Page 1

ΠΕΡΙ ΟΔΙΚΟ ΓΙΑ τιΣ ΦΥΣΙ ΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜ ΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ/ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995 r--~i""""".---...,.....,.--;=_.--------~---, ΤΟΜΟΣ 2/ ΤΕΥΧΟΣ 6

1.400 ΔΡΧ

Οι δpαl\οιτι:ιι:ς tt.αμπυ}.ι:ς

• lliσσμu: ιι τι"ταιιrιι hατιιστrιση

rq,

.

ιιι.η.;

• lι•ιιι lii!Ι ιrι1111ι'ιιτηrr..,·

• Βιηιιι.:: ιι ιτυ;Ίι•ιrη τωι· διδιτ~τιΜιιι· βιβιιι•ιι· φι σικιι;;

• Η rι;rη rη.; φι•ιrιlίl'"f1'11' • Πφι ι'ιι.ι rq•ιιβιιΗμιι•ιr

• 11 16ιι (};ι μ~t~ιιι'ια Φι""'ιί; • Ιlμιιβi.ιιμαrιι Ftrιιri:

ΕΚΔΟΣΕΙ! ΚΑΤοn•ΡΟ

~-

-


. g ~

' ·'

!.. f: .-".

~

~

~ ~

i;:1

'.

..~

.,ί ~

(>

~

ι

" .,

i ""i -"

~

FannJ' Zωypaφuuj με τα δάχτυλα ι 1985), του Chuck Closc 'Ο tO\' βλέπει κανείς αυτό το έργο Οtη>' ιυπωμeνη σελίδα,

ιηνακα. Εί,·ω οaφιlςόη ο καλλιτtχνηςχρηοφοιιοίηοε μJ(ι ψω·

εντείγεται η ψευδαiυΟηοή ιου ό" πρόκειται γι<ι φωιογρα ·

ταγραφία του θέμα ιός ιου όια'' 10 ζωγράφιζε. και ίσως ι\θελε

φία. Αν όμως το βλέπατε στην πινακοθήκη, θα ήταν δύσκολο

"Ο δημιουργήσει μια φωιογραφική ψειιδαίσθηοη. Αλλό, επι •

γα ιιαραπλανηΟeίιε και να θεωρitοετε αυτό τον μεγάλο καμβά

ιιλέο\•, επέλεξε να επιοιρώοει ιογ καμjki με μπογιά χρι1QιμΟ ·

--eχει ύψος μεγαλύτερο αιιό δυόμισι μέιρα-ως φωτογραφι­

ποιώγτας γυμνά τα χερια ιου. και ''α μην το εμπιοτευ ι.tί σε μια

κό οtιγμιόιυπο. Αλλά και πάλι. Ο\" ΙΟ\' κοιτούσατε από μακριά,

βιομη,'(αΥικη διαδικασία χημικήι:tμβάηηοης. Μφιιιοι θεωρου\·

θα eμοιαζι: με φωιοyραφια. Γιατί; Κατ' αρχάς. στον πίγακα ο

όιι 10 ηορτρετο της fann~-, της πεθεράς του ζωγραφου. &1\'αι

καλλιτrχνης μιμειιαι το'' κόκκο που εμφα,•ίζου'' μερικές

εmθι:nκά μη κολακεuτικο. Αλ.\οι mor<uoυν ακριβώς 10 αγιί·

αοπρομαυρες φωτογραφίες. Η τεχνικη ιιιυ Close ci,·αι ''ο to· 11όθεtεί την μπογιά με το δάλ-τuλά του, αyγiζο,•τας πολύ ελα­

θειιι. Ο Mark Biermann. στο όρθρο ιης σελίδας 28, ερευ,·α ιο ·.βά •

φρό το" πίνακα. Ειήοης. η εοτlaοη σε ορισμένο τμήματα του ()t.

~ πεδίου• -έΥαΥ ηοράγονιcι ιιοu επηρεάζει τη,· ευκρίνεια

μα ιός ιαυ δεν είγαι καλή, κάτι που οπόγιa βλέπουμε σε ένα"

ιων φωιογραφιών.


ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

1995

ΤΟΜΟΣ

2/ ΤΕΥΧΟΣ 6

Α ΡΘΡΑ

10

Γιο το 25a γενέθλιο του Kvont

Δρcaόντειες καιιιύλες Nikolay Vasilyev

17

και

Viktor Gutenmacher

Προβλήματα Fermi

l'liM1 και εξωyήΜ1 VΘφ)σύνη JohnAdam

22

Φuσική πλάσματος

Η τέταρτη καάkπαση της ύλης Alexander Kingsep

28

Φuσική και χόμπu

Η τέχνη της ψωτοyραφίας Mark Biermann Υπάρχουν ιιεριοοόιι:ροι οπό έναν

φόποι vo σ~κίοειc:; ιη γι\ τιι. όπως λένε. Το ίδιο ισχύει και γ11Ι ιιι

..δρακόντεια

σχέδια", όπως δείχνει κιιι η (ωγράφος μας. Εν~Ιφ<ιίνεrοι όt1 προκύmουγ από μια κοινή αρχή <αΥ και στψ πραγμα­ τικότητα είναι αμφίβόλn ιιοιο •γl:ννη­

σε• το άλλο). ιJ απλιi. αφφημrνη, •·rια ­

ΜΟΝΙΜΕΣ ΠΗΛΕΣ

2

ο κόσμος των ψiντων

s

ΚβCΜικά χννλα Είναι θι:μα αρχής

ραδοσιακή• εκδοχή δεiχνrι ιιρος ιο •Ρορρcι•, nρος ιο λογόιuπό μας. ~Ιια

άλλιJ. εξεζητημένη εRδnχή, που μοιιί ­ ζει με φτερωτή ανεμόμυλου ή με πα­ rιιγιόν. περιπλανιέται προς τα δεξιcι. 'Εγα μι'ιλλον βροδυ"ίνητο δροκόν ιειο σχήμα πορεύεται στο κάτω μέρος ιης

9 35

Πώς λύνετcι;

39

ΜcιθΠμαtιΚές αναζΠιήαεις

εικόνας. μουρμουρίζοντας •οριοιερι\,

Ζευγάριπ μc διαφορcιικό άθροισμα

αριοιερc1. δεξιά. αριστερά ... •. σαν να προοηαθεί να θυμηθεί το δρόμο τής ειιJΟ φοφής. Προς τα αριστερά εξέχει, όλο κομψόιηω κcιι αυτοπεποίθηση, η

40

κληρο ιιηόγεuμα ανοζητc:ινrος σχήμα ­

ΚαλειδΟσΚόπιο Περί παραμορφώοcων

δρακόvτειιι καμπύλι~ Μπορεί ιιολλοi ιιπό εμάς ,.α έχουν περάσει ένα ολό ­

Σnαζοκεφαλιές

43 Με λίyη φαντασία

τα στα σύγνεφα. αλλά οι μαθηματικοί

Τι είνω το •ΡάΡrκ:•

φαiνεται ότι τα βλtπου'' ηο νιοίι. Στη

τέλος πάγτωγ:

σελίδα

10

θα βρεitr μια εισαγωγή σ·

αυτά τα πφiεργα σχέδια και στο μπ ­ θηματικά nου κρύβονΊαι rιiοω ιιηις.

46

Στα πεδία της ψuσιιmς

Φωτόvια και φωιοηλcκφικό φω ν(ιμcνο

5Ο Στο μαυροπίναιια Περί δειrrεροβαθμiωι·

53 Στο ερyαατήριο Μερικά ιιποκιιλυmικά ~1{v1]

56 Γεγτwότα Η 261] ΔιεΟvιjς Ολυμrιιιiδα Φυσικής

60 το ()UantUm δκφάζει 64

ΑλληλΟyριψα

66

Απαντήσεις, ~ις και Λύσεις

76

ΠCDνιδότοιιος Νικηφόρες οιpΩcηγικές

OUANTUM I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1


Ο ΚΟΣΜ ΟΣ Τ ΩΝ

ΚΒΑΝΤΩΝ

zωή και πιθανότητες Πόσο θα υπάρχει ακόμη το ανθρώπινο είδος:

Plli ΛΠΟ ΔΙΛΚΟΣΙΑ ΧΡΟΧΙΛ ΣΧt:· δόν. ο οιδeοιμοτατος Thomas Robert MRithus διιμοσiευοε τι> ιιερίφημο .. Δοκfμιο για τι) θεω­

οημtίο της εnιχειρηματολοyίας του ι'γκειτω ο ι ην tλλειψη διάκρισης

υιιαρχει να ουμpι,ί το C\' λόyω γε·

αγάμεσα σε f.γα απλό μαθημαυκό

κάθε ειδική περfο ιιισι) Ιι αιτίο που

μο"ιtλο κο ι υι.ογ ιιολύπλοκο πραγ •

μπορεί να το επηρεάοrι.

ρία του nληθuομου και <Ις επιδράσεις

ματικό κόσμο.

κεια αρχή υποστηρίζει όιι ο τόπος

του στη με.\.\ο\•ιική βελτίωση ιης

Διιικόοιο χρό'~α αργόι.cρα. ο φίλος μου Richard Gott yροφει ένα άλλο

ο ιον οnοίο ζούμε, και ο χρόνος κατά τον οποίο (οιίμε, δcν θα πρέπει να

για την κοτάοιnοη ιου α,·θρώπου ήταν ζοφερή. Ξι-κfνηοε θέτοντας δυο

ζοφερό δοκίμιο. Δημοσιεύτηκε ιο"

ε χουν μικρή εκ τω'' προτέρων mθα ·

Μάιο wυ

γενικούς νόμους. Πρώτον, είπt., ο

··Εmπτώσεις της κοπερνίκειας αρχής

νόιηιο. Για παράδειγμα, μια κεντρι· κ ή θέση έχει πολύ μικρόιερη εκ cων

ιιλt)θυσμός τείνει ιιι'ινtΟιε να αυξίι ­

ο τις μελλο\'tικές μας προοnτικtς•. Ο

πιιοιι\ρων mθαγότητn

νειαι γεωμετρικά, δηλαδή η ετήσιο

Richard Gott

εί,•αι C\'ας διίιο ημος

ντρικ iι θέση οτο Γαλαξία. Κατά συ ·

αύξηση είναι rνο οριομέ,·ο κλάσμα

<ι ο ιρονόμος ο οποίος, όιιως και εγώ.

του πληθυσμού. Δεύτερον. η nοοόιη­

ενδιαφέρεται yια Οι'μαια που αφο­

νέnεια. η κοπερνίκεια αρχή λέει όιι θα 11ρέπει ,.α (ούμε σε μια μη κεντρι ­

ιο ι ω'· διοθtσιμω'' τροφίμωy ουξά •

ρού'• ιψ ιίιιορξη και ιο πεπρωμένο

κή Οέση, όπως όντως ουμβαί,·ει. Αν

Υειαι οριlιμηrικα, δηλαδή τα τρόφιμα

ιηςζωήςστοσύμπαν. Με tO\' όρο •ΚΟ·

η κοπερΥίκεια αρχή εφορμοο ιεί ο ι η

αιιξάνο\'tοι κάθε χρόνο κατά μια κο·

ιιεργίκεια αρχή• εγνοεί την αρλ'ή όιι

θtοη μας σtο χρό"ο, τότε ο Richard

θορισμένη ποσότητα. ανεξάρτητα από

ιο ογθρώ ιηνα όνιο δt" κατέχουν

Gotι και εγώ δεν ιιρiπει \'Ο ζο ύμε

τον ηλιιθuομό. Συνenώς, είναι μαΟη ·

ιδιαίιερη Οέση μέσο ο ιο σύ μ παν. Η

ούτε κοηά ο τη γ αρχή ούτε κ ονιι'ι

μαηκά βέβα ιο όιι Ι) γεωμετρική αύ •

ιιρχή ι1ήρε ιο όγομα του uοφονόμου

στο τέλος ιης ισwρίης του ανθρώπι­

ξηοη του πληθυσμού Οα υπερβεί tην

ι1ου πρώτος ι'θι·οt ων Ήλιο και όχι ι η

αριθμητική αύξηση ιω\' τροφίμων. Ο

Ι'η στο κέηρο ιου ηλιακού συστήμα·

'·ου είδους. Πρέπει να ζούμε κάπου οιο μέσο tης διαδρομής tης ανθρώ ­

Malthus συνηγαy1' αιιό

τους δύο \'ό·

ιος. Αφόtου η αιρeιική θεωρία του

πινης ιστορίας. Αφού γνωρίζουμε ότι

μους ιου τφ· πρόβλεψη όrι. τελικά.

Κοπέρηκου έyl\·r ορθόδοξη, μάθαμε

η αύξηση του πληθυσμού θα είναι

ο ιαδιακά ότι ζούμε σε ένα" συνηθι •

το ειδος μας πρωτοεμφανίστηκε ιιε· ρίnου διακόσιες χιλιάδες χρό\'lιι rιριν,

δυνατόν να τεθεί υπό έλεγχο μόνο

to

μέσω λιμιi>ν. nολέμων και αοθε,•ει·

ομfγο ιιλανήτη nοιι κινείται γύρω ιιιιό ένα συγηθισμι'νο άοιρο to οποίο

ώ"· Τα λιγότερο τυχερά μέλη ιοu εf.

βρίσκεται σε μια απόμερη οεριοχή

δους μας θα ζου\' πάντοτε μέσα οιη

ενός ουνηθιομέ,•ου γαλuξία. Η θtοη

μrλλογιική διάρκεια ιου είδους μος Οα πρέιιει να είναι ι·nίοης ιης τίιξης

φτώχεια. οια όριο της λιμοκτονίας.

μας &ν εί,·αι. με κα,•έ"α'· ιρόπο, ιδιοίιερη ή κεντρική. Η κοπεργίκειο

n

κοινω,·ίας•. Η rκιίμηοη του Malιhu~

Ο ~ialιhus ήταν άγγλος κληρικι\c:, και έγας από τους πατέρες ι ης επι­

ο ιήμης ιωγ οικοvομικώ". Όσον αφο •

1993

στο

Noturr.

με τίτλο

ορχή, σίrμφωνα με το" Richard Gοιι, υποοιφίζει όn δεν υnlφχει τίποτε το

γονός εφόσον αγνοούμε ποηελώς

11

0116

κοπεργj.

μια μη κε ·

γεγο,•ός όιι ζούμε οε έγαν μη

ιδιοίτερσ χρόνο υποδt)λώνει ότι η

τω" διακοσιων Χ"\ιάδωγ ετών. Αυτά εί,·οι fγα πολύ μικρό ΧJ>0''ικό διό· οιημα σε σύyκριοη με ιη μελλοηι­ κ ή διάρκεια ζωής της Γης ή

cou

ρ {ι ι ην Α γ γ λ ία. οι προβλέ ψεις του αποδείχτηκαν εοφαλμέγcς. Με ιά tt)

εξοιρειικό σε ό,τι uφορ(ι ιt) θέση μας

Ίlλιοu ή του Γαλαιία. Νι'ι γιατί χα­

είτε στο χιbρο είτε στο χρόνο.

ριικ τηρίζω την εκ ιiμηοη ιου

δημοσίεuση ιοu δοκιμiου του, ο πλη­

Ι'ιιι νο εφορμόοει <ηγ κο ιιερνίκεια

θυσμός της Αγγλίας αυξήθηκε ια­

αρχή σιηγ ανθρώπινη κοιάσιοση στο

ζοφερή. Εκ τιμά όιι τα ονθρώπι γα όνια δε'· είναι εδώ για \'Ο μείγοuν,

χέως. όμως η παροχή ιροφίμω'· και αλλωΥ αγαθών αυξήθηκε ταχύτερο.

χρόΥο, ο Gοιι βιισίζεtοι στη μαθημα·

όιι μάλλο\· θα ι'χουμε εξΟψο\'ΙΟtεί

ιική t\•\·οια της ·εκ tω\· ιιροτέρω'' πιθανότητας•. 11 εκ ιων οροτέρωγ

or

πιθανότητα ενός γεγογότος εfγαι η

να επιβιώσουμε ιόοο ώστε να αποι

nιΟι"·ότηtιι ιιου θα υπολογίζαμε ότι

κήσου με στο Διάστημα και \'Ο εξο-

Μt,·ει να δούμε αν οι προβλέψεις ιοu Οα αποδειχτοίιγ αληθείς για το σύνο­ λο της ανθρι,)ιιόιηtας. Το <ιδύνnιο

2

ΝΟΕΙΙΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΙΙΒΡΙΟΣ ι99S

Richard

μερικά εκατομμύρια χρό\'Ιο το πολύ, και mθανότατο δεν πρόκειται

·


nλωθούμε σtο\' υπόλοιπο fαλαξiα. 11 επιχειρηματολοl'ια ιου Goιt

λασοα. με ιιροβλημίιτι(ι: το παρόδσξο

Αυτό τα στοιχεία οχειικό με ιους

της απιΟα,·όιηιας της προοωmκής

εξωγήινους εί,•αι όyνωστα ο· εμός ι η

txcι ιο ίδιο αδύ,·ατο σημείο μr ε κει­

μου κατάστασης. Γεννηθηκα και με­

στιγμή που επιλέγουμε ποιον ιιλα ­

νη του

Και οι δύο χρηοιμο­

γά.\ωοα στους κόλπους της άρχου­

νήιη θα επισκεφθούμε. Τώρα. συμ­

ιιοιούν ένα αφηρημέ,•ο μαθιιμαιικό

σος τάξης μιας άρχουσιις ου ιοκρα ιο­

φωνα με την κοπερνίκεια υπόΟεοιι

μοντέλο για να περιγρόψουν ιον πραγματικό κόσμο. Όcαν ο Coιt ε­

ρίας. ιφάγμcι rιou σήμ01νε ότι ανήκιι

σας. η πιΟονότιιτα να παροιείγουμε

στο προνομιούχο ένα δtκιηο ιου ενόι;

τη ζωΙi ιοιι ι·ίδους μας επισκεπιόμr­

φcφμόζει ιην κοπερνίκεια αρχή οτην

εκατοο ιού

πλη­

νοι τον πλονίμη Β είναι aπείρως μι­

πραγμαη κ η κατασταοη ο ι ην οιιοιcι

θυσμού. Η πιθανότητα να φοv61 ιόοο

κρότερη από ιιιν ιιιθανόιητα νο ειι ι­

βρισκόμαστε, υποθέtι'ι ότι οι εκ ιων

τυχερός ήτα'' μόλις μία στις χίλιες.

οκεφθούμε ιον ιιλανήτη Λ και να

ιιρottj)(.)v nιθαvότητες είναι δυναιό

Πώς μnοραύοα να εξηγήσω τ φ· ιύχη

εξαφονΙοτούμε μέσα οε λίγα εκοιομ­

να χρηοιμοnοιηθούΥ γιο ιον υιιολο­

μου; Ποd δεν βρήκα μΙα ιιιαΥοuοιη­

μυρια χρόνια με ιις συ,•ήθεις α\'tι­

γιομό ιων πραγματικών ιιιθα,·οτη­

nκή εξήγηση. Η ιδια ότι πρέπει ''α είχα ίοη εκ των προιέρων πιθανότη­

ξοόcητες ιης ζωης στον πλανήτη Γη.

με ηανιελιi>ς τις ιδιαίτερες συνθήκες που περιβάλλουν την ύιιαρξή μας.

τα να γεΥνι)θώ σε οηοιοδήιrο ιε μέρος

περίπτωση οι πιθανότητες του Α και

του κόσμου εμχόtιι'' σε ιιντίθr.ση με

του Β είνιιι ίο ες.

Συνεοώς, οι "κ των προ\έρων πι ­

το γεγονός ότι είχιι γεννηθεί στην

δειγμα Οcλω να δείξω ότι η yνώοη

Οανότrιτες μιιορεί να οδηγήσουν σε

ανώτερη ιc'ιξη της Λγγλίcις. Σ' cιυ ιίι

ε"ός κιι ι μόνο απίθανου στοιχείου,

ελλιrrείς εκτιμήσεις γιο ιο ιι είναι

τιιν οερί ιι ιι.)()ι). φιιίνετοι όιι η ιδrcι

στιιν nροκειμέγη 11cpίπτωοη ιι ύπαρ­

ηrΟα,•ό ή απίθανο να συμβεί οιην

των ίσωγ εκ των προιέρι.Ι,. ιιιθιη·ο ­

ξη του πλανήιη Β και των καλοκό ­

ιιραγμαωtόιηια.

τήτω'' δι" λειτουργηαe.

yοθων κατοίκων του. καθιστά απο­

Malthus.

.

.

tωΥ.

.

11 αλήθεια είναι ότι δεν αγνοού­

Αφού διάβαοα τσ δοκίμιο του

Rich-

ard και το συλλοyίο ιηκα yrn λίγο.

του παγκόσ μ ιου

•Νομίζω οιι ι ο ιιιιριιδσξο της

Γνωρίζουμε όμως, ότι ο· αυιή ι ην

Mr αυτό το η αρά­

\'i'' -

λύτως εσφαλμέ,·ο το'' ~r.οnερ,·ίκειο

νηοης μου προ~r.υιιι:ει εmσηι; και Οtη\'

υrιολογιομό τω'' εκ των ηροτέρω'' πιθανοτήtω\• της διάρκειας της ζωής.

ιου ιγραψα τη'' ακόλουΟιι ειιιοιολη. ε· αυτήν εξηγ6ι ιους λόγους για ιους

υποθεση του δοκιμιου σας. Η ιδέα της

οποίους διαφωνώ μc ια ουμπrρα­ ομιιιό ιου, ιιαρότι βρίσκω ι ην rιιι­

tχει ''όιιμα μόνο όrtιν εχουμε παντε­ λή άγνοια ιων ιδι οίιερων παραγό-

χειριιμαωλογίιι του σημανιική και

ντων 110υ

V(l CIHJ{JCMo υ ν ης

ότι η κοιιερνίκεια υπόθεσ η iχε ι ήδη

διαφωιιο cική.

ιιιθανότητες. Αν τυχιιίνει νο γνωρί ­

νοθευ ιεί από τη γνώση μο ς γιο ένα

ζουμε ότι ένα συγκεκριμένο απiΟα ­ νο γεγονός έχει όνιως συμβεί. τότε οι

αnίθονο γεγονός, το γεγονό<; όtι ιu­

ευχαριυτώ που μου αποστείλατε

ιιιθανότητες όλων ιc.ιν γεγονόιω,·

χρονική στιγμή -μέσα οε λίyεc; εκα­

ιο αιιολαυστικά ζοφερό οας δοκίμιο

που οχειίζονιοι με α υιό είναι δυνα ­

''το\•ιάδες χρονια- που κιιιtοιη u-

για τις εnιπτώοεις της κοιιφνίκειας

τό να μεταβληθού'' δροσcικα.

Χ''ιχα δυ,•ατο η ζωή να αφήσει nιοω

·Α γαιιητέ

Richard,

ιοης εκ ιων nροιι'ρων πιοα,•ότηι.ος

• μπορει

.

•l'ια να επιστρέψουμε τώρα αnό ουιό ιο τεχνητό παράδειγμcι σιην nραγμοτικr\ μας κατάοταοιι, νομίζω

χαί,·eι να ζουμε ιη συγκεκριμένη

αρχής. Η λογικη ιων επιχειρημάτων

•Επιτρεψτε μου νιι rιαροθέοω ένα

ιης τον πλανήτη κω να εξαnλωθει

σας εί,•οι ανεπίληιι τη. θαυμάζω τον

ιεχ,•ηιδ παράδειγμα. Ας υποθέοου ­

στο σύμrιον . Το ερώτημα (1\• •ο αν­

φόπο με τον οποίο οuνόγr cι· μια

Ορώι ιινο είδος εκμεταλλεύεται αυτή

ιόοο nλιιiιοια συγκομιδιi οuμrιερα­

με ότι αγcικιιλύπυουμε δύο rιλανήτες που κατοι κούγιαι ο ιιό ξfνους πολι ­

σμάτων οπό μια τόσο αιιλίι κιιι φιιι­

ιισμούς σε μακρ ι γούς τόπους του

ιο ζήιημ(ι μιις. Το θέμα είΥαι ότι ιι εν

νομε\•ικό εύλογη υrιόθι•οη. Όπως

Διαοtήματος. Στέλνουμε πρεσβεία

λόγω δυΥαtότητα υιιόρχει τώρα. ενώ

λέιε. η υπόθεσή οας είνοι ελεγκτη

γιο \'Ο έρθουμε οε t11αφή και να δη­

δεν υπήρχε κατά τα προηγούμενα

και. ως eκ τούτου. αιιοτελεί μιο ''ό­

μιουργήσουμε μια ανθρώπη·η αποι­

tέσοερο δισεκατομμύρια χρόνιο. Γεν­

μιμη επιστημονική υπόθεση. Ο σε­

κία οε έΥΟ\' αιιό ιου~ δύο πλο,·ήιες.

νηθήκαμε. όπως φαίγεται. οε μια ω ­

βόσμιος προκάτοχός οας Thomas Robert Malιhus συνήγαγε με όμοιο

Επειδή θεωρούμε ιδιαίτερο δαιrο,•η­

χερή οtΙγμή, είιε εκμεταλλευόμαστε

ρή tη'' αnοοτολ η πρεσβεία~ και στους δύο, επιλέγουμε tO'' ιrλιινήιη που θα

αυτό ιο ιιλrογέκτημα είτε όχι. Η γνω ­

ση. Κατά την άποψή μ ου, κοι γιο ιις

επισκεφθοίιμr. παί<οντος κορόνcι ­ γράμματα. ΊΊιχαίνr ι , λοιπόν, οι κά­

αλλάζει όλες τις εκ τω'' ηροιcρω'' rιιΟανόιηιες, αφού η δυνατόtιιια δια ­

δύο αυτές ηεριη·cιiισεις, η υπόθεση rιαραείναΙ απλή για να είναΙ αληθι­

τοικοι ιου πλανήτη Λ να είναι δριi­ κοντες οι οιιοfοι καταβροχθίζουν

σποράς της ζωής έξω από τα όρια ενός ηλιιγήιη αλλάζεΙ ιους κανόνες ιου

νή. Ωστόσο, και σttς δύο nεριrιιώοεις,

αμέσως όλους τους ανΟρώοους επι­

παιχ\•Jδιού ιιου πρέπει να οmξει η

η μελέτη tω\• συνεπειών ιης υιιόθε ­

σκέπτες. ενώ οι κάτοικοι ιοιι πλανή­

ίδια η ζωή.

σης είναι χρήσιμη, αφού λεηουργούv ως σήμα κινδύνου προς tνα α περί­

ιη Β είναι καλοκάγαθοι ζωολόγοι οι οποίοι βάζου,· ιους επισκέπτες σε

·Μια άλλη. ανεξάρτητη νόθευση της κοπερΥίκειας υπόθεσης προκ υ­

οκεητο είδος.

έναν ζωολογικό κήπο. ενΟορρύνου''

πτ.ει από ΙΟ Υf\10\'ός ότι wxaiνrι νιι

την

ιους

(ουμε στην εποχή της εμφάνισης της

τότε που η Βρε­

προστατεύουν cιιιο κόθl: ιηθανή βλά­

γε,•ετικής μηχανικής. Στο παρελθόν,

τανία κυριαρχούσε ακό μη ο ι η θ(ι -

βη γ ι α rνα δισrκοτομμίιριο χρόνια.

όπως rιαροτήρηαε ο Δαρβίνος, η πλειο-

ιρόηο φοβερές και τρομερές συνt ­

ιιcιcς από μια εmοης ελεγκτή υπόθε­

•θυμάμαι όταν ήμουν nαιδί, τη δεκαειίο ωυ

1930,

αναιιαραγωyη

τους

και

ιιι διινοτότητα ή όχι είνοι άσχετο μr·

ση αυτού ιου aπίθανου γεγονότος

OUANTUM I Ο ΚΟΙΜΟΙ ΤΩΝ ΚΒΑΗΤΩΝ

3


Υότητο ιων πλαομο ι ω,· δε,· άφηΥε

rιιιζων ιrς αnοyόνους. διότι τα tιδη δrΥ διαοταυρ<οΙVΟ\'tαν. Η εξαφοηοη ιων rιδώ,· οημαl\·ε και τηγ εξαφάη ­ οη τω,· οιιο\·ο,·ω,·. Στο μέλ.\οΥ, οι K0\'0\'f<; ιου nαιχηδιού μπορεί ,.α

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ Τ Σ ΦΥΣΙΚΕΣ Ε ΠΙΗΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑθΗΜΑIΙΚΑ 1)ςOO.,Ii! ιηι; Ε' ι.IO'l( Καθr}) ηιι.ιι- θnu:W\ f.mιJntμw\ •,\~ 1 ' ι ~· Jmλ

tl\'nl δι οφορrtΙχοι. Η yε,·εnκή μη_χα ­

.ιuι t4tU Ιj:ιιιφι-JΟΟ' Λr.9nt ιης Α.ιοι.. f14: λι..ιι&.J.Ι~<ι.;; 1'rοοιφι..•ν. pr ιηιιιιμιφο.t'.q ιη.:.: λpl'ptJCι:t\'UCης Ί:\·ωσης. Κυ(ίη• '1''"'\ ΦwJκr,ι..: ι λ \J"f ι.ιιι ιιιιt !.'Ρι ll<tfU Σ•rJittoυJιov KtrllrJ)'J]Tι.J\• ΜιιtlfJΡΙΗΙι..ω• \'((\t tι.,ιΥ lfΠ-\

\·ικη μηορr ι \'Ο καιοοιηοει ασαφή

και να .. διαβρώσε ι" ιrι όριο μεταξύ των ε ι δω,·, σε tι' ιοιο βαθμό ώοιε η

A.&ίtPJKAN1KH ΕΚ ΔΟΣΙ-1

έννοια τη<; εξcιφόνιοης ιου είδους να

μην έ χr ι ιιιο ακριβrc; νόημα. Οι κο ­ ηrρνίκε ι rς υ ιιοΟέσrις σχετικά μι: ιη μιι κροβιότιι ιιι ιων r ιδ~>ν και ι(ο)ν αιιογόνων δrν θα έχου Υ nιο καμιίι ιιξία. Ολοκ λrρωνοηιις. rmτρέ ψτε μου

να πω οιι δεν ομφιοβηιώ τη .\οyικη

ΙJ ill

•.οι \"'in"rισrf.Hωι· .ι;ι. &)ιι;ις ~ι>rι:<')' κ 1'0({1\' .)ιι·υl\ιι\ rής.. Ι'ραψt'Ι'Ι.Ι κ\ ι\1\L, ΚuΟη' Ι}ιης Φvοικι~ (IQ.\H\'1(11(11 ι lιιΗnι.οιιjμιο t l}: ~ιόοχ(,Ις. J4ιυcι.. r.ιι .!ιtνθυ• Ι/'1; ~-~,•·ω!ης Υ u.ri ~i p}·a η. ΠJιιίf'~ rpoVΙll 1\' a ι" Sh e klo n ι..ec: Gl hhow.Bρafιε10 :ιι:ομnι! ΙΦιkΗJοηt no\'fιt.. HΙJί.IO •w χ(._~tιιp\ ι WίΙΙ Ι •"' Ρ, Ί'bunιo n .t.ιrιο.l.\ιοΦι\ης ~ufbιpuι ... Δ Ιlο,τntοιιιιμw ιηι,;, Κu\.φι~ιος. \fι~ ~ιιtλrntc _ε.,,-πιιq; cιfη C\lι1119Jq

τω,· εηιχrιρημα ΙΙο>ν σας. ολλο μό,·ο

Urr') l), l(l rlι pιιt rif k Kofiιn~~ llo\ιr,aιι.co Πιι\rιιιιιιιιιιο ι~ \&o\-toYOC λlbcrt ι.. tόka~n ko. Keθιn-ηtlf: Φuοh.ηι:..lνοtιιοιιtοΦuοι ιι ιις ιι.ιu Ttro\•1'\ ιιnς ιηι: ΥΟΟ\0(.

ιο nόι>ο Ο\'tαnοκρi,·οντω στ ψ nρoy­

μαηκόιηια οι υιιοθεσειc; σας. Αν η κοπερνίκrιο υπόθεση ειναι αληθης. ιότr ονιως θα προκύψουΥ οι συνε • ηειες τις οιιοiες ουνίιγεre. Χαίρομαι ιιου διατιι ιι ώσατε τις σ υνέ πειες με

&δι~r~

C:. Aldridgc, Διuι κιιοιιι: ό<; ΔιtuΟΙι \' ~ 1)1:, Ν:'\1'Λ

.Jιnιιl\rn('(' !"1.1'-~1): ατtι ΜιaιJιιιmrι.ιrο Σχο.\η ιau M:npo\f.llι,\ Μο \"t~ιρc'1 nubrovιk.)· ειη,οιιmς Κοθηrφης. )1α0ημοι"'Ιιο:ι.Ι\ ι Ιv.\ttrιιnιcn Γtuνrιιtι>ιιιιιι. tης Νόο'(ιιι;

Ma r k f.. 8eul. Σu~υλος: Yrw.\~tnt'-w

\ ' l.adJm.ir

,.,, tv1ax ttιι.ο

τι ιu οιhy ~'ehef'

1\t~v.ίι'l~ 1-"uντa!ης:

A l ι• xRnd er U u.ιdί n, Κάθη\'η* Φvιηκ r,.;. Πο.\ι ινι<ικ(Ι Ω αν(ι110 ι ιιμ\41 ι:ηι: Μοο χος

''r\(Ηι χώ μόνο μ ήιιιο><; tQ κοινό οδηγη­ θί' Ι Ο ΙΙ1" πεnuίθιιοιι ότι ιι υ πόθεσ ή οας

YuU Uιιn i i O\', 1-'41ι·ιJν ιμiις Α '

Bol)μiδαι;. l ν11t1t0UW Kv l'(ht. 1ύ\' l ~tr i~ι;.a Van}•uι;hklna. Αρχιοuνt(! Κ ιpΙn , Γ.,._ιφr l\"1 K\'ιln~

εlνηι i·να αοψιιλCς δεδομένο. Από το

~'upβovJι·vιrιa} Emφοιrι) tkrna rd \'. Kh.o ury.•\,·c:ιι ιρος Ea ιι·λι-.• ι ιι.« \'na\ ,q.\c~ λΛΡ'1' ·J•mι!• Ο. Cate5. .lιοutηι η:ι~ ..).ιfutN,•ι~ ....;c·ι · \1

nαράδrι γμ α του ιιροκa τόχου σας λοχrυrι ο ιψαγμιιτικόc; κίνδυ,·ος. Η

c_ :~I"C«! tkrb«'nyί Κοθη\·ηιf);).(όθημa'QJ(.\ο)\ l \nLΙWVI\1 τ,r-·a..\oyιuι;. Rt~N"- Hul.m.an. I \'ΙI(I YD Λl"tbur ~okr•ft Τμfιιι:ι &-ιικωv fmοιημι.ι\ ••\ucr.. ~"'ι• Jι: l.ιtιtw'. Nto Υι'f~Κη

Kaffn Juhrι..Qon. Κοθι;yηψt(Ι Φuαι:D)..;. rιο .\ιιtκικο J1o, I ιιωrτq,uο J}upt..-,ς Καροlι\"ΟC ~ιarca reι .J, Kf':nD«!)'. ΚοΟιnηφιι:ι ~,.....,..•. Κe\ηιο cηc Booι.w'f).. ~kιοοιι),ννιοιοnη

ά κρι ιη αποδοχή ιω,· nροβ.\έψεω,· του

Malιhus λrιtουρyηοε το><; οΥαοrαλ ­ τι κ ός ιιαρο\'Ο\'Lας της κση·ω,·ι κης

ηροοδου οι φ· Αyyλια

rni μία εκοιο­

P,dward t.cnan• ky

Scηι:e}' l νa.nO\'

fνnν τόuο σαφη κα ι ευθύ τρόπο. Α­

M" llhus δtαnιο tιδνουμε ότι εδιi> ελ ­

~~u~ι)l.; rtιι &rθ\·t:l\· &μαt(ο)\'

Υ ιtrύftι ΙYctς ι:ι KV" ΙΙ\ ρnφ~

\ι•\

ThomΙL.. ο. RuιO§i nc 1\.οθrιrιιιης~ nο\ΤΗtιιtψ.ο '" Βrφιιοu ω.,,. A k- a•n df' r Soίlc:r Knt'rt\-qUJC ~an..wι·. Πcι\r~Μ ιοv Κ.ι\ορΛ\"\0. Κώcιρο' ιοΣιφl\\ .. 1:.

Rarbara I . ti.tΩC t 1\uθwntιq.ta ~nιι..Λ .\υτnι) ΙΟU ~\rρνtιι.\. \cΜ.ι.ΟΟΥΟ C• rol ·•tιn Tri pp 1\ιιι*rrιηφιιι Φvοιιιιη:;. Ηpιρφtο ::;\•\η ιqς rι,.....,tptaoc: J"'ρφvιi'\C. Ι~Qιοιn·ι \ι\οv•

ηαrιια. Ειμοι βrβαιος <>ιι δεν θο rnι­ ιρι'ψεrε μ ια ιιnρόμοιο άκριτη αποδο ­

Εο\ΛΗΧΙΚΗ ΕΚΔΟ!:Η

χή ιωΥ ου μ περοσμάτων σος να γί\·ε ι

~;ιι.&ιιη(

λλ.r κος ~1(ψaλ ης

CL\'αο ια λιικος ιιcψό γοηΙις rης προό­ δοιι σήμερα ...

.iιrιιfiΙΗ rl).• Γιωρyι-.ς ε.,αyy( \~ιιοιrλος

,\lcτnqpιH1lJ και Ε.ΠJοτημο,•ιl(η Ι'IΙψf.tηιι ~· avtό ιο ι~ιt.\'•>( συ\ ψ) fιflttJΙNt' ' <ιt ιιι "'

Α υι ό ω γρα μμα δε'· θα είνc11 «· Qφαλώς η τελι·ιιιαία λέξη σ τη συ<ή­ τιιοίι μου μ~ ιον Richaι·d. Περιμένω μr nν υιιομονηοίιι t ll" απήνιηοή του.

Frecman D.•·son Ο Frt!~nιsn D.-.·son tiY01 κοΟηyητήςφυ ­

οικης οιο ι,·οτιτου ιο Α,·ωτtρω,· Σuουδώ,· ιου Πρi,•οιο,· αιJΟ ιο

t rt,\ ΙI)ς Ζοχιιρι<.ιu •μιιθιntιΗJk~ Ηι.ιλι\'0 Α Ηι ntιιιη -φυσΙ ΙΙ(Κ; . Φ(ινιις rρcιμ,ιn•ος ·ψU(.Ιιιιος. Ι'ο1 ι \ηλ ι,c: ι\Cι ΙΙ Ιφ<ιυ •\iAUιtμ(l ηκ.jς. Κ~ιστας !:καvδfι.\ ~ •μC\θι}μu ιιιιrιc:. Κωο Ηις λ ''δρικόuοu~ι..ις •φΙJσιιtuc;. r'ιι.ιρV~ Μ ιιuροu ιrις, Γιώρ v οc: Κυριαιι:όnοvλ ος ιι.nι λλ tκuς ΜΔ μιιλης -ψ ι.ιt•ι κος

r

Οl:Ι1Ηόιηtrς μr rιηδρομες σιο m:δίο της μιι.χα,·ι κης. ιης nο.\ηικήc:. του ελfyχου ιω" όn,\ω\', tr}(;. ιο ιοριαc; κ ω ι:ης λοyοιr •

.. ,, ..,""'.., _,.,......

ΦJ'μ )M'\-mi

κηιοιιφο

Γ. Κ.-ρα μ ας

rι,

φη

'Ju.tι:<ιllil"' liΙjiiJ\ ΙΩΙΟ nrριι.ι&ι...ό .

ΙΟU Οι nροt. \ι•υσ/'1ς ιιις ζωής. ιιnό τις Εκ­

b'5'\

1 1 0ιt> · 26b l.

Ιnn"•"''' tQ~tCΙt Δι ιιι•'•ιμ f~\ 1\. Ι 14 ίΙ A0t1''0,

ιιι \. : ιΟ Ι ι ΙιΗ3212, ~r.4"ι!MI, !ι•: •01ι '11'14186-\ λΙΙΙΙ\{ψf\Ιfi(Ι \ Ιt 11\ ΙΙ iίημΙΙΟif Ι.tΙΙη 11\Ιttόδοοη μι: ιι:Ίόιοίίή·

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ • ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

Μιφ1 ιι ?οιό μalη

Το Qιuιιιιu• ttc&&rιoι ο ιις HJlλ QΩI) ~ Ειιδοιnaοοιω5ρriιφ"r ιιοι ο·ηιν ε.u..&u οnό ι-.; t:a.δootιc; Κ.οιtοαφο Υιιtι~ιη~ '1u "t'' tλ.\η\-ιχη ~ κl'ina't\ συμι;ιw' ο ~ ιο •ομv λ.\ )ια μα.\,; CVp\f\J:t\1 • \111 \.lj\ tλ\η,Ί κ ιηλ(οοΙΙ<J(Ι' \.\ )(uμuλ.')ς Δι(ΙψημιΜΙι:, ιιιιι ΙΙ.t\ φι•ι'ι δlιtiΙΙrnη: Lιδο.Ιοι-ις Κrι~nι1ψ0,

4

) ιιl'ιtθυ ι·η Α ι;,γκιtrpου

Γ. Νιρα'ος

Εkο&οοης Χριο ι οδσu_\a.ιιης. ΕιJίιι;οιιρικ 1\οθιnηιηι:~~ llo\'f',..ιφιe λttιιτωτ

χνιος. Σιιι t.\.\ηηκα ιωκλοφορεi ιοβιβλiο δόοrις Τμοχολiα.

f:nιμr \ι·uι r,:fιοοηι..•

lmor:rJW' ·flιl)t au.IJI)ov.ιa. Mt\O \ηι: Λoμupou , A\·a.alrpωuις Κt~Ηι}\'tι* Μαi)'Ιιμ4ιι•ων. Πn' tιιιατημ.ιο )ψηι,.ς. Κ wο ιος; Σκο,•&cιληι;. Em-.I.I'Uf« Κ~-ηιικ ~Ιιιι!ημaι.ι.ιι\ I Ι.ο'·tαιοιrιηο tψηιQς t ι.r90"'ος Τρυ\ο,·σς φwιιι~ F.Αδιιte~~: Εmοι'J,Ιι.t\ .\ ΒαΟμ~ ιlipuμu Tr)"-ώ~-.oc ι;οι F41f'"YOς

19$3. Αρε:σκrται crιo

\'Ο nοικιλ.\rι nς rηιοιημΟ\1χiς ιου δρα·

Ι'υnQ)p<ΙφΙι.: ;ς ώοpθι.Α.οtιc; 11, Τοοιο u ο-υ λι.ς

Ι,, .-ι.ιικtJ rnιμt· tοιι Π αvtrλής. ΜιιιΗtkbιλuς

cωιt μΝΜν cι.\~ιι η μ/'Ι"""' ~ ι•ρι.-.δι llbu χ....-..:οις. t;η'> rηροφη Ml'l(l WιJ tιι;~'Ι'Ι]. rJ}II'j KOI~ tfll\flll\; 11\(1 ~ψ .\Ι()Ι1!οΙ,\.ι'Ι(L

l.'J.OQ δρχ

ι;,·,wι ιιv~tινοοιtι· ίλΟΟ Γψ..; y.a Ι-ΙΙ•·ο.~~ 1J 000 φ;ι. \"~V μιjU.ιotιr,cr" Ιf,ιΙΙ\ΗΙ t(ι ιι.ιιι ""' (1\'lΟ'μwς 'J'ιμη 11\.1.\ΟΙ(όι'ο' fΓΙΙ);(οl'ο 0\(1 llι(Ιλ ΙΙ)It!οΙ,\rί(Ι ' (4(10 ~


ΚΒΑΝτΙΚΑ ΧΑΜΟΓΕΜ

Είναι Θέμα αρχής Ένα μεθοδολογικ6 εγχειρίδιο σε μία πράξη

D.V. Fomin

ΣΚΗ!\'Η f:ΙΝι\1 ΣΚQΤΕΙ;\Π .\1/Α

βρουμε tΙC: yω,·ίrς

απα.Ιιι με.Ιωδίn nκουyεται. Τα

Εου. Γουιιιοο,·. που r1σαι κα,\ος στη

φωrn α viι(Joιιv. Βρισκόμαστε

yrωμrτρΙα. μπορι:ίς ''α με βοηΟήσcΙς.

σιο οα.Ιοι·ι ι ου οnιrιου rης οδού Mntικrp :l:llB. ΟΣι'ρ.\οκ Χο.!μςcίι'ω

.\οιπο,·. βρηκες πόσες μοίρες εi,·ιιι

καΟισμcι•ος οι ην κοιιι•ιιιιή nιι.\υιψό­ v/'1 κιιι διnβιi(rι rηι• nnoycυμarιvή

Γουάτο ον. Μ1ο στιγμή ... ΠpέΙΙεΙ Υα χρφφοποΙήσουμε το γεγονός όυ

εφημrpίδfι ιι>υ. Μrιrιiιτι ο Ι'ουάrσοι·.

ιιι ιρlγωνο ΒΑΧ κω

Η

Χολμς. Ι<rιλ ι1ο ιιφιι. α γαrι ητέ μου φίλι·. Βλέπω ότι aποφάσισες να ασχο ­ ληθείς με τη γcωμcιρίcι για λίγο. Γου/ιιοον. Μα rιώς ιο καιάληβες: Χολμς. Η χτεσινή Daψ· Joke. με

XBC

καΙ

XCB.

nutες οι \'ωνιrς:

....._

λ

_...

σκε.\Ιί. Α! ΟΙ

CDX είνω Ισο­ γωνίες t.ίναι 15°. Χμμ!

Ι<ω ιι κ(Ι\·οιιμr ιι~ρο; Χολμς. Λυτό σημαίνει όtΙ τα οη­

αυ•ού του nροβλΙjματος μου θυμίζει

μεiιΙ Ο και Χ συμπίπτουν. Στοιχειώ ­ δες. αγαrιηιr μuυ Γουι\ ιοον.

ιο διnγωησμό γεωμετριας. οροι#χει

rψ υπόθεση της απαγωγής του σάχη. Τη θυμ(ιοιιι, Χολμς:

ωιό ιφ• ιοrιιη σου. Και. αΙΙ' ό.ιι βλt­

Χολ μ ς. Μα π cίγοι αυτά που λες.

ιιω. έχεις σnοτολησει οιρθονο μελο ­ νι για \'α λύσrις t\' O ιουλαχισιο,· o-

αyαπητε μου φιλε: θα σου δώσω α ­ μlαι.κ; ιη \ύοη. Σε αυτή τφ· περί ­

βοηθησcι με ιο δεύιepο πρόβλημα.

π ιωοη. θα χρησψοποιήσουμε τηΥ

με καιιο1α ιίλλη αρχη. \Ίά να δούμε.

Γουά ισον. Και πως ξερrις όπ δcν

ιφχη ·ΟΡΧΙΟC ιιπ' 10 ιt.\ος •. Π1οttύω

λοιιΙο,·.

έλuοα κα,·fγα: Γιο να oou πω tηΥ ολί)θrια, βί·βαΙα, έχεΙς απόλ u ιο δίκιο...

ότι θα κοταλάβεις anό ιη λ ίιοη ποΙα ιικp1βως CΙ\'Οι αυτή η αρχή. Ας θεω­

ιού τcτραπλευρου

<Ο Γουάrσοv κιiθεrαι.Ι

ΡΙΊοοuμε έ'•α οημrlο Χ ιtιοιο ώστε το

καΙ

Χολμς. Σε ιιιιριικολώ, μην προ­

τρίγωΥο

no

ια ιιροβλήμο ιο.

XAD

νιι

ri \'\ΙΙ

10όπλευρο.

Γουάιοον. θαυμάσιο! Αλλά_. ου ­ ιή η ποροιε,·η αρχη σου δc,· θα μας

Χολμς. τδτr θα χρησιμοποΙήσου ­

Ιlριj(J.\ημα

d.

2. ΟΙ

πλευρές ενός κυρ­

ABCD είναι a, b,

ι:

Να οnοδεΙχΟεί ότι το εμβιιδι\ν

του ΛBCD clναΙ μικρόιερο ιi ίοο <ιnό

οβληθcίς, cιγαnΙμf. μου Γουότσον.

1 -(ιr + ΙιΧc +ιl).

Ιlαρc μιιΙιιιόνιως. rιρέπeΙ να σου ηω ότι όλο ου ιlι ιιι προβλήματα μπορούν

4

Ναι. cιυτό το ιφόβλημα ιη·ήκι:Ι οι:

ΥΟ λuθούγ ΟΗC) ιιισιι κά με tον ίδιο

ι·ντελώς δΙαψορεtΙκή κατηγορία ... Λησστηιιι. :Ξ:fρεις. rουάιοον. μου

τρόπο -ον. βι'βωcι. βρουμε τη σωστή προσέγγιση. Για να είμαΙ ειλ1κρινής

θυμι(rι το γρίφο του κιιΟηyηιή Μο ·

δεν έχω δει ακόμη τα προβλήματα του δΙαyω,·ιομου. αλλά... Λοιπό,·. ας

ρΙιιptΙ.

τους ριξουμr μΙα μαπά.

Πριj{J.IΙJpιι οιο

I. ΔΙ\'ttαΙ ε,·α σημείο 0

rοωιrp1κό

.4.BCD. ΟΙ

t\•ός

τεrραγώ,·ου

yωΥΙCς α 'Β και

Α

OBC εiνω

Γουα ιοον. ~Ιcι υπάρχοιιΥ δύο τt •

καΙ 01 δυο 15Ό Νο αποδειχθεί ότι ιο φlγωνο OAJ) ι·iνω ισόπλευρο.

ιοια σημι·iιι. Χο.\μς. Φυσ1κά. εμείς όμως ()α

rouό. ισον ιaπ.lω>'ol'raς anr.\ω­

διηλί-ξιΙυψ tΚΙ'Ι\'Ο 1101J βριο κειαι

ομι'Ι'ος ιιι χι'μιrι rουΙ. Π δυοκο.\iη

μέοιι στο τrφογω,·ο. Ι<αι τώριι Οο

OUANTUM Ι ΚβΑΝΤΙ ΚΑ ΧΑΜΟΓΕΛΑ

5


c.

,

ι'

••

.,".. ,.

·. •

I'

' '

\

.1/ • /


ι

fουάτσον (αφηρημένα). Μμμ.

συλλογισμό σου και όχι μόνο ιrι λύ­

δύσκολη υrιόθεοη... Ιlρέπει να παρα­ δεχτούμε. πάντως, ότι ο καθηγητής

ση. \Σηκώνεται και nληΟJάζει στην πολυθρόνα ιου Χοι\μς.)

Μοριάρη ήταν λαμπρός μαθηματικός.

Χολμς. Θα προσπαθήσω, φίλε μου,

Αλλά ας ε11ανέλθο~rμc οτο πρόβλημά μας, Χολμς.

θα προσπαθήσω. Έχουμε λοιπόν ... Πρόβλημα

Χολ μς. Το έλυσα ήδη, αγαπητέ

Χ βρίοκειω ιιάνω Oιtl\' ιιρι;,ιο κίικλο αλλά στο εσωτερικό του δεύτερου κύκλου. Οι ημιευθείας ΑΧ και ΒΧ

.!:.(a+bXc +d)= 4

s, στα σημεfcι

τέμνου\' τον κύκλο

.!:.(ad + bc)+l(ac + /χ/).

Ρ

και Q. Να αποδειχθεί ότι το ευθύ­ γραμμα τμήμα PQ αποu:λεί διάμετρο

4

Μην ξεχνάς ποτέ την αρχή •της α­

ιοu κύκλου

S2 .

ηλής λύσης•, ΙΌυάτοον: να δοκιμά­

Γουάτσον. Πρώτα πρώτα, δεν έχω

ζεις πρώτα τις πιο απλές και φυσικές λύσεις για ένα πρόβλημα.

καταλάβει τη δΙατύπωση του προβλή­

Γουάτσον. Χμμ ... Μπορούμε εύ­

μνονται υπό ορθές γωνίες•; Ακούγε ­

ματος. Τι σημαίνει ότι «ΟΙ κύκλοι τέ­

κολα να αποδείξουμε όtι ιο άθροισμα

ται ανόητο.

ad + Ικ είν<ιι μεγαλύτερο από το δι­

( Κοιτάζει το διάγραμμα και ~αφvικά

ιιλίιοιο ιου εμβιιδού του τεφαπλεύ­ ρου: to ad είναι μεγαλύτερο από το δι ­

καtαλαβι:ιίνcι.) Ιδιοφυές! Απλούστα ­ τα. πρέπει γα κόψουμε το τετρά­

πλ άσιο του εμβαδού του τριγώνου

πλευρο ΛBCD κατά τη διαγώνιο

ABD, κω to l>c είνcιι

κω ... κοι \'Ο γuρίοουμc ~ανόηοδο» ιο

BD

μεγnλύιερο από το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώ ­

ένα κομμάτι του. Τότε, αν επαναλά­

,·ου

βουμε τους προηγούμενους ουλλο­

Τελειώσαμε μ' αυτό. Τι θα

BCD.

κάνου με όμως με to άθροιομιι

ac + /χ/:

γισμοίις. θα δούμι: όιι το άθροιομn <ΙC

Χο λμς. Εδώ θα μας βοηθήοε.ι η

+ bd εί"ω μεγαλiιτερο ηπό το διπλιί ­

αρχή • της αναλογίας•. Το μόνο ιιου

οιιΙ εμβαδόν ιοu ιηρωιλι:ύροιι . Αν

rιρerιει να κάνουμε, αγαπητέ μου φίλε, είναι να σκεφcούμε με οuν!:­

συνδυάσουμε αυτή την Ο\,σότητα με

Χολμς. Καθόλου. Γουίιτσον. Α ­ ηλώς Οημ<ιiνει ότι οι εφιιπτόμενες

πεια και λογική. Αυτό είναι απαραί­

-.:ην ιιροηγούμcνη, θα οηοδείξουμε ιο ζη ωύμεγο. Υ ιιέροχα!

τητο όχι μόνο ο την εγκληματολογία

Χολμς. Πρόσεξε ότι χρησιμοηοιή­

είναι μεταξύ τους κάθετες. Και τώρα.

αλλά και στα μαΟηματικά. Σε η oφef ­

οαμε και tη •δυΥαμική αρχή ... ότιη•

ας δούμε ηώς λειτουργεί εδώ η "δυ­

λεται η εrιιιυχία σου ΟΗ)\' οξιολόyη­ οη του πρώτου αθροίσματος; Σε βοιi­

αλλάξαμε τα δεδομένα για να λύ­

νομική αρχή•·- Ας μειnκινήοουμε ιο

σουμε το πρόβλημα. Πρόκειται γ ια

θησε τcι γεγονός ότι οι πλευρές

a και

μια πολύ οι]μα,•τ.ική αρχή που λέει:

σημείο Χ ιιάνω στο ι:όξο ΑΒ~οtι κίι -· κλου S,. Λς 11ούμε ότι γί,•εται το ση ­

προσκείμενες., όη.ιuς cίγω και

όλλcιξε οτιδήποτε θέλεις ν' αλλάξεις

μείο Χ', και ότι οι ημιευθείες ΑΧ' και

b και c. Σωστά: Επομένως,

σε έ\·α ιιρόβλημα (τη διατύπωσή Ί'Οιι ,

πρέπει να προσπαθήσεις νcι κάνεις

τα δεδομένα, ακόμη κω ι.ις ιιροιι'ιοεις

ΒΧ τέμνοvΥ tO\' κύκλο s'J στα ση · μεία Ρ ' κ<ιι Q Ό Νίι, κοίτα, θιι σου

προσκείμε νες και ιις rιλευρές ιι κnι

c.

που πρέπει να αποδείξεις ), αρκεί η

κάνω το σχήμα εδώ.

Γουάτσον. Κω η θιι γίνει με ιις

λύση οιο νέο πρόβλημα "α σου δίγει

Προφανώς. οι γωνίες ΧΆΧ και

λύσιι γιο το παλιό. Ειδικά αυτό σιι­

Χ'ΒΧ είναι ίσες. Γι' αυιό και τα τόξα

μαίνει ότι δεν πρέπει ''α βλέπουμε τα δεδομέ,·α ενός προβλήματος σαν κάτι

ΡΡ' και

to πίι γιο κ ω αμειάβλ ητο. Για παρά­

ίσο με το τόξο

d εί\'αa

οι πλευρές

b και d; Χολμς. Γι(ι σκέψου, ΙΌυάτσον: α γ

"'<>~

Δίνονιaι δίιο κύκλοι

Sι και 5 2 rιου τέμνονιαι οια σημεία Λ και Β υπό ορθές γωνίες. Το σημείο

μου Γουότσον. Πρώτο διώχ>·ουμε τις rιαρενθέοeις:

4

3.

η a βρεθεί δίιιλ<ι οιη c, τότε φυσικu και η b θιι βρεθεί δίπλα στηγ d. Να

των δύο κίικλω ν ο ω σημεία ωμής

1

QQ'

είναι επίσης ίσα. Αυτό

όμως σημαίνει ότι το τόξο

P'Q'

είναι

PQ.

περιττές

δειγμα, α'' θέλεις να συ λ λάβεις έναΥ

Γουάτσον !διακόπτοντας). Μα ,

;s

ουγθιiκες! Ας επα νέλθοιι μr. στο ηρό -

Χολμς. πι;ις σου ήρθε να αποδείξεις

~

βλημά μας: τι θα κάνουμε με το τε -

t,γκλημtιτίι.ι, δεν πρι;πει ''" ξι:χγι\ς ότι ε ίναι κι αυτός άνθρωπος και πως

.ι;

~

ιράιιλευρο ώστ.ε το εμβαδόν του να

ιιαραμεfνει το ίδιο. και ταυτόχρονα η

μπορεί να κινείται ελεύθερα στον

Χολμς. Αγαπητέ μου φίλε. σκέ ­ ψου το και μόνος σου: αν το ευθύ ­

ο

πλευρά

•t.όno των ενεργειών .. σου. Γουότσον. Δεν κατάλαβα τι ακρι­ βώς εννοείς...

για οποιαδήποτε θέση του σημείου Χ

"' ;:.

., ~

αποφείιγcις

ιιι\ντοτε τις

c;... Τι συμβαίνει. φίλε μου; ... Δε\· έχεις μαζί

a

να βρεθεί δίπλα στη

Χολμς. Ας δούμε το τριτο πρόβλη­

ο ου ιο νuο ι-i:.ρι υuv;

Γουάτσον (κοιrάζοvrάς

rov χω­

μα, Γουότσον.

ρίς vιι κnταλαβιιίvει). Όχι. δεν το

Γουάtσον. Σε εκλιnαριο. Χολμς:

έχω. Αλλίι γ ιο ιί χρειάζεσαι ιο ...:

θέλω νο μου .\ες το κiιΟε βημο στο

αυτή την ισότ ητα:

γραμμα τμιiμα

PQ

είναι διάμετρος

ιιιn·ω ο το ιόξο ΑΒ, τότε. όπως κι α ν μετακJVJjσουμε το σημείο Χ, το μέτρο

του τόξου

PQ δεν θα

μεταβληθεί. Α ν

αληθεύε ι α υ rό που (ι]tά ,-α αrιοδεί-

OUANTUM I KBANfiKA ΧΑΜΟΓΕΛΑ

7


ιουμε ιο ιψόβλημα. τότc rιροφαγως ηρtη~ι ''α ισχύcι και τουτο. Πρόκει­

Νομί(/'ις ότι εl\·αι ό.\α τόσο αnλα: Όιι το μο,·ο ΙΙΟU •χουμε να ΚΟ\'Ουμr ει ­

ιαι ηιι_\ι rια τη,· αρχή ·nρχιοε αιι' ιο

,·οι ''α απομγημο,·εύσουμε κόμιιοσες

ιέλος•.

•αρχι'ς• και \'Ο μάθουμε πώς

\ ' (1

ιις

Και τώρα. Γουότσον. ας μrιακινη ·

χρησιμοιιοιούμε τη μία με cά 111" cίλ •

σου με το σημείο Χ έτσι ωσιε να συ­ μιιέοει με το σ ημείο Β. ΊΊ Οα γί,·ει

λιι; Ευιυχώς. η ανθρώιιινη λογική

τότε: Σε αυτή ι φ· rιερίιιτωση, ιο μέ • ιρο ιου τόξου

PQ θα

έχει aπείρως μεγαλύτερες δuνατότιι · tες... Λ ν και δεν πρέπει, βεβαίως, ""

Α

είναι ακριβώς

'

. .

Χολμς. Μάλιοτιι. ΛοΙπόν. Γουίι­

ncιριιγγωριοοuμε το γεγογος οη ιιυ.

ιsο•.

τσο''· ου ιό το nρόβλιwα είναι πραγ ­

rσυάιοον. ~!α γιατί; Δεν καια · .\αβιιι,·ω. Α. μάλιστα_ Εnειδη οι κ υ­

ματικά δύσκολο. Ac; ιιαρουμε έ1•α σημείο Ρ ιιά,•ω οτφ· nλcυρα HC έιοι

τές οι ορχι'ς. που ουσιαστικά &'· rι­ ''αι τιποιε ά.\.\ο από •κλισέ σκέψης•,

κ.\οι tέμ\'Ο\'tαι υηό ορ()ή γωνια. Πα­

ώστε η γω,·ια Ρ.ΙΗΙ•ο ti\'OΙ 60'.11ρο ­

rί\•αι π<ΙΙ' ια χρησιμεt;. ΔεΥ πρεnει \'Ο αyνοουμr ιίιιοτα το ορθο.\ογικο. Γου ­

ρεμnιπτόηως. Χολμς. εδώ εχουμε

ψαΥώς rι ευθεία ΡΜ tί,·ιιι παράλλη­

άτσο,·!

{ι.\.\ η μια αρχή: μην ξεχνάς ότι ιιρ~­

λη προς ιηγ Α Β, και ιο ιρίγωΥο

ιιει νn χρησιμοποιήσεις όλο ω δcδο­

εiΥαι ιοόιιλευρο. \Ογσμίιζω

D το ση ­

roυάtOOV ((1\'(ΙΚάθειΟι σχtδό•• ααοκιιμωμέ••ος στην ιιο.\ υΟρόvα ι ου

μένα του προβλ ήματος! Πώς νιι ιην

μ εiο ιομιiς των cuθι'ιγραμμων τμ η­

κnι ~ιινωιaip•·ει την r,φημερίδα>. ~1μμ ...

ονσμίιοουμε; Χολμς Ι σ_γεrικο αδιάφορος). Εγι;>

μάτων ΡΑ και ΒΜ.Ι Λφού το τρiyωνο

Άκου ιι γράφει εδώ, Χολμς: · Χθr·ς

ΒΝΑ εiΥαι ισοσκελές. ια ευΟύγρομ­

βρόδυ. άγνωοιοΙ κακοποlΟί διέρρηξαν

τη λεω αρχή ·πληρότητας ιης λύσης•.

μο τμημο το ΒΝ. ΒΛ και

BD είναι ίσα γωνίες BND και

ιο γροφι·ιο ιης εφημερίδος Dsi/_γ

Jokl'. ό\'ΟΙξα,· ιο χρημαtοκιβώιιο ιου

φίλε μου. έλτις μια αρχή σε καθr σου

μεταξύ τους και οι BDN εί\•αι και οι δύο

Από αυτό

εκδοιη και εκλεψα'· το βραβείο ιου

ισι'rιη'

ουμπεραi,·ουμc eυκολα αn η yω,·io ΕηομέΥως. ιο τρίγω­

ετήσιου διαγω"ισμού yεωμετρίιις. μια ταη·iα ιου Mobius μrγαλου μr •

rουά τσον. Γιίι φανιαοου! Εσύ.

Χολμς. Όχι. αyαηηtέ μου. ιις εχω

NDP είναι 40'.

όλες ο το μυαλό μου. Πρέπει νο σου

νο

ισοσκελι'ς, οπότε η ΜΝ

γέθους, καιαοκευασμένη εξ ολοκλή­

ι·ιιιοημάνω ομως όη μερικές φορές ιι αρχή αυτή δεν ισχύει σιην καθιιμε­

είναι η διχοιόμος ιιις γωνίας ΒΜΡ.

ρου οπό χρυσό. η αξία της οποίας

Άρα. η γωνiιι ΝΜΒ εί1•αι ιο μισό της

l>"'iΙ (ω ή. Μπορεί με ~ην ηρι~τη μιι ­

yωγίας

υπολογίζειιιι σε... • Και τα λοιrιά, κω ια λο1 ιιι\. ιίιιοια ενδιαφέρον... Α, μιΊ­

ti(Ι μtp1Κό Ο LOΙXtia

ήιαν. rουότοοv.

\'{1

ψOiYOVt(ιJ

ύποπτο ή και ενοχοποιητικίι , ιιλλό

οιη ου,·έχεια Υα αποδrιχθεί ότι πρό­ κειται για ουμητωοεις η για nλαοτα στοιχεία uου έχουΥ τοποθrιηθrί οκο­

NDP είναι

80'.

PVM

/JM/'.

δηλαδή είνω

3u•. Αυτό

λιιη:ιι ... ·Ο επιθrωρηηiς Ρόμ ιι ινσον

δήλωσε όn η αιrιυνομία δε\' διηθι1 u·ι κονr•·ο οιοιχrίο uου Οα μπορούσε να

ιφ· οδηyήσrι σιηΥ ο\'εύρrση τω"

διαρρηκτω,·. Ο εκδότης της Dαι/.Ι'

rιιμιι αιιό ΙΟ\' πραγματικό ι'νοχο. θ υ­

Jokl' δήλωσε σιους δημοσιογράφους

μάσαι την υιιόθεση ιοιι μιιρούντ(ι·

ότι η εφιwερiδα. yια να ουξηοει ιΟΥ

νου στέμματος; ... Τέλος ηάντω''· cις δούμε ιο τελευταίο ιιρόβλημα.

οριθμό ιων συνδρομητών, Ο<ι ανeικΟΙ ·

"

ν(~)Ott έναν y~':o, ειδJκό διογωνιομό

Δίγε ιο ι 1.0 ιΟΟΟΚfλές

Γουίιτσον tκοrάπληκιοςΊ. Μη ...

ιρiγωνο ΛΒC. στο οποiο η γωνία τής

11ι~ς είνω δυνιιιόv: Ιlώς υκf.φιηκες μΙα τόσο ι'ξυιιvη λυσι}:

όσο όκουσο οημεριι. ηρtηεΙ οnωσδή­

ι α σημεία

Χολ μς. .\γaΙΙηtέ μου Γουίιιοον,

ηοιr να πιάσεις αυιούς τους κοκο­

Μ και Ν ανιίοτοιχα. ετσι ώσιε η yω­

θο μιιορούσιι βrβιιιως ,.ο αου πω όn

\'Ια ΝΛΒ ΥΟ εί,·αι 50' και η γωνια ΜΒΛ ,.α εη·αι 60Ό Να αηο&ιχθrί όιι

βρήκα τη λύση εφαρμόζΟ\'Ιας δέκα διαφορεΙΙκrς και ιδιοφυεις αρχές...

_yαμη.\ωΙ•Ου\· ι<οι αι<ΟV)'Ο\'fΟι Οι I~ ·

η γωγfα ΝΜΒ είνω

Βλέπω μειδιός ... Εί"ιιι αλήθεια όιι

.\rvταίι-ς •·οιrς rης ιδιας ααn,\ής μt · λωδιας.

Πρόβλημα

4.

κορυφής C είνω

ρι:ς

20•. ι lα\•ω οnς π λ ευ­

AC και BC παiρ,·ουμr

30•.

rουά tσον. ΠροοιιάΟqσα νο υιιο· λογίοω τη γωνία με τριγωνομcψiιι ... Χολμς. Αγα ιιηιέ μου φiλι·, δε"

ορισμένες αρχές είναι ιιολύ χρήσιμες. Για πορ(ιδειγμα, Οιι οου CJΙ'αφέρω τη

ιφοβλημάτω'' οι· εnόμεγο τεύχος...>• Αγιιι ι ηιέ μου Χολμς, ύοιειιιι οιι'

ποιούς ~1\·αι θεμα αρχής)

Μι- ιις ααραnα•·ω .\rξεις

ta

φωια

U llJJOYLI KΙ) αρχ ι) ΙoC t()U οιόχου•: V(l Δινουμε παρακάτω ια ιφοβλήμcι·

νομίζω πως χρειαζόμαστε την ιριγω· Ι·ομrιρια γι' αυτό το πρόβλημα! θα

θυμάσαι πόντο ποιος tίναι ο στόχος,

μπορούσες \'Ο διαβόοεις y1α λίγο ιιιν

γΙα ,.α φιόσεις σ' αυιό''· Και. φυσι­

τα του r1δικου διαγωνισμού της cφη­ μερίδος. Πρfπει \'Ο έχειε υπόψη οιις

εφημερίδα σου μέχρι ''α σκrφτώ ιο

κό. χρειάζο,·ται ποηα κιιι κόποια

όιι κοθt· ιιρόβλημα έχει ιο δικό του

πρόβλημα:

ά.\λα βήμα1α rδω κι rκcL Το ζήτημα

μικρο ιrχ"οσμα. το οηοίο Ο<ι το βρι·ι­

όμως. φίλε μου. ti\'OΙ όιι yια ΥΟ λύ ­

τε πιο ευκο.\α α\' χρησιμοnοιησrιr ιις

Γοvι\ισον διαβάζει tη•• εφημι-ριδο

σεις έγα nρόβλ ημα

ορχrς ιιου περιέyραψε ο μεγιιλος

ι-vι~

κοί τυποιιοιημενοι κcιγόνες σκέψης.

Σιο επόμενο πf•• ιι--ι-ιι .lεnrά. ο

n

Χο.\μς μελειά με αροσυχή ιο

σχήμα. Ακούγεται απn.Ιιί μουυικιj.

ο σκοπός οου, και

11

σου χρειόζεtιιι

&>'·

αρκουΥ μερι­

Χρειόζογcιιι κcιι κcιποια (ιλλο rιράγ­

μο ι α, 611ως ιι πείρα κcιι η διαίσθηση.

8

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ' ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

Ι·τετέκτιβ. Η υ υ vέ_γε1ο στη σε.\.

65 <:>


ΣΠΑΖΟΚ ΕΦΜΙ ΕΣ

Για να περνά η ώρα Σ46 Ποιος κερδίζrι; 11 \Vίnnιe -the -Pooh και ο Rabbίι ΙIIJΚI'' μια οοκού,\ο με 101 κοραμίλtς για \'Ο ιιιιιξοuν έ\'α μαΟημαΙΙκό ιιιιιχ,·Ιδι. Ο καθέγας τους οαiρ,-ει με τη σεφό οι ιό

I rως 10 κορομέ.\ες αnό rη οακουλο. Οτιι'" αδειαοrι η οακουλα μετρούν nς κοριιμι'λrς τους: 11 \Yinnιe-ιhe-Pooh κrρδί(ι?ι ότιι,· οι δύο αριθμοί rίγαι πρώτοι αρος ιιλληλοuς. διαφορcιικό κερδίζtι ο

Rabbit. I Ιοιος από

τους δύο

έχει εξοοφαλιομf,•ιι ιη ,,κη και με ποιον φόnο. οια,- πωc:tι πρωτη η \Vinnie: Ι Κ. Kohas ι

Σ47 Μια μrιιάι\η rκιιίnωοη. Με έναν υπολογιστή τυπώσαμε δύο οριθμοlις: tιl\'

2'"" και ιοv

5''"". ΙΙ6οι1 ψηφία ~u ηώθηκα'" ουvολικι\;

ι ν. Ριιshn.νιι. μαθητής Λ' λυκείου)

Σ48 Πιivω η κάτω; Ιlrτάμε μια μιι(ιλιι ιου πινγκ πονγκ ιφος ια πάγω στο'" αέρα.

θο χρειιισrει nrριοοόιι'ρη ι;)/)(1 για να ανέβει ή yια να κrιιtβει; ι Α. Saνίηι

Σ49 Ο πrμαι·ω•·ισμός rου κυβσυ. Έχεre έ'·α κυβικό χαρτόκουιο χωρίς ιο καπα ­ κι ιου ιο πυθμέ,·ας ιου και οι πλευρές του εiναJ τετρόyωνα μr μο,·ιιδιαιο

εμβαδο,- Ι. Κοψτε ιο οε φία μερη που θα μοορrίτε να rα ου,•ιιρμολογήοετe wο•ε ,-α οχημαιιοιεί έ''α τετρόyωγο με εμβοδό"

5.

ι \'. Ρrοίι,·οιο,-Ι

• ~

""-. ""''<>" "'

Σ50 Σκάκι μf:iΡι rε.\ικής ιιιι~rως. Η Λμαλίο και ο Νίκος έnιιιξα,- ιο ίδιο πλήθος

αγώνωγ σε ένα οκ<ικιόιικό tουρνουό. αρρώο ιηοιιν κοι εγκατέλειψα\'. Όλοι οι άλλοι παίκιες eηιιιξrιν μετcιξύ τους όnως rιροβλεπόταv από τους κανΟ\'1σμούς. Το συνολικό nλήθος των nαρriδων ιιου διrξήχθηι;ιοv ητcη• 23. Έyινε

-5 ;:ι

'J' ~

αγώνας μεταξύ της Λμαλίcις κω του Νίκου: (V. Bliιny~kov. μαθι}ιιiς Α' λυκείου)

~

,.... '")

,

= "r. Υ,

ΑΓΙΑΝΤΉΣΕΤΣ. \'ΠΟΔεΙΞΚΙl: Κι\/ Λ \'ΣΕΙΣ ΣΠΙ ΣΕΛ. 6fi

'<

OUANTUM I ΣΠΑΖΟΚΕΦι\ΛΙΕΣ

9


Δρακόντειες καμπύλες Μη φοβάστε, είναι τόσο ακίνδυνες όσο και όμορφες

Nikoloy Vosilyev και Victor Gutenmocher

Η

αρθροu γiνttαι με αφορμή την

ήια'· ο ιροπος μr ιΟ\' οποίο tχουν rπεξερyαστεί το αρχικό ιι.\ικό οι συy ­

25η επέτειο της tκδοοηc; του

γραφείς -ιρόιιος ιιου μας φαl\'tιαι

Κ vant. του ρωσόφω,·ου αδελ­

ως rιιιιομή ιου ύφους του Kι·ant.

φού ιιφιοδικου ιου Qιιantum. που

αφού έχει όλιι ιο γνωρισματο που

εοριιίοτηκε αυτόν το χρόνο. Ψάξαμε

τοΥ διαφοροιιοιοιιν ω10 πολλούς άλ­

οε ορκετ(ι από τα πρώτα τεiιχη ιοΙJ

λους ιρόιιοιις. Οι συγγραφείς ιιαρα ­

Kvaιιt κο ι διαλεξομε rιούιο το άρθρο

λείπουν οpιομtνες ενδιαφέρουσες

{πpωτοδημοοιεύτιικε ο το δεύτερο τεύ ­

αιιοδείξrις ιιου ι·ίνο ι υιιερβολικά εξε ­

χος του. τον Φεβροιιc'ιρ ιο tου 1970\

ζηι ημι'γες κcn περίπλοκες για ένα

3ο και 3β Ιηου ανιιοιοιχούν στα δι ­

για cιρκειούς λόγους. Ιlρώτον, αν και

πλώμαιιι ιω'' Σχημάτων 2α και 2β\.

τα χρόνιο ιιου ιικολούΟησαν οι δρο ­

nrριοδικό ευρείας κυκλοφορίας. α λ­ .\iι εξιικολουΟοiιν να προσφέρουΥ

κόντειες κάμιιύλες ηeριyράφιηκο"

άφθονα ερεΟίσματα για οκέψη: ιδεrς

και σχολιόοιηκα'' κατ' επαΥόληψη στη βιβλιογραφία, δr,· εχασαΥ τino­

για αποδείξεις που nρι'πει ''α ολο­

ρούμε να πάρουμε ιελείως διαφορε­ τικο δια γράμμα ια tΣχ ημο 3y, 3δΙ.

κληρωθού,·. υιιοδrίξεις για λεmο­

ανάλογα με τον ιρόπο που διιιλώ­

από την ομορφιά τους, και μόλι­

μερή επεξεργασία και ένα πλήθος

,·ουμε ιην ιαl\•ία. Σιο Σχημα

οια αntκτησα\' ακόμη μεγαλύτερη

σμσρφων ιιροβληματων \ μπορούμε

ηουμε έ,·α από το διαyρόμμοτα που

μαθηματικη οπουδαιότηια λόγω της

\'Ο προοθtσουμε t\'0 επιπλέον: nρο­

προκυmσυ,· αν διπλώοουμε tl]'' ιαι­

αΥάιιιυξης ιηc; θεωρίας t.W\' φροκταλ

σπαθήοιt νιι (1\'Οπαρογογειε το δρα ­

νίο πέ,•ιε φορrς.

κιιι όλλω\' μαΟημαιικι;"' nεδίωΥ. Ε­

κόνιεια οχrδια χρηοιμοιιοιώντας tO\'

ΕίΥαι nροκ ιικιi ιιδυναιο να δι ­

ιιίοης, ου-ιό το όρθρο ιιnοτελεί ιο

υιιολογιστή σας, όπως κάνομε και

πλώοουμε ιην ιαινiα ηeριοοόιερες

ιιρώιο δcίγμα ιης διι·θνούς ουνεργα ­

εμείς προcιοιμά(οντας ια οχήματα

οrιό ε η ιό φορfς -με τι\ το όγδοο δί ­

οiιις στο

Kvant μeοω της οnοίας ανα­ πτύχθηκε ιο Quantιιm nou κρα ιδιr.

ωυ όρθρουl.

πλωμο θα υrι(ιρχοvν ήδη

αυιή ιη οιιγμή στο χέρια σας: έχrι

λαύστε ιι1 μαγεΙΙtικiJ ομορφιά cων

βασισ ιεί ο ιο (φθρο •Λ ναπαραο ιάσεις

μαθιuιο ιικών δράκων!

m

ΔωΙΟ!:Ιf:Υ!Η ΤΟΥ ΠΛΡΟΧΤΟΣ

Σχήμα

Έπειτα οιιό φ ίο διηλώματ{Ι μπο ­

~

"

:;5 ~-

~

των κανιιδ<~ν μαθηματικών Chandler Davis και Donald Kπuth. που είχε δημοοιευιεί ιον ίδιο χρό\•ο σw Journal σf Rf'Cr('aιional Matbemaιi~ Ιιόμ. 31. tΔriιe rπισης τα άρθρο του Martiπ Cardner ιπο τεύχη Μαρτiου. Απριλίου και Ιουλίου .ου 1967 ιπο

.?

τι εiναι η δρ(ι(άνtεια ιαιηίλη; Πάριε μια μακρια χάρτινη ταl\·iα.

διπλώοιc ιη οιη μrση μια φορά και

< .,:; ;.; ScίcπιίΓιc AmPricιtn και ιις σχετικές ;: αναφορές στο βιβλίο του Mathcmag' tical Mngic Shoιv.) ,.,.. Αλλά ιι κυριότ.ερη ιηθανώς αιτία

διnλώοτe ιην κιιι ηαλι στη μέση.

~

όπως ια δι αyρίιμμιι ιο ο ιrι Σχήμαια

c

"'

ιιοu οδηγιjθήκαμε

OtiJV ειιιλnyή μας

4 βλε­

2' = 256

Λνακαλιί ψ t&, λω πόν, και απο ­

aριθμώ'• κιιι δρακόντειες καμπύλες•

:;'

1

Στηρiξιε ι η διηλωμι'νη ταινία όρθιο

στη μια ιιλcιιρά τηc; και ξεδιπλώστε τη σχημαιίζονιας ορθές yωΥiες σε κάΟr ιοόκισμι\ ιης rΣχήμα

IJ. Λ\' τη,·

κοιτόξετc αιιιl nίινω, θα δείτε κάτι

;{;::/

~ β

ο

~ γ

Σχήμα

7

~

δ

2 QUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

11


Για νιι γίνrι ορατή συτη η διαδρομή, μπορούμε \'α οιροyyυλι'ψουμε ης γω,•ίες ιης ιοηως οιη,· μπλε καμnύ ­

.\η του Σχημοιος σcλίδο

4 t. Η rικο,·α στη

10 πιιρουσιάζει

καμπύλες που

fχου\' ηαρ<ιχθrι μr αυtο,· το,· φόrιο. Μια τtτοιιι ακριβώς εικό\'Ο η·έ­

ιινευσr στον ιιμrρικανό φυσικό

John

Ε. Heigh,vιιy ιην ονομασια ..δρακό ­ γτειες καμιιύλες•. Οnοιοσδήιιοιε έχει δει έναν δρlικο μπορεί να επ ιβεβω •

ο

ι;ιοει ότι ωιι(ι ια nλάομστσ fχοιιν αυτήν ακριJΙι;ις ι11 μορφίj. Τιι ιωοιε ­

β

λούμε,•ο ιιηό rιιθύγραμμα τμημn ω διαγράμματ<ι ΙΙΟU ~ιαράγου" τις δρα ­ Κό\'ttιrς κομιιύ.\ες ονομόζοηοι .δρο ­

γ Σχημο

Σχήμα

δ

3

4

Α'· ιοακlοουμε τψ ιαη·iο περιο­

κόηrια σχrδιιι •,

κατασιευάζοντας μεγάλα

σtρώμnιο! Σύηομα όμως θα μάθου •

οοτrρrς nnό ιρεις φορες. τδιε ξετu ­

με \'Ο οχι·διcιζουμε διαyραμματα που

λiγο,·τας την. μrρικcς από τις γω,·ίες

Οα α\·τιοτοιχού'· σc rιολ.\απλά δι­

ι ης θα cφάητο,·ιω cη·αγκαστηtά με­

Οι<η· t\'O δροκοηειο σχέδιο δη­

πλώματα της tc11\·inς, χωρίς την ται­ νίcι. Στο Σχήμcι 5 βλέιιει.ε ένα από τα

ιοξυ ιους <Σχήμα 3δ και Σχήμα 41.

μιουργείτnι με ιο δiηλωμιι μιας τοι­

Εξαιιίnς των nολυιιληθών εΙΙοφι;,ν

νίος χαρτιού

διcιγράμματιι που μιιορι·ί να προκ \ι·

αυτού του ε ιδους. ια μεγάλα δια­

ιάξης ιι. Λς rρευνr]σουμε τη δομή των

ψουν αν διnλ~ιοουμc την ταινία

γρiιμμιιια i'χoU\' ιιrριοχές nου μοιά­

δραΚόντεια σχέδια n

φορές, λέμε ότι είναι

12 φορrς. Αιιοι~λι·ίτιιι ιιιιό 2""" 4.096

<ου'' με ιιλtγμα nορά με μια ε ιυμή­

δρακόντειων οχεδlων κιιι ιις μάθου ­ με ηώς ''α τιι οχeδι(ιζουμε για αρκε­

τμήμοιcι.

κη φθι>γc~νια οτρεφόμι·,·η διοδρομίj.

τά μι·γι\λrς ιιμές ιου

n.

Η πρώτη μέθοδος. Ένο δρακό­ ντι·ιιι ι>χι'διο τάξιις η ιιηοιcλείιιιι οπό

2"

τμήμα ω και rιιομι',·ως

z• - 1 κα­

μπfς. Αφού το πλήθος ιων καμnώ'' εινω ιιrριττό. το μrοuν t\•ός δρακό ­

\'tειου σχεδίου θα βρίοκειαι σε ιuα αnο τις κορυφές του. Στα Σλ-ήμο ιο και

3

4 ια μέσο tl\'t11 οημcιωμε,·α μc

πράσινους κύκλους. Ποροιηρήοτε όtι διαιρούΙ' τα αηίοτοιχcι σχέδια σε δύο ίσα ιμημcιιο ιιου προκύιιιουν το

I

ένα οπό ιο άλλο. μtσω περιοιροφής

90• . Κcιι ιωιό cιποδrικνύετω γε,·ικός κανόνος.

θΕΩΡω1Λ ι Α ν nporκrεi\'OU}JI' /-ν(J δprικόΙ• ιrιο οχι'διο ~ά(ης

n

}JI'

άκρο Ο κnτιι ιο ίδιο σχέδιο περι­

σιρσμμr''Ο 90 ι·ύρω αnό το Ο. προ­ κύnrrι tΙ'/1 Ιiριικ6νιειο οχiδιο rάξης

n

~

1. ι\Ι•τιοιρσφα. οnοιοδιίποτ.ε Ιiριι­

ΚΟ\'Π'ιο ο:ι;tδιο rιί~

Σχήμα

Ι προκύπιeι

με συrόΙ' ι οι· rpόno σπο ε•·ο σχέδιο

5

Μια nο.\υ)·ω,.,κιι διοδρομηόπως αυιήιuου o\·opa{t'ιnι ιcιφιο lpcιλo,· rr-HJ σxt&ot rψοlίυtιιtι

ιfι(ης

n.

np_rr(onaς μ{' 6·cι ιμήμn. πφιοtρiφουμι- ιια,·ια ιο μηκιιι; cuιι Ο,\r&ου που f.\τι ηδη

Α υ το \'1\'tιαι φονερά Ο\' οναλύ­

«αιnοιιrυnπrrι προς ιη\· ίδια κοrtυΟtΝση ιtδώ &(ιόοιpοφα ι . \ ιιctι tt\'lltJ&O(\'t'Ι pl' rη μ.-iθοδο ιου δω.\ωμιrrος rηc rnn·iσc οιιι δVο. nov nαpοtιοιάζtιω οι α Σ,\riμnttr 2ιr κιιι 2}·: ιιάΥta '•aπn ιιι &·ιιtι ιιρος r' apισrcpn κι11 προς ta ηά,·ω•. Στο !.)•ημfr 4 ιιιιρσυωίr(ειnι η np,yή ιυυ ο.trδίου 132 rμtl}Jtιrtιl• ~όω έ.\ΟUμι 4.096. Α γ συνr.\·JΌΟυμt ιrrv KΠfάtJKtUή. η δι<rδρομΙ] IJn καμΙJυ.lω ­

οουμε την κnιαοκειιη μας. Λς υ ­

orn,·.

I

n•

Οeι γύρω arιn ιιι~· ιψ_νη. '"' ~'Ο\•mς μια π.·\rj)η πrριι•φυφι} tιιrιrn (Ι ΠΙ) d ·δωλαοιασμούς .... Tu κοκ κ 1\'tι ΟΙlμι:(cι {I \ 'tί~<:tιv \' ιιι· μ.Jι.ι .lο~·αριΟμική σπrιpm·;δη κfψιιιιλ η rδrιrr ω Κο.ι1tιδοσlίόnιn στ() τrrι,γικ,· Μιι1υυ Ιουvι'ου

12

1995 roιrQuκr1tunιι

ΝΟΕΜΒΡΙΟΙ ΙΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 199S

nοΟι'σουμr όιι Οέλουμe να διιιλώ­ οουμε tf\\' ιCιl\·ία n + ι φορές. Τφ· ιοακίζουμr μΙα φορίι. Το δύο μισά της συμπιπιοuν, και στη συνέχεια θο διιιλωΟούν μr ιον ίδιο ακρι~><; ι.ρό-


~

I

Σχήμα

Σχήμα

yύρω αιι•\ ι η,· ΚΟΙ\'ή τους κορυφή. :\1ε

6

πο !Σχ ήμα

61.

90 .

Προκύπτουν έτσ ι δ •)rι τιιυ τόσι]μα δρηκόντεια σχfδια ιάξιJς ιι κολλημr • νn μεταξύ ιους ιΣχήμα 7J. Απομένει ''α τα απομαιφύνοΙJμε κατά 90° ~α ιιιφουμc cνα δρακόηcιο σχrδιο τά­

n + L.

Α υ ι ι' ς οι παρατηρήσεις

μηnρουν νο μεtαιρ<ιnού" σε μιa αu ­

οτφότιρη οnόδrιξη και τω\· δύο ιφο·

ιιiοεω'·, ιψοyμα που το αφή,·συμε στον Ο\'0\'''ωοιη.

Σχήμα

7

Λς δούμε τώρα πώς θn κατασκευά ­ σουμε δρnκοντεια οχrδιιι χρηοιμο· ποιών ιας οuιό ιο Οεόφημα. Εφόσον

αυιό Ο\'Ωnτύοσονται καιiι μήκος τω'' γραμμών ε,·ος τετραγωηκού πλι'γμιι ιος. θα διευκολ υ,·θουμε Ο\' χρησιμοποιήσουμε ιετραyωνισμε\'Ο χαρτι.

Πnιρ,·ουμr έ,·ο οποιοδήιιοιr δρα · κό,·τειο οχrδιο yια παράδειyμα. ι'να μόνο ειιθiιγραμμο ιμήμιι. θn θεωρή ­ αουμr ως αρχή του

co

ένιι από τα ά ­

κρι• ι<JΙι και ως tέλος ιου ιο {ιλ.\ο. Το rφοrκ ιι·i,·ουμε κιιιό

to

ίδιο σχέδιο

nι:ριστρcιμμένο fl() > γύρω από ιο ιέ ­

λος του Ιε ιι ιλfγουμc όποια κο ιεύ­

θυ\'ΟΙJ nεριοιροφής θέλουμε ι. Το vfo σχrδιο μπορεί \'rι rncκταΟεί πέρα α11ό ιο α'λος του μr ΙΟ\' ιδιο τρόπο. Η διιι­ δικασία ου,·εχίζειαι οσο θι'λουμε ι<ιιι όσο CI\'Oι δυ,·αΙΟ\'. Η κατασκευή μnορt'ι

''0 γίνει αυτόματα κα.ι yρήyο­ ρο Ο\' έχtιr χορτι ιχ,·οyροφίας ή. κα • λύτερο. ελαφριι διαφα,·ές Ιcτρα­ γωγιομe ,.ο χιιρτί.' Φυοικίι, οι δικικόηειες καμπύλες

μπορεί \'() οχrδιιιοιουΥ μr το'' ίδιο

).

ιiλλα λογιιι. ΚΙ\'ουμε\'οι κατά μήκος

Ανοίγου με τώρα ης

τελειιιιιίrς ιι κημ ιιές οι· γωνίες

ξης

9

ΜΙn πιο οuγχρονιι μι·θοο&ς eσ ήιΟ\' η

χpήση UfiOι\0\'ΙU ίll μι· ηκιφικιι Ιlpο\·ρίψμcιtcι.

της κόκκl\•ης διcιδρομιjς θιι συνο\'1ή· σου με αιιιι'ι ια ιρίyωΥα C\'Ολλάξ δε · ξιά και cφιο ιφιΊ ιης διαδρομής.

Σχήμα Β nκριβώς τρόrιο, μc 111 μόγη διαφορά ότι nρέnrι "ιι ο ιρογγυλεύουμε τις μεσαίες καμιιι'ς.

Ό.\ες οι δροκό" ιειι·ς καμπύλες

ΘΕΩ!'ΗΜΑ 2, 1\ιιrιιοκrυά(ουμι: ι ­ σοοκrλή ()f>θιιγι~Ι·ια rρiι·ωvιι με uπο­ τtίΙ·ουοrς ιιι rμημιιrα ει•ός δρακό­

rχου\' μιιι αξιοοημrίωιη ιδιότητα: δε\'

vrειου οχrδισu ιrί~ιιι; ιι. ι'ιοι ώιι ιr διjο οnοιαδηnοιr )'f'J ro,·,κn rρίγω,,α , ..α

τtμνου'' ποτέ ιον cαιι ιο ιuuc;. Ισοδύ­

nρσκύιιιουΙ· ι ο ι'ι·ιι

,-αμα, ια δροκό\'Η'ια σχεδια δε,· δια­

περιο ιpοφη 9Q • ι•υρω από τη1· κοΙΙ·ή

σ;ι:ίζοιl\· noτc το ιδιο τμημα δύο φο­ ρές. Εισι, παροιι ι',·α δρακόπrιο σχι'διο μπορεί \'Ο διfρχεται δύο φο ­

ιους ιωρυφη.

~ς ο.\ω1· αurώι· ιι~,. ιριι·ωΙ'ωΙ• απο­

ρέςοηό το ίδιοοιιμrίο ΙιΙtιόέ,·αy κόμ­

τάξης. Λ I'HIII/)Qψ(Ι, Κή0t δρσκόΙ'{f/0

βο ιοιι πλtγματοςι. δε'• πcρ\'άει nοιέ από το ίδιο οημrfο περισσότερες από δυο φορeς. Δεν είvω ψιινερό το rιώς μ ιιοροι'ιμι· νιι nποδcίξουμε αυιίι ιηv ιδιόηJΙn βιΊσι·ι του Οεωρήμαως 1 -<ι· ηίθrιn. ι\uιι ιιι·ριοοlιιι'ι><ι ι·ιιιμιiκη και rιrριπλοκα σχέδια καμπυ.\ες κατα ­ σκι·ιιιι(ηr ιόοο εηυπωοιιικιιιι:ρος

σχέδιο ιιi~ης π + Ι προκύπτει με aιι ­ rόΙ· ι ΟΙ' φόnο nno ι'vιι σχέδιο ιι ιά ­

εί,·cιι ο ιραιιος ιιου ιοιριιιίαι"· μεταξ'ύ

ος ιιιν πορο ιφήοnιιμr οπό την άκριJ

ιους ιιι κcιμπυλώματα και το κυρ·

της ι την κόκκινη γριιμμη στο Σ);ημα

ιώμιιιιι. Λυτη η ιδιόιηια αnοδει·

9 1.

K\'ύttnι eυ κολόιrρο α,· χρησιμο ­ ποιήοουμr ;,-α άλλο Οεωρημα για ιο

φορά και α,·οίyουμε το τελευταiο δί • πλωμα κατα 90 ι η μαυρη γραμμή

. δ111λαοιοιιμο ·

tω\· δροκόηειω,· σχε­

οιο Σχήμα 9ι.'Τώρtι. μrταξυ των ση ·

δι~ιν -ιο οποίο. παρcμιιιπτό,· τως.

μείων Α και Β η Ιοι,·ία ακολουθεί ιη

μιις προσφι'ρει μια διαφορcιική μέθα·

διοδρομη κιιιiι μήκος ιω\' κiιθe1ων πλευρι;)" ιοιι ισοσκελούς ορΟογω ­

•i

δο κιιωσκrυlις •μεyιΊλω,·· σχεδίων. Η δεύιcριι μέθοδος. Σcο l:χήμα 8 •'χουμε ο υνδέοι·ι ενιιλλιιοσόμενες κορυφι'ς ιιις μnι)ρης δι αδρομιiς με

rr.ΙούΙ'

nno ro

ιί.Ι.Ιο με

Torr οι ιιιi/h'ιrς n.\eυ·

f1•a δραιωηειο σ;rι'διο n + Ι

~ης.

Πράγματι, ας εξετcισοuμr το tε ­ λευταiο δίπλωμα τι1ς ιαινία~. Κuι • Ιcιξιι· ιο Σχήμιι 9. Θέλουμε \'α δι ­ πλώσουμε ιιιν ιωνiο n + 1 φορές. Ας •

τη" τσακισουμr ιψωιιι

• n φορες

και

Επειτα rη,· τοακι(ουμε ά.\λη μίιι

Υίου φιyι:ινιιυ

AHC αντί

της υποιrί ·

''ουοcις. Γιιι νιι rιιΊρουμε μιιι απλή κήμιιή οΥοίγουμε καtό

90'

ιις κu ­

κόκκl\•cι εuθίιγρομμα τμήμcιια. Bλt­

μιιf.ς στο σι]μrιιι Α κ ω Β ι~χ ιiμο 1Οι

nouμr όιι Ηι κόκκt\'(1 ιp r'tμo ιο lnιv ...

Τώριι οι κό0fΙCς τω\' ιφθογώηων

θέτουν t\'O δρακόντειο σχέδιο. Α υιό

tρJγι;)\"ων συ,·Οέιοuν ένα δρcικόντε1ο

αποδcικνύε1ιιι ι·nισης yε,·ικός κιι\'ό ­ γας.

Για \'Ο το'· διιιιυnωοουμc με ακρί­ βεια. παροιηρουμr cίιι καθε κοκκι,·ο τμημα rινοι υποrel\·ουσα t\'ός ισο­

V -

σκελούς ορθογωηου τριyώ,·ου οι καΟετες ιιλrυρtς του οποίου αποιr · λοιJ,· μfρος του ιιρχικου σχεδίου ι 10 τρίyωνιι tΗΗ(ι ι·η'(\Ι σκιασμrγα στο Σχί]μα

81.

Κιιθi·,·ιι ιιιιο nιιτ(ι ιιι φι·

γω,·ιι ιιρ<>κίιιιιι·ι cιπό πrριστροφή ιω,·

yειιονικ':"· ιου ιpιγώ,·ων καιιi 90

Σχημα

10

2.11 pιηιρημnς Ι'Ι"'μμηrιvαι ./ϊ<J)~Jf>n;μr · \·ο,\ητrρη n.rm fη\· κοκκιvr1ι uλλι'ι tιι,tό fr,· rr.tι­ ρ<ιc)-ι. διοrι μιις tνδιuφψι·ι •ι }HI('f'L ιιtς yριιμ­ μης κuι uχι ιο μη rθος ιιις.

OUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

13


σχεδιο tαξηc;

n + I και οι υποτείνου­ ιους t\'α οχι'διο n τάξης.

κωδικο τού κύριου δροκόγτειου σχε­

οές

δίου ιοξηc; Σχήμα

Αυιές οι ηαρατrρησεις μεταφέπο­

που παρουσιάζεται οτο

5

4.

''ται uμtσως σr αιιριβή απόδειξη και

Φuοικα. μπορουμε ν' αρχίζουμε

των δυο προτόοtω\·. Μπορείι~ ,.α δο­

ης ακολουθirς ιω,· t\·αλλασσόμε"ω''

κιμάσετε μια διuψορeιικ.ή ηροοέyγJ­

γραμμάτων με το ι:\ -iτσι. θα οδηγη­

οη και \'Ο συ,·αγάγετε το θεώρημα

θούμε απλώς οε άλλα σχέδια. Δε\' είναι δύσκολο \'Ο διαπιστώ­

οπό το θεώρημα

2

I.

Χρησιμοποιώντας ιο θεώρημα

2

Σχήμα

12

σουμε ότι ου ιί}Ι\ μέθοδος παραγωγής

ουμnεριιίνουμε όιι από κάθε δρακό ­

οιο οχι'διο του Σχήματος 3ιι Ι με αρχή

μιας ..δρnκόντειας λέξης• τάξης 11

+1

ντειο σχέδιο τάξηc;

n προκίιrιτουν δύο σχέδια τ(ιξηc; ιι + 1. ~πειδή μπορούμε

το κόκκινο σημείο Ι οηιο ιοιχεί η ακολουθiιι ιιριο ιrρό. <ιριστερίι, δrξιά.

από μια λrξιι ιόξιις

α­

\'Ο κοτοοκευόοουμε το τρίγωνο του

Σu μβολiζονι.ας τις στροφcς με υ, ιιρ­

ιιρώιου ιμήμαιος προς οποιαδήποτε

χtκίι τους, ιιαlρνουμε τη •λι·ξη• ΑΑΔ που ορίζrι τη συγκεκριμένη ιικολου ­

σμού nοιι ιιεριγρ(ιφε ι ιο θε~φημα 2 \τα εμβόλψα γράμμοιο αντιστοιχούν

ωιό ιις πλευρές του. Παρατηρήατε πως όταν μηαβαί­

θίn. \Σε ιιο.\.\ούς κλάδους των μα­

n αντιστοιχεί

κρι/3<;>ς ονι δcύτεριι μέθοδο διπλασια­

στο προοιιθέμενα τρίγω,•αl. J'rνικά. ολόκληρη η ·θεωρία των δρωιόν ιειων σχεδiω,·· μιιορεί ' '0 αναπτυχθεί α λ­

\'Ουμε στο δρακόντrιο σχέδιο της

θηματικών και της .\οy1ιι.ής, •λέξη•

rπόμr,·ηc; ιάξηc; μέσω του θεωρήμα­

ειναι μια οιιοιαδηποτε ακολουθία

τος Ι , η συνο,\ική διαδρομή διπλασιά­

γραμμαιων.Ι Ειιομένως. μπορούμε

γeβρικο και όχι γεωμετρικά, α\· χρη­ σιμοποιηθούγ ιιράξtις nά,·ω σε λέξεις

ζrιαι, tΥώ ιο μήκος κάθε τμήματος

\'0 κοταγραψουμε συμβολικα οποιο­

uou

ηαραμέΥει σταθερό. Όταν χρησιμο­

δήποιt δρακόηειο σχέδιο χρησιμο­

ματα Α και

ποιούμε για το ·διπλαοιαομό• το θε­

ηοιώvτιις μια nκολσυθiα ιω'· γραμ ­

δροκό,•ιrιω\' σχεδίων- και όχι περι­

μάτων Α και Δ. Παρατφήστε όιι ένα

στροφές, καιασκευες τριγώνων, και

./2.

οχrδιο ιιιξηc; ιι \δηλαδή, ένα ποu δη­

το παρόμοιιι.'

ενώ κάθε τμήμα μειώνεται κατά πο­

μιοuργείιαι αrιό n διnλώμcιια του χαρτιού) ανιιοτοιχεί σε λέξη με

ποιιείιι και να μάθετε οp•ομένει; εν­

I

διαφέρουσει; ι διό ι η τες τω,· •δρακό­

ώρημα

2.

ιο μήκος ιηc; διαδρομής αυ­

ξάΥtιαι κο τό παράyοντα ίσο με ρίιγονιο ίσο με 1/ ./2.

ΕξοοκηΟεiιε τώρα στην κατασκευή δροκόνιειων σχεδίων χρησιμοποι~>­

''τος το θεώρημα 2.

Λέξεις

z•-

γρόμμιιιιι.

Το Σχι\μο

-τυυς κωδικούς τω,­

Μπορείιε να σιινεχiσειε σιην ίδια

Σχήμα 3β ον διπλώσουμε ιην ταινία μία ακόμη φορά από ω δεξιά προς τ.α

σκήσεις.

αριστερά ΙΣχήμοιιι 3ιι,

Η ιδιόιηιο ιιου περιγράψαμε στο

J

νιειων λέξεων• και των δρακόντειω" σχεδίωγ λύνοντας ιις επόμενες α ­

3y

ηροκύιιιει από το

αποτελουηαι ω ιό τα δυο yράμ­

;iy. και 12 ).

Ασχήσεις

Τόα όμως εμφανίζεται μια νέα κο­

Οριομtνeς οιιό ιις ασκήσεις που

μπή σε κοθε ιμήμα ιης τοινiας. Και

ακολοuθού\' είναι απλfς. άλλες όμως

απ.\ά ον ΙJαρατψήαουμε τα δρακό­

μάλιστα, από το Σχημα

γίΥεtαt

συνεπάγονται οημnνιιιι.ές έρευνες.

ντεια σχι'διο ( ή. α'' προτιμάτ~. τους

Δiνουμr rιλψrις λυσεις σε μερικές.

ιρόιιους διπλώματος tΥός χαρτιού )

φανερό ότι οι νεες κομιιέι; έχου,· εναλλασσόμr,·ει; καιεuθύ,•σεις. Ε­

από μια κόιιως διαφορετική άποψη.

πομένως έχουμε

θεώρημα

:l μπορεί να εξηyηθεί πολύ

Ας φαηοστούμε μια χελώνα που ηερποιίι καιά μήκος ενός δρακό­ ντειου oχrδfov (Σχήμα ll). Κάθε

12

και μό,·ο υποδείξεις για nς άλλες.

I . Ας υποθέσουμε οτι έπειτα από διrιλώματα η απόοιαση ανάμεσα σε δύο γειτονικό ιοαι<ίομοτα της

:!0

Α

.4 Δ I J I .!

-+ ΑΑΔΑΑΔΔ

ταιΥίπς μcις έχει γί,•ει

1 cm.

Ποιο

φορίι nου φιά νει σε μια καμπή, είναι

δηλαδr\ ιιι λέξη που κωδικοποιεί το

ήταν ιο μήκος της ιιιινίος αρχικό;

uποχρεωμtνη να οιρίψει

90° προς τα

Σχήμα :!γ. Ένα ακόμη δίπλωμιι προς

αριστερά ή προς ιu δεξιά. Από την

ιιι ιιριοιrρό Οα μ<ις δώο~ι ιο σχέδιο που κωδικοιιοιrί τ οι από ιη λέξη

Ήτι1ν μεγαλύτερο ή μικρότερο από την αnόοιιισιι Γιjς-Σελήνης;

οπτική γωνί(ι της χελώνας, η διαδρο ­

μή tης καΟορi(rτuι οπό την cικολοu­ θία των στροφών . Για ιιαράδειγμο,

ΑΛΔΑι\ΔΔ

-. AAΔAAJJAΛΛJJ.4JΔ. ~HHJ\J

2.

Γl ώς θα μεταβληθεί το δρακό­

ντειο σχέδιο nν στψίξουμε την mι­ νία στην ό.\λη ιιις άκρη; Πώς αλλά­ ζει η <ι\'tΙΟτοιχη λέξη; Δωοιr ι''•α παραδειyμο λέξης αποτr.\ουμcνηc; από Α και J που δε'•

3.

Καιοοκευάσu αυτό t0 σχέδιο. Ονο­ μάζειοι κύριο δpακό,•τrιο σχέδιο

οριζtι δρακόντειο σχέδΙο.

ιοξηc; 4. Α,. θtλετε. μnορειτε "t1 σφοy­

4. Ας uιιοθέοουμr οrι ιuα χελώΥα

γυλέψειε ιις καμπlς του όπως ιφα­

περπάτησε κο ιό μηκος ενός δρακό­

τεl\·ει ο lleίghwa)·.

nειου σχεδίου και ο>ι διάβασε μια

Λ ν ειιανα.\άβετε αυτή τη διαδικα ­

λέξη αποιrλοuμεγη απο τιι γράμμα ­

σία με την τrλειιτο ι11 λέξη (αρχiζο ­

τα Α κοι Δ. Ποια λέξη θα διαβάσει αν

ντος ιην ακολουθία των εναλλασ­ σόμενων yρομμότωΥ με το Α ), θα

Σχήμα

14

11 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΙΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1995

πάρεtε μια λtξη

3 ι γριψμάιων -τον

3.

Η nλγcβρική μWοδος χρηt>ιμοn01ήθηκε

οπό ιους Ι:!ι\ν~ κnι Κnuιb.


Α υτfς οι καμπυλl'ς προκύστουv α'· {ι-κι,•ήυουμι μr fνlr ιμήμα. fιιtι .. ι α από

12 ιοδιιιlασιασμούς.... Οι πcρισrριοιprς rίvαι tvnλλιί{ &ιιιόστρο ..

ψcς κ.ω upιοιtρΟΟιροφα;. Οι καμιιiς rης μrynι' ιτrrρης κnpπύλης ι:ίvnι ιrόvrα

9(JC. Κα.\ύιιι-eι ένα ιοοο.κt., έςορ{)οyώνJο φι'yωvο

μι- tvα ομσι6μαpφο σχέδιο. Η &ύιι:ρη καμπύ,\η δημιουρyti. Ηtι με rov l'δJo aκpιfJ<:x; rpόιιο, μr. τη Sιrrt(Κ'fHI άιι ('' ()Jί(h:ς )'ωvιί-ς nερισφοφής έ.\'ΟU\' α vιικαωο ι<ιΟrι' αrιό γ(~νiι:ς 9;)(0. ι\tιtό f,'(fl flΠOTf.1cσpa VO γι'νι•ι Z:VlVΠωQ'I(ΙK(}

ιψ<Ηή η δι>μι) rης καμnιίλης.

λ υrη η φι.ΚΟΙ'frιος Κaμmιλη raιι/( /2 ΟΙ·aμαύ;rαι

...Μαμα, μnaμnnς και μι..ψό•. Rρrιrr ro μtοtι ι ης. Μιιο­ p€ΙU' να διανοη()ιίrt on διαιpιιrαι ano αιηό ro ση­ μtiοοt δυο ιουιόοημα μιοο ιιου ιφοιιυιιιουν ιοiνα ιιnό

ro ά..lλο μ~ nrpwφoφη 90'": rιa

φnrι

,.α σιισrιιιι θα

10(.)( vn _rpωμnιιοrιl' rη μιση καμnυ.ιιι μ.ε IΨa

μα.Ιύβι

QUANTUM I ΑΡθΡQ

15


κινηθεί κ α τα μηκος του ίδιου σχεδίοιι

άκρο ιου Ο κατό

προς ιφ· ονιιθειη κατεύθυ,·οη; Α" η

Λιιοδεiξιε όιι καΥtΥΟ (ευyος από ια

.\έξη ι ης ορχιιιιiς καμnύ.\ης είγαι

τεσοερο σχι'διο 11011 ιιροκurιτοu,- δε,·

υυμβu.\ί(cιυμε ι η \'tO .\fξη με

,.. -

Αλu. τότε

w ~ ;\,.kl

w.

w. Π.χ.

και 2ϊΟ•.

90 . 180'

εχει ΚΟΙ\'α τμημσια.

10. θrωρήοτε το ουι·ολο ολων ιω''

Ότο\' u και ... ειΥαι δρακόηειει; λfξrις, θ<ι συμβολίζουμε με " '" τη

ιιολιιγ~)ι•ικώ'' δ10δρομωι· που οπο­

λεξη nου προκύπτει οταν γράψουμε

εχοΙJν ιην rιιόμει·η ιδιόιψn: ότnι·

πι ιι α μcοως μετά ι ψ

χωριοουμε οηοιαδιίποτε από αυτές ιιι·

5

δειyμο. αν •ν

....

ι rιο παρά·

=ΑΑΔ κω u = ΔΑ. τότr

τελοιί\'Lnι ιιιιό

2' μrpιJ, αιιοιελο\ιμεvο <ιπ/ι 2' ' ιο

ΑΑΔΔΑ.ι Χρφιμοποιώηας τον

κcιθtνο. ιόιc οι1οιοδιίnοιε οπό 011 ιίι

ορισμό για το W που δώσαμε στο ορό· βλιιμcι 4, ιιιιοδείξιε όιι tα) γιο κά!:Ιε ΙΙ'

ttι ιμημιιιn ι φοκ υ πτει με περ ιστρο-

κηι

λι'ξιι ιιοιι Ι!\' ιιο ιοιχεί σε ένα δρακό •

από το κοινό ιι>ιι<; {ικρο για κάθε k, 2 S k S n. Λιιοδι:iξι~ όιι αυτό το σύ •

ν (Ι' ι Ο ΟχfδιΟ tοξης Ιι + 1. τότε

''ολο ουμιιίιιιει μc to ού,·σ.\ο τωΥ

•νu

u. Wίί e rιw. tβ) Αν

\ V.o ' I

είναι η \Vα

,ι=

J J i=ι

ισα ιμηματα και

2"

ο

φή ΤΟΙJ γι· ι ωνικού ιου κατά

'

π

90" γύρω

Σχήμα

π

13

"'.,~'',~· όnou "'• είναι η κωδική λέξη \'10 foι•n ΟυγΚtΚpψtΥσ Π · τάξιο δρα •

δρακόνι.rιων οχεδiωι· τάξης ιι.

κοι·τειο οχtδιο και χ εί,·αι μια .\έξη

δρακόι•ιειο οχrδιο

ει·ος γρuμμαισς. ι γι Αι· " ' εί\'αι η κωδικη .\tξη για έ\'Ο δρακοηειο σχε­

συ\'ttταyμει•ω,· έιοι ώnιε οι πρώτες

θεώρημιι ιο flntδrιξt \ΊΟ ορωιη φορά

ιρt"ις κορuφeς ,.α rί,·οι το σημεία ιΟ,

ο

διο. ιό τε η

Οι.

w διαφερει απο

~η"

,..

μόνο οιο μεσαίο γράμμα. <δ Ι Η κω· δική Μξη γιο έι·ο δροκόvιειο σχέδιο ι(ιξης

n

καθορί(cιαι μονοσήμαντα

<ο rι<\ ιην flκoλouθin ιων

n

γραμ μό·

των ο ι ι ς Οέοεις 1, 2. 4, ..., 2" · Τα θεωρήματα

1 κοι 2

<0.

Ας κο ιαοκευόοουμε το κύριο

Ι ι.

c ι.

or

r,·α ουστημο

Ι ο. Χρησιμοποιώηας το

αu1n ι Σχημα

Donald

13!.

Knuιh Η οιιόδειξη βοσiζr ­

ιαι οιφ• rξυπι·η ιιι·αιιnρόοιαση tωΥ

θει:ιρημcι Ι . μπορούμε ΥΟ εηcκτει ­

μιyαδικώι· αριθμών

\'Ουμε cιΙΙτό το σχέδιο όσες φορές θέ · λουμr. πcιίρνοι· ι<ις διαδοχικό σχέδια

πι ακέραιοι. σε έγα ε ιδικό ·σύστημα αρίθμησης• ιοu οrιοίου η βάση αηο ­

tίΙξιις

τ.ι;,\~ίιcιι οιιό τους αριθμούς

1, 2. 3, ....

Φcινιαστείtε ότι το

όrιου π.

1 + ί, 1- i,

-J +

αρίθμησης εiνιιι nιιό μ ια ο ιιγκεκρι­

μας ειιι­

σκευίιζουμε έηι Ιιιιε ιρο δρnκόηειο σχέδιο tιο κύριο δριικι)νιειο σχέδιο ιι\ξεως οο). Τα nρώτα του

2'

τμήμαιο

ί, κιιι

ι

ί. Λυτό το σύστημα

μένη άποψη nΙιρόμ οιο με ιο •ισορ · ρο ιι ημι'νο ψιcιδικό ούοιιιμα• που πeριγρόψαμr οτο

n: με το θεώρημα I

οχιιματίζουν το rι ·οοτήι; ταζης σχέ · δια. Αιιοδcίξιr οιι: lιtl ι.ο ιικρο ιου π ­

μπορουμε ,.α διαλέξουμε το έΥο από

οστής ταξης σχεδίου ι' χει συΥttταy •

νο ιεuχος ιοu

ιο δυο ακρο ως κrντρο ιης

μέ\'tς 12'' Ου\'CΙΙΠ 41, 2'

90' περι ­

1

ημΙ αn 4 /1

στροφής. ε'·ω με το θεώρημα 2 μπο­

Ιια κόκκιι·α οημεια οιο Σχημα

ρουμε ,.ο διολiξουμε ορος ποια από

η κωδικη λέξη α υ του ιου σχεδίου

ης δύο ηλευρt'ς ιου rιρωιου ιμήμο •

μπορεί ι·α yρoφri

ιος θα καιαοκευ(ιοοuμε ιο ιρίγωνο.

επόμεγου κανόι·α. Ιlρώτα yράφουμr

Ει ναι κοι σιις δυο περιπτώσεις ια

εγcι.\λcιξ τα γράμματα ι\ και Δ οφή­

σχέδια τάξης

νονιος κrι•ά διασιήμιιτα αι·ίιμεοό

n+ I

n + mi.

σχεδιά(ουμ~ όλιι -<iηλοδ ή, κα ια·

τρέπουν ι·α /:iημιουργήσσυμε δύn δροκόνιειιι οχι'διιι τιιξης n + 1 αιιό

1'\•ο σχέδιο ταξης

Α υιό το δύσκολο

αυτής

1

ιιις λέξης.

6.

11.

ιου ακι'ραιου τετρογωνικού ιιλέyμα · ιος Oa διέρχεται οκριβώς έ\•α αιιό

ίδιο ή είνο ι. γενι­

κά, διαφορετι κ(ι;

ru κσ.\α

51. ιβι

Qusntum.

[t)

.\Π.\ΝΤΗΣΕΙΣ. 1-ΠΟJΕLΞΕJΣ ΚΑΙ .Ι ΥΣΕΙΣ }.."ΓΗ ΣΕΛ.

66

βάσει του

ιουι;: ΙΙ_Δ_Α_Δ_.... Έπειτα. &ίχνου ­

7. Έο ιω όιι Ι} χελώνα μας ξεκιν{ιει

μησης• cαοκηοη

.. Σιιοτήμnια nρίθ ­ 111 οιο ηροηyούμε ­

'Το QιιnιιΙΙJttι ικόιJtrnι ιηα ιflfl,ι-rικά

ιιιιό ιο σημεiο Α κιι•ούμενη με στα­

μr με ένα δάχtuλο του αριστερού μας χεριοίι ιιι ιφc;ιιο γρά μμα και το yρά.

θrρι) ιαχύιηιο ΟΙΙJV κατεύθυνση της

φοu μe με το δεξί μας χέρι στο πρώτο

nnιι '"' 9ιfαω rω 1994. !λ{ί;ι;pι σnμιρn t".\4X'" '\ιJι<ftoφopntrιJ 10

Α Β κ ω κίιι•ο,- ιcι<; μ ια ο φοφή

90'

διίιστημιι. Στη ουνέχειο δείχνουμε με

rωo~:n. ;;ι "ι ο, zια tχιι> :ι:pόtι> θα

λcιιιά. Αrιοδείξιε ότt μπορεί

το αριστερό μο ς χi·ρι ιο &:ύ cερο γράμ •

vnaJ~roν όισΟισrμn αιrιωιrα rws,

ειιιο φtψrι οιο Α μόνο έπειτα από

μα και το yιιίιφοuμε με ιο δεξί μας

nίφοοο cικι'ι10ιοu ιιλήθους ωρώι· και

χερι στο δεύτερο διίιοιημα. δειχΥου­

fι&fiιοιι••/ιfια, αιιιl Ιά J';>ιιψ(ΙΟ rι>ι>

μόι·ο ΚΙ\'Ούμενη κόΟετα ορος την ΑΒ. Οι rιιόμε,·rς ασκήσεις εί,·αι προy­

με με το ιφιιιιrρι\ χι'ρι ι ο φίτο γράμ ·

nt,~AfιλO<J,

μαηκα nλiprις μr.\ι'σς και δi,·οι·τοι

ρίς ι·α παρα.\rιιιουμr όοα rχουμε

OtO\' 0\'CΙ\'\'~)()ιη ως 0\'ΟΙΚtά προβλή­

γροψει στα nροηyοιιμcι-α βήματα:

κίιθι·

' '"

15

μιιtΟ ,

8.

Ληοδrίξτι· ότι ι',-α δρα κόηειο

ο χrδιο δεν διέρχε ι ω rιοτe δυο φορες

cιπό το ίδιο τμήμα.

9. θεωρήστε ι'''" δρnκόηειο σχέ­ διο κω Ιll'ριοφcψ ιc ω γίψω αηό το

16

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ 'ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

μα, κ .ο.κ .. yια όλο τα γράμματα. χω­

. .. .. .. ι γΙ Λ ν δημ ιοιιργήοουμε όπως στο

10

τέσσεpο κύριcι δρακό­

ντε ια σχέδια. τοτε α π/ι κ άθε ιμήμα

ra

n μι οrrικαια~ :J(

rιμιι rι:ιcs ιιrαι ιδια

JU αι.'tιι rου

fJJΙ.{ιπtos rtι.'{OιJs.'fo Quanιum ιι,.αι

ιrιpιοόικο iιGι/ιοίlιικn~ φpm-ιurι μn ~αι.rιrι καrtta ιιυ;rοs

ι\ι\ΔάλΔ.J.ΔΑd.ι.\ώ\ι!ΑΔΑΔΔΔ-· πρόβλημα

μπφιιrι ια rα nro;ιnDιινσr-t αnο

••

rro.

:Jl"EPI021l'l(O Qμ.fil'J{'I'w.f. /ρα<J1Ιά~'

JO λιlι

.:.J.ιΙ{ft'"JJΙtfin,1J4 ίl

· .::14?rrr.:ι ·Τ•~.: .!64.1272 .. IM.>0~8. '.f•<· }64/$64


Γήινη και εξωγήινη νοημοσύνη «Είναι χαρακτηριστικό του εκπαιδευμένου πνεύματος το ότι μένει ικανοποιημένο με το βαθμό ακρίβειας που εππρέπει η φύση του ζητήματος, και δεν αναζητεί την απόλυτη ακρίβεια εκε/ όπου είναι δυνατή μόνο η προσέwιση της αλήθειας.ιι -Αρισrοrέλης

John

Μ

Α.

Adam

-------

ΠΟΡF.Ι ΝΑ ΜΗΝ ΕΧΟΥΜε ΤΙΙ:-.1

με αηαντήσεις yιcι τη" ιιΊξη μεγέθους cJΙ·ιιλύοντας τα δι άφορfι ιιροβλιΊματα

μητισμός) του ./ohn Allen Panlos κοι tου Ο:ιΙΙ.<ideι·ΙJ Spheι·icsl C:ow tθεω­

ιη" ευφυία του Enrico F'~rιιιi, μπορούμε όμι»ς \'ΙΙ μιίθουμε

στα συοτιι11κiι ωιις μi·μη κω κάνο­

ρήσιοr μ ια σφαιρική αγελόδσ ! ιου

\'ΗΙς tJς κrιτiιλληλες εκτιμήσεις. ο ιη­

Jolιn Ηaι·ιc. Α'' έχετε ιjδη διαβίιοει

να χρησιμοποιούμε στοιχειώ&ις συλ­ λογισμούς yια γα εmτύχουμr •ιιρο ­

ριζόμrνοι ο ι Ο\' κοινό YOU. ΊΌ πρό ­ βλημα ζητούσr να rκ ιιμηοουμε ι ο

αυτίι τα βιβλία θα ανοyνι"Ιιίοcιε με­ ρικά από ια ιιροβλήμοτα του όρθρου.

σryyισιικό ορθiς εκιιμφtις• or ιιρο­

ολήθος ιc~\' •μορίω\· ελασ~ικου• που

&

βλημαια Ι τα οοοία στη συ,•rχrια θα

χα,·uηαι αηο το λασtιχο ε,·όc; αυ­

τε τη,· ό,·εοη \'Ο θttεtε και να δι,·ετε

ιο ογομά(ουμε •οροβληματα

F'rrmi·l

τοκη·ήτου σr κόΟt ntρισ ιροφή τού

προσryyιοιικές αοοντήσcις

ακολουθώηας τη μι'θοδο που ιιιιοδί­

ιροχού. θα ε~ετόοουμε μΙα μικρη πα­

nας nροβλ ήμο ια

δεται σ' αυτό το" μεγiL~Ο φυσικό.

ραλλnγή ιου στη ουνrχεια. αυτό ο­

Paulos

Πριν ωιό αρκειά χρι\για δημο­ σ ιεύτηκε ο ιο Qusntιιιrι ένα OV\' ωμο

μως ποιι βρίσκω ιδιαίτερα ιιιιολαυ­

λυιιιικό: ουγκειφιμένα, ι"•nδrικνύει

οιικό στο άρθρο ιού llιιlliday είΥω ο

(ιpθρο ιου

liallidιιy ι Μίιιος

διάλογος που ανοιιιιiοοει με βίιο η ιις

tι)ν ισχύ rιou f.χει ο οuvδυιιομός ιω" εύ.\οv<•Ι\' υrιοθέσεων με ιοους οηλοι'ιc;

ιίιλος ιου ήtα\' "H~IIpιιrk

ερωτήσεις ενόι; ιυ ιιικού αναγνώστη.

υπολογισμούς. Το βιβλίο του liarι e

Esιimιιles·· ΙΠροσeyyισηκα ορθrς

αποτελει μια καλή εισαγωγή οιην

llallida)'. βασι(ό­

Βεβαίως, για ιη'' ανάγνωση του ση ­ μερινού άρθρου δr\• cί,·αι προαnαι­

μενος σε ε,·α συyκεκριμι'γο πρόβλη­

ιούμενο το άρθρο ιου Hallida~· \αφού

!ειδικά γιο τφ· επίλυση περιβαλλο­

μα, ίδειχ'τ πώς μποροίιμε να βρού-

σας κο ιάφερα \'Ο διοβάσcιε μέχρι

,·τικών ιφοβλημάτωγ) που χρησιμο­

ε&:ι. δε'• σκοπεύω να σος "φήοω να

ποιεί λίγο ιΊ και καθόλου αιιειροστικό

ιο εγκαιαλείψrτc στη οιινι'χεια Ι.

λοyιομό. Κο ι αφού Ο\'Οψερόμασι~ σε

Φιιο ικ{ι, οι ιδrες rιου διrι ιυnώνο­ νιαι κα ι οι μrθοl>ιΗ ιιοu χρi)Οιμο ­

ηδι<ιφέρο\'tα βιβλίιι, ιό τιι .. Uιιi .

ποιοίι,•ται σc ιrιοιιι ιιροβλήματα Feι·­

G ras&(' Tγson πrριι'χει μερικά κεφ(ι­

ευρυ]1άθεια του Λριοιοιtλιι ιι

19901. Ο

Da"id

eκ ιιμφειςΙ. Εκεί ο

mi

εnεκιεί\'ονται πολύ ΙJCP"

nno

ιη

φυσική και φτόνου'' έως ιο πεδίο

ουηομο διαστημα θο σηοκιήσε­

or

δικό

Fermi. Το βιβλ ι ο

ιοιι

Οα ει ναι γιο ηολλοiις αιιοκο­

κατασκrυη μαθημαuκών μοντέλων

VI'J'SI'

/)σ ΙΙ•n Ιο Eaι·tlι 1 του N~i l rlι•

λαια t ιο ι κο ι ιο ;η

nou

σχειί(ογται

των καθημcρινώ\' δραοιηριοιητω,·

μr ιο παρό'· αρθρο. Σι η ουνι'χrιο του όρθρου στις πr­

fO\' και δίιοκολα Οα χα ροκ τψι(αμr

ριοοοιερες πφιπ~ώσtιι; χρησιμοηοι­

κσθημι:p1νή δραστψιόιηια ιο γι' μι­

ουηαι yρομματα yια την αγαπαρο -

σμο της Γης μr ιιμμu ι. Ηια,· από­ λαυση ιο διάβασμα και η χρηση δυο

I 0 0\"\' \ι κοι: U <\οι: αΙΙΟ~~Ι λQγΟΠniyν10: ω

Do" η to t.:Onh• σημαίνει ..μέχρι "(ι1(.! ιπη

~ξωρι~ιικών nηyώv ιιλφuφοριών γιο

Γη , ιι.\.\~ι Κ(ΙΙ μtιαφορι κά .. με φυο1κό κοι οrιλό

το θέμα. ιnιι Ιιιιιιιιnιι•ι·acy ιΑναριθ -

φόnο ~ • Σ. t•ιιιιι ι.. οιJμβ.•

OUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

17


σιαση τυπικών διασ ιάσεων η αλλ ω''

ιιές φορtς όχι και ιόοο φυσιολογικάl.

ιιοοοιηιω,·. Λυτό θα σας επηρεψει

τω,· ιιλιpοφοριώ\•. Λ υιό όλ, μόΥΟ μας εξοuιο,•ομεί σεβοο ιό χρημα ηκα ποσά

,.α κίινειε ης δικές σας rκιιμήοεις.

και ώρες χρήοης υπολογιοιών σε κά­

ον κω nρέrιει να αντισ-τaΟεηε οιον

ποιες περιπι6χιrις, αλλά ουξά'η και

α'• ιικcιμr νω'· με ιυnικη γραμμική διασταοη d που απαιτούνται για να

πειρασμό να οηικnιnο ιήοcιc αrιλώς

την εκτίμησή μιις για τφ· ισχύ ιης

yrμιοει ένας χώρος με τυο1κtς γραμ •

ιους οριΟμούς οιοv ιίιnο χωρίς να

αριθμητικής. ·εχω δει έξυπνους, μορ ­ φωμένους ανθρ6>rιοιις να μέ,•ουν

μιιιές διaο ιόοεις a, b, c, τότε ο κιι ιίιλ • ληλος tύno<; cfναι ο Ν= abc/ d 3• i\pfi

έκθαμβοι όταν συ,•ειδιιτοποιούν επι­

οιο Πρόβλημα ι μπορούμε να

ιιιφοκολουθiιοετε το'' ιιροιιγούμενο συλλογισμό. Είναι σχεδόν βι!βο ιο ότι

Έτσι. OHJ\' ζητάμε το πλήθος τω'·

γέθη ιω,· ΙJ\' ιuιrιμέ,•ωy 1yιιι παρά·

ιέλους τη διαφορι\ μεταξύ tω\' ι ο• s 9 I 11.5 μέρες! ΚΙ\ Ι ιων 10 S 132 χρόηο l.

uno· Οέοοιιμε ότι ιι = 50 en1. b = 60 cm. c = 20 cm και d = 4 cm, αηiστοιχα. και

δtιγμο. τω,· κόκκωΥ ιης όμμου Ι. Λλ·

~1rρικές φορrς χρειάζοηαι τα κο­

cnομέ,·ως Ν: 103. Στο Πρόβ.\ημα 2

λα σχεδο" εξίσου βεβαιο εi,·αι οτι

ιά.Uηλα Κi\•ηιρα γιο ,.α κατανοή­

υποθέιουμt όu

όλοι Οα επιλέξου'' ιις ιuπικές δια·

σουμε τους οριθμοιις (ή ιις έγνοιες~

ο ιάσεις (γιο το συyκrκριμr"ο παρά­

Σια οπλοuστrρο ιφοβλήματα

7 m ιμι'yεθος οχολικής αίθουσας Ι και d = 1 cm. Tόtr Ν= 105 · ι ο•: 10". Για ιο Πρόβλ ημιι 3 ιιαίρνουμε D = 9 m και rl =~Ο cιιι, οπότε προκύn ιrι Ν a

On έχουμε διαφορές οια τυπικά μr·

δειyμο l QtηY Π&pιοχή ιω\' 10'

1

a = 3 m, b = 5 m, c =

rom S

κτίμησης συγκοιαλι'γονται όσα προ­

ιιιιn, οπότε πιθιινως δr,· θιι υ.

κύmουν από σιιγκρίσεις μιικών. εμ­

rιt\ρχcι σημαντική διαφορ(ι στις διίι·

βοδών και ι\γκων. Έτσι. αν υ ι:iΥ<ΙΙ •ι

φορες απαντήσεις για την tάξη μcγέ·

ιιJΙnκή γραμμικιi διόοtοσ η ενός δε­

\'CΙΙ 101'. r\·ώ στο πρόβλημιι 6 η ιιμή

θαιις. Πρέπει να γί'•ει κα ιανοηιό η ως

δομένου αντικειμr,·οu ι για παρά ­

είναι μικρόιεριι από 1 150 km' ιθα

όnou- εμψοΥίζονιοι πηλίκα διαοια ­

δειγμα, μιας οiΟουσιις διδοσκολίοςΙ

tξtιόοουμε κω το δύο αιιιά προβλι\·

σιaκώΥ noootήtω\·, μπορcι

και

μαια οι η ουΥέχεια l. Στο πρόβλημα

dS2

''0

είναι

d< Dη

ιυrιικιι διάσταση εΥός μι­

ι ο'. !:το ι ιρόβλημα 4 η οπδνιφη εf­

5.

Ο\'αyκαια η μrιαιροπή των μονάδω,•.

κροrερσυ οηιιιε ιμι',·ου ,,,ο πορά­

ωιltf ΥΟ μηορι'οουμε \'α ουyκρl\·ου· με όμοιες nοσότηιrς. rιn λόγους

δειyμα. C\'ός σπόρου ιιοιικορ,· Ι. ιότε

ΟΙ ημtς D : 10' km και d= I mm μας δη·ου'· Ν= ι ιΟ' . ι ο" . ι ο• ι οι• ιο

Ν= D' d' είναι κιηά ορσσέγyιση ιο

Μια κυβική Γη. θσ α,·ορωιηθείιε.

πληρότητας δiνοηαι πραyμαtικrς

πλήθος τω'· μιιιρότεpωΥ οηικειμέ • νωΥ που μπορούν γεμίσουν <0

Μην ανηοιιχεiτε, αυτό το σημείο Οα το ξεnερ(ιοοu με χωρίς πρόβλημο ιδεί·

μεγαλύτερο. · ~~το ι , eιιιλέγον·ιας κο­

ιε ιο σχόλ ιο στο πρόβλημα

τάλληλο ιο

κu ­

κlιιω). Χρησιμοrιοιώνιος ιο γεγονός

κα1 λοιιιόγ, ιι oημnoin tχtι ιιν yνω·

τολήξοvμε σε εκτιμήσεις για ια rιιό·

ριζουμι· πώς ,.α εκτιμιjσουμε το ιιλή­

θος ιωΥ κόκκων της άμμου ιιου Οα

μενο ερωιήματα. Ι. Πόσι-ς μιιιi.Ιrς rοιι ι•κολφ .'(J)ει ·

όιι 1 m' υγρού Ινr.ρό, σούπα, αίμ<ι, κ.λπ.) ιοοδυνσμεi με ιο' lt, καταλη­ yοuμε όrι χρειά(οηοι Ν: LO'a κοιι.

yfμιζα'· ιο παλάη ιου .\Ιιιάκιγχαμ.

όζο,·τω ι•ια 1'11 Ι'tμισουμε μια βαλι ·

βάδες για Υσ αδtιάοουμε τη λίμνη

ιης βασίλΙσσας της Λyyλίος; ι Αλ.\α

ιοα:

ος μη μας μπαί,·ουν ψύλλοι σι' αυ ­

2.

λοχ Νrς. που έχει όγκο nεριπου 6 km < Πρόβλημα 71. Και αφού συ(η·

ηριΟμηιικι'ς εηιμήσεις

μερικές

οιιό ιις τιμές ίσως σας rκιιλiιf.οιιν. Αναμφίβολα θα τεΟεi ιο rρώτιιμα:

,.n

D κιιι d μιιορούμε >'ο

Πόσους σιιόρους ιιοιι κορν .'(J)ει­

= .

14 η(Ιρα ­

aζομaσrε yιn >'ΙΙ yrμίοουμc 6·11 δω·

λάκισηc; α" πιιοοΙΙαθiισουμε να ε­

μnιιο;

ιΙΙβεβα ιώοοuμε rφακιικά μια rcτοια εκιiμησιι. είναι ε'•θορρuνιικό \'Ο

Ποοες μπάλι-ς ιιοδοοφnί{χιυ _)jpει· αζόμαοrε για να γcμίοοιιμε ένα σπί­

cμ{kιδαύ Α. Τι ιιάχος έχει ro σrρώιιιι

γνωρίζουμε ότ1 εi,•αι διιναιός ένας

τι συνηθιομι'νου μcγι'θους;

rης μιιογιός;

rιίκολος υπολογισμός για ένα πρό· βλημα .. του πραγματικού κόσμου• με

Πόοn κύrrnpa πφι(γt:ι θpώιιινο οώμα;

βοοη μια ιuκρή ποσοτητο ιυδιάιφι ·

β. Χρησιμοnοιούμc ι'•·α λirμο μrιο·

3. 4.

5.

ro

ΙΗ'•

Πόσοι κόκκοι άμμου .'(J)ειόζο ­

ηαι yιιι Ι'α ι·rμισσυμε rη Γrι: I Σχεηκα εί,•nι ια ηροβλημοrα που ιιφορούν μέτρηση όγκου υγρώ,·:

6.

Ποιος είναι ο όγκος του ιιιi)ρ<.ί·

Ι::iναι φοvι:ρό πως δια'' μετράμε το ι\ σε u-ιραyω,·ικα μέιρα. ιότc ιο ηα­

χος

d =ι\ 10 cm. !Ία το •κυβικό οιιί ·

ιι · ισυ προβλημαιος

3

ιπου ιώρα.

όπως Οο θuμιιοιε, ε.ί,·αι yεμnτο μπά •

λες nοδοοφοιρουl. Α = 6 91 ιn'. έτσι d = 2 ι ο-< cm.

:

5 · ι 01

Όπως rfνιιι αναμενόμενο, ερωιή· οrις nολιιιιλοκότερι)ς φύσης ωιιιι­

aπαιτούΗtιι yιa ••α aδcιόσουμε ιη

tούν για ιις εκτιμήσεις μιις ιiιrιοuς

λίμvη rου Λοχ Νrς rκαι ~'11 ιrrιοκα­

μr πcριοοόιερους όρους. ·ι::τοι rχου.

.Ιύψουμε froι

μr ιο cπόμrνα προβλήματα.

ro

ιι'pαςι:

9.

Πόσο οδοηικό ,·ημιι _γρrιό(.ηαι

καθημερη-ης μιις ζωης σΥαπαρισιίι­

f>•aς Κ/Ιftιδικος ι•ια να δραnrιrυσcι

,·οηαι φυσιο.\οyικά ως κύβοι Ιμερι-

αιιό ι η φυ.Ια.κη: Σε πρόσφατο άρθρο

2. Ένn α>τοιο ιιροβ.\ιιια rιχτ. tξttό.<re.t ο Αρ · χιμήδηc;σcο tργο mH ..ψuμμίιι~· · το οποίο μο.ς

ΗΟΕΜΒΡΙΟΣ ΙΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1~5

yιάς για •·σ βόψ()ιιμε κάποιο κτίριο

πι νου aiμaroς or όλον ro•· κόσμο: 7. Πόσιι δn,~;ria ιου ενός λίτροιι

Μερικrς φορι'ς. αηικείμcΥα της

18

ιuμε για ι\ίφα. ιδού το Πρόβλημα

8.

τιιi .Ι Εκ ιός από τον κίνδυνο φυ •

κάποιος rφημερίδοc; παρουσιάστηκε η ιστορία ηός φυλακισμένου

or

οω­

rιιψtχε:ι k<ιι ενδιn cprριη,οι·ι: ιοιuρικές nλ1yxxpo •

φρονιοιικό ίδρυμα της Δυτικής Βιρ­

ρίες. (Σ. ι:ιιιut.. ου μΙ). Ι

τζivιcι που διιαπέιευσε ονεβηίνονιας


p πιονω'' ανα οικοyε νεια !γενικό p < 11. Ας υποθέσουμε

περιοχή. Επομένως, αν θεωρήοουμr

όu το nιά,•α κουρδί(ονιαι κατά μέσο

ολόκληρες οι Ηνωμένες Πολttείες

όρο

(yιΥόμοσιε λιγο φιλοδοξοι τώρα, ο λ­

t

ε να ν μεσο ορο

b φορές

'

το χρόνο Ι γενικά περι­

μέ,·ουμε ότι Ο

S b < 2).

αυιή ι η φορά ότι η rιεριοχή μας είναι

εnομέ,·ως το

λά αuιή ιη\• ερώιηση μου την υπο­

πλήθος nιά,•ων που κουρδίζεται κάθε

βόλλου\' ου,·rχώςΙ. το τε Ν;;; 2.5 1ft. ι I 2, Τ : I0. i 2. και επομέΥως

χρόΥο είναι ιιcρίπου

Npb

πι. όπου η,

εi,·αι το μέσο μέγεθος ενός νοικοκυ­ ριού. Αν ο κόθε κουρδιστής ασχολεί ­ ται με

n 1 πιάνα

την ημέρα <γενικά, Ο

;;;

ιο 11λήθος τω,· επιδιορθωτών υι1οδη­

μάτων θο είναι Υ= 12.5 1

10' · 1121 ,

(250 · 2 · 101 Ξ I ΟΌ

< n, < 4), κουρδίζει 250n; πιάνα τον χρόνο (ον υnοθι'οοu με 250 εργάσιμες

rηv οποία μcyaλι~vσυv τα μaλιlιιi

ημέρες). Ειιομένι.>ς, το πλήθος των

του αvθρώrιου ικarιi μfσο όpoJ οε χι ­

κουρδιο ιών rιιά νου σε μια περιοχή ( πόλη, χωριό, χι;>ρα) είνα ι περίπου

λ ιόμε rρa ο νιi ώρα. Α ν κόβουμε ι α μαλλιά κάθε n μήνες ισυνήθως π S 2J

Νpbι 250ΙJιιι,. Ας χρησιμοποιήσουμε

και το μέσο μήκος των μαλλιών

καποιους οριΟμούς. Λ ν, για την πόλη

κόβονται είναι χ

της Κέας Υόρκης. έχου με, ας πούpε.

ξηση του μήκους ιων μαλλ ιών είναι

Ν : 10'. ΙJι

5. b = 0.5. p = 0.2. n., = 2.

(χ Ιn)Ι(30 24 - l00Ι m ' h.ΑΥn=2και

-δηλαδή, ταf,η μεγέθους μεταξύ ιου

χ = 1,5. ιόιε η αυξηοη είναι περίrιου ιο • km h.

2

ιοu: π :ι ΙΟ

ιο ιΙΙι250 · ΙΟ> ;;;4-1Ο'

12. Εκιιμήοιr ιηv raxύrηra με

101 και ιου ι ο'.

cm. τότε η

ootJ

μέση αύ ­

Ας επανι!λθουμr τώρα στα α ι μα ­

11. Εκ rιμήοιε ιο nλήθος τω'' na σιο" εξωιrρικό τοίχο της φυλακής με

n

τηρό πρόβλημα ( ι ο υπ' αριθμόν

6. Ποιος είναι

έΥα σχοινί που το κατασκεύασε από

πουτσήδω'' σε μια ιιόλη ή μια πεpιο­ _yη. Α,· έ,·ας nιιnουισής χρειάζεται

mvoυ αiμαιος σε όλον

ο&ηικό νήμα. Εκτιμούμε ότι ιο σχοι­

κατά μέσο όρο ι ωρcς για μία επιδιόρ -

έγαν πληθυσμό 5

6!.

ο όγκος του avθp<..:ι ­

t<n• κόσμο; Για

ιο• ο τόμων. και

νί είχε ιο ηιίχος του καλωδίου του

θεωρώντας μια μέση ποσότητα

τηλεφώνου. ενώ ο τοίχος της φ υ λα­ κής είχε ύψος 5,5 m. Α ν θεωρήσου­

ιρων οiματος για κάθε άνθρωπο, ιω­ ιαλήγουμc σε όγκο

με ότι η διόμεφος του τηλεφωνικού

2

10 Ιι 10

κcιλωδίου είναι 4 mm και ιου ο&νιι­ κού νήμαιος 112 mm, tόtε το πλή­

v ;;; 5 .

ι ο'

4

λί­

. 4 lt "'

=2 · 10' m' . Αυτή η ποσό -

θος ι ων κλωστώ\' οδον ιικού Υήμα ­ ιος ιιου περιέχοηαι στην εγκάρσια

ιομη ιου καλωδίου εί,•αι 14 + 1121': 60. και α'' κιΊθt κουτί nεριεχει. όπως συη'ιθως. 5Ο

m

''ήμαιος. τιΊιε ιο πλή­

θος ιων (\ΠQitOύptγω\' KOULtώY

ti

' ...

...

a

ναι Ν Ξ 16 · 60) / 50: 7. 10. Δι:,Οrr μιιι εκι.ίμηση rου πλή­ θους a~v (1\•~πωv που κοvpδίζουv

θωοη, και αν ο μέσος όρος ιων εργά­

ιιιάνα oc μια συγκεκριμένη πόλη ή rιrριοχή. Ας θεωρήσουμε έΥαν σuνο­

σιμων ωρών κάθε μέρα είναι Τ, τότε

λι κό πληθυσμό Ν οcην περιοχή και

σε μία μέρα είνα ι Τ/ ι. Είναι προφα ­

'

το μέσο rιλήΟος των επιδιορθώσεων νές ότι μερικό ιιαrιο(ΠΙJΙΟ αξίζει να τα επιδιορΟώοοuμε ενώ άλλα όχι . Αν υποθέσουμε όιι co •μrσο ζευγάρι πnπουτοιών • εnιδιορθt:)\·εται κατά μέσο ορο καΟε με σε ρυθμό ι

n χρά'•ια. καιαλήyοu­ n εηιδιορθώοεω,· α,·ο

έτος. Σε tνα χρόνο

250

ερyάοιμω.­

ημερων. ο παπουιοής μας μπορεί ''α κάνει κατό μι!σο όρο 250Τ ι επιδιορ­ θώσεις. και οε nληθuομό Ν αtόμω.­ rπισκcυαζο\• ιαι Ν ι n ζευγαρια πα­ πουτσιώ'• κίιΟε χρόνο. Έισι οδηyου­ μαστε στην εκτίμηση Νι '250nTyιa ιο nλήΟος ιων ιΗιnουισήδωΥ στην

3. Γιο ι η'

f'.\λιιδα Ιμt πληθuσμο Ν= ΙΟΊ.

ηιδιαrκιιμηοηδιvrιl'• ι ΙΟ' Ι 21 1250 · 2 101i. 10' Σvμffω\'0 μt 10 O!IOtt..\toμoτo. Π}ς rpι'UYOC rρ)1οιικου δυ,·αμι κου της εtΥΕ. ιο

~ ιων αuιοοιιαοχολουμe,•ω'' υnοδη· μαιοnοιω'' ιδη.\οδη, κ υρίως ιοαγκάρηδων ) ιινω 2. 6ί0 Οοον nφορα ιο nρόβ.\ημα

10.

όυμφωνn μr ι ην ι δια ίρeυνα ιο πλήθος ttι)\•

κσιοοχcυαο1Μν και των χορδισtiι)\' ορyόγων Ι μαω tινω

180. αριθμός nou βρlακειλl.ιtπισης

οι ουμφ<ι)νίn μr ιην tκ ι{μηοή μας. tΣ.τ.μ.J

OUANTUM ι ΑΡθΡΟ

19


Paulos.

νίδα. Σiιμφω1·ιι με μια υπόθεση. το

μοριο αηοτε.\ειιιιι από μια ιιλυοιδιι

χωρά οε tΥον κύβο με μήκος ιικ μί}ς

ότομο- ι<ι:~·ό-όtομο- ...1 που rίνcιι ηε­

275 ιη.Θέτονται; •ιι ιψάy­

20'ί της μάζας του α ο ιι·ιισ.:ιδούς ε πι · κ(ιλυψr ομοιόμορφο tl)\' ιμόλλον

μαια .\ιyο οιο ωμά. και ιιφού το Σέ­

οφιλόξε,•ιι πιο Ι rrιιφ(ι~-εια της Γιις

. ελοφpού ·

ντρα.\ Παρκ εχει έκταση nερinou

-<1epίιιου 0.02 gr •cm'. Ερώιηοη: πό­ σο μεylιλιις ήτιι1· ο αστφοcιδής: ιΌ ­

δι'ι·rpου. ΑΙ'

rιως εξελίσσεται το ιφΟρο. nιθονόΙ'

ι ου φυλλC:ιμα tος r1·ός δητρου. το

ιιtριμένιιιε την Ι'()(;Ηησι) """"'είναι

τηια. όπως tιιιαημαίΙ·rι ο

ι2 · 10

1 1 \ ';;;

3.5

km • ό.\ο αυτό ιο οιμο lkι κα,\uοτε το Σέηραλ Γlαρκ φιά1·οηος oc βά()α; 1

περίπου

6

16.

ελαίου. Το π.Ιήθος ιωι· φύ.Ιλωι· ει·ος

r cίΙ·οι

η τυmκή nκ ιίνιι

Εκτιμψιιι· ι ο πι\ιjθος ιωv rσι ­

co ό1•ομα του οδηyού ""' λεωφο­

rμβοδόΥ ιιις επιφάι·rιας cου φιιλλώ­ μιιτος θα είναι 4πι·'. Αν τώριι d rί1·οι

γάρω•· που κnnΙ•ίζοηnι rιηοίως υιις

ρεiοιι;--. Μφ• ανi]Ουχrίιr όμως, Οο

ιστις ίδιες μονίιδες μέτρηοηςΙ το τυ­

ΗΠΑ. 'Εατω

φιοοουμε και ο' αυτό ορyότερο .ι

R εiΙ•οι

ιιικό μι'γεθος CΙ'όι; φύλλου. ιόιr μ ω εκιψηοη γιο το ιι.\ι)θος τω1· φύ.\.\ωΙ'

η οκτi,·ιι ιης Γης οι· cιη. η μαlο του

ιιου περιλαμβ(ΙΙ·rι ιο φυλλωμο εί1·οι

13.

μrφων!

ιιiιιου η σωστή τιμιj για έν11 μόριο

f

ιο ιιοοοοτό ιω1· καπη-

Λοιηο,·.

ri\'OJ

φιι~•rρο

on

Ο\'

2

ιιο ιεροειδούς εινοι ιιερiπου 4πR

0.02 · 5.

θα πρέπrι νο εξισι;ιοουμε

4"ι·'. d'. Οrιωοδήn!Ιιε το φύλλα

&"

κιιλύητουν ομοιiιμορφα την c ιιιφιι -

αυτή ιην ποσότηιιι με το γιΥόμε''" tι'J(; πυκνότητας εrιί ΤΟ\' οyκο ε\·ος κύβου με μήκος ακμής /. ιαυτή εil'αι η nπλυιιοιερη yεωμετριο που μπο · ροιιμε ''α χρησιμοποιi]Οουμε: ο όγκος

~ης μtγαλύτερι1ς σφ!ΙΙιιΙΙς 11ου ~γ­

γρcιφι·ιο ι οε eΥον κύβο ακμής Lδιιι­ φtρει αιιό toY όyκο ιου κiιβου κατό

ιιαριιyοΙ· ιο ίσο με π

G. I 2.

και έισι

η εκτιμησή μας γιο τηΥ ταξη μεγε­

'

'

θους &ν εrιι-ρεόζειωι. Ας uιιοθέσου ­

'

μr όιι ΙJιιίρνουμε μιο ιυπική για ιιέ·

φωμο πυκνόιηια ίο ι) με 2 g :' cιη'. οιιόιε 2L3 ;;; 0,4πRΌ απ' όιιου έχουμε

νειιι ιου φυλλώμιιτος. αλλά ου ιό tιιοορροnrίtαl !111ό tO \'C\'0\'ός όιι υιιίιρχουν πολλή φύλλο στα κλαδιά,

ζουν κiιθr μέρα. Τότε Ν • 2.S · 10' · 365 · fn 5' 1011 .(1\' f Ξ J0' 1 \ΠΟυ tίΙ•Ql

L ;; ι0,2ιιR'Ι' •. Αφού Η = 6.4 · 10' cnι. L Ξ 6 10' cm. η 6 km ιδηλοδή, τήξη μrγέθους 10 kml. Αυτη r/νcιι μια λο­ γική ιι μιί γιο έναν αστεροειδή tov κιιι

στο εσωτερικό ιου φυλλ.-;*οτος. Σr ένα μικρό &νφο Ι για nαράδrιyμα,

ιιολύ μικρό rιοσοστό οι· ούyκριοι1 με

οι δrl\·όσαυροι μιιορrί Ι' Ο έχουν α­

λωμα έχει ιtκιίνα ι· ;;

άλλες χώρες ι και

νιφρήοειςΙ.

;; 3 cm. επομένως

στώ1· σtΟΙ' σιι~·ολικο π.\ηθυομό και

n

ιο μέσο πλήθος τmyάρω1• ιιου καnvi ­

n: 10.

14. Το πρόβ.\ημσ

ιου αοιrροcιδουι;.

15.

ΊΌ nιίχος r•·ος σιpώμσrος .\α­

or

εtώΥ\ το φυλ­

1.5 m και το d Ν-;;, 3 · 1Ο' ~ηλα­

δή. )'C\'Itιά μια τά~η μεγέθους I 0' με

10'. α\' συμηcριλοβουμε και μεγολύ­

ορι'οrι \'Ο ιιαίρνει το φιΊρμοκό τοιι.

εξωτερικιi ιιιμόσφοφο ιου Δlιι. ειέ ­

Λέyrιω ότι ο Βrνιαμίν Φρογκ.\iνος

17. Εβδομιιδιιιίtς rισnρ(ιξι·ις οε cι•α

θη ιο φι;ΙΙημα: Οα μπορούσε να ο•ιμ­

nιφιιιiΙΡησι· nως όταν χιίθιικε σr μιιι

βεί αυτό κιιι οιιι Γη; Ίσως έχει ήδη

λιμ,·η 0.1 cιη' λαδιου ιήιον άριιγ•

ουμβει -υπάρχει η θεωρία για τη1•

μουρου,·ε.\αιο; t ι·ξιιn.\ώθηκε σε μια

κnrιίσιημα. Λ1· ωιίιρχοuν 11 1 ιαμείη ιιου cξυπηρετοιίΥ 11 πε.\άιι•ς καιίι 1 μέσο όρο ιη1· ώρ<ι. αΥ η μέση ωιόδει­

εξαφό,·ιοη των δεl\·οοαυpωΙ' Ιοχι

ιιεριοχη εμβαδου

dείνοι το

ξη πελατη είναι ι< δροχμέc; και α1· το

αυτή ιου Gaι·)· Laι-sonι' ούμφω,·α με

αάχος του οιρώμιιτος σε μέτρο, τότε

την onolα ιιια τέιοια ούγκρουοη έγι­ εκιιιομμύρια

40d 10 '. ειιομέγως d 25 · 10 '" m. ή 25 Αιιi{Stι·οηι. 'Εχtι ενδιαφέροl' όιι

κιιιόοτημιι είΥαι ανοικιό n ) ώρες ιη1· ημcρο. τότc μι ο μέση εβδαμαδιαί<t ι•ί­

χρό,·ια- σε αυιή rιι1· nφίιιιωοη με

αυτό α\'1ιοιοιχεί σr ένο •μονομιιρια­

έΥα\' αοτrροrιδiΙ. Η σκό,·η οπό τη

κό• οφώμα

65 ιιερίπου

συyκρου011 καιακάθtσe τrλικο στφ­ εηιφάΙ·ειο της Γης, αφού πρώτο λ ει­

κιιl'ένα\· δη

15-20

Με αφορμή τη σuyιφουση του ιιιρώ­ ηνι κομηιη Shoemaker - Le,·y με τη,·

νι: πρι Ι• ιιιιό

διου. ΙΙιΟαΥότατο.

ένα κωνοφόρο

40 m'. Α1·

=

=

10- 12

ιιιόμω1· ι όπου το

τεριι δέντρα.

σ rιραξη είνω

R ;ι 6n 1n2 n3 x δρι;χμcς. Αν, για ποράδrιγμιι, n, =5. n, =~Ο. ιι = 8 και -~ 2.000. βρίοκουμr όιι R 10' δραχμές. 18. Ημερήσιο rιοοοοτό ιJα,•άιων σε

=

=

τούρyηοε ως οrιοιελεσματικόtατο φίλτρο οιιιν ιιλιcικr\ ακιιγοβολία. κα­

μια nό.\η ή rιrριο_γιj. Όια1· σε μιιιιιόλι1

ταστρι'φογτας cτσι χλωρίδα και nα-

ριθμός θιινάιων ιην ημέρα tόιιως

4. Ο Cary Larson tl\·αι οκΙΙΟΟ\'ΙΙΟφος. 11 θοuμάοκι \'f,\Okl\llαφια tOU δrt:(''1'1 μια ηαριn oyp1(,mώ,• δtι,·οcχιιφωΥ λε(ίινtn γpι'ιφtι:

nuu καm'1(ftUY, ε':ώ η

11 rιροyμuιική οιηn της e{cΊ­

φ(η,υης: ~(.\\' &·1\'ΟΟαύf.Κι>''...

20

NOEMBPIOI 'ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1995

iΙιιrριοχή ιιλιιΟυσμού

n1 ο

μέσος ιι­

ιιροκύmει, ιις πούμε. αιιό ιφ· οιήλιι ιω,· κοΙΙ·ω,·ικώΙ' σ~η,· τοπική rφημε­

ρίδοι είναι

n,. μπορούμε βάσει ιιηλής

ιιναλο\;ας να εκτιμήσουμε το ημερή­

σιο ιιοσοοιό θαν(ιτωv οε ολόκλφη 111


τάμr βρiσκrιιιι ως ιιρος το πάχος

t

τόξη μrγrθοΙΙς ίδιο rιrρίηου μt τη.•

ιου ιυιιικου ΙΙt1 λμαιος Ιcνός και ­

ταχυτητα ιιυξηοης ιω•· μα.UΙώΥ! θα

•·ούργιου .\αστιχου Ι στ φ· ίδια α·

μηορουοιιμι· ιu~ις •·ιι χαριικ 1ηρiοου ­

νι1λοyια μr 1ι1•' nερψcιρο

μt

.\iισηχου ως προς

2nR

του

rn

rιιιιδιίι ως υηrpαΥαmυσσόμε­

101· μc'οο ιιΥαμε,·ό·

,·α η UΠ()(ΙΙ'αΙΙιυσοόμrνο αl'ά;\οyα με

με•·ο αριθμο χ1λιομε φω1· yια ια λό ­

το Ο\' μεyαλ~Ι\'ΟU\' ιnχυιερα ή όΧΙ

οιιχο. Ειοι.

d a 2nRι ι. ιιn· όπου y1α R ; 30 cιn. L • 80.000 km. t = 5 mm ΟΙ'τισιοιχει φ()ορό βiιθσvς d =10 • m1n. 21. Πrιyκόσμιο /Όύι•ιοισκ. Λν nροο •

αηο τα μαλλιιι τους!

φcροvμε σε κάΟε άνθρωπο οrι1 Γη ιιρ­

κές ητφεις. Ο ιισ φοΙ·όμος F1·ank

κετό χ6Jρο ώocc •·α κιιΟι-ιιιι σιο έ ­ διιφος χωι>iς Ι'Cι cικουμnίι κίιnοιον

Dι·ake έχc 1 κιi1·ι· Ι

διcιtυrιώ••ο•·τσς ttl\' ιιι·ρίψΙJμο τύοο

ίιλλον, rκιιμήσιε το μηκος της πλευ·

ιοu

D1·ake . rιou δη'Ι' ι ιο ιιλΙiθος Ν

ριις ιού ιr ιριι yι~•·ou ΙΙΟV θα χωι>ούοε όλι>ΙJς ιους ιη·Ορώnοuς του nλι"•ήιη

των

τεχ•·ολογΙκο <ιΥnΙΙιυyμέγω,·

Nn, "Ι' F.i•·ω qi\IY~J)Q οτι η cτκvρό ­

καθισμέ•·ους με αυτό•· τοΥ τρόπο. ΑΥ

λι:ιξ>ι:ι μας. Ε&> Ο όρος · ΙCΧΙ'Ολοyικά

tητα αυτης tΙJ<: απλοiκης ιι•·άλυοης

παραχωρησουμε οε κιιθι· ι'ΙΙ·θρωιιο

α.-απrυγμηος

tl\'αΙ περΙορΙομr•·η. Η θ•·ησφοτητα

6·α ιrι/)(ιγω•·ο nλrυρός ι

ότΙ αφορά nο\ιτιομοuς

αrΙό X<iJρO Ot Χωρ<! δΙΟψq>εΙ ΟημΟΗΙ •

το μηκος ΟJς ιι.\rυρας του μcyά.\ου

κά. Οπως κο1

τι:τρογώνου tl\'oι ι: 15

~

t f 30 >~· .. z~ I I

...

χώρα cμε πληθυσμό Ν Ι. ΈτσΙ. d

•·n

=

'χεΙ. μr ιιιφόμι>ιι>

ιρόπο μπορουμι· •·ιι κ<ιΥουμr μια ε­

. ι ο·

2 οι. τotr

ιοΊ'

'

ι

2

Τα unόλοιπιι rιροβλημιιια rκτiμη­ σης αφορουν τ η\' •'ι•rιιvιι sι::τι yια εξωyηινη νσημοούνι1 και τις διαστρι ­ LΙJV ιιροεργοσία

ιιο.\ιιισμώ•• που υιιιιρχουν σιο Γα ­ μnορrί •·α θι-ωρι}θrί

11011 tχουν τις

iδιrς ιοιι.\ι\;ι;ισrο•• τrχνολοyικtς ικα ­ \'Οrηιες

110\1 rxouμr στη Γη.

Εται. 0\'

χ. εi\'αΙ το μεοο 11.\ηθος ιω•· αστρω•·

km z 35 km.

κtίμηοη · κοτωτερου φράyμ<ιtος• γΗι

2'2. Εrιιqκr•·rιrι κrιι όyκος rου ω· ­

ι η θνησιμότητα σε μια ολόκληρη χώ­

Οp<:>πΙΙ·οιι οώμrιιος. Για •·α εκτιμη ­

του Γαλα!,ια. '. t'l\'lll ιο κλάσμα των ιισιρι.JΙ' nου σu•·οδι·ύο,·ιω αιιό uλα ­

ρο. Έιοι. ιι•·. για nαρiι&·Ιyμα. n 1

οοιιμε ιιv ιές ιις ποσότητες χοντρικιί

νηιικό σ(rστηpα, η,. tiYoι ιο μέσο

=10".

n, Ξ 30. τ;ότε ο αρΙθμός τωΥ θcl\·άτωΥ

ΙΙλl]θος τω•· ηλιη·ητ~Ι\·

ημερησίως σε όλες τις ΙΙΠΛ. όαου Ν =

ιουν ιο κιιιόλλl}λο nφιβίιλλο1· για

2,5 · I Ο'. ι•Ινηι d " ϊ.Γ>ΟΟ.

ζωή αν(ι ηλανητικό σύστημα, Γ, ιο

19. 1Ό ιι.\ιjΟσς ιωι· φύ.Ι.\ωv της

διcιΟέ ­

11 011

κλ(Ίιιμcι ιων ιιλανηιών όπου πραy ..

χ.\ιίης οι· όλη ι η Γη. Α ν ιο 40'ί της rης ΚιιλύιιtC'LC\1 (ΙΙΙό ξηρό, <όtt tνα

μοηκό ονοnιιΊtΗΗ'ι(Jι ζωι}. ~ ιο κλiι

ποοοοιό

Η \'Οιι ιι'JΟΟΟ\'tΟι νοι]μονcς ορyανι.

e

σμα outιι)V tW\' nl'~ πλανητών όπου

r, αυτής της ξηράς καλύmε ­

ιαι αιιό χλόη. Λ" το μέσο πλήθος

<ηιοι.

φύλ.\ω\' χλόης ανά ιrφαγων1κδ εκα .

ημΟ\"(ι)\' rιδώ\·

-

f

ιο κλciομα ουιώ•· ιω•· •·ο·

oou Ο\'αnτύσσουν

no.\ ιτιομό ο 011οιος μ11ορει •·α εmκοΙ ­ •·ω•·ti. ΚΟ! 0\' fι εfγαι η μέση δ1αρκε1α

~

nυιων ιων ιιολιοηομώ,· ως ποσοστό

της ηλικίας ιου Γαλαξία. tόtt nλλίι γρηyορα. θrωροίιμr rναν κύ ­ .\1νδρο με aκtll'(ι ι· κnι ύψος

h:

α•·

Ni

r

N.f,.n/.~~f, .

=15 cιη και h ;; 180 cm. ιόιε ν; πι·'h Από τις εητιι ποοόιηιι·ς ο ιο δ>·ξιό μέ. ;; 0, 1 ιn', και S =2πι·Ιι : 2 πι'. Τ6φιι λος αuιής ιης πιιρiιυιιιοης. η ιφ6)τη . ' . είμrιστc σc Οcσι) να επανί·λθουμι: σ-ιn '

ι~ινω fιοφονομικ ης φυσεwς κω ε ινω

Ιlρόβλl}μfi

y%Ισιό όιι ισι>ύτοι περίπου μ ε

4.

4. Εκιιμιjο1r ω ιι.\ιjΟος rω•· ιωr­ ιοοιο rινιιι ιι. ιόιε Ν Ξ ι0.414πR'f,n.

ιiψ<JΙ' ιυιι n•·θιχ.)ιι/\·ου σι,Jμαrος. Λ ν

Έιοι, ο•· R 6.4 · ιο• cm. f 1 : 10 η 10·> ιαυτό είΥαι δύσκολο να το

υnοθrοιΗιμr όιι η μι'ση διάμετρος ηός κιιιι(ιροu rίνοι 10 μ. Ι\ 10 ·, m.

εκ ιιμήσουμε χωρις λ ι γη εpcυΥα Ι κιιι

και rφόοι>•· από το προβ.\ημα

ιι ;, 20. τδu: .ν • ι ο'• η ιο".

χουμε ν : ι ο I m'. ΠO!p\'OUμr Χ ; ι ο 1 ι \0 ι• a ΙΟ" κυτιαρο.

=

1

Λ ς επισψtψουμε τώρα σε μια πα ­

ρολλαγή ιου rιροβλημαιος τω•· r.\α­ σ ιικώ" ιοu aυτοκινήτου.

:2.3.

22 ι··

Ο μrοος pυΟμος α•·απrυ~ης

4 10 • Οι rιιόμενοι δυο οριΟμοί εί.-ιJι βιίιιιμrς 00 ιρο••ομικές εΙκασίες. Οι 11

ι·πόμrνοι δύο ( (ι ΚΟΙ ~ι f\\'01 βΙΟλΟ· yικης φ\ίΟt<•><:. ΚΟΙ tδω Οtηpιζόμnσrε or εξαιρrιικα οαθρ<ι θcμr.\1α, ε11rιδή ο ΟCΙ\1Jαηκος χι;φος ιιηοu:λri<αι αιιό ε•·α μο•·ο ο τοιχrιο rμος!ι. Οι δuο ιε ­ .\rυιnιι>Ι αριΟμοι rχου•· ΚΟΙ\'W\'Ιολο­

Ποιο ι:ί••α1 ιο μέσο βάθος φθο ­

e•·ός ιιωδιού nιιό ιrιιητηση ισυ rωc; τα δι:καnκι<:ι. Κοιιι ιη διάρκεια ιιυ ­

αr1οψη ο υπο.\ογιομος ιους ει .. ιιι κα ­

ράς ι ου πι'.\μnιος rvoς .\άοιιχου αυ·

tό\1 Ιό\1 χρονικι>ιJ διιιστήμαιος η -τα·

Οαριι μαντεια. ε το ι. οι ιιρΙθμοί 11Ου

rοκινιjιοιι α••ά rιcρισιροφιj: Εδώ η

χύτηt(Ι ιο (1\'(ΙΙΙ ιιrξης ΙΩΟΗ tnΙ κη tα

t11ι.\Cγrι κάποιος εινα 1 ε•·δεικιικοί

ιιΙΙ ί>Vιι}ΟΙJ μιιορεi να βρεθεί μtσω

npοοί-γyιcΙΙ} μι· I Ι ι,,- /ι ' 1 ιs 0.0015 18 kιn i·ιcιι; ;, 10 111 h -δηλαδή.

11 σvνι'_ytια σrη σελ. 34 ι::>

:20.

ιιπλής ΙΙΙ'n.\ογίας: ιο β{ιθος

d

ιιου ζιJ·

=

yικο χαρακτηρο. και

ano

QUANTUM Ι ΑΡΘΡΟ

αuτη ιφ·

21


-- -

/

委 喂v -


Η τέταρτη κατάσταση της ύλης Ούτε στερεή ούτε υγρή ούτε αέρια

Alexander Kingsep

ΙΙΙ'ΓΡΕΨτΕ ΜΟΥ Ν Λ !.:ΛΣ ΑΠΕΥθΥ­

ε κι10μηές βρcιχέων ρηδιοφωvικών

νω μ1α άμεση καΙ σαφή ερ~Ηηση:

κυμ(Ι tω\', Τα εν λόγω κύματα χρη­

το rιρόβλιuια αυτό, η ανΟρωnύιιιια θα διαθέιcι μια t\•εργειακlι ιιιινΙι το ίδιο

ΙΙΟΙα είναι η 1110 συνηθΙσμένη κιι ­

σιμοποιούνται στις ιιιλειιικοινωvίες

αnοτελεομαιική μι· ιους ιωρινούς

τάσταση της ύλης οιο σύμηα,·;

μεγαλων ιιποστάσεων, κnιαφtρvουγ

αντιδραστφες σχάσης αλλό οημα­

Η ο τερεή θα πείτε . .\άθος! Η υγρή μ ή­

''τικα .\ιyοιερο εΠli<Jνδυνη. Μια τέτοια

πως: Όχι. αλλ α rxeιe μια ακόμη ευ·

δι- να δ1n '·ύουv τις αποστόσεις αυτές χαριι στο λεγόμεvο κcιιοιιιρο πλά­

rγερyειακή πηyή θα tl\'aι σχεδάΥ

καφία. Ε, τότε σίγουρο θα είναι η ιιέ­

σμαΊος που ι1αρέχει η ιΟΥόσφαιρη

ανε~nvτλητη και οικολογικn καΟαρη.

cηιιήv ανακλώνται το ηλεκτρο­

Σtις μέρες μας οι περισσόιrροι φυσΙ­

κιηόοιαο η tΙJς ύλ ης οε ολόκληρο το

μnγ\'ι}τικά κύμα ιη ιιου εκnέμπουν

κοί ιου πλάσμα τος α JΙα σχολούντω

σύμπαν είνω το πλάσμα· ο' αυτή LΙJ

οι ροδιοφωνικοί ο ιcιΟμοi βραχrωΥ

or

φόοη βρίσκεται το μcγαλύιερο μέρος της δημΙουργίας. Α υ ι η η ιιλφοφορία

Ι!:χήμο I ι Δε'· εί,·αι ιιαρα~ενο λοιιιό\' που έ,·α τόσο ευρυ φόομn ο\'ΙΙκειμέ ­

τα ΟU''"Jξης. ~ ιούτο το άρθρο θα \'''ωρίοοuμr

μαλλον σας γε'"''ό αμφΙβολίες. αφου

γωγ και φοι,·ομt\·ωγ έχει αποσrιόσει

ορΙομr,•ες μοΥο πλrυρι!ς του π.\ά­

και εσείς. όπως και όλα ια όντα γύρω

ιην nροσοχη και το ε,·διαφερογ τής

σας, εί,·ω δημ Ιουργήματα από στερεα

ΚΟΙ\'ότητας των φυοικωv. Άμεσο α­

ομοιας -θα ασχοληθουμε κυρίως με τις n10 βασικές ιδιότη ιι'ς ιου.

κα1 υγρά ιιλl!(ά.

ιιοιέλεσμα ••1ς προόδου στη φυσική

Ε

pΙΟ. ΛυπάμαΙ, χί!οαιε!

I!

πΙο τumκή

-()'

του πλάσ μα τος είναι η εφεύρεση

ουνΙiθως ως Ιονισμί·νο οέριο. Σιην

ιιολλώΥ συσκευών και ορyόΥων. Το

Με τιJν πρώτη μι1 ιιά. το πλάσμα θα

ιιρογμαπκότητα αυιό δrν εiΥαι απο­

ι'πρrπr ,.α είναι πιο ·οεριώδεε;• από

λύ ιως οωοτό -i). γιο ,.α είμαστε ΠΙΟ

κύριο πρόβλημα όμως που εμπνέει συνεχώς την πρόοδο οι uυιό ιο πc ­

ακριβcίς. είναι τόσο σωο ιο οοο κω οι

διο είναι η ελεyχόμε,·η nυρψική ού •

κλίμακα θερμοκρασΙώ\' βρίοκηαι

ειιόμενο1 ορΙσμοί: •τα υγιχΊ ε1ναι τηy ­

v ιηξη.

η οαοlα, ό11ως πρεσβεύουν

υψηλότερο από τη θέση ιων αερίω,·.

μέ,•α στερεά•, ή •τα ΟfρΙΟ είναι υγρα

πολλοί. θα αποτιcλι'οrι ιην nιιyή ε ­ νέργειας του μέλλον ιος. Εάν λυθεί

Ας rιαρουμe ως οαράδειγμn ιο π.\ά­

έχουν εξατμισΟti•. Ο1 1δ1όιηιες

cνα αέριο. Πράyματι, η θι'οη ιου στην

ομιι υδρογόνου. Για να μeτοιρέψου ­

ιου πλάσματος ( ιουλάχΙστον ι ου ιυmκού πλάσμιηοςJ διαφέρουν ου­

<rυyάρι Η '+ Ρ.. χρειαζόμαστε ενέρ­

σιαστικά από τις ιδιότητες των αε •

\ΨΙΟ Ε

ριω\·.

το

κατώφλΙ δΙCΙχωρισμου rι,•αι ιιολυ

ιης ύλης, η οιιοία μάλιστα καrέχει

χαμηλοιrρο, ι<J έτσι δc'· ιο λαμβά ­ νουμε υπόψη.ιΤι'ιοιας Ιονισμός μnο ­

IY αυτό οι φυσικοί Οεωρούv

μr ιο ουδέτερο Ιιιομο υδρογόνου στο

~ ολασμα ως τφ• τέταρτη κατάσταση '"' τιιν υψηλότερη θέση στην κλίμακα ] · θερμοκρασιών. -& Καθημερι ν(Ι ι1ν ιικρiζετε αντ1κεί • ~ μrνα πλάσματος - tO\' Ίiλιο, τα ό · 3 ο φα. Συχνά βλtπrιr φωτει,·ές nηyrς .:; ιιλοομοιοε; ~ιn οπό ,·έοΥ. Όλοι :>: μnς είμαστε εξοΙκειωμtvοι με ιο βρn ·

I

0

ν

ο

ο

φ

ο

ρ

ο

~

.1uo φvσrκα nnιxrιμtτfl n.\tιιη.ιιι r« και μιιr

§. οσιροπή. Kn1 όλοι Υ''ωρι(ουμε y1α "ς

ρrι \'Ο συμβεί με πολλούς ιρόπους, ιιλλiι για να διcιτηρηθcί ένο νέφος

or

ου tJJ τ11ν κο ι(ιο ιαση.

η Uερμοκροοια πρέπει

Σχημa1

χύβιο φ<ΙΙΥόμο·ο 11.\άσμcι τος. την

= 13.6 eV Ξ :.!,18 10 1' .J. \Το

υδρογό\'ΟU

-

·~

το πλάσμα ως συνεχές μέσον

Παλωό ιερα ιο πλάσμα οp1ζόιαν

nou

~ ο

ιι'ιοια αροχωρημι'να nρογράμμα­

.\αχιοιον Τ

Ξ Ε

\'Cl

rίνnι ιου­

, k Cόποu k η σια ­

Qεpα ισυ Bolιzmaππ που ισούται με

1.3b

10 ·' J Κ =I eV 1\.600 Κ ).

ι~νιμαιικη αnαδπση rη<; ,-ιιιιδιοt'λnομαης σr

ΣιιJ'' ιιραyμαtl!(όtητο η θερμοκρασία

μιτιι.\ι•ς uιιοο rnσrις

μnορcί να είναΙ λίγο χαμηλότερη,

QUANTUM ι ΑΡθΡΟ

23


αλλά δεν παύει να είναι της τάξης μrρικι~ν ~V.' Αιιιι') η θερμοκρασία

και το yεγο,•ός ότι έ'•α τέτοιο σ ιρώ •

ο

βρίσκεται ΚΟ\" ιά Οtη\• επιφανειακή

μα υπάρχει. είναι αμεση απόρροια ιης ηλεκ ιροδυ,·αμικι')ς ιού Max,νell. Η

θrρμοκραοια tω\' αοτρω,· (είναι α.

δύ,·αμη που α''ΟΙΙιύσοrιαι. α'·ά μο ­

στειο. α.\λό έ''α τέτοιο nΑάιηια ονο ­

'·άδα επιφανειας ουμφω,·α με ιο νό ­

μαζειαι

μο του

• ψυχρο•!J.

Το αΑάσμα σύ ­

''ιηξης ι·ί,·οι οημαηική θrρμόιιψο

ιθrρμοκραοίες ιης ιcιξης ιων

10'

ΚΙ·

ιο ιιλόομα ο ιις λάμιιες νέον είναι αρκrι(ι ψυχρόιcρο. κι έισ ι είναι μr­

ρικι;ις 1(1\•ιομέ,·ο. Αιιιό είναι ένα ε-

ο

Ampere. εί,·αι jH και

δρα ιτά­

θειο σrφ· cηιφό,·εια του πλασματος. α11ό fξω προς ια μέσα. ΕπομέΥως

Σχήμα

ασκείται πίεση στηγ επιφάνεια του

2

πΑiισμα τος. και αυτή cικριβ<:ις ιιροκα­ λεi rη μαγνΙJΙικι'j πογίδευοιι.

Μι ι •Ψψικι) φιιι.\η

άλλο τρόπο. Κnι nυτό ιικJ>ιβ~ις ιιοιι

Ένα άλλο ανόλογο παράδειγμα.

χρεια(όμοστc εί,·cιι ~"" κιι ι(ιλληλα οχrδΙασμέ\•Ο ισχυρο μαγγητΙκό rιt­

ίοως ιο πιο οηλό και εvκολοπαι>ητή­ fΙηιο, tίναι ιο λεγόμενο φαιγόμενο

Όλιι τιι οtρι", ιικόμη και οι αιμοi tω\· μcταλλιι)\1 , tiYHJ n<ΊYtntt κιtκοi

δίο. Στο σχιιμα

αρχη σι ην οιιοίn ο τφi(ι·τω η μαγνη­

οιιοιολίις ιΣχιίμα 4α l. Φανταστεirε μια κυλl\•δρικη ο τ η.\ η πλιί<Ιμα ιος

αγωγοί. Α ιι ι ή η ιω ιiιο-ιαοη, όμως,

τικιJ φια.\η Ι που λι'γεται κω παγίδα

ιιου διαρρέεται

ιιλλιι(rι δριιοιικ(ι σε ιιερίιιιωοη ιο,·ι­

κατόmρου η nαyiδα Budk~rl. Για \'Ο καιανοήοουμε τυ,· φυαικό

κος rού αξο,·α της Ιστψ πρσκrιμf.,·η

j

'

ιι ι χριρ ημ" υ ιι φ ιιις αιιοψης οιι ιο

ηλ<Ίυμη ι:iνω ι.tιιο αερι~Χiες ηηι) έγcι οέριο)ο,

σμού. ΊΌ πλασμα μπορει ''α είναι

2

φαιητοι η αηλή

ono

ρcύμα κιιιίι μή­

πολυ καλό<; αyωyος. οπωc: yια ηαρα­ δrιyμο ο χαλκό<; η ιο οοημJ οτη στε­

μηχο,•ιομό rου μα\·,·ητικού περιορι ­

ιιερίιιu.χιη OC\' μας ε'·διαφeρει εά'· ιο ρευμα βριοκcιοι σrη,· επιφό,•εια του

σμου. κιιι ουyκrκριμέ,·α την αρχή

πλασμα tος η κιιιιt\•εμe ιαι σε όλο τον

ρεη κιιιίιοιαοη, κι αuιό εξαριάτοι

του μοy\·ηιικού καιόπιρου. πρέπει

κύλl\•δραJ. Εi\'οι γ,·~ιστό ότι rιαραλ­

από ορισμένες παραμι'τρους ι κυρίως

να αναφερθουμε στο Σχήμα 3. Όιrως ήδη cη·αφrραμε, ω τυrιικό ιιλiιομα

λιιλοι αγωγοι που διαρρεοηαι u"ό

των οωμαιιδίων). Ως εκ ιοίιιου, η

είναι κcιλος αγωγός. Λυτό σημιιινει

ωιις. Αυτό αnοιελεi βασικό στοιχείο

μακροσκοπική δυναμικ ή του yiνειrιι

οις ιιλεκτροδυναμικής. Έτσι, στην

πολύπλοκη από τ11 στιγμή που οι μη ·

ότι ένα ε~ωτερικό μαγνηιικό ιιεδίο ο υ \'Ο ν ιiι δυυκολ ίιι ο to νιι διωιερ<ι­

rιερiιηωοή μος ο ρευμσ ιοφόρο<; κύ­

χα,•ικfς ιου ιδιόιητες οuνδέονιαι

οrι ιο χι~ρο rιου καταλαμβάνει

co

λινδρο<; ιιλiιιψιιιος πρέπει \'Ο συ ­

στενά με tις ιιλεκτροδυναμικές του

ιιλίιομιι. Οι ερευνιιτές στο πεδίο της

υφiγγrιιιι ιι rριμειρική κατά μίικος

ιδιό ι η ιες. Λυτό μπορεί να θεωρηθεί

υηεραγωyιμc)ιηιιις γνωρίζουν ΙΙολύ

ιο κύριο χαρακιηριοιικό του ιι.\ή­

καλό ουτό ιο φωνόμε\'ο. που οΥομά­

της ακτίνιι<; ιου. Λπό ιην ι\ λ λ η rιλευ­

ο-μοτος ~τι η ηλεκτροδυναμική παί­ (ει εξαιρετικά σημοηιιιό ράλο σε

(rιαι φαινόμενο Mcissncr. Το πλά­ σμα βιοβαίως rί\'ΟΙ πολύ καλός αyω­

οιιοιοδιιnοu πρόβλημα σχειίζεrαι με

yός. αλλά όχι tέλειος· έτσι. μια τέτοια

τη Οερμοκρασια και την πυκνότηω

π.\όσμα και σε οποιοδήποτε φαι­

διείσδυση δε'· el\·αι εντελώς αnαyο­

,·όμrνο ιιλοσμαιος συ\·αηάμε. ΕΙδι­

ρευμενη. Το (ητημα εyκειται στο όιι

κότερα. η ροη πλάσματος παρόyει ένα

απαηειται πολυι; χρο,·ος. συyκρη·ό­

ηλεκτρομαy,·ητικο nεδ1ο. ε,·ώ η tU\"YJ•

μενος μr ι1ς ωιι1κές χρο\'Ικές κλί­

ο ιι και ιι ισορροΙιία

μηκι·ς ιης διινιιμικής ιου ι~\άο-ματος.

ro

1ou

καθορίζο,·τιιι

τελευταία ιδιότητα αποδεικνύε ­

Ει'"· λοι11όν ιο μnyνηιικό πεδίο δεν διαπερ,·rι το ιιλfιιιμιι, ιφf:ΙΙtΙ νιι οηω­

ι ω ιιολt'ι χρίιοιμη για ι η ουγκρό Cl)·

θι:ίτα ι απ' 11 υτό μέσ~> ενός λειι ι.οiι εnι­

από τα πεδία

11 οιι

1011

nou

δρουΥ πάνω του.

nλlιομnιος. Το ιιολύ θερμό

ομόρρσιιο ρεuμιιιιι έλ κο,·ται μεταξύ

ρό, η γνωσtη πίr.οη λόγω θερμικής

κi,•ηοης rΟΙΙ ιιλόομοι.ος αηιο-τέκεται σε αυτή τη'' πtρίοφιξη. Η ισορροrιία που επιτυγχόνειαι καθορίζει τηΥ

ακti\'Ο ι ης κυλl\·δρικης σιή.\ης. τφ·

φιινειιικού υιρώμαως ειιcιyόμενου

πλlωμιι, όπως ιο πλlισμα σιίνιηξης,

ρεύματος. όπως φαίΥετιιι στο Σχήμn

δεν εη·ο1 δυΥutό'' να τοποθετηθεί σε δοχι·ίο, όπου θιι βpίσκ~τω οι· eποφή

11

επιφανειακή nυκ νόιητα

3. φορτίου j,

με το το ιχώμαιίι του. Τέτοια ειιαφή

θα προκαλούσε και πολύ γρήyορες Β

f\'fpyrιoκrς αιιωλeιeς και uολύ γρή­

yορη CΠ(Ι\'ΟΟυ\'ΟCση tω\' σωμα ιιδιω\• του nλασματος ι π.χ. Η- - e -+Η ι. Έισι. εα,· θc.\ουμe ,.α περιορίσουμε

.,..

· παγιδεύσουμε•

φGJ\ ·<ι μ.r ιηοχtοι1 Τ • Ε

k.. Ενέρyεια 1<'ν <1\"tl•

ιι ιοιχι·ι tιι• Αι·ιιμοκpιιοιιι ιι.600 Κ.

24

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ •ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

.,

J

<

Γe>

με κάποιο,·

I . }.;HXVfι οι ψΗΠικοi η.\('ισμ<ιιος tκψρ(Ί(uU\' tιζ Οrρμοκρ(tσιtς nr μοναδrς f'τρ\τιn.ς. Qnμ.

•>

'-

το πλάσμα σε ορισμr,·ο χώρο, πρέπει ,.α το

ο

β Σχήμα

3

Ma}'\'J}rrκόc nrpι(Jpισμrk:.

Σχήμα

4

Φ(Ιμ·όμt\'ΟΟ ΙΙΠfl),,ι)ς: ι(lJ nτnθφό. rpι ιιοωθfς.


Β

Β

( σtεpεό

β

α

Σχήμα

5

7Ό φωνόμt\'0 "110 yώμιιrα;•· rου μ(ΙyvηrικΩιι ntδioιJ ( (I) σrφ• αpχr­ κιj ψιiοl) ισυ tίa φοιι. φι Of r]\' rr.lική φtιση rov f fiQ rtιχις \"trρQ\"i(oJ\.. J.

πίεση λόγω θερμΙκή<; κίνησης κω

t

()

co

ρειιμ<ι ΠΟΙΙ οιαρ ·

μαγνητΙκό πεδίο σε κίιθε σημείο ο ιο

ρέ~ι τη uτήλ η διο ­

Χ~Jι>Ο του ΙΙλάομαιος. κω ερμηνεύεΙ

τιιρείται. ενώ το

αιι ιό που οvομιίζουμr ουστολ1j. Με

μαγνητικό

ιην eυκιιφίο, εάν σ' nυτή ιη στήλη

nrδίσ ελcιιtώνε­ ι<ιι μι: <ην οπόσταση: Β~ jι·-ι Ιόπως

πεδίου,., Όπως προαναφέραμε, ΙJ yριj ­

άκρων τ11ς-- και tηΥ rοrιοθrtή­

οιιμβ<ι.!νr.ι οε κιiθε ευθvyρ<ιμμο αγω­ γό>. Έτσι η προς το r.οωτερικό της

γορη διείσδυση ιου μαγνητικού ιιε­ δίου στο πλάσμα rί,•ω δύσκολη, ωστό­

σουμt μέσα σε εξωτερΙκό μαγνηηκό

ο ι.ήλης Μριοφίγγουσα ηλι·κτρομα ­

σο μηορεί να συμβεί ως αηοτέλεσμα

πεδίο στο εσωτερΙκό ενός δακ ηιλωει­

γνιμική δiιvαμη οvξιivετοι ε,·ώ η

μ ιας μό.\λον οργί}ς εξέλιξης. Έnrιτο

δούς ιιγι;ιγιμοu θαλάμου, ιόu: έχουμε

πίεση που ασκεί προς τα έξω το πλά ­

από αυτό, όμως, εάν εδραιωθεί κά ­

τ11 δΙάταξη !okamak,' που αποτελεί ηρος ro Β<φόν ων οrιοιελοομαι:ικόtt·

ομα παραμένει σχεδόν σταθερή. με

ιιοιο είδος γρήγορης δυναμική<:;. η

οηοιέλεομο ν<ι κ<.ιrαστρέφ•·τcη η npο­

διείσδυση του μαγνητικού πεδίου

ρο rίrrιo rιαγiδας πλάσματος.

Gπάρχουσα ισορροιιία.

ξα\'Ιιyίνr:τηι δόσκολη. Πσως έχηε

&ώσουμε τΙ} μορφΙi δακτυλίου -<iιοιr να εξαλεΙφθούν tCJ)Y

01 aστάθεΙες εξαι ιίας

ιου

π.\Πσμn

ο έpιο

Σχήμα

6

Οι rfσσφrς κnrnπτάorJc της ιίλης.

Το ψcιl\•όμενο συστολής είναι επί ­

Λ vtί της στένωσι]ς. μrιορούμε να

ιιαρακολουθιjοει ιην εnίδειξr] ενός

σης χρήοψο γΙα να καωδείξοuμε μια

φανιcιζόμαο ι.ε έ.vα εξόγκωμα. με πιι­

δημοφιλούς ιΙειράματος φυσικής κα­

όλλη θεμελιιοοη ιδιότητα του θερμού

ρόμοιες συνέπειες. Το εξόγκωμα θα

ιiι το οποίο eνο ασημένιο ή χάλκη•ο

πλάσμα ι.ος· μια ιδιότητα που εξοργί ­

διαστέλλεται και ΙJ ιοορροηία θα

νόμιομu nι'φιει ονόμeοα οτ<ιυς rιό­

(ει ιους φuσικοιίς. Μιλόω γιιι ιηv

καταστρέφεται. Επί δεκαετίες οι φ υ ­

λους ενός rσχυροι) μαγνήτη· η τα ­

αστάθεια του πλάσματος ηοιι ευθίι •

QJ"Κoj αγω"iστηκαν yιο να ανημετω ­

χύτητα nτ6ιοης ωυ είναι ι1ολύ μικρή

νεται για τι]ν πρόωρη αηοιυχία μιας

πίοοuν αυτές τις οοτι'ιθειες του ιιλίι ­

συγκρινόμενη με την ταχύτητα ε­

ιδέας ή εγός rιολλή ΙJnοσχόμενου

σμαιος, προσηαθώνιας να rιειίιχοιιν

λεύθερης πτ~~σης.> Ή γρήγορι] μrιχα ­

προγράμματος. Η αο ιίιθεια αιιτή. που παρουσιάζεταΙ αηλά στο Σχ1iμιι 4β.

την ελεγχόμενη σύν ιηξη. Μερικές

''ική κίνηση του πλάσματος. λοιnόγ,

οστάΟείcς είναι δυν(ηόΥ νn εξαλει­

όπως π.χ. η ουμπiεοη ενός •<νέφους>>

ου,·ήθως ι)νομάζεται •αστcιθεια οτέ­

φθούν με κωι'ιλληλη διευθέtηση της πειραματικής διι'ιταξιις κω με ρύθμι­

πλάσματος. προκαλεί τη •ουγκόλλη­ σιJ• του μογ\'ι]tικού ιιεδίου με το

ση ιων παραμέτρων του ηλάσματος.

πλάσμα. Ένα nολ ύ καλό ηαράδει γ ­

Κόnοιι·ς άλλες ελέγχονται με cξωτε­ ρικό πεδία , ενώ ορισμένες εnιβρα­

μα yJ<t ια ποραηάνω φαi\'εtω στο

γωοης,. ή •λαιμός•. Ας υποθέσουμε ότι ΙJ ακτίνο της κυλινδρικι\ς σ ιήλης πλάσματος έχει γίνει σε κ{ΙΙιοιο ιrη­ μt~io ιης μικρότερη αηό τον μέσο όρο. Μι ο tέτοω δJΟταροχή δε" με ι<ιβόλ­ λει την πίεσι1 λόγω θερμηu'ις κίνηοης ιου πλάσματος ωεωρώντcας βέβαια ότι η εγ λόγω συστολή γίγετω σε αρ ·

δύνονται κατά

111 διάρκεια του πει ­

ράμιιrος. Ωστόοο. οι οοτάΟειες του πλάομcιιος είνω ουτές που οuσιο­

Σχήμα

5, ιο οιιοίο εξηγεί ια πολύ

ισχυρά μαyνιμ.ικά πεδία ιων α ο ιέ · ρων \'εψο,·ίων. Ιlράγμοιι. ένας <ι­ στtρος νετρονίων ι Σχήμα 5β} rιρσκiι ­

οτικι\ διιψορφc~νου'' το σκηνικό στο

πτει από τη βαρυτική καιάρρευοη

κετά μεγάλο μήκος ). Αιιό ιην (ιλλη

απώτερο Διάστημα κοι πρέπει \'Ο με·

ε'•ός άστρου tΣχήμα 5α), η οποία ε ­

πλευρό, το μαγνηιικό πεδίο διcιτ<ι ­

λετηθούv για να κα τα νοήσουμε nολ­

ράσσεται σιιμανιικιi στη συyκεκρι ­

λά από τα aστροφυσικά προβλήμα τ<ι.

nέρχε ιcιι cιρκε ιά γρήγορο ώστε ''α διατηρήσει •nαγωμέγο• μέσα ιου το

μένι1 nεριοχιj ιης επιφiινειας τοv πλάσμα τος, και ιοiιιο δΙότι το ολικό

θα ήθελα νο ειιιοημό,•ω και μια άλλη συνέπr1ο της αλ.\ηλεnίδραοης

μαγνητικό πεδίο. Το αnοτίλεσμ<ι α υ ­

της ηλεκτροδυναμικής καΙ της μηχα­

αύξηση της ουκvόιητας

νικής. 1οι'J rιλάομα tος: to φnιγομενο

κ ων

του " παyώμοτος ενός μαγγηιικού

yνηιικού ιιεδiοv.

2. Ρωοικ<) <φκ ιικι·t.\ι·t,ο nnό m "δοκ 1 υλιοtι · οι]<: μοyγηιικός θο.Ιαμος•. ΙΣ.ι.μ.ι

ιr'ις tιjς καιάρρευοιις είγιιι η μεγάλη

.

' γραμμων.

.

•<•"' δυνιιμι-

ουνεπως και του μα-

QUANTUM I ΑΡΘΡΟ

25


Εi,·αι ε'·διαφερο,· όη αυτή η ου­

διό ιου κι,·οίι,·ται πο.\υ γρηyορότερα,

nία φορτίου ο' αυτό τον μικρό όγκο.

οχέτισιι μεταξύ μηχαΥικών κοι η­ λεκτρομογ,•ιιιικών ιδιοτήτω,· είΥαι

αφού η χαρακτηριστική ιαχύιητα

ιψέπει ''α ιοιι rφαρμόσουμε ένα πο­

θερμικίις κiγησης nιιξόνεται Ρ" "1

λ iι ισχυρό εξ~Ηερικό ηλεκ ιρικό ιι r­

χαρακτφιοηκή στα ιηγμι'Υα μέια.\ ­

θrρμοκραοία

δίο. Ας uποθrοουμε ότι υπάρχει ιιε­

νr.. -- (~)Ί n~.

ρισσεια ηλεκφονιω\' Ι ή ιόντω,• Ι ο·

όrιου ιι : ί Ηό\'), Ρ ι ηλεκτρόνιο!. Ε πι­ πλ!-ον. rιιειδή ιι μάζα του ηλεκτρονίου

υnολογiσουμε το ιιαραγόμrνο ηλε­ κ ιρικό ι1εδίο, μπορούμε να χριιοιμο­

εί,·ιιι περίπου

ηοιήοουμe το θεώρημα του

λα. Απο αυιή τφ· άποψη, λοιπό,·. ιο πλάσμα μοιιlζl'ι περιοοόιερα με ου­ μπυκνωμι',·η υλη παρό μr αlριο.

το πiΊάαμα ως σύνολο σωματιδίων Ας προοιιαθησουμε

2.000

αυτο ιον κυβο με σχετική ουγκt­

ντρωση δn;; Ο.Οlπ

φσρfς μικρότrρη

από ι η μάζα ιοu μικρότι-ροιι δυ,·οιοιι

vn

ουyκρί­

ατομου.

= 10.. m Ό Γιο να

Gauss

f EdS:ES - .!!... =δn·V $..,

ια ηλrκιρο,·ιιι κι,·σύηαι

ι-"

\'Ουμε τις διιιφορετικές καιοοτάοεις

γρηγορότερα οπιi ιο ιόηα κοιά ένα''

της ίιλης στο μ ικροσκοπικό επί πεδο

nιιριίγοηα ι2.00Οι' Ό Παρ' ι\λα αuτ(ι.

θε~,. rας την cιιιφόνεια του κύβου

\Σχήμα 61. Η ιιιcρεή κιιι(ιοιαοιι βρι­ οκειαι σιu χαμηλότερο οιιμείο στην

η κίνησή ωυς δev γίνειω

S = 6 · 10 'm". κιιθώς και V;; ιο-• ιη'. e- = 16·10-"C 10 "C' ι~ m'• ' ' r11 =89· • •

κλίμακα θrρμοκροσιών. Σε αυτή τφ­

βρίσκουμε εύκολα ότι Ε: 3 10' ν m.

κατάσταση όλα τα άτομα rι,·αι διαιε­

αλληλrιJΙδρόσι:ις μεγάλης αιιόσταοης και ολ.\άζου\' ριζικά ολόιιλιpη τη μι­

ταyμέ,·α ο ιο χώρο. σχημn ιίζο\'tας

κραδu,·αμική. Λ υιό συμβαίνει επrιδη

ηοποιήοουμe το ιιρόβλημα. θα κρα -

πλέγμιι . Οι θrοεις ισορρο11ιrις τους

οι δuνιιμrις

είνα ι καθοριομrΥες και οι κινήσεις

οωμο ιιδiων δεν ελοτrι:J\·οντο ι ιιολύ

ιιiσουμε ιην

ιους ουοιnοtικιι περιορισμέΥC<;· οι

γρήγοριι με ιην απόστοοιι:

θο ιιαραβιάοοιιμε τιιν ιοιιική ισόιη­

.. ιnο rλεύ ­

Οrρα •· ω•τιθέτως, εδώ ποi<οuν ρόλο οι

μό,•ες ΚΙ\'ηοεις που rπιφtιιονται εί ­

Coulomb

F

''αι θερμικές ταλαηώοεις μικραυ

oc

μεταξύ ιωv

r"

Μποραυμε, ΡΟ\' θέλουμε, να τρα­

f η, dV = f n dV, αλλά 1

τα. Εάν κοηιi ο ι η μία άκρη του κύ-

r Ό

βου εi,·αι

n• - n•

= ιο-'n•

και ο~η,·

απηαηΙ ακρη ιου n_ - n, Ξ -10 'ιι,, , βρίσκουμε, λύνο,·τα.ς τη,· εξίσωση.

ιu\άτους yιιρ<.ι από ιις θεοεις ιοορρο ­

Αυτή η αργη ελάπωση tι\·αι αρκrιή

ιιίας. Στηγ vγριi κατάσταση ιn σωμα ­ τίδια rxouv μεγαλύτερη rλευθερίn

yιο νιι αλλάξει ιrλrίως ιις μηχαη­

κίΥηιιης -nρόκrιιαι cικριβι:;ς για την

μeyiιλα οίιΥολιι οωμα τιδiων. παρ'

ότι το ηλεκτρικό ιιtδίο Ε uε ολόκλη­ ρο ιο,· όγκο είναι η(ιλι της τάξης ιων

""·ηοιι Bro"·n. Παρ' όλα αvιά. ιιι σωμαιίδια ο' ιιuιή rφ· καταοιαση

όλιι τη Οφμική κί\'ι)Οη. Α,· και οι συ­

10'

yκρουσcις

Cou!omb πnραμέ,·ουΥ ου­

ιiιοιο τερασηο πεδίο προκαλεί αιιω­

δεΥ είναι απολύιως ελεύθερα. Τα

σιαστικες. η ουλ.Ιοyικιι συμπεριφορά

γειιονικα σωματίδια αλληλrιιιδρούν,

κυριαρχrί στο θερμό, ιιραιό rιλάσμα,

οιική πίeοη που επιφέρει τη διαλυση ιου πλάσμα ιος, ενώ σιη δεύτερη ιιε ­

και ιι αλλιιλrιιίδρασή τους rιιΙJΡεάζει

όιι ως ιικριβώς και οιιι στερεά. Από

pίιι τωση η δυνατή έλξη εξιοι;ινει ιις

τη ουνολικη κίνηση tω\' οωμιιιιδίων.

αυτιi την ίι ιιοψη, λοιιιό\',

πλάσμα

nvκνόιητες ιιλεκιροvίων και ιόνιων

Η επόμενη κατάσταση στη\· κλίμακα

μοιάζει περισσότερο μc ουμπυκνω­

μtοιι στο κύβο. Για να διατηρήσουμε

θερμοκραοιώ'' ει,·αι η αι'ρια. που rη χαρακτηρίζει ο μέyιστος βαΟμος ε­

μι'νη ιίλη nαρό με αεριο. Μια από τις πιο οιwα,·ιικές ιδιό­

ι η\' αρχική διατάραξη της ουδrιcρό ­

λευθερίας κίνησης των σωματιδίων

ιιιrες ιου ιιλάσμοτος cινοι η λεyόμe­

rνα εξωτερικό ηλεκφικό nεδιο ένια­

\ιn.όμων ή μορfων, ανάλογα με οο εί­

νιι ημιουδcιερόtt]tά ιοu. Ι!αρόιι το ηλάο μα ωιοτελείται οιιό φορτισμένα

σης ιο' ν ι m. εcι,. πιιλι (Ο εξωτερικό

οωμαιίδια, το ίδιο ως Ού\•ολο δεν tχει

τις διαταραχές φορτiου (ως συνόλου)

μΟΥαδι­

κιιθό.\ου φοριίο. Λ υιό βέβαια είγαι

μcσα οιο\' όγκο ιιρεπει ,.α ισχύει η

κός περιορισμσς εμφαΥiζεται όια,·

α\·αμε,·ομε,·ο. αφού όλα ιιι η.\εκτρό­

αησόιητα

συyιφοίιονιαι, αφού οι διαμοριοκές

νιιι και τα ιόν ι α ποριιyΟ\' ιαι από tO\'

δυνάμεις μcιώνοηαι απόιομο με ι ην

ιονω μό ι ων ουδ!- ι rρων ωόμωΥ -(ι­

αηόσταση:

ριι ιο ολικό φορτίο ()α είναι μιιδf\'.

δος του αερίσω. Αυτά το οωμο ιiδια είνιιι οχrδό'' αιιολύτως cλrύθερα ''α μετ(ΙΚι\'Ου\·tαι Ο ι Ο χώρα.

0

κrς ιιλ.\ηλcπιδρόοr·ις. δημιοιιργώνως

ro

ν

m. Σιο

ιφώτο ηαρόδειγμιι. έ,·α

ιητας πρι'ιιει \'Ο χρησιμοποιησουμε

πεδίο δεν εi,·οι ιόοο ισχυρό, τότε για

δn " ln, - n,l<< ιο-1. n

η,.. ,

εκτός αυτού. όμως. η ουδετερότητα

Έwι. η ημιουδειερότητα αποιελciται

του ιιλάσματος διατηρείται με μεyιι ­

όχι μό,•ο από τη\' καθαρή ουδετερό­

Ι η προσι'yyιοη Lennard -Jon~s ι ης δύναμης νοιι der \Vaalsι. Όσο αραιό ­

λη ακρiβεια διότι απαιτειιαι μεγά.\η διαφορ<ι δυγαμικού yιrι να διαχωρι­

ιηια αllα και nrιό ιφ· τοπική σχeση

ιερο είναι ιο οέριο τόσο υιιονιόιερες

σwύν ια φοpτiα.

F

σc

r -;

• •

ή

cίνω οι συγκρούσεις μετcιξύ των σωματιδίων. κω τόσο μικρόιcρη η

έ\•αν κίιβο ηλόομα rος με όγκο

επίδραση που ασκεί το fyα οωμαιί­

cιn κιιι με συyκtνιρωοη σωμαιιδίων

όπου 7.rί,·αι ο ατομικος αριθμός. 11αρ'

δια στο αλλο.

Π= Π :

\ μια tUΙΙΙΚή τιμη

όλα αυτά. οι τα.\α\'Ιώοεις φοριίω,·

Και όσο'' αφορά το πλάσμα; Καιά

για ι·ργαστηριακό πλαομω. Εάν Οr­

επιτρtποηαι\και ιιρόyματι yi\'Ο\'Ιαι)

κανό,·α. το θερμό πλάσμα εί,•αι α­

λουμr να διατιιρίιξοvμr έστω κιιι

κοντά ο ι η θέση ιοιιρραπίας ι ων φορ ­

ιχιιόιερο ιιπό ιο αέρια κιιι ια οωματί-

λiγο ιας ιιούμε κιιι{ι Ι "Ι) τη\· ισορρα-

ιiωv. Ας φα ντου ιού με ένα ο ιρώμιι

26

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 6ΕΚΕWΒΡΙΟΣ 1995

rι(ι ιιαράδειγμα, ας εξι:ιάοουμε

.=n.

n' =n

n,= JO"'m"

V; 1

ιJ,•

Zn,.

z~ Ι,


t και

ας υποθέ­

οες κω οημιινιικές ιδιότητες του πλ<ι­

αυ τή τη'· εξίσωσι1. εύκολο βλέιιει

σουμε ότι όλα τα ηλεκτρόνια έχουν

ομαιος βαοίζονιαι σε αυτό το φαη·ό­

κονrίς όιι οι ου .\λογικές αλληλε­

λίγο μεταιοι11οτεi σε οχi:οη με το ιό­

με\'ο. ιο οποίο rιαρcχει τη δυνατότη­

ντα (Σχήμα 7). F..άν η μεtαιόωοη εί­ ναι χ (με χ « t ). το qχιρτίο α ν(ι μ ο­

τα της μη γραμμικής διαγνωο ι ικιiς

πιδριίοεις κυριαρχούν όλο και πε­ ρισοόιερο καθώς to πλάσμα γίνεται

ιου πλάσματος. Δύο κύματο ιang­

θερμόιερο και aραιότερο. lΊο παρ(ι ­

νάδα επιφανείας σnς λεπτές περιοχές

mιιir μιιομοίJν νn ουγχώνευθούν σε

δειγμα,

ο τα άκρα του στρώματος ισούται με

ένα ι:γκόρσιο ηλεκφομαγνιιΌκό κύ­ μα με οιιιθεριi συχνότητα πολύ κοηά

σφαιριδiο11 ιιιΙυ φωιίζεται από ένu

πλάσματος πάχους

dQ = nex.

στη 2ωl). Ένο ιtτοιο κύμ<ι εjναι αν ι­ χνεύσiμο. Από τη στιγμή που μπο­

dS

I! διάταξη μας θυμίζει έναν επίπε ­ δο πυκνωτή, και έτσι μπορούμε να

υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο μέσα σιον όγκο ιου πλάοματος:

v Ε=-

t'

V

Q =c'

C= ε0 S = Ε = ne.x_

ρούμε να μετρήσουμε τη συχνότητ<ι

ωι = 2ω = (4neΊ Ιε0ιn>·

2

μελετώντας

τψ aκi.νοβολία, μας δί,•ετω μια από

to

στέμμα πλάσματος ενός

ισχυρό λfιζερ είναι πολύ πυκνό

(n,. Ξ 10'" ιn·'ι αλλά εξαιρετικά θερμό ('/' : 107 - ιο• KJ. Μεσοαστρικιί πλ<ιομα­ ια είναι μάλλον ψυχρά ΙΊ' Ξ 10' KJ <ιλλά εξαιρετικά αραιά ιn = 1ο• m Ί. Και ους δuο περιπτώσεις ισχύει όιι

τις λίγες ευκαιρίες να μετρήσουμr ιη

nι·~. >> 1 και κυριαρχούν οι συλλο­

συγκέντρωση του rιλίιομιιιος στο α­

γικές αλληλεπιδράσεις.

πώτφο Διίιο-ιημα, και ειδικότερα του διaγαλαξιακού ιιλάοματος.

Συμπέρασμα

Η σιιλλογιο ιική που περιγράψαμε

Γlρέnει να αnοφύγουμε τοuς κι ν ­

παροrιάνω κω ο μετέπειτα υπολο ­

δύνους ιιου ενυπάρχουν στην υπερ­

γισμός δείχνουν όιι μερικές διαιαρά­

βολ ι κά εκλαϊκευτική ερμηνεία της

Α υιός ο λόγος

ξεις της ημιουδειερότητιιςείνω ιικ(>μη

φυσικιiς του πλCισμα τος. Στην πραγ­

για το

ματικότητα είναι μιiλλον ιιερirιλοκη

ι;δρογόνο, γεγονός που μας εmτρέ­

nιθα,•ές. Αλλά nρέ11ει νσ είναι μικρές σε ο\ιγκριαη με τη μονάδα (ιj, με άλλα

πει να αγνοήσουμε tην κίνηση των

λόγια. το δn ιιρέιιει \'α είγαι πολύ μι ­

ιόv'<ιο)ν . Η κ/νηση ιων ηλεκτρονίων

διαφαρε ηκές οmικέι; γωvίες. Ας δο ­

μηορεί να περι γρ<ιφεί από τοv δεύτε­

κρότερο του n,} Επίσης. η χαρακ-rη­ ριοτ.ική χρο,•ική ιους κλίμακα δεν

ρο νόμο του Νεύτωνα:

μιωρcί ,·ιι ι•ί,·ω μεyιιλύτερη από

στικό σενάριο για τιι δυναμική τού

ε.

t

Μπορούμε επίσης να λάβουμε υπόψη μας ότι

m,fm, « 1.

ισούται περίπου με

1/ 1.840

'"'•χ m-d'χ =- eE = -=---"' dt

ε0

2

Δι

και γεμά ι η γεγονότα, λεrιιομέρειες και διιναιότητες όταν εξετάζετω από κιμάσουμε να φτιάξουμε iv<ι φανια­ rιλιίομιιιος οε μια μαγνητική φιάλη.

s; ω ·• .

Φανταστ.είτε μια μαγνι1cική φιά­

ρ

Καώ ιη δ1ή.pκι:·ιη οιιU)ύ ιtHJ χρόνου~

λη όμοια με αυτή του Σχήματος

ιη,, και έχουμε λάβει ιιιιό­

το ταχύτερο σωματίδιο του πλίιαμιι­

ψη το αρνήηκό ιιρόοημο rου φορτίου

τος, το ηλεκτρόνιο. δεν μιrορεί ,.α δι­

Αφού εγκα ταtJιήοαμε ιο εξω~ερικό μαγνητικό πεδίο, εκχέοΙJμε ο ιη φι­

του ηλεκτροvίου. Διuπιιηώνουμε ότι

όλη nλάομα με ένιιν εκτοξευtί}Ρα

η παραπάνω σχέση εκφράζει ιην εξί ­

ιιvύσει nnόοταοη μεγαλύ ιεριι από vτ,Δt. Κατά συνέπεια, αυτή η απόιΗ.α­

οωοη της αρμονικής ιαλάντωοης

ση μπορεί να θεωρηθεί ως το αν,;ηαω

σέγγιση, γεμίζουμε τη φιάλη με αcρ\0

όριο της ακτίνας ιιλληλεrιίδρασης:

και ίισ ιερα ελέγχουμε τον ιονισμό

όπου

m"

d2 χ

dt 2 = -ω:ι χ. ω -Ξ ωΡ =

(

nez )Υ,

εο m

Αυτή είvαι η πιο χαρακιηριο ιική συ λ­

''τ.•

Δ:<-Vτ(' ΔtS - -:1•1),.. = ωp

ι

(ι;, kτ ) 'i ιJ e

2

2.

rιλάοματοι;· ή, και(ι μια άλλιι προ ­

του μέσω μιας ισχυρής ηλεκιρικής εκκένωσης. Το επόμενο βήμα είναι να θερμίινοuμε το πλάσμα, επειδή ιο

χρειαζόμαστε πολύ θερμό ( ΤΞ 10' Κ).

ογομάζεται ταλόντωοη Langmuίι- ή

Το μέγεθος ι-,, είναι η αnivα Debye, ή απόσταση θωράκισης Debye.

απλώς ταλάηωοη πλάσματος.

Λόγω αυτού του χωρισμού φορτίων,

υιιοβι\λουμε το νέφος πλάσματος οε

Οποιαδιίποιε αυθόρμητη ή επιβαλ­

ιο πεδίο δρα αrιοτελεσματικά μόνο οε

οκ τινοβόληοη με ισχυριi δέσμη ρα­

λόμενη διατάραξη της ημιουδετψότη­

αποστάσεις μικρότερες του rv.. Με

διοκυμάτων ή ισχυρή δέσμη ουδέτε­

τας οδηγεί οε τέτοιες ταλαντώσεις.

άλλα λόγια, η αιιόοιαοη Deb)•e είναι co μέγιστο μήκος των ελατηρίων του

ρων σωματιδiο1\', ή ακόμη με δέσμη

Σχήματος 6. Κω ιώρα είμαστε έτοι ­ μοι γα ειοιι y<i γοuμε ένα cιποτελε­

λίγο δυσκολότερο εξαιτίας του εξω­

σμιι~ικό κρι ιιiριο γ ιο -.;ην κυριnρχίιι

εniοης εύκολο γα χρησιμοποιήσουμε

τω" ουλλnγικι~ν ιδιοτιicω\· του π.\ά ­

πολύ ισχυρή ηλεκτρική εκκένωση.

σματος. Εάν ο αριθμός των φορnσμέ­ νων σωματιδίων μέσα στη σφαίρα

Το επόμενο πρόβλημα είναι πώς θα

Debye είναι ιιρκ&ι(ι μεy{ιλος (ιιr;, Ξ

φιάλη για όσο χρόνο χρειαστεl. Με

ιε.krJ3 · 'e'n

οι συλλογικές ιιλ.\ηλεrιιδράοεις. Σε

άλλα λόγια, ηώς θα διατηρήσουμε και το ηλάομα και τη θερμική του ενέρ­

αντίθετη πcρίητω<ιη, έχουμε κάτι σαν

γεια. Σε αυιό το στάδιο εισέρχονται

λογική κίγηοη για ένα πλάσμα, και

Από ιην άλλη, αρκετές ενδιαφέρου-

S=l

ι !» lt. ιό ιε κυριαρχουν

Για να ~ο επιτύχουμε, μπορούμf, να

φορτισμένων σωματιδίων (αυτό είναι τερικού μαγ,•ηιικού πεδίου). Είνω

κρα ιήοουμε το θερμό πλάσμα στη

αέριο με ψοποιιοιημένες α.\.\ηλεnι­

Σχήμα 7

δράσεις μεταξύ ιωγ σωμιιιιδίων. Από

Η συνέχεια στη σε.ι

QUANTUM / ΑΡΘΡΟ

65 "'

27


Η τέχνη της ιιΕ/ναι πάντοτε πλεονεκπκότερη η αντικατάσταση ενός ασαφούς ειδώλου από μια καλά εστιασμένη εικόνα; Συχνά δεν είναι η ασάφεια ό,τι ακριβώς χρειάζεται κανείς;ιι -Lυdwig

Wittgenstein, Φιλοσοφικές έρευνες

Mark L Biermann Ο'Π 8.\t:ΙΙΕΙΣ ΚλΠ. ΣωΙΑΙ~ΕΙ

κριμrγες 11λψοφοριες και rηuπώοεις

μια μογοοπιική ρεφλεl,. Ωστόσο. το συ ­

on ιο rιιοιεύεις; Ίi μηπως

ι;r,. εί,·αι πρόοφοιη ο,·οκαλυψη. Επί

ιο \1'\'Ο\'ός οτι το βλfπrις οημαί­

δcκαεηες φωτφ·ιιόρτερ και καλλΗέ­

μπrράοματα ουιης ιης μελeτης μnο­ ρο(ιγ γα εφaρμα<που'· εξίσου καλά και

νrι απαραίτητα και ιιως το κaτa­

χνrς φωτογριιψ<>ι χρφιμοποιούν φω ­

σε iιλλα ουοιημcιιcι αιιεικόησης, όπως

νο•·ις: Tr λrιι ιαίιι. ι1 yνηοιόιηca των ει­

ιογροφικές μηχιινrς και φιλμ γιο να

σε τηλι·οιιιικές κιψερ~;ς ή βιΗεοκάμε ­

κόνων έχει teθri υπό ιψφιοβιjιηυη

δημιουρyοuν <Ιδικό εφέ και διφορού •

ρεc;.

ιοf,ιιΗiιις ιων τεχγΙJ<ών ψηφιaκiJς rπε­

μι·νrς rι κό1·ι·ς. F:vc;ι ι1 ψηφιακή crιεξr.ρ­

ξεργοσiης ι·ικ(Ι\·ας. Σι: ιnινiες όπως ο

γιισίιι rικόνας Οη)(Jί(ι·ιο ι οε ι.εχ,·ικfς

ΑΙ·αrι'.Ι.IωΙ· ή.\ιος. ηου βασίστηκε nιο

λι1ψrις ιικ εικόΥας κcιι

uηερσύy­

Κοιc'ι ι η λ ιiψη μιας φωτογραφίας. Ι)

ομωνυμσ μuθωιόρημα. η εmδεξιότηια των ε18ικών ο ω χrιρJομό ιω,· εικόνων

χροΥοΙΙς ιrιιιιλοyιοιι'ς, οι φωιογρόφaι

φι~ιογρeιφική μηχcινι'Ι εο τιίιζειαι οε

μπορού'• ' '0 διιμιουρyήοοu'' εκηλη­

οριομέ\'11 οnοοωοη, πό,•ω σε ένα μο­

μc ηλεκψu,·ικούς υπολο)'lστtc; είχε

κηκrς rικόνες χρηοιμοοοιώηος το

κιιθοριοιικιι σιιμαοια yιο τη οιήριξη

βασικά χαρ<ικιηριοιικίι ιων φωτοyρα­

ναδικό ονιικeιμcνο. Εηούτοιc;, κοιτά ­ ζοντος τη φωιογροφιο διοπισιώΥοuμε

της πλοκης. Το 11rpιοδικό ΠmΡ χρηοι ­

φικων μιι\ονώ,. και παρεμφι:ρώ,- ου ­

όιι οπcικο,·ι(οηαι ευκριΥώς όλα ιο

μοποιηοr ιrχνικrς εnεξερyασίας εικό­

οιημιιιωΙ' οιιrικο,ϊσης. ΈΥα τέτοιο

anικrψt\'O που βριοκοηαι μεσο οε

γας yια ,.α δημiΟΟ{Jyηοrι ιη φωτοyραφια

χrφοκτφιοτικο ε11·ιιι ιο βόθος nεδίοu.

ορισμεΥη ηcριοχή οηοστοοε~"- οιιό τη

του rξωφυλλου του. μειαμορφώνο ­

Σ\() L).'IJIIO ι φωwypιΊφιοο κοθημεριΥά

μιιχονι). rl!ι ιιιφοδειyμα. μια μ.ιιχο\'ή

ντας ιον Μπιλ Κλι,·tοΥ σε Τζίμμυ

α\·τικrίμrνιι ελrγχοηιις ιιοράλληλο το

ιιου εοτιοι';εται

Κiφτφ.

βοΟιις ιι•·δίου, ώστε \'Ο δημισιιργιpω μιιι

αrιέχει

μάλλον ιιουν~ιστη <ρ<~ιογραφίο. ~Ιε­ λεU:ιΥπις ι ην tνΙ·οια του βόθοιις πεδίου,

ι·ιrκρίνειο κο ι όσα ονιικεiμεvα uηέ­

μποροiιμε να κο­

ιιποοιιιοεω'· αniι τη φωτογραφική μη­

ιανοήσοvμε ιον

χανή γιο LΙJν οrιοίιι ια αντικεί μενα

ιρόηο

τον

εμφα,•iζο,· ιοι στη φωτογριιφίο καλά

δημιοuρ­

εστιασμέ,·η ονο μάζετ.οι βιiθος πεδίου.

γεί ιοι μιο τέτοιο

Στο παραπα,·ω ιιορόδειyμο, το βόθος

φωτογραφία.

πεδίου εί"ιιι

τ

0

ιιιιηα

Ιlαρ' ολα αυτό. •το μαγεφεμα. ιι.ιν

ει κό\'C•J\' <;κη.ι·

\'<L

μεtαφCρουΥ oιJyκt -

oe

οιιοίο

με

Στη συΥέχrια

Σχήμα 1

28

4 m ιιπ' ου ιή,·. οπεικο,;ζει με

χοΙΙν από

έως

or fνο (1\'tΙJ<είμενο uou

6m

3 έως 6 ιn. 11

ιιεριοχιi ιων

3 m. εκτεινόμενο

οπό

3

ιιιιό ιη μηχοΙ'Ιj.

ιου άρθρου, και

Γιατι όμως ιο ο"τικείμε,·ο μέσο οε

oc όλι1 τψ έκτο ­

μια m:ριοχή α.ηοοτοσεω,· από τη μηχο ­

οή του. θα χρη ­

νή οπeικογίζογιοι ευκρl\·ως στη φω­

σιμοποιούμε ως

τοyραφια. ιιιφόιι

πιιρόδeι γμο ενός

χα γη rοιι{ι(ειοι σε t\'O ονΗκc!μcνο

ιuιJlΚού συστή ·

ιιοu οπrχrι οριομενη αnοοιοση απ

μα τος

απεικό ­

αυτήν: Η αιιάνιηση βρiοκεται στο

ηοης μια οπλή

ι.ελι κό ούcιιημcι απει κόνισης γιο τις

ψωιοyροφ ική

ιιερισσότερι:<; φωι.ογραψieς, ιο Ο\'θρω ­ rιι νο μάτι, Το μι\ ιι, όιιως όλο τα οuο-ιή-

μηχανη,

NOEMBPIOI /ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1995

Βάθος πεδίου

όπως

11 φωτογραφική

μη·


.

.

s

'

ματα απεικόνισι}';, υπόκειται σε περιο­

το είδωλο ε'•ός CΙ\'τΙΚειμένου πάνω στο

το φακο. κ οι με

ρισμούς ως προς ιο μέγεθος ιης λr.ιι ιο­

οποίο έχει εστιαστεί προσεκτικά· οι

δώλου του αn· αυτόν. Τυmκό, σ~ μιη

μέρr.ιας που μπορεί να ανιχνεύσει. ΊΌ

κύκλοι σύγχυσης ο' οιιιό ιο είδωλο,

φωΊ.Ογραφική μηχανή το φιλμ τοnοθε ·

εν λόγω φαινόμενο σχετίζεται με τη

όμως, είναι πολύ μικρότεροι απ' ό.τι

λεγόμενη διακριηκή ικαvόιηrα: όοο

μιιορcί να αντιληφΟεί ιο αν0ρ6)πινο

τεiιοαι ο ιηγ οιιόο ιιιση s'. Ας συμβαλί ­ σουμε τη διtiμeτρο ιοu κύκλου σύγ ­

μικρότερη είναι η λειιιομέρειιι '""'

μάτι Εάν το αντικείμενο αρχίσει να

χυσης που μπορεί να γίνει αντιληπτός

μιιορεί να διακρίνει ένα σύστημα απει­

ιιληοιά(ει ή νιι ιιιιομcικρύ,·ειοι από τη

από οο μάτι μr

κόνιοης ιόοο μεγαλύτερη είναι η δια­

μηχΗνή, ιο είδωλό wιι ιιiινω οιο φιλμ

θέσεις Χ και Υ στο χώρα του αντικει ­

κριηκή ικανό ·rη•ιl rοιι. Πιιρότ:ι

μiιιι

θα γίνεωι όλο κω περισσότερο ασαφές

μένου βρίσκονται μέσα στο όρια του

είναι εντυπωσιακό ως προς ιις λε­

-δη.\οδιi, οι αντίστοιχοι κύκλοι ούηΊJ ­

n rομέρειες nuu

μιιορr.ί νιι &ι, κάποια

οης θιι γlνον.ω συνεχώς μεγαλύτεροι

βάθους πι:δίοιι. Γιο νιι ιο διιιιιιοιώσου­ με μπορούμε ,.α παροκολουθιiοουμε

nράγμα•ιι είνω uπr.j)βολικ(ι μικρά ό)()l;ι;

Τελικά, οι κίrκλοι σύyχυσιJς θιι κατα­

τη,· πορεια tω\· φωτειν<ι)ν ιικ LJνωγ 110ιι

μπορεί να τα απεικονί(ει αποτελε ­

λήξοιιν να γίνου\' ιόοο μεγάλοι που θα

σματικά. Γι' αυτό κω χρησιμοποιούμε

εiνιιι (1\"τιληιrτοί μt. γvμνό μiιιι, και η

εκποpεύοντ(U <ιnό r.ιι εν λόγω οημεiο. Οι ακτίνες που ιεκΙ\'Ούν από το χ.

μικι><>σκόπια, μεγεθυντικούς φακούς και <ιλλιι παρόμοιιι όργανα. ώστε νιι

εικόνα οιη φωιογριιφία θα φαίνηαι

μετά τη δίοδό τους μέσα από το φακό.

θολιi. Ενιούιοις, υιιάρχει πlιηα μια

ονyκλί,·ουν και f:O tι('ι(ov·cω οιο χ~ οι

διηκρίνουμε λειιιομέρειες μικr.>ότφες

τη,;.ριοχήαrι()Ο((ιοε.ων μιιροστc'ι κω πίσω

ίδιες οκtίνε<; στη ου,·f.χεια ιιιιοκλί­

nυό εκείνες JJ(HJ εηι φt:ηι:ι η διοκι•ηι­

ΗΙιό ιο ωίJΙεοο βέλ rιστιJς εστίcισtjς στην

YOUY. tτσ1 ώστε φτάvονι:άς ο ω Υ' γα

κή ικανότψά τ.ου.

οποία οι κύκλοι οίιγχυοιJς στο είδωλο

κιιλυπτου" ένιιν κύκλο ούγχvοιις

εινω πολύ μικροί γιιι να γίνΟυ\' (1\'ιι­

διιιμέτρου

με το βάθος πεδίου: Κανένα ούοτημο

ληnΊοί από το nνΟρώrιινο μάτι. Έιοι.

ο\ιγχΙΙσης nοιι σχηματίζεται πάνω στο

nrιc.ικόνιοης~

πρόκει tαι γω ψ<Ί)10·

ψιο)ιογραφίιι που προκύπτει, δείχνει να

φιλ μ. σε αnόο ιαοη

γρ<ιφική μηχοvή είτε yιο συσκευή

είναι καλά εσrιαομέ,•η yια όλη αυτή

το φως που προέρχεωι ιιηό ώ Χ, έχει

προβολιiς, δε'' μπορεί να παραγάγει

την περιοχ-ή αποοτάοεων. ή βάθος πε­

τέλειο είδωλο. Αυτό οφείλεται στη θε­

δiοv. Οι μl].'(ανικοί σχεδίασης και κα­

διάμετρο μικι.>ότερη ωιι D. Σιrνεrιώς, ιο αντικείμενο στο Χ εμψοΥίζετιη εvκρι­

μι·λι~ιδη κvμιιrική φύοη ωv φωτός και

ωοκειrής οιιιικών δια ~cιιεων ορίζουν

Υές στη φωτσγραφίο. επειδή βρίοκε ιω

συχ"'ά σε σχεδιαστικούς περιορισμούς

το βάθος πεδίου ως ιην ιιεριοχή ιων

μέσα ο to όρια του β(ιθους rι~δίου. Ο

του συστήματος. Λόγω της αδυναμίας

οποστασεω"

τη φωιογραφικη μη-

ίδιος συλλογισμός ισχύει και yιιι τις

ιιοριιγωγής ιέλειου ει~ιλου. κόΟε ση­

χα"ή yιn [ηγ οιιοίο οι κύκλοι οίJγχυ­

φι,ηεl\•ές ακτίνες που ξεκl\•ούΥ από το

μείο ενός α\"τικειμένου δεν οπεικονί­

σJ)ς στο προκύπτοντα είδωλο είναι μι­

1'.

ζεται ποτέ ως σημείο πάνω στο φιλμ

κρότεροι από εκείγους που μπορeι νιι

σuάζοντω πίσω οπό το φιλμ και ο δί­

μιας μl].'{ΟVής. Το είδωλό του είναι μια μικρή κηλίδα, που συχνά αναφέρεται

δι<ικρί,·ει ιο c.ινθρώιιι\'0 μ<'ιιι.

οκος σύγχυσης σχημοτ.ίζεται κατό τη

ως κύκλος ή δίσκος σύyyυσης, Έτσι.

μιο ακόμη ποσότητα, τοβιίΟι><;ιχrriιιιrης. Παρότι στη ουνέχeιιι δεν θη εnψεί ­

αηοο tάσεων κατά μήκος του οmικού

ιιοία έχιηrμr εοτι<'ισει με μ~γόλη ακρf · βεια &ν απεικονίζονται τέλειο. Παρ'

νοιrμε οιο βίιθιις εσtίασι)ς, αξίζει τ.ον

άξονα για την οποία το φως που ·•α­

κόπο να δώσουμε τον ορισμό ιου ώστε

πεικονίζεται• στην απόοτοση s 'σχημα -

όλο αυτά, μια καλής ποιότητας φωτο­

''a αποφευχθεί οποιαδήποτε σύγχυση.

ιίζει δίσκο ούγχuσι}ς με διάμετρο μι­

γραφική μΙJ.χανή δημιουργεί κύκλους

Το βάθος πεδίου αναφέρεται στψ πε­

ούγχυσιjς πολύ μικρούς γιιι νο τους

ριοχή οποστ(ισεων μnροστ(ι από ιο

κρόιερι) ~οο D. Πρόκειτω γιο tι)V ιιεριοχή εκατέρ<.Jθεν του επιπέδου του

διακρίνει το ανθρώπινο μάτι. και γι'

αυτό στις καλές φωτογραφίες αντι­

ψακό τι)<: φωτογροφικιί<; μl].'{Ονής, ιi στο xc~ εου ανrικειμι'vου. Α'•τίστοι­

λαμβανόμαστε τα αντικε!μενιι ευκρι ­

χο. υnάρχει και ο χώρος πίσω από το

πcδiου του χ<:)j)οιι ιο11 ονιικr,ιμέΥου. Σημειώστε ότι ο co Σχήμα 2, ιο Χ' και

νή και καλά εο ιιασμένο. Χρηοψο­

φακό. ο χώρος του ει&Jλου, όπου μπο­

Υ' δεν ορίζουν το βάθος εστίασης αλλ/ι

ιιοιώντας έναν μεγεθtJ\'τικό φακό ή

ρούμε να τοιιοθειούμε το φιλμ και να

βρiσκογται μέσα στα οριiι του.

έΥά μικροσκΔπtοJ μπορούμε νn δοι'ψε

λαμβόγοιrμε

\'n

ro

Αλλά ποια σχέση έχουν όλα αυτά

ti rε

οκόμι1 και ονιικείμενο rι(ινu)

oto

ο ..

ώυς κύκλους οίrγχuοης σε κάθε φι~ ­ ώγρ<ιφία. Εnιιιλέον, εάν η φωτογρα­

.

' ιιπο

•1

.

Το βάθος πεδίου σχετί(εmι στεν(ι μι:

to ευκρινές είδωλο. Το Σχί)μο 2 α-

Χ

η αnοσταση ιου ι:ι-

D. Τα οντικείμε,·α στις

.

.

.

D.

Παρά ταύτα. ο κύκλος

s' ω ιό

ω φακό. από

με ι η μόνη διαφορό ότι αυτές ε­

ούγκλιοή ιους. Το βάθος εστiασιjς είναι η περιοχή

ειδ~>λου, που ανιιοιοιχεί οιο βόΟος

γ

χ·

1''

νωιaριοιά ιην εγκάρσ ια

φική μηχανή ή και ώ φιλμ παρουοι(ι ­

ώμιi ενός συστιiμcιτος α­

ζουν κάιιοιο ελαιιώμαιιι, οι κίικλοι

ιιεικόνισιjς. Η οριζόντιο

σύγχυσης γίνοηω αντιληmοί και με

γρομμη ο ιο κεντρσ του

γυμνό μάτι. Η έκφραση •η φωτογρο •

οχεδίοv <ιντιιιροοωrιεύει

φίο παρουοιίιζει κόκκο• υποδηλ<~νει αυτή τη συγκεκριμένη υποβάθμιση της

ιον άξονα συμμετρίας του συοι;ήμαως του σφοιρι­

φι~τογροφικής ποιότητος.

κοι'ι φακού. κcιι ο\·ομίι ­

Το βάθος πεδίου μπορεί νη φμι)­ νευθεί με βάση τους κύκλους σύyχυ­

ζrιοι οιπικός ιi~οΙ•ας. Με Ε}'χοριια ιομη rηις tJυοrημο ως ωι.ttκο\·,οι,-; διαμL'ΟΟυ ιου ciξo­ .~ οημf·ιι;)\ιr trιι η ιιnόστn ..

,.o ουμμcφrσc:

σης. Η φωτογραφική μηχανή παpάγι·ι

οη ωυ αγιικtφ.C,·οu cι.ηό

''Vυ\· ε'δω.\α οια χ : Γ καJ

.

.

Σχήμα

2

wυ. Τα (Η'ιικrJμ.εηJ ι:ΙrJς_ θόιι:.ις Χ )'και

S δι­

.5 ·σnro rσrxιr. OUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

29


ΠΡ"' αναφερθούμε ειcu:,·έστερα στο βόθος rιtδιου, nρι'rreι \'Ο ορίσουμε δύο

φρόγμαιος κιιι cίνιιι αντιστρόφως

Εάγ διατηρήσουμε οιαθερό το" αριθ ­

α'·άλοyος του μεyεθους ιου διαφρόγ ·

μό fτου φακού αλλά και tη'' αnόοτο •

ακόμη χαραιιτψιστιχά τω,· φακ ών.

μαιος ιου φακου. Για φως που έρχε ­

ση του α'•ιικειμενου αuό το φακό,

ιφ· rοτιακη αιιόσιαση και ω άνοιγμα

ιαι από το -απεφο•. ο αριθμός

μnορουμc ,.α διαπιστώσουμε τψ επί ·

φακου ή, οπως έχrι εmιφαιήοε• ,·α λέ­

UΙΙ ~χ: ο λογος πις εστιακής 011όοτασης

δραοη ιης εο\1ακης ιιιιόοwσης στο βά ·

γεται, ιο διαφραyμα. Η εοαακή 0110 -

του φακου ιιρος ι η διάμετρό του. Συ·

θος ηεδίου. Οι δύο φωιοyραφίες ο το

s'

γεπως, yια έναν φακό ορισμένης

Σχήμιι 3 αηεικο•'l(ουΥ αυτήν οκριβώι;

σιην οιιοία σχηματίζεται ιο είδωλο

εσιιακής αιιόσιασης. όσο μικρότερος είναι ο αριθμός του f τόσο μεγαλύτερη

τψ εξόριηοη. Κω σ τις δύο nεριmώ ·

εiνιιι η εrιιφόγειά του. Τtλος, για ένα"

ιης καριας με ιο γρcιμμα

με ίο σιο οποίο συγκλίνει και εστιά.

φακό οριομένιις

μένο nίινω της- αιιό τη μηχανή είγαι

(ε ιrι ι ισ φως ονομά(ειιιι εο ι ία του φακοι'ι. Μικρόιεριι εσιιακιi cιιιόσι.aση

και γιο φως ιιου προέ.ρχetαι κοντύτε • ρα οπό ιο ·ίιΙJειρο•. ο αριθμi>ς του εί .

οτrιΟεριj. στα

uιιμοlνrι όιι οο φως εcmάζιοται

nr οη­

\'ω τυπικα λίγο μcγαλυιφος, επιτρέ­

γήθως γρόφετuι πάγω σw φακό ως

μrίο πιο κσνιό στο φακό -nρόκειτω δηλαδή για έναν πιο ισχυρό φακό.

ΠΟ\'τcις νcι διι'.\Οει λιγότερο φως από

ιο ιιlιιηημα. Α υιό το ycγο,·ός. πάντως,

Ο. κόρτες με . p. βρiσκοντιιι

Όαιν λέμε ότι το αηικεiμε,·ο βρiσκε­

ι'χrι μικρη οημαοicι. και ιιολύ συχΥό

nίοω, αντίστοιχο. αnό αυτιJ-· με ι.ο ·Μ•.

uιι σr απtφη αnόοτ.aση, σημαίνει όu οι

αyνοcιιαι.

σrnση rνός φακου είναι η 011όοταοη

ενός ανιικειμενου που βρiοκειαι σε iιιιειριι οnόοαιση αnό ιο qχικό. Το ση·

ακιι•τς που nροσαίατουν στο φακό εί • ''α ι παραλληλες με τον οπτι.κό του άξο· ,.α. Στην nραξη, θεωρούμε έως -άnει· ρη. ιην οποσταση που είναι lOn.\άmα ώς 1ΟΟπλάοια ιης εστιακής αηόοταοης. 1Ό διάφρα yμα ενός φακού λει ιουργεί

to tιηκης

rορίζε ­

απόστασης

r

σεις, η απόσταση του Ο\' ιικειμέγου

αριθμός

5

.. Μ.

-

ιυιιω­

περί ιιοu μέτρα, και ο

f' του q~ικού είναι 8 ιαυτό ου·

81.

w 1

fi

γράμμααι •Ν• και μέτρα μπροστά και

Η φωτογραφία ιου Σχήματος 3α τρα • βήχτ ηκr μr φακό εστιακής απόοτ.aοης 5Ο

Απ' τιιν Πλευρά του

mm.

εγώ η εστιακή απόσταση του

φακου ΙJOU χρησιμοποιήθηκε γιο τη

Φωtονράφου

φωτογραφία ιου Σχήμαιος ~ήταν

Οι έμrιεφοι φωτοyρι\φοι γΥωρίζου"

mm. Εi"αι

t35

φανφό όn το βάθος πεδίου

ότι ιο β(ιθος rιeδίου εξαρτάται rφωταρ ·

μειώθηκε με ιην αύξηση της εστιακής

όrιως η ίριδα του ματιού. μειαβόλλο­

χικά αιιό ιρεις rιορομέ ιρους ενός συ ·

αηόατασης. Η φωιογροφiα

ν ως τιι διίιμετρό του και ελέγχοντας

στήμrιιος αrιεικόνισης: ιην εστιακή

έwι την rιοοότιιτα του φωτός rιου περ • νlιει ω ιό ιο φακό και φτάνει στο φιλμ.

ιιrιόοωοη ι.οu φακού. wν <ι(>Ιθμό fτου

Χ ιηκε με το φακό των 50 mm αnεικο • νίζει βά()ος ιιι;δίου δέκα περίπου μέ •

nou

φαβή ­

φακού κ ω ιη'· cιιιόο tii(H\ ωυ αντικει ­ μένου από το φnκό (έχει σημειωθεί ως

τρω''• ενώ αυτή με το φακό των

.5 οιο Σχημu

Ενώ πολλά στοιχεία

πέρασμα: γ ια ιη μεγιuτοιιοίηοη του

φως. Το διάφραγμα ενός φωτογραφι­ κού φακού ιιεριγρόφεuιι συνήθως σε

ε\'ός συστήμα ιος αιιεικόνισης μιιορούν

βάθους ηεδίου, ελαχιστοποιήοu: ιηνε­

''α παι~ουν κάηοιο ρόλο στον προσδιο­

οtιακή απόοτοση οου φακού που χρη­

σχέση με μια ποσότητα που Ο\'Ομάζε­

ρισμό του β(ιθους πεδίου. μόνο

ιαι αριθμηιικό αΥοιyμο. η cnιχYόu:po

παραπάνω εί,·οι ανογκοίο να ληφθουν

mμοποιεi ιε. Ας εξειόοουμε στη συ,·lχεια ιι

με το\' λεyόμt\'0 άpι0μ6

(ΠΟυ Οι φω­

υπόψη στις περιοαότερες ηεριmώσεις.

ουμβαινει αν διατψηοουμε σταθερή

ιοyραψοι συχνα το" α'·αφέρουν ως σιοιιΙ· για ι ην ακρίβcια. ο αριθμός fπα •

Το βίιθος ιιtδiου εi,·αι αηισφόφως

την εοuακη απόαιαοη και μεταβάλου ­

ανάλογο ιης εστιακής αποοιαοης του

με ιην απόσταοη του αγτικειμένου

ρέχει ιο βαθμό μεταβολής του δια-

φιικου ιης φωτογραφικηι; μηχανής.

οπό το φακό. Γιο ιην φωτογραφία του

Επομένως, "' μεγάλα διαφράγμαοα επιτρέπουν φωτογράφιση σε αμυδρό

f

2).

β

a

Σχήμa3 Ί'ο{kιΟος nr·δioυ ως ΟΙΙ\'αpr;ηση της ι:οοακιις α ηΟΟrιιιιης ωv ψάκου. Qι fΡ(•ΠΟt]Κ'ψjες

ιptιfJtί\•rηκn \' μr fΝΙΚQύ~ οο rιακης (ΙΠάnοοης ιιι ι

30

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ , ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

50'""' KtH (βll ,'#) ιιιnι

ro τρία

135

rn ιn ενάμιση περίπου μeιρου. Συμ ­


β

α

Σχήμα

4

ΤοβαΟος rιt&ov ι..ιςσιΓ.-ιψrηυη uις ιαιόατοσης rου fl\τiKrψf,·υv tιΙΙΟ ιο φοκο. ~·tη\' cικQ,·α •α ι ο φnχοςr_\η ruι,cwιrι

ιπ t\'0 οημrιο ιιtρΙιJιου 0..5 m μnφα ιuro αι fiά"O- .!:rη\' rικιη'n ιβι c» f{/lfJ"fl( t.\fl rοnαιιuί 0t lJt'ρUJOU 4 m.

<kl. ε~ας φωώγραφιχό<; φα • κός εοιιακης αποοιαοης 55 mm εσnά ·

λουμr <0'' ορι()μο f ιοιι φοκου. Και οι δυο φι.>ιογραφιες στο Σχημα 5 ιραβή •

σμο: για τη μt\~Οτοποίηοη ι.ου βάθους

οτηκε οε έ\'Ο οημειο που απέχει περί­

χιηκα'· μf φοκο εοτιαιιης αnόοταοης

του φακού. ή, ιοοδυ,·αμα, ελαχtστο ­

που

50 mm

Σχ'ήματος

0.5

με φα αιι" αυτό,._ Το βόθο<;

και η αnόοιοση φακου-αηι­

nεδιου μεyιοτοποιηοτC

tO\'

αριθμό

f

nοιήστε το διαφρο γμα.

πεδίου περιορfζεwι σε μερικα εκαw· οτόμετρα. Σcο Σχήμα 4β, Ι} απόσταση

Ι το ανιικείμε~ο ήιαν ιιάλι η κάρτα με

qκικου -ον ι~κειμέ,·ου είγαι μερικά μέ •

ω γράμμα ·Μ •). Η φωιογραφfα τοιι

τρα. Ε\•ώ τώρ(ι οι αριθμοί ιιάνω ο ιη με· φοταινία είν(ιι ι ιολύ μικροί για γα δια·

Σχήματος 5ο τραβή,'(ιηκε με φακό α­ ριθμού (ίσο με f/2.8, ενώ αmή του 5β

βαοιούν, όχι μόνο εί\•αι ε υκρινής η

με Γ/'1.2. Γν~ίζοντας ιiδη όtι όοο με·

Έχονιας ιiδη προοδιορίοε:ι ιις οαρο­

μετροταινία, αλλά το βάθος ιιεδίου

γfiλiιιrρος ri,·αι ο αριθμός fιοιι φακού

μrτρους rιοιι μιιορούμε να μετοβάλ ­

είναι της τάξης μερικι~'' μέτρων. Συ·

τόσο μικρόιrρο rινω ω διίιφραγμά του.

λουμι- γιιι να ελέγχουμε το βάθος π ε·

μ πέρασμα: για τη μεγιο ιοποίηοη του

είγοι ψ(Ινtρόόtι

w μικρότερο διι\φροy­

δίου. θα ήιον χρι'ptμο νο κοιο~οήσουμε

βάθους πεδίου. μr,~οwιιοιήο<ε ιην α­

μα οδηγεί σε μεγαλύτερο βάθος nεδίοιι.

γιατί αυu'ς οι παράμετροι ενός συστή­

πόοταοη αnο το προς φωτογράφιση

Η φωι.ογραφία για ιην

onoio χρηοιμο ­

ματος nιιrικό,•ισης επιpεάζοιιν με τέ­

Ο\'\tκείμε,•ο.

nοι~ Ο

Τέλος. Οο διατηρφουμε τψ εστιακή

2,5 μέτρα

κειμέ,·ου παρέμεινε ιιερίοου

f 2'2 έΧεΙ βάθος πεδίου

nt •

Απ' την Πλευρά του ιnανικού σχεδίασης και κατασκευής

οπτικών διατάξεων

τοιΟ\' τρόιιο το βαθος nεδιου. Έ>.•ας μηχα,·ικός σχεδίασης και κο ­

ριποu ιεοοερα μειρο. ε,·ώ η φωwyρα ·

αnοοιαοη και ιφ• απόσταση φακου·

φία με tO\'

έχcι βόθος πεδίου

ωοκευης οπτικω,· διοτόξtω\' ερμη ­

α\"Ιικειμε,·ου ο ιοθrρέι; και θα μειαβά ·

μικρότερο ιου ε,·ός μέιροu. Συμnέρα-

\'tυει ιη'· rξάρτφη του βiιθους nεδιου

f 2.8

β

α

Ν

Σχημα ::ι Το βαθος rιι·διυv ωι.: ου,·ιψrηοη ιοιι Βιrιφμοι·μαcος ι ου φακrιιιιη κrtι ωυ ιφιΟμοιι fι ,t/)Ι}Οψ()f10ΙJ}θηκιι\' Οιις δυο φω•Ο}ΊΧrφίι·ς ήιrr' ' •ιr 1 f 1.8 Kftl ιJJι f 2'2

Or flρJθμοι ( ιιου

OUANTUM Ι ΑΡθΡΟ

31


L'

ι

h

: /) '2

..:

ι

Υ

s Σχήμα

s'

6

vός tt\ιιικειμίΨου ιίψ<ιιχ; h.. Α v ιο ov ακtίμε\•ο μrmκιvrf.l·f κ<ιιd

8ιάοιημά L καt.ά μιjι<ος ιnιι ιmακιJtί "{0\'lr, ι.ιροκflλrι'mι IJNO • κjV'tγιη ftJΙJ η&λ.~υυ κο ιό J...'κard μήκυς ωu i&ιJυ ιi!"o\•tr.

σημαντικό χαρακιηριοιικά ιου χωρίς

Οι λειιιομrρειες για ιην

να αηοπροοονατολilοΥταt αιιό ιφ•

απόδειξη α υιού ιου τύnου

ηληθι;ιρα ιω'· λειιισμrρειώ" που θα

rιναι οηλι'<;. αλλά πολλές·

σηιμrιωπίοουν στη'· rιορεiα ι ης εργα ­

nά,•ιως μπορείτε Υα ιις

οιας ιοιις. Σ' ουτα τα πλαίσια, λοιπόν,

βρεί ιε σε ειοοyωγικά βιβλ/ο 011 ιικής. Είναι σημα­

θο χρηοιμοrιοιήοουμε τφ· αιιλή σ);iση

l

I I +-=.'; ·", r.

γrθι.ινσιις ισούιω με το ιεφόγωνο της πλευρικής

tόnου με

μεγέθυνσης. Mr ιηβοl~ια του Σχή­

αναφέιιι· ιιιι συχνό ως εξίσωση ι;ων λε ·

μαιος 6 μΙΙορσύμε vα α,·n.\ηφθοίιμr τη

f συμβολiζουμr ιη,· εστιακή

• • απόσιcιοη ιου φιικοιι ι, κω η οηοιιι

πτών φιικών. Από την ι:ξfσωοιι

C2)

ncιίρνοιιμr rύκολο

διαμήκης μεγέθυ,·ση.

σχέση μrιιιξύ ιου βόΟους ιιεδίου κω της διαμηκοuς μεyι'Οu,·σης. Όιιως και

ε,·α σύστημα αηcικό,·ιοης προκαλεί

ΠΡΙ\', υηοθt'ιουμr ότι το ψL\μ βρίσκε­

-= s s- r

δυο cιδη μεyι'θυ,·σης στο rίδωλο οου

ται οιο εηιηεδο βeλιιοιης rοτιαυης. οε

που δι,•ει ιηγ cyκοραια μryέθυ,·ση

παράγει. Η πιο Υ''ωστη είΥαι η εj-κάρ •

αηοοιποη

φακό. Τα

ου,·αριηοιι ι ης εουακής αηόσtιιοης

οιιι ι ή π.Ιευpική! μιτέθυ•·ση. ΣτηΥ

αντικeιμενο 110υ βριοκειαι με rατοm ­

και ιης απόστασης φοκου·οηικειμέ­

rιρcιyματικοτητα. είΥuι rόσο κοινή

σμέ,·ο κατά

nοιι όιn\' κάιιοιος ΙJ\·ιιφέρειω στη

με ι ην αρχικη ιοu θέση. Οα δi,·ει είδω­

ση Ι ! Ι, ιιρσκύπιει

μι·γrθυνσιι ενός συστήματος απεικό­

λο σε αnόστιιοη ι '11ίσω αrιό ω φυ\μ. Το φως που Οιι συγκλίνει στο μειπιο­

s.'

f'

s

(s _ι;. )

ονομάζεται

..

''0 μελετούν ορισμένα από τα

μέιρσ ιης διπμήκους με­

to ιiδωλο ύψόV( h'r·

οπό ιη\' εστιακ ή αιιόοιαση του φα­ κοιJ ως Ου\'Ι'Πεια CΥός μrγέθους ΠQIJ

τρέιιrι

νcικό να θυμήοιe ότι το

ε\'Kf~J0/0 W)li)CΙ'όι;Oυιmjμnroς aJrelΚ6>10tJt:διOpώ<JΙJ r<ιιi iι{Ο· \-'Π σιιμμημicις ιuv. Ο φακός σχημοd{ει

νιιι τέλειο. Λυτή η ιιιιροδοχη ιούς εηι­

ο;; ' :l

.\f = _ .. -, .

νισης είγαι σχεδό" βέβαιο ότι αναφέ­ ρι·ιιιι οιην cγκίιρuιιι μr.yέθυγση· δi­

s' L

ΠJΟω από

ro

ιιρσς ιο φακό σε σχέση

ζ.

s'

,-ου. Σuγδυα(ο\'1άς ιην με τη-· εξίσω­

• z·

Μ =-:;-=

ι

ΙΙισμrνο ι·ίδωλο θα σχηματίσει έ\'!J\'

νειι'Ιι οι1ό το λόγο του ύψους ιου

κίικλο σύγχυσης σ ιο ι·ιιf11cδο του φυ\μ .

Αυτή η r·ξfCHo)()tJ συσχετίζει ρηιά rη

ι·ι&~λοιι ιιρσς το ύψος του U\'tικειμέ­

Όσο μεγαλυτrρη εfνηι ιι τιμή του L' τόσο μrγαλiιιrρα; θιι rίναι και ο α,,;.

διαμήκΙ] μrγι'θuνοη με την εοιιακή

στοιχ<>ς κύκλος σύγχυσης 11άνω ο ω

λιστα να την ιιιιλουστ!'ύσουμr 11εριο­

φιλμ. και ιόοο πιο εύκολο Οο μπορεί vα διακρίνει αυιή ιιιν κηλίδα το ανθρώ­

οόιrρσ ονογ,·ωρίζοvτας όu σuς περισ ·

h ri,•ω ιο ύψος του αντικειμέγου και h' το υψος του ειδώλου του. Η ε · yιιάροια μεyέθυνοη. λοιπό,·. εί,·αι .\1 h ' h . Χρηοιμοποιω\'tας ια όμοια ιρiyωγα ιου Σχήματος 6. μnορούμr

πη•ο μάτι. ΕφόοοΥ μεyiιλη ιιμή της

ογ,·οήοουμr μοσ ιή. Έιοι

ευκολο να καταλήξουμε όιι, κο ι'

κόίιrιαι ότι μεyάλη τιμή ιης

οπόλ υ ι η ιιμίι Μ = s' s Η δΗψήκιις μεγέθυ,·οη, που οχετί ­

yει σε μικρό ΙJάΟος ιιι·δίου. Δηλαδή. ακόμιι κοι μικρΙι μeιιιιόιιιοη tt]ς Οέσης

για ιις ιιεριοοόιtρες rιεριmώσεις. rιcι

(εtαι οτtνό με ιιιν εγκάρσια, συσχι'·

του ιινηκcιμeνοu θα προκαλέσει έναν

ιίζει αnοο ιiωι:ις κιη(ι μήκος του οmι •

κύκλο nίιγχuοη<; ηανω στο φιλμ nου Οα μπορεί νιι διιικρίνειιιι με γυμνό

οvtικr.ίμr.νο αrιεχει cιιιόο ιασιι s: 2.5 m από qχικ(\ cστιακι'ι<; ιιιιόσιαοης =50

νου και ciνιιι μcγολύ ιερη της μονά­ δας κατ' οιιόλυτη τιμή εάγ το είδωλο ε1\'ω μεyαλύ-τ.ερο αnό το αντικεiμε · νο. Α υιό φαί,•ειοι οιο Σχήμn

6. όπου

=

κού άξονα στο χοJ()<) ιοu ανηκειμέγου

διιιμήκους μεγεΟυ,·σης οu,·επάyεται

ιωόσιαση του φnκού. Μrιορούμr. μά­

tO\'

μεyαλη μειαιόιιιοη ιης θέσης ιου ει ­

r•. οιJόιε να

r. στον παρσ"ο­

όρο

rl

δώλου ι L'ι \1Π μικρή μcτατόmση ιης

'I

Ι"Ι v

~~ ι= ι·

θrοης ιου αγιικrιμrγου c Lι. εξυπα ­

Af1 οδη­

οότερες περιπιώοεις

5

Η πρσοέyyιση ου ι ή

ri\'01

οολύ κ α.\ ή

rιιιράδειγμα, στην ιιrρίιιιωοη που ένα

r.

1

nιm, το οφόλμα που υπειοι ιιχειαι .\ό.

με αιιοοτάοεις κιιτίι μήκος ισυ οσnκού (ιξονα ΟΙ~ χιΦ<> του ειδώλου. Για πα ·

μάτι.

ρόδειyμα. έ\'ο ανιικείμενο βρίσκετω

σnακής ιιnόο ιιιοης ιου φακού με όλα

li οχι'οιι μεταξύ της διαμήκουι; με­

s μιφοοιά από το φακό,

αυιι\: Έχοηας αι1οδciξr.ι τη σχέση με­

γέθυγοης κιιι ι ης εοτιακης ω1όοτασης

6. και ω είδωλό ιου σχη­ oc ιιιιόοιοοη s' πίσω από ιο

ταξύ του βιΊθους πrδιου και της διαμή ­ κους μεyfθυ,·οης. ηρι'rιrι τώρα να σu­

cιvαι ιι~ι σαφιις. Ότα'' αυξά,•εται η

σr αηόσιαση

στο Σχήμα

μοτiζtται φακό. Ynoθtore όιι ιο αηuιείμC\·ο με­ ταtοιιίζεται κατα μικρό διάστημα

Αλλό ποια είναι η σχέση της ε ­

σχετισουμr ιη διαμηκη μεyέθιπση με

γω τι]ς nροοέγγιοηςείνοι της τίJξιις του

2'1

μό\'0,

εστιακή αnόοτοοη του φιι.κού αυξά,-ε­ ται κοι η διομηιιης μεyί·θιl\·οη. Είδαμε

τη\' tστιοκή αιιοοιαση. Προς ιούιο Οο χρηmμοηοιήαοuμε t\'O από τα αnλου­

ομως n~ιc; όtΟ\' ουξαγετοι η διαμήκης

θυνοη Μι εκφραζει τη σχέση μεταξυ [()U L και tiJ<; μετατόπισης L. ιης σης tOU ειδώλου: Μ, = L' L. Χρηmμο­

σιιρσ ουμnrρ(ιομαια της μελtτης τωv

δίου. Έτσι ανακα.\υnιοuμε ιηβόοη τωΥ

συστημιιτων αιιtικογιοης. Στιι ηρώτα

παρα τφηοεων του φωτοyρσφου: γ1α tη

στάδια της σχεδίασης ιi cινάλυσης ενός

μcyιcιιοιιοιηοη ιου βάθους 11cδίου πρέ­

rιοιόινι{Ις λιγο ολσκληρωrικό λογισμό

οιιιικού ουοιiιμcιιοc;. οι σχεδιαστtς και

κο ι (ι λ γεβρcι, μπορούμε να δείξουμε ότι

οι μη,'{α\'ικσf οuχν(ιυποθέtουΥ ιιωc;εί -

πει να ελιιχιοιοιιοι~ι ιι διομήκης μι· · γέΟυνση, κοι ουιό μπφεί να ηραγμα -

L

ιιρσς το φα κο. Τότε. η διαμήκης μεyέ ­

or .

32

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ •ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1995

μεyέθuγοη. ελοττω,τται το βάΟος πε­


στο ειτίηεδο ιοιι

α

φιλμ. Η ι:γ λι\γω

κιιτιiσ"tαση διο ­ χετεύει άφθονο φως ο ε ένα μ ο ­

ναδικό

β

σημείο

πάνω στο φιλμ . Λυτή η κ ατάστα ·

σ η όμως οδηγι·i t;η ίο η<; σε ι:νc-1\· κι:ινο φωιός ιιοιι οποκλi\•ει γρή ­ tιιίlιε&ι

γορα

του φιλμ

καθώς το

εiδωλο κινεi τιιι

Τα {kίθrχ; nι:δiοtι G>ς mι\'άpαρJ} rου oxr.nκoιl

εμπρός ιί πίσω από το rπίπι:δο

r.cu

β&λ τι στης tστία ­

κι.) νου ψ(ΙΙιόc;, ΙQόιιΟi<> QU}'Ji,,J\rtι } 'J(J V(J Οχη ­

σιις. Η διiιμrτρος τ.ου κύκλου

Σχήμα

7

"''οίyμ,rος ηηι φr'κι>tί. Η ('Πtptfi y(ι)\'ίιι

μιιο'οtι ω ι:ίδι(),lQ, ε,\ι: yχι: rω απι) r,ηγ tψή η''' διαιwόyμαrος.

Σχήμα

8

ΜJκι>ό }Jιtfλx; rιt'δι:ο υ. Τqύω tχι:ι ωισ ι tλ tΟμ(ι ~·ο f111t1R 0\';t,trω tΗΚΡΗ '(,)ς μι?\·ρ

ro .\ nι ιλο ιι.~ι

σιiγχυοης. διιλα­

tοrιοιηθεί με cην eλcιχιοιοιιοfηοη ιης

δ ή,

εο ι ιιικής nιιόο ιJιο ης.

ρ(Jγδοίιι

Μπορούμε επίσης νιι κατ.ιινοι\σου ­

cηιξiη·ε ιω κη ιίι

μ ή κος του ο π η ­

μι: την εξάρτηση του βάθους πεδίου

κού

Οrιό t t\\' (1Πό(J1.ΟQ η $ U\'ti"Ktψέ.νuv .. φακού με τη βοιiθεια τιις διαμήκους

φwςαπό (tν tικt; ι ­

μεγέθυνσης. Από την εξίσωση (5) βλέ ­

σιάζουν

rιουμε rιω<; όtσν αυξάνεται ιο

ιιομο κρύ νονt(ι ι

s. ιι δια ­

άξονα .

ΊΌ

μενα που πλη ­

ή

μιίκης μεγέθυνση μειώνε ιαι. Αυτό

ελοφρά

ου μφωνεί με ιις ιιαριιιιJι>ήοεις ιοιι

φα κό εο ιιiι(ι· ι ω

φωιογρόφου. Για να μεγιοτοιιοιηθεί

w

u n ό μιιι ιόοο ε υ ..

βάθος πεδίου πρέuει να ελαχιοιοιωιιι­ Οεi ιι διαμήκης μεγέθυνση, και α υ τό

ρεία γωγία ώσ ιr

μιιορεf να ιιρογγμαtοιιοιηθεί με ιη με ­

χΙΙοηc; δια κρίνο­

γισrοποίησιι τιις αιιόο ιιιοης tσυ ον ιι ­

νιω

μr. γιι μνό

κειμένοu από ων φοκό. ΙΊα να κατανοιjσουμε τιιν επί δρα ­

μάτι.

Το

ση του αριθμού

α υξιιθεί

{

ή, αν θέλετε, του

διeιφρcίγμcιιος ιου φακού ιης φωιο­

αιι'

α­ ιο

οι κίι κ.\οι ούγ ­

βiιθος

πεδίου μπορεί νιι

με

τη

Σχημα 9 Λ \'"Oλt.J'μt\'0 JJOΙJ {JpJOKO\' CaJ tλϊος ιοv εnιniδου βC.ιιιοηκ εουαοηc;. Οι διίιιαω.ιιjη·ι; που ι.·{l:,γtιυ v μιψι:χJω ωι6 ιιιυςtί.Ηουι;φω\·ο\'tω θuμJJυJ'.

μεiωο η το11 με -

σ co βάθος ιιεδίοιι ,

γέθσυς ιου κ ι;)\'ΟΙΙ φω rός. Αιι cό εω­

κειμένου -φακού και ο αριθμός

δεν μπορούμε να χρηοιμοnοιήοοιιμε ιη

ιιιγχ{ινεωι με rη μείωση ιου διαφρ(ιγ ­

ΟΙ 11 10 Οιjμcινιικοί ιιαρ(ιγοv-ιες οι.ον

οειρά ιων εξιοώσεω'' από

( 11 έω<; (5),

ματος του φακού αν διατηρηθούν

προσδιορισ μό του βάθους πεδίου, κιιι

διόιι η εξίοωοη (2) οφορά μόνο τις θέ­

σταθερές όλες οι υΙJόλοιπες μcταβλη •

ιίλλα χιφιικιηρ1οτικιi ενός ουοcήμι·ι ­

σεις στοιχείων του συστήματος ο ­

τές. Το Σχίnιο ίβ δείχνει ότι για μικρό

τος ιιπεικό\1σιις συνεισφι'.ρουν σ· αυτό.

πεικόνισης κατά μήκο ς του οπτ.ικο ύ

διάφρα γμα το μέγε()ος του κύκλου

ι\ξονο. Χαρο κτφιστικά του συστήμα ­

σύγχυσης αυξcινεrοι πολύ αρyα κατά

ιος π ου είνιιι εκτός του οπτικού άξο ­

μήκος του οπτικού άξονα. Αυτό. βε­

Παραδείγματος χάρη. ιι ποιότιιτ.ιι σχε­ δίασης ενός φακού κιιι η οκρίβειιι με την οποία εκτελείιω cιυτή η οχεδίιιοη.

να, όπω<; το διάφραγμα, δεν συμπε ­

βαίως, οδι}γεi σε μεγάλο βάθος πεδίου.

Παρ ' όλα οuτίι. αυτές οι επιδράσεις

ριλαμβάνοηιιι στις παραδοχές που οδηγούν στην εξίσωση (2). Εντούτοις,

'Ετσι. γιο \'Ο μεγισwποιηθεi το βάθος πεδίου πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ο

•ηψηλόu:ρης ιάξιις· είναι δυναιό\' νο

αγνοηθούν ό ια'' εξrtάζουμε φωτοyρα-

η σχέση μεταξύ του βάθους πεδίου και

ρυθμός αύξφης του μεγέθους του κύ ­

φικrς μιιχογες του r.μπορι ου κα ι πιι -

του διαφράγματος περιγράφεται εύκο­

κλου σύγχυσης. Κιιι αυτό εmιυγχά ­

ρόμοια οιιο ιήμιιιu.

λα με τη βοιίθeια του κύκλου σύγχυ ­

νεται με ελαχιστοποίηση του διοφράγ­

σης. Στο Σχήμα ία, φως που καλύπτει

μα τος του φακού (ίJ μεγιστοποίηση του

ολόκληρη την &πιφόνεια του φακού εστιάζεται πάνω στο φιλμ. Σε τρεις δια­

αριθμού

γροφική μηχιινιiς

στάσεις, αυτό σημαίνει ότι ένας κώνος

φωτός. μεγόλ ιις γωνίας Ο. συγκλίνει

(), όπω<; θο

πρότεινε κιιι κ(ιθ.·

φωτογράφος. Πρέπει να σιwειωσουμε ότι εγώ η

tQtl(l Kή 0110(} \(Ι(Jη, ll ωιόοtαΟη

(1\"[1-

.

'

f

είναι

'

Χρnσιμοιιοιώντας το βάθος πεδίου Ότα" κάποιος κιιτολάβει όχι μόνο τι rιιηρεά(ει ιο βiιθος 11εδίου ιιλλfι κιιι

QUANTUM I ΑΡΘΡΟ

33


γιοιι. cίνοι βέβαιο όu θα καταφέρει να

<> Συνι·χrια

αιιό rη σr.ι

π.\οiω•• αvαμfvυ••ιtιι avιi troς οιη

21

δημιουργιjσει καταπληκτικές φωrο­ γραφitι;.

Γη: ΥηοΟετουμc όιι κάθε nολlτισμός

uια,•ότητ{Ι ελέη;ου του βό •

της φιλοοοφικης του θέοηι;. Είτε μας

έχrι κοιο μέσο ορο ι η δυνατότηια \'Ο

θους πεδιου συνεηόyει<ιι την ικανό­

αρεοει είτε όχι. ό.\οι έχουμε πρσκα­

εκτοξεύει

τητα δημιουρyιας ποικίλω'· ειδικών rφιl. Προσωπικά, χρησιμοποι6ιηας το

ταληψεις σχειικιi με ι η φύση του

χρό,·ο. Α ν Ν

ούμnαησς οιο οιιοίο κατοικούμε. Ας

εκημηση μας- ιόιt ιοε οιαθερη κο­

βίιθας πεδίου κατάφερα \'Ο τραβήξω

δούμε λοιπον πού οδηγείται ο αισιό·

rάοιαοηΙ 0α ταξι&:ύου'· κοι θα φτά ­

11

s

διαστημοnλοια κάθε

: I Ο'

mo

αισιόδοξη

rξαιρηικές φωτογραφίες. Το Σχήμα 8 rίναι ιvο παράδειγμα χρήσης οολύ

νουν σε κιιηοιο σημείο ιου Γαλαξία

μικρου βάθους πεδίου ώοιε ''Ο cονι­

ισυμε οτι uιιι'φχουν περίπου 1011 f\'·

σcεί ι'να ανrικείμ&ΥΟ που καΊαλαμ­ βόνει μικρό μέρος της φωτογραφίας.

διαφέρογτο οημcία που αξίζει να τα επισκεφθεί κιινι·ίς (όλα ια άστρα!).

Όλη η χλόιJ και τα αγριόχορτα του

Τόιε κάθε χρόνο μιισρούμε να αΥα · μfνουμε JO"s/ 1011 ιο·'s αφίξεις σε

10''s διασιημόnλοιιι

=

φόν ιου ουγχωνεύοηαι, και το κο· θαρό rοιιιιομένο λουλούδι μοιάζει να

ένα δεδομέΥΟ •t\·διαφlψο\' σημείο•. Ας δrχrούμr ιην uιιόθεσι1 όη κάθε

ξrΙΙrιόyειαι οπό τη,· εικό,·α. Το Σχη· μα

ω χρόνο. Υ nοθέ­

rίναι η φωτογραφια της άκρης

δοξος και πού ο nΙΙαιοιόδοξος. Και

χρόνο γίνοντιιι οι η Γιι ν τitοιες επι ­

rνός οωρου πλαστικών οωλήνω,·

στις δυο πrριιιιώοεις μπορούμε να

σκέψεις. Τόιr ο μέσος όρος ειιτοξεύ ·

διομtιραιι

υποθέσουμε ότι

οrω''

9

r,: 0.2 !θυμηθείτε όη

φορά τω'' οωλη,·ω,·. δύο από αυτους

σχεδόν τα μισα άστρα ιου Γα.\αξία

s α\•ό iισς θα ειναι 10' •·. ή ένα ού\·ο.\ο JO" •· εκτοξεύοεω" σr όλο το

είχα,· μετατοπιστεί και εξείχα,· πέρα

θεωρου,•ιαι διπλα. ιουλάχισιΟ\'. συ ·

Γαλαξία καΟε χρο,·ο. Α,.

από ιο rπιπrδο των αιφων των υnο ­ λοίΙΙω,·. Ο ένας εξείχε 20 περίπου

στήματα ι και π. : 0.1. Για τους υπό ­ λοιπους ιrοοeρις αριθμούς ο αισιόδο·

ισ', έχουμr (1\'tίσιοιχα 10 έως ιο" εκτοξεύσεις ιινn έτος. Κάτι τέτοιο

εκαιοοιομετρα και ο αλλος 60. Οι δυο σωλήνες φιιίνονιαι θαμποί. καθώς ια

ξσς επιλέγει ιινιιοιοiχως

φαίνrιαι

3

1\'tοώ,·. Κατά τη μετα·

1.0. 1.0. 0,5.

,. =

Ι έως

11

\'(\

rxrι μάλλον μεγάλο κό ­

στος, ειδικlι nν ιιροσπσθήσετε ''"

(ικριι ιους εκτείνονται πέρα από ιο

ιιαι ι ο• ι JΟ'" = lO '. απ. όπου προκύ · 11ιrι Ν a 10., με 10". Αnό τηγ αλλ η

&ΙΙiΙΙεδο βέλτιστι1ς εστίασης. Ας ανeι­

πλευρά, ο αncιισιόδοξος εrιιλέγει γιιι

y1α γο κοτοοκειιαοιούν τέτοιες πο­

φερθούμε 11άλι σιο Σχήμιι 1. Στη­

τους τελευταίους ιέοοερις αριθμούς

οό ι η ιες διασtιιμοπλοlωγ!

υπολογιοετε το υλικό rιου αnωτείται

ρίζεται στο εφf. ΙΙΟU απεικονίζει το Σχήμα 9, ιιλλίι rί,•αι ορατός και ένας

τις ιιμι'ς O.J, 0,1, 0,1 κω 10'/1010 =

JΟ •, 011όιr ιιρσκύπτει Ν: ι ο. Eoriς

μα ι4 ρώιηοο Ιονάμεοιι ο' άλλο\ ποιο

δεύτερος σωρός σωλήνων. 'Γην φω • τοyραφια ωυ Σχήματος 1 την τράβη­

ιι

1110 ιεύετε;

ήταν το όνομα του οδηyού του λεω­

Σε αυιό ιο οημείο, μια εηίκαιρη

φορειό\1 . Υ11άρχει μεγάλη nιθανόιη­

ξα t\·ώ βριοιιόμου'' σε απόοwση μι ­

ηnραιήρηοη: είτε αφορά μια διαφω,•ία

τα \'Ο rίνοι

σου nεριnου μι'ιρσυ από τφ· άκρη

rίιε έ\•α μαθηματικο μσηι'λο είτε

σηλ η εκ ι ίμηση. Παίρνουμε f\'O •τυ­

του nρωτου σωρού. Η φωτογραφική

απλώς μια rικαοία,

nικό• δειyμο -ιο

μηχα,·ή ήια,· εοηαομr,·η στα άκρα

εχει ΤΟ!:ΙΙ λ:i:ιΑ ΟΣΗ ΚΑΙ Η ΑΣθΕ.'\ε .

τ~Ι\' σωλήνων του δεύτερου σωρού

tτεΡΙΙ YΠotιfJ:H

που φοίνονια'' μεσα από to\' πλησιέ·

24.

E.'IA EIIIXEιPJDL\

καΟαρά eσιιιιομένοι σωλήνες απεί ·

αχήμn tνός δίσκου διcιμέrρου 10>

μέφα από τη φωτο·

Γιοτι: Αρκεί μια

28 μc.\η του

μοη·

μοιι διδακτικου πρσαωιιικού σιο τμή-

Μέση απόσrαση μεrαξύ δυο

rιολιιιομών. Ο Γαλαξίας μας έχει ιο

5

.John.

IIOY ΠεΡL\..U!ΒΑΝΕΙ.

στερσ σωλή,·ιι ιοιι 11ρώιου σωρού. Οι ΧΙΙV nερί110υ

Λ. ,.ω -κάτι ακόμα. Στο πρόβλη­

ειι;ιν φ<.Ηό<; Ιε.φ.) και •πάχους• πε­

ρίπου Ι Ο' r.φ. ΊΌ άστρα είναι προφα­

γραφική μηχανή μου .

εrναι συνιφπιιο ιικό ιο γεγονός

νώς περιοοόιrρο οιιγκcντρωμέγα οιο

όιι ιο ιισλύnλοκο φωνόμενο του βά­

γαλαξιακό κrνιρο, αλλά μπορούμε

θοvς ιιεδίου μπορεί να nεριγριιφεi με

να εκ rιμι)οουμr χον ιρικό ένα άνω

οχεηκι'ι αnλους όρους κιι1 με τη χρη­ οιμοιιοίησιJ βοσικιiς θεωρίας και μα­

φράγμα τηι; μrοι1ς ωιόοτασης μετ α­

μα Μιιθημα ιικών και Στατιστικής

ξύ δύο πολιιιομώ'' διαιρώντας τον

θηματικώ,·. Έχοηας καταΥοήοει ιο

όγκο του ΙΌλαξια Γπ110'12 14] · ΙΟ'

του Ιlονειιισ ιημίου μου. Επτά από μας. rχοιιμε ως μικρό ό\•ομα το John.

βάθος πεδίου μπορεί ιε nια να κοιτά­

Λπο nυιό το yεγονός καταλήγω στο

ζεu φωτογραφίες και άλλες εικό,·ες

10 κυβικά ε.φ. με ιην τιμή που βρί­ οκιι ο αισιόδοξος. Ν= 10•. !Υπε,-θυ­

μt κριτικό μα τι. Υ''ωριζοηας όιι ια

μίζουμε όη ι ε.φ.

ειδικό rφί δε,· περιορίζοηαι ο ης ιu­

απόσταση που διn,·ύrι ιο φως σε ένα rιος.Ι Εξαγονιας ιφ· κυβική ρίζα του

νημαιογραφικές ταινίες.

~

Ο Mark ι. 8/crmann κατέλαβε nρόοφ<1· ιιιιη θrοη ιοu O\'α1L\IJ)ωtή καθηγηιή φu · οι κ ίtς fi\.0 J l<ι,ιcrηστιΊμιο της Mnout,·o BiΟ «ι Μό 1:τορμ Λtικ της Αϊόβο.

34

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΙΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

=

11

=ιο" km εi,·αι η

108 nαιρνουμε 500 ε.φ. περίπου. Από τη.· άλλη πλrυρό, Ο\' Ν: lO Ιη εκτί ­ μηση του οηαισιόδοξου>. η απόσταση

είναι 2 · Ι Ο' ε.φ.

25.

1/όσcς cnιοκέψcις διaσtΙJJlO·

nνοnοφrυκισ συμηtρασμα όιι έ\·α

ατομο ο ι α τiοσερα ι νοι. περιλαμβά­ \'Οντος και ιις yυ,·αiκεςΙ ΟΥομάζετnι

John.

Φυοικό , α υιό εi,·αι μό,·ο μια

εκτiμηοη...

@

Ο John Α. Adam διδόσκrι μαθημαιικα στο Old Οοιtιίιιίοα Uιιινerοιι)· ow Νόρφο.\ ­ κ ι ης ΒιρΦνια. Στο,· rλcύθt)JO ΧJ)ό\'0 t0\1 δι·ν οδηγtl λrωιρορciο.


ΠΩΣ ΛΥΝΕΤΑΙ ;

στη

κή και τα μαθηματικά

θέσου με επιπλέο'' ότι αρχικά δεν

Μαθηματικά

υπάρχουν μηδενικά . Λποδεiξτε ότι

Μ46

σcο ιέλος θα ιιιιάρχοιιν και η - k μηδενικά.

Διαδοχική ευτυχία. θα αποκαλούμε

(Ν. Alexarιdru, Ροuμανίιι )

ευτυχή έναν θετικό ακέραιο όταν

k

μοΥόδες

ι.

, .ι

μπορούμε να επιλέξουμε ορισμένο

Μ50

πλι)Οο<; ψηφίων αrιό το δεκαδη<ό του

'Γα μαθηματικά της μεταφοράς της

ανάπτυγμ<ι έτοι (;,(),;ε ιο (\θρ οισμά

[υλείος. Σιην ευθύγραμμη όχθη ενός

τους να ισούται με το άθροισμα των

ποταμού έχει αηλωθεί ένα rιλήθοc;

μάιων βρiο1<ειιιι πάΥω <Jτο ε πίπεδο

υπόλοιπων ψηφίων . (α) Βρείτε τον

κορμών δέντρων. Κάθε κορμός σχη­

μιιφάτερο ευτυχή αριθμό

μα•ίζει με ιηγ όχθη ιου ποταμού

του οχήματος, ιιnολογίστ.: το μέγιστο βεληγεκές τους. (8. Κι·οtον\

a που

οκο·

Σχήμα

2

λουθείται από ευτυχιί αριθμό. (β)

γωνία μικρό ωρη ιων

Υπάρχουν τρεις διαδοχικοί ευτυχείς

εiνω ευθίιγραμμο ι.μήμ<ι ιιι. ξένο με­

Φ47

αριθμοί; (Ν. Zilbeι·berg)

ταξύ τους). Αποδείξτε ότι μπορούμε

Α τομικιj μπαταρία. Κάθε στοιχείο

45°

(οι κορμοί

Μ47

να κυλήσουμε ανεμπόδιστα τουλά ­

μιας ατομικής μπαταρίας είναι έγας

χι() <Ο\' έναν ι·ιπό ιοuς κορμούς ώς οο

πυκ''u>τής, ο i:νας οπλισμός ιου ο­

Συyκ.lίνουοες κόθεεες. θεωρούμε έ­

ποτάμι <ικολουθώντας κιιτεύθυνση

να σημείο "Ρ τετραγώνου ΑιΑ2Α3 Α, και το συνδέουμε με τις κορυφές του.

κάθετη προς τον κορμό (βλ. Σχήμα

1)

ποίου καλύπτεται οοό ραδιενεργό υλικό που εκπέμπει ακτίγες άλφα. με

χωρίς να χρειαστεί να αλλάξουμε

tαχύτητα υ, = 2,2 · 10• m / s. Βρείιε

Αποδείξτ;: ότι οι κόθε ιες rιou φέροu­

αυτή τηγ κατεύθυνση. (V. IJyίcheν)

την ΗΕΔ κάθε τέτοιου στοιχείου, δε­

μεαπό τα Αι.Α2• Α,, Α, προς τις ευ­

δομένου ότι το πηλίκο ιου φορτίου

οuγκλίνουν. (Α.

είναι k = 4,8 · 107 C /kg.

θείες Ριl~. ΡΑ3 • ΡΑ, . ΡΑ, οντίσwιχιι

προς τη μάζα του σωματιδίου άλφα

Vilenkinl

(Α. Grigoι·enko)

Μ48 Ισαπέχουσες ρίζες. Ποιο οιινθήκη

Φ48

πρέπει να ικανοποιούν οι συντελε­

Σtη βάοιι ενός κυλινδρικού δοχείου

3

στές της τριτοβάθμ ιας εξίσωσης χ +

ax

2

+ bx + c =Ο ι;)()τt οι τρεις ρίζες της

να σχημα,ίζουν αριθμητική πρόοδο; ιΜ.

Η εξαφάνιση των

στ ψ οποiα παραμέ,•ει μικρή ποοότη­

Φυσική

&zborodn.ikovJ

Μ49

ιιου κλεiνεtιιι με εniπεδο έμβολο δια. μέτρου D υπάρχει μια θηλή, μέσα

Σχήμα 1

τα νερού (Σχήμα

Γράφουμε σε

έναν κύκλο n αριθμούς ioouc; με Ο, I ή 2. Οι αριθμοί uπόκεινται ταυτόχρο­

Στα χαρακώμαι.α. Ένα αντιαεροπο· ρικό πυροβόλο βρίσκεται οε ένα βαθύ

είναι κεκλιμένο και οχημαιίζει με ιο

ιωθιο ιού με όλα τα 2 με Ο και έπειτα aυξάνουμε όλους τους αριθμού<; που

οριζόγτιο έδαφος γωνία α (~χήμα

βρίσκονται δiπλα τους (προς τα δεξιά

θέση Α η οιιοία αrιέχει αrιό rη βάοη Β

τους) κατά Ι. Αρχικό έχουμε k 2: 1 αριθμούς ίσους με 2. <α) Πόσοι τέτοιοι

του οτέγαοψου απόσωοη

εξαφανίσου μι: όλο τα

2;

(β) Ας υπο-

Η

καταφύγιο, το στέγαοφο ωυ οιιοίοιι

να ο ων εξής μετασΧΙJΙlατισμό; αντι­

μr.ιασχηματισμοί αρκούν ώστε να

διάμετρος ιης

D

Φ46 2.

3). l1

2).

Το οuροβόλο έχει t1)11Οθeιηθεί σιη

t. Η

αρχι •

Σχήμα

3

θηλής είναι

d = 2 mm. Όιαν το έμβο­

κ ή ταχύτητα με την οnοίο εκ cοξεύει

λο κατεβαίνει καrι\ Η=

το πυροβόλο κάθε βλήμιι είνιιι υ •. Υποθότο,·ιας όιι η τροχιά των βλη -

σtιιθερή θερμοκριιοiα. η στάθμη του Υεpού στη θηλή ανέρχετ:αι κατά h =

10 cm

OUANTUM Ι ΠΩΣ λVΝΕΤΑΙ;

υπό

35


1 ωηι.

Υηολογίοιι: ιηγ τίιοη κορε­

του εοι~tερικού, αλλά και οι δι'ιο ιο­

δροιrς, ιοιrς ιιερια φ(:φοιφι: έwι 6κ11ε

ομένων οιμών στη θερμοκρασία των

χουν ίδια επιφανειακή πυκνό cητα

οι άξονές ιοιις \·(ι ylνoυv κίιθετοJ

φορτίου. Θέιοuμε οε κίνηση τον εξω·

μετcιξίι ιοuς. ~·Ι ιcι λεnτή κυλιγδρικιi

τερικό κύλινδρο ώστε να περιστρέ·

δέσμι} φωτός κατευθύνεται προς την

φεται με σταθερή γωγιακή οοχύ tητα

κuριή επιφάγεια ωu ενός ημικuλίν­

Κύλη•δροι και μιιy•·ηrικιi πεδίο. Δύο

ω. Ποιο είναι ιο μέ ιρο κιιι η φορά ιής

δρου μ& διtύθυνοη κάθετη προς την

μακριοί και με λεπτά τοιχώματα κυ ­ λι ν/)ι>ικοf σωλήνες από μο1•ωτικό

ταχύ-ιηιος με ιηv οιιοία ονιιyκιίζ~ται να nερισιραφεί ο εοι.rιερικός κύλι"·

επίπεδη επιφόνειίι του· δι&ρχετ{ιι από ιον ιψό>ιο ημικύλιvδρο. nροσnερνά

υλικό έχου1· τη δυναrόtι}tcι να ιιερι·

δρος;

Belonuchkίn)

20•c. (V.

Φ49

οιρέφονωι r:λεύθφιι γύρω από έl'ον

(V.

Mikhaγlov )

ιο σημείο ιΩμής

ιιμικυλίνδρω1• και εξέρχειαι αιιό ιην

ΦSΟ

ΚΟΙΙ'ό ίιξοvα, όrιως φαίγεται στο Σχήμα 4. Η ακtί\'ο του εξωτερικού

Ποpιiξι:vος φακός. Έ1·aς κ ίιλινδρος

ο~ιλήνα είl'αι διπλάσια της ακτίνας

ακτίνας

;;;; ---- ---- -/%;

κuptή εrιιφάνεια του δcύ ιεροu ημι ­

R = 5

4

εξερχόμενη δέσμη: Καιά πόσο θcι έχει

δύο γυάλιl'ους ημικύλινδρους. κο·

αυξηθεί η εγκάρσιο τομή tι}ς σε από·

θένcις από ι.ους οιιοίους έχε ι ουvτε­

οιιιοη

λcστιi διάθλασης

n

= 2.

Οι επίπεδες

Russell Stannard

ιιικροσκοπικό

των

.

- -.:οι>άρκ

ςφονίοων. Βοιιθήστι: tι}l'

ι\λίι..-η κΙLι τg\'

Κc\,~\•ι:λο να εξερεuνήσου1•

~τό;ς και της ύλης, όποu

τίποτε δεν cl~αι όπως'~ιίvιετ~ιιJ...ι\"\όμη

-~ οι ,μ~;:~~:.~~~:;ο~~ , · σήμερα, εξηγήσουν τις α• Π ιος θα λi>σει , λοιπόν, τους κβ(ΙΥ;ικ· Μήπως εσείς; Καλοi>-κακού όμως

ΥΙ>ίφ-ους,~

Βασίλισσα Κοiιπα, yιατί μπορεί να σιiζκόψει Ιο'εφάλι μέχρι να πείτε κύμινο. Σελ.:

144, 2.900 δρχ.

Εκδόστις κάτοπτρο

36

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

L =1 m

ιιπό το οπτικό σύστη­

μcι; < Α. Zίlbcι·man )

επιφάνειες των ημικυλίΙ•δρωγ βρί • aποχωρίσουμε τους δiιο t}μικiιλιv ·

τη Οαuμαστή~Ιρα

κιιλίνδροιι. Τι μορφή (ΙJχήμn) !:χει η

cπι αποτελεί ται από

σκοντaι σε απόλυτη cηαφή. Χωρίς να

Σχήμα

trov αξόνων των

ΑΠΛΝΤΠΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΛΙ Λ ΥΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΕΛ.

66


ΜΑΘΗΜΑτΙΚΕΣ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΕΙΣ

zευγάρια με δ

ικό άθροισμα

=αvασυναvτώvτας ένα παλιό πρόβλημα

George Berzsenyi

Σ

Ε τοΥΤ() το τΕΥΧΟΣ θΛ ΙΙθε.>~.Λ ΝΑ

μεγα.\υτερο του

ξαναθυμίσω ένα πα.\ ιό nρόβλημα

ιι.ληοη προς τους ανιη·νωοu>ς είναι ,.α

ιο πολύ

που έθeοο (ως Πριjβλημα

αναπιυξου" τη'' απαιτούμc''η εmχει ­

φορεηκές. Η συλλογιστική τους οδη·

ρημα τολογιιι.

γφε οιο

στήλη μου

5471στη

··Competition C'orneι···

τον Δεκέμβριο του

1980 στο

:J5.

Η πρώιη μου nρό·

Ν. και επομένως από nς δια~ς μας

66 - 10 μποιχι ''α είναι δια ·

a,. >56.

περιοδικό

Εκείνη ιηγ εποχή είχα τηγ ιύχη "α

Άλλοι μαθηιές κιιτόφεραν νιι βρουν

Mnthematίι:s Stιιdent (έχει διακόψει

συμμετέχουν σιο πρόγραμμι\ μου ε ·

καλύτερα nαριιδείγματα του Ν, όπως

ma την έκδοσή τουι. Εκεινη ιη'· επο ­

ιο

χή αγνοούσα όιι είχε Ο\'tΙμετωπιστεί

πιίι από τους οκτώ νικηιrς rης Μαθη· μαιικής Ολυμπιάδος ιων tΙΠΛ του

ήδη μια οπλούστtρη παραλλαγή ιου

1980. καΟώς και

προβ.!ιήμαιος στο Τhι> Fίbonaccι

Quar-

nολλοι ο.λλοι εξοψε· η κι\ ταλα,·τούχοι μαθηιrς. Οι περιο ·

terlJ•και όιι C\'O οχι:tικό πρόβλημα είχε τεθεί οτη Βρετανική Μαθημαιικιi Ολυ •

οόιrροι δrν αποδέχτηκα" το

μmάδο ιου

επειδή είχιι πρωιοπορουσιcιοει

καλύτερη δυγατή αηι\γιηοη, ειδικά

3. 5. s. 13. .ι1, 30. 39. 53. 67, 821

και ιο ακόμα καλυι.rρο ( Ι,

2, 3. 5, 12, 19, 36, 42, 48, 61, 69, 74),

co πρό •

αλλiι σίγουρο ιο χάσμα εiναι οκόμη

πράγματα θα ήμουν λιγότερο φιλόδο· ξος στην αρχική μου διαιυrιωοη:

βλημα με cπιδιωκόμε,·η λύοη ω 6ί.

μryάλο. Προκαλώ λοιπόν ιους O\'Q •

Έτσι ορισμέ,•οι καιι'ληξα'' σr διάφορες

γνώστες μου ,.α ιο μικρύνουΥ.

Έοτω Ν ένα ούνο.1ο δω&:κα Οcιι •

βελ ηώοrις. θα ηεριγράψω στη σιπέ •

κι~ ν ακεραlων rtroιωv ώο rε για δια ·

χει α μφικές από α υ ιές για να Ο\•οiξω

Δεν γνωρίζουμε τη'' απά\•τηση α· κόμη και \ηα σύνολα με n < 12 στοιχεία.

φορε&ικά σrοιχείn

την όρεξη των αναγνωστών μου

YJO

Δυnτυχώς. δεν φιιίνειαι να υπάρχει

nροοrιόθειες. και ),α Υα

κόιιοιιι αναδρομική σχέση, και έτσι δεν

μεyαλύrερο στοιχείο ιου Ν eίvnι με·

επισημάνω τη,- ποικιλiα ιων δu,·a ιών

υπάρχει -τρόπος να κατασκευάσουμε

yΟ;\ύτερο ιου 67. Εκείνη ι ην εrιοχή θεωρουοα όn το

nροοεyyίσεω-· του προβλήματος. Ένος μαθητής παρατήρησε ου Ο\' τα

ε,·α ού"ολο Ν με n + 1στοιχciα από σύνολο Ν με n οιοιχεια. Είναι αληθειιι

είναι ένα εύλογο κατ~ηφο φρόy ·

στοιχείο του Ν είγω a 1 < 8z < a~ < ... < τόιε δύο μό"ο ro πολύ από η<; δια.

ι ι~ όταν Ν είναι έ\·ο ι.tιο1ο σύνολο ιι

ισχύει υ

67

1979. Λ ν Υ"'~"ζο αυτά ια

35 ως τι1ν

ι 1. 2.

a. b. c. d

rου Ν να

+ b "c + d. Αποδι:ίξre ότι ιο

μα, αφού ιο καλύτερο Ν noH μποροίι · σα να κιιταοκευόσω ήτιιν ιο {1. 2. 3, 5.

mo φιλόδοξες

a,.

t''a

οωιχεiων, τόι.r ιο ίδιο ιοχίιει και για ιο οίινολο{k+1-n Ιιιε Ν},αλλάιιυιό

8. 21, 29. 37. 46, 80, 71. 83}. Δυσιυχώς

φορές n1<J- aιι· a11 - ~J'J' a 1η- ιι!ό' .... a2 aι είνω ίδιες. και κο tόΠΙ\' ιιυτού συ·

υm'pχε ενα σφάλμα στη λύση μου και

μπέρανe όn

a., > 3ϊ. Έ'·ας άλλος μα·

και nαλύ, εκτος από το ότι tΥδέλτιαι \'ο

eτ01 έπρειιε να α''t!Κατιισrηυω ιο 6ί με

θηrηςεΕ,tταοc mo πρσοcκΙΙκtι αυτές ιις

ιο 35 για \'Ο είναι πιο λογικό ιο πρό · βλημα. Οδηγήθηκα στην επιλογή του

διιιφορές και (εξετάζΟ\'tιις αν το

1 εμ •

μας υnοδεικΥυtι ΙΙG>ς τα μικρότερα στοιχεία του Ν δr.ν βρiσκονιαι υπο­

φαγίζετω μiιι, δύο φορές ή καθόλου ως

χρεωτικό πιο κο,•τό μειnξίι τους απ' όοο

έξι διαφορειικά αθροίσματα. μr ιο μι .

διιιφορόl καιάφερε να αιιοδεiξει ότι η ισότητα μεταξύ αυτώ\' ιω'· διαφορώ'·

το μεγαλύτερο. Σε αυτό το σημειο iσως βοηθήσου,·

κρότερο αιιό αυτό ,.α tJ\·αι μεγαλυτε •

εί,•αι ακόμη πιο περιορισμέ,·η. και έιοι

κάποια δεδομι'-·α δημιουρyημένα από

46.

υπολοyιστη. )1nορουμr ακόμη νο cξε •

Πολλοι προχώρησαν ιιcριοσότερο. πα· ρατrρώνιαςότι τουλάχιοwν 56 οπό ιις

ιαοουμc ηρώτα rυχη icς επιλογές ο wι· χείων ιου Ν και μcιά νn προχωρούμε

σμα τωv δυο μεγαλύτερων μrλώ,· του

διοφορές a - b. όπου ιι. b ε Ν πρέιιr.ι νιι είναι διαφορεnκές. Γιιι να το δια·

στην Ο\'tικαιάοιnοή τους. Είμαι rιno· λύtως !Χβαιος ότι έχει φτάσει η σιιγ·

Ν. \;νεται αμέσως φα,·ερό ότι ιο μεyι ·

οιστώοειε αυτό παρατrρηοιε οrι οια,·

μη \'Ο σημειωθει πρόοδος σε α υιό ιο

στο στοιχειο του Ν nρέne1 να cινω του · λάχτστον 35. κ ω αρκεί λίγη μό,·ο σκέ ·

a. b. cε

b- c

ιιραβλημα. Προιρrnω λοιπό'' τους ο\•α.

ιο μικρό·

'ι'''ωοιες μου Υα πρσοrιαθήοουν να ιην

ψη για γα δούμε ότι πρέπει \'Ο εί"οι

ιrρο ουτε ιο μεγnλυιερο οιοιχι·ιο ιου

35 παρα ιrρώντας όη

ρο ή ίσο του

υπάρχουν rξήντα

3 = 2 + 1, και επομι',·ως οι

ιιμές τους κυμαί,,ο,rιαι ~ιη'' ιδα,•ι · κή περίπτωση- οπό το

Αφού το

68

3 έως

το

68.

πρέπει να είναι ιο άθροι·

o\·tβaoc το κατώτερο φραγμα στο

Ν για,." εχουμr ι·- a =

ορίηι·ι ιο

c ''n μην ti\'QI οιι ιι·

ιο γεγονός δεν φαίνrιαι ''α μας βοηθά

ι·ηιτύχουν.

OUANTUM Ι ΜΑθΗΙΙΑfΙΚΕΙ ΑΝΑ2Η1ΉΣΕΙΙ

ίt1

39


Περί ιιΗ δύναμη κάθε ελατηρίου

I'ΟΦΛ:-ΕΩ~ Ο tΙΟΟΚΕ ~ΠΛΟΥΣΕ ΠΑ έν<ι nιιό αι πιο προφαν-η είδη οα­

ελεύθι·ρη rrτι~σιι. Ποιες δυ,•όμεις α­

ραμόρφι.>σης -την ελnσnκή πα­ ρο μόρφωση. Αλλά αnό τ~ πρώτα

δρου οιιό το γrιtΟ\1Κα του οτρωματο: 3. Δυο δυγόμrις. οι Fι και F 2• α­

n

βήμα ια μας στη σχολική φυσική αιιού­

σκοίινιω

ur

κ(ιθf στρώμα του κυλίν­

ισορροηει στrριζόμεvη σταθερό σ.ιc;

εξiοου οημα,•ιικιι. θυμηθι>ίτε τα nρο­

αιφες ι ης ιΣχημα ι ι Η δοκός θιι •Κό ­

βλήμοια \ω\' eλοοτικώ\' και ηλοου­ κών κρούσεων, της ισορροπiας σωμά­

'"'ι μεγιιλυτtρη κοιλιά• ον οι ούο δυ ­ νίιμrις ιινιικατοσταθου'' απ· τη συνι­

Lω\', ιις μeιιιβολiς σw σχήμα και tO\'

οταμι>νη τους F = Fι + F i-

όγκο, ιις μηχα\ηκές ταλαντώσεις.. και

ουνιίιΗηιιη με ιη μετα •

.

.

F

2

10.1Ιώς μεταβάλλεται η περίοδος

γόλος. Η κιιιο,•όi)Οη ιι.1ν ποραμφφι~­

1•'1

σεων σε σχέση με τις ιδιότητες των φυσικών σωμάτων έχει ιόοο μεγάλο ενδιαφέρον για ι ην εmοτήμη και την

αυ ιών των ιδιοτήτων αrιοτελεί ένα αοό

F σε

ιοnιοη χ ιου οημrιου εφορμογης της:

Σχήμα

ο καιiιλογος μπορεί να γivει πολύ με­

χωρίς καμια υπερβολή οιι η μελέτη

.

δύναμης

σκούηαι στφ• οριζόντια δοκό που

με και γιο άλλο είδη ιιnραμόρφωοης,

τεχνολογία ώστε μuφούμε να πούμε

φαί νετω υτο ~χήμα 2. ΊΊ μορφή θιι έχει ιο διάγραμμα μεuιβολής της τεiνουοαι;

Σχήμα

1

f'2 }''

κι:ιτακόρυφης ταλόνu.>Οης ενός σώμα­

τος που w ι!χουμt κρtμόοει απο δ&ο πανόμοιά ελαιήρια ότιιν, ενώ ήταν συνδεδεμένο κο ι:ό οειρό, τα αντικατο­ στήσουμε με τα ίδιο ουvδεδεμένο με­

τα πλtον ενδιοφiρο,•ια θέματα της

4. Δύο σύρμαιn, ίΟ ένο από σiδrpo και w όλλο από χαλκό, αναρτώνται

ταξύ τους παράλληλα; Ι Ι .'Ε,·ο σώμα Α έχει εξαρτηθεί μέ ­

συyχρονης φυσικής.

από ιην οροφη ενός δωματίου και κρέ­

σω νήμα ιος αιιό ιφ• οροφή δωματjου.

Αnό ιηv rrιοχή που διδασκόμασταν

μοηαι καιοκόρυφα. Τα ελεύθι:ρα ό­

Έ'•α όλλο σωμο Β εξαρτάιαι μεσω

τη γυμνασιακή φυσική μάθομε όu τις

κρο ιους ια συνδέουμε με ορι(όνnο

ε.\οτηρiου από ι:ο Α Σ ιη οΌVέχεια καί •

παραμορφώσεις nρέπει ,.α ιις καt<ι­

αβαρή ρ(ιβδο, και οτ.ο μέσο της προο­

μ& με tνο οπiρι:ο ιο νήμα. Τα δύο σώ.

νοήοουμε σε πολλά διαφορεt~κό πεδία. Σ~η μιιχανική και τη θερμοδυναμική

δtνουμε μια μίιζιι. Η ράβδος θιι σuνε­

μα<α θιι ιιlφtΟυν με ίσες εmτοχyνσεις;

ιιrιό μακροσκοπική σκοπιά· όταν εξη­

χίοει να είναι οριζόντιο;

5.

Δύο οίιρμnιιι είναι από το jδιο

12. Γιο ιί

μιιι ρι'ιβδος χαλαζία μπορεί

να υ11οοιεi ισχυρή ψύξη χωρfς να

γούμε τις μοριακές κιιι τις ατομικές

υλικό. ολλι'ι η δι(ιμετρος της διατομής

αλληλεrιιδρ(ιοεις, οιη βάσιι της μοριιι ­ κής κινιιιικής· και όταν ερευνούμε τη

και ιο μήκος του πρώτου είναι διπλά­ οια ιιιιό tO ιι vτiστοιχα του δεύτερου. ΊΙ

γιιι νιι κόψετε μe

φύση ιων rλnuιικών δυνάμεων. με τη

σχέση tχουν οι οχεrικeς ειιιμηκύνοεις

κομμάτι σύρμα, αλλά μπορεirε σχετι ­

βοήθεια ι ης ηλεκ φομογνητικής θεω • ρίας. Αυιή η ιιροοπάθεια κατανόησης

ιων δύο σvρμάτωv και τι οι οuόλuι~ς, εάν ιrίνο\'UΙΙ από ίσες δυνάμεις;

κά εύκολα να το σπάσετε αν είναι ου­ ροκτωμένο. Γιατί;

ΙΊατί τα δυναμόμtφο ελατrpίου

14. Η εσωτερική ενέργεια ενός οώ­

tχουν -στοπ• nιru πrριορiζουΥ ιη'· εαιμηκυνοη ιων rλατηρίωv;

μαιος ιιλλαζtι καιiι την ελοσιική του

Γιο τΙ το τεχνητό καλάμι ψαρέ·

ιs:ε,·α συμmεσμένο χαλύβδινο

οχοινι, δων τραβάτε nς άιφες του οε ανιίθrιrς κιιτευθύνσεις ή όταν με ια

ματος εχει μακρύ και εύκαμπτο αιιρο: 8. Γιαιί μια μικρή σφαίρα απλώς

ελατήριο extι δυ\•αμική ενέρ\•ειο. Τι

δύο χέριιι uος qχιβάτε τη μια άκρη wυ

φυnάει ισε δύο απέ,·ονη οημcίω ένα

fΥώ ιην ι\λλη την έχετε στερεώσει οε

μηλιικό πλαcmκό ποτήρι γεμάτο νφό,

τήριο διαλύεται βυθισμένο μέσο σε οξύ; 16.Ποιο από δύο αβαρή ελατίJρια

ένω· ιοίχο; Κιιι στις δύο οφιmώοεις

ενώ ιιν είναι γυόλινο ιο θρυμμαιίζει;

ίδιων διαι:n:άοεων, το ι\νο αnό χαλκό

2-'υνδέουμε τις άκρες δύο ιJβ<ιρών

και το όλλοοπό χάλυβα, περικλείει nε ­

ελιΙtrρίων διαφορεnκών μηκ<iιν όπως

ριιισόrεριι δυναμική ενέργεια όtαν συ-

θυμίζι:ι ιψάγμιιιι_ καλειδοοκόmο. f9ωτήοtJς και προβλήματα ι. Πόιε ιriνtte περισσότερο ένα

κίιθε χέρι ιιοκεί ιην ίδια δύναμη.

2.

40

· ενιις βαρύς κύλινδρος ειαελcl

ΝΟΕΜβΡΙΟΣ ΙΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

6.

7.

9.

θιίυμμάτιστεί:

1 3.Χρειάζετnι μεγάλη προσπάθεια

to

χέρια οι1ς ένα

nορομόρφωοη;

γiνετοι η ενtρyεια αιιτή όwv ιο ελα­


ΙJVCΙΛO\tn της εnμήκwσής τοο...ιι

-Robert Hooke μmέζονιαι από ίοn φορrία;

Αυτό 01όθηκε αφορμή για δριμύτα­

Μ!ιφοπtφαματι_ομοf

Περάστε, τpαβώνwς ελαφρά. έ"α" λασ ιιχένιο n6)λήγα μέυα σε ι'νο με­ ταλλικό δ<ιχιυλίδι. Η διάμετρος του

δαχτυλιδιού πρfπει να rί,·αι ttτοια ώστe όταν σηκώοεtt κοιιικόρυφο το

σωλήνιι το δαχτυλίδι να μι) γλιισφιl αλλό να μέγει ακίνηιο στη θέση του.

της αtαξιας• μtοα στοΥ κρυσταλλο.

τες δ•αμ,άχες με αuθεντίες σον τον

...σημερα έχουμε οτη διάθrοή μας

Huygen,q

ιιπερελαοιικ(ι κράματα, που συμπερι ­

Νεύιωνα, ων

και άλλους ό ­

σον αφορά ιην προιcροιό"J'U στις nνι•καλύψtις. Εντοuτο•c;. ο •νόμος <ου

φέρονται σαν

ro

ια

κιιουτσούκ και είναι

ικαγά να δεχτούν ιερόσιιrς παρι:ιμορ ­

ειχε επιβeβαιωΟιί ιόσο ισχυρό

φώοεις -δύο ιάl,εις μεγέθους μεyα­

από σειρα πειραμάτων tσυ, ωcrt't' η ηα­ τρόιητά του επί του νόμου ουδέποτε

λύuρες απ' ό,τι τα ουνηθη μέταλλα. Απ' fi)V (ιλλη, πολλά είδη κραμάτων

αμφισβητήθηκε.

μnορού\• να οδηγηθούν οε υπcρcλα­

Hooke·

...στις αρχές του 18ου αιό>να σια

στική κατάσταση ό ιαν ρέουν υπό πολύ

ορυχciα ου,·tβοιναν πολύ συχνά ατu­

χήμαιο επειδή ισπαγαν οι αλυσίδες

χαμηλή πίε~ιη. ...είναι δυναιόν να συνδυάσουμε

τω'' ανοβntiρων. Πολλοl μορφωμcνοι,

αντίθετες μηχaνικtς ιδιότητες σε ούν­

... τα ειι ιοτημονικά ενδιαφέροντα tΟυ Robert llooke ήιαν τόσο ευρέα

ανάμεσά τους κιιι ο ηερίψημος Gott• fried Wilhelm Lcibniz. ιφοοπάθηοαν

Οειιι υλικό ιιου περιλαμβάνουν μιίι

ώστe ουχνά δε'• ιίχε tO χρόνο ,.α οδη­

να βελnώσαυν uς μειολλικtς α.\υσi­

δες γtμισμα από πολύ ισχυρό υλικό.

γήσει την ιρcυνά του

δες, αλλα χωρίς ειητυΧJn. Ί'ην ανnκα­ ιοσιοση ιων αλυσίδων μr συρματό­

μορφώσεις μικρότερες κι απ' τη διά ­

σχοινο την επΙνόησε ένας σύμβουλος

μcιρο ενός αtόμου, αρκεί νιι είγαι

ορυχείων, ένας ασκούμενιχ; δικηγόρος, ο Albert. 'EtOl eγινε δυναιό να

παραμορφώσεις λόγω ταλάνιωσης οι οιιοίες μεrοσχημαιίζονται εύι<ολα

αξιοποιηθcί μια από

n<; ιιιο σπουδαίες

ηλαφικά σήματα. Μ1: την ευκιιιρία, το

ιδιότητες ιου οιδipου -το υψηλό όριο θρ<ιύσηι: του.

ανθρώmνο ιιυτί μπορεί να •μετρήσει•

Στη ουνέχεια u:nώo ιε το σωλήΥα. Τι θα συμ/ΧΙ σαι δαχαιλίδι, και γιατί:

Εiνω ενδιαφέρον ότι ...

Ot- κάποιο

ου­

μnέpα~ιμα.

w.

...ο άγγλος φυσικός κιιι μηχανικός

Osbome Reynolds είναι

ελαφρώc; εύκαμπτη βάση και ένα ινώ­

... μnορουμε

να μετρήσουμε παρο­

oc

μc ιον ίδιο τρόπο τις παραμορφώσεις

του τυpπάνου.

σ πρώτος που

...οι οαραμορφώοεις του χιιλαζjα κm

εξήγησε γJατi όια'' οαώμc στην υγρή

κιίποιων άλλω'' διηλεκτρικών υλικώ\'

άμμο ι ης οαραλίιις το μέρος τ:ής πατη­

προκαλούν την εμφόVΙοη ηλcκ φικώΥ

μασιάς μας οι.eyνώνει και οοιιρί(ει. Το 1885 έδειξε ότι ο όγκος που καταλαμ­

φορτίων στις εrιιφι'ινειές τους. Αλλά

βάνουγ οι κόκκοι της άμμου αυξάνει

φο!ρονται μέσα σε ηλεκτρικό nrδίο ηρο­

α11ό τη δJαtμηιική παραμόρφωση rην οrιοία προκαλεί το πόδι. Κατά συνέ­

καλci τψ οαpαμόρφωοή τουc;. Αυτά τα

rιειu, <ο ειιίnεδο ιης άμμου ονί\ρχεrοι

αντίο ιροφο nιεζοηλεκτρικό φαινόμενο.

αrιόrομα nόνω οπό ω επίιιrδο του νε­ ρού, αφήνοντάς τηΥ πρόσκαιρα ξερη

...όταν ο μόλυβδος βομβuρδίζtτnι y•α μιγαλο χρονικό διασrημα \11' νεφό\'10.

και όσπρη.

γιη~αι τόσο ελασ rικάς ώστe μια κ α­

...εξήγηοη για τφ• πλοοιική παρα­ μόρφωση διατυπώθηκε μόλις τον 20ό

μnάΥα φrιαyμι'νη οπό αυτόν χιυπάει

κens. Houtof•uίllc και yr.y0\•6ς

αιώνα, όταν οι φυσΙκοί ανακ{ιλυψαν

ιόοο ιJΧψά όσο οι καμπάνες που έχουν χυτcuιεί από τον καλύτερο μπρού ­

τις οεξιιρθρώσει<;• -δηλαδή ατέλειες

ντζο.

Πpώιιuι μφφή ανποιαθμ>Οrιχοti tλaιiJ)Icιv ενόςpο.Ιοι·ιι><i. Ε>-αςJάUf>Ικός rηι;tmοιημηc ιο χιφrικιΦJΙΠ ως ιηv π.•tov "Ιrιtν&αφψοιισο

{Jt:λ r:iωοιι Π(Jυ rφιψμQσrψ(c ΙΗιU ο•ο φφηιά poJ6yιa•, κnι μvηpρvεύειω (41( ΙΙ<ψιiδcιt•μα ιω~· φ_ι,\ον,κlών rroυ ιφοκόλ tοαν

or

μiOoliot

tρyοσιας ι.οu Hook~. Οεmσιrοιιος Α bboίl Ριοy­ sοα )pοφcι· • 'nιν α\ο·ακό,λvτpη rotι αvuqro(J.

Jl10W<oti

tλαιφlον rη διcκδι•ηοnν οι

fluyHoo/r.•. Αλ.\ά ιιαμά ιο 6tt η tρyaσiα ~ου Hookt' δεν ήtnv

yvωοrήσιηv ηιιrιρωπκή Ειιpω<ιη, και δι:δοιιt· vηι; rηι; μιισιιιrοrηrος ιιε την Ot/Offl nq>I{/Jά.l.­

ιa αη>όμαια rου. o.tt&>ν δtν υπtφλ'Θ aμ.,.­ fjo.Hα όι• ιου ανήκει η ψοU'pΜόιηm σrηv avακάλυψη •.

ow κρυ01αλλικό πλέγμα

και η πόλωση ιων διηλεκτριχών που

φαινόμενα είναι γνωστά ωι; ευθύ και

11

tOU σιερεου.

Αιιό σύγχρονη οκοmά. α υ ιο ιο ειδος παραμόρφωσης είναι η ·μrιατόωοη

ΑΠΑΝ'ΠΙΣΕΙΣ. ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΚΑΙ Λ ΥΣΕΙΣ ΣΙΉ i:ΕΛ.

OUANTUM I ΚΜΕΙΔΟΣJιΟΠΙΟ

66

41


ΜΕ ΛΙΓΗ ΦΑΝΤΑΣΙΑ

τι είναι το

τέλος πάντων;

Συνεχίζεται η σύγχυση από την ασυνεπεια του ορισμού που δίνουν τα διδακτικά βιβλiα φυσικής

Albert

Τ

Α

Bartlett

αστροΥαύτη•. στη σελίδα

ουμ(kιιικό οριυμό του •βάρους•· των διδακηκών βιβλίων φυσικής· και μας

Ig2= g,-~

τεύχους

οδηγεί σε έναν κατά ηολιl βελτιωμέ ­

ο θάλαμος εnιrαχιίvειαJ ιιρο<; ω n&vω

Ο ΑΡθΡΟ •ΖΥΓΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑΝ

48 του Μοϊοιι / Ιουνίου 1995

του QuantuιΙΙ, ιιεριέχrι ένα ε­ ξαιρετικά ενδιαφέρον πρόβλημα. Το

νο ορισμό του β(ιρους. όιιως τον δί ­

σχιίμα του οιιεικονίζει &νον άνθρω­

llSOI.

πο που στέκεται rιάνω σε μια ζιιγη­ ριά στερεωμένη οριζόντια σε ένα

σκέιrμπορντ 1

\'ει ο ΔιεθΥής Οργανισμός Ι Ιροτύπων

Ανάλυση του προμήματος

κιγείται με

Ας θεωρi)ΟΟιιμε ένα σύσ"ιμα α ·

φορ(ι ιψσς rα κfitω nάνω οε κεκλι­

μένο επίπεδο yω\'iας Ο, όιιως φαίνε ­

''αφορ(ις στο οποίο Ι) επιτάχυνση ελεύθερης mώσης είναι g, < διάνυ ­

τω και παρακάτω στο Σχήμα

ομω. Σ' η υ ιό ιο ούο <ημtι, ιο βάρος

to onoio

1. Το

ερώrημα που tίθεcαι εiνrιι: •Ποια εί­ ναι η ένδειξη της C:υγαριάς;• Αιιcό το πρόβλημα περιέχει δύο

σοβαρές <ι τέλειες.

ι·νός σώματος μάζας nι είναι Β

mg ι. Θεωρήστε τc~ρα ένα δεύτερο σύστημιι αναφοράς rιου κινείιαι με επιτάχυνση

1. Ουδείς θα μπορούσε να στέκε ­ τω με το σώμα tοιι οτη στάση που απεικονiζε-ιω ο<() Σχήμα

1.

2. Η ερώτηση που αφορ(ι την έ ν­

1=

a ,.

(διάνυσμα) ως ιψος

το πρώτο. Η επιτάχυνση ελεύθερης πΊ:ι;Ίοης οιο δεύτ-ερο σύστημα είναι ένα διάνυσμα g,, που δίνεται από τη διιινυσμοτική εξίσωση

δειξη ιης ζυγαριάς δι:ν μπορεί

g,= gι- aπ

νcι απανιι)θεί χωρίς ttς οnαροί­ τητ~ς πληροφορίες για τη μηχα ­

ΊΌ βάρος wυ ίδιου οώμιι ι.ος σ-το δειl ­

νικ ή κατασκευή της ζυγαριάς. Η μελέτη αυτών cων ατελειών μάς βοηθά να ανιιληφθούμε τις ση­

ο θάλαμος εmrn_.yύνcrω προς ια κόι.(ι1

( 1)

Gι Cι

ί -•ιι

τερο σύστημα αναφαρcις θα είνuι Β1 = nιg2• 'ΕΥας ηαρα tηρι]τής που α κ ι­

νητεί σιο ιιιι~.>το σύστημα αναφοράς

Σχήμα

2

μαγτικές. cιγτιφάοε1ς JΙΟιι προκύ­

θα θεωρεί ότι npoς ω •eπόνω• είναι η κατεύθυνση oou - g ,, και έΥας πα ­

πτουν

ρατηρητής rιοιι ακιΥητεί στο δεύτερο

έγκειται στο ότι είναι διανυσματική

σύσιιιμα θα θεωρεί ό ιι ιιρος ω •tπά­ νω» είναι η κατεύθυνση tou -g:l.

εξίσωση και μπορείτε να την εφαρμό­

στον

χρηοιμοηοιούμε

το\'

Tt)

χρηοιμό·rητcι tης εξίσωσης ι 11

μπορείτε να ι η διιιπιQτώοετε εφc:ιρ­ μόζο,• τάς τη στο γνωστό πρόβλημα ε\•ός ανθρ~>nου που στέκεται πάγω σε μια ζυγαριά μιιάνιοιι μι'οη ο ιο

θ

Σχήμα

1

Σχήμα

2.

Η ομορφιό της εξίσωσης (1)

ζετε σε περιπ-τώσεις όπου οι εnηα­

χύνσεις δεν είναι συyγραμικές. Ας θεωρήσουμε, λοιπόν, το ερyα­ στήριο ως το σύστημα αναφοράς l, στο οποίο βλέπουμε το οκέι ιμnορη

θάλαμο εγός ανrλκυοιιiρα επιταχυ­

νο εrιιταχύνεtςιι κινούμενο σιο κε­ κλιμένο επίπεδο γωνίας κλiσης Ο. Αι;

νόμrνου με φορί1 Ίιρος ια rιανω ή

θεωρήσουμε επιπλέον σύστημα ανα ­

προς τ.cι κc'ιτω. όιιως φαινειω ο ι ο

φφιiς

2

αυτό ω<; προς το οποίο ακι-

QUANTUM I ΜΕ ΛΙΓΗ ΦΑΝΤΑΙΙΑ

43


-μαιος ιιναφορός του. Εάν δοκιμι\ζη·

ο

τε \'Ο μrίγετr σ' αυτη ιη ο~άση. δε,·

μπορντ το onoio κινrίιαι σε κεκλιμέ· \'Ο επιιιεδο με κοτrύθυνση προς ιο

θιι ια κοταφίρ,·αιr· θα πέφτατε προ<;

κά ι ω. Σ' ου~ή τη,· ηtριnτωση η ένδει­

τα πίσω. Και αυτό φοί,•ειαι να οnει ­

ξη της (υγαριαc; θα rίναι

κο,·ίζειιιι οωσιά οιο κιίι<ο> αριστερό

συ\·0:

μfρος ιης εικόΥας του εξωφύ.\ .\ου ιου ιcύχους .Μα1ου Ιου\•ίου. Ο α,·α. βάιης μuιάζrι \'Ο ιιtφιrι 11pος το πίσω.

Σχήμα

ΙΊο να μπορέσουμε \'Ο ηηαντή­ σουμr οιο ερώτημα η]<; ένδειξης ιης

3

(υ γιιρι(ις, ιις α rιοφ\ιγοΙΙψ ιη δυσιιο ­

R. = mg1

π~ στον ορισμό

του~ Η ονιικοι(ιοιιιοη ωυ παραδοΟJο ­

κού ορισμού wu β(ιρους αnό ω" ορι · σμό οου Διrθνοι'ις Οργcινισμού Προ­

νηιti το οκέ ι ιμ π ορνι. Σ' αυτή την

λ ίο ιuύ ··προς τcι πού εί,·ω το επόνω ...

g, rίνω

Ο\•ιικιιΟιοτώνιας τον ιινnβίιτη με μια σημrιcικιι μίιζα ιιι """βρίσκεται ακi ­

ιύιιων r·ίνω πολύ αποδοτική ως προς

ιιου cχουμr μcιρήσει στο εργαστήριο. Εiιν οyνοiιοουμε ι ην τριβή καΟώς και

νητη πονω στιι ζυγιιριcι. Γlρέπcι cnι. ιιλι'ον να Οcωρήοουμr όιι ο συ,·τελε ­

προκιίψrι . Σχεδόν σε ολόκληρο ιον κόσμο. ιο διδοκτικά βιβλίο φυσικής

ι η ροπη αδράνειας ιοιν τροχώΥ του

ο ιής τριβής μειιιξ\ι ΙΙJ<: μάζας

και

nροκαλού'· άοκοιιη σύγχυση με ιον

οκrιιμnορ,·ι. ιο οκι'ιtμπορη Οο έχrι

rης επιφόνειας της ζΙJyιιριπς ε\\·οι της

συμβοιικό ορισμό του βάρους που

τα(ης ιου Ι . rιοι ώοtε η

να μην

ο\·οφι'ρου,·. συμφωνο με τον οποίο

ράλληλη οτο κrκλιμr,•ο επίπεδο.

ολισθιιiηι ηα,•ω στη ζυγαριά όιο\·

βαρος t\·ος οωμα ιος rίνοι το yινόμε ­

φορά ·· προς το κι\ ιι.ι• και μι'τρο

αuιη rπιιαχύνειαι ιJα\•ω οιο κεκλι­

,.ο της μαζαc; ιοιι ι·ιιι τφ• εmτ.άχυν ­

ημθ. Το διά,·υσμο θn έχει προφα­ νώς κοιrύθυ,·οη αντίθετη on· ουιή\·

μrνο επιπεδο. Τώρα μ11οpούμε γα

ση της βαρυιηιnc;.

η e'·δειξη της

Τη σύγχυση αυτή Οιι σας τψ nο­

της κίνιιοι1ς ιοιι οκέιτμπορη.

απεικονίζει τη διανυ­

ζυγcιριι\ς:• Για να μιιορfσοΙΙμr να δώσουμε

ροuοιίισω μέσω επτά βιιμάτων ο ι ην ανίnηuξη •ου βάρους και ου,·αφ~ιν

ο μα ιικιi ίιθροιοη που περιγράφει η

μια οnάνtηοη. χρειιι(ι\μιιοιr ιιληρο·

rγνοι~ιν, όn<οις συναντώνται διαδο·

εξίσωοιJ (I Ι για το συγκεκριμένο

φσριες γιο ιη μηχανικιj κaτοσκευή

χικό σ& τυπικό ειοαγωγ ικίι βιβλiιι

πρόβλιιμο. Το τρίγωνο ιιου σχηματί­

και λειιοuργίιι της (υγοριάς. Συγ κε ­

φυσικής.

ζουν ιο διονύσματa είναι ορθογώνιο,

κριμένα, η ένδειξη ιιJς ζυγαριάς αφο ­

Ι. Στιιν αρχή ξrκινουν περιγράφο ­

aφού το μέτρο τιις

g , ημΟ.

ρό ιο μέτρο της δύνcιμης ιιου ασκεί ·

μιιορούμε "α βρού ­

ται οιrιν επιφάνειά της ονεξάρrηιο

ντας μετρήσεις ιης επιιιiχυνοης ε ­ λεύθcρης ι11ώοης (g 9,8 m ίs2 ι και

μr ό ιι ιn μfτρο της g 2 είναι Κι συν Ο. και η διεύθυ,•σή της κάθeιη σιο κε­

από ιη διεύθυνση ιης δύγομης, ή

ογομόζοντας αυιή ι φ• ποσότητα εm ­

οφοριl μόνο εκείνη τη συ\•ισιώοα της

τάχυνση που οφeίλrιnι οιη βαρύιη­

κλιμcνο rιιίπeδο. Ε(ι,, βρισκόσασtα\'

δύ,•ομης που ti\'OΙ κάθeιη οιην επι­

ιο.

rιiινι.ι οτο σκέιτμπορντ, θα μας βε­

φό,·εια ι ης: Α,·

βαιωναιε ότι ιο -προς τα κάιω• είγαι

(υγοριός γιο ιη ουνολικη δύ,•ομη

η φορό ι ου

που αοκrίιιιι πιινω ιηc;. ιότr θα ι­

g.

οχύrι

της βαρuιηιοc;.

ΙΙtpirrtω<HJ, ιο

η επΙtάχuνοη

ι·λεύθερης πτώσης ιπερiηου

επιτάχυ,·οη

a ,..

9.8

μr διεύθυνση ιιιι­

-a,,

Το Σχι\μα

3

Από ιο Σχήμα

3

g,. και

νω• η φορι1 του

ηι Ιs'ι

a ,.

είναι

g1

το ·προ<; τα επά •

-gr

Για να σταθείτε

φυοιολογικά, όρθιοι. με το κεφάλι ""ρος ιιι εn(Ι\•ω·, πρέιιει •ο σώμα σας

ρωτησουμε:

Rο - F• -

· Γlοια rί,•αι

Β~

R. rινοι

m

m

tη σοφι\νcιcι κcιι tl\ ουνrπεια που θιι

=

η rνδειξη της

=ιl'l" =ιιιg "2

]

F

2.

Στη ου,·cχcια. ορίζουν το βάρος

μιας μα(ος πι ως ιο yι\·όμε\'Ο

m

επί

το οποίο και οrιοκολού" δύ,•αμη

συνθ.

Β

ιιιg

να ciνιιι κι\Οετο στο κεκλιμένο εni­

Είιν η <υγcιριά μετρίιrι μόνο τη συ·

ιιεδο. ΙΊ' αυιό οι δάσκαλοι του σκι

νιοιι~σο τικ συνολικής δύναμης ποιι

ειιιμένουν νcι σας φωνιι(ουν να •σκύ­

rίνcιι κ(ιΟειιJ ο ιιιν ι·nι φίινειά ι:ιJ<;, η

αιι'κ&τιιι πάνω σε μια ζυγοριίι μέσο or t:voY ιηιελκvστfν>ο nou ανεβαίνει

βετe μnροοιίι •. Σcο σύστημα ανιι­

ί·νΟειξι\ ιιις

ή κιιτεβαiνει με cι ιι ιc'ιχιινσ ι1 μι'τρου

φορός ιης χιονισμένης πλογιίις. η

κατεύθU\'011 ιου ·•·ηόγω:ιιο είναι η κα­ τευΟυνοη ιω\• κορμών των ιιεύκοιν ή των tλόιοιν. Στο σύστημα αναφο ­ ρος του οκιέρ όμως Ι και. αηίσιοιχο.

R,, Αιι

ι· ίνιιι

I( =F. ου ν θ= ιng, συΥθ

3.

n,

Όιιιν ι'νος c'ινθρωnGς μόζrις

η ένΟειξιι

τιις ζuyιφιι'ις είναι

R = ΙΙΙ(g ± 8).

• ιηg1 οuν1θ.

Το Σχήμιι 4 απεικονίζει τον ιρόπο που στέκειοι rνος αναβάτης σκέη-

R

m

4.

Αυτό το μέγεθος είναι μια δύ •

'·ο μη που μοιάζει πολύ με ιο βάρος.

του αναβάιη ιου σκeιτμnορη ι. το •Προς ιο rιι6,·ω· δεν εiγαι οορ(ιλλη·

Αλλά δε" ταιριάζει με τον οριομό τσύ βάρους όπως δίνεται ατο ιφοηγούμ&·

λο προ<; ιο πrυκο, αλλά κάθετο στψ

,.ο βημο

επιφόνεια ιης πλαγιός.

οχrτικωγ βιβλίων nνιιyκόζονtαι \'Ο

Στο Σχήμα ι. το σώμα του ο,·αβά· τη αnεικονίζηαι •παράλληλο προς τα

δωσου\' t\'α \'CO όνομα ο~ ην R. Γε. νικο ι η'' ονομάζουν •φοινόμενο βά­

πεύκο•. ιιοιι σημοi\·ει ότι οχημιιτίζι:ι

γωνίιι Ο μc την κατcύθιη•οη •προς το επάνω• ισυ επιιαχυνόμενου συστή-

44

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕr.tθΡΙΟΙ 1995

θ

Σχήμα

Ετοι οι συγγραφείς τωγ

ρος. της μό,ας

5.

4

2

m.

Φανταστείτt τώρο όιι κόβετ.ι: ιο

ουρμιιιόοχοι νο και ο ανελκυστήρας


εκτελεί ελεύθερη ιιιώοη. Το φαινό­ μcνο βάρος R μηδεΥίζετω. Εδώ βρί ·

ενός οι.ίμα rος nε ι' να συyκι:ιφιμέl'ο

παριιμένει συνεπές νο .\ι\μr ό ιι η nι

σύσι:ημα a"αφιιριiς εi,•aι η δύ>'αμιι ιι

εί,•αι αβαρι\ς.

οκεΗιι το πρώτο σημείο σύγχυσης.

οποία. όω'' εφ<tρμό(,εrω ο ιο οώμα,

Σε οχέοη με το σύστημα αΥαφοράς

Ι'ια να είμcιοtε ουνεrιείς, θα έ πρεπε

rου προσδίδει επιτάχιΙΙ•οη iοη με <'!'' ωmκιί ειιιιάχιι"οη ελεύθερης mώ ­

&Υός διαστημόπλοιου σε τροχιά γύρω

να λέγαμε ότ.ι όταν w φαινόμενο βά ­ ρος μηδενίζειcιι, η προκίιπtουσο κ α.

ωις οιο εν ,\όγω oύσtlJ)lα αναφοράς.

μηδενική επιτάχυvσι] ελείιθερης rι rώ­

ιιΊοταση ονομάζεται

έλ ­

Η βοοική απιιίτηση αυτού του ορι­

σι]ς· επομένως ο αοφοναύι η ς είνω

λειψης φαι,•όμενης βαρύτητας•. Α'• ιί γι' αυιό. τα βιβλίο την οyομ(,ζουν

σμού εί\'CJΙ να εγκαταλείψουμε τιι χ.ρήοη ιου 6ρου •rπ•τάχυνσι] που

οβιιρής. τέλος. όιnν αναφερόμαστε

·•κοτάοιllΟη &λλειψης βαρύτητας•.

οφείλετω ο ι η βαpίι tη<tι•· προκειμέ·

στι]ν περιστρεφόμενι] Γιι κιιμίn σίιy ­ χυση δεΥ προκαλείται όταν λέμε όιι

Τιiψο η ούγχυση γίΥεται σοβα • ρή. Σtα διδακτικό βιβλία ονοφέρεc.αι

νου νο nεριγρiιψουμε την επιτάχυν.

μέρος της εnιιόχυνο ης ι:λείιθι:pης

οη ελεύθερης πτώσης που μετριέται

όι.ι ένας aστροναύτης σε τροχιά είνrιι

ΟΊΟ ιφγαστήριο. Ουσιαστικά. μας ζι] •

πτώσt]<; στο εργαστήριο οφείλειω στη βαρύ tt]to και μέρος tι]ς στην αερι­

αβαρής. Όμως. σύμφωνα με ιον ορι­ σμό του βάρους rιou έχουν δι;ιοι;ι

tείτω να ονομάζουμε ηιν εrιι ιiιχυ\'·

ο φοφή ιης Γης.

ση ελι:ύθερης πτώσt]ς •επιτόχυνσι]

(μάζα επί εmτάχυνση που οφείλεται

ελείιθεριις mώοης• σε όλα Τ·Ο συστιi·

Άρα, ο ορισμός ιου βι\ρους σύμ • φωνα με το Διεθνή Οργανισμό Προ­

ο ιη (J<ιρύτηιο). ο ασψοναύtι]ς εξακο· λουθεί να έχει βάρος. Α υιό έχει οδη.

μαtα nνοφοράς. Λυτός ο ορισμός δε'' t1.Ηάζει τη γνωστή σχέση που χριι ­

γήοει σε ζωηρές (και συνιjθως άκαρ­

σιμοπο ιούμε γιιι να υπολογίζου •

στην Ο\•ομοτολοyία και ιιι χριjοιι μιις, εξαλείφονως τη σίιγχυοη rιου διαιω­

πες) διαμόχες γύρω αη ' ιο ον ένας

με το jJάρος ε\•ός αντικειμένοιι:

νίζεται στο διδακτικά βιβλία φυσικιjς,

.. κατάσταση

6.

οβαpής Μψοναύτης σε τροχιά έχει

7.

σπουδαστές των φυσικών εnιστη .

Και πάμε τώρα στην ιελικi]

Ας ακολουθιjσουμε ~αΥά τα βιiμα ­

σύγχυση. Το βάρος έχει εξcιρχιiς ορι ·

Ι έως 7 για ,.α δούμε nι;χ; αιι tός ο ορισμός του βάρους εξαλείφει τις σο­

οτεί ως οφει λόμενο α11οκλrιοιικά ο ι η βαρύτητα, και το φωνόμενο βάρος

ttJ

βnρές εσωτερικές aσυνέπειες που

έχει οριστεί ως οφειλόμενο ο-τη βαρύ• • ι.ι]tα συν ιην ειιι ιοχυ νση ενος συ-

βατικού ορισμού. Όταν ιο ούοιημο

στήματος ανιιφοράς. Όμως στο κεφά ­

αναφοράς είναι

λαιο ΙΙΟU μιιθuίνυυμε ότι

co ούσιιwα

ιο μί·ιρο ιι]<; εrιιτάχυνση<; ελεύθεριις

αναφοράς ιου εργιιστι]pίου είναι πά­

πτώσης είναι ιιεpί11ου g = 9.8 m Ιs' και

νω ση]ν nεριο φεφόμενη Ι'η, τα συ ­ γκεκριμέ,•α βιβλίο μάς λένε ότι η έν ­

όλα τα βάρη έχουν ιις οιιμβαιικές

δειξι] της ζ υ γοριάς στο εργαστήριο

Στον εmταχvνόμενο ανελκυστήρα,

είναι το αηοιέλεομα της δράσης της

το μέτρο ιης εrιιιάχυvοης ελεύθερι~<;

βι:ιρύ ιηιας συν τιιν κeνιρομόλο επι­

πτώοης είναι g ±

τόχυνσι] που οφείλειω οιην περι · στροφή της Γης. Άριι, η ζυγ<ιριiι σιο

ζυγαριάς μέοα στον ανελκυο ιήρ<ι

εργαοιi)ρΗ) δείχγει στψ ουσία φαι ­

ναι ΠJ(g ± a ). Η εν λόγω ένδειξη ονο • μάζεται βάρος ιης 111 στο σύστημιι

νόμενο βάρος.

Εδώ έχουμε ΙΙ]ν έοχ<ιτη σύγχυση. Στο βήμα

ιφοκύπtοιιν {lrι' ι;η χρήοη ι.ου συμ­

11 ειιιφάνι:ια

ι ης Γι]<;,

τυ φαινόμεΥο βάρος εί\·αι ορκεtά δια ·

αναφοράς του εργαστ ηρίου , τούτο

φορετικό από το βάρος. Τώριι όμως,

όμως δεν προκαλεί κανένα πρόβλη­

στο βήμα 7, ανοκολύnιουμε ότι αυτό

μα, δεδομένου ότι nόνια ιονίζαμε

ι\λλαξε από αυτό του συ ο ιήμο ιος

ως βό ­

σwυς μαθι]τές πως ιο βάρος δεν εί­

ρος είναι στην ουσία φαινόμενο βά­ ρος! Τα διδακτικά βιβλία οrιανίως

ναι μιο εyyενιίς ή α ναλλοίω ι η ιδιό ·

ε πισημαίνουΥ αυτή την εξόφθαλμη

•φαινόμενο βάρος• δεν χρειάζεται

εγγενη αντιφαση.

πια! Όταν ο cινcλκιιοι.ήράς

ο ορισμός του βάρους

QUANTUM ΤΩΡΑ

α ναφορι\ς του ε nιταχuΥόμεΥου ο ­ οιον επιταχυνόμενο ανελκιιοιήριι

'

ΤΟ

όταγ 11ιίνω ιης βρίσκεται μάζα 111 εί­

της ζυγαριάς οτο εργαστήριο είναι ιο βάρος. Στη συνέχεια Οεωρήοαμε όtι

.

Ο Albert Α. 8artlctt εί,•οι ομόημος κα­ Οηyψ:i}ς φuοικιΊς σι.ο Π<ινεηιοt.ήμιο ιοv Κολορόγτο.

a, και ιJ ένδειξη της

νελκ υ ο ε ήρα. ΊΌ μέτρο του βάρους

2

Ct':

μών .

αριθμηιικές ιοuς τιμές: Β = nιg.

2 θεωρήσομε ότι 11 ένδειξιι

που περιγράφομ ε στο βήμα

τύπων ηροσδfδει tΟ(.ι.}ιι:ρική nυνι~ntι<ι

έχοντιις βασανίσει γενεές γενεών

Β= ιng

βάρος ή όχι.

οπό τη Γη. ένας ιισ φονιιύ ι ης έχει

τητα της μόζος ιn. Ο ασαφής όρος

nou

πε ­

ριέχει τη μάζα ΠJ εκτελεί ελείιθeρη

πτώση. η εnιtάχυνοη ελεύθερης

Ο Διεθνής Οργανισμός Προτύπων

m.ώσιις ως προς τον ονελκυσιήρο εί.

μάς δίνει τον ορισμό ιου βάρους που

ναι μηδέν. ΕπομέΥως το βάρος cης ιιJ

χρειαζόμαστε για να εξαλείψουμε

οιο οίΗ:πημη ονηφοράς ιου ανελκυ­

όλες αυτές ιις αουνέπειrς: Βάρος

στήρα που πέφτει εί,·ω μηδέ ν, και

ΚΑ1 ΣΤΑ ΠEPillTEPA Θιι το βρίσ.-ετε τη,• ι η κάθε μο,·ού ιη\vιι στιμ· ΑΟήνι.ι, τη Θεσσαλονίκη.

""

τι; μι;yιιλi>τερε; επαρχια.-ές

πόλΡ.ις τη; Ελλί•δα;. Τιι πιιλωόtερ<ι τε ύχη. όπως και το τρέχο\',

μπορείτε

\ 'U

τα βρίσκετε στα

βιβλιοπωλεί(Ι. ή στα γραφεία

τω'' Εκδόσεων Κ{ιτοπτρο.

QUANTUM I ΜΕ ΛΙΓΗ ΦΑΝΤΑΣΙΑ

45


ΣΤΑ Π ΕΔΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Φωτόνια και ιιΦαίνεται πως η θεμελιώδης ιδέα της κβαντομηχανικής συνίσταται στο ότι είναι αδύνατο να περιγράψουμε ένα μεμονωμένο κβάντο ενέργειας δίχως να το συνδέσουμε με κάποια συχνότητσ.ιι ---Lουίs de Broglie

Arthur Eisenkraft και Larry D. Kirkpatrick

,

ΝΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ11ΚΑ ΠΛΟγΣJΟ

τις θεωρι)τικές κ ω πεφαμαηκές εν­

Ακριβέστερα, ο Αϊνοτ(ι"' απέδωσε σε

χωριό οι φιλοιιράγμονες κάτοι ­

δείξεις που έπειθα '' την επιστημονι­

κiιθε φ<.1τόν1ο μονοχρωματικού φω­

κοί του θα ιο είχαν εξερευνή­ σει πλήρως. θα είχα γ κ α τα-

κ ή κο1νότιμο όtι το φως είναι ηλε­

τός ενέργεια Ε = hν, όπου ν είναι η

κτρομαγνηηκό κύμα. Σχεδόν έναν

συχνότητα του φωτός και

h

γράψει τις λεπτομέρειες κ(ιθε γωνιάς

αιώνα νωρίτερα, ο

ρά rου Planck 16.63 . 1ο~

J . s).

του, θα γνώριζα\• όλα ια μιιοιικά

eίχε κcιταδείξει όιι ιο φως είναι κυ­

Η ενέργεια με η)ν οποία ένα ηλ~­

το υ, δεν θα το περιέβαλλε κανέγa

ματικό φαιγόμενο, και εmπλέον μέ ­

κτpόνιο κρατείται δέσμιο στο εοωιε­

μυστήριο. Βέβαια, κάποιοι από τους

φηοε to μήκος κύματός ι<:>υ. E\'toiι­ τοις, η κυματική θεωρία του φωτός

ρικό ενός μετάλλου ονομάζεται έργο

κατοίκους τοv θα αγτιλαμβάνογταν ότι αν •έβαζαν. το χωριό τους •Κάιω αιιό ένα

mo

ισχυρό μικροσκόπιο•, θα

ανακάλυιπαν ίσως μερικι\ς λεΙΙιομέ­ ρειες που τους διέφευγαν. Οι περισ ­

Thomas Young

οδυ,·ατούσε να εξηγήσει το φωτοη­ λεΚ'φικό φαινόμενο. Α ν το φως εί­ ναι ιιολύ αμυδρό, τότε θα έπρεπε να

η σταθε­

εξαγωγής Φ. Με άλλα λόγια. το έργο εξαγωγής είναι το έργο ιο οποίο α­ παιτείται για να υπερνικηθούν οι

καιαφέργει ν<ι απελευθερώσει ένα

δυνάμεις που ουγκρστούν το ηλε­ κτρόνιο στο μέταλλο. Όταν λοιπόν

σότεροι όμως θα ένιωθα" ικανοποιη­

ηλεκιρόγιο έπειτα αιιό αρκειές ώρες.

ένα φωτόνιο rιροσκρούει σε ένα ηλε­

μένοι απ' όσα γνώριζαν ήδη \'lα τογ

Δυστυχώς, η πρόβλεψη δεν επαλη­ θευόταν: τα ηλεκφόνια απελευθε­

κτρόνιο στο εσωτερικό του μετάλλου,

τόπο τους.

Παρόμοια ήια" η κατάσταση σ r.η

ρώγοvταν σχεδόν σηγμιαία. Α ν το

φυQcική στις αρχές του 20ού αιώνα. Οι

φ<.κ; εί"α' πολύ έντονο, τότε θα έπρε ­ ιιε να αιτελευθερώνει από tι)ν επιφό­

μεγάλες συνθέσεις του Νεύτωγα και

το ηλεκφόνιο αποριιοφά όλη την ε­ νέργεια του φωιονίοv και το τελευ­ ταίο εξαφανίζεται Η μέγιστη κ1νητι­ κή ενέργε ια του ηλειηρονίου όταν

του Maxwell εξηγούσαν τα nόvια όσο" αφορά τις δυνάμεις κaι τφ• κί­

νειιι του μετάλλου πολλά ηλεκ τρό ­ νια. Δυστυχώς, το έντονο ερυθρό

εξέρχε ιαι α11ό το μέταλλο ισούται με τη διαφορά τής εγέργειας του φωτο­

νηοη, τον ηλεκτρισμό και το μαγνη­

φως δεν καταφέρνει να αιιελευθε~>­

νiου και του έργου εξαγωγής. (Έν α

τισμό, τι)ν οπτική. Ο Alber~

Michel ' φυσικσς

σει ούτε ένα ηλεκτρόνιο. Τέλος, όταν

μέρος της κιγητικής ενέργειας του

το φως καταφέρνει να απελευθερώ­

ηλεκτρονίου χάνεται στη διαδρομή

πσυ τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ,

νει ηλεκτρόνια, η κινητική ενέργεια

του προς τη γ επιφάνεια του μετάλ ­

είχε δηλώσει ότι η φυσική ολοκληρώ ­

με την οποία εξέρχονται αrιό ιο μέ­

θηκε κω πως τα επόμενα χρόνια θα

ταλλο δεν εξαρτάται από την ενέρ ­

λου. Πράγμ<ιτι, αν αυτή η απώλεια είγαι μεγάλη, το ηλεκτρόνιο δεν θα

aφιερώνονταν στην αύξηση, όλο κι όλο, τις ακρίβειας των rιειραμάτων.

γεια του προσπίπτοντος φωtός οε δε­ δομένο χρονικό διάστημα.

Ασφαλώς, υπή:Ιχαν ένα-δύο προβλή­

Την εξήγηοη του φαινομένου δια­

son,

.

.

ο πρωτος αμερικανος

μπορέσει να •δραπετεύσει• από τηγ

-"

>

ματα που ίσως προβάλλονταν ως ε­

τύπωσε το

μπόδια στον εν λόγω στόχο ... Το ένα

ενός γραφείου

από αυτά ήταν ιο φωτοηλεκτρικό

Άλμnερτ Αϊνστάιν. Εισηγήθηκε την

φαινόμενο -η ικανότητα του φωτός

άποψη ότι το φως συμπεριφέρε ιω

να απελευθερώνει ηλεκτρόνια από

σαν σωματίδιο (γνωστό ως φωτόνιο),

; επιφάνεια ιοιι μετάλλου.) "' Έτσι, ας υποθέσουμε ότι το έργο ~ e εξαγωγής κάποιου μετάλλου είναι 3 ~ eV. (1 eV: 1,6 · 10·" J, οπότε h: 4,14 · 10 •• e V · s.) Το φωτόνιο του ερυθρού ~ φωτός (μήκοιις κύματος 620 ιιm) έχει -c ενέργεια 2 eV. Εrιειδή όλα τα φωτό- ~

την επιφάνεια των με ιάλλων.

και ότι κάθε φωtόνιο έχει ενέργεια

νια του συγκεκριμένου φωτός έχουν

που εξαρτάται από τη συχνότητά του.

ενέργεια

Οι Max,νell και

46

Hertz προσέφεραν

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

1905 ο

νεαρός υrιόλληλος ευρεσιτεχνιών,

ο

2 cV,

κανένα από αυτά δεΥ

σ

-"'

ω


μιιοι•~ί να προσφέρει την ενέργε ια

νεια ιου μετ(ιλλου ηέφιει ένα φωιό·

ιόοο ειιαίοθηιο ώστε μπορεί 1•α αΥΙ·

ιωγ

νιο υψηλιίς ενέργειας ιένα κέρμα

3 e V και να eι ncλευθε~>ΟtΙ έ,rο

ηλεκτρόνιο. Είνω ιιδιάφορο πόσο έ·

των

δραχμών) θα ιιrιελευ ·

χνεύει κ ω ένα μ(')\•ο φωτόνιο. Λ ν η ίρις του ματιού έχει διάμι;φο 0,5 cιn,

ντονο είνcιι το φως. πόσο φωτόνια

θι:ρωθεί ένα μόνο ηλεκτρόνιο (μόνο

σε πόση απόσταση rιρέιιει νο cοποθε ·

των 2 eV •βομβαρδίζουν• ιο μέιαλ •

ένu κουτί καραμέλες).

tήσουμε μια λυχνία φωτός ισχύος

50

ή

100

50

λο -το ηλεκτρόνιο θα παραμείνει

Η οωμοτιδιιική θεωρία tΟ\ι φωτός

\V (μήκος κύμα τος 500 nn1) έτσι ~)()τε

δέσμιο. Αν όμως φωτίσουμε το μέ­

ο ιην ίρι&ι Ι'Ο φτάνει κατά μέσο όρο

ταλλο με υπεριώδες φως (μήκους

εξιιγεί ικανοnοηιτικά τα ncιρτψn ιικό δεδομένα του φωιοψ\εκτρικού φιιι ·

κύματος

oJη l, ια ι]λεκτρόνιο θο

Ι'Ομένου. Αηό tι)Ι' όλλι]. όμως. αδυ.

(β! Σι; nόοη απίιοταση πρέπει να το ­

μπορούν να δραnετεύοuγ. Πρι'ιγμα ·

νοτεί να εξηγήσει τη1· κυματική όψη • • •

ποθετι}οουμε τη λυχνία ,;ιστε η πυ •

310

τι, τα εν λόγω φωτόνια έχοιιν εΥέρ · γεια

4 eV.

Έτσι. η μέγιοτι] κινιιτική

τQυ φωτος ο πως περιγραφε τα ι με οα -

φή1•εια από τον

Young.

τον ΜaχΙvι>Β

έν<ι ηλεκτρόνιο ονά δευτερόλεπτο;

κνόιηια tων φωιονίων να είνω κιιτ<'t

μέοο όρο ένα φωτόνιο ανά κυβικό

ενέργεια ιων ηλεκτρονίων κατά τψ

και τους λοιπούς. Έιοι, μένουμε όλοι

έξοδό τους ωιό ι.ο μέταλλο θα είναι

με την απορία: ποια είΙ•ω η ιιληθη·ιi

l:τείλτε τις λύσεις σας στιι διεύ­

φύσιι του φωιός; Στις δεκαετίες που οκολούθηοω·.

θυνση του ελλψικού Qιιantιιm έως

Κ=, = lιv - φ

= Ι eV.

Ένα χρi]ΟψΟ ονίιλογu ιιποτελούν

μπορέσαμε να κιηανοί]οουμε βαθύ­

οι αυtόμαιοι ιιωληιές. τα μηχανήμα­

τερα τη φύση του φωτός· <ιιιο&ίχtη·

τα ιωό ια οιιοίο μπορ~ίτε να αγορά · οειε, ιις πούμε, καρομέλες. Σιο μη·

κε ότι το φως ουμηr.ριφέρeιο ι οον οωμιιιίδιο, που ουyκρούετω ελαστι­

χιίνημα ρίλ'\'ετε μόνο ένα κι'ρμιι κάθε

κό με τα ηλεκτρόνια. και έχει ορμή p

φορά -κέρμα των 10, 20. 50. ή 100 δραχμών. Ένα κουιι καρομέλες κο·

= h λ= hl' c. όπου ,\ εί1•α • to μήκος κύματος του φωτός και

στίζει 50 δραχμές. Λ ν ρίξετε στο μη­

τά του. Ο Αrtlιαι·

tκnτ<>(Jt('ψε τρο;

ιις 10 Δι;κφβρίοu 1995. Κιiποιοι από οrις θιι κερδίσουν βιβλία.

ΖUyίζοντας έναν αστροναύτη Και τώρα Ι] λύση του προβλήματος του τεύχους Μαίου I lουνίοιι.

Λ. Η συνολική μι\ζα ιου συστήμα­

ιαχίιιη·

ως που εκrι:λι;ί rιπλή αρμονική •α ·

Compton.

γι' αυ ιέ ς

λ(ιγτιι.>οη &iνω το άθρο1ομα της μό •

tις ιιε ιραμα ιικές μελ{ιες ιου, ιις

ζας του κιιθίσματος nι, και τιις μάζας

·ιο κέρμα θα σας επιστραφεί ή θα το

οποίες διεξήγαγε ιο

του αστροναύτη

χάσετε (θα πρόι<ειται για λαίμαργο

με το βροβείο Νόμιιελ.

χάνημα ένο κέρμα των

10 δραχμών,

11ωληι.ή). Αν ρίξειε ένα κέρμα των

20

δραχμών, θα συμβεί το ίδω. Α ν όμως ρίξετε ένα κέρμα των

50 δραχμών. θιι

πάρ~τε ένα ι<ου ιί νόο ιιμες καραμέ ­ λες. Αν ρlξετε ένα κέρμα 100 δραχ·

1922,

στο .Έtοι, φτ(ισαμε .

ιψήθηκε

του του μηνα.

Α. Ποικίλες πηγές μο,•οχρωμαιι­ κού φωτός, με διάφορα μήκη κύμα·

κου τί καραμέλες και ιn ρέο•α

(50

Η μέγιστες κινητικές εΥέργειες των

δραχμές)· δεν θα σας δώσει δύο κο υ ·

ηλεκφονίων που εκnέμπονcαι ιιιιό

τιά καραμέλες. Με ένα κέρμα μnορεί.

αυιc\ μεφιiθηκnν από τον

ιε να πάρετε ή ένα κουτί καραμέλες

likan,

ή κ<tνένα -<ιυτός εiνω ο κcινόν<ις.

ρηκiι ιω nίνιικιι:

προσπίπτοντος φωιονiου αντιστοιχεί στην αξία του κέρμιιτος το οποίο ρί • χνετε στο μηχάνημο. Η κινιιτικιί ενέργεια του εξερχόμενου ηλεκτρο·

. . . νιου ανι:ιοιοιχει στο ρεστα

'

που nερ ·

R.A. Mil·

κ<ιι κα ιαγριίφον•αι στον αα ·

+ m.

k

η

τ•

(

k

m

-=- m + -' 2

τος, φωτfζουν σε διαδοχικά ηειράμα · ι<ι ιην εnιφάνειο μεωλλ ι κού λιθίου.

α νι ι στοιχεί στην τιμί] nov έχει ιο κουτί καραμέλες. 11 ενέργεια ιου

Τ= 2π~m,

πρόβλημα αυ-

μ~ιν, το μηχάνημα θα σας &boeι ένα

Το έργο εξαγωγής ιοv μετάλλου

m•. Ί~wι

"

k

Αυι'ή είναι ουν{φιηιrη της μορφής

y

=8.Χ + b. επομένως, μπορούμε νa

σχεδιάσουμε τη γραφική nιφόοtαση

του Τ 2 /4π 2 σε ου1•άριηοη με LΙ] μiιζιι ιιου χρηοιμοηοιr.ίt(ΙΙ για τηβαθμονό­

Μιiκος

Κινητική

κύμ<ιιος Ι nιη)

e νί:ργειn (c V I

μηοη rης οιιοκευής RMMO. Λυτιi εi· ναι ευθεία γραμμή κλίοιις Ι ! k και

433.0

0.55

404.7

Ο,ί3

σημείο m. ι k 1Σχήμα Η Συνεπώς.

365.0 312.5 253.5

1,09 1,67 2.57

ιέμνε1

t:ov

κατακόρυφο άξονα στο

μπορούμε να υπολογίσουμε co ϊ48 Ν I m και την nι, = 15.4 kg.

k =

Β. Με τις παραπάνω ιιμές κ<ιι rα δεδομέν α σχετικά με τον Gaιτίοιι

νετ.ε. Σιην περίπτωση ενός φωτονίου

Αrιοτ.ιιn.;>ο ιε ου τι\

χαμηλής ενέργειας (αντίστοιχα ενός

διάγραμμα, και ιιιιολογίστε τη σ τα · Οερά του P\anck και το έργο εξαγω ·

58

γής του λιθfου.

χυνση με την οποία το σύστημα

λες) -κοι ιιvτό άσχετα από το πόσα

Β. Δείξ ιε όιι ένα ελεύθφο ηλε • κτρόνιο δεν μπορεί να απορροφήσει

(σ κ έι ιμnορη · ζυγαριά -αναβά10ης ) κατεβαίγει το κεκλιμένο εnfrιεδο. Η

10 ή 20 δραχμών Οα ρί.

πλήρως ένα ψ<•ηόνιο. (Στα μέ•αλλα,

δύναμη που ΚΙΥεί το σύστημα κατά

ξετε στο μηχάνημα (άσχετα από το

τα γει-ιονικιί ittoμ<ι μrιοροιΊν ηι οuμ -

μήκος tου κεκλιμένου επιπέδου εί· νοι η m,g ημθ· επομένως, η εν λόγω

κέρματος ιων 10 ή 20 δραχμών), δεν &χουμε απελευθέρωση ηλεκτρονίου (το μηχάνημα δεν σας δίνει καραμr.· κέρμα τα των '

nooo

.

.

εν ιον-ο &ι ναι το φως,

' οπο to

' μειεχουν

tn

.

δεδομ&νο σε

.

σιην κρουοη και eτσι

να

βρiοκουμε ότι κατά tι] διάρκεια των ημερών έχασε μάζα 2,3 kg. ΙΌ Λ ς υπολογίσουμε την επιτά.

.

ιιόσα φωτ~νια χαμι}λής ενέργειας θα

διατηρούνιαι tαυtόχρον<Ι η ενέργεια

επιτάχυνση εί1•αι

προσπέσουν στο μέταλλο). Στην πε ·

και η ορμή. )

επιταχuνΙΙη κινειται κατα μηκος ιου

ρίnιωοη καιά την οποία στην εrιιφό·

48

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ J ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

r . (Ο)

Το ανθρώπινο μάτι είναι

.

,

g ημΟ. Με αυτιi την

.

κεκλιμένου εmπέδου και ο αναβάτης.


ο. ι~

ο.ιn

0.08 Σχήμα

0.06

2

Α υ ι ή είναι η λύση που δόθηκr σtΟ\' 11/)ΟΚ<ιιοpκηκό διαγωνισμο γω

0.04

ι φ· cιιιλογή της ολυμπιακής ομίι&ις φυσικής ιων ΗΙΙΑ του 1995, και αυιιi εi,•αι

11 λύοι)

ι ην οποίο θα έδι Υc ο­

rισιοδήιιοιr διδακτικό ι

ο

Σχήμα

10

20

30

Ε\'tοίιιοις. υ ιιίφχει ένα σοβαρό ιιρό ­

40

ίΟ

60

βλημα: ο cl\•ιιβαιης δε,· θα μπορούσε

/!! Ι kg o

\'Ο μείνει για ιιολύ στψ κατακόρu­

1

φη Οtση στην οιιοία toY βλέηειε σιο

Σχημα Υ ιιοθrιοuμε όn η έ,·δειl,η της <υγα ·

ro

ριάς δf,. εί,•αι παρά η ιιμη ι ης διινα­

rni

μης JΙΟιι cιοκrίτ.αι καθε- ιιι ο t11\' tnι·

ε 111 ι{ιχυνσής

φίινrιά της. Έτσι, οι δι"·ιιμrις που ιιοκοVνται στο ν αν<ιβt'ιι ι1 κtιι('ι ιην κιιτιικόρuφη διεύθυνση εiνω ιο βiι­

εγχειρίδιο.

2. Τη'' f'' .\όγω αδυ,·αμια ε­

Υ"'όμενο tη<; μάζας ιοιι αναβάτη

πισημαινει ο δρ. Λlberι Bartletι,

την κατακόρυφη ουγιοτ<οοα -τής

καθιιγιιιής οιο ΓlαΥεηιοιήμιο ιοu

ιng- F,

wu.

Δηλαδιj,

= Ι ιng Jl)l0\

ΚολοριΊν ιο και τέως πρόεδρος ι ης

ΙIJlO,

Αμερικ11νικής Ένωσης Καθ ι)γηιών Φιι οικ ι)ς \ΛΛΙ'ΤJ, στο άρθρο ιοu

.. τι

•·lνπ ι το "βόρος·· τέλος υc'ιντωγ~;.;. οtη

η

ρος του ιng και η αηiδραση F ιης • ζιιyαριάς. Προφανώς. η ου,·ιοιαμrνη

F = 111g ι 1 •

αuιι~,. ιω'' δυΥάμεω,· θα ισούται με

= t588

=

ημ'Ο•

• ιιιg οιιν·Ο

σελ ιδ<ι

43.

Ηρέπει να ~ο με λ ε tήοοιι •

με όλοι προσεκτικά.

(I

Κ ι οu,··θ.

QUANTUM I ΣτΑ ΠΕΔΙΑ ΤΗΣ •ΥΣΙΚΗΣ

49


ΠΟ ΜΑΥΡΟ Πί ΝΑΚΑ

Περί δευτερο αθμίων Βελτιώστε τις γνώσεις σσς για τις δευτεροβάθμιες εζισώσεις, τις δευτεροβάθμιες συναρτήσεις και το γράφημά τους -την παραβολή

Vlodimir Boltyonsky Σ Ξο;ΚΙΝΙΙΣΟΥΜ f: Υ 11F;NθYMIZU •

110 11 είναι διαψο(>e ιικές αν Δ >Ο, ενώ

κ6 φa ••cιιστικό μ.tpας -&iιr rψ ε~i ·

νιας τον τρόπο επίλυσης της

συμιιfπιουν αν Δ = Ο.

σωσιι

δευτεροβάθμιας rξiσωσης

~:άν η Δ εί\•01 ιφνηιικι\, οι εξιοώ· σεις ι\1 και ι3ι δεν rχου\' πραyμαtι·

διόοημοc; γάλλος μοθημα τιιιό<; Fraπ •

κές ρίζες διοιι για καθε ιφογμαηκό

ςois Vieιa

και αυτή μια μορφή της δε υ·

χ ιο αριστερό τους μέλος δε" μπορει νιι r j \'01 αpνηtιΚΟ. U α υ ι η την Πε ·

ιους nρωιοnόρους οιη χρηοη ιω\· γρομμίιιω\' για αριθμούς και ατην

τεροβάθμιας εξfυωο ιις, αν και fσως

ρίπτωση μπορού με να ξιιναγράψου ·

εισαγωγή του σύγχρονου συστήμα·

όχι αυιή στην onolcι cxcιr συν ηθίσει.

με την εξίσωαη (3) ως

ιος αλγεβρικών συμβόλων. θΕΩΙ'ΙΙ~~Α 2: Οι ρi(ες χ1 κω χ, ι:ης

Α

.rτpx +q=O

με ΙJραyμαηχούς σuνιελeοτές

q. Είναι

111 p

και

Α ν ο συμβολισμός μας ο ας φαiνειαι

·>

(x+n- l(J-Δi)' =o.

διαφορετικός και παράξενος, μπορείτε

να επαναδιατuπώσετε ια αποιελέ • ο μα ιό μας χρηαψοηοιώγ τος τον δικό

σας. θα δι απιοιωοειε ότι όλα όαα γνωρίζετε nαρουαιάζονται εδώ με μια ισοδύναμη μορφή, αν και μερικές

ια αnοτελtαματά μας θα σας είγοι ήδη γνωστά, οπωσδήποτε όμως μερι • κά θα είναι καινούργια. Η εξίαωαη μrιορεl να γραφεί με ιη μορφή

(x+ ~)' · ~(p2 - 4q)

ι·) = 0 Ρ Η ·1 χ+ -2Ρ + Η 2 '

--ι ( χ+ -2 2

απ' οnου έπεται όtι η εξίσωαη έχει

δυο μιγαδικές λύσεις

( I ).

Η εξίσωση παίρνει τώρα ι η

μορφή

>

ιιοιούv rις σ:ιτιτεις Χ1

+ χ2

= -ρ, :t1.Y1

= q.

(7)

Αιιtή η nρόταοη μπορεί \'α αποδει •

χ,= ~(-p-J-Δi).

l6)

ν το ι στο επόμενο θεώρημα.

I.

είναι μη αρ''ηttκή) οπό τους τύπους

(4 Ι

παίρνουμε

:-ρ,

Αυτοί οι αυλλογιομοl συ,·οψίζο· θΕΩΡΗΜΑ

ρ(ιδειγμα, στην περίπτωση ιων ιιραγ • μο11 κών ριζών (δηλαδή. όιαν η Δ

χ+ κ: .!.(-ρ+ J-Δ) +.!_(ρ- J-Δ) I 'l 2 2

χ,= ~ (-p+ J-Δi) ,

ονομάζεται διακρινουσα της εξίσω·

έγος από

χθεl με ά μεσο υπολογισμό. ΓJα πα·

νου μ ε

( 2)

11540·16031,

δευιcpοjjι\θμ.ιας εξίσωσης Ι I Ι ιιιονο ­

ιιοιούμε το αριο ιερό μέλος και παίρ •

(κόιι που το ειιαληθεύουμε μετ.ά ιις αναγωγές). Ο αριθμός Δ = p' - 4q σης

Το cnόμcνο θεώρημα ιο οπrδειξε ο

όπου ί είγαι η φα••rααrική μονάδα -όηλαδή, i 2 : -I. Τωρα rιαραγοvτο ­

φορές οι τύποι μας clναι π ιο εύχρη·

σιοι για τη συζήτι]Οή μας. Πολλά από

(5 )

1611.

Η &υιεpοjjι\Qμια ε!.J·

χ,χ,= ~ (-p+ -Γ-ΔΧ-p- -Γ-Δ) = ~(ρ•

-Δ)=q.

Στην ιιερίnτωση των μι γαδι κώγ ρι·

υωοιι Ι lJ με πραγμcιιικούς σuνrελε· σrές p και q έχει δύο ρlζες που η μ.αρ·

ζών (ότογ Δ

φή τους εξαρrάrαι anό ι ψ rιμή rήι;

171 προκύπιουν παρόμοια από τιςεξι·

και γiνεται φογcρό πως όταν η Δ εi·

διακρίνουσας Δ " p

ναι μη αρνηιική, η εξίσωση(\> fχει δύο πραγμαιικι'ς ρίζtς

οι ρίζrς είναι πpαιφαιικiς ιιαι διαφο·

σωοεις !61. θΕΩΡΗΜΑ 3. Καθε &υ rερο{Jάθμιο

ρι:ιικtς ιδείτε rη1• ε~iοωοη 1411. Αν Δ

rριωνυμο ιφάφειαι ως yιvόμε•·ο

:

γpαμμ1ιιών παpαyόνcων

(χ + ~)' =

(3)

χ,= ~(-ρ+ JΔ) ..•, = (-ρ- JΔ),14) 5Ο

ΝΟΕΙΙΒΡΙΟΣ

ΔΕΚΕΙΙΒΡΙΟΣ l iiS

1

-

4q. Α'' Δ > Ο.

Ο, οι ρίζες είναι npαγμ.οιικές ιιαι

συμπίπτουν, και ιιν Δ< Ο. οι ρίζες cf·

ναι μι γαδικοί αριθμ.οl Ιμε μ. η μηδενι·

< Ο!

οι τύ11οι του Viι•U>

:r' + px + q = / χ- .f111x- χ.2 1.


-----

- --------------------------------------------------------------------------------

όπου χ 1 και χ2 είναι σι ρίζες της δcυ­ rφαβάθμιας εΕ,ίσωοης (1 J.

βάθμιες εξισώσεις:

\ιι) χ • - 5

Πράγματι. από τους τύπους του

Victa

'

(ε) χ - χ -

\6 ),

επηuγχάνουμε eύκολιι την

ιcιράyωvο (συγκρίνετε με την

εξίοωοη (2Ιl. Για παράδειγμα,

χ' + Βχ -

(ιβl \ I + l1)x' + 2χ

33 = !.< + 4}2 - 49,

- 11 -

απ' όπου οδηγούμαστε στην παραγο­ γι::οποίηση

4.

,.(1 + Βχ- 33 = \χ- 3J(x + 11). Και μια τελευταία παραιήρηοη. Ότ.αν

ro

ρ είναι άρtιος, είναι συχνά

πιο εύχρηο tΟι οι τύποι

±Δ = (~)2 - q

Δ>

J8 2 + 1

Αποδείξτε ότι αν Δ

> Ο t)

γροφι ­

κ ή παράσταση τιις συν{ιριιιοης y = χ' + px + q τiμ νει ιον άξονα των χ σι'

OJ,

(χ2 •

OJ,

όπου χ1 , ., ,

21. Τέλος, αν

Δ < Ο, η γραφι­

3}.

Βρεί ιε τις δειrιεροβάθμιες εξι -

\α) χ,

2 -3ί .

χ,= a + bί, χ, =

Ο (με

p , q,

ιφαγμοιικούς) είναι

ΙJραγμαηκή, τόtε είναι και η άλλι).

11. Αποδείξτε ότι ον η μία ρίζα της δευτεροβάθμιας χ '+ ρ,γ + q = Ο (με p. πραγματικούς) δεν είναι nραγμο­

ηκή -δηλαδή ότα'' είναι της μορφής

a - bi,

δηλαδή ούτε ουτή εί ­

a-

(ε) ·'ι=

3 - 4ί,

2- 5i.

.<2 =

ιιοιούν την ανισότητα χ 2 + px + q < Ο (με p, q, πραγματικούς). ιΗ απάντη­

ανισότητες δευτέρου βαθμού (και

2 + 3ί,

κατασκευάστε διαγράμματα):

bί,

Ληοδείξτε ότι για κάθε

(αiχ 2 -5χ~6<0,

(β) χ' - !Οχ+ 25 > Ο. (γ) χ 2 - χ- 12 > Ο,

p και q

το σύο ιημα ιων εξισώσεων

(δ}

.Υ + Ζ = -ρ,

{.rz=q

y = χ 1 , z =χ,,

14.

έχει δύο λύσεις:

\'Ονται από τους τύπους (4 ) είνοι λύ ­

χ,,

σεις της εξίσωσης \1} αν Δ

Kάvtt;

διαφορετικές ή συμπίπτουσες), όπου

το ίδιο με τους αριθμούς ιιου προκύ­

χ, κcιι χ, είναι οι ρίζες της δεuιερο­

πτουν από τους τύπους (6 ) γιο ιην

βάθμιας εξίσωσης χ' + px + q = Ο.

περίπτωση που Δ < Ο. 3. Επιλύστε τις επόμενες δευιεpο-

Αηοδείξτε όη η γραφική παρά­ σιαση tι)ς δευτεροβάθμιας συνάρτη-

z=

και

18 ~ Ο, (β) χ• - 8χ + 16 5ο, (γ) χ 2 + 6.Υ + 5 <: Ο,

χ, (πραγματικές ή μιγαδικές,

-

3χ -

iδ) χ 2 - 14χ+50 ~ 0. Αποδείξτc ότι α'' οι ρi(ες και των δύο δευ τεροβάθμιων εi,ιοώσεων

15.

Υ

χ

12χ + 38 >Ο.

Επιλύσι;: ιις εnόμενcς ανιοό-

(α) χ 2

y=

7.

Υ

:r 2 -

τψες δευτέρου βαθμού:

ντικα τάοταση ότι οι αριθμοί που δi­

2

=

13. Εrιιλύοτε ης επόμενες Υ''ήο ιες

(γ) "'• = \δ) χ, =

2. Επιβεβαιώστε με απευθείας ιι­

Σχήμα

ηκές, διάφορες του μηδενός και (α!

ση εξαρτάται από τη Δ!)

= 1, χ2 = - 2,

(β) "ι = " • ~ - 4.

εί,•αι οι λύσεις αυτής της εξίοωοιις.

1

q, προγμρ tικούςJ να είναι πρα γ μα­

προyμοηκών οριθμώγ που ικανο ­

tης δε υ ιεροβάθμιας + px + q = Ο ιοοίτtαι μι;: (.τ, - χ2 ):ι, όnου χι και χ2

Σχήμα

ρ.

έχουν ΚΟΙ\'ά οημείιι (Σχήμα

6.

χ

βάθμι<ι<; εξίσωσης χ'' τ ρχ + q =ο (με

ρου π άνω οπό τον άξονα χ -δεν

ηροιιλήματα

0

συνθήκες ~JO tt οι ρίζες της δευτερο ­

''αι ιιραγματική. 12. Βρεiτε ιο σύνολο όλων των

tά.

ΧI

Βρείτε ικανές κω αναγκαiες

μορφής

προχωρi}Οουμε σε μερικά προβλήμο­

Υ

0.

ιΣχtΊμα

βάθμιων εf,ισώοεων, μιιορούμε νο

:1: Ο.

9.

p < 0, q >

a + bi με b "'Ο, ιότε η άλλη είναι ιιις

Κω τ-ώρα που έχουμε εξοικειωθεί πλήρως με όλα τα είδη των δευcερο ­

.r

0.

παράσταση εφό n tεται ο ~ον άξονα .ν

σώσεις που έχουν τις επόμε,•ες ρίζες:

Αποδείξιε ότι η διιικρiνουοα Δ

πραγμuιικδ ύς) είνιιι πραγ­

q,

5.

1.

<ι= Ο

είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ' + px + q = Ο (Σχήμα 1}, Αν Δ = Ο, η γραφική

κή παράσταση βρίσκεται εξ ολοκλή ­

και

p, q,

px +

ομόσημες (βΙ ετφόσημες. 10. Αποδείξτε ότι ον η μiο ρίζα της δευιεροβ{ιθμΙ<ι<; εξίσωσης χ" + ρχ + q

a) = Ο.

δόο σημεία (χ,,

όιι οι ρίζες της δευ ­

ματικές και θετικές αν κω μόνο αν

ιιι) χ'+ 2(ιι - 1ιχ - (68 + 3ι =Ο, (θ) χ ' + 2ιιι + 3)χ + (a' + 2a + 9.1 = Ο, ω.~' - 2ιιι'- \ )χ+ (a• - a2 + 1) =ο. ι ι ω 2χ' - 5χ + 2 = Ο,

ιιαι)αγοηοποiηση συμπληρώνοντας

ro

(με

30 = Ο,

Ιζl χ 2 + 10χ+ 25 = Ο,

ζοu με τις ρίζες μέσω cων τύπων (4)

q είναι συμμετρική

τεροβάθl"άς εξiοιο)()ης χ~ +

(στ) χ' + 4χ + 5 = Ο,

Μερικές φορές, αντί να υπολογί ­ ή

8. Αποδείξιε

(δ) χ'-ϊχ+12=0,

= ιχ - χ,Jιχ - χ2>.

ρχ +

4).

(γ) χ ' + 3χ =ο,

..r + px + q = χ' - (χ1 + Xz)x + χ1 .tι

=. +

ως προς τψ ευθεία χ = -p ι 2 (Σχήμα

=Ο,

(β) χ~ + 7 = ο,

έχουμε

.r

ο ης .ι•

Υ

ο

Σχήμα

3

Σχήμα

4

Σχήμα

5

QUANTUM I ΠΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ

51


Υ

,YJ,.

Υ

Υ

σταοη διέρχεται από ι<ι Α κnι Β < Σχή · μα ϊι.

2::1.

Για ποιες προyμαηκές τιμές

=

ταυ a η σu,·ορτηση .'' χ- + 2ax + 1 εl\•αί Οcιικη για κιιθr ιιραγματικό χ: ο

24. Οι εξισώσεις χ' • p 1.< + q1 = Ο και κ ' + p1χ + q, = Ο εχοuν πραγμα·

α

β

Σχήμα

δ

γ

τικους ουνιrλεοιι'ς τι'τοΙους ώστε

p1p1 = 2ιq 1 + q1 Ι.

6 ,Ι'

λάχ1ο τον μ ια οπό ι ι ς εξισώσεις έχει πραγμοιικές ρίζες.

.Υλ

Αηόδι•ίξτε οτι ιου ·

25. Θεωρήοι.r rvn rιnλu~}νυμο f(x, J' l = ax' + bx,y + c.v' με nριιγματΙκούς συνιελrσιrς 11 >Ο. Ιι.

Β

εi,·αι αλιιθής μία nιιό ιις ι·nι\μενες

ο

()

•• β

α

Σχήμα

c. Α ποδείξτε ότι

.<

fo ) fΙ.t, ,1') • nΙ .Υ - m t·''ll .\' - m :-'·J. οιιου ma -:ι: m.~ rι,·οι nραyμοtικοί α ­ ριθμοι 10\'Ομόζοuμε ιο ( υtΙηι(ΙQ.\ικό

δ

γ

7 :ι 1 + p 1.< •

q1 = Ο

α:ς α,·ηκεΙ στο δ1ιίστημα (.τ .. η άλλη οιο Ιχ,. χ,).

χ ι + ΡιΧ ... q2 = Ο

17. μιιιος

διόcnημα Ι α, bl, τόιε, για κ(ιθι: Ιι\' οι ρίζeς ι ης εξiοω<tι]ς

νιιιικό

k>

Ο,

.<) ε,·ώ

Με ια δrδομένα του nροβλή ­

είναΙ nραγμα ιικές κιtι ο\'1jκουν στο

16. <ιιιοδt·ίξu·

ότι για κάθe αρ ·

k" - 1 οι ρίζες της εξίσωσης 18)

είνω προyμιι ιι κi·ς. η μία από αυτ.ές

χ'+ p1x + q 1 + k(x + ΡΖ"'+ q) =Ο. 181 2

αν ήκr ι ο LO 1\ιιΊιι ι ημιι ι.,,

..τ, Ι και

(ιλλη 1\f)iσκετα ι cξω ιιπό το Ι χ,,

ει νω ιιρ(1 γμαιι κrς, θα ανήκουν στο

18.

η

x,l.

! Ίο ποιες τιμές του ιι η εξίσω ­

ση χ' + 11χ

αροτοοεις ·

+ 6 =Ο cχε1

ποJuωνυμσΙ·

ιβι fιχ • •ι·ι 2 ιιι χ - tΙΙ,Ι'Ι'. όπου 111 εi· Υnι πραγματικός ι πnpnβο.\ικό πο ­ λ vώ•·vμοι· ι γι fιχ• •vl

για κάθε πραγμιηι.

κ(ι χ._.. εκτός των .Υ = )' " Ο \ε.Ηει ­ ιιrικό rιολ vι,ίνvμοΙ.

26. Λποδείξτε

όη η γραφική παρά ­

ο ι<ιση rou φιωνύμοu .ν=

.<' + p,< + q

ιικέρα1rς ρίζες;

προκύπτει οπό την ιιαρόλληλη μετn •

Αnοδεiξιr όtι nν οι ρίζες χ1 • χ, ιης εξίσωσης χ • + p1x + q, = Ο καΙ οι

19. rια ποιες τιμές του a η εξίσω· ση Ι χ - !OII x al + 1 = Ο έχεΙ ακέραιες

τόmση της γραφικής παράστασης της _ν

χ,-. tόte για καΟε

20. Ποια είναι τα πρόοημα τωΥ αριΟμωΥ p και q ότ<ιν η γραφική πα­ ρόοιαοη ιης γ = χ ' + px + q έχει τη

ίδΙο διlιοιημα.

16.

ριζες χ•• χ, της εf,iσωοης .Υ ' + Ρ.Χ + q, =Ο είναι όλες rιραγματικές και ε,·αλ • λασσόμrνrς -δηλαδή .< < χ, < χ < 1 1

ρίζες;

εξjσωσης <β> ιοu ιιροβλήματος

μορφή ιοu Σχημαιος

k > Ο οι

ρίζες ιης

15 εi ·

''!ΙΙ πραγματικές κιtι η μίιι από α υ·

27. Λnοδείξτε όn το ούnτημn tω,·

.V: χ2 + p.Y + q

χ,

+

σωσης

22. χ

Σχήμα

8

p και q γνωρiζο,•ιας ότι

ι κιιι χ, • Ι riνιιι ω ρiζ•·ς της εξί ­

χ1 -

εξισώσεω,·

{ .ν = χ ' + gx + q, .ι· = aχ+

6;

21. Εοιω χ 1 κιιι χ2 οι ρίfες ιης δηι ­ ιrροβόθμΙας εξίσωσης χ· + px + ιι = Ο. Bj)rίtt τ\ι

.YJ,.

= χ ' κοιCΙ ιο διάνυσμα a = l-p 12, Δ Ι4).

p'x + pq = Ο.

έχει το πολύ δύο λύσεις για κόθt

πραγματικό ιι. b t Σχίιμο 9Ι.

28.

Αrιοδciξιc όιι ω •·οωτι·ρικό τηc;

παραβολής ,!' • .τ ' +

px + q -δηλαδή

το σύνολο όλω'' ιω'' σημείων (χ, yl

Δίδον ιrιι ιn σ ημείιι Α και Β

γιο "' οιιοlιι

.v > .ν ' +

pχ +

σ1ους όξονι·ς χ κηι_v αντίστοιχα (δια ­

κυριό •γι·γονUς rιou σημαίνει ότι ένο

φορειικό κn ι ιιι δύο οπό την αρχ ή των οξό,·ων Ι. Λιιοδεiξτε ότι υπάρχει

εuθύγριιμμο ιμιiμ<ι που συνδέει δίιο

μiο και μόνο μίΙΊ συνάρτηση γ= χ ' +

βρiσκειαι cξ ολοκλήρου μέσο στο

p.τ:

σύγο.\ο -β.\ Σχήμα 101.

+q

της οιιοίας η γραφι κή ααρα·

ιυχ<ιίιι οημι·ίιι nuroύ του σu\'όλου

111

.•·

,I '

I χ

Q

χ

β

α

Σχή μα

52

9

--

ο

/

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

q- εί,•ω

-

χ

χ

γ

Σχήμα

10


ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ

ρικά αποκαλυπτικά ίχνη Δύο απλά πειράματα με εναλλασσόμενο ρεύμα Ν. Paraνyan

ΛΟΙ Ι'ΝΩΡΙΖΟΥΜΕ σΓΙ Τ(} ΕΝΑΛ •

π η νίου ενός μετασχημαηστή-υποβι­

κλωμα, και οι μπελάδες ιιοιι θιι ο νυ ­

λασσόμεvο ρείψcι εναλλάσσει

jkιστή τάσης <από

περιοδικά ιιJ ιρ<ψά ιωι το πλά­ ιος του. Θέλετε να δείτε με τα

Μη διανοι}θti\ε ΚΟ\'

ou,·δrorτr

μεrωrιίοειε δεν θα είΥιu λίγοι. Π<ιρτε μια λωρίδα διηθητικού χcιρ­

οπευθείcις ιη συοκε ιιή σε κάποια

τ ιού \αν δεν είναι εύκολο ''α το βρεί ­

ίδια σας τα μάτtα ότ.ι όντως αλλάζει

ηρiζα -θα ι>ρuκαλί:οετε βραχυκύ-

τε, χρηο ιμοποι ήοιε μια λωρίδα εφη ­ μερίδ<ις), υγρtι νετε με διάλυμα 10'}

φορά; Κάιι ιέιοιο όχι μόΥΟ είναι δυ­ να ιό nλλ<\, ιελικιi, και αρκετά εύκο ­ λο να

~

to κ α τ.αφέρrτε.

___........ ..

220 V σε 6 - 10 Vl.

χλωριούχου αμ μωνίου, το οποίο να

_

:r.---

vo

ιιεριeχει εrιiοι}ς

0,3 g

θειοκυανικό

άλας ή σιδηροιωονιούχο κάλ ιο.

Βλέποντας τις εναλλαγές του ρεύματος

κιιι ιοι1οθετήο ιε το χαρτί πάνω στο αλουμινόχαρτο. Ανοίξτε tΦρα το διακόπτη του μετα ­

Κατασκευάστε 111 διάτα­ ξη που απεικονίζεται σχη­

οχημαιιστή ώστε να κυ ­

κ λ ο φ ο ρ ιί σ ε ι

ματικ(ι στο

Σχήμα

το εναλ -

~

1.

Χρι}οιμο nο ι ώ,·ι.ας

(._~

.J:

λαοοό ­

f

μεγο

ρεύ­

αιιλές π ι ·

μα ,

νέ(ες στ.ε-

και

ιιει;ιστε έΥα φύλλο

σύρετε γρήγορ<ι ιο

αλουμινόχαρτου

σουβλί κατά μΙi­ κος της λωρίδας

σε μία ξύλιΥη σανίδα ή έ\'α

χαρτιού (χωρίς

κομ μ ατι

γα το mέζε·

κ ονtρα­

τε πολύ).

ηλακέ .

Ιfάνω στο

Συγκολλή ­

χαριί θα

οιε \με κuσσιτερο κόλλη -

ε μ φα ''' -

σιJ) ένα μονωμέΥο σύρμα χαλκού

στε! μω διακεκομμένη έγχρωμη γραμμή: jkιθυκόκΙUνη για ro θειο­

σε μία ω ιό τις πινέζες. Χρηοψο­

ιιοιώντας πλαστικά ή ξύλινα μα ­ ν r<ιλόκ1α στερεώστε ένα παρό ­ μο10 σύρμα στο μεταλλικό

στέλεχος ενός σου­

.. .........

ο

κιιανικό άλας ή μπλε για το ΟΙδηροκυανιούχο κάλιο. Γtατi όμως εινα1 δΙακεκομμένη; Το δ1άλ υ μα που

βλιού. Συνδέστε κο1

χρησι μοποιήθηκε

τα δύο σύρματα με

γ ι α να υ γpα vθεί

τους

ιο χαρτί περtέχει

ακροδέκτες

ιου δευ ι.&ρεύονιος

ιόvtα

-κυρίως

QUANTUII / ΠΟ ΕΡΓΑΗΗΡΙΟ

53


το

Πάρτε ένα μικρό γυάλιΥο δοχείο

διακόιι ι η για ι ην κυκλοφορία ιου

μια ορθογώνιοι; βάσης κιουβέτα εi ­

ΝΗ; και α·. Όταν

ανοίγετε

ρεύματος, το σουβλί για την πρώ-ι;η

Υαι το καταλλ ηλό ιtρο (Σχήμα

ι]μιπερίοδο γίνε-ι;αι άνοδος, με αποτέ ­ λεομα γα μειακινούνιαι προς το μέ­

μίστε το μέχρι 1:11 2! 3 ιοu ίιψοuς της με έΥn κορεσμένο διάλυμα επιτραπέ ­

ρος του και να εκφορτίζονται πάνω

ζιου αλατιού. Κόψτε δίιο ηλr.κφ(>δια

ιου ιόνια χλωρίου:

2CJ· - 2c· .... Cl2•

από μια μεταλλική κονσέρβα (όχι

Το χλώριο ανιιδρά {ιμεοα με το οίδιι­

όμως αλουμινένια κονσέρβα!), έ τσι

ρο και παράγει ψιχλωριούχο σίδηρο: 2Fe + 3Cl2 -> 2FeCI3. Με τη σειρά του.

ώστε να έχουν σχεδόν το ίδιο ύψος

ο ιριχλωριούχος σίδηρος α,·τιδρά με

σιτεροκόλλιισηJ από i: να μογωμέΥο

ιο θειοκuανικό άλας

το σιδηροκυ­

σύρμα χαλκού σε κάθε ηλεκ ιρόδιο.

αγιούχο κάλιο και σχηματίζει ιην ουοίιι με ιο βαθΙΙκι\κκινο ή μιιλ ε

Στερεώσιε (με κολλητική ;ων ία\ κό­ Οε ιιλεκτρόδιο σε μια ξύλινη ρ(ιβδο,

χρι;,μα.

ώστε νcι είναι βυθισμένο μι'οιι στο

i)

Για τη δεύιερι] ημιrιερiοδο. όια'· το

2). Γε­

με το δοχείο. Σ11γκολλήοιe (με κασ ­

δοχείο με ιιλεκτpολιπικό διάλυμα

ρεύμα i:χει την α'•τίΟετη φορiι, άνο­

διάλυμα. Συνδέστε ιην iικρη του ενός σύρμα τος με τον ακροδέκτη του

δος γίνεται το αλουμινόχαρτο, πάνω

δευτερεύοντος πηνίου ενός μετα­

Σχήμα

στο οποίο παράγεται άχρωμο φιχλω­

οχηματιστή-υποβιβαοιίι τάοης. Εν σιινεχεία συνδέστε την άκρη του άλ­

ριοδικό βρασμό και ~η'' ταυτόχρονη

Α υιό δεν παράγει έγχρωμες ουσίες αντιδρώντας με τα ιόντα τού διαλύ­

λο11 ούρμαιος με τον ακροδέκτη ενός

περιοδική αλλαγή στο ηλεκτρικό

αμπερομέτρου εναλλασσόμενου ρεύ­

ρε υμα;

μαιοι;. Έιοι, θα υπάρχει ένα

ματος, βαθμοΥΟμημέΥΟΙΙ eως Ίά

ριούχο αργίλιο: 2Α 1 +

3Cl2

....

2A1Cl,,.

.. κενό"

στη γραμμή μας. Στη συνέχε ια. η

2

.

Α.

Το διάλυμα χλωριούχου νατρίου

Τέλος συνδέστε. με ένα νέο κομμάτι σύρμα, τον δεύτερο ακροδέκ ιη ιου

παρουσιάζει μεγάλη ηλεκφική αντί­

5

αμnερομέτρου με τον ελείιθερο α­

ΟtΟΟη, και ετοι θερμαίνε<αι ό'Cαν διαρρέεται από ρεύμα. Η θερμοκρα­

δημιουργών ιας ένα έγχρωμο τμήμα

κροδέκ ιη ιου δευ τερεύοηος του με­

σία ωυ αυξάνει τόσο πολύ ώοιι: ο

στο χαρτί. κ .ο.κ. Αυτές είν(ΙΙ οι δια­

ηλεκτρολύτης βράζει. Ειιειδή tO πλή­

δικιιοίες που •σχεδιάζουν• ιη διακε ­

τασχηματιστή. Η διάτcι[,ή μας, λοιπόν. περιλαμβό ­

κομμένη γραμμή με κανονική ε­

νει μία ιιηγή εναλλασσόμενου ρεύ­

θος των φυσαλίδων αερίου αυξόνε­ tαι, μειiι ιην 11όροδο κάποιου χρόνου

ναλλαγή παυλών και κενών.

ματος, ένα δοχείο με ηλεκτρολυτικό

τα ηλεκτρόδια πρακ ιικό μονώνονται

διάλυμα χλωριούχου νατρίου, δύο

από το διάλυμα (ο ατμός είναι διη­

ηλεκτρόδια βυθισμένα στο,· ηλεκφο­

λεκφικό υλικό). Στη συνέχεια το

Υπάρχουν πολλά και διάφορα ..ρο­

λίιτη και ένα αμπερόμετρο -όλα

κύκλωμα διακόπτεται, ο βρασμός

λόγια• φτιαγμένα από την ίδια τη

τους συνδεδεμένα σε σειρά. Ανοίξτε

σταματά -και ια ηλεκτρόδια επα ­

φύση

γεωλογικό, βιολογικό και

το διακόπτη και παρατηριjστε προοε­

νέρχονται σε εrιαφή με το διάλυμα.

χημικό. Μπορείτε όμως κι εσείς να

κτικά τι συμβαίνει μέσα στο δοχείο.

Και ιιόλι απ· την αρχή, ξανά και ξα­

κuιασκευιίσετε έν<ι ηλεκψολ υ τικό

Να σημειι;Ινετε τις ενδείξεις του α­

νά ...

ρολόι. Ιδού πώς:

μηερομέτρου.

φορiι του ρείrμωος αλλάζει και το σι· δερένιο οουβλi γίνεται πάλι άνοδος,

Ένα ηλειtl)()λιaό ρολόι

θα διαπιστώσετε ότι το ρεύμα α υ­ σουβλί

ξύλινο υποστίpιyμn

δuιθιιιικ6 ΧQρτί

Σχήμα

54

διαλύματος προκαλεί μείωση τηι;

γιlρω από τα ηλεκτρόδια αρχίζει να

ντίστασής του. κιιι σύμφωνα με

βράζει -πράγματι, παράγεται αρκε­

νόμο του

τός ατμός. Ύ ιιτερα οπό λίγο ο βρα­

οιο κύκλωμα αυξάνει.

αλοuμιvfοu

1 NOEMBPIOI I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

το ηλεκτρικό ρεύμα

Ας επανέλθουμε στο πείραμα.

μα φιόνει στη μέγιστη τιμή ιου -και

Κλείστε ιο διακόπτη του μεταοχημα­

ξαφνικά πέφτει σχεδόν ο ιο μηδέν.

ιιστή και αφήστε ένα μόνο ηλεκφό­

Ί'ην ίδια στιγμή σιαμαιάει και ο βρα ­ σμός. Τότε το ρεύμα αρχίζει και πάλι

διο βυθισμένο στο δοχείο, απομοκρύ­

Αυτό θα συνεχίσει να ουμβαί,·ει μέ­ φύλλο

Ohm

aco

σμός γίνεται πολύ έντονος, το ρεύ­

και πιο έντονος κcιι οιροβιλι;Ιδης και η διαδικασία σ ταμ α ι(ιει πόλι .

του αμπερομέτρου; Η θέρμανση του

ξάνε ται σιαδιακό και το διάλυμα

να αυξάνετ{ιι, ο βρασμός γίνεται όλο

61'-

Και γιατί αυξάνονται οι ενδείξεις

νοντας το άλλο. Συνδέοιε ένα πολύ λεπτό γυμνό σύρμα χαλκοιl (δια­ μέτρου

0,5 mm,

ή λιγότερο ) ο τον

ακροδέκτη του μετοοχηματιοιή, α­ ντικαθιστώνται; ro ηλεκφόδιο που

χρις ότου κλείσετε ιο διακόurη. Επο ­ μένως δεν μπορεί τε να αρνηθεί τε ότι

aπομακρύνατε. Τυλίξτε τα οίιρμα με

η συ<mευή μας είναι ένα 11pαγματι­

από την ταινία, θέστε σε λειτουργία

κό ηλεκ τρολ v ιικό ρολόϊ. Πώς μπο ­ ρούμε όμως Υα εξηγήσουμε to'' ιιε-

το μετασχημαt1σιή. Αγγίξτε την επι ­

μονωτική ιαινiα, κω, κρατώντας το

φάνεια του ηλεκφολίι~η με το ελεύ -


θερο άκρο του σύρματος και βυΟΙαιε

ω σταδιακά σε βάθος ε'•ός nrpίnoυ εκατοστού.

Αυτό που συμβαίνrι στον ηλε­ κτρολύιη δεν riναι οrιλως ο βρασμός προστίθεται ιο cρυθροnυρωμένο

101 ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΟΙ Λ lDS: γεγοι•ότα, έpι;υι•r.ς και πριιβλημaτrσμοί

άκρο του σύρμα ιος που φωwβολεi. οι θεομαηκt'ς ριπfς κίτρι,•ης φλόγας

Lue Moatagnier

και ένας ιιεριοδικός οξυς κ.ρό ιος. Και

Διαιθ\>νrής εραιvώγ στο

αυτά τα αποιtλrομαια μnορουμr να

CNRS

ια εξηyήοουμr rύκο,\α . ΠρGΗΟ\', ιο οιιρμα rρυθροιιυρώνt· ται λόγω ιης μικρης διαμfιρου ιου Παρ' ολο ουιά, η πrριοδικότηια ιης

----

θέρμα\•οης δr\· μnορrι ,.α γινrι α\'ιΙ.

ληπιή με γυμνό μιιιι διοιι οι διιικο­ πι'ς του ρεύμαιος rινοι πολύ ιοχειες. Δεύιερον, οιο ούοιημά μας. ιιου ο·

ποτελείται από ένα πολύ μεγάλο και ένα πολύ μικρό ηλεκτροδιο. ηραγμα­ ιοnοιείιαι ο\•όρθωοη ιου ρεύματος cμονόδραμη αγωγιμόιιιι(Ι) και, λόγω

//)/

ι. 11 ι\ Ι:ΙΙ'!JΙΙΟ/

αιιιού, λιιμ(kΊνει χι;J(Ιο ηλrκιρόλuοrι

-··---

ιου διαλύματος αλαιιού. Κctιό ι ην

.. . .

εν λόγω διrρynοίιι nορίιγrι<ιι ιιδ{>ο­ γόνο οιο μικρό ιιλεκιρόδιο (ιο οίιρ­ μαl, το οποίο στη συνέχεια αναμει ­ γνύε.,;αι με πολύ μ ι κρά σταγονίδια

«τον nφό της ειρήγης. οι γιοι θάβσuγ τοοc; Ι!οtέρες τιιuς· tον

διαλύμαtΟς χλωριούχου ναιρίου και

καιρό tOΙJ πολέμοu, οι παtέρες θάβουν τους γιους τους», tyρυ.φε ο

εκρήγνυται παράγοντας μια κfιρι νιι

Ηρόδοτος. Είναι αλήθεια iιτι διεξίιγεται ένοι; κραy,.aτικός

φλόγα και ένα ν ξερό κρότο. Επι­

πόλεμος από τότε που εμφα••ίστηκε το AlDS, fO 1981. αυτή η

πλέον. σε υψηλές θερμοκραοiες ο υδρατμός διασπάται στην εηιφόνεια

αιήJένr.ια που καταστρέφει το α1•οσοποιητικό σίlcnηιια. Στην ιφωτυπορίu της έρευνας βρίσκπαι ιι Luς Moacaιtnicr, ένας από

του ερυΟροπυρωμένου σύρματος:

τους σιιμα\'tικότεροuς ιολόyοuς του κόσμου. Εlναι ο ειιιστήpονας

2Η, + Ο,. 1Ό nροκύπιον

που. μαζί με τη•• οpάδα του στο Ινσητοοτο Πασri:ρ, ανακάλιι'Ι'ε fO

2Hz0 _.

μείγμα υδρογό,·ου και οξυγόνου εni­

1983 τον ιό ο οποίος έχει προκυ.Ι.έσει πρυ.yιaατική ιιανδφα.

σης φεηοβσλά -ή. μιιλλον, ε κρή­

Σε τούτο το εξαιρεrικιί ενδιαφί:ρο•• βιβλίο, ο crοπι~~

y,·υται με ηχηρό ιροπο.

α•·αφέρεται στιιν ερειι••ηrική εργασία που το•• οδ1ήyι

θα μnορουσαμr ''α nαρατrvιησοu • με κάποιο από τα παραnα,·ω φαl\•ό­ με,•α εά'' α\·τι για t\•α,\.\ασσόμt\'0 ρευμα χρησιμοποιουσαμr συ,•εχές:

Χρησιμοnοιώνιας

t''"'' α'·ορθωιη για

tη\' τάση εξόδου ιω\·

6-IOV. μιιορεiιε

να δημιουργήοrιr όλα ια nαραιιάνω φαl\·όμε,·α, και ακόμη θrαμnιικό­ τερα. διότι λαμβάνει χώρα μια ειιι­ nρόοθειη διαδικαοια παράλληλα με αυτές

nou

ήδιι nεριγρόψομε

η ηλε­

κrρόλuση του υδατικού διαλύματος χλωριούχου νατρίου. Μια τελ ική παρατήρηση. Είιν δεν έχειε rιμnερόμειρο εναλλcισυόμcνου

ρεύματος, δεν πεφc'ι(ει. Στι1 θέση του μ πορε ίτε ,.ο χρ ηοιμοnοιήσrτε tνιι ν

λαμιιιήρn ΙΙ uριικ ιι;JQr,ως

α•·ακάλιιψή του και ιιεριyρά.φει τη διαμάχη του με επιστfιιιο•·α

R. Gai.Ιo· δlνει μια tu<Jύ,·οιιτη, περ•ιειc11

επlσης ΙΙλήρη και διαφωτιστική ιιαροιισiαση των διαθέτουμε όσον αφορά. τον ιό και τη•• προ~>.ι~ με τον οποίο εξελίσσεται η ασθένεια, τι; και αvακ(ι).U'Ι'ΙJ'; εμβολίου. και τη yu~yρqi ΑΙ DS. Ακόμη, ο crοyyρυ.φέας ανα>mίσcm τις α~ό φ 11ς εuΟΟ\·ες των ιιολιτικών και ειdliτει τις cπtt.,.:ι:; ι~ι~τώσεις της ε11ιδημίσ.; τιn>

AIDS ιmι διιιιόσια συcnίί•

υyείσ.; και cπ ολόκλιιpη την ΚΟtΙ'(ι)νία.

Πρόιcειται τια ένα βιβλίο πλούσιο σε ιιολίιη~~).Ιες, yρυ.μμt••ο από έναν επιστήμονα και ερW18Fί ποο

από τους δραμl.\tlύτqιοιιι; ιrο) qι·t~υ αuίι Σελ.: 376,

ι σε

ιισι;.

s.ooo -.χ.

Ειι:δόσtις κάα,.,

t<•>" 5-IOV

και

5- IOW. Τιι ιιηοτελι'σμιιtιι δεν θα είναι λιγό ιερο θι·ιιμιιιικιΊ. [91 OUANTUII / ΣτΟ ΕΡΓΑΗΗΡΙΟ

55


ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Η 26n Διεθνής Ολυμπιάδα Φυσικής Παύλος Ιωάννου

26η ΔΙ.ΕθΝfη: 0Λ ΥΜΙl Ι ΛΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

πέμπει μπορεί Υα χρησιμοποιηθεί για τη μέ •

για μαθι1ιές λ uκείου έληβε χώρα στο

τριισιι του λόγου Μ Ι R. Η γνώσιι του R θα ε πιτρέψε ι το,· υπολογ ισμό της μάζας τού

διάοτημιι

5· 12 Γουλiου 1995 οτηγ Καμπέρα ιι1ς Αιιοψαλίος με ι η σι.rμ · μετοχή 51 χωρ~Ι\' ιιιιό όλες ιις ηιιείρους.

(lOtρt)U.

(β Ι 'Ένα μη επανδρωμένο διαστημόπλοιο

τι ελλφ·ική οrrοσιολή α παρτιζότ{tν από

εκτοξεύεται για ένα πείραμα μέτρησης της

R ενός άσφου

ιους μαθι1τiς Ιωάννη Κοrοαμπασάκη, Πέτρο

μάζας Μ και της ακτίΥας

του

Χριστόπουλο. Διο\'ύση Σκαμν{ικη, Εμμα·

yαλnξίη μ ο ς. Καθι;>ς ω δΙιιΟ ιημόηλοιο προ.

νουήλ Ροβiλο και Α νασιάο1ο Ιlιιηιιγιαβή. οι

οεyyί(ει έ,·ιι οψαψ1κό οιόχο·ι'ιοφο κιηό τη

οποίοι ήι<ι'' οι νικητές του Πανελλήνιου

δ1rιίθυνση τιις ακτίνος του στόχου, εκπέ·

Διαγωνισμοίι Φιιση<ι]ς, που διοργαν~ινει

μπονιαι φωτόνια από ιόνια

κάθε χρόνο ι1 Ένωση Ελλήγ~"· Φυο ικό>ν. Νικήφια ομcΊδο στι1ν 26η Ολυμπιάδ<r

τα οποiα προκαλούν συντονισμένη διέγερ ·

.

He' που βρίσκο· . . Υt<ιι οιην eπ ι ψανειn 'Cuv uοφου ~ οτοχοv και

αγαδείχ ιηκε η ομάδιι της Κίνας. οι αντιπρό·

σι) μιας δέσμης ιόντων

οωnοι της οnοίος κοτέκ τησαν τον μεγολιί. τερο ιιριθμό χρυσών μεταλλίων. Σημαντι­

λομο ιου διοοιημόnλοιου. Συνιογιομέγη αιιορρόφηοη ΟΙΙμβαiνει μόγο είιγ Ί:ΙΙ ΙίJ\'LιΙ

κή διάκριση έλαβε και ο έλληνας μαθητής

He·

J Ιέιρος

ι·πιφcnει οκριβώς τη μετατόπιση του φά·

Χριοιόnουλος. Παρακάτω παρατ.ίθενται τα θέματα τι)ς

Ολυμπιάδας μαζί με τις λύσεις τους.

He • μέσα σ • έγα

Οά ·

έχουν r<ιχύτητα ιιρος tO ίωφο rιου να

σμαιος προς το ερυθρό. Η ιιιχιrτητη

,. = β·

ι·

- -- - - ' ιων ιό" ιων ιοιι He· μέοα οι ο διαστημόπλοιο σΊη συντονισμένη απφρόφηση μετριέται ως συνάρτηση

Θεωρητικός κύκλο(

της απόστασης του διαστημόπλοιου από το κοηινότερο ο ιιμείο ι ης tηΙφι\ νr.1ας ιιιΙJ άο φοιι. Ί'ιι ιιεφιιμα ιι κίt δι: ­

Πρόβλημα

I

&ρυιική μcτατόπιση προς ιο ερυθρό και μέτρηση της αο φικής μάζας.

δσμένα φαίνονΊαι ο ιογ ιιfνακα ιιοΙΙ ακολοτιθεi. Χι>ησ > · μο11οιt:ιν ιιις rrλήpως ι<ι δεδσμένιι οιrιίι, νιι ο χεδιίιοει.• tι)\' κηι.ίιλληλη yρηφική παράσταση κηι να προσδιορίσετε από

(α) Ένα φωτόνιο συχνότιιτας

f

ισοδυναμεί με μάζα

ιιδρόνειας m που υπολογίζειαι από την ενέργειά τοιι.

αv ιήν ιη μiι<ιι Μ κηι ιηγ ιικrίνο R ιοΙJ ίισ φου. Στη" ιιηίινrιιοη δεν χρει{ι(ειαι να λάβετt υπόψη σας τα σφάλ·

Μπορούμε να υποθέσουμε όιι η βιψυιική ιου μιίζη fί·

ματα.

ναι ίση με τηγ αδρανειακή. Σύμφωνα με αυτό. έΥο φω · τόνιο που εκrιέμπεται από tΙ)ν επ1φά νεια ε'•ός άστρου Οα χάνει ενέργειο όταν διαφεύγει από το πεδίο βαρύτιιτας του άο ιρου. Να δείξετε ότι η μεταβολή της συχγότι1τας Δf tου φωι.ογίου όιαν θα διιιφύγει από την εmφάνεια του άστρου οιο άπειρο δiνετιιι από τη σχέση Δf

r =-

GM . Rc2 για Δf« Γ.

όΗΟU

G

είναι η σταθερά tl)<; παγκόσμΙας έλξΙ)ς,

R

η ακτίγα του άστρου.

c

η ταχυτητα wυ φωτος.

Μ

η μάζα του άστρου.

.

.

'F.τσι, η μετατόπιση των γραμμών του φάσματος η οποία παρατηρεί τω πολύ μοκριό αηό το άο ιρο που το εκ·

56

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

Πί\'tικος δtδομiνων

Π(Ι.ράμc:ιρος ((ιχύτηi.(ι ς

Α ιιοu ι"σ η οιι ό ιη '' tmφάνιιο ιοu itoτpou

β . '/e(ΙΟ ' )

d (ιο' n>)

3.352

38.90

:J.2ί9

1~.91:1

3.195

l~.:rl

3.077

1!.99

2.955

6.6ί


Ι γΙ Γιο τον υπο.\ογισμό του

R κω

ι~ Μ ο· tνα τέτοιο

Το Σχήμα 1β δειχνει ούοιημα αξδνω,· z• ~.όπου z εί­

πείρ<ιμα είναι a\·αγκιιιο ''" θει.ιρήσουμε τη διόρθωση στη

ναι ιο βιίθοc; ιου ωκι·ανού και χ είνω η ορι(ό\'tιcι οnό­

ουχνόιητα nοιι οφείλεται ο

οταοη. Σε όλα ια σημεια του συστήματος z-χ η ιαχύτη­ τα του ήχου, οε οχέοι) μι· to βάθος, είναι όιιως φαίνεται

"1" aΥάιφουοη ι ου α ιό μου

το οποίο εκπέμπει ιο φωιόνιο. Σιοuς vnολογισμοίις δεν λιιμβίινεται υιιόψη το cιποτέλεομα τι]ς Οερμικιi<: κίνφι]ς

ο ιιι Σχήμα

Σιη θεοη

εφόοον αυτή διαιιλατiινει τις γpημμες χωιιίς να μετατο­

ιιίζcι το μέγιο ιο ιι)ς κο ιαγομής.

lo.

z =Ο

και χ = Ο τοnοΟειι-ίιαι ηχητική πηγή

5

ί. 'Εσιω ΔΕ η διαφορά εγέργ&ιας μειαξu δύο ενεργει­

υιιu ορχική yωνiα 01 • όπως φοίνειοι σrο Σχημο !β. Λόγω ι ης μεταβολής ιης ταχύτητας του ήχου με ιο βάθος z η

ακών σταθμώ'· με ιο αι~μο σε ψeμιιι. οιη'· καθε πε ­ ρίιιιωση. Υποθι'ιουμε ότι ιο άιομο ιnρώτη κιιιόοταοη Ι

ακιiνα Οα διαθλαιαι. γεγο,•ός που οδηyει στην o.\.\nyη ιης γωνίας Ο κοια μηκος της τροχιάς ι ης ακτίνας. Ειοι.

διιιοπάται σε φrμίιι δίνογτιις ένο φωτό,•ιο κ ω ένα ον ο­

γιιι μεταβολή του

κρούον άτομο {δf:υτcρι] καιάοτοσηl. Γρόψ•r ιη σχετικι­

εκrιεμnόμενης α κ ι ίνας, με ιιηοιέλεσμcι τι] μεταβολή ιής

nτική εξίσωση γιιι ιι]ν ενfργεια Ιιf C\•ός r·κπt.μnόμενου

ιιιχύτι)tcις.

ο)

φωtονίοιι ως οuνάρτηοη ιης ΔΕ κcιι ιι)ς αρχικιjς μάζας φcμίος m., ιου ο ιό μου. ιι. Υπολογίστε αριΟμηιικn τη σχcτικη μειιιrόπιοη της

.

( Δf ) OUX\fOtηtας 7 r~

.

1

:-.< rί,·αι

yια τη\ Πtριιιιωση των ΙΟΥΤω\·

ΔίνοΥται:

R=

c = 3 · 10' ιn s.

η ενέργεια ηρεμίας ιου

He': nι.ι-' = 4 χ 938 MeV.

μ ης

n

·

του οτομου:

c.

bιιιΟ..

R όπου

:

,,α Ο~ 00 < π :l.

β Ι Να βρείτ;, μιο σχέσι] ποu νcι δίνει τη μικρόιrρη rιμή

πlινω χωρίς να αναιιι\(ιιιιι αιιό rην επιφάνειcι τικ Οό.\αα­

η τcιχύιητα του φωιός:

-•ο

κυκ.\ικο tόξο με ακιίΥα

της γωνίας θ,,, σε υυνιιριηοη με το z,, c, κcιι Ιι. γΗι ακτίνα ηοv rκιιέμπετω αrιό ιι)ν πηγή και κcιτευθίινrιαι rιρος ια

τερος οπό τη μετοιόιιιοη που βρήκαιι· οιο μερος tβι.

·

η et\•ιίοτοιχι) γ~ινία ιής

δείξειε όrι η τροχιά ιης οκιίνος σε διlιγραμμα

Ηι-..

Ο αριθμός που θα βρrί.ε πρέπει να ciνn ι ιιολυ μικρό­

η ενεργειο rης ο w

.'lo

z μι·τιιβολλcιαι

Ε"= -

και η σταθερά ιιιιγκόσμιας έλξι)ς: G = 6.7

σος.

1 6 :ι.

n' z• e ν .

10 " Nm 2Kg· '.

γι Το Σχήμcι 1β δειχΥCΙ τη θέση t\'1>ς δο'κιη τι που

ri -

z = Ο, χ " Χ. Κο βρείιι' μια b. Χ, c., που να δίνει τις ιιιθα­

\'01 τοποΟειημένος στη Οtοη

οχi·οη σε ουνόριηοη με το νές τιμές ιης γωνίας

ώστε η οκ τίνα που ξrκινά από

Q.,

την πηyιiSναψwνι:ι οιιιδtκτη Η. Υποθέσιr ότι το z, και Πρόβλημα2

z, rί,·ω αρκετά μεγάλο ώσtε

Διάδοση rοιι ήχου.

οιφ- rnιφάνεια ή στο βιιθο rης θάλαοσος.

ι ι Ι<lλΊίτητα διαδοο~ ιοu ιίχου οιον ωκεο,·ό μειnβάλ ­

να αnοφεύγειω η ονόκλοοη

δΙ Υιιο.\ογίοτε ιις ιfοσερις μικρότερεc; τιμtς της yω­

,\cιαι με ισ βοθος. ιη θερμοκρασία και τη'' αλμυρόrηιο

γίος θ.. για διαθλωμε,•εc; α κ τι\·ες από το

ΙιJuκνόrηται. Το Σχήμα lα δεiχνrι ιη μειαβολή της

να φτα,·ου,· στο Η, γιο

το χύτη ως c του ηχου χιστη ταχύτητα είνιιι

or οuνόρrφη με το βάθος z. Η ελά ­ c0 στο μέσο ιης αnόστασι]ς επιφά ­

νc ιcις-βυθού ιου ωκεανοίι. θέτουμε

z=

από το

z ~ -z, οιο βυθό.

z = Ο δίνεrαι όιι

z =Ο δί,τιαι

ότι

1."

= c 0 + bz

c • c. - bz.

. . οτι . r ια κα.θε ηεριrιrωοη ιιιχuιΊ

και για κάτω απο το

ldcl .

η αιιόλυτη τιμή ιης κλίσι]ς της ταχutητας σε οuνάρτφι] μι· το βάθος· θcωρι:ίται όιι το

b εί,·ω

εΙ Να βρείτε μια σχέση για το χρόνο που χρειόζειαι ο ήχος γιιι να πάει από ιο

S στο

oro μrρος lyl.

συνθήκες ιοu μέρους ιδt. r·Ινοι βοη()ψηιή:

d.< f ιμ.\

11 ωιόλ()uθη

-•

ο

ο

s

που nι'ιει ωrεuθεiος από ιο

Σχήμα 1α

1/ για τις

σχεση μιιορrί ''ο

ι nιχρ (χ) -. 2

S στο

Η κcιιο μηκος ι ης

z =Ο.

Ποια από τις δύ() ιικιιης Οα φιαοει πρ~Ηι]. ε κείνη για την

-- - - ·χ

Η

οιισίιι Ο,, = π/2 ή η ακτίνα με ιη μικρότερη από ιις ιιμές ιης

Q0 όnι,-.ς υnολογiστι]Κt σ ω μέρος \δ):

Πρόβλημα

2 .. - -

S στ.ο

Υηο.\οyίστε το χρόνο ιιου αnαιτείται για ιην οκτiΥο

θ

θο

Υιιολογισιε ιο χρό­

νο ιιου απαιτείται yια νο φιαοει αιιό ιο

οιαθrρό.

• ••

Η ακολουθώγτaς tην τρο­

χιά ιιοιι συ,·δUιοι μr ιη μικρότερη OJJό τις τιμες της yω ­

\'iος θ, που βρέθηκα'·

b = dz . οπου b ειναι .

"' ι 0.000 ιn

Jι = 0,02000 s· •

z = z. οιην

Για ι ην rιερίnιωοη nόνω

οι οποίες

c, =1.500 m / s

Ο όταν η τα­

χύτητα του ήχου έχrι ι ην ελάχιστι] ιιμή. rnιφάνcια και

Χ

S και

3

Κυ.IΙΙ•δρική πημnοοvρα ιιι Μια σημοδουρα cιιιοιrλειιαι nnό t\'aν ομογr,•η στε­

Σχήμα 1β

f'rο κιιλιγδρο nκιι\'fις βοσης ο. μήκους

t. καταοκειιnομέ­

d.

και μιο ομογε,-ή

,. .,

ιιnό cλοφρυ u.\ικσ nυκ,·ότηιας

ριιβδο στερεωμέ\·ι] ο ιο rξωιrρικό μέρος του κιιλίΥδpου.

OUANTUM Ι ΓΕΓΟΝΟΤΑ

57


I

~ ~~~------------~~~--------------------------------------------------------------------------•

α

-----

κάθετη στον ά~ονα του κ υ ·

... ::...

μήκους 11 μάζα της ράβδου είναι ίση με τη μάζα του κu ·

Ασκηση

λίνδρου, το μήκος της είνω

Όταν ένα ανιικείμενο rιέφτει μέσο οε ένα υγρό, αrιο ­

ίσο με τη δΙάμετρο του κυ -

κτά τελικ(ι μιn σταθεριi ταχύτιιτα, η οποία λέγεται ορική

λίνδρου κω η ηυκνότητό tης

ταχίιτηtα. Σκοπός αυτού- του πειράματος είναι γα μετρή ·

μεγαλίιτερΙ} από η1ν πυκνό­

σει τις ορικές ταχύτητες ονtικειμένωv που πέφτουν μέσα

τητα του θαλασσινού νερού.

σε γλυκι:ρίνη. Σε σφαίρα ακτίνας

λίνδρου καΙ στο μέσο ωυ

t.

α

Η σημαδούρο επιπλέει στο

πειραματικό( κύΚλος 1

Ορικιί ταχύιηια σε nαχύρcυστο υγρό.

r. που

κινείται με τ.ιιχύτητ.α

v μέοα

νερό που έχεΙ πυκνότητα ρ. Στη θέσι1 ισορροπiας βρείτε

σε rνα παχύρρειιο το ιιγρό. ασκείται δύναμΙ) η οποία δi­

μια σχέση που να συνδέει τη γωνία φ με το λόγο d!ρ. Ο

νεται από τον τiιιιο F = 6πψv. Το η είναι ένα χαρακτφι ­ στικό του υγρού που λέγειαι συντελεστής ιξώδους. Στο

ι)γκικ; ιηι; ι>άβδου θr.ωρεiιω αμεληcέοι;. β) Εζωιίας κιίJΙοιος δΙαιοραχί)ς, Ι} σημαδούρα ωθείται καωκόρυφα, κατά ένα μΙ· νά μια ταλάνtωσι], πόΥω ­

απ· ό,τι οι οφαίρεςl. II διάμετρος κάθε κυλίνδρου είναι ίση μι: το μήκος ι.οu κω Οο υποθέσουμε ότι η δύνιιμη ψ;ι­

κότω. γύρω από τη θέσ η

δους σε ένnγ ιέτοιο κύλινδρο είναι iδω με τη δύνο μη

ΙΟορροnίιις. Υπολογίστε τη

ιξώδους σε μια σφαίρα με την ίδια διάμετρο.

κρό δΙάστημα 2. Έτσι ξεκι­ 2αημφ

..-z

πείραμα θα μετρήσουμε ιην ορικι} ταχύτητα μεταλλ ικών κυλίνδρων \οι κίιλινδροι κατασκευάζονται mo εύκολο

2r.

συχνότητα αυcής ιης ταλά ­

(l)

ντωσης σε σχέση με τψ α · και -τ.η γωνία φ, όποv g η

όπου Κ = 1 και ιJΙ = 1 γΙα μία σφαίρα. Πpοκαταpκηκά: Υπολογισμός της οpικrjς r{lχι1rηαις.

εωτόχuvοη της βαρύτητας.

Εάν ρ Ι} πυκνότ.ηtα ιου κυλίνδρου και ρ' εί"αι η rιυ­

Να λάβετε υπόψη σας ότι η

κ;-ότητα του υγρού, δcίξtε ότι Ι} ορική ταχύτητα v 1. δίνε·

κτίνα α. την επιτάχυνση

g

ε11ίδριιση ιης κίνησης του γερού ο tη δυναμΙκή ι ης ση·

tοι ιιrιό ιΟΧ' ιύιιο:

μαδούρας είναΙ ιέtοΙCι τ;)Qιε να αvξίινετω η μάζα n}ς κατά

(2)

το ένα ιρίτο. Υ11οθέιnε ότΙ η γωνία φ δε" είνα:ι μικρή. γι Αν κατά προσέγγΙση ο κύλινδρος οιρέφειω γύρω από τον οριζόντιο κενφικό

+

-- +--. --

- ·-

G

ταλάντο.>(Jηι; σε σχέση με το

υπολογίσετε την τιμή του εκθέτη ΠΙ και την ιιμή tης π υ·

κω ι ην ιικιίνα α. Αγνοή­

..

Συσκευές πeιpομαιικής διάιαξιις και υλικά

την τριβή με το νερό. Ν γω ­

Βαθμολογημένο<; κυλινδρικός σωλήνας των 1.000

νία αnόκλιοης Θ θεωρείιι11

γεμάτος yλυκeρίν ιJ. Δοχείο με γλυκερίνη για το γέμισμα ιου βιιθμολογη-

' '"

μένου κυλίνδρου. Ηλ εκ φικό χρογόμετρο.

οης ιης ειrιιcιχυ,·σΙ)ς. τα

Κανόνας.

οποία μπορούν ''α μετρή­ σουν τη γραμμικη κιηιικό-

Τοιμnίδcι για την ελευθέρωση των μεταλλικι~ν κυλίν ­

στείλουν τις πλφοφορίες με

δpωγ πίινω ω ιό ιηv εnιφό νειο του υγρού. Κιηίιλληλο μικρό κόοκ1νο για να αφαφουνται

Τσιμπιδάκια γιιι ω κράιιwα των κυλίνδρων.

φερθεί ότι η περίοδος της γραμμικής και.ιικόρυφηι; κίνη ·

Ι<iιλ1νδροι cιλουμιvίοu διαμέτρων

οιJς εiνω περίπου 1 s και της στροφικής 1,5 s. Λπό αυτή την πληροφορία γα δείξετε όn η γωγfο φ είvω περίnοιι

και οnό αυτό "" υπολογίσετε την ακιίνα

n

ι ης ΟΙ) ·

μαδούρος και την ολική της μάζα, δεδομένου ότι το μ ή· κος του κυλίνδρου ισούται με α.

t

01

κύ­

λ"•δροι από τη βάση του σωλήνα.

ασύρματο στην ακτή. Σε σχετικά ιiρεμα γερά έχει ανα •

90°.

ml

t. ιιιιiοθηιn όργιινn μέ φη­

ρυφη κiγηση και τη στροφι •

κή κίνφη, και μπορούν

Κ\•ότητας της γλυκερίνης.

στε σε αυτή τηγ περίπτωση

ιιολ iι μικρί]. δ} Η σημαδούρα περιέχεΙ

2Mg

κόrιοιο σταθερά, και ιιιJΌλογίστε έναν τύπο

συχνότητα ιης οιροψ1κής

g

Μ

για

c είνα ι το c.

Πείραμα Χρηοιμοιιοιήοτε τον εξοπλισμό rιου οας δί,•εται για να

άξονά τοu, rιροοδιορίστε τη

2Mg

όπου

5.00

10,00 mm, 8,00 mm,

mιη, 4.00ηΙΙη. Έξι από κάθε διάμετρο.

Έξι κύλ11·δροι τιτανίου διαμέτρου

4,00

mω.

Εξι κύλΙνδροι ανοξείδωτου χάλυβα διαμέτρου

4,00 mιη.

· ~ξι κύλl\•δροι χαλκού διαμέτρου 4.00 mm. Ι'ριιμμικό και λογαριθμικό χιφτί μιλιμrτρέ.

Δiνονια1:

ρ ;;; 1.000 Kg · ιn--' κω g ;;; 9,8 m . s·2•

Άσκηση2

Περίθλαση και σκέδαση φωτεινής δέσμης /ascι·. Ο σκοπός αυτού του πειράματος είναι νιι eπιδεJξει και ;-α rιροσδιορiοει ποσοτικά σε κάποιο βαθμό rην ανάκλα · <ιη. την ιιερίθλοση κιιι tι] σκέδαση του φωτός, με ι η χρή •

58

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995


ση ορατής ακυνοβολιας αuό μιιι πηγή !δίοδο

lascr). ·ε,•ας

βειε !ις παρατηρήσεις και ιους υnολοyιομούς του Μt­

μεταλλικός κανό,·ας χρηοιμοποιείται ως φράγμα περίθλα­

σης. Ενα διαφανές nλαστικο δοχειο. που nεριtχει ηρό η

ρους 2. αροοθέτοηας 5Ο ml ''ερό στο nλασυκό δοχειο. 1'\α λάβετε υπόψη όη ο δεικτης διαΟλασης ιου ηραυ είναι

γάλα διαλυμένο οε ,.ερό. χρηοιμοποιεiται για

1.33.

ro\• ιιροο­

διορισμό ιων φωνομένω'' ανίικλασης και σκέδοοης. !Ιfέρος

Μέρος

i.

1

·rοιιοθι:τήστε τον μεταλλ ικό κανόνα μήκους

or ιtιοια γωνία ως ιφος την nροσηίηιοuοα

150 ιι11n δέσμη laser

ώιηε η δέσμη να φωιί<eι μερικές χαραγές σ' nυtόΥ. Πα­

4

Πrιοσθέστε

ιφοκ<tλεί

0.5 ml 112 οιαyό\·ες) γάλα cιο υλικό που τη οκέ&ισηl οτα 50 m1 νερού που πι:ρι~χονται

ο ω πλαστικό δοχείο κω ιινοκιιιέψτε καλό. Μετρι'ισtc με

ρατηρήοιε tO\' ιιριθμό ιων φι.>τεινώ,· κροοσώ'· nου nρα ­

όοο το δυνατόν μεγαλύ ιtpη (lκρίβειιι τη συνολική γωνία υπό ιην onoί<t σκεδάζειιιι η δι'ομη laser. και τη διάμεφσ

κολούηαι από το φαJΥόμενο της περίθλασης και οχημο­

ιοu φωτειΥού σχήματος ιιοu φαίνεται OtiJ'' αλευρά ιου

τίζον ιιιι στη λευκή οθονη. Μtιρήστε τη,· αιιόιnαση μεταξύ δύο συμμετρικων

δοχriου από τη" οnοια βγαi,•tι η δι'σμη. οημειώ,·ονιιις ότι ιιυιές οι ποσότητες οχrιίζονται μεταξύ τους. Ειιίοης,

κροοσώ,•, βρείτε tηΥ ιιιιόσtαοη ιου ενός απ' αυτούς οrιό

υιιολογίστε τη" ελάτιωοη ιης "''t{Ισης της δι'ομης που

ιον μηδενικό, κω δώστε την tό(η ι ου, ότnν η οθόνη βρί­

c>φι-ίλεηιι στη διέλευση μι'οο από το διάλυμα. όιιως στις

οκcιαι σε απόοταοη 1.4 m από tO\' κανόνα. Σχεδιι\οιε τη γραφική διι\t{Ιξη της ιιcφιιμαcικής διαδικαοίος.

πpοηyούμεΥες περιπτώσεις.

iii.

ΝΑ= h{ημ(ο) ± ημ[Ρ1},

νει καθόλου φως από την απέ\•αγο rιλευρά του δοχείου.

η αnόοιαοη μcιοξύ ιων σχισμών του

ίν. Προοδιορίσττ τη σχέση μεταξύ rης γω"ίας οκέδο­ ο ης και rης συyκέηρωσης ιου γάλακτος στο δοχειο.

ro

οης, και με nς πληροφορίες που ποίρ,•ουμε ιιπό <1ς μεψή­

οcις, υπολο,~στε το μήκος κuμοιος ιης ακτl\'οβολίας

Χρηοιμοοοιήστε το αιιοιι'.\rομα κω τη σχέση:

las-

1~

το πειραματικό οφι\λμα στον υπολογισμό αυτόν.

Μέρος 2 ΤοποΟετήστ.c το άδcισ διιιφιινι'ς JΙ λιιοτι κό δοχείο που έχrιε σιο διάστημα μεταξυ του lascι· κιιι της λευκής οθό­ νης. πeρ!που οε κάθετη Οεοη ως ιφικ; ιη δέσμη

i.

επιι,·αλόβετε τη διοδικασία του (ίi) μέχρι η δι'σμη

να έχει ι''•ταση πολύ μικρή ή μη&νική, δηλαδή να μη βγαί­

φράγμιιιος,β η yωηο nrρiθλοσης και ο η γω,iα πρόοmω­

cr και

0,5 ml γάλα ιιτο δοχείο και ειιιι ­

μήκος κύμαιος ι ης

όπου Ν είΥαι η τάξη του ιφοοοου. λ

b

Πrοσθrοτε ακόμιι

νeιλiιβειε "~ μεψι'ισεις ιιοιι ζηιούνται στο ιί}.

Χρι}Οιμοποιώντας ι η οχέσι}

αΚtl\•αβολiας,

ii.

lots<'r.

llαρατηρήστε ιην ελiιιιωοιι οιην C\'ταση της δέσμης

που βyαινtι από ιο δοχείο και υnο.\ογίοrε τη" επί τοις εκαιό ημή αυτ:ής της ελατιωοης. Μερικοί δίσκοι με γ'•ω­ οιή rπi τοις εκατό ελάιιωση ιης έ'•ταοης βρίσκονται μιιροοιό σας για να βοηθήσουν α υιό τον υπολογισμό.

ι.('-ιu

= τ,~ι ·1•.

όrιου

1,

εί,·ω ΙJ αρχ>κή t\'Lnoη ιι}ς δι'σμης,

Τ

η rντιιση της εξcρχόμr,·ιJ<: δiομης,

z

ιο εσωτερικό μήκος ιου δοχείου, ο ουνιελεοτης εξαο~'·ηοης, που ισούται με ιο γι-

μ

Υόμεγο μιας σταΟcρ(ις εrιi τη συyκέντρωση ιου υλικού που nροκαλεί ιη σκέδαση. και

Τ,.., ο ουνεελεστής διάδοοης ιια το yάλα.

θυμηΟείιε ότι το ανθρώ11η•ο μcίιι ανιιδρό λογαριθμικό στην ένιιιοη του φωιός. Αυιή η ελάττωση της έηασης

οθένηοι}<; μ που nροκολι:ί ιη σκέδαση για υλικό συγκέ­

ιιροκcιλείmι πρωταρχικ(ι οnό τις απώλειες λόγω αν{ικλcι­

νφωοης lO~f.

οιις ιι1ς δέσμης στα τοιχι~μοιο ιου δοχείου. nου σε αυτή

Συιrκευές

την ι1εpίι1tωοη είναι ιeσοεριι. Ο συντελεο rής ανάκλασης

1Ιηγη Jaser.

R για

Μεταλλικός κανόνας.

κόθι:τη πρόσnτωοη οε κάθε τοίχωμα ο οποίος είναι

γι<t \'ιι επη;ύχετε τον υιιc>λc>γιομό του συνιελεοτή εξα­

ο λόγος της έντασης ιης Ο\'ακλώμrγης προς τηγ ένταση

Ιlλασοκό δοχείο που περιέχει νερό και γάλα.

ι ης προοπίητουοας δi,·εται από τη οχrση

Μέτρο.

R=

Λευκή χάρnΥη οθόνη.

'

(Πι ) n1

-

n1

ΑποκλίνωΥ φακός.

+n2

Συγκλίνω\' φακός

όπου n 1 και n1 οι δείκτες διάΟλnοης ηριΥ από και μει(ι το ιοίχωμο ανιίοιοιχο. Ο ονιίοιοιχος συΥτελεστιiς διiιδο ­

Φίλτρα.

οι]C; 'Γ. ιιν υnοθέοοuμ~ ότι έχουμε μηδενική uπορρόφιιοιJ

Δοχείο κω οιιιγονόμετρο.

αιιό το δοχείο, δίΥειαι από τη σχέση Τ=

Λ ναδευτήρας.

ii.

I - R.

ΥποΟέιονιας ότι ο δείκτης διάθλασης του υλικού

ιου δοχείου είγιιι

1.59

Μοιροy\·ωμόνιο.

\IJ

Γραμμικό και ημιλοιtιριθμικό xoρri μιλιμετρέ.

και αγνοών ως ιο φαινόμενο ιης

πολλαπλής α\•άκλnοης και συμβολης. υπολογίστε ιο ου ­ \'Uλεοιή διαδοοης της δέσμης όιnν περ,·ο μέσα αοό ιο

ΑΠΑ.VΤΗΣΕ1Σ l'fJOJEIΞEfΣ l.1Ή Σε. Ι

KAJ

ι\ ΥΣΕJΣ

66

ciδειο δοχείο. ΣυγκpiΥετε αυτό ιο αποτέλεσμα μr ιη'' εκτιμηοη που κά,·οtr στο

Μέρος

til.

3

Χωρίς να μετιικινιiοετε το ιιλαο ιικi> δοχrιο, εrι<Ινο .\ίι-

Ο /Ιιιιιλος Ιι,,ιάτ,·ου ri,·αι tnι.κou~ καΟηyηιηςφucnκης (lto Πovt· rΙΙ<Η•DΗQΛΟιtνωΥ Το σχημιιιο cοuιιρ(~υ κtιι.οσκrύnσrοφοιιιtιι-,ς ιου φυοικου ιμημ<ιιος

tou llO\'fiiiO ιι1μιο~, Α0ηγ(~\' f'lά\''Υης Κιιιιηηιιις.

OUANTUM I ΓΕΓΟΝΟΤΑ

59


ΤΟ

QUANTUM

ΔΙΑΒΑΖΕΙ Η αγωνία του δασΚάλου

με ορκετrς δοοειc; πρωιοιυιιίιις. ολ.\ιι κυρίως μc nρκrrή

Robcrι Η.

Ο March θέλει ι·ο διδiιξtι φυο•κη. και αυτό ακριβώς κά­ νrι. Ο αγογνώοτης δε" i·ίι·ω γι' ιιυrό" έγιις rιοιηιής· •·iνnι

Murch,

•δυι-αμη ι·ο διδiιξει •. Γιnτι αυτό. κυριως. Οι'.\cι \'Ο κάνει.

ΦJ'!:ΙΚΗ ΠΑ ΓIΟΠΠΕΣ

\αγγλικός τίτλος: Plι,ι•sics

for PQ(•t.s. 1970,1978.19921

Μετάφρaοη: ΚιοJ\'οταγτίι•α Μεργιά

fγ ος κοινός ·διδιισκόμrνος•, κnι η αγωγίο του Μarch­

εκδόσεις Δίηυ.\ος, Αθι)γο

συγγροφέο είναι η αγο)\·fιι ι·νός δοοκήλου, το rάν, δη ­

199ii

λιιδή, μπόρεσε ι•ιι δ~•οrι οιu" ιιγογγώσ ιη-μιιθηιή "α κιιτολάβει. Το •νιι γiι'Ι'ι κιιτιινοητός" είναι ιο μεγίιλο

του Α νδρέιι I. Κησσί:τα

στοίχημα που έχει βiιλrι μι· tον ι·αυτό ιου. Και δrν το

Ο ιί ιλος ερεθιστικός, μοιρ(ιζει υποσχέσεις. Κ(ιιι cιou cιπrυΟuνrιοι σε ποιητές θα μnορούσε τοuλαχιοιον

rnf-

κρύβει. l'<lιλάει για conνpntional physics cours~s. εηιμέ­ \'tι στο undeι·standing. Κω βrβnιn δrν αποφεύγει ιελι­

ι·α. τΟ\' - ιιιχόηα· αναyι·ώοιη. \'Ο σε ταξιδέψει. Γιαιι η

κά το" πειρασμό \'Ο μος βιiλrι κιιι οσκηοεις.

ιιοίηοη δι-ι· rίγοι μόι·οι· εκείνη που κατοyραφ«:ται με λt­

του δασκάλου διοφιιίηιοι και μέσο από τη yροφή του.

ξεις Oto έρyο τωι• μεγίιλων δημιουργωι·· rιι·ηι και rκtί­

Δε1· ι'χει ιο χιούμορ του ΗΡ"·iιι ουu τη λοyοιεχηκη

\'η που υπορχrι διάχυτη μέσα στο\' ιοιό ιής κοΟημcρι ­

σιόφιι ιου

ι·οrητας, η ά.\λη cκrινη ποίηση 11011. σα1• κnιnφ«:ρουμr ι•ιι

κετά κο.\ού δασκάλου. Κιιι για ι η διδακτικη του ορακτι ­

τηιο οφουγκ.ριιοιουμε. Ι'ιωθουμε ι·α οι•οφλι'γtιοι Ι] .\ιιν­

κή θα μπορούσε ι·ο έχει κογrις ιις rιιιμrρουc; αηιρρή­

Οόγουοιι rπιθυμια μας γιιι υπερβάσεις και

οrις του· οριομfι·rς, .\όyου χάριν. C\'\'Οιες

11 αΥίιγκη μιις

R('(',·es.

11

οy~ινίο

rχει ωσι<>σο ιις ι κοι•όιηrες εγός αρ ­

όιιως ιο έργο

\'Ο διιιοχίσουμr τα σύνορο ιης συμβοιικόιηιnς, φιrρου­ γίζοΥιος ιιρος ιiλλες ιιφιοχές. Αυτή t) ποiιιοη -διιγιιτό ­

μιας δύvαμι}ς ιις παρουσιάζει ετοιμοποpάδοιr.ς χωρίς καμία οι•ιιφορά ο ιις διιιδικιιοιrς οικοΟόμηοής ιους.

ΙΙJω ι·νιιnι\ρχει σε όλους μιις. F:iΥαι λοιπόν φυσικό. roiι.

Αντικρίζον rιιςόμως το ΙΎΧtiριwο συνολικό ιψrπει

ο LΙΙΧώ'' <ιΙ·αγΙ·ώστης, ιινtικρίζοι•ιης

f.vn

βιβλίο μr τον

""

πιιριιδεχωύμε όιι •τα καταφέργει .. . Χρ ηοιμοnοι ώηας

.

.

.

.

. ••l μ ογ ι κη' σκουnιι•. •Ο nριγκιπος εχει •to στιwόvι κιιι ιο ιιιριiδι •, μας ξεγαγεi

ιίιλο Φυοικιί γιιι ιιοιητtς. νcι ελπίζεις οε ιι ιήυι·ις και σε

φριιοεις οηι.χ;

κοτ<ιδύσεις, κcιι rν πιiση περιπτώσει σε διαδρομές •·όχι

ιρrλή ιδέα •.

φιζόγtιες •.

•<πάρκο• της φυσικής cιrιό ιον !Ίιλιλιιιο ώς ι οΙ' Φnρnνtέυ κcιι οnό τον Αλβι'ριο Αϊι·ο ιiιιι· ως την κβο\'tική χρωμο ­

μια

οτο

Ας ιο πούμr όμως εξαρχής και με το ό"ομα του. Ο RoiΚ'rt March δε γ μnορεί ι-α σε ταξιδέψει. Έχeι ιηι· ι κο­

δυνnμική. Η ξενάγηοί) του είνοι •οpιζόΙ'tιο•. Όταν εm ­

γόιηια ι-α διαγθί<ει ιιι yριιπτα ιου με μη τετριμμέΙ·ες

χrιρεί γα φιλοσοφήσει. οι ειιιδόοrις ιου είγαι μέιριες. Σιο

φροοeις. αλλά ιο rγχrιρήμοτά του εξαη.\ο(ιηαι σε ορι­

ΝιειepμΙΙ·ισμός ή χάος•. λόγου χοpΙΙ', γράφ«:ι γιο πράγ-

ζόηιες περιηγήσεις. χωρίς η γραφή ιου

''" yί,·rιnι ιιυιό

nου θα .\ι'γαμε ποιηιική. Το · κρίνω• εμrιtριι'χrι το •σuyκρίνω•. ιο

ματα εmωμέγο πλι'οΙ· από αρκcτους.

p(at('.

11

υπόθrοη ιου

La-

ο ράλος της \'tυιώΙ·ειος φιιοικ ης και η πράκ.\ηοη

. διιικρίνω•

ιυφι;η·α από το φτερούγισμα μιnς πrταλουδας εil'ot

α.\λ(ι και το ·rnικpίΙ'ι~·. εφόσοι· χρrιnα τε ι. Ειδικά δε το ··οuyκρi,•ω·> nιιaιιrί rιπό εμtνα το\• οtιyκριγονtα ουγκε·

ιιρiιγμιη<~ που τα έχουμε ξο,•ακούσει πολλι'ς φορfς. Και δrν θιι είχαμε, ίοως, ιινιiρρηοη να ξαγοδιοβόοοιιμε yι'

ιφιμι'ι•ες αγαφορές, ι'χει αι•άγκη από ομοειδείς μογι'ιδrς

ιιιιτιι από έναν συγγραφfιι που Οcι διέΟcτc ιο τ.ιιλcνιο \'Ο

μrφήσεως. Και μοναδες μετρήσεως υπιιρχουΥ. Υπάρχrι ο Clιarl~s C'oul~toη Gillίspίe, ΙΙ ιι(ιρχει σ Ι!ιιbeι·ι Rrr"t'R. υπάρχει ο Αι·thιιr Kocst!cι·. Υπίφχει. οnωοδι'ιιιοtε·. κοι ο

μcις τα παρουσιάσει μ' rνιη• δικό ι ου ξcχωρl()ιι\ ιρόηο.

Ι'ιώρyος Ι 'ριιμμιηικ(ικ ι]ς. Σε σχέσιι. λοιπόν. με ιιυιούς. ο

δ~ιοrι έvιι βιβλίο που μrιορcf νιι μι1 μοι(ιζι· ι με τοι• τiτλο

RobPΙ'I Mnι·ch είι·οι, κιιιι\ τη γι-6Jμι] μου. rvoς όχι ιδιαί ­

ιοιι. οΥήκει. ωστόσο. στο •βιβλία ιιοιι διιιβιιζογτοι•· ένα

τερα χ<φιομιιτικός συγγροφέας.

''"

βιβλίο nοιι οιιοοιιφψί(ει σιwιιοιrς. πληροφορεί κιιι, παρά τηγ • οριζό\'Ιιιι• πφιήyηοη που σου rιροnφ<'ρrι, σου αΥοί ­

τον κρΙΙ·ουμε έτσι, εφόσο'· χρησιμοποιεί ιόοο αιιροκ(ι.\υ­

yει ιην ορεξη ~xrτr ι-α προχ~)j)ηοεις μόγος 0011 σr κιiποιες

nτο

ποροπι'ρο εμβοθύ\·σεις.

Εlμοοιt, ίσως, αυστηροί. ΕiΥαι όμως ονοrιόφeυκιu

"1" ιδι-ιι του τιτλου σοι· στοιχείο rι·τυιιωοιιιομου.

μοιρα(ο\'Ιιις υποσχι'αcις yια τις οποίες ξέρει κα.\α ο τι &ι· ηροκrιιαι ι·α πραγμαιοποιηθουι·. Και rξυιιακουετοι ότι σε καμιιι πιριπιωση δεν ιιnοοκοnεί στο .,·ιι u,·ηδειl,ει rηι· ιιοίηοη που βρίσκεται κρυμμtι·η μέσο σιη φυοικη•. οπως

J<(ιτι τέτοιο όμως δει· σuμβcιίι•ει εδώ.

Πέρcι ω ι ' όλιι ιιυτά. ο Ηο!κ-ι·ι Μιιι·ch κ α ιcιφέργει να μας

11

ελληνική μrτcιφραση. στο ΟύΙ·οΜ ιης. αξιοηρεnης

κιιι μr rμφιιι·η το ιχ,·η του

nροσιιοθο>•. παρουσιάζει

ωσrόοο οδιJΙ·αμ•ες σr αρκrια οημrίο. Ποροκολουθαυμε, κατά τφ· rcλεuιιιια δrκαετiο. μια

ιοu.\όχιστον ισχυρίζειιιι ο επιμr.\ηιής οιn οπισθόφυλλο tι]ς ε.\λ φ•ικής tκδοοης.

rι.\r)θώριι εκδόσεωι· με μειαφρόσεrς βιβλίιοl\' που εmδιώ­

Πιιr' όλο ιιυτό, ιο βιβλιο του )1aι·ch ιιοροιιιιιη(ει ει•­

\'1\'tlιιt ruρύτερο κοινό. Πίσω αnό τις ιιrριοοότεpές τους

διοφ~'ιιο\', Το Φυοικιj ποιηrές δε" ι·ί\'(tι .. Φυοικιi γιο ιιοιφι·ς•. ι·ίνnι •Φιrοική γιο τοι• κοη·ό νου•. 'Εγα βιβλίο

μnορεf κιιγείς Υα διακρίνει αvθρώιιους 11011 οίyουρα μό­

I''"

60

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ

ΔΕΚΕΜΒΡ\ΟΣ 1995

κουν να μυήσου" οια μvοιικό ιης rιΙtοιήμης ι'νο όσον

χθησαν. Σε ιιρκειές ωοιόοο nι:ριιιrι:κιr ις η ποσότητα μό -


χΟου δε'· καθόρισε θειικό το τελι κό ιιποτέλεσμο. Ί'έτοιου είδους rιροσnάθειες ιωω τού,. κίιtι περισσότερο ιιηό ι ο

~ε πpοηγούμεγο κριτικό σημείωμά μας στο Qιιaιιtιιιιι (Μόιοc;/Τούνιος

•νιι 1\οπιάσεις •. Α παιτούν -ί) μάλλον προαπαιτούν

οtι) yλ<;,οοα μας rου tιyγλικοό όpο11 dίι·cction πρέπει "ο

οπό •ο μετοφρασtΙi \και tO\' επιμελη·τιi\ νιι γ'•ωρί(ει σε

eίγω το ουσιαστικό •Κατεύθυνσι)•. ΊΌ διαφορετικό ΟΙ)·

βiιθος Ιλ'Ι ονιικι:ίμενο της επισtΙiμης κω να ιονεi•αι με

μασιακό περιεχόμενο του αγγλικού

άνεση στα μονοιιι'ιrια της ξένης -συνι\Οως ογγλικιiς γλώοοιις. Υrιάpχει ωστόσο και ένα τρίτο προιιnαιτοlιμε­

γολ.\ικό dίι·ection έχει ήδη πpοκολέσει

νο ι.ο οιιοίο συχνό παραβλέπεται: Ι) ευχέρεια σtι)ν ελ.\η·

φυσικιίς στη θεσμοθετημένι) εκπαίδευσt). δοθέν ως όrι

νική γλώοο(ι κnι η αξιοποίηση των εκφραστικών δυνα·

αρκετές από τις "παλαιότερες• σημασίες της ελληνικίις

τ.οτι]tωΥ tης.

επιστημονικί)ς ορολογίας κατάγονται παραδοσιακό αnό

1994},

θεί ''n ιιροκnλcf

είχαμε ειιιοημόνει όιι η αιιόδοοη

direction

από το

και εξακολοιι ·

nυγχύοεις κn ιι\ ι η διδαοκnλfn ιης

Οι με ιιιψραοrικές αδυναμίες τ.ου Φυσική για ποιητές

τη γαλλική. Ο μεταφραστί-ις φοίνετοι να το αγνοεί αυτό

σχεriζονιω με fiu ιές οκριβώς τις προϋποθέσεις. Το πpάγ · μο«ι , λόγου χάριν, δυσκολεύουν όtα\', γρόψονιcις

και επιμένει να αποδίδει το αγγλικό diι·cctίon του Mnι·ch

ελλην ι κά, προσπαθούμε νcι στεγάσουμε Λόγιες διατυοώ ·

ω'ιίοτοιχο γαλλικό όρο. Το αποτέλεσμα είναι ,.α διισκο·

οεις μέσcι σε δομές δημοτ.ικής που δεΥ έχουν χρησιμο · ποιηθεί αοτέ οrιό tι)ν κοθομιλουμένι). Ένα καλό παρά.

λεύε ιαι ο αναγγ&>ο ιης μέχρις ότου αγιιληφθεί όιι η

δειγμιι ε/ναι η χρήση ενός δημοτικίζοηος nαρατοτικού

•t.ι)ς ψορcις•, αλλι'ι και η ίδια Ι) μετάφραση ΥΟ παγιδεύε ·

οε ριίμοω Μγ ιtις προέλευσης. Η χρήσι1 αυτή. στη συγκε • κριμένι1 μετάφραση, οδι)yεί σε διατυπώσεις του τύπου

ται οε διοτυπώσεις του τύrιου •αντίΟειες διευθύνσεις•· (σελ. 4Η οι οrιοίες εfνηι κενές γοήματος· διότι, tιις \'"ω·

"θεωρούνταν• iσε.\.

ο ιό\·, •η\'rίθειες διειιθύνοεις• δεν ιιιιι'ιρχοιιν, όιιως δε'·

19\. •αποιτούΥτα,·· \σελ. 20> i). ιικό·

μη χειρότερα, •το φως κινούν ω\'•

1!1 ιοελ. 91 1οι οποίες.

κατά rη γνι;ψ ιJ μου, τραυμο τίζου" τη γλωσσική μουσι ­

με ιο οuοιοσυκό «διεύθuνοη•, οον γα εrιρόκε.ιrο για ων

•διεύθυνση• του κειμένοιι εμπεριέχει κω cη σημασία

υπάρχουν και ·δρόμοι διπλιiς διευθύνσεως". Τα δύο μεγάλα έργο του Γαλιλαίου εί,·ω το Dίalogo

κόιιμιι ιου κειμέγου. llρόκι·ιιοι γ11ι κακές εnιλογέc; κοι όχι για οταλόΥτευtΙ) συ,•έπεια του μεταφραστή σε δομές

sιψι·a ί ιlue ma.>Sίmi sisteπιί del nιοπdο (Φλωpεντία

δημοτικής. δεδομένου ότι σε όλλες περιnτώοεις εnJ,\έγο ­

dιιe ΙΙΟΙ'C scίeιιze ιΛέυ νιεν

ν~αι λόγιeς διητυπώοεις όπως. γιrι πορόδειγμα. ιο •·ηρο· σέφερε• της σελίδας 19.

οου !Diιι)ogol χρησιμοποιούμε

δική μας λέξη ·Διι\λογο<;•. Γιιι το DL~corsi ιου άλλου έρ·

Οταν ο αΥογνώσtης αΥtιμετωηίζει διιιιιηιώοεις όιιως

γου θιι μιιορσύοημε ίοως να χρησιμοποιού με ιον όιrο

και ιο Dίscoι-sί

e

dίmostrazίoπί malematίche

1838).

18321 ίntorno a

Για τον ·τίιλο ωυ rιρώ·

όrιως είναι φυσικό

ιη

το •ιιρόιει να ν ότι οι κ ' νήσεις• \σελ. ι 9 ι ), υηοψιαζετω ότι

·Κουβέ,•τε.ς•. Έχει ωστόσο επικροτήσει και για το

με αυτόν ιον ιιαρόξενο ιρόπο εχει α ποδοθεί το αγγλικό

corsί ο όpος ·•Διό.\ογοι•. Υπέρ αυτής της επιλογής συνη­

sιιggested 1/ιat 1./ιe ιnοtίοπs, ενδεχομένως ενοχλεί ιιιι

γνωρίζονΊ:nς όιι το ρήμα «ιιροιι:ίΥω• οιη γλ~>σσα μας

γορεί κη ι η ενοχλητικά λαϊκή καταγωγή της λέξrις ·Κο υ· βέντες• ολλά και το γεγονός ότι στη μονοδικιί μετάφραση

συντόσσετcιι με •\'α" κcιι όχι με •ό"·· αλλι'ι είναι βέβαιος

που υ πάρχει στην αγγλική γλώσσα (ΗeπΙ')' Cι·e'v κοι

ότι κατανοεί το σημαινόμενο.

A l foΙΙso

Όιαν, όμως, διαβάζει για μιο •μπάλα ηου πέφτει στο νερι)• tot:λ.

301

είνοι φυσικό να φέρει στο μυαλό ιου μια

μrιiιλιι που κινείται σων αέρα rιέψιονιnς ιιρος 1ην ειιι­

Dis ·

de Salν io. Νέα Υόρκη 1914) χρηοιμοιιοιήθηκε η λέξι) Dialogues. Ύστερα απ' όλα αυτό θεωρούμε αδόκr· μο ιο νιι ωιοδίδεrω ιο έργο του Γαλιλαίου με το llp<ιy· μαrείες και μαθηματικές αποδείξεις των δύο \•έω'' εm ·

φίινεια του νερού κcιι όχι μια μιιάλα ηοιι βρίοκετοι μtσα στο νερό και βυθίζεται. όrιως ιιιιριβι;ις λέει ο συγγραφέας.

στο •Πραyμαrεfες•. αλλό κtιι οιrι χρήιιη της γενικής. η

Στην καθι)!Jερινι\ μcις γλώοοιι. 0'!1]\' οποία κα ι βοσf(εται

οποία οδηγεί στο απολύτως αδόκιμο · Πραγμα ιείες κω

ολόκλφο το μεταφρασrικό εγχείρημα. •πέφτω στο νερό .. σημαίνει "πέφτω ο ιο νερό•, ""ί μ ω •, δι}λαδή, "έξω από το

αποδείξεις δύο επιστημών•.

νερό και ιι;,pn βουτάω•.

·ΠρόnιΙΙΟ». ΔιαψωνοιJμε. Το Paι·adigm είναι επιστημο·

Η ψράοη the planets 1νander δε'' σημαίνει. βέβωα, όιι οι αλανήτες περιστρέφονται, όηως υrιοοιηρίζι:ι η μετι'ι­

λογmός όρος τον οποίο ·έπλασε• ο

φραοη στη σελίδα

56. Το waπder θιι μπορούσε εδώ να έχει

στημώ1• tσ&λ.

Σιη σελίδιι

17). Και

49

η ένσταση δε" rξοντλείται μόνο

ω Paι·~digm οιιοδίδειοι με τη λέξη

Thomas S. Kuhn -

αντλώντος. προφονώς, από τηΥ τεράστια δεξαμενή της

αrιοδοθεί μc το «nεριπλανώντοι•. cicε πιο ηοιι]tικά με ιο

ελληγ ι κής yλώοσο<;- γιο να το,- χρησιμοποιήσει στο οερίφημο έργο του Η δομιj cωv cnισιημοΙ·ιχώι• επαvο·

•<ιληιεύουν • ή κω μe το ·•σεργιανίζουν•, οrιωοδήιιοιr·

οrιiσεωv. Σε μετάφροση ενός αποσηάσματος από το έργο

όμως όχι με το

αιηό

.. περιστρέφονται•.

Η επιλογή αυτί) δη ·

η οιιοίιι δημοοιεύιηκε στο ιεύχος

μιουργεί εξάλλου ΚΙΙ < λανθοσμέγη Ο\'Οποράστοση στον

δικού ΔεuκαΜων το 19ί7

επιμένοντα \'Ο κατανοι'Jσει α\•αγνt;ΚJτη-διδιιοκόμeνο. 1Ό Ί'he nιan.v faces of eneι-g,Y ιιου υιιάρχει οιο ιιρω­

τηοι: -γιιι το Panιdigm

.ο

16

ιου περιο·

Άρης Κουτούyκος υιοθέ­

τη λtξη ·Υπόδειγμα•. Μερικό

ιόc:uπο σημοίγει ..τα nολλίι πρόσωπο της ενέpγειας• και

)(JΙόνιιι ιιρyότερα. οιην ιιρώrη και μο,•αδική μειάφροση ολόκλ ηpου του έpγου Ι Εκδόσεις Σύγχρσ,•α θέμα τα, θεο ·

όχι •Τα πολλαπλό πρόσωnα της ενέργειας•, φρlιση που

οαλο,•ίκη

χρησιμοποιεί ο μετοφροστής στη σελίδα ϊ4. την οιιοία

ωιέδωοrl\' ιο,· όpο με rη λέξη ·Παράδειγμα•. Σε eκtενές μιiλιστο εισαγωyll\ό σημείωμα ο Βοσίλης Κ<iλψος ωσθα ·

ι:μείς ωυλάχισιον οδυνο ιού με \'Ο κατανοήσουμε nλλό και πιστεύουμε ότι προκαλεί Υοηοιοκή ούγχιΗιη otO\' <ιΥογν<ι>στη.

1981 1. οι

ΙΌ Γεωργακόπουλος και Β. Κάλφας

,·όμεΥο<;. ίσως, tη\' αΥάyκη Υα το δικαιολογήσει, υποστη· ρί(ει ιιως •όιαν έ\·ας ελληνtκίΊ<; καταγωγής όρος επισφέ •

OUANTUM I ΤΟ OUANTUM ΔΙΑΒΑΖΕΙ

61


φιι οιφ· rλληηκή ορολοyια πρέπει ,.α διατφείιαι. διόrι

τερη ήδη εκδοση 119781. και φυοικα και οι η,· φίτη 119921.

διαφορηικα. αηί να λυ,•ουμε, π~τουμε uροβλήμα· ια αnοδοοης και συyχυσης•. Α\•tξαρtητα από ιο εα\' οιιο·

α'•αφέρει οωοια ιη μο,·αδα ως 1 kg. Και κάτι για ιο οποιο εuΟυ,•εται ο ουηροφέος. Οια,·

δtχομασιε ή δεν αποδtχομοοιε ι ην άποψή του. πρcιιει

διδάσκουμε φυσική rί,·αι αιιιο,•όητο ότι οφείλουμε ,.α

ωστόσο γα μας cιιιαοχολήοει κό11οιε.

οεβόμαο ιε τη σημειολογίιι. Η ισότητα λοιπόν

Το mι•chaπical interpretation οιιοδίδeτα ι . ο ιη σελίδα 95. ως •μηχα,•ική ερμιJνclιι•. Κnι εδώ θα διαφ<.ινιiυουμε.

kg · m ls δεν ισχύει· 3 χ 8 εfναι ίσο με 24. και όχι με 24

3 χ8

=24

·

θcι συμφωνήσουμε με μεταφραστές όπως ο ευτύχr1ς

kι: ιn /s. Και φαiνειnι πως το σφάλμα δεν είναι τυχαίο διόιι <ΠΙ]\' ίδια σελίδα Ιο. 28 στο πρωτότυπο) εrιανtρχε·

Μnιισάκης, ο Βασίλης Κάλφας κω η (ωάγνα Χατζηνι·

ται γρiιφαντος ότι

κολή. οι οαοίοι αnοδίδου" το nι~hιιnical με το εΙJίθειο

τη, εκείνο οσυ φροηίζει \'Ο κάνει είναι Υα αλλάξrι ιο

·μηχανιοηκός•.

με

Ο όρος speed άλλοτε οποδίδειαι ως •μετρο ιοχυτη· ιας. \σελ.

11

251 και

ολλοιε ως

·· ιαχύτητο•

\σελ.

25, 41 1.

επιλογη ουιή εχει και ης ου,•έπειές της. Σε οριομt·

-4 12 = 2 m /s.

Όσο για ιον επψελη·

kg

kgr και ΥΟ nαρουοιάοει 3 χ 8 = 24 kgr · m s. Το οημαηικόu:ρο, ομως, κατά τη,• άποψή μου. μειο·

\•tκιημα -της καιά ια αλλα φροηισμένης αυτης έκ ­

δοσης - είναι η εξαφί!\·ιοη του

lndex,

βάσει κίιποιου

,·ες περιπτώσεις δεν γινrιοι και α νοητό τι ακριβι;>ς ουμ·

σκε11ιικου το οποίο αδυ,•<ιιούμε να συλλάβουμε. Το •Ευ •

βαίνrι ενώ σε μια συγκεκριμένη περίπτωση \σελ.

η

ρrιήριο όρ<~ν και ονομόιων• υπάρχει ως κάτι ιο ιφοφα •

διοιίιnωσrJ •δύο αντικείμενα μειίι ιην κρούση έχουν

νές και οιις φειc; εκδόσεις ιοιι βιβλίου του Mnι·ch, {1,\λό

tι}ν ίδια σχετική ιιιχύtηια ιιοu είχαν πριν από ιιιιιήν•

και σε κάθε έκοοση βιβλiοιι α υ ιήι; της κατηγορίας η οποία Οrλει να σέβεται τον εαυιό της.

i9)

οδηγεί τον αναγνώστη σε ει110 ιημονικώς λανθασμένο ουμπeριισμα. για το οποίο δεν ευθύΗται ο

Robert

νtρχομοι οιην εκτiμηαη μου για

March. Έχου'' πcράοει είκοσι. περιπου. χρό'•ια αφότου ο ου μ· βολιομος Ι

kgr ,,α ιη μοναδο μαζας εχει παψει \'α υοιψ·

χει και rχει ανιικατασταθει με ιον Ι kg. Ο μεταφροοιης. αλλά και ο επιμεληrήι;, όχι μό,•ο δείχνουy ,.α w ογνοού\'

αλλά κnι ·διορθώ\'ΟU\'• ιον ~αι·ch. ο οποίος από tιΙ δειr -

κείμενο υψηλής nοιότπταc Ι'Ν('Γ

ΚλείνοΥτας τούτο ιο ουντομο ιφιτικό σημείωμα επα­

Meda.,·ar,

ΤΑ ΟΡΙΑ τω: ΕΠ1ΣΊΉΜΗΣ

\αγγλικός dτ.\ος;

The Limιts ο( &il'nceΙ

Μετάφραση: Αθ. Τσουκαλοδοκης Εκδοοεις Τραχιιλια, Αθηνα 1992

to

σύνολο του εyχει·

ρήματος και ιο χαρακ τηρι(ω αξιοπρεπές. Η ιελικη μου εκ τιμηαη εοηρεαζειοι βfβοιο και οπό τηΥ αισθηrικά εξοι • ρειική παρουσίαση ιοu βιβλίου, βασίζεται όμως. κυρίως, στη'' οναγν~)ριση των τερόοιιων δυσκολιών 110υ αντι· μειωπίζει μιn ιέιοιοu ι·ίδοιις rφοσηόθεια.

Σιο rιρώιο. ιιου έχει τον τίτλο ..'Ενα δοκίμιο για ~φ· επιστήμη• και διαφειιαι σε διάφορες μικρές ενόιηιες, ο συγγραφέας υιοθειεi ιο αφοριοιικό ύφος του Francis Ba · cοπ και ιου

William \Vhewell.

Ο

Mcda,.·ar αναφέρειαι λέξεως sl'ience και α κο·

καταρχάς στην uροέλευοη της λούΟως διακρi,·ει ιφ· αλιιθειο οε ·m·ευματιιιή ή θρη ·

οκευηκή•, σε •ποιητική• Ι η οποία κατά τον Sir Philiρ Sίd •

ιου rιώργου Ευαyγελόηουλου Είναι ε υ τίιχημα το ότι με~οφρ(ιστηκε κcιι οtιι ελλ η ·

ιιey δε\' -συμβαδίζει• με ιην αλήθεια ιου ιστορικού ή ιου επιστήμονα> και οε «Cιιιοιημονικιi·· όσο" οφαρά τι1ν ιε· λrιι ιιιία τονίζει ότι .. yιcι ιην επιστήμη καμία αιιόδειξη κω

νικό κάποιο βιβλίο του Petcι· Mcclawar, και μ6λιστα Ι:νcι από ιο καλύτερά ιου. Α υ ιι) η φράση θα μπορούσε νu ει .

κιινένα συμπέραομn δεν χαρακτηρίζονται από αιιόλιιιη

βεβαιόιητα και οιγοΙJριά, ώστε να μην επ1δέχοηαι κn ·

,.οι η κcιταληκιική της παρουοfιισήι; του εδώ. Εrιιθυμώ

μιιι απολύτως κριτιιιή•. Ο

όμως \'Ο κεντρίσω ευθύς εξαρχής το ε\•διαφέραν του ανα·

ψ η οιι η εnιστημη με ιην εξειδικευσή της εί,·αι εξαιρeτι •

Υ''ωοτη. γι' ο υιό οπευδω να π~οω ότι κάθε φορα που δημοσιευον ιαι κείμενα αυιήι; της nοιόιητος, οχι μό,•ον

κο δυσ\'οητη yιο tO\' μέσο άνθρωπο και αρεοβεύει οιι η

Medawar απορρίπτει

ι η\' όπο ·

ο επιστήμονας, αλλά και κοθε οκεπιόμενος άνθρωιιος

επιστημονική οιαδιοδρομια δε'· απαιτει σnάνιει;, μο,•α • δικες ή αξαιρετικές ικα,·όιηιrς. α.\λά είναι ιιροοιιή σχε-

ι1 χcο δικαίωμα να χαίρειαι!

00\'

σε όλους (μονοδικιi οξα!ρεση αποτελούν οι μιιθημα •

Ιlοιος είναι όμως ο συγyριοφέος:

τικοί, που θεωροίιντω σπάνιο και ιδιαίτερα άτομα, επειδή

Ο Peteι· Mcdιnvar γεννήθηκε σιο Ρίο ιηι; Βρα<ιλίας to

διrιθέtουν έΥιι φυσικό χόριο μα ιιου ξεπεpΥά τις ειιιδό •

Σπούδασε ζωολογίιι ο ιην Οξφόρδο}, όιιου πορσκο ·

λουθησε και μαθήματα φιλοσοφίας. Διειέλεσε ενεργό

σεις, πιθανόν και ιφ· αν~!ληψη ηολλόιν οπλών ανθρώ · ιιων ). Δεν υπάρχrι εrιίυης κανένας λόγος, ώο~ε να πι ­

μέλος της ομάδος θεωρηιικήι; μελέτης ιης βιολογίας στο

ο ιtψουμε ότι οι άΥδρες υιιcριrρούΥ tω\' γυ,·αικο!\' σε

!Ια,·επιοιήμιο της Οξφόρδης. Το 1960 τιμήθηκε αnό κοι· ''ου με ιαγ σερ F~1. Bum~ι ιο βραβείο 1\όμοελ ιατρικήι;

ικα,•ότητες για παραyωγη εnισ~ημοvικού έργου. Λκολούθως, ο συγγραφέας rξειάζει τις σχέσεις εm­

\ηα τφ• ανακάλυψη ι ης rιι!κτητης α\•οοοβιολογικήι; ανο·

οιημης και κουλτούρας και απορρίπτει την κατηγορία όιι

χιις σιις μειαμοσχεύοεις ιαιώ''· Αργότερα διηύθυνε ιο Εθ,•ικό Ι νσιιιούτο Ιατρικής · ερευνος ιης Βρετcινίος.

η rmστήμη συντελcί ιοοο οτψ υποβάθμιση της ιιοιό{η­ ιος της ζωής μας όσο κω σι ην καιαοτροφή του ηεριβίιλ­

llέθανε το 1987 από εγκεφαλικό επεισόδιο. Το βιβλiο του Medawnι· απαρτi<εtαι αηό ιρίο δοκίμια.

λονιος. Υποοιηρίζει ότι δυστυχώς ο βασικός •κοινι.ι·

1!)15.

62

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

ν ικάς• ρόλος cης επ ιστήμης είνα ι vα λει tουργεi Ofi\'


•αnοδιοnομnαίος τράγος• για σφάλματα κcιι αβλεψiες

μπορεί \'Ο απανιήοει οια εξής ερωτήματα: ·•Πώς άρχισαν

των rιολιτικών. Ο Mcda,νaι· επικρίνει τηΥ αηιεπιστημο ·

όλο;--, --rωιί ΗΗάρχοuμε;*,

νική στάση των πολιτικώγ, αλλίι και μφικι;ιν διανοοu •

ζωής .., κ.λη.

.. ποιος

είναι ο σκοπός τής

μένων. και υποδεικνύει με παραδείγμιηα ιις ορνηι1κές

Αιττά τα, κατά τον Kaι·l Poppeι·, ·'έσχατα ερωιήμοτα •

συνέrιειες ιου φωνομένοu στιιν οργάνωση της κοινω­

οι λογικοθετικιστές, στις αρχές του αιώνα. στην πpοοΗά­

νικιiς μας ζωής. Ιδιαίτεριι σημασία έχει η επισήμανσή του ότι η .. εJΙα γωγική μέθοδος· δεν εί,•αι .. η μέθοδος των επι •

θειά ιους νιι εωσιημονικοηοιήσουν τιι φιλοσοφία κω να

στημονικ<;,ν ανακαλύψεων• ωύ ct unάρχει tέtOJa!) και ιοίι ιο διόιι, σύμφωνα με το νόμο τιις διατήρησης των

ερωτημάτων, ια χαρακτιiρισαν •ψευδοερωτιiματα•. Όπως όμως σωστά ιογίζει ο Δ. Α ναnολιτάνος στο άρθρο ιου

πληροφοριών,

γενίκευση δεν μπορεί να περιλαμβ{ι­

·Ορθολογικότητα στη φιλοσοφία και στις επιστήμες: ιια •

νει rιερισσόιερες πληροφορίες από το άθροισμα τω'' πλη­ ροφαρι~ιν ιιοu υπάρχουν στα παραδείγματά της•. Υπο ·

ραλλαγές. συγκρίσεις. θέσεις• <Θεωρία κω Κσινωviα, ιχ.

.. μια

δημιουργήσου" ένα αποκαθαρμένο σώμα φιλοσοφικών

στηρίζει ιην ανάγκιι χρησιμοποίησης πειραματοζώωv

•η υπαρξιακή αγωνία, η αγωνία θανάτου δεν εξορκi­ ζετω μι: τη" αν α γόρευσίι τιις σε ψευδοαγωνiα, ούτε εξα •

στην ιαφική έρευνα, υ110γριιμμίζει ι η οποuδοιότητα του

φανίζεται η αφόρητη γοιιτεία που ασκού" τα οριακά για

έργου 110υ ειιιιελεί ιι Βιιοιλικίι εταιρεία κω κλείνει το δοκίμιο με μια αναφορά στο σκοπό της επ ισ τήμης. που

τη γνώση προβλήμα ια σ-το" υηοψιασμέγο νου με ι η" ιιποπομ ιrή ιους και την άρνηση διατύπωσής rο υς σιο

·•Ciναι να κάνει ιον κόσμο καλύτερο•. Το δεύτερο δοκίμιο του βιβλίου φέρει τον τίτλο · Μπο ·

11λαίοια μιας γλώσσας που δεΥ έχει φιιιιχιεί για να τα φιλοξενεί". Στο πρώτο μέρος του δοκιμίου. ο Mcda,.aι·

ρεί να προσχεδιαστεί η επισιημονικίι α'•ακόλυψη;>·. κιιι

μέσο ωιό ονστιιματική λογική ανάλυση και διαυγή πα­

παρότι είναι αρκετό μικρό ο ε έκ ιιιοη, δεν στερείται εν·

ραδείγματα, προβάλλει τον ισχυρισμό ότι δε" υφίσιοιαι

διαφέροντος. καθώς κα ιαλήγει σε uημανιιι<ές εηιση­ μάνοεις. Ο συγγραφέας παραθέτει τρία περιστατικiι

εγγενής περιορισμός στη\' nρόοδο της επιστημογικιjς

5),

αναι<αλύψεων από την ιστορία της ιατρικής επtστήμης,

γ,·ι;>σης. ούτε •γνωστικός• \οφειλόμενος στην κατανόη­ ση και εniγνωση των προβλιιμάτωνJ ούτε •λογικός•

για να ατιοδεiξει ότι αποκλείειπι "α ιιροσχεδιάστηκαν

(οφεtλόμενσς στη φύση της λογικής συλλογιστικής). Με

ή να υπήρξα\·

συνειδητό αποτέλεσμα κάποιας πρό ­

άλλα λόγια. ιοχυρiζειαι όιι δεν ιιπίφχει όριο στη δύνα ­

θεοης. Μας αποκαλύm~ι ότι η τύχη παίζει ρόλο στtς επι·

μη της εrηστήμης να απαντά σε ερωιιiμα τα στα οηοία

στημονικές ανιικαλύψεις και επομένως η ιδέο οου πρu­

•μ11ορεί .. να απαντήσει, δηλαδή σε ερωτήματ<t

σχεδιασμού ιου<; δεν ΟtJμβιβάζειω με τοΥ τρόπο που

της •κατασκευής• ιης εfναι έτοιμ η γα •υποδεχθεί•. ΣιιJ

nραγματ.οnοισύ'· ll<:; ανακαλύψεις ι-ους οι επιστήμονες. ΑλΑωστε, η πίστη στην ύπαρξη επιστημονικής μι·θι\δοιι,

συνέχεια διατυπι;,νει ιην άΙtοψη ότι ιι επιστήμη δεν μπο-

ro

η οποία είναι ιδιαίτερα διαδεδομένη μειαξύ των nολι­ ιικιi>ν και 'ιων ανώιαιων διοικηιικ.ώ'' υπαλλήλων, στη­ ρίζεται σε μια παρανόηση που υφίστιιιαι nrιό πολύ ιιn­

.

ρει να

.

nou ως εκ

.

.

ηροοφερει ηιιανιηοεις οια "εσχατα ερωτηματ.α •.

για τον απλούστατο λόγο ότι κiιιι ιέτοιο βρίσκεται έξω από ης •δυνατόιηιές• της. 11 επιστήμη δεν είναι •προο ­ ρισμένη• να απαντά σε ιέωιου είδους ερωτήματα, διότι

λιό, από την εποχή ποιι ο John Sluaι·t Mi11 έγραψε το Έvα aύοrημα λοyικιjς κω ο Kaι·l Ρcaι·sοιι το Γραμμα ­

οι εν λόγω απαντήσεις δεν μ11οpεf να !!χουν εμπειρι κό

rικιj της επιστήμης. Η επιστημονική μέθοδος είναι ανύ­

ιιου ε)γu ι ·•ιιrιερβιι ιικέ<;•. δηλαδιi έχουν περιεχόμενο

παρκτ.η. διότι οι επιστήμονες χριισιμοποιούν όχι μία

που δεν ιfθειαι υπό εμπειρικό έλεγχο, τότε αυτές πρέ ­

αλλ(ι rιολλtι:; κιιι διόφορες •διερευνηοκές• στρατηγικές.

πει νn α\·n(ιμηθούν οτιι σφαίρα του μύθου. της μετα •

~ύμφωνι) με ιη μεθοδολογία ωu Poppeι·, κά(}ε αναyνώ­

φυσικής, της θρησκεiιις κιιι ι ης φανιαο ιικής λογοτε.

ρισι} ιιις αλήθειας έρχεται ύοιερα από μια φανταστική

χνίας!

--uπόθεοη·•, μ1ή «C\J tοχή &Jκαο ίω.. κατά ιον

\Vhe"•ell,

.

WHJiam

την οποίιι εγ οιιvεχι~ία ο εrιιοτιiμονας ελέγ-

.

.

χει μεσω της παρατηρησης η του

'

πειραμαιος,

' ωστε

να

διαπιστώσει αν αντιστοtχεί στt}'' πραγματικότητα. Ο

Meda"'ar,

για να χαρακτηρίσει τον υποθετικό συλλο­

γισμό. τιι δημιουργική πράξη του νου που βρίσκεται πίσω από κάθε σημαντική πρόοδο στη γνώση μας για ιη

χαρακτήρα. Λ ν δεχ•ούμε ότι έχουγ νόημα απαντιjσεις

Δύο λόγια τώρα για ι η μετάφρασιι του βιβλίου. Ο με ­ ταφραστής έκανε καλή δουλειι\, μάνουμε

λίδας

102

to

εξής λάθος: από την υποσιιμείωση ιης σε­

προκύπτει ότι ο άγγλος φιλόσοφος

Aycr

ζει.

Ο Ayeι· όμως πέθανε το 1989. και το 1992, έοος ιης ελ­ λ1)\·ικής έι<δοσιις του εν λόγω βιβλίου του Mcdawar, κυκλοφόρησε από το

ράσπιση της ποίησης (1821 )· ιωτό τον

Gι·iffiths".

ιιοίη­

και δεν ε υτύχησε

πάντοτε στην απόδοση των όρων. Πρέπει δε να επισιι­

φύση, υιοθετεί την ελληνική λέξη ποlηqη με ω ttεριε­ χόμενο που της προσδίδει ο Shelley στο έργο του Η υιιε­

Shcllcy. ..η

nv

Press ο τόμος "A.J. Λ~·e l'. Meιnaι·ial Essa_vs, ed. Α. Phillips

.

Cambridge

Un iνersiιy

ση συμπεριλαμβάνει όλες τις επιστήμες• και κ<ιιά

Τελειώνοντας. θα 'θελα νο ιογίοω όιι η έκδοση τέ-

συνέπεια η επιστημονικιi διιμιουργικότητα tεφευρε τι­

tοιων κειμε,·ων οιινιοιιι ΙΙροοφορα στην επιστημη και

κότιιται εμφανίζει αναλογίες και συσχετίζεται με εκεί ·

ιον πολιτισμό μιας χώρας. ειδικό σε μια εποχή οαν την

''ην που αφορά τις καλές τέχνες και τη λσγοτεχγία.

tωpl'·ιi. όπου δcΥ εi,·αι λίγοι οι εrιηήδειοι ηου μέσα οπό

.

.

.

όπου και ο τίτλος του βιβλίου. ο συγγριιψέCΙ<; θέtει ιο

ιιι γρα πιά ιους ιi ων 11ροφορικό τους λόγο •καλλιεργούν την ασίιφrιιι. προσηοιούμενοι ι ην εμβρίθεια•, με αποτέ­

κεφαλαιώδες ζήτημα tων •ορίων• της επιιι<ήμης κω ιιρο ­

λεσμα να κυριορχεi η •αβάοιαχτη ελαφρότητα• του πρό­

σrιαΟεί να τα

χειρου ή ακόμη κο ι ιi,·ειι οεριεχομένου λόγου.

ιtJ

OUANTUM I ΤΟ OUANTUM ΔΙΑΒΑΖΕΙ

63

Στο τελευταίο δοκίμιο, ·Τα όρια της επιστήμης•, αιt'

•.ανιχνεύσει•,

εξετάζο,οτας αν η ειησιήμη


ΑΜΗΛΟ ΓΡΑΦΙΑ

Μεγιστοποιώντας το μέγιστο

Τα

Για το πρόβλημα των ·Μαθηματικών αναζητί}οεων"

1995.

έχω να προτεί ­

νω την παρακάτω γενική κrιιά τη γνώμη μου λύση. Να βρεθεί δηλαδή ο μεγαλύτερος από τους μέγιστους κοι­ νούς διαιρέτες τι>)ν

και

n"' + k

( n + l}c + k. όταν

προφαΥώς παραλληλό ­

γρα μ μο.

Κύριοι,

ιου τεύχους Τουλfοu /Αιιyσίιοτου

AllOG, DOFB, OECT είναι

=

OG c l b <b - χ}. OF ~ c ιa \ 8 - χ), από τα όμοια με ιο ABC φίγωνn GΟε και OFI. OG + OF = χ, και αν ανιικωαοιήοουμε προκύ πτει χ = cl \ 1/a+ 1/ b+ 11/ c). β) Πρόβλημn Μ39 <Σχήμα 2 ).

το 12 δια­

τρέχει το οίινολο τω'' ακεραίων θετικών: Ο οιιοιοοδί]πο­ τε κοινός ηοράγοντας μεταξύ των δύο. θα είναι και

παράyονιας ιης διαφοράς τους, δηλαδιi τηι; ω+ 1ι= - 11m. στην οποία και θα ωtrς αναζητήσουμε. Διακρίνουμε τι~ρn δύο ιιεριπ ιώσεις: ω το m άρτιο και β) το 111 περιττό.

α) πι= 2λ, οπότε [Ι η+ 1!3 12 - Ιπ1 1'"' 1\n + 1)'1 - π' ΙΙ112 +

lJ'' + n ιj. Αν το λ είναι περι~τό. ι{)τε ο δεύτερος ηαράγο­ ντας αναλύεται Oto: 1 2Π + 1 /((n + 1 ι '

I -

J Π + ] ι' ' 11 + ,,

ιt · •ι. Αν όχι. προχωράμε με ιον ίδιο φόπο, οπότε τελ ι­ κώς θα προκύψει πάλι ο παράγοντος 1212 + 1), Αν τώρα ουtός ο ιιαρ{ιγοντας διαφεί τον nω + k, επειδή διcιφεί και τ.η διαφορά. θα διωρεi κιιι ιο'' ιn + Ι ί"+ k. Πολλοπλο­ οJάιω εni 2m, οπότε έχω: zωn"' + zwk

Ι 1Ι

= Z·"n"' - I + 12mk + ]).

Ο πρώτος προσΟετέος ιου δειJτερου μέλους της Ι l) καταλήγει να περιέχω τον όρο ι2n + JJ και, κιια\ ουνέ ­ αειιι, ιιρκεί ο όιιοιος ιιαράγοντας του

12n +

ι ι να διαιρεί

το 12mk +' l), ή. προκειμένου γιιι ιο μtγιοιο. >'Ο είνω ίσο με w (2'"k + 1). Το n βρίσκεται αν εξιοιi>οουμε ω (2n + 1ι με ιο (2'"k + 1J, διjλαδή π= 2m 'k.

~τα παραδείγματα ιου περιοδικού, για το

Σχήμα

2

Από τα όμοια τρίyωΥα EBi'~

= EB ι FC = BF! GC = ΙΕΒ+

P'GC προκύπτει: EF/ FG JJF JM'C+ GCJ.

Αν αντικιηαστήσουμε ων αριθμητή C.()U τελευταίου

κλάσματος με κάτι μικρότερο. αντί δηλαδή ιου BF βό ­ λουμε ΑΕ. και τον παρονομασ~ή με κάιι μεγιιλύτερο, δηλαδή ον ιί του γίνεται

: \ΕΒ +

GC

ιο

BF.

τότε το τελευταίο κλάσμα

ΑΕ ι I(FC + FΒΙ

με τα προηγούμενα εί,•αι

= ΑΒ/ BC. που σύμφωνα μικρόtερο αιιό ro ΕΡΊ FG.

Με φιλικοίις χαιρετισμούς, Σrαύρος Σαϊl'ίδης, πο,Ιιτικός μηχανικός,

n' + k (n +

11' + k, ο παράγοντας είναι 2 k + J = 4k + 1- για ιο n" + 1 <n + Ι J'+ 1, ο παράγονταςείναι2' + 1 = 17. β) Αν τ.ο m είναι nεριι;τό, τόιε ω δεύιερο μέλος της 11 ) τροποποιεί τω "'ς εξής:

Κιιλιιμιψιι\

2

το άyνωστο αέριο Αγαnηιοi κ(ιριοι,

Ξεκινώ γ ιας •η'' πρ~ιτη μου εmκοινωνία μαζί σας, εκ ­ φράζω τις θερμόιερες ευχές για τιι συνέχισιι αυτής ιης πολύ αξιόλογη<; κο ι πρωτοπόρας προσπάθειας. Η έκδοοι]

Στο nαραδείγμιι ω ιοιι περιοδικού, για το (η+ 1) + Ι 3

π' + 1, ο παράγοντας είναι 2" - 1 = 7· για το (π + 1)' + 1 cι' + 1. ο nαράγον ιας εί >'οι 2' - Ι = 31.

στην Ελλάδιι ενός περιοδικού όπως το Quantum οποιε­ λεί χωρίς αμφιβολία σημαντικό επίτευγμα σιο χ<;Jρο των θετικώΥ επιστημώγ,

Εγώ προσωπικό δεν r.χω πρόγραμμα μαθημαοι Κ(~)ν

θα ήθελα να κάΥω ορισμένα σχόλια και να προτείνω

στον υnολοyιοτή μου και έτ.σι αναγκάστι]κα να επιδιώ­

μια διαφορετική λύση της όσκησι)ς Φ38. ιεύχος Ιουλίου Ι

ξω τη λύοη του nροβλιiματος με άλλον τρόπο. Είναι Υ''"'·

Α υ γούστου

στό εξάλλου από την αρχαιότητα ότι ·•πενία τέχνας κα­

Όπως είναι γνωστό. έΥο αέριο μπορεί να θερμαίνετιιι υπό σταθερή πίεση, οπότε αυξάνεται ο όγκος ιοιι, ή μιιο ­

τεργάζεται•. Με την ευκαιρία

Α

nροβλήμrι ια του τεύ­

.;Q__- -

D

ιιοιες άλλες λύσεις:

I

11·138

<εται γιο ''α αυξηθεί Ι) Οερμοκρασίο

1''C.

Ε

Β

ιούμενο μήκος. τότε:

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

1 gr ενός cιερfου κατ<ι

δεΥ είΥαι ίδια στις δύο περιπτώσεις. Εξαιτίας αυ'Lοiι

οτι.ι αέριο υnόρχουν δύο ειδικές θερμότη·ιες:

',

Αν .'<είναι το ζη ­

64

πίεσή του. Όπως όμως βρίσκεται, η θερμότητα ιιου χρειά­

I

ff

χους έχουν και κά ­

α Ι Πρόβλημα ιΣχήμα I ).

ρεl ''α θερμαίνεται υπό σταθερό όγκο, οπότε αυξάνΗω η

G

α ιιιή, μερικό από τα

1995.

Ειδική θερμότιιτα υπό σταθερή πίεση Ι C.J:

1

r:

C_ Q(cal) , 958,4 / 4,2(cal) , - 111(gr)·(θ2 - θι Xgι·ad) 1.000(gι}l(grad)


ή

C = 0.23

<> Συ•·ε_rεια

cal

gr grad

Ειδική θι:ρμότητα ωιό σταθερό όγκο ιC, J:

C=

Q(col)

'

m(gr)· (θ, - Ο, χgrad)

=

ί04.6 4.2(c.ιl)

= ---:-,....,.-:----:----+--'~ ι.OOO(gr) J(ι:rad)

C = U.l7

'

8

Q

or.l. 27

αποδειχτεί όιι ι·ίνnι αδύνα­

110λλιi ειδη ασrόθειος ποιι χιιρακιη­

ιο να σχεδιαστεί fγο (Ιοφο με πένιr

;ιί(ουΙ' ιο ιιλάσμα έως ιηγ οριστική

κορυφές έ>;οι ώο ι~ ιιι ε υΟίιγρημμο

του διό λ υ ση. Βεβαίως rχω υ rιερα •

ιμήμιιrιι ΑΒ. Β('. C'D. DE. EF, F'G. GH. HJ. IJ. JA !βλ. ιο σχήμα ι ,.α εί •

πλουοιfίιοει αυτό ιο οr,·ιιριο -στην

,·οι ισα με

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Ιί. 18 και 19 μο,·αδες μι1κους nn•·

yεγο,·οτο συμβαι,·ουΙ· τουιόχρο,·α.

0\01'(0.

οοiμαιος ως ένα άλλο Ιiιψαδειγμα.

ιφιιγματικότητα. όλιι ια παραπάνω Εαν rιιιρουμε ιο 11.\nσμο του Δια­

οθcοοΙΙμε καΙ•ένα ιι·χΙ'ιΙtό στοιχείο oc η υτό το σεγάριο, κ ω τού ιο διό ιJ

cal

ιιι· ·g-ι·ad

C 'C, θο

Συ•·rχεια απο ιιι

Οα δο11μι· όu δε" μπορούμε γα προ·

Όιιως ήταν ανιιμrνόμε\"ο. Ο λόγος

1. Να

από rη σε.\.

όλα 111 γεyονόια κω uι διιιδικαοίες

Από κατάλληλο rιί1•ακα ι Κ.Δ. Α ·

ουμ/)<ιiνουν από μίη·n του" Αυτό ιο yεγο,·όι;. βέβαια. δεΙ· αrιλουσ ιεύει τη

.\cξόπου.\ου -Δ.ι. :\Ιαρινου. Φυσικιι.

μη yραμμικη δυναμικη ιου πλάσμα·

ιόμ.

11, βλέπουμε όιι η ημη αυτή ιου

ιος. Και στο πλάσμα ιου cρyαστηρίου

γ βρίσκεται ανά μι-σα σης ημές ιου

κοι στο πλάσμα ιο11 Διαοιήμαιος.

οξυγόγου I Ι' = 1.401, του διοξειδίου του άνθρακιι Ι y = I ,3()) κιιι ηις α μ ·

ιοχύου" όλα ια βασικά σιοιχr.ίιι α υ ­

μωνίας ( γ =

ι·ίναι I'

c. > C',. = 1.35.

Δίνεται μια ορθιί γωγία μι· κο ­

νιώσεις κcιι συλλογικfς κιγήσεις·

μικρόιερες τιμές άλλα οiρια μr μr • yαλύιιφο μοριακο βάρος I Π.)(. όζο,· ι.

ρυφή Ο. έ1·α σημείο Β στο rοωτερικό της γωνίας και σημεία Α και C πάγω

αιοξία στη μακροφυοικη συνοδευό ­

Καια.\ήγουμc λοιποΙ' στο συμιιε·

στις πλrυρiς της yωνίαc:, :-!η αποδει ­

φυσική· χάος προrρχόμεΙ'Ο από tη

ρασμα όu το άyνωοιο ιιφιο θα απο·

χθεί ότι η nερίμrτρος ιου φιyωνου

τελείιηι ιιπό οξυγόνο με κάποια πρό ·

ΛΒ(.' είνηι μεyα.\ύ ιι·ρη ή ίση από ιο

ομrιξιι βαρύτερου οερίου.

διΙΙλcΊcιιο του ευΟύγr<ιμμου τμήματος

δομή και δομή βαοιομέ1•η στο χάος. Όλα αυτά τα χαροκιηριοιικιi είναι ιυιιικι'ι κ<ιι γιο ιηγ κίνηση "~" σω ­

1.311.

Ακολουθούν με

τού του οιινοπτικού σεγαρίου: ιολα •

Φιλικά, 4ι{krνές Κωvσrα••ιίΙ·ος. φυσικός. /ωα•·,·ο·n

ΕνδιαΦέρουσες λύσεις Επιστολές μr λ ύσcις για ι ο nρό •

2.

με,·η με εmηρόοθειη ttιf.η οι η μικρο­

ματιδί6ΙΙ" ιιλλό και για ιη δυνcψι κή

0/J. 3.

ΔίΙΨιιιι ι·yyρ{ιψιμο τετράιι.\cυ • ρο Λ R('D. τέτοιο ωο ιε το μήκος ι ου

ιου Ι]λtκ ιρομαyyηιικοiι πεδίου.

ευΟύγραμμου τμιιμαιος

είναι

κη του πΜιοματος ολα εινοι μολλο,·

ισο με to άθροιομιι ιων μηκώ1· των

πολύπλοκα κοι δύσκολα να ερeυνώ­ ηοι. Αλλά εάν δεν ήιον έτσι η κο­

:ID να

Ειοι αποδεJκΙ"ύεται δη στη φυΟJ ­

βλημα τι]ςστήλ η<;.,Σιοιι~δiα της φυ­

ευθύγραμμων τμημιιτ~>ν ΑΒ και CD. Να αποδειχθεί όιι ιο οιιμrίο τομιίς

σ ι κής• έστειλαν οι rξής αναγνώσιες:

IW\' διχοτόμων των γωΙ'I~)ν Η και ι·

κοι]μένοι οι φυσικοί: Νιι ι' ψαχναν

βρiοκειnι πά νω στην ιιλευρό

για άλλη δοιιλειά: ΊΙ μήιιως για κό •

Γιά1•νης Αργύρη<; (Λθήνα), Μανί ­

AD.

τόοιιιοη, με τι θα αοχολούΙ•tο" οι

νης Νίκος Ι Βόλος Ι, Γεροο rάθος

4. Ένας κλέφιη<; 110υ έχει χάσει σε

ποιο άλλο 11ρόβλημα: Μι• ι ην ευκαι ­

ι\ΥtώΙοης ΙΑθη,-α ι. Καρρας rloΙ'O·

αιιιχημα και τα δύο του χίρια θt.\ει

ρίο. ου ι ή εi,·αι μiα αιιό ιις ι\ιyες πε­

γιώτηι; ι Π . Φιιληρο ι. Σrρίηζη Δόφγη ιΠευκη ι. Ιlαηαnέιραυ & ·

1·α κλι·ψει t1·α νόμισμα αιιό ιι:ι ιρα·

ριοχές ιης φυσικηι; που οuχολού,·ιαι

nr(ι ΡΙ'ος αργυρaμοιβου. ωΟώ'--ιας το

σίλη<;. Γριβόrιουλος Κώοιιις ι Με­ σολόγγι), Δούνης Κω ν IΙ•ος (:-Iού­

νόμισμα με τη μύτη του έτσι ώστε \'Ο ιο ριξει κάτ.ω οπό ιο ιριι ΙΙf.ζι, χωρίς

με Οεμrλιακες διαδικιιοιε·ι; και παρα­ μέγοΙΙν κλασικέ<; -μr ιη1• εννοια ό u

πα κ ως). Ελισσαiος Σιιιύροu. Χορ·

νιι έρΟει

τής Σηύρος Ι Λευκ{ιδιιJ, Σαρόγλοιι

νόμισμα. θιι τα κο ταφrρι·ι; Τα Ι'ομi •

πι·ριοχές έρευΙ"uς ιης φυσικής

Χρήοιος ι ΓρεβcΙ·ά Ι, Χι·ίλαρης Πα­

σμαια rίναι στρογγυλά . rχουν ιiσωςι

ιιοραμίΙ•ουΥ κλασικrς rι~·αι η φυσ>­

Ι'nγιώιης ι ΙΙειραιάςι. Μυραίοι;·

διοφορειικά μεyεθη. και δι·,· ακου •

κη ηλ<ιοματος και t~'O αρκειά με·

Παύλος ι θεο κη ), Αδαμόπουλος

yιιλο τμημα της ιισψσφυσικής.Ι Το

Ιωάννης ιΑθηγ<ιJ, Σ11ιινος Νίκος

μπου1· μεταξύ του" 5. Ε1•α ιεψιiγωγο ιεμοχίζεται σr

ιΑθήΙ•ι:ιι,

μερικό ορθογώγιιι ηιιρα.\λι]λc\yρομ

·

n.\(ιομιιιος ιιπορρεrι ιιrιο το γεγονός

(Χανιά), Δcδες Χριjοιος lΛou φ{ι.

μα. rια κάθε ορθογώl'ιο. μπορεί να

όιι ι·ίΙ·ιι ι μια ιδιcιιιι'ιιως οπ τικ ή δια­

κι >. Πάλλης Διιμι"μρης Ι Χαλάνδρι ),

υπολογιστεί ο λόγος ιης μικροτερης

δικΗσιcι. Λλλιμονο. ομως, α υ ιό το

ΣτεφοΙ"άκης Ζαχαρίοι; ι Ικαρία ι.

προς τιι μεγαλύτερη nλειιρά ιου. 1'\ιι

χnρακ ιφιστικό -ιο ιόοο ελκυστικό

Δ.Ι. Γερuyιώργης ι θcσ κηι, Α'" .

αποδειχθεί ότι ιο οΟραιομο αυτων ιω1· λογω,· rίΙ·αι γnιοια μεyιι:\υτr­ [ti ρο από Ι.

σιιι φιισικη του 19ου αιωνα- txrι

llιτaκης

Αθανάσιος

δρεόnουλος Κώστας ΙΑθήΥα >. Ζα • χαρης θnΙ"άσης ιΑθήΙ·α ι. Παπα ·

or.

επαφιί με κιινfνα άλλο

ΙΙρnγμcιrικόrηιu. οι μοναδικές ίσως

nou

μcγι"ιλο πλrοΙ"έκιημcι rης φυσικής

χαθει ιt.\ειως στη μοΙ•ιtρ,·α φυ01κή. ΕπσμrΙ'6>ι;. εάν θt.\rτr συγχρο,·η και ΟΙΙιικη cmoτιiJ.ιιJ, rξωκcιωΟrί ιε μr

δάκης Γιιιηης ι Κιιβάλαι και Λα ­

μnροπούλου Ζωιi !ΣrρρεςΙ.

δcν rίνοι κβαηομιιχα\'ικι'ς. ιΣι ην

ΑΠΑΝ'ΓΗJ.Ί..:Ι~ ~τι ι ~Ε.\.

66

τη φιιοική ιου πλίιομιιτος:

OUAHTUM

ΑΜΗΛΟΓΡΑ.ΙΑ

(ίJ

65


ΑΠΑΝΤΗΣΕ Ι Σ , ΥΠΟΔΕ Ι _Ε ΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕ Ι Σ

Μaθnματικά

Α, προς την ΡΑ \. κ.ο.κ .). επομένως, ΟΙ

α

ιέσσcρις κάθετες τέμνονται στο ΡΌ την εικόνα του Ρ μέσω αυιι)ς της ηερι­

Μ46

a = 549.

Το

ιΊθροιnμα tων ψηφίων ενός t.ΙΙ<ΙΙχοίις

β

Μ48

αριθμού είναι πάντοτε άρτιο. Εηομέ ­

Η ζητούμενη σχέση είναι

2a3 !2i·

ιi, ισοδύναμο, ο αριθμός -Η/3

-

ιυχείς,

nρέπει να είναι ρίζα τιjς εξίσωσιjς.

u\re ο a

καιαλήγει στο

9, διότι

διαφορειικά ιο άθροισμα ωιν ψηφίων τους θα διέιρερε κατά 1 και επομένως

ρίζες ~ης εξίσωσης, μηορσύμε να γρά ­

θα ήταν διαφορετικής ισοτιμίας. Ο

ψουμε

αριθμός ο δεν μιιορεί να &χει δύο μόνο ψηφία, ειιειδή ιο ευrυχής. Αν ο

99 + 1 = 100 δεν είναι a έχει τρία ψηφία, ο

= xy9 (η γραμμή συμβολίζει δεκαδική αναπαράσταση), τότε .v < 9 και a + 1 = x(y + 1~. Ειιομένως χ+ .Υ = 9, χ = y+ Ι. i\ρα, χ= 5, y= 4, !Λυτή δεν είναι μόνο η μικρόιι;ρη τρι ψήφια λύση, αλλά εί ­ ναι και η μοναδική.) \β) Η απήντηση είναι αρνητική επει ·

Πράγματι, αν χ 1 , χ,. χ, είναι οι τρεις

να λήγο11ν οε

9, πράγ ­

μα 110ιι εί"cιι cιδύνοτον.

Ι!εριστρέφουμε το rεηκΊγωνο \Σχή­

Θ

2

*ο

Θ

ο

1 Αι

2 1

Θ

ο

2 1

με τους αντίσιοιχους συντελεστές των

Θ

ο

δύο πολυωνύμων, παίρνουμε

Θ Θ

Αν εκτελέσουμε τις aράξεις στο γιγό­

μενο του δεξιού μέλους και εξισώσου­

-( χ

1 + χ2 + χ3 ) = a.

Αλλά οφού οι φεις ρίζες οχημαιίζοιιν

αριθμητική πρόοδο, χ1

+ χ, = 2χ.,

επιι ­

μένως χ, = -a {3. Προσηαθήοιε να βρείτε ιιαρόμοιες

Σχήμα

1 1

1

*

l

ο

ι

ο

ο

2 1

ο

ο

ο

ο

2

ο

ο

ο

ο

ο

1

1

3

m ~ Ο. (δείτε

ιο Σχήμα

2 όιιοu

ο αριθ­

μός που ακολουθεί ύστερο από αυτά τα

1, ο οποίος είναι 2 ή Ο. σημειώνεται με &"α" οοιερiοκο), ώτε trιειτα οηό m + 1 βήμαια η σεφά θα έχει Ο αΥτί yια 1. Ο αριθμός με τογ αστερίσκο που την

Μ49

ακολουθεί θα γίνει

Η αηάηηοη οιο μf.ρος ια) είναι

k + l. θα το εξετάσουμε

Μ47

1

Θ

σωση.

a + 1- ι ψέ11ει

2

1

χικούς ευτυχείς αριθμούς

-και οuyκεκριμένο οι tι1 κοι

Α2

2

i' + tιoi' + bx+ c= (Χ - X1) (.y- Χ) ι<- Χ1).

συνθήκες yια την τεταρτοβάθμιο εξί •

2, οι δύο

*

Αι

γ

δ ή, όπως προκ ύnιει από την nροηγού­ μενη συζήτηση, από τους τρεις διαδο ­

a. a + l, a +

2

Α,

c = abf3

ν ως, αν οι αριθμοί a και α+ Ι είναι ευ ­

Α2

ο

στροφι\ς_

\α) Η αηάνιηση είναι

Αι

μαζi με

n-

w (β).

Ξεχωρίζουμε τ1ς •σειρές• rων δεδο ­ μένων αριθμών rιου αρχίζουν ααό 2

εξcλiοσεται με παρόμοιο τρόπο. Επομέ ­

μα

IΙ γύρω από το κέντρο του κατά 90• οπότε το Α 1 μεταφέρεται στο Α,, το Α,

και πεpL\αμβάνουν όλα

πλήθος

στο Α,, κ.ο.κ. Τότε οι ευθείες ΡΑ ,, Ρ.4,.

1 που ακολουθούν αμέσως έπεησ από αυτό (δεξιόστροφα!. Όταν τα I που πε­

ΡΑ3, Ρλ, μεταφέρσγται στις αντίστοι­

ριλαμβάνονται σε μια σειρά είναι ιn.

ύστερο από m + Ι βήμα τα δεν θα υπάρ ­

90•, γίνεται

νως, όταν υnιlρχουν στην αρχή

περιέχει

2

η κάθετη αnό το

.....~ -~-* 1

k

ιο

και αν η μεγαλύιερη σειρά

m~n- k

το πλήθος

1, τότε

χει κα νένα 2. Επυτλέον, α,, ω n -

χες κάθετες (η ΡΑ 1 • αφού ηεριστρέφε ­ tαι κατά

w

διαδοχικά

1. Τα Σχήματα 3α 3γ παρουσιάζουν την εξέλιξη μιας σει • ράς για m =Ο, I, 4, αντίστοιχα (το σύμ • βολο 0 υποδηλώνει Ο ή 1). Κάθε σεφά

k δια­

φορετικοί από το 2 αριθμοί στην αρχική διάταξη είναι όλοι

I,

τότε θα αvιικα­

τcιι)τιιθαύν αιιό Ο έnεη;α από το πολύ

οθα

1

k + Ι βήματα, ενώ τα k w ηλιΊθος 2 μετατρ<ιπούν οε l. (Ν. Vasil)·eγ)

Μ50 Διαλέγο\ιμε έναν tυχαiο κορμό

t,

και ιrροοnαθούμε να τον κυλήσουμε

προς το ποτάμι. Ας υποθέσου με ότι

A,L-----------~.

Σχήμα

66

εμ ποδίζεται από ένα ν άλλο κορμό, τον

Σχήμα

1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1995

2

t,. Προσπαθαύμε τώρα να κυλήσουμε


rον t,. Λ ν κω αυτός εμιιοδιο ιεί αιιό κάιιοιο'' άλλο, ονομάζουμε τον τελεv ·

οηοίοιι οι iιξονες ΟΧ και Ο Υ κατευθύ ­

E(t)

6.

νοντ.αι όn~)ς φοί,·ι:τ.αι στο Σχήμα

Η

t,. Συνεχίζοηας με ιον ίδ10

συνιστώσα τ.ης αρχικής ταχύτητας

τρόηο. δημιουργούμε μία ακολουθία

κατά τη διεύθυγση ιου ι\ξονα ΟΧ εί­

τuio κορμό

t., "'

κορμ~)ν (1, στην οποία κάθε κορ · μός εμποδί~εται από τον εnόμενό ιι>ιι.

νιιι ιι0J

{

μαιί(εται σε συγκεκριμένο κορμό ! , -{)Jlότε μπορούμε να κυλψουμε ανε ­

μιιιiδισrο τον ~' στο ποτό μι- εί ιε θα κλείγει δημιουργών rιις βρόχο -{)ηλιι­

tι(, συν( φ - α). καJ κατά τη

διείιθυνοη του ΟΥ υ0 ,. = υ0 ημ(φ

F.-φόσον το πλήθος των κορμών ι:ίνιιι nεπeρασμένο, η ακολουθία εί ιε θα τερ •

=

α!,

-

όπου φ είναι ιι yωνίό υrιό ιην οιιοία Σχήμα

βι\λλεται το βλήμα ως προς το οριζόηιο

5

ιο κορμό

t, που τέμνει αυτή την πλευ ­

ρά. Τότε συνεχίζουμε τιιν κίνφή μnς καtά μήκος του συνόρου τίις S(L1) 6)ς

eιJίnt:OO. Το σημείο εnαφής

(; tι)ς τροχιι\ς

με

ι<ι οu':γοοφο προοδιορiζει το μέγιστο

τtμνει ιη

iιψος h' ιι(ινω uπό το" ιiξονα ΟΧ στο οrιοίο μπορεί να βρεθεί το βλήμα, κω

δεύτερη φορά. Επομένως ιιρκεί να

δεξιά πλευρά τιιςSιt,JJ. κ.ο.κ. 11 διαδρο­

όιιως φοiνειιιι ιιnό το σχήμα ισούται με

ιιnοδεiξουμε ότι η δεύτερη ιιφίn tω<Jη

μή που διασχiζουμε με αυτόν rον ιρό ­

L ημα.

δεν εμφανίζεται ποτέ.

Ίιο είνω μέρος του συνόρου tι)ς E\t). Το υrιόλοιπο σύνορο το διασχίζουμε με

θα ισούται με μηδέν και επιnλέον θ<Ί

δή κάποιος κορμός θα εμφανίζειιιι για

rιο να ι:πιτύχουμε το σώχο μας θα

t

τον επόμενο κορμό

t., (που

κατασκευάσουμε για κάθε κορμό μια περιοχή E (l \ της όχθης ιέιοια ~ΧJτε

σημε.iο και κΙνούμενοι προς

Ει!,) c Eιt,J (και Ε ιt,Ι -F Ε<(,)) όταν ο

ρά. Το σύνολο Ε ! ( ) αποτι:λείται απ'

κορμός

όλιι ι<ι σημεία της διαδρομής που έχου • με διασχίσει και όλα τα σημεία nοιι βρί­

!., εμποδίζει τογ κορμό t,. Έtοι,

αηό ιηγ προηγούμενη ακολουθία κορ­ μών ( 1, ! 2 , •.• θα πάρουμε μιa •γνήοια

ισχίιει

υ'

πορόμοιο τρόπο, ξεκινώντας από to ίδιο

co

σκονται πάνω από αυτήν !Σχιίμα

5).

Λόγω της καιασκευής μας, κόθε κορ­ μός L' είτε δεν έχει κοινά σημεία με ι ην

κανείς κορμός δεγ μπορεί γα εηανεμ­

E(t )

ψοVlστεί στην ακολουθία μας.

ΕΙ! ). Στην πρώτη περίπτωση ο ('δεν έχει ΚΟΙ\'ά σημεία ούιε με την $ ({1 και

είτε ανήκει εξ ολοκλήρου στιιν

t δεν εμοοδίζει

h' = __!!: 2gl '

ιψιστε­

αύξουσα• ακολουθία περιοχών Ειt, Ι c Ε ιt,) c ... . πράγμα που σημαίνει ότι

Ας φονιοοιούμε ιην όχθη ως το

Σ' αυτό ιο οημείο η τιμή της υ0 ,.

διείιθuνοη tοΙΙ άξονα ΟΥ. Έτσι,

υ'ι)_v = 2g'h'' ή αλλιι:χ;

υ;· ημ'(φ - α) ~

2(g συνα)(( ιwαJ.

Aut(ι ειδικότερα σημαίνει ότι αν ίσχυε

άνω ημιεnίnεδο φρογμένο από μια ορι ­

επομένως ο

ζόντια ευθεία b και ιου<; κορμοίις ιuς ευθύγραμ μα ιμήματα. Θεωρούμε τη σκιά S(t Ι κάθε κορμού ~ηλαδή, το

ιιιυ ('προς το ποτάμι. Σηι δεύτεριι πε ­ ρίπτωσιι η ειιεκιαμcνη σιαά Ει!'\ του βρίσκεται μέσα στην Ειt J tιικόμη κι

σύνολο των σημείων ηου βρίσκονιαι

αν ια σύνορα ιων Ειl> και

n(ινω αιιό ιο ευθύγραμμο τμήμα ( και

χουν ένα κοινό σημείο Α, τα αVΙόνtα

ται οιο οιέγαοφο. Σ' αυτή την περί­

δύο ακτίνες πο1ι οχημιηίζουν γωνία 45° με την b: σχεδιάζουμε ιη μία ακτί­

τμήματα αυt6)ν των συνόρων, ξεκινι;,­

πτωση το μέγιστο βεληνεκές αντιστοι ­ χεί στην γωνία βολιίς φ

να αηό το δεξιό άκρο του (προς ια δε­

ντας από το Α, θα συμπίmουν /. Έπομένως. όταν ο !εμποδίζει ιον

!',

ξιι\ (κο ι πόνωJ και την άλλη από ιο

τάτε Ειt'\

αριστερό άκρο !Σχήμα 4). <Στη σκιά

κληρώνει τιιν αηόδειξη.

ανήκουν και τα σημεία

rou L και

t'

των

με την S.L) δεν εμποδίζονται από τον (κατά την κύλιοή τους προς το ποτάμι Ορfζουμε τώρα την

σκιά E tt ) ιοιι

επεκταμένη

L. Ξεκινάμε

δήποτε σημείο του

L και

c:

E(l' \ έ ­

Ειtι. γεγο,·ό<; που ολο­

Φ46 An'

u; < 2g( ημιι · οιινα = g( ημ2α, δεν θα υπήρχε τροχιά που να εφάπτε­

= 45°,

και

μάλιστο ισούται με L_, = υg fg. Αν, όμως, η σχέση ιιου ίσχυε ήτον η

τότε προι<ειμένου το βλήμα μό.\ις να ηκουμπιjσει το στέγαοφο πρέπει να εκτοξευθεί υπό γωνία

όλι:ς τις δυνατές τροχιές ενός

φ,., = rι + cιιξημ ,Jgtιw2α. ('"'*7'---,--

βλήμιι τος ας επιλέξουμε αυtιiν ιιου ε ­

από οποιο­

φάιηειω στο στέγαστρο. Ας μελειή­

μετακινοίιμα­

οουμι: ~ιηπλέον την κίνηση του βλή­

t και

ματος οιο οι.ίστημα αναφοράς cού

στε προς ro δεξιό κιιτά μήκος του

μια ειηιφό<ιθειιι σχέση, η

υ: ~ ιrt ημ2α,

Φυσική

δύο ακτi,•ων.\ Μπορούμε να δούμε όη οι κορμοί nου δεν eχουν κοινά σημεία

rιιν πορεία

όπου g' = g συνα είναι η ουνισιώοο cής εrιιτάχυνοης βαρύτητος κατά τιι

uo Αν

.,

(J .~

2

καtά μήκος της δεξιάς ιιλευράς τής

υ0

Sιt J eως ότου συναν ιήοουμε τον πρώ-

t s ψ2(1

+2g

(nρόγμα που σημαίνει ότι φ,..?.

Χ

45° -nποδείξτε

το!), η αρχική

γωνία βολής που αηιοιοιχεί στο μεγαλύτερο βελψεκές εi­ ναι πόλt Ψ... = 45° και to ? .,..... uϊ,fg. Αν αντιθέτως υ

Σχήμα4

Σχήμα

6

'

-.-'-"•~

υ~ +2gl

L

nι:u

=

> ημ 2rι

OUANTUM ί ΑΠΑΝΤΗΙΕΙΙ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΙ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΙ

67


<πραγμα που σημαίγrι οιι φ,.

< 45°1.

ιόιt

φ '=Ψ. •α+ιcιf.ημ

Jgtημ2a υο

ΦSΟ

=2.1610''%,.

θα ητα,· βολικο να μεληψοιιμε τη διάθλαση

Φ49 Έ"ος φορησμt''Ο<: κύ.\η·δροc; από

.

μο,·ωιικό < διηλeκτρικόl υλικό ο ο·

ιιοιος ΙΙCριστρέ~ται μοιάζει με μακρύ

και

οωλψοrιδtς μrγό.\ου πλη&υς οηει · ρών JJOU ι·κιtί,·ο,·τeιι κcιθ' όλο ιο μή ­

υ' ..!. ημ2φ lf .....~

κος του

v" Ι]J.I2( {Ι 1- wξ I]J.I 'i/gt ημ 2a )• .:Jι.

a

g

υο

Το ηλcκψικό ρεύμα 10

δiιο κίιΟετα μειαξύ ιους

εmnεδο. };τα δυο ακό.~οuθα σ);ήματα οι γω,·ίες ειναι μryαλtς. έrσι ωστε η

α\·αοορασταση ''Ο ει,·αι ευκρ"·fο "'f'η, οιη μrλι'ιη μιις ομως εl\·οι μικρrς. και

μποριιιιμr \'Ο Ο\•ιικιιθιστούμε ια ημί • ώ\'ά ιους με τις ίδιες τις γωνίι·ς.

οιιοίο διαρρέει τις ..σπcιρι·ς· ΗΗι κ υ­

λίν/1ρου μιιορrί να εκφριιστεί σε οχέ· οη με ιο συνολικό φορτιο που υπiψ· χcι οιιιν c ιιιφcι,-εια του:

Φ47 Η ηλεκφεγφιική δίινιιμη μιας η­ λεκτρική<; πηγής ιΜίιιαι μr το έργο που πj)('πtι \'(1 παρόγrι μιιι ~ξωcερική δυναμη γιο \'<Ι μειιικl\·ήοrι fγα μο\'<Ι ­ δι<ιίο φορτίο από τΟ\' ι'\·α πόλο~ μt­

m:.:. εi,·αι μεγwτη ότα,·

χρι ιο'' ιι.\.\ο. Η

το σωμοιιδιο ιιλφιι οχrοον δε'· καια­ ~ρ\'tΙ ''α φτοσrι σtο'' απέ,·a\'Ό οnλt­ σμό ιου ιιυκνωιη rξnηίας της ηλε­

κιραοτατικής άπωσης-ilε άλλα λόγιο, όταΥ η κι,•ητική ι·νί:ρyειο t(ι)ν tκιJε­

μιιόμrνων οωμιιιιδίων είνω ίση με ιη δυναμικι\ ιοιις ενέργεια στοΥ cιπένα· νιι οιιλιομό. Ι::πομένως ,.

J

ε • nιv,; 5~o: 5·lO• V = 500 kV. 2<ι

2k

Φ48 Εφοοον υ ιιipχε '-ερό μέσα στη θη.\η. ο χώρος του δοχείου ήτα'' κορεσμtνος αnό α ιμους. Οτα ,. το έμβολο κατεβοί­ ,·rι. η ιόοη ιων οιμώ,· δε,· ο.\λά(rι.

οιινrιιιi)ς οι nτμοί που υπήρχαν στο\' όγκο

Q

ι --· τ

rτ · 2ιtRl 2ιι ω

R'

= οιω.

Το μιιγ,·ηΙΙκό πεδίο στο εσωτερικό ενός

ιtD' 4lf

δοχείου λόγω της μετακίνησης του εμβόλου μrιntρόπηκαν σε νερό. Η μό(α τω,· σιμών που υγροποιήθηκα\' αυξιη·ο,·ιας ιφ• ποσότητα του \'t:ρού μεσα στη θηλη είναι

m=

prcd, 4h

~

όοου ρ • ΙΟ' kg m' η πυκνοτητα του \'tρού. Από τ φ• καταστατική εξίσωοη βρίσκουμε

ι11 RT

Ρ = fl)j'\!ιΙ(ι

v =Ρ

( d 'f Η RT

DJ

11

m!f'lo(•(,

ΝΟΕΜΒΡιΟΣ • ΔΕΚΕΜΒΡιΟΣ 1995

7

Έτοι, η γω,·ία διαθλαοης της φι.ηει·

το μέτρο του tl\"(11 ιι\·ό.\ογο του μετρου

γης ακιί,·ας του Σχηματος ί η οιrοίο

του η.\εκrρικού ρt'υματοι;: Η ~ π/ = αοRLω.

o11oU α rίνιιι μια σταθερό αναλο);ας. Κοθ!:χ; ο ι·ξωιcρικός κυλ ι νδρος ε · nηοχιΊνtιω \'ια \Ι(ι aποκτήσεJ τη στcι­ θr.ρι\ yωνιιικ ι\ ιου ιαχιΊτητα ω. το μαγγητικό πεδίο σιο rοωιερι κό ιου με ιοβόλλετcιι δημιrιυργι;η· ι<ις μετ α­ βαλλόμενο ηλrκφικό rιεδίο. 10 οηοίο δρα στα φορtiα του εσωτερικού κυλί\'­ δρου και t0'' υπο)(Ρι.·ι;ι\'f:ι ,·ιι ι~ριστρέ ­ ~ιαι. Ο εσωτερικος κυλl\·δρος αποκτά γω,·ιακη ταχVτητα ω, τrτοια ώστr ιο ουνολικο μαγ,·ηnκο πεδιο στο εοω· τερικό του ,.α εi,·nι μηδι'" ψια κnι αυτός ο κυ.\ινδρος η\'ιιηruσοει στο rοωιερικό ιου ιο δικό του μαγνητικό

c.ιn' όιιου ιφnκι'ιrιιr1

R

ω ·-- ω~ -2ω. ι

εισερλτιω οιΟ\' ιψωιο ημικύλl\·δρο ει · ναι η μιση ~ yω,·ίιις ιφόοnτωσης φ. Σι η ου,·tχεια, η ιικ ιίνn αυτή τέμνει

ιον κυριο οπτικό ιιξονα στην επιφάΥεια ιιου διαχωρίζει tO\' αcριι nπό ιο yυα..Ιιι Η φωιrινιι ιικιίΥιι ι·ξέρχειω υπό yω­ '~ιι φ ως ιιρος τον οmικό άξογα, και οε

u11ύuιιιοη L από το σύστημα Οα έχει αnοκλiγει αrι' αυ ιό\' κιιιό φL.

Σχήμα

11

8

αι<τινα του Σχήμn ιος

8

η οποία

ιιροσιιίιιιει οΙον πρώιο ημικιΊλινδρο δεν υφίσταται διάθλαση. εξέρχειοι

ucδiol.

ιιοl?lω + ιωRLι.ιι ~Ο.

κ ατό τον οποίο μειώθηκε ο χι;'Ι{Ιόc; ωίι

Σχήμα

τrιοιου κΙJ.\1\·δρου εί\'αι ομοyε'τς και

Έιοι έχουμε

V =-

68

(,

or

ι·

όμως οπό tO\' δεύτερο ημικίιλινδρο υ ι-ιό yωνίη φ ως rιρος τον κύριο σιιι:ι ­

κό ίιξονα. Ι Ι αnόκλισι\ tι)C; από αυτόν σε ιιπόσιαοιιl. οrιό το σύστημα θα εi · ναι πόλι φL 1!1\" υιιοθέοουμε, βέβαιο, ότι

t:πομrνως. ο rnω ιφι κός κ ύλl\·δρος

Rι Επομι\νως, η λεπιη κυλιΥδρικη δέ ­

nερισιptΙφι·ιω μr διιι.\άοια ταχύτητα

σμη συyκ.\ίγει οε tνα tοχεδόν! σημείο

απ' ό.τι ο rξ~>ιrρικος. και με φορά οηι ­

κοηιί ο ιο σύστημα τω'' δύο φακώ,·.

θετη από ι η φορίι ιου.

και σιη συ,·tχεια καΟισταιαι μια Ο\1 ·

Στα παι>οΙJcη·ι·> θεωρήσαμε ότι η

,-ηe,σμε,·η nιιοκ.\ί,·οιισο tκω\'ΙΚήΙ δέ­

επιδραση του γηινοιι μαγ,·ηιικού πε •

σμη. Ο λόγος ιου εμβαδού ~ εyκάρ·

διου εη·αι αμι·ληιfn, κnι πως ο εσω­

mας ιομης ι ης φωιtl\'ης δέσμης προς

ιερικός κυλινδpος rιναι πολύ ελα ­

το αντiοιοιχο εμβαδόν της αποκλεί­

φρύς. Μnορrίιr vn .\ύοrιr πολι το

νιιυοας δέσμης σε απόσταση ι οπό ω

προ{!λημα Οrωιχ:ινlnς ιι~ ότι Οέτου · μr. ιιρωιο κύλινδρο:

or

κίν ηση 10\" εσωτερικό

σύοτημιι θtι εiνοι

S ι ·Sι "

Ιl' ι U~ 1 1400.


να σχιιματίσοuμε τη φιγοiφιι

βλέπετε στο Σχήμα

,z. που

F

9. Αιηή Ι} φιγούριι

μr. ω φrηε tαι στο επιθυμητό τετράγω ­

Σ46 Όταν δύο αριθμοί έχοι/\' άθροιομο

101. τότε είναι πρώτοι προς αλλήλους, διό11 αν ~ίχα ν κοιν6 διοιρέτη, αυτός θα διαιρούσε το 101. Το 101 όμως είναι nρ<~tος αριθμός. εnομένως ο μοναδικός

νο, ΟΥ tl]l' κόψουμε κατά μήκος ιω1•

διaκεκομμένω1· γραμμι;>Ι'. Υπάι>χοuΥ επίσης και άλλες λlιοειι;.

Σ50

ο

χ

διαιρι'τιjς nou eίΙ·αι μικρόU:f>Ο<; από tOI'

Το συνολικό ιιλήθος οyι~J\rων σι: ένα τουρνουά. όnοιι κάθε ιΗιiκιι1ς

Σχήμα

εαυτό του είναι το 1. Ο Κ(ινόl'\ις του παιχνιδιού θα μπορούσε να διατυπω­

αγωνίζειαι μι: ιlλοΙJς ιοuς υπόλοι ­

τιlρι κάτι τέτοιο είναι cιδίη·ο ιο, κ ω

θεί και ως εξής: •Πιιfξε στιι κουτουρού,

χοuν

πους, είναι

k

1',, = ιι< 11 -

1 Ι /'2. Α ν υηάρ •

αγωνιςόμενοι εκτός από tι)v

και ι} \Vίιιιιίe κφδίζει•.

Αμαλίιι κιιι τον Νίκο. μπορούμε να

Σ47

γράψουμε Τ, < 23 < Ί~ . ,. Αφού Τ• = 15, Τ.= 21. Τ. = 28, 1~ : ~6. το k είΙ'QΙ

Α1· ιο

2'""'' cιποτελείιω

φ ία και ιο

;; '""'' από m

από

11

ψΙ}·

ψηφία. τότε

.

,

δυνατόν vcι ιιάρει δiιο τιμές:

k =6

και

10

σπάζει κάτω από ι:η δύναμη ιης πίεσι)ς του νερού.

9. Βλ. Σχήμα 10. 10. Ι! περίοδος μειώΙ·ει<ιι

οτο μισό.

1 ι Ενόοω το ελατψιο είναι ιεντω μένο,

w

σώμο Α πέφτει με εωιίιχυν­

Και ους δύο ιιεριπc.ώυεις co nλ ήθος των πιιρτiδων που δεν παί •

οη μεγαλύτερη της επιτάχυνσης ι ης

10"' < 21.~'> < JOI) και 10'~ - 1 < 5 1 fιQ.~ < 10m. Jlολλαπλοσιάζονιας Κ(Ι tι'ι μ{-λη

χτηκαΥ

εηιιίJχιιΙ•οη μιιφόιι;ρη της επιτάχυν·

αυτές τις αΙ~σότι}τες uιιίρνουμt:

περιτ,ιο. Αυτό οιιμαίνrι ότι ΙJ Αμαλία

1

10"' ·'- 2 < ΙΟ'""<

k = 7.

128 - 23

ιi

36 - 23)

είναι

κω ο Νίκος δεν έηωξcΊΥ μι~tοξύ 1ους

ιο•·m.

ελεύθερης πτώοης, κ<ιι ιό σώμα

8 με

σης τι]!; ελεύθερης πτώσης,

12. Ο χαλαζiας έχει πολύ

μικρό συ­

-διαφορεηκiι, ιο ιιλιiθος tων ηοιχΥι­

ηελεοιή γραμμικής διαστολής. Αυτό

n + m - 2 < 1.995 < n + ιιι ή 1.995 = n + nι - Ι. επομένως. το συνο •

δι~>ν ιιου δεν θα είχαν παίξει θα ιίταν

σl})lαiνει ότι, παρά ης μεγίιλι:ς μι:τιι ­

άρτιο Ιαφοιί ο κ<ιθένης τους δεν παi­

βαλtς της θερμοκριισiας της ράβδου, οο

λικό πλήθος "'''' ψηφίων των δεδομέ ­ νων <φιθμι;>ν είνιιι 1.996.

ζει το ίδιο ιιλήθος αγ~>νων).

μι\κος tι)ς οχεδόΙ• δι;ν αλλάζει, επομέ ­

Έπειω ό ιι

ΚαλειδΟσκόπιο

Σ48

1. Σιιι δι;ύ ιερη ιιερίιι ι~χ>η.

Η μιιόλσ κ η ιά tι1ν πτήση της αΙ'tl·

2. ΔεΙ' ασκeiται καμιά δi11•ιιμη. 3. r\αι. διότι η ααραμόρφωοι} μιας

μετωπίζει -ι:tl'' αηiσταοη ιοu ω'ρο κι11 tισι χάνει συνεχώς ενέργεια. Εηομέ ­

νως η ράβδος δεν ιιορσμορφώνεται ση­ μα1·ιικά.

13.

Όταν πυρακτώνεται το σύρμα,

η μέση απόσταση τωΥ ατόμων του αιι­

ξίινει κω οι μειuξύ τους ελκ.ιικές δu • γfιμεις ελαττώνοηαι.

Ι·~χ;. η συνολ ι κή ε1·έργεια που έχει η

δοκοίι ι:ξιψιιίιοι ιιιιό t0 ιιού εφαρμό · ζονται οι δυνάμεις.

μπάλα σε συγκεκριμένο ίι ψος κο1.ι\

4. Όχι. Οι επιμηκύνσεις ιων δiιο

την άνοδό της εi1·αι μεγιιλύιερη οπό

οuρμά cων δι; ν θn είν(Ιι ίσες διότι ο σi­

ιην tνi:ργειο που έχει στο ίδιο ύψος

δηρος κnι ο χαλκός δι;ν έχουν ίσα μέ­

16. Το

καrά Ο)Ι' κάθοδό tΙJ<:. Εφόσον η δυνο­

φα ελοστικόιι)τ<ις

1\fικροπειραματισμοί

μικιi ενέργεια είναι η ίδια κω στις δύο θ{:σεις, η ιαvι}τικιί ενέργεια ι ης μπίιλας.

Η σχετική Ι ή κλαομα ιική ή κα1 ανι]γμέyη) επιμi1κυνοι) ιου ιιριοωυ

τέντ.ωμα

&ΙJΟμέν~χ; και η ταχύτι}ιά ιης. θα είναι

ούρμcιιος είνοι

μικρύΥει.

μεγαλύτει)Jι όταν αΙ·eβαfνrι ιι(ψίι όων κατεβαiνεL Άρα. ο χρόνος ιης καθόδου

αΙ-τiστοιχ,Ί<: του δεύτr.ροιι. Η ωιόλυτη

θα είναι μεγαλucερος ωιό το χρόΥο

ναι

nJ<:

ανόδοu.

Σ49 Μπορούμε να κόψουμε το κιβώτιο κατά μιiκος τεοοόρων ηκμώΥ ιου και

_.....•'

.

~--~ -- - ··· ·

/

'

' '

~--···

-·-· -··

..

..

Young.

5.

4 φορι'ς μικρότερη τι]!;

14. Ναι. αυξάνει. 15. Μετιιτρέπετα ι oe r.σωτερικι] εΥέργεια του διαλύμιηος.

χάλκινο ελατψιο.

θα πέσει ελεύθερα, διότι κιιτίι ιu

•1 διάμετρος

ιοιι οωλήνα θα

ηαιχνιδότοπος

εmμήκυνση ιου ιιρι~ιοιι σύρματος εί­

2 φορι'ι; μικρότερη της αντiστοι)(ΙJς

1. Ο πρώτος ιιιιίκ cης κερδίζει αν βά ­

του δεiιιεροv. 6. Προκειμένου η εmμήκυνση ιων

λει το ιιρι;ηο νόμιομο στο κέντρο του

ελαχφίωγ να μην ξι·περάσει τα όρια

κίιθε εηόμενο νόμιομα συμμετρικά <ως προς ιο κέν ιρο 1 μr w τελευταίο νόμι •

ελ<ιστικόιrιιίιι:; τοιις. 7. rια ν(Ι μεi(~Ι'ετω I) δύ1•α μη tΟυ

~· ·••• •,-••••••

·-···

.

Ί

οnαρrιφfσμιηος του ψα­

ι.ροιιεζιοiι κιιι σu,•ελ-iσει τοποθετώντας

σμα ιοu ανιηιόλοιι ιου. Αυτ;ό είναι

ριοι'J όταν nΗiΥεται σw α·

πc'ιντα δυνατό'' εrrειδή η θέοη έπειτσ οrιό κάθε κίνηση του nρώτου παίκτι}

yκίστρι.

έχει κενή tη οιιμμεφική της ως προς

8. Όταν η σφαίρα δια ­

το κέ:ντρο.

.

ιιι:ρι'ιuει το τοίχωμα του πληστ1κού ποτφιού, αυτό

στο τέλος του όρθροιι μπορεί ΥΟ χρη ­

ιωρομuρφ<;>νι:ται , αuξάΥο­

σιμοποιηθεί και στην ιιερίπιωοη ο ·

ν-ιnς οε c)γκΗ κιη(Ί ιιοuό,·

ιιοιουδήιιοιε ηεριιιοίι 111. με τψ εξijς

ίοο μι· tOI' όyκο tιjς σφοi­

μόνο διαφορά: ο αριθμός τέσσερα πρέ­

ρ<ις. Γιιι ι'Υιι yυάλ11·ο πο-

nε1 να αντικατασταθεί αηό ω

m. και τα

OUANTUMΙ ΑΠΑtΗΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ λΥΣΕΙΣ

69

r- - •• - ••

Σχήμα

9

2. 11 οφαιηγική ηου περιγράφεται


διαστήματο που θε~φήσομε στο άρθρο

2. Το δροκό\'!.cιο σχέδιο

μετατρέπe ­

με και ότι τα γράμματα των θέσεων

1-

ιω ΟΊ.Ο κα ιο11 φικό ι.ου. Σ ι φ• κωδικιi

7

+

λέξη τα γράμματα Α αΥτικαθίσταηαι

λέξη, άρο μπορούμε να γράψουμε και

1)k Έπεται ότι ο πρώτος παiκτης κερ­

με Δ. και αντιστρόφως. ΕπομέΥως. αν

άλλα:

δiζει για κάθε Ν με τις εξής εξαφέσειι;:

πάρουμε μιπ δρακόντεια λέξη και αλ •

όταν Ν= Ο mod (2m+ 2), οπότε κφ ­ δiζει ο παiκτης Α ότα'' Ν = 1 mod (2ιn

λάξουμε όλα ια .4 με Δ και όλα τα Δ με ιl. η νέα λέξη θα περι γράφει μια

Χρηοιμοποιώντας ακόμη μία φορά

+ 21, οπότε κερδiζει ο δεύτερος παiκτης· και ότσν N= <m + 1J mod (2m+ 2J, οπό ­

όμοια δρακόντεια καμπύλη. Δηλαδή, οι

απο ιέλεομα του ηρ<Jβλήματος 5β. βλέ­ πουμε ότι τα τρία πρώτα γρά μματα

ιε κερδίζει ο παίκιης Β. Ο νικητής,

δ\ιο καμπίιλες θα έχουν "}" ίδια μορ­ φή. ανεξάρι:ηιcι από το μέγεθός wυς ή

όnο1ος και να εiγοι -ο πρώτος παίκτης.

ιη θέση τοtις.

νιεια λ~. Αυτά μας επιτρέπει να συ ­ μπληρώσουμε τα υπόλοιπα κενά:

πρέπει ιινtiοτοιχο νο ογτικιιτcιοτα­ θούν από τα (m

+ l)k -

nι ~

s

~ ιnι

1

ο δεύτερος, ο Α ή ο

8- ακολουθεi <ιπό

3. 'Εν(ι

εύκολο ΙΙήpίιδειγμα εί\·αι η

σχι]ματiζουν επίσης δρακόντεια

ΔΑ_Δ_ΔΑΑΔΑ_Α_Δ.4.

w

πρέπει επiσης να σχημιπίζουv δροκό ­

τψ πρώτη του κiνηση τη νικηφόρο

ΑΑΑΑΑ, αφού μια •δρακόν ιεια λέ­

στρατηγική, εκτός από τις περιmώσεις

ξη» nρί~nε1 ΥΟ έχει 2"

που Ν= 2.

όπου n ιικi:ροιος. Αλλίι cικόμιι και cιυτό δεν αρκεί. Μπορεί τε να επιβε­

Στι}ν πραγματικότητα, αυτή η κ ατα­

δiζει (του πρ<~τσυ) είναι άρrια.

βαιο)()ετε ό ιι δεν UΙΙάρχει δρακόν reια

αν θεωριiσουμε στην αρχή τα πρι~cη

Η νικηφόρος υτροτηγική γιιι τα ίψ­ τια nι είναι παρόμοια. Όλες οι τιμές του

κομrιύλη ι{ιξης

η πρώτη

3, ..., m mod <2m + 2). οπόu: κiνφη του παίκτ.η που κερ ·

Ν διαιρούνται σε διαστήματα της μορ ­

2

ΔΛΑΔΔΔΑΑΔΑΑΑΔΔΑ.

ι yριΊμμαιn,

αντίστοιχη με τη

λέξιι ΑΑΑ.

σιιευή γίνεwι ευκολότε(κ• ιη·τίοηχ>φ<ι, τρία γράμματα, μετά το πρώτα επτiι, κ.ο.κ. Αφήνουμε tΙl σχετι κή προσπά ­

4. Αν w είναι

η αρχική λέξη, τάτι: η

w <δείιε

6. Γενικά,

φής (m + 2)k + 1 ~ Ν ~ (πι + 2J(k + lJ. Αν Ν= (m + 2)k + όπου 2 ,;; t,;; (m +

δεύ ttpΙ] είναι

t;

5γ). Αυτό αληθεύει για κάθε διαδρο­

διαφορετικά σχέδια. (θεωρήστε. για

1 ). ο πρώτος παiιtι:ης ξεκινά με μια άρ­

μή -για ια δρακόνιeια σχέδια ο με­

παράδειγμα, το σχέδιο με την κωδική

τιο κίνφη που αφήνει απόθεμα iσο μι·

τασχημα tισμός α υ ιός

+ 2)k ή ( m + 2Jk + I. Αν Ν= \πι + 2 ιιk + 11, ο πρώτος rιαiκιης ξεκιν{ι

αrιΜ:>ς με ιην ανιικαιόοοοοη του με­

λέξη ΔΔΑΑΔΑΑΑΔΔΑΔΔΛΑ.) 7. Υποθέτουμε ότι η ευθεία ΑΒ εί ­

σαίου γράμματος της 1v με το '•α ­

YOJ οριζόντια. Το πλήθος των τμημά ·

παiρνοντcις ένα βόλο. και στψ επό­

ντίθετό .. του.

τωΥ ιης διαδρομής της χελώ,·ας οιu

(m

μενη κίνηση παίρνει περιττό πλήθος

ι.ο rιρόβλημσ

θεια γιο ιον αναγνώστη.

ισοδυναμεί

tά δίιο θι:~φήματα δίνουν

(α) Με μερικιi παροδείγμαιιι γί ­

οηοίη ηt.ρΗότησε προς το δεξιά ισούτcυ

βόλων. ώσιε ν' αφήσει αιιόθεμα ίδιου

νειαι φανερό. (β) Αυτή είναι απλώς η

με το πλήθος των τμιwότων στα οποία

μεγέθους με ιο ιφοηγούμενο. Ακο­

εηαΥαδιατύπωση του Θεωρήματος

I

περπατφε προς τα αριστερα, επομενως

λουθώντας αυτόν τον κανόνα, ο πρώ­

στη γλώσσα των λέξεων. \γ) Αυτή

ιος rιαίκτης Οα ουγκtνιρώνει κάθε

αποu:λεί εnαναδιαιύnωση tου θεωριj ­

το συνολικό τους πλήθος h είναι άρ­ τιο. Ομοίως, το πλήθος τω\' κάθετων

φορά άρτιο πλι\θος βόλων (και θα κερ­

ματος

2. Μπορούμε να γράψουμε αυτό

τμημάτων της διαδρομής εiναι και αυτά

δίζει υποχρεωτικά) εκτός από τις πε ­

το αποτiλεσμα αλγεβρικά:

ριιι ιώσεις που Ν= 1

5.

'

'

άρτιο. Όμως. τα οριζόv-τια και <Ο κόθε­

mod (m + 2). Σε

ιο ηιήμα ια εναλλάσσονται, κω αφού

αυτές τις ειδικές nεριmώσεις ο δεύτε· ρος παίκτης έχει τι} δυνατότητα να

.

το συνολικό ι.ους rιλήθος h + v r.i\'αι άριιο, /ι = ν. Άρα, το /ι + ,, = 2b διοψεί­

wιW = ~vRW και

εφαρμόσει την ε,- λόγω τακτικiι ανε­

τω με το 4, ο συνολικός χρόνος εiναι

ξάρτητα από την αρχική κίνηση wυ

ακέραιο πλήθος"~";)\' κιu τιι τι:λεuτ<Uο

τμήμα είνω κάθετο.

αρ<:)του. Επομένως εδώ κερδίζει ο δεύ­

Πορcιτηρήστε ότι μια λέξη πρέπει να

τερος πω'κrης. Προσπαθήστε να επεκτείνετε αυτή

ικανοποιεί την εν λόγω συνθήκη ώστε

tην ανάλυαη και

παιχνίδι όπου ο

κόνιειας καμπύλης. (δ) Έ'·α παράδειγ­

uαίκιης Α ιιερδίζει όιαγ οιιγκενφώ­

μα θα κάνει φογερή ιη\· ιιρόταση. Ας

οει rιεριιιό ηλήθοςβόλωΥ, ενώ ο Βκεp­

καιαοκευάοουμε μια λέξη ιάξης

δίζrJ όι:ιιν ιιιrοχρεώοει ιο'' Α να ου ­

δεδομένα ιέοοεριι ιυχαία γράμματα

η οrιοία είγαι ίση με τη γω,•ία

γκε\'ιρώοει άρηο ιιλήθος βόλωΥ. Το

ο ης θέσεις

Έτσι, με βάση τα σύμβολα του Σχήμα­

oto

αnοιι-.λέομοτα θα εiναι παρόμοια αλλά όχι ίδια.

Δρακόντειες καμπύλες

να μπορεί να είναι λέξη κάποιας δρα­

ιιαι

1. 2. 4

ΔΑ Δ

4

με

8:

Α

- ---

-------.

Είναι θέμα αρχής 1. Αφαύ ηΑΒπρέπει ''α εiναι μικρό­ τερη από την BC, η γωνία ΒΑ C πρέπει να είναι μικρότερη από τη γωΥiα BCA.

DCE.

τος η μπορούμε να γράψουμε σ

< β.

Ομοίως καταλιjγουμε στις α\•ισότητες

Από το πρόβλημα 5β συμπεραίνουμε

β< γ< δ< ε< α. πράγμα που μας οδη­

ότι ια γράμματα των θέσεων

γεί στην αγτίφοση: α

7-15 πρέ­

< α.

1. Το μήκος της ταινίας ήτα" μικρό ­ ~ρο: 2"" cm = 1.024' εm :; 10.700 km,

πει να εlνοι ια συμ11ληρώμαια ιων Επομέ ­

Β, και 82 του ση­ μείου Β ως προς τις πλευρές της δεδο ­

ενώ η αnόστασιι τι~<; Γης από τη Σελή­

νως, μπορούμε ήδη να γράψουμε με·

μένης yωνlιις (Σχήμα 12) εlναι συμμε­

νη είναι 384.000 km.

ρικό αηό

τρικά μεταξύ τους ως προς την κορυφl]

L Ο mη.ιβολισμός .< ".Ι' mod z muιιύνr.ι ότι

w χ - .\ι διnιρείτοι <ι κρtβ(;χ με το z. 70

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

γριιμμάιων cων θέσεων

1-7.

(lU ι:ά:

ΔΑ Δ

Α

Α ΔΑ.

Όμως αιιό ω ηράβλημα 5β γν~φiζου-

2. Τα συμμετρικό

0 της γωΥίας. Επομένως ΒΑ+ AC + ΑΒ =Β, Α + AC + ΑΒ1 > Β, Β, = 2Β1 0 = ΖΟΒ (αφού το μήκος μιας τεθλασμέΥης


D

νίο

BADI = 2α. Ειηηλέο''• η γωνία BCN βαίνει στο ίδιο τόξο ιου κύκλου BCMN

vτρικό και τα δύο που βρίσκοΥ cαι κά t(o)

με ιη γωνίο ΒΜΝ. κοι εrιομένως η

κ{ιθε φιόδα νομισμάτωΥ που σχημα ­

γωνία αυτή είναι ίσιι με α =1 f2 Ι γωνία BClJJ. Κατά συνέηει<ι, η CN είναι η δι­

τίζουΥ γωνία. πρέπει να αφαιρεθεί

χοtόμος ιης

πρέπει να είναι οπωοδήιιο ιε κορυφή. Τότε όμως είναι αιιαραίιηω ΥΟ μετα­

BCD.

Πιφομοίως, αν η

γωνία

CA-ill = β, η γωνία Ml)C=l80'2{3, η γωνίο ABC = 2{3, ιι γωνία NBC = 180' - (γωνία NMC ) =β, και επομένως

από το κεντρικό. Παρατηρήσιε όιι από

ιοuλάχtσtον ένα νόμιομα και ιο ένα

κινηΟεi εrιiοης και ιο κεντρικό νόμι _, σμα.

η ΒΝ είναι διχοτόμος ιιις ον ιίοιοιχης

.

Αφού το γινόμενο είναι ηερι ι ιό, έηε ­

γωνιας.

Σχήμα

11

4. Νοι, θιι ω κιι ιαφέρει. Jlρέηει γα

τω όπ όλοι οι αριθμοί είναι ηεριιιοί κοι

επιλέξει εκείνο ιο '·όμιυμα που το κέ­

το άθροισμα τεοοάρων περιιtών αριθ­

''tΡΟ ιου αιιrχει τη μικρότεριι αηόστα­ α η ω ιό ιο ιίκρο WΙJ τραπεζιού (θεωρού ­

μών είναι άρτιο.

3. 130'. 4. Τον μέσο. 5. Ναι. !Ία παράδειγμα, ένα ορθογώ­

με ότι το φαι1έζι ε.ίνω uρθογώγιο/, και γα Β,

'' \

\

μει.ιικινήσει ιιρος το άκρο nκο­

\

ο~,-~ c'-ί---

I '

ιια κάηκαν tελείως.

μο του, τ<'>τε το κέγτρα τ.οu δείιιερου

7. Το εμβαδόν είΥαι Ο. αφού 35 = I7 + 18. 8. Εδώ το Qιιantunι είχε σκοπό να

άκρο τοιι φαιιεζιοι) οπό ι.ο κέΥτρο του

3

του γομίσμαιος.

αριθμοί

είνω

I I I I I I

3. θεωρούμε ~"α σημείο Μ ηά"ω στψ πλευρά AD τέτοιο 6)() tε ΑΜ = ΑΒ (και. επομένως. MD = CD-Σχήμα 13}. θεωροίιμε r.πίσης το σημείο Ν στο οποίο ιέμγογτ(ΙΙ η AD και ο οεριγε­ κύκλος -ιοu

rριγώνου

BCM. Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι ΒΝ και CN είναι οι διχοτόμοι των γωνιών ΑΒCκαι BCD. Αν η γωνία ΑΜΒ= α, τότε η γωνία ΑΒΜ = α (-ro φί γωνο ΑΒΜ είναι ισοσκελές}, η γω\•ία BAD ~ 180' - 2a, η γωνία BCD =180' - (γω-

Σχήμα

i24.

για τψ ακρίβειαι, δεν υ­

vo

γίνει ο nολλαιιλαοιαομός με

με ισχυρό υπολογιστή). ΕνΥοείται ότι

δεν είχαμε αrιιιίτηοη

\'U

κάνει ο ανα­

γγώστης κάπ τέτοιο. Αντίθετα, θέλα­

με ΥΟ διαmστώσtι το άσκοπο της ερώ­ τησης!

Πόνι:uκ;, κάΥΟΥτας εκτιμήσεις όπως για ια ιιροβλιiμοτα ~'ermi τ.ου ιιαρό­ γτος τεύχους, μπορεί να οποδείξει

14

κα,•είς ότι

5. Θα θεωρήσουμε ότι

w ζητούμενο γl\•όμενο αιιο­

η πλευρά ταυ

cελείτω από 79 ψηφία. Ειιίσης αrωδει ­

cετραγώνου έχει μοναδιαίο μήκος. Τότε κάθε λόγος s ( b είγαι μ&γuλύιε ­

κγύεται, αλλά με κάποιον κόηο, όrι ο

ρος από το γιΥόμεγο Εηομέγως,

nb,

αφού

b < Ι.

αριθμός μας αρχίζει με ια ψηφία

272539

(και έnονιαι ι\λλα

73

ψηφία).

tO άθροισμα όλων των λό ­

Ως εύκολη άσκηση, ας δείξει ο ανα­

γω\' είναι μεγαλύτερο από το άθροι­

γγώστης ότι ιο ιελειιιαίο ψηφίο του

σμα των αντίστοιχων γινομένων, διι·

γινομένου εiνω το

λαδή το άθροιομn ιων εμβαοοιν όλωΥ

9.

των ορθογωνίων. Αλλά το άθροισμα αυτό απιπροοωnεύει ιο εμβ<ιοο\' του '

10. Εξακόσια

.

.

τετροyω,ιοu , και εnομενως ειΥαι

με

. ισο

(Δείτε ιο Κtιλειδοσκόπιο τοu rιροη­ γούμενου τεύχους) Προβλήματα

1.

5.

Τέσσερα χιλιόμεφα.

χιλιόμεφα.

11. Το ψηφίο Ο. 12. Ιστορία δύο πόλεω•• (ιοu

Κάρο­

λου Νtί~ενςΙ. Μεrά είκοσι έτη (συνέ ­

1.

Ψυχαγωγικά μαθηματικά

13

υηάρχουΥ πολλοί ηρώωι

ιον επίπονο φόηο που γνωρίζουμε (ή

απόσταση των άκρων της).

Σχήμα

99

ζηιοίιμενο γινόμεΥΟ. Ο μόνος τρόπος

c

γραμμής έίναι μεγαλύτερο αηό την

έως το

πόρχει σύνιομος φόιιος Υα βρεθεί το

I

12

γραμ μένος

μεταφέρει ένα δίδαγμα: Επειδή ιιnό ω

πρώτου νομίομαιας, ιφι\γμα που αντι­ βαίνει σιο κριιήριο επιλοyής του ηρώ­

Β,

Σχήμα

6. Απέμειναν ιρiα κεριά. Τα υπόλοι­

ντήσει κάποιο άλλο \'όμισμα στο δρό­ νομίομαwς θα βρίοκεωι ηιο κογτά στο

'\

νιο φιγωνο.

οδό (Σχήμ<ι 14 /. Αν το νόμισμα συγα ­

Α

\

to

λουΟών caς ι η οuν ιομότερη δυνατή

Β

Δεν υπάρχουν tέτ.οιοι αριθμοί.

2.

χεια του Οι rpeις σωμαιοψύλακες του Αλέξανδρου Δουμά), Είκοοι χιλιιi&:ς λεύγες υπό rη θάλασσα (ιου Ιουλίου Βερν).

13. Το

Τέσσερα γομίομαω. Γιο ιιαρά­

δrιγμιι. ιο ιιιο ιιάνω νόμισμα . το κε-

τρίγωγο εί,•ω έγα ιοοοκr.λές

ορθογώνιο φίγωνο.

14.

Η γωνiα παραμένει ίοη με ι•.

OUANTUM Ι ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

71


Η

2611 ΟλUιΠάδα Φυσιιcής

('

{1tίf τ, = ~τ::β. <οχrιικισnκή θrιφηοη Doppl~r ι

Πρόβλημα ι

ι α Ι Ενα φωτόΙ'ΙΟ f:>;tΙ ενεργό μίψι ιιδράΙ·ειας σι, όιιου h(

ιnc' = hf.ή ιη • ι·

ΙΗ

c

οιιου

fr

θι•ωρούμε έηι φωτόνιο rνι'ργcιος hf και μάζος ιιι που δίΙ•ηαι από ιη σχέση ιl ι το οποίο ε κπεμ πε ται uρος ιο ιιιινω σε μια απόσταση ι· από το KtΙ'tpo ιου άστρου. Α ~ι το

για 1·α διαφύγει θα χαοrι rνέργεια: Λ.ιlα)•ή οrφ· c•·ipι·rιn φωrοvίου

= ιLI.Ioyή οι η δυvα-

μ1ιιιι r•·rρι•εΙα .

ι

1

οο

=(ι - fJ) ι '( ι +β ) " ;;ι ι - β. εφόαον β« ι .

Χρηαψοηοιώηας ιt}Ι' κλnσική θεώρηση του φQΙΙ'Ομr -

('

ιj

hf.,

--lιf- GMιn, ι

. f: 11. : cιρχικη,

ι·

ιη

I

: n1

GΜι ιu; )

hf

Ι

= ~. Ειοι: /ι{1

cJ

l'C•

'

Γ(.'

1

nρος το

f. αύξηση ταυ μήκους κύ­

την tnιφάνeιιι tΙ•ός (ιοτpου ακtίΙ•tις R_ έχουμε

φωνtται απο ω ι·. οιο

hf -hf, = -

=-

ι3J

GM(:U,)[_!_ _1_l_

r,

Mr τη" υηόθι~ση οτι m 1 a ΙJJ,

c

r,

ΙΊ

J

C'

ι

επιφlινεια αστρου ακtίΙ·ος

38.90

;J,;!Λ2

0.026

0.298

19.98 !3.32 8.99 6.67

3.279 3.195

0.050

0.30!ί

0.07() 0.111 0,150

0.313

~.077

2.9.;5

o.w. 0.338

φικιi παράστασΙJ.

R. 1 _

R

Lfl'l\

ι·

'

R +d

-

"""

I d l ψ'JII /m) •

ι

d από

τιιν

Rc' )R=(IR =3.2 · IO''m. ( GM

η παραπάl'ω σχέση γίνε-

Ι

' ...

Η κλίοη της ευθείας ιφοκύn τrι όιι είνω ίσιι μc

ι·

I'

:

β= GM [ 2

cβι

Επίσης. η ευθrίn τεμ ,·ει tΟΙ' άξονα rω1· Ι β σ ιο

141

f Rc') • n = 0.<19105 ΙΟ' . \ GM ι

οιιχΙ·ότητa του φG.ΙtοΙ· ίου ιιρέnει Ι'α ρεταιοπιuτεί.

λόγω Doppl~r. προς ιιι ιτiσω. αιιό ι.ο f1 στσ

f,. ώστε νιι

nρο ­

κληθrί συντογιομένη διέγερσι1 "~" ιό1·των Jlr' στο δια­ στημόιιλοιο:

72

ιιpι ιοΊ

--f. τελικά οροκύnτ.ει:

Σι ο περιγραφόμενο πείραμα γιιι απόσταση

li

Ι ιd(ιιrΊι I m

/ι(

_!L = 1_CM [_!_ _J...J.

c

pnoΊ

ιΊ νcιι :

r,

ιαι

dllO')m

""' φωτο1·ίου ιτου αΥυ·

GMιn, _ GMnι, Ξ

(

Εύκολα ιιροκ(ιι•u·ι ο εξής nίνοκας.

Από nυτόν μnοροίιμr Ι'α σχεδιασουμε τηγ εξιiς yριι ­

GM

.tβι II αλλαγή . στην rνί·ργrια . r,

1/ d.

·fJ ως

)

ματος .\ Ι. Τελικά για έ1·α φωιόνιο που εκnέμnrιαι από

r

l6 I

R +d

Θα σχεδιάσουμε τη yραφική παράστασι) ιυυ ι

Το μrίι>Ι' οrηοχiοη ι 21 δειχηι μειατόπιοη προς ιο ερυ­

Δf

R

ιιnοιελεοματική γρσφικη λύση. Κή,-οησς rιρόξrις στιιν 16 1 βρισκουμε:

Ι 21

Ορό Ιμείι.ιοη της οuχl'όrητας

κω r4ι προκύn ιει ότι

P=~~fιR:d)R} η~=(~~;)-[:+!]. ιϊι

GM ].η f,,=_( 1---:;GM ). Άιια: - hr[1 ---:;ιJ /ι rr1

161

<51

:\1r βάση τα nειρομcιιικ(ι δεδομένcι. ψάχνουμε γιcι μιιt

\ c· hf, - - --'-...:......:. r

-

Ρ.

c'

ι. Οο έχοιιμr

f

r,

συηοησμι'Ι·η αnορ-

Ρ ~ GM[_!_- ι ]·

λ ').

τε ικη

Ε:φόοο1· η μειαβολη οτη1· rνέργεια του φG.Ιtοηου ει­ Ι·ιιι μικρή Ι Δf «

r,

-~ ι -

/ = 1 -β. ~;φόσΟΙ' η

f, yιa

ιιρι'πει 1·α εί1·αι ιση με το

Τόu ιωό tις σχrσεις

r

r

1·ου Doppler. έχουμε αnευθriας;

ροφηοη, έχουμε:

GΜιιι, G _.:..Α!~ιι~'·] - - [--

hf -hf = -

rί.-ιιι η συχνόιηια όπως λαμβάνε-ται ιωό ιιι ιό ­

ντα ιι~· μέσα στο διασιημόιιλοιο. Έχουμε:

=μ(ί(α αδpάvι·ιος, και

Υποθfιουμε ότι: βαρvrικιj μά(α

f'

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ι ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

rνι;ι αl'τίστοιχα Ι) ειιθ~ιιΙ μας τέμνει ων όξονα ιων ι ο ω σημείο

ι9ι

/d

- 1 I R.

Οι ιτοοόtητες Μ και

R είγα ι

διιν(ιτ<)γ να υnολογιοτούν


από τις οχέοι·ι~ <81 κιιι (91 και με tιJ βοήΟεια της γραφι­ κής ιιnριiστασιJ<:. Α ντικαΟιστών ιας ια ιιριθμηtι κ(ι δrδο­ μέ,·α προκύπτει όιι R = 1, I I Ι Ο' m και Μ = 5,2 · 10'" kg.

ημθ c -- =-

θεωρούμε μια μικρή διαδρομή της nκti\'Oς d.< και ι η θεωρούμε ιοιιικά ως τόξο κ ύκλου ακτίνας R. Σημrιι;,οτε

Ι γΙ ( ί l

οτι το

+ hf

R

m1

φωτο,~ιο

Q\'OKpGVO\'

οιομο ~~~·

Η ορμη του φωιονιου δινεtω αιιο ιη οχcοη p = και η C\'tργεια του φωτονίου αιιό ιην Ε :

hf c.

του- και ιου - . λς ~-

ότι Ε = m,ct, και για την ενέργεια μετά τηΥ εκιιομrιή

J

Ε = p'c' + m~2 c' +/ι(. Εξιοώνον ιrις ιωτές τις διίο οχέοι:ις, λόγω ιης διιιτήρηΟιJc; ιι)ς ενέργειας. rιροκ\ι11tει όtt

:

σm·Ο · dθ= ιμΟ,

{ιn0 c 2 )

1

211fn1QcJ

-

ω;/c•. ιi

/ιf(2mI )cJ.) - (ιrJl!I

μc

c = c0 + b7.,

= (nJ11 ιιι~~ )cl(ωu + ιι(.)c

01

dc.

έτσι

dc = bdz και

dz =

C11

c•

οuν

0u

1 -b συνθdΟ.

Επiοης μπορούμε να γράψου μr- (ον Οεωρήοουμε το ds ευθύγραμμο ιμήμο Ι

dz = dsσυνθ.

ds =

ι:

ι

~ - dθ. ημ ο b

ds = R = c, dθ

ημθ.,

Ι I>

Αυτό το αηοrέλεομπ έχει εφαρμογή ιιυοιιJι>ό γιιι μι ­

κρού τμήματος τόξα ds. Σιιμειώσ ιε όμως ότι από tiJV rξί ­ σωοιι (I ι nροκύπ\ει πως ισχύει γιο όλο τα Ο, δηλαδή όλιι ια σημεία κατά μήκος της ανοικ ιής ψοχιάς, ιο οι1οiα

= ΔEf:!m.,c' ΔΕj .δηλαδή

σχηματίζουν ιόξο κύκλου ο κ ι ίνας να εισέλθει στηγ ηεpιοχή z < Ο.

ι ω Από ιο προηγούμενο ερώτημα βρηκομε όη γιο ιο

4

ειωι:l'~νοφωtό,'IΟισχuει ηο;>.'Ι'οη hf =

l-

2~,] .

z =O

γιο τη\· ιιrριn ιωοη t\'lρycιας μη με­

ταmωοης. Έτσι ηροκυιιιcι ότι

ΔΙ

r,

R μέχρις όιου

η ιικri ­

-

z = z.

"

ht;

rmοης

• ΔΕ[2m0 - (ιιι, - ιιι;,)Jc•

/ιf = ΔΕ[1- 2ιιιΔΕc' ]·

και εηiοης ΔΕ =

ιμθο bdz = σm•θdθ, οπότε

Λριι.

ιη'ι)c' 11

R

Για τηy κατευθυνόμενη προς ω ηανω ακιίνιι, έχου­

- (/ιf)' + ΙΙΙ~'c '. •i z:

R

c.

Έιοι,

(ιιι,c' - Μ)'

R : dι/dθ

μr

μεi με τψ α .\λα γ ή 1ης ε,·rργειας 1ης μο(ας ψεμiας. δη ­

γ ια ι ην εΥέργεια πριν ωισ ι ην cκπομπη του φωτονίοΙJ

ιη συνιστώσα

Από τη οχεοη ι 11 έχου -

η εοωrεpική t\'tργrιιικη μετιιβολή 10υ ατόμου ιοοδυνιι­

Στο σύο ιημα αναφοριiς του εργαο ιιu>iου έχου με

RdO - dι

ds

προς το nάΥω.

Ano την ισοδυ\•ιιμια μα(ας -rνι'ργrιος προκύιω·ι οτι

λι1δή ΔΕ = (ιn,,- ηι~)c1•

8

tης ΟΚτi\'Ος η Οποία Ορ).'l · κο κατευθύνrται cιnό ιο S

hf.

Η οχειικιστική σχι'οη μεταξύ ι ης ορμής και Ι ης r'·έρ ­ yειος rίγιιι Ε2 - ριcι ... m~c•.

μrιορεi \'Ο πάρει

οnοιοδή11οτε ημή μεταξύ ρήοουμε

ατομο

ι 11

e.-- - R

"1

Rrnιθo

ΔΕ

= 2m. c l ·

Ι'ιιι τη μcιόnιωοη του llc' Ιn • 2 -+ lt nροκύητrι οπο

τη θε~Jρin του Bόhr ότι ΔΕ • 40.8 ι•V. ~:ιιiοης έχουμε όιι

ιn,c' = 3.ϊ52 10' ~ν. Τοιr η μειnιόπιση ιης ουχΥότητας

ισούται μr Δf =5.44 · 10 •. Αυιη η μrιnβολή είναι ιιολύ

r.

μικρή σε οχέοη μr ιιι μrιαιόπιση rιρος ιο rρυθρό λόγω rης βορύιηιος, η οποicι είνα ι cης τciξl)ς του 10 '. κιιι μrιο ­

Εδώ έχου με

c. z, = R-Rημ Ο,,=R ι 1 - ημθ0 ι= bιμΟ

,,

( 1 - ιμΟ,. )

ρεi νn ογνοι}Οεί σε παρόμοια ιιεφiιμιιια. Πρόβλιιμο

2

ια) Ο ''όμος ωυ Sn~ll μιιορι·i νιι ι·κφρcιοιεί ως

QUANTUM I ΑΠΑΝ ΤΗΣΕΙΣ VΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

73


(γ)

έτοι~τε: t ,.= ~[ιηεφ(~)Ι = -~ Jnεφ(~ )Παροιηpώντας όιι ι,~

21,,

έχουμε

2 Ιnεφ tι; = - b χ=Ο

.τ:Χ

Έχουμε:

Χ = 21Wυνθ0 =

σφθ0

nou δίνεται από τη σχέση t = Χ I c0 , και από το δεδομένα θα έχουμε t 13 = 6.6666 s.

bX

=-2c.

Η αξονική ακτίγα καΟυστερεί περισσότερο απ' ό,τι δί ­

..

..

χ=Ο

2

δηλαδή

σφθ,,

n = 1. Έτσι

ιι π

.

σει πρωτη

.Υ = Χ

ρίιβδου είναι ίση με τη μάζα του κυλίνδρου

.1\.f η οποία ι:ί ­

I I

νιιι πο2 (ι/. ·ετuι. η σv"ολ ι κή

2c

b0

=ι ακτίνα θα φτiι­

(αJ Η μάζα της επίπεδης

Σ' αυ-τή τηγ ιιερlmωση ισχύει:

= 2Rσuνθ0 =

νει το παράδειγμα για

Πρόβλημα 3

Η

Χ

η παραπάνω εξίσωση δίνει το

πτει ότι tι3 = 6,6546 s. Η αξογική ακτίνα θα έχει •ταξιδέψει• για διάστημα

Ποιες άλλες ιιιθιιvότητες υπάρχουν να φτάσει μ ι α ακτίνα στο Η; Εδ~> εικοvίζετω μία:

s

b,

χρόνο μετάβασης για τη μ ικρότερη τι μή της γωνίας εκ­ κίνησι}<; nou βρίσκετω στηγ αnάγτηση (δ). Έτσι προκύ ­

2c9 2c 0 .,.---": - σuνθ0 = - σφΟ,,. bημθ. b

Έτσι,

Για συγκεκριμένο

(θ·) 2 .

α

μάζα του συστήματος είναι

2Μ = 2τια2Ld. Α: μά<α τού ε ­

οφθ 0 •

i

κ cοωομένοu ύδ<ιc.ος εiΥοι

σίγουρο μικρότερη από πα2(p

bX

(ότογ η σιιμαδούρα βρίσκεται

= --

σιο όριο γα βυθιστεί ι. Χρησι ­

4c9

Γι~νική. για cιpές cης θ0 < π. / 2, ΟΙ ακιίνες 110U εκπέ ­ μπονται από το S θα φτάσουν στο ΙΙ για γωνίες εκκίνη ­

μοποιώντας την αρχή του Αρχιμήδη μπορσuμε κατ' ελά ­

σης που δlνοηαι από τη σχέση

Σ ιην ιιραγμαιικότηια, με ιη σχεδιασθείσα γωνία φ ( < π) ο όγκος του εκιοrιισμέvου ύδαιος είναι

θ

_

ο - σφ

όι1ου

-ι[

bX ] -_

2nc0

εφ

-ι[2nc0 ] bX

'

χιστον να rιεριμένουμε ότι 2πα'!d

< πa'lp ή d

<ρ '2.

V = ta2φ- Lα2ημφ συγφ.

ι Ι)

Λόγω της αρχής του Αρχιμήδη, ιι μάζα της σημαδού ­

n = 1, 2, 3, 4, ....

Παρατηρήστε τιως ότον

n = οο, θ0 = n/2.

όπως οναμέ ­

ρnς ισούται με ιη μ(ιζιι ισu εκιοιιιομένου ύδιησς. Έτσι,

2πα2(d = tα'ιfιφ- ημφ ΟΙJ\'φ]. δηλαδή ιο φ ιιροοδισρίζεται

vετοι για ιην αξονική ακτίνα.

από τη οχέση:

(δ) Με τις τ;ιμές που αναφέρονται, οι τέσσερις μικρό ­

2dπ

τερες τιμές της γωνίας εκκίγησης εfγαι:

ψ - σΙJνψ ημφ

(2)

= -. ρ

n

1

2

3

4

80 ( μοίρ ες )

86.19

88.09

88,73

89,04

(β) Έ.άν ο κύλινδρος mεστεί κιιι με.τα tοmστεί κατακόρυφα

από τη θέσιιισορροniας κατά μια μικρή αrιόσταση z, ΙJ δύγαμη που

(ε)

.--..

....2.~_11!!9:...,___

θα προσπαθήσει Υα εnαΥαφέρει

τιι Οl'JI.lαδούρα είναι το βάρος του

S•

•Η

3

ι

παραπάνω εκτοmσμένου ύδα-

wς. ή ρ2"glzημψ. κατευθυνό μενιι αντίθετο προς τιι φορά

Ψάχγοuμε:

J,r'I dι -

I

74

R=

ΝΟΕΜΒΡΙΟΙ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

χαρακτηριστικό

κίνησης της σιwαδούρας είΥαι ι ον λάβουμε υπόψη και τον

Rdθ· J,.,-dsc = J.···1•''' c

c , nαίργουpε: bl'JI.l θ

είναι

z.

απλής αρμοΥικής wλάγτωοης και έwι η νευ·ιώνεια εξίσωση

C

Πρ<:Ηα, δοκιμιίζου με: tι2 =

. Χρηοιμοιιοιωνt!lς

Λυτό

J' ds.

/

_

εmrιλέον παράγοντα

dθθ . t., = -11' b '"••

ημ

38 Μ"

t.

1/31

. z+ 3arΨΨ z = Ο .

2 z = -·pgzaιwφ,η

4πdσ

(3)


11

οωοη ορμονικού τι:ι.\αηωτή. Η λυοη cηc; είΥαJ του τύ • που

Τελικό χρησιμοποιούμε το Οεώρημα

παραπάνω εξίσωση είναι η συνήθης διαφορική ει!·

=

z

ημlω,tl, με γωνιακή ουχ,•όιηια

~ ω, = ν~ =

3gψφ 2n(φ - οuνφψφ)'

βρούμε τη ροπή οδρόγειας ι ης σημαδούρας γύρω αιιό ιο

l,.,=λ~' + [Μ;' +Μ(2ιι)' ] = 29~α'

(4 )

καμε στο τέλος του μέρους (α).

Οτον η σημαδούρα ταλανtώνεtα ι υπό γωνία θ γύρω

α ιιό ιην ιοορροπiα, η ροπή επαναφοράς εί,•αι 2Mga ημΟ a μονική κίνηση. Έιοι. η νευτώνεια εξίσωση γι' αυτή ιην κίνηση είναι:

μοσιt στη ροπή, εάν η ση­

2Mg -·--.

μαδούρα σφέφειαι υπό ιtά • ποια γωνία έτσι ώο u: το βάρος της να α'rιιοταθμίζε­

-

. -

161

11 λύση είγαι μιu ημιτονοειδής συνάρτηση, θ~ ημ(ω.ιι, με γωνιακή ουχνόιηια

ι>ού, ο όγκος του νερού ιιου εκ ιο11ίζεται είναι ο ίδιος με

ωu = J~~~·

G

αυιόν στη θέσιι ισορροιιίας. Έτσι, το κέντρο ι ης ά νι.χι ης

οηι; δίνουν Τ81 Τ, ;;; 1,5 ή Ιω/ ω/

..

οιοοη οπό το κέντρα του

κυλίνδρου. Ως αποτέλεσμα

.,-:-- '3 g ημ φ

2, 25

•ο κένιρο του στο μέσο ιου κυλίνδρου. Με άλλα λόγια

= 2α(φ - οuνφ ημφ)

J2g

το μετάκεντρο Μ της οψοψικής κίνησης είναι ακριβώς

στο κέντ-ρο τ<:>υ κυλίνδρου. Πρtιιει εrιίοψ; να επισημάνουμε όtι ιο κέντρο μάζας σημαδούρας είναι στο σημείο όrιου η ράβδοι; •ιιγ • γίζει• τον κύλινδρο, εφόσον οι μόζες ιου κυλίνδρου και της ράβδου είναι ίσες_ Φυσuιό στον κυλινδρο θα ασκη· θεί ροπή όταν η ράβδο<; μετατοπιστεί από ι ην καιακόρυ · φη θέση. !Ία να βρούμε την περίοδο ιης κίνησης, πρέπtJ πρωια να προσδιορίσουμε τη ροπή αδρόνtJας του ~ού

κυλίνδρου γύρω από Κt\'ψικό άξονα. 'Ει<:> ι, εάν Μ η μι\ζα ιου κυλίνδρου:

J.' ι·'dm ο = J."ι·

2

ο

ή ψ

Το επόμενο βήμα είναι να βροiιμε τη ροπή αδρό νειας

τοντας φ

ΤΙΙφΥΙΙΚΕΙ ΕΠΙΙΤΗΙιΙΕΙ ΚΑΙ

Τλ ΜΑΘΗΝλ Τ/Χλ

ημφ.

ιην ά.\γεβρο. έχουμε ω: • 3gfπa και 4d/ρ = I οε μια

καλή rιροοέγγιοη. Εφόσον η περίοδοι; της κατακόρυφης ταλάντωσης είναι I

s.

1 ,. (2ιτ)' =4π a. 3

ω

'

.

·~g

οιιόι:ε βρίσκεται η ακτίνα α= 9,8 / 1,33 π' = 0,237 m. Τώρο μπορούμε ΥΟ υπολογίσουμε tη μάζα της σημα­

ι-. =f.(~:) x'=[A:'J.= Μ;'

ΠΕΙ'ΙΟΙΑΙΙΟ flλ

1,6 ι

=~ / 2 από δω και ιιtρο, για να αnλοποιήσουμε

δουρας (σε μογάδες

ιης ράβδου ως προς το μέσο ιης:

ΤΟ ΙιΙΟΝλΙΑΙΙΟ

ημψ σ υ"ψ ;;:

-

Εφόσον το 1,61 δεν απέχει πολύ από το 1.57, έχουμε δείξει όη μια φυσικά οrιοδεκιή λύση είναι η φ: π/ 2. θέ­

2Μι· .- dι·). α*

29a

G της

QUANTUM

: 914 : 2,25. Έτσι, οrιό

nς ( 4 ) και ( 7) nροκύuιει

μπορούμε να συναγάγουμε ότι το τόξο της άνωσης εί,•αι t\'α ιόξο κύκλου που έχει

ι•

(7)

(δ! Οι μετρήσεις του οργάνου μέτρησης ιης εηιt(ιχvν­

θ 2Μg

ιιαραμένει στην ίδια αnδ ­

2

12g

I Ν θ = -2Mgo0 ' η ο + 29a θ = ο .

Μ

uιι από την άνωση του νε­

(οφου•

\δ)

2Mgaθ για μικρές γωνίες. η οποία αναπαριστά αιιλή αρ­

\ γ ) Χωρίς να αναφερό­

2

για να

μειι\κενιρο Μ:

όπου καταλήγουμε χρηοιμοnσιώνται; τη σχέση που βρή­

10 = -Μα

Steiner

Sl.):

2Μ = 2ιτο"ld = 2πο1 α ρ '4 = ιτιlρΙ2 = π 500 10,23711 : 20,9 kg.

Ένα πολύτιμο δώρο! Συμπληρώστε την κάρτα σuνδρομιΊς και χαρ{στε το Quanιum στον εαυτό σας, στους φίλους σας. στους συναδέλφους σας, στα παιδιά σας. στους μαθητές σας, στους -yονείς σας. ..

Αποφασίστε το τώρα. Μπορείτε να πληρώσετε και με κάρτα Diners ιΊ Visa. Η αξία τσu ιεεριοδη.:ο\ι ε! ναι ανεκτίμητη· η τιμ !'Ι της σuvδρομιΊςχαμηλιΊ. Περωδι"ό QυιιΙΙΙUtrι. Ισαύρων 1' ηλ.: ~01)

10 και

Δαφνομ)\λη.

I 14 71

Αθ1']να.

3643272. 3645098. Fω<: (01) 364ΙR64

OUANTUMΙ ΑΠΑΗΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΙ

75


ΠΑΙ ΧΝΙΔΟΤΟΠΟΣ

,

..IL.oς στρατηγικες Ένας οδηγός για όσους αγαπούν τα στοιχήματα αλλό και τα μαθηματικό

Vlodimir Dubrovsky

Σ

ΤΟ ΚΑΛΕΙΔΟΣΚΟΠΙΟ ΤΟΥ

111'0 ·

ποιιν ισοπαλία. Με ι'νο ιr ιοιου eί •

Quan •

δους ιιαιχνίδι έχουμε δύο μόνο λο ­

nεριγρόψαμr ιιtηε μαθη ­

δύο από ιις δυ,·cιtt'ς αρχυιές θι'οειςΙ.

μnιικό nαιχ\'lδιπ. Τέτοιου ει­

yικrς δυνατότητrς: rίιε μιιορεί ''α κερδίσει ο οαικτης nου κα,·ει τφ•

δους παιχνίδια μπορούμε cιnλώς ,.α

πρώτη ""·ηση Ι ο nρώrος rιοίκrηςι

λαμβά,·ει απλως ιις κινήσεις ιοu

τα παίξουμr όπως κω κάθr (ιλλο ηω­

ανεξαρτηια από το ιι κlινrι ο δεύτε­

πρώτου (μειnκινcί ιο πιόνι του ιιρος

Χ'•ίδι, nλλίι οιιχνά έχι·ι μryαλύτερο

ι>ος ιιιιίκιιις. είτ.ε υniφχει τρόπος νο

ιιιν ίδια καυ'ιιΟυνσηl έως όιοιι ο

eνδιαφέρο\' η μι·λέιη ι ους με σκοπό

cιιιβάλει τη νίκη ο &ύιcρος παίκτης.

πρωιι;ς rιnικ ιιις αναyκαοιει να φr

,.α α\•ακα.\υψοuμε μια νικηφόρο

Το ιφόβλημα ruομένως εiΙ•οι ,.α κn ·

ρcι το όσορο πιό\·ι οε ένα u:ιρόyω,·ο

στροιηγικη για το" έ\'α\' cιιιό τους

θορισουμr ιιοιος κrρδιι;tι και ποια rι •

ιιου βρίσκεται δίιι.\α στο τειρόyω,·ο

ΙΙαiκτες. Λ ν κnι οu,·ήθως ιιι βρίοκου •

ναι Ι) \'Ικηφόρος οψιιιηyική.

του μαύρου ιΗο,·ιού. οπότε

ηyούμrνου ιεύχους του

tum

με σε βιβλία ψυχαγωγικών μιιθημιι­

ισ παιχνίδι' Ο nρι:ιιος ιιιιίκιη<:

ιικών. Ι] (ιν(ιλuση πολλ<:>ν οιιό αυτά

βlιζrι rνa (ιοπρο nιόι·ι

είνω αρκετό δύσκολη κιι ι tμψαΙ·ί ­

yωΙ•Ο rης σκιικιι'ριις κιιι ο δcύrεpσ~

ζοηιιι διαρκώς σε μαθηματικους

βιi(rι

ot

έ1•ο τετρά­

αρχικοiι τετριιyι:ινου ιου ι ιρώτου ιιιιίκιη Ιστο Σχήμιι 1 παρουοιίlζονιαι Επειτα. ο δεύτερος παίκτης tιια,·α­

οψ<>ψή

t

κατα •

το μnιίιιο ιιιόνι rιηδ(! πιινω

ο ιο (ιοιιρο.

Εύκολη διnrιιuΗ;Ινουμε όrι ιιυτή η οφατηyική rξασφαλiζει πάνιοιε ιη

κειμενο οοβnρίΊ<; έρευνας t\'ώ όλλα

rva μαύρο πιό1·ι σε οποιοδήπο­ τε n.l.lo ιrιpαJ•ω,•σ. Σιιι σu•·έ.vεια μαοΚJΙ'QύΙ· ro πιό1•ια ιοιις ορι(όΙ·ιιο

tίνnι ιικόμιι όλυια. Παρά την ιιοοο ­

ή κιiΟcιn. κιιιά ένα rcrριiγωvo κάθε

ιου ίlσnρου. οι σχειικές τους θrοεις

λία τω'' μαθημιιtικ(~ν nωχνιδιών. οι

φοpfι. Για Ι•rι κεpδiσι·ι ι'vας παίκτης

Οα εί,•αι οι ίδιι·ς ε ιιειτα απι\ κιΊΟε

γενικές μι·Οοδοι η.ροσέγγισής ιοuς

ιιρfrιει να βιίλt.J

C1νταλλαγή ΚΙ\'1\Ο~ων. Έτσι , ο nαi·

ε"·αι λiyrc;. θα χρησιμοποιησουμε τα

σrσ ιιιιί,·ι

διαγω,·ισμούc;. Πολλα έγi\'QΙ' αηι ­

rou

ro

πιόνι ιοιι nιivω

οΙ•ιιπο.Ιου

rou.

nεηε ιιαιχ,·ιδια του Κιιλtιδοοκόπιου

ι\'' οι παίκτες fχου,· φιλήσυχη

για Ι'α εnιδειξουμε μερικές α σο α υ·

διάθεση. μπορού1• νrι διοοκεδάΟόυΙ'

τές τις nρoor yyίσεις.

μειακινι:η•ιας τα nιό,·ια τους όσιι

Όλιι tιι ιιαιχνίδl(l ηοίζο'· ι ω ιιπό

ωρα Οελου Υ. <Παρι·μιιιιιιόνιως, α υ ιό

δύο πcιίκ ιrς οι οποiοι κάνοvν cναλ ·

ti\'ω <ιδ\Ίναtο στιι uιιόλοJnα τι~οοε ..

λάξ τις κινιjοεις που εηιιρι'ι1ουν οι

ρα ηοιχ,·ίδια.! Διηφορειικά. κερδiζει

κα,·ό,•ες. μεταβόλλοηας έτσι ιη1·

πnnoιr ο δεύτερος ιιαικτιις. Η σ φα •

τρέχουσα καιάοιαοη ι ή Οέσηι ενό<;

tηγική rί1·nι εξαιρrιικο απλή: αρχι •

συγκεκριμfνου, ας πούμr, •nνιικει ­

μένου•. Κlιθε παίκτης ιιροοηαθεί \'<ι

κά, ο δεύιrρος Π(Ιίκιης ιοποθεr~i το μαύρο rιιόν ι σε οποωδι'ιrιοιε από rα

φέρει το ονιικrfμενο σr μια Οέσι1 που

διαγώνια γειτογικιΊ ιrτράyων<ι ιου

θεωρείται νικητήρια γι' αυιό,•. Τιι

ηαιχΙ•ιδιο μας έχουΥ ηrιιεραομι'γο

ιιλήΟος θέσrω,·. οποιε ιrλειωνουΥ ιι\·αγκαστικι\ fηειτα από ηεrιrραομέ­

νο nλήΟος κινήσεων.' και δε'· cιιιτρέ -

76

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΑΕΚΕΜθΡΙΟΣ 1995

1 ι·κι:

tt) ιφώτοαπο

\'Ιι<η. Α\' ιο μιιυρο mόn tΟΙΙοΟηήθη.

κε αρχικό. ας πούμε .

κ ιιιc; Ι για να αnοψυγrι τη yρήγοριι ηιια πρtnrι \'Ο ΚΙ\'ηθεί -βόρε ια • ή

to 1101);\'ίδιa που ιιrρι·

yρoCfOUμr. uuιo ισχυrι μv μια ΟU)"Κtχρtμi,·η

προϋιι~ο~

2,

Η uειρ(1 Ηι1Υ nιιιχ νιδιc;)\"

r&;) είνω

<po(J(' ωcι) <ιπ· ό.lJ οιο Κιιλι·ιδοοκόπιο.

δια ·

• ,·οιιοδυτικα •

Σχήμα

1


'

•'

,---~ ?

.

σεις. Όμως. μr κάθε κίνηση ιιλλiιζει η ιοοιιμία ιου aριθμού Ιδιιλrιδή ωrό άρτιος γίνεt οι περιττός κοι αντίσφο­

φω ιων κcφαμελών σr κάθε σωρό \διότι μεταφέρεtαι μία καραμtλα στον άλλο σωρό). 'Ετσι. έπεrτcΙ αnό

οκι()) κινιiΟCΙς οι ΙΟΟtιμίr.c. είνω ίδιες με ι1ς αρχικές ~ιι.\αδιj, κω οι δύο (IU

ιοί αριθμοί είναι πcριτrσι. Λυτό

2

3

v-οιις κανόvες στο σκάκι--

vn φτtivι:ι

μόνο η ιψc~ιη

σε οποιοδήποτε rcrpάyω''" δεv έ,γει

από ης δύο περιπτώσεις είνοr δυνcι·

οημάδι. χωρίς γα ου\'{1\'tιΊ και ι\ ηι

ιιi. και τότε επιτρέπεt.οι μόνο μίο

διαδρομιj του σιιμειωμέvιι rεrpάyω­

nκι\μη κί,-r]Οι) -ιι ένατη. Επομένως.

νιι. Ο παίκιης που δε'' μπορεί νιι οη ­

το πωχνίδr είναι. ιρόπος του λέγειν.

μι:.,,)ιιι:ι ιέωιο rεrpάyωνο χάνει.

σιιμαίγει ότι ον Ν =

Σχήμα

Σχήμα

2,

<ιnάτη: διαρκεί nάντ-οtε εν\'έα κινή­

Αuι.ό είναι έγα παράδει γμα ποι ­

γιδεύσει ονοηόφευκια στη βορειοο­

Μ ις και LΙ)V cελευτcιία Κί\'ι)ση την κάνει rrct\•τα ο πρώτος παίκτης. Επο ­

Χ'·ιδιού που μπορεί να αναλυθι~ί με rη χρήση yραφημάrων. Εν~>νουμε με

νατολική γωνία τιις σκακιέρ<ις ΙΣχιi­

μrνως. ο πρώτος παίκτr]ς κερδίζει

μια ευθεία τα κέν-τρα κάθι· ζεύγους

μα

κάθε φοριΊ. Ιινrξάρτητα από to πώς θα

ιειραγώ,·ων που απέχουν μεταξίι

πcιιχτ~i η rrnριiδα'

τους καtό μicr κίΥησιJ του ίππου .

•ανατολικά .., πράγμα που θα τον πα ­

2). Η ιδέα της επανάλ ηψης ιων κι­

νήσεωΥ του αηιπάλου μιιορεί \'Ο

Προσέξτε τιι'· ιδέα τιις αναλλοίω­

θεωρηθεί ως ένιι ιδιiψορφο είδος

της ισοτιμίας που χρησιμοποιήσαμε.

Έιοι δημιουρyείιιιι ένα σύνολο 64 σημείωΥ (τα κέντρα). μερικά αηό ια

σuμμcrpικιjς οrpαrηyικιjς. Αυτές οι

Παρεμrrιrιtόνιως. η ν rκrιφόρος οιρcι ­

οποία συνδέονται με ευθείι:r; ιακμές).

οιρατηγικές eίγαι χρήσιμες σε αρκε ­

τηyική

rιροηγούμεγου παιχνι ­

'1'έ ιοια ο ν ι. ι κ είμε "0 ονομ(1ζον ι οι

τά παιχνίδια. Ιδού ένα κλασικό πα­ ράδειγμα τέτοιου παιχνιδιού.

διοίι β(Ιοίζεται έμμεσα σε μια όμοιο

yριιφήμοτο (ένcι τμήμcι του γραφή ­

ιδέα: επιλέγονιας οιιιv αρχή ένα ιε ­

μcιιός μας παρουσιά(ετοι στο Σχήμιι 3ι. Λρχικ(ι, ιο γράφημά μας είναι ου -

τούν rναλλάξ κέρματα. όλα rου ιδί<ιrι

τρά γωνο ίδιου χρι~μο ιος με to τετρά ­ γω,-ο του πιΚ:ηου rrαίκηι. ο δεύτερος

μεγέθους. σι, cνιι ορθ<ιy6Ιvιο φ(111έζι

παίκtης εξασφαλίζει ότι rcι δύο rrrό ­

οrrοιαδήnοι.ε κορυφή ιοu ξεΚΙ\'ώντας

ι!ω<; 6rου δεν υnιiρχcι ΧύJ(>ύ<: )' ta άλλο κtpμα. Ο παίκτης που ιιαίζrι ιr,\ι·ιι­

,·ια θα ~ρίσκονται σε τετράγωγο iδrοιι ~)μοτuς έrιειuι ιιιι(j κάθε <ι\rιηλλcι ­

από tι) γωνία του ίππου κιιι ακολου ­

rοίος κερδtζει. Ποι<ις αιιό ωιις παί­

γr\ κrνιjσεων. Με αυτόν το,· φόηο εί­

κ τες μπορεί

\'αι αδύνατο να κερδίσει ο ιιρώτος

orroιεoδr\noτe κορυφές οuνδέον-..ω με μια διαδρομή που αnοτελείι.<rι αιrό

rιoίκtr)l;, έστω κω ιιν ο δειi·ιερος κά ­

ακμές. Μια κίΥηση του rrαιχν ιδιοίι

9 καραμέ­

\'ει τυχαίrς κινιjσεις. ~το παιχνίδι μr.

ιοοδιινιι μεi με το σβήσιμο μιας κοριι ­

λΕς ο καθι!,•ας. Δύο παίκ ιες. cναλλά~.

ιις κορομέ.\ες μπορούμε να αναπα ­

φής και C~)v ακμώ\• που ξεΚΙ\'Ούν

μcιακη·ούν μία καραμέλα από tO\'

ραστήσουμε τους αριθμούς

a κιιι b

από αυtί)ν. Η κορυφή uρέηει να εm ­

ένα,· σωρό οτοv ά.Ηο κω τρώνε δύο

λεγεί έτσι ώστε να διοτηρεitnι η ου ­

καραμcλι:ς anό οιιοιοvδιjιιο r ε σωρό.

που μας δίνουν το rrλήθος ι ω\· κο ­ ρnμελώγ σε κάθε σωρό ως το τεφά­

Χιίvει όποιος δεν μπορεί

γωνο με συντεταγμένες

(a, b> οιο

είνοι διινοτόν κάτι τέτοιο; Η <ιnάντι}­

Άσκηση

1. Δύο

va

παiκrες τοποθε ­

vΙJujoει σίγουρα:

2ο παιχνίδι. Αρχικά ιιπtιρχοιιΙ" δύο σωt)Qί καρομt)λες. ωιό

va κάνει κί­

rou

οποίο τέμνονται η :ι υτήλ η και η

''f/ΟΙJ.

/1

.

.

'

νεκτ r κο: μrrορουμε να φτοσουμε σε

θώντας τις ακμές -επομένως δίιο

νεκ ιrκότιιτα του γραφήματος. Ιlότε ση εiγοι πολύ σύντομη: πάντοτε!

Και αυτό το παιχνίδι ονολύεια r

yρnμμrj μιας μεγάλης σκακιέρας.

Αuι~ ισχύει για οποιοδήποτε συ·

εύκολο. Ιlρώτον. ποραΊ:ηρούμε όιr κάθε κίγιισrι μειώγει το πλήθος Ν

Τόtε, το χρώμα αυτού του τετραγώ­

η:κrικό γράφημα. Κω ιδού μια ιιnό­

νου δεν αλλάζει ποτέ κατά τη διάρ •

τω'· καραμελώΥ στους δύο σωρούς

κεια του ποιχνrδιοίι, και επομένως

δεrξη: Ορίζουμε ως αrrόσιαοη μεταξύ δύο

κα τά δύο. επομfγως το Ν είναι πά ­

δεν μιιοροίιμε να φτάσουμε στα τ;ε ­

κορυφών ενός γρηφήμιιιος ιο ελάχr­

ντοτε άρτιος. Τότε. είνω φο\·ερό ότι

φάyωνα

στο πλήθος ακμών μιας διαδρομής

<2, 0)

και ω. 2) ξεκιν~>νταr;

(9, 9! ~ιότι το τε­

που τις συγδέει \αυτός ο αριθμός εi •

κίνηση. Σ την περίπτωση που Ν = 2, υπάρχουγ δύο δυνcιτότηtες: Ι I ) και οι

λειιιοίο έχει διαφορετικό χρώμα από

Υαr καλά ορισμένος σε οποrοδrjποιε

ια δύο πρώια.

ου 1·eκ nκό γράφημα!. θεωρούμε μια

δύο σωροί αποtελούνtαι από μία κ α ­

ΊΌ ι:nόμενο rrαιχνίδι είναι επiσης,

όσο Ν

2: 4

μπορεί πάντοτε να γίνει

ραμέλα. (2) ο ένας σωρός έχει δύο καραμέλες, ο άλλος είναι άδειος. Ε­

από το τ.r.τράyωνο

κοτό μια έγνοια, (•αιrα(J}λό...

3σ παιχνίδι. Το πιό,,ι εγός ίππου

μας είναι φυσικό να εrιιλέξουμε 11)\' κορυφή ιrου αηισtοιχεί στη θέση του

iπποω κω βρίσκουμε την κορυφή Α

πόμενη κίγηση μπορεί Υα γίνει μόνο

τοσσθηεitnι ι:Μ

σιψ nερίη10ωσ η (I ), κcΙΙ αυτό θcr εί ­

γωvο ιης σκακιέρας. Δύο παiκτι-ς

ηοιι ωιεχει περισσοtερο απ

γαι το τέλος tου παιχνιδιού.

σημει(,;\'QU\; ι:vaλλό{ r'rφ(i}'tιJ\'Cl οι η

< ιιν uιιάρχουγ πολλές. διαλέγουμε

rικοκιtprι fιοι (jσre ο inπος -κινού ­

μία ο ιr]ν ιύχη). Αυ τή την κορυφή

μι'>'<ις ο ύμφω,·α μc τους συγηθισμε -

μποριιι'ιμε 1'0 τη σβι\rJουμε. Πραγμα-

Ο αριθμός Ν θα γίνει αναyκαστr ­

κή. ίοQς μr

2

έ πr.ιιη onf) οκtώ ΚΙ\'ή-

f. ,,a

γωνιακό τεrpά ­

σtιιθερή κορυφή Κ ιοτην περίπτωσή

.

.

QUANTUM /ΠΑΙΧΝ\ΔΟΤΟΠΟΙ

~

.

αυtηΥ

77


γος

τικά, αν σβήνοντας την κορυφή Α και

(n, m)

συνδέεται ως συνήθως με

τις ακμές που ξεκινούν από αυτήν

6

rνα τετράγωνο του •θετΊκού τtτηρ ­

απομονώνεται κάποια κορυφή

5

τημορίου• μιας άπειρης σκακιέρας

V από

την κορυφή Κ. τότε όλες οι διαδρο •

~

4

μές που συνέδεαν, πριν σβήσουμε το

(Σχήμα

41.

Φανταστείτε ό τι τοποθε ·

τούμε ένα πιόνι βασίλισσας στο τε ·

1/ .,. •

χρεωι.ικά το Α. Αυ τό όμως σημαίνει

3 2

ότι το

απέχει πcρισσότ.φο από το

ι

Α ν αφαιρεθού ν ορισμένοι βόλοι από

Κ απ' ό,τι ιο Α, γεyογός; που eρχε­

ο

τον πρώτο σωρό, η βασίλισσα θα με ·

Α, την Κ με την

V

V

περιείχαν υηο·

tαι σε αντίφαση με ιον τρόπο επιλο·

τρέχουσα κατάσταση του παιχνιδιού.

τακl\•ηθεί ίδιο πλήθος τεφαγώνων προς τ' αριστερά. Η αφαίρεση βόλων

012 3 4567 8

yής του Α. Επομένως, κω αυ tό ω ηαιχνίδι,

τράγωνο (n, m) που αντιστοιχεί στην

Σχήμα

4

από τον δεύτερο σωρό ισοδυναμεί με

όπως και το προηγούμενο, διαρκεί π(ιv-ιοτr. ο τπθερό αριθμό κl\•ήσεων -<ΥΙιγκεκριμένα

63- και

-ιελει~)νει

βόλων οωιτς δύο οωρούς ήrav

13 και

κίνηση της βασίλισσ<ις προ<; τα κάtω, ενώ η αφαίρεσι} ίδιου πλήθος βόλων από τους σωρούς οδηγεί τη βασίλισ­

10.)

αάνιοτε με γίκη του πρώτου παίκτη,

Το παιχνίδι αυτό ω περιέγραψε το

ανεξάρτητα από τις κινήσεις rιου γί ­ νονται ~φόοον είναι όλες οωοrές.

1907 ο ολλανδός μαθιwατικός W. Α. Wythoff και τ~ όνομά του αναφέρε ·

Πάντως, ως παιχνίδι μόνο, μπορεί να

ται συχνά όταν γίνεται η μελέτη του.

καταφέρ,•eι να τοποθετήσει rιρώτος

έχει κάποιο εγδιαφέρον: όταν ο :χ,ρό ­

Ο

τη βασίλισσα στο γωνιακό τετράγω­

"0<; για την κίνηση είναι περιορισμέ·

ναι ένα αρχαίο λαϊκό παιχνίδι της

νος, μπορεί \'Ο είναι δύσκολο να βρε­

Κίνας, το τσιαηκσfτζε (μάζεμα βό­

θεί η σωστή κίνηση σε κάποιο στάδιο

λων), Το άρθρο του

το

σύμφωνα με αυτού<; ιους κανόνες

ιου παιχνιδιού .

πρώτο μιας μεγάλης σειράς εργασιών

\'lythoff όμως

δεν γνώριζε όιι εί •

W)•thoff είναι

σα να κινηθεί διαγώνια, προς τα αρι · στερά και κάτω, κατά ίδιο πλήθος τε· τραγώνων. Κερδίζει ο παίκτης ιιου

νο

(0, 0). Αφού μια βασίλισσα που κινείται

Τα δύο τελευταία rιαιχνiδια είναι

αφιερωμέ\'ων στη θεωρία του συγκε­

καταλήγει υποχρεωιικίι σ τη γωνία, όλα τα τετράγωνα κατατάοσονι;αι or.

πραγματικά ενδιαφέροντα μαθηματι­

κριμένου παιχνιδιού, που αποδείχτη­

δύο κατηγΟρίες: ασφαλή τε·φάγωνα,

κά παιχνίδια. Πίσω από το πρ<~tο

κε εξαιρετικά πλούσια.

κρύβεται αρκετή εξαφετ•κά &\•διαφέ •

Κάθε κατάο rαοη σε αυτό το ααι­

από το οποία όταν ξεκινάει ο πρώως παίκτης εξασφαλίζει τη νίκη, και επι ­

ρουοα θεωρία, τφ• onofα απλώς θα θίξω. Και τα δύο είναι δυνατόν να

χνίδι nφι γράφεται μέσω ενός (εύ­

κivδυvα τετ.ράγωνα, τα οποία προ ·

γους μη αρνητικών ακεραίων

σφέρουν τη νίκη στον δεύτερο.

αναλυθού" μέσω μιας άλλης ευρύ ­

-το πλήθος των βόλων στον •πρώ ·

Τώρα, αρχiζοντας από το τέλος

τατα χρησιμοποιούμενης μεθόδου

ιο,. και σ τον <•δεύτερο)• σωρό, ανιί ­

-δηλαδή, το τελικό τετράγωνο (0,

-της aντίστροφης ανά λ υ σης, που

στοιχα. Φυσικά, από πρακτική ά ­

Ο)- θο σαρώσουμε ιη σκακιέρα χρι» ·

ξεκινά από το τέλος του παιχνιδιού.

ποψη, δεν υπάρχει καμιά διαφορά

ματίζοντας κόκκινες τις εmκίνδυνες

μειαξίι των καταστάσεων

(n, nι) και

θέσεις και πράσινες τις ασφαλείς. Το

αλλά για τη γραφική α να ­

τετράγωνο (0, Ο) είναι φυσικά ε πι·

4ο πρόβλημα. Δύο παίκ rες naίp­

(n,

ιn >

voυv, ο έvας μετά το1• άλλο, βόλους από δύο σωρούς. Εmrρέπετω va πά·

(m, n ),

παράσταση που θα δώσουμε είναι

κίνδυνο (στην πραγματικότητα, δεν

ροιτv 6οοιις βόλους θέλοιτν από τον

χρήσψο να τις ξεχωρίζουμε. Η α να ·

είναι

έναν σωρό ή να πάροιτΙ' iσο πλήθος βόλω1• και από τους δύο σωρούς.

παρασταση αυτη ε ι ναι τε ·

.

.

.

αηλώς

εωκίνδυνο

--είνω

λεiως φυσική: κάθε <εύ ·

Κερδίζει ο παίκτης που παίρνει

γ

τον τελευταίο βόλο. (Σrο Κα· λειδοσκόπιο to αρχικό πλήθος

β

8

α

7

6 ~

6 5

4

4

3 2

3 2

ι

1

ο

ο ο

Σχήμα

78

2 3 4

1

5

6 7

ο

5 ΝΟΕΜβΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1995

1

2

3 4 5 6 7 8

ο

1 2

3 4 :; 6

1

s

9

ιο

1 ι 12

ι3


καταο φοφικό: όταν το ψtάνει ο ανιί ­

γρίιψουμε τα ζεύγη

ηαλός σας, χάνετε). Τότε, κάθε τε ­

(n, m) με π $ πι). ΊΌ k - ocrτό ζεύγος (.a., b,) αυτής

βόλων, από τον οποίο κάθε παίκ της μποιχί ''Π πάρει έναν, δύο ιί rιχις βό ­

τράγωνο που βρίσκεται οριζόηια,

τ.ιjς <ικολουθίας δίνεται από την εξής

λοιις σε μία κfνηση. Κερδίζει ο nαί­

κατακόρυφα και διαγώνιο, nρος τn

οrιρόσμενη σχέση:_ a, = l kΦ ~ b, = a, + k, όπου Φ= (1 + .J5 )/ 2 είναι η ΙΙερίφη­

ιηηι; που καtαλήyει με άρπο πλήθος

δεξι{ι ή προς το πά ''ω από το ειηκi v -

βόλων. Το nρχικό ιιλήθιις ι·ωv βόλων

δυνο τετράγωνο, είναι ασφαλές, διότι

μη •χρυσή τομή•. Μια {•λλη περιγρα­

είναι Ν~

ξεκινώ,-τος οπό ένα ιέτοιο τετράγω­

φή αυτής της ακολουθίας μ πορεί γα

Μπορούμε να κατασκευάσουμε

νο μπορείτε να βάλετε ων nντiπαλό σας σε επικiνδυνιJ θέση με μια κίνη­ ση. Εφορμόζοηιις αυτόν ·ιον κnνό ­

γίνει με όρους τ.ου •συστήματος α ­

ένα μοντέλο και γι ' αυτό το ηωχνίδι

ρίθμησης

rιοιι παρουοιά ­

σε ένα τετραγωνικό tιλέγμα, κω να

<ετο ι στην άσκl)Οη 14 του άρθροu

το μελετήσουμε με •αντίστροφη ανά­

να για το τετράγωΥο

«Συστήματα αρίθμησης• ιου

λυση•. Πάντως, αντίΟετα οrιό το παι ­

(0, 0) κ<ιιαλή­

Fibonacci•,

I.

Μ.

25.

γοuμc στο χρωμαtJσμό του Σχήμιιτος

Yagloιn στο rιροηyοι)μενο ιεύχος του

χνίδι του

5α. Χρφιμοποιούμε τc:1(><J ένα ν δεύ­

QuaJιtιιnι: οι αριθμοί •Ι, είναι όλοι οι

λάβουμε υπόψη το πλήθος των βό ­

τερο κανόνα: χρωμωίζουμε κόκκινο ένα τετρόγωνο όταν η γρομμή, η στή­

αριθμοί που η πναπαράστασή τους

λωγ που συλλέγει κάθε παίκτης.

στο σiιο τημο Fibι>nacci λήγει σε άρ ­

λη και η διαγώνιος που διέρχονται

τι ο πλήθος μιιδενικών. ενώ τα

b,

Έτσι, είναι βολικό να δώσουμε ονό ­ ματα στους δύο παίκτες -ας πούμε,

οπό αυτό έχουν χρωμαιιομένο πι•ά ­ (ΙΙνο όλο w τμιiμα τους rιου βρίσκε­

πΡQκύη ιουγ από τα nη αν προστεθεί

Α και ~και να συμβολiοοιιμε με ιι

ένα μηδενικό στο tέλος της ονοπο •

και

ράστασης Fibonacci ιου ιι,. (Δείτε επίσης τηγ άσκηση 15 στο ίδιο όρθρο,

λων nου έχουν συγκεντρώσει μέχρι

οπό τέτοια τετράγωνο παράγει μια νικηφόρο θέση για τον αν τίrιηλο).

όπου οι αριθμοί a,,

διαφορετική οπτική γωνία.) Μnορού ­

οι <φιθμοί θα είναι η (-φέχουοα) βαθ­ μολογiο του Α και του Β. Φυσικά, το

Έ ~ΟΊ χρωμα τίζουμε κόκκινο τα τε­

με να γράψουμε εύκολα όλη τα ζεύ­

πλήθος των βόλων που έχουν αηο­

τράγωνα

γη

μeίνει στο σωρό σε δεδομένη χρονι ­

ται προς τα <ιριστ:ερά και προς τα κάτω του τεψαγώνου (κάθε κiνηση

(2, 1) και ( 1, 2 ) και

πράσινα

(a,, b,)

b, εξετάζονται από

χρη01μοnοιώντας την εξi}ς

Wythoff,

b, αντίστοιχα,

εδώ ιιρέπε ι να

το πλήθος ιων βό ­

μια δεδομένη χρονική στιγμή. Αυτοί

όλο τα τετράγωνα αnό cα οποία φτά­

ιδιότητα: όwν

νου με με μία κivηοη στα νέο επικίν ­

ειηκiνδυνο, τότε είναι επικiνδυνο το

δυνα τετράγω,•α (βάσει του nρώwυ κανόνα -βλ. Σχήμα 5β). Συνεχίζο •

ζεύγη

εύκολη!) άσκη­

απόθεμα. Κάθε τρέχουσα θέση περι ­

ντας με τον iδιο τρόπο φτάνουμε.

ση rηv ηπόδειξη αυτών τω" αξιοση­

οργά ή γρήγορο, όσο μακριά θέλου ­

μείωι.ων ιδιοtή ι ων. 5ο παιχνίδι. \'πάρχει ένας σωρός

γράφεται πλήρως αnό το α\'Ιίοιοιχο ζεύγος ακεραίων (a, b ) και θα οντι ­

με. Στο Σχήμα 5γ βλtrιουμε το χρω· μοtιομό ενός ορθογωνίου

13

χ

(13, JO).

b + 2). Αφήνω ως (όχι

του τετραγώνου γίνεται ψαΥερό στο

16

ιέτιιρτο βήμα της διαδι κασίας, όταν

15

χρωματίσουμε κόκκινο tO τετράγω·

]4

(7, 4) = (13

- 6, 10 - 6J. Έτσι βλi­ (13, 10) είναι ένα πρά ­

ο πρώτος nαίκιης κερδίζει το παι­

11

χνίδι. Η στρατηγική είναι να κάνει

10

κινήσεις ιιου οδηγούν σε •κόκκινα

9 8

τετράγωνα)\ --επtκiνδuνες καtοσ'τά­

σεις. Βιlσει της κατασκευής μσς, αιιτό στη συγκεκριμένη περίπτωση μηορεi

6

να κάνει την πρώτη κίγηση με -φεις

5

διαφορετικούς φόπους: αφαιρώντας 7 βόλους από το σωρό με ιοιις 13 βό •

4

s

(τρέχον)

ηροαιΜιε.ύεια ι α πό το τετράγωνο

(a,

3 2

2 από wv άλλο, ή 6 βόλοιις και

από τους δiιυ σωρούς.

I

Το μαθηματικώς ενδιαφι\ροv οwι ­

ο

χείο αιιτού του παιχνιδιού είναι η ακολουθία των •εnικίνδυγων ζευ ­

...

λων. Θα ονομάζουμε το

7

είναι ι1άντα δυνατό. Για nαράδειγμα,

γών· ιι, 2 ), (3,

κή ΟtJγμή είναι s =Ν- (.a + b), όπου Ν εiναι το συνολικό πλήθος ι:ων βό­

13 12

Οlνο, ασφαλές ιειρόγωνο -δηλαδή,

λους,

είναι

8

Στην

17

πουμε ότι ιο

(a, b)

10

ηραγμα τικότητα, το χρώμα αυτού

νο

ζεiιyος

(b - 1, a + b - 1) και (b + 1, a +

που καλύπτει τη συγκεκριμένη ορ ­ χική μ ας κατάσ ταση

w

ο

1 2 3

4 5

6

7

8 9 10 I I 12 13 14

Ιδ

16 17

Α

5), (4 , 71, (6, 10), (8. 13),

(λόγω της συμμετρίας. αρκεί να

Σχήμα

6 OUANTUII /ΠΑΙΧΝΙΔΟΤΟΠΟΙ

79


6>. Το πω­ Χ"ίδι ιφχίζει αnό το τετράγω"ο <0. ΟΙ,

.-\ κερδί­

πιχ~rος rιιιικιης nρι'nει Ι'Ο καvει nά ­

ζει όιον και οι δύο ηοiκιει; έχουΥ

ηοιε nφιι ιtς κινιισεις ι•·α πα/ρvει

ουνeχι(ειαι μr κινήσεις ενός. δύο ή

αριιο nλή()ος βόλω'' στο τέλος. ε,·ώ σ

ι'l·n'' η φεις βό,ΙουςΙ και •·α αφήνει

τριώ\' u:τροyώ,-ω,- ιο Α ΚΙΥCίιαι προς

Β κερδίζει οια" έχου" περιττό. Σrψ

tΙ'n σωρό με π.Ιήθος βό.lω•• ιιου διαι.

ια δeξια. ο Β προς τα πα vω). και ιε­

nραγμαιικό;ητο. και αυιός ο κα,·ό·

pι:ιrnr μr ιο 4 η ι-ι•·αι κατά έ•·α βό.Ιο

or οrιοιοδηnοt~ οπό ια κιιιιι­ ληκιικίι ιειράyω,·α ιa. bJ με a + b =

''ας και ο αρχικος μπορει ,-α θtωρη ­ θού,- ιιrριιιιώοεις του ίδιου yεηκού

μcγα.\υιrρο.

Ν. Τιι κωοληκιικα ιειράγωγο σχη ·

κανόνα, Ο\' πούμε ότι ο γικητήι; ιού

ιψέnει

μαιιζοιl\' ιη διcιγώηο •ευΟεία• που

παιχνιδιου cιναι ο Α οτο,- η ιελική ιιιυ βαθμολογία fl\'01 άριιcι. και ο 8

hl

ιου rιλι'γμα ιος ι Σχήμα

λrιώ\'fΙ

''τος. για παροδειyμο, όιι ο

Mc

α.\.\α λόγια, ο πρώτος ποίκ ιης

ιcλικi) βαθμολογίιι ιου Α εί •

"" rιίιρει ένα βόλο ότογ Ν = 4k - 3 η Ν = 4k - 2 κcιι ιρεις όταν Ν= 4k - 1 ή Ν • 4k. Έτσι μένει rνα ιι11ό • θεμα ιιrιό 4\ k - l l ή 4Ι k- 11 + 1 βό ­

νοήσου μ~ γ ιιι ι!:οοrρο ονιί γιο δύο

νω ιιεριιιί1- Σε αυτή την πι:ρίιΙΙωσι)

λους και, ι· ιιομένως. με οποιαδήnοtε

Ιόrιως σι ην ιιcρίιι ιωση του παιχνι ­

διιωιοιι:ινοιι μc εύκολα ότι

11 ανίιλυ ­

απά,• tηΟι] ιου δεύτερου παίκ τη ιο

διού οου W)•thοΓΓΙ είδη καιαοτ-άσcω''·

οή μιις ισχύει και ότα,- το Ν ι·iγαι

ιωόθεμο θn ιιtpιrχεrαι οιο διάστημα

nραγματικό. μια θi·οη ta, b) όπου οι llαΟμολογιrς ιι και b έχουν διαφορr­

άρτιο.

I4Ck- 11 - :!, 4Ck -

Αφή,•ω για ιους ανιιγ,•ώο ι-ες τη

χνιδι ξt'κινά ηάλJ οnό τψ αρχή, στψ

ιικη ιοοιιμια είναι όνιση yια τους

διrιιρυνση του χρωματισμού --t'Ιpώ­

ίδια καιιιιιιnοη όιιως ηροηyσυμι'Υως.

παίκτες, διόιι ο C\•ας αnό αυτούς πρt­

με Ν=

πει ,.α προοθtοeι αρuο πλήθος βόλων

ιο οιη\' •Ι1ροttλεuιnίο• διαγώνιο. και κοιόιtιν χαμη.\ότερα. Το σχέδιο

οε όσους έχει ηδη και ο όλ.\ος περιι ­

που ηροκυιιιcι γιο Ν; 1ϊ nαρουσιό •

μια ακόμη Ο\' ιο.\λαyη ιιιγήαεωγ ιο

ιό. Μια ιειοιο κοτοοταοη μπορεί να

ζεται στο Σχημιι

θα α'•ήκει στο επομt,·ο διάοιημα ου·

eί,•αι ευνοiκη για ιοΥ Α. ας πούμε,

και επιβεβaιώοτε ότι yιn Ν

ανεξαρτητα αιιό ιο uοιος έχει σειρά ,.α παίξει. Εrωμένως ιψέπει \'Ο θεω ­

τrτράγ~ινο 10. Οι είναι επίσης κόκΚΙ ­ νο ---όηλιιδή, ο το παιχνίδι μας ο πrχ~­

ρήσουμε συνολικά ιέοσερrς λογrκές

rος rιnlκ ιrι<; χάνει.

πιθανότητες: μια θέσι) μπορεί να εί­

Α ι:·ίνω : μι·ιnκίγηοιι ncινωτε ο& κόκ­

κατά τις οποίες ο ιιρώιος rιαiκ της θα συγκcηρόJΟει βοΟμολοyiο ίση με τι>

να ι νικι)ιrνι ιι γιιι ιον πρώτο παίκτη

κινο ή ιΊοιιρο •eφόyωνο. Ο παiκ ιης

άΟροιο μιι

(δι)λαδή, αυτός που rιαίζει ιιρώτος, ο

R

Α ιi ο Β, ειαοφαλίζει τη νίκηΙ. για ιον δrιίιrρο ιιιιfκιη, για τον nιιίκcη Α

κόκκινιι ι\ μαύρο.

Ιnνcξόριητα από το ποιος πιιiζει πρω­

ομόι; γίνcιιιι γρήγορο μCL~λο" βαρε ­

ιοςΙ ή για t0'' παικτη Β. θα χρωμα •

rός -&ι πaρaτηρήοrιι· όιι ιο σχέδιο

ιiοουμr ιο ιεtρ<ι\'W''ιι ηράοιν<ι, κόκ ­

επα,·αλαμβaνcτω ιαu ιό είναι φα η­

θιι ανί]κtι ο το διαστημο 4 - 6- 3 s; s s; 4 6. Αυιό οημοίνι'ι όιι ο δεύτερος

Kl\'0. όσπρα

ρο οιο Σχήμα

ηοιχ ι ης μrιορεί

ουνδέrι ιο ιειράγωνα

<0. ΝΙ και ι Ν, ΟΙ.

l lnρn ιιιρήσ τε ότι πρέπει ΥΠ προ ·

ή μούρα. αηiοτοιχα.

όιαν

•1

6.

Ειιοληθtύοτε το,

= 25

11 στρατηyι κή

το

rού

ιιρι~ ιι r ι νn rιι)yο ίνcι πάντο τ.e οε

κιιι ο πρώτος παίκτης έχει

πα,\ι \1]\' ιιρώτη κίΥηοη. Ε:ΠCΙ(Ο Οι1ό

τής της μορφης. δηλαδή ιο (41k

ιιρόyμα που κά,·rι

s

- 21-

3. 41k -

~ Ι I. κ.ο.κ . Άρα θα έχουμε

ακριβώς

k

k

α'· ιαι\λαyές κη·ήσεω,·

ιιερη ιών αριθμώγ -έ ·

νος αριθμός ίδι ος ιοοιι μίας με το Το αρχικό μας ιιnόΟεμιι Ν

Στην πραγματικiι ιηιιι. ο χρωμοη ­

61,

s,

lΙ L Τώρα το πcιι­

k.

: 25

μnorιri νn γραφεί ως 4 - 6 + 1, και έτσι μι·τι'ι ιην rιρώrι) κίΥηση το αnόθtμα ;;

να εφαρμόσει

τη

Ετσι αρχι(ουμε να χρωμαrίζουμε

τη δαυλειο σας τελείως μηχανική.

οιρατη\· ικη rιου nεριyραψομε αροη ·

οπό το ιέλος ---όη.\αδή, ιφ· καιαλη ­

Ίοως θtληοε ιε λοmό,- γα ου,·ογάyε ­

yοuμέ,-ως yια ,-ο ιιε ιύχει οριια βaθ ­

κτικη rυθtιο. Τα ι<αιαληκuκά τετρά­ γωνα IB. bl μι όριιο s Ι(Ο. N J, 12. !\ -

tr

ro,· κο­

τευΟrια,- χρωμιιιιομό οποιουδήποτε

μολοyια Ιοφου το 6 εl\·ιιι όριιος) και να κrρδιοrι. Το ιδιο ουμιιέρασμα ι ­

2ι.

πορομriνrι άσπρο· ια

rειραγώ,·ου, ι;κιιr να μη" υπάρχει

σχυει yιn κάθε Ν της μορφής

υπόλοιπο ειναι χρωμαι:ισμένα μαύ­ ρο. Ο οκοιtός, τώρα, ιου Λ μπορούμε

ανάγκη να κοιιιοκεuάζειε όλη τη διαδρομή εως ου ιό. Γιο rιαρίιδcrγμα.

4 · t2ll ~ I. Όtο\' Ν= 81. νικηιής εί ­

να nούμc ότι εί\'01 •να φτάσε ι

or

δύο ιcφόγωνcι που αΥήκου'' otl1''

ορισμό ιου νικιιτιί στψ περί πτωση

ι\οιιρο καιαληκιικό τετράγωνο•. ενι:>

ίδιιι οριζόντια ιί κάθετη γραμμή κα ι

ο Β στοχrύrι οε μαύρο καιαληκτικό

απέχουν οκιώ τετράγωνο tτα l8. b) και Ι α~ 8, lιl ή ιο 18, bl και ι a. b + 811

που το Ν είνιιι άρτιο δόθηκε παρ α · πάγω) και όταν Ν = 8{ + 4, νικητί)ς

... 1 έχουγ

τειρ(ιγωνο. Είναι tνδιαφέρον όιι αυτός ο κο·

t\*α\" yι·,· ικό κο,·δγο yια

8{ + I =

ναι ο rιοίκ(ης Α ιο κανόνος \' Ι<ι ι:ον

εί"αι ο Β. Για όλες ιις άλλεc; τιμές

ή δύο ιι·ιρίιγωνα μrος διογωΥiου πn •

ι.ου Ν. νικητής cίνcιι ο ηρώιος nαi •

νό\•ος για ων καθορισμό ιου νικητή

ρόλληλης με ιηγ καιαληκrική

κτης.

μπ~i ,.α cφαρμοοτεi και οτη" περί­

απι'χοΙJ\' δύο ιεrράyω\'α Ha. bl κοι

nτωοη που ιο Ν εi,·αι άρτιο και ο αρ·

I B + 2, b - 21) έχου" πάντα ιο ίδιο

rου Ν συμφω,•α με το σnοιε.lέσμο •

χι κός κο νό,·ας δε\' έχει ''όημα. Mr αλλα λόyια. όιο,- δύο οοiιιτες εφαρ­

χρώμα.

ra αυrου rou ιιαιχvιδιού όra,, οι παί­

μό(ου\• ιους κα,•ονες αυτού του ποι· χηδιου or έ,·αν αρχικό σωρό με άρ­

χρι~μαιιομδ ουyχωηύοηαι οιην

κ rι-ς μπορου•· ••ο nάρου•· έως και m βό.1ους. όπου Ι S πι Ν. Υnό&:ιl.η:

εηόμrνη rιαραιφηοη.

ε{εrάστc ~rχωpιο ιιι ΙJς περιmώσεις

ιιο πληθοι; βόλων, ιότε οι τελικές

Όrnv ιο rιωχνίδι αρ,'(iζιοι με αρχι·

nou

Ολrς αυιtς οι ιι:ανο,·ικότητες οιο

βaθμολογiες των δύο ηαικιών έχουν

κό αιιόθεμα Ν. όπου

τφ· ίδιοιοοιιμfο. Επομένως σε αυτή\' tΙ]v rιφίιιιωιΗ) μιιορού με να ορίσου­

rόιr ο nρι~((Χ; rιαίκrης μnιιρtί •·α rιε­ rύχι·ι βιιθμολοyία ίδιας ισοτιμίας μr

με διιιφορrιικ(ι ισν νι κηιή -λέγο·

ιιι

80

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ I ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΙ 1995

k.

/Ίιι ι•ιι

ro

Άσκηση

2.

Κιιιnιάξιc ης τιμές

s

άpΙJωΙ• και πrριιιών

ιt1

m.

4k - ,1 :S Ν :S 4k,

κιιτσφcρει π υ ιό, ο

ΛΙΙιΙΝΤΙΙΣΕΙΣ, 1-ΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Κι\1 Λ ΥΣΕJΣ Σ111 ΣΕΛ.

66

Quantum τόμος 2 τεύχος 6 νοε δεκ 1995  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you