Page 1

ι

ι_

ιJ

'

<.......

../ Ju \_.ι

v

Lι'

-

-

-

-

'\

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΑΤΟΠΤΡΟ

\....

....

'-( l


ΠΙΝΑΚΟΘΗΚΗ (I)

.. • •

'' •

'I' I I I I

I' ι

' •

-----

nι 'ι

I

'' '' I

'

ΜΙα άλ.λη εποχή Ο9ϊ3 ι, του Υη)ι; Ο nΙΝΛΚΛΣ ΙΣΩΣ llΡΟΚΛΛΕΣF:Ι ΜΕΡΙΚΑ ΕΙΡΩΝΙΚΑ

Α σχόλια: •Μήπως είναι γυρισμένος α'•άοοδα;•. "& μιιο·

Kcnneth Noland

ζωγραφική -ιη δική μπς και των άλλων; Και ιιοιω" τα αφηρημένα σχεδιάσμα ια εκ rίθεvται στα μουσεία;

ρούσε να είνιιι ένα ωραίο οιιφ πουκάμισο!•, ·Καλός cίν(Ιι,

Λυτό που φαίνειαι όιι εκιιμούμε 01ην αφηρημένη ιέ·

αλΜ θιι τον προτιμούσα οτο κόκκινο!". Ποιος θα μιιορούοε να ηει ότι αυτού του είδους οι Ο\rttδράοεις δεν είνιιι δικαιο·

χνιJ είναι η μορφή, η σύνθεση, η ισορροπία -ιδιόιηιες γιο τις οποίες δύσκολα μιιορυύμε να μιλήσουμε. Ορισμένοι ίσως

λογημένες;

βρουν τον παρεUJάνω ιιίνιικιι υποβληιικό και κομψό. Ίσως

Ομολογουμένως, η αφηρημένη τέχνη αηο!t'λεί αν ιικel· μενο ένwνων συζητήσεων. Όtα'' φαjνεται ότι ο δημιοuρ·

σας θυμίζει το οδικό δiκιυο των πόλεων. Μάλιστα. μοιιΊ<ει κάπως με την πόλη όπου γεννήθηκι το Qunntιιm, την Ουά­

γός εξtρεuνά το μέσο IΙJC; καλλιιεΧ'~κής έκφρασης μόνο για

σινγκτον: είναι μια πόλη με ιιολύ ιιριΊσινο και σχήμα ρομ· βοeιδές, με τους άξονες ιων χ κοι y Ιηου περνούν από το

λογαριασμό του. έχουμε κάθε δικαίωμα να ρωιήσουμr: ·Ποιος ει ναι ο λογος;•. Το ίδιο ερώτημα τiθεται μερικtς ψο·

ΚnιnτώλιοJ να ξεκινούν σχεδόν ωιό ιο κέντρο. Ισως οι ανα·

ρ<'ς οιους rρι:uνηriς των καθαρών μαθηματικών. Οι απα·

γνώστες που γοητευοηαι από ιον πίνακα ανακαλύψου\'

\•ιήιιrις rιναι οι ιδιες; Α"ακυη!t'ι ένα θεμελιώδες ερώτημα: Αnό ηαύ nροtρχε·

σ' αυτόν nαραδeίyμαια χρυσής ιαμής, η κάποια άλλη εξή ­

ιαι η ιι,·ογκη για αφο!ρεοη; Η αγαyνώριση του αφrρημέ· \•ου μιιορεί να δι&ιχΟεί ή είναι έμφυιη; Ίυωςέχεtt οχrδιόοrι

Σw άρθρο της οελί&ις 39 rξειiιζουμr ια ζήτημα της •ttoμ •

σκαριφήμοιu που εο&ίς οι ίδιοι τα βρίσκετε όμορφα. Μπορεί

νπ μ ψ ι·ικονίζουν τiποτε, αλλά να οας αρέσουν. Μήπως το ·Μια ίιλλη cnoxή• εί,•αι έγα τέτοιο ιιρόχcψu υχεδίοομα; Κι αν είναι, ιόιε μέοιι σε ιιοια όριο εκτιμούμε την c:ιφηριwένη

γηση του 0,\Wioυ. ψόιητας• στα μαθηματικό. Όπως ουμβαl'•rι και στην τέ · χ ν η, οι μαθηματικοί •τηΥ αναyνωρfζοuΥ όιαν ι.ην βλέπουν•. Αν ιιίιλι θέλι:τ& νιι οξιιοκηθείιε οι.ο εφορμοομένα μαθημα­ ιικά με αναφορά στα οδικό δίκ ιυα, διαβι'ιο ιt ιο ίιρθρο .,το σχολ ικό λι:ωφορείο και οι λακκούβες••, σιη οελίδιι

24.


ΜΑΡτιΟΣ

I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

ΤΟΜΟΣ

2/

ΤΕΥΧΟΣ

2

ΑΡΘΡΑ

4

Βαθιές αλήθειες

ΓΙCίρνοvτας τn θερμοφιαία τnς rnς Alexey Byolko

10

Μαθηματικές κορδέλες

Πλεξίδες ICCIIC~ Alexey Sosίnskγ

18

Προσομοιωμενη δημιουργiα

Όταν ένα σώ\10 συνανtά ένα A.G. W. Comeron

24

Τεχνάσματα

το σχολΙΚό λεωψορείο και οι λαιcιιούflε( Εικονο!'Ι><iφηση: L•onίιl Tίshko•· Μ ιιορrί μrρικές φορές οι χιο,·οδρο­

μοι \'α Ο\'tιρtιιοηαι μια ίεο'η ιρωιιο στη μrση ιου ιαf,ιδιου ιους. α.Ηα ο ηλο,•ηιης μας κρατάει ιη θφμότητα του κpυμμrΥη μέσα ιου . Οι Orρμoni­

δακrς κιιι οι rκροfς λάβcις rμφονίζο ­ Υttιt σχετικά ο ιι(,ι\ϊα στηΥ ε ιιιφ(ινειιι tΙlς Ι 'ης. Δεν είνιιι δύσκολο,.,, κοτο ­ λiιiJ<>υμε γιιιιί όλη ουτή η Οερμόιηια ιιαραμένει κλειομέ,-η στο εοωιrrικό ιου ηλα\'ήtη ή rιώς διαφεύyι·ι με­

lhomos Ρ. Dence

ΜΟΝΙΜΕΣ ΠΗΛΕΣ

2 Ο κόσμος των κpάντων 17

ΣπαζCΙΙΣψαλιές

23

Πώς λύmσι;

Ο Δημηrpη<: Χρισ rοδού.Ιου

φλοιού ι ης Γης

μι.Ιιi σcο r.Ι.Ιφ~κο Quaιιtuιn

η θcρμόιηια. Στο άρθρο ιου

.. ιιαiρ ­

νον\ας ιη θrι>μοκρασία ιης Ι'ι1ς ... ο Λ l exey

Byo lko διερευνά ωιιι) το ε­

ρώτημα και rιιιρόλληλα ωιοκιιλύπτει

38

εσωιερικη δαμη της Σ' ι'\· ο ου"οδευ • ηκό αρθρο ο A.G.\\1• CamPron ηαρου­ σ1αζει μια θrωρια yια το οχημcηισμο

rou NorbNt

ΚCιιοτοπιές Συ1•ιο rωοrς rης J'Ι'ώσης

54

Γεyονότα Ολυμιιιriδες

58 Σac ενδιαΦέ4»:ι;

59

ΑλλnλΟΥρaφία

61

ΑnιΜriσεις, Υηοδεiξεις

rύuος

40

Σιιέψεις

ICCI Λύσεις

τι rι'"αι η κομψόrηιn;

της μικρης ιιδt:λφης της Γης. τιjς Σε· λιjνης.

Στο ερyσστιiριο Έ'·ας μιη·ικός μουσικός

θερμική ιστορία της Γης και ιη'·

51

ro

ηλcκ ιρσμα 1'"1/CΙΚό φάο μrι

οριομι'\'{ι r"διοφέροντrι ο ιυιχrία yια

111

ΚΟλΘδοσιcόιιο ΔΙαοχiζιιΙ'Γιις

47 Μορφές στην εrιστ"π \\,iC'nrr

30 ΣuνένtεUξn

36

1/:ωμειρία ιης nαyόδας

Η κληρονομιά

ρικtς φορι'ς μrοα από ρωyμrς ιου

Ιοως ομι»<; ti\•oι δυοκολοτrρο \'Ο rξι)yι\Οοιιμr· ιιnό nού οροέρχι·ιcιι αυτη

46 ΜαθrΨΟtιιcέ( ~

42

Στα πεδία tnς φυσικής Σχηματισμός Ι•tφι:ιv

69

Παιχνιδότοιιος Το rιιιιχ>'iδι rων τριάδων

OUAιιl'UM Ι ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1


Ο ΚΟΣΜΟΣΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

Η αυταπόδεικτη αλήθεια ΕΡΙΚΈ:Σ ΦΟΡΈ:Σ ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΦΛΙΚΟΝτΛΙ ΊΌΣΟ ΛΥrΟΝΟ­

σχεδόν όλοι niστεψαν ότι με ουτό τον τρόπο ο Ευκλείδης

ητες <όwτε όχι μόνο αμελούμε να τις θέσουμε υπό

εισήγαγε ένα ψεγιίδι σ' ένα κιιιά tα άλλο κομψό έργο.

αμφισβί}tηση. αλλά και αρνούμαστε \'Ο αναγνω­

Άλλοι είχαγ τη γνώμη ότι η ύπαρξη ποραλλήλων ιiτιη· τόοο

ρίσουμε πως υπάρχουν ερωτήματα που συνδέονται

οφθαλμοφανής που δεν χρειαζόταΥ κιιμία ο11ζήτηοη, ι:νι;>

μιι<ί τους και στο οποiα πρέπει ,.α δοθεi απiιντηση. Η νόη ­ σιi μας, αγαγιωσμέγη να λομβά,•ει άμεσες <ιnοφiισεις σ·

οριομένοι θεώρηιιιη· ίιτ1 rιρέ11ει να uιιάρχει κάηοιος ιρόιιος

έΥαν κόσμο ειnκίνδυνο. ανέπτυξε μέσω της rξέλιξης το τέ ­

Όλοι τους είχαν άδικο. Ο Ευκλείδη<; ήξcpε ι1 <ικριβ~:ις

χνασμα νο μη λειιουργεί με την πραγμιηικόrητα αυτή κοθ' γλι~­

έκανε. ιιν κο ι δεν είχε τη δuΥατότητα να εξηγήσει πλι'pwc; γιιι1.ί <0 έκογε_ Στψ πραγματικότητα. η απόδειξη του σφάλ ­

οη, ένη n.nό t(ι ιοχυρόιε.ρα ίψyαγα ιης ιινθρ<~πινηι.:. π νευ­

μιιιικ; υιιψχε ιιiινιοιε για οποιονδήποτε κοτα,•οούσε την

ματικής εργαλειοθιiκης, αποτελεί εξαιρετικό παρ(ιδειyμα. Η

ιιλιjθινιi φύση του rιροβλιίμαωι;. Σιη οφοιρική γεωμειρία,

λέξη

.. γάτο• είναι μια •ιδέα•. ένα σημαίνοΥ η λήψη του

σc σχεση με την επ1πt:οη, η εννοιο ιιοu α νι:ιο ιοιχεJ ο ι φ· ευ-

οποίου ηπό τον ~:yκέφηλο εγερyοποιι::ί μιn tξfiΙpt [IK<'ι nι-:ρί ­

θι:ίn γραμμή είΥαι ο μέyιοιος κύκλος. Η yεωμειρiο των

πλοκη ακολουθία σκέψεων. Στη μεγαλύτερη έκτασή της,

μέyιστω'' κύκλων στις σφοίρrς ικανοιιο1εί όλα ια αξιιi>μn •

ουτή η οκολουθiα δεν οφορά κάποια συγκεκριμένη γάτα

τα του Ευκλεjδη εκτός οπι) εκείνο ιωγ rιάpηλλήλων.

ολλιi μια γενική έννοια. L'l" uφιpημtνη cνοάρκωοη wν α ι ·

Οnο10ιδήιιοιε δύο μέγιοwι κύκλοι τiμνονtω υnοχρει.ιι.ικίι.

λουροειδών . Με αιrrό ω σημαίνον συνδέεται οηδήιιο ιε

Δεν χρειάζεται να εmχεψιuιατο.\οyι'pουμε ~πως έκα ­

αναμέ,•ουμε όιι μπορεί και όιι δεν μυορι:ί νο κiινει μια γάι<ι.

νιιν ιιολλοί όιαν επισt})lά'•θηκε αυτό το "iιjJoλo• γεγονός­

Αοιινι:ίδηtιι ΙΙιιοθι':ωιφι· όιι κόθι: rφαγμιι ιική γiιιο θιι δια ­

για ιο όιι ένιις μέγιοtος κύκλος δεν είνιιι ευθεία γρημμι'ι.

θέτει τα συγκεκριμένα χαρακrφισnκά.

Το σημο\'tlΚό είγαι ότι α'' οι υπόλοιπες παραδοχές του Ευ ­

Μ

εοu ιή αλλά με αιιλοιιοιημένα νοηιικ(ι μοηέλ<ι.

IJ

ιιπόδειξης του αιιήμαιος με βάση τα υπόλοιrια αξιώμιι ια.

.

.

,.

.

.

Λ υιό όμως μπορεί να προκαλέσει δυσκολίες. Λίγο μετά

κλείδη συΥεπάγοΙ'tαι ιιΥαγκαστικά τψ ύπιιρξη πιιραλλή­

ιο yόμο μας, η Οtlζυy()ς μοιJ Ανι·ίl i;φιιηξε K(H~tn·ς, οαν

λfι)\" JJ()\J οu&:ιιοu: ιέμνο\' ιαι. ιό α~ ιο ίδιο εωχεiρru.ια ιιρέιιει

σπουδαία μαγείρισοα. Δεν μιιορέοαμε βέβαια νη ιι<; φιΊμε

νιι ουνεΗiιyει:αι και rt}'' ύπορξι} μέ\,στωγ κύκλων που ο­

όλrς. κι tιοι, όταν βγήκ<ιμε το βράδυ. cιφι'ιοιιμε όοες είχιιν

μοίwc; δε'• τiμνοντω ποτέ. Τέιοιοι κίι κλοι, όμως, δεν υπiιρ ­

πιψισσέψει πάνω στο φαπέζι. Όταν επιστρέψαμε στο σπίn

χουν.

διαmστώσαμε ότι η γατούλα μας η Σάμυ δεν ταiρια(ε. του · λίιχιστον ως nρος ένιι κρίσιμο χcιρακ rιpιο ιικό. με <ιJ

ye\'1 ·

κ ή ιδέα •γάτα•. Η βουλιuιία για τις κρέπες δεν αποτελεί

Μιιι άλλη rrοραδοχή, τηγ onoiα Οα έκοναν σχεδόν οι πά • νιες. είγαι όιι ιο όλο είναι πά,·τοιε μεγαλύιερο 0011 μέρους.

yν~Jρισμα της αρχrτυπικής γάτας. &βοίως. ουδείς από μας

Ο Geoι·g Caιιtοι· πορατίpφε ότι αυτό δεν αλιιθεύει \,Ο το σύ,·ολο τωΥ ακεραίωγ αριΟμών -με την έννοια όtι μπο •

εiχε ψρο'-τίοει να ενιuιερώσει σχετικό ιη Σάμιι.

ροίιμε να άΙ•ιιστοιχίοουμε ιοuς οκέραιοuς οριΟμοuς

ΥποτίΟετοι ότι τα μαθημαιικό είναι ιο iικρως λογικό, Ί.ό

4, ... ένιιν

1. 2, 3.

ιιροι; έναν, με ω .μικρότερο• σύνολο των αρ rίων

κατ' εξοχήν ορθολογικό ονιικεiμενο, οιο οιιοίο οι αλήθειες

2, 4, 6. 8, ... Ο Caιιtοι· ανέπ ιυξε ακόμη

είναι ιφ<ιγμαιικές κο ι οιι&:ίς ιι<; ιιμφισβητι·ί. Θο φ<J\'tιιζiι ·

πειι·ς οιrτής τηc; t&'~ις -yιn ηηρόδcιyμcι. όιι μει)ι.κό iιιιι;φ(Ι

τcιν κανεiς όιι οια μοθιιμαιικ<Ί &.ν ιιη<'ιρχι:ι xti~xx; yιn ιιηο · δαχή αναληθειών ως •ιιρόδηλων•. κω όιι ο' ένα οικοδόμιJ­

ι:ίνιιι μεγιιλίrιι:ρο cιηό ά}u\α. Πολλοί βρήκαν ιις ιδέες ιοu

μο

nou

εδράζειαι ιόοο σ ιέρι:α ο ια λογικiι ωιι θι:μέλιο δr.ν

Uα υπάρχει έδαφος για ιιαρ<ιδαχές ιrou ε;ηδέχονωι αμφι ­

οβιjιηοη.

<όσο ιινιίθειες με

πιο ιιαράξενες ουνέ ­

111 διαίσθηση, ώστε δεν μπόρεοιιν να ιις

ιιποδι:χθιιίrν. Α υ cό, όμως, οήμάΙΙ'C αηλώς ότι αιuι; έλειιιε Ι) φονιαοfα ιοu Caιιtοι·.

Ο καθένας μιιορι:ί νο κατι)yορηΟεi γιιι έλλειψη φονtα ­

Δεν είνω. έτσι. όμ~ις.

οίιtς, (ικόμη ιωι οι οιιοιιδιιιόι:φοι διαvοl}τές. Ο

David

Ηίi ­

Ο Ειrκλείδης, ο οιισίος 11ψιέλιιβι; όλ η ιην ελληνική γεω ­ μrφiιι ο' rνο λογικό. ιιιι ιοουνειιές ούοιημιι. ξεκίνησε διιι­

lιιωδrχθι)κr ιις ιδι-r.ς ιοιι Canιor rιεριγράφοηάς tες σαν

τυnώ\•Ο\'\ας ρηιiι ιις ιι<ιραδοχές οιις οrιιΨς βαιηζόtιιν ι.ο

•·rιαρ(ιδι:ιοο.- θέλφε νeι εδραιώσει τα μαΟιuιατικά σε από­

έργο οου. Πολλές δεν ειιιδέχονιιιι αμφιοβίμφη. όιιι:.κ; όιι

λιιια οrέρι:α λογικίι θε.μέλια. Ακολούθησε λοιπό\' τον Ευ ­

όλες οι ορθές γωνίες r.ίνω ίοες με ιιιξίr ιους. Ωοιόσο, μίιι οιιό

κλείδη και διαιύηωοε έ,·α ακριβiς ούοτημο αξιωμάτων. Το

αυτές αnοιελεί εξιUρr.ιιη: η ιιιφαδοχή ιιι.κ; 11ιιiφχοιιν 11oρiL~ •

οχέδιό ιοu ήιαv να αποδείξει όrι οι υποθe.σεις αυτές i}τov

ληλες γραμμι'ι;. Ο Ευκλείδης yνιi>ριζι: ό ιι α ιηι\ ·ιο ηί ιημο θιι

ιL\ι'ρι,χ; οιιιοοιινεπείς κcιι δεν θα μπορούσαν ποτέ ''11 οδη ­ γήσουν σε λογική ιιν rίφιιοη. Εnινόησε εnίοης ένο ερειι,·ιι·

μπορούσr νιι μην ιιληθεύει . Ι<;&~ κιιι δύο χιλιάδες χρό,,ιι.

2

MAPfiOI / ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

IJΙ•ι·Ι -η ιρ<ινιιιοίιι ιοιι οιιοίοιι ιiταν εηαρκίJ<:, κω μάλιοτ<ι


τικό πρόγραμμα, με το οποίο, όπως στευε, θα ηε ιύχα η·ε ο uτό

co

ni -

οcόχο.

Ω(} ιόοο. έ'•ας νεότrρος μcιθι)]lα ιικό<;. ο

Kurt Gooel. απέδειξε

όιι ιο ηρόyριψ­

μο τοu Hilbeι·ι δι:" θn μπορούσε ποτέ να πετύχει. Υιιίιρχουν μαθηματικές

ΠΕΡ J ΟΔ ΙΚ Ο Γ ΙΑ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠ ΙΣI Η ΜΕΣ ΚΑ Ι Τ Α ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ ϋ\ΙiΜη ιΊ.ις F.~·•,.,οι~ 1\(ΙΟιιyη(ω\· ~· ιιJtω'· Επwrημω" ιfl,·.ι::ι·. \ ι rr,n·HΙΙA J((lj (biJ r/'(!φt'lfι" ι< \ilnt ι ης Ι't.,ιιιΚr[ί; λκρQημι'(Ι<; ειrΙQ tημω\', .ut '-'J ffιίμιvχι(η rrιc; :1μφιι;α\'JΧης Έv<.χτ~J': 1\nθιιγηrt.•\' ΦΙJΟJΙΗ)ι: ι ΑΑΡΤ• κfιι Μιι f:ti\·ικfι(r ~'tιμJΧιιι,ιιvu KrιιJη•·rJH"'' ,\ la!Jιwaru.:ώ,. ιΝCΠι/J των ff1 ι..ι

αλιiθειες ιιοu οίιιε η θέοη οίιτε '1 ίφ­ νηοή ιο11ς ιιιιοδι·ικγύεται αν χρησιμο ­ nοιηΟούν οι φορμcιλιcη:ικες μέθοδοι του Hilbeι·t. :\1ια φορμαλιοιικιj ιιηόδειίη

.-\i\1ΕΡΙΚΑΝLΚΗ J::.ΚΔΟl:Η

ότι 'το μαθι)]lΟ ιικίι &"· ιιγηφάσκουv με τον εαιrιό ιοιις δtΥ εiΥαι δυΥαtό να υπάρξει. Ο

Grw:lcl

διέθετε τη φαντασία που

χρειοζό ι<ιν yιιι Ηι σιr,·ειδηιοnοιιΊοrι όιι ο I!ilbeι·ι ηροοrιαθούσc γα κάνει to μαΟημα ιικά ,.α οιοηκ<;)(JΟUΥ τον εαυτό

τους φαβών ως ιη κορδόνια των rια­

που ιοιώv τους• · διέθετε τη φοvιαοία γιο γα καταλάβει πόσο αniθnvo iμαν

!.λ/Wnιις

Bill G. Aldrldge, Δ1ωl{ηιιιο:hς Διι>ιιfΙΙΙ\ ιι'ιt;, .'t:{JΆ . \ \ rl'ιιιι)ιι'.Ι.Ir..ιι f:ιι.ό'ίιιr~ιt.' ~ree)' K MtO\'' Δι~·vt'Ινηηι;, Γιιαψt ΙQ κ ηωt. 1\ιιtΙηyηη.,:; ΨΙΙΙ'ΙΙΙ\.Ι}C. I rQ.\ιtΓ111ΚQ 1)(1\'ι• ιιιο ιήμι\1 ι η<: MWxu~ / ο~1Ιtι /1\/lt Jι"ι,fιιι ιk, l.'ιι ι-ιιtύ}Ι:

, . uri OfSi P)'Ιιn.. Προε-δρος. l'paφrιo Κ''ant Shc::ldon Lcιt: G IQ.ι;hQ"' . liι οιιflι• Ι•• ~<'ψ•ι•· .\ • Φιι ιι ι κiι . Πιι,·tnΙοtημι~ t~u Χuρ(kιρ\''t WίlliAm Ρ. 'f'hu rtιton , ).Jtt(l.\.\to Φt.\YtC. I )lrιθηy.nnxn . ι lιι\ rαιιπημ ιο 11)ς Κο.\ιφδρ\' ΙΙΙς, '1ιιι:ι.ικΑη,.ι Jιι'ιι0v\'1η; Σtι\·ω[ης ι•ιη Φvι•ικί)

Larr}' D. Klrkpatrt~k ' Κfιtlι)'\"η tιις Φιι()Ίκ ιιο;. rΙ Ι)\ιιηUJi.U ΠO\'I'ItiQ t ημJO της: MO\'t(I\'Q .ι\llx•rl ι. S t tι&enko Knfhιyφηc ΦΙΙΟΙΙΟ~ (ΗΙ 11 ιο ιΙΙιa ΦvoJII(f'l(: 1((11 Τι:χ\·ο,\ιΙ)'I<ίC (I)/: ).tooxuc,

ιιυtό. και να συλ.\αβει ιην ακριβή αι­ τία τt'}ς αποτυχιος LΟΙΙ. Η οηόδι:ιξή του βασiστιJΚε σ' ένα ω1λό λογικ(ι παράδο­ ξο· κοιάφερε ''α κιι ιιισκευίισει ti}V μα­ θl)]lατικi] απόφοvοη μι: το γόημα •αυτό το θε~:>ρllJlα δεν μπορεί νιι c.ιnοδειχθεί ...

.1rι·υ0uΥtιν ~V\'foι~ οτιι Μnθη,uarικι'Ι

Mark Ε. Saul. Σι.-ρfkrιι.\~ Υ ΙΙtιλΙ>,·ιοιW''· ~'(ο~ή ιοu Μηpό,·ε.βΙ,\. ~~·a \'ορκ ι1 \'lι.di.mί.r Dubron:ky. ~n\K(I\fp<l~ KrιιΙtj \'IIfl):: ~tιιθιtμH'ri i(W\' , Πο),\t 11'1(11(\) n(L\'CI11Q tl)μl0 ;ης )Jόοχαc.

μαίνcι ό υ δεν μrιοραύμε να ι ην Ο11Ο · &:ίξουμε · κι α Υ δεν μπορού}lε να ιψ

Όιιιν r1ολλοί άνθρωποι συμφωνουΥ σε κά ιι. cιλλί1 &·ν μπορούγ ,-α αρθρc~ ­

oouv ικηνούς λόyοu~ rιου

γeι ιο11ς πεί­

θουν πως αυτό είναι cιληθί:ς, το τε ΠΙ · θ«Υώ<; δεν γνωρίζουν γιη ιι ιικρ1βώς

Σuμ/J(Jυ.tr υ ΙlKi} εηι ψo!UJ

\'. KhoUΙ'~'. Α-.. '''~ I·~ΙC'Ι~λt•)1.Ί ι(Ιις \'(Ι(ι \.\ι'-\ι,ις., ΑΛΡ'Γ .J~ιmc.-s L), Gntcs. .l!οιιι:ητικος Δ1εuθuηι~ N<:nJ

Gcorgc &rι...o;cn,"i.. Ka.Ι111\"'1fl ι,; ~lfι0tl}l ιm κι"'. ( \'ιπΊW iιΙu ΤΙ'Χ''.,.\(>' iιι" RΙ~· · IIΙΙiιιuω fvt ι(l\'(1 Λ ι•t hur t;ίsc: nkraft. Τμfιuό θttικώ' t:.nισιημ(ι~\. Λ ιικtι<ί FΙJJ~. l.iHι<', ~tιι ΥιΙJ•-κη Karε-n ·l()hnsi()n. Κι ιΟή)• ιιιριu Φuqιιιι'tι:,. Πι•:\ι ιι: ιιηω Πcιηιιι<Ι ιημιn f\llprι~ι~ 1\(.ψJ,\1\'UΙ; Mι;ιrgar~t J. Ke ιιne:t. Κ <ΙΙ)ιι ~φ 1 ιιιι ~1 ιι(ΙtΙΙJtΙΙΙΚ{ιJΥ, Ko.\t),O tης Βοσηι)\'~ Μασ(1<Ι.);QΙιιπ n ι)

Thunι1u. D. R(lιiι~JnJ(, Κοθi)\'Ψ ιι:, φ,,.ηtιοr-,.;, 1)(1\'ι' Ι ΙtΙΗ ίι.μιο IΙ,ΙU Bι.ιρri<J.u L\λ.ι\'01!: Al e~anςler Soί!~r. 1\uOηyηnΊt: ).Ι'αι)ημnιυ:.Μ\', rΙ nYF'Il1G'ιl\P~ rov Kl)\llfl• ι'r"Th. Κu.\ιιjΚΙ\' Ιι.ι Σιφl\'\ "' ΙΙιι ι• bιι rιι Ι, Sιοιι . Κaθηyήφι<ι ).Jrιθιtμ<ι ιιΚ<ιl\' •.\ ιι κr1•ι ι rι11 r$ι·(•''ai.\. ,\<.ι vιζιιι,-u Crιro l · ann Tripp. ΚfΙ(Ιοη\ ιι 9»ιι Φ uuιιtι)C:. 1-lιJι:ρ ήι)ιι! Σχ<ιλ ι) tης, Ιl ι-pιq7ρι> ιrι ς 11~'\ιΥιι-η;.. μ(ι."'''ι Αι ,\ι:ι,· ι εΛ ΛΗΝΙΚΉ ΕΚΔΟ!:Η

yου\' σε ισχυρισμούς Π<•J<; αυτό είναι τάχα nρόδι]λο. nαοιφαvέ<;, πως 11 ά\'/1·

αnοδr.κ ι ή tί1κολα. ίσως όμως να μην είναι

nin· ιoct ο λ ηθινιι

1''""0''

Dc:rnaι·d

μιλούν. Όσο ι1εp10οό1Ι'pο προσφεύ ­

λιjθι:ιίι ιου ιινιιιίθειιt1 ow,- κοινό νου, τόσο mo ωθιινό ri\'l11 \'(1 σφαλλου''· [! οοαυιαιιόδι:ικιι} ηλίjθειιι· γi\'CL111

1:uμllouλoι: εm fuf,θvι;)v Οtμ««ιι\ Ecl"•ard Lo.uιnsk)'

AJcxander Buzdin, Kά0ΙJ\1fi'tι; Φ (ωικ ι~. Πv.\ ιιι·ιιιιtο Π(ι,·ι;ιι~ ι1'uιιο ~ ~~ ~1Μ χ<ις_ \'uiJ Dan.tloν, 1-{ιttl\· ιμι-ις .-\ Rηιtμι&ι:.;. IYQ'ι.110VW Kvn:h~ tQY I .u rlpι.ι Ρ;ι n~· u,.;1, ki η" , . \ pχιάιι \ ι tιιι ι r'"· I'ι .nopr11) Κ ΥΙ.'JΙι

με. ιό1s: clναι αληθής. πράγμα ποu ΟΙ]­

μπορουμε .

~rge~·

\\' \11,c;:r

~υμβυιι.ι<Ιt ~,·ιιιlης

Έωι, <I'' μιιοροίιμε ''α tl}\' αποδείξου ­

αt1οδείξο11μι-. τότε ri,·αι αλι]Uής. άρα

' · ιιι· vΟu,·ι.χ: ηκο,·οη>ι.ιφησης

•\ρ:χ.ιΗη'ι •ι ιrοις τinιot.ιy

&.&ιrης

.1ti'Ιrt1ΙJ \'ll')l;

Α.\έκ~ Μάμο,\ηι.;:

Γιωρyοc; Eu«\'\'tA()Mtιlnς

Μ:- ιιιy)')ι"ιοη rctιι Εnιι> rlj}JI)\'Ι~ t} Νrιμr.ΙΙ'ι(Ι

~· ''""• ι ι~ ,ι· vχοι:.qv ·•rρ\·αστηκιι,· οι κ.ιι.

Σιiλιοι:; Zιιxtιpiou ·).!f1θ'ι}μηιιός,. .\Ι(Ι Μ: ης Βufιαχριο-.οιιου.\ος ·φvοικόc. Κωνοtα\'U\'α !\Ιtρ\'Ιι'ι ·φιιnιRός, ΜιχιΊlηι.;: λι,ι.μ ι ιwu -μuθημnuκος. Κωσtος .Σκcι\'δι:ι,\1)1; -μtιΟιιμuι ιιι~ Σιρiιιος Μuκριις ·μι:.θημιιιι~4'tς. rιwρ,·ος Κυριακοuοu.\ος J:(ll Α.\tκος )Jίιμιι,\t~ ·ψ\ΙfflΚ<'κ;. f'.ιιι)Ι'ιιιικη επ1μc,,tιa

2'υnοι'fΚitfJλ.tl: Ιι,qΑι-"'Ί'ις

F.rιψr~\ηιι rκ/)ιJQης

(lαηrλιtς lιfnοuκιι,\tις

11. l'uοιόιJι>uλ~

ι·. Νrρά,•οι;

~'ιπ-vθ\Η'1J ,\OJ'JO rl}'lι&U .Μcφιu ~f<'ιμιι.\η

!.'ωnιιy.ιιΗ ,.,,., ι) ιψfkιιι.Ιοι

Ο

lsn

μ η ηκ(ο1\'

Stewι.ιrt tίΥω κuθιιγηtι)Ι; μιιθη­

(1"00

Πανειιιο1ιίμ ιο ωιJ Οιιc;)(ηκ, στ(Ι

Κόβr,·φυ ι ι)'; Αγy.:Vιις. Το rρrΗ\1}ηκίι ιου {'\' · διαφέρο"uι βρiσκογτω στψ.· ιιtfιιοχή ι"ης μιι γρομμaκ:ής δΗ\"<φ ικηι:; κ <ιι ιωΥ ι:φι:φμοyι.>,. της. Εχr ι rκδωοε ι ιιε(.ΗΙJ(.Η)U"ΙΚΙ <ΊΠQ

50

Μιχάλι)ς Λιψnρc')Ιf . :\ ηι ιι,\Ι)Κο>tής Κιι~tΥΙ1tQΙ: )1<ιθιψ(ΙΗΚΜ\' I lfl\'tnιn ςημιl) Κρι1 ~rκ κωαιcις !:ΧΟ\'διcλιtς . J-:nιιωιιρ.οι; Κ<ιΗΙ)\'111 1)1; Μι.ιl}ιιμutΙΚω\', nα\'f ΠIOt1}11W Κρήη)ς: Σttφ<t\'ός Tρcιxcl\' ι'cc;, φιιι;ιιιιι,χ:, Ειδι.κ.οc: εnιc.ηημ(ο)\' Α' ~Ι ttμiΟΟς. l δfιιιμn 'Γt:,. \'Ο.\0\ΙΊ:ις κιιι ~tuvιcc, θtοδοσιtς Χριιnι:J.k>ιι,\tι.κης. ειιικοιιpι.ι<. ΚαιJηyηη}: Φυοικrιc. I Ιa,·tmι:ιτημι() .'\ ΟΙ}'\'ι<>;· ~rιι: \'(ιιιQι·οω. οι·.tι&mαι.')Οη Κ<ιtι111ιpο

J~ιβ.\i<ι κ<ιι

\ρόψtι \ η σιήι\η - λΙathf'mntical R<'ca·catioιΊ3''

ΦLιμ. μon·m,

r. Κεpαμiις

F.ιcnιfrf.,ι(fη

'Γtφαχρωμιιι

8ιβ,\ιιι6rοw θ. Αρχονtοιιlωιης

ιου Scίentific A mnιcaπ. Σrο c.\λ ι}\~ικύ κυκλu ·

To(N-ιtntum nιδιδtιcιιcη~ HliA αnοτΟ\' Ειι&nιtοοtlιίό !φ-rS.tι(ι!:t ιιαι ι:nφ• f.H c'ιOO cιιιο ιις f;:ιιδοοrtς .ΚtHOJnρo \'rιt'ιιθιινaς \'tι Ι cη• · r \ .\ιι\·ικ ή ι:κ&•ιη u\φφφ\'U μr w νbμο: Λ ,\ ΜrΊ ι ι<Ιλ.ηc.

φο(ιούΥ 10 βιβ.\ίn tou Πωlη ο θtός ζάρΙ α; κω

QΙM/Jitltl~ διpη\'ΙΜ•l nf'{•Ι~I((J 1 ::'1$~ ι J(jl).~l

IXHI' μrιΜ>\' ιι).ιη: I'J μt(»\1(,

~·,\·nι n ~)εός ) 'l'<Vμrιρης:<ιιιι\ ιις f.κ&'>cΊι'ις Κιο1-

C'apχrig:hι ( )'10 tη\' t~λι)v ιt..η \λω!.'Wi.ι. Α.\. Μιιμ• ι.\ιιι=­ Δια•Ι'Ι)'ΙΙΙΟifΙ<:: ._ω ι;ιν φι~iιliι\ιlι•~••• Ι>;ιι:ο'it"J;Ι ι(. KΙH••nt~

Γ)'''pιιφη tιltιιι tl'fl1 r"ΙΙ{iόιη

στ<ιράκη. Tu t.\.\φ•ικι:. {fuantιιrr1 fO\' ηιχαρι· ο ιεί \'IU ιο κι:ίμι·,·{) ι<ΊΗ. ιο orιoio δημοοιεύι·ttu yιιι rηΚ:ηη φnρri. κ nι ιιιιοκ.\ι-ισ ι1κu. ο· ηυτο.

l<ι.ιtιu ~Ιψ\'11}11}\η J ι .; ';' I \tniνn., t"Q.\.; ι ΙJΙ :ιι;.J'11 i2. ~i.J!ifl!'i~ l'n'( ~ <11 • $6-1i ..,) I

IOOVf!W\'

Λ τι.:ιy•:ιι:" utτι;ιι η C.\'C./>ημouιrvoη ιι μtω&..:ιιι μι- οmιιΟΟ.η

f l)ff ΠΓfΙΙ.-.Ι'~ΙfΜΙ );(.y>Ις ιφ

ΤΙμη );(lι;!r ttJX~UC (1((1 βιβ.\.;ιmι.ο.\.tΊU:

J..f(IO δι)χ

ειηοια OIJ\ J.ίι:•,ψ!J. 1 :ίΟΟ ώ\. yιu ι&.ιιιιι·c. 1~100 δJ•Χ· \'lιt βΙβ>.οιιi)Ι)Ι(ι>.(;. ιοl• Ι ι,ιιι (Ιι Κο\1 •Jf•'Ί'I'.,"~Imk:. Τιμη ηrιλη~Μ\' rηry;<,1\' rιHr ~\j~\)(lnω.\r~ ) -iOOδt>\.

OUAHTUM ! Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΗΤΩΝ

3


Παίρνοντας τη eερμ

ία της Γης

Πόσο ζεστή είναι η καρδιά του πλανήτη μας;

Alexey Byalko

ΦΛΟΙΟΣ'fΗΣ !ΉΣ Ε! :<ΙΑΙ RΊΝΗΊ'Ο.!:. Όλοι γνωρίζουμε ότι μετιιτοπίζε­

Τι μας εμΙΙοδίζει. ε. ιο μένως, να η ­

κέι; δυνάμεις. Η μέγιστη οιατμητική

γοίξουμε μια φύπα ώς ιο κέΥ φο ι ης

τάο l) 11ου μπορεi να δεχτεί ένα υλικο

ται όποτε γi νεται σεισμός. Οι με ­

Ι'ης: ·ετσι θο μαθ(Ιίναμε κ(ιποια πρ{ιγ ­

χωρίς νιι u11oou:ί ρωγμ~ς ονομiιζr: ι.αι

ο

ταtonitn·ις <1vτές εJναι έντονες. ιιλλ<ι τυχαίες και τοπικrς. μολονότι

μα τα για την εσωτερική δομιj του πλιι­ νήτη μας, ίσως μ(ιλιστιι ονακαλύπτα­

ηΥτοχή

κ{ιποιοι σεισμοί προκαλούηω από τηγ

με και αρκετά (ιλλα χρήσιμα στοιχεία

μ(ιτω'' ιου γήινου φλοιοίι δεν ωιερ­

κcιιt: υθυνύμενη, μη rυxoin κίνηuη

β<ιίνι:ι ι ην ι.ιμή ο,~, Ξ 2 -~ ·Ι()' Νι ι ιηΌ

των ηπείρων και του πυθμένα των

κιιτιi τη διιιδρομή. Δυσ'rυχώς, ιtιιιό εί­ \'01 κατ' αρχΙίv αδύνατο. Ας δούpε \ηα ­

ωκεανω\' .

ιί δεν μπορούμε"" δΙα\'οίi,οuμε ένα

Για οποιοδήποτε jJάUoς

φρεάτιο με β(ιθος μrγαλίιιερο πηό

rfνιιι η ιιίεοη α 11ό ι.ο ιιεριβόλλο'' rιέ ·

Ο φυσικός μη;.;πνιομός που οδηγι:ί σtι)\'

κατευΟυνόμε,·ιι

κίνηση

ωu

15

km.

tQH

υλικοι'r

(),.

,\. 1

Η ηνιοχή ι(ι)ν

πιο σκληρt~)\·. κρuοταλλικ~>ν ιιrιρω­

Ας εmστρέψουμε στο φρεάτιό μας.

11 ξέρουμε ποια

ψωμα, Ρ0 = p,ι;JL όπου Ρα rί ναι η

nu -

φλοιού της Γης σχετίζεται με t i]V αι1ε ­

Πριν απ' όλα, όμως, ας αναφέρουμε

κνόΊ.ιμα του πετρώμοτος -γενικά

λευθέρωοι1 ιι1ς Οερμόιηιaς, •Ι οποία

μr:ρικιί οι.οιχεία θεωρίιις. Όιιως γνωρί ­

κυμοίνε ιαι πιιό 2,6 έως 2,9 gι· Ιcm·3•

rχε1 αποθηκr.υθεί στο εσωτερικό τη<; Γης κατά τη διαδικασία οχημαιιομοίι

ζετε. οnοιοδΙίnοτε στερεό υλικό ιωτα ­

Ξέρουμε επίσης πόση είνω Ι) πίεση του

γεωφι]τικού διηλύμοιος OlO\' (ιξοvα

ιοu πλανήιη μας. Σr τούτο το (ιρθρο

σφέφεται '"' 01 ιάσεις ηοιι εφc:φμό(ο­ ''tω σ' ουτό yivouν αρκετό μι·y<ιλι:ς.

ιιρn γμn ιειιόμιιο ιε τη θφμότητιι του

Υπάρχουν δύο διαφφεnκά είδη τάσης

μόσιο αν μπορουσαμε νο βρούμε ένα

εοωιφικού της rης. τη ·<θερμικιί·ιστο ­

σ ιδηλιιδi] δύνιιμιις ον(ι μο,·ι\δα εnιφά .

υγ(>ό με nυκ,•ότητcι p.,= Ρο nου κιιι Χ•Ι­

pί(Ι της Γης και τψ εσωτερικι'] δομιί της.

γειαςι. Το ένα είναι η ομο1όμορφιι τ<ιοη

μικ(ι αταΟι:ρό να εiνω και να μψ αλ­

-μ· άλλα λόγια. η συ,•ιΊθης πίεση Ρ.

λι]λεπιδρά με το πέτρωμα !και επίσης

Σίιμφωνο με το νό μο ωυ

PasroJ, αυτή

να εί,·αι αρκετά ψη]νόί. Δυσ cυχι;χ;. οι δυvοτότι]τες επΙλοyΙίς υγρών εί,·αι

νήτη μας τη γν6Jρί(ουμε εν μέρει μέοω

η πίεσ1ι συμπιέζει η}'' ύλη με δυνάμεις που είναι ίσες σε όλες ιις διεuθύγοεις.

jkιΟιών φρεοιίu"'· Τα φιιε{ιιιιι ανοίγο ·

rcvικc\, τίrιοu: δε\' οuμβιιίνει ούτε

ιικότηιο,

νται κυρίως γιο \'Ο εξοριιχθεί ιrεφέ ­

νηι νι;ι><). υδ<ιιικ(ι διολt'φηω ηλ<ίιων

λαιο και φωταέριο. Αλλά ΚJ ον ακόμη

υyρ(Ί οίη.ι:: 0[.{1 υu:ρcιi nou fιf)iοκονιω υηό ιιiεοη, εκtός ωιό κάιιοιο cιί1ξηοη

ένα φρεάτιο έχει οι.φέψει. μJJοροι'ιμε

ο ι ην ιtιικνόιηιι\ ιοιις. ΊΌ ι\λλο εfδος

κηι δεν μιιοροίφε να αιJξήοοιιμι: ιrιν

να το χρφφοηοιι')σουμε γιο να μελε­

τάσι]<; είναι η μη ομοιό μορφη διαφη ­

ιιυκ''όιl]rα ρ., ηερισσότερο αιιό

τ.φουμε το εσωτερικό του ηλανήτι].

rικιί ιι'ιοη. Ότον εφαρμόζεται διοτμη­

cm·' περίπου. Βεβαίως, υπάρχουν υγρά

Πώς διwιουργείτοι. όμως, έ\'Ο jkιθίι

ηκίι τάσι) oc uγ(κ\, διJμιοuργεί ρεύμα­

με μεγαλύτερες πυκνότητες ι για πα­

φρεάτιο: Ένα γεωψΙ)tικό διάλυμα (νε ­

ρι'ιδειγμα, το θεuκό οξύ. που Ι\ πυκ,·ό­

ρό με άλοιcι που προοι.ίθε,•ιαι για νο

ια με ιαχίιι.η rε~ ιιοιι εί\'<ιι ιιερiυου ονι'ιλογες μι: tΙ}\' ι.ι'ιοι). Όtιι\' εφαρμό­

ou~ι')OOU\' ιι}ν ιιuκνόtηιι'ι

tou ) διοχι· ­

ζr. ι.ω οε ιnφει\, rφχικι.i δr·ν προκαλεί

δι:>· είναι όλα ιόοο δραοιικό όοο ισ

ιεύειαι ωιό υψηλή ηίεοι} ΟΊΟν ιιυθμέ ­

ιίιιuιε, κηθC.:χ; όμ<.ι.>ς οιrξt!ιν~;ιω, ιψοκ:ιι­

θι:ιικό οξύ. Η οvαζήιηοιι. όμως. ιοu

,.α του φρεατίου. οι.ο οημεiο πκριβι~ς

λεί μικρi:ς ρωy μές. Εν οu,·εχεία οι

.. μnγικοu'

όπου ένα γεωιρίιιωνο ιιcρωιρέφcrπι

ρωyμέι:; μεγπλι.;η·ουv, γεγ("•ός 11011

ιωρήrιiι""'· uηήρξε μά cαιη.

yιcι να σπάσ-ει ιο 11έιρωμα. Έιοι ω

οδηγεί μι;ρικί:ι:; φορές στην κα ιrιο ιρο­

u y(>ό

φή του οτερεοu δείγμαιος· συνήθως

Η διαφορά uίεΟΊ]<; μεωξύ του εσω ­ ιε.ρι κοu ιοu φιιεαιίου κοι ι.οu ΙΙεpιβάλ ­

όμως ιιπλι;χ; ελι.ητ~)\'Οντοι οι εξωτψι ·

λοΥως ιωχι;ψή ιο<; ιφοκήλεf δια ιμη -

Αναζnτώντας tn γνώση

Τη δομή του εσωτερικού του ηλα ­

ωθεί ο tψ ειιιφά γεια tα θpα ύ­

ομιrιπ rιοιι δημJΟι.φγci το τρυπιίη

4

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

(}t(l

του φρεατίου. Ρ. = P.gH. Θα ήηη• θιιυ­

μάλλο'' περιορισμένες. Στην ιιραγμα­

w μόνο 11011 διnθrιουμε εί ·

κω αρω(ι αι<φι)μα τα ορυκ ι6)\' ο ε νr.ρό.

1.5 gι·/

ιrμά ιοu είνω 1.84 gι· Ιcιη:~~. ειιωλέον

'

υγρου

...

ι

οnως ηεριγρηφηκr


----

J

I ~

......

\

-

/'

-

_,.-/

/

\ •~

•• /

\

f ) "

\

\ I


τ.ικές τάσεις στ~ πέτρωμα. Φυση<ό. οι

μέyιοτες οε ηφcιιcιι.ειιικά ενερyές πε ­

όη είναι σταθερή μr το βάθος οε κάθι:

διατμητικtς τόσεις ελαττώνονται με

περιοχή. Οι συγτελεστ€ς θειιμικής ο­

ε:ην (ΙJ1όn«ιΩηαιtό ιn φρε{ιοο· φιiινοιrν

ριοχt'<: (έως 100 Κ ι kιn ι. Ροιj Οερμότητας q είναι η θφμική

μλλισια σε μια μέγιστιι τιμή κονιίι ο ro

ιοχύς JJOU αναδύειαι από τα βάUη της

μένωγ ιιε φιi>μά ιων ο ε μεγάλα βάθη

τοίχωμα του φρεατίου. ίσιι με

σ ~

rης μέσω f·μβnδοίι t-ν{ις ttιρογωΥιΚΟύ

-του (J<ισίιλιη και

~ 2 /3(ρ.- ρ.,)gJI. (Δεν μπο· ρώ να σας αποδείξω στο άρθρο αυτό

μέτρου της επιφ(Ι\·ειίις της. Ιοού rω με το γινόμενο του ιιιιΙ•ιι:λεοιή θερμικής

σχεδόν ίδιοι. rια τους υnολογιcιμοίις

τψ ορΟότητα του συηελεστή

2 '3 -η

αγωγιμότητας κ κcιι της βcιθμίδας θερ­

απόδειξη προϋποΟέ tει μια πιο πολύ ·

μοκρcΙοiιις: q = κdT 'dz. Αν Ι} κύρια ιιηνιi εοωιερικίις θερμότηrας βρίσκεται

απώλι·ιrς της Γης -δηλοδι] LΙ} Οερμι.

Έτσι, στον πυθμένα ενός βαθιού

σε μεγιiλο βόθος. ιΙ{ΙnψCίνοις ιι ροίι Οφ­

συντελειηή θερμικής αγωyιμόιηrας κ

φρεατίου οι διατμηtικές τόσεις αρ·

μότητος πιιεπι:ι vιι ρ,ίνω σχεδόν στα. θφιi. Οι μεrιηiοεις, ωιηόοο. &" σηpι·

επί τη βαθμiδο θι·ρμΙΙκριιοίιις κοντό

2i3lP,,- Ρj

nλοκιι διερεύ''Ι)ΟI). Ι

χίζΟU\' να προσεγγίζουγ το όριο της

αντοχής σ=, του πετρώματος. Επο­ μένως, ένα αρκετά βοΟύ φρειιτιο κ α ·

ζουν μιιι τέτοιπ όιπθrρόιηιο τι1ς ροι\ς

ταρρέει υπό την πίεση του πετρώματος

θφμόιηιιις. Η ιιύξηοη ιης θερμοκρασιας με το

που το περιβό λλει. ΊΌ μέγιστο βάθος

βiιθος δι; γ ωωλοuΟεί ακριβώς

φρεατίου που μπορεί να διαγοιχθεί σε

yρι:ι γίτη (ρ" = 2, ί gι· •cιn·'> βρίσκεται cιπό

οωοη ιης θερμικιiς αγω\,μότητας -η ροιί θερμότητιις μεταβίιλλr ιω μερικές

ι η οχέοη

φορές απροσδόκητα. Ο λόyος γι' αιι ιού

ΔΡ

=tpu- p,)gH < σ,ω~χ• και είνα.ι lf<

10 - 15knι.

Το βcιθύτrρο φρι·ότιο στον κόσμο ιστ.η ρωσική χει>οc)γηοο Κόλcι. nιί νω

γωγιμόιηcας τω,· περισσότερο διιιδεδο­

rou

γρανίιη- είναι

μας Οα θεωρήοουμι: κ = 3 "·aιι /ιm ·Κ). Γιο να βρούμε cις ολικές θερμικές κ ή της ιc)χίι- ιιολλαιιλασιάζουμε το

οτψ επιφc'"·r:ιιι. dTΙdz = 0,03 K /m. κω επί την rπιφιίνrιιι ι ης rης. Έ"ας τέ • τοιος uιιολιιyισμός Ω)ς ολικιiς θερμικι\ς ωχιίος

111'' rξi ·

Q= όnou

Q ιης

Γι')<; δίνει

4nR~ κciT = _ r. ιο" v·

Rf'

dz

.

'νa

tt

,

εiνω η ιικτiνο ιΊ)ς Γης,

-ιου είδους ι.1ς οηοκλίοε1ς είΥnι κrιι ·

Μια ακριβέστερη άθροιση. που ο ΠJ·

ορχί)\' κατανοητός. Φαντοστείτε όιι

ρίζrιαι οε Υ''ωοtό φρεάτιο, δι:iχνι·ι ΙJ<•ις

κατά ω παρελθόν σε κάποιο βάθος ση ·

η θr:ρμικιj ισχύς της Γης είναι ίση με

μειώθηκε κό ιιοια Ορούοη ή μεt(Ικίνη · ση των στρωμάτων. μr αποτέλεσμιι νιι

4.2 · 10" '"att. όπου τα l.l · 1Ο"' wuιι ιιραι'ρχοηοι οιιό τη ραι') μέιιω ιης ειιι ·

φiινειας της ξηρός ΚΟ! τα 3, I · )01' ΙV<ttt

Ιαη ~ερίπου το 0.2~! τιις cικτiνας της

ελαττωθούν οι τάσεις που ει χα" συ ο· σωρευθι:ί εκεi. Σι η ουνrχειο '1 Οφμο·

Γης.

κριισiιι γίιιιω 1111ό eιu ιίι Ω\'' nεριοχιί

ωκεαvώ\'. Οι συνεισφορές ιι1ς [.ηράς

ηιιξί}θηκt··

λοιιιόν, unoλoyil.ou ­

κcn των ωκι:nνι~)V εiνω ιφοσεyyιστι ­

με τη ραιi θερμότητας βρίcικοιιμι· όιι δεν

κά rι νiιλοyε<; μι· ης εωφ(ινειές ιοuς. γεyονος που ο ημαινει ιι ως οι ιι υκ\'ο·

οία τ.ου nειρώματuς cιuξίινεται με ω

είναι ιιι:ιιθφή με ι.ο β(ιΟος. Αποκλiσrις ιιιιό ιη μέση γεωθερμικιi βαΟμίδα. nou

β(ιθος. Η αύξηση της θερμοκρασίας &ν

οφείλονται στη οημcινιική κίνφι1 ι.οιι

ηι1ειρωτικ<~V κω ωκε(ι\'ΙώV φλοJών εί ­

είναι σταθερή και εξαρτάται από τηγ

φλοιού. διuτηpοι)νcω για ιιολίι χρόνο.

γω ουσιοσt1κά iσες.

ιΙcριόχή όιιοιι (1ρίοκε ιnι ι ο φρs;c\ ιιο ή ιο

Σιιιν ηρογμnτικότ ηω. tι ουιελοίιν Ι·

Βεβnίως. η θερμοκρασία πρέrιει ''ά

ιοίινελ \δε'• είνω δε είικολη

ο ωρικές καταγριιφές των σεισμών του

συνεχίζι·ι νcι οιιξlινειοι με ι.ο (\ίιθος,

παρελθόντος.

οφου η ροiι θερμότητας από το εσωτε­

<ιηiι ιη Φιλα,•δί<ι,) φιι\\·ει οε βiιθος

12

Όιην ηνοiyογιοι φρεά tια ιιεt{)t ~

λcιίοu ιi τούνελ μέσο οπό τα βουνά. ανακαλύmει κανείς πως η Οερμοκρα •

'1 ι;κριβής

μέιρηοιi ι ης>. Οι ι:ιιοχικι'ς μεωβολές

<') ι(ιν,

ιιιιό ιιι ροή μέσω του πυθμένα των

.

.

'

τητες της ροής θερμόιιιιας μέσω των

της θερμοκροσiας παίζουΥ ρόλο σε μι­

ΕήiΩι)ς. f·χο11ν yjνει μειρι}οει~ nπό­

ρικό δε'' μιιορεί να χcινε ιαι. Ορίστε.

κρά βάθη. Επιπλέον. το ρεύμcι θι•ρμcl· τητιις δεν μετιιφέρειιιι μόνu με ιιγω­

τομωγ αλλαγών σιη θερμοκριισiο. Στις

λοιπόν. ένας φόπcκ; γιcι νιι μειρί)ΟΟU .

ί Δεκεμβρίου

με Οερμοκριιοiες σε βόθη οολύ μεγα ·

yψότητα αλλά και μr το Υερό που ρέrι

ψρc\ς οι·ιιιμιlς οι ην Αρμενία. η θερμο ­

οργά κατά μήκος tω\' ρωyμών στο

πέτρωμα. Στο μεyiιλο βάθιι. ότα'' το

κρασία ιιτο βπθύ φρι-c.ίιιο ιης χεραονιi · σου Κόλιι ιωξήθιικε οε μι:ρικίι r11ίηεδα

φρεάτιο εν μέρει καταρρέει. το πέτρω­

από ιο έως

μα θερμαίνεται λίγο περισσότερα. Αφού υπάρχει κάποιο όριο για το

λίγες μέρες ι:πιη·ηλθε cιτις αι•)ηγοiιμε­ \'t<; ημές. Λυtό δι;ίχνει όrι η μr.ιαβολιi

βάθος διάνοιξης. άμεσες μεφήσεις τής

προκλ ιiθηκι· cιn6 μερικίι εξίιλι-ιψι} των

11')ς Γιjς -διcφίιντια. γιcι uιιρ(ιδειγμα.

Οερμοκρασίας τ;ης rης εi\'01 δυγοτι'ς μόγο σ' ένα λεπτό επιφανειοκό σιρι~­

τcΊοεων κονιiι οιη ιοιχc~μαuι του φρε ­

Το διαμόγτι cιποcελείτιιι ωιό ιο χημι­

ατίου. Αλλά ιο 11ιο σημαντικό είναι ότι

μο. Κατά μέσο όρο, η αύξηση της θερ­

το πορίι&:ιγμο ιιιιι6 ιιιιοοιιφψiζει ι:ον

κό στοιχeιcι <ινθρακας. αλΜι Ι) κρυ­ σταλλική του δομή διαφέρει από rις

μοκρασίας με το βάΟος είγαι dTΙdz

3·10- K /m = 30 K / kιn. Στιιν προγμο­

ίδιο το μηχπνιcιμcί, δηλιιδή όη 11 ιιίιξη­ ση τιις θερμοκρηοίας δcν καθορίζε ιαι

ηκόηιτcι, οι κατά τόπους (JαΟμiδες θερ­

μόνο από τη ροιj θι:ρμόtηιιις αλλά και

χάρη τ.ο\' φιιλλώδη γραφίτη ιi τον ά · μορφο όνθρακcι ιλιθόνj)ρrικας. αιθόλη}.

μοιφαοίας αποκλίνουΥ οπό αυτό τον μέσο όρο ι που ονομίιζeται γεωθερμική

οπό τΗ.; ι<Ίιη~ις

Η ωθόλη αποτι·λείτοι α11ό διαφόρω''

=

2

1988. οπότε

15

έγινε ο τρο·

βαθμούς. Ύοι.φcι π ιιό

HOU ωrάρχοον οι ο nέ ­

τρωμcι.

βοθμίδω. Είναι ελάχιστες σε ααλ ιούς

Έcιιι. μόνο κιιιc\ ιιροοέyyισιι μπο­

yρανί tες -για παράδειγμα. στ<t Ουρά·

ιιουμε νtι εκ ημιjοοιιμr. ιη ροιi θερμό · τητιις στη Ι 'η, κι\Ι·ονιας ιη,· υιιόθεοιι

λια Όρι1 ιyύρω σι:οuς

6

15

Κ Ιkιηι- κω

ΜΑΡτΙΟΙ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1995

λύτrρα από εκείν<ι ιων φρεαιjων.

Δι~~~~~~~~~~~ οχη·

ματίστιικον σε πολύ μεγάλο βόθος εί • \'01 δυγατό να βρεθούν (J[ην \~ιιιφάνειο

άλλες μορφές του ιiνθριικc\ -λόγου

μηκών ιιλιιuίδες ιιιόμων άνθρακα μr

διπλούς δεσμούς

... = C = C = ....

Ο

γραφίτης αποrελεiι<ιι αιιό συνδεόμε ­ νες εnίπrδες δομές οι σιιοίες αηοrελού ·


γται οιιό δι.ικtυλίους βενζολίου του

ΚψΗερλίιη. Ί'ιι uριιιω'ι ιιυtά δεν μιιο·

ιόιε ιιροκίιπrουν ορκεui ζειΊyη ιιμt;)ν

τύπου C•. Μεμικι'ς φορές ο άνθρακας κρυσταλλώνετοι στην ακόμη ιιιο εξω·

ρούν νιι ι·ιιιζήσουν για πολύ στο περι­

βάλλον του κιμnερλίΊΟΙ] όταν βρiσκεcω

πίεσr}<; -θερμοκρασίας. Αrιό Ω<; ιιμi:ς ιιJς ηiεση<;. ιιοιι ιιροοδιορί<ονιαι μ· uυ­

τικ ή εJκοοάεδρη δομή

που ονομά­

οε υ ψrμ\έι; θερμοκρ<ιιΨς. Ονομιίζοηω

τόν τον φόnο, μnορcιύμε να βραύμε το

ζετοι φοΙJλι'ρι'νιο.' Στο διαμάντι. όμως.

βάUος στο οποίο έγιναν οι διαδικασίες

οι τέσσερις δεσμοί κάθε ατόμου άνθρα ­

διεθνώς ξενόλιθοι, <1111\ τις tλληνrκές λέξεις .. ξένοι λίθοι•. Η ορυκ rολογικί}

κο καtευθύνοντοι προς ιις κοριιφές

nirnτnoη κοι η δομri των ξενολίθω\'

έχουν tη δυνατότητα να κα&ρίοοιιν

ε"'\ς ι>·φοfδρου. Έτσι δημιουργείται η

πόσο γρήγορα άλλαξε βάθος ένος ξε­

1110 ουμrιιtγής μορφιi που εί,·οι δ υ να ­

ιιιιρί·χεJ (Ηοιχι:ίη γιn την κατάσ-ταση ιου γήινου φλοιού υε μεγάλα βάθrι Η

ιό να Ιltιύχου'' r<ι ίιτομα ωυ όνΟρα­

ύιιαρξιι cων διιψΟ\'"tΗ;Jν μίις δiνι·ι κά­

ψουν τη βιογραφία του.

κα. Μπορείτε να μετατρέψετε γραφίιη

rιοιες rιλφοφuρiι:<;

ο ε διαμίιντι, αλλά χρειάζεστε να οαρcι ­

f'ης, οφού δε'' θο μπορούσαν να σχι}­

tι}ς Οερμοκρασίας κιιι ιι]ς ιιίι:οrις για

γάγεu· πιέσεις και θερμοκρcισίες ιιαpό.

μη (Ι(!'ι:Ού\• σε χαμηλές rιrrσειςχω θεp ·

μερικούς ξεγόλrθους μαζί με τι} μέση

μοιες μ' ι:κείνες που βρίσκοηω σε βίι ­

μοκριιοίtς. Οταν ένη ορυκτό ουμπιέζετω. η

/JαΟμίδα Οερμοrιρασiας της f'ιJ<; κοη(ι

Με ιιοιο τρόπο τα φυσικό διαμό \'tια κιιωλήyουν στην εmφάνεια τιjς Γης;

κρ11οτιιλλική δι>μή ιου μεταβάλλετηι

πολογiζοηω σε συνάρτηση με το βό ­

δραο πκά σε μια οριομί:νη rιίο:οη. Οι

~·Ιεαιφέροντω προς τα πάνω αrιό τα βίιθι1 της l'ιjς μέσω της μάλλον οιι(Ι\·ιας

κρiοιμrς rιιέοεις κ<ιι οι ην τίστοrχες

θος στην ι\λλη κατακόρυφη κλίμακα. Ολη αυτά τα διαγράμματα Τ-Ρ έγιναν

θφμοκι>n(ιίες γιιι το διάφορο ορυκτά

από ξενόλιθους που βρέθrμων σε δrcι ­

εκδίωξης ενός πεφώμαιος μικρής πιι­

είγιιι Υ''ωστές από φγοστιwιοκ~ς με ·

φορες rιεριοχές. Παραιηρήσ ιε όιι φι­

κνότη·ιας που ονομάζετω κιμπερλiτης

τριΊσει<;. ΚάΟε ορυκτό έχει ι η δικι'J ιου

ομένες κιιμπίιλι:ι; ι~iv<'IJ σχεδόν κλεr ·

ιαπό

ομάδα αλλαγών φάσης. Εωιιλέο\•,

n\·

ο ιές. ΑΙJ α\ σημαίνει ι)ιι το πι'τρωμα

θος ιuιιλάχιστσν

C.,

70 kιη.

to Κίμιιι:ρλείί, ιπη Νότια

ΛφρικιΊ,

,,(1 το ι·σωτερικό της

αυτές. Μερικές φορές οι οριικ Ι()λόγοι

νόλιΟος -μπορούν δηλαδή \'(ι γρι'ι­

Στο Σχίwο

1

φαίΥο,·ται μcφί]Οcις

στι}ν eπιφόΥrιά ttjς. Οι πιέσεις ξο,•αίί­

όπου βρέθηκι· ένη μεγάλο κοί,οομα

δύο κόκκοι φuκ ιών cρθοu''

στεγή

cιπό το οποίο σχηματίσθηκε ο ξενόλι ·

δια μα η ιι~ν σε μια βαθιά, στεvι) φλέβα

εnαφι), η χrιμική οίιο αιοη κι'ιflι~ κόκκου

θος πρώτα βυθίστηκε και κατόmν άρ­

του ορυκωύ uιιιούι. Τα διαμά,-τια &ν

αλι\άζεr με τρόπο που εξαρc(ιιαι αrιό

Ολ,wατiζονιαι ιιιιιιόχρcιν" με τους κι· μrιερλί ιε<;. αλλά παρασύρανται από tι}

tΙJV πίεση κιιι tη θερμοκροοία. Έιοι

χισε νο <ινfρχε-ιιιJ οιην εnιφ{ινεια. Τι ιιροκαλεί ιη ροιi θερμόtΙ}t<ις από

μπορούμε νο ιωθορίοουμε τόσο τηγ

rα έγκατα της ι 'ηc;; Ilorα εiναι η m}yιi

σιινεχι:>ς ιινερχόμενι] μά(α του κι ­

ιrίεοη όσο κω ιη θι:ρμοκρηοίιι tσυ μ έ­

tνέργειιίς του;

μιιερλί tΙJ.

σου όπου σχηματίστηκε ο ξεγόλ ιθος.

or

Εκτός από τα διαμάντια. και όλλιι

Αν ο ξι:γόλrθος αποτελείται από τη συ­

είδη οριrκιι~ν βρίοκογται σε φλέβες

νέν6.)Οη <φκειών κUκκων ορυκtοι'ι.

""

γεΙα. Τα πετρώματα περιέχουν ένα μι­

200

ο ο

Μια από ιις πι]γές θερμό~ηιας ιο11

εσωτερικού της Γης είναι η ραδιενέρ ­

Τ !'CΙ

=

οι Θερμικές myές της rnς

~ '

400

..

600

800

1.000

1.200 ο

"'-"'"

Το ιιοοόν αι>ιό είναι ιδιοίτι:ρα σημα ­

-

ρικά εκατομμυριοστά της μάζας του

g-

~

Ν

20

I)

40

ιο

6()

l5

κρό ολλά μειριjοιμο 110σόν ουρα,·ίου.

~

γτικό στο yρα"ίτη, όnou φιc'ινει σε με­ πετρώματος. Το ευρύτερα διαδεδομένο

ισόιοnο του ουρανίου, ιο ""'U, i:χει την κύρια συμβολή στη'' πυρηνική θερμό­ tι]tα που αnε.\ευθερώΥειαι στο rιέφω­ μα. Σε κάθε διάmrιιιιη, από τον πυρή­

80

100 120

ο

όρια πλω<G')ν

"

\·cιιpri βουviι

βαθcίς ~ενό.~ιΟοι

.... - ·

Σχήμα

~

μtnη βαθμίδο Οερμοκιχιοί(Ις

1

~

20

να rνός cιιό"μου οιφcη·ίοu cκπfμπεταJ ένα ο ωμα ιίδrο άλφα μe ενέργεια 4.2

2f>

MeV. Το σωματίδιο σταματά αφού δrα­ νύσει μέοα οιο ιιέψ<.ιJμο απόστοση πε .. ρίnου ι ο·• m. η δε εvr.ργειά του μετα ­

~ :30 35

Λ vε.~η ι ης θερμοκpnσinς μr τ.οβάΟrχ;. όπ(ι)ς pr·ιριtιω ωιό ης ορυκ ιυ.\υ.:ικι:ι; μι:rα/Χι.liς Γ(ιJV ~~·­ ι·ό.ιιθωv.

1/ δι'ιΊτφη καrπκόρυφη κλiμωω

φέρεται ο ιο rιέιρωμιι θερμαίνοντiις το. Ο χρόvος uηοδιπλασιαομού ιοιι οιι­

ρσνίου 23$ εrναι Τ.,"" = 4,47 • 10• χpι\ ­ νια. Τα nροϊόvτcι ιης δrι\οrωσής του -ακόμη και το θόριο και

ro ρόδιο

ποΙJ

αιιtικοι'J'ζtι rφ· ωL'(Jη. Τιι Ρf.'η ο rιι; κrψπιr.\rc: Bri-

ι'χουν μακρά ζωή- διαση~>ν ιαι ταχύ­

η πιrοη κω η θr:pμοκ(κωια μι· ro .υκ'η·π Οι ιιι1naιJtirη'JQι ~ι'\'<Ηι(.Ιοι μr­ 1 τιικιηjθηκα\' στl)\ rιπφ<Jνtιtι tδιιιφυμι·ιικο lit:\· θα ι·ι:\·rη· tH'(lKn.lvφ(ΠiJ, tr.t.\ά ξrη:iλιΟοι ιιοv /~Οηκιη· κο,ηό oιtt υpιιι ιω\· t)lU'ΙfΧοιrικι:ι,· n.lnκt•J\' μnprυpoύ,· ~η\· ιΨ ()V''t'Xt'J(ι Κ<Η($ύθισιj ιοv<;. 1( μώη fJ<~θμι'&ι θι:ρμωψιιιιinς rης tης ΚΟ\'((1 σ ι η,· FJΗφά\•ειιί ιη<; ιιπι·u;.ο,rίζι·ι.ω μι- rη διnκr.κομ · μέ,~η t•ικιμμη. Η xnrnβύfhoηerιι:p_\'Cιω όω'' αι βοθ~u'δeς θt.·μμQΚ{J(ι<ιι'nς ι·Λ•ιιι μικρι:ς, η& ιi\'t>δο<: ο rt}\' ι-rιιφιί \'CΙ<r rης Γης Q((l ι· tJJ Ρ<ιθμι'&:ς θερμοκρι.}αίαc ι:ι'γω μιτιi.Ιrς..

τερα από το ουράνιο. Έιοι. αμέοως μετά την πρώτη διάσπαση α ο πυρήνας

,\'\'(JI"' πως μrrajf.\rβηκr

1. Δr.ιτt το όpθrο ~Το κιΝi1ΥΙ ιι.η· μιι\·ικώ\· σφοιrw;)ν .. ιηο rriιxoc.Ι ov .\iov

1994

AuyoUoιou

1011 Qιι.ιrηιωrι

OUANTUM

! ΑΡΘΡΟ

7


ι;

ναι πολύ μrγαλύτερος από την ηλικin

Ερμης

0-~--.

του ηλιακού συστ>\μιιτος (4.6 δ>σεκπ ­

.. .. .

.. - "ο{\ ~>I), rη

5-

ωμμύριn έ ιrιJ κnι δύο ιάξεις μεγέθους μ&γολύιερος ιιιιό ιηγ ηλικία αιu σύ­ μncl\•tuς ι γύρω οηι 10 διοεκnrομμύ ­

.

ριcι έτη Ι. ΊΌ παράδοξο δεν αίρε ια1 ιικό­ μη ι.u αν υ πολογίσουμε τα θερμ>κιί χαροκτφισηκίι με μtyιιλύτερη ιικρί ­

3

βειο. Λυτό σημηίνι·ι 6ιι ι:ίη· ω t'οωcε .. ρικό rη<; !'ης ι:ί,·ω ιιολύ θερμό είτε οι

ιφχΙκι'ς μιις υ ηοθfσrις εί,·ω λανθο ­

2

σμcΥες.

Ας υποθι'ιιοιιμt ιο ιφώιο. 0ιι UΙΙΟ­ λοyίσουμε το βιΊθος h tχ; w οποίο έχει

1

ψυχΟεi η I 'η κnτ{ι τη διάρκι:ια της ίι ­ ο

πιψl;ής της ~\οιω για ~~ = ιο" sec = 3

ιο

Σχήμα

δισι:κιιτομμύpΙα έι>J. Θα κ(ιvου με ιον

3

υπολογισμό ξονnχρι)ΟιμΟΙΙΟ>Ι;)v ιιις

I Ι μι'-οη rιυκ ,·υιφιr ιω,· ιι.\ιι ,·ηιω'· όιό η.\J{ικυ ornrcιιpo ot t:tυ·\·ιιριηοη μt {1)\' <ιιrόοταση r.ους (Ι Π()

to\'

nαραnόνω τύηο yι<ι ιο ΧJ)όνο ψιΊιι)C.:

lQ\' Ή.\ιn. Η nnJΝ·μβnλη n<ιιι nπrικnη(ι·ηΗ pr rη διιικι·ιωμμι:ηιιωμ ιιύ.\ι; ιη·ιιq)t!μι· ιω oc ο.\οιιι; Η:ιυι; Ηλαηjrες rκ r(iςοιιο ~η Γη κ ω κιι rtr...1Jίyer σr μια μη rcφιμμf,·ηn .\.ltι nμn .\η rt.rψrιlnJ. .4nυ ­ &:ικγιίηnJ

on η nυκnhηcn

rης Γης r.η·αι ι.ιιτιιlύrεpιJ ωιό ι·κr.J\•η που "' 'a.loγei οιιJ Οέοη ι ης

nfi\'ft> σrt)\' κιψnΊΗΙJ (4. ϊμ nr·•r. r''<iJ η ΠΙJΚ\'όn1τn rης ~.\1)\1]ς l'i\·ω πο.\ιί nιο μικρή.

.

' ωιοψη

'

. ti\'<H

Ί'ρΙ(Ικόοιιι χL!.ιόμετρcι αποτελούν το

ιι ω<; ο

λές Οερμοκροοίtς οΙΙcλcυΟrιιωσον ,·ι·­

4'1

ιu\α\•ιjιι)ς μας έχει ιδιαίιφι) ιστορία. Ο

ρό anό το εσωτερικό, όπου μπορεί να

η υ ι ή riνα > ιιερισσό r.ερο ρ&αλ ισ τι κ ή.

μό,·ος τρόπος να εξηγιΊσουμε τ.t) σιwε ­

υπάρχει σε κρυστολλ ική μορφή. Ι 'ι'

Έχει νόημα για tι)ν ψ ύξι) αρχαίων

ρινή ιροχι(ι ιης Σtλήνης ι·iνω να ιιιιο­

α υ ιό ο "1 Γη έχουμε ωκrονούς. ε,·ώ

ηπ&φωηκώv JΙεριοχι~ν. όJΙι.χ; Ι) ιιεριο­

θέι>Οιrμε ό ο cι ιιλιιvι'Jτης μος κ(Ιι ο δο­

(tιηv αιμόοφοφιι ιrις Αφροδίαις αηλώι;

χι\ ηις Καρελίας <η χεροόνιισος Κόλιι).

ρυφόρος ωιι δημωιιρ γi)θ ηκαv ίιοιφα

ιχνtl νr.ροιί. Χρrι<'ι~ετιιι τ<;){JΟ ν<ι u ηολοyί(}οιιμι·

Τα παλαιότερα πετρώματ.α στψ περ>Ο­ τομμύρια χρό,,α. Για τη ΙΊι ως σύνο­

αις Αφροδίιιις κω ιοu i\ρη. Διcιβ(ισr~

rιόοο γρήγιψ<ι ψίιχειιιι έ'·α Οερμό σώ­ μα όιaν 1J θεpμόtιιτcι διαδίδετcιι με

ιο {ιρθρσ ιοιι

αγωγιμι\ ι η ι ιι. () χρι\vος ψίιξης ι:ξ<φιιi ­

όιι I} θερμόtητο μωιφέμθηκε μύvu ιιrιι)

ιοι ιιrιό ιο μέγεθος

rιιι.ι οι~ματος.

τιι ανώτερα στρώμοταβόθους 300 km.

μ ως ιetΟιιι<; ούγΚpοUύη<; IIOU Προ.' κ υ­

ιη θερμοχωρι)tιΚόtι)ι{ι ιου cP lioulc /

και ό ιι το εσωτερικό της Γιις παρέμει ­

ψcιν με tι)JJoίΊf:Jt>cι η.\εκτροvικού υπο ­ .\ογιστη.

ιkg

νε τόσο θερμό όοn ιrπι'ιρξε όιιιν οχημα­

ο ιημονικη

ο ιwcρο

από μια γιγcιντ>Cιiα σύγκρουση δύο rφ<ι> t()Πλιιγηιι;}γ

ιο

w

(no 1 •

A.G.\\

μt~yt:fk)ς ιιf:ρίιιου (:;ηη(ΨΟn οι· [<Η}­

u:ι·>χος κω ιφοοέξιε ιις t>κόνι:ς

R Γιηl

ι ης ακιί,·ας ιης Γιις. Η εκτίμηση

χ>) ηυιή χροvολογού\'tηι οε

3 διveκιι ­

λο, όμως. εiΥαι λάθος νο θεωρήοοιψε

τι}v ιδέα 0 U ι ή t>)V UIIOO ιιιρίζtι Κ(Ι)

· Κ ι(, τη Οφμικi) του cιyω\,μότψα κ ljoule ιιm · sα: · I()J και τηΥ πυΗό ­ ιιι ιίι ιοu ρ Ι kg Ι 111'Ι ι ο 11ς ο yκ ύλες δi ­

τίστηκε ο πλιιvήιης. Η ψίιξη ιωv ε­ σωτερικώ,· περιοχώΥ της Ι'ης έγινε

έ\·α άλλο επιχείρι]μα. Κοιτόξu: ιο Σχή ­

,.ο,-τω οι διcιοιόσεις τωv συγκεκριμέ­

διαφορετικά -όχι με θcρμη<ή αγωγι­

μα 3. Οι πυκνότιιτε<; όλωv τωv nλcινιι ­

''ων φυοικώ'' μεγεΟών ι. Μόνο ένας

μότητα. αλλό με μετοιρορι\ θφμίιιηιιις

rών στο ι)λιηκό σύιΗ>]μΩ ιεκιός tι)ς

οιJ\·διιοσμός ιωv ιεσοiιρων μεyεΟώ,•

μέσω ρευμάτων. ! Κω συνεχi(ει. σ& μ> ­

Γι)<;! βρίοκο,rrω πάνω οε μια ομιιλή

καιcιλιjγει οτι) διάοτιιοη to\J χρc\\'Ο\1 .

κρότερο βcιθμό. μέχρι σήμερο.Ι

κcιμηίι λη. cν~ι η ιιιικνόιιιια ιης Ι Ίις

·ειοι, ο ιωηκός χρόνος ιιου ωιcιιιrίtω

Εξαιτίας της θερμικής διαστολής, η

i:ivn ι ιιρκε ιίι μη\ιλ ύ ι~: ρ η n11' ό:ιι θο

yιιι νη ψι)χθι·i ι'· ν(Ί οι,;>μο κοι(ι μίΗ ι(ιξι1

ΙΙ\Jκvόιητα tοιι πετρώματος εξαριάτcιι

(<f'ηρειιε:•· Ωύ μφ<.ι.•νιι μr cηy nnι)orncrή

μι;yt~θους ι:ίηtι

011ό ΙΙ) θερμοκρcισiα: αυξιi,·εται καθώς

ιιις α11ό JO\' Ήλιο. Η εν λόγω ιι rιόθεση ι:ivι11 ι:nίοιις

r

(.'ρ

=-'- Rκ

ελκuοι>κή ι:JΙtιδή εξηγεί γιιιιi η Γη κuι

η Αφpοδίιη είναι ιόοο διιιφορειικές.

,

το πέτρωμα ψύχεται. 'F:τσιη πυκνότη­ rο των aνώτερων στρωμάτων του πε ­

!secL

τρώματος που έχουν ψυ;.;-θεi είναι με­

Βεβαίως rιρέιιει να είμαοιε ιφοσc­

γα.\ ύτερη σε ορισμένε<; αεριοχcς από

ι>Ορό ιι οι μάζr:ς ωιις είvιιι ιιιψόμοιε<;.

κιικuί όαιν κόνοu με ένα,· ιέιοιο

u ..

εκείνη τωΥ κιιτώτcρω'· στρωμάτων με

Εξηι ιίης

ηαρόμοιο χιιμική σύσταση. Μια τtτοια

γκροιιο ης η Γη rλιωσε. ενc:ιιι Αφροδί ­

rιuλιιyιομιi γιιι IIJ Γη, η οίιιΗΜΙJ nις onoinς μe ιιιβiιλλε ιαι μι: 10 βάθος. Ας

ιη κcιι οι ι~ιλλι)ι rιλnΥήιι:ς φ<ιίη;ηιι όιι

δοκφ(ωοuμε ι\μως:

μΗ1ς κιιτοuιροψικής σv ­

οχ ημcrι ίσιιικιιν ωιό ιιολ.\ιιιι'λfς ιηι ­

γκροίιοrΙς ιιολίι μικρήιι·ρης κλίμcικπς.

·>

r~

=

R ~c

,,

I<

Ρ

-3· ιο·~~c =10 ,.-

καc:cινομή rrvκνοτήιω,· σw βαρvτικ<) πεδίο της Γι)ς εi,•ω ιιστιιθής. EJ\'C\1 ενcργειακό

ετη.

Αυτό ΟΙ]μιιίνει όu ο δια;ι;~ισμός ιιλι­

.

κού ΟΊΌ βcιριrrικό ιιεδίο nις Γης έγινε

Καιαλιiyουμε σ· ένcι cιποτέλεσμcι

οι· nnλiι μι·γ~λο β(ιθος. Ειι iοης, ι» ιιψΙJ-

ι ιοιι δι·y έχrι ν()ημcι: ο χρό"'χ nυ ιός εί ..

προτιμητέο το ψΙΙΧJΗ\

πετρ(jJμστη Vίι Κ(Ιιfρχο\~'Ηιt, κηι cα θερμότερα. κ α τι:Ηr·pα ιι ιρι:ιμη ια νrι

Η ιι ιινέ_yεια ο 111 οελ.

QUANTUM Ι ΑΡΘΡΟ

60

ι::>

9


Πλεξίδες και κόμ οι Απλά φαινόμενα με σοβαρές συνέπειες

Alexey Sosinsky

ΛΕΞΙΔΕΣ ΚΑΙ ΚΟΜΒΟΙ -ΕΙ:-! ΑΙ

Β,

Β,.

Β,

αυτά πραγματικά μαθηματικά;

I 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

n

Β!)

1 2

3 4.

Ένας εηιμελl)ς μαθητής α­

ηοφ<>ιtά nηό το λύκειο έχοηας

~

σuνί}θώς αχημαιίοει ιην άrιοψη όιι

to μαθημαιικά ποχολούνται με αφη ­ ρημένες έννοιες, κ!ιι όιι απλά αηι • κείμενα όιιως οι rιλεξίδες και οι κόμ ­

βοι δεν έχουν καμιά σχέση με τα μαθηματικά. Αιιιιi ιι ενtύnωση όμως είνα ι λαν ­ θασμένη. Στις μέρες μας οι μαθημα­

(

τικοί δεν ασχολούνται μόνο με βα. ριισήμαν ια ς η ιήμοτcι -τη θεωρία

αριθμό>ν, τους υπολογισμούς για τις

2 3

1

διαστημικές nτιiσεις ή τη μελέτη των

Σχήμα

1

nοιηιικιlιν μέ ιρων- αλλά και μ ε πρακτικά καθημερινά θέμωιι, όπως t{l

οικονομικά ή η θεωρία των οuρό>ν. Κοι, εrιίο ης, με ιη θι:ι.){ιία ιων π λ ι:­

1 2 3

1

2 3 4

flnJ)Ωδri)'pCrr(J rι.,r6&c'Jv με τptις κω rfσσερΙ ς ,\Ιίψi&ι;:

3

I

πλειιΊSα•.

81

ιευθύνονωι πάντοτε προς τα κάι·ω

''τανή θεωρία, που η nιιαρχή της ιινίι ­

I, 2. 3.... }.και καθένα από το πάνω κορ •

γετω οτη δεκαετία του

δεν

φιcί συνδέεται μ ' ένα οπό τα κάτω

-τ--1r-τ-τ-

είνω ιικόμη πλίy>ης κο ι οι εφαρμογές τιις δεν έχουν εξοντληθεί. Όσον ιι ­

καρφιά με μiα κλωστή. Οι κλωστές

1920,

..,"'=·

νέες μελωδίες μετά τον

J·7o

ι

=

1ϊ~

και τον

μοναδικό ηεδίο μοθηματικωv που δι ·

~ δάοκειαι στα ηερισσότεpο σχολεία.

\.

Σχήμα

'<

θα αρχίσω ιηγ αφήγηαή μο υ με

~

ιrαροδείγμαια 11λεξίδων !Σχήμο 1).

ir g:"'

Μrιοpούμε

ξίδο ως εξής: καρψωΥοιιμε δύο σειρές

Σχήμα Atπri ra

"

αηό 11 καρφιά σιην niινcύ κιιJ ιην

.\ιϊ){)ΙΊiι;ς ι ους ( \'OV ι· (ιvtρ;νόμtν(ι ιμιjμα τα!.

φοηαοτούμε μιο πλε-

Β

χ

nιι:>να -κα1 το οποjα είναι το

\'(1

=

~

κότη ια ο ιαμάιηοαν να μοθαίΥουν

l6o

Β

/

λi ο ιην ορχήοτρο των κλιισικων μιι-

θημαιικι.iιν, ια οποία στην πραγματ> ·

c

8 1~Ja ·..κοριrσίσrικη

4

κiδος (όπου το η μποpεί νο είναι

"'c<

<

2

δεν ενώνονιω μειοξύ τους κω κα ­

ιων πλεξίδων δεν είνα1 δεύτερο βιο·

.g

4

-μια ιεrpιμμέvιι ιι.\εξί&ι. Β., ~. Β., -μια καll<ιpιί nλrξί&ι. ιι, -μια κυκ.~ ική nλεξί&ι.

φορά την κομψότητά της, η θεωρία

~

3

~άτω άκρι} μιας κατα~όρuφης mνο ­

ξίδων. Αuτιi η nρ αγμαrική και (ω­

!::'

2

'

3

Γcωμcφική οπό&ι~η όcι η ΗJει\·πι u.:rpιμμr ­

2 nντιχr.iμt\'<ι &:ν rJΎlfJ πλrξίΜς (OJ

νη ιιλε[iδα

rB, = li.

Λv μειnκιvήοοvμε (Ις

λωρίδες rη<; • οριζόvιια ... η ιι.Jεξίδα Β, με · rflο_νημαη'ζεταJ σε μ1a nλεξ}δο με τέοοε.pις

καrακι'ιρυφrς λωρίδες.

QUANruM I ΑΡθΡΟ

11


,·uυμr ιις αηιοτοιχrς λωρίδες και αφιιιρούμr ια αχρi}ΟΙΟ πλrον καρφιά

Ι ιην κατω σειρ<'ι Ιης πά1·ω nλεξιδος και 111'' ιιοl'ω οειρο ιης κατωι

Ano

nο.\λrς αnόψrις. ουtη η ιιρ<'ιξη ει~·ιιι nορσμοιιι μr tΟΙ' συ,·ηθιομf,·ο

no.\ -

ι\απλnιιιnο μό ιιριΟμι:>ν. ι κο νοποιεi τη" nραοrιαιριοιική ιδιότηrα:

Η,ι8,Β,,ι: ΙΒ, U2 ΙR,. Υ πίιρχtΙ ιο <ΙΙ•άλογο της μcιν6δας -<} τειριμμi·νι)nλεξίδη ι η Β, cιιο Σχί\ΙJΟ ι για n : 31-ιιου συμβσλίζrΙαι με το

Σχήμα 4

Σχήμα

~υ' Οί·οιι ιι ιrtιfι;ι.η·. Η καρυψή ι ης &υτrρι"Jς π.,r(ι&ιc.· LP\ tcnι r~r rnιrφή μc ro κιι rω μrρος

Η (t\ΙΙΙfΗ(Κ)ψη Β 1 μιιrς n.\r~ιfiaς Β. . \ vrr) ΙJ!X)ΙnitHfΙ MC: Κ<ιtuιιιμιλη rικό\·n r-ηι:; Β ως

rης rφι.:ηι~ j{(ll r , ω ,·o,·rnι οι αnιoιUJ.\fC

προς 10 tyo>t(ό\ ' Γ ιο rnnιrOO ΙJOV διφ_χrrnι

Ιι.φι/ϊn:.

rη'' κnιω/kιΟΙJ ιης Η Κιιθι' διιιJ.όοημrισ r-ης

-δη.\αδη. μιιι κ.\ωοιή δε1· εmτρι-πr­ ιιιι Ι'Ο στριψει προς ιο ηοΥω κοι ,.ο

κιι ιtuθu\'Oεi προς τφ· κορυφή της πινακι/\ας. Αvιό που β.\ι'ιιειε στο Σχημιι 2 δcν tl\'oι πλεξίδες.

5 anu

a.\rb6nc HR ' •νι ιu Αnιοπιpικο rου "' ιι · )puψu. •n• μ~μr '-n c~ιι.tcιψουμ.ι διο.δο· χι«n n tn ιιυrιι ω ltυι·η&π \(tJ,. σημ.riω,· rr-' ' rω\ο\ · ιος rι.ς \wριδrς. t.l\·oυμr,·Of

nnq fo

Kt\'liJU ιι)t: 11..\rιιδnc: πμ~ rιι; ιL1.tιιpt'C rηc.

1.

Κ(Η γιη tι)\' 0001(\ 10X''rt•ι

1·8: 8

για καθε πλrξιδιι Η. Μrιορούμε ε πι · σης ,.α βρουμr ιο ιιΙ·α.\ογο της πρά · ξης τηςδιαίρεοιjς: κοθε nλεξιδο Bixrι

μια ΟΙ'rιοιρσφη πJc~ίδα Β ' ιέιοια ~)() ιε 1

Β

I 2 :1 ... '') ( I 2 :! .. · ιι

Διιο ιιλεξiδες θεωρούηnι ιι>οδύ­

Ι'rιμι·ς 11\ηλnδή ίδιες Ι εφόσον η μiα

(:8

Αυιό

Β• Β Η

' : 1.

είνα ι προφ<ινές. και καλτ;,

Si'l'

ιοιις aναγΙ·ώσιcι; να ανακιιλύψοvν ένον ιρόιιο μr ιον οιιοίο γα κατα ..

Ι'tίγροφο tΙ)ς άλλης ότοΥ μετακινή ­

ι γιcι ι η 8,. 11 • 4). Μ' άλλη λόγια. αυτή Ι) πλεξίδα διcιιφι;ί ιι) οειρίι ιι,)Ι' nριθ ­

σκευ(ιζειιιι η αηίσιρσφι1 μιας δεδο­

σουμε τις κλωn11'ς ιης -<ιόv συνή ­

μι~ν των λι-~ιlδων tι)ς. Κάθε πλεξίδα

μι'νης ιιλrξί&ις. Αν δε Υ τcι κο ωφέρε ­

θως ΟΙ'Ομό(οηιιι λωρiδες- έτcn ώστε

μ ' ο υ ιήν "1'' ιδιόιη ια ΟΥομά(επιι κα­

τε, δείτι• ιην ιιιι/ιΙ'ΙΙ}Οη οιο ~χιjμα

10 καθr οημrιu ιους Ι'Ο παραμένει

θιιρι\. Μια τεφιμμr,·ι1ιιλι·ξίδο -οιυ ι ή

στο ίδιο ορι{uηΙΟ ε ιιίnεδο. ΌtnΙ' ιο

nov

κόΙ'ttr ιιιιιό. μπορείτε Υα ιεηώσrιr

κόρυφeς rυθι·ίrς- εί1·αι ειδική ιιερί ­

(ΙΙ•ιιμεrαΟcrικιf. η ρεί Υα μφ• ιοούιαι με ιην

η νο μικρύΙ·rιε μια κλωστή. δε'" ιu•o­

nτωση καθιιρης ιιλtξ!δος.

παράδειγμα δίl'tιαι στη συΥcχrιαι.

μπcψι·ί Ι'Ο μετατραπεί σε ακριβfς α­

όλες οι πλεξίδες η}ς είΥαι κο 10-

11

5.

ούΙ·Οι'ΟΙ} ιωγ nλεξiδωΙ' όμως

&... rη•ιιι

BC μπο­

CB Ιι'να

ρritt όμως Ι'n ιφ· κ όψeτε ή ,.ιι ιφ•

ΠαρrμnιπιόΙ·ιως. στο Σλ'ήμα I δΙ'\'

κο.\λησετε. Σιο Σχημα 3 β.\tnειε έ1·α ιιιιραδιιyμα τετοιου μειαοχημαη ­

ι·χουμr μια ιι.\.\α δυο ιετριμμέΥες

-i!Ι'Ομά(ετιιι ομnδο rι.Ιr{ιδω1· με

π.\εξiδrς. Δύο: Πραγμαιικό. εη·ιιι

ομού.

δυο: η ιιλrξιδα Β εn·οι ιr ιριμμέl'η επειδη μrιορούμr Ι'CΙ ι η με ιιιοχημα ·

λωρίδrc:- δc1· tl\·oι πολύ αJ1.\ή. αλ.\ό εχει ι·ρru,·ηθεί εΙ·δελεχώς. θα ξεκι-

Σιο Σχιtμο 1 οι nο,·ω άκρες των λωρίδιοΙ' cίγοι αριθμημένες με ιη συ ­ νηθΙομέ,·η σειρά -<1 nό ορισιερc\ προς

τιοοιιμι· ιβλ. Σχί\ΙJΟ

31

σε πλεξί/\ιι με

ιιι δrξι(ι. Σιο κόιω μέρος βλι'nειε κcιι

τέοcιφις 1\(ι ιακόρυφες λωρίδες. Υnc\ρχι·ι f1·ιι άλλο eiδος αλεξiδας

πιίλι ιοιις ιφιΟμούς των λωρίδων

ηου πρέ πει 1'!1 ω ΟΙ'cιφέροvμε ξέχω­

-<ιλλ<ι ι·Ι\c;ι Ι) σειρά δεν είναι ανιι ­

Ρl1 ιιrιό τι~ κιιθcιρrς nλε~ίδες κηι ιο

γκιισ ιικlι Ι) ίδιο. ΕιιομέΥως κάθε πλι-­ ξίδα οριζι·ι μιcι οιιγκεκριμέ1•η μετ(ι­

οnοίο είναι. οπό μιcι ίιιιοψΙ). to <ικρι­ βώς ανιι()cτο. ~:ίγω οι κυκλικές. Av -

θrσ η L<•>l' αριθμων tωΙ' λωρiδιο1· ιης.

ιέ ς. εξ οριuμοiι. <ι "ο δια ιάσσοuΥ ιοιις

Γιcι nιιρnδrιyμα. οι μεταθέσεις ιιου ιηι,•Ι\ι·ο'' ιιιι με ιις πλεξίδες Β,. Β•. Β,

ιιριθμοvς τω" λωρίδωl' κυκλικο. ό ­ ιιως για ποροδcιγμα η Β,: I -> 2 .... 4

ιοu Σχι\ΙJοτος ι εί,·αι. αηίοιοιχιι.

....3 ....

11

ι 2 3 '( ι 2 :t ( 23Ιfi23

4' ( ι 2 3 4} 4 J 2413

Ο γριιφίο ι ας μας χρωμό τισε μία

Μnορουμr ειικολα

,..,

α.\ γεβροnοιη ­

οουμr τις πλεξιδcς εισαyοηος μια

την 11λrξlδιι riYoι όιι ορi<ει ιην ιηυ­

ομού ι γιη όοrς rχουΙ· το ίδιο nλιjθος λωρίδωΙ', Αιιιό είνιιι εξαιρετικά απλό

τοτική μηlιθεοι}

ι βλ. Σχiιμcι

41: φέp1•ουμε το τέ.\ος μιιις

πλεξίδας στιιν cφχι'ι ιιις ίιλλης, εν~Ι -

12

MAPfiOΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

(

...

1

...

s.

ιιλουοτrρα ~~·ωμe ιρικά αηικείμr1·α.

Η ιδιόιι)ια που διακρiΥει nιιιή1·

R,.

.•

πλι·ξιδn CI\'OΙ ε1•α απο ια α ­

ιιραξιι υύ,·θεοιtς ι ή nολλοπλcιοια ­

1,

ι

7

n

ι.

ιη

απο τις ιιλrξίδcς Ι ου Σχήματος

Η αλγεβρική δομή που προκύ ιιιει

Σχήμα

ι

6

!ιuι.\l'Ιωδttι: π 'r[Jδι-ς. 11 J·ΟΟΙ η ιΠ()t_rηώδης n.\r~ι&ι~, ιi- Ι, 2. :ι. n - / Ιηιι<Jιt.\rιrαι ano

.,

n

2 ΚtιιtικόρVφtς

ι f,VJΙ/irc Κ(JI δύ<J δt(lσfliH ­

fN11ψt'\'tς -fl)\' ι -οοr-η Ktll tf}\' α +

I ί-οοτη.

Λ ντtc./iιrJrrτir ΙlfJω\'U\'ιω u ·t \'O nημηο κ ω ιι ί ­ (lιiJ( η .tt•(Jilif't Πi'(Η'άι•ι fiO ι·ω ιtιιό HJ\' Ι i + t ι-σtιιι~


υ,

-~= ω-~ = χ

si

s

I

s,s -•= 1

8 11 = 8 1

·_ ; .( Ί -r-~~ ~n 2

Ί

=

Sι-5:$

S:r'>ι

-~t(31_~f -( -

s"

-(

(

Ε&~ χι,ηοιμοιιοιήοαμε στι1ν αρχή τt1" ασθε1'ι\ μrτιιθεtΙκόιηια, οnόιε οιη σu.-έχεια τα πάηα απιιλείφθηκιιν •·από μόνη ι.οu<;•· < χiψΙ} στις ιειριμ­ μι\Υες οχέοεις Ι. Ασκήσεις

3.

Λπο&ίξιr: ιιι; ι<ιυιόιιJιC<;

S I -•s-•s t I

ι =

S Ι "-S~..SI S:!-•sI -• -

Λ \'(llt<)p6o t(J()ΙJ ( rις ιι.Ι tεjδcΗ: ιι, ()U\γψft~7ti rΜν <ιrωχι·ιrοJ&:,,. π.\ι·εi&.η· S r. S:..

Σχήμα

yιιι n?. 3.

Γιιιιί μας βοήθηοο•· τόσο αποτελε­ ο μη ιικ{ι οι ο χέσεις μος στt}V επiλ υ­

3

(όπως επίσης κι11

r .\a •

piaς rω,· π.\cf.ίδω'". ( l i ιtιριμμt,·rς Q.\'fσcις

εrιε ιδή κρίιβετ<ιι μια συγκεκριμtνη

ά ,. rιμι' ιιιθl' ι ικ6Ηtι α ι ~·ιιι ιι.ιrξιδες μr rrσσc ·

''(I QV\'Q}'ά}Όυμε iι·a ι· ιι.1 }Ί:βρικό

pις .tι.pi&ς}, t,3J οχΡυι•Η.; ιι.\t'&'δω\' f για rto • οrρις .\(ι)pί&ςι. Οι αnο&:ί{~·ις 1·ιιι n.ι,:Ε,Ι&:ς μι:

ιύπο ~·ιn rη Β. δι<ι/kiζοι·ιας οn.\ως ω Ο_\"ήμα:

Η. ; = ,:,·...<·s

' ι• .,t. ' '•S· ι "S :;r ιι ·'SS : r '.,: :;~ ι·

Ββ,

ιδιοηjτω•· τικ Για το σκοπό μας θα χρηοιμοηοιιiοουμε ιις σιοιχειώδεις

8,, .... S• . ι

με

n

<i J αυθe,· ή(

πι:ριοοόιι·ρι~ς .\ωpiδrς rι'ι·αι ιrαρομοιrς.

νήσουμε ιη δικιi μας μελέιη ιω"

' -= s. S1 ; 1

λωρίδες

2.

6!.

ΑοQε.-ιjς

ι.

n v rιμηnθ~ ιικ6ι η ω:

S,S. = SS, όtα" Ι i - Jl ?. 2 ' = '1. 2. 3..... 11 - 1). (i.j

ση ο ιοιχειωδώv αλεξίδω•• και rωv avιιοιρόφω•' ιους. Για ιιαράδειγμα,

3.

.'

Σ_γέσcις πλε~iδωv:

tινο ι φηνερο οι1

Ββ, _ ,sι = sι ~ ,Sβι - I

"' ,,1-•sι""":t "' -•sι"):ι"' _,.:":>ι~ ..s.1_,• ,..,,.,..,

ιί =

1, 2. 3. ... , ιι -

2 ι.

Οι σχέσεις αυι&ς εiΥΙΙΙ σχεδόν aυ­

ΕπiσιJς

s,s,s., •s, •s,s, •s,s,s, ιs, '.

ταπόδεικτες < Σχήμο

8).

it

κ(tν()νJκόιηια 11iσω από αυτήν την

αποτελεσματικότητα: Μ' άλλα λόγια, οι σχέσεις

1 έως 3

επrιρκούΎ για να

α ποδείξου μ ε ι;λι;ς ιις ιοόιt}ιeς σιη

Οεωρία τω" πλεξίδω••;

S · J=l · S=S ' ' ' I ί = 1, 2. 3, .... ιι - 11.

Αιιοδεικνίιειω όιι κάθε ιιλεαδa μrι(){JΙ'i vn nvαιιrφΩοωθri ως όiιvθr­

Β, =

1

λέξω το καταλληλο nροβλημnιιι.

J.:ιι·ούη(Υι σc $ιnφQρι:ιικΠ rπίnr/i(l. 'fόrr,

Βι •

1

Λιιοδι'ιfrιι:: rω'· βοοικι.J\' σχtσεGη· rης θΝ->· ι ~ιια π.\tΒ&ι: μr δυο .\ι•.ψiδrς Ι,

.

s s1'--'a "' ·>s ·•s2·

αυτό συμβαί1'ει επειδή έτιιχε να επι­

8

ψfΚJ ιιι.; .\ι.ψί&ς. (;.\ α ro8ω.\a ύημtία μι·ω­

(Σχήμο

ιω,·

S, κιu

αντrστροφω,· rους. Α\' μεrακιvηοουpr

ηλrξί&ς Sι ,

ι

σιις υrιόλοιπcς ασκήσεις); Μιiπως

7.

μηορούμε

" ;!

4. Αποδeiξτε ότι S 1S, .,_ Sβ,

ση ιι}ς i10κησης

Σχήμα

Sl 1'Ί !'1 'S

)Λ'ποροίιμε

ΑποδεικγύετιΙΙ όtι η ιιnάνιηοη εί­ ΥΟ Ι κα ιοφιιιικίι Ο δημιουργός niς θεωρίας των πλεξίδων. ο γερμανός μοθι]ματ.ικός

Emil Artin.

απέδειξc το

l 936 ό ιι κάθε ισότιιuι σ rιι θι:ωpίιι """ πλεξίδωγ ιιpοκύπτrι από rις σχfσεις

Ι-3. Αυτό το αξιοπρόσεκτ;ο θεώρημο μας εrιι φέrιει να ειtιλiισουμε i:>·α θε ­ μελιώδες πρόβλιjμ<ι lljς θεωρίος των ηλεξίδωv-tο πρόβ.\ι]μα η]ς τα~ινό ­ μησης. Δηλαδή, rί•'tll δυιιnιιi ι•a δώ ­ σουμε έναι' ιάπεψσl καΗί.\σγσ πλf;­ l,ίδω" /χωρίς tπnvαλιίψεις) κιιι έ•'nl' α,\ γόpιΟμο που aηιστοιχίζει κάθε

μάλιστα νο τις χρηοιμοrωιήοοuμε για

rιλcζίδn με

Οι σχέσεις αυτές yίνονται προφανείς

"α συναγάγουμε ιiλλι·ς σχέοειι,~yιn

ιιι!ογο.

α•' μετακl\·ήσουμε ελαφρά τις λωρί­

παράδειγμα, τηγ επόμε•·η yι:νιι<ό<ε­

Οι αποδεiξεις αυτών τωv γcγονό­

δες ιης Η, fιοι ιδο ιε ν<ι μειαφερθοίJν

ριι μορφιi ΗJς ασθε••οίις ηντιμrιαθε ­

ιων δεν είναι στοιχειώδεις. και ως εκ

λίγο χαμηλόιερα ια ιέοοερα δ111λά

ηκότι]τας.

τούτου δεν ιιρόκειτ<ιι να προχωρήσω

οημείιι 11011 βρίοκονιω ο ιο δεξιό μέ­ rος της (Σχήμα Άσκηση

Β, κω

8,,

1.

7!.

Εκφρι'ιο ιε ι ι<; ηλεξίδες

S,'S1" ?.. 2.

2.

γιο κάθε

Λποδεiξt~ όη

u.

Ι'

S,"S.,' = e ( 1. - 1\. Ιί - jl

Ας εξετάσουμε iνα ιικόμ η παρ{ι ­

οr ις LU)V ο ι<> ι χcιu>δών πλεξίδων S1• 5 2•

δει γ μα: tΙ}\' απόδειξιJ της σχtση<; Β,=

1

ιων αντιοτρόψων τους.

Ο ηλ yεβρικός συ μβολισμός ο τι]

1

\ που αιτιολοyιiσαμε γει,ιμειρικίι

στο Σχήμα

3\

με άμεσο υπολογισμό.

θι:ωρίο των πλεξi&,'" μl•ς ι:ιιηρι'ιιει.

Έχουμε

όιrως κω οι ην αναλιrιικi1 γεωμεφία. να ανιικαιnο υiοουμε ιοuς yεωμε ..

R1 = sμ;,s, -ι >S,

φικοίις οιιλλογιομοίις με ιελείως μιιγιινικοίις υ11ολοyιομούς 110υ βασί ­ ζονιαι σης επόμενες ΗΙU ιόιηιες.

1. Τrφιμμέι·ες ο.\·ι!οcι~

τιις στο•• κο ­

ι:&;, σ' α υ ιές. Θέλω απλώς Υα επιση­ μ(ιν(ι) ότι ειιιφέιιουν να μεtασχιιμο­

τιση;ί η γεωμειρικίJ Οεωρία των π.\e­

ως ουνθC­

S., και

ιου Σχήμαιος

Άσκηση

rov tψιΟμό

νο ερώιιwα μπορεί, κατ' αρχήν,

••n

αrιαντι}θεί μέ τη βοήθεια ε••ός υπολο ­ γιστή.

ι s,s;ιs,ιs.,s.,-• ιs,-ι

= SzS3 ι($151 'JΞ,S, ΊS.,Sι ιιιs.,s;'> = Sj>;' . ι ι ι 1 = S2(S1-'S,JS2 1• .! 2 -

s,s. ' .

- s s _,-

ξίδων οε υιιολοyιστικιi επιστήμη. στο ιιλαίσιο tης οποίας κάθε συγκεκριμέ ­

Μ ι ι ορώ σχεδόν νcι ακούσω τον οκεηιικιστή α.-αγΥώστη να αναρω­

ιιέιαι: •Και λοιπόν; Γιιιτί χρειiι<ηαι •·α απα•·ηjσουμε σε αυτά τιι συγκε­ κριμένα ερωτήματα:•

Το l.ήrημα εί•·οι όιι η θειφίο ιω•· ιι.\εξίδω" βρίσκει πλ ιjθος εφαρμογές

QUANTUM ,ι ΑΡΘΡΟ

13


κ

κόμβων παρ(ι μια οχημαιική πε ­

"

ριγραφή όπως η προηγούμενη. Θα δώσω έναν σχετικό ορισμό για κόμ­ βους ιιοΗ ιιιιοι:ελοt'Jν\nι από πολιιγω ­ \'ικές διαδρομές κιιι όχι από ομαλό ο φεφόμενες κιιμnύλες. ('Ετσι θα

αποφύγω μερικf.ς τεχνικές λι,πτομέ­ κ,

Κ-

κ

ρειες χωρίς να ζημιωθεί Ι><ιβαρiι η γε ­ νικότητα.) θα ορίσουμε ως οιοιχειώ­

6

δη πράξη την α ν cικιι ιό ο ιι'ιΟιJ ενlις τμήματος

ΑΒ εγός

πολυ-γωνικού

κόμβου -νια παράδειγμα, ιο ιμήμα

Σχήμα

9

Πιιρα&ίγμαtα κόμβων: Κο -rεr.pιμμfvος κόμβος, κ, -ιριψύλ,\ι, κ~ ~Δμ{Κκ; -4JKHJjJt,

1(,

ΑΒ στο Σχήμα

10--- αιιό δίιο ιμήμα ­

το

AC και CB,

iΙ τφ> 0\rrίo ιροφι} με­

τό]kι<Ιη οπό το

ACB στο ΑΒ. η οποία

εκτελείται υπό τογ όρο ότι ο κόμβος

~όμ{Jιχ;S,. Κ~ ---:. Ks-.rωpiι; όνομα. Κ" -ιουρμιιά'''"· Κ:--:·

δεν περιέχει εσωτερικό σημεία του

σ ια μαθηματικά και σε άλλα πεδία.

σημαντικό είδος κόμβου (δεν είναι

δύναμοι όιον υπάρχει μια ΙΙCΙΙερα­

Εδώ θα επεκταθώ σε μία μόνο εφαρ ­

πάνιως γνιjοιος κόμβος} είναι ο rε­

ομένιJ ακολουθία ο ιοιχειωδών ιιρίι­

μογή, που. την εκτιμώ ιδιαίτερα: την

φιμμένος κόμβος -ο συνηθισμένος

ξεων

εφαρμογιί της στη θεωρία «•>ν κόμ­ βων.

κόκλος ι κ. στοΣχήμα

άλλο <Σχήμα

τριγώγου

9>. ~τηγ

πpαγ ­

nou

ABC. Δύο κόμβοι είναι ισο ­ μετατρέπει τον έναν στον

lOJ.

ΜελετώΥτας το

Σχήμα

Ας αρχίσουμε με μερικά παρα ­ δείγματα κόμβων ιΣχήμα 9). Ένας

μ<ιcJκότητο, vπίφχοvγ δύο tJ κόνε:ς tου τετριμμένου κόμβου σ' αυτό το Σχήμn: ο κόμβος Κ, είναι επίσης τι: ­

κοτόλληλος γιο τη σχηματική περι ·

κ6μβος είναι μια κλειστή καμιιύλη

φιμμένος -μrωρούμι: ε ίικολιι νη

στο χώρο, ομαλή ή πολυγωνική, την

τον ξεμ πλέξουμε και να τον με τα ­

γpοφή rιuυ δώοιιμe npοηγιιυμέγως. Όπως ακριβώς και με τις πλεξίδες,

οποία μπορούμε να οιrοτρέψqυμε και

τρέψουμε σ' έναν μεγάλο κύκλο (δο ­

μπορούμε να θέσουμε το πρόβλημα

να πλέξουμε μ' όrιοιον τρόπο θέλου­

κιμόοτε

''0 to κάνειε με ιο μιιολό

της ι.αξινόμηοης και γ ια ωιις κόμ ­

με. Μας βοηθό να φονταζόμαστε ότι

σος ή χρφιμοποιώντας μολύβι και

βους: πρέπει να δημιουργήσουμε έ­

ο κόμβος οιιοιελεiται από μια λεπτή, ευλύγιστη και εύκολα ειιιμηκύνοι­

γομολάστιχα!). Και επιο.λέον, υπάρ ­

να" (άπειρο) κατ-άλογο κόμβων (χω ­

χει ένα ακόμη ζεύγος ισοδύναμων κόμβων στο Σχήμα 9.

ρίς εηοναλ i)ψεις) κιιι έναν αλγόριθμο

μη κλωοτή. Δύο κόμβοι θεωρούνται

ίδιοι (ισοδύναμοι) αν ο ένας μετατρέ ­

5. Εντοπίστε

θα καταλάβε ιε εύκολα όιι

αυτός ο ορισμός εiναι πραγματικά

που aντιστοιχίζει κάθε κόμβο με τον

δύο μη τε ­

αριθμό του στον κατάλογο. Α" και

ιριμμένοuς ισοδύναμους κόμβους

ιιυιό ιο ιιρόβλημο έχει θεωρητικά λυθεί, η λύση του είναι τόσο περί ­

ειημηκύνουμε και συστέλλουμε την

σιο Σχήμα 9. Οι μαθημαιικοί ιιροτιμούν ένον

κλωστή χωρίς να την κόβόιrμε. Ένα

nκριβή ορισμό της ισοδυναμίας δύο

να χρησιμοποιηθεί. Είναι δυνατό να

πεται οε ακριβές αντίγραφο του ό.\­ λου όταν μετακινούμε, κάμπτουμε.

Άσκηση

lO

πλοκη, ώστε στφ· πράξη δεν μπορεί

8

Α

C-:ζ'.

,t./

λ. / /

/

' Σχήμα

,. ' "! ...········..

10

Σrόιχε.ιώδetς πριίξcις q' ε\'Ο\' κόμβο. ΊΌ rpιj ­ μ(ι

.48 nvτικnθίσταται nπό μια διαδροp1j δύο

-

Σχήμα

12

Ξεcύλιγμn ιΨ<iς Οcηκού κόμβου για rη δη ­ μιοvpy/α pιος n ιιeξi&r ς. Το και:ιrκόρυφο ημιειιiιι~δο α δηι.λαοιάζtt(JΙ, και tιιMra ο \-'Οι' ­

-τμημάτων Α(:Β. με HJ\1 JιροϋΙJόθεοη 6 ιι ο

Σχήμα

κόp/Jo<;&v ιi}J\'t:J tυ ψίyω\•οΑΒC.!ιLα nκo ­

κ.~ι:ίιημα μι(Ις ηλr:Ε,ί&rς. r_;,.(;n·o,r rcις f(t riκιxr

γι·ι όπως 6 'n βιβJ~ίι,. Ο κόμ{kις 6:tu.H)'L'tuι rόrr. κοr 8ημιοvp}'ι:ίι(Η μιn n.~r:~ί&r. Α ιιιιj η

.\ouθl<r rι: ι-ο)ωγ πρiι{ι:ωv eπιφf.nει rηv nnpn-

μιας ηο.\ιί αnλι]ς rι .\εlίδας. δηp.Ιουρι·ούμε

uικί[η <f\' tιo rρέφeι ιο χJ.είση.ισ ιης ηλει!ίδας

μtJj)ψω(}IJ

ι' να,. κόμβο ι ιριφύλ.ΙJΙ.

ιιου naρουοιάοαμι; σcο Σ_y·ήμα

14

rov κόμβου.

MAPfiOI I ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1995

11

11.


α

β

1

J

τ

z

γ

s

Β

•ο

.4

Β''\

F

c Λ

ΠΕ D

""

13

π

f_j_;ε

-·. •

(;

Σχήμα

1

\ .~ψs/

Η

ι;

7"

D

FG. rβJ

14

Το κλείaψο αυrι}ς ιης ιι.4ε{iδας δημ.ιουp}'εJ'

enfσης tvtH' κόμβο .. rριφύλλι.. ιouyκpivr.re με ιι> Σχήμα ll!. Επιβεβ"'ώστ.ι: ro!

δειγμα, η πλεξίδα τριών λωρίδων ιου

G

Σχήμα τος 14 διαφέρει από την πλε­

,\fεra r~ιπιί tγό( κόμ/Jόυ ot ΙkΗκό. (α } Το διόγιχιμμn ενός κόμβο11 με δύο αργηηκιl ι-μήμ<ιια ως πρ<>ς ι;ο οηpεJΌ 0--rα ΑΒ και

Σχήμα

Το fέ,yναομα rου

Alexander ~~ αvοκαr<iσrαοη ιου αp,•ηιικού rμήμαιος Α8 με tφ· nο..\ιιyωvική8ω4κ>μή ΛSΒ-μειώ\•t;.Ι κατά έγα tonMj·

θος tω'' αρνηηκώv rμημάrωv. ()•} Εφ<Ιpμ6(οvι.(tς ro τέχνασμα rου Ale..Yandeι· δύο φορές με­

rαφέπουμc "''' ABCDEFGHJJA σε Ιkιικι! ιως rrpoς to o1!}ltfo Οι κόμβο. αναχθεί αυτό το πρόβλημα στο ήδη

τόν και θεωρήστε ένα σημείο Ο

επι,\υμένο πρόβλημα της ταξινόμη ­

δεν ηνήκει σων κόμβο (Σχιίμα

σης τω'' πλεξίδων; Η επόμενη ιδέα

Θα ονομ(ιζουμε θειικό ένα τμήμα του κόμβου \ως προς το 0 ) όταν η

είγο1 υπcι1νικιική.

nou 12).

ξίδα δύο λωρίδων του Σχήματος lJ, αλλά το κλείσιμο και των δύο είν<ιι ένα •τριφύλλι• (επαληθεύστε το!). Εuομένως, η προσπάθεια αναγω· γής της ιαξινόμηοη<; των κόμβων ο cην ταξι \'όμφη των πλεξίδων απο­ τυγχάνει. Το θεώρημα του

Alexander

όμως είναι το πρώτο μόνο βήμα μιcις πολύπλοκη<; αλυσίδας σκέψεων που συνδέει τους ωραιότερους κατοίκους του τρισδιάστατου χώρου: τις πλεξί­

Παίρνουμε μια πλεξίδα, την κό­

διεύθυνσή του, όπως φαίνε ιω οnό το

μπτουμε και ενώνουμε τα άκρα τη<;

(Σχήμα 11 ). Παίρνουμε έναν κόμβο.

Ο, είναι από τα αριστερά ιιροc; [.(1 δε­ ξιό. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 13α

Ανιιρω~ιέrαι όμως κανείς, ένα τέτοιο

όλα τα τμήματα του κόμβου εκτός

κλείσιμο μ1ας πλεξίδας δημιουργεί

από τα ΑΒ κιιι Jo'C ι:ίναι θειικό. Ένας κόμβος θα ονομάζεται θειικός (ως

χρειαζόμασw όλα αυτό;• -για χάρη

πάντοτε κόμβο;

δες και τους κόμβους. Ολοκλ ηρό>νον ιας, θα προσπαθήσω ν' απαντιίσω στο ερώ'tημΟ •Για'tί τα C(ι.)V αναγγ(ι.)(Jτών ιιου δεν ηιστεύοuν

Ασκήσεις 6. Σχεδιάστε το κλείrπμο των πλε ­

nρoc; το 0 ) όταν όλα του τα τμήματ<ι

ότι η κομψότητα αυτή καθ' εαυιήν

είναι θε•ικά. Είναι εύκολο νcι βρού­

είναι επαρκής λόγος μελέτης ενός

ξίδων Β, και Β, (Σχήμα 1). Πόσες κα ­

μι: -rην ηλεξίδα που δημιουργεί με το

μnύλες δημιουργούμε σε κάθε 11ερί­ πτωση; Περιγράψτε τις καμπίιλες

κλείσιμό της έναν θετικό κόμj)ο-;<ό­

αντικειμένου. Ως tνα βαθμό, η <ιΙJό­ ν ri)Oη βρίσκεται στην ίδια την Ι στο·

που το κλείσιμό tους δημιουργεί μια κ<ιμnύλη ~ηλcιδή έναν κόμβο.

7. Βρείτε

μια nλεξiδα που το κλεί­

βουμε αnλώς τον κόμβο οε οιιοιοδή­ αοτε σημείο του και τον ξετυλίγου­

ρία που αφορά τη δημιουργία ιης

με όπως βλέπουμε στο Σχήμα

βων.

2.

J 2.

Το <tχvασμa ωιι Aleχaιιdeι·. Τα

θεωρίας ιωγ πλεξίδων και rων κόμ ­

Η θεωρία των πλεξίδων επινοήθη­

οιμό της είνω ο κόμβος (α) Κ,, (β) Κ9,

αρνητικά τμήμα τα ενός κόμβου (Σχήμα 13β, 13y) ανιικαθίστανται

κε τη δεκαετία του

Έιοι μια οριομέ,•η κατηγορία πλε­

από ζεύγιι θεηκών τμημάτω'' που

έnειcα από παραγγελία μιας υ φα­

ξίδων (συγκεκριμένα, οι κυκλικές

περιβάλλουν το σημείο Ο. Αφού' α ­

ντουργίαc;. Όπως θα λέγαμε σήμερα,

nλεξίδες, ό11ως θα έχου'' κu ιολόβει οι

φοιρέσουμε όλα το αρvιιτικίι ψιίμα ­

ο Artίn ήταν ένας σύμβουλος επιχει­

αν<ιγνώοΊες 110υ έλυσαν την άοκη­ σιι 6) δημιουργούν κόμβους με το

τα, εφαρμόζουμε την πρώτη τεχνική.'

ρήοεων.

Μ' αυτόν τον τρόπο μπορούμε να

Οι αηγές της θεωρίας τω" κόμβων

κλείσιμό τους. Είναι όμως δυναιό να

δείξουμε ότι κόθε κόμβος δημιουρ ­

είναι ακόμη παλαιότερες, και οι

δημιουργήσουμε όλους τους κόμβους μ ' α υ ιόν τον τρόπο; Αποδεικνύεται

γείται από το κλείσιμο μιας συγκε­

κριμένης πλεξίδας. Οι πλεξίδες όμως

ενδιαφέρουσες περιστάσεις υπό τις οοοίες δημιουργήθηκε έχουν σχεδόν

πως η απάντηση εiν<η ναι!

είναι δυνατό νο ταξινομιιθούν. Μπο­

ξεχαστεί. Η συοτηματικiι μελέτη της

Ο αξιόλογος αμερικανός μαθημα­ τ1κός James V\1• Alexandcr, ένας από

ρούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το

θcωρ!ος ιων κ όμβων ξεκίνησε από

γεγονός για να ταξι νομήοοιιμε τους κόμβους; Δυστυχώς, όχι. Το πρόβλη­

τον μεγάλο βρετανό μαθηματικό και

(γ) Κ,, (δ) κ, (βλ. Σχήμα

9).

τους πρώ•ους ερευνητές tώ\' κόμ­

βων, απέδειξε το 1925 όu κάθε κόμ ­ βος προέρχεται από ro κλείσιμο μιας συγκεκριμένης πλεξίδας. Αν τί να αποδείξω λεπτομερώς ι:ην 11ρό"tαση θα παρουσιόοω τις δύο κύριες τεχνι· κές που χρηοιμοηοιούνται στην από­ δειξη.

ι

Ξετι!λιγμα. Σχεδιάσ τε έναν

κόμβο, επιλέξτε μια διεύθυνση σ· α υ-

μα είναι ότι το κλείσιμο διαφορε­ τικών πλεξίδων δεν δίνει πίιντοτε διαφορετικούς κόμβους. rια παρά-

1920

από τον νε­

αρό γερμανό α λ γεβριοτή Ε.

Artin

φυσικό Wίlliam Thomson, το λόρδο Kelνin. Ο Thomson κατέληξε στο συ­ μπέρασμα ότι η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση μεταφέρεται μέοω κυμάτων, ενώ αργότερα είχε μια α­

ι Έ"cις δύοη1στος.cι''"\"'ώστrιι;θα υποοτη­ ρiξtι όιι έ\·<ις κόμβος μπορεί \'Ο πrριi'χt.ι φή­ μnιά ιιου δεν είvω oίrtr Οεηκα ούu aρνηuκή .

Μπσρι:ηiμr νn rιnuψι'r\·uuμt uι:ιιή rη δυοκο.\iα μει.<ικιν~)\'ιης rλαφρiι tu .ιnροβλημuιικ(ι.. ιμJl ­ μαιu.

κόμη αιο παράτολμη ιδέα: τα αλλη­ λεπιδρώντα σωματίδια είναι εniσης κύματα, αλλά επειδή τα σωματίδια \άτομα) είνοι πολύ μικρά ενώ τα κύ­ μιηα έχου" μεγάλο μήκος, τα άτομα -

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

15


κυματα κ.\ti\'ΟΙΙΙ' ιον εαυτό ιοιις μrοιι ο· ι' Ι' ΟΙ' μικρό χώρο. Έτσι οχη· μιιιι(ΟUΙ' μικρόυς κομβους οι οηοιοι

υυ.\.\ομβο,·ουΙ' όλι·ς ης φυ01κές και

Η ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΊΊΙΣ ΝΟ

\'tJJIΙKtς ιδιόιηιες Μυ σχrη(οη«ι με

.. .t,.

το ατομο κο>δικοιιοιημι'Ι·ες με ιο1· ίδιο

t

ακριβώς φοιιο που ·δέ\'tται· ε1·ας

κομβος. Ο

Thom<on

και οι μιιθηιrς

του άρχισαν Ι'n ι·ξι·ρruΙ·ού,- ιοuς

ι Ι•

1 'I ,,

t

~ Ι

ι l ι ιl

I

ιtfι

ιt \ ' 'l t f ι J

κόμβους. ξrκΙΙ·ι;ινιης οπό τη συστη· μιιtΙκή ιοιις ιιιξιvόμφη με την κιι·

I

cοyρcιφιi ιοιι~ σr ι·ιδικούς JΙίΙ·ιικr.ς. Οι μα0t]μιιιικοί του 20ού ωώνιι

\

ι

l

t

πήραν οιιι χrιιιιι ωυς τηοκυτάλι1 ιης διερειίνηοι]ς Η•ΙΙ' κόμβω\' όχι αηο­ βλεποηας

or

Σελ; 5Μ.

κ(ιηοιο οικοΙ·ομικο

14χ2Ιrκ.

κiρδος α.\.\ό ειιrιδη τους προοέ.\κυ.

Λ Μ.

7.500 δι•Χ-

or η καθορη κομψοτητιι του θέμα ιος. Οι λrιιιι'ς ιΙΙ·αλλοιωτrς οου δημιοιφ·

MARVIN MINSKY

γηοα,· ισχrδιαζουμε ''α ιουι; αφιε. ρώσουμε ειδικό ιφθρο σε εοόμεγο τrυχος ι εηcτρεψω· μιη σημοηικη

ιφοοδο ο 111 Οrωpία ιω1· κόμβω1·. Για ηο.\.\ό χρόνιο. όμως. το πεδίο οαρέ­ μι·ν~ στα t!pl)\' ιKά μrιόιι ιΟθtν ΤWΙ' μιιθημοιικι;ιν, γνωσιό κατό κύριο λόγο μόΙ'Ο

or

c ιδικους τ ης τοοοι\ο-

' yιος.

ΕΙ' ιω μrιοξiι. η θεωρία τωγ πλε­ ξίδων βρήκε οοβιιρότοτες εφαρμογές yιο παροδει yμιι. ο 111 μιγαδική n ,-ό •

.

ΔεΙ' ε11·αι no.\uς κιιιρός που. μετά

ΚαΟηγηιης ο«ι ~ιιτ Πρόι'διιος ιης Λμrρικuν~ ΕΥωοης Τ•χ~'ηιης :->οημοσύΥης. ~Ιrλος ι ης Ακαδημίας

ιιι; rργοοιες τω1· όγy.\ω•· μnθημαη .

Ειιιοιημώ\• ιωγ ΗΠ:\

.\υοη. tι] μηχιινι~η και τη φυσική

tω\' οτοιχcιωδι:>~· σωματιδίων.

Ι<ώΙ·

,John

CoΠW8~' Και V. o)Ones. tωΙ'

ριοοωΙ' ν Τurιι~·~~· ~nι Α.

Rc.'sheti-

Ο 1\faηιιι !ιfιιι~k_ι·. ι'ι•ας απο roυc ·nαrrικς· ι ης rιιισιημης rωv ιι.\rκιρο·

khin

και του aμερικnΙ·nιι L. Kaαff­ ιnun. ιιποκα.\ύφθηκον nnρόσμcΙ•tς

Ι•ικώΙ• υιιο.\ οι•ιοrωv κω συ•·ιδρυ ι ης ιοιι Εrι·nι:rrιιριου Τrχ••ηrής Νοημο· ού ,·ιιι; ιιιιι 'fΙΌ\'VΟλο)'ικό [Ι"στιrούrο ιης Μcισοnχουσrrrης. δil•rι μια εrιιι ­

κιιι βιιθιι'ς συνδfοrις ιιηίμεσα στη

Ι'αοrnιική ιιιιιiηησιι για

Οι·ωρiιι τωΥ ηλcιίδων κ ω των κόμ­

..κοιvωviο ..

βω1•. την «φιy>ι}μrνιJ iιλγεβρο, και ιι} φuσικι\. Tn rιρ ι]Ι'ικά μετόmσΟεν α ­

ιιιιις ι·ίv(Ιι n· vόηπι. 'Γο βιβλίο ιυυ μοιιi(ει μ · fΙ'(I διn ι•οηιικό ιιιιζλ · κάθε οι•,\ίδιι cου cι •·nι και iνα κομμάrι rυu nωχνιlίιου. !:ιο ι ι'λος ιου ιιvnδύι· ­

Ι'<ιστοtώθι]κnν. Και ηαλι η φυσικi]!

ιιιι U(ΙΙ' μι..ιοnrκ6 ιδrόιv μJΙι ιτοποιημέ•·η Uεωρια rης ••6ηοηι:.

ro

nωc λειιουρyι·Ι η Ι•ιίφη. Τη Οεωρrί ως μια

ιιου aπorrλrirnι ωιό μικpftcι·rχι συσrαηκιi τα

onoia

ωιό μόπι

Κω μlι.\ιοω δt·ν rμπλtκοντοι μόνο" οι κλασικοί κλ(ιδοι της ι η στατιστικιi

• • J:;vιι

κο.\α( διαφιιρrιικ~JΙ- ιδrι;ΙΙ' που ιιφήΙτι όνιιuδο ιον ιινrιγνι;ιστη ·

φυοικιJ. για ιι<ιpι\δrιyμσ. ηα μont·

ιο βιβ.\ίο rινιιι γεμάτο εuφιιίrι και ι·ιισιοχους αφορισμους.

.\σ του rιόγοιι! Ι ιιλλά κω η σύγχρο­ ,.η κβn,·ιικιί Οrωριn. Και η ιδiα της

-Douglas

H orstadιer. ουyyραφέιιι;

του βιβ\ιου

U<Jdt>l.

~chi'r, Badι

κωδικοοοιηοης χημικης π.\ψοφορισς

or

μικροιlς κόμβους ι και πλεξίδες!

cπα,·cμφιιΙ·iζrιιιι στη μοριακή βιολο ­ yiα καιο ιη'· rιορεΗι οποκωδικοποιη· σης ιω1· αμιl'οξι'c.,,. και στη μελtιη

του 01\.\. Κω. ιιοιος ξrρrι, iσως κάτι κρύβειαι ο LΙJ" ιιιιλιι'ι ιδrιι

tQU

λόρδου

l<el ,·i tι ...

16

ίtJ

ΜΑΡτΙΟΣ

ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

-2ί0 καταπ.\ηκτικα. πρωιόιυιια κrιμηcι ...

- lsaac

Asimoν

ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ ΕΚΔΟΣΕΙΣ κάτοπτpο Ιοιιίιpω1· ιι].\.:

10 κιιι Δαφνομήλη, 114 71 Αθήνιι. 3643272, 3645098. fax: ;1641664


ΣΠΑΖΟΚΕΦΜΙ ΕΣ

Για να περνά η ώρα Σ26 Γρtίμμιιr«

oc

ψηφια. Λντικαιαστήοαμε όλο ιο γράμμαια μιας λέl,ηc; με ιηγ

αριθμηιικη ιους οrιρά οιο αλφόβηιο και ιιροiκυψε ο αριθμός 121111121. Ποιο ήtιι\' η ορχική λεξη; ( Λ. SaνinJ

Σ27 Ψηφία οι: αριθμούς. Λύστε τον αριθμηιικό γρίφο

nou

οαρουσιάζει τον πολ •

λιιnλaοιασμό ενός ιεφοψήφιου αριθμού με τον εαυτό του.

(L.

Mochaloν}

Σ28 Πρόβλημα σκιών. Ι'vωρίζουμc από τις αναφοf)tς των αμεριχανώναστpοναυ · uiιν όιι οι οκιt\ς ιιιη Σελ ήνη εiνιιι οκοι.εινόιερες απ' ό, ιι σιη Γη. Ι'ιαιi ουμ · βαίγει αυτό; KrotoνJ

cS.

Σ29 Χpωμαιισμός ενός nJαισίου. Ένα ολέyμα γωνα έχει

21 κόμβους. Είναι

nou

αποτελείται αοό

6

Χ

2 τετρά·

δυ\•ατό να χρωματίσουμε τους κ όμβους με δυο

χρώμαιο έιοι ώσu: να μην υοάρχει καμία τετράδα κόμβων του ίδιου χρώ ­ μοιος που να οχημοτiζουν ορθοyώvtο;

Σ30 Ροδοειδής και nφιφtρειο. Σχεδιάζουμε κύκλους της ίδιας ακτίνας που διέρ ­ χονται από το κέντρο ενός κύκλου δΙΙJλάσιας αιηίνας, σχηματίζοντας μια

•ροδοειδι'J καμπύλη• < με ροζ χρώμα σιο σχι'Jμα). Ποιο οπό το δύο είναι μεγα· λύτερο -το μήκος της ροδοειδούς 110υ σχηματίζεται από τους μικρούς κύ • ΚJ\ους ή το μήκος της περιφέρειας του μεγλλσυ κύκλου;

(V.

Proi.zνoloν)

ΑΠΑΝΠ!ΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Α ΥΣΕΙΣ ΣτJΙ ΣΕΑ.

61 QUANTUM I ΣΠΑΖΟΚΕ8ΑλΙΕΣ

17


ΠΡΟΣΟΜΟ Ι ΩΜΕΝΗ ΔΗΜ Ι ΟΥΡΓΙΑ

Όταν ένα σώμα συναντά ένα άλλο Η θεωρία της ιιγιγαvτιαίας nρόσκρουσηςιι για το σχηματισμό της Σελήνης

A.G.W. Cameron

ΣΕΛ ΒΝΗ ΕΧΕΙ ΑΠΟΠΛΕΣΕJ Α·

διιιψ<ψι:ιική ιωό cη ιιίιστιιιι η της rης,

ελπίζοη<ις ό ιι θα yl\·όιαν μ{ιρ ιιrρ<ις

ντικείμενο θαιι μαομο,·ι κηι μe ­

μJΟς ιέλειιις rrιφοιrοiιιοιjς ωυ φόnοu

ρικrς φορές λατρείας σε ολό ­

ιιφιί:χeι ιιίιριι ιιολίι λ ίyο με ιαλλ ικiι οί · δηρο. καΙ ουδείς μπορούσε να φα ­

που λεηουργεί η επισtΙUJΟ\'ΙΚ ιί μt.θο ­

Η

κληρη την ιστορία του α νθρώm -

νταστεί ένα μηχανΙσ μό συσσώρευ σης

δος: θα συλλέγογταν δεδομένα από την

νοιι γέγοιις. κιιιιιγριιμ μiΥη ή όχι. Οι

' μ ηιω

του ο ποιου ο rιερ ιοοοtερος μ ε·

ιιρΟοnάθειες να διατυπωθούν επ1στη­

ταλλ ικόc; σίδηρος θα συyκεηρωνόταν

ιtνάλuση οελι1νιu κών &ιγμό τω,· και από ης μετρήσεΙς οργάνων αου θα το­

μονικές θεωρίες που νιι ερμηνεύουν το

σ' έγα μόνο αrιό τα δύο σώματα.

ποθετούνταν στη'' εmφάνε1α της Σε­

rJ'"IJ<;

.

.

οχημιι ιιο μό ι η<; Σελ δε,· αποιε • λούν γνώρΙσμα του ωώνα μας. ΟΙ

Κιηά ιη θεωρία ιης συλληψης rι Σε­

λήνης, κn r σιη συνέχεια οι ειηοtΙίμο­

λiινιι σχιuιατίστηκε κόαοu αλλού σιο

νες, ως λoyuωi άνΟρωrι01. Οι:ι άλλοζον

πρώτοΙ θεωρητικοί ανημετώmσαν

fll"

ηλιακό σύοτιjμα, κω ηεριφερόμε,·η

άποψη κω θα συνέκλη>α ,. προς η1 οω­

nρuέλευση τιιc; Σελήνης ως έ\•n ιιρό­ βλημα ε\'τελώς ξεχωρΙστό από το γε­

βρέθrJΚε κονι(Ι ο LΙJ Γη, η nnοία κnι ιη

οτή θεωι>ίn.

συνέλαβε βαριrιικiι. Αλλά και πάλΙ,

νι κι\ ι:ρωτηματιι για την προέλευση

ουδείς μαορούσε να καταλάβει ηώς ένα

Αλλά δε'· έγη·ε έ ι ο ι. Ενόσω ο u γκεντρώνο,-ταν {α δεδομένα. ο MitΙ'ofl'

οοιι ΙJ;\ιωωύ υιιστήμιι to<;, και μόνο ω τελευταία χρόνΙα ο σχημοtΙσμός της

ηλcι Υηt:ικό Otl)μn. που θα μnοροι'Η)ε νιι

110pα ιήρηοε rιhχ; 01 απόψεις δε.- άλλα·

οχημcιιισιεi κ(ιιιοιJ αλλού, ήιην ιόοο

ζιιν. Δεν σ ημειώθηκε οίιγκλιιιη. Ο Μίl ­

Σελήνης θεωρήθηκε στοιχείο <ι)ς ευρύ­

δΙαφορειικό <ιrιό ωυς ίιλλου~ γήι,·οuς

ι·off έyροψε ιόιε ένιι βΙβλίο όrruu ι ­

ι.εριις διnδικιιοίιις tη<; συγκέντρωσης

π.\αγήτες, ώστr να μ ιι διαθέ.τει τον

σχυριζότcιΥ πως

α.,)\ι ηλανηιc;)V.

σημα νηκό πυρήνα αrιό σίδηρο. Όσοι

σελι\νΙJς• είναι Ιδιαίτερα ισχυρογνώ ­

Οι ιΙιιλαιότερες θεωρίες γιο ιο οχ•Ι·

nρoonάOr}OO\' νο κοιιινΟJ'ιόοuν ιην

μονες και ανίκα νοι να (ινt.ι(ιιιοtφιθουν

μnιιομό ι ης Σελήνης μπορεί \'Ο δΙαχω ­

ουρά>,α μι1χανικiΙ της σύλληψης ανη ­

σης επιστιuιονικές ενδείιεις. Αλλά

ριοιοίιν οι· φrις yενικούς τυπους. Η θεωρίιι ιης διι'ιοπασιχ; δέχτηκε αξιωμα­

μcτώηιοα,· aξεπέραστες δυσκολίες,

ούτε κι αυτός μάς υπέδειξε π01α αιιό ιις

ιικό ότι η Ι 'η σφεφόταν γύρω από τον

τι}ς δεκαετίας του

1960, όταν η κυβέρ­

Το λάθος του Μίιι·οfr ήιαν όΩ ωιr ­

όξονό τ.ης τόσο γρήγορα rιου rιαραμορ­

νηση ιων ΗΠΑ δΙuιωύργφε ιο πρό ­

θωε nοχ; η σωστή θεωρία για το σχη­

φώΟηκε στο σχιίμιι ενός αχλιιδιοlι. κιιι

γρ<ιμμιι Aρollo, σκοπός του οποίου

μαησμό της Σελ1jνης έπρεπε να εί.-αι

όη τότε ι1 ύλη στη οιενόιερη άΚρη δια ­

ήτ.ιιν Υα ηρο(J(1}c:ιψ ι(Jτt.η]ν ιΊνθρωποι στη

μία από uς τρι:ις κλασικές θεωρίfς. ΊΌ

χωρίοτιjκε οrιό το υιιόλοιιιο οου ηλιι­

ΣελίΙ'''l κω να εrιιυψέψουν ιιυqχιλt;χ;

σωστό θ<ι ι\ιtι ν νιι υπfιιχε κ ω μι<ι τέ ­

\'ιίτιJ και cέΟιjκε σε ιροχιίι γύρω οrιό

Οtη Γη. Υmίρξα.- ιιρκετι\ διαφορετικiι

ταρτη εκδοχή: •καμίο από τις πιιραπά ­

αυτόν. ΈΥα τέτοιο σύσηuια, όμως. ε μ­

κίνΙ}tρα yιn

φι\yιζε πολύ μεγαλύτερη οιροφορμΙ\

οτι-ιμο,·ικό κίνη ιρο όμως ή ιαν νο κa ·

νω θεωρίες δεν είναι οωο ιή•. Όλες οι α\'Ιιρρήοεις για τις ιρεις θεωρίες JΙου

απ' ό,τι το πραyμιιωιό σύοιcημο rι1·

θοριοιεl ιιοΗι αιιΔ ιις rιcφ(ιιι(ιηι) φεις

(:ιχη ν ι; κ φρnο u: ι ι ιρι ν

Σελήγη. Κανέν ας όμως δεΥ κωάφερε

θεωρίες ήια\' ορθή.

μη

\ ' 0 βρει ένα μΙL'(ΟVΙΟμό ~ΧΗε IJ εν λόγω

Αuη) Ι)Ηιν ιι κατι\οmοη οι1ς αρχές

"I'' αιιόφοοr1 ιιιι Ω\.

ω ειιι ­

Κα ιιί ιη δ1ίιρκεια ιου προ γράμμα ιιις

01

•επιστήμονες της

θεωρίες ήια ν η οωο ι ή.

.

.

Apollo

.

c1JJ() co

.

rφογpη μ -

ιιαρέμεινιι.- ακλόνηιες. ενι:,

με t<ι πάμπολλα νέ<ι δεδομένη. ιιρο ­

Οεωρία γα α ηολλαγεί ιιrιό cηγ r: πι ­

Aρollo ί:νιις ψυχiιιφιις, ο l•ιn

Mitnrff,

οtέθηκn'' κ ω νι".ες. Οι •1:ΠJΙΗΙ\μο,·ι:ς της

πλέον στροφορμή.

οιο Πανεrιιοιήμιο ιοu Ιlίιομηοuργκ.

Σcλήνης•ΗαρέμεΙναν αιιογοητεuμέvοι.

Η θεωρία rης συνοδού δέχcηκε ο­

61αφνε οuν~:χ<:>ς ουνενιεύξεις από

κω η nροέλευοη ιης Σελή\Ο}ς ntιρέμει­

ξιωματικά όtΙ η rη και η Σελήνη σχη ­

τους ..ι:πΙστήμονες της Σcλr\νιις• γ,α νιι

νc ι;να μuσΊή:>ιο.

ματίστΙjκαν μαζί οε κοινί1 ιροχιίι. Η

ιψuοδιομίοει cις φt~χυιιοες ηπ(Jψεις

Σιιι ωόμενιι χρόνΙtΙ ιι χεί μαιψος

Σελήνη, όμως. έχει σύσταση αρκετά

τους γ1α tι)ν προέλευση tΙ)ς Σελήγης.

δεδομέ»ων από τα όpγtινιι που βρίσκο-

18

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995


\

'*:" .. _.....~

f.,- ~\ •

'

-~~ ~, ~~,

'

~.I

.

I

--

f

, Ι'

~

ι • ι

; •

/{

f', I '

7

I

'


ντα,· στη Σελ η,· η κοuοσε. κω ο ρuθ­ μδς α,·άλuσης tω\" σεληγιακών δrιy ­ μάτω,· μει4)\'όταγ συνεχώς. Το

1984

ιγινε ένιι οιινι'δριο yια τ φ- πιιοέλειι­ οιι της Σελήγης ο ιιιν Κόνο. τη νφο ιιιc; Χιιβάης. Οι ορyαγωtέc; ιοu συνεδρίου ανακάλυψαν πως ιιnό ια άιιθρα που

rίχ!t\' υποβληθεί ένας C\'ΙUιιωσιακδς αριθμός τους υπσο ιι'pιζε rηγ αποψη ιιως η Σελή,·η οχημαιίοτηκε υοτrιΧ1 ιιrιcί οιiγκρουση της Γης με ένα άλλο 11λονηuκό σώμα, τουλlιχιο ιον τόσο μεγάλο όσο κιιι ο πλιινήιης Άρης. ~;npόκrιιο για τη θεωρίιι ιη<; yιyn­ nιaiaς ΙJ(JΟΟκpουοηι;.

Η νινaντιαία πρόσκροuσn

'bήως ουχνα συμβαίγει όιαγ ανα­

nτύσσεται μιιι νέο Οεωρία, οι βαοικrς ιοcες rης θαφlιις ιιιc; γιγαντιαίας ιφό­ οκρο ιιαης είχιιν διαιυnωθεί αρχικ(ι rίιc λιινθιισμένa είτε (1\•rιιορκώς. Στα μrοα tης δrκαrtιας ιου

J9i0 α,·anτυ­

χ-(/ηκα,· α'·εξάρτητα δυο ιδCrς που απο­ ιι'λεοαν πρόδρομο της εν λόγω θεω­ ρίιις. Σιο Πλανητικι\ Ειιιστημονικό tγστιτούτο ιΙLΟ Ί'όκσον. στην Αριζόνα, ο

Εν τω μεταξύ, ο ιο Καίμπριτζ ιης

William Haι·lmaιm και ο Ι )on;ιld Da\'is μελετούσαν ουοιημαnκά τη θεω­

Μασοιιχουσέιτης,

ρία tης nλοηιηκήι; ουyκέντρωστιc; και

νιιίξουμε τη στροφορμή ωυ συστήμα­

ιως τηοφοφορμή tου συοιηματοςΓη­

διο11ισrωοα'• rιως όοο αuξαΥόταν ιο μέγεθος τω'' ιι.\α,·ηιικωγ οωμαιω\',

ιος Ι"η-Σε.\ή,•η στην ιδιοπcριστραφη

Σε.\φ'Ι} διά της ιδιοηεριοιροφήι; tης Ι'ης

ιης Γης. ΥποΟέσαμr, λοιιιό''· πως ένα

προέκυπτε μιιι ευρεία κατανομή μryr­

συμπιιyέςσώμα Ιαυtό που ηροκαλει τη

και της κi'-ησης του \'Ι'φ<Ιιι<;. Αργόιι>­ ρα όμως ωιφοφορηΟηκαμι· ιιως οι βαθ.

(k;>ν. όπου ένιι μόνο σώμα είχτ το μr •

σύγκρουση) χιiιιιηοε uιιι Γη εφαmο ­

μίδες πίεσης tul\' ιιερίων είναι πολύ

γολύτερο μέγεθος. κιιι ιο ιιλήΟος των

μενικά στον ιοημr,ρινό tιιc; με ιοχίιιη­

λιγόιcρο αποτελεομιιιικές απ' ό.ιι ει ­

οωμάιωγ αυξα,•ότιιν ε"ιίοω το μέγε­

ιιι ίση με την ιιιχίιιηια διαφυγής.

11

χαμε υιιοθέοει, κω ιιως οι JJαρυτικι'ς

θός ιouc; ι:λαιιωνόων. Οιαν

μεyα ­

μ(ιζο rου nροοκρούοηος οώμιι ιος έ ·

ροπές ιιιιiζοm• καθοριο ιικό ι>όλο, γεyο ·

λύτtρο σώμα αηοκτουσε μάζα ouy-

ιΙρt•ιιr να είΥαι παρόμοια με τη μάζιι

\'δς που ιο είχαμε αy,·οφι·ι

κρίσιμη με της Γης. διαπιστωσαν ότι συγκρούσεις μαζι της θιι μrιέιρεηα''

ιου Άρη ιαυ rή εί,•ιιι η ελάχιστη μ(lζα, διίηι Ο\' το σημείο πριlοκρουσης tίναι

οι ιδέες ιιυτές είχα,· κιι,·rι ιδιαίτερη

σε αέpιο ιο ιφοσχρούον σώμα. Πρό ιει­

πιο κονιά στο κέντρο ι ης Γης. απαιτι·ί­

ενιυπωοη

ναν λοιπόν ιην ιδέα όtι μια μεγίιλη σύγκρουση με ιη Γη θιι μπορούσε νιι

ται μεγαλ inι:ρη μό(ιιl,

ιφ• επιστήμ η ιι.ιν ιι λονιιιι;>ν. Αυτό

Ίlτα" ειιi(Ιης προφανές γιn μας ότι

όμως ήια" πιφιιιιλιι,•ητικό. Όπως διιι­

εξαερώσει μια τφ{ιο ιια ποσότητα πε­

κο ιό ιιι σύγκρουοιι έπρεπε να διι­ μΙουργηθεi ένn ιrρόο ιιο γέφος από

πιοιώοαμε. όtα\' οργανω,•όιαν ω οu­ λιι uρθρο που ιιναφέρο,•ιαν με το,­

γκρουσης κnι ιιιθανώ<; ένα μεγάλο

μείγμα υ.\ικών του πρσοκι)Ουονιος σώματος και ι ης Γης. Ως rκ ιούτου to

έ\'0\' η to\' άλλο ιρόπο οtη,· ιδέα της

μέρος του θα μrιορούσε να ιεθει

or

κέντρο μάζιις ιοιι έπρεπε \'α ιuηίτιιι

γιγα\'tιαίας πρόοκροuοιις. Το συ,iδριο

φοχιά και νιι οvμιιvκνωθεί σχημιιιί­

μr tιιχύιηια μικρότερη ιιπι\ ιην ταχύ­

οιην Κόγα αιιοιέλεσε ένιιν θρία μβο

ζονιας τη Σελήγη, Δε" διέθεταν όμως

ιιιτιι διαφυγής και ίσως μιιφόιερη κοι

ιων ιδεών έγιινιι ιης ύλης. ιιφιιίι οrφ·

κι)ιιωα σαφή μι'θοδο γιιι να εισαγιι ­

αιιό τιιv τροχιακι) ιιιχύτητιι.

I Ιροϋrιο­

ιφιιγματικότητα ι:Ιχr κοινοποιηθεί ιιο­

γουν τ-η στροιρορμή ιου ουστήμcιιος

θtοαμε πως οι βαθμίοcς πiι·οης θα προ­

Γη-Σελήνη σιφ• υπόθεσή tους. διόη

καλούσαν εκτόνωση ιου γeφους. και

λίι μικρό μέρος ΙJΟΟοrικήι; μcλi-ιης ΙJOU αφορούσε τη θεωρία ιης γιyιι\·ηαiας

όια\• η Γη και η u·λήνη βρiοΚΟ\'1(11

υuοΟέσαμε οτι μ· αυτό'' το'' τρόπο

f''"

rφοσκρουσης. 0.\οι επιΟυμουοα,· δια·

κοnά οε κοινή φοχι{ι, ιο μεγαλύτερο

κιιώ<; να βρου'' καποια εηιλλακtJκή

μι'ρος ιης στροιρορμής Γης -Σελήνης

μέρος του \iφους Οο επιταχυ,·ότα'' σr κυκλική κίνηοη, rιιιτpt'nοηας έτσι να

πρέπει να περιλαμβάνειnι σrηγ πειιι ­

ουμπυκνωθι:ί η Σελι'ινη και νιι ιεθεί οε

δι·ν έβλεπα" με ιδιαίτερα κριτικό μά ιι

σ ιροφή της Γης.

φοχ ιι\ \η μίιζα τιις Σελή"ης ισούται

ιις λcιιιομι'ρειες. Έφυγα από ιο οuνέ-

ro

ιρ<~μαως ·το υλικό αυιό θα εκιοξευό ­ ιαν ψηλά πάνω αιιό ω σημεία tης σύ­

20

ΜιlΡτΙΟΙ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

u \Villiam

\Vιιrd κι

ιιφίιιοιι με το έ\'ΙΙ όγδοο τιις μcιζας ιοu

εγώ ανιιζητούσαμε ι',·ιιv φόιιο να

r-

ΆpιJ).

11

Οε<Φηιιη αυτή ερμιiνι:ur ιιυwμά­

Εκεl\-η tη\' εnοχη

OC\' φιιιγότα,· οtι

or όσους ασχολοίJ\•tαν με

''t'διΙΙο O<ll'' Κόνα. υιιιιβλι'ρηκιJ\' πολ ·

λύσιι ΟΌς τρεις κλασικι'ς θεωρίες, και


δριο με ιην rιεnof0ι)Q ΙJ 11~χ; ιο επόμενο

l'r:riδιn της Π(Jt10tψοίωι.>ηt: or υπολογιστή Πjlς σιη•κροιισης δύο upωcoιLia\•η rώv. η οιιοiα σδη ­

βήμα πρέπει \'α είναι η αρι(}μηηκιj προ ­

μ·ι σrο σχημαrισμο rηr. σημrρι\•ής Γης κtιι .Σ:ι!'λψ·ης. Ο λΟ}1Οrς μιrζιl>ν σrόχο~ι·rψοσκρούοvτος οώ­ μαιος cΛ'ω 8 nρος 2. κar η συ,•ο.·ltκή μή(α q·πηη·ιί .ιi)'Q rη οημερ,vιj σm·ο.\ιλ.-ή μιiζfl Jης και

οομοίωοη τ ης γιγαντιαίας πρόσκρου ­

σης μfοω ιrrιερυ ιιολοyιοτών.

~:.lιj,ιης. Η iψ)i.U!ι} σψ()ψΟρμή ιοούJοι μc

Υδροδυναμική ομαλών

!Jtlύ)'K{X)ΙJ(HJ νrι t·ι'ι,r.t μι: tηι• ιιιχ~ίrηω διαφυι•ιΊς. 'Ε.Urιμμα μά(ας και ορμής ιmάp_rcr .\όγΜ rωv μJιφώ'' Φ<rυομάιω'' ιτου δrιtφt'tί}·ιιιη· ttfrιi ω uιiοιημa. Κιiθt· οι~μα Ο\'tJΙψοοωιιrύ ιηκr αιtό 5.QQQ n..ιιιJ.~rπιψ.J,·cιι υμιL·\U tJωμιι ιι'διιι. Εξαιιiας ιης Οιαφορriς στη μιi(n. τα ηf,>μnn'δJlι του στό.ιου ι:ί,·αι JJερίuου δύο r.poptς μη·a.lιirr.pά ttπt; ω ιινrί­

σωματιδίων

Μιn προοομοίωοη ιη<; γιyανrιαία<:; nρόοκροuοη<; (ή οι1οιαοδήι1ο(ε άλλ ης σΙ}]Ηl\'1Ι ΚJ}ς έκρηξ ης) απαιτεί έναν

υπολογιστικό κώδικα που να χεφίζε­ ωι ιιροβλlwαω uδροδυνιιμικιίς -ιην κίνι}ΟΙ1 ρευστών που υπόκεινται σε εξωτερικές δυνάμεις. όπως οι βαθμίδες β<φύιηως και πίεσι}ς. Ο nαροδοοιακός φόιιοc; για να γί1·ει ένας ιέιοιοc; υπο ­

λογισμός εί1•αι να διαιρεθεί ο χι::ιρος ο'

C\'(1

διακριτό ΟύΙ•ΟλΟ διnμεριομι\ιι,)Ι'

( μερικές φορές ονομάζεται δίκτυοΙ κω να ακολουθηθεί η κiΙ'Ι}ΟΙJ rou ρεuοιού μέσα από το δiκτuο σαν

Yn ι.:πεν&ργοι'ι ..

σοΥ nι\vω wυ ιιι εξωu:ρmές δυνάμεις. Σε μια γιγαν ιιαία 11ρόοκρου ο η οι πιέ­

~.lιj\'1] r,'{5

1.43..1 rης σημr.pι νής στροφφμής ι ου ΟυQ ι'ήμlJιος Γη­

10' kg 111J :>ι"ι·ι Η Ο'ύ\"ιψού01J ξ.tKJ\'1]Ul' μ~ μηlir,·ική cn.\"1ίτητπ στο rίm:φο. έιοι G'>O ιΙ' 1

mωχιι ωιι ιψόι>κpc> ιn>\"f-όCΟi~μαrιχ:. οπόrc pπoρrι'rt \'"11 παριuωλουΟι~tιt ιην ι<Jιορi·a rους.

Ot

rφωrοnλα\•ι}rrς f_yoυ\· πvpηη·ς rιπδοiδφο κωπtριβιiΗοvrω από πεrρωμα pι: λό)'Ο μaζii.>V κο· \'ιtί ο· t.κrΛ·ον που δ'ίγrrαι από ι-ις φυσικr.ς πφιι·κιικιίιηιη~ rω\· ο r-OJ,\'tiω\' nου ενυπάρχουν. OJ iψχικf.ς ι·ωψω'ι:ιακtς θtμμοκραtΙirς και rω\' δυο σιιyκpοιιΠμrη.η' ιιωμάtι.>,· fkωpή()ηιωv fotς μt

'2.000 Κ.

Ν Otpμoκptιoin ωιrιjι:ι\·ω uρχι· ιιί υψι).lr} )ΙJΩ ' '0 avrrnpoσtt)ntύσrι pra.1rσrικtί rηv

ιοιοpία μιας ού}•κpουοιις ΙJ()Ιι t>δηj"tι' αι: οιιγΙCt\fφωύη κω ιφκnά .'(αμη.!ή )'ta ''α rμnοδiσει rηv rl.αfρωοη rq:; ύ,lης ωι6 ιηv ι·ιιιφ<i"·ι·ια. Mεai rη σiι}'Κ{'()ΙΙ(1Ι'b όnοrι: εμφο~·ι'ζrιω ιlο.\ύ θcρμό uέ ­ f(Κίψα or μιπ πrpιο_yή rης t:nιφδ,τιας. to ,-ι:q.ιΟς ιου rwφώμοr<w;σχημ(tcίζtι }Jltι υφκ.,-ιιιruultιιμ6· aφωρ<.r vιιικ.ι από το οωμα.

~'rn n,χήμιι ιιr .\'ΡfΡψΟlιc>ιtίiηιιιtριοριομf\'fΚ tψι0μιk .'(fJMpόr<•>V: )'Ι(Ι ro nt.:rpωμo. η μΙΙiρόU: ­ pηεοωrrpικrj rWp)·r.ιιι (ή θηιμιιιψrιοίtι ι ιιι ιηκοvί(εmι μι:βαΟύ κόκκινο · κn&'χ; nιι~ιin·rar η ωω­

~εριλJj ι.Ψψ}1tια. ια_.uχ~μcτr:α a.ι~d(nιr\' πr Π\'ωχrό κι;κχιι·ο ι) ροζ. κ1φιvο και ,\rυκό. /Ίρώrll απrι ~ κογ/ζu,•rω ιιι υηpι-ι'ο ωu πrιρι;)μαfος κcιr κ{lrtiπn· tn σημεία rου ωδήρ(Jυ, iιοι ώσιε vιr uπι:prι'θtvrω lώ\ ' υιιμtiGΗ' ωυ πrφώμαως. ΓιiΙ ιΊ' σiδrpn η χπμη.~6rφη rοω ιιpική tvέργεια \'QΙ σκούρα μπλι·. κω κιιθr,'κ; ιιυξιi\Ψιιu

ti-

ra ,γρωμαια αλλάζουvοc Q\'οιχτ<ί μΙL·\~, ακοιίρο ιιιχίοινο

χω ιo'QI.\'T6 ιψάοη•ο. J-;\'il )'t:vικό ψ(ιη·όμεvο ιψος ιιαραιψφηrΛ·llι όrr όπου ησιί)'κpοvαηιιφή­ ,·ι·ι ο rφ· tιιιφό ~·tι~ ιιtrρ(ο)μα ιιψιJ.·l ιjς' rοωη:pΙκι]<; ι;,riργειος, rμφαvίζοvιαι λι-υκά Oft)μarι'/iιn ιιnιι rιnομnιφύνο,rrω ωιιS rη'' ιιεptΟ.\'ή. λυrιi ri\·ω rn οωμnn'διfr vtφους ιου ιιεrρώμαιος. ια onofa

σεις είναι τό<>ο υψηλές κηι η εν(:ργεια • oxιwnn'(nυ\· τηι· rκrrraμι:\'η ιι ι-μΟΟφω/)<) γύρω οπό ro <J(ίσnΊ)Jil. Το Ουt'ο,ιικό .wcη:ικό διnστημn από rφ• llf)()Hη ώς cιιν ιελεvταίn rικό\•n ri\tω πrρiποιι 2,5 που απελευθερώνετα ι ι.όοο μεγάλη ημι:ρι:ς. t Πρ6χtιιαt \'Ια oηprpιvi-ς }7]1\.l'C ημΡprς ~τφ· 11/ΧΙΓΡ«ΗΚόιηιι:ι η rιερισrροφrj rης 11'/(; ώστε όλο το υλικό ουμnεριφέρειαι οα1• ρευστό. Ο,τι υλικό ρέι:ι εκrος ιο11 δι ­ κ ιύοιr χ(ί νt;τω.

Ωστόσο. ιο ιελευ ιαiα χpό1·ια έχει

ι]rαν πο.\ ύ ιιιχύcφη υυιv uV'ιίσιοι.vrJ σιη'μιj n}ς .~ημJnιιp)'ίος.ι Αμέόf.ο>ς μηιi

rtJ Ού }'Κ{Χ>t.ιση η

μiσηnπΟΟιnοη nnn ιη rηι:ίηιι μ6\·ύ .lιι:tς γιjη•rς ακτi,-('( . στη σιι,·i..\1"ια η Σι:ιlήvη μι·ιακη•ι1Qη­

lir ο rrιδrακιi ιπη Qtl}Jηιo·ή ι ης ιιιιύσιιιοη κω ταυrΟ.\ΡΟ\'0 η πrριστpοφή rης rης εnιβμιrδύ"·Qηκt.

αvaπτυχθι:ί μιn δωφορειική θεώρηση

ομα.\οποιημrΥων ι σωμοιιδiων. Στι1

γιο την nρι!;μηιική ιιδrιοδuνnμικι). η

θε~:ιρηση αυτi}το υλικό διnχωρiζt ιαι σε

ιτιου ν <ο ένα ω iιλλο. Η κ α tανομή nυκνόtητας σ' ένcι σωμιιtiδιο μοιιlζει

λεγόμενιJ υδροδυναμική ομπλ<;Ιν ι ή

οφ(1ψJκό ο(.ι.>μtηiδι tι ιιου εωκcιλύ -

σχηματικό με μιu κομ11άνο -οχεδόν

QUANTUM I ΑΡΘΡΟ

21


~ninεδη κοντό στο κένφο και ραγδαία

νειας του ηλανηιικού σώματος. ένα

τερη από

φθiνουσα σε ορισμένη απόσταση από

νεφος λευκών οωμαιιδίων υψω,·όιο,·

γήινων ακιlνων. Η περιγραφή αυτή

uι κeνφο. Καθώς μeταβιiλλεUll η nu-

πάνω από την εmφά\·εια και eξοιιλω­

κνόιηιο ιου υλικού, ο βαθμός eπι­

κιL\υψης ιων σωμαηδiω'' αλλάζει

νοταΥ ώστε να περιβάλλει το π.\ανη­ tικό οωμα. Αχόμη μεyαλύτφοι εmμή­

ισχύει σχεδόν γιο κάθε γιγανιιαία πρόσκρουση που ιιεριλαμβάνει έ,·α

ανιιοιοίχως, αλλο η συλλογή των οω­

κεις οχημα ιιομοi του προσκρούοντος

στο" ιο ενα δι' κ α ιο της μάζας της Γης.

μο ιιδiων διαττpεί κατά καλή nροσέγ­

σώματος περιβάλλονταν από νέφος

Μια υιιοψηφια \,Ο το σχηματισμό

γιο η ο~'t'δόν -ειriπεδη· nυκ'·ότητο. Στη

λευκώ'' οωμοτιδίων μετά τη σύ ­

της Σcλήνιις γιγι"'τιοiο πρόσκρουση

θεώρηση ιωιη τα iδιο τα οωμιιriδια κι­

γκρουση.

πρέπει νο διαθέτει ειιίσης τ<ιυλάχισιον

νούη~ιι υπό τη'' εniδροση των εξωu:­ ρικών δuνίιμεων.

~!ρ~~~~ρακιηρισtικό απο­

~;nειδή τα οωμα~ίδια του ηρο­ σκρούον~ οώμαιος απεικο,>iστηκαν

με μικρόΊερες οκ~ίvες, μπορούσε κα ­ νείς νcι &ι όιι ιιι rιrρισσότeρα οπό το οωμαιίδια ι κιιι η πλειονότητα της μά ­

2.000

Κ οε απόσταση είκοσι

nροοπίn tO\' σώμα μr μάζα τουλό)(l­

τη οημερινιi ιιμιi ιης οφοφορμής του συοτιiμαιος Γη-Σrλ ιiνη, γεγονός που θέ~ει ιιεριοριομοiις στο προσκρούον σώμα. Ι Ι μ όζο ιοιι ιιptπrι "α ισούται τουλάχιστον με ιο 14<; της μα<ας της

ι.έλεομα σε όλες τις καινοiφγtες προ­

ζας! οτο λευκό νέφος rφοέρχονταν

Γης. ώοι.ε η Γη να δεομrιiσει ιον πυ­

οομοιώοεις. Στη σύγκρουση, ιο llj)Q-

ιψχικά (tnό ιο rιροοκρούογ σώμα. Ιlρο­

ρήνα σιδήρου του. και να μην πιιρ<ιμεί­

οκρούον ο~>μα \που είναι αυtό με τη

φtl\•ώς. όταν η nλανηιικη ι·πιφάνεια

νει πολύς σιδηροc: στη Σελήνη_ Εκτός

μικρότερη μάζα ι παραμορφώνεται και

θερμα'>(Ιηιιε από ιο nέφωμα του προ ­

από αυ<όν τον περιορισμό, όμως, από

επιμηκυνεται. Το μεγιιλυιερο μέρος

οκρούονιος οώμοιος που έπεσε πάνω ιης. ι<ι οωμοtiδια του ιφοοκρούο,·ιοc:

τι~ οημcρl\·t~ rιροοομοιώσεις φαίνεται ιιως οιιοιιιδήποιε οnόκλιοη στη οχέοη

σώματος θα είχαν τη,· tόοη να εί,•αι

μάζας μεταξύ Πρωτογι'ις και προσπi­

nφιοχι'ι<: ιου, μένει πάνω στη'" Πρω­

πάνω από το οωμοτiδιο ιης Πρωτογής,

wγή, κιιι ο σiδηροc: ttσxφi μέσο από

και

ητο''tος σωμαιος μπορεί να δημιουρ­ γήσει ένα πολλά υιιοσχόμενο σύνολο

wν ιιετρώδη μανδύα της Πρωwγής. Το

εξιιιμίζονιαν. Το λευκό νι'φος ήταν

συνθηκών.

πειpώδες ~μήμο του προοκρούον~ος

πάΥτοtε πυκνότερο κοντά οιη'' πλn­

ο~ιμιιι.οι; ιινίι(ειω πολύ μακριά αιιό ιο

γητική εruφάνειι:ι και aραίωνε κnθι;-,ς

Ι Ιώς όμως εξελίσσονται όλα αιιιά ιιι οενίφιο κιιθι~ς nrρνάει ο χρόνος; Ο

σημείο πρόσκρουσι)C., και έχει ιην wοιι νιι ~rθr ιιιι οε ψοχιό γύρω από την

μεyίιλωνε ιι 111 ιόοωο ή του από αυτή, όπως θα ncρίμεγr. κιινεiς για μια ατμό ­

Ιlpωτογιi με τη μορφή ιινεξάρτητων

σφοιρcι. Το φιιινιlμrνο ιιιηό. βεβαίως,

αυτά δεν ειιιφέιιrι ι ην ι11φιιγωyή και δι{ιδοοη ιικ ιινCJ/\ολίας, Ο λόγος ,,α την

οωματιοίων ικαι μερικές φφές με τη

αrιείχι· ιιολύ ιιnό rκείνο που είχαμε

ιιαρόλcιψη αυτή ει ναι ότι ο χρόνος που

μορφη ομιινων οι.ιμαιιδiωνΙ.

παροιιy~ήσcι

ιψι>ηγούμενους υπο ­

οεριλαμβάνeιαι οιις προσομοιώσει~ εί ­

Ωο ιόοο. ο σίδηρος ιου πυρήνα του

λογισμούς μας. διόιι μπορούσαμε να

ναι μό,·ο μερικές ώρες ή μια -δυο μέ ­

ιιροοκρουοηος σώμα ιοc: ορχικά συ ­

ιιροοομοιώοουμr κατάλληλα ΤΙ)\' ε ­

ρες. Στην πραγματικότητα τα σε,•άρια

γκεντρωνeιαι ο' έναν μικρό σχετικό

ξαέρωοη ιων σωματιδίων και το σχη­

uρέΙJrι ,.α οδηγούν στη'' ψύξη της

οyκο στη μια ιιλευρα του πυρήνα της

μαιιομό ατμόσφαιρας.

ατμόοφαιρας και στη δημιουργία σvσ­

ιου. ιο οrιοιο σuμnεριλαμβόνει ουσια­ στικά όλο τον σίδηρο της κεντρικής

), ' αυτό θα

oc

ήταν ιο ιιρώιιι που θα

υπολογισ ιικός κι:ιδικας στα μοντέλα

Πρωιογής, οχημαιίζοντας μια περι ­

Οι τελικές κο ιο.ο ιόοrις της !Ίρωτο­

σωματώσεων δύοιηκu.ιν υλικών οε

οφrφόμrνη ρ(ιβδο σιδψου σιο εσωτε­

yης που ακολουθούσαν όλες ης συ­

ορκtιο μrytιλrς ιιnοστοσεις μέσα στην

ρικό ιι)C. Πρωτογής.

11 εν .\όyω ράβδος

γκρούοcις ήιnν rνιυπωσιακά όμοιες.

ατμόσφαιρα.

μιιορri ''Ο ησκήοει ιοχυρή ponή στα

Για το λόγο ου ιό rίνηι rπαρκές να δεί­

Το μο,•ο οι'''ίψιο ιιου Οο μιιοροίισε

ομι"ινη ιων σωμαηδίων της Πρωιογης ιιοιι ιιιιrριπτaνται. ιδιαίιερ<ι ο' eκeiνo

ξουμε ια ωιοιrλι'ομιιτιι μιης και μό,·ο

νιι χιιιχικ ιφισιεί ισχυρό υπό αυτές ιις

ιιερiπιωοης. Ειιι'λεξιι να δείξω εκείνα

ουνi!ήκες είνοι εκείνο ο το onoio η ιιε­

ιο ιμήμο tο11ς ιιοιι υ·λικιi τίθεται σε

για ια οιωίιι ο λόγος της μάζας ιι]ς

ριοσότερη ύλι]11)ς Σελήνης Πf)()(:pχετιΙΙ

φοχιι\.

Πρωιογής ιιιχχ; tι] μιίζο

ιιπό το φήμα του rιροοκροt'ιοντος σώ­

Ι'ιο το rιειρωμιι, η εσωτερική ενέρ­ γεια ιων οωμα ιιδίων απεικονίζεται με

οv ιος σώματος είναι

cou 8 : 2.

ιιροοκροt'ι­

ματος που λόγω ροrιι'ις ιίθειαι σε τρο­ χιά μεγάλιις ακιίνιις γύι>ω από τη Ι'η.

τη χρήση tεοοάρων διαφορεπκών χρωματων· ιο ίδιο ισχύει και γιο τον

Σχόλια

σίδηρο. Έχω διαιιισιώσει πως αυτό εί­

\"Ουρyια κοι αρκcια απλή rικόγα των

ηιι πολυ πτρισσόιερο χρήσφο από τα ιιολλιι χρώμοια σr ψευδοσuνεχή κα­

συ,τrιειc~'' μιας γιγα,• τιο/ας rιρό­

Ο σχημαησμός της Σcληνης λόγω

οκραυοης. Όποτε η επιφά\'εια rης

μετοουγκρουσης μιας γιγανιιαίας

ιονομή. Ο σιδφος οπεικο,~ζεtαι πά,•ω

Πρωιογης υφισταιοι βιαια ου;'Κροuστι,

πράακρουοιις

ιιπο το nετρωμο γtα νn φονει η ουμnε­

ΙΙορογrτnι tνn πολύ θερμό μάγμα. Αnό

Στψ εργασία μας επικεντρωθήκαμε

ριφορο ιου. Το λrυκό χρηιnμοποιείται

ιη ~ρμη rπιφάΥειn εξοερώΥεται ιο

οιn εσωτερικα φαινόμενα μιας γι­

\"α t1ς μεγαλ ύ ιερcς rσωtl)j>ικές ενtρ ­

πέτρωμα κιιι οχημαrίζtι μια ευρύtl)j>η

γαντιοίας πρόσκρουσης ι1όνω σιην

yειες των σωματιδίω'' ιου nεφώματος.

Πρωιογή. · εχω την εντύπωση, όμως.

Ήι<ιν πολύ rνιυrιωοιακό ''α ποροτηρ­

θερμή ιιιμόσφοφα γύρω οπό την Πρω­ ιογή. 11 μrnη Οφμοκρασiα είναι μcγα­

cίς στιιν Ο()ό,•η ό ιι, όπου μια σύγκρου ­

λύ ι.ερη ιιιιό

ση είχε Οcρμόγει ιο ιιλικό ιης εrιιφό-

ιιερίιιοu γήl\•ων ακτίνων, και μεγολύ -

22

ΜΑΡτΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

λ1ερικοi γεωχημικοί εξέφρασαν tην

Κιιιαλήγουμε λοιπόν σε μια και­

4.000 Ι<

σε απόσ rοοη ο κ ι~>

uγωνια τους στη σκέψη όιι ιιρέηει να

αnοδεχθαυν tνα τέτοιο σενάριο.

ι1αραμtνr.ι

υπόθεση.

uως η κοιuνόηση ιιιςεξέλιξης ιου εξω­ ιερι κού nεριβόλλοντος αποτελεί ιηv

11ι0 ενδιιιφέρουσο πρόκλφη.

ιtJ


ΠΩΣ ΛΥΝΕΤΑΙ;

, και τα μαθηματ

Προκλήσεις στη Μαθηματικά

,

μών ιιου οημειώνον ιω οε αv cές.

yiΥει αυτiι, αν η ωιόοτασιι -4Β=

ΙS. J:!cι·loν ι

και η <ψχική ιαχύιηια wυ αυτοκl\·ή­

του έχει μέφο υ

= 10

375 ιη

nι lsec; Ποια εί­

Μ26

Μ30

Τομιj παραf3ολώv. Δύο διαφορειικίι

'Γι δι-1• ιφόοι:(ε ο Νnπολέω,•.ι \<ιJ Κιι ­

ν ιι\ο ι ε ο ιις iδιες ερωτιiσεις yια ι η,-

δευτεροβάθμια πολυώνυμο ((.yl κnι

τιιοΚΡ.ιι(ι(οnμr. τρία ισόπλευρο τρίyω ­

πφιπt<>χιη κατα τη'' οποια ο τερμιιτι-

gΙ.<). με μο,•αδιαίο σuντελεστιj μεγι­

ν<Ι ΑΒCι, ΒCΛ 1 κω C!IB 1 εξωτερικό

()j.Ιόc; \;"'''CU οιο οιμίο ι; με

uτοβόθμιοιι όρου, ικανοιιοιούν τιιν

ισότητα

=

,.ιιι η ιροχιό του αυτοκινήτου: Λπα­

ενός τυχαίου τριγι~νΟΙΙ

C,. Α, και

Ονομά­

!IBC.

Βι ro μέσο ιwν eιιθίι­

.

tA.

Κοι·οtkον, ι,;,

.

Wv'= 200m.

Yunosov l

11,1 Ι + fO Ο) + f\1001 ,ιιιl ) + g (lO) + g\1001. Βρείτε όλες τις λύσεις

ζοιιμε

Clf' t!.iOωolf'; ((Χ)= g(χ).

ον ι ίσιοι χα. Αποδείξτε ότι οι ευθείες

Δορυφόρος rοσ Ήλιου. Υπολογίστε

!Α. Ρeι·Ιίη)

ΛΛ,. ΒΒ, διέρχοηιιι από w ίδιο σημείο ή εί,•ω πcιράλλιιλες. (β} Απο­

ιην ελάχιστιι περίοδο περιφοράς ενός

yραμμων τμημάτων Α 1Β,. Β, C,, CιΑ ,,

KQI cc2

Φ27

δείξιε την ίδια πρόταση αηικαθιστώ­

διαο ι ημοιιλοίου yύρω αnιi wν ·Ηλιο με δεδομένο ότι ιι φαινόμενη διόμε ιρος

Βαθμολογία ασφαλείας. Οκτώ ομάδες

ντας ω ιο<'>ιιλι·uρα ιρίyω,·α μ& οηοΗ.ι ­

oou ΉλΙου

μnάσχετ αγωνίζοηαι yια ,.α προκρι ­

nw. (Μ.

θούν στΙJ" tελικιi ιεφάδα. ιΚάθε ζευ­

δήποεc όμοια ισοσκελή τρίγωνα .4BC1, RCA,. CAB,. με βάσεις ΛΒ, BC και (,'Α

γάρι ομόδω\' αγωνίζεται μία μόνο φο­

(Ν. Sedι·akian,

Μ27

ρά: ο νιιuιτής παίρνει δύο βαθμούς και

G<~νι·i\ον)

Φ28 Σ' έναν μαιφn•ιS πλnvή(η. Η επιφάνεια

Φυσική

ο η·rcημένος κανέγaν, eνώ στι1ν ιοοnα­ λiα οι δύο ομάδες κερδίζουν από έναν

S. Tk<1chovJ

από τι] rη είναι α= 9.3 · 10 "

ενός ηλω-ήιη χωρίς ζωή είναι καλυμ­ μένη με π<ιχίι οφώμα rιαγωμένοu αν ­

βαθμό.) Ποια είναι η ελάχιστη βαθμο­

Φ26

θρακικού οξέος. Προιεfνεοοι ότι μηο ­

λογiιι 11ου εξασφαλίζει ιιJ'' πρόκριση

.4.ιιισκίνηι.οοε πιίγο. Λόγω ιοu μικρού

ρεi να δημιουργηθεί ατμόσφοιρn

στην τετράδα: ιS. Khodjiycν)

ο11ν ιελεστι} τριβίις. ένα αυτοκίνητο

αυτόν

δεν μπορεί να κινιιΟεί οε δρόμο κ α ­

t\11 cιrιό καθαρό οξυγόνο μέσω μιας διι1δικιισinς διάοrιαοης τ.ου ανθρακι­

Μ28

λυμμένο με ιιίιγο με rηΗόχυ,·οιι

Υποσύvο,\α μαφιό(ωv. Ο κοΟένας οπό

να anοτελεί­

αν ο ρυθ­

μός διόσπιισ"' είναι ιο• ιnolc ανά δευ­ 3ί5m

μπορούμε να επιλέξουμε ένα άπειρο uιιοούνολο κακοnοιών οnό τους ο­ ονήκει σε αutό σύνολο.

nou

I Ιόσος χρόνος θα απαιτηθεί

Α ~•--»'τ

διώκει κάποιον άλλο. Αnοδει'ξτε ότι

ΙΙΟίοuς ουδείς καταδιώκει κάποιον που

ιιλιινήιη

κού οξέος οι: όνθριικ<ι κc11 οξυγόνο.

v

ένα άπειρο σύνολο Κ(1Κοnοιών κοτιι ­

wv

oc

ι:

200 m ~ Σχήμα

IJ.__,,

τερόλεπτο, και η πiεο η rιου ιιρf.rιει να

εmτcυχθεi εiνοι Ρ =

0.2 atm;

Θεωρή­

σεc ότι η θερμοκρασία κοντ(ι στην εru ·

φάνεια του πλανήτη είναι Τ =

1

200 Κ,

= 0,5 ιη I

και ο ' αυτή τη θφμσκρ<ισiα η εξόψι ­ ση του ανθροκικού οξέος μπορεί να

Αριθμοί γύρω από δεκάγωνα. Γράφου­

:sec' . Σiι μφων<Ι με ιοιι<; κανονισμούς ενός διαγωνισμού. to αυwκlνητο πρr·

αγΥοηθεί. Η μάζα του πλcινήιη είναι Μ = 7,5 · Η)~' kg (σχεδόν ίση με ιη μάζα

με έναν θετικό ακέραιο σε καθεμιά από

πει νιι π(ιι·ι όοο ιο διιναtόν συντομό­

τιις ΣελήVΙf';} και ηακιίνα του ι·=

ιις εiκοοι κορυφές δύο ΚΠ\'ΟVJκών δε­

knι. ιD. Mogilevt-;cν)

καyώνω'· έtσι ώστε το άθροισμα των

τερο <Ιπό r.o σημείο Α ο ι.ο σημείο Β. που βρiσκεται σε κάθειη διεύθυνση ως

αριθμών γύρω από κάθε δεκάγωνο να

προς την nρχικ ι'1 αιχύιητα τοΙJ αυtο­

είναι 99. Αποδcίξtε ότι είνοι δυνατό νο cωλέξοuμε ένα πλήΟος διαδοχικ<;>ν

κινήι:οιι ιΣχι\μα Η Ποιος είναι ο ελά­

Φ29 I Ιλ αίσιο rtt μαyvιμικό nεδίο. Πλαίσιο

χιστος οιιαι ιούμενος χρόνος yιn να

σε οχήμα Π με ίσες πλευρές από λε ­

ιV. t.:fnaι·o,•sky ι

Μ29

κορυφ6>ν οε κ(ιθε δεκάγωνο !ίσως μία

κορυφή, nλλά όχι όλες Ι έτσι ,;,.,ΙC να εί,·αΙ iοα ro δύο αΟροίσματα των αp1θ-

που να υπερβ<Ιiνcι ιην ιιμή y

Ι. ΓιιιιJ ιιν(Jφφουμt ων Ναrιο.\tοντα: Διn ·

β(ιοτr nι fΗ'.\lδ<ι !') 1 ο το ti'UX<Κ; ~οtι·μβρίου Οκι~.~ιου 1994 ιοv (t>ιltrJJruω.

1.750

πτό σύρμιι κρέμεrοι ελεύθερο α πι\ Η συvέ_γεια στη σελ.

QUANTUM I ΠΩΣ ΛΥΝΕτΑΙ:

60 "'

23


,...-

.,.,.......-

. · '' ( ι : ι' C l


,

το σχολικό λ

ύβες

ιο και οι

Μια εφαρμογή του θεωρήματος εγκλεισμού-αποκλεισμού

Thomas

Ρ.

Dence

Σ ΞΕΚΙ:\'ΉΣΟV~Η: )Γ Ε~ Α ΑΡΚΕ­

Μπορούμε Υα ιις κοιιιyράψοuμc ση­

τά γνωοιό πρόβλημα. Ακόμη

μειώΥΟ\'τας ιην κατεύθυνση στφ·

και "'' ιο έχετε ήδη οuγαηη­

οποία σφίβειt σε κοΟt διασιαύρωση

οει ιιξιζει ,-α το εnαναΜιβουμr.

ιιιεριλομβανοντας και τη διnοταυρω­

Ας υποθέσουμε όιι ζειιf σιη Μι­ κροιιολη. Η ιιό.\η έχει δύο δρόμους με

ση στο Α 1. Οι τρεις δυνατές διαδρο ­

Α

διεύΟυνοη Ανατολή - Δύση κιιι ψι·ις που ακολοιιθούν ιιι διεύθυνσιι Βορ­

ρό -Νόιου. ~το Σχήμα 1 βλέπετε έναν χίιρι η ι ης Μικρόnολης. Φυοικιί, μιιο­

Β

I

μές είναι

Διαδρομή

1:

βόρεια. α να ιολικά,

2:

ανοιολικιί, βόρειο,

ιινα ιολικιί Δωδιιομή

Α

Σχήμα

4

διιΙJκολότερη. Ορώ ια ηρώια, και t·

ανατολικά

αναιολικiι. αναιολ ι ­

nειδή η Μεοόιιολη είναι μεγαλύτερη από τη Μικρόπολη, ας αρλ;σουμε να

φεύγοu" από αutή\', Εμεις ηα\'Ιως

κά. βόρεια. Πριν συνεχίοε ιι· ,.α διαβάlετε

t\•διαφερόμιιο ιε μό,·ο yια τους δρό •

ιφοοπαθηστε να λύοrιr ιις επόμε,·cς

αιιό ιο ι\ σιο Β αηί να περnαταμε.

μους ιου Σχήματος Ι. επειδη α υιούς

ΟΟΚηΟtις.

Και &ύτερον. ας γεηκεύσουμε την

ρεί νιι ιιπάρχουv κιιι άλλοι δρόμοι

που να οδηγούν προς την πόλη ή να

χpηΟιμοποιειtε yια να πιιιε οχολε·ίο.

ι\

'----''----'1

Σχήμα

Διαδρομή

3:

ιιαίιη·οuμε το λεωφορείο για ,.α πάμε

Άσκηση 1. Βρειτc το πλήθος των

προηyούμεγη εηιχειρηματολοyια μας

συντομόιερων δυναιων διαδρομών

κω ιις οιαματήοουμε να αιιαριθμού­

για ιn Σχήματα

με διιιδ(Jομές σtΙJ" τύχη.

2

και

3.

εύκολα δι αnιο 101\'Ουμε ότ ι στη

R

Μεσόnολη

I ! I (

1

•1

μικρόιερη δuγατη διιι ­

δρ<>μή αποτελείται αηό επτά ακριβώς

ιμήμαιο δρόμων και ότι το λεωφο­ ρείο πρέπει να ο ιρiψει τρεις φορίς

Ζειιε στο σημείο Α και ακο.\ου&ι­

,. ι<ις

καποιους δρόμους πρέπει

Σχήμα

2

οΥαιολικα και τέσσερις ψορeς βι\ρι'ια. Μnορούμr rιιομέγως να απαριθμη·

, ..,

φιιίοcτε στο σχολrισ που βρίοκr ι ω οιu Β. Το ερώτημα είναι πόσες δι­

I

Β

χpηοιμοποιήσεtε. Στην πιJογμα τικό­

~

άιιειρο πλήθος διαφι>j>ετικώv διαδρο-

'8

μών στρεφόμενοι απλώς γύρω από

~

C\'O

~;,

τιιια rίνιι ι δυνατό να ακολουΟήοειι:

σχολείο με βcιοη ιη σειρό αυτών ιων στροφών. Αιηό άημαiνει ότι εηιλέ •

αφορr ιικές διαδρομές μπορείτε νιι

!J'

σουμε ιις διl\•ιι ιrς διαδρομές προς ιο

I Α

Σχήμα

γουμε tις φεις απίι αυτές ανcιιολι­ κές, ενώ οι υπόλοιπες τέσσερις θα είναι βορινές. ΥrιιίρχCJ όμως έΥας ιύ­

3

nος για ιέιοιιι προβλήμιιια. Η αιιό­ ηηση tl\'oι ιιnλώς ο διω,·uμικός

ιrιράγω,·ο όσες φορές θι!λειε.

Ας υnοθέοοuμr ι~ιρο όιι rξrιά­

-?. Ωστόσο. &ν θα εξετάσουμε αuιές ιις il.'. ~ επα,·nλαμβα,·όμε\·ες διnδρομt'ς yιιι-

(ουμε μια μεyολυu:ριι πόλη, ι η λ!ε ­ σόπο.\η. Ο χάριης της πορουαιοζttαι

σu,·ιιλrοτης α ι. 3ι =α)= 3.5. <Προ­

~

ιi θέλουμε ένα'' πcρίπατο το δυ,·ιι -

στο ~χήμα

οnιιθησιr \'Ο βρrιιε και τις

ιόν συντομότερο.

ιιιι.\ ι: πόσrς Ι ι ο δΗνrι ιό\' συ\·τομότε­ ρrς f διαδρομές ΙJ ιιc'φχοu,· από το λ

~

;'; ~

Στη'' πραyματικόι.ηιη. υιιιίρχοΙΙ'' ψrι~ μι\ ν ο ο ιιοδε κ τές διαδρο μ 1·ς.

4. 11

rρωι ηοη rίνnι και

έως το Β: Εδώ η ιιι·ρίιιι~~ιιι ciνrιι λίγο

35

δυνα­

ιότητrς ~ιναι μια κιιλη εξάσκηση γιο ηι διατφηθείιε ot φόρμο! Ι Αιικι)ση 2. :--Jα ουναγάyrιε μ ι ο

OUANTUII I ΑΡθΡΟ

25


σχέση για ιο ιιλήθος ιων διαδρομι;,_.

ρουμε οrι οι διαδρομι'ς rιno ιο Α έως

tλάχιοιου μήκους προς ιο σχολείο σε μια πόλη μc nλαιος m και μήκος n

ιο Β a\·ήκου\' σε ιέσσερις ξεχωριστές

κοιηyορίtι;. Διαδρομες που

rιερ­

\'Ου'· οιιό καμια λακκοίιβο. διαδρομέ<:

ιrφοyω,·ιι .

110υ πcρ\·ου\' μό1•0 αrιι) ιη\· πρώτη.

na~.~~~υ~ r τώρα μια άλλη πr-

αυτές που rιrp,·οιιν μόνο ιιπο τη δε υ­

51.

δυο ι nράγμα nou μnopcι να συμβεί

ΕΙ\·αι μια ιιόλη διιιστόοεων 6 ' ;{,δη ­ λοδι't έχrι ιιλίιιος 6 τετρόyωνο και

σιο Σχιwα 8β αλλιi οχι οιο Sο ι. Κιι­ θώς το λrωφορrfο μrις ξι·κι γό το τα­

μήκος

χιφοκτηρισιικό ι ης ri,·ω

ξίδι τοv σε ου ιι)ν ιην ιιιο nt·ρi πλοκη

όιι υιι(ιρχt ι μια μεγίιλιι λιικκούβα οιιι μ!·οη ι·νός δρόμου αιι' όrιου το

καιάσιcιοιι. χρι:ιrιζόμιιοτr μια yεΥι­

ρiιJΙωοη. ι ην

il. Το

t tολαιόπολη

\Σχήμα

τεριι. και όοrς ιιι·ρ,•ούΙ• και από τις

κότεpιJ μέΟοδο οΙΙιφίθμηιιης τωΥ δια­

οχολικί) λεωφορείο δεν μιιορεί να

ιιrp(ιοι·ι. Οnως και rφ"·. θέλουμr να

C

Σχήμα

δρομώΙ'. Σε αuιό ω ιιημrίο αρχίζου­

Α

Σχήμα

με

7

5

μου cί,·οι αnοκ.\εισμt,·ο -i:ίtε βρι ­

rιεrιcραομt,-ω" ου,•ό,\ων. Κατ· αρχας.

οκrιω

δρόμο με διευθυνση αrιό ιο

α γ iχουμr δυο συ,·ο.\α -<ι~ rιούμr.

βοριχι προς το Νότο είτε αnό ια ΟΥΟ­

Α 1 και . Ι,-. τότε το πλήθος ιω1· οιοι­

or

cιιιοιι'λεσμο μrιορεί να είναι διαφορε­

δρομών ελίιχιnιου μήκους αrιό ti]V

ιι κό

κ(ι ι.ω rιριο ιηιίι γωνία (σιweίο Α ) eως

ur

κάθε περίπτωση.

Άσκ ηση

3.

Bρciτc το ιιλήθος ιων

ι\uι.ιί μηορούμr νο ιο ιιειύχουμε

διοδρομώ'' ιι ιιό ιο Α rως το 1:1 που αποφεuyοuΙ• ιις λιικκούβι:ς στα Σχή­

αιιιιριθμώντας όλες τιc; διαδρομές

ματα

ιιιι•ριλιιμμανοντας και α11τές που

πrpνou'· rιιιο ι η λακκο(ιβαJ και αφοι­ ρω\'taς

nno

Υπενθυμίζουμε ότι ιο σuγι<εκριμι· ­ ,-ο Οtωρημn μnς δί,·rι ιο πλήθος τω'' στοιχrιω'· ι ης ιιrιιrροσμεηις ι'Υωσης

cιιιrιριθμιiοουμε το πλή()ος των δια­

BJ.

rιοιiγουμr ορολοyίιι οπό το

απαριtlμησης μπορεί \'Ο εφορμοο rει α,·εξαριηιn από ιο ιιοιο κομμάτι δρό­

τολιχ(1 προς το δυτικό -.α'· κ.αι ιο

ιιιν ιι(ινι•> δr~ι ά γωγία \σημείο

,.,,

θεώρημα tγΙΙλeισμού--<ωοκλιοιομού.

Εnιοημαfνουμr όη ο υιός ο ιρόnος

D

Α

••'

OC\'

και

6

Νε

Α, 1- ΣυΥιiΟως. αιιrικοΙ·i<ουμε αuτιiν

τιιν ηcριιιιωοη. χρφιμοrιοιώ\' cσι; 10 δι(ιγριιμμα Vcιιιι του Σχήμrιtοc;

9.

7.

Ι= ή Μοοχόιιολη βρίσκε ιοι

το αποτέλεσμα ιις διn ­

I I I I I- I n

χrίω'· οι η'' ι'γωση ιους Α, v .-ι, Ι δινcιαι από το Α 1 + λ, Λ,

Σχήμα

9

δρομrς ιιου nrρνουν αη' ιιυτη,-. Η

διιιλα ο' ι'νο χι·fμαρρο και έπειτα από

ασκηοη

μας tχει δωοει ήδη τφ·

καΟε δυ,·οιη βροχη οι δρομοι της yε ­

ηΙΙaντηση για το ιιλήθος τω,· διαδρο­

μιζου,· λακ11ου(kς. Σιο Σχημα 8α

πσ,·ω οχεοη που μα~ δίγει το nληθος

μων πρώιου rίδους. ΕΙ\•οι

Ct9. 31

βλεπετε την πόλη ι'ιιειιιι από μια κα­

στοιχrιω\' ιιις f\'c,ιοης δυο ουνό.\ω,•.

= α)= 84. rιn \'Q ιιnαριθμήσοuμε ιις

rοιyιδα με δύο ψήμrιια δρόμων απο­ κ.\cιομt,·α cιιιιl δiιο μcyίιλcς λακκού ­

Για f\'R διιίyρομμα Venrι τριώ1·

διαδρομι'ς 110υ περνούν ιιιιό ιη λοκ­ κούβο . ιφι'rιι·ι πρώτα γα υιωλογi ­

βες. Οι ζιjμιι'ς (Hn ιιποχετευτικο σύcηημα διορθι;Ιθηκαν ηλλό ύοcερα

σουμr nυ ιι'ς πσυ οδηγούν nπό ιο Α

ιιnό μια κcιινόιίργ ιο βροχή εμφαΥί­

tως ιο Κοι π{ιλι μέοω της άσΚΙj· ο ης 2. βρiσκοuμε όη ιο π λ ήθος τους

στιικcιγ δύο 1•fι·ς λιικκούβες -<ιuτrς

2

r.

cfΙ·αι (η· (~)~

10.

Παρομοίως. το

ιιλήθος τω'' διαδρομών nπό το

ιιου βλtιιrcι· οτο ΣχιiJΙα 8β.

r-·-τ--r--τ--τ--.--, Η

α

Άσ κησιι

4. Λιιοδtίξιr ι φ· ιιαρα­

=

συνόλω\· < ιι 31το Οεωρημα cγκλcι­ σμου ιιιιοκλι·ιομού μας δίγcι

I A, v A, u Λ , I • IA,

I• IA,I + IA,I

- 1~~. Γ\ Α.ι 1- 1Α, Γ\ r~:. Ι - 1Α.ι I"\ Α, 1 +

Iι~, ~"'~ Α.ι n ~. Ι-

Μιιορeίιe. γιιι ιιιφιiδειγμα. να ε ­

C έως

παληθεύσετε ότι 0\' ένιι Οuιιχcίο αΥή·

ιο Β που πcρνουν αrιό τη λακκούβα

κει σε δύο ακριβώς αηό ια σύνολα Λ,.

ιοουιcιι με το πλήθος tιoJY διαδρομώΥ

Λr Α, απαριθμeιιοι μία ακριβώς φορά

αrιο ιο D rως ιο Β και εi,-αι α~= 3.

σι η,· nραηyούμtl'η nαραο ιnοη. Τι

Λ ρο. ιο l'"'oμr,·o (~Χ Ω= 30 μας δι­

κοuΙ' σ· tνα μό,·ο

,.,.,

nou

χpηπιμοποιούΥ το

ψήμη CΙJ. εnομέ,·ως ιο πλήθος τι->" διιιδιχιμων nου αποφεύγουν το τμιiμα

CDείνcιιιj διοφορc\(5)-(Ηη• 54. ΜΑΡτΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

ou,•o.\o;

Με αυτά

που αΥήκου,· και στα φίιι; Το ιιποι.c.\rομα γενικrύειω για ιι

ιο πλήθος ιω'' διαδρομώΙ' από το

Α rως το Β

26

ουμfkιι,·ει μr ια οτοιχrία ιιου ο\'ή­

<: 2 σύνολα

Σχήμα

8

οι)ιφο

ικαι επομένως γιn nrρισ­

πολύπλοκα

VcιΙΙΙI,όrιου

ro ιιλιi()ος

διαγρόμ μιιιcι

ιων οιοιχείω'·

Ιlοιι·ς ι·ίνο ι τώρα οι καλές διcιδρο­

στην ένωση των σuνόλ(uν tί\rήι συ ..

μές για το λεωφορείο μας; Παρηιη-

ν(ιρτηση της πληΟικότηιrις ιιις ένω -


σης όλων τω'' συ,·δυασμώ,·

k

Β

αuτώ,·

'""' ΙΗινόλc~ν -<ιι1ου ιο k δια ιρι'χcι όλt<; τις ιιμrς ιιnό ιο Ι fως ιο yκeκριμένο.

nY

5

-

n. Συ­

1

1

Ας tιια,·έλθοuμr ο ιο πρόβλημα μr

I

+unnH~nH~n)

Σχήμα

10

εχουμε πηιr ιμήμοια δρόμω'' ΙαριΟ­ μημε,·α ιιιιό ι t'ως

5!

που εl\·αι απο­

κλειομf\"(1, και οριζουμr. ά\"Ιiσtοιχα. πc,·uo οu,·ολο Λ

Α,

..·

={ο.\cς οι διιιδρομt'c αοό ιο

Α εως το Η που διfρχοηαι αηό ιο ι-σιο ιμημu Ι

=Ι. 2. 3, 4. 5. Μια διαδρομή ει­

ιις λακκούβες ιου Σχήματος

όπου ί

ορίσουμε ιιι φία σuνολα

ναι δu,·n ιό να διέρχε ιαι αnό ιέσσε­

υ

8. Αν υ. Α 1 , ι\ 1 ως

τ(fHHHniHΠ~)

2

τυχοiο σύνολο, τόtt

IA,uA,u_uA.I = IA,I + IA,J +_+ IA 1-I. Ι ,n A,I -IA.nrt,l---1·' ,n .ι,Ι + I Λ,nι\,n A I +_+ IA f"I A n.-t.I --+Hf 'J.-t,nA.,n-nA.I.

4

Α 1 , Α,~...., Λ. ri,·ω ΙJ

= όλrς οι διιιδρομrς ιιιιό ιο .4 έως

ρο ιu ιωλύ ωιό ιιυιά ια αποκ.\εισμέ­

\'0 tμήμαια. Ειδικό. ιιι σύΥολα Α,,-,

το Β.

ι\• /"1 Α. και Λ, /"1 Λ, /"1 Α, 1"1 --'; δι:ν

Α,= όλες οι διαδρομές οπό ιο Α tως το Β που περνουν από το CJJ.

rfYnι KtYiι, και έχουμε οtι

Α, ιο

= όλες οι διαδρομές α nό το Β nou nεργού'• από το εr.

Α i·ως

=(fHHnHi )+(H~H)

IA,I"' A,r-. A •. I κο ι

=(nnno =8

= I 77 ιοφου t1 1 " Α, = Θι,

I

IA,('\ Α,ινΙ, I + Ι .-ι, nA, n.-t,l + I.-1 n A, nA ,I + IΑ, Γ\ Α,, /"1 Α, I + Iιlι ιl, Ι, I + IA.,n.>t_,r-. A .I + I ΙΙ,n Α, '"~ λ I

Σ ι\ n A ("\ ..ι. Ι=

1

/"1

+ ιο.\οι οι ι'ιλλοι όροι ειν<ιι μι)δc\1ΚΟιΙ

= (~Χ1 Η~ΗΗαηΩ τ(fX~HHnα~)·(r)tΩ

. ι ηΩ=

τότε το Α,, Α 2 είνιιι γνήσιο υnοσύ­

νολrι ιοιι

U

κιιι, στο Σχήμα βα, Α, /"1

Λ,= Θ, ε νι;Ι ο ιο Σχήμα 8β, Α, n Α, "' eι Βάσει του θtωρήμαιος rγκλrι­

.

σμού-οποκλειομού \γ ιο 11

= 21,

ιο

πλήθος ιων κιιλ~"' διαδρομών Ν αιιό το Α ι'ως ιο Β δiνηοι οιιό ι ην fκφρο­

Βάοrι του θε~~>ήμιιτος εγκλειομού­ Οιιοκλειομού το πλήθος των καλι;>ν διcιδρομώ" Ν οπό το Α έως ιο Β δί­ \'rιοι από τη uχέοη

Ν = I UI-Σ IA.I + Σ J A,n A, I

'·'

- Σ IA.Γ\ Α ,..., A,l

Στφ• πcρίmωοη του Σχηματος 8α ι'χου με

ι ι

Ν= (9) 3 - (3Υ Ι λ15)- ( 5Χ3 Ι Ι ) • 138. ενώ σιο Σχήμα Ββ ιο nλήΟος tω\• κα­

+

ι

..t

Σ ιιl ,

J lc .l

1"1

Α Γ'1 Α 1 Γ'1 .-Ι, I

Οι υ πο.\ο\'ιομοί \'ι<ι το κάθε όθροιομιι δινΟU\'

λώ\' διαδρομώ'' rιναι

=UHHn~HHi )

Από tO\' τελευτιιιο όρο διοιιιοιώνου­ μr όtι υπάρχουν 12 διοδι><>μtς οιιό ιο

·(HtHH~) = 270.

Α έως το Β rιοιι διέρχον ιnι και αιιο ιο

οΥήκε1 και στο Λ 1 κcιι σ w Λ ι:

λαDούpες

ιιι•ΙΙΙΟιιωι~ωιηιμr ιιλφ!·ο ιrριι ιιι

101.

LΙ' ι11Ηιi ιιι'· ΙlΙ'(>iιιιωοιι

I

I

I

I

I

+ Α, r-. λ 1 n Λ, 1"1 Λ,

+ ιάλλοι

όροι που ειναι μηδι,·ικοιι

=(IHH~H)=s. Εnομέγως, ιο nληθος ιω'' καλώ'' διαδρομώ,· ι\' nrιo ιο .-\ iως ιο Β ει­

Καιο,\ηyοηας. επισημαl\·οuμc οιι ιιιιιή η μέθοδος. παρότι ιδιιιiτeρο επί­ ΙΙΟ\·η όια,· έχουμε πολλά τμημιιτn. σr μερικές περιπτώσεις μιις προοφερει

<η δυναcότητα να κάνουμε από ιη''

+IA.r-..4,,1 +IA,r,A,I + IA,,....A,I + I A.ι·~A,I + IA,rνΙ,I + Ι ιι, ." Α.; I + IA.f"'A,I

Σ IΙΙ,Α ι\1 = IΛ,nιι,Ι

μέθοδο μ' έ\'11 n·.\eutιιio ιιιφiιδ•·ιyμα tΣχήμο

I

Σ Λ, /"1 -"\, /"1 .4, /"1 Α,

ι\'= { 14°)- 270 + 177 -58 + 8 • 67.

+(nn~)= 120.

έχει ήδη μετρηθι·i δύο φορfς, c1φοiι

και

\"ΟΙ

Ν =(~)-αηΗηη

CDκαι από το Ef'. Καθeμιο ιιπ' αυιι'ς

58

= Α ι /"1 Α, 1"1 Α ,ι 1"1 Α.ι

cιη

/"1.

+

IΛ, r, A, I

ιιρχή ιιrιλοrιοιήοεις. Αυτο συμβαίνει κάθε φορά ιιου δεν χρειά(εtοι νιι ι· ξ•· ­ ιι\οοιιμc κάποιο δρόμο

με λιικ ­ κούβα επειδή η προοπtλαοη σι· ιιιι t(J\'

CO

εμποδίζεται ιιπο ιΊλλcιιις δρόμους με

λακκούβες. Στο Σχιiμιι

11ιι i·xouμr

δύο δρόμους μι· λακκcιίιβrς και οιο Σχημο

IΙβ

μόνο i·νιιν. Τιι δύο σχιi-

QUANTUM I ΑΡθΡΟ

27


~.

ο

ι ιω'' σιοιχrίων του Unoυ είναι ιιρώ­ τοι ως rφος πι nροσεyyίζειω αιιό ιο

Β

ι~" ι I

Pl

'

] I Λ

n

β

·'

- I

-Σ Jιι, nΛ, nA,J. ιj. ιοοδίινημη. οπό το

I I

ι Σχήμα

Σχήμα

I.

13

11

ντας και άλλα ιεχνitσ μοcrι οrιcιρίθ-

ιεροι ή ίσοι μt tO n κιιι είναι σχετικίι πρώτοι ως rφος rι. Αrχίζουμε γράφο ­

μησης στις επομενrς οο κ ησrις.

ντος την κανονική ανάλυση

<>

<::

ι:ι

Σχήμα

ll = Ρ • Ρι - Ρ,....

κάθε ακέραιο ί,

·

n

J s i s ιn. ορίζουμε ως

λιιnλοοίu)\·· ιου Ρ, που α\'ήκουν στο

Α υ τα τα διαγράμματα που μοιό­

ζου'' με πλέyμοια μος προοφι'ρου''

aφαφέσουμε αιιό ιο υ όλη α υιό ια στοιχεία -<Ι\' δηλαδη σχημαtiσοuμε

60

Ρ,

PtP/ .. Ρ,.,

Α,

.4.'

= {2. 4, 6, 8, .... 60}

={:J. 6, 9, 12..... 60} 10, 15, 20.._601

Jsl = ιu ι- ΣIA, I + ΣΙ Α,"' Α, I - Σ I A,"'A, nA1 1

=ιι - (JΑ, I ψ,lψ,Ι) •(IA, "' A~ I+IA, n A.!+IA, n A,l) -IAι "'A1 "'A" I

= 60 - 130 + 20 + 121

· 110 ... 6 - 4)- 2 = 16. Πράyμοτι, για τον αριθμό

οες προεκτάοεις. 'F.τσι, είναι δυνιιιό

,.,

να ονcΙΙJτίιξουμr μια λογική συνάρ ­

S = {l.

ιι]οη οιιlιοτασης. ί1 μεφική, από την

-ιόιε ιο rιλιίΟος c>ιο tχι:ίων αυτού

οποία ιφοκύmει μια ιι λούυιο γεφμε­

ιου συνόλου δεν εiνω υποχρεωτικά

ιρίn. Ι 'ιιι nαράδrιγμιι. η απόσταση

..

PtP1

= 2~ · 3 · 5. Έχουμε ότι

το σύ"ολο

ιο ιιλοίσιο γιο ποικίλες ενδιοψφου­

μ r ιοξύ δύο σημείων ι., v, ι, ι

ιι(- ι) "

+ Σ- + .. ·+ Σ

U. ΚάΟε Α, ιιrριέχει n Ι Ρ, στοιχείο. Α"

12

ιι

· Ας δούμε cνα πορίιδειγμcι. με 11 =

η- Σ

και εηομeγως

Α~ το υποσύνολο ιων ιικέι>ιιιων πολ ·

Ι

I

ι\

·

αρχή ι ου ryκλrιομου-(Ιιιοκλι·ι­

ι1 ,•{5.

όπου οι p1 < p2 < -· < Ρ. rίνω πρώτοι. και οι :JJ. u.,, .... ιι .., εiναι θειι:κοi ο.κ.έ­ ροιοι. θέωυμε U= (1, 2, .... n }, και γΙα

-

'

tou n σε

πρώιους ποράγοηeς:

θος ιω'' καλώ,· διαδρομών από το Α rως το Β στο Σχήμα I :.ι.

-

" '" ._ Ρι Ρ, Ρι..

με ιΟ\' ιδιο ιράπο κοτοληyονιος οιο

θι:ιικ~", ακεραiων που είναι μικρό ­

Β

"1 Ρ,Ρ1

αριθμών. Εδώ Οο ου,·nντήσουμε μια

rιι ιιi ιο Α έως οο Β.

Προσδιορίοιr το πλή­

ι Ρ,

σ μου μας επιτρέπει ΥΟ συηχίοουμr

μοθημο τι κών: 111 οιιναριηση ο του Eulcι· που ορίζει οι ως ι ο ιιλήθος των

5.

J

προέρχεται οπο ιο ιιrδίο της θεωρίας

ι-."''010 ότι έχουμr και στα δUο w ίδιιι οκιηβως σύνολο κrιλών διαδρομ ών

.

ΙJ

11

από ιις κλαοικι'ς οι"•ιιιηησεΙς ιων

Ίσως διασκεδlιοι· τε ανακαλύπτο­

η

"' n

Σ- ~ Σ-- Σ

ιοu εyκλειομου-αιιοκλι·ισμου που

μαια ωστόσο είναι ισοδύναμα. μr ι ην

Άσκηση

"

μη πnράδειyμα rφ<ιρμοyής της αρχής

.

Σ Jιψ ΣJΑ, n A,J

m 11

.•,. .'', I

ιι - Σ -, , _ ι Ρ,

tου rrιωέδου μnορrι νcι δοθει αnό cηγ

60.

7.1Ι, 1 3, 1ϊ.19.23.29, 3Ι.

37. 41, 43. 47, 49, 53. 59).

I

κω ειιομένc.χ; J S = 16 = \1<601. Άσκηση 7. Βρείτε ια 01501, 011051. 01:.!101. Σος αποχαιρετώ με μια τελευταία

οrιόσιnοη μiοω ο_yο.\ικού .\εωφο­

αφαυ στο οοραιιίινω αθροιομο προ­

αοκηση. Το αντικείμε,·ό ιης είναι

ρι-iου Χι - x.L

σμετράμε δυο φορές τα κοΙ>•ά οrοι­

παρομοιο με αυιο ιων προηγουμr ­

χεiα τω" Α, και Α ,. llρcπrι .\oUJό" ''Ο κάνουμε μιιι προοθεοη οιο νέο λοyο ­

νων αοκήοεων. αλλά η μέΟοδος

εniλυοιις είναι δ1ιιφορετι κή. Σιιιν

ριασμό μας -

βιβλιογραφία χαρακ ιηρί(εται •ον ο ­

I

I+

ι.'·ι- .ν, ι. Το ό\'0-

μα αυτό είναι κατάλληλο ειιι·ιδή οι nnοστόοεις μετρΙούνται οιιλό>ς οπό το ο'τοτολικά οιn δυτικά κnι οιιό τα νότια στα βόρεΙα. Το σύνολο ιων ση­

/11

καtιίτοξη,,

1}

n - Σ- + Σ-

μι•ίων rιου αrιέχουν δύο μονόδες ιιnό

• ι Ρ,

ι η\' αρχή των αξόνω ν δεν ε ίνα ι ιώρα

κύκλος αλλά τειράγωνο !Σχήμιι

11

χριοτουγεννιάιικες κάριες οπό τους

Χρησφοοοιών ιος την

πιθανό\' μη κr,·ή τομιί τω\· Α, και Α,.

απόσταση μέσω σχολικού λrωφο ­ ιwιου. σχεδιάστε τον yεωμειρικό τό­

Όμως. μ' ιιυtόν το'' τρόοο είνάι

σε. τις τοnοθέιησε ξανα μεοο Οtους φοκtλους -κατά λάθος όμως ιις

mθα,•ό \'Ο αnαριθμούμε μερικά σ~οι­

ανακάτωσε . .\iε πόσους διοφορειι­

π ο τω\' σημείων που το άθροισμα

,...,,.

χε ίο ιιολλι'ς φορtς -κοι ουyκc ­

nnοστάσεώ'' ιους ιιnό ια σημεία (1 , ()ι και Ι- Ι. ΟΙ ισούται με 4. Πρόκειται

κρψc\'α, όσα tί\•01 κοινά nο.\λαnλίι ­

κους τράπους θα μnορούσε να ειχr ιοιιοθειήσει ιις κάριες έτσι ώστε νο

6.

για μια ι<έλλε1ψψ. Τελειώνονrας. ας δούμt ένα nκό -

28

ΜλΡΤιΟΣ Ι λΠΡJΛΙΟΣ Ιtt5

ΟU\'Urιολοyισου με

κιιρίο Ιωιιννο nήpr

τέσσερις γιους της. Αφού τις διάβα·

Άσκηση

νο

8. 11

t ην

13J.

-yια

Άσκι1ση

ιιJ Ρ, Ρ1

σιο τριώ'· διοφορrtΙ κων ιιρώιων p,. p 1 , p 1 • Α υιό σημαίνει όtΙ ιο rιλήθος

IS I ιων στο ι χείων του οιινόλου S

μιιοiινr όλες σε λαθεμένο φάκελο: ιt1 ΑΙ ΙΑΝΤΗΣΕΤΣ. ΥΠΟΔΕ/Ξt:ΙΣ Ι(Α Ι Α ΥΣΕΤΣ Σ'ΓΗ ΣΕΑ. 61


ΣΥΝΕΝΤΕΥΞ Η

Η γοητεία της επιστημονικής αρύτητας Ο Δημήτρης Χριστοδούλου μιλά στο Qυantum τις πρώτες μέρες rαυ καινούργιου _yρόγου ένας συμπαrριιJτης μας, από τα μεyαλύι;:ρα οι•δμπω της παγκόσμιας επισrημοιηκής κοΙΙ•όrητας. ο Δημήτ.ριις Χριο ιοδόίJλου, βρέθηκε στηι• ΑΟήι•α. KOI'tά σωυς yoγef~ και τους φίλσυς rου. ~το παφικό του οπίτ;ι, κάπου σrο Παγκράιι. <ΟΙ' tιιιοκtφrηκc κιιι μί,\ηοc μαζί ιου σ Γιώργος Ευαγγελόηου ­

λος. Il συι•tγcι)ιι~η που ακολουΟεί εfγαι ro ευιυχiς αποτέλεσμα εκείνης της ουιrάνιησης. Ερ.: Κύριε καθι}Ιη]tά, unψξartιivaς ιδιαίιψα προικισμέ ­ να; μαθητής, με εl.ωρειικές εω&Ίσεις στα μQQημα rικά και

και ολοκλφωιικό λοy10μό, υς οvναρτήσεις μιας μιγαδικής μειαβληιής, ιις σειριος ~Όurier κ.\π. Από τα ελληνικά ιιι•­

ιη φυοικιj, έι•ιι •παιι'ίί-θιιύμα•. Πότε ανrιληφΟψrατε αυιιί

η:mvτημιιικό συγγράμματα διάβασα τα β!βλiα ιοu Δασκο­

rην •ά\•cσή. οιις μι: τις φυσικές tmσnΊμες κω πώς ανιιμt­

λόnοvλοv, τeως καθηγητή στο ~!Π.

τ.ωπiσαr.c rη"· n \ '(l\ ιιο rοιχί(l που υπιΡχε α vciμcoa αtις γvώ ­

Ερ.: Σπιv κοΙΙ•όnιrα των Οεωpηηκι.ίν φιιQιια,)ν ι:i.\1' με ­ yιiλη απήχηση η εργασία που δημοσιεύσατε co 19ί0. μι: rίιcla

1

σrις rιοιι nρόαφφc

ro

σχοιlείο κω τις δικές σας α vαζηιή­

σεις:

·Α ι• ι·ισιpι:rποί και μη ανιιοιpcπτοί μεrαοχημαησμοί οrη

Απ.: Το ότΙ είχα μια ιδιιιίτερη •ευχέρεια• στις φυσικές εrιιοτήμες ιο ιινακάλυψα όταν ήμουν περίπου 14 ειι;Jν.

φυσική τωι• μελανών οπών •. διόrι άνοιζε κrιιειιθύνσεις σκί:ψης που καρποφόρησαν με το θεώρημα φβαδ<ιύ

:<~ιρχΙσα ι:ό ιε αμέσως να δΙαβάζω το ο χολικά βιβλία μαθ η­

Ηaινkίπg για τις μελανι'ςοπtς. Συyκεκριμέl'α. η μελέrη σας

ματικC.:>ν κω φυσικής ιων tιιόμενφν ι<'ιξεων, φροντί(οΥτας να μην ιιφιiνω καθόλου κενά. Στη συνέχεια μελέτησα και

αποτέλεσε πρόδρομο rης εργαοiας του Jaεob Bekcnstein "Blιιck Holcs aιιd tlιe &cοιιd Laιv" (Μελανές οnές και ο

πανεαιο ιιιμιrικι\ βιβλία, τα οποία εηέλεγο ο ίδιος αnό tιι βι ­

&;ύ ιtρος νόμος), .όπου πρωrοδημοσιεύθηκε η υπόθεση ότι

βλιοπωλεία JΊOU ειuοκεnτόμουν. Θιιμόμαι, λοιιιόν, ότι διά ­ βαοα ιο βιβλίο του Konφaneyt.s, που ιιεριέχει ουνοιmκά

το εμβα&ίl' του ορίζονια ι ων yεyov6rωv μιας μελανής οmίι; είναι to μtτρο της ενιpοιιίcις ιης. Ο Kip Τlιοπιe. oro βιβλίο

όλες ιις βαοικές γνώσεΙς της κλασικής φuοικιi<;, όπως και

ιου

πολλά βιβλία μοθημαακών και φυσικής από τη σεφά τοιι Schaum. Έτσι ίpΟcι οε μιιι πρώτη επαφή με τον δΙαφορΙκό

βΜ.><ιcις του χρόνου!, αvαφέρεJ ότι στην εν λόγω εργασία

Ο Δημήφης Χριστοδούλου \'1:\•ν~ηκε πρΙ\' από

42 χρόνια

στην

Αθή\'α. Όταν ήLQν μα&ιytήι; ΊΟυ nρώΊΟu εξαμήνοΙΙ ι ης Β' λυκείου

rou

BIAck Holcs αnd Time Warps /Μελανές οπές και σιpε­

σας nιιρα rηρήσαrε nως οι εξιοι:Χιεις που περιγράφουν αp-

oro Iνοτιτού~ο Courant ως τακnιιός καΟηγηιής. Αιιό το τέλη της δεκαετίας του 1970 έ6Ίς σήμερα ιιαρήγαγε πολλά και σημαντικό­

έφυγε: γtα τις ΗΠΑ. όnov σw Π<1"-εηιυ-τήμΙο wυ Πρiν· στον nήιε, ιο 1970, to μάστερ στη φυσική, χάρη ο ιηγ ερyασία του ~·Reνersible and irrcvcrsibtc trans ·

t«t<ι αποtt.λέσματο ηάνω σt αt~οupώς μιιθημαπκό ιτρc:>βλήμιιt(ι ιης )τνικήr; σχετικότηuις. Καρπός της συνερyαοίας tou με to\• Sergiu Kleinerman στο πρό·

foι·matίoιlS

in black hole pbysics". Το 1971, σε ηλικία μόλις 19 ετών, (ιιιtκιησε w διδακτφιιtό του otO\' ίδ1ο κλάδο, μc τη ι;ιελέτηΊΟu"Ιnνesιigatiοn.• in grdνίuιtion ­ al oollapse and the physίcs ofblack boles", οου την εκ­ nότηιιε υπό την cπιβλε.ψη tou κα()ηγηιή John Archi· bald Wbeeler. Με ιην πρώτη από τις uροαναφφ&iοες

βλημ<ι της ύπαρξης καθολn<ών λύσεων ιων εξισώ­

δημοοιεύσεις του ~νοιξt κατεvΟύνοεις σκέψης, που

ιιών ο w χ<Ψο της μαθημαtlΚής φυσικής. Τον Σειπέμβριο ΊΟU 1992 εξι:λtyη τοκτικό<; καθη­

καρποφόpφαν με ιο θι:ό>ρημα εμβαδού τοv Stcphcn llawking για τις μελανές οπές. Στη συνέχεια έγιw: unό'tρΟφΟ<;ερεvνηtής σtο Τεχνολογικό Ιν­ ο" ιούw της ΚαλιφόρνΙας <Cs!TecJ, κιι!Ιηyητής στο Πα,τmσιήμιο των Αθηνών, εmιπ<έιιιης ερευνηtής στοι:ΕRΝ ιης Γενεiιης κιτι οιο Διεθνές Κέvφο θειφηυκής Φυσικήι; ο ιην Τεργέστη, υπόφκρος Humboldt στο fναuιοίιw Μιι>< Planck στο Μόναχο, ενι;, το 1982 rγινε t~τακτο μtλος τοu ονομασΊΟiι Μιιθηματικού Ινστποιίτου Courant οτο Πανειιισ<ήμιο της Νέος Υόρκης. Στο llανεωο ιήμιο τοv Σiρακ.ιοuς δ!δοξt ως ειιiκοuρας καθηγηtής από το 1983 ώς το Ι98.Sκαι ως ιακuκόι;οnό ω 1985 ώςω 1987. ΊΌ 1988εηέοιρε~

30

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

σεων Λi'νοι:ίuν με αο1Jε,•ή αpJ(1κά δcδομένα υπipξι: το

βιβλίο Thc Clobιιl Non -Lmca1· Stabilit_y οΓ Ιhι' MinkowsJύ Spιlce (Η καθολική μη γραμμική εuατάθειο

wυ χ<Ψου Minkowski>, που θειφή()ηκε ως μjα αnό ιις σημαντικότερες εργαοiες ιων δύο u:λευτώω\• δεκαε ­

γηι.ήςοιο Μαθημα"κό Ί'μήμα ιου Πανεnιστημίοιι ιοιι Πρίνστον. Τον Ιούνιο rou 1993 ιιμ~ηκε με το περίφημο [lραjJείο MacArιhur, ιιου σnονί:μέuιι κάθε. χρόνο σε .ιφοσωmκόtηιες cωv γραμμάτων, των εmσιημ~>ν κα1 ιων ιεχνών οι οποiες ακολού • θησαν •ιδιnlιtpες· και μόλλον μοναχικcς οφεiες,και δεν "''ιά­ χθηκο.ν σε οργανωμένα και συν#)ως αδ{>ά χρηματοδοτούpενα ερευνητικό ιιρογρίιμμαιu. fiρJν ωu αnο'τμηθεί αvτό ιο βραβείο, είχε τιμ~i με το •μeτόλλιο Οιtο llahn ο•η μαθηματική φυσική• (1980), και •(Jιχιβr.iσ Βασίλη !ανθόαοvλοv yια ιην αο ιροφυοι­ κή κο. ι τη γενική σχεuκό<ηLΟ• (1991).

w


ιτς μcraβo.\i<; οιις ιδιόrηrες rω1· μc.\nΙ'ωΙ' οrιω,· μυιιιζου,·

διαrνrιωοnι-e

μr ιις t!ιοώοt:ις ι ης θrρμοδU\·aμll<ης, nλψ όμως. πορόrι η

ιι.\tο\' rιrχονιες μαΟημαrικους ιη;εnστικrς. Σι η OU\'CJ:t'IO

ομuιιίιηια tίΙ"nι aιιοσημrίωιη. δrv υnιjp_yr ιόιt κανένας

ηιφayάγαrε και άλ.\n μnΟημαιικά αnοrελέομιιιn, ια οποία

.\6γιχ; ι:ΧΠι: 1•ιι οκεφπ:irε ιίrι πρι)κι•ιιαι yιn ιιι\rι περιοο6cr -

γ••ι..ψί(ω όιι θει.;ρι;irι· πολύ οημιινrικόrrριι ι ης rιpοοΙ•aφφ­

ρο aπό ούμnrωοη. Πώι;οδηyηθήκω:ε oc ιόοο οημαηικιi ουμncριιομαrα οrψ ιιρώιη ΚJό.Ιας εmοrημονικιj οας φγαοίn

Ot:ioaς φγrιοίας σας. Krrιιi ΙΟΙ' νομπι·λίο ιn καΟηyηrή 8. ιΊιnndι<ι;;ι·khlil'. πrrιί;ιαr~· διιίιι μrιopιioαcr vn ου •·δνόοcr:ε

ιιrιι ιιως rψ αξιο.Ιοι·rιιr ιόοα .'ίΡΟ'·ια μrιιi:

ιιι yrωμι·ψική διαιο()ηοη που tχεrε αποκrήσrι αιιό rη ι•ε-

ro

-Οεωρημnιn ωθηοης-. rιιn.\η.!σιε και rονς

Απ.: ΕιΥαι δυοκο.\ο \'ο αnαηησω. διόιι 10 παρc.\θό,. ιο

Ι7κη οyrrικόιηια μt' βιιΙJιιι nιιοrε.\tόμαrn rης n Ι'Ο.\υοηι;. θrι

βλrnει κο,·εις μrοο από το φίλτρο ιοιι ιιοpοΙ• τοι; και ιωΙ'

~.Ια vιι οας ρωrηοω ποιοι .Ιόι·αι οας υδηι·ηοα'' ο' aorη ι η

ιωρΙΙ'ώΙ' του \'''ι~rω,·. llpέπr.ι

r-,-.,. ---,...-ι--

οcροφήοαςοιn μαQημαrικιι. όrαν

όμως να το,;σω ό\1 ιιιο ιcύω οτηγ •(•νόtΙ)tΟ • που nρi:ιιε ι Ι•α cχει η

μι\λισια δcv σας λείπει η διιιίοθη • ΟΙ} ΙΟU φυσικού. όrιως φιίvηΙ<C

φυοικι'ι. Το yεγο,·ός όιι οιη ψυ(Jl· κιi ιω1• μελaΥών οηι;Ιν cμφανiζο -

nιιό rη1· πρι:Jιη κι6.~ας φyιιοiιι οnς:

Ι' Ι(ΙΙ και πάλι οι tΙ'\'ΟΙες της θερ-

Α ο .: Ιlρέοει να πω ι·δώ όη

μοδυ1·αμικής. αrιοδrικ,·urι πωι; η

οφειλω κάποια πραγμιιtιι στφ-

f \' λοyω •εΥότηΙtι• υιιόρχει· όλ -

Cρ(υΥητι><ή ομόδο του 1Ι·ουιού-

λωσιr. η ίδιο η tΙ•νοιa ιης μελα\'ΙΊς

ιου

οrιης ενέχει το στοι χείο ιιις μη

ιηι; οποίας ήμουν μι!λος ιιπό ιο

ανιιυφειιώιιιuις -yίνετι11 λόγος

1975

γιο μcλα,·ή και όχι, λογου χάρη.

ομάδος ήιαν ο J. EhlιΨs. μαΟιιtής

για .~ευκή οπη. Υ ιιαρχει λοιπό1• η

ΙΟU

μη οηισψεπτόιηια ΟΙΙJΙ' ε1-νοια

οικός. έιρrφε μεγαλη εκιίμηση

ι ης μελαΙ'ής οπής. οπως υπαρχει

για τα μαθιuιαηκό και tοψεψε

και στηΥ έΥΥοια ιης ενφοπιας. Το

Ι ην προοοχη tης ομάδος

tΙ' ιυrιωοιακι'ι όμως είναι όtι εμφα •

ερt>υΥησει ιο πρόβλημιι ι ης βαρυ -

Ι'ίζονται Οερμοδυνιψικι'ς έννοιες

ίι

ι'ως το

Jordan.

1980.

Ο

Αρχηγός της

EhJrrs. καi ιοι φυ-

ιιοιtρο. δηλιιδίJ

1 1

ο οιιοιοι;. εκ ιψώτιις όψrως. φαiπ-

ιου Μονιιχου .

oro

να

ιικής ακτινοβολίας του διιιλού

κιιι ο· αυτό τον τομrιι ιης φυιnκής,

τω όοχετος με το αρχικό ιιεδίο rφορμοyης της θcρμοδυναμικήc;.

Max Planck

ro περίφημο ..ιιρό-

βλιwα των δiιο οωμάιων•, μέσω ιης μελέτης τ4ιν εξιοώοεωΥ του Αt~·οι.αιν.'ΕΙ·ιι α'ιοιο οuοτημα δι -

..._

που ηιαΥ η φυοικη ιων ρt>υστωΙ·. 'Γα /JOιt εiπαtε για τη οχε·

πλου αοιφα νετρο,;ω,•. ιο μό1•ο γγωοτό ιόιε ιδιόιι οήμε ­

οη ιιις δικής μου rργιιοιας με την ερyιtσια του BekeΠ$tcin

ρο ξέρουμε πως υrιαρχουν κι αλλα τέτοrα nιιοιι'\Ιlαrο l. πιι­

rίναι ιιολύ οωοrα. Είχα φιάοcι στο πρόθυρο, ας rιούμε, rης

ρακολούθηοε ο Joseph Toylor ιοu Πρίνο ιον ε πι είκοσι

Ol'a yν,;Jριοης

ι ης ..σχrσrις .. ιιου βριiκε ο f!<:krι~ι~teίn · μάλι-

χρόνια ιιερίnοιι. και κατόρΟωοr. να βρει πόση ι·νι'ργειο χι'ι­

οια. χριισιμοποι.:ινιας τους όρους ιων •ονιισιρt'ιιιώΙ'" και

νει ιο ouoτt\110 οε ακιινοβολία βιφύιηιας. Αυτό το ιιf ιυχε

.. μιι ΟΙ•τισφεηιών•

με -

υηολογί(οΙ•uις τηγ 11.\.\αγι\ rιις περιόδου nεριφορι'ις ι.ου ου­

λοΥώΙ' οπών. ήθr λα Ι'Ο επιστήσω την nροοοχή του κοινου

οtήματος. δcδομι'1·ου όιι αυιιι μικρο;,,., rι~ιδή το σύστημα

ΟΙ η,· υnαρχουοη nΙ·α.\οyία με έηοιει; ιης Οφμοδυ,·αμικής.

χα,τι tΙ'Ι'ρ\τια οε κύματα βαρύτητας. Ι'ια ιη ουγκεκριμiνη

Φυοικό. η σχι'ψη όrι ιο cμβιιδο,· τοιι ορίζοντα της μελανής

εργασιιι ιου ο

οιιης είναι μέτρο Ιης rΙ• ιροπιας της ω·ήκrι οnωοδήποτε οιον 13<-kcnsιcin. Όπως γνωριζετε. ο Ha1νking ιφνlj()ιικc ορχικό

μπελ στη Φυοική.1Ό ιου με tην rιιιruχia rου Ί'ιιylοι·, ολλά παρουοι(ιζει και nε ­

νιι &-χιcί tι}ν ορθόtι)Ηι ιιιι; εργασίας του Bckensteίn, στη

ραιιtρω ενδιαφέpοΙ', Ενώ σιο ούοτιuια του Toyloι· ιο δύο

συ,·rχcιαόμωςnείστηκrγι'ιιυtιiν.Οαρχικι\ςδιοuιγpόι;wιι

άστρα δεν εί\'Ι'ιι noλu κονι(ι ιο ένα στο ιίλλο. οε άλλους

οφeι\όι<ιΙ' oro ότι σκεφτηκc uωι;. αν οι μrλιινι'ς οπι'ς είχι:ι1•

γολαιίες ιιπαρχουν συστημιιια οιο οποίο ια ι:ινΙiσιοιχα

rηροπί(L θα είχα,· και θrρμοιφασιακοι rηομενωι; θα έτφεπr

Μφο βρίοκοΙ•ται οο.\υ κον1υιφα μcτοξυ ιοιις. και εοίκει ­

' '0

rιωέμnουΥ οκtΙΙ·οβιι.\ία. Αλλά από ιον ιδιο τουc; το1• οριομό υnοιίθcται ότι οι μελανές onrς ΟCΙ' εκπέμπου1· ιί-

rαι OU\'X~"·ruoή τους! Λυ10 tΙΙ'αι σημαηικό. ΟΙ' οΙ·αλογι­ οτει ΚΟI'tις όα μια τέτοια ουγχώ1·ευοη γ11τιοι ot καθε γα ­

rιοιε. Τελικά, ο ίδιος ο Hn~<·king απεδι·ιξέ ότι η μελανή οnή Ιινι<.ις ακτινοβολεί, και όιι Ι} αχτινοβολία rιυιιi έχει <Ο φά-

,\αξιο περιηου κάθt- 10.000 χρόν1α, και διαρκεί κλόσμα ια τοu δι:ι.ιιr:ρολtπτου. 1' 1<1 να γίνει η οιιγχώνευση από ιη

ομο θt-ρμού μt.\ογος <Jι~μ<ιιοι;. Επομένως, όαον αφορά

οιιγμιj nοιι δημιουργείτοι ι'νο ι:έrοιο σύοτημα ιιcρνούν π~­

μετασχηματισμών στη φυσική

,,,.

tiJ

Ta)·1or

nμηθιμιε το

1993 με ιο βραβιιο Νό ­ rιρόβλημα OCY βρήκr ΩJΙ' nλipη λiιοη

φυοικίι ιω1• μc.\ανι;Ιν οιιών. για να εiμιιοι.t ιστορικά ακρr·

ρiποu

ΙJrις. οφeίλουμr Ι'Ο ομιλουμε \~α -θερμοκριιοία Bekrn.<tein•

θοΙ'Οτητιι να β.\ι'πουμr ι'1·α ιtιοιο φαινόμεΙ"Ο μία φοριί το

κοι yια -ιικnνοβιιλια Hau·lιing·.

χρόΙ'Ο. ιφι'ιιει ,.ο παριιιrρούμc ι'1•α τερόοηο μrροι; 10υ σύ -

Ερ.: Πορό

100.000.000 χρόΙ•ιιι. Ειιομέγως, \,Π να έχουμε την πι­

ro tΙ'rυιιωοιnιιο Ε,εκη·ημα που Κ(ΙΙ'Ο rε ως lkω· ρηιικοι; φυσικός. nno ι α rtΑιι rης &κιιrιιnς rιιιι 1970 orρf ψarr ιοr.Ι·διnφηιιιν πιις ora αιιοrrpιiις μnΟημαrικα rιρο/3.\η·

λο~ιι·ς. Τα βορυτικο κuμιι1α που ιιροκύnτουΥ οπιι ιη1· ε1·

μηιa ιης \'t\'tκιj<; αχι·rικιiιψnς. Οιι11· οrις ιιρχι'ς rοιι

Ι'ntόιηιcι νο ω eνιοrιίοουμε μεσω ιιcιραμrιτων, uιιως είναι

1980

μπnηοι;. ιόοο μη·ό.\ο ώοτc ,.ο περιέχει ιιερίπου

10.000 yα­

λοyω συγχώνευση /'1\'ΟΙ π ο.\ υ ιοχυιιό και tχουμι· ιιι δυ­

OUANTUII I ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ

31


-

ιο αμερικανικό ιιοο και το ειιρ<»ΙΙΟϊκό VIRG(). Εnανέρχο·

μω στο ερώτημά σα<; yια tα μnθι}Jln οκά,

-

--

- - - - - --

- - -- - - - -" "

An.: Μ' έχει απασχολήσει πολλές φορές το θέμα των σχέ­

Ι'(Ι rονiοω ότι

σεων της φυσικής και των μαθημιιτικών. διότι οι εργασίες

η επίλυση του μαθημαιικού προβλήμιιτοζ rης συγχώνευ­

μου βρ!οκον ιω συνήθω<; σtο μεταίχμ ιο των δύο κλιiδων.

σης των δύο (ιστρων παραμένει μακριά από ης δυνατότη­ rές μnς κnι ανήκει στο μέλλον. Το γιατί θα το εξηγίpω α­

Σε σριομέΙ·ες rιεριόδους σκέφτομαι ιιάνω σε "καθιιρίι•, •nφφημένα• μαθηματικίι. εν6> σε άλλες ασχολούμαι μόνο

μέσω<;. Η σuyχώνειιση δύο μελανών οπι:)\•, στην οποία

με τη φυσική. Ιlρέπει να πω ότι τα μαθηματικά διαφέρουν

παράγονται και τα ισχυρότερα δuναcά βαρυηκα κiιμαιιι,

αποτελεί μια απλούοιεριι ηερimωοη ιοu ιφοβλήματος, η

<φκι:.u'ι από τη φtΗιική, κnu't nr)(l>U>ν εm~ιδή υπάρχει (J αι.ηή μια, ας πούμε, καλλιtεχνική διίιστιιση. Διαφέρουν επiσης

οποία όμως nαραμέγει αρκειό δύοκολι1- Πιο σι.χηc'ι. πρ6-

δΗSτt υπήρχοιη~ καt μ(lθημcΊτικό τα

κειτιιι για το αντίστοιχο στη γενική θεωρία rης οχεαιόι;η­

έχουν οχέ.οι) με ιι) φuοική, όπως είναι ιι.χ. ιο Τελειι cαίο Θε6Jρημα του Fcι·m>Ιt, που cινιiκrι σιη θεωρία ιιριθμών \εν­

τας του

.. προβλήματος

'""

ιων δύο οωμ(ιιωl'• ιης νευtώνειας

μηχανικής. και μόλιοια στην πιο •καθαρή• του μΟρφή, δε ­ δομένου ότι η μελανή οnή είναι καθορισμένη, εφό<ιον κά­

1

onoin

δι:ν φαίνετοJ γα

δέχεται όμως ακόμη κι αυτή η διοιτίστωοη ν' αποδειχθεί

ποιος δώσει ιη μάζα ιι-ις κιu ιι]ν ιδιοοφοφορμή ιης. Υπάρ­

λανθασμέ''ΙJ σΊ>ο μέλλον!). Γι' ιιuιό ιο τμήμα tων μοθημα­ ιικών δεν νο)llμοιιοιούμιιι να )l!λήσω, αφού δεν &ίμ<ιι ειδι ­

χουν βέβαια και δύο πρόσθετες παράμετροι. η ΚΙ\•ηιική

κός, ι:κημώ iιμως ιδι<U ιtρ<ι ιη ΟΙΙJlάΟία ιοιι για ι:η ιιuΥολι­

εΥέργεια και η τροχιακή σφοφορ)lli της αρχικιiς προσέΥ'ι"­ σης, όμως. όπως βλέπετε. πρόκειται yια πρόβλημα με πεπε­

κιi πρόοδο τt]ς επιστιiμης και του πολιτισμού μας. Όσον

αφορά

ρασμένο αριθμό παραμέτρων.

λαδή ιιιι ιό ιιοu έχει οχέοη με rη φιιοική, ιφέιιει νιι ιιω ιι6>ς

Βλέπουμε λοιπόν ότι Ι] φΙJοική θέτει μερικές φορές κό­ rιοια προβλήματα που τα μαθηματικά ενδέχετω να το λύ­

είνω κ α t(ιrιληκτικό ω ότι μας εωφέπει μιιι ιέτοιη <ιιιόλυ ­

σουν και έπειτα από χίλια χρόνια. f)α να φτάσουμε όμως

ένα ορυχείο οπό το οποίο ο θε6Jρητικός φυσικός θα αντλή­

ώς εκεί, πρέπει στο ενδιάμεσο διάστι]Jiα να λύσουμε κάrιοια

σει έννοιες και πρότυπα, όπως συνέβη π.χ. με ι:ον Αϊνστάιν,

απλούστερα προβλήματα, όπως σωστό τόνιζε ο Ehleι-s. Επει­

ο οιιοίος χρησιμοιιοίησε ιη ρημόνεια γεωμειρία στη θεμε­

διi δεν ήταν ο ίδιος μαθηματικός, με έφερε σε επαφή με την

λίωοι} ιι-ις γενικής θεωρίας τι]ς σχετικόtι]τας. Εκείνο ιιου

Yνonne

Παρίσι, κιιι της

lΟΥίζειαι λιγότερο ΟUΧΥά &ίΥΟΙ όtt αφού ΟΙ θεωρι]t.ικοί φυ•

οποίας οι εργασίες είχαγ οδηγήσει σε )llα •τοπικιi• λύση του •προβλήματος της ώθησης·· η δική μου εργασία στο ίδιο

σικοί διατuπώσοΙJν τους ,-όμους. •εmστρέφουν• κω πάλι

nρόβλΙJΙΙα οιιοτέλεοε •ειιέκιαση• ιης εΙ' λόγω λύσης. Εκείνη

με το πείρο μα. Πώς όμως θα καιαστεί δυνατή η •σύγκρι­

τψ εποχή κατάλαβα όη εκείνο nοιι ιιροι:ίχε οε σημΜiο ήιην

ση• ιωΥ Υόμων με αποτελέσματα ι:ου πειρόμιιτος; Ι.;iναι σο ­

ιο ''α μελετήσουμε την ειιοτόθεια Minkowski και συγκε­ κριμένα ιιρόιια να cιιιοδεiξουμε όιι αρχικά δεδομένα που

φές ότι μόνον οι λ ύοι:ις των εξισι;.οεων ο τις οποir.ς διιι­

Choquet. Bruhat, η οποία ζούσε οιο

ήταν κοντά στη λύση

Minko,.-ski οrον

to άλλο ιμιiμα. με to οποίο και έχω αοχολι]θεί. δη­

τη σύνδεση των δύο επιστημών. Το μοθηματικά αποτελούν

σαι μnθι]JΙοttκό για να •συνδέσουν• αυτούς ιοuς νόμους

tυΠ~)\tΟΥtαΙ οι γόμοι συyκρfγοντΟJ με τα πειραματικά

εrιίnεδο χώρόχρογο

αποτελέσματα, και όχι οι ίδιες οι εξιοι()(Jεις. Κητiι τηγ επί ­

της ειδικής σχετικότητας οδηγού" σε καθολικές λύσεις ιων

λ~ιοη των εξισώσεωv, ια μιιθηματικίι •επανέρχονται• έχο­

εξισώσεων ι:οu Αiνσ ιόιν και κn ιόrιιν να μελετήσοιηJε την

ντας έναΥ νέο ρόλο, εντελώς διαφοιιετικό. Στηγ περίmωση

aσυμπτωματική ο11μuεριφορά Olft{~ν των λύσεων. Έτσι, ο EhJers με βοήθησε να βρω ένα ηρόβλημα φuοικής, to οιιοίο

της εργασίας του ΝεύτωΥα, για παράδειγμα, )llλάμε για εm ­ οιημονική εηιη·{ιοτnιιη διόιι έχουμε ι I ) διηtύπωση των Υό·

ιιορουοιάζει μεγάλο μαθημοηκό ενδιαφέρον και εmπλέον

μων ιμοθηματική), (:.!)επίλυση των εξιοι::)()εr~ν ιων εν λόγω

έχει σχέση με το πείραμα (παρατήρφιJ) -δεδομένου ότι το

νόμων ιεπίοης μαθι]JΙntικήΙ και

οιιυυδοιότφο σημείο •επαφής• rης γενικής οχειικόιηιιις με

ρηΟιιική επαλήθευσ η των ιιποτελεσμάτων.

ιο πείραμα είναι μέχρι σιiμερο ι) μελέτt) tl')ς κί1•ησι-ις των

'Γα μnθημιι ιικό ω οποίο ιφκοίJΙ• γιιι τη διιιτύπωση των νόμω1· δεν ιφκούν πάν ιοτε και για τιjν εηίλ ΙJση ιων σχε ­

διπλών uσιέρωΥ. Το μαθηματικό μέρας του προβλιiμαιος αφορά στην ύπαρξη κaθολικώ1• λύσεωγ ιων μη γρομμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικέ<; ηαρπγι;,yοιις, κι11 ιδίως

!3} πειραμnιική ή πιιρ<ιtη­

τικών εξισώσεων. Η εργασiα, λοιπόν, που yίΥεται στο δεύ­

των υπερβολικών. που είνιιι πιο γνωστές από τηγ περίπτωση

τερο στάδιο αποτελεί συχνά αφετηρία επιΥόφης καινούρ­ γιων μαθι]JΙατικών, κω έτσι προάγεται η έρευi'Ο. Η εηJλuση

tωl' ελλειηιικών.

λόγου χάρη του •προβλήματος των τριών σωμόιων•, ποu

Ερ~ Μέχρι ιώρa γ~>ωρiζαμε όιι εα μαθηματικά npwφέ • ρουν εννοιολογικά εργαλεία σι·η φυσική. Σήμερα, όμως,

τέθηκε από τον Νεύτωνα, οδήγφε στις χαμιλτωνιανές με­ θόδοuς, οι οποίες με τt) σειρ(ι τους εμφάνισαν μια κοινούρ­

μnοpούμε \'α κάγουμt λόγο κω για φιιοική μαθηματική

~,α δομή που δεΥ ήταν προφονής οπό τηγ αρλ'Ιί· Τελικά, η

εmστήμη: cις σκεφτούμε nς ερycιοiες ιωv At(ι•ah κω Doιι­

χιιμιλι:;ωνωνή μηχιινική οπστέλι:οε τηγ "(lψεrηρίn• για τη θεμελίωση της κβαντικi-ις θεωρίας.

aldson,

στις σαοίες σι εν λόγω μαθημιttικοί χρησιμοποίη­

σαν nς γvωοcές από ι η ψ110ική •θεωρίες βοθμί&ις• για vα επιλύσουν δύσκολα cοnολογικιi ιφο{Jλήμcιια, ιις μελέιι:ς

Σωστά επίσης αναφrρΟήκατε και στην αντίστροφη

no -

ιων χορ&\v•,

pt;ίιι, δηλαδή τη χρήση θεωριών της φυσικής. όπως είναι οι -θεωρίες βαθμίδας .. , για την επL~υση δύσκολων μαθι]JΙατι­

ιηv <>noiιJ ι:πι ­

κι;ιν προβλημάτων. Λλλωστε και ο Αρχιμήδης ακολούθφε

rεύχθηκε η ένωσιι δύο τελείως διαφορεοκών ιιλόδω..-. ιης •θεωρίας rω~• κόμβωv• και ιης οταrισr.ικής μrιχαvικής, κ.λn.

και ης δiιιι ποrιείες. Δοιιλεiιογως αντίοτροφιι με β(ιοη ισ

Πώς βιlέrιcrε ωεiς

σφαίρας και την εmφάνεια t1')ς παραβολής. 'Ε--•ας απ' α υ­

rου &l•νaι-d

Wittcn στη •μαθημαυιιή θεωρίο

την εpyoσio rου Vnughaιι

F. R. ,Joncs, με

va διαμό(!φ(:η'(;ωJ η σ_γι'ι:ιη τ.ων εnιοτη ·

μώγ ιης φυ0ΙΚJΊς και των μαθημα rικώv σήμερα:

32

ΜΑΡτJΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

κέντρο βάρος των σωμάτων είχε υπολογίσει τον όγκο της ιού<; ποu τον •μιμείται• σήμερα, και τον οποίο εκτιμώ ιδιαί-


τερα, είναι ο Doιιa!dson. ιον οπυίο μγιιμο,τύσατε. ()φείλω βεβαίως ,.α ιονίσω πωι; ιιυτό μπορεί νιι ϊi\'Ι:ι cυ κολόιeρα

μα έχει προιαθεί βέβωιι μια θεωρίιι. 11 θι:ωρία της κβανtι·

ο ήμεριι, οιιόι.r η φυσική έχει προχωριjσει αρκετά. r.νr;) δεν

μιά μαθημαηκή επεξrργασία ~:ιστε να βρεθούν οι λύσεις tων

ιito" δυνατό σω παρελθόν, οιιόιε ια μαθημο11κίι εξελίσ-

εξισώσεων, οι onoicς θο μnς ιιrιοδrίξnΙJΥ ιιν η θεωρία είναι

οονταν ιαχύτ~ρα κιιι ηικιηγού\'tαν t1)C; φυσικιiς.

όντως σωστή. Εκεί χρειίιζr;ιιu νο επιλ\ιοουμε ω πρόβλημα

κής Χf~οιμοδυνιιμικής, όμως από κει κω nrpα δεν έγινε κα­

Ερ.: ΣιΊμεροιιολλοί ιωύ rους κα.\ύι;cρους μσΟημαrικούς

του •περιορισμού• ιων κοuίιρκ, ια οποία δεν uιιάρχοuν

φυσικούς αοχολοrίιτω μr ΤΙ)\' μιιΟηματική ΟεμεΜωοη ι.ιι<;

ι;λει'ιθφα. αλλιi βρίσκονται πάντοτε σε οul:iέτερους σχιwα ­

.. ()εώ{!ίιις

ιιομοίις, κcιι κ<ιιtiπιν Yn εξηγήσουμε yιατ.i οι ισχυρές αλ­ λι]λεηιδριΊοεις cί,•ω βριιχέος βεληνεκούς. Τούτη τη οτιγμιί

cωv x!Jf>liώ•'•· ΙΞ:σείς. .Ιώf!ίς να Οrωρι:iται. φυσlΚά.

υπο:wεc<>rική μι(Ι rι'cοια r.πι,lογή. πι~ς και δει· ασχολιιΟιί­ κσrc με rις "χορδές..:

An.:

Νομίζω ιιιιλι;χ; ότι το θέμα αυτό Qεy είγαι φλέγο\'.

Ασχολοι'ιv ι<ιι δηλιιδι] μ.

r "α

11ρόβλημα ιο οποίο. κητά tι)

r

βρισκόμαοιε πολύ μακριι\ ω1ό LΙJ λiιιιη ιιυwίι ωυ προβλή­ μαως. Υφίο ιaν ι1ιι όμως κηι ιιιο 11ιιλιί, ιιλλά εξωου σημα • vτικιι, 11ροβλήματα. όπως το nρό­ βληpn ιου γιατί υπάρχουν οι

γνC::)μιι μου, ι;.:,_. είγαι το πρόβλη­

φεις οιινηθιομενες καταστάσεις

μα CΙ]C; ο ήμερο,-. Αν εξετ(ίσουμc

ι ης ύλης, η σιερείι, η υyρι\ και Ι)

ι.ο ηώς άρχισε η επιοτιίμη. βλέ­

αέρια. Οι \'όμοι !ό11 προβλήματος

ιιοuμε ό ιι άρχω ι: μι: ι ην ενnσχό­

αuιού εi\·αι yνωοtοί, είνα ι οι

λφη με ουγκεκριμrνn nροβλή­

vόμοι ι ης κβανωμηχιινικι\ς. Λ,.

μcιτο. στα οποία θα έπρεπε \'Ο

προσπαθήσουμε να εmλύσουμε

δαΟεί yρήγοpο κάποια λύση. Λό­

το πρόβληpα στο πλαίσιο της

γου χάρη. ο Αρχιμιiδιις ξεκiνη-

κβα ντικιjς στα ιιστικής μηχα νι·

σε τις μελέιες ιοιι ωrό rη στα τι·

κl}ς, θα διαπιστώσουμε όtι και

Kt} και ι ην ιιδροο ιιιιική, ενώ

ιιιηιi ακόμι] ΙJ διωύrιωοή ιου εί ·

κοι.ό ιο Μι·οαίωγο, ο Γιιλιλαίος

,.ω ιδωiιεριι δimκολη. Α,. ε rn ­

οσχολιiΟηκε με κι'ιιιοια ιιπλά

χειριjσοuμε το ίδιο ο ιο ιιλοίοιο

προβλήματ<ι της κίνηιΗ}ς ιων

rt]<; κλαοικiις Ο 10110 LΙΚι)ς μηχο ·

οωμάιων. Σήμερ<ι πολλοί nρο­

νικής

βίJλλοu''

υιιάρχοuν ιιροβλήματα, όrιως

ιωλοiιο ιεuο η ιοu nρ<.>βλήματος· βρισκόμιιστε ενώπιον ενός ολο ­

όσο σχετiζοvτω με τι1ν ιιvθρώ­

κληρώματος. του οποίου όμως

το

επιχείρι]μα

ότι

nινη νόφη και τη συνείδφι]. τq

οδηγιιiι μιιιιτε

σε

μ ια

. . . οuδεiς κατόρθωσε νο εrιιλύοει . . . ΟJιοiα tίΥtιι ηουγκρί tcμς ο rιou . κό πrδίο JJJ(I( μr.trnη)ς οωjς. tSciι~n61i<: Λιnlfricun . .\ftίροος 1993. • εστω και Τη\ απλουστεριι υπο ­ δωόιφο από τις ..ανόψες• αποπερίπτωση. Λυτή η πιο απλιi .

Α \'QΠ(ψ(Ιατrιοη rης Κlιμmιλι.~ aκn~'l<)\' ~dιQς ω ω ω fkιρυ rr .

ρiες γιο το πώς πέφτουν τα βλήματα ή ηώς ιοορροrιοiιν ιη

ωιοιιερίηι.ωu ι) ιιnuι<λri το nρόβλrlJ.lo της "δομής rιυκνόια.

οώμ" ω σ' έ\'ΙΙ υγρό. Οιι&ίς nν ιιλι'γει ο· ουτή LIJ" αξιολό-

tι]ς διάταξης τω,· σφαιρών... που το ηρωτοδιατίπτωοε ο

yφη των Ο\'Οιχι6)ν φeυ\'ηtικώ\' προβλημάτωΥ. Για μένα

lcι· και παρέμεινε (ι,\ιιιο εrιί ιεφιικόοιη ΧΙιό'""· ·εν"ς μο­

όμως. όπως και για αρκt-tοίις ίιλλοuς, ένιι ιιnό τα ιιrιοφοοι· οηκά κριιήρω γιο ι ην επιλογή ωυ αντικειμένου τιJς έρευ -

θημnιικός ι<ηι Μrιέρκλεϋ. ο \Vu Yi Hsiιιng. ανακοίνωσε ότι ιο έλιιοε. κω έγινε πιινζουρλισμός. Δυστυχ6Jς. η απόδειξή

νας εί\'αι οι ιιηίφχουσες mΟανόιητες επιτυχίας.

ιοu ιiιαν ενιελι;ις λα,·θησμένη.

11 επιοτήμι] ιιρέιιει

Kep.

νιι προχωρεί χωρίς κενά. Πρέπει vιι ηροχωρεί εξnοφιιλiζοηας στοθερό υπόβοθρα. Το rιρόβλη -

Ερ.: Ποιnι tί\'Ιιι οι κύριοι σrόχοι του βιβ,\ίου που ypά ψαιε ιιιιιJ """'Ού μι: τον Scι-gίι; Κ/eiιιernιΙΙιι. και το οποiο

μα

θεωριjθηκε σrιιθμύς στην επισιημοvική σας πορεiιι;

n.x.

ιης κίνησης τω" δύο σωμάτωv είναι ιιολύ αrιλό.

ολλά εί\'ιιl έν<ι nρόβλιwα στο οιιοίο μιιορεί νο δοθ>·ί nλιlJης οn(ιντφη · τψ έδωσε ο Νεύτων, όπως ιιολι'ι ιιαλωόι,ριι

Απ.: 'lΌ ερέθισμα yια ν'ασχοληθώ με το σuyκειφιμέvο θι.'μα δόθηκε. όπως ηροα,·έφερα. από τον Ehleι·s. Ί ! ιαν ένα

fιφιιξε κοι ο Αρχιμήδης με ιο ηρόβ.\ι]μ<ι ι.ων οιερεώ'' οω-

πρόβλημ<ι που μου ετέΟt} γuρω στο

μίιιων μέσα στο υγρά. EnιστilJ.lι) κά\•ουμι: όιιι\' μ11ορούμι·

""'προτού λυθεί. και πάνω στο οποίο ίιρχισα Υα εργάζομαι

"" ~JQouμε τηγ απάγτφη και την εξιiyφη σε κίιθε λεπιο-

ιrο{Ιlφιι το J 984. Επομένως πρόκειrαι για nρ<.>ϊόν εργασίας

μέρει α. «'>ιιο του προβλήματος όσο και ι ης λύοι]ς ιου. Το

ιι(·γ ιι· εtών ι

πρόβλιuια ιι]ς κβ(ιvτ.ωσης της βαρύτητας δεν nαρουοι{ιζει

νεχι;κ; κnι ιlllηκλtισtικίι με αυτό το πρόβλημα. Το βιβλίο

γω μf.νrι ι~νδιιιφέρογ, και τώρα που έχω μεγολύτερη ηείρο

είναι αρι<Ρ.ιίι οyκι;>δι:<;. αριθμεί πίι"ω από

και μεοτωμένησκέψη, Oa Οεωρούοα ιυχο'' ενοοχόληοή μου

βοσικές ιδέες του όμως εί\·αι ιιπλές. Δύο είναι οι κύριες ιδέες:

μ' α11tό χάσιμο χρόγου! Άλλωστε δεν μιιοριιύμε να έχουμε

η πρι;>τη, οφορά τη σχέση της συμμετρίας με τους νόμους

!:λι:γχο, μέσω πειράματος, οποιασδί}Ποτε οχετικίJ<; θεωρίας,

διιιιιl>ηυης. Σι:φ· π~ρίmι.χτη της γεηκής σχεrικόιηως αυιιi

ιιψ(Jύ ιιυtήθα αφορά •συνΟήκε<;• ιιου ειΙΙκρι'ιιφα'' καιiι ιt]v

η ιδέ<ι πnίργει

nρχή το11 σύμπαντος. Υπάρχουν άλλα ηροβλι'ιματα τιι οrιοία είγω αιιιιγκρίτως σημαηrιtότερα και mo επείγοvτα yιιι μας

μόοοιιμε ι;&;, cιιιιή ιην ιδέο. &δομi"·ου όtι σ· έγιιν yε'"κό χωρόχρονο δεν ιιιιάρχοιη· οιιμμεφίες. Εφόοον δεν υιιάρ­

οήμεριι, όπως

πρόβλημα της δομιjς !6)\' ,-ουκλεονίων ιi

ΧΟΙΙ\' ουμμειρίι·ς. δε" μποριιύμι· νο •~>οωοκευάσουμε.. πο­

tιύ\' ιοχuρ<~" cιλληλεπιδράσrων. Για το τrλευτιιίο ηρόβλt]·

οόιr}ιε~ ιιοιι διαιινιοίινιιιι. ΜΜ(lUίιμι: όμως γιι ..κοταοκευά·

t{l

1984-1989), κιιτίι

\'to

1979, δι~\ιι&ή δί:κιι

χρό­

τα οποία ασχολιόμοuν συ­

500

σελίδες, οι

μορφή. Το πρόβλημα ήτα γ ηώς Οα εφιιρ­

OUANTUM I ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ

33


σο~ιμr· ιιοοόιηιες. που η αύξηση τους θα βριοκrιοι

uno

ο ώ οιι α" nαΥω στψ εmφιι•·rιο ιης Γης έχουμr τρια εκ ·

ε.\eγχu. Η δι-υιερη ιδέα αφορά το,· φοnο "κnιΜκruης· όχι

κρrμή. οι οφαιρες τους κl\·οu•• ιω rλrυθcρα στο οριιόη1ο

συμμετριω''· α.\.\α -\,α ,.α χρφιμοrιοιφουμe μuθημαιι·

εοιοεδα. αφού οιο rrιiι!Mo αυτσ

κους ορου~ · μιας ομαδας που θο δρα μr οουμmωtικές ιοο·

ιι•· ιο rιείραμο yιηι ο ω Διαοιημο. ιοιt Οα ΚJΥΤι()οUΙ· ελε11 ·

μrιpίrς. Σt μια ιι'ιοια αρκετά μεyάλη ομοδα. οι nοοοrηιcς

θερα και αρος τψ τρίτη. τη\· κοιοκορυφη δ~uΟu,·ση. ~li ·

που ΙΙ\'tιοιοιχουγ σ· αυτή\'. ναι μrν OC\' διοιφού,·ιιιι. ιιλφ·

χρι ι6ιρcι ωστευα,· πως. οtα\' tρθrι• ι'•·ιι κυμα f\αρυτητας,

ομως η ηύf,ιιοη ιους ιrλrί υπό f.\εyχο. δι<ίιι ο ρυθμός της

οι δύncιnό uς ιρειςσφαιρες-nιφιιιιy)(Ιuμr rιιινιοιε nςσχε ·

ψρ(Ιιιιιι·ιιιι ω ιό ιι}ν ίδια ιη'· ποσότητο rης οιωίιις μrφούμr ιφ· ιιirξηοη. Στη γεωμετρική κοτασκι·ιιή ιων ιιοΙΙμιιιωιι­

ιικrς κι\·ήοεις τω\· δύο ως nροος ιφ· φίιιr- Ο<ι tκτrλέσου1·

κι;ι,· ιοομrιριων χρφιμοηοιείιοι i·••ιι •ΚΙιθολικό ανολλοιω·

,.,.,

το• ιa•·rιλλοίωιο ιου χωρόχρο•·ου στο iιπι·ιr.οι, ιο οιιοίο cίχιι ..fΙρι·ι .. το 1!)811.

ιιεpιοχή όπου βρίσκονται οι cιφιιίρrς. αλλlι ότι, μόλις

Ερ.: Ί'ιJ

1951/ δημοοιcυοα rc στο μrγάλου ιι.ιίρους rιιιο ι ΙJ·

OC\'

επr•·rρyου" δυ,·ομειc;·

μιιι κiνφη. η σrιyμιιηο επιιιιχιι Ι'ΟΙΙ ο ιι}ν οrιοία έχει

,.n κό­

μr ιο μέyεθcχ; tι}ς κιιμιι ιι.\ό ιι)ιιις ιου χωρόχρονου ο rηl'

.. ιιr · ρι'ιοει .. ι ο κύμα, ι\. πιο σωοτn. •Ι κιΊθr ιιιλlι\'Ιωση, οι σφιιί · ρι·ς θιι ειιιο ιρέψουν στις αρχικl·ς ιους θέσεις. Έω> λέει η

μο•·ιιι.ό πηιιοδικό Phγsίcal Reνίe1ν ιι•tl(•r8 ι η δυιιιι.ο.\όιαιη μαθηματική

yρ<ιμμικη θcιφια. Αυτό όμως κα ·

rργnοιrι οnς "λ'onlinear Natuι·e of GnΙΙ·itιιtίοιι aιιd Gt'3Ι'tιadoιl811\'aι't'

ψήοl'l κιι•τις ι η μειατοπ>ση αυτή. η οποιο Cl\ ιιι rιολύ μικρή. επειδή οι

Jο:χ{JΙ'rιnιι'ιιι.< ι ll ΡΙΙ\'ρομμιχή φύση

πηγι'ς ιι~,. κυμαιωγ J%>ιοκοηαι οε

rης fkψvrηιaς κιιι ιιrφaμαια /kΨv ·

ηο.\υ μεyα.\η ιιιιοοιαοη nno τη Γη.

rικωι· κυμαrωι·ι. Η εp)·aoιa αυrή

Δη.\αδη.

μας αιιοκα.Ιυψr μια ι:l.αιρrrι κά

,.,.•

''ω ιιrιό ι η φυση ιης μικρή· Ο\' η

διαφι'ρουοσ ιδιόrηrσ rωι· fkψvrικω••

ηηγη ι)ιον εδώ. κοηά μος. η μεια.

κιιμάιωι· ιιου διcυχο.Ιυι·rι rψ προ­

ιόιιιοη ιων σφαιρω•· Οα ητα•· μεγιι ­

οπιίθι·ιιι μιrς ι·n ιcι cι•·ιχ,.εύοουμι·.

λη.

Αζi(rι

Οιστιί ι·ιοιρειικα δυσκολο το να με­

OC\' ε11·αι

μικρη ~ι~ιδή εί •

avaφεpOri όrι ο 'Γhοι·nι­

Όιιως ιόνιοιι και πριν. πηγή κ υ·

ιι>,νΙΙρi(.rιαι nως η εργασία σας. πιχ~·

μ~;tιιι)\' είνcιι η συγχώνευση δι"ιο

rοι•. μιις βιιηθrίι·ι

ιι.ιιrοΜιβοvμι·

cιστέρων νεφονlων ή δlιn μελονωv

καιlύrφιι ι η φύοη ιιις fkψύτψσς, κιιι δι·υιηχΙΙ'. rxrι οιιγκrχριμivα πpοχrιχιi ιιnοιι·.Ιcυμιιt(ι.

οnώΙ·, φαινόμε•·υ ιο οιιοίο συμβαi· νει μία φορά ιο χι>ό••ο. και μό,•ο tl\' ι·ξι; ιίιοουμι· μια οφαιρι ·

θο μnφυιιιιιιι•· ηι μιι~ r{ηyήotιr rι ακριβιiJς ι·•·•·υι·ι ιι Ί'hο·

κή περιοχή του οιιμιιιιν ιος με κέντρο tι} Γη που

1'111'.'

nκιίηι

va

vn

Απ.: Η rρyαοια μου φαι.-εται δύσκολη ι·πrιδη rινιιι ιιυ · κ•·οypομμι',·η. και ιούιο διόιι ιο fl' .\ογω πeιιιοδικο δtl' παραχφι ι~ριοοόιtρεζ από uσσερις σrλι&-ς ,,α καθ!·

rp ·

γασιιι· eπιπλrο\'. βιιοί(,rιαι στο βιβ.\ιο που yραψιιμr με ιο•·

100.000.000 ειώ\'

"" rχrι

φωιός. Εnομι'νως. c)ΗΙΙ' αυ1ά τα

κύματα ΙψχιζιΙΙ· 10 ιοιίδι ιοuς nικχ; rμιις είχα•· μryίι.\ο π.\αιος. αλλn nφαυ διέσχισα Ι' nλαιος τους ryΙΙ'I' rιαρα

100.000.000

rτη φωιος. ιο

rro.\u μικρο, δι}\αδη της ιάξηι; ιου

Kleinerman και rοομέ.-ως συμηυκ,·ω•-rι θι'μο ιιι ιιου Ι}

!θ·'. 11 μετατοmση τω" σφωρω'· ιω\· rκκρφω•· ο:ι., μό•·ο tΙΙ'ΙU ιιο.\υ μιιφη. αλλα επιπλεο•· δ"φκει μό•·ο όσο διαρuι

α\'αmυξ,η τους απαιιει πο.\ύ περιοσοιrρι·ς οr.\ί&-ς. Το Οέμα

η πrρiοδος ιου κύμαιος. η onoιn rιναι η μιοη αιιο ιη.-

ιης rί•·aι όιι η οχειικιοηκήβαρύτητιι eχι·ι μιn μη yιχιμμι·

κί} υηόοτοοιι. Ι} οποία rμφcl\·ίζεται ακόμη κιιι οι· ιιιιι•φrς

ριοδο nεριφc>ράς ιων ασιtρω\•, με ιιλλα λοyια. πrριπου μισό χιλιοσιο ωυ δι-υιrρολέηιου. Λρο. στο μισό χιλι()()ιό ιου

αηοοτόοcις α11ό rφ· πιn'ή τω.- κυμιη~JΙ·, 111ιρόιι ιο ιιλ<ιιος

&-υτερολi·ιιωιι ιφrιιει

ιων κιφόιων φ()ί,·ει ονηστρόφως ανιιλογrι μr ιιιν οιιόοtCΙ·

οι} ιιιιό nuιr\. Τούτο συμβαiνει επειδή υπάρχει rνο μη γpιψ.

βcια ιο·". Φαίνειοι σχεδόγ αδύ\'(ΙΤΟΥ. Όμως η μη νιχιμμι · κότι}t<ι tι]ς {!ιφύιηιης, Ι} οrιοία υηόρχει και σε αnεφες (ΙΙ'ιι) ·

μικό μl·pος ιοιι βrιρυ ιικού κύματος. το οnοιο φΟi•τι ιικrιι·

στόσεις. δίνει το ι·ξιiς ο ι ιοιι'λι•ομιι: οφού πcράσει το κύμα.

βώς μι- ιον Ιδιu .-όμο, κω ιiρ11 ο λόγος τού μι} γριιμμικού

οι σφαίρες rπα.-eρχιινιιιι μr•ν

πικχ; το Υf)(ψμικο ι·ίνω ανεξάριητος rης αnοσrάοεως απο Η)Ι' nηyιi. Βι·βιιiως γ,·cφιζιιμε ω ιό ιψ αρχή ότι η γrνικr} θrιφιrι ι ης

νιρικί} σφαίρ<ι, ιιλλlι όχι στις αρχικές ιους Οέοεις. Υπάρχrι

οχι·ιικc\ιηιος tΙΙ•ιιι μη yιχιμμιχή θειφία yια τη f\αρυιηιο ,

κιιι ιιιιιό οφrι.\rιοι οιο ou ο τα•·υστης καμπu.\c)ιηιιις ιου Rκ•mnnn ιιιιοιrλrι μιιι μη yραμμική έκqιροση rης μrιρικης. ~:yω λοιιιι>Ι· ωιr&ιξο όιL Ο\'Οθέτως. καη τrιοιο

•·n μcιρι}θεί

or

or ·

μιιι ιιπιίσωοη με ακρι ·

φcμίο σr σχέση με τη•· κι· ·

δη.\ιιδή μια μόνιμη μηιηόιιιοη. μια μειοώηισι} η οποία πιι ·

ρομε•τι και εΙΙ·ιιι ιης >διας ιaξrως μεγέθους με τη μέ,,οτη οηγμιοία μετατόmση ιω•· σφαιρώ•·. Αυιη η διαπιοτωση rχι:ι ης εξής δύο ου,·ι'πrιι·c;: ΠρώtΟ\'. ίοως προοφιορrι γiες δu • •·αιοιηιες ,,η ιψ α•·•χ•·rυση τωΙ' βαρυτικω.- κυμαrω•·

&-•· οuμ · βιιι1·rι, διοιι ι·vι:> οι rξι%ιοrις αηλοnοιοuηαι και &-1· rχου1

Οtι}\' περιmωση που μnοραυμr \'11 ι'χουμε

ολη ιη μη yικιμμικοιηιιι ηου έχου\· όταγ βρισκομnοτr κο·

κοuς θορύβους yιcι ιιρκr ιο διιιοτrwα. ωστε .-α μπορούμr

•· τιι cnη•· rιηyη. &•· αιιλοιιοιούηαι σε τέτοιο βαΟμο 6~οιι- να

εκμεταλλευθουμp αιιιή ιη μόνιμη μcιιιτόπιοη. Δεύιερον.

γίγιιιον ιιιιnλiηως γραμμικές~ Δηλαδη πιιριιμi·νr·ι μια μιι

απο θcιφηnκή ιιλευρά rίνω ενδιοφiρο•· ιο γι·γο•·ος όιι ο

γριιμμικόιηιιι ακόμη και στο άπειρα. Σημανηκό ι·Ινιιι ειιί ·

λογος της μόνιμης μειοιόπιοης προι; τη μ~γιιηη ο ιιγμιαίιι

ο ης ω γεγο•·ός όιι η ύιιcφξ,η αυτής της μη γρcιμμικόrηιcις

είγοι σχεδόν

τηςβορύτι)τιις rχει tηl' εξής ιδιαίιερη ουνέπειιι: Εί•·ιιι γνω-

στημα των διπλ~"' ιιοιέρων ι\ των πολλαπλών αστέρων rιοιι

34

ΜΑΡτΙΟΣ Ι ΑΠΡΙλ/ΟΣ 1995

no

ουσrημη

μαζώ.- οι οποίες •·α πnpιιμr•·οu•· Ο\'tnrpέοοτες οπό οrισμι ­

•·n

I, ι\οχr ω μr ιο ιιόοο oxr ιικ ισ ιικίι rίνω ιο οιι ·


ιιrιοτελούν ιηy πηyι'ι ιW\' κuμόιω,·. Δηληδή, ηκ6μη και ΙΙ\'

yωνιnκή ιαχιJι ηω tων nδριινι~ιπκf;)Υ οηοιι]μiιιων t'ίνι:ιι

έχουμε ένα ούσηιμα λειικο)γ Ι'ιίΙ'wΥ, CΙ\·ιί αοιέρc.ιγ γειρu-

πολύ μικρότι:μη οπό τψ αηίοιοιχη tη<; Γης, οπότε tχουμε

νίωΥ ίι μελανC::>" οη6>ν. ισχύει ω ίδιο. Το μόνο που διιιφr-

έ1·ιι λόγο ιω1· δύο yω1·ιιικώΙ· τιιχυτiιτωγ: γωνιακή tαχύ­

ρει εiΥω ο χρόνος ο οποίος χρειάζεται για να ολοκλφωΟεί

τητα tι)<; ..ηaράουρmJς• των αδρ<ινειακώΙ' συστιιμάιων rιρος

ιιυτήημόγιμημετατόπιση.Σ' ένασύστημα δύοαστέρωγ νε-

γωνιακιi ιαχύιηια ιης Γης. Ο λόγος αυιός είναι ιιολύ μι­

τρονίων ο ε1· λόγω χρόνος είγαι fγα ιιολύ μικρό κλόομα

κρός και έχει Υιι κηνει μι: tη ροηη οδριίvι·ιας τη<; Γη<;. Πρό ­

του δευτερολtnτοu. αλλiι σ' ένα σιiοιJ}}JΟ λευκώ\· ν(ι,·ω,·

κειιω yιcι tnι σχεηιοο ιικό φαι\'όμcνο ιο οποίο f:ί,·ω κε ­

είναι χιλιά&ς χρόγια. Και ο' αuτιi ι ην ιιερίηι.ωοιι αιιό ιφα-

φαλαιι~δους οημαοίας, διό ι ι αφορίι ιη1· αρχή ιου

κτική άποψη είναι ιιδύ1·ιιιο να έχουμr έΥα ούοιημο μιι-

δηλαδή ιο ιιιιόλυιο iι μη ιη<; ιιερισψοφής

ζών το οποίο θα είl'αι απομονωμένο οπό σεισμικές δονή-

προς τψ ισοτοχιi κiΙ'ι)ΟΊ\ οε ευθεία γραμμή.

oc

Mach,

αγιιδιιιοιολή

σεις επί δεκάδες χιλιάδες χρόνιn. Σ ιη μελέιι] α υ ιού ιου

Σιο Σιάνψσρl'ι. λοιιιόν. έχουν φιιάξει ένα μιιχάn]μα που

φaινομένοu οδιιγιjθηκιι ω<; rξής: Είχα βρι:ι ω καθολικό

(Ι ιιοιελείιιιι <ιrι<\ yιιροοκόιιια, ιιι οηοία με ιr) σειρά ιους

αναλλοίωτο για το oιroio οας μiλi)ΟΌ σιΊ)V rιροηγούμεvι1

έχοu1• έναν {ιξοvο nεριοψοφιjς. θα τοποθετιiσουΙ' ιcι γυ -

ερι~τηοη. αλλίι δεν γνώριζα τη φυ-

.,.,._.....,~~-

ροοκόιιια σ· ι)γαγ τεχνηώ δορυφόρο.

σικ ή του ερμι1vεία. Την ιελευ ιιιίιι τψ αΙ'tιλήφθι)Κα όταν. διο(kίζοvτας

ο οποίος θιι τεθεί σε πολική τροχιά. Τότε. η •·παράσυρσψ τωγ ιιδρα ·

rυχαία για το σχεδιαζόμενο πείρα-

νειακώv συστημι\τωv θα οδηγήσει

μα

όιι οι οιινιά-

σε μετατόmσι1 αυτού του ίδιου του

κτες τοιι άρθρου οκέ ιι ιονιαι οιιι

επιπέδου της τ.ροχιάς. το οποίο θα

πλαίσια της γραμμικιίς θεωρίας.

γίνει κω nυτό •<Ουρόμr.νο•. Για τε-

LIGO. διαπίστωσιι

Ερ.: 1Ό 1993σαςαnογεμι'f)ηκε το

χγι κους λόγους, ιιυtό δεν μπορεί

οπουδσίο βραjkίο MacAι·thuι·. Αυτ6

κήποιος νιι

σημαί\'ει ότι Ο<ι σας δοΟούν συvο-

παρατηριiσeι κάτι άλλο. Ο άξονας

Αικά

δολάρια σε διιίριωα

περιστροφής του γυροσκοπiου θα

πέvrε _ιρόvωv. (~rc vιι ουvc_yίσει.ε απερiσπαστος από rα πpoJJλιjμara

υποστεί cην με[.ftι<')tιιση που ιψοονέφεριι. δηλαδή η περιστροφή tι]ς

πις καΟημεριγότηιας ω ερειη•ηακό

Γι)ς θα

οας ιιρόγpαμμn. Θri · θι-λα .\οιιι61• να

καλώvιcις όμως μιο αργή rιερι(f'!ρ<ι·

260.000

HJV

to δει.

μπφεf όμως νο

"σέρνει• πίσω της. προ -

σος ρωτιΊσω πόσο ε.\ι:ιίθrpη t:iΙ•nι σήμερα η ι'ρι:ι.ΙΙ•Q. Πl/Jς

φή cοιι γiιρω οπό τον δικό της άξονα. Το πείραμα. πάνω στο

αξιολοyούΙ'ΗΗ κω ειιιλέγοvtαι ι α ιφοyράμμωα ποιι lkι

οποίο διάφοροι εηιοτήμονες έχου1· δουλέψει περισσότερο

χρημcrισδσιηθοuv; Πιnιεύειr ιίιι μιιφ·i nήμr.pa κΩιιnιnς νιτ

nιιό

ακοlουθιjσeι τη διιαί rου ξεχωριο ιή ερcιινηακή πψία. αν &1• διαθcιει. όχι μόvο ε~αιρειικό m.\έΙ· ιο. rι.Ι.\ά και ιψ

θείο δορυφόρος σc τροχιά. Επειδιi όμως Οα κοστίσει πcpί ­ ιιου :~30.000 δολάρια. και βρισκόμαστε οε μια εποχή α ­

αvογκιιίιι οικιJΙcομική υπιχιτ,Ριξη:

νnοωλής ιω1· χιιημιιcοδοιήοεωv ιιολλώl' ερευν ιμικώ"

25

χρόνΙΙΙ, εί1·ιιι έcοιμο. κω δεν ιιιιομένει πιιρά νn rε ­

Απ.: Πρέπει νιι πω ότι διαφέρουγ οι προϋποθrσιοις που

προγιχιμμιίτωΥ. ι'στειλα ήδη μιο eπιοιολή οιQν επικεφιιλiΊC;

οπωτούν ιαι γιιι ΙΙ)Ι' έρι:υνα, ι1.χ. στο μαθrwιι ιικό ή τη Οει,Ι-

τιις :-IASA. γιο να lOI' rιεiοω ότι το π~ίρcιμα έχει ιεράστιιι ση­

ρηηκή φυσική οπό τη μια πλευρά, και τψ nεφοματική φυ -

μασiα και πρέπει να χρηματοδοτηθεί.

σική ή την παρατηρησιακf1 οστροΙ·ομία από τη" άλλη. Στη

Ερ.: Τα tελευταία δύο χρόνια ασχολείστε με τη μελέτη

δεύ τερη ηερίπτωση αιιω rούηω μεγίιλα rιοοί•. χωρίς ια

μπθημ{!J ικl;,Ι' ιιρο{Ηημli ιω1• rηι; ιιδροδιJΙ•αμικψ; ο ιο nλnί­

οποία όλο μένουν στο σχέδια. fΊa μένα. που είμαι θεωρη -

σιο rηι; yεγικιίς σχετικότητας. Θα Οέλαrε \'α μας εξηγήσετε

τικός. το πρόβλημα τι)ς χρημοτοδόιηοης εί1•αι aσυγκρίτως

χάrιωc πιο αΙ•αλυτιχά περί τίvοι; ιιρόκειτrιι:

μικρόι:cρηςοημιιιιίιιςιιιι' ό, ιι yιn ιοης ιιι·φιιμnιικtΙiις. Ε11r:ιδή

Απ.: Νομίζω ιlιι η ιrδριιδιrγαμικι\ έχει rιολλό ενδιαφέρο­

όμως με ενδιnφέρι:ι η 11ρόο&>ς της επιιηήμη<;. και ι:ιδικιlιε-

νιn προβλήμαω. διόυ ενώ οι νόμοι rης εί,·ιιι γνωστοί οπό

ρο ιιιο-ιεiιω όιι φιιοική χωρίς πειρίιμοτα

γfνετιιι. ηνrι -

nιι;ΙΙ'ες ιλόγου χάρη οιη1· rιερίιττωοη ιωv ιδεωδώ" ρευστών

μtτωπίζω μι• αγωνίο τη σημερινή διστακτικότητα y1<1 τη

οι -γόμοι είΥ(\1 yνuΚJτοί σπι) την tJJOχή ιου Εulι'Ψ). ενωίJ ..

χριιμαιοδόrηοη ορισμιο1·ων ιιξιόλc>γ<i>Ι' ιιcι(χιμ("ων. Γι η rιιι -

ωις δε1· i:χι:ι γίνeι μοθιιμιωκή ειιεξερyιιοίο ιιυιών ιων προ ­

ράδειγμn. οιο ΣιάΙ'ψσρΙ'ι γίνειιιι ένα Ιltίρcιμα μεγάλη<; οη-

βλημίιι~"'· Βεβι:ιiω<;. χρειάζειαι και η Οερμοδυvαμικιi ώστε

μοοfα<;. Σκοαός ιου ι:ί1·αι η nνίχνcυ<>η ιιις μαγνηtικής ΙJΙιό-

νcι ΟΙΙμιιλιjpωθούν οι νόμοι <ιjς uδρ<ιδuναμικiις, αν κω οι

στασι)ς του nεδίου βορύιψας, η οηοία εμφανίζεται μόνο ο-ι η

νόμοι τη<; πρώτης&" διατυπώΟηκαΙ' παρά μόνο στα μέσο

σχειικόtι]ιο αφού η νcυιι:Jνεια θειφίη βιιρiιιι)tας ονιιοιοι-

τοιι l9ου ωώl'α. Υπάρχου" δύο κατηγορίες προβλημάτων.

χεί ο ιην ηλ(:κφοnτnιική. Το φοιγόμcνο τοιι οχι;ιικιnυκοίι

Α11ό ιη μια μεριά, cκεfνα nού έχουν να κάγοm· με εmφά ·

rιεδίου βορύιη ιιις ιιοu δι)μιοuργεί ιαι ιιιιό ιΙ]Υ ορμή. και

νειες aσυνέχειας. όnως είνοι τα κρουστικά κύματα κω το

ιδιαiιερο αιιό ι ην ιδιοοιροφορμή ιιJς ύλι)ς. είναι nνιίοιοιχο με ιη μαγνηιοο ιοιική. Αυ ιό οδηγεί οιο περίφημο φοινό-

..~λεύθερο·• σύνορο ε1·ος υγρού. δηλαδή to οποκαλούμεηι .. προβλήμιιτιι ιωΙ' ελευΟtρων συνόρωΙ••. Από tι)Ι' {ιλλη.

μενο της •ιταράουροης ιων αδριινειιικών συστημίιτων•,

υπάρχει το πρόβλημα του στροβιλισμού.

&1·

όιιου έχου με τι] Γη \'0 οιρέφε [(I) ιιερί 10\' iιξονiι (1]ς K(ll

1'(1

rr πιιι;,rη μου ερyιισίιι σ. ιιιιτίι "' θ>'μιιιιι αφορίι έΙ•ιι (UL\0 -

«Ου μηαρΗοt'φtι» ω ηδrχΊΥeωκιί οuοιήμαιcι. Βέβcιι<ι αυ ι(ι

&ν οκολουθοίιν nκριβ<.;ις μe ιφ· ίδιη yωνιιικη Ίαχύτητιι.

l1

Η συη:χειn στη οrλ.

OUANTUM / ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ

60

Q

35

J


Διασχίζοντας το η ιιΤα πειράματα που περιέγραψα -τουλάχιστον αυτή είναι το φως, η ακτινοβολούμενη θερμότητα και το

ΣΟ ΚΑΙ ΑΝ ΑΚΟΥΙΈΤΛΙ Π.\1'.\·

θοιjμι· οκροθιγώς σε μικρές μόΥΟ πι·­

δοξο, τα ηλεκ ψομαγγηηκά

ριοχές αuιού ιου ιεράοιιου ηλr­

κύματα ητcιγ

κτρομογν η ιικού φόσ ματος.

γνωοι(ι στ ην

ιινθρωπότηιο αιιο ι<Ί π<ιλοιό· ιcι ι α χρόγια. Οι όνθρωιιοι ςεστcιί"ο ·

Προβλήματα

Ι' <ΟΙ' με θερμικές ΟΚιΙΙ'Cς rιολύ ΠΡΙ\' rnιγοηθεί ο όρος •υπέρυθρη ο κ"''" ·

Ι. Μ ια

σφαiρα και ένας μόΙ• ψσς μny,·ήιης

βολiο·. και μαύρι(αγ από ΙΟΙ' ηλιο

ιonoθrtOV\'tOI Ot KO\'tt\'ή ΟΠόσιΟΟη

χωρις 1•ιι γηφίζου,· ιιιιοιε γιο tηΙ'

μεταξύ ιουι;. Υπαρχrι η.\εκτρομα­

r11ίδριιση τω1• υnεριωδώ1· nκτΙΙ'ωl'

)'Ι'ητικά ιιeδίο ΟΙΟΙ' ηεριβαλ.\σΥιιι

0\0 δι'ρμα. ε,· τέλει, ειχαΙ' οιιαυη! ΔtΙ'

χώρο:

tβλεπον μόνο. η.\.\ά εκονn ν Κ<ΙΙ πει · ρόμιιιιι θεωρώl'τας το φως κυμοιοει­

Γιαιί οι κι-ριιicς τω" ουτσιuνη­ των είναι ουγιjθως ΚΟΙ(ΙΚόρυφες;

11

2.

3.

δι\ (Ηιοίο,

ιr ιιοψίιι όιι όλι·ς ιιυιι'ς οι μορ­

ψι'.ς <ι κ tΙΙ'οβολίας έχοu ,. κοιγό ηλε ·

ηλcκτρικίι φαρτιομέΥη

Γιο ι ί υπάρχου" οι λrγόμενι·ς

τυφλές <ώνες γιο τις ρτιδιοειιικο"·ω­ νίες βραχeωΙ' κ u μ(ι L<•>Ι';

κ ιριψ11\'Ι'ητικό υrιοβαθρο οδiιγησε

4. Γιατf σι ραδιοοιnθμnί μακρώΥ

Qtηl' (ΙΙ'<ι!ΙΙUξη μιας 1'111011))10\'ιΚής θrωριnς. Το 1865 ο Jumrs Clerk

και μεσnιω,· κuμάιων ακούyοντnι

:llaxwell yrηκευσε ιtς ανακιιλuψtις

αn' ό.n τψ ημέρα:

σε μεγαλυtrρtς αιιοοΙασrις rη ηίχτα

tω" οιιουδαιων nροδρόμωΥ του. και

5. Γ1ατι η ροοιοειιικοινwl'lu μ' έ1·ιι

κυρίως του :\fich acl t'aι·αday. Ο

υποβρυχιο δfl' εί"αι δυ1·ατή όσο αυιι\

Mιιx,.•cll προέβλtψε, οΙ·(ιμrοιι οι· ilλ ­

βρίοκε Ιω κι'ιιω από την εnιφ(ΙΙ-rιιι

λιι φοινόμrνα, την cισύρμο ιιι μtιι1 -

του Ι'εροίι:

8οοιι των ιιληροφσριτ~ν.

6. Γιιι πο ιο λόγο πρ~ηοΧJΙ ηΟιμο·

Σήμερα, εκιιτό1· ιρι(ιν ω χpό1•ιο από rιι διιμιουρyiα της θεωριιις του ~laxwell.

ποιiιθηκι· ο ιιαοι οε"ωιιιο μός οtηΙ' tΙοτρονομια;

rn ηλεκτρομαyνηιικιι κυ­

7. Γιιιιι η στοθερiι λήψη ιωΥ τη·

ματο κά,•ουΙ• πο.\λά περιοοοτrρο απο

λεοιιιικω,· σημαιων είl'ω δυ1·αιη

tO

1•n

μnς μεταφεpουΙ· ιιι οηματο του

ροδιοφ<;ινοu και tης ιηλrορασης. Οι

μόΙ'σΙ' οσο υιιορχrι οπτική επαφή:

8.

Ιlατί οι Οερμοκρασιες ό.\ω1· ιω1

αγθρωποι έμαθαν "" παράγου\' Ι<<ιι Ι'Ο λομβά1·ουν αι.ηΙΙ·οβυλιο or όλες

ιιωμάtωl' σ' CΙ'Ο μη θrρμαι\'όμε,·u κλειστό δωμοιιο φιιiγουν στι)Υ iδι<ι

ιις, ιιrριοχές εΥός εΥ ιιιιιωο ι οκό ευ­

ιιμή:

9. ·εηι

κομμίιι ι ιιίδrρο εκπέμ πει

ρι'ος ι]λι·κτρομαγν ιιιι κο\ι φ(ισμοτος -<ιΠό ρ<ιδιοκύματα χαμηλιις ΙΙUΧΙ'ό·

ερυθρό φως ότοΥ εινω λr ΙJκοπ υρω­

τη τος fι.ις ο κ τι νοβολ ίο

Λυτά τα

μέΥο:

nοριι ιιο κύμα το -μικριικυματα. υπε­ ριωδrις oκni'Cς. υπερυθρες «κτι~·ις.

10.

εΙΙ·αι κοτα.\.\ηλο για νο μας δώσει το

α κ ιΙΙ·rς Χ- μας iδωοτ11· τη δυνατό·

φάσμn υπέρυθρης και ιιnrριωδοu~

ιηια Ι'ΙΙ ακούσουμε• ιις -συΙ·ομι ­ ,\ιες· μrταξυ ατόμωΙ', μορίων,

ΟIΠIΙ'οβολιnς;

αοιpωΙ· κΠΙ yολαιιών οι οnοιες, μeχρι

γνωρι(Jτι κα οεροΙJλcινιΙ, η φυοικιι

ηροιινος μ ας οιέφεΙ>γιιν. Φυο ι κα σε

βλiιοι ηu η μιιοιιrί r1'ικολιι ''<Ι διακρι­

ιο1'ιιιι το (φ0ρο μποροίιμe ' '" αvοψrρ·

θεί από την τcχ,·ιι ι ί) rιo u χρησι μο -

36

1'·

ΜΑΡτΙΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

lJ.

rιοtι tΙ'(I γιιά.\ινο Πρίσμ<ι δrΙ

Στις φωτογρ<ιφίες απσ ανα·


I

ρομαγνη

ο

bοι:;ωr?ικn μου εντύπωση- δεν αφήνουν καμιό αμφιβολία ότι ~nιι~v·r> ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι ισοδύναμσ.ιι

-Helnrlch Herz ιιοιrίτcιι yια κομουφλό(· αυτό όμως

μό,·ο

~·ί\'(ιι ηδuνaιο οι η'' ιι ιΗ· ιιθι·ίας πορα ­

ι ην Ο\'tιλοyίcι ιιις rνι'ργrιnς που εκ.

ιφηοη. ΙΊοτι;

nέμιιεωι στο οραιό μrρος του φά ­

Γιιιιι ιο ου,·rχtς φασμα τω,·

1:.!.

ιι κ ιίνω,· Χ

nou

tκrιfμιιrτοι από μια

400

Κ. Όμως, ιι ιιφτριnλασίασr

σμαιος -uπο

0.5'r

οε \,6<;.

ημω,·υμη λυχ,·ία t χrι f \'O σαφtς

η ΙιπερυΟρη και η υπεριώδης ακτl\·οβολiα. που ει,·αι αοροτη yιn το

καιω όριο μήκους κύματος;

ανθρώm,•α μοιι. χρησιμοποιειιαι ευ·

...

13. Ei\'nι δυ,·nτό να 0\'lΙΚΟιαοrη·

ρέως αnό ιο ζωο. Σc αηόστοοη μιοσυ

σουμr μr ακtl\'οβολίn I' ρnδιr,•εργώ'' ΗΙΙΟΗ;)'' τις aχ τίνες Χ ιιnυ χρησιμο ­

μέτρου, κιιnοια φιοια αισθάνονταΙ αλλαγες ο τη Οrρμοκραοία rης τόξης

ιιοιοιΊΥιιtι y1α να ενιοιιιΟ(όιιΥ κο ια ­

ιου r'•ός δrκατου του βοθμού. Και

σκευαο ιικι'ς ο ιtλrιrς:

μέλιοοες · βλι·πουν • την ιιιιr.ρι4>δη

01

ακιJνοβολία rιου ι ους αιιοκολύmε1 Μικρο ηεφαματισμοί

ιη θέση όπου υnόρχr.ι ιο νέκταρ των

Πιιριιιηpι}οιr ι η λειτουργία μιας

λοuλουδιώ\•,

ηλrκτρικι]ς οόμιως, η οποία περιλαμ ·

... ιι ιιρχή ιης ροδιοαστρονομίας

ΙJό,·ει μια οηειροr ιδι1 ιινιίο~αση κιΗ

σχετiζειοι με ιη'· rργοσίο ε,·ός μη­

μια κιιλά yuαλ ι ομrνη κοιλη μεταλ ­

χαηκού των Εργαοιηριων

\ικη rπιφόΥεια. Τι ρόλο πιστ~ύετε ότι

C.

ιιιιι(ει η συyκεκριμι'νη eπιφό,·εια;

\'ε πειράματα μr μια περιστρεφόμε ·

Yansk>Ό ο οrιοιος ιο

,-η κcpntα yια Εί,•αι cνδιαφερον αη

...

συμφωνα με ιις απόψεις που

vn

193\

Bell.

ιοu

διηύθu ­

μrλe ιιισeι ια παρό­

σι ια ιιου εμnοδι(Ου\' ης ρnδιοεπΙ·

r 111κραιουοα,· RρΙΥ οιιό τον λfaλ--v.re -

ΚΟΙ\'ωηες βραχέω'' κυμαιων. Ο θό· ρυβος που με.\t ιηοι· φαί,·ειαι ότι

11.

πρntρχειαΙ από ιο κrνφο του yολο ­

...

ιιι η.\εκτρικα και ια μοy,·ηιικά

ιιrδίιι θα

f 11pCIIC

rξαφα\'ίζΟ\"tΌΙ

\' Q

ιιιιιν c nuυc να vηίφχι·ι ηλεκφικό

ξiα μας.

...

οι π αραβολι κ ές κεραίες των

ιιεύμο !διοιι ιi ιαν nιιοδεκτό ότι ιο με.

συγχρονων ρnδιοιηλι·σκοπίων εί,•αι

ιιιβολλόμενο ηλι·κφικό πεδίο δεν

εκπληκιικι\ eιι<ι ίοθ ι)τες Ύμ ιι ιιρούν

ιφοκαλοι'ισε Κ(ινfνο ανόλοyο αποιέ­

να ενιοιιίοοιJ\' ροι\ cνέρyειιις με πυ •

.\εομιι ).

κ,·όημcι μικρόιrιιη οπό sec ι ιn'l.

. . . είνω λ<ινθιισμέ,•η 11 διαδεδομέ · ,.η άποψη πως ο Η~rι προγμοιοοοiη­

...

10'"' waιt -

για να μι·λrτήσουν ωιιίvες ι·

ιΙr ι<ι πειρομα ιά ι ου για να εωβε.

υψηλής ενέργειας. οι ασιρονόμοι

βαιώσει τη θεωρία του

Max.velL Σιη"

χιιηοιμοιιοιΟύ\' οπτικά τηλεοκόοΙα!

ηιαν μάλλο\' α,·τiθετος

rιατί: ΚαΟώς rιερνου'' μέσα από tη\'

σr ιιυ~η ιη Οrωρια και τη'' αποοeχιη·

ατμόσφαιρα. αυιtς οι ακιίνες παρά ­

κr μό\'0\' όιο'' οι ενδείξεις που ου ­

yσυ,· ηλtκ ιρόνι<ι υψηλής t\•έργtιας.

yκεηρωσε ο ιδιος ήιο,· αρκrτtς.

Τα εν λόyω ηλrκ ιρο,•ια εκπέμπουν

η μr ιόβοnη από τους ηλεκφι· κούς λομn ιι\ρrς μι· θερμαινόμενο

ακηνοβολια Ch~n'nkoν. η οποία ιr ­

,-ήμ"

ιηλι·σκόπια.

ιιρχή ο

Herz

...

uno

ά'·Ορακn nτους μοηέp·

..\Jκc1 καιοyρiιφrιαι ιιnό τα οnηκό

,-ους λιιμn ι ιiρrς μι· νήμα από βο.\ ·

φρόμιο ι·nι'ιρcψr

vn

ι'χιιuμε μια αύ.

~'1'"1 ntη Οερμοκρnοίn ιοιι ν ι'ιμ<ιισς

ΛΠΑΝΠΙΣεΤΣ. YΠOJF::JΞJ::JΣ ΚΑ Ι .Ι 1'ΣΕΙΣ Σ7Ί11:ΕΛ. 61

OUANTUM I ΚΑΛΕΙΔΟΙΚΟΠΙΟ

37


ΣτΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡ Ι Ο

Ένας μαγικός μουσικός τύπος Το κούρδισμα της κιθάρας για όσους δεν έχουν μουσικό αυτί Ρ.

Γ

Ι\ !'iΛ Π!Ι ηιΝ Α .\Ηθ~ΙΑ. ΔF.Ν

ω

F.X!I

καλό μουσικό αuιί. Klιnou-ς φο­ ρeς όμως μοιι nρι'αι·ι

vo

yροτ(ου •

Ι'Μ> ιφ· κιθορο μου. Και το δυ •

οιιολόιrρο μrρος για μέ1·α είναι rψl\'

ακόμη αρχιοω Ι'α ιιαιζω. ότιη• δη.\οδή npt'nrι

1'0 κουρδίσω ώ ι'ιρyιιvο. rιο \'(\

λυοω το πρόβλημα μια και κn.\η. ηηρο ί·νιι σ ι υ.\ό κ ω κiιθιοιι ο ιο γραφείο μου.

Mikheyev

n{f;.

Λς γράψουμε τώρ<ι tl'αl' ιύΙJΟ για τη1· ταοη της χορδης. Οια1· -<>φiyyoυ · μr · ι η λ"ιιδη. ιrΙ·ιώΙ·εται και πιιρομορ ­ ψώ\'fι<ιt.

11

δu,·αμη που αΙ·αmύοσε ­

ιαι οιο ι•λ(ιuηκό μfοον ισούται με

f' ~ εsΔχ ι

Κω Ι'iι που ι) φvοικιί με βοήθηοr! Απο ·

.

Σχήμα

2

δtiχτηκε ότι το μό,•ο που ιφfω:ι ηι

ύnου Δχ t'iνnι ιι rιιιμήκυνο η ιιις χοr­

κiιvω riΙ·ιιι Ι'Ο ~(ιζω αριθμούς σ· έ1·αν

διΊ<;. Ειο μι'φο ωu Υοιιηκ για το υλι ­

θο ει ναι Δχ - Νπd. Δι<ιrηστωοο πεφcι.

σvyκεκρψέΙ'Ο ωnο. Ι'Ο οτρεφω τα κλειοιcι ι ης κιθiφnς ι\οrς φορt'ς ηροκύ­

κό αυιό κιιι S ω ι·μβιιδίη· ι ης ryκι\ρ . οιας διιιιομής ιιις χορδιίς.* Εφόσοl' 111

ματικά ότι μια πλήρηςοιροφή ιοιι κιι ­ λl\·δρου ανιιοιοιχεί οε π~ 30 πλήρεις

ιιιrι οιιό ιο\· ιι'ιπο, και... τίποτ' άλλο απ·

= pV = {λ'ίl...

στροφές του κλειδιού. Έιοι, για 1·ιι m: ·

το vα αrιο.\ομβcι Ι· ω ιη μοvσική.

ιοουιαι μr

η κυκλικη συχΥότητα Οα

ριστρcψουμε τον κύλινδρο Ν φορt'ς. w κ.\tιδi πρέrιιι νο κόνrι n ~ Nn πλήρεις

Μrτο την rιοογωyή ηυτή. uς περά ­

oovμt οιιδ ι ο .\όyιn στις πρόξεις και ας

στροφές. Συ1•επώς. Δ.'

παροyόyοuμε ιοΙ' μαγικό τύπο.

yonoς ι φ· ιιμή ιιuιή οιο1· τύπο της

= nru/ n.

Ειοο ·

κυκλικης ουχνόrητας προκύπτει

Κο ι' ιφχnς ιις βρούμε τη1· κιικ.\ικη

Πρεπει 1·α σημειώσουμr αμfοως

ΟΙΙΧνόιητα μιας χορδής. Ας unοθtσου • μr όιι οι θrμε.\ιωδrις ταλαηώοεις. οι

rνα 1ψιοιμο οιοιχrιο. Υ11οθι'ιοηος υη

οιιοιrς ΙΙφι.\ομβιi,·ονιnι σw μισο μη­

ομογεΙ·είς χορδι'ς -δη.\αδη, την npω·

κος κvματος ι Σχήμα

τη και ι η δrίιιrρη χοιιδιi tt)<; κιθάρας.

Λφοv η ουχνόιηια ιολάvτωσης ν

η κυκλικη συ·

Οι όλλrς χοrδtς ι'χουν πρόσθrηι πε­

ουνδι'cτοι με ιιιν κιικλική συχνότητα

χνiιιιιτιι rξιιρ ιιΊ ι οι ιιηό ι· ψ τάση της

ριέλιξη ώο ιr η μηζο τους να εiναι με ­

ω μέσω tιις οχέοιις Ι' = ω 2ιι, Οιι έχου •

γαλ iιιrριι.

με

κίιριο ρόλο.

χορδής

F.

11. πιιιζουv τον

I Ιροφα,·ώς

το μίικος ιιις ι κοι τη μάζcι

tης ιn. Χριιοιμοιιοιι~Ι<tιις διcιστcισιακή αΙ·άλιιοη, ιιηίρ,·οιιμr το1• τύπο

111

=pSL. rιrριοριζομιιο ΙF σι· ουμnαyεις.

πΕ11d

ω= n

Ας ιιροχωρήσουμε τώρcι στιι διιιδι­ ιιιιοίιι ιεντι:ιματος ιιις χορδής. 11 χορ­

ν

pL' n

ι

2

.

nt:nd

ρι'ο ·

δή είΙ'<ιt rυλιγμένη σ' έΙ'CIΙ' μr.ιcιλλικι\ κύλινδρ.> διομι'τροu d. Ο άξοΥας του

Κιιιιιληγοιιμι·. λοιnόΙ", otOI' τύπο

κυλίνδρου OUΙ'OCI'toι μ' tl'αl' οδοηω·

που περιγράφει tΟΙ' ιφιθμό ιω1· σtpo·

όπου Α tl\·αι έ1·ας αδιίιοτοτος συ,·τr­

ιό ιροχό ιον

ψω1· ιοu κλrιδιοu:

.\ruτης ιαnοδrιξιr rοείς όn μόΙ'ΟΙ' αυ­

ριστριψουμr μι· ιο κ.\rιδι που ειναι

τος ο συΙ·δυαομδς ι<οΙΙ'

μηΧΟΙ'ttιά Ο UΙ'δtδrμf\'0 μr ουtόΙ·

ω = Λ.!t ιι11 F. F. L

και

m έχει

onoio, μπορούμε

1·α αι.

n•

ιιΕd

: 8\.•.,

διασταοεις κυιι.\ικης συχΥοτηταςΙ. 11 cικριβης λυοη ου ιού του προβλήματος

ι Σχημ<ι

πλήθος ιι~Ι· οφοφώ1· που εκτελεί ο

όπου Β

tΙΙ'οt η εξι\ς:

κυλινδρcχ: ()ιct'' ffYt<•>YOYtnς rη χορ ·

Ας υnολοyiοουμε ι ην uμή της σm · θrρος R. ΑνιικαΟιοιώνιας n = 30, ρ=

21.

ι\ς συμβο.\iσουμε με Νιο

4pl)nv'

διj. ιιv ι ή ι•ιιιμηκιίΙΨt<ιι κατά Δχ. Τότε

ί.ΒΟΟ

• D.\. κtιι

Σχήμα

38

1 MAPfiOI ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

ιQ <ψθρο Η μtynλι)βοοτι(ι .. στο ιεύχ:~ ΙσuλιιΗJ Αtιγοηστ(Ι\1 ΤΟΙJ (.JιιΜΗιιιrι. •Σ. τ.r. )

=4pL 'n

kg

ιn'. ι=

nEd.

0.7 ιn

<για ιφ· πρώτη

χορδή!. d • 5

ι ο"" nι, Ε= 2 . ιο" )<ι , ιn'. ιι(1ίρνουμε 8= 10 • seι:'. Έwι, γνω­ ρίζοντας ιιι συχνό ιι)ιιι LόΙΙ ήχου, μnο ·


I

'

.

'

ιαραχη . ιι μι:ιcιωrιιση τ ης οποι <Ις στο

(>Ι:ις Οt!)Οψέ<; ΟΠΟΗΟύ\"tΟ! yια Υ<ι Κ0lψ­

ίδω οημι·iο rου μέσου θα 11ροκύrιτει

δiσουμε tι} χορδιi. Ας ιιrοnιιιιθήοουμt.

οπό tηΥ ορχη τι]<; ε11αλληι\iος:

Η rφc:Ηη χορδιi πρι' πει vcι κοuρδι­ ι>ιι'i ιηο μι ηάΥω από το μέσο

vto.

300 Ηι. Α υ ιό Ο\' ι ιο wιχεί ο" n 1 : 9 rιλή­ ρεις στροφές. Η δεύτεpιJ χορδή ιιαρι"ι­ γει το σι κότωοnό το μέσο νιο c ι· =

247

Ηι ι, ιωι το κλειδί πρtπει να εκ ιελί:ucι 11,

= 6.1

\' = • Γ1 + •,.

~

ίι.

οπό φυσική άηοψι1 στη συχΥόιηια ι•:

rιλ!'pεις στροφές.

Όλο φcιί,·οηοι υ11έροχcι. όμως μr

,.

'

!)Οιίμt: ΥΟ πrοσδιορίσουμε πόσες ο.\ιj­

.

= 2.'\συν

ι

ω 1 - ω"IJ

~

tσU\"

ω

I

η

2

ι (,

Σχήμα

t'

ιr =- Λ" συνωιtt

.4" =2Αουν

ω

1

χορδές. Παρομένει. όμως, uκόμ ιι μια ι·γοχλ ητικιi λεπτομέρεια: η χορδή δεν

- ω

' ι.

2

3

μπορεί ηι τεντωθεί πάrο πολύ. διότι Οα σπάσει. Ποιο εί,·αι το όριο Οραίιοης μιιις

αuιόγ ΤΟ\' τρόαο μιιοροtφr νtJ κιnφ ­

Λφού ω, Ξ ω,, τότε το Δω = ω, - ω, έχει ηολύ μικρή τιμή. που σημοίΥrι ότι το

δiσουμε μό,·ο ης δύο nρώιες χσρδfς. ΊΊ

ηλciιος Α. του συ,·ολΙκού κυμοτος με ­

οκευασμέγιJ οπό κοινό ατσάλι. 11 τάση

συμβαίνει με τις υιιόλοιηες: Η φυσική

ιcιβ(ιλλετω αργiι με το ΧΡό''Ο. Αυτό ΤΟ ·

που σnάζrι αυτό το υλικό εjνω omn.ι

μάς βοιJΟ{ι και πόλι

νίζι·"" οπ6 τη δ1nκι·κομμένη γραμμή

5 · 10' Nt n1' . Αφού

11 λι'ξη •διακρόrη­

μα• ίσως σας εί,•ω ήδη οικεία ωιό τα

οι.ο διίιγ(κιμμ<ι 1.1111 Σχιiμ<ιη.>ς

χορδιiς: Υποθέστε όη είναι κατο­

3.

-

=-

ΕΔχr'"" .. L

κεφάλαιο της κυμοιικιiς. Γιο όσους

Λ'' ιιι δύο ορχικ(ι κύματα είναι ίJΧοι

από σος LΙ) οιι\·ο,· ω\ιν πρc:ιτη φορά. θcι

με yειτοηκέc;σνχνότηεες. μ11ορούμε ν"

εξηγιjοω Ι:\" οιινιομία τι σημαίνει. Θrωρί}οτε όη δύο κύματα ίσου ηλά •

ιικούσουμr τψ περιοδική nυξομrίωο η της έ\·tαοης ιοιι ι"ιχοιι· κ ω άυ ιι'ς οι ου ·

τους διαδίδοηαι σ' ένα μέσο κατά tJ}\'

ξομειι;>οεις λέγον ι ω διcικρ() ι ήμ<ι ιο.

ίδιο κατεύθυ,•οη. αλλά οι οuχΥόιιιιές

Μtοω α υ ιόιν θ<ι μπορέσουμε \'U κουρ ­

--<)ηλιιδή. •ο κλ"ιδi ΠJ)i:πει νο κάνει τtσσcρ1ς rιλipεις στροφές για να πετύ ­

τους είνω λίγο διοφορευκές. Οι με ω ·

διοουμ~ και τις υπόλοιπι·ς χορδές. ΕΙ ­

χουμε μrγιστιι συχνότητα

τοπίσειι; που θα ηαrοyάγου'' σε κάποιο

\ ' (11 γνωσιi> ΙΙ<>Χ; r.λι:ίιθφη η &:ύιερη

Εnι:ιδή οι ιφιιyμαιικές χσρδές εiγιι ι

οημeιο του μέσου

On ΙJΙ"ριγρόφονιοι

χφδή ιψέrιει να έχει ιην ίδια συχνό­

φτιαγμένες από ειδικό κρ(ιμα, το όριο

από τις συναρτfpcις ,v1-= Α Ωην(ι) t κπι

rη«ι με τψ• τρίτη χόρδιi όταν f.J}\" ΠΙ ­

θραύσης τους riναι υψηλότερο. Λυτό

.''! = .•1 συν ω!t

έ(ουμι: με ω δάχιuλο σrσ rέ ιφιο ι.Ι ­

μιιορούμε ,.α

στο. Χτυπώντας κω τις δύο χορδές

μα ιΙ.J<ό ιεηώνονι<ις μια χορδή μέχρι

ωυτόχρο,•α, ακούμε

\'Ο ΟΙΙ(ωει. Οι υιιολογιομοί γi,·σνιω

11 συμβολή t<•>V

1

δύο κυμάτω\' θα

δώσει μΗl ουηοταμένη κυμαηκ_ή δια -

co διακrοτήμαια

εφόοο,· οι ουχγόιηιtς

σuιιι.χ fΠ&TOJ ότι ~ ι::e:u

μία στι1ν άλλη. Λ ν είμα ­

ο

οιε κοvιό ιιιο οωοιό μ1ιορού με

v = 200 Hz.

w υηολογίσοuμε ιιειρο­

εύκολη με ιο" ιιίιιο

τους βρίσκονται κοντό ι1

κοίιρδιομιι,

L = 2 nun = ο •η•Ηί. Ε

Δχ

πdEn = . "'"" La

Σιιάζσ\"ΙΟς μφικtς χορδές. βρήκα

να μeφΙ·)Οuυμε το χρόνο

όtι η τιμή σ~,

ονc\μεσα σε δύο διαδοχι­

ναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από

κές αυξομειώσεις του

την τιμή για τιι; χορδές από κοινό α­

ιίχου. tl)\" rιερiοδο ιων διοκροτημάτων. Ας ου μ ­

ιοι'ιλ1.

βολίσουμε αυτό το χρό ­

μάθαυ με πολλά οιιό μια κιθ.'ιρο εκ ιός

νο με Τ. Τόιε ιο οφ(ιλ ­

ιιιιό ιο να ηιιiζουμr μουσική -μπο­

μα ο ιο tωiιρδιο μιι ιιις χορδιiς είνω

ρο(ιμε '"" ιη χρη<ιιμοnοιήσουμ" yιο ''ΙΙ

Δ\'

Όπως διαΙJΙΟΊώνεcε, μηοrούμε γα

rωριιγι"ιγουμε μερικά ενδωφέροηα φυοικci φαινόμt\'Ο. Και το θέμα αυτό

1

κόθε άλλο ιιπρn έχει εξαν ιληθεi. Το πιο ε'•διrιφrρον μέρος βρiοκειω οκόμιι

νιι = τνl) ·

όnou ν εiνοι

= 5 . ιο• Νι Im', που εi.

11

οωσιή

μΙΙρι>οιι\ μας -μια διερείη•ηοη ιων

συχΥότητα. Προφανώς.

ακουστικών ιδιοτίJτωγ

καθc:ις tO

Τ ~ οο, tO

νου n\' tηχεiου ιιις κιθάρας. Ίσως η

οφιίλ μrι yί\•f:ιιιι u μ" •

φυοική μπορεί ''Ο μας βοηθήσει κα ι

λφέο. Όοο μεγαλίιιερη

εκεί. Τhθονόν θ(Ι μποροίισι: νιι Dj>Ou:ί ­

είναι

η ιιcρiοδος ιων

\'fJ ηκ6μη κω fγα άλλο σχήμη ~ να

διωφοτιwάtω,· ιι\οο καλύτερο το κούρδισμα.

ιιου θα ιιuρiιγοyε ήχοιιι; μnyr.u ιικόη· •

Χριισιμοποιόιηης

111

μέθοδο ουτiι μποrούμε

wu

ιι<ιλλόμε ­

ρους από εκείνους οι οποίοι ξεχύνοvιω

οπό 11<; κιθι\ρrς nαιι κλιιρονομήο11με αnό τους ηολαιότεροιις.

lt1

,.α κουρδίσουμε όλες ης

OUANTUMI Σ10 ΕΡΓΑΙ1ΉΡΙΟ

39


ΣΚΕΨΕΙΣ

τι είναι η κομψότητα; Οι μαθηματικοi λένε: ιιΤην αναγνωρίζω όταν τη βλέπωιι.

Julio Angwin

Σ

Σύμφωνα

τΗΝ Λrχη~κτο:-ιικιι. ΕΚΣΛΡ­

με τον ούγγρο μαθη-

τρέπει σε κόnοιον θνηιό \'ή κρι.ιφοκοι ­ ι(ιξει μία από rισιές. ·Δι: ν χρειίιζειιιι καν \'Ο rιιοιεύειε σιο θεό, χρειά(ετω

κωοη της κομψόη}τας μrιορε! νιι

ματικό

Ρaιιl

I::ι·diis, οι κομψές

θεωρηθri ένας ελλφ•ικός ναός.

οποδείξεις

οιέλΥονtα ι

Σιι] μόδα. tvα φόρεμα rης Σιιvtλ.

από το θεό. Η

Ιιιιοψ η

r.ιιυ

απλώς να mσιεύετε στο βιβλίο•. υnο ­

,;.

ο ιηρί(ε ι ο Ει·dοο. ··~ό ηώς ΥιώΟειε:

ιιεριέ χει ό-

"Jlόuo aνόητος ιiμουν που &ν το σκέ -

Στα μαΟιnιαηκiι, ο ό(><χ; χιιηυιμοποιεi ­

είναι

ται για vα περιγρiιψει ιις καλύ τερες.

,.α βιβλίο που

ιις συηομόιερες αποδείξεις, ι:κείνες

λες ης όρι­

που είνοι 01 πιο εμ ιη·ευομένεc; και

στες

απο ­

Μι·ρικi·ς q>ορiς. όμως, όιιως ισχύει

ταυτόχρο,•α μποροiιν νιι ερμηνεύσουν

δείξεις και

και για nολλά άλ ·

ιιcριοοόιερα.

ότι μερικές

λcι ιrρ(ιγμιιι<ι.

φορες ειrι-

κομψότητα ι:ίνω

Ο μαΟημαιικi>ς lι·,·ing KapJaπsk~·

ότι

ο

θεός tχι·ι

φτηκ α μόνος μου"...

υuοyραμμί(ει όtι "μια κομψή αιιόδει­ ξη αrιοκιιλύιττεται μπροστά στα μά ιια

αnλι;ις θέμα

Λ~επέρασιιι εί ,·ιιι Ι] κομψότιμα οι.ις αrιοδείξrις ιου

Carl

Fι·iedι·icJι

·(Μου (\ρέοοu ,. (ι υ ιά το συνδuαο ιη((Ί θ&μn ιc:ι, ω onoiα

,-

οι συνίιδελφοί μου θεωρούν

Gauss, ο οιιοίος έζησε στηγ περίοδο

οrιπιάλη χρό'•ου .., λέει ο John

ΠΟU ιιι<ολούθηοε tι] ιιnγδοια εnέ ­

Con,vaγ. καθιJ}Ι]tJ]ς ο ro Jlcινε­

κτησιι και αΥάnτυξη ·ιο"' μιιθη ­

πιστinι ιο ιου Πρί,·ιΗον.

μηηκών κητά τον 18ο ω~ιΥα.

Πά \'tως, οι ηεριοοό ιερω μηθη ­

Σίιμφωνα όμως με ιαy μηθημα­

μcιτικοί ουμφωνοιί'' ο ω βιιοικiι:

τικό Haι·oJd E<J,vards. που μελε- / -

ι Οηοιαδήrιοιε απόδειξη ΧΡΨ

τό τηγ ιστορία ιωv μαθημu tι -

σιμοποιεί uιιολογιοιή γιο εκτr'-ή

κών, α υ ιός ο ωι:)ν<ις δεν υπipξε

cncξcργαοίο rιριθμώ'' δεν είνιιι

περίοδος κομψότητας. Ο Gaιιss

κομψ ή (σχι:τικό παρcιδειγμα η

ιiιαν αυ τός 11ου uυγκeνtρωσε και ξεκuθόριuε κατά τον 19ο ωώ,·α ιο

'- '

αιιόδι-ιξη ιου θεωρήματος των τεσ­

-

οάρων χρωμiιτω,•).

έργο ΙΙΟι.ι είχε εmτευχΟεi ώς τόιε.

2.

•·Ουδέ11ο ι ε δημοσiευσε οτιδι\rιο ιε ϊ;

πριν ιο ιελι·ιοrιοιήσει nλι'pως... αναφέ­

g

ρει ο Ed"·aι·ds. καθηγητής σοο Πανε­

rιισιημιο ι ης Νέας ΥόρκιJς. <::· Ο Gau.'<~ απογοιjτευε τους συναδέλ::.ι. ::7) φοuς ""' ~πειδή δεν παρουσίαζε ιις >

=-

ιιιιοδείξεις του όταν δev ήων ακόμη

·g_

\•οός f:ίΥω ολοκλrpωμένος μόνο όιον ιιφιιιρεθεί και η τελευτοiα σκcι.\(.)Οιά.

g. ιέλειεc;: θεωρούσε ότι έ,·cις καθεδρικός s~ > <> ~

:c:

yού -

οωιι.

~~

μας και μας γεμiζr.ι ε,-Qουσιασμό•.

η

Το muτεύω του η'ταν

Paιιca

ιrrutuπι --<•Λίγα αλλά ,;Jριμα ...

40

ΜΑΡΥΙΟΣ ( ΑΠΡΙΛΙΟΣ 199$

sed

Οι κομ ψές <ιΙΙοδι-ίξεις κατονοού ­

νται εύκολα.

ι

I

,.. - .

'

Ίο κλασικό rιαρ(ιδειγμα κομψότη­ ως εiναι η σίJvι.ομη άιιό/iι;ιξη οοιι ),;υ­ κλεiδη ότι υπάρχει άηειρο ιτλήθος πρι:ι­

ιων αριθμών. Π~Jτας αριθμός εiΥα ι α υ ιός ιιου δω:φείτοι μόνογ ο πό τοΥ εαυτό ιοu κω αrιό ιο 1. Οι ιφιθμuί που δεν είναι nρώιοι διαιρούvι:ω ιιnό nρώ ­ τους αριΟμοός και ονομ(ιζογcnι σύγ ­

θετοι, μια κω ουνι:iθενιαι ω ιό ιιρc;)­ οους.

.. JI

αιιόδειξη α υ ιή εiνοι ηλ ικiος


2.300 ε ιώ''

και όμως δrν υπάρχει κα· μία καλύ ιερη•, μας λέrι ο Kaplans ky.

σας είνω οπλι\. έχετε ιιι·ιύχε1 κάτι

Παρομοiως, έστω j, ιο μήκος της με· γαλύιεριις φθίνουσας υηακολουθiος

επίτιμος διευθu,"tής ιοu Ινσnτούτου

σπουδαίο•, ιονίζεΙ ο ConWI\_\'. Μια σύ.

11ου καταλήγει στο Α .. Στο παράδειγ ­

Έρεuyας

ατο

νιομη και ΙΙrpΙεκτική αnόδr1ξη t\'ός

μα μαι;, ο,.

Πα,•εnιοιήμιο της Καλιφόρνιας, στο

λιγότερο οημονιικού θεωρήματος,

γουοa ακολουθία nου καιαλήγtι οτο

~1πέρκλεϋ. 11 αιιόδειξη ιοv Εvκλι-ίδη είναι σύ •

υnοοτηρlζεΙ, δεν θα Οεωρηθι:ί κομψή. Θα εί,•ω α11λώc; χαρΙtωμένη ή ενδ1α­

Α, ~ 2 είναι <11. 5. 2> ή <1 ι. 3. 2> ίι <Ι ι , 7, 2>. Σε οnοιαδι\ηοι:ε από 011 ιtς τις οε­

ντο μη κιιι παρακάμπτει ιο γεγονός ότι δεν υηάρ)(tι αριθμητικός τύπος nου ,·α

φrρουσα.

ριπιώοεις. j, •

6, ι'χουμε

καθορίζrι Ο\' ένας αριθμός είναι ιφώ­

Το σπουδοιοτερο όμως χαρακτηρΙ· οτικό μιας κομψης αιΙόδεΙξης ι·"·αι όn

ιος. Χωρις ιην απόδειξή ιου θα μπο·

οnς αναγκ(,(ει να οκcφτείτr,

.. Λ χ! 'JΊ

δε\• υrιόρχουν δίιο ομο1(1 ζεύγη tέ·

ρούσε κίιnοιος να nαλrύει μά ιαιο με όλο και μεγι.λίrτερους 11ι,κ;>τοuς ιφιθ­

aνόητος ήμουν να μην ιο σκεφτι;>

tΟΙων οκερcιi~>ν. Λς υηοθl·σουμc ιο

αυτό ...

ιιντίθειο: έστω όιι Ι im, j•J " Ι i,.}.ι για

μούς χωρίς να προσδιορίσει non' εΥα ανώw ιο όριο. Ο Ευιι.\rιδης υοεθεσε

Για nαρ<ΙδεΙγμα. ας εξετάσουμε ιο ιφοβλημο ΙΙΟU έθεσε ο μαθημοnκός

κίΙΠΟΙους δείκτες

nnλώc; όιι υπάρχει ένας ιrλικός ιιρώ­

Ron Graham. θεωρήσιr

τος αριθμός και Qnέδcιξι· ότι α υ ι ή η

Οία 101 διοφορετικώv ιφι θμών δ1α •

υπόθεση μας οδηγεί

ιrταγμένων σε οποΙιιδήnοιr τvχοία

μr aπλώς"'' ιιpοσαριήσuυμr ιο Α, στο ιέλος μως aύξουσας υπακολουθίος

οειpά. Ο Gruham unοοτηρiζtΙ ότι μπο­

μηκους i.,. Ι lορομοiως. ΟΥ Α, < Λ~ ιότε

ρούμε ,.α βρουμr σε

ouw w σuνολο μΙα γνήσ10 αύξουσα ή γνήσΙα φθίνου •

i. > j_.

σα ιιrιιικολουθία 11 αρΙθμών.

μές των i1 κω j 1 είνω με ιαξύ ιου ι και

τω,·

~1αθημnιικώΥ

oc οντίφαση.

Ιδού

η απόδεΙξη: Ι. 0-·ομά(ουμε

Q ιον

μiγ1σtο ιφώ·

ω αρΙθμό.

2. ΠολλοπλασιίΙζουμr ιο\' Q με ό · λοvς τοιις μΙκρότερους ιιρώτους αριθ­ μούς:

2

>

3•5•

ϊ

•_ •

Q.

μιο οκι>λου­

Κατ' αρχιΊς, γιο να αnοκιήσουμε μιο αίσi)ηοη ιου nροβληματος. ος θεω­

3. 'Εοιω όπ ΡιοουταΙ μr αυτό το \'Ι· νόμενοου\• ι: Ι2 • 3 • 5 • 7 • _ • Qι+ I = Ρ. 4. Το Ρ δεν διαφείιω από κανέναν οπό τους αριθμούς

χρήσιμο ή θrμελιώδες και η ιιnόδειξή

2. 3, 5, 7. ~ Q. διότι

91. 92, 93, .... ιοο. sι, s2, 83 ..... 90, 71, 72. ϊ3. .... 80, .... ι. 2. 3. .... 10.

οnό κόnοιον πρ<;ηο αριθμό διότι είνω

μιουργήσουμε μ1n φθίνουσα υπακο­

σύ\i!ειος !αφού Ρ

λουθία ιο ιφιθμών, όπως η

Q,

αφού

~Ιnορούμr ιωρο ,-α οπόδεΙξουμε όn

m και

η. όηου

n > m. Λ ν, τώρα. Α. > Α., ιότε οπωοδηηοτε i, > i,., εηε1δl\ δΙοφορeιικά θα μΙιορούσα ­

Ας υηοθεοουμe τώρα ότι όλες οι ιι •

1011 10. Τόιε 6ο είχαμε 100 ζεύyη.

65. 55, 45.

35, 2.'i,

οης νο επιΜξrτε

ΙΙεριέχεΙ t"α

101 ζrύγη. καΙ εηομέ· Dirichlet · μάς εξασφα ·

11. Τι> ζεύγος ο υιό μας

•υπόδεικ,-ύεΙ• μια ζητούμενη υπακο­

λουθiο. ΠρόβΜιμα

2. Γενιιιεύσ ιε ιο οnοtέ­ λεσμα για μ1α ακολουθία n• + ι δΙαφο­ ρετικών αριθμών.

95, 8.5, 75,

Πρόβλημα 3. Βρείτε ένοονιιnαρό­ δειyμα ηου ,-α μας δείχvε~ ηως ότα\• οι

15, 5. Μnορείτε εnί­

101 αρΙθμοί ιης ακολοuθιας δε'• riνοι

αυξα,•όμεγους

δΙιιφορετικοί, το αποτέλεσμα δεΥ Ι­

10

έχουμε ωιοκλείοει όλους ιους μικρό­

αριθμούς. Όμως είναι αδίη•οιο να βρεί­

ιερους ιφώτους. Αιιτό έρχrιοι σε αντί­ φαση με ιο βήμα 1.

τε μω αύξοΙΙΟ<ι ι\ μ1ιι ιρθί,•ουοιι υπn­

7. Επομένως. η υπόθεση είνω ψευ •

k=

λίζει ότι κάποΙο οπό ια ζεύyη ιψέnεΙ "α

μών. Μnορούμε να επΙλέξουμε έ\·αν αρΙθμό αι1ό κάθε δεκάδα και να δη­

είναι μεγαλύτερος από ιο

όταν

αριθμούς δια ιεταγμέΥους ως εξής:

αφή\>ει υnόλοmο I. 5. Το Ρ, όμως, πρέπει να δΙαιρεί ιαι

Λ υ ιός ο πρώτος όμως ορέ πει να

3. Ε:ηομένως, Α, =12. 3ι.

ρήοουμe ιους πρώτους ιοο φuσιιιους

Αυτή εί,·αι μια ακολουθία ιοο εψΙθ·

6.

η μεγαλ ύ α-ρη φθi­

Όμως. έχουμε vως η αρχή wυ

η διαψεοή ιου με καθέναν οπό αυτούς

> QJ.

k = 6,

κολοvθία ι Ι ιφιθμώ,-.

Επομένως. μπορούμε ''" ΙΙΙστέψου ­

σχύει. Μη οτενοχωρηθciτε ον

01 ιιnόδείξεις

σας δεν είΥαΙ κομψές ~ι περισσότε ­ ρες αποδείξεις δεν είνΟL Να θυμάστε

δής ~ρtπε1 ''α ιιηαρχε1 άmφο ηλη·

μe δΙαΙοθηιικό nως ότο" έχουμε

101

όμως όη πρtπει νο έχετε ια μότια οας

θος πρώ>ων αρΙθμών.

αριθμούς, θα υπάρχει μΙο ιιlτοιο α κο ·

ο\'ι>Ιχια μ ηn ως ουνανιηοcτε απροομε -

Πρόβλημα ι . Παριι τηρήστε ό tι ο

λουθiο ι ι αριθμών. Γlώc; γίνεται όμως

να ένα αnόοΙΙασμο οπό το βιβλίο του

Ευκλείδης δεν ΙOXUpio ιηκε όιι ο Ρ εί­ νω αρωιος. Πραyμοιιιιά, αnοδείξτε οιι

να το ωιόδείξοιιμε; Η τεφιμμένη nρο­

θεού.

σέγyιοη εl\·αι να ελέyξουμε όλες tΙς ηερmτώοrΙς. Ο μως, θα χρηοψοnοιή ­

Όπως λέει α Johπ Con..·ay: •Μφι • κtς φορές to μαθημαtΙΚά μοιάζουν με

οοuμε ένα χοριιωμένο -ή μάλλον,

μια ηεριηλάνηοη σε άγνωστη nόλη.

κομψό- ιcχνaσμα.

Ιl εριδΙαβοίνετε κάποιους δρόμους,

2 ' 3 ' 5 < 7 • ι) • 13 + ι διωpεΙUlΙ από t0 59. Μιιορείτε \'Ο βρείιε έ"ο" πρώτο διωρέtΙΙ ιου 2 • 3 • 5 ' 7 χ Ι ι • Ο

Α νησι.οιχί(ουμε σε κaΟιlνον από

13 • 17+1; Η γοητεία ιης απόδειξης του Ευ. κλεiδη οφt"ίλειω f\' μι'ρrι στο όη αυτό

το ono tέλεσμα εί,•αΙ εξαι()fτικά χρήσΙ · μο. Πέικι από ro ρόλο rιou nαίζου" <πηv καθαρή θεωρία αρΙθμών, οι μεγάλω πρώτοΙ αριθμοί XPIJOiμonoιoυ\"tOΙ σιηΥ κατοοιιευη αλλά καΙ ιη\' οnοιφυιηο ­ γρόφηοη κρnιικώ'' κωδικι;>Υ.

•Αν αυτό

11011 αποδεικvύειε ι·ίγω

τοιις

101

ιφιθμούς Α1• Α., ~ Α.,~ Α 101

r\·α ζεύγος αιιcροjων Ι i,, j,Ι ως εξής: Ειπω i, το μήκος tης μεyολ ύ ι:ερης αύ­

.

'

.

.

ξnφνικά σφίβeτε οε μια γωνiα και η θέα αλλάζεΙ -;!λtηειε ιηγ ομορφιά

όλου ι.ου tόnου •.

I)

ξοιιοnς υ ιιnκολουθίnς που κιι ιrιλήγcι οιο Λ,. Αν. γ1a παρόδειγμο. η οκολου · Οίο ciYoι η <I ι. 3, 5. Ι. 7. 2.-> και k :

6. ιόre η μryn,\ύτφη ιιύξουοο 1111ιικο· λουθiο που κιιταλήγεΙ ιιι.ιι Α.= 2 εί,•αι 'I <1. 2> κω i,, = 2.

• Β.\. τη σημeιωοη 3 ωu άρθρου Ιlρος UJ" ΚΟj)Uψη toU Of,IUUς l.'('rmat ·Euler• Oto αι:ύχος Ιnυι\ίου 1 AU\'ό1JfJLOU [OU Quantum. ιΣ.u.• au-.Nf\JII / ΣΚΕΙΙΙΕιΣ

41


ΣΤΑ Π ΕΔΙ Α ΤΗΣ ΦΥΣΙ Κ ΗΣ

Σχηματισμός νεφών ιιΝεφέλες αεικίνητες ας σηκωθούμε υγρές και αέρινες και μεγάλες απ' το βαρύβρο vτο πατέρα μας Ωκεανό στις κορυφές των βουνών υψηλά τις δεvτρόφυτες.ιι

Arthur

Eίsenkraft και

-Αpιστοφάvης

Larry D. Kirkpatτick

ιη δοu.\rια ι ης. Τη ρώτησα.

θrιται οπό ο\•tιοτοιχη ε.\οηωση του

ντα κυβικο μrφο \Τρό να ωω­

.\οιηο''· Ο\" ειχt οyοιχιοrι ηοτr κοyι·ις

οyκου. με αποτελεσμο το μπα.\ό''1 να

ρούνται στο,· αέρα: Μα. μετα­

cΥα μπαλον1 κα ιn ι Ι) διάρκtΗt tc.)υ

φηι,·rιοι μιοοφοuοκωμενο. ~ονο

τρέηο,·τός ια σε ούν'"'·φο' Φαί­ νει<ιι οχι·δόν Ο\"tιθrιο 0111 διαίσθησή

χrιμι;Jνn -κ ω

JΙrιλιτriα μος ο

μncιίνοντος στο κατάστημα, ιο μιια ­

χειμωΥας riνnι β<ιρύς- κω r:ίxr tπι ·

μας ότι ο υγρός eιέριις είναι λιγότερο

σφcψει λίyο λεΙΙιίι ιιργόιιφιι δΙΙι ­

λόΥι Οα Ι,αναφσυσκωοει με μοytκό ψίιΙ ΙU. (lcpclυ 10 αrριο Orρμnivrιnι.

πυκ\•ός αιιό ι Ο\" ξηρίι και όι.ι μιιορrί vn i ι ιιιιιcιι ιιcΊνω οπ' τιι κεφάλια μας.

μιιριuρό μι·,·ης όιι ιcι μ παλό''' Ιίτον

Ένα δεύ cερο οιιρc\δr·ι γμα εφαρμο ·

Το μιιριυροίιν οι ΟύοαΥΟΙ και οι σω­

Ι!ri κιιιι ιί· ιιιιο μφι κrς φορrς. αλλά

γιiς του γόμου 1ων ιιι-ρίω'· i·χcιυμε όιιη• φοιιοκc;\\"ΟΙιμι· ιο λάστιχο rνός

ρrιτες και σι μtιριιί&·ς ολλες μορφι'ς

ι ι tι ΥιιΗf' κιηιιφερνε να πείθει τοΥ

nοδη.\ότου . Σιn ιιιφlιδrιyμα ο υιό ο

OU-

ncλittη όιι ιο μι1ιιλόνι θα ξσνιιφού ­

όγκος του .\αστιχου ιιιιραμενrι οιιι­

ιχινο. Η δημιουργια \"tφc.ι,· μάς αnο­

σκωη μόλις ιο fll)yon·ι· οιο οnιtι

Οcρός. ΚιιΟώς όλο και ιιrρισσότερος

καλυητtι ιδιοτητες ιοοο του πrριβ<ιλ­

10u~ Σι φ· ιιραyμαtικότηtο. t\"ώ δι ­

οι'ρας εΙσeρχειαι ο το .\c\ιnιχο. η πiε ­

λο,·τος οοο και ιων αερίων. Λόγου

κοιο,\οyιοια'· otO\' δυοnιοτο οεlοτη.

οη ουξιι,-ειαι. μr ιιιιοιi.\rσμο

χάρη, ο\" nρσσεξετε οτι οι δυιικtς

ιο μnα.\0''' φουοκωνr μηροοιά στn

ξο,-ετοι αηιστοιχα και η Οερμοκρ<ι­

ιι.\αyιrς ιω'· Ι!ραχωδω,· Ορι'ωΥ κα­

μοτια τους.

<rio

.\υιιτοΥtοι από η .\ουοια βλάστηση

στο μηαλονι μου rρμφ·ευι· ακριβώς

του λοοτιχοu. Πιιιοιr ιο λάοηχο κοι θα ιο διαηιοιι;ιοrιr. Τα λόοηχο

t\·ώ οι «'"Ο τολ ικες εί νοι οχεδά\· φο ·

αυιό ιο ψαl\•ι\μι·νο.

των ουτοκινι)ιωγ τ() χt·ψώνα εiναι

ΙΙΣ ΜΠΟΡΕΙΤ!: ~Α ΚΑ:-'Έ"η:

n

ιtι)\' \'t't{)C))\'

110\J

tAP.\

(1Hι){)()U\'tQI σtΟΥ

.\οκι:ιι>ς, θα μιιορέοι·ιr να οuμηrρόη­

fKa,·r

τρύrιιο.

Ef11r

ot ην

όtΙ npιιyματι είχε συμ­

11

μυο ιφιιdδης εξίσωση

-

,·n

·

ου ­

PV

ελαφρώς ξrφοΙΙnκωμι'νο ότιιγ ξεκι­

rιrριγρίιφrι ι η οχέσι1 μεταξύ

νοτr ιο ιαιiδι οος. όμως cιναι κολο ­

ιω,· μιικριΙΟΚΟΙlΙΚων ιδιοτήτω'' ε'·ός

φουσκωμένο ι\ιον (ι'ο ωθουΥ λογω

ιιrρiοιι ΙΙΟU πι-ριrχι·τα ι ο· r Ya δοχείο.

ι ης ιριβιiς ιο11ς μc το δρόμο κοι ι.ψ;

παιχνιδιών γι(ι \'(ι ιιγοριισω ένα με­

Σιι1ν rξίοωοιι. Ρ εiνeιι

ιιιψ" μiψφc.ιιοης τω'· nλοΊ,•ών τοιχω ­

γάλο μιιαλόνι. Εκrί. λοιπό\·, όχι μόνο

..rρίοu. Vcιόγκος του. Τη θερμοιφο ­ οiα ωυ σι· βαΟμους Κtλβιν. n ο ιιριθ ­

μό ιc.ι)\' ιους.

,·ουν πάνω ιοιι τη φρόοη που cnιθu­

μός ιων mole του αεριοu και R η ηα­ yκόομιn σταθερα τω,· αερίων. Στο

μιιορι·ί rnίoηc; '"" βοηθησει τους αν ο ­ yνωο ιες μος ' "" κοτολόβουγ ηώς

μrις. Όιον μr ιχ.ιτησιιΥ τι ήθελα ,.ο

ιιοριιδrιyμο του μηαλο\"Ιου. η πiεση

.\ ειιουρyrι μιιι

yραφrι το μιιιι.\όη. t\·ριιψο σ· ηα

ιου ιιrριοu διιιtφt'itnι οτοθrρή ~ς

εισιη·ι'οιl\· ια ιl\τuμόηα μας μέσω

χαριί:

ιιRΤ. Η υηοΗη.\ος cl,t-

ιιουμ t ιοη με τη,· οτμοοφοιρική πiε­

τωΥ κη·ηοεω'· ιου διαφραyματσς, και

ηλόyη κοι ιχ.ιτησε η σήμαινε η rξι­

οη. Η θrρμοκραοιιι ιου nrριου εί,·αΙ

ιιως f \"O ιιrροοτοτο Ο\'tρχετοι και

σωση. Αφοiι rιιιιχιδrχτηκr οτι

cixr δι­

ιοη μr ι η θrρμοκραmα του δωματιου.

κοιερχrιω μι·οιι οιη'' ατμοοφαιρο .

~

δαχΟtί χημrιιι ο το γυμ\·όσιο. είχα τη'· rλnίδα όιι ()n μΙΙορουσα ΥΟ της μάθω

Κοθως ο ''ι·ος ιδιοκ τητης του μηολο ­ ''ιού βyιιηη rξω (110\" κρυο χrιμω­

Συχνά οι φυοικοι κnι οι μιιχιιΥικοι

~

το νόμο τω\• t&Ι\·ικων οι-ρiωΥ όσο θο

νιιι "κο ncριι. η θrρμοκροσίο του αε­

ιι· όιι τα eιέρια ρεύμαι.ιι ι'ρχοηαι από ιu δυτικα. ιιη· tO\" Ειρηνικό Ωκεcl\•ό.•

Περuο ι. μιιιiκn σ· ε''" κατάστημα

σου φουοκΜνοΗν το μπαλόνι με αέ­

ριο ήλιο. ολλίι rnιnλeo,· σου τυηώ­

PV "

Ο '"όμος ιων ιδιιηκώ,· αεριωΥ.

.

= πRΤ.

•1

πίεση

rou

φιιπικrjς,Ι~κtiόοεις Κiιιuιιφο.ιΣ.t.r..Ι

42

Ι\ΙΑΡτfΟΣ • ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

xu ιιχι

ιιιχύτηtος. ηώς

-"'

" ",. "'

§

~φόΟΟ\" η ιιίι·ο ιJ nοριι μrγrι η ίδια. η

nrριγριiφου,· ι η οιιμιιrριφορά ε\•ός ~ αερίου μcοω ενός διιιyρiιμμοτος Ρ - ·2_ V. όπου οιον όξοvn ·" οημεΗ.ι)νοντηι ;.~ ΟΙ ιιμl·ς ι ης ιιίι·ο ης του αερίου και ;:

rλάττωση τι1ς θrρμοκροσίας οκολου -

ο ιον άξο,•cι .ν του c}γκοu του. ΓΊο πcι -

ρίοιι μi·οιι στο μπαλόνι ελοττωΥrtοι.

• Ηλ κnιl"ρ. 3.17 010 βtβ.\_ιο Τυιιιιηη·ιφJ UF

Ο νόμος ιων ιδανικών cιερίων

~


Μ

0

και Μ, μειpιούνιαι ίοες α ι μα­

κό άξον<ι ιοu κη ιόη ιρου σε ο πόστα­

ράδrιyμα. μια ισόθερμιι μεταβολή σε διάγραμμα Ρ- V εκφράζεται από μια

σφαιρικές π•έσεις

σι}

υπερβολή, εφόσο''

οιαθμό ι\f,

ό11ου

PV = nRT = οταθ.

Τέσσερις μεταβολές των ιδανικώ,· αερίων nnρουοιάζουν ειδικό ενδια­

100 kNt / m' . Στο μειρείιαι πίεση 70 kΝι Ι

m' . Η θερμοκροοία του αέρα στον Μ0

είνιιι

d = 3R 12

από την κορυφή του,

R είναι η ακτίνα καμπυλότητας

-

του κατόπτρου.

20"C.

'

.=.εκl\·αμc

.

χρησιμοηοιωντας τοΥ

φέρον. Οι πρώτες τρεις συμβαί\•Ου\'

Καθώς το ρεύμα αέρα ανέρχr ιcn,

ιύηο κοτασκευοοtώ\' των φακών

υπό σταθερίι θερμοκρασία \ισόθερμη).

αρχίζει \'Ο σχημαιiζι; ιαι ένα σύννε ­

για να βρούμε τψ επιιακή nrιόοιιι­

ιιηό οιαθερό όγκο ( ισόχωρq) και υπό

φο στιιν τοποθεσία Μ,, όrιου μειριέ­ ται πiεση 84,5 kNt. l m'.

ση (του συγκλiνοvτος φακού nου

σταθερι\ πίεση Ιισοβαρι\ςJ. Στην τέ­ ταρτη μεταβολή δεν προσφέρεται η

Ιlοοόιηαι 11γροiι αέρα μάζας

2.000

δε\· αφαιρείτοι θερμότητα από το σύ­

kg

ιηημα. Αδιαβατική μεταβολή έχουμε

μενη φτάνει την κορυφή ωυ βουνού

όtα" ιο αέριο &κτονώνcτοι ή ουμn1έ·

( Μ2 > έπειτα από

ζειαι rιολύ γρήγορα -για παράδειγ­

σχηματίζεται ιιnό ιο νερό:

_Ι _ n - 1 = ~ 3 -ι = _ι_

ανά τετραγωνικό μrτρο, ανερχό­

1.500 sec.

Κατά τη

διάρκεια του χρό,•ου α υ ιού.

2.45

gι·

r. -

Έτσι..

R

R

3R.

f ,. = 3R.

ΜiΟοδ<Jς Α. Χρησιμοποιούμε την ιδέα ότι η ολική εστιακή απόσταση

μα, όταν ηχιιηκcι κύματα κιγούνται

νερού ανά χιλιόγραμμο αέρα κατα­

μέσα ο· ένα δωμάτιο. Οι μεταβολές

ενός συνδυασμού οmικών στοιχείων

στην πίεσιι γίνονται τόσο γριjγορα

κpι1J1 νίζt"' ιιιι ως βροχιi. Λ. Υπολογίοιε LΙJ θερμοκρασία Ί',

ι;ιο ιε

στο Μ,. όπου σχημαιiζειαι ιο σύ\• ­

νηστρόφων tων εστιακών οποστiι ·

νεφο.

σεων των οτοιχr.ίων. Σιη σχετικίι

κίιθε

μεταφορά θερμότιιτας

μπορεί να αγνοηθri. Αδιαβαιική με­

προκ ίιιιιει από το άθροισμα των α ­

ταβολή λαμβάνει χώρα και όταν ιο

Β. Αν υηοΟέσουμε ότι Ι} πυκνόιη­

εξίσωοιι, όμως, πρrπει να χρησιμο­

σύστημα είναι θερμικά μοντ~μένο

το ιοu α ιμοοφαιρικού αέρα μειώνε ­

ποιήσουμε δύο φορές τηγ εστ ιακή

από το περιβάλλογ του. Στην περί­

τω γραμμικά με ιο ύψος. ποιο εiντ11

οrιόο ιαοη του «φακού του νερού».

nτωση αυτιi η μεταβολή μπορεί να

το ύψος hι ΙΜι );

διότι το φως Ιl&ρνά μέσα από το φιικό,

δειyμα. ένα αέριο που βρίσκεται μέσα σε θερμικά μονωμένο κυλινδρικό

που μειριέcαι οτφ· κορυφή του βου-

ανακλίιται σrο κάτοπτρο και στη συ­ νέχεια nερνά ξανά μέσα από το φιικό.

' γου;

Ο τελικός ιύπος είναι:

δοχείο μπορεί να ει<eονωθεί αδιαβα­

Δ. Υπολογίστε ω ύψος ιης στήλης

τικά ιιν η δύναμη ο'ο έμβολο μειώ­

νερού που ιωταιφημviζετα ι αrιό ιο

νε ιαι ο ιαδιιικό.. ΣΌς αδιαβατικές μεταβολές υιιάρ­

ρεύ μα αέρα οε

χει μια ειιιηλέον σχέση ηου συνδέει

σταθμούς Μ, και Μ,.

εξελiσοειαι πολύ οργά. Για παρά­

την πίεση και τον όγκο του αερίου:

1'.

Ποιιι είναι η θερμοκρασία Τ,

3 ώρες,

-

ι

ι

1

= - + - +-

ι

r., r. r. r,.

uποθέτ<)ν~ας

ομογr.vή βροχόnτωση ιινάμι:οα στους

I 2 I 8 + - +- = - . 3R R 3R 3R

=-

Ε. ΊΙ θερμοκρασiα Τ3 με φ ιέ tιιι στο

.PV> = τΗοθ., όηου I' είνα ι ο λόγος ιων

ο ισθμό Μ,, στην cιλλι} rιλειιρίι του

Την τιμή της ολικής εσηακής ιιηό­

ειδικών θερμοtiιτων ωυ αερίου, και

βουγού; Συyκρiγετε τις ατμοσφιιφι­

οιιιοης μπορούμε νιι την αντικαια­

για διατομικά αέρια ισούται με 1,4.

κές συvθιiκες στον Μ, και τον Μ3•

ο ιήοουμε στον τύπο των σφαιρικών κο τόπφων για ν ο βρούμε τη θέοη

παρέχει το απαραίτητο υπόβαθρο για

σφιιιρο απ ο τελεi ιαι ιιιιό ιδανικό α­

του ειδώλου:

το πρόβλημα αυτού cου μήνα που

έριο. Α γ νοήστε τη'' εrιίδραοη των

αφορά το σχιιματισμό γεφών στιιν πλαγιά ε\•ός βουνού. Το πρόβλημα

υδρατμών στην πυκνότητα ιο11 ο­

βαοίζειαι ο · ένα ιιρόβλημα ιης l8ης

Η ηυ κ νότητα του α ιμοσφιιιρικού

Διεθνούς Ολιιμωάδιις Φιιοικί~<; που διοργανώθηκε στην Ιένα της ιιρι~ην

αέρα για Ρ, και Τ0 στο σταθμό Μ., εί ­ ναι p0 = 1,189 kg!m". Η λανθόνοuο<ι

Η σύντομη αυτή εισαγωγή μός

Λ νατολικής Ι'ερμανiας το 1987.

Υποδείξεις: Yπoθl;()l.e ότι η ιιτμό­

Ι

1 d' - r.ι- d

τμοσφαιρικού αέρα.

θερμότηια εξαέρωσιJς του νερού, στο

8 2 3R- 3R

=

2

=R'

Επομέγως το είδωλο οχημα τiζε ιαι ο ε α ηόοωοη d'

= R /2

από τιιν κορυφή

rοιι κα ιόπτρου. Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήοε­

L = 2.500

τε όtι ένα κάτοnτρο συμπεριφέρεται με ιον ίδιο τρόπο είτε βρίσκεται μέιΗι

βουνού, όπως φnίvεwι ο ω Σχήμα 1.

Σ τείλτε τις λύσεις σας στη διeύ­

οιον αερα ειτε σιο νερο η οιο κενο.

Στο11ς μετεωρολογικούς ο ιαθμσύς

θυvση του ελληνικού Qυιιntum έως

Α ν παρεμβληθεί μια διαχωριστική

τις 10 Απριλίου 1995. Κ(ιποιοι αηό σας θα κερδίσουν βιβλία.

εnιφάνεια αέρα /νερού μιφοο ιά αnό

Ρεύμο υγρού ιιέρα κινείται •αδια­ βατικά• κατά μήκος της πλαγιάς rου

44

kJoule i kgr.

ΜΑΡτtΟΣ ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

ι

'

.

'

to

κατοmρο. μικρnl\•ει

με

Σε ηροηγουμενο τεύχος είχαμε

1

'

'

.

η εοτ ιακη

αηόtΗαοιι ιου κατόπτρου ανάλογα

Καθρέφτης γεμάτος νερό

-· Σχήμα

χώρο τοιι νέφους, είναι

to

λόγο των δεικτ<~ν διάθλασης.

Έιοι, η ολική εστιακή ι)πόοιαοη εi ­

ζιμήσει από τους αναγνώστες ιοιι

ναι

Quanfιιnι να βρουγ το είδωλο

τέλεομα που βρήκτψc πιο ηάνω.

nou

R i2n,

που συμφωνεί με

to

απο­

σχιιματίζετιιι από ένα κοίλο κά το­

ΜέΟοδος Β. Μ ια εναλλαιrnκή μέ ­

ιηρο γεμάτο νερό. ΊΌ αηικείμcγο

θοδος για να βρούμε τη" εστιακή

"tιοnοθε.ιεί ιαι rrά νω σ ιον κ ύp10 οι ι ιι-

απόσταση του σuστ.ήμα~ος νερό-κά-


R

Ί-

ι

-.;.--d' r ι/

f

Desιiιond Juιιan & cιaιre Marιey

d' ; 'lR 3

η

Το φως διιιθ.\ιιrαι και επομε,·ως σχημαιίζrιοι f \' O τc.\ικό είδω.\ο σε αηόσ ιαοι1 ιιnο ιηγ κορυφη του κατό­ ηιρου

Σχήμα

2

ι/' 3 2R R -=-=-z· 11 4 :J

ιοπτρο cί,·nι νιι μrλcτήοουμι· tι)'' π ορεία μιη ς ιικ tί\·ος rιιΗΙ κινείται rιορίιλλι}λtι ΙΗΙ)\' οπτικό όξονιι. ιiπ~κ; φαi,•cιοι οια Σχημα

:l

μrλε ιήσουμc το σύοιι1μu ως συν­

ιοι γωγίες κcιι

δυαομι) ι'γος φακού αιιό nφci, ενός

ιο rιόχος ιου vrρου έχοuγ οχεδιοστεi

κοtόιιιροιι κιιι ενός φακού από ,·ερό

μεγαλύιεριι. ι:χιτε το Σχήμα ,.α κα­

ταστεί nιο ειιιινηy,·ωοισ l. Αν δεν

βρίο ΚΟ\' ιιις ιο είδωλο rιou δημιcιυρ­ γcίτιιι αιιό κίιθι· οmικό ο-τοιχειο και

unφxr ιο \Ψρό, αυτή η α κ ιινη μετά

χρηοιμοιιοιι~ηιις ιο ως ανιικrιμεγο

ιην Ο\'(ικλαση της Οα περvούοε αηο

ι καιιοιrς φορrς ψα\' tαοιικο ι yια το

ιην κυρια εστιο ιου κατόmρου. Ό­

rιιομε,·ο. Εφαρμόζο\·tας ιον ιύπο

μως. εξαιτίας της διαθλοσης της ο-ι η

ιω,· φακω'' γιο ιο ..φι.ικό ''tpoύ• nαιρ­

διαχωρισηκή ειιιφι.i,·εια αερα-νερου.

''ου με

η ιικιi\'Ο ιrμ,•rι τον οmικό άξονα ο-ε

απόσταση ( .1 από την κορυφή του κα ιοπτροv. Σύ μψ<'-'ν" με ιο νόμο του

Sn~ll . ισχίιr.ι:

ι

I

ι

2 3R - 3R

d; = ( - d; =

1

ι

1 --3R -

=

ιι

JJ(l\rω unό την επιφάνειcι ιοv νερού. Το είδωλο αιιιό /iρα ως οΥτικεiμε ­

ρίζουμε rπio ι1ς ό ιι

ιιίιχος του νερού. η αnόοιαση ιου

b

και

b

rψΟ'Ξτ·

"' γω\•ίrς tί\'OJ nραγμηηκα

α'·ιικειμrνου γιο ιο κάτοπτρο εί,·αι

d, = 3Η.

Εφαρμόζονιας το,· τύπο των

r.,,

(;;~=~ •~Ι- 4 R Μfθοδας Γ. 11 πάνω rπιφάνεια του νερού σχηματίζει ένα φι.ινταστικό εί ­ δωλο σe αnόοταοη

nd=~ 3R =2R :3 1

rιοΥω οπό "tη\' επιφίl\'t"ΙΟ του Υtρού.

Τιι ειδωλο ουtό ιιαί(rι το ρόλο 0\'ιt· κειμένου γιο ιο "" τοnτρο ι χωρίς ιο νι·ρόl. Χρησιμοποιι~ηιις τον ιύrιο

'"'" οφοιρικών κ α ιοιιιρω'· με εσηο­ κ ή απόσταση = Η 2 και d = 2R.

r.

πο ίρνοuμc

Kr'F.M \Σ'ΓΙΝΟΣ

Υποιipyιiι; }'Ίεiα; λ·uι ltpό\·oιa;

11 στrφα"αlα

κιφδοα"~ νόσο; rί\111 η σημm·tιιι:όttρη uιτ:ία θuνάτοιι .:αι α\'α­ ά'·Ορε; nιθuί\'UU\' ωι:· αuτfι ;ιρη• rη'· ηί• <iα ιι.w 65 ttώ\• ι ο βιβλίο αΙJtό εξη­

- =-- - = - - - = d; f , d, R 3R 3R. 3R 5

3f -

..Ι θ .

ΙιΙ21"

προοέyyιοη γιιι μικρeς: εφθ;: ημθκαι εφΟ' ;ι ιuιθ'. Έτσι έχουμε

b

Πρόλcηο~ σrιιι• rλληvι κ-ή CΙ(δοση:

ιτηριώ\· σιη Ι\ιση · tν<ς σtοις δώδεκα

κο ι ιο είδωλο βρίοκcιω

4b

'rr•:•\\l\1\

οφοιρικώ,· καιοπιρω''• παίρ,·ουμε

πολύ μικρtς. χρησιμοποιούμε τη''

- ~-

ι ~!..ι""

-.

κό κnι βρiοκετιιι οε ιιιιόοtαση 3Η

νο yια το κάτοιιιρο. Α γ νοώντας το

rφθ~ ­ -(

...

Press

\f 1,!:1 ι~

Αγ,·ιιών~ς το πάχος ιοιι νερού, γνω­

εnrιδη οι

Έκδοση τοu oxιord unινerslty

Σuνεηώ<;, ιο ι'iδωλο είνα ι φανcαου ­

~ημΟ; ημ Ο'.

[

Μι'θοδΙJς ιl. Τελικά μιιcιροίιμε να

Η ΣΤΕΦΑΝΙΑΙΑ ΝΟΣΟΣ

Ύd ty>nιρα κω nιι).ά •ώ.; μιwρεi '-α ορο­

or ιιnόοταση

ιι<ινω από ιι)ν κορυφή του κιι­

τόnιρου. Αφού αυτό το είδωλο βρίσκεται σε "λiιθος .. μεριά ιοιι

.. φακού

φΙJΛαχθd κα•·rί ; nnό τη στεφανιαία \'(ΚJο. ποιοι θcωρdται t~n rrάσχ_οιΝ από αuτ~ν ~υ.ι για.τf. rtοιι; ιξeτό.σrις -και πuιrς θrραπεiε; rίνcιι απrφrιiτητc~. ποια

cl•·uι tα tπιtrlιyματα τη; οό'(Χρονης

νεροίι•, η

χειρουργική; και πc>ια φάρμακα μπο ·

οπόοτοσι1 ιου vfnιr (Ινtικειμένοu αιι'

puUν νπ rt\'tψrτωπlσοιι'' τις nριπ.λοκt;

το φακό c!ναι d,,

τη; νόσυu. '(ιαtί σ~~μβαί\•tι το έμφραγ·

=-3/l ι 5. Έτσι.

μα και

111152

d' =r - d =3R - 3R=R, :J

4.1

πριν~ μttά τηv ιηιίpηση, (t\' εiναι Jtι·

·'

και το ιtλικό είδωλο βρίσ-κει οι ο ι φ· ίδια αnόοτοση

R2

rιου βρήκαμε και

με ης ιιροηγουμενcς μεθόδους.

«v μπορci νu αnυφ€ΙΙχθεi. ποιες

ι'νuι uι :tιθι.ινύτητι:ς να Λ:fθάνει Ι<Q\·d .;

@

OUANTUM

θανό να ν•άι>ξη και (.ι)).η κιφδια<ή προοβuλ~. • ).J< Λιmιθlίvεται τόσο σ· αutolί; •ou t\•διαφtρογται για ιην καλι'\ κατάσταση τη; ΙJytiα; τοι.ς <αι

tη\' ι"(ι.:uρη •ληροφόρηση, όσο 010\J; •άσΙο•·τι.; «χι το"' οικιiο\>ζ ΤΟ\>ζ :.-λ.: ι Μ. 1 ιιοο δρχ.

το μοναδικό περιοδικό διαβάστε το

yιiιετε και εοει'ς συντελεστής στην Ουanι-τική εξίσωση

F.ΚΔΟΣF.ΙΣ Ι(άτοπτpο (σαιίρων

10 ι;ι:ιι Δα<ι,νΗμ~ί.η, IIJ '11

Αθή\'α

τηλ.. ~6-13272. 111-1~09R. f._ · .\ό-1186-1

OUANTUM I ΠΑ ΠΕΔΙΑ ΤΗΣ •ΥΣΙΚΗΣ

45


ΜΑΘΗ ΜΑτΙΚΕΣ ΑΝΑΖΗ ΤΗΣ ΕΙ Σ

Γεωμετρία της παγόδας Κλασικά προβλήματα μεγάλων ιαπώνων γεωμετρών

George Berzsenyi

κ

ιΙ ΤΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΔΟ ΤΗΣ ΑΠΟΜΟ­ ''ωοr]c:; ιιjς. που πcριλήμβανε

ro

μεγαλύτφο ιμημο του 17ου. 1.0\' l8o και tO\" l9o αιώνα. η Ιιι­

Π~)\'1(1 ~\'1\'f Kf\'1/)0 ΟΥΟmυξης Ll}ς yrωμειρίας. Ο. ηιιμιιολλοΙ ιαλαηαύ­ χοι yεωμέτρ~ς ιης κατέγραφαν ιις

<Ινοκαλύιpεις ιοιις με ιη μορφή πιινι'­ μορφιι χρωμιι ησμέ,•ωv ο χι·δίων χιι ­

Σχήμα

1

Α'ι...::.~"---';F.:---~11

ριιγμt'νων οε ξύλn•ες n\\·ακίδες, που

Σχήμα

τις προοέφrρο'· ως ιινιιθήμοτα σωυς

3

βωμούς και ιοuς ναούς η κοΙ tΙ<; ιφc ­

Λ

μοuοα,- καιω οπό ης σιέyες τους.

· εχουΥ οωθει ιιολλtς ΙΙΙ\'οκiδες t\'ώ αλλες είναι γνωστές μό,·ο αιιό ιις πε­ ριγροφt'ς ιοιις σε )\tΙρογροφο βιβλία ή

or βιβλίο τυπωμιlνο

με βιΊοη ξυλόγλυ­

ιιια κcι~ουπιο ιιοu κιιrοσκευάστηκον ιιρyσ ιrρα. Σιrι βιβλια ιιαρουσιάζο,•ιω

('ι_::,__...::,._

_,.......:"-....JD '

κιιι οι λύσεις τω'' ηροβλημάιω\·. ενώ ο ιις ιιαροδοσιακrς ηινιιt<ίδες υπορχrι

Σχήμα

ουΥηθι,>ς μό,•ο ιο τrλικό αnοτέλrομιι

εκεί,·ου tΟΙΙ βιβλιοu. ιuu Hidctαsi

με τη μορφiι της κομψής ι·ικόνος κω η

kagowιι. Τα ιιροβλήματα ιιοιι οκολοu­

rμμεση ιψόκλφη: •Δείτε rιν μπορείτε νο το ιιnοδείξι· ιι·! ..

θούν βιισί(ονιαι στη διιιλtξιi ωυ.

Πpωtοέμοθιι γιιι τα yεωμε ιρικι'ι

2

11

F'u -

Πρόβλημα Ι . Αιιο&ίξιε ότι οε κάΟε φίγωνο ΛΒC κι11 για κάΟε κύκλο Ο

Σχήμα

4

ιιο ιιου βλrηειε στο Σχήμα

;J.

Προοδ10 -

ρίοιε ιο ι· συνιφιι'ρει ιοu ιι.

Ιl,ρόβλημο 4. Τcοσcρις κύκλοι. α­ κτi,•ιις r. εχοuν εγγροφει 01.0 εσωτε ­

ιιροβλiuιατιι tσtl\' 1κακουΙ t(<.)ν ιαιJω­ νικώ'' ,·οω,- ιο 1990. κατά ιο Πρώιο

εφιιιιιόμενο οτις ΑΒ και

ο εγγε ­ γριιμμένος κύκλος ιοu φιγώνοu BF'('

ρικό C\'ος ιοόπλεuροu φιγώ\'ΟU nλευ­

Δ~rθ-·ες Συνtδριο της Παyκοομιιις 0μοοπονδiιις Εθνικω,· ~1ιιθηματικώΥ

κιιι ο εyγεyρομμfγος κυκλος ιοu φι­

ριις ο. οηως φαίνεται στο Σχήμα

Διcιγωησμι;,,. Ι ΙVΙ'ΝΜtΊ στο Πανεrιι­

μι·ίο της πλευρός

οιίnιιο wυ Οιtι:Ιιερλου (στον Κrινιιδά). ίιιιοu δόΟηκε σι· όλους ιοuς ο\r,·εδρους

Πρόβλημα

Λnοδείξτε όιι ον οι

onv γκιικυv ο aΥαγνώοιης μπορεί να

κύκλοι Ο, και Ο, ι·ίναι ίσοι κω ειρά­

ανnιρι'ξει οιηγ αγγλικίι ί·κδοσιι του

tl\' ιίyροφο εΥός νι·ιχ•κδομένου τότε βι­

ητuνιαι μεταξύ τοιις κcιι στις ηλεuρt'ς

ιιιιέροχου έργnιι ιου Fuk"gιn•·a

βλ ίου οφιερωμι·,·οu οιο Οέμα. r Ιρόοφα­

wυ ιειρογώνο11

ABCD. όπως φαi,·ε­

ni'S<" T~mplι> Geoml't~ι· PI'Obll'ιns. που

ιιι. οιο Δεύτερο Διrθ,·tς Σu,iδριο rης

τοι ιnο Σχήμα 2, ιόιι- ο κuκλος ο. fλτι το ιδιο μέyεθος.

rxcι γραφt'ι με τη σu''1'f'Ι'ΟΟια του Dan Pcdoe κοι έχει εκδοθrl από ιο Tbc Chnrles &bbage Rese-<tι·ch Ceιιter ι ΡΟ

Ιl't'NMC ι το

1994 οιο Πόιεt( της Βουλ­

γιφίοςΙ. είχο ι ην tιικωρία να ποροκο­ λοuθι'ρω μια πρcι γμα ιικό εμπνειιομέ­ ν η διίιλεξη t\•ός από ιοΙJς συγγραφι·ίς

46

ΜΑΡΠΟΣ ΑΠΡ!ΛΙΟΣ 1995

γωνοu

.4BC ειράπτο,·ται

Πρόβλημα

2.

AC.

σιο ίδιο ση­

BC ιΣχήμιι 1).

3. Τρεις

κύκλοι. ακτi­

Προοδιοριστε

co r ου,•ιψιηοει

Βαχ

Ι'\'6ς ιεφαγώνου β<Ίοιις

\ViιιιΙiJJ'.'g R3V ll~. (Αιιιnιla).

με ων ιρό -

a.

Γιο μιο rιληρέστερη ι• ισιιγωγή στη

\'Qς ι·, έχουν εγγρηφrl ο ιο ι·uι.Ηεpικό

a,

του

4.

Japa-

272. St. Norbert Postal Station, ιtJ

1


ΜΟΡΦΕΣΣΤΗΝ ΕΠΙ ΠΗΜΗ

,

Η κλπ

Μέρος

τ

Ο

11:

ΖΩΙΙ ΤΟΥ ~ORI!F.RT

1919, 11

\\ϊι•nι•r rnoψr "" ri,•cιι γομαδι­ κιο Εργασtι}κt γιο λίγους μψες

ως δημοσιοyραφος σι ψ Βοstοιι Heι·a/d n,\,\o nnο.\υθηκε. Τε.\ικά. ε­

του Norbert Wiener

Η κίνηση

Brown και πέρα από αυτr)ν

ξάριηιιι οπό ιο '"' ι} οιιόφιιοη τcιυ Μιτ ''" ιφcιολαβcι τον \\'i~ner uuο ­

στην rο\ικια των 24 ιο ιιρι;ιφ· nαιδι­ θιιυμο ,·ο ο.\οκ.\rρωθηκr ως nροσω­

ιu,· ι)θιικr ιιrιο rξιιιρε ιrς rμιιιο ιrυ ιι ­

πικοτηιο κοι \'Ο ηιο'' ΙΙλtο,· tτοιμο

κrς cιληροφοριeς ιj ι}ΙΟ\' ιιΙΙ,\ως ιu ­

να γινει ιδιοψυiιι. Οιιως κοι να 'χει.

χιιιο αnοτtλεομα ιοu ·μtοου •. δε,·

οια πρωια δι.>δεκα χρό'·ιο του oto

MIT.

ο καθι1γηιιις

Osgood

του

οποuδοιοιrρες α''<ικαλυψεις

Χαρβnpν ι.

μεσολάβησε

του στα κοΟαρίι μαθηματικά:

και ιοιι ι·ξοσφάλισε δοu­

κοιαοκευnοε ιη θrwρiα της

λcιά οιο Μ1'Γ. Το

η

ΚΙ\' ΙJΟΙJς Βι·ο"'" · δημιούργη­

Οrοη 1111 ι ή δε'' ήtn\' cιξιό­

σε cα νέο Οεμέλ ιο της θεω­

λογ η. f:κείνιι την ε ιιοχή, ιο Μιιθιιμα ιικό Ί'μί]μο στο

ρίας διιναμικού κιιι &nινόη·

.\1 ΙΤ ηταν κοΟιιρό βοηΟητι­

ον(ιλυοη του.

1919.

ο•·

κο στις cιλλες ειιιοιημες,

111 Η

Ο

\\'iener CKO\'C

,·ας φί.\ος ιου rιouρn του.

ιις

γι·νικrυμένιι αρμογικιi ιυτορ ι α

ιης κiνηοης

κ οι ιu t:κ ιιμοuοην μόνο

Ηι•ο,νη ηcιρουσιαlει ορκειέι;

γιο ιη συμβολι}

ιηο

C\'διnφι'ρουσrς cΥα.\λαγές.

ηρογραμμα

(),·ομιι(tιnι ιιοι ΙΙρο<; ιιμην

Ο\'ιι.\υτικο

H>u

ιου Τμημο ιος Μηχα,·ι­

ι ου Hoberι

κωγ . ΕΙ\· οι cιξιοο ημείωτο

\'Ολογου 1011 I 9ου αιώνα. Ο

.\οmό,. ιιου ιο Μ1Τ ιιραοr­

οιιοιος 11\'tψtρt ότι η γυρη

λοβr ιο,· \'Cαρο

και 110λ.\α ολλα ειδη ανόρ ­

\Viener.

~'''α'· ιi,·Ορωnο που η ώς ιόιr rμιιrιρiο ιοu δr,· ιο,·

Ο .\'orlκrι \\"t<'ΙJc.•r ιu

yα\'W\'

J9:lfi

Bro.-·n.

βοτο­

οωμQ ιίδΗ,)ν εκτ.ε -

οιJ\·ιο ι ού σε ως διδι\οκο\'tο. Επιηλέ.

uιιίψχrι ιιμφιβολιιι cιως η πρόσληψη

λούσοΥ. αιωροuμεγα μι'οα στο \·rρι\, μιιι 11Οpαξrνη οιιnομωδικη

Ο\', οκuμη κοι αν ιο ~ΙΙΤ έψοχνr γιιι

IOU \Vieιιeι· Ι}ιΟ\' r\'Ιι ιιiοκο αnο tO

κiνi)Οη. Ο Bι·O\Vll ιιιtrρρι ψΙ' μερικές

ά ωμο με διι \'(ψ ι κιiιητα στην έρeιι \•Ιι

ιιβιιοάνιστες ερμιι,·εirς <ιιιιής της κί ­

οτιι καΟαρό μcιΑι1ματικά. ο Νο,.Ι>~ι·t

uιιοιο JJγιiκον κrpδιομε,Ψς κοι οι διιο πλευρtς. Ο \Virnι'l' έμεινε στο ΜΙΤ

\ο\' ί ~ιιc ι· το

έως τιι ουνιιιξιcιδότηση ωυ ιο

lf)19 δη ιίιaν οοβιιρός

υποψήφιοι;. Eiχr δημοσιεύσει δεκιι ­

1960.

nt\•tt άρθρα nc'ιγω στη λογική. τιι

Σ 'α υ ι(ι ιcι χιιι\ν ι ιι όχι μόνο ι'κrπr διcιοημιι ιu μιιθημαηκό rμ ιίμα ιοιι

οποία είχον μrί,•ει σtι}\' αφiινεια. και

~UT. αλλιι έιιιιιξι· και κυρίαρχο ρόλο

tinoιε οιιολύιως πά,·ω στα ιιοραδο­

σι η δημιουρyιιι ι ης κουλτούρας οι ψ οnοια ιο ΜΙΤ οφι·ιλει κατά μεγάλο

σιακο μαΟημο ιικn. Ομως, και

O\'C-

μερος το οι)μrρ"·ί• rσυ κύρος και ι η Το φο10 μtρος ιοu ικψόηος oφιq><ol\>(lwc; bιψooιt'uιr}kt οιο ιιροηγοομr,·ο ιt\ixoc:

,-oucφιoς Φι1\ιοιΗψιflς

1995 '

tlo -

ιοu r-ιtριοδικου

Πρόκιηω '''' ο\·nηιnωοη αιιU to προyρnμμα ιοu Συμηοοιόυ \·ι<ι ω εκcηη Xρo,,fl αnό rη Γt'\'\'1}0 11 ιου ~ι:;rΙ.>ι:-•·1 \\'ιr>ηι-r

διrρκtοt αιw

ιις ~ 6.ι~ ιιt 14 0KH•iiριou 1994-, ιu uιιοιι• Ου\·ι.ι'ιχ(Ιινcι· rιnn t() Τμημu ΜιιΟιψιιιικω\· ιοv ΜΠ, μr 01cιuμβολι'1 ιuu Ton,\' Rιιιh Ιηtιη,

φημι1 ιοιι.

Σrο )\1

r

ιο rιαιδι -Οαυμα αγθησc.

Αυ1ο ιοως οφι·ι.\fΗΙ1

oto

011 ονακο­

.\uψr rιιιιι'λcιιις oro μαΟιιμιιτικά ι φ· πραγμαrικtΙ 1011 κλιιτη ή. ίσως. οτψ ΟΙΟ0ηση 111ς ΟΟφ(ι.\ι·ιcις KCII !1)ς Cl\1 • ιοt·κ ιlμη<Ιη ς ιι ιιιι

σrαUεριj δοιιλι·ιc'ι.

rou προσέψcρc Ι) Ί t μπορεί , αη.\61ς.

νηοης. αν κο ι οvνrχιζόιιl\' η έντον η διομάχιι γιο ιο κο ιiι πόσον Ι} μετο ­ κi\'Ι}ΟΙ) εfχε βιολογικη αιιια. Όμως.

μια διασι1μη cρy"oio ιου Λϊ,·στό:ιν '

1. Σ ι Ι\ cw..\ ~~ ι 7 ιου [):ι-n.1mιro/ Thi'Ol'ίι's of IJro•-ιU;Ut .\Juιιon l~ncMon ι·nι~-ΗSι~·

Pres:!,.

196ί' .ο t:.t.. ardΧ<'Ιοοnιιαραιη>tΙ: f.ινnιλu­

nrpo \-ο διαιιιοιω\οuμ:t ιιη. rιιφο tη'\' trιιfιu\·η <Ρ\αοκιικιu tι\'t οφιrρc.~Jι.οι οιη μt.\ηη ιη<;Ι<>· \·ψι}ς .Bro-'n. Ο λΙ\'CJUII\ 0\"\'UOύor Π)\~ υnαρξη

rou φnι,·όμt\·ου

Το ιιροrfι\rφr θr<.-ρηπκα και

tίκιΠΗΚο)(}.(' }JΚί ψ0Ι) Ιtu<)()nιtηttr(o~(l \'1' OUUI ...

I I<Ι(.Κι\1(' ιtΙ tittll\':

0

μιι .\ιοιο 1--η'\' r~ης fiη.\ωοη ιου .\Ιγ·

KHIJI(M;

(Jl()Xt'lt

KC1.\1JψM yryo,-όfα πGu

μου

l.kJ

...

ψU\ \ 'U U'\·u-

tn·uw\•ttι\· ιιοο ω

δηΥ('Ι tO\' πrριοοοτcρο ΙΙ1\' ιιιιι4Jt.ι1 ι ι ι(ιμ(ο1\' φι­ ομrνοu ιιt Ι ιCfΚJιιμ''\ ι ιιι μη ι~6nυς.-.

OUANTUM I ΜQΡφΕΙ ΣτΗΝ ΕΠΙΗΗΜΜΗ

47


"' Ι 905

πάνω ο ιο θrμα. εκτόξευσε

ομό ιου αριθμού A,·ogιιdro.

rρο_yιώ•· ι'ιοι ώοιι· •·α ικα•·οnοιούι-ται

ιψ κl\·ηοη Bro,.·n οιη φυσική ιου 20ου οιώ,·α. Ο Αινοτόι\· ιΈδeιξε όrι

Λ'· Ο\''·οηοοιιμr ιη φυσική και α,·α.\ύοουμε ιο μοηέλο ιου ΑίΥ.

οι ιοχυριομοι Ι. 2. και

t\'O μοριακο μοηί.\ο ιου Υtρου •οε

οιιιιν από καθαρό μαΟημαrική άηο·

σχοι\ή ιης α\'Ολυοης ιιyω,•ιζόια,·

ιιηι!h-ση μr

ου,•εχέςΙ προβλέπει

ψη, uuιu που υποοτφιζε ο Λϊ'·σιαl\'

σκληρό \'Ο δημιουργήσει αυτό που

ι φ· ύπαρξη του φο"·ομε,·ου που πα ­

ου,·οψι(ειαι οιους rιιομενους ψεις

σημcρο ο,·ομιιζουμr Οcωρια μi:ιρου

ροιιpι)Οε ο 8ro,.•n. Εί,•αι t\·διαφέρο'· το ότι ιιροι'βλrψr τηy κίνηση Bro,.·n

ισχυρισμούς γιο ιον ιροπο κi,•ησης

προτου μάθει για ιις παρατηρήσεις

"'"' σωμα τι δι ω'' Brown: ι Τιι οωμαιίδιιι Brown

<δηλαδη, ιη θι>ωρίιι μe βόοη ι ψ 0110ία α\'tιοιοιχίζουμι· όγκο σε σύνολα ).' Η

ΚΙ\•ούνται

ωη

μι· ιfιοιο τρόπο ώστε η συ μιιφιφαρά

t'·n

3.'

Στις αρχές του αιώ\·ο. η γαλλικη

γα.\λικιi οχολr\. ειδικn οι ε.

Borel

και

δι cιφορε ιικίι χρονικίι

Η. 1λ'b<-Sgur. αιιοδί·ιψευσα\· τη Οει.>· ρίcι μc ψοιι οιιό ιις κλcισικrς π ι)γές

\'Cι rιηλύοοιιμr ιις εξισ~>σεις κίνi]ΟΙJ<;

διιιοτήμcι ι ο να rίνιι ι ΙJ\'εξάρτητη.

η)ς κω έκονον δuνιιτή ι ι]ν ανιιμε­

ιου Νrύιωνn γιο το πλήθος ιων οω­

cώπιοι] ιου ιιροβλiιμιιtος ιrις ιινιι •

μcιτιδiων ιιοιι πrρ ι έχον τω οε μιcι

Επομι'νως. δεν u ιιcιρχε ι τρό πος να rφοβλέψοuμr ιη μελλο,•τι κή συ μπε ­

στcιγό,·α νερό. ο A'i'•σtάl\· υιοθέιηοε

ριφορά βόοει II)C, ΙΙρ<JΙJΥΟύμεΥη<;.

Bro,vn.

Λφού tίνcι ι οιιοιηστtκό αδύ,·αιο

ιοΙΙς σε

ouo

μια οιcιιιοιική ιιροσέγγιση κω έδει­ ξε ότι ι} εξέλιξη ιης κατανομής τω''

θανό "" κl\·ηΟrί προς οηοιαδηnοtr

τω" υrιέροχω•· rιηιrυγμόιων τους. ούτε ο Borel και ο Lebe!<guc, ούtε και

σωματιδίωγ

κ α ιεύθu,•ση, και η nιιόα ι α ση που

οι μαθηιες τους όιι6Ίς οι Ρ. L~·γ,

Brown

καθορί(ειαι απο

2. ·~:να

σωματίδιο είναι rξ.ίοοu πι·

σιοίχιοηι; ιιιΙΗΗ·ιιιήrω•• σr υποσύΥΟ · λα τροχιώ,·. Ομως, rιιιριι το πλήθος

S. Banaεh. ~1. f'rι'cheι και Α.Ν. Ko1mogoro,· καιόρΟωοα,· \'α μαθημα1J ·

ιην εξίσωση Εh-ρμοτητο~ Δηλαδή. η

διαΥυει tνα σωμοιiδιο

ιιυκ\•όιητα τω,· σωμοτιδίω,· σε κάθε

'η διαρκεια tΥός χρο,·ικού διαστήμα •

οημrιο ακολουθει ιον ίδιο φυσικό

κοnοιηοου,· ιο μο,·uλο ιου ΑίΥστιi"·

''όμο με τη Οερμοκροοία σε κάθε ση ­

ιος ειναι καια μέσο όρο ανάλογη με την ιεφαγωνικηρiζα αuιού του δια­

μειο. Στην rιραγμαιικοιητα, από ι ην

σιήμιιιος.

Υ'•ώριζαν πολύ καλά ιο ουοιιισιικό ηρόβλημrι. αλλά ουδείς κατάφερε να

οπιικη γωνία ι ης φυσικής, η nερι­ yροφή του Αίνοιίιιν στο σχετικό όρ­

3.

Bro"·n

κατο

Οι τροχιές ιων οωμι.ιιιδίω"

yια τη,· κιΥησι)

Orown.

Όλοι τους

πετύχει ιη'' cωαιιοίιμενη σύνθεση.

Broν.•n ri''OΙ οvνεχείς.

θρο του cιδειά(ει μn(ί με ιο νερό cης

Με βάση τα καΟιερωμέΥα απ οτε·

μιιονιrιιας κω το μωρό. Ένας φυοι·

Wien~ι·.

κός δrν μπορεί να μιλ άει γιο μία

λέσμα~ο της οιίγχρ<ινιιι; θεωιιiος ιων rιιθανοιiμων, μ πορούμε να συναγά ­

μοναδική ι·ξίυωσιι Οφμόιητας που

γουμε αnό ιις ιρε ις υποθέσεις του

η οιραιηγικι\ ιοu Wiencι· φniνειαι

ιnφιό(ι·ι σr όλες τις κοcοαιάσεις πε­

Αίνστώv ιο οιιμrιiμαομα όιι η καια· γομή ιων οωμιι ιιδίων Brown εξελίσ .

κάπως απλοΊ κ ή. Συγκεκριμένο, πιι ­ ρακάμητι·ι ε,·τελως τα ζητήμαιιι ιη<ι

σετα ι σύμφωνα μr μι ο εξίσωση θερ •

οποία είχΙΙ\' οκο,·ιάψει περιοοόιερο

μότηιας. Ι Η οημ<"'ιικόιοιη σιοθερό διαχυσης καθοριζεται από τη οταθερό

ηrπrιραμt,·οι μαθηματικοί. Πραοφέ •

αγα.\οyιιις στο'· ισχυρισμό 2.1 Φυοι · κο, ιο 1905. δε,· rιxr οκομη δοθεί μια

rοr,·δuτιuς κοι tμπιοp1ιιtς rιιι••ιr.ς. Τιλικα.

η ιαχυιηια ιου φωτός. Στην uερί­

μαθημαηκώς ικανοιιοιηιική διατύ· ηωση της Οεωριας nιθιινοιήιων. Έτσι,

α'-τιθrοημr tO\' ΑΙ\-οτοιν.ονιιμrιώιuut: ι~y­ μnτικα to ηρόβ.\ημα ιοu uιωλοyισμί)ιι t rις: ιrι­

πιωαιJ ι ης rξιuωοης θερμότητας u •

Ι} οπόδcιξιJ ιου Αϊ,•ο ιάιν ήταν. από

παρχει η ο rrιθcρ(ί διιiχuσης. Χάρη

μαθηματικιi cίηοψη, μάλλον ηρω·

οιο'' ιιίιιο ιου Αϊνστάιν για τη οιο· Οερά δι (ιχυuης το άρθρο α υ ιό του

ιογον ιJ. Ειηπλι'ον, ο ιο μο,·τέλο του

ριοσόιερο απ' όσο μπορεί ''α μιλάει yια μια μοναδική e{ίοωοη κύματος 110υ ιαιριά(ε ι σε όλες τις καταστά • σε ι~ Υ ιιορχου'' σημα,οτικές σταθερές ιιου εμφο,·ι(οηαι or κάθε φυσική εξισωαη. rια ιη'' κυμα~ική εξίσωση. η θεμελιώδης φυσική σιαθιφά ε"·αι

Λυτό ακριβώς το rιρι\~λημu ~λυοε ο ΕξειιΊζονι(ις την εκ των υστέρων,

nρmtι \·α rιuρcιιrprpouμr

on

ο

Rac:brlif'r. ot

Οα,·οιηιας μι1 u-ψιμμr,•t.1\' \'f\Ό\·διω,· nου μιιορcί

\'U διcιιυnω&\1\'

μό,·ο μέGα οιο ολαί­

ϊιιu toιJ χc.ιrκω L(ι)\' ιροχιω''. Ο ~τος φοσι · Κός IIOU ΟQλΟλί)Οηκr ψ TftOιn ηροjJλήjιαι~ ι·aιαν ο λl. Snιoluch ...wAkι, που χρηοιμοιιοίηοι· rνα nρoσcyyιo ι;ικο οχι}μιι βι.ιοιομFνο nτnvς

rμeι νε ιστορικό. Σιι γκεκριμένα,

ήταν ο υνιιφιιομένη μια σιjμαντικιi μαθι)μοιι κή πρόκληση: ιι εnιβε[Jαiω­

ο Λϊ\'Ο'tάl\• εξέφροοε ι η οιαθερό διά­

ση όιι riνftΙ δvvt,rό VlJ καιαοκι'υ(i·

χucιης ως λογο αρκrτώ\' φυσι κών

οουμr μι~ κnrnνομιί

oro χώρο rω1·

3. Σ'ην nρηyμnη~ο~ηια

ιο ιφόβλημcι α υιό

καλυψr.ι ο ι:f"ΠΜt Κ(ΙΙ t) ~ιuιων. κα1 tην οrιοΚι

100-; ιπο

μn.tkιίνrι uποχριωιικα οημr:ρα καθr,·ας που

ορtφο ιοu ΛΙ\Ό ιοιν Πιvτr ΧΡΟ'"ΚΙ νψtrρο. ο λομJιρός φοιιηt~J: mιι Η l'oιncan.o L ~-

οοχο.\tιιοι μι ιο'· αιιιιροσηκ.ολΟ\'10'1JΟ. Φυσι~ kO, η θrωρΙΟ OUlη FΙXt t\'10XU0tt 0.0:0 {"0\· Cauchy. tOY RH"mΛnn κο ι ο..\.\ους. α..\..\ο εξo­ tto.\ouθouot ''0 rχει ~t μrιn,τκτ:ημσια

1905

ιιοοοιήιωγ, μία αrιό cις οποiες ήταν

ο αριθμός A\·ogadro.' Αηοδεικ,·ύειαι όιι, μr εξαιρrοη ιο'' αριθμό Λ,·o­

gndro.

όλες αυιίς οι ιιοοδrητες, σv­

μιιcριλαμβα,·ομένης της σιαθερσς

διιιχυοης. ηια'' γνωαιές ή μετρήσι­ μες πειρομαcικό. Ειο1. ο τύπος του οδηγηοε στον πρωιο nχριβή καθορι·

2. Ο ιφιΟμος Α,·ogndro rιναι μια ηαyκόομια mοθfρό που rκιwΙιζrι ιο ηλήθα:

u.w μφιω"

rνός cιtρίου (Ι\'<i μο"ό.Ιiα όγκου υπο σταΟερi)

ιιίι:.'ΟΙ1. Μnφrι ι•mσης \'α οριστεί ως ι.ο ιιλήθος 0' έ\•(ι γρtιμμc~JΙΟ ιJδ{JιΙ)yόVΟU,

t(•)\' ntoμωV

48

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 199$

τιJχαiοvς ΙΙtρΙΙΙ('ΙtΟΙJς,

4. Ι lρl\' αrιο ςις ιφοοιιcιθι>ιrς c(HJC:.. η μfΙΥ<Ι­ δική διαθι'οιμη θtωριrι *"ν κ<ι<ά βάοη αuιή ιιοu ιίχr rtoα\'άytι

fι<v ιμφιινιζrwι \Ι<\ ιιρώιη φορα ιο

1.-r. ..οπ.\η!ι οιοουμnφοομαuuοι πμn;οw χρημαηοrφtΟ ιοu Πιφιοιου α.:n.\ov6ouoα,·

n Λρχιμηδ~ κηι tιια..-α,·α­

tρΟ);.Ιtς tι()U η ΚΟW\'Ομη 10tJς 11t(Ι\'ΟΙ1010ύοε

ΓΊΟ. ικψοδιιyμu. μJιqκιιικr \"n anoδrιxf}r:ι όu \Ο

2. κnι3. ~foYo κοιά αιδt·

όλο ιοόυιαa μr ιο αθrιηομα ιων μερών ιοu

wuς ιοχuριομοιις J,

w"

κ.ut ιιu 1970 η οι κο,•ομι κή θr<φία όρχwε Υ<ι tHJyιtAΙ,•tι ο' αvιό ω Οfμο μt τιι μοθημουκο κο ι ιη μJJXtι"uιfι. Toαnottλtσμn ήταν μιοιιο.\u ιιιο cf;ι:λtγμί·'η μ/οθο&ις ιJηολnγιομ()u ιι•v κι,·· δi1'-'0\J or μrγ(ιλrι: :xr>r1μ0 ιιι \'Οfιfς, noo f-λ1'Ι ,; • '"rl tνο nιιΗpcΊi1 ΙIΙΟ fΙlyιιλfοιο yιrι πιστωοκες..

μu,·ο οώ.\' tO ηληΟος

tM'' μιρών ήιαν ιιtαqχι­ uμι·\·ο. ~ιιn.\tov. ηαρόιι η ~ίά ιο\J Riemann ή1α\· αιιολύt.(.ι.)ς tξuιιι)Jtιική στο πλιιimο tω\' uεΗφαομί·,·ων διοm.(ιοrc,)ν, &ν uιιiy>χε κομιη θεωρία γιn χt•'Ι(\('ι' ι ς (1Πι"ΙρΜν διοο ι (ι οrων, rίπ(•Κ: ο χώρος Ολ{ιι\' Ι ω'' ιροχι(~ν

Bmwn


ροηάς μας μια υπεροχη tΙΙίδειξη ιης

-οπωι; σuμβruηι με την κl\·ηοη tΙ'ός

δύναμης της αισιοδαξίιις, υποθέτει ότι

σωμαιιδίου 1οίιρης, μr ιον χρημαιι ­

ιου \Yieπer ήιαν η επεκταοη μιας κλασικής έννοιας yνωοιής ως ηλε ­

η Ρrιιθυμητή α\'110 ιοίχιοη των πιθα ­

ο ι ηριοκό δείκτη Dow Jones ή. όπως

κ ιροστατική χωρηιικότητα• σε ιυ­

νο ιι\<ων είναι δυναιι\ κnι ρωτάει πώς

ιιrιριηήρησε ο ίδιος ο

με την

χrιίcς επιφάΙ·ειες. Χρηοιμοnοίηοc μια

θα είναι αυcή η αντιοιοίχιση σ' ένα

ιιιφομόρφωση ενός σήμα ιnς κατά τη

διαδικιισίο ανόλογη, αλλό nιο ιιερi­

Ι·ξυπνα ειnλεyμiνο σ ύσ rημα συν <ε­ ιuyμrνωΙ'. Αναnοδοyυρίζrι λοιπόν ιο

μετάδοσή του οπό μια yριψμι\ με θό­ ρυβο.

πλοκη, με ου ιή1· που επινόησε ο

nρόβλιιμα και αποδεικΙ·iιrι όn η πε­

Α1• και η α1·άλυση ιης κίνησης

ιιrριοχtς για ιις οποιες δεν υιιηρχε

ριγραφή μέσω τω,· συνιrtαyμένωΙ•

κομίιι κλασική έΙ"νοια ογκου. Πραγ·

οδηγει στην ύrιαρξη ιιις ι·πιθυμητής

Brown ήταν ιο κύριο επίιrυyμα του \V icner αυτή την περίοδο, δrν ήτα"

(1\'tιστοίχιοης. ιΛυτή η γι·,• ική γραμ­

κο ι το μοναδικό. Σε σειρά ίφθρων του

μή συλλογισμού είνnι οικεία σε ο­ ιιοιονδήποιε έχει λύσει fνα πρόβλη­

από το 1923 έως το 192(), ο Wίeneι· εξέrασε επίσης ένα Οεμελιι:ιδες πρό ­

αν κοι ΠΙΟ λεηιη ι~νΥοtCΙ 1 σιινδέετnι οι~νά με τα μέφο που χριjΟψοnοι ­

μο λι\γον'tας ·έστω .< η λύση. και βρι(JΙ(ΟΙ•τας καιόπιν ιο χ ως συνέπεια

βλημα ι ης θεωρίας της ηλrκιροσια ­ ιικης. Το πρόβλημα ήτα1· γα βρεθεί

\Yιenrr εκείΙ·η tη\' uερίοδα ήtαΙ' αυτό

ιω1• ιδιοτήιων που πρι!ηrι να έχει.Ι Ο

ποιο σχημα μπφοί να έχει έ1•ας η.\ ε ­

που ο ήμερο ονομάζουμε θεωρία κο­

Wί~ner κατάφφε να κόψει tον γόρ­

κ ιρικός α yωγός ώστε γα φέρει στο­

τανομών ή θεωρία γενικcυμέΙ"ων

διο δεσμό, και η ανιιο ιοίχισιι των ΙΙι­ ΟnνοιίιtωΙ• που πέιιιχε στον ·Διαφο­

Οερό φορτίο. Ο 7.ureιπlιa riχε αηοδεί ­ !,ει όιι κάποιοι συγκcκριμι'νοι αγωγοί

συναρτήσεων. Λίγο μ~ια ιφ• ι'ιφιξη ιου Wir nrr στο ΜΙΤ. ο κnΟηγηιής

ρικό Χώρο• φέρει fκτοτε ιο όνομά

με οχήμα βε.\όγας δεν ι'χουν ιη δυ­

Jackson

ιου: ονομάζειru μέrpο \Vi~nι•r.

ναιόιηια να φέρουν φορτίο-κφορ ­ ιlζονιαι στιγμιαίο από ~ηγ ακίδα.

τος των ηλεκιρολόγ~ιν μηχο\'ΙΚώΙ·

ιου μετρου

ιΣιο οηiστροφο φαινομενο βασίζεται

μια καιάλληλη θεμελiωοη για ιο λο­

Αντιπροσωηεύrι αυτό που

η λtιιουργία του αλεξικέρουνου.Ι Ο

γισμό Hra,·i~ide4Jια μι'θοδο enίλυ­

οημερα υποχρcωrικα θα ονομιιζομε Πnρά&ιγμα. Η ίιπαρξή ιου άνοιξε το

7.aι·cmba είχε ειιίοης αποδεί!,ι:ι ότι οι

οης διαφορικών εξισώσεων μέσω με­

κωνικοι αγωγοι ουγκρατουν το φορ -

ιαοχημαιισμώγ

δι>όμο για ένιι ορμηιικό ρεύ μα κω

ιίο ιους. Στο μιιθιιμαιικό μοντέλο η

οδήγησε τον Lι!vy. ιον Kolmogoι·ov

στιyμιαια ε κφοριιση αηιο ιοιχει οε

και άλλους στη δημιουργία της θεο> ·

μια αnόιομη αλλαγή -μια aσuvέ­

ρίας τω1• σrοχαοιιιιών ανε.Ιi~εωΙ',

,rtιn- ιου δυναμικοίι οrην cπιφά­

αωοη που αφορά πολλοrιλασιασμό, όπως η Αχ= 8. Για να τη λυοουμε ως

και στη μετάjkιση σι η ούyχpο1·η θεω­

νειο που διαχωρίζει το χώρο μcιαξυ

προς χ. απλώς διαιρούμε: χ=

ρία πιθονοτήtωΙ•. Ει11nροσθέτ~, ιο

δυσκολία είναι ότι αυιός ο απλός

μέφο Wίeπer είναι, σύμφωνα με μια

ιου αγωγού κο• ιου μtοου που το\' ncριβόλλrι. Το ηλεκ ιρικό πεδίο έχει

έννοια που μπορεί ν ο yί γr ι πολύ

στοΟι:ρό δυ1•αμικό ο ιον ιιyωγό, και η

σχημαrιοιεί ξαΙ"ά σε μια έκφραση

ακριβής. εξίσου κιιθολικό με την

ισορροπία είνοι ευσιαθιjς !δεν υπι\ρ ­

που θο έχει νόημιι γιο την ορχική

γκαουσιανή ιή κανονική! κατανομή οιη" ευθεία ιων ηροyμαιικών: είναι

χουν σπινθήρες> ον το δυ,·ομικό με ­ ιιιβάλλεται με συνεχή ιρόπο κατά

διιιφορική εξίσωσ η. Αυ>ό σημαίνει ότι

η κοrαΙ•ομή που προκύπτει όποτε

μήκος ιης διαχωριστικής rmφάνειας.

ιου μειαοχημαnσμού Fourίer -La ­

ιι:α\•ει κα1·είς αλλαγη κλίμακας με χρήση του κενφικου οριακού θεωρή­

Ο \Yiencr nεριεγραψε όλο τα οχή­ ματα στα οποίο εμφονiζrιαι η αστά­

ματος, σε τυχαίες μειnβλητές ιιου

θεια και κιιθιέρωσε έl'a καινούργιο

παίρνουν ημές

χώρο ιω'' ιρο­

nλαiοω για ολόκληρη ιιι θcω(Ιία

χιών.• Λυτή είναι η θεμελιώδιις ωιίu

δυναμικού. Σε αν ιfθεσιι με πολλά

πρόξεις ιης ηαραγώγιοης κιιι ιης ολοκλήρωσι)ς. Ο Lauι·eπί Schwartz, ο

rιou το μέτρο \Vienι•r εμφανίζειαι

μονιeλα της μcιθιιμαtικης φυσικής,

nοιtρας rηςθεωρίας των καιανομών,

κάθε φορά που μελr ιάμε tνο φοινό­

απέδειξr ότι το δυναμικό οε ιοορρο­

ποροδέχιηκε όn ο τρόπος που ανn­

μενο το οποίο εμφο,•ίι;tι ης ιδιάτηιrς

nlα είναι μαθημοιικως καλά οριοpέ­

μειωπιοε

Ι.

3. Είναι επίσης η αιτία που μέτρο \Yiener εμφαγίζετοι, ξιινή

Ι'Ο. ΟΙ•rξάρτητα από ιο ιιν ο αγωγός

βριοιιόιον πολλά χρόνιο μπροσ>ά

είγαι οιαθερός ή όχι. Κατόπιν διαιύ­

και ξανά, σε μονιέλα κιιιαστάσεων

nωοr ένα\' ε\'tελώς rφωιόtυηο έλεγ ­

από tη μέθοδο οποιουδήιιοιε άλλου. Όπως ιικριβώς η φυσική ιης κίΥη-

όπου rιιφατηρούμε ιο κιιθορό ιιnοtέ­

χο, γγωο ιό σήμερα ως κμι r.ιίριο ~Vie­

λεομα ενός τ.εράοtιοιι nλί)Οου<; μι ­ κρότατων συμβολών που προέρχο ­

ιιcι·. ο οποίος καθορί<ει τα σημε ίο όπου ιο δυναμικό εiνοι ασυγεχές.

ι:ίζιται μt tηv φyαοία του WίeMr ηή\'Μ στη

νrοι οπό αμοιβαία ανrξάριητrς πηγές

Ένα βασικό βήμα σιφ· nροσeγγιση

θr.tφίο δu\·ομ.ικού. Συyχειφιμι,·ο. QΠ(ι)ς οΥα­

θα ήτα γ δύσκολο να υπερβάλοu­ με ως προς τη σημοοια

\Yirner.

το

2

oto

και

.

.

.

.

WiPnc•r,

.

.

Le -

bι>sgue όtοΙ• οΙ• ιιστοίχιοε όγκο σε

μαιικιι, η χωρητικόιηια ιου Wίen~r.

ούνιιιι για tα φράκιαλ.' Ένα ακόμη θέμα που ερεύΙ"ηοε ο

κω όλλα μέλιι ιοιι ιμήμο ­

ιου ~ΙΙΤ ιού (ήτηοα1• \'Ο ανοητύξε1

Laplacl.' και Fouι·ier. Ο λογισμός Heaviside μεταοχηματi­ ζει μια διαφορική εξίσωση oc μια εξi­

BJΑ.

Η

ιυΙJος γιο ιη λύση nρέιιcι 1•α μετα­

ιφέπει γα έχει νόημα ο Ο\'tίοτροφος

place.

Ο \Vieπcr ανελοβr να περι­

\'IΙΟψtι τηγ ανιιστοιχίο LO\J πολλο ­ nλοοιοομΟU και της διαίρpοης με tις

ro ζήτημα ο \Vιenrr το 19'26

7. Υπhρχrι μια ncρiερyηrlf)(\)νtio ιιου υχε. ­ ιιιιλuφr ο S. Kakutanι οnς οιιχrc: rης δαιοε­

ηλrpης &Οώ\-οφη nuιης ιης κοθο.\ι­

6. 11 η.\tιπροοταwι.ηχι.φηιικόιηtα tνόc;o­

κόιηως: tmttυχθηκt μό\'Ο οιη δrκαrι:ιο ιιιu !950, χάρη στη οvμβυ.\ή ιω>· Ρ Lt\·y. RΠ CBιnPι·on. ~1. [)Qn~k••r, 1'. f:rd&;, Μ. K8c, \\·.τ

YM\'<'U μιιορrί ,.ο οριστrι <,)ς, ιο Ο\1'\~ολης:ο φορ.

μt ιφ• Jct\"fρη Broν.'tl μt βuθtιc: κ«ι υπίροχ:ους

ιtQ ιιuu φtρrJ ο oyf,)\'oς οι· ιιΜ'Ιflf)Ι)ΠΙΟ οτaν 11 δια­ φυρ(ι διη·<ψικΜ' μι·Ηι~ύ τ(Ιι, ιιγωγοu .κ.ω un' rιcριj'kιλλο,·ι&; tο1τ rιναι σtοίk:ρι1.

tfi()OOUς. Ο Wientr &ι:,· ιψόnrf.t κοΟόλου au • τη\' 1.11\' όμορφιι κw χριpιμη οuνδι'Qη μr την

h. Η

,\1nrtitι κω 1.[. SE>gnl.

uc:ις ιοu

1940. η θtωρκι διι\"αμιχο" ο,χeιίl,tιαι

rιροηγούμι•γraι-ργοοίn ιοu .

OUANTUM Ι ΜΟΡ•ΕΙ ΠΗΝ ΕΠ!ΠΗΜΜΗ

49


____________________________________________........................... σης Bro"·n ι'δωοr σ"''' \Viener ισ

και τα σημαια 11ου αιιοΙrλού,'Ulι απο

(ιρ()ρο y1α τις ολοκλrpωιικrς εξισι~­

φέΟιομα για εν1rλως καινούρyι<Ι

ι·να ου,•rχές συχγοιητω,·, όπως ο

uι·ις μαζί μr ~ο" Ε. ΗοpΓ. nrριπλα''η­

μαθηματικά, έιο ι κuι ω 11pακ τικό

·•λrιικος θόρυβος ...

()ηκc σιο χιiJρο tης κβανιομι}Χο\'ικής

πρόβλημα <Ι}ς rΙΙι·ξrργασίας ιων ηλc­

J::νrι ιιnό

to

βιιωκίι συστοι~κά της

μο(ί με ιον

Max

Βοι·n κιιι ιισχολιi ­

κ ιρικών σημά ιω\· τον οδήγησε oe μια

yι·,·ικευμένης ιφμο,·ικης α'·άλυοης

ΟιJκr μr ιφ· πεντοδιίιοιιιιη σχετικό·

βιιθιό επtκωση Ιης κ.\οσικής 0\'ά­

10υ

ήΙΟ\' ΙJ νι'n μι·θοδός του

Ιηιιι ιθrωρία Kaluz.~·Kieinl μαζί μr

.\υσης Fourιrr. ~I μέθοδος

Fourier

yιcι ΤΟ\' υπολοyισμό οριω'' τω,· μέ ·

ΙΟ\' Oίrk Sιruik. Σια ιfλη της δεκαε ­

συ,•ιοταται οιφ· α,·αλυοη t,·ός πε­

σι~,- τιμώ,•. Το πρωrο βημη ηιn\' η

ιιας ωu

ριοδικου οημαιος σr ο()ροιομα απλών

Ο\'αδιοτύπωοη

προβλήματος.

κα στη μαθημαπκη Ο~μrλιωοη της

ιιρμονικώ\· κυμιηω\·. Η θεμr.\ιώδης

οΙοtιοιικής μηχανικής. rιιι·κτri\'Ο ·

οχι'ση της ιινίι,\vσης FΌuι·icr ---iJ ιύ­

ιίιοιr \'ιι α\•αχθι-ί ο ιο\· καθορισμό ωu ιιότε δύο στιιθμιημ~νο ι μtοοι όροι

ιιι)ς τοv Ρaι·srνιιl

μnς λέεΙ ότι η

βρίσκονται πολύ ΚΟ\•tίι. Το ιιναδι α­

Βίι-khοΓΓ. Η ι;ργασίο tου ιοιι

ΟΙJ\'Ολική ε,·IΊ•Υεια ιου σήματος σε

ιιιιιωμι',·ο ηρόβλημιι ταίριαζε μι: το

ομοycνες Χάος•, που αΙΙοοκοπεi στην

κιιθr περίοδο ε"·αι ιο αθροισμα tω\'

yι·,·ικό πλαίσιο ιης λrγόμr,·ης θεω­

κηιο\'οηοη τω\' μη γραμμικι~\' τ υ·

t\-rρyειώΥ ιων απλω\' ιου κυμάιωΥ.

ριnς Tauber -4kιφια στ φ·

χαιω'· φα"·ομέ,-ω,·. βρηκr ου,·έχεια

Το ού,·ολο tω\· 01!:1,"\'Οtηιω\· rιου πε­

χnν οημαηικη ουμβα.\η ο

onoin ει­ llard)· και

στη κοιοοκευαστικη κβονιικη θεω­

ριι'χι·ι αvτiι το nλοιη εινω γνωοιο

ο Lίιιlc"'ood. Ανιι όμως νο χpιJΟιμΟ·

ρια ΠCδίΟU με L\) όΥΟμα •διό ιαιη tOU

~><: φάσμα ιου σιiJJotoς κnι αvτές οι

ιιοιήοει κάποιες βcλτιώοεις οιις τε­

\Vick•.

συχνότηιtς ιΙποιελοi>ν ι·να διακριιο

χνικές τω\• διιοκόλω" τοιι, ο \~'ieneι·

σύνολο -τις αρμονι κrς μ10ς παλλό­ μενης χορδής. Υ11ιίρχrι ένας ιιι:φό­

εισήγαγε μιιι νι'α rφοοι'γγιση με τι1ν οrιοίο δrν έλυσε μόγο ιο δικό του

Jι.Η,.,υψrι rη,·rp}'aoia tOU' H 'Jf"r1tr Πri\•t.J όlΟ\'

μοιος θεμελιώδης Ιυπος. που ιον

πρόβλημα αλλά και αιιοοοφήηοε τον

r1ιτ.rο ιω'' αηιαιpοι:ιφικω,· nιψω'' κιιτn rη

αψι'iλουμε ο ΙΟ\'

Οεμrλιωδη μηχανισμό όλων

δοιιρι<tια ιοο Β' Πιφιοομιw flo.\rμmr χnι rη

-

Plancherel,

yια τψ

\Viener

ιου

τω'·

ντος

10

1930 OU'I'rβo.\c ιιπnφασιση­

r.ργοδικό θεώρημιt του

G.D.

1938 .. το

ctJ

Τιι ιι·.\ι-ιιrω'σ μfιχχ ωv ιιψι!'"pt.)μtΗος (Jtr

δισοΙJΙ")πρη rιροσφορtι ιuυ -ιη\' κι4)rρηιn •

ανάλυση μη ιιcριοδικών κυμάιω,·. ο

ηροηγουμεγω,· προβληματω'' αυτού

οποίος μεφάει ι η συνολική ενiρyrια

'COU ιιιποu.6 Στη μονοyροφ1α ιοu ya·

στη δι ίιρκr ι α όλου του χρόνου. ΊΌ φάσμα του ο ήμιιτος εξαnλ~)νειιιι σε

αυτό ιο θέμα ο \ViencΙ' παρουσιάζει ι ι ς ιδέες του δίνοντας και μια κο μ ­

όλο το συνεχές ιω" συχνοτήτων. και

ψ ή απόδειξη ιοιι θcωρήμα τος τωΥ

ο ιύπος μrιριiει το ποοόγ ιηςε,-έρyειας

Πρωιων Αριθμώγ, που οιιοτελrί μια

που συyκε,·φωηιαι οε &δομf,·η

nrριοχη οuχ,·οιιιΙω\'. Το πρόβλημα

οπό τις ωραιότερες εφαρμοyι'ς ι ης α,·αλυσης στη θεωριο aριθμώ\'.

ειναι όιι ια οημ<ιτα που εμφανίζο·

Με ιη δημοσίευση της εργιιυίας

''tαι στην πράξη ο ω ιJλeκ φικό Οtι· οιήματα δεν ιαιριιiζουν με το πλαί­

ιου yια τη γενικευμένη πρμογική ονάλυση και ιιι θι·ωρήμηιη Τaιιbeι·.

σιο κιιμ ιός από αυτiς ιις δύο θεωρίες.

iu>Or r11ιιέλους ιι ανιιγνώριση yιο το"

Τα σήματα δεν ε(γιιι περιοδική καΙ το φασμα δε,· περιορiζrται σε συyκrκρι·

\Vί~η~ι·. Το

θηγηιης στο Μιτ μr μισθό

μt,·η οεφά ημών. rπομεγως οι σει­

.\αρια ετησίωc. Το,· επόμε,•ο χρό\'Ο

ρές

rινοι ι"·επαρκrίς. Από

C\'1\'r μrλος Ιης Εθ'•ικης Ακαδημίας

τι1ν άλ.\η πλευρά. η συ\'Ο.\ική ηερ·

Ε11ιοrημών ιων Ηι1Λ. και κέρδισε το

yrιπ κατά τη διιiρκεια μιας άπεφης

βριιβειο Bόcher. που αnο"έμr ιαι κάθε

ιιφιόδου είναι ίιπειρη, οπότε η θeω­

πέντε χρό,•ιιι για τιιν κιιλύτερη ερ ­

ρία του

γιισfο οιην ανάλυση οιις ΗΠΑ.

-Και ο' αυτό τοβ!β,\iοδιαφαfνηαι ο tν­

σι~ ου του ιιου Ο\'όμιισr yε,uευμέ,·η

11 πνευματική δραοιηριόηJτα ιου \Viener κάθε άλλο πορcΊ εξα,•ιλεiται

αρμονική αΥάλ υ ση. Χρηοιμοποίηοr

σιις κύριες εργασιες του ιtου περι·

tιοόγt.ι ιους νεαρούς ονοyγώσttς στο

ως αφετψία ουyκεκριμr,•ους αριθ­

yρcΊψαμε. Κατη τη δcκnrτία του

μούς ουτοουσχέτισι)ς, οι οποίοι ου­

σιινrχιοε την εηι'κτοοη ιης αρμονι­

οU\'ορnασuκό .• Δροσερό ανάγνωσμα,

yκρίνουν το οήμο με το ίδιο σήμα μr κlι ποια χρο,•ική κnΟυσΙrρησιι. Αυιό

κής nνάλυο ης. έχοντας πα" ιοτε κατα

World

ήιον ακριβώς ό,ιι μιιορούσε να με­

''ική. Έγραψε μαζί με tον

τρηθεί προκιικα. Αντί λοιπόΥ να α· σχοληθt'ί με ιη ου,·ο.\ικη ε\·έρyεια. ο

l'aley

Fourier

Planchcrel δε" r·φαρμόίειοι . Ο \Viener ξεπι-ραοt ι η δυσκολία μ•'­

\Vιener θεώρησε τη μfοη ενέργεια ιου σήματος οιη διάρκεια μιας μεyό • λ ης χρονικής ιιφιόδου. I! θεωρία του rίΗΙγ (1ρκ&-ι<'ι ευέλικιη ιι'>οτ.ε ΥΟ αντι­ μeτωηfσει κ<ιι τα περιοδι κιi οήμιιιιι

ΜΑΡJΙΟΣ

ΑΠΡΙλΙΟΣ 1995

1932

ΣΥΝΕΧΤΖΕΤΑJ ΣΊΌ EJ/OMENO τΕΥΧΟΣ

Από

11 ετών και άνω Russell Stanna rd

ΧΙΛΙΑ ΚΑΙ ΕΝΑ ΜΊΣΊ'ΗΡΙΑ ΊΌΥ ΣΥΜΠΑΝΊΌΣ

rγιγε ιnκιικός κα­

6.000

δο·

1930

Ο.ρμος ζήλος με to'' οιιοίο ο S1annard μuοιικd tης φυ01..Ιt.ής, μc t\·ον τρόπο

γνήσια επιστήμη....

,-ου ν τις ίδιες cφιφμογές στη μ ιιχα­

li.E.A.C.

ι'να βιβλιο που όοκηοε ιδοιτε·

ρη επιρροή. και t\'O nρωΙοποριακό

1;. fl tρyααιn •ον ll'lt'IX'I' οδηyφt fO\' 1.~1 Gι-ΙrAnc1 στη διοιuηc.χιη μιας βιιΟιuς in·oιnc. φ(ιq-μ(1ιc>ς. JIO\J μπnρrί \'<t >ι,ρψιμιιιιοιηθtί y ι α ι η" Ο\'(Ίι\Ηnη του ι ιο.\λωιλιιο ι rιομού και ιης δι<ι Ιρrtη~ nr ΟιJΟJuδι μωιr ιιλ γf'i)ρικο σύστημ(ι.

Σcl.:J65,

Phy•Ιcs

2.900 δρχ.

ΊΌΥ ΙΔJΟΥ ΣΥΙ1"ΡΑΦ€Λ KVKJ\OΦOPOVN

• Ο χρόνος και ο χώρος του θεΙου Αλβiρτου Οι μαύρες τρύπες και ο θείος Αλβtρτος

ΕΚΔΟΣΕΙΣ κά-ι:οπtpο


ΚΑΚΟΤΟΠΙ ΕΣ

οι συνιστώσες της γνώσης Χρησιμοποιείτε δισνuσμστσ -αλλά πράγματι τα κστσλσβσίνετε;

Boris Korsunsky

ΠΟ 1'11 ΔΙΔΑΚ1'ΙΚΙΙ ~Ι()Υ F.~ffiEI·

τους. εiΥαι βοτιΊ ακόμη κοι γιο έ\·ο

Cηάνω -κιΊιωΙ ότι )'\'ωριζετε ηροyμα­

ρίιιι τόσο σιη Ρωοία όσο και οιις ΗΙΙΛ Ι cχω την ιιι·nοίθηση ι\ιι

εισαγωγικό μαθημο φυοικης λ υ·

ωια ·ηώς παίζεται ιο παιχνίδι •. Σε

κrίου. Συγχρό,·ως. είνοι ιόοο πλού­

ιουτο <ο άρθρο. λοιπόν, ιιροσφέρω

πολλοί μηθητές δυσκολεύονται

οιιι σε ιδέες ΙΙΙ>υ ηκόμΙJ κιιι ψο1ι:ηιές

κόποιιι ηοροδείγμοτο που riναι βέ ­

νcι κατανοήοοι~ν την έννοια τω γ δια·

βαιο όιι θα αnογοητεύσουν ιους φί •

νυομuτικώ,. φυσικών ποσοιήιων.

rιηνι:πιο ιημ ίου ον τι με ιuJniζou"· δu­ οκολίες με ιιο.Ηά on· αυιο. Αν είοτε

Ιδιαίτερο δύσκολη yι' οuιους εινοι. η

or

ιδέα ~ωΥ οuνιοιωοών. Το χειρόιφο

μαιιι,

θέση ,-α λιισrτε οuιο τα προβλή­ μιιΟ(ΗΟ

να

είμω

σίyουρος

είν<ιι όtι ιιολλοί μαθη ιiς μαθαίνουν με ακρίβειcι τη •διαδικασία rrιίλυσης. κ.οι μπορΟύ\' ,.ο λύνοuγ •rυmκά • ιιροβλημοια που nεριλαμβο,·ου,- ιην

λ ους cης ιΊλ yεβρας. Πρόβλημα I . Βρέχει ιόμως δεν φυοόειJ. Ένας κοuβος θα γεμιοει με νφίι

1

mo

γρί]γορu αν βρίσκετα ι ακί­

γηιος σιο cδοφος ιί αν ιοποθετηθεί οε μια ηλοιφόρμα που κι,·ειιοΙ οριζό \'(ΙΟ :

rννοια ιων συ\'ΊΟιωοων διηνυσμό­ των, στην ιιραγμοιικότητα όμως δεν

Το ερόιτημο είναι σαφώς ιιοιο • τικό και όμως μπορεί να λυθεί

τα ιωταλοβαίνοuν. Είναι ιιερίεργο

εύκολο μ · έγιι •ποσοτικό• rρ­

-iχω μιλήσει γι· αυτό ιο θέμα στο

γολείο όπως οι ου\'ΙΟ ιώοες.

σχολείο μου με μαθητές ιιου οκολοu •

ΕφοοΟ\' εδώ έχει σημασία

θούν είτε θεωρητική είιr θετική κα­

μόγο η κο-ιοκόρuφη συνι­

τεύθυνση. κrιι όλοι οχεδό'' κιΊνουν τις ίδιες οιιλοϊκές ερωτήσεις!

οιώοα της ιοχύιι]ιας των

Για να οnοφευχθουν οι ncριπτώ­

χρόνος που οnαιιεί ·

οιογόΥων της βροχής, ο

σειι;, στις οποιες

ται γιο ,.ο yεμί ­

καθηγητής

σει

K(ll

μαθΙ]·

οπό ιην οριζό ­

nεπε'ι­

-----

σμένοι

....., - - . /

οτι ο μα ­

θητής κιι •

/J

unroεi όν ιtιχ;,

(

ιην έννοια ενώ

εύκολο. όμως μπορεί ( και

Ιινα. π~οβλήμοτα ια ο -

Και το επόμενο πρόβλημα δεν είναι πολύ δύσκολο, ωστόσο φοiνε -

I

μοηοίησιΙ ασυγήθιιιτα. -έιυ ·

/

~:;~ό ~~0~\' .τ: μ ερος

Το πρόβλημα είναι οχrιι><ά

καλfσcι μια καλή συζήτηση.

δεν την καιαλοβοίνrι. χρηαι­

/ ~

''ιια τοχύιηια ιου ><ουβο· θο ε"·αι ο ιδιος και σιις δυο περιπτώσεις.

μάλλον τα κ α ιάφερε) ν ο προ·

οτην ηρογμοτικότητα

μ~τΙΙ<ό

κουβάς

δεν εξορτίιται

ι ής είναι

μαθη-

ο

./ - -

/~

\

[·-- ~

ιοι περίεργο σε πολλούς μαΟηιι'ς. Πρόβλημα 2. Ένας όγ0ρωιιος ιροβοε1 μια βορκα μέσω C\'ός σκοι­ ''ιού , οnως φαίνεται σιο ~χημο ι ΚίΙποια στιγμη η yωγία μειοξύ ιου

σκοινιού κω ι ης ιιιχιιιηιος της βορ-

OUAHTUM I ΚΑΚΟΤΟΠlΕΙ

51


11

κας εiνnι nriιr:

'' ιιις ί~\'ιι ι~τραyωνο. όπως φαiΥε ιω

ιιρ<:ηα

στο Σχήμα

4. Τφ· ίδια χρονική οιιγ ·

μή αρχίζουν να κιινι}γούν το ένα το

uδύνατο!• Εiναι;) Το

Ιιλλ ο: η ταχ ύτητα ιης χελώ,•ας Λ

μέφο ιηc; ταχύτητας

Ιοιιyγ,·ώμη. ποτι' δ(>,· κιιιοφέρνω

της βιφκας είναι υ. υ

θυμι}θώ ro υιιέροχα Ο\'όματά ιους' ι κnιrυθυηται κάθε σιιyμη προς ιη

μr

χελ~Ι\·n Β. η ιαχυιηια ι ης οποίας, μr

οιιοία ο άΥ()ρω·

ιη σειρά ΙΙ}ς. κατcυθιi\Ψtοι προς τη χελι:Ι\'11 C, ΙJ οποία κυ,·ηγι'ι τη χελώ·

ιηc;

1

.. Μα.

( lσως

cιι1' όλο, αιιτό είναι

Oρti ιε

Σχήμα

θ.

tll''

to

μέtρο

ιαχύτητας

πος πρrrιε1 να ιριι.

βιicι το σκοινί tcι} οιι γμή αυτή.

νrι

υn

Και c1ε wύw το rφόβλημα γίνειαι

οι:._--~~~--~

χρήση της tννοιος των συΥιστωο6Ιν. ~I απάντηση ειναι υ =υ

συνθ. Α,·

κοτιι.\οβαίνοτε tη\'

του προ ·

ouoio

ιι,

Σχήμα

vn

D μι:

τον iδιο τρόιιο. Κω φυοικ{ι η χrλώνο I) κυ,·ηγά ιη χελώνcι Α. Τα μέ ιρn των ταχυτήτων ι ους rί \'ΟΙ ίδια· είναι rπ•ηλέο,· σχεδόν προφανι'ς όιι

3

ΚΙ\'Ούμενες πά\'ω σε ι<ιιμηυ.\cς γρομ ­

βληματ.ος, θα λεyα ιt οιι η οννισιώ­

Εφοοο'· η ράβδος είναι οιερrό σώμα.

μeς, ιrλικά θα ουνα,· ιηθού'· στο

cια της ταχύτητος LΙ}<; βάρκας κο ιά

οι ουνιο-ιώοες ιων uιχυιJ]ι.tι)ν όλων

κέ,• ιρο ιου ορχικού

μήκος 'ου σκοινιοiι rίνιιι iση με ιην

τcων Οι}μεiων της ράβοοu κιι ιά μήκος

Α 8(Ί>. !Ι όσος χρόνος θο χρειαστεί ον

ταχι'ιιητο ιου σκΟΙ\•Ιού tuποθέιουμε

tοιι άξον(ι ι ης Οπ ι·ί\'111 ίδιες. ( Ειδάλ •

η πλευρά του cιρχικυύ ιr ιριΊγ~ινου

ό ιι το σκοινί &ν εχε ι καμiιι ελασιι • κότητα -i: tδ<ιλλως ιο rιρόβλημο Οα

λ ως οι μrτcιξίι ιοιις ιιποατάσεις θο

~Ινcιι

Ιιλλπζαν!J ΑΥ yνωρί(ουμr ι η συνι ­

ο ου έχrι κάθε χελωνΟ\'1\' ι((ικι είναι

ήταν άοιοχοJ. Δυστυχώς. από την

οιώσα ε,·ός δια,•ύσματος κιιτα μια

υ; ι Ερώιηοη-δώρο: ποιο rf,•αι

εμπειρiα μου yyωρ)(ω όιι πολλοι μα·

ουγκεκριμe,·η κ ατεύθυνση κιιt τφ·

Οητές εί,·αι αnολύιως πεπεισμένοι

πpοyματιιιή κnttυΟυ,·οη ιου διcι,·ύ ·

μο r'•όc; ιέwιου αyωνίομοτος;J Δr'' rίνα• καταπληκιικο πρόβ,\η·

rιως για \'Π μπορέσεις

rιμιιιος, μπcψούμε εύκολα ν η βρού •

μα; ΦΙJοικά δεν μιιορούμε \'α ανολύ·

με συνισ•rόοες σε

''" ασχοληθείς κάποιο συγκεκρι •

με και το ίδιο το διάν ιιομn. Η κιι •

μένο ιιρόβλημα, ιιρrπrι νο έχεις δύο κά/krους άξονες συντεταγμένων. Το

τεύθuνοη ιης ιοχύιηtcις του πάνω

οουμε αυτές τις κrιμιιύλες που ξε· φεύγουν από ιrι όριο ι~ιν αιιλών

άκρου ιης σκάλας είνοι προφανής. Τι

μαθι}μαι ικ~η·. ΑΥ εσείς μιιορείτε.

ιψόβλημα αυτό ξrκ(ιΟαρο λέει; ·Ολ"·

συμβαίνει με τ.ο μέσο ιιις; Η γεωμε •

τόσο το χειρότερο -eα χασειε όλη

χρrιά(ι:ιαι •. Το rπομrνο ιιρόβλημα φαiνειιιι

φ ία μάς λέει όιι όσο η ράβδος y λ ι· ο ιρό προς τα κάτω, η απόσταση OC

την πλάκα! Και η πλακα ε(,·αι \'Ο εκ ·

μtιαλ.\rυιούμε τη ουμμrιρία της

διαφορεη κο, οτφ· ιιpογμαιικόιητα

παραμένει σταθερή. Αυτό οημοiνει

διάταξης. Κάθε χροηκή οηyμή οι χε ·

όμως είνοι παρόμοιο με το Πρόβλη·

ότι ιο οημεiο C κινεfται πάνω σε τόξο

λώνες σχηματίζουν ι'νn ιετράγωνο

μα

κύκλου, κω το δι/1\•υσμcι tι}ς tαχiι • ι ητάς του είναι κίιθr οιιγμή κάθετο

ιιου μειώνεται σε μέγrΟος και ταυ·

στο

OC. Μπορούμε λοιnόν να •κατα· σκευάσουμε• to ονιιοτοιχο διόΥυ· σμα. όιιως φαί,·ειαι στο Σχήμα 3.

κίνησι}! Το κέηρο. όμως. ιου τετρα ·

Το rπόμενο πρόβλημα εί,•οι προγ­

νιοι -ιο σημείο που μας ενδιαφέρει

μιιτικίι έξυονο, και rίμιιι βέβωος όιι

Τώρα μιl(ιίγουν οιο ηωχνιδι οι

On ιο αnολαίιιιrιt.. ιf:κτός αν είοτι:

ουνιοιr;>σες. Παρότι η διruθυ,•σιJ της

ιιολ ύ καλοί ο ιη μαΟημη τικά, οπότε

ταχύτητος της κάθε χελώνας αλλά­

ενδέχετα ι να αν τιμeιωηίοι·τε προ·

ζει συνεχώς, η συνισιώοα της ταχύ­

βλήματα!)

τητος κάθε χελώνας nou έχει κ α ιεύ • θυνση προς το κένφο σχηματίζει

OC\'

2. Πρόβλημα

S. Μιο p(ιβδος που τψ

rικουμnήοιιμε ο' έναν τοίχο αρχίζει

vα γλιστρά nρος tα κάιω ιΣχήμα

2J.

Πρόβλημα

4. Τέοσεpο

χελωγονι­

'' ιζάκια. έτοιμα για μάχη, οιέκο,-ται οια σημεία Α. Β,

.4

Σχήμα

8

2

Δίνεται η τα χ υ ιηια του κάτω άκρου

ι ης ράβδου. Βρείιr γροφικά ος ταχύ· του μέσου HJC;.

Ο τρόπος επίλιιοης του προβλήμα •

D

τος (που ομολογουμcνως rίνω λίγο

52

ΜΑΡΤΙΟΣ ΑΠΡΙλΙΟΣ 1995

3.

Β

υ

μ .~ )Ιιι

.' •• ...

y·· •

ιηιες wυ αάνω ακρου ι ης ράβδου και

δυσκολότερο) φnίνεται στο Σχήμα

C και D οχηματίζο·

Σχήμα

4

••

L

ιrιρογώ,•ου

και ιο μέτρο τιjς ιιιχiιτητας

to νόη·

ιόχρο,•α nεριο φέφειαι. Τι εξαίσια γώ,·ου προφα,·ώς δε,· ΚΙ\•tίιαι. Και ε ί,·αι ακριβώς εκεί όιιου ουναηώ ·

κάθε στιγμή την ίδια γωνία

!45"J

μr

ιο διάνυσμα Η}ς ιαχυτητος. και έτσι δια ιηρεί σταθερό ιο μrτρο της που

είναι ιι( ./2/2!. Τώρα βρίσκουμε αμέ ­ σως ιην απάντηση. Δεν είναι εκπλη · κιικό; ( Η απάντηση είναι ιιράγμαιι

L

.

ω

Φυοικά, οι ΟU\'ιοιώοrς ειναι χρή ·

σιμες δια,· αντιμετωπίζουμε προβλή­ μοιο οχεηκά με τους νόμους κί,•η ­

•c

οης ιου Νεύτωνα. Νό δι'ιο όμορφα αορnδείγματα: Πρόβλ ημα

5.

Το ούστιwο που


m

m

L

L

ι

...

2

)

r.:

Α

~

....

....• .

υ, \

..'' '. '

' ·c

13

Λ

υ

Σχήμα

5

φοί,ιειω οτο Σχήμα

5 μηορrι' νο

=

nιg

Kl·

Σχήμα

νείιαι ελι:ύΟερα cιιιό κιιtiισωΟιJ η· ρεμίcις, χωρίς ιριβ~ς. Τι θα συμβεί

rιρώιιι. to σώμα 1 θο χτυπήσει ιην τροχα.\ιιι η το οώμιι

2

υ

Σχήμα

7

Σχήμα

θα χ1υnήοει φιιι•ηαι σιο ~χήμα

το•· ιοιχο:

9

6. Με

δrδομέ.-ο

8

σχημαιιζοuΙ' γωηες

n και β, OΙ' ri •

Τι μιωρούμc να κιινουμε εδ<~: Η

οη ο τοίχος δεν nιιροuοιαζει ιριβή και

ο ιοιχn, μr τον άξονα

διεύθtJΙ·οη και ιο μr ι ρο 1ης δύναμης

!Σχήμα

αλλάζουν

με δεδομένο το δι(ιvυομο ιιου παρι · ο ιc\νrι to βάρος tι)ς ριΊβδου, βρείτε

ουνι·χώς! Εiοιε ι'ιοιμοι γιcι μερικές

γριιφικiι το διάνυομιι που ονιισιοι •

φο της ιιιχύ ιηtας ιου iικροιι

φρι κ τrς ολοκλφώοrις: Προοπαθιίστε

χrί οtη δύΥομη ιης τριβι)ς ανάμεσα

πόλι, μιιορώ •·α σας ιιrριμι'νω!

ο ι η ροβδο και ο ιο δάπεδο. ι Μιιιιρεί ιο

με

διιπεδο •·α μη•• nαροuοιά(rι rπίσης

οκλrρη δουλειά τους. Τώρα ιροβοuΥ

φιβη;J

110υ ασκείται ο ω σώμα

2

Το ιιρόβλημα αu ιό δι1· εί\'01 και

8!. Δίνεται

ι ου ξύλου

ω μrφο ιης το·

χύιφας ιου άκρου Α t!ρείcε το μέ·

2. Όιιιν

8,

ιn μυρμήγκιο ιrλrιώνουν

ιο οrιιριόξυλο, συ•·rχίζουν τη

pntόδων. η .\ύση ιοΗ <•XHQOO cί,•οι

Η λύση, που φαiΥttαι οιο Σχήμιι

ενα ιΡ ιρnyωνο κομμοιι οπό χαριόνι ABCD. Κάποια στιγμή γνωρίζουμε

εκπληκιικιι ουνιομη. Λπλώς ηρο­ οrξιε τις οριζόνιιες συνιστι:1οες. Η

ί, εμπεριέχει δύο OIJIIOV ιικι'ς ιδέες.

όιι η ιιιχύτηια τ()υ ι\ καιι:υθύνεται

Πρώιον, η συνολ ικι\ ponιi ως προς

ιιιιό ιο Α οιο

C

ιiιΟη του νήμοιος Ιιιου rίναι βεβαίως

οιιοιοδήποτε σημείο ιφέιιι·ι να είΥοι

ιιιχύτητο ωυ

C ιη

η ίδια και για «Ι δύο σώμιι ιιιl ciναι η

μηδrνική. Δεύιερον, αφού η κάθεrη

διεύΟυνοη ιη

CD

μόνη που οuμβαλλcι σι ην ιιριζόνιιο

δu,·αμη από ιον τοίχο και το βάρος

ιις

rπιtαχυνση ιω•· δυο οωμιιιι.ΙΙ', Φυ·

•ιιερ•·οuν• από ι.ο οημειο Α , η δύ1·α·

τω•· Β.

οικίι η οριζό•• ιια ουνιοτοοu αυ1ής

μη ιιοu ιισκει ιο διιπcδιι στη ράβδο

3.

ιης δύναμης είΥοι μcγολu ιερη για ιο

ιφι'πει επiσιις νο ιιφ•·ό από ιο ίδιο

μυρμήγκιιι tε·

σώμα Ι κάθε ,'(JJΟΙ'ΙΚη ο ιιyμι'f. ~:;φόοο•• ιο δύο σώματα έχοι11· νιι διανύσουν

οιιμcίο! 'r~1ρn ιιου yνωρi<ουμr ιrιν καrεύ ·

λειώνοuν ου τη

την ίδιιι απόοιαση. ιο υ~Jμα ι θιι φιiι .

θυ\'Οη ιιιιιής της δύνομης, είγοι η

χάνουν

σε ι 11ρώιο. \ Η οριζόν11α συ\·ιο ιώοα

κατάλληλη στιγμή να θυμηθούμε όιι

διαλειμμα.

ι ης ιαχύτητάς ιου ι·11•αι πανιοτε με.

η ΚΟ ιακόpυφη ΟυΙ·ιοτ~IΟΟ της

ι Μπορt ίιε

γαλ ιι ιrρη από α υ ι η ιου σώμα τος 2. Ι

εΙΙ•αι ίση με το βάρος ιικ ράβδου

cοεις να κι'ι•••·

Το επόμηο ιιωι ιελεVΊαίο Ι nρό· βλημα εισάγει ιιιν ιδι·α της ροπής.

ι ιφάγμα που μας rιητρtπει να •Κα·

τε το ίδιο. ι Α· φού ξrκουριιοιούν. φαβού ν ένα ισο •

ιόοο εύκολο. εί••οι επιπέδου ολυ.

}....

6. Μιιι ομογrνής ρά ·

ιοοκrυiισουμε • ιο διάνυσμα rιου ιι\'tιστοιχεί σ ιην κίιθει η ιινιίδριιση

βδος οκοΙΙμη(ι σ' ι'νον ωίχο όπως

ιου διιrιέδουι. Μι: το διι'ινιιn μιι αυτό

Πρόβλημιι

στη διι'ιΟεοiι μιις μπορούμε rύκολο να σχεδιάσουμε την οριζόνιιιι ου•·ι01ώ ·

Σχήμα

6

u. Η

συγμή ουιή έχει

! Σχήμα 9). Βρείτε

ιαχυ ιηιες

ιιιν

C και D.

Οιαν ια

υ

rργι:ισίa, ένα

c

ι\

κι

σκcλές ψίγωνο

Σχήμα

ABC

10

οιιό χaριόνι

(Σχήμιι 10 Ι. Είναι γνωο ιό ότι κάποια οιιγμή η ταχύτητα ιου Α καιcυθύ­ •·ειαι

ono

ιο Α οιο

lJ και

οιι του -η οποία δε,· ti\fαι rιιιρό η

υ. ενώ η τοχύτητο του

ιιγνωοτη δύγαμη της φιβης!

Ουνοη ιην

Τα cξυnνα nροβλιίμαια rινnι και

'-~-

κ« ι έχε ι μέτρο

BC. Βρείτε

r.

tχει μέτρο

r tχει διεύ ­

ιις ιοχuιητες

διιιοκeδιιστικιί, κοι συχνό μας βοη ·

των Β K(ll 4. Γιιιιί είναι ευκολόιcρο να -βγά ­

θούν ••α κω.α,·οήυουμε σε βάθος μια

λουμι· · ένα κ αρφί αιιό ιον τοίχο αν

i·ννοια . θα σιις <ιφήοω με μερικές

ιο ιιφιοτρέφουμε συνεχώς όσο

ασκήσεις. Είμαι σίγουρος όcι ιελικα Oa περόσετε όμορφιι μα(ί ιους!

ιροβiιμε; ! Υπόδειξη: οκrφιείτε τη συ · νιο ιci>oo της δύναμης ι ης τριβής, η

co

οποία rνrpy1:i αηίΟtια μr ιη δύνα · Ασκήσtις 1. ~ια ομιίδο μυρμήγκια ιραβiιει r>'ιι μικρό σπιρτόξυλο. Κόnοιο στιγ ­ μή οι τcιχίιιηιtς τω•• ίικρων ι\ και Β

μη που ασκουμε ιριιβωνιnς.Ι

(tJ

Ο Βο ι·Ιs Κοrsunsk)'διδιιοκtι 010 Norιh ·

fiold Mounι

Heι·mon &hool. σω ΝόρΟφολ vι σιι;

)lαuοαχουσιττης.

OUANTUII I ΚΑΚΟΤΟΠΙΕΙ

53


ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Ολυμπιάδες σε Ευρώπη και Ασία Η 6η Διεθvής Ολυμπιάδα Πληροφορικής στη Στοκχόλμη και η 35η Διεθvής Ολυμπιάδα Μαθηματικών στο Χονγκ Κοvγκ

Ο 1994 ΙΙΤ.~Ν Η ΣΕΙΡΑ ΤΗΣ WY -

στην αρχική του μορφή. Σήμ;;ρn απο ­

τεpα μικρού ποσοστού συμμετοχής

ηδίος να οι>γην~ισει τη Διεθνιi

τελεi έναν ζωνιανό μάριυριι tηι; νου ­

κοριτσιών στο διαγωνισμό ~εν ξε ­

Ολιιμιιιά&1 Πληρ<>φορικήι; !ΔΟΠΙ. Διογων1ζόμενοι από 48 χώρες έ-

πηγικής ιέχνης κ<ιι θαλάσσιας ζωής

περνούσε το 5'k-κω ηράιειγε να rιυ ·

rου lϊου αΙώνα. Λυτή ΙJ γεμάτη έντο ­

ξιΊθούν ια μέλη κcιθε ομά&ις 011ό ιιοο­

μειναν ι:πi μiα εβδομάδα. από tιc; 3 έως

γες ι:νrvπώυεις μέρα έκλεισε μ' ένα σεμινάριο πάνω ow "AJias", ένα οοό τα

οερο

ιις 10 Ιουλίου, ow Βοσιλικό Ινοιιιού­ ι,ο Τεχνολοyiας, στη Στοκχόλμη, ιιοι.ι φιλοξένησε τις εκδηλώσεις της Ολ ιι ­ μιιΙΙ·ιδας

wv 1994.

Η εναρκτιl>ια rελεrή άνοιξε με την παρέλαση τΜν σημωι;η• ιων ομάδων και

ιην

ιιnρι\&οοη

στον

rιφισυότ.ερο εξελιγμένα εργαλείο λο ­

ro

πέντε. μr τηγ προϋπόθεση ότι

oc

ένα ιοuλ(ιχJΟιον νη είναι κορiτσJ.

γισμικού γιιι δημιουργία κινουμcΥω\'

Στι} σ υ νέχεια ιιαρουοι<ι<uυ μ~ το θέμα ια ι ης φε ιι νής Ολυμπιάδας, Ι]

σχεδίων. γιο οπτικοποiφη και σχεδιο­

οποία ιίφηοε τις καλύτερες ε,η;υπώοεις

σμο.

για την άψογη οργά,·ωοή της και θο

Ο δεύιερος γύρος του διαγωνισμού

αποτελέσει ένα μέτρο σύγκρισης για

Yngνe

tiτον ορyα \'ωμέγος όπως ακριβ<;ις και

Lindberg, πρόεδρο rης ΔΟΙΙ 1994, της

ο πρώτος, «ι ηροβλήμιιιη όμως ήτα ν

ι·πίσημης οι1μαίας ιων αγώνων nιιό

δυσκολότερα. Νικηιήι; των νικΙ]τών,

ιι1ν nεροινή διορyανώιρια χώρο, τt}ν

που αηέοηαοε ιο βρ<ιβείο ,,α την υψη ­

Λργεντινή. Μειά ιη λήξη της τελετής

λόιεριι (kιθμολογίιι uυγκεΥφώνονrας

γωνο που <ιιιο ιελεi·αιι από αριθμούς.

έ'•αρξι}ς ιο ιιρόγριιμ μα ιης rιρ~>ιηι; ημί:ροι; ολοκλψώθιjκε με μια ιιερ>ή­

195 Jkιθμούc;. ήταν ο Victoι· Bargatc-

Γράψιε ένα πρόγρομμο που θα υπο ­

hc'' οπό τη Ρωσία. Οι πρώτες εωά χώ­

λογίζει ιο μεγαλύιερο ό()ροιομιι ιων

γηοι1 οιο κι'ντpο και τα κανίιλι<ι ιης

ρες, ι} βαθμολογία cους και ιιι μειίιλ­

Σιοκχόλμης. tιjς ·Βενειiος ιου Βορρά ...

aριθμ~"' από τους οποίους δ1έρχε ιοι

λια που συγκέ\•τρωοαν ιiιαν ω εξής:

μια διαδρομη που ξεκινά οπό ιην κο­

Οι nύο επόμενες ημέρες ήταν ιιψιε . ρωμέ,·eς στον πρώτο γύρο ηρογρ<ιμμα · ιιοηκών ασκήσεω\•. Ακολούθησε μια μέρα ξεκούρασιις κω Jιeριηγήοεων. 'Ryn•ε επίσκεψη ο ιη μεγάλη σουηδική eτcιιρεiα ιηλειιικοινων1ών. τηγ Eι·ίcs ­

son. όuou δόθηκε μια επ ιστημονική διάλεξη για ιο μέλλον των tι}λεηικοι ­

Βαθμοί Ρ(ι)()ίιt

617

Xp. Ap. 3 1

Κίνα Ι'ερμα,·ία

558

3

492

Ουγγαρία

475

ΗΠΑ

463 450 444

2 2 1

Τσεχία Ρουμανία

I 1

]

1

2 2

ΧιΗ.

1 1 1 2 I 1

όσες θα ακολουθήσουν.

Ημέρα 1Π • ηρόΙ!λφι 1 Στο Σχήμα

1 παρουοι{ιζειαι ένιι ιρi­

ρυψή κιιι κιιτ.ιιλήγει κάηου οιη βίιι>η.

,

7

"7

1

~

2

~

2 4 Σχήμα

iJ

J

4

4 t

'~

1

νωνιώγ κω η(φοuσtάστ.ηκαν ασuνή­ θιστcι ρομπό ι.

Ι I απονομή των βραβείων έγΙνε με

Στη συνέχειn. δrύιερος σταθμός μας

ιδΙαίtεριι λιιμnρόrητ.ιΙ, αφού nραγμα­

• Κάθε βιiμα τιjς διαδρομής μπορ<:ι

ιiτο\' ένα ιιιιό ιιι σ πουδαιότερα αξι ­

τοnοιιjθι}κε ο ιον ίδιο χώρο όπου 0110γέμον ι.αι κάθε χρόνο τα βραβεία Νό.

να κατευθύνεται είτε διαγωνίως rιρος

t CI Κόtω KOI ιιριοιερά Cίιε n1αγωνiως

μ.w.λ -σ to πονέμορφο Δημαρχείο της

ιιρος τα κάτω και δεξιά.

οθέατα η}ι;ΣΊοκχόλμης-η Vasa. Αυτό ι ο ιιολεμ>κό ιιλοίο του Ι 7ου αιώνα ιινελκύσιηκt τι>

1961, αφού είχε μεί­

νει εni 330 χρόνια ΙJW βυθό του λιμο ­ ΥΙού. Το ιιλοίu είχε παραμείνει σχεδόν ανέπαφο λόγω της χαμηλής περιεκτι ­ κόtrμ.ας ιοu νεμοιί της Βαλ ιικής σε οξυyόΥΟ, κω αποκαταοτάΟΙ}κε πλι}χ.>ς

54

MAPfiOΣ I ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

Στοκχόλμης. Οι ιελετές έληξ<ιν με την πορουοi<ι­

γώνοu εjνω τοuλάχιοιον

ση ιοιι Rics

πολύ

Kock. του αρχηγού της

• Το πλήθος ιων οεφι;>ν του τρι­

1

και το

100.

ομάδιιι; της Ολλανδίας. της χώρας που θα φΙλοξενήσει την Ολυμπιάδα του

• Οι αριθμοί του φιγ~Jνου είνω μη αρνι}τικοi ακέραιοΙ γνήσια μικρόιεροι

19\15. Ο Rics έθεσε το θέμα του ιδιαί -

του

100.


Στο nαρ{ιδει γμα του Σχιiματος

1

η

μι· LΙJ μφφή αριθμών -έΙ"ιις για κάθε

διαδρομή nou διέρχε ιιιι αιιό τους 7. 3, Α. ϊ, 5 παράγει το μεyολ ύτερο αθροι­

μον(Jδι οiο τετρογωνο.

uμα

μο1•αδι<ιίων τεφαγ~ινων Otl] διεύθυν ­

--\10.

Δεδομf.vιι ι·ισόδου. Στο αρχeίο Ι ΝΡ ­

Το αρχtιο ξι·κ ιγ(t με το πλήθος ιων ση &ρρ(ι-Νοιου κιιι με uι πλιjθος των

υτ.τχτ διαβ{ιζουμε πρι;ηα ιο δεδομέ ­

μονοδιαίων τετριιγώνων οτΙJ διεύθυν ­

' '0 για ιο ιιλίtθσ<; ιων γρημμώ1• του

σι] Ανιιτολής -Δύσι}ς.

rριγώγοιι ι·yι;ι ακολουθούν οι γρομμrς του τριγώγοιι. 1:ιο παράδειγμά μος το

1:ιις ι·nόμενcς γριιμμi·ς κάθε μο ­ νιιδιιιίιι Η·τράγωνο rιφιyρiιφετιιι από

Ιr\Ρι-τ.τχτ έχει ως εξής;

έναΥ ιιριθμιi <0 5 p S

!51. Λιιιόι; u ιιριθ­ μός ιοού ιω με ιο iιΟικ.ιιο μιι τωΥ 1 ι ~ ιοίχος στα δυπκά\. 2 1~ ιοίχος στο 13ορ ­

7

,.

ρrιι. 4 Ι = toixoς οια ανηιολικω. 8 ι= ιοίχος στο Νότοι Οι εοωιι:ρικοi τοίχοι ορίζονιαι δύο φορές -ένιις ιοίχος στο Νότο Οιι)ν περιοχή

1.l θα εμφιινί(ι·τω

και ως ιοίχος στο 13ορρ{ι ο ιηγ πφιοχιi

Δεδομιi1•α εΕ.όδου. Το μεγαλύτερο

Ζ. Ι. Η πι:ριοχή στη θέοη 1.1 έχ~ι ένα,­

άθροισμα γράφετω ως ακέρωος στο

δu ιικό. έναΥ βόρειο χω fγov γόηο τοf ·

ιιρχείο ουrpυτ.τχτ. Στο rιαράδειγμό

χο, επομένως ιο ι'ιθροισμα είΥcα

μας αu tό ι-ο ΙΙρχείο θcι περιέχε ι τον

8 = 11.

αριθμό

30.

Ημέρα

• 2

ΊΌ κάσφο έχει ncιηοιε ιουλά ­

χισιΜ δύο &ιμάτια.

1n • rιρόβλημα 2

Το Σχί)μα

I + 2+

Το 1 !'\Ι'ΙΙΤ:rχτ γιιι ιο ιιαράδειγμά

παρουσιό(ει ιο χιφτη

μ ας ι:ίνιιι:

tou κό­

l

2. Το μέγεθος ο ε μοναδιαία ιε-.ριί ­

.

-

,' "

, < -'

l

6

ι;

γω1·α τοιι μtyαλύτεροιι δωμηιίοιι.

3.

~

.

~

. ········-··

...................

• •

..ι•• ·

Σχήμα

... " •

• •

~.,

......... .. .. ... ..ι

~

3

Annμaκριt\'Of} ιυυ <ο·ιιιο,\ικο•τ ιοιχου ιου μο\·αδιωου

,,.. ιJ)ά l'ι.η·nιι .ι, 1.

οημr.ιωητοι με το βέλος ο ω Σχήμα

Ημέρα

3.

1n • ηρόβΙφJ 3

Στο 1:χήμα 4 παροuο ι<iζ<ιιιι ένο ιε­ φ(ιγωνο. Κάθε οειρίι. κόθε στήλη κω οι δίιο διαγ.;),·ιοι μπορούγ να διαβα­ στούν uκ; ιιr1· ωψιiφιοι πρώιοι αριθμοί. Διοβc\ζουμr τις σειρές αηό ιίΙ οριστερά ιιρος τα δεξιά. τις οτιj.\ες cιιιο πάνω ιφοι; tιι κόtω και ιις δiιο διαγωνίους από τα αριστφcι προς ω δεξιά. Χρησι ­ μοποιc~ντας τα δεδομένα ωιι αρχείου

θcι κατασκευάζει ιέιοιιι τετράγωΥα.

,

στpΙΗι .

.....

...... •

.." "

ΙΝ Ι't;Τ:ΓΧΤ γράψtε ένα ιψόyραμμcι που

ενός κόοτροu. Γιχιψτε ένα ιψόγρομμα 11ou θιι υπολογiζει: ι Το πλ!J3ος των &ψαιίων

J•

'ο

ΙΙοιοΙ' ιιιίχο !ιιοιι χωρίζει δύο

- -.

-

l._,

.

,

-' -.. '- '' . j

~

<

l.

'

'

υΙΙiιρχοντα &.ιμά rια 1 ιψέπει να αφω ­

Δι·δομι',·a cξόδου. Στο αρχείο οιτ­

ρέοουμε από το κάοιρο γιο ''" δη ­

rι:τ.τχτ yράψι>ντιιι σε τρεις yρομμtι;

μιουργήσου με ιο μεyιιλύτερο διινοτόν

τα εξής:

Σχήμα

4

-

1

α

3

?.

3 :.

j ~

]

Οι ιφώcοι αριθμοί πρέπει να έ ­

&ιμάτιο. ΊΌ κάστρο διωρειτcιι ο· tνο πλέγμα

~- ΊΌ ε μβαδόl' ιοιι μεγιιλύ ιεροu

μοΥeιδιαίων u·τραyώνων. α ποτελού ·

&ιμοιίοu μεφημένο οι: μογοδιαία ιε ­

μενο από 111 Φ:ιρές και n ο ιι'\λες ιιιι ,; 50, n S 50 ι. Κ(ιθε μονιιδιιιίο u·τράγωνο

φιiγωνα.

μπορεί νιι rιεριέχει από ιωη'ναν έως

ιιηό <ιυτούς ιιο11 χ<φiζοu" δύο ιιncιρ­

κω rέοοφις τοίχους.

tou ι.ειιχιγt:)ν()Η είναι προκοθο ­ ρισμι'"ο ι 1 οτο Σχήμιι 4!. • Ένας nρώιος αριθμός μ ιιορεί νn

κτά &ιμάτια ιιρέπcι να αnομοκρυνθεi

){ΡIJΟψΟιιοιηθrί περισσότερες rιιιό μίο

\'1(\ να γίνει έvCJ &.ιμάιιο όοο ιο δuνα­

φορές σιο ίδιο ιετρογωνο.

Δεδομι'1•ιι εισό&ιιι. Ο χάρτης είν(U ιιιι(ιθηκευμένος ο ω αρχείο ΙΝΡUΤ.ΤΧΊ'

l ' · ·~· 2• •

• 3'

*

.. .. ..

~

""

."' ..

• * .. ..

.... .... "' . • • • • •

• "

..............

~·~•..ι•

•I •

• •

I . Ί'ο πλήθος των δωμιιtίων.

χου ν ιο ίδιο άθροισμα ψηφίων ι στο Σχήμcι 4 είναι llι

1Ό ψηφίο ο ιι}ν ιιίινω αριστερή

γω,•iιι

;ι Μ ια υnόδειξι} για ω ποιος ιοίχος

τόν μεγαλιίιεpο !πρώτα τη οεφι'ι. μετά

Αν Uιι('ιρχοuγ διcιφορtιικές λύ­

τι) οτt'[λη ιου μοναδιαίου ιε ιρcι γώνου

σεις. ιφέιι~ι νο παρουοιαοτοίι ν όλες.

που /Jρίσκειω δίιιλcι στον τοίχο κιιι tέ­ λος το σημείο ιου ορίζοηα προς ~ο

Ένας nενιιιψηφιος rιρώcος cι­ ριθμός δεν μιιφεί να αρχίζει αιιό μη­

οποίο (Jρίσκειαι ο ιιιiχοςJ. Μrιορεί νcι

δέ1• ~ηλαδή, ω 00003 &ν εί1•αι ιιε ­

υ πιφχουν περιοσ(ιιεpοι από ένας ωi •

νwψήφιος πρώτος.

χοι, αρκεί όμως να επιλέξετε έναν

\«4

Α .. είl'ω ιuο ιιπό τις διάφορες δυνα ­ τότηεες). Σ co ncφ(ιδειyμά μας:

I

ΔεδομέΗι cιοόδου. ΊΌ πρόγραμ μη διcιβάζt ι ω δεδομι'"α από

to

αρχείιι

ΙΝΡι;τ.τχτ -ΙJρώιn το άθροισ μα ιων φιΊΨίων tων ηρ<~ηων ηριθμών KOJ κη · τόnιν το ψΙ]ψίο ο ι ην πάνω αριοτεριi

8

γω1>iα του τετραγώνοιι. Το αρχείο ηε ­

Σχήμα

pιι\χει δύο γραμ μές. θα υπάρχει ηα­

2

Μια υι'JJΧΙ nΙJd

· ι'l\'<fJ t;\'<ις lOJ,\"Oς.

11 τελευιο ίιι

γpιιμ μή οΥnφι'ρεται

οιην αιιομ('ικρυγση του τοiχου ιιοιJ

ντοτε λ ύοιJ γιο ω δεδομtΥα που nα­ ρέχοηαι. Στο n<ιρ{ιδει γμά μας;

OUANTUM Ι ΓΕΓΟΝΟΤΑ

55


&&ιμι'ι•α rΕ,όδου. Στο αρχειο

Ol'l"-

r•ιrr:ι'ΧΊ' γρόφονιιιι πέντε γρομμε<: 1·ιιι κ(ιθr λύση που θα βρεθεί. όπου η κάθε γραμμή αποτελείται οηό έναν πεντα­ ψήφιο πρώτο αριθμό. Το ιιοραιι(ινuι πιιριiδrιyμα έχrι τρεις λύσεις. rιρόγμα

αριθμού περιοτρtφcι του δcικτες ηου

Jιτιο Otl"fPιT.ThT τη ουηομότερη ακο­

ειΥαι οψειωμι',·οι μr

εη~νή·

λουΟίη ΚΙΙ'Ι)ΟtωΥ Ι u.ιΥ nριθμώι· ιουςι

ιrια μοίρες δεξιόο ιροφα. Σε όσους είγuι

ιιοu φι'ρ,-cι ό.\ους couς δι:ίκ τες ο τη

οημειωμέι·οι με ..ο. δeν ι'χrι επίδραση.

θtοη Ο

01

εννέα κιΥιjοεις ηαρουmάζοι•ται στο

Σχ-ήμα

:

•.

1

ο

::.1"'·~.::.

στις διαφορετικές λύσεις rίναι ιιροοι­

1 1 1

ρειικtς Ι:

.. I'

ο

<

5 1

-

1

2

j

]

l

-

.;

<

3

-

: ,. . ""

.

,

L

..

3

;

..

r:

?ι.~ -:. -

ο

r. ·

~

'

ο

....... ,.

•~

ο

"

σ

ο

.

I

.,

.ι ι:-.nn

'

l

ι

1

12

η

στηματa aπό nς

12.00 έως nς 12.59.

χρονοι δ11·οηαι σε ολόκλφn

'

59.

θiα κιηjοεων έχει το εl,ήc; αποτέλεσμα

δύο λεωφορεία της ίδιας γραμμήc; αΥό ­

οtη θiοη ιων δει κ .~ιν: κοτολήγουν

μεuα ο ιις

3

'

L

'-

,, <

:o; ... vr ... r.

.

c

' .' ., 2 2

.c

I

3

-+ 3

2

~

νιομού rίι•nι ιο πολύ

5.

wu

διαγ~ι­

17.

Λεωφορεία διαφορεtικό"· γραμ ­

μωΥ μιιοpούΥ Υα φτάοου'' οι η οιόοη

..

ιη,· ίδια οιιγμή.

. , ,.... - -., -., , •

ο

η

γραμμών στο παράδειγμα

L.

• " i<J ιn ,n 4 -+ 3

κ

12.00 και 12.59.

4. Το πλήθος τωΥ λεωφορειακών

ι;ψcι

ο

~

ο

3 3

,-

-

6,

Μrρικtς γραμμές μπορεί \'Ο έ ­

χουι· wν ιδιο χρόνο ιιρώιης άφιξης eiuo διάστημα μεταξύ δύο αφίξεων. Αν δύο γραμμές έχουν τον ίδιο χρόνο tJρώιης

ίιφιξης κcιι ιο ίδιο διάοιιιμιι με ιιιξύ uφίξεωΥ, cίνω διαφορειικές και ιιρrrιι·ι

να ιιαροιιοιαοτούν και οι δύο. Βρειιε ιο ελάχιοιο πλήθος λrωφο ­ ρειακών yραμμό)ι·

r

uou

αρέι~ι ι·n ο ια ­

μαιηοου'' οιη στάση για να ικα\'Ο· ποιουνται τα δεδομένα εισόδου. rια

Το πρόβλημο tίΥαι ι·α γράψετε ε,·α

καΟt yρομμη ''0 δωοετε w χρόνο πρω­ τι}<; όφιξης και το διάστημα μειοξύ ιων

~--1

πρόγραμμα που θο nηίρι•ει οηοιαδήπο­ ιε ιψχική θέση Ι;Wν δεικτώι• και θα βρi ­

2

οκει ιη υυνιομιίιφη ΙΙΚ<>λουθiα κινή­

5

θι~rις ιων &tκιώ\',

ι:Jι ιόrιως φοίνειαι ο ιο κά ιω μrρος του Σχηματος 51. θεωρούμε ει•νέα διαφορeιικους

ιροπους ηεριοτροφης u.ιν δεικτών πά­ νω στα ρολόγ1α. Ονομάζουμε κίνηοη

κα()έναν από αυτούς ιους ιρόιιους. Κ όθε κίνηση εnιλέγε ιαι μέσω ενός από

ιοuς !ιpιθμούς 1 έως 9. Ι Ι εωλογή ενός

56

φιαι·ουν κα τά ΚΟ\'ΟΥΙΚά χροι·ικά δια­

3. Στη στάση φτάνουν τουλάJι1οtΟν

( I ), ι·ό ιιη

ο

Σχήμα

ρείων δίνεται από τους ε~ κανόνrς:

Γ1α παρόδειγμα. η επόμrγη ακολου-

2

μενrς ιcοοερις Οέοεις: βόιοrιο ή

'

χρόνος άφιξης των λεωφο ­

Q

2. 01

όλοι οτις 12 η ώρ!ι \01:

~

και δ υ ιιιιά ή

12.59. 11

1. Λεωφορεία της ίδιας γριιμμιiς

.

"

ρι·ίων.

Σχήμa 6

&:ίκ rης μπορεί να έχει μία ω ιό ιις cιιό­

.-

eως ης

λrπια απο ιο I εως w

ώρα (0), αι·ατολικά ή 3 η ώρα

Παραμί,•ει

λrωφορειaκrς γραμμές. Ο άνΟρωηος

c\'νcα δεικτών ρολογιού, όιιου κόΟr

121

12.00

12.00.

στάση χρησιμοποιείται από αρκετές

c

ο ο

του Σχήματος 5 παριοτά\'οuι· ιις θεοεις

η ωρα

·ε,.ας αγθρωnος φτάΥει σε μια στα­ εκεί αιιό ης

ι

ο

ι

Οι εννέα αριθμοί στο πάνω μέρας

6

Ημέρα 2Π • rιρόpλφι 2 ση λεωφοριίου σπς

Ηιιέρα 21'1 • rιρόpλφι 1

η

Ζητείται μία μόΥο λύση.

1

σημειώνει ης ιi.ρες άφιξι}<; των λeωφο •

1

3 3 • 3 ο 4 3 2 ~ c

μιις

το OLΠ'PU'l'.τxT να είναι το

1

'

e •

c

Ό

ο

c

-.

l J ο

1

κ...

.-.

J

ο

.'

1

"J

,

..

1 4

1

α

....

rιου οημιιιΥτι όn τοΟlΊΊ'ιΤτχΤ rιrριέ ­ χει τα r~ ι οι κεγrς γραμμές ανόμεοιι

112 •Ι ωρο l. Στα παρόδcιγμο

6. ο

1 1

• l • χοιά

ΜΑΡτΙΟΣ I ΑΠΡιΛιΟΣ Ιe95

σεων 11ου φi'jινrι όλοιις τους δείκτες σιη θέση 12 η b>ρ<t (0). Δε&ιμέvιι εισόδου. 1Ό πικiγραμμα διαβάζει C\"Ι'έΙΙ ιφιθμοiις από το αρχείο ι~Ριπ:τχ1·. Το προηγούμη·σ παρόδcιy­

αφίξεων. Δc&ιμι'ι•fr ι:ισιί&Jυ. Το αρχείο εισό­ οου Ι Νι>ιrττχτ ιιεριέχει ένοΥ ιφιθμό η ~ ~~

S 3001 Ι>

uo πλήθος ιων αφίξι·ων λεωφορείων που rχου \'

σημειωθεί, ακολουθαύμε,•ο από τους χρόι·ους αφιξης οε αύξουσα οeφά Το ntψιιδeιγμα μας:

μα θα έχει ιο et,ης ιιρχrιιι rιοοδου:

3

... 2 2

2

2

Δcδομέvο tξιίδιιυ. Ι'pίιψτε στο αιι ·

οrιοίος μας λέει

•'

3

-

.3'~.52.2527

Λ ν δύο λcωφφeία φιάΥουν οην Ιδιη


ο\Ιγμfι. ΙJ οιιyμη nΙΙtη παραtiθειαι δ11ο

ΣκοΗος (Η.tς ι· ι \'Ctt \'Ω βρt·ι ι•·

n ακr­

Έλπω a .. ιι . - 11 διαφορrιικιι ο ιοιχeίcι

Jι:δομr•·ιι rιοδοιι. Γραηπε στο αρ­

ρt:i •·α δημιοuρyηοrι μια ιιδιακοιιη ακο­

llln

λουΟιο ολω•· ιιο!Ι' ακtραιωΙ· m. m + Ι .

ιου ου•·όλου {1. 2. ... πΙ. ιtτοιο ώστε ότα•· a, + a S 11 για καnοια i.j με I S ί s j S m. υιιαρχrι k. I S k S 111 ιι'ιοιο ώστε

yραμμιJ για κ α& .\eωφcρειακή yραμ­

m + 2. _

μή.

δυ•·αιο• μι·yιιλυιtρος.

8 1 +:ι = ;ι, :\noδrίttt ότι

ραιοιις yια τη μα,·ικιi .\ίοιn που μπο­

φορες.

χrκΙ οιίΡlί τχτ

KoOr

C\'(1\'

ΠΙ\'ακα με

,-ραμμη του ορχείοΙΙ μσς δί­

"" ro χρό•·ο άφιξης yισ το πρώrο .\rω­ φορι·ιο και ιο δι(tΟΠJ).Ια μειnξίι τω•· διιι&ιχικω•· οφί(ι·ι·ΙΙ' σι· λεmά. 11 οcι­ ρι'ι ιων λεωφορrιακr:JΙ' γραμμών δε•·

ιιι:ιχ~ onou ο

nJax rίηιι

όσο το

a

J.rδομι'vtι Ι'Ισόδου. Το ιιρχι·iο 1:\ΡLί.ΤΧΤ ιιrριι·χι·ι φεις ακεραίους 111. nι.

~

'

+;ι

+ · ·· •8

m

111

rια ιο ιιηf"'(ιδl'ιyμιι μας το nρ:ι;rio An

k>.

...ι.ιι

n+l 2

> --

2. Έο-ιω ABC ιοι~ικrλtς φίγωΥο με

Ι·χι·ι υημοσin. Αν ιιιιιιρχοuΙ· διnφοι.,·­

ι\8= Αι:. Υιιοθrιο•ιμr ότι Ι il Μι·i,·ιιι το μέοο1· ιι)ς 8(' κιιι υ είναι σιw.είο ιηι;

ιικι'ς λύσεις. ιφκι·i μό•·ο μία.

ευΟείος ΑΜ ιrtOH) (;)()tt 1) ΟΒ να tίΙ'(ιl

ctνω ιο

Το παράδειγμίι μιις δί1τι

κάΟειιJ ο ιι1ν Α&ιίί 1Qείγrιι rνιι ιιιχιιiο σημείο ιοu ι•ιιθίιγιχιμμου τμήμοιος BC

Δcδομ6•n r~<H'ioυ. ΊΌ αρχείο ΟΠΡ­ ι τ.τχτ πρέιιrι •·ιι nrpιrxrι το εξή;;

Ι. Το•· μεγολύιrρο οριΟμό ι nιa.<Ι

διαφορr nκό οι ιό ιιι

8 και C, ιίίίΙ

ιο Ε

α.-ηκει οrη•· ευθrιιι t\8 και το F στη1· ευθεία AC και ια Οημr1α f~ Q. F εί.-αι

που μnoρri Ι'<Ι διιμιουρyι)Οεί ιιηό ιη Λίστα ιω1· ιψιθμων.

διαφορrnκό και ουγγραμικο. Αηο&ιξ­

2. 0.\rς ης μr ιαΟrοrις ιων aριθμώ•· ΙΟ\1 κυκλου nou δημιουρyούΥ μια α ­ κολουθιο nnό ιο nι t<ο!ς ω πιn ..- <μία σε

κω μό•·ο•· α1·

ιωθι· nχιμμιμ Κάθr μrιιιθεσηrίΙ·οι μια

.\ου (k + Ι. k + 2. .... 2kl η οναποράστα •

Αριθμοί που Cl\'nl ο rνrις δiπ.\σ ο τον άλλο θειφι>ι11·ιοι yrι ιονικοi. Επiσης. οι

.\ιστιι αρι()μών ιιου ξr·κΙΙ'Ο από το•· μι ­

ση''''" UI10ιt•ll" οιο οuοιημα αρίθμησης

κρί>ιι·ι•ο αρι\Jμό ιο οιιοίος

μr β<Ίση

δι'ιο nκrχιlοι ιφι()μοί Ι κιιι

αιιιφιιi ι η ιιι μο .. ιιδικόςΙ.

Ηιιέ410

2n . πρόΙΙίηια 3

θtωρi)Οιt ιη μαγική .\ιοtα

5

aριθ ­

μώ•·:

5 θι·ωρού.-αι

yειιογικοί. σα•• νιι οχιwιΊrιζε η λίοιn ένιΙΙ' κ~ικλο. Ξ:ι•κινώ••τcις από ιο

2:ημείωοι): η (:l

10 3

/irY rί,·αι

OQ ει ναι

π- όη η

3.

κοθετη στην

EF α.­

QE • QF.

ΙΊα κοθr Οηικο ακrραιο

k

ι'στω

r. ιο πλ~ τω•· οιοιχείων του οm•ό ­ 2

ηrριέχει τρίο ιιιφιβ<;,ς

1. ια ι

Αιισδι-ίξτε ότι για κόθr θειικό ακέραιο ι

5J

δεν είναι

ιιι uη(ιρχrι ιοuλι'ιχιοτον ένας θετικός

οnοδrκτή λύοιι ι·ιιι·ιnι) δrν αρχίζει μι·

ακέραιος

μπορούμε νο οχημιηiσουμε 111α αδιiι­

ιον μικρόιι·ρn οριθμό. Οι 11 3 HJ 2 51

ι lροοδιοριοιε όλcιυς ι ους θε ιικοιίς

κοηη ακσλουΟία ιικrρ1'1iωv nιιό ιο 2 flo)<;

καιιl

21

ιο

2

χρηοιμοιιοιω•·τιις CΙ'αΙ' μόvο

5 '1. 10 :11 ιφι·πει να nερc\ηφθού•·

και οι δύο ΟΙΙJΙ' Ν.ι>διι. Σημειωοιr ότι οι

k

ιι'ιnι~ ~JOtr

ιικt'ρuιοuς 111 για ιους οποίους υnάρ­ χτι ακριβώς ένιι

k με I! kι = m.

αριθμό από τη .\Ιοιιι ή προσθέτοντας

111 2 31. 11 :12

γειιιι~·ικους αριθμοuς. Η ακο.\οuθία

ηρrπει •·ο nrριι'χοηοι ολrς στηγ έξο­

,.α ltύyη ακrριιiω•· ι nι.

οχημιι\Ιl.rιαι ως r~

δο.

το

11 tξnδος ,,α

=

• r

ι ι.tΙ

23

ι ι. και rι

το ηοράδtιyμα μας θα

5.

-•

--·

• •

.. ... .

.

~

.

-

.

'

Ιίίι!Ι fc.ν> .ν ι·ίvιη yνηοιω<; αuξου­

σο yια Το•· Ιούλιο διrξiι'(6ι) μία ακομη

.. -

m και

μηκος ιης λiστnς HuY aριθ­

=η μικρότερη διJΙ·ιιιή τιμή ε.-ός μcλοιις ιης .\ιοιnς -δηλαδή. όλοι οι

k

αριθμοi πρέπει Ι'Ο ri1·ιιι μι·yαλυτεροι ι)

k.

ιο οι'ινο.\ο τω1• πραyμο­

1i1 Αχ+ 11.•·ι + .ν/1.ι•>Ι = .v+ fι." +_.-Αχ> yιο κόθr .< κnι .ι· που α1·ήκοuν ο το S.

= σ ιιριΟμός cκκί••ησης.

ίοοι ιου

S

<ιπό το -ι Βρrίιr c\λrς nς σu•·οριήοrις f: S - t S 1101) ΙΚΟ\'ΙΙΠΟΙΟύΙ' δύο συνθή­

....

kΙ όΠQυ

μώ". nι

'Εο ιω

κες:

Σος δ11·ο•·ιαι ιρrις αριθμοί ιn.

n =το

- 11

ηκώΥ οριΟμών Ωου ι·iνοι μεγαλύτεροι

'

- ..

• - l

ι n +Ι ι ι nιιι

nJ τέτοια ώιπε

,.ο tjΥαι ακtρnιος.

.

4. 11ροοδιορlσu> όλα ιο διαrειογμέ ­

13 21

Cl\'(U:

-

/l.ki = 111. ιβι

0-

6.

-I < χ< Ο κιιι yια Ο <.Ι.

Αnο&ιξιr ότι uηαρχει tΙ·a ού ­

λυμπιοδο. η Διι·θνής Ολυμπιά&ι Μα ­

Υο.\ο Α Οε ιικώ•• nκrροιων με ι η••

θημιιηκώ•·. Ο διnyωνισμος εyη·ε

εξηι; ιδιόrηια: yιn κnθr οηειρο σύνο­ λο S nρώιων αριθμω1·. υπάρχου\·

Χοη-κ

oro Κο•·yκ ιιιιιι ιις 8 rως ιις 20 Iou-

λιου. Σιις ιιι'Ι'Ιt nρωτες Οέοεις μι-tαξύ

θrτU<οι ακrροιοι

ιω•·

καθι'•·ας nιιο ιους οποίους είναι γι·

69 ομόδω•· ι10υ συμμετείχαν "''"-

οcιχi)ηκαΙ· ΟΙ llflλ. I) Κίνα. η Ρωσία. η Βιιιι.\ yιιριn κο ι η Οιιγyορiο. Ση) οιινι' • 1

χrιιι nιιρουοιαζnιιμι- ι ξι nροβ.\ήμοιη αιιό rφ· 35η ΔιεΟ••ή Ολυμrιιιίδο Μαθη­ μcιιιΚ(ι)\' ,

••όμrγο

k

m

Ε Α και

n

i! Α.

διοφορι·ιικώΙ' στοιχείων

του S yιο καιιοιο Ιι <! 2.

rt1

ΑΠΑΝΤΙfΣΕ!Σ. Ι'ΠΟΔΕΙΞΕJΣ

KAJ

Λ \'~ΈJΣ ΣΤΗ ΣΕ. Ι.

61

ι 'Εοιω ιιι κιιι ιι θrτικοι ακέραιοι

OUANTUM Ι ΓΕΓΟΝΟΤι\

57


ΣΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ ;

δοκiμJΟ όrιου Οα ειηγούν ιοιις λόγους για τους οrιοιου<; rouς ε'·διιιφέρει το

ξεηtραοε ιις rιροοδοκίες τω" διοργn­

Το ετήσιο Πι>όγραμμα Μιιθημιιη­ κων για Νέους Εmστήμονeς ( Prognιm

πρόγραμμα. Ί'ο έξοδά τους θα εί,·οι

γωτών. Αποφαοίσι1)Κέ λοιπόν να cna ναλαμβάνεται ο διαγωνισμός ιιιίΟε

1.300 δολάριο

χρονο.

ιn Maιhemaιics

for Young Scientί~ts,

Τα βιβλία ίσως κοστίσουν Ι 00 δολάρια

PRO~IYSI θα ιφαyμαwποιηθει ο ιο Πα­

επιnλέο,·. ΠιψCχεται εniοης και σικο­

\'t:\1Koi κ.ανόγες είγαι cιι εξής; - ri\'0\"'101 δεκτοί όλοr ΟΙ μοθητες δeυ­

''tπιοιήμιο ιης Βοοιώνης από ης 2 Ιουλιου tώς ιις 12 Λυγούοιου 1995. Το

\'Ομική βοήθεΟ<ι. Λρχη του PRO~IYS ει ­

ι:εροβαΟμιας εκnαiδευοης, αρκει \'α μη

ναι όη κα,•rνός η συμμετοχή δεν rιρέ­

φαιτουν σε πανεmοτημιακό κολεγιο

PROMYS ηροοφέρι:ι

nει να εμιιοδίζηαι από οικογομικές

κω η ηλικία ιους γα cίγαι κοτω ιων

αναγκες.

20

έ,-ο ουνιφιιnσηκό

μιιθημαtικό πεpιβόλλον όπου οι φιλό­

γιο στέγη και διαιροφή.

·Οι

rιων.

δοξοι μαθητές λ uκείου μπορούν να

Το PROMγs διrιιθύνrτοι αnό τον

-Δι· ν υπάρχουν περιορισμοί ο ιο θι'μη

t·ξι:ρευνήσουν ιον δημιουργικό κόομο

καθηγητίι GleιHΙ Strνι•πs. ΑΙtήσεις

κω ιο ειιίιιεδc) των εργασιών. ούtε οιις

ι.ων μοΟημαtικ<~ν. Όσοι οuμμrιι'χουν

μπορείτε να ιιραμηθeυτείιε γράφοντος

μεθόδους που θα εφορμοοιούν. Ωστό ­

στο ιιρόyρ<ιμμα καταβάλλουν tνισνες

στη διεύθυνση:

PI!OMYS. DeparlmPnl of MathcmatiC$. Boston t:niver>il)'. 111 CummιngιonSι. Bosιon ΜΑ02215 USΛ, ή τηλtφω,,ώ,·ιας oro t61 ϊΙ 3532563. ()J αιτήσεις θα \'1\'0\'tαι δε κ ιtς

σο, οι εργασίες πρέπει να έχcιu" ερcυ­

αιιό ιψ \η Μοριiου ι'ως την lη Ιου­

νrι ιις

νίου

είναι γραμμένη οια αγγλικά. -Οι οιιγγραφciς των βραβευμένων

προοιιάθrιες \~Ο vα λύσουν μιιι πλού010 συλλογή <ιnό OOU\-ηθJOtO και προ­

κ,\ ητικά προβλήμα ια ιης θtωριας ιφιθ­ μών . .Με αυτό tO\' τρόπο εξασκού,•wι

στην τi)('•η της μnθηματιιιής ανακά­ λυψης -στην εξερεύνηση ιω'' αριθ­

1995.

μών, ιη διατύπωση και ι ην κριηκή u.>ν

,·ηιικό χαρακtήρα και ''α αφαρού" Οέμαια φυοιιιής ή θέματα nου σχειί­ ζοηαι άμεσο μt τη φυσική. Ο όγκος καθε εργασίας δeγ πρέπει να υnrρβοi­

20

ιunωμένες σελίδες. και να

εργασιών Οα προσκληθού'' σιο Ινοιι ­

και γενίκευσης. Οι rιιcι έμηcιροι μιιο ­

Στο δρόμο νια το Νόιnλ

ρούν rπίοηι; να μελετήσουν αφφημέ ­

Η Πολωγική Λκ(ΙδιΙJ1ία Εnιο ιημών

να επί ένα μήνα. Το Ινοτηού το θα

\'η άλyεβρα. οu,-δυοστική και θεωρία

α,·οκοi,·ωοε ι:ους \'1Κητές του δeύrt­

ιης ρημανrιας συνιφτησης ζήια.

ρου ετήσιου διεθνούς διαγωνισμού

καλύψcι τα έξοδο διαμονής οtη'· Πο­ λωνία Ιδυσιυχώc; όμως αδυνατεί να

φυοικης μαθηιων λυκείου -Fϊrsι

καλυψει τα έξοδο του ιοξιδιού από και

εικασιών και οΌς τεχνικές απόδειξης

Ειιίοης, καθημερινά θα δίνονται διαλι'ξεις από ερrυvητες μαθημα ιι­ κούς. μt μεγάλη πείρα από ιο θcρινό

Ισ

Nobel

Prιz~ ίη

Physics··.

Stcp

Εί,·αι οι:

ιούιο Φυοικής, για να κάνουν έρευ­

προς τη'· Πολω,οiα).

-Οι διαγωγιζόμcγοι πρέπει να γρά­

Ιfρόγραμμα Μαθηματικιδν ιου Πολι ­

Can AJιineUrr \Τουρκία >. Antoπ Α. Bclyae\• (ΟυκρονίοJ, Ζωή Κnυργιίι ιΕλ­

τcιaκn.'ι Πονεοισιημίου ιcιυ Οχόιο,

.\άδα),

και να ι φ• nnοοιι:ίλοuν σε δύο αντi­

ψουν τη'· εργασία wυς στα αγγλιιια.

σύμβουλοι με άριοtη κιιιιiρτιοη, ιιοu

Janko lsidoι·nνic ι rιουγκο ­ ολαβίιι). Mnι·cus Mcullrr ( ~:λβεr.iαι, Samuμf F. Schapι· ( Ε:λβηί<ι), και Michal Re"ienski ιΠολωγί(Ι). Οι νικητές. στους

δια μι' νου,. στους κοιιω,·ες. ti\'αι nά­

οποιιιυς οπονεμήθηκnν διπλώματα,

σμός θα ~ει στους μαθητές την ευ­ κοιρία να οuγιφiνοuν τις nροοnάθtιές

' ' IOtr πρόθυμοι \'α ου(φήσουν με ιους

nροσκλ~ηκα \' \' 0 ΙU"ρ<ΙΟΟU\' έ\·α μήνα

ιους μe ης nροοnάθειες οuνομηλικω'·

μαθητες \,α θέμαια μοθημα ιικών. Κα­

στψ Πολωνία. ιιά,·ο,·τας ι'ρευν<ι

ιους αnό ιίλλες χώρες. Επίσης. ελπι ­

θt\·ας από ιοuς συμμετεχο,•u:ς tνtiισ ­

ζουμε ότι η οm·άντηοη των νtων

οcιαι σε μια ομάδα .\υιων ιιραβλη­

Ο καθηyηιής Henr)•k Sz)·mczak, διεuθυηής του Πολω,,κοίι Jγουιού ­

ματων.

011οiα σuνο\·ιό έ\'Ο\t rnογ­

του Φυοικ.ής, αναφερόμε,•ος στο σκε­

τους βοι)θήοει να n,·αmύξουν μια φι­

γελματίιι μαθηματικό τρεις φορές ιην

λ ι κ ή ουνcρycισία, η οποία θα Μ ο& ιxu:i

ι·βδομάδα. Ειδικ~ς διαλέιεις ηpοοκt­

πτικό της διοργ(ι ''ωοης του t\' λόγω διαγωγιομού γp(ιφει: •Αρκετοί μαθη­

κλιιμέ,•ων ομιληα;ιν παρέχουν μια ευ­

τές της δε υ ιεροβόθμιιις εκπαίδευσης

Η ι>ρο6εσμία γιο tην ιιnοβολή των

ρύ cερι1 εικόνα των μuθηματιχών και

ερευνητικών εργασιών για ιον τρίτο

ιου ρολου τους ους θηικές εnισ ιήμrς.

που ενδιαφέρονιαι yιn τη φυσιχή εnι­ θυμοίιγ να ιιορουοιάσουν ιις δικές

Σια PRωtγs μπορούν \'Ο συμμtτίι­

τους ερευνηιικές eρyασίες. Πολλές

τίου

σχουν 60 μαθηιiς τω,· φιω" τάξtω\• ιου λυκcίου. Η εωλογη ιους θα βοσι­

φορές ια αποιελι'οματα τους εi\·αι t\'διαφέραηα ιιοι ο~ιόλογα. rι· αυτό,

ρούν να εmκοl\·ωνήσου" μt ιον κοθη­

σU'ι στα εξιJ; ιιριtήρια: στις λύσεις rιou

θα βροm• για ένα σύνολο προκ.\ηuκών

πρ"· nno δίιο χρόνια διοργανώθηκε ο ηρ<;,ιος διεΟνής διαγωνισμός φuσικής

ιιροβληματων το οιιοιο θα rιcριέχοvιαι

yια μοθητtς δε υ ιεροβάθμιας εκ.nαί­

ow φυλλάδιο

ιης αίτησιjς· σrις οιιοιιι­

δευσηι;. Το επίπεδο ιωγ εργcιοιών που

ηκές επιστολές"'>'' καθηγηιών· σ' ένιι

υποβλίιθιικα\' ι\ιαν ιιολύ υψηλό, και

rιοιι

r.&;,

και nολύ Κ<ιψό διοργανώνει

ο κοθηγητής Al'nold RQ6.~. Επιπλέον,

58

11

MAPfiOΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

18

γριιφn.

.εληiζου με ότι αυτός ο διaγωνι­

t-

πιοτημόνω'' οτο f,•στιτούτο μας θα

cζωρετικίι πολύτιμη γιο το μέλλο""·

cιήοιο διιιγωVlσμό λήγτι στις

γηιή

\995.

31

Μαρ ­

Οι t\•διοφcρόμενοι μπο­

\\'aldemar Gorzko"•ski <e-mail: gorzk(a gamma Ι.ifpan.edu.pl, fax: 022430926. tηλ; 022-435212!, Insιiιut.e of Physics. PoliJJh Academy of Scicnc<'s. al. Loιnikow 32 / 26, \Vars:ιιHva , Po land. tiJ


ΑΜΗΛΟΓΡΑΦΙΑ

Η γενική θεωρία Αγωιηιοί φίλοι. θfι ήθι-λα κατ' αρχάς ,.α σας rκ ­ φρlια~ι τα ειλιιιρι,•ή συηορηtίw>ιίι

κω θέλουμε να ιιοκήσουμε πάνω του

αρκεί ''0 δείξω ότι ΕΙ= Bd. διότι ιό ιε

μιιι δύναμη ώστε να ιοοριιοπεί. Είναι

w BdE'l

τόcε ιιροφανι'ς, όιι η δίιναμη αυιιi πρέπει \'α περνόtι οιιό ιο κε,•τρο βά ­

και ουνrιιώς LΔΕΒ LEBJ 30 , αφού ΒΙ διχοτόμος της LΕΒΓ. Όμως.

ρους του .

εί,•αι /'Η = ΕΗ. αφού LΙΙΓΕ = LHEI'

θιι eίνω nαραλληλόγρομμο,

=

=

= 40°.

Οnότr, έστω Γθ η διχοιόμος

μου γιιι τηγ ε.\.\η,·ική ι·κδοοη του

Το προβλημα αυιό rιναι χαρα­

Qu8nΙLJm. ~1ια προοοάθtιιι που nρc­

κιηριστική περίιιιωοη ιου πόοο nηλά

πει νeι υιιΩΟτηριχτεi θερμά από όλους όσοι ενδιcιφtρονται για ιην ηροώθι]­

μrιορούν να εξηγηΟούν κιιθημερινά, γνωο ιό μη ς φαινόμενα με ι η βοήθεια

ση της μnθι]ματικ ής κcιι φυσικής rια ι ­

μιας γενικής θεωρίας. Δείχνει όrι μια

LΒΓΔ

&iας σ ιην F.λλάδα. Διδ(ισκω .. φuσι­

θεωrίιι μπορεί ''Ο εrιιl\rβωι.ιθεί ακό­

και

κή• σε φρογτιστήριιι προετοιμασίας ιων μα()ητώγ για <Jς 1/ανελλαδικι'ς

μη κιιι με την nιιλή <rιιιλοϊκή;Ι πα ­

Σκορδίλης Γιάννη<;.

ρατήρηση φαι νομt,·ων της καθημερι­

μαθημα rικός

rξιιοοεις και βλέπω τηγ κακοιιοιηοη

\'Ϊjς rμnεφίας μιις.

που υφίστα ιω η φυσική. αλλά και η

=ΒΓ 12), ενώ ΒΓ = Bd !31 αφού

ΘΓ

<3J

Τάσος Σιώαας. Χn.Ιιivδρι

απλή λογική nολλές φορtς, ιιιιο το εκποιδrυιικό μας σύστημα. Προοnα­

LΒΔΓ

= 50°.

Από τις (1),

!2)

ιιροκύπτει το ζητούμενο.

Και η διιή μας σειρά Είναι ιδιαιτέρως ευχάριστο ότι το

θειες σαγ τη δική σας δείχνουν όιι

lιρθρο του Constanιine Knop στο 2ο

Άλλη μια λύαη

κίιtι υπάρχει ακόμη rιου ανοιινcrι.

Παίρνω ιc~α το θάρρος νο nιιοτεί ­

της LΗΓΕ. και τότε Οο είναι Ε1 = Ι 'θ <1). Αλλά LθΓΒ = LθΒΓ = 60°, όρο

ιεύχος ιου Qιιιιnιum προκάλεσε τό·

Κύριε Διεuθιl\' ιiι,

σο πολύ

νω C\'O ιιjΙόβλημα φυσικής, Υ''ωοτό

Στο ιεύχος 2 του ()ιιDrιtum, σε άρ­

μέβαια οε όλους. αλλά μr μιο δική μου διαφορεηκή λύση, nuυ ίσως έχει

θρο του Constantine Knop rιηρου­ σιό(ονιαι 9 λύσrις για tνα ουγκε ­

γΥωοιών ιου. Είναι αλήθει<ι όιι υnόρχοιιν κο ι άλλες λύσεις ιου ιιρο­

κόηοιeι αξία.

κριμέ,·ο πρόβλημα. Στο ιεύχος 4 ο κ .

•n

ενδι αφέρον των α'•α­

βλήμαιος nέρΟΥ όλων εκείνων ιιου

Κεοογλίδης δί,·ει δυο ακόμη λύσεις

έχουν μέχρι ιώρα δημοοιευιε( οιο περιοδικό. θα επιθυμούσα να ολο­

κο ι θέ­

με τη βοήθειιι ι ης ευκλrίδrιnς yεω ­

κλφώοω και να κλείσω τη οχειικη

λουμε να ιο μετακινήσουμε χ~ις ' '"

μειρίας. επιτρέψτε μου να σας πα­

ουζήιηοη, ιιαρουοιόζονιnς μία ακό­

nεριοιρ<ιφcι, πρέπει η δυναμη που Οιι

ροuοιάσω μία ακόμη λύοιJ με τη βοή­

μη λuοη. την

«οκήσουμc πάνω ι:οu νο περνάει ιι11ό ιο κ(·ντρο βόρους ιου. llώς εξιjγrίιιιι

θειο ηις ευκλcίδtιας γεωμετρίας. την

•ευφυή• απ' όσες έχω ο τη διάΟεοή

οποία ελπίζω να διJμσσιεύσετε:

μου. ΔόΟηκε ιο

l/pό{!λημα: Όιαν ένα οώμιι είναι ακίνηιο

or οριζόVtΙο εninεδο

ιο γεyuνός όιι ιωρι>λο που ιο βίιρος ιοιι οώματος παίζει καθοριοιικό ρόλο

1951

την πιο

από τον

S.T.

Thoιnpson και βρίσκεται αναδημοοι­

Λ

rξουδετερώνεται. ιο κέντρο βάροιις

mo .. κομψή•,

ευμ/:νη ο ιο έξοχο βιβλίο ιού Ro~~

Honsberger, M..ιhcmatical ~JΛΛ. 1976, οrλ. 16-18:

••

ο ιο φοινόμε,•ο: Πόσο μάλλο'' ιιου ιο

Genιs

ll.

ίδιο συμj!αί,·ει ακόμη ιιαι οιην ιιφι­ n~η όπου ιο σώμα βριοκειιιι εκτός

πεδίου βαρύ ι ητας. Απιivιi}Οη: F.ίΥαι γνωοιό όιι σύμ­ ε

φωνn με ιη γενική θεωρία ιης σχε­

ιικόtΙJtας ιοχιίει για ένα σώμο ιιου

\

εi,•αι ακiΥητο οε κά ποιο οημciο rνός

.....

ιιcδίου βαρύιηιας έντασιjς Ε όιι tιι

φαινόμενα nou παρατηρούν·ιοι riνιιι το ίδια αν υuοθέοουμε πως ιο σώμα

tl\'nι εκτός πεδίου βαρύτητας, ολλα κινειιαι μe ειιιτάχV'·ση

.'

y =-Ε. Ανη

. ..

λοιπόν να με.\ειήσουμε ιο φοινόμr­

' '0 οnως μας δίνrτοι ιεπιτόχυνο η

Β

Χηικιοσω

ι

LtiJV προκείμενη λύοη οι κορυφές Α, '

r

ιοu ισοσκελούς τριγώνου ιης

εκφώ,ιησης 0\'tιστοιχοtίΥ σ-τα σημtια

ι·νός σώματος εκ ιός πεδίου βορύιιJ­ ι<ιςΙ, υποθέτουμε όιι ω uι;,μιι βριοκι·­

Τότr ΕΖΙΙ ΑΒ. ΦΙ·ρω και την ΓΗ δι ­

Ο κιιι οκιί,•α

ιω μι-σιι οι· κ(οιιοιο πι·δ ίο βcφύ ιιμος

χοτόμο τι1ι; LJ::IΊJ. Εrιε ι δί1 Ε! 1/ ΒΔ.

Λ 1 ι1 2 ~

111

διχοιόμο ΕΖ της LΒΕΓ.

B,C

Ο, Α , Λ,. Σ' έναν κύκλο Ρ με κe,·ιρο

1

ΟΑ, θεωρούμε ιόξο

20". οπότε LA,OA, = 20•. Επι-

OUANTUII I ΑΜΗΑΟΓΡΑ•ΙΑ

59


οης. το ι\ 1 :1. rί,·ιιι n.\rupι1 t\'O<; κα,·ο.

ΣυΙ·ι'.\ΤΙn nπό rη σrλ.

Q

9

Q

!:u\'(\·rω ιrιιυ tη αr.\.

or

23

\'ΙΚΟίι lδ·\'~1\'0U .1.. 1,.-t~ ...-\1• C\' · yr,·ριιμμr,·οu στο'· κuκ.\ο Ρ. Το e-

ο'·ιιψώ,·ο,·τοι. ~!ε ο.\λο λόyιο. ονο­

ορθρωοη μι·σο

ηιυοοειοι μrιιιφοικι θfρμοτητος μέσω

y-.-ητικο ηrδιο μοyνηιικής trιιιγωγης

ηυιιωuΙοκο ομ~ις rΙΥnι όtt η χορδή

ρευμόιω'·

.",.Ι,. ttμ,·ει το φιy~"·ο Λ ΟΑ~ ακρι ­

κης t\' tpyrιo ς μι· οyωyιμο τ ητο ου­

Β ι Σχημο ~ ι. Ποια Cl\'ιtι η μεyιοιιι γω,·ιο οιιοκ.\ιαης του πλαιοιοu οπό

βως στο rιδικn οημrίιι Ε κοι D. Προ ­ κι·ιμι·,·οu \'Ο nιιοδι•ίξω on πρόyματι

μι ι.\ f'l>t•l''ttoι μr τη διαδικοοίcι μειο­

Ιη\' αρχικη θι·οη του αν σιο συρμα

φορος μrοω ι ης ΚΙ\'I')Ο'ι,ς του μέσου.

κυκλοφορrι ηλι·κιρικu ρrύμιι σταθε­

μr ιιιφφίι θφμότητας μέσω ρε υ­ μα u~,. -δηλnδή η ά'·οδος θερμώ'' μα ­

ρής f\'lOOι]t;

(ων και η κiιθόδος ψιιχιι~ι,· μα(~ι,·­

Ι Α. Κίpι·i~·011ον Ι

προκrιται περί ιιδ\' ''" .\όγω οημείωΥ 1ης ι·κφι•J''''JΟΙ)<:. Οο δcίξω όιι L0Λ 1 D = 20 κ ω LOA β= 30•. Ειιrιδή τόξο Λ"Λ"

Ειοι η δ1οδοοη της Οεριu ­

11

=

τόξο Λ, .4 11 , οι δίrο ι1trπ'ς χορ&ς τt­ μ,·ο,·ιa ι rιιiνω οιι1ν Οι\ 1 • rιρί1γμα που

προκιιλι'ί •ιρι(ιιν ι ιι·~ ΚΙ\'ΙΊσrις Otl}' ' ε πι ­ φ(ΙΙ'~\11 ιt)ς rης. Κοιτάξtr ξανά το Σλ,\·

uημιΙi,·cι όιι η Α, .~, δΙrrχι·ταΙ από το

μα

σημείο

ΧΥΟυν ίιιι κιιιfιιχο\'lω ότο'' ηβcιθμίδο

ε. Στο ιοοο κι:λές τρίyω,·ο

.41 0:1 11 είναι LA,OA., LΟΛ ,ε =

30 .

=120<. οπότε

Ε\·ώνοηας κnθf τp1τη

κορuφητοu 18γώνου Λ,Α,.-t_λ ,προ· κuπιrι t,·n κο,·ο,·ικο rξογω,·ο εyyε­

1 -ίχνη

Α, εl\·οι οημrιο

ιιrριοχη με υψη.\η βαθμίδα Οερμοκρο •

0.-\ r Ομοίως, το

σιας. Οτα,· tf.ειά{.ι:τε το σχήμα nυ1ό. '·ιι

ι ης μrοοκοθετου του

p.

μη.\ότερη οπό ιο\' μεοο ορο. που απει­ κοΥι{.ι:ιοι μr ι η διοκεκομμrνη yριιμμηΙ

Α.,Α

10

μιjκους ιου ούρμο ως r·ινηι

Οφμοκροσιος ιοιις ''"'"' χαμη.\ι'j ιχο­

yρομμt,·ο ΟΙΟ\' κuκ.\ο Ρ. Επομένως ΟΑ.. δη.\ιιδη

Η μι'ιζο της μο,·άδος

κίιιιtιΗ•Ι\' ιι·yό.\ ιQω,· δεi ·

και εηιοΙρι'φου'' OIIJ'' επιφάηιο της Γης όιο,· Ιυχπi\'Ι'ι ''<ι βριοιιοηοΙ or

/:

κοΙ<ικόρυφο μπ­

Σχήμα

2

Φ30

Α " fl\'01 έ\·α αλλ ο σημείο της ίδιι1ς

θυμι1σιr όιι μnοροiιμr

cuθrιιΙς,

οuμιιεροivουμε ότι η

με μο,·ο το ncφώμα ω που κπuιφερ.

Δυο φακοι. Το ηραyμαηκό είδωλο

Λ,Α , ι·i,•ιιι πράγματι η μεοοκί1θtτος

ΥΟυ,· ,.α επιστρέψουΥ ο την ειηφά,·ειn,

μιιι σιιμι·ιιικιJς φ<ο>ΙΓΙ\'1\ς πηyης σχη ­

του ΟΑ ,. Αφού το

σημείο ι ης

γι' ιιιrώ ω σχεδόν κυκλικά ίχνη rίναι

ματίζεται ο το σ ιιμεiο Α \Σχήμα

(){) = 0.4,. Εrιίnης, λόyω ο ιιμμετρίcις. DA, = D.4,. Άpι1 OD= /Jι\ 1 •

iοως πολύ πιο συχνίι αιι' ό.ιι σ-ιψ

έναν λεπτό φακό που τοποθετείτοι

πρα yμn τικό·ιιμιι. () φλοιός ι ης Γης rψιΙγμοη κά κιΥrί ­

------~~--------

ono1r

D είΥαι

Λ,Α,. έχοιιμv

δηλοδή το τρίyωνο ODιl είνω 10οοκv ­ λrς κtιι rισ1 LO.-\D= L 00.'\1 = 20'.

, ..,

ΟΥnλύοου­

τιιι -(Ιργό ολλ<t oiyouρa. Το φοη·όμε ­

(' /J

Σχήμα

3J ωιό

Α

3

Ί'ιι υπόλοιπα εί\·αι εύκολα! Επειδη

ΥΟ δεν είναι ιιιιριιιφήοιμο· οι ρυθμοι

και 0.4 .L Λ 1,Α,. ι·ί,·οι LODΛ.= ίΟ . Τοιr LA,DE= LOD/1• = 70' και LΛ.DA, = LD.4 0+ LA.OΙJ= 20· + 20 = 40 . Τt.\ος. LED. \ 1 = LA,DE

μιιαιόrιιοης rίναι ιιολύ ορyοί κcιι οι

κοnά στο οριΟΙtρό άκρο της yραμ­

ά,·θρωποι έχου\· ΟΙΙνηθίοει στην ιδέα

μής. ΚοιΟιtl\' ο φcικιις αυ1ός αντικα­

ότι (ου'' ο' t\'(1 ΟΙΙΙθφο. ιικ"·ηιο tδιι ­ φος. Ωο1ilαο ζοιιμr παvω σε ΚΙ\'ούμε­

ΟiοΙιιιαι ιιιιό iιλλο\' που τοποθετεiτιιι στο ίδιο οημrΙο, οποτr το ειδωλο τtJς

\'tς ηιιrιρωτικες ηλιικrς κcιι κάτω. στο

ιtηyης μειοιοnι(rιαι οιο οημrίο Β. ε,·

βαθη Ι ης Γι,ς. βριοκrιπι μιπ μrγάλη

οννεχεια. ο πρώτος φακός τοποθετrι ·

πηyη θrρμικ ής ενrργειος ιιοιι rf,α­ \'11\'KO(tl (η\' tΠJψά\•tιΟ llj<; rης \'(1

ται πολu KO\"t(l σιον δcίι~rρο κιιι ω rιδω.\ο μcιαιοιιίζr ισι στο σημεiο C.

ΚJ\Τιιαι. ιιροκιι.\ι'ί οrιιιμούς κοι ηφω­

Προοδιοριστε yεωμr ιp1κι1 τη θrοη τι1ς

οτειακtς εκριjξεις.

φωτεινης nηyi,ς.

L. I 0. I " 20

- LA ,DA. =70' - 4Q< =30'.

/Ίωpj'tις Ευαπι:.\όιιοιι.\ος

Η c-τ~~.. ...~~..JιιηΑ.9'~Α.~ f.~i/A.~ ~~";. tfA.~.

Π ε.p1. pέi!ιιηtr. τ~ ~ Α.n. D.ψε.~~ ιrΑ~.

Όοο ε,·διnφι'ρο\'ιΙΙ κι ω• ι·ινω ουτά

ΙΛ. Deslι koνsk,,·Ι

το φο ινι~μrνιι , ξε·φι~ύγουν οπό το

(g

πλαίσιο ιοιι (φθι)()ιr. Θα επαΥέλUουμε.

ομ~κ;. ο' ου ιιΊ κίιrιοιιι άλλη φορι\.

Ct1

!1 1/ΑΝΊΉl:εΙl:. ΥΠΟΔΕΤΞΕΤΣ Ι<Α / . Ι \'l:Ι•.'Ι!: l."ΓΗ ΣΕΛ.

61

ρο νετρο,·ιων nοιι δημΙουργείιαι οπο

Δηλαδι~ η

ιιοιημi·,·ο μο,-τελο, που το ειιl\·όηοο ,,α

τ φ· κο ιαρρrυοι] r-·ος rκφυλισμt,·ου

σιάζει ιη\ ΙοχυιηΙιι του φωτός. Αυτό

να ιιφιyριιψω 1ους υnερκοι,·οφα,·εις

αστρικου rιυρη,·ιι. ιι τrλrυτοίος. πριΥ

είναι το"'' ιιο ιοιχο ι ης ιιypης φοοης. Η

ooιtprς. 2:ιη,· nφιmωοη του υurρκnι­

φιασει στη\' πuριjνική nιικ ,·ότηtΙΙ. εχει

ερyοσιο που rχω \'Ο ΚΟ\'ω rκrι εί,·οι

''οφιι,·ους. η ΠUΚ\'όtητα ιης υλης rι· ,.ιιι rιτι· μικρόιφηειιr μryιιλυτερη από

μια

βασικά η μr.\ί1η ιου ου,·ορου α,·ομε ­

~

l:UΙ'IΊ'I'ΙII απ6 rιι

oe.\. .35

ιιιχυιηιο 10υ ιιχου • σχετικα μι­

ΙCΙ'(tιιηιιι του ιi.χου• πλη ­

κρι~ Δηλαδη, η υλη ri\'OΙ πο.\υ στηιmε ­

σο 011ς δυο φιιοrις. δηλοδη τη,·

ιιιιtlκειτοι yια δύο κcιιασιίιοrις της

στη. Επομένως, ιιρόκrιιαι yιο κατι (1\'α,\ΟyΟ μr 10 (Ιfpιο. rι· Ουtο I} Κcιtάp­

ιιυρφοικη και ι η'' υιιrρπυρψtκή, το αηίσιοιχο δι~\οδή ιοιι οιι,•ιiρου ονο­

uλης που οντιοιοιχου,·. ο ω ιιυρφ,κό

ρευση ουνεχίζtΗΗ κιιι rιητπχύνεται .

tιιfιιι·δtι. ηριις τη'' αέρια και ιην ΙJγρή

Όταν όμως φι(ισ~υμc οιη\' ηυρηηκ η

μεσα στο uyρό και το αέριο. Τέλας, ό ­ σον αφορο ιο κrφο.\nιώδους σημοσιας

κοιίΙnτιισή τι)ς. Στη μια nερίιιιωοιι η ' ' . ιιιχιιιηιιι ιου ιιχοu f i\'O Ι μ ι κ ρη κ α ι

πυκvόιηιο, ιόιr rμφο,•ιζονιιιι ισχuρές

πρόβλιwο του στροβιλισμnΙί JΙJ)rncι ,.ιι

οπωοιικcς ιη.ιριινικέ<; διι,·(ψεις κα ι η

ομολοyιΊοω ότι δε'• έχω ακόμη ιιοχο ­

στην (ιλλη πολύ μεγάλη. ΣΊ·νn'' αστt-

ύλ η yίγετιιι ιιολιί nuκ,·iJ, ιιουμπίrοτη.

λ ηΟεί μ<Ιζf ιου.

ΙIJ'' ιιυρφ•ικη nυκ,·ότητα · ~πομrνως.

60

MAPfiOI ΑΠΡΙΛΙΟΙ 1995

uno·

r.t!


ΑΠΑΝ Τ ΗΣΕΙΣ , ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Μαθnμαtικά Μ26

μnοροίη·

=

Η οπά'' ΙΙJΟη εί,-αι .< 3ϊ. Α,· θt­ σουμι· ft xι. + ax + h κοι gι χι : , :.

r

έρΟουν ιοόιιnλι·ς μετιι ­

οκοηαι yuρω α ιιό ιο πρώτο δrκiιγω ­

ξtι τους κιιι νrι κr:ρδίuοuν ιις iιλλες

''"· ~·! e nιψόμοιο φιiπο κcιιιιοκeυiι­

φrις ομlιδι·ι;. Τότε όλrς τους συyκr­

(ουμε tνcι'· &-υιrρο κύκλο ΙΙΟU Ο\'11 -

''τρώνοu'' 4 + 6

ιιροοωιιευrι το δευτερο δtΚ!I\'ω,·ο.

,.,,

=10 βαθμοιις α.\.\ά

μιιι οπο ιιυιι'ς &,· nι>σκρl\·ε ιnι. ~1r το,· ιδ10 τρόιιο μ11οροiιμι· Ι'ο

Τοnοθrιούμr τώρα ιο,- δrύιrρο κύ • κλο πάνω ο LO\' nρώιο ί·τσι ι.;)(Ηι' να

l l la + 3b • b = 37p + q. Λυτό

ιιnοδεiξοuμι· ο τι ο· ι·νιι ιο υρΥουό

οιι μπέσουν ιΙΙ δύο cιρχικές διcι μι-ρί­

f\'(>ς γυροιι Ι) r.\άχιστη βαUμο.\ογιο

ο ε ις.

όμ6χ; οημnιηι όη ιο 3ϊ rίν<ιι η μο ­

που εξαοφα \ί(ει μίιι αrιό ιις πρώτει;

''αδικη .\ιιοη της ιyραμμικηςΙ rξισω ­

k

σης Γι χ ι= gιχι.

ιοοiιιω μc 'lιι

+

px +

ιι. μr βαση το δι·δομένο ιου

προβλιιμιιτος βρiσκουμr

lllp + 3q.

ιi :Jϊn

=

Θα μποροίιοιιμι· εnίοης ''α εξrιι'ι ·

Uέοrις μrιcιξu π 0\'tιnιι.\ω\' ιk

< πι

θεωροu μr

ιιεριο τροφrς του

δrυιrρου κuιι..\συ κατα nο.\.\ιιn.\ασια των

- k - 1.

99

360 99.

θ!Ι αnο&rιξουμε όn

cnrtι!l οπό μίιι τι'τοιο ηφιυτροψή δίιu ζrύyη μαριωιιισμέ,-ω,· οημrίω,· θcι

σουμc ιο ιδιο ηρόβλιuιιι yια οποιcιδή ­ ποτr ιριιιδα aριθμώ'' .<1, • -· χ,. Cl\' tί

Μ28 Α,- ι'Υος κιικοnοιος κιιιοδιώκετnι

οιιμπεσουν. Τοuτο διόtι. ον tιιεηα

τω,-

I. 10 και 100. Τόιr ιι ιιπαηηση θαιitΟ\' .ν = ιχ, τ χ2 • " •' 3-{)ΟpιΟ­

από οπrιρο 11.\ηθος ·tιδrρψώ''· ιου.

αηό καθεμιn ιιrριστροφη συμπί11 ιει

επιλryουμι· ιιυτό το (ιnειpο οu,·ολο

ισ πολύ ένο ιιπό το μιφιιrιριομtγα

μηηκός μι'ο<>ς των δrδομrνων ιιpιΟ ­

•ιιδερφών>• tου. ΊΌ ι·ν λόγω ιtύνολο

11ημείcι ιου δεύιφου κύκλοιι μ ' ένα

μι;ιν. Η αnόνιηση yίνcιιιι κnθαρότερι)

ικανοποιεί ιιιν ωιcιίτησή μιις.

μορκnρ ισμrνο οημι·tο του ιιρωιου

Ο\' ιιαραιιιρήοουμr όιι το ηρ;iβ.\ημο

Ας υποθεσουμε οτι ιιάθr κακο­

εί,·ω οιο συγο,\ό ιοu ·yραμμικο• και

όχι •οcυτεροβήΟμιο•, διοιι ιιι τετρά­

ποιός ιιατοδιώκειαι 011ό ΙJι·πrραομι'­ "0 πλιiθο~ κακοποιών. Δω.\έγουμε

γωνο αnαλείψοηαι στη\' εξίοωση

f'\'tt\". ιον

Ο[ι'·λyου μr οιι} φu ..

μαρκαριομι'να σι}μεία εγός κύκλου

που χιιιJσιμοnοιήοcιμι· yια ,.α λύσου­

λrικιi όοους Οcλοuν ' '" ιον uκοτώ­

πρέπει νιι ουμιιrοι·ι με κοθr\'(ι από ιcι

με ι ο πρόβ.\ημα καθώς κnι ο ι;η συν­

οουΥ ιιαθωc: και αυτόν που κυνηγοrι

μαρκnρtσμενα σημεία του cι.\λοu κu­

θήκη του ιιραβ.\ ήμο ιος.

ο g ..

το άnειρο συ,·ολο που ιιπο­

κλου μια φορο cικριβώς. επομt\'ως. ο

Μ27

μέ\•rι εnι.\έ\Ουμε ένιιΙ• ΚΟΚΟΙΙΟΙό g , κα ι φυλοκίζουμε όοuυς UrλoΙJ\' ,.ο

Οιl\·ολ ικός αριθμός ιωΥ συμnιωοcω\'

ων σκοtώο()tJ\' καθc;χ; και ου ιι')y που

οφοφιi HOU φερνι·ι οε ούμωο>ση δυο

κΟ<nδtώκcι " 1!, ιο g 1 και ο

(ι·ύγη οημrίω,·.Τιι ιοια

11 αιιίινιιιοη ι·ίγα ι 11 βαΟμοί. Λς ιιποδtiξουμr Dp6Hα οιι ιιυτί) η βnθ ­

Ano

g 1• κcιι

g, θα

μrι ­

μολογια r παρκrι για ιη,· πρόκριση

\'ΟυΙ· ελευθrροι !. Ι<cιι ου,·rχι(οvμr

στη" ιελικιι ιrιραδα. Ας uποθtοου­

rnnγωyιιιά: nφού rιιιλfξουμι·

με όιι δε,· αρκrί -με αλλο λόγιο, ότι

κοποιούς 1(1

κύκλου. τοτc Οο εχουμε οu,·ολικά το πο.\υ

99 συμΙΙιι:10rις.

Λυιό ομως εί ­

,·οι οδίιναtο εnειδη καΟCνο

ι·ίΥαι

100.

ono ra

Λpα . υιι{ιρχει μ fιι nερι ­

nou

ορί(ου,·

κα­

ουτίι τα σημειn. κω στους δυο κ υ ­ κλους. rχου,· ιο ίδιο μιικος. nιιοyμο

rχοuμι· οΚΟΙΗΙ

που nημαίΥt1 όυ Ηι αΥι.ιοιuι χη fl·

C\'α άηι·ιρο ηλ r)θος κακn ιιuιών ιιιιό

θροίσμιιιιι οιcιδοχικώ\' aριθμώ\' CI\'Oι

υπάρχου'' 11i·nε ομiιδrς με 11 ή πε­ ριοοότερους βαθμούς. Σt ουιήγ τη'

τους ΟΙΙοiους ουδείς Οο κcιtαδιώκε­

iocι.

ιrεριuτωοη η ου,·ολικη βαθμολοyιn

,.ως θο μ11ορούμε

ουtώ'• των ομόδω,- εί,·cιι μεγcιλύτε­

g.,. ι· Άρα η διοδικcιοίιι μπορr·ι να συ­

θα δ~JOouμc .\ίιοη μό\'ο yιιι το γε­

ρη ιi ίιr~ι του 55. Από ι η'' Ιιλλιιιιλευ­ ρά. η ου,·ολική βcιΟμολογία ο ιους

νι·χιο τεί ι· ι ι' cιnειρον yιcι \ 'CL ηροκύ •

,· ικότcρο πρόβλημα ιβ ι. Βcιοί(εrοι

ψrι το εrιιθιιμητό σύνολο.

οιφ· ειrόμr,·η χρήσιμη προιοοη που

μετά τη rέλος ιω'· ογο!Ι·ων μΙΙοpεί νο

δέκα μrτnξύ ιους αyω,·rς rη·αι

20.

t\'ώ η συνολ•κη βιιθμο.\οyin τους στους ιιγώ,•rς με τις αλλι·ς τρεις ομιι ­

δrς εiναι το ιιολύ

...

g.,, θα

ιαι οπο ιοu ~ ΙΙJ)(•Ιτους

,."

n. και

n

rnομr­

εηιλrξουμr

to,·

μcις βοηθα σuχνcι ,-α αnοδεiιουμe τη

Μ29 Θrωρι'ιο τε έναν κύκλο μι· μιiκος

5 3 2 = 30. Λυτό οδΙ)\'tΙ σr α'· ιiψασιι: 20 • 30 <55. Ei1·nι r υκολο ' '" σχrδιιισουμr t \ ' O τοuρ,·ουα onou 01 10 βαθμοι δε,- ι·ξιι ­

!ΗΙ διομεριομfνο

σφαλίζουν ιιιν nι>σκρωη στους ιι·λt ­ κοιίς. Ι 'ιιι ιιοριiδrιyμιι. πcnr ομtιδι•ς

(ιιJ ιιι Η1 nημι·icι νο ιuούντaι. δ1οδο· χικίι. μr ιοιις Οέκο cιριθμοiις ιιου βρί-

ιόίu. Σημι·ιι:ΚJτε ιι;,,. τω\' ι ίιξω,·

Μ30

oc 99 μοναδιοίcι 10 από τα άκρ" ου· t τοι ι.χιτr tn μήκη

ιων δrιιο ωξων ιιοιι οριζο,·ιιιι απο

υύyκ.\ιοη rυθcιών. θΕΩΙ'ΗΜ.~ ΤΟ\' ('AR.VOT. Τιιι·ις κο­

θι·rοι που φι'ρουμr ""ο το οημι·i" Α. Η. C προ<: rιι; π.\rυικι; 8/',, (',Α, .

...ι,,Β._.,

α\· rιο ιοι_yο. ι-ηΗ;

ιpι~·ω,·ου

:Ι,β,C,, ουι· φι·χου,· oro ιδιο οημrιο (1\' και μόι·ιιι· (1\' ι λ ('8n"ι +

c- -

ιι-

0~

ιΗrr~~~- ..ιιcιι·ι + ι ('-, ,ι~ - ΗΑιι'ι= ο·

ΟUΑΝτuΙΙ 'ΑΠΑΗΤΗΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ λΥΙΕΙΣ

61


χω\' nλrυρc.ιν ιου διοδομε,·ου φιγώ­

!Ία \'Ο οnοδι·ιξοιιμε ιο θεώρημα nαραιιpοuμc όιι. βαοcι ιου πυθαyό­

\ΙΟU :

ι Α• 8' - Β(.''ι+ι ('οι"' - ΑΒφΊ .ο •

ριιου Οε~ήμιι ιος. ,,α καθε σημείο Ρ

. Ι,,Ρ' -

ι Β(''

ΡΒ.' ισοiιται με ιην ανιίοτοιχη διιι ­

ιV. Oubroνsk~·ι

η διαφορα Ι\•1'' ιε ιριιyω,·ω,·

φορό Α,/Ί'- Ρ, Β.' ποιι ορίζεται από ι ην ιιροβολ ή Ρ1 ιου Ρ ειιi της Α0 Β,,

Φυσική

μείου Ρ, επί ιης ειιθείιις Α.,Β, καθο ­

Φ26

ιΣχήμα

11.

Εφόσον η θέοη cου ση­

CΛ.'ι =Ο.

ρίζειαι μονοοήμη" ια από τη" ιιμή

Ας μελeτήσοuμι· ιο ιιρόβλημα στο

CΙ)ς δciιιεpι)ς διιιψορ6ς (aφήνουμε

nλcιίσιο <ιναφοpόc; οιο οιιοίο θεωρού­

ι ην αnόδειξι) α υ ιοiι ιου γεγονόως

με το ιιυιοκίνιιιο ορχικ(ι cικίγηιο και

ΙΗΟν οναyΥώο ι η), συνεπάγεται ότι ο

το σημrίο Β να ΚΙ\Ψiωι με σ ιαθερή ταχύτηιιι ιι. Για,.,, φιήοει ο το σημείο

ιόιιος των σημείων Ρ γιο ια οποία η

διαφορc\ Α 0 Ρ'

-

ΡΒ,.' tίΥαι οταθερη.

Α

cίνιιι μια eυθrια κάθετη στην Α 0Β0 που διέρχεται ιιnδ ιο Ρ,. Α,. οι κόθε ­ ιοι ιου Οcωρημιιιος ουντρέχοm· σ' C\'α οημrίο Ο ιΣΧ"Jμα zι.μJιορουμε ,.α ανιικιιιοοτησσυμε οτηΥ εξίσωση ια οημεια

Β.

fl ,

C μr

ια Ο. χωρίς ,-α μc ­

Α,

Σχήμα

3

β

\'Q ιΚα\'ΟΠΟΙtιtαι η εξίσωση του

Car-

not. Καιιιοκευο(ουμε το σημείο

D

C0 έ ­

tαβαλουμε ιην τιμή tου ιιριοιεραύ ιης μtλοιις. Έιιειtα από αυτήν rην

τσι ώοιε οι γωγfες

cιντηιατάοιαοη όλοι οι όροι aπαλεί ­

να είναι O(lθtc; και. παρόμοιο, ιο ση­

φονται κοι ιιρακύπτει Ο. Αντίστροφα,

μείιι

3). Ας αποδεί­

Β όσο ιο δυνιι ιόν συντομότερα, ιο

αν η εξiοωοι) είΥαι αληθής κιιι δύο

ξουμε όιι η B.,C, είνω κάθετη στην ΛΑ,. Ι!ροcκ ιεfνου με τηy C,A καιή

οιι ιοκί,•ητο ηρι'ιι~ι να κινηθεί οε ευ ­

ιμήμο Α I)

=C,Λ (Σχήμα 4). Εφόσον

γ. Η διriιθu,•οη ιης οιιγκεκριμr,·ης

LB,AB0 "

LIJΛC0

αιιό τις κόθετε~'-<1ς nοiιμε αυτές που διέρχονται οπό τ.ο Α και το ~ τέ­ μνονιnι οιο Q, μπορούμε να αντικα ­ ιαοιήοουμε στην εξίσωση ια Α και Β

μc ιο Q. οπότε πρακiιuιει A,C - CB.' =Α ,Q'- - QB0' . Α υιό όμωςσημαίΥει ότι 2

1111 και 80

C0 AC1 και C0 BC,

ΙΣχήμο

= 90°,

η nιφιοφο­

φiι κο ιά 90 περί ιο Α μεταφέρει Ίο σημεία Β, και Dοια σημεία 8 1' και D'

Σχήμα

υ

Β

5

θι·ίrι yριιμμή με στοθι·ριj επιτόχuγση

ευθείας

l'la είναι

τέτοια ώο ιr η οuνά­

''ιηση ιοιι αυτοκινήτου με ιο σημεiο Β να γίνrι οε οριομέ,·ο σημείο D σε

AC. ανιίσιοιχα. Φuσι ­ κά. B,D .i B;tJ'. Ταυτόχρονα. όμως, B,D ΑΑ, <η ΑΑ, συ,·δέει τα μέσα

διrύΟu,·ση κόΟετη στψ ΑΒ. Από το

A.B0 C0 τiτοιο

δύο ιιλrυρών του τριyώ,·nυ B,C, Dι

ώοτr οι cυθείες του προβλήματος Υα

και

rίγιιι κ(ιθe ιcς σης πλευρες του και

ΑΒ0 Ι ι\8 1 = AC0 ΙAC1 = AC,ι AD=

β' + (υt)': ι\ γ~ ')' .

Q α\'Ι)κει

το

ιιαι σιφ• ιρlιη κάθετη.

Επομε,·ως ο σκοπός μας Οα rίναι

\'α βρούμr t\'α ιρίγω,·ο

ιων ΑΒ0 και

8 1' D'

ι

B, C,

ιδιοτι ΑΒ0 ΑΒ;

Α(;, Ι 11/J'), Ειιομένως ΑΑ, ~

c:c,

Ρ

"'

B,C0 .

Παρομοίως. οι 882 και ι:ίναι κά­ θeτες στις δύο ίιλλ ες nλευρι'c; του

φιγώνου A,,B"C.,. Αιιομένcι

1', Σχήμα

ιριγωνο ηας AR

ABD ιΣχήμα :

5ι. κaι θέτο­ β. ιιοίρ,·οuμt

Λύνονιας ιην εξισωοη. βρίσκουμε

t=

2υ' • SL'C. γ> + (2υ")' + 4β' = :>0

7

''" ελέγξουμε ιιν ιοχiιει

7

η συνΟιjκη του Cιιι·nοt. κότι τετρ ι μ­

Αφού η βi·λ ιισ LΙ\ κίνφη του ιιιιιοκι ­

μένο οφοiι rα cιημcίu Α". Β0•

νι)ίοu ciνιιι ομολό επιιαχυνόμενιι. η τραχιό του ιιι· οχέοη με τη !'η θ<ι εί ­

nrxou''

C0 ιoo­

cιnό το (ικρn ιων οντiστοι-

>'αι παροβολι\.

1

Παρόμοια tί\'ΟΙ η σιραιηγική )'10 ''α φτάσουμε στο σημriσ C όσο το

R

δυνοιόν σu,•τομστcρα. Όμως, ο χρό­

Α

''ος που αnαιτcιιιιι γιο να φτάσουμε στο σημrιο ε ι Σχήμα 61θα βρεθεί από τη .\ιίοη ι ης c!,ιοωοης με )'1:\'ική μορ­ φή

Ρ'+ (υt+α)" = (Υ~

')'

lJ' I Σχήμα

62

Σχήμα

2 ΜΑΡτΙΟΙ / ΑΠΡΙΑΙΟΙ 1995

4

ιiηοιι ιι

= BC.

ή αλλιώς ιιιν

.


πηκή μι'θοδος nρειιrι \ ' 11 εφαρμοοu-ί μc ιιροσοχή και ιο αποτέλοομιι μπο­ ρεf να είνuι ιιμφίβολο και να εξαρτά­

2

- L

ται α πό ιη οωοιή ειιιλnγή της αρχι­ κής ΙΙροΜyγισης.

β

:!

Κω μία ακόμη αοιχιτίνιηοη. Για ,.α ε .___

11

('

Σχήμα

οδηyηοει κάποιος κιιιι\ μήΙ<ος μιας

ο-:::-48

"

JJJL

ιιαροβο.\ικr,:; τροχιάς μr 10 δια,•υομα

-+

tης επιιάχιιΥοης οιαθrρο. πρέπει νο

6

cί,•αι αρκrιά κιι.\ός οδιn·nς.

:,(P'+ (vt+a)').

I =•

()Ι

;ι__-&

Σχήμα

Σt',μφωνcι με τον φίιο νόμο του

4nι·'Ρ

m= G

.\tπορούμε ,.α λυοουμt αυτή ιφ·

τ• -.: σ-ιαθ..

εξιοωοη ιφοσryyιοιικό με τη λε\·ό­

tna vnληπτική μέθοδο

7

Φ27 Kepler.

με\'1}

.-··

Α υ το ιιηιοιοιχεί πrρiπου

a

η μέθοδο

.

;;5 - ΙO' ' kgr.

or 1.5

ΙΟ"

mol<•.

διαδοχικών npoσcyyiorωv. Στην οιι ­

και ου\·ειι6ις, οσο μ11φόιερη εί,•αι η

Η διάσπαση κάθε μορίοιι ανθριικι­

οiα πρέπει να λύσουμε μια εξίσωση ιης μορφής rιtι =ι. Σε ιψώιη προσry­

ακιίνο tι)ς τροχιός ιου διαστημο­

κcιcι οξrος 11ιιρίιγει ένα μόριο οξυγό ­

rιλοίου τόσο μιΙ<ρόιrρη cίνcιι

νου. ιιρίιγμα που σημcιίνrι όο η δια­

γιση εκλέγουμε μια cιυΟαίρcτη αρχι­

δος rιcριφοράς Τγuρω αι1ό ιον Ήλιο.

κή ημή ι= ι., και στη ουνfχεια οχη­ μαtiΖουμε rην ακολουθία

Η ελάχιστη ιιtριοδος nεριφορι'ις οηι­

. .... ι. = {(ι.

ι, = {(t01, ι. = {(ι,>

,1.

Α ν η ακολουθία αυιή ι'χι·ι ένα όριο και η ουνίφτηοη

στο σημείο εξίσωσης

f (t)

οη ιου πάχους της αιμόσφαιρας. ας βροίιμr την nυκνόιηιu ιου οξυγόνου

(I

·ι ιιιω:ι -

- R11 --: l R111

R.,.

ooou

ι, = 4Ι.2sec. ι,

δή στην ακτίνα ιοu Ί Ιλιου :

ρίζα της

Αν ξεκl\•ήσουμc με ι.= Ο. οαίρ,·ουμε ιψ εξής ακολουθια ιιμώ,·:

κοντά ο tΙJV ειηφίινεια rου ηλονήτη:

1

είναι η αrιόοταση 'Ηλιοu­

ρ=

Γης. Ας συyιφίγουμι· -ιώρα τις κι,·ή­

Ρnι"'""' -0.4 kgr/ m 3 • RT

σεις ιου διαστημοΙL\οίου και ιης Γης

Με τφ• ιιυκγότητα αυτή. ιο παχος

yυρω αnό ιη,· Ήλιο:

της αφοσφαιρος, που Οι•Μρrιιοι ομο­

=53.6 sec,

γε\'ής, θα είναι

Τ~". _ Τ/ J . a;11m RH,. ~

/J = 57,5 SCC, t 4 = n8,7 sec,

Ιι =

· εcσι. γνωρίζοντας ότι η nερίοδος πε­

ριφοράς της Γης εί,·αι Τ,

= 365.25

ημiρcς. rιαίρνουμε ι.

1,5 · 10' •Ν: Ξ 500.000 χρό\'10. Όχι και μe­

γαλο ΧJ>Ο''tκό διάοιημα._ Για μιο καιά ιιροσεγγιση eκιιμη ­

S

11 Ι.

δικαnίιι θα διαρκt'σει περίπου 1

Οtοιχει στη'· ελίιχιο ιη ακtίΥα της ψοχιας ιου διαστημοπλοίου -Οη.\α ­

είναι συνεχής

S, τότε ro S είνα ι

11 περίο­

= 59.2 sec.•

llιιρατφήο ιr όtι ακρίβειιι

=

(

T m,. =Tr ; )

I ι:t πετυ­

χαίνοuμε όια,· n 4. Ι<ΙΙΙ ότι οιιοια ­ δήποιε δύο διαδοχικ(ι βήματα (δηλα ­ δΙ}, ο ιι rιολο\,ομό<; ιων δύο επόμενων όρων ι ης ακολουθίας) βελ ιιώνουν ιη'' ακρίβεια κατά ένα\' παράγοηα 2.

,.,

Ξ

m.

4πι-p

;; 30 km.

Το παχος είγαι οιην rιρογμαιικότη ­

ια πολλές φορiς μεγαλuιeρο \ η nυ ­ κ,·όιητα ε.\ α ι;ιώ,·εται μ ε ι/Ι υψοςΙ,

;; 0,116ημερες

2 όιρες και 47 πρώτο λειιιι\.

Φ28

όμως ακόμη και η διορθωμένη τιμή

rίνω ιιολίι μικρότερι1 οπό ιην ακτί­ να του ιιλανήτη.

Φ29

Αν ιο παχος ιης cιψόσφαιρας ει­

Το κένιρο μαίας ιου πλαισίου βριοκειαι or απόσταση 'l.L 3 από tO\'

Λ\· το ιtλικό οημriο ιοποΟειεiιαι

''01 μικρό σε σχέση μr ι ην ακτίΥιι του πλανήιη <αυτό θα ιο ελryξουμε στο

αυθαίρετα, μπορεί ''α υπάρχει ένο

τέλος tω\' υπολογισμ~ιν μας), μnο­

Ηλεκτρομαyνηuκές δυνάμεις δρουν

nιχίσ ημο συν ή πλην μιφοοτά από ιο

ρουμr να χρηmμοποιήοουμε τον εξής

oc κ(ιΟε οyωyό. όμως μό,•ο 11 δύναμη

n = BC. Γιο

τιίnο γιιι ιη μάζα του οξυγόνου:

που ασκεί ιαι στον οριζόν ιιο αγωyό

νο λύοοuμr ιην εξίσωση

( L Ι στην ιιερίπ ιωση αυτή. η επανaλη -

m= • ΓΙ{Ι μια λεmομtρη διtρr "'"'η <ων rφοiί • nοΟiοεω,· <φ<φμοyής ιηι; rmνn.\ηarwjr; μr­ Οιiδοο δ<ι π

w

finne:-'. λnrι. or.\. 212. κοι )1.

βιβ.\ια: Thomιu

ροσnκός Λοyιομtιc;, ιόμ Ι ,

~pινnk, ΔJαφψικός •οι 0.\οι<.Ιιp-.ιοκός. \υι·ι­ σμό(. οε..\. 3Β7, ιω'' Πα,Ι'f.nΗττημιηκc~" Εκ:δό~ ocι.n· Κιηίιης,ΙΣ.ι..a:.•

11

άξο,•α ηεριοιροφής του ι Σχημο

7!.

στρέφει ιο πλαίσιο (Οι άλλες δυνά­

4πι·2 Ρ

μrις ιri\'OU\' να το παραμορφώσουν).

g

επιιάχυ,·ση ι ης βnρ υιητας

g

στη\'

Λς Ο\'Ομόοουμε α τη yωγία ιιπόκλι­ σης. Τότε το κέ,· ιρο μάζας θα α'·υ ­

rπιφόνrια του ολα\'ήιη προΙ<ύnτει

ψwθι·ι κοιο

αηο το γόμο της nαγκόσμιιις έλξης:

διίιρκeια τιις οριζό,•τιας μετατόπισης ι ημα. ιj ηλεκτρομαγνι)ιική δύναμη

GM

g- -:;-. ι· ·

2UI - συ,•α Ι. 3. Καιο τη

JΒι ιιορόγι·ι ι'ργο ΙΒΙ}ιwιι. Το έργο

OUANTUMΙΑΠλΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΙ ΚΑΙ ΑΠΕΙΣ

63


αυιό ιοουται αριθμητικά με τηΥ αυ­

ηρrιιι·ι

~ηοη ι ης δυ\'nμι κής cηργειας του

ι τη,·

n.\αισιου

ραοει η ιδιιι η ιικιι\·ιι ιιnό ι φ· οηyή

2ρ1..'ιr1 ι

ου,·ιιΙ

=ΙΒL- ημιι.

''" rιrρ/ιοει οιιδ ιο σιwrίο S rιηγηι. Εί,·ω rιιθtι\'ό να μηγ nr -

α.\.\ο η nροέιιτοση της. Ας οημrιώοουμr το σημειο Λ· -ιην

Αιιό ι η οχtοη αυτη μπορεί ,-α nρο­

αρισιφη η κιφιn rοιιο ιου δεύτερου

οδιοριο ι ει η yωYtO οποκλισης. πρέπει

ομως νιι θυμιj()οιιμε ιιρώm λιyt) τρι­

φιικού. '1 οιιοια εί,•οι συμμrτρική τοιι οημrιου Λ κcιι ας χοροξουμε μω

γωνομειρί(Ι:

βοηθrμικιι cυΟrίο ιιου nφνίιει ιιηό ω

ιιμ π

ιι

2ρg

Ι - οΙJνιι

2

ΙΒ

-="--• llψ- = --,

tr

οιιμcίο Ο κcιι είναι παράλληλη cηην

.

I)

1/:J

=:.!ι~εφ--. Ίρg

ιικιί,•ο

rυUειο ουιιi πtρΥίω

ιιnο ω οημι·ίο Έ' ιιου αν ι'ικει σιο ε­

Ας υιιοθέοουμc ότι μια ακtίΥα απο

BD

μrιίι ιη διάθλασή ιης

δυ,·α ιούς χρωμιιτισμους μr,τι ιιχρη­

διιιθλώμr,·ι~~: οκτi,·ος.

οιμοιιοιιιιος. και rnομr,·ως οι· μια

Το ~χημα yια μιο

b &ιχηι οτι nροκειιαι

φ<Ι\'ιιιοιικη• ιιηγη ~~ φα­

ιφοκυιιιrι η οκτι,•α Vιl. Κατοπ"· ιφnοθr ιοιιμr ιο,· δεύιερο φακό υ ω ούσιιuιο. οπότε

1όιι·

On

ι·ιψόκrιιυ γιιι ΟΙΙ\'ι]θισμrΥη

.. ιιροyμcιcικiι•·

ηηγΙi.

με την κ(φιιι r·ο ιίn ιοu δεύτερου φα­

Σπαζοκεφαλιές

κυυ . Χιψιι(ουμr μια βοηθt]ttκή ευ­ θειο nou nι'f)\'(lrι cιrι' ιο οrιμrίο Ο και

Σ26

ri,·ω ηαιΧ:..\.\η.\η οιφ· ακτίΥο ΟΑ .

ΊΌ μο,·ιιδικiι δu,·ιιια γραμμαιο rl\·uι

Λ u "1 ιtμ ,·ει

οιο ι·οιιοκο rιιιιιι·δο ιου δεύιεροu

τα Α Ι ο αριθμός 11. Β ι2ι. Λ ι 11 ι. Μ ι 121. Φ 1211. κω Χ ι 22•. 11 μο,·αδικη

φιικου. rrιομt,·ως ιο σημείο Ε βρι­

.\εξη με ,·οημο ιιου (Ι\"ΙΙΟιοι:ι;tι στο,·

οκιιω rιu,·ω ο' οuιό ιο rσιια.κ.ό ε:nJ ·

δεδομε,·ο αριθμο

οιιcιαι ακριβως ηαΥω αηο ιο οημrιο

Α. ιι.\.\ο ου ιό δε,· εχει καμιά σημιι­ σιο ειιi tι)ς cιρχι\ς Ι. Τωρα. χpi)Οιμοποιωντος τηΥ κύρια

~IA.\A::I!A.

Σ27 Η αιιάνιι]Οη CI\'Oι :3.201 • 3.:201 = 10.246.401. Αφαίι Fινε • ν= ο. έχuυ ­ μr ν = U. Το V"'όμενα του FI\'E με ω

I. Ji. rivoι

μr ,.α βροίι μr ιη θέση τιJς nt)ytiς. Ας

και Ι. Ε

ιrιραψήφιο. άρα

θυμιιθοίιμr ιι1ν αρχΙ1 ιου aντιστρό­ φου της ΠΙψι·irις ιιιιr φωιός. Χαρίι­

cχ~ι QKt~l ψl]ψίιι, μeνwς, t'IVt:

F s 3.

rφόοον ιο γ ινόμενο

s; 2. K(ll

FI\'E > 3.200. 3.201.

=

από ης nιη.\rς όλοι οι κομβοι

Εnο­

Σ28

το ιδιο W<•ΨΟ -<ις ιιοuμε. κόκκιΥο. Αφαυ χpιJΙιιμοιιt'Ι!Οιι\ ιαι όλοι οι χρω­ μοιισμοι εκτός από ι·νcι''· υιιάρ:ι;cι

μια στήλη με δύο κι\κκ"·οιις κόμ­ βους. Λυιοι οι κiψβοι μαζί με τους

α ν ι ίο ιοιχοuς κόμβοιις ο ι ην ιιροη· yουμενη σιιιλι)οχηματίζου'' rνα μο­ νόχρωμο ορΟ.-.γι;>νιο.

Σ30 11 περιμι·φος τ~α

9. Φι>ροuμr ιις ακιί­ 'τς 0.-\ , και 08 του μεγα\ου κυ­ κ.\ου ω οιιοιες διrρχοηοι ono το . Ι ιιοι Η. Το μι)Κο<; ιοιι ιόξοΙJ Α ,Β, ισού­ <αι μι· 2ι·n. όιιοu cι a μήκος ιοu ιι\ξιιιι

.-18 rίvtH

r

η

2aι·, επει­

γρcιμμrνη yωνίιι 110/:J μcι.pου π. nόcr

o-

11 ΟΥtίστοιχη ι·πίκηιρη γωγία rίΥοι 2n. Επομι· νως. ιrι ιόξο ΑΒ και

R,

ιtς (1Kt1Ytς ΠΟΗ

ιιηικrίμr,·α. Αυτιi η σχετικά αδυνο ­ ιη πηγή φωιιομού rxrι οχεδό,· μηδι: ­ νική εηίδριιιι η ιιτο ηώς βλέπουμε πι

ΜΑΡτΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

και

δή ~ι·ίηιι (ιιιι1 νCΙ\' ιι ιιιιό ι ην εγγr­

οΥακλΙ•Ι\'ι<ιι ιιΩό όλλο σe.\ι)\'tακό

64

L.-\OB

ιικτl\'11 tι•J\" μικροιrρι."' κύκλω,·. Το

ιιιιρχι·ι ιιιμοαφαιρα. μnορrι ,.α φω ­

tι ν ι ι κι;ί μt• \'et.

ro

ΑΒ οιο Σχιuια

Οι σκιές οι η Σι·λφ·ιι. οιιου δt\' υ ­

8

μικροτrρωΥ ι;υ ­

<ις ησυμr ιο μryα.\υτερο τ~ο

ες. που rισι )'1\'Ο"ιαι φωτcιΥοιερεc;.

Σχήμα

,.,,.

κλωΥ. θtωρησιr tνο nιιό nutα

ιιιμοuφιιφιι φως cισrρχετοι στις σκι ­

(HIO

ιης ροδοειδούς οποτr­

.\rιιιιι ιιιιiι ι~cι

Οι uκιι·ς ΟΙ!] ΙΊ1 rίναι λιγόιcρο έηο ­ ης cnι·ιδη ιο οκrδιιζομεyο οπό τφ·

ησtΟU\' μονο

rxou'"

ιν. Ωub>·u,·•k.v>

fl\'111

rοιίιι ιου δrύrερου φακου. μπορού­

(ου με μιιι τικ ιί,·ιι 111ιο ω σημείο Β ο το υημείu V -μι· ιιi ιη διiιθλασή της

ρr ιικίι. ιόιr μΟ\'0 t"\'Ος nnΔ ιοιις οκ-ιώ

θα βριοκrιnι οτφ· ηροi·κιnσιι ιης

οιοοιuιrίο S. ι\v τοσημrίο (' βριοκό· ιιι'' ιιιο nερο οπό ιο σημειιι λ και Β.

8 το σημriο F. βρι­

θcωρι'ιοτc τη μια nnό αυτι'ς. θιι rιφιι'­ χι·ι ιουλαχιοιΟ\' δυο κομβους ίδιου χρι;>μιιιιrς. κοι ουτοί οι δύο κόμβοι μιι(ί μr ιους κόμj)ους των iδιω'' yρομ · τη ζηιιιιιμrΥη ιrιρόδο. ι\ ν ολες οι οιή.\ες είναι χρωματισμί·,·rς διcιφα­

ιικιιΥιις

και ιιερνόει από το σημείο ι\· rισι

nεδο ι ο το Σχημα

ΥΙΙΙ χι•ωμιι ιιομr,·cς με ίδιο τρόπο.

ιης

nopcio

rιροrκ ιοοcις ι ω'· οηοιων ουΥέκ..\ΙΥΟΥ

"1" προεκταση της OC'

χικ~μιιιω. Λ,. δυο nηο ης στήλες ει·

χιφiιξοιιμr ιην υπόλοιπη

κοι δcχτηκα,· μι ο δrομη rικ ιι,-ω,· οι

Λ υιό μnς rιιιιρι'ιιrι να ιιροσδιορίσου ­

ιροπσυς '"' );pi)Οψοnοιήσουμr δύο

μ~J\' ο ΙΙ]\" άλλη ο ιιiλt] σχημιιτί(Οιl\·

οιο φακο. ου,·rχι(cι ιφ· πορεία της

11 προηγούμε,•η ο κ ιι­ να ιιcρνάει πλέο\' από το σημείο C.

κομβους η κα\k'μια Μια τnοια στη· λ η μnOjlrt ,.ιι χρωμnιισιrί μr 2 = 8

'""

τψ nηγη λ ιιιιιn ιο,· nρωιο φα κο στο

/J ~λ"Ι)Ια 81. Αφαιι διαθ.\(Ιοιεί

ιωοιε.\rιται αnο εηια σιη.\rς μr ιρrιι:

οιιιικό cιιίιιεδο και μcις επιτρέπει

-δηλαδή cην οε. Η πηγή fiJMI<p<l\"ώς

Φ30 οημειο

BD. 11

Σ29 11 αrιά\'tι)Οηfl\'01 όχι Το rι,\eγμα μαι:

Σχήμα

9


β

rχou'' το ίδιο μήκος. llροσθέ ιο ­ ,·τας όλα ηuι(ι ιιι τόξο βλέ πουμε όιι \ 18 1

.• /ι\2

ιο μljκος της ροδοειδοlις ιuουιcιι με το

·~

μήκος της nεριφέιwιαc; του μεyάλου κύκλου. Παροιηρηοιr όη ιο finοτr.\εομα ι·ί,-αι Ο\-rξίφι ητο από ω πως είνω

Σχήμα

Οέλοιιμε.

μέσα οιο,· μrγ{~\ο ιαρκrί ,.α διέρχο­

ιrιαι οιην IIC(>IIltωoη ΠΟΙ> Π=

ηαι αnο ιο Οι, κ<ιθωc; και n,·εξάρτη­

τη διοφορα Otl οτφ· κορuψι1 θ<ι rχου •

με

ιο από ιο nλ ηθος τους.

με ιιiιριι

\'QI όχι.

11

Ιδια διαδικΜ ιο rφ<ιρμiι ­

t''n

3k.

μr

ιριyω\'Ο έξι κερμόtω\·

ανιί ιη<; φιiιδιις. Εάν ιι

=3k + Ι. ω

ιμlιμcι της κοριrφής Οα cίνω tνιι ιρί­

ι. ΟιιοιαδήΠΟ<Υ α,·αδιιιταξη '""'

~ -.

2 •

1 4

3

10

οΙΙηειcιyμένοι οι μnιρόιι·pοι κύκλοι

Παιχνιδότοnος

yωνο μεyέΟοuς

4, και rχουμε δeι ότι

2.

Ι'ιο το ιριyωνο έχουμt

s, = I.

t\'ώ για το παραλληλόγραμμο ίχου­

s = Ο. :3.

Επομέ,•ως η οnι"•τηση εί ­

Μηορούμr ,.ο αnoδriξouμr όιι

κcιθέ\'α από α υ ιιΊ t<ι τρίyωγα εiνα1 Ο\'ιιοιρέψιμο μι· βαση τα Σχημnια 12

μπορούμε \'Ο ιο μετατοιιιοουμc κο ιiι

εως

μπορεί ''0 nαρασιuθει ως μιn διαδn­

οηοιοδηηοτε ιδιιιrρrτό με ιιι

3 1 πλή­

Οα αηιοτρεψουμε ένα τρίγωνο με

χή ενολλιιγών γειιο\'ικι;". κερμό­

Οοι; δι ο ο τι1μό ιων. Επομένως. το ίδιο

11λευρά ιεσοόρ~"' κφμά·ιων ιr. ,•α

κω

ιοχύrι και γιιι ολόκληρο ιο ιριγωνο.

·τpiyι.wo - 4•'· Στο Σχημα

μέσω μιας πράξης

Ά.\λι·ς μετοιοιιιuεις ο' nυιιι τη'· ι.ιr ­

με ιηγ αηιοτροφή ενός ιριγώνου

παρόμοιας μr αυτή,- που β.\ι'nουμε

ριιιιωοη rι,•ιιι αδύ,·ιιιες. λόγω της

μrγiθους

σιιι Σχήμαι<ι

διοτψηοηc; τω'' ανnλλοιωιω,· ~. ιδείτε ιο tιp(}ροι.

ιικου ψιγ61νου - 4. Έ'•ας ρόμβος• με

κερμα ι ω'' ο· t\'O φιγωνο μrγέθους

των. Δύο γειιονικίι νομίσ ματα

b εΥαλληοσο,-rοι

a

n

I και ι ιοu όρθρου· yιο ''"μπορέσουμε όμως ,.η 111 χρησιμο­

s, και

14. Στο Σχήμα 12 β,\cιιοuμe ηώς

3

13 βλι'ηου­

μr τη χρήοη rνος βοηθη­

ιιλ\·υρ(ι ιεοσίιρων κφμάτω" JΙ ΙΙΟρ~ί

f ,·a

ιιο• ήσουμι· ιιρέnει ιιρώτα να δημtΟυρ ­

νο χωριοu·ί ο'

γήοουμr t\'O οπομο,·ωμέ,•ο ιpίγωνο

,.α τρίyω,·u-4 μr δύο διαφορrιικούc;

a

Αυιο μπορεί να γι,·ει ο,- απο­

ψοπους. rιο• ώσrε ο προοανοιο­ λΙσμός τω\· ιριyω,·ων ΥΟ tl\'ω δια ­

ΙΗιιισ οuμr τριάδες ιιπό το δ~δομένa

φορεηκός σε κ(ιθε διαμέρισ η. Το

tξι κrρμδ ι ω'' που θα ηrριrχει το

και

b.

μι-γάλο ψίγωνο. μ ία μίιι, έως ότου ιι πάρ~ει uρκειόc; χώρος yιn ,.ο αιιο­

οπαοθrί το tιιιθυμητό ιριyω,·ο

ton·

rξι \'Ομιuμάτων που ιιεριι'χrι τα

και

I> <πιΟανόν

a

Σχήμα

ιρίγω,·ο -4 μηορrί ''α πάρr ι όrιο ιον

11

ηροσnvατολ.Jομό θι'λοuμε κω το φi­

-

μέσω ιης πράξης μετατό­

rι ι οης ιιου περιγρίιψαμr ο ιu όρθρο -δείτε ισ ~χήμα 2 ο· α υιό!. Τώρα. οχrιικά με τις μrτατοmοεις Υ''ωρiζουμε ιlτι μια ψιcιδο ιοι η,- πc ­ ρίιι 1W0111l :

2) η C\'CJ

μόιω" \ ΙJι•ρίπτωοη

ιpίyωνο eξι K tp •

n

=3) μιιορεί νυ

γω,·ο - 3 μπορrί ''ο μcτοκι,•ηΟει για ,.ιι ενωθεί η νο χωριστεί από ι.ο ιρί ­ γωνο-4. Επ1ΟΙ1JΙΙιiνουμε όιr ένα τρί ­

γωνο μεγέΟοuς τρία δε,· μπορεί ' '" ιι\'Lιστραφεί μιi,·ο του. Σιο Σχiιμο

υοuμε ένα τρίγωνο σε •παρολ.\ηλό­

Σχήμα

12

γραμμιι• κοι σr μικpότερο fl\'tιστρέ ­ ψιμο ψίγωνο.

4. R

rου ηλέγμοιος. Σιο Σχlιμα !Οο β.\t­

n = 4. [,-α

α,•αλ.\οίωιω\' ιΙ,. d1• d, γιο τις δύο

γέθους n διαιρείτω σε δύο ιριάδες και

διο ιίιξεις.

σ' έναν •J!όμβο .. ιεοσάρω" κeρμάιων στήμο ιιι κο τά μήκος οιιοιασδήΗοιε

απανιηση ε1ναι ορ,•ηιική.

Αυτό οφειλεται στη ουyκριση τω,­

τριγωνο με ­

που μιιορεί να μειοτοnισ ιεί τρίο διιι ­

14

β.\επουμε ιιως μπορούμε νο διαιρε­

μετατοπιοrrι σε οιιοιαδήιιοτε θέση ΙΙουμε όιι, yια

ιρίγωνο-8 κιιι έ ­

li. Σχήμα

Η nρίιξr1 nuιι δίγεται Ο\0 άρθρο

ουνιστοιω Οtη\' C\•αλλαγή διίο σφαι ­

13

ρών ι ι

+-+ 31 και

ιη" κυκλικη αλλα -

γραμμης του ιtλεγματος <δείτε ιο

ΣχιίJιο 10βΙ. Ένα ιρrγωνο μεyeθοιις 11

= 3k + 2

μ nορεί να διιι φι·θεί σε

k

οριίuvτιcι ο τρώμα ια τω,· τp11;,,. γραμ­

μώ\' ΙξC ΚΙ\'ώηας από ιη βάση IOUI και σε μιο ιριαδο στη" κορυφή ιοιις. Το κοθε στρώμα δ•αιρειιοι or ιριίιδι·ς κ ω. iοc.ι)ς, C\"0 lρiγcιJ\"0 ι·( ι κι:·ρμό ιω,· ι Σχήμα

11 ι. · εισι. διασnόμι· ιο μεγίι­

_\u μας ιρίyω,·ο σε ιριγωγα μrγrΟοι>ς 2 και 3. μrιακι,·ουμc tιυιιι ιn τμημο­

. ...

n =7

11=1\\.... . '. Σχήμα

14

ιο ξεχωριοtΙι. και καtΟΠΙ\' ιn ξο,-α­

. \ \· ιιοιρυφη φι) ιq,.Μ,. pr ιLιrιψrς Χ. 9 κω i κrpJ#fllJ\' Or αριiJμοι υ rιι ο.\·ημα δη.\ι.η·ου' ι ο 11 \ηθuς rr.J\ κηη.ιrιrι.η· Μιιιi μηκιχ lώ\' ff\"fiOtOΙ\'M\. π.1rυpι.Η . Oιrt\' 11; i. ι ο Η(ψ(Ι' \η.\6-

ουvδfοιrμι· σr οnοιιιδηποτc νt'tι Οrοη

ι·μnμμ•) μtι ιιΗJΠi(rιω Kιlfιl lrj\' (H'ι~δJtiffl.!t1ιtJII

OUANTUM ΑΠΑΝΤΗΙεΙΙ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΙ ΚΑΙ ΛYlEII

65


γ ή ΠI'I'H' (ι.\λων

14 _, 6 _, 9_, 8 _, 5

κιιμιιιcι δι·v πrριθλώνται πολυ καλά

_, 41. Λν την rΙΙCινnλ!Ιβουμr ιι rηε

(ιιιό ιη Ο\'ηκriμι·v(1

φορές ΠαΙρΙ'ΟUμ(· I ΙJΙ' C\'Ολλοyή lc.ll'

οτο ι'διιφαι;.

8.

nou

βρiοΚΟ\'tαJ

<βλ. Σχιίμιι 151. ί. ΕπεΙδή 5() = 2

· 5Ό

έχουμε

~501 =50-

εξαιτι<Ις ιης α,·ιιιλλαyιiς εηρ ·

δύο οφιιφώ1· χωιιίς ιι1ν κυκλική CΙ'αλλ<Ιyιj. ΑΙ' Τηl' CΠ(ΙΙ'ΙΙλαβουμt ~ξι

γrιας που οφι·ίλεται στη θrρμική α­

φορές nηίρνοuμε μό1•ον ΙΟΙ' κυκλο

κιινοβολιιι.

χωρις τη1· Ι'Ι'α.\λαyη. ~Ιι· ιιιιρομοιο τροπο μπορούμε \'α ηrrυχοιιμr tΙ'α.\­

9. ~αι. 10 Το

εκπι·μιιcι. yυο.\ί απορροφα και τη1·

.\oyrς ιι.\.\ωl' nιφαιω•· οφοφώΙ• -ας

ιιιιtρυθρη και ιηl' υπcριωδη αιttJΙ'Ο ­

πουμr,

5 +-> 8. Για Ι'Π ιιrιυχουμr τη1·

βο.\ιο

rΙ·α.\.\οyη δυο διαδοχικω1· οφαφωΙ·

11.

Η υπtριώδης ακτι~·οβο.\ια της

c50 2 + 50.51+ 50 ι ΙΟ = 20. Oμoi<u; ΙΩ5 = 3 5 7. οπότε 011051 = 105 - c105 3 • 105 5 + 105 71 +ι 105 15 + 105 :.!1 + 105 35ι - 105 \05 = 48. και 210 = 2 3 5 7. οιιόιe ο<21Οι=210-24ί+ 10\-Ιί• I

48.8.

=

θτ~ιρήιπr το ου1·ο.\ο ιω1· ιrο­

-

9 ...,

φιιοικηςβ.\οσιησης κο ι αυrη του κα·

ι ΟΙ' nροη\·ουμr•·ο κ υ­

μουφ.\α( rιi'OI διαφαρrτικες· εrσι

S=

κ.\ο rτοι ~Ι<Πε 1·α φtρουμr ιις οφαι­

rιιηρεα(ουΙ· διαφορrτ1κα ιο φωτο­

-και ι'οιω υ το βασικό συνολο

ρrς 9 και

yρ<ιφικο φιλμ.

μιας ακμης- yια ηαριιδι·ιyμα.

8-- cκτr.\niιμr

8 οι η Οtοη

τω1·

8

κω

5. απο

12. Η ε,·fργεια τωl' ακ ιί"ω'· Χ δεΙ'

και κcιιόιιι1· τις rπιοιρι·φουμr οτις

μrιορrι ηι υuερβεί τηγ εΙ·έρyεια συ1•­

Οέσεις

δεοης των ηλrκιρο,·ίω,·.

και

8

<μr α\'Ιίοφοφη σειραι

χρησιμοποι~JΙ' ιιις το1· ο ν ι ίο ιροφο

1:1. :-Ιαι. διόη

ια μήκιι κύματος τ~>,.

κιίκλο.

ακιiνω,· γ ει\'tιι οκόμη μικρότερα.

ΚαλειδοσΚόπιο

υιιtιιuθρη ακτιi'(>Ιk>λίιι

Μικpοιιειραμαιιομοι. Α Ι·ακλι'ι την

I. Όχι.

διόιι οrην ιιrριrιcωση αυτι] τα ηλι· κ φικά και μιιγνηιικό πrδίιι rίνιιι σιαθcρά και δι· ν ιιλλιjλεηιδιιοιiν

2. ΣυΥήθι.χ; τcι ροδιίιψ<•>Ι'n ιιυιοκι­ νιiιου δ•χονtαι το αncυΟrίιις οιίμα

τοι από ιι1 οrιειρσf-ιδιi αντίσταση.

το λεωΦCJρείο κcι οι λαιικψς + 2. ('" 111

από ένα οωθμό μrιiιδοοι)ς. σιο1· ο­ ποίο το η.\ι·κιρικό πεδίο ι•iνιιι ιιολω­ μf,·ο κcι ωκόpυφα. Ι Ίο Ι'n λιψβόΙ•Ου­ μr τη μι'γιο ι η ιuχύ

1011

rιοrρχόμεΙ·ου

οήμοτος, η κεραiα nρtπι·ι Ι'α rίνοι εrιiοης κιιιακόρυφη.

3.

nou rκπέμrιr­

Ι . 10,54

μcτοξιί ιοuς.

Τα βραχέα κuμαιη δι<ιδιδοηαι

3. 4.

n} = (nJ+ "). IJ

(~HHt)=s4- 16 = 68.

βο.Υοιη• το σήμα.

4. ~lr

I I

IΑ 1 I κ οΙ μια

φιψίι ο co Αι! ενώ το αφαιρούμε μΙα φσρ<ι ο το Α I n Α' ι. ΕηομtΙ'(ο)ς τε .

Ν= ιuι- Σ ΙΛ.Ι• Σ I Α.Γ'.\ 1 •

- .,. Σ jA .....4 ('\Λ, I

ιηv απουοια αμrοης η.\ιακης

αιttl\•οβο.\ιnς. <Ι ιΟΙ•ιομόι: μοριω1• οιφ· ιοΥοοφαιρn t λα ηώΙ·ετοι Λ υ 10 κο Οι­

• Σ .Ι,n Α " :1, -~ A,j ι.J ' ι

οτίι εντοΙ•οτφη ιη1· ΟΙ'οκ.\nσιικόιη­

<Η~)]

τηγ rμβtλrιιι των ρ<ιδιοοιηθμώΙ',

6.

Το ,-rρό της θάλασσας ο nορρο ­

Γιιι

,.•,

nροοδιοριστι·ι η ηιιόοια ­

ση μετιιξύ Γης και Σrλφ-ης. ί. R ιι ι' ιιρχι'ις, η ιονι\nφαιρα cΙΙ'ω

διαφιι ν ής οια υπερβραχrιι κύματα nου χρησιμοιιοιοu ,. ιω ο ιις ι ηλεοrιιι ­ κcς μεταδόιιf:Ις· εrιιnλεον. ιιι

66

r1·

ΜΑΡΤΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

λόγω

11

j. k. ι διnφορr ιικιί α1·ά δυο Ι. διάτnξη σε καθε ιrιρόδο rχι·ι οη­

μnοίο -yιrι παράδrιyμη η Ι i.

j. k. ι1

nπ ιστοιχrι οιην ιοποθi· ιηοη της κιίρ ιας του ί yιn11 στον πρόιιο φάκι· ­

λο. ιου j γ ιου οιο,· δcύτφο. ιου yιου

OtO\'

tρiTO

K(ll

ιου

k

γιου ΟtΟΙ'

l

ciιαριο φιiκι·λ().

Στ η συνέχε ια ορiζουμι- ιέσσεριι υποσύνολο Α,. ί = Ι . 2. 3. 4 ιου U. όιιου ιο .4, α ποτcλrί ιω αrι' όλrς ιιι; διατcιξεις ι~>ν γιων ο ιιι; οηοιει; η κίφ­ ια του γιιηι ί βρίσκεται ο ιον i-ιιο ιό

=

Hl.j. k.l1: 2 Sj.

k.ι

S 4,

και τα

j.

k.ι

ροίιμr όtι κιiθc σύ1·σλο Α, ιιeριcχcι

3!

= 6 στοιχrin. και όιι κιιθε ιομή δυο

n

διαφορrιικώΙ' ουΥόλωΙ' Α

Λ ιιr-

'

J

ριcχrι 2! σιοιχrίο. Το σύνο.\ο τω1· ΟΙ'ακοιατοξrω\' tιου tΙ·διοφrρrι tηl' κuρια Ιωα''''" rι­ ,.αι το 0,: ι:-ι.-Ι 1 v Λ ,v Α v Α,ι. Πραyμαrικα. α1· ιί. J. k. ιι e D,. τοτr

D,=

οίyουρα ί,. Ι. j ~

2. k "3.

ι"

4. Αυτό

σημαiΙ·ει οη η κίιρτα καθε yιou βρι­ σκrτnι σε λαθεμι'Υο φακr.\ο.

8

11

eρώ­

αφοροιιοr την πληθικοιηι<Ι

θtωρήμοτας ryκ.\rιομοιι-ιιηοκλει­

.\ιiτερrς οποο ιάσεις. α υξιι~·οηας ε το ι

ματcι.

ί.

του ου,·ολου D, . .\1ε τη βοηθtια cου

ραδιοκυμnιιι \'Ο διαδοΟουΙ' or μryο­

φά έντονο τιι ι1λrκιρομιιyνηιικά κύ­

I.J = {ιi.j. k.ι ι: Ι si.j. k, I S 4.onoυ

ιηση

ια της ιο,·όοφιιιρας κοι βοηθnrι ια

5.

τω1· τι·οοίιρωΙ' yιω,·. Εηομr,·ι.ις.

είναι δΙαφορετικά ανά δiιο}. Παριιιι)·

2

,·οι

του 1ou. κunοιrς nι·ριοχrι: Ι' Ο μη λα μ­

;1, yιοι; 4}

μr το χ μια φαρά στο

1

της Γιις κοι το αγωyιμο ο ιρώμιι

uιμόοφαιρας -1φ· ιονοοφοιρα. Ως εκ

\'ιο<;

φιίκελο. Έισι. για πιφόδειγμο. Λ ,

Υrχ<;)" ιιyοκ.\uοεω\' ο ι η,· tnιφ<Ι\-rια

1ης

2.

Ας uιωθcσουμc. γιο ΙJαράδειγ­ μιι. όη χ ε Α n Α • Τίηε αηαριθμοu­

.\ικο ωιιφιθμειται μίιι φορά μόνο. 5. ΊΌ nλl'jθος tωΙ' διιιδρομώl' Ν rί­

σε μryάλες αποστ<Ιιιrις εξοιτiας συ­

(yιος Ι. yιος

nου αηιnροσωπηΙει τις 4~ διnιάξrις

όπου μι11ιρουμε να τις rΙ·ιιλ.\αξουμr.

9

οιιρω1· ,,ωy

ομού έχουμε

''2'(5) (2)(3)(31

+ ,) 4 + Ι Λ 1 λ2J

+(~Η)+ο+ ο+ ο] - ο? ο • 210-165? 36 =81. 6. 11

cλλι:ιψι) μοιάζει με εξιiγωνο

Σχήμο

15


οι τοχύιΊJιrς καθr ΟΙJμείου ιου καρ­

Ι υ, I = I υ I - Σ IΑ, I + Σ IιΙ, n Λ, I "

φιιιlι οχημιιιίζουν ορισ μένι) γωνί<ι ως προς τψ επιθυμητή καιευθυνοη. και tτσι η συ,·ιοιώσο ιης φιβΙJς που εχει κατεύΟυ,·οη ιι\·ιιθετη οπο τη"

~ ΣJ Λ .n Λ,n A 1 n A,J

κοιευθυνοη ΙJΟΙΙ ι·μείς τραβομr εί,·ιιι μικρόιεpιJ Ιβλ. Σχήμιι 181.

ι.J λ ι

(

=4~-ι ~ ):r. + ( ~ ?~- ~ )1! + (: )α =9. Τέλος. ιιαρα ιΙJpΟίιμr ότι ι) παρά· ο ιιιση

4!-(i )~ +(~p- ωl! + ::)α μ πορεi να γροφεί ως

410 -

Ι

1! +

2! - 1 · :Ι! + 1 4!).

ι

Γεγικευονtας. βλέnουμι· ότι ΟΥ η κυρία Ιωα,·,·α είχε nrvιr γιους Οα ιιιιηρχιη· S!ιl

l ι l!

= 44

+

Ι ι 2! - Ι

Αιιειροατικόc; λοyΙσμός

17

ι Δrιrt ιο ηραηγοιrμtΥΟ τευχοςι

δι{ινυομο- ι·ίνιΙΙ ίση

Ι. θεωρήοιε ιις tιιrψιiλλιJλrςΙ ο·

μι· τη συνιστώσα της 11 1 κοιι'ι μ ιiκος ιιjς .'\Β. !Ία tιJ'' υ 0 γνωρί(οιrμι· τις

κτινcς του Ηλίου όηως φcι ι νοναιι ιιrιό tt] Σuιί,·η και ι ην Αλεξι\\•δρεια το

.\nδή το ίδιο

ro

οιl\' ισrώσrς tl)l: κuτά μι}κος ιης CΙJ ιrιΥοι η υ,.ι και κατά μήκος ιης

.-\D

μεσημι'ρι τοv Οερl\·ού η.\ιuσrασιοv ιβλ. Σχημο 191. Εφοοον α = β. οιιμne­

ιεiνοι η οu,·ιιηωοο της υ, κaro μη­

ι•ιιίΥουμε ότι ο λόγος τοιι ΑΣ 11pος

κιχ: ιι~<; ΑUΙ. Ιlροσθετοντ(ις ιες. λοι­

ιην περιφέρεια τ ης Γι1ς ιοοίιιω με

ιιόν. διnΥuυματικά φτάνουμr σιη'·

7.5 '360~ηλαδή 800 ι Π= 7.51360. ή

n rιίι"' ησ η:

11

v0 =ιι_,Jϊ

'31 +

- ι '5!ι φόnοι τσποUέτηοης ιωγ καρτώγ έτσ ι C:XJ ιι.: Uλι•ς να είνοι

114!

Σχήμα

2.

=38.500 ncρiιιov km. Η τιμή αυτή με χ ;; 3 μιις οδηγrι σrο R;; 36.500 ι2 ~~ =6.400 km.

υ ο = υ Λ .β. :ι

11

<ιπιι ,·τηση εί γω υr

υ ν υ6 ::

2υ 1• Ει'·ω ruκo.\o ,.ο βραυμr ι ην υ,

οε .\αθι:μt\'0 φακελο.

- 11 ουνιοτώο<ι rης κατά μήκος ιης AC r.ίΥιιι η ίδιο με ουτιi ι ης υ•. llε­

οι συνιστώσες

1. Αψ<Η', ιο ξύλο rίνοι οιερcό Ο<;> .

ριι~<ιότερο εvδιαφrρον rl\'lιι Υιι βρού ­

μ<ι. το μι'JΚΟ<; ιου δε,· αλλάζει. Έιοι

με tηΥ υ8 • )1ολογόα μωιιι<ουμε τη

οι συ,·ιοιώοeς ιω,· υ 8 και υ, κ.οτά

συ\'Ισtωσο τΙJς καιά μήκος ιης

.-\8

μηκος ιαυ ξiιλου πρέπει \'Q εί,·αι ίση;.

ιι·ί,•ιιι ίση μr υ ,ι κοι ιης

Λυτό οδιjγti ιιμtιιως στην αΙJάντιJ<ιη : υ. = υ,, σιινα tουνβ. 2. Εφόσον ιο ιετράγω,·ο είναι ο ιε ­

μι· υ,.ι. δr\' οnοκλείε ι ω νιι Ι)δηγη(Jού • μr οι· λάθος. Κοιτάξτε ιο l:χι\μιι 17: rJ "• &v είνnι ιο διιινυσμηιικό άθροι­

ρεό σώμα. οι αποστάσεις μειαξύ δυu

σμα των συ,·ιο ιι.>Οω,· της~ Χαρά σ ­

οnοιωνδηnιιιt σημtιι•"' ιου παραμε ­

οουμε ~ο υι:: κι'ιθι:τα οιο ΑΒ

' '""" ιιμrτόβλιjτες. Αριι. η ου,•ιστω· nn ιης υ, καια μιiκος ιης AC πρέπει

FΈ κόθι:cn στο

Το διόνυομιι ΒΕ

.νι r + ι ι - .νω ο. ι Χι tΙ - ο.οοοs.νω' = ο.οοοr.Νιιι[200 - Νιοι

( ιο μιiκος του οποίου μιιοιιr ί '" νιι to

Λvrό δείχνει λοιrιόν ό" η ΝιtΙ εivαt

νιι εiνω ίιιιJ με ι ην ιι_ 1 • 1Ό γεγονός

βρείιε εύκυλιι. οωοιό:J εκφρι\ζtι τη υ8•

ο η της υ,. μας ειιι ιρrΙΙι·ι να κ α ι<ι ­

ηοιε κατ~υΟυ,·ο η οηιθι:• ιιJ ιιηο τηγ

uκευάσουμr ιο δΙΙιΥυσμα

υr <βλ.

κιιιεύθυνοι] ιι]ς ι<•χιί ι ητιις ενός

υ• κιιιεηθιiηιαι

αντικειμένου. Α\• rιφιστρ~φου με το καρφί κοΟώς ιο ιροβ(ιμε rφος ια έξω.

αιιιό. μαζι με τη δεδομf,·η διεύθυΥ·

~χήμα ιω. Το δι{ινυομιι

11 συ,·ι •

χ<~~~ς

μc

wpκι ψοφη

m:ρισrpσφη

στωοο tΟΙΙ ~ωι<ι μήκος ιιJς .-\Β ~ι1 ·

ΒΙ---~ . Ιί"c

Kt\1

το

4. Η δύ,·αμη tl)l: φιβης rxrι nά •

κοtά μιjκος ι ης ΑΒ ιαλ.\ιώς ιο Β(' θι:ι α.\.\αίε - κοιιιιξιε τφ· υ,.!ι.

RC.

HC ιεί\•οι ίση

ο

Σχτ\μα

2.

19

Οι υοολογιομοi τοv λογιοηκού

σας φύλλου εχοιι ν ι η μορψιJ

=

ουιουσο για Ο < Νιιι < ,·οvσο για Νι ιι

> 100.

Η 35n Δ.Ο.Μ.

L. .Μιιιιρι>ύμι• να υποθέσουμε όtι "• >α,> ... > a•. Ισχvρι<όμασιε όιι ιι, + Β •1 ~η+ I γιοΙ ~i:Sιn.A'' a , + 8Μ •

1

I

ς Ω YJ(1 K(1ΠQI0 ί, τότε 8 1 < 8 Τ

1 < ... < lJl + 8 m ' I r S Ο. Τόιε καΟένιις nιιό τους διαφορεcι­

llm

- -111

< a, +

8"'

κοvς i αριθμούς " · • aφ. ι-ι, + α,.~ ι· -·· ιι, + a. _ , ηρέηrι ,.ιι εί,·οι ίσος με 1 t \"O\" από ιους a 1.Hr..., a. _ 1• Α υιό εi .. νιιι αδύγατο. Ειιομι'νως (χουμε

'.

2ιaι + 8 1

+ ... + a8 )

=- f iJ 1 +

:J.) + C ~ +

- _ +tn +

Σχήμα

16

200 κιιι φΟi·

Σχήμα

18

n +Η _.!._l

~ 1)

ιι ι;:: mι n- ι ι.

+···+ιι

'"

a.

!'!! > -n + l - 2 .

OUANYUII •ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΥΠΟΑΕΙ:ΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΙΕΙΣ

01


β

Α

α

.

ΠΚεf)<ΗΟ

k'[" '. ωρ<ι k'JJ - 1 <ι11' +1 ι .' ιιΓ'

- 1\ = ιι+Ι ιn - 1Ιι\!k - 1Jn<1+1

ιιι - 1!. Λρα k = 1. οπότε 113 +- 1 = \ mn - 1 Ι< n - ) ι. Αιι6 ιιιηό ιφοκίιιιιεJ όιι nJ = <n 1 + Η ι'ι n- 1) = 11 + 1 + 2 :(ιJ -

11,

που εi1·αι ηκέρωος αν κnι μόνοΥ

tιl' ιι

3. Και ο τις δίιο nι·ριιιιι;,­ σεις έχουμr c'ιιι nι = 5. Σιινοψίζοντας.

Ε

: 2

ή

έχουμε εννέα λύσεις -ου yκεκριμέ ­

Σχήμα

ο

()

20

l . Κα c' αρχάς, υποθέτουμε όιι η

OQ

Άρα η

fl.k l

νιι. ι2.

2). <2. 11. ι3, ιι. <5. 2J, ι5. 31. (1, 2J, ι 1, 31, <2. 51. και ι 3. 51 από τις

δεν είναι άνω φραγμεΥη.

οποίες οι τελειιιαίες τiοσερις προκύ ­ πτουν λόyφ ουμμειρίας.

EF < Σχήμα OCFQ ri,·ω εy­

Έιιει<ιι όιι to πεδίο τιμώΥ της fl.kι εί ­

νιιι ιο ουνολο όλων των Οcτικών

5.

γρόψιμη ιr;ιμι1πλr.uμη Κ(tι r.πομ&νω<;

εξίσωση

L.OEQ = L.OBQ = L.OCQ = L.OFQ.

ακεραίων. Για κiιΟε θετικό ακέραιο 111. ι} fl.k l nι έχει μία τουλάχιστ;οΥ

Έπειαι όιι: ιρίγωνο

λύση.

ι: ίγιιι κάθε ιη οτφ·

20α ι.

Tn OEBQ κω

OEQ Ξ

τρίγωνο

=

OFQ κοι QE = QF. γ 110θf. c()uμt tι~ριι ότι QE= QF. εσιω ότι η κι'ιθειη ιηιό

ιβι Ας υποθέσουμε ότι ι1 fιk ι = nι έχει μία μοναδικίJ λύσιJ. Τότ.ε. Γιk +

το Ο επί την

tι - fΊ.kΙ

EF ιέμνcι τt)\' BC στο Q'

=

για κάποιοΥ ακέραιο

δεικ,'1Jουμε τι:J(>ο όει αυιή η σuvάρτιι­

Η πρώτη

11.

ράλλι]λη στην

+ 1 προσμετρεitιιι ο το gι2k + 2ι. Ιοο­

σιιό ιο

Q'.

onoin

διέρχεται

και η οιιοία cέμνcι cις ΑΒ

και ΑCοιcι οιιμciα Ε' και

F'.

αντί­

ιηοιχα. Ί'όιε

Q'E' = Q'F' όrιως προη ­ γουμέ,•ως. Έστω ότι Ι} AQ' τέμνει ι ην ΕΡ' οιο Ν. Τόιε Ν '1' Q και ΝΕ =

*

NF. οπότε QE QF'. Αυτό είναι πνιί­ φαυη. εκ tός αν ιcι Q και Q' ουμιιί­ η ωuν ~"·· δηλιιδή, η θr.τη σιην ει-~

3. Συμβολίζουμε

0Q εί \'01

με

g,

στη δυαδική αναπαράσταση του

σύστημπ πρίθμηοηι; μr βασι1 χει ιρία ακριβι;,ς

['(kJ

I.

για.

k = 2" + 2. n <: 2. τι:.ρπ,

vαριιiοεις. και όιι flk ι

= κ•ΖkΙ - g(kΙ.

Άριι

fΊ.k

+ lJ- f <kJ = g<2k + 2ί - g<k + 11-lgι2k ι -gι kll " g<2k + 21- g(2kl -lg\k + 11- g(k\1.

Η δυαδική αναπιιράστασιι του ~ 2<k

+ l) προκύπτει

2k + 2 απ' αυτήν του k

προτελευ ­

1. Με

+,f!ι2"-' Ι -gι2") = 1+

=1

(2).

Έrιεcαι ότι το σύ\'ολο των θετικών ακεραίων

= π1

111

όιι fι u1

ση έχει cις (ηιοίιμενες ιδιότι1τες. Είναι

ft2" + 2ι = gιz• -' + 41- gι2" + 21

2 περιr­

κω gιkl εί,•αι αύξουσες συ ­

k - 1 είναι 1. το

β(:'ις ψηφίο που είναι

2.....

Είvιιι φιιyερό όιι

k. Το

ιcιίο Ο. κ(ιι υιιάρχει ι'να ακόμη αιφι­

η οναπαράστnση των οποiωγ στο

k}

I

iδιο ισχύει γ1π το k - 1. Αιιτό είναι δυνατό αν και μόνον αν το τελcυ ιαίο

το rιλήθος

ιων οτοιχείωv ιοιι οu\•όλου {1,

οι

κίι­

2k

δύ,·ιιμα. υπiιρχουν δύο ωφιβι;><;

ψηφίο του

οεις: με co Ο. και μία στο 10. ~ι γ ποθέτουμε

άλλα λό­

Ι= fι kι- fιk-

ισότητα ισχύrι Ο\' κιιι μόνον ιιν to

η

f\xJ =χ έχει to πολύ τρεις λύ ­ μία οιο διάστιιμα f- 1. ΟΙ, μία iσι1

= u για κάποιο ιι στο !-1. Οι Α ν θι;οουμε χ= .1· = υ σηι σuνθι)κιJ \il, παίρ"ουμι· fιu' + 2ul = ιr' + 2ιι. Αφού Ο < u + 1 < 1, ιι' + 2u = ιu + 111 - Ι αvήκcι επίσης στο ι-1. Οι. Επομένως. u' + 2u = ιι. Τότε όμως το ιι δε" (Ινήκει στο (- 1. 0). Θέτοl'tας fι ι•) = ι• \~α κάποιο v στο ιΟ. +ool οδηγούμαστε σε μια πιιρόμοιιι οηίφοση. Όμως, Γ! χ + <1 + χιrι,η = χ +Ι\ + χΙ/1 χ1 για όλα τα .\'στο S. θη πρέ ­ πει Ι'<ι είνcιι χ + (1 + x)/'(xl = Ο. επομένως fιχΊ = -[.,1(1 + xll. Αηο­

~ Q !Σχήμα 20β!. Φέρουμε ευθεία πα ­

EF.

Η ιιυνθήκη •.ίί ι οu,·επίιyεται ότι η

φονερόότι η fιxl/x=~\ /( 1 yvηοίως αυξουοιι (ΗΟ

γ+ < l+_γJf< xi = .J· -

έχει μια μοναδική λύσι} είναι το κnι

.Υ(1 +

=-

n·' + 1 αιιό ro mn - 1 εί­

νω ισοδύν<ιμο με το να διαιρεί ιο mn ι το ln.;,< nJ + ι .ι = m3 n• - ι Π1'\ + 1.

-

.;.

1+χ

.

.v

1 + \'

l+x - .v 1 + .'' 6.

\' - χ

( χ - v)

χ-

Παρατηρούμε ότι οι ιnn - l και ιη• t•iνcη οχrιικtι ιφf;η()ι. Τόιε ω να

v)

· l +x

f(x + ιΙ + χJΛvΙ) = f 1 + ~'

4.

διωρεί<αι 'lO

S. Για κάθε χ και

.•· στο S έχουμε

για τους οποίους η fι. kι

ιι + (~)ι ι π " 2}.

+ χΙlείνιιι

.v-χ

=

1 +χ

Έοιω Α το σύνολο όλων των

+ I α Υ cπισuγόψουμε απλ~>ς ένο μη ·

που με τη οt.φά ιοu ισοδυναμεί με το

δέν στο τέλος. Επομενως, ή θα προ ­

να διωρεί το nιι1 - 1 το nι' + 1. Αν πι

σμετρούηαι και το

2k + 2 στο g!2k + 2ι και to k + 1 στο gιk + 11. ή κιινέ,·α. ·επετω όη f\ k + 11 - (( kΙ -= J ή Ο, ιινά ­ .\οyα με τ;ο α'' προσμετρείται το 2k + 1 στο g<2k + 21. Σε κι\θε περίπτωσ η, η ftk1 •περνάει• απ' όλους τους θε­

= n, έχουμι: ότι \n 1 + 1) Ι<n' -1 1= n +

τη;ούς ακέραιους. Γ!αρατηρούμι· ότι

= 2 ή 3.

3). ειιομέ,·ως fι 2"Ι = gι2"-'Ι- gi2"ι = ( 31 )-(3) (~).

ριιtηρούμε όrι 11" + 1 .., 1ιmod ΙJ) rνώ

...) πρι~τω'' αριθμι~ν με p , < p, < p., < ....

nιιι - I Ξ -I <motl nl. Εcιομέ,•ως ΟΥ ο ι n·ι + 1 Ι Ι< nιn- Η είναι ακέραιος. τότε

μπορουμε vα ικcι 1·οrrοιήσουμc τις συν ­

ιοού ιαι με kιι

= p 1• σι= p1p1...p,. κιιι n = p,p, ...p,_ 1•

gι2"ι = g(2" -

lJ = (

11

68

=

ΜΑΡτtΟ! Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

1 Ι ι n - η Αυιόςο αριθμόςεί,·ω ακέ­

ραιος

(1\'

και μόνΟ\' αν

n = 2.

ζουμε τώρα την rιερiιιτωση

n = 1,

ιόιε για να είvαι ιο

Εξετά­

m > n. Αν 2 · ιm - 11

οκέρωος nρi'πει κnι αρκεί νη riναι ιη

Ας υιιοθέοουμε όη

- 1 για

11 :1: 2. Πα­

κάποιον θετικό

θετικών ακεραίων της μορφιiι; <ι,q, ... q • όπου οι qι < q2 < ... < q, 1 είνιιι 11 nρωτοι. Με άλλα λόγιη,

_4 = {2 ' 3, 2 χ 5. 2 χ ϊ, ... f υ (3 ' 5 • 7, 3 >< 5 ' ι ι. ...ι υ {5 χ 7 χ 11 ' 13 χ 17, ...} υ .... Για κάθc άπειρο σύνολο

S = {p,. p.,. Ρ:ι·

!ίι'μ<ες του προβλήματος εnιλέγοΥtας

k


ΠΑΙΧΝΙΔΟΤΟΠΟΣ

το παιχνίδι των τριάδων Α νrιμετωπίζονrας αναλλοίωτες

Vlodlmir

τ

-

0\ΊΌ Ί'Ο ΛΙ'θl~) Ι'ΡΛΦΤ~ΙΚΕ ΛIΓΟ μrιά

10

Dubroνsky

διαyωγισμό tnι.\υοης

·

_

..

nροβ.\ηματω,· υ1ο Διεθ,·η ~Ιcιθη ­

μιιιικό Διαyωγιομό Πολrωγ, ο

νο Aύyouo 10. Η εκδιj.\ι,JΟη α υ ι η rι,·αι "'·α εξιιιρrηκό. ισως και μοΥαδικό. γε­ γονός που ου,·δυnζrι ια χαρακtιy>ιοτι­

μα

I και θ<ι θεωρήσουμε μό,·ο ιις ιιr •

ριnτώοεις όπου ιο κε\'Ιρ<ι όλω\' ιω\' κερμίιτ<.ι,. οιιμπιπτου'· μr τους κcιμ­

jio11ς του φι γι.Ι\·ι κού ιιλί-γμαcος που

uηοίος έγινε. όηω<; κιιι ιο 199~. στο Μnιε.\φtτσκ ιι]ς Ρωσίας τον ιιcροσμέ ­

νcιι αριθμημrνα Ι. 2.... 6 όπ~οιςοτο Σχή­

Σχήμα

βλέιιουμε οιο Σχήμα Ι . ι Αυτό fl\'oι

1

Το βttnrκo ψ) ω,·n tl.ι κrρμnΗ-''. η npιlήJΙJ• ιιη ΓΙ?V( Kιtl t 0/J1"tHHOJ.\'O n-'f1•μη

βο.\ικο και, οιη'' nροyμ"nκοτηιιι. δt'· rJναι περιοριnηχό.ι

Μεταθέσεις και μετατοιίσεις

κά t\'ός θερινού οχολείοιι. μιας ο­

μl·ροι. Αλλά ακόμη και

.\υ μηιόδ<ις, καJ ενός •rρrυ,·ητικου

οκο\ότcρrc; και εuρύΙcprς rnrκτάοειι;.

Μια ""ο ης nρώιtς. rιοαγωyικές

1\·οnτουτου• γιο μιιθηtές.\υκειου.ι !Ία ,.α ιιιιοκ ιφετε nλφι·οτερη ιδi·ο γιο to

δοθηκα'· nλφrις και κομψrς λύσεις.

rρωτηοcις που ιέθηκα'' ο-ισ διαγωνι·

'"' ι) χι απ ο λ ύιως nψεyάδJ(ιιοιει;. θα

ομό ήtλ1Υ t0 ΚlΗ(ί ΠQOOV /'1\"{11 δΙΙ \'llrΟ

ιι οιrμβcιίνει ι;κεί. διιιf~ιοτε ιιιν .ισιο ­

ήθι·λα. λοαιόν,

μuφαοιι:ι μαζί σας

va δημιοιψι·η()ούv ύλι-ι: οι 6! = 720 διι·

ρία μιας ηολης• οιο rειJχος του Ιου­

μφικι'ς αιιύ αυιfς τις αξιοοημcιωιες

•·nriς μrιοθι:οεις rω•· κφμnrω•· μr ι η

α'·οκαλυψεις.

μrιnιοηιοΙJ ιpιιιδωv. Μιιι θουμαοιο

λίου Αυγούσrου

1994. nou

καλυιιτει

το,· προιιγnιίμc,·ο διοyωνισμό.Ι Ί lμουΥ

,.,,

oc

ιιιολύ δυ­

μου \'Π σος υπεγθιιμiυω

λύση Ιαηό ιην onoιn μιιλισrα ηροκυ·

λος ιης επιτροπής και ηρόιti\'Ο έ\•α

ότι ΙΑ nιιιχνlδι tωΥ φιαδων. η <ορχική cκοοχη του οιιοιου ω·ήκcι ο 1()\' Serg-

ιι ιrι ότι μ ιιορούμε να nετύχοuμc ο110Ιοδήηοιι· μrιάθεοη χωρίς να χρeιιι·

εκτεγι'ς πρόβ.\ημο Υ''ωσrό ως σπαιο ­

ey Grabarcbuk. ου,·iσrαται ο τη" α\'α·

nτεί ,.α μrΙαtοιιίοουμε. ως σύνολο. ιο

κεφαλιιι rω'' rριαδωι•. Γlιοτευιι όtι ω

διιιιαξι] eξι κερμόη.Ι\· -ιιου αρχικι'ι

μrγάλο φιγωνο l βρεΟηκt οπό t\'(0\'

πρόβλημα Οα <mο&ικνιιόrον ιδιαίτερα

οχημαtiζοuν ι·να τρίγωνο μι· φία κέρ­

nμεpιΚ(Ι\'0 οιαγω\•ιζόμενο.

rλκυοιικό -κω rιρnγματικ(ι. rιpl\' α ­

μα ω σε κcιθε nλειιρ<\-. με ι η μετοκ.ί­

Shaeffeι·.

κόμη ολοκληρώσω ιηΥ nαρουοίαοη.

νηση κάθε φορά μικρώ\' ιριyώνω" nou

u~o Σαρλοt ΠJ<: Βc'ιρειας Κορο.\ίγος. Η

rι<ιρατrpηοα σε αρκr ro ~~η α της

nρόξη του. ιιοιJ σuνιοιοται OJJό πέ,·ιr

ιι')ς υτροβιλισμοuς κrρμόιων που ιιρο­

nηοτε.\ούη;αι από τρία ι•φαηtόμε"ο κ(ρμιιι<ι l•tριcΊδι·ς·Ι. Μω φιαδιι εnι­

ΟΙΗιUούΟfl\1 να 0\'ηnαραστι)οουν το

ιρέ ιιc ιn ι vα μrιcι κι\'ι]θcί μόνο rιόνω

μ<> 2. εναλλόσιΙΙ'Ι

ιιρόβλημα- δε,· ιιvρίμε,·ο όμω<; ιι'ιοα

στην cπιφ<ιγειο •ιιαρόλ.\η.\ιι • προς ιφ­

σμcι μ' ε,·α Ι'tιιο,·ικό ιου. αφή,·ο,-.ος

θαuμιιοια αηοτελι'ομαtα. Οι λιyrς ιφ­

ιφχικη ιης θέση Μεtό τη μrταΚJ\'ηοη

ο.\οκληρο ιο μryό,\ο φιy~Ι\'Ο οτηγ ιφ­

χικrς rιοογωyικες ερω1ηοεις αιιο,•ιή­

χικη ιοιι θέση. Η κnτάλληλη nεpiOtρO ·

Οηκιι\' σε cλιiχιοω ιψακιικιi χρονικό

μιιις tριιίδαι; διιμιοιιρyου\' wι νι'ες. κnι Ι) διαδικιιοίιι ουνrχίζεται. θιι υηοθέ ·

φιi α υ ιής Ι ή μιας ουμμεφι κήςτης ιφ(ι •

διόοtημα \για !IJ\' οκρίβειιι.

ο ου με από tψ αρχή ότι τα κι'ρμα 10 εί-

~ιιςΙ ενιιλλάοοrι οποιοδήποτε γωνιιικο

καλεομl·νuς ο ιιι Μηιcλι~>έτοκ ως μέ •

Δ r,

4

'\ϊ'47 5 6

6

2ψ Σχημα

2

or

m-

μίο

Em φέψτr

tO\' JoS(•ph μαΟιιιή στο Oak Tree School

κινήσεις κιιι ιιιιροuοιι'ιι;rται ο ιο Σχιι·

• 2

s

Δ

C\'O

γtο)\'ΙCΟκό ,-όμι ·

6

.. [[ ι.· ,·ιι.t .ιο•·ή ιοιι ·"'lιιιr•ff'tor... Τη ψΙ)'ω' •ικcι π.ιωι?ιtι ιιποδr}Κ\·vuιι\' ιις ιριιiδrc ιιοv πι)(/κrrιω ,.ο μrrοκι,•ηθΙ?fΙ\', OUANTUM I ΠΑΙΧΝΙΔΟΤΟΠΟΣ

69


Δ-

4

!')

-~- -

Σχήμα

• 3

6

6

3

· ~I

Όω\· μετιικι,·εiται οριζόντιο

1

• 6

!)

διά,•υσμιι

2

a-

rί,·ιιι φ<ι γερό ό ι ι η s, ιοu

OCY αλλά(ιοι ενι;> η s, αλλίιζι~ι καί.ό Ν (ιηοd 3J. Εηομένως. η μει<ιιόιηοη κcιrίι

a rίνω δυ\•οτή μόγο όταν το Ν διαιρεί­

Mo'"aδJaJo prr<ι rοπιση

ιαι με το

Υόμισμa με οnο1οδfιποτι: nn<') τιι yειιο­ νικίι toιJ. Κω δeν εί νω δύο κολ ο να δούμε όt1 ftn1ές οι ι·Υηλλιιγf.ς ιφκοι'ιν yια τη δημιουργία κιiθε μι:τόθι:οης. Ο Joseph κω μερικοί ακόμη διαγω­

ή

3k + 2 <k = 1. 2.... ) μπορούμε

να με­

ιακ.ινήοοuμε ιο τρiyωνο κnτ<Ί οrιοιο­ δι)ποτε διάνuσμο 111a + lb όιιου 111. l ακέρcιιοι. ε,·ώ για 11 της μορφής ~k + ι

νιζόμενοι βριjκαν επίσης μια πρι'ιξη

μόνον κοtά to «τρι πλά)• διογύομάιΟ 3ιna + 3lb. Το ότι μερικές μετοτοπίοrις

<Σχιiμα

εiν<ιι αδύνατες yια κάποιο

31

ού­

νολο Ν γομισμάτω,· -{tς ηουμε. κατίι

;~

4

cY<o

που μετοκιΥεi ολόκλφο ιο

n φοjν(· ιιιι

3

--<lηλοδή, μποροιίμι: νιι

εκ ιελέοοuμε μόνο μετοιοπiσι:ις κοιά

ηολλοπλίισιο του

3a. Το ίδιο ιοχiιr:ι yιιι

πλάγιες μειατοrιίοrις. Ολοκλφώστε ιώρα μόνοι σος την <ιπό&·ιξη κω κ<ι­ ιόπιν πραmαθήστε να λύοι:τε ιις εrιt.μενες οοJΙφεις.

Ασκήσεις "2. Είναι δuνοτό ηΊ μί: ιιιοχrwαιί­

μεγίιλο τρiyωνο οριζόν~ι<ι κrιιίι μίη

να ciναι το δυσκολότερο μtριχ; ιιιι ιού

θέση -κατά το διι\νυομο

(Σχή-

του προβλίιμοτος. Απωιεί μιο κοι­

δύιt γει ιονικ~)\· κόμ­

νούργια προσέγγιση. Τ(·ιοια γεγονό ro

βων του πλέγματος. θεωρώνιας ιη

ριιλληλόγρπμμο• ιοιι Σχήμαιος 5ο;

συμμετρική αυτής της πράξης ως προς

μιιορεί νο αποδειχθού" με ιη βοίjθει<ι των λεγόμενων α\'α.\λοίωτωv. Ας δού­

ιη διχοιόμο ι ης γωνίας

με τι ηκριβι:>ς οι1μαiνει αυτό στην πr ­

\'0 μεγέθους ιι μπορεί να αηοστραφει

ρiπτωσή

--<lηλαδή \'α αγααοδογυριστεί:

μα

1)- μι:τιιξ11

νου μας,

• rιεηιχιιινουμε

->

a = 45

146 του

ιριγώ-

.

ιη μεcατοmσι1 ~

κιιτiι το διι'ινυυμιι b =42. Σu"δυάζο''τας αυτrς τις πράξεις κω ιις ιη· ιί­ στροφές τους, μπορούμε "" μειαιο­ nίι>ουμε ιο μεγάλο φίγωνο κατά οποlΟδήποτε διιίνυομη na + n1b. όrιου

μας.

Λρ1Ομούμε ης φιζόνιιες γραμμές ιου πλέγμα τος ..., - 2. - ι. Ο, 1. 2, ... όπως στο Σχιiμο 4. Θεωρούμε ένα τυχnίο σύΥολο νομισμάτωγ η{ινω οιο ηλέy ­

:1

σουμε f''O φίyωνο μεγέθους (τρία \'Ομiσμοτιι σε κι\θε ιιλrυρόι στο •πα­

3.

rιο ποιες rιμές του /)ένα ιρίyω­

4. Εiνω δυγιιιό να μειαο χημα ιi­ σουμε έΥο τρίγωνο μεγέθους

το μεγάλο

φiγωνο μnορεi να με τα κινηθεί οε

Όιαν μετακινείται μια τριάδα ε ι νοι

οιτοιιιδήποτε θέσι1 του πλέγμιιτος, χω­

προφι.ινές όιι οι φεις nριΟμοί ηου βρί­

σκηση εiγαι παρά ­

ρίς μάλιστα να απαιτείται η αλλαγή της

οκονται αrιό κά ιω της μετοβάλλσΥται

δει γ μα ενός ιρί τοιι

νομισμάτων, <tφού κι'ιθ;·

ιω ιά ισ iδιο ιιοσό''· και επσμέγως το

τ\~rπου ερωτt}σεων

ιιΥ<ιδιι'ιταξη που συνοδεύεΙ τη μετοτό­

οιινολικ6 ιοιις άθροισμα μeτοβiιλλετω

nou

mση κοτό το διονυσμα

μπο ­

κο ιi,ι ένο ιιολλαηλάσιο του τρiα. Λυτό

κiινnuμι·

ρεί να ακυρωθεί ον χρηοιμοποιηθούν

σημni ν ει ό ιι αυτό ιο άθροισμα modnlσ

οι ενιιλλογές που περιγράψcιμε προιι­

3 --<lηλαδή. το υιιόλοιrιο του με το ;}- ιταρομένει

n1. ακέραιοι. 'Επομί'νως.

οειρα<:

,..,,.

na + mb

γοuμένως.

Μια αvαλλΟίωτη

Αφού μέχρι τώρο οποδείχιηκe δ υ­

Υ(ιtή κάθε ιη•οδιiιιοξη ποιο θt~λήοιιμο; να nt'tύχouμe. μπορεί να οχημοιίοοu­

στι1

διάταξη ιου Σχί)μ<ι ­ τος 5β:

μn κnι w ιίθροιuμο ιων ηριθμι;ιν τω'' yρομμών πάνω στις οποic.ς βρίσκαν ται.

ιι

3

~~~uτοίο άμιιορουμε

για

Υα

ίιC.

β ' -ο ' '

. -. '

cllΌ

τριά&:ς: ΙΙΟιες μορ- Σχήμα 5

ιης διοίρεοι'J(;

φές μnορeί \'n rιίιρει Μnφι·ίrr ''" διιμι-

uτuθeρc\. Τέ ­

ιοιο ιιμετόβλ ητο μ•γέθη ονομάζο\'1.«1

ένα τριyωνtχό σύ- pnpφPς ~~·κΗ·ι.)ι: ΙΗς νολο έ(ι νομισμά · nιrό rn1 rp,)'t.n·o:

α ι•αλλοίωrες. Θα συμβολίσουμε την

ι<,•ν f.ιιr.ιιά <ιnό μια

αγαλλοίωτή μας

ιηχαία ο γαδιάταξή

s,.

ενώ θα χρηuιμο­

ΙΙΟιι'JΟΟυμε το συμβολισμό s, για μιιι iιλλt) ονcιλ.λοiωτη που προκύπτει απc\

ιιιψ)·ι;οt ιl" fιυlές τιr.:

του μέσω μετοκη•Ίσεων τριόδων. (Οι δύο ΙΙ~ηοι τύηοι ερωτιjσεων είχα\' νιο

με tιjν εντύ πωσιJ ότι αυτό θο εξιι­ κολουΟιiσει για πάντα -ότι διιλαδή.

μιο ιιρίθμηοι) ιων κεκλιμένωγ γραμ ­

οποιεσδήποτε δύο διευΟετήσεις ίσου

σσuμε αυτό

ιιλήθοuς κ ερμάτων στο ηλέγμο μας

Αυτές οι nν<ιλλοίωιες μιις ιφοσφέ­ ρουν μιιι έ,·&:ιξη οχι:ιική μc ιο ερώτη ­

ιποu ιι καθεμιά περιέχει, φυσικά. μιο

μα γtο τις μι:τηrοΙΙίοεις ιης Άσκφης

λέγειν) θεμελιώδες πρόβλημα σχετικό

μ~ι'' του πλέγμιι ιος (Σχήμα

41.

t.

στούν

11 μία στψ άλλη. Όμως, ιιν προ­

b -<>-- •

σπαf:Ιιjσουμr ΥΟ ανοποραγόγουμι· το

αποτελέσματά μας για ένα μeγολύτερcι ιρiγωνο θο ουνανη]σουμε ένο εμπό­

διο. Άσ κησ η

1.

Αnοδείξιε όtt γιο ένο

ιρίγωνο με 11 κέρμοτο στψ πλευρά

του εί,•αι δυνατή οποΙαδήποτε μετιiθε­ ση ιων νομισμάτων. Το σύνολο, όμ<ι>ς. ιων δυνατών μετατοπίσεων εξαρτάτω

ιιηό ·ιο 11: όταν το n είνcιι της μορφής 3k

70

ΜΑΡτΙΟΣ Ι ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995

-ο

(/ -1

Q

ο-

~ ο.

ο

-2

1

.

φ

ο

ο-.--ο-

ο

1

2

Σχήμα

τους κο,·όνες ιου πωχνιδιού μας. Πrκιγ ­ μοιικι\, αuιές οι διευθετιjσεΙς καθορί­ (Ο\' ιω ω ιό τη μορφή κο1 τη θi·ση t(Ηι

4

4

Η ιψiθμηση Γω\·yιχιμμι~\' ωυ ιι.tιτμπrnς litH

n ;ι:pι.,μnιισμός

( ιρόηοc; του

ρούμε να 11ειύχουμε χρφιμοποιι~vται;

-2 ~

νει ότι έχοιομε λύσει ιο

ορχικό μας φiyωνο. ης οποίες μπο­

.

φί το rιρόβλημα σημαί­

ιων έξι κερμCιτωΥ που αποτελού" ιο

σ.-

Ρ- ό

"'

με τι<; ψιiιδες--<Ιιjλαδή. το va περιγρά­ ψ ου με όλες τις δυγατές διευθετήσεις

τριάδα> είναι δυΥατό να μετασχηματι ­

2

κόν<>υ Υ με μεταθέσεις κω μετοτοπi­ σεις.) Στιιν ιιρογμοιικόιητα. αν λύ·

rω\· κόμβω" ιοv ηου .\PIJ0' μQΠQΙtir<tJ )'IQ CQV οpιr1μ6 ff•H' Q\'t.ι.UΟJ'ωιω\'. 4

Ου\'όλοu των έξι κομβων noo κηια­ λαμβάνοντω από τιι κέρματιι και ωιό 1-η οειρά των κερμότ.ων πάν<ι> ο· (HJ • τούς. ιοιις κόμβους. Γ\'ωρί(οuμl', όμως.


όιι rί,·ιιι δυ,·ατή ΟΙΙΟιαδήποτr σειρά ιω'· νομισ}Ιατω,·. tJΙειδή tl\'αι δυ,·αιή

χ - .''= Ο ιrηιχl 3 ι rί,·ιιι μαιrραι. αυτοί

δυ,·ατότητα μειnοχημιιιισμού εΥος

μt .< -,Ι' :

ουΥό.\ου κrρμiιιω\·

οποιιιδήrιοιr μrιciθrση στο αρχικό φί ­

I IΠΙΟΟ31 tί\'αι ΚόΚΚΙ\'01. t\'ω οι κομβοι με .< .''- 2 ι mιχ13Ι t1\·αι λευ·

γωνο. Γγιφiζουμr εmσης όη μπιιρου­

κοι Μια ιριιιδο ιια,\υπτει nαηοτε σιο

Μια

με γα μιιιιιω·ησουμr ΟΙΙοιοδηποτε εm­

nλrγμα

ιrιιξιμη μορφη or μια ηιχαια θέση του

,,.α,· λrυκο κόμβο· rιιομr,·ι.ις. οτα"

,.α οnοδrιl,ω ιο θrωρημιι τω,· τριοδωΥ

ιL\ΙΊ·μrιτος σε οχrοη με ιο ιφχικό Ίρι· γωνο. rπrιδη ιο ιδιο ιnxurι και ,,α το

μrιιικl\·ουnοι οι tριαδtς. ιο ιι\ηθος

που οΥοκαλυψr κιιιιι ι η διιφκrιο του

ίδιο ω φιyωvο. Επομενως ιο μοΥΟ που

d, '"''' μιιuρω\\ dι τω'· κοκκινω-· κω d, τω\' λtuK(~\' ΚΟμ(Jω\' IIOU βρίΟΚΙΙ\'tΟΙ

δεν γνωρίζουμε οκόμr} εl\·ιιι ιο ποιες

ιtάιω Οιιό ιιt KrpμOtO ΠΟpομέ\'CΙ Ο·

rintι οι δυνατές μαρφι'·ι;.

\'Ολλοίωιο. Ι l 'υρiοιr ιώρα nάλι οtην

λη<; Βρετα\'Ιας έως ιο Μιιιελορtwκ κιιι κι'ρδισε ιο ιιρώιο βροβrίο yιιι την rρευ ­

άσκησ η

"α που έκο\'C ιιίl\•ω οι· ιιυιη τη σπα·

Αληθεια, προσnιιθi)<ιnιε πραγμαιι­ κiι νιι λυσειr τις οοκ ιiοεις 2,3.4; Α\" απλώς ιις ιιροοΙΙι·ράσοτε, δοκιμάστε ιι;~χι \'(1 11ς λύοειε. Υ πολο,~(ονtας ιις ο,·ιιλλοιωιrς a, κιιι s, θο βρείτε γρήγο­ ρα ιiιι η αnαντι}Οι} οιφ· ιισκηση

2

εi ­

Τόιριι λοιπό'' έχουμε ιιέηε ιινιιλ ­

ΙΙΣΙ

\ ' O α.\.\ο.

IlM

~~~ \'Ο διαιυnώοω και

f\'11\' μουρα. rνα\' ΚΟΚΚJ\'Ο ιιαι

4!1

.

u• t

διαyωνιομου ο

llugh Robinson.

nου

τοξiδεψr από το Κόβεν ιριι της .\1εγο •

(οκεφολιά.

s.,. s.,.

λοίωu·ς; tις ι/,. ι/ι· κω ιi,. Δεν εί ­ νω όμως ονεξciρτηιες: ιιροφα,·ώς .5, =

Ας κά,·ουμε λιγόιι·ρο ουστηρούς

τους καΥό\"tς του παιχνιδιού μας και

d., + d + rf, + s, ι mιxl 3!, ciρα μΗοροuμr

ιις ι·πιcptψουμt

,.α χρησιμοηοιηοουμr. ας πούμε, μο,·ο

αιιο ιο rnιnι:δο μια ιριίιδα όιtl\' μηα ­

t.η'"

''n σηκιι),•rιαι

nιη•ω

,·οι αρ\•ητικη θα εί,·nι λιγο δυσκο.\ό­ τφο \'Ο προοδιοριοrιε yια ποιες τιμrς

και \'Ο οδιαφορι}Οοuμε yιιι (ηγ

κιΥειτω σε ,·εο Οεm~ Τόιr μιιιιριιιιμr ,.ο

·\ · Α υ ιο ηtΟ\' λοιπό,·: .\Ιπιιρουμr ,.αεί ·

ηεrυχουμε μια διευθι'ιηση εξι κερμα­

του ιι α,·ιιοιρι'φt'UΙΙ t\'α φίyω,·ο μr­

μιιοτε βιβαιοι οιι. !,rκl\·ώηας από το

τω\' οιο 11Μyμο μαι;. ξεκι,,ώ,rτας οπό

γiθους ιι, κοι ''ομιζω οιι θα απιιιτηθtι

τριyωνο μr ιιι rξι νομiΟ}Iαtο. κάθε

ιο αρχtκό ιρίγωνο, Ο\' και μό,·ο,· Ο\' η

ιφκηόι; χρό\·ος και rιροοΙΙάθι·ια ,,α να

αΥ α δια ι ο ξι) ιω'· rξι νομισμα tωΥ ι ης

διrυθrιηση αυτή nεριεχει μια ιριάδα

ιιιοrοποηptτt ότι ιο φjy(ι)ΥΟ είΥαι ' ' ον ιως Ο\'tΙΟ ιρεψιμο γι nυτες nς nμες.

οποίας οι ιι'σσcρις ανολ.\οiωιει; ι και

κιιι εχει ης ιδιcς ημές τωγ οναλλοίω ­

ειιομι'Υω<;. και οι nrντε l εiνιιι ίδιες με

Όσον nφορό tt}\' άοκηοη 4, οι αΥαλ­

αυtές ιοu <φχικού τριyώγοu. είνιη

.,,. rf,. d,. rf,. .•, με ιο ιριγω,·ο ιd• d, = ιι. 2. s, 11. Η -ιωι μόνον (1\'οο συν·

λοίωu'ς μας δε'• Κό\'οtιν διiικριση με·

επιιεύξιμη; Η ιιnίιy·τηση εί\'αι και ιιά.\ι

θήκη ιαναγκαιότητο) προκiιιιιr ι ηιι'

ιιιξύ του φΙ γι~νοιι ιω\' έξι κερμάτ.ων

iισιι είιιιιμε Ιψ()ηγnιιμrνb>ς. ~την επό ­

και tι)ς μορφι'Jι; ιου l:χήμοτος 5β.

ιφ\'ηιικ ιi! Δrίτε το Σχιiμα β: γιn όλ«; ιις διιιιίιξtις ΙΙΟU ιιιιι:ικονίζοvιω σε αυτό

Όμως. είμαι βι'βιιιcχ; ότι δεν txrιs: α να·

οι οΥο.\λοίωτες εχΙ>ιιν ιις ίδιcς τιμες με

δειξιl ιου ικιινοίΙ ιι}<; συνθήκης.

καλυψι·ι μrΧJ>ι ιόιρ<ι καποιο\' εωθιιμη·

αυτiς ιου αρχικου ψιγωηιιι -δηλα·

τό μετcιοχημιιιιnμο. Φυσtκά. το yεγο­

δη d,. d, ιΙ, 2, .<, Ι . ολλα είγαι nδιJVατο \'Ο δημιουργήΟόιιμι· το τρίyω·

0}10 από έ\'ΙΙ\' κόμβο κηι. t<ΙUtόχρονα.

βρeθι!ι ο μrιοοχημnnΟ}Iόι; δε" σημαι­ ,·ει υποχρcωιικn όη δι'' υυαρχεL Και

,.ο ξεκη·ωηας απο ιιuιες. !Ιριιyμαιι­

,.α φι'ροιιμι· ι' να ιι\λο \'όμιομα πάΥω ο·

κn. η μο,·ιιδικη ιριοδο που υηάρχr1 στο

r\·α,· yειιο,·ικό κομβο του ιδιου χρώ­

στη'' αοιιηnη

ήια,· επίσης

Σχήμα 6cι 1ή σιο ~ι εΙ\·οι οδU\·ατο ,.α

μιιιος: φι'ργουμε απλ~><; μια φιοδο δι­

δυοκολο \'Ο βρεθεί. Υ ΙΙnρχου" ομως

μειοκl\•ηθrι -t'μnοδίζrιιιι nιιό τα υ­

πλα στο nρώιο νόμιομιι OXIJ)Jαn(onας

οοβοι>Οι λόγοι

έΥο,· ρομ(Ιο~ ιεοοιιρω'' νομισμοτω,·.

ίσως τους tχειε βρrι και εσείς. Υπάρ­

ιιο.\οιΙΙ(t ιριο κέρμοτα- εν.;ι οι δύο φιιι&ς του Σχήματος 6y μπορού\·

χου,· ονολ.\οίω ιrς, διιιφορrτικές οπό

μόνο ''" ιιιιιρ,·οuν διιιφορι·ς θεσεtς

τριό6cι ιιοu ιιrριι·χηαι στο ρόμβο. Η

ιιή νω ο w επίπεδο. Ο μονιιδικός φοπσς νιι δημιουργιj()εί μια νrιι ιριiι&ι είvαι

τριάδα r1ου ψl'ρ\'οιιμr δίnλο στον κόμ­ βο μηορrί Ι'Ο •·δrlχνει• προς τα πάνω ι\

Για Υα ιις ιιφιγρ(ιψουμr. χρωμαιί ­

νιι τις τοιιοΟειι)οοιι μr όπως στο Σχή­

ηρας ιιι κηιω: σ κιι()rνας αιιό αιιιούς

(ουμε ιοιις κόμβους του πλέγμ<ι ιιις με ιον ιρόιιο ιιοιι βλέπετε στο Σχήμιι 4.

μα 6δ -και νιι ιινcικιιλύψουμε όιι

ιους ιψοοονιιτολιομούς μίις δίνι·ι τρία

αυτή η νέο φι(ιοcι ~ίνω μπλοκαριομέ .

ηπό

Αυιός ο ΧIJ(οψιηισμός εi,·ω δυ,•ιιώ να

ν η. Όμως. θιι δοίιμι· σύηομα όιι ου ιοί

ορισιεί α λ γrf\ρικiι. Α ν χρηοιμοηοιή­

οι σχημα ιιομοί ικnθ<:χ; και ολοι οι ά.\λοι

κόμβο οε κι\nοιον nrιό ιους ΙΙληοιέστε ­ ραuς κόμβους ιδιου χρώμιιιος. Σε όλες

σουμε ιην ορίθ)ιηση των γραμμώ,- ιου

πιθανοι ουνδυΜμοί δύο ..ιινοηοδογu •

ιις rιεριπ<ώοεις. η φιοδα αντιο φέφε­

οχήμοιος. μιιορούμε να οηιο ι01χί­

ριΟ}Iένων· ιριάδω,·ι ι·ί,·οι

τω μει(ι ω ιιλμιι. Διl'· rί,•αι δύσκολο ''α

σου με

εξοιρέσcις του \'t\'ικοιΊ

.

.

.

,.ός ότι tl\'αι εl,αιρειικιι δύσκολο να

ιις :;~και

3. όλ.\ωοιε.

''0

είμω βι'βαιος. Και

s,. nou α.rι<ι\'Οf){·υοuν οuτό

ιο

μrιαοχημα11ομό.

or

κίιθt κόμβο t\'α ζεύyος ο .

• .'') -τους αριθμους

κεραίω'· < χ

ι η<;

....

=

φω,·σ με

=

=

=

ot

μοΥαδικές

K(l\'0\.(1

ουμ

a

= =

μενι) παράyραφn nrριyραφω την αnό ­

Σιο Σχήμιι 7 βλέπουμε nώς μιιο ­ ραύμε \'ο οιιομιtκρύvουμε έ\'Ο νόμι -

ιιαι ωιομοιφυνουμr κατόmν τηγ άλλη

to

ί·~ι δvνατό •·ό.λμαι<ι" cιnc) έΥ<ι"

διοnιο ιbιοουμr. βιΊσrι τωγ nμώ\· rω,·

ιιεκ..\.ιμέ,·ης ΙΊΚιμμης ιtl και ιης ορι<ό­

σαρω'' Ο\•ο.\.\οιωιω" εξασφαλίζει τη

ανολλοιωιι;"· μας. οτι κάΟι: διαιαl,η JIOU IK<I\'OΠOifl τη Ου\·θηκη ιου ΠρCΙ·

ηιος ~··Ι ιιου διtρχο,rτοι αnό αυώ,· τοΥ κόμβο Ιοι ι χ• .''1 ri,·oι οι συηε ιογμt\~·ς

α

γ

tO\'

οrιοίο η ιοόrητα τωγ τεο­

=

β

δ

του κόμβου ως προς τους δύο άξο,οες ιου nΜyμιι ιος μι· αριθ)ιό

01. Χρωμιι­

τίζουμε ιώριι μι- όμοιο χρώμα όλους

τους κόμβο11ς μι· την ιδιιι διιιφορά χ ­

.•· ιηοι.Ιιιlο

~: ιιτο };;.:ιiμιι

4

οι κίιμβοι μι·

Σχήμα

6

ΜQΙχιΗ·ς μι• μ,,ιnκnpισμfγη ιρι(ι&ι.

OUANTUM I ΠΑΙΧΝ ΙΔΟΤΟΠΟΣ

71


• • '' Σχήμα

7

-· .'' .©

.:ιιι,ιιι ι·,·ός κι~ρpπιος.

βλiιματός μος αποτελείται αιιό μια

να ειιιβεβιιι.;ΚJουμε ι) τι η προηγούμε­

ιριιίδο κοι από τρία κέρματα που

νη αrιόδειξη μιιορεί να εφιιρμικιτεi και

βρίοκοντιιι πnνφ σε κόμβους διαφορε­

με ολίοθi]Οη. εκώς αΙJό ιις ιιεριπuοοεις

ιικού χιχ;>ματος. Μπορούμε vα χρηοι­

ωιι Σχήμιιτι>ς

μοποιήσουμε τlj\' τριάδα για \'Ο ανιι­

διnτάξουμε τ.α ..ελεύθερα• νομίομnιο

Έωι, ~χουμε πφιγράψει πλήρως ιους μειΜχιιμηιιομούς ιων ι'~ι κερ ­

με κάποιο πλέγμα: αν a. b. και c είναι τα δια\·ύσματα που φέρουμε από το

έτσι ώστε να σχηματίσουν ιη βιΊοη ιοιι

μ (ι cωv. Μπορούμε

ι·φαρμόσουμε

κέντρο μιQς από τις σφοίρες της τετρά­

αρχικού φιγώ,•ου -τρία κέρμα ια ο ιη

ι11ν ίδιο μι:f)οδο και νcι t:πεκ ιείνοuμε το θεώρημά μας γιιι δύο Οllοιαδήπηιι· ού ­

δι ις προς το κέν φιι τω Υ ιiλ.\ων τριών σφαιρών ιης. tόιε κανένα οπό το διn­

νολ<ι κερμόιωΥ ιιό:νω ο' {:να τριγωνι­

vιjnμcn.n

κενφι> με

τρίγωνο

κό Ηλέγμο. Κω. μίιλιοιιι. (ιχι μόν() αυτό. Λ ν το ορχικό σύνολο περιέχει

εφάπτεται σε κόποιcι από ης σφοiρες

ιοιιοθει.;ιγιιις την τριάδα πάνω στη

εκ τος από τιt'' τριά&ι και δύο τουλά ­

της τετρ(ιδας δεν εί,·αι της μορφιiς ιJa

βάση. Ι'ιcι να κιηQσκευιiσουμε tlj\' δε­ δομένη διάταξη από το τρίγωνο. απλώς

χιοιον κέρμαια rιου βρίοκονιαι ιιάν6>

+ ιnb + kc με n. ιη. κω k ακεραίους. Κω

σε κόμβους δι<ιφορειικού χρ<iιμα ιος ιοι;

μiιλ ιο ι.α όχι μόγο αητc) -ιο <Jύνολο

αντιστρtφουμε αυτόν το μετcιοχημα­

οχέοη με ιο χρωμωιομό ιοιι ~χiιμα­

όλtι)Υ ιων δυ να ιι;,ν θtοεων τω γ κ&­

ιισμό.

ιος 41. ι·ίγηι δuνο ιή οrιοιοδήrιοιι: μειιi­

ντρωγ των οφωρι~ν που μ ηορεί να

llεριορί(ομαι σ' αυτή την σύντομη

Οεση tu)ν κι:ρμάι.Cι)ν wιι rι{ινι,.) Οι() ίδιο

ιιρ<>κύιμουν οι; <ηηό το παιχνίδι είνω

περιγραφή της απόδειξης παρότι χρειά­

σiινολο κόμβων. ι !Ία νο ενιιλλάξουμc

ζεwι μια ουγκεκpιμrνη ιελειοιιοίηοη:

δύο κέρματα, τα μετακινούμε μοζί με

ιι<ι ν ιού ιιυκ \'ό ο ιο χώ1){). Εrιομi:νως. δεν μπορούμε να ορίσουμε αναλλοίω­

οφεL\ουμε να εξαοφιιλίοοιιμε ότι όλα

άλλα τρία έτσι ώστε να σχηματίσουν

τες όπως κά,•αμε στο επίπεδο και δεν

τα βίιμcιτα ιοιι μειαοχημωιυμού εί"uι ό'•ιως δu,•οι.ό να πι>αyματοηοιηθούν.

tΥα " ιρηηε(οειδέc.,, όιιως ουtό ΙlOU

εiναι φαγrρό ιο ιι~ις θα ουνεχiοοιιμι:

σχηματίζουν τα κέρματα

την έρευνά μας γ1α ιις μορφές και τις

Μπορείτε να ουμηληι,.;ισετε ιίλες τις

Σχήμα ι.

λεπτομέρειες χρηοιμοηοιώνιιις ιην

ιφίιξη του ~χιiμιηος 2-

·co κέρμιι 6 δεν

Μιιορούμε όμως να ιιεριγρ(ιψουμι·

ισ6tη[Q ιων ανολλοiωτων.

χρειάζεται αφού ουδέποτε μετακινεί ­

rL\ipως ας μεηιθέοεις ΊW\' αφωριiι\'. Ο

ται σε αυτήν την ορόξη. ι

llugh Rοbίιι,ςοη και μερικοί ακόμη δια­

οειρό. διότι μια παρόμοια γραμμή κα­ λύπτει πάντοτε τρεις διαφορετικά χρω­ ματισμένους κόμβους. Κατόπιν μιιο­

ρούμε ,.α ουμπλrριοοοιιμε

co

Σιιμειώο re ό ιι η μέθοδος μετασχη­ ματιομού ιιου nεριγρόψιιμε έχει να κάνει μόνο με τη μορφιj ικαι τη θέοηι

wυ mη•όλου των κερμάτων -δηλαδιi με wυς κόμβους ιιοu κιιιιιλαμβ<Ίνουν.

K(ll

6.

vn

1 έως 5 στο

μετά χρησιμοποιούμε tι]ν

τ~~Κ~ ι]ρώοω τΙ}ν ιστορία μας με

μια τρισδιάστατη γε,iκευση tιjς σπα­

Σχήμα

8

Κιιιι για ι•a cξασκηοι: ιε ιιιφιη' ωσι'ιι υuς.

tn

ηποίιι (JtιΥδι~Ω\JΥ το ίδιο

t()

κι'Υφ() μιας οqΚJίριις π()υ

μετοιοηiοεις στο χώρο.

γωνιζόμεγοι αγακάλυψαν tι}ν nnλi} αΥαδιάταξη τριώ" ιuνήοεωΥ του Σχή­ ματος

9. Αποδεικγύεtαι όιι

δεν χρειιι­

ζόμαστε τίποτε άλλο.

Λυτό. όμως. είΥαι αρκετό αφού, όπως

ζιικεφολιάς μας. Φαηαστείτε μια πυ ­

γνωρίζουμε. μπορούμε οάντοιε να με­

ραμίδιι αποτελούμενη cιnό δέκα όμοιες

την nρόξιι. δείξιε ό ιι μιιορ"ίιμε νιι

τοθέσουμε τα κέρμα ια ιοιι φιγ~>νου

σφαίρες !Σχήμ cι

8).

C\'αλλάξουμε οnοιαδήΙΙοιr, y(ο)vιακή

με όποιο τρόπο θέλουμε. Επίσης. ήτα''

αποσπάσουμε μια "τετρ<Ί&ι• -μ.ιο μι ­

οφαίρ<ι με οποιαδήιιοιε γειτογικιj τιις.

ουοιασι.ικό ιο γεγονός ότι είχαμε τη

κρή ηuραμίδα ιεοοόρω" rιφαψιiιγ­

Εί\'αι φανφ(ι ότι αυτές οι εναλλα­

διι\'fιιι\τητα γα μετακινούμε ελεύθε­

και να ιη μειακ1νήοοιιμι: χι.~ιίς νιι ιψ περιο ιρέψου με ο ε νέο θέοι], κcιιόπιν

γι'ς (ψκού'>' γιο γα π& τύχουμε οποια­ διiποιε μετάθεση ιων σφωρών τt}ς

\'Ο αnοσηάοοuμε κ<ιι ν(ι μrωκινι})ΟU ·

ιηιραμίδαι;. χωρίς κο" νο τη μετοτοπi -·

δες μιιο(ιοlιnιιν μόνο να ολισθcιίνουν.

με μια νέα τετρ(ιδα. κ.ο.κ. Τι οχιιμcιιι ­

οοιιμε.

Πάνι.ως, δεν ι:ίνω ιδιιιίτφα δύοχολο ''α rξετάοουμr. όλr.ς ιις διευθετιjσεις

σμούς μπορούμε να καιαοκrυίιοοιιμε

μιας ιριίι&ις κι11 φιώΥ κερμότω,· και

Κατ' αρχάς. cιυηj τη ιρορό δεν έχου -

ρα ιις •ι:νεpγiς· τριόδες -κόtι που εγδεχομένως δεν θcι ίσχυε αν οι ψιό­

Σχήμα

ξεκιγώντας cιπό τι}" nρχικi} nυραμί&ι:

5. Χρηοιμοιιοιri1\' ι<ις nυcή

ίt)

.ιιJΙΑΝΤΙΙΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕJΞΕ!Σ ΚΑΙ Λ ΥΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΕΛ.

61

9

&ιοική ιt\'ιιδιιίιιιξη ο ι η οnαζοκι·φrι.\ιιi rι.J\. tcτ{)(i&ιn·.

72

Επιτρέπεται \'α

Άσκηεnη

ι.!ΑΡτ!ΟΣ

I ΑΠΡΙΛΙΟΣ

1995

nrl\'(•' όψη. ι R σφιrιrκr

Τη( κορυφιjς

n}C: πιιprιμ;(j(Ίς δ('\ι φ<ιίvrτω c;ιύrε pi'tfHiH'l'fraι. ι

Quantum τόμος 2 τεύχος 2 μαρ απρ 1995  
Advertisement