Page 1

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ τΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣτΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Μ!ΙΡτΙΟΣ ι ΑΠΡ ΛΙΟΣ 1996 ΤΟΜΟΣ 3 ΠΈΥΧΟΣ 2

1 400 ΔΡΧ

,

, Το πpόβjJιμα του ε ·δρώνα

I

'

ι

• Τι r.ίι·ιιι ταιιαθιιμσ.πκά: • Πιψίπσrιι; 11r'l" κόψη

'

\

f'

roιJ ξιφοιJ.;

• Πι:ρι ρωμαiλ'/91' αpιθμωι· • Γr.Ι9μr.rpιλ·ες πιθαι·οτητες • Ηlr.λ'rpικη ιφ~γιμοτιιτα στrιr ικ5ρrιιιί'''Ι'"

• Ο μιίΟιι; rης λΊ.ιJιlωi'Οr.ιδοιί; '

καμπυι.ιις

• Γιατί ιφi:πr.ι ι·α αι·ιiβιιιιμr. rιι rζάκι;

• I/ όιαιφil'llvσα ει· δράσι:ι

ΕΜΟΣΕlΣ ΚATOffiPO

(


ΠΙΝΑΚΟΘΗΚΗ (I]

• Ο Ερωςμαθαιι•rι ιι>.\ιυι·ιιiρι .-α r[ΧΙyΟυ&Ίrι ιοπiσΟια οψηΙι1444Ι ιοιο

Υ

~η: ι•

\ .\ΠΟ :ifJO XPO:-IIA

Antonio Ρί<;aιιι•llο

ΜΙΙΟΡΟΠt~: ΣΧ~:.:.ΟΝ .'<.\ ΛΦΟΥ­

Ε1 ιωκ lonai&ιtr Βι·ίιιιιιιιίcιι. -rφόκειται yια ι η μuι·ιιδι.

yκραστουμr ιu yt.\ιιι ικανοποιηοης που ακουοιηκαι·

κ η ιιφίητωοη κnτο την ΟΙΙΟιrι ηι σχtδια ι·ι·ος ερyασrη­

0111\ u

.-\ιιιοηίο

Pisanrllo

παραυσιαοr

10

11\'Ιιμνηστικό

ριοu

tou 15ou ωώι·ιι διιιιηρηθηκιι'' οuσιαοιικα αι•ίιιιι­ ~:κtός οιιό to yεyονος οτι μας δη·οuι μιο ιδtιι yιο

μι·ιιι.\.\ιο yιn ιο yαμο ιο11 .\ιοι·έ.\.\ο η' Εστε μr τη Μα­

φιι

ριο της Αρηyωι·ίιις. Σιηι· rμηρόοθιcι οψι) ιοιι μrω.\.\ίου

ιις τεχι•ικι'ς σχεδιασμοu ι·κι·ινης ιι1ς ιιι·ριόδοu. Ηι nχι'·

ιιιιι'ιρχrι ι ο πορτρέτο ιιιυ

~ιιι ιοu

.. μικροu

λιονΗιpιοΙΙ·•, του Λιο ­

PisaneJJo αιιοκιιλιίηrουν το ιερίιοιιο εύρος ιω\'

νέλλο -μιας οημονιικlις φυοιοyι·ωμίας. Γυρί(οι·τcις ω

ε Ι'διιιφφόνrων του κιιι την rκnλl)lω ΚΙ} ηαριιιιuιητικό­

μrιόλλιο οπό ιφ· ίι.\.\η rι.\rιφό. β.\tnοΙΙμt cιυιο

tι}tt'ι ωu. Ηταν rΥ(ις ιιrιίι ιους ιφι:ηοuς κα.\ληrχιτς του

κοι·ιζι·ται παραιιιl\·ω.

11

11011 rι­

μουσική έχrι το χαρισμα ι·α

y<ι.\ηι-rιrει τα ιιιο ιιyρια ο ι ηθη

• όπως έyj)tιψr ο ('ongr~n·.

και ιlt<l\' διίοκιιλος της μουσικης Cl\'nι ο ιδιος ο Έρως. μnοp111ιμr .-α rίμιιιηι· βrβιιιοι οτι το φωιικο συι•αιοθημιι

On

κ ιφιιιρχήοrι. Μολονότι ο

Pisancllo

15ou

ιιιι;ιvrι που ιιj)tηψηοαι· να ζωyικιφισουι· ΙΙfJt•Ι«!tu·

πα ΟΙ·μιιιο παρα να Ο\'Ιιypιιψουι· ιιι fΡ\Ό α.\.\~"·· συμ ­ φωι·ο μι· Ι η μεσαιωΥικη nρακιικη.

Οι nιιικιτηρφ>ιωι ιοως rxouι· προοrξι·ι tιJ χρονnλοyιο ιοu μrιιιλλιου. Μηιιως πιιι·rιrι

φι λοτέχι·ηοε κιιι νωnοyριιφiες.

nc llo

vo ωιιιλιjξοuμc

ι οι·

1-'isa-

ι· ιιι:ιδή δεν οκολού\Jι)οr ιοv σωστό τρόιιο γραφιiς

κιιρiως οια μrτά.\λιο ιο11. ι Ιροφαvως διδοχιι)κr ιηι- τt ­

Ιt•ΙΙ' ρωμαϊκώι· ιφιθμώι•; Σιο ι• ίιχος Σrιιιι·μβρίοu Q. κιωβριοu 1995 ο l•a" k Υιιglυιn αΥι'λυοε ιο ρωμαϊ ­

χι·η του μt.\rτώντας ιn πορτρ.-ιιι 1ωι· ιιρχuιωι· ι·λ.\ηγι ­

κό σuσιημcι ιιρίθμησι)<:. Σιο Παf>{)ι· τεuχος, ο Sιeι·en

Κ<•"' και ρωμώχωι· ι·ομιομόtωι· -όυσιαοtικά δcι· υnip·

Sch"·arιzman μάς ριχ"ει μεοιι ο· ι' ι·α.- κ υκr.;ινιι που ηε­ ριλομβοι•rι ~ιιοιrψιr Ι ο- ιοuς ρωμιιϊκους ιιριθμους.

ΙJ φιiμι) 11JV οιιοιιι nιιrκ ι ησr ΟΗ)\' cnιιχή του οφειλ(ηιπ

χοι· προοφατοι πρόδρομοι

Η Οέοη

rou

t{)U

σ· αυτό ΙΟ\' ιομι'ιι.

Pisaιιcllo σι φ• ι ο ιορίιι ΗJς τέχι·ι1ς rξαοφcι ­

λi(cται εν μέρει ιιιιιί ιcι σχέδιιΊ ιου. Σuμφωνrι με ιη.-

ΔιιιβιΊστr ιο cιρθρο της σcλiδ<>ς μrιιιι η δικnωούνη.

6. yια δείτε '"•'ς ιιιιονr­


ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ

1996

ΤΟΜΟΣ

3 / ΤΕΥΧΟΣ 2

ΑΡΘΡΑ

6

ΠΟιος ψqΙάαι τους ρwμc8ούς αριθμούς;

(f γ

Steven Schιvartzmon

12

', \ '•) ι •

Συστήματα aρίθμησης

ι

f

Φuσική και σωματικό χορακτηριατικό 'Εναι; περίιατος στην κόψ1 του ~ V

',

18

Meshcheιyakov

Μέγιστα και ελάχιστο

Το π~ του δενδρώνα Vladιmιr Jσncovic

22

Ηλεκτρική αγωγιμότητα

ο άνεμος στον υδράρyυρο Ινοn Vοιοbγον

22 l!ροφα νιός ιη•11ζψ ούοι· ι· •·ο δωμ(ι τι ο

Η σψμεφία της τύχης

με θέο . Άραγε θα μnορο(ιnt' nοτι· •·α φαv ιnσ<εi οτι και η θrιι θιι

Nίkolaγ Vosilγev

ι·JΙ.\ι·ιιι• ..

το•· iδιο; Μιίλλον όχΙ . αλλι\ θα προ­ σπαθήσει ''α εκμrιο.\λcυτεi rι}ν κα­

Πιθανότητες στο επίπεδο

ΜΟΝΙΜΕΣ ΠΗΛΕΣ

τάσταση όοο ιο δu •·ιιι ό1· κn.\ u τερο.

ο κόσμος των ιφάντων

·θtλrτε άλλο ι'Ι·α:•. ρωταει τους -φυλλοβόλους• φι,\ους ιοuς. E1•n

2

μ1κρουλ•:• ΠροψοΙ•ώς φταΙ•tι ο ιιι

16

Πώς λύνετcι;

17

Σnσζοιcεψαλιές

ακρο. Αλ.\ά nοισ μπορrι να ti\'OΙ ιο οριο: Λς πούμε 011 κ11nοιος nyαποει

ιόοο ιη θcο όοο και τα δt•·ιρο. ΚΟΙ θέλει ,." β.\cnrι αnο ιο ιιι•ρuθuρό του ιο δcΥδρώΙ•α. αλλά \'Ο εχει και θέα

/1 μα ι·cια

φυτέψει

or

οcδομε,•η έκταο η:

18, nου έχει ιίιλο -ΊΌ

πρόβλημα ιου δcνδρώνο•.

του ψapfμn ιος

49

1Ί•tκr κnι nι'ρια

38

or

κJάοματα

5Ο Αnόψεις κivηοη

Ανάδροαn

Τι tΙΙ'αι ια μαΟημnιικα;

57 Στο μauρoriaa 11 Γιατί πρeπrι ι·α α•·Ιιβιιυμr

Ο μυΟος cιις κωδω~·οειδούς

το τζάκΙ:

καμnύ,\ης

40 Στα πεδία της ΦUσιιιιίς

58

44 Στο μαυροπίνακα ι r•'

δράσει

Αιιαναίσεις, Υnοδείξ.ος και Λύσεις

Πrδιn rο ιι(Ισμού

ΙΙ διΩκμίvοvσα

ΜσΘιψστι(ές ΙΜΙζΙιτιίσεις Μη K 0\'0\"tKfl OU\'t,'l:η

3 χ3

36 ΚaλεlδΟσΚάιιο

Λυτό το εpι.ηημ α τίθrιω ι>tο άρ­

Ορο τηςοrλίδος

του

Στο ερvαστήριο Παιχ••ι'διn μr το μπn.\ακι

26 Μαθιψστικά cιιρόοπτα

μcσα από α υ τό1·. Ποιο ti\'Oι ιο μry1-

στο πλήθος ΟC\'tρωΙ' nου μιιορrι ,.α

47

68

nαιχvιδότοπος Σπαζοκrφαλιι'ς r yκιβωrιομού

OUANTUM Ι ΠΕΡιΕΧΟΜΕΝΑ

1


Ο ΚΟΣΜΟΣΤΩΝ

ΚΒΑΝΤΩΝ

UFO: ιισκληpήιι καιιιχαλαpήιι , πραyματικοτητα ---<<Αλήθεια τι απέγινε το μωρό;ιι

---<<Μεταμορφώθηκε σε γουρούνιιι, αποκρίθηκε η Αλίκη.

---<<Το περίμεναιι, είπε η γάτα και εξαφανίστηκε ξανά. Η Αλίκη στη χώρα των θαυμότων,

Β

Lewis Carrol

ΛΣΙΙωΣ ΚΑί\ΟΝΑΣ ΤΩΝ θΕΊΊRΩΝ

ή ομίχλη\. Η παρατ.ιwούμενη συνή­

οεις

επιστημών. tωΙ' εnJστημώΥ που

θως μειnβλ ιJιότι]tα της φωτεινί]ς

( η.\αομοειδίJ). Σε πρόσφατη ( 1993) βι ­

μελετούΥ τΙJ .. σκληρή• πραγμα·

τοιrς ένωσης οφείλετω είτε στην κί ­

νιεοοκόrιηοη tέtοιων φαινομένων ,

tικόtητα, εjνοι όt.ι yΗι ψοινόμt­ να στα οποία μπορεί να δοθrί φυmκιj

Ι'ι]ση της ίδιας της φωτεινής πηγής

. . . (περιο ιροφη φαροu. ΚΙΙ'I]Οη rιιο<ι> απο

οριομι'.νες καταyραφι'.ς διwιουρyούΙ'

ερμηνεία δεν απαιτείται επίκληση

δέντρω ι:iι& οιη ο ιιγμιιιία απόιφu ­

μένων από μορφές όπως αγγέλους,

rιniθ«νι.)ν θεCιψΗ~ν. Η οuν ιριιη1κή

οχήματα, τiρατα κ.λπ. Φωιεινά φαι-

ι: FΟ

ψΙ} οηό σύννεφο. Φωτεινα αντικείμενα μικρών δια­

cινίJκει ο ιο χ~>ρο ι ης

στάσεωΙ· που εμφαγίζο,•τα ι "" εκ ­

να ιιροέλθουν και cιπό τεκτονικές

•σκλι]ρής•· πραγμα ιικότηtιις, κιιι η

ιελούν

νοήμονες ελιγμοίις ο rον

ιάσεις που ανοnτύσοογτα1 στο εσω·

~ρμφ•ι;ίn ιο11ς δε1· αφίιvει 11εριθώρια μιισιηρίοu . Ίn ιιαριιδείγμητn που

νυχτερ1νό ουρανό είναι συνήθως

τφικό ιων ιιετρωμάτωv του γήινου

μαχητικά αεροπλάνα σε ασκ ήσεις ή

φλοιού <πιεζοιJλεκτρικό φαινόμενο).

nκολουθούν καλύπτουν ης περισσό­

δοκιμές οι οιωίες κρα ιοίινtnι μυστι ­

Σε όλες αυ τές τις nεριmώοεις, ανα ­

τερες μαρτυρίες υrο. όπως εύκολα θα

κές (nερίrrτωοη ιr(ψΙΙολλων μnρτυ ­

πτύσσονται ηλεκτρικό πεδία τα οποία

δι(ιιιιοιώοει ο ανοyνt:)οιιις:

ριώΙ·

ανάλογα με "tιJν ισχύ του φαινομέ •

πλειονότητα των μnρωριι;". <iινω ιοιι

95'> Ι

Μεμονωμένα φωιεινά αηικείμε ­

νη οημειιικι;,ν διαοtάοε.cnν

~

l iFO στους ουρnvούς

ιιις ~υρ~>­

ατμόσφαιρας

ιJ)Ι' ε γ ιίηιωση εκλάμψεων προερχο ­

.

'

.

νομενα οιψ αtμοοφαιρα μπορουν

1989

νου μΙΙοpούν να προκαλέσουν δια­

οι οποίες οφείλοηαΥ στις

πης και κυρίως του Βελ yίou ιο

και

ανώτερης

ροτηρnυΙ'tοΙ τις απογευμιηιvl·ς ή

δοκψοοιικέ.ς ιι ο)σεις των νέας τε­

ταραχές ο ια t]λεκτρικά συστιjμοτα των η υ ιοκινήτων που βρίσκονται

,·υχtt:ρινές ~ιρες και 11υνήθως εκ·

χνολογίας υπερελαφρών αεροπλά ­

κονw, όπως οιιvέβη ο ιο Λέβελλαν ι

λαμβάvονιοι ως ι:Fο είναι οι πλιι­

νων ιύιιου Δrλ ια).

του Τέξας το 1957 κα ι οιο φράγμα του Λοχ Ραiη{kν, στη Μcιίρυλανι το

nou

Ιlα­

'

της

1990,

νήτες Δίας. ΚρόΙ·ος κω κυρίως η

Εξcιλλου. πολλές φορtς φωιεινές

Αφροδίτη. μετεωρίτες, αεροπλά1·α οε

σφαίρες μικρών ή μεγι\λων διαοαi­

1958

μr.γιiλο ι)ψος. ιrχνηιοί δορυφόροι και

σεων

ε ίτε μετεωρίζοντιιι είτε

οιον ανθρώπινο εγκέφαλο, όπως έχει

ιινθρ~)ΙUΙ'(Ι διαοιημικiι οχήμαια. με­

εκτελούν

πεnλεγμέΙ•ες

διιι 11ι0 ιωθεί ηειραματικά.

ιεωρολογικά αερόο ιnια. οφατιωτι­

l ζιγκ - ζαγκ ) και συνιiθως εκλαμβά­

κοί φωτcινni οτόχοι rιοιι με ιt(ο)pίζο ­

νονται ως

δεν είναι παρά εκ ­

νοί οχημαιισμοί μπορούν να ερμη ·

v ιnι

(φωrεινές σφαίρες nου πέφτουν

φάνσεις ατμοσφαιρικού πλάσμα ως

νευ ωύν κατά περίπτωση. όπως π .χ.

rιολύ αργά με αλcξίrιιωιο, rιρ<ικτικά

Ισφαιρικοi κεραυνοΟ. όπως οτη1· ιιε­

UFO

ακίνητες για •ον πιφα τηρηtή. διόιι η

ρiιι ιωση της ΜινΙ·εσότα το

φι νιο ιρίνιcι ( μαρτυρία δύο αμερικα •

λάμψη ιουι; διαρκεί γ ιο πολύ μικριί

Ι !. Σιφ· ίδια καη)γορία ατμοσφαιρι-

νώv πιλότων ιο

χρονικό διcιστιwα -nερίπτωσιJ πολ­

κων φαινομcνων

φωτεινές πηγές που υπερίπταντα ι

λών μαρτυριών

τρισδιιiστιηι:ς φωιε11•ές εκφάνσεις

διοτηρ6>ντας

19901 ή ακόμη πιισ­

ποιι ειιανε1λημμένα α1·αφέρονται

όπως στο ΛάμΙΙοκ ιου Τι'.ξας το

βολείς αυτοκινήτων. φάρω1· ή συνα­

από πιλό τους καιά την πιήση τουι;

(ΝΦ). Η πρι;,rη ΙΙερίrιιωση πιθανότα ­

φών φωτεινών πηγών ιπ.χ. φώτα ντι­

πcίνω από ούΥνεφο κο ιαιγίδος και

τα οφείλrτω οι· κ α ιακερμιι ιιονό με·

οκοιfκ

οφ~ίλοηω οε ιιλεκιρικές εκκενώ -

τεωρiτη ή κομήιη κατά την είσοδό

UFO στους ουρανούς

tι]ς ΓερμαΥίας ιο

2

nou

οηικλώνtnι σε σύννεφο

MAPfiOI Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

.

nou

UFO

.

κινήσεις

1979

' ονηκοuν

(ΣΕ

και

οι

< ΣΕ ΠJ, αλλά και παραισθήσεΙς

Περισσότερο πεπλεγμένοι φωτει­

οχήματος

.. πούρου-

to

1948)

με φωτεινό

ή

UFO

από

σχηματισμό ι.ους,

1951


του οτην οψόσφαιρα Ιο ανθρώιιινος

ι πρόγραμμα Mogulι οφείλεται και ο

εγκέφαλος δημιουργεί ιο πcρίγραμ­

υnοιιθeμrνοι; ιnταμεγος δίσκος rιού

ιφοκολείl αλλα και σε απ{ιιrς γιn ιδιοιrλeίς οκοιιους ιιιροβολή και

μα του •πούρου• μέσο οτο οποίο •το­

ουηιρίβη οιο Ρόοyουελλ ιου Νιου

ηροσδοκια αδρής αμοιβής από τα ΜΜΕ

ποθtτει• ης πnραιφουμενες ιιηyiςΙ.

Μέξικο στις

όπως

και τους rκδοιικους οικους για rξο­

r,·ώ η δtυτερη σε α'•άκ.\ιιοη προβσ­

κα-τόο ιv ιιιtοtω'' ιιvα γκάσ t ηκr ,.ο

οφάλιση συ,·ε,•τεύξtω\• και iκδοοη

λεων <ιυtΟΚJ\•ητω\' ή φώtω\• δρόμω\'

αnοκολυψει η Λμερικα\·ική Αεροιιο­

βιβλιω,· Ι οφειλε ται t\•ιις

ου'·,·εφα ή ανιίκλαση φωτός αε

ρία μόλις 10'' Σtπτεμβριο ιου 1994.

πrριπιώοrω,· ιt"<>. ό11ως π.χ. οι περι ­

πετου,· χαμηλά

χωρίς να διευκρινίοrι nν υπήρξαν

πτώσεις ·αοαγωyώΥ· από εξωγηι ­

σε συγκεκριμένες γrωμrτρικές δια­ ιάξεις.

και αΥθρώπινα Ούμαιο. Το Νιου ~!έ ­ ξικο χρησιμοποιείται ως πrδίο δο ­

ΥΟυς οτι)'' Παοκαyκοiιλιι ι ης Πολι­

Στο φως της ημέρας ιπτάμενα μη­

κιμι~ν ποικίλω'· (ικρως ιιπόρρητων

στοΥ Εθ,·ικό Δρυμό Σίιγκρηβς στην

χιη•ι κό αντικείμενη που εκλαμβάνο­

ι mήμενων οuσκεvών L{ι)V ΗΗ:\, tHH

ΑριζόΥιι των ι ΙΙΙΑ ιο 1975. Στιιν εν ­

νται ως υ~·() εfνω συνίιΟως κοι ν{ι

δεν ηποκλrlcτω ιο ιιt'Ο ιιοu είδε στο

θόρρυνοιι και διι'ιοοιιή τους έχει σuμ­

αεροπλάνο. μrγίιλο ερευνητικά κω

Σοκuρρο το

on ι11νομικός Za -

βάλει κcιι ιι ιιδίοι«κιη δημοοιογραφίcι

μετεωρολογικό αερόστατα, cιερό­ ηλοια tύllOU Zrppelin που εκτελούν

monι !ΣΕ

οφrιλι\ιcιν σr δοκιμή

οριομι'νων cκιφοο~ιπων rωv ~!ΜΕ. που nροκηρύσοοιιν βραβriα π.χ. για

or

σμήνη mηνών

nou

2

Ιοιιλίου

l964

1111 ,.,,

ο

1947.

αριθμός

τείας του :.1ιοοιοοιιιιιή ιο 19ϊ3 και

διαφημιστικές rιιήΜις. θρουσματα

πι>οδpομης ουοκrυής κiιθr ι ης cιπο­ γείωσης και προσγείωσης 1\TOI.!. Σε

yηJ\·ων διασ ιημικών οχημάτω,· ποιι

ιπαμωρισ1ικό αερόοι<ιιn Sk~·hnok

ηάς Ι λαίκη rφιιμεριδα lliaι ίona/ Ει1-

εnανακόμrιιουν στφ· ατμόσφαιρα.

ιοu Αμερικα,·ικου JΙ:αυηκού οφεί­

quirer οιις

και φυοικο αου,•ηθεις πrιραμαnκές

λεται ιιιθιι,·ότα1ο και το

l'FO που

οcρ γιιι \ ' (J ΚΟtΟΟΚtυΟΟΟυ\· κύκ.\ους

συσκευiς σι ο ο ιάδιο της δοκιμασίας

οδήγηοr στο Οό,·α1ο το,· ομφ·αyό

σr οyρούc;. τους ο ποιους κο ιόιι"· φω­

τους. που λόγω ι ης φυοης ιους κρο­

Mantell το

τοyραφι(ου'' nοροιιοιiιζnΥtύς τους

ιου,·ιοι μυοιικέc;. Αξίζει να σημrιω­

Υοηας σε αηηίφrιιω ιίψος .\ιπο­

σοΥ ίχ,·η ιιροογrίωοης

Οεί όιι ιο πρώτο κύμα μαριιιριώΥ

θύμηοr λόγω rλ.\rιψης οξυγόνου.

οοκρύιιιΟU\' οιοιχι·ια , όπως ο.χ. την

ι:rο. ιιου ι•rιληξe ιις ΙΙΠΑ μετά το

χ(ιΥοντας έτσι ιον rλι'yχο του αερο ­

άρνησι1 tω\' ··αιιηχθfινιων .. να UΙJO·

1947. oιJ\•rιιror

σκαφους.

Ι948 ΙΦΔ > οοιιοίοςα,·εβαι ­

την καλύτερη μαριυρίcι (ff() της χρο ­ ΗΠΑ Ι ή π.\ηρώ,·ουΥ φαρ­

uro.

ή α­

στικές ιι ιήοεις αεροοκαφώ\· ι ης Α­

νωση ιης Αrροιιορίας ανέφερε ότι η

βληΟούν or ιrοι ιιληθείας. που κα ­ tαδεικν\ιοιιν 111ν ιιπάτη. Σαν Ο\'tίβα ­

μερικονικi]ς Αι·ροιΙΙψίας, όπως του

έλλειψη οξυγόνου προκάλεσε φα ­

ρο, κiιιιοιυι ί·νιιμοι. ι·uσιινι·ίδηιοι κω

ν- ι 73 1Flyίιιg

νιαοιC:)()r ις οι ον rιι λόι.ο, ο nιιοίος. ου ­

κατοτοπιομένοι διιμοοιογρίιψc)ι έχουΥ

νrιρiβιι κυνηγώντας την Αφροδίτη.

με μυστικές δοκιμα­

Flapjack i και του Α ν -

αρχική rιiινιως C1νnκοi­

ιιρ<ι γμιιιι κόιη ια ιrιιάμεΥοι δίσκοι. Το

Εnωης οτο φως tι)ς ημeρας εκ ­

συμβάλει σημανιικ{ι οιην ΙΙrιοκόλυψη ιi·ιοιωγ ιιrριrιιώοtω\'. Α •σκληρή•

ιι·λrυταίο μάλιστα αεροσκάφος βασί ­

λομβόνοηω μφικtς !p(ιρfι; ως ι:tΏ

nραyμcιτΙκότιιτα. όμως. ι•ίναι πάντοτε

ο ιηκε οε γερμα ''ικό οχέδιιι rωu έπε­

οuνηθη ή ασυνήθη μετεωρολογικά

σα\' οι<ι χίρια ιων ΑμrρικανώΥ μετά

φαιγόμr,·ιι όπως ανεμοιπρόβιλοι φα ­

αηιδημοοιοyραφική και ουδεnοιr ουγκJ\·eί ιο ruρύ κοl\·ό. ΕJ,όλλοu. οι ­

ιηΥ κατάρρευση rης ΓερμοΥίας το

κοrιδη ,·rφη ι rιeρίnιωοη ιιιιομε,'ω'·

ΚΟΥομικα ουμφrροηα ο χι μο,•ο α ­

Οι tπιμονει: μαριυριrς yια εμ­

δισκω,· που φωιογραφηθηκα,· στη

τόμωγ αλλιι κοι ο.\οκλrι>ω,. πολεων

φόνιοη ιιηιιμε,·ων δίσκων οιους ο­

Uρα(ιλια καιc\ ιο μέσο ιης δεκαετίας

η nεριοχω,· ευνοου'' τη οιιηηρηση η

μεριχο,·ικούς ουρανούς μετiι το

του

7055

1945.

ιt'l)·ing l)ίskι, ιιου ήιογ ο ι ην

11

ανηουχηοαν τους ιθύΥο,·τες των

τιι δυοη ιου. όtον οι οκτί,•ες ιου α\•<ι­

rην οΥοκί,-ηοη οχειικι~'' θεμάτων. Στο Ρόογουι·λλ, yιιι πιιραδrιγμα. λει ­

HIIA, 01 ΟΠΟίοι υποψιάοτηκαΥ ότι

κλώηαι

nαyοκριιοιιlλ.\ους της

τουρyει το ··Διεθνι'ς Μουσείο των

οuιό t(ι αντικεjμενα ήιον αντίστοι ­

ι;rο ... και από ιο Ι9!J2 ΙΙΟu όγοιξε ιις

χα, 11ιο ιιροιιγμr,•α ρωσικά σκάφη

αιμόοψcιφας Ι η ου,•ηθέστερη οφθαλ · μαιι(ιtη των π ιλότων rιou βλέπουν

που όπως υnέθεοnν. τα καwσκεύα ­

UfΌ καtά ΙΙ)V ιιιi}ΟιJ ωυς). Σε ψευδή

rιόριες ιοιι μrχrι υ ήμερα οι •οuφανα ­ τικοί· ειιιοκ(·ιιιeς του έχουν υπερβεί

σaν οι Ρώσοι με ιι1 βοήθεια γερμανι~''

εiδωλα οφείλονιω κnι nολλά ι:FΟ που

κα ιίι ιιολ ύ ιιι;

εrιιο tημόνω,·. ΙΊα το λόγο cιιrιό. η Αμερικανική Αεροπορία συ νέο ιηοε

ε μ φα νίζον ιcιι or !p(•ιtογραφίες ιείδω­ λcι του φακο(ι ιης ΨC•>τογραφικής μη ­

Εδώ ιελειωνου\'. λοιπόν. όσο ι'χcι να ιιει η ι·ιιιοcημη γιcι ια LIFO: Κiιθε

από το

κnι μετό σειρά tιιιτρο­

χανής ή είδωλα ιιrιό tη\· ιινακλοοη

πώγ ειδημόνω,· ι προyράμμα ι<ι Sigπ

Bluc

φωτιστικώ'' δωμιιιίοu στο τζάμι μέσα από το οrιοίο λιψβίινrιnι η φωτογρα ­

ολλο. Το φ<ιινομt·\'0 τω'' UFO έχr.ι ακόμη ιιολλ!-ς διαστάσεις. Μια ολό­

και μετά Ι με σκο­

φiα -μια απο nς συνηθι'σ αφες nερι ­

κοrεξοχη,· ουγχρο,·η μειάπλαση ιοu

πό τφ• κοι<ιγραφή και αξιολόγηση

mωσεις φωιογραφικης απατης. μαζί

ψαl\·ομr,·ου. δι·,· rχει ακόμη θιyεί.

δε το

με τη φωτογράφηση καnέλω'' και όλ ­

Εi,·αι η καιηγοιιιιι ιων Σιε,•ών Ε­

!έκθεση

λω" διοκοειδών ΟυΥήθως αηικειμέ ­

παφώ'· ιtτιιριου <ύnου t!:E 1\'Ι ή -α­

νωΥ

ηαγωγι;"· · από εξωyήϊ,·ους που γίνο ­

1947

του

1947. Grudge Rook οπό το 1952

τω,· μαριυριων

ιου

1949

και

uro. θεώρηοr

θέμα ληξο'' μόλις

ro \969

1947

~r πτωση μιας μυστικής Ο\'ΙΧ\'ευιικής συσκευής κοιαyραφής

Condonl.

19501 και rίδωλα του Ίi.\lου

110u

or

καιά

ρίιι ιοηω γιο νιι φωτογρα ­

φ~ύν ως ι:rcn.

100.000.

κληρη καιηyοριιι. ιιου οποτελrί ιη'·

νται αγιιλi)Jιιtς οιιό ιuυς αnαχΟέντες

ιης α ψοσφωρικής ραδιενέργειιις με

Σε φάροcς ιαιιό κιικόyσυο ιο χ ιού­

μό,·ο κrιιω ιιιιό ιη\' επίδραση ύπνω­

ο ιόχο ιον εvτοπισμό των nυρηνJκών

μορ. οίιμιιλι-γμο κιιιωτrρότητας ή ψυχικό rιροβλήμcι ιιι ιιuτου που ης

σιις ( U\1\' (οJιιΟμούl, κατηγορία την

δοκιμ~)ν ιη~ ιόιι· Σοβιι·ιικής Ένωσης

onoiα εyκοινίηοcιν με ιι1ν ~rμηειρία»

QUANTUM I Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚθΑΝΤΩΝ

3


τους οι Betty κω Baι·n~.Y Hill ιιrιό ιο

οφείλονιnι σε παροιοθιiσεις που προ­

ψυχίατρος

Πόρτσμουθ του Νιου Χάμσαϊρ. Το

καλούν ιαι οπό μορφές επιληψίας,

του Ίlανι:πιστημίου του Χάρβαρντ. ο

βράδυ της 19ης Σεπτεμβρίου

όπως π.χ. ιης '!'ιε ιtemρoι·al-lobe

οποίος από ιο

1961.

ep -

John Mack, 1990

καθηγητής

και μειό έχε ι

κατά tηl' εωσφοφή τους από διακο ­

ileps_y. κροταφtκιί εmλιjψία ι. προερ ­

ασχοληθεί με σωρεία τέτοιων περι ­

πές σιοιις κοιcιράκτες του Νιαγάρα, και εl'ώ ιαξίδευαγ σ' έl'αν έρημο α υ­

χόμενες ααό φυσικές δυολει ιουργίες

JJ ιώσεων t(n·ω ιων

ιου εγκεφάλου ιπ)υ είναι δύσκολο

οι "εμπειρίες τω'' απαχθέντων• είναι

τοκινητόδρομο, είδαν ένα φωτεη·ό

να δΙαγνωσθούν, λόyω της οποραδι­ κής, αιφνίδιος και φευγnλέας φίισης

πραγματικές. ΊΊ σημαίνει , όμως.

τους. Ειδικά οι πάσχοντες από

σιι'tζουν οι φυσtκές αποδείξεις: Μi]­

UPO "α τους πλησιάζει. Σταμάιηοcl\•

80),

πιστεύει ότι

πραγματικές εμιtειρίες όιον αποu­

nα\'Ικόβλητοι. και όιο'· ιο UFO απο ­ μnκρύνθι]κε συνέχισαν έντρομοι το

είναι εηιρρειιείς σε αιuθήμ<Ιτα πιφη ­

πως uπόρχο11ν

ιαξίδι της επιστροφής. 'Εφτασαν ο co

διου και ιινεξιjγητου πανΙκού ( νιώ ­

πραγμcιτικότητας; Μιίnως πέρα από

σπίτι τους με ανεξι]γηιη καθυοιέ­ pi]Οη δύο ωρών. Το συνιιιρcικ-ιικό

θου'' .. παρουσίες• που τους απει­

τη •σκληρή• ηραγματ.ικότητα των φυοικων γεγονότ-ων υαι\ρχει και μιο

γεγονός τούς ανάγκασε ιελικίι να

λούν ), σε ι διόpρυθμες φιλοσοφικcς και κοσμολογικrς ανησυχίες, σε ο­

επωκεφθού\• έναν διακεκριμέ,·ο ψυ­

πτασίες μυστικιστικής φύσεως, και

θρώmΥου εγκεφάλου. τιις οποίας tι]

χίατρο tι]ς Βοστ~νης

!Ben Sίιn.ςοη). ο

μερικές φορές αναφέρονται σε φα­

βαρύτηrα ιιγνοούμε ή δε'' μπφούμε

οποίος, για να εκμαιεύσει λεπτομέ­

νταο tικά tnξiδια που ποτέ δεν υπιίρ­

ρειες σχετικά με

ξ<Ιν οτηγ πραγμοτικ.ότητα.

Υα αξιολοyίισουμε: Βέβαιο είναι ότι

rηγ ιραuμιιιική

εμπειρία τους, τους υπέβαλε οε ίι­

to

•φαΙνόμενο

νυμα, rroυ δε\' έχει διαφύγει οπό

-φαινομενικά

τρnυματικώ'' εμπειριών τους σε κο­ τάσταοη tιιrνωοι)ς ! tιΙΙV(,)ιιομοίι) f.-

ιουλάχιοτον-ο ένας nπό ·ωγ άλλον,

·ν έ.χΟ\1\' τον κίνδυνο vn οφεiλοντω

ιοιις οοβιιρούς tpeυνηιές ιου: οιον άνθρωπο υποβόσκει μια συλλογική

διη\~ίθηκαν την ίδια ιοιορίο. Η ιιπώ­

οε φιινταοιώσεις και μυθοπλασίες

•θρησκευτική• αίσθl)Οη όη παρακο­

λεια τω\' δύο .. χαμένων ωρών • οπό τη μνι]μη τους οφειλόταν οιην προ ­

ιοv ανθρώπινου εyκcφόλοιι. Αυτiς μπορεί να προκλιιθούν είτε λόγω

λουθείιαι από ανώτερα όντα που πα­ ρεμβαίνουν θεηκίι ή aργητικά αλλά­

σγείωσιι του t:FO. τηγ αρπαγή ιοιις

υποβολής από τον υπνωτιστή (ιδιαί ­

ζοηας την πορεία της ζωής του. και

από εξωγήινα όντα κcιι cιιν υ ιιοβολ ή

ι~ρη ο τι<; περtπτώοι:ι<; κατό ιις οποίες

όιι

ιους οε ταπεινωτικές ιατρικής φύ ­

ο τελευταίος πιστεύει Οtι}\' ύπαρξη

καιρούς α1σΟψή την παροιtσία τους

οει.-,ς εξετάσεις. Η ιστορία τους έγινε

ι;rοι είτε σε πληροφορίες ιιοιι οuο­

ι11ιό μορφι] •αηοδεκ ιι]• και

ευρίιιωα γνωστή το

όιαν δη ­

Οf,ι.ψrιΊοv ιn ι ο tnν ανθρώπινο εyκέ ­

''οητι]• στο πολιτισμικό-τεχνολο­

μοσιεύτηκε στο αμερικανικό περιοδι ­

φολο -εκούσια ή ακούοια- από

yικό · κοιΥι.)νικό πλαiσιο της εκfι ...

κό

Look. Μγtι αργότερα εκδόθηκε βι ­

σχετικές συζητi]οεις. αvαyνώομcιια,

ο·ι.οc.ε

βλίο ειδικά για ι ην ηeρίπ τωοι] τους.

ιηλεοπιικtς εκΙΙομΙΙ(·ς Ι<.λπ .. ης ο ­

φαντάσματιι,

ε νώ

αμερικανικό κοtνό

ποίες χριισιμοποιεί για νιι ειιενδίιοι~ι

οκευ tικά ορ(ιμιιτα, το κυμα των αε ­

απέκrηοε και τηλεοπηκή αίσθηση rης

μια φανταστικιi περιιιέιεια με ί)pwn

ροπλοίων του

rtερtγρ<ιφής ιους έπειια αnό συνεχείς προβολές κtνηματογραφtκής cαιvίας

tO\' εαυτό του. Η

•ιφυπτομνl)Οί<ι .. εί ­

τις ~mA πολλά χρόνια πριν ιn καια­

νιιι χοριικτηρωτικό φαινόμενο nου

σκευάοει ο ίινθρωιΙο<;J και ιcι συνε­

που γυρίστηκε γι' αυτό\• ακριβώς το

εκδηλώνετιιι κατά τη διiιρκειιι ιης

χή κt)ματα ιων ΙΨΟ δε'' είναt παρά

λόγο. Αμέιιως μειίt άρχtσαν να εμ ­

ύπνωσιις, όπου η αναδρομή σιο πα ­ ρελθόν φέρνει στο φως ηεριrιέιειες

fνο

που ο υηνωιιομένος uιιοcίθε ια• όcι

φιιινομένων που με δΙαφορετικές μορφές την κάθε εποχή συνοδεύουν

χρόνου• στη ζωή τους και

έζl)Οε σε •nροηγοίιμεγες ζωές•, κάτι που έχει αcιλαιότερα κcιτίι κόρον

προσφεύγοντας σε ψυχιάφους για

χρηΟιμοποιηθεί από παραψυχολογι­

ΟρώπΙVΙ) λογικi].

να αντιληφθού'' τι τους συνέβtι, ανέ­

κούς κύκλους σαν •<απόδειξη·• των

Τι είναι λοιπόν tα UfΌ. εκείνα δη­

φεροv κάτω από συνθήκες ύπνωσης, πώς <ιπήχθησαν από εξωγψ,·οuς, rtώς

μετεμψυχώσεων ή μετε,·σcιρκώσεωv

λαδή οnό το ιτt'Ό ιιοu ιιδιινη ιούμt να

του ι\\•θρώπου.

ερμιινεύσουμε: Φαη·όμενα μιας φιι­ σικής πραγματικοτι]τας ια οποία

ξουαλικα (ή να παpάσχσυν σπέρμα ή

Τέλος δεν πρέπει να παραβλέψου­ με τον rιαράγονια rου υποσυνείδl}tου

ωάρια) με σκοπό τη δημtουργία υβρι­

μιμιιτιομοίι, δεδομi;vου ότι οι ε μπει ­

κά•·ει να αρνούμαστε: Ί·Ι φαινόμενα

δtκού πληθυσμού από γι]ινους και

που συλλαμβάΥοvtαι στον ανθpc;ιπι­

εξ~ιγήtνους και πως οι εξωγήινοι

ρίες αιιnyωγώ,· ιιπό εξωγήι νους έλα­ βιιγ επιδημικές διαστάσεις στις ΗΠΑ

aνησυχούν για την επερχόμενη κο ­

μετά την τηλεοπτική δ1άχυσι1 της ηε ­

παραισθήσεις,

ταστροφή της Γι]ς από τα οφάλμα·ω

ρίπτuχιης του <εύγους Hill , 11ου απο­ τελεί to ••Ιστορικό .. τους «nρότuπο ...

μιας •χαλαρής•· ιιραγμαιικότητας με

Σε ΙΙνtίθεση με όλες αυτfς ης εν­

αντικείμεγα; 'Η μήπως εί,•αι •·παρcι­

Ιlρώτον, τέτοιου είδους πρω ιογε­

σιάοεις Ιtuu εκψρίιζουν την •<κοιε ­

θυρα• μισς ·ξένης•· προγμαιικόιητ.ιις,

νείς φαuμΙΙtικές εμπεφίες μπορεί να

οιημένη" επιστημονικιί άποψη, ο

της οποίας ι1 δυναμικιί και το νόημα

ανεξι\ρτι]tα

to 1976 to

1966.

φανίζονται σε ολόκληρο τον κόσμο κω ιδιαίτερα στις ΗΠΑ ηεριπτι~σetς aνθρώιιι.ιν που έχοντας εμπειρίες

..χαμένοu

αναγκάστηκαν να συνευρεθούν σε­

των α'·θρώnων. Τι σημαί,•ουν όλα αυτα ;

4

ΜΑΡτtΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

περιγραφές

•χcιλcιρΙί• πρcιγμnτικότητcι του cιν­

ιων UFO• φέρει ι'να σημαντικό μή ­

τους.

οι

διιιφορετtκά είδη

τω\'

rινωοη κατά την οποία και οι δυο

Δεύ ιειιον,

TLE

ov [ά το όντα κσθισ tούν κα tίι

ειιοχής.

Τη

01

.. κ α ι α­

rινεύμα cα,

ιtt

νεράιδες, τα θρη­

1896-1897 \που έπλι}ξe

συ,•εχές

μετιιπλαοσόμενων

ncφcιψυχολογικών ή nιιραφυσικών

υπόγεια ικω προκαλοίιν;J την αν­

11

έλλειψΙJ •σκ.\ιwών• αποδείξεων μας

νο εγκέφαλο όπως ια όνειρα και οι δι]λαδή φαινόμενα

πραγματικά είδωλα και φανιcιο ιικά


~άν υnόρχουν- μας διαφεύγουν; Ό.ιι ΚΙ αν ·εί,·aι, 1ιpέιιε1 ιr.λικά Υα διευκρινιστούν μέσα από ιο χώι><> της επιστήμης. Ο επιστημονικός κόσμος

οφείλει ''α παύσει να αγνοεί ιο .. ψ(ιι · νόμενο• ή έστω το

..σύνδρομο

ιων

ΠΕΡΙΟΔΙΚΌ ΓΙ Α Τ Ι Σ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

UFO», αλλά μέσα από ιην αυστιjpή

Ρ.κ&χιη ι ης E\·wηc Κnθ.ηyη<ι•>\' θ!.'rικι.•~ 1-:rrιιΗημr.ι•· ιΧ!,ίΆ ι ιω• 1/Π.:\

παρατήρηση, τη συστηματική κα ­

pt' UJ 01/]Jtψ(l~η trις Αμι·pιΚU\'11'1)1; 'EvωafJ(: Κοθη~•ηιι.>\' ΦιΜιJr:ιjς rAAI"fl

κω ωυ f.οαφrιΟυ Κι•aι)t τ~ l'ωιrικηι; .4 ΚΊιδι)μίrιι:; F.ιιι() rηpώ\·, και του ~ηκού l.ίιj.IJ.IoiJ.\ιo" K(ι{Jqyψtn• M(lQrιμvrm<il\' ι Νmfι rω'' HllA

τιιyραφή τ.ης •ακαιέργιωιης• nλι}· ροφορiος και ιην κριτική rρευνα

λΜεΡΙΚΑΝ1Κιt ΕΚΔΟ.t.Η

φαιν<>μένων που σιινεχι~ς μεταλ • λάσσοηαι. όπως ου ιό των U1'0, να

8111 G. λld r itiJ(('. Διοιιι ηι ιχος Διtυθu\'της. !-IS'J'A

Εκ&ίrης

κατορθώσει ιελικά να οροθετήσει ιi. α γ χρειαο ι.εί, ηι ι;ηαναnροσδιορίοεΙ

St•ΓJ(e)'

Kroiov• .lιtΙJ&I)\'1-1)ς,

Λ vt.rruηrι-.Lir"'' &o'irirrιc

ι--(Ιhψι>Ιίl κ ν~'" ' · ΚuΟη,•ηιης Φuοικης.. LLο.\ι1ειαι;;ο Ωn''tΠΙ(Ι'tήμΙ<Ι 'tl'γ.; Μόι'ιχ{ι~~

την έννοια ιης πραγματικόημος.

lδι•vrικ<Η Jιruθv''f<'<; tνl"t<tιηc

ΔΙΙΙφορει~κc\, κl\·δυνεύουμε να διο ­

λισθιjσουμε 01.0 κο"•ωνικι'ι επικiν­ δυνο σημείο σύγχυσης που τόσο εrιι­

WUIJam

't'urι Ο~ίp)'Ιιι n , rlρveφuς, Γραφciο K,·ant Sltl"lιlιιn ι .t,ιφ;: Gl;:ι~ h O"' ' βραJkιο :οl<Ιμtι(',\ + ΦΙJΟΙΙΙ.iι . I(O\ ι·ιιιvιημι\1 ωu χιιpρυρντ ι•. 1'bui'j"f tι n , ~1 r ιιιλ .\ι" ιtι,λ vις, ι MαOημau~to i. tiO'~-"tmoτημιo tης Κιιλιφόρ,·ιΙΙ+,;, ~fιιφκλι·v

..lι{:υθvηiς Σv\·ιπl::ης,ΗJ Φvn ιι.tJ Lat-η• Ο. Klrk ι•AΙ r·iι::k . .ΚaΟηyηπις Φu(l'llςης. Πολιτr.•nιtt't π(~\ο"tmι:n:ημιη ι ·~ Μ&~·ιιιvιις λl~rt ι.. Sιιιιοenkο. Κο<h}'(Ι} ι ήi; Φuοιιιηι::. (Yα1t10ΙJW Φumιιι~ ιcοι 'J't);\'l)λl)\ Ι(Ιί; C"ής M(.lιi)(o.~

γραμμοιικι'ι εκφράζει ο ποιητής: ·Μι(Ι και δεν μπορώ ΠΊΟ νο σκε­ φτώ την nραγμα~ικόιητα σαν nρογ ­

.1ι-ι•ΟΟιι\'1'1'ς:~ΙΗ'1ΥΙ{η.; σηι ΜtιΟημQιικιι

ματ.ικότητ<ι. Jιοιος ~iνιιι ο λόγος να οκέ.φιομαι tιι όνειρα σαν όνειρα;ιο

Mark ε. Sιιuι Σuμβ()u.\ος, Ynf).\()\'l()f{,Ι\\ ~χο.\ιj \UU M.nι>Q...-$.\ . Nru γ6ρκη

Χρίστος Δ. 1Όιiδης

V1adimir Dul•ro,·s:ky, F.fιiκιι\φι..ις ΚΙι0η)·ψης ~iο6ru~<• ηκι:"·. fln,\ιvιnκό 11<ι,·rιιιqιήμι(t tης Μόοχα~ \' rJP.Uti\1\'IX; 1'\»0:<1\ 1\ΥJ',ι'Ιψi)':Ι Ι)':

ΑρΧtΟU"' ιωιιJ'}Ι.'. 'l'in1otl•~· \\re1)f:Γ

ScΓgςy

Τσ nρι~ω μέρος ωυ κrψέ\'Ου δη ·

Σuμβόuλ(ιζ ε-αι δ~·ωy θtμόuο)V

lv•nov

F...dwιιrd

l...ounsky

l.lι,Ujkιιι.ιt~, ~Ιιvι1-..{η.:;

Al exand~r BuY.tLin, Κcιθιη·ηι"' Φοοικης. Πο,\ιιr ιιικl• ΙΊ(ΙνrιΙμΙΙ ήμι4 ι ης Μόο.Jχαι:. Yu ll DanHC)ν, F.ρι:v"· ηι:~ Α' ΒαΟμιδο.c:. f,·στιwuτο Kurc-batQV l.•ri~ιι Pfιn)'U!όhkina . Λpχιοuηόκφιc. Γροψc)Ο Kνant

μοσιεύrηκe σrο ιιροηγούμιτο rcυχος

του Quantunι με ων rίιλο · Uf'O: t· (ωyήη•οι crιισκfπrες:•.

~υμ/Jι)υ.1tιmκη εrιπpc~lfJ θernιιrct

V. Khuury. •\νώτφοc_ Εκτt.\εσuχι.ς Yniιλ.\ι~\nc, ΑΑ)νι' James D. (:ate!il, Διvικιιι ικιχ; Διι·ιι&ιι,•ι(ις, Ν(.ΤΜ Cό~ι:ι r.ιt: IJ.cr:ιst-n.)'ί. Καθιη·ηη-,:; Mhθηpt'!tΙ)ιf,)V, l~·m ro;.v 1 ~1 Τ(':Χ''Qλο\·rας. Roε.c--llulman.

[ν11όχα

Artlιur Eisel\kraft. Τμι)μu θηιιtω,· &ιι<Η.ι~ι.ι\, Λιίχl'.ιι-. ι•,,,.. Ι.ιιnr, Nfo Υορκη

Karcn Johnston. Κ<ιθηyηφω ΦvΨκ,.;.. ΠQλnttι1KO Πα,·rmστηιuο 1\όρfι~ Κ(ψ).\iνα-ς Margaret ,J. K eιιncy, Κιιθηyήφιιt .\1ιι6rψοιικ(,ι\', Κ οι.\c \'1(1 \.1}ς Βοοtω,·ης.Μαοοαχοuοtπη 1'b oma,;. Ο. R(lιJ;$-inJC, KuOηyηtif:_ Φvοιιu}ς. ΙlαΥΙ'Πtοτήμιο -roΙJ fkιρtiuu 1.\ λιvιΊι..-; Αl exan(l(!l' Sι)ifer, Κιιθη\'ΙJΙ ry;: rΨιΟιιμιιι-ι.κ.ω''· Πα\'tJt•σtήμ.ο tC)U Ko.\oρt.:ιVtC), Κο.\nρ<"' Ι Ι) Σι:ιj)Ι'Ι.ΎΜ. R-;~r\,;Ίra Ι. Stott. Κα&ηyήψιrι ΜιιΟι)μ<nικώ\', :\ύκ~ιο ιeιu Pif\t:ρ\'U:ι.\, Λι:'Ιtιι.ζ14νο Cι:ι r"l ·•n n ·rriι>J). ΚαUηyηtρ}CΙ Φuσuι:ής. Ημtpι)C)ι<ι ~χο.\ ι\ ll')ι;. Πψιψ('ραις Πpοβι,·-π\·ς.. f>όοιr,· ι Άιλιη'l ΕΛΛDΝLΚΗ ΕΚΔΟΣΗ P.l(&ιr~

Jι~·vΟv\·ιης:

Α.\ικ.ος Μάμuλι}ς

ΜΙ'Ι (ΙψtttιQη l(iiJ εηι<ιr_η,ιιοvικήrπιμi.!tια ~· tιvιtΊ ια ι:t\'ιχος οu,'t·ρyαο"tηκαν οι χ.κ. ~τέλιος 7.αχαρίοιr-μ ιι0ιιμ(Ιωι.Uς. Ηρuιι,\ηι; Χt()ι'rι1ης , Π ω.\ ι νu Α γωιiι ιιη •φι;ιΙΙ~<ός.. Μ ι χό.\ης Λά.μ.uρου • μα~ατικι')ς, Κc.'ι(mις Σκu νδ(ιλης-μu&ιιιαη.κ.ος. Γιάννης ΒαΙΚ.ιι,\όποιJλ.οι:; ·ψucιι κόι:;. κιιι Αλl..:ος Μάμιι.\ rις •φu~ι ικeις

I :\c.ιrJtrιι. ΙJ rιrιμtλNct Γ. Κορια)(όnοο,\οc;

Tv.ιw)paφικrc &φθι;ΥJr~

F.ιιιμc.\tι(ι tκ&χιης

Π. Tuuιόuouλoc;

1'. Nrpnνoς

>'πεύθv-vη ,ln}'Wnpinυ ~J. Μάμcι.\η

f:Jfitιtt>ς ο rNιpy6i 1)ς:

rιωρ\'Ως Εuιι \'VtliιΟάΙJ.\ι'κ;

!'πισrηpο ι JKn.ι OΊ'ιpβQ cr 1Οι

Ο Χρίστο<; Δ. Γούδης εi''"' καUηyηιιi<; Αστροφυσικής στο Τμ ι'ιμα Φυσtκής του

n(ι\'C-ΠΙσtημjου Ποτpών. L''ιιι περισσότερες nλφοφορίtς y1'φ(ι> οπό to θέμα ι-ωv UΙ·Ό ή κιιιάθεσησχετικών μορtΗρι6>ν μrιορείτc να αnε-υΟυ\•Οr.ίτ.ε ο· (Ηι ιQν <.Πη διεύθυνση F.ργοσtήριο Ασφονομί<ις. Τμήμcι Φυοικής, Πο\'επιστι1μιο Ω<ι ψ<;>,•• 265 00 Πίηρ<ι ΙΡίο!

Μιχ(,λιις Μιιιrιρuu. A\'ull.\fl)ωtfι,:: Καθηγι)ιΙ~ .\tιιθιwtιΗΙΙ.ΙοΙ'Ι.', ι I Ιινι:ιιtι'ΙtΙJμtι> Κρητη:: Κώσιας l:ΚU\'διι.\ης. f.nιJΙΙ)Uj)Vt; Κ<ιΟιη·tιι il( Μuθηpιιπ.κ<ο.ΙΥ. n(ιηnια1ψ10 Κρήι ιις l:tiφ«"~>'Ως Τρcιχu\•i.ι:;, ψΊJοtιcό<;. Ειδlχος ~ι<rιfUΙι••v Α' ΙΜΙμiδιιι;. IQc>uμ<t Τrr,·ο,\οyιας .και '!!ρΡ.1Ι\'Ο<;

θrοδοο11ς Χρ1σ...-Ι'!δόιιλοκης. f;ηιΜvροι:. Κ~θη)·ηtfF; Φιιnηιη.::. I J rι,•rι ιtΟ ιiιμιο ΑΟη,·ω,

2-'rm,·r.ι(l(t-oιιι. qι•λJiicHωiηo!J

Φ.ιι!μ, μl)\'f(l< Γ. Κφcφ<ις

Kαmmρv

r:.ιmιιrωοη Τ.rφιιχρωμίο

Βιβ.Ιιο&.>m θ.Αρχον1οu!ιικης

TD QtmnΙumttιδι&uιιoι.ι:;lUJA αιιο JO\' ειι&nιώ (o~tω~•rl.n(er και ot.ηv Ε.t.\άδα αιιό uc:. Ι!κδι:ιοnς Κάτοmρο ΥηΡίιΟΟ\'Q\; yιt,J t tl' ' tλ.\ηηιtη tκδοοηοv ιιφcο.~,·•ι μr 1t1 \Qμn· Α.\ Μrιμιιληc: l)l~tιnrtι ιt). tιμ-fl\'ki.Ji> ut~ιιu.ISS~: (.:ορ.:; ri~l1t

\. \'1(1 ιηv

J ΗΙ6·2Γ>.'41

nott \dUv\' <ι.\l)u

1'.\.\η\·ιιι.ιι )'.\,.ιι,.)ΙΙ~ :\λ Μιψπ.\ης..

Διcιφιuιi•ιι•ις ΙtοΙ ιι:rνφι"Ιιη 6Ι<ιtltι;rη 1-&&οtι-ς 1\ά-ro:npO, 1ιιcΙΙtρι.Ιν Ιiι κοη 4οφ,·ομfι,\η. ι η.\.:

+I> I Ι 164;'J2';'·z,

'Ί6HI)IJiol,

:~.ι

fιμιι l(+tflι• ιrvχο)ο ι~ nto Ι~•Ιt\~ω.,tit'k:

1:100 δρχ.

f~ rήmo σ1!\·δροpη ';' 500 δρ:ς, ' ιο ιδιωι:tt. 12.000lιs•x. )'ΜΙ

I Η ';') ΑΟrι> u. f,..\'. ·•11

q μ.φuuς ιι.οu tπpιnδι-.ιnιι χ<-;ιρις τηv

ι fWUΨtΙ cι&·ιu \t.ou τιι.δοιιι.

lo'it>4

βιβλ1ο(Ιηι.:.rc;. ιλίjηι μn. 14Ι ιt;nι φ\'4,·ιπμο:ιιις.

Αιαιi ootut ωι 'i 11\'CιδημιΙΙιιr ι;ιιιj η ψ ιaF<Μ;η μι- οnοι(!l;η.

Τιμη uιι.\ο)ΙC.Ι\' ιι·ιιχω...- nuι flιιtl.\ιοσω.\tι<L 1.400 ~Χ

QUANTUM I Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

5


τους ρωμαϊκούς αριθμούς;

ποιος

Και ποιος γvωpiζει να τους γράψει σωστά: (Ποιο είναι το ιισωστόιι εν τέλει:)

Steven Schwartzman

Η

Α ι·sτιΝ

Α.ΙΙεRιcΜ• -sn τεs ­

Μ.4.\". η καθημcρινή εφημερίδα της nρωttυουυας ιου Τέξας. φι ­

λοξt\"ούσε μερικές φορές ιηγ

rβδομίιδcι ι η στήλη της Ellie Rucker. Σ' ιιuτ ήν δη μοοιεύονιαν συνήθως επιστολές ω•αγνωστών που ζηιού­ nα ν ιιλιwοφορίες για κάποιο δυσεύ ­

ρε ιο nροiόν ή υιιφεοin, για to ιιώς θα μιιο ροVσαν να ο ν οκuκλώσουν κιΊ ..

ποια ιινιικrίμt\'<ι, κιιι για άλλα uα­ pόμοιιι ζηtΙίματο. Ωο ιόοο. οιις 13 ~Ιοριιου 1990 εμφα,·ίστηκε μια δια · φορrιική ειιισιολη.

24.000

Λ'•εφερε

ότι

κάτοικοι ιου Σαγ ~ίάpκος.

μιας πόλης που βιιίοκεται 50 χιλιό­ μετρα βόρt-ιο ιου Ώotl\', nρσβλημα · ιί(ο,·τα,· yιο ιο πώς θα yρόψουγ τη ΧfiΟ\'Ολοyια

1990 με ρωμαϊκούς αριθ ­ μούς. Κατά nonn n ιθανότηια η χρο ­ νολογια έπρεπε να σκαλιστεί αε κά • ποιο κ ιίριο iΙ μν ημείο. και οι καλοί δημόιrς του Σαν Μ όρκος ήθελον να ε ί ναι οίγουροι όιι θα γραφτεί σωοτά.

11

απιΊνιι}ο ιι που ακολουθούσε

αμέσως μrιιi ιη" επιστολή υποστή­ t'j

ριζε ότι ο ουνιομόιερος τρόπος γρα­

αλλά

nπnνιήοεις πυροδότησαν έγαγ κ α ­

και ο τι η χρονολογια μπορούσε επί ­ σης ,.α yραφιt! ως MDCDLXXXX ή

ιnt\' tΟμό αnονιηtι κω'" επιστολών rναλώς δυσnνόλογο με ιη φαι,·ομε­

κρουόμεγrς ουχνο α πόψcις σχετικό δ με to Πώς γριiφονιαι η πώς ·θα έπρε • <> < nt• ''0 γρόφο,•ιαι σήμερα οι ρωμαί - 'g.

ακόμη και

MCDCXC ιsίc-βλ. rιαρα •

\'ικη απλοιηιο ιιις ερωτησης. Αυτές

κοί αριθμοι.

καιωJ. Η στήλη καιέληyε με ιη\'

οι επιοιοΗς αnοκαλυψα'· οη σuς

Α π ' ό.tι φαί,·ειαι, η Υ''ώμη της

υπιιοημείωση ότι οι απαηήσεις ου · τrς rίχn'· δαθει αιιό ερευνητές ιης

μrρrς μας πολλοί άνθρωποι έχου,·

πλειοψηφίας είναι όn η συντομία δε'·

W

Ι!ιβλιοΟΙικιις P~ι·ry-Casta ned a. της

τι κό φό ηο γραφής ιωv ρωμαϊκών

αnοιελεί μόνο nεμπτουο!α της σο φίnς, αλλά κα ι ιων ρωμαϊκών αριθ -

~ ~

κ ύριnς βιβλιοθήκης ιοu Πανεπιο ιη ­ μίου ιοιι Ί'tξιις ο ιο Ώστιν.

αριθμr;ιν κα ιό την αρχαιότητα. Ano • κάλυψα ν r nίο ης ό ιι rιολλοί άνθρω­

ιφχ ική ε πισ τολ ή και οι ι.ρεις

ποι υn()οιιιρίζου v μι· rιάθος αν τι -

φής του

11

6

1990

είγαι

MCI\fXC,

ΜΑΡτΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

ελάχιο ιrς γνώσεις για

tO\'

προ γ μα­

"'

μών . Ι δού ορισ μ ένα αποσnάο μαtα

α nό ειιιο ιολές που εκφράζουν αυτή

την ίιrιοψ η και δημοοι&ύ ιηκαν στr,ν

-6

~ -?. ~

< ~

~


επόμενη σιήλη tης

Ellie Rucker. σtις

Μαρτίου:

26

Σ<..χηός φόπος εiΥαι ο συγτομόuρος τρόπος.. ι.ελtίcι κω πιιύλn. Αutό t.μnθιt ότ4'ιν onovδn­ ζα .\ιωνικό. Ο οu,· wμόιερο~ ιρόn~ είναι Μ&\1 . Το ε ίδα ο rην εκπομπή του Charles KaraJt (sιc> nρn· οπό τpε:ις εβδομόδες.

....

"

Σtόχ~ του ρωμοικοiι συο ιήμαι~ ιφίΟμησης \·α έ χουμε ιο μιιφό~ερο πλήθος αριθ­

r·)t.O"

μών, δηλαδή ΜΧΜ.

•••*• Elliι\ ιιρέnει νσ ανοκαλtσε ι.ε όσο \'ΙΧ\ψα ιε ό τ η ο ~ fιι\η σας, yια τους ρωμαϊ κούς αριθμούς. Ο συ "tομότερος tρόπος yρο.φης του

τους υποσ τηρικτές της δεν θα έyρα­

ακόμη από αρκετούς σύγχρονους

φε ΙΓΧ γιο ιο 8 ή XXC γω ~ο 80, παρότι τα ΙΙΧ και XXC είναι. χωρίς

κα ιαοκειιασιές).

αμφιβολία. συντομότερα από τα κα ­

Η cΜιιτυξΠ των ρωι,drών

θολικώς αποδεκτά σήμεpα

LXXX .

VJII

και

αριθμών

Α"άλογα aσυνεπής είναι η

αηίθετη άποψη: είναι δύσκολο να

Με δεδομένη τη ούγχυοη που επι ­

φανταστούμε όη θα υποστήριζε κα­

''είς πως ο καλύτερος τρόπος να γρά ­

κρατεί στο μυαλό πολλώ" ανθρώ ­ πων, ας δούμε πώς οναπτύ}.-θηκαν οι

ψουμε το 100 είναι μ ια σειρά από εκατό Ι. 11ιθονώς αυτό που υποστή­

ρωμαϊκοί αριθμοί κατά tην αρχαιότη­ τα και πώς τυrιοnοιήθηκε βαθμιαία το

ριζαν οι οπαδοί της μακρύτεpης γρα ­

σύστημα. Όπως και σε τόσα άλλα

φής είναι ότι από τις τρεις απαντήσεις

είδη γραφήςΌε ολόκληρο τον κόσμο,

της

η βασική μονάδα αντιπροσωπευόταγ

Ellie Ruckeι· καλύτερη ήτα'' η πιο

από μία μοναδική γραμμή. Στους

μεγάλη.

1900 εί ..

Οι υπερασπιστές και των δύο α ­

tεσσερο Χ στη

ντιμαχόμενων απόψεων μάλλον θα

Ρωμαίους. αντίθετο με τοΊJς Κινέ ­ ζους, αυτή η γραμμή ήταν κάθετη.

εκπλήσσογταν αν μάθαιναν ότι οι

Για να παραστήσου'' δύο μονάδες οι

Άλλοι είχαν ιη\• πεποίθηση ότι

αρχαίοι Ρωμαίοι ήταν ασυνεπείς στον

Ρωμαίοι χρησιμοποιούσα" δύο γραμ ­

καλύτερος τρόπος είναι αυτός με το

φόπο με τον οποίο έγραφα ν cους

μές, για τις τρεις μονάδες τρεις γραμ­

μεγαλύτερο πλήθος συμβόλων. Δύο

αριθμούς τους. Μερικές φορές όντως

εmστολογpάφοι δέχονται και τις δύο

έγραφον ΙΙΧ για το

μές και για τις Ί:έσσερις μονάδες τέο­ σερις γραμμές. Αυτές οι κάθετες

δυνατότητες, και ένας από αυτούς

Για να παpαστήσουν ω 9 ήτα" εξίσου πιθανό\' να χρησιμοποιήσουν

ραχτούν στο χώμα ή να σκαλιστούν

ιο VΠΙΙ όσο και το ΙΧ. Σuνήθως έ­

σε ξύλα ή πέτρες. Στις μέρες μας, οι

ναι ΜΧΜ · δε\' έ χουμε

notf

σειρά.

διορθ~)\·ει

ro

φανερό τυπογραφικό

λάθος τηι; εφημερίδας:

8 και

ΙΙΧΧ για το

γραμμές μπορούσαν εύκολα να χα­

18.

γραφαν το

4 ως 1111

(με την ευκαι ­

άνθρωποι που κρατούν κάποιο λοyα ­

Ellic. ε.iμαι καθηγητής λαηγι.κώΥ. Οι Ρωμαiοι

ρία, αυτή ήταν μια πρακτική την ο­

ριασμό συχνό περνούν αιιό τις ιέσ­

θο. έλεγαν ό·ιι η μ.ακρύt.tpη \'JΗtφή tou 1990 ι::ίνοι η κ(1λ\rι.ιρη. Τις nερισσόtερες φορiς.

ποία ουνέχιοαν να εφαρμόζοuν οι

σερις στις πέντε μονάδες γράφοντος

κοtιιοκε υαο τές ρολογιών κατά ·την

ιην πέμntη γραμμή διαγώγιο πάνω

Α νο γέννηση, και χριισιμοποιείται

στις υπόλοιπες. Ιστορικοί όπως οι

όμως, ακολουθούμε ι.ον ευκολότερο δρόμο. Το σωστό είναι ΜΧΜ . •

Jt ...... .

Η ου>'tομόι:ερη γραφή θο iιιαν ΜΧΜ, και η

μαιφύιtρη MDCCCCLX.XXX. 'Γο MCUCXt~. (111' όσο γνοφίζω, ιοούU\ι με

νοούσuι.ε

I

l590 ψά.\λον εν­

I

MDCDXC}.

Σε κάποια από ης εωστολές έχου­

I

με μια διαφορετική προσέγγιση: ελ..\uιήι; είναι η ηλrροφόρηση τω\• ιιν(tρώ(ι ι.)\'

.

) .~ :

I

ι:δώ yιn rφlίγμαω rιου C(ΙιJΟιδιό σ\η>· F.uρώ­ rιη μ<ιθαiνουν <ιJJό ιο δημοηκό. Υπάρχει μόνο

1990 με ρωμαϊκούς α .. ριθμούς -ο ηρώ~ που α ναφέρει.ε: MCMXC.

i

~

~ ι~

(

r

στο ρωμni'κό π(tnτηpn nρίΟμησης υπάρχει όση λογΗtή υπάρχει και

I

ι

ένας tρόπος yραφής to\J

Όχι t.nειδή t:i..-αι ο ουΥτομότερος, n.\λιί διότ:ι

I

oto αραβικό.... Το 9 δε''

γρόφεται uotέ VΠII ή Πlllllfl, αλλά πά ν τα

I /

I

Με φοβίζει (επειδή είμαι Ευρωηιllο<;) ω rιόοο

I

I

f

• ·.ι • I

.

I

I

IJ(_

Ακολουθοίισαν ολόκληρr.ς πnρι'ιyρn ­ φοι εξηγήσεων.

I

ι

Έχει εγδιαφέρον το γεγογός ότι η δημοφιλέστερη άποψη-σύμφωνα με tην οποία ο καλύτερος φόπος yρα ­ φής των ρωμαϊκών αριθμών είναι ο

'

ι

'•

'

συντομότερος- ό)ι, μόνο συγκρούε ­

ται με άλλες απόψεις. αλλά δεν εί ­ Υαι καν συνεπής με τον εαυτό τιις.

Είναι σχεδόν βέβαιο ότι κανείς από

OUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

7


Mt>nningeι· και

υποθέτουν ότι

Ρωμαίους ιο εφαλτήριο για όλου<;

οι Ρωμαίοι nκολουθούοιι" μ ια πnρό­

οδήγησε ση1 χριίσιι του D για την ονωπφiισιηοη του 500. Στα αρχαία

μοια πρcικηκίι. κcιι συμβόλιζαν ένα

λαnνrκά. ανιί ιοu Ό εμφιη•ίζειαι tO

τους μεγαΗιτεροuς αριθμούς, επι­ ,·όηοuΙ· ένα nιιλοnοιημένο σύμβολο

σύνολο <ιιιό δι'κcι μονάδες με δύο

β· επομένως.

για τιιν παράστασή του. Η νέιι μορ­

διαγώΥΙα διασταυρούμενες γραμμές:

1.000 μιιφεί να ήιαν κόιι σον ΕΒ.

lfrah

Χ. Από το μισό μέρος αυτού του συ μ­

αρχΙκό σύμβολο του

w

φή μπορεί γα προίιλθε από το προε ­

Αρκε ι.ές ω ιό ης παραλλαγές των

ξάρχον εξι>)ιερικό οιρώμο ιου συμ­

βόλου δημιουpγήθΙ]Ιιε ο ρωμαϊκός

συμβόλων του

πιφουοιάζουν

βόλου rιffi\1. ή μιιορεί να ήταν μια νέα

αριθμός γιn ω

Με βάοη τcι ιστορι­

ένα είδος •χαλαρά τοnολογικής• ο­

εrιινόηοη. Σε κάθε περίrηωοη. όποτε

κίι ο ιοιχείcι. οι αρχαίοι κάιοικοι της

μοJόtητας. Λ Υόμr:σι'ι -ιους ο υ να \f'"t:ά­

έμπαινε γύρω αnό κ{ιποιον ρωμοϊκό

Ιι.ιtλίnς άλλοιε χριιοιμοnοιούοον το

με τιι ι+,, Φ, Cl). Λ,, κω CIJ. Το βασΙκό

αριθμό ,;,,α ορθογώνιο χωρίς βάση, η

κ-ά ιω μιοό ιου Χ γιο νcι πορcιστή­

σχήμα είγαι nυτό μιιις κίtθειης ευ­

τιμή του αριθμού 11ολλαπλασΙΟ(ό­

οουν ιο

κω άλλοιr ω rιάνω μισό·

θείας που πλιtιοιώνι:ιω αιιό δύο

τιιν επi

τελικά εrιικράιηοε η δείιιερη μf.θο·

συμμετρικές γραμμές οι οποίες •απο­

δος, κιιι δημιουργήθηκε ιο γνωοτό μας ν. Είναι επίσης ιηθανό ιο ούμ­

μακρύνονται• από την κεντρική tΙΙ·

\00.000. Για ιιαρ{ιδειγμα. το liί1 σήμαι~·ε 200.000. ιο IXI οήμωνε 1.000.000 κω w ICI 10.000.000.

θεία. Οι Ρωμαίοι επεξι'rεινα" ιnι ιό ιο

Ο Menningeι· αναφέρει ό ιι οι Ρω­

βολο ν να αντιπρ(){J~)ιι(:υε rφχικίι ων

οχr}μα προσθέτοντας i·νn "ο ιρώμα• για κάθε ανώτερη δύναμη ιο11 δέκα.

μοiοι χρησιμοποιοι'ιοον οχεδό'' πά ­ ντοτε w ι+, ή μια αnό ι1ς παραλλαγές

Σε μια rιl\'ακίδο που ιινΙΙκι1λύφθι]κε

του yια να παραοτήοόΙΙν ιο

5.

5.

ιιηίχειριι κιιι ιο δι;ίκιιι ενός όρθιου

χεριού. Ο Karl

1.000

1.000.

Σε

η orroiα

σ11άνιες περιπτώοεις, ίοως έγραφα''

ψη όιι οι Ρωμαίοι, rιου οπως κο ι άλλα

κ<ιιαοιράφηκε από tlj\' έκρηξη του

IlM γιο ''α συμβολίσου\' το 2.000.

ινδοι;υ(JίΜΙ(ιϊκίJ φύλο είχαν σαφή

Βεζούβιου το

ό πο υ Μ ήταν το πρώτο γράμμα της

yνώσι} των λ.ίγcι>ν ηρ~Ηων δυνάμεων

79 μ .Χ., ο αριθμός ιο.οοο παρίσταται με το σύμβολο rrl)) . Πα ­

του 10. πιιριστούσαν αρχικά ιο" α­ pιθμό 100 με μια διπλά διασταυρω­

ρόμοια, οι Ρωμαίοι χιιηοιμοrrοιοίισαν ιιεριοτασιnκό το σύμβολο rιrl"<>) για ιο

κατά τον Μεσαίωνα (ιρχισε η αγτικα ­

μr"ιJ κόθειη γραμμή: Χ Το π(ινω

100.000.

μισό αυτού του συμβόλου. Ψ. πρέ­

Μ. και η διαδικασία δεν ολοκληρώ­

50.

νη Σιήλιι ιων Εμβόλων, που <ινεγeρ­ θηκε οΊη Ρώμιι για να τψηθεί η γiκη

Με δεδομένη tη ουχνί1 οουνέπειο

οε μlίι νηυμαχία εναντίον της Καρ ­

Όταν ο Καρτέσιος εξέδωσε τον περί­

\ μερικοί θα ιη χαρακτι')J)Ιζαν δημι ­

χιιδόνcις το

οιιργικόιηιαJ ιων μ εθόδων ιις οποίες

παραλλαγή αυτού του συμβόλου tρι­

φημο Λό)'Ο ιιερί ιης μεθόδου, το 1637 στο Λέυντεν, η ημερομηνία, όπως

εφιφμόζουν οι rιολι cιομοί γιο ι η γριι­

άνια tέοσερις φοριος ο τη σειρά. Στην

γράφτηκε στην πρώτη οι>λiδο, ιίταν

ψiJ ιων ουμβόλωv, ω σύμβολο για το 50 εμφανίζεται σε aρχαίες επΙγραφές

προκειμέγιι περίπτωοη, οι εξωιερικές

COIJCXXXVII.

Menninger

έχει τηγ ιiιιο­

πει ''α κατέληξε να συμβολίζει το

στα ερείπΙΟ τιις

I (ομπηίας.

Μια επΙγραφή στη λεγόμε­

260 rr.X ..

ψφιιγίζcι μια

λατινικής λέξης mίlle (χίλια!. Μόνο ιάσ ιαοrι ι~ιν rιαλωότ~ρων συμβόλων ιοu

1.000

από το γνωοτό μας οr\μερα

θηκε rrορά πολλά χρόνια ιιργό ιερο .

yραμμι'ς προεκτείνονιaι μέχρι ιο κέ­ γφο κω δημιοuρ\•Ού\' έν<ι σύμβολο

γένΥηση επιβί(οοε ε-πίσης η πρωωκή

L. Το uπο­ ιιθέμε"ο ιιρχικό σύμβολο ιοu 100, ιο .::1<, ανηκαταστάθι]κε αργότερα από το (;, που είναι το αρχικό γράμμα της

που μοιάζει με αυτό: ιιrlm .

ιων Ρωμαίων να χαρόσοu\' μιο γραμ­

λοιι\'ικιίι; λέξιις cerιιum (εκατό!.

ως

J, και j_, ιο οποία εξελίχθηκαν

ιελικiι σω συνηθισμένο

ΊΌ γεγονός ότ.ι αυτό το σύμβολο

Κατά τον ~1εσαίωνο και τη"

AYn-

εnανολαμβίινεωι ιόοες φορές, υrrο­

μή ιιάνω nπό έναν αριθμό ή πάνω ιιηό ένα τμήμα ιου γΗι να υποδη­

δηλώνει όιι οι Ρωμαίοι δεν είχαν

λώσουν όη πρέπει γα πολλαrιλιιοια­

σύμβολο γιο το εκατομμύριο. Από

στεί επί

Το πρώτο ρωμαϊκό σύμβολο για το

τηγ επέκταση τ.ου πολλf1πλιιοιαο ιι.

1.000. Ι'ια ποράδι:ιγμα, t'O VIXXX1X παριστά τον αριθμό 6.039.

φαίνεται ότΙ ήταν κάτι σαν το

κού σχήματος του δεκοπλοοωομού

<Η εν λόγω γραμμή ονομαζόταν στα

ό, κοι ίοως ήrιη• πρήγμnιι ι0 ελλη­

με ι ην ηρόοΟεοη ενός ακόμη •στ.ρώ ­

μεοcιιων1κά λατινΙκά tίtulιιs. και από

νικό γρίιμμα φ, ω οποίο αν rrιιροοώ­

ματος, στο σύμβολο του

θα

αυτήν προέρχογτω οι λέξeις tίtle και

πευε έναν

που δεν υπιiρχε ο ιιι

ηροέκωτιε ένα σύμβολο με tόσο πολ •

η δική μας λέξη ιίιλος.•• ιιοιι σημαί ­

λαηνΙΚά. και συνεπώς μπορούσε να

λές γραμμές, ~)()ιι· θιι ήιaγ δίισκολη

νει

χρησψοποιηθεi ως μη φωνητικό σύμ ­

η γρήγορη κοιι;νόηοή του. Επίσιις. θα μπορούσε ειiκολα ''α υn(ιρξει σύγ­

1.000

•ixo

100.000

..επικεφαλίδα•.

Άλλες φορές πάλι. οι Ρωμαίοι,

χυση nαρόμωων 011μβόλωΙ· με δια­

καθώς και οι συγγραφείς κατά τον Μεσαίωνα και την Λ ναγέννηοη, δεν

να yρόφεται με nολ ­

φφειικό ιιλήθος γραμμών. Κω κάτι

τοποθετούοον ιη γραμμή ιιάvω από

λούς τρόπους. μφικοί από τους ο­

πφιοοόιrpο· στα λατ.ινικά δεν υπήρ­

ποίους ελάχΙστα θύμιζαν τον αρχικό.

χε λέξη η ου να σημαίνει <•ένα εκ α­

ένο η πειιιοοόιερα γράμματα για να συpβολίσουν πολλαπλασιασμό με ιο

Ο Geoι·ge Ifι·ah έχει ηαρουσ ιάοcι 24 ιιαραλλαγές. ~1ια αιιό αυη\ς. ιο Φ,

τομμύριο». Οι Ρ<)φηίοι. όιαν έιιρεηε να αναφερθούν σ' αυτό ων αριθμό.

• ΑΥάλQγη ήτc:tΥ και ιι ι:.>ιληνικ.ή ιιρc:ικ"t:ιΚΙ~

χριισιμοιιοιούηαν ίιδη αrιό τον 3ο αιι~να π.Χ., όπως αrιοδεικνύεtαι αrιό

έλεγαν •δέκα φορές εκιιτι\ χι λ ιό­

}I ε \Uμολογjα t011 oct)t(\t(lμμvρii)IJ"' εjναι «CKCJ-

(Jολο. Όποιο κι αν ίιτω· ιι προέλευσή του. αυτό το πρώτο σύμβολο για το

1.000 κατέληξε

λίθινες ειιιyραφές αuτiις τι1ς περΙό ­

δει;•. • Για τιι δίιο •κατομμύρια έλε ­ γαν "ε ίκοσι φορές εκαιό χιλιiιδες•.

δου. Εύκολα διακρί\·ουμε ότι το δε ­

κω ούτω καθεξής.

ξιό μισό αιι ιοiι ιου συμβόλου ίσως

8

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

Αφοiι το Ι 00.000 έγινε για ιους

tό φορές δiκ11 χιλιάδε~·. ι Σ.ειι.συμ. )

•• Μιn cιnό ης αρχαιόι.ερεc;εμφα,·ίοειι:; tης: λtξι)ς: ..τ,τ~\ος. . στ<ι t.\ληνικό. που προέρχι:ιω

οιιό ιο λατινικό. είΥαa στο κntιΊ lωίιν\'η'· ~;ηοπcλιο. ιΟ. 20. tΣ.ι:n.συμ.ι


φονται CCCC κοι OCCCC. Αυτή η ασυμμrφία α,·m,·ιικλιi ιη\' αντίστοι ­

χη nουΥfιιrιιι ιω'' ιδιων ιων αρχαiωΥ Ρωμαιω\', nου εyραιρα,- ΟUλ"·ά και ocα·c ιl\·ιι yιιι

CD

CCCC

και C~l.

Ακόμη και σημtρn tμφαηίο,·ται

σε rκηοιδrυτικα βιβλιιι rιραιάσεις που. παρότι δε'' ri\'<LΙ υιιοχρεωιικα λαθεμέ,·ες, διατυηώνονιοι με ιέ­ ιοιον τροnο ωστc να uφηνουν στους

μοθΙ]Ιές εοφολμέ,·ες ενιυιιώσεις. Γιο rιcφcιδειγμο, στο Μιιt/ιι•nωιίcιιl

τω'' Μί\Ιcι· και

I leercn βρlοκουμe tιJν

πρ{ηοιιιJ • ΙΟ

9

1 Ι.

VIILI

rινιί για

ldeas

γραφόιαν ΙΧ ι5 συ"

(10 μεiον

41•. Το

οu­

μrιrριιομο ιιου υnο,·uι·ίιω σιιJ" nρο ­ κtιμένη περίπτωση ι·ίνω όιι οι Ρω­ μαίοι εγραψα" πιι,•ιοιt

IX

για ιο

9.

t\•ώ σιη'' 11ραyμιιιικοιηιο ήια" εξi ­ σου ΟU\' ηθrς \'α γραψουΥ Vllll . 11

I

ι ιr"ι:

• •

ιr ι. ι-

I

εηομrνη προιιιοη 010 ίδιο βιβλιο εί­ \'Οι .\ίγο καλύτφη:

• Χρηοιμοrιοιου ­

οα" συχνά τη,· ίδια μέθοδο για να γράψουν 10

4

ως

IV.

ιινιί γιιι

1111· .

Πόνιως. Οα Ιιtαν aκριβέσ ιεpο να Η\'ιtκnιcιστήσουμc τη λtξη ..οuχνά>Ι) με το --μrρι κι'ς φορι!ς•.

Οι Μ ί\Ι~ι· κοι Heeι·en συγεχίζουν

1.000

ηλλiι γιιι νο ιιιιοδηλώοουν ότι

αυτοί οι χοροκτιiρες έπρεπε να δια ­ βιιιΗοίιν ως αριθμοί και όχι ως λέ · ξrις. ΑλλωοΗ, ιο Ι μιιορεί νιι εί,•ιιι

Δι{ιφορες ερμηνείες Το ούοιημα τω'' ρωμnίκών οριθ­

ηνηφέιχJ\'ιιις όιι ..οι Ρωμαίοι εξοικο · Υομούσaν χώρο ΧfΙΙJΟιμοιιοιώ\•Ιας την αφαiρrση•. ε,•ώ είναι βέβαιο ότι

ο αριθμός Ι ή το γράμμα Ι. ΊΌ ν μπο ­

μών είχε κόποι~ τους φυσικούς ιοιι φορείς, ιους a\•θρώnους ιηc Ρώμης

ξοικονόμηση χι:>ραυ. ιιολλοί αναγ,·ώ­

ρεί να είναι εite το

εηε το yράμμα

και ιης ρωμαϊκής αυτοκραιορίος. Το

οτες δί,·ου,- στην

και ούιω καθεξης. Εηίοης. πολ­

<φιθμηιικό ουστημο. όμως. δε,- ρυθ­

ιην ερμηγειο ιίιι οι Ι'ι.ιμαiοι χρησιμο­

λοι συyyραφrίς δεν φρόηιζαν ιδιαi ­

μι(ότο\' αιιό κδιιοιο rίδος κυβερνηη­

ποιούοtl\' τη'' αφαιρεηκη αρχή με

ιερα νιι οφηνουν Ι η δε'• άφη,·ον κο ­

κης αρχης. όπως 6.\.\ωοu ούτε και η

σκοnο ' '" κrρδισουν χώρο. ι\ Υ ε,·διέ ·

θόλου! μεγάλο διαστήματα α"'1μrσα

ίδια η .\αιινική yλωοσα. Μrιό τη διά­

φερε πραγμαιικlι κ{ιιι ιέιοιο τους

σιις λέξεις. Από αυtή τη yραμμή. ιιου διέκρινε ιους αριθμούς οπό ιο

λυση της ρωμα\κής αυτοκραιοιιίης. ο

Ρωμαιους, &ν Ο<ι ryρcιφα,- ιόσο συ ­ χνό nριΟμους uιιι.ις \ΊΙΙΙ για το

γράμματα, προήλθε η σχετικά πρό­

φυσικός φορεας των ρωμαϊκω\' <ιριθ­ μι:ιν rξοφ<ι ν ίο ιι)κε. Όηως ακριβώς

οφαιη συνήθειά μας να προσθέτου ­

υrιήρχ<Ι\' ονcικρουόμcνοι τρόποι γpιι­

ιχχχχν για το

με μιιι συνοδι·ιιι ική ΙJ ιιογρίιμ μωη.

φής ι ων ιφιθμι;ιν ω ιό rους aρχαίους

nou

και έτσι σήμφιι γ(ιίιφοuμε ο ιι χνά

Ρωμcιίους, υπήιιχιι ν κιιι α ν ιι ιιΟέμε­

φές. Εnιπλι'Ο\', οι Ρωμαίοι δε" έγριι ­

όλο και περισσότεροι άνθρωποι μ(ι •

νοι τρόποι γριιφής ιω'' ρωμαϊκών ιιριΟμών κ<ιt(ι τον Μrοαίω,·α. τηΥ

φα" ποτέ ι'νιιν αριθμό όιιως το 95 ως VC. που θn ηιιιν ιιολύ συντομότερο

Οοινα'' να γριίφσυν κ<ι~ίι ιον Με ­

Ανcιγέ,·νησι), το,· Διηφωιιομο, τον

απο το χιιηοιμοιιοιούμεΥο

σαίωνα και την Λναγtννηοη, εμφα­

Ι9ο αιώ,·ο. κιιι cικόμη και σήμερα.

ι Αηό εδω κω οιn rιης. οι εσφαλμι'­

V,

5

n.χ. τον αριθμό 15 ως

XJZ.

Καθώς

η αφαιρειική αρχή cnιτρcnει την ε­

X!Ill

για το

14,

C\'

λόγω πρόταση

ΧΧΧΧ γιο ιο

95

40

9.

και

-rιιφιιδι-ίγμαrcι

έχΟLJ\' βρrΟcί uε ιιρχιιίες εrιιγρα ­

LXXXXV.

νίοτηκε μια ολοένα t\'το,·όιερη ιόaη

Έ\·α παριιδrιyμιι αυιης της έ.\λει­

γες μOflllll'ς και rκεί,·rς για τις οιιοίες

γραφής των ρωμαϊκών aριθμών με

ψης ομοιομορφιιις βρίσκουμε στο Τhιο

δε" υnrιρχου'' μαριυριες θα yραφ<>­

πεζούς χο ροκ τ ψες αντί ιων κεφα­

Ν~"' Uni•·ι>rsιι_,, ιlrιιlιmetic ι:-Ιέα πα ­

ηαι με t \' ιο,·ου ς χιιρακ Ιηpες. Ι

λαίω\• ια οποία χρηοιμοποιούσηΥ

''tnιστημιακή αριθμηιικήΙ ΙΙΟU yρα ­ φτηκε από wν Chιιrii'S Da,-;c.; και εκ ­

οιιοκλεισιικά οι Ρωμαίοι. Η εκδοτι­ κή βιομιJΧα,·ία εξακολουθεί να τηρεί

1858 στη

1\cα Υόρκη. Στον

θtιηση της ιιφοιρεηκης αρχης είΥοι η

συχνά αυτή την παράδοση και γα αριθμrί ιις σrλίδrς της ειοιιγωγής

ιιίνcικα των ρωμαϊκων αριθμιό,-. στη

φυσική τίιοη \'(ι rιοσοιικοnοιοιιμε κοτι nνηφtρόμενοι σιο πλησιέστερο

σελίδα lδ, οι αριΟμοι 4 κω 9 yρόφ<> ­

·οροσημο •. Γιο nαραδειyμα. ει ναι ηι ­

r.νός βιβλίου με πε(ούς ρωμαϊκούς

νιοι

θανότερο να ιιούμc όιι η ώρο rίναι ·•εννέα nιιρ(ι ιιέν cε .. cιηό το νο πού·

χrφοκ ι ήρες.

δόθηκε 10

Μια rυ.\nγη cρμη,·εια για την υιο­

IV και ΙΧ, οι 40 κιιι 90 γράιραηαι XL κω XC. cιλλιι οι 400 κιιι 900 γρcι-

OUANTUM I ΑΡΘΡΟ

9


.

.

.

.

'

·

νότι σε άλλες περιόδους της ιστορίας

ρεί ηάντοτ.ε να γραφτεί ως ένας και

Vtε• (αν και αυτή η συνήθεια μπορεί

τους οι Ρωμaίοι χρησιμοποιούσαν ιο

μοναδικός ρωμαϊκός ιιριθμός. Α ν και

να αλλάξει με την επικράτηση των

octodecίιιι για το

18

novem-

nολλοί αιιό οας έχουν μάθει τους

ψηφιακών ρολογιών). Η εγκυκλο­

decinι για το

Πάντως, αν και η

κανόνες του ISRN μέσω παραδειγμά­

παίδεια Brίtannίca (στην έκδοση του

λατινική λέξη για το 10 ιίταν decem, οι Ρωμαίοι δεν έγραφαν ποτέ duo-

των, ιι διατύπωση των κανόνων δεν

με οτΊ ειναι «Οκτω και ntΥηντα πε

1910), αιιό την άλλη πλευρά, αναφέ­ ρεται στην περιορισμένη ικανόtηια του ανθρώπινου εγκέφαλου να ου λ­ λαμβάνει άμεσα το πλήθος των αντι­ κειμένω'' μιας ομάδος.

dedecem για ιο

19.

για το

8

και ιο

ή

undedecem

είναι και τόσο εύκολη. ΠρΙ\' οvνεχί­ σετε την αν(ιyνωση του άρθρου μπο ­ ρείτε να δοκιμάσετε να γράψετε ένα σύνολο κανόνων που θα επιτρέπουν

9.

τυποποίηση

όλες τις αιιοδεκ τές μορφές αλλά θα

Με δεδομένη ιην επισφαλή θέση ιων ρωμαϊκών αριθμών συς ΗΠΑ

αποκλείουν cις ανεπιθύμητες. Ιδού έ\'<ι σύνολο προτεινόμενων

αυτό φαίνεται όπ ισχύει για λίγους μό,·ο

σήμερα, προτείνω να ακολουθήσου­

καγόγωy:·

Q\>θρώnους. κω μάλιο ω όι::uν ιu ανιJ.κtίμενα

με το παρ<ίδειγμα της εκδοτικής βιο ­ μηχανίας. Οι εκδότες έχουν ωοθετή­

αύξουσα τάξη, είνω Ι

σει το σύστημα Διεθνούς Ιlροτύπου

1ο, ι = 50.

ουγκεκρψέ'·ες συγθήκε.ς είνο.a μ1.κρότερο.

Αρίθμησης Βιβλίων (J~RN!, με β<ίοη το οποίο κάθε βιβλίο που εκδίδετω σε

1.000. 2. Κανένας

Έτσι, to ΠΙΙ. ο παλιό<; ρωμαϊκός συμβολισμός

οποιοδήποτε μέρος του κόσμου έχει

ρει να εμφανιατει περισσοτερες απο

για ω rέοοtρο, δύοκολο διακρίνεται από το

έναν και μοναδικό αριθμό. Με την

τρεις φορες στη οειρο .

Έχει unooτi})JXΊti ό" μπορ<>ύμε να δού • με ιαυιόχρονα έως έξι αντtκrίμrνα. Α,\λά

εμψcι\•ίζο,•τα.ι με μια σιJγκtκριμ.ένη yεωμε· φική διεuθέτηοιι. Το όριο yιο ιουc; περισσό · tφotJς ε:νηλίκοvς. κάιω από ιδαvικέc; ου ν · 6ήκες, εί,•αι ηερίιιου tέ.σοερα.. Κάιω από

111. και

ίσως ήταν αυτός ο κύριος λόγος 'της

ανηκάτόσuιοής

tou

αιιό ιο

1\'.

1. Οι αποδεκτοί χαρακτήρες, σε

'

ίδια λογική, προtεiνω να χρησιμοnοι­

c = 1οο, ι> = soo καr

Μ

=

χαρακτήρας δεν μπο'

.

3.

= 1, ν = 5, Χ ~

.

f

I

Γενικό, οι χαρακτήρες εμφανί­

ζοντω οε μια μονόιονα φθίνουσα

Όποια κι αν ήταν η προέλευση της

ήοουμε ιην ονομασία Διεθνές Πρόιιι ­ πο Ρωμαϊκής Αρίθμησης (ISRN}, για να

aφαιρετικής αρχής, οι Ρωμαίοι τη

προσδιορίσουμε το σύστημα που μά­

προστίθενται.

χρησιμοποιούσαν περιστασιακά. Η

θαιvαν οι Αμερικανοί

σχολείο.

4. Κατ' εξ"fρεοη, έ'·ας και μονα­

λατινική λέξη για το είκοσι είναι

vi-

και το οποίο οι Ευρωπαίοι, σύμφωνα

δικός χαρακτήρας που (Ιντιπροσω­

gίntί. Κατ<\ την ακμή -του ρωμαϊκού

με τον επιστολογράφο που αναφέρα ­

πεύει μια δύναμη του

oto

ακολουθία. Οι αξίες των χαρακτίpων

10 μπορεί

να

18 και w

με παραπό νω, εξακολουθούν να μα­

εμφανιοτει αμεοως rφιν αοο ε να ν μη

19 ήταν dυodevigintί (σε κατά λέξη

θαίνουν και σήμερα. Σ' ένα ιέωιο

επαναλαμβανόμενο χαρακτήρα tου

μετάφραση: ·δύο από είκοσι•) και

σύστημα, κάθε αριθμός (ωυλάχιοων

οιιοίου η αξία δεν είναι μεγαλύτερη

υndevίgίntί (•f.να αnό είκοσι• ), μολο-

μέχρι to eνα εκ~ηομμύριο) θο μπο -

από την αμέσως μεγαλύτερη δύ,•αμη

πολιτισμού οι λέξεις yιu το

t'"Ou 10,

t

.•

r

και ο' αυτή τηγ περjπτωση η

αξία cου ζεύγους βρίσκεται αν αφαι­

ρέσουμε την αξία του μικρότερου χαρακτήρο από τηγ αξία του με γα λ ύ -· τερου. \Με άλλα λόγια,

to I

μnορεί να

εμφανισιεί αμέσως 1ψιν αιι·ό ιο ν ή ω Χ. ιο Χ μπορεί να εμφανιστεί αμέ­

σως πριν από το

L ή το C, το C μπο ­

ρεί νο εμφανιοτei αμέσως πρΙν οπό το

D 1ί το

Μ.) Ένας ενδιάμεσος χαρακτιίρας

5. ι ν, L, D! δεν

μπορεί να επαναληφθεί

δύο χαροκιήρες παρακάτω. (Με άλλο

VI V, ιο 90 γράφεοοι XC και όχι LXL, και ιο 900 γρόψεtΟι CM και όχι DCD.) 6. Μιιορούμε να τοποθετήσουμε

λόγια,

t<> 9 γράφετω IX και όχι

μJα γραμμή πάνω από έναν σωστό

χαρακτήρα ή μια ομάδα χορι:ικτήρωΥ, αρχίζοντας από '<ην αριστερή άκρη του αριθμού. Η αξία του χαρακτήρα που καλύπ-τεται από τη γραμμή πολ­ λαπλαοΙίιζεται επί 1.000. Σtην πράξη, είναι ευκολότερο να μάθοιιμε ιο οίrο.,;ημα μ&οω παριιδειγ­ μάtω\'. Ο ιιίνακας ιιου ακολουθεί

περιέχει όλα τα σ τοιχεία που χρειά-

10

ΜΑΡΤΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996


ζονται για να γράψουμε όλους τους

οτασης ενός αριθμού με ρωμαϊκό ψη­

ρωμαϊκούς αριθμούς ιως ιο

ISRN χρησιμοποιείται σm<ή­

φiα εiνοι και ο κολυτερσς ή ο μόνος σωστός, αλλά δεν έχουν δίκιο: για

θως μόνο γιο αρίθμηση σελίδων και

κόΟε παράδειγμα ε'•ός αριθμού όπως

χρονολογίες, ιο

σiyουρα

Ο ΙΧ, 110U Cί\101 ΟU\ftΟμόιερος αιιό to\"

αρκειό για ιις δυο επόμενες χιλιε­

μη συμβοιό με ιο ISRΚ αντiστοιχό του

τίες. Για αριθμούς αηό ιο

VIIII,

Αφού ιο

3.999 εί,•αι

3.999.

4.000 και

μού όπως ο

υηερyρόμμισηι;. Αν κάιιοιος θέλει γα

tεpος αηό τον μη συμβατό με το

2.937 με

VIIJ.

που tί\•Οι μεyα.\ύ­

ISRN

ρωμαϊκό ψηφίο ιιρέιιει να ξαναyρίι ­

αντίοτοιχό tOU I!X (tOY ΟΠΟιΟ όπως είδαμε, χρηοιμοιιοιούσον οι Ρωμαίοι

ψει τον αριθμό χριJΟψοnοιώντας θε­

μερικές φορι'ς).

σιακό συμβολισμό:

2 χ 1.000 + 9 χ 100

Ένο ούο ιημα παρόμοιο με το

+ 3 χ ιο + 7. Αηό tον πίνακα επιλέ­

ISRN αποτελούοι· κόιιοιε μέρος της

γουμε ιο ισοδύναμο κάθε όρου αρχί ­

ύλης στα διιμόυιu σχολεία των ΙmΑ

ζοντας από τα αριστερό: ΜΜ + C:M + ΧΧΧ + VII. Κα ιοηιν ενώνουμε α υ ­

(Ου μάμοι ότι ιο έχω διδαχτεί οτ.ο δη­ μοτικό, ιη δcκαειiα ι.ου 19501 αλλά.

ιtς ιις αξίες για ,.α σχηματίσουμε

με βάση ι η διδοκ ιιιιή μου εμπειρία

τον 1ελικό ρωμαίκό αριθμό: M~fC:'.I­

των τελευταίωγ

XXXVII.

βεβαίωοω ότι οι nερισοόιεροι από­

Πρασεξτε την παράλληλη δομή 10υ πίνακα. Σι κοθε γραμμή, όλες οι κα ­

φοιιοι ιων λυκειων σημερα δε'· ιο yνωρί(ου,·. Οι rιιιοtολές που nα­

ιαχωρήοεις έχουν ιο ίδιο πλήθος χα ­

ραΟtσομε οιηγ αρχή του άρθρου και

ρακιήρων. Όταν μετακινούμαστε

ιο γεγονός ότι το θέμα ιων ρωμαϊ­

προς ια αριοιερό, αιιό μια σtήλη ο την επόμενή ιης, κόθε χαρακτipας αντι­

κών αριθμων (1\'tψειωπίζετοι από

καθίο ιcιιαι αrιό τον χαρακτήρα που

κό αποτελούν μ ι α πρόοθειη επιβε­

έχει δcκαrιλ(ιοι(Ι αξία. και οι νέοι χα­

βαίωσι) του γεγονότος όιι ω σύστη­

ρακτήρες μένουν ο ιην ίδια σειρά με

μα δεν είναι ιιιο τόσο γνωο ιό όσο παλιότερα. Οι μαθητές πρέπεΙ ''Ο

to

α υιούς ιους οιιοίους ανιικαθιστούν.

25

βιβλία οριθμηιικής ως προαιρετι ·

μούς στη σ ιοιχειώδη εκ ιιιιίδευση και

Η αρχr\ όιι οωσ ιο ς ρωμαϊκός α ­

~·οι ιφιιβί.ιιμαπσ)Ιοί

Luc Montagnier ΔιευΟιιντής tρειινών

να εηαναλαμβόνουν

10

θέμα περιο­

crto CNRS

-

·--.-

. ....

εtώ". μπορώ ,.α

μιιθuίνουν ιους ρωμαϊκούς αρι θ­

Συ~

ΠD_ς, ί'ι:;νιι·ύτα. έp&υrεr;

υιιάρχει ένα παράδειyμα αριθ­

ηανω, ειναι αηαραίτητη η χρήση της γράψει έγον αριθμό όrιως το

101 ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΟΙ

~

l()f λ Η ~ \fii'U//Q/

----

l. rιι•· ιt/)C.Jrυιωριιι. πι.; fι>tt ι-α.; λtπά wιι ιού rυtι .nD!; βρiσλεtιΑt Q /,uι· ,\/υntagnίer, έt•α; από ΓQU.i." σημαιτικόrτ..ροΙJ; ιολόi"ΟV\ rου Λύομιψ, Εlι·ω () επισrιjμο•·ας που. μαζί μι: rιι•· ομdδα (.Ι'ι·α~-ιiί.ι;ψc

rou (ffό lι·σrtrorJτo 11αιιrέρ,

ro 198) rυ•· ιό Q

οποίο.; έχει

πpοκοJ.iσι;ι πpα)μαrιλ.'ή πnι•διιμiα.. Εε rοιΊrο Γ() r.ξαιρm,..:ιΑ ιτδιαφCροι· βιβλι'ό.

n tιιιίϊ'J)αφi;ο..; rotι ο.ι·ιιφ{ρεrαι σrψ· εpι:v­ ι·ητι~'ή εp';VJ.tιia ιιw rv•· ιχSrhwειmιι,αra­ λ'άλιφί rw MJJ ιιφι;yιάφι:ι rη δισμό.zη roo

ριθμός είναι ο ουνιομοιερσς δεν είναι ορ&η, ούτε από ιο ιορική άποψη ούτε

δικό οιη δευιεροβαθμια.

με βόοη ιο συμβολισμό ιου

ISRN. Οι

κότηια είναι ότι, αν και προτάθηκαν

ιnμJatι.m'rmmι. ιαpιlλ'ΠΙJΙ. ai).ιi ειόιιη;

ηεριοοόιεροι Αμερικα,•οi mστεύου,·

τόσοι διαφορε ι ι κοί ιρόοοι γραφής

1tJ.iιpη λYll διαφωnιm"'Ι ΚιψιJ«Ιισ.σrι tωr

όtι ο ουνιομόιερσς φόηος α,·αιταρά -

του

;τώm-ωr κοο dιαfkΤοιμε 6ιιοr αφοpό. τοΥ

Τrλος, η rνιυιJωοιακή πραyμιιτι ­

1990

με •ρωμαϊκούς· αριθμούς από

αριθμός ι

2

3 4

χιλιάδtς

ικαtο·

V1:άδtς

&ιιάδrς

Μ

c

χ

ΜΜ

cc

χχ

ccc

χχχ

CD

XL

ΜΜΜ

Ruckt>r, Ρωμαίοι

I

νόιοιfι

οι αρχαίοΙ δεν

θα

να οnο­

ούτε έναν οιΊό ιιυ.

111

τούς!

V1

7

occ

LXX

VJI

8

DCCC

LXXX

VJII

ν

I ι

ιχ

Ο Steνen Scbwartzman διδασκtι μα · θηματικα στο Λustin Communίιy Collegc και cιναι ουyγραφί'­

uς ιου βιβλίου Th• 1\'orιlsof .lfarh~mat. ics. nou iχει cκδοθtι 4

xc

iJ

JV

LX

CM

Ellie

κρυιηογριιφήοουv

oc

9

αΥα ­

μΙΙορούοαν οι θα­

L

6

γνώοιες της

μονάδις

D

5

τους

από τ: φ: Αμrρικη,• ικη

Μ<ιθημ<ιιική Έ''ωοη < ΜΛΑΙ.

με tQι ~ιιι•:nrtί ι:ιnιιrημnτα

R. GaUo· δί­

ιο λ'αJ πιι· ιιf)(.7b.tt ση rn.ι, ιnι· τρόπο ιu: ·ro"'' uπoio r.ξ,.jJrrσεrω ιι αDΟέv,ια. π; δυrαrό­ rηrε.; Οεpσ.πι;iα; λ.'Uι uι·αλ"άλιιψη.; Ι'..μβι)­ ί.ίοιJ, λΊJ.J Tlf ϊf.CJί1KJ.tpΙtι.tί εξάπί.ωση fQtι

AID8. Λλ·6μη. υ ΟΙΙ)"';'μυ.φι~ι; αι·οπτύaσr.ι rις απόψει.; rυυ για ιι..; ι;ιιΟ~~·ες τω~· ποι.ιrι­ ,...ώ,, λ:ιι.ι c~{}i:rrt τι; nι..:fψtις rου )'rα π.; ι;πι­ πτιiχπ.ι; rlf' nιιδημίιι.; ιυυ .ΗQS στα διιμό­ σια συσrημο.rα Ιιϊ'tΙf~~ λ'fU σε οi.όκί.JJΡΙJ rφ· ι.:Qιι-QΗί(l..

llptίλτιrw ;'ΙGι ιι ι.ι βιβίιο ιιλοι',σιο ιιε ιrc>­ ιi.rιμt; κ.i.ιιιΝΗ1t~Νι.;. ιιιuμμέrο αχό έrαι•

0001'1jw'« "ιι.ι φα •ιιrrι ..οο μ,ά;(ειαι σε έ1vι

rot

(lXO

rσt..;ιfιι<ψιι.ΠλνιτμtΑο; ιιοiiμ(Ν;

αιω •·α μα;

Σcλ.:

376. 5.000 δpz. Εκδόσεις κάτοπτρο Ιι. \ 1\ \OΦOI't Ι ΣΙ:. ΟΛC:: τΙΣ ._, PHII \llι.e Ι ΛΩΣΣΕΣ

OUANTUM I ΑΡΘΡΟ

11


ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΩΜΑτΙ ΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡ Ι ΠΙΚΑ

Ένας περίπατος στην κόψη του Η σρχσ/σ σοφiσ συναντά τη σύγχρονη επιστήμη Meshcheryo koν

V.

κ

.\ΠΟΤΕ Η ΔΗΜοΦΙ.\ΙΙΣ ΡΩΣΙΚΗ

yιση. Μπορουμe να υπο.\οyiοαυμε ιο

λω1· λ-ιλιομετρωΙ' από τη1· επιφάνειά

rφημεριδο .\foskoι·sk.•· Kσmso­

εμβαδο1•

του nrλμαιος tΙ·ος α1··

ι ης. Το αnοιtλrομιι μας ιιφη,•ει ιίφω ·

molι>is δημοοίεtιοε tΙ·α ε1·διο • φtρον ορθρο του Alexander

Ορωrιου ι οχrδιάζοηος. yια πορα.

Ι•οu~ .\Ιιιοprι tΙ·ας αΙ-θρωοος 1·α οτι' ·

Pogoncheιιkoν μr τιτλο ·Κυβίστηοιι

S,.

ro

δειyμιι,

περίγραμμα του σε ιετρο·

yωΙ•ισμtΙ'Ο χαριι t· βρίσκουμε όιι

S,, -

όσο αυτή ε1•ός ξυραφιού, χωρίς να

στην t<όψ η rνός ξίφους•. Αφηγού •

10 '

Ι'ιιιν ιην ιστορία ενός εξηντάχρονου

μίιτων ιου:

σοφού με ιιι:ιμο αθλητή. κω της ει·

ηιι Μ - ΙΟ' kι:. τότε ιι eξωιι:ρική διί· Ι' ομιι ιι οu nοκι·ίιιιι κόθεια στην

κοοάχιιον ης ουζύγοιι του. Λυτός ο

επιφόνειιι ιΟΙΙ ιιl·λμιιτό<; του έχει μέ ­

έχει ο ιrρει;\Οrι ο ιιι ιι~λ μιι ιά ιοu λ&·

άνδρας ι\tΟΙ' tμnrιρσς yνι~στης των

τρο

rιιrς. πολύ aνθεκτικές σόλες, ή μή·

πολ εμ ικών τεχνι;ΙΙ• κιιι nρογ μ αιο·

ιι α νω ο

.

m'. Λ ν η μόζeι του ογθι•ώnοu εi·

t<tιαι nu1·ω οι· μια λειιίδα κοφτερή

.

Jo' "

Μιι

. cιvτηγ ε ι ν cιι

rιuίησr μια κιιιοnληκτικι\ επίδειξη γ ια το δημοοιοyραφο. Ορίστε ένα ιιJJόοnασμα: · Στtκt(αι rιάνω στη λε ..

: 1Ο'~- Έιο ι , η πιεοη

Ρη • -

.

τραυματίζει τον μυίκό ιοιό ιων neλ·

11

ιιρόκrιιαι ιιιιλώς γιο

κάποιο κόλrιο: Μ ήnως ο ισορροπιστής

πως πάλι πρόκειται για κάποιο είδος μιι(ικής ύr11·ωοης:

/<'

s•

- LO' ~ m' = 1 ιιtm. Ι l t

Λς επιχειρηοου με ιώρα μια άλλη προσεyyιση. Γνωρίζουμε όιι το ον­

rιίδtι και, κραιώΙ•ιος το χέρι της νεα ­

Οιο1· κοποιος στι'κrτοι ιιά1·ω στη

θρώnη·ο σώμιι αrιοτrλείται από ιί ·

ρης βοηθού ιου, ορχί(ει 1·α nερnαιο

λεπιδο tΙ'Ος ξίφους, η iδιο δύΥομη

τομα. Είναι λογικό. λοιπό1·, να α ·

ιιοιο μηκοι; ιου ξιφους. ΈΥο βήμα...

αοκειτοι σε μια ησλυ μικραu:ρη εm .

ναρωιηθούμε : πuνω σε nόσα ιίιομα

κι άλλο ε1•α ... κι ιίλ.\ο ε1·α ... Τώρα

φοηιο rιιιιφιιc;. rια

rκ ιιμήοσυμε

στιpίζηαι το aΙ·Ορι~ιιη·ο σώμα: Για

στρίβει ... κανrι rνο βήμα πίσω ... κnι ιtηδιίrι! θα ιιrρίμεΙ•ε κανείς γα δει

ιο εμβοδόΙ• της. αρκεί νιι θυμηθούμε

1·α αηαηηοουμε ο' α υιό το ερώτημα,

στι κ ατο ιη λrίnνοη μeιίιλλω1· ιο

nι; uιιολοyίοουμc πρώτα το πλήθος

αiμα \'(J rκιι,ιοοσrταJ αnό ια ηέλμ<ι­

ύψος ι ω'• ι'ΗΗ.pιt\Ψιrικ6>ν οΥωμαλιών

ιω1· ιι ω μ ων ο τις επιφα νειrς επαφής

τα των ιιοδιι~Ι' του. Όμως ιίnοιε τt­

μπορεί Ι'ο μrιc.Jθri

s~, κω

ιοtο ... ιι.

μικραμctpοΙΙ ι 10" ιιιt. Ας unoθέoou .

Ο χιφακτιιριστικός όγκος ενός

Ί'1 οιιμβο ι l'rι εδώ; Η ιιπόντi)Οη δε1·

μι·, λσι ιιi>Ι•, όη το ακόνισμn cσυ ξi •

ιηομοιι σε κιιιιισι{ιοεις συμπυκνω­

είνω ιιηλή κιιι ιι·τριμμένη. Mnoρou.

μέΙ·ης ίιλης rίνιιι περίπου ίσος με Ω

με να κάνο uμr κiιποιους αρχικούς

φους κιιιολήγει σε κόψ ιι πλίιτους b - 10; πι. θcωρωνιιι<; ότι το μήκος του

= 10 '"

υ πολογισμούς τιις εnιφάνε ιnς επα ·

πέλμαιοι; ιου ιη·θι><;ιπου είΥαι περί·

σκειιιι στη~· εξωιερι κή ε nιφάΥε ι α

φης. ιης nίcσης, του nλήθοuς τωΥ αιόμω1· σripιξης. Μπορούμε όμως να

rιou

a - 10 m, η eπιφιίνειeι του ιιέλ.

ι·νός αΥt ικειμένου καταλαμβιίΙ·ει

~

μ(l[ο<; ιιου βρίσκεται σε επαφή με ιη

ο ιοιχtιώ&ς εμβοδό,· ισο με s -Ω' "

~

ελrιίζουμε ότι θα nρooεyyίoouμr με

την KOψiJ θο fiΙ'(ΙΙ;

- 10 ~ m'. ΣιιΙ·tnώς. ιο ηληθος t6>ν i:' Οιομω1· σε μιο tΠΙψαΙ·εια εμβοδου S,~ ';,

1

rιεζούς ιιριθμούι; μια τόσο εξαίσιο ορ· μο,·ιιι: ~:Οε1ς Οο ιο κρ11·rιε.

ση εiΙ·οι:

.

ιου μοναδικού ηrιρομοτοι; ακολου •

κλάσματα του

. s,.-

ι ο·' mΌ Συ.

αυτη τφ· περιηιω·

ot ι.ε \'(I κ (ινι: ιι: κά \Ι ιi·tοιο στο σπηι!

12

ΜΑΡτΙΟΣ ' ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

m'. Ετσι. κ(ιΟε ατομο rιου βρί­

~

~

οΙ·θρώπΙΙ·ου πι'.\μιιιος. ισούται με:

ι ο·· aιm.

ι2 ι

I

Η ιιιξιι μεyrΟους αυιr\<; της τιμής βρισκεται στην nεριοχιi ιι.η· mέσεωΥ

Ι XJif'Ι(ι(r,oι \'Ο οας ιο ηούμr; Μ.ηδοκ.φ{ι.

s,.

ιιου cι,·τιοτοιχcι οτην επιφάνεια του

f' Ρ, = S -

τασουμε τη φυοική π .,ευρά αυτού θώηος μια μι\λλο1• απλοϊκή αροοέy ·

or

1

. Ι'fΠω<:. η ιιιrοη ο

θα προοnοθηοουμr πρώτα γα εξε .

\'0

nov

οv,·αντώντω, για η<φc'ιδειγμο.

υτuν nιφιiνιι ιιις Γης. σε βόθος nολ ·

ενω ιο αν ιίο ιοιχο ιιλήθος rωγ ατό·

μων or r ιιιφ(ι νι·ια ι·μβοδού

S,,

που

αντιοιοιχrί ο ι η\· επ ιψά1•ειο επαφής

;.

;; "'


' "d' I • · '\ \


μr 1η ,\rπιδα. είΥαι πο.\υ μικροιrρο:

s n, = ~ -

"

ο

10 •.

14 1

.\είως α\•ε.\ασηκη rηιφαηιιι. μr ιέ.

tφ· rξωtεριχiι κάθετη δυ,·αμη κατο

ισιΟ\' ιρόιιο ώοτc

rφ· ο.\Ιοθηση cΥός οΗρrου nωμαιος

κουμηα

10

• ιιέρα­

σωμο

Yn .. n-

ο ' ουΙη\' μr έ\'α ιιnό ια

nροcξεχοηα

Βλέπουμε. λοιπόΥ, όιι

to

μολακ(ι• αιομιΊ του. Η

εφαρμογή μιας μικρής δΙΙ\'ομιις

F

μr

ΙΙΟ\'Ιο) ο· η α αλλ ο Ι F., = μ.\'). Η tξίοωοη ιί ι μας εηιιρέιιει νιι ιιροοδιορισουμε τη,· ιιρnyμnrική εηι­

διεύθυνση κήfJrιι1 otιj\' επιφάνεια

φiινrιΙΙ rιιαφιίς

ξίφους ιοοδ>ιναμεί με ιινιικο tiι ­ o ιηοιι 10" ατόμων στψιξιις με μόΥο 1011 ιιιομα. Το συμηέρaομcι δtΥ φο ι ­

ο ιήριξr)ς μπορεί νιι ιφοκαλέοει ε λα ­

εί''ΙJ Ι ίοη ιο γινόμενο του πλιiθους

ο ιική ιιιιραμόρφωσ η tης επιφιινr.ιn­

rων κορucηίδων η επί ιο οτοιχcιι:J ­

κiκ 11ροrξοχιiς nou nφιέχl'l το ά ιο­

δες εμβαδόν κ Χρηοιμοrιοιώνιας τιιν

νt· ι ω ιδιιιj ιερα t\'ιuηωοιοκό. Εινοι

μο-κορυόrιδο. Όtcl\' ιιυ1ή η δύναμη

cl,ίσωοη ι ί ι ιιιιίρνουμε:

δύσκολο \'Ο φ<ι\οτaστεi καγεις πι δΙ­

υιιερβεί μια ορισμεyη κρισιμη ιιμή

ιιφορο μετιιξυ ουι6Ι\' ιιοΙ\' δυο ο· ριΟμώ,·. Ωστοσο. α,·ηnροοι.ιιιrιιοtJ\'

ι που εξαριιiιαι από ιο ειδοι: '"'" διιι­

rιρογμοτικο το π.\ήθος tιο)\' ιιιομω'

ιοηοιει μια μrι(ιβοοη διαχυοης. :0.1ε

Γlροφ<Ι\'LΙ<;. η

οιήριξης ουΙοi οι αριΟμοί ιι, κω ιι .: Οι

άλλα λόγια, αυτu ω ιιιομο θα -σηJΚ>Ι·

πι ι•ξιφιόται μόΥο

rκιιμiιοεις 131 και ι4• αγηστοιχοuΥ ,,.. ολόκληρη την επιφη,•rιο του ιιέ.\­

χτεi" από τιι" rξωιrρικι) ι ηρώτιιι ο ιιβάδο α tόμων τιις rιι ιφάνειας του

ιδιόιη11·ς 1ου σώματος που ΙΙψfοαιται την ΙΊrψιιμόρφωσιι κοθώς βρίοκι•ιοι

μrιιος. rω ,.α το unοyρcιμμίσω τού­

ο ώμο ι ο ς rιρος εσώτφες ο ιιβάδες. Η

nηνω Ο Ll\ Otcpcι) ανελαστική ι·ιιιφό­

το. σοι: θυμίζω ιιως ζι)τi)Οο \'ο σχε·

καιηοφοφι) της συνέχειας της ιιρώ­

νειο και αιιό tlJ'' εξωτερική δίl\'fψη.

διόοcτε το περίγραμμα ιου ιιr.\μαισς

Τώρα ι'Jρθε η στιγμή ,.α ανεβει ο

το δuσμενες ε'·δεχομr,•ο ''α rκ,·ευ­

tιjς στιβάδος α ιό μω\·. και ιων επόμe · νω\' στιβάliω''· Οα πραγμιιιοποιείται έως ό1ου 10 π.\ηΟος tω,· καριιnιίδω''

ξιφους -ιρόιιος του .\έyεl\'-. για \'Ο

ρισω

yί,τι ίσο μr

κα,·rι τους ιιοοοτικούς υnολοyι ­

σ μα ..

ono to

ιΗινω

oc

έδοφος στη'' κόψη rνός

"J"

ιετραγω,• ιομε,·ο χαρη !με

ε'-ημερωμr,·ο α\·αγ,·ώστι)Ι.

to,·

tομικώ'' δεομι:Ι\'),

Τι μος εγγυnται, ομως. όιι όλα 10

10

f

-.r

π-

S, !όπως ακριβι;ις και 10 ono

τις ο ωμικι'ς

ιδιος ο ουyyραφέας στη .\rιιiδο ιου

nμούς και \'Ο cξαγάyει rιοιοιικά ου·

μιιrράσματα από αυτους. Χρησιμο­

-

rιοιι:ιηης ιη" tξιοωοη ι7 J κω τις δrν Ιtρέπει \'α

χαροκιηρισιικές τιμές yι<ι τον ιι ιο­

λCν~ πόσο μ11ορei νn μrιωΟrf ο αριθ­

υηr;ρβιιίνrι ιιιν τιμ ιi t1J<; ενέργειας Ε

μικο όyκο Ω. τψ εξωτ.ερική δύναμη

μός ιι,. Μι· ιί.\λιι λόγιιι. ιιοιrς rιναι οι

rιov c.ιιιιιηει ιω γιcι ,.α μrταΚJνηθεί ιη

F κ οι

κρίσιμες ημές του πλήθους τω'' ο ιό·

άτομο διηρημέ,•ης μι· ι ηΥ οιιοοmοη

μων "ι !και. αν-τίστοιχα. του nλιiιοιις b ι ης κόψης ι οέρα ιιnο ιις nιιοιrς rι­

μεταξύ tω'' ο ιομω,•:

εκ ιιμήοουμc το πλήθος tων κιιρuο­ τiδων:

Οι ι·κιιμ iιοrις ! 31 κιιι 141 ΟΙ'\' μιις

11

Κf>ΙΟιμη δΙJ\'tψη

nοιι θα ιφι'ιιrι να

S, =ns=-ε ·

Ιιιομο οραγμα ­

f'

ιiιομτι ιου πέλματος tl\•αι ατομn11 ι η· ριξιις:

S,.

rι]'' εγέργειο Ε. μ ιιοpού με γα

n- 1011•

ιδι

Ω •

ιιαΙησει nα,·ω σ· έ,·α (ιφος:

Γιn

ε

f=

\'οι αδύΥατο,· \,α cνa ατομο \'Ιt ιιrρ ­

f

191

F.τσι. 10 βιiρος ιου α,·θρώnου εξι·

fΗΙn\·ιήοοuμe σ · cιuιu ιο

Η Ε r"·nι rιιίσ ιις Υ''ι.χι ι ή ως t\'έρyειn

rρωιημα. ας ακολουΟήοουμr μια

διαχυσης. Γιο μια χονδρικη εκτίμη­

οορρσπειται οπό ιη δύΥαμη που οφει ­ λειαι OLIJ" rrιοφή τω\' 1011 καριιnιί­

θι·ι:Ιj)ηοι) ιιοu nροιiιθι)κε <ι nό ων (ι γ­ yλι~ φυσικό Ε. Toιnliιιson το 1929. Η

ση ιης Ε, μιιορούμr νο ιιιιοθέσουμε

δω''· Το nληθος αυτών δεν εξcφτάιω

όιι ιοοιίτοι με Τ Ι)\' ηλεκτροοτη ιικiι

ού ι ε cιιιό ω σχίιμα. ούιε από το ε μ ­

uuuiιι ο u ιιiς ι ι)ς ιφοοryγιοι)ς έγκει­

ε\·eργεια rν(ις και μόνου ατόμου:

ιmδόν ιιις επιφάνειας στι'VJιξης, οίιιr

ται σιο γcyοΥός όιι ι1 rιιιιφιi μειοξu

kι•'

\·n

δυο σωμοιω'· ιιρογμιιιΟJιοιrίιω από

ω ιό ιο μtpος τ.ου ανθρ~>ΠΙ\'Ο\1 οώμο·

kι>'

τος ιιοιι ιιyγίζει ιο έδοφος. Η ιιμή ιοu

ε- ------ι· ι·

t να ηrριορισμr,·ο n .\ηθος αιομ~η·.

Ω

n tl\'Oι

rιιιά ιάξεις μεγέθους μικρο­

που cξαρtάται απο τη" εφορμοζομε­ ,.η rξω1cρικη τάση. OTomlιnson Ο\'Ο ·

Μια χαροκτηριστικη τιμη yιn ιn

τερη ono 10 ιιΜιθος τω'' ατομων που

μέιαλλα ειναι ε - ιο-••

nεριέχοηαι στο πέλμn r\'ός Ο\'Ορώ­

μασr αυτό το nτομn .κrιρυόιιδες-.

δυάσουμε ιις rξιοώοεις 15 1 και t 6J

τους ελλ η\'Ικο11ς κιονες ιιου

προκυπτι·ι μια rξιοωοη για να υπο­

ι\tCI\' λcιξευμέ,•οι σε μορψι) γ>ιναίκας. Το nλι\Οος τωΥ κορυαtίδω'· ι· ί,·ω ιο

λογίσουμε το ιιλήθος Ι ω'' κορυιηί •

ano

J.

ΛΥ

(1\)\'·

ιιρrιιrι ''α ro υπολογίσουμε και ''ο Ουγκρl\'Ουμc 10 αιιοιc.\rομn μr ΙΟυς

~11

δω ν:

κύριο χαρακτηριστικό της ι·ιιιιφής μεταξύ σιερεώ\' σωμάτω,· . και θο

ηου :

ιι =

ι7Ι

10'.

tΙΟι

Με iιλλιι λόyια, ι1 εκτίμφιι ι ΙΟ Ι ι· κ. φιιίι<eι όιι σε κάθε 10' άτομα της ι·rι ι ­ φά,•ειας του πέλματος μό,·ο Ι •λ ει ­

w n δεν

ιουρyει • ως κaρυό rιι;. Ίοως όμως το

Ας θεωρησουμε.

εξαρτάται οιJό ιο cμβαδό,. της cmφά­

ιιιο r'•διαφεροΥ συμπέρασμα που

λοιιιο,·. ιο ακόλουθο ψ11nικό μοηε.

,·ειaς εποφης. Κnι τούτο συμφω\'Cί

ιιροκυnιει οοό αυτή,· cίναι ιιως ιο

λ ο.

rιλήθος tωΥ καρυατiδ<οι" δι-,· καΟιε •

Φαηαστείτε πως ένα στφrι\ οι;ιμα

με τη συλλογιοιικη του Tomlinoon, που έχει εnιβι:βnιωθεί με τηy nειρο­

pί~)\Ψιαι μογομ1ιις. cιι\λiι οιαδιοκcι.

μr. ιuχαίrς επιφανειακές μικρσιινω­

μοιικη ε ιιολι'ιθι·υοι) ι ης γραμμικής

κοΟι~ι; οι εηιφανcιακeς στιβάδrς 10ιι

μολίι·ς ο ιηιιiζειαι στατικό σε μια τε·

r.ξάρτιισης τιιι: δύναμης φιβής οιιό

δέρμιι ιος καταστρέφονται λόνι•> ιιις

αριΟμους

14

n0

και

n ,.

ΜΑΡτΙΟΣ • ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1~9δ

Είναι ιιολίι σημn,• ιικο ότι


επαναδιάταξης τω" ατόμωγ τους.

εμού συμπεριλαμβανομένου, θεωρεί

Φα ηιιο ιεί ιε ό 11 rιιέζι· ιι: ω διiχ ιιι λό

ιηΥ rφμονίη tων cξισ<ΟΟεωΥ ως ένcι

κα\'εiς από αυτό το άρθρο ότι έγας

σας πάγω σ' ένιι φιιιιέζι με δύναμη

είδος μαγεiιις... Είνω όμως κρίμα που

α νΟρωηος θα μπορούσε να οτιwίξει

μέφου

1 Ν. Η κρίσιμη τιμ ι\ ιιjς δ1'ι • γα μ ης που απαι cεί ιιι ι y ι α να ΙΗΙΟ •

το ιελειηαίο μος ουμιιέροομα δεν

με cιοφάλcιcι οιιοιοδήιιοτε μl;ρος ιού

βpiοκεται σε πλήρη συμφωνία με ό.τ•

σι~ματός του στη λεπίδα cνός ξίφους.

σπάσει έ'•α ά ιομο cης επιφά νειας του δαχτύλου από τα γειτονικά του ότο ­

ιικριβώς ουμβοί"ει σιιι φύση. Στη"

Διαφορετικά μέρη του δέρματος και

πραγματικότητα, η θερμική κίγφη

του υποκείμενου μυϊκοίι ισrού δια ·

μα riναι

!Ο"" Ν. και προκύπτει αιιό

των ατόμων δΙαβρώνεΙ ιις ειιίπεδες

φέρουν ως ιιρος την ελασ ιικόιιμα

το" τύπο 16) και τις ιιμές ιιοu eχou. με θεωρήσει για τις ποσότψες Ε και

ιιεριοχές ενός κριιοι{Ι.Ηοιι, οδηγ<i>·

και τ ηγ αν ωχ η ιοvς. και

ντας στο οχιιματιομό μονοαιομικών

ένας ΙJαράγοηαc. που δε\• λάβαμε

Ω. Προφαν6ις, αυτί] η δύγαμι] ιου

1

ο καλοηrι ιιC:η• κω κ<ιθω Η;)ν ως <ιδύ ­

u π όψη μας. Ίσως ιο δέρμcι ο ω πέλ ·

Ν κα τnο ιρeφει ιοιις δεσμούς με ιοξύ

νcιτο ιυ τρόχισμα μ•ας λεπίδας μέχρΙ

μα του ποδιού να παρουσΙάζει κάποΙα

t(iN αιόμ(ι)\' 1 κοι ιελικό οδηγεί στην

τη λήψη μl(ις διατε.ιιγμένης, πολυε·

πλεονεκτήpατα σε σχέση με άλλους

κnθιέρωση ενός πλ ήθους ισορροπίας

δρικής γραμμι\ς εύρους μερικώ''

ιστούς σ' αυτό το επικίνδυνο πείρα.

ιιπό κιιρυότιδες. Λ υιό το πλήθος. για

μα που πραyματοποιειται στα ορια

ιη cιυyκεκριμένη περίπτωση, είνα ι

εκατοντάδω" δι ατομικών αποστά · οεων. Προφανώς. η φυσική διαπλό ·

- 10 '.

τυνση

f'-

b,

λειτουργεί ε\·Οαρρυyτικά

3.

Δεν θα έηρειιε να οuμrιεράνει

.

.

' (tUtoc;

εινω

.

.

των ανθρώπινων ικο"οτήτων.

4. Οι

μεταβολές στις κρυσταλλικές

n Ιεκτίμφη (9\J

για το περίφιιμο πείραμα της κυβί ·

έδρες που εξαρτώνται από τη θ&ρμο ·

με το ιιι, το πλήθος τω" ατόμωγ ιιου

σιιισι]ς στην ακονιομέ,• η κόψιJ του

ιφασία είλκυσαν τ.ο ενδιαφέρον α υ·

ιιιιόρχοΙΙν ο ι ην cnιφίη•cιι:ι στήριξης

ξίφους.

θι·ντι~"· όπως τ.ου

};υyκρiνοηας το

πόνω στη λεπίδα του ξίφους, μπο· ρούμε \'α πούμε ότι ιι κόψι) έχει μεγαλύτερο πλάτος αιιό αιι ιό μιιις

κι)ψης ιιου υποθέwυμε πως σχι]μα ­

Pau1

Ehι·cnfcst κιιι

του Lev Landau. όμως περιγράφηκαν 11000 ιικ{Ι μόνο κατά τα τελευταία

Ορισμένες συμπερασματιιιές

δέκα χρόνια. Ίσως κάrιοιος ειδικός

παρατηρήσεις

δΗιβάσει αυτό το άρθρο και το ε μ·

ιίζειαι (ιΙΙό ιιυκ,•ή διιiτιιξη του πλή­

1. Ο συγγραφέας δε\' έχει υπόψη

πλουτίσει με μ ιο ιινάλυοη αυτού του

θους ισορροιιίας Ιό11ως προκύπcει ιιnό

του ιΊμεσr.ς rιειραμcιτι κrς μεφήοε ις

την

που ε\'δέχετω να επιβεβαιώσουν

t\ να

φιι"·ομένου. 5. Το πρόβλημα της καταστροφής

της κόψης μπορούμε ''α το υπολογί ·

διαψεύσουν τους ηαραπά,•ω υπολο·

των μυικώγ Ισtώ\' υπό τη δράση ε ­

σου με nnό ι.ον ~ύιιο

Srlι.ι, χωρίς

γισμοίrς. Η μέθοδος της ατομικής μι·

ξωτερικών δυνάμεων είναι πολύ πιο

νιι uιφαβι(ιοουμc τη συνθήκη της

κροσκοπίας. που είναι η πιο συναφής

περίπλοκο απ' όσο υποδεικνύει η πα ­

ειηίμιιοιις

με το nρόβλ ιwο rΙοιι εξετάσαμε κω στηρί(εται στην ελεyχόμενιι επαφή

ιιουοίαοή tou σ' αυιό to κ&ίμενο. Προφανώς, σχετίζεται με τη μετάβα­

μιας στερcάς επιφάγειας με μια μ ο ­

ση από τη στατική τριβή στην τριβή

νοιι ωμική ακίδα, δε'' μ ο ς εηι φέ11ει

ολίοθi]Οης, ένιι αiνιγμιι 110υ η μο·

να μελετήσουμε τη δυναμική του

ντέρνα φυσικ1\ άρχισε να nροσεγγί ·

οχ ιιμα ιιομού nολ υιιτομικόJV ε πα·

(ει nολ ύ πρόοφα το.

(91), ΊΌ

τίιrιο

μειωμένο πλάτος αυτι\ς

191.

br =

ΧριιοιμοΙΙωώνcης tυν

18) πιιίρνουμε:

b = J:'Ω ' F-a

-lΟ ' έως lO ' m.

1111

Από αυτούς τους υπολογισμούς

11pοκίιnιει ι\cι η οιατική ωορροπίcι ενός ανθρώπου πόνω στη λεπίδα

(jJ

φων .

2. ([ρέπει

ν (Ι Παραδεχτώ ότι

01

υ·

-:πr.eσ:Η'[Ο'.ΧΜ'Ε9{Ά

ε\·ό~ ξίφους χωρίς κιιιασιροφή ιοu

ιιολογιιιμοί που πιφουσιάστηκαν εδώ

μυlκού ιστού είνcιι εφικτι\ αν το πλά · τος της κόψης είγαι μεγαλύτερο αιιό

είναι ιιροοεγyιοιικοί. (Ε,'uς ακόμη λόγος για ,-cι (t\' ΗΟ ιαθεiτε OtO\' πει·

Ί'Ε-'JΧΉ

10"' ιn. Σ' αιι ι ή LΙ]ν nερίπ τωο η, η με·

ρασμό να επJΧειpιjσετε αυτό τον ά · θλσι > l!ρώτον. βασίζονται σης ιδιό ·

'lίi Q!ι~rιωrn ικ:Jrόπ.α' ,τ το ηlfln rικιt

τιyrε~ cγό~ « μέσου » () ιοιχr.ίοu ιου

ι'fnμtt"NJ Ι{otJY- ιω.κ~pnttit 12

κατάσταση ενός πλίιθους καρυατί · δων χαοτικά κατανεμημένων στο

περιοδικοίι ιιίνnκα rιιιι Μεν-ιε.\έγιεφ. κοι δεν λη μβά,·ου\' υιιόψιJ τους τη

=.rω-\:rt:- .:::l uro ....ιra oι::ro-λ'p.'ro θα

επίπεδο με το ίδΙο π λ ήθος καρuα ιί •

Ο LOJXf'l<;)()η δ() μ ή του Ο\'θρ(:)ΠJVΟU

δων πυκ,·ό δΙcιtεταγμέγων και ειι .

δέρμιιτος. Δι:uτφο,·. εξαιτ.ίπς σφπλ •

Ουγραμμισμένων, &ιοι ώοιε

rιλή­

μάιω" οτρογγυλοπσίησιις. οι τψές

Οος των ατόμων εγκάρσια της κόψης

που λαμβάνο\'tαt όταν υψώνουμε

να είνιιι n = b /Ω13 - 10' κο ι το πλη'.

τον ατομικό όγκο Ω σ τις δυγάμεις

θος των ατόμων κατά μήκος της να

1ί3 ίι

είναι n

3 1= a Ω! 11- 10' . Το γινόμενο " " · ιι 1 = n- 10 αντιστοιχεί οιην

τιιν πραγμαηκή ιψιi και{ι μία ιάξιι

Ελπίζω ''α σας άρεσε αυτή 11 απλή,

\ ' 01 ανc:ιφελο να rφοοηιιθήοουμr. ,.ιι

πεζή εξι\γηοη ε'•ός αρχαίου μυ ο ι η·

βελ ιιc:1οου με ιη" ακι1iβεια των εκ ιι­

ρίου. Παρ' όλα αu ιό, ιιολι\ς κόιιμcις,

μ ήω;ω\".

τάβασιι αιιό ιο ιιά τωμο στην κόψη του ζίφους ωοδυναμεί με τιιν αντι.

i

w

'

εκτίμησιιΙ9ι

2 ι3

μπορεί να διαφέρουν ωιό

μεγέθο υς. Εξcιιιίιις ιων οηνθηκc:η· ιιοu ιιcρι γράφον ωι ο ιο οημείο

1, εί •

απο rw:')Ίjι"' ΓΟd-1!1943\{ιψι

...!J'lιψ;ri'XlY. .Jιαθ..CΟ'ξlΠIΠΙ Γl:JJrιJ rΟΟΓι=::= J(Π&Jptrfl :rα_rπ. Π~μιι8.ιοιστι ι1Πιi fff

--=-.JS~ΊiflrMriffiιιιJ..- ΙJJM τ.LΙ J'f!dψi-JO c~

Ξ1fιpιιt~:~ω. ιr μι arnκaraβιJ~n, :11 Γψnτι~J lΙJιlrJιfJiJftl Ol'Γ!I l(\)

rr,, Quιlnfιιm ιι tOJ

ιpό.α,.rι•.>"'1' (~~·ι"fi~s..

nφι..fικ.ι.fιΕι!ιοΟιιχns· 'ΡΡ"'"'"'

'"

JΗΓ λΊJι:tιrικα rυα rtu{ιJ$ Cι)[•.

Jl'LP!Ofill'l(O q]Jflt'J{_'[W{ -lιrιwy;..':1 JΌ ι..ιf;.. :!Jnqn(r;ιnίln.-11"!111 · .at~ft•ιι

='l'r.~'<>υ~~!. 36HiJ98. f•<; "3041So1

OUANTUM / ΑΡΘΡΟ

15


ΠΩΣ ΛΥΝ ΕΤΑΙ;

· και τα μαθηματ

στη Μ60

Ισοσχελή και μοv6χριο>μrι Χρωμα dζou.

Μ56 Υnο.\ογιομός ιοu μκδ. Οι θεnκοί ακέ­

ραιοι ιι κnι μό<; ιa

b rf,•oι

ιέιοιοι ώοτε ο αριθ­

+ I 1/ h ~ l b ~

11

a \'α είναι ι:niσης

nκfριιιος. Αιιοδrιξτε όu ο μέyιστος κοι­ vός δκι~ U.l\'

'τι

u

και

h OC\'

ιιπεpβαί­

ro Jii;Π] .

με κόκκινες Κ κορuφι'.ς ενός κανΟ\'JΚΟύ

ι6n

+ Ι )-γώνοv κω μπλε όλες τις υπό·

λοιηες. Anoδεiξtt όu ω n.Vβoc;

""'' ισο­

σκrλω'' φιγω,•ω,· 110u έχουν κορυφέι; ίδιου χρώματος rξιψιάιαι μό,·ο απο ιο ••V1Joι:

R και όλ, από τη διειι(Α'τηοη ιων

χρωμάιω,·.ιD.

ΙΑ. Goloνanoν. Ε. ~lalιnniko,·a)

,

Tamarkin!

ιάχυvοηςg;u nov nf)oκuλcίuu ιuιό ιηβα­ rύιηw σιην εrιιφάνειό της είναι ro ένα έκιο ιιjς αντίστοιχης τιμής στην εmφι\· \'1:1<1 ιηι: rης. ΙΛ. Sω,.,..nkol

Φ58 Πά)-ος και •wιi F,,·ας κιtτωι.όρυφος σωλι'Ινας rί\•αι γεματος με νερό μέχρι ύψους Η= 20 m oc θερμοιφασiα θ, = σ(;, Κατά πόσο μcιαβάλλειαι το ύψος του ιJεριεχομέ,·ου τοv οω.\ήνα α,· η θερμο­

Μ57 Η ιιποκι\,\υψηr•·6ς α-.λι·ίου u-ψιyώvou. 1'ρειι:; οκέρcuοι u. /)και c έχουν ά~ισμα

ΙψάΟία μrιι..ftί ot

Φ56

01 =~.0\"C:

Η λαν­

θά,·οuσα θερμότιιτο τήξεως του πάγου

Lι:ιμιι ιιιο ιριωf:(ι. Τα πόδια ε''ός τε ·

είνιu

L : 336 J Ig. και η πυκνότητα του nι'ιγου Ρ., 0,9'2 ι; lcm'. (θειφήοu: yγω­

=

μηδtν. ΛΗοδεiξι.c όιι ο αριθμός 28' + 2b' + 2c' εfγω reφίιγωνο ενός οκφαίου. ιS. tΌιn.in. L. Kurly<ιndchik ι

τράγω,·οιι φω~·bοlι σιιάζοuν όu:ιν ω ­ ποΟcwύψ ο ω κι\\·ιρο του σώμα μάζας

στό ότι μειnβολη ιΙ]ς εξωτερική; αίεσης

πι. Βιιt·ίιι· ω ιιίινολο ιων σημείων tl')';

καtιi ΔΡειιιψέρει μειnβο.\ή 11')1; θερμο­

Μ58

εrnφά\'CΙΙις ιου τραπεζιού στα οιιοία θα

κριισiας ~ του πόyου κα ι.ά Δ Τ &τοι

μιιοριιύμε να ιοιιοθι:τούμε οώμα μι\ζας

ώοτε να ισχύει ηΟ).'iοηΔΤ/Τ= ιJ fρ,1Ιρ)ΔΡΙ L. όι10υ Τείνω η θερμοlψ(lοία

//αί(ο•'UΙς μc t>·a μό•·ο mό>7. 'rornJθεwύ • μr t>·o ΠIΟ\1 tηι: ντομιιςστο )'61\'Ι<ΙΚό ι.c­

tpιι\'ω\'0 μκιc;

n χ n σκαιοipοι;. Τότε αρ­

χι<οu'' ,.α παιζοuΥ δυο παίκτες με ιη

πι :2 χωρίς ''αοιιιi(ρuν ω ιιόδια ιου φα­ r~ού. ιΟ. Batishchcν)

του μείγματος πάyου-νερού και ρ, η 11\JΚ\'όtητα του '-φού.)

Φ57

<W. Q.·cbinkin)

Φ59

e-vo

Μεφό οτη Σr.\ψη. Μια ευθύyραμμη

tειράγω,·ο οριζόηιιι ή κάθεrα. χωρίc;

vnoytια οrραγγα οUΥδεει τα σημεία Α

Ένα VV)ιιiρι ιιλπκες. Δύο μcyά.\εc;

όμως νιι μιιορούv ••α ιο ιοιιοθεάpοU\' oc

και Β της tmιpιι,τιας της Σι,.\ή>-ηι:, η yω­

tετρά\'ω\'tς μη αγώ,,μες π.\άκtc; (καθε·

οrιρά, μtιακι,.ώ,·ιος ιο nιό,, κατά

. ' . τc τραγωvο που rχουΥ χρησιμοποιησει

nροηyοuμένωc; Ο ηαiι<τηι: που OC.· μπο· ρeί νο κ{ινrι κίvιJUΙ]ικονοnοιώ•·τος αυτό rον περιορισμό χάνει

\0! Αηοδεiξτε πως

,,ωδηι: οηόσuιοη

...,,. οποιω,· εί,·αι 90".

Η οipογγα είναι γεμάτη με αέρα σε θερ­ μοκροσίιι

O"C. I I

πίεσή του στη μ&ση

ακριβώς της ο{pαγyας είναι Ρ, =

10'

μιά εμβαδού $1 rο~wύηαι πιφάλλη· λα μειοξύ ιους και σε μικρή αιιόσtαοη

d.

Σιις ειιιφάνειέc; τους κατονέμο,,;αι

όtιη• το ιι εΙναι άρτιο κερδίζει ο παίκ~ ιιοu ιιlιiζrι ιι(Κ;ηος. cν~) όταν το ί) εiνω

Ν /ιn • Υιιιιλ<ιγίοιε ιι1ν ιιίεοι1 του αέρα

ομοιόμορφο φορτίιι +Q και -Q αντίστοι· χα. Βρcίτι· ιη διηφορ(ι διινομικού μεrο­

σ ι<ι ο ιόμ ιn ιιις οipαγγας, ακριβώς στην

ξύ του κέ,•ιροv και ιηι; κορυφή:; μιας

nr~ιt \Α\ μηορcί ιιά ,. ι.ιι νο κερδίζει ο δεύ­

εmφάvει(ι LΙ')'; ~λήνηι:. θειφήοτε όη η

ηλόκας,

τερος Ιβ) I Ιοιος κερδίζει όιοv ro ιnό\1 ιο­ ποθετtimι αp)i1κ(ι σ' t'νιι τrφιiγωνο ιιου

Σcλή'η εί,•αι ομοιο1'1:ν4; οφιιίρο διαμέ­ φου D= 3.480 k:m, κωόu η ιιμή τηςεm-

Φ6Ο

βρίσκεuιι δίn.\α

or

μιιι ιmό αc; u.\ευρέc;

2

Κ

(0. Saνch~ιιko)

Πφιοτρεφόμcνος υφψγυρος. Έ"α

του γω>'\Οκού:

κυλινδρικό δοχείο γεμάτο υδράρyυριι

ΙΝ. :-!NoS\'CI<I)'t'\')

nεριστρι'φε αιι γυρω ιmό ιο'· κεν-φικό κατακόρυφο αξαγα ιοv με γω.'IΟΚή το­

Μ59 Δm.lη εηpαφη ε,u π-yω.Ό εμβαδού Ε

χ<mιτα ω Ετσι. η ελευθερη εmφά.-εια ιου υφψγύρου οχrιια<il.tι ,:,·α rκψι:ιβο­

εί,·αι cηηpαμμi''Ο oc κύκλο ακτίνας

R.

λικό κιiτοπφο. Υπολογίστε τηγ εστιακή

~ύμc tνα σημείο σε κα/kμία από uc;

αιιοοrοοη του εν λοyω καtόπφου. Η πu­

πλευρές

κνόιηtο ιοv uδραργυρου είνω ρ και η

rov. Αηοδtiξτε ότι

η περίμεφος

Π ιου n-γώ••ου ιη•· οποία σχηματίζουν αιι ιίι

ro ΟΙJΙΙCiα είνω τουλάΧΙστον 2Ε! Η.

Ι V. Ou\)I'OVSk.Y)

16

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

ειαιiιχυνοη της βαρύτητας g.

ΑΠΑΝ'ΠlΣΕΤΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Λ ΥΣΕΙΣ Ι:ΓΗ ΣΕΛ.

58


ΣΠΑΖΟΚΕΦΜΙ ΕΣ

Σ56 Δίποδα. φίnt>&ι και rεφ/ιιιοδα. Σε ένα δωμάτ.ιο υπάρχουν μερικά σκαμνιά με ιρίcι πόδια και κάποιες πολυθρόνες με τέσσερα. Όταν σε κάθε σκαμγί και σε κάθε πολυθρόνα κάθεται ένας άνθρωιιος, tO ο υγολικό πλήθος των ποδιών στο δωμάτιο είναι

39.

Πόσα οκιψνιά και ιιόοες ιιολιιθρόνες υπάρχουν;

Σ57 Αριθμι}tικιj με ντόμινο. Έχουμε ένα ορθογt;>γιο 4 χ 3 που αποτελεiτω ωιό 6 πλακίδια ιου ντόμl\'Ο. τα οποία είνα ι έτσ ι ιοιιοθειημένα ώστε οι τελείες τους να αποτελούν ένα σωστό rιαράδειγμα πρόσθεσιις ιστο παράδειγμα του σχήμα· τος ιοι

+ 121 = 222). Ιlρσσπιιθήο ιε να βρείτε ένα παρόμοlΟ σρθογ(.)νιο αnοτε­ λούμενο αηό 6 ντόμινο (πιθανώς διαφορειικά αιιό αυ•ά του οχήματος), ί:cοι ώοιε ιο άθροισμα -δηλcιδή, ο αριθμός της τελωιαfας γραμμιίς- να εiνω ο ελά · χιστος. (1Ί·an Quang Dat, Βιετνάμ )

Σ58 Σκιώδη rιροβ,\ήμαια. Όλοι γνωρίζουμε όtι οι σκιές που δqμιουργεί ο Ήλιος αλλάζουν κατά τη διάρκεια της rιμέρας -το μιίκος τους φτάνει στο μέγιστο ιο f\λιοβοοίλεμα και την αναιολή, και γίνεται ελάχιστο το μεσημέρι. Υπιiρχει κά ·

ποιο μέρος όιη Γη όπου οι οκιeς έχουν το ίδιο μήκος ουνεχ6>ς:

Σ59 Νομισμαrικά ιφοβλιίματα. Τα ρωσικά μπρούτζινα κέρμα τα των

1, 2, 3

κω

5

καπικιών (ανύηαρκω οτις μέρες μας λόγω του πληθωρισμού ) ζύγιζαν τόσα

γραμμάρια όση ιiτιιν και η όνομαοιική ιους αξία. Ι'νwρίζου με ότΙ έν<ι αrιό ιέσ ­ σcρα διοφορεrικ(ι κέρμαι<ι είναι κάλπικο -iχει διαφορετικό βάρος α11ό ένα κανονιχό κέρμα. Πώς μnορούμε να το ξεχωρίσουμε χρηοιμσποιώντας μόγο μια ζυγαριά ;.:ωρiς σταθμά;

(G. Taι·takoνsky )

Σ60 Τραrιέζια και πεrσέtες. Ένσ καφενείο έχει ιιτρογγιιλά κω ιειράγωνα τραnέ· ζια. Τα όμοιου σχήματος τραπέ(ια έχουν ίδιο μέγεθος. Κάθε στρογγυλό τραπέ· ζι καλύnτετitι τελείως από τέσσερις τετράγωνες πετοέτι'ς ίδιου μεγέθους. και κάθε τετράγωνο τραπέζι καλύπτεται τελείως από τέσσερις όμοιες στρογγυλές rιεU>έrες. Αrιοδείξτε ότι η διάμετρος μιας στρογγυλιίς πετσέτας εiνnι μεγαλύ • ιερι1 αnό ή ίση με το μισό της διαγωνίου των τετράγωνων φαπεζιό>ν κω όιι ιο μήκος ιης πλευράς μιας τετράγωνης rΙε~οέιας είναι μεγ11λύιερο ιi ίσο της ακτi· νας ιu)ν στρογγυλών τραπεζιών.

(V.

Proίιvolov )

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΛJ ΑΥΣΕJΣ ΣτJJ ΣΕΛ . 58

QUANTUM /

ΙΠΑΖΟΚΕ ΦΑΛΙ ΕΙ

17


I '

'

\, - I

• I


το πρό λημα του δενδρώνα Πώς να φυτέψετε περισσότερα δέντρα και να μη χάσετε τη θέα

Vladimir Jancovic

όιαν to τέμνει. Έτσι, οι

.. τελευταίες•

οJ εσrερ<ι σrψ ιψ_yη κnι ω οιιντεrαy ·

ενας κηπουρος που αγαπουσε

"'·εμπόδιοcες ωπίΥες θα εφάmονιιη

μι'νες ιους εί1•ω σχeτικιi nρι~ιοι

τα μuθημιι uκό κο1 ιον έλεγαν

σης πλευρές δύο ιουλ<ιχισ ιον δέ­

αριθμοl. Έοιt,)

Mάptl\'. Μιιι μέι>ιι ο Μ{ιριl\•

ντpωΥ ! μέγιστης ακτ.ίνας r). Ένο εω­

του κέντρου κω εν ός α π ό ηυ tό tα

co

πλέον ερώιημα είΥιη ο προοδιιψ1ομός

οιwείο. lσχυριζόμαστt όη η μεγαλύ­

μΙκρό (αμελητέων διαστάσεων1J σπίτι

της δΙεiιθιινσιις αυτώΥ των τελευ­

ιερη ιικιiνο δέντρου που ~ΙΙΙιρi:ΙΙει

tου. Ακολουθώνιnς τιι φυσική του

tc.ιί(ι)ν rινεμηόδιστων ακτiνωΥ.

οιον κηηουρό νο βλέπει μέσα από το

Μ

'

.

.

φύτεψε ένα δενδρώνα γύρω από

κλίση, ιο σχεδίασε με μεγάλη ακρί­

..

Λ υ ιό ιο rιρόβλημο έχει εμφαΥ><ιιεί

δέ\'Ιριι οε όλους tους όλλους κόμ­

χιυια ιων

βους οι Ο»οίοι βρίσΙ<ονταν μέσα σ·

και

D.

ιην cφχή προς τα επΙλeγμrνα οημείη.

ffio αιιο ιφά. ον t' είνω ο μικρό­

Shklaι·sky, Ν. Ch~ntso1· !Μόοχο.

tφυς ιφιθμός ιιοu είναι μεγαλύτερος

έ\·αν κι'ικλο που είχε κέντρο to σπi ­

01κίιΙ.

1970. σιη ρωMιJthcnιlllical Geιns !του R.A.

ή ίσος του f{' κο1 μπορεί ,.ο fΙαρασια ­

τι. Τα δέντρα ια δΙάλεξε με μεyόλΙJ

Hon~b~Γge1· (Αμερικιινική Μαθημα ­

θεί ως το άΟpοΙΟμfl ιων ιετραγώνων

προσοχή: ήτα ν όλα ωυ ίδιου είδους. μεγέθους και ηλΙκίας, και έτοι ανα ­

ηκή Ένωση, ΟυάσΙνγκιον,

δύο οχ~ιικiι rιρG>ιων ακrραίων, τότε

ητύσσονταν με τον ίδιο ρυθμό. Στψ

ρος 2ο, ιου

αρχιi ο Μάριιν μπορούσε να κοιτά ­

1991, στα pωο1κάι Δίνου\', όμως, με ­

ζει έξω από το ηαράθιφό ιου και να

ρι κΙ\ μόνο οηάντι)Οι) σιο ιφι;ηο από

απολα μβάνε Ι μια nπεριόρι<οτη ηρ α­

το ερωτήματο που διατυπώσαμr πα.

κηκά θέα του γαλίινιου τοπίου ιιου

ραrιάνω. Πρέπει Υα αποδεiξετι· πως

απλωνόταν πέρα από το δενδρώνα

όιιη· η rΙκιiνn

tου. Όσο περνούσε ο καιρός. όμως, τα

τόtt ιιι δι\νιρα με aκτiνο 1/ 50 !ι\ γε ­ νικότερα. 1 Ι R, γιι1 τυχαίο RJ εμπο­

I. Yaglon>

19i3J

ή

το Πpοβιlήμαtα ι:nΙπεδομcφ/nς. μέ­

\1.\1.

Pt·flsoloΙ• <Μόοχα ,

R είναι,

ας πούμε,

50,

δίζουν τη θέο. ενώ δέντρα με μΙκρό ­

ψει εντελώς τη θέα. Το ερώtΙ]μα. λοΙ-

Ση] σιΙΙ·έχειο σος πιφουοιάζω ιιιν

;:' πόν, εi,·αι τ.ο εξής: με δεδομένη tΙJν ~ aκιί\'0 R !R > I) του δενδρώνa, ποια c :;5 εiγαιη μεγαλύτερη ακτίνα ι· των δέ ~· νιρωv 1 ιιοιι εnJtρέnει orov Mάpr.ιv

11λίιριι λύοt) του προβλήματος rοιι

''α ε~αιωλουθεί νιι βλf.nι;ι κιi ιι ΙΙΙiρ<ι

πλέγμα των ακέρcιιων οι]μrίω,· \δη­

από rσ δεl'δμι~νιι: Πρέπει

λαδή των σημείων με ηκrρωες ο υ

vr1 εξηγιi-

σουμε rδώ ότι μΗι οπτ ι κή ακ ι.ίνn εμποδίζεται από ένα δέΥψο μόνο

~ :;;·

~

τι•λtυ ­

αοό τους κόμβους του Ι<Ql φύτεψε τιι

μεχρι τη μέρα που ο Μ{ιριιν διαπί ­ στωσε ότι ο &νδρώνος τού είχε κρύ ­

Λ'

01

είνω αυτές που κο ιευθίrνον ω ι από

ενιί\'

δέντρα γiνονιαν όλο κιιι ιιιο χονφά.

=r

δενδρώνη είναι 1/ t και όη

δειγμα. το ΙΊ·ωμcrpικι:ς ανιοόιηιcς κω προβΜίματα με μtγιστα και ελιi­

'

τετραγω,·ων με το σηtη του σ

""-

η απόσταση μετα~υ

ταίες ηκ ιίνrς rιou δtν εμ rιοδίζι)\rtο1

.

~

t

σε πλήΟος βΙβλίων -δείcε. για παρά ­

β~Ιfl: όρισε ι'νn ι>λέγμα μοναδ ιαίων

ο?.

.

'

ΙΑΦΟΡΑΚΙ ΕΝΛΝΚΑΙΡΟΖΟΥΣΕ:

ι Υnοθέτουμt: όιι ιιι δί:\' ιρα rίν<ιι καtακό-

pvφοι κu.\ινδ(ιQι τηςίδιαςακτίνιις.

ιερη ακτίνα δεν την εμποδί(ουv.

Μποροίψε να θεωριjσουμε ότι το .-ο υ

I. Γιn κόΟε ι·> I Ι f, οnοιαδήιιοτε ιtκιί ­ νa ιUΙό την ορχιi Ο τέμνει έvιl\' κύ­ κλο ιικιίνιις ι· με ι>έ1rrpo ένα ακέ ­

ραΙο σημείο που ανήκει οιογ κύκλο

2.

με ακτίνα R K(U κrηρο ιο ο. Γtα ι·= 1 ,! {,οι μοναδικές ιικιί1•ες ΙJΟιι δεν τέμνουγ αυτούς τους κύ­ κλους είναι ηυτές που τέμνουν

τον κύκλ() με κέ\·ιρο Ο καΙ ακrίνα

t σc οημεla με ουΥιειογμένες σχε­ τικα πρωιους ιικεριιiους <Σχήμα

l Ι.

Γιο παράδειγμα. αν R = 50. τότε Ιl'

δι:νδρώνα οtη γενικιi του μορφή. " πλέγμα

Οα δείξουμε ότι:

δενδρώyο ., εiΥcιι τ.ο

-

=2500 < 250l = 50' + 1

επομένως t = )250 1 . Μηορεί \'Ο αποδειχτεί ότt 2

,

υπάρχου Υ δ \ίο οκρι(Ιώς Ηναπαραστά­ σεις του 2.501 ως «θροίομ<ιrος ιεφο­ γώνων δύο σχετtκιί Η()(~ ι (.ι)γ θε ιι.κώ\'

πεtαyμένεςΙ οτο σύοιιιμrι οιιΥrε ­ ιογμένων με αρχί) Ο το ο11iιι του

οκεροiων: 2501 = 50'+ ι"= 491 + 10".

κηπουρού. Από τn ακι'pιιιιι oημr.in

Έτσι. ένας δεΥδρώνιις ο κ ιίγος

που βplσΙ<ol'rnι έΕ.ω ιιrιιi ω δrι·δρώ ­

εμποδίζει τελείως τη θέο y>α κι\Οc ι·

ι·π tιιι.\ι'γουμε αυτά που til'ω ιι.\η-

50

> I · )2501. ε νώ γ ιο ι· = Ι Ι )2501 QUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

19


Υ

R=2

Ας διαλέξουμε τώρα σε

Οκτωβρίου

κάθε πλευρά της ακτίνας h το σημείο του δεvδρώ,·ο

Qιιantum.)z

r=Jf,

στην

h.

Συμβολίζουμε τα

δύο σιιμεία με

υ και

του ελληνικού

2:

Ας υποθέσουμε ότι η οκτί"α μνει ιηγ nλr.ιιρά

τέ ·

h

του ιιαραλλη­

UW

Είναι φανερό ότι

λογρόμμου (και όχι ι ην V\V}. Τότε ιο 111 βρίσκεται πληοιέοιερα ο την h απ'

η πκτίνn μας εμποδίζεται αν

ό,τι το V, επειδή το \V βρίσκεται με­

κω μό νσ αν τη σταματό ένα

ταξύ του

από τα δέντρα οια υ και

των

(Σχήμα χ

Σχήμα

Αrιόδειξη ιου

που βρίσκεται πληοιέο ιερα

]

1994

2).

V

V.

h

V

και

και του σημείου τομής

V\V.

( Μπορείτε επιπλέον

ΠΙ'φιιιηρούμε ότι, με ι:ξαί­

να δείξετε ότι η απόσταση του

ρεση τις κορυφές του, δε"

την h ισούται με τη διαφορά των απο­

υπάρχουν ακέραια σημεία

στάσεων τωv

στο εσωτερικό

στηγ περί­

Αυτό σιιμαίνει, λόγω της εηιλογής

μετρο του τριγώνου ουν,

wu V, όυ ro \V δεν ανήκει στο δε"­

διότι διαφορετικό tO υ ή το

δρώνα. Τούτο <σ συμnέραομα εξακο·

(ή και τα δύο) δεν θα ήταv το πλη­

λουθεί να ισχύει ακόμη ιu αν η ακ τί ­

1

i}

V και

W από h.)

υ από την

uπι'ιρχουν δεκαέξι ακριβώς διευθύν­

V

σεις σtι<; οπuίες η περιοχή πέρα από το δενδρώvα είvαι ορατή ~ιέρχο­

σιέστερο rιρος τηγ ακτίνα /ι. (θυμη­

να

θείτε ότι έχουμε υποθέσει ηως η

δεν έχει ακέραια σημεία μέσα οιο

\'ται από τα σημεία (±50, ±1), (±1, ±50),

ακιίνα

δενδρώ"α.

(±49, ±10>, (±10, ±49} (όπου τα πρόση­

μεία στο εσωτερικό του δενδρώvα.)

Απόδειξη rοιι 3:

μα επιλέγοvται ανεξάρτητα).

'Ειπω

Απόδειξη. Θεωρούμε μια τυχαία

Αυτό είναι το κρίσιμο σημείο της απόδειξης; θα μας επιτρέψει να υπο­

ακτίvα h που ξεκινά από την αρχή Ο.

λογίσουμε ttς αποστάσεις των υ και

Λόγω τ.ης συμμετρίας του rιροβλήμα­

V

<σ<; μπορούμε να υποθέσουμε ότι βρί-

.

' τεταρτημοριο

h

δεν περγ(ι από ακέρσιu οη­

από την

/1.

Θα μας χρειαστεί μία επιπλέον

h

διέρχεται από <σ

d

W, αφού

αυτή

ο μέγιστος κοινός διαφέ­

a και b του W. Τότε το σημεiο (a / d, b/ d ) είναι ακέραιο σημείο εης OW. Αν d 2: 2, της τωΥ συντεταγμένων

τότε το σημείο αυτό θα βρισκόταν στο

κατασκευή. Ας συμπληρώσουμε το

τρίγωνο

επιπέδου συντεταγμένων. Θέλουμε

ιιαρολληλόγραμμο ουιvν (Σχήμα

yνωρiζουμε, είναι αδύνατον. Επομέ­

''Π προσδιορίσουμε για ποιες τιμές

Η τέταρ~η κορυφή ιου.

του

σης ακέρσιο σημείο (όηως ιο Ο, υ κιιι

σκεται σrο πρω το

r

του

θα εμποδίζεται η ακτίνα από

\V, είναι

2).

επί­

κάrιοιο δέντρο.

V J, αφού

Όταν Ι} ακτίνα διέρχειαι από το κέντρο ενός δέντρου, τότε εμποδίζε­

ιο άθροισμu τι~ν uντίστοιχωγ συντε ­

ται αrιό αυ·ιό για κάθε

οι συντεταypένες του είναι

ταγμένων ιω,· υ κω

r >Ο. Έτ01, στη

V.

Από τ;ην ιδιότητα του τριγώνου

συνέχεια θα υποθέσουμε ότι η ακτί­

OUV που

να δεν διέρχεrαι από ακέραια σηpεfα

έπονται τα εξής φία γεγονότα:

του δενδρώνα. Μπορούμε να αγνοήσουμε τα δέ­ νφα που βρίσκονται έξω από το πρώ­ <σ ιεtαp'tημόριο. διότι προτού γίνουν τόοο μεγάλα ώστε να φτάσουν σ·

αυτό (r ~ 1), θα έχουν ήδη ακουιωή­ σει στα γειτονικά τους (r

αναφέραμε προηγουμένως

εμβαδόν

2.

Το οημείο

3.

δενδρώνcι. Οι συντεταγμένες του

εμποδίζουν να περάσει οποιαδήποτε

Απόδειξη rου

ακτίνα και θα πάψουν να αναπτύσ ­

Πραγματικά,

Υ

h

ο

Σχήμα

20

εμβαδόν

του

Συμβολίζουμε με >ν ro μήκος ιης πλευράς OW του τριγώνου ουw. Αφού το εμβαδόν α υ τού ιου φιγώ ­

1/ 2

(γεγονός

1),

το

ύψος που φέρουμε από την κορυφή

υ -δηλαδή, η αnόοtαοη ωυ υ από την

011'-

ισούται με

ι Ι w. Η οnόοταση του

(2 · l / 2 )/ w = V από

την

0\V

είναι, φυσικά, η ίδια. Λόγω, όμως,

2 και 3 και <συ ορι­ έχουμε w 2: I. Άρα, για

των γεγονότων

σημεία υ και

V εμποδίζουν την ακτί­

ωυ τριγώνου ουν. Είναι γγωστό, όμως, ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου

που περιέχεται στη γωνία υον-και

με ακέραιες κορυφές και χωρίς άλλα

για κάθε

ακέραια οημεfα οτ.ο εοωτtρικό ιου ή

cμποδίζcrαr ι:ελcίως.

OW

και, συνεπώς, κάθε ακτίνα

ειδικότερα τφ• ακτiνα μας

r > 1/ t

h.

Οπότε,

η θέα από τ.ην αρχή

την περίμετρό του ισούται pε 1/ 2. (Αυ τό είναι το βασικό λήμμα που

ρημα μας δείχΥει ότι η ακτίνα

χρησιμοποιεiται στην απόδειξη του

εμποδιστεί ο κόμη και για

θεωρήματος του Pίck για ιο εμβαδόγ

δεν ουμ11ίuτει με την

τυχαίου

πολυγώνου

με

α­

κέραιες κορυφές -δεiτ.ε, για παρά­ στρώσεις>• στο rεύχος Σειιιεμβρίοιι I

ΜΑΡτΙΟΙ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

ρώσουμε τη λύση του προβλήματος του δενδρώνα.

να

δειγμα, τις •Αι1οκαλυπ<ικf.ς πλακι)·

2

Εiμαοτε πλέον έτοιμοι να ολοκλη·

σμού του /, κάθε r '2: 1/ Ι, και τα δύο δέντρα στα

1: το

τελειώσαμε.

oυwv είναι διπλάσιο του εμβαδού

ενός χ

είναι

σχετικά πρώτοι αριθμοί.

= ι 12}, θα

σοντω.

έξω από τ~

W

d = 1, και

νου ισούται με

ι Το παραλληλόγραμμο oυwv έχει

1. \V βρίσκεται

νως,

ουv, πράγμα που, όοως

Και όχι μόνο αυτό. Το iδιο εnιχεi­

h

θα

r = 1/ t, αν OW. Αν μάλι ·

2. nδvcως, ι:ο Οεώρ~μο ΙQV Pick μιιορεi V(l αnΟΟt:.ιχτεί χ~ίς αuτ.ό

w λήμμο. Τότε, w λήμ ·

μα κατrιλή)'rΙ να ι:ίναι -μια απλή rιδική m:ρί · mωση του θοορήματος.


οιcι •v > Ι. θιι φιιοδιυι~i οκυμη κιιι όταν συμπiπτει. Επομένως, αnομcνει να εξετάσουμε τφ· nεριπτωση καιά

ι ην οιιοία η

h διtρχr ι οι

οπό ένα ση­

μείο ι με Οrτικrς σχrτικα nρώτrς ακι'ραιrς ουνιrιnyμrνrς ιιι. IH or αηόσι<ιοη ΟΙ.

= L ιιηο

τη1· ιιρχη.

θεωρούμε ι'1·α ιυχιιιο ιικtραιο ση­ μείο Μι χ, .ι·ι του Πρώτου τεταρτημο • piou. Δr1• ΟΙ'ηκrι στο tοωτrρικό του

τμημοτος

OL. διότι ο' αυιή tι)Ι' nrρι­

mωση θα rιχαμε και. αφού οι ιιρώιοι. ιn χ

ιιιιό ια

n και

.•• .< b α ιι 8.'' bλ Β κιιι b tl\·αι οχrιικιι κω _,. θ(Ι διnφοιι,·ιιη· b. R\'Ιιιιιοιχιι Εnομr­

''ως. χ ~ α, .Ι ~

b κιιι

ΟΜ ~

01.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΊΊΚΑ ΚΑΙ Ο ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ Δύο ι.:οpυφαίοι επισπίμοι·ες συζητούι• 11α τη ι·όηση, τιιι• ι:γι;iφα).ο, τα μαθημαπκά και την πpα)'Jiαπκότητα

Alain Connes

Jean-Pierre Cbangeux

μαθηματικός, μετάJ.i.ιο

ιφωτοπόρο; \•ευροβιοi.ό-yος

ficlds

Λ,.

Ν rί,·οι το ακrραιο σημrιο ιου

U•'P"

rριγωΥοu 0/.Μ που βρισκrτοι πλη­

σιέστερα στην Οι, τότε -με βοοη το ίδιο επιχείρημα που χρηοιμοrιοιiισα • με ηροηγουμέ\·ως για το τρ ιγωνο

OU V- το εμβιιδό'· του τριγώνου

OLN

ιοούιαι μr Ι ι 2. Συνrnώς. ιο

εμβαδόν ιοtι 0/.Μ riνnι μεγιιλ ίιιrρο ή ίσο του Ι i 2 κω ιι n11όοιηοη ιοιι Μ ΟΠό ιην ()/_ rί\'(11 μι·ynλίΗrpη ή ίC1η

r.ou

1 / L.

' Επειcιι όι.ι ι'vιr δι~vrpo μι· ιrκn'\rtr

ι·~ J ι t δε•· μπορεί vtι tμιιοδίσrι ιηv tιΚ'ιίl'n Οι, γεγονός

11011

Ολnκλ ηpι;ι .

νι:ι ιην οrιόδrιξι1 111ς ιφόιf!Οής μας. (j1

Πώς συλλuμβά,•ει ο εγκέφαλος τη φυσική πραyματικότητα

και πώς σχετίζεται αυτή με τα μαθημαηκά; Εί,·αι τα μαΟηματικά ανηκείμε\•α ανεξάρτητα από τον !:"(κέφαλο και

τιιν ανθρώπινη εμπειρία ή αποτελο6\• αιιλώς προϊόν της εyκεφαλικής λειτοuρyία.ς; Πώς ορyα,-ώ,•εται η υλική βάση

της μαΟημαηκής σκέψης και ποια εί\•αι η σχέση του δαρβινισμού και της φιισιι.-ής αιλοyής με τα μαΟηματικά αντικείμt\•α; Γιατί τα μαθηματικά ;ιρησιμεύοuν στη βιολοyία και ιιού οφείλεται η εκιι:λη κτιι.-ή αποτελεσματικότητά τους;

Θα μπορούσε \'α δημιουρyηΟεί κάποτε μια μηχανιlι'ή διά,•οια, μια αuθεντικiι τεχνητή ''οημοσύνη; Εί,•αι δυνατό\• να Οεμελιωθεί η ηΟική σε αρχές εξίσου παyκόσμι~ και καθολικές όσο εκείνες στις οποίες θεμελιώνονται τα μαθημαηκά; Σελ.:

272,

Εικ.:

32. 4.400 δρz.

Το βιβλιn πω \ι;.Ιτοι 010 κι:.ηρικό Βιβλιοι ιω \

tlo

κόιlf nnλ ~~~­ llλ n pnφnpιt.~:

(tiH ι)~; ι 5~<•

και ~s ι 4<>9

Εκδόσεις κάτοπτρο 1\ΎΚΑΟΦΟΡΕΙ

OUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

21


ο άνεμος στον υδράργυρο Εξηγώντας την ιιnαράδοξηιι ροή ιόντων σε ορισμένα αμαλγάματα

lvan Vorobyov

Α

110 ΤΑ ΤΕΛΗ ΊΌΥ

190Υ ΑΙΙ!ΝΛ I>XUYN ΙΙΙ'ΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗ­

θεi πολλά πcιρ(ιμηιιι για να μελετιιθεί η αyωyιμόιη­ ια οω>" υγρών μετάλλων. Υnό κανονικές συΥθήκες οχεrιόν ποτέ δεν συναντίψt μί·ιολλο οε υγρή φάση,

ιιολλiι όμως οπό αυ τά μπορού>" νιι tXΙHJ\' αναμειχθεί μr υδράργυρο οχηpαιίζοντιις ιιγρίι διιιλίιματcι, ιi .. aμαλγά ­ μα ω•. Όσον αφορά την αyωγιμόιηιη ιω,· υγρών μειάλ­

λων, το ενδιαφέρον στοιχείο είναι ότι, εκ ιός ιιnό τα ηλε ­ κτρό,•Ηι, ο ιο η.\ εκ ιρι κό ρεύμα ου,·ε ι υφεροιιν κα ι το ιόηο. Και όπου υπι\ρχει μετακίνηση ιόντων. υπiιρχει κο ι μεωφορά μά(ας.

Ας προσπαθήσουμε να ονιιλ ηφθού με ποιοιικά ιι θα

συ11βεi ΟΥ υ' έΥιι γιιήλ\\•Ο δοχείο που περιέχει καθαρό υδράργυρο βυθίσου με ιους ακροδέκτες μιας πηγής τά­ σης. Γνωρίζουμε ότι ο υδράργυρ()ς εί'"αι μείγμιι ιιλεκιρο ­ νίων και θετικών ιόηων. εκ ιιρώιης όψει»ς, όλο είναι

ξεκόθαρο: υ ηι\ ιη δράn η ιου ηλεκτρι κού πεδίου, ιιι ι~\ε ­ κψόνιιι θα μειιutινοίινται από τον αργητικό προς τον θε ­ ηκό πόλο ( ηλεκφόδιο), εΥώ τα ιθειικάl ιόνιο υδραργύ ­ ρου θα κ ι νούντcιι προς τηy πντίθειη κu ιεύθιJ\·οιι-nρος τον αρν ητικό πόλο. Ωστόοο. ev61 ια ηλεκτρό,·ια μπορούν \'Ο διcιρρέοΙΙ\' το ηλεκτρι κό κύκλωμα καθ' ό.\ο το μιiκος cου, τα πράγματα μοιάζουν διαφορετι κ iι γιο ια ιόνtα: φτάνοντας σtο αρνΙιτικό ηλεκτρόδιο. φοίνειιιι ό ιι )Ιρο ­ σκολλώvια ι εκεί, ιιυξάvοντας τιι συγκέντρωση ιου υδροpγύιχ>υ ο · ιιυ ιό ro οημr.ίο. Στην ηρογμαιικόιη ιο, όμως, τίποτε τέτοιο δε,· υυμβαi­

νει! Πειράματα έδειξαν όιι η συγκέντρωση του καθαρού υδριιρyύροΙJ ο ιο δοχείο μένει πρακτικά η ίοια, και πως,

α'' υπάρχει κάποια ελαφρά αύξηση σ· αυτήν, δεν εμψ(ι­

-

νί(r.ται στο οργηttκό ηλεκτρόδιο αλλά στο θετικό. Σε ορι­ ο μέ,•α αμαλγάματα τα ιόντα ΚΙ\•οιίη.αι όπως πρέπε ι ~ηλαδiι, κατά τιι φορiι που ορίζει το ηλεκφικό πεδίο. Σε {ιλλα, όμως, τα ιόντα των μετάλλων

.. ανοfyοιι ν

δρό­

μο• ιφος rην ανr.ίΟετη κατεύθυνση -<ιν ιίθεια οπό αυτή rιοιJ ορίζει το rrεδίο! Είναι καταπληκτικό: ιο ιόνια κινού­ ν ι<ιι με φορ{ι οντiθετιι οπό τη φορά της ηλεκιρικiις δύ ­ νπμ ης rιου δέχονrο ι από το πεδίο. Τι προκαλεί 1111 ι ή την .. αλλόκοτη• συμπεριφορά ιων

22

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

•i •


ιόντων; Είνιιι ιιλήΟcια ότι μcχρι οιιγ • μιίς ι'χοuμε ιΗφnλείψrι κιιιι ο η μη · νηκό; τον σταΟερό βομβαρδισμό τω'· ιόντω,· από ι α ηλcκ ιρό,•ιο. Ας ιιρο.

ο ποθήσουμε \'Ο προοδιορίοου μr ιο οποτrλcσμα των αμοιβαίων ιφούοcων tων ηλeκιρονί{ι)\' κοι των 1όΥtω\' κατά τηγ Κί\•ησή ιους nojiOUQιO

tOU

rιωtc•

ρικου ηλrκ ιρικου ιιrδιου.

rΊα \'α ου.\λαβαυμr ''οι·ρο τι σuμ· βαίγει. μπορούμε να θrωρησοuμε καΟc

ιό,· ως μια βαρια rλnοrικη μπαλα rιου

Σχήμα

1

ουyκρούrιιιι μr C\'0 ρεύμα ελαφρuιερω'· οωμαιιδιω'· ~η.\αδη. t~l\' η.\rκιρο,·ιω,· rη μιιζο tΥος ιοηος rίνιιι μr­

οημιιι,·cι οτι οκριβώς μεια tη>' κρουοη όλες οι καtευθu,· ­

ρικtς χιλιιιδrς φορtς μeγαλυιrρη ιιιιό ι η μιιζn ι·,·ος η.\r ­ κτρο,-ίουl. Έστω όrι το ρcύμα τωγ οωμιιιιδίω'· rχει μι'ση

επομενως η ΟU\,οtαμέ''Ι) ορμή ιοος εί,•αι μηδr\•ικη. Εφο­

rαχύιητπ

.\εrαι εξο.ιtίας τω\· σuγκρούοεω'· με ης βαριι'ς rλιιο ιι­

u

πρΙ\· από ιην κρούση. και nγιίοιοιχη μη μη­

δr,·ική ορμη. Μcι{ι τηγ κρουσιι ια οωμιιιίδιrι οκrδόζοηαι ομοιομορφο προς ολες τις κιιιευθiινοrις ιΣχήμιι

11.

Λυτό

οrις κi,·ησης rω,· οωμαrιδίω\' tί\•αι εξίοοu ιιιθα,·rς. κιιι

σο,· δr η ορμή του ρεύμαtος tωΥ οωμοιιδιω,· μrιαβιιλ­ κές μπάλες. οι t4'λεuταiες Οα ασκού γ δύναμη ιι(ι\·ω ο ιa σωμαtίδια. Έστω

u.

λοι ηόν. η μέση ιαχuιηια των ηλεκτροηωv

οιο ρεύμιι, και ιικόμη

mu

r ο χρόγος

η μεση ορμή κάθε ηλrκιρονιου. Εοιω

που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικ6J\'

κροuσεων ενός ηλεκτρονίου με ιόντα, ιον οιιοίο μιιnροιι •

με να θεωρήσουμε ίοο μr οο χρό\'Ο ιιοιι αιιιιιιcίται γιη να

μιjδε\'ισιεi η ορμή του. ΈuΗ, ιι μέση δυνο μη

""" αυκrί .

tαl σ' ένα ηλεκψό\' 10 Ι<CΙιό Ω)V κρούσ η LΟΙΙ μι· rνςι ιςίν

ιοούιοι με

f =- ~. Γ

Η απώλεια της ορμής των ηλεκτρονίων nοιι οφεiλr ιιιι

στις κρούσεις με ιο ιόηn, θεωρούμενη ουνολικιi, ιιrιιι· yράφεται από τη μέση δύναμιι nέδηοης f. Αιιιή η δiινιι · μη δεν είναι απαραίτητο να δρα σε ιtάθε οιιyκι·κριμι'ι•ο

-.... •

η,\ εκ τρό,'ιΟ. αλλά εκφράζει τη μέση δύναμη που εi\•αι

, Ι.. ),)

uπεύθυ,·η yια τηv κί,·ηση ωu ρεύμαιος ως οιινόλου. Εί,·αι αλήθεια όιι, rκιός αιιό ιφ· nροοιιναιολιομένη

)

JU\'t)Oη με μέση ταχύτηια

u. το ηλεκτρόνια

σuμμεu'χου''

cniσης σε μια χαοιική θερμική κίνηση. Ωστοοο. ο υιό δrν μεταβ{ιλ.\ει ιφ- ιιμή ιης δύ,·αμης πέδησης. Κο τα τη θερ·

/

μική ΚΙ\·ηση, η οιι,·ο.\ικη ορμή ε,·ος μrγαλου πληθαuς ηλrκ ιρο\'Ιω\• ισουtαι πα,·ιο με μηδέ'• rnομt,·ως. η μr. ιαβαλη της ΟU\'ΟλJΙtης ορμης tωΥ η.\εκτρο,•ίωv οχειιζι- • ιαι μόγσ με τη,· αnώλrια ορμης στη'· προοα\•ιιιολιομέ,•η rους κίΥηοη.

Όταν υπάρχει έ,·α εξωτερικό ηλεκ ιρικό πrδιο ε, τα •σκεδοσμε,·α· η.\εκιρόγια ωθού,•ιιιι

ono

οuιό προς μια

καθορισμέ,·η κατεύΟυ,·οη. και αιιοκιού'· κάποια ορμή. Λuτη η ορμή χάγεται με ιφ· επομε,·η κρούση. uvιιπλη­

ρώνειοι οπό ιο η.~εκιρικό rιrδιο. κ.ο.κ. Έισι, μπορει κα· ,-είς γα πει όη εδραι~>νειaι μια οιαθερή μrση ιαχuτηια για ιο ρειίμn ιων ηλεκ φο,-iω\·. Με Ιιλλιι λόγια. η ΟΟ\'Ι · στο μένη δύναμιι που δρα στο ρεuμα των ηλεκτρο,•ίων ισούιαι με μ ηδι'\·. Γιn i·vα μnνnδικό ηλεκτρογιο, αυτό μπορεί να εκφραοιει ως

-

·~

;ι::

eE t f

=Ο.

·~

Πρίιγμαιι, uν η δίινιιμη eε ιου πεδίου υιιερβrί ιιι δίι·

QUANTUM I ΑΡΘΡΟ

23

3 c-.


η μrση ιιιχιιιηιn ιω\' ηλεκτρο,•iων ου ·

\'0.\ικού πλήθους ΖΝΙ

Κ<ιt ομοιως αυξοηι KCII η δ\1\'Οpη πfδηοης l rΙCΙII

<>U\'\Otαμr\'1) 011\'Ομι).

,·αμη rιrδηοης

(11\'ft.

f.

ΓΙ\'αι rυεkως ιιηιλοyη

ιοχυ1ηιαςt. rως οτου η

11'\<:

nttn·

ri\'(11

ίο ι) μr

F = Ζl ι> Ε +

σιιψr'η δυ,·ομη \'Ο μηδr,·ισιcι και παλι. Α,·, από ιην

zr,. Παρ' ό.\α αυτά. η

zr,

ολλη. η ταχύτηιιι γiνrι οuμη1ωμιιιικα τοσο μι-yιι.\ιι και

ισούιοι με μηδι'ν Ι~χημα

Ι\ δiινομη ηεδησης Γ ιιrιr.ρβεi ΤΙ\Υ rλκ ""ή δύηιμιι ι•t:. ι ο

αντικαιιιο<ί)Οτε τηΥ τιμιi ιtJς δύ\'ιψης

ρrύμ11 θη ι·ωβρaδuνθrί ι'ως όιου η δ\ΙΥιψιJ Γ ε~ισωθι·ί κιιιιι μrιρο με τψ eE. 'Ειιιι, γιο κίνηοιJ μr r/)ρο ιωμι'''η

nιιιι ι. μιιι κω αυτή διcιφέρrι αηο τιιν

ιιυιού,

f 1 από tην rξίσω­

f

μόνο ως nρuς ιο

F = Zle iE + Χι•Ε =Ο.

δύνιιμη

ιοουιιιι με μη&'Υ Ι, ηδύ­ \'Ομη πcδηοης ε,·ος ιο-

Έτσι. οι δu,·ιΊμrις ης οιιοίrς αοκει Γ

,.ι:;

ηος υοολοyισμf,·η ιη·ιι

...: - -- -• - -- - -

w

η.\εκ ιρικό πεδίο

σ ιιι ιοηα ε"ος κιιθιtρού μετιο.\λοtt εξουδεtcρ61\'Ο\' ιαι από τις δυ,·ιιμcις του ·ονrμου 1ων ηλεκτρο,·iω,·· ιο οιιοιος

οφt:ιλrιοι στα ΚΙ\'Ούμr,·ο η.\cκιρόηα ι. Το \'tγονιiς ότι η

η.\rκ ιροηο εη·ω

ι ιι

f = -ι>Ε ι βλ. ~χήμο

cn'

Ηpόοιwο:

μί·uη ιαχύ ιητα !ότοΥ η συ,·ιnιιιμι',•ιι

Ι'ιcι \'Ο nrιoτriτc

4t!

Σχήμα

ου,·ιοτιιμε,·η δύ"ιιμη ιιιουιαι με μηδι'\' σημαί,•ει rιιr κιι­

2

τάσταοη ηρεμίας rιτι· ομιιλι)ς κlνηοης. Παρ' ολιι <ιuιlι, η ροίι ενό<; ρευστού μέσα ο' C\'O δοχείο ουvεπάγει<ιι rοω­

21.

l'ι(Ιιί, όμως. δεν λιιμβcl\·οιιμr υιιόψη μ"ς τις κρούσεις

ιερικιί τριβιi Ιrιου σε ι.ελικι'ι ανάλυση ηι>Οκιιλείτ<ιι n11ό ι ην

μι·ιιιξυ ιω\' ηλεκτροΥiω,·: Διόιι δr'' εmψεάζοtl\' ιη ΙJtCJΙJ

ολλιμ\εnί/)ριιοη με τιι τοιχώμο ι<ι ιου δι>χεiου Ι. και ου ιιi

ιιιχ ιιιιιιο τω,· ΙJλrκ ιρο,·ιω,·. ΙΙριιyμοτικο. θεωρήο ιr τιι

ιι ιριβή διαοφαλίζrι ιιJν καταο ιiiΟι)φεμίας

ουγκρουοη μεταξύ δύο ηλrκτρο,·iων. Εοιι~ οιι οι 1ΙΙΧΙΙ·

ως ορος ιο δοχείο όΗΙ\' όλrς οι ίι.\.\ες δυΥαμεις ιιοu

ιηιtς τους πρΙ\· οπο και μrιιι ι η,· ιφουση ει\'άJ ιητίοτοι­

nοκουηαι ο ιο ρευστό αλ,\η.\οεξουδrτερώνο\'tαt.

χα

,. ι και

ν: κω

v;

και ν: Λιιο ιο Υομο διιιιηρηοης της

= m,,; t

HJV 1 + Πt\" ~

ιό­

ι ιιροσμεiξrις> ιηο μέtα\ \ο: Ειι1ω όtΙ ιι> φοριιο του

ξf\'OU ιnηος rινιιι .. Ζ'. εφuοον

ιην~.

ρcυοιού

Τι ουμβιιiηι. ομι.ις. Cl\' ιιιιαρχουΥ κιιnοιιι ξt\'0

\'10

<>ιιμης rχουμε

rou

ro

μέγεθος tOIJ ξr\'011

ιόηος cί,·ω διαφι>ρrιικό. ιο ιιληθος τω,· συyκρούσrώΥ ιοu μι· ιιι ιιλεκτρογια ιιλλάζει. Α ν ιι rνr.ρyός διιιιομιι rνός

cιn• όιιοu Ι Ι()ΟΚίΙΗtt'1

\' + \

- ' -')=

ξr,·ου ιόΥτος ι·ίνοι ο' κ οι εκεί,·η ενός •γηγενούς .. ιό,•ιος

1 \' ι

\'

2

2

Ι'i\'(11 ο. (Ο ιr\'Ο ιόν Οα υφlστ<ηοι ο l ιι' ιιεριοοόιερες συ­

.

yκρούοι·ις οnό ιο yιn•t\'Cς.

11

δύΥnμη τη\' onoin θα

κρούιιιJ ιοου •

ασκου,· ιο η.\εκτρό,•ια οιο ξt\•u ιό,. θα διαφέρει κιιιιί ιο

ιιιι μr ιη μrοη ιιιχυtητα ύστερα από αυτή\' ιΣχημιο :l t. Κοι οοιες δυΥαμrις ιιοκουηω 01α ιόηα: Ας Ot~'(IIJ ·

ιδιο ιιοοο. Ετσι. η ου,·ισιαμε,·η τωΥ δυΥόμrω,· ιuu η.\ε •

-δη.\α δη, η μtοη ιιιχύτητα ΠρΙ\· ιιιιό

oouμr ε,·α καθσρο μrιαλλο

tou οποιοιι

11]\'

ιιι ιό,·ια ειγω οι\α

κψικου nrδιου κιιι ιοιι U\'tμou τω,· ηλεκτροΥίω,· ιοοt> • τω μr

όμοιιι. κrιι κιiθt άτομο ·ΟtJ\•tιοφέρει • Χηλεκφό\'ια α\'ω· yιμιηητας. Το ηλεΙΩρικό πεδίο επιδjιίι ιιαΥω

or

κάθε ΙΟ\'

F'

=Z'lr l Ε + Z~' f 1

μι· μιn δύ,·uμrι Zlι·I E, όtιου Ζl ι-1 είνα1 ιο φορτίο του ιό­ ,."'~ ι tι<ιίρνουμε τψ urιόλ ιι LΙJ ι ψ ή ω υ φοριίου τ.ου ηλ~ •

tβλ . Σχιiμα 5>. ΑΥιικιιΟιο ιόJν ιας το -l eiE οιηγ f , nαiρ­

κψονίοιι. rιιrιδή το ιόν έχι·ι Οrιικό φορτίοι. Σύμφωνο με

''I>U με

ο

ΤΟ\' φιιn Υόμο ιοu Νευtω\·ιι. κrι ιιι μέσο,· όρc.ι κιlθr ηλε • κτρο,·ιn ιιοκεί μια δύ,•αμη

F'

f ι -- f ι\ Υ

Α,· Ζ' >

10 ιι.\ηθος ιω,· ιοηω'· rί,·οι Χ. τοτr σε κιiθι· ιό,· <ιοκει ­

ται ΟΠΟ κάθε ηλtκιρόνιο δuνιψι)

f, J\'.

f:τσι, η δύναμη

11011 εφσρμόζι:ιιιι σε t\'O ιόν από ολο ιιι ηλεκτρόνιο ισυ-

no'

= rl ( Ζ'- Χ Ξ..:_ '\ε_ ο Ι

σι, ω ξt'·α ιό,· ια θα κl\-ηθαύ'· κοτό rη φορά

οuιης της δυ,·αμης -η ταχυιηιιi ιους θα έχει ιη φορα του ηrδίου. ΑΥ < Ζιιι' οΙ. τα 1\)\'ι(ι θιt ιανηθού\' μr φορά

αντιΟεcη εκείνης τοu ιιεδιου. Ε

- -/('

----:/ ...: -\.

\

\

' κ

"'

,._' --Σχήμα

24

'

,.

(ν) ΠfJI'' αιιό K{XIVOI/

.1.: ~~----~(Ξ)~----z-~~..~ε

\ 1

=

(ν') μrιιι ΓlJ'' κροvοη

ΜΑΡ110Ι

ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

<(

F'

-(CΞF>

Zf 1 = Ζ ej F.

Σχήμα 4

3

n' z ;rf,

Σχήμα

5

z·ιψ:

..


Πώς μπορουμε .\οιnόν \'α ερμ η,·rυοουμε το yeyo,·oς

MI CH A EL BLISS

ότι σr. κnθnρο υδρtιρyυρο τα ιο,·το ""·ού\·tαι προς ιψ κατεύθι"·οιι του αΥέμου ιω'' ηλrκιρu,·ίων; Μολις αnο · δείξαμε όn ιιι ιό\'[α καΟαρο\ι μrιίιλλου πρrιιrι να rίνιιι ακίΥητα! Ιδού η παγίδα: uιιοθι'οομε όιι όλα τα ιοντu ιοιι ι·"·ω nαyομοιόι υπα. όμως ου ιό δε'' rίΥαι οκριβι'ς.

Ilo ·

ρόn τα περιοοόιερο ιό,·τα του βρίσκοηαι οηω<; ο τ φ· ίδιο • ΚΙJ\'Ο\'ική• ε,·cρyrιιική κιιτίισταση. ορισμένα tXOtl\' ιια. ντοτε μrγηλυτερη ενέργειιι. Λυτίι rίναι τα λrγtίμηιι

•·tΥεργοnοιιιμcνα• ι(ινια. Η nιθιινό ιητα KfJOIJIHjς ιιλε· κιρονίου-ιόνιος nιιξάνει οναλογα μr τιιν ενi·ργι·ια H•l" ιόηων. Έιοι. τα ε,·εργοnοιιιμr,·α ιόηιι μπορού'' ,·ιι θrω· ρηθσυ" ·ξivn· -εχουγ το ίδιο φορτίο μr C\'α ΚΙΙ\'<J\'ικο ιόν, όμως rχnιl\· μεyαλυτrρη f\'Cρyό διατομη. Αυιιι τιι ω­ νια θα • παραο(φο\·ιοι • από ιον ίl\τμσ ηλr.κιρονίωΥ και θιι μεταφtρc.ινιω στον θετικό πόλο ιιις πηγής ιιιο ης. Αυτό το φοl\·όμε,•ο βρίσκrιιιι οτιι βάση τnu διαχωρι­ uμού τω'' ισοτόπων υδραργύρου μrσα σε η.\rκιρικο πε­

δίο. Τα ιοντα διοφορεnκώ'' ισοτόιιw\' έχοU\' nροκ ιικά το ίδιο φοριiο και τψ ιδια r'·rρyό διαιομή. εξαιnας όμως ιιJς μικρόιcρη~ μlιζας τους τα ι·νrργοnοιημrνα ιό,· ιο τω,· vλιιφρών ισοτο πω" μειaφέρc.ινιω από τον ιΊνrμο ιιλr­ Κ1J>()\'ί(U\' τaχύτtριι (tn' ό,η τcι ενι·ρyοrιοιιuιένσΙόνιη τωΥ βαρέων ισοιόιιω''· Αυτό ι'χει ως απστfλεσμα αvξημ6·η ουyκέ,•τριοJΟη τω\' rλαφρώ'' ιοοτόπω,· yύρω απο το Αε· ιικό ηλεκιρόδιο -δηλαδή. Ο\' εξεταστει υδρορyυρος οαο την περιοχή ιου θειικού ηλεκιροδίου. θn βρεΟεί οτι εί ­ ναι εμπλοuηιιμtνος με ελοφρ<Ί ιοόιοnn. Αυτιi η .. πaρίιδοξη· μετακίνη<ι η ιc'Ι\· ιων σε αμολγι\μn· τα πaρα ιηρήΟιικε για np~>ιη φορο ιο

1907.

ΕκεiΥη ιφ·

περιοδο αρωτοnαρουσιοσιηκε οτη φυσική η t''''οια ιιις αμοιβαίας φιβης μetοξύ ιό,•τω,· και ηλεκτρο,·ίω,·. Πnρ'

λιrΑ BPABW. ΝΟΜΠΕλ ΑΞΙΙΑΗ ΤΟΙΟ όσο αιιτό μι το oιroio

ολa αιηά. μεταγενέστερες θrωριε~. rιou επέζησαν μέχρι

τιμιjeηκαν το

το

ιφcιγματικότιμn οιιιοΟοδ(Jόμη­

ινσουλίνη έναν χρόνο πριν, σώζοντας ικστομμιίρι σ

σιι-σύμψ(ο)να με αυtές. οι κινήσεις ιόπων κcιι ηλεκτρο­

ανθρώπινες ζωές και προσφέροντας lμπνtυση ο' όλη τη

''iωΥ ήταν α\•tξ(ιριητες μεταξύ ιους. Αυτό μιιορrί εν μέ·

μcτtτrιιτα ιστptκ~ έριυνα. Αλλά λίyο, επίσης, βροβrία ΝομπίΑ

ρει ,.α οποδοΟeι ο ιο ycyo,·ός όιι ια πειραματικά δεδομr\'Ιι

(ισιjκωοαν 1έτοιο σάλο και τόσες ανηδικίrς. Πώς όμως tιιτιίχησον οι εριuνητ{ς τοu Top6νro u ri όπυ 011ι'nιΧαν, αν

1959, αrιοτέλcσα\' στην

δεΥ ητα,· ιιrιστικά. Το

1953 Ο\'Οκαλύφθηκr ο διαχωρισμοι:

ιων ισοτόnω\' υδραργύρου μtοιι σε ηλεκτρικό ιιrδίο. Τη,· ανακάλυψη nιιιή οκολούθφιιν έρεuΥες σχι·ιικ(ι με tlj\' ηλcκφική μι·ωφορά ιόηων. Οι ιφι;Ηες θεωρηιικές ερ·

1923 οι Καναδο( rρεuνητίς 1100 αναχόλuψαν την

και τόσο πολύ πλησfοοαν, άλλοι mo διάσημοι κο ι mo tιmιιροι; Ποιο υποδοχή επεφύλαξαν yιαrροί και σοθινιίς στη ν{σ σνακόλυqιη; Κυρίως, όμως, ποι~ προyμοτικά ανακάλυψε την

yιιοίες που eξηyού\' ιον φυσικο μηχα,•ιομό του ι"·rμοu

ινσουλίνη; Γιατί ξέσπασαν τόσο {ντονις διαμάχες στην

η.\εχιρο,•ίω,· εμφαΥίσιηκα\• σ τι~ ιιρχές του

εριυνητιιιιj ομάδα τοο Πσνιπιστημiοu τοu Τορόντο αλλά και

1959.

Έκτοτε, nολλο σημαγιικn και εγδιαφι'pόΥΙΟ φαl\'Ο· μενα σvγδfθηκα'· με τον (1\-rμο ηλεκτρο,·ιων. ιόσο σr

στον ιατρικό κόσμο της ιποχιjς; Έχοντος στη διάθισή του αρχιιο•ό υλικό, φycιστηριοκό τιτράδtα και σuνιντιιίξιις 011ό

u γρό

εttιζ~οαντrς εκείνης της εποχιjς, ο ιστορι•ός

και στφrά μέταλλα όσο κ ω σε ημια γωγοuς.

ίt::

οιινΟtτει μια συναρttοοηιιή

ΔΓΟΡΑΠΣΗ

σημσντικότιρα ιεπειοόδισ• στην

Ετη οu,·r,·ιευξη cτon .Κφ,·ηλιου Καοιοριιιδιjc.στ, .ηροηyούμΗο αύχος.το!Ι'ε.\λη\'ικου Quιmιunι. οrλ.

34-"

δευιερη 111ι~\η, εκτη αροδο rιιιο ιο τέ'λσι:;_ η ιιροιαοη "0'

κό'Οε :ηpοχιλμ ι ιι·rιtΙ!Ι.\'ό διόοrημιι. ιο Ι!έ!f>Ο τοιι ιιθροι· ομιιτο~ δύο διιι ν ιιημάιων είνιrι

ioo μr tQ iιθρuιομιι ι.ων μrιρων 1ων διιl\·υομ<Πω''• np61CJ να αηι1<ιιωο ι οθrί οrιο τη,- προrιιοη: -σε κάΟr nι~.λμαι:ρτιανό" X{;J!>O. ισ τι:ιρό'yω,·ο ~Ο.!! μηρου-'του Ώθρο\!!μαισς δυο Ορθοyω­ Υιι."· διn,·uσμιιιων είναι iσο μr το ιιΟj!δΓσ.μn τών'ttιριι·

γώνωΥ ιω'' μέτρωΥ"ι:ωv· διη,· ιιομιιιων~~

-

ανα•αλιίψιων.

Michatl Bliss από το

""''"


ΜΑΘΗ ΜΑΤΙ ΚΑ ΑΠΡΟΟΠΤΑ

Η μαγεία του 3χ 3 Η ερώτηση των

100$: μπορείτε νσ κατασκευάσετε ένα

μαγικό τετράγωνο με τέλεια τετράγωνα:

Martin Gardner

Τ

ro

Ο ΠΑΛΑΙοτΕΡΟ ΙΣΩΣ ΑΙΊΟ ΤΑ ΣΥΝ ­

σκότους, το Υ''' και

)'Ιlι Ι')'Κ. Ί'α

διιιι<)Όκά προβλιiματα που αφα ­ ρούΥ αριθμούς είναι αυτό που

τέσσερα ίιριιη ψηφία (που ιιnεικοΥί­ ζοΥτω σκιασμέγα στο παραπάνω

τριάδες. Λόγω <ης συμμι·τρiας, δεν

ζητά την ιοιιοθέιηοη των πρώ ­

σχήμαΙ θεωρούηαι ταυτόσημα με ιο

έχει ιιημιιοίιι το πώς θα τοποθηη­

των εννέα φυο1κt:)γ οριθμώΥ σ' έ'·αν 3 χ 3 πίνακα έτσι ώστε όλες οι γραμ­

σκοτεινό γιν, και ο ελλφοικός σταυ­

θού'' στα άλλα δύο μη γωνιακά τε­

ρό<; nου σχηματίζουν τα πέ\•tε περιτ ­

τράγωνα. "Ετσι έχουμε:

μές, οι στήλες και οι διαγώνιοι να

τά ψηφίο aντωτοιχεi οιο φωιειΥό γιο νγκ. Για πολλούς αιώγες το λ ο

έχοιJ\· το ίδιο άθροισμα. Αποδεικνύε­ ται ότι, όταν δεν θεωρούμε διαφαρε­

οου χρησιμοποιήθηκε ως φυλαχτό σε

τtκές τις λύσεις

κοομήμnια κι11 άλλο πνιικ1:ίμcΥα.

οιι<'> . nou ηροκι'JΙrιοuν .

,

'

rιεριο φοφες η ουμμετριες, υπαρχει

μία και μοναδική λύση:

πει φυσικ(ι νιι είναι το

και

7

ψΙJψία

3

ανήκουν εrιiσης σε δύο μόνο

9 7

5

3

Πώς μneιροiιμr να nn<ιδf:ίξιιυμε ότι το σχήμα είναι μοναδικό; Ο οηλιιύ

·

1

ο ιtρος ιρόπος που γνωρίζω. αρχίζει

2

9

4

με ιηγ nάριιτήρηιιη ότ;ι το άθροισμα

Τώρα πλέοΥ. για να ολοt<.ληρωθεί LO

ιων εννέα ψι}ψiων εί νc:ιι

οι

μαγικό ιειράγωΥο. τιι άρτια ψηφία

7

5

3

ιρε ις γραμμές (ή στήλες) έχουν το

μπορούν να ιοιιοθεtηθούν με έναν

ίδιο άθροισμα, αυτό πρέπει να είναι

μόνο φόrιο ο ιις κενές θέσεις.

6

1

8

Υ ιιάιιχει ο θρύλος ότι τον 23ο ιιιώ ­ να rι.Χ. ο μυθικός βαοιλιός Γιοu είδε αυτό το σχιiμα ''α διαμορφώνηαι από κηλίδες πάνω ο το καβούκι μιας ιερής χελώνας ο ων ιιοταμό Λ ο. Πολλοί σύγχρονοι φειl\•ητές αμφιβάλλουν αν το μηγικό τετράγωνο, το .~ο οου

όπως

1. Τα

ονομάζεται

συνήθως στη\'

Κίνα, είναι τόσο παλιό. Πιστεύουγ

ότι δεν εί,·αι ιιαλαιό<ι:(ιο του 1 9ου μ.Χ.• Όποια κι αν ι:ίνιιι η αλήθεια. το όνομα σημαίΥεt γραφή ιου ποταμού

Λο. Οι Κινέζοι ιο είχαν ταυτίσει με τον οικείο ιους κύκλο φωτός και

ίσο με ιο ένα ιρί ω ιου

45. Αφού

45, δηλαδή 15.

Υπάρχου\' διάφοροι μνημονικοί

ΣιtJ οuΥέχε ι α κατογράφουμε τις

κα,•όγες ιιου μας ειιιφέnου" νu οχιJ­

οκιώ δuνιιτές ιριίιδες ψηφίων ιιοu

μα ιίοουμε το ι\ ο σου χωρiς νιι απο ­

δiνουν άθροισμα

μνημοΥεύοουμε όλο το σχήμα. Γιιι

15:

9+5+1 9 + 4+2 8 + 6+1 8 + 5 + :l

8 +4 + 3 7+6+2 7+5+3 6 + 5+4

μένtι ο ευκολότερος εiνο1 νcι [οηοθε ­

τήσουμε το άρτια ψΙJΦία ο ιις γωνίες σε αύξουσα σειρά, ιιηό αριοιερά προς ια δεξιά κο ι ηιιό ιιάνω προς τα κάτω. Τη ηερι αiι ψηφία. τοποΟετιwένα επί· σιjς στη σειρά, ιιρχίζον-ιας αιιό ιο

9 κω

προχωρώ,"tας προς τα niσω, οχημαιί­

ζουγ την τεΟλαομέΥη γραμμιi ω ιι επόμενου σχiιιια ιοc;:

Ί'ο ψηφίο του κενιρικού ι~τραγώ,•ου αΥήκει σε τέσσερις γριιμμές. ΊΌ 5 ~ί · Υαι ιο μοναδικό ψηφίο που φφανί­

2

4

ζε ιιιι σε τέσσερις από τις τριiιδες.

"

Ο πrχ:>wς που έγραψε' nρaypnαίu γJu

μαyη\.ά τr.τράγωνα εί\'άΙ ο βιJζuv-ιη:(~ λδγ1ος

Μανουήλ Mooxunuuλoς 026., - Ι315>. 1Ό χει· ρόγροφό tuu ι:χι:ι εκ~ί ιο Ι886αι1ό W\'TanΙ1C'IJ'• και nερι..\αμβάνειηφιyρο.φή κατασκευής

εηομι'νως το 5 πρέπει να τοποθετη­ θεί στο κέντρο. Το ψηφίο 9 ανήκει οε να τοποθετηθεί σε ένα από το μεοαίιι

n χ α τειραγώγωv yια n = 2nJ + J κω n = 4m.

κελιά μιας πλευράς. και ιο ψηφίο ιrιο

tΣ.ι:n.mηι.Ι.

άλλο άκρο αυτί)ς ι ης γραμμής ιιρί:-

26

ΜΑΡτιΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

8

δύο μόνο τριάδες, επομένως πρέπει

Ποριιτφήστε ότι τα Ι.

2, 3

και ί.

8. 9


οχημnιίζουν δύο ιοοοκcλή ιρι γωνιι, ενι:• τη 4, 5,

6 ανiικοι/\' or

επισήμανε μια ενιυιιωοιακή

ιδιότηtο του .\σ σου. θεωρουμε κιiΟr γραμμή. οιήλη κω διαγώ,•ιο <ουμnc­ ρι.\nμβnνομι'νω''

ιω''

βιιοιζόμενοι σε δεδομι'νους περιορι­

μιtι κύρια

δι οyώνιο. Ο R. HolmPs, στο Thr Μιιι hι•nιιι/­ ίcal Gazeιtl' ιΔrκι'μ~ριος 1970, σελ.

3761,

γtβρικiι. ως rξi]<;:

a+ι_,•+2χ

lJ

+ ,'(

IJ

+ 2.\•

.1

τοιωΥ τrτραγ~J"ω". Το κιιθι'να από αυτά εί,·ω ιο ιιιι.\ουοιι·ρο ιrτρογωνο που ικο,•οποιι·ι τους rιrριορισμους.

όπου ως οοαη.\ούυ ι ε ρο• ορί(οιιμr ι ο

8 +~ν +Χ

"

τεοοαρω,·

+ .}'

d +2χ

/J"'t' ~V+X

a ......ν • 2χ

ομούς. Ί'cι n.\ιιίοιο ι ης επόμενης οελι­ δας πορουοιιίζι·ι ιιιψιιδι·ίγμιιιιι ιt •

τειριιγra,•ο μr τη μικρότrρη μοyικη οιιιθrρό. Καtα.\οβιΙΙ\'Ctt yια ποιο

·διακcκομμr\'ω''• διαγω,·ίω'· 1 ως ψιψήφιοιις nριθμοuς nou ιοuς διιι ­

ΙΙπρc.ιιφιjοιε όιι ιιι\Οε γραμμή τριώ,·

λόyο δr,· μηορούμr \'Ο χρηοιμοιtοΙΙ]·

κr.\ιω'' rxrι άθροισμα 3ιι

oouμr ιογ αριΟμό

β{ιζοuμr κ111 κα\•0\'ικά και nηiστρο­

3t:ι• .'·+χι. yι·yο,·ός ιιου οnοδεικ,·ύeι

φο. Ισχuοuν ιόιr οι rιιόμrνrς ιαυτό­

οιι η μα γι κ η ο ιιιθερά εί\'ΟΙ πο.Uα ­

τηιες:

ιι,\ιισιο του

οριζό•• ιια t294 + 7.53 ~ 618ι"

3

+ 3,>· • 3χ. ή

κω οιι ο κrνιρικος

αριθμος ισουται με ιο ι'Υα ιριιο ιης

=t49~ + 357 + 816r'

κάθrrα

1276 + 951 + 4381 = ι672 + 159 + 834 ι' 2

διαyώvια

2 σε

μοyικα tηριι ­

yωνιι μr ιιρώtοuς αριΟμους: Το

1987 tφοοι'φrρο 100$ σε ΟΠΟΙΟ\'

0ο 0\'ΟΚΟλυηιε r\'11 μιιyικό ttιράyω­ \'0 3 χ 3 που θα αιιοιr.\ού,• ιn,· από

οιοΟcρας. Εχο\'tας στο μυιιλο μιις ι φ· ο.\γε­

διαδοχικους πp~ιτnιις ιιριθμοuς, Το

βριιιή δομη του τι-τραyώνοu. μιιορού­ μr να κοιασκευασσυμε μιιι οu,·ιιρπα ­

τα f41γαστφιιι ι ιwr~nC<' LiνN·morr. ο ο ποιος δημιουργηοr ιο ιιιιλουστε­

οτική ποικιλίιι μαγικών τετραγώ"ω''

ρο η'ιοιο ιrτραγωγο χρηι.ιιμοrιοιι:,.

βραβείο κiρδιοr n Harrγ

..

:υ._,.;.

1654 + 132 + 879ι' = <456 + 23 ι + 9781' ι852 + 174 + 639ι' = ι258 + 471 + 936Ι'

~

Kelson

από

1 ~,

Οι ταυτότητες μc\'Ουν (Ινrιιφέαοιcς αν δι ιιγρι1ψιηιμr ιιι μrΜιi« ψιιφία

των αριθμών, ή κο ι οrιοιοδήιιοι" ιrύ­ γος άλλω'' αντίστοιχω" ψι)ψίω,·. Φnν ιnο ιεί ιε όο οχημιι ιί<ουμc μι« οιιr.iρα με το λ ο σου-δηλαδή, φαντα­ υιεί ιε όιι ιιιλίγοu με ιο tcτράγω,•ο κατακόρυφα κω οριζόν ιια ι·ν~Jνον ιcις τις ιιnfνηνη πλι:ιιρfς. ΕνιuηωοΙό· οιηκιι όιιιν ιιριν n ιιό ιιολλα χρό,•ια ανακάλυψα ότι, ην ιιροιιθrοοuμr ιιι τέσσερα ψηφία

2

oc

κιιθtνιι ιιιιό ια

2

χ

ιc ιρό yι»ηι rιου οχημιιι ί<ιινιοι, ιιι

οθροίομιι ιn rίνnι οι C\'νέα διαδοχικοί ιιριθμοί ιωό ιο

16 rι.~ι;

ιο

24.

Φυσικό, μπορούμε \'α κ α ιοοκrυιι ­

σουμε όπrιρο π.\ήθος μαγικ~Ι'' ιr ­ τροyώ,•ω\'

3 χ 3 με άλλους αριθμους,

I<

!.•

όχι uιιοχρεωηκά μόνο διαδοχικους φυσικούς, α.\λά κω nραγμαιικους

αριθμους. Για \'Ο αnοφύγουμr ι<ι ιε­ τριμμέ••α ποραδrιγμοτα. υnοθέιουμr όn οι αριΟμοι tί\•αι όλοι διιι~ιικοι Ο\'ό δύο. Για \'Ο είναι μαγικό το τε ­ ιράγω,·ο. όμως, οι ε,·,·tα αριΟμοι πρc ­

-••

:'\e" ! ~oιlak Cine- ιl1c αιιιοη1aιίc "a} tn tιιke and s l1 u \\ \'Ω ΙΙ Γ n1o' ies bcsι ' ' . \1 ... .. I lltl 11\1

,,.. •• I• \1.\Η \Η

, ,. φ..

t

._.._ -τ,

"'Η

;

ι ~

,.-!Ρ

'

I

\oll

-"'~-

~

ιιει ,.ο χωρίζονtοι σε tρcις τριάδrς, το σ ιοιχεία τω\' οποίω,· αγήκου,· σε

ιφιθμηιική rιρόοδο \δηλαδή, διαφε­

~

-• j

ρου" κατά μία σ-ιιιθrρά Ι. Ειιιιι.\έον, οι μ ι κρότεροι αριθμοί nιιιι:ιν ιων ιριό­

δων πρέπει επίσης αριθμητική πρόοδο

V(l

ι.

1

οχημιιιίζου''

-{IV

κιιι i>χι κιιι'

ανάγκη με τηγ ίδι ιι διιιφορiι που έ • χουν οι τριάδες. Μπορούμ~ νn tκ­ φράσοuμε ο υτοuς τους κανονι·ς ιι λ-

••Ξ

•' EASTMAN KODAK COMPANY, ••••••~«

•· Ν ν

c

~

Ko.. .... k

QUANTUM Ι ΜΑθΗΜΑτtΚΑ ΑΠΡΟΟΠΤΑ

J

'I

·~··

i 27


ηης ένnν υπολογιστή

Cray:

c= 27

1.480.028.20 I 1.480.028.129 1.180.028.1&

15

ι

Jl

16

2

12

14

ο

10

:)

9

13

6

10

14

4

8

12

7

17

=~

8

18

4

(;

16

2

LA$0.028.153 1.480.028. 171 1.4S0.02S.lδ

1.4S0.02S.Ι59 l.48Ο.Οι8.ιΙ3

Ο Μιιι·ιiη

LaB•11·.

οτο

Co/Jρge

Μιιίhι•m;ιtίcs Jοιιrnn/ι!ανουάρ10ς

!984. σελ. 69J. έθεσε

ιιεpΗ r {)/

άριιοι ιικέρωοι

nκέρωοι

χωρiς ιο μηδέν

c= 111

c= 177

1.480.028 .!4

Th!'

το πρόβλημα ι ης

\ιιιcιρξης ενός μcιγικού ι.ειραγώνου

3 τετρά •

χ3 ιιποιeλ<ιύμeνου οπό τέλεια γωνα. Ούτε τέ10οιο τετράγωνο δεν έχει iJρεθεi, αλλά ούτε nπόδειξη του οδυν(ιιου τη<; ύπαρξής ιου. Ο

c =24

c= 30

ρl\·oi υπεριιnολογιοιές δεν έχο11v ιι}

με

ro

μηδέν

c= 3177

67

ι

43

ϊ1

89

17

1669 199 1249

ι:~

37

61

5

59 113

619 1039 1459

31

73

7

101

29

829 1879 409

πpι~rοι αριθμοί με

47

πμώ ι οι αριθμοί

ro 1

χωρίς

ro J

ιιρώrσι

oc

αριθμηιικιί ιιρόοδο

Nrlson

πιστεύει ότι υπάρχει, αλλά οι οημε •

άρrιοι ακέραιοι

c =354

c = 54

c = 686

δυνnιότητα να το βρουν σε λογικό ;φονικό διάστι)μα. Προσφέρω, λοιιιόν.

I00$ ο to

rιρώ·

το άτομο που θα κατασκευάσει ένα τέτοιο τεφάyωνο. Α ν υπάρχει. οι

αριθμοί ιοu είναι οπωιιδήιιοιε εξω­ φρενικό μεγάλοι. Ο

πληροφόρφε όιι ο

Richard Guy με John Robenson

έχει αποδείξει πως αυτή η προσπάθεια ισοδυναμεί με την εύρεση μιας ε λ ·

121 114 119

27

6

21

222 101 :n:J

1ιι> I 18 120

12

18

24

303 212 121

117 122

15

30

9

111 323 202

ι 1;;

διαδσ_γικσί

uύ,rOι;.raι σι:

6.\οι (ιι cιριθμσί και

σιivθeιοι

cφιθμηιικιj

η σrtιθφά CiΙ•άι

πρόοδο

ιιn,1ινδρομικοί

λειrιι.ικi1ς κιιμιιίιλης μt ιρία ρητιΊ Οη· μεicι Ίων οrιοίω,· οι χ συντεταγμένες οχημαιίζου\' αριθμηιική πρόοδο.

0

Ηι•nσ ~;rnest Hιιdeney, στο

Λm11sements in Mathemιιtics (σελ.

124-25J

Μαγικά ι·ειράyω•·rι. ιρία iιιι ιρlιι. ειδι.ού ι ύιιο υ με rιι μικράrερη ο rαθερ(ι rcι. Ί'<> πnλη1δpοpικ6

n··rpa )'f.>Vt> κπrnπκειιfiστηκε από το,· Rudo/p/1 Ond-

rt"jka arJQ ιο λivyorn• ι- ιοrι Νιοα Τζέpnrιϊ.

κοι οιο άρθρο του γιcι ια μιι γικό

Είναι δί;οκολο να μανιέψειε ΩJ'' εκ ­

τετρiιyωνο που έχει Ο\'cικcιλuφθεί

πλι}κtικιi του ιδιότητα ιθcι οιι<; χρειcι ­

τρόγωνιι με βάση την αφαίρεση, τον

είναι οnωσδιinοτr. αυτό που κατο­

στεi και κάποια γνώση της ογγλ ι κής

πολλιιπλασιιισμύ και τη διαίρεση. και δi,·ει παραδείγματα τετραγώνων 3 χ

σκεύασε σ ιee

νός ιιλeκτρολόγος μιιχαγικός που

yλ<~σσας). Γιο κίιθε κελί. μετρίιμε το πλήθος των γραμμiιτωγ της αγγλικής

ΥΗΙ κάθε είδος. Υπάρχουν επiσης

εργάζrται στο

ογομασiας του αριθμού το'' οποίο πι··

3

ιινrιμοyικcί ιεη>(ιγωνιι. με την ιδιόιη ·

Το ιιιο tκιιληκ cικό

χ

3

μαγ ικά τετράγω,·α ο ι η" Εγιωκλο­ ιιαίδεια Bι·itannica ορίζει μιιγικ(ι τε­

:!

Sa iiO\V$,

ένος βρετ.α ­

nανεηιστήμιο του

Ν{ιιμεχε σιψ Ολλα,•δία:

το ''α μl}ν έχουν ούτε δύο αθροiσμο­ τα γραμμών iσα. Όταν πλl}ρούνται

ορισμένες προϋποθέσεις, nροκiιnιει μια ιιοικιλίa cνδιαφερόγ ιf.ι.>ν αγ ιιμα .

γικώ'· ΟU\'δucιοτικών ιιροβλιιμά ιων. Α υ ιές οι ιιαραλλαγές, όμως, θα ιιηο­ τελέσουν το θέμα ενός άλλου άρ ·

θι>οv .

28

ρι~χει κοι ιοrιοθηουμε ιο κ(ιθε ιιλή ­ θος στο α\•τiσιοιχο κελί ενός άλλου

5

22 18

28 15

2

12

25

8

χ

3

πiνακα. Για παράδειγμα. το

l "fiνe·· στο ιιγγλικό) έχει τέσσι:ρα γράμματα, οπότε στι}\' πάνω cιριστε­ ριj yω,·iα του πίνακα τοποθετούμε το

4.

Ιδού το τελικό αnοτrλεσ μα: Η ου••έ_ycια σrη σελ.

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

3 5

72

Q


Η συμμετρία της τύχης Μια εισαγωγή στις γεωμετρικές πιθανότητες

Nikolay Vasllyev

τ

Α ΑΠΛΟΎΣΤΕΡΑ ΠΡΟΒΛΙiΜΛΤΑ

πιθανοτήτων είνα ι αυτό ποv

α,·αφέρονται .σε. τυχαίιι πειρά • μα τα στα οποια εχου με πεπερα­

σμένο πλήθος ισοπίθανων ενδεχομέ­

νων. Η υπόθεσι1 του ισοπiθανου σε τέτοια 11ειpάματο βασίζεται συνήθως στην εσωτερική τους συμμετρία. Σ' αυιό ιο άρθρο θα ασχοληθούμε με ένα άλλο είδος προβλημάτων. σ τα οποία επίσης μπορούμε να βρούμε τις ηιθ(η•ότητες στφιζόμενοι σε ουμμe ·

τρίες, αλλά έχουμε άπειρο πλήθος στοιχειωδών ενδεχομένωΙ', τα οποία θcι αντιrιροοωηεύονιαι cιrιό οημεiα σ' ένα επίπεδο συντεταγμένω\'.

Ιδού δίιο παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων.

Το πρόβλημα της συνάντησης. Δύο φίλοι έχουν συμφων ήσει νιι βρεθ<>ύν στην Κόιtκινη Πλατεία κάποια στιγ · μή στο διάστημα μεταξύ 5.00 μ. μ. κcιι

6.00

μ.μ. Ο καθένας τους φτάνει κά ·

ποια τυχαία στιγμή, περιμένει για

20

λ επτά, και α,. δε1• έρθει ο άλλος. φεύ. γει. Ποια είναι η οι θα νότητα 1·α συ·

νοντηθούν; Το πJΧ}βλημο rου οξυyώΙ'ΙQυ φι­ yώΙ•ου. Επιλέγουμε τυχαία τρία ση­ μεία στην περιφέρεια ενός κύ κλου. Ποια είνω η πιθανότητα V(l ε ίναι οξυγώνιο το τρίyω\'ο που έχει κορυ · φές τα τρία σημεία; Ας ξεκινήσουμε, όμως, με απλού ·

στερα, ·•πεπερασμένα•· παραδείγματα, που θα μας βοηθήσουν να παρουσιά · σουμε ( ή να εισαγάγουμε} μερικές

θεμελιώδεις έν1•οιες της θεωρίας πι· θανοτήτων.

n

Ρίχνοντας ένα ζάρι Η καλύτερη μέθοδος εξοι κείωσ ης με τις πιθανότητες είνω ιο παιχνίδι με ζάρια. Αφού ο κύβος είγαι γεωμετρικά οu μμειρικος, μπΟ(>Ούμε φυσιολογικά 1·α υποθέσουμε ότι και οι έξι έδρες rοι.ι έχουγ την ίδια πιθανότητα να

έρθουl' από tι}V πάνω μεριά tυ nοθέ • ιουμε, βέβαια. ότι το ζάρι μας είναι

•τίμιο•). Έτσι, η πιθονότητη νη φέ. ρου με, ας πούμε.

6 είναι

Ι

16. 11

πι ·

θανόιηιο να φέρουμε έναν ιιριθμi> μεγαλύτερο ή ίσο ιοιι

είναι

3

4 .• 6

=

ενώ η nιθο\'όtηια Ι'α φέρουμε

2! 3,

περιπό αριθμό είναι

112.

<Τα αηί ­

σιοιχο yεγονόrα ~ύνολο

.. εuνοϊ­

κ~)ν ενδεχομένων- συμβολίζονται

με κόκκινο χρώμα στις γραμμές α. Ρ και

y,

αντίστοιχα, του Σχήματος

1. )

Λ ν δεΙ· έχου με ζάρι, μπορούμε γα χρφιμοποιήσουμε έΥα μολύβι με έξι

είναι μεγ<ίλο, είμαστε uποχρεωμέ·

νοι ΥΟ χρησιμοποιήσουμε κάποιους κανόνες για να ιιι ιο.\ογίσουμε τις

θονότητες. Ας συμβολίσουμε με ρ< Α) την πι · θαΥόη}τα του εγδεχομένου Α. Γενι­

κιί, &\'δεχόμενο είναι απλώς έl'α υ· ποσ(ιγολο του συl'όλου

S όλωΙ'

των

δυνατών αποτrλεομότωΙ• (ρ($}

= l.

φυσικά). Όταν ρίχνουμε το ζάρι μία μόνο φορι\, το

S αποτελείται αηό ω 1. 2, .... 6. Οι απλούσιε ·

έξι στοιχείο ρες ο χέσεις μεταξύ τω1• πιθανοτήτων προκύιηοuν nιιό σχέσεις μεrοξύ σι.ι ·

νόλωΥ -ή, yια να είμαστε ακριβέ­ σιεροι- μεtαξύ ιου rιλήθο υς των στοιχείων τους.

I

έως

6.

Και εύ κολα

μπορούμε να φαν ταστούμε ένα μο· λύβι με οποιοδήιιο~ε πλήθος

n εδρών. Ας υποθέσουμε ότι ί:χουμε μια συ .

σκευι\ η οnοίο, αφού τεθεί σε λειτουρ ­ γία, μηορεί να καταλήξει σε

n ισοπί •

θανα αnοr~λέσμαια. Τόιε, εξ ορισμού, ι} πιθαΥότηια καθενός αnοτελέομο(Qς είνω

1 ι nJ ενώ

η πιθανότητα ενός εν.

δεχομένου Α που αιιαριίζεται οπό

-του συμπληρ6ιματος του

αποτελέσματα ιοούτιιι με Φυσικό, όταν το ιι :

6.

k .I ιι. είΙ•αι εύκο .

λο \'Ο κατασκευάσουμε έ1·α διάyραμ ­ μα και να οπαριθμήοοuμr

rn

αnnι ·

τούμεΥα εΙ•δεχόμεΥα. Ότα,·. όμως. ιο

.4

(ιιου

αποτελείται από όλα τα στοιχεία ιου Ξ τα οrιοίο δεν η νήκουν ο το

.'\ )-

ισούται με Ρ\ Λ ) =

1- p\AI.

(l)

Αν, yια παράδειγ μα, -.:ο Α είναι το

ενδεχόμενο •Ο <ιριθμός που ήρθε στο

•••••• aDDDDD D .•.. ........ . • . . .. .

···· -

. . ... β ..DD D . .... .. •. . .. ••• ···· ····-

.... .... . ...

---··

DD ·----vQ D ····--------------------DDDD -·-··· ~-··

k

_

Η πιθανόιηια Ηtυ tl'δεχομένου Α

έδρες. πάνω στις οποίες γράφουμε τους αριθμούς

m-

·

. ...

·· · -

δ D D D DD D 1

Σχήμα

2

3

4

5

6

1 QUANTUM / ΑΡΘΡΟ

29


I

I I

I


U11οχ: βλεπουμr από το ΣλΊ])ΙΟ

ν!οοοο

00 0 0

.;οοοο

O DG O

0 00 0 30 00 000

000 0 0000 00

zDOOOOO

ODOO Q O JJ

ιΟ ΟΟΟΟΟ

0000 00 -

λ

4

ι

Σχήμα

I

2

Σχήμα

2

ζάρι διαιρείιnι μι· ιο στοιχεία ιοu είναι

3· -δt)λaδή. ια το 3 και ιο 6--.

τοιε ιο Α αποτελειιω nnό ιοuςuριθ ­ μούς που δr" διαιρούηιιι με το

Ε:ιοι, p.Α Ι

=

-

a

3.

I 3 κιιι pΙ;\ι - 4 6 =ι

2

ιη η ιιιοιηιn οημοιΙη

πιΟιι~·οtl)tωΥ τω\' ι·vδrχομένων Β και Η ιιcφιψεΙ·cι ο iδιοι; ηνεξόρτητα 0116

ιο ιι~· σuμβοiνι·• ή όχι το ενδεχόμt\'0

3

6

"

3

\'ΟΙ'ας πο.\.\αιι.\ασιοσμου θωρtιrαι ο ορισμός ιης ονrξορtηοίας δύο rν.

δεχομέvω1·

.-1

κc11

IJ

11ου δεν συν·

δrονrοι ανογκαστικ{Ι με εnανrι· .\ημμέ,•εc; δοκιμές. Αυιός ο τύπος rφορμόζηοι rιιίοης οτφ· περίπτωση που ιο ΟΙΤ(οριητο yryoYόtα rιΙ•οt ΠfΙΙIΟΟοτεριι ιιrιό δυο. Για παρόδι:ιγ­

εiνω σ tιριθμός που φέργοuμι· με ω

•i

ΠρώtΟ ζiφι, t\'ώ ,Ι' ο cφιθμός rου δευ­

Χ''οιιμr έ1·α ζηρι rινaι ι ! 3ι' =

ιερου. Το ζrύyη ι χ. ,Ι'Ι είναι ό.\α ΙΟΟ· nιθο\·α και υιιόρχουΙ' ου,·ολικά

= 36

ι'νcι

6

5

κa• rις ιρεις φορi·ς ηοιι ρi­

I 27.

Φιιοικά. μποιιουμε \'Ο rφαρμο­

6 6

σουμr ιο,· κανο'·" ιιολλαπλαοια •

ιrιοια ζrυyη. θα μcις διrυκολυ •

ομού μό.-ο όtΟ\' το εΙ·δrχόμε,·ο ιοv οποιοιr ιψ n ιθcινοιιιτα οvοζιιιούμε

6 τετραγοπικό πίνοκιι. Έ.-ιι μονο­

μπορεί ΥCΙ εκφροο ιri ως ΙJ ιυμιj δύο

ναι KOKKI\'0, ενώ με μπλr χρώμα

διαίο κr.\ι cωιού του πινοκα με συ­

rινι·ξιφτηιώΙ' yryονόιω1·. Ας θεωρή­

συμβολίζουμε ιο :ϊ I. Η έ\•ωση Α v Β των

ηrιαyμt,·ες .<καΙ .ι· ΟΙ'ΙΙιιροοωπευεΙ

σουμε δυο κοηως πιο ιιεριπλοιιο πα­

ιο (ευγος χ._.., ιΣχιιμα

''"

ρ<ιδειyματα που βασιζοηαι ο ιο ιδιο

το ενδεχόμενο ιιου συνίσταται οιη\'

βροίιμι· ιcι κελ1ίι ηου ικο,·οποιού\· τη

ΟΙΙ\·ο.\ο οποιε.\εσματω.- tιο σύ,·ολο

εμφ(ιΥιωJ ενός από τcι δύο rνδrχ6με.

ουνΟηκι) χ ~

νο:

μαι ί(ουγ ένα ορΟοyώνιο με διαστ(Ι­

rν1ν ζcυγώ\' ι χ. ,Ι'), I s χ, .v S 61. Πρόβλημα 2. Ρίχνουμε ένιι ζ/φι

\'Ο Β. Α\' το δυο ηδεχόμrνα ε η· α ι

οrις

από τ.α

δύο φορrς. ΠοιCΙ ΓΙ\'01 η mθανότφα

ασuμβjβασrα ~η.\αδή. α\' ιο ου,·ο·

κελια tl\'αJ ·cυ ,·οϊκά ·.και η ιιιθιJΙ·ο·

Ι'tι φtρουμε ένα\' αριθμό μεyαλύιr·

τηιο

ρο η ιοο ιου 5 του.\αχ•στο,· μία φορο: Τα Ο\'τiστοιχο ιruyΙ) rιΙ·αι χρωμα .

w

Α και Β rι,·αι

ι·νδεχόμενο Λ ή ω rγδεχόμε­

8 rιναι

ίεΥα-. ιοιr ισχύει

Ι 2ι

ΑΥ τα δύο ε\•δεχόμrνcι rίναι ουμβι­ βασ rά ~ηλαδη. ότα'' η το μ Ι) τους δε\' είΥαι Kt\'it-. ιόιε

p< A V 81

=pΙ ;\) + p.RΙ- p.ΑΒΙ.\31

ι Η τομιi των Α και Β -ιο εΙ·δι·χόμrνο ιιοu σuν1ο ιιηαι οτηγ ε μφόνιση και τοu

Α και του 8-αιη θcωρία ιων πιΟαΥο·

5

και

2 χ 3 κελιά.

2t,

Ιlρl'πει

.1' ? 4. Α υιά οχη­

Ειιομt'Ι'Ι•J<;.

6

ri\'ot

636=16. Γr.·ι κiι. όταν rνα γr·yονός Α κο­ θορίζεται οπό ιο ωιο11·λι·ομα ιηc ηρώ­ της διικιμης. ε1·ώ ιο Β οπό αυτό ι ης

δrυτερης ιδη.\οδη. "'' . I tΙΙ·αι καποιο ου,·ο.\ο στη.\ώ\· και

R κtιrΙοιο ού,·ο­

λο ypcψμc~ν του πi,·ακό μας ι. ιότε η

πιθnνόtφο tJ)ς tcι u ιόχρο,·ης εμφιΊ ­ \'ΙΟJ)ς ιωv Α κο• Β βρίσκεται μί·οω του κcι~·cί\·cι nο.\.\αrι.Ιnοιnομου

pi.\81= pι.-lιp<Rι.

ιήιω1· συμβολιζειαι αn.\ώς με . ΙΒ.ι

ι~

Επανειλημμένες δοΚιμές Ας υιιοθrσου με όn ρίχνουμε ί'""

ο

~ αμερόληπτο ζόρι δύο φορrς ή ό11 ρί­ ~ <

χ1·ουμε ιαυτόχρο,·α δύο ζορια. Και στις δύο πrριπτωσε•ς. εχουμε δύο

'8

Πρόβλημα 1. Ποια είνιη η ι η θα ­

~ ανεξόρτητες δοκιμές.

,-όιηια νcι έρθει ιψ πρώτη φορίι α ­ p1θμός μεγαλύτερΟς ή ίσος του

5

κω

~

τη δrύτrρη μf\'ΙΙλυιερΟς ή ισος του 4: ;:ο: Το ού,·ο.\ο S αποτελείται ο' cιυιη ,

•..,

οΙτ[αprηοια σιις ιιιθα1·ότητες; ο κα­

νει νο ι α ιιαραστήοοιψr ως cΙ·αv β χ

p(A v lll = p<AI + pΙΒ).

~.

Α. Λυιο ακριβως fΙ'\'Οούμε με ιην

μ<ι. Ι) ηιθαl'όtηιιι Ι'tι φέρουμr ένα

rφοφαyώς ο rξης κιι,·ό•·ιις rrροσθεσης:

b

on ο λογος ιωγ

ι /3 2 ι :ι <οιο Σχήμn Lδ. τα απο­ τελέσματα ιιοu αncιρτίζουν ιο Α ι·ί.

λα Α και

.,

3, α υ·

rφ· περίιιιωση οnό (ευyη 1.1, ,Ι'), όπου

~ χ.•Ι' αριθμοί 1111ό ι ο I έως ιο 6. Το

.<

0000 0000 00 00 1:1 0000 ο 8 4 I

Σχημα

2

4

.)

6

ιιομένα ηρ(ισ"·α στο Σχήμα 4, μC\'ι.><; ΙJ ΟΠCΙ\'11)01) rίναι

rno·

20 /3() = 5/9.

lllnoρoύμc επίσης νιι ονΟΙΗιριιοιή­ οιηιμr ιο συγκrκριμε,·ο tΙ·δεχόμt\'0

=

~>ς ι η\' ι'νωση :1 u Ar οηου Α Ιί 1. 2• eι,·cu • το οποτtλεομα της ί-οοιης ζαριάς εiΥuι μryολυιφο ή ίσο του

5·.

Τό ιr. σύμφωνα μr τον κu Ι"όνcι ιιρό •

οθrοιJς ι3ι κcιι .\οyω 11ις αΥrξαρτησίας ιω1· Α 1 και

.-1

rχουμε

U UU U O D 000 0 0 0 OO D D D ::J 0 0 0 00 0 0 0 0 000 D D OOOC

I Σχημα

2

:J

4

5

6

5 OUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

31


p(A 1 υ A,J = p(A 1 ) + p(A) - p(AιA,J = 1!3 + 1/3-1/ 3 ·1 / 3 519.

=

θεi το μολιίβι πάνω οε μία από τις

νη: ιο οημεία του διασιr\μαιος

κόκκινες λωρίδες ω υ; ( Εδώ

0,6] έχουν

to

α εί ­

ν ω έγα ιόξο ή μ ίο γωνία που μετρό ­

Μιο &νολλακτική λύση είναι να θεωριίσουμε τη ουμnληρωμο~ική rιι· θα νότηοα ρ, να φέρουμε το πολύ 4 και την πρώτη και τη δεύ ιερη φορά. Με (ιυτό τον φόπο έχουμε την τομr\ δύο ανεξάpτt)των ενδεχομένων και έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε tO\'

κανίινα πολλαπλασιασμού για την

Ας υποθέσουμε ότι

αμέοως μετά .-rιν υποδια­

5,

σωλή tO ψι)ψίΟ

με, για nαράδειγμα, σε ακτίνια.)

[0,5.

Κ.Ο.Κ.).

Η επιλογή ενός τυχαίου σημείου

μολύβι δεν

σ' ένα τετράγωνο ή σε κάποιο άλλο

εiναι στρογγυλό, αλλά ότι έχει μεγά­

σχήμα εμβαδού Α ορiζεται ανάλογα:

λο πλήθος πλευρών. έσοω

από τις

υποθέτουμε ότι η πιθανότητα να α ·

εiναι κόκκινες. Τότε, η

νήκει ένα τέτοιο σημείο σε μια περιο .

οnοiες οι

k

to

n.

πιθανότητα nου ζητάμε ισούται με

χή εμβαδού

k I n. Στηγ περίπτωση του στ.ρογγυ •

μαjvοvμε ό-ιι και το μήκος και το

λού μολυβιού το σύνολο

εμβαδόν ικανοποιούν ωυς κανόνες

S

των απο­

a ισούται με a/ Α

Επιση­

τελεσμάτων είναι ένας κύκλος κω η

πρόσθεσης

πιθανότητα καθενός συγκεκριμένου

1 στον

αποιελέσ ματος -η πιθανότητα γα

Οtοθεί με

3. Ρίχνουμε δύο φορές

οτ(ψατήσει σε μια συγκεκριμένη ευ ­ θεία- είναι μ ηδέ\', Η πιθανότητα.

ευθύγρομμου τμήματος ή cου εnίnε ­ δου σχήμα rος). Ο κλάδος της θεωρίας

ένα ζάρι. Ποια r.ίνοι η π ιθανότητα να

όμ<>.)ς, γα σταματήσει σε μίιt οπό τtς

πιθονοτήιω,• noιr μελειό προβλήμα •

διαφέρουν οι δίιο αριθμοί ι ο πολύ

κόκκtνες γραμμές πρέπει φυσιολογι ­

ιο ο χε ιικό με την επιλογή τυχαίων

κατά 1;

κό να ισούται με το λόγο α/360Ό

σημείων ονομάζεται θεωρία γεωμε­

p . Έιω. η πιθανότητu που χιιειοζό · μαοτε ισούται με

1 - p = 1 - {2/3) 2 = 1 - 4/ 9 = 5/ 9. Πρόβλημα

(1), (2) και (3) (φυσικό. τ.ο

τύπο ι 1) πρέπει να α ηικατα ­

L

ή με Α

μέφο του

-ro

Τα αποτελέσματα που μας ενδια ­

Παρόμοια. όταν λέμε ότι επιλέ ­

φέρουν παρουσιάζονται χρωματι ­

γουμε ένα rυχαiο σημείο σ' ένα ευ­

Μέσω των τυχαίων σημείων μπο·

σμέγα στο Σχήμα

θύγραμμο τμr\μα (ή σ' έναν κύκλο)

ρούμε ν ο δώσουμε μια όμορφη γεω •

5

-i:ίναι τα

6

κε­

λιό της διαγωνίου " = .Υ και οι δύο παράλλι}λες γραμμές δίπλα tι}ς, που

μήκοιις

αποτελούνται από

5

κελιά. Εnομέ ­

νως, η ιιπόντηοη είναι

16 / 36 = 4 /9.

L, ε'·νοούμε ότι

rρικώv mθανοτήτων.

η πιθαγότητα

μετρική ερμηνεία της αγεξορτηοiας

να α\•ήκει το σημείο που επιλέγουμε

τωγ ενδεχομέ,•ων. Ας θεωρήσουμε

σε τυχαίο τ.μήμα (ή τόξο) μήκους

δύο τυχαίους αριθμούς χ και

είγοι

di L.

Μπορούμε γα

d εκφράσου •

επιλέγοντα ι ανεξάρτητα από

y που διό ·

w

με το ίδιο πράγμα διαφορετικό λέγο·

στημα

ντας ότι τα σημεία είναι ομοιόμορφο κατανεμημένα στο ευθύγραμμο τμή­

τους θεωρήσουμε ως ένα τυχαίο ση­

μα (ή στ.ο τόξο). Σύμφωνα με τον κα ­

νου {Ο

Ας εξετόιιουμε τώρα tυχαία ση· μεία σ' ένα ευθύγραμμο τμήμα, έναν

νόνα πρόσθεσης, όταν έχου μ ε e\'O

τητα γα ανήκει εο χ ο ' ένα διάστημα

πλήθος ξένων μεταξύ τους τμημάτων

μήκους 8 και το

κύκλο. ένα τετράγωνο ... Πώς ορίζο ­

συνολικού μήκους

μήκους

νται οι πιθανότητες ο' αυτή ιην nε·

γα ονr\κει το σημεiο μας σε κά ποιο

πολλοπλαοιαομού, με

ρίnτωσιι; Ποια ·•ενδεχόμενα• μπο ­

αnό αυτό εiνοι επίσης

Ας θεω­

ab, το οπΌίο δεν είναt παρά το εμβα •

ρούμε να θεωρήσουμε:

ρήσουμε, για παράδεtγμα, έναν ιυ •

δό'' της tομής τω'' δύο λωρίδων nou

χαίο αριθμό στο διάστημα

αντιπροσωοεύουγ αυτό τα ενδεχό­

τuχαίοι αριθμΟί KCI σημεία: ομοιόμορφη κατανομή

Ας κυλήσουμε ένα στρογγυλό

d. η nιθανότηοα

d l L.

[0, 1).

Η

[0, 1).

Αυτούς μποροίφε γα

μείο (χ, y) του μοναδιαίου τετραγώ ­

SxSl.

b

Ο

Η πιθανό ­

SySl).

y

σ' έγα διάστημα

ισούται. βάσει του κανόνα

w

γινόμενο

<κυλιγδρικό) μολύβι σ' έγα τρο.πέζι.

πιθανότητα να είναι πρώτος αριθμός

μενα (ένα ορθογώγιο 8 χ

Φαγταοιεfτε ότι η επιφόνειό του εί­

το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστο ­

ρές παράλληλες στους άξονες συ ντε ­

ναι κίτρινη, αλλά μία λωρίδα (ή πε­

λή --'>ηλαδή \'Ο είναι

2, 3, 5

ταγμένωγ). Με άλλα λόγια, ισούται

ρισσότερεc;) συ,•ολικού πλάτους αεί ­

ισούtαι με

<στο Σχήμα

ναι χιιωματισμένη κόκΚΙ\'η <Σχήμα

τα σημεία που ικανοποιούν αυτή τη

Ποιο είγαι η πιθανότητα να στα·

συγθήκη είναΙ χρωματισμένα κόκκι •

6).

4/ 10 = 2 / 5

Υ

Σχήμα

I

s

2

4

5

td

6

7 8 b:/

με την πιθανότητα να ανήκει το ση. μεiο (χ,

yJ σ'

αυτό το ορθογώγιο.

Για παράδειγμα, η πιθανότητα να

7 ΜΑΡτιΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

20

g

I ι

ο

32

7

6

I Hd

Σχήμα

7-

πλεu ­

Υ

0,4 ι

ή

b με

ο

Σχήμα

0,4

8

0,6

ι

ο

Σχήμα

20

9

60

χ


απέχει ένας τυχαίος αριθμός του δtα ­ οτήματος ι ο,

11

το πολύ

0,1 μονάδες

1

από το μέσο wυ δtαστήματος tσού ταt με

0,2

πτουν

(τα ζηwύμενα σημεία καλύ ­

w

δtάστημα από το

0,4 έως

το

Αν χ καt γ είναt δύο τυχαίοt

0.6).

αρtθμοί του δtασιήματικ;

10. 1], η ΠΙ­

τpεtς αρtθμούς αrtό ιο δtόΟ ιημα

-(:~Υ= ι-(~)'= ~-

Ποtα είναΙ η rηθανότηια ιαι να είναt ο τ:ελeυωίος αρtθμός nου επtλέγου­

Ας λύσουμε άλλο ένα πρόβλημα που CΙφορό ένα τυχαίο σημείο (χ, Πρόβλημα

τητα

p = p(a)

4.

y ).

Βρείτε τφ· ηtθανό ­

δύο Ο\•εξόρτητων, τυχαίων αρtθ­

+y

πολύ

μών μεγαλύτερο από •ον δεδομένο

μονάδες από το σημείο

0.5

ισούτω με 0,2' = 0,04, ενώ η ωθανό­

αριθμό

με μεγαλύτερος απ' όλους· (β) να εntλέξου με ι ους αρtθμούς σε αύξου­ σα σεtρά;

να είνω ω άθροtομα χ

θανότητα να απέχουν και 01 δύο το

0.1

[0, J!

Θα μπορούσαμε να παρασ,;ήσου­ με ης ιρtόδες ι χ, γ.

z)

ι ων επtλεγό­

μενων αρtθμών ως συντεταγμένες

ενός σημείου του μοναδιαίου κύβου

a. μtα ευ.

κ01 να υπολογίσουμε τ.ους όγκους

τουλάχΙστον ο ένας από τους δύο εί­

θεία παράλληλη προς τη δtαγώνtο χ

των ιμημάτων του κύβου που ορίζο­

''αt

Μπορούμε να

+ γ = ι του τετραγώνου μας. Η ζ η­

υπολογίοοιιμε την τελευιαία ωθα­ \'ότητα προσθέτοντας τα εμβ<ιδά των

τούμεγη πtθανότ;ητα tσούταt με το

νταΙ από τις κατάλληλες ανtσότητες: χ .ς z~ y s. z ο ιο (α>, και χ S" .Υ .ς 2 στο

ορθογωνίων

βρίοκειω nάνω από αυτή την ευθεία.

τητ.α να tκανοποteί αυτή τη συνθήκη

(Σχήμα

0,36

8).

που

απαρ τίζουν

•σταυρό• του Σχήματος τύπου

(3 ) ή του

τύπου

8

το

μέσω του

\4}: 0,2 + 0,2 -

Η εξίσωση χ+ y

= a ορίζεt

τμήμα εκείνο του τετραγώνου που Όταν

όια"

a ~ 1 το τμήμα είναt τρίγωνο· a < 1 είναι nεγτάyωΥο, και εi ·

Ιβ). Αυτό, όμως. δεν είνω απαραίτη­ το: εί,•ω αρκετό σαφές ότt καt ot έξι δυνατές δtαtόξεtς tω\' αριθμώγ μας -χ <.Υ

χ<

z <.Υ, Υ < χ < z, Υ < z <

z <χ< y , z < y

0,2' = 0,4 - 0,04 = 0,36. Διαφορετικά,

\'(lt

μπορούμε να χρησψοποιήσουμε συ­

εμβαδόν του ουμπληρώμαιός του .

''ες, κω επομέγως η καθεμία έχέt ιΙΙ ·

-

Σχεδtάστε το αντίστοt χσ σχήμα και

θαγόιη-ια

ει1αληθεύστε ότt

ση ytα το (β) είναt

μπλφώματα: μέσω της έκφρασης ι

(1 -

0,2) \συγκρίνετε με το πρόβλη­ 2

ειικολότερο να υπολογίσουμε το

2).

μα

το πρόβλιιμα της συvάντnσι1(

p(a)=

Μπορούμε τώρα να λύσουμε το •πρόβλημα τ.ης συνάντησης• που

(2 - ιι)' 2 a' 2

1--

δtατυπώσαμε στην αρχή του άρθρου.

είναι ~1αιι~1.

γtα

aS 1.

Ας υποθέσουμε όr~ καθένας αnό τους δύο φίλους επtλέγεt κω φτάνεt

στην Κόκκ,ινη Πλατεία μtα τυχαία χρονική σttγμή του δtαστήμαιος (μέσα στα

60

1/ 6.

<χ- είγαt tοοπίθα ·

Εrtομένως. η αnάηη­

1/6 κω

γtα το (α)

1/3.

το πρόβλημα του

οξυγώνιου τριγώνου Ας εntστρeψουμε σ,;ο δεύτερο πρόβλημα που δtατυπώοαμε στηγ

Ας το αναλύσουμε ω<; ε[,ής.

60 Ι

χ.

< z,

[0,

λεπτά της συμφω ­

αρχi] του όρθρου'. Είναt φανερό ότt

Εφαρμοyή συμμετριών:

κάθε περtο φοφή ιου κύκλου δtαιι)­ ρεί τις πtθαγότητες όλων των εγδε ­

σημεία κύΚλου Παρατηρήστε όη στο ιελευιαίο

πρόβλημα, όταν

a = 1, η απάντηση εί­

χομένων ι το σύνολο των τρtόδων σημείων ιου κύκλου ) κω

ttJ συνθή­

νημένης ώρας} καt ότt περtμένεt τον

ναι

p(1) = 1/ 2 (τα αηίσταtχα σημεία

κη ιο τρίγωγο να είνω οξυγώνtο.

άλλον επί

λεπτά (αν δεν έχεt ήδη

του τετραγώνου βρίσκοντα ι ι1άνω

Επομένως, μπορούμε να θεωρήσου­

φτάσεt). θα καταφέρουν να συνα­

από ,;η δtαγώνtο). Αυ,;ό θα μπορού ­

με σταθερό το ένα από τα τρία σημεία

ν τηθούν μόνο αν η διαφορά μεταξύ

σαμε να το μαντέψουμε χωρίς να

Α, Β,

των οηγμών χ καt γ των αφίξεών

χρησψοοΟtήσουμε οποtοδήποτε σχή­

C, ας πούμε ω C, καt να εnιλέ ­ ξουμε τυχαία τα άλλα δύο. Ot θeοεtς

τους είναι μικρότερη ή ίση ωυ

μα: όταν τα χ καt

τους δίνονταΙ οπό -τα μέτρα των δε­

20

20.

ΊΌ σύνολο όλων ιων δυνατών

y

είναt τυχαίοΙ α ·

ptθμof \Ου δtαΟt.ήματικ;

[0, 11,

η συν ·

ξtόστροφων τόξων

CA = n και CB =β

απο,;ελεομάτων αυτού του •πεφά­

θήκη χ+ γ,; ι μnορεί να γραφτεί ως

{Σχήμα

μα τικ;• μπορεί να παρασταθεί ως ένα τετράγωνο Ο S χ S 60, Ο S y S 60. Τότε,

χ S 1 - J' κω να θεωρήσουμε ότt έχεt

το μεγαλύτερο από •α τόξα

το νόημα •το χ είναt πλησΙέστερα στο

μετράμε ω τόξα σε ακ τίνια, eνο ζεύ.

το σύνολο των ευνοϊκών αποτελε­

Ο απ' όσο το

yος ( α, β) είναι σημr,ίο

σμάτων Ι χ -

είναt το μέρικ;

μαnκή ιης συνθήκη προκύπτει αν

γου Ο< α< 2n, Ο< β< 2π. Από το θεώ­

εκείνο του -.ετραγώνου ηου φράσσε ­

εναλλάξουμε τα σημεία χ κω γ καt

ρημα των εγγεγραμμένων γωνtι:>ν

ται από ης παράλληλες προς τη δtα­

τ;α άκρα Ο κω Ι του δtασ τήμα τος. ή

γώνtο χ = yευθείες

αν θεωρήσουμε

οιιμμετρικό του

έχουμε ότι 01 yωγίες του τριγώνου ABC είναt ίσες με π - β /2, α 12, ψ

y l ,; 20

y- χ = 20 καt y-

y

σω

co

1•.

Η συμπληρω·

10

-προσέξτε ότι το β είναt

CB). Αν

reτραγώ­

cou

-

x = -20 (Σχήμα 9 ~υγκρίνετε με το πρόβλημα 3). Το εμβ<ιδόν αυτού του συνόλου tσούταt με 602 - 402 (τα δύο

ιμήματικ; ως προς το μέσον τ.ου. Αυ ­

α)/2 (στψ περίπτωση που β> α, ενώ

τές

δύο πράξεtς δεν αλλάζουν τηγ

αγ α> β, η κατάσταση είναt παρόμοια

πtθανότητα του ενδεχομένου που

~nλώς εγαλλάσσουμε το α με το β

άσπρα φίγωνα συναποτελούν ένα

εξετάζουμε, και επομένως οι ωθανό­

καt το Α με ω 8). Μπορούμε τώρα να

τετράγωνο με πλευρά μήκους

τητες του ενδεχομένου καt του σ υ ­

θεωρήσουμε ότt το ζεύγος των αρtθ·

μπληρωματικού του είναt ίσες.

μώΥ ι α, βJ προσδιορίζεΙ ένα σημείο

40).

επομένως η ζητούμενη πtθανότητα

-που tσούταt με το λόγο αυτού του εμβαδού προς το συνολικό εμβαδόν τοο τετραγώνου- εί\'<ιt

ot

Ιδού ένα ακόμη πρόβλημα αυωύ

< 2π.

του είδους.

Πρόβλημα

μέσα στο τετράγωνο Ο

5.

Επtλέγουμε τυχαία

Αν α< β,

< χ<

2π, Ο

r.o σημείο αυτό

< J'

π&ptο­

ρi ζεταt στην κόκκtνη περιοχή του

OUANTUM I ΑΡθΡΟ

33


β

2• ~------~------~

.'

ο

Σχήμα

~n

Σχήμα

10

Σχήμα to<; ι 1, Α ν και οι τρεις γωνίες

α

11

Σχήμα

2•

12

Q

ω D nνήκι:ι ο ιην wμή. τότε οι τρεις γωνίες DΟΛ , JJOB κcιι DOC είναι

άρθpο μας. όμως, εξετάζοντας δύο

Αιι •

nμβλtίες. 'F:να τέτοιο σημείο υπάρχει

δίνεται συναρτήσει του αριθμού

tές οι α\'Ισότητες προσδιορίζουν ιι}v

<ι\' κω μ6ηι ην τ.ιι σημεια Α. Η και ('

πρώt.ο είναι εύκολο.

μπλε 11εpιοχή του Σχήμηιος

Η πε ·

CΙ\'ιίκουν στο ίδιο ιΙJΙικύκλιο ι αυτό που

ρίπιωοη α > β μας δίΥει μια περιοχή

ανnστοιχεί στο Dι ή, ιοοδ\1\·ιψα. ιιν

τύχη i:να σημείο π(ινω σ' ένα μεγάλο

ουμμεφική ουτής ως αρος ιι1 διαγώ­

οχημαrίζουν μιcι .. αμβλeίιι· τριάδα.

φύλλο χαptΙού, στο οποίο είναι σχεδια •

Α, Β,

C 6Υαι

μικρότrρες του π · 2, θα

έχουμε β> π. α< π και Ρ-

a < π. 12.

νιο α = β του τετρα γι;η'όΙΙ. Εnομι'Υως,

προβλήματα που η απάντησή τοιις

Πρόβλημα

6 . .. Ρίχνουμε•

n. Το οτην

Λς επιλέξου με τα τυχαία μας ση­

σμένο ένα ηλέγμα μοναδιαjωv ιε.φ<ι­

μεία σε δύο βήμα τα. Πρ~Ηn. ας rllι·

γ~>νω''· Ποια είναι η πιθανότητο Υα

Υrι(ιρχει και μια iιλλη, εηυπωσια­

λέξουμε τυχαία ιρεις διnμέιροιις.

κ(ιtαλήξει σι· 11πόσταση μικρότερη του

κά κομψή λί)()η ιιυτού του προβλήμα ·

Μετά. για κάθε διίιμrφ<) ιινεξiιρ ιηιη,

1/ 2 ιιπό

τος. που μας εrn ιρέπει νt> λ ύοουμε και t<> ανάλογο πρόβλημα ,,α π σιwεία

·ιιiχνοuμι· rνcι κέρμcι· κcιι ειιιλέyου .

•ο κέντρο ενός tι;τpογώνου; Αρκεί να θεωρήσουμε ένα μόνο

με tνα αιιό tn iικp<ι της Ι με πιθιιΥό ·

τετράγω,•ο. Τα σημεία οου βρίσκο ­

(δείτε την Άσκηση 9 στη συνέχεια ι. ~!ε

ιηιη ι

ηοι οε οιιόοταοη μικρότερη \0\J ι

ενημέρωση ν yι· ιιυιή ο φuοικός

ότι οι

I]

(ι]τούμενι} rιιθανόιιμιι είναι ι 14.

V. F'ok

και ο μαθιwατικός Υ. Chckanoν. Ας προσπαθήσουμε νιι ιιnολογίζοu •

με Ί.ι} ουμηλι]ρ<~μα ι1κή mθαΥότητα να εί,•αι τα τρία σημεία

cQu κύκλου κο ­

ρυφές ενός αι.ι{Jλιιyώvιου ιριγώνοιι.

!2 ιu κιιθέΥιιJ. 6 ακριβώς από

Ιοχuριζόμιιο rε

8

ειrιλογές

ωιό ιο κένφο -.:ου σχηματlζουΥ κύ ­

του δεύτερου βήματος μας δίνοιJ\' μια

κλο εμβ{ιδοίι π 14. Κrιι ιιυτή είναι η

·« μβλεία •

φιiιδιι Α,

τις

/2

8. r:.

απάντιισή μας: η ζητούμενη πιθανό­

Για να αποδείξουμε ιον ισχυρισμό μας. σχεδιάζουμε ιρεις διcιμέιροιις

τητα \ο λόyος του εμβαδού του κύ ­

κiιθr,ιες ιψος ιις διαμι'ιρους που εnι ·

νου) είνο1 π /4.

κλου rιρο<; ω εμβαδόν του cεφαγώ­

Για κάθε σημείο Μ του κύκλου

λέξιιμε οιο πρώ το βήμα. Χωρί<ουΥ

θεωρούμε το αηιδιαμετρικό ιου Μ'

ιον κίικλο σε έξι ιομrίς, ο καθtνn<;

Γοn ). Ένα επίπεδο είναι χωρισμένο σε

κηι

από τους οποίους r.ί\·ιιι η τομή κά •

λωρίδες που ορi<ονται από ευθείες

ποιωΥ αrιό ια ιρίcι ημικίικλιη

nou

nου αnέχοuν η μιιι αιι' την {ιλλη

• σε μια συyκεκριμrνιι

κατά 1. Ρίχνουμε ιuχcιία μια βελό''' Ι εuθυγραμμο φήμω μήκους 1 ο ω

ημικύκλιο ιου οποίου το τόξο

ro

διχοτομείται από w Μ'. Γlαρατηρού ­ με ότ.ι για κiιθr oιwεiu D αu cού ιοιι

• α ν11ο tο ι χουΥ

ιΙJ.ΙικuκλiιΗι η yω,•ία

επιλοyή των Α.

βλεία. Μιrι τριιiδα Α.

DOM είναι αμ­ Β. C είΥαι •·Cψ­

n και c.

ΕπομέΥως.

Πρόβλημα

7 ΙΗ βελόνα ιου Buf-

r·nirιcδo. Ποια εiΥαι η πιθανότητα Υα

βλι·iα•· <t\' κιιι μόνο αν δεν s:ίνrιι κενιi

υπiφχuυ\' 6 τρόποι εnιλοyής ιwικ11. κλίωΥ με μι} κενιj τομή και 6 φόιιοι

η τομiι των Ι}μικιιι<λiωv που αν τι ·

,.α επιλέξουμε μια •cψβλεία " φιiιδιι.

Το πρόβλιΙJΙα έχει μια ει<ηλΙJΙωκή

Τελικό, κιηαλήyουμε σε μια πιΟα ­

αοάντιιση: 2 / π. Αυτό ιο ωιοt!:λεομιι

στοιχούν στα οημείιι Λ, Β,

ωμέας <ΗΟ Σχιiμcι

C (ο

μιιλε

13). Πράγματι.

αν

Α

νόιι}ιη

6i8 = :3 i4

τέμ Υtι η βελόΥα μία από τις ευθείες:

yια rΥα αμβλυyώ­

προκάλεσε έναν καιcιιyιομό πειρcιμ(ι ­

νιο φίyωνο κοι η συ]Jnλφωμcιιική

Ηι)\" ιιfΗf r.iχfiγ οκοπό να εξακρ1βωθεi

ιηθιη•ότητ-α yια ένα οξυyώνιο τρίγω ­

ω· η θεωρία ουμφω,•εί με την πραγ· μα ιικό ι η τα. Μπορούμε νο το λ ύσου ·

νο είvrn

114.

μι: κιιι γιιι τη γε,·ικότερη περίπτωση.

ο αριθμός π στις ('

(~.

[1 ~ ,'-..ι..._....Λ ,

Σχήμα

34

13 ΜΑΡ1ΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

γεωμετρικές πιθαΥότητες

Κ(ιι(ι tJ}\' 0110iα η απόσταση μειαξύ των ευθειών eίνοι h και το μήκος της βελόνας είΥαι

l.

Υποθέτουμε

l

a την αrιόοcαοη

~ Ιι.

Σια ιιροβλήμα ι α μι: πι:περασμέγο πλήθος ι;Υ/Ίεχομένων. οι πιθανότητες

Συμβολίζου]Jε με

ιου

είναι κλίιομα ιιι, ΟUΥήθως μι κρcον

στερη ευθεία (Ο 5ιι ~ h /2) και με φ τη

ακερcιίων. Το ίδιο ισχύει και σe πολ· λ ή ηροβλ ήμcι ια ιων yεωμrτρικώΥ πι­

γωνία μειαξύ cιις βελόνας και της

θιινοcή t<•>Υ. Θα ολοκληρώσουμε το

νεται και

κtντρου tι}ς βελόνας από την αλφιέ­

ευθείας (Ο

S φ ~ πι 2 ι Τότε. όπως φαί • στο Σχι'ιμα 14. Ι} βελόνα ιέ-


μνrι μια ευθεία αν κοt μόνο αν

aS

(

2

ημφ.

τος, και επομένως ιοοiι ιοt με το λόγο αυτοiι του rμβοδού ιψος το εμβαδόν

Επιλέγουμr ιυχοία ένα σ ημείο ιιάνω

ολόκ ληρου ιου ορθογωνiου.

νου κiικ.\ου. Ιlοια cιναι η mθονότητα

Στφ• ηeριπτωσή μας, το εμβοδογ

σε μια δεδομένη δι(ιμεφο ενός δεδομέ­ η χορδή που διερχεται από αυτό

to ση­

ΟnοιοδήΙΙοιι: δυνατό ενδεχόμενο wυ

του καμπυλόγραμμου τραπεζίου που

μείο και ti\'Oι κάθετη προς τη διάμε­

nεψάμοτόc; μας περιyράφειαι από eνα

οχηματί(ειοι αοό την ημηογοειδή

τρο να εί,•αι μεyαλiιτερη οπό ιην ο κ ri-

σημείο ιου εmπέδου με ουΥιεrαyμέ ­

καμηuληισουτaι με

να; ιβι Εmλtγουμε tΙΙχαίο δύο σημείο

νες (ιι, φ) που βρίσκειαι στο εσωτερικό

<Ου ορθογωνίου ιο οποίο σχηματίζεται από τους άξονες Ι!:αι tΙς ευθείες

2

κ αι φ

a = hI

s, = J 2 ψφdφ

a = ((/2)ημφ αντι ­

ενός κiικλου και μια χορδή που διχο· ταμεfται αιιό αυτό. Ποια είναι η πιθιι­ νόιητα αυτή η χορδι\ να είναι μεγαλύ­

=2·

πάνω α πό την ευθεία ανηnροσωnεύ­

rοι με κάποια ευθεία. Το πρόβλημα τώρα μπορεί ,.α ανα­

με ένα ιυχοίο σημείο υ το εσωτερικό

(

προσωπεύουν ης ιομές, ε νώ όσο είναι

nειραμάtω'' όπου η βελόνα δεν τέμνε­

γαλύτερη οπό την ακτlνα; (γi θεωρού ­

=Μ( -οιιν% )-(-σwo)j

ι:ου ορθογωνίου που βρίσκονται κά ιω

ουν τα αnοτελέσμαια εκείνων των

το η χορδή που το tνω,·ει να είναι με­

"

=π /2 (Σχήμα 14). Τα σημεία

αnό την καμ11ύλη

σ' έναν κύκλο. Ποιο ειναι η πιθονόιη­

• 2(

u:ρη ο πό την ιικιίνο; ΣΗ.'Ι.Ε.ΙΩΣΗ: Αυτές

Αφού ιο εμβαδόν

S

του ορθογω­

νίου ισοiιιαι με πh / 4. καταλήyουμε σιηγ ηιθο,•όιηιιι

θανότητα η χορδή η οποία ορίζεται από μια τυχαίο ευθεία ποu τέμνει έναν

p = S1 !S=2tι πh

διατυπωθεί ωc: εξής: Εmλέyοuμε τυ­

οι τρεις ερωτήσεις είναι παραλλαγt<; ταυ εξής προβλήμαιος: ποιο είναι η m -

κύκλο \'Ο είναι μεγαλύτερη OJtό τη,·

χαία ένα οημε/ο rου ορθογωνίου

απ' όπου, )~ο

φ S π /2. θανόrηια να βριοκεrω κάιω anό rην

απάντησή μας. Τελειωνουμε με μια σειρα ασκή ­

οδηγούμασιε σε ιρεις διαφορεtιΚές

σεων, παρόμοιων με το προβλήματα

αΙΙανιήοεις: ιδι Απα,•τηοιε στο ίδιο

που εξετάσαμε στο όρθρο.

ερ6>ιημα γΙΟ χορ&ς με μήκος μεγαλύ ­

{0 s Ο S a S h / 2}. Ποια είvω η m-

ημιrονοtιδή καμπύλη

a = Ι(/2>ημφ;

Εδώ, ο όραc: .. wχαία• έχει το νόη ­

b • ( = I,

πρακύnτει η

ακτίνα του κύκλου; Επιλέγοηαc; tη'' ευθεία με φεις διαφορετικούς τρόπους.

ιερο από rJ3, οrιου r είναι η ακτίνα

μα ότι οΙΙαιτοiιμε να είναι ισοδύνα ­ μες όλες οι δυνατές θέσεις της βελό ­

Ασκήσει ς

νος. Υ11όρχουν αρκετοί τρόποι για να

ι. Ρίχνου με δύο φορcς έ Υα ζόρι.

ορίσουμε με ακρίβεια αυτό τον όρο. Ο

Ποια cίνω η JΙιθανότητα να φέρουμε

ενός τριγώνου ο' έναν δεδομένο κiι ­

aπλούστερος είναι Υα απαιτήσουμε όιι η πιθανόιηια να ον ήκει ένα ση­

(α) δύο αριθμοiις με άθροισ μα wυλά ­

κλο. Βρείrε την nιΟανότητα να είναι (α ) μια ιιιιό ιις γωνίες μεγαλύτερη

s φ s φ,.

ΟΙΙοiους ο ιιpώιος διαιρείται με τον

από

ιι,Ι ιφ1 - φ1 = a 1 = d ι δε­ δομένης πλευράς δεν εξαρτάιαι οπό

δεύτερο;

τερες οπό

τη θeοη του τετραγώνου μέσο στο

ση του λεωφορείου μια ιυχοiα χρα ­

7. Σ' έ,·α ευθiιγραμμο τμήμα εnι­

ορθογώ,•ιο (α\• και προφανώςεξαρtά­

''ική στιγμή. Ο επιβά>ης μπορεί να

λtγουμε τυχοιο δiιο σημεία. Ποια εί ­

ταt από το μήκος

d της πλευράς του).

εξυηηρειηθει από ιο λεωφορεία δύο

ναι η πιθανότητα να κατασκεuόζεται

rιο παράδειγμα, οι πιθανότητες \'(\. βρεθεί ένα σημείο οιο ιι:ιράyωνο Κ,

διαφορετικών γραμμώ,·. Το διάο ι:ημα

rρίγωνο αιιό ια τρίο μέρη στα οποία

μειαξυ ιων αφίξεων των λεωφο ­

και Κ, (Σχήμα 14) είναι ίσες. Εύκο ­

ρείων ιης ιιρώιης γρα μμής κω της

χωρίζουν το τμημα ιω τό ιο σημείο; 8. Ένα πλέyμα γραμμών χωρίζει

λα, λοιrιόν, μ ΙΙοροiιμε να συ μπερά­

δεiιτeρης γρα μμής είναt

ιο εnίΙΙεδο (α!

νουμε ότι οι πιθανότητο να ανήκει το

15 λεπι(ι 0\' ιίσ ιοιχο. Βρείτε την πι ­

ιοόΙΙλευρο τρίγωνα με μήκος 11λευ.

σημείο σε οrιο ιοδήποτe σχήμα μέσα

θανότιιτα ρ~ p(tι να περιμένει του ­

ο ιο εοω ιερικό του ορθογωνίου είναι

λάχιστον ι λεπτά. ( Υποθέιουμε ότι ο

ρcις I. 1\οιο ε ίναι η πιΟα νόιη ιο να καλυφθεί rνιις κόμβος του πλέγμα­

ανάλογη με το εμβαδόν του σχήμα -

nρογραμ μα ιιομ ός των δρομολογίων

• h

της κι\θr γραμμής εί,•οι ονεξάρτηως

μείο ο· έ''<l τετράγωνο {φ 1

a1 S a S

a. -

χιστον

2.

10· (β)

του κiικλου.

δiιο ιφιθμούς από τους

Ενας εmβοτης φιόνει στη σtά ­

10 λεmά

και

6.

Ειηλέγοuμc τυχαία τις κορυφές

30".

Ιβ> όλες οι γω,•ίες μεγαλύ­ (γ ) όλες οι γωνίες μι ­

30°,

κράτερες οιιό

120 .

ur τrιράγωνα. (β) σε

τος α πό έ'·α νόμ ισμα διαμέτρου ρίχνουμε στο ειιί11rδο;

2

από aυτό'' της άλλης. ι 3. Χωρίζουμε οε φία ίσο μέρη ένα

σπσιου οι κορυφές είναι

.1.. ._ __

ευθiιγρομμο ιμήμα. ·Ρίχγουμε · στη"

σημείο ενος κuκλου. Ποιο εί,·αι η

2

τύχη τρία σημεια πανω στο ευθύ ­

θανότητα το πο.\υγω,•ο ,.α nεριεχει

γραμμα τμήμα. Ποιο είναι η mθο,·ό­

ro

ιητο ''ο καιαλήξουγ σε φία διαφο ­ ρειικά μiρη του τμήματος;

ότι η ιηθονοrηιο ,.ο Ο\'ηκουν ιι τυ­

4. Επιλέγουμε στην τύχη ιέοσερο

ημισφαιριο ισιην ιδιο μεριο t\'ός εm ­ nεδου 110υ διέρχεται από το κένιρο

σημείο Α.

8, C. D ενός κύκλου.

Ποιο

είγαι η ι11Οaνότητιι να ιrμ,·ο,·ιαι τα ()

'Σχήμα 14

2!.. 2

φ

ειιθίιγραμμα ιμήματα AC και BD; 5. Το rιrrρι'ιδοξο ιου Bertra11d. (oJ

9. \Ο) Έστω rνιι

1 που

κυρ ιό 11-γωνο του

11

τυχαία

κεηρα ιου κυκ.\ου; Ιβl Αποδείξιε

χαιο σημειο μιας σφαίρας οτο ίδιο

ιης οφαιραςJ εΙ ναι ιn'-

n + 21 12•.

(ίJ

ΑΠΑΝΊ'Νl:Ι-:ιJ:, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΚΑΙ. I ΥΣΕΙΣ ΣΊΉ ΣΕΛ.

OUANTUM I ΑΡΘΡΟ

58

35


κιι «Οποιοσδήποτε θα συμφωνήσει χωρ/ς δυσκολία όπ η δεν ε/ναι ενάνπα στη θέληση της Αθηνάς, δεν Ι'Ω'ΓΗΜΛΤΛ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΗΝ κίνηση των υγρών και των αε­

.

ρίων ή την κίνηση διαφόρων σte·

.

.

,

ρεων σωμοτων μεοα σε ρευστα

(nρωτίοιωc; στο ''ερό και στον αι!ρο) μελετώνται οτο nλoimo ειδuιών αρ­

Χώ'' -της υδροδυναμικής και της αεροδυνομικης. Είναι λογηtό να δι­

δοσχόμαο~ οτο σχολείο και τους δύο κλάδους στον ίδιο κύκλο μαθημάτων (κάτω από τον τίτλο •μηχανuιή των

ρευοιών•), διότι ι'.χουν κοιγά χορα • κ τηριο ιικά.

Ο

Bornoulli διακήρυξε μια αλήθεια

ι ης φύσης: ότι αυτή η enιo tήμη δεν

είναι οπΜ ή τετριμμένη. Όοο γιο τη χρησιμότητά ι ης, ποιος θα rην αμφι. οβητήσει;, Από ιους aρχαίους χρό­ νους, οι άνθρωποι καταπιάστηκαν με τα rιροβλήματα ιηςροής του νερού σε αυλάκια και αγωγούς· κατασκεύα­

σαν μύλους που κινούνιαι με τον αέρα και το νερό· στους νεώτερους

χρόνους ενδιοφtρθηκαν για προβλή­ ματα που σχετiζο\'ται με ταξίδια πά ­ νω και κάτω από το νερό, μι!οα στην και οέρο οnό tην ατμόσφαιρα. Με τηγ πάροδο του χρόνου, οι προ.

κιικές ανάγκrς δημιούργησαν μεγα ­ λύτερες οηαιtήσεις στη θεωρία. προ· κειμι!νου να βρεθούν οι νόμοι που •ρυθμίζουν • την κίνηση των ρευ · στών. Ανάμεσα σ' αυ~ούς που στρο· τολογήθηκα ν γιο να λύσουν τα

ακόμη στις οιίγχρονες εφαρμογές.

1lροοποθήο τε

μόνοι σας να εφαρ­

μόσετε τους νόμους της κίνησης των ρευστών ο το ακόλουθα προβλήματα. Ερωτιjσιις και προβλήματα

ι . Μπορο\ιμε να ελέγξουμε τη" nιιητι'ΙΥpmη ενός αερόστατου θερμού αέρα χρησιμοποιώντας ηαγιά και πηδάλιο;

ταχύτατο περιστρεφόμενους άξονες των ανεμόμυλων;

9.

Με ποιον τρόιιο οι περιστρεφό­

μενοι κατακόρυφοι κύλινδροι του αλοίου που φαJνεται στο σχήμα κα­ τοφέρνουν να μeτοιuνούν το πλοίο;

10. Γιατί τα αλtξίπτωια tχουν μια τρύπα στη μι!ση της .σμπρι!λας• τους;

Ένα ελικόπτερο, σταματημι!νο αρχικά στο έδαφος. απογειώνεται και

2.

αιωρείται σε μικρό ύψος. Σε ποια από

τις δύο περιπτώσεις η δύναμη την οποίο ασκεί σιο έδαφος είναι μεγα­

λύτερη;

3.

Ιlώς καταφέρνει "α πετάει ένας

χαρταεr.ός; Γιατί χρειάζεται την ουρά; 4. Τι Οα 011μβεί αν φυσήξουμε ανάμεσα σε δύο αναμμένα κεριά που είναι τοηοθeτημtνα πλάι nλάι;

5.

Γιατί υιιό.ρχοuν αεροyωγοi σnς

~γες των σπιτιών;

6. Γιατί είναι

εnιιclνδυνο Υα στέ­

Α ν φυσήξουμe τη φλόγα ενός κεριού μtοα αοό το λοιμό ενός χω ­

11.

VΙού, η φλόγα θα κλίνει rφος το χωνί. Γιατί;

κεστε κοντά στην άκρη ιου κρη· οιδώματος ενός σιδηροδρομικού σταθμού όταν περνάει τ~ τρένο με μεγάλη ταχύτητα;

7. Αν

περιο φtφετε έναν αυ λακω.

τό σωλ~να (όπως τον εύκαμπτο σω­

λήνα της ηλεκτρικής σκούπας) πάνω από το κεφάλι σος, αυτός παράγει

έναν μουσικό ήχο. Γιατί;

8.

Σε τι χρησιμεύουν οι βαρείς

σφόνδυλοι που συνδέονται με τους

περίπλοκα προβλήματα της ρευστο­ μηχανικης ή-τον μερικά λαμπρά ο·

νάματα: Νεύτων,

Euler, Tbomson, Maxwell, Prandtl, Zhukovsky. Cha. plygin. Οι νόμοι της χίνηοης των ρευσιών διατυπώθηκαν ηερισσόιερο οπό

250 χρόνια πριν, από τον Daniel Bernoulli, στην περίφημη Υ/ψσδυνα •

μuaj

ιου (και αργότερα πήραν το

ονομά του), και χρησιμοποιούντ.αι

36

ΜΑΡΥΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

12.

Γιατί ο καπνός ενός τσιγάρου

οου είναι ακουμπισμeνο σ' ένα τα ­

σάιιι ορχικά ανυψώνεται ομοιόμορ­ φα και κατόπΙν με στροβιλισμούς; 13. Γιατί ro ρeύμα νερού που ρι!ει


,

σε των δwάμεων και των κινήσεων στα ρευστά, εφόσον ούτε άχρηστη ούτε επιπόλαιη.» ομοιόμορφα από

w

στόμιο μιας βρύ­

σης γίνεται λεnτότερο όσο αηομα­ ιφύνεται προς τα κάτω;

- Daniel Bemou/11 ...ο

διαπρεπής ολλανδός εmστήμο ­

νας κω μηχανικός

Simon

Stevίn,

γνωστός ως ένας από τους πατέρες

της υδροστατικής, κατόρθωσε να κα ­

Μtκροπεψαμαtισμοί Κολλiιστε την άκρη ενός κο μ μα­ τιού κλωστής σ' tvα μπαλάκι του mνγκ nονγκ. Κρεμάστε το μπαλάκι κοντά σε μια ανοιχτή βρύση αφήνο­ ντάς Ί'!> να ακουμπάει w ρεύμα wυ νερού. Προσοαθήστε στη σννeχεια να απομακρύνετε το μπολάκι οπό το

ρεύμα wυ νερού. rιατί φαiνεται το

...η

γών.

...ο

niδακαc; νερού ενός υδραυλι­

τασκεuάσει ένα aυτοκίνηw που για

κού εκσκαφέα που χρηοιμοποιείtαι

να ΙtΙνείται χρησιμοποιούσε πανιά. Το

στα μεταλλεία εκτινάσσεται με τόσο

επονομαζόμενο •θαύμα της Χάγης• ανέπτυσσε αξιόλογη ταχύτητα και

τρομακτική 1>αχύτητα, που μοιδζeι με

μπορούσε να μεταφtρει είκοσι εmβά­

φος και σχηματίζει τεράστια σύννε­

τες. Όηως ακριβώς και ένα ιοτιοφόρο ολοίο, μπορούσε να στρJψeι και να ΚΙ­

φα χώματος και νερού στον αέρα.

νήθει κόντρα στον άνεμο.

μmεσμένο ή αραιωμένο αέρα σ' ένα

βολή πυροβόλου· ανατινάζει το έδα­

_,δημιουργώντας περιοχές με α υ­

σωλήνα μπορούμε να μεταφέρουμε

μπολάιtΙ να κολλάει στο νερό; Είναι ενδιαφέρον όn

ιστούc; των κεραιών και στοuc; πύρ­ γους γεώφησηc; των οεφeλαιοπη·

φορτία κcιτά μήκος του. Αυτό το φαι­

νόμενο οδήγησε στην εφεύρεση του

...

δύναμη την οποία ασκεί ένα

•πνευματικού• ταχυδρομείου κατά τιc; αρχές του 20ού αιώνα. Η ίδια αρχή

ρεύμα νερού σ' ένα εμπόδιο που συ­

ναντά στο δρόμο του αυξάνει απόw­ μα με την ταχύτητα ροής. Έτσι, σχη­

χρησιμοποιήθηκε και στο σιδηρόδρο­ μο πεmεσμένου dέρο που λειτούργη­

ματίζονται τα φαράγΎJο, οι κοίτες

σε στη Νέα Υόρκη του

των ποταμών και οι κοιλάδες· γι'

...οι

1870.

τουρμnίvεc; είναι ένα παρά­

αυτό το λόγο, επίσης, διαβρώνονται οι

δειγμα τηc; πιο αποτελεοματι.κής ε­

όχθες των ποταμών και οι ακτές της

θάλασσας. Η πελώρια κλίμακα της

φαρμογής της συμπίεσης eνόc; υγρού ή αερίου. Σtlς μέρeς μας, όλοι οι σταθ ­

δράσης αυτών των δυνάμεων φαjνε­

μοί παραγωγής ενέργειας χρησιμο­

ται από το nοοό της λάσπης η οποία

ποιούν αεροτουρμπίνες ή τουρμnίνεc;

μεταφέρεται στη θάλασσα, που ονtρ­

...οι

άνθρωποι χρησιμοποιούν από

χεται σε εκατοντάδες χιλιάδες τό­

πολ!ά τα πλεονεκτήματα της κίνησης

με νερό· ο στροβιλοιt~νητήραc; είναι η ιuνητipια δύναμη της αεροναυπηγι­

νους ανά έwς.

των ηερισφεφόμενων σωμάτων στον

κής.

...τα έμβιο όντα υπακούουν στους

αtρα -ΎJα ΊΙαράδειγμα, το πέταγμα

...έχει υπολοΎJστεί ότι τα υπερηχη­

νόμους της υδροδυναμικής. rιa πα­

του μπούμερανγκ. ΩσΊ.όσο, μόνο

τικά αεροπλάνα είναι οικονομικό­

ράδειγμα, τα πουλιά που πετούν σε

πρόσφατα αξιοποιήθηκαν από τους αθλητές. Το αποτέλεσμα ήταν να

τερα για μεγάλες πτήσεις. Η ταχύτη­

νάμεις κατά τις αποδημίες σε μαιφι­ νούς τόπους. Έχει υπολογιστεί ότι τα

βελτιωθούν οι επιδόσεις στη δισκοβο­

12.000 km / b περίπου σε ύψος nτή­

λία, και οι ποδοσφαψιστέc; να δίνουν

σης

ψάρια που κολυμπούν σε αaρόμοιου

φάλτσο στην μπάλα για να διαγρά ­

σχήματος ομάδες αυξάνουν την α­ ντοχή τους περισσότερο οπό 100%.

ψει μια μακριά καμπύλη φοχιά.

ρετικών συνθηκών πtήσης και προ­ σγείωσηc;, τα εν λόγω αεροπλάνα

σχηματισμούς

V εξοικονομούν δυ­

36-50 km.

Εξαιτίας των διαφο­

ένα ρεύμα αtρα περνά

πρέπει να έχουν ειδικό σχήμα -τα

πλεονέκτημα της χρησιμο ­

γύρω από ένα σώμα, αναπτύσσονται

nοίησης του αέρα γιcι τις μεταφορές

στρόβιλοι. Οι στρόβιλοι αυτοί μπορεί

φτερά τουc; πρέπει να έχουν μετα­ βλητή γεωμετρία.

εnισημαiνεται από ένα αρχαίο κινέ ­

να υποχρεώσουν

ζικο ρητό: •Χίλιοι κωπηλάτες κω

ντωση, τόσο μεγάλου πλάτους, ώστε το σώμα να καταστροφεί. Αυτό συμ­

... το

δέκα χιλιάδες σταλίκια δεν aξίζουν όσο ένα πανί•.

... καθώc;

τα τέτοιων αεροπλάνων φτάνει ,;α

to

σώμα οε tπλά­

βαίνει στις κρεμαστές γέφυρες, στουc;

L. Leonovich ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Α ΥΣΕΙΣ Σ1Ή ΣΕΛ.

QUAHTUII / ΚΑΛΕΙΑΟΣΚΟΠΙΟ

58

37


ΑΝΑΔΡΑΣΗ

ο μύθος της κωδωνοειδΟύς καμπύλης Οι μαθητές είναι ικανότεροι απ' όσο πιστεύουμε

Paul Horwitz

LUC

ΜΑθΑΙΝΕΙ ΤΗ θΕΩΡΙΑ ΤΗΣ

σχε τικότητας του Αϊνοιίιιν. Χρησιμοποιώντας έναν υπολογt­ οτή, αυτός και οι συμμαθφ;ές

Για χάρη των νεώτ.qκ.,ν ιινιιγνωοιιdν μας, ιιρέπεJ να εξηyήοουμε τον tίιλο.

Η •Κ<•>δωνοε>δής καμπίι.\η .. οποτε.\εί " ' ' " - ' O'W αμψιλεγόμε,·ο βιβλίο Tl>e

του σw Λύκειο της Βοσtώνιjς έχουν

be/J

οργανώσει •νοητ.ικά nειράματα• τα

ra)' 0994 ),

οποία προσομοιώνουν αντικείμενα

που η ιαχύτηιά τους πλησιάζει αυ­ τήν του φωτός. Ί\ι παρατηρούν ο' ι'να σύστημα αναφοράς και ιιροσποθούν να φανταστούν πώς θα φαίνονταν σε

κάποιο άλλο -για παράδειγμα, από τ.ο παράθυρο ενός ΚΙ\'Ούμενου φέ­ νοu.

Μερικοί ισχυρίζονται ότι η ανθρώ ­

επιστρέψει νεώτερος από τον δίδυμο αδελφό του. Έχουv ακολουθήσει την ίδια διαδρομή, έχουν συναντήσει τις ίδιες aπογοητεύσεις και έχουν ξεπε­

Mur-

ράσει τα ίδια εμπόδια με κάθε άλλο

και ε.ί,•αι μια άλ.\η ονο ·

σπουδοστι'] που έχω παρακολουθήσει ---και έχουν προοδεύσει με τον ίδιο

cιιrve των

Herrnstein

κω

μcιοία της λεγόμενης ..κανον ι κής κα • ιιη• όμης... Α κωδωνοειδ ής καμηύλη

ήιαν κάno-ct ένα ιδιαίτερα διαδο;δομΙ:­ ''ο μέσο αξιολόγησιις ιης απόδοσ ης των μαθητώ''. Οι δάσκαλοι no\1 βαθ ­ μολοyούΟU\' •βόο&ι ιrις καμnlί.\ης• έδιγαν αηαρn ι τήτως στην πλειοψηφία tων μαΟηtώv μια μ&ση βαΟμολοyiα. χω σε ελάχιστους μαθηtές άριcrτους ή κι.ικοίις βιιθμούς.. Σιη\1 ιιραγματ-ικότη ·

rιερίηου ρυθμό. Εντούτοις, σχεδόν όλα τα μέλη της τάξης παρουοιάζουν σοβαρές ελλείψεις στην εκπαίδευσή τους, ειδικό σιο μαθημοιικά. Οι γνώ­ σεις τους για το δεκοδικό σύστιwα είνοι αποσπασματικές και συyκεχυ ­

μένες. Αριθμοί μεγαλύτεροι αnό ιο

fά rι κ(>>δώνοειδής. κcφnύλη κntιιδί ­

~νu εκατο μμύριο τους προκαλούν

πινη νοημοσύνη καθορlζετnι οε με­

καζε έ.να ΗΟΟΟΟιό tου ηληθυομού

είικολα σύγχuοη, και συναντούν τις

γάλο βαθμό από

..αποιυχicιο.

ζουν ότι οι

w DNA. Υποστηρί­ τιμtς του IQ αι1οtελούν

ot

μεγαλύτερες δυσκολίες στη δημιουρ­ γία ή την κατανόηση α11λών δια­

δείκτες μη μεταλλάξιμης γενετικί)ς

σουv σε ζωvτανές, αλληλοδραστικές

γραμμάτων. Δεν αποτελεί έκπληξη ιο

κληρονομιάς. Η εκπαίδευση, ουμιιε­

εΙΙιδεiξεις. Αρκετά συχΥά μοιάζει σαν

ότι αποδiδουv τόσο άσχημα στις εξε ­

ραiνουν, δεν παίζει κιl\•ένα ρόλο. Ο

να οιιόvε κι\ιιοιο αόραιο γοιμικό

τάσεις που χρησιμοποιεί η κοινωνία

κω οι φίλοι του αποδεικνύο υν

για να τους αξιολογήσει.

χωρίς τυμπανοκρουσίες ότι κάνουν

φράγμα κ(ιι να φιάνοuν εξαVΊλημέ ­ νοι στην ιίλλη πλευρά, κρατώνιος

λάθος.

σφιχτά στα χέρια μια vέα ιδέα. Το

θέσει αΙΠούς rους μαθητές σε σοβα­

Τους παρατηρώ εδώ και αρκετούς

χαμόγελό τους αυτές τις στι γμές σου

μήνες στα πλ<ιiσια ενός προγράμμα­

ελαφρώ"ει την καρδιά. Α11ιό tfi nοι ­

ρούς κινδύνους, ολλά η ούγχρογι) τεχνολογία , σε συνδυασμό με μια

ιος του Naιional Sciι,nce Fouodatίon (Εθ\'Ικό Ίδρυμο Ερευνών των ΗΠΑ)

διά tωΥ υποβαθμισμένων κέγιρων των πόλεων δεν χαμογελούν συχνά

ηου αποσκοπεί στη μελέτη της χρή­

στο σχολείο.

σης των υπολογιοvών στη διδοσκα­

σκει γεγονότα, αλλάζει κυριολεκτι ·

λiα των μαθηματικών και των φυσι ­

Παρακσλοuθώνt<ις εισαγωγικά μαθήματα φυσικής, τούτοι οι μαθη­

κών επιστημών. Τον περισσότερο

τέ~ -όλοι τους, εκwς από έναν, μαύ ­

σφέρει ένα ευέλικτο οπτικό μέσο με

καιρό δουλεύουν σε μ ικρές ομάδες

ροι ή αϊτινής καταγωγής- έχουν

χωρίς να δίνουν οημΜίο ο τους δα­

προχωρήσει σταθερά από απλά, κ α­

το οποίο μπορούν να κατασκευάσουν υποθετικά σενάρια, να προβληματι­

σκάλους κι εμένα. Δημιουργούν ει­

θημερινά rιροβλήματα στο περιβόητης

στούν πάνω σ' αυτό κο1 να ιο rρο·

κόνες στο μυαλό τους, προσπαθούν

δυσκολίας •παράδοξο των διδύμων•.

ποπο ιηοουν~ ωοtε να αηαντησουγ σε

να τις μεταδώσουν με ζωηρές χει ρο­

σύ μφωνο με το οποίο, αν κάποιος

εναλλακτικές υποθι'σεις. Ελεuθερώ­

νoμitc; KJ έn&Ιtα Χf)ηQιμοnοιούν τον υπολογιστή γtα να τις μετασχηματi-

αρχίσει να ιαξιδεύει με ταχύτη τα

νεJ την ικανότητ(ι τ.ους να ΟΊιέφτο~

που προσεyγίζει αυtήv του φωτός, θα

ν ιαι χωρίς να χρειάζε ιαι να κά ''ουν

Luc

38

MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

Χρόν ια εγκατάλειψης έχουν ε κ ­

νέο προσέγγιση της μάθησης, έχουν φέρει αξιόλογα αποτελέσματα. Ο υπολογιστής, οντί να τους διδά­ κά τον τρόπο σκέψης τους. Τους προ­

.

.

.


υπολογισμούς, νο κοιcιοκrιοc\ζοu,· χωρίς νο χρειiιζειιιι \'lt nrpιγρ(ιψΟΙΙ\'. νο οχεδιiι<οΙΙν χ<~ρiς νιι ιφέncι νιι

διατυπώσουν. Α ντομείβει την ·εξυ · πνάδο ιου δρόμου• κιιι όχι τις "\' ''ώ · σrις των βιβλίων•. Εi,•οι βολικό \'Ο πιστεύουμε όtι κάτι ιόοο σύνΟtιο και ιιολυδιόοιο­ το όσο η \'Οηnχή ιΚΟ\'όtηtΟ μπορεί \'0 αναχΟtι σ' tνα τακτοnοιημt"ο ού,·ο ­ λο αριθμών. Ταιριάζει με ιφ• εΟ,•ικη μας εμμονή αε ποοοτικοιιοιηοιμα

σιατιοτικα μεγtθη, t\•ώ 11aρ<ίλληλιι ΟΙΙΥΧ~Jj)rί τη" αδυ,·αμία μας ''0 εκ . rιιιιδtιiοουμf

,_. .s.re., Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΔ.Δ.οΝ1Σ o~-,

...ιaf

t\'O ιερόοηο και αυξιι •

γόμεvο ιμήμιι της ''εολιιίας μας. Δι· καιολογει τη δημιουργια φiλτρω,· με τη μορφή - αvτικeιμevικώ'' rξeιά­ σεωγ. που στεραύv την eλniδo οπό τους γιους και τις κόρες των φτω­ χώv. Ίσως, όμως, η οημαντικόιερη λειτουργία αυτης της οnοψης είναι ότι έτσι αποφεύγουμε αυιό rιou διιι ­ φορετικά θα γινόταν οβόστοχιιι υπο ­ ψία: ότι, αφού έχουμε κcιτολήξει \'Ο μην n ιοιεύου με δι ι όλοι οι όνθρωιισι γεννιού ,·τιιι ίσοι, Οι' ιουμε

or

κίνδιο ­

νο ιι11 ιiι κιιθ' ειιιοι(ι ω θι·μι'λι(Ι ιιις δημοκρατίας μας.

!Ιρι" από λίγες μέρες ρώηισα τον ιuc, ιιοu ηρόυφο ι α rμιιΟι· όιι η χιιμιι·

λ ή του βοθμολογία στις εξετάσεις Sι\Τ iσως έχει rκμηδε,•ίσει τις ηροοητικcς ωu για ανώτερι·ς οnοuδι'ς. γιο rιοιοuς λόγους του άρεσε το μάΟιιμcι της Σχc ­

tuιόtηιcις. Σκι'φιηκc γιο λfγο. κuι ύστrρο μr κοίταξε χομογελώ,•τας ντροπαλά. ·Μου αρεσcι rnειδη κα νου ­ μt nρόγμιιια ιιου αχrδό,· δr,· μποροί"· νcι κά\·οm• ούτε οι φοι ιηιtς.

·Κι αυτό πώς

or

κιt,·rι να οιοθό­

γtοαι:•. ιον ρώιηοο .

• .\Ιe κά,·ει ''α οισΟα,·ομοι ίξυ · Π\fC>ς,.•

Η αυτοπεποίθηση και η αυιοrκιι­

μηοη που κέρδισε ο

Luc αιιο

ι η'· rιιι­

ιuχία

rou σ· αuιό ιο μάθημα μπσρrι νcι μη\' (11Jοδtιχιού'· rπιιρκeις γιο ''" υπcρβrί ια ιραμερά tμnόδιιι

nou

θιι

οιινοηήοrι ΙΗη\' ιψοσπιίΟειά του ,.α γίνει ένας πιιριιγωyικος πολίτης σr μια οικονομία βοσιο11ένιι σιιι γνώση. Είναι όμως μια αρχή. (I; Ο

Paul Horwit z

είν<ιι rnισιιιμονικός

δtευθυ\οϊής 010 τμήμα tκπnιδcυτικώ,.

cr

Χ'·ολοyιώ" ιης Bolt Bcroι1ck οι1d 1\c,~·ιηιηι

lnc.. στο Καίμn~ιτζ της Μnποnχ~~ισtιrιις.

QUANTUM I ΑΝΑΑΡΑ.ΣΗ

39


....

=

· sa

μ,

••

"' ...

Η

~-------. ι'

ΣΤΑ ΠΕΔΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙ ΚΗΣ

Πεδία εστιασμού ((Μας αρέσει ν' aτενίζουμε τα σύνορα που δεν επιθυμούμε να περάσουμε» -Somυel

Arthur Elsenkraft

και

Johnson

Larry D. Kirkpatrick

!:λ ΙΣΧΥΟΥΝ ΓΙΑ ηι ΔΥ?\ΛΜΗ

Για ιο μέτρο της δύΥαμης Loreπtz

Loreπtz

εκn1ηιαικά.

μnορουμt να γρόψουμε ψΒ= mv' R.

οrι εχrι αrιωλrιες ορμής ι εξ αυτού και η σπειροrιδής τροχιά Ι λόγω της αλλη ­

Όιαν μιλαμc για δυ,·άμεις, συ ­

Μετά ιη,· nnλσποιηση προκύπτει η

λειιjδριιοης ιου με

νήθως φανταζόμαστε ένα σώμα

σχέση 110υ συνδέεΙ την ορμή του σω ­

υγρό υδρογόνο του θαλάμου. Από το

να σπρώχνει ή ''" τραβά ενα άλλο. Μαλιοιιι Οεωρrίιαι αυτονόητο πως ιο

ματιδίου με το φορτ!ο ιοιι. to μαyνη­ ιικό πεδiο καΙ rην ακτί,•α ι ης κυκλ•­

yεyοΥος όtι το ηλrκ ιρόν10 διογράψεΙ κυκλικη ιροχιά με φορά α,•τίθετη

τράβηγμα ή ιο σπρώξιμο γίνεται στη

ΚΙ}ς φοχιίtς:

αυτιίς ιων δc1κι~ιν ιου ρολογιού, εί­

είναι

διεύθυνση που συνδέει ι.ο δύο σώμα­ το. Αλλ(; τούτο &εν ισχύει οιην πε­

ι11v

10

υπέρθερμο

ναι φανερό όιι μ11ορuύμε να βρούμε

= qBR.

""' ιη φορό του εξωτερικού μαγνη ­

ρίιηωοη της δύναμης Lore ntz. Ένα

Είναι rιλήθεια ότι τα σωμαιίδιιι μέοα

οωμαιίδ;ο που κ;νείται μέσα σε μα­

οιο κύκλοτρο, όπως και οιοuς ι'ιλλuυς

Με ιιιιρόμοιrς αναλύσεις μπορού­

γνητ;κό neδίο δέχετα Ι από αυτό δύ­

εrιηuχυνι~ς. κινούνιοι με εξαιρεnκά

με να υrιολογίζουμε τι ς ορμές και

ναμη σε διεύθυνση που είναι κάθεcη

υψηλές ταχύτητες. γι' αυτό πρέπεΙ

άλλων οωμα ιιδίω\', αλλά καΙ να α­

ιόσο σιην ιαχυιητα του σωμαnδίου

οιη Οέοη της ορμής του σωματιδίου

νακαλυ11ιουμr νfιι σωματίδιο καθώς

όσο και στο μαγνηnκό πεδίο. Εάν ιο

,.α χρησιμοιιοιού

ολληλεΙΙJδρού'· με ηδη Υ''ωοtά. Ένα

σωματίδιο κινείιαι παρόλληλα σ1ο

ορμη του mι•

Ι

r

ι

- ,,•

αχετικισnκή

c'.

πεδίο, ιόιε &ε,• δέχεταΙ δύναμη απ'

Σιο Σχημο I απtικο­

αυτό. Α ν το ο ω μα Ι ίδιο nαραμέ,·ει

,·!ζο,οται οι τροχιές δια­

ακίνηιο μtοα οιο πεδίο, nά1ι δεΥ δέ­

φόρω'' ο ωμα τιδίων ό­

χεται δύΥαμη. Τέλος, α'' ιο σωματί­

πως κο ιιιγριiφοηαι σ'

διο δεν είνα ι φοριιομένο, και πάλι

ένα θάλαμο φυσαλίδων.

δεν δέχεται δύναμη αιιό το μαγνητι­

Το ηλrκ ιρόνιο είνω ιο

κό πεδίο. Μπορούμε να εκφράσουμε

μόνο

μαθημnιικό ιι1 δύναμη

μrιοιιεί

του τύπου δύναμη,

Lorentz μέσ~;

F =qν χ Β. όπου F είναι η

q το

σωματίδιο να

οοράδειγμ<ι !!Ολλαnλω\' ανακλά-

.

Ή

.

ομf,·ου μεγέθους του

<_. ~;,_..,,

11

ι110 σημαντική εφαρμοyή της

θαλαμου. διαγράφουν απλώς κυκλικά ιόξο. Ε'•τοοί(ο,. ι ας τη διο­ δρομή

οιον έλεγχο δεσμών φοpησμένω''

ηλεκ ιρονiου, μπορουμε

σωματΙδίων. Στο κύκλοτρο, το μα­

να υπολογίοουμr την

γνητικό πεδίο u!!οχpεώνε• τα οωμο­ tίδια να εκ ιελούν κυκλική τροχιά .

ιιρχ1κή ορμή του αλλά

MAPfiOI I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

.

-

. .

_.. : !' '':"' .

:

_ κοι ι<ι μεσόνια, εξαιτίας.,._.-_;iSr~λ ιης μεγάλης ορμής Ιους ...: αλλό και του ηεριορι;--.

ηιιροπάνω μαγνητικής δύ,·αμης είναι

40

·~

έ\•ον ι1λι)ρι] κύκλο μtσιι Το πρωιόνιιι. τα πΙόνΙα

διόνυομσ ιου μαγνητικού πεδίου.

.. ·.

.,.

ν Ι] ωχύτητά του, και Β to μαγνητι­ κό ιιeδίο. Σιον τύπο εμφανίζεται ιο

διάνυσμα ιης Ιαχύτητας όσο και οιο

. ..

διαγράψε Ι

σε Οάλομο φυοιιλiδων.

οποίο απλά σημαίνεΙ όη το διόΥυσμο Ιη<; δύναμης είναι κάθετο τόσο οιο

ποιι

φορτίο ιου σωματιδίου.

εξωτερικό γινόμε,·ο του ν με το Β, το

τικού πεδίου .

κίν ησης

ενός

κιιι νιι δΙαπιστ,ώσουμε

.-.

..

. - . ...

__;..-.-:

... . -"

...

_;~

,

.. Σχιlμα 1

....... ..· .. .. .. •

'

-. . ·•

ι

,•

·-τ;· ~-


Πρωτάθλημα

· \ '..

d =γι' 2 =

μηόουλινyι

ι..\ r\

Λ. Όπως και σιφ·

.\

1

I

rιrρίιιιωοη της μπάλος ιου

,

':':---+'--...,.l!f;j-.---;,1-f\:

μπόουλι,•γκ.

Δ.

η

ΚΕ• = 2ι θω'Β Ε .!. mr'ω'. 4 Ο

. ο ιο'• κύ."'ιν ' ... οσκειtοι

' '\

δρο είναι η ιριβή ολι­

11

σθησεως

ατροψικίι:

τ

l:ύμφωνα τερο νόμο να ιοχίιι;ι

"

τ,,. =

= nmg. μr ιΟ\' δεύ • ιου Νεύτω • '''

ι;ολική ci,•aι μεταφορική και περι­

Κε,= ~ιιιυ 2 +~Θω', με υ = ιχ~. Έτσι.

rny = nntg,

1 Κ.Ε' • 1ωr"'ω' = - - mr'ω2 4 12 •.

ΟΙΙόιι· η γραμμική εΠΙ­ ιάχΙΙνΙΙη του κυλί,·­

. ..

δρου rίναι

"'-<

Σχήμα

σεω''· που μπορούμε \'α α\·α.\ύοου­ με. φσί,•ειοι οιο Σχημο 2. Το προβλημο nυιοu ιου μήνα προ­ ι'ρχrιιιι οιιό ιην 8η Διεθνή Ολυμπιά ­ δα Φυοικής, την οποία φιλοi,ένησε ιο

1975

οπότε η μεταβολη της κινη11κής ε­

y=

2

ιιρχικη κι\•ηηκή rνέρyειο ει ·

''οι μο,·ο nερισ ιροφική:

ο υ νολι κ ή δ υ να μ η που

'.

11

,·εργειας tίναι

πg.

ΔΚΕ •

Εnιπ.\έο''· η τριβή ολισθήσεως "''nιJtυσσει ροπή Μ

=

Τ,, r ως 11ρος τον κεντρικό άξονα του ιιυλί,·δρου, οπότε σύμφωνα με

--I 6

• •

mr-ω;.

Το (ητουμrνο ιιλιίομα ισου ιαι με

2 13.

to"

Ε. Σύμφωνα με το θrώρημα έρ ­

δεύ ιrρο ''όμο ιου Νriιτωνα για τ ψ

yοΙΙ-μετοβολης της κινηιικήc; ενtρ· γειας. ιι μηαβολή ιης κη•ητικής ε­

ιιrριοψοφική κίνηση ιιιχύει

η Ανοιολική rrρμανίο. Μας

Μ = Θιι =-Τ"'''= -rnnιg,

νέργειας του κυλί,·δρου ισούται με

ζηιόει νιι βρούμε ένα μαγνητικό πε­ δίο που ''α μπορεί ''" εο τι όζει φορn­

με Θ = 1111J / ~.Βρίσκουμε, λοιπόν, όο

γιο νο u ιιολογίσουμε α~ιιό το έργο,

ομένο οωμιηiδια.

η yωνιιική rιιιιιίχυνοη rίναι

rιρέιιει να λάβουμε υ11όψη μας μόγο

Όμοιο ιόντα μάζας DJ, φορτίου και ταχύιηιος

v

q

31. Ένα

ομογενές μα .

\Ύψιχό πεδίο Β. κάθr το ατο επίπεδο

ι·

ΡΣ

=2Β ιιιιό το Ρ. Οι τροχιές των ιό·

ηω'' rίνω συμμεψικι'ς ως προς ιον άξονα που αιιοιrλrι μεσοκάθeτο στο

οιαση που διέ,•υοε . llρ<ι<; τού ιο. ας

Από τις εξισώοrις μεταφορικής και περιστροφικής κί,·ηοης

ι ης σελίδας. εσιιόζει τα ιόηο σ· έ,·α οημειο Σ που βρίοκειοι οε απόσταση

κύλινδρος ιιαι όχι ιη γραμμική από­

ο =--.

σημείο Ρ προς διάφορες κοτευθύν ­ σεις ! Σχήμα

ιιιν απόο tασ η σ ι ην οιιοία ολίσθησε ο

2ng

εκιοξεύοντοι οπό

υ

το έργο που ιιαρόγrι η τριβή. Αλλά

υηολογιοουμr ιη συ\'ολιιιή γωΥία

που διαγράφει ο κυλι,·δρος έως όιου

=υ. + ιοt =ngι

nαψει ''α ολισθοινει:

και

ω

=

ω~,~=

nt

= ω,1 -

t =- ωt =

....

2ιιgt

r

2

Ο= ω

3 •

2rω' • 91!1( .

Εάν ο ιιυλιΥδρος δcν ολίοθαιΥε, αυτή

ΡΣ. Βρtιτε τα σύνορα του μαγνητι­

και ιη ου,•θήκη για κύλιση χωρίς

η γωνίο θιι tl\' 110 ιοιχούοε σε γραμ .

κού πεδίου.

ολίοθφη, υ = ωι·, μπορούμε ,.α υnο­

μ ική αnόστοοιι

λοyίοουμc ιον ζηιούμrνο χρόνο:

οποfα ολiοΟηοr ο κύλινδρος είνιιι

l:ιείλιε ιις λύσεις σας ο ιη διε~υν· ση του ελληνικού Qιιantuιn έως τις Απριλίου

1996.

10

Κάποιοι από σος θο

ΙJgt

=ι·ω, - 2111(1, ι·ω

κερδίσουν βιβλία.

t = --fL , :JΙJg

••

ο

οι

ο

ο

ο

ο

ο

ο

Β. ΛνΙΙκοθιστώνιας οι ην εξίσωση

..' .

ιης ιοχύιητας

..

v =ngt =

'

ο 1 ο_.......... I' R I ~

ν~ Ρ

Σχήμα

42

ιι

I

3 rω6 ,

δρου ιη οιιγμή που παύει ' '" ολι ­ )'

~

3 ΜΑΡΤΙΟΙ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

οπόσtαση στ;ην

cικριβ~>ς η δι cιφορά μεταξiι ι ης ου· γκειιριμι'νης οnόοιασηι; (ι·θ) και της

.

'

.

nραγμαιικης γραμμικης nποοτασης

που διrνυσε

!dJ:

2 Ι ) rlω~ r·ιω~ - (--- .:.,..::!!, ·'• - 9 18 ng - 6ng ·

d

βριοκουμt ι η'' ιιιχύτητα του κυ.\ί,· ­ ο

rO. 11

σθαίνει κοι μό"ο κuλιεται .

Εnομι ,·ως. ιο ίρyο που παράγει η

τριβη ισού ιοι μr ι

2 2 \V =-T l fd..ι =-'l"' 6 nιr ω0 ~

r.'!'ην οιιόστασηστην οποία ουμβιιi­

το οποίο εινω ίσο μr ι η μεταβολή της

νει ου ιiο μπορούμε να την ωιολογiοου • με με διόφφους φόιιοιις.. ετσι. π.χ.,

κινηιικης ενέργειας, nοιι ΙJπολογi ­

σαμε ο ω προιιγοiιμενο ερώιημα. (j)


ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠίΝΑΚΑ

I

Η διακρίνουσα εν δράσει Ένα βασικό εργαλείο για τη στοιχειώδη άλγεβρα

Andrey Yegorov

ΟΛΛΑ Af!O ΤΑ ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

μα απ' όπου προκύπτει αμέσως ιι

λύσουμε τ.ην πρώτη από τις εξισώσεις

που θα δείτε στη σuνέχεια μπο ­

απάντηση. Δεν είναι όμως είικολο να

ως προς χ. Η διακρίνουοά tι]ς ισού­

ρούν να φέρουν σε πλφη α μη·

σκεφτοίιμε αυτό το μετασχηματισμό.

ται με

n

χανία

κάποιον

ακατάρτιστο

Ας δοκιμάσουμε, λοιπόν, μια δια ­

σπουδαστή.' Ωστόσο, είναι δυνατόν

φορετική nροσέyyισq. Ας θεωρήσου·

να λυθοίιν με τη χpησιμοποίηση ορι­

με -ιιJ δεδομένη εξίσωση ως δευ-ιερο­

Άρα, πραyμα~ική λίιση υπάρχει μόνο

σμένων εντυπωσιακά απλών ιδεών.

βάθμια εξίσωση τ.ου χ με συ,•τελεστές

θα προσπαθήσω να δείξω το μεγάλο

που εξαρtώνιαι από το y :

όοαν ,Υ = 3. Ανtικαθιστώνtας στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε χ = 2. Το

ιιλήθος πληροφ<>ριών που μπορούμε

5r - 2(y + Ι>χ + 2y - z5• + ι = ο.

να αποσπάσουμε από τις πασίγνω­

Δ = -4(y - 3)2.

μόνο που μένει πλέον είνω να εrια­

ληθεύσουμε ότι η

(2, 3)

ικανοποιεί

σ-ιες συνθήκες ίιrιαρξης πραγμα-ιι ­ κών λύσεων των δευτεροβάθμιων

Για γα έχει πραγματικές λύσεις αυτή η εξίσωση, πρέπει γα είναι μη αρνη­

Στο επόμενο nρόβλιιμα, οι άγνω­

εξισώσεων και ανισώσεων. (Σ' αυτό

τική η διακρlγουοό της Δ. Ας την

στοι είναι περισσότεροι από τις εξι­

άρθρο δεν θα θεωρήσουμε μιyαδι· κές λ ίισεις.)

υπολογίσουμε -ή, καλίιτερα. ας υ­

σώσεις.

w

πολοyiσουμε την Δ /4, που είναι ευ­ κολότερο οιην προκειμένι1 περίπτω­

Εξισώσεις και σuστιφατα

ση:

Η κύρια ιδέα που κρύβε-ιαι πίσω

~ = <y+ι>'-sι2r - 2γ+1)

από τη μέθοδο την οποία θα χpησιμο­ ποιήσουμε στη συνέχεια παρουσιάζε· ται στο επόμενο παράδειγμα. Πρόβλημα

1. Λίιστε

= -9r + ι2χ - 4

=- (3)' -

την εξίσωση

5r - 2xy + 2y - 2χ - 2y + 1 = ο.

τικά, Δ

χεροί ώστε να σκεφτείτε να γράψετε

χ ~

αυτή την εξίσωση με τη μορφή

Τότε, εξισώνοντας και τους δύο ό­ ρους του αριστερού μέλους με το Ο,

θα πάρετε ένα απλό γρομμικό σίισιηl. Κω αυιός ακριβώς ήιαν ο σκοπός των δη· μJουργώ,· τουc;. Τα m:ρJσοόuρο από το nρc:jlλή­

ματα αυτού του όρθρου προf.ρχQ\'t(ιι <ιnό tις ει­ σαγωγικές εξετόσε1ς σε διάφQρΟ nα"·εmσtήμJα και σχολείο της Μόοχας, Οι ανα\'νώσtες μας

n κα­

λοίη\αJ \'Ο Ο\''tΊμ&tωπίζουν οι ρώοοι μαθηtές!

44

ΜΑΡτJΟΙ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

-2(γ+1)

5

1

= 3.

Λύστε το σύστημα

τωγ εξισώσεων

{

χ+ χ + 2' = .J3. χ 2 + y 2 + z' = 1.

σει τωγ .Υ και

z, aντικαθιστούμε στιι

παiρ,•ουμε:

y 2 +(z-./3)y+z 2 -

J3z+ 1= 0.

(1 /3, 2/3).

Έχουμε καταλήξει σε μια δευ-ιερο­

Και τώρα, ένα πρόβλημα με σύ­

βάθμια εξίοωοη ως προς y με συvτε· λεστές που εξαρτώγται από το z.

στημα δίιο εξισώσεων. Πρόβλημα 2. Λύστε το σύστιιμα

{

3.

δεύ·τερη, και έπεηα από τις πράξεις

Επομένως. η απάντηση είναι

(χ + y - Η' + (2χ - y )2 = Ο.

μπορούν έ'\οι να nάρο\1\• μια ιδέα yια τ<ι

= 2/ 3 (διαφορε •

< 0). Τότε,

Λύση. Μπορεί να είστε αρκετά ιν·

Πρόβλημα

Λύση. Με τη βοήθεια της πρώτης εξίσωσης εκφράζουμε το χ συναρτή­

2

2) •

Έπεtαι άμεσα ότι γ

και τιι δεύτερη εξίσωση.

χ2 - 2xy +2y 2 + 2χ- Βχ+ 10 =Ο, 2χ 2

- 1xy +3)' 2 + 13χ -4)'-7 =Ο.

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσά της:

=

Δ= -3z2 + 2./3z - 1 -'. ./3z - 1)2• Έπεται ότι

z = 1/ ,/3.

Με λίγες ιιρά­

ξεις ακόμη μπορούμε να βροίιμε επί­

Αύση. Είναι δύσκολο να αντιμε­

σης ότι χ = y= 11./3. Αυτό ιο yεyo·

τωπίσουμε ου ιό το πρόβλημα με τις

νός, όμως, είναι φανερό λόγω ιιις

συνηθισμένες μεθόδους. Ας κάγου •

συμμετρίας του προβλήματος και του

με, λοιπό''• ό,τι και προηγουμένως: ας

μονοσήμαγτου τιις τιμής του

z.


Πρόβλ ημα 4. Λυστε την rιίσωση συ\".Υ+ συ\',1" - OU\'I.Y- ,1'1 :

ίUJ t 2:~2~~·- ιι~ t i3ιι .. 2•.\·1 +(4 6aιy• 2 =-0.

rι· αυτη τη•· εξίσωση, ri••αι

3 2.

-4 = a•8- 2 κ.ι· + ΙΙ'.

οιους ιριγωvομcτρικούς τύπους για

<: Ο. b ~ Ο. c :!: Ο.

,\υοη. Λ•·ιικαθιοιούμc ω

J8

με t:

6Γ-ι5 ,'b . ; ,';ιι + 4b• 6e - 3& ~0.

,}

Χρησιμοnοιώηας τους πολύ γΥω·

όrιοu ιι

Υπολοyιζουμr ιη διnκρi••ουοα του

2ι:!: Ο, ιόιε η εξίσωση

δε υ τεροβάΟμΙου πολ υωγύμου ιου ι

Ηι OU\'tι + UU\'P και ουν2tι~ κατ-αλή­

ι\ ν ιώρο aι ιι

γουμε στη•· επόμενη μορφή της εξί ·

ως προς χ θα έχει ιουλάχισιον μία

στο αριστερό μέλος:

οωσης:

λυση, yια καΟε

15 Jb + 7 JC Ι'- 24!4 Ιι + 5c- 3JbC Ι

.v. Λρο, α•• τη θεωρή·

σου με rξiσωοΙJ ως προς χ κοι

)',

έχει

άπεφο πλήθος λύσrω••. ι\ ν, όμως, ιιω - 2ι <Ο. τότε η μοναδικη δυ•·οιή ιψή ή

41 - 4( oυv'"~·"}+t =0.

ιοu .Υ cίν01 Ι).''= - 1 κα ι η μονοδ1κή

Λ υ ιό μας δciχνει όι ι ι} δcδομένιι α γι ·

ανιίσιοιχΙJ ιιμΙi ιου χ rίνcιι χ~

σότητιι ιοχύι· ι κοι όιι μrιιιφι'ηcιcιι σε

Έιοι. 11 ωι/1\' ιι)οι1 ri•·ι11 Ο< ιt <

2

όπου ι = συν!<.~+ .vΙ/21. Λπό τη συv·

ισότητα μό,·ο όιιιν ι1 =

2.

ΠρόβλΙW«

a

θυμηθι·Ιιr όιι

-J)~ 0,

3.

Ανισότητες

ΟίJκη επιλυσιμότητας προκύπτει

~ = 4(uυ\.J .~;,Ι'

a.~·

Ιόπου

s > ΟΙ

11

αληθεύει \10 κάθε χ α••

rνώ

11

1

-

ψ(' ια 1 ως εξ ης;

4Ac ~ 0.

ιι.-.: 2 +.Υ + 2 < 3.τ ' + 3.

{ ..

:1.ν ι • IJx ... ι' < U

υ υ ο ιίJμuια rξιοώοεων:

+I

ιοχυcι yιο καΟε χ : • \υση. Η δεδομένη ονιοόιηια γρό •

nνιοοιι]ιο

Τωριι ιο ηιιόβλημιι ιινι'ιγειηι οε δύο

ηοιrς ιιμές ιου

a.\'2 +χ + 2 - 1< ' <3

+ b-. + c ~ Ο

..\ =b

8. !Ίο

b = c.

η αΥισοτητα

α•·ισόιητο

και μονο α"

και rπομr•·ως

~ - 711$ - .Γc ι' s Ο.

α Υ1

+ χ + 2 > χι. - 1.

ι'χι·ι λίιοη \γιο ιι >ΟΙ ιιν κοι μόνο ον οιl\·

συν

Χ- Υ

2

· • I, ή

χ+ γ

ι

2

2

· =

συν

οuν

χ - γ

ι

· = - 1.

3•

2ι k

n•:ι:• ..m

Η πρώτιι που γράφfτω (ιι - 3Ιχ' + χ

ι'χι·ι δύι> διιιφορcιικf<; ιιριιγμο ιικές

- 1 <Ο. Ισχύει για κάθε .~ όtΟ\' a - 3 <Ο κιιι ιιιυ ιόχρονα 11 διακρίγουοn Δ = ι + 4\U- 3! 411 - 11 είναι αρνηη · κή -δηλαδιJ. όιαν

χ+'"

ι

ρίζες -δηλαδή, όταν Δ > Ο. [( λυση t0\1 επόμενου προβλήμα ­

2

2

ιος. ιιοu tiναι fipKft(Ί γνωσιό, μας

·

ιι11 · ό11ου οδηγούμαστε γρηγορα στις rπόμrνι·ς σrιpι·ς λυσr~"· ι .τ. _Ι't Ι±."t

η ιιν ιiο ω ι χ η rξίοωιιη ιΒ' + bx + c = Ο

3 "'2 k- n ~~.

προσφέρει ένα καλό παράδειγμα ε­ φαρμοyης αυτών τω•· ιδιοιήιω•· τωΥ Πρόβλ ημα

6.

Anoδtiξu: rη,· αη ·

όιιοu :ι. τvχοιοι nκt;f>cΙHH.

Πρόβλιwα

5.

Ι"ια ηοιες τιμές τιJς

παραμέφου α υπάρχεΙ ένα μοναδικό ζεύγος ιιρογμαοκώΥ αριθμών <χ .''Ι

]), c

ή. ότο••

ι ιJ χιι ίιη ιφιι γ μα ιικοi

η rξιοωοη γiνrιnι

ΠαρόμοΙα, από ι η

δεύτερη ανισότητα ηαίρ•·ουμc a > -Ι 3, και cιιομέ••ως. oe συνδυασμό

3<n<ll i1.

a

ιιι ως ιιρος ο:

ι b + c!a +

Δ ισούται με

cΙ'. Αφού δι·ν fl\'(11 rιοιέ θειι· ιti). η '"'ιοόιι1ιa ισχύει γιο κάθε a. b. Ειιιιι.\ι'ον, ιιαpιιιφουμr όιι

..\

Πρόβληιια 9. Βρι·ίιr. ιις ιιμέ<; ιου ' ' για τις οrιοιες η ιιν ι σοτηιιι

13 ημ'χ + 2a ημχο11ν χ + ι>ΙΙ\'"χ + n Ι ,; 3

b' + c' - bc <: Ο.

-3!b c.

:.ι_~·· + 4)' + :2 =ο.

a < 11 4.

Λυuη. Ξtl\'tιγρ(ιφου με τη δεδομέ­ νη σχrση ως δευτεροβάθμΙα ανιοότη·

Η διιικρfνουοiι ιης = Ο

4

με το πρώτο αποτέλεσμα, έχουμε: -

a' a

I\ 8 <-.

ιιριθμοί.

ΠΟV ΙΚ(t\ο"ΟΙΙΟΙf'ί ιη\' f•ξίοωοη

ιlυοη. Ιlαροτηρούμε όt1 για

α < 3.

σόιηιο

u' + tl + c' <: ab .. bc + ca. k, n

{

δrιιιtροβάθμιω•· ο•·ιοοιήιων.

και

όπου

=

ισχύη γιο κάΟε χ. .\ύοη. ΠρΙ\' εφαρμόσουμε τη μέ · θοδό μας nρι'πrι •·α μrτασχημοηοου • με κο ια.\.\η\ο ι φ· η•·ιοοιηια.

λ\' συ' Χ ~

noip\•tι tη μορφή J8

_.. = -1.

μσ•·ο όtα'' b • c, επομt•·ωι; η ι()(\ιηιο ισχυcι μο••ο οιον 11 = h = c.

Επομένως. σε αυτή την περίmωση

Το επόμενο πρόβλημο εί•·α1 παρό­

κάθε ζευγος ι χ. - ι 1 είναι λύση. οπό. ιε η ιιμή a = Ο δrν ικανοιιοιεί ιη ου Υ·

μοιο. αλλά λίyο δυσκολότερο. Πρόβλιwα 7. Λπο&·ίξτι· ιψ rt\'Ι·

Οιiκη ιου ιφοβλιίματος.

σότητα

μrλη ιης ονιοόιηιος μc ου•· 2.ν και

Για α " Ο, ι1 δεδομένη εξίοωοιJ εi . νω δ~ υ ιφοβc\Αμιιι ως προς χ:

6"+4b+5c :!: 5.Jιιb +7!ϊίC +3./bc,

κιίνουμ•· ι ην ονιικοιιΊο ιοοη εφχ = ι.

που ι'χει ι η μο•·αδικη λυοη

0,

Επομένως, 01 κατάλληλες ιιμrς ιου 8 ΙΙrριοριζοηαι σιο διάστη­

- 31 S 3. μα -

6 s; α S Ο.

ι\ ν ου ν.< χ Ο. διοιρουμc και ια δύο

Αφού 1 'συν'.~ • Ι + εφ'χ, προκύπτει

QUAtHUM / ΠΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ I

45


Ita + 3Ιt

2

+ 2at + a + Ι Ι

+ ι7 1.

s 30

Λυτ.ή η ανισότητα πρέπει να ισχύει γ ια κiιθε ι. Είνα ι ιοοδύγuμη με ιο

ζεύγος εων (1\· ιοοιήιων

jlλιίμιιιη nuυ είνιιι κάιιως δυοιωλό ­

στο οροη γούμενο. αν και εmφανεια ·

τερ α.

κιi μοιιiζει διnφορειικό.

Πρόβλημα 11. Βρείτε τψ ελάχι • ' ι ης οuvnιηηοιι<; ' οι.η ι ιμ η

κιΊθι; t <η' a = Ο. Τ&λος, όπως κnJ

a "Ο

ηρέιιει να

γράψουμε κοι να επιλύσουμι· ως προς

a τις

συνθήκες που είνα ι

ono ·

ρα!τητο να ισχύουν ώστε να είγω αρνηηκές ιi μηδενικές οι αηίστοιχες

δι<lκρίγουσες. Η

-12 /5

απάντηση είναι

s a s Ο.

και κάνουμε την

.

'

.,

κει στο πεδίο τιμών μιας συνάρτηοη<;

ιιου διαφέρει ο πό το πρόβλημα

μό,·ο ω<; ιιρος cους αριθμι}τικούς συ­

πόλι τη μέθοδό μας. βρίσκουμε ότι η

vτελεοιές. Αφιjνουμε στον αναγνώ ­

εξίοωοη t ( ι

στι} την ολοκλήρωση tων υπολογι ·

+ 2} = a έχει

λ ύσι} για

a~

κcιι ι\rι ιο αριστερό tι}<; μέλος

-I

Π<lίρνει l!J\' ελάχιοιή του ιιμιi α=

t = -1.

Και τ<~(Κι είν-ιιι καφός να προσπα­

Αnομένει να εnαλιJΟεύ­

θi)Οετε να αξιοποιήσετε μόνοι οα<; τη

1. Επιλύστε tι)'' εξίσωσι} κcιι to

ώο tε νιι ισχύει γιο

σύστημα εξισώσεων που ακολου­

+ 2y' + z' + χ.r + xz + .rz = 4.

Λύση. Ας θεωρήσουμε τηγ εν λό ·

γω rξίοωοη ως εξίσωση ως προς ·'· Η ,.. .

.

.

.

οι<ι κρι γουοα ι ης πρεπει ''α ει ναι μη

αγάλιιοιι της οvνι\ριηοης με ιις μ~­

αρν ιμικί}:

θόδους του αrιειροστικού λογισμού. Πρόβλημα 10. Βρεί ιε ιο ηεδiο τι·

Δ= (.v + z>1 - I6:r 1 - 8,vz - Sz~ + 32 ~Ο. ι l> ή

15.1'2 + 6.rz + Ίz' - 32 :> Ο.

ναμο με ιο ειJόμενο ερώιιιμα: γ ια

που έχει λύοη α γ κιιι μόνο α\· 9z 2 !05z2 + 15 · 32-;, Ο ---Οι}λιιδή, όrcιν z'

ποιες τιμές tοιι 11 έχει λύση ή εξίοω­

~ 5. Επομένως, το 2 δεν μπορεί να εί ­

οη χ/(χ - Ι )2 ~ a, ή, ισοδύνομα, aχ' ­

ναι μεycL\ύιεροαηό το

<2a+ l \x+a = O; Αν 11 = 0, υπάρχει λύση \Χ= 0\. rια

αποδεικνύεται ότι η ογισότητο (I ) (ω<;

aφΟ

= - 11,/5 ) και ότι γι· αutέςτις τιμές t(~ν

έχουμε μια δειι ιεροβόθμια ον ι .

σότι}τα, και ιο ηρόβλιwα ονόγετω οιην επίλυση ιη<; ανιοόιι}τας Δ =

4a +

1-1/4.

~ι.

.Υ και

QUANTUM ΤΟ Λf0Νλ.4ΙΚΟ

ΠΕΙ'ΙΟ.4lΚ.Ο fiA TIEΦYEJKEE !ΠΙΕΤΗΜΕΕ KAJ ΤΑ Μλ.ΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΡτΙΟΣ / ΑΠΡΙλΙΟΙ 1996

z

η αρχική εξίσωση έχει λύση

tειιίσιJ<; μοναδικιil ως προς χ. Επομέ •

Υως. η ιιπίινι.ηοη είνοι z =

/5.

Το επόμενο πρόβλ ημ ο αvάγειω

.

5>·' + 8xy+

Ζχ -

2.v + 2 ~ ο.

Jx+ y + z =4.

(β) ι2xy- z' = 16. 2. Λποδείξτε την ιιν ισόrη1α χ' + 2χ_\' + 3γ 2 + 2χ + 6.'' ... 3 "' ο. 3. Βρείτε την ελlιχιστι1 τιμή της ουνίφιηοι}ς

y =

2.τ'

+ 9χ + 11 . 3χ· + 11X + l2 ~

4. rια ιιοιι:ς ιψές ωυ 11 ισχύει rι αΥισότηια χ-2

ax" - 2χ + ιι- 2

,[5. Αν z = /5.

προς γ) έχει μία και μοναδική λύση ~v

Λς εξετάσουμε τώρα μερικά προ·

46

(α) 5χ' +

δευ ι~ροβάθμιο nγιοόιηω ως προς .Υ

Λύση. Το πρόβλημα είνα ι ισοδύ·

απάντηση εδώ είναι

Οούν:

Λυιιi μrιορούμε να τ η Uεωριiσουμε

Υ = (χ - ι)• ·

1 2: Ο. Η

Αοκήοεις

-1.

κάποια χ και γ η επόμεγη ιοόιηtα:

Ζχ'

~δύναμη της διuκρίναιιοας•.

Βρείτε τιJ μέγιστη

12.

z έιοι

τψιi του

σμώγ, Η οπήντηοη tίνω tm.n =Jίϊ.

-I

πλούστερη και πιο εύχρηστη οπό την

χ

12

«t + 21. Εφαρμόζοντας και

μορφή .)' =

ιι. Όταν αυτή η εξίσωση

μών τιjς

t σοι συνθήκιι του nροβλή ­

+ 3χ. Τότε η σuνι'ιρti}Οη ιΗιίρvει ιι1

fιχ·ι αν και μόνο Q\' έχει λύση ι1 εξί­ ον(ιγεtιΙΙ σε δευιεροβάθμια, η μέ­ θοδός μας μπορεί να αποδειχτεί α­

+ y- z G\'ttκ:ατάστιιση z =

μα ως. θα πάρουμε ένα πρόβλημα

Πρόβλημα

a αν ιj­

2χ + y-

t=

ος κο νου με τ ι1 ν οντικατηστηοη ι = .'<-

λύση. Ί<;τσι, η απάvτηοη είναι

μέγιατσ και ελάχιστα

f< x) =

Υπόδει{η. Θέτουμε

σου μι: ότι η εξίοωοι} χ' + 3χ = - 1 έχει

πεδία τιμών συvτιρτήσεων:

σωση

+ 2)(χ + 3 ).

.1' = \Χ 2 + 3xJ< x' + 3χ + 2).

yιn

Εξ ορισμού , ένας αριθpός

J Ι(Χ

+

Λύοη. Αφοίι

Αυτές προφανώς ι:ίνοι αληθείς για ιιροιιγουμένως. όων

.Υ(Χ

y=

- 3 - 3t" :> ιιι + 3)t 2 + 2ιιt + a + I 1 $ 3 + 3{ •

13. Οι αριθμοί χ, γ. z ικανοποιούν ιη συνθήκη χ' + 2.r2 + z' = 2. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή ιιμή της ncιράοταοης 2χ + .r - z; Πρόβλημα

για κάθε χ;

5.

Βρείτε την ελάχιστη ιιμή της

5.•' αν χ > Ο, .r > Ο και - 6χγ + y' + 21 :> ο. ιtJ

ιιαρόσ ιασι}ς χ+

χ

2

ΑΠΑΝ1ΉΣΕΙΣ, ΥΙΊΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Λ ΥΣΕΙΣ Σ'ΓΗ ΣΕΛ.

58

Ένα πολύτιμο δώρο! Συμπληρώστε την κάρτα συνδρομής και χαρίστε το Qιι:ιnιunι

στον εαυτό σας, στο ης φίλους σας, στους συναδέλφους σας, στα παιδιά σας, στο ης μαθητές σας, στους γονείς σας...

Αποφασίστε το τώρα. Μπορe(τε να πληρώσετε και με κάρτα Diners ή Visa. 11 αξία του περιοδιtω\ι ε{ ναι ανεκτίμητη· η τιμή της συνδρομής χαμηλή . ΙΊεριοδtt<:ό Qιωnιιιnι. Ισαlίρων Ι Ο κα• Δαφνομfιλη. 11 4 71 Αθήνα. Τηλ.; (01 ) 3643272,3645098. fllx: (ΟΙ) 3641864


ΣτΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

,

παιχνίδια με το μπαλάκι του

ρεματος

Πένrε πειράματα με ένα κούφιο πλαστικό μπαλάκι Paνel Kanayeν

ΤΛ ΚΑΤΑΣ"fΗ)f,\τΑ t:IΔQN ΑΛΙ·

φορά πρΟς ιιι κίι ιω. Α υ ·

α.\κοόλης.

εί<ις υιιάρχει ένα ~πλό α\-τι~εί.

ιό OU\'CXiζttαι λίyη ώρα.

οφροyιοιε τφ• ιρύπο με

μενο που χρησιμευει στο ψαρε .

Τωρα ας ιροηοηοιι\·

μα. Εί,•αι ίνα κούφιο πλαστικό

σουμε κάπως τα πείραμα.

μπαλάκι μc δυο nιαστράκια για το

Ετοιμάστε ιο διάλυμα

μιιι φυοολiδα ιιtρα \στο

δέσιμο της πειονιάς και μια μικρή

ι ου

υ ιιερμα γγιινι κού

μeγεθος ενός μπιζελιού~

φύπιι μι· ι·λιιφρι;ις προεξέχοντα χεί ­

καλίου σε Οrρμοκροσiο

θα εμφιινιοι~ί μέσο στφ·

λιι (Σχήμο

δωμα ι ίου, κω βυθiu ιr

w i•

μιιcΊλιι, οτο πίινω μέρος.

διας Οερμοκριιοίιις: ιο χι>ωμιιιιοιό ρr.ίιμη δι:ν

Ουλική ιιλκοόλη με βορι •

Σ

1Ι.

Μ' αυτό

μιιορού με νιι ι ψ!1 γ μ rι

τοποιήσουμε μερικά εν.

μnαλόκι σε νερό tι)ς

Σιο

ιέλος

πλαστελί\·η. Σε

20

λεmά ncρίnou

Α ν ιιλλάιουμε την οι ­

κό ι\ οξικό οξύ. ιο αrιοτέ •

διαφέροντα nειράμοιιι φuοικι]ς. Προ ιού ξι· κι·

θα εμφανιο ιεί.

ΑΥ, όμως. <ινιί γι' α υιό χρησιμοποιή­

,.α μάΟειε να γεμί(ε ι ε yρrιγορα ιο

Σε μια ιρίιη ιιrφιιλλιιyή, προαθέ­ οιε μrρικι'ς ο ιαγόνrς ιιιθυλικής αλ ­

μηαλακι με νερό !ή καηοιο αλλο υ·

κοόλης σ ιο δι(ιλυμα, και επαναλάβε ­

φυσαλίδα.

yρόΙ. Αυtό μrιορcί tf ,.α το κανετε με

τε ισ ιιειραμο. Το χρωματισιό ρεύμα

Πώς ε~ηyείrαι αυτό ro φαΙΙ·όμε•·ο:

μια ουριγyιι ιχωρις βε.\ο,·ω η με ε,·α

θα εμφα,•ιστεί πόλι όιιως προηyου •

11 ιuΥητική

σταyο,•όμετρο.

μηως κιιι θα διιιιηρηθει yια rιοΗή

νήσουμε. όμως. πρέιιr· ι Σχήμα 1

Πrlραμα

I.

Διαλuοιε μερικους

Σχήμα 2

ωριι.

σουμε yλυκερινη. δεν εμφανίζεται

θtωρια λέει όtι μετα ·

ξύ ιων μοριω'' υηάρχο\1\' κενά. Όταν ιο \'Cρό ανιιμειyνύεται με την αλ ­

.vιωμοrισrό ρrύμα δη ­

κοόλη, ο όγκος ιου μriyματος που

λίου οε μιο μικρη ποσοτητα ζεοιου

μιιιυρι•€irαι OΙIJ'' ιιρώιη κιιι στη.­

προκύπτει είνα ι μικρόιrρος από το

νερού. ~JOιr νcι οχrιμαιισιcι ι'\·cι διιι­

rρirη πι·ρίnrωση ολλιi όχι κοι στη

λιιμιι με βοθύ πορφυρό χρ~ψιι. Ι'ε·

δι·υrcρη:

αθροισμα των όγκων ιοιι ''tρού και τι)ς ολ κοόλης· fιοι εμφανίζεται στο

κρυο ιαλλους υnι-ρμαyyΟ\•ικού κα ­

μiοιε ιο μιιολάκι με αυιό ιο διίιλυ ·

Γιrrrι

λεομα θιι rίνιιι ω ίδιο.

ro

Σιο ιιρι;Ιιο κιιι στο τρίτο πείραμα

μείγμιι ι1 φuοιιλίοο . ΊΌ ίδιο φαινόμε­

μια κλωσηi και

οι ιιυκ νόιηη·ς αφ' ενός το υ ζεσ ιού

νο παJJ<ιtιιρείτοι ότον ιο νερc\ uνιt·

βυθίστε ιο ο' fνιι γηiιλ ι Υο βάζο γε­

νερού κιιι ιιφ' ειέροιι ωu μrίγματος

μειyνύεται με βορικό ιi οξικό οξύ.

μαιο νερό οι· θrρμοκριισία δωμιιιίοιr. ι Γιιι νιι οιοθεροηοιήσετε το μπαλά­

Ηροu -αλκοόλης tί\·ω μικρι'~τrρες

αλλiι ο σu,·ολικός όγκος δεν μειώνε­

ιιαό την πuκνόιηια ιου νερού οε

ται όιαν ιο νερό ανιιμrιγ,•ύεται με

ΚΙ, δέσ ιε ένα μικρό βαρίδι -κι αυ ιό

θερμοκροοiιι δωμιιιiοιι, οπότε εμφα­

yλυκερίνη.

μηορείιε να το βρείτε στα καιαοιή­

Υί<ηαι η δύγαμη της άΥωοης. Στο

μαια αλιrίιι~ στο κάτω οιασιράΚΙ

&ιίτερο ηείραμιι οι ιιυκγόιηιες του

ακουμηιισιt ια χrί.\η ιης τρύπας

ιου .)

νερού μέοα ο ιο και Ι·ξω από το μπα ­

στη,· εοΙφα\'tια

λαιu είναι ίδιrς. κι tισι δεν υnαρχει

σηκωοιr ιο. Το α,·οιyμα της ιρύοας

όγωοη.

κα.\u11ιtιοι μr μιn .\επτή μεμβράνη

μα, κρcμ{ιο ιr ιο

,,..

Ενα χρωματισιό ρεύμα αρχίζει αμεσως Υα α\·έρχειαι αnο ~ψ ιρύπα

-pε διάμrιρο ίση μr εκεiγη της τρύ • πας lΣχι]μο ~ ~. Το ρrύμο τελικά φτά ­

Πείραμα

2.

rεμιστε το μnαλάιu

Πείραμα

3.

Πάριr ιο μπαλάκι. ιου \'fρou . και α\·α

ιuμε,·ιο Ι, ιιλλιι σr

30-40 δευτερόλε •

με νερό. ,;,ς ιιι χι·iλη rης ιρυπος.

11ια η μrμβρανη οηίι(ει· ακούγεται

ι'Υα •ΙΙ<>ΙΙ •, κω στο χείλος εμφανiζε ­

νειακό ο φι:1μο ιου νερού> και μειά

Μcιιι. χpιJσψοποιώΥrος C\'ll στοyο­ ,·όμrψο, αφαιρcστε λiyo Υερό και

διαοΙΙ(ιιω

ιψοοθi·οιι· ίοι1 ιιοοόιιμιι ιιιθυλικής

Επανιιλάβετε το πεfρn μα, ιιλλ{ι

νει στι)v

.. οροφι\• or

cδηλιιδή στο επιφα.

μ ι κρότερα ρεύματα με

ιω μι<ι ο ιιι yόνα νερού.

OUAHTUM Ι ΗΟ ΕΡΓΑΣτΗΡΙΟ

47


ιοίι rη ~η φορά τρunήσιε με μιιι βελό­

βρίl\-ι)ς οιη δεύιερη περίπτωση ο ­

μπαλάκι δε\· κινείται προς τον πυθ ­

νιι ι η μεμβράνη ο ιο μί·σο της πριν

μένcι, ucιρόιι

σπάσει, και κρο ιήιηε ~1] βελόνα εκεί.

φείλειω 010 γεγονός ότι η βελό,•α δι αβρέχε ιω, κιιι ουτό ιιροκnλεί ι η

Τώρα η μεμβρίινη παραμένει ακέραιη

μετακίνηση του νεροίι nnό ια χ6λ η

Γιατί το μπαλάκι που ri1•crι γεμάω

για όσο χρό,·ο θέλε ιε.

ιψος το σημείο όπου η βελόνα είγω

με 1•ερό βυθίζεται στο έl'α βάζο αλλά

rooo βρn­

σε επαφή με το νερό. Έτσι. η μεμβ{ιά ­

_γιiβιά οιηγ πρώτη περίπιωοη και

όχι και στσ ά.lλο: Θα Ρυθιο ιεi to μιια ·

''1] γίνεται παχύτεpι) και rιιο ανθε­

.\άκι σ' tvα αρωό διι'ιλυμα ζά_γαpης;

ιόοιι σταθερή σιη δεύ-ιερη:

κ τι κ ή οιο κέγφο τ ης.

/Ίαrί η μεμβρfιvη είvαι

Η uδiιτινη μεμβράγη που σχΙ]J.Ια­

co β{ιρος

ιου εjvaι κ α ιι'i

ιι μεyαλύτι·ρο από tι)\' άνωση.

Το ΟJΙΟιi:λεομιι εξαρτάται από τιιν επιφονειακή ιίιΟΙ) ωυ υyρού και από

ιiζι:ιω στο άνοιγμα εiνιιι nαχiιτερη

Πείραμα 4. Γεμίστε δύο γυάλινα βά(α του μισού λί φου μέχρι τα χεί­

κον ιίι υτα χείλι] της ιρύιιας rιιιρίι στο

λ ι) με νερό

δωματίου.

χει tι)v επιφάνεια ι ης μπiιλας. Ο συ ­

κί·ντρο, επειδή ιο γι-ρό .-επιθυμεi• "" βρέξει τα χείλι). Αν, λοι πόν. το επί ­ πεδο της μεμβρά ''11<: δεν είναι τελεiως

Με ένα m.αγονόμεψο προσθέστε στο

,·ιελεοιής ειιιφανειακής τόσ ιι~ του

f\'α αrιό ια δύο λίγες σταγόνες σα-

καθαrχιύ νεpού είναι σχεδόν διπ.\ά­

οριζόγιιο Ηψίιγμα πολύ πιΟανό ι, ιο

λογίο 1 : 4).

οιος οπο εκείνον του διαλύματος ιου σαμπουάν. Εί,·cιι επίσης σημανηκό ιο

νερό ακολοιιθι:ί την κλίση κω με ωπρος τις παρυφες ιης μεμ -

Γεμίστε το μιταλίικι με καθαρό νερi> και βυθiστε το προσεκτικά ο ιο β{ιζο με

βράνης, με αποτέλεσμα Ι) μεμβράνη

το διόλυμα του σαμιιουάν. Το μπαλάκι

να yίνι:ιω ιικόμη λεπιότερι) σιο κέ­

κινείται αμέσως προς ιον nυθμένα.

' κινειιω

.

' μ nnυον

or θερμοκρασία

. . αραιωμενο με νrρο ιοε ανα-

ω αν ιο ουγκεκριμέγο υγρό διαβρέ­

όη το πλαστικό δεν διαβρέχεται ιιολύ από το νερό. Γι αυτό και ιο μπαλ<ικι δεν βυθίζεται στο καΟαρό νερό. Η ζάχαρη αυξάνει tl)\' ειηφω·εια-

. κι]

.

'

ντρο της. Έτσι, οε κiιποιο σημείο του

Πλίινι-ε ιο μπιιλι'ικι και βυOiotr το

η μεμβράνη οπίιζει. και ~ο νερό οχη ­ μαιίζει tι) σταγόνα.

προσεκτικά στο βάζο με ιο καθιφό

λάκι δεν θα βυθιστεί ούτε στο διάλυ­

νερό. Ακόμι) κ<ιι όιω· είναι οχι·δόv εξ ολοκλήρου βυθισμένο στο νερό, το

μιι της ζάχαρης.

Η μεγάλη διάρκει<ι ςωής της με μ-

'

ιαοη του νερου. κι ετσι το μπα-

Πείραμα

5. Πάρu~ eνα σύρμα με 2-3 χιλιοστά και μήκος I

διάμετρο περίπου μέτρο. Αφού λιμάρετε τη μια όκρη του σύρματος. λυγίστε τ-ο σε ορθή γωνία κω στερεώστε ιο μέσα ο το πιαστράκι που βρίσκεται ιιιΙ> κο,•tιί στην τρύπα. Με ιά βυθίο tε

w μπηλίι ­

κι αργά μέσα σ' έγα δοχείο γεμάτο με γερό, και στη συνέχεια ανεβάστε το <ηάλι αργίι!Ι μέχ(Jι tην επιφό,•ειιι. θrι

δείτε φυσαλίδες αέρα να εξi:ρχο\'ται

από τη'' τρύ πα καθώς το μπαλάκι n\•εβαίνει. Όσο βοθ(ιι;ερα βιιθίζι'!ε το μπαλάκι, ιόοο περισσότερες φυσαλί ­

δες εξέρχονται κατό tηv άνοδο. Γιατί ιJ1'ΙJΡαrίζοντω αυrές σι φυ· σαλiδες και για ιί διαφεύγουν καθώς ιο μιιιι,\ι!κι nvεβαίvει προς τηv επι ­ φάνεια;

Οτον ω μι1αλάκι κατεβαίνrι, ο αέρας που υπipχε μέσα του σιrμιιιέ ­ ςεται. και εισέρχεται οτο μπαλίικι

νερό. Καθώς ιο μn(ιλάκι ανέρχεται. η εξωτερική ηίεοη εληττώνηαι. ο αε ­

ρας στο μπαλάκι διαστέλλεται και οχ ιwα ιίζονιnι φυσαλίδες στα χείλη τι)ς φύuας. Οι ψ11οrιλίδες μεγαλώ ­ νουν οχημαιjζονrας ένο "δακτύλιο,, ο ω χείλη cης τρύπας· έτσι μειώνετω ουνεχ~ι<; το άνοιγμά ~ης. Καθώς συμβαίνει ουτό, η άνωσι) που ασκεί­ ται στο μπαλάκι αυξάνεται, ενώ η επιφανε ιακή rάση που περιορίζει κάθε φυσαλίδα ελαττώνεται. Όιον αυτές οι δυνάμεις γίνονται ίοες, η φυοαλίδο διαφεύγει.

48

ΜΑΡΤΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ

1996

:t)


ΜΑΘΗΜΑτΙΚΕΣ ΑΝ ΑΖΗΤΗΣΕΙΣ

Μη κανονικά συνεχή κλάσματα Άλλη μια άπειρη διαδικασία που αξίζει την προσοχή μας

George

η

Berzsenyί

Pl:-1 Λιιο Μ~:ι•ιΚΑ XPONL-\. OTAJ\

ti\'Oι ιιιως rξωρr ιικά δύσκσ.\ο στους

ι.ης ΟΊ<>ι);tιώδους ~ίnς ιψιθμω'' -ω

μου (ηπρηκc ΥΟ εyκοl\·ιόοω ιη

α\·αν-·ώστες μου ,·ο οιιοδrιiοv•· όrι

ιιrριοοόι:ερα αφιερω,·οU\· έ\'Ιι ώΙJλάχι­

οιηλη ιιροβ.\ημόιω,· σtο

Math

έ_yουΙ' ιφαγμαrικα nμη ι με rψ r\'\·οια

στοΥ κιχpα.\ωα ο' αυτό ω~

1/oriZtJn>. Ο.,ώρηιιu λογικό ,.α αnruOu,-iJώ or ηο.\λούς ιιηο ιους α γ­

όn οι ακο.\ουθιcς ιιου οχημο ιi(ο\'Ιοι

θρώηους ιιου iιτο'" yνωοτό όn οσχο­

σιάοr1ς προς ια δεξκι c.ιυyκΜ\'ουν σ' ένα

θελω ''" rυχαριοτιpω το'' φίλο μου

λούγιω μr ιιροj!.\ιΊματα. και ετm δημο­

όριοι. ιc\λό Οα εχει ενδιοqιερογ Υο προ ­

κα()ηyητή Μuι·nι)' Κlιunkin για τις ολη -

οiευσιι μιιι ,Jκκληι:ιη γιn προβλήμοτιι•.

σιιιιθί~ου\' να ιιροσδιορiσοιπ rψ ιιμή του Krι/Jrvriς. aγ,,.-;ι,·ιιις δdίομι'vο όrι οι

ροφφιες του σχr ιικιι μι· ΙΙφοιι~pω ο,· ο-

οι1οία ιιαρουοiιιοιι οιιι σιιjλη tου tεύ ­

λεμοφόδιο• \ηcι τα δύο χρόνια καιό ω

rιμtς υιιιiρ.'(Qυv. Σας συμβουλεύω επi ­ σιις νιι ΙΙf)()(JilιtOιpew νιι δημιουργήσετε

οιιοίιι διηύθυνο ι.ην εν λόγω συiλη. εχω

ιιι δικό σας μη κα•·οvικά συvrχή κ,\(ι­

ιου Quant uιιι. ~· αυιtς περιλαμβά,τται

ακόμιι λίγα κοομήμοι.ι.ι rκrίνης ιηc;συλ­ λο~ στη διιΊ~ιi μου, και σκοπεύω Υ<ι

uμιιιιι κιιι ''Ο οιtίλει.ε τις δικές σος προ ­ κλipι·ις ~α ιιιθονή δημοσίευση ι) ιιυtή

ένα ίιfΦ> των ν. Fab(Ψ και

μοφuυιω μφικίι ιuιό ουια με τους οΥα ­

τη στή.\η. ΠΙΙ(ιι'μι1111ιόηως, οι απαΥτή­

ιΑnι.-ιiαιιι Μοthι>ιrι:ιtίαιl llfoιιthlJ•. 1986, οελ. '196-8011.t\'O σιμiwμο εκδόιη yρομ­

\'\'ώστες της uφινι1; μου οιή.\ης.

οι.·κ;σιcι ψιο ιιροj!.\ήματα είναι

./3. ifi,

μι'νο αιιό τον :\1wτay αναφορικό με t\'O

Μι:ρικrς ο πι\ ιις ω ια\"ιipcις ήταν ~αιρε­ ιικtς κω μου προοί:φf'{ΧΙ\' άφθονα •ηο ­

ότα,· ΟΠΟtεμ\'Οuμε διιιδοχικά ης οοριι­

W

Το φιο ~\ημαω ιιου ιχιρουιnόlο­

-αλλο όλ' κιιι' ιι,·(ιyκη μ Όυιή τη

Ανόδρcm •

φορές στη\' πcριοχ•\ 11ροβλημάτων τψ

χους louα'"OΙJnρiou /Φε(Jρουαρίσυ

ιφόlt\ημn ιου

1996

.J. M)·ciel$ki

Richard l!ellman

ιProb­

Ed""in

Ειμοι ιι.\rβι,·Ιι rΙΙ\'\'ωμι.>\' /JlO\' κιιθη­

ισ Φουλλερτο,· της

\ηΤη l!uι:hmιιn yια ιη συμβολή του και

lem 63-9'. οιο .'i/k\1 Rι>VI<'\4-s, 1963, οε.\. 2ί4Ι, μια αnο,·τηιιη ιου \V. F'ranck σ· αιπό ιο ιιρόβλημο ΙSΙΛΙ/ Rι'Ι'ίι»>S. 1965.

Καλιφορ,-κις. fJγιιι δικι'ς ισυ δημιουργίtς

rη,· υnοοχοοη ωυ ''ο μοιροσιεί με τους

σελ. 50.3- 1~1. και οι οοραιιομπές τουτων

και δι:'' εχου'· δημσσιειπει όλλη φορiι. Όιιως ειιιοrΙJΙαινrι ο ω γράμμα ωυ. θο

ιινΙι\'\'ώσtες μου περισσότερο οπό το ι.όοο

ιωΥ άρ()ρων. εηιrιλεον ειuσημαίνει όtt

IIOU\'ιtJ!o [(I μη ΚΟνΟ\'ΙΚά ΟUvτχή ιtλά ·

υπάρχουν μφικες σχι-nκ/-ς δημοσιεύσεις

ηοι οι η συ,-rχrια μου ιο rχει σιευ\ει

t>·ος ι1ΙΙ\'1οξιουχσς κοΟηγητι'f. ο Ο.

Buchman. αιιό

3 + 3+ ·-1... . "

3+

3 ... ... 1+ :;-1+--· 3+ --...,.-•~ + ...

3 + ::c...;__ ι+ ... 1+- -:-3+ --·

-

3+ :ι ... ...

-

3+

.. ...

3+ 3 + .. I + .. 3· --;-;....3 + ... ι? .;;....._ I + ... 1+ - - 7 3+-...,l+ .;;_1+ ... 1> -~3+ -- · 1+ .;_ι

+ ...

1-τ ...

- ...-i-'-ι ... ...

~

ι +:;..:-.ι

ι+ ...

3 + ...

ι+

1+-

οrιρο.

-~+ ...

~+ ··· 1+.;;_1+ ·--

1 + - - ---;--1+ ... I +-Ξ-'-3+ ... :>-

~

J + .;:"..:.+_.._· .._· 3+ - ----;•..:.•_ I+ .. .

5+-Ξ--

]+

~+ .. . :> + ... 1+ 71-.,.-..-.

2+ .. . 6 + ·· · 2 + -..;.:.,.;__ 11 +... 6+ - 4 + ... 2 + - ---,;:.;_2+ .. 2+

11+ 7-'6+ 6+ .. . 11 + .. . 4 +"-'--4 + ...

2+----~-

2• --·

2 .. -Ξ--6+ ... 11 +--:-:-11 + ... 6+ - -4 •. 6 + ----,;:2 . ... ιΙ+ -7-'-

4+

6+ ..

σμιιιά

·~·~κο ·"-'V~

ι.ου

Anatolc lJcc:k.

Όοον οφqιι'ι ιιι rιροl!λιΊιιοrο rιις οrιi­

ποια επο -

λης του ι••iιχοιις Ιουλίου I Αυγούσωυ

μt:νηοιiι-

1995, ο συ\•(ιδcλφσςJοluι Rickeι·ι κατόρ­

λη. Για ιη

θωσε να mιμειώσι:ι μερικίι βήμu ιιι rιροό­ δοu. Απι'δrιξr οο ιο Gι5, kι είνιu nορά­

γενική

\•0\"ΙΚώ\• .

yοηος ιοu 3J25k' + 625k' + ι και όιι το Gι7. k l ci'-ω nιιραyο'-ω<; του 8235431<' + 6000099k' + 12005k' + 1. Jο:Jδuιόu:ρα.

συΥεχω,­

οnοδrικ,·uεrιu

θεωρία tων ι κn ·

κλοσμο­

on

Gι5. t ι

=341, Gι5. 21

01 Ο·

= 52501. Gι ii. 31 • 258ί51. GΙ5, 41 = 8ι0001 και Gt5. 51- 1968751. Αυτά μας

γιιy,· ώ­

πρσσφερου" θ(Ιιιμιισια ιιαραδείyματα

στες μπο­

ισυ • Ιοχυρο(ι νομου ι.ων μιιφώ,· αριθ ­

ροv'"

μών του

UιJ\Ό

γα

Guy•. rιφιιυ.

yια rιορι\δειyμο.

υυμβου ­

ι ι

μκ&ιι' +5, Ιn+ 11' +51= Ι για ιι= 1,2,

λευιου''

4 + ...

έ,·αβ~iο

3 ..... 533359, εν6ι μκδ\533360' + 5, s;ι;ι;ιι;ι• + 5ι = 196875 1. ctJ

... ... 4 + ,;._:__

OUANTUM I ΜΑθΗΜΑ1ΙΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΕΙΣ

49


_

____:ΑΠΟΨΕΙΣ =----

τι είναι τα μαθηματικά; Ανθρωπισπκή επιστήμη, φυσική επιστήμη ή τέχνη: w.τ.

Ε

Tutte

.\11JΖΩ Νι\ ΙΙΡΗΚΛ ΑΡΚΕ'ΓΑ F:.\KY ·

διάβοζcι ιιχόrΗιιγιι αυτές ης ιστορίες.

nποψ~ις. που συμφωΙ·ούσαν περισσό­

οιικι) ιίιλο yια τη οrιμrρ"·ή διά ­

Αρyόιφn. ιικnιιyοΙ'tας ια πρώτα μου

τερο μr ιο rtl'tύμo ιηςrποχήι; και μnο­

λrξη. F:ιμαι σίγουρος όιr t>"δια· φιιχα ιr Ι'α μιιθrτε π tιΥαι το μα·

μαθημαιιι γεωμεφίας. tΙ·ιωοιι rκπλη­

ρουσαΙ· ΥΟ Υ"'ΟΙΙΙ' rυκολοιcρο αιιοδε·

ξη και χαρο που βρηκιι

rYn αηικrιμε ·

κ ιcς: ιιι μιιθημιι τικιι ήτιιy έγα ούμπα1·

Οημαιικιi. και ομο.\ογώ όη ΙU εγω ο

,.ο ια οιιοίο είχε αΙ•αnτυ);'θtί βιiοrι ιω1·

κατασκcυασμcΙ'Ο αιιό <ΟΙ' άΙ·θρωπο.

ιδιοςιl\·ο(ηιω ιφ· αιιαηφη! Εί1•αι φυ­

ιδιω1· παραγωγtχώΙ' αρχ611•.

Η ιαν tνα ιιιιιχνιδι. οnως το σχιiιu. nou

σικό κάποιος ιιοu χογτεύrι \·α οάρcι

f.κι·ί1•ο ιον κnφό διάβο(α ότι τα

nαιζόιαl' με ιφοοuμφωΙ'ημέΙ·ους κιι­

έχrι καια­

σχο.\ικό ιφοyιιιΊμμιηα προσέφεραν

Υόνrς. Ήιιιν μια οrιρά ι.αιιιολογιι;>ν.

ψέιιcι or όλη ιην ακαδημαϊκή ωυ ζι.>η, yrα τι πριΊγμιι nληρωνόταγ αοό ιην

δυο βασικές καιrιιθιιΙ"οrις: ιις φυσικt'ς

μιrι rικσλουθία όλο και ιιεριοοόu:ρο

r11ισ ιήμrς αιιι\ ι η μι ο κω nς ΟΙ•θρω­

ιιολύπλοκων τρόπων να ιιrις ότι •(tα

ηοληeίrι, nοιι·ς ου1•έιrrιrς θα tχει η

nιστικrς ιιιιcί ιη1· άλλη. ΔεΙ' α,·τιλαμ­

γuvf.JιOU\'Ιfi ε·iνω γουρούνtο•).

δουλι·ιά wυ σ' εκείνους ιιου τυχαίνει

βανόμουν, ομωι;, ιιού iμιιωναν τα μα­

Στη βρόμικη &καετiα του

σύ'fτcιξη

''"

cn•ιψωtιέτοι

u

wv διαδέχοΙ·ται.

νο

Ας οφήσοιιμr κατά μέρος το ότι μα · θηματικός rίνα ι καποιος καλός στις

1930 u -

θηματικ(ι ο· οιιιή ιψ τ.αξι γόμηση.

ιu'pχε Κ1 rνιις ίιλλος. αποφι;πηκός λό ­

Λ Ι•ήκαν ο ιις nνθρ<;ιιισ tικές ε πιο ιήμες; Κι'ι ιι ιtιοιο δfγ ακουγόταν άσχημο. 11

γος γα τοποθετei κανεfς

ιιΥι:iμεσα σης ονθρι.ιιιιο ιικές enισ rή·

προοοtοεις. Σιη1• εποχή cων ηλεκτρο­

μελέτι) ιων ι ρyων του Ευκλείδη αnο­

μες: οι rκrιρόοωιιοι ιων ανθρωπιστι ­

νικώΙ' υrιολοyιστών κανείς δεΙ" εί,·αι

τελούσε yιιι ιιολλους αιι:>~·ες μέρος

κών εmστημώΙ' ιιοιι είχα,· τη δυνατό ­

καλός σ ιις nροοοtσεις!

ιων κλοοιχώΙ' σπουδώΥ. Ο ΠλιΊcω,·

τητα ΥΟ εκφρά(ουΙ' δημόσια rη γΥώμη

Αυιο ιιου ιοχυει rίναι όrι στα μα­

έχαψf μεyαληςεκτiμησης σας αΙ1!ρω·

roυc; ουΙ~ζιιΙ· Ι'Ο καλλιεργού1· ηtρι.

θημαnχα σού δίνοηαι κάποιες nλη­

nιοιικέςrιικιιημrς. και σm-έδeε τα μα­

ροφοριες nιιό

ιις οrrοιες συνάγεις

θηματικό μr ιο αyαθο. Δε1· ήια1· ου­

φρt)Ι'ljt1XJ) σταση tl'α\'11 tω\' ψυΟΙκών εηιοιημώΙ'. Οι φυσικοι εnιστήμοηc;

ουμιιrιχιομαια. Αυτή ιιδιιιδικσ<ήα ΠΟ·

τος ιιου eλιγr -ο θr.ός αri yεωμrτρεi•:

κατοyγέλ.\οΙ•τοΙ' μο,•όtοΙ'Ο ως ειδικοί

ροyωγιjς σuμπcροσμίι ιων έχrr δρομα • τοιιοιηθri οnό ιον (',onan Doy!e σιις

Υ mpχε η nαροδοοη όιι τα μαθημαn ·

μr nιιρωπιδrς. καιίι ιn ήμισυ ά,-θρω.

κά αοχολουΙ•ιαι με ιιληθειες eιιώ1·ιεc;.

rιοι κιιι κατά το ήμισυ βιiρβιφοι. Έτ01.

ιοιορίcς του Σέρλοκ Χολμς. Σuμοl.ω-

όντα ιιου Οιι ιιρι'rιrι να εί1•αι αληθινά

ιιν εnιΟυμούσες να είοιιι αποδεκτός

μοtΙκο. ο

εκrινες τις ισrοι"ες κοποιο

σε όλους ιιιιις δυνατούς κόσμους. Τα

από ιοuς ·διανοουμένους .. της εποχιjς,

nρόοωιιο ιιrριγράφεται ως μιιθηματι· κός. αλλίι ποτέ &ν αφήνεται να φανεί

μαθημιιιικιΊ δtl' οrιοιελούοιιγ μέρος

ήταν καλί1 ιr.ρ<ι να επιλέξεις έναν κλίι ­

ιι)ς rιιικοινωνiας rοιι nνθρι~nου με το

δο ιιοιι νιι χαρ<ικ cιpίζειοι ιινθι>«>mστι­

όιι δι>σ ως ιέιοιος. Όταγ ήμου1· νέος.

ωώ1· ιο: Τι rιερισοόιrρο μπορούσε να

κός. Όοο για το μcιθημιιιικίι. κάτι τέ·

αξιώσει κανrfς ιιιιό την ποίηση. τφ•

τέχνη ή τη φιλοοοφίn: Άρα, όηως ανή­

ώιο ψοΙΙ'όtον όλο κοι ιιιο oniθαl'o. Οι φυσικές επιστήμες rύριιικαν όλο και

κα1· σιις αvθρ<.>nισηκiς εmστήμεc;.

περισσότερες εφαρμοyές των μαθημα •

. . .

Ο καθηγιιιής

W. Τ.

.

.

τu ιιe, του Τμήμαιος

Συνδuασιικηςκοι Βι:λτιοτοnοίηοης του Πο­

1

co μαθηματικ.ά

ιιχω,· κο ι οι ονθρωπιστικi:ς όλο κοι

""rnισηιμιοv (Ου Γοuώτι:ρλου. στο\· ΚιιΥιι­ δα. tδωσt ου ι η rη διά.\tl,η toY Οκτώ!Jριο του ι990. i'::\'tnooόtO\' OC μια ΟtφΟ Π(l\"trηστη­ μιωιωΙ' δια.\tξrων nou φyαΙ'ωσt ω δοοιιtη·

αι:ΙΌΣQ, I I ΑΠΟΨΒ ΑΥ'ΙΉ Πιl ΤΛ ΜΑθ11μαιικα ι'ηαψr Ι'α κυριαρχεί μετα τη

ιmς α.\λες ανθρω­

ιιχδ ουμβοιί.\ιο ιων χnθηγηιωΙ". ώσu: ,.α

Εκcινο ιο οποίο μου tόΙ·ιζΟΙ' με συ·

mστικές ειιισιημrς δι·y υπφχε nλέο1· ο σcβιισμος για τα μαΟιnια ιικίι που

yκα ιαβιι ιικη ευyέΙ"ειο nς ηtριοσότειχς φορι'ς οι φι λ οι μου tωΙ' αΙ1!ρι~nιοrικών

φοίνεωι ιιως οnαιτούσε r) εν λόyο>

rιιιοιημών ήταν όrι στο μιιθημαrικά

ίιηοψη. Εξίιλλυυ. δe1• ήι.αν και η άποψη

um'yJλτ μιο μοιραία οτiλeια, ιιοιJ ιιφο .

ιιου rβριοκc σύμφωνους ιοιις μιιθηpα ­

ροiιιιt ι ην ορχι\ όιι • ιο όλον είl'αι το άθροισμα των μερι~ν ιnιι•. Λ uτή η επί -

nαροuοκιο ιούν οι σκέψrιc: tω\· yrμιιότψ<•''" κιιι διακcκριμt\'ώ\' με.\ώ,· του ΠαΥεmοιη· μίου ot όοο11ς ήθrλον να τις ακούοου,·. Τη διάλεξιι οιιtδωοr ο ιο ελληνικά ο ειιίκοιι­ pος κιιθηγηη\c: του Ί'μήμα ιΑ>ς ΜαθηματικώΙ•

του I ιn,•rιιιι) 1r1μίου Αθιl''<~" ΤriκηςΣιηίpου.

ΜΑΡΤΙΟΙ / ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

δεκαετιο του

1930

ιικούς. Λυτοί οδηyοίινιcιν οε άλλες

λlyότειχς. Το μαθημοπκο έμεΙ'ΟΙ' στη μέση ιου δρόμου.


ιψση, που ακουγεrοι ακόμη κι11 οημε­ ρο, δι·ν nνιιιιιοκρi,•rιιιι στη\· αλήθl'ια.

ξεως, αν περιέχει εν,•έο •δομικό• ιε­

κιινιiνrς ι.ης rφιθμηηκ.ής. και αποτελεί αυτό ακριβως ιιου ιιpι'ιιrι \'Ο rιαροτη­

Π~ιιcι αιι • όλα, δε'· ξέρω κανέ,·α μα­

φάγωγα, Υπάρχου'· κατάλογοι τε­ λείων φθογ~Ι\·iω\' Ι Οης. 11 ης, Ι2ης και

θημαιικο εγχειριδιο οιο οποίο ,.α

α,·ώrφης τοf,ης.

ηωοδηιιοιr fιr,· ιιιιαρχrι ιιηο~ ιtου ''α

διοτυπ~ι,ηαι αυιή η αρλ'4 Εmπλέο''·

Α'· δοθrί #\·ος ιί ιοιος καtόλογος.

ρηοουμε. Σης φυοικrς rι:rιστήμες ο ­ μοια(rι μr ουιό1 Εχοuμε ακούσει ,,α

αυ1η η σeιρtι λrξι>ων, μι'οα στψ ψευ ­

μπορούμε

κci,·ουμε nαρατφήσεις

θεωριες ιιου ιιροβλrπου'· ιφ· ύnαρξη

πκη γε\•ικότητο της και τηΥ ολοκλη­

και να ψnξουμe γιο κανοnκότηιες.

νiω,· οωμ<ιtιδιω''· αλλά αυτές δfγ

ρωτικη απουσία πιpιrχομέΥου. δε,·

rJ-

Για παράδειγμα. το ορθογώnο ιου

γnι κόιι ιιου χρησιμοποιεί ποτέ f,·ος

Σχήματος I εχει μήκη πλι·ιrιχ:"· 3:.! και

α\'(ιφέρονιαι ως αποδείξεις uπαρξης. Ωφείλω ,.ο u ιιοyριιμμίοω ότι οι μα­

μαΟημcι τικος. Α ηιμετωπi(οπίις LO\'

Οημοιικοi rίναι πολίι nροοεκτικοί ώο-ιε

ορi<rις ιιι μι'ρι) ιου: Και τι στηγ

+ :J3 = 65. ενώ rκrίνο του Σχήματος 2 rxr.ι μήκη ιΙλrυιχ:ιν 61 κω 69 κ ι ιw ιπφίμι·ιρn 61 + 69 :Jo. ( ι δciιιcρη ημιπερiμεφος

οργί) εννοείς με τσ ίιθροιομο:• Επι ­

rινοι ακριβι~ς liiιo φορές η πρώτη. Η

Υιις μιιθημο rικός η ου γριiψrι γεωμε­

ιρtψτε μου εδώ ΥΟ rmστήσω <ην 11poοοχή σας ο· t\'0 βασικό χιqχικ ιφισιτκό

cρcu,•rι μου οuνiιιιnιο. rν μέρει. οτην ηοραηψηση τt·τσιω\1 οuμιιιώοtω\· κω

φiιι, yιιι ηαράδcιyμιι. μπι~•·ί ''" οας ηει όιι πραιiθειαι να 11\'cιψrρθεί οε α\'ΙΙ ­

όσων ασχολούνται με ι<ι μαθημιιιικό:

ο tιΙ'' κο Ηιοκrυι} Οι·ωριμικώΙ• εξηyή­

ιιι·ίμrνο Ηόu OVO)J<Ί(rι ·σημrία.- και

ώιrς αρι'σουν οι ξειιάΟαροι ορισμοi κrιι

οcω\' για κiιηοιες ω ιό ιιυιές.

-yραμμrς•. αλ.\ο Οα αρνη()εί ""σος ιιει

θα μιιορούοαμr μέσο στη" ομιιχιιΥi« μας νιι 11\'Ιιψωνί)Οουμε:

I Ιώς

.. ποιο

όλu\';

3:!,

,.,,

κcιι ιwιπεριμι·φο ~2

=(

να μη διιι ιuιι~)νουν ιις Οεωρίες wuς ως αποφά\•οrις γιο ων φυσικό κόσμο.

ΊΌυς αρrσcι νιι ι·iνω ιιφινιιwένοι. Έ­

σι ξεκίιθιιιJΙ'ς ιφοιιiοrις. ΑυιόciΥαι που

Εδ6> νομίζω όn έχουμε μιιι rφαρμο­

έχοm• ΚΟΙ\'ό μc ιους φυοικοiις εmσtή­

γή της ειιιοιημο,·ικιjς μrθοδου. Α.\.\ό

τι tί\·αι α υ ια ιο οημειο και οι γραμμές. Ani ,,. αυτό θιι rιcφουοιόοει μια οει­

μογrς.

unαρxom· παρrκκλίοrις αιιό αuιό. Στα

ρο ο11ό ιιροιασrις που ο,·ομιιζοηαι

μnθημοιικα εηιτυγχti\'Οuμε όια" έ ­

·αξιωματα•. κrιι Οιι επιτρέπει σtΟ\' εαυ­

εΙΝΑΙ ΛΟΙΙΙΟ~ΤΛ ΜΑtιΗΜΛηΚΑ ΦΥΣΙ­ κή rrιιοιήμη~ Α,· ''nι, ιι'ηr οφείλουν να

χουμr ο ιrρcώοει ης θεωρίες μας με

ιό του

λογικrς δομί•ς, σ ιαθερtς κnι πrριι nιιό

όμως.

ο ιφίζονται σε κάποιου είδους rιαρα­

κάθε αμφιιιβήιηοη, ιιο11 ιις λrμr "απο ­

αληθείς αυτές οι Πf~Η(ιοrις. θα σας κοι ­

ιφήσεις.

Jl

CιΟψΟΥΟμία nαpιιtηptί ι'

w χι·ιριομο nuιων και μόγο. Λ ν. tO\' ρωτηοε ιr κaιίι ιιόσο,· εi,·αι

δri~εις·. Λλλcι οι φυσικές επιστήμες

αστέρια, η βιολογία ια ζώα και to φυα'ι.

ιι\ξrι ομιίχα''"· χωρίς ''rι κιιιαλοβοίνει

ιψfιιει νο ιιροχ~~)()iιν χωρίς ιη βεβαιό ­

τι οκριfk:χ; eγνοείtc. Μπορεί να καrο­

Αλλά τι ηαprιιφοίJ\• ια μαθιwατικά,

ιη ια (ιΙΙιού rου ciδους. Υποθέτω όtι η

οκεulισει cιιιοδείξcις αηό τα α~ιώμιπα

θα δοκιμάσω νιι δώuω μιιι ωιάντησι)

διαφορά rγκrιιαι σιο yεγογός nως οι

αυιιί, σίιμφωvα μt τους κανόνες της

μr ένα αιιλό rιαρόδειγμα. Όταν όρχι­

φυmκοi επιστήμογι·ς rxouν να κι\ νουν

οιι τη γ έρευγά μου στο μαθημο rικίι

με μιn συ,·εχή ροή νέων πλφοφοριώ\'.

λογικ ής, και να tις παροθiuει or. μια κατάλληλη οrιριi θrωρημάτων. Η θεω­

ιιnρο ιήρηοο ιο • ιι'λειιι ορθογώνιο •.

Αnό ι ην ιιλλη, ο' ένα μnθημαuκό nρό­

ΡJΟ ιοu μιιορεί νο εποητεθεί yια την

Σnς δείχνω δυο αnο α υιό τα αντικει­

βλημα αρχi(ουμε με μια σιnθερή και

ομορφιn και tη" κομψοτητα της. και ο

πεπεραομένη ποοότηtιι ιιλφοφοριώΙ•

ίδιος rλπlζrι όιι μπορri νο επιβεβαιω­

θογώνιο rίνnι χωριομr,·ο οε r.εφιίγω­

κnι rιoρoyouμr ιο Οι>ωρήμαιά μας α­

θεί ως λο\~Κα βιιοιμη. Ωστόσο. η θεω­

,.α. Αυιο το καΟ!σtα ·τcφαγωΥιομέ,·ο

nοκλtιστικά από αυιiς. Ο μαθηματικός μοιάζrι μe tO\' οκακιοτη που rια.ίζrι ένα

ρια από μό,·η ι ης οcν δί\'tl ηλφοφο­

ορθογώ,·ιο•. Σι> καΟι> nεριπιι.ιο!\ όλα ια τετριiγω,·ο είναι διοφορετtκώ\' μεyε­

011μβιι ιικό παιχνίδι και μnορεi μερικές

εξάλλοιι /)tγ rιvιιι καθόλου μέσα σττς

Οών. Αυτό ιο κοθιοιι'ι ·τέλειο ορθογώ­

φορt'ς 1·ιι δqλώοει με ι:rλίpq βεβαιότη •

προθfοtις <ου. Αργότερο θα περάσουν

τα

σ1κοι; rπιuτήμονιις μοιό~ι με ιον nα.ί ­

οι φυσικοί νο δcινειστοvΥ κάπuι<ι αuό τα θι·ωρήμιι ι(ι ιου γιο τους δικούς

κηι ιιιι" οιιν~χώς ιιιφενοχλείιοι από

τους μυοτιΥJιnιις οκο11ούς. Ο μαθημο ­

ενωλέc: που τον υ ποχρεώνουν οε εnι­

ηκόι;, οδι·λψιJ ψυχι), θο rιροοπαΟι]οει

rιρόοθr ιους κ α νόγcς. ή ακόμη επεκιίι ­

να rους προμηθεiιοcι ιι1 είδη ιων θεω­

οεις της σκακιrρ<ις μc ιη'' ω11οθέτηοη

ρημrί των rιou φιιίγετοι ότι επιθΙJμοίιΥ· αλλά το ιι θα κ(I\'OU\' μc αυιίι εiναι

μι' να ο ια εχήμα το

1 και 2· ιιαθέΥο ορ •

νιο•. ιΟι αριθμοί εκφιιάζουν ια μήκη των πλευρών σε ουθιιίρ.-ιeς μονάδες!. 'Εγιι ορ()ογιi>νιο λέμε ότι εί1·ω 9ης τά-

32 8

..,

κο1γοι)ργ1ω\' κομμcι uώ'' σ· αυτJ\ν.

9

ι ιο

33

• ικ

ι•

1

φrις κινi-pειc:•. Ενώ ο φυ ­

υπάθrιιη δική ιους. όχΙ δική ιου . ;

Σχήμα

.. μα ι σε

ρίrς yια tO\' φυσικό κόσμο. ιu αυτό

ΥΠΛΡΧΟΥΝ Κι ΑΛΛt:.Σ ΔΙΛΦΟι'ΕΣ. Οι

Λναφrρομοι. λοιπό". ο' ε,·α άλλο

μελεtητις τω'' ιtλrίι.>\' ορθογωγίω"

χαρακtφιοιικό ιω'' μαΟημαuκώγ: εi­

μιιορούν \ ' 0 αποδείξου" όιι δε" υπόρ ­

\' Ot αφφημf,·ο. Αυτη η αφαιρεnκότη·

χει κονiνο τtτοιο ορθογώ,,ο ταξι,; μι ­

τα μπορrι να οδηγηοει or παρανοήσεις.

κριiιφης ιιιιό ι ην 9η. οιι υπορχουν ακριβως δυο 9ης ιάξιjς. έξι 10ης ιάξης.

Ο πο.\υς κόσμος ακουrι όιι ο μαθημα ­

κ.ο.κ ..

μιιι ιικολουθία nου cnεκτεί ­

κιιι γομιζει όιι έχει ογακαλύψει κά­

νεται πέρα αηό ιη" 20η τιiξη. Γνω ­

ηοιο υηερφυσικη rιρ<i·κιαοη ιοu κό ­

ρί(ου" ακόμη ότι ωιιό μιιορεί να βρεθεί

σμου οιον οrιοίο (οίιμr. Δrν είνcιι έτm.

μr κιιθnpiJ οκι'ψιJ. χ~~Jίς να χρηοιμο­

Ψο μόν() ΙΙΟU οιιμοίνrι αυτό είναι όn

ιιοιηΟεί ιίιιοτε nερισοότφο ιιιιό τους

fΧΙ'Ι V(l ηνιιμειωιιίοει κάποιο προβλή•

or

ιικος rρΕ'υ,·ο

tO\'

ιε ιροδιαο ια to χώρο

QUANTUM I ΑΠΟΨΕΙΣ

51


61

με.\cτι]Οούν ω1λiι ως tέ ­ Α,. ι'πrιτα οπό όλα α υ ­

Ωστόσο. δεν αιοθίl\•ομω οτι ου ιή η εnι ­ χειρι]μοιολοyίn μός απαλλάσσει οπό το μι.ισιipιο. Φιιί,-cιαι nαράξι;νο ιο rιώς

«i ρωτησcu- -ει ναι τα μο ­

η ε,· λόγω rπεξrρyοοία οδηyεί σε τόσο

Οημιιιικα φυοικήεmοtή­ ιο μο,·ο που μπορώ

ε\·rmιωοιοκι'ς και καΟολικες θεωρίες όιιως ο \'uμος ιιιι; ιιοyκδομιnς έλξης

\'Ο οrιu\·tήοω tiγιιι •και

ιου .Νευτω,·ο η οι εξισώσει<; rης ηλε ­

νι1ι και όχι•. Δε,- μπορει

κτροδυΥομικής ιου Μιιχ"·eΙΙ.

ιοιcς οcιρtς.

~

μη:

.ο;

.

,.ο αρνηθεί κο,·εiς όn to

9

-!; • ~

ιο

,,, >J~

Σχήμα

69

μιιθημοιικά uι ιιιΊ\'1' καλά

μετηφυοική.Πο.\Μςφυ ­

ματικ~ιν rχrι ιιλλιiξει τα τελευ ιαίο

σικι'ς θεωρίrς ε l\'01 στη

χρό\•ιιι. Κοιι(ιιιε το Σχιjμο 3: δr.ίχνι:ι

μορφή ιους μιιθιwατικές.

Είνω πιχ\γματι μαθιwα­

ι'νιι ιf.λι·ιο ιι·φιi γω,•ο. και όχι οπλώς τfλι·ιο φθοyι:ι,·ιο. Είναι ενα ιεψάγω­

ιικrς θειφίες συν αuθιιί­

νο χωρισμι'νο

Ιιt'Q:ς ταυτίσεις u.:J\' μαθιι­

κύριο Ο\'tικrιμrγο ιιις αρχικής εργα ­

μcιτικώ'' και tω\' φυσικών τους ε\'\'Οιόιν. Το γιιιιι

οίος μου ο ιο ιέλtια ορθογώνια ήταν ''α βρω ι'γο ιtλειο ιtφάγωγσ. (),συ ­

τέτοιες Οεωρίες εί,·αι rόσο

,·ερyοτrς μου ΚJ εγώ είχαμε ανuκο­

rιη ι υχημέ,•rς όσο ει\'01,

λυψrι κιιιιοιο που ητο'' τάξης μεyο­ .\υu-ρης της 38ης. Α.\λο το ηρώrο rιου δημοσιευrηκr rίχr ~θrι από κάποιο\' άλλο μιιθημοιικό. ιο,- Η.Ρ. Sprague.

ιιιιοtε.\εJ ενα φιλοσοφικό

2

ΚΛ ΙΙΟIΟΙ M:Nt~ 011 11 ΦΥΣΙΙ mN ΜΑθΗ­

μυοιφιο. Καηοιοι ιοχυ ­ ρίζοηω ιιως στψ πραy -

or ίJ\·ιοο

ιtφογωνα. Το

μα ια οια οποίο υπάρχουν ιέσσφις

μοτικότηια δrν υrιάρχι·ι κα,·έ,·α μυ­

Δημοοιrυιηκε σιο

μειαβληιrς. Ο χώρος του είνω αφφη­ μενος. Κάθε δυ,·ο ιό ου ,·ολο ημών

οιipιο: οι μιιθημrιtικοί έχουν διεισδύσει τόσο rιολιι ο ω χώρο της φυmκής. που

Z..iιschrifι του 1939. και ήταν 55ης τάξης. Όλα cκtl\·α τα tέι\ειο ιειράγω­

ιrοοίιρω'' μετοβλιιιc:ιν ο,·ομάζεται

έχουν r ιιιβίιλtι ιις δικι'ς ιοιις συνή­

νιι rιροι·κυιιια '' αιιό σχεδιασμούς και

•σ ημείο ... κcιι ια σημεία λέyειαι όιι

w •χώρο•. Ο χώρος είνιιι w

θειες στον τρόnο οκέψι]ς. Προοωπικιi δε,• πιστεύω ιι6κ; γι' ιιιιιύ ω λύγο εί­

υπολογιομοίιι; μe χcιρτί και μολύβι. Στέκομιιι λοιιιό'' μιιροοιι\ οος ως ένιι

σιικ.ούλ1 ι:ω,· δυνατών αιιανrήοι:ων,

ναι ιόοο rιιι ιuχημέ\•ες οι θεωρίες. Εί­

αιιό ω οιιοίο ι·λ nίζει να ανασύρει τις

μαι πειιrιομfνος οτι πολλές οπό τις αποτυχίες μου οι η μιιθημαιική ερευ­

αιιομεινόρι της •Προκομιιιοιιιερικής Εποχης•!

συνΟι'wιιν

σωο ιι'ς. Κ(ωοιιι μερα. μπορεί

''0 έρθει

κά­

Maιhenιoti.<chι'

Tu ιiλειο ιrφάyιοl\'0 ισυ Σχήματος είναι μιeι πολύ ειδι κή ηεριπτωση.

ιιοιος φυσικός κο ι νο 11cι: .::.tρεις. αν

να οφι·ίλονια\· στψ προσnάΟειά μοu γα ειιιβίιλι~ τα δικο μου nροιυπα ΟΊΟ

μου επιτρέψεις \'Ο ιαυτιοω τα σημεία

δύοφοπο ιινιικrιμr,·ο. Σιις εmαJλ;ες

Οφη\rτοι οτο'' A.J.\V. Duιjvesιijη ιου Al\·ιxoiJι-''· ο οιιοίος βεβαιώ,·ει ότι έχει

σου με ό. ιι ο,·ομα(ω γεyο,·οια, ης

μου. πάλι. rιχο ι φ· εηυπωοη ο π έβρι ­

-rη,· κοιωu-ρη δυ,·οrη ιοξη -2Ιιr.

yριιμμtς σου με ης φοχιές wυ φωτός.

σκο ιο ιιρόιυrιο που ιφοϋrιfν>χε ο'

και eπιιιλfο,· όιι ιιρόκcιται \~α το μό,•ο

και το χωρο με το χιφόχρο,·ο, μπορω

ιιυιδ, και ητο'' κδn που με εξέΙL\ηττε.

τέλειο ιε ιρά yω,·ο

\'(Ι φιιοξω t\·n θtιυμαοtο μο\-τέλο γιο

κάn που ιrπερvουοr ιις δυ,·αιοτηuς

ισχυρισμοί εχου,· εrιιβeβοιωθεί από τα

tO\' φυσικο κόιψο •. Ο μαθημαιικός

rης rφευρrιικόιηιίJς μου.

ιιποτελι'σματα της έρευνας με ηλε­

μπορεί ,.ο nιιονιί-ιοει: ,Συγχιιρηιipια.

Η πολιά άιtοψη γιο ισ μαθηματικά,

nλλiι μιι με καθιστός υnείιθΙΙνο γ1α τις τιηι ιίοrις οου•.

ότι μελrιούν ωόινιrς αλήθειες, φιι(,·ε ­

\'ΣΠΡΑ ι\ΠΟ ΑΥ'Ι'Η ΤΗΝ ΠΑΡΕΝθΕΣΙ·Ι. μ nορεί κά ιιοιος να έχει ιην α ντίρρη­ σιι όιι ια ιrφαγωησpένα ορθογι:ι,~α είναι φυσικά οηικείμενα, που έχου\' σχrδιιιοιrί or πραγμοιικό χαρτί με

3

:.! I ης mξης. Αυτοί οι

κτρο,·ικό υπολογιστή. Ο υιιολογιστής έχει ελfγξι;ι κrιι ιιιι<Jfψίψει χιλιάδες και

ιιι ι c\ιι /)(γει μιιΙ cιπλοϊκιi εξί]γηοη: ο μιιθι]μιι τικός κόσμος χρφίμευσε γιο τον θεό ως υιιόδι·ιγμα κατά τη διάρ ­

χιλιάδες τeφc'ιγ(ο)νfι, ώσπου στο τέλος

βρήκr ι'νιι ιο οηοίο πέρασε ι η δοκιμu .

κεια των ιwcρών ιης Διwιουργίας. Το

Λ~ί(ει ακόμη νιι σ ημειώσου με ότι

μοΟιwαιικά rfvω μιcι εκ wν προτέρων διwιοιιργίιι ή ι.ο ίδιο αιώΥια με Αυτό\•.

σήμερα γγωρίζουμr μαθημcιιικές ο­

οίο.

Στο ά.\λο ίικρο, μπορούμε να βρούμε

nοδcίξtΙς που αnοτελού''ιαι κατά με· γιίλο μrρος ιιπο οyκώδcιι; εκιυnώοεις

ιιραγμαιικό μολύβι. Αλλά οι μαθη­

μια rξiιγηοη οιην άποψη που διαώπω­

υπολοyισrη. Οχι βι'βιuο εξ ολοκλι'pου:

μn ιι κοι cινοι twιμοι ''α εξηγήσουν

οr ο ε.Τ. H<>ll: τα μοθημοηκα εί,·αι η

οραyμοτικο. το οοβορόιtρο μέρος α­

μιιχιι,·η που εηαιικο ιιορογει ταυτο ­

ποτcλείιnι nκομη οπό Ο\•θρώnJνους

μό,•ο για να βοηθου,· τη σκέψη, πα­

λογίες. Σε

mo μοηtρ,·α διαwπωοη, to

συλλογιομοιις. ~το μερος αυτό α\'0 -

ραχωρήσrις στη θγητη και ιιλικη

μαθηματικά civω cιιεξιφyαστης πλη­

κολιίιιιονιαι οι υηολοyιομοί nου nρέ ­

φύση. Τα οληθιγα τετραγωνιομέ,·ιι ορθογώνιο είναι αφαφέσrις, που εύ ­ κολcι κωδικοnοιού\•ιαι ως σειρές α ­ ριθμών και . και' ορχήν, μ11οpούν να

ροφφιών.ΙΙ φυοικη συλλtyει τις πλη­

πει να γίνου\', και ο υπολογιστής προ­

ροφορίες ιιροι; r ιιεξι;ργασία. Το μαθη­ μcιτικά ιις r ιιεξι·ργι1<ονισι. Φυσικά οι δύο χι~ροι ολλ ι]λοπροσαρμόζοv ιω.

γ(><ιμματίζrται ,.α τους κάνει. ΑΛλά οι

ότι αυτό ro χnριf και το μολύβι εί,·αι

52

ΜΑΡτιΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

ιιρiιξεις ιου υrιολογιοιή είνα ι συνή­

θως μακροσκελείς γιο να αιιοιελf -


δικός στον κλάδο

112

1

έτοιμος να έρθει και να ισχυριστεί με βε­

βαιότητα όιι η από ·

:\;

δειξη είναι σωστή.

~

8

,,

11

17

9-Ρ,:1!1

ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΕΚΑΕ1Ίι\

I \I

1930,

γούοα τφ• εργασία

g

I ι~

,.

μου για ια τέλεια τε­ φόyωνα, συχνά με

"

16

ρωιούσαν: «Σ& τι χρη­ σιμεύουν όλο a υτά~· Δεν νομίζω ότι μΙΙο­

ρούοα να δώσω μια ικeι \'ΟilΟιηιική απά.

li

JJ

ντηοη. Σ ήμερο ,·ομί ·

ot7

(ω όιι οι ονθρωποι είναι

Σχήμα 3 σουν ονυκείμενο πλψους ελέγχου.

5

όταν εξη­

rιεριοσό,ερο

Σχήμα

4

να παρουοιό(οιιμr ιιι πράγματα με αφηρημένο ιρόπο. aποφεύγουμε να διειικρινί(οvμε τι εκφράζουν οι κο· ρυφές κιιι ιι οι οκμtς, αλλό ιιεριγρ{ι· φουμε λεπτομερώς πώς θεωρούμε ότι ουν&οηω μιταξύ ιους: κάθε ακμή συνδέει δυο κορυφές. Ας υποθεοουμε τ:ωρο όιι σβήνουμε

έ ιοιμοι να πα ρο δε .

τψ κορυφη με αριθμό

χτούν όη ο κόσμος

nou

τωνμαθημο ιικών

έχει ιιολύπλοκες αλληλεmδραοεις με

I και την ακμή

κατολιiΊτι ο' αυτην. Αυτό μας δί­

''t' το γράφημα

G,.

το οποίο είναι φυ ­

σικό να το ονομόοοιιμr •τμήμα• του

G.

Ομοίως μιιορούμε ''Ο σβήσουμε την

Αυτό είναι πραγματικά κάτι το

την ηροκ ιιιιή ζωή, ολληλεmδράσεις το

καινούργιο, αλλά οι γνώμες ως προς

i)ι:νη των οιιοίων μερικές φορές ονα·

τη φιλοσοφική του σημασία nοικίλ­

γνωρίζονιαι ε κ των υστέρων, και οι

λουν . Μερικοί φιλόσοφοι πιστεύουν

οποίες ιις ιιερισσότερες φορές είναι δύ ­

γραφήμο ια ιιου δημιουργούνιαι με

ότι η βcβοιότιιτο ο ια μαθηματικά έχει

οκολο νcι ιιροβλεφΟούν.

αυτό τον τρόπο.

κορυφή 2 κnι νrι πάρουμε το τμήμα G,.

κ.ο.ιι. Σιο Σχήμα 5 σας δείχνω τα έίι

Ας διατυπώσου με μ ια οnaζοκεφα •

εξαλειφθεί. Οι υιιολσγιοτές μrιορεί να

Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα

κάνουν λίιθη, κι ον η εκτύn~Jση εί.

μαθηματικού ιιροβλήμο ιος. Το Σχήμα

ναι πολυσέλιδη, ο μαθημοτU<ός δεν

4

μπορεί να r4ιιίζει όιι θα ιο εντοπίσει

φημα•. ή αλλιώς ..δίκτυο•. Ας το συμ ­

όλο. Οι περισσότεροι μοθημοτικοι

βολίσουμε με

απορρίπτουν αυτή την άποψη και

ονομαζουμr -κορυφές• και ης γραμ.

ακμές του ενός σχήματος nνιιοτοι­

εmοημοίνουν όιι και οι ίδιοι μπορει

μες •ακμiς•. Για τους φοιτητές ηλε­

χούν ο' ε κεl\'tς ιου άλλου. Επιφέ ­

επίσης να κόνου\• λάθη, ιδιαiτερο

κιρολογιας. οι κουκκίδες είναι γνω­

όταν ελtγχουν μεγάλες aποδείξεις.

στές με το όνομα -ακροδέκτες• και οι

Επομfνως, η δυσκολία να ελεγχθει

ypαμμες με

μια μεγάλη από&ιξη &ν έχει ολλό .

άλλους οι κουκκίδες ίοως να είνα1

δωσει όαο ιο δυναιόν λιγότερες εν·

ξει ουοιοσιικό.

..ιιόλι'ις• και οι γραμμές •δρόμοι •. Σια μαθιιμιωκι\ εγχειρίδια προσπαθούμε

σχεδιάσει ιο

Η μαθηματική βεβιιιι\τητα είναι ένα

δtίχνrι nιιιό rιου ονομάζουμε .. γρά­

w

G. Τις

κουκκίδες τις

δνομο •αγωγοί•. Γιο

λιό. Μας δ!νονιαι τα σχέδια των G •

I

εωc; G,. και μας ζητείται να •ανακαταοκευόοουμε• ιο G. Δεν μας δίνε· ιαι η ιιλφοφορία ποιες κορυφές και

πεται μόλιο tο οιο δημιουργό της σποζοκεφολιας να παραμορφώσει ιόαο πολύ τα σχέδιό ιου, ώστε να μας δείξεις. Για παράδειγμα. μαορεί να

G, με

τους δύο διαφο-

ιδονικό ιιου δύσκολο επιτυγχάνcιαι ο ιιιν rιρ(ιξrι. Δεν είπα ότΙ η μαθημα ,,. κή αrιόδειξιι ι·δραιώνει μια πρόταση πέρα cιιιό κάθε λογική ιιμφισβήτηοη. ΑλΜι πόσο έλεγχο ιrρέπει να κάνεις ώοιε να εισαι βtβαιος ότι το επιχεί­ ρημα που έχεις μπροστά σου αποτε­

G,

λεί προγμοηκό αnόδειξη; Μερικές φορCc; μια από&ιξη είναι μιχρή, σοφής. και είναι yνωοτή και μελετημέ,•η πε­

ρισσότερο αnό δυο χιλιάδες χρόvtα πριν. Τόιε ουσιασηκά δεν υπάρχει

G,

αμφιβολία. Από την άλλη μεριά, μια απόδειξη μπορεί να είναι πρόσφατη, έκτασης τριακοσίων σελί~ιν και δύ ­ οκολο ν(ι παροκολουθηθεί. Τόιε κατά ιιάοιι ιιιθανότηια δεν θα υπάρχει ει -

Σχήμα

5 QUANTUII / λΠΟΨΕΙΣ

53


Δύι> υ_y~δι<ι ι ου (}ι

απασχολri αν το θεώρημα είΥ(ιι γ νή­

το σύ\•ολο των τμημίιιων του. και ο 111

σω διwιοίφγιwο ωυ Νεύτωνα ι\ ιου

συ\'έχεια "α σχηματίσουμε μ' αυιό

Ricmaιιn. ή απλώς κάποιου μαθητιj

ένο τελείως διαφορετικό ypίιφημα.

ιοuς. Δεν χρειό(ετω ιιυτή τιιν nλιιρο ­

llώς α\'tιμrtωπiζεwι τούτη η κο­

Σχήμα

6

ιστορικός των μαθημιι ιικ~ιν, δεν τον

yρrιφημιι είνω "μιι ονακατcισκευάσι­ μο ... Θο μπορούμε νο οχι)ματίσουμε

φσρίο γιο να το αξιολογιΊσει.

ιόσ ι(Ι()Ι): Α\' ι\μιισταν φυσηωί εnιοτή­

Είναι αλήθεια ότι υπάρχει πλήΟος

μο,·ι:ς θΗ διιιιιιnώναμε έ\'Ο νόμο: ό.\α

προβλημάτων πιιψότηται; m:ιι μηθη ­

ιο yριιφι\μωιι είναι ανακατασκευάσι­

ματικά. Οι ιστορικοί μiις ηληροφοροίι\•

μα. θι1 ιο ιοχιιρΙζόμΜων με βεβcιιό­

ότι ιι λύοι1 ω υ Carι\ano για ιι1ν κυβικιi

ιηιιι, ακόμη κι ον συνεχίζαμε τοΥ

εξίσωση στην πρ<ιγμ(ιιικόιηω οφείλr­

έλεγχυ με νέn ιιαρcιδείy μιιιη. Αφού ρετικούς τρόπους που φαίνοηαι στο

ταιριάζει με όλες τις μέχρι οήμι:(Ι<ι 11α­

ται στον 1'8ι·taglia, όιι ω λεγόμενα κυκλώματα Hamilton αrιοιελούσαν

Σχήμα

ραιηρήσεις μας, τ1 παριιπά"~> θιι μπο­

αρχικό σύλληψη του Kirkmaη. ΕΥ·

δεν

6. Σε κάθε ηερίηιωοη. βεβαίως, πpέ11CΙ \'α .. (Jilι\0&1 " μJ<ι ~κμή, ή

ρούσαμε να κάνουμε: Ως μαθιwατικοί.

va

την αποοnάοεΙ από Ης κορυφές

όμως, διατυπώνουμε τψ ίδια πρότα ­

τούτοις, το rνδιαφέραν μας γ1' ουtές ιις cνΥοιες ιιαραμένε1 το ίδιο έτσι κι αλ ­

ση και t l)\' ονομάζουμε εικασία. Στο

λΙΙ;ις. Το θεώρημα είναι που έχεΙ σημη ­

Η συγκεκρφένη σπαζοκι:ψαλ1ίι δι;ν

δι κι\ μας βαοL~ειο Οεωρούμε ότι tέτοιες

σίο, όχι ποιος ω ανακάλυψε.

είναι πολύ δύσκολη.~~ μπορούοομε

11pοιiιοεις πρέπει να συνοδεύονται με

τ, εi\'(11, λοιιιόν, τα μαθηματικίι;

να ιην αντιμετωπίσουμε ως εξι'ι<;: Σrο

αποδείξεις. κω ντρεπόμαο ιε α ν δεν

Φο.ίνεται ότι έχουμε τρεις ειιlλοyές, Το μαθημ(ιιικά είναι η ανθρωπισnκή επι ­

τ ης.

G2,

που πιφίΙγtιαι (tllό ιο

αφαiρεσιι της κορυφής απομο,•ωμένη κορυφl1

2. r.

G με

ιι)ν

υπίιρχει μία Αυτi1 στο G

δ1nθέτουμε καμία. •Αλλά α" μπορέ­ σουμε ''α σκάψουμε λίγο βαθύτερα•. λέμε σwν ειιυtό μας. •·ίοως βραίιμε μια

στίwη 110u ιιμνεί την αιώνια λογική. Είναι η φυσική ε πιο ιήμη rιου μελετά το φαινόμεΥο το οποίο ονομόζεtαι λο­

ιΙλλiΙ όχι μc άλλη κσρυφι\. Παρατφώ­

αnόδειξη•. Η απόδειξη αυτιj πρέπει να εiνω έξω

νιας ιο

διαrιιοτώνοuμε όιι κάθε

από τα συνηθισμέ\•α, και αξίζεΙ \'tι τψ

αιθέριας ομορφιάς από τιιν πρώτη ύλη

κορυφή rου γραφήματος συνδέετω με

ανιιζηιήοουμε. Σημειώγω ό ιι δεν μι­

ποΙΙ ΟΥομάζεται λογικi}. Είναι όλα αυτά

δύο rουλάχιστον άλλες κορυφές. ί\ρα

λάμε για ι ην (1\·οηοiο πως το όλον εί­

και ίιλλα. Πάνι.ι αιι' όλο, όμως. μπορώ

καμία κορυφή wιι

και

γαι το {ιθροΗ.ψΗ ιων μι;ρ<;>ν ιου . Σ.

να σας βεβαιώσω όη τα μαθημα cικiι

ειιομtνως η ι· nρέπει να είναι ιι κορυ­ φή 1. Γνωρί(ου με τ(;'ιρα όιι η ι· nρέπει

αυηj τιιν ειδική περίπτ-ωση, απλά δι:ν

είναι ευχαρίο ιφη.

γνωρίζουμε αν το όλον ορίζεται από τα

Ελιιίζω να μιιν α\οτιμετωπίσετε το

νιι εμφον(ζειnι οιο

μέρη ι.οιι. Η εικασίu της '"·ιικ<ιιιι­

ζή ll)μα ι.όσο φιλοσοφικά ώοτε να αρ­

σκευασιμότητας είνω ένα από τα

χίσεα: να με ρωτά.,.

μπορεί να συνδεθεί με την κορυφή

νω

•1

G1

κσρ11φή

(; 1 δfν είναι

s COll

η

G,. Πρέπει

r,

2,

να εi­

γραφήμα ιος, αφού

κάθε άλλη κορυφή ιου

G.,

ουνδέεται

με τουλάχιστον δύο άλλες. Αλλά δεν

mo

γνωστά άλυτα προβλήματα της θεω' ' ριας γραφημαιι•>''·

γική. Εί,·αι η ιέχνη που rιλίιθει δομές

"

είΥιιι η λογική.

Αυτό θιι μηοραύοε να είνιιι το θέμα μιας άλλης διάλεξης -ιιιν οποία, ελ­

ιιίζω, θα έδινε κάποιος άλλος.

χρεια<εται ΥΠ ολοκλψώαουμε τώρα τι1 λύση. Αρκεί να 11ω όtΙ μπορούμε ''α

Αι\ΛΑ Ί'Ι rΙNE'I'AI ~·ΙΕ ΟΛΟΥΣ ΕΚΕΙΝΟΥΣ

συνεχίσουμε, 0\'Ογνωρίζοντος ης κο ­

ΛΡΧΙΣΛ ΔΙΕΡΟΊ'!!~!ΕΙ\'ΟΣ 1Ί ΕΚ ΑΝΑ ~ε

ρυφές μει.ιιξύ ιων ιμιΙJ.Ιόtω\', μέχρΙς

που ΙΟχυρίζονιω όη cα μαθιΙJ.Ιατικ:ά ανιjl(ουν στις καλές τέχνες; Ένας

ότου μπορέσουμε να επικαλύψουμε

μαθηματικός, λέΥε, μοιiιζει μ' έΥαν

κιιιίΙψcρu να σας διi>οω μια Ιδέα γι'

αρκετά τμήματα ώστε να σχηματίσου ­

ζωγράφο ή έναν γλύπtη. Η πρώτη του

με ιο

ίΙλΙΙ δεν είνnι

χρώμα. ο ιωμβός, το

nιιιό. Α ναρωτι'ριικcι γιατί η πολιτεία με πλιΊρωνε για όλα αυτά. Πιθανόν εξ­

μίιρμαρο ιi ο μπραύγτζος, αλλά η ίιυλη

αtτίας εκείνης ιης σύνδεσης με ιον

<:ΙΛ ΜΙΙΟΡQΥΣΛ~Ιf: ΝΛ ΦτJΛ:Ξ:ΟΥΜΕ ΜΙΛ

λογική. Ιlολλά μπορεί \'Ο πει κανείς

πραγμαuκό κόσμο μέσω της φυΟΙκής.

tέτοια σπαζοκεφαλιά για κάποιο άλλο

γι' αυτή τηγ άποψη, και ήδη υπάρχουν

γράφημα. για κάποιο άλλο σύστημα

διαφορές. ΦαίΥεtαΙ παρίιιε\'0 σ' ενιιν

γιιι ιην οnοία έχω ι'}διι δώοει δύο εξη­ γήοεις όχι και τόσο πειστικές. Όσον

κορuφι;,ν

ουνδέονωι ανά ζεύγη

μαΟημαηκό ότι στο χώρο της τέχΥης

cιφορά ι11ν εrιίδραοη της δουλεΙάς μου

με ακμές. Σε όλες ιις ΙJερω·ιώοεις ιιου

είΥω αδύνατον να αξ!ολογiισεις rνα

στους μαθημαιικοί1ς μο11 ειηyό,·ους, το

έχου με ανιιμετωιιίοει.

11 οηαζοκεφο­

έρyο αν δεν αναγνωρίσεις τον καλλι ­

μόΥο που μuορώ ,.α ελπίσω είναι να

λΗΊ είναι κ<ι.λή. με. ιι]ν ένγοιιι όΊ.ι έχει

ιέχνη. Όλοι έχουμε ακούσει ιστορίες

έχω κινήσει ι.ο εΥδωφέρον τους τόσο

μόνο μiα απάντηοη. Πιφ' όλα αυτό, παραμένει μια αμφιβολία. Ίσως κά­

n η ιοίJ

ιοιJ είδους.. Έ\'ας πίνακας, αν

ώστε να συνεχίσουν. Χαί(Ι<ιμ.α ι που το

και <ι νήκει σ·cον ζωγρc'ιφο Α ιου 16ου

λέω: από κ(ιποιες όψεις της δουλειάς

ποια μέρα βρούμε δύο διαφορετικά

αιώνα, ανοκαλύπτειοι όιt ο ιην ιιρay·

μου, αυτό έχει ιjδιι emτευχθεί. Η δια­

γραφήματα που να δίνουν

δικασία της αποχώρησής μου στη σύ ­

νολο τμημάτων. Σ' αυτι\ την περίπτω­

ματικόιητα είναι Ι'ι>γ<ι τοιι ζωγράφου Β του 20ού αιώνα. Η καλλιτεχνική

ση δεν θα μπορούμε να ορίσουμε το

σημασία και η οικονομική αξίn 'ι() υ ιιί ·

εmτρέπει να ξαναγυρίσω στην κατiι­

αρχικό γράφημα αιιό ια ιμήμα ιά ιου.

να κο ομέοως εξανεμι(οντω. Α Υτίθε­

σιαοη του ερασιτtχνη μτ καθαρή συ ·

~~ μπορούμε "" πόίιμι: όtι το αρχικό

ια. ταν μαΟιwατικό, εφόσον δε'• είνω

νείδηση.

54

G.

nou

w

ίδιο σύ­

MAPfiOΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

ro

όλη ιη'' ακαδημαϊκi1 μου (ωή. Ίσως

νtαξη γίνcwι έτσι πιο εύκολη. και μου

(f;


ΠΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ 11

Γιατί πρέπει να

το τ

ιιΜπροστά στο τζάκι σου είσαι βασιλιάς, όπως είναι ο μονάρχης στο θρόνο του.ιι

-Miguel de Cervantes Victor Lange

Υ

θερμοκρασίας ιου Τ:

ιιοet::ι:τεσrι θΕ"ΙΌΥΜεΣ· ΕΝι\Ν

ειδικό στη μελέτη και εγκατό­

U = amT.

ο ιαοη KC\" ιρικώ'' θερμάνοεω'" και σε κάποιο'' που δεν έχει

όπου α riναι ένος συντελεστής ανα ­

εμπcφιιι ο' ιιυτό τον ιομέα το ίδιο

λογίας. ο ιοθrρος γιcι κάθε οιιγκεκρι ­

ερώτημιι: .rιατί το χειμώνα ανάβου ­ με στα σπίτια μας το καλοριφέρ:• Η

μένο αέριο.

Καθώς ιο δωμ(ιrιο ζrοταiνeιαι, ο

ιιnόνιηοη ιου ειδι κού ίσως είνα ι η

αέρας γίνειαι θερμότερος, διαστέλ­

ακόλου0ι):

να α ιιξήοου με rην

λεται, και ένα μέρος του διαφεύγει

εοωιeρική ενέργεια ιοιι πέρα μέοα

αιιό ιις χιιραμόδες ο ιις ιιόρτες και τα

στο σπίτι•. Λπό την άλλη, ο μη ειδι ­

παράθυρα, ακόμη και από τους πό-

κός Οο πει: .,f'ιατί έτσι το εσωτερικό

ρους και τις ρωyμες των το ι χων- ετσι.

ιου οnιιιού γίγει<ιι πιο ζtοιό_.._ Και

η μάζα του αeρα μέσα ο το δωμά ιιο

βέβαια. η απάντηση του δεύτερου εί ­

αλλάζει. Ο όγκος του δωματίου, ό­ μως. παραμtηι σταθερός. Σταθερή

.. Για

.

.

ναι ακριβέστερη. Ιοως φοίνειnι οιιίθα,•ο rκ nρώιης

'

ιιαραμι',·rι και η ιιίrοη ιου αέρα, και

όψrως. ο.\λίι η rοωτερικη εΥέρyεια

ιοη με τη,· ατμοοφοφική πίεση. Έτσι.

ιου αι'ρα οιο οnιιι nαραμέΥει η ίδια

η μειαβολη ιης εοωιερικης ενέργειας

μετα το αναμμα της φωηάς.

του αέρα στην παραπάνω διαδικασiα μπορεί να yραφιεf ως εξής:

Υποθέστε ότι ιο κοιαχείμω,•ο nη­

γαίνειc οιο rιοχικό οης, ο ι ην κnρ­

ΔU .

διά του δάσους. Η θcρμοκριιοία ο ιο

;

o·c.

οιιί 11 είναι ιιερίnοu και αnοφα­ σiζετε \'U ονάψετε την ξυλόσομncι για να (εσταΟι·ίτε.

11 θερμοκρασία του

χώρου δc'· οργεί νιι φιάοει ιους

20 C. όπως διcιnιοτώνετε

από ιο θι:ρ­ μ ο με ιρο τοίχου. Ας υπολογίσουμε, λοιπόν, ιη μειαβολή της εσωτερικής

U2 - υ,

αnι, τ, - αnι, τ, nιιn,Τ,- ιη 1 Τ1 ).

=

.,

Με ιη βοήθε ια, όμως, ιης κατα ­

στατικής εξίσωσης των ιδανικών αε ­

...

ρίων

PV =

ενέργειας του αtρο μέοα ο ιο δωμά­

m-

RT

και δεδομrνου όn η πieοη και ο όγκος

ι: ι ο.

Για ου,·θηκcς που πpοοε\Ύί(ουν ιις κονονικtς !δηλαδή θερμοκρασία κοηά στους Ο

ιιι

C

και πίεση

του αερα δε,· μεταβάλλογται. όπως πpοaΥαψεραμι. προκύπτει

1 atm

-περίπου ΙΟ' Ν Im'!, μπορούμε να

m,T, =πι, Τ,=

PVm_,. R = οταθ.

δεχιούμr όιι ο αrρας συμπεριφέρε­

ται ως ιδανικό οι'ριο· ι'ωι, η εοωιε­ ρικι\ του cνέργrιcι

Αρα, οτι1ν rιρογμαιικότητα η ε-

U rίνω ανάλογη

111<: μόζιις ιοιι nι κcιι ι ης απόλυτης

Ή οιιvι'χι·ιn οι η σελ.

QUANTUM I ΣτΟ ΜΑΥΡΟΠίΝΑΚΑ 11

67

ι::>

57


ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ,

ΥΠΟΔΕ Ι :Ε Ι Σ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Μαθnματικά Μ56 'Εστω ι/ ο μrγιστος κοινός διωρέ ­

a και b.

της των

8+

1

Αφού ο αριθμός

a' + b" + 8 + I>

b+l

ρος rιαίκτης είναι α'·αγκαομένος να

γωΥιακό είνα ι μαύρο. Ι Επομ~γως. ο

μt;ιιικινηθ&ί <)ι~ ι~νη iιλλο \'ιόμ ι νο, και

ι ιρώ ιος nαίκ τι)ς μnορεi απλώς \'Ο

έr<J ι ο πρώτος η(Ιίκτης θιι έχει ξι)νίι ΙΙJ

εφαρμόσει τη \'1Κηφόρο στρατηγική

δυνιι τότιιτα νιι φέρει το πιό>•ι στο

ιιοιι χpησψοJΙοιήοαμε ο την •ακρωτη­

δεύτερο τετράγωνο του δεύτερου ηό­

p1ασμέvψ οκακιι'ρα

μινο. γεγονός που θα αΥαγκόσι·ι τοΥ

γιιι Ht uερrrιά ιι.

cou

μέρους (α)

δεύτερο παίκrιι ''α "ανοίξtι• rνιι τρίτο

Λφήνοιι μr γΙο τους αναγνώστες

ντόμινο. κ.ο.κ. )\ρο, ο πρώτος παίκτης

τη διερεύνηοη ιοΙJ ιιωχνιδιού στις

ab διαιpεi ιαι μt d". ο ιφιθμητ.ής a' + b' + a + b δια ι ­ ρείαιι με το d' . Αλλά ιο a1 + b' δι οι·

μπορεi nό.v-to νο απαντήσει otJς κι γη ..

περι πu~υεις Κ(Ι(ά ιις ΟΙJοίες η αρχΙ ­

σε1ς του δεύτερου. ω ιόcε κφδίζει

κή θέση του πιονιού εiνω τυχοία.

ρεiιαι εnίοης ιιnό ιο d . Επομένως, ιο 11 + b διωρεί ιιιι με d '. κιιι έ ιοι Ja + b

να καλiιψουμε με ηόμι\'Ο όλη ηι

~ d.

ν ι ακό τετρiιγωνο ! Σχi)μο

~>- + -~~- = .::....:....::..ιι....,b:....::..:....::.. είναι ακέραιος και ιο

2

σκακιέρα εκ ιός ωrό ιο ορχΙκό γω ­

21.

Με ιιί

τψ' πρώτη κ ίνηση του ηρώtΟΙJ ιιαj ­

Μ57 Χρησιμοποιώντας τη συνθιίκιι

b +c;

ΑΥ το η εiνο1 περηιό, μπορου με

a+

Ο, παίρνουμε

r•

Μ58 (α > rια κίιθε άρτιο

διαιρέσουμε τη

n μπορούμε

n χ 11 σκακιέρα σε

Έστω Λ,Λ, ...Α, το μεγαλύτερο ηο ­ λύγι.>"ο και έστω Β,Β2••• Β. το πολύ­ γωνο ηου είνοι εγγεγραμμένο στο

κ τη, ο δε ύ τερος μ πορεί ,.α ξεχιίοεΙ

Α , Α, ... Α., (όπου το Β, αγήκει στην

τελείως το αρχΙκό τετράγωνο , να

πλευρά Α 1 Α,, το

εφαρμόσει σι;ηγ

s.c. + b: + c~ = aΊ< b + 2 τ b2(c + a )2 + C'ιa + b!2 = 2ιa'b2 + b2c2 + c 1ιι2 1+ 2ιιbΦι + b + cι = (a 2 + b1 + c~t2 - t/- bJ- C4•

Μ59

-καλυμμέν η μt

82 ο ιην Α2Α,, ... ).Ας

υποθέσουμr αρχ1 κ.ίr ότι το κέντρο Ο

ντόμινο-- .. GΚρ(ι)tηριασμι~ν η» οκο·

του 11εριγεγραμ μένου κύκλου βρί­

κιέρα τη στρατηγική που ηερΙyp(ιψιι ­ με ηροηyοuμέγως κο ι, ιHJ\'εnιiJ<:,. νο

οκε~ω ο ιο εσωτερικό ιοu μεγαλύτε ­ ρου ιιολ ιιγώνοu (Σχιiμcι 3). Τότε τα

κερδίσει.

τμήματα ΟΑ 1 ,

(β\ Αν το παιχνίδι ξεκινάει από

08.,

013,. ΟΑ,. 013,, ..., ΟΑ.,,

διαιρούν α u <ό <ο πολύγωνQ ο ι.n

έvα ιε ιράγωνο δίrιλιι οιο γω>· ιιικό, ο

τρίγωγu ΟΑ,Β,, ΟΒ,Α, . .... ΟΒ.,Α,. ιο

πρώτος πα ίκτης μπορεί πάντα να

συνολικό εμβαδόν των οποίων ισού ­

εξιισφιιλίοει ιη νίκη.

ιιιι με ιο εμβαδόν Ε ιου ΑιΑ 2...Α.,. Ας

να

Αν το π είναι άρηο. ιι στρατ.ηγΙκή

θεωριΊσουμε το ςεύγος τωγ ψιγώνωγ

π' / 2

παραμένει η ίδια ακριβιδς όπως στψ

ΟΒ1 Α, και ΟΑ,82 <Σχήμα 41. Βρίσκο ­ "'"' προς διαφορεc ικές μεριές <ης

·•νιόμιvο• δύο ιειρογι;ινων ιΣχήμιι

l /.

η ερίηιωnη ( α). Αν ιο

n

~-:ίναι η&ριιιό.

11 νικηφόρος σφα ιηyική γιο τον ηρι~­

ιιαρα ιφοίιμε ό rι ο δεiιιερος rιαίκrης

ιο παίκιη ουνίσuιιω οιη μειακίνηση

δεν μπορεί ν ο π(ιει rιο ιέ ο to ψι)νιο­

του η1ονιού στο δεύτερο τετράγωνο

κό τετράγωνο. επειδή αυτό έχει •λιι­

των υψώγ τους,

του ντόμινο όπου είναι τοnοΟcτημέ·

θεμένο• χρώμα. ιΛΥ το αρχικό τετρά ­

ρου με πάνω στηγ ΟΛ,. είναι το πcιλύ

\'Ο. Αυτό μπορεί \'ά το κάνει αrιό ιι1ν

γω\'Ο είναι άσπρο, ο ι φώως ηοfκιιις

πρώτη του ιjδιι κίνηση. Τό ιε ο δείιιε -

ιιι)γniνει ιιίιvω σε μαiιρο ιειρόγω­

ίσο με Β,Β,. Έτσι, κ α rαλ ήγοuμε στην εξής εκτίμφη γιιι το άθροισμα των

8χ8

κοΙνής τους πλευράς ΟΑ0, και εύκο ­

λιι διαωσtώνουμε ότι ΊΟ όθροισμα

νο, και ο δεύ ιερος οε ιΊοιιρο. εγώ ιο

Β,

I

~ Σχήμα

58

I

ι ο

1 MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

Σχήμα

2

κα1

Α2

7χ 7

~

h1

I Σχήμα

3

h'l,

που φέ ..


Από ιη,· αιιόδrιξη έrιετω πως. όταν ε,·ιι rιολυyωνο Λ , Λ,... Α, rιrριέχει το κέηρο του περιγεγραμμένου ιου

κυκλου. η 0\'ΙΟΟtητα μας

n ~ 2Ε R

yίηται ισοτητα Ο\' κοι μό,•ο α\· οΙ

πλευρrς 10U 11 Η,... ιι. εΙ\'01 κίιθειrς στΙ<;ΟΚΙΙ\'rς ΟΑ, ι Β, Β,J. 0.4,. ..., Β.Β, .L Οι\ 1 1. ε,·α ιέιοιο πο.\ύγω,•ο B 1Br ..

Σχήμα

Β, μnφri ,·ιι μη'' υηαρχει ιόnωςστην nερΙηιwιιη ιου ΣχΙ\μαιος 5ι, αλλά,

4 δινcι το ι·μβnδόν ιοu ιι ολΙΙyι:\\·ου

~μβuδ~Ιν ισυς:

.

όfΟΥ υηίφχι'Ι, rχrι ff\ μικρότερη δυ­ νοοi περίμ~φο 2ε ι R. Συγκεκρψέ,·n. μ11ορείιr ν« χρη­

ΟΑ , Α .... Α • κα ι πιιι'πι·ι νιι rιφωρfοοιι" μι• ω ι·μβrιδίι ι~)Ι' τριγώνων ΟΛ , Β,

οψοnΟΙΙΙΟCΙC αυτή ιην ΓΙΙφ(Ι ι ή(ΙΙΙΟ f\

κω ΟΒ

γ ιι1 νο αιιοδείξετε ότι ι·•·ο rρίγωνο

cιμcι. γιο ,.ιι βρούμε ιο cμβ<ιδόν ε του

Β,Β,Β, ryγεγραμμι'••ο or o~uyι~\'10 ιρι1·ωvσ Α ,Α λ rxcι ι η μικρόιερη

ιΙ ,. Ιr.. .Ι ,. Εδω χρειαζόμαστε μια μι­

δυ•·rιιή ιιφιμrrρο ή\' και μοvο

Πορόμοιrς rκ ιιμίιοrιc; ισχύουν για

κρη τροποιιοΙηοη ιης ιιροηyουμε,·ης

κσρυφtς ι ου ε/\·αι τα ιχ•·η rω•• υφω••

κο()( (tuγος ουιω'· ιω'· φιyώ,.ω,· με

αnοδειξης. llαρατηρούμr n~ις όια\·

rου

κοl\·ή πλrυρό ΟΑ.-

δύο ιpι\'C•J\'Q ι' χουν ΚΟΙ\'η βαση -<tς πούμε το 0Α ι 81 κnι ΟΑ ,Β.-κιιιβρi­

Μ60

βόσιJς. τότε ιι απόλυτη τιμή ιης διο­ φαpας των υψω'· τους hι κιιι h. ri-

ιμήpn κnθι· 11.\ι•ιιιιιι ή διαγώνιο του δεδομένου c6n • Ι ι-yώνου. Εη1σης.

ι

- ΟΑ.. Ιι, +

2

I

ι

2 ΟΑ,. Ιι, ~ :1 ΟΑ,· Β, R,

=

I

2

R-R1 B,.

k = Ι, 2 ..... n. Επο­

μtνως. rχουμε

οκο,•τιιι ιιιιο ι η'' ίδιn μεριά αυτής της

Ε= [rμβαδό,•cΟΒ,.-\)" εμβαδόν ιΟ. Ι,Β,ιΙ

+ ... "[rμβαδόν«ΟΒ,Λ,ι

+ rμβιιδό'· cOA,B,ιl ι

s~ R · Β,Η2 + ... +

ι

2

.1 1 ωου μαζι μός δi,·ουν το cμJkιδον Otl 8. Ι απο ουτό ιο cιθροι ·

νιιι ιο ιιολιί ιοη μ ι·

Ιδεί ι ε ιο

εμβιιδόν<ΟΑ,Β,> - rμβοδονιΟR,Α 1 J

· zR(B,B2 + ... + Β. Β,)

ή

R

- 11ιι

"11 βρ>υκηιιι ι'ξw ιιιιό το ιιο.\ύγωνο

rμβιιδονι ΟΒ.

•τμήματα ...

On

ω ονομάζουμε απλώς

" ιpί γ<.ι.)ΥQι•.

χα. Εινοι ψα'·rρό ότι Ν

ixou,·

=

ΜιΜ

2.

11 2. Ν = ΜΚκιιι Ν = 'ΚιΚ -ι ι onou Μ ~ ι6n + lt - Κ ει,•ιιι το πλή-

...

~

θος τω" μ11λr οημriω,·. Πα ρο τηρηστr

1.-\,J-

rμβαδό,·ιΟΑ,Β.ι

1

ι\ 1 1\ 1... :1•. Σ' rιιιιη ιην ιιrριιιιωοη. μια από τις πλrυιΙι·ς ιοu -ης ποiιμε η

αφού όλα τα τριyω,•ιι ιιοΙJ Αειφοιίμε

κόκκι,·ο. κω δύο κόκκινα, αvtiστοι­

κω . ιι<ιρομοιn.

Εί\'01 rιιισι}ς δuνtιιο,· ιο κέ:,ι ιρο Ο

ονομάζουμε

ιο 11λήθος ιω\' τμημίιτων που

I sϊ R Β, Β• .

2Ε ~-­

On

δύο μιιλr άκρn. tνο μπλε και C\'α

~.!. ~ Ιι 4;! 1 I

!Ία συηομίrι .

Σιιμβολίζουμε με Ν... Ν.. και Ν..

= ~ 0Λ 1 (h,- h,.}

=l Rπ.

.-\ ,.\ _., \ .

είναι ιοοοκcλι1 μι· πλευρές ιέιοιο

Σχ1iμιι 6ι. Έι.ο ι, ιι:ψα έχου με

R. Β. Β,

ι

π

R, R,

n•· οι

οτι α υ τΟ

tO

r1ληθη δrν ειαρtώ\'tΟΙ

ιιιιο ιη διευ0rτi)Οη τω\' χρωμιΊιων. θο ιιροσπαΟηοουμc να εκφράσουμε

<- :l R · Β111 8n•

ουναρτίΙσει αυτ~>ν το πλήθος τwν

Αν ιιροοΟέοουμc τις δύο ανισότιιτες

μονόχρωμω1· φιyι;>vω,· ι ιων τρΙγώ­

ιο

οιις ΙΙ(J1101'ΥΥiΟtΙς ι.ου rμβαδού tω\'

Υων μ~ κvριιψι'ς ίδιου χρώματος).

άθροισμrι των εμβαδών των τριyώ­

(ευγι~ν τ~η· τριγώνων ΟΑ , Β, κω

νω'' ΟΛ,Η,. ΟΒ,ιΙ, . .... 08,, ,Α, μας

OB,tl ,. .... UB., 1 Α,. . 1 κιιι

Α.Α ,- χωιιi(rι ι ι ς υιιολοιιιcς 11λι:ιι · ρι<ς ιιιιό ιο οιιμι·ίο Ο ι Σχήμα

...ι,

5J,

ΣυμΙ!ολί~ουμι• μr Ί',. Τ2• Τ,. τ. ιο

ΟΛ,. 1 Β,, 1 rιου βρ,·ικαμr rιροΙιγουμrνως. θα πίι ­ ρου με το εμβαδό,· ε στο αρ•στερο μι'·

rιλίj()ος των τριγώνων με 3. 2. Ι και Ο μnλr κορυφtς. ο\'tΙσιοιχn. Τόιε. ιο

λος και

Κάθε ιμημα εΙ\· α ι πλευρό τριώ" ο­ κρ1βι.ις Ι ισοσκr.\ω,·ι ιριγω"ω'· ι&ιιr

1

ι

R

Π σ ι ο δrξιο. ολοκλη ­

ρώ\'Ο\' ι ο ς tιοι τ φ• ιιπόδειξιι.

ΙΙλήθος IIOU ~ηtΟυμε ttVOI 'f',

ιο Σχημο ϊι. ι t\υtό ισχυrι μο,~ο otO\'

Β. h.- b,

ιο 11.\ηθος ιω' n.\rυρώ,· του ποlυ­ yω,·ου r11·αι πrριι ι ο και δεν διαιpεΙ· tΟΙ μr ιο μορφη

5

Σχήμα

:1

~η.\αδη. όιn1· έχtι τη

6n + 1 η Gn + 5.

ΕnομrΙ·ως. Ο\'

απαριθμησουμr ιο rιλήθος ιω'· πλευ­ fΧο>" με δυο μ11λr οκρn οε όλα ια τρi­

Α,

Σχήμα

+ '/'0 •

γωνιι. Οο nιιοι)ΙθμΙJ{Ιοιιμε κάθε •από

6

μπλε oc μπλε' τμήμιι τρεις φορές,

OUANTUM Ι ΑΠΑΝΤΗΙΕΙΙ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΙ ΚΑΙ λΥΙΕΙΙ

59


Α

Υ

_ mg(L-xXL-y) r. - τ π

,.

111 χ

-> ---------... •

I

θετηθεi ο tα σημεία που χαρcικτηρίζο ­ νιοι από τη σχέση

Β

J'

_v>

rv

σης

Σχήμα Β Ας ονομάσουμε

7

t(l-2(L~x)}

Τη γραφική παράσταση της συνάρτη­

ο

Σχήμα

f.,,

J•ω = j

r;. Γ. τα μέτρα

t ) 't1 - 2(L-.Y)

των δυνάμεων που ασκού\"tαt στο πράγμα που μας δίνει 3Nw. Από την άλλη, ένα τρίγωνο μr τρεις μπλε κο­

συγισταμένη των δυνάμεων

ρυφές έχει τρεις τέτοιες πλευρrς. έ'•α

ασκούΥται στα Ι και Ώ έχει μέτρο

τρίγωνο με δύο μπλε κορυφές έχει

= fι + f 1 και

μία, ενώ τα άλλα τρίγωνα δεν έχουν καμία. Έτσι, το ίδιο ιιλi'Jθο<; μηορεί να γραφτεί ως

3 Τ, + Τ2•

πόδια

y>.

11. 111

και

IV.

αντίστοιχο. Η

f,2

λόγους συμμειρίας ιο σύνολο των

(0.

•ασφαλώ"• σημείων είναι το γρομ ­

Ομοίως, η συγισιαμέ,•ιJ των δυ­

μοσκιασμένο καμπυλόγραμμο • tε­

νάμεων που ασκούνται στα πόδια

lll

r,. = ι;+ r; και ση­

μείο εφαρμογής Β ιt, y ) (όπου

3Ν,,, = 3Τ, + Τ2•

που

εκφράζει η πιιχιό κόκκινη γραμμή στο Σχήμα 9. Είναι φανερό ότι για

σημείο εφαρμογής Α

και ι ν έχει μέτρο

Επομένως,

Lείναι

ξοuμε όι1

rι(l τη (1\JΥΙ(Jτ(Ι μένη και 't.U)V ti;O οάρων δu,·ίιμεων ιοχύ~ι:

κα1

ρη. αφού τη διαιρέσουμε με ιο

~

ΙΙ"Ιι

(1 )

un'

απόσ ιαοη

από ιο κέν φο της Σελ ή­

y

νης. Η συγθήκη ισορροπίας γι' αυτήν

όπου προκύπτει:

δiνει

μιι;

L- y r, = r,--"-

και ολοκληρώνουμε τ.ην απόδειξη.

Ο οιινδυασμόc; των (I ) και

ό11ου ρ ciναι η πυκνότητα του αέρα,

(2)

ωg(t - xXt - y)

'·=τ,,

Φ56 Όπως φαίνετcιι από την εκφώνη· ση. για να μην σπάζει κάποιο πόδι

• to βάρος

ρgΔ,γ= -ΔΡ.

(2)

.v

του τραπεζιού, πρέπει

γαδιού. Ας θεωρήσουμε ότι μια μικρή αέ­ ρια στήλη ύψους Δχ τοποθετείται σε

f,γ = ψ - ,Υ).

.! 2).•

a = D/2 εiγαι η ακτίγα της Σε ­

πiεοη σε σχέση με -το βάθος του πη­

L- χ fι •f, = f,., = -;;- L

η

δίνει:

·

g

η επιτάχυνση της βαρύτητας σ '

αυτό το σt}μείο, και ΔΡ η διαφορά πίεσης στα ύψη (y + Δ.rι και ΥΜπορούμε να εκφράσουμε την

Έtσι, για να μη ο ιιόοeι ιο ιιόδι Τ ιιρέ­

rιuκνό·ιηια ιου αέρα μέοω της καια­

πει:

στα τικής εξίσωσης

που

σηκώνει• (μπορούμε να λέμε, η δiι­

PV =

να μη που ασκείται πάνω του) να μην

ξεπερνά την τιμή

mg/4.

Ας υπολογί­

mm... = 14,5 g

της δύν·αμης που ασκείται στο πόδι

του. Έτσι,

8)

I

όταν το σώμα μάζας 111 !2

-

τοποθετείται στο σημείο (χ, y ) της αρχή του δισορθογώνιου ουοιήμαιος

60

η γραμμομοριακι] μάζα

m - Π}ιnω.. Ρ

RT

'

όπου Ρ είναι η πίεση του αέρα στο

Σχήμα

ΜΑΡ110Ι / ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

RT

ΩJmofft

Ρ- V -

επιφάνειας <θεωρούμε το σημείο Τ ως αξόνων).

m

όπου ιιι είγαι η μάζα του αέρα και

σουμε. λοιπόν, πόσο είναι το μέτρο Γ, (ΣχιΊμα

a /./2

λοιηόν, είναι ιο rιώς μηαβάλλεται η

Βεβαίως ισχύει και

+ Ν.. - N,.f2J =3(7; + Τ0),

to C καιό τη διεύθυνσ η ιης

λήνης). Λυτό που πρέπει να βρούμε,

nιg

παίρνουμε ιη ζητούμενη παράσταση:

αέρα στη μέση της

σήραγγας ισούται με την ηίεση στον

(όnou

απ' όπου προκύπτει:

2,

Pr του

ακτίνας. ο οποίος απέχει από ι;ο κέ­

f,;r = f:w<L - χ),

τη ιοόιηια και αφαιρώηιις τη δεύτε ­

Η rιίεση

νιρο τ ης Σελήνης αnόοταοη

3Ν.,. =Τ,+ 3Τ0•

Τ.• + Τ,, = < Νjlμ+ Ν

Φ57

ται από

και

Προοθέτονιας την πρώιη με ιην τρί­

9.

ιιuθμένα ενός πηγαδιού ηου διέρχε ­

r, + ζ= mg/2,

3<Ν'"

τράγω\'Ο• στο Σχήμα

to μήκος ιης πλευράς ιου τραηεζιού )_

11ε ιον ίδιο τρόπο μπορούμε να δεί ­

<4,

δηλαδιi η μάζα πι ί2 μπορεί να τοπο ­

ιn /2

Α

mg

9

συγκεκριμένο βάθος.


κ

Φ59 Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο χώρο μεταξύ των κέντρων τω,· πλακών ιο κριβέστερο, σε ολόκληρο το χώρο μεταξύ των πλοκών αλλό όχι ο' ιιιιtόν κοντό στις όκρες τους)

δiνετο ι <.'tπό ιον γνωοιό ιίηιο

η

Ε: = .!L' ε,s

111 ιrwk•!IJ g [ a' a' ) u \Ρ l n., - n ,, - - RTu 2-4 '

Σχήμα

10

Επομένως, η διαφορ(ι δυναμικού με ­

IJ

τοξύ των κέντρων των πλοκ~>ν εi .. ναι

Ειιιιιλι'ον, μιιορούμt να εκφρά • οοvμε την ειιη<•χιινοη ιιις βαρύ ομας οιο rοωιερικό ι ης Σrλιjνης σε ου·

ΔV0 =

ή

νlφιφη μr ιιιν ω ιόοιnοη οιιό ιο κέ· με ένα σφαιρικό tμήμα ι ης Σελήνης

ε,,s

Η τιμή της κάθειης ουνιοτώσας •ης

Ρ, :- 9.000. Ρ

ν ιρο ιης. Προς ιού-ιο ας φανταοιοιJ ­

Qd .

Ed = -

έντασης •ου πεδίου ο ι ην κορυφή της

κ

πλάκας ισούrαι με ιο

1/ 4

ιιις ημιjς

10), Αν υπο­

Επομένως, η πίεση στα ιηόμ ι ο ιης

της έντασης στο κέντρο της πλάκας.

θέσουμε πως τοποθειούμε μια δοκι ­

σήραγγας είγαι μnφόιερη οι1 ό,τι Ο<ο

Λυτό μπορεί<ε να ιο δείξετε εύκολα,

μαστική μάζα

μrοο της κοtά 11ιιράγοντο

προσθέτοντας τρία επιπλέον όμοια

ακτί,•αςy (,v < a) \Σχήμα

m0 στην επιφάνεια του

εν λόγω σφαιρικού φήμοτος, αυτή θα υφίστατω συνολικά βαρυτικiι

9.000:

Ρ,,= Ρ• = Ρκ: Pr/9.000 : 11 Ν !mt.

φορτισμένο ζευγάρια πλακώ'' στον

.

.

;

.

υιιαρχοντο « nυκνωιη», εισι ωστε η

έλξη μόνο από το σφαιρικό τ;μήμα \η

Λυτό •ο αποτέλεσμα δείχΥε ι ότι

οιιγκεκρψένη κορυφή \'Ο αποτελέσει

συν ισταμένη βορυ ιική έλξη του

θεωρητικά είνο1 δvγc:ιτόν να unόρ­

ιο κένψο του οπλισμού του νέου.

σκιασμένου τμήματος του Σχήμηrος

χουν ~οιλότητες γεμάτες αέριο στο

μεγάλου •rιυκνωτή•. Επομέ,•ως, η

10 ο ηι δοκιμαο ιική μάζα είνω

εο~περικό της Σελήνης,

διαφορά δυγομι κού μεταξύ ιω'' nιιέ ·

μιjδε­

νικήJ, Επομένως, η εmτάχuναιι g της

βαρύτητας στο σημείο

C \που

απέχει

αι•όοιαοη ,v από w κένφο cιις Σελi1· νιις) δίνετω {ΙΠό τον τύπο

νανιι κορυφών r<.ι.)\.' πλακών εi\'C11

Φ58 πλέον πiεση ΔΡ αντισ•οιχεi η μετα­ βολή της θερμοκρασίας τήξεως του

G ενώ

oro

n-,.m< Υ

,

ηόγόιι κα tά Δ θ= θ, - θ0:

= ΙΙ\ιg,

ΔΡ= L(O, -θ.)p,.p,. τ,,(Ρ.. -ρ,)

σημείο Κ ω ιό ιον

tl

4

4ε.,S

.

Τώρα ας εrιιλeξοuμε τιιν εξής κλειο ι ή διαδρομή: από ro κέν φο ιης αmιi οτηγ απέναντι κορυφή της δεύ ­ τερης πλάκας, (Ιlιό η υ cή οιο κέντρο

πίεση αυτή αντιστοιχεί οε μια στή·

λ η nόγοιι ύψοιις

όπου σι,. και Μ είναι οι μάζες του

Qd

μιας πλάκας οτηγ κορυφή της, από

= 1.41 ·10"1 N/m2

Η,. = ΔPip,,g =

I

-Δ V• =

Ας υπολοyίσο ιιμε uε rιι\οη ειΙΙ­

της δεύτερης πλάκας, κα ι οπό αυτό σιο κtντρο ιι1ς πρώτης. Σ' αυιιi ιιι διαδρομιj εμφονίζετω δύο φορές η

15,64 m.

διαφορά δυναμικού μεταξύ κέντρου

σφαιρι κού τμ ήματος και ι ης ΣελήΥης,

Η στήλη πάγου προφανώς θα βρίσκε­

και κnρυφής πλάκας !δεν ιιπόρχει

ονtiστοιχο. Διηιρώηας ιιυτ<>ύς ιους δύο τύπους κατά μέλΙ), ιΗιίρνοuμε

ται πόνω οπό τη στήλη •ου νερού

πρόβλημα, όμως. μιιι κιιι ιο φοριίο τιις δεύτερt"[<; πλίικιις έχει με γ αντί­

με να υπολογίσουμε το ύψος

Υ

g=gM-;;· Α ''τικαθιστώγτας ια p και πρώτη εξίσωση, παίρνουμε:

g

ο ιιιν

a

της

θειο πρόσιιμο cιπ' ό.τι το φορτίο της

οιήλης νερού από τη συνθήκη διατή·

πρώτης αλλά οι κατευθύνσεις καrο ·

ρηοης ιης οιrνολ ικiι~ μόζης νερού·

γραφής αυτών τωγ τμημάτων είναι

ιιάγου :

αγτίθετες). Το ολικό έργο που παρά­ δρομιj είναι μηδέ,·:

απ' όπου

'

'

ΔΡ =- maιot""g·'t ν Δy, παραπάνω εξίσωση yίνεται:

Ρ,

Επομένως, η μεtιιβολή

oro

ύψος του

nc(ncxoμf.νt)\f ιου οωλrΊνο εί"ω

RTa . .

Γιο οπειροο τό μικρές μειrιβολrς

I 4

2ΔV- ΔV,, + - ΔV• =0,

Η =Η - Ρ.. IJ. = 5,61 m.

η

Ρ

Il,

γ ει το ηλεκτρικό πεδίο σ "αυτή tη δια·

n1uφrι~p gMy Δy = -ΔΡ

RT

( Κω θα εnιηλι\ει στο νερό). Μnορού.

11

Δlι=

[/" + !Ι' - ff =1.25 m.

οπόιε

3 8

ΔV= -Δ V

3Qd = -?::0

Se.S

OUANTUM Ι ΑΠΑΗΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΙΕΙΣ

61


ανισότητα

Φ60

το οχήμο παραβολοειδούς εκ περι­

κtική μέθοδο<; εί\'αt να ουναyάyεtε

στροφής. Ας θεωρήσουμε, λοιπόν, ένα

αιιό την εξίσωση ότι το

m nou

φάνεια σταθερής πίεσιις. Η συνισταμένη δύναμη που α­ ναγκάζει το εν λόγω στοιχείο να εκtελεί ομαλή κυκλΙJ{t\ κίνηση είναι οριζόντια, κάθετη στον άξονα περι ­

σιροφής, και έχει μέτρο ίσο με mω1χ. Εύκολα προκύπτει \Σχήμαll) ότι εφα =

ω2χ

-

g

Dubι·ovsky)

Σχήμα

Σ57

12

Το ελάχιστο δυναιό άθροισμα εί­ Η εξίσωση

(2), βεβαίως, περι γρόφει

μια διαφορετική επιφάνεια απ' ιιυτή

που περιγράφει ιι (1 ), ωστόσο, "'' αναφερόμαστε σε σημεία τα οποiιι

ναι

102. Τρεις διαφορετικές διατάξεις

ιιαρουοιάζονται σtο Σχήμα 13 (μπο­ ρούμε επίσης να εναλλάξουμε ~ις δύο 11ά νω σειρές σε καθεμία από α υ ­

βρίσκονωι κοντά στον άξονα , οπότε

ιέςJ. Μ1α άμεση έρευνα με δοκιμ~ς θιι

οι αντίστοιχες γωνίες κλίσης είναι

δείξει ότι δεν υπάρχουγ άλλες λύ ­

πολύ μικρές, ισχύει

σεις.

2 (.)Χ

,

υπό­

4 όταν διαιρείται με το 5, επει · δή 5s + 6c" 4 (mod 5) και 39 =4 (rno<J 5!. Επομένως, c = 4, αφού 6c $ 39.) (V.

άζονα περιστροφής \ Σχήμα 11). Οι διινίιμεις JJOu aσκούνται οιο στοιχείο

επ ιφάγειο του υγρού είνuι μια ι;πι ~

c αφήνει

λοιπο

βρίσκεται σε απόσταση χ από τον

υγρού, δεδομένου όιι η ελεύθερη

s $ 7.

μονοσήμαντα τφ· τιμή του s, που εί­ ναι 3. Έηεται ότι c = 4. (Μια εναλλα ­

σ' ένα περιστpεφόμενο δοχείο αποκτ(i

είναι τ.ο βάρος του nιg και ΙJ κάθετη δύνιψΙJ Ν αιιό ια άλλα μέρη ιου

-δηλαδή,

Αυτές οι συνθήκες nροοδιορίζοuν

Η ελεύθερη επιφάνεια υγρού μέσα

μικρό στοιχείο υγρού μάζας

5s $ 39

εψά :α: -- , και ημβ:

β

g

(1)

Σ58

χ

=-R .

Στ.ογ Βόρειο και στον Νόιιο Πόλο

Αrιό τι<; οχέοεις αuιές διαmστώνουμε ότι την καλύτερη προσέγγιση της ε­

ο Ήλιος βρίσκεται στο iδιο ύψος όλη

λεύθερης ι:mqχiνειας ενός ιιφιο φεφό ­

την ημέρο \με εξαiρεοη LΙς αντίστοι ­ χες •Πολικές νύχτες•, οπότε δεν φαί •

του υγρού στο συγκεκριμένο σημείο.

μενοιι υγρού αποτελεi μια σφαίρα

νεται καθόλου). 'Έ:τσι, η σκ ιά κάθε

Σημcιώοιε όιι η εξίοωοη (1) εκφρά ­

ακτίνας R = g f ω'. Επομέγως, η εστια­

αντικειμένου σιους ηόλους -ο τρέφε ­

ζει ακριβώς όιι η ει11ψίινεια του ιιε­ ριοτρεφόμενου υγρού είναι παραβο­

κή αιιόσταοη μιας τέτοιας επιφάνειας

ται• γύρω αιιό ιο ίδιο σημείο κατά τιι

(κοίλο κάτοπτρο) θα ιοούιαι με

διάρκεια της ιιμέρας, και ιο μήκος της παραμένει αμετάβλητο.

όπου α είναι ιι γωνία κλίσης της ευ­ θείας που εφάπτεται της εruφάνειας

λοειδές.

R

Τώρο ας θεωρήσουμε μια σφαίρα ακτίνας

R.

f=

και ας υπολογίσουμε τη

γωνία κλίσης β της ευθείας που εφά ­

co

οποίο απέχει απόστα ­

ΟΊΙ ,, αnό την καιακόρυφη διάμετρό

τιJς. Από το Σχήμα

12

προκύπτει

= 2ω' ·

Σ56

κ(ιλιι ι κο είναι

to

κέρμα ιων

5

κα­

πικιών. Αν όχι, τοnοθε ιούμε ια κέρ­

χρηοιμοrιοιr)οοιιμε ι.ην εξής μαθημα­

ματα των

s και c

2

και

3

καrιικιών οιον α­

ριστερό δίσκο, και •ο κέρμα tων

5 ισορροnή •

είναι, αν ιίστοιχα, ιο ιιλήθος των σκα­

καπικιών στον δεξιό. Α ν

μνιών και των πολυθρονών, τότε για

οουν, ιο κέρμο αξίας

το συνολικό πλήθος ποδιών στο δω ­

εiναι κάλπικο. Διαφορετικά, τα κέρ­

μάτιο ισχύει η εξίοωοη

ματα αξίας

5s + 6c = 39,

I

και

5

1 καπικιού

καπικιών είγαι

της οποiας ζη ιάμε ακέραιες θετικές

γνήσια, και συγκρίνουμε τα αποτε ­

λύσεις. Λπό ιην εξίσωση διαπισι.ώ­ περιι ιό,

λέσματα των δύο ζυγiοεων. Αν εiναι όμοια (αν ο αριστερός δίσκος είναι

κω ικιινσrιοιεί tι)ν

βαρύτερος ή ελαφρύτερος και τΙς δύο

3

s είνω

•• • •• ••• • ••• • • •

mg

MAPfiOI I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1996

ο tον

μοναδική λύση. Μπορούμε επίσης να

διαρεiται με ιο

62

3

δεξιό. Α ν ισορροπήσει η ζυγαριά,

νουμε άμεσα ότι το

11

I και 2

καιιικιών στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς, και το κέρμα των

ιική εmχειρηματολογία: αν

Σχήμα

Βάζουμε τα κέρματα αξίας

Είναι εύκολο να μαντέψουμε τη

(2)

.. •

Σ59

Σπαζοκεφαλιές

rιrειαι της εηιφάνεως tης σφαίρας ο' cνα σημεiο

2

g

Σχήμα

13

•• • • •• • ••

•• • •• • •

•• • ••

ι·

•• • • ••• • •

I•

••• •• • •

••• ••• •


φορές!, τότε κάλπικο είναι ιο κέρμα

οιοιχίζειαι οrιό δίιο νέα σύμβολα.

των

Επομένως, το η λ ήθος "'''" πρwτιθέ •

2

κοωκιώΥ, εn•;ιδή πcιρέμεη•ε

στον ίδιο δίσκο. ΔΙαφορετικά αποτε ­

μενων συμβόλων διιιλασι(ι(εται κάθε

λέσματα (αν ο αριστερός δίσκος εί • ναι βαρύτερος τη μια φορά και ελα­

φορά. Αφού ξεκινάμε με ένα σύμβο­

φρύτερος την άλλη) φανερώ,•ουν όιι

ιιιιό n βήματα είναι ι + 2 + 4 + ... + 2'' '

κόλπικο είναι το κέρμα τω\•

.

3 καπι-

λο, το συνολικό ιους rιλήθος έπειτα

2. Ο

Σ60 νου τραπεζιού και t(•>ν στρογγυλών

τακινούνιαι αριστερόσιροφα. ΑιJΙ.ό αποδεικνύεται επαyωyικ(ι με τη βοή ­

πετσετών θεωρούμε το κtντρο και τις

θεια tης αναδρομικής σχέοης τοιι άρ·

τέσσερις κορυφές του τραπε(ιού !Σχή­

Οραυ για ιην Τ•.

μα 14α). Δύο τουλάχιστον από αυτά

3

2

ι

qi

ι

2

ο

I

ι

*

;t

;t

-

ο

I

ο

ο

I

Δι:δομέΙ•ηθάιη:ο δίοκος :J ιrι:ηρίιj!ΟΟ ι~ nι δi.

n μετακl\·οίινcαι

οκοι 5. 2. Ι οιη ράβδο Β. ο δiσκος 4 στη C Πlιjfu; κιΙ·ιjοtωv: k = 2' + 2' = 20

πίινιη δεξιόστροφα. Οι υπόλοιποι με ·

Για την περίmωση του ιεφάγω­

4

k,

κανόνας είναι πολύ απλός: οι

iδ•α ισοτιμία με τ.ο

5

qι ·#qι . ι

1 •

δίσκοι που οι αριθμοί ιοuς txouν την

κιων .

ί

'Ετ01. το π λ ήθος των αλλαγών συ μ­

βόλων στην ακολουθία Λp. ...p 1, ή, ισοδύναμα.

Oq....q1

είναι ίοο με το

3. Η ιιρι~ιη αδρανής ράβδος είναι

αντίστοιχο πλήθος οιη'' Ok,...k,. Η

C,

πρώτη και κάθε nεριιιή αλλαγή στην

τα πένιε οημείn πρέπει να κολύπτο­ νιαι από την ίδια στρογγυλή πετσέ­

δια ν είνω περιττό. Ι'ια να το αποδεί ­

ια. Επομcνως, η διάμετρος της πετσέ ·

ξουμε χριιοιμuποιούμε την ανοδρο ·

μεταβάλλει το Ο σε 1. Όλες οι άρτιες μεταβάλλουν το 1 σε Ο. Επο.

τος δεν μιιορεί να είνω μικρότερη

μι κ ή σχέση του άρθρου για την τ. και

μένως, αν το rιλήθος ι.ων αλλαγών

από την απόσταση μεταξύ αυτώ'' των

τελεία επαγωγή.

είνηι ιίρτιο, τότε

δύο σημείων, απόσταση που εiναι &λάχιστη -και ίση με το μισό της

η Β. όταν ιο

n είναι

4. Έστω k.k,.

άρτιο, και η

k 1 το δυαδικό α­ αρι&μού k, Ο S k S 2" 1...

Oq,...q,

άρτιο·

k 1 =Ο και το k είναι διαφορετικό, k , = 1, και το k

διαγωνίου του τραπεζιού- στην ηε ·

νάrι ιυγμα του - 1 (αν k < 2• - ι, συμrιληρώνουμε όσα

είναι περιnό. Αυιή είνω η απάντη· ση για το δεύτερο μέρος του προβλή­

ριπτωση του κεντρου κω

από τα

ματος .

.

.

μιας κο-

ρυφής του τραπεζιού.

n ψηφία λεinαυν με μηδενι ­

Όταν τέσσερις τετράγωνες πετσέ ·

κά στα αριστερά), και έστω Ρ.Ρ• • ,... Ρι ο κωδικός ι ης θέσης rιου δημιουργεί·

τες καλύπτουν ένα στρογγυλό τρα­

τω από την k-οοτή κίνηση -ι;ων δί ­

πέζι, καλύπτουν τηγ περιφέρειά του, και εrιομένως μία ιουλίιχιοιον από

σκων μας (ή η αρχική θέση. όταν k = 0). Είναι καλύτερο να αντικαταστιi ·

αυτές καλύπτει ένα -ι:όξο ίσο με το

σου με τις ονομασίες

ένα τέταρτο της περιφέρειας !Σχήμu

βδων ο' αυτό tον κωδι κό με τους

14βJ. Η αnόοταση μεταξύ των άκρων

αυτού του τόξου εiναι R J2 , όπου R

aριθμούς Ο, 1, 2 αγτίσωιχα. Θα συ μ · βολί(ουμε την ακολουθία ιων αριθ ·

ση έπειτα από

είναι η ακ-ι;ίνα του τραοε(ιού, και η

μώγ ηου ηροκόιηει κατ' αυτό τον

ιι δίσκων μπορεί να nροκίrψει από τη

μεγαλύ τερη απόσταση με-ι;αξύ ση-

τρόπο με

διευθέτηση που έχουν οι δίσκοι ιης

,

ι

μειω\· ιης πετσετας ειναι ιση με τη

δ.αγώνιό της ~ηλαδή iοη με a J2, όπου a είναι το μήκος της πλευράς της πετσέτας. Επομένως, a 2 R.

Β,

(;

~ων ρά ·

θα αποδείξουμε

14 Παιχνιδότοπος

1.

να γραφτεί ως ι,+ ι= 2(t• • ,

+ lJ, απ'

όπου έπεται ότι ι.+ 1 = 2" 'ιt, + 1) ~

2'J. Σε κάθε νέο στάδιο, κατά τη δια.

t.(,)ν Π - 1_§ίο κων

(n ~ 2\, fl σχέση

τ.

Τ. 1 n Τ, 1 (δεί tε tO άρθρο) μας δείχνει ότι για k < 2n - 1 η διευθέιη.

=

k

κινήσεις των πάνω

ιι - 1 δίσκων οιη οrιαζοκεφαλιά των

την επόμεγη σχέση:

στερα από το ίδιο πλήθος κινίιοεων,

1 δίσκοvς ύ ·

ααλι;,ς με ενολλαγή των ονομασιών

k,, = q,t•

των ράβδων Β και

C.

Με άλλα λόγια.

k ι ·Ι - k 1. Ξ (-1)" • 1(q ι- Ι - qι ) (mod 3) για i 1, ... , n - 1 (1 J

οι κωδικοί α υιών των δύο διειιθεtή·

=b

στοιχα- προκύπτουν ο ένας από τον

a

όeων

-q• . 1...q1 και q ~. 1 ...q 1',

(mod 3) σημαίνει ότι το a - b διαιρεί­ ται με 3. Αιηή η σχέση μός προσφέ ­

άλλο αν αλλάξουμε ια ι με

ρει έναν πολύ απλό κανόνα εύρεσης

έχουν). Αφού

αντί ·

2

και

αντιστρόφως ( ια μηδέν μένουν όπως

του k από τον κωδικό q_ , q. 1...q, μιας δεδομένης θέσης: διαβάζουμε τον

1 !!-2 ιιnοd 3), μnοραύ · με να γράψουμε q, " -q; (mod 3 ) για κi1θε i :s n- 1. Ο n ·οστός δίσκος κι­

κωδικό από τα αριστερό προς τα δε­

νείται μόνο κατά το

ξι(ι και γράφουμε τη δυαδική αναιια­

επομένως

ράστοση του

Η αναδρομική εξίσωση μπορεί

προφανής !k 1 = qι!· Υποθέτουμε όcι είναι αληθής για ιη σπαζοκεφαλιά

σπαζοκεφαλιάς με 11 -

<θυμηθείτε ότι ο συμβολισμός

Σχήμα

με τελεία επαγωγή. Για ιι = 1 είναι

ότι οι δύο ακολουθίες συνδέονται με

=

β

ο

q,q,. _ Γq1 .

.1,

Η σχέση (! Ι μπορεί να αποδειχτεί

χίζογτας με

k

με την ίδια σειρά, αρ ·

k, = q, και αλλόζοντος ω

τελευταίο ψηφίο

k, , 1

που έχουμε

γράψει (από Ο οε 1, αrιό 1 οε OJ "''και μόγο αν υπάρχει αλλαγή στην ίδιcι θέση ιου κιi>δικοίr ιq,"'

q,. ι Ι. Δηλαδή, k, = k 1• Σι()Υ

δικασία ιης •δυαδικής κλίμακας•, κάθε σύμβολο ιης •λtξης- που έχε•

• αν q, = q,_ ~· yρiJψουμε 1 εnόμενο πίνακα βλέπουμε ένα παρά ·

παραχθεί έως εκεί γη τη στιyμίι πφι·

δω γμο για

z· · •.ooul

βήμα.

q• = Ο. Επίσης. k . = Ο για k < 2" '. άρα k• = q,. Τότε. από την επα· yωγικιj υπόθεση, έχουμε για ί = Ι, 2,

... , n - 2. k ι•ι - k ι ;;(- 1)" ' 1 ''(q'ι·Ι - q'ι ) =-\-1)" ''(- q,., + q,) s(-1 )"-'ιq, ,, - q,) ι mod 3), και για ί =

n-

1, έχουμε

n = 5: OUANTUM I ΑΠΑΝΤΗΣΕ!Σ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

63


k " - k ~ .. ι - - k ιι- 1 = -n' '1 ,. ;( υ•.,• ' 'ιq - q ο

1 I

.- ~ιι

= q" 1.

Λ ν το πλήθος ιων κινήοεωγ εi,·αι

ή μcγα.\Uttρο. t0 γράφουμε ως 2" + k.0 S k<2" " 1 . Τόu:.ηδυαδική ι ου <1\'αιιαρόσιαση θα είναι Ik• . 1... k,.

2"

μπορούμε \'Ο ιον μειαφέρουμε οιη Β

.ιlt'

•+

(μία κίγηοη ι Αφού ο δίσκος n - ι βρί­

}J

οκειαι οι φ· Α ή οι η

• 3' . ' 2'.

I

μας ο ιοuς 11 -

ι'

1 ; 3' • :.! - 1. •

6.

I διοκους αυτω,· των

ραβδω\' και να ιους μrιαφέρουμε στη

θα χρηοιμοποιήοουμε ιελείο

n = 1 είναι

Β το rιολυ σε ι•

1

-

1 κινήσεις. 'Εται

και ο κωδικός της αηίοιοιχης θέσrjς

επαγωγη.

είναι όπου

llq0 • 1 + 2)\q, , + 2 Ι...tq, + 2 ι, Ok. 1... k 1 είναι ιο δυαδικό ανά­ πτυγμα του k. κnι Oq., ,... q, είναι ο κωδικός Οέοης έπ~ιτιι ιηιc\ k κινήοεις

τετριμμfνη. Ας υrrοθέσουμε όιι η

ολοκληρώνουμε ι η λύση γι' αυτή ιη'' περίmωση ιο ηολυ σε 12"' - Ι Ι + Ι +

nρόωοη είναι αληθής γ111 κόθι: rιλή­

(2' '

11

ιιcριπτωοη

και

πάλι να εφαρμόσουμε ιφ• υπόθεσή

η

1

C. μπορούμε

IJ S 2' - l ΚΙVηοtΙς.

Ιι

Λς cξει(ιοουμc ιώρu την ηερίιιιω ­

και ιις θcωρήοοιιμε μια τυχαία αρχι ­

ση κοtc'ι τη" οrιο!α πρέπει να συγκr­

<r·ιιΙβ!)Ιcιι ώ!!_tε το χρφιμοποιι~νιας

κη δι~υθέιηοιι tων 11 δίσκων. Ας

ντρώοοvμε ιοuς δίσκους στη ρ(cβδο

ιι1γ Τη 1nT,.

Τώρα είνο1 εύκ()λο

uηοΟέσουμε όιι ο ιι-οοιός δίσκος ξε­

Α. Α\• ο δίσκος ιι βρίσκειω αρχΙκά

να διαηιοιώοουμε όrι η σχέση 111 rί­

οιιι βάση αυτής ιι)ς ράβδου. τότε μπο­

νω αληθής βόοcι ιου πρώτου μέρους

κινά από τη ρόβδο Α και ότι πρέπει να μεταφrρθι·ί \ μαζί με όλους τους

της οπόδrιξης.

όλ\ους δίσκους! οι η ράβδο Β. Εmλr­

οης, να συγκενψωοουμε πάνω του

γουμε, στην ΟΡλ~κή θι'οη. όλους τους δισκους ιης Α που βρίοκοηαι πάΥω

tους υπόλΟΙΠΟυς 11 ΠΟλU σC 2• + 2' I - ι

νιαι για ιη μιιαφορα ιω'' m πάνω κομμαιιών από ιφ· εγκοπή Α σιη Β

από

σεις.

σκους ι ης Η. Εο ιω 111 ο αριθμός του

Διοφορι:ιικ<ί. rιιιλiγουμε τους δί­

χωρις ,.α ιο11οθι>tήοουμε το κομμάη

μrγnλύτερου από αυιους. Α,· uπαρ­

k στην εyκοπη C.

m S k. ο πολιός

χοu\• μεγαλυιεροι δίσκοι οιη C, βρί­

σκους ttjς ροβδου Α ιιοu βρίοκοηαι πάνω οπό ιο δισκσ n και όλους τους

ολ γόριθμσς μας εί,·αΙ αρκετός, και ι;.

σκουμε το" μεγολu~ρο αηό αυτούς και προοθι'ιουμε όλους τους δίσκους

δίσκους ιων ράβδων Β και

που βριοκονιω πάνω του ο' αιη:ούς

υπόθεσης, μΙΙοροίJ\·

5. Συμβολίζουμε με

ι ;. ιο ε.\άχΙοuι

πληθος ιω'' κl\•ήοcω,· που απαηού ­

Γιο

= ι,.= 2'"-

ι . ΓΙΟ m > k, πρέπεΙ να ·φnιιοΙΙοιήσουμε το επΙχείρημα που

θος διιικων μικρόιερο του n \ n

I-

10

>

δίσκο 11 και όλους ιους δί­

είΥαι ιο ιιολύ

n-2

1 δίσκους το < 2• - 1 ΚΙVή ·

C. Αuιοί

καΙ. λόγώ της

σε μια από τις Β ή C σε

μetιιψερθούν

2•·• -

ι κινή­

χrιηοιμοιιοιήσαμε στο άρθρο: γ1ο να

nou

μετοκl\•ιjοουμr ιn κομμά ι~α ο ω Β

σεις οο ιιολύ. 'Γόιι·. η όλλιι από αυτές

πρέπει πρώτα να με ιαφέρουμε τα UJ

φορεηκά, επιλέγου με όλους τους δί­ σκους ιιις C. Συνσλ ικίι Οέ\' ιιρόκει ­

-

ται \•Ο επιλέξουμε περισσότερους αιιό

μεταφέιιουμr ο· αυηi τον

όιιως 11ροΙ\ΥΟυμέΥως!), fΠCΙtα νn με·

ιn

ιοφέρουμε το

να

τους οποίους ωι ι βρiοκειnι οιη ρά ­

σκο. 1Ό πρώτο μrιισς ιης ιιρόωοιις cτο οποίο αηοδειξιιμc για ιι δίσκους προ­

1 κομμάτια σια Α, νο μεταφέρουμε το m κομμάυ ο ω Β και ,.α επιοψcψουμε ξα,·ά τα m ι κομμάτια σιο Β. 'Ειο1. ι;. = 3ι ;. 1 + 2, όιαν m > k. Επετα1 όΌ

βδο Η. t\'~1 οι κορυφαίοι από τους μη

ηγουμrγ~ις) μας δι γ ει τώρα τη δυνα ­

επιλεγμtνους δίσκους της Α καΙ της

tότητα να συγκrνιpώΟουμε και ιους

C θα tl\•αι μεγαλυιεροι αrtό ιο'· m.

n

Λόγω ιης εnαγωγ1κης ιιιJόθεοης.

ΚΙ\'ηοrις ιδιόιι ο n-οοιός δίσκος δcν

μπορούμε ,.α ιους οuγκεηρώοουμε

βρισκεται στφ· ΑΙ. Το συνολΙΚό πλή­

C ιο πο,\ύ σε 2= - 1 ΚJ\"ή­

θος κιγήοeω'' δcν υιιeρβαiΥει Ός 2• - ' - 1 + 1 + 28 - 1 • 28 + 2,. Ί - 1 ΚΙ\·ιί•

ι rιόνω κομμίιιιιι οιο Β ιόχι στο

m

κομμ(ηι οιο

C,

rιιιοφι'ψουμε ια 111 -

ι'n +

I' ~ I

οcις.

·-·

\

~

ι

L..

Πι•ι(ιι ε

Σχήμα

64

ράβδος Β cίνιιι ιώρα ελεύθε­

ρη ιιcιι ο δίσκος

k

1'

k k-

11

n

Ι στην Α I δι:ν έχει

(ιλλ ους δίσκους nό"ω ιου, οπότε

/

ι

ι δίσκους. ο μεγαλύτερος οιιό

S n-

σιη ροβδο

1• 34t: ~ ι + I) = 3Ί t' + ιι

=

C

εn ιλ έ~αμε ιφοηγουμtγως· διιι­

ρούμε, ,\όγ~Ι της ειιαγωγικής υπόθι: ­

15 ΜΑΡ1ΙΟΣ I ΑΠΡΙλΙΟΣ 1996

ι

..

τις δύο rιόβδους θα εiνιιι κενή, και

n -ooul

δίσκους στφ· Α ιο πολύ σε

δί­

2" -

ι

σεις. Μ ιιι θέση για την οποία ειιολη­

θεύεται cιuιή

fr

k- l

•1

εκιίμηοιι nροκύιιιει

/

\

1

1'

..

~

ι·

kk

ι


τη δεξιό στήλη στο κέντρο

{! 10 + I

κι­

''ήσεις). Ύστερα περνάμε από τη σει­

I

I

I

1

ΙΙαρουοιόζσγcαι οιο Σχιiμα

2'

2

εξής ι.ρόπο. Έηειιο αnό τη μετακίνη­

1

--

'i

I

-

17

με ων

ση τιJς δεξιάς στί}λης, η Οέση Β2 προ­

k-2

I

'-

ρό ιων ·<βασικών θtοεων• Β, ιιου

I

.

ι

κύπτει σε τέσσερις κινήσεις. Για να

k- 1

( k - 1)'

k

k- 1

k k' (k + 1)' (k + 2>'

I I k+J k+2

περάσουμε από ιη Η, στη

8, , ,. k ~ 2.

μετακινούμε ιο κ<>μμάτι k στον προορισμό του στα δεξιό ts, κινήσεις), μετακινούμε ιο κομμάτι

k + 1 από τα

αριστερά στο κέvψο πιiνω στο

k' (το

κομμάτι οπό το k-οστό επίπεδο της δεξιάς στήλης -αυτό απαιτεί

Σχήμα OJJό

θtοιι Β,

16

ιΟ\'

κcινΟ\•Ικiι

διηιf~ι<ιyμt~\'<'t

Σχήμα

sk εm ­

rιλέον κινήσεις), εναλλάσσου με τα κομμάιια

17

k+ 1

και

k'

<τέσσερις κι­

νίJοειςΙ και μεταφέρουμε το

k'

στα

ιιiφyο ο ιη ρ(ιβδο Α με ιηγ εναλλογιi

κομμάτι

ι πρέπει να μειαφερθεi

ιιριο ιερcι ιs, κινήσεις). Το συνολικό

ιιωγ δύο κ α ιώu:ρων δiσκων

n

στο ιk - Η -οστό επinεδο tης κεντρι ­

11λήθος κινήοει~ν γι' αιιτή τη μετα­

- 1. Επαληθεύστε ότι δεν μπορούμε

κής στιiλης. Εφορμόζοντας για μία

κiΙ•ηοη είνοι

να ξαναφέροιιμε οι ην κονονική τους

ακόμη φορό ιο ι:ιηχεiρημιι 11011 χρη­

βήμο-αrιό τη Β,. στ φ• τελική θέσιJ­

θέση α υ ιούς ιους δίοκους σε λιγότε­

οιμuποιήοιψε προηγουμένως για ιηγ

ρες οπό

L,, βλέπουμε

οιιοιιεί 2ι10 κινήσεις, κοι ιι συνολι­ κή αναδιάταξη γίνεται σε ! 10 + 3(/.2 +

7.

n

κα1

2" + 2" -' - ι κινήσεις.

θεωρούμε το αριστερό κομμcι<Ι

k-

χίζει με την

ότι η

D, _1•

D,

πρέπει να αρ­

Αφού ολοκλι~ω ­

... + t 9 ) + 2t10 + 37 = 33213

κινιiσεις.

θεί η

ταφορό του προς τιιν τελική ιοu θέση

ρουμε το

πρέπει να ιιερόοει ηάνω αnό •ο Ιk I ι-οστό κομμάτι. Μιο απλή <t\•άλυ­

σιήλη και 1·ιι • ιΟ ΙΙεράοοιιμe• ω ιό

ση μας δείχνει ότι αυτή η εΙ•αλλαγή

να το εναλλάξουμε με καθένα από

μπορεί να γίνει Ι για

~ :J) μόνο σ ω

nυιό. Γιο νο ιφοειοιμάοουμε την

χώρο του μηδενικού επιπέδου κω ι ης

ιιρώτ η εναλλαγή. ιιρέιιει να φέρου ­

κεντρικιiς στήλης Ι και με τα υnόλοι ­

με το κομμόη

nα κομμιίιια οιην ιφιο~ερή κω οιη

w κομμιί ιι k -

δεξιά στήλη) όrιως φαίνειαι οιο Σχή­

ιης

μα ι5. Η ηρ(ιξη ιης εναλλογής θέοης

! Ε), επιοφέψοιιμε ω κομμι'ιιι

απαιτεί τέσσερις κινήσεις. και θα την

ρο αιωρείται, ασκεί στον αέρα δύνα ­

αuιή ιην εΥιιλληγή ιιαίρνοuμε cην

στην αριστερή στήλιι ιS~' ,} και ε ­ ναλλάσσουμε ω κομμό ιιcι k κω k - ι ι Ε}. Επομένως, D, = Π, _ ,S, _,ES;'. β.

τελική θέση της πράξης

πρέ ­

απ' όπου έχουμε τη δεύτερη εξίσωση

έδαφος.

rιει αναγκαο ιικ(ι γα αρχί(ει με cιu ­

του προβλήματος, αφοiι η Ε απαιτεί

3.

τήν. Το υπόλοιπο μrρος της

τέσσερις κινήσεις.

k

ονομάζουμε ε. Εφόσον έrιει τα αrιό

φέρει τα

k - 2

lJ,.

η

L,

L,

μετα ­

κομμάτια

k - 2 και k -

k (μόνο

m

Ι -δηλαδή,

του) πάνω από

2 (α υ tό γίνε ι-nι μέοω

S, . ,). Κοιόιην

t(ι &Υilλλίιοοοι.ιμε

k - 2

Μπορούμε ,.α βελτιώσουμε λίγο τη σειρ(ι των εναλλαγών στα δύο κορυ­ φοία επίπεδο και να γλιτώσουμε έξι κιγήσεις.

ΚαλειδΟσκόπιο 1. Όχι, διότι το

αερόστατο κινείται

με τη ν ίδια ταχύτητα που κινε ίτπι

και ο άνεμος. Κοι ο cις δύο ΙΙtριn ιώσεις οι δυ ­ νίψεις εiνιιι ίδιες. Όιcιν ω ελικόιιιε ­

2.

μη ίο η με ιο βάρος του. κcιι ο αέρος απλώς μεταφέρει αυτή τη δύναμη στο Το ρεύμα τοu αέρα διαχωρίζε­

ται από το σώμο του χαρταετού κοτά

Τιι κομμιi·ιια σε κάθε ειιίπεδο

ιέτοιον ιρόπο ώσιε η rιίεοιι στην κά­

κομμάτια ο cη1· κεηρική οιήλη. και

εναλλάσσονται ανεξάρτητα από τα

τω επιφάγειά του γα είναι μεyαλύ­

θα ιο συμβολίζουμε με

υπόλοιπα. Μπορούμε να μετακινή­

τερη αnό την πίεση στην πάνω εnι ·

σου με το ι:ιρ10 ιερό κομμό ιι

ο ιην

φάνcιό τοu· έιοι cινοηιύοοειιιι ιιόνω

S,,

ιου η ανοψωτική δύναμη. Η οιιρά

πρέπει να αρχί­

να φέρουμε τον δεξιό ι ου yεί ιονα

προσδίδει ευστάθεια οιο χαρταετό

ζει με τψ D,. Ύστερα οπό ιη διεκ­

ο ι φ· κοριιφή μi:οω μ ως •Ο υμμεφι ­

κιιι βοηθι\ει οιη διιηήρηοη ιηι; οηο­

D,, πρέπει να φέρουμε

κής.. πράξιJς, και έηει ια να μr. ιοφέ­

pαίcηtης κλίσης ιοu.

8.

κορυφαία αρισ ιερά

1

16), πρέπει Ι'Ο φέ ­ κομμάτι k σrην κεντρικιj

Το ιελευιnίο

ιοu k-οοιού ειηrιέδοu. Καtά ~η με­

D,

(Σχήμα

3$• + 4.

L, _.,.

Σ' αυτιi τφ· περίπcωση, το ειιι­

χεiριιμα της προηγούμενι)ς λ ύσιJς

μος δείχΥει όtι η περσiωση της

το κομμάτι

S,

k - 1 πίσω

9.

k

κεηρική στιiλt) μέοω ιης ιιρίιξης

στη1• αριοιερή

ρου με ιο δεξιό κομμίιιι ο την cιριο ιε­

4. Οι φλόγες θα συγκλίνουν, διό­

στιjλη, και αιιιό εnιιιιγχάνετοι με

ρή στήλη με την s;ι και τελικό να

τι η πίεση του ρεύματος αέρα την

την αηίοτροφη ι ης

με ·cαφερουμε

οπσία δημισυργού με ογάμεσά τους

S, _1• Επομένως, 51 =D, S ,'_1 και s, =d, + s,_,.

Τότε, όπως εξηγήσομε στο άρθρο,

γιο να ελευθερωθεί ο δρόμος γιο ~ο κομμάτι

k,

πρέπει να οπομακρύνοu ­

με όλο το κομμάτια που βρίσκοηcιι πάνω 0116 outό. Σuγκεκριμfνο . ιο

.

το

.

.

αριστερσ κομματι

δεξιά με τη •συμμετρική εικόνα• της

S .'. Αυτό θα οπωτιjσει 4s, κινήσεις και 4(s 1 + s2 + ... + s111 J κινήσεις για

ολόκληρη

t!J σΙΙαζοκεφαλιά.

Μια οιιντομόΊεριJ λύοιJ είναι ιJ εξής: Πρώια μειαφέρουμε ολόκληρη

είναι μικρότερη από αυτiJν του περι­ βάλλοντος αέρn.

5.

Για να εξισώνονται οι πιeοεις

πάνω και κάτω από τη στέγιι Σκε­ φτείτε κάτι ανάλογο:

co

κρουστικό

κύμο μιας έκρηξης εκτ ινάσσει τις

OUANTUMΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕlΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

65


σανίδες ενός φράχτη, αλλά αφήνει

εγκάρσια διατομή του ρεύματος λε­

βά της στη στάση είναι ομοιόμορφα

τους πασσάλους ανέπαφους.

πτοτερι1 .

κατανεμημένες στο διάστημα με τα ­

6. Ο πέρας που

1\Ιι κροnειρ.αμα τι σμοί

ξύ των αφiξεωγ των λεωφορεiων tωΥ

ιαχύταια κινούμενο τρένο δημιουρ ­

Η πίεση μέσα στη στήλη του νερού

δύο γραμμών. Τότε η πιθανόtητα να

γεί unorιicoη, κιι1 έιοι ανnn tύοοετοι

είν<ιι μικρότερη από τηγ οτμοσφοφι ­

περιμένει τουλάχιστον ι λεπ tά το

δύναμη που ωθε! ιο άτομο προς το

κή πίεση· έτσι ο αέρας σπρώχνει το

λεωφορείο της μιας γραμμής cίΥ<ιι

φένο.

μπαλάκι προς τη στήλη νερού.

- 01 10 = 1 - ι/ 10 ον t ~ 10, κω μη­ δέν αν t > 10. Για την άλλη γραμμή

7.

μετnφtρε ~αι από το

Η πίεση του αέρα στο κινούμε­

Στο μαυροπίvακα ι

νο άκρο του σωλήνα είναι μικρότε­ ρη απ ' ό,τι στο λίγο-πολύ ακfνητο

Ι . ια) Η,

1), (β)

ι4,

4, - 4).

z οι

είναι

1 - t / 15 α'' t, 15. Μας

(10

ενδια ­

Υηόδει­

φtρει ΙJ τομή αυτών των δύο ενδεχο ­

άκρο του (αυτό που κρατάτε πάνω

{η: για κάθε σταθερό

αριθμοί χ

μένων. Αφού υποθέτουμε ότι τα δρο ­

οπό το κεφάλι σας). Τούτι1 η διαφο­

και .!'είναι ρίζες της εξίσωσης ιi - ι4 - zll + 06 + z•)/ 2 =Ο. η διακρίνουοn της οποίος ισούιαι με -(z + 4)'. Μπο­

μολόγια είναι ανεξάρτητο, μπορούμε

ρά πίεσης προκαλεί ι.η ροή του αέρα στο εοωιερικό του σωλήνα. και πυ­ ιός, λόγω των κυματοειδών τοιχω­

ρούμε επίσης να απαλείψουμε το

μιi των. ταλανι~>νεται παράγοντας

και να

ήχο.

---<!ευ ιεροβάθμια ως προς χ και

z

ηαρογοντοποιήσουμε την

να εφnρμόοοιψε ι.ογ κανόνα πολλα ­ πλασιαομοiι

μας δίγει την αrι(ι­

nou

γτηση (l - ι /10)(1 και Ο αν t

- 1/ 15)

ον ι~

10,

> 10.

3.

..--

Αριθμούμε ιο ιρία μέρη ιοιι τμiιμοτος με τους αριθμούς I, 2, 3.

Υπόδει{η: Η διακρίνουσα του

Τότε κάθε αποτέλεσμα του πειράμα ·

μυλου, αποκλείοντας τις απότομες

αριστερού μέλους, θεωρούμενου ως

ιός μας μπορεί γα παρασταθεί ως μια

μεταβολές εξαιτίας των ριπών του

συνάρτηση του χ, ισούται με - 18,!' +

τριάδα ιk,

ανέμου.

ο•. Υπόδει­

αριθμοί του μέρους που κ α tολήγει το πρώτο, το δεύτερα και το τρίτο ση­

κυλίνδρων, ι] ιαχύιηια ιου αέρα θα

ξη: μποροiιμε να βρούμε την άγγω­

μείο, αντίστοιχα. Υπάρχουν 33 = 27

είναι μικρότερη σ ιις οπίσθιες επιφά­

στη τιμή θεωρών τας ιην ως τον μι­

δυνατά απο τελέσματα, που είναι

νεις των κυλί\•δρων από ό, τι στις

κρότερο αριθμό

για ιογ οπο!ο η

όλα ιοοηίθανα. Τα ευνοϊκά αηοτ~Η ­

εμπρόσθιες. Καιά συνέπεια, η άσκη­ ση μεγαλύτερης πίεσης του αέρα

εξίσωση ι3.Υ- 2Jx + (1 1,v- 91.< + 12>•

σμαια είνιιι αυ tά όπου οι φεις αριθ­ μοί είναι διαφορετικοί , και αφού

.

Ο σφόνδυλος ρυθμίζει τη συ-

8.

χνοτητα

.

περιστροφης

του

.

εξίσωση που αροκύmει.

2.

ανεμο -

9. Με κατάλληλη περιστροφή ιων

στις οηiσθιες εmφάνειες των κυλiν­

3.

Απόνιηση: Υ,.;,=

y

7/ 23.

2

- 11 = Ο έχει λύση ως προς χ. 4. Απάντηση: a ε <-, - 3i 2)V(1 +

υπάρχουν

6

η απάν τηση είναι

δρ~ιν παρι\ στις ε μπρόσθιες θα έχει

./2 , ~).

Υπόδειξη : Ουσιαστικά, ιο

μών

ως αποτέλεσμα συ νιο ω μένη δόνα ­

πρόβλημα λiιvετω όπως το Πρόβλη ­

2 / 9.

μη προς τ.α εμπρός Ιφω νόμενο

μα

Mag-

nus).

10. 11

τρύΊια στο κι)ντρο του αλε ·

ξίπιωιου αφήνει να περνά ένα μέρος

8

ιου άρθρου. Προοέξιε, όμως, το

t, m ) όπου k, t, m είναι οι

I. 2, 3.

μεταθέσεις των αριθ ­

6 / 27 =

4. Μπορούμε να εηιλέξοuμε σε δύο

C, D:

πρόσημο του παρονομαστή και την

στάδια τα σημεία Α, Β.

πρώτα

περίπτωση που μηδενiζεται!

επιλέγουμε τέσσερα σημεία του κύ ­

5. Απάν τηση: 7,J3. Υπόδειξη: έοιω

κλου και κατόπιν τα aριθμούμε tΙΙ ­

χ + 5γ. Τότε, αν κάνουμε την

χαία . Μετά την ειιιλσγή του σημείου

του εισερχόμενου αέρα. Έτσι απ ο­ rρέπεται ο σχηματισμός ο φοβίλων

ονιικοτι\σιαση χ =

5.Υ. καταλή ­

που θα ονομάσουμε Α. έχουμε φεις

οιn ι\κρα του cιλεξίπτωτου. που θα το

γουμε στο πρόβλημα τιις εύρεσης

ισοπiθανες δυνατότητες ονομασίας

tκανον να ταλοντώνει:αι μπρος­

του μικρότερου θετικού ι για τον

ενός σημείου ως

πίσω.

οηοfο έ χει λύση μια συγκεκριμένη

μόνο με ιη μία ( ι.ο οημεiο ποιι είναι

11. Οι στ-ρόβιλοι που δημιουργού­

δευτεροβάθμια αησότητα ως ιφος ,Υ.

αrrένανcι αrrό το Α) nροκόnι:οuν tε ­

νται στο μεγάλο άνοιγμα του χωνιού

Λ υιό μπορούμε να το πετύχουμε με

μνόμενες χορδές. Επομένως, η απά ­

οχηματfζοιι ν στο κέντρο του μια πε ­

τρόπο παρόμοιο με εκείγον που χρη­

ντηση είναι

ριοχή υπσπίεσης, με αποτέλεσμα η

σιμοποιήσαμε για τη λύση του Προ ­

φλόγα του κεριού να κλίνει προς το

βλήμαισς

χων ι.

σφαλίσετε το ότι τουλάχιστον μία

t=

t-

13. Ύο cερι:ι

ιιρέηει να εξα­

Αρχικά ο θερμός καπνός του

από τις λύσεις .Υ που αντιστοιχούν

τσιγάρου ανυψώνεται αργό και σχη­

σ' ΟΙJtό ιο ι είνα ι θειική, όπως και

ματίζει σφωτή (όχι τυρβώδη) ροή.

τox = t - 5y.

12.

Κα τόπιν η άνωση επιταχύνει τη ροή,

Συμ μετρ/α

δημιουργούνται οφόβιλοι, και τελι ­ κά η ραή τρέπεται σε ιυρβώδη. 13. Επειδή η ραή του νερού είναι

ταχύτητα του νερού , καθώς αυτό

1 / 6. ΊΌ ευγοϊκά αποτελέ­ σματο είναι (6, 6), (6, 5), (5, 6), \5. 5), (6. 4J, 14, 6). (β\ 5 112. Τα ευνοϊκά αηο ­ •~λέσματα cίΥαι (6, 3), (6, 2). (4. 2) και (ιι, ιι ), ιιι, I) για κάθε ΙJ = 1. 2, ... , 6. 2. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι

πέφτει, γίνεται μεγαλύ τερη, και η

στιγμές που μπορεί να φτάσει ο εnι-

συνεχι]ς. ο όγκος νερού που περγά αγό μοΥό.δα χρόνου κατά μήκος tου ρεύματος είναι σταθερός. Έτσι, η

66

MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

Α

ι. (α )

Σχήμα

18

113.

C,

από τις οποίες


rιλήθος εωγ τομέων που οχηματίζο­ ηοι οπό

n

διαμέτρου<;- nροκύ­

ο του ν τα n-γωνα που δεν rιερι­ ι!χουv το κέντρο του κύκλου). Ο

αριθμητής π' - 11 +

α

2 στη" απάγτηση

του δεύ ιερου ερωτήματος είναι το rιλήθος των ψημότων <•τομέων•) στο

n

onoio

διιιιρείιαι μία σφαίρα οnό

μέγιστους κύκλους που αγά τρεις

δr,ν έχουν κοινό σημείο. Αυτό μnο · ρεί να αποδειχτεί με ιελείcι επαγω­

(I

Sn/3

γή: αν σχεδιάσουμε rνον επιπλέον

Σχήμα 20

μέγιστο κύκλο ότα" έχου με ήδη σχεδιάσει άλλους

Ρ< 2π, που ικανοποιούν τις συνθή­

k, ο νέος χωρlζε­ τοι α11ό ιους «ιΗιλιοίις• ιιε 2k τόξα.

κες του προβλήματος. Οι απαντήσεις

Καθένα από αυτά τα τόξα χωρίζει τα

είναι: (β)

2/3

•ΙΙαλ ιό• ιμήμο ιο ιηc; σφαίρας στα

πρό­

δύο. οrιό ιε rιροο cίθεντοι 2k τμήμα ­ τα. Έτσι, με ιι κύκλους το πλήθος

1/ 4

(Σχήμα 19α), \γ)

!Σχήμα 19β).

7.

β

Η απάντηση είγαι

1/ 4. Το

βλημα αυτό είναι απλώς μια διαφο ­ ρετική μορφή ωυ προβλήματος του

των tμημάτω" είναι 2 2(n- 1)) n2 - π+ 2.

=

+ (2 + 4 + ... +

οξυγώνιου tpιγι~νου. Πρίιγματι, ας σ

ο

2n/3

Σχήμα

ωιοθέοοuμe ότι ro ψiiJlα έχει μήκος 2π. Τότε τα μιίκη των τριών μερώγ

του μπορούν να θεωρι]θούν τα μέτρα

ι:>

Συl'έχειa anό tΙJ σελ.

50

α. β, y των τριώγ τόξων rιοιι ορίζον ιαι

19

σωιερική ενέργεια του αέpα στο δω­

Η χορδή ενός κύκλου ακτίνας

σ' έναν κύκλο οπό τρίο τιιχαία ση­ μεία. Οι συγθήκες ιιου ιιρέrιει νιι

είναι μεγιιλιίιερη από την ακτίνα

ισχύουν ώστε γα είναι οξυγώνιο το

μαίνει ότι η διοσκορmζόμενη θερ­

αν και μόνο αν το κι) ν ιρο της βρl ­

σχηματι<όμεγο τρίγωνο είναι α< π, Ρ

μότητα διαφεύγει στο εξωτερικό

σκεται σε απόσταση μικρόιερη αrιό

< π, y < π.

περιβάλλο''·

5.

r

(Σχιiμα 18). Στο ερώτημα \α) το τυ ­ χαίο σημείο nρέαει να βρίσκεται στο

n + jJ + y = 2π, οι ανισότητες αυτές γράφοντοι 2a < 2π = ο + Ρ + Υ ή α < ιι + Υ και, nαρό­ μοιιι, β< π + γ, y < ιι + β, που είναι

ανιiοτοιχο μέρος της διαμέτρου, στο

ακριβώς οι φιγ6)\'1κές ανισότητες για

δεν είγαι ευαίσθητο στην ολική

<y) πρέπει να ανήκει στον κύκλο ακτiνας (./3 / 2)r. Επομένως, στο ιαι

το μέρη του ορχικού ευθύγραμμου

εοω ιερι κή ενέργεια του αέρα, είναι

τμήματος.

πολύ ευαίσθητο στη θερμοκρασία,

Ι./3/2)ι· από το κl;ντρο του κύκλου

Αφού. όμως,

μάtιο δεν αλλάζει, πράγμα που ση­

Επομένως, για ποιο λόγο χρειό ­

ζετοι "α θερμιιίγοuμε τα σπίτια μας; Λοιπόν, μολονότι το σώμα μας

η απάντηση είγαι ι../3 1 2) και στο \γJ εiγαι π[(../3 i 2Jrl' Ι πιJ = 3 / 4. Σιο eρ~ι­

κ<lλύιηε ι έναν κόμβο μόνο ότο" η

ριο αέρα.

tημα (β) το ένα σημείο μπορεί να

ιιπόο cαοη μεταξύ του κέηρου του

Το

θεωρηθεί σταθερό !το σημείο Λ στο

κιιι ιου κόμβου είναι το πολύ

Σχήμα

τα υ πόλοι­

(όσο η ακτίνα του γομίσμοτος). Έωι,

τι α μας πρέπει να θερμαi νονται για

της περιφέρειας για <ο όλλο

το ερώτημα (α) αποδεικγύετοι ισοδύ­

τον ίδιο λόγο που η (ωrί πάνω ο ιη Γη

ναμο μc το Πρόβλημα

του άρθρου,

είγαι αδύνατη ον δεν υπάρχει ο το­

<β> η ζητ.ούμενη πιθανότητα

θερή εισροή ηλιακής θερμότηιιις. Και

lιΠ(Ι\'tήQεις για το ερώτημα (δ) εί\'01

είνιιι ιο πιιλίκο του εμβαδού τωγ

ιιυ ιό δεν έχει να κάνει με το ποσό της

1/ 2, 1/ 3 και 1/ 4 αντίστοιχο. 6. Η πιθανότητα είγοι 1. Κiιθε

φιι~,- σκιασμένων τομέων του Σχή ­

προσπίπτουσας εγέργειας. που ε πα ·

ματος

"εκπέμπεται Ιό>ς και το ελάχιστο

πα

18). Έιοι. μέγουν

5/6

σημείο (το μεγαλύτερο από ω ιόξο

BC>.

και η απάντηση είναι

5 / 6.

Οι

ιρi •

γωvο tχει μια γωνία μεγαλύτερη από

~ιαφορετικά, το άθροισμα

8. Ια) πί4, (β) π / 2./3. Το γόμιομα

ενι;ι

<Jto

20 προς

6

1/ 2

το εμβαδόν του τριγώ­

δηλαδή τη μέση εγέργειο ανά μό­

κός R.

1938,

ο γερμανός aστροφυσι ­

Emdcn παρατήρησε ότι τα σπi ­

τμήμα ε ης> σ ω περιβόλλογ, ακριβώς

νου.

Και τα δύο προβλήματα λύνο ­

των γωνιών του θα ήtαν μικρότερο από 180•. Μπορούμε να οπογτήσου­

ηαι με τη βοήθεια της τεχ,•ικής οου

όπως κοι η μάζα ιου αγθρώποv δεν αλλάζει, ον και δεν παύει γα τρέφε­

χρησιμοποιήσαμε στη δεύτερη λύση

ται. Χρειαζόμαστε συγκεκριμέγο εύ­

με στα ερωτήματα ιβ) και (γ) με τη

του προβλήματος του οξυγώνιου

ρος θερμοκρασιών στο περιβάλλο"

βοήθεια tης πρώτης μεθόδου που

τριγώνου. Η απάντηση στο ερώτιιμο

μας γιο να παραμένουμε ζωγτανοi.

χρησιμοποιήσαμε στο πρόβλημα τοιι

(α} είναι 1 - n/ 2

11

και γι' αυτό το λόγο, είτε γνωρίζου­

οξυγώνιου τριγώνου. Στο Σχήμα

με είτε όχι τη σχετική εξίσωση, αγά­

ούγολα tων σημείων

ιρόποι επιλογής ενός άκρου μιας οπό τις n διαμέτρους κοι με 2ιι οπό

βουμε -τα καλοριφέρ κα ι το τζάκια

ιο, βJ του τετρογώνοιι Ο < n < 2π. Ο <

αυτούς τους τρόπους -όσο είναι το

μας.

30•

βλι'πουμε

tn

19

9.

11 -

1

( υπάρχουν 2

OUAI'HUM I Α.ΠΑΗΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕlΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

j)

67


ΠΑΙΧΝ Ι ΔΟΤΟΠΟΣ

λιές εyκι ωτισμού Μέρος

1:

Πύργοι της ανατολής

Vladimir Dubrovsky

ΣΩΣ &ΧΕΤΕ: ΔΕΙ 'Ji t:XETE ΛΚΟ~ΣΕJ

τις -μητέρες>• της. Δεν είνιιι πιιρίιξενο

ν ιος ι η βοηθηιική στήλη

για τις ματ.ριοσκες ~να απ ο τα

που αυτές οι σπαζοκεφαλιές χρφι ­

σπάθειά μας περιοριςόμαστε από δύο

δημοφιλέοιερcι ρωοικ(ι είδη λαϊ­

μοποιούνιαι συχνά γιιι νιι εrιιδειχιεί

κανόνες: (I) μπορούμε να μετακη•ού •

κής τέχνης. Είναι μια οικογένεια

η δύναμη της μαθημα1:ικής επαγωγής

με έναν μόνο δίσκο κάθε φφι'ι, και \ 2)

οπό ξύλ ινες κούκλες με ολοένα κοι

και ιων αναδρομικι;ιν εξισώσεων. Σ'

δεν μποροiιμε να ιοποθετήοουμε ένα

μικρότερο μέγεθος, βαμμένες με έ­

α υιό το όρθρο θα ασχολι)θούμε με τη

δίσκο nάνω σε κάποιον μικρότερο. Συ­

ντονα χρώμαω και με σχήμα που

διιμοφιλέστερη ίσως από τις εν λόγω

νήθως απαιτείται να βρούμε τη συντο­

μοιάζει με του αχλαδιού. Είναι όλες

σrιαζσκεφαλιές και κάποιες λιγόtε·

μότερη λύση και να urιολογίοουμε το

κούφιες \εκτός από ιη μικρότερη) ,

ρο γνωοιtς παρολλογές της. Έτσι θα

ιιλήθος των κινήσεων που απαιτού­

κομμένες οιη μέση, και καθεμιά πε­

οδηγηθούμε στο δεύτερο μέρος ιοv

ριέχει την αμέσως μικρότερη !Σχι'ιμα 1}. (Στις μέρες μας είναι συχνά κα­

όρθρου 1στο επόμενο τεύχος), όπου

ναιι (όπου •κiνηοη• θεωρείιω η ιιιιλή μετακίνηση ενός δίσκου). Οι δύο κα­

θα αποκολ iιψουμε μια αnρόοιπιj και

νόνες που αναφέραμε ονομάζοηαι

ρικα ιοι'φες ιοιορικών rιροοωπικοιή­

με ευρύταιες ουνέηειες ο(ινδεοη με·

ουχνc'ι •κανόνες ιου Βράχμα., διόη

των ή πολιτικών αρχηγώ,·.} Οι οrια ­

ιαξύ αιιτh)ν ιων ο ιιαζοκεψ<ιλι(~ν κιιι

ιωόρχει ο θρύλος ότι οι βραχμάνοι

ζοκεφαλιές τις οποίες θα αναφέροιιμε

ενός ιδιιιίιεροιι είδους ιια νέμορφων

οιην .Μηενόρες έπαιζαν αυτό το παι­

οι~ ιοίιιο ιο όρθρο εjναι κα τά κάποιον

μαθηματικών τεράτω''· που είναι ήδη

χνίδι με έν(lν πύργο

ιρόιιο ιιορόμοιες με αυτό το παιχνίδι

γνωστά στους αναγνώστες του QtιΙΙπ·

η ιστορία συνοδεύει σχεδόν πάντοτε

"συσκευιισίας»: ι1 κιιθεμιό εμιιεpιέχει

tuιn -τις δρακόνιειες καμ"ύλες

ιην ιιεριγραφή της σrωζοκt.ψ<ιλιός οε

μια σειρά από παρόμοιες οrιαζοκεφα­ λιές, και δεν μηορού με νcι ι η λύοοιι­

ιτειίχος Νοεμ. / Δε κ.

άνιψίθμηιιι βιβλία ψιιχίιyωγικι;)ν μα­ θημαιικών (δείτε για παράδειγμιι ιο

I

με αν δεν λύσουμε όλες τις •ψικρό ­ ιερες• σπαζοκεφαλιές, όπως ακριβώς δεν μπορούμε νο βγό . λουμε τtjν τελευ­

ταία

κούκλα­

1995).

ο πύργος του Ανόι Αmή η σπαζοκεφαλιά, nου επινοή· Οηκε

ro 1883 αnό ιον γάλλο τικό Ε. Lucas, Ηαροuοιόζειαι στο Σχήμα 2. Έχουμε

•μωρό.. α Υ δεν

έναν κων1κό πύργο αποτε-

ανοίξουμε

λούμενο αnό δίσκους τους

ηρώτο, με

ΟJΙΟίους rιρέιιεJ νο με ω κι ..

τη σειρά,

όλες

νήσουμε αrιό τη στήλη

μcιθιwα·

C. Στην

64 δίσκων.

ιιρο­

Αυ τή

Msthematical Recreations and Ess.1J'S των W.W. Rouse BaU και H.S..M. Coxeteι·). Δεν θα μιλήσω για το θρύλο,

Β

c

.4

στη στήλη Β χρησιμοποιώ-

\ 68

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996


αλλά Οα ηαροιιοιόοω ιη λύση, επειδή

τη ρόβδο Α στη

C (no~ cπιιuγχάνε ­

οστό υποδιπλασιασμό. Σ' αuιή ιην

εί,-ιιι ιο απλούστερο και σαφέοτι·ρο

ται μc τη διοδικ(!Οίο Τ. 1 I ουνεχί­

nεριιηωοη. η μryολύιrρη υποδιαίρε­

παρcΊδειγμιι ιου τι πρι'πει να κάνουμε

(ttοι με ιη μrιακίνηση του π-οστού

ση της κλίμακας θα μrτρο μηκσς

με οηα(οκεφα.\ιtς αυτού του είδους.

δίσκου αιιό ιη,· Λ στη Β ( ΙU\'ηση οΙ,

οuό ιο tΙ'ΙΙ ακρο του ιμήματος. Οι

ιΦυοιχο, Ο\' δε\' έχεrε αηιμεrωοίοrι

κ<ιι ολοκληρώνrιω μr τη μετοφορό

δευτερες σε μtγεΟσς υιιοδιοιρεσεrς θα

ξανα αυw ιο rιροβ.\ημο, tl\·oι rφαuμό­

του υnο-ιιύργου

μετρού\' τα μηκιι2"

rrρο ''Ο nροοηαΟήοειε πρώτα ,.ο το

Β. nονω σιο δίσκο

λύσειr μό,-οι οας. ~1nορεitε ανιί για

δικιιοια τ. - ι I. ΣυνοψίζΟΙ'"ΙΟς, έχου­

-μr άλλο λόγια , πολλαπλάσια του 2" ' που δr,· rιναι ηολ.\αηλάοιο ιου

δίσκους να χι>rιοιμοποιήοετε τραπου­

με ι η οχrοη

2"

λόχαρτα διαψορr ιικήι; αξίας.)

ΣυμiJολίζοΙΙμΡ μr

k rrιν κίνηση

που μcιcιφrιιι·ι ιον k-οστό δίσκο (σε

σειρ(ι μrγrθουc;> οτφ• εrιόμενι1 (rιρος tα δεξιό) ρ{ιβδο ιαιιό το Α

ow

Β, α πό

ιο Β στο C ή από το C οιο Λ ι, και με k ιην κίνηση ιου ίδιου δίσκου προς LΙJν ανιίθετιι κατεύθυνση. Έστω τ. η μικροτερη σειρό Kl\• rίorι.l\· που με ­

ι<ιφtρει έ''Ο'' πυρyο

n - 1 αnο

n \και

τα

C στο

ηολι η δια­

=

παρουσιάσαμε ιιροι]γοιι μένως. Λς

. . μιη ακομη φορο: '

λεπτές υποδιοιρέοeις σημr ι4\νοιιν περιττούς αριθμούς. Με όρους ιοn αλγορίθμου μιις γιο cην ειιίλυση του πύργου ωυ Α\•όι , ουιό οημιrίνει ότι

l213l2l4l213l2l.

αν έ1•ας αριθμός k διαιρrίιω nπό ro 2•· ι σλ.\6 ό.\'ι nιrό ισ 2" ι ή, ισοδύ ­

Μπορούμε \'rι θεωρήοουμc ότι αυ ­

\'αμο. η δυαδική ιοιι Ω\'Οπαρόσταση

Τ,= Τ, 4τ3

τός ο τύιισς. όrιως κο ι ο γενικός τύ ­

λήγει σε OJ -

επόμε,·η ιrρος ια δε ξι α ρόβδο. Η αni ­

ιο k-οσrό βημα μtrοκΙΙ•ούμt

οψοφη προξη, που ι η ουμβολiζουμε

οος για ιφ· 'Γ,. •0\'αΠtυσσcται ΟΠό το οριστερο προς τα δrξιιΊ • ε,·ωνοηος

με τ

δrοδοχικά δυο Ο\'ιrοιρcιμμένα αηι­

σουμε ιην τ. από ιο ιiλσς και αντι­

γροφcι ιου προηγούμενου τύπου.

οτρέψουμr όλrς ης οπλές κινήσεις

ιιαρcμβαλλοντας t'•διομεσο μια κί ­

την αιιοιrλουν ιονtlκαθιστώ ­

νηση ιου αντίστοιχου δίσκου. Αηί­

nou

2

1 •

n δίοκω,- στη''

•. επιτυγχά,•rteιι ον ακολουθή ­

ι + 2' '

rιολλιιιιλ<ισιιι tου 2" Ό κ.ο.κ. Οι πιο

μr· 7', 1. Η σχέση ουτι\ συμφωνεί με ιοιις tύrιους γι(! L(! Τ1 , Τ, K(ll Τ3 ΠΟU τψ Cψ{Ιρμοοουμr

και

Κο ιό ΠΙ\', ο ημειώ,•ου με ια rιολ­ λαπλι'tοιn rou 2" • που δεν εί\•αι

Τ,.= τ., ,ητ., _ ,,

.

J

2' - 1

1 μηδενικ(!),

torε κarα

rov m-

οστό δισκο. Πρόβλ ημα

2.

Πώς εξοριόιαι η

κατεύθυνση της κί,•ησης αιrό ιο με­ γrΟσς

n

ιου nυp\'Ου;

και nνιιοιρό­

στροφα. μπορούμε να θεωρήσουμε όιι

Απαριθμώ\'tος διαρκώς τις κινή ­

φως). Θrλουμe να βρούμε ιην τ,,. Γιο

συμπληρώνεται από τα μέσα (Σχήμα 3) μι· μΙCJ διrι δικnοίιι παρόμοια με

σεις θο yνωρί(ε ιε ιιι\ν ι.ιι ιισισς δίσκος

αυτιi ιιις βrιΟμονόμ ησης t\•ός δυοδι­

γη κίν rιση, κοι ιιρος ιn πού. Στην

λίγη σκέψι). διaιιισιώνουμε ότι ·:ι:, ­

κού χίιροκrι χωρί(ονιος ο ιιι μέση ιrι

ιιραγμιrτικόrητα αρκεί να γνωρίζου­

ι 2ι3ι2ι . Ίοc,;ις ι'χrιε ήδη μα\'Lέψr.ι

διnδnχικό cου διοστιίματο. Μπορού­

με αν η επόμε,·η κίνηση είναι nεριι ­

ιο,· γr,·ικό ι\ιrιcι. Οι μαντείες. όμως.

με να ΧJ>ησιμοποιήοουμε οnοιαδήοο ­

ιή ή iφιιιι, ή ''" γνωρίζουμε το δίσκο

δε,- εί,·ω οrιαραί ιηιrς. διότι μπορού ­

τε αηο αυ ιrς ιις δύο eρμηνείες για να

που μcτακl\·ήοομε τελeυιοίο. Οι πε ­

με Υο συ,·αyάyουμε ιΟ\' ιύnο μ~ ι η>"

uπσλογισουμε το πλήθος ι. tω\' ιu­

ριττές κιΥησεις \ και μόνο οι περιttέςΙ

εξης οnλη rιιιχcιρημοτο.\οyiο:

\'ήοtω\· tηc;

yl\·oνιor μr ιο'' μικρόιrρο δίσκο και nάνιcι ιψος rη'' ιδια ιtοrεύθυγοη

ντας τιιν

k

μr· cην

k.

n α ιι ιό γ l\·ειuι ίιμωιι. Ί', = ι . Τ, = ϊ2 ϊ. Έπεηα από ιις μικρ(ς τιμές του

Αρχίζουμt μc t''ον πύργο

n δi­

οκων οι η οιη.\η λ και θεωρούμε την πρώτη φορό rιου μrτακι\'tίτοι ο

n-

οστος δίσκος. εινιιι φιινερό όιι rιριγ

Πρόβ.\ ημο

να μειακl\•ήοουμr

ιους ι ψοιιyούμt,·ιΗrς ιι ιιrιό τη στήλrι

.4

-

Ι δiσκοuς

και να ιοuς μεταφέ­

ρουμε σε μια όλλη οιήλη, οφήνοντος κενίι ιr]Ι' φιιη. yιιι να υποδεχτεί tO\' ιr-οοιο διοκο. Αφού μας ενδιαφέρει η ουνισμόιερη ακολουθία κιviιοεων. ελtύθφη στήλη πρέπει να είναι η Β.

1.

Χρησιμοπσrήοτε τη

διαδικασία συνένωσης• γιιr να απο ­ δειξrιr όιι

μιιορ!'οουμε να το κάνουμε αυιι) πρέιιει ιιρι~10

·r•.

t,,= 2t.,

1 ....

2

και θα κοτ.α­

λάβετε γιατί). Οι άριιrς κl\•ήοεις κο ­ κανόνες ωιι Βρόχμο -ο μικρότερος

1.

κιιι ιιιιι\ ουιή την αναδρομική cξίοω ­

=

οη \'ο ουνιιγόyετε ότι ι. 2" - 1. Χρηοιμοιιοιr\οιc ιη δι αδι κασία της -δυαδικής κλίμrικας .. για να αποδεί ­

ξετε ι\μεοα όιι ι. = 1 + 2 + 4 + ... + 2" ' ι

=2' - 1.

δίσκος ιιηγαίνrι στον μεγαλύτ.ερο.

Έ''<tς άλλος (Ιιιλός κονόνnς nου μος δίνει τη σωστή σcιρό cιν(Ιδιότο­

ξης των διοκωv rιροιiιθηκε αnό τον

Misha

Fyodoι·ov , έ\•ον μαθητή λυ ­

κείου οιιό ιην rrόλη Τσερνογκολόφ­ κα. κοvιά οιη Μόοχιι. Σε κάθε κίνrι­

Ας δουμr μι ο οκομη φορό τις δυο ­

δικές κλιμοκες ιοu Σχήj1ατσς

με ιη μcιαφορό του αποrελούμεγου

θεωρήοουμε ως μο,·αδιαιο μήκος

ωιό

ι δισκοuς υπο-nύργου από

Ιλύοτε ιο Πρόβλημα

θορί(ο,•ιαι μογοοήμανιο nrιό ιουι;

Επομένως. η όλη διαδικασία αρχίζει

n-

πρέπει να μετακινι]Οr.ί οι ην ε nόμε ­

ση •uιιειοι'ρχιιντοι• οι δύο οnό ηι;

Ας

τρεις ράβδους. ,,.ώ η τρίτη μέ,-ει

w

•αδρανής•. Ο Mιsha nαροτψησε όιι

διάστημα rιου ιιροκύιιιει μετά τον ο-

η αδρn••ής pαβδσς κη·~ίrαι oάvro

3.

npσς rφ• ιδια καr~ύΟυνση. rιο πορό­

-I 2 -- 3

2

δrιyμο. Ο\' η πρώτη οδρανήι; ραβδσς

4

-3

4

2

-

4

2

--- 2

1~1214121~1

Σχήμα

3

είΥnι η Η. η επόμε,•η είναι η

3 3

2 I

η Λ. η Β,

C,

μετά

...

Πρόβ,\ημα

3.

Λrιοδcίιιε όιι η

n-

δριινής ριίβl)ιις κινείιαι rιόντα προς

OUANTUM I ΠΑΙΧΝΙΔΟΤΟΠΟΣ

69


Πρόβλημα

την ίδΙο κοτεύθυνm}. Γtα δεδομέγο ιJ,

5. Αποδείξr~

ιιως δια γ

τοποθετήσουμε τη ριiβδο στο k -oo τό κομμ{Ιtι του HanUi και το πλήθος

ιιοιο είναι ι1 ηρώτη ο8ρανιiς ράβδος; Συνδυά(οντας όλους αυτούς τους

ιων υ κομματιών είναι 11, η συvτο ­

κανόνες μπορούμε να καθορίσουμε

μόιeρη λύση ιιηοτελεiτιu από 2' · 3" ' - 1 ΚJνJ}ΟεΙς.

την επόμενη κίνηση με την προϋπό · θεοη ότι γνωρίζουμε κάτι για τις

Μια άλλη μέθοδος φοποrιοίηοης

προιιγούμενες κΙνήσεΙς. Τι γίνετω,

της σπαζοκεφαλιάς εfγαι η αλλαγή

όμως, όταν έχουμε χάσει τηγ αρίθμη­

της αρχικής διευθέτησης των δίσκων.

ση των κι,•ήσεων ή αν ξεχάσουμε ηοιο

Αηοδει κνύετ<ιι ότι ιικόμη και όταν

1jτov η τελευτcιίο κίνηση; Μπορούμε

νο ια καιαφέρουμε γνωρίζοντας μόνο

τοποθετηθούγ αρχικά και σ-τις τρεις

6 7 8

ιηv ιωριvή θέοη τω'' δίσκων; Το Πρό ­ βλημα 4. στη ουν~χεια, πιχισ~ρι:ι την απάντηση σ· αυτό το ερώτημα.

~υμβολίςουμε με Ρ, τη ράβδο που

ράβδους με οποιαδήποτε σειρά, το πρόβλημο ιιιιριιμένει επιλύσιμο. Πρόβλημα

Λποδεfξτ~ όη το

nλιίΟος tω\' κι"Ιισεων που α πω­

κιιτολαμβάνει υ ί-οοτός δίιικος <οπό·

=

6.

τούντω yια να συyκεντρώσοuμr

n

δίσ-κους σε μια δεδομένη ράβδο ιικο­

τε p 1 Α, Β ή C Ι. Κάθε θι'ση της σπαζοκεφαλιάς δίνεται από τη ..λέξη,.

Σχήμα

Ρ.,Ρ. ι· ..Ρι· ιΠαραιηρήοτε ότι υrιάρ­

Quantιιm). Εδώ οι δίσκοι έχουν <ινιι •

μα" είναι το πολύ

χουν

δυνατές λtξεις αυτού του

κατασταθεί από κομμάτια οχήματος

οπό tι} ράβδο του πρώτου δίσκου και

ιύπου, αλλά, ον με τακινήσουμε τον

ιJ, διαφορειικού μεγι)θοιις, ιtΟΙΙ tΟΠΟ·

ανεξάρτητο από την αρχική τοποθέ •

πύργο από τιι μια ράβδο στην άλλη με

τηοη των δίσκων. Μοναδική εξαiρε •

ιον ο υν·ιομότερο ιράιJο, θα ε μφα νι­

θετούνοιιι σε τρεις εγκοrιές eνός ειδι­ κού πλωσίου. Η σειρίι μεγέθους είναι

ση είνσι η πι;ρίιrι<J)()η καιά ι ην οποία

οιούν μόνο οι

2" από

α\•τεστραμμένη: το μΙκρότερο

•U•

ο μεγuλ \ιτερος (η -σο ιός) δίσκος βρί ­

χική Μξη και

w

ονtΗΗοιχεί στον μεyαλύιερο δjσκο.

σκετιιι ορχικά στη ράβδο που πρέπει

κ.ο.κ. Ο διnηουργός τιις, για να υπο­

να καταλήξουν οι δίσκοι και υιι(φ­

γραμμίσει ιις διαφορές αυτές, έχεΙ

χει έγας ιοvλάχιστο'· δίσκος κάτω

ανtJκαταστήσει το ...ο ..

<ιπό ου ιόν. Σ' ουτl} τι}v περίπτωοιι,

zn-

3•

αυιές -η αρ­

nrιοιελέομαιtι ιt.t\·

1 κaνήοεων ·'

Πρόβλημα

4. Υιιοθέιοuμε όιι έ·

ιιtιια <ιrιό

k κινή_οι;ις έχει προκύψει ιι θέση Ρ.Ρ•. ι·..Ρι· Βρείτε έναν κανό­ να ytα τον υπολογισμό του

k από τον

κωδικό Ρ.Ρ• • 1...p 1• και ονtιοφόφως. <Υπόδειξη: θο σας βοηθήσει η χρήση της δυαδικής αναπαράστασης του Δείξιε ότι ω

k

k.)

έχει ιην ίδια ισοτιμία

με το πλήθος των αλλαγών γραμ • μάτων στην ακολουθία γραμμάτων

ΑΡ.Ρ• . ,...Ρι· Στην πρ(ιξη, ο πύργος του Ανόι

4

λοιιθώνται; τους ..κο νόνες του Ηράχ·

oou "Hanoi-..

με

2" · ι.

ανεξάρτητα

•U•, καΙ ονομάζει την κατασκευή του

ιιrιιιιτόύ\·tω ι.ο οολύ zι:ο + 2ιι -'2

•Σηαζοκεφαλιό ιου

νήσεΙς. και αυτός ο αριθμός δεν μιtο·

HanUi •.

Αυτός ο

σχεδιασμός μάς αναγκάζεΙ αυτόματα

να

ακολουθήσουμε

τον

δεύτερο

κιη•όνa -ιου Βρc)χμα, άφ<>ύ ε.jνοι αδύ ~ ναιον να τοηοθηήσουμε ένα αντε ­

ρεί να μειωθεί <yια

n>

- 1 κι ­

Ι ι.

Panex

Σης αρχές της δεκαετίας του

1980,

στραμμένο υ ηάvω σ' ένα μεγαλύ ιε­

η ιαπωνική Magίc Company κ α ια •

ρό του . Ένα επιπλέον ενδιαφέρον

σκεύασε

χαρακιηρ1οτικό αυτής -της ηαραλλα ­

έμοιαζε με τον Πύργο ιου Α γόι (ή

γής είναι οι μΙκρές ιρύrιες που ιιιιίιρ •

μ(ιλλον μr. ιη pu10ική παραλλαγή του

χουν στο

~χήματος

U.

Αν τοποθετήσουμε μια

μtα σπαζοκεφαλιά

4)

που

και μπορεί να αναλυθεί

μπορεί να δημιουργηθεί με πολλές

λεπτή f>άβδο σε μιιι από αυτές, ιο

με παρόμοιο τρόπο, αν κιιι η λιίοη ιης

μορφές. Στο Σχήμα

αντίοτοtχο κομμάτι δεν είναι δυνατόν

4 βλέπετε

μια πα­

ρολλογή ιηv οηοίιι θι• μπορούοιιτε Υα

να τοποθετηθεί στην εγκοπή

Αυτ.ό

είναι πολύ πιο δύσκολη. Έχει το μυ ­ σ-ιηριώδες όνομα Ρaιιeχ Ιδεν eχω την

βρείτε

είνω ιοοδίινnμο με ω νο (Jιιαγορεύ·

ιιιιρομικρή ιδέα για το η μπορεί νο

o-ro καταQτήμπια π<tιχνιδιών

τι}<: Μόσχας πριν οπό λίγο χρόνια.

ετιιι

Διαφέρει από τ1ιν αρλ'lΚή μόνο ως προς το σχεδιασμό: στη θέση των δ1αφορε­

θέτηση

τικού μεγέθους δίσκων και των ρά.

νου

δiοκου

βδων έχουμε αρΙθμημένα τετράγωΥα

του

πύργου

που μετακ.ινούνωι σ' ένα πλαίσιο με

του Λ νόι στη

τρεις συνδεόμενες οχιομές. Μια ιίλλη

ράβδο

ηαρολλαγή (Σχήμα

ι11ο έξu­

ιος ο εnιrφό •

πνη. Παρουσιάστηκε από τον δη­

σθετος nεριο ­

μιουργό της, τον ιάπωνα Youshίyukί

ριομός αλλάζεΙ

Kotani, uτο 140

τη λίrση, δπως

5} είναι

Διεθνέ<; Πο>"ηγύρι Σπαζοκεφαλιών (Σηάτιλ, 1994 -&ί­ τε τοΥ Παιχνιδότοπο του τεύχους Σεπτεμβρίου /Οκτωβρίου

70

1995

ΜΑΡτΙΟΣ ! ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1996

του

C.

η τ οπο ­

ενός

συγκεκριμέ­

C. Τού­

είναι ψuοικό.

c Β


οπό οποιαδήποτε απο τις τρεις στηλες Ιι111ιές μrιορούμr νιι ιις Οεωρήοου μι: ωc; τρεις διαφορετικές θέσεις και να ιις ονομάζουμε · μηδε,·ιιιό rιιίιιεδο•Ι

ή σ ιο αρχικό του ειήπεδο Ι το πρώτο επίcιεδοJ σε κόιιοια αrιό ιις ιρεις ο ιή­

λες. Ειιομένωι;, ιιυιά ιιι δύο κομμά ­ τια. όταΥ δε'' βρίσκονται οτφ· ίδια σ τη.\ η. μπλοκάρουγ ης δυο από τις τρεις στήλες! ΕξU1τιας του τόσο στε­ "Ού χωιιου ελιγμών, η οηα(οκεφαλιά φοί,·ετοι όλυιιι εκ πρώτιις όψεως -κ ω αυτή τφ· εντύπωση πρέπει πό ­

\'α δί\'εΙ μιιι καλή σπαζοκrφολ.Jά. Λίιοη υπόρχι·ι, βcβιιιο, ον κιιι η ι:­ \'111

ηί ιcυξή rηc; ο ι η" rιρόξη μιιορεί να αnιιιιrί περισσόιερο χρόγο απ' όσο

ειστc πρόθυμοι ,.α διαθrσηε. Οι

Σχήμα

Slocum και J. Rιιιeι·mans, σιο βιβλίο

6

σημοινrι outό οιο ιοπω,·ικό). Στο

Σχiιμο

6 βλέπειr nως φοί,ηοι rξω­ ιερικίι, tνώ w Σχιiμιι ί παρουοι(Ι(ε ι

την πιθανίι εσωτερική της κατιισκευή ΙσυyκριΥετε μ~ το Σχήμα

4!1.

Ο ο κο ­

σχετι κό με τη μετακίνηση των κομ­ ματιώ,·. επειδή η κατασκευή από μό­

''η ιικ εί,·αι μάλ.\ο'' ιιrριοριοιική: εί­ νοι ιιδύ"αιον να ιοιιοθετηΟει έ,·α κομμiιιι χcιμηλόιερα αrιό ιο ιιρχικό του επίπεδο, ακόμη κι αν δε\• υιιάρ­ χουν άλλα κομμίι ιια αιιό κάιω. Γιιι παραδtιyμιι. κάθr κορυφοιο κομμα­ \'(1

μιιrι μι),·ο σε cιι Οεοeις:

οιο ορι(όνιιο ουλiικ ι σύνδεσιις nί11·ω

οιο ανώιcριι ι· ιι ίιιεδιι. Οι ιινοδρομf.ς cμφa,·i(ο,•τοι σι· συγκι•κριμέ,τι;βοη­

θηrικές --αλλό και ιιιιαραίιηιrς­ διuδικασίες. ιις οποίrς ιιρέπει υπο ­ χρ~ωτικά νιι μίιθr ιr νιι χρησιμο ­

ποιείτε προκειμένου \'!ι λύσεrε tι} οnαζοκεφολιό. :ι.τη συ'•έχειο θο Ο\'Ο­ φeρω μόνο αυτές uς διαδικασίες και

θο παρουnιόοω ιις α νnδρομικές οχέ­ σεις μειιιξύ ωυς, αφή,•οντας την

υ11όλοιιτη δουλειά γιο ιους α'•αγ,•ώ­ σ ιrς που rνδιοφέρο'• ιοι.

Π ο ρο ιηριjο ιε ότι κίιθε κομμά tι

στηριω,·

τις δύο όλλες. για μrρικrς ιουλόχι­

Bell

εχουν εκημησει πως το

ι η ο ιήλη ιοu και να μείνει σε μiα οπό

ελαχισrο πλήθος κ.ιvήσεων που ο ­ ιιηιιούηαι γιιι ιην t\•ολλcιγή ιων

οτοv κινήσεις. Μπορεί κάποια στιγ ­

οιη.\ών οιο Ρaιι~χ είναι

και πόλι αργότερο. Εlναι nιΟο,•ό ν

17564

~Ν~

κολ\ιψrιε έναν ο λ yόριθμο και θα

rnιβrβοιώοει.r ιφ· ορθόιηιο ιου γιο ιιέ\fιr t} έξι t-rιίιιεδο ιοu ιιιιιχ,·ιδιου.

οης•. Δε" υπάρχουν άλλοι κονόνtς

ο,·ταλλοyές σ' αυτό το επίπεδο δε,· οvνδέοντοι αμεσο με τις ανταλλαγές

rιρέπει κάποιο στιγμή νο φύγει οπό

Επιπλέον, από τη στιγμή ποv θα α να ­

μοποιrιται ωc; •διαδρομοc; τα!,J,·ομη­

vnάρχου\' από ηά,•ω. και έrοι οι

rouς Puzzles Old aιιd Ne"·· ονοφέ­ ρου" όιι οι μαθημοιικοί ιω" Εργο­

31537. tH δικη μου λύση είναι κοιά 1700 περίπου ΚΙ\•ήσrις μrγολυτερη.Ι

πός eδω rί,·οι \'Ο r'·αλλαχθού'· η ορι ­ στερή με τη δεξιά στήλη ι διαιηρώ\'Lας φυσι κό ι η σειρά Ηο)\' κομμιιιιι:)\· οιις στήλεc;Ι. Το κεντρικό αυλάκι χρι}Οι ­

ιι μιιορrί

J.

Και όχι μό,·ο ο υιό -γιο ι(ι κομμα 110 ενός ειΙΙιιέδου δεν rχει καμία οιι­ μοσία το χρώμα των κομματιών που

θα nrίιr κατίι nίιοα πιθανόιητα •και

τιι λοιπό•, και Οα "" αφήσετε κατι'ι

μέρος. Α υ ιό rιναι μιιι αρνηιι κή πλευρά που χαρακτηρίζει όλες nc; οrιιιζοκεφολιές ryκιβωιιομου.

f:νώ η λύση για τα k επίπεδο του Πύργου του Ανόι α'•άγεται σχεδό" ιιυιόμαια αιη λύση γιο uι

k-

Ι rπι­

πeδο. σrο Ρaιιeχ ιιαρόμοιrc; ουνδρο­ μικι'ς οχέοrις •·iνα ι ηολίι λιγόιερο φαvερtς και πολύ πιο περίπλοκες.

μή να ειιιο ιρέψει. γιο νιι ξοναφύγr ι εniσης \'Ο εnα,·α.\άβει ορισμέ,·ες φο­

ρές τέτοια rιnλινδρομικά ιαξίδια . Α" όμως θεωρήσουμε την πρώτη στιγμή ιιοιι συμβαί,•rι αυτό για ια δίιο κομ­ μόιιιι ιου <k + 1}-οστού επιοέδοv, λόγου χορη ( μετρώγτος αιιό ro επί­ ιιεδο 0!, θα διnrιισιι:>Οοuμε όtι ιιιι~ρ­ χουν μόνο δ\ιο διJ\•οιfς διειιθετήιJι:ις ιω'' υπόλοιπων κομμn ιιών εκεί,·η ιη στιγμή. Στο Σχήμα 8 πορουοιάζο\'taι οι διευθειήοεις, α και β, rιου ον ιι­ σ·ιοιχούν στο αρισ τερό κομμάτι (οι

αριθμοί

t{o)V

κομμαηών αναφέρονται

οι ο αρχικό ιους ειιίιιrδοΙ. Ας rιιι­

κεγιρώοουμε ιην ιιροοοχή μας ουι διruθέιηοη ιι -Qδηγεί ο' ένον κάιιι.χ; συντομότερο ιιλ yόριθμο. Ηίναι φα νι·-

r (>' Ι

I

ι

I

2 3

2 3

k k~ι

~

Σχήμα

7

Σχήμα

8

~

k k

OUANτuM , ΠΑΙΧΗΙΑΟΤΟΠΟΣ

71


t, = 9. Περιοοό ιερeς τιμές των d, Ι και

Q

Συ••έχεια από τη σελ.

28

t,ι μπορούμε να βρούμε χρηοιμο· Γ

ποιώντας τις αναδρομικές σχέσεις

l I

τικής πράξης. της

ί

k

8

S,,

η οποία μετακι·

11

7

3

6

5

10

δου αnό ιην nριο-ιερή οιην κεντρική

1

σιήλη ξεκινώντας οπό τηγ αρχική

k

k+l

διευθέτηση ιδείιε το Σχι\μα 10>. Εί •

Δεν rιρόκειιοι αnλώς για ήλλο ένα

ναι οημaνιικό ''" nιιρατηρήσουμε ότι αυτή η ηρ{ιξη είναι uποτελεσ μαηκή

ακόμη μαγικό τετράγωγο -i>ι αριθμοί

nκόμη κοι όταν το

Sallows

k -οστό

επιπtδο

της κεντρικής στήλης είναι αρχικά

D,

Σχήμα

9

νεί ένα κομμάτι του k-οοιού εrιιηέ ·

k- 2

Πpά~η

4

μεταξύ τι1ς Ο, και μιας άλλιις βοηθη­

ονομόζει ιο ιιρι~ιο τετράγω ­

κατειλημμένο (ας πούμε, από το

ν ο Αι oov i ro λιιφοκύπ ιει από w όνο~ μιi του, Lee } και το δεύτερο το αηοκ<ι·

αντίστοιχο δεξιό κομμnιι ). Σ' αυτή

λεί αλφαμαγικό του σύντροφο. Στο

τηγ περίπτωση. θα φέρει ω κομμάτι

(φθρο του

οπό τον αριστερό

9

του, επιπλέον, είναι διαδοχικοί! Ο

Ι(εντρικό

(k-

k-oo ιό

χώρο στο''

1) -οο rό χώρο. Δεν θα

"Aiphamagic Squares .. , rιου δημοοιεύτιικε σε δύο μέριι στο Aba • cus (τόμ. 4. 1986. σελ. 28- 45. και 198ϊ.

ρό λίγο·rιολύ <και θα ιο θεωρι)σου ·

έχει αποτέλεσμα. όμι:.Jς, ον ο τελευ •

σελ.

με δεδομένο) ότι η συνtομότερη ακο ­

ιοίος χώρος είναι κοτειλιιμμ ένος,

νές ωιι γι<ι ι:n ιιλφομοyικό τι:τράγω ­

λοvθίο κινήσεων.

που δημιουργεί

επειδή τότε δεν θα υπάρχει ελείιθε ·

νο, τις οποίες nραγματοrιοίησε με ιιι

αυηΊ τιι διεuθέιηοη. αφήνει αΥέπα ·

ρ η δiοδος για ιο μεταφερόμεγο κομ ·

βοήθεια υπολογιστή. για περισσόcφcς

φιι τη δεξιά ο ιήλη.

μίιιι. Η ίδια παρατήρηση ισχύει για

από είκοσι γλώσσες.

L.,

Πρόβλημα

7. Αnοδείξtε πως όtα'' k <: 3. η πράξη L, μnορεί ''U πιφαστα •

D,L,

θεί ως

2•

όπου Ο, είναι ιι συντο ­

την πράξη

κινήσεων ιης

k

κnι

ro

Αrιοδείξτε όιι

k~

θος ιων κινήσεων

t,

και

d,

των

L,

D,:

ιιου μπιψεl νο σος α πασχολήσουν μέχρι τη δημοσίευση των αnανιή· σεων στο επόμενο τεύχος.

1.

(21

Για τα μικρό

k

μnοροίιμε να βρούμε

τις τιμές του

s,

άμεσα: ιιροφανώς sι

,

:3

χ

3

μα γι·

κό ι~; ιρά γωνο με ενγέα διαδοχικούς γική οταθeρά το 666 - t o \' διοβόηιο αρΙθμό του θηρiου στψ Αποκάλυψη του ( ωό,,rγ η,

= 1. s, = 3. Για k = 3, μια μικρή αλλιι · •

Κατασκευάστε ένα

θε·pκούς ακεραίους που έχει για μα ·

4.

rιρόβλημπ κο τολήγου ·

με οι ην επόμεΥη εξίσωση για ω nλή ­

και

S,.

d, , ι = d, + 2ο, , + 8.

που βλέπετε στο Σχήμα 9. Με α υιό

8. Έστω s, το πλήθος

s, = d, + s• . ι·

με ιον φόπο

k - l

καtαγράφει τις έρευ ­

Και τώρα, τρεις σπαζοκεφαλιές

Πρόβλημα

μότερη πράξη που μετακινεί τα δυο κομμάτια

D,.

20-29. 431.

+

2. Τοηοθειiιοιε

ιον αριθμό

1 ο' ι'να

3 χ 3 πίνοκα.

γωγιακό κελί ενός

και

ηι

yη ο ιη σι:ιρα τω'' κινησεων μειωΥει

Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε άμε ·

οποίο δίνει η εξίοωοή μας. οπότε s3 ~ 10. Παρόμοια, d, = 21 . που είΥαι πάλι

ακεραίους έωι ώσιε νο οχημutιοτεί

κ<ιι{ι

ένα μαγικό τετράγω,•ο.

t1 = d, + t,. ,. με k ~ 3.

οσ ότι (ι = 1. {2 = 2. d1 = 3 <φυσικά, to d1 δεν ορίζειαι ). Κάνοηας δοκιμές βρίσκουμε ό ιι d, = 8. οπότε l 3 = d:ι +

κατά 1 την τιμή

I

= 11 ο την

μικρότερη από την ιιμή Μυ

κελιά με διαδοχικούς μη ιιρνηnκούς

3. Τοποθετήστε

Χρησιμοnοιώηας τώρα τις εξιο<~ ·

(2)

εν,·έα τραπουλό­

χαρτο ως εξής:

μnοροίι με να ιιι ιολογίσουμε

σταδιακό. όλες τις τιμr.ς rων :;, ι<αι d, για 4 k 10, και κατόπιν. χρηm μο­

1

2

3

t,.

3

1

2

2

3

1

s s

ιιοιώντας την εξίσωση ( 1). τις τιμές

I

κο τόπι ν ο uμnληρώοι.ε τα υ rιόλοιιιιι

δίνει η εξίσωσή μας. σεις

Γ

l

d, + s,

Οι υπολογισμοί μου δίνουν τις εξής ]ι

τιμές για k ~ 4874.

t.,

- 1

ι k+l

k

1

I

= LO:s,0 = 6891. d 11, = 4039.

Μπορούμε τώρα να συνδυάσουμε τις πράξεις που ηαροuοιnοαμε

oc

μι α

πλήρη λύσιι της οΙJαζοκεφολι{ις Ριι • nex. στη'' αρχική της διατύπωση. Πρόβλημα ι.

72

Δ~1ο τε ιην πλήρ η

λύοη τι1ς σπαζοκεφαλιάς

Panex. (IJ

ΑΠΛΝ'ΓRlJΕΙΣ, ΥΙJΟΔΕΙΞΕΙΣ

Πρά~ηS,

Σχήμα

9.

ΚΑΙ Α ΥΣΕΙΣ ΣΊ'Π ΣΕΛ.

10 MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΑΙΟΣ 1996

58

Όλες οι γραμμeς και οι στήλες κο · θώι; και η μία διαγώνιος tχουv ά ­ θροισμα

6,

αλλά η άλλη διαγώνιος

tχε ι άθροισμα

3.

Αλλάξτε τη θέση

τριών φύλλων έτσι ώσιε

ro

τeτριiγω·

να γίνει εξολοκλήρου μαγικό.

(IJ

Ο Martίn Gardncrooκεi ,η μαyείu

tou

''0

οιο Χένιεροονβιλλ της Βόρειας Κορολί­ νιις. και ουνt>χfζe.ι "ιι yράφι;ι ασtαματηtα.


J obn BarrQw flαν&Rιστi\μιο

tou :ε:Q.σσεξ

Η ΛΠΑ ΡΧΗ ΤΟ"Υ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ

11cpιiπιισ:ιι ιπιι μωτέρ •·u λ·ιισμοί.ογίq Ο δια~ιι.-εΛ-ρ~μ~1Ο,; υ.σt{'(ΙΙ'tίμο; πι:ρι)'fΗ~Ιf~ι πώς 'Οι εpε:v•·ιιrC;. Jιr.).εtώVf<t;' rηι' πρώιμη f(lf<ψίt). τtnJ σύμπι~tταc r:σ.ι riJ δομιj του όπw; 1I~parηprJraι σιίμερΟ.. πέwχαι· μια πJ.ηρittrι:pη ΛΎ.λτα.~·dησq rto·Jν 4"•'rtιrήιφf '{iφi Φ (Ί.πtrrελο~ι' -από ra οrοιχι;,ι/χ~η οωμQ.rίδι<ι. cδ~ -τα

μιt,ιμ}.ιι. ϊαλΟ.:ι«κά σμ~ι·rι. Εξιη$ί rι σημtJff'ει (rrι ι' χρόΜ~~ έχει μ/α αpχfί. I i(ιτ;ί οι ι:πιrtrιίιm~ιε.; ιιπόψι&.ζqvισ.ι ότι υπάpχο(>ιr λ~ι άΜ,ι:;-ς (fι()ιttάtιr.ι; nτο σύμπαν,. Tr ι;(ναι tn Κιtκrμιr·:~~ miP<AYi'tt;· Ί1 ).uι ιι φ<σικιί για, ιιι «διψιοιψι-(<λ ~πι$ τn tίιrι:ιτεrι. 1/qτί η ίδιιι. η όπιφξιj μ"ς σιιι·δέt.ται ιι• T'f" αρχ,ή, Ν.ιίι

fll δαμfι ωtι σfψπαηο;1 Jlt

tpότιοvι; πΌυ δι;•' ιιtt~JψJ(Ι.ζόμάσrε.

Q avr,paφtα;. ΠlJΙJ

βμlσκr.ruι ιπιιr πpι!ιτη :ιpαμρή έpω••ας Τ(ιΙΙ' πιφη.πιi•Ψ Οεμώω•·. μq,; ιφιισφ•:pι:Ι τις πw σ!ίΥΥ.ΡΟ''"< απιίψ~ι; rψ;μο•"fι:pι·q.,; •·oqμgl.tιyf(ι;. Σι;λ.: 176, !;1~.! Α/Μ , 14χ21 """ 3.500 δρχ.

Ricbard Oawkins Ποινεmστήμιο τl]ς Οξφόροη;

Ο ΠΟΤΑΜΟΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ Μια δαμf/ι~·ικιi πμιισι5γγιση

() ιSιαι·ιι:ιφιμι·ι·ο.; βω).δj·ο.;.

ΊΊΙtJ.φtJ~'rά..,'" με /..{)j)(/.λϊΙJI)l(rrth'IJ ~, χiρcω.• ι:πιχαμt:ί ι•ιι Μσει το

μιJστιjpιο τη; πpoέAtf.JOη.,~ tη; ζvιιί.;. ιlt·<.ι./.iιι:ι rη Ηι:ωμίtι rη~~ Αφριf\·ω·η; Eba;, πεf)ιγράφι;ι ~~,·ιιι αποσαφηι·i;;ι;ι πoi.tJπλtJKa. qχι.ιι·;;μr.ι·r.ι rrιι• f.μjftQιι J.Ι64Jit)!l, πρι)([ιcαθι;ί t'<.ι απω'τrjσι;ι ΠΡ κrι.ιί>t(1. ι:μωrημurit., ιiπιιJ;: Ποωι; ιίτω· ο πιdπρι;σφ(J.(ο; Λιιη·ύ,.· ιrρ(jί'(Η'Οι.; (ί/.t:ιΙ rω•• t'J.\·Οpώπαιι·,· ΠιQς

εξrJ.iσtrovrαι οι ιrοί.ιJπί.οκοι μηχαησιιοί rωι·ι}μβrι·ιι• όι rΝι·; ΓH~ rt λ.ι,η{Ν>ι·ρμοfμε ί'ΟΙ'Μιιι πur προΛ·α./.ι>( 1' Davarηφόpc; aaθ(:1'l.'ll:;; 1/οιu ,;/ι·rιι ιι λ·rι.rr.ι:(h.ι·ση rη.; t.:.έ/.ι_;η;: 11f:Ρι;•μι1φι:ι τι; πμοαπιλ.l)l:ιι:;" rιι11· ι:π.ιοτημό~ιrιι· ι•α l!pJtlf''εVooιιι• ιη ~(υ,ί λ'Οιl ι;πισημ((iι•ι·ι ποπf~ dι;.χΙ·tί μα;

ιιαικJ.π/.ο.ι·ι>ΙΛ' οι μbΟοι yια rη•· πιwlί.ειισιί μα.;. ,. .-ω μ<ι.ι; πιχJσψil~' 1;\'t( nι ι-αρπσrιτι,..·t> λd' Π(lnλ.')JJfιι.'fi λ'l;ίμι.το. ω f!ΠΟΙΟ ().Ποrεί.εί ΙJΠόδειγμα cπrσrημοι•ιι..·ιίr:· m ι;.<ι;·ιqμου. Σεl..:

11)8. Γ-ι~.: ιVΜ. 14χ11 r.< .. 4.000 δρχ.

ΚΟΡΥΦΑΙΟΙ Ef/ltff/HONE!. ΑΓ/0 ΕΝ/Ι 11Er AftO ΦΑΣΗΑ EW.Tf/110/J/KQ/J 1011EQN f1APDY!JA20YN ΠΑ 10 ΕΥΡΥ ΚΟΙΝΟ, ΗΕΣ/1 Af/0 111/1 ΣΕ/ΡΑ 11/KPIJN ΚΑΙ ΕΛk'ΥΠΙΚΙJΝ 1:1/:Λ/αΝ. 10 ΓΝf2Σ.1ΙΙ(Ο ΑΝ1111.ΕΙΙ1ΕΝΟ ΤΟΥΣ:, Τ/Σ fι1ΕΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑ ΤΗΝ εnttTI/111/, 1/Σ f1POO· (/1/Ι(ε!. T!lt Ht/N ΑΝ/110/ι/1 ΤΟΥ 210Υ AIQN/1. 1/ ΣΕ/ΡΑ Ι(ΥΚΛΟΦΟΡΕΙ ΣXEtJCN 1/ΙΥΤΟΧΡΟΙΙΑ ΣΕ. ςς ΧΩΡΕΣ ΤΟΥ Γ/ΛΑ11f11Η 11/!Σ: Af/0 1JΣ ΧQΡΕΣ ΤΗ!. EYPf2f1/lίl(fit EN!2!Ht. ΤΟΝ Ι(ΑΙΙΑΙJΙΙ. ΤΗΝ IAf/QNIA 11ΕΧΡΙ 111 ι:P{IZI!WA. 11/11 I(JIJA ΚΑΙ ΤΗΝ AY!TPA!WA.

• ιAIJ71MHtii.NOl11/f ~Y1/f 11{ ΣΕΙΜ !~11 Μ~ !IlOM ΣΕ 0/ιΟΚ//Ι{ΡΟ 1011 (1/IAII/{11{ ΗΑΣ. tJ/1/110/fΠJII Kl/f (flf!ri{HOIIQ/1. •

,

ΕΚΔ02:Ε ΙΣ κατοπτρο

I{ !ΥΓΚΟΗΙι1Η θ~

El/11/f I{ ΕΠΟΗΕΙΙ/f (EIIf~ -{}1/llf(t {)(1111[71

Quantum τόμος 3 τεύχος 2 μαρ απρ 1996  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you