίδας Π με ταυ­ τισμένες άκρες. Αποδεικν ύεται ότι

30

NOEIIRPιnJ ι ΛFKFIIRPιni 1998

κρες της λωρ!δας, ε!ναι •ευθεία γραμ ­ μή•. Τρίτον, το σύνολο των πλάγιων παράλληλων τμημάτων, όπως αυτά

Σχήμa6 Η συντομότερη αιιόοιαοη μcιαξύ 'ων οη­ μεlων Α Κάl t!Ι•αι ΙΑΚ'Ι + ικcι.

c

του Σχήματος 7α, είναι •ευθεία γραμ­ μή•. Στον κύλινδρο, αυτά τα τρία είδη


μο τμήμα δεν είναι πάντοτε η συντο ­ μότερη διαδρομή μεταξύ των άκρων

Υ

B·~------~b____~,~~ c--~

του, όn μια κεκλιμμένη ευθεία μπο ­ ρεί να είναι μικρότερη αιιό την κάθε­ τη και ότι το πυθαγόρειο θεώρημα δεν

8

ισχύει πάντοτε. Καθορίστε ποια μορ ­ φή ιιαίρνει tνας κύκλος -ένα ουνό­ λο σημείων που ισαπέχουν από ένα

δεδομένο σημείο- καθώς αυξάνει η ακτίνα tοιι.

a

llf1

χ

Μ~---4----~~~

~----~~--~~·

Μ'ι AL4~----4---~~N~~D~~

Διαπιστώνουμε όη δεν μπορούμε

Α =B=C=DΦ

να είμαστε βέβαιοι πως ένας κόσμος είναι ένα άπειρο επίπεδο όταν αποδεί­ ξουμε την τοπική ισχύ όλων των α­ ξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας και ακόμη και τη γενική ισχύ ταυ α­

β Σχήμα

ξιώμα ιος των παραλλήλ<i>V. Ένας τέ­ τοιος κόσμος μπορεί να έχει τη δομή

7

Τpε1ς tύποι "ευθεiας yραμμής,. οε έγαv κύ ·

λιvδρο: η ελικοειδής ευθεlα yραμμή ΚL κοι ο κύκλος

ST,

η eυθcia

;\fN.

ευθειών είναι, αντiστοιχα, γεννήτριες

δούμε στη συνέχεια, και άλλες γεω­

σουμε ότι κάθε άλλη διαδρομή από το Μ στο Ν' που περιλαμβάνει το τμήμα

και

2a

το μήκος τού

Ταυτίζουμε

CD.

ρiιοιε ότι ιο αξίωμα των nαρολλlιλvιν ισχύει στο ευρύτερο πλαίσιο (δηλαδή

τσι ιj}στε το σημείο Α να ταυτιστεί με

σε ολόκληρη την επιφάνεια Η

το

tην rιλευρά ΑΒ με την rιλευρό

D

κω το Β με το

CD έ­

C. Στη συνέχεια

ταυτίζου με την πλευρ(ι

BC

με την

•ευθείες γρομμές• που είναι παράλ­

πλευρά

ληλες προς τις •ευθείες γραμμές• ΚL,

ταυτιστεί με το Α και το

ΜΝ και ST και διέρχονται από το ο η­ μείο Α των Σχημάτων 7α και 7β.

(Με αυτή τη διαδικασία, όλες οι κορυ­

Τώρα όμως παραβιάζονται άλλα ευκλείδεια αξιώματα ~κόμη και το

μείο.) Ορίζουμε ως απόσταση μεταξύ δύο σημείων ταυ ορθογωνίου το μή ·

αξίωμα που μας λέει ότι υπάρχει μία

κος της μικρότερης διαδρομής που τα

μοναδική ευθεία που διέρχετω αnό

συνδέει, λαμβάνοντας υπόψη αυτές

δύο σημεία. rια παράδειγμα, το πλή ­ θσς των σημείων τομής της κόκκινης

τις ταυτίσεις. Εισάγουμε το σύστημα συντεταγ ­

!ελικοειδοirς} •ευθείας γραμμής• και

μένων του Σχήματος 9, η αρχή του ο­

της μαύριις (γεννήτριας ) είναι άπειρο

ποίου βρίσκεται στο κέντρο τσυ ορθο •

(Σχήμα

γωνίου. Ας υπολογίσουμε, για παρά·

7}!

Πρόβλημα

3.

Περιγράψτε όλα τα

+

Η επίπεδη σπείρα Α, Β, C, D σ w επίπεδο Oxy (Σχήμα 8). Έστω ότι 2b είναι το μήκος τού ΑΒ

2. Βρείτε ης μοναδι κeς

μετα{ι} rων οημι:ίω~, Μ και Ν εfvαJ ΙΜΜ1 1 ΙΜ;ΝΙ.

2-a, - b S y< 2b δίπλα στην πλευρά DC (Σχήμα 8), μπορούμε να διαπιστώ­

ιιρος τη διευθετούσα και ελικοειδείς

Πρόβλημα

VO• οpθογώνιο. Η συΙ• rομόrεpη διαδρομή

μετρικές δομές.

Έστω ένα ορθογώVlΟ τ με κορυφές

Όσον αφορά τα αξιώματα, παρατη­

Η επίπεδη σπrίρα rJ'vαJ έ va "συyκο.lληp έ·

ενός ι'ιπειρου κυλίνδρου ή, όπως θα

του κυλίνδρου, κύκλοι παράλληλοι γρομμές (βλ. Σχήμα 7β).

Σχήμa8

AD έτσι ώστε το σημείο

C με

ΜΝ' είναι μεγαλύτερη του τμήματος Μ'Ν'. Εηομένως, η συντομότερη δια ­

δρομή από το Μ στο Ν είναι η ένωση των τμημάτων ΜΜι και ΜΊΝ' και η •απόσταση• μεταξύ ιων Μ και Ν ι· σούται με 2

2

J(a /2) +{3b/ 4)

Β να

το

D.

φές τού Τ συγχωνεύονται σε ένα ση­

δειγμα, την •απόσταση• μεταξύ των

Πρόβλημα

5.

(α) Δ6>στε παραδείγματα ζευγών σημείων που απέχουν μεταξύ τους

.Ja• + b2 • (β) Αποδείξτε ότι η απόσταση μετα­ ξύ δύο σημείων δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη του

.Ja' +b2· • (γ) Αποδείξτε ότι για κάθε δεδομέ ·

νο σημείο υπάρχJ ένα μοναδικό ση­

M(-3 / 4a, l /4b) και N\3/4a, μείο που αηέχει

a2 + b 2 από αυτό.

ζεύγη σημείων του κυλίνδρου από τα οποία διέρχεται μία μόνο ευθεία yρομ­

σημείων

μ ή.

ότι το τμήμα ΜΝ', όπου

N'(3 /4a, - b),

ταυτίσει τις απέναντι έδρες, με απο­

Τα παραδείγματα αυτά, όμως, δεν εξαντλούν τις περίεργες ιδιότιιτες της

είναι μικρότερο του ΜΝ. Επομένως,

τέλεσμα να ισχύει ο προηγούμενος

αρέnει να αναζητήσουμε τη μικρότε­

κανόνας υπολογισμού αποστάσεων,

κυλινδρικής γεωμετρίας. Ίσως παρο ­

ονομάζεται επίπεδη σπείρα.

τηρήσατε ήδη ότι οι •ευθείες γραμμές•

ρη διαδρομή από το Μ έως το Ν μετα · ξύ των διαδρομών που συνδέουν το

του κυλίνδρου που είναι παράλληλες

Μ με το Ν' (διότι εκλαμβάνουμε τα Ν'

στην επίπεδη σπείρα με τον ίδιο τρό ·

προς τη διευθετούσα είναι φραγμένες:

και Ν ως το ίδιο σημείο). Σύμφωνα με

ιι μέγιστη απόσταση μεταξύ σημείων μιας τέτοιας ευθείας ισούται με π.

την κα-.;ασκευή μας, η περιοχή δεξιά

πο που ορίζονται στη λωρίδα Π -το μοντέλο του κυλίνδρου. Στο Σχήμα 9

του τμήματος ΑΒ είναι ταυτόσημη με

βλέπετε δύο •ευθείες γραμμές• : η

ιην rιεριοχή δεξιά ιου tμήμαιος DC. Α ν τοποθετήσουμε τη λωρίδα a 5 χ <

κόκκινη κλειστή •ευθεία γραμμή• AC

Πρόβλημα

4. Δώστε παραδείγμα ·

τα ηου δείχνουν ότι ένα ευθύγραμ ·

b) (Σχήμα 8}.

Πρώτον, παρατηρούμε

Το ορθογώνιο Τ στο οποίο έχουμε

Οι .ευθείες γραμμές• ορίζονται

αποτελείται από ένα ευ κλείδε ιο ευ-

QUANTUM I ΑΡΘΡΟ

31


Μο J\12

Β

1.

1. '

' ' ' '' '

' '

'V: ιJ:

Μ•

1.

'' ' ''

'' '' ' ' ''

Υ

1.

'' ' ''

'' ' '

:ο ιy

V:.

Α

c

Ms Mg

' '

'' ''

'' ''

j

1

i.

v. '

' ' ''

'' '' '' _j

/(' '

' '' '' ' ' ' ' '' '

_l

D

Σχήμο9

φόnο ονομάζεται άrιcιpη λωρίδα rου

δεικνύεται ότι είναι γεωμετρία του

Mabius(η συγήθης λωρίδα ιου

ο ιη οιιεiρα.

θύγραμμο τμήμα, ενώ η μπλε "ευθεία γραμμή• αποτελείται από πολλά τμή·

... Μ_,!=Μ0)Μ2(=Μ,)Μ,!=Μ3) ..•

Η ευθεία αυτή, αν προεκταθεί, μπο­ ρεί να καταλi}ξει κλειστή.

Πρόβλημα

6.

Αποδείξτε ότι μια

•ευθεία γραμμή• της επίπεδης σπεί ­ ρας είναι κλειοrή αν και μόνο αν εί­ ναι ρητός ο αριθμός (aεφα)/b, όπου εφα είναι η κλίση (ως προς τον άξονα Οχ) των τμημάτωγ ιού Τ που nποτε •

λούν αυτή την ευθεία. Η γεωμετ-ρία της επίπεδης σπείρας είνα ι ιοπικά ειικλείδεια. Πράγματι , για κάθε εσωτεριχό σημείο του ορθο­ γωνίου τ υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οιιοία όλα τα ανuκείμενα και οι κανόνες μέτ.ρησης που εισαγάγαμε

στην επίπεδη σπείρα είναι όμοιοι με αυτά της ευκλείδειας γεωμετρίας. Στην nερίnτωση ενός σημείου Μ, στο

σύνορο της σπείρας, η απόδειξη βρί • σκεται με τη βοήθεια του Σχήματος Αrιό αυτό το σχήμα πάλι

8. κα ταλήγου •

με στο ίδιο συμπέρασμα και για τις κορυφές: όλες οι ταυτισμένες κορυ · φές έχουν μετ~φερθεί στο ίδιο σημείο,

b

Β

rι ιει αν συγκολλήσουμε τu άκρα μιας

ευκλείδειου κόσμου. Εδώ, όπως και

με τον τρόπο που έχουμε ενώσει τη

οιον κύλινδρο, το πέμπτο αξίωμα ι ·

σκιασμέ,•η λωρίδα στο Σχήμα

σχύει στο ευρύτερο πλαίσιο, αλλά η δομή της σπείρας σε αυτό το ευρύ τε ·

Σχήμα 11 παρουσιάζονται τρεις «CU • θείες γραμμές·: η μαύρη, που είγαι

ρο πλαίσιο διαφέρει από του συνηθι ­

κλειστή, η μπλε, που είναι παράλλη­

σμένου επιπέδου και από του κυλίν­

λη rιρος τις άκρες της λωρίδας Π, και

δρου.

η κόκκινη, που είναι κεκλιμμένη και

πεrιερασμένιJς ορθογώνιας λωρίδας

10). Στο

Αnοδείξtε ότι στην

αποτελείται από άπειρο πλήθος ευ·

επίπεδη σπείρα δεν υnάρχοιιν απο­

κλείδειι.ιν ψημάrων. Αν χρησιμο·

στάσεις οσοδήποτε με.γάλου μί}κους

ποιιjσουμε το σιwείο Β (Σχήμα 10), μπορού-με να αποδείξουμε ότι αυτός ο

7.

παρ' ότι υπάρχουν οσοδήποτε μακριές ευθείες γραμμές. Αναλύστε τη μορφή

κανόνας ταύτισης δημιουργεί μια ειι­

που παίρνει ένας •κύκλος. στην εοί ·

κλείδεια γεωμετρία στην αεριοχή ενός

πεδη σπείρα καθώς αυξάνει η ακτίνα

ακραίου σημείου τής Π Πρόβλημα

του .

Υnάρχει άλλη μια σημαντική δια· φορά μεταξύ της επίπεδης σrιείρας και του κυλίνδρου. Όταν ενώνουμε. τα ά­ κρα της λωρίδας Π για να δημιουργή· σουμε τον κύλlνδρο, τα μήκη κάθε καμπύλης τής Ω διατηρούνται. Δεν είναι, όμως, δυναtόν να nαραστήσου · με την επίπεδη σπείρα ως επιφάνεια του τρισδιάστατου Χ~ψου και να δια· τηρήσουμε ταυτ.όχρογα τα μήκη όλων

των καμπύλων της. Πάντως, αυτή εi ­ ναι μια εξωrερικι]διαφορά, διότι γίνε­

8.

Αναλύστε τη γεω­

μεφία μιας άrιειρης λωρίδας του

Mo-

bίus. Αιιοδείξτε όtι κάθε κεκλιμμcνη ευθεία ιtμνεται με ro\• εαu-.:ό της ά­ πειρες φορ&ς. Ισχύει το πέμπτο αξίω· μα στο ευρίιτερο πλαίσιο: Ποια μορ­ φιj έχοιιν οι κύκλοι;

Η επίπεδη φιάλη του IOek1 Ας &ΙΙΙΟtρέψουμε ο ιο ορθογώνιο του Σχήματος 8. Θα εισαγάγουμε τον εξής κανόνα ταύτισης: ταυτίζουμε

ται φανερή μόνο όταν προσnαθούμε

rην πλευρά AD με ιην BC διατηρώ· vτας τη διάταξη των σημείων -δηλα ·

να συνδέσουμε τη γεωμετρία της λω ­

δή ταυτίζουμε το σημείο (- a, y ) ε

ρίδας Π ή του ορθογωνίου Τ με τη

με το σημείο (a, y) ε

γεωμετρία μιας επιφάνειας του χώ·

ταυτίζετα1 με την CDαντιστ.ρέφοντας

ραυ που είναι εξωτερικός ως προς α υ·

τη διάταξη των σημείων -δ ηλαδή

τές. Αν υποθέσουμε ότι το ορθογώνιο

ταυτίζουμε το σημείο (χ,

τ αποτελείται από ελαστικό υλικό το

το σημείο (-χ,

οποίο μπορούμε να •τεντ.ώσουμε•, τό­ τε εiναι δυνατόν να κατασκευάσου ·

ρuφές θεωροί:ινται όλες ως ένα ση­

με από αυτ.ό μια σπείρα.

νόνες μέτρησι}ς των •αποστάσεων.

ρίδα Π, Β ~

J'

~ b, -οο

<

χ< +οο, αλλά

αυτή τη φορά ταυτίζουμε cις άκρες τής Π σύμφωνα με τον εξής καγόνα: το σημείο (χ, .a} ταυτίζεται με το ση­ μείο (-χ, b) (δηλαδή στρέφουμε συ μ · μετρικά την ευθεία y = b γύρω από

Β'

t

Έτm, η επίπεδη σπείρα μάς ιιρο · σφέρει ένα ακόμη παράδειγμα τοιιικά

τον Ιιξονα Ογ και στη συνέχεια την

b)

ε

AD

BC. Η ιιλευρά ΑΒ

CD.

-b) ε

ΑΒ με

Ειδικά οι κο­

μείο. Οι •ευθείες γραμμές• και οι κ α · εiγαι οι ίδιοι όπως και προηγουμένως.

Θεωρούμε και πάλι την άπειρη λω­

Υ

Mobius

ει ναι τμημα cης αnειρι)ς και προ κ υ·

Η άπειρη λωρίδα του MόbUi Α

ευκλείδειου κύκλου.

Πρόβλημα

Δύο •& υθείε~ γρομμές• \κόκκινη και μnλc l

μα tα -

και η γεωμετρία γύρω αιιό αυτό απο·

Υ

Β

\ '··

.. , _____

\

Μ \

c

Α

''

'

.'

. '

. · ) -.

j_

•'

.

'• .,

..

'

. 17

χ

Ν

Β'

Α'

ταυτίζουμε με την ευθεία γ= a J. Οι ο· ρισμοί της •απόο rααης.. και της

..ευ · με αιι •

Σχήμα

10

ΆιιrJpη λ(.,ιpίδο

32

MObius.

NOEMBPIOI I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1998

θείας γραμμής• είναι όμοιοι τούς στον κύλινδρο και την επίπεδη

Σχήμα

σπείρα. Το τοmκά ευκλείδειο ειτίπε­

μαύρη (κα ιοκόρvφη). μιι.Je

δο nου κατασκευάζεται με αυτόν τον

11

Εvθtiι:ς ypαμμιiι;ιιtιJV άnr.φη λ~i&z MObius: κιvη !Α'Β).

!MJ')

και κόκ


μαια l. Εισι, ακόμη και αν η γεωμε­

στον τρισδιάστατο χώρο χωρίς να πα­

τρία αποδειχτεί ευκ.\είδεια οε ό.\α τα

ραμορφώσουμε ης αποστάσεις.

Em -

εrnμεραυς ειειαζόμενα τμήματα ιου

πλέον, αν τοποθειηοουμε ιη φ•άλη

χώρου , το σύμπαν δεν είναι υnοχρε­

του Kleiπ στο χώρο, Οα ιέμνεια• υπο­

ω•ικά 01:0 σύνολό του τόσο αιιλό όσο το δισδιόοιαιο επίπεδο ή ο τρισδιό •

χρεωτικά με τον εαυτό της ακόμη και

.•

••

Σχήμα

τοnοθηήeιουμε τη ψ1άλη του Κlein

12

ε,·ο μDνrΙ.ιο ι ης φrα.tης ι:ου Kleιn C uoυ ιt~

αν εη•φέψοuμε t&ντωμα ή συμπίεση <χωρίς κοψίματα). Σcο Σχήμα 12 βλέ­

στarος χώρος .

πετε ένα μοντέλο αυcοcεμνόμενης

κνύεται όιι δεν υrιάρχουγ άλλοι nλfι·

φ1αλης του Κlein.

ρεις τοπΙκά ευκλείδειοι •κόσμο•• πέρα

Ευιιλείδειοι κόσμοι

από ια rιέ,•ιε παραδείγματα που ανα­ φέραμε -το επiπεδο, ο κύλΙνδρος. η

Στην cινι:ηερη γεωμετρία aποδει­

Η αρχή των -iοων απαιτήσεων- α­

επίπεδη σπείρα, η άπεψη λωριδο rου

πό όλα τα αξ•ώμα ι4 έχει οπωσδήποτε

Mobius και η επίπεδη φιάλη ιου Κlein.

Και ηαλι, μπορούμε να εnαληθευ ­

δικαιωθεί. Ανακαλύψαμε όtΙ η ευ­

οουμε ότι στην περιοχή κάθε σημείου

κλείδεια γεωμετρία του επιπι'.δου δε"

ιΧονδρ•κά, η •πληρότητα- σημαί,•ε• ότι κάθε •ε υθεία γραμ μή• μπορεί νο

προκύη-ιε• μια ευ κλείδε•a γεωμετρία

βασίζεται aηοκλε •uιικά στο αξίωμα

προεκταθεί επ' άπειρον, έστω και κα­

(aποδείξτε όη Ισχύει αυτό οιην r•ε­

των παραλλήλων, διό ο κa 1 τα υπό­

ριοχή των κορυφών του ορθογωνίου).

λοΙπα αξιώματα βοηθούν στον καθο­

τά μήκος του εαυτού της.) Όσον αφορά ιους tρΙσδιάστατους

Α υιό

μοντέλο τοmκά ευκλείδειας

ρισμό των ιδιοτήτων της. ΕπΙπλέον.

τοntκό ευκλείδειους χώρους, υπαρ­

γεωμετρίας ονομαζεια• επίπεδη μο­

χουν δεκαοκτώ τυποι. θα αναφέρου •

v6nλειιρη σπείρα ή εmnεδη φιαλη rου

αποδεικνύεται ότι ακόμη κι αν υπάρ ­ χει ιuα ευκλείδεια ηeριοχη κάθε ση­

Klein.

μειου και ισχυει το πέμπτο aξίωμα

με ένα μόνο παράδειγμα: η σηjlόδα του χώρου μεταξύ δύο nαράλλη.\ων

Αναλύστε τη γεω­

στο ευρύ tεpo πλαίσιο, ο χωρος δε\' εi ­

εrnuέδω'' ια οποία ταυtiζουμε οτα

μετρlα της επίπεδης ψ1άλης του Kleίn. Οηως κα• στην περίπτωση ιης εηί­

ναι υποχρεωuκά ευκλείδειος στο ού •

σημεία που είναι συμμετρικά ως προς

ηεδι]ς υηείρας, δεν είνω δυνατόν νeι

ο πείρα είνα ι δύο οχεηκά παραδεiγ-

μ\·trαι μr ιcΗ• rαυrο rης;).

ro

Πρόβλημα

9.

Η

νολό του (ο κύλινδρος ΚΟΙ η επίπεδη

, επομενη

,

κινηση

#

ει ναι

ιο ενδιάμεσο επίπεδο της στιβάδας.ιi:

δική

σας

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

33


ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

το μαyνητικό πεδίο πως μετράμε την ενέργεια που αποθηκεύεται σ' αυτ6:

D. Tselykh και πάλι τη βαθμιαία αύf,ηοη της έ ­

γνωρίσουν τις μεθόδους που μας

Ο αnλούσuρος τρόπος για να εl,α­ χθεί αυτός ο tύrιος συνίσταται στο να εκμεταλλευιουμε tη>' αναλογiα α ­

επιτρέπουν να μετρήσουμε τηy

νάμεσα στα φαινόμενα της αδράηιας

που αναλογεί στην ταχύτητα υ της

ενι!ρyεια ιν.,. του ηλεκτρικού πεδίου.

και της αυτεπαγωyης. Η αδράνεια υ­

μηχαVΙκήςείναι ηένιαοη του ρευμα­

Για παροδειyμα, μπορούμε να εκφορ­

παγορεύει ότι ένα σώμα δεν μπορεί

τος Ι, η οποία περιγριlφει την κίνηση

τίσουμε eναν πυκνωcή χωρητικότη­

να

των ηλεκφικών φορτίων. Το ανάλο­

τας

ιαχύτητας εφόσον ασκείται πάνω cου

Σ

ΤΟ ΜΑθΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΙ μαθηuς tχουν ~φ· ευκαφία να

C, ο οrιοίος φορτίστηκε αρχικά υπό

• • • • αποκτηοει ακαριαια ορισμενη τι μη

ντασης.

Στην ηλεκτροδυναμική, το μέγεθος

μέσω μιας α­

κάποια πειιερησμtνι1 δύναμη· η τα ­

m είναι ο ουνιελεοtής aυτεπαγωγή<; L, αφού το L είναι το

R και ενός μικροαμιιερόμε •

χύτητά του αυξι\νει βαθμιαία. Κατά

μέγεθος ιιου καθορίζει το ρυθμό της

τρου. Εάν σχεδιάσου με το γράφημα

ιον ίδιο φόιιο, το κλείσιμο ενός κυ­

μεταβολι}ς του ηλεκτρικού ρεύμα rος.

της ηλεκτρικής ισχύος Ρ συναρτήσει

κλώματος δεν μnορεf να οδηyήοει οε

του χρόνου, μπορούμε να καθορίσου­

ακαριαία αύξηση της έντασης του

Σιτ,•επώς, η ενέργεια τυυ μαγνητικού πεδίου θα tιιρειιε να είναι ανάλογη με

με την ιιοοόιηια της θερμότητας Qπου

ρεύμαtος· I) aυτεπαγωγή επιβάλλει

τη μεταφορική ιuνητική ενέργεια ε­

διαφορά δυναμικού ντfστασης

V,

εκλύθηκε από την αντίσταση

R στη

D

διάρκεια της εκφόρτισης του πυκνω­

γο της μάζας

νός κινούμενου σώματος mιl /2 ~η­ λαδή ισούται με ι.ι•ιz. Μια αυστηρό ­

τή, η οιιοία ισούται με ιο εμβαδόν του

τερη εξαγωγή του ίδιου τύπου στφί­

χωρίου κάτω από τη οχεt1ιtή καμπύ­

ζετα• στον υπολογισμό του έργου που

λη. Συμψω\'0 με την αρχή διατήρησης

παράγει η ΗΕΔ εξ αυτεπαyωyής στη

της ενέργειας, η εν λόγω ποσότητα θερμότητας καθορfζειαι nnό την ενι!ρ ­

διάρκεια της μεταβαλης του ηλεκτρι ­ κού ρεύμα τος το orιofo διαρρέει το

γεια που εfναι αποθηκευμένη στο η­

κύκλωμα. Δοκιμάστε να εξαγάγετε

λεκτρικό πεδίο του rιυκνωτή

μόνοι σας τον τύπο χρησιμοποιώντας

αυτή τη μtθοδο. Το συγκεκριμένο Οεωρι}τικό απο­

CV'

~," = τ

Σχήμα

τέλεσμα μπορef να υποβληθεί σε πει ­

1

ραματικό έλεγχο. Η ενέργεια του μα­

Εντούτοις, σπανίως παρουσιάζο ­

γνηrικού πεδίου μπορεί να προσδιο­

νται στους μαθητtς μέθοδοι μέτρησης

ριστεί αιιό την rιοοότητα της εκλυό­

της ενέργειας ιιου αιιοθηκεύεται στο

μe,•ης θερμότητας. Η πειραματική δι­

μαγνηιικό πεδίο. θα προσπαθήσουμε να καλύψουμε αυτό το κενό. Είναι

άταξη έχει ως εξής; το ρεύμα εξ αuτe ­ παyωγής rιου διαρρέει το η.\εκτρικό

γνωστό πως ένα ρευ μα ιοφόρο σύρμα

κυκλωμα Ι Σχήμα

παριlyει γύρω του μαγνητικό πεδίο,

3

11 προκαλεί έκλυ ­

ση θερμότηιαςσιl)ν αντίσιασηRq κα1

του οποίου η ενέργεια καθορίζεται α­

η ποσότητα της καταναλιοκόμενης ε­

πό την tνταση του ρεύματος Ι και το συντελεσ ι η aυτεπαγωγής του σύρ ­

νέργειας ισούται με την απώλεια ε­

ματος

(..

ταν το κύκλωμα είναι κλειστό, το

u•

Wμ =- 2 .

34

νέργειας του μαγνηιικού rιεδίου. Ό­

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΙΙΒΡΙΟΣ 1!198

ρεύμα διαρρέει μόνο ιο πηνίο, συντε ­ λεστού αυτεηαγωγής

Σχήμα 2

δος

D συνδέεται

L, επειδή η δίο­

με τους πόλοιις της


I μπαταρίας έτσι ώστε να είναι πολω­

μένη ανάστροφα. Όταν το κύκλωμα μένει ανοικτό, το ρεύμα διαρρέει την αV"tίοταση, με αποτέλεσμα να εκλύε­ ται θερμόιηια. Η ποσότητα της εκλυόμενης θερ­

της καταοτατιχής εξίσωσης των ιδα­ νικών αερίων. Καθώς η θέρμανση συ ­

nιση Δ.t της υγρής στήλης.

ντελείιαι υπό σταθερή πίεση Ρ, η θερ ­

το επαγωγικό πηνίο αnοuλείtαι επί­

μοκρασιακή μεταβολή συνδέεται με

σης από σύρμα και, επομένως, έχtJ

τη μεταβολή του όγκου Δ V μέσω του

και αυτό μια αντίσταση R., Συνεπώc;.

τύπου

η ποσότητο της θερμότητας nou απορ­

μότητας μετριέται με ένα θερμοσκό­

ροφά ο αέρας ιου δοκιμαστικού σω­

m

2), το οποίο αποτελείται α­

πιο (Σχήμα

ΡΔV = ΜRΔΤ,

πό έναν δοκιμασιικό σωλήνα που

όπου Μ είναι η γρcιμμομοριακή μάζα

ντίσταοή μας

του αέρα και

και έναν τριχοειδή

σωλήνα με μια στήλη υγρού. Οtα\' το ρεύμα διαρρέει

co

θερμαντικό πηνίο,

R η παγκόσμια σταθερά

οχέοη

ΔV

=SΔχ : πd Δχf4, 2

οωλήνα και, επομένως, προκαλεί με­ τατόruση της υγρής στήλης κατά ορι ­

όιιου με

σμένη απόοτcιση Δ.<. Η ποσότητα της

του φιχοειδούς σωλήνα. Εάν εισαγά­

θερμότητcις που απορροφά ο αέρας στον δοκιμαστικό σωλήνα προοδιορi ­

γουμε την αύξηση της θερμοκρασίας

ζ&ται με τη βοήθεια του τύπου

στην εξίσωση για την

d συμβολίζουμε τη διάμετρο

που προκύπτει από αυτό τον ιύπο

Q, κατολήγου­

με στο αποτέλεο μα

Q =Pπd cM Δχ. 2

όπου με m συμβολίζουμε τη μάζα του αέρα στον δοκιμαστικό σωλήνα, με

Q•

των ιδανικών αερίων. Ισχύει επίσης η

θερμαίνει τον αέρα σιον δοκιμαστικό

Q = cmΔT,

λήνα προσδιορίζεται ορθότερα βόοει του τύπου

περιέχει ένα θερμcινιικό nηνfο (την u-

Rq!

θα ορέnει να θυμηθούμε τώρα πως

4R

c

WR γ q '

Rq+R.

ο οποίος δείχνει ότι η ενέργεια του

μαγνητικού πεδίου ιv. είναι επίσης ευθέως ανάλογη με τη μετατόπιση Δχ

της υγρής στήλης στον φιχοειδή σω ­ λήνα του θερμοσκοπίου. Στα πειράματά μας χρησιμοποιή­ σαμε τη δίοδο D226B, ένα αnοηνικ nκό πηνίο με 3.600 σπείρες και έναν πυρήνα (που μπορeί να βρεθεί στο σχο­ λutό εργαοτι]>ιο). Το θερμαντικό πη­ νίο

R11

ήταν κατασκευασμένο από

σύρμα κοοταντάνης, διαμέτρου 0,05

την ειδική θερμότητα του αέρα και με

Συνεπώς, η ποσότηια της θερμόtη­

Δ Τ τη μεταβολή ι ης θερμοκρασίας, η

τας που εκλύεται στο θερμοσκόπιο

σκόπιο (Σχήμα

οποία μπορεί να υπολογιστεί βάσει

είναι ευθέως cινάλογη με τη μετατό-

θερμική ενέργεια, αποτελείται από έ­

mm και

μήκους 35-40

2),

cm. Το θερμο­

το οποίο μετρά τη

ναν δοκιμαστικό σωλήν�� (1), πώμα ι

(mA )

από ελαστικό (2), χάλκι να σύρματα

50

70

90

110 140

180

230 290 350

(3), σωλήνα σχήματος Τ (4), τον τρι­ χοειδή σωλήνα (ο οποίος προέρχεται

Δχ

3

2

I

( mm )

4

7

28

16

11

41

από θερμόμετρο αιθυλικής αλκοόλης) με υγρή στήλη (δ), μια κ,\ίμακα

πηνίο από κονσταντάνη

Σχήμa3

(6 ), to

(7 J και σύ­

ριγγα (81(η σύριγγα μας επιτρέπει να ρυθμίζουμε ιη θέση ι ης υγρής στήλης

Δx l mm )

στον φιχοειδή σωλr'ινα). Το πείραμα πρέπει να επαναληφre!

45

αρκετές φορές με διαφορειικές τιμές

40

της έντασης ισυ ρεύμαwς Ι στο nη­

35

φορετικές τιμές της αρχικά αποθη­

γίο \πράγμα που ισοδυναμεί με δια­

κευμένης μαγνητικής ενέργειας). Τα αποτελέσματα του ιιειράματος πα­

30

ρουσιάζονται στο Σχr'ιμα

25

Η γραφική rιαράσταση της μετατό­ πισης Δ.τσυναρτήοει ιου τεφαγώνου

20

της έντασης του ρεύμα cος 12 (Σχήμα 4), το οποίο καθορίζει την ενέργεια

15

του μαγνητικού πεδίου, δι:ιχνει όn η μετατόπιση ει ναι σχεδόν ευθtως ανά­

10

λογη με την ενέργεια του μαγνηnκού πεδίου , γεγονός που βρίσκεται σε

5

συμφωνία με τη θεωρητική συλλο­

1

Σχήμa4

3.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

•--,----,-

11

ι'ιιο'mΑΊ

γιστική που παρουσιάσαμε προηγου­ μένως. Η συνέχεια στη σελ.

QUANTUM I ΣτΟ ΕΡΓΑΗΗΡΙΟ

60 <:>

35


Πόσα yνωρίζετε στ· αλ · ~~· ΒΡΟΧΙΙ, ΤΑ ΣΥΝΝΕΦΑ, Η OMI· χλη, οι κρύσταλλοι του χιο-

νιού, όλα δημιουργούνται

από τους υδρατμούς. Οι """ φοι• rιου πcριεχονται • υ.,.. στον • 'ζ βα ' ρόλ αερα οαι OU\' σικο ο στο" καθορισμό του καιρού. Και οι

aι ~

,,}C\σιανόvα Vt',o,ύ

'" ν r{Xo>ν(j ·• Λ. ~,._ο. v'IJΙ& cρ,_ I« ·ι;;q,

\ο" .~ 0\JW'~cιO~%~ ':4q0 ~

~ ;.§' <>' ξ-.,.

:.?

« ιι:>νftιι<

uψ'J..I..._~'+.,_ ~

~r,:

~ο

"Ο.., ~ .. ..;:. Υ~ ~ , o.:>x-Q.

31

~ ~

~

υδρατμοί απασχολούν πολλές ~ g ~ ttς και παγειωνολόγσυς, σχε·

διαστές α τμολεβήτων και α τμο-

g,

J? .ι,;.,~ ""'~Γ> ~..

ο

~

.,; ~ ~?. 7

%'~

~ ~ a ~

c% '?.

t,...ι.

c

I"'1i\ <>-ο '·., 'Ο :>

<; ~"'~

" ::>"' ~., ~

κατηγορiεςανθρώπων:αθλη-

...~~

J

ς-ο ,$ ~ oJ-.\Q ~ ...,., ~

~ oh ο.,~

μηχανών, πιλότους και ''αυτι - -~,'fsι.P~P~ ΙV;ιodn οΙΡ"~~~ κούς, αλλά και \Ις νοικοκυρές που ~ο" 10 ~J 1113~n ~

απλώνουν τα ρούχα τους για να στε-

)( Λ(?ή>

γνώσου ν. Όλοι χρειάζεται να γν(ο)ρί­ ζουν ιις ιδιότητες και τη συμπεριφο­ ρά των υδραtμι~ν. Ε.σεiς, λοιπόν, πό ­ σα γν(ο)ρίζετε γι' ου ιοίις; Ερωτήσεις χαι προβλήματα

1. Γιατί •αναπηδά• μια σταγόνα νε· ρού μόλις ιιέφτει πό,•ωστα ε· ρ~πυρωμt,·ο μά •

φελ.\ό. θα ανέλθει η όχι η στάθμη ω υ υγρού μέσα στο δοχεία;

11. Κορεσμένοι υδρατμοί παγιδεύ ­ ονται κάτ(ο) από tO έμβολο ενός κυλίν ­ δρου. Κοιά ιιι ουμιιίeση του εμβόλου οι υδρατμοί αυιοf Οα σu μrιεριφέρογται

είναι ιιιο υγρό αn' ό,τι στα σημεία που βρίσκοvtαι λίγο μακρύτερα. Γιατί; 6. Μια κρύα φθινοπ(ο)j)ινή μέρα που

σαν ένα ελαστικό ο~)μα;

έξω ψιλοβρέχει έχουμε απλώσει τα ρούχα ΚΟ\'tά ο' ένα ανοιχτό παράθυ ­

όγκου του με βραστό νερό

ρα για να οτεγνωσουν. Τι λέτε, θα τα καταφέρουμε;

12. Γεμίζουμε ένα πλαστικό μπουκάλι κατά ια

9 / 10

του

και το κλεfνουμc με έ­ \'αν φελλό. Α ν α να· κινησουμε ιο μ που­

τι rης κουζίνας:

2.

μιο του φαρδύτεραυ δοχείου μe έναν

κόλι. ο φελλός μ nορεί

Υπό ποιες

''α εκtιναχ-τεi. Ι"ιατί;

συνθήκες είναι

13.

δυνο ιόν η αύ •

Γιατί το φθινόπωρο, μετά τη

ξηση της από ­

δύση του ήλιου, η ομίχλη οι(ο)ρεiται γιο μεγαλύιερο χρονικό διάστημα

λυτης υγρασίας

πάνω από ένα ποτάμι, παρά πάνω από

ιου αέρα να συ·

•ην επιφάνεια του εδάφους;

νοδεύ ετα ι α πό μείωση της σχετι • κής του υγρασίας;

3.

Ποια ι~ρα της ημέρας κατά τη

δι άρκεια του καλοκαιριού η σχετική υγρασία είναι υψηλότερη ενώ η από­

λυτη υγρασία παραμένει σταθερή;

4

Οι υψηλές θερμοκρασiες του

Μrιορεί μια αντλία εισπνοής ι α· ναρροφητικήαντλία) να •τραβήξει• νε­

7.

ρό rιου βράζει; 8. Πώς μπορούμε να μεταιρέψου ­ με τους ακόρεστους υδρατμούς σε κορεομένους:

αέρα ειναι εύκολα α\•εκιtς

9. ;\lπορεί η αύξηση της nu -

στην έρημο εξαιriας της χα­

κνοτηιας μιας ουσίας να συ·

μηλής υγρασiας. Για ποιο λόγο οι υψηλές θερμοκρασίες γiνο-

νοδεύεται και από αύξηση της θερμοκρασίας;

14. Το αφοοφοιρικα κοι.ακρημνi­ οματα δημιουργούνται καθώς τα μι ­

υγρά μέσα σι: δύοουγκοινω,•ούντο δο­

κρότερα υδροσταγονίδια αρχίζοU\' να

5. Ί'ιιν άνοιξη, το ε&άφος γύρω αιιό

χεία διαφορετικής δια μέ­

Μπορείτε να εξιιγι)σετε το συγκεκρι­

στοιβαγμένο χιόνι rιου δεν έχει λιώοει

τρου. Αν φράξουμε το στ.ό -

μένο φαινόμενο;

νται αφόρητες όιαν επικροτεί με ­ γάλη υγρασία;

36

ΗΟΕΜΒΡΙΟΙ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

10. Ρiχνιηιμε

οχημαιίζουν μεγαλύτερες σιαγόνες.


ΣΚΟΠΙΟ

ια για τους υδρατμούς; κύματος υοfρυθρης Ο· κnνοβολίας το οrτοία διέρχονται μiσα αοό ένα οrρώμα αέρα. Το ένα μήκος κύματα; αοορροφ(Η;αι από τους υδρατμούς, ε·

νώτο άλλο διέρχε· τω μfσα από α υιούς Μικρσπεψαματισμοi

χωρίς να παθαίνει το

Βράζουμε νερό μέσα σε δύο παν ο. μσιόιυnες τοαγιtρες που έ· χουμε τοποθετήσει πάνω

' ..,..,

σε δύο επίσης πανομοιό ·

ηιπους βραστήρες. Το κο · πάκι της μιας τσαγιέρας αναση·

κώνεται διαρκώς ιιροι; ια rιάνω ενώ της Ιιλλης nαραμέγει ακίνητο. Γιαή; Είναι rνδιαφίρον όιι

•. αν διεκόπτετο

...

nαρομικρό.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟ·

χειωδών σωμαιι·

ΔΕΙΞΕJΣ ΚΑΙ Α ΥΣΕΤΣ

δiων.

ΣΤΗΣΕΑ.62

... ro πρώτο υγρό·

~

με φο με χρήση αν· Ορώnινης rρίχας κα­

~ άρθρα ...

ιασκευάσ ιηκε ιο 1783 οnό ισν ελβειό γεωλόγο

~

και φυσιογνώσrη

ο υδρολογικός κύ ·

κλος της Γης, τότε μέσα σ' ένα χρόνο

Horace Bιπιdict de Saussure. Τη'' ίδια χρονιά, ο ίδιοι; δημοσίευσε μια μελέ\η σ ιην οιιοία απεδείκνυε ότι ο υ·

• Α. Stasenko, ·Α· yάnη και μiοοι; σ ιο μορια ·

• • • •

οι; /Ο&τώβριοι;

δια<; θερμοκρασίας και nίεσης. ... το 1880, ο σκω· τσέζοι; μηχανικός του ναυrικού

θα

εξατμιζόταν οπό τφ• επιφάνεια των ωκεανών.

... αν tχουμε ατμό τελείως απαλ . λαγμένο 0116 σκόνη και ο οποίοι; δεν έρχετα ι σε επα -

νερό ε ·

1996.

νό που καπνίζει•, Ια νου·

John

το σχη­

ιrις βροχής, οι υδραψοί συμπυκνώνο·

1,1 μέtρων

tc>

Cher-

• I. Vοrοbyον,•Τοβου­

μα τισμό της ομίχλης, των νεφών και

σφωμα νερού πάχους

βρουάριος 1995. • Μ. Anfimoν κuι Α.

ξα τμiζεται ...•, Σειι ιέμβρι ·

Aptken ανακάλυψε ότι κατά

κό κόσμο-, Ιανουάριοι; /Φε­

noutsan,•Kαθώς

γρός αέρας εΙ ναι λιγόιερο ιιυ • κνός απ' ό,τι ο ξηρός

Δείτε ακόμη τα

ντο ι γύρω από μuφοοκοπικά σωματί · δια όπως οι κόκκοι αλατιού, τα μόρια

άριοι; ΙΦεβρουάριοι;

1996.

• I. Mazin, ·Πρόσκληση για σάου­ νa •. Ιούλιος /Αίιγουστ.ος 1996. • Υ. Bruk και Α. Stasenko, ><Στα· γόνες και ψιχάλες•, Μάιος/ Ιούνιος

1994.

11

σκόνης, κ.λn. Ορισμένες ουγχρο· νες μέθοδοι για ιη δημιουργία

τεχνητής βροχής έχουν βασιστεί στη συγκεκριμένη ανακάλυψη.

...

rι οιίγχρονrι ουοκευιi για

φή με υγρό, tότε, με ελότ·

τη μέτρηση τω'' υδρατμών, το

τωοη της θερμοκρασίας

υπέρυθρο υγρόμετρο. μπορεί να

μπορεί να ylνeι υrιέρκοροc;.

λειτουργήσει ακόμη και σε

Τέτοιοι; ατμός χρηοιμοοοισυνθήκες όοου οι άλλες ου· είtοι ατοθαλαμο νεφώσεως ι,.""'.ι σκευέςci,•αι ουοιασιικα άχρη­ \Vίlsοπ, με οιόχο την ανi· στες. 1Ό συγκεκριμένο υγρό­ χνευση φορτισμένων στοι. μεrρο συγκρίνει δύο διαφορετικά μήκη

QUANTUM I ΚΑΑΕΙΔΟΣΚΟΠΙΟ

37


Η ισχύς του ήχου Η φύση και οι εφαρμογές των ακουστικών κυμάτων μεγάλης έντασης ο .ν.

Rudenko και V.O. Cherkezyan ΡΑ 1ΕΙ 01 i\fHXANEΣ!·, ΔΙΕΊΆ­

σπηλαίου · σκότωσαν έναν ιεράστιο

τις τελευταίες δεκοετ!tς επετεύ­

~ο πλοίαρχος. και ιο υπι:/Jρύ·

φυοητipα, ο οποίος παρ' ολiγον vα βυ­

χθη μεγάλη πρόοδος ο την κατα,•όη ­

θiοει το φαλαινοθηρικό που τον καrε­

οή μας γιο το κύματα μεγάλου πλό­

σnyμεί. ·Σκόπευση! .. Ήχος!·

δίωκε· το σπουδοJόtερο, κατέστρεψαν

τους γενικά, κοι γιο ια υπερηχητικά

Το πρώιο λεπι6 ιίnοιε δeν έδειχνε

ένα εχθρικό καιαδρομικό, καθώς και

κύματα ιδιαίτερο. ΊΊ γνωρίζουμε γι'

να αλλάζει στο περίγρομμα ιου κα­

rα φανταστικά θαλάσιnα τέρατα που

ου το

~αδρομικού. Το υnερηχηιικό τηλεβό ­ λο λειιουρyούοε σ cην CΙ•Scιξη πcντε

άρπαξαν έναν από τους ναύtες.

Δι~ ν αιιοκλeleιαι να θεωρεiι.ε όtι ό­

tum περιγράφτηκαν ορισμένο ενδια­

της ισχύος του. Τότε ξαφνικά... cα ύ­

λες αυrές οι λεπτομέρειες κινούνται

φέρονιο φαινόμενα ιιου ουνδέονtαι

φαλα στο μέσο ιου καταδρομικού άρ ­

στη σφαίρα της υπερβολής· θυμηθεί ­

με τα μεγάλο κύματα επιφανείας

χισαν να rcνιώνονται εγκάρσια και να διαλ ύονuιι σαν τον πηλό. Έvα μό­

τε, όμως. πως η εν λόγω νουβέλα δη· μοοιεύτηκε ακριβώς σtις παραμονές

στους ωκεανούς.' Ας υncνθυμίοου -

λις λεπτό μεώ ιην έναρξη της υπε ­

του Β' Παγκοσμίου πολέμου. Εκείνη

μe όοα λέγονταν εκεί: Όσα φαινόμε να συνοδεύουν αιιοκλeιοιικό. Μ κύ­

ρηχηιικής cπίθcοης, η πλευρό ιου πλοίου που ανιίκριζε ω υποβρύ:J(ΙΟ

rηv εποχή θα μπορούσε κανείς να πι­

ματα που eχουν αρκούντως μεγάλη

στiψtι όο το υπερηχητικά όπλα ανή­

συμπιέστηκε έξαφνα σrο μέσο ιης

καν στη σφοiρο του δυνατού και ότι

ένταση, και παράλληλο εξαριώvται από t0 πλόtος τουςλέγονιαι μη γραμ ­

και, ιlίγα δeυrcpό.lcmα αργότερα, αι ­

η κα το σκευή τους επέκeι to, αφού. βέ­

μικά. Υπάρχει ένο επιστημονικό πε -

ερράyη σαν μια γιγαντιαία φυσαλλί­

βαια, εmλύοντον προηγουμένως κά ­

δίο, η μη γραμμικη κυμαnκή φυσική,

δα· ένα ασυyκρόιηrορεύμα νερού ει­

ποια υπαρκτό τεχνικό προβλήματα. Ωστόοο ...

που μeλεtό τα εν λόγω φαινόμενα. Ο

Στο παρόν όρθρο εξεtάζουμe ορι ­ σμένα προβλήματα tης φυσικής των

σπκά κύμαtα μεγάλης έντασης ονο­ μάζετα ι •μη γραμμ ι κή ακουστική•. Αυτός ο επιστημονι κός κλάδος δια­

το άλλοτε δrιμοφιλtς μυθιστόρημα ε­

υπερήχων και, ουγκεκριμένα, σκο· πεύου με να δciξου με γ ια ποιο λόγο

mστημονικής φαντασίας του

G. Ad -

είναι αδύνατον τα ηχητικά κύμαrα

φυσικ ή λόγω ιης εξαιρετικής ποικι ­

amoν Το μιισιψιο ιων δύο ωκεοvώv.

λομορφίας των φαι νομένων με τα Ο·

Οι ι)>ωeς ουοού ιου μυθιστορήματος

να χρησιμοποιηθούν ως στρατιωτικό όπλο. Καιό συνι!ιιεια, το μυθισrόρη­

κάνουν το γύρο της υφηλiου εmβαi­

μα tου Adamoν κινείται στο χώρο της

νοντσς στο πειραματικό υποβρύχιο Πρωrοπ(ιρ<κ; tνα ηρογμοηκό θαύ­

καθαρής φαντασίας. tουλόχιοτον ό·

κύματα παράγονται μέσο στα ρευστό, στα στερεό. σώμο tα και στο πλάσμα.

σον οφορό το συγκεκριμένο ζήτημα.

Είναι πανταχού πορόνια στη φύση·

μα της στρατιωτικής τεχνολογίας. Τό­

Α ντιθiτωc;. ο κ α tάλογσς των -εtpQ\'1 -

εμφανίζονται στην α τμόοφαιρα. στους

σο το υποβρuχιο όσο και οι βατραχάν­ θρωποι ήταν εξοπλισμένοι με 11Περη­

κών· εφαρμογών tων υπερηχητικών

χηοκά όπλο, ια onoiα οους βοήθησαν

ντυπωσιακός: υneρηχογραφήμαrα,

ματα, μπορούμe να αναφέρουμε tους

σε ουκ ολiγες κρίσιμες στιγμές. Με τη

παραμεtρικές κερσiες και ακτινοβο­

βοήθεια των ισχυρών υπερηχητικών

λητές, καθορισμός επιφανειών, διά·

κεραυνούς, tα σεισμικό κύματα και ι1ολλδ άλλα φαινόμενο.

κ υμάτων οι αuοοδύu:ς προσ πάθηοαv να καταστρέψο υν το βράχο που έ ­

νοιξη οπών και Οεραπεiα rης νεφρο ­

φραζε την έξοδο ενός υποθαλάσσιου

μόνον από αυτές.

((

κ

χιο ακινηιοποιήθηκe αυιο-

σόρμησε στο κύιος rου σκάφους, στο μηχανοστάσιο και ιις αποθήκες πυ­ ρομαχικών.•

Πρόκeι τα ι γ ια ένα παράθεμα από

38

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

κυμάτων παρουσιάζεται ολότελα ε­

λιθίασης, γιο να cι νοφtρουμε μερικές

' to

.

.

κυ μ αtα οημeρα;

Σε nροηγούμενοτεuχος του Quaπ­

ειδικός κλάδος που μελετά τα ακου .

δραμα τίζcι έναν ιδιαίτερο ρόλο ο τη

ιιοiα καταπιάνεται. Τα μη γραμμικά

ωκεανούς. οτο έδαφος, ακόμη καΙ στα ουράνιcι ανtικείμενα . Ως οαροδείγ ­

ι lvan Vοrοbyον. •'ΓρικυμισμCνεςθάλασ­ οες·, Ιούλιος/Λvγοuσιος 1994.

.S!.

" ~

>"


•• •

OUANTUM I ΑΡθΡΟ

39


Σ' αυτό rο οημείο, mθανόν να γεν­ νηθούν μερικά ερωτήματα στους α­ να γνώστες:

• ΊΊ είναι ισχυρός ήχος και τι ασθε­ νής; Πού πρέπει να σύροιιμε την ο­

Βαθμ6ς

ΈΙ•ιαση

έ vrασης

rov ιjχου (W /m'J

(d8)

Ακουσrική

Α ηiληψη και ακουσακή πηγή

πiοοη

(Pa)

ο

JQ-12

10

10 11

6 3· 10''

20

10 ιο

2 ·10 .

θα προσπαθήσουμε να απαν,;ή ­

30

ιο·•

6,3 . 10 '

οουμε σ.α ερωτιjματα, εξετάζοντάς τα διαδοχικά, ένα προς ένα. Εν πρώτοις,

40

10 .

2 - 1ο•

χαμηλόφωνη συζήτl)Οη· χαμηλή μουσlΚή

πρέπει να ε πα ναφέρουμε στη μνήμη

50

10·'

6,3 . 10 '

ασθενιjς ιiχος μεγαφώνου

μας το τι ακριβώς είναι ηχητικό κύμα. Ένα ηχητικό κύμα συνίσταται από

60

10"

2 • 10 I

μεγαλόφωνη συζήτηση: οδός με μέτρια κίνηση

δονήσεις που διαδiδονται σε ορισμέ­

70

10 .

νο μέσο, οι οποίες είναι αλληλοδιάδο • χες περιοχές υψηλής (ζώνες πύκνω ­

80

ι ο~

ρJακή γραμμή ανάμεσά τους;

Τι είναι ,;α μη γραμμικά φαινό­

μενα, ποια απροσδόκητα και ιδιάζο ­ ν τα χαρακ,;ηριστικά παρουσιάζουν

και ποιες είναι οι εφαρμογές τους;

σης) και χαμηλής (ζώνες aραίωσης) πίεσης. Σε κάθε σημείο του μέσου πα·

2. ιο ·•

κατώφλι ακοtιστό ιητ(Ις θρόισμα ιωγ φύλλων σε δάσος ασθενή<: ψίθυρος σε απάιrαση Ι m

'

6,3 .

ro ιικ rακ ρολ ογιού τσέπης- ψίθυpος ro α να γ\•ωστήο:>ιο βιβλιοθήκης

cνα φορr.ηγό· ο θόρυβος μέσα οr<ι rραμ·

ι ο·•

mάvo σε απόσταση

10m

μηχάνΙJJlα κοπής μεrάλλου· μεγάφωνο σrη

2 ·10"1

μtyιστη ένταση· οδός με t vτονη κίνηση

παλαιό βαγόνι rου υπόγειου σιδηροδρόμου·

90

10"

6 3 ο 10 '

μεταβολές της συμπίεσης. Οι μεταβο­

100

10 4

2

διαμcρισμα πτήσης επιβαιιχού αεροπλάνου

λές της πίεσης υπερτίθενται στη μέση

110

10 I

6,3

ιn:ψήνα πυpοσβεστικού· τaxεla· κομnρeσέρ

ρατηρούνται συντηρούμενες ταλα­

ντώσεις της πίεσης που οφείλονται σε

ο

σειρήνα ασθεvοφόpοv

πίεση (που υφίσταται στα υλικό μtσο εν απουσία των ηχητικών κυμάτων)

120

]

20

130

10

63

eμ[Χ>.~οφόpος XI\Ojlψoς aφι>ιιλά νΟΙ!' δυνατή jψοvτή

ώστε να προκύψει η ολική πίεση.

Ένα ηχητικό κύμα μεταφέρει ε­

nυραυλοκηrηtήκJς· όpιο πό\'ΟV

νέργεια -τη δυναμική ενέργεια της ελαστικής ηαραμόρφωσης (η οποία, ό­

ταν ο ήχος διαδίδεται Οtη\' ατμόσφαι­

Πίνακας

1

ρα, ταυτίζεται με την ενέργεια της ε ­

ρ και της ταχύτητας

λαστικής παραμόρφωσης του αέρα )

συγκεκριμένο μέσο):

e του

ήχου (σ το

αυτί σε συχνότητα

και την κινητική ενέργεια των σωμα­ ενέργειας συμπίπτει με εκείνη κατά την οποία διαδίδεται το κύμα. Η ροή

κή πίεση, τόσο ισχυρότερος είναι ο ή­ χος. Η υποκειμενική μας αντίληψη

γειας που διέρχεται ανά μονάδο χρό­

όπου με Ρ0 συμβολίζουμε το πλάτος της ακουστικής πίεσης.

νου αηό μια εmφάνεια μοναδιαίου

Ας εξετόσουμε τώρα τι είναι

.,,.

εμβαδού κάθετη στη διεύθυνση διά­ δοσης του κύματος- αποτελεί το μέ ­

σχυρός• και τι •ασθενής• ήχος. Η έ­

ο

της ενεργειας -η ποσοτητα της ενερ-

τρο της έντασης του ηχητικού κύμα­ τος.

Προφανώς, τόσο η ένταση Ι όσο και η ακουσ.ική πίεση• Ρ εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά του μέσου εντός

του οποίου διαδίδεται το κύμα. Δεν πρόκειται να εξαγάγουμε τους οχ ετι · κούς τύπους· θα αρκεστούμε να δώ­ οουμε τον τύπο που εκφράζει την έ­ νταση Ι σιιΥαρτήσει της πvκ νότητας

γταση του ήχου μετριέται σε ντεσι ­

μπέλ (dB), τα οποία συνδέονται με το πλάτος της ακουστικής 11iεσης: β=

to ίδιο μέγεθος (acoustic pressureJ

με την έννοια της •ακουστότητας•, ο­

πότε συνδέεται με μια ορισμένη πε­ ριοχή συχνοτήτων, χαρακτηριστική

για το ανθρώmνσ αυ τf (βλ . τον Πίνα­ κα 1). Τι θα έπρεπε να κάνουμε στην περίπτωση όπου η συχνότητα του ή•

'

.

χου κειται εκτος τ ης συyκεκριμενης

Σ' α υ cές ης συχνότητες, περί το

1

Εδώ Ρ, είναι το πλάτος της πίεσης

MHz, η αnλούστερη λύση συνίσταται

που μας ενδιαφέρει και Ρ.,•• , το nλά­ τος του κατωφλίου της ακουστικιίς

στην παρατήρηση των μη γραμμικών ηχητικών φαινομένων σε συνθήκες

πίεσης, το ο ποΙο κατά σύμβαση λαμ­

εργαοτηρiου. Έτσι, ένα κύμα μεγάλης

βόνεται ίσο με 2 · 10... Pa.• Το πλάτος πίεσης Ρ0.... , αντιστοιχεί κατά ηροσέγ­

έντασης είναι ένσ κύμα όπου τα μη

νός ασθενtστατου ήχου, ο οποίος γi-

Ας περάσουμε τώρα στην εξέταση

γιση στην ένταση Ι,.,= 10" \V / m &·

rJcι

για την έηαση του ήχου σχετίζεται

περιοχής και αντιστοιχεί σε υπέρηχο;

20 log(P0 / Ρ0,,.,> dB.

12

1.000 Hz.

Όσο μεγαλύτερη είναι η ακουστι ­

Ρ; Ι -- 2pc '

τιδίων. Η κατεύθυνση μεταφοράς της

νεται αντιληmός από το ανθρώπινο

2

γραμμικά φα ι νόμενα καθίστανται ευδιάκριτα.

ο<ην εΜηνική βi{Jλιογροφiα χρ1}01μοποιο1ίνται

αυτών των μη γραμμ11<ών ψαιν()μέ ·

και ά.Ιλοι όροι: μεταβολή της niοοης, εmπ.\έον

ν<ι.>ν. Όπως γνωρίζουμε, το σύνηθες

niεση, υπερπίεση. (Σ:.<.μ.)

40

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

' Το 1 Pa = Ι Ν Im' . <Σ.r.μ.)

(γραμμικό) ηχητικό κύμα οδεiιει σε έ-


-----· .-...

να μέσο χωρις να μεταβάλλει τη μορ­

φή του. Οι ζώνες της πύκνωσης και της aραίωσης κινουνται με την ίδια

.... .

χ - ι

-

χ= Ο

ταχύτητα, η ο rιοία συμηiΙΠtΙ με την

..-.. ___-·-

............

ταχύτητα διοδοοης του ήχου. Εάν η •

- --

. --·

#

ηχηηκη πηγη παρογει , ας που με, ενα

ημιτονοειδές κύμα, η κατατομη του

θα παρομεινει ημιτονοειδής σε οποιο­ δήποιε αrιόσ ιαση ω ιό ιψ πηγή.

Σχήμα

1

Αντιθέτως. στη'' περίπτωση του η­

να περισ ταλεί και cνδ&χετοι να μην

μπνευσης στάθηκε η ακτινοβολία λέι­

χητικού κύματος μεγάλι]ς ένταοι)ς, οι

εκδηλωθεί διόλου. Φυσ ικά, η παράμε­

ζώνες ιιύ κνωοης (θετική ακουστική

τρος ι

ζερ. Οι αναγνώστες πιθανώς να γνω­ ρίζουν ότι οι ισχυροί παλμοί λέιζερ

πίεση) διcιδίδονc.αι με μεγαλύτερη το ­

nό τα χαρuκτηριστικά του μέσου στο οιιοίο διαδίδειοι ο ήχος.

χύτητα οιι' ό,τι ο ήχος, ενώ, αντιθέ­ τως, οι ζώνες aραίωσης διαδίδονται με

••. όπως και η ι••..' εξαρτά τω α ­

μrιοραι)ν να καιασφέψουν δομές και να ανοίξουν τρύπες σε μεγάλες απο­

Βρισκόμαστε πλέον σε θέση να διαιυιι~χιουμε έναν ακριβέστερο ορι­

στάσεις από την rιηγή τους. Εκ nρώ­

ήχου (ο το δeδσμένο μέσοι. Ως φυσικό επακόλουθο, η κατατομή του κύμα ­

σμό για το ακουστικό κύμα μεγάλης

ο ήχος είναι δυνατόν να αντικαταστή­

έηασης: Είναι ενα κυμα για το οποίο

σει το φως ο' αυιές nς λειτουργίες·

τος παραμορφώνεται: το μέτωπο του

ι

μένει αnλως να υπερνικηθούν ορι­

κύματος γίνεται 11ιο αrιότομο, ενώ η

ται ακουΟttΚός αριθμός ReyooJds ffie).

ουρά του τεί,•ει να γίνει επίπεδη.

Εάν

σμένα τεχνικά εμπόδια. Ε''WύtοΙς. υ ­ πάρχου'' ουσιώδεις δυσ κολίες που

Παρόμοιο φαινόμενο παρατηρού ­ νται ο ια ωκεά,ηο κυματα. Στα αβα­

Re « 1, είναι ασθενές. Ο αριθμός Reyoolds δίΥεtαι από cον ιύnο Re • οΡ0 / ,•, όnου ~· εj­

ενός υπερηχητικού όπλου.

ναι η uυχνόtητο του ήχου, και α μια

μένη απόσταση υπάρχει μια μέγιστη

ορισμένη σταθερά που χαρακτηρίζει

tιμ~ της ένωσ ης του ηχητικού κύμα­

από τομο υ μετ~JΙιοu κύματος ή ενός

ιις μη γραμμικι\ς ιδιόιητες και το ιξώ­

τος rισυ μιιορεf να φτάσει το στόχο.

μεγάλου κύ ματος που σπάει στην α­

δες του μέσου < την •·aπόκριση" του μέσου σε έναν ισχυρό παλμό κα ι το

Και μόλισ•a, όσο μεγαλύτερη γίνεται

κτή αποτελεί μη γραμμικό φαινόμε­ νο. Η απόο ιuο η ι την οποίο πρέ­ rιει να διανύσει ένα κύμα ώσ-τε vo παραμορφωθεί επαρκώς το σχήμα του

βαθμό της παραμόρφωσης την οποία

ονομάζεται μηκος οχημοιιο μού α­

ουνιελεοιή ποικίλλουν αναλόγως

ναρρηγνυόμενου κ ύματος. Όπως και

του μέσου: εnl ιιαραδeίyματι, yια •ο

κ άθε μη γραμμι κό φαινόμενο, η πα ­

νερό α -

ραμόρφωση της κατατομής του κύμα­

ται ήχος συχνότητας ι•

τος εξαρτόται οιιό το πλάτος του κύ­

νερο, ο αριθμός

ματος Ρ0: Το μήκος σχηματισμού α­

ιο

ταχύτητα μικρότερη από εκείνη του

θή, τα ομαλά κυματα οξύνουν αnό­ ιομα ιο μέτωπό τους προτού σκάσουν στην κυμιι ιωγή. Ο σχημαnσμός ενός

...

ναρρηγνυόμενου κύματος είναι ονn­ σ ιρόφως ανάλογο του πλάτους ~η­

λαδή ι. "

- 11Ρ•. Όσο μεγαλύτερη εί ­

... < ι••. ο λόγος ι.. ι.~ ονομάζε­ Re >

ιο. το κυμα θεωρείται με­

γάλης έντασης, ενώ, ον

υφίσταται ο παλμός κατά τη διάδοσή

του ΟΊΟ μέσο!. Οι ~ιμές τού εν λόγω

10 για

sι·•. Όιαν διαδίδε­

300 <Pa

- 1 MHz στο

Reynolds

υπερβαίνει

κύμαια με πλάτος ακουσn ­

κής πίεσης Ρ,

σο μικρότερη η απόσταση που απαι­

ένα κύμα μεγάλης έντασης στο νερά πρέπει να έχει ένταση

τείται για νu παραμορφωθεί και να οηάοει η κατατομή του. Εν~ού~οις, υπάρχει μια ανταγωνι ­

Ρ.'

(3. ι ο• )'

f = _!L> W!m' 2pc (2 · ιο' Χι.s . ιο$)

= 300 W/ m 2

Το βοσικό είναι πως για κάθε δεδο­

η απόσταση του στόχου, τόσο μειώνε ­ ται η σ υγκεκριμένη μέγιστη rιμή. Στην προκειμένη περίπτωση το πρά ­

βλημα δeν έγκειται στη συνήθη εξα­ σθένηση των κυμάτων κατά τη διά­ δοσή τους σε έvu απορροφητΙΚό μέσο. η οποια περιγράφεται οπό τον τύπο

Ρ0Ιχl = Ρι<ΟJ eχp(-π Ιι.ι). Συνήθως το μήκος εξασθένησης ι.ι των ακουσn ­ κών κυματων μειώνεται με την αύ­

,.-•. ~ε

άλλα λόγια , η εξασθένηση γίνεται δραστικά εντονότερη με την αύξηση

της συχνόcητας. Ωστόσο, μπορούμε να επιλέξουμε τη συχνότητα έτσι ώ­

στε η συνήθης (γραμμική) εξασθένη­ ση στις αποστάσεις ιιου μας ενδιαφέ­

ρουν να καθίσταται αμελητέο.'

στική διαδικασία -η απόσβεση την ο­

η οποίο uνιιοτοιχεί σε ηλατος ακου­

ποία υφίσιαιαι το κυμο διαδιδόμενο

σηχης πίεσης β >

180 dB.

σε μέσο που εμφανiζeι εσωτερική τρι ­

Ας επιστρέψουμε στην πολύ δε­

βη. Λόγω αυιης ιης αποσβεσης, το

λεασιική ιδέα να μεταβιβάσουμε ε ­

πλάτος του κ υ μα τος μειώνεται, γεγο­

νέργεια υψηλής πυκνότητας σε με ­

νός το οποίο αντιτίθεται στην παρα­

γάλες αnοοτάοeις με τη βοήθεια μιας

μόρφωση ιης κατατομής του κύματος.

ακουστικής δtσμης. Στο ιιαρελθόν, οι

Εφόσον η α nόοβεση είναι αρκετ.ά ι­

ειδικοί εκτιμούσαν trιί μακράν πως

σχιιρή και συντελείτα ι σε μια από­

rούτη η ιδtα δεν θα βράδυνε να εισέλ­

σταση ι,. η οnοία είναι μικρότερη από

θει το στάδιο της πρακτικής εφαρμο­

••. ' η μrι yρομμικότητu μπορεί

γής. Τα ιελcυταiα χρόνια πηγή έ -

την ι

καθιστούν ανέφικcη την κατασκευή

> 3 · 10' Pa. Συνεπώς, ξηση της συχνότητας ως ι,, -

ναι η ένιαοη του κύματος τόσο με ­

γαλύτερο είναι ιο rιλότος του και τό ­

της όψεως φαίνεται πως, κατ' αρχήν,

Φαηαοτείτε τώρα πως σε κάποιο σημείο ( χ

= ΟΙ

παράγουμε ένα κύμα

που χαροκτφiζεται οπό πλάτος και συχνότητα τέ τοια ώοτe τα μη γραμ­

μικά φαινόμενu νu ε κδηλώνονται σαφώς. Το Σχημα Ι δeίχνει τις μετο-

2.. [)α ένα unφηχητικό κ ύ μιι ουχνότηοος J MHz nou διαδΙΙΙ<ιαι ο to νερό, ι,,= 5Ο m, eνώ to ι,~ για tvo υnερηχηιικό κJίμΟ ΙΙψη.\ής (J\1χνόtηtαc; μnO(Xf να μην unερβιιlνει τα 10 cιn.

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

41


.. . ..

βολές που υφίσταται η ταλάντωση διάρκειας μίας περιόδου καθώς διαδί ­

... ... ...

δεται το κύμα. Παρατηρούμε ότι στο ιιρώιο τμήμα της διαδρομής του (χ~ ι,,,) το κύμα δεν εξaσθενεi καθόλου.

rια χ> ι • ••. όμως. εμφανίζε ται μη

χ

γραμμική εξασθένηση. Το πλάτος του κύμα τος μειώνεται καθώς αυξάνει η

Σχήμa2

απόσταση από την nηγfι ακολουθώ­ ντας το νόμο

Ρ0 (χ>ι,..,, ) =

Ρ,(Ο)

χ

1+ - ισ.α.ιι

Συνεπώς, όσο μεγαλύτερο είναι το αρχικό πλάτος Ρ0(0), τόσο ταχύτερα φθiνει. rια πολύ μεγάλα αρχικά πλά­ τη, η μογόδα στον ααρογομαστή μπο­

Ας προσrιαθήσουμε να εκτιμι'jοου ­ με τη μέγιστη ένταση που είναι δυ­

οθένηση θα έπρεπε να προχωρι'jοει με ταχύτερους ρυθμούς σε αυτά απ' ό;η

νατόν να μεταβιβάσουμε σε απόστα ­

στα μάλλον μέτριας έντασης κύμα τα

ση

μέσα σε γερό χρησιμοποιώ ­

που εξετάζει συνήθως η μη γραμμική

ντας υπερηχητικό κύμα συχνότητας

ακουστική. Το πρόβλημα είναι ότι ένας μονή­

Ι

100m

MHz:

=100m} Sι~ _ r,.., = Ρ~χ(χ2cp = - -. e cpσ"

ρης παλμός (Σχήμα

2 , .1

Εισάγοντας τις τιμές

ρεί να nαραλειφτεί, οπότε το πλάτος

c Ξ 1,5 · 103

κό πλάτος ακουστικής πίεσης Ρ0(0),

Ξ ιο' kg Im' , α Ξ 300 (Pa · s)-ι και ι,, Ξ 50 m, βρίσκουμε Im,. Ξ 1 \V/ m2• Συνεπώς, στις βέλτιστες συν­

llηOJ. Αυτή η εξασθέ­

θήκες για τη διάδοση υπερηχητικών

νηση επιμένει έως τις αποστάσεις

κιιμάcων μεγάλης έηαοης ο το γερό

όπου τα μη γραμμικά φαινόμενα εξα­

μπορούμε να μεταβιβάσουμε σε από ­

φανίζονιαι· ι:ωό εκεί και ιιέρα το κύ­

σταση

μα διαδίδεται γραμμικά. Η γραμμική

tιι ενeργειαι;, κατά προσέγγιση iση με

εξασθένηση υπολείπεται κατά πολiι

ι

της μη γραμμικής ω<; προς την έντα­ ση και, εmπλέον, δεν εξαρτάται από

βάνουσας κεραίας. Η ενέργεια αυτή

το αρχικό σήμα.

αλλά πολύ απέχει από την ισχύ που

μειώνεται ως 1/ χ, ενώ ο ρυθμός εξα­ σθένησης δεν εξαρτάται από το αρχι­

..... -

διότι ι

m/s, p

J

100 m μόνο

μια μικρή ποσότη­

ανά τετραγωνικό μέτρο της λαμ ­

εrιαρκεί y ια ένιΙ\' ηλεκ φικό φανό,

Μπορούμε να εξαγάγουμε έναν

απαιτείται για να πληγεί καίρια ένα

τύπο για το μέγιστο πλάτος του ημι­

πλοίο ή για να rρι,>θεί μια φάλαινα­

τονοειδούς κύματος κατά τιJν είσοδό

φυσητήρας.

του σε κάποιο μ&σσ, λαμβάνοντας υ­

Τι απογοητευτικό αποτέλεσμα! Τό­

πόψη τόσο τη μη γραμμική (την οφει­

τε, όμως, πώς είναι δυνατές οι διάφο ­

λόμενη στο σχηματισμό του αιιότο­

ρες τεχνολογικές εφαρμογές των υ ­

μου μετώπου κύματος) όσο και τη

περήχωγ; Η αn/ιγτηση ~γκειται στο

γραμμική εξασθένηση (η οποία περι­

ότι αυτές οι δραστηριότητες eκτελού ­

γράφεται από το συντελεστή εξασθέ­

ντ.αι σε σχετικά μικρές αποστάσεις α -

νησης πλάτους 1 /ι,1 ):

116

=Pm•• ( Χ ) = 4v - e-• ·•.ι. α

την ακουστική γεννήτρια, όπου η

2)

συμπεριφέρε­

ται εντελώς διαφορετικά από ένα πε­ ριοδικό κύμα (Σχήμα

11.

Η μέγιστη

τιμή του ελαττώνεται με την απόστα­ ση σύμφωνα με την έκφραση

Ρ. (χ) =

Ρ0 (0)

•••.

Jι + χ ι ι

Και πάλι, για μεγάλα αρχικό nλά­ τηΡ0(0), μ11οροiιμε να αγνοήσοιιμe τη μονάδα στο υπόρριζο του παρονομα­ ατή. Στην προκειμένη περίπτωση, •ο nλάτος ενός μονήρους παλμού ο ω σημείο παρατήρησης (ας πούμε σε ένα

εμnόδιο) εξαρτάται όντως από το πλά ­ τος στο σημείο της έκρηξης και rιερι­ γράφεται από τον τύπο

Η εξάρτηση από το αρχικό πλάτος Ρ0 είναι ιδιαίτερα σημαντική εδώ.

Διαmιπώνουμε ότι σε μια περiπτωση όπου τα μη γραμμικά φαινόμενα εκ­ δηλώνονται με ιδιαίτερη ένταση (δη­

μη γραμμική εξασθένηση δεν nρολα­ βαίνει γα ιιροκαλέσει αισθητή από­

λαδή στην περίπτωση του κρουστικού

σβεση ενός κύματος μεγάλης έντασης

περιορίζεται από κάn01ο άνω φρόγμα,

κύματος), η μέγιστη τιμή του Ρ0(χ) δεν

και, rιαράλληλα, το φαινόμε,•ο του

αν και αυξάνεται βραδύτερα σε σύ­

κορεσμού απουσιάζει.

γδριση με το πλάτος nJεσης της γεν­

Ο αναγνώστης ενδέχεται να α να ­

Σημειώστε, και πάλι, πως το πλά ­

ρωτηθεί πώς εξηγούνται, εν τοιαύτη

τος του σήματος Ρ0(χ) στο τέρμα (σε

περιπτώσει, τα σφοδρότατα αποτελέ­

νήτριας ι}χου {είναι ανάλογη με την

JP. και όχι με την Ρ0(0) όπως συμ­

απόσταση χ>> ι,.• ,) δεν εξαρτάται α­ πό το αρχικό πλάτος του κύματος. Εί­

σματα των κρουστικών κυμάτων.

βαίνει στη γραμμική περίπτωση). Έ­ τσι, εάν αυξήσουμε αρκετά την ισχύ

Γνωρίζουμε ότι τα κρουστικά κύμα­

μιας έκρηξης και το αρχικό πλάτος

ναι αδύνατον να μεταβιβάσουμε πίε ­

τα που προκαλούνται από εκρήξεις

ση μεγαλύ-ιερη από Ρ.,.,(χ) για σπωα­ δήποτε δεδομένη απόσταση, ανεξάρ­

μπορούν να καταστρέψουν κ:ιiρια σε

•ου ηχητικού κύματος, μπορούμε να παραγάγουμε οσοδήποτε μεγάλη πί­

μεγάλες αποστάσεις από το σημείο της

ε ση σε οποιαδήποτε δεδομένη από ­

τητα από το πόσο μεγάλη είναι η ι­

έκρηξης. Τα κρουστικά κύματα απο­

οταοη, και να καταστρέψουμε έναν

σχύς της ηχη•ικής πηγής ή η ένταση

τελούν ένα εξαιρετικά μη γραμμικό

του εκπεμπόμενου σήματος!

φαινόμενο, οπότε η μη γραμμική εξα -

στόχο. Ώς τώρα εξετάσαμε την παραμόρ-

42

NOEMBPIOI I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1998


φωση ενός ακουστικού κύματος με­

k" ιk = 2, 3, 4, ...), οι οποίες δημιουργήθηκα ν καθώς c.o

τάσεις. Με τη βοήθεια ειδικών συ­

ακουστικό κύμα διαδιδόταν σε έvα μη

κάδω'' και χιλιάδων ατμοσφαιρών.

κές με συχνότητες

γάλης έντασης και τη μείωση του πλάτους του κατά τη διάδοσή tου σε κάποιο μέσο. Ωστόσο, δεν έχουμε μι­ λήσει καθόλου για το σπουδαιότερο

γραμμικό μέσο. Με άλλα λόγια, η nα­

Συχνiι, αντί να επιστρα τεύσουμε ο­

ραμόρφωση του οχήματος του ημιτο ­

γκώδη και πολυδάπανο εξοrιλισμό,

-την αλλαγή που υφίσταται το φάσμα

νοειδούς κύματος &χει ως επακόλου­

μπορούμε να αξιοποιήσουμε μια πολύ

τοv. Το εν λόγω φαινόμενο αποδει­

θο την εμφά νιση ανό>τερων αρμονι ­

απλούστερη μέθοδο. Ένας ακτινοβο­

κνύεται ιδιαίτερα σημαντικό στην ε ­

κών στο φάσμα. Το πλάτος της δεύ ­ τc.ρης ορμονικής (k = 2) αυξάνεται α­

λητής ήχοv προσαρμόζεται στην εm ­ φάνεια της βάσης μιας ράβδου και

Ας επιχειρήσουμε μια σύντομη ε­

νάλογα με την απόσταση που διανύει

ποράγει κύμα μεγάλης έντασης μέσα

πανάληψη μερικών βασικών γνώ­

το κύμα. Μπορεί να γίνeι σχετικά με ­ γάλο, οπότε είναι δυνατόν να μετρη­

στο δείγμα. Στην άλλη βάση της ρά­

Gεί με αρκετή ακρίβεια. Εξάλλου, όταν

με τη μέτρηση του πλάτους της δεύ­

τερης αρμονικής) το μη γραμμικό σή­

χες φωτογραφίες των ορατών φασμά­

η απόσταση ανάμεσα στον πομπό του ήχου και το δέκτη παραμένει σταθε­

των εκπομπής των ατόμων, τα οποία

ρή, το πλάτος της δεύτερης αρμονικής

σχετικά με τα χαρακτηριστικά του υ­

αποτελούνται αrιό ταινίες διαφορετι ­

εξαρτάται από τις ελαστικeς ιδιότητες

λικού που μας ενδιαφέρει.

κών χρωμάτων. Κάθε άτομο χαρα­

του μέσου, ή όπως λέγουν οι φυσικοί

Σε αντιδιαστολή με τα γραμμικά

κτηρίζεται από το ευδιάκριτο .φασμα­

και οι ειδικοί της επιστήμης των υλι­

τ1κό aποτύπωμά• του. Για παράδειγ ­ μα, το φάσμα του νατρίου έχει μια λα­

κών, από τα μη γραμμικά μέτρα του

κύματα, το κύμα μεγάλης έντασης •θυμάται• τις ιδιότητες του μέσου στο

μέσου. Εάν συγκαταλέγεστε στους a -

οποίο διαδίδεται. Αυτό εξηγεί γιατί τα

μηρή κίτpινη γραμμή σε μήκος κύμα ­

φοσιωμένους αναγνώ<Jτες ταυ

Quan-

μη γραμμικά σήματα χρησιμοποιού­

τος 0,59 μm. Όσο επίμονα και εάν προσπαθήσουμε να τροποποιήσουμε

tum,

θα έχετε συναντήσει το μέτρο

νται για την ανά λ υση τοv εδάφους

φαρμοσμένη ακουστική.

σεων για την έννοια του φάσματος ε­ νός σήματος. Συνήθως η λέξη φάσμα συνδέεται συνειρμικά με τις υπέρο­

ένα φωτεινό κύμα με δεδομένο φά ­ σμα σε ένα γραμμικό μέσο -διαβιβά­ ζοντάς το μέσα από κάθε είδους οπτι­

ελαστικότητας του

οκε11ών ασκούμε σε αυτό φορτία δε­

βδου κατογρόφεται (για παρόδειγμα,

μα, το οποίο περιέχει την πληροφορία

Young πάμπολλες

και του νερού, τα οποία, παρ' όη μπο­

φορές. Η εν λόγω 11αράμετρος περι­ γράφει την ελαστική παραμόρφωση ε­

ρεί να αnοδειχτούν αδιαπέραστα σε

νός στερεού σώματος στο οποίο α­

άλλους τύπους ακτινοβολιών, είναι •διαφανή• στον ήχο.

κά φίλ τρα, διασκορπιστικά μέσα, ενι­

σκείται μηχανικi] τόση (θυμηθείτε το

Εάν ένα ηχητικό κύμα μεγάλης έ ­

σχυτές, κ.ο.κ.- αποκλείεται να δη­

νόμο του

Hooke).

ντασης συναντήσει ένα άλλο κύμα

μlΟυργήσουμε νέες συχνότητες (δη­ λαδή νέες φασματικές γραμμές). Ω­

Το μέτρο ελαστικότητας του

Young

(σήμα), «θιιμάται• τη συνάντηση και

είναι μια γραμμική παράμετρος, διό­

τα χαρακτηρισtΙκά του τροποποιού ­

στόσο, οι μη γραμμικοί μετασχημα ­

τι, σύμφωνα με το νόμο του

Hooke, η

νται. Με άλλα λόγια, μια δέσμη μεγά ­

τισμοί που στηρίζονται στις μεθόδους

παραμόρφωση ενός σώματος είναι ευ­

της μη γραμμικής οπτικής αποτελούν

θtι.ις ανάλογη της τόσης (δηλαδή ε­

λης έντασης παίζει το ρόλο ενός •ΟΡ­ γάνου συλλογής πληροφοριών,. (ή

ολότελα διαφορετικό κεφάλωο. Γνω ­

ξαρτάται γραμμικό από την τάση).

κεραίας). Απλώς φαντ;αστείτε: αρκεί

ρίζοvμε όtι η υπέρυθρη δέσμη ενός

Στην περίπτωση των μεγάλων τάσεων,

να αυξήσουμε την ισχύ του ήχου που

λέιζερ μεγάλης ισχύος μπορεί να με­ τατραπεί σε ερυθρή αφαύ διέλθει από

οπότε η παραμόρφωση δεν μπορεί να θεωρηθεί γραμμική (το υλικό γίνεται

ακτ:ινοβαλείται μέσα, ας πούμε, στο

έναν ειδικά επιλεγμένο κρύσταλλο.

-πλαστικό• -παραμορφώνεται μόνΙ ­

Κατά τη διαδικασία αυrή, η σvχνότη­ τά της διπλασιάζεται.

μα ή και θραύεται ακόμη), η εξάρτη­

κουστική κεραία που εκτείνεται σε δεκάδες ή εκατοντόδες μέτρα. Το ρόλο

ση της παραμόρφωσης από την τάση

της κεραίας σε μια τέτοια διάταξη τον

Ένα παρόμοιο φαινόμενο εμφάνι­

χαρακτηρίζεται όχι μόνο από τα γραμ­

σης ακεραίων πολλαπλασίων της αρ­

μικά αλλά και από τα μη γραμμικά

παiζει η υδάτΙνη στήλη nου περιέχει την ακουστική δέσμι} -δηλαδή ο χώ­

χικής συχνότητας -με άλλα λόγια,

μέτρα του μέσου.

ρος ανάμεσα στη γεννήτρια του ήχου

νερό, για να αποκτήσουμε μια υδροο­

παραγωγής ανώτ.ερων aρμονικών­

Κατά συνέπεια, όταν μετράμε το

είναι σημαντικό για τη φυσική των α­

πλάτος της δεύτερης αρμονικής που

και το δέκτη. Όπως έχετε ήδι} αντιληφθεί, τίηο­

καυστικών κυμάτων υψηλής ισχύος. Όταν συζητούσαμε την παραμόρφω ­

έχει rιεράσει από ένα μη γραμμικό μέ­

τε ανάλογο δεν είναι εφικτό με aσθε­

σο, προσδιορίζουμε τα μη γραμμικά

νή κύματα. Γνωρίζουμε ότι δύο yραμ­

ση ενός aρμονικού σήματος (Σχήμα

μέτρα του συγκεκριμένου μέσου και,

μικά κύματα διέρχονται ελεύθερα το

1), στην πραγματικότητα θίξαμε ακρι­

επομένως, μπορούμε να περιγράψου­

ένα διαμέσου του άλλου, σχηματίζο­

βώς αυτό το φαινόμενο. Πρόγματι, το

. . ' φασμα τοv σηματσς που φαινεται στο

με την πλαστικότητό του, tην αντο­

ντας μια εικόνα συ μβολήc; στην περι ­

χή του και άλλα σημαντικά χαρακτη­

Σχήμα 1 αποτελείται από ένα σύνο ­

ριστικά του.

οχή όπου διασταυρώνονται. Όταν ε ­ γκαταλείπουν την περιοχή αυτή, το

λο ισαπεχουσών συχνοτήτων: τη θε­ μελιώδη συχνότητα του παραγόμε­

Κατανοούμε πλέον μια από τις

κάθε κύμα συνεχίζει να διαδίδεται

σπουδαιότερες έννοιες της μη γραμ­

σαν να μην είχε συναντήσει ποτέ τσ

νο υ σήματος ι• (που αντιστοιχεί σ το

μικιiς ακουστικής. Όταν μελετάμε τις

άλλο.

αρχικό, μη παραμορφωμένο ημΗο­

παραμέτρους των στερεών σωμάτων, τα υποβάλλουμε συνήθως σε μεγάλες

vοειδές σήμα) και ανώτερες αρμονι-

Μια δέσμη μεγάλης έντασης μπο­ ρεί, εκτός από το ρόλο της κεραίας λ ή -

OUANTUM / ΑΡθΡΟ

43


ψης, να παίξει και το ρόλο της κεραίας

κω τα εδαφολογικά χαρακτηρΙστικά

εκnομrtής. Συσκευές rιου εκπέμπουν

του. Η rιαραμεφική ακουστική εφαρ­

ηχητική ακτινοβολία μέσω τέτοιων

μόστηκε επίσης στηγ αρχαιολογία: οι

κεραιών καλούνται rιαραμετρικοί α­

επισ·~ημονες οτηριχτηκαν ο τηΥ επι-

κτινοβολητές. Σε τι μπορούν ν(ι χρη­

κουρία της για να αναζητήσουν τα

σιμεύσουν παρόμοιες συσκευές;

πολύτιμα αντικείμενα που άρπαξε ο

.

.

Γνωρίζουμε όtJ το μοναδικό είδος

Ναπολέων από το Κρεμλίνο και τα ο­

ακτινοβολίας που μπορεί να διαδοθεί υποβρυχίως σε μεγάλες αποστάσεις

ποία εγκαταλείφτηκαν κατά την υ ­ ποχώρηση του γαλλικού στρατ~ύ κά­

είναι ο ήχος. Αν έλειπαν οι ακουστι­

που στις ελώδεις λίμνες πλησίον του

κέςεπικοινωνίες, δεν θα κατορθώνα­

Σμολι\νσκ· σε μια άλλη περίπτωση ο­

με να δαμάσουμε τους ωκεανούς ού­

δήγl)Οε οτ ηγ ανακάλυψη α\• cικειμέ­

τε να εκμεταλλευτούμε τις ολουτο ­

νων από τις πρώτες πολΙκές εξερευ­

ααραγωγικές πηγές τους. Ωστόσο. γΙα

νηtικές αποστολές.

να αποκτήσουμε μ1α στενή δέσμη κα­

Μια ακόμη εφαρμογή αποτελεί η

τευθυνtJκής υοερΙJ)(ηtJκήςακτινοβο­

χρήση συσκευών ηχοεντοmσμού για

λίας, απαιτοuνται τεράσtΙες κεραίες

να βρεθούν κοπάδια ψαριών στην ε­

των οποίων

ανακλαστικές επιφά­

rιιφόνεια ή κοντά στο βυθό των ωκε­

νειες πρέπεΙ να έχουν διάμετρο δεκά­ δων μέτρων. Το πρόβλημα της κατα­

ανών, ο τις εκβολές των ποταμών ή σε υφόλους -με άλλα λόγια, εκεί όπου

σκευής τεράστιων κεραιών εκπομπής

οι συνήθεις ακουστικές συσκευές α ­

μπορεί να παρακαμφθεί εάν εκμεταλ­

ποδεικνύοηαι οναιιοτελεσματικές.

01

λευτοiιμε τη μη γραμμική αλληλεπί­ δραση των ηχητικών κυμάτων. Προς wύτο χρηοψοnοΙούνται δύο κεραίες πέμηουν ηχητικά κύματα μεγάλης έ­

γόλι}ς έντασης. Η μη γραμμική ακου­

ντασης με συχνότητες ι·, και ν,. Τα εν

στική αποτελεί μια σχετικά νεαρή ε­

λόγω κύματα αλληλεmδρούν προτού

πιστήμη -μC'τρά μόλις σαράντα έτη ζωής- και βρίθει από προβλήματα τα

εξαο·θενήοουν. οε μΙα αnόσιαοη, ας πούμε, 1 km από tJς κεραίες. Αυτή η

ρη γενεά των ερευνητώγ που εν δια­

οποίο έχει χαμηλή (δΙαφορική) συ­

της.

-

ν, καΙ υφίσταται πολύ

μικρότερη εξασθένηση από τα κύμα­ τα 'fωΥ πηγών, οπότε μπορεί να μετα­

δοθεί σε μεγαλύτερη απόστοση. Ακό­ μη σημαντικότερο αnοδεικνύεται το γεγονός ότι αυτό το κύμα παράγεται όχι στιJν επιφάνεια της κεραίας (μόνο υπερηχητΙκά κύματα με συχνότητες

v1

και ι•1 παράγονται εκεi> αλλά βα­

θιά στο νερό. Έτσι, η υδάτινη στήλη ποv έχει μήκος tΥός χιλιομ&τρου -η περιοχή όπου αλληλεmδρούν τα κύ­ μα τα- λειτουργεί ως γιγαντιαία κε­

Δείτε ακόμη τα άρθρα ... • Roman Vίποkιιr, ·Η φυσική της ηχομόνωσης•, Ιανουάριος /Φεβρουά­ ριος

1996. !νaπ

Vorobyov,

·ΤρΙκυμισμένες

θάλασσες•, Ιούλιος/ Αύγουστος

1994. • L. Brekhovskίkh και V. Kurtepov,

..κύματα υπό τα κύματα•, Μάρτιος/ Απρίλιος 1998. • Α. Varlamoν και Α. Ma1yaι·oγsky, «Ωκεάνια τηλέφωνα•, Μάρτιος/Απρί­ λΙος

1998.

ποιούνται επί του παρόντος στη γεω­ φυσική, στην ιατρική και στην έρευ­ να της ατμόσφαιρας. Ωστόσο, η χρήση

φο tου βυθού των ωκεανών καθώς

44

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

Στοά Αροοκείοv, vπάρχε ι {να ωχάp ιοτο, καθαρά

πνωματ ι κό περιβάλλον, όποv δεκάδες εκδότες παροuοιάζουν τα βιβλία τους. Εκεί, ο ι Εκδόσε ιc; Κάτοπτρο -μαζί με τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης­

διατηρούν το &ικ6 τοvς βιβλ ιοπωλείο Ι εκθετήριο

o-ro οποίο μπορείτε να βρείτε το σύνολο της εκδοτικής τους

J1} ΚΟΡΦΙΑΤΒΣ

να μας επ ι σκεφθεί γ ι α να

GV'

γνωρίσει τα βιβλία μας και να ενημερωθεί για τις νέες

τQ

φυσ ι κο μqθημ~τικ ~

μας εκδόσεις.

βιβλι οn(.) λεlο !\'~ -Η ιποιί Αpιιιικιiοιι

αυτών των κεραιών είναι περισσότε -

ρο διαδεδομένη στη θαλάσσια έρευνα. Επιτρέπουν να μελετηθεί το ανάγλυ -

Στο κέντρο της Αθήνας, στη

αναγνωστικό κοιν6

κατασκευάσουμε εμείς -υπάρχει ε­

Οι παραμετρικοί πομποi χρησιμο­

παραγωγής. Περιμίνοvμε το

ραία εκπομπής. Δεν χρειάζεται να την κεί από μόνη της.

f

φέρον τω γι' αυτήΥ κω τις εφαρμογές

ιt.1

~ΜΟΚp(ι.τσ\1ς 6, ΊΟ 6 19 λθιjyοι ι τιjλ.: 3 62114 92

• ι

οποία οφείλεΙ να μελετήσει η νεότε­

αλληλεπίδραση έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός νέου κύματος, το

χνότητσ ν 1

I

περιγράψουμε μερικά μόνο από τα

οηο!ες εκ­

01

ΒΙΒΛ Ι ΟΠ ΩΛΕΙΟ

Σε αυτό το άρθρο προσπαθήσαμε να πολλά ενδιαφέρονtα φαινόμενο Μυ αναφύογτω στα ακουστΙκό πεδία με­

συμβατικού μεγέθους,

" κατοπτρο

(ftιινι πι<πημiοιι ιαιι Πtιτμιιζιiyλιηι

5), 105 64 ΛιJιjvιι Ιηλ: 3147785


ΣΤΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ

I

, τηρησης και

Νόμοι

λές ταχύτητες

Η θεωρία της σχετικότητας δεν είναι σε τελική ανάλυση και τόσο τρομακτική

Α Korzhuyeν

Γ

lΛ ΤΗΝ Ε:Π1ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑ'fΩΝ στα οποία τα ο~'>ματα κινούνται με ταχύτηttς που πλησιόζουν την ταχύτητα του φωτός, είναι αnα­

ραίτητοι οι γνωστοί από την κλασική μηχαVΙΚή νόμοι διατήρησ ης της ορμής και της ενέργειας, γραμμένοι, όμως,

σε μια ειδική μορφή. Έτσι, η σχετι κιστική ορμή και η ο­

λική ενέργεια ενός σώματος με μάζα ηρεμίας

m0 που κινείται

με ταχύτητα

υ δίνονται από ωυς τύιιους:

και

Ε= αντiστοιχα,

moc

2

Jι - υ•ιc• ' όπου c είναι η ταχύ τητα

του φωtός. Οι παραπάνω τύποι ισχύ ­ ου ν μονάχα για σωματίδια των οποί­ ων η μόζα ηρεμίας είναι διάφορη του μηδενός. Το φωτόνιο-το οποίο κινεί­ τα ι με την ταχύτητα του φωtός και έ ­ χει μηδενική μάζα ηρεμίας- έχει ε­ νέργεια

Ε = hν και

p ~ hι•/c,

όπου

h = 6,62 · ιο-a. J · s είναι η στα ­

θερά του Planεk κω ν η συχνότητα

<

~

του φωτονίου . Ας nροσπαθιjσουμε

τώρα να θέοοιιμε τις παραπάνω γνώ­

"",..

σεις σε εφαρμογή.

ο

QUANTUM I ΗΟ

ΜΑΥΡΟΠ ΙΝΑΚΑ

I

45


Θ-

Πρόβλημα 3. Κατά τη διάσπαση

ο~

ιsο·

ενός κινούμενου ουδέτερου σωματι­

δίου παράγονται δύο φωτόνια , τα

~~ hvι

-c Σχήμα

οποία κινούνται σε διευθύνσεις που

hv2

-c

60•

Σχήμα2

1

Πρόβλημα

1. Κατά την εξαϋλω·

η ταχύτητα του σωματιδίου;

ση κίνησης του σωμαnδίου.

Λύση. Στη συγκεκριμένη περί­

bv1 hv2 =--c c Jι - υ 2 Ιc'

τρονίου, που κινούνταν και τα δύο με μικρές ταχύτη•ες, παράγοντ:αι δύο ακτίνες γάμμα. Πόοη είναι η γωνία που σχημοτίζουγ καθώς οπομακρiι­

Η ολική ενέργεια των σωματιδίων

νονται μεταξύ τους; Πόση είναι η συ·

ισούται με την ολική ενέργεια των

χνότητά tσυς;

κβάντων:

Λύση. Μπορούμε να αντιμετωπί ­

σουμε το συγκεκριμένο πρόβλημα με

m,c•

?.;;;:~'"""' 2

τη βοήθεια των νόμων διατήρησης •ης

Jι - υ'!c

ενέργειας και της ορμής:

με tιJ διεύθυνση της αρχικής τα ·

χύτητας του σωματιδίου. Πόση ήταν

ση ενός ηλεκτρονίου και ενός ποζι­

πτωση, πρέπει να εφαρμόσουμε το

νόμο δια τήρησης τιJς ορμής στον ορι · ζόντιο και τον κατακόρυφο άξονα (βλ. Σχήμα

3): m,υ

hv1 J1 - υ 2 /c2 = συνοι+ c

=hι• 1 + hv2•

hιι1 - συνα2,

hv c

τας υ= O,Bc στους δύο παραπάνω τύ­

Εφόσον οι ορχικές cαχύτητες των σωματιδίων είναι μικρές, ο νόμος δια· tΊ'pησης της ορμής μάς δίνει

: hv1

c

_

στερό και το δεξιό μέλος του πρώτου

c, nαίρνουμε

γειας προκύπτει ότι 2 mc 0

c

~ m0 c 2 = bνι + i1v2.

Τα φωτόνια πρέπει να απομακρύ ­

νονται το ένα από το άλλο σε αντίθε ·

1), διότι

μόνο ι\τσι η ολική ορμή των σωματι·

τά μέλη τις δύο αυτές εξισ~>οεις προ­

(3)

,.

σεις ημα 1 = 1/2 και ημα2 = J3/2 παiρ­ νουμε

''ι=•, J3 .

κύπτουν οι συχνότητες της ακτινοβο · λ ία ς:

Α ν τι καθιστώντας την παραπάνω ν

Από το νόμο διατήρησης της ενέρ ·

τιμή στις εξισώσεις (1) και

3m c2 1

=

ο

(3)

κατα ·

λι)γουμε

2h '

γειας προκύπτει

--.=,;; m~0~ υi= c=.. -_ Zh .2.1 ,

J

Jι - u 'l c2

2m 0c2 = h\ι 1 + hν2, και λαμβάνοντος υπόψη ότι ν 1 ν, παίρνουμε ότι

= ι•2 =

Άρο ο ζητούμενος λόγος ισούται με

ν 1 /ν2

ν = m 0c 2/h.

2.

'

Εισάγοντας στον τύπο (2} τις σχέ­

Προσθέτοντας και αφαιρώντας κα •

δίων, μετά την αλληλεπίδρασή τους, μπορεί να είναι μηδέν.

Πρόβλημα

= bι• - hι•

Jι - υ 2/c 2

απ' όrιου προκύπτει όn:

(2)

Από το νόμο διατήρησης της ενέρ­

hv, ,

τες κατευθύνσεις (βλ. Σχήμα

bv c

2 Ο= ::..:l ημα 1 - ημα2 •

πους και πολλαπλασιάζοντας το αρι­ τύπου επί

( 1)

c

Εισάγοντας την τψή της ταχύτη­

0

= 30• και α2 =

σχηματίζουν γωνίες α 1

= 9.

= bv,(./3 + 1).

Διαιρώντας καtά μέλη τις δύο α υ­

Ένα ουδέτερο σω­

ματίδιο που ταξιδεύει με ταχύτητα υ= 0,8cδιασnάται σε δύο φωτόνια τα

m,c'

Jι ~υ' Ι c•

τές εξισώσεις παίρνουμε

ο~

οποία κινούνται σε αντίθετες κατευ ­

••

θύνσεις (βλ. Σχήμα 2). Ποιος είναι ο λόγος των συχνοτήτων τους;

'

.•

.

.· mu

'

Λύση, Και πάλι θα χρησιμοποι ­

•'

ήσουμε το νόμο διατήρησης της ορ­

J3+l

υ

2

απ' όπου τελικά προκύπτει:

υ=

μής και της ενέργειας. Η αρχική ορμή

c

- =

2c

"' =0,73c. ν..> +l

του σωματιδίου ισούται με το άθροι ­ Πρόβλημα

σμα των προβολών των ορμών των δύο φωτονίων στην ορχική διεύθυν •

46

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

Σχήμα3

4.

Κατά τη διάσπαση

ενός σωματιδίου που κινείται με τα ·


Για να είναι η γωνία α (ή, 10οδύ­

-c

να μα, η δΙαφορά

β

1-

συνα) όσο το δυ­

Ε10άγοντας την παραπάνω τ1μή στην έκφραση

νατόν μΙκρότερη, θα πρέπεΙ το γ1νό­

\

μενο ν v

'

1 2

''

1-

γα είνω όσο το δυνατόν

μεγαλύτερο. Εί,•αJ γνωστό από τα μα ­

.~ ·'mυ

θημα τ1κά ό1;1 το γΙνόμενο δύο αρ1θ ­ είνα ι μέγΙστο όταν οι δίιο αρΙθμοί εί­ ναι ίσοΙ μεταξύ τους. ΑκρΙβώς το ίδΙο,

-c

όμως, συμβαίνεΙ καΙ στην περίπτωσή

Σχήμα4

0,8c παράγονταΙ

δύο φω­

τόνΙα. Βρείτε την ελάχΙστη γωνία κα ­ τά την οποία εκτρέπονται

Λ(ιοη, Ο1 γόμοΙ δΙατήρησης της ε­ νέργεΙας κω της ορμής μάς δίνουν α­ nίστ01χα

μας, δ1όt1 hv1 + hι•2 = ~ m0c

2

= σταθ,

α,.1•

_

hv1 c )

_

= τοξσυν0,28

Πρόβλημα

ένα φωτόνιο~ Λύση. Και πάλι θα χρησιμοποιή­

Ας το αποδείξουμε αυτά αυστηρό­

γειας και της ορμής. Έστω όη, πρΙ\•

τερα. Ας γράψουμε το γ1νόμεγο ν,ν,

από την απορρόφηση •ου φωτονίου, το ηλεκτρόνlΟ βρίσκεταΙ σε ηρεμία

(προσφορότερο να χρησψοπο1ήσουμε

i

τον όρο h••1 bι•2 ) ως [ ιn,c' - hv h•·,. 2] ·

κω πως στη συνέχεια αποκιά ταχιί­ τητα υ, Από το νόμο διατήρησης της ενέργειας προκύπτει δη

m.c 2 m c~ + hν = --,. , 0 Jι - υ'Ιc'

'

ενώ η δΙατήρηση της ορμής καταλή­ γει στον τίιnο hι• m,u - = ~~-;;" c .Jι- υ 2Ιc' ·

Η γραφΙκή παράσταση της συγκε ­ κριμένης συνάρτησης είναι παραβο ­

4).

ΕΙσάγοντας τη σχέση υ = 0,8c και πολλαnλασιάζογιας 1.0 δύο μ έλq οις δεύτερης εξίσωσης επί

λή (βλ. Σχήμα

5),

η οποία παρου01ά­

ζεΙ μέγΙστο γ1α

~ m:c• = ιhv,J'+ (hv.J' +

h ,ι I

m0~~ υc = m c' + 7,;;;!

5 3

Ι•, ν, =

f

Ί

σης είναι

m;c• 36 h 25

2

u = c και υ = Ο. Με άλλα λό­

για, η ταχύτητα του ηλεκτρονίου θα πρέπεΙ να 1σούτω είτε με c, πράγμα αδύνατον, είτε με το μηδέν, που επί ­ σης δεν είναι δυνατόν να ισχύει, διόη

1J

νάλυση καΙ τόσο τρομακtική!

-κο ρ

' t •ι-

Βιβλία για όλες τις βαθμiδες rης εκπαfδεvσης

m~c"

~~ •

Οι ρίζες της συγκεκριμέ\'1}ς εξίσω­

σχετΙκότητ-ας δε'' είναΙ σε τελική α ­

η οποία μπορεί να γραφεί καΙ ως

ι

(c - υ)2 =c 2 - υ',

έπρεπε ΥΟ ήταν ίση με μηδέν. Βλέπουμε λοΙΠόν ότΙ η θεωρία t1}ς

2h2 v 1v2(1- συνα} = m:c•,

2h 2 ,,

Ο

τότε η ουχνόιηω του φωτονίου θα

φωτονίων είναι σταθερή κω JΟΟύταΙ με (5/3)m0c1, έχουμε

I - σ υ ν α = _:;;;~οι;;__

Ο

mc 2 .Jι - υ 2/c 2 -· ..,

ΈπεΙτα από πράξεΙς προκύπτεΙ

'

και το ζητούμενο γινόμενο ΙΟΟύtαΙ με

2

Εφόσον η ολΙκή ενέργεια των δύο

5 6

6

16 -m'c' 9 ο =(hv ι +hv2 )'2h ι· 1 v2 (1 - συνa}.

'

= -5 ml)c' ,

Προσθέτοντας καΙ αφαφώντας από

.Jι-υ'Ιc'

= -mc--mc

2h2 ν 1 ν2συνa.

παίρνουμε

έκφραση για το γ1νόμενοbι• που nρο­ νουμε

Επομένως,

- 2,

ΕΙσάγοντας στον πρώτο τύπο ιην κύηtεΙ από τον δεύτερο τύπο παίρ­

c, παίρνουμε

την εελεuταίο εξίσωση τον όρο 2h'••1 ι·,

Είνω δυνατόν ένα

σου με το νόμο δΙατήρησης της ενέρ­

h •2 _ ( c )

όπου β = ιsο• - α (βλ. Σχήμα

5.

=47• ,

ελεύθερο ηλεκτρόνlΟ να απορροφήσεΙ

νάρτησης

(.Jι- υ'Ιc' )'- ( '

= 18 / 25 = 0,72,

Συνεπώς, v1 = \1z-

και ας βρούμε τη μέγΙστη τιμή της συ­

ουνa.,,.

απ' όι1ου rιροκ ίιmει

μώγ, που έχουν σταθερό άθρο10μα,

χύτητα υ =

(1 - συνα), παίρνουμε

Σχήμα

5

Σόλωνος

103, ΑΟήνα, τηλ.; 3800798

OUANTUM Ι ΗΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ I

47


ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠ Ι ΝΑΚΑ 11

Βοηθητικά πολυώνυμα Παρεπόμενα της στήλης Grαdus αd Pαrnαssum

L.D. Kurlyandchik και S.V Fomin ΛΗθΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΆΤΩΝ ΑΝΑ ­

νται με εκείνες που ερευνήθηκαν στη

Οι συντελεστές τσυ δίδονται από τους

yοναιι στον υnολογισμό των ρι ·

στήλη Gradus ad Parnassum του τεύ ·

εnόμενους τύπους:

ζών μιας αλγεβρικήc; εξίσωσης.

χους Σεπτεμβρίου /Οκτωβρίου 1998. Στη συνέχεια θα διαmστώσουμε ότι

Μερικές φορές, όμως, για να λύ · σουμε ένα πρόβλημα, πρέπει να κατα · σκευάσουμε ένα πολυώνυμο nου έχει ρίζες τους αριθμούς που μας έχουν

urιάρχει σοβαρόαιwς λόγος γι' αυτή τη σύνδεση.

p = - ( u+ ν) q= uv.

(1)

Επομένως, οι δύο συντελεστές εί • ναιι αvτiστοιχαι ίσοι με το αντίθετο

δοθεί. Σ <η συνέχεια θα δούμε πώς

'Εστω δύο πραγματικοί αριθμοί u και v. Ποιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης

μπορούν να μας βοηθήσουν τέτοια βο .

είναι ρίζες; Η αrιλούστερη μέθοδος να

το γινόμενό τους. (Σε ορισμένες χώ •

ηθητικά πολυώνυμα να λύοοuμε διά ·

ρες, οι τύποι

φορα δύσκολα προβλήματα. Πολλές

απαντήσουμε σε τούτο το ερώτημα εί ­ ναι να θεωρήσουμε το rιολυώνυμο

από αυτές τις καταστάσεις συνδέο ·

Pit) = (t - u)(t- ν)= ι• + pt + q.

48

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ / ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1998

του αθροίσματος των

του

u και

ν και με

( l ) ονομάζονται

τύποι

Viete προς τιμήν του γάλλου μα·

θηματικού του 16ου αιώνα Franςois


Viete. Για ευκολία, θα κάνουμε και ε­

(οροφα νώς.

μείς το ίδιο. ) Σιο σχολείο πρέπει να μελετησα tε δύο θεωρήματα που ου ν· Αν

u και v είναι οι ρίζες της &υ· τεροβόθμιας εξίσωσηc: t 2 + pt + q = Ο, tάτε ισχύουν οι τυποι (1) (θεώρημα του VίHe).

Οι αριθμοί

u και

ν είναι ρίζες της

δευτεροβάθμιας εξίσωσης t 1 - (u + v)t

+ uv = Ο (αντίστροφο του θεωρήματος του Viete). Τώρα θα ηαραθέσου με μερικά πα ·

Επιπλέον, μπορούμε να αποδείξουμε

Απάντηση. Ο αριθμός ι , ικανο· ποιεί την ανισότητα.

δέονται με αυτούς ιους τύπους;

t 1 > 0>.

ρείται με το

Ο υπολογισμός της τιμής μιας συ· νάρτησης σε κάποιο σημeίο είναι συ. χνά πολύ ευκολότερος αν ξεκινήσου. με καταοκευόζοντος ένα πολυώνυμο

που μηδενίζεται σε αυτό το σημείο. Ιδού έ'•ο ποράδει γ μα.

Πρόβλημα 3. Υπολογίστε το

su• + 6ua - 5u, όcαν 11 = 2 + .J3.

u' -

Λύση. θυμηθείτε το αποτέλεσμα

ρήμα αποδεικνύεται εξυπηρεηκό. Ας

του Προβλήματος 1: u1 - 4u + 1 = Ο. ή u1 = 4u - Ι. Με τη βοήθεια αυτής της

αρχίσουμε με ένα απλό πρόβλημα.

σχέσης μπορούμε να εκφράσουμε τα

ραδείγματα όπου το αντίστροφο θεω ­

Πρόβλημ α

1.

Γράψτε μια δευτε­

ροβάθμια εξίσωση με ακέραιους συ ·

u' και u' ως γραμμικές συναρτήσεις του

ντελεοτές, μία από tις ρίζες της ο ­

ποίας είναι ιο 2 + ./3. Λύση. Η λύση αυτού του προβλή­ ματος, καθώς και πολλών άλλων, βα­ σίζεται στην παρατψηοη πως μια εξί· σωση με συντελεσtή μεγιστοβάθμιου

όρου ίσο με 1 και ρίζες ··συζυγείς. α­

ριθμούς της μορφής a + b Jd και a Ιι Jd, όιιου a και bακέραιοι, έχει ακέ ­

u:

Και επομένως, 56υ-

u' - 5υ' + 6u' - 5u =

15- 5(15u - 4) + 6(4u -

ιJ - 5u

= -ι. Απάντηση.

- 1.

και

~όβλημα 2. Ο αριθμός t 1 =

./3'i

Λύση. θεωρούμε τη δευτφοβάθ­

./3'i

t' + 2 ./20t- ι7 =Ο. Αφού 2./20

= 8 + b.Jd με πι μορφή ku + l (όπου 8, b, d. k, l ακέραιοι). Πρόβλημα

4. Αποδeίξτε ότι ο α. ριθμός (7 + J4s> " + (7 - J48ι" είναι ακέραΙος και διαιρείται με το ι4.

Λύσ η. Οι αριθμοί u = 7 + J4s και v = 7 - J4s είναι ρίζες του δευτερο· βάθμιου τριωνύμου t 2 - 14ι + 1. Με τ:η βοήθεια των τύπων u' = 14u- ι και v' = 14v - ι βρίσ κουμε τις επόμενες

a. = 2,

- .J20 ικανοποιεί ιην ανισότητα f + 9t - 17 >Ο; μια εξίσωση με ρίζες ι, και 11 = - ./20:

5. Υ nολογίστ:ε την μήτής u' + ι ι u•,αν u = J2 +ι

= ./8δ < 9, συμπεραί­

νουμε ότι

ι,a + 9t, - 17 >ι,'+ 2 ./20ι,- 17 = ο

τι·

Οι τύποι του Vi~ιc για ένα πολυώ ·

νυμο τυχαίου βαθμού προκύπτουν όοως ακριβώς και για cα δευτεροβάθ· μια πολυώνυμα. Γράφουμε

(t - x,Ht - χ,> · ... · (t - χ.> = t• + ιι , ι• ' + 8 2ι· - • + ... + Βιι,

Ρω=

όπου χ, . .:c:2, ··· ~ χ. είναι οι ρίζες

t.ou.

Απαλείφουμe τις παρενθέσεις, κά •

δυνάμεων του ι στα δύο μtλη της εξί­ σωσης.

Γράφουμε τους tύnους αυτούς για ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο με ρίζες

x,y και z:

= t8 + pta + qt + r, p = -χ - y - z, q = xy + yz + zx, r = - xyz.

=

a, = u + v 14, a, = u• +ν' = (14u -

λο τριών ή ιιεριοσοι.tρων ριζών. Πρόβλημα

ι ι + (14ν - 1)

a, = ~+ν' = utι4u - 11 + v(L4v - l ) = ι482 - 8 1 ,

.

Οι αριθμοί χ,

y,

z

ικανοποιούν τιι σχέση

x+y+z = a, 1 /χ+ 1/y+ l lz = 1/s . αυτούς τους αριθμούς ισούται με

= u• 1(14u - Ι J + v• 1 (14v - IJ = 14a. _ , - a.-τ

Από τους τύπους α υ το{, ς έπεται ά­

a, είναι

ακέραιοι.

a.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τους Wηους

(2).

Πα!ρνσυμε p =~ x+y+z> = -a,

q = xyz\ι {x+

s : u• + v•

μεσα ότι οι αριθμοί

6.

Αποδείξτε ότι τουλά)(lσtον ι\νας από

= 14a 1 - a.,

(2)

Συνεχίζουμε τώρα με mo ενδιαφέ ­ ρον•α nροβλήματο που δείχ,·ουν τα πλεονεκ tήματα της χρήσης βοηθητι ­ κών πολυω,•ύμων. εε όλα ια παρα . δείγματα θα θεωρήσουμε πολυώνυμα που κατασκευάζονται για ένα σύνο·

t' - 4t + ι = ο.

με το ι4.

Πρόβλημα

αναδρομικές οχέοeις για τις τιμές των 8 = un + vn:

q • t ,t, = l. Α πάντηση.

a. διαιρείtαι

Α ν πόρου με ως μοντέλο αυτό το

ακέραιους ουνιελεοι.tς στο σημείο υ

p = - <t, + t 2) = -4

τον τελευταίο τύπο έπεται ότι και το

At) = (ι- x)(t - y)(t- zJ

μοι• του V.N. Vaguten στο τεύχος Ια­ νουαρίου /Φeβρουαρίου 1998του ελ­

της ισούνται με

αν το a• • ι διαιρείται μe το ι4, τότε από

σώνουμε τους συντελεστtς των ίσων

σου με tην τιμή κάθε πολυωνύμου με

ναζητούμe eί,•αι / 1 = 2 + .J3 και t, = 2 - .J3, και επομένως σι συντελεστές

τελευταία πρόταση μι\σω επαγωγής:

= 4(4u - I ) - u = ιsu - 4. υ' = ~υ = (15u - 4)u = ι5υ2 - 4u = lt>(4υ - 1)- 4u = 56u - 15.

να βρείτε στο άρθρο •Ανόμοιοι δίδυ·

Έτσι, σι ρίζες της εξίσωσης που α·

Αποδεικνύουμe την

ναυμε αναγωγή ομοίων όρων και εξι·

παράδειγμα, μπορούμε να rιαρασtή·

αποτελεί, φυσικά, άμεση συνinεια ιων τύπων (I ).

14.

u• = ~u = t4u - l)u = 4~- u

ραιους ουνετελεσιές. ( Περισσότερα στοιχεία για τους συζυγείς μπορείτε

ληνικού Quanιum.) Το γεγονός αυτά

ότι, όταν το n είναι περιπό, τα 8• διαι ·

1/y+

ι /z)

= XJ'Z /R = - r {a, και επομένως

aιa -{r/ a)t + r • (t - a)(t' - r{a).

Pl:tJ = t 3 -

QUANTUM I ΠΟ ΜλΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 11

49


χ' + y' + z' = <χ+ y+ z)2

Έιοι, μ!α αιιό ιις ρίζες του πολυω·

a. Συνεπώς. έ · νας αοό ιους αριθμούς χ, y , z πρέπει να είναι ίσος με a. αχεραίων

u, v και

w

είναι μηδέν. Α­

οοδείξτε ότι ο αριθμός είναι

w

2u' + 2v' + 2w'

τειράγωνο ενός ακεραίου.

Λύση. 'Εοιω Ρ( Ο= ι' + pt' + qι + r ένα ηολυώνυμο με ρίζες

ν και •ν.

u,

Σύμφωνα με το θε~ψημα του Vi~te,

μενσ πρόβλημα, ηα!ρνουμε

Συνεπώς.

-τΑιJ - 3q) = (χ+ y + z)(x' + y 2 + z2 - xy - γz - zx).

θεύσουν). Παραγοντοποιούμε τώρα το

2u' + 2ν' + 2Ιν' + 2q(u + ν• + w ) =Ο 2

(χρησιμοποιήσαμε ιη συνθήκη u

+ •ν =0). Όμως,

+

ν

u' + ν' + w' = (u + ν + w) 2 - 2(xy + yz + zx) = -2q.

Απάντηση. (1,

a+b+c -e: Vabc,

!3>

2u' + 2ν' + 2w' = (2q)

x;rz

που συνδέει τον αριθμητικό και τον

{

αριθμών. Αρκεί να θέσουμε στην α­

y' + z'- 3xyz

προβλήματα ανισώοεων. Ιδού μερικό

λυώνυμα για να λύσουμε συστήμα­

παραδείγματα.

τα εξισώσεων.

Πρόβλημα 11. Οι αριθμοί u, ν,

9.

Λύστε το σύστημα

y

και

Λ όση. Συνεχίζουμε να εφαρμό­

ζουμε τις μεθόδους που έχουμε ανα ­

w,

-

• r + pt' + qι + r. Σύμφωνα με ιο θεώρημα του Ρ "' -{χ+ Υ + .z)

z>

-

2

y,

ιν ~ z.

P(t)

= (t - x)(t - y)(t - z) ; t' + pt' + q!+r,

και

Q:t) = (t - U)( t - ν)(t t' + pt' + kt + r

=

Viete,

w)

(σύμφωνα με το θεώρημα του Vi~te,

= - 2,

οι σταθεροί όροι και οι συντελεσtέc;

q • xy+ y.z+ .u _ (χ+ y+z!• -ιr +

= χ, ν=

w.

νυμα

πολυώνυμο: =( ι - χ)( ι - y )( t

u

νS

Λύση. θεωρούμε τα δίιο πολυώ-

πτύξει και αρχίζου με θεωρώντας το

τού

y•+z'>= -s.

t' σe αυτά

τα δύο πολυώνυμα

πρέπει να είναι ίσοι). θι!τουμε R( u) = P\t)-

Q(t) = !q -

kιt.

Για να υπολογίσουμε το συντελεστή

r,

ηολλαηλαοιάζουμε τις εξισώσεις

του συστι)}Ιατος με

του

στοιχα, και τις προσθέτουμε. Αφού

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

ιιια νοησιούν τις επόμενες

Αnοδεiξτε ότι

P\t)

w,

σχέσεις:

Αν λάβουμε υπόψη μας τους τύπους την ταυτότητα

z

xy.z = uvw, O<u S x S y S z S w, us

Ας nροοθtοουμε tΙς ανtiσιαιχες ισό­

ViHe (2) καΙ

χ,

χ + ~V + % 5 υ + ν+

+ qt + r με ρίζες τα χ, y, z (δηλαδή, Ρ\ χ) = Ο, P\y) = Ο, P\z) = 0).

z'+pz' +qz+r=O.

=

χρησιμοποιήσουμε τα βοηθηt~κά πο­

ι• + pt1

χ' + px' + qx + r = Ο, y' + py2 + qy + r = Ο,

=

+ Ζ Χ.Υ+ J'Z +ZX χ' + y 3 + z' 73 Ι 8.

ασδεικνύειαι καιάλληλη σε πολλά

μων .

τητες:

=1

Ας δούμε τώρα ηώς μπορούμε να

ως γινόμενο δύο άλλων οολυωνύ ­ Λύ ση. θεωρούμε το πολυώνυμο

3, - 2),

Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε α ­

πρόβλημα το οποίο εμφανίζεται συ­ χνά σc μαθηματικές Ολυμπιάδες.

y. z

Ο,

νισότητα (3) χ = 'Vϊι,y = ifE και z= Vc.

να χρησιμοποιήσουμε στο επόμενο

οολυ~ινυμο των χ,

- 2, 3),

10. Λύστε το σύστημα

Χ+ y

8. rρόψτε το επόμενο

και

των εξισώσεων

3

Μια παρόμοια τεχνική μπορούμε

Πρόβλημα

-2,

(-2, 1, 3), (-2. 3, 1). !3, 1, - 2), (3, -2, 1). Πρόβλημα

των εξισωοεων 2

ι - 6>.

3.

αποδείξαμε έπεται η ανισότητα

Πρόβλ,ημα

Επομένως,

(6t - 6)

Συνεπώς οι ρ!ζες ισυ είναι ι.

γεωμειρικό μέσο ιριών μη αρν ηιικών 2

f> - <t' - t ) -

= (t - 1><t'

y>' + ιy - zι' + ιχ - z>' <?οι

2u, 2v και 2w,

Παίρνουμε

P\t):

+ y' + z' - xy - yz - zx

Επσμiνως από την <αυτότητα nου

ανιίοιοιχα, και ιους προσθέτουμε.

αναγνώστες μποροuν να το επαλη­

P\t) = (t' -

εiναι μη αρνητική (αφού

θι!λουμε να δημιουργήσουμε την παράσταση που δiνειαι στα πρόβλη · μα, και tτοι πολλαπλα01άζουμε αυ­

P(t) =

ναι ρίζα αυτού του ιιολυωνύμου (οι

Παρατήρηση. Η ποοότητα

ι χ-

t'- 2t'- 5ι + 6.

ΔιαnισΊώνουμε ότι ο αριθμός 1 ε!­

χ'+ y' +z3 - 3xyz= χ'+ .Y'+i'+ 3r =

χ'

r s 6 και

Ρ( ι)-

και επομένως

v' + qv + r= Ο, w"+ qw+ r =O.

χ' +

~- 10 - 28 + 20 = - 18.

χ'+ .Υ'+ z' + /ΑΡ1 - 2q) - pq + 3r =Ο,

Επομένως,

τούς τους τύπους εni

- 3r = 2q+ 14p + 20

οου χρησιμοποιήσαμε στο nροηγού ­

ρ •-(ιι+ ν+ w) ~ O.

u' + qu + r ~Ο,

P\yl = Plz>= Ο, παίρνουμε

- 2\ xy + yz + zx) = ιJ - 2q,

νύμου Ρω ισούται με

Πρόβλημα 7. Το άθροισμα τριών

Ρ\χ) =

p, q και 1,

αντί ­

Τότε,

R(u) = Ρ( υ)= (υ - x)(u - y)(u - z) S Ο. Από την άλλη πλευρά,

R( υ) = !q -


k\t και επομένως q- k

~Ο. Παρόμοια,

R\w) = J\w) = ( w - x )( w - y )(w- z) ~Ο, και συ,•εnώς q-

k ~Ο. Συμneραiνου­ με, λοιπόν, ότι q = k, και έτσι τα οολυ­ ώνυμα P\t ) και Qiιl είναι ίσα. Άρα. το σύνολο των ριζων τ.ους συμπίπτει. Ο ­ λοκληρώνουμε ιην απόδειξη λαμβά­

~υ=a - .Υ η-Υ η - z)so.

ΚΥΚΛΟΦΟΡΕΙ

Τελειωνονwς, παραθέτουμε μερι­ κά προβλήματα που αφορούν πολυώ ­

νυμα βαθμού μεγαλύuρου από τρία.

13. Λύστε το σύστημα

Πρόβλημα των εξισώσεων

νοηας υπόψη τις ανισότητες uου δi­ δονται στην εκφώνηση του προβλή­ ματος .

Πρόβλημα

χ~ + χ:+

12. tTo πρόβλημα αυτό

δόθηκε στην 25η Διεθνή Ολυμπιάδα ποδείξτe όιι για κάθε τριάδα μη αρνη ­ ποίους έχουμε χ

y, z,

ι, ισχύουν

οι εξής ανισότητες;

ΟS

... + χ: = n

• + •'~t• + ..• + χιι• :;;; n ..., χ. θεωρούνται

(εδώ, τα χ 1 , χ,.

μι­

γαδικοί αριθμοί).

xy + .rz + zx- 2xyz s 7 ! 27.

Λύση. Μπορούμε εύκολα να απο­ δείξουμε την πρώτη (αριστερή) ανισό­ τητα:

Ένας παρατηρητικός αναγνώστης θα πρόσεξε ότι όλα τα προβλήματα με

Παύλοc; Ιωάννου

τα οποία ασχοληθήκαμε αφορούσαν ..συμμeφικ(ι πολυώνυμα• -το ίδιο

Διεθνεις ΟΛυμπιάδες

είδος πολυωνύμων που συζητήθηκαν

xy+ yz + zx - 2xyz = xy(l - z) + γ2( ι

στη στr\λη

- χ) + zx 2: ο.

Γιο να αποδείξουμε τη δεύτερη ανισότητα Οεωρούμε το πολυώνυμο

yJ!t - z> =ι:'- f+ qt + r,

ναγρόψουμε την ανισότητα ως εξής;

q + 2r S 7 27. Έχουμε ότι

ι

Το παρόν σύγγραμμα dναι η πρώτη

Ασκήσει ς.

ι

Το όθροισμα του μήκους τω'· ακμών eνός ορΟογώ,•Ιου ηαραλληλe­ mnέδου είναι

αριθμούς χ,

y,

96 cm,

συνολική παρσυοlαση των θεμάτων όλων των Διεθνών Ολυμπιάδων Φυσικής που διορyανώθηκσν μlJ(ρι σήμιρσ. Το ζητήματα των 28 συνολικό διογωνιομών παρουοιόζοvrσι

το εμβαδόν της

επιφάνειάς του είναι 286 cm• και ο όγ&ος του 120 cm•. Υπολογίστε τα

1

3.

ανολυηώ και συνοδιύονrσι οπό ης λύοος τοοc; μι προτάσεις και υnοδιif,ιις.

Το βιβλοο οπεuθΙΙνεται αφ' ιvός οτοικ; μαθητtς των τιλευταJωv τό[μ,yοJ του λυιcεiου με ενδιαφtρον για πς

ι

Λύστε το σύστημα vων εξισώ­

σεων

Α ν κανείς από τους

z δεγ

υπερβαίνει το

1/ 2. τότε, από την ανισότητα αριθμη­ τικοιί-γεωμεφικοιί μέσου {3 ), παίρ­ νουμε

θετικές επισιήμις και στους φοιτητές

{

και επομένως αρκεί να δεiξουμε ότι

:;; 1/ 216.

πογκοσμlω<; προσπάθεια γιο

μήκη ιων ακμων τ.ου.

• ~2 =-s+2q+r = - 8+2(q +Zr} ΡΙΊ /2)

Φυσικής (1967 -1997)

tum.

2.

q =xy+ yz+ zx, r =-x~ Αςξα­

Jι )

τρία

Grsdus sd Parnsssum στα προηγούμενα τεύχη το11 Qusn-

1 . Αnοδείξtε ότι αν φ = (1/ 2)(1 J5 1. τότε φ• = 13 - 21φ.

Ριt> . (t- χ>< ι -

όπου

χ+ y

των θετικών επιστημών και των

+z = 1 χ 2 + y ' + z2 = 3 χ& + y' + z·Ι = 1.

πολυτι;χνικών οχολώv- αφ' rτtρου στους καθηγητές τους. οι οποίοι θα μπορέσουν να αντλήσουν ηολλtς ιδέις

Ωαραγοντοποιήσιε το πολυώ ­

4.

και να αξιοποιήσουν προτάσεις από τα

θέματα που πιριλσμβάνει.

νυμο

(Χ- y)6 + (y- zJ' + (Ζ- χ)'.

Ετrι σιιp6 •Ολvμπι6~ς• ιwκλοφσpούν ιj6η τα βιβλlα:

5. Οι θειικοί αριθμοί x,y, z, ικανο­ ποιούν τις ανΙοότηtες

1

- -χ +

,;2

1

1 -y+ 2 2 -z

3

,,..

χ1

για τους ο ­

+y + z =

'

:J}

χ: +χ~ + ... +χ:= n

Μαθηματικών της Πράγαςt1984J.J Α­ τικών αριθμών χ,

1 +X2 + ... +Xn

Χ

_ ( !)•_ 1

- 6

- 216.

Α ν τώρα ένας από αυτοιίς τους α­

ριθμούς είναι μeγαλiιτερος -τ;ου

1/ 2

(φυσικά. μnορεί να υπάρχει μόνο έ ­

νας τέτοιος αριθμός), ιόιε

• Βασiλιι:φ-Γεγκόροφ. Πσνινωστσχiς Μσθημοτιιdς ΟλΙJΙΙΠι66ιζ της ΕLLA.

ιryz > ι ,

(1961-1991). τόμ.

x+y + Z< l f x+ 1/y+ 1/ z.

Αποδείξ τε ότι ένας και μόνον ένας α ­ πό αυτούς τους αριθμοιίςείναι μικρό­

τερος του ι

(IJ

ΑΠΑΝ1ΉΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ι\ ΥΣΕJΣ Σ1Ή ΣΕ!\.

62

1ιcοι 2

Μ. Κλόμκιν. Μσθημσπιdς Ολvμπιό&ς των Η.Π.Α.

(197}-1986)

Εκ66ικ~ Κάrοπτpο Βιβλιcm<.ιΑιlο: ΙΠ>ά του βιβΑΙοu Πιαμαζόyλοu

S, Aθιjva, τηλ.: 3247785 ~ slte: www.katoptro.cr

OUANTUM I ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 11

51


ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠίΝΑΚΑ 11 1

,

Είδωλα υ

ευκρινειας

Ας εξαλεiψοuμε μερικούς ιικύκλοuς σύγχuσηςιι απ' το μυαλό μας Α

Dozorov

ΤΑΝ ΣΚΟΠΕΥΟΥΜΕ ΜΕ ΜΙΑ ΦΩ·

τε αυτήν εδώ τη σελίδα, έχετε επίσης

τογρaφική μηχαν ή και εστιά · ζουμε με ακρίβεια την εικόνα,

μιαν ε υ κρινή εικόνα του κειμένοιr!

κατ' ουσίαν φέρνουμε το οπτι •

σας προσαρμόζον ται αυτομάτως έτσι

κό είδωλο που παράγει ο φακός ακρι­

ώστε να βλέπετε ευκρινώς το εκ άστο · ιε αντικείμενο. Η ρύθμιση εκτελείται

βώς πάνω στο στρώμα του γαλακτώ ­ ματος του φιλμ. rια να εστιάσει την

Αυτά γίνεται δυνατό επειδή τα μάτια

χαλαροί. Σ' αυτή την περίmωaη, f ~ d' και Ρ ~ Ι / d'. Συνήθως, η απόσταση d' ανάμεσα στον κρυσταλλοειδή φακό και τον αμφιβληστροειδή χιτ{iινα εί • ναι περίπου 3 cm, οπότε f = 3 cm και Ρ~

33

διοπτρίες. Όταν ένα αντικεί ·

από τον εγκέφαλό σας με τη βοήθεια

μενο πλησιάζει το μάτι, Qι μύες πρα·

κn•ηματογραφική ταινία στην οθόνη,

των ακuνωτών μυών αου παραμορ ·

σαρμογής τίθενται σε λειτουργία: Μει­

ο μηχανικός προβολής r��έπει να κο·

φώνουν τους ευλύγιστους κρυσταλ­

ώνουν την εστιακ{j απόσταση του φά ·

ταφέρει το είδωλο να συμπέσει με το

λοειδείς φακούς των ματιών σας, μια

κού, σύμφωνα με τον τύπο των φα ·

επίπεδο της οθόνης. Εντούτοις, η έν ­

διαδικασία η οποία είναι γνωστή ως

νοια της ειrκρίνειας καθίσταται κά ·

προσαρpοyή. Ως aποτέλεσμα, το ο·

κώΨ ο φακός γίνεται κυρτότερος. Όταν ένα αντικείμενο τοποθετείται

πως aσαφής όταν δεν απαιτείται οθό ·

nτικό είδωλο σχηματίζεται πάνω στον

στην ελάχιστη απόσταση άνετης όρο·

νη \'Ια την παρατήρηση (εrιί παραδείγ·

αμφιβληστροειδ{j σας χιτώνα (τη βιο ­

σης (στα

μα τι, όταν το αντικείμενοnαρaτηρεί ·

λογική ><οθόνη•), οnότε η όρασή σας

σχύς του φακού ανέρχεται σε

ται διό γυ μνού οφθαλμού).

είναι ευκριν ής (Σχήμα

πτρίες.

Ας εmχειρήσουμε ένα απλό πείρα . μα. Κοιτάξτε έξω από το rιαράθυρο. Τα απόμακρα ανnκείμενα παρουσιάζο ­ νται ευκρινή. Τώρα κοιτάξτε τα αν τι· κείμενα που απέχουν από εσάς μόλις

1).

25 cm

περίπου), η οπτικί) t·

37 διο ­

Με άλλα λόγια, αν και η απόστα­

~Μια περαιτέρω μείωση της απόστο ·

ση d tΟυ ανtι κειμένου μεταβάλλεται,

σης ανάμεοα στο αντικείμενο και στα μάτια αναγκάζει τους μύες προσαρ­

η uπόαταση dΌνάμεσα στο φακό και το ε.ίδωλο (τον αμφιβληστροειδή} πα ·

μογής να τ;εντώνονται υπερβολικά.

ραμένει σταθερή. Τούτο καθίστα cαι

Υπ' αυτές τις συνθήκες, αδυνατούν

μερικά μέτρα. Η ευκρίνεια είναι και

δυνατό μόνον όταν η εστιακή από ­

να λειτουργήσου ν αποτελεσμα τικά,

πάλι υψηλ ή. Επιπλέον, όταν διαβόζε·

στ{Ιση

του κρυσταλλοειδούς φακού

οπότε το είδωλο δεν εστιάζεται ολέον

μεταβάλλεται σύ μφωνα με τον τύπο

στον αμφιβληστροειδή και καθίσταται

:R

f

των φακών:

• ••

αΗικcιμcvικ6ς ι

d

1 d'

('

I d

1 d'

προσοφθάλμιος

1

- +- ~ -

Α

ή - +- = Ρ

r d

d'

όπου Ρ~

1/ f

είναι η οπτική ισχύς ταυ

φακού. Όταν η εστιακή απόσταση δί­

Σχήμα

1

Ο σχημαrιομ6ς wυ eιδώ.lου οιον αμφιβλη­ σrροειδιj Χ1rώνα rου μαrJού. Φαivονι-αι ιc α­ vnκείμεvο Ο, ο κρυσταλλοcιδής φακ6ς και ο αμφιβλησrροειδής ΧΙ<fδ••ας R.

52

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I Δ.ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

νεται σε μέτρα, η οπτική ισχ ύς εκ · φρόζεται σε διοnτρίες. Όταν

ro μάτι βλέπει &να απόμακρα αντικείμενο 0 /d -+ 0>, οι μύες προ · σαρμοyής ουσιασuκά παραμένουν

Σχήμα2 1Q οπηκό σύσι-ηpα ενός μJκpοσιcοπίQ~ι. Το μάrι cου παρατrr>ητήβλέπcι ro μeγeθυσμέ· vo και αvεσr.ραμμέvο φαvτασrυcό εJ'δωJ.ο Α'Β' rου αντικειμένου Α8.


αοαφ(ς. Εφόσον οι μύες προσαρμογής

πρtπει να αλλαξει θέση έτ01 ώστε να

είναι αρκετό ισχυροί. η οστική ισχύς

ικανοηοιούνταJ οι απαιτήσεις των

μπορεί να αυξηθεί ώς τις 43 διοπτρίες,

rad. Σuνηθως παροιηραυμε ένα ανrι­

έιιn ώστε το μδ n να μπορέσει να δει

μυών προσαρμογής. Οι συνθήκες ου­ τές εί,•αι γνωο τές το είδωλο ορ(οε-ι

ένα ανnκtiμενο σε απόσταση μόνο

10

να ιοποθετηθεί οιην ελάχιστη από­

cm. Σ' αυτη την περίπτωση. οι οολύ

όνειης όρασης ι.= 25 cm. Σ' αυτή την

σταση ίι νeτης όρασης. Εάν αnομαιιρύ ­

μικρtς λen ιομέρeιeς μπορούν να δια ­

νουμε απλώς το μάτι μας αοό τον προσοφθάλμιο φακό, οι περισσόcερες

περίmωοη, η μέγιστη διάμετρος του δίσκου είναι

κριθούν οαφtστερα, αλλά πολιΙ γρή­ γορα cιιtρχεται κόπωση των μαttών. Έτσι, η αrιόοιαση άνετης όρασης α ­

φωτεινές ακτίνες αοό ιο είδωλο δεν

ντιστοιχεί στον βέλτιστο συνδυασμό,

σμα η ιιροβολή σιον ομφιβλησφοει ­

δηλαδή όταν οι μικρές λεmομέρειες

δή να υrιοβαθμιο ιcί τόσο αnό άποψη

του αντικειμένου διακρίνονται σα­

πεδίου όσο και από ίιrιοψη λαμηρότη­ τας. Συνεπώς, είναι πολύ προτιμάτε·

φώς χωρίς α υ ~ό να σ υ νεπ ιφέρει υ­

περβολικό τέντωμα των μυών προ­ σ aρμογής.

κείμενο από τφ• ελάχιστη απόσταση

2r = ι,εφα Ξ! ι,α Ξ! 76 . 10. cm

θα προσπέσουν στο μόιι, με αποτέλε­

ρο να μεταιοπίοοvμε ιο είδωλο α"τί

Ας εξεtlιοουμε ιώρα ι ην ιιερίπτω­

του ματιού. Τούιο μπορούμε να το ε­ πnύχουμε ευκολα μεταβάλλοντας

ση όπου ια μlιτι επιβοηθείται από ένα

την απόοιοοη ανάμεσα στον αντικeι ­

σύστημα φα κ ω'' -από ένα μι κρο­

μενtκό και τον προσοφθάλμιο φακό.

οκόπιο, ας πουμε. Το οπτικ ό σύστη­

Autlι ακριβώς κάνουμε όταν ρυθμί ­

μα ενός μικροσκοπίου O)(tlllαtiζει το

ζουμε to σύστημα ιων φακών για ,.α

μεγεθυσμένο φα νταστικό είδωλο Α'Β'

αυξήσουμε την ευκρίνεια.

ενός αν11κειμένου ΑΒ <Σχήμα

του είναι σαφές) εφόσον το γωνιακό του μέγεθος είναι περίπου Ι' : 3 · 10-<

2). Ό­

Ώς τ~Jρα έχουμε υποθέσει σιωπη­

ταν κοιτlιζουμε ένα αντικείμενο μέσα από ιο μικροοκόrιιο, ιυχαίνει ενίοιε

ρά πως το αντικείμενο είναι επίrιεδο. Στην rιρογμστικότητα, όμως, τα πε ­

να μην το βλέπουμε καθαρά (η ευκρί­

ρισσότερα ανιικeίμενα είναι φιοδιά ­

νεια της εικόνας είναι χαμηλή). rια

στοτα, αν και το είδωλά τους σε ο­

ποιο λόγο όραγε το μάτι αδυναuί να

ποιοδήποτε οπτικό σιΙοτημα είναι εm ­

σχηματίσει σαφές είδωλο σε τέτοιες

οεδα. Ας σχεδιάσουμε τα είδωλα των ση­

= 0.075 mm. Έστω όtι ια οημείcι Α και μα

3)

C (Σχή­

προβόλλοντuι στην οθόν η ως

κύκλοι σύγχυσης με ιην ίδια ακτίνα r. Σε αυτή την περίπτωση. το πλάτος της περιοχής όrιου οχημαιίζονται ευ­ κρινη είδωλα (η απόσταση μεταξύ των

ακραίων εnιπtδων ειιί των οποίω" τα σημεια Α και Cείναι δυναιόν να προ­ β,\ηθούν ως σημεία αντί ως κύκλοι ούyχυοηςΙ ισούται με

_2rι _ u.α

ι, +ι. --~ --.

D,

D,

όπου με Lουμβολίζουμε την απόστα­ ση μεταξύ του φακού και του αντι ­ κειμένου και με

D,

τη διάμετρο του

φακού. Αυτή η τιμή αναφέρεται ως το βάθος εστίασης (ή βάθος ευκρινούς α­

περιπτώσεις; Και ιι συ μβαίνει όταν ρυθμίζουμε το μικροσκόπιο ώστε να

μειων Α, Β και

αυξήσουμε την ευκρίνεια; τι ακριβώς

μένου. τα οιιοiα βριοκονιαι σε διαφο ·

επιτυγχάνουμε μετατοοίζοντ~ς τον

ρεuκές αποστάσεις από το φακό ΙΣλ'ή­

ηος δείΧ'•tι ότι το βάθος εστίασης εi ­

προσοφθάλμιο φακό του μuφοσκο ­

μα

ναι αντιστρόφως ανάλογο με το εύ ­

nίου:

πιπεδο σια οποίο κεί,•ιαι ιο ιρία εί­

Ο λόγος έγκειtαι στοόu το σύστη ­ μα tων φακών οχημαιlζει το φα\'τα­

σηκό είδωλο πολυ κοντά στο μάτι· συνεπώς, είτε

co

μάτι είtε το είδωλο

Α'

c

:' ιt

ι

'

:

2•

L Σχήμa3 Πώς ro ανοΙyμα rηι: δiομης εuηρeά{eι ιο

31. 1Ό

C του

ίδιου αντικει ­

παρο.\ληλα προς το φακό ε­

δωλα δεν ου μιιίπιουν. Εά,- η οθόνη

ιιεικο,,iοcως)

κοι δεν uρέηε ι να

ουγχέειαι με ιο βάθος πεδίου. Ο ιύ ­

ρος ιης δέσμης. Εφόοογ το κάθε σημείο του Ο\"Π ­

τοnοθεrηθεί έτσι ωοιε ιο είδωλο του σημείου Β να είνοJ σαφtς. τα είδωλα

κειμένου αηιοιοιχεί σε ξεχωριστό

των σημειων Α και C δεν θα εμφα­ νίζονται ως σημεία αλλά ως δίσκοι

σημαντικό αυτοί οι κύκλοι να μην ε­

-γνωστοί ως •κύκλοι σύγχυσης•. Το

κλοι δεν εn ικαλιlιιτονιαι, γίνονται

μέγεθος του κύκλου ού γχυοιJς συν ­ δι'.εται με ro μ έγεθος του φακού: όσο

αντιληπτοί ως διαφορετικές οντότη­

μικρότερη είναι η διάμειρος του φα ­

τt το οπτικό σύοιημα διακρίνει αυτό

κού, τόσο σαφέστερα παρουσιάζονται

τα δύο σημεία. Α νrιθέιως, όταν οι κύ­

τα είδωλα Α' και C'. Συνεπώς. οι στε­

κλιΗ υ περιίθcνιοι, ιο είδωλο που

νές φωιεινές δέσμες αποtελούν ια

προκύπτει α11οtελείrοι οιιό μία ενιαία

καλύτερα •εργαλεία • για να εοτια­

από το φακό. Με άλλα .\όγια, μειώνο ­

κηλίδα, ή, με άλλα λόγια, το σύστη­ μα δεν διακρίνει ια σημεία. Η μciω­ ση της διαμέτρου ιου φακού οδηyεί σε μικρούς κ υ κλου ς συyχυσης και, επο­

ντα ς τη διαμετρα της φωτεινής δέσμης

μεΥως. σε αυξηοη ι ης διακριτικ ής

Ιιο άνοιγμα! ε πι ιυγχόνουμε βελ ι ίω­ ση του βάθους εστίασης. Τι σημαίνει

ικα\•όtητας. Εάν η διάμειρος ιου φα­

όμως αυτό;

νοτητα γινεται χαμηλη, και αντί ενός

οουμε τα είδωλα σημείων οου βρί­ ο κονιαι oe διαφορeιικtς αποστάσεις

rtΙκαλύιrτnνcάl. Εάν οι γειτονικοί κύ­

τες. Σε αυ τή την tιερίιι τωοη, λέμε ό­

κου είναι μεγόλη, η διακριτική ικα­

οφέροιιv tilk•λa οιψιι.Ιόrι:ρης ειικρivcιαςοrα

γυμνοίι οφΟαλμού, ο δίσκος γίνειαι

ευκρινούς ειδώλου παίρνουμε μια ασαφή κηλ ίδα. Συνεπώς, η ελαχιστο­

σrιμriα Α και

ονrιληnτός ως ένα οιuιείο t ιο είδωλό

ποίηση του ανοίγματος αποδεικνύε -

[kiθος ιοιlιισηι;. Οι οu:v6ιφcς liέσpcς προ·

C.

Όιαν κιινrίς βλι;ιιει fνα δίσκο διά

κύκλο συγχυσης στο ειδωλο, εi"αl

OUANl'UM I ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 111

53


tαι πολύ σημαντικl] προκεψένου να εmτ(ιχουμε ένα ευκρινές είδωλο του

ΚΥΚΛΟΦΟΡΟΥΝ

αντικειμένου.

Robert Ossermaπ

Σε κάθε οπτικό σύστημα, η διάμε­ τρος της φωτεινής δέσμης περιορίζε ­

Πανμιοτήμιο τοu Σtάνφορνt

ται εί τε από τα πλαίσια στι)ριξης των φακών ή από ειδικά διαφράγματα με ­

ΗΠΟΙΗΣΗ

ταβλητής διαμέτρου. Στο μάτι, το ρόλο

ΤΟΥΣΥΜΠΑΝΤΟΣ

αυτών των διαφραγμάτων τον παίζει η ίριδα, η οποία διαθέτει ένα άνοιγμα

Μια μαθηματική εξερεVνηση του Κόσμου

μεcαβλητής διαμ&τρου, την κόρη. •Το {Jι{JλiD αποτελεί μια εξαιικτική ειοοyωyιj

Εντούτοις, υπάρχει και η άλλη όψη του νομίομα τος: Η ελαχιστοποίηση

στην ομορφιά τωv μαθηιιαιιιιώv και στη σχlση

του ανοίγματος επιφέρει τη μείωση

τοvς με τον φvσικ6 κ6σμο.•

Roger Penr~.

της φωτεινής ροής που εισχωρεί στο οοτικό σύστημα. Συνεπώς, το είδωλο

στο Πανεmιπήμιο της Οξφόρδης

καθίσταται αμυδρότερο. Πάρτε γ1α

.Οι σαφέστατες εξηyήσcις και

παράδειγμα μια συνηθισμένη φωτο ­

προς τις προθtσεις >«•4 σvyχρόνως, α;rο).ύtως

σεις οι άνθρωποι φωτογραφίζουν μα­

προσωπικό. Το σιιvιστώ θερι,ιιi•

ιφινά αντικείμενα, οπότε τα προκύ­

στιακό επίπεδο του αντικειμενικοό φακοiι. Σε αυτή την περίπτωση, ο φω­ tισμός του ειδώλου

---{)

λόγος της

to πάθοςτοu

Osκmιan wθιστ01ίv το fJι{Jλlo τολμηρά ω;

γραφική κάμερα. Σε οολλές περιπτώ­

οτοηα είδωλα κείν tαι ακριβώς στο ε­

Καθη'(ηtής ιιαθημαηκώv

George Smoot, Καθηyητής ασφοφvmχής στο Πανεπισtήμιοτοu Μ.~tρχλεϋ

Πανόδετο, 5.500 δρχ.

<Μολονότι το φαις της επισrήμrι. και το φαις της τίχνης elvαι αδιαχώριστα και ίδια, οι

ψ:Jptίς τοvς μιλούν διαφοpεtικtς yΜισσες και μ6vσν οι άpισtοι ανάμεσά τοvς καtα·

φωτεινής ροής προς το εμβοδόν του

νοούν ότι ιιπηρετοlίv την Ιόια uπ6θεση. Το fJι{Jλlo τοu Ossemι~n πλοιιtι'ζιι την παράόσ·

ειδώλου- γίνεται ανάλογος προς το

ση της n>Οποι~ των όύο κ}.dδων μιλώντας τη δική τοu yλώοοα με εξαίρετη σαφή·

τετράγωνο του λόγου -της διαμέτρου

veια κα4 nροσιr6τηrα, κα.ι διώχνει μ.ο:κρι6 τσ. ~σνvνεφσ

,.,,.

Mιrk Helpήa

του αντικεψενικού φακού προς την εστιακή του απόσt{Ιση (ο αναγνώστης

μπορεί, αν θέλει, να το ελέγξει μόνος

Richard Feynman

cου). Ο λόγος της διαμέτρου του αντι -

Ν6μπε!. Φuσικής

' κεψενικου

.

.

φακου προς την εστιακη

του απόστασιι είναι γνωστός ιuςαριθ­ μός {.

ΕΞΙ ΕΥΚΟΛΑΚΟΜΜΑΙΙΑ Ανθολόγηση από τις Διαλέξεις Φvσικής

Συνεπώς, η αύξηση του βάθους ε­ στίασης οδηγεί σε μείωση της λα ­

<Αν μπόρούσe χάπσ<ο flιf!λlo να πr.ριλι'iβει ό,τι

μπρότητας του ειδώλου. Οι αντικει ­

αξ/tει να μttαyyίσοvμε στη νεότερη )'tVιι\

μενικοί φακοί υψηλών προδιογρα­

τwv tπιστημόν<ιιν, αυτό θα ήταν αναμφίβολο

φών προσφέρουν λαμπρά είδωλα υ­

τα "Κομιιάnα• από τις • ΔιαΜξεις"

ψηλής ευκρίνειας. σημάνουμε ότι πραγματευθήκαμε το

πρόβλημα του βάθους εστίασης και της διακριτικής ικανότητας περιορι­ ζόμενοι στο πλαίmο της γεωμετρικής οπτικής. Στην πραγματικότητα, σιι­ μαντικό επίσης ρόλο διαδραματίζουν παράγοντες όπως η περίθλαση του φωτός, τα σφάλματα των οπτικών συστιιμάτων και οι χημικές ιδιότ-ητες

ιου φωτοευαίσθητου στρώματος.

\11

Διαβάστε επίσης... ·Η τέχνη της

φωτογραφ/ος•, Νοέ μβριος / Δεκέμ­

βριος 1995, σ.

54

KOMMATIA .........

·-..""""

......... ~.......κ:

..

~ ,"""" ~

του Ft)'tιnuιn.»

Εν κατακλείδι, οφείλουμε να εm­

• M.L. Biermann,

ΕΞΙΕΥΚΟΛΑ

28-34.

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΈΜΒΡΙΟΙ 1998

Joho Gήbbίn , The Νιw &ienιisι •Πρόκειται yια σοq:ά επι!.tγμtvα χ~ίμtrο από τη σειρά των • Διαλέξεών" τοv tα οποία αποτελούν σvvαpπαιπιχd ανάγνωσμα yια κάθε άνθρωπο με αvησvχίες, αvιξάpπιτα από

RICHARD

Ρ.

FEYNMAN

το ιπiπεδο της επrστημοvιχήςtοv καtάρησης.»

Gordon Κ•••·

Καθηγητή;_ φvσιχής

Πανόδετο, 6.000 δρχ.

σrο Πανεπιστήμιο του ΜCτσιyκαν

«Η ανάγνωση τοv βιβλlον ισοόνvαμεl μt f.vό. αδιάκριτο κοltαyμα π6.vw από τοvς ώιιους του ΝεlίΊωνα χuι ωv Λϊνιnών· ο

Feynman στις χαλlίτφες σrιyμές τοu.•

Michio Κalω ΕΚΔΟΣΕΙΣ κάτοπτρο Βιβλιοπωλείο: Στοά τον βι.βλίοu (Πεσμαζ6γλοu 5), 105 64 Αθήνα. τηλ.: 3247785

ll'eb •ite: www.katopπo.gr


ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ

ΑΠΡΟΟΠΤΑ

ο Fibonacci είναι και πάλι εδώ! Τι κοινό έχουν ο Παρθενώνας και μια μαργαρίτα;

Elliott Ostler και Neal Grandgenett χου με στο τέλος του χρόνου, αν ξε­

ριών κουνελιών στο τέλος κάθε μήνα

προσφέρουν από οαλιό οtους

κινήσουμε από ένα ζευγάρι

του έτους:

μαθηματικούς ιιροβλήματα rιου συναρπάζουν τη σκέψη και βρί­

και αν όλα rα ζευγάρια γεν νούν κάθε μήνα ένα και ­

I

ΑΡΙ<:!ΜΗΤΙΚΕ;Σ ΑΚΟΛΟΥθΙΕ;Σ

σκουν ενδιαφέρουσες εφαρμογές στον

νούργιο το οποiο φτάνει

πραγματικό κόσμο. Μια ιδιαίτερη α­

οε ηλικία αναnαραγωγής μέσα σε δύο μήνες;

κnλουθία, η ακολουθία

Fibonacci,

έ­

χει εξαιρετικό ενδιαφέρον και είναι έ ­

λύσης nαp()υο ιόζο­

φασiσαμε λοιπόν να καταγράψουμε

νται στο Σχήμα 1. Παραη]pήστε ότι το

φαρμογές αu τής της θαυμαστής ακο­

λουθίας. Μπορούμε να παραγάγουμε εύκο­ σουμε τους δύο πρώτους όρους της ί­

της ακολουθίας Fίbo-

συ,•εχίσουμε προσθέ­

κα μήνες θα έχουμε συνολι­ κά 233 ζευγάρια κουνε­ λιών. Αφού η ακολουθία Fίbon acci είναι άnειρη, μπορούμε εύκολα να βρούμε το πλήθος των ζευγαριών έπε ι tu α· πό οποιοδήποτε χρο­ νικό διάστημα.

να αντJσtοι χει

στοιις

1 και

''αι ότι έπειτα από τους δώδε ­

πλήθος ιων ζευγ αριών κάθε μή-

λα την ακολουθία Fibonacci αν θέ­ σους με

απάντηση στο πρόβλημά μας εί­

Οι πρώτοι μήνες της

να ιοχυρό μαθιιμαtικό εργαλείο. Αfιο­ λίγες μόνο από τις αγαοημέΥες μας ε ­

1, 1, 2, 3, 5, 8. 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Επομένως, η

όρους

Ο ~

συναρτη ­

σιακός συμβο ­ λισμό<; για την

cοντας τους δύο τελευταίους αριθ , ς της για να παρου ' ' μου με τον επομε-

naccι.

ΥΟ:

χουμε

πρώτη φο­

τα εξιiς πλήθη

ρό από τον

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. .... Η

ακολουθία ανακαλύφθηκε από τοΥ

Leonardo της Πίζα (γνωστότ;ερο ως Fibonacci ) σtις αρχές του 13ou αιώ­ να. Ήταν η απάντηση σε ένα διάσημο

ακολουθία

Έτσι έ ­

δόθηκε για

<'ν

K e pl eι·

ζευ-

το 1611. Την πε-

γα -

πλέον πρόβλημα που είχε θέσει ο ίδιος ο

Fibonacci,

το γνωστό ιuς

ρ I έ

.. J1ρόβλη ­

~ ο

μα των κουνελιώΥ•. Είναι το εξής:

.ι-

γρα -

Ψ ε

Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έ-

Σχήμα

1

Πο.~λαπλοοJαομός .ιωvveλ~t,)v κατά

Fibo-

nac:·ci. Ξι:κιηηίμι; σrην αp_;~ιί wυ lου μή"·α με t\'α ζι:υ}'άρJ κουνελιών. Σrο rέ.!ος

rou μήvα

έχουμε ακόμη μόνο ένα ζευyιiρJ , δJ ότι τα

κουνέλια μnopιιriv \'Ο tη•απαροχθούν μετd τον δεύrι:ρο μrjva. Mttά τ:ο ιtιtιχ ιου 2ου μt}να tχοvμε ιιλι'Qv δύο ζεtΙ}?άμια , διότι

ro

ιφώ ιο έ-χtι ψr6σeι αε η,ιικ1α α\•απαραγωyής (ενώ

ro &:ύrφο. ό,rr J.

1Ό Σ_rιjμα θα μrιοpού­

οε να εξακολουθήοtι ε_, · άJιL·ψοv.

" · J... QUANTUM I ΜΑθΗΜΑJΙΚΑ ΑΠΡΟΟΠΤΑ

57


Πίνακας

δέονται συνήθως με το διωνυ •

μικό θεώρημα και μπορούν ''α

1

προκύψουν οπό τους συ,· τε­

Αριθμός

Α κολοuθίες χωρiς

λεστές στο ονάmuγμο του τρι­ yώνου ιου Pascal. Αν παρατη­

Συνολικό

ρίψεων

διaδοχ1κες κcφaλtς

nληθοc;

ι

ΙΚΙ,ΙIΊ

2

2

( ΚΓ ), ( ΓΚ Ι, (!<Κ Ι

3

3

(ΓΓΚ ), (ΚΓΚ), (ΓΓΓ)

ρήσουμε nρσοεκ ιικό αυτό το

rρlγωνο, διαπιστώνουμε όtι η

πρόσθεση των στοιχεiων των διαγωνίων του παράγει την ακολουθiα Fibonaccί (βλ. Σχή­ μα

2).

ικrrι, ιrκη

5

Το γεγονός ότι η ακολουθία αυτή παράγετιιι από τις διαγω­

Σχήμα2 Οι &α }'ώνιοι [Ου rpιyώvoυ ζουν rην ακολοιιθιο

ως

ικrrrι, ιrκrr1.

νiους του τριγώνου του Pascal υπαδηλώγει ότι είναι πιθανόν

f. + f., I :

r.,

Pascs.J oxηpaa'.

γα βρεθεί και σης λύσεις των

8

προβλημάτων που συνδέονται

Pibonacd. ~ όοου

(ΓΓΚrJ, (ΓΓI'ΚJ, ικrκrι, ικrrκι. (ΓΚΓΚ), <IΠΓJ

4

r. Fibonacci, είναι 0 0-

με τη διωνυμική κατανομή. Ιδού ένα τtιοιο πρόβλημα:

ΟΟτι\ς όρος της ακολουθίας

ιΚJΊΊΊ'J, ιrκnτ1.

Ρίχνουμε έγα νόμισμα Ν

ιrrκrrι. ιrrrκn ατιτκΙ. ικrrrκ>,

5

ικrrκrι.ικrrrκ >.

ι3

r. = ι. Η ακολουθία Fibo-

φορές και καταγράφουμε στη

nacci εμφανiζε~αι σε πλήθος μαθημα­

σειρά το αποτελέσματα. Πόοες

τικών κλόδων και συνδέεται με μια

διαφορετικές ακολουθίες κε­

μεγάλη ποικ1λJα εφαρμογών. Στη συ­

φαλών και γραμμάτων μnο·

νέχεια παρουσιάζουμε μερικά nαρα­ δείγμα τα αριθμών Fibonacci στις οι .

ρούν να εμφανιστούν αν δεν μπορεί να έχουμε δίιο ή rιερισοότερες κεφα ­

nacci είναι

θανότητες, τη γεωμετρία, τις μετρή ·

λές ο ι:η σειρά;

ματα rιου ιιαρουοιάζουν τους αριθ ­

ι;,

= Ο κnι

ιrκrκrι. ιrκrrκι.

ατκrκι. ικrκrκι.

ιrrrrrι

η γεωμεφία. Σιο εrιόμεvο

παράδειγμα έχουμε τtσσερα διαyράμ­

σεις, την άλγεβρα πινόκω''• την αρχι •

Στον Πίνακα ι περιλαμβάνονται

μούς Fibonaεci να εμφανίζονται σε

τεκτονική και τα φυσικά αντικείμε ­

όλες οι δυνατtς ακολουθίες για κάθε

συνεχώς μεγεθυνόμενα άστρα πέντε

να .

συγκεκρφένο ολήΟος ρίψεων. Όπως

κορυφών, τα οι1οία κο ταοκευάζονται

πιeavότητες

βλέπουμε, η ακολουθία Fiboπaccί δi • νει το πλήθος των ζητούμενων ακο­

από κανονικό πεντόγωνα. Όταν το

Οι αριθμοί

Fibonacci cμφανiζονται

λουθιών. Μπορούμε έτσt να καθορί­

μήκος της πλευράς του αρχικού πε­ νταγώνου είναι tνας αριθμός Fibo-

σε ποικιλία nρcJβλημάτω'' πιθανοτή­

σουμe το πλήθος των ακολουθιών γtα

nacci

των και συνδυαστuιής. Πολλά κλα­ σικά ιιρcJβλήμαιιι αυτών των πεδίων

οποιαδήποτε πλήθος ρiψεων του νο-

καtα την κατοσκευη των αστρων πα -

μίσματος.

ράγονται nρσοεγγίσεις των aριθμώ,·

έχουν διωνuμJκή φύση -όπως, για παράδειγμα, τα προβλήματα ρίψης

. μεγαλύτερος ή. ίσος' τού 5. τότε

Fibonacci. Το Σχήμα 3 απεικο,·ίζει

rεωι,Jεtρία

την όλη διαδικασiα .

νομισμάτων. Οι κατανομές των λύ­

Μια άλλη περιοχή στην οποία ε μ·

Στο Σχήμα 3α σχεδιάζουμε ένα

σεων αυτών των προβλημάτων συν -

φανίζεται συχνό η ακολουθία Fibo-

φίγωνο μεταξύ των σημεiων Α, Β και C. Αποδεικνύεται ότι το μήκος των τμημάτων

λ

Β ·.

••

5 .' C ••

Β

ΑΒ είναι περίπου

λ

8. Στη συνι\χεια κατασκευάζουμε ένα

iJ

ίδιο τρίγωνο μεταξύ των σημείων Β, C και D. Προκύη<ει έτσι η πρώτη κο­

5

c

ρυφή <Ου όστραυ. Τα τρίγωνα

ABC

και BCD είναι !σα και συμμετρικό ως ορος το τμήμα

..

8 •• ••• 8

BC. Επαναλαμβάνοu ­

μe rη διαδικασiα για τις υπόλοιπες

Ί

D α

AC και

πλευρές του αρχικού πενταγώνου

D

β

γ

δ

και δημιουργούμε το Σχήμα 3β. Σε αυτό το οημeiο μπορούμε να δια­

Σχήμα3

πιστώσουμε ότι τα μήκη των πλευ ­

Η αιcολουθiα Fibon•«i σ-τα σποrελέσμαrα ιης μtrpησης διαδοχικών nεvταyώvωv και iJσφων. Εnιοημοfvουμε όn η σχέση εί\·αι προσeyyισοκή. λφοι) η yωvia ABC ισούται ρε

ρών που προκύπτουν προοεγγίζουν τους αριθμούς Fίbonaccί. Στο Σχήμα

'12" και Α θ• 8, r6ιε θο έιψι:πc rοσυν72' να ισούται με rολόγσ 2,6:8 10,3125!. Στην npa)'· μαrικ6rηια, ro ουvημlΊ-οvο r.ωv 72(t ιοούtαι με 0,309017. Αν Χ/)ηοιμοnοιιjσουμe μεyαλύ· rιραυς αριθμούς F'ίbonoccί, όπως rov 89 και rov 144, ο λόγος που προκύπτει (0,309028) nροοεγγ/ζtι καλύα-ρα το ουv72'.

58

ΗΟΕΜΒΡΙΟΣ I .Δ.ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

3y

παρουσιάζεται το νέο πεντάγωνο

που δημιουργείται αν ενώσου με τις κορυφές του άστρου. Το μέτρα των


Πίνοκος2 Χιλιόμετρο

1),.(<2+1) (2 + 0 )) ο (1+1) {1+0) I

I

2

3

5

8

13

21

34

55

-

Μίλια

1

1

2

3

5

8

13

21

34

·-

Λόγος

1

2

1.6 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617

...

=(~η 1,618

πλευρ~\ν cου προσεγγίζουν επίσης

πλός και αρκετά ακριβής πίνακας με­

αριθμοuς Fίbonaccί, όχι όμως με από·

τατροπής μιλίων σε χιλιόμετρα (Πί­

λυτη ακρίβεια. Αν εrιαναλάβουμε τη διαδικασία που εφαρμόσαμε στο Σχή­ μα 3α, μπορούμε να καωοκευάσου •

νακας

με ένα νι\ο άστρο από το πεντάγωνο

1)= ( (3+2) (3+0>) (2 + 1) (2+0>

ο

2).

Αρχιτεκτονική Ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών ό ­

του Σχήμα τ~ 3γ. Δημιουργούμε έtot

ρων της ακολουθίας

ι'ιnειρα άο φα και πεν τάγωνα με μήκη

ναι χρήσιμος μό νον ως συντελεστής

πλευρών που προσεγγίζουν με όλο

μετατροπής. Ο λόγος αυτός είναι ένας

και μεγαλύ τερη ακρίβεια αριθμούς

διάσημος αριθμός που συνήθως ανα ­

Fibonacci -με την προϋπόθεση ότι το μήκος πλευρι'ις του αρ)(ll<ού nενw • γώνου eίναι ένας αριθμός Fibonacci μεγαλυτερος ή ίσος τού 5.

φέρεται ως •χρυσός .\όyος•, ή •χρυ��ή

+3> <5+ο>)

ι )~ (<5

Fibonacci δεν εί •

ο

(3 + 2) (3+0)

τομή•, και έχει επφεάοει σημαπικά

Παροτηραύμε ότι όλοι οι αριθμοί

την αρχιτεκτονική και τηγ τέχνη. Ο

λόγος αυτός, που συχνά συνδέεται με

που περιι!χονται στους παρο γόμενους πίνακες είναι αριθμοί Fibonaεci, αλλά

το καλούμενο •χρυσό ορθογώVJο•, έ •

ιδιαίτερα το πάνω αριστερό στοιχείο

χει οuναρπάοει τους λόγιους όλων

κάθε πίνακα (τυπωμένο έντονα) μας

Στο πεδίο των μετρήσεων η ακο­ λουθία Fibonaccί μπορεί να χρησιμο­ rιοιηθεί ω<; ένας αιιλός rιίνακας μεtα •

των εποχών. Ο Παρθεγώvας ταιριά • ζει μέσα σε ένα χρυσό ορθογώVJο -οι διαστάσεις του συνδέονται με τον χρυ­

δίνει τους διαδοχικούς όρους της α ­

τροπής μΙλίων σε χιλιόμετρα. Μπο­

σό λόγο (Σχήμα~ ). Το λόγο αυτό βρί ­

ρούμε να χρηοψοποιήαουμε δύο δια ­ δοχικούς όρους της ακολουθίας για

σκουμε και σε πολλά άλλα αρχαία και

Μετριiσεις

να μετατρέψουμε ένα πλήθος μιλίων σε χιλιόμετρο. !Ία παράδειγμα, λια eίναι neρίπου 5 χιλιόμετρο,

κολοuθίcις.

Φύσn Έχει παρατηρηθεί ότι οι αριθμοί

Fibonacci συνδέονται άμεσα με τις έ­

σύγχρονα κτίρια.

λικες που εμφα,•ίζοντοι σε φυσικά Q•

I1MICWV

3 μi­ 5 μί­ λια είναι περίnο\1 8 χιλιόμετρο, 8 μί • λια είναι πeρίπου 13 χιλιόμετρο, κ.ο.κ.

Σε ένα πeριοοόι:ερο θεωρητικό επί· πεδο, ανακαλύπτουμε την ακολουθία

ανανάδες και τα άνθη της μαργαρίτας. Το Σχήμα 5 παρουσιάζει τον τρόπο με

Fibonacεi σε συγκεκριμένα προβλή­

τον οποίο εμφανίζονται αυτοί οι αριθ­

Αυτή η μέθοδος μετατροπής είναι δυ­

ματα γραμμικής άλγεβρας. Για παρι'ι ­

μσi στα περισσότερα άνθη μαργαρίτας.

νατή διόtι ο λόγος μεταξύ δύο διαδο­

δειγμα, η ακολουθία αυτή παράγεται

Τα μεμονωμένα aνθύλλιο δημιουρ­

χικών αριθμών

κα­

όταν υψώνουμε στη η-οστή δύναμη

γούν δύο είδη ελίκων -ένα σύνολο

θώς αυξάνουν οι αριθμοί) και ο συντε­ λεστής μετατροπής μεταξύ μιλiων και

έναν συγκεκριμένο 2χ 2 οiνακα. Αυ­

δεξιόστροφων και ένα σύνολο aριστε­

τός ο πίνακας έχει τρία όμοια μη μη­

ρόστροφων. Το δeξιόσ φοφα περιέχει

χιλιομι!τ~)ν ( ι,609) είναι σχεδόν ίσοι.

δενηιά στοιχεία στις τρεις πρώτες θέ·

Fibonacci. Το α ­ ριστερόστροφο περιέχει 34 έλικες -ο

Fibonacci ( 1,618

Η διαφορ{ι τους είναι ίση μόλις με

0,009 και

νnκείμενα όπως τα κουκουνι'ιρια, οι

σεις και μηδέν στην τελευ~αία:

έτσι η ακολουθία Fibonaccί

I \:::f

έλικες -αριθμός

επόμενος αριθμός Fiborιacci.

μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένας α-

---

21

Αυτό το διιιλό ελικοειδές μόρφω­ μα στο οποίο εμφανίζεται ο λόγος Όλοι οι παραγόμενοι πίνακες πε­

ριέχουν αριθμούς Fiboπacεi. Iδού οι παραγόμενοι πινακες όταν υψώνου­ με τον αρχικό πίνακα σ..-ην πέμο..-η δύναμη:

21:34

(δηλαδή ο λόγος δύο διαδοχι­

κών αριθμών

Fibonacci), υπι'ιρχει ι<αι

στα κουκουνάρια των πεύκων {όοου

ο αντiοιοιχος λόγος είναι

5 :8)

και

στους ανανάδες (όπου ο λόγος είναι

8:13).

Η ακολουθία

Fibonacci

εμφα ­

νίζεται και σε πολ.\ά άλλα μορφώμα·

1)-((1+1) 0+0)) ο {1 + 0) (1 +0)

Σχήμο4 Ο Παpθενιfιvος μίοα

oc

Cvά opθoy.-.:ιvJo OJ

SιaoιιiotJς r:ου οιιοlου οχημοrί(ΟU\' {Ον χρυσό λόyο.

=(~σ

το φυτών, όπως στα φύλλα της κερα ­

σιάς, στα πέταλα της τουλίπας και στα μεγάλα κλαριά της ιcιός. Στο όρθρο αυτό εξερευνήσαμε λί­ γες μόνο από τις εφαρμογές της α-

QUANfUM I ΜΑθΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΡΟΟΠΤΑ

59


Η γενική θεωρία της Σχετικάrητας, yια τρυφεροιίς αvαyvώσrες

β

α

γ

Σχήμα5 Οι ιψιθμο/ fΊbtιnaccl 21 κ οι 34 eμφαvίζο>•ται στn διπΜ r,Ιικοrι/1<'ς μι!ρφtομα <>•ος ιivθους μαpyαρr,ας ο υιό ((ι J αιιιΗtλειιαι συνήθωc από 21 δι{ι6οφοφιc tι\rκrς rβι κnι αnό 34 αρι­ σr~ρόq~rμ

__

κολουθiας F'ίbonaccί ο ια μαθηματ~κά.

καφια να ερcuνηοουν κω να ιιαρου

Η εμφάνισή tης στον κόσμο της τέ­

σιάσουν πληροφορίες για διάφορες

χνης είναι εξίσου εντυπωιnακή. Αυιή η ακολουθία, και ο συνδεόμενος μαζί

εφαρμογές της ακολουθίας Fibonacci. Παρ' όtι μερικοί οκεπηκιστέι; μαθη­

της χρυσος λόγος, βρίσκεται σε eνα

μα ηκοί μπορεί να πΙστείιουν όπ τα

nληθος κλασικών eργων -για nορά ·

προβλήματα αριθμητικών σειρών δεν

δειγμα σιους 11ίνοκες του Λεονάρντο

συνδέονιαιιδιοίιερα με τψ πραγμα ­

Βίντσι. Το 11λήθος των περιοχών

tlκή ζωή, η ακολουθία Fibonaεcί απο­

Οι μαύρες τρύπες και

στις οποίες εμφαγίζεται δεν μπορεί

δεικνύει ξανά και ξανά όη τα πράγ ­

11αρά να αυναρηάσει οηοιογδήποτε ε­

ματα είναι διαφορετικά!

ο θείος Αλβέρτος

''ta

·

____ .,.__.,..

Russel Stannard

Ctl

ρευ,•ή<ιει έστω και λίγο το ζήτημα. Οι μαθημοιικ~ς ιης εφαρμογές κω μόνο

είνω τόσο πολλές ώστε ένα ολόκλη­ ρο Βεριοδικό, ιο

Το διασιr.)J.όμενο Σ~μnαν, ο καιuruλω­ Q Συ••έχcια οιιό ιη σcλ.

μtνος χώρος. οι μαύρες τρύnες που χιtτα­

35

βρσχθι'ζοvν τα πάvιιι, η επιτάχυνση της ρο­

F'ibonacci Quarterly.

Η εηανάληψη του πειράματος με

ής του χρόνου. το κ(τρtνο φως που tiναι

είναι αφιερωμένο αποκλειστΙκά σε

διαφορε~ικό ηηνία δείχνει πως, με

μιιλε και κόκκινο. η ιυθι\γρ<ψμη διαδρομή

αυτές.

την ιιροurιόθεοη ότι η ένταση του

Για ιί εμφανίζεται τόσο συχνά στον κόσμο μας η ακολουθια

ρcύματος 11αpομένει σταθερή σε όλες

F'ibonacci; Οι

τις δοκιμtς. η μeιαιόπιοη Δ.~ ιης υ·

μαθηματικοί δεν tχουν ξεδιαλύνει α ­

yρής στήλης είναι ευθέως ανάλογη με

κόμη το μυοτηριοι. Ίοως δεν κατανο­ ήσουμε ποτ.t πλήρως γιατί είναι τόσο

το συΥteλεοτή αυτeπαγωγης L. Τώρα, δεν απομένει παρά να βαθμονομή ­

διαδεδομένη αυτη η ακολουθία ή ο

σουμε τη συσκευή μας χρησιμοποι­

χρυσός λόγος, αλλά σίγουρα η ακο­

ώντας ένα πηνlο γνωστού ουνttλε­

λοιιθlα Fίbonaεcί είναι ένα μαθημα • ηκό φαινόμενο rιου αξίζει συνεχή με ­

στή aυτεπαγωγής για να ολοκληρώ ­ σουμε το αυτοσχέδιο μαγνητόμετρό

λέτη και ιδιαitερη εκτίμηση.

μας.

Γνωρίζουμε λίγους μόνο καθηγη­ τές που tχοιιν δώσει την πρέπουσα βαρύτητα στη διαδαοκuλία της ακο­ λουθiας F'ibonaεεi. Ένας από αυτοίις. καθιέρωσε μια •ημέρα Fibonaεcί•. δί • νον ιας σ τους φοιτητές του την ευ-

που επιmρ{q:ει στην αρχι1 ιης, η οορρίκναι­ ση της μnροταιν(ας 6σο πιο )(()Υ{ά στο tbα­

ψ)ς βρίιnιηαι >αιι το :τοiς όλο. μας αποτε­ ί.οο,.ιαστε από αστροχ~ 6).η είναι ~ροχά α­ πό τα θtματα μt τιι ο~οια καtΟ.1\άνεtαι ro βιβλίο.

Ελάτε κι εσεrς ιπον μuατηριώδι1 κόσμο των φυοαλlόων σχ{~ιης. Εξερεννήστε μα­ ζί με την ΛΜχη Νοητοι.! τη χώρα των μι­ Κ/)QΟΚQ:tικών οχιιθαρ<ών ""'τον ΙΙ\'Ι'UtαΟή >αιθηγιm\ τοv;. Γwορrιnε τον καλομiλητο

(fJ

ηλε><τρονικό υπολοyιmή. τον Κ6μπι, και

Δείτε ακόμη τα άρθρα ... • Α. Miιrofanoν, ·Μπορείτε να δεί­

του στα βάθη του Σuιuταvιος. Επιοκεφθεί­

τε το μαγνηιικό nεδfο;,., ~ιηέμβριος Ι Οκτώβριος

1997.

ταξιδέψτε 1ιετο πc.ιν(\Ι',ιιψο δι<"στημ6πl.οιό I τε τη Σελήνη. περnατηιπε στο Διάστημα. θαυμάστε τα ασιtρι<ι ... Προσέξτε όμως: πρtπ'ει ναιικοι.!οnε τη 0\Ιμβοv).ή το,ιθεlw

Α. Sιasenko, ·Μαγνήτες, φορτία και πλανήτες•, Ιούλιος/ Αύγουστος

AλjJtproυ. του διάσημοu επιστήμονα. χαι να μείνnε μαχροά από τις μαίορε; τριi;tες!

1997. ι. Οι Douady ••• Couder υποοupίζοον ιην .&ο. όιι. όιον καια ιην αναntuξη του φυτού οι ιοιοί \OU ιοποθtωύνωa oe δaαοιήμοια ·χρυσών yωνtων • , rιιHυyxά\'tUlt ηαποδοtι·

κότιρη -ουοιceιΙοσiο• τους. ΙΊα περιοσόu:ρο. litiτr •ο βιβλiο Οι ιιριθμοι ιης Φιίαης wu lan Stcwιιrt fΕκδόοc:ις Κ(ιιοιιφοJ. κω ειδικά ιο -.φrlλαιο .ΣI(Iyόvcc;. δuναμΙΙ<ή και μιιρyιιρi­ tες •.

60

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

Η ιστορlα μας είναι γεμάτη δράση. Δw·

• J. \Vylie, ·Μαγνηrικό λιο•. Ιουλιος Αύyουστος

I

μονοπώ­

1995.

σχιδάttι

mu; αν<rt"(ιίστες

-παιδιά χαι

r.ή).ι.χους- >αιι CJ\1\'Cψtl τοο;; εισάγει στα θαύμα•α ιης yrνιχής θrωplσι; της Σχιτι­ χότητας •οο Αινστιiιν. ΚΥΚΛΟ.ΟΡει ΣΕ ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ Σελ.:

L

/47. 17 χ 2~ '"" Πα\>6/ιετο, 4.000 ό(J'f.. Ειιδόσιις Κάτοιιτιοι_•_ ___ι


ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

δεύτερης. 'Εοτω χ• μια ρίζα τηc; εξίσω­ σης (1). Ας υποθέσουμε ότι το χ0 δεν

Μ136 Αν το .v είναι πραγματικό, πρέπει να είναι μη αρνητικό. Στην πραγμο­

ικανοποιεί την εξίσωση (21. Τότε, ή χ0 > 1\.< ) ή χ < f(χ.ι. Έστω χ0 > {(χ0 ).

0

0

Αφού η f(X) είναι μονότονη, tότε

ηκότητο, αφού το αριστερό μtλος τηc;

δεδομένης εξίσωσης είναι &τικό, χ'>

100.

Επομένως, η εξίσωση με~οσχη­

μα ιlζετοι οτην

χ= JJ(x' - ιοο)" - ιοο.

ιην υπόθεση όtt το χ, είναι ρίζα της

(1). Παρόμοια αντιμετωπi­

< f\x0 ).

Η εξίσωση αυτή tχει τη μορφή χ

= 111\χ)), όnou f\x) = Jχ' - 100, και εί­ ναι γνηοiως αύξουσα συνάρτηση. Για τέτοιες οvνορτήοεις οι εξισώσεις χ = f\f(x)) και χ = f\x) είναι ισοδύναμες

2LΚBC

= J 80• - 2(90° - LBMA) = 2LBMA 360° 2LBMC.

=

(θα ααοδείξουμε αργότερα αυτή την rιρόταοη). Καταλήγουμε, επομένως,

το Κ είναι κ2-

BMC κύκλου. Πρόγμαπ

LBKC = 180° -

Αφού η LΒΜCείναι αμβλεία, αυτό

στην εξίσωση χ = Jx• -100, ή χ' - χ' 100 =Ο. Μπορούμε να nαραγοντο­

σημαίνει όπ το Κ είναι κεν1ρ0 του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώ­

ποιήοουμε το αριστερό μέλος αυτής

νου

της εξίσωσης- τη γράφουμε (ο)ς

των ΚΜ και

ιχ'- ιz5>

BMC.

Έστω Ρ το σημείο ιομής

AD (βλ. Σχήμα 1). Αφού

το σημείο Κ είναι κέντρα του κύκλου

- ι.r- 2sι = ο.

ιιου διέρχεται αοό τα Β, Μ και

και, επομένως,

χουμε

(χ - 511..:' + 4χ + 20) = ο

LMBC = Y.,LMKC.

C,

έ­

Επίσης,

(nαραyοντοnοιήσαμε τη διαφορά t(ο)ν

LAMP= LΚMC= 90'- V,LMΚC "90' - LMBC= 90'- LMAP

κύβι.>ν και τη διαφορά των τετραγώ­

(η τελευταία ισότητα ισχύει διότι οι

νων). Έτσι, και αυτή η εξίσωση και η αρχική έχουν τη μοναδική αραγματι­ κ ή ρίζα χ = 5. Ας αποδείξουμε τώρα τη βοηθητι­

νο ΑΜΡβρίσκουμε ότι κ

σεις

f\f\x ))

μείο Α, το οποίο απέχει ι km οιιό το κατά μήκος μιας ο κ τίνος του κύκλου , και μετά να κινη&ί κατά μήκος ιηc; περιμέτρου του κύκλου με

ακτίνα 2 km και κέντρα στο Ο. Τομή ­ κος της συνολικής διαδρομής είναι ι

σει ι

km

μέσα σε αυτό το διάστημα

και εοομένως θα Ι<αεί ένας κύκλος εμβαδού 41t km2 • Μέρος Ιβ): Δείτε το Σχήμα 3. Η μπουλντόζα, ξεκινώντας αιιό ω ση­ μείο Α, μπορεί να κινηθεί Ο,δ km κατά μήκος μιας ακτίνας του κύκλου ιηc; φωτιάς tως το σημείο Β και μετά να ακολουθήσει το τόξο BC γωνίας 4π Ι 3 (του κiιιιλου με ακτiνο 1,5 km κοι κέντρο το Οι Στη συνέχεια, μπορεί να

ακολουθήσει την αιηίνα CD Ιτου κύ­ κλου με ακτίνα 2 km και κέντρο το εrιί

0,5 km

στο τό��ο DΕ<του ιδίου κiικλου ) ακτί-

1

LAPM = 90•). Σχήμο2

(1)

Ε

και

χ=

f(x),

(2)

/Α;-~---· . .. 2πι3

όπου η {(χ) είναι γνησίως αύξουσα

•'

συνάρτηση. Βλtπουμε ότι κάθε ρίζα

...... . . . ....

είναι απαραίτητη η μονοτονία). θα α­ ιιρι:1της εξίσωσης είναι και ρίζα της

62

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΑΕΚΕΙΙΒΡΙΟΙ 1998

..•

• : ..: c ...... ..

ο ~ - ~..

της δεύu-ρης εξίσωσης είναι και ρίζα τηc; nρώτηc; (γιο να ισχύει αυτό δεν ιιοδείξοvμε τώρα ότι κάθε ρίζα της

Σχήμα

1

0)

και μετά να κινι)Οεί rιάνω

LΜΒCκαι LΜΑΡβσίγουν στο ίδιο τό­ ξο του κύκλου ABCD. Από το τρίγω ­

κή πρόταση. θει.>ρούμε ης δύο εξισώ­ χ=

μπουλντόζα. ξεκινώντας από το ση­

4π < 14 km. Αυτό σημαίνει ότι η φωτιό δεν θα μπορέσει να nροχι.>ρή­

νη>Ο του οεριγεyραμμtνου στο τρi­

γωνο

Η

+

Μ137 Ac; αποδείξουμε όtι

2.

1 km

πρόγμο που έρχεται σε οντi&ση με

ζοvμε την περίπτωση χ0

Μέρος (α): Δείτε το Σχήμα

κέντρο της φωt~άς. μοορεί να κινη!reί

χ. > Λχ,) > ιιΛχ.ιι,

εξίσωσης

Μ138

Σχήμο3

.r-....J

D


1

νας

2n / 3.

Επομένως, t0 μήκος της διαδρομής

Ολοκλφώνει τη διαδρομή

της ιuνούμενη επί ιοu ιόξοu κύκλου οου έχει οιαiνο κέηρο ιο Β !το

EF του

0,5 km

2 05+~ ~+05+ ιτ · 2+ . 3 2 . 3

δεν μπορεί να διασχίσει περισσότερο αrιό ι

km μtχρι

2ιτ

η μπουλντόζα να συ­

23 (3)2

S<-ιt -

και όιι το μήκος της

= "18+ ι6+ ι< 3π.

διαδρομής από το Α στο Ρ είναι τοοο­ λύ ι4. Το μηκος της διαδρομής αοό το Α στο C tl\•αι

3 0.5~ 3 2 <7. F. πρέπει να LEBF < 2n / 3. Παρατ:η­ τρίγωνο OFB εί\•αι ισο­

ρούμε ότι το

σκελές. Αν ηΒFήtαν ίση με 1, to φί­ γωνο

OFB θα ήιαν ισόπλευρο και η LEBF ίση με 2π / 3. Αφού BF= Ο,δ < 1, διαπιστώνουμε όη LFBO> π /3,οπό­ τε LEBF < 2ιτ / 3.

προκύπτει η εξίσωση

που εξεu\ζουμε (οπό Ρ οtα Μ) ιοού­

4 nαρουmάζεται το ορ­

θογώνιο παραλληλεπίπεδο

διαδρομής από το Α οτο

διαδρομή οrιό to Ρ στο Μ. Στο Σχήμα 5 παρουσιάζονται δύο αναπτύγματα του παραλληλεπιπέδου. Από αυ τά

αυτό το χ, το μήκος των διαδρομών

Στο Σχήμα

Για να υπολογίσουμε το μήκος της

τ~από το Ρ. Ας βρούμε πρώτα τη συντομότερη

από την οποίο λαμβάνουμε χ= 1,6. Γι'

ι2

Μ139

δείξουμε όιι

πλανήτη Τούβλο που απέχει περισσό­

+ - ιτ2•+ - ιτ -

3

A1B1C1D1• Ισχυ­

ριζόμαστε ότι το Μ εlνοι tO οημεlο tOO

13 (ι2 )• =

ι

2

δυναμεl με tO να αποδείξουμε ότι το μήκος της διαδρομης από το Α στο C

7

το κέντρο της έδρος

1

Ας εκτιμήσουμε το εμβαοον S της περιοχής που περικλείει η διαδρομή tης μπουλντόζας:

μπι\φιοοει τη διαδρομή της. Αυτό ι σο­

είναι το πολυ

ΑΒ και Α 1Β1 • Έστω ότι αυτό το ση­

+- - <14. 3 2

οοδεiξοuμε όπ καu\ τη διάρκεια της μετακίνησης της μπουλντ()ζας αοό το σχίσει περισσότερο οπό 0,5 km, και ότι

διοδρομη που διtρχeιαι αnό ης ακμές μείο, Μ, βρίσκεται σε απόσταση χ από

δρομή αποκόβει τη φωrιό, αρκεi να α­

δεν μrιορεf να δια­

BC και

B,C,. να ισούται μe τη συντομότερη

και

F ονηκει στον κύκλο

C η φωτιά

που διiρχειαι αιιό ιις οκμiς

από το Α στο Ρ είναι

με κέvφο το Ο και οκτiνο 1,5 km). Γιο να οnοδtιξοuμε όn αυτή η δια­

Α σω

διαδρομή από t0 Ρ ώς αυτό το σημείο,

ABCD.-<1 1 8 1C1D1, σιο οποίο ΑΒ =2, BC =4, και ΑΑ 1 = 1. Έστω J> το κέντρο της έδρας ABCD (Σχήμα 4) όπου βρίσκεται τ:ο ιιαλόιι ιοu ιψίγκιιια. Ας βρούμε t\•α

σημείο στο τμήμα που συνδέει το μέ ­ σα των μικρών πλευρών της οπένα ­ νcι έδρας ιέιοιο ώοtε η συντομότερη

c

ι~ ι

κόθε διαδρομή αnό το Ρ οτο Μ είναι μεγαλύτερη ή Jση του

3,4. Αρκεί να α­

ποδείξουμε ότι κάθε διαδρομή από το Ρ ο ιο Μ ι·ιου διασχίζει την ΒΒ, (ή την ΑΑ,) είναι μεγαλύτερη του

3,4.

2

κολα διαπιο ιών ου με ότι κάθε δια ­ δρσμή rιou διοσχίζει την ακμή ΑΒ δεν μπορεί να είναι μικρότερη του

""'

Α

Β

'

1

μικρότερη tαυ

3,4.

3,4.

Πρέπει τώρα να δείξουμε όn σε αυτή τη'' έδρο δεν υπάρχει άλλο ση­ μείο πιο απομακρυσμένο από το Ρ.

Μ

Αρκεί να εξεtόοουμε μόνο τις διαδρο­ μές ιιου διασχίζουν ιις ακμές

Σχήμα4

Εύ ­

δεν υπάρχει διαδρομή από το Ρ στο Μ

Β,

0,4

ι

Πρέπει τώρα να αποδείξουμε όn

J32 + 2,4 2 > 3,4 (Σχήμα 6 ). Συνεπώς

Ρ

c

3,4.

Εnίσης, καθε διαδρομή που διέρχε ­ ται οπό ιις BC και 881 έχει μήκος

Α

D

τω με

B 1C1,

Σχήμα6

BC και

ης διαδρομές ιιου διασχίζουν τις

ακμές ΑΒ και Α , Β,, καθώς και τις διαδρομές που διασχίζουν ζεύγη α ­ ντίθετων ακμών. Οι ·cέσοερις αντί­

Α

Αι

4 D.-----~-----r--~----------~Dι

στοιχοι κύκλοι ακτίνας

Ρ

Μ

c

Β

Β, χ

υ,

καλύ­

πτουν ολόκληρη την έδρο A 18 1 C1D 1

χ

2

3,4

(Σχήμα

7 1. Το ότι η αrιόοιαση από

t0

Ρ μέχρι οποιοδήποτε σημείο των άλ ­

Β,

I

λων τεσσαρων tδρω'' εινοι μικρότε ­ ρη του 3.4 εινοι σχεδόν προφανές. Πράyμοn, οι κορυφές ο υιών των ε­ δρών είναι επίσης κορυφές της έδρας

A,B,C,D,. και enομtνωςtχουν τη μέ­

Μ 'j

Α,

γιστη οnόοταση οπό το Ρ. Άρα, η από­ σταση από το παλάτι του πρίγκιπα έ ­ ως ιο πλέον αrιομακριισμένο σημείο

Σχήμο5

Σχήμα

7

του ιιλανήτη εΙ ναι 3.4.

OUANTUMI ΑΠΑΝΤΗΙΕΙΙ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

63


Μ140

Η ευθεία

(3, 15) και την τέμνει στο σιιμείο (], 15). Αυτό το ση ­

= (χ - a)(x - b)(x - c)

μείο τομής μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση

=κ' - 7χ'+pχ-9, όπου

q = ab + bc + co. Οι ρίζες αυτού

του πολυ~>νυμου είνωa, b και c. Από την εξίσωση Ρι χ) = Ο προκύπ ιει

-χ2 + 7χ+9/.γ :

(χ- 3)'{χ - ] ) = ο.

Σχεδιάζουμε το γράφημα αυtής της

(Σχήμα

8).

Η

Έτσι προκύπτουν οι εξής περιορι ­ σμοί για τ.α a, b, c:

μεταβλητή

q μπορεί να πάρει τιμές μόνο τέτοιες ώστε οι ευθείες y = q να ι:Ιι μπορεί να συμπίπτουν, όταν η α­ ντίστοιχη ευθεία είναι εφαπτόμενη της καμπύλης). Αν nαραγωγίσουμε,

θεύσει ότι αυτές οι τιμές είναι πράγ­ ματι δυνατές.

δικασiα που παριστάνει ω Σχήμα

μείο Α \οι άξονες του διαγράμματος παριστάνουν τις ανι)yμένες συ,οτε­

Έστω ότι ο μοναδιαίος όγκος αέρα

k

Αφού μας ενδιαφέρουν μόνο οι θε­ τJκές τιμές τού χ, παίρνουμε χ, =

3/ 2

το σημείο ιομής μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση

να

2υS Ί'ην ορατότητα μπορούμε να την ε­ κτιμήσουμε ως το μέσο μήκος

L κυ­

ACO και BCO

=~ = Ρρεφβ_ ο

Κατά συνέπεια, ο λόγος τω'' συ­ γκεντρώσεων ισούται με

LAk = J.

ο.

Λύνοντας ως προς

L, και

θεωρώ·

d'.

λαμβάνουμε: ι

Αν λάβουμε υπόψη nως ΙJ ελάχιστη

αγηγμένη θερμοκρασία tm;o

b

200 ιn.

συνδέονται μέοv> της

nkT.

η συγκέντρωση n των ατόμων του ηλίου καθορίζεται από τη θερμοκρα­ σία Τ και την πίεση Ρ (k είγαι η στα ·

θερά του Bolιtmann). Κατά ουνέηεια,

Σχήμα8

μια ευθεία που διέρχεται οnό την

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

CBO

.J2 (επει­

είναι ορθογώνιο

και η υποτείνουσά του έχeι μήκος OC

Φ137 Σύμφωνα με την εξίσωση Ρ=

r του κίικλου σχέσης r = 1 -

tmu.• βρίσκουρε ότJ ημσ ~ r Ι δή τ.ο τρίγωνο

= τm\οι τ.

του ηλίου και η ακτίνα

ΖυS

L = kd' = (Ν, + N,Jd'

64

k'Γ.

λ

λfνδρου ε πΙ την περιεκτικότητα k του

1:

είνο ι ίσα, η γωνία

m•• kT

μία νιφάδα. Ο όγκος αυτού ωυ κ υ .

ναις ότι το Α ισούται περίπου με

3

'

0

των τ ισούται επίσης με β, οnόιε

βαδόν r.ης νιφάδας, σ οποίος περιέχει

με

Υ

1 3/ 2

kT

που σχηματiζουν η ΑΟ και ο άξονας

λίνδρου με δια ωμή Α όση το μέσο εμ •

η οποία μετασχιιματiζε rπι στην 4 1=

= kT11 =

μένο διό γραμμα•. Εφόσον τα τρίγω­

k = N 1 + N ,.

αέρα σε νιφάδες θα πρέπει να ισούται

-χ' + 7χ + 9/χ = 57/4,

Ρ0 σφβ

ως προς ων άξονα των δ στο •Ο νηγ ­

= 3 {2

57 / 4) και μέγισεοστο σημείο χ2 = 3 (που ισούτω με 15). Η ευθεία q = 57 /4 εφάπτεtοι στην κα­ μπύλη μας στο σιιμείο (3 / 2, 5714) και την τέμνει στο σημείο (4, 57 /4). Αυτό

Ρ8

όrιου β είνω η γιJ>νία κλίσης tής ΒΟ

αυτές προκύπτει ότJ

(ιιου ισούται με

(2χ - 3) (χ -

nι:rι,.,χ

στη διεύθυνση κίνησης της σκιέρ. Από

αρχική συνάρτηση q(x )

2

το σχήμα φαίνεται ότι

όnou υ, είναΙ η ταχύτητα ωυ ανέμου

(Χ + 1)(2χ 2 - 9χ + 9) = 0.

έχει ελάχιστο στο σημείο ,γ 1

νιφάδες. Τότε θα ισχύει:

ταγμένες τ = Τ f τ. και δ = Ρ Ι Ρ0}. Από

Ν, = kS(υ +υ,\ και Ν, = kS( υ - υ),

ή

= 3. Η

στο σημείο Β και η ελάχιστη στο ση­

Φ136 περιέχει

7χ' + 9 = Ο,

9,

η μέγιστη συγκέντρωση εμφανίζεται

Φυσική

γου. Έχουμε την εξίσωση

κω .χ,

γκέντρωση των ατόμων εφόσον σχη­ ματίζει μικρότερη γωνία κλίσης με τον άξονα των Ρ. Επομένως, στη δια ­

9 /χ'.

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώ­

Ζχ' -

σης ανtιστοιχεί σε μεγαλύτερη συ­

Ο αναγνώσ-της μπορεί να επαλη­

παίρνουμε

q' = -2,γ + 7 -

συντεtαγμένων θερμοκρασiας-πίε •

3 :S c s 4.

c (δύο από αυ ­

Σχήμα9 αρχή τωγ αξόνων σε έγα σύστι)μα

J S: a S: 312, 3/ 2 s: b s: 3,

τέμνουν την καμπύλη σε τρία σημείο με τετμημένες a, b και

15,

Ι) οποία μετασχηματίζετα ι στην

q = -xj+7x+9 / x. συνάρτησης για χ

εφάπτεται στην

καμπύλη στο σημείο

Θεωρούμε το πολυώνυμο }'(χ)

q = 15

~

.J2 ). Το Σχήμα 9 δείχνει ότι α +β=

π/4· χρηοιμΟΙΙοιώνταςαuτό το αποτέ­ λεσμα, παίρνουμε 11 "'"'

n~

= εφ"β ~ εφ'(π -α) 4


1-εφ2ο

(

= 1 - εφ2ο

-

.)

I - ημ2ο = I +ημ2α

1 - ι.J2 - r 1+

δύο ουρμότ.ων κα1 μεp0 την ειδική α­

1_; = 201; τ 4 = 30Α.

ση ιου rιρώτ.ου σύρματος και η μέγι ­

~1ολαταύτο, με το αnοι:tλεομα α υ· τό δε" έχουμε λύσει το πρόβλημά μας:

vtίσιαοη του μολύβδου. Η aντίστα ­ στη τόση του, οντίιηuιχα. είναι

1

rJ2 - r•

pl

μα ακόμη και ότοΥ έχου" μείνει ανέ­

::::ι.

ντiθεση με την πρώτη οερίιιτωοη, το

R, = τιd'

οαφα μόνο τα λεπτά σύρματα! Σε ο ­

4

ρευμα ι.; θα καtα\•εμηθεί εξίσου στο

και

20 λεπτά σύρματα, και ιο καθένα οπό

νι = R,I, = pldΊ. τι ι 4

1- (1- τm~n)Jι + 2tfi\ΙD - t~m

Ομοίως ,,α

ι +(1 - τφφ)Jι + 2r.,.IΛ - r;_ ·

φαίνεται cεφιμμένο. Το λεπτό σύρμα

=4

= 5 Α.

1,8

συνδέονται παράλληλα, ιο μέγιστο

4 'Ετ01, ο ζηtαύμεvος λόγος των τά σεων προκύπτει ίσος με

ρείιμα για τη σύνθετη ασφάλεια θα έ· αυτός ο συλλογισμός βασίζεται στην ψeυδη προκειμένη uως κο ιό τη γ κα • tα\•Ομη του ολικου ρευματος των 6,8 Α στα δύο σύρματα, ο το μεν λεπτό σύρμα θα αντιστοιχεί ρεύμα δε χοηρό

5 Α. Σ ι ην

1,8 Α, στο

rιρα γμαηκότητα,

η κατανομή θα είναι εντελώς διαφο· ρετική, δεδομένου όιι καθορίζεται από ιις αγιιοτάσεις τωγ συρμόtων και όχ•

από ια μέγιστα ρευμαια που εnιφέ·

nεrοι να τα διαρρεύσουν. Συνεπώς.

v,

στην ονιοόιηια ι V1 > 1. Συνεπώς, V1 < Vι• πράγμα ΠΟυ οημοίγcι ttως θα καεί ι φώτο το δεύτερο (δηλαδή το nιο

χοντρό!) σύρμα. Εκείνη τη στιγμή διαρρέειαι αrιό το μέγιστο ρεύμα ι, = Α, ενώ το ρεύμα στο πρώτο σύρμα

είναι μόλις

ι

-

- ---, -

κρόtερο ιιπό 6,8 Α. Το πρώτο βημα οιην κατεύθυνση

οκονιοι

oe

σημεία

C και D συμμε­

τρικό ως προς τη διάμετρο ΑΒ του δακτυλίου. Στο πρώτο στοιχειώδες ιμήμa ασκείται μια κατακόρυφη δύ­

; 81 ΔL ημα ;

ΒΙ Δ χ,

όπου Δχ είναι η προβολη του Δl στη διάμετρο ΑΒ. Στο δεύτερο ιμήμα ο· οκr.iιοι μια κατακόρυφη δύναμη με κατεiιΟυνοη προς τα πάνω και μέτρο ΔF2

= ΒΙΔl ημα = ΒιΔχ.

Αυτές οι δυνάμεις σχηματίζουν ένα ζεύγος δυνάμεων που παράγει

l ,. 25 Α

να ΑΒ:

d"

Δι = ΔFιL,.0 = ΒΙΔχL,.0 • BJΔS,

Συνεηc~ς. το ολικό μtγισιο ρεύμα

όπου με ΔSσuμβολίζουμε ισ εμβαδόν

R,

στο άλλο σύρμα nρέι1ει να λαμβάνει, εν γένει, τιμή μικρόιεριι αnό τη μέγι­ σι η. Αρο, το ολικό ρεύμα θα είναι μι·

δη τμήμα ιό του μήκους Δl που βρί •

μια οιοιχeιώδη ροπή ως προς τον άξο­

Ι ' - I,R, - I,d: -

το ι αιιό το μέγιστο ρεύμο, το ρεύμα

κτυλίου!. Επιλέγουμε δύο στοιχειώ­

ΔF,

ο ι η'' ανωτέρω εξίσωση κατα.\ήγουμε

όιαν το ένα από τα ουρματα διαρρέε·

cην κάτοψη του δα­

και μέφο

Ειοάγο,•ιας ης αριΟμηιικες τιμές

5

10 δίνει

ναμη με κατεύθυνση προς το κάτω

v, ι, d; -v, =--r · ι, d,

πρεπε να είναι Ι, + Ι•" 6.8 Α. Ωστόσο,

Α.

είγα ι τοποθε ιημένος οριζόντια (το

τι ί

Εφόσον τα ρεύ­

= 2011 = 36

Ας Οεωρήοουμε το δακτύλιο όπως

V2 = R2 12 = pldl: .

ματα αθροίζο,• ιαι όιαν 1α σύρματα

ι~

Σχήμο

Α, eνώ το μέγιστο ρεύμα σιο χοντρό

σύρμα είνα• 11

οφόλεια θο σιινεχίσει να άγει το ρεύ ­

Φ139

τιd2

και

μηορεi να αν"tέξει ρεύμα που η έντα­ ση tΟυ δεν υπερβαίνει tη\' ημή ι,=

τερο αnό το μέγιστο. Συνεηώς, η α ­ μα ώσπου αυτό να φιάοει τηγ τιμή

rι - pl

Φ138

αυτά θα διαρρέεται οπό ρεύμα μικρό·

to δεύτερο σύρμα: "t -

Εκ rφώτιις όψεως, το πρόβλημα

η οοφόλεια θα ουγεχίσει γα άγει ρεύ ­

οιη σύνθετη •ασφάλεια• θα ισούται με

ι; +

4 = 6,25 Α.

της γρομμοοκιαομέvης περιοχής. Στη ο υνέχεια, διαιρούμε το δακτύ­ λιο σε παρόμοια ζευγη μικρών ιμη·

προσδιορίσουμε ποιο οπό τα δύο υύρ·

Αμέσως μόλις καεί ιο παχύ σύρ­

μότ.ων ουμμεφικώ\• ως nρος τΟ'' ά­ ξονα Α Β. Διαmοτώνουμε πως σε t.ναν

ματα θα τακεί πρώτο καθώς αυξά­

μα, όλο το ρεύμα θα διοχετευτεί στο

λεπτό ο γώγιμο δακτύλιο ο οποίος

νοιιμε βαθμιαία τιιν ένιαοη του ολι­

λειιιό σύρμα, με οπσιέλcσμα γα καεί

κού ρεύματος. Όταν η σύνδεση είγοι παράλληλη, ια δύο σύρματα έχουν

κι αυτό. Η δεύτερη περίπτωση παρουσιάζει

διαρρέeτοι οπό ρεύμα Ι και ε! ναι tο­ rιοθετημrνος σε οριζόντιο μαγνηnκό

στα άκρο τους ίδια ιό ση. Έτ01 το ούρ -

ακόμη μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Ότα,­

της σωστής λυοης ουγίστοιαι στο να

.

.

μα με τη μικροτερη ομη ιης μεγ1στης

erιιιρεπτης τάσης θα καεi πρώτο.

Ac;

προσδιορίσουμε το λόγο αυτών ιων

το παχύ αύρμα φτανει στο όριο τηςα­ ντοχης tαυ. το καθέγα από τα λεηrο

πεδίο αναπτύσσεταΙ ροιιή

Μ,., = BIS = ΒΙιτW λόγω των μαγνηυκών δυνάμεων. Η εν λόγω ροπή τείνει να ιιεριοφέψeι το

μέγιστων εωιρεnιών cόοεων. Συμ­

σύρματα διαρρέεται από το ρεuμα 11', οιιόιc ω ολικό ρεύμα στην αντίοτα ­

βολίζουμε με ι το κοινό μήκος •ων

σιι θcι είναι

ξονα ΑΒ.

δα κ ιύλιο γύρω από τον οριζόντιο ό •

OUANfU MI ΑΙ\λΝΤΗΙΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥ1ΕΙΙ

65


os Ό .

ι,ο

"

a

τις δύο άχρeς του ενός φιτιλιού και τη

0,6

μία άκρη ιου δeυuρου. Το πρώτο φι ­

0.4 0,2

τίλι θο κοει σε 30 s. Μόλις καεί ο.~ό­ ιιληρο. ανάβουμε και την άλλη άκρη

Ο

του δεύιφου. Το δeύuρο φιτίλι θα ε­

Σχήμα

Σχήμα 10

Πρώτο, ονόβουμε τουιόχρονα και

0,8

R

ΤΔl

Σ137

Α

ο

ι

2 3 4

x \c m ι

Μπορείτε να επαληθεύσετε ότι ο μειαβληιός ρ11θμός καίισης των δύο

11

s.

φιτιλιών δεν έχει σημασία.

Όιαν ο δακτίιλιος αρχίσει μόλις να σηκώνεται, δύο δυνάμεις θο αντι~α­

Σ138

χτούν στην περιστροφή του: η καω ­ κόρuφη δύναμη ιης βαρύτητας mg, η

Οεn"tοψήφιοςοριθμός που οχημα·

h

οποία εφαρμόζεται oco κι\~ του δί­

τίζεται με την αφαίρεση των κομμό­ των μεγιστοποιείται όταν υπάρχουν όσο τοδυνοιόν περιοσόιφο 9 στις θέ ­

h

σκου και έχει κο τεύθυνοη προς το

κάτω, και η κάθeτη δύναμη Ν με κο­

••

α:ύθυνοη προς ω πάνω, που εφαρμό ­

σεις των ορισα:ρών του ψηφίων. Εύ • κσλα διοmοτώνουμε ότι δεν είναι δυ •

••

ζtιοι οιο σημείο στήριξης ιου δοκτυ • λίου. Καθώς ο δακτύλιος εξακολου­ θεί να ισορροπεί, θο πρέπει να ισχύει ιng - Ν = Ο, ή

να ιόν να tχουμe u!σσeρο

Σχήμα

12

οπότε οι μηχανικές δυνάμεις σχημα­

9: όπως και

να κατανείμουμε το υπόλοιπο φίο ψηφίο ώστε να σχηματιστούν δύο

ακτινοβολίας εκεί όπου το ολικό πά­ χος wυ μετάλλου που διοπερΥά η α­

mg = Ν,

ξακολουθήσει να καίγεται επί 15 s και θα έχουμε cτοι με•ρήοει οιινολ.ικό 45

κτινοβολία είναι ειιίσης

2 cm.

Εάν

(θετικοί) ακέραιοι, οι διαφορές μεω ­ ξύ τους θα είναι τόσο μικρές ώοιε δεν

θα έχουμε αριθμητική πρόοδο.

ιίζουν ινα άλλο ζεύγος, που παράγει

ου ιeς οι δύο τιμές συμπίπτουν οnο­

ροπή

λύιως, τότε ο κύλινδρος είναι κενός.

Πρέπει λοιπόν να δοκιμάσουμε με τρίο ψ ηφίο 9. 'Εοιω όιι ο εrιταψήφιος

Από τη γεωμετρία της διάταξης

αριθμός είναι ο 999ABCD. Με τον ίδιο

Μ,,.= mgR. Στην ισορροπία, η συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων θο ορι'.nει να

(Σχήμα

12) συμπεραίνουμε ότι ισχύει

Μ,..,

r' = h' + (r όπου r =

M,u = Ο,

να δείξουμε όrι ο τρίτος αριθμός ορέ­ πει να είναι μονοψήφιος· επομtνως η

η σχέση

ισούται με μηδέν:

d/2 = 2 cm

- χΙ'.

και

αριθμητική πρόοδος θα είναι 999. ABC, D. Έπεται όrι D = 2(A8CI - 999, χαι

b = l cm.

ζητάμε να μεyιοτοnοιήοσυμe το

Επομt,•ως,

ή

.J3 :0,28 cm, χ, = 2 + J3: 3,72 cm.

Η εξίσωση αυτή μας επιτρέπει να

προσδιορίσουμε τη ζητούμενη τιμή wυ ηλεκφικού ρεύμοwς:

μέytσw ABC nροκύπτει γιο μέyιστο D, και tτοι θέιουμε

μονάδες, ενώ

οtα χ = χ 1 και χ = χ2 ισοιίται περίπου

= ιng

Ι nBR.

με

0,5 μονάδες -τι μ ή κα~ά

D• 9. Άρα, η ζητού­

μενη ακολουθία είναι:

Το διό γραμμα δείχνει ιιως οτο χ =

2 cm η cν~αοη είναι 0,4

ABC.

Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι w

χ, = 2 -

BlnR' - mgR = Ο.

τρόπο όπως προηγουμένως μπορούμε

τι μεγα ­

999, 504, 9.

Σ139 Μια λύσ η αιιcικονίζετοι στα Σχή­ ματα

13

και

14.

λύτερη. Συμπεραίνου με, επομένως, πως ο κύλινδρος δεν είναι κενός.

Φ140 Το διάγραμμα του Σχήματος

11

δείχνει ιιως τα τοιχώματα του κυλίν­ δρου ι\χουν πάχος

κή διάμεφο

1 cm

και εξωreρι ­

d = 4 cm. !'!ο

να λύοου ­

14

Σ136

με το πρόjlλημα, μπορούμε απλώς να

Όντως έχει δίκιο. θα βρούμε εύκο­

συγκρίνουμε ιην tνωοη της ακτινο­

λα αριθμούς που ικανοποιούν την ε ­

βολίας στο μέσον του κυλίνδρου, στο

ξiσωοη αν ποροτφήοουμε ότι 365 εί­ ναι το πλήθος των ημερών ενός <όχι

χ = 2 cm (στο σημείο αυτό η ακτινο­ βολία διtρχετοι οπό το περιεχόμενο

δίοεκ•ου ) tltoυς, ενώ

28,30 και 31 εί­

wυ κυλίνδρου και οπό τα δύο αντι ­

ναι το δυνο~ό πλήθος ημερών ενός

κριστά μeρη του τοιχώμαwς συΥολ.ι ­

μήνα. Εnομι\νως, μια λύση είναι χ=

κού πάχους 2

y= 4, z • 7.

66

cm), με την έηοση της

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ / ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1998

1,

Σχήμα

13

Οι ουνεχεΙς )'pαμμtς Sι-ι'χ\•οιιν τις a.~tυptς χάt6 μήιc:ος ιι~~v tιttΟι'ων nprιιrι vα κ6ψοu ­

με· οι διακe"ομμι!vι:ς, αυιές κο td μήιc<>ς ~'' οαοfων 61ιιλώνουμc.


13. Απάντηση: χ,= χ2 •

... : χ. - ι.

χ,

Υ πδδcιf,η: θέτοιη.ιε

Pit> = t"+a,t" ' + ... +n, ,t+a, = (t - x,J<t- χ,>· ι ι - χ,).

... ·

Τότε,

Η tvrovι} }ιραμμή δείχvcι

ro ο ιίνορο cvός

ιμι)μαrος.

z είναι ρίζες του πολυωνύμου

t 3 - ι•

4.

- t + ι : <ι -

+ ... + na 8 _ 1 + nιι. : nf\ι}.

νυμο με ρίζες uι

μούς ( για παράδειγμα, το χ1 ) ισούται

u = χ- y, \'=Υ - z. w = z - χ,

ρόμοια συστήματα για tα χ, . .... χ., και

σύ τω καθεξής.

και συνεχίζουμε όπως στο Πρόβλημα

Ασκήσεις

8, λαμβάνοντος υπόψη ότι u + v + w

Υιιό&ιξη:

= ο.

5.

φ2 +φ-1=0,

Σχήμα

Απάντηση:

2.

y, z είναι

το τρίο

= f + pf + qt + r, τότε

- r > ι, -p < qf \-r).

διαφορετι κά μήκη των ακμών του

παραλληλεπιπέδου. τόtε

+ y + z) = 96, 2(xy + yz + zx) = 286, xyz : 120.

15.

Στο μαuροnίvακα ο

./2 εί-

ναι ρίζα τt)<; δευτεροβάθμιας εξίσωσης ι, την άλλη ρίζα της οποίας

μπορούμε να γράψου με ως -ι / υ. Βρί­ σκουμε tτσι ότι

Παρατηρούμε ότι ιο

1 u = 2,

κολα. Απάντηση: (1,

1, 1), (1,

-ι, ι),

I , 1).

που<; του

χ,

y,

2. 1/ 2), (1, 1/ 2, 21. Η/2. ι. 21. 012. 2. ο, <2. ι , 1121. (2, 1 2, η

Viete, συνεπάγονται ότι

τα

z είναι ρίζες της εξίσωση<;

Απάντηση: ( 1.

< χ + y+z)2 -χ•- y 2

2

P(t) = ( t - .<)(t- y)(t - z)

= f - at' + at - I = ( t - 1)(f + t + I - at).

τμήμα ιης σuιγό­ νας που βρίσκεται σε επαφή με την ερυθροπυρωμένη εστία σχηματίζεται ένα στρώμα υδρατμού, το οποίο ανα ­ γκάζει τη σταγόνα να τιναχτεί προς το πάνω.

2. Όταν έχουμε αύξηση rης θερμο • ιιρασίοc;. 3. Όταν η θερμοκρασία του αέρα

παίρνει τη χαμηλότερη τιμή τη<; (συ·

5

π.μ.).

εξάτμιση του ιδρώτα ελαττώ ­

νει δραστικά τη θερμοκρασία του σώ­ μα τος στην έρημο, ο υγρός αέρας, ό­ μωc;. εμποδίζει την εξάτμιση. Έun, το

xy+ yz+ zx =

παίρνουμε

1. Γiιρω από το

4. Η

(αφού

• a,

z>> Ο.

ΚαλειδοσΚόπιο

νήθως γύρω στις

t" - t' - t + r • O

Υπόδειξη: Αν θεσουμε ι

I είναι ρίζα

Υ πδδειξη: Η πρώτη και η δeύτερη cf,Jσωση, σε συνδυασμό με του<; τύ­

=

y+

Δηλαδή, (1 - χ)( ι - yl( ι -

ρίζες μπορούν τώρα να βρεθούν εύ­

3.

pt+ r

• (I + p)(l + r ) > Ο.

αυτής της εξίσωσης. Οι υπόλοιπες

Η.

ιl+ ι ι u2 = 6, υ'+ 1/ u' 34, ιι~ + ι ι u~= 1154.

χ+

Ι + p+q+r> ι + p +

r'- 24t' + 143t- 120 = ο.

δ. Απάντηση: u6 + 1 /ι! = 1154..

υ-

Pi1) =

Επομένως. είναι ρίζες της εξίσωσης

Προβλήματα

Υπόδειξη: Ο αριθμός u = ι+

Α ν θέσουμε ι = ι, παίρνουμε

4(χ

Η απάντηση απεικονίζεται στο

10.

I cm, 8 cm, 15 cm.

Υπόδειξη: Αν χ,

15

f - 2t -

P(t): ιι- x)(t - y)( t - Ζ)

=

Σ140 Σχήμα

Υπόδειξη: Αν

φ' = ο - φJ2 = ι - 2φ + ο - φ> = 2 - 3φ, φ• 4 - 12φ + 9φ' : 13 - 2Ιφ.

••

r +:1- xy - yz- zx).

Υπόδειξη: θεωρούμε ένα πολυώ­

με Ι. Μπορούμε τώρα να βρούμε πα­

.••• •..•••

ι >2<t + 1J.

Αηόντηση:

χ(χ' +

και επομένως, ένας οπό τους αριθ­

1.

r : 1. Δηλαδή, uι

5(χ - yl(y - z)(z - χ> χ

= π + πaι

14

y,

... f\.<,> + f\:ι,J + ... + f\χ.ι

ο

Σχήμα

τος, βρίσκουμε όn

.

-

σώμα μπορεί να υπερθερμανθεί πολύ

z'

= -ι

.

εύκολα. 5. Στο χώρο γύρω αnό το στοιβαγ­

Εηομένως, όπως και στα Προβλήμο ­

μένο χιόνι η θερμοκρασία είναι χαμη­ λότερη, με αποτέλεσμα ο' εκείνη την

τα

περιοχή η σχεnκή υγρασία τοv αέρα

3 και 4, έχουμε

(' = (3 - r)f -

Επομένως. μία οπό τις μεταβλητές

(2 - r )t -

2r,

να είναι υψηλότερη. Κατό συνέπεια,

t =χ, .Υ. z. Αν προσθέσουμε αυτές

η εξάτμιση των υδρατμών yίνcuιι με αργό ρυθμό, και έun είναι mθονόν να

σουμε το σύστημα με άμεσο υπολο­

ι ις ο χέσεις και χρησιμοποιήσουμε την

πραγμαι:.οιιοιηθεί ακόμη και συμπύ­

γισμό.

ιρlτ�� εξίσωση του αρχιχού οvστήμα -

κνωσή τοv.

ιοούιοι με

I. Μnορουμε τώρα

να λύ­

για

OUANTUM I ΑΠΑΝ1'Η1ΕΙ1, ΥΠΟΔΕΙ.ΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

67


τάση κορεσμένων υδρατμών έξω από ιο δωμάιιο είναι υψηλόreρη. Όταν λοιπόν το παράθυρο είναι ανοι • χτό, οι υδρατμοί φεύγουν με ταχύ ρυθμό προς τ.α έξω, με αποτέλεσμα Ηι ρούχα να στεγνώ\•οm• γρηγορότερα. 7. Όχι, διόrι αντί για αραιωμένο α­ έρα κuι υποπiεση, θα υπάρχουν υ· δραφοί σε αιεση ίση με την αψο· σφαιρικη.

8. Με Gυμniεο η, ψύξη ή και τα δύο. 9. Ναι, όταν έχουμε κορεσμένους υδρατμούς πάνω οπό ένα υγρά.

10. Η στάθμη ιου υγρού θο ανέλ· θει στο στενότερο δοχείο. Η διαφυγή των υδρατμών από το φαρδύτερο δο­ χείο παύει, με αιιοιέλεσμα οι υδρα­ τμοί που περιέχει να καθίσταηαι κο·

ρεσμένοι, κι έιοι η τάση τους ξεπερνά την πίεση στο στενότερο δοχείο.

1 Ι. Όχι. Κατά τη συμπίεση οι υ· δραιμοί συμnυκνι~νονται και η τάση τους παραμένει αμετάβλητη. 12. Με την ανακίνηση αυξάνεται η ειηφάνeια εξάτμισης, ια αυτό συ,•ε·

λογισμό της ταχύτητος ,ι χρηοιμοποι­

Το πρόβλημα του αγώ,•α δρόμου μεταξύ των οβίδων (Φ/27, ιεuχος Ι ­ ουλίου Ι Αυγούστου 19981 έλεγε: Μια

εl αντί του χρόνου ΙΙtήσης του δεύ­ τερου βλήμιηιχ; ιο χρόνο πτήσης ιοu

πρώτου. ο οποίος είναι μeγαλύΊερσς