Page 1

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ τιΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΠΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ ΙΟΥΛΙΟΣ / ΑΥrΟΥΠΟΣ 1994 ΤΟΜ ΟΣ 1/ ΤΕΥΧΟΣ 2 1.200ΔΡΧ.

• rιyamς ισι νιίνοι στο ζe~ιιι6 ~σfkιο • Σιίνtvreοξή μel'ον Rogιr Ριπrοιι • •ουλeρtνια: Οι μtΚfότtρις μnάλeς σοδοιJtσlροι στον κόσρο

'

ΜatιιtιιrΠύ ιιαι •uxoλoyla

• Τα 8σλ4ασισ κdpστα Ο

Α

\.

' - ."

Έκδοση της Εθνlκ~ς Ένωσης Καθηγητών θετικών Επιστημών

(NSTA) των ΗΠΑ,

του Γραφείου Kνant της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών, της Αμερικανικής Ένωσης

Καθηγητών Φυσικ~ς (ΑΑΡη, του Εθνικού Συμβουλίου Καθηγητών Μαθηματικών

(NCTM) των ΗΠΑ, του Εκδοτικού οίκου Sρήnger και των

Εκδόσεων Κότοmρο

.. --


--._

-

- ,c;::::-' - -

--

ι

-

ι •


Ο γεωδαισιακός 8όλnς του 1{.

Α

κόμη κι ΟΙ' ο Buckιninsιer Fullcr δε1 είχε ~άνι1 tίno ιι ι'ι\ \ο <> ιη ζωι] ιου αn<> 11]\' tnl\·ίιι]<ΙΙ] ιοιι yεωδαιοιακού

θόλου. η θέση τοι; οτην ιστορία θα ijταΙ· εξαοφαλισμf-η. Από πο~Ιοίχ; θεωρείται ως η σημnηικί>τφη κmνσιομία καια '20ό' ΊΌ\ αtω\α σt:Ο\' τομεα ' ιω\, κατασιιι:οον. 'Οδο yεω ισtακός θόλος περικλείει περισσότερο χώρο με ,\ιyότφα υ.\ικι'ι rιπ' ό;n οποιαδήποτε c'ι\λη εΙ·αλ.Ιακτικιj μορφή. •Όιιtν tι ιινί>ηιια κω

ανέlηυξα τ.ον ιιρι:ιτο μοt> γεωδοιοιακό θόλο με ελεuθερα δια­ νοίγματα για όλες τις εnοχές-, yράφει ο Fυ\Jer, •Οι δοο μεγι.\6·ιφcJι 3i'>λοι ωυ •όuμοu 6r>ίοκοΙ··ιοΙ• οτη l'ώμη, και κα1Jέ1•ας

Buckminster Fuller

Στην nιφ<Dιάνω φωτογραφία. βλέπουμε τον FuUer να ιnέκε· ιαι μηροοτά στο θό.\ο διαμέτρου 76 μέψων 11Ι>υ ιπέγαοε το ΠΕ·

ρlητερο τωl' ι ιπΑ ιnψ• πcιyκ6ομια έκθεση τοu Μόντρεαλ ΊΟ 1957. ΔΕΙ' <χουν 6λοι οι γεωδοιοιακοl θόλοΙ τέτοια μνημειώδη μορφiι. Συ1ν rιαρακίιω φ<οηογροφία, 6λέnοuμε τον Bυr.kmin­ sιer· FωJer κcιι τη σί>ζuγό τοο, Λnne Ηewιeτι Fυller, ιnο yεωδαι­

σιακό τοuς σπίτι. στο Κάρμnιι,-ιfJ.\ ·ιοιι L!.\ινδις. Γυρίστε στη ot· λίδο ι ο, )10 1·α δr.ίιε μφικές ακόμη μικρότερες yεωδαισιακές δο­ μές: κοίλα μόρια άl'θρακα που ο••αμάl;οv"(αι ψnάκυμπω.\ι., ι ψ<\ς

τψί]Ι' αυτοί1 του πn Ιυπr><'<γμοως ""' διιψαιικι)6 cπον:ιmή. [!J

τους είχε περίπου 5Ο μέτρα διάμεψο. ι ιpόκ~ται 11α το θόλο 10ιι Ι' αού ιοιι Α yίου Πέψοιι, ιιου χ-ιίστη•t yίJρω στο 1500 μ.Χ., και yιο το Πάν&ο1•, nou χτίστηκε nερίοου το ι μ. Χ . Κn­ θένας τοuς ζυyίζf.ι πφίnου ι5.()()() 1δνοuς. Αvιίθε1α, ο ιφώτος

δικός μου yεωδαισια•ός θόλος, με διάμετρο

50 μέψα, που

εyκαταιπόθηκε σιιι Χαβάη, ζυyίlει μί>νο ι 5 16Ι'(ιυς - δη \ηδή ·ω έ1·ο χιλιοσιό 10u βόρους του αΙ'1ίστοιχου χτωτού θόλου. Έ\'ΙΧ σεισμός θα μποροοοε να yκρεμίοει τοuς δύο 36λοι:<; τ.ιιc Ρώμιtς, ιι,\.1<1 ιJ<J άφψ•ε αvέιιαφο ·ιον γεωδοισιακό•.

Ο Fuller επινόησε τη λέξη •tensegrit}"' (-γtΙ1<tuμi.'"1 τίχοrι} )10 το σύmημα κrηαιrκωών συνεχούς ιάοrjς/αουνεχοίις θλί­ ψης το οποίο ανέmυξε, έχονtας ως αφετηρία μια ιδέα που τοι> έδωσε έl'ας yλύπτης. Γρήγορα αντιλήφθηκε ότι, λόγω της μεyα· λύΊερης ΟΙ'Ιόδοοης ιου συνδυοσμού τάσης και 3λίψιις. εΙναι δυ· νmό να Χ1ΙστΟUΙ' πολύ μεγάλοι θόλοι, με τα δικιιχ~μαια ytνι­

κ~υμ~νrις τrtιιιις ιιuu είχε εrιινuίjΟεL Υιιολόyισε ότι ένας 36.\ος διuμέψου 3 χι\tομέτρων θα ζuj1ζε μόλις

4.000 τόνους

.,/

-


Richard Dawkins

'··-Π ΡΟΛΟΙΌΣ tτΙΙΝ ΕΛΛΗ Ν Ι ΚΗ ΕΚΔΟΣ ΙΙ :

Κώστας Κριμπάς Σελ. :

500,

Μεy.: Ι4χ2 1 , Εικ.: Α/Μ,

6.500

δρχ.

·Η ~tλιξn διαμt.οου ιnς φυσικής αιιλοyός -π I'" συ,τιδnτή. αυτόμα1η, τυφ.\ή αλλά οuοιοστUιι.ό μη 1U· χαια διαδικαοία

vo- ci,·αι

nuu α''Ο"αλύφθnιcε από ΤΟ\' Δορβί·

η μαναδικι\ αnό,'1ηοη στο μcγαλιnι.ρο

α11' όλα tα φωτι\ματο: γιατί unόρχοuμε;• Rίchard DaΙΙ•kiιι> - Καθηγητής Ζωολογια~ uτu Πονεπιοτιlμιο τη~; Ο~φόρδιις

Tn

1\ιΔ.\iο αυτό

6n η:>

βρείtt:

οι; 6,\α. τ α ιtα.\ό

6ιΛ\ιunω.\ιίο.

:\\

Οl.λι:ιι.

Το πιο πρόσφατο 1\ιl\λiο του Oa,νkins. Γράψrnκc έντεκα χρc'ινιο μετό το Εj•ωιστικό yονiδιυ,

μnορουμι. Ηι οας το

και έχει τιμιιθιί ΙJL το Βραβείο

ιο\""ι•ομηοοuμε. Το

της Βαυιλικός Εταιρείας του Λονδίνου

ιξuδο αnοοιολnς θο

Έχτι yιιριστcί σε 11ιλwιπικό φιλμ οnό τυ

ι:ηι~'(ιt.ι\ ι.μιαs. Γρdψ>L μας ι\

, r1 .\ι.φω\-ήοτι:

μας:

(χbc)ι,_ις KQH)Jιtpo, Ισαύρων

κο ι ΔοφΥομιίλ ι ι,

1471- Α01.Ι \'α. Τιlλ.: 3643272, 3645096

Farada) (199()),

BBC,

και κέρδισε 10 βραlkiο καλύτερης επιοτnμονικι\<, τοl\•ίας

(\987).

Ί!χιι μcταφραοι•i οε είκοσι ntvτε γλώυuι.ς,

ι;αι εί,•αι ιιαγκί>ομιο μnεοτ-οtλφ.

ι

Fa.:

.iό4 11!64

ΤΩΡΑ ΚΑΙ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ


ι ΟΥ ΛιΟΣ Ι Α ΥΓΟΥΠΟΣ

ΤΟΜΟΣ

1994

1I

τΕΥΧΟΣ

2

ΑΡΘΡΑ

7

Μαθημαηκά και ψυχολογία

Ένας nαpάξενος αυτοκpάτοpας ... lgor Akυlich

Μοριακή αρχιτεκτονική

το κυνήγι των μαγικών σφαιpών Sergey rikhodeyev

--

18

Πρώτες ιδιότητες

Προς τnν κορυφή του όpους Fermat- Euιer Vladimir Γιkhomιrov

22

,..Ι",'

τρικυμισμένες θάλασσες

(:;υ;οι'Ο)'pόφηοη εξωφύ1ιυυ; U:omιJ Ιίs/ιJ:οι·

Μερικοί 0116 tμcις ;,uμούι'lcιt, με θιψηδία, U]Ι' εποχf] που τους ήτn1· εύκολο Ι'Ο κφδίοοu1• λίγα χρήμmu. Το μόνο ποι> χρειαζόταν ήταν να κάΙ•οuv μια έξυι"•η συμφωνία με τον μικρό τους yιο;

·0-

ι>ίmε. Σ• nιψφr.ρει. Θn nnu δώοω έvο μεγάλο δίφραyκο κω Ωα μοι> δf.><Jεtς έ1•0 μικρό ιά\ηρο•! Ήιαν μια καλή ωκαφία - αλ.V. δε~• κρατοuοε noλu.

Τελικά, ή το ιιαιδί 1ινόιον σοφ(ηφο. ή κάποιοc μεyο.\ίηερος ειιε•·έβοι~·ε με οδυ•·ηρές ουνέπειεc γιο τον nοl'ηρό εrιιχει ρηματία. Ποιος μΗοpεί \ 'Q κmιπtψιiοtι έναν

τετράχρο••ο που vομiζεt ότι έ•·α δίφρu-

I'"" αξίζη

πφιnσότφο οπό tΙ'Ο τά.\ηρο; ~'Ιό••ο έ••ας f:Ι•ίj.\ικος Ωα μπορούσε ""' σκεφτεί ότι έvο μεγάλο ••δμιομα uξί<ει .\ιy(ηφο un(> έγα πιο μ.-ρό. Στο μυο\ό εl'ός ιιοιδωu, ό.\α ου16 μοιόζουν με απάτη. Φυσ!"ά οι μεyά.\οι δεν έχοι>v αl'οοία στα ψuχο.\οyικό ο.\ισθήμ στα. ό ιαl' αuχολυύηuι με ιu χι>ίJΙΙuτο. Πράγματι, ο ρωμαίος οξιωμαιοι>χος τοο εξωφ6.\.\οu μrις έπεσε 3ύμn ε\'ός ΙΙΟ\•Ο6f)\'ΟU uu'tuκpίnoμu. Πόσο nrιv()uργou r'ψως: Λυτό θα ω ιφί•·ειε

εσείς. Η ιmορίο μrις nρχί(rι στη σF\ίδο ί.

Φαινόμενα μεγάλης κλίμακας lvaπ

Vorobyov

ΜΟΝΙΜΕΣ ΣΤΗΛΕΣ

2 5

Ο κόσμος των κβάντων

Μαθnματικά απpόοπτα Έξι npο(Ηήμιηα διαμf(>ιαης

16 28

Πώς λύνεται;

29 30

Αλλnλογpαφία Συvέντευξn Ο

47

Καλειδοσκόπιο λr6ι.-ο~ και γ(yαιrrις

40

Σπαζοκεφαλ ιές

41

Στα πεδία τnς φυσικής Αιώρηση με .\έιζερ

Paul

Στο μαupοπίvακα ιι Κοσ8εvιυ6λα για έvα•• μικριί φακό

50

Το

Ouantum διαβάζει

52 Με λίγn φαντασία Γξ6ψεψr<ές α{)ροίιπις

54

Σtο μαυροπίνακα Εv1•έα λuσeις

Rogel' ΡeαιΌse μιλά οτο ε.\ -

λφ·ικό Qιι;uJιιιιn

Μαθnματ.ικές αναζnτήσεις Χρόνια πολλά. Θείε

Στο μαupοπ ίνακα ι Η με1•άλη 6οσrιά

36

44

58

111

I''" έvα nρ66λημα

rεγovόta Η ιστορία μιας πόλης

61

Απαντήσεις, Υποδείξεις κα ι Λύαεις

69

πα ιχvιδότοπος Οι κυ.\ι6με•·οι κ66οι

OUAN TU II Ι Π ΕΡ Ι ΕΧ ΟΜΕΝ Α

1


Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ

Η ευχαρίστηση της επιστήμης Κύριε είvαι μεσημέρι κι ακόμα δεv (υπvήσστε... Κύριε, είσαστε vεκρός; Μ!λτος Σαχτούρης

i•&><"l

ιοι> Qιιanιιun σια ε.\ lψΊΚά χοψι;ιίσtηκε με

θέρμη τόσ<> απιΊ ιφ ε\.\ηνwj κοι δΙFΟ\'ή ιιιιιrιιιμσ·

ιι.ή κοl\ότηια όσο και ιιnό το ωρίηφο r\lη"'""' κ οι 1 ό. ;\lπαξύ τωι εnωι ίψωι nοι• μας tlf'"Ψ'"

•Οι rπrσηjμοι-rι: 6pή•αι το /iιΗiμο ιιpος 6α πο.Ιύ ι/iιmΊε­ ρα rι'δος .rrταηirιοης και, ως ε• ωύιιιι•. ιιpος μια 6σ()ύτεpl)

ιjιιn κιιι ιι Ι'ι-r~-r Aιkios.• Μο&ίι·οηος με ει•\όριοτη έκ·

μορφή ω~αpίστησης. .1" ι•ιι6ριει τίποιι ttι ιδιαίιφσ 010 μυmικό ιcι~ος: •κιιχ><JΟιόζοο> δημι><ιίι.ις ιφ φιοοα rouς, ο­ ηιiτι η κατm·όηοη μπορt'ί 1ιι t'\ε) .\ 8εί an6 τη•· •οι•ή εμιιεφία.

ιι\ιjξη ιηι ι\\η\1•ίι έκδιχ>η ""' Quanιum, γαιρε-ιίζπ ""ις

Ο. εηιοtήμοιιc m n•ειlr;rπoc>ι rα μι-. ru.6 uις φύση<: κατα-

ί\\ψf~ ""'!Η:χnες τού πφιοδικοί> μι ιο ncιραι.ότω κεί·

1pάφυηας ό,τι ηαpατηι>ιιιJι ιιr ιιι•ι 8ιp.ις rrpoot:..'ftλά ι:lq.\ ό­

με. ο (το δημοαιιίιουμι μι υς \ιyό-ιερες δυΗηfς Ηιψιιιί•·

μοτς. Αιrτές -npοοσ.τωl•ο8οι><ιιμiΙ<Η ψάιοι ηpόκ.\ησης ιtιυ•ύιω> - εί•·αι σημn•'lικίς, υιιιδή το 0101,\rίσ της εηιστη·

ξι' ι ς κuι ιιιρικοrιές). θέμα του είηιι ΊΟ κ6ρια \<Ιρ<ικ τrιρι·

στικά τιις ιιιιυιιwο• LΙ.ής μεθόδου α.\\ά κιιι η \αfJι1 rιuu αποκομίζει όποιος υ1 χιιιισιμοιιοιεί στην προαnιΊΟ>ιι'r 1011 "" φμι11 tίιοει και να καται·οtjσει 101 κίχιμο μrις. •Μιιορeίι ε ι•ιι ιιυ•<η·ιψιεtε τφ ευτυχία με

no.l \fς μιψφf,ς,

Μιn nη) ιj """Ι ίας (\'Ηι Ι) τi\Ιη, rιrιu διη·εί(>tι το ι·οu ~οι το σuι·σισθήμοιό μαc. Μιιr άi.Ιrι σχετίζποι μι ι φ κιrιιιιι)ηοιι

μο•ι.ής μι:tlόδοu

nou τηι• •rι/)ιιrιά

ι6οο cιξι6nιστη είναι ο rι­

Ι'<>ι rcός• .ιιιι·ιί<; .\upαηήpας της. 'F.ι·ας ειιιuιιjμυ•·ας στη J3εy­ )'61rι μιιορεί να ε•tε \fιιι.ι ι'ι <J ιιε(pαμσ με τι:ιι· ίδιο ψιίιιο ιιοι>

€vας επιστήμονας <ΠΙJΙ A&jνn cn·rφψε ιί ιι ω διεεή)'α~-ε, και ατrι ου•·iχεια ο πρώτος ι·ο rV) ξι ι ω· ο δcιfrεpoc; έοψα,\" rί <>χι. •.\lφΙ"οί ιιιχuρίζοντοι ότι η npσιιιj Ιωοιι '"" rrείρομα α·

""' 1ιοτί {I σ nρά)·μα είι·αι έιαι ""' 6.\ ι α\ Ιιι:ίς. Σας κιψι;ι\ι.ι

ιιατι:Ιcί οσ6αρά nφιιιιιωμό ιΙJς εnιοτrjμιις. Υηn01ηρί(Ι>υ1· ιί ιι δι • καταφέpιτι •·α ΙιΥ6ιι ι>ιι<iψι} ιης {Ι ο )f) σι·ός nοιψnο­

τοι· τρόnο μι 1111 unuo'υ .\cιτουpμί κάτι: ηώς πnιιύι ιιrιιΙ /><>·

/Ν'.ί ω συμ&ί μία φορά στη ζωή μrn: (ι'ια 1:ιι.rι>μα, ιια nαpά­ Ι»ιιμn) ή έια )t)ΟΙ<ίι; ιΗιυ τσι παρατηρητή ιi•αι άκρως

μια 6αl!ι6 αίσ()ηση εuιαpίστησης όιαι· ξαφι ικά ΜΙΊ ιn οήσοt 11 \όι α. με ποιοι τρόnσ σκέφmαι ο q-..έφει\οc;, )Ίατί το ψι α·

ιιlφι•\ \ιι μ<ΗJ\υ6ο \ά•·ι. Οpισμέl·οι nισπύι•υ• rιr-ις η 11ώση ιι>tΙlf><ίιιοο• 1100 \ειtι>ιψ)οU. τα ιψύιματα. η ~~ώση τοο \ό-

'

1ου 1ιtΊ tι»' tΗιοίο ο οιψά' 6ς ει\ αι ) α\ιιΗΚ. .. uι ιιι \ όp1σ ηράσΙΙ·ο. σκιόζιι κάπως τηι nrιό\nι'<rη. 1/pόκειται )Ιιt ω­

I'"

npοοωnι•ό (μια μιmωοrιι.ή ιμr•ψiιr. ικ rιούμε. ~ 6·α όpα· μιι).

•Η επιστήμη npιι6ιi\ \ει διΚ> εnιιειρrjμαια ιιο '" αηι· ψοιiοει αι•ιή ιψ cίιιοψη. Ιlpώτσ•, ιίιι, δτη• αωφέpιται

l>pιόrιιιιJ<; ιrou δι:ι έι σuι μπει ποτέ 0101 .ιί"" 'ιι κuιαωιι· Q<Jl'' (/iιι\11 ,v>ι.ιι.ίζειuι οι.,\ηρή δου.Ιειό) ή &•· ίιfiι>~ flιιιιllιι· l)c( ιτι καισι·οιjοου•·. ιj Ιiιαηίιτιι.)(Jm 6 rι η •αται·6ηση σnσιιιί ιψιιιιιrnΝαο ~οι ) r·αυτό ηοραιτrjl>η•αι·. • Η καισι·6rισιr δ<~· μrιορεί ιrΙJΙέ 'ιι αψcιιpέσcι από τψ αrιιί­ Ισuαη· f'"''l'' ί fJΙίΙ" •·u ιιρ<>cι1:ιέcιει, οδιη·ώηcις ιιr μι ιι /Ιιιt!ιί­

έι·οιδιοίιφ<r αιri1Ια•·ο }t) 01 ός, είι ιιι ιιιιι lot"ύ 1α ομφι6ό.Ι­

tφη ε~rίμrJOIJ του κόnμσu. Και ωιιι.\rοΙ, δει• εί••cιι rtΙΙιψιιί·

ιίι ε uι• εμnεψία "'" 1:ιοιίματος ιj ει·ιi<; ιψιiμιηιχ;, α.\λά ~α­

{, '""I

rητt> ω ιruu,\ ίζι ιι 'u •ατα•·οήσπε ~άl>r φοpίr """ 0.\(ιιειε iια fi'IΠΙlnιpul \ο. ι I .αια>όηυη μnορεί \'Π διιπηprίτnι μί­

"'' σος. έlοιμη

•α αι·αδυ&ί όιm ,ιρι:ιιίζcωι, ειί\ό ι ο nrιpn· μι\tι •ιιιμιιιμίΙΙJ ύιιιι /Π.\ιπ, οοlή. rrδιnμιοιι\ά/Ιηuι. uιι­ q>Ο>ΈΙ(Ζι..ιj. όμωrι ιrι>ιί\ιιωη. Οιrωοδή<rστι, ιίΙΙΥΙ πι><•τιμι}ιι·

I'" 'ιι ί1ιιι uι• •α ιω όηοη δια3έ'σιμη. ιι\\6 ιιι1Κ11 ώ<: κι~<μr­ σμίlη μέσο <><1ς. ιιαpά ι α ικκ; .\είrιn tΙ'Υt.lώς.

• Ο Ρ\\ \dJJι"' ιi,tn t'φl'nηtηe:oto Uncoln Con~~ ~ nbt"'fJiι)'..,t• \ι.-.~c φ φι•οο.~\ημrinc; στσ Πm'ΙΙ'cnημιο ιηι.. Οξφόρδη<.. Γο tριιJ\ηtι•.Λ t \ l).ιtc,.jX)\ ωι; tιtι•t\ ιικ:Ι\t1cιι οιηι. a.θm ιu:.ή Uεt::ιρία. ιι:ω ιιδu.ι)ιιι)Ιι ητη fk-ι ι(IIR 1ι 1\ μσ· pιΟt.ι ι\ 'bιοτή1ω\. Μηηξί• 1.t)~ rιnλ\t:n OιO.\it.•\ oou έ\ιι \ ρόψ{t ~i\ <~ι ιιι Mult"ωlar Qωιιιιιιιn ι\Ιι<ιι h.miι:s. Qιwιr.a:. Ph)·sic.-.ιl ChαιιUιι • (μr rrιφ()(tr,ιt<l1 ήhη σι α r\\η\1Ιι.ό Mb τις nαηπ1σuιμιφ.ξς;, Ειι.δlΙQUι., Κ ριjΠΚ) Ιι.(JΙ l'ht Ct('Jtlon (ι.. Ι).. \t)• φ()pε( σια f \\η\! ι..Iι μι ICJ\ ιί ι\tJ 1/ .1ιjμl0Up] ία από 11ς; Fι..l>lιιιιιιι.; Ι\{ιι(ΙΙΙ1f>ό}.

2

ΙΟΥΛ Ι ΟΣ Ι ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1994

\οuμε }ΙΟ' UJ'' aξιοnισήο τnι; Ιlf)(ΧΙι~"ιοι' Ηόu ιο α,·αφέρει, rιup<i Ηι πισrέψnιψr ι;ιι ιο uοι,,ή\1ιοτο μ)-ο\ός σu,·€6η ι).

ι·"''~- Η εrιισοjμη δη uιιιιιπηρίtrι, (Jέ6αιο. ότι το ηικ>αωrιυ ωrιύ ψεύδfτcιι onωnnήnntf (ιιι· ~<11 μφι•ές φupέςι.ιUΊύ ρυμ­ flαίι ει rιpάγμrηι). Δι'\π αι ιί ιι μιιορεί ~ι:ίrιοιικ; Ι'CΙ "'Ψ i'ζu ιιως τόπι,· n,·σζηΗ{ IOIJ(' .\ό)ΟU( ΙΙ. (rι I(H1<.; ΙfΗJΙΙ<ιΟ<.; με: tOUζ 0 •

rrnr'ι>ιx;

"' ouy~ε~pιμ{,·n npι\ιιι.ιrrο rruιιωι\αι·rj3rι~ε.

Δ!'uιι­

ι•η. ότι. α•· η rπιmήμrι διιrnιuιώοει nωι: πρ{πει ηι ιτιιοδε·

13εί τηι αΗJqκψιί ωc ο lrJI!ΙΙή. npιχιΙΙαθι ί ΙU

εξη)ljοει μι τα συμrιrιχiομuτα nου ήδη διrr3ι'τιr · ιιrιδ.ώι.ο ι α τη•· φ· μψεύιιΗ μι ιψοσαm:οιΧ;αυ\ IΙΙ)Ί<ιμο•;., /Ιυυοομ6οι'!;οεθε­ μι Ιιωμiιιcrδέις. nαρά' rr """"~.)(ι φμψ cίcς }Ία μία OO!"'f·

UJ'

ψψέl rJ περίπτωση. ·Η rmσnίμη &ι tί• αι an \ώι, μrιι <ιιt\ \ιψί arιo α>τξόpτηιει: ιδέεc. σm· οάm:ιι; διοοιιαpτες σε μια ίριιμιι. ιι\16 έ>ο rru•ι·ό δί• ιιJΟ α.ί\η.\iι·&τω•· ,ι;,.,:,,. Α 1 ουτ{ς ή rαι· οΗξ6pτηπς με· ταξι) τοιχ;. ιύιε η αι·ατροnή μι'ιις ιιι ιό ιιιηfς δει· 3α είχε ιδισί­

ιφr] σημασία, διι\ η ιιr οιιδ.\οmες θα εnι6ίωιπι•, •οι ίσως 3ο ι}τrη η)κολο \~n οηικιπιιιτιrι~'( η ''tr<pι~ ιδέσ. Ωσrόσο,

fl\ '

α·


Ι'αtρεηό-ιω• μια ιδέα ιιυυ αιιυιt.\εί μcρος tΙ 6ς δικιύοu, θα συμηαρέσι>ρε no I Ιές ό \,\ες ιδέες. ι\,. ήτα•• crlηDιn:> κάηοιn από τα "&ύμαια" ΙJΟΙJ φημο.Ια) uύ1 ωι, &α αrιωτούηα•• τέ­

να επιτύχουν ε.\εyχόμε••η αύ•τηb] μο Ιοvόη ξnδr.ύnn ΠΙ' δι­

τοιες δραμα·ω.:ές ιι.Ι.Ιαyές ιπις θεμc.Ιιωμέl·ες ιδέες μας, ώστε Όα κατέρρεε ο.Ιόκ Ιηρο το οικοδόμημα της εmσπίμηc... • ΟριομέΙ•οι ιιnοοτηρίζοι>Ι' nως '] trιιοτήμη θα αι1οτ6χε•·

δε~γτηκοv .\αv3αομέΙ'Οι, ~αι 1ώριι μφlkοί θυμι>ύΙ'lαι ·ω ε­

φο6ο6Ι'ΊΠΙ την προiλnσή της και, αl' σκόvταφτr. κrιι ΟUΙ'ψι· 6ότο,.., προφανώς Do χοίροnο••. • Το Ι'Ο ουμ6εί κάτι τέτοιο

ΊΓJV αξιοιιιιπία tης ειιιuΊJjμης λαι uποyραμμ(ζει τη1• εγιωρό­

ω Dεο.ψ<~ ιίφως ωιίθιιv<>, διιί'ιι ω <>ι<<>&ίμι)μα ιης tnιuτι] · μης είl'uι no.lύ στέρεο, οι δε ι δέες n<>υ σ,\Ί]μιηίζου•· το δί­

σεκιηομμύ(>Ι<l δολάρια κω ωταα,ωάζοΙ'tαv πο.Ιύπ.Ιοκες διατάξεις σε διάφορα μέρη του n.lcr•ήτη. Οι ιοχuριομοί <111ο·

f"'"

ηrιιιόδιο ως διααιψμό 1ης ειιισιιjμης. Εyώ ιιισrεύω 10 αΙ'τί:Jετο, διότι η υπό&εση της ψυηιιjς σύηηξης αηοδεικvύtι τητα της μεΌόδοu της. I Ι ψuνιιί οιίvιηξη, αν ε(1e ιιρά)'μοτι rιιι ιωγ/iεί. IJo rjτcι1· υπέροχη. Θο οήμαtΙ'ε τη•· αηι:.\εu/Ίέρω· (\

'

,

~

<1ιj 'UJς I1\'<Jj)(OJΙOιfj1LΙς ιιf'J() Ίl)l ΟΙΙJΟυγια

,,

)'[0 nηyες ξl'ιψ)'ειΟς

Κ'ιt>Ο ιιροff):(ό\'101 UJIO ιιο.\..\οι)e,: διιtφΟ(>ΕllkΟΙ)ς h...\όδΟΙJς U)~ η•·Όρώnη·ης nροσηάΌηος. Οι ιδέες αυτέc ιfχοι>ν nυvαρμο· στεί στο δίκτυο χάρη στην προσφορά διαΙ•οητώΙ• aπ' όλους

ιj ακόμrJ κοι ΌJΙ' λωασφοφιj ·ωu εύiJρΗuσι<>u kιί<ιμσο μας. .\·fι· πιιφιι\ιιιιrιιι ΕΙ•έρμια κά••εις σχεδόν τα πάl"ω. Έτσι. οι άι{)ρωποι ήΟε \σv rtnf: \rιισμέΗΙ γο ιιιο1έψΟΙJ\1 tοος ισχuρι­

ωυ rομι::ίι;: μι:n<Jηr..ι<rιικι:η•, φuοικι;)γ, .Χf~_μικιιλ, ffιoλόyιtn·, ψο­ χο.Ιόj·ωv. yιατp<~ν. μηχαηκ<~ν... Ό.Ιοι αυτοί οι φω•·ητές ΙJροοεγyίζουΙ', ο κο86•ας με το•· δικό τοιι οu)·κεκριμέl·ο ψό· πο. Ίι)ν n.ΙήΌεια για 1ΟΙ' κί){Jμο. κnι οι ιδέες ιιου οιιΛ Ιιψ6δ­

ομοιiς. όπως ακρι6ώς πολλοί Όέ.Ιοuν vcι nισιεύοιιν "~ ιψιί·

μα1<1 ιj ΙΊαuμrrια. Ωrrι<ίοο. οι ι-ιιισπjμο•'ες {κοηιΙ' τη δοu.Ιειά τους. 1-fΌε.\cl\· κοι οι fδωι ''Η ι.ο ΙJΙσιέψΟι>\'. αφού επρόκειτο

ιδι);ι; ιJn)\' r.ιιιατrjμη

κcι.Ιό ι ης α•·θρωnότητc1ς και. 6έ6αια, και ω δι κ δ τοος. ΕηοuΊοις, ιιr.ιρά τις rιροοηάDειεc. ό.\οι όο<ιι εηιχι:{ρrι· οαν Ι'α εnαΙ·α.Ιά6ουΙ' το πείραμα α•·έφφ<f\', {l'(rς ιφnc {.

εκφράζονται με τη σκ.Ιηρή. αοοτηρή )'λώοοσ τω•• μο&ηματι­

\'Ον, ότι (tnέτuχα". Σuχνιί ι·ηιορωτιέμαι τι θα cιΠΟ)'ίVΟ\'rαv

'"~''· μια y.\ι.ι)ο(κ:ι ε\εύVιψη αrιο αοι1φεtι-;ς κω οοναισι'iι]JJΟU­ κές αnοχf'ώσεις. Οια•• εκφράζεις μl(ι ιδέα με τη y.l<~ocι τι~•·

τα θούματο που έ,γου\' αΥαφφΌεί κσιά κnφοί>ς n•• ει\rιΙ

Ι··ουΙ•, συ•·δuάζο••ται και α.Ιλη.Ιοϋποστηρίi:Όνται. )Ο:'Ε"·α ιπlμc.rηικδ frωtχ~_.ίο ι::ίνηι ι>-rι

ot

μαΌημmικώ••. μποιιείς vo είσαι 6έ6nιιχ: ιiτι, <"' ι ο σημείο ει<· κί•ηοιjς της είΙ'αι σωστό και δεΙ' περιέχει .Ιάθη. οι tJUΙ-έπειες

) ι ο 10

,. ηο6.Ιη/ifί Ι111fΙ' ίδιο <rrι:) 'ΙΙJ, α.Ι.\ά και ε.Ιnιδοφόρο, έρεu•·α ... • Σtηl' rrιoxij Ίου Νείηωνα ένος μιψφι~μέi'Ος άvΌρ(~Ι10<;

Jl1ιuρu6oε ω έχει αντίληψη ο.\όκληρηςτης f!V3(>ώ11ΙΙ'η<; \'Vώ·

ιιυ11 θα ιψυκι!ψοi!Ι' θα tί,·αι αωμιpιuffrj1'1)ttc. Θεωρώ οπέρο· χο ιο )1-:γιη:δς 6 11 μια \'λώοοα nοι; ι:i'η1ι1ο urrf;ρ1εpo tJ ιίιtl)yμα

σης, τοu.Ιάχιστο•· στις γ>.Ύικtς γραμμές ιης. !:τη οuνέχεια, ό­

UJς αν{JρώπJΙ·ης •·όηοης μπορεί >'Ο 6οηDιjοει αυτή τη Ι'όηση •·α ο ι α8εi οάη.ιJ αocJ lO\ OV) κι"ηοιακδ κuι οu,rιιωθη_μΗ ακδ ιιη­

Ίψ<Ι. Σίjμφο. ακi>μη •οι οι ειδικοί δε•• μι ιορούν •·α κατα•·οιj·

ράyοηο •αι •·α ανακαλύψει fltρι(ιοοτφα στοιχεία για το•• κcί· ομο μας, χωρίς 10ν κί\'δU\'ο ι1οu εyκι\μο,·t:( ο ι:υyη·ής rrr>θoς...• Κ6ριο χαραt-τηpιοτικό Ό]ς εnιατί]μης είvαι ότι προχωρεί μt βήματα οτα3φά και προοεκτι-.'r. Κά3ε μικρή np6οδός U)~ Οuuίζηαι οι:έρα1 οι:: bUf~ως οι ιοδεκ ιές αιJ()ψt:ι~ και t.\έy-

,

• ,

,

εξονυχιcπιι..α

σι: φευνηυκα ._ι.:ηrα κrιι ιιονηιιcηιιμιιι,

οε όλο το> κόομο.

11 ορθότητα μιας ειιισrημονικής αρχής

λtlnι

μως, η nι>ί>οδος ιηι; ειιιοιίJμιJς ιοίJ στέρησε οι>τή τη δι>•·cιτό­ σου•· ππpά tvtt μι κιχ• μίη•ιι μέρος -ιω•• εηιστημονικώγ !Πω­ Ι'";".. Και , ΟΗ\uια, ι] εηισuίfιη yί•ετοι κάθε μέρα και πιο δu· ""ο.Ιη . • n o \.\o( ει ιισιιiμο•·ες rιιοτεύοιι•• κόιι τέτοιο. Πριirιει όμως ··α προσέξουμε και vo διακρίγουμε UJΙ' rιο.Ιοο.Ιοκιίτη­ τα της αΥακό.Ιuψης μιας vέας yvι:"ιι)ς, ιης ορ)'όΙ'ωσης ενός

ιιr.ψrίμιιι<χ: ιj ιης λΟΤάΙ ό<Jοης τω•· αnο-re,\εομάτω•• του, anό 1'1' ωιlόΗJ1ΙΙ ιιιιιιιιιιοκcι.\6ιιτειαι (ηαδιακά, καθώς ιj εnι<rιή· μη nροσδει)εr. Αοτό αποτε.\εί αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό

,

,

δε•• κρίνεται με ψηφοφορία, ο6τε με επιwεοομό των μέσων

l'Jζ εηιστημης, και πσραπεμπει στην αnοψη μου )ΊΟ τις ε11ι

ε•·ημέρωσης, οί'nε και με οδι6λλuk'tι) ψι'llκίj (αν •αι οι αι16·

ιrιιιμοΙ'Ιkές ιδέες, ιιοu μά.Ι.Iο•• οχημαιίl:οuv έvα δίι.:τuο ηcψι1

ψεις της rι\ειο,·ότιιται;. ι] δημοσιότητα και η κριτική nσίζουΙ' το ρόλο τους στη οταδιcική αποδοχή μιαc αρχής). •Οι εnι • ι ψοοει<.Ί ι ι<. ο( ειιΟ\1001 άιt:<:.

ι \1ού'' ι ω

σοjμονες ει'νιιι l\ c:ψ\'<ί ωιδ fχά OXOf)() 1t)ς yνι,Jσψ: πι:; κι1ιωιο 6)'\'ωσιο Ηf>Ο)'tφι)ρω· μα. Κάνουν μια παραιήp!)Ο!J και ε,\έ)'ΧΟι>v αv ταιριάζει αιΌ

υπάρχο•· αποδεκτό ούστιJJ.ΙΟ ιδεώ••, στψ υπάρχουσα Dtω· ρίcι. Av ταιριάζει, η θεωρία ειιι/Jιώ•·ει λαι αυξόΙ•εται η εμπι­ οτοσύΙη των σΥ3ρr~ηω•• ο' αυτήν. Λ1· όχι. τότε η uπάρyουαα ()ιχι>f'ία πρέπει \'α τρσποπnιη3ε(, ή σκόμη και \'fl α\•τικnτπ­ mα/Jεί ιι.Ιιjρως. Το ιε,Ιεuισίο οuμΙJαίνει ιιο.\ύ σιιύνιο ιnψ ειιισ'Ujμη: οι ιιερισοόιφtς α.Ι.Iα)'tς αιι<>lε.Ιοι>Ι· uιιμιι.Ιηρι;,. σεις της προηγούμενης &εωρίας. Ακόμη και οι εκΙLiψ;τικές

~

~

uπάρχοu1• ως αnομοvωμέvο και ανεξάρτητα τμrjματα σκέ­ ψης. Οι κρίκοι nou οu,·δέου•· τις ιδf.>:ς ι;vισχύοΙ'ΗJJ ouvε· χώς εκεί 6που Πf>ιν Ι('t:ι<iζ<η' ιαv δι)ο ιδέες, μία ιδέα είναι

rι\in•· rιρκειιj. Οι ειιιιτιιjμι>~•ες διακρ{νοuΙ 6tι στι ς (Jαθι!τε­ fιέι; ,\ειιοιψ)'ίες ιοu kOOJlO", εκεί στο "μηχα••οστόοιό" τοu. ιJιιι1ιψ>ο•· μιί1 <> εξαφετι.ά οπ,\6 πράyμcrτο: απλr~ς iμΒο,\α rιοο t..η·οιJγιuι .

·Η ηο.Ιurι\οκότητα του κόσμου προκuιπει από τη'' nοΛι>· nλοκότητα tou tpόnou με το" οποίο σηχδύοvισι 1α )'t:yonJ--ια

ιnο>· "ίιψυ ωΌuύμ..-rι ω ι' 10 αιι\ό )'Ε)ΟΙ'ός ιιου /Jρι'σ•εται ΙΠΙJ ρίζα ι ου. fί1 Ul α\ιjθειu ότι δόοκο.\α μπορούμε Ι'Cι αΙ'CI· .Ιύοuμε τη στε•·ή ού1•δεση των διαδικrrσιώ•· κnι \'Π ι·ξφ•ιά­

επανα<πάσεις -ιου 20ού σιών(l. η κ 6σ\'τικrj θε<ΙJ(Jι'α και 'l οχι-:­ τικόιφrι. είνnι 6rιΌιά ριζωμένες σε nροηyοuμεvεc θεωρίrς.

ιοuμε τηι· έσχι:rτrJ (1ι1 ίιr Η>υι:. Ωcnδοο, δεγ I ψέrιt:ι \α νομ(ζοu­ με nως rι αrιlόυ]Ί«. ει ιειδή είl·cu δuσκο \ο ,·α 6ι>εi:Ίεί, δεν .,.

Δεν οι ιι1fιχει ιJιζικιJ ε) ιπvάfτ'tctιnl σιφ• πιι<rιήμη ιl <Jt: οι ιοιαδι)·

nιl[J,\'tΙ κιrtΜ.\ου.• Η ηιιατί]μη . .ΙοιnόΙ', ερευνά ολοέl'cι και πιο 6α3ιά στις λει ·

nοτε ά.Ιλη αv1:!p<o'>ΙJt>'f) δρασηu>ιιίτψα. •IΊα Ι'Ο διευκρη•ίοω τι οημαί1τι ιιροσεκτικόc εrιαΙ•αιηά·

Ηιιψyίες 11.1υ •όομοιγ κοι μας δtίΧΙ'f.ι 6τι στη ρίζα του υηιlιι·

ΌJς. IJα ω•αφέρω ως εύγ.Ιωπο παράδει)'μα τη,· ψυχρή ούν­

χει η απ.\ότητα. Λυτό ηrο~αλεί βcιθιίr εuχ<φίστψn] σε ί"''"'~

τηl;η. Σχετικά πρόαφατrι, δύο εηι<mjμοΙΨς ιn,χυρίσιηκαΙ'

,

.

.

. .

,

οιι καιαφι-ψαι• \'U Hαf>CJ)'UfOO\ rrιψηηt..η e ι·ιψyειCJ μεοα οε

δοκψflσιt'-6 ο(,,,\rίνο, ξοδr6Ω\'1ας μι:ρtkιί δ().\άpιη, εvι:) οι

ΟUΙ'ΙJΙ!ισμέ•'ΟΙ επιοτιίμοvες δε1 ε(χα• μ(φι τόιε •αταφέρει

cιnχολούl'trιι μr. Ί η ι:ι ιιmήμη· κuιυ] •·ιώθΟu\' Uλόμι] Uαθύτε1"1ι>ιω ωι\ι;κ: Οιώ•·οu•· μια εμηειρίο του κόομοu, χωρίς ΚΟΥ

vo ω,έφΊοvιαι

r)Jν εrιιοτημοη"ή φμψ·εία 1ης. Λ. Μ.

OUANTUM I Τ Η Σ ΣV Ν τΑ Ξ Η Σ

3


Τι:ιί,ι ιχ;

:!:

.1ε,· r.ίηιι ο•Οcιί.μcιrιιltη .lιιΙIIιΙ<κιιι. ιο κι.φι·ιι ωu \ι~iΙΙ• cιιιμ· ιψΟΙΙ\UU•ιt\'η οι.i,ιδn: Ι~rιιμί\'Ι'Ι f·Ηι η ΚΙΙΙΙΙΙ'όΙΙΟΙΙ 111~ fΙΙΙΙΙLΙ\)JΙ]~ ΙΙίιι; μιιηθιιι,ι Ι'Ο ικιψιιοιtι. I~ΙIIuu~Ι 1ηι· cψιφψΙIΙ 1ηι; QΙu­ ιιιις. Κοι ι<ι ()uantuιn σuμφοοι11 ιωο/ uι•.ιι:

ιΙnζJ ιοu.

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ iiΣ ΦΥΣΙΚ ΕΣ Ε ΠΙΠΗ ΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑ iiKA ..,:::.,li.ooη 1ης 'ειωυηr;; Κη8φητc.ίι•θιn ._6, l::nι tn ημf:~\ (l\'SΓA) rω ι• ΗΠΛ ιφι 10ιο lj•rφιiuυ Α ι·aω Ο}'. Pf.~'".,'l'- Α .. αόημίος Ε.mmημ~'', \μψι"-αηλήc f, ·ωσrις 1\ ttt?r/)ψrj ι Φvοlλήc (ι\, \Ρ1) 1'0t' FΟ'Ι tt.fH; lc·μ6ιaι•\iOt.1 κaαrηιιιι'iι \trn'hJμahλώι τωι I 11/"'

11' ιη οι \μ11/)αl:η UJ<.

- Touc; tΙi.>vtιιισuc; μη φ, ι Ιuυι· ff1C1· φιιι ιν l,n·o οrρΙοδιιια σnιι•α iιιπ ιψllf• μοιο {10 to μοαι.-νμ.ιιωί. (nροφcι\"Ιιι~. ιιuιιι 1n ιιοbοοιραιρΙι:α μορια trH ι1uuι· """" ιιη nnι~θr· I~ θρηακιιο) . .lιfllkιιιu 11'11 ... ;.,,; ηρωμιι·ο αρθρο 11 οuιό ιο cιιιιιιιvιι•" Ι!tμα ιρι.uιυc; οιιι uurψ<JI'IΙ .ΙΙ(μιιιι - ~ ηυιό l(t Ιf.UλΗ~ Γχοιιμι: μιι(ι ιιο«:

'"" Μιιrιίιι (iaΓ(Iιι~r.

Πι\ι•ιι1 διιιοκιοαιιιι · κ ίο κuι ιικΟ>iιιmοΙο. (Λ) ήΟrοιι. 1ι·wρ1~1 11

ιοιι nιιιι 10 δ1κιι&ς βrlli ιο Ιιιu unnρxour •ω φιο oou kΊΙii:i οφοροuι· orn ι i) ηι·ικα:)

- .lιαμόοοιι 10 ι·ρομμu IUU "

"''"""'"

ίο~ Ίn ιαίο•οιρΙ Οιi ρ()t1 ιι1η1 \Οηιο kOt 6ο μας nι:ι noi ίο t\·διοφtρcη·ιο \ΙU ιηr ι.mοιη μη ιοu. \u ιu

10 ΙΙΙ(κΙΙ,ι

ιιμ· ,.:.

t~irι () Ρrιιrοο('. Ί'uΙ'f\'οιρί(rrι. ι-:.tιιι δru·

βiιοιι ιιοί i ί<: φορί.~ frl Ιιι·ιιμcι ωυ ιιιιι ~~ ·

βi,iιΙ ιοu Βιι•·kiΙΙg. Π ιιcικrοιιιι """'; \'ΗΙ ""' ΙΙΙ·Ι'ιιί uΙq!<ι ιιnΟημαιΙκιι φunικn '""' ιι­ ΙΙΙ '"'"' μας. (Πριίοφοιο kΊΙgJ.()φ<φιιοο. κc11 ιιι πιιόιιο βΙβ)iο ΙΟU οιn riiηΙ'ΙΚΙΙ. )

- ) I ηι· uαριιίrjφm ι'Q οcίιι ι ο ιφθι•1 \ια ιu\· uαρόξt\-ο αοrΟii:ραιοιJ(ι tι.tιι ι ι η cιi •

ίοιωιο oιpotJιfO μrρικι~ tοιιο:

cou.

θο διuιttοιωcwιr

111 φαιι"Ορη"Ο

nn

ΙΙΙ ιιΙΙu•ι.

- 11 nouαlω ιω~ θιμαΙertΙ' ιια•; 0<1 <ΜΙ~ ι\·ΟσΙ.Η)ΙήCΙt.ι. :\ αοί.ιιιιιιJΙt. ιριιι: ΜΗΟιιi Ι1ΜΙ ­ •ι\ς rιιιυδιιl).ις ιου Οιωρημα1ος frrιιιat • F.ulrι·. οΙιι αp6ρο ιι·ό•; μιruiou uuν~ιιο· 1'1111 ΙΙΙιΟιιμιιtικιιu. l'ru ι.UΙΙiιψΙΙΙΙ), iΙ)).ι:ς

trι·Ιιι αΙΙοδci~ι.Ι~ π Ι·''ΙΙ πι.ιοβίrιιιιΙι.uκ)ri· δrJor, \Τ.ωμ.ιτρια~. Κιιι nuί ία οκcιιιη ~··ΙΙι.·

(11<, PcΙUuoι; οιο Ιtl.\'0

μ~ιlιο1 uιιui Ιφnμιιιι οιιιιροοθροιοpuιωv μη,) ιι ζ•οο •οι μι·

KfiO.fOAOI. rmιιv; i.u!,ιρ .. (F.ιn hvι .. •

KOf

txcnn

ΛMIPIJ(λ"'IJ(I! ΕI<ΔΟΣΗ fι.&tιqι.;.

Bι.IJ G. λktridg~t. .Δι.ιοιι.ηt ~t.toι.. -"''""""' ιι..... '"Τ..\ .-\ι-uι•uα'ί\ω• Εa.δό-rηc

Scrgq Κrοtον ΔιΙι.;" 'li'IC· Γροφιiο I<L\'attι. 1\ ra'.lιl)η~η.; Φ\•4'μ._Ι"" I lv\ιιιω"'' ' Π<cιtηιπτημιο nις \loυ\tflo,. /δpι•1Jι..οι ..!ιτιι,')ι" π.; Σι 1 ια(ι/'ό

Ywi 0$5ίpp.n . Πιοδfδpaς, ι ·ροφcιο 1.\ιοιι•ι Stιςo_ltlόι\ (λ'(': Gιιuhow, θραtkiο 'J<'}μιιr\ (Φι•ιιιιιr.fι), I Ιuιωιιrιiιμ ω ωι• Χ<'φfkιρι·Ι Willia.m ι•. 11ιuncoι'l

Μ t ι(ι.\ \ο ο ΦL\ι1<; {~1 οt'Ιιlμrιιιι,iι). llfι\ I rΙΗfΙΙ'Jμιιι I)~ Κι t\ιψ(Ιj)\"\Qς. Mntρι:..\.ct.l

J,,.,,.)~-πχ. Σύ' Η~ nτη Φιιαι.ι.η

t..aιτy ο. Kίrlιp:ιιrkt, Κ cι8• ι\ •1ιi)c Φι.'<'U.J)C- Ιlο\ιuιιι-.iι nιΜ11ΙΟ1ήμ.ιο

•.ιJbeJ-1 L

..,,,, Tr\""\(1\ioc: tης \I4JΟ'\(ιι.. .iu-ιiJt••uι. ει--~ tQ(ηc (J"I(I \fι ~JII.. I f Muk ε. Sι.ul. tι:νflnι; \ος \nο\c•t••ιιι.κ, !:\ό\η τοο )Ιιψι.r~ξ6ι\. -.:Jc Υδp...ι) Vbdίmu- Dubro--1-t, r •nι'ΡΟ' KoOrnηur.. \Ι,ιο."tιμιιι ..ι..Λ , IIu\ι1ι....,.,Ιf I).Λι' IOtfJDO tης \l~c... -\p\Ιflll'\ ιιati)L

\nείi)ι-,οι. ''"'"''}Ι•~

Πmoιhy \\'~bςy

Setger lnno.

tι:JΙΗιιιι_.\οt υιι &ιΊ'-·"\λ 3rμοιωι Eclward II)W'Isky

J:ί'}ΙιkΙC:ίt.οι !Ί·ηιr(ηι.: AJnιancLn- B'udln. 1\cιί)ιηηttι<: ΦΙJUU.i1'o. Γiοι\ι ιιιf•ιι.•'> Ιlιi'\Ηιιcιμtμιο ι η.; ~Ιόσχος Vuly O.ιrιiJov, t ιιοι ' '' η ιr'f. Α 1\(ι~μihft~ IHrtHo\.'\o Λιιη;tι;,ιω' t.ιιrl~5:t Pa.n~. λp'(tiJU\ ιιrι, φιιι, Ι " r<ιφιiο Κ νaηι L;μfk:lι).ίfl)1wj l:JJι ψfιηή

Bn1Utld V, Κ.how-y, λΗ:ιeι'ptις f:.,τt V.i ι tι"(.M._ Υιιύ.\\η\οc. .W...l James D. Caι.ιs. .lιοu;:ηnι.ός j,ιιvUΙ.'' ιι~ Χ(.η.ι Ceorgr βςrι.ιm)i. Κο3η)ητής J.tσ\)rιμι mt.U, . l\ι'ΠΙ1Οιι.··το J '\' n\ιrιίι-"" Rr- -llιιlnuή, ι, ,,(Μι λn.hur t.lιm.kτ&fL I μ.ημα θcu,ι,.,~ Fnιnιημι:~,, ,\ι....... ωt'ι~~ι;. l...ιJΙC'". ~ Υόρκη 1\.Nd .Jorωcon

ι..οΒι)}ηιήι. Φι""'-ίf.. llo\ιtnm.ό J Jιnuιιννιμιο Rq•Jιιc. Kapo!t'«

Matprf"' J. K c:r"My, 1\o:>rpη-uJς \k,:)qμuιι......n . ι..ο\ψο ~ R4ι.ιιι·"'Jt. \kιooa).()ιi..'I(Jitt') 1'boιmat Ο. Rοωιι:ιι ~ηuιc ,..,._')(.. lltΛιn4tΙΙ.,ιu ι•ιιι·Ιkγιf.ίοι\ 1\\n'όtc

λlcnnckτ Soilα Jrι.Η•"'nητι,; \ΙuΟημοιο.ώ•, l1ι.rl,.,•cπrμo ~· htt\ιιrpιn ..ιι... Κο\tφ(Λ-ι:ο !npt\l\..,

R.ub:u-a t, Sιorr Kn0rnητpιo ~tιιrι.t" \ι ιrι.ΙιQ 1~ 1'\Ckp,,._L\. \(ιt,..,.ζιinrι Carol-λnn Tή:pp. Ι\ο0ι1''f'Ι"ιι ... Ημερήσιο l\••\ιt '-"" n,, .... ιιιι.ιοtιιt. Ιlρίιβι' ιι.\t,. ΡtΌ.ιι·, t '\ ι \tn"ι

'OWJtc.

F Λι\Η1\.1ΚΙΙ

Et..Δ()U Ι

t..δυα)'

A.lbc<>< Μ6μα.\η< \,rrάtppooη ~ut brιtrrημtι~ιι,~ tπιμiιιtα Σ.' <ιι•tό το τει:,;ος ("11.!' φ,tιιιιιιο,tι\ "' ι.. .:

Ιtίλιοc: ~αρlοο μιritιιμιιιι.t.6ς. ΦQ,ης: Γρι.ιμμbος·ψι ~Μ .. ιις. Τόοος Κυι:ιρwv{6Ι)c;·qκ-.ι ιιι..ι-.., Κώατος ..t.\οδρυι.6ι~· •11 ι.ο ιc. Μtχό-\ης Λόμιιρου·μιΙ"Ι')φιηt..ι<. Κ(χnος ~·δό.t.qς-μιι.')ιtμιιtιι,ι·ιι,;.

Ιτέ.,σ""'Ο(; Tρoxcniιc;·'f".••~rι.uι,.. f\ώρ\.--ος ~'η:Ιό\'Ο(:· tkιι\.,, Ι ~\ο. lιa~UιtJΙ HΙJ'ι..IJL ι \ηι.

't• λλh.ος Μδμc.\ηc-.,...,...,,ι.,.

Πωοου.:η nιι_μ,\ιιn ~"'--410<

λιιΗιπ,"l u.η mψt.\ao Γ>ώpyοςΚοpομlως

ρcι ι-:OktιJi_ rtα ιο Κ:Ο.ίοhΟψι. ) r.ιιιιιίιιη·

1-..:.p,O< K- - 1 0 <

nρopi ημο1α •α• uποf.ο•ι.φιιi ιtς. 11n •··ιι<~

!.nιcnttf'u\.:..uι ι.ιι μfίι• \ι-. Μιχδ.\ιις Λ6μιtpοι.ι. Α\οιι\ηρr.ιtης: b.σ0ιnrιτηι, \tt~μιιΙΙι..Α.)\,

IΙOJX \ΊόιοU•.. 00~ 00\'ΗΙΙΟΙ η!ΙΙ(Ιki ι~ ι·δptt;~

-

ΊΊ.).ι... μιιr ιιιΙε).ιιηιιr 1~1 IIΙnllιrιΙΙ'Il

ω ιιιιΟιιcι ι·ιι1 ιιι Οιιi.iισοΙιι κύιιιιrιι. Σω σχο)Ικiι . κσίιγια.κιι ή ιιΙΙΙ'fJ110ΙΙΙJΙΙΙΙκιι Ι·Υ· ιιψίfιιιΙ Ι~.ι· Οιι βptίπ ιιχιοοr ιιιιιιιι rι' ιιιι· ιtΊ ιο Ο., μα. Το D}() κοιαηίηκnκu ιιηιι cΗι ΙU αιιΟιιυ μας ιιδη111 οrη ο~ι·,ροι·η ιι·ι·uιιι \ ι· ύίο. αum σοι; tωrοι·ιαι ί Ι\11 , ιο,·

Σιιιιιμμριιι fΔΟιψΙομοιιιι δμψuΙΙf••·

1\oio kα)ο"ιιφι

α.JANnJM ι ο μοΙ·αδιιιο περιοδιιιο

4

I la\"tW1UJ.ItO Κρrμ.ιιc,

t;.ώσιος z:.ια,δό.\rκ,. Εrιίt..οιφοc Kcιi."lιfίtfU'I". Μη:>ιlμιωο,ι.J\, lluω•Olfι;ιw Κf·•·ιιηι. Στέφανος Τρο~ανός. ιρvιιι ι.ιΜ.,, Fιδι•ός t:.nίσtίιμω\ Α 1\ι tί•μιhιι~. 1/φι-μσ Ι '"''ι>\ο1 iιιι, ι..ιcι 'Ε~ Ι•\ nς θε()ιδδοη( Χριυ ωδcιuλlιt.ης. Εrιί._Qt,ρος ~ι10'I''I "~ Φι•ιιιιι.ι}C. llα,·mιιnήμω ΑΌψ·ι:Ι\

\"rn:~iι')c.•~η .ίoγtVHJf'ΙI~• ""' hιιιψι1μιΟJ~ .Μορ{ο Nu.;ooOOM>t.>-Mlrμo.\η IJI(.nίιtι ι

...\ιu...ιι fJOlJ

tvι·δ(ιομ/-ι,

Γιώρyοc; Ρtιοοιι.lοκης

•» \ t tι,ft,oio

λ.\ι-ξία t1oμ(("lf'l 8ι 6 \Jοδεοlιr θ. λρχ...οu.\δοη<;

1\'""""'

Το ~ rJ:ιι&ιι1"οι ι:m.c HnA W86 tO\ Εt.δοuιι:ό cMo Sp..ψι ..οι cnην ε.ι\όδο on6 aς Uδόοnς tάιοmρο

ιιr ιιuιοuιιοιοιηταc;.

-

t'J'l'- ~·ο~ 'tύΗΙ.

St.aιc:nko 1\οΟrηητηι:; Φι.•οtt.ι)ι:.. ι.. mιtoί•1u Φt""""'~

ΙΟΥΑΙΟ Σ λΥΓΟΥΗΟ Σ 1994

\nι-ι•Α•..,,, ''" η- ι\\ηηt.ή n;ΟΟσηοι~u μ ι• 'ιaμο- .U. ~Ιtqκι..\ηι. Qι;ur-.wιA. Aιμrr-wvι ••ι.wι.w. C"fΚrνlw' \ΙQVJ' • \~

':r-wl ,\όυ.ιιu Α.\

.jο{ιφιu.;;.,._ , ._ ι..uι ..rι

ΙΙ'ψu, Ιοοι.:μ-u' 10 r4\..ίO Ι J364,~n.

ΊSS.."' ι 11')6.~1

hδύuι.ι\ Κότο-

I μι ιάδοχιη

ι\Uιι\ι;ι,

p€ nnnιn·

ωι •Ηψι ΟΟιι.rιι• ι·ω,Ηι. lιj•

r.μη_ ι,_(ιt)c τιι,...... ιtιι.ι 0.6,\ιι.;.,._\ι.c.; ι .2f\O ~

!ιι,Λpιι•.,ι., 1\ιιομι..η .ιηι:ι.ιο; i'.Of!Obp\ }''" ιΛιι.ιιιο,. fιOMiir\ ,,ι.ιμι.Δμt.. ..οι.,._ομίς. tΟι •ΙΙϊ fιι'\ ~·~~~ fl\ιιη')ι,..-... ιbρι.μcιtο. tι'(Ι't(ι',σμσι'-1;-. "ωμιut lkιι(to. I~NII! fψ\ ''" tfκιΊιιc:. IO.I:IIIJOδjι\ )ια μοt1ηιiς ~nι 'Ι")ιuιιιc..

18.000 yιιι

6\f\\ιrιι")itι.('W •δν~ιι-οιιι, ~~or)«~•

ομι:ιι,')ι,. Γι ('Ι (ψrιΛι,.,;ς, '":'δj)\Jμ.ές, με ~ιιμηV~Η("' ,ι",

ιΨο<,. <••ι•!).+\& ι ι ι on" &.δόοος K&tomrn.


ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ ΑΠ ΡΟΟΠΤΑ

1ι προκλητικά προβλήματα διαμέρισης Και έvας στεvός συγγεvής της χρυσής τομής Martιn

Karl &l1cn:r,

ειδιλόc στοuς

η \ε~ τpon~oύc υηο\ο1 ι<n:ές

οιu Ό>..\σ• t τη<; Χέος Ζη_\ο\'·

δίας. Hlnlf nρc><>φcrια "' εξής

rφοΟ\ήμοτςι:

τρία [σα μέρrι.

Νιr μφrσιεί έ•·ο τετράγωνο σε τρία όμοια μ(ρη. από τα οποία μ{,.•ο

2.

ι α δί}() εί,·eιι ίοα. '~

~ •

δf\ ιίωι μο•οδι~ή διότι το κει..\ιμέ· \'0 εuθύ1 ρcιμμο τμήμcι μιrιψrί 'c;ιτο­

. . ,,.. lf""

rιοθt."fr\θtί οε άπειρες 3έσιις. 11 \6οη nou 6\rnr-..: ιί•ur ίσως uuτή στη.- Ο·

ποίο τα ευΟύ\Ί><ψμιι ιμίιμιrιu έ.\ουν ,., μ.-ι•<•ιι f>(J δu,•αιά ακέραιο μήκη. Όrιως rιιιpcιιr)fΙψΙf ο μ11θr1μn ιr ,(κ;

~ ~

Roberτ \\1 ~ίn,.rίκΙΙ ι , οιr ό ιο Νιου Τζέμοεϋ, ότα•· το n.\61 ι<> ωθul(><ψ •

γ

"

ψ ία όμοια αλ\ίc ό• ιοιι ιη ίι δύο μi:f"1·

4. Νι ι μι ρrmri t. α ιοδ11λεuρο τpί ·

.

1ωω ιοπ μφη. 5. Να μεριστεί έ•α ισόπλευρο ψί· " , " ~

'"

0 D Σχήμα

2

μ ο ιμήμu 1ί• ει •ατα~όpι>φο. nroκ6·

ηοuμε τρεις \ύσ>Ιc 1ου δι-ίηι ροu Πf>Οβ\ιjμu ιuς διι.μέρισης.

Το τρίτο ηιιc'>6\rιμcι ιί\Οι δυσι..ο·

ψι α ομοια μερη. αnο τα Ο·

ποία μό•·ο τα δύο εί•·αι ίσα.

18

6. l':ct μφιuιιί ί•α ιwιι\εuρο τρί· 1 ω• ο or τpία όμοια α \\ά ά•'ιοα α• ά Ιiίκ> μ{ 1"1·

3 ί

Η \ύση του πρώτου προ6.\ήμmος εί,·οι npοφο,ής (6.\. Σχ'ήμα Ι). Εί\'CΙL

ιιίγουιΙΙι μυ•·ιιδ'"ίJ, αν και δεν γνωρί·

21

Q\

το Σ:ι,ιjμιι

Λς ου•τγiοοuμf μι 111 ιιrκ>6\ι)μα·

ω τω• ιocJrι\tυpω• ψι)ώ•·ω,·. Το 1έl(ιρ1u ιψ\16\ι)μu ί\Η φα• ε· ρά όιιrφ11 ιι \ί)δος \ί><>f<•". οι οποίες npo~umou• από τη' πιρισψοφή 1ί>· • • • pω ι1ΓΙΟ ιο L t \ tpo tOH tpt\ω\'OU tω\·

ψιώ• τμημάτω• nηu 111 'l"λ'"'Ψ"'"

ιιω

14

ι, α ιψθό·

vu

μι)v rέμνονται (Σγήμα

β

.

,u1, ιόcι αuτά εί,οι Σχήμα 1

46).

Ο Scher~r 6ι>ήκι μια κuμψιj .\ύοη

y<~νι ο χωrι σ1.εί σε τρία ίσο ηολυόμι ·

... _ .

26.

δήηοτε μορφ(), ιφ.,·ί "' •·ίωr 6μοιες

Sιe"arι ~ω Α. \\'οιn· sιeίn έχοuν αηοδεί·

(, ιι

mn

(Σ\ήμu 4). Οι )pαμμ(ς nou τριχοτο· μού\' LO ιr)ί)fι)\() fiH tίΗιΙ QΙΙΟpΟΙ'tή ­ ΙΙο>ς ω~)rίrς. Μnορε( •α ~;ι.οu•·οιιοιu·

ζω καμιά απόδειξη γι ' αυτό. Οι !aπ

ξcι

\6-

ση nοι• 6\int ιι '"" Σ\ίιμα 3. Η .\ί'ΟI)

β

~' <t μtjΗΟιι:. ι ιΗι ιt'ιpοyω'ο οε

1·ω• ()

\ήΗfΚ>. Ο &hcιer α• αι..ά.\uψε τη

α

I . Nrc μφιιrιι ί (,ο ιηρόyωνο ο ε

Q .,,

Gardner

9

12

οp""ιιωηα.-

Στο ~\ήμο 2 6\έ-

Σχήμα

3

I. Η \iξη •nο\ι'C)μι\ο,. ιi,·αι ,·ιο.\ο)1.σpός nou ΠfΧW"Κ"h~ί ' " cιιιοδι:...ι.Jtι tO\ Ο\lί01Οtλ0 !;ί•ο \fο\ο1ιομό opoiΙomino•. Η .\iξη εί,οι σ6•3ι ιη "" ΙΙ<ψuμ ιur αιcό τις polη;on και dC)mino. Ο δρ<>ς ιιοr'ι\i>ει το 19~ από το• Solocηon C.olomb"' ί•α 6p0po ιοu με ψuλ«· ''ι.>)ΊLό μaUημοτι..ό. Ο ορισμό<: -ιοu ) ι· ηιη6 ίιω': •Σι'' fιι..ιιι..() σί1\ο\ο ίΟΥ' tεtρcc) ~'ι.'' ιτοu QU\ δι ο' ιοι Μ.ι.ι(ι μ φ.~ ι ω'' ι ι \ι υι)(~' ωι"·· (ΤΩ yrι r()\ ιιι..6: πτρό)ωΥα μπορούΥ 'α ffi)\δiOnω uριtntρfι·διξι(ι, ιι(ι\4,)•.,.(nω α,\.Vι6\Ι διιι\C~)\Ι(ι' ΙJ.,\. ιιc ιιψίιμιΗ.ι

cnιτpf:n0\'1Crι, c-t \ \r'( r)\ ι ιο c::ι:f1? Ει1i<1η<: Η1141' <ψ~ (1()\ ιιιι 1ι ι rρι'1nr<:.) (l..τ.ι .)

2. JυιιnJ.t/ of CιttΙΙIJίrι:ιrιni:rl ThN>t,.

Σιφά Λ', Τομ. ιtι, U:ιη.

afJ , qp

199'-J, η, 130-36.

Σχήμα

4

I Ι (Ι 10 ιιrμιπο nρ66\ι)μιι (Σ,ήμα 5). Eπr.pr!lrί •1 (crιοιμιι<ιι r εί\Οι μοναδι· ~ο.ι). Παprιτηρι'Jrrι> rψ ομοrόΊηtό της

μι "\ .\uuη του Σ:γήμrιιος 21. Το r"Ίο rφΜΙλrιμu εται εύ~ο \α

.\u•

OU λN TU II • Μ λθΗ ΙιΙ ΗΙ Κλ λΠΡΟΟΠ Η

5


δέrι τη \ι'>\ n 1ι.ιΙ

11 \ωρώ,·

ιοη μικρό­

ιφοu ορθο}ωΙίnu μr το \όyο τω1 η\εuρώ' του με\ ο.\ύτεροu. όμοιο η up8c)\ ι~' ίυυ. cί,-σι η

r

= .r .r~

ή ή

.ι-- 1

- 2r1 + r - ι

(,.z

.r)(r -

= ο.

I

ι)= Ι.

Τη δε~οδικ6 cιΙ·(ιnιu\­

Σχήμα

μα του .ι· ι·ίΙ'ΙΙΙ

5

(!:χίιμu 6). Η .Ιί>ση είναι πιθαΥόω<α μη,•αδικίι. 01 ~ω δε1· είγαι Υ''ωσιή

.

'

~αμια Ο\tυκη ΙΙ·

ι. 751877G662·ΙG6\J2ϊιi.... Όnw<, >ΙΙιοι'ιμCt,·c ο \'\'aiι'\v.τighι , ηυι6ς ο α· ιιιθμός οχετίζηω ο ι ι­

\'ά μι·

nί>& ι !:.η. Η μαΙ αδι~ή μοu <ΙΙιμΟολιj σε

10\

φ, tό \ό' ο

της χροοής τcψίJ<,. Ο ο­ Ι τ ίο φοφος του ο ισού-

τ οι με ο

αuτό τα i~ι npn· 6\ιjμοτο tίΙ οι η

εΙΙοΙοΙο~(tluψη Σχήμα μιας &ύ ιι f"lς .\ύ-

α~τίστρ<!φ<><

Ο ίδιος εφιστά

.

.

6

I

οης στο ψiΗ> ιφό6.\ημα (!:;~.ήμα

- 1. Ο

τour ιοοί•τοι με (r - 1)2 • 1' "\ ιΧ>uΙ εnισψ: •cιι οι ισοιηιες

7).

"" r'

.ι;

1.

.fi =

I Ι-1

τη' ιιροσο-.;ή μας στην ισότητα

Φ-1

Ο Oon,ι lcl Κιιιιιl1, ειδικός

r2

στοuς ιι \εκ φοvι κιιύς uιιο \οyιστές uιο 11ονεπισυ]μιο ιοιι Σ1άνφοιη· ι,

:r

Πf><>ΠίΙ rι \ι ο Ouμ!Jo.\o ου·ιοί>

lt'>U ά•

ριθμού το Φ. Σr· μι α επιστολή του, μοο ε) ιΙ Οtlμcιίνtι n6oo ι1ο.\ι) μοιά­

r'

.t+l

ζ<>ιΙΙ '" ιιι11 εχή κ.\άσματα nnΙJ άΙ"rΙ· σιΟΙ\ΟύΙ <>ιοιχ, δ6ο αριθμούς (τn" ο ~ω του <> ).Ο \c)\ος ο ιης χροοής τομής είΗιι το όριο το.- οu't'\ούς

Σχήμα

Schrrrr, 11)\

-+ ---1,.--ι _..:.__

ι

εί\ε Ο\'Ο"α.\ύψει αρ~ε­

l+l

τό Xf'~''"" "•ψίιφu.

Ποια εί,·οι η τιμή ιοu r, α1· urιοθέ­

οουμe ΙΙΙ·Ι~ '1 μικρότερη πλευρά ιού 11ιο μικρού σρθο)·ω,·ίου έχει μήκος

1; Ν(ψιζιt <'> ιι 11 αιιάπηση σε αu ιήν 111v ερώ111UΙ) Οιι ιj ιΟΙ' οπ.\ή. ΑΙ• δεν ήιιιΙ f>'J ΙUς Ο L, θο ήταν σ() Ι>Uf'O Κάποιος

01 <ι) 1

' , . "'I''"' μος αρρr1τος. οnως

0 ) , 732... (η ltlpc:t\ WΙΙ~ή ρίζι:tτΟU 3), ή n ι ,611! ... (ο .\ό1·ος της φοοής ιο­ μής)', ίι •ίιr r<>ιος ό.\.\ος yΥωοτός άp­

ΕnιοιJΙ'άψτε ούμ6ο.\α ιι:ψαγωvικώΙ ριζών ~ω (χι ι.ι ιu ου,ηές κ\όσμα

,;1 +

3. Ο lόtt><: ' t<: χpιισής ιομής - noo σuμ·

βο.Ιίζηοι uι>,\>6 με ιο Ψ- tίνσι η θeιυ<ι'ι

ζα της cξίσω.ιιις Φ'

6

"~ ι. (Σ.τ.μ.)

rr ·

ΙΟΥΛΙΟΣ λΥΓΟΥΣJΟΣ 1994

<.>

10

,

.

ορχι κο ιι;ψαγωvο

rχει ιι.Ιεuρίι Ι, ιu ορθοyώησ έxouv

ψβ"Μ 1/r. 1 /.r~. ~uι 1/.ι-' . .Επο­ μ€Ι·wς. 1 - 1/ r - Ι /r1 +1/:τ 1 , tΙ'ώ ο λόyος του μι)ιt\ί•τφοιι ορθο,ω ­ Ι-ίου nικ><: το

un6.\ omo ιετρίη ω10 εί-

Vo. ""

o.s. κ.ο.•. \ι ο τους 6ραuc; της σ.: η\nuθίος<ωΙ (μοvοδικώ,, ύrrωςοηοδει­ "-''ύειαι) \6οεω'' 1W\' (ξ:.ιοώ<rε(ι)\

-I - ( .ι: - 1 ) " .t

11

Jι . . .jμι

Όnως nopαll]f>ιί ο Κπιιιh, το συ­ Ι'ΕΧrς <111ιίι ~\άσμα συγΙ...IίΙ-ει τοχύιε­

(n - 2. 3.... ).

Εrιίοης, cικάζι:ι {ιιι:

"

Σ

1+ -r============

(>ηt<><;.

Προς μι}ίιlrι μcl\> ίο..ιι\ηξη, ο r αnσ­ δι;ίλτη~ε έ1ος όρρφοc 11ou δε1· τοΙ· εί­ χα 0\J\'(tl'tί)uι.ι 11σιέ στο nορε \θόΙ'. Η τριτοβάθμια εξίσωση που συ1-

.

.

ωρηοcιuμε οιι

1.

)ιΟτοφ:

1

~Ο Schctcr πρατrίηι ιοuς όf>Οος ~.

Ι ---...:.....ι--

Όrιως ίμuθn <φ}ότφο οπό το1·

-

=c-r"'·

Ο Karl Scherer rιιιοημαίνει 6n ω τρίο ιψθογώνια στο σχήμα μuu f.. χοιJΙ' εμβαδά .r, r 3 , και .ι:'. Αν θε-

,- άι

~ \Ωιψιηο<,

7

ι ι+ ....---

.

~

ό.

1"

= Ι.

, , (I

' ' •Θ σ μπορσvcJΙ ~uιι<>ιος ΟΙ' Ο)' Ι'ω '"'1ς Ι'Ct εηιβεβοιώπ.., ή 'α διαψεύ­ σει συτίι1 ι ψ εu..οοίο;' Θα ήιm ειrί­ οης η•ιιρόοδr~ "1 ~υιιε ~οι~·ούρyια \ίισι] οΙΙοιουδήΙΙοτε αrιό ιn έξι nρο6\ήματό μιις.

00

ρο οπό ιο nΙ,(crιuιλο του λό)'ΟU της

wuσής τομής, (\'ώ (>Ι ιψές τω\' μερι­ ..:..• Πf>OOt) Ι'ίΟtωΙ' εί1·nι ι:Ι·n.\.\άξ με­ γα.\ίηφι·ς •cιι μικρότερες από την ο­

(>ιnκί1 ιψίι: ι , 2, ι,7 ι , ι,76r>~ ι .1,1:i, 1,7554. ....

4. Γιο ιι

Ο. I .2

tC'J 63ραιομα

εί\·αι σω·

<Jtό. Α \\ό )ι Ο η :ι, ΟΙ Εnιοτημο11ΚΟ( ιιύμ­ βοιι\οι ιοu ι;,\λψι>ού QιιaΙΙιιιm δείξαμε όιι ιο lιθρο,ομu 6ι' κ(ιη:ι 1. Μπορο6\' οι fJ\'tt· yνC:κηες μ(Ις ,.,, •(ινόUΙ' tό ίδιο; (t.. ι.ε).


1vaς παρά ενος aυτοκράτορας ... ...και

έvας αΛΛόκοτος στρατηγός

lg or Akulich

ι

·ι αν(> γεν\ οίος f>ωμαίος σφατη­

κιο, χρησιμο ποιώηας το ακόηιό του

\'ός Τερέηιος αποφάοιυε να π rφαιιηθεί, παρουσιάστη κε

ως μο.\.\6. Ήτα' αηολύτως αδ(>Ηrω να μι<nκl\ήσει το Lπόμε,·ο ν(>μιομα. 'Ετσι, το συ,•ο.\ικό ποσόν nou αποκόμισε ή­

στον

• αιηοκραι.ψη

ιr..αι

• οιιαιι rι-

να rψοφθεί με πέντε εκατομμύρια μrφούη(ινn yια υς υιιηρεmες 10υ (τn

,,.

ψπρο6τζινο• ήταν Ε\'α χάλκινο νόμι ­ αμα των π(.,-τε γραμμαρίων). Ο αυτο­

κράτορας. όμως, '""' δεν rι ιαv ιδιαiτε­ ρα yενναιόδωρος, οκέφιηκt νrι εξαιια­ , ήοει το rτφmηyi\. Του είπε, .\οιηό,·:

•Δεν θα ήθελα να aρκεστείς οε μια ·ιί>­ σο μικρή αvι.αμοι6ή. Πήyαινε στο θη­ σαυροφυλάκιο και ιιάρε ένα ,.ιJμιομα

ων

262.143 μιψού ιζ" u

- μ• άλ\α λύ­

,·ους. δεν συστέλλεται κάτω από το πό­ δια μας αλλά διαστέ.\.\ηαι.

1/20

Ας μφ' uιιομuψυ,i)uίιμε, όμως, ·ι6σο ιιο.\6 αιrό ιο θέμα μας. Θα ή·ων ι ψο­

τοu ποc>ού ιιοu είχε ζηη]σει αρχικό . Ο αuτοκράτορας βέβαια ενθουσιάστηκε

τιμότερο \'α κά>'οuμε μια παρόμοια ε­ ρώτηση σχετικά με την αμοιβή nou

αλλά ο Τερέ>"ιιοι; μcι.άvιωοε ιιικικχ. Τψ ωιορία αυτή. μαζί με πλήθος ενδιαφέρουσες λεmομέρειες και yραμ­

προσέφερε ο αοιοκράωρα~: •Πi>οοι

μέγη με το θαυμάσιο c~~ος noo ιο' λα­ f'α" lΙJf>ίζει, μιιορεί ιε να ΙΙJ 1\ιαβίιοt:ιι:

δες αναyνώστες τοu Quanιum ιιuριrοj-

στο βιβλίο ΜΜhcιη;Ηίι:< Cωnes

φότιψu, α.\.\ό και 1Οι> ιηραυιyού, ί)­

)'1(1, ..,(rιι λίyο ηι:φnη{η•ω αηι) ·ιο

Ali•·e

Μnθημrrυ•fχ ζωντιη•εύουv) του

ιψ nρί.τη ημέρα. Τη δεύΊtf"'Ι ημέρrι μπορείς να ncιρεις ένα νόμισμα αξίας

(Tn

δύο μηρούτζl\'W\, u]'' ψί1η ένα αξίας ιεσσάρω''• τη,· επομένη 6·α uξία~ ιι. ιώ.

Στο μακρινό παρελθόν

Yakoν Perelιnan.

.

'

' 1.(ι εκα1(ψμ uρι α 'ι<ι.)\' α\'ΟyνΜ<Π.(ι)\' (,ιrιο

Ίου βιβλίου του

Perelman ή τους χc\ιά­

.

'

f>ψrιχν οτι η ου μn φιφορα του αυτο -

ια,• ιου.\άχισιΟ\' ο.\Αδκοrη κrιι ενπλ(.ις

παρά.lο)η; Τι ήταν τίmο παράδοξο και παράλο­

μέρα ένα νόιιιομrι με διπ\r'iσια αξία.

Πριν eιιιό ε:κα1.ό και ιιtf)Ι <ΗJ{ηειΗ:ι χρ6νια, σε μι n διάλεξη mη Βrι.\τιμό­

Θn διατάξω το γομισματοκοιιείο ''α

ρη, ο .\όρδος

και ού·ιω καθ.:ξιjς, διαλέyο,•τας κάθε

απέδειξε ότι η άμμος στη•· πραγματικό­ ιrrι.r!, Κ(1Ι 0\iίθεtα με (),ίl λ~ι:ι Ο Κ()t\16ς

Κ rιτrφχάς. ας πrοσncιθήσουμε να εκ­

την ε­

τιμi]σουμε μερικές τιμές ιιου θrι Ίις

χρειαστούμε. Από τη" ιστορία μας εί­

μέjτθος ι-όθε φορά. Για όσο καιρό θα

rιύμενη ρφορι.ιj φι;>i.Ι]οη: •Από τα διακόσια εκατομμύρια ά1•δρες. yυναί­

μπορείς να μεταφέρει~ ·t<x νομίομrηrι μ6νος ηου, χωι>ίς καμία βοήθεια, θα

ρες ΌJς aνθρωπότητας ώς τη σuνόν-η]­

φτιάχ,·ει ένα ''ί>μιομα με το κατά.\\η.\ο

.

είναι δικά σοΙJ. Μ6.\ις, ίψως, αποιύ-

.

'

χεις,.,., μ ειαφφεις ενα ''ο μ ιο μ α. η σιψ-

φωνία μας παύει να ιο.\ύει.• Ο Τερέ­ νltος ενθουσιά01ψε. :>\ρχιοε να ονtι , ρειJετάι

to\'

.

.

Ίtf)nmιo οωρο τωγ νομ ι -

σμάτω''• το ένα μεyα.\ίηφο αrιί> 10 ά.\­ λο, που θα κατάφφ,·ε ,.α ιιάι>ει οιιό Η>

θrJοαuροφu.\όκω. Τι έyινε τελ"'ά στψ πραyμαιικ6τφ.α; Ο ΊΈρtνιιος rι\ούηζε για δεκnοκτώ η­ μέρtς μόνο. Τη δέκατη όγδοη ημέρα το vόμισμο ζύ1•ιζL 655 κιλό ιιφίιruu και με ψομφi] δυοκο.\ίn κατάφερε \'(! ω κu\ίjο>;ι t'ξω rιπό 10 θηοαιφοφΙΙ Vι-

Kel''in διατύπωσε

γο OlJ) οuμπφιφορά ωυς: Σύν ωμιι θιι το διο11ισιώσουμε.

κες κuι ιιωδιά που.

<<n<> τις πρώτες μέ­

οη 1ης Βρπrπι κί]ς 'Ε\•ωοης• mo Α­ μnφ,rτήν τη 1885, πφπr'ιτησα'' σε μια πcιραλία πάνω στην υyρή άμμο. ηόσοι

θα ttιιuv'Lo6ooγ αρνη ιιχcΊ ιrσ1v ερώτrι­ rιrι ''συμπιέζεται η άμμος κάτω από τα nόδιcι σος;"• rι ατί ειδι•ά Ί.Ω ΑμJιερ­

··ιιjν ΊΟ

1885: Διότι εκεί ο Ο. Reynolds

• Brius.h Associaύω: Ορyιινι0)16ς """ ιδρί{)ιJ­ λε ΊΟ J83 J με σι..οπό UJ' ορικ:>θηοη της εmmή­ μιις. Το μέλη υις UU1ι(r\' H;,\ ιιι ι μίu ψορό: l.ι,)

\'αι φανερό ότι ένα νόμισμα με μάζα 6.15 kg ήΊη\· σχεδί)\' <rιο {φιn των δυΥο­

τοτήτω'' του τερέηιοη: το ι> ί]ΤΟ\' uδίι-

. .

.

~

''<fιο \'α μt;ιαιοιιιοει tνα ν ομισμα εοτω

και .\ίyο 6αρύτερο. Ας uιι~)έοουμε 6ιι

αυτό

to •.\ίyο•

ιjιω· 45 kg - δηλαδιj.

ότι το μεγαλίJτερο νΔμιομα rιou μnο· ρούσε να μεταφέρει ο Τερέ,·nος είχε μάζα

(και r.ιιrψένως θα άξιζε μιιρούντζι~α). Ας unοθέσηυ­

700 kg

140.000

με, επιπλέο''• ότι η κατάσταση ΊΙJς uγtίας ιου Τφt,·ιιοι> θn του επέτρεπε ,.α εrrισκ(JΊτεται κcιθημεpt'·ά το θησαυ­

OOU\ Ίύ OlιtC6\ μuιU Η>L'Ιι.; ι) ~U uυ(ιru)OOU\' \{-

f>Οψt>.\6κιο ε11ί δέκα χιλι nδες ημέρr.ς (rιερίιισυ 25 χρόνια). ΈΊ<1t. β.\έrιουμι fnι ο αu·ιι>φότορcις

'' πρnτόnεις. μillόfioι'(: .._,\Jt. (Σ.l.c.)

αποφάσισε \'α πcφαούρει το" ορμητι-

Xf>ό\'C') ο•: δι rιφnpεtιι..ι'ι κfιt)r ψ<ψfι nό\η 1ηc:: Βpι. ι u\·1uς t) ιψ.; Κοt\'Uιιο.\ι ιι.iας, )'Ιιt ηι ~:κ{){ ­

ΙΟΥΛΙΟΙ I ΑΥΓΟ Υ ΠΟΙ 1994

7


ι..δ σψστη\ δ του στη' no1 ίδα ιιου ο"­ \''' ωοφίpποι με το ό,·ομο \·ιοι·ΟΟ118iι&ι. (ι-ιιι ιΙJ'(Ι\ μttιι.JJ, tίωι δδ<ι.Ο\U 'α φ<ι' ιc.ιο1οί,μι

... u\ίηεικ>

6\fψα: 1cι

ωμί<Ιμ<Ιlrι μ•μι\ώΗ>tΙ\ με τψ το,ύτη­

ι-·-•

λcιιι.\uοιc.ιοιι ... uί> ιιuρU~u\ ιu είΥαι ιιοο μοt; )tn{ι HJ' υηοψίη ι)τι ο αι.vτοιrφά-ιο· rαι: t\1(1\ μι<ι nnρlιξr\η Πf'ΟΟ(,)ΠιJ(ότηteι,

- 9Ό.6.).~. .'i(tiJ 5'>.9ι-7. S(i)=l37.25ϊ. 5(8)= 3i 19'1. S(I()Ι; 1\1.111. 5(20) ~

ι

Ότο• το

n

εί'αι ορ•πό μηό.\ο. μπο­

ρούμε 10 ι•rι<><'jίΟΟ<ψΕ ότι

= :ι•'Ιtι ι.ιn.οοο] "'Ιοιι ι.ιn.οοο. τότε.

το nοι' με1ο\ώΙtι μια :ι_ιοωοτι6άδο, Μιι οι cιι,Η'• cιι.φιΑfk mηrίχτηκr σ φι· \οφήμοτ<><: ι..οι πο,•ούp)·ος ουτοιφά­ τορσς.) Στ η1· ιιφίιηωσή μαc:. ο ιιυ \\rι­ ιι \ctιιΙΗtΗικ()~ ιιιφc't) Ο\ 1ας εί' αι ~· = 2 - δηλιιδίι. ι..ίι:>ε 1 όμ ιcψα f.λει διιι.\άσι ιχ ΙJ(,ζΗ cιι ι6 10 ιφοηyΩύμFνό 1ou. Λφιβώς. \οιnnΙ', η ε.ηι\ο1ή τοι> nολ­

-1

.

.~ "=

ι~n.οοοι· - 1 '

Λ' - )

-

ι

'""'

-IO.vvv +

139.999 ι.

Λ' - )

.

s

Αιηό οrιμαίΙτι Λll το μειώΙ-εtΟ\ όσο μεμι\ι:, cι ιι> !·. Σι ψ ιιφίιιιωοή μας, ί>μως. <ιι• ιc'i 1\ι·•· r(\'CιΙ rιnο \ίηως n.\η ­ :JLς: ο \ο\·(φι()μος δcν είΙ'CJΙ ι ιο\ίι μεyά· .\cκ.:, ιι..ιιι ~· ιοι ιο 8(~·) μrιώη:1:ηι .ιηκαy{). ηστα•. Για Π(ιρ(ιδει yμα, μερικές τψές τοο

S εί•·οι οι tξι)ς: S( 1) =

ιiϊ.3SΙ.

5(5)

~Α2ι. sι:..οι

(οτψ 1t \tι•tιιίn ιιφίrrιωση. ο Τερέ\­ ttα<; 8ο εnισ•εητότοΙ το ()ηοουροφu­ \iι.ω μίtΙ () ι ι• ι~ φcψi ι;)). Κ σι τι οιιμβοί' ει ι\τm· το ~· εί,·αι ίσο με 10 Ι: ~Ιήιτιο><: τόιοο ίι.'Jρο<σμο S εί­ 'αιμι,<t\ί'1t:ΙΧJιιι ι'c'J,1ιc'ηcJ\ ω k ~2:

Διιοτu\ώς. δι• εί' cιι ι'1οι. Εδώ, ηαρεμ ­ βαf,·tι CΙ'ιις 6.\\ι,ς ιιιφόyονιαc - το α·

ναπόψF.n-ιn Ι''ΥΟΙΙiς τnu Οονότου κ6 3ε ο\'θρώnοι>. Ήδη ε.τιμήοομε ότι ο Τφέ• ιιος θιι μιιιιροί>ue 'α ιιαί f>'ει tφ·

αμnιβή '"'' ιni 10.()00 η μfρες. Συ\'•· πώς. στφ rιtρίιπω<>η rtO<.'

διόιι. ω ι' i>I<H'<; 101><: ;)πι•<Ίίχ:αι.εροί<>ι.'< k. διiι\•~• •••ίΗ>Ι n<Ίιι :Κι προσέφερε σιο' Ιφίl 110 ιο με1α\ύtφο .έρδοc~ θεωρήστε. 110 ηορόδειηιο. τη•· ιιε­ r.Ηιιιwση ι')ιιοο ιu ... (11\οt"ψιιο \('>μιυμο δf\ rί\(JΙ διιτ\(ισιο. ο\\ά ψιn\άοιο ω ι() 10 ιφοιηc>ίψοc), ΠΔοtι \Ωμίομιr· τrι Dn μn<ψοί,σι \Ο μεταφέρει ο Τε­ pέΗιος: 11 οf,ία ιού (ιι.,-1) IΟμί­ ομuιο~ :Jιι ιj Ι UΙ :\" μnι>οι),'Ιζινιι. Ο

στpοτιπός δε,· μπορεί ··ο μεταφέρει iνu 1uμιυμιι μι: ιι!;ίcι μη·ιι.\ ύ ι ~ρr] cιιι6 Ι~Ο.tκιΟ μι φοί>Ι ιζ11ιι. Εrιομέ•·ως. rιοι ο ~ ' ' ' tΙ\ΗΙ ιο μηrι \' ο1rιΗ• n 1ηηιο ωιηι

3" < I ιο.οοu:

fίi(Jι f~fί,·o που

nοιιί τις οΙ ισότητες 3' -ι. ή Ι<>Κ3 ι~n.ιιοο - ι

$ ,

/

ιι..ο,·ο­

3 $ ι 10.000 <

• < Ιοg;, ΗΟ.ΟΟΟ

\φοί• ~ι IU.ιiOO- ι ο.-; ..., ιιαίρ­

'Οtψι n ιn. Ειι<>μiΥως, τοπ\ευτοίο 'όμωμn 110\.' Do μnο~σει •·α μετακηή0(1 U

' ΙΙQς LI\CII . 1(pt\

l() ε\ δ' t:ΚΠ1Ο: ιη\·

Ιψ<»ΙΙ] ημίf>« /Ία ΠCI(>tt ί;\'0 μnpοί>Ι-τζι·

νο. τη δηiτφη τρίο, τηι· τρίτη 3J = 9. ~.υ.li.. Το Ηt1\Η\ιι..c') ι1οσόν θα φτάσει

οια ι 4-3+:11 + ... .,-31U =M.i\73 μιφοί>­ Ι' ιζιω. Θφη[Jι-ίτ>· ότι με k 2 ο Τε­

=

pέηιος ~έρδιοε 262.ι 13 μιψuίη· ιζηu -u1ιΜ1 ttt φιι ι\ίι<Jιιι!

nιφ<'ιμσι<1

On ήτΟΙ' η ~ατάστοοη μt

μιγα\ί,τφες τιμ[ς τοu k. ΓεΗ•{ι, ιο Ο\1\ο\ι"'c·• ιιοcΜ·,, S ιιου Οιι πάρει u Τε.-

f"'',

.

~

,

.

τιικ ιηιιτο οιιο rι ι]μφες. οτω

u

ιιο\_\c.ιιι\cιuιιιοιt~c·~ ιιcφι""ι)Ο\\ας •-ί,nι ~-. ιιιούται με

S - 1-~·-ιlτ .. -~·. ο11nι• rι -

'Jogk I \0.000] (όιιοu. με ,n]

uιψΗο\lζοιψr 111 <ι.ι'r>οιn μέρος τοu ιτ). Με τη Οοήθrιο του τύnοu nou μας δί 1 ει ω ίιθροι ο μα ιιις

1cωμετρικ ljς

προί>δ<>υ, έχnuμε

8

ΙΟ ΥΛ ιΟ ! , λ ΥΓ ΟΥΣJΟΣ !99 4

,J

)

-

ι π:,.; ι. sι ΗJΟΙ= ΙΟ.ΙΟΙ

-

k= I,

θα OU\'•


~ί•ιρι.ηε μόΗ> 10.000 μιψούηζι"'! Βέβαια, 8α μποροί•οομε •α αnοδε­

τrpάστιοuς, •Πη6κοομοι~ c-φι3μοί'<:. 1 ο nι•μnέpοομό μου οπό αυτή τη

ω k '1 μίιζιι ιοι> 'ομίοματος που 3cι ιιlφιι ο 'I φέ• τιος ι φ ΙΟ.ΟΟΟή ιιμiρu

μι~pή α' αδpομή στο πα ρε \θό•· εί•·αι

πρέπει \'Ο ιίωι ιιψιβώς

,,οόμc ~όποιο....: ά\ \οι...: rιφωptομούς α\1ί ~"' τιι ίΟΟ l.g ~ιιι ιιc 10.000 ημέ­

όη. ~ιηά β<~ιοιι. t'ιιiψ\00' δί.-.u tίδη Φ­

700 kg -με ά\\11 \ιί1ιιr. ιφίιιιι "'<ιείϊει 1-10.000

ρες. Γu οιψιιφάιιμαιά μας. τότε, 8α

θρι:ιικ.,., tτο ιψώω '"ή•ου• όσοι πι­

μιφοί•-τζηα. ~οι εηομiη.ις θα rί•·αι

στεΟΟυ' mοιχ; urιn\o)ιcψoίfιC ι..ιιι σι η'

1.: = 110.000· , ...,"' 1.0012

δcέφrf>f" nr •άιι<>ιο flo{)μ<> -1 ιιι παιιό­ διι\μΟ. ιn η μt\Ιστη μάζα •ομίομαιος iμσ• 1.00U kg. ι!ο είλuμε ότι 5(2) <

α"'"'lΡiΙ .\ομ~ή. άο,ετο 011ό το πόσο nnί0HH> μιιηρ.t'ί \U μσιάζιι ιu uιιuιέ.\ι­

α.\\ά στην οι•οία τοιις θα ήταν

ομο. ι ·n δrύtf(X> ιίδος ατηpίζπαι στο'

5(31-

τα,ίδιt:~. Ειιι•μ(•ως. ο (•α3' υιιί>i')εο") ιια­

··ούρ\·ος αυιοφ6τορας, ε•·ώ οnοφάοι< ' ' χρηοιot ~·n f'ΦΙΙόLΙ)UfΙ ω uψω.η yο μοnοιώντcις το φ<ιινόμε•·ο της χιο\'0-

οιιθό&:ις, crιί.\cξc το• ψρότερο nο.\ ­ \ιηιλ(Ι<JΙοσιω) ιιuρύ1u' ια (ίΙιuuλάλι­

ΟΊΟ\ t•α• οrιό τοι.ος χιφ<>τφοuς). ~ι· •uιο\ο\ημί•<•. \οιπό•. μπορούμε •ο θεωρήοοιιμε nι.χ. ήτC1\ ί'ος Ο(;ι.ηό ΙΙn­ ιιδξι"><;m!Ιρι.>Ι~ -110 Η! μηφησι­ μοποιήσουμε ιο.όποιο•· πιο οrιοξιωττκό

\"1" ο. ΙΙJ(>ιομc), Κ οι η μηοροόμr 'α nοuμι 1ια "'' Τφl\lω; Η ιιφίrηωοή τοι• εί•·οι •ό­ πως nφωσ<>τφο πφίn\n•η. θο μος

βοηθήσει ίσως μια παρi~6αση ...

ι.. οι '{) 'υι1 ι.. ω δε' ιμιιιο·ιεύηαι 1ίnοτι που et\ ιιιίΟ .. ιttι ο· ουι("· · Κuι οι δί)ο οιιμιιιpιφορ(ς εί ωι uιιu.\uτως φυσω­ ,\nγικl;ς. Σε ιιο1ο αιιό ιις δύο ~aulyopίες ανή ­ ~tι ο δ1κόc; μας ιjρωος. <> Τφrηιος; Λnό τη μιcι n\ηψίι. 6\iιιιιιψι ιιως έμιι­ \Τ 0110\ί•l(ι)(.. I.,_UHiiiOΙl]μί\oς anό τη\·

μη.cιι Ο\ ξι~" ο(« μt έ,·α μό•·ο μηρού­ \'lζl\ο. (1\οι αι>τό ιο.pιβώc μcrς \Πι

'I ι­

στορία τοu Per~lm.1n: •i\p\ιοε •ο n•·ει­ ρεύιτοι t(')\' 1fpόc-rtιo σι.ψό 'rM\ ,·uμι · ιιμ(ιιι.η, ω IΗι μ<\<ι.\6ιερο 011ό το ά.\­ H:t

κmcnιl­

δf• μιι\ιρcοε ν« κιcιη.\60cι 611, αφού •Ι aξία ε•·ός 'ομίσμι:ηος είνω Ο\'ά\oyrι με τη μίιζιr 101!, 3ιι ι ίλc '" u• ιιμε-ιωιιίοει τη• οΝ.φη ι ης μόl:οc τω•· 'ομισμάτω•·

ζονtον ο• ίηρι11ε •ο ιοοο3ετήοοu• ί­ \'Q\ σπόρο ΟΊο πρώτο τΗράj·ω•·ο μιας

~φιιί/'(ις, διJ<ι σ'\Ο δώ\φο. 1έοοφις

ιrιιι φ(Ιο. ' ·"·'· διιι\αuιuζο• ιuς •u3>. ψ<>(Ι~ ωιις οιιι'ψοι•ς. Ο φίλος μου θu απeιντούοε απλοϊκά •μισό σ~ί· κι ε1·ώ ομέοως 3α CtpλΙ(σ κcποχσρούμε•·ος \ ' 0 εξηγώ uιι> Ούμ<ι μου ό11 η eιnίrιrιψιι]

του δεν ιjτcιγ οn\ώς ,\(ιθεμέvη. α \.\ ά φpικ1h .\11θι μ>νιι. Θα Πf><><ηΙαθούιια •·ο τον

' ιω ιΗι, ' ιιιιι

.

ιιιφ ιφuψαιι~οιη -

10. 10 ιι\ήΘuς 1ω• οιιόρω• με\ u.\ώΗι

ρογ6αίσ από τεψάΙω•·ο σε τετράγω­

•·ο, 00'\ χιοvΟΟIIf\άδα, κrα •mα.\ήyu α­ φό\'ιιιστο 11 ιιόιηιο. θο 100 nοροι,'Οl(ι­

ζα 10 ιmιΗΗt<ΙμΙJ """\οyιομώ• με μω­ μnpιιιές ηιιd6δοικ.

... •uι 8u με διέ.ο­

ΙΙi'~ με μια ιιποδοΜμσοΊΙιο.ή \ι ι ρο• ο­

μίll: •Μα η στο •ο.\ό μοu μι.\άς 110 τρι­ οε~στομμύριcι τό• ouc: Σου \έω μι ο<'> ΟΟ'kί. kuι tί\OL μιcχ~, <JαJrι.ί!• T~\t::ιu αιιu·

τu~ίnt 1\ ω cω ι (; ~r' ι-ί,·nι ιιcφόεf\ο δι Μι ; ιιο.\6 OU\ ι·(ι το ω·θρώπη ο μua­ λδ άρνε(ται ''Ο σnο&γτεί ποp<'>μοιnυς

..

(λ·- Ι) ., Ι ~Ο ι>.u ωμμίφιο μπρο6ηζι­ νο! Au1n το ιΊοCΉ),· t~ί\'cn Ωι:ι..c%δι::c.; φορές μιyιι\Ι1ιφ" αι ι6 c~εί•·ο rιου ζήτηοε Πf\ · \ Ι t..iι nn6 'ι ο\ cιιJΙot..r)t'rHψtι. Σt: οuτήν

ιψ ιιφfnιωοιι, 'I \ι<"<>ιηιΟίιδιι ι;.,, >.a'1"'"'\ά ιψμηιι~6 α.\.\ά ουασωρείιηαι ι..rιι ι;mrι.._ \(\ζιι ι ο ιιcΊ\ ιc1 uι)ά υιyίι. i\'ά.

nto Ηι cιtιcl\ ιι)οιι ou1 φαι,·ομεηκό ε...\·

Πο\λ(ί λr<'Ι\'Ιtι "Ρ"'· 6 1 uν ήμουν ΟΊΟ δημοτι~ό <•οι αφού είχα διαβάσει το

oou•• n6oovc; οnόpικ.οc; σιτάρι θα χριιίr­

f'οψι>\ό"ο θα εί•οι S = (k1' ' " ' ' - ι )/

\n(iι' ιιμiοι.ις c'nι 1α •ομίομστα θα αno­ '!Oι'>Ofn τε\u.ά τφάαυο μi1τ3ος. σ.ό­

ξοιψε με αι\'Οuριά τον Τερέντιο στη•·

ιδιαίτερο τα μα3ημ~ά- •·ο t.'no.\ oji-

θημερι,·ών rn1m.iψι.ι:n ιο11 ιτιο θrιuαυ·

.\οιηό•. πώς 3rι <ιvμflοίο\ι ι•τ 1ο\ Tιpέ­

Σtο πρόσφατο παρελθόν ιόω ι111ίl ΗΙΙJς ουμμα3ηιές μου - •οι μ6\ιο1ο ω ι' όοοιος δ.- οuμnο3Ι)ύοα•

~· "Τφι\ 1ιος ο ω 25 \pό"a ιωι· •α­

nιχiτοαη του οι>ιο.ράτορο διότι κστό­

λc.).•) ~ΙιιΟf>(''ΨtΊ rι ιομf,·ως,

6ι6\ί" τοο Perelmaπ), ου'ήδιζα •·α ζη­

Τ<>ιι Η> ι>μ•ο\u.δ ποσό• ποu 3α ηίc­

ι φώτι1 •οτηγορίσ. Γιατί όμως. τότε,

με pι>θμί> \ΙΟ\ΙΧJtι6ι'ιδης; ΠιφiΟ\cψι αη_\ώς το \Ε\ ο\ {,ς; Λuτ<> μου φαί'Εl"ι μά\\0\ onί(}mo; Ι><ιL'10ψfΠΟ(ΙΟςτό\Ι ­ οι ιιιίιι]δις ίιιι "Τφt• ιιος 3α έηοιp•τ το' ομίομιnιι μi>ΙΙΙΙ φίκκη θ< ι )JJΙOpoc'•' ' or 'α ιcι μι ιιιφφι.ι μο\0ς τοu, λωpις

.

~ιψί" ιJ\ \η Ιlοιjθιια.

ilι>ίιιιι •.\οιιιό•, 'u δε\ τού με rιως σ Τερέ•"tιος, τηγ ίδιο ΟΊη·μή. κατα \66<11''C α\.\6 κcιι δrv ~αια\ι16αιη δη θα έ­ npιne να U\''ιψηwιιίοη μιcι ~ω,cΗη ι-

6άδα. Λυτή τη ιιυμπφιφιψιί δrν θα ' ' μπ ιψιιυιιιιμι· ιιιφιι "' ι η χuι>uκτηρι-

.

οουμι cι\ \ι)Jr\ο ιrι.

Κάτω από τον διπλό πάτο Φαηό{ομαι ότι θα Ε\Ηε μέ\ΡΙ τώρα α• ιι \ηφ:Ίιi ιιοι. 'I ιΟΊοpίο μοc έχει έ•·ο είδε><; •δι π \ού πάτοιι•. O<J\ κι αuτσιk

'"'" διΙμωιψΙΙΙί•• μιο ψύιηη oc μφι­

ο:ές •οαμημοτο3ίΙ•tc. Υιιι'ψ\ει. ίιμως, •6τι ε•διιιφέpο• ο~δμη •οι •άτω από lΩ\' &ύιιρο ι ιclιο.

Ac.; ιιιηρί.ψουμε \Ο

πάρει ο λ; .cιι μη cι.:(ροιrς 1ιμfc. Σr .,.,_

τή• τη.· rιερίmωση. ποια τιμή τοu λ· θα

μη•ιι>ιοιιοιi1ο•·ι

,. tton:

ιιμuιΟιj ιοu Trpέ­ F:ί \ω μ{ι\ \ο\' cιcιφf·ς <'>ι ι ) ι' ιω ιό

"I'

M'OltJo.ή ιιροοφοιχi τοιι «υ1mφίrιορ<r •1\ίψιi μιιι•: Αι•1ί1

'I ιιμοιβή εί•οι υ­ nψflο\ΙJο.(ι \Ε\\uιόδωpη 110 μέ•ο. το• ταnηνό υιιr1ι•ί "I """· ιιιuι\ίο•, 3' α­ δειάσει το 3ηoovpoφu \CιΜό σου υηφ­

..

ιι \ω"ι

I I"JI opu ΗΙ1 8α προι..ο.\(ση ά­ lψlμ" ι φΙΙΟ\ί1μιιιιι •οι για ol.\0 και

\ 111 ο.\ί\, \ηρο

ω Οcωί\tιο. Δtν θη μιιο­

ρούσα. \οιιι'J\, ΗΙ ω ιοδt·\ θι:) μι ι1 1όοο eιιιίηομη οί>ξηση της αξίας των νομι­

σμίηω•·. (~α iμιι,·, ί>μω<:. πρα1 μ~ ο­ οέ!Jειcι ··a αn.,rrίψω ιηι \<:Χ: 11J" ι ψ<κ•­ φορό οοι>. Γι' auιό και 3α ζητήσω έ•·α μ<>ω ιφίι1μu: ΙΙά είμοι οnο.\ύτωι: ικα­ ' ΟΙΙΟΙΙJμέ\ CX: Ct\ 1Ct tι..(Ί{h· \ c-;μωμu εί\ 01

μ')n\ίηφιι ωκ'ι 10 ιφοrJΙοίψε\0 μό•ο ~αιό 0,12'r .• (Παρατήρηση: εί'οι 0\Ε­ ικ;,. 6r6nιιι c'>ιι ι.ιί• η ι ψ ειΙολή δη

ΙΎώpιζο• πι ηοοοιπίr tπί 1<>ις r~ατc'>. Φι:n ιάζιιμιιι. t'>μι.κ,, <'>ιι ο Τεpέηιοc 8α μιιοροιίοε •ο tJο.φρ(Ι(Ιει ιψ •πιθυμίιι

'""μι ~ίιιιοω• ωό.\ιι1ο φόηο.) Λ' δrν δΙ<ιJο.ΙΙ'δuΗ6οrις. δ"· μιιιψι:Ις •ι:ιι ,., •ερδίοεΙς. Ο ουτο~ρ(nορος. πι­

θcι•·ότατο, θcι ιιιίμrιtιμ ' " δό\ωμα χω­ ι•ίς \11 I ψιχι(ξcι IIJ Cl\ •ίΟψt - •οι αυτό θα ΠjJΟ•<ι\ιιίιιιι Ιί \ω'ι 11] \f>ίΟΜ>ηίο tη<; UU10Jo.JΚ110pίtιι.. Βίlkιιu, ι bώ u• ιιμιιωηίζοφε μια ι­

διαiτερη δι""''\ίιι: οι ιιμcς 1ω• "'μι­

σμάτω\ δ(\ θα ε•φρόζοηC1\ από ακε­ ικιiικ><;. Jo.Uι uυtό. ΠΙ8α\όtΟt0. δεν εm­

τριιJόt(l\ f~fi•η 11)\ tn<Ι\iΙ.. \ \\ίr <> Τr­ JιlΗιικ. ιkι μιιοροί'ΟI' •ο προιεί•ει μια με\ ο \όψι'\'1 διι'φ()~ο~ιιη; ιrψ<>\\ ύ \εμα •όθε μέρα npα: ro ~ότι.ι στο• π\ηοιέ­

<rtι I'" ιι•ί(ΙΙJΙΟ! ~ε' 3α τοu ~όσιτζε Jο.ΟΙ τίΠΟ"t(, fiιι)·ιι rJ ιιιι(:) \ιιςι ~)(] i'ι tU\' .\ιyύtε~ ρ η από

I0.000

μηρού•· ι ζη·ιι-ιιοιιό'

li ι•ι•η'.1εισ σιη σ. 39 •

OUAN TU II

ΑΡθΡΟ

9


το κυνήγι των μαγικών σφαιρών Σχετικά με τα φουλερέvια και άλλες δομές του άνθρακα Sergey τikhodeyev

.

\οι I'' ωpίζοuΙ όη ο (ΙΙ Of""'"c

κ{r3ε

φίη1 - 6ιιωc, αc πούμε, ίνα ηο.\ ύt­

κ ο σt01;..αu. ~(, oμwc.:. uιι ιu

άtομο ά1θpιι•cι "\']ματίζει δεσμούς με έ1·α άτομο ι-~>ι"'Ι ό1 ou και δόο ότο­

άιομα του άl'l.lpa.ιι ιuιοιι \οt•Ι

μα άi·Ι.Ιρακu. Έ1u οι..όμα nαράδι:ι1μα

δpο: .1ι δομέ•·οο ό1ι κάθε άτομο ίη3ρn.ιι ιιp(πει Ι'Ο έχει ιρεις σκpιβώ~ 1fitι>Ht. το ερώιημα οοτό μας οδημί

tΗΙ ιιρώιηc τάξεως δ<>μωi ι>\ι.ι.ό 1ια ' HJ ιr.ι-.ιιοοι...εοοcπει' μι ιι ιιψιηcηη rιΟtκι ·

ιπο ιιιόμηο μωμεψικό nρίι6\ιjμο·

.\(ο ιφυσιά.\ \ωl' "'" μορίω-·: Λ Ι'tιμιοίι

ατομικής 1\ιιμής στη• cιnoίu ~αιιε άτο­ μο ά1·3ραι.α ι,ει η.. ις ιιίιοης είηιι () 1 ραφίτης, η δι ύ ιφη φυσική μορφή

τοΙJCτοδιαμι'ΙΙ"'1.ι - μια aηότιςψl.)(rιιι\­ ,\LΙ(f~ μιψφές τοη άνθρακα - ·ιι> ΙΙΙΙΟ(ο

ι ου άνΌριικcι. () Ι(>Cφίτης οnσιc.\είτaι anό στρώματη, 1\ι] \cιδή η δuμί) ωu βα­

μn\ιιrιη •nτέ,\tι το ρεκiiι• οκ \ι1fιόιηταc.

σίζεται σε ηιίιιιδu οτa οποία τη ίηομο

ηι>ίοο ΙΙι>μ.\fνου•· φεις ακριβώς rικμi~: Ι::δώ θα χrηοιμοποιήοουμι 111 lJεώ­ pι)μα τιιu l::ulcr: yια κάl.lr κιψιό ιιο\i>r­

Ε:ιιίοης, το σύ•·θετa ορ1 ""'{' μ6ριu

~αlαλc;zμ(J(I\Ht)\ tις yωνίtς 1{(1\()HJ{t:>V

Οf>ΙΙ, ισχί'tι

Ι•ωστα ως nρωιε ΙΙ ες -οι aτομι""

εξαιώ•ω•·. Ο\Ι]μιηiζιη ιοc έ•·α είδος

•<».t \ηοiιι ιω' οηοίω,· cίn.·n ίnομu ίn­ Drxo.(Jιι.C1ι αΖ;ώτοο- ι..rn tιι (}ιιιοίο onoιL\00. ιη βάση ό.\ω1· τω•· iμΒιc" 61-ιω• .

•ερήθρaς. Στη. ιψιι1 ματικότιl'u. ~u­ μιό ό\ \η δομί] δεΙ εί1αι δυ•mή ότα1

. t:\u .

tnuι

,

;

.

.

αιιο το πιο ._Οι\n \ημι· ;

.

..

,

δο μόριο της 6ΙΙζο\ίοLΙ.

C614.

11ώς μπnr)οίψε 'ο καtotn.. rιHjooιψr ΕΙ'<Ι ιιο\όιδρο. σε κά/.)ε κορυφή τοο ΙΙ·

λ' + Ε - .4=2.

(Ι)

Η μεγό.\η nοικι \ία ιω1 ατομικώl'

ό\a το cjιομα τοιι ό•·Ι.Ιρn•α οχημαιi­ ζσυl' /Wσμο(>ς ιι3r•·οu~ με ιρειc μό1·ο

όnou h'" εί\οι ο ur'ιθμός tω\• κορυφt:)\ του nο\υ+δf"'"· Ε ο αριθμύι; τω1 ε­ διw:ΙΙ του ι..αι Α ο οριl.lμός τω• ιιψι:"

δοι.ιt:), ιιοu οο"1ίθεηιιι cιιι(• ύν3ρο:κσ

yείτογες και {)τcn ό.\α τα άτομα tί\αι

τοι'.

uφεί.\εrcιι στο yεγονί>ς (ηι ο άΙ·θριικaς

rιιιιιφιοοό'tερο περίn \οκ<J πο.\ύε­ δρα η ,·ξίοωΟι] (Ι) τροιιοιιοιε(ται μ ε

διωθηι]μέl(:ι με 10'' ίδιιι ψ6ιιο. Ευτυ­ χώς, '1 σμοιΟαία έλ~ιι μι ιιιξύ ιωητιτο ­ \Ίκι~ν crnnέδω\' συγκι)cnιί 'ιu yειιονικc'i

χιι ι>ηηφu η\εκψόηa 0111 οιιι!ίιδο

στρώματα τοι.ι ίι~Ι!pa~ο.α σχημrιτίζο­

οl.lίωι>ς ~οι μnσρεί Ι'Ο ον1μcηίζιι δε­ tιμούς σθ{.Ι'ουc μΕ τ(οηι ιρία ή Μο 1ωοηκά άτομο. Όl!ΙΙ i Ηι άτομο

'"'ας 101 ψιΧιιu\ \ u του ypαφίτη. Αu­ τέc; οι ε\~τι•ί ~ δι>Ι άμιις (ιiΙ<ιι 1 'ωm(ς

οιψl!ο \ίζοιιμc μr ι<> g) nou έχει σ\;i't>ΙΙ μι· ιιι ιιόοες c\u6ές- (ή ψύηcς) •\ι·ι ιο

lι1 8ρακα nεριβό\ \ποι ιιιιί> ιίσοερα

ΙΟΙ'tαι με τφ οπιχηαοιι α•ά.\ο1·α με

γtllOn>.ά άτομα, ιιιιοκιjnτει ψιδιόσια­

τη δομή. Πορ(cδει yμα τέτοια<: 1\ιψίJ~ u-

το τ ιίΙUι ηο\ό ιισ3οέστφες σ· ιι!ι ιψ α.\.\η.\ εηίδt"'"'l ιισυ ασ>.ιίτuι

(δείτε >.σι το Κα.\ειδοοκόηισ του ΙΙf>Οη­ Ιούμε•ου ιιύ\οικ). πράγμα nuu ση­ μαίΙtι ότι l.\ει μία .\οβή. ι~ώ 110 ίlα ~ιιρτι'ι ιιu \ύΕδpο το g ισο6tcιι με μ ψ

nιn> \ι ίο κρuοτα\.\ος του η/i(ιμοΙ"Ι\1,

μεταξύ τω•· γvι ιιιΙ·ιι..ώ•· aτόμωl' άΥI.Iικι­

δtΙ,

6ιιου κάtJε c'ιτομο /cνθιιcικ11 /Jρίοκεται

t\.0 τα onnίcι 0\'ι'ι.:ου,, u ι ο ίδιο ατρώμα.

010 κfvτpo ενός Κα\·ονι..:οό τετrαF· δρου, ης ••ψι1φές τοι> σιιοίcιυ κΙJΙέ­ .\ΟUΙ' τα yειτο11κά άιομα ά1θpaκο. '0101 ~ιιάp\ό<J\ μό1•0 δ('() \f11ΟΙΙΚά

Γι ' πιη6 ·ιc) λόyο, ο Υf)(_ιφίτης δε"· εί\'(ΙΙ

ο ιοιχείο που πνί1κει <nην τέταρτη ο­

μάδα τοιι nφιοδικuύ ουσιί)μαtος-

f'"·

ως δuΙιjμιις ν•n

der \\'aals.

και μειώ­

'>

f!ΙtXOI'U<ά ισχupl>ς, "" ίτοι μπορούμε

1ο το•· χρηοψι>ΙΙΙιιuύμε yισ Ι'ΙΥ κσιa­ σκεuόζοuμε μcι \ί>liι(t. I α ίδια τα c.πρώ­

άτομο. ιμφσ•·ίζοησι μοΙΙ>διίιιηuιΕς

ματο τnιι ίn 3ροκa, όμωc. εi11n εεiοοιι

\pιιμμι~ο.ίς δομέc - ncφcιl\tίιμωιι uυ­

ισ\υρά με ιο διαμόηι. Σι tuίnσ το σημιίu uΙuκύmει το

ι<ιίι ι ου τύnσο είl'nι τα μι 1ο\ομόριcι

"'" ιιο.\uμψώ'. Όιο' υπάρχου•· ψι ις μίτσης. cιι ατομικές δομi~ ιιυιι δη­

μιουιψ•ύ•·ται nερο\aμ6άΙ·ουΙ ιιιfιιtδtς

'

'

ιιφωχιc.

Γι a

'δ ειγμο, crι o ιιιιη ε πορα

10

ΙΟΥλΙ ΟΣ I Α ΥΓΟΥΣfΟ ! 11 94

r-

pώ1'ημα: εί1αι /iul(lι(ι Ι ο δημιουρΙή ­ οοuμε με τα ίιωμu coo ό•·θrα•rι •ό-ιι 11εpιοοόιφυ tΙ•διαφipο•· nι ΙΙ) έ1·α α­ πλό σφώμα σε Εηιν φί>ο ι.u.\λο yρα·

την 1'11>0\'WΥή μιας νrας f 1 \Οι aς (111

rιο\ύεδρσ. Γιn μια σπείρα το g

=I

ι·ο yε1 ωιιμέ•·ο 8εώρημn ιιιιJ t:uleι·

. εκφpnζ•· ιιιι ως

,;;-

g~ D

(2) ._; "' 11 ιξιο"'οη !2) αηοδι:ωύεια1 μr ι• ­ τunωσιtικίι tόκσ\ο ψ!ιnο. .1ε1 έ\οuμι ιuψ(ι 1cι nιφιnηρήοοuμε !ιη κiι& \οβ ή fl ίιι; ιιο.\uέδρσο (ξr\ωρtσtά) κιιι ιο nο.\ύεδρο \ ωμίς ης \ο6ές ιου ι Ιο.ΟΙ<)·

ιιοιuύν τη" ι·ξίοωοη (1). ΌtιΙΙ' ξα•Ηt· \'ώοιιι>μt ιιc .\α6έ<; με ι:ο ιιο.\ύεδρι>, οι

τ

--·

~

: 'χ

; ~

ι έοσφις έδρες που ••ο\.\ι'ινt• μeτα~ύ ~


• •

• • •

••

..

••

••

..

.. •

.. '

••

' • •

..

••

•.

.

. '

' • •

-.

••

• •

..


Ι:το μόριο μπο•μ"·στερφου\ερb1ο. οι.οροφές ιίΗ:ιι 10 άτομα ι'η θρι.­ •ο •οι οι σ..μέςι:ίνοι οι δεσμοί οθέ\'ους ιοι><;. ~ο ι•ΙΙόρ\ου•· ε\εύ3ερο σ3iχη

τοι•ς εl;οφο•·ίζο,-τοι. ο·ώ η διαφορά Κ

c" .

. Ι /)ι, ιι\\ίιζιι.

Κιιι ιώιχι διc:n')i~ικψε ό,tι μας εί,·ω αnορcιίτητο ρο ,·ο σu\·οyόjοuμε τοι>c

στο

ύf'λ' ιο.. ι ο\ ιιr..ο(κ; 'c)μnιχ; 1ης κσιαο-....Lv· ή<; no \ιιiδρω•· οπό άτομα όΥ3pοκο. ι\ς ιΗΙC)8ίοΗημι t·Ηι θί\οuμε 'α ~ο.αια­ ο-.ι><'ωοuμι ίηι • \ειστό πο\Uεδρο μι εξο\ ωΗ•ές μό"' έδρες, •cιι

.cιι ιιι οιιιθιικΊιφο ωι' ό\α 10 φου.\ε· ρr\Ια. τ ι116μι.ω (•016 σειρά αι>ξα­

..

6 ιι ο ορι11·

,·όμε• ου n.\ήθους οτόμω1• ά,·θροκα) σια3φό μόrιο. το Cτο. έχει 25 εξίη·ω· \'0 KOI 12 (ωfut)ς) ΠΡVΊίιγώΙ'Ιl. ΕχημC!Ίi·

κορυφή συyκ.\ίνουν τρεις έδρες. κω ο­

φοί> κ(ι()f. ι.- μιj ιινίjκf.ι οε δύιι έδι>ες

,, •

__

•uι αυτό εξrηεί τη μηά\η χη·

μική •οι φιJσική σταθερότητά του. Το μόριο C εί,·nι "' σι>μμrιρι.όΗpο

μ{κ: '''" ιδρι:1, ιί\ΠΙ »~- Αφού σε κ63r

ιιιυι6Χf'"''ft, •'χουμε

C,.,,

ζετσισπnν1Δη. ροrιιιΔ ·ιο Cfιι(!· Τα ιδιαί·

Σχημα 1

ιψιχ uυμμε ιρι.ό μόριο Cιιο. C~ιο. και

(3)

Τριδιάσrcιηι δομiι τσιο μ.τλακμινστερ­ φυι•λερένισιι ι· Τα ι:irομα του άνθρα­

t ...~.

Α,·η•οi.Jιοτώ,-τος αυτές τιc τιμές

κα /J(ιισιιοντrιι σrι; ><O{JΙ'Ift; τσι· π σ·

ιο οιιοfο Οεωpσύ'"tοι εηίοηςιπα· θερό. δε• (\Οι>\ (1\'ιt'ο.\υφθrί ο•ίψη. Το ιιιρίψ)Ο εί•αι ότι τfnοτι: δε•· εμ­

ί.ι'fc>ροι•.

ηοδίuι ί\CJ μίψω

uιψ ιξίι>Cο>Οη

6tlf,

2 .

(21 \uμflά•ουμε 9 = ι.

..,.

Εrιομί' ως, ότο' \pησψο11οιούμε μό· '" ;f,ίtjωHt, μnοpούμr \Ο •mοm;ειχι­

1ια 'ο ΙΙ(ΙΟlτίτε ότι οι t\ \όyω κστα·

οοιψι ίω ιιο\6ι:δpο ιιοο ι:ίnn τοιιο~ο-

σ.εάς δι• fίΗιι •nΜ\ου σn(ιηες,

tM>·

11"1 ιοοδύ• ιφο με μια σπάρο.

p01ηρήστε μια συ,η8ιομέ'η μπά\α

Α' 8ε\ι}οuιψε

'u •οιοοκεοοοοuμε

ποδοοφιιίpου· Οll<>ΙL\είΙαι αηό 20 εξά­

1 '~' ικrς ίδpες δf'' ειιαρκοu'. Λς υιιοθέ·

Το cιρ\Ίκό t · μώιιιμu. ίιμω\. ιιαρcιμέ,ει: είcοι δυ,·ο­

οσ~ψι: (η ι, ο.. ι(•ς αιι6 ι η η~ εξό)ω,·α, ' ' Χf'ψΗμοιιιιιουμε •ω n; nεηαγωνο

δομiι οι ιό mομα άνθr•nκcι;

.ιιι ι'ι \ \tζ, Ιiιοφιψ~ικές δομές, οι rξα-

•ω ιιr ειι fόi"'''Ο. Ειιι:η·ολι:ιμβάvοντος tt>uς προηγούμενους ου\ \οyισμούς.

IW\'0 ~οι

12 nε--τόyω,·ο.

Η) 'α ΜΗtωι..ιιηc'ωοιψε μιu ιιαρόμοιο

\0 ιιερι~ει στο

.,,.,,.φ.-ό rou έ>ο μόριο C~10 (ή κό·

ποιο ά\\ο φου\φί\1<>). Ούιι 1ίιοιο CJύ,()ηιι μάρια t\OU\ Ο\'ΟΜ:Ιο\υφ3tί Ο·

.

•όμη. α.Ηό ί\ει ήδη ι ΠΙ\ οηθι:ί έ,·ας ι).

' 0\ ομοσιο τοuς: ψατριο· σκες• (σn6 ιις fΗ;,cιι~rς κοί,ι...λcς nou ι•οι;

\ I(J

μπαί,·ου•· η μία μέσα στην ά.\ \η). Είν(ΙΙ ειιίc>Ι]c ιιuρόξινο ότι σχεδόν εί~οοι Χ pόνι α ιψι" ΙJ\'tι•ιι.\ υφθοι),, ιωτά τα

Φοuλερέvια και φουλερίτες

1985." Η.\1'. Κι·οιο (~fεγό.\η Bpε'ICnίo) •οι οι J. HeaιJι, S. O"Bri•11, " ' - rι:- 6(2- 2g). (·I) R. Curl. R. Sm~lley (Ι!ΠΑ) tc\ηκά\υ· Ι::ιιομί' ως, εί" μuς "'διnφέρι"" μδη> Ψ"' ΙΙ<•Κ: ''"" ιξαrρι:"cιω ο γραφίτης τn •υpτιl πο\ιirδrα lg =Ο). η κατο­ uιιό ιφ ειιίbpαση μιας δέσμης λέιζερ 3ο ιι6ρουμε

c· ...

Το

κοί\ιι μίψιιι, η ί>ιιαρξίJ1ους είχε nι 3n· ,·ο.\σγη:.Μ rιrι6 "'" Oaνid Ε. Η. Jones. ο οιιοίuς i] IU\' για πολλά χρό•~α ο ou1·· γrαφrας ΙΙJ~ διόuημιjς οτή.\ης •Δοί ­ δο.\ος- στο nφιοδικό New Scienrist.

Σιις μίρες μας, 1' ωρίζοuμι πολύ •ο\6 ης διιισιι'ισιις 10υ μιιό-.ψnω.\.

σuuή μπορεί ,·ο πpο1.uψrι λωρίς εmά­

μίοο οι ρι\ψu η\ίοο δημιοupjοU\'lαι

11

Ιω•n. n\ \ά ο' σuτή τη,· ηερύπωση πρέ­ πει 'α ιφοσ3ίοουμε 12 ωφισώς ιιεηό·

μόρια. uι,.t•ι'ι aτα:Ιrρό, ποο οποτε­

•οι. ιου μlhρι>ί' δεσμού (που διαχωρί ·

\οί'' ιαι uιι6 ί•ο• μtjά\σ

ζιι τα ιξίι\<•1\Ο) ιί\Οι

I"'"'· (Συμιιιωμιιtικά, ο πρώτος που

ιιαrαιιip•JΟC •«ι ωιέδειξι: αι11ό 10 \CO,O· 'ίχ; ή ι ω ο ίδιος ο EιιlrJ'). Για να κmα­

(32-90)

κσι

rιάηοιε ι'ιpιιο uρι3μό ατόμω,· αι·3ρα­ Ι.α. Το σταθερότερο ήτα•· το μόριο ("ω, Και (')Ι fnΙUlήμn\Tς ΠΩU 1:0 m·uκά­

mιυόσουμε πιο πφίη.\οκες δομές, 3a χρειοοιοιiμε οιιωοδήιιοι~ και cι 11ά1·""'α.

\υψlt\ θ~ιόf"l""' ίιιι ιί.\ι ιη μορφiι

Εnομf,·ως, έχουμε σu,·αyάyει τους Ηuuιι..οι')<.; ι..tι\·{η·ες ) t tc 111'' t<;:fηοοι.:.ευή

Οι φιι>\Ιμί~ "' ίιμuοαv το μiψιο μπά­

nrρίn \ο• ω\' ψιδι6στατων δομώ,· από

f'"" (Σ.χijμα 1).

μ ιας μιι(r \ιις ιιΙΙΙiοcιφοί

•uμιιω,\ (l>ιι<k)•l>nl l ). δη\οδή μnό.\α ιου Βικk1. ιψtΙς ιιμίι•· ωu Bιιckιnil1·

u.ιί\α τοο εί•οι

τομή­

0,3512 nm, 0,1388

πm. και

1ou μψl.\οι• δεσμοί> (ίδιος\ ι ο τα rξό­ l"''ο •οι τα πεηό,ωνα) είναι 0.1433 ιΙΙη. Οι οριθμι>ί αυτοί ιί\Ι)ι Ο\εδόν ί­ διοι με lΙΙι>ς 11\"ΙίΙΠI>Ι\Ι>υς 111ιJ \ rαφί·

υι . Κ6ιι' ιομηλ'"''" οί uο ο.\ογι σμοί μίις δ•ίΧ"""'' c\1ι ιrι η~ε•τρό•·ια σθέ­ νους """"(μιi\'Ι<tt ιιεριοuότερο ιj λι ­ yίηφο ομοιόμορφα οε ένα σφαιρι•ό "έ.\υφσς με rι\άιος nφίnου 8 ο.μ ( Ι α. μ. (οτομlhή μο\'cίδιι) = 0,0529 πm, η

ι'ι ιuμιι (Η :Jι>u•u. Παι>ίψοι ες μεyά \ες /Κψiς αυωηrιμι· στη φύση. Για παρά·

sιer ~·uJlcr. Ι'ο ό\'ομο αυτό εξε.\ίχ3ηκε σύΨtομ(t 010 t•nιοημc)ιt:ρο μιιιη.μο­

mημα. nuτή•· n~ριβώς τη δομή έχοu•·

ιηεpφοιι\φ/ιω. ηώ η •\όση ό\ω\·

οι σ•ε.\tτοi τω' αι.tl\δζωω• - ιω' ο­ ιι\υύοιιρω' Οf)\ι:tΗσμώ' nou συΗt­

, •.,.,mή

τω\ ΙΙ<ιρόμοιω• με το Cω μορίω' ηή· ρε τη' Ο\ σμοσίο φοιο\ιpiηπ. Αnοδιί\"1" ίηι ια φου\εpi:•ιu δε' •ί,αι ..ιι3{•\ου tJrH"nιrr: <ιφθΩ\οi'J\ σtη'

μιιώ.υμιιω.\ σ\ημοτίζεται μια κοι.\ότη­ τα ε\εί.{)φη οπό η\ε.τp6ηn, μt α•~ί­

αιθ{ι \η cιφίω' Ι.ut οι άλ\ες οuοίες

Η ιjιιοpξη της •οι\ότηtας μέσα στο

;,άμε στο π\α1•ιό•- όπως ~01 πο\·

\cM ιοi.

Αι~ ιί'- <Η ιο.ιnοαι..εuiς είΗιι ιιιί·

σης σιηηδισμί•ες στη• aρ,ιτεnοηκή. Ι ο ιφώιο ιιιψι'ιδιιjμα nou μας ίρχε· ιι1ι o'c) μυπ\ι) ι·i\'αι οι yι:-ωδπισιπκfς

δομές του R. Btιckminsιer Fιιller.' Και

Σ1ο κcημο lOU

πφίnου. "Ετm, το

Coo

μοιό·

ζει οο' ί'cι μι•pά όδηn • \σι>6ί. μη<ίκυμι>~Ι\ φιιίΗιaι ότι Ε\Ει οnοδει­

Το ιψiι6λιιμο rί' οι η αΙΙομό,·ωση ενός

\θι:Γ ηιιμομrηthίι μfuω 1ης μιοηκής u·

κο3ορού δεί 1ματος αuτώ" τω\' μοιιί ·

'ίι\ι•οης. Er <1111 ι} ι η μέθοδό σ α\'Ιχνευ·

Ι . ~ι·itr τηv Οt\'f!ιι.()Οι}ι.:η τοu nορό,~ος τt(Ι•

- δrι \nlirι, vn ι·rιιτί>χουμε μια οu­ οία """ ''" μην ιιφιέχει οχεδό•· τίnοτt

)._()ι~.

ί-tλ\ο.

ΙΟ ΥΛ ΙΟΣ I Α ΥΓ ΟΥ ΗΟΙ \ 994

2 α.μ.

Bnhr].

ιιοu ιιιψόlο' ιιιι ω ιό οτε.\είς καύσεις.

ων

12

•α

n•lίHJ

τfις είntt μι<Ι\ ω'> uliρo1 ό'ν<ι. 10 οιιοίο εί10ι •άτι οαv το άτομο του υδρογό­ νου,

,·, .. ,,.,

ιιjllf<1•1 !Οι> nρωτοvίοι> έχει


ομα ηλεκτρονίω1·), rιν·ιιμε-ιωιιίζυηας ιο μιι{ικuμnωλ σαν να ήιαl' <ηομα και

εφcιρμόζοΙrιας ιις ιι<ψrιδοσιακές μεθό·

δους υιιολογωμοό τω,· ιδιοτή1ω1· "'"

σuΙ•θι]~ες ιιοη εί1·αι αnοροίιrμες yια

Λυτά 10 νf.ο μίφιο άΙ•θρακο ( ια φοu.\φένια) και οι κρ&τιη.\λοι ι"'" δη· μιουr>γούν (οι φουλερίτε<;) εί1•rιι η ψί· 1η μορφή εμφανι.ζiψε,·ου στη φύση άvθρακο - ί1, με επισιημοηκij ορο.\ο­ γίa. η φί ι η αλλοτροιηκή μυρφfι τοί> άl'!!ρuκα. Οι δύn ι ιρώιες α.\λοτροnι ·

κές μορφές - ιο διαμάηι και ιι yρα·

2

Δοιιιί του καθαρού φουλερίrιι -ο κρύ­ σταλλο; σχηματίζεται από μπακιιιν­ στερφουλeρέΙ•ια. Βλέ.ιη:τε μια οτυιχειιiJ­ δη κιιψελίδα του κρvστάλi.ου. Τα μόρια

φίτι]ς - έχουν r..\r.ί>θφους δεσμούς που ου,\λαμUάνουν n/\i·ομειηα άτομο (yιπ παράδειγμα, άτομα Ι.>Ιirιογ6νου).

του C60 βρίσκονται στις κορι-φeς και στο κiντρο των εbρώv του κί•βοu.

Α υιό δε1• ιοχύει yιa τα φοuλερfνι<χ και ιοuς φοu\ερίιες (αψοό δι ν έχοu1· ελεύθερους δεσμούς) και εrιομi:νως εί­ ναι η ~α!!αρότερη απδ υς αλλοτροnι· κές μορφές ιnι> άνθρακα.

rι(φει έnt μ ιόνιο

Πώς να κατασκευάσετε ένα

-

έ''α ο ιοιχειώδες

σωματίδιο με φορτίο

+e

και μάζα

ιn,. Οι ιδιό-ιφες το ι> μιοvιιωύ uδροyόνοιJ εξαρτώηαι σε μεyά.\ο 6ΗIΊ­

200

μ{, από την 11uκvότητα ι ων ιjλεκψο­

νίων στην περιοχή όπου 6ρίm:ειαι . Οι φευνιjtές κατ(ιφφαν να ιοιιο!!εtί)­

οοuν μιΟVΗ'ό ι.>δρογ()Vο U€ ένα οιΚ..\ΟU­ βί φουλερενίnυ• και να δt;ίξοuν όη οι

ιδιότητες του ε\εuθεροu και του εγ­ κλωβισμένου μιονικοί> υδρογάνοu εί­

ναι ουοιeι:στιι<U υι ίδιt:ς. Τα ε.\εύθερα μίψια -ιοu μιιάκuμιιω.\

έλκοΙ'tαι μεταξί> τους με τις ίδιες aσθε­

1983, ο Kretsch>ner ~αι ο

ΗιιfΊΊnan είχαν nρουιιιι!!ήοει 1α ανα ­ ΓΙ<1f)(ΙΥά\'Ου\• πειραμιηικlt 1LC φ υ οι κές

κρυιrιό:λ.\ιc)V.

Σχήμο

1-!διι υιιδ το

φοuλερένιο

να δrιμιουρyη::Ιεί η κοομ ική ο•6νη.

' ' ε ξnερccn·(Jν ' α ιηn. r ι α να το ηετuχουν

δείγμα-ω yρcιφίτη θφμnίνο,·ι άς τα με

ηλtκιρικό ρείψα μέσα σε αέριο ήλιο. Μετά την rι~·ακ<<λιιψη ·ιοι> μnακμιν­ στερφουλcρέ,rιοL), ot ερεuγητές αιιο ..

φίχuιοον \'Ο cπανσ.\ά6ουν 1α ιιaλιά ·ι ους rιcφάμοτα. Για \'Ο εξαyάyουν το

οψαιρικά μόριn

μέθnδοι yια τrιν ""f"ψατική δημιοuρ­ γία τωγ λεγόμεΙ'ω'· μορίων-οuοοωμα1ωμάτων (αnοτελούηnι οιι6 μικρό rι­

ριθμ6 6μοιων ατόμων) είχαν φ-ιδοει σι αξιόλογο ιτι61\ιο aνάπτuξης. Συνή • θως, ο αριθμός των αιδμω1' σε cωτά

ανίμενά\' \'Ο δη­

μιοuρyήσοιιν, ο Kreιsclιnιer και ο

Ηιιrrιηan εκμετcι.\λεύτηκσν τον ιια.\ιό κονό,·α U]ς χημείας: 1\ιαλύσιε μιcι ου· οία μέοα σε μια ΙΙαρόμοιa. Διέλι>σrιν

την αιθάλιι (ιιοιι σχηματιζόταν αΙΙ{ι Ό]Ι' εξαέρωση ά1•θρακο) οε 6εvζ(,.\ιο,

το οποίο rιι ωτε.\είται επίσης οπό ~.\ει­ στά μόrιι ιχ. Το αηοτέ.\εσμcι ήτι:χν να ιια·

ραχθεί έ\'Ω κιτρι,τωηό ή t,·α κοκκινωπό uyρού (το χρώμα εξαρτώΙrιcιν αrιό ι;η οιιyκέΙ•ψωσή

Σια μέσα της δεκαε:τίαςτου 1980. ό­ ταν ανακttλ6ψθψ<.αν το φου.\ε.ρt:νια, οι

non

1ou). Σ(>ν·ιομο έyινε σα­

φές ότι η διο.\ιψένιJ αιθάλη cιποπ.\ο6· νταν από μόρια

C00 (75%)

κ<η C'IΌ

(23%). κcιι αηό μεyαλύτερα φοι>λερί­ ,·ια (2%). Και μΗά την εξαέρωση του 6ενζολίοι>, σι<>ν 11uθμέηι ιου δοκιμα­ στικού οωλί]Ι'α απέμεναν μικr>οί κρύ· οταλλοι φοuλερίτη. Η ανάλυση αι>τώ"

·ιω1· κρυοτά.\λων ι φοοέφερε nς πρι:>­

ια ουοοωμοτώμσια ήταν μάλλον au()r,fρετος. Τα ιψι~ια nεφόμcιτο με άν·

τες αξιόιιιοπς ιιληροφοr> ίες γ ι α τη μ<ψφιj και τις ιδιότητες του ψοη\φε·

θf>ΙΙκα. fψως, διjμωίψyψιαΙ' τφ· έκ­

νi'wν.

nληξη: ουδέποτε 1\r.ν nχηματίζονιω

.•φγδτερα, '] μέθοδος τελειοποιήθη­ κε. Λnο/\•ίχθηκε 6'11 για \'Ο μrιορέοουμε νο ηετύχοι>με αιθrιλη ιι.\οί>rιι a οε φου­

θρa~ο του γραφίτη. Εξαιτίας οuυjς

μεyά.\α οΙ>οοωματώματα δvθf'""" με περιττό οριθμ6 u·cδμων! Σ τφ- αρχή, ω γεγονός ερμηνεί>τηκε με ·ιφ- Ι>ιιόθε­

της έλξης, τα μόρια πιυ μηάκιψιιωλ

ση yια 1\ημιοι>pγία α.\uσίliωΙ' πολιψε·

.\φέγιπ, ήταν Βολικότερο να ΧΙ'Ψ'Ψ"" ποιήσουμε ένα ηλεκτριιιό τόξο αγ(ιμ.:­

οε θερμοκρασία δωμαιίοu οχημcιτί­ ζοι>ν εύθραυστnυς κηρινul{όκκινους

ιιι~ν του τ6nou [- C Ο Η.\\'. Kroιn και οι οι>νόδε.\φοί του ή·ιον οι

οα οε ηλεκτρόδιο άvθr>οκα. Μετά την οnαμάκρι>νση ιων μονομοριcικι~ν rιο­

κρuστάλλους κυβικού εδροκεντρωμέ­

πρώτοι που έδωσα\' τη οωοtίJ εξήγη­

οοτfμων αrιό το διίιλuμ<~ ιων ψσυλερε·

\'ΟU πλέγματος.

ση, χωρίς, ίιμως, να είναι σε θέση ''"

1•ίων. εnιτεύχΟηκε καθαρότητα 99,99%. ΠάV"ιως, τα βασικά m{tδια -ιης rιαρa­

yΙ·ώριζο> ιιο.\6 λίγο φουλψένια. Η ερμηνεία τους ΙlcψέμcιΙ't μιcι ι>nόθι:οιι, και τα φου.\ερένια ένα εξω-ιικό nοιΧ'·ί­

yω\·ής παρί-μειναν τα ίδια: εξαέρωση η·

νείς δu1•ά μεις van dcr \Vaals ποu εμφα· νίζοηπι πvάμ εοο οτrι οτρι~μοτα (η·­

()

Ι'ΕΟς κρ6στα.\.\ος Ο·

νομάιπηκε φr)υ.\ιψfυις. Η απόσταση α­ ,·άμωα ο-ιu yειτονικά μόρια μnfικu­ μιιωλ τοu κρυστάλλου. σε θερμοκρα­ σία δωματίοu, εί1·αι 1,00 nm. Ο ~αθα­ ρός φουλερίτrις rιου δεν ιιφιέχει τ(no-

1t άλλο

ιιιιό μπακμι νστερφοu,\ερένια

είναι μι)\'uηής.

Στο Σχήμα 2 6λέrιε1ε μω σιοιχειώδη κuψελίδα φουλφίτη. Τα μπάκuμnω.\ παίζουν σ' ένπ1• κρύσrιιλλο φουλφίτη ιον ίδιο ρόλο nou nπίζι>υν ι α άτομα ο' έναν ουνη!!ισμένο κρ6σταλ\ο, Mno·

ρούμε \'ο υrιολοyίυουμε με μεγάλη α­ κ ρίβεια rιο\λά χαrιακιηrJιυnκά τοι• φου\φiτη ( \'ια ιιιψ<iδειyμcι, ιο φά-

=C- J.

κόνοuν μια αξι6nισιη δομική ανάλυση

-

δι yιn θεωρη-ιικο6ς. τελικά, \() καλο­ καίρι 10U I990, (JΙ]μειώθηκε ένα εncινα­

λε~ τροδίω1· yραφίuι μέοα σε ήλιο και

''"1 Οι>Ι'έχεια διό.\ιιοη ιης αιθάλης οε

uρyα,·ικό 1\ια.\ύυJ. Η τιμή τοu τελικυίι "ρο'ίόΙ-τος σε nιπή τη f!tλτιωμέγη δια­

σιαιικό γεyονός: ανακα\ύφθηκι μια

δικcισία ιιιφαγωγής εξrφιάται μόνο

μέθοδος yια μεγίχλι]c κλίμακcις nορα­

αnό το κόστος 1<>l1 ηλεκ-φικο6 ρεύμα­ ΗΗ.; ι ιuυ κατονα,\ώγnυμε: rιι:pί ι ιου 15

γωγίJ φοι>λερενίων.

ΑρκειC. αιψfιομενα, η λί>ση βρέθηκε

δρcιχμές για κί:ιθε γραμμάριο φαυλφε·

οnό μια ομά&ι αμερι κανών αστροφι>­

νίοι>! Π~•ς σχημοιίζονιαι 'ΗΙ φοuλερένια όταν εξαερ<~νεπιι ο γραφίτης, και για­ ιί είναι ουσιώ/\ψ: η <Ιψόοφαφα ηλίuυ; 'Οrιως ιιροαvαφέραμε, σ \ραφίιης

οικι:", ειδu:ών στον τομέn τηc κοομι ­ κής οκί>νrις: Ίuι> Ι~'- Kreιschιner. ιοu D. Hιιffn1an, και ·ιΜ\' φοιΌ]tών τους ι . L~nψ και Κ. Φωουιr><'>ιιουλοι>.

OUλHTU M Ι λΡθΡΟ

13


Σχήμα

3

Διαδοχικά στάδια σχηματισμού του ι~τακμινστερφουλερένιοv κατά την εξαέρωσιι

δυνατότηιa νΙJ φανιamοίJμε τρόιιους

γραφίτη σε ατμόσφαιρα ηλίου.

εφ<φμογ<Ίς ·ιους οτη χιJμεία, τη μικρο6ιολογίο και την ιατρική. Για παρά ­

αποτελείται από επίπεδα στρώματα ε­

ο-ιι 'Η) η .,ιο δεν ιφοκαι\έΙ κορεομο 1:(ι.) \'

δειγμα. φαίνεται ότι δε'' υπάρχει τin<J· τε nou να συγκρίνεται με τα φοuλερέ­

ξαγώνων άνθρακα. Καιι~ uιν εξαf.rrω·

ελεί>θφων δεuμι;>ν άνθρακα, ιψάγμα

νια ως υλικό οuοκευσσίσς μεμογωμέ­

ση τοu γραφίτη στο ηλεκτρικό τόξο.

'

,,

' '

'

11ου ει1ιψέrιει ο-ια λέιιιο -ιου άνθρακα

νων ατόμων. Οι επιστήμονες f.χ<Η>ν μά­

αρχικά δr]μιουργούv·ιω

,.α αιψιιληρωθούν μετaξ6 τους. Αν,

μικρά σι>σοωμαιώματα άνθρακα, ηου

θει πώς να τοποθετούν μέσα mσ φοu·

\'ια ΙΙαράδeιγμο, υπ!]ρχα'' άτομα uδρο­ yό,•οu, θα ηpοκο:λnύοα'' τον κορεομ6

λερένια ακόμη κω άτομα μεγάλοιJ μυι,<;, <)ιιω<.; ω λονθόνιο και τu ουρά ­

μερικών ελεύθερων δεσμών κnι θα •ο·

νιο. Φοuλερένια γεμ6·ια με ι ιnρόμοια

ταιπρι:φ6·ιαν η ουμμεψί.α το" οχιwα­ ιιομού. Οι αηί()εrες ιιλωρές δε,· θα

άτομο προσφέρουν αnρόσμεγες δu\'α·

φαί νε·ωι

i> ιι

είναι γραμμικά και έχουν .-ι\ήθος ελεύ·

θερων δεσμών. Μέσα στην ατμόσφαιrιλίου ιιου-ια ψύχει. τα ουοι.rωμmώ·

1'"

μαιu οχημαιίζοι>ν •λέιιω• γραφίΊη ποι> μοιάζουν με κομμίrιιο οπό ειιίnε­

τότητες στο!}<; χημικο6ς. Θα μπορούσε.

Το αποτέλεσμα θα ίJταν \'Ο δημιουρyη­

λόγου χάρη, να χpηοιμοnοιηθοuν γω τη aποθήκευση και τη μεταφορά mον

νεργειακη αποψη, ει ναι προτιμοτερο

θο6ν δομές ηου θα έμοιαζαν με όστρα­

επιθυμrμί> ιφοοριομδ uχι μi>νο ατό­

γι' αιηt':ι ι α λ~ιιιu

~\λόζουν 'ιο οχίι­

κιι. Είναι ε'•διαφέρον δ ι ι uιηή ακριβώς

μα τοσς (δι ό1ι έχουν ελεύθφnuς δε­

η διnδικασίιτ rιαρατηρεί11ΙΙ κατά το

σμούς στις ακμές τους, κό-ιι ιιου εί,•ι:ιι

σχημαηομό της αιθάλης οτην ατελή καύση στον συνηθισμένο αέρα.

μω''• αλλά και ολόκληρων μορίων. Κα­ θόλου όσχrιμη ιδέα για ένα'' μικροβιο· λόγο ιj έναν φαρμακοποιό! Επομένως.

δα γραφίτη (δείτε ·ω Σχf]μα

"

,

;

3). Αrιό ε;

μειονέκτημα). Έτσι. σχηματίζουν αρ­ κετά ιιεv·ιάγωνα a,r(ι για εξήγωνα, και

ως εκ τούτου κάμπτονται (τα άκρο ιων ελεύθερω'' δεομώ,• ενώγοντοι και ειιομένως μειι;,νετοι η ενέργειά τους) .

Ι::rιειδή Ε\'tρyειακά είναι μειονεκ1:ικΔ να 6ρίοl(ονται δύο ιιεν·ιά\'Cι}VΟ 1.0 ένu

μιιnρούσα\' ' '0 ενωθούν μεταξ6 τους.

6u-

η μικρότερη μnά.\α ποδοσφαίρου

ο μικρός πρωταθλητής

σιον κόσμο είγαι και το μικρότφu κου­ τί ουσκευσσίσς - ή. καλύτερα, το μι­

Έχουν προτιτθι:ί πσλλ[ς εφαρμογές για το φουλερένια. Μrιορούν. γιο πα­

κρότερα κουτί φ<ψμάκων mov κ6σμο. Σιις μέρες μας, οι μοριακοί 6ω.\6γοι

ράδειγμα, \'Ο χρι]Οψοnοujθούν ως

nou aσχο.\οuνται με 111 γε,•ετικιj

δίnλcι στο άλλο. η δομή 1101) ιφοκύιηει

οη yω -ιη'' ιιαρηy6)yή μοναδικι~)\' λιrια­ ντικώ\'. Όπως προαναφέραμε, το μό­

μηχα­ νική χρηι.rιμοnοιούν ιούς (πολ.\οί rιrιί> ' ' ' το ιJ<; οποιοι>ς, παρεμπιπτοντως, εχουν

αυτόμαια είναι αυυ] 11]ς μrιάλaς 1ou

ριο Cι;ο είναι ισχυρότατο και χημικό

το ίδιο σχήμα με το μnαιφινσπρφου·

ποδοσφαίρο"! (το μπάκ"μπωλ είναι το ελάχιστο φο"λερένιο στο οποίο δε'' υnάf>Χ""ν nεντόγωνο με κοινές πλευ­

και μrJΧΗνικά. Η μηχαγική τυu ΙJνιοχή δοκιμάστηκε με ΊΙ)ν εξής μέθοδο: μnαι.­

.\ερέγιο). Αν οι επιmιjμονες κιηορθώ­

μινστερφουλερένια επιταχύνθηκιτν ώς

τω" φοuλερενίων το αναγκαίο οργσνι­

ρf.ς.) Ειιομένως, ίηον ιτνnmυχθεί έvιτ

την ταχί>τητa των 30.000 kιη/Ιι (περί­

φουλερ6•ιο με αργό ρuθμό, θα γίνει u-

που η τροχιακή ταχuτητα) και κατόπι ν οδηγήθηκαν σε σύγκροΙJση με έναν α­

66-

οουν να με-ιaφέρουν με 1η 6οήθειu

ποχρεωτικό μπακμινστερφουλφένιο. Φuσικό, σε πραγματικές συνθήκες, το

τσάλινο τοίχο. Τα φουλερiνια ανanιi­

κ6 μίψιι> οε μιu υuγκεκρψέ'''l θέΟιJ μιnς πρωτείνης, θα εnιτ6χουν τη δη­ μιουrγία ενίrς τεχνη·ωύ, εξειδικευμέ­ νου ιοί> -που θα είναι, και πόλι, ο μι­

κέλι>φος μπορεί να κλείσει πριν επιτευ­

δησσν, κσι κανένσ τοικ; δεν κοτασιι>ά·

κρότερος απ' όλο"ς (για το καλό της

χθεί η ιδανική δομή της μπάλας. 011ότε ιψοκύιηου" διάφορες άλλες δομές.

φφ<ε! Τέιuια αv·ωχή εί\'Οι ό,τι rιερισ­

Δε" είναι τυχαίο ότι το αδρανές ήλιο

ένα λιπαντικό. Βλέnουμε, λοιπό", όυ

χρησιμεύει σαν -ιο δροσΗ>τικό λοι>ψ6 κατά την οvάπτuf,η των φουλερε,-ίων.

το φουλερένιο Coo δεν είναι μό,•ο η μικι>fηερη μπάλα ποδο<Jφαίροu <τιον

ζωής οτη Γrι. ί>ιιως δ.\οι ελπίζουμε). Και τώρα. σς μιλήσουμε για μιχροrι· λεκψονική. Είναι γ'•ωστό ότι η διαδι­ κασία ε.\αχιστοnοίησης των διαmάσε­ ωγ των ηλεκτρονικών ολοκληρωμέ­

(Εδώ η .\έξη •λουτρό• δεν χρησιμο ­

κi>ομο, uλ.\ά και η ανθεκτικότερη. Η χημική σταθερότηια και η κοίλη δομή των φουλερενίωγ μας δίγοuν τη

νων κυκλωμάτων έχει ί]δη φτάσει στα φucnκά της iψιπ -με άλλα .\ί>yιιτ, μο· ριακές και ατομικές διαστάσεις. Στ'!"

ιΊοιείιαι μιίαφuρικά, αλι\(Ί (Jτψr κυριο­

λεξία της.)

14

Auw οφείλετnι στο γεγονός

ΙΟΥ λ ΙΟ Σ I Α ΥΓΟΥΣtΟ Ι 199 4

σότερο μπορούμε ''α ζητήσουμε απί>


πρα1 μcιτι•ότητrι. μιΗιιπιι, ~ρησιμο· ποιιi ιuι ό\ο 'ω Οι>~ 1 ότφο έ1 αι; ά.\.\αc

όpoc 1ια τη •io tf\ vo \o1in: ίιχι μιψο­

ιι\\ίι "'""1\"ιf"'""'ί· Τtι \Ufx.>.τηpι­

cn.. cι μίJ"'l'"''

οtοι\εi<.JΙ μnριοί,•"tοι

(){Ι ΟΙ όμηρο. Τη πιο fll>ιnφiρc",u ο­

onn

ιυο.ιίμιι u ο ιιJ \ (11 οη.\ε• τροιυ.ή. τψ rιιιοψιJ tωΙ nιtlu1 .;,, ιψαρμο1 .;,, .

'

ciΗιι οι •βcι•"tι.fς •nιικκi&·c?- μικρσ­

ΚJ>ί•ιι ιιι \ \ιιι ι'ι {ι\ \οι σ~ ηματισμι>i nr. \ Q\ O'l \ειι.. tfHJ\'Ιiιl.c'J t.. UΙ<Ι..\f:ψιιΊ ιr - ΟΙ 0 .. ιιοίι.<: μιιιιροί>ι ι·ιι οuμpατούΙ' (Η ιcι­ nί~οι.>\') ι ι, 1fH.)\ lct. Α 111 ~, ΟΙ κουκ.t..ί­

.....

δcς i \ ΟUΙ' ορισμέΗς μnπιδ.. ές οι η ι ­ •iς •δ•uιιι ι ι~ ιιοι> μος εnιτρέnοu•· •·α τις νιψΙΙμιιιιοΙfΙΙΙΙΙΙψι εί \( ως στοιχεία

( \f) \ οιt Ο( tnιM')I\'(ι.)\ ίt·ς οιιιι._ώ,

ιΗ~η

ιίιι ι ... flcιoι•u 0101\(ί(ι του εmεερ,α­ οτή oτouc οn11•ού<; υιιφuιιο \n1 ιοτic

Σχήμα

4

Κριισrcιλ).ικιι όοιιιι rnι• ι•.τtρ(ηώyψοv

Σrοιχrιώδιις χι•ψrλίbιι ενοc ι1βαρτσίηι

qοι•i.rι,ιίrη !\~(·,,.. Οι μικρiς σφαιρt; cι,'1'ιιπιΗΧΗΙ''' οτα άτομα η)ς .τρόσμει­

μιrι rLτrιρη ε;τιq-άνrια α.~οrrλοίψενη από άrοιια ιivΟρuκα. (Υα iξι από τcι :!~ ε:πάyω••α ι·i ναι .~).ηρ<ιι; nραrά.}

;ιι; Ιχαλιοι.

nov ονli<ίιζ<" 1111 cηιrήΙ tηΙ rno,ή. Τα f>iltrς μι ιψi'Μψtι(.η ,0.\ίΟl\ - K3('w φου.\cρiι ι ο εί1 οι από no \ \iς cιnί>ψεις i \"ι ι•ιιφα) ω1 (>ς ο ιιι !Ίιιιμο•ι>αοία

CHC)\ ι.,c_ι Hi \(Ι)() 1C•)\ rrι..όp μας, μ110·

tωΙ ι~" 2~,;-, <'J. Η Οερμοψιιοία Ul'liJ btl αηοτε\οίι<JΙ rι•ίψ. ο\λό ό· το' 10 t..tΊ\ω ι.ι' ιιιr..<.ι:tQΟtόθη~r αn6

puuμr 'ο nnίψι c\11 ιιι ιpοι>\φ(.-ιn έ­

ροu6ίδιο η Dφμcιψιωίeι οηφαyό>yι­

ιδcιηι..iς .,.Βcι\ tιιι..ίς kΟι' ... ίrι.ίδ(ς. Κό,·ο­

'

ως, \οιn{ΙΙ. 11•ίψη μιιι rψαοθή'η

λΟΙJΙ' 110.\λές nι&11 6τητrς "' \ ί~tιι>Ι πι μιψίιιφcι ιι.\ιι•~•)ρωμfω >.υκλώμαια

ΕΙ ός VΟΙ'ΟCΠεl;εpγαιπή. Κω ιi'\ιι~. u\.\ίι όχι .\ιyότφο σημα, ε\οι>μt ' ' ω u•·ιι•ο. tι ) Ι ιJΙΙfJ><tyωyιμιηη

'1''1 Vις θφμοψοοίας' Μπ:ά 1ο 1980. onn1> οι Rr<lιιor:ι •uι ~\filler c.ι•α•ά.\u­ ψαv τη1 υψιιVι Οφμοψuιιία ιιιιερu­ \ ω) οίΙ οξtιδίΟU, δο•ψάLΟΙ"τΟ\ 00\r · χώ<; ,.((ς οοσirς <Jλn'"ά μι rηv mθαιή ιΙΙΙtf'<'\"')ψότητά τοος. Φοοικό. οι κα­ :Χ.ροί φnι•\φiιtc ιί11ιι μύΗο• onillc' οι ι>ιιοψι'ιφ~~>ι \ ιιι unrp<η UΙ)οί, ιιφοίι εί•αι μο1ι.ιιiς (6ιιι.><, ίιδη ωαψέρομε).

Όλοι. όμως. \ •ωρίζnuμr πώς μειιnρί·

'

' οε Ο)ώ\'Ο: ' ΤΟ\',..,_ ιιuι>μι ι•u• · μο1ωτη

θεί>οι.>με. Γα (ηιιμιι μι ας •ιr ι ίι.\.\ιj.\ψ; ι ψι'ισμυξης μποροu,·, yιcι παράδειγμα.

,·α εί\'Οι οι δc'J ιt::~ ι ω\ ι).\ι."' LfHH ίων ιιιη.> ω ι(JιtC)Ι)\' Ι ιιι yι ιι rη δημιουρyiη του η \ι.,ιιικοί> J>fuμcτιιχ;. Με αιιτή τη μέθοδο δημιοuρyήΟηΗ ο πρciηος uιπ·

1"'1 "'' \Jς ι>ψη \ιjς θερμοκρασίας. ο u., ,Sr,CuOι (ίιιιιιυ r 0.1-0. 2 είιι οι>μl ,-,ρωοη τηc πρό<ιμειξιιc - <Π'Ι' πφίιιιω<ιη ωηή 10 στρό•-πο). !:τις uρ\fc του 1991, μια •·έα αιαι.ίι­

1111

\ι.;ψη ιΙΙnιη(r1C.ιοt

l!JI

εrιιοτημο• ιι.:ή

κοι•ότητο: ο ι\. Hebard κnι ιιι ου•φ1'1-ι•ς Η>Ι> uΙΙ"'ίι\uψω ότι έ•ας φουλε2.1 ιu tΙtfJ'UI.>UttΙ>tJ &iιr tn ίψθrw'> tnι, ~ι RCX'd uιο S.1ι·rttιΓιt λrrwr·jι-;ιιι, IH\. 1!)1)3. {!.:ι .ι.)

3. ..\ι'ίΗ

ω .1'\ιιι.ι :ι\ ιuι.; ι ι ι; ω ιιuιUοεις· 010 nρο·

•1\·οιψΙ\ο ιtΙ'\UC.. ιοο QιJ.ιnιιιm.

Σχήμα 5

μψ. μηcι6οσης έφτ""'' ιnιιιχ; 28-291{. Π ιιcιιuί' <ψλίοcι , το 1986. η ~·;φι><• η

' '\ yώl' uψη.\Ιι~ tl•tΨ"'f"'"ίας, οuδ~ίς εί­ λC Uρει υ.\ικό unφll\'';'l'μ" Ι>ε 3φμο· ι..t.ιψυcι yω ι φ· cιν<ι κtt t)ψ 'l οrιεραyω -

•ικ•οίιι μι,·u.\ίιτερη τω1· 24 Κ. Στις μr· ρε ς μnς i \"ι" "'u.ιΔuφθrί υ.\ΙΙ(ά υπε­ ρογώyιμο oτouc 12fi Κ, •uι unάp:o,.ou• a•ιιφοιιίς 1ιο cι•όμη uψη\ότφες θφ­ μ~ραιιίt ι;. Οι ι•ιu JK<\<•>\ oi ιιοu 6cιoiζo•"t<n <1\cι μόρια τοι> Cw φ<ιίΙη<ιι c'ι11ι\οtJΙ' με· ) cι\ύιφιι οιu\Χρότητα εξαιτίαι; της nΠΟ\ής τω•· rΙ' \ιi1<•> μuρίω1. Αυτό ιuιι~ ξε\ωpί(ιι απc'ι τοιις υψιι\ής &ρ­

μοκιιιιοί«ς '"" I'''ΙW\ ο6ς οξειδίου. Σ ι ο Σ\ίJμu 4 0\ίrιη' "1' 'J)<>UΊι:ιλλιι-ή δομιj ι~e'ις '" "'fl!<\<;>yιμυu φοuλφίτη . Οι ι φuομείξεις •ατα\ομ6ίΊΙ'<>UΙ' θέοcις """ •ΙΙΙJ<ΙL<Ι\.\ιι αΙ"(ψεοα στα φου.\ε-

'

( Ι(\ ι ο.

Μια ακόμη μορφή άνθρακα: σβσρτσίτες Είδομε. \οιπό1. ότι ίνιu• α• α•α.\u­ ψ:)<ί 'υψι \ωι>~ Ιi<ιμlς ιιιιοτε.\οομεvες cuιό ιιο t6) ώΙ ο 'αι εξ6) ω1 ο 61 θ~α. κοι σι οιιniι ς ι j, ut ι ο Ο\'"Ιt)r.είμΕ\'0 Ε\ίΟ­ η•ώ•· ερευ•·ώ• .• Τι οιιμflnίιcι, όμως. μι ω ιι ι ιίι1 ω• α: Ι lcφόμοιες δομές δει· 1. ηα πφιοο61ιJ..ιιι διi ιι . St3enιiΓιr Αιηrrίι::ιη, Σιιιι. Η)!)3 ι;.uι ,1\,'rlι\ Sc iι·ιιti~r. 2~ Λ ι ψ. 1994.

(l. ι.ι . )

-

έχοι>Ι η>.c'ιμι) ε• ιοnιοτεί πειρομοΗι..ό, ο\\ίι οι θιωρηω.οί έχοu•· ήδη δη­ μιοιψ\ιjοιι μ<ΙΙ,ί\α tοιις ι..αι μι.\οοοΙ' ~ιc ιδιύ ujτές τους με t>] 6nή0nc.ι t'ιιο\ο· \lOtWΙ' . .\Ιά\ιιηπ, τιι tιιιά1wω nροο­ ψέρου• ιr•iiμιι ιιερι οοότερες δυvατί>· τηυ·c ιιιι ο,ΊΙ 10 φuu ι·ιΗ·νω . π ιιρα δ.-ίγμιιιος χόρη. έχει (Ινακη\uφθεί έ••rι •οφc>~>\ γ(φι • 61 θρα~ο η n61'θr.ηJ cnι­ φ{ιΗι α ιοο οι ιοίοι1 ωιοιt:λ!':·ί ι.ηι αιιύ ε­

.'

\ '

ξάγω•·u 'οι εnτόyωω '"'" δια\ ~ιρi •

ί::ου•· το• τριliιόmmιι λώρο οε δοο urιoxώpouς.

Αυ1.ί~ '"δομές ο•ομόιιιιι"αν σ6αρ­ τσίtις. rιρος τιμή• τοu )φμαι n6 μrι/)η· μαιι.ού nou μt\iτησι· npώτoςcnnfςuς

ειιιψί11ιιες οιο ιί\ιις ιοι> ιΊpοη)οομε­

""' αιώ•α. !:το 1:\ήμο!) 6\iιιουμε μια στοι,cιώδη '"ψι·\ίδο 11ίις nf!αpτοίτη. 0.\δκ.\ηρος ο ψί•ιιιι\ \cις δημιοι.:ρyci­ ται από τ ψ ι'111ι 'f"l cιιι116.\ηψη nαρό­ μοιωΙ κΗψι.\ίδωΙ'. Οι ο6αρτσίτες \'"" ι ιι• ίδιο τύπο κρl!(πrι.\ \ικοu ιι.\έγ­ μnιιχ; μr ων εδρο•~•ψωμeνιι κu6ικc'ι

<-

ψου.\ερίιιι του !:χήμnτnς

2. 11

cποι·

\tιώδης •uψε.\ίδn i'xn 216 κορυφές, 24 ιιιιuγώΙ'U. 80 tl;(ψoi\CI lo.Ul 3 λο6έc.

!:ημειώστr ίιιι ο' uuιή1 U)Ι nεριοδ"ί\ δομiι. cιι \uΟές σuvδέου•· διαδοχι<ές •ι•ψε\ίδις tou •ρΙΙστiι\ \ου. !:ιο !:λή­ μα 5 οι \α6ίς ί \ cιu• .ιιιιι:ί στα δοο και ,. ,. , ~

qιαtηται μο•ο 10 μιcκ> ψι)μu τοι,ς.

Εnαια\αμ6(ιΙΙ>ιψε •αι nά.\ι ότι αυ­

τές οι Ιi<ψrς &•

f\o'''

αιόμη 1\(φαιη­

r>ηθ• i ηιι ιJ(Jμm ι,δ. Λ' . όμ(,J(, οι ερω­

' ηιές ειJtτU\001' Ι'Ο nυ1 Oi αιιι>Ι

αυτή τη Ι"fα α.\ \οηΚ>rιι.ίj μcψφή τοu ά•·θροκα. θα δημιιιuι>γίιιιι>ιΙΙ μοιι οιοοίn μr μc" u-

δικrς μιιχuνι.tς. φuσι~ές, ~"' χ•ιμι κέc ιδιό UJ ιες. (iJ

O U ANTU M I APθPO

15


ΣΤΟ ΜΑ ΥΡΟΠΙΝΑΚΑ

I

Η μεγάλη βουτιά Εφαρμόζοντας το νόμο του

Hooke a · ένα ΑΑ

νησί των Νοτίων Θαλασσών

Dozorov

ι ι:Κ.Ιr•-ιίς ε•ό<; απ' τα •ηοιίι

\Ο\ \ί.ιc.. ιο, 8cι ιιιιμη.._ι,,\:Jεί ι..οι 3ο α­

ΟΌ"ές παραμορφ~ις (.r << f) ι­

ιnι> Rr" nι.mnι> (ιφι:>ψ 1\έrς Ε6ρίδες) διασ~εδάζοU\ στις

nο~ιήοrι οι•..ι>\ι~{) μή~ος I

Το

<>νiει ιιι.ις η μή~υ,ση εί•αι αΙ·ά.\ο)η

ω ""ψίιtnιψc μ ή""' ση του Ιήματος. ι1ώ το nη\ίκο1 r(f= ;

της δί11 αμιις rιοι• ι φ tlf>ό~α \εί. Η ί1\ιrι ιιpί>ΊαΟιj ΙΟ\ίJtι ... σι \ΙΟ τη δύ•·α­

ιnιιιμl>tΙ μή•<>ωη. Θα .\έμr ότι η πα-

\IOf'LL<, ωι><; μ' i\α1 διαφορε­ τιι.:6 "(tt nι-<ι.η{ηυπο , •.,(.,no. ~έοι lr}ς

+r.

μιj~<><. r

φυλής ο~cιpφαλώ,·οu•· σε ειδt"ούς ιι ιψyίu~Οι>ς. δένοUΙ' στους αστραyά­

, ' ()ctΠtl\'ω rιnμαμοι)φtι)<Jrl

εί1·αι ε\αοτική Ο\', μηό ιψ άι><>rι 1ης

μη εn<ι\ηφιψ{ι<.; ι ου t \(ιtn ιι..οί> \ή μη· τος, τη δύ1 ειμι] δη \αδή που τείνει vu ειrαναφέρει ιu νήμα ΟΌ]Ι' αρχική τοu

λ<>ης Ίοι>ς ιι ς ίικ r>t:ς μακr'"~'' και

δ(ΙΙιψιjς, ι ο νήμα αιιο..,τά το αρχικό

κατασταοrι και ι ) ο ι ιο ι cχ ι:χt:ι κ c:t'tευ-

""" Ι'Ο>ιδι:,. (1\rιιτιι:η πνιψpψ]ll·

1011 μήκος. ΓtΙΙΚ<~~- yιά μιφέ~ t.\ι•-

tln''"'l αΙ·ιί:·)ε,η ο11ό 'riJ" κατεύθuΙ'ΟJl

Κώ\' φι>τών και, ουΗ)Ωι.·uόμr:νσι ηrιΛ

6uo ισίη

ιn.u ...εηJ. Βεθαίως

κάDr 6\πmό<; "'"'ΨΡ'ληuκnύ φuιού η ά.\.\η ά~ρη τοu οποίου έ>.;cι δc&ί

uιιιtlψίr σι ψ ~upuφιj ιοu πυρ\ ί­ οκου - . ιιιι6ρaδίJΙtι τη• κί1ηοη και O\fl~{)lntι -ιιι' ιrιώοη. έ-ισι ώσιε οι Ηαpοι Ι3aj(Ι(ίς Ι α Πpοσ)ΈtώΙ'Ο\"tΟΙ σω ίοοφσς με αοφά.\cια.

1'<> ύψος τω,· nυpyίσκω•· που οτή· \U\ ιc.ιι uto \'Ι]οί ιr...uμοί,ιται cωό 15 fως .:10 μ> φιι. Σε rψι;, ιιj ιω1ψη, .\οι­ ιιίΙΙ· , :Jι:ι ιιιιέθειε ...α,·είς ότι το φορ;

υο

tJHr

' t.:.

,;

~

t~ -~

και υψη \ότερο σημείο

~ιιι "ι μι'ι.aι ιω1 Ιi\uo ιώ1 '"'' ο~αρ­

Ι"\'11ΙκώΙ φυιώ1 \ ίω• ιιιι με,ιι\ίJιι­ f>ιι. Ι:.ιιομίΙw<, πρύιει 'α υπάρχει ~ό­ ιιnιο μί) HJto .;ψος) ισ uσφu.\ι) 6οι'· τιά στο >.tΙ ό. Αυτό το •nροφο•·rς• υιψιι{fΜιομι.ι. c;μως. εί,αι αιιο.\ί,tως

\οΙ Dοομί "': Τ φ ιψΌή αrιί11 UJO<Ι ' μο~ ιφοοφ r' ρει ο 1ομος τοο

"I'

ι Ιοοι.-.

Λς υnοDίοοuμε f> ιι ιο μή"χ; "{)~

1 ήμu ιος

rιοΙJ ψέμrται ελrύtlερο φιψιiηu •·ίνιιι Ι. Α,, ιισt..ήοουμc δι'>· να μι] οτφ• ελείJ3ερη άφη τοu τεηώ-

16

ΙΟΥΛΙ ΟΣ ' Α ΥΓΟΥ Η Ο Σ 1994

-

-

--- ..

"

-

,

...-

I

νώ1. καθώς ηλιjσιάζουΙ' στο έδα­ φος, ιιυ(;;.ι'ι\'t-1 (,οο ξο.:.η οίη 1 ο ιlλμ<.ι

6 \ο

#

~

ιιοοιcι 1.f.ιΗ n·ιt f H.ιJV ιυ ηyι: ·

ιοι>ς από

'

--

ΙΙ]1'Ιf>Ι]Ο~ωιι"ί] μοuοική ποu απαιτεί 10 fλι μ(),

ιοο

' \ημαιοc

"

!j~

~-:~ .,.ι

.-


της nαραμόρφωσης, Μπορούμε να

κε,·ό από το 6ψος· f>J ιoιJ έχει ιιp(}(Jδt·

εκφράσουμε μαθημαιικά τα ι1(ψη·

<Jεi ο rαι'Jεpά η ά.\.Ιη άκρη τοu 11jμcι·

τpι κή διαφιφίι μ.:τηξ6 ιιρχικής και τε.\ικής θf:οης τοu οιiψα'ιος κιιι(ι

ιιά\'ω με την εξίσωση

τος. Να υπολοyισιcί η μcyιιrυι δί>ω-

τψ· πτώση του είνοι (+.τ., ιοχί\Ι'.ι:

}" =

(Ι)

-~'.!.

ι ιου ηι ιο-ιε.\εί ίο\' .\εy6μεγο \'όμο τοο Hooke, Ο συ•-πλεστήι; k οvομάζετrJι

ε-\αστική στα&pά του σώματος. Όσο μεyιχλίnερη, είνω •1 ~yκ(ψοια διατομι) tou ελαστικοί> Ι'ι]ματος τόσο μtyα.\υtεpη δύ1•αμη 11pέ11t1 \ ' C! αΟΚί]· σουμε στψ ελε6θερη άκρη του γι π

Ι'u ει nιύχουμε τψ· ίδια ειημήκυ•·σιj. Με άλλα ,\6γιιχ, Ι] ιrιιιθφ(χ Α· 1ou νί]· ματος εξαρτάται απο την εyκάροια

μrι ειιιχvπφιψιlι- •ατfι ιψ εnιμψ;υι·ση

.

'

.

ση του αώμιτιοι: κπιά ΊΙ]t' rrn:,oη τοο. Για ro ε.\ασπκό ι·ήμ α l>ίι·ειπι: Ε = ΙΩ7 Ntjrn~ και S = 9 .,,,z,

δες ιιοσ{)\

Η δόvαμη

(αφο6

F εί•·αι cινι't\oyr]t<>t> :ι:

φρcισουμε και με ΊJ] αχεση

σ = Εε.

(2)

ι ιuυ οημαί νει ότι γιο μικρές ελαστικές

.

ιιαρομοφρώσεις ηιάοη εί\'ι;ιι ανά.\ο-

.

'

γη της α•'ηγμε•ης μιjκuνσης τοu σω-

ματος.

0

ΟU\'τt.\εστής Ε ονομάζε·

''" μi:τpn ε.\(1(}!/κι)ιη ι ας rι μir.μο τοu Υοιιng και εξαρτίηαι ιπιοκ\ξι ­ όιικά αιιό το u.\ικό τοu παραμορ­

φο6μενου σ(ψστος. Η παραπάνω ξίοωοιι μι ιο()εί

\'CJ

μίjκος l σε μήκος

t + .ι·,

η ιφι θμη­

(τrιq) 7 + 'l.rt>gES.

11ΟΙJ\ΊαωμέΙ'Ι] δό•·ομη που αmη:ί-

'

'

τα ι οτο οωμα ιοο ιηαι με τψ πcιρα-

nrι%> δ6•·αμη μείον το 6cφος ·ιου τrιg. Επομέ1•ως, η μέyιιηη ειιιιάχο\'­

έχΕι ιχιιοθιικ•υιιί με τι1 μορφή δυ1·α ·

του ισούται με

μικής t\'έργειςις ηαμημiψφωοι]ς ιοιJ ελαιη,.ο6 νήμcηος) θο nροκόn·ι~ι από την ίtθροιση Ίων εμflαδών α•·ά· λοyω•· στοιχειωδ(υν ψαι»·ζίι.)Ι' , ή. αuνο.\ι κά, ιχιιι'\ το εμ(!αδόν τοu τρι ­

I

') = ιι\ 1 -

2ES mg .

(Γiροφα,•ώς αuτό ισχύει yια τn Χ''Ψ'J·

γώνου OCD σιο δtάΥf><ψμιχ τοο Σχί]μΙJ ιος Ι. Η τιμή ουτή εκφρ(ιζr.ι

λ6τερο σημείο της τροχιάς.)

κοι <η ουνολ ι κί] δΙJναμικι] ενέργεια

εnαναφιψι!ς όοο και Ι] μέyι<ηη ειιι­

.

ιιου θα έχει αιιοθι'1 κtιJ'tt:ί ιηο νήμα ' κονοιl ' , ου: t(tτtα 11)\' ει ι ιμ η

Ειιομένως, ιl>οο η μέγιο U] δίJνομη τά,χιJνσrJ δεν εξαρτώv·ωι αrιό Ίο μή· κοc τοu ε.\α(rcικοί> vι)ματος. Έτσι. ό­ σον αφορά τα ά.\μα1σ ϊων νι::α(Η;>ν ιθαyf:\'(~)\' αι ι6 ιοος rruργίσκοης, δε.,·

..

"

"

,

υ rιcφχει κριοιμο οψος ιιερcιν του ο-

Η δuνυμι•ί] εΙ•έj>γει.α \,)γω θέσης

ιιοίοη το ανθρώπινο σώμα δεν θα 6-

ιιοu έχει το οώμα κατά ω ξεκίνrιμα

Ι'tεχε τι1ν υπερφόρτιση (τι<; ι;πι ιιλέον δuνάμεις-g). Εάν, λοΙJιόν, οι ελοστι ­ κi:ς ι δι{) ι η1-cς Ί:ων Ολaοτών των <'J-

(3)

της

.

' κινηιrης 1 ου

.

μειαιρtιΊ tΊtιι οτα-

(3) μnοροίψε να οuμηεράνοuμε ότι

διακά σε κιγητική ενέργειά του. και

k = SE/t. πράy μ α nou οημαίΗι

αuτί1 με τη οεψά ujς ο ιη δυναμική

nως η σταθεριΊ ~- τοu vι)ματος εξιφ­ τάται τόσο από το υλικό τοu όσο και

ε•·έρyεια λόyω nπι><ψcψφωοη<; ιοu

ελυσrι κοί> •·ήμcιτος. Επειδή η υψομε ·

από τις διαοτ<~ιοεις του . Επι πλi:ον,

πως το μέψ<> ωu Υοιιηg εκφι>~:tζει

nou

= οιg ~

'"1 ·ιου οι1>ματος κοτά την πτώση

Συyκρί••οv·ιιις υ ς εξιοι:>αεις (1) και

τη δύνπμη

F

ιοο{yι.uι με

k = .'iEj()

τικ.ή τιμή του οuνολι κοι'~ έρ\'Οu nου ;iα έχει δαηανηDεί (και το οιιοίο θιχ

Υf><Jψιεί κtΑι ω<.;

se F =τ .r.

.

Α·

και η μ!:yιιrι t[ δίJ,•ομrJ εηαναφιψίις

Δll " = F·Δχ .

μητικό με το εμ6αδi>ν τοη ψιrιι.ζί.uu ΛΒC D. Α•· το vήμcι επιμηκυνθεί πrι6

nίευη που α\·αηlύοσΗαι ο ι α {.ικι)(J Ίης.) Μ11ορα6με λοιιιό\' ••α ΊΟ\' εκ ·

rng + .jrrι2!f + 2~-rηy( χ =

ΔJ· ι σούται με

ση, σ=F/S. (Λ ν μια ρά6δος εyκάρ­ ναμη F, τότε το σ εκφρcιζει τη μέση

ισο6ται με

μηκυνθεί το νήμα κατά "' ιn οι χι:ιι;,.

(ΣχίJμα Ι ). Εί>ο..ολα διαπιστώνουμε ότι το rιαραι ι6:νω Eρyu ιοούτοι αριθ­

mας διατομί1ς Β ιιuμnιειrιεί αιιίι δu­

Επομένως, '1μί1κο\'Οη ι<><> ι ήματος

Το έι>γο 11ου δαΙΙαν<'.ιται για vα επι­

διωομή του. Σ-ιο •·όμο του Hooke ' ; ; ; χpησιμοποιουμε auX''Cι υ]Ι' ε1νοι α Ηr-

I ' rtιg(( + :r) ~ 2k;r·,

ΊΟ ΙJ ηιμαrος και η μεγr σuι εrιηιτ,ιuι•-

ιψi.ιιει \'α ασκ ι7θεί

Ι'αρριχφικών φυτών πρnο•yyίζοιη• 11ς αηίσιοιχες τοu ελαστικοί> γήμα­ ιος (ίδιιι ηερίποu Ε και S) και η μά­ ζα κάθε ιθαγενοί>ς είναι ι ιφίιιοιι {)(Jrj η μάζα rn. 1.ou ιιαr)(1Ιι<),·ι.~.• οιiφατος, ·Η'> ιε ιιροκί)ιιτει ότι 1' = 5y. Και εί­

F

ο u}'' ελεί>θερι} άκρη ε.\ασπκού >ήμα­

ναι πρCιyμστι α.\ηθί:ς rιως ~ο ανθι>ώ-

τος. μοναδιαίας εyκάρσιας διατομής,

ι ιι

ώστε ''α διπλασιοιπεί το μήκος Ίοu.

φορτlσεις.

(Τ ο μF.·ι ρο Ίοη Υοιιrιg με-ι f>Ι έ1 ω οο ..

vo

'

'

Ν<~ {ψως ι...aι κάτι

'::\ιjω2 ).

νήθως σε Ώρα όμως ••α ει11σφέψουμε στους

.

οωμο Ο\rτεχει σε τετοιες υπεr-

nou

μένει yια

οας: Α.\λι'ιζ~ι ' 1·ι ιμή ·ιι]ς μέ\ ιοτης εηι­ τάχu,•σης στο προηyούμtνο Πf>Ι)f!\η­

ιθαγενείς το ο Βανουάτου και \'Ο uno·

μα αν θ"'''f"]οοιψε ότι το ελαστικό

.\οyίσουμε μερικά μεyέθη που αφο­

•·ήμcι (κ οι κα1' ωf.ο.. ι αιιr1 ο βλαστός Ίου ο•·cφριχητι•ού φuτο6) δε•· είvω cι6cιι>ές ο\λά έχει κάιιοιο σuγκεκρι· μέΙ'Ο βάρος: Και eν οοl'εχείο. ιιοι ος

ρούν τα παr)άτολμα ά.\μαΗΧ ι otH.;. Αυτό Ης υ> κόνουμε μέαω Ίοu εξής

.4 'I

ιψοβ.\ιjμο·ως:

Σώμα μάζας nι. = ί2 •·gr δiτεΗ11 σuιν ώ..pη ει·ός cι13οpούς ε.\cιστικού π]μn-ι oc: καr ιcψι]\ ε ιuι t α rtέucι υ ιο

-

Δ.t

Σχr'jμα

1

.D .r

θα δ•χτεί μεyα.\6τερη unφφι'tρτιnη. rως μικι>6οωμος ή ΕΙ'ας μεyα.\όσω­ μοc ιθαyr~·ής; Μι· υ ς... ηγείεςοας. !iJ

OUAN TUM I Η Ο ΜΑ Υ ΡΟ Π ΙΝΑΚλ I

17


προς την κορυφή του όρους Fermat·Euιer Οδηγοi μας στη ν αvαρρiχηση οι

Lagrange, Zagier και Minkowski

Vladimir τikhomirov

ιφα "lf><;»'ιu~ έ• ιι ιφχικό ψι]μα

δείξεις ότι θα μηορούσομt να έχοuμι:

4n +

από πρώτους cφιθμοίχ; μfyα.\ύ­ -ιεροης αnό το 2 (3. ο. ϊ. l l, ι 3. ι 7. 19, ... ), 6λrιιοuμε (η ι ανάμεσά τοuς uπόρχαuν αριθμοί - 6nως οι 5. 13. και 17- ΠΟΙJ εί1•αι δu\'α­

\'"'f' ι.(ωει ιψ11· οιιδ λίγα χρόνια τηι·

•·αι

350ή επέτει ο αuωύ ιου ιιξι οοιιμείω­ ιου αιισιι:.\έομαιος. Τα Χρισιούyε••vιχ Ί<>ι> l fi40. ο μr.yί>\ος μοθηματικός Pίerre Fenηaι ( 160 ι 16fi5} έrπFι \r, (ω

αριι!μό. και σu•·εχίΖει με το•· ίδιο ψc'ι­ ιιο έως ω' uριtlμό 5, καταλήyοντας έ...

τό" να πσι)nιτιαθούν <ι>ς (ιθr•οι (ψα δύο

yρι'ιμμα στον περίφημο ~·l eι·senne. φί­

T I)V ιφώ·ιιj ολο•.\ηf><•ψένη απόδειξη

λο του Κορτέσιου κοι <Ηιοuδω(ηερο

μεσο.\α!Ιητί1 στην α.\.\ηλοyραφία μετα­ ξύ ιων ειιιc.>ιrιμ<'J\'ω'' εκεί,·η α1ν ειιοχή.

Leonhard Enιe.­ ( I 707 · 1783} ιχνδμεοα m:o Ι ϊ42 και το 1747. Ο Eιιler, που εκ1.ψούι11: θrtθίιι u­

Με αιιτδ ω \'f>άμ μιι rι\η ροφομοόισε

ιu τον Fermaι. ncφαχώρησε την προτε-

10ν Mrτscnne ότι ·~6θε nρώτ.ος ('φι3-

t>uιo'ιi]CU

μός

4 παριcπάνεται μονοσι'ιμn­

vια ως c1θr)οιuμΗ δ{JΟ τι:τραyc;)V<ι..η•.οσ- 1

ιέοψι.ιοε μια αnc'ιδηξr) ιιοι' ω~ξφyιι­ ζ(ηπν "I'' ι δf.α1 ης ει ιι <ηο.\ιjς του Feι·­ Ιηaι. Τιμώντας και 'tους δύο μεγ{r.\οuι;

Εκείνη ιφ· εποχή δεν υπήρχαν μcιθη ­

επωτrjμονι:ς, ονομι'<ζοιιμε οrίμερα αυ­

μu ιικ<. ιιψιοδι κ(ι,

τή τη•· πρότοση •θεώρημα τ<•"'

n

'

τε τραγωνωv :

..,• -_ ι~ -'-, ?2 _ , 1:.! - 2~ 2

+ :32 , 2

17 = 1 + ~ -

Αντίθετα, οι αριθμοί 3, 7, ll, και 9 δεν μηορeί va nαραηταθούν μt: uvι<Jν τον τρόπο. (Επιβtβωώιπr το μόνοι σος!) Υπάρχει τρόπος να ξεχωρίζουμε

tι1 έν<ι είδος ιψιθμώ•· cιrιί> ω άλ.\ο, χω­ ιιίς να Xf>EΙ(rζ('[l11 να κιηηφ•:ύγοuμt <Yt κιrιαγραψιί ό\ω•· ·ιων εκδοχών yιu κά3t περίπτωση χωριcπ(ι; Και πώς μπο­

ρούμε ••α ερμηνεύσουμε αut.ιjτη δια­ φορά; Ι Ι αηάηηση δίνεται cιnό το εnίι­ μεηι θε(~ιιημη. ΘF.ΩΡΗ~Ι Α . Έναc ιφι;,ιος αιιιfJμιίς μεγαλύτιφοι;1οι> 2 μιrιψtr \η ιιaρrιιrrrt· I:Jεi ως άi:Jpοιομα δvο rn-ραγώvωι• crι•

και μόνο αν το υπόλοιπο της διcιiρε­ σιίς τοu με το 4 ισούται με f. (Ι Ιpα\ψαιικά, 5 = ι · ι- Ι. 13 = ι 3 "-I, 17 = 4·4 + 1, t>'ώ 3-4·0 ~ 3,

·

7 = 4. 1 + 3. 11 = ι . 2 + 3, _.. ) Πρόβλημα I . Αποδείξτε τη •·

ονα­ yκαία συνθήκη ιοu προr)yούμενοu θεω­ ρήματι.ις: κάθε rψώιος ιψιθμίις (ε•~ιός αιιύ ω 2) ιιοι> είναι ίοος με το άθροι­ σμο δύο τετρογώνω•· μπορεί να γρα­ φεί ως ~11

+ 1'

για κcιποιον rο:έροιο 11.

Ποιος cη·ακάλοψε ιιρ<;)τος αοτό το

μαθηματικό φοη·όμrνο; Υηr1ιιχουν ι:ν-

18

ΙΟΥΛ Ι ΟΣ Ι ΑΗΟΥΗΟ ! 1994

-

nou αφήν~ο:ι υι16:\οιι ιο 1 {ηι;η διαι·

ρεθεί με το

"'"

uι μαθιιμοτιι-.οί

uν~ά\λασοα•· 11ληροφορίες μέοω α,\ ­ .\η.\ογραφfας. Σuνήθωι;. U\'αι..οί\'(ι)\'ά\' απλώς τα αποτελέομιηά τους. χωρίς να ιιφιλαμβtη•ου•• αποδείξεις. ΠόΥτως, πεrίηου είκοαι ΧJ>{)\·ια μtιό 'LI] V εrιισιο,\ί] rιρος ιον ~·!eι-seιτne, ο

Feι·ιηaι nεριέγρrιψ•· το n;<i:δω

ι , uιιοδεο.νύει ότι πρέπει I'Ω εί' και y ι α κuι ' ιu ι ο1· μικροτφο . ψευδ•<;

1 0 1 υε ιιηίφ<~ο η (uψt>ί>

ro

;}εώρημα α­

ληθtί>ει για πι 5). ηιν παρουσίασε ο

,

0(0\'

'

. tOU

ιιpΟΚ01.ΟΧΟ

1\.Ctι

KCt·

Fer-

ιnaι-Ειιleι-..

Υιιάρχει ένα χαρακιηι>ιοιικ6 κοιν6

" " δ.\ α οχεδόν ια όμορφα μαθιιμcιτι­ κ(ι αποτε.\fσματrι (6n<.>ς κηι σr σχf.δδv <>λες ης όμορφες cι.\.\ά δυσπρόσιτες

κορυφές): τη μονοπι'ηια οοι> οδιιγοuν

n<>u ιίχ•

οι.. ου ι (ι εί \'Οι rιολλό. Μnορούμε να τα

κατασιρr:ισει για να αποδείξει το θειδ­

Π(Η>"ε\'Υίιιου με ιιιι ό διαφrιρtτ.ι κές

rrιμο που (1\'Π<pi:ι)αμι: ι ι<φ<ιι ιίι\'(Α). TU\' Α6γοι>στο του 1659, σr μΗr r.rιιιηολίj

ιι.\εuρές, •αι ό.\α τα μο•·οn(ιτια ΠfΙΙJCΙ­ φcρuον έ•· ιuνη αι1ό\cωοη σε όσους τολμοίη· \'Ω1Η ακο.\οηθήο-οον. Όπως θα δούμε στη ουνέχεια, το θε­ ,;φημα ιω' t'~ι·maι-Euler αηοκα,\ύπτει

(!ο 110u απει>uονοταv στον Carcaνy2 . "

; yρα~

φει Cι1ι ηι1rιίιδειξή του θαt>ί(ε rαι στη μέθοδ<> της άιπιρης κοθόδοu. Ξε.μ·ι:ι­ νιcις οηίι Ίψ' ι>ιι63εση ότι το σσμπέρα· σμα του θεωρήματος είναι ψεuδi.ς \ι ο

α•·άγ.\uφα αuιίι ιu θαυμάοιο χιφακ'D]­ ριιπικ6.

κδnuων πρώτο αριθμό η1ς μορφής

Θα rt\ «(ψΙ χηθοίιμt οε ηιηήν τη" κο-

ι. Σ} τοίπο 10 c~r·~ρo δε,· ~ο ύ' οφερ· θt,ι'ψε οιο μο~,-οοι]μavτο, nou είχε αηοδcι·

2. ~1ttlι 1() t)ά,·ωο 10ι' Mcn;enne, 1.0 ρό· .\ο ιοu εnισιrιμη,rι.-<)ύ οιμεc)<•\()Rη·rι).. α,•iλ<.ι·

χ3εί ιιο.~ό ιφt'' αιιό 11)" moxtl ιου fcrmat.

σ~· υ Rηοιλ ι κc')ς Βι0λ ι ο8η κδρ ι ος, έ\·αe, ερα·

Δε(τε οχετικiι τη .Ιί>ση του nρο6λιjματος MlO στο παρόν τεύχος.

σnfX'''1< μαθι1μω ικός και φί.\ος ιου

Fcr-

Jnat. ο 1"'1tπc cle C;in:ίt\')l (nε3. 10 (()θ4).


--

....

• •


κ<χι α-''

+b•- = p.

ρuφij , rιou "f"~1 οανακαλύφ3ηκε το1•

λος διαιρείται με το p. (Υπενθυμίζου­

r = 1

17ο αιώνα. ακολουθώντας τρία δωφο­

με 6n -ιο ο6μ6ολο ::: έχει τη οημοσίο ότι οι παρασιάοεις δεξιά Hll αρισιφά

ρώνεται η απόδειξη.

ρεtlJ(ά μονοnάΊια. Το ένα 6ρέ3ηκε το1• 1 8ο αιώνα, το δείιτερο ΊΟΙ 19ο, και το τει\ευιaίο ιιολύ ΙΊρύοφcrτα. 01.ον CfH~)· ""μας.

τοι> αφήνοιιν το ίδι ο un6λοιιιο.) Συμ!\ολίζουμε με Ν το (2n )I. Το πό­

Ιl ιφί.ιτη απόδειξη (με κάποιες τρο­ ποποιήσεις) nφιέχε1 αι οε όλα οχεδi\ν

το εγχειρίδω Θεωρίας Αριθμών. Κα­ σίζεται στο εηδμεΙ'Ο .\ιjμμπ. ΛωηtΑ WΙL~ON. Για κά!Ίε πρώτο αριΙΊμό p, ο αρrΙΊμός (p - 1)! 1 διαι­

+

Η απόδειξη του Zagιer Μια ιi.\λη αιι6δειξη, noo τrιν οφεί·

ρισμά μας . λοιπόν. σ ημ αίνει ότι p). Τι:ψ<Χ πpf.πει \'Π ξr,.

.\ουμε στον ο6γχρονο μαθηματικό D.

ιιφι'ιοουμε την κύριο δυσκολία. Θεωρήστε όλο τα ζεuγη (k, ιιι) των μη αρ\ιηιικών ακερuίων rtou δεν εί νιιι

1έ.\εομιι μοιάζει >α είναι ουρα,·οκατέ·

1'<"1 ::: - I (mα)

Η απόδειξη του Lagrange

• ο\ ' οποτε οκ"ψ

μεγιι.\6τεροι αnό το .jji. Ο μεγαλύτε­ ρος από τοος αριθμοί>ς k· (ή m) r.ίναι μr.γαVηφος rιπό το .jji - 1, και επο­

Zagieι·, με άφησε κα-ιάιιληηο: ιο αnο-

6ατο. Α ναιιαράγοηας 1 ην α11όδει ξη ιου Zagier, ο σκοπός μας θα είνcιι να δεί­ ξουμε όη yια κόθε ιιρώ-ιο aριθμό p

= 4n + 1, rι r.ξίοωοη J:l .... 4yz = Ρ

ιης μορφίjς p

μένως το πλίJθος αυτών των ζεuγώ'' εί,­

ρείταr με το p.

ναι μεγα.\ίηφu αιιiηο [( .jji - Ι) .,. Ι: '

(.-,ιι, ;; ακέρωοι θετικοί) έχει λύση

Για να μην απομακρu1•θο6με αι ιό Ί ο θέμ α μας αποδει κνύοΙ•τcις αu1ό ·ω

= p. Τώρα, και με 6άοιι τΊ" Αρχή τοιι

(χ. y, z) με

περιο·ιφώνα του DiJ"ichJeι , υιιάpχουΙ' δύο 10ι1λάχι σιον διαφορηω'ι ζεύγη

έχουμε '?Ίν nαράοταοη p = .ι:2 + 4j = ;τ2 + (2y)', οιιδιε ~ο θι:ώιιημα θα f.xr.ι

βοrιθη-ιικό (αλλά πολύ χρήσιμο) γεγο­ νός, θα ιιαρουuι<χοω την κύρια ιδέα γιο υιν ο11όδειξή του χρησιμοποιώ­ ντας !ΟΙ' αρι θμi>

13 ως

παράδειγμα.

Για κάθε Ο)Ι.έρtJιο ηιι6 ιο

11 ,

2 έως και

το

βρίσκουμε ΊΟΙ' ιψιθμό 1ου οποίου

(k 1 ,ιnι ) και (Ιq,ιιι2) τέτοια ώοτε Ίά

υ ιτί>λοιπα

(kι

+ Νπιι )

της

διαίρεσης

και (k2

+ Νιrι2) με ω p ιο α + Nb (όnou

να ttί\'uι ίοα. Τ{ηε, α= k1 - /q και b = πι 1 -

mz) δι αιρεί·

το γινόμενο με aυτό1• τον ακέp<11 ο δί­

Ί αι με -ισ p. Παr><ηηριjσιε όη Ιαl

νει ι;ιι6.\οιιιο ι όταν διοιρε3rί με το

kOI

13. Στη οιινέχεια. κα'(' u jv παραyοντο· ποίηση του (13 - 1)! γι>άφουμε μαζί αυτά τα ζεύΙ'η nαραγ61'1ων:

(13 - 1)! = 12! = = (2 . 7)(3. 9)(4. 10)(5. 8)(6' 11) . 12 (όιιου 2·7 = 14 = 13 + ι, :J-9 = 27= 2 · 13 + Ι. 4 · 10 = 5 · 8 = 4()=3 · 13 + 1. 6 · 11 = 66 = 5 · 13 + 1). Έιιειαι 6n ·ιο υπόλοιπο υις διαίρεσης του 12! με το 13 είναι 12 -άρα το 12! + 1 διαιρείται με το 13. Η yενικι1 ιιφίnτωοη ανυμε· ιωnίζεται με nιφδμοιο ψόιιο. Πρόβλημα 2. Αποδείξτε ότι για κάθε

πρώ·ιο αριθμ6 p μπορούμε να χωρί • σου μ& τους αριθμούς

2. 3. . . .. p - 2

σε ζε6yι), έτσι ~>οτε ·ro yι ν6μtΙ'Ο τω1· α­

f>ι3μών σε όλα τα ζεόγη (α. b) να δίνει υιιόλοιπο ι όταν διαιρεθεί με 10 ρ.

=

(Α υιό γράφεται ως ab l (ιιιοιl p).) Χ f>ψημοποιήστε αυτό το γεγονός για να α11οδείξπε Η> .\ιj μμα του Wilson ' πφυηωση. ' στη γενικη

Αι'ιδ το λήμμα \\' ilson ουνάγοuμε

'

' ισμα. ενα πορ

ΠΟΡΙΣΜΑ. Α ν ο αpι{)μnς JΙ = ~~~ + 1 ε(•·αr πρώτος, τότε ο [(2τι)!) - 1 διαι­ pε(τuι μe ω

p.

Για να αποδείξουμε το rιόριομα,

\'pάφουμε 101· ιψιθμ6 (p - Ι )! ~ I

(411) !.,. I - I · 2 · ... · 2ιι · (2ιι + l )· .. , · (4rι) + 1 = 1 · 2 · ... · 2η · (p- 2n)· (p-2n + 1) · .. . · (p - IJ + J = (2ιι)!· ( - 1) 2'(2ιι)! + Ι= ((2ιι) !j + 1 (modp},

ω~

'

~

;

'

και παρατηροιιμε οτι το αριuιφu με -

20

ΙΟΥΛΙΟΣ Ι ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1994

των

lbl < .jji.

< .jji

Τώρα, a2 - N 2b2 =(υ +Nb)(a -Nb) διαιι>εί·ιαι με ·ω p. και αφοu ισχύει δη Ν~ :::; - 1 (ιnob p), το ιι'1 + &2 διαιρεί­ ται εrιίuι]~ με ω ι>. ~·! ε t'x.\λu λt'>γιυ. a 2 ι­

ι? = φ yιr1 κδιιοιο θειι • δ ακέραι ο ι· (ι· f. Ο, διδΊι δι αφορεΊ ικ fι ~α δύο ιιροηyοί>μενα ζεί>yη θα ήΊαΙ' τα ίδια) . Αιιομένει να πcφατηρήσουμε ότι a2+

ι?< 2p, πράγ μα ΠΟΙ> οημ n ί1•ε ι ι)τι

Α" ιοχύtι αιηδ, θα

y = z.

αποδειχθεί.

Θα αποδείξουμε ΌJΙ' ύπαρξη τέτοιας λύσης με μά.\λον αλλόκοτο τρόπο: [)α αποδείξουμε ιJτι τ<> (προφανώς nεrιε· pασμένο) π.\ή&ος ,\ ύσεωο· αυυίς της ε­ ξfυrι><Jης είι.·αι Ηfψη1δ. Π<~ς σuνδέε1οι το περιττό πλήθος λuοεων με την ί>παρ­ ξιl -ιης .\ύοιις rιομ Χf>ειαζ6μασιε; Mno· ρούμε να κα1ατάξουμε σε ζεuγη όλες

ης \6σεις με

v# z

α''tψεταθέτοvτας

ω y και z: αν η (χ. y. z} εί1·aι λύοrι της εξίσωσης, τό1ε είναι και η (χ,:, y). Επομέγως το η.Ι.ήθος αυτών των λ6οε· ων θα είναι fιρτιο, και το συ1·ο.\ικό πλή· θος μιιορεί \I(J είνοι ιιεριι'lό μόνο 6taγ

υιιάρχει λοοη με ιι

=

z.

Θα ιιροχωρήοοιψε ιο οuλλοy10μi>

3. Η Αρχή τοη rιεριcηfψι;η'<ι ιοιJ Oiric..:Lι­ lcι ιιερι η>όφε·ιαι ιω.\ι'> όμcψψα. 6ε6αίως, με το ι1ιφι~δειyμcι 'ι<Ι>\' ιιtριυπrΙώ,·ω,· κυι lW\1 nερισttfJL<;~v: U\' 6ιlλοuμt. kιι t J ιιt.f>ι· στέρω (k.ll ακέραιοι θευκ<'ί) ο~ ιιι ιερι(rιι~ ρc~\·ες, τότε τοι>.\όΧΙΟ'\'0\' έν(!ς ωιι) ιnης ιιf'­

ριστερώ\rι:ς 8α iχει τοολάχιmο'' k - I ιιr.rι· ο-τέρια. Η αι ιι'&ι'ξrι ιr·ι<.:fί,•οιιιο,\ύ ωιλή. Α'' uηο~έ()οιψε ι'tιι κιr\{,·ιtς ιι•·r1ιαιι::ι>ώ,·σς δι'' έχει περιοο6cεpιι ωιU k ιιιρω-ι.ίpιο, ι.6ιι ο κσ8έ\·ος α11ό ιοuς (η -ιο rι\r}fJoς) ιιεr)ιcrιεf1<~· \'t:ς 3cr περιέχει το no,\U k n εpι οτέριa, και, εηομ(\'ως, ό.\οι μαζί οι περιστερώηςθαnε· ριέχουν το no.\o; k·ιι περιστέρι<• -το ono(o είγαι άτοπο, αφού uπο3έοaμε όπ έχουμε kr1 + 1 περιυτέρω. Στην nφίπτωσιj μας, η Αρχή του περι­ mφ<οvα εφαρμόζεται ως εξής: έχουμε του-

,,,ι.rx , ι<.rιuv

ρ

+

Ιζ

'

q

,

,

εuyr1 αριvμω\'. ενω υnαρ·

χουν ρ δυνατά υπόλοιπο τι1ς δια(ρεοης t.· ,.ι;, πr•ι3μο6 με το ρ. Θεωρούμε λοιπό\· τα ζεύyr1 H•.l\' αριθμc:>ν ως «rιt·r,ι<τt~(">trι .. t.cιι ιn υιιόλοι11ο uιo(iulo p ως .. rιtφισιερc;.ης•

- ι.:οι ouμnt(•αi\•oυμt ό1ι uιιόf>λt>U'' δUο διαφΟ(>f:tι..ό ζεύyι1 ιιοu α\'1\ΙtιοιχοιJ,• οιο iδιο ΙJιιδλοιηο. (Ι:.1.μ.)

μας με μια ounpoΙη θεώρηση. Θεω­ ρο6μι ιο uύνολο

S ( ιιι ΟUΙ'Ολu 6λων

ηuν 'ιριάδ(ι)V θειικών ακεροί<ι)\' ιιοu ι· καvοποιο6ν την εξίσωσή μας) και το μεταοχηματιομ6 ,/ αυτοί> ιου συνί> ­ \ου που εναλλάσσει τα y και z -δη·

λαδί] . .J(.c,

y, z)

= (χ, z. ιι) - και ιιαρα­

τηρούμε ότι, καταρχι.ς, ο μεtαοχημα· ηιrμί>ς πυΊ6ς είναι μια εο•έλιξη -δηλα ­ δή, όταΙ' εφαρμοστεί δύο φορές εrιι­ στρέφουμε οιην αρχή. Δεύτφο, τπ

σταi'Jφά του σημείο - αυτά για τα ο· ιιοίu J (.t . ιι. z) = (:r, y, z) - μας δίνουν τη'' επιθυμητή παράσταοιJ του p (α· φού χαρaκ'tιjpίζονιαι από το ό1 ι y :). τέ.\ος, το ΙL\ήθος των ΟιJμείων που δεν είναι σιαθεpά είναι άρτιο, διότι μ11οpού1' νcι καταταχθούΙ• σε ζε6γη έ· ισι ι:ιmε το nηοιοδήnοτε στοιχείο ενός ζεύγους 1•α είναι εικόνα του ά.\λου

υωιχείου. Η τε.\ειηαίο ιφ6-ιαοη ισχύ· ει φuσικά yια κάθε ενέ.\ιξη οποιουδή­ rrσιι ιιειιεραομέ,·ου uυν(ι\οι). Και Η~ρο, ας θεωρήσουμε το μετα-


οχημ αtιομι) fJ ι ω' φι(ιl\ω, ι.r.ιι. rιnιι ορiζιιιιι ως ιξιj ς: B(J'.y.:)

:)

(uφuύ ο μ εί•·οι πρώτος) και

w

(θιψιιi'J•ίιι (ιιι p

ι.r'.ι/.:1) όποt> (1) σ,· ;r < y :, ιJι' ιουμι r' = J., 2.: ..ι/=.: . . .'=Υ .r (2) u\ !J - : ~ r ~ 'lιι. (}i ι οιψ• r' - 2y - r. ι/ y. :! - r - ν- : (3) m ;r > 2~. (}{ ιοιψι

r' =r - '!y.

ι/

=r -

.ι - Υ Όηι.κ; ο J...cιι cntt6<., ο μι ιcιο\Ι}μά11· f/- •

σμίχ:. cJ\ 8fιψηθι:ί rιιί ι οι> ΟΙ'' ό \οι• S. ιί\Uι μιu ι\Ηιξη 1<>1>

.<;.

Κ<ιtιψ\iκ;. <ι·

πεu.ο' ίζει το

S οτο' εαυτό του διότι διατηρεί τη- τιμή r + l9:. Πpcημcηι· ~ό. ας niφοuμι τη- nφin 11·""1 ( 1) 1ιιι nrφiιδrιj μn:

Ι ι/:! = Ιr + 2:)" t Ι:ι ιι r

r" +

.

r·' + l.r: + ι:-

=

= .ι- -

11

l:y

l .r

ηαι ωίω1ς με •οιεο3εία> uno.\ oyι­

oμouς. Λ''· yιο πορόδει1 μα. J'

< ιι

-~, llr)i'Γit'l \ '<l ..'(jHψμ{MftHψl ιιι; tιιυc~· c.JΕΙς της nφίrι ι ωnι1ς ι : ιιιι(ι 1111'1 1ς ΙψΟ·

2:: > 2.::

Ι

2ι/. κ<.ιι crιo·

μfνc.ι)ς ιιι)~· ιιιι νu nno.\uyίouιψ t το

(.r". ι/'.:!') - B(r'. ι/. :') ~ρηοιμοιιοιώ­ vτας τις εξιοό>σεις αnό τψ· nφίnιωοη 3. τnτr θn nnι•nvμr

.. -

ι/

.... .. -

?ιι' -J· t 1)--?·Ρ ... "'"'

.r" = /

- r' -

\ΟΙ'μ( δει. το

S σποπ\εί1m πιιίι ιιφn ·

ιό n\ι'ιθος ψιίιδω> - ιιρόψο που εi­ \<ιμε ο~οnό Ηι <ιηο&ί(οuμt.

Η απόδειξη του Mlnkowski 11

(ι \cιφικος φιιιιοποιημi,η) αnό­

&ιξη 100 ~linko"-ski ( ι 8&ι· ι909) m>ΙJ Ucι ιιcψοι'tιιc·ισw σrη συ,·(χειο. tί,·σι i· ιιως ~όμη πιο ι> ιl'ιιωοιu..ή.

11

αιιύ&ιξη τοu ~linkowski ορχίίει

μ' ίΗΙ ιΙΙΗΙlL\ιυμU ltOU μοιάζει \α μψ

..ομιό

Ο\iοη μ•· 1cι &ιορrιμα l'c=r·

θfΩΡΗ\1 \ . Έιιιω α.

(.r'.ι/, :') 8 (J'.)f· :1, ιδιι •ιιι n (:ι:'. ι/.:!) - (.r. ιι.:Ι. Αι>ιιΊ rιιcι\ιιΟrίι­

.r' - .r

Ktll ι..α1όUt'\έιιειΟ. όηωcέ­

Π\dl-t.uJcι .

ο,·,"'

κόππι

(1, I . rJ )

ι~

ριnτώσης εi>·αι rιίnnu ωι\ή. Ειιιιι\c·

y' t :'

J --+

2: - : ~

J>(.r. y)

= ~~~ + 1). Έnομi·

έ ω μο,·οδι•ό σταθερό ση μείη, 1<1

:\

εnα\ι'ιθιυοη crιι~ ιί \ \ιι. Ι\ί•ο ιιt •

π

"'''· '1' 'i\ιξη Β ιC>ι• ιιu,·όλοι· S i\ει

i\ιι

4y:.

z=

b, kOI t TU·

\rtίtH ιιι..ipαιοι nοι, flrί(l\"Qnnιoύ' Ης

0 \ f~ι ς (Ι>

u Htl

nr -

ιr = ι. Τότε.

ιι rξi""'"'/ ax + 2bry- ο/ = ι €1ει rι­ 1

•iρσιη \ ύσιι (.r.ιι).

Αιιύ&ιξη. Η nορόστοοη or2

+ 21>xy

-ηJ μJΙcψt'ί "'' 3εωμι1!!εί ως το τπρCι· I W\ () ιιις αnόοιωιης "'" uημείου Ρ με 1111\ I( 1 (<\μ(νι·ς (J', y) 011ό 1ψ <ψΧί) 0 ' ' ο συιrιημ ' οε •αnοιο ουyΗφψf' α οι>· '"ΙΙ"ιcιγμίvι." (ό~ι unοραίτητα ορθογώ'' ' no ) . 1•ισ \·α κα1αοκι; υαοο ομε ενα τε "'"' οί•στημο, σχεδιάζουμε τους {ιξο­ Ης; ιοι

,;,., ιι

ω υ~ηματίζου,· μεταξύ

ωuς 1ωvίιc rl, ι'ιιι<Η> '1 ι! ορίζησι ιιιιι'ι "1 Ο\ ί-ση σι•vιJ - bj..,Γae (uuτό εi­ ' οι 1\υωτίη >ιι>ιδι] ar > Ο ~α ι (ι)ειδή

Σχήμα με

1

10 τtτρό)·ωvο της αnί>σtuοης

οι•.

ΟΟου Ρ = (r.y), <ιηό το τρi)ω>ο QQP. όnοο Q = (r.OI. Πpα\μ<ιιu.lι σε αυτό

10 ιpί)ω>ο. 0Q - rl, ιι. QP - ,y ..(c. .crι η 1ω•ίο Q εί>crι ι) η ι'-0 -ι!. n· •·ό.\010 με τιι ιψc'rσιψ<r "'" r kΟΙ y. I Ιό· \1(ι>(. ι..αι α,εξόρτητα anc·• nοιcι rί\(ιι αυτό τσ πρiχ"ιμα, ο >όμος τω' οu,ημι· ι()\ (.ι)\ μας δίηι ηά,ϊa

(ΟΡ)1 = (OQ) 1

ιrι·ιι( Q) τ (0Ρ)

2

2(0Q) ·(ΟΙ'}·

=α.τ2 - 2bry r I'Jr.

Το οημι·ία μι ,,.(ρuιες ουvτετα\'μέ· ''ες Ο\Ι)μστίζουν ι-, ·α~( ρω ιι ιι.\έ1·· " ' μη• οε οχεοη με το συστημα συ>·τηny·

..,

μέvιυ,· μας (Σχήμα 2), .ι ιι ιφ(ιιει vcr α­ noδril;ιιuμt ιιως ιηι(φχει iνος κίιμ11ος του n.\έyματος σε μονηδωίο οιι6ο 11'1·

οι1 ω ιό ~'1'' αpx1i τω•· αξόνων. 1:σιω d '1 μΙJ(ρότερη αnόοτοοη από tη'' αρχή Ο nρnς ,,..,,. ά\.\ο κ(ιμ6ο, ~α ι έο1ω ( ιιι. ιι } 6·ας κόμβος που αnίχη d οηό ι ο Ο.

11

ιιιιόοτnοη οηι"ι το (.c. ν)

+(.~-r-:) = ιι.

=" = ν' = = Η tξhοοη τω•· ι•ηο \οίπω>

1\00 nφc •

mώιχω' mαφiηcιι cr)H\ cJ\ α~ \C~U).. 1:.·

ιιιιιu ιιιιύ uι,ιή' ιη' ιιιcΛι]3ιι'Οη, οιψ· ιιιρfιί\C)tψι c"nι ο Β ιίΗιι μιu Ηί\ιξη

1()0

8.

Τι οιψ!Ιαί' ει με 10 στ<ι3φό οημtίο του Β: Α' ξο' οδούμt το' ορισμό 1ou. 6\(ποuμt ότt CΊτη\ nrpiΠ1C•IOf) ι ί\Οι•· μr .τ, )tl' r'

>J

ι..nt cn'l' ruψίιιιtι>οιι

3 ί~uι'·

< :r.

Ειιιιμ{,..,ς, ιrιιιΟφu οημcίο

μnοpοίψι 'ο έ\ ouμt μό' ο οτι]' περί· mωοη 2. οπότε προ~ύnτtι .ι= .ι:'= 2y - r, ή r y.

=

Α>·τιιJψ6φω~. μπιψtίtt ιιμίιιι.ις >ιι

δείτε ότι ο μετ<ισ,ηματιομι)<;

n διιιιψ

pεί ~(ιθε ψιάδu Ιιjς μcψφι]ι. (.r . .ι.:). 'Ωμως, μirι μ{ιηι rιιιι\ rιι11ί ς ιις φιάδις

αγήκα 010 ού•·ο \ο S τω'· 3rτι.c:ι,

n•i·

r.cχι<ι}\ .\ιΊοιΜ\ ΙΙ}ί; ιιίιΗι)()Ιί( μu~: (t\ '

,

ρ = Γ - ιr~

.r(.r·~:l .

'""

r - 1

Σχήμα

2

lh/..,Γaei < ι, αφού

uc = b2 + ι> hz) .

Διtι \iycηιμ> 1 ις μι"·ίιδις ι..\ίμa.οc στοuς (ιξι ., Η; .ι· ι.. α ι y (1)ς ,f(i κοι .;; U\'Tίσtot·

έω~ ιu (χ 1 • y 1 J είνοι (nιj μr 1 '1' ιιι ιι"κrιο­ οη rιnt"no (0,()) ίωςτο (r,- .ι. Υι - !I)

\" (L\I)μιι 1). Τ(ιιr, μηιψούμε '"' 11ριιί>· OUANTUM λΡθΡΟ

21


Τρικυμισμένες θάλασσες Η δυvαμική τωv υδάτιvωv κυμάτωv lvon Vorobyov

101' κόrιο

3εί ξ.,·σ 1ρί ω, ι...ο.κ. (οι φοοικοί ογομό­

να ρ!ξοομε μια nροσεκταή ματι(ι σιο ίδι<;. το κύμα.

ζι>uΙ· τη ροή και' αυιlι ιψ ι<ννοια στρωμcrιικιj ή σψωΊιj). Κα;)ώς το ' 't· ρό κι vείται ομα \(c. Ωεν υrι(φχοι>\' δι ο·

τuφ(.,νrις ιιι-ιέχει ι~καΊο\""ι ίιδcς _χι· .\ιόμετρα. τριyίψω δε1· π1·έει ίι­ νεμος, κι όμως τα uδάτι να τείχη

nροηyοuμέl·ως. όμως. αξίζει

διαδiχον1αι

Σtρωματική_ ροή

1.0 "''"

ιο ά\.\ο. 1~0

όοο μακpιό μιιrφεί νn tιτιχίοt~ι -ιο μ.ι}ιt.

Α υιί] η ε••'"'"• Υ' ωσιή σε όοους ζου,·

,

I'

κο,·τά οε ανοιχτές 3άλαοαες ιj οε ι;.r­

Η με.\ €1η 1f.ι.Η1 κυμfrτων yίγt:ιαι ι ιιu εύκολη α1· 3εωι>ήοοuμε ό-ιι δη· διαδί­

ανούς, ονuμάζηuι ω ιοθaλαοοιά. Μια

δοvται ωc ιφος το δικό μας σύστημα

α.\υσίδα αrιό ηcιp(ι\.\ η.\tς yrαμμeς ot έκ ιuοη δεκάδων χι\ιομέτρω,·. και τα κύμιtια να ου,,εχίζιΗ>' \U εμφu,•ίζο­

αΙ·cιφορός. Φcινταιπι:ί1r. {n ι Οf>ιοκόμα-

,

φ<η'f>ιψμέc ιω1· Οαθίηφc.η· στρωμά­ των διατηρο61•ται οΊ<;οψες Of. ο.\έοη ' εικοΙ'Ο ' με Ί:Jl'' κυμα ΙJKI) του επιφανεια -

κού σφι:ψοτσ<;, έΧ01'1ας το iδιο μήκος κί>μrη<>e

<(

νιι·ιι και vo δι αδί&η' ΗLΙ ομuι6μuρφu

,

κοιιcς •J•Evα συ1 ροη τοu. και οι κιψ<> ·

>.

μ' αιηό (Σχιjιια Ι).

c

ί.ψες mέ.\ειι.ηες.

Κον1ά

mo

Α"f"•η•]ιιιο 1ψ: Κα.\ιjς

v'

γ

Ε.\nίδας, το ύψος τω,- κυμάτωγ μnο· ρεί vα φτάιπι αιιό 9 ~ως 11 ιn και 10 μή­ κος κύματος από 100 έως 300 m. ~1ό1·ο ιο μ-.yίi.\ο 6ίιθιις ωu ι.!Η(Η οίJ (2 kJu) μcις διαβεβαιt:η·ει πως δεν 3ιι δούμ•

Σχήμα 2

ΊΟ\' ιιοθμένα τοη ω ι ' 1α μεyά..\(1 κύμα­ το. Ιl ταχύυΓι<:r τfυΗω\' yιγιr\'1 Ι πίι,)\ ;

.

'

;

κιψcrτωΙ' ει~·αι εντυnωσιακη. αφου κυ-

μαίνπιη ιιιιίι 4() ί:ως 70 kωΛι* Ποιες δΙJΙ'Crμtις προκα.\ού1· αυτή τη

Έtοι, στο σύστημα α1·αφοράς τού

...

.ιοκι,rηtοnοιrιμένου κύμο:ι6ς μΗς~ '1ι..ί1ηοη ΊoLJ νφοι'! είΙ•cιι μόνιμη ροή κσιι'ι

Σχήμα 1

μι)κος TW \' κημιιu.\ωμέ\(ι)\1 οιρωμ(c ­

JΙU!Jμικιj ' t\'1]<11] Ίί><ΙΟ μεyάλωΙ ΙΙΟΟΟτί]· τω1· Ι'ΕpΟί>: Αnό τι εξαρτάτcιι η ταχύτη­ Η11οιι~: Ποιο cίΙ'άι 10 λαρακτηριστΙJ(ό τους οχrιμα (δηλαδή ΊΙ μιψφή Ι.χει 'I ;

;

..

;

Ί<•"'- Τα οτάοιμα ού,•ορα κάθε στρώ­ σιε ο· ε,·α ελιι..όnτερο

αrι'

nou

nειCι rιι'ι\ ω

θά.\ιιοοu με τψ ταχuτητα διά­

111

δοσης τοι> κύμσιοc. έιnω r. Οι •ιιμπύ­ .\ες της θαλάσσιας επιφάηιας fu:γ α.\­

μnτος οχrιμαι ίζον1 αι ω ιό σωματίδια •

,

,

νεροu που κη'ΟU\'1:αι κnιn μφως

I'

1 η<:: ι·

διας τροχιάς. το νερό δη· εyκcιτα.\ είrιrι

-για'' "

\ίtζοιιν οε οχέοιJ με μας. και το 1·φό ρέει μόημα •cιτά μήκος 1.1]<: ο με ιίJΙ!.\η­

το σψ<~μιι, δηλcιδιj avu μο,·άδα χρό­ \'Οι) α11ό κά3ε εγκάρσια τομή ε~·6ς δε­ δομένοu <>ψt.ψοτος διέρχcτcιι η ίδια

μι ιιψο6με νο συνε\1\'ΟΟίψσσιε κ.α.\ύτε .. ρα): Τι συμΒαίνει κmω απο 1ψ• κuμo­

ιης •cηαιομής ιους. Τόσο Ι] cινύψωοιι και η κλίση της ει ιιφι'ινειαc 6οο και ιι

μάζα 1ψο6. Το οχι]μα τώΙ' διαφόpωΙ' στρωμίι­

liO'Iιj ι:nιφάνεια; Θα ιφuοπαθι]σω Ι'CΙ , ' ' nnn\'""'tη<Hι) σ αιι1α 1 α ερωΊ.ημc:rτα·

,.,χίιΊ rJΊα

Ι' κατά μήκος της στn­

των δε,· εi,·αι ι:ηφι6<;)ς to ίδιο. Τα nλά­

ιημrις κα1α1<ψrjς cιιανα.\αμ(jά,•ο,·ται

rη τους ε\cιπώ\'n\ϊΩΙ Βαθμιαία καθι~ς αι>ξuvει το 6ά3ος. Το yεyο1·ός aυτό κα-

.

~ατατομι] τους, η ποιο ειναι το σχημα

"

'

;

Ίοιι ιιφ ι yf'uμ μ αως το11c η, ας ποιψε ,

'

τηc ιωρυφσyραμμ η ς

1ouc

.

* Στη Μεοό)'ξtΟ, 10 όψnς tω\ κυμfr1fο)\' f),.,. η­

f>Or\c

περιοδικά έπειτα από κάθε δι ιlσn]μα ίοο με το μί]ΚΟC κ6ματσ<; λ Αμέο~>ς κίι,

,

"

;

ιιφθC'ιίνι;ι 1n 4 -5 m ι.αι to μ{ιι..c-κ; κύμu·ιίις τuuc

t(ι) αιιu 10 εrι ιφuνειuκο σιρωμο νερου

τtr

οιιόρχει ένα δείηtφο σφώμα, ακu.\uu-

150m. (!:.1.1:.}

22

ΙΟ ΥΛ ΙΟΣ I Α ΥΓ Ο Υ Η Ο Σ \99 4

3ίaτο"" ""ψέο ιφο

01

μελετήσοι>μ(

ροή αγάμεοα στις οuνοpιακές ει"tι­ φήvrιες ινός ιη ρί.ψα1ος. f.ιιr ι δή 'I

111


'\

/ /~

--

--

--,.,......._ . '

...

- ~ ... ~J I 喂-t

,.

-

路( .


ικιιj tί\Czι μ<'" ψΙ). το στρώμα δισΌrιιι ιl>οιt μι1α\Ι>ιφο nά\ος οοο μιι..ρότε1''1 tίΙΟι η ΤΟ\Uτηισ f>OήC 1·. ι.αι Q\'tt• στρόφως. 1 ο οωμιnίδισ τοο ηρού σu­

ξ{ιΗιι,, ιη' 10\ί-τηtό τους ότm· "ι'uί'·

ιιιι Ιψα; 6αΌί>ιψα <>ΙJμεία. ε•·ώ εηι6ρnδό'ο' ιω iΗιι\ aι.ηΟύ\lΟι προς u-

'

ψη \ότερα σημείο. ΣυΗιιι:κ;. η αιιόστα­ αη μηcιξ:_ί) Ηι)\ ό\.1' οριαι.;.ώ'' επιφιηηι:η

εί•aι μr1rι\ύτιρη ιτια <'ψη ι.σι μιιφότε­ f,>ιJ ο ιιι, "" \ίιδες (Σχήμα 2). Ως ει. ιοί>­ "'"· Ι) ι.(ιιω οι>Ι'<ψιιιι.ίι 1ι><φμή κό3ε στρώμrιιοι, ι μψul'ίζει μι κρότερη ι. \1ωι uιιί> 1')1 nό1·ω. 11 διπφιψά ι)ψοuς μεπιξίι ιιιι·ς ι \uιιώΙετοι. οι μηιrθο­

\ί ς οι η• ιαχί'ιφο ι.αιά τψ άωδο ή t')l ι.(ι()ι>διι 1ί 1 Οllαι \ι 1 ότφο fno-

H<;. ι.αι 10 00\U<; ιω1

ιrψωμότω1 6<ιΌ·

μΙαία εl:.ομα\ιί•π•ιι \ό1ω της ΟUΗ\οίχ; ιιιιίκιllιιιΙ)C ιω1 ••:ιμηυ.\ώσεω•·. 1\ωrp\δμιΗιι προς ιο• nυtlμέ"α Ου\Οιτόμt cφιί6\ ιιιc Ω1fΚ;>μαισ cο..ί'ψ lω\ ι'δ{ιιι\(ιt\ μαζC:η. Οuσιαστu.c"ι. 6μως, το •ερό σιη<ι fίΙΠι ετιάοιμο μό•·ο (\)ς rφο\.: ω' ίδω \Ο\ nu~μi,·o του (ι)~ι· Η\ ο{,, f\~~• σι ο διtr.6 μα~ οί'<ηημο ονο­ φορός

(tnu

τος) κιvι

nκΙΙηιnιιnιημέΙ·οu κύμιι·

r"" μι

ιαχύτητa

c σε

κσιεί\­

θιJΙ uη aηίθcτη από c..-ί'"l ιψος την ο­ ιιοίιι διαδίδrιuι ω ι.ίψα· ομοίως n

nιι3μί ΗΙ<. "" • ί ιuι με rφ ίδια ιαν> ιη­ τα ~σι προς ιψ ίδια ι.ωεί-.'Ιv•·οη. Ει'n ιο flά1!uc 11)ς θά.\ασσας είναι

ι/S

tf,\,

Σχήμα

p+dp

= ιff:i•ΠΙ'V(!

1+------'λ-----)>j S, = λS

4

και η cι~τή ε(ωι ιι•ί•ψιι) ιιρέnει \CI α­ Όικ>ίιιοι>μt ιφ· τα\ύτητn ιι ιου οωμα­ lιδίοι\ tr..L\(H 1μί\(:>H ι..οτά μήκος 1ης a..o·

μεy(ι\ο 11ίιflο<;. ιιι οφώμα1n Ι"<f><>U tι­ ΥΟ'ι 0\tδό\ Ο()Ι(ί)\ ll(t lrrr.(fl 1<• \ Cρό 0 • αΙJ•

fΙΙψΟ\pαμμής ωι• ι.ίψωοc •σι τη\' ιn­

JΙίιιJΙj uι δεδομi•ο βiιΌος rλω JΙa\'tOύ ίδιιι. !:c μr1ιί\ιι (Ι(ι/)ικ, η πίεση διαφέ­

\ ί•τητα r της ίliιιις l!JC ~οριψ>\fκψμής (!:\ίιμu 3): u• V •ιΠuραι.άτω. a!'ιή 'I '"'\ή εείοωση Όο rιnίξrι οημtcΙ ιι•δ pό.\ο.

t> "'fll>tpOΙ ραμμής, ιίτε nuτή 6pίσι.ε, ;

;

.

(}( μεyα·

.\ο 6ίιΌη~. !:Η ι ι •bιάμεσ(ι ιιψ<;,μuια •φοίι, οι μετα6ο\!ι, <>ΊΙJΙ ιιίεοη δε'

Ο ι\ιιος •Οά.\ος- ΧΙ''I"Ψ"""'εί1αι όταν εχοu μι

•1

f>LΙ αnο ΤΙ)\ ωμιι<~φ«φιι.ή. σ.\ \ό δη μπαβ<Ί \\ι ιιιι •ιcιά μή-.οςοΟ<Κοιιδήιιο­ ιcιι ιr..Ο\ (<ι στ.ψ •ιιιφc.~Ηιu ειτε

Βαρύτητα και πίεση

.

rά σ\tΟΟΙ rιι.ί1 ηιο. Στα ήρεμα ~εf>(ι.

' . " κu μ ωιο μ ο μ ε μηκος κuμrι-

ιος ιιιι(ι ( 1 α έως μφικές ι:κn1 ο•··ιι'.ιδες μέφα. Σιιι μf"ιιι •uμάτω1· τέτοιου με­ Ι ίflοι•ς μιιοr>ούμι· ω ΙΙ\ ωίJuοuμε τη•· εnιψαΙΙωι.ίι ιt'ιιιη. Το \ΕΙ'"'ός ότι ιέ­ τοια ..,ί~μm(t διrη ('0,,, ιι..α1οηά&ς ~ι­

''

'

μnοροu\' 'cι οψιι.< ΟΙ'ται στψ ωμο-

οφcιψιι.Ι] πίεση nou ιίΗιι ιηα/Jεριj σε Λ\ η ΙΙ]Ι' ιιιιφ/11 fΙcι, ί>ιιc.ις δεΙ' μπορεί \Q οφεί\εΗΗ ι.. ω ο~· ι·,ι:ροyέ,:ειες -ιων

KC11<01f'JIC<JI οψωμάtώl', Έτσι rχnιψε ί•u ισ\ι•pό (Πψίrιιμιι ιιως •1 πίεση εί­ Ι '" •1 ίδιιι <ιιιJ αu1 οριακή επιφffiτια κά­

\ιίψεψα \ωρίς •σ un()(nnί>Ι ιδιαίτtρΙ) αηόσ6ιοη, cυΙοπ\εί έ1δειεη 1τσ τη μι­

/Jr ιnρώμοιος. <~ημείο μιας ~ορuφnl(><ιμμίις. μΕ'!α-

ήpφσ 'φά. ι.nι ως ει. τοίnοιι ο

ι.ριj σημασία που i;>.tι 1•' αυτό η ψι6ή. Σv• ι ηώ<;. ιι υ(,\oc στη•· ηερίmωmJ ll)~ ωιοθα \cιuοι(cς ι.nθεψίlετοι αnό

ιιι•θμέ• ιις δη Όα ιιιηιιιuζει τη1 >.ί•ηση

τη• αμοιβιιίtc διιάοιJ δί>ο rκψ<.ι) '"1<•>1:

r-

'"'1'";"- μιμΊ.\ο ώστε •·σ έχουμε αημu­ Ι ιιι.iJ αιιύοUιοη του •ύμcnuc, τότε

c.rto\ \ οι••

ιιιΧ}μί\Cι ΊΟU ω..._εανο6 3ο υrιίφ·

στα ΟΙ'ώtφn ιιψώμnΗι. Σ:το τiλc>ς lOLI Cif)DfHH' IΙU(•(>t)ΟLόζω μια ΠΟΟΟ11-

r

Σχήμα

rιJς llcιρύτητcις ι.σι 1ης ιιίΗJΙ]c. !:ι ι.ιίθε σημείο της επιφ(ιηιnς ιοι•

\'Cpoύ η nίιοιι ιiΗrι ίδιοι και ισο6ιαι μι ι ψ ιιι μuοφαιpικιj nίt<HJ. Σε

3

•ή με\έτη nιιτήζ ι ης οι>~3ή•ης. Προc

το ιιαpό1 ntΙΙ-ιω<.. t\tι ι.αιαστεί οοφές

t

1ιατί ι<> <ΙΙcψιι\ο ίδαφοc του πυ3μf­

•·n τrις :κι \ιιυuuς δt\ εηηρεάlει τα •6, . μuιu οιφ αιιφcι~·ειn της.

fΊa ηι υιιn \ο1 ίιιοιψε tJ)I ταχίιτητα v

.

ε•·ός οωμιηιδίι>ι• 'φι>ύ σ·ιο ούοτημιt ' ' n\•αφΟfΗΙ' 101) "ιμε. χο, · τος ιωμα1ος•

(<no οι ιοίο υ ι ω\1μέγος του ωκtιη·ού

24

ΙΟΥ Λ ΙΟ Σ • ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1991

Σχήμα 5

t

t

ιι

t

t

no.\u

Παρίηι Ι) ιιίΗ>Ιj εί•αι ίδια υι ι.ά3ι

66 \ \ετcιι

ι.nιιί ι η μιιά6αοη από μια

'"" <Ιf>ΙU~ή Ι ραμμή σr ά.\\rj. 11 διαqιο­ ιιά lΙJς nίιιιψ, l.fll η δί•Ι αμη της βαρύ· 1ηιrrς f ΙΗ LU\ ύ\ OU\ (0 Ο<tψCιιίδιο 10U

1·ερού. Μιιιψοι1μι 1α ιιpοοδιιιρίοοuμt ιωrι]Ι' τη διcιφοr>n ιιίrιπιι. μι 1η θοιj­

Dtια "'" ω,ό,\ουθω•· συ\λοyισμι:η.


1Χα στρώμα nroύ &η· "''·ι ί1ιιι ιιitΗ·•·

ι...{ιθΕΊη οrψ· tft\ίHηιn r ιcιι' ι..ι'ψcτος. Ι ι πίωη 1\rι μt1ufliL\.\r ιιιι uιι' ιιι μιιι

)r..(Ίιω ωc.; ι-..vιcrίο c)\cH. Σι .,.(ι3ι στοιχείο

ίtψη ,;,ς τηι· ά.\.\η Ε\·ός σφώμιι ιc><;. "" Ι} ου\'lστομέ'τι Η•>" δυ\ c'rμι Cι)\ tfl α δt'CJ άι..f•Cι tou ιιιφαnά'ω στο,χtίοι> ι ί,·ω μι)δtι. Έτοι. Ι) Ιiιιιψ<>fΗΊ ιιίιcιιJς ιlιι mις

61 "'" ιuι> uφώμιηος. μί)""'~ ίοοι> με το μή~ος •ίψοτος λ. ι>ι Ιiυ"'ψΗς

Ιiικ>uι ί>rιως φαίιι:ιuι υιu l.νjμcι 4. Γιο ι·ο ι•πο \οyίι)<)υμr τη Ιiί•ι ιrμιι ΙΙ)~

ι;r..-\ιμfης crι'' οριω.ίς ειιιψάΗ ι ι ς αrιοτί\rομrι μιη Μι uμι)

nίιοι]ι: cιιη' ι-.ύΗ•)

... uμιιι,\ωμ{'η οι,\ Ο• ριο.ιj \f><ιμμιj "'" <>ΙfΗ:ψιιιο~. tl( •6-

8ι οημ<ίο ι ης οιιοίω; η πίιοη tίωι ιι.

nr.\ίζ~ψr μι ί""'' \ιμ(\(Η11ΟΙ\ιίσ ό­

Ι"ΚΟΙΙ τοο στρώματος. 11/iί" ιιμιι ιιιοί•­ ηιι μι ιφ nίtοι} ιnί το ιμβοδόι της εm­ φiι,τισς tnu ιrιcH~t ίcκ,, ί ν• δι διιί~ι~, ·

nη ..ό3ηη στη οι•ιοριο•ή \f'<ιμμί).

11

)r..(flCttι.iψι·φιl no\ ω ι.:κJιι ιηc;. bί" <ψιlς ιοούtοι με τψ πί><>Ι) • ιιί ω tμflιιl>i" ΤΙ)<, ιψιζί" rιuς nρο6ο\ής της επιφιι­

Σχήμα

ιl11ιg

ίλLΙ διώ3υi'Οη •ό3ιτη ffi!) (JI\\C)• pιο•ή \ rnμμίι .ιιι ω ιό σρtlή 1wι·ίο

1101'

6

6). με το άψ<ηnι• ..c'ιθ. ι ο ctιηι tO\ύτη­

\'Ι"Ιιις " "' ιrιοιν ;.,., (Σχίuιι.ι 4). Ότοι α-

ιιc ιιcιιις Ι Ό K otcι 1η δι(φ~ηο dι ιιου Πt.f}Hi 10 Hf•t"• μίοο οι ι' ο~1ό 10 οΊοι·

8pcιίοοιψι ό\ις τις ..οτcι~όρuφες ου\1-

λfίο. ro μή•ος τωΙ ~ο...\ιμ(ιω' ουω­

στώοες, θιι Ψ""l""ιψι rψ ιιίεοη ως ... οι' Δ ιιορ{ι\ ()\ 10, f\'t~) ι ο ίιθροιομΗ τω\' εμΟcιδώι τω' ιφο6η\ι:J\ 3tι μο~

ριοκώι· γpcιμμώι· ·ιοu r.ίι ω ι ·dι ι-.ω ω ιμUαδόι τηc επιφάηιάς 1ou rίιιχι

ι>ι:>υει το cμ6aδόι λL της οριζί" τιcι~

ΙΗ• ,fψο ι οι> Nr{nωHx κcιι ηι υιιη\οyί· σοuμι ιηι ειιιιίιχοι·οιι. ,\f>ειάζεται ι·α \ι wρ(ζοuμε τη μόζα dιn t<>ι> ιrωιχrίnΙJ

διrιτnμής

""'

τος (όπου

L

ιnοιχιίc>Ι> ιυΙJ οιρώμcι·

το n\ι'ιτος τnυ). Σuι·ι ιιι:ις,

η ο.\ιι-.ή δύι•cιμη της πίεσης στηι· n(ιvω οuι•ιψιcικίι \f><ψμl) ιcιοί,.cιι με μλL κcιι

'

"J

Ι'ΧΙ'Ι ι..ιηιΊ ~ι ι>νοrιιιρος

t<c.., (tΗι>.

Ι. I ι/Ι. Γι(ιι·ο tφrψμόcιuιιμε ιοι δείnε­

• ·η ... tΙι ιι1 οιΗ· ιοτα μ ο nou δρου,· rιc1nι> 10n.

τω,·

δ

u,· rιμΕω\

Σt διόοτημcι ίσο με την πφiοδο

Γιrc πιι ~ιίιι,Ι <ΙLΙ\Ιψιι"ί) Ιι>ιιμμί), ίι­ nοιJΙ} πίεση είΙ'CΙΙ p ~ ι/μ, η (Ι\'1ίιnοιν) δίιι·ιψη έχrι ~ωc68uι οη npoς το ncιι'cό κrιιιnnύτnι μι· (p ιlp))..L, 11 διι.ιψαfJ6

+

μηα!;ί> τω ι· δύn δ υ ι ι'iμc ,,,,. ι l:,ιcι<ψfχ.ιΙΙιί

τη δύι uμη υ1ς 6aρuτητcις ιιιy, όnοι• ιιι είηtι η μiιζιι ιιΗ' <ΗΟΙ\.. ί4Η'. i-\r•tι,

Τ = λ/ι, ιι.\ίι".I')Ι"1'1 μύ(ο ιιι του στοι/ , ~ ~)f • \~ω η Ο\ ι... οι, ε χΕ.: ι CΊ:ηι ι...α ιηο ι ω t: , ο11οιε η μάl::η ι ιοΗ διf.ρ~ειαι uιJ() ω οιοι_χι::ίΗ ό\6 δεuτtρ6\rιιΗ) ιοοίηttι μf' αι/1 - (ιιι{λ)< . ί\ρrι. η μίrζrι ιιnι• tιorρxc­ lctl σ ω trιoι~ιiu οε \ρό\'0

ι/ιιι

dp - ~ λL

Ας δο~μ• ίιμι.ος ΙΙf><Η>t. ιι•ίι ι ψ (ει­ οωοη nou μaςδίιΈι τηι οι>εηοη τηςπίε· σης. 11 ~cιμιιί•\c.κnJ διι μυu66\\ει ιη μόζο cι·ός οτρώμcιτος ιj fΙ ί>ς οωι­

\fίuι• ""'·Η μύζιι ιιupομίιει η ίδια με αι:τή\ που υιιiψ\tΙ <ιΗ~'}Η tκι tHH•. ο·

f>Ιζίιηlfς ""' "l""'tς Ιf>Uμμίς HJI' ί­ διου στοι χrίοι> στο ήρεμο Ηp<ι. 'F ωι.

= ( 111) ).. ι· d/.

fιιιc·, ιtι bιιη ι~,ομοl(ι

dιng

c U\ τίστοι\ο. ι...ιη(ι \Η\ ίδω ιιΗ·,ιιο: ιιr· pιmrrcpoι ιάς ω ..cιτίι 90 •nι πιι \\ιι­ n.\aσιόtοι-τός τn cnί

Ρ • c twι διaι uομ(ιτωι: "' f""'l'"φίι

.

"' ~•φιιcιcιιει

.

'

οuι•aρτησcι της τοχιη η -

ιος rv6ς οωμηιιδiου η ι•ηί1 ωt ιιρος τnι· ιιι>DιJiι ιc 10<' c.ι~ειιι·ιιίι (liι).\<cl\ίl,

.

'

'

στο οuστημa cινιιφιψcις ιοιι φrν>·

ι'1 οC ι-.6μοτος). 11 δ6ι·αμη ιιuυj ι ίι·ιιι κι'c3ηη ιn η ι· -rα\ίιιψcι υ ...οι ισοίιται μf

I

r

(7)rdt. ι

8 F,, =

ε ,,!Jι λ)ι-ιtι

( ιιιy) λ

ι•d/.

~ιαιρώηcις τη ιιυι ιcrtιιμίιι11\ί•ι ιιμιι

μ( 1η μίrζcι ιlιιι \cιμΟδι·οιιμε τηι· εnιτό­ χυ"·ση του σιοιχtίοι1 <))..,οο

5). 1

ιfι» - lnιfλ)rr/1

σωματιδίου νερού ει 6ς .Ιιιηcιί• οψι:ιιιιιως Ηf><>ί• (!:ν'ιμ• ι

ίδω ιιιιρ61 σ­

κ(ιτά 90· .ιιι ιιο.\.\arι\cιοιcιομ6ς μ• ιcιι πcιρcιπάι·ω rιιφίι\ ιιι ιu (!:\ι)μο 7). Επει­ δή I' ~ r - υ. η 11.\"ίl Μι ιιμη μιιορεf

Σχημα

στα nωμrιrίl>ιlι της ι).

t·, ι ι μιι.φ() ο ωι \ιίιJ <')\ ι...uι)

""

ηπ (nιg•λΙ ι/Ι. Έτσι. η σι•Ησταμiιιι 'L()\)C μπορεί Ω\1ίσωιχcι Ht nιιuι...ύψtι με τις ίδιις ιψι'ιξιις ωι6 το (ιθrnιιιμιι

έ\ει .,.mιί.{)υ, <Jη ιφος 1ιι ι..άtω ....αι εί,·ω.

ται μr τη•· nιφ••ί ul>ιιοιηιηι.ή ιιι'ιοη

Επιτάχυνση ενός

V ιι.ιιι

σlc.H\riυι' ιοοίηω μι-

ιιικι rηι ειιιφlιΗιο μr tιμή ccι•tή ιης α­ τμοοφcιιρωjς πί>mj<:). Σιηι ..cιμιιι•\ι.ι­ μiι η οuι οριcι•ή 1ρομμιj. η nίειιη ιιιοιί­

ΘF<ιψfιο ι•·

npo... ύψ()U\

Ειιcιμίι ι-ι<.. Ι} (Ιιφι•ιu.ή δύι·ομη επί τοι>

rό πίrοης. cι\\ίι ~ ... ( 1)\ ίδιο ιιίεοrJ. (Σε ,(ι3ε nφίn11.ιι>η. η nίΙCΙΙ) ξ,..ιιίι

τrn· nιή., ιπ ιjιπμιι ιψύ. (!:,\ί]μcι

ιφος τηι· TU\ ί>tηtιι fKΙi)< I . Κιιa ω δί'U δι'' {ιμης μnnpftί_, 'cι

dt εί\·αι

οι ήρεμa ιφό ι,οιιμε τφ iδιο διοφο­

nou ααι-.ούηαι

("~9 )\'dt,

dpL\dt= Ρ

t \tl

Σχήμα

7

= !I-Ι',

r

ι1 οιιnίιι έχ ξ' ι δι • ιlDι)\ οι ι ι..ι'cθι ι., ο ι η δι.ύθι>ωη ιψ, ιu,ί•ιηως ι•. Βρισι...6μcι<η ι 1 t:φrι ο' i \(Ι •φίοιμο οημιίu. \'nο\ιιjίσcιμι ιφ ιιι11ίι\ΙΙ\ΙΙΙ)

OU ANTU M ' ΑΡθΡΟ

25


cdt

11) έχει επι\εyεί

έτσι ώστε να

' ' ' ουμιιιιιιt:ι μι:: ιο κη1ρο ιuu ι<uκλοι>, εν.;> ως 'ΨΧ'l τnυ χρ<>νου θεωρείτοι ΙJ στιyμί) που το οω­ μtη:ίδιο 6r)ίοκε-ιαι cno υψη.\<'>· ' του οpοιχ: ' ' τε ρο ση μειο τοu κιJμωuς,

Σχήμα

Στα ασθ<νικά κύμcιτα (όnou η v = :.ιr << c). η ορι ζόντια οι>­ νι<η4ΗΗ11fJς ιαχύ·ιηιας \f.,.

=c -

9

λίηω δυvάμεω'' βαριJτητας και nίεοης. και είμαστε ι"L\cον έ1 ιιιμιιι νrι nr<>Χώ(>l] ­ οοιιμε υιις .\εrrι.ομf.rειι·ς μία προς μία.

μt ιαχίηη-ια c (Σχήμα 9). Αuτό, 6r 6οίως, σuμ6αίνει σε κάθε βάθος του

Επηάχuνοη κάθετη σιψ• ταχίηηπι

ιπrιομα. Έnει·ια αrιό χρανι.ό διάmημα τ

τας. Σ:την rιερίιηωοί1 μας

'I επηάχυνση f.χει σταθερό μέτρο ι = (gf c)u. Ειιι­

ΚΟι Πάλι ύΟ]ν <ΧfJΧΙΚή ·ιοu /){:ιιη (J'LIJ ί­ διο στοιχείο όγκου, ωστόσο θα ανήκει

πλέοv, ειιι ιίφινοη ιιιαθφού μέτρου μ< διεύθυνση κάθετη στη διεύθυ,·ση υ1ς 1αχι>τη1ας υι ιοδηλ.;ινει σ11ιp(~ς ομn­ λή κuκ\"ιj κίνψιη (Σχήμn 8). Για κυ­

ιηο ειιι'ψε''" κύμιι (Σχ<ιμιι I 0) - f.κεί­ \'0, πσu στο διάστιjμο τ διή,•υσε την αιΊό<ποση .λ = ι·Τ = 2πcf..ι. Ειιcιδιj ..J =

κ.\ι κr1 τροχιά ακτίνας r, η κεντρομόλος rntτόχuνοη δί"εΗtι αιιι) ιον τύπο

πτει η ακόλουθη εξίσωση για τφ· ταχύ­

'Ir,

τητα τοu κίψαιuς:

δ'η η yω>'ιακη· ταχuτη ' το ισούται με w = t}/r> ιιροκύιι η:ι ,

,

c-

,

= ωιι. ..υyψι νον·ιας αuιφ• ιη οχεοη ' ' υ· μ• ''I" εκφρασι1 yια Ί(ι Ί ιιου ιφοεκ

Ί

ψε ιιιφαιιάνω. λαμf!όγουμr. yιο τη γω-

,

'

\'ιακη ΊUΧUΊη-t<ι

'ιΙ)

.9

{' -

fίίλ_ Vz;

tl

J!

ο

gfι·, έχουμε .λ = 2ιrrlig. οπότε nι>οκύ­

και επει

'C"

c

=

2π/w, ένα σωματίδιο θα βρίσκετcιι

ιι·

ωpt]11εί σταt~ερή και ίοη με ι:. Άιια χ':!! ct. Σ1ψ έ«pf'"'"l \'tα το y α\'τtκαθιστο6με το ι μ ε :ι:fc,

νεροό - μόνο '1 αι..τίvοτιJςι..ιιΙ'..\ικίjς κί­

δεν μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτη­

=

..,.,. · σι·ιιι..1 μπορεί \'α θε­

vιιση ς με-ια6ά,\,\ε LUI αnίι οψι;ψ<Χ ΟΕ

Μια εικόνα της κίνησης

Ί

=

ι· +

t:

Σχήμα

ι:

12

και λαμβάνουμε μια nροσεγyιστw] εξί­ σωΟιJ για τη' ι..υμcιτικίj εικόνα:

γ

τ - rt - r·ημ...,1

y = r·συv

g = ι· · συrΛ.ι.Jt

_..,....;~

:::; - .

c

χ

Τώρα διαί!έ·ιιιιψΕ μια πλήρη εικό\'(1 -ιψ; κί,·ησης: το σωματίδια τοι) νερού κινοίηαι με την ίδια yωνιuκή ιαχι>τ.ηια

(7.ιχ)

= r·συv

(2πr) τ

.

1\,\έηουμε, λοιπό>', ότι ένα οσθεηκό

•lιμu έχει ιjμι ιονοeιδιj μιψψί]. ) I ιιιψ<ι­ rιά\·ω οuνθιjκη •αnθεΙ•ικό·ιφας. ιοο­ δu"'χμεί μι: τ ψ ανιικ'ηηιπ

rt

σιψ' rιεριφi:ρεια ενός κύκλου οτcι3ερής

r·<< - . 2π

Σχήμα

11

Είνοι εuκο.\όιφο \'Ο κατα\'Οιjοουμε τη ' ' μορφη της κοριιφογραμμιις "'" κιιμιχ-

.

lος σιο σίχrιημπ ανnφcφάς του αι.;:ινη­

τ"ποιημένου κύματος. Τότε, το ίδιο το

Σχήμα

10

σωμαύδιο χαράζει αuύ]Ι' ιψ κιψιιφο­ yρc.ιμμi]t κttθ(;)ς η κnη(Π,JlOU r.ίνrιι έναζ

t'

ι:>

=ι,;

('

ουνδυοομός ηφιστpοφής κcιι μεταφσ­ ακτίνας. Για το σωμστίδιu ιιου ιχιιuιΕ­

ρι'ις με ταχ61_η1α r. Μ' nuτ("' "lO\' ψόπο

λούν την κορυφοyραμμίj ι ου κύμιι­ τος, οι ακτί,·ες των κύκ.\ι:ι.Η' είναι ίοες,

μnοροuμ ε να κcιτασκευασουμε το σχιJ-

.

'

.

ενώ το κ(γτρα τους Ορίοκονται επί

μα του κύματος και να βρο(ψε ''I" rξόρτηοη των nυντεταyμένω'' από το

μιuς uριζόν-ιιας γραμμής. Το οωματi­

χι>""'"

δια nερισφέφονται -ιαuτόχρο\'(1' rι \'ώ­ νιακή μετατόπιση μεταξύ -ιων uωμιrιι­ δίων δεν αλλάζει, αλλά η κορuφοyραμ­ μίι του κύματος ως όλο'' •διαδίδειαιιο

26

ΙΟΥΛΙΟΣ I ΑΥrΟΥΗΟΣ 1991

Σχήμα

Σ"ΙΟ\' μέτριο ~υμοτισμό ιιcφΟΊηpοιJμι

:ι:

= ι'/ y=

ι·

. ημ..;/ ,

t· · σιιιιwt.

Η αρχίJ των οι>vι:ετα\'μένω,· (Σχίιμα

13

"

;

;

;

011 ισ σρη yινον-ιοι rιια οιχμrιρu ε'•ώ οι κοιλάδες πιο nεπλατυσμέ,·ες

(Σχήμα 12). Τα n.\άτη για τα όρη και 1.ις κοιλδδι~ς ι:ίναι ίοη, 10 μίικος 6μως σtΟ\' οριζό,'lίο άξονα είναι μικρότερο


{ψΗ~

αυεόηι το 6ό3ος. FΊ,.ιδίι c·- -''· η ε­ \άιι~'"'\ ιης ιι.τί, ος εί\Οι ο•·ό.\οjη rιροc tη' ίδια tη' σ.τίΗι, t>ιm ιο ~έ­

ι•

' -

r

dlι /ι.

'"~1"' ιοι> ~ιί• \ιιι• \<ψη\c:ισει •ατό dh, 11 cο..1ί\ u ι\uηώη1tιι αΗι\ο\ ιιr.(ι:

... r· Υ

f'

Σχήμα

1 ,.

•οι\όδcι

... οθt,·ός cιιι'

cιuτ(c nnου-',\f.ίΗιι ηιιό έ­

r +ι·. Όω ιιφιοσότερο n.\ησιό(ει η η­

Of διιιφcψι ιι .ι'ι ll(cθrJ •α ι οι ω. τί' ες

μίι ιοι) ι• ΗΗ' ι6c}(•llω uιλ}lll(xJ )ί\O\"tOt

τοι-c δt\ tί•οι ίοfς.

1cι όprι ιοι• ι.ίιμmι.ς. Η φι•η.-ίι μας διαίο3ηοη μσc \(ει όη nplnι:ι 'α nεpιμi\οuμε ι.άτι αου\ή3ιmο ntΩ\ ι•nφ6οί•μ> 10 ψι'Οιι.ό όριο της τα\ότητος του ι.6ματοc. θfωρηη·

•ίι. '"'" ι•

r. εμφ<ι' ίζεται μια κατα­

κόρι'~Ηl (Itr.ίδn Μς ι)f)Ως, (lllt:ί f)(ι)ς ιιι λ-

' ( '"' \Ι (Ι

,.

>r

η "'Ρ"Ψ"I'Ρ'Ψ.

Ι ι α 'ο προσδιορίσουμε τψ rξάrηι­ μ<ΝΙ<ΙΙίj<ΧΙΙ'μf 10 \f\0\όςόtι 11 poίμ;\UI στο3φή ot ό\ο το cnrώμιι. 'Ειηι• δί'Ο •l~ι'ιιχ>ιε<; ιομίςόnωςστο Σ\ήμο 14. Η πρώτη 6pίο•πnι ... ίω C.ιχ><;, όηοο τα διο,·ύομα'tο κοι tω\' δύn cηπίνΜ\. έ­

.\"''' ψιψίι ιφος το nά••ω. και η τπχύ· 1η1(1 f><ιιjς I (\111

τό φσίνtτcιι ιφκrτii nnpιiξr.\'0. Σίψφω· Ιu με ιη ~cc.;pίa μcις, όταν το t' εί,·cιι

κι(•·ωι• tXOUΙ' φορ(ι ΠfΗ>ς Ίη ,{rιω

.

Ι.\'tχ ι.:υ μ n ο ι ον

.

M KCQ\'0, το σεναριο aυ-

\ί1ο μιψlιιφ<> '"" c, ω οψώμσω ω­

.

C

I' μc οpι/:όΙ"rΙΟ ΚΟ·

,.(,~)ι>Ι'ΙΙΙJ. Η δrί''"f"l Πr>i<>Ηωι σε μια κοι\(ιfιcι. 6ι ιοu ιο δι<ι,·ιlομ(η ιι 1(ι)\' ιι~

""

η τnχύ ι η1ιι ροιjς εί \'Οι ι·+ ι·. Ότω· η anόστcιοη 1/h μrτηl;ί> τι,,.· •cnρw' cί ­

fΧι \\η ω ; ΗΗ\ <ι cιιι{) fτtfκ.:.ψu σε σιpώ·

μι~ρή. οι cικtί,τς r κnι ι' ι ου ιιm ω ~αι ιοι1 ~ίιιω •ύι..\οu διαφiρου" ε.\ό>;ι· 01<1. Το 11(•1\CM.;, tOH CHfK;,μuιOC OtO ό·

μα. Υnόρ\ο"' ορ•nό ερωτήματα όν

fΚ>c

ιό οιcι "'\μιιrιfι fψη •αμnu \ο" οηαι

•u•

.

.

•ι Ι«\ι.>ιηια ροηc μεια-

μό' ο<·><: ιψcκ; rιι ιιτιι8φuτη cu μιας ιέ­ ιοιαc •ί' ησης, α\ \ό σι.όμη και κατά ΠtKICI\ cωιίJ η•ί\1)<1'1 ί.\Η OJ δι\\ιιtότη· ι α ΗΙ ιίιι.ιι οια3φίj. Εnομέl'<.;ςtο nικ•·

fl\ιιμct " '" μι''''''" "ψίnω' φuί,εται

nc anaιτfί

\rmnμrρrnιrrη μr..\i,η.

Απόσβεση των κυμάτων σε μεγάλα βάθη Το cifH1· c".ιιως ιr.αι οι ι..οιλάδες, τω\· •υ ι (Ηι.>μιηιιr.c~, .... ιr. ιψcrιωμc~" 6ι)ίuκu­ ηαι α~ρι\Jώς το (\·ο κάτω on{) το ά\ ­

' οι

,.,,,·,""

(d/ι

(ιllι j r'

Εnομil'ως, nrι6 ι η

t/r

t \C'T\' ~ο,.(tι.. \ο cιι..1 j, ος

οιιοιοδιjιι(Ιη θtιθος

μιιο­

h (t.\ήμu 15).

Οι

tι\ ιι,' ι:) ο ι ι~ ι ι οι' rί \α ι rξοι κι:ι<ι.ψ~'·uι

με 111 μί3οδι> ι ψ,"''" Vιrωοης εί,·aι οι ::Jloη • ο •ιιιιc\ίιl;οι" crιφ '"ο\υιι­ •iι ι~φιχωη

r

Γ

(Γο

...

. • -τ

10 βρείτε

τη οχίση

w

c- 2;;

λ

δt,· ιιαrκ>ι•Λίιίιι ι ιιίιιηι. μt\ ά.\η δοοκο­ \ία).

Το n\lιιιιι: '"'' "ψι'rιω' •aι η τσχί>­

τητα τοu n.roύ • \Hιlc:}\0,,01 με: )ε:ω--­

μιcι fΙΙΚή ιφόοδο κο3ώc αυξί" ει

.,.,

1\{ι.

3ος. (Ο cφι Dμίκ.' ισούται nεpinou με 2. ί2 ~ 10""). }.;( βι't()ιις ίοιι μr. λ/2rr.

ιυ ι..ι)μη fχ• ι ω ιοοΒcο1εί κατά ένα'r πα~ (>CΙ\'(1\"ια ιιφί11οι> ίοο μ• :ι Σε Οάθος ό-

'

~

,

μως ι οο μι ιο μ•ι~ος •ιψατος, ο 1

.

nnr><•·

)ω' αuτόc ι<Η>uιcιι μ• r Ό δη\αδή ΙΙt·

pίnou 535. Ότο•·, \οιnό'. ο ιιuUμi•ας τοι> ω•ω\ΟιJ 6ρίο•εtαι σε Οά3οc της

τόl;ηc μf\ ί3<>ιιι; '"" μίι•οι><; •uμοτοc. η ειιίδιιοοή

tou σια ~ύμστa εί'm πο\ύ

uo/ltΙ ίΟΗ(>η ΟΠU <CΟΙΙj\ ι ψ; tιιιφό ­ νrιnς, )f\O\c'κ;, ιιοη μuι..ιιιιιράιtι \Q (t·

\ 'αΟΟμε τη'

η/)ώτη. Και tώρu. μιu tελωtοίο ηορατήρη­ οη. Η 6nσική ι•nc'"'l' '"I cnφ ΙΙ<ιf>Uοοίο" , , ιιη μ<-"

'1""

.

.

η cιnοι.>σι<ι πιωοης ηιεσης

•mcc μίι•<>ς "'"' "Ψ""·'•·•μέ'ω' aψω·

μιΧ1ω\' \'ιμuύ. Οuοι uοιιι.:ό, αu1c'J οιl­ μαίνtt {η ι ο MJμet ι ωμc'Jι, οι με) (Δu tiό·

I'

\iuς είναι όμοιος με τΟ\' ~υμnιιομί>

t

cτιφ· ι:ι ιι φu,ιιu ιuu \tρou , με μ Ο\'0 δι-

-· <11>.

'

.

>.ή διαφcψίι ιφ 1\ιιcφcψειι~ι) ιψή της

ιιίεσης σε •όΟ( •αμnί• \η. 11 σνα~ίι \υ­ Ψ'1 (Ιι>ιcιί• 1<>ι> είδοι>ς •αυrσομοιόrη­ rος- 6οίι3ι~>t 110 \ί• cΥΙΙ}' ωί\ι>οη δί>ο·

~"'''" ιφο6\ιjμόtω• εuρίος φάσμα­ τος;.

nnc) 111 μηχ<η .-ίι

f>Ει•οtώ\ ώς τη

φuοι~ή σtΟΙ\ιιωδώ•· οωμαυδίω\. Σιψ ιιψίιιτωοι) μας. 6έ6οιa. η nρo­

oin LHJ) CH'IIl Mll f.O 1110(

δU\ΟΤό \Ό Πt-­

(>1\f'Οψtί η ,;,ηιιιι """ ''lf"lς 111ς μό­ ζC1ς ICH) HfίHl·, μ f' ιψ fψΠfψO\Ii 100

1upιu~ίς ΙΡ<•μμές ΕΙ'ός mpc:ψn1oς δι-

.

Hl ηιιc.φ1iζοιη. Η ._ί, ΙlΟΙl

"''"'1 αοιή

μιο ι.οιιι <ιι.τίηι ι·\ηηώη1αι κcι8ώ~

(ΙΟiψμΠ pίο, Σ' ; ,.n otr.1\ '1 t()ιιc ιιημi \ο κίψα. οι σι~~

nn''

r)(ι•+ ι·).

• • KLJI I1 t.t Uf)\I)LΙι..IJ

I ΚΙΙCιδήικ>Ιf

ηδi<ι>''

t\ώ στη\

ι>οι'ψ• \CΙΙ\ΙΙΟ\ιη•(QΟιψε τηΙ' οuξιjΟΙj στη\' ακt(να, dt· = r" - tΊ '1 οι ιοία ι φο·

ίση. uιίοης. σ· οοτό τα οημιίa το πάχ:nς τσι> ιnρι:ιμιηcκ; tί,uι ίδιο αφού η ροή ci\ οι oτcnxpή. οι!όπ '"' απι.. \είηαι ()·

.

r- r,

+ r- r'J(c- ι•J =

μείο της k<Ιf>Lψ>\Jκψμίις ιιοο είωι οομ­ μιιριι.ά ωι; ιιρος tα μέ\>010 tωι ορέω\, η nηi>\ιιιη tιμίι >ης 1nν'πηιος ροήςtί•αι

cηψιιφο\ ιιιι cJ ιι ο ιις ιρο_\ιες tω\ σωμ<c-

μι ι//ι-

•οι.\όδα εί•αι dh + ι' Γ• • \ι'>\<·> liJC ι σο&" αμίu~ 11}<. ροής σικ δύο rγκόρ­ οιες ιομίς \aμOffi<>\>μr

\ο, ι.ιι:Ή:κ: ιι11~fιΗι ω Rόθοc. ~τα ση·

.

ι//ι .

μιιομulψε 10 uno\cη ίσnuμr yrαψ'"ί' ή apιUμητι<ίι ι φ ιι μf} ι ης ο•τί••cις σε

σιι ιιις ιι.ιίΗι<; cιnά ω !Ιό3ος 3α 'Ι:Ρησt·

μιj ι•μΗι ΙCI\ ΗΙΙJ'Ιίο HJC k(ll δημιοιψ• μίτω ίνος Οr6λnς (Σχιj μιι 13). Γιιc .. ,

ιιιιοιuμιι

r

ιιιιφίιΗιtι, Ιο.(ΙΙ k(ιrε6οίιοηο~ με μικρά 6ήμιηη ιιιιίι Ίο ,ι, ιρο ιοu,

ρου σημείου μιας Κ<Η \i\δας •·ίvnι

'

r

ru ffiiJ'

\'ΟΙ ου ι δι• ιιιμί> ιιψω ψuψής "οι μπα· φοράς. 11 διιιφΙψίc ωuc; ίμ(Ιιοι σιο <')1 ι 1u ι..ίηρ<.ι ιω,· ι..ί'ι.. \ω\ Ορίοt...οηΗι

._.•

ΑfJ\ίζο\ ιος οπc)

14

ιηα cίριι cιιι' 6. 11 ιr11~ •<>ι \cίδ.ς: η Ίιιλί>· "]"' ωι> Ι)ψιιλό>Εf>Οι> uημείοu ενός ό­ ροuι.:ιί'ηι r - f'o ι\·ι:, ιοu\αμηλό'Ct~

μιιr•ι

ιlr

-

dh~ ι'-r

δfί\LfJΙΟι1 \CψΟ1) Ι Οι") f'\1 (η(l)\'(t Of μία

Σχήμα

15

•αι μόιιι υ ιιι1 "' ιι.

OUAN TU II ι ΑΡθΡΟ

00

27


ΠΩΣ ΛΥΝΕΤΑΙ ;

προκλήσεις στη Φυσική και τα Μαθηματικά Μαθηματικά

Μ8 Jloι,\ ι Ιδιιι μr Ι:ίωτrpοΙΙ(ιt)μιες. Σε μι<ι

δωιφο!Ιίιθμιιι c~ίοωοιι "' ιικιιθι·

Μ6

ι:η:\ Η>ομι μ{ C)C ι ιrιΟ\' tι: ύ \ι \'δf)Ο n;rι) uu1 τε \εοτές με οστερί. ώ<:mou η στ6Dμη του Ι'Cι φτάσει σε ιJ. σ...οuς: •.r'! + •r + • - Ο. Ο ιιpώιοc ψος Lf'l. lloιo εί1 eιι το μίιιως τοι: ε· ιιuίλ lljζ \ίι I ψι ι ς rψιfιμοί>ς. 0 δι•(•. .\uuu>ίuι• μιιίι ιφ rφοοθι'ι~•Jr<ιι· Η · υωuμε τnυς

llυput υ• cω1 λαι δι••·6μεις. (α) δrίξτr τψ πιιηδτφιι ι

21

Ano·

προς τους γράφει - με όποιο τρόαο OC\tι - ο ιη Ιιίοη "'" uuτψίυ>.ω•. Υ· nά(>\fl τρόπος vo rξοοφο\ίσει ο

n {n - ι )!

2 . 3!

2

ιφ<:nος ιιιιίλΙΙ]C ι'ηι η fl:,ί<tωση ποι•

πρακύπτει θα ι,ε. δύο διeιφορn:u.έι.. (ί)ΙJ()Ι) •ι! ~ ι

ρφίς ι•ίζι·ς. η•·ι ξίφτητn από το nώc

. 2 . .... ιι).

θα ypnφει τους σu•·π.\εστέc ο δεύτε·

<6> Κρrί1r 10 6θr><, σμ" Ι·:Ι! 2·J! τ-+7 + · ..

(V.

+

poc πcιίκιι]ς:

»(n + 2)!

3"

·

(Λ. Βι:ι ι.ίηs)

Μ9 Το οι< ιcl)'t•H ο

ΖιΙuk.IΗΙ)

11011

,

ιιftπ ιιrr' ΗΗ>. ((t)

,

,

• κ u., ιιμ ..·-. .. \'Η ι..<Ί\'0\Ίt-;.Ο οκταyωγο πε,

Μ7

.

ριστρέιpοΙ'τός το (έξο) απ· το εηίnεΜ

Ι:uΙ'όΙ rηοη οτιι OΙUt ,;,.."'· Σλ•διtι· tουμε μιu ειιθιίu ιιοv διΕρχt:.-ται αtιό {Ηι cιιιμιίn Λ. tO οrιοίο 6ρίο"101 ' 1πρσγωΙ· ' οu u ιο ιοω ιεριλο' Ε\ ος

ΑΗCD.Ι i ιά>ιίσαuτήτέμvrι ucanέ·

1 αΙτt n.\εuρίς .48 λ<n BG'τou τηρα· 1 ώ1 οο ιnrι σημrίσ Ρ κοι Q. οηίοτοι· χ ο (Σ\ήμο I ). Σχεδιόζοιψε δύο λί-· λ \on~: ο i111ς δι~ρλnαι αn61α οιι· μι ί(Ι /\.η. λCΙΙ Ρ. λ ω ο ά.\ \ος αιιίι τα οιιμείη 1\, D. κ ιιι Q. Αποδείcτr

6·ιι ιο δεuτερο οιιμείο τομι]ς ιω1· δίJο λUλ.\ωΙ (6.\ι ι ο Κ δη.\αδή) 6ρί· οκιωι ιιc1Ι•ω στη διαγώνιο BD.

{V. Oul>ι'uΙ'>k)') {)

c

Q

τοο) yι'ψ(ι) ωιδ οιωfΗδήιι(ηt-· rι.\ι·υr)ά

ωι> (διι \ιιδι'ι. ""ίf>Ι'ΩΙ'tnς το συμμ( · 11""'' ιου ως npoc μισ n.\ευρό). Λno­ δtίl'.tt ότι μποροίψε tη\

u ..ο\cχ,Οίιι

'u

δι<ι \Lξοιψ•

tcι)\ ... ι,\ίοεω' έτσι ώ­

<nf 10 ι..{,,f"W» ιιιιt οι..ΗΙ\~)\ οι.'' α ι..rι-

1<ι\ήt:ιι rπο rσωτερι~ό ή τψ περιφέ· ρειο δuθ(Ι ruς (uοοδιjιιοη- μιψοί>)

κύ>. \ου. (6) ΛίJστε το ίδιο πρό6.\ημο yιο έ• <ι κω·ο11 λό ιιε• ι<'.ι μ." ο. (\) Γιιr ιιuιυ ι..t.ι\ Ο\ ι κ(ι ιιο \Uyω' (Ι (.t \ι1θεύιι '1 ίδιοι πr><'η<ι<ΙΙ];

(0.

G:ιlι>CI'in)

M fO Σύι 8cιu ιrtJρυfαμαια ιι.. ιριη·ώγωγ.

Αιωδt ί!;tt· ίηι ο nριΟμός (23~'9ϊ21) rί•ςιι σί>•θηος.

(0 . fonuπ)

Φ6 Ε.\αuίριο οισ ιφδ. Ί:.Ι<ι μ<Ι<J\ο ομο·

1ι 'i ι.: ι \ι ω'ιr" ο ί χrι μ(]κος I. ότσ1· 6ρί • σκετοι σε κςιτόοτοση ιιρεμίας .ξο­ Α

Ρ

Σχήμα 1

OUANTU M ι ΠΟΣ ΛΥ ΝΕτΑΙ ;

rκ>ί>: Η nι•λΙ6τητcι του r\στηρίου εί· \ΟΙ f' ._tιι ΗΧ' \ff)ιit /'tu·

(S.

ΚrοΙΟ\')

Φ7 Αυιc) ιu ψ()μ ιι'υ 6υ ιί' uι μιJ, ο HJt 1• Τ<Jιιοθt. ιοίψι {\ι ι c•ημFιακ<·) οωματί • 1\ιη μι'ιζιις ιιι >.ιιι φ<ψτίου Q σε από· CTIΩ(H1 ι (.tl l{) μί<t Η\C:)\ψη ΙΊιίιιtδt) f.·

πιψά\'rιcι απιίpω•• διαστιΊσεωΙ' και το uψή"uιψε ι.\ε()/Jφο. Σc ιιί>οο Xf>6\'o "vH φ ι rωη ' 'διο στη'r tπιφα '· ιη οωμοτι

l'tιo: Λy•·οήστε tηΙ επίδραση της 6α­ ι>ί>ιηιιι.;. (ΥΙΙί>Ιiι ι ιι} \IΙΙ)ΙΙψuιιuιίj<Ηt ιιι μi:Jοδο ιοιι φ<ψιίοu·.ι&~\ου). (Λ.

BHsl.o)

Φ8 lωιιjpιu ιξιί,\ ιι.κιη. l.ι. (,α διίn·ημα •nιnτημο• ιλής φοηcισίας. (\·σς Ο·

οψοιο(•ιη~ μι μίιζιι .ν

100 kg 6ι•ί·

(H.,Hc Η ο;. ιcrιόοΗιοη

I 00 ω Cιflό

rι\ωμ6ο· ιH:S\cιHJf fHt ιι•<ιιι~:ζι. και α­ ιιο ιt \ t•i ιΗι (Ι ι ι6 {"\·α μFyfι.\o J ι\ή3ος ό­

μοιω\' οιιεφc~~''· Ό·ια' ιο rλπιήfΗΟ 1ο·

L=

ιu bιuuιημύιι\οι ό 100 μ' Fnι ιιοηίρι

ΙΙ<ψ.ψί-Ι I) vι ιι6 '"" xrrι. Με τη 6σή· θεΙΟ tljς tξάΧΙ WOI]C

.

crtrJo νHuι η ς

Φυσική

28

Ι ΙnΟt ι η\)ι:ί κι .ι ι cιt~.c'ψιJtpH μiσcι σ' i:\ ((\ ψι ι 1(, λύ \11 llrH> μ~ \είσ τοίλω μα. αrιο· ...τίι 'tO μωό αJΙ6 ιο fl(-»\Ιι..<·) ιοο μr)ι..ο<.;.

ψει

tul>

' KHΊnφt"f)Vfι

ιιά~UΙJ

U U· '

'' α εnιστ ρ ε·

mo οκάφος ιοιι. Εί•·οι ι φcιyμcrιι·

Μ·ι fiU\'etι{>ι,: CtιΗ6ι.,. Ο ιrH"")nUς διάσω·

οης: Υnο\<η ίαπ ιο \f>Οω.ό διάΟΌ) · μα ιιuι' uJΙtιaιιίιuι )ΙU ι.Ι)\ LΙΙΙ<1tf)Οψιj cnΏ διαοιημ6rι\οιn. YnnOfnτr ότι η τ~(φ ωση τ<>u nό) ου yίητcιι σε στα· θφή θφμοφοοία Τ = 2ί2 Κ. Η ιύ· <Π) 1ω1 MM>j)llψt'l(,)\ (ΙψώΙ· 0C Ο~ττή τη 3φμm.p(Ισία tίl(lι f'= '):',0 :'\τ 1 ωΖ.

Η "'" λίκιμι<r ο ι<ιDψιΊ ιω1 αερίω1 εi·

\Οι R - ι-.3 Jou1e/( ιιιol· Κ). Το μέ1ε· θος ιυο ι 10 οιριοι""' ι..σι Ι) μάζu ιοο ι ιίι·

you μιιοι>ι ί ''cι {_xnu\" 6rιιηα 1ιμή εnι· θυμείτε. (Λ. Sιaseιιko)

11 "'"ζ~ειu υτη ο . .~9ιι•


ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦ Ι Α Η διαβολική σπείρα

ιστορικό ορόσημο

Αγαπητοί εκδότες του Qu;υιιuιη

Α γαrιητό Quanιuω,

Κρστόω cn:α χέρια μοιJ ΊΟ ιιρώτο τεύχος ιοο ιιφιοδι­ κού και πραγμαιικδ μένω έκθαμπος οπό την καλαισθη­ σία, 'to ΟΙJσιαατικό nφιt.χδμενσ και τις ελληνικές προεκ­ ιάσεις τοι.>. Μοι.> φαίνεται προγμιnικδ καταπληκτικό ότι στη μικρή f.λλόδα μας κατορθώσατε μια τόσο υψηλού επιπέδου έκδοση. Μαι> ήρθcη· •ιιαλιές θί>μηοε<;>ο, nou λέ­ ει και ο ποιητής, όταν στα μέσα ujς δεκαετίας του 1960, μαζί με ~ον αγαπημένο φίλο Γιώργο Σι)ψα γυρνούσαμε στο πολαιοιιωλεία/βιβλιο ηωλείο( -όκεια) ιιjς οδού Μασσαλίας - vuν οεζόδρομος - , ψόχνονιος παλιό βι· βλίο rH:>V να περιέχουν •γερές οοκίjσει<;>ο κοι ι·ισλιά θέμο­ ·ια ιων ειοaj•ωyικών εξετάσεων τοι.> Πολιηεχνείοι.>, σιη

φυσική, ιη χημείο και τα μαθηματικά! Ποu να είχαμε πια χέρια μας κάιι σον ·ιο Quarιtum. Θα ήμαστε οι εσιυ · χέστφοι άνθρωποι του κόσμου! Ας είναι... Πιστεύω πόν-ια δτι η ουσιαστική rιροσηάθεια u·ιην εκ­

nαίδωοη αρχίζει. τουλάχιστο••, από ιη μέση εκ11αίδεuοι], και εκεί γίνεται η σωστή γαλούχηση και το λευιέρωμσ ·ιου vou, για να rιη(χξει σε όλ.\ες σφαίρες, nέρα από την καθη" ' ~ μερl\η ανιο και μικρου]τ<χ , και, πρεπει να φυ τωτοuν οι ;

;

•σπόροι• γιο μιο δημιοuργικrι και nετuχημένη ζωή. Το Quanrum ίσως προσφέρει στΟ\' τόπο μας ό,τι δεν έχουν

προσφέι>tι μέχρι τώρα •μεγαλόστομες μεταρρuθμί­

σεις,., που σλλά2ίJuν σε μία ν6χτα και ξεχvιοι)ν1.αι μετά υς εκάστοτε εκλογές! Εόν uπδρχει η rιαραμ ι.κρή 6ρεξη και ευαισθησία στον τόπο μας, αυτό το περιοδικ6 ιιρέrιει γα είναι στο •Προσκέφαλο• κάθε •θε"LιΚ(]ς>- κατεuθύvοε­ ως μαθητή, φοιτητή και γεγικότεpα σκειττιψl.νων αν­ θρι;.πων. Οι καθηγητές <nu λύκεια πρέιιει να το •διδά­ σκουν• σε ελε6&εpσ χρόνο, έτσι ώστε να γίνει φυτώριο για μια νέο γε,~ά από ελληl'όπουλα, που καιδrιιν θα βρε­ θούν, φuοιολογικά, στο οριακά σύνορο ιης •θειικής• γνώσης σήμερα. Πρέπει να 1'1κήαοιψε και να διαψεύα<)ΙJ­ με το ιιικρδ μαντάτο τσu Enrico Fermi, •Η γγώση είναι δύναμη, μα φοβάμαι ότι, σχεδόν για πόηα, η άyΙ•οια

δεν θα <ιιιμαίνει αδuναμίο•! Τελειώνοντ.ας, θέλω να εuχαριστήσω ολόψυχα ό.\οΙJς

όσοι σι>μμετέχουν σ' αuu] τι1ν εκδοτική ιψοοηόθεια, ' και τη ουγκινηοη ι ι ου μαι> nροσεφεραν ' γιο τη χαρα με

.

·ιην έκδοση τοι.> Quaπιum. Θέλω να ιιιστεύω ότι στο μέλ· λον θα γίνει ιστορικό ορ6οημο, σκούγοnας μελλοΙ•τι ­

ιιούς μεγάλους έλλψrες επιστήμονες ''0 λένε: ·Μου άνοι­ ξε η όρεξη διαβάζοντας ·ιο Quanιum ...•. Σίγουρο δtΙ' θα υπάρχει πιο μεγάλη υπερηφάνεια για δσοuς εργάζονται yιο ιο περιοδικ6. Με φιλικότατους χαιρετιομοu~. Δημήτρης Ναvόπου,\ος, Κα1:!ηγηυjς Θεωριp:ικής Φuσικής mo Πcιη:ηιστήμιιι Α&.\1 του Τέξας. ΕpεuΙψής σιn CERN

Ε6χομαι καλό ξεκίνημα και ευ6δωση των προσπα­

θειών οας. 11ιστε6ω ότι ένα περιοδικί> με τι1ν σκοπιά ιιοu uιοθετεί ιο Quaηωιη, αλλά και την εγκυρότητα ποι.> το χαρακτηρίζει. είναι χρήσιμη προσθήκη στα, επί· σης καλό, ιιφιοδικά μαθημαιικών και φuοικί]ς rιοι.> ιω· κλοφορούl' στην χώρα μας.

Με τφ· εuκαιρία, θα ήθελα να σχολιάσω ορισμένα ση­ μεία το ι> όρθροι> • Τόροι, Τόροι, Τόροι!• τοη uί>χοuς Ι. Η λέξη .τόρος• ως απόδοση 'toιJ λατΙΙ'ιΚού ιοπι5 ααα­ vτ(ιτσι σuχνδ στηγ ελληνική βιβλιογραφία, αλλά ελπίζω να μην κα3ιερωθεί. Όσοι χr>ησψοποιούv τον νεολογι­ σμό •τ6ρος• αντί του πιο δόκιμοu •σπείρα•, ασφαλώς δεΙ' γνωpίζου•· 6ιι ο δεύτερος αυ·cδς όρος προέρχειαι από την nρχσία ελληνικί] γεωμετρία. Π.χ. σ Ήρων ο Λλε­ ξανδpεuς, στο έι>γο του «Όροι• δίl'ει τον ορισμδ: «Σπεi­ ρα yίVttUI OtUV ΚύΚλΟς έrtί ΚύΚλΟU τό ΚέΙ•ψΟV έχων Ορ­

θός iiιν προς τό τσϋ .:ύκλου έπίπεδον περιενεχθείς είς τό αίιτο rιrιλιν άποκατασταθι}>•. Δεν έμει1•αν όμ4>ς τα πράγματα μ(>γο στον ορισμό.

Πολί> πιο πριγ αrιί> τον ΉpωΥα, ο Αρχύτας ο Ταραντί­ νος είχε χρι]σψοποιήσει σιιείρα για νιχ λί>σει με ιδιαίτε­ ρο εντυπωmακό τρόπο το πρό6λημα1:α του διιιλασια­

ομοί> τοu κύβου, κίη•οντας χρήση τριών στ.ερει;,ν. Η μέ­ θοδός ιου σώζεται απδ 'tΟν Εuτόκιο στο έργο τοu •Σχίι­ λια ιοt> Αρχιμήδη•. Επίσης, ο όyκος σπείρας δεν βρέθrικε πρι;.·ια αιιό τον Κέπλερ, όπως υπονοεί το όρθρο, αλλίt από τοl' Διονuοδδ<»ρο.

Τον 6yκο αuτό (από όποι> και η πληροφορία) μάς τον δίνει, σωστά, ο Ήρων ο Αλέξσνδρε6ς στα ·Μειρικά• του. Αrιό εκεί άλλω<rιε ξεκίΙ'J]σε ο Πάππος ο Αλεξαν­ δρεύς, ο οποίος γενίκευσε το>' σχετικό τύπο διοτυrι~>νο­ Ι'"tας οτην •Σuναγωγή• τοu (βιβλίο 2) τα rιεpίφημα θεω· ρήματό του για εμβαδά και όγκοuς εκ περιιτιροφής. Ή ­

ιαν μάλιστα πολύ ι ιερι]φανος ο Πάιπιος για τα δύο αu·ιά θεωρήμσια, αφοό λέει « ... έγώ ... δείξας πολλφ .:ρεiσσο· να καί πολλlιν προφερόμενα ά>φέλειαν ...•. Παρεμnιπτόl'τως, ·ια δ6ο θεωρήματα τοu Πάπnου ονο­ μάζοvιαι στο άρθρο θεωρήματα GuJdin. Αλ.\ού τα βλέπει κανείς και ως Πάπποι.>-Gιιldiπ, ιιρος τιμήν τοι.> Guldiπ (1577-1643), ο οποίος τα ξαναβρήκε ιον 16ο αιώνα, αν

και uπάρχοuν βάσιμοι λόyοι να πιστεύουμε δτι ο Guldiπ εΙχε δει το ελληνικό χειρόγραφο τοu 12οι.> αιώνα με Ίη •Σuνσyωγί]•, ότα•· επισκέφθηκε τη βιβλιαι'Jίικη του Βατικα­ νού το 1609. Επιιιλέον, στην πρώτη λατινική μετάφραση καιιιJιιογραφική (.κδοση της •Σι.>ναγωγήςοο (αn6 το•• Commaπdino το 1588), ατιό διαβολικό παιχνίδι τοι.> δαίμονα ιου τuποyρσφείου, nαραλείποvιαι τα δύο θεωρήματα!). Φι\ικά. Μι,rάλης ι\άμnpου, ΑΙ'αrιληpω1ής

Κα8ηγηnίς Μα8ηματικ<;, .. Πα•·επιατήμισ Κρήτης

OU AN TU M Ι Α Λ λ ΗΛΟΓ Ρ ΗΙ Α

29


ΣΥ ΝΕΝ Τ Ε Υ=Η

1νας aυτοκράτορας στην Αθήνα Ο

Roger Penrose μιλά

στο

Quantum

Ο .ιιι')'/1'/Ιψ; Rogcr Pcm·osc 6pέ8η» ιιιφ ΑDfιια στις 16 Mαfou. με αφοιψή rηι f•finση στη ι·ώpα μας ·ιυu (Jι(J Ιίοι1 ιιιι1 The l::.mperor's

1\ew Μί11d αn6 rις ιι.δ6οcις Γ•α6δι:nη. (Σ>a ε.l.lφ>κir το 6ιθ \ίο ι.uι. \οφόpηοε με ιοι• τίτ;\ο Ο 'i ι><: ι\ιιτοψάιορrι<: (:).] Με τη ι εvι.αιpία ιιι1 ιιί δ{1 nι.r μπn .rπρόι:ι'Cψιlήοει 0101 Γιώpι σ Εικη μ \όnou \ο τόσο ιιιι ω Ιlι6\ίο του όσο ι.αι ιια τις αιιδψιις τοι1 ιια τηι επιστήμη ι.αι nc ιψ<)()Ιfllλiς ιης.

Ep.: Κ(ιDιηητό Pe11rose. )1Ω ό\οι>e; (λ(ί\Οl>ς nou )\'W•

ιίa11 λndersen, όπου οι δό\ιοι ικΊφτrς ι>ιιο•ρίιο\"tαι όη

pίζουι"tηι cιιιιnι]μnιΊ<ή φyαοία και τα πpοημ>ύμtιιι Οι·

μπορούι· ι·α ι-ψό'ο"', μr "' λfΗ•ιιίιφι nnu τσuς δόθηκε,

(J.\ία uι1ς .,..., χώρο της μα3ημαιι>..ιjς ψι1<>Ο>..ί)ς, το Υ/ιc Ειιψ~rοr's ι\'eι• .\find (11 "'"""ίψΙ'" νόηοι1 τυιι Αι>ιο· κpότορα) αιιυιέ\ω• ι<κrι.\ηξη. Το 6ι6λίο cfωι μι(ι ιιφιι·

δpή ειιί~)r<ιι]λ!Ηίι ιι1ς ιοχu·

"όιιοια uιιέr><'Χ'l φιψωιίι, τηι οποία 3a μηοροί>σαι ,.α 1\οιη· μόι·n όσοι ήτc11 >..a.\οί, ιίμιοι •uι άξιοι. Έτσι, κα· ι·rίς δε\' θα nαpαδελύιαι· ύιι διι unnrxrι καμία φορc·

οι6. Λυτή η ιστορία θυμί·

' Κ(ιι 0 ι()λ ~·ύη \ 'fC δείξει nως

,..---------------~------, • • ..<. " •a ο μιγu.1()ι; ,,. "'1''1 ι ω κ 'I''""'~ Roger Pc;rιrosc ~"'''l"'Ικε 1'Q 1981. Lιιoι'hιrrn σι ο ι 1ni,-er·sίcy Conege rou ~ \ u\ c~ί' οι ι

της α ι θρι:>ΙlΙΙ'ης Ι'nησης

Dη 1ηrιjς μαΙ?ημιιιω.ιο ""I' fδpa Rouse 8 all τοι> f/αιω1-

ει ώ ε•εί δει· "ιιάρλει κα·

σrημiοv πις Ο<:.φ<φδη,. Ιι•ιι.,ί πιηο \ή/)Ιικc μc πιv α\μ flpι~t.:τj t·t·ωμcτpίa. Tocp}o ωt' uω ,,:ψο ιηι; J'tHtvlc;<J,\'HΙ·

36λου "όηαι], οκόμr] και όσοι ιο \ νωρίζοU\' θσ έ-

"''"l"oςr1«4 nο\ύ οημιιι ιu.δ. ι;.,;, ιιιrψψJι;μαίJηpσw.ό

ιφrnε

r Ιί)ς

ι rν , Ί•η·ιί]ς ι•οημοοί>νι1ς

ιιπόρχουι· κόιιοιtς i>ψης rιου δι,. ιί""" 1\uι·ατό ι· α Ηp<ΚΚ>μ(')ιω{)ού,· από υς u-

πο\σιιστι>..ές μΙJ.\u,ίς. Πώς

αnοφαυίtιιJΙ• 'n 1ρόψετε t\ α 6ι0\iο μr rruτό το ()(.

μιι, ""' \ ιιrή δια.\έξατε ιο\

σι,με>..pιμί' ο ιίτ \ο; An.: Γtcι no \ύ .._σιρό Ο\ εδίnζn \ο \ pόψω ί\Ιrε • .\αϊ· KCU1 ι ι..(> Οι Η \ίο. Σ ... εφ τ δ· μοιΗ {>ι ι t1 uι θο μι ΙΩ(Η)ύ· οα \ '(J pξηγιlοω κιtιΊοια εnι· ο ιιι μοηι..ά Οέ ματα και ''α

αηοσαφηγί ()ω ιι1 φt \οσο -

και σrο ΠαΙΙΙιιιι ιημι« ι<>ι•Ιiιάμnριtζ.Αn6το1973εί"ιι•<ι·

ι·ιιi>&ιl'lfXJ 11/( σ..iψrις 1"'' " " '"ΧΙ &lφψι σιw 00. ς ''I'"

ιιδιj1 '/<"' •• μιιιrιpι>σίη•"'Ι ι·ισ.'Jt:Πj&ί ώ<; ιιίιι. λ{ίlΗ '''

σΗιφφ(kί ιδιιιiιιικιιι ιtιnι..-ιι•ά t6Ημη σncptaoio "'"

μF το' ι..cψι'φfιι-ο ιισtpt>ιqΗ,..,.~,; Sιιphm

Jla ...·king. μαι.ί μι 1 , ,. " " " ' " .,,Jibnl;. το 8ιωριjμιrιιι ιηι; ί-nιιμδις '"" .\ ωρι>· V.NH ι~ι.,ι ι" ωμα\ιιj~ ι..ω fίtHHι.tl \ι·ψι no \\i< αnό υ ς ιδfόuJ~ 11 <μιrκ: l'"''f'lj( τpι'νιαι;. !Ίιι)/ψ~Ηf"ΙΙn. aqo Ιη8ιικc με uι hΗttι'Ηωοη ιηι.. Dcωptaς rr.n tk·i,ιrn", 'I oιt(JHr nροοφέpιr μιιι ι, ι: ~ω nιJι\6 υιΗΚ~\c'ίμfι η ιφorJf• ι ιυη) ra DJ'-' κ6ά\'τ(ι)•

οη rοι• \t.ι.ιf.>6ιιpο~·οιt. Σro ι-ti(HH..: t(oH I η~ιαψι'pόΠω\'ΤΟV, 6μc..κ;, ncpιλομ66\ο . . ιω λtιr tιι ψtΙ\ ιι)Ι(ιJ}ΙιΙriά μcι3ημο1ι.ι.:Ν. 1:rοι, cnn·6η0f. UfJ\ ι~ιί ) ι ο ηtιι \ vfl>t, την n.\ακόστpωοrJ Ρι:ΙJ ·

φωj μnυ άηοψΙ]. Ο \6μ>ς

rose. nοιιο: rωι ιι.-ιιιμωι ιιttι~ι- ιιι.τύπ-αι 6n anorc.\cί μιιι ιδί:.σ 1/ οοοίο npιι<υι "ι ιιιι ιιιψ •ι>οοτα.Uογpcφίcι.Ιiι<ΙΙ oi-

\tΟς (ι (I τη \tOΠl\Kn npά -

ψ• {) ιn\'. naρa ... o.\ooftc:).

ηδιαφipοι στp<ίφηι..f λ ιι ιrι 111 ι• \tιιtσiσ \.{-Jόnn. και σtη\ Ι~\ \lftlί '4"Η)μ00ι'' IJ• η UIIUfu tίtαr ω θtμcιtt)() Π/JC.J.ιψιtOt• 8ι6\ίοιι 1/Jt' 1/ι~ !.nψι-ιοι ' \;rκ .1/i nd Τη 1988ημή;)φ.<.

\ f><ψμn με Dέμα τφ

μ<Κί μ•

t'ψως \ ιct ΊΟ\ οι ωί<J t·\ f'O· ψ(t πι> ι6 to 6ι6 \ίο nροέ...ΙJa

τελ, η-

τ ή 'οημοούι η. ύιιου επιοιιjμο11 ς όη~>ς ο ~lan·ίn

) uι.: ι ας ~iι-ς; npoofl rt~H.·. I ο ιιι..Ηιωιό~7flΟ εpcυ~ηmό

rοιι

" " ~ιφh..,, ιω,ιιnκ, μι τ<> Βρc:ι6είσ \Ι'olt. 1ιιι ιη συμ6ο\ιι ""' •nη• •uιuιi•ηοη <ιtυ οί·μηrιηοχ.

ζ~ι Ι Ι)Ι' f!Κί>Ι•α ιιου έχει 110·

pouot(ιιncί γιο 1 tlν τε-χ\'ηι ή ΙΙΗlμοοί>ι·η. Δι]λαδί] ,

\'a

δεχτο6ι· το οηί-

3no, επειδή .,;ιιοιυι ά\\οι ι ο ΙJΙ1001ηpίζουι .

Ep.: ΣΗ> βιβ\ίο σος εtε·

1όζετε η μηοpοί" 'α μnς ΙΊΟΗ\ ΗΙ μΩθημστικά και η φ U<Jiλ ή γι α το πώς .\ε ι-

τοuρytί Ι] '(Η}οη, t1 δεν μι ιοι•ο(.)\ να μας noov και

nrΡι ιr.ι \'(1 Υ''(.)f)ίζοuμ ε \ιι η \'Π οντι\ηφ3ούμε τις

1t

φuοιι..ές διοδι καοίt:ς της

<JΙ)Ι'ι·ίδψιης. Η tnι χειρημο·

1() \t)\'ίσ σος rιερι\αμ6ά\ ει δ(Κ> μ( ρ η: σι ο rφώτο προ· OΙΙ{tt)f(H ~ (I δείξετΕ ότι 0 fιι3pωnος μrιοpι:ί Ι'α \Ι .. ή•

αει .. (ιθι μ•ι\ mή. \ί>ι·οηος

i ιn ηρόβ\ημα ή οnοδει "' ί>οι ως fι α ~εώrημα ι ο

-

~linsky rξiφpcιζοι n•ραίες

σιιοίο

'I

μηχn,·ή αδu,·στεί

3ίοr ι ς, ίΙιι.χια ότι η δwj μου άιιuψι} δι.,· ιίλι ι κφραστεί ιιηιί. ~ll'lu φόι η•ε• .\οιιιόν. ότι είχα''" ηω κάτι οημαι'τι· κό.>..αι γι' αιηόέη>rιψατο6ι6.\ίο. Τοι τίτλο ιοι u•ίφιψ

ι α .\ί>οει ή' α u11οδιiξΗ. Σιο δcύτtρο μέρος 11cpι1 ράψετε ,,;,ς η κ6αηική θεωρία ιιαρέ\fΙ μια ιιιθοι ή εξήγηση για όσα eκ~έτηε cno ιιpώl(> μίr>ος. Θn 0€.\οτε ι·ο εξηγήσετε

κu ιψκ1'1ό "ωpίς. Πρόκειται γιο ω

ιποης rt\'rιγι·ώιπες του Qιιanιun! nώς φτάοα ι ε ι) πuιό

Y"W<>'H; 11<1f'<Ίμίι0ι με ιο καιι·ούpγια ροί>χα ωu πuιοκρι:Πορο, ιοι> Haι1s <:h ris·

30

ΙΟΥ Λ Ι 0 Σ Ι Α ΥΓΟ ΥΗΟΣ 1 9t4

το οuμnέρασμα;


Απ.: Χρησιμοποιώ την κ6c"-ι:ική θf.ωJ>ία ωι; •Uf>'ηΊΙ·

~••• ειιιλείpιjμο γιο να ΟΊ.l]pίξω όσο εκθέτω στο πρώτο μέρος. Το επιχείρημα cιuιό οnοδεικvύ<ι άιι, λρι]οιμο­ nοιώ,·τcις τη vόησή μας. κ<'ινοuμε κόΊι

«i-''1

υιιολοyι<rιι­

κδ ..... κά'Ιι διuφοι>ε-ιtκ6 αιιδ cωcό ιιοο μπορεί να κ(ινει έ­ νας υπολογιστής. ΔεΙ" υιοθετώ 6~6αίως ·ιψ άοοψη ιιως

urιίψλf.Ι •<ιιι ιιέμu uιιδ ΙΙJ ΟUΙΙ]θιομέ,·η υ.\ική ύπαρξη,

ποτε.\εί τη δική σος πrοσπιΊΙ.Jεια 11ς δ6ο ·ιελειηοίες δεκα­ >:τίες ,., f:ξφωνι)σετε έvαι· χώρο 6αi.Jίηερο από αuΊ6ν τωv σωματιδίων και τω'' πεδίων ιης κβαvτικι]ς μιιχοvι­ κίJς: Απ.:

11

I.JF.J,ψfα

,,.,.

ηιιφχορδών, αλ.\ά και κάθε ίΔλη

σοβαρή σχε~ θεωι>ία, οι υιιίφχο~><ιtς θεωρίες της κβα­ Ι-ι:ικής βαρ{>ιφας ί] •Ι θεωρία των tΙ.;sτors, την οποία n-

κιίτι διcιφορε ιω; ιιιοι ψδιl() οuμιιφιφορός τιJς 6λης

ναφέρατε, έχnυv 6λες ένα κοινό χαρακτηρι()'[U(ό: δέχο­

ω ιό ιοι ιρόηο οuμιιφιφοράς ενός uno.\oyιιnι). Ωσιlι­

οο, μnοr>ι:ί νη Εί \'αι ι-.Cn' ι ω.\(> αδιόρατο. Av εξετCιοοuμε

γιuι οιιλώς τφ· κ6αηική θεωρία ιru)'' ιιαροί>uu μορφή της. Λ\ <"ψως εξηάοετε αιηό που μας λέει η κ6α,..ηκή θε­

τη Υ''ωστή επιστήμιι και πρώτο απ' Ω\α Ίψ •λιιοικfι ειιι·

ωρία οτφ παρούσα μιψφή 1ης yια τη'' 6.\η οε μαιφοσκο·

<r[ί)μ>]. ιιοιΗιεpL\αμβάι·ει τη \'ΕUτώνειο μηχ<Μκή. διαnι­

rιι ι.::6 Ει ιίJ ιι::δο. θα διαnιοτώσετε κίη_ι rιf:φc1δο!;ο. ιυ οιιvίο

στώ,·ουμε Ωη η ί>λη οuμπφι φf.ρειιχι μ· cvU\' ιρόηο ηου

πολλοί Πf>οσπrί/.)nύv να ίφοον. Έχω παρακολουθήσει 1.ηv

είναι οuοιοστικά "uπο.\οyίοιμος•. Θα μποf>οuοε δι1\cχδί] να .εω<ιχθεί• οι έωι ιΗ ιο.\οyισιή. Αυτό αληθεί>ει και yια

ωρείο συζήτηση που γίνεται yι' αu·ιό ι ο θέμά. Α ν όμως .:ξι..,;οε-ιε ι ψοοεκ tL'-ά τα πράyμοτα, θα πrφατηr"'ισtιε

τφ• ~6οιτική μηχιηική. Ct\ πrψαυιρήοοuμt τη ουμιιερι· φομά ujς ί>.\ης σε μικροοκοrιικό εnίnεδ<>. Υπ6ρχει Λμως

ότι ουδέπιηε ιιιψέλε ω ι μια εξήγηση yιο το λόγο για ΊΟ\ οnοίο δε" έχουμε"' ιικ•ίμηα μεγάλης κλίμ οιως ιιου "" Οι•ίu~οιοται ταuτόχρο,·n και ιηη μίu κuι uτηv ά.\­

>.ηι ιiιψάξι~νο, μηιn ι)ριιόδες χαρακτηριστtl(ό στον ψ<'>·

no με το\' οποίο η συμπεριφορά της ύλι1ς '"' μικι>οοκοιιι­ κό ~ιιίιι~δ(> ουολειίζιωι με "I οuμοεριφορά της σε μα· .. ροοκοι ιικό εrιίnεδο. ΙΊρόκεηοι για ισ yη.ιιrιί> ιrιψ· ~Οα­

λη κοτCισταση, •άυ JJJJU θιι ιιιιοτ&.\ούοε συ,·έrιεια της κα­

ηιΚJ] θεωρία •πρ{)βλημα Ί.ης μέψψ>ης•. Δεν έχοuμε α·

θιφωμέ,·ης κβω·τιι..iJς θεωρίας (το nοράδει\•μο ιιuυ ανα­ φέρεται συνήθως είναι 'I yίnα·ωuScl)ι•όdinι;:er). Δε'' δια" " , " ιηο ιωνοι;με ομως κατι τετοιο· αροκειται για t\'σν ΠrtfH1·

n.\ώς πολλά μικρά πράγματα το οποία ιιροσθέΊοuμr. yια νΗ ιι(φουμt 6rc:ι μt:yc1.\o ιιρόyμο. Luμ6αίνει κ(ιτι εντε­

λογισμό. Λu1ό nou \f.ω iyώ, .\οmό,•, είναι ότι πρέ.πει να υι ιcφξει μια αλ.\αyή σ1ψ' κ6cιν1ικί1 θε<•>f>ία '"""' αψορά

.\ώς διαφορετικό. σ' έΗΙ συyκεκf>ψέ\'J> ωfιιεδο κλίμακας. Κοι .κο,·ένcις δεν το κοτα.\α6αί,•ει Πf)Ω\μrrιικc'Ι. Αο'Η.) ιιοο

τα aρκετ(ι μεyfιλο <1\'·tιa..cίμε,•α. Ως εκ τούτου, πισιt'ύ<:> ότι καμίcι οπό τις οο6nι>ές θεωρίες ι ιnι' έχοuμε δει ώς τώ­ f)(11)εν είνηι μια

λfω εyc:• ι-~ί νοι δ ο εδι~ οκρ ι βι~ς u·

πειοέrχετrιι

.

.

πιθανή τε.\ική θ~ωρίσ. Δεν ιιι ­ οτεύω στις u -

'I

ψι] unο.\ογιστι­ κιί• φυσική. Ερ.: Αυτό ι:ίωι το θέμn της επΩ­ με,·ης ερώτηοής

1f.

μου. Σ·ω βιΟλiο

κατεύθυνση. Ω -

ιrερχορδές. oίJ-

ot:

(),1.1 (ιλλο

έχει ιιpο~αθεί ΠfΗ)ς OU1 ί] Ίην

.

σc,ς ΙJΙΙΟ<rιηρίζει ε

' cnooo,

ότι υπι'φχει έ\'Ο

ΧΟU\' κ όποιες ι -

'

ο ι ιαμ-

<•

'

'

σι1μαντι~ο Κ€\'ο

ιJεt:ς ι ιοu ιις ε-

στη γy(~ση, ιησ οu-

χοι)\' ιιροrεί\'ΕΙ δι<'ιφιψοι γιιι

ν<η· ιιuύvιαι 11 κλασική και η

υ1ν τροnοποίη­ "'1 111ς κβαν'Ιι -

"6<1\"ιικrι φ σοι κιί.

κης μηχανικης,

Θά 'θελα να συ,·­

KtH

δi:σ(ι) αu'Η'> μt: μιcχ

Στφ• ιφηικι] ποι•

μιιορεί να αrιο­ Ίελέσοι)\ 'Lll'' α­ φετηρία yιcι την εξέλιξη nou τε.­

γράψατε για τu

λι κ ά χρειοζύ ­

βιβλίο Drι-aω.< ο/'

μαστε.

.

ση μ cιο

' onou

.

άλ.\η οημονηκιj

'

'"'f"flljf>ψ11J οιις.

a

.

.

οι

'

u ι ιοιε<.:

Ερ.: Πιστεύε·

Fίnal Theoη·

('Οvεψ" Υ"' μια Ίελικιj \'Jεωρία) τοι> \~'~inbeι·g στο Tlιe Ne'v 1'ork Rev;e,v n( Rooks ~ηιοrιμ<ιίγει.ε <:η ι «καμία tlε­ ωr>fo δεv θα μπορέσει vα είνοι '"τελική" ' αν δε\· ενοωμα­ τώσει σημαντικές αλ.\ογές Ίοu υιιάι>χοv·ιος ιιλοιοίου τηc κβαvτικής θεωρίας• . Λυτό σημαίνει <η ι δεν ιιισιεί>ετε ιιωι; βριακόμασrc κοντά οε μια μεyό.\η ενοποιημένη θεω­

τε ότι

ρία: Γιατί δr.v φιηιr>fύι:<τιt ΊΙJ \'Jtωρία τω1· υnεpχοpδώv. αλλά οίηε και ΌJ'' περίφημη θεωrίcι τω1· o\\1st<i!'s. ιιοι> α-

'

'I εnιιrιr'1μη θη κατορθι~οει τε.\L'-6 να κατανοήσει

τον εγκέφαλο και τη νόψιr1; Κ α ι, οε οι>νάρτηση με οu­ ι.ι), ιισιο εί,•αι το νόημα της σημερινής έι>ευναι; ατην τε­ χνητή νσημοούνιj; Ποιες ιψοοnτικές βλέπετε ,.α υπ(φ-

'

χοον σ

'

cιuH.>V τον ι: ιιιο1rιμο ν ι

....ο ;

~

τομεο:

Απ.: Η φ«ηηοιl οχεηκι'ι μ.: ιο HV •Ι εliισιήμη θα κοτο­ οή<Jει υς \εηουρyfεc 10υ Fyκεφiι.\οu και

μια δUσκο.\η ερώυ1ση. ι.\~'\'

"1

Ι'όηοιj εί\ οι

6 \(ιιω ι'ψ<<>C 1ιαιi δrι· θα μιιο-

QUAHTUM I ΣΥΝΕΝiΕΥΞΗ

31


ρέοε1 . .lt\ 1"•ψίζουμε βεβοίως ακόμη τι ΟΙψΟιιί>ιΙ ιι~rιι· βώς. Και νομίζω πως οιη6 βρίο"υ' 101 Ο\ιlι~(Ι ιι{ριι ιιιι<>

δία·. "t() ΟfΙΟΊ.έ.\ε(ψΠ rί\ cιι λt ιrtnrρo. Ως ει.: το6τοι>, \'Ομί­ ζω ίηι είναι σημοηu.ό \'Ο nροσnο:iείς 'rι rξιηήσεις το

ιφίιιιι 'α α.\.\6·

nρ61·μοτο. εά' μιιcψ>ίς. Το βι6\ίο μου φοί,ηοι ε\ο­ φρώς τε,η..ό, ο\.\6 ιφοοιΙΙJΙ!ώ "' ιξιηήσω 11 οιψβοίηι ίκ>u cκ.cφi.στερα 1ί'εται. :'\ομίζω ί11ι cιι ω ιηνώοτες εχτί­

11c rιαp<>ί'<>f<: >' ω1ες της εnιστήμψ;. θιι

ξοιψε το' τp<κιο με το,· οποίο οηι.\ομΟα,όμΙteJ'\t τη' t· rιιοτήμη ι.οι τψ• προ1 μιnικότrμα. :\ομίζω όη θu οιψ·

βού' σημά' ιι~ί ς α\ \αyic σ· αυτό 10 σημείο. ι lfl" uιιίψ· ξtι οποιαδήποΗ πpa1 μωι .. ή .. στΟ\·όι)οιι υιc 'οιι ιι~ίις .\εηοιφ1 ίας. Ως προς το δεύτερο ερώτημίι οος, flι·ι.φώ όιι Ι) Ιt\'IJiίl \Οημοσύvη διαδραμιτι ίζrι σι]μn'"f'"ό ρό· \ο. με δύο ιρόιιοΙJς. Αιι6 τη μια. έχει έ,·α,· •ΟΡ' ητικό• ρό.\ο. αφο6 μnς 1\ι·ίχνεΙ ποιοι εί,•οι οι περιuριομοί μιnς

μηοο' οιnή,· "1' ιιροσιιά()ι ι ο. •οι ίσως ιη·όροοο' το βι-

6\ίn rπειδή σκέφτηκα'' ότι βοθύ,·οιι,· και ,.α

8a tί\ο' ιφ· •υκnιρία ,.α εμ­ ..οταωήοοι!\ flίμmn διοφόρω'' επι ­

στημο' ικώ' ιομέω\'. Ερ.: Ας μι \ήοουμε τώρα yια 11)'' cιιιιηημ<>\'lο..ί) σος πο­

ρεία. Αρχικό οοχο.\η3ήκο ιε μι ι ψ ιι\μβρικί) 1·εωμετρία.

ιψι1ώς ιιnολοyιοτικής nροοέyΙ•ιurις. Έτι>ι, νομίζι~ ότι εί­

Πώς t\·διιιφερθήκωε yια τι1 yε,•ικι'ι οχειι ..6 ι ητα; Γνωι>ί­

ναι οημCΙ\'τt κό να ιφοχωρήσουμε και ''α δσίψε ι:ις ιιού μιιυrιιιίιμε \'Ο φτάσουμε, νο κοτο.\60οΙJμt· ιιού 6ρίn•ο·

ζω ότι το ενδιαφέρον ou~ yια ιιι οίιμ μ<>pφη (conforιnal) γεωμεφίο σάς nδήyηcιι νn μελετήσετε ης ιδιύτη ιες

'ται το όριο. Αιιό ιψ· 6\.\η. και

των οχέοtω' οιτιύ ιη ιuς μι-ιαξύ σψ

μό,·ο orιt> ''λ "''''lι"ή άποψη η 1Ε-

μείω'' τοΙJ \WΡύλf""'ου. Εί,·οι ου·

δι6τι στα n\οίοιa οu<ής της <ρ<υ·

ξπτι στα Drωρήμοτο

'uς "" ιαu•ευόζοηαι συσκευές που μnοροί" \'Ο rιοίξυιJ\ σπου­ δαίο ρ(ι\ο, ()οποίος δt\' εεορ1ό·

εη ο\ωμο\Ι<:Ι\ cno \Wρό\ρονο, το οποίο οnοtε.\ού' ηι; nω <n]μmτu..ι'ς ιφυβ\ίψιιι; ιης μηκής οχεηκότη-

τοι αι16 το"' Οο

τοc. οφοu φοι' ι τ οι

ιί"" '1 ''"1'"1 μπ) . .lε' 8έ.\ω λοιηύ' \'α πω 611 η έρεuω m 'I' '"Χ''ητή ''οημοσύ,·η

\101 όιι ο .\ι.φι)λf>'" ος έχει αρχή ή τf.\ος; Θα Οi.\αι r 'ο μας μ ι \ήσηι yισ 111 οι>Ηρ\ αοίιι ιιιις με 10\' Ste-

.

. ti\'OΙ " ,\ 'ηιιι"' ''"JμOOu\1) οημο,-ιικη,

ιό~ υ φόιιος μr 10\' οποίο κατο.\ή­

.. ωο\όβουμε η (αυτό εί\'οι ά.\.\ο θί­

εί,·uι .\cιμίνnς χρόνος. Λυτό που ε ­

πιοη μαί,·ω είναι ότι η εν λόyω

txr•

.

1ι ο UJ' ύιιορ­

'u

.

<JUn'nα) ο·

μheπ H,l\νkillg;

Απ.: Νομίζω ότι το ε,·δι αφέr><>,.

1:-

ρεu,·α ιιξίn yι' αυτούς ·ισυς 1\ι)ο Μyοι>ς. Σκiψιομοι ό'ιι ο ιφώ· 1ος λ6yος δι· ν χcφοnοιεί τους εnι-

μοο yια

ο ιιjμονες της τεχ,•ητης vοημοuο -

\ό1 ο θα το' θεωρήοοιι'' ως ένα

μ11. Λ~ο\οί>θηοα 6μως uι>υ'j '~'I δι α­ δρομή yιοτί ή ιu' ιιιn ίι.rτη y1n μr' ~ " \'Ο, οφοο η μωμειριο μου φοινο ·

οημu' ιι~(> μrρος της δοιι.\ειόc

10'

10uς.

διοφερόμοu'

.

'

φyοοίος μου στην ο.\yεΙJρι κή Ι•εω­ μετρίσ yιΟ lC) 1\ι/iClK lUfΙΙK6 δίπ.\ω•

.

'ης, α \λά 'ομίζω ότι ιοv δεύτερο

Ερ.: Ο

"f" ιική

.. σ:JηΙηη)ς Barr, rιοιι fl ραψr 1ιο το

.

στη'

6ιβ\ίο σος στο Anιcric~ιι

,\IJιlιι·ιn;ιιical Monιhly. \έε1 ότι εξεη.\όΙ η ω ιό ι ψ· ι πιιυ· I

ι

\IU 110U σημειωσc ~άι

''

111 φιιcΗ•Iι ιψοϋπήρχε της

,

~

ποpαιηpει οτι οuτη η tηηυχια 0\CΙ-

ι1ιη εύ~ο\η. Ωσrόοο, ηά,'ίοτε ε,._

1ι ο τις \ει1ουρyίες του

φιιοι..ού ~ί>ομοιι. Σκι'φτομο1 .\ουιό' ί>τι ακόμη και σ· εκεί,·ο ιο οτ6διο εί\α ιψ αίσθηση ότι αρ1·ότερο 8a έστρεφα ω ι'δι<ιφίf>σ' μοιι Οξ ιιφιοο6τε· ρες ω ιό μία ι..ατεuθύ,οεις. Πρ(ιιυ ιδc:ι \Ο πω ότι nφιο­

τρέntι το' ΙΙ>λ ιψιομό που διαβάζουμε στο Χμω ωί ιιιο

οότφο αn6 οιιuιu"δή11ο11

Χpό~ιιΙJ ιι>ι> Stephen Ha"•king. ό ιι δη \ιιδί1 .ωJε μcιθι)·

DenrΙis Sάama μr rφφε ΚΟ\'16 ΟΌ) φοοικίj

μmικός τύιιος llOΙJ ιιιιίφχει ο' ένα βιβλίο μειι:" ιι ιις ιιω·

στη\' ον6mυξr]1οιι ενδιοψl:f"" ιί>ς μου γιο τη γε,•ική οχε­ τικότψο. Ωοτύο<>, oc αρκετό πρώιμο σι6διο ενδιαφέρ­

.\ίιοιις ' ""ο ω μισό. Εσείς ιιώς εξη1•εί·ι r 1ην ι·nιτuχία του 6ι0λίοιι οc~ς;

Απ.: ί\ \ \η μια δύσκολη ερώυJοιιΙ Πω·πύω ίηι εν μέρη οφεί\ω αυτή Ίψ ειιηυχίη ΟΊΟ\' Hawking. 110 ι! ω δι. (ι ωΙJ Hιfl\io ποί>.\ηοε πο.\.\6 ο,·ιί"tυιιc.ι, "uι ίωι ω κοινό ι)­ θr\ι· 'α δrι τι έχει \'CΙ rιει ..σι ι.. όποιος 6.\\ος. Νομίζω 6μως

6ιι δεν rίωι οuιίχ; ο 6αοικ6ς λόΙος. Δε' δί\υμιιι t.ιι οι εξΙοc:><>Ης αποθορρύνου' αιιαραηήιως 10 •ΟΙ\'ό. λ\­ \ωοτε. οτο' nρ[>.\ο1 ο του βιβ\ίου μου nροτεί'ω στο' ο­

' α\' ώ<πι1 'α μη διο6όσει ης εξιοώυεις, (Η κ>υ .. αιι τέτοιο το βρίσκει δύο~ο\ο. 'Ε:ι,ω τψ· αίσθηση όιι φίοιμο Οι)­ μείο. <WΙΙΙ\ ιιφορό 'tψ κοτο,·όηση. εί \(ιt το 1ι 1"' (ιc; (>1ι Ου\\CΙ, (>10\ ιιαρί\1>\-,οι fξη\ήΟεις \10 >.611010 8έμο, ΟΙ ό\ 3ρωιιοι οιιιιιθn\ωρού' εν όψει της πρα1 μα ι ιι..ι)ι; rξi]­

IIJI"lς' έΊοι όμως δησχεροί,·εται •1 Mnα"''l"'l· Αν θf\ει κάποιος vo μάθει τι uιψβαί,τι •αι ιου δώσας μια οn.\οϊ­ κ/1 uιι6ν·ι ψJΙ), η οποία είναι κοτά κόnοιον 1.ρόιιο •κ<ψοϊ·

32

Ι Ο Υ λ ΙΟ Σ ι ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1994

lt\ \ο\. ο ΟΙJ\•άδε\φύς μuι: K(ll

()\J\'έβο.\ε

θηκα γιο τη yενική ο χε ι ικό ιt) ιιc ~ν μ~ρει εnειδι] ι)ιαν γ<ω­ μεψίeι. Γ<ωμεψία .. ω φυοικι)Ι Εν/:iιιιφl·ρθι)ΚΩ και γιο

ιψ' ~βα,·τική θεωρία, u.\λίι ιιιηίι δι'' ίιτα,· τδοο •yεωμε­ τρι~ή·, ιJ~αν μά.\\ο,· σο\' μια \ογική ει.. ό\0 ωιι ι..ύομου, ~ψ· οποίn όμως δε'· μ.nορούοο '<.ι ι ψυοcηίοω tύκο \ο (και ακόμη δε,· μπορώ... 1ια μί\11 •ί\(Ιι t\' O πρόβλημα).

Η ο\ιτu.ότηιu όμως ήτn' >.άτι ηοι> μnοροί>σ<ι 'α ου\ \c'ι­ βι,, ευκοVηφα. Ο Deπr1is &iama μοιι ι φt>ιω ε 'ο ηαρα­ κο\οι>θήοω μια δtά\ιξη 'tου Da,·id F'inkelsιι:in στο ι\ο\­ δί\0. Θυμάμαι 6τι μt\ησε 1ιο ης UΗοψα\ίrς στη \('<Π) SciΙwanschild •οι 1ιu ιο ιιώς μιιcψι ί .ιΊποιος \'Ο εξαλεί­ ψει ιις α\'ωμn.\ίι·ς πά,·ω ο' αυτό που Ο\'Ομόζοημε ορίζο­ ,.,α yεyιη·ότω,· μιας μούρης ψύnος, ε'.:, δε' μιιcψεί ''"

εξαλείψει ΊΙ)'' πραyμοιω'j ω ωμ11.\ίη ιιου 6ι>ίσι<εται στο κέ,•τρο της, (ιrιοΙJ •1 •αflJ ιυ\C! ιιμα Ηίνει οι ο 6ιι<ιρο. :~ρχι­

οα να α,·αρωτιέμοι κnι "(''''" ι(ιflηοα νο διαπιστώσω αν


()I U\ (ι)μ{Ι \ίι ς ήΗ1\ (1\'αJ tόοrιΟσtΟ 0'101xrίn nutoί' ιιοο σι~·

•·έβαινε. Εκεί•η τψ επογή δr1 είνι "Ρ"Ι μ<n ωj 1ΙΙ:ιοιJ, >.οι οιιωοδήιιοτε

&,

είλο •mα,·οήση επαρ~.ώς τη ούμ­

μιψφη jει.ιμετρίο. Εηούτοιc. το πρόβ\ημο μι ι-διίφι­

ρε Cι>.όμη Ι. οι np11 ε' διοφφ3ώ οοΟορό μ ο τη yε11κή Ο\(ll•ί>ιιμο. Η οίψμορφη yεωμετρίο με ηδιίφφε κοι γιο ά \\01 έΙ'Ct \όyο. που σχετιζόταΙ με ιη Oupι> ιωj ο• ιι­

Ιοθο.\ίο κ..\π, Έτσι, σι τεχηκές που ονrmι>ξn ιόιι αιιυ1\ι ίχτ•J•n• χμΙJοψις \' ιu ιυ ιιρόβλημο τωΙ' οΙ·ωμn\":". Με ρωτήσατι yια το,· Hawking. Tu 1964, οnίδειξα ένο θεώιιημο 1ι ο ιις ονωμο.\ίες κο ι τις μnίψrς φι'ιιιες, >.Cιι έδωσα μιιι διίι\εl;η μι ιιυιό ιο θέμο σιο Λο,·δίνn,'!ψ ο· ιιοίιι ιι<ιρακο,\οόθφε ο Sιeplιen IJa"·kiog. Ο Sιφlιcιι 16· lt: {)·ι α\' σιο ι ψώ ιοί ως ·ι ων με'ιαrιτuχιaκώ\' τοu οι ιουδf:•ν

δει ΟΌJ'' έκδεοη. Αρyc'ηερο, ότα1 α1·έmuξο το tήhar, 6ιιως \έ1ειαι - &1· το ο1·όμοοο ιν:ι ί1οι-, ως ποράδειy­

μιι r•εί' οι> του ~ίδοuς aδu1 nτότητος. κοι ενώ ακόμη ή­ tΟΙ ΟΌJ'' οπ.\οόστrρη μ<ψιρή 101>. το έ&ιξα Ο1<>Ι ιιωέρα μου· αυ1ός ιο ΟΙ έπτυξε σο,· μιn '"'''" ιιοι• ολημcrτί/:ει ι..ύ ..\ο κοι η αρχή της ο~'' δέεται με το τέ \σς της. Δημυ­ οιιύ<>ιιμε τότε έ,·ο άρδρο. τn cιιιοί<> ωωοτεL\ομε κοι

0101 Escheτ. Ε• τω μεταξύ. ουτ6ς ι ίλι υλεδιάοει το •llόlναlere•, μια ά.\ \η •<ιliι'>~ιιιη• δομή, rιου εi1·α• παρύ­ μcιιΙΙ μv.

10

tιibar, το οποίο '(ρηοιμοιιοίηοε ο-ιο έρyο του

μc τίτλο .κοταιψuι- "1'-.. · •αι ιηο 6\\ο, με ιrι σκάλο. το •ΑηΟαίι·οντας και καΊr6αίνι>Ι ' """·Ο Esclιcι· έχει ανα­ Υ"ωrίοt;ι (η ι ο' c.:ωτά το έργcι τn\' t'\'~n\'Ι υοα' 01 ιδέες μας, ytyol'ός που αΙ-πφί:ι >tιuι ρι]tό οτο,· κατά.\ογο ' ''"

και ερyοζότο,· υπό τφ· εnίΟ.\rψη ιοιι D~Mis Scianιa· η διά.\εξή μου

έρyω1•

1ου.

Οl(ί σ· οuτ6' '\Ο\' 1ομέα. Λίιο ctι)­ \όιεpιι. ιιήμr <flo Κrιίμnpιτ/: κοι μί­

Ερ .: ετο rrιίψεΙ<> ιcύ\ος του Qιιanιι.ιm θα ι•nάρ\ιι r1·α άρθρο με θίμιr ιιι ιι\οι-ίδια Peπrose. Θα /Χ\ιnε 'α εξιJ\ήσΗι οτσι><. 01 Ο\'Ι·ώ­

.\ηοο με ΤΟΙ ίδιο Ι.Οι με τΟΙ' ΟUΙ ερ­

στες μας τι ι ί1 ω οιιtό;

γάτη του Gt'Org~

•ατέ \ηξε σε μερυ..ά οποτε.\έομοτο.

Απ.: Εί1αι δύο ηο.\υjωη•<• uλή­ μοτο μr τιι cιιιιιίο μιιορείιε ι ο κο.\6-

Af>\ cιιφιι. <>Ι δοο μας οπό κοι•·οό

ψετε το rιιίπrδο. F.ίΙ<rι

οrιοδrίξομr τα nιιι σr)μα~"<ικά α11ό

μπορείτt "' .. ιι\ίιψιtε το εnίπεl\ο με τεtρά)ωlfι (J μι ~.<ι> ΟΙ ιι-ά εξάγω-

του iδιJOt "' ψΗΙιομu 10 εpjO·

Elfu.

Ο Ha,.•lώιg

Ηι 3rωρήμιηο, •Φ δημοοιεύοαμr μω rρ)ηοίcι Βcιοι.\ική Εται­

""I

\' ~ιιηό ότι

να, α.\.\ά η ιδιοιτφ(ηη-ια ιι.η• ου·

ρεία του Λο,·δί,·ου.

yκεκριμl·νωv οχημ ότω1· έγκειται

Ερ.: Α116 ιο 1973 κατέχετε την έ­ δρα Roιιse "~11 <πσ Πανr·nι (πιjμιο

στο ότι είναι δύο. και κιr,\ύιιτοην 10 rrιf11t·δo με τρόrιο μη περιοδικό

ι ης Ο!;ιικ)ρδι]ς. Ο

ίU\' 1ομέο των

- ι'"" l'ir1· ι ι φι \ιιμ β(ΙΙ·η καμία επα­ Ι'iι\ηψ<J. Αρχω~. είχα ξεκινί)<>εt με

ψι>\Ο\ ωy"'ώ' μοθrjμοτι κώ1· έp\ ο

έξι τέτοιο n\ιr~. ίδιιr, 1α ΟΙΙοfα ωί­

.\farhcιnaιical l< ecrι-aιiσns

Οrjς αι, εnαΙ α\nμβίηοηαΙ . ΣοΙή-

ψa: ι η κ \uυι κύ

Rouse Ball έγρα­

\ ια

and

Ess.1ι·s. Κ πι ωιίς ίψως \<ψαι-τηpί­ ζεοτε από 101 ίδιο οθοuσιοομό

3ιζα

yια το rηιuμuιι>.ύ rιαιλΙίδιο. Ότο•·

Tu i&ιf,ιr σιο1 Escher,

"

\iμ "" ιrίl>.ιι. • θί\ειε 1ο μοc μL\ήοετc γι· οuτό: Απ.: Το Οιβ.\ίο του Rouse Ball μού ή"" \1 ωοιό ιιο\6 ΠfΙΙΙ' ιrιιοι-1f)<Ι<ο> Ι.Uιιοιu ο\έοη μαζί ιοu. ΕΙδιαφφ(ψ<>ι>Ι yιcι τα ψuχnyω1 ική μn:Ίrjμmιι-ά αιιό ιιολί> •·έος. ι-οι ΙΙι· σrεί><ι.) ότι tον ενθοuσιασμό, το ενδιαφέρο\ tr..cη ιιι:) \(~)·

οης yι' αuιιί1· Ι<>Ι ·ιομf.α ω οφείλω mov rιοτέρα μου. Θuf

,

,

,

οιιίζω μι τέτοιες π\οκο" , ,

στρωοεις. ετοι, \Οf>Ι'' ψολα\ω\ιος.

ήοοοτο' Ιtόtερος. ο•·ακο.\ύψcrτε έl·α •m,ιι-ιίμε\0• ιιου

,

κοι ,·ομίζω

όη στο τε\ευτοίο του iιηο. ιο •Φ<.Ι-τάομοια-, \f'IJUψO­ ιιuίrJOC μια ουyκεκpιμέlη π\ιr•ί><πpι.κιη. '1 οnοία ί\ει τψ ιδιότητα τα n\ακίδια 1·u μψ είΙαι ό\α ιοοδύ•·αμn μπrιξ{ ιι>ι•c. Λλ.\ά οστά διοφfρουΙ· ιιηc'ι ύ. ιι εγώ ονομάζω n.\ο­ ~ίliιιι Ρωωse. Νομiζω 6n ε,· μέρει ΕΙ'Ιiιιιφ{ιιι:lιjι-ιι για τα οχήμοτο 11οιι παρουσιάζουν ένα χcιρηκ·ι ηριιι ιι •ό 1ης ψύοης το ο­

μιψ ω ιηι ι Ο Ι' 11p ω·ιο χρονο που ημουv μ εΊΙr ιι ι υχιο κος

ι ιυίο έιJριοκο πά,·τοτε οuνιψΙΙιιιτιικίι. Όιι, /iιjλαδίj, εvώ

φοι τφ ιjς uω Πι11•ιιιιιηήμω ιοu Καίμπριτζ, πήγα οτι> Διε~ι(ς Σιι•·i.δpιο Μοθημοτικιi>Ι· στο Άμιηφι ιcιμ ι-αι ι­

φαίνnαι οως σιο,· κ6cιμο μιις uιιάρχου,· οπ.\οί νόμοι ποu διέπουν τη ιrυμηφιφιψά ΊωΙ οτοιλειωδ<:η· συσιαιι­

πισκέφΟ•J•α μιι ι ί κ:Ίι·rι•J με tργα του Esclιer.

(1 !τον. μ(ι­

κών, ιω1· uωματιδίωΙ', σε με1·ό.\η κ \lμακα ψφανίζειαι

.\ιστα. η πρώτη φορά που άκουyα yια 1<>1' Ε..'L!ιι:,-, •οι \Ο· μίζω ότι "οι οι πφιοοότφοι δεν είχα•· ξm·n•<>ί><>Ι ι\ ι' αι>­

ψ"' ιοοτική nο.\urι\οκότητcι· ι φοκύΙΙ ιει \οιπό1• το ερώ­

τιiΙ .) Τα ί Ι>\ ιι ιου μι •οια)οήτευοοΙ·. Αποφάσισα. \σι­ πόΙ, ,.α δημιοuρ\ήοω κ οι ηώ κάηοιες •οδιiΙ crrεc:- δομές με ι-όπως διιιφcψιιι.ό \Οpοι-τήρα οπό εκιίης που ιί\ιι

• 'f\<ι •a00\n1n- n\τt._rίμr\·n rtnυ Πn.fΧ!6ιόζn 10\Κ \{ψ••ι"Ι'; [1\"- 1t>tδ4δ· στnτης ηικημm,κ•'ηιμιις, Αιιοιι ~ίτιη αιιι) φεις nι,,&δrμ/Η(,;. μιωξ6

t()ι'C; ρ(t8&χ'Ιι.. Μι ιψ~ι ιι} μu-ι~ό b{{\\U ψVΟίΟ\Ο)U.ό, cι\\(ι ω ιι.,C.ι\ ιtι..ικ.ι· fΚt._o \o1ιUιjut ι ΙΙf.Η>Ο\ .. ω,Ιι fll μιο ρό6δο μttcί tη\ 6..\ \η. διιιιιω tt~\11 ιΜς ''''(ιι nιι(ηpομμ{νις (;Ι μι}ηος υ ίδιυι., u \~fως ri,•cιι ιι φι ιl \cJμ(· \'<1ς). (Από 1ο S<:ιιηιiliι ιtιιιeπ'(:ω. Φεf.ip. 199:.\, or\,12.)

<ιjμο: μnορούμε 1α ή;ουμ• κίrιι 11011 'Ο διο3έτει nο\ύ on.\oύc κ<J\·όνες σε μ,.ρή ο..\ίμοι-ο, •οι το οποίο •α ιιι,ρό­ yrι nψί1ελ•·η ηο\uπ\οκότητο οε μηή\η

• \ίμαι-α:

Τα

π\ο•ίl\ιο Penrose δεΙ δtο:Ίέτοι•Ι μύω ιο .\uρ<ι>.τηρισn­ κό όtr δtΙ tιιαΙ·ο.\ομθόΙΟΠ(Η, ιι\\cι ί\UυΙ tllίοης μιο •αδύ1 α rψ συμμετρία, μια rιο ιο11 \ή συμμετρία. Σ τη' ψuιτιο.\ \οyροφία ΙJΓΙάf>.\"'" ι-αθιερωμ(,·ο 3εωρήμαrα ούμφωνη μt τιι οιιοίη μιιοροίψe nr t\<>Ι'μΕ διrι\ή, τρι­ π\ή, τιψαι ι.\ή ίJ εξοn.\ή σuμμ• ψίιι, ιι\.\ά '1 ΙΙεποnλή οι ψ με φία δε1· επιψrππnι. Ειι11 ι \ίο ι. ιιuιi.ς οι διοτάεεις φαίη)\··ιαι κανονιι..ίι;· δε\ ι:ί'(ιι nnτi nι.φιθC':)ς ~ι~.ι'l\'οηλ.ίς,

OU ANT UII Ι ΣΥ Ν Ε Ν ΤΕΥΞΗ

33


διόιι οι•Ι\iηοτε ειιa\ α\nμ6c'ινο\'tΟΙ

α\ \6 ογε-

Αρχι.ά. σ•έφ LΙIKu \'Ο το 1 ρ{ιφω ιιιFΙΙ\ή 1\ιατuπώθηκω

ειιαω\ο6(l\Ο\'tΟΙ. Αφοί> .\οιιιό,· nι κρύστa\\οι δΕ'

rίΗιι rιοτί τέ.\ειοι, το •<}\tοον εnσ•·a.\aμ6c'"c" ιιtι• rί,οι

ΙΙο\\(ι ο\ό.\ια 'ω •r>ιιι..{ς ιn ηροηyούμt\0 fJιU.\ίo. ι ο EJιφeror·s .._-...,. •\lίnd. Πιστεί~-> ιιc.κ; fιι•·α,· no \\iς πο­

ap•Hcι.

ρα,οιjαι:ις ιι' πυtό tn 6ιβ\ίο

J'ιο ιιοιο \ίι1ο όμως δημιοίψ1ηοο αιηό το nρά\μαιu στιc CCf>\tc; της δε..urιίας τοu 19ί0; Ό-tο• ίδι"' ..c'cnoιo

Οα συμ6σί,·α πό,,_οιε. ι..ιιι (·•ιι 3cι ι,ι1iιρξοι,, rξίοοu πο\­

διά.\cξιJ •ω μι ρωτοοοο• αν uιηά τα σγήμοτο Ο>]μιιί­ \'Οι ι> τη 1\ιιΊνοιξη t\ ός 'ίοt> τομiα της •ρι•ο ιu \ \οΙJΙΙι­

ιιιnτώοει. Εηωοα όυ t'ιι<'φ\n'" α ματα nou ίηρι:ιιι: ,.α n' α\υθοίη διεξοδ,..ίηι ρπ. '"'ιδιαίτερα ύ, rι αφορά το ι· ΙΙΙ\cίρημα πnυ προκ6ητει αrιό ιο ~ιc:ψι1μn του Cδdel ~ω 1\ι·ίχ\η ότι υnάρχει•ί.ιιι ΙΙψιc><>c>ιι ro mψ οvθρώnι \'η ΙΙ­ \'tί\ηψι] 11011 δC\' μιιορι·ί \'ΓΙ Prll τQ\(1 Cνuς ΙJIIO \(φσtής.

00\

a ..ριΟ.:ιc.

φίιις, όnou θα μι ιιψοί"'m· •·α uπόρξοι" Ι>Ι><>ίfc με παρό­

μοιο δομί), "'"ή:Ίως οπο,-ιοοοα (>ι ι κατ' αp\ί}' cωιc> ι ί­ νuι ΙΙλίJθ•·ιιι, ι-ι \,\6 OC\' μι ιιψούan •·<ι •οιuλά!Ιω ι ιι:>ς 'I φύ· η η θ ο κςιι 6ψψνι 'ο ncιρα1 ό\'tΙ c ωθίψμ ι}τcι αuτό τα ιιρόyμο ιc ι 1\ι ι'ηι εί••αι δ6οκο\ο νη το σuναρμuλο\'ίl"' ΙΥ ο<ι>οιό, Cιν ιφοοι ωθ{Jnετε. Έμει,·ο

t... ι ι\ι)Ι\ΙΟς,

\οι116\·, ό·

ταν δί..ιι Xt>ii\1<Ί <ιρyότφu ο Sl1echιman, i•<<~ Ι<ψ<ιιJ\ι­

' ύς φυαι•όc nou εp\uζί>ιιn· στις Η ΠΑ, ιιτψcιιίlf"l'Ι>, πnό uς ει._.:., ες ιιφίθ\ασηc, ότι ορωμίη~ <>t.>οίις, •ρά·

μ στα αρ1 ι \ίοt>ψα\ΎΟ•·ίοu, ιιafΙ<ΙΙΧ>ιrι(οu• πι' ταπ.\ή ί] δι· •ωι\ί1 συμμπρία, •ύτι ποο εί•·αι οδίι\(rω \ΙΙΙ i\"' •ρό­ σ ω\ \ο. Ειιιn \[ο,. ποροumάζου•·

inonc ..η \ίδεc

ο ιο

φ(ισμcι τοι>c;. ILI<" ι)ς που οοοδει..• ί>ει όtι •i\llι •ρί><ηα.\­ \οι. Ε.Ι\ώ \οιnό•• έ\οιψείΗι ιιcφάδοξο. Ο Shι•ιhιm•ιι ιίχ•

I'"

\ές πορα•οήοεις κ<ιι

)tn

ο•

..αι φοfk'ιμcιι ότι αυτό

ιο •έο μσι• 6ι6\ίn. Ε\' πάση ηε­

Είι ια ιt· rιρnηyοuμένως ό·ιι ιrι {ι\'t)fΗ~•ιι"'(Ι <),·το μιιοροί)\ πfιγτcπ( να ι>ιιεμιυ\ύου\ ο~ οχiοη με 6 'c..t\ οιιο.\ οyισιfι· δt\' \1έ.\ω νο tυ πω οuτό. Λιι.\ώς, unι6 ιιοu κά\·ουμε ε­

μ>ίς >ί•·αι διαφορηι..ό ... 1οως, ΜΗ' αρχή•·. \'α μnuρuι'J­ με \'Ο unφιονχ>ιψL, cι \ \ιί ιτιψ nρόξη. επειδή uι ΙJrιο.\ο­ \ ι<ηές ι:ί>α1 τόσο rι•ριβέστεροι. 1ρη1 <>J>c'>lff><>Ι κ πι ixoυv μηrι\ίηrρη χωρητικότητα μ•ίιμι]~. ι•ιιίψ\οu•· διάφορα πρόyμοtα rιοο ιφοφ<" ώι: μnορ·<>ί'\ 'ο 10 .,.{,, ι>υ\ ... α.\ίη_ε-

I'"·0\,C.ιζ. ΟΙ ΟΙΙ()\<>)Ιστίς αδιJ\αtΟΙ'\

\CI

cιικ>Ιiιcίξοu\· Οτι-

δήποτε. διότι μι ο ι(,e>ιcι "'1'1 rιο απαιτεί αηί.\ηψη. ε";,

δι ι ..αι Υ' ώριζε r1ς ιι \α•οστρώσος μ οι•. 1 ι' cιυ ιί1 μnοpοό· σε' u '"ιο\){ οt·ι ότι ... άη ο·διrtφiι)()' ~μβοί,·ει με 6.\u c.ιn·

cωτοί αο \(~ αι..ο\ου3ού' τοι~ λ.Ο\ ό\ ες

ι{ι. !:ι'1μφα όλcς ιιιη{ς '" κρuστα\\ι..ές οοοίις '"ιιμι'ιζο­ ' ιιιι η μ ι κρί>πι<ι,\ \οι, Α uτή εί\'οι μι ο ε,·διαφί J><>t.'f><7 ιστο­ ρία. •ιιι ΙΙ) \f>ησψοnοιC:> μφικ1\ φορ(ς σον nopίcδcΙ I'μ"

ΚCCΠΟιΟ 01\ΟΟtΙ/;1) (JIICΙΙΙtί

1\ο:Ί.-i. Το ότι η εφαρμο1ή "'' ";" " '" (1\

ιί\ηψη,

noo ιοιχ; fxouv

""''η "(1\'lί.\ηψη ' '<-" οδηyείtfΗιι ο<

lo(ll

μια ιδιότητα""" δ" μrιcφ.. ί ,.,, 11] δωΟΙ ιcι ι,η αμιyώς υ­

\'Ι ΙΙ να unογρcψμίζω ΊΙJ σπουδαιότητcι ι>J<; f.ληι!Jφίος στην έρrονcι, t1πως ΟαC είJΊΟ, αοχο.\ιcψοU\' μt Ι(( ιιλο•ί­

ιιο\οyιστικ6 <>ίxl'l t]μc.ι. Έωι , ι ο fl ll λ>ίptjμcι τοu Gόdc1 κcι­ θισι fι nc ιφfσιιφο ι..ιιι ηκρι6ίστερο αυτό 10 <Jr}μι.:ίο. ΣΗ> νέο μοu βι(J.\ίο. λοιιιίη•,Ι\ιι·ιοl\όω βcιθuτερa σ· αu­

δι α ιιπ.\ώς για ψιιχογωγίο, δε,· είχα καvr\'cl\ ιφαηικό

τό το :Ίέμο, κ ω >!:;πήζω διάφορες

σκοrιό. Κι ίψως, 1\rκα \ρόνιιι αιηί>ιψ<Ι παροτηριj!Jη•ε ότι cιιΗί~ οι οιχJίrς vrιόρχοι)\ mη φύση. Ep.: Είο ιι μέ.\ος tης rιιιτροnής τοu ΒpοUείυιι •Unoί­

•·uιjaf.Ις υπάρχοι"' δι(cφvρα υι}μιη ιικίc ο'"'\εία ιιοΙJ

\ι1ς Ξιl\tιc'>Ιιοι•\nς- \~Ο τη (1\tτι..όu]ια "-'"1'1' αστροφυ­ ο ... ή. (·)rι 0>.\cιτε \'α μας μι.\ήσετε yια τη ouμllcι \ίj ωό

(1(/>ΙCt<JίiLEf'<\ tUΟ\ίι\ \WOII>, LL\ \(ι μι JΙΙ•ίς φορές εί\αι ι­

ψ<JΙ ι..ό δο.\οφο"ιμrνου Βαοί.\η Ξα• θόιι<>ι• \ου 01r1 μτι­

11

θιll""'"ή ι>cωρία για ιις μcιuι)tς ψί•nες •αι ιnη μr\fτη 1Co)\ 0Ujkp000(W\ βαρuτt..ώ\, η \ε._, f>Oμrt\ \ ηη•ώ\ •UΙ ι>δpοl>ι>"ψ~'ώ' ''ψάtω\' στη yε•τ..ή ο,ηι..όιψcι: Αι ι.: nρόΙ μrιtι. rιυτό που OU\'έiJ>} ίjtOV tpcη ...ι Λ\ •ω η Υ''ωριμί<Ι μπς δε•• ήτοv στε• ή, θί· \ω νπ πω όιι ήιι" ί ως

τε, πφισυότψο αη·\iφα. Κοθώc:ίΙJκιφ<ι ω η \ί>1ω βι-

οι ιί·rΗJΧΟς ό,·θρωnος, μ•~ καταπληκιι.._ό t\'θοοοι ιιομc't ι...ω ζιjλο Ι' Ι<.ι 111 ζωή. Συνεργ(cσιηκε μι lCΙ\' διάση μο ιιοψο­

u11oίCJ 1\"ν γ•·ώι,.ζα πρΙ\ από δί>ο \/'(" ιιι.

φuοικό Chc>ntlnιoι·klιar, α.\.\ά •αι μίη·ος ιοu 11αρήγαγε

ορλ6ς 1ις απ6ψεις μοu Ι'Ιο 11}\ •(lc" 11 κίι μηχοηκί], οι ο­ ιιοίες διαφέροιJ\· ε.\~ιφιιιi" ι ctι6 ~κ ε(' ες ι ωιι ι ξιicιψnζα στο Tlιc Er11peroι 's ,,...,., ΜίJΙ(/, Όιω \{ω rnι διαφέροu•·

ση μα•· ιι •ί> >ι >y<>. Ο Ξα,·f}όιrοu.\ος υπήρξε εξοψε ιικ6ς •ψγίιιης• ΟΤΟ\' ι ομί:n ιη<; γε\·ικής σχπ'"ύ ιψc11;. Ι Ιιι(ιγ ­

.. ρι ιικ>.ς .... ,

nρfηει \"0: ονα.\u\Jού\ ι ~ι.. Η\ to tt t•H. Λulό είΗΗ

lt)

rιιψα­ ι ιrH~nn

μέρος τοu UιU.\ίοι•. Π ι>οΙΙrι<ιθι~ '<ι ι ο •ό"'' ι'>σο γίvπαι διαίtεpο .εmιαομfω• - rl\ •οι θα έ.\ε1u όt\ εί•·m \ιyό-

f><>

tf'(\~Kό - ...ΟΙ τα (I 11,\tψίjμ<Πfl yίV0\'101. 0\' θi\ε­

6\ίο, άp.\'100 •·α μοθαί• w •ίο ΙΙJΚΙ\ μcιιο. •οι

110 tη φt'<JΙ·

κή •ω ιη> •Uι" ιικιj μη\cι•ωi - ι>ιιc'φ~<>U\' •άnοια •·έα υ ιuιχ•ίιc - . cι \.\ά και 1"' "I !lιc> \ο1 ία του εyκεφά.\οu. Υ­ nίι(>\ ου,· σι οι\ είη ι ιοο f·ί' πι απο \ύτως

'iu ) ιu

μέγα. τα

Στο δεύτερο μέ(JΟ<; Ι ΟΙ! βιtl\ίου, .\οιnό\', α•·οφέρω και'

'I" ιίlf"" ΙΙ<>ι> >χω όσο•· αφορά tι]

μαιι, δ.- <ι<Jλο\ήθηκε μόνο με ιις μούr>ιc ψύnες. α\\(c ..οι μι ιιι ουγκροuόμε' α •ίψα-ιπ. 1Ιταv εξαιρC1ω'c 1\ιιcι­

• \cιφι>ώς Ε\'\'οώ ότι τu

<τιιjριοc. έ\CΙ πο\ύ Οι}μαηικό πρόσωπο }111 11)\ ιt\ίtιi\U• ξη αυιC:" ιι,,. ιl\ιών. Είχε ευρείcι οuμβο\ίι στο• ιί>ιιο

γoδωcp<>f>tt«(>. Α\ \ό και όσο• aφορά "] διψίιιοu ryκε· φ(ι\ου. uηόρχου•· σημω ι ω:. ιιωψ ίCJ 110 τα \ε1όμΕ\ο

ιη~ •ιφοοiηιοης• ερεu•φ'"ώ' ηροβ,\ημάιw• ιιι>ιι;,,

μικροσω.\η•·άριcι. "" ..ιιι '"l""'"c\nό. ποι> (Jρίοι.ηιιι

τw•· ιιrριο\ ,;,, ιιοu Ο\ έπτι;ξε ο

οε •<ι(). συ•ηθισμέ•ο ιι••«t>•~·>ιι._.·, •ίηταρο. Για παρά1\t·ιyμο. έ>α παρτrμί)"'" ί1 μιιι ιιμ<>ι6c'ι&ι μηοροίη να ..,j. ΥΟ\1\' ορι...niΊ ι1ο \6rι\οt..α nρά) μοτο. 'α ι..ο \ιψ11ούν ιριyύ­

( :haιιclra~ekhar.

τη. ο­

ιιnίcι ίψwc; •nροοέη ιοη• rξf \ιl:cε περαιτέρω •ω μί>Η><;

τοu. με οημο' ιι•>ς φyασίες τοu στους ήδιι cιωφφθr­

μηόβαση αnό το •flα•·ιι•<> ιιιίιιι δο στο κ.\οοω) εί\'αι \ί­

f"" κ ω ,.<, ουμπφιφίικ" ιω μ· (' α•

1 ρόηο

nou απαιτεί

ιις ωμιίς. Λυτό no11 ΟΙΙ,έβι]. ΙJΙCΙ\ μια μrγtιλ>]lfΚηω­ δίο. κίcτι που με οιιyκ \i>nor ψομφό.

ορισμένο Uαθμό 'uι]μ<>uί" ιις- μ11cψοu•· •·α κά•·οu•· αρ•ε­

ερ.: Θί~· ... "' μας μL\ήοετε γιο ΊΟ'"' ><>ίψΙ '" occς Uι. tj,\ίo. ι ο Sh~clo.vs ο{ ιlιe Mi11d (Σ...ές ιης •·όηοης);

τά εξc(>] rrlμf,·α nράyματα ...σι το φώτημ" LiΗJι ιιc~~ ι α KCIHtcpί:f>\'01}\', Ο<ρΟύ δε\ 010tJί 1<>1>\ \'fl'f'Ι Ki> <>ίJστημα.

Αιι .: Θα ... ,..,\οφορίlοει στη ν Αyγ.\ίο ιu•· NolμflrΨ>.

ΙΙροφcC\ώς, •Ι uι ιu\ ιψΙΙJfίνιιι 6ιι ·ια κωαφrρωον χ<ψη

'

34

Ι ΟΥλ Ι ΟΣ I ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1S H


.πη .\ειτουρyίn

1on ~n11Uf)()(1•r\tιou. ε'ός πο.\οού,·Οι­

του δι~ιύ<>ι> που αποτε\ιίτιιι ιιιιό μιο.pοοω\ψύριο •οι μ"'ροi\·ίδια - από συ) •tο.ριμ(,·ους τύπου< ιιpωιεί\ ώ'.

rιι>οφα\ώς, μrσω uuιώ\' τω\ οω\φ·ίσκω\ αποοτέ\\ο­ \"ΊΟι π ο \ύπ \οκα μηvύμn ιιι. Τις γγώσεις μου 11' αιηίι ιιι 3€μαιιι nς οφεί.\ω ιπον

Sιewnrι ll<ιnιt:roff, κο3ηγφή οιιιν Αριζόνα. Εργάζεται στο τμήμα π'·αισθι]Οιολογίσς, ιηvιδιj ε,•διαφέρειω ~"' ιι" ιρόιιο με 10,. οποίο •ο Οι\' οuμε• τη συΥtίδι]οη. Ερεu­

' ώ' 1\ις ιu ερώτημα \'Ια το ιι uομΟαίΗι στη σι\\'fίδι]ΟΙ]. •ιηί\ι]ξε 010 οιψηέρσομο (πι ιn μιο.pοοω.\ιj,·όριn Ιlnί­ ζου\ αιιοφαοιοτ"'ό pό\ι) I"' ι φ πσροοοία ιj ό.\ι ουvεί­ δησης. Οι ίδιοι οι 'ευρώ>ι ς ιιφιt\OU\ μικρnnω \φ ύ­ fΙΙΙΙ. ! ο μl"ροοω.\φ·(φω φuί,εται πως εί,·οι υπεί•Ου"'

yιο ι ψ· (nuuη που έχου'' οι ""' δίοεις α,·άμηιιι ιποιις ηυρ<~,·ες. δι].\αδιj 1ια το'' έ\εγλο "'" οuναπτι•ώ' " ι(ι­

"'"''· Έτσι. οδηγούμιιοιε ο' έ'α 6οθύιφο ειιίnεδο, 6nou ο έ \η•χος τι1ς οργάvωοης L<•ΙΙ 'ευρώ,•ων μt.·ωβι'Ι.\.\ε­ "" οοηχώς. κοι ο ψ6ιιος μr το'' ιιι ιοίο μεταβό.λ.\ετcιt Μ<·

0..._0\'"tQt ΠέfΚ1 αιιό αιΗ<') rιοι) t ί\Ο ορχικό Κσtό YOU\. "Ε\·0ς φόιιιις 1 ι ο \'Ο οη:ι \ηφθοί•με ι ο μηασ_χημcmσμό Ρeιι­

rose

εί,·αι μέοι.> τr]ς •.\οσι.ής φιισι~ήι:. \f"Jοιμωιοιι:,.

'ι ας το μηuο,\ημcιτισμί> ~Ί>urier. Ο μετοσ:ιημ<ηιομός Foιιrier μάς οδιJΙ εί ιιιι(> μια nεριηιαφή θέσης σε μια 111ριyροφή σιψής. Α μ ιό Ο\Ηίζειοι με τον ψίιι1ο με tO\' ο­ rιοίο α\•uλύοuμε τις ιιφι ι >δικές ιιι.\οηι;,αεις σε οπ .\rς <φ­ μονικrς ·ω.\α,"tώοεις. Λς ιιοίψε ότι έχοιιμε ένα,· μοuι>ικ<'>

φ~l61 \'Ο, nol' ου\ ιίθετοι nnί> nιι.\.\cς διαφορι·ιι•ές ""\' 6ιφεc. ΠrιόΜιτοι yια ί'α' ού,ιJπιι •ί\ο με ο\ετικιΊ ιω\ίι­ ιι \ο•ο<'\ ί]μtι. !"ο,· ή\<> ιιηιό μιιορούμr \'Ω'"' Ο\ α.\ύοοιι­

μι <nα 11εpιοδι.ύ '"'Otoτr•ίt ""'· στους διοφnρι1ιο.οί-.; tό,·ους ποι' 10\ ου' 3t ι οι'' . Αυ-τός, \οιι ιό'. ο μπcισγημcι~ ιιομός από τιι <Jλίιμα rοι• •ίψιιισι: στη,· nει"Ιf"'ψή με ό­ ρους διuιρορετικι:" ""\'ο ιίιτω'. <JΗψάζετοι μFΙ uο,\ψ ματιομ6ς Fow·ier.

Σ.ιφ· κ6αηω]3εωρίn. ο μtιοοχηματιομ<>ς ~Όιιrίcι· ι ιc.Δζt:ι ι...ε,rτριι.:6 fΗ')λο. ότcι,· μ~· ιuβαί,·οuμε αnt'J ιιιν rn·cι·

3οpίζεται αιι(ι το μι.ροοω\φίφιο. Σ.το εnίπι·δο ιιιηό τα

ΙΙuράστοοη θέσης (6rιου ιο σιjμοηικόιφο μέμ3ος εί­ \'Οι 'I θέυι] του σωμιηιδίuι>) 111ψ' ω·ωιορόοτοοη ιφμι]ς

κβο' ιu.ά φαl\·όμεΥσ μιιιψοίl\ \Ο διοδρημιηίοου,• σημιι­

(όπου το σημα' τι ~ότερα μί I' θ<κ: fί,·οι η <ψμi] ιuι> σωμα­

'"''"ό ρό \ο. Πρόκειται yια περιον'Ι μεταξύ του κβαηωχ'ι

τιδίοu). Η 3εωρία "''' 1\νί;ιοrs. \οιιιΔ'. εί,·αι μιιι Ιι\ \η μορφή ""f"Ιf>Οψής απ' ιwιί]' της 3έσης ο.οι ιηζ ορμιjι;­ "\' ιίtποι μι ιις φ<.ntt\(ς ο•1ίης. ~' -,:ρησιμοrnιιcιίiμr

ηιιιιίδοu και του" \ιr<ιιο.ο11. "ατά τη I' ι:ιμι] μου. ουι(κ. εί,αι ο λώρος tO'' οποίο ιψfιιει \CΙ ερεu,ήσουμε Ο\ 3έ­ .\οuμε \'ο δούμε πού 10 •tιαηl"ίι φω,όμεγα παίζου\ <JΙ]·

μιJ\ηκό ρό.\ο οτη λεηc>Ιψtίιι 10u f)>-t.φά.\ου.

Ep.: Αιrιδ ιιοu tlέ.\ω \'Ο σιις f"·ι·ιίιοω ·rώι><ι δε'

εμπίmει ιιιψ· ειδικότητά σαι;, n.\.\ιΊ ι1οpοuοιrιζ.:ι ιδιαίτερο t:νδιιι­

nφι)rαφή χώρου. cιίι ιt rιεpι)ρσφή ορμί]ς. α.\.\ά •<ιιι ιιου ΟU\'δέ.-ιω με τις φωιΙΙ\(ς σ>-tί\τς και 'fu \WΡό\ρΟ• \'ο, Το !!έμο εί,•rιι 6ιι r(" 0f\ουμε την περιγρnφίι ~,·ός πεδίου μι· ι ους όρους cιυΊοί> ωιι χώρ<>υ ψωτω·ώv ακιί­

φrρο\' για όλους τους μα3ημα-ι ι κούς. Τι γvώμι1 έ.\ π ε )'ΙΙΙ ι ψ• αιιδδειξη ιοu ιε.\εuτοίου Οεωr>r]μοtος του Ferιηa ι

"'" . ιj του χώροu ι wisιoι·, όπως \i')>ε-ιοι. χιιειοζίψtιοι ε i ,.,,(ι\.\ ο ιίδος μετοοχημαιιομού, όχι 6ε6ιιίως ΊΟ1J μrιιι·

nn{) 10\' Andre,,• \\'Η~. ι..α ι \ ιu tO κc,·ό ποι; διαηιστώ3η·

An.: Όπως είπατε, δε\ είμιιι ιιδι~ύς. Ωστόσο. μί\ηοα με "' θρώπους που 1' ωρίζι>ιl\ αι•tίi ω !!i.ματο, .\όyου

"\']μαιιομσύ Fuω·icr. Λυτί>ς ο ω \ος μετοσχημrrιιομiις μίtς μι,uφέρει ωι(> ι ο \<:.ρο 3iσιω,· ιi αυτό το χώρο φ<·•· τει'ώ' αι..,ί"·ω,·. Αυτός εί,·σι ο \r) ίψε' ος μι ωο,\ημοτισμός Penrosι:. ο

\όρη με tO\' ο.αθι]Ι ητή του Πnn ιιΙ<πrιμίοu της Οξφίιp­ διJς Brian Birch. και έμιιθu ότι του.\άχισΊιιν σε ένα σψ

οποίος uυ,δέετοι μr 11] σι>\'ομο\ιι1 ιιι~ή θεωρία (cοhο­ ιιιυlο~· ιheor}')' εδώ. όμως. 111 ιψι'ι)μοtο Οf>\ίζοΙΙ\ ,.ο

μείο υrιάρλ•:ι fHJ ~ε'ό στη.· οπόδι:ιξι]. Απ' ό.τι κrηn\α­ βιιί,·ι.ι. ο' ~οι δε'' fίμιιι ι•ιιο.\ίιτωι: 6έ6αιος. οΙJτό δε\·<>·

γί\ο,•τιιι εξαιρετικά δί><>κuλα. Πρόκειτrιι yιιι μ ω ιδirι

ο.ε σ' αυτή':

φεί.\εται τnιιο mη δο11.\ειίι ωu ίδωη ιοu \\' iles, αλ.\ίι ο ω\• φόπο με τον οηηίο ι φορμύοιιικιη τα ουμπερn ­ ομαΗJ ίιλ.\ω,·. Αuτό εί,'rιι πι~' ι<ηι έ_,·α εnιh.i,·δο' ο οη·

•i

με ίο. Ότο,· κάποιος δο, ειστεί μιαν α11όδι:ιξη EHl ιιυ­ μnίροιιμσ yιο ι.;(m από Μ'rιιοιιι' ci\.\o. χρειόlt."Ιαι ιφοοο­

.\ί]. Αι•τό εί,οι f\O αδί"ατο σημείο· ι)ώ. nάηως, δΙ\ Υ''ωρίζω ιιφωσότερες \εmιιμίr>ειει:. Ep.: Γιο το τέ.\ιις, ~αθι]Ιητά Pe11rose. ήθε.\α \'Ο σας ζψ Ίή<>ω ιιιθανό>· κάn δύσκο\ο: \(.I ιιροσnαθήσειε \Ο μι\ή ­

..

ιιοιι ιιροίιλθε αιιί> ιψ τοπο\ογίu. Σ,έιρτομοι ότι •(ιιιοιr πρέπει να γι.ι{ημω έ\·α fΚ \ιι'ι'Ι<ω ιικό ή ημιικ\<1ϊκωτικό σι­

(J\fo γιο τη

3t~ψίιι IW\ tWΪSIOI'S, {ΗΟ\' θο την rχω .CIIU•

\'οίιuει και εyώ n\ήρως! Αιιuιε.\ιί μια ιιολu ε,·διαφrrcισ· οα όσκηση ιο \'0 npοοηοΟι]cιιι ο.ώιοιος \Ο ιξιηήοει τί­ ιιιιι~ ιδά:.ι:, κάτι πcιυ tlu οήμοι\'Ε όιι οφι:ί.\ει 'ο εξr]Ι ίιιιtι ;, ιι σημαηι•ύ μέρος τω' μnΟημααι.ώ,·. σuμπrρι \ιιμllιι ­

''ομi" ης 1Jις ou' ομο \ο1 ιιιο.ής Οεωρίας. 11α τφ οποίrr Ο<ι

ίπρεπε '"' δο:Ιεί μια διcιωΟηιι•ή rιερι)·pαφιj.

σεΊε υιους αναγνώστες του Qιωιιιιιιη με τrΔιιο ε'.\αϊ­

Πι:φεμπιmόηως, rιιι φέψ τι μου' u διεuκρl\·ίοω (ι ιι ω f:ιιφeruι· 's Νe1ν Mirιr/ δι' uιιευθύ\τrαι μόνο ΟΊΟ ηψίΙ

Ι(fΙΙ'Ιι κό yια τη 6αοικιj έν,·οι ο της Οεωιιίuς των L\νisωrs. Προοιιcιθίjοtε, σος nοριικιι .\ι:>, vo μος εξηyίιοε·ιε τι είναι ο •μετοα\ημοιισμός Penros~· κιιι 11οιο εί,·αι η υχrοη ιοιι

κοινό, α.\λ{, και στοuς εnιιηήμονες διοφορε""'~' ωμ~ ­ ''". Έ ιοι. θο ήι"'' Οι)μΟ\"Ιtκό για fvu,· (Jιολόyο, f\'ΙΙ\' μιι3ημωU<6 ή οκόμιJΜ11 i "" φι\όοοιρο ,.α με.\ετι)σου\ μιιι

με 1η ~cωρfο ο,·απαροmί>ιιf<•" (represerιιaι.ion ιheon•), για 11J'' οποία έχει )ραφτεί ον,. \ηρο Uι6\ίο ιω(ι τοuς Basιon και ;\I.G. Easι\\·00<1.

ιί ι οι ο ποροι'Οίιιση. 11011 δt\ tί' uι οπο.\ύτως α \αϊ~ι ιηιlο.ή

R.J.

An.: Πρόι.ει ιαι 1ι ο έvο no \ί> δi>ιιο.ο.\ο 6ι6\ίο. Το lit•ό

(δι'

0<1 μύθο" αι

""' ιισ \ \ίt ιιpά1•μα ιιι με οuτό'· tO\ τ ρίι­

πο). σ.\.\ά rιφι.\αμβά' Η ιιιι.ιι(ς ιξη)ή<n:ις, ώοt( \Ο op\ί­

οδή) ησον σf ιιφιοχές κ<ιθnι><~' μο!!ημοτικ4ιν, ιrrιι tlεω­

CJtJι>' 'α Κσt(J\'αJι), ΙΗ~ 6<ισιι..it. ιδi(ς_. 'tτοι. nιοιιί'"W ότι nρι'ιο.fιιοι για ένο ηιίιιι δο nεpt)flft<pίJ<: ιιοΙJ δε' •ί' ιιι ιιο­ \ί'ηιμο μ{,, ο\ ιο το εuρί~ ι..ut\ό, α.\\ά ...οι\ ι ο {>oOt'<; tίΗιι μι' ι ι δικοί ιιιο11ς δικοι)ς τοι><, ,,\άδοuς. α\ Vι οιιΟιιμΙΙtl\

ιιίιι uωΙΙαpαστάσει.Ι\', δr]\"l>ί] '" ΙΙψωχές οι οnιιίι·ς βιιf-

\ft

μοu ε,·διοφΕρο' yια 10\ .\εyόμt\'1> μηuσχηματισμί> Ρcιι­

ι·οse α.ιπιζότο'' με τη ιριιu,.ή. ηώ οι δύο <π>) yραφείς '"'

)\'t•)f>ίοσΙ'\' ι..ω <ΗΟΙ\είcι (tι ιc') (ι\ \uι'ς τομrίς.

OU AH TU II ΣΥ ΝΕ ΝΗΥΞ~

00

35


ΚΑΛ Ε ΙΔΟΣΚΟΠΙΟ

Νάνοι και γίγαντες Ερωτήματα γιο τηv κλίμακα μεγεθώv στο ζωικό βασίλειο Α.

ο μέγεθος είηn ένο cιπδ τα οη, ' μαηικοτερα χ ορο~ ιrΙJ>ιοτικα

Zherdev

χαrιακτηρι στι~ό ·ιωΙ' ζωπσνώΙ' ορ­

tόοο, οι δισφορίc μιtiθοuςεί-

γαησμώΙ σ \\άζοuν 01 ό.\ογα με το μέ)εθόςτοuς. Το 01 τuιροοωnευτu:δ­ τερο nαρύδιι) μα αυtήc; της σηί.\η­

Ιuι ιόοο προφσ,·άς ώ<rtr. no\6 ου­ λ,.ά, τους δίνουμε ε.\άχιστη npoooxίJ. Όλοι γνωρίζουμε ότι ο ελeφuνιας rί1·αι μεγαλύτερος αιιδ το ποντίκι,

ψης είναι ο κόσμος ποu δημιούρ) η­ οt ο Τζδνα3σν Σοuίφι ιτι.η,· κλαοι.κή τοu σάτιρα Τα ωξ{/)ιιι τσv Γκιού,\ι­ Βεp. Ο uναγνώουιc τοu (\ι ι!λίοu αιιο­

αλ.\ά rιολ6 οnάνια οναρωτι6μαιιιε ιιόαο μιyαι\ύτιρος είναι (t] αηάvτη · ση είναι 100.000 φορές). Η μι.ρ/ηε­

λαμ6άνει ·ω,, •ω ι ίDσνο ρεαλισμό•

ρη ηή\ι~η μυγα.\ή έχει το ί•ο δέκατο τοu μι) έθοuς ε-·ός rιοη .. ού. ~οι εnο­

uηο.\ογιομών ιοu: Ο Γκιού.\ι-

μί'ως έχει το 1/ 1.000.000 της μάζας ε1ό<; ε\tφοηα. Οι διαφορίς tί\'πι α­

yαλύτεροc οπό τους Λ ι \ι-

κ6μη πιο ΕΙ"tυnωοιακί.ς 6τα1• σuyκρί­

φορές αιφι6ώς μ ικ pή1 φος

νοuμε ζι:χ1 διαφοpετυιών ΟUΙ ομοια­ ξιι;,ν -ας πούμε. ένu ιψωιδζωο •πι

απή τους Μιιρομηντιγκό ­

μια φόλα ι να. I I διαφορά μεyέθοuς οδηγεί και οε

δύο χώρες κλιμακωνόταν

κό& ζωΙ'tΟ\ ού rι\άοματος, ωσ­

ιιοιστι<ές αλλαγές: Για μεγάλο χιιονι­ ~ό διάστημα, και οι aJΙλοί ίrνθρωποι

τοu σuγγραφέα που εκφρόζε·ιαι με την αιφίβεισ tt"ν αιιιθμ ητικώ,­ βερ ή-ια1· δι;ιδεκα φορές με­ ,

,

#

nοuτειοuς, Ε\ ω r}ιαν τοοες

νιουc;, και το •αθειί <πις κατά το aΙ-τ(σιοιχο rιοοό'·. Η προγμο ιικί} ζωij, ό·

μως, δε' ιί ναι cόοο arι.Vj

<ι\ \ά >taι οι επισιίιμοηc πίσιεοοΙ το

και ο πρώτος ιιοu το nο­

αΙ'tί/Πιο και 3εωροι1οσΙ όιι ό\α τα

ροτήρη<>< αuτό ήτοΙ ο Γα-

/

./

/

/

/

/

/

./

-

s -= .24

~

/

I' = 8

~

./

i

S/ 1' = 3

ε

./

l - 1 S-6 V: I

SfV=6 Σχήμα

36

1 ΙΟΥΑΙΟΣ / Α ΥΓΟΥ Η Ο Σ 1994

,

••

ι._

\\

t-•

:'ii1

~

./

./

.s

6 ,;;

/

/

/

/

/

1./

/


\ι\σίοι;: «Δι:ν ι;:ί,·αι δu' αιόν•, γράφει .• ,-α μειώ ­

οοιψε υιο'' iδω 6α3μό U]'' επιφάνεια και ω 6άρος ε­

' ός σώματος, και \'α διατηJ>ήοουμε ~ην ομοιότητα οτη μορφή. tί,·σι απο\6τως σα­ φές όιι η μείωση του 6όροιχ εί,αι α,·ά\ο1η με ιη μείωση του

' •ου. •αι εnομε.·ως. ' ' 01 κα

θι φορά ιιοu μtιώ,·εται ο ό­ γκος nφισσότεpο nσό 11]\ ε­

Σχήμα

ιιιψό' εια (Ε\ ώ διατηρείτα ι η σμοιότφα συ1 μορφή) . θα

''ό.\uση τηc; σχέσης μπnξίι μη f3οι><:

μειώ,·εισι και το βάρος ηε-

,

fΗUοοι ερο

' απο

'

τη.- επιφα-

Ηια. Όμως, η μωμπρία μάς

διδόο•ει ότι ο \ό\ ος τω'' ό­ yκω' όμοιων οωμά·ιων εί,·αι

2

•σι υ.\ιiJ!στος, και οι εριυ,ητές οε αυ­ τό,· ιο' Ίομία (\OU\ tllιtύ).tt ορισμέ­ ,.σ ε'·δισφt'ροηn απnτι-\fομιησ. Λ' σσχο.\ηθείτε με 11ς εnόμr,·rς rρι.ηiι ­

σεις θα

I" ι.ιρίσε ι ε μφ,.(c οιιc> ou16.

με1αλύτερος από το λόγο τω'' ιι ιιφανειώ,• ιuυς... Με ά.\.\α .\ό­

\ltl, ιίναι αδύνατο ,.α κατα·

Ερωτήσεις I. Σι μι.ροο•οnιι..ό επίπεδο. η δο­

σ ... εuόοοuμt ιιλοίιι, Ο\'άι.. τορη

μή των μοώ' ι).\ω, οχ•δών " '" ~ι δι:"

•οι ε••λησίες πελώριου μεγέθους κα ι

''t1

"''

'

ι ι α ι Jα μ t:ι νοΟ\' στι1 uεση τοuς

το κουπιά, 1α κ<χ'ιάρ·ιια, οι δοκοί και οι σιδερένιες συνδέσεις τ ους - με λίγα Μγι α, όλα τοος τα μέρη .

ζώων δε' ιτcφουσιόζει οημαηι•fς

διαφοrές. Η μυϊι..ι)ιιuσωλι)ιφο•a­

.\είται από διnμιψια•ίι ιιλέyματα,

•1 δομή

.\'11'"''' οuμ­

και η διευΌtτηοrι

των οποίων είναι κιιι{c (J(ωη ί/\ιεc:. Κ ι

ιSμως, οπόρχει μια ιδιαίτερη διαφο·

Αιιό tη\' όλλrι ιιλεuρό, 'I ίδια •1 φύοη δεν μιιιψεί να διιμιοuργήοει yιγα­ ντια(α δέ,•τpα. διόυ 10 κ.\αδιι'ι Ί<>ος θα έσπαζαν τελικά κάτω από το ίδιο ιοιις το 66ρος. Παρομοίως, είναι α­

ρό: όοο μ1~f)<'nεJH) είνnι {\'(ι ζc~>() τό .. οο μεγολύτερrι μάζα ((>ε <>ίιγκρωιι μ> ιη δι κ ή ·ιοl)) μ ιιιψεί νu οιικι:.οrι. Πώς μιΊ<ψ•·ί ω rl:ηyηf>ιί ·ι ο φαι,·ιίμr-

δύ,·ο1ο γα φαν1.α<rιούμε αι ιίθα,·α τε­

\'Ο;

ράστιους ανθρώπους, ά.\οyσ ή ά\ \α

2.

rιιηί ζ.:,α με 11)\' ίδια περίπου

ζω' ιω•ά ι ι \άομαια, διότι ο σκε.\ε­ ι{ις ι οι><; δι'' θα μπορούσε ''α ι'ποθαστά!;ιι το οώμιt ιοι.χ;. Τα Ι::ώα μιιο~

~

~

,

ροιι' 'α αnοι..τησου\' τεραστιο μεyε -

θοι:; μό,·ο εάν α\\άξοιη τα οστά

τοι.-ς. και συξηθού,- σε πάχοι:; κατά ιο •αιό\\η\ο ιιοσό,·.· (~ίτε το Σχή­ μα 1.) Όσο αυξά,υ ~ο μέιε3ος ε' δι:; Ι:ώου, οι παράμετροι τω,·

διοφόρω' φυσιο.\ο\ι.ώv διnδικαmC.:)\ αυξάνο\Lαι

με διαφορετικούς τρό­ ιιοος: μεριι..ές ειιθέως α-

"ά \ογο, ό \\ες α' α \ό­ tως με τα τε-τράγωνα ή τους κύβους πιηών τω'' τιμώ,·. Κατά σu,·έ­

ιιει α, ζό>σ διαφορετικού μ εyiθους πρέπει νο έ­ χουν διαφορετικό σχήμαΊα. 'Έ'·aς u.\όκ.\ηρας κλCιδος της 6ωλ<>) ίος εί-

ναι aφι ερωμένος στη' α-

ι

Σχήμα

3

OUλ N T U II ι Κλ λΕ Ι ΔΟΣ Κ ΟΠΙΟ

37


μιψφή (μια μεγό.\rj ιψόιπνη ακρίδα και μια μnnγαστευτική ακρίδα, ι] έ ­ νας διποδόμυς και έηι καyκουρώ) κά,•ουv ά.\ματcι τοη ίδιοu ύψοuς, α­ νεξάρυj ια αι ιίJ ω μέyfθός τοuς; Στο πρώτο μέρας 1οι> <φθι>ου ιιαρuθέσαμ t. ένΩ rtπόσπασμο ((Πό μια πι>αγματtία του Γα.\ι\αίοu. Σε αυτή,· ο Γα.\ιλαίος ιιαρουοιάζει f.γα

3.

οχ(wα ιιου δ<ίχνει <ητ rνα μεy(ι,\ο ο ­ ο ιοuν είναι δυοανό.\οyα rιαχίηερu οπό ένο μιψό ιφο (Σχίjμα 2). Ε\'­ ωίηοις, έ>.nvr ένα μικρό αρι8μψι­ κό οφtιλμα. Μrιορεί1ε v<1το Αι><ίτε; 4. Μια εnιιnr}μ<>ντκή απ<>οτολή α­ Ηtκί1λυφε ένα καινο6ρyιο είδος ζώ­

ου: πρόκειται γιο έ''u μον6ι ιοδο Όη.\α­ στι>.ό (ΣΧίJψ• 11). Σ11> σχήμα σημειώ­ νονται οι διοοτάσε1ς ιοu ζώοu μεψη­

Γιατί. όμως. εί,·cιι τόσο διαφορετικός

,

"'

;

.

,

ο Jιχος Ε\'0( ιωυvουιιιου αrω το,· rιχο

της μέλιοσας; Ποια είι·αι η σχέση ανά­ με<><< ιπο 6ψοςτοu ίJΧ"" ενός ε,·cδμοu κuι σω μέyεθ6ς-ιοu; (Α) Ο φίλος μας ο Γκωύλι6ερ παραπο,,ότα\' για το βου-

' ' fι ιρομι1νϊιyκα\·1ω\' ' ' ε. Ι]ΤΟτω\' .ν μ υy<ι>\': λε\ ε όυ κα·ιά ιο &ίπνο αυτό τα απαί · σια έντομα δεν το'' άφψα' vo ξει-.ου' .\ επιο. ' 1uως ~ ,ι vuι α,ι)vεια ' •a ρασιει' ΟιJ1ε όυ 'Η)\' ενοχ.\ ούοαν, <'•μως εσείς πι"

,

'

.!

στευετε οτι μηορ οuοω· ι φαyμιrιι ω

ιιuρuyδyοuι· Ί6οιο 6nυητό; 7. Όσ<> υψηλότερη είναι η 8ερμο-

Ε(ναι ενδιαφέρον ότι ..

... υπάρχοuν

τόοο πολλά μεγό.\ο ζώα yuρω μας. Αν ·ιο να έχης μεγά­ λες διασιάσtις ιJΙ)Υει ιι~ιyεταt ιόοn

μει<>νεκτήματα, γιατί η εξέ.\ιξιj δεv

δημιοίψyησε Ε\'Ο βασίλει ο μικρώ'· ζώω,·; Ο λ6γος εί,·αι ότι τα μεj•ά.\cι ζώα εί,·αι δuνοτότερα. σε απόλuτα

μεyέθη, αηό ια μι>.ρό ιερο είδη. ιιn~ " , ' ροιι τα μικρο ω·cιι σuγ~ριτι~α ισχυρότερα. Αυτό τοuς προσφέρει ι ι\εο­ vέκ·ιημα ~η: έναν άμεσο αντrryωνι· ' και επ 'ισης του<; επιτρεπει ' ομο \'Ο κα -

τcιλcιμβάνοu\' ''έες οικολογικές 8έ­

Ό-ταν οι yο,·είς είναι 6ιοσιι>.οί

Οf.ι ς. Το μεγ(ι\ο μf.yι:θος, nμως. δη­ μιοuρμί άλ \α προβλήματα. Έ\'Cι ά­ \<>γο, yιο ,.α μπορέσει "α 6ρει τρο­ φή, ιφέrιει νcι >.cι.Ιύψει μεγcιλύΊερη

ιιεpιιατάvε γρήγορα, και cιv τ6χει ι·α

περιοχή απ' ό,τι έι•cι πο,-τfκι. Το πο­

I

'

κραοια τοu οωμcιως εν<>ς ιι ιψο11 •Ι

ενός tlη.\ασι ι κού ι<'>οο μοφ6ιεr)ο εί­

,·οι και το ζώο. ι"'ιατί;

8.

.

" ·ιουι; <'Ιι ιο το χιφι.

μένες ι>ε οριέμ - στη μοι·άδα μήκοι>ς

ι-..ραια,··c

ου~

ντίι:ι, οπό αιηήν τψ άπ<>ψη. και επει­

nou χριjσψοrιοιοίη

τό πρέπει να τρέχει για ' '0 τους προλcι­ (iαίvει. Γιm ί 'Ια ι ιαιδιt1 και οι t:\1Ί\ικοι

δή σuνή3ως το απόθεμα της τροφής

οι ιθιψ:νείς. Εκιι­ μrιιnε τη μάζα κcιι το ύψος τοu ψο­ νόποδο» χρησιμοποιώ' ωι; U\'θf)(;)ι ιι­ να δεδομέηχ (μέοο ίψο μ~-τρήσεωι· ή ιις 1\ικf.ς ιιας διαστάσεις). Βρεί1t με ιιόοα μf-τρα ιοοδυναμεί ένα ορτrμ. !'\. Ένιr μωρό είχε βάρος κατά τη

yέι·νηοή του

I kg. Σε έ,•α Χf>6νο ψι ­

rιλαοίαοι.: ιο θ(tρος του, φτάνοντας ιnσ ι 2 kg. Συ,τχίζ<>ηcις να μεyα.\ι:ι­ Ηι με αυτό'• το ρι>θμ<>, u1o ιf.λος τοu δείηφοι> χρι.'>νοu θα ζ6yιζε ι 2 χ ~ =

36 kg, """" u rιnι> ψ ία χρόvια 36 χ ~ = Ι 08 kg, έ.ι ιtι'ι α αnί> 1f'""f>n ι Οδ χ :! = 32~ kg, .rιι έπητα από πέντε χρό­ "'cι 3α είχε φτάσει ιτιcι 32~ χ 3 = 972 kg. 11 ημψήοια κοταν(ο\ωση τροφής •

#

..

αuτο το ενος τ() \ Ου

~..

·ro ιιc:ιιοι

t1Y<XΓI16000UV TΓtV ίδια τcιχίηητπ μt: τόσο διαφορεηκοίJς ψίιιιοuς: 9. Απίι τα ζώα ιης ερήμοu. ποια καιαφέρνοuν να ζοu\' χωρίς νερό πε­

>-ί"αι πφιοριcψέ\'Ο, υπφτερι;ί του α­ λόyοιJ διότι χρειάζεται .\ι.yόΊφη ψο­

φή. Ένα εκΊ<1ριο αyροί> μπ<>ρ•ί ι·α κ~\uψει τις cιvάyκες εγός πο.\ύ μεγά­

ρισσότερο χρ6vο - ια μικι>ά ίj ·ια με­

λου πληθuσμοu ποντικιι~ν, cιλ.\ά μ6νο ε,·ός ή δι)ο α.\δyω''· Αξιόλοy<> πλή­

y(ι.\ι:t;

θος μεγάλω'' ζώω" μπορεί ''α σι>yκε­

" ιι>ωθεί

Παρατηρήστε yύρω σας... Σuyκρίνεi.ε 1 ο 6ψός και 1 ο ι ιάχος ·ιι))\' δέ,,δr)ωΥ γύr>ω οας, ι] τω" (πe:λε-~ xc:>v ψηλού χορτιφιού. Ποιος τύπος περιγράφει ΤΙ} σχέση ανάμεσα σε αΙ>­ 'tές 11ς δύο ΠΩf><ψέτpους; floιQΙ ncι ­ ρ(ιγογτες nαρεμ6cιίνου' σε αucήι

tr1'

ι ιtψίll ιωοη;

μ6νο ο ε μtγά.\ ες t:t-::1 άοεις yης. Εrιομένως, και το μεγ(,,\ο και ΊΟ "~<a."

...,ψ ι ιο.ΙΙ',

... πρΙ\' από λίj'Ο

χρόνια οι εφl}με­ ρίδες Ι\ια11ψrιάνισαν το κατόρθωμα

,

..

ξε στο συμπέρασμα (ηι δt' ι ψέΙΙΗ ν<ι πι έ(οιψε ιu μικριΊ ncιιδιό να τρώνε ΙΙ<φ<Ί τη θέλησιi τοιις! εaείς ιιί><>η ,....

μίζειε ότι"!"""" νΗ είωι η ημερήσια •ιτΊιχνίL\ωοη τροφής ενός πcιρόμοιοη

τρίχρονου nαιδιο6: Τι βάρος έ-;•:·ιr., >.οι rιι)οο φαγη ι(ι ψώτε κάθε μέρα; Τα δικά σος νούμερα οuμφω,·οίiι· με τοσς ιJΙΙQ,\ιη ισμούς τοu Korczak: 6. (α) Το 6<>uητό των εντόμωι· δεν

δημιοuργείτcιι ιjθt.\ημέ''" - ο ήχος rψοκο.Ι>:ίΊαι απλώς από το χτύπημα τω,· φτερών τους. Η δίJγcιμη αιιό αη­

τό το χτuπημα (ιιοη διι:>χνf.ι ιψος τα κάrω ιυν αέι>α) f.ξιοορροι ιεi τφ- τάοη για rιτί~οη εξαιιίας 111ς 6ιψύΊΙJιας.

ιΟΥΛιΟΙ / ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1994

Σχήμα

4

,

χ~ ένα ωιίθανο ρεκ6ρ οε κάμψεις

.. -·· -·· ·- --·.

,·ός δ6oκcιλuςjauusz Korcιak κατέλη­

,

tνος εmαχρονοu αyοριοu ιιuu ιιε·ιu -

ιων χεριι~v (ιιφίιιοu

-

~

Ι{<>λΟ\ΊΚά πλεο,·εκτήμcιτα.

ει..tt-

του (όrιως σuvίjθως οιψf!αίνει με το ΙΙάιδιι1), φ-ιίη•ει ·ια 150 kg. Με βάση αυτήν την εκτίμηση ο διάσημος ηολω­

c

μικρο μ ~~εvος εχου" τα οικο τοuς οι -

,

μώμενη οτο ι jβ με Ι /7 'LI}c; μάζας

38

~

...

5.000). Το

παι-


δί μεyαλώνtι και. nιθ<ι>'(ηιηιι, οιΙVΙ'·

χίζει "' ""\ο\είτοι με ιι1 yιψ'αΟίι· ktj. λωρίς, όμ ως, κaμι(ι ~\ιιίιlcι ''" σπάσει το ρεκόρ τ<>u. F'\nίζοιψ• {; 11 1ι:ψα ιιια •ιιιιι\u(kιίΗτε ιο

.\ 610. ... το μεμι\ί>Ηρο ζώο nou ίζηοι σι φ ξι]ρ{ι i]HI\ ο tlι><ι\ \ΙΙ;<>ιcιψο~. με μή.:ος 20 μι'τρο •οι 1\ίιρ<κ. /!() ιι'ι·

.

.

,·nιχ;.Οιrι~rιοίις\ΙfJ ιοιιt:~ι)ιt.ι\ bιr ; , , \(Η() Ht L'lltlf>\H (\0 1000 l(p(ΊσΗΟ ζc:.cι οδιi1 ΙJOU\ ι σοι; πα \cιω' ω \ι;. )OUC \Ο uno3iooι•\ ότι oι'tc~ η δι ι·

'όοοuρος ζο60f or η \ημμιψιcιμi" ~

μc,·ως ιο με\'Ολί>τφο μέyεθος εί,•πι σημπ,ιικ{ηfΙ)Ο) ιcι ι α (c;)(t T<rH' πο\ι­

Σcn fμιο από τη ιι.

_,;;\ ιιφιοχώ'' - πράγμα nou εξηγεί 1 cJ\ ιο..α\ όη.ι 10u BergιηaωJ. ... ιn ι.ο\ίψι ψιn. μr μ{ιζ"3-5 gr, εί­

Φ9

' οι

το μuφότερα

oou \ιά Htt uφίιτια·

'""' ιδι αίτψα μινl.\ες αιιώ\ειες θφ­ μότητος. Για ,.n φmίιοοn' mοθερή "1 Ηφμuψοσίο του σώματός τοι;ς ' ' ' τη Η'\\11, HHII ι~κιχρεωμt\(1 \(I αιtΟ · 3t\"EL'OU\ \ίη<χ: ή \ \u"''l όω •tnά τη διrψkι ιcι ι η<; ιιμίρας. Όμως. ι..άιι τί­ τοιο εί,οι εl:;πιρΠΙι.rι ηοχ\ηυι.ό ΙLΟ

nφιο\ ίς, οn{ι tt cι \<ι• \t]f'" ω σc:ιμιι ιnu (r. ιι'.ς cιιιίι ιιι kΙ φ6\ι) Uριο•ό­

ιu rιuu.\ί. διότι οδηγεί σε αύξηση"]<; μίtζrις 1οι• ικ:>μuτο<: Ο)' ημέρα και σε

ιαι μέοο στο \Cρδ (Σχήμα 1). Διιιφ<>· (>(1ΙΚ.ό, nύμtp(o)\rt μι· 111\ ι"ιιιοψrt cω­

με1ο\6τφη knτrηά\ωuιι .-έρ,ειοc •ιrιίι ιφ ιπήοη. Επυι\έο', η μειrrιpu·

tών τω' fntHHlμι')\ f,)\, ιcι οο1(ι ιfiι·,

6ρcιηιnαιιuριιι• δο·, θ<ι μιιιψοιiσα' \'Ο αnH:.ou' ιη ιt r)c'ι<nιo φcφ rίο. Ό­ μως. <ιuιίις, ο φc'ιιιcκ. ζωίj<; μ( ο<ι σιο ,·ερό προl:;ο••ί ιδιccίιι ιιιιιφο0.\ήμα-

1Π. Σuyk"f'ψ( ><ι, tlu ιj ιu' αδί>,•ατο \Η (1\CCII\Cί)Ofl, διt)[ι Ot μ 6rς 1(ι)\ Π\'ευμό,·ω,· δΕ\• {)(t μnorJnί,oc ι\ \ ' tt ... ι ι'

.

.

ταηκnuν αu,τχως ι ψ ιιι ι..ο η ιοο \'Ε·

ιιοό. Έιοι , \οιιι(" . οι Οιο.\ύγοι (1\'ο · )'Κ('ι<rιψ.. Η\ \ tι t'l 110 ι r)( ψ(.l )\ 0 ιο μc.:ω· f><>ιιίνι'"u Ηιι veι unoλo1 (ooU\' ξc"·(ι 11] δίJ\·ομη τω,· οσ-τών. Κ ατ( \ηl:;α,· '

το 1 r

oto

.

~

ο υ μιιf(Ηιομα οιι

.

ιο otHtι

ι-·ίχα\' 1η δη\ι(t6ιηιΗ \(ι ιΗ ιΟΗ(ιοι(ι­ ξοu\ αιηό το τεράστιο φορτίQ.

... σuγκρί''"''1Π<: δι<'φιψc ι ω'ι ι>ιι­ \ctο ιικίt, οι Οι ο \ίι1 οι ι..ιηέ \ηt;ο, οε

μιο ιιrρίrι>Ιη ο\fοι1 ( •<"ό'ω; ιιιι• Berg-o)ann): •α3ώς μετn•ι>nύμrισι• nnό 1nuς η{)\<ιt,ς <Jl(ι\ t<JΙlμιρι\tJ ,

μ•ιc:ι-ιιuι ιu μίΙt~ο... 1W\ 3cρμόοι­ μω' ζώω,· τοι1 ίδιοι> ίι ιιιψc·)μοιΜ\ ••· fi.ώ,. Γιcηί οι)μθ<ιfΗι (ιοιc)~ 1:.\(ιc._αιιό

ιιιj '"'' <'f'λ'"';" ι>δι:ηι"·θρόκω,· m- n·

ιιοθη•εuμέ~ες. π.\ούσιες οε ί\ έρμιο οuσιίς, απrιη• ί tJ ιίοιις ε' έρyεια. Α.:ό­ μη. ο τρόπος διcιτροφής του κολυμ· ; " " ,

-

ιιριοι1

(rιfM' ιιιι ι ι κ. ι 'ηιο. ι ιr.tw\ϊaς.

ι ιc"η·cι• cιιι6 (\ο \ου \οίiδι - tιι ιιιeιεί lη> "" ιccΙ fl \t,)IJI1110\ί> μεyάλης Π()(tQ· ο1ιας ε\·έpμιrις. Σπ1 1\ι rφκncc ιηc εξέ­ ,\ιξης. το κο.\6μπριο οηψειώιιι<J>: δί)ο προοιι ιικί:ς: ' '" yf,•ει μεγαλύτερο ή \'Ο μειιόσει τη vuχτφινή απι;ι.\ι-:ιιι θφμι\­ ι ψ ιι.:. Τcι cιιιιιι.έλεομο εί,·οι ότι η υψη·

λι'1 θφμοκριrοία ·ιοο ιιι:ψcιιίις ιοο (έ­ λ" ι φ ηψι1λC.ιερη ο\'C'ψ•οα cnα που­ \ιι'ι) Ίω' ·13 .. ι.'ι•c· δια ιηρείται μ6,•ο κοτι'ι τη διι'ιρ•rι n ι>JC •Jμrιιαc. Τη ,·ύ­ λ"'ιιίφιιι μό.\ις στοuς JU-2u•c. Αυ­ τό ιbηεί ιο \'Ι<ηί ιιι κu.\ύμιιριο ζου\' cι ΙΙ<. φuιιιι.ές χώρες - διαφσρετικ{t 3ι.ι ω-ιιμηώnιζω μi..,<ι σω εuωσιτε­

ψc'ιι.ιρο με1 {L\ες ιιηώ\ειες θφμόuι· tος ι..cιι δε\' ()π Fί'(tt\ 10\ φικ•ο.\Ο\1kU μι ωΙJu.\ισμό τω' θερμόοιμω,· ζώω,·. ΑΠΑ,\'Ί I IΣI:Jl.. \ΏΟJ.ΕΙΞ.ΕΙΣ ΚΛΙ

, Η'ΣF.ΙΣ

τuικ; οιιμeι' τιι..οί•ς πeιρό1 Ο\ τες ποu

Στι I Σ.

61

28 •

Κι •·ovμn cιr δι" rι>.Ιcuc . .lι;ο όμοιοι uορμUιι' οι δαι..1ύ\ιοι, αιιτί,·ιtς r .._<τι μόζος

,,,

tίΗιι ι<>ιιοtlειι1μίΗJΙ C\"tός

<>μ<>\ Ε\ όvς μο1 \η η •οό t>t 1\ίt)ΙΙ, μιι·

)"-ητιι..ής .ι1α\ ct>\ •Ί' Β. ιuu οιιοίου οι δu,·ομt"iς 1 ριιμμ{ς "'' ιιι•θί""' 1<ιι t..ά8ετα στο εnίnεδ() l(ι.)\ ιw

.... ιι'\ίc.)\

και <> αιηό ιιις οε.\ίδας <Σχήμn Οι δο~<ιύ\ιοι rφάπτο' ι ω <>πι οιιμείο ιομής ιοος

2).

"I ,;,I ιμeι ~ .. no ('.

Ποια Τ<1\ύΙι1ΗΙ ιιιιοιr..ιι'ι ιr..(ι3( &ιι...τί'· .\ιος ότcι\ διcι•ίιψοuμ• ιcι μcιγ \ljtι.ό rιι·δίο; Η ιι\ει..τpιι..ιl cι,,ί<πcιοη ι..c~ιθι:

δcικτu\ίnι> ιί\UΙ f/

kUI f\ \W\ίCι

rr/3. Λ \·,·οήστε ι α 'Ρ"" {ψ" ιι <tΙΙ rι­ ncιΙωΙi1ς " " eιμοι6cιίας επαγω\ής <ΥΗ'Η1ς δοι..1ί> \ ιοι,ς, tΙ) μt-• ιηιc'>ΙΙιίJΙl

τω\' δοι..Ίu \ίω' •η ι (ι

"I διr'"οιιή

τοι>

μα\ "]τι•οu πεδίου. ι.ιcι •όθ• 'Ρ"''<>­ με,·ο ψι6rj<;.

(V. Mozhaye,•)

Φ 10 Κι:ιτιιδiωξη ιτcίι; ει&~ \οι;, Μια ση­

Ψ""ί]tΙΙJΙ'ίΙ φω ι6ς '1\'fί ιιιι ιιιφcί\ \ψ ' προς τον ι..ιψιο • 'ξO'vH t νος • Οί>\ι . -"α Η

\

,

..

~

,

ι... ινΟ\"tος φ οκοu εατιακι1ς ιιιιοΗΗ.ι-

σης

f . Πρuοδι ορίοτc , ,

της πηyης αιιο

ru

tιj\' αnόστrcfl')

.

ψUkU

ll]

.

οτι 1 μι)

rωt> η οριθμηηκή τιμή της ταχ ίιιψ

1ας ι ou .. δc:ι '"" "\~ ι οο6ιcιι με αu1 ή' ιιJς δι.ιjς της τα,Ιηηιuς.

11

ιι~>ίι­

στοση της πηyής αnC. '"' •όρω ι'ιξιι­ '" είωι Η = f l I. (Λ.

Zi1benna11)

ΑΠλ.\' ΓΗΣfΙΣ. \'ΠΟ.lF.ΙΞFΙΣ Κ λ/ ,\\'ΣΕΙΣ ΣΥ/Ι Σ. 61

κο3ορίζοu' ιο f ' rr1 ιιοΜ) ιο<>(ύΙ ω ο' ί'α' Of)\Ct\toμc') tί\ttι •1 cιιιι:ι\οtι θιρμίηrιιιιζ - ttιιc:)\tιu ιιοη ιu ζώu

tω\· ηολιι.;;ώ' nεριο\ώ' •nρoonn 3oίl\ •

\0

• Lu> έ1ιιο ι:ιnό τη σ. 9

uμοιβί)<. τοο. Τeι nρώτα nί'·τι

μηδ(tμ\\'t> οι ".1'"'1 με 10 οιι•ο.\ι..ό

6.600 μπροί>ηζιV<'ι, .,,;, \11110\

<η μ(ΟC:)()()ΙΙ\ μ( ()t IQtOOήΠO•

τr μέσο' εί,οι bu,mό, , Τα θιj\οσιι­

ι..ό είΗιι Dφμι'κcιμcι .ιcι •Ι :Ίφμο•rκι­

\fK" ιcι

θα nσinραπ ""'"\,.{ι .\ι1όιφα από ι φώ­

οία ιοuς &, ο.\.\όζει. οπότε b(\ μπο· ρο61· ,.eι μειώσου,· τις απώ \rιι ς 3ι ι•·

tοι> Μ'ρδ<κ! Φυοι..,(ι. 'ιΗ μας εί\(Η είη..ο.\ο \ 'Ct

το ε' ίιμιοη χρδ,·ο θcc έπρεπε \'CΙ πιιγccί­ ΗΙ κάθ> ημ>ρcι ""' ~φcιιιροψu.\ό>.ιο

.\ 6οουμε τα χρημαιοοι•ο\Ομο•ά rφο·

μίηφnς \ ιcμrι \ι:"'" ιcις ι η ~ερμο·

6 \ί1μα ιcι

\ΙΟ \'Ο 11όp-ιι (να μ{), ο μιφοι'~ιζηοt Ποιος ιί\ οι \οιιι<), ο ιιιο ιδιόρρι>θ ·

ι..ριιοίcι 1Qι• οώμcηός τnυς. Όμως, •Ι

I

οιJξηση τω' διcωτtωιι." 1ΙΙι> C){.ιμcι·

Τιιn:' ιιος στη σuμ6οuλή μοu: ~ομί­

μος: ο τf(Jt\ '"'~· () "'" .... ρ<η οριcς ή

.

' 1011ς <111 ψωιι ιιι μ ε 'ι ωο ιι τη ς οχ ε · τος

tικής (δηλοδή , Ο\'ά μοvι'ιδο μόζιις) ι·­

ιηφί"ηn<; """μι ttιφίιιtι ~Ιcρμότη ια. Η μειιrφορίι θφμ61 ηι π~ eίvcιι μιγιι · .16-ιφη cnιι ψl1\f>rι •.\ (μιcι ιι, •ω > ιιο-

ι "" μη αίοu στρατηγού. Ιώ<:. 6μωc, θ<• Ω\"Ιοδιιιιc'ιοε u ίδιος ο

ζω ι'η ι ()cι fβι,.uκε ιην ιιpότασή μου

ι uu Vι\ '"''"'' rπιιιι'fψJ. Κω ιuίιιο διό­

ι ι, ιι'\ιι..(ι, θtι fιφcι ιt' \'α rιtφιμt:η:ι εί­ ι..οοι ο\Λκ.\ιιι•cι λr)6\ ιΗ yι α ,.· rιρχίοει \U

'

'

' ΠιΗJ'\Έι το tJUΩ i fΙCJl ΙK O μι:f>Ως 1 ης

"\(:); Αιηό θο το cιnοφ(ισίο• ι• ι-ο•i4.... Όπως και "'' \ει, δι' μnορώ n<φlc

\'Ο α,·οrωτι fμαι ι ι θt1 ο~εφ ιό ι CΙ\' ο

r~,·~Ιntan σχrτικlc μ' nιηή'· '~~1'' ι•δο­ χίι ι ης ιοιορίος τ\>u. (-)r\ω

ίη ι /)α "" διuu•ίδιιζε,

OUA NTU M I ΚΑ λΕΙΔΟ ΣΚ ΟΠΙΟ

'n ι \ιιίζω

tiJ

39


ο

ι

ΕΖ

ΣΤ Α Π ΕΔ ΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Αιωρούμενος δίχως τη μητρυιά μας την αλύγιστη βαρύτητα Νίκος Καρούζος

Arthur Eιsenkratt και Larry D. Kιrkpatrιck

#

ως μοοροιιμε

'

~

I

ο .cn·οομε ενα

<ι\"1tΗίμε•·ο •α αιωρcί~αι: Οι θαυμαιοΙtοιοί τα καταφέρ, ' ' 'nn' ηιι,-τοτε· οι ψι.~u..οι ομως; Η ωκο.\ότεpι] τεχΗκή εί.,οι •·ο δέοοuμc το α• ιι.είμι·yο μ' έ•·α ••ήμα 1.αι

'u

ιιι

"I"

'

.

μιιοοιψr (1110 τη•·

Of>O·

φι\ rνt'>ς δωμσιfοι>. Το βάρος τοu α­

'"" κrιμ l \'Οι> Οrι rξισορροπείται αrιίι ιψ τόση τοιι νήματος. Αν ·co rιvnκεί-

.

'

'

μη·ο ω·αι μα1·vιμrις. μποροuμε .-ο το

~.uνuιψr

•·n

αιωρείται με τη 6uήθειtι

tΗ'>ς δεύτερου μα γ• i]tη. Μια τρίτη τn;η>.ή εί•·αι \α ΕΙ.tοξείιοοuμε οφαι­ ρiδιο ιφος ιο αηιι,.είμηu, έι<R ώ<nr

η οο•αμη noo θα αοι.ούν τα σφαιρi­ δω •<n(Ιtη• κρούση τοος με ~ο m"U>.είμε• ο •α tQ(I(>fψ<mrί το 6όρος του. Ας Οι.ωρήοοιιμε όητο ω ιιχι1με.ο

ιιιιu θ(\uυμε \'Cι οιιι1f)fί1nt rίγαι (,·α OfJθcη c:), 1() κουτί. προο<η'ατολιομέ­ ,.ο με τί ιοιο φc>ΙΙ<> ώστε η 6άση τοι>

να μέ•·ει οpι ζίινΊΙΙΙ. Αν εκτοξεύουμε ια uφαιρίδΗι κ11 ιιικ(φuφα προς τα

πάνω, θα ασκοίι• μια μ~οη δίιvαμη ιηο >.ουτί ιιου θα είωι ίση και αντίθε­ ιιι μf το Οάρος τοu. Έ·ιιR,

(!\'

υποθέ­

uuιψ> 6τι τr1 σφαιρίδια, αψοu Ιιpικι­ Ι.puuuοιι• ο ω κουτί, ο•·οπηδοίι• μι ίση ΗΙ\ί>~ηω ιφ<>ς τα 1.άτω, τότε η μετο6ο.\ί} tι]ς ορμ(ις ~.ά()ε σφοιρι­

δiου θα δί νιτοι αηο οι οχfοη:

η δέσμη τω• σφαφιδίω•· aσκεί στο

κόρuφο. (θεωρήστε όtι ιι1 οφ<nρiδω

κο111ί δύ•αμη ίση με:

ΙΙfΧΧ>'-fΧΙ('<ιυ• μr τuχοίους ηροοο•·ο·

F,..,, -

Χ .:;Ροφαιρ.•

όιιο11 Ν ιίΙ<Ιι ο οριΟμός των σφαιρι ­ δίων ΙΙΟU χτυΠΟU\ το κουτί κάθε δω­ τεpόλεntΟ.

ΜιιοιΗ>ύμι· νο tχouμc κοι ποσοτι­

το\ιιιμοί-.; ~χ: ι φ<χ, τ φ •mακόρuφο. iτιn ώm• η ιψιζό•'tlα συ\1οτώοα της ΟUΙ'ο.\ιο..ής δύωμι]ς \(1 cί"'" μηδέν. Σ' uuιήν ιr}' ιιιψίιηωοη, nnιn εί,·αι ι σ βΙψίηφιι κουτί nQu μπορεί 1·α nα­

poμtί\'tl αιι~ρούμcω;

κή οντ(.\ηιμη τοu nρο(lλήμα ιος Χl"]­ σιμοιιυιι;,ν ιιις μφικές (Jο.\ικές 1 ιμές. Α ν ~~·u όι ι.\ ο ε• ιοξεύFΙ 5 σφαφίδιο α•ό δωιιρcι\~ιιτο, Κ(ΙΟrνα από τα ο­

Τι ιφf.ι ιtι ΥΗ κίινοuμε ό·ισ\' 10 α· ,·τι~είμεvιι ιιοt> θ(,,\σιιμr \'Ο ιηωρεί­ ιηι rίγrιι ιι'>σο μι~ρό ώστε το 6όρος

ιιοίrι {.\" μc1ζο 2 gr και χτunά το ~οu­ ·ιί μι ιrιχύτητα 5Ο mjsec, ε•ώ ~σrόιιη ο•·απηδά με ίση ι αχ Uτητα, ποιο εί•·οι

Μα. α\ το ον ιικιίμ ...·ο ι·ί,·αι διοφα-

το 6ορ6ιφο ~ουτί nou μπορεί •·ο nο­ ρομεί•·ει <ιt<.φούμε"' μ' <Jυτό το•· ψδιιο: Ας το ι>ιιο\ο1 ίσοιψr:

tερ! Η εξεύρεση ιι>υ φύnοu με το•

Ρ

οοvιρ

;

t/1 • • ;

·(50 ιιι/'"')

~1'•""'"

(2 . ιο- 3 ka)· ο

,

,

~

10 "' :-.lt; ;

'ες, μιιuι>ιι νrι rιαprιμενει σε οιωρη -

ση με τη 6οή3rιο μιας δέομης \ίι­

ono(o Οιι μιιορ<>\>οf' ''' rιιηrυχθεί κά-

111.;,,,.., ήι<" ί' ο αnο τα τρία 3εwρη­ τικ(ι nρο6.\ήμmα nou τέθΙ]"" σε μα· θφic.: σι σιιcιίοι συμμπείχΟ\' στη•· 24η Διt3νή 0\υμnιόδα Φυοικής (ΗΠΑ, Ιούλιος 1993). Αιιιίι ιο θ<ωμr]ηκό

0, Ι kg · ιηfsec.

υ, 2 kg · ωfsec,

F,••, = (5 σφαιρ. /,.'<·)· ·(0. 2 kg · m/ sec) = 1

του εί• α ι της τόξιJς τw•

ιψι'>6,\ι}μ<ι ιο ιψιΊιti\'Ε ο Cl1arlcs Holbrow, τοu Ιlα••ει ιιιιΊ ημίοu Colgare.

Εδί~. το ncφαΟέτουμε δι<ισκειιαομέ­

Νι.

\'Ο yια τους ο.-α\ ,.;,οτες ωu Qιιan ­

Επομένως. το οuy~εκριμέ•·u οφcχψί­ διιι μιιιιιχιόν \'Ο διατηρήσουν σε οι.;,. ρηοη έΗΙ •ουιί μάζας U. I kg. Α. Το nρU6\ι}μιι Ιί•·πnι προκ\ηlt­ κότερο α1 τα οφ<ιιpίδια χwιιούv 10

ιωη. ι ~Ι€σω της διόΟ\cιοης, μια ισχιιρή δέσμη ,\[ιζφ μrιορεί 'ο ασ•ί}οεt uno\o\ ίσιμις δυ1 ίιμιις Of μι~pό διαφα­

~ουτί υπό ιω•·ία. θεωρήστε όη το

νή onl"rίμ(\o. Για vα το διωιιστώ­ οετε, ο~.εφιtίtι ί•ο μι.μό τριyωηκό

σφαιρίδια εί•αι nο•ομοιό11•Ωα μ'

yuά\no nρίομα με διαθ.\αοτuJ] 1ω-

c-

~.ι·ί•α τοι> nρΟη\'ΟUμC\'Ου nοpοδείΙ ­ μοιuς, u\\cί \lυnοίι•· το κουτί uπό

ί>ιιοη μι Ι 'ο οuμβο\ίζουμε τη1 αρχι­

) ''"ία 53° ως ι ψος τη• κrιτοκόρuφο.

•ή ιαχύτητα των σφαιριδίων και με nι τη μάζο • 6/Je οφαψιδίου. Από το θιΙ:ψι]μn ώ()ησης-ορμi}ς κοι τον τρί­

δια θα α,•αnηδού•· και θο αηομακρύ­

·ισ νόμο του Νεύτωνα ι!ρίοκοιψε ι'ι ιι

urιf> ιην ίδια yωνία ως προς την κατα-

40

ΙΟΥΑΙΟΣ Ι λ ΥΓΟΥΗΟΣ 19 Η

Ας υποθέσουμε ΙΙύ.\ι ί>η Ία οφαψί­ νονιω μι· ίιnJ ·ιcιχύη]tΟ (50

m/scc) και

Ι. Ό\α τα θίματατω' rξηόοω' της 24η<; Διιθ- οός ΟΙuμηιόδος Φοοιιιήc; &r}μΟ()ιι.:ιηι.ί οιο ι1ιpιοδικό Ph,·sie-s Todaγ

ixo"'

G\ol μtl(>t<><: 1993), οι ι' \Cf (φ()ρο TOU AnιiHJH)' Ρ. 1:rc·ιH t1 , ιφοt~δ(\ΟU της εξηαστι·

.

.

~<ης~ ιιιψιιΙΙ'l'-•


ι;

\_ I

...

~ ..

-

e


'ία Α Ι οΟ - 2ιι. U6uιJ μήκους 2/ι "" 11\ότος ι.ι·. ι ·ο ιψίσμα t\ει δείι..~η διό8\αuι1ι; n •σι πuι..,ότψu ρ. θcc~pήσιt c'ιιι ιο ηpίομα ιοιιι>Όε­ ιι ί ιccι μίοο οι μιcι δίσμη .\έιζερ ηpο­ ο<ι\ΟΙο\ιcιμi"Ι παρά.\.\η\α στοv (ι.

ξ"' α :c ε' ός ιpιtχψ&yω,·ίοu συοιίJ· ματος οξ{""''. (Γι' αυτό το np66 \η­ μα δι.\ιι ίη 6η ιο ιφίιψα δεν nερι·

οτο ιι

Ο • .ιιι 'α 11€qηει u-ιο μι]Ι»''

±

cιto V Jlι (Σλιjμιι 2). β. rι><'ιψlt tξισώσεις α11ό 11ς Ο•

ποίες •1 I"'' ίcι ι/ (6\. Σγήμα 3) ει..φpό­ ζηrιι οε οu,(ιpιιjUιΙ ιw' ο ι..αι ιι . 1ια

τη~ nφίιι

ΕΚΠΑΙΔΕΥfΙΚΑ ΚΟΜΙΚΣ. ΤΑ ΝΩΡΙΖΕΊΈ;

'"''"I ι..cιι6 ''l' οιιοίu ο ίιξο­

" ' ' tης δi<ιμιις \ι'ιζφ •npοοκρούεt•

στ φ ιιu\ω " ' \ιμό,·η (δρο του rιpί­ ομcrιος.

<> φfφrτrιι. •η δ ιιιθ \αστι .. ι) \'"'" ίΗ ιοn "δcίχ>rι" οuνεχώς ιιρος κcιπύ ­

θι>' '"1 .... ,. ιίUε LIJ

(JI)

ι ίjς υlς δέσμης•.

t)ι "(ριyιι)\ ικ(·ς.: (δrΗ·ς του εί,·aι Ηιχρ<iλ ·

.\η.\ι·ς μ •· '" rnίnεδu .rιι. «ΙΙ η βCιοιι ιοu rίνcιι rιuρό.\\η\η με το ειιίιιεδu

9: . όnως φιιίη ιαι στο txήμcr 1). Ας Σχήμα 3 δε\ ωίψι 6-n ο αιιό \υ ιtΚ: δείι..της διά· 3\cωης ιnι• ιιφιβό\ \unoς αέρα εί­ ,·αι

iO<><, μι

ΙΙJ μο' όδα . ..uι ας ~ωρή­

CΙ<>tψε όη οι ίδr>ις ιnu πρίσματοςεi-

r. ε .. φrόστε οε ου' όρ ιιJοη μ• τπ

l o. J. Ιι. ,,., )r..t.ιt 11 ης σunσιb;occ.., .r ι..rιι !J tης OU\ ο \ιι..ί1ς δι'Ηψ11C: ΠΟι.: Ο· σι..rίτω '"" ιφίσμσ αnό τυ φι.><; _ , ,.,.

Larry

ϊφ. ότο' η >.<ψι•ψίl 1ης δια3.\οοτι­

>.ής 1''" ίιις μι ιmοηίϊεται ι.. ατά un<ι· σιnοη

/ι r

<

Yu οπό ι ο' ίιξο, α r. {)που Υοι < 3/ι. Α\ θi\ιιυμε \'Ο ΙΙΟfΚψt·

.

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ

.

'

ΚΟΣΜΟΥ

\Έι α ιιιψοο μΗο ι ο ι φιομα, ιφcιιει ,·rι

rl

ι ο ιc .ι ιoDf' ι'ιο<Ηψι' ι ι{ι,·ω κάτω από 10\' ίιειιω " ις 1\eσμι]ς .\έιζερ;

Δ. Σχεδιάοιε ιις Υf"'ψικές nαρα­ στciοεις (<ι)\' ομιζόντιων .κοι ι..αιακt'J·

Σχήμα

1

\(JΙ rηιι..cι\uμμί, ις μ' ;-,-σ ειδιι..ό α ­ \'Ίιά\ ο... \ιzcrnιr..ό u.\lλό. ώuτ~ 'α <.ιnΟ· Κ \rίεtοι η 0\ ίιι.. \ιι011 10U φωιός nrι­

ιuιχ;. 11 ορμή ε' ός φωιο,-ίοu δί­ \'ttcιι ω ιο "'' ιύrιο: p = E/c. Η δίιrμι) \fι(ερ t \ C< ίηαση nou εί· \W

'''" ιψοιόμορψιJ uc ό.\ο το n.\όως της (OtΙJ διιΜ)ηηιη z) . α.\.\ύ μιι ι:ιη­

rω )'f><ψμιι..tι με uιν ""'1ι..όpuφη Η· • ' •ξ • ΙΊΟΟ1<1Η 'l 11 ω ι ο 10\' α ονα1ω '· 3Ό r ιιιι

,;,n ι ε

να έχι ι μ έyιστη τιμή ln

Aπri την Μ εγάλη Έκρηξη

έως τον Αλέςανbρο τον Μ έγα

f>ι>φt,)\' <JU\'ΙQτωΟώ\ UJ<; δί)\'<ψης ώς ι:ιu,·σρτι]σειc: της ι..uιuι..c'ψι'φ<)C: μεια­

Τόμοι 1 έως 7

τόηιοης -"'• · Ε. Ας ι•ιιc.:>iσοιψε ύιι •1 δrσμη \έι­ ζψ ,.\tιιι\ίnι><; I mm (στη διειJ8u, · nη :) ι..<ιιηtΊ\ος Ι>Uμω (στηδιrυ()υ,-.

οη ι;). 1

u nρίuμn ί \fl τα ακό.\ου{)α \Uf'UI.lllf>Ι<>ηι..ό: <Ι= 30', h - 10 μ.η. n = 1.5. ιι• ι 111111. ρ = 2.5 gr/ crn3. Πi'JUω\ \\'ί:ΊΗ tu\ ί1ς uιιcιι ιι.ίιrιι yιο ,·ο

εt;ιικψpοιιηθιί ι ο βtΊιιοςτcιu πρίσμα­ ιος, 6 ιω 'I •rψuφή tι]ς δια3λι«πικί1ς γc.Η•ίnς του Cpίοι..ιιuι ,,. πnnσταση ΜΙ

=

2/ι

2() μm:

Οrιωοδήιιο" , ιο ιψόΟ.\ιjμα εί ,·αι ιιpι.. ετι< δί!ο ι..<>\<>. Βέ6αιο. ορ ..ετοί

μnθητές οnό 42 \<~f>tς, rιou συμμε· ιιίλ'" 011]\' 0\uμιιι(ιδ<ι, ιψο\ώf>Ι]·

ou' '"' 6ίιμο nαpαπέρu . .. ιιι ηπά­ ηιJΟ<Ι\ ιιιιιι\ί<ι\' ιις ερωτήσεις Γ. ~

Gonίck

Ο

Larry Goniι:k ηπέκτησε

δι δι ικτορικό δίπλωμα στα μαΟηματικά α:ιό το

Πανεπιιmjμιο τοι• Χάρβαρντ και <mJ (]Ι.ινέχειη επιχείρησε το πιο φιλόδοξο έργο στην ιστορίcι των κόμικς την

cn!μπτιιξη δεκαπέντε δισεκατομμυρίων ετu'>ν οε 400 σελίδες. Σ' αιrτ€ς περιγρ<ίφει τη bημιcη•ργί« κω την εξέλιξη της ζωι;ς και τοι• πολιτισμού με επιστημονική εγκνρότητη

κιιι ηνεπcιν(ιλη;πο χιοίομορ.

και Ε

1ι ο Ι!ίσιι~ ιιιιι ιψίομστος με y,, < h. Μ {ι\ιιιιιι. μφιι..οί ο.\ο ...\ή· f>ωΟ((\ cι \6, ~οσιο αι>ι ίJιψ "'·ό \JJ"'1 μiιιn στο \ΡΟ' ικό όpιu ""' I 00

Σιl. τόk τ6μοο: 64, 2ω9 ιτ., Ποlύχρ. 1000 δρχ. όk ι6μο(

tτrί.\ιι 11ς .\ι'"" ι ς σος ιrτη διεύθu, · ση του ε.\.\ η' ""ί' Qιιaπιιιn1 έως τις

ΕΚΔΟ!ΕΙΣ κυ.τοπτ(!Q Ισαίιρων 10 και Δαφνομήλ(\ 114 71 Αθήνα Τηλ.: 3643272. 36-15098 Fax:3641864

.\ωιώvl

Σχήμα

42

ALJyoίιoτou 1994. Κίιιιοιι>ι οπό ιιι1ς θη •φδίοοοv (!ι β.\ίο δ<:ψ ο! CiJ

I()

2 IO YAI OΣ Ι Α Η Ο Υ ΣτΟ Σ 1994


ΣΠΑΖΟΚΕΦΑΛΙ ΕΣ

Για να περνά η ώρα Σ6 Ερι uοιrι•ιj ιφή•·η. "Εωι ψ\ ίnr]<. οιιμφώ"J<" "' ιι \ηρώ•ηαι 48 ψρόμα 11α

•όθt ημiρο ιιυu Οο εpjοζόιu• .ιιι "' ιιιισψέφη 12 ψρόl"'' 1•α •άθε ημέρα που δη Ο<ι μnορούοt ί] δι• :Ή ι ιιιιΟιψο('Οε •α φ)ασι.ί. Έι,.ηο σπό 30 ημέρες

ο εpjοδότης δε• \f><•><Jllιιι \Ρήματα στο• Ef>)mη , ο\\(ι ούτε ι..οι η φμ'nιις πρέπει •α ειιιιτιprψιι τίποτε. ΙΙύuις ιιιιίι ιις (Eιienne Re1οιιι

30 ημ(ρις 1\οιi\ιψε

"φ)άτης:

[ 1730- I 793])

Σ7

,_~ _

Πού ι·ί•τιr το ,\ό&ς: ΒιJίι•" ι..άπιηε r•·α napάξε\ U UΙ)μtιωματόpιΟ ΠΟΙJ tίχt φuμμίν~ς ι.ι..n ιό πριηάcπις. Οι προ­ ι ίωtις f\εyι:ι•·: •Υιι6ρ\tι μί" '"f>ι6ώς ψεuτω1 ιφί>ι.ασrι οε τοίηο το οημειωμωίψιο.• •Υιι(φχουΙ· δ6ο αι..ι>ιβι;,ς ιιιt:ίηικες προτάσεις οε τuί>ιο ιο οrιμειωμω(φι ο.•

... Υ rιά,γουν

r.κ<η<') αι...ι)ι Αώς ψείηικες

'

'

' ιφ οταοει<:; οι· ιοιηο τn σημrιωμαΊαριο.•

Ιlοιιι <ιrι{) αυτές τις ηροιάοι:ις ι;ίΥαι α­ \ηΟLΙή: (Α. Sανίη)

Σ8 •Φω11ά!• Τι ι ί• rrι ηηοτε.\εομσιιι..ίηι r>o στο ο6ήοιμο μιιις nuι>•ΟΙ ιός, το ι.. ρ('<> ή "' •αυτό ηρό; ιs. κ rnιov)

Σ9 Αριι'Jμ1J1r"ή τω• λ.ΟpΟο\Ιώ•. Υηάρ\οu' ιιο.\.\οί τρί>ηnι 110 10 δίοοι tιι "'Ψ δόηο. τω' ιιιιιιuυιοιώ' οας. και 'ο φοί\()\ ιιιι όπως Οίι}' ι.ι._c.,n {όπου

&•

μηορείιε

•u &ίιε rni><;rί•·oι nφο-

ομέΗι ιu "''t>δόηrι από τη• εοω~φιο;ή

,..,

-

μιρeά 1ω'· παnουτσιώ' ). ~lιιorn:iτr. ,.ο

-•

ιιις; (Ν. Zilberbcι·g).

6ρtίt( πόσοι αψι6ιi>ς τρόποι uπάρ­ χου•. α• ι..ίιι!ι παποUτοι έ\ει δi.ιι ~ρύ­

Σ10 Σι ο μι οό. Χ•ψίιπε το οχίψα τηι; cικό­

\'11ς '" δίJ<> ίσα μέρη. ΑΠΑΝτJ /ΣΕΙΣ. Ι'ΤΊ(>Jf:ΙΞΕΙΣ /\ΑΙ ,\ \'ΣΕΙΣ Στl I Σ.

61 OU AN TU M ΣΠ λΖ Ο Κ Ε Η λΙ ΕΣ

43


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΕΙΣ

Χρόνια πολλά, Θείε Paul! Ο Ρου/ Erdδs <<υψώθηκε στο τετράγωνο)) και ελπiζουμε ότι θα το καταφέρει ακόμη μiο φορά ι•aul Erdόs. αuτός ο εξαίρειος

111ς μαθηματ(J(ής ζωής <>ξ ι1υ ιψ• ιη μι­

βρέθηκε. Όπως ακριβώς

μ<n'τηματικός,

~ρί] \ώrιu . Αφού ολοκλήρωσε τις οnοι-δές τοο μι μια διδαι.τορική δια­ τριβή ιnα μ<ι!Jημαtlλά. ο Erdόs η~,τ

μειαφέρει τη yύρη από \οu.\ούδι σε .\ου.\οοοι, (τοι ~οι αυτός ταξιδεύει

ο μ ο' αδ,.ός •nραyμcη.-ά nα1·•ό-

ά.\.\ο μnοφίpο\'1cις ιιρο6\ήματα και ιι.\ηροφαρίες. σuμ6ά.\ \οΙ'tας

1ιόρταοε nρόο·

φατα τα Ο) δοηκοστά nρώτα tou )Ε' έ8\ια. Ο ίδιος α,·αφέρ-

8η~ε σιο )t)ο'ός \ήοηαc;όu •uψώ­ θη~ε οω ιιφ(ι)ω\Ο• -μια

•1 μέλισσα

αrιό το [,α μαθημm.-ό κiΙ'ψΟ στο

I - 9'. Ε.\nίζουμε όu θα

στη )'Ο\'ιμοιιοίηση τωv μαθη ­

yιιψ ιι'ιιιει ιιο \.\(ι yεvίtlλια αι.ό­

μη, Οα )pltψcι άλ\ι_~ 1.500 ερ­ γασίες. Οα εμn,τ6ση πn.\λnύς α•6μι} μαΙ:Ιιιματικούς σε όλο

μαuκώΙ· ιδιώv.• Τα προR.\ήμα­ ια ιιοu α>.ολου8ούΙ· OU\1ot<>ύ,· ένα μιφό μόνο δείγμα οπό uς ι ι ο.\ \ές ι·νδιαφrρουοες έρεuνές

ιοv κ6ομ ο ώu ιε να μξιώuuυv

του.

ιοv δι κ() ιοο<.: *c1ριθμό Erc(δs»

Πρόβλημα

στο I, ..:οι, τt\ος, (η_ι 3n 11ρο· τείνει ιιο,\.\6 α~όμη unέροχα

ενός φιγώνοu. Ας ουμ βο.\ί­ οουμεμε αι.α,,α3 τιςαποστά­ οιις ιοu Ρ από τις κορυφές τοο 1pιyώ,ου •αι μι r. y. z ης α­ ποιnόσας τοu Ρ αΟΟ uς π.\ευ­

σω μtpιMi αnό τα προβ\ήμσ­ ιύ ιοη. ε\ιιίζο\'l:ος ότι οι ΟΥΟ·

)" C:κπες tou θα 8ε.\ήοοu,· 'α 6οη()ή<ιου' ω' θ~ίο Paul (ό­

ρfς τοu tpι)ώ,ου. Προσδιορί­

στε το ελ6λ ιοτο της παράστα­ σης (αι + ol + as)/(r + y- z).

nως το' nροοφω' ού,· χσiδεu-

11~6 οι φί\οι •uι uι Ι:Ιαuμσστίς

Πρόβλημα

του) στψ σσταμότητη αvσίJι­

ΟΙJμt(α

"l"rJ τοι> ~ια το μcι8ηματικό

το

•οι ε,·t)6ppu,·αν πολύ ,·ωρίc;

το ιξαψε ιι•<> μcιθηματ"'ό τα­

I. ΑΙ f\ι-tl \f>όψιι μω φμιοicι μcιζi μf /ΟΙ' Erdδs. ο αριDμ6ς σας Erdδ5 εiΙΟΙ ι . Α I ι\ (" yρόψιι μια εργασία με κόnοιΜ ιιηυ tx~• \'f')όψtι ι:ρyασία μαζί με ιο\' [τ· d8s, v c;φιθμι)<_ ιΗJς E.ι·clδs ε.ίνa.ι 2, κ.ο.κ.

44

ΙΟΥΛ Ι ΟΣ I Α ΥΓΟΥΗΟΣ 1994

Σ n.1 I

1

' οι tl\

Πρόβ λημα

_\f,-rο τοu. Τφ ιξί.\ιξή του τη

UU))(>Iλό ιιεριοδι>.ό ~~α τα μαθημcm­ κό τοu \ι,.ιi<>ι•. υ ω οιιοίο οφεί.\παι ur με) (ι \ο 6α0μό το υψη \ό tnίπεδο

IIOU 016

Ποω ''"" ιu μ(γιοτο πλήθος

κών και οι δUο. (J\o'n)'' (~ψιοαν

το .-mΟ\-ιαεtές

ιrιίιttδο,

ζευγών σημείων με μοναδιαία (μετσξίl'tους) ω ι{>ιn:αοη; Πρόβλημα S: Αnοδξίξιε (ηι

σtη\' Οuηαρία. Οι γονείς του, ι'φι οτοι καθιιγητές μαθηματι­

l..apok.

OtO

2: Δί1·οvται "

ψία δε\ εί1αι σuγyραμμικά.

ίιγ"·ωο tt). () ι •~ιιl ι,:rιlόs yενvι] θηκε

Maιemaιik.1i

Ρ ένα

τux11io Οι)μείο στο εσωτερικό

μαθημιnι-6ιφο6.Vιματα.ι Σε τnύτο t<> άρθρο θu ιιuραυοιά­

Rοήθιιοι οημuηu.ά το Kόzepiskolai

I : Έστω

ο μιας• ιtοΙ ιnιστημιακός ι..<Ι~η) ητής

μ<n.'τηματu.ώ'. Έ' ας αΟΟ τοuς Dauμα­ miς τοο. ο

J.\\'.S. Cassels του Tήnit)·

C.olleg~ τοιι llα"σιιστημίου του Καί­

μrφιτζ. <ι'αφέρει ~αρα.τηριοtι~ό:

4:

'

αρpητος.

Έστω ένα

'Ιψ1ό fl·γw''O. και έστω ότι το <1• •z.... ουμ6ο\ίζουν την οο\­ \αιι\ότητα της εμφάΙΙοης της κάθε απόστασης CΙΙ (ιμεοα στις κορuφέc; του ΙΙ·) ώ\ ou. (Π υ ρο ιηρήοτε όη

11vόμεοο στο μαθημα ιιι..ά •έηρα ό­

Σ s, : (;) ). Λποδείε-tι ότι uιιάρχει σταθερή r, ιέtοια ώστε ΣJ~ < cn3 •

λοΙJ ·ιοΙJ κόσμου. αnοv.\ούοε ι ιάντο­

Πρόβλημα 5: Λιιοδείξτι: (> n οε ένα

ιε ιο ει ι(κε''ΨΟ της μαθημαηκής δpα­

κuρτό ιι-γωvο. ι>ιι i'φχει ιιάντα μια κορυφή '}οιιο(α δεν ιοαnέχει rιπό κ α-

.ε.π\ώΙτος, αχεδό"· κί,ηπη Βrο"'Ι

σιηr>ιό ιΙJlας

or όλιι ια μέρι1 όπου


μ ιό 1t ψίιδα ω ιό ιις ίι\ \ες ~ορυφές.

.

Τη Π(ιροπά'ω πpο6.\ήμuια ιιιι·

.

.

ρουοιαΟrιJ"'" <tι<ι ιtmτηυpικο τω-

γος 110 το ι~αιό \fιύ"u ιuu 1\όzcpi­ •Ι.oι.ιi Μ~ιt·ιιι.ιιίl..ιί Ltpok.. Ιlαραμi • \UU\ ό\α ιοι-.; uωι\τίι. Το επόμr,·ο. ι ο Πικ'ι6\rιμrι 6. ήτα' το πρώτο oo6u-

r'• nfΚ)6 \ημο που έθεσε ο Erιlδs. 10 193 ι.

f...<ιι CJIHό ιιιίιιιις. ιιιψπμένη

6-

.\ιηtι. 1 ιι υιι6 \οιrια προ6.\ήματα Πf"'· ~'ι•χοηω <ιιιό ιιρόuφοιες ιιι ι<rω.\fς τοη ι·~ ι i Biι<>i

( ·Θ~ίος

Πcιί,_\ος. στι•

οιη \ rιι~u) ιψuς το ΟΙ>\'Υ(ιιχφf.α ' " "

δρθμuι>. Ο Ιο:ι ιιδ> ""''Ι)θίζη να προο­ φrι>Η ιιμοι6ί ς μσ τι1 .\ί>ση των προ­ Α \ιιμ<'ηω\' του. και σε μεpι>.ές nφι­ mώοιις το ιιοοό U\ίρχπαι

or

φέρουν ι\ u "' ιι ικι'ι ιιιψάδι:ι yμο. ο

mn rnίncδo.

ι:arl Pnmeranςe ι...ατοσι..εί'Οοt 6 ο ιέ-

δΙC1)(ι)\ιις . . l()U ("("' V\l VΠOP\OU\' υ-"

1010 ιιιψίιδιιj μιι \ι α

"1'' ιιφίn1ωση

1\ατοοι.,cuάοιι δ\ις τις

Palasti ... ατό­ 'Ρ' r» 1n ίl>ιο \ιο 11c nεριmώοιις η = 6. ί >.οι ~. ( I ι α ι u ιιιις ιη οίξοuμε

διιη ιδηrς). θrωρήοτc ό \σ τα εσωτε­

1\)\ ίψι ~Ι), Π<Ιρ<>V(Jιά/:οuμc στην εnό­

)ώηις ιιοι> bιiμ\u\ ιuι ωι6 10 ίδιο

μη·η ηκό' cι το nοράδιι \μα 'Ι ου Po meranιι· ο ιιι.: ίοι-ι.: ιιιιοσι{ωεις υ­

uι1μrιc;,

ιιοι1 ιι - ;). ι' c:) •ι lloιιa

ιιίψλ"'" ιιc (διιc uύμ6ο.\α). Ο Ει·dδs nρι>Οψίρει 10 δο\ίψι11 Ι'ΙΙΧ {:ι cx ιιιφlι· διημιιιrιψ' ΙΙ>'f>ίιιιωσιιποu n = 9. 25 δη \rφιrι yιο μι σ οnόδειξι] όn όται· το 11 ri• οι μc1 6 \ο δε•· 11ιιίψχει rιιψi>μοω

nuι><Ίδιι Ι μιc. '"' 50 δο \ι'φι cι \Ία μ ι ο

μφι­

ρικό σημεία ~ ιομιj~ ιuι><:. Α ι ι>ιισ-

3iικ>uμι c>ιι δ" υnίιι>\UU\ ιρεις δια· ;

.

;

I

I

~

ισιι ιι,cιι πrΩφο,·ες οτι υ-

""l'λ''"''

(") 4

.

.

' <>ι)μΙΙα ιομιJ<;. αφοο

με ~ό3ε ηιι\•η ή ιιοο(φωι <ιt)μ~ίων nι>ο-.·\11 ιιι ! ''" ΙΙΙ)μ-ίο τομίις. Εnομέ­ ι•ως. ας μφ ~άωιψι >.αμιίι οιιι)θι.<JΙ]

ο\ι1,.6 μι ω ιι.\ίjθος ιω' διαγω­ ,·ίω' nΩυ /)ι(r\Ω''τσι οπό έ'α ση ­ μείο. \\α~ύπτουι τότε Μο ερωτή­ ματα: llόoo bιιιφ<ψι ιικίι οιιμι·ίιχ

1()•

~ίς ν\ιύδt~ δ<ι\ιlι>ια. Έγει υπο.\ο1·ι­ σ1rί ό1t tι\ \ί,,ο, Ηι\ ιιιulό\rο'cι

μ{}ι.. μιιοf)tί \(ι ι'ιΗΊf'\οι.,,; Κα.ι no1o fί\αΙ 10 r\ίι\1010 ιι\ή/)ος 1<~\ οη·

iι\ιι 111 Π(κ>β\ήμυτά του. δει 3α μι10· ρούσε ,.<ι εο..n.\ΙJΙΧ:>αιι ης uπnm;έσεις

μι ίω' τομί)<.~ f.rΙΙn.\ίu\. yιο τη,· περί­

mωση '"" 2rι οι) μι ίωι, μιιοι>.-ί το ιι\ήθης 1ω' σημιίω' τομής •ο είι·αι

100. Ωιrrόσο. δt\'Ιpοί,ηοι ι α δtοψ.:­ \Η ...._ί,·δι'' ο \_P(Ot...uιιίuc. ctφοί' ια Π{• ριΟ<ιύιφιι ιφtιll\ijμmά 100 είι·οι ιιο­

μικρότερο anό ιιιη6 ιιc>ι1 ιο\(7t:ι }Η1 LU ιι.Η\0\Ι..,{t 2ri·)tι)\tl; Ώrιως ΟVrιοιψr αJΙό ·ι ο ι ιπραιι(ι\ω

\ί> llιιθιfι "" δίοο>.ο \α.

Πρ66λη μ α 6: 'f.οιω n 1 <rι2 < "' . . . < nι θηι>.οί οκέραιοι, δια­ φ()rετι ... οt

cn ά

i>JIOI)

ει

()

I

ή ι. \ (J I ί"" ί>\ιι διrιφοpr11κά. Ε~11μίιιηι ίιιψnοδιnρίστι tΙJι τιμίJ 'luo ιι 1 .

Πρόβλημα 7: Έυιω n· 1u ούι n \n τω'

< α2 < ...

α>.ερσίω' τηc μΟfκpή<;

2"3 . Λιωδιίξ,ιι i>Ιι ~ίιθε ιι μπορεί 'ct \f)(tφπi ως {ιtlροιuμα ι..άποιω,· α,. ιr..α3έΗ.ι ιιιιf• ιη unnίo δrν διαιρεί Ι..Η\ ;, rc (cnό τcι unό.\oιna. Αι..όμr} κα­

\ίηεpο. είιω ίιμuμ n.\ίιθεια ότι Ο\' το η ι;ίηΗ tJf)Kt Η'ι- μεyά.\ο, τότε υηάι>-

χnυ\ τετο ι cι

tι,,

. .

ιιιJ Ι ωυ ιt-.

n, I I n, J + · · · . . _ a 11 κ οι

<'•· < tι,. < · · · < n,,

=η < 2() 11 :

Πρόβλημα 8: 'fστω ότι η . .ι:2.

. . . . r,,

rίνοι

η σημείο ιuι> t-.ιιιιιέ­

δοu οε 1ει u..ή θίuιJ - διι \αδή. σ,·ά τρία δι• ι ίιιιι "'-'\Υραμικά και Ο\(ι 1iσοrρα δt\ οι ή~οιι' στο ι ίδιο ο..ύ­ ~ \ο. Ο Erιlos ιιιυιιύιι ό11 ότm το η rί\αι μt)ά.\ο. το οημι.ίu ~π&ψίζσu,·

τοu.Vψο ω\ " διιιφορετικές σπο­ ιτιι"ιοΗς. Γιn μικρό ra αι>τό εί,·αι .\ίr­ θος. Στη. npujμαι,.(>ιηΙΙJ, όιω ιι < 9 μίι.c ιcι ι()(Jι(ΙΟΙ) μrιορεί \'Ο εμ­ φιη·ιαιι·ί ,,_ι φορt'ς. μία η -2 φο-

• κ.ο.ι... Α rιτς,

\

ο Ρaιιl F.rιli\s 1\ιι UfΙU\'f>uι· συ"εχώς τα οί>ι·ορα 101> yvωu ω(; μιιθημ<η ικοu ο\ψιιιι\1 ος. Οι 11\ οκο.\ί>φης τοu εκ­

δύu, ιf:'l οι οι ώση· τrι

~1, ηDρο{ομαtcι. Σ !ιll,

• Vιγιrrrou

ιφοι!\ήμωcι, οι φωιijοΗ<; rιοο θΓιΗ

11

=- ...,

• ' f\'(Ί ιαοοκε \ ες

φίι ωνο κιιι ιο κiνψο τοu μοc nροσ-

1Ι•ές αποοτόοεις;.

τείι·οι·τοι στοuς ιιεριοοόΊφους ..._\ίι­ bοuς ιωι μuθιjμωω:ιι - ωχ> τη Θε­ c..φίο ι\r)ιθμc:), cnη Ση,διχισιιι..ή. <!ι ιό 1η θεμ•\ίωοιιιωι ΜιιΗιιμ<ηιΜ;,,. ιτιψ·

flρόβλημο 9: 'Fστω /(ιι) ο μεju­ \ί'ΗfΗΚ.. tι..,tψcrιcκ: 'ια 1ό\ οι1οίο U· ι ιάfψΙΙJ\ <,.; r<>ιοι α. b τέτοιοt ώστε

Αιά\ι~ΙΙ). ιιιι(> ΙΙJ Γιωμ•ψία στη Θε­ ωρίrι Τω\· Πιθα\ οτήτωι. >.Οι δι\ tίι uι .\ί1 ες οι 'ίε~ ιιι.ιιrο\ίς ιισυ δημιοοpjή­

\ο n! '(n!M) \Π tί,αι οκ(ροιος! ι...αι

θηι.,οι ως αιιόρροιu ωι ψιι'' .;" ιοu.

ιιιιίοδιιl:.ιι Λιι 1 ιιι μι·1·Ιι\rι n τα σημείο >.(ιθιψίζnu\ του.\6\ ιστοι ιι διοφορc-

="

ιι + h ι /(ιι). Λnοδrίξτt πως n· ιιlφ\οι)\ rι >.(ιι c, τέτοιο ci>στε /(ιι) < tΊ ιug ιι 1111 >.ίιθι n, και nροσ· noθήote ν<ι cιιιοδείξειε διι /(ιι) >

οι: ιιο\ \οί'f... ωι6 rι\ηούς, έχει εμn,"εύ ­ <>rι ππnuδοία εnιτε61 μuια. ΕιιίοιJc,

r>.ι_lμ~n yιu 6ιιιιρα ιι. Ει ιΙJΙ\fο\, θrι

tίι'αι Lιας αιιι'; ωικ; ιδρuτiς 1ου nφi·

ο\'Ομ(ιζοuμε το ιι rιρωταiΗη ιιj αv

φημου προyρc'ιμμοτος Ε1;6μψη Μα­ !Jημωι.ι:ΙΙ' ΙΙ]c Βιιι>δι 11 lf(111 ις. Ο Ρaιιl F.ι cJos εί• οι μι\οc ιι]c Οιιy· \ ρικι)ς Α.ιιδι]μ ίιι~ Ειιιιτιιιμώ" κnι έχει t~ \ι yΓί ι·ιιίιιrι~ μί \ος της Ακαδημίας tι]ς 0.\λο' δίας. της Αυοψα\ίας. της

/(11) > /(ιιι) y ι α κόθc '" < "· Γω ιιιφι'ιl>ιι1 μιι, ω 10 είναι nρωτοθ.\ιj· ιίις. δι ι'.ιι ΙΟ!/6!ϊ!~ ι , ιi+ ί = 10 .._ 3, και /(ιιι.)<3 /(1(1) I'" κάθr ιη < 10. Πρσοnο3ήοΗ •·ι:ι ιψuuδιορίοηε ί>­

Ο • Ρ;ιlί Β.ιι ,;. cιrιο \cιμΟάι ει ιη ου­ Ηψ) c.ιοί<ι με ' {οι\ς ιt\ η,)ι:)Ιιnυς, και

\οι'ς T<>L'C nρωτιι8ληtίς. Έσιω ίηι

l\'δίας και της Λ 11 \ίuc. Έ\•ι ιιμιιθ•ί

h ιί'αι n μryο\ύτφος α"r­

με αιιφί:Ίμη ι<>ι-<: ιί1 \οuς. Η π\έο'· πρόσφατη δι(οφιοη εlιcιι η &ομοθέ­ ll)ση ιιιιι'> ι φ Πιιμiοομι<ι Ομοσnο\'­

q,(n) rχιιος

b

\ΙU tU\ cJΙιοίο 10

n!,n!b!

εί­

Ηιι «•ίfΙΟιικ.. ~"' iιιτω /.(α) = α­ - g.. (α)- n. Ι:.ι..ιιμίισιι ή προοδιορί-

.

'

οττ τηι nμη του

1 ,....ι.

-ιι Σ/.(α). Πρόβλημα 10: 'Εuιω η. J'2· .... .r,, οι ι..ιψοφι ς ι ' \ος ... t1fHOU rJ-) ωvou •

σμώι του Ι!p<ιΟ(ίοι> t::rιlδs. Το 6ι.a­ RLίo αη1Δ cιιιο,tμt ιιιι tτίους μrιΟημn­ ·ιι.:ούς nnι) μr ι ι ς nrοσπόΟειές τους yια τφ· εξόrι\ωοη ιω• μαθημ<ιιι>.ώι

ιιa l

#

δία F.θ,·ι~ώ' Μοθtjμuτ~>.ώ' ΔιΟjωιι·

,

δι u) tιn ιομc:Η ί \ ΟΗ\ οι ψΗίι\Η c.ruι' α­ ν<η'' C~ψιοrι I οι~ οrιμ((\ Hlrri.Oί) ρ6\otJ 1ης μrιθι1μcιιω'ι~ ιιιιιι ι ί]μη~. 00

OUλN T U M Ι ΙΙΑ θΗ ΙΙ Ατ Ι ΚΕΙ ΑΝΑΖ Η Τ Η ΙΕ Ι Σ

45


ΣΤΟ

ΜΑΥ ΡΟΠΙ ΝΑΚΑ

11

κουβεντούλα για έναν μικρό φακό Και στο τέΛος, << Πάμε σι νεμά,), Alexander

τ

ο ψοιΙόμ(Ιο ΩJςδιά(}\cισηcτοι•

1• \""..., nοι: >.cιtlιo ιι'ι 1\t" αιι] τψ εξ,(­

φωιi><.

τοοη τοιι '",'"'ψι\·οu oc ό.\ες nς\ε­ ' rωμi rniς του. Ι:.ιιίοrj<;. μιι<>f><1vμr 1α Ο\Ιψa ιίοοιψ• ι η >ίδω \ο ψc.ιΗι ­ \ Uί' tιr)μt (OL' ()f •<ιι ιrί r)(οις- μFy(ι \η

"''1

διον.φισ-ιι..,j εnι ­

φiιlfΙ(ι διοφιι1 ώ1 μέοω1 (λό-

1ΟΙ\ \('ψιj, TOU αcpu ΚΠΙ TQU 1''" \ιι>ίι) μnopcί 'u λf>ψnμοποιη~cί nοl"ί.\οι•<, """"'6ς oc διάφuρtς

I"'

οnτι•ές δι ο ι {ιl:,ι ι ς, συμnφι\ομ(Suη•·

μt> ω1 " '"' n \οκιδίω1 μ~ ιιιψά.\ \ r1\ες ι'δρις, τω '

'

ιφ ι ο μ ι ΗCιΗ t.. uι

ι ω\

φrι -

'

Σι~νι'ι()ω<. οι φιι•οί ΧΡΙJΟψοιιοι οί>­ ι uι

<ίδι.,λα φω­ " 11 ,;., (ή φwτιομc~<.ιν) CΙΙ"tι>:ειμέ­ ι.~,·. Με τη Uuι'ι8ι:ια rνός φοΛ<>ύ μJ ιο­ rn(•με 1u ιιιφηyirγ<>ι•με i Ι(ι είδω \η

1ιι ι 1 ιr ιη;ηματίζοuΙ

'

ε>.ιi '"'"" :Ji\ουμι (ιπο φί\μ μι ο<, •ίιμι-

f''"· r'ι ""ΙΙ

οηό1 η

ω ι• >.ι 1 r]μ ιrΗ)\ pό ­ ψοι•) ιj <>r μ ια οιΙίι­ <ηCΙΟΙl ιιuη ι i\(11 ιι..ο­

τόλ\ ιι\ιι

11010

το

δοίψι· (μ<ηο\ ι>ίι .\ιιι, μt\'lHO\ ιι ι...οί φω. . οί, <(XIh<>i ιllCιψrjς). ~Ιιιο·

'

μο ιψι

.

• 'ος CΙ\

.

1 ιr οχ ημaτι-

οουμ ι το ε(δω\ο

...·

ιt ιr..ι ιμ•· ,·οu κα -

ιιί ιιο \(ι μιΊαV•τφο ιιιι' rιuτό (mn μ'"fΙ<>­ σι..όιιιο ή ο ι ο t nιbιet·

<>•ί•ιιιι>) ή " "' μ'"f><Ί­

τεpο (οω ιrι\ι·σ.:ό-

1110 ή στα >.ιάλιο) 101. μι>.pόtφο ••πiι i.Ηι\ IHιf>ft\"0\'1α \'\Ηiδ(ο)\, 10 οιιοίο

f-

xrι ι)μως; ιι3rι n.\ιj­ οι >ιιτφα κaτό tνιι1· n o pάy o 1 ω ι· •α τ<>­

' ι tl διιΗf χ ι \ ι (c δω\' ,

46

noc

<ιιtc-)(J1C10il - ο· <ιοι{)\

lll\'

nεpίnτώΟη

η δiομι1 ωι1 φι.η(κ; fί\αι σ.\rδόι· ιιu­ ιι{ι\\ιι lιι () ι a naρίιδει ψu, η δέσμη T<>U ιψuΗο.\ί 11 ι νiις ιιφοδpομίοιι). Σ< ιιο.\ \tς n φιnτώιιιις ιιοu είι·αι

Ι((_ι} \ .

'

Ziιberman

Ι Ο ΥΛΙΟΣ Α Υr Ο Υ ΗΟΣ 19Η

>.οι ιιψωuί>ΙΙ f>ι>ι>ς, διοφοpnιΜ>ύς φ<ι ...uί..: - >.οί\οι><. •ιιι ... uιnούς, \ε111CH~t~ ... cιι IICI\f ί<;, Ιι.. CΙ1tι0Ιι..tι>ασμέ• 1<>ι..: από διόψuf><>Ι>ς ..rιι ηδuωύ<; τύ­

που<, διuψu":" ι•\l"ώΙ'. lllnopεί μύ­ \ι ο ι α ιr..άnnι nς 'ο \ Ρ•1u ιμοιιοιιΊοr. ι κπι qχ·ι.ούς που η 1ιωμι ψίιι 1 οuςεί­ \'Οι ηιο rιu.\ί>ιι\υ.,.ιι ηι ι' αιη ή Ηι)\' ου· "''}θ(ι)\' ιιψω ρι .._ς~t\' f ι ιι φιcνrtώΥ. Ομο­ ,\ οyοομf ,·(ιΗ.;, οι Ηnι\οί unο.\οyι ιιμοί

σημο' ιι... έι. . ιιι ιι'> ιψcιι.. ι ι κiι όι ιοφη, ιο

ιιου μrιΟ οί,,οuμ ε

οιιιυο..ύ οί,σ ιιιμn αιιο·ςελεί1αι απο cφ­ ~.ιοί><: ψfrκοί>ς. Ι'ι (ι ιιιφίιδηj·μο. ο α-

nλο(σιc:ι rιις Ολ ο \,..rις φυσικής γιο

,.u

ι..(t\' ο υ μι.: στα

1 ιι • rιμf ι >. ος φ«•ος μ ιας >. α μ φας

διόψuf><J ""1Ι• ά συοτήμοιu ι;., ε­ ιιαρι..ού' yιο τις προtr.. ιιι..ί<: οι ιαι[Ι}·

μιωι••ί Ηι ιιιιcΗf \είται οrι<) δέκα, ή

σεις

1

'

.

.

.

nou Οψοf><>Ι'Ι

'

ιιι; \ f>ψ> ιμ οrιοιοιι -


μενες δια ι άξειι;: ιικ(ιμrJ και yια ιοuς

φα..:.οί>ς ι1οη ·ιοιι()θε-ιοί>v1πι (J1H uψη· \fις ποιότφας ματοyuάλια (yια va

'

' μι}ν αvαφψουμε τους φοκους εncr ·

φής!) συχ1•ό οι υιιο.\οyιυμοί

\ (, u·

Ι ωι με IIJ Ι!uήθ<ιu ιι\<Κ'ψU\'lΚώV U· I ' ' ο:\ ' ι ε ιι ιc: ι ω1 R' μι:ς ΓΙΟΛΟ)'ΙΟ1W\Ό κι αιηο

Ηεριοοεί>οο\' οι οι ιο.\ο) ι<πές "-ftl δr\'

'

' ι:χου μf τι Ι'rι τnικ; κσΙ·ουμε.

Σχήμα

Σχήμα 1

Πορ' όλο αι.>τό, α~όμη και μια α· π\ί} θεωρία μιrοιη~ί να ω ι οδt:ι:'(Η·.ί φrιυιμ η . επειδή και οι υπολοyιομοί που

" yι' Ο\'101

, κα1 ο

, ΙΊfΗJUεyyωη

\

rι< ~.,-

δείκ"ις διirθλαοrις ·ιοu yu<ι.\ ιou. Α υ·

τό μrιοpοuμε ''α το διαrιισιι~οουμε μίnω ιοι>' ι'ψοu ·ιοu Snell :

\ίς ψ<ψf.ς rίνιιι επcφκείς. Ας δοuμε τις διαδρομές ηοι> οκολο,θοίη οι φωτει,'ές άκ1ί\tε:: ι ιοο ι ιροοι ιίιι1ουν οε fχαν οι·ι.\1>, επιnεδό•υρτο φακό με

,

,

,

,

οφαιρικη κυp τη επιφαvεια ακτινας

καμι "'\{, ΙΙJΗΙ<; R. Ειιiλr.ξα αυΗ'> ιη <i • δος φοκού δι ότι, n' α~>τήν τ ψ· περί. ιηωοη, οι Ωιιcδμομiς των οιοiγων

tιιι<~

uι ι' Δι ιοο.

L-

R

ιι - 1

' ' ' η uno· ' ΔιαηιιηωπΗ.ψι:. ,\ οιJΙοΥ, 011 ο ιuοιιιιuυ npο~6ιηει δη εξαρτάται cιπό τι1 γω1·ία ,j

-είνπι η ίδιο γιrr

τα ημίτο1•α μc τις ywvίες (μετρημt­

f>. .\fς τις οκΊ.ίης Ί.Ι]ς δ~ομιιc μιις - , "'"

Ι'>:<: Of. ι·ad) ιψοκίJιιιι:ι: h ~ n / n. Η οηί,·α αυτή οτη σ ι }Ι·έχει α rιροσnί·

ρC..\.\η.\ες δέσμες φωτός μετά τη διά­

\ η ; ; , ι, ντικrιvιnτωΥτης ~rιτn προσFyγ ιnη

πτει mι1 οφαφικrι διcιχωριστι~ή επι­ φάνεια yοαλιοίJ · αέpα υ ιιό yων(ο

φωτός θα είναι απ.\οίιστφcς. Ας ιιοίι· μι: 61 1 ο φακ<)ς έχει κcηασκrυοιττεί

" • -..:... ι1, onoo

nn6 yuα\ί •<ιι το υ.\ικό που το'' ηφι·

του κύριου οπτικοί> άξο,·α του φα­

' μι-..'ιαξ'ο .~ tι' νrιι η yωνιι1

Fl

βά.\λει εί1•αι ο crτμοοφαιρικ6ι: ιriψιrι;.

κuίι ~οι ι ης ο~ ιί1·ας καμιω.\ίηητας

Λ ς φιr1· ιιωτο(ψF, όη μια ιιορά.\.\η­

Ο ιο οrιμείο ιψί,οι ι ιt~ΗΗJς 111ς ψ<ιΗ€1\·ι;ς πκτίνrις. Η ακΊί\'Ο , οτιι (HJ Vf·

\rι δέομrι ψωΊ.<'>ς rφοσπίππι <ΠΙJΙ' επί.

ωι: ι:κ 1 οί>1οο αιωδείξαμε <>τι οι r1u· θλπnή τnιις οrιό ιο φακό οι>γκλί1·οιιν

oc

ένα Οljμε[ο· οnο.\ο,·ίοομε, μόλι ·

στα. τη.· απόστασι1 μεταξίJ cιιηοί> το11 οημε[ου "οι τοΙJ φακού. f.ημει(.,. στε ότι ό \α αυτό τα σημεία σuγκ.\ι. αης (rιοο cη"'ΙΗnοιχοί>ν οε διι1φορες \'ωνίες rιρόοητωσιJς} ω·ή~ου,· στο ε­

ιιεδrι ειιιφ(ΙΙ·εια του φακού μος. Γ\'ω·

χι: ι α.

y(,)-

c;τιιcικό ειιίιιεδο, ro οιιοίο ε{γaι κάθε~ το στΟΙ' t..ύpιο οπτικό άξονα του φα­

pίίοuμε ύιι έιι-ει ΙΗ uιιό

νία ως προς τοv κύριο οπτικό Cιcol'α

κο6 και βρίσκεται οε απόοτοση

111 δι<Ίθ\αοιι

οε έvc:rv σοyκλίνον·ια φιη:(), ουyκ:.\ίvει σε

' ενα

' σt]μειο

ποu

β pιο~εται '

Καταρχάς. ιψέιιεο vιι δοαωιιώοοuμ•

f'ξfφχηιtι

;

t

;

ωιο -ιο φιηω uιιο

( ~ + J}ιr - ιJ =η + (ιι -

ο ιο

ι:σιιακ6 επίπεδο. Ας δούμε 10 yιcιτί.

R/(ιι - I) αι·ι6 το φακό. Με άλλα \6yιn. υπο.\nyίοrιμε την εmιοκ ή ηπ<'>­

l)J.

r: αιη() 10 οημι-:ίο μ<lς tίνω ωια­

σιuοη ιοιι φακο(, μας:

J- R

·ι ο ιιρόβ\rιμα οκρι66rιψα. Δr.χίψn· mε ότι χρησιμοηοιοuμε έ1·αν .\επη)

ραίτητη Ι] συvθήκι] του .\ειιτοίι φα· κ<>ύ: f)(ι ΙJεωr>~]οοuμε c'nι τα οημεία

φα"ό (πσροκότω 3α εξηγήσω εηcι­ κμι βώ~ 1t ε η·οι~ ό1<η· .\έ<ι) «λr:ι ιi 6ς

εια6δου Ί<ις οηίνα ς στο φακό κο ι ε. ξi>δοο -ιης αn<'> ou'!6,· βr)ίοκοy·ιcχ1 <rΓΙJ

ι;.{,μιl ιηη μοκ r>οοι..ελ~ίς οιιο \οyι­

φιη:(>ς~ κrιι τι nι)έπη γα εξοιρέσοu­

ίδι« «πόσταση

από τΟΙ' κuρι ο Ο·

ομούι;. μιιοροί>με 'ο 6r>η(φι-· iνfl\. ct·

μ•), κ<rι θF.ωrκιίψF. ότι η yωνίο πρόο·

ηυκό όξΜα. Έτοι, oc αnόοΊΌΟ<J L ιφος Ίfl δ~·ξιίι Ίου φπκού η ακιίνη θα έχει μετcrτοπιστεί κάθετα σε σχέ­

νάλοyο Lί)HU yια 11)'' εcrιιακf] rιι 1όcιια·

πτwοιJς είναι μι.ριj (uιHf> ι ο οτοι· χε:tο καθι<Ηά μι..,ρό ι u οφ(ιλμcι, 6ταν θα αντιιωταοτήοοuμε ιις Ψ>ηφ·

-

= ,, . ιιιιc.

2

'

..

1-'J'' ιοιu 1 '1" yωνία α. για να ι..ά,•οομε αιιλuι'κτΗψους

τιjσεις ημιι και εQΟ μι

τους υπολογισμούς μας). Αιηές είΙ·uι

οι] μι: Ί.<> οημείο εξ6δuυ της οπί> το

φακό t..αιό L · ((ιι - l ).J + n], ιωι ι1 αηόστασιj τι1ς σ' αι>τή ιι1 θέοrJ αnό το\' κύριο nπτιι.:ό f.ιξονο Οα είναι

\οyικtς αυνθrικες που αντσποκρίνο·

'

.

,

Η= L · [(rι - l)J + a] - J/.3.

ντα ι yr.Hι..ιt uε ιψιιγμcηικες rιιφιmw\

,

,

,

RJ

Τι:r ίΩια πrΗ)ψονώς θα ιnχύοuν yια

οεις αι LΛω\· οι ιιtκων ι ιεψσμιηω\·.

Λ ς αχεδιcrσουμε το φο~ό και τι1

n - I

~lc 1 ον ίδι ο ιρδιω, έ"ιιt:ι 'ιct α11<'> α­

;

;

;

;

οη ε1•ος σψcιιρικου φcικου. ο οΙΙοως

ο~ι)μαήζετcrι αnό δύο οψιιιpικές tιιι • φάvειες με ακτίνες καμπυλότητας R 1 και

R'l·

Είναι ιιιο 6ο.\ικc'> νπ r1HfH)l1 ..

οΗ'ωuuμι- <.ιuι(•'' tO\' ιύnο σε μια ..:\η­

φι":ιι: διrοφιψr.1 ι κι'ι μ<ψφlι:

I ) . -+-

l = (τι - 1 ) ( l Rι

!

R,

δωδρομή μι«ς αrJό τις προοrιίΙΙτοιι· uες αηίνες (Σχήμα Ι· εδώ ο φακ6ς

οηοιοδι]ΙΙΟ ιε δείΗψ'Ι ακ ιίνu ΙΙJ( <ψ· χικ{ις δέομηc. Αυτές οι δίJο cικτί~<ες θα τέμvο1·ται μεταξ6 τους οε κάποιο

Οι α•τί,·ες ~αμιω.\6τηΊας μιιοροίΙΙ' Ι'Ο είνοι και οι δοο θειικές («μφίκυρ· τος φακός) ή αρνητικές (αμφίκοιλος

ι:Γvαι παχuς κrrι nι γωνίες μεy(ι.\ες,

οημείο στα δεξιά τοu φcι"ού (Σχήμα

φακός}, ή να έχnυν nvτίθετπ nι,ίJmι­

yια διεοκόλοvuη u'ιr)v c.χνά~'νωοη ιοu

2).

Ει ιuμ~νcι.>ς, ι::ξιοc~νο\' Ι<:ις Ης ω ιο·

οχήμαως). Η ιι~ιίνη ιιου

CJH~rorις Η f.'Ot yl(llις δί)ο (ι)..l(,ες,

προσnίnτtι στο φακό ως προς τΟΙ' κuριο οπτικό (ιξονά

6ρίοκοιιμc ιψ unόιnuor} L tou ση·

μ<J. (Σ uιv ιrφίι rι:ωΟίJ μuς, ίιιruιι έχuιι­ με έ\CΗ1 tJΙιιιεδόι..υμυ.) φα~ό, η μίC1 από τις δίιο ακτίνες είναι aπείρως με­

"" lfcιψ• uιιό γωνίu a

(()I)'

μεcir υι διόθλαση nτηy εηίηεδη ;

;

;

;

;

ε ιιιφανtια ιι ~C.ι)VΙ(ι μιι..f1ιηνει κιηη ε·

VQ\' nαρά)'Ο\LQ ιι, 611011 n Cί\'UI Ο

;

;

;

;

γ(ι.\η.) Α,. η ι::cτι ι ακiι αι-ι6<rι ηση 1101' ιψοκuιιι.ι ε(, αι !jεηκή (λέμε ιιως η ε­

μειοu τομης τους απο το φακο:

L [( ιι - Ι ),Ιι =

+<> - πι, ~ r,[(n - Ι )ιt1 + rι -

R.ι,.

~η icι ·ιιΗ1 φuι..οί> rίναΙ ιιpι1\ μα1tι..Ι"Ι) -δι].\αδί]. οι διαθ.\ώμιης δiσμει; ίι-

OUAH TU M Ι ΗΟ ΜΑΥΡΟ Π ΙΝλΚλ 11

47


\"'tιvς ΟU) ....\ίΗ)Η\ σr

t\·o σημείο-. ο qκι ..Κ; '"ομc'ιi,ποι οι•1 >..\ί'ω' (ίι θεtι·

fnf. ηι..c·•μη nιο Cιnομα... pοομi"\Ί··ς ακτi·

θL \οιψι 'n δούμr ιu ιίδΜ \() (ιιηού tοι, ιpt•>ΗΙ\c•ί~ οιlμt:ίοη ιιοι' 0\ηματί­

t.ός}, Λn:ίth.tcι,

rι t:tnιαι..ή ωι{wrια-

\'{C \0 •llf>OtJ\fιώ\'0\'1cn• ΠόΗι)1.0Ι'.

ζιι

'"1 ιίΗιι "l'"l''"'l (\fμr πως η εmία

ΙΗ6αιο. ω• ιίι •ι μi\Jοδος ο\εδιu·

OlO Σχήμα

Ct\

tί\Uι φ<ιηnοτιι..ή) -διj\οδή. οι

οοι,μt ιο μr]ιr..~•<.; ΊΩU φα-...ού. έτοι ώ­

no·

oμt.)t\ i)llt.Κ. Ct\ tι\«μΟiιΗιτιr~ cιφnpό

ι•<• \\η \ες οι.. 1ί .ι~ ""ο~ \ί,·οι'' μ(\ ιί

f,cι φα.,.(J •tJHι \ιιρτιό•. Για έ'α'

τη δι(ιθ\ιtι>η - . ο φ<ιι..•'•ι.. ο\ <>μάζετοι

ΙΙfΗt) μ«1ΙΙο.ή ψ(ιΙο.ό. [U ΩUfκιΙΙάΗsJ Π· ιιο ιι- \fnματeι Ο\ ιuι ιοι.φίΥο\,-α\ μό,·ο

UJΙt" \ί\ (ο)\ (ή <ιp\ η ιοι..ίοι;).

Υιιίψ\" μιοι ιιn\ή U\L<Jιj. \ \'Ι<Ηπή

σι •σωu ιί~· ""'ί.rι; - δη.\αδή. οε α·

ω' ιί,ιιι~ς L(ι)\' φιι~ο..ι:)\' (μπορeί \'Ο ου­

.._l,\l(,ΙIOU Ολημcηίζοο\ μΙι...fΗl \(~J\{((

\'U.\θι · ί

μι- 10\' κ{φιο tΗ ΙΙ tt..Λ {~ξ:,•ηΗ t..αι nρο­

1 rωμετριι..ά). lloΙJ οu,·δ€ει

ιφ· cιnόο rοη ·"~' ι • μι:,·οι' ι.;rc ι ιuι,

μηαξύ τοt) ct\ ιι κι: ι -

• ψΗ ι-.. Οu.

rψ· cιnοc.Η<ιο ιι

..,~ μ( ιι~f:,ι'1 ιοu φnι.;οί.> kαι ,_ου ειδώ­

\ου. "'"

11]\ ιuο φcιι.;()ύ:

"""'"ή rιπόστοοιι ι I

I

I

.. ι

"''J

ι

- + -= - .

• 1f ~ο ... ι'

ιοu ψtcMH>.

ι\ς \fJΙjuιμοΙΙοιι'ιοοΙ>με Ό) μέθοδο ιιοη ιιι fΙΙ \ fΗ~ιψομε nαρuηUΗιι. yι α 'rι \ύσουμι ί\CΙ cιη\(ι ι ψiιfl\ιιμrι. Στο Σ\ήμο <I 0\ίιιι>Ιψ> t\(t\' OU\K\i,·onα φα...,ό. ι ο' tιl:.ο\(·ι tnu ιr..ο1 111 δΗιnr)()·

"' Ιiι>ούμε το

0

I

δuίψι ι ο 1 ί/\ω \n της οημrιοι..ιjς nη· yιjς μό\Ο tά\ ι ο μ{ι 11 μας Οpίο,ετcιι

Σχήμα

μrοα οιη Ιf><ψμοο'""Ψ'"l ιπφεά

4

\ω' ίιι '"" Σγήμοτuς 5.

τότιιτο

ΟΟο.

ι\ς \Ορόlσιψι 111 διιιδρομή της l.lorj\lψ ιι..ίιι. ιιι..tί\U~ φω ιίκ; '"''Ηί' οι rt<ιρ<i.\\ιι\ιι ιrιφ cφγwj ηροοπίmuι·· Ο

#

tί\(JΙ fiοΗι ι Λ \(t δούμε ούτε ιι) cρω­ τrι' ή ιιιη <ι uι'>ιι ι ο rί/\ω \ό της. Γιu nnpάlitι\ μα, cιι; 11uύμι i> 11 llf"'"ι'ψa· u~ι ιι \t) οιιμ• ίο η ιιιη ίι .... \ύιιτπrιι

n:

ω ι() ιο tpcιtr.-6. ι.;ccι είμιιστε ίξι.• ω ι{) Ί.Ι)

στερεά \ω\ ίcι cιιιc"• 1η\ οποίο μnοροί'­ με Ηι Qc,ί•μt ιc• tίδω\ο. Γιιι

\1ΙΜ) 10\) ψ(U..Ot•,

1fί\Οιψι •Ψ ι11 f>Ι<>\ή όnou τσ nραy­ μοτι.ό είδω \11 ι ί\1\ι 1\u,·ατό ,-α πορο­

διcι8\ίιιιιι. <ι\ \(ι

I

((ι\Η) Ι) tε.._ιίηι δε\

10 οημι ίο

ωμrιι; της

μι 111 δω\)\ι:ψ" 'I <φ\τ~ ακtί\0 llι>i·

\tt

rιιι:κ-

ι-ηίπι:δο.

τηρι]8tί. μ~ιοι>οίψt 'οι \Ρηοιμοιιοιή· οιιuμε μιu u\1{" 'I· Α' τοnοθrτήοοΙ>·

11cιpεμι ιι ιι ιι),·τως. μιτοpοίψε 'α •<ι·

μr liJ'' ο\Jό, η cι..cί οι..ι>~flι:>ι; ι)nou CJ)\η·

ηισψέψοι>μr• 11~ ιιι.. ιίΗς -θεωρώ·

μα ι ίζι'·ιι11 1<> ιίδω \1'> της ι "11ής. uι 11·

οk.ι 11ιι nό,-ω στο

3

!CίΗιι r,·Ι\ιcιφέρο\ το yε1 ο\·6ς ό'Ιι Uιιίψλ ()Η\ οιι μιι(c_c (Η ιό tcι 01 10ί (! fiι-'\'

00 Ολτt\ (l tr..Ctl fιt 1)\ Ο (Ιn() tO 01111t..O ι..ε-

0

Σχήμα

~

ιο φοι..ό. Εnομέ' ως, μηιψοίψt ,.α

μίι μιιι~ ιι-.ί\ nς πρι\' ι..<ιι με'l<11.rj διι1· 8\nση cιιιύ ιu φιικι;. Ζητείτοι \'Ο 6ροόμι ιιι \)ίοη τοι> rmιoι..ou ειιωί ­

τη διuδι><ψίι

~ --

f>ι>φι1τιJ οιιμιιαι..ή ιιrη ίι ι..ιιι ως 6άση

ιιεδο - ι ι ιιr>\ ι ι.. ή οι.. τί' α ορέιιcι ,.α ΙΙ> Ι" Ιι ιιnί> οuτύ ι u ίδιο σημείο μcιό 1Ι]Ιiι(ι3\uοίι nις (Σ:_χήμο 3). Η δt>\U·

'u \ ιφΜ,οuμε

ση το είδω \ο μιcιι; uημιιι.-ίις πιηήc

nun ιιφιιψιφηαι μεσα mσ \Οητό ~ώ' ο ο οιτοίικ, i \''ως •ο·

<H f μflo Ί<Jμιιι. ιι ι ς ψ το εοτιοι..u ειι ι·

eι.Ιψ<-t) μct ιιι.;{•ι:.• φtι~<'•ς, OU) ... ει...ριμ[­ \ΟU με\ίtluι'<... t• ιιιηή τη,· πφίnτω·

~

Tn μό,·ο ιιuο \fHιfrζncιι εί,αι \u λιι­ ράξuι>μι Ι ψ nnrι'r\ \η.\η Ουηθψικίι

J

5

τις αι..tιΗC

ι ψ.; cιηό έ\Ct\ Οο)t...\ί,-ο,-τn φακό.

"δε,· διιιtJ .\(ιιrιι•) ι..<ιι

Σχήμα

φωτός σ\ιιμmίζrιιιι ωι<• t>\ιι; <ωτέc

ι..ά8ι <ιι.. ιίω φt.n(><; μrτά τη διά8\n.

uι..ιi\(1 nοι.> nεpH! αιι<') ι ο οπ1ι"ό κf .. \ '1fH1 "t()ΙJ ψuι...οίJ (ιιιηή η α ι... ιί\Η

5 <ιιιt.ιιι..cη ίζt:tαι έ\ ας

οπίι ι Ι ΟΗ\ ο~ .. ι ι κι·Ί κuντό ο-ιο οm ι ... {ι

Ti\oc:. εί' οι εί•ι..ο \ο ,.α προοδιορί. ίο ι ψι "I 1\ιοδρομιj ιοοι> διο1 ράφει

()()

; 'nς ψ(Ιι..ός. Ας fιιcι.ψίιοοuμε ότι

co ι ιcη;.{ι

μι«ς tιι..ιίΗις ιιοu fΠι.\έγοιψc ιιυ8nί· fιΗι.. μιις florιt1{ιrι σιιμο' τιι..ά t>ι <n θf\nuμt '<ι U\•Jμo ιίuουμε κόπσω εί •

' ι ιι~ ι 'I'' ι φoonf ι ι ι οοοπ ω.π ί\'rt ως

ι.. ιfνι<.; ι ιοu θcc Q\'((.,.,\(.ι<J ιοίη ιι Cινω

διηθλι:ψι "

• • nponunoι •ι)ο - ""· οηως στη,· rιορο·

LΙ)t.: θιι Ι nζιδ(tii()U\' npoς "'-άθt ΚUΊ~ί'­ θΙ>\ ύιjl

δω\υ tJΙ· i\(t rιο\ί,ιι\οι..ο unτικό οί.>·

tιΗ\'fιΙ nι-·rιrιιωοη, 'ο f\' Η)Ι lιοοuμε το

~ι , rιιη6 ιο' ψ<)ιιcι fl \i_ιιιιt τις ει·

εοllcιι..ό tΙΙίιιιδΙ> οτψ 6\.\ιjιι.\ειψά

Kii\tς 0\Jj\

uρι()μc·, t.ptιt.c;>,. ~η· γρηό(εtuι \Η fl·

ι οι~ φtιtι.ιιύ. Ωu ιόuο, ..,tη τn δύο ε­ σιιuιι.ίί ιrιίntδn npinει \α 6ρίοι.;.u\Lαι

ψΟΙ>. Α' ιψοοnιιΌήοοuμε \Ο nορα·

Ο\ο\η&ίψι μι ιιι ηδιάμεοο είδω\ιι

στη' ίδιο οιιόσιιωιι ιιιιί> το φακό.

μεοα

01 Ι}μet Ι ltH.' eιnοτε\tί Ι ιιι nnό μεyό.\0

ωι6 ι..th)r φo.._c~J.

Πρίnει ω ιιιιιιημΙι,·ω ότι με οnιή

11\ 'u

μi\J<>δο 0\tδιοuμοί• μnοpοίψε \f'ψ"μοnοιιjοοιψf ΙJΠοιrοδήnοιι

ΗΙο.1ί\Ις tι~ο..Λμη ι..Crι 0:u1iς 1101' ΠfΧΚ'· nίnιuu' ι>ΙΙι'> μη·ό\η yω\·ίcι ως ιψuς το'' ..._ύpιv οι ιι ι κ{, ι1:ξn, α f1 οιηέ.ς ιιtΗ1 tιr<Η'Ηιίι ιιοο\ ι...ο\ ι 6 (Π(Ι χείλη rου φη<οί>. Μ ι ιοροι) μι ι· ι οι ι ι.\f.ογ ,.α οuξή·

48

ΙΟ ΥΛ ΙΟ ! ' Α ΥΓ ΟΥ!tΟ! 1994

-

.

I· <nι

τη διcιωι:ψε"η ω~

.

Ας ιιιιι>φrψοι•με ι..uι ιιύ\ι οτοι.-ς

•npα\ μιηtι..οι'·ο;· φιιι...,ύς. Σ: υ' ήθως (Ιιωικιίψι ι'ο\1 μιιι σιjμειαι..ίjιuηιi tι..· πiμπει φω~ ομοιόμιψφα ιψος ι'i\ες t1ς ~ωιuθί" υι ι~. Οιιοuliήποπ κι .,,.

(lιιίιιι..ι ιrιι το μάτι, οο.\.\ομ(lά' ει ιψ πnotr.. \ί,·οuοcι δίομ η φωιί><.;, κηι CΙ\'11· .\αμUο>ύμιω 11 ΙΙ> φω ι ειν<> σημείο.

Τα ΙΙfΗ~~)'μtc1(ι δι c.ι.φf(•Οt'' κιlιιως. 0\f

tJ:Itl\ljH>I\

ι..Ι\ημοτοyρά­

Μ)\t)ι,Οι"ιc.ο\ψt μια tιιι\ ίu "'-ΟΙ ιι:)ηας ~

oto\ CJ\

I

~

;

ιι"'-ιιμt Ηι.::ο φ<ικο του

rιρoflo \i η. ή \Ρηοιμοηοtt:η τuι; i., α\ κο\Jρέφτη 0111 /)ίuιj rιι~ ο3<)\ ης, θα

δούμι. UΙΙ\' ι..cr\ί'tt(>η πφίmωση. μ<•"' i"ι μ~'f><; μiρος τοι> ou,6\ou της ειι..6\Cις. Θιι 0\ίιιοιψι διοφοrr· 1ιι..ι'ι μlf>IJ ιιις ιιι..ι'ιως anό διάφορες

θίufις της <ιίΌοuο<ις - ι..61 ι """ ο σι..ψ otlί ι ιjς μ{ι.\.\ι"' δι·,· ι·fχ•· ιπο μuο· λ<') 1ου () ι Η\' yίφιζι: την ταινία. 00


ΤΟ QUANTUM Δ Ι ΑΒΑΖΕΙ

Κρίνε για να κριθείς Μανώλης Αναγνωστάκης

οίψιιω. 'I μοΗ>δJ>υμη διuδu\ή ιιιφό1 ιος, ιιαρε.\3όΙ-ιος ;.οι μf\ln•-roς (το (Ji\oς τ οι> ""'""'') 1\11 ι ί "" ιιιψίι μια cn θρώ· 111\ η ψει•δαίο:>ηοη: μό1 ο η :!H~f''i'"l ωυ ούμιιαηος αιι · ι η

Εισαγωγή στην πολυπλοκότητα iΙΙ".Ι Pι·iι;;Oj(inc ~οι Ι ΑΞ/1

!sabelle Sιengers:

tt~ttιιιc'ι ιιιc- ""'"ιύιφιις ιξασφtι\ίζιι

\ft :OA ~/ΊΟ ΙΌ ΧΑΟΣ

(Α η \ω'><; tίt \ος:

Order οuι of Chans)

..ώ,

θεωριώ\ ~ λμ,ιrφσαίu. ι(}()ψ<>Ιιι•όuιιο, σμι>ιuιiοtιο εί1eιι οι .\έ·

~Ιιωψιιuuι): Μαιχu .\u1ιωιίn:uυ f.•οοοrις 1\iδpnς. ,\3ή\(ι 1992

του Σπύρου Μανουσέλη Mtrι φcφ6 ι.. ι {"\'(t\' ι..rrιικ) nι (n{)fΚI)Πnι ζο('""' οι i' Η ι ι'ηη· Κ10 ~01 Ι'Ομο•pατnύμη·ο ούμnα1·. 1110\' έΙ 0 σύμnΙ\1 ~(<}(>ίς μυοιίtριο •ι:ιι ι•nλι)ξεις, αψοί> οι (JοοLΙ.οί 10υ 1όμοι cf\ CI'' μ ω yιc ι ιιιt\' ιc ι cc11oκc ι.\υφθfί αι ιδ -ιο μιyc ι\οφι>ft; tομ) cι ιο\1 Κο· ιι(ρηι..οη. 101} ro.\ι\Hint' ... οι 101) ί\ι ι'ηω\η. Θί Ι()\ ωι. ι..αι (ι 101· 1 7ο ωώω1α :>εμέ.\ιa 1ou μοηέρωυ ιπισιΙJμ<>Ι'l'<>ί> τρόnοι> ο•lψι1ς, αυτοί aι με1ά\οι εnιστι)μοΙες/ψιλόοοψοι ΙlfJU) μu ιυιιοίt}ΟU\' μίu ω ι{) ης μt:) α.\ί:ιεpt.<.: διu' uψιιr..~ς ιιιu· \U(n{ιcιιις ΙΙΟΗ )'\f:ψιrn· ΙΙCf(ί: rι m{.)ικ:κιΙ\Jl ttτlfψίu,

Η 'iα cηιστημοηl:ή μέ&δος που διαμο~η•c aπό τη~ •ιφιιοt<ιΙ iι ψι\οοοφίa•αι τη ΗιηώΗιο ψι'<Ιtο.ή &ι ιιιι(Ιίι\cι ο ισ\ δι•ιιι..c') ιιc)\ι ιιομύ. (L\\ίί ι..m σtu\ αι Ορώιιι\ ο Ιfκ"Μιο tJ..i·

'1''1' \ι \Ιι..(Ηι fMr,

"I' ιι\ή()ηο tωΙ ψι•01·

μιιι οι-ιrκ'ι nnό npωti)\' Mf» ι;. ιομ~·ι;. ωΙΙJ·

ξιιc·•\ιιδιά JlCι τη,· >.αtοΙόηση 100 'εοτιρ<•ο(' ψόn<>υ m.i· ψ ψ;. Εδc;ι ..,(t\ ι f•ιι~ Ηιώ' Η~ Ι\) .,.α, Ο\ ιστιιι.ό ιδο' ιι..ό κό3t f11ΙΟΊήμι]C -οπό tη ψl'Οι.ή ώς ΙΙ)6ιι>\<>jί<ι, CΙΙΜΙ 11)\ ψυ~ο\ο­ \ ί<ι ,;,ς Ίη. "'" ι.>\Ιο \ιη iιι - ι ί~rιι ΙJ οω(ήτηοιι τ οι• ορνμή· fifιou (Jf}μti()U ιl ιΛΙΊΟU 110t' ι'Ι1Οιί0t ΙC ΙΙ ••11 ι 111 ψ111(1 <τΙQ\ (l\ ·

θρωπο τφ· οuδrτεριι ΕΙ αtέΙ ι ο• ι"''' ιιιιc>.ι'ι\uψη ΊwΙ ·οιώηω' μΙΙcrιι.,;,. • rι]ς φc'<>ι)ς. Η

01 aζί] LΙ)ΟΙJ .\οιιΊόΙ· του aόρ«τοιι/ο·

n.\ού πίσω aπό 10 ορ«rό/πο.Ιύrι \ιιι.<ι, δι ι \ιιδιj 'I '"''ψ•ψκή· rlla \uιωί μα'Jοδcκ;, θfιψιίιιιι μί~f" οήμφα η Οaοι\ικίι Ο·

1\ί>ς I"' ιηv εrιιιηημοη~ίι ιδιιιnοίψιιι •ιιι • ur"''f'\'1'"1 ιηcψί>·

Hlt'- ιrιιΔ

ΊΟ\

,ίηrι\ \Ω

6:\ 3()(·~110. Η 11'\ (ιιι.'Η '1 t(l ...α. rι οΗrβηιίηη ι α φαι~

•xou\ vt:.ο<τιfΜι.,.ιηι .. ί cφωιιtr~.(;ι ω ι<'•

της ιmστήμης. Και ήnσu i•c" <ΙΙ

''I'

1 μφιί1 ιπή

ιφ rιιιiο..ρlnεια

tnuς. :>rωρ<>ύ·

' ω• αοίtμα> τες εξαιρiοιιc που οφεl\ο• 101 ΜΟΙ..\ιιοτικά ΙΠΙJ' m·θρώιιιηι .η' uιu ~uι ή ιrιί.\εια ιω' tιιι·

"I' "f"""•>f"'

m:ημο""ώ' μοc •φιιι\ιίο>Ι • .

•η~pώι>!'ιc •αι μηατοnίιπrς: η Γη εξορ(ίnοι από το •ί1-rpo tOt, η\ιω•.οι\ Οι'()η)μαtΟ('. οι t, \οι ες 10L' Λ<~ψuι' ._ω ωt' \fw'•·

.\ιηή. nο\ύ ΓΓ\ημιιιι~(ι, tί"'ι ΙJΙΙ'f'ΙΙf><ιψίJ tι)<; >..\<ιoιt..i}C ι ΙΙΙ<Jlήμης 1101' δί\01'\ () ll\d l'nj!~lll(' •α• 'I ι-.bcllc Sιcn­ i(ers στη,· πρώτη η·ότητο (•εφfι\rιιn Λ . R' "" Γ') τσ.., βι-

\Οι' μn(}ημπt.. ΟΠΟΙΟ~\'1ΩΙ, TOffiTCμO xωpίζtt(ll (100 tη\ 1)\η, 10 )'\tι>01Ιι..ό I'ΠΟι...είμC\'0 από 10 \ ΗιJσtΙ~ό (1\ 11).tίμt\ Ο, (ί IJO·

6.\ίοι• ΙUL'( fύξη μέοα ωιό !<) \ύ<Χ. όnοι• μεταξύ tω\ ά.\.\ω\ yr(ιφnυγ: ~Η rnH:nlιμιl Y)tr.rlΙ\ ίoot 1Η\ Flli1U\,1Jμfη> διά.\οyο

\ί1 11ς (IIJ() to .._,)(; ιος. Τ(1 <f\'t0()1rnno h.((Ι (t\ oμOIO\t \ ·~ οίψ· ι ιω· 1 ω\ ι.ιρ\ι.ιίω', ιιuι' δια\ωριζό1u\ •<ωθοίροtt• uι μΗc ιi­

μι τιι ψ~ΟΙJ. Ωmόοο. rιρώτο aιιοτί \((Ιμα οι•τοί> τοu διο.\ό­ ) ΟΙ.' ίμιι\' η fc\ οκ(1 \ι•ψι1 Η()«.; οι<ιιιιι) .\οι·, t~.iHψoo. ι\ ο ι{) tί\(ιι "' ιιιφιΊδοξο ι ης •~crιιι~ίις tιιιοιι'ιμιις. Λιιο•{ιλιιψε οιο' ά' • Ορωπο μιn φίοοη ,·rψιj .rιι rιιιΟιιιι.,·ι. ηιιοnίη ουμrιφιφiρ•· ιuι ou1 έω pομηόι ιιuu cιι..ο.\ου3εί τις crιι1α1·ές τοu προ· )fΚψμrηιομού ιοιJ . .\t• αιηι'ι ι φ ί\\οΙtt, ο διti\ο\ο<.; UJιuμό­

'"" 1>φί11 ιιι •nι μια nπlή ΙΨ'η σφοίρο. >y•α1α\ιίnΡτcιι 11 υ\ ύμu ιι tόt> \ ί<>U μα:-Jιιμα ιu..Οι ιοιιιμέ\'(>1) uιΊμιιω Η.Κ, lllC.: \ ιι ,. ";'" ιnς φι>CJι.iις: r1ας nτέ.\ειωτος ευ•.\είδειn<; \<~ρnς ιιι>υ δι' ,, , . , ' t\ ..._ Uμtnll ι ιι ωιu ΗΟ~ OU ΟιψΗU\ \'·•>/*,: ιuιuμιιι. (JψΗΙ1 Ο "''"'"'δΙ\.• j, 111 ιιcιιχΊ . μιcι tηιnr><κι:>πη I Η•Ψ• , φωj . ιιcψίψ•. ψος αι>tνν τοι• ιοοτροnου • cu ομοιοιιωι>ς \WfX>I!.

..

llίc..Hι) tιιΗ·) ιφ tιιιι.ηη\ι)ιιn\υιι\ι>ιr..('rιrιια Η•'' μt)JHp(;), ιψ..• υnοοτηpίζn

"~ή) nι φι•οι•οί 1όμοι εί\Ο' έl·ο,· ιmό\ιιτα nιτιΟλ(J(ΙΤΙλό

.uτα.\ιj\οι'': ·Έτσι η mιοτιjμη οδιηιι ι.ιι ί1 ο φαyu.ό. μπ<ι· φι~n•ίι δί\ημμιι. Ο ίn θικ wιι><; υφιί\ιι 'α διιι.\iξει α1άμεοο 010\' λeι{)ησ~χaσm.ό. Q\.\ό 0\0f>()o \n1 a.i> nηρnπμό \'Ω m·a· ζιιn'jο.a mrt φίJΟr) μια t\ \ ίιηοη ιω1 01 <!ρώηΙΙ'ωΙ' οξιώ,· ή τη,·

λ(/1 /II(>II(ΚtψΙλfί Jfψ(Ιλ llj(J(I λ<ιl λ([(}(ψιζ<ι\

€1/Wιξη μι<ις 3.-μι '""''j~ ;, ιιι~η~ •uι. οηί> ''l' ά\.\ι1 μεριά.

ψ\ά nι

1n ΙΤυtώΙΤΙΟ ηρόypαμμ(Ι. η ψL'OIJ ιma~nί'fl Tl'· \ί\οος οιι\οί>ς ~οι θιμε.\ιώδος ''Ψ"'"- Ι 'ιο ιη. • \ο·

' ωΟI' 101 άνθρωπο cmί> τη ψύοιι. '" ιί 'η '"' φ(f"' πιο •ο· "'' ι ης. ΈΗιc θρίομ(J,χ; ιιJ<. ιΙΙ()f)<>ΙΙΙΙ η~ \ο) ι•ής μετοψάnη· ~ι οι 3\ιβιρί) eιV}:!tlfι• (cι. :il). 1\cιι \ί1•~ <Κ \ίδfς ΙΙ<ιfχι>.ό'ιω

'"~ίι ωιcιύιμιι (11οιι "' ηιχnιιnό tης ήτα' ιι "ι'":.,ιιιι μιι\cι ·

11)1

ΙΙCΙfΙtί<ι •<ΙΙ

τl)\ ΟΙάητι•ξη •ά:!ε φaιωμrΙ·ου. 11 \ 1·ώση \οιnό1 cιι•τώΙ Η~·,· \ ύμιι)\ (\) Ι>c;)\'1CJ\ ΟίΟ\ U\ 3p<~ΙΙΙ\U ΙΙUΙJOtΙli)I}ΙJ) Hl\ k.U• ταΗ'•ιιο'l <'•\Ι μι)Η) ιοu ΙΙΩf)<)\'1.0ς α\ Vr ..._tιι ·ιcΗ' ι ιιφt .\ ftt'n Η Κ:

0111' αιιό\υτη εμιltοτc:κJί,,η

•cιι του μi.\.\οΙ-ιος. Σι (,·α Ι'tεtεpμιηοτικό •οι χωρίς

ω α1 ' ώστηc (Jo μnοροί,σε 'ιι ~ιιcιDiοΗ "" Ι\""' )fHΙ<pltί

Xr><i,·o

ιιt ψΗ'c:}\'(1

c}

ot ;,,ί,

<ψrk•\ο)ιομ.c') ιιοι~ Η,,. α­ έη:η σιω11η\6 ~ι)ομη• (ο. i8).

Διο6άlο,·τrις ι.ιι: ιt'c υ ι CJΙΙ<Η JΙιcΊ.ομΗ Η c t 'ω~ Ο\ οιιοψία<ηος

OUAN TU M 8 18ΛI OKP IJI KH

49


ω ιό ι..iιι-ιοιcη σκοταδιστή μηαφοοικό ι..ω ορκισμ~\'ο εχDι>ό

χροηκής συμμετρίας. Με άλλο

της σι>ηροιης εnιοτί]μψ;. 1αως \οιπόι· σnοyοητευθξί μα3οί­

>.Οαιτ.rψιJχιηιι..ιjςδει φurι·όιuι· νu uvuδίιειcιr ένιι •κflιιηι­

Ι ΟΙ't<Σ~ ίηι ΊΠ (1]1Οσnάσματα σιιτό τα οιιοηιί1ψοuι· ο Π)·• Pn-

>.ό Gέλυς "'" Χf>όη>ιι•. Σ ιο Ηιβ\ίο ιιιικ;. ,\οιrιόl', οι Pιiι:ogin~

.\61 ω.

ιιr ιίι ιι~ εξιuώιιεις της

go!(ίne, έvας """ ω~ μεyuλuτεροι>ς φι><ιικοί,ς ιωι ημφ(~ι·

""' Sιenκers κάνουl' .\ίyες μόι·ο αλ.\ά οιwuι·ιrκές vύξtις σχε­

με το f!1>οβείn Ν6μnε\). και η εξίσου διάσημη ουι•εp\ ίrιιδ{χ

τιι..ά με ω ιφί>!!λιjμα -ιοu ΧΙ>όΙ·ου στι1ν ι;6cι~·τι•ή φιισική. rψίι6.\ημα rιι>ι> το αναητύσσοοv .\ηπομφι~ς οε εrιδμεω Οι 6.\ίcι τους.

μο~ (yια τιιν εηιο·ιημονικιj ·ιου ιψοοφορό τιμήθηκε το 19ίί

Ίου

lsabeUe Sιengers, tιιιφιιι ί]ς trιιιπημολόγος. Πώς εξηyείται ι{ηι· •ι δ1ιψίηατη κριτική nou ασκοί>~· Pι·igoguιe και Stengers κοτό τιJς >.λασικιjς ειιΙΙηίιμrις ""'

οι ιιι

Ωοι6οu. ίJι-ιως εξηyού,• αvαλιηικά ο1η δ~ίΗrρrι κηι

1t1"

φαιΗ>μεηκά «t1cp00οξες• ιιιιύψεις ιιοu δι(nυnώνΟu\' οε- c.ω~ τό το 6ι!J.\ίο: Ε.\ιιίζω ίηι ιηψ συl'έχειcι τοu κειμέvοrι θα yίι ει

ψίιιj<'\uτητα του flι Ο.\ίο11 ιιοιι ιιαl'"'""{ιζοιψr. Fl>ώ. το θα­ ι·ίωιμο ιι.\ιj1 μα ιτιψ κ.\πιτική ΙΊF.f>ι Υf>«φή Όο δοθεί από δί>ο uχι: ιικ{, rrφι3ωr>ιακές. κατό το ηαρε.\θόν. περιοχές ιη φυιn­

φιcvιφ6 ίηι πρόκειται \'ια μια •φηικι} ·ιων αδυ\'ftμιώ\r κnι των

κής: 111 Όερμοδuι αμιι..ιj τω' uωιχ tώΙ οuσιημύιω1 >.α1τ.η μr·

αρι~Jτικ~ιv οuι·tιιειών ·ιης •κ.\ασικής επιστήμης• εν οι·όματι τι1ς ίδιας της Fnιιπήμης, δη.\αδίj yια μια •εοω ιφικιj• και ίi­ ψως εηοικοδομητυαj >ριαι-ή.

.\έτη τωι μη φιψμικι;ιv δυι·αμικ(~ι· οαnημά1ω\', τη .\εyόμr­ "1 ωιιτιήμη τ<>ι> χι'ιους. Η σι;μβο.\ή μάλιστο του ll)•a Pήgo­ giηt> mφ· rηlιιηηε.ι1 οuιι~,. LW\' δί>υ νέω\' ι..λόδώ\' εί\'αι κατ6

Εάι·. όπως ΙJΠΟΟΊJ]ρίζο1ΙΙ', '1 ιtνιtyωyή της ορατής no \uιr.\n· ι..όιrιιας 1οο κ<>σμοu ot έ"<ι οόρστο θεμε.\ ι~δtς ειιίιιεδο ιη ιΊ~

'""ή ομιι '"Ι ίιι ιφfιιτιιιι. 11δη από το 1945, πρώτος cιιιτός θ'

.\ικιης αποπ.\rί το ιφό1υιιο εξίη·ηοιις κοι Ίι>ι Ίε.\ι>u ιηόν•

.\ώι μια ασυι·ήθιστη ιι)τε kΟU)10ΙJία ψιιuικΟλΙ]μ"'~"' οuυιη­

της κ.\ασ"ής ειιιιτιήμης. τότε η αταξία, η τυχαιότψα ι.αι <] φ8ιψά δεv εί1•αι παρά ωιφurνίψηΊt μιας flαθί1tφης αόρrι-

μά ιc.η·: ιο Η\'ΟΙ_\ ι(ι θεrψοδυηrμιι.:.ά σιχπήμcπσ. Σύμφωνα με τοΙ' δει>τερο ι·όμο της θερμοδuvιψικιjς, ο'

11)ς ιίιξης, ι ψ ιφαyματικότητα και τη νομοτέλεια της ο­

έi'C< αrroμ<"'"'l'""" ο6οuιμα (που δ<~ αv-ιαλλάοσει δηλαδή

ποίος αποκα..\ύmει η εrιιο ιήμιι ι ψοοεη 10 ιικά. Σι:: αu1i> το χωρίς λJ>ί>νο ν ιειψμι νιιη ι κn ο6μr«JΙ' ηις •.\cισι•fις ει ιιοιίι­ μιι~ η ιι'ιξιι yεη•ά ηάΙ'tοιε τ ψ cncιξία •ω ιιι>1f 10 αντimρο­ φο' Δuο1 Q\ιός, όμως. '!ηι'ι ιη 1\ιάρι.εια του 20οίι αιώνα. αu-

1ή η •ομψίj, •ι·οι•ιι•υrιεμέΙψ και >.α3ησuχαστική >.οομοθε­ '~1"1"'1 έμε.\ \ε να yίνει ι-ομμάτια •αι θρύψα.\α μεΊά ·ιις rιδυ· σώnητες εηιθέοεις ιιιι(} lirx1ψε από τηι· ι.:6αΙ'1!κή φυσική. ΌJV

κοομο.\οyίο. τη θερμοδuναμ...ή •σι ιηι ειιισιί]μιj

10<> χ<χο~.

cφ,\ίΟ>·ι 1 α μr \ετ{ι σι<> Ε.\εύθερο Πα\'εηιστήμιο τω1· Βρuξε.\­

6.\η και ενέργεια με 10 ιιερι (Jά.\ \οι Ί<>ι>) . η σΙΙνολι.ή fΙ"ψn­ rriH ιιυξ{χιυιιr><•ιδωιι.,> r1•ώ η rλ<ύθερη ε1•έρyεια μειώηται ώσπου το σύστημα να φτάσει στιJΙ' κατάσταση ιuορροnίuς, οπότε ι] ει ψοιιία ·ωιι αιιοκ r.ι1 τ. η μι<yr.<n η ·ιιμrι της. !:τηv κrttά· <ηαοι1 θφμοδιιηψικ(ις '""f>ρ<>nίας Ί<> uίιmημα είναι ομοιο­ yε,·ές και cιδραν(ς. Λ Ι' μόλιστcι θεωρήσουμε, όnω<: έκανε cι

<:Jau.siu.\. ο.\6ι...\ηrχ) 1ο ο6μιι<ιν ωι: ένο Ηιιομο,·ωμέη> οΟΟ cη·

Ού]Jlης. οι Pι·igogine •tιι Sιcng<-rs γrιάφου.: •Η Ι'ωτωνική

μα yιγά1'1ιων διaο·rάσεωι, ·ιότε, σύμφωνο με ων 1\εύΊερcι ι•6μο, rι ιrρ!>olirι>H•rj υnο6(ι3μωη Ίης ε1·έρyειας, δηλαδή Ι] μεγωτοnοίηση της επροηίας, οδηyεί αΙ•αηόψωκτα υιοι·

cιrι οιrιμιι φc\οδόξιι6οε να ""l'"'""rωει μια f.ικόνn της φίι­

·θερμll(ό θάι•ατο" τοu οίιμιια-τος.

Σuι·οψίζοηας θαιψάοι« ιοuς οτ6χους 1rις κλι)ιιικίις ειη·

οης rιou θα ή1α1· και')ο.\ι.ή, Ι'1nφμι>Ίmικiι και αvτικειμεη­ κή, εφ6σοι• Ιiεν ιινιιφfρεται καθόλου στο1· ηαρατηρφ.ί], u.\.\ 6 κιιι πλήρης, εφόσον εnιτυyλόι·ει ένιχ ειrίJΙε/\Q ιιεριγpαφής

~·!ε τη θφμοδu\ αμικί], 1ην ιψι;πη ι ψαyμmικά πολύπλοκη

>ιι><rιrιμrι. <πο •άφθαρτο• και •αθι'ινοτο• οικοδόμημα ΌJς Ι'ει>tώΙ·ειaς φυσικής nαρειοδίΙει ο λr<'ηυς ω~ μη ιη· ιιuτρ•·

που ξεφεύγει αιιό 'Ι!tιι\ιικι'ιμια του χρόνου• (σ. 284). Το όνειρο μιας ει•ιαίας (nοιι !!ιι ίολιΨ ι.ίιοο yιιι το μικρό­

οο, αιηί] η ιψι:rι η αιιιιrιrιι)Ιiοξιι (κδοχή τοu χρόνοι> που μας

κοσμο όοο κuι } ιu ω μ<ικρόκuομο) κcιι 0\ίικειμε\τι..κής {ανι;:~

κ.\ΙJI"ιδ<ι·ιψ"· η κ.\rισική θεpμ!>Ι>υι·αμική αφορά μια ιδαι·ική

!;ίψιι1υ1ς διj.\αδή unό ·ι ον ιιιχΙ><ηιιΙ"l'' ίι) rιφιγραφής τοι> φu­ οι.οίι κι\ομοιι, ()α yίνει mις αρχές τοu aιώ\'0 μας ο εφιάλ ιιjς

1 ης ούαΙ><>νης φυσικής. Η καθο.\uιίJ ΟΙΙοδ<>_Ι;ί) ·ιη~ κ6<η-τrκί1ς πφιφαφιίς ι. σι ερμι]νtία~ ·ιοu μιψόκοσμοu, ποu 3εωρείτοι Η) f.Ιεμι:λι(~)δt;ς t:πίnεδο στο οrιοίο Ο\•όyο,"ιαt κ ω εξηyού\'Ηtt

όλcι τα φοσικό φωι ίψεω, επι6cι.\λει ι•eι αναθεωρηθεί ριζι­ κι'ι fιλι μόω ι1 κλασική ηφιyfΚ1ψή ιΔ.Vχ κrιι οι iliιFς οι (μετο­ φυοικές;) ιιpαΗΙΙοθf:ο<rς της κ.\ιισικής επιστήμης. Σύμψ<»ι α με 1']1 <φχή της ιιηροσδιοριστίας του J-Jciscnbcι-g κur ·ιιις ουμ­

n.\ηρωματuιότητας τοιJ Bolιr, είηχι αδί>Ιπrη ' , ,

'I ουδέτερη κcιι ,

ι ιτίj εξέ.\ιξη ι ψι χ; ιιj φθορά, Ό)Ι' <Σ ιαξία κuι το θ(ινrrιο. Ωιτι(ι­

κcιι aφύσικη κατιη·ορία οιιστημι'ι-rι.ΙΙ•: Ί.<Χ rιπι;ιμοΙ•ωμέι·α και κ.\ειοτά ηιαμμικά οαπήματα.

Ι Ιι~ς να εξη~ήοοuμε όμως τψ •ιιαράδοl;ιj• ουμnφιφορά ιων U\'Utλ Η~' σοσιιlμίη<ι>,·; Τα oυc.rniμoτeι ασιίι ι:Jρίσκο\"l.Οι μα.:ρι(c αηο ιφ t..οtάοτcωη ιοορροrιίας ι.:.ω (l\"lαλ.\Ωοσουν ιχδι(.-οιιιχ ύ\η "" η·fρyεια με το ηερι6ά.\λον τους. Δει τεί­ ι-ουν προς μιcι κατάσταοη ελ<ψο ιης ελtίιθφιις ει•έρytισς ι..ur μέγιυujς ιι· ιροιιία<;, α.\.\ά αντίθι:τα, ξκμεταλ\εύοι-ται κι'ι­ ποιες t:\'t:ρynαι..f.ς F.ιοροές κcιι διαι.:.υμό\'Οtις Vχι μ(η'ο γι η νη

διστηρο6ν

111 δομι.ή Ί.ΟΙ>ς εuιrιάθειιι α.\ \6 ""

\'ι ι ι 'cι rξ>.\ίσ­

ιτοερμιΙ· ιοΊικι] ιιφιyραφ η του μικ ροι;οομοι>: η ασι>'εχειιι

c)Ω\'Ηιι 1ψος ,~;ει. δu' ιιμιt..ές κrηοσιόοει<;.

και η rιπρnnδιοpιστίιι είηιι εyyε1•ιj Χ"Ι"'"·ιιιrιιιnικft τωv μι­ κροφιχιι.ι:ΙΙ' φωιομ(vων, γιο τφ• περιyραψίJ των οnο(ωΙ' εί­

Τα ανοιχτά θερμοδυι•αμι.ά ουστιjματα δεν είναι •Ι εξαί­ ρεο'l ώu\6 u ι..ά\'ι),·αι;. Σε uιηc1ιιι:r>~ \αμ66νο,,ιχι <>χι μ6νο

μαστε uποχρεωμέ,·οι ια ενιάξοιψε Ίον ιιιψmη1ιιιιή μέσα

οι ζωΙ·τcινοί ορyαησμοί, οι αι-θρώηινες κοινωνίες. α.\.\ά και

στις ίδιες LOΙJ ιις nαΙ><ΧΠJf>ήσης!

το μεj•α.\ίιτερο μέρος τωι •αrι\οίJστερων• ψ<>ο,.οχιlJlικι;ΙΙ

~Ιιι\ιιν(ηι οο6ορό. το πλήγμα που κατάφερε Ι] κβανι.ομη­

χαι'Lκή στην ι;λασW] ι fψl\ lιαψl]

fOI)

φυοικού κίισμοu nφιο·

ριζ6τaι ο ιη μιψιισκιιιιικfι κ.\ίμι1Κσ, αφορούσε δηλαδή cιr1o· κ.\t:ιιπικά τη οuμnεpιφορά -ιων ιηοιχειωδι:ΙΙ• ιιωμιηιδίων. Ε­ ξά.\.\οu, ως npnς το ιφόf!.\ημιι ιου λf>6ι·οι> η •6rινηκή ερμη­

'είιι εξακολοuθο6οεl'α διcιιωl'ίζει την κλασική αΙ'τί.\ηψη rιερί

50

Ι ΟΥΑ Ι ΟΣ I ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1994

οιχηrιμ{rιων. Σ·ιιι μι::.\t., η ιcϋν ονοιχΗ;,\' Uεpμοδu,ημικ<~ν uu~ ιπημάτων ο IJy~ Prigogίne εί1•αι αΙ·cιμφί6ο.\ο μίcι από τις μ(­ γολίηερες ει ιrσ1 ημονικές αΙΙ&ι..ιίες. Πρf~τος αιη6ς αιιέδειξ(

ίι1ι !lf ιruvθί]κες μrικριό ιιιΊο πι θφμοl>υνιψική ιοορρ"nία ιι ύλη αnοκτcι 1·έες aπρόσμενες ιδιότι1τες. cιυτοορyανώνεται και Ω(ΧJ)(}yι~ι ιιο\t)ιι\οκες δομέc: (JILδ ι.οχclίες διcιι..ιψάΗJt:ις.


Τι<. δομί< cιι•ιiι; :Jcι ιις <>Ιομάοει dissip•ιivι· >Ιruιιιιη..,,

.\f>'l·

............

οιμι•ιc•c:>Ι ιcι<. iΗι ψ(ΙΙΙομεηκά .Χύμωρο ογήμο. Ο όρο<. i}α μιιορσί>υι ιcι '""ιδσ()ri στα ε.\.\ηι-u;ό ως δομiς διαΟΙΙΟ(><Ίι ι] Ιicιιm.ι>fκιιιιμοi• ή αι.όμη ~ω λά1'αι<Δι.ιtι~i<: δυμiς, cι\ \ίι ιι­ σφ<ι\c:χ; c'ι\ι m.ι-&ισαι.ίς δομic. όnωc ιοφu.\μίια αιιc.ιδik')ψ

>.Ε OUJι IICtf><>ί•ιct μπάφpc:ιση.

Η uιι\cιί•c>ιφt] μιφφή δομώι διαοηορύ<. ιίιuι "''"'"''

Ο\ΗΙ~ά UΙι\6 Ψ"'"~"\'Jμ"ά m.>στήματα στα οποίο ε.\6\ι· στες διατοpα\ίς κω διο~ιψύιοιcις <>< μιψο''""""iΙ • \iμn·

"' οδι11cιύν οιφ

αι·άδuση ι·έωι· αnpσοδό•ηιωι μcιψιιι,.ΙΙ·

ιιικ(:η δcψf:.,, Οι μιt..ρ~c:; αυτΕς διαιωμό,·οεις ωιΟ'ιcλοίΙ'

lt)·

\Οία ιτιοι\f ιι:ιδη <>ΙJμΟ/ιι'lη ιιnu yiνοηαι κατ(ι και·δι·cι σε μο­

pιαι.ό ειιίJΙεδο. μιιοικιίΙΙ ι·n f.νιιινJ<'Ίούν κnι ιη μιγιΟuιθl)\ιι· ncψάyιΗ·τας οροτ(ι οιιnτε \έομu ιιc. δη \ol\lι ω ψοιβ \>~Η•<.

μιψφiς \ ωr><>\Ρ"""ής ο ρ\ άι ωοης. Αιηό uι•μ6c.ιί ι ι ι ιιιιιδή uι δ<Jμ(<. διιιtJιιcψίις rίνnι μη γρnμμl"c'ι αuστήμειτα, η τάξη των οnοίωι αιαδί>ηοι αιιu ιυ χάιιc. Πέικι από μιn ι.ρίιιιμη cψιαι.ή τιμή. nοι• οιομόζποι nημrίο 1\ιrι~ \c'ι&κnι<. rj οι]μ>ιcι ιφίοΙJC. αυτά 10 •rιιφάδuξa- σι!ό1ιjμmιι ιμιπn\tίnnυι τn

•φρόημο• ι..ο3εατώς στο οποίο ΙΙρίοΜ» "" ~ιιι. cιι (ι \ο\ ιι μι 11<: οι•ι3ή•rς, rnι ν,'"" μrι(Ιξύ μιιι~ \<ιώδcιι'<. "'" μ οι ι<, ι ι•· ιποΟιιί-.; ιιψnιριφuρός. Τα ηοροδεί\ μαι υ ιί•ιu•t<•!\ 1\cψc;>Ι ιιuι1ιιι>t>._ί,ιη~' n:nό τυχαίες διακυμ<n-οεις εί,οι ιιο\ι'-ύι)ιtl­

μα: η αοιύlJ<ιu ιοι• 8.\ιιarιl σιψ υδροδι•ηιμι..,j, οι ια\cι­ ι·ιι•ύμι Ι ις \Ι]μι.ίς (1\ΊΙδρ(ωrις "'" 1<1 \Ι]μιι./ι fΙH\c\μ<c, ί>nως '1δι{ΙΙ>ιιμ•J αι τίδραnη Belousoι·-Zlιaboιinsl.)· υ •η λ•ιμιίιι, οι "''f"'"'{ηφι·ς Οιnχημικές ω'11δράσεις στη Uιο.\uyίΙΑ, •.ι'ι. Μίιιc ιι ιι'> οι ς μι y{ι \ι·ς cφι;1ές το ι; Οιβ.\ίοο 'Γι(ξη μι'οι ιι ιι ι6 ω ,\ιίοι:>"ίΙ 111 Λιι ιιιφοumάζει εξοι't.\ιμuιά τηιο ιστορία, ιιι ι>cι.ι· ρ ία κQι ι φ ιιιιιτιημο \οyία αυτι~ι· τω1· πο.\ύηλο~ωι· συοτημ{ι­

τι~ι·. Στη χώρο μιις ~L'"-\οφορuύι· uξιύ\ιψι !\ι(Ι\ίu \ ιcι ιο ν'ι·

Καλοηιαμμένο. το τελιιο 1\ιβλuΙ rκλ\χtκ.ηισης

Μqθηματι.κών, Oιn,~J1.(1 ~φψινο. JtιmeS Franl(lln Metaιιcleaee

Μια θαυμάσια θεWQΙΙCΙη τιιιν UQiωv τuιν Μαθη­ !Wτι><ώ'' στην .:τιυιyιιαφΊ τσι•χάηιοι•.

Lee Dembιιrr l..o• Aqeles Tt.es

<.><; ι.ιιι ιη μη Ι[Κψμ"'ή δυι αμ,..ή. Σε αu·ιύ όμως '1 διΙΙΙΙf><<\ μfι­

Ηι>ση 1ιοι ιιι<Μ\1<οι 3.ρμοδυι·αμικώγ οοοτημάτωι ~οι ιωι

ΓQαμμη'Ο από κn--ιοιον ποιι bεν είν~ιι ιι;ι>.ιΊς

rmςπημο\ογι~ώι οuι ειιι:ιώι· nου qει 1·ια τηι πΙ-{Ιρώnιιη σι..ί­

γνιοοτης τοι• θtματο~. ώJ.ά 1\αmιιι.λοι; στην ιt­

ψη η αν~ά.\uψη της ιιο\ι.ι\ο•c'>ιηιιιc ιιιc.ι φιχιι•οί• •οομικι, ~u μόι ο ιιφιιk.>ι•ιι•<• \"Ρ<t>--τήρο και αφήιτι οιu.οιοηοίη­

χvη τη; εχl.αϊχn>ση;.

το τοι απαιτητι~ό οι ιη ι ώιπη. Η μπάφραιτη \οιnό1 Ol'toό

Prof.

Ε. Ροω er Ceaιeaιporarr Pιιy5ks

τσυ σιιμοι'11~ο6 ι.αι πο\ι•ουζητημέωu 6ι(J\ioL' ιωι Pι·is:o·

... Οι εξιr(Ι'ισεις tοι• l\<ιr t:ιeldnd 1\f\'\!ΙΙV σταθΕQα σε

giιιι~ .._<Η Sιtogtrs έp\naι 'α

τrτα.ο ε.--τι.:ttόο :r.οι• νιι JL'I"',IOΙΙVVIl )(Q'[ο~ιιν α­

...α.\ί'-ψει I Η1 ΙΙf)(1' μαtιt\ο ι..t\·Δ

οιηι '\ \φ .-η Rι6\ω)pοφίο. ΔrδομέΙ·ωι μά.\ιοιc.ι "'" διι­ ο~ο.\ιώι 1101> ι ιcιι '""'"''ζη '1 απόδοση του Οι(J\ίοΙΙ "((J f \\η­ ΙΙΚό, 3εωρι:ι ότι Ι] ιιc.ιι>οί:οα μ.-ιάφραση. n~pa ιιιιό •άιιιιιις

πό τον αμυητο.

,

.

.

.

[1\'UO ιιt j(\IKfς \ψάμμt:ς Ι"σι·οnοιητuιη. Θ11 μrιcψnί'<'f <fιιτίς ι·α αι,.·οψίοει 111 μίιι·ιψ« ΙΙΙΙο 111 Pιi ­

gogiι>e ''" Sιc11gι..-s :Ji '"'"' ι n μtταφέροuι ατοΙ c.ιι l.ι\ ι ώιι 111 ιοι> f!ι(l\ίΙΙι• "''''-ως εξιjς: η επιστήμη οήμφc.ι

.

U\!.1\ ιc.φίζfl

ίηι η πο\uιι\οι..όιφο, ο λιχ>.-ιχ; και η ιστορίcι δει· cιηοτε\οιίι , , fll fΙ η ~uo ιιι αιpuφι.--ια χαραι:τηριατu.α μοι ο του φι•ο,..uι•

.

.

~<>ιιμοu ο\ \ά και αυτής της ίδιας uις \ι ώοιις

"'" .c'κιμοu

τιm llfιlι Ν~"'

Οtήμη οι: μια ιιιι\οϊ•ίJ, •οι

York rιmes

Το όχι ελlιχιστα cmιJ<κιΜκηtο σχετιΚQ με τα

•Μαt~ιατικά και το ΑπQ<'JΟ()ό)(ηtΟ• είναι το γr­ γu''ός ότι tνας μαθημιcτικός μΠΟI)ιι νιι tχn όχι

'"'''Ι rnισττιιονική. ολλα κιιι λιηιιtf'f.\1Κή 'IQO!fη. lun SIC',.~Π Ν~• S~ienl.ίsl ΠQO<ntό σε κάθε σ.ιc.-ιτιΙJΙΕ'ο" ιι\i~Q<•~'to.

Volce l.lι~r•r)

από 1οι ιiι θι•ωο, δη \rιδή της επιστήμης. Η (φι ηοη, .ιιι{•

ω ιισιιt'\Οόι. cιιηοο 1011 1ηοι·ό1οc οδή) ηιrι

ανιιq-(!Qtς στον ΟιιΙΚ.χ>, τον

Σαίξπηρ, tO'I' Δοψά πστtQα Χ«Ι ηW θολταίφ.

αδu,'cψiι:ς ο ΙΙ1\' ω ιι'.Χοοrι ΗfΗΗμένων ''έω" rπισrημο,·ιι...ς;), ()~ pι.>V,

Mr

Suppl~-•ι

"1' • \cιc•~Ιιιπι­

,,. (IUtό οπ\οnοιητι,ή. ού.\.\ηψι1

ι ψ. φί~111ς .rιι τοu n,:Jpώnou. Σήμερα. οι τί~ιιu, η ιίιιιιl\ικ; τοu \ρόιοu. η εnL\uoη ton \άοι<:, η ίι-ιαξι]t<>υ πcφητηρητή στις ίδιις ιuι• ι ι ι; ncφατηρήΗης, με ό.\~ο \όyισ η επιατιjμη τι1ς ιιο\οιι\ιιι.(ηητfCς, οδηyεί οε μια .,·(ο συμμο,ίο· ωι• uιυι

..:•.

ΠΟU με τη ψύοη •αι Τω\ c.ιι θf>WΙΙΟΟ 11 κώι· 111111 ιιιμ<;Ι\ μt 11ς φοσικi~. !ί1

1-:ΚΛΟΣ:Ι::Ι~ ΔΙΑ ΥΛΟΣ: Β<ιλπtοιοι•

10. Α!Ιήι•ιc

ια,

NIJ I η!..&

Fιι\

16 17.473

OU ANTU M ' Β Ι ΒΛΙΟΚΡΗΙ Κ Η

51


-~

ΜΕ ΛΙ ΓΗ ΦΑΝΤΑΣΙ Α

rεωμετρ ές αθροίσεις Άπειρες αλγεβρικές πλ ακοστρώσεις Μ . Aρresyan

ι μαθητές τuι> .\οκείοu γνωρί­ ζοuν 11C.:ις ί>ταv lrιl

<

l, 10 ά­

nφίπτωοη ·rι Ίο όθr)οωμα

θροισμα ·ιω' οnείρωv όρων ι η ς yεω μ ετρικιjς ιι ροόδοη

Ι + q + qz + q1+...

ιοούΊCιι

και μι~.\.-τούv μιο cη·ολιηι­ ιαΊ uΙΙί>δ>;t~η αuτού τοu τύπου. ΌτΟ\'

η = 1/ tt, όαοu το " εί\'uι φuοικ(χ; αρι~μ6ς, μιιcψοίψε \'Ο t•ΙΙο.\ογίοοιι­ μ~ uuτό 10 άηροιομιι γrωμηρικά. Ίοως fλf.'Ι>' δη παρόμοιες αποδείξεις πn \ ώγ α.\yε6ρ ι~ώ ,, τα ιηοΗ]·ιω '' 2

- yω παρόδει\·μα, υις (ο + ι3) = ,Υ- 2ο.Ι +

.fl-

iιnou χρψπμοποιεί­

ιαι ένα 1ί:χνπομο ποu ονομάζεται

π Ι )'ε6ρική n.\ακόοτpωοη. 1 Θο ξεκινfJΟ<>uμ• μ•λετι~ντας ·ι ην

1. ll οnόδειΕη ιhοιcι~ν ιαι.ηοτήτων α,·ά· )'ttoι στψ· (ψχαιΙ)lψιι. rια ncφόδcιyμα. το

Η' ι.iιβ.\ίοτιιη· ηερίψημω' Σ'lor\riωι' 't0l' (υ­ ι...~tίδη αοχο.\Ε'(tοι όΟ(Υ1JΙμuιιι.::fJ με οι:ιτό το tlfμα. Α.\.\Cι ..:οι \t.φfτrι ιο. ο ιη θt:δικfι πι:­

ρίοδο τω,· I' δικt.:Η μιιθιιμι,ι ιικώ', urιόρχει (1\'ό.\Ο\'Ι} θεωρίcι η οι ιοία, 6μως, t:ίHn φ πει· pική t..Ο.ι ιrιω\r.ίι1f·1cιι υJςαυιηηρότηιαc nou

ι

1

1

2

I

8

νια ψ6αδοί> J (Σχήμη 2}. Στη OU\'E· χεια. χωρίζουμε ένα από αυτά -ια ορ­

διαίομ εμΟαδοί> (Σλίιμ« Ι ). Χωι>ίζnι>­

θο γώ\'lα μt: εμβαδά ι. 1/ tt. l/ιt2 • .... 1/ι/, ... (ιι - 1 ορθοyώ\•ιο γω

με και πάλι έ\'0 από αιηά οε δί>ο ίσα

μέpt) . 10 ιω~έ\CΙ με εμ6uΜν

1/ 2.

κcι~έ' α αιιό οιηό ω εμ(!ιχδά). Η eνω­

Κι1η>uμ~ ξονι't -ιο ίδιο για γα 11cιροιι­ μ ε δι)ο ορθοy<:ι\'Ιο ε μ βπl\nύ 1/-1. ~. ο . κ . Μ ' ΠtJΊrj 1 11 fι ι αfιι κασίn fιη ­ μιοuι>yrίπη μιrι ηκο\ουθία ορθογω­ νίω,· nou το εμ6αδά τοuς ωuίJνιαι μι

(111 6\ων αιηώ\· 1.ων ορθοyω\'ίων ι:ί· ναι και 11ό\1 1.0 αρχι κ6 Οf)θοy(~)\·ι ο <χι.ιρίς μία <ορuφ(j -ι οι>) και, επομέ­ \'ως. το εμ βαl>όν της ισούται με η.

Αnό τψ άλλη μεριά. έχοιψe <)υ ωοί>·

ι j2", .... Η ένωση αυτών των ορθ()yfι)\·ί ω\· ουμ ·

1. 1/ 2. 1/-!, 1/ 8 . .. . .

101

ρίς Π) μία κορuφίι Η>ο) . ΕΙΙιψέΗ.)ζ ιο άfJr><>ιημα τω\' εμβαδών ό.\ω,· cιu­ τώ,• των ορθοyω,'ίω\' ιuοι'> ιuι με 1 ο

(η - 1 ) +

εμΙJuδ(η• 1ou <ψχικού ορθοyω,·ίοu -δ η.\οδή, με 2. Άρο. 1 .,.- 1/ 2 ,.

z.

+ ι μ ι 1/ 8 + ... ~ Ας 6ρούμ ε 1.:ψα ω ίιfJ ροι ο μ ιι I 1/ n + ι j,.2 ι ι ι,• + .... Λρχί-

,,,

ι ΟΥΛιΟΙ Ι λΥΓΟΥΙτΟΙ 1 9Η

+

ι> - 1

-

--;:

+--·

= (ΙΙ-1} (1 -,- ~ + :,,+--·). Κω •nομέ,·ως.

J

)

11

J -τ- - -r ? + · · · = --'71 rι · 11 - 1

1 I - 1/ 11

.

I 1

"

-81

l

ι

1

1

1

ι

• l

n

1

-2

l

" "

ι•

!

'

1

η - )

.16

-4

ι

με

ιιίιι1.ει μt ιο cφχικί> <ψθοyώνιο <χω­

ι

52

θu)'(;,.ν, u ο ε " Uf>θuy(~nα ίoot.l ~μ · 6ιχδού (διιλαδή, ι jιι), ειιαvα.\('ψ 06 \·ουμε 10 ί.δ ι ο \'tα έn.'l οιιό αιη δ ι cι μι · ~f'όΊrρα ορθογι:Ιvια, κ .n.~ . Μ' αυτή τt} διαδικασία δημιοηρyο(,νται ιψ ­

ΘεωροίJμε ένιι ·ωχιιίn ιψθοyώ\'lο εμβαl\οί> 2. Χωρί(ουμε 10 ε\' λόyω nρθοyώγιο σε δύο ορθο1•ώ, ια μονα­

ι

Σχήμα

ζουμr μt fvrt cψθο1·ώνιο εμ6οδο6 ιι και 10 χωpί(οuμε οε π ορθογ<;, .

+

χοραι.τ.ηρfζtι Ί ι]' • \.1<}\l"'ι· (Σ.τ.t.)

I

Ας υι ιη.\ο1 ίηοιψι

ι ~ -+- + - τ · · · .

με

1/ (1 - q),

= 2.

Σχήμα

2


n-m

ιn

I ΕΞ!

ι--

:::;:: ::;::

1::-

ΠΙ

n

'

"

Σχήμα 3

Σχήμα

4 1ώ\ΙΙJ μι rμ6πδόι· I, έ\'Q μι rμ6αδό' 1/ 2. δύο με cμUοδό' 1/ 3!. τρία μι ιμ ­ Βαδ6,· Ι μ!, ... , η ορ3οyι:ινιιι μι φ!Jαlif" Ι /(ιι + ! )!, κ.ο.κ. F.πομ έ­

I 2 ~ J+ - 1 -"'- +•oo+ 2! ~! Ι!

Μιιοροί>με να χpησιμοnοιήοοιψι

ιη'' ίδιο ιδl:" yια ' '0 (Jpuί>μf ιο ό­ ()ροιομιι Ίων σπείρω' όιιων μιrις \'t·

11

( rι "- Ι)!

ωμηρικής προόδου ακόμη •αι ίιι<Ι\

+ ".

2.

ιως. το δθιιοιιψn που nρο~ύιιιιι ο'

το ιι ιί"'ι ξ,·ας τυχαίο~ ρφ6ς, με 11 < q < ι. Γlριημ<rtlλά, αςωcιω\ι1-

Θα χρψιιμοποιήοουμε ~οι nιl.\ι t\'O

aιJιlιι 1η>' πφίmωοη εί,·αι

οι>θογώvιο εμ6ιιδού

... 2/ 3! + 3/ ν

θοιψr ι φ ηραηyούμε"Ι ~αταο~ωή ιιι {Ηι ορ&1ώ"ο ι:μ6αδού ιι. α\\ά cιuτή η] φορά 3σ χωρίlαιιμι 1<1 "' ( rι> < n ) από τα τι <ψ1Ι<>Ιώ' ι α 11011 δι]μισuryήοαμε ο ιο nροηyοίψf' η

δ6ο 6ήμαιιt rί,·rιι το ίδιο με αυτά

6ίιμα (Σχήμα 3), πφήνοντας ιιιιιίρα­ χτα τα υιιι'ιλοι nn rι - "' ιψΟογώ\1(). Μnορt(ιε vu οuνεχίοcτε: ω ι 6 nuτό

ιο οημfίο; Προσπα3ήιJ1 >, και βρείτε "" ιύηο yια το I + 1/(rιι/n) ­

+

ηι

Ι /(m/rι )1 - 1/(mj n) 3 t . 11 ίδια μt3οδος μπορεί ΗΙ ιφαρ­

2.

Το rιρώω

ιοu πρώτο" ιιrψιιδt ί1 ματος: λι.ψί • ζουμ ε το σρθn1 ώΗΟ oc δί>ο μn,·π­ διοίn ιφθnγι;Ι\ ιcι. κuι κπτόπη· το

~να από αυτά oc δίιο nr3nγώno εμ6οδοί> 1/ 2 (Σχrιμα 1 ). Τώρq, ίψως, 3α Χ'•ψίnοuμε το ένu ιιιιι'ι τα τε.\ω­ ταίn δύο ορ\")ογt:)νιn ot 1μfα ttJt:'μRα­

δικά μέριJ (ιο εμθaδί" ~rιDο·ός από cιuτά τα ψία μrιnJ >ίι·aι (1/ 2): 3 = 1/ 3! = 1/ 6). Σ~η nuιέ\rια \ωρίζnυ· με το tvn rιnn τn ορ3οjώηα εμ6α ­

μοστεί και σε άλ\α άιιηρα αθροί­

δοu

uματn. Λς οrιοδείξουμε. ~ ι α Π(φό­ δειyμο, ι'ι ιι

F,·o από αυ1.ά οι ni,τι, tι..ο.ι... Με αυ­

!Δ ΠΕΡ ΓΙΑ ΠΣ ΦΥΣΙΚΕΣ

ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΙ\ι1Α ΠΚΑ

τό,

1/ 6 σε τέοοcμα ino μέρη. το

'"'' ψόπο 11αίρωιψε έι·α ιψθ<>·

I + 1/2! ισοίηιιι μ> '1

+....

και - το ιμθιιοοι του αρχι~ού σρθοΙω­ ,·ίοtJ.2 Ci)

2. Ας nι1μι ιι,~ ότι 10 ό3ροωμtt

ιω' ο· nιίpt.H t·φ<ι)\ 11~ )tωμtιpι*"ήι, rιpοόδοι1 J!f

\c\}o 1/ ,t. 6noo τr. n = Ι . αηα"ϊά1αι σ1ο «Tttpά\'tιJ\toμ.c'H.; ιψΟοyωνίοη κc~Η·οιJ ω· μι]<:• τιιu Αρχιμήδη. Fι(ισης. τον 14ο αιt:ΙΙιc n Suίstιl1. ) 'οοιc'κ.; cι>ς ό Calcul<itor. \ρψJΙ·

μuιιοίψιι \Η•ψnρικές μεθ<>δοι><: nτο Ιpιο

ton l.it~ C;ιlcιιl.Jιjonum )ttt \ο Ορtι tιιιιι· ροι.Uικ•iuμοια διιωι: ιο

11? - 2 2' ... :ι 2 1

+" r .ο. - 2. Αμi.σuς μειtj ιJ 'i· col• or~'""' (1323-1382) βc\τίωσι: no \ί· 1Η•. 1ι-\,,.,.(ς το(, Ul<.:ulator \ΊΟ παρόμοια ο· 3ροίομοτο. (!. ι.ι .)

QUANTUM Κάντε ένα πολύτιμο δώρο! Συμnλnpώστε τnν κάρτα συνδpομιlς και χαρίστε τό Quantum στον ιαυrό σας, στους φlλους σας. στους συναδέλφους σας, στα παιδιά σας. στους μα8nτίς σας, στους yονιlς σας... Αnοφασlστε το τώpcι. Μnοριlτι να nλnpώσεrι και μι τnν nιστωrικιl κάρτα σας

(Diners

ή

Visa).

Η αSfα του περιοδικού ε/ναι ανειιτ/μnτn. Η τιμι'ι τnς συνδρομιiς, υnιρ8ολιιιά χαμnλιi.

Περιοδιιι6 Quanιum, Ισαύρων 10 ιιαι Δαφνομήλη, 114 7 Ι Αθ~vcι. Τηλ: (Ο 1) 3643272, 3645098. Fax: (Ο 1) 3641864

OU AN TU II ι IIE ΑΙΓΗ t A NfAΣ I A

53


ΣΤΟ ΜΑΥΡΟΠΙΝΑΚΑ

111

Εννέα λύσεις για ένα πρόβλημα Και αφθοvες ακεραιες γωvιες Constantιne

ο nρόβ \ημα ιιοο 8ιι με_\n ίpιl.'·

Knop

μfι ncH' cΗ]μ<ιί, r t Cnι 10 lpί\ (11)\0

Οι6\ίο ιιpο6\ημίιιω1 \>ωμι­

HG ,.. 11\ 111 I ιιiCIIJ~ ιcΙC>C''"f \fς ι nε nc - fJC) μ ι τη EBG = 1>0 - 60"

φίιις. Ποpόη η διατύπωσή

- 2()

μι ιμφ<Ι\ ίζησι nο\ύ ΟΟ\ 1 ά σι:

ιοι• tί\llι οn\ή, '1 \ύοη το" cίωι ι ­ διαίτερα δίιο~u.\ιJ. 1σως 1 ι ' αυ16 1π nεριοοό ιερα Οι β\fπ rιι:pιypόφου•· .\ί­

MJI ιΙΙ

CJ)..C)t'μt 6η

ε(; JJ

ΜΙ' . Τώι>n 6ιιί­

μc: ι~= ιtW"-

ooQ- οΟ"

- ~U . και ότι . J;:J-'C = 10' (ας no6μc. CCΙΊό το τρίyωνο B(lF). Έωc αιιu­

γο ι') ιιο\ό τηΙ' ίδιο \όοη - ο..οι η onoi'cc. M.cHJ ι η '"';ψη μου. δε\' είναι Ι) ' " \ι'>ι ψι). Λ ς rφχίοοιιμε όμως μr !Ι) δι ω ί•ΙΙ<•><>Ι) 1 ου ιιρο6 \ήμmος. Πρόβλημα. Σ• ίΗι ιπ=.:ε.\t'ς rpί-

kCΙ \ύιι ιr ιΗι Ρ 'ν η (ικι'>μrι Η)οοκε.\ές ιρί .. \' C..I\'1), 111 FF:(; (FF:- F.(>). ΤF.\ικrι,

1''" ιι Ι ΠC. ισ1 ύει ΑΒ = AC και η

EDB F.OF - 60Ί2 - 30°. Θί \ι,, "' rιιι<Η]μάΙ ω έ1 α 1η 01 ός

ιωιίσ Π.4C cίΙαι 20. Λαμffά,·οιψι· τσ σημεία υ ι.uι ε mις n \ευpic ιΙC

"'" . \Π. nηίστσιfο. τίτσια ώ01ι η l'•"ίο tX' B ιιι FίΗlι ;,ο ι.αι η ιωιΙο DfJC ω. \'ιιο.\οjίtτιπιJΙωΙfnF.DΠ.

11

f'"

ιιι" '\ (σrτr την α••όy•·ωοι1

1ou iφOpou, nροοrιaθι]σιε να \ιJ<,..

τt μό• οι οuς ι ο ιψίι6\ημο. Λφιεpώ·

οιι "'" μι·ι.,•rς ώρες (ή. ίσως . .\ί1α \ιιη6). Θcι 10 cιιιι>.\<ιίJοιιε npα\ ματ ι­

ιcc φίμ.ιω F.Fn και EGD είναι ίσα (έχοuι ης ηλειιρές το"ς u\·c! μία ί­

ιιο" ο• ιιφlι,Οη.r cπψ αrιί)/)rιξη και ιιοι• Όcc το \ΡΙ]σιμοnοιήοοuμε nο\­

λές φομί~ ιπη "'"·fxnn: το τρίyω•·ο BC.'f: εί•·αι ιοοοκε\ές - δηλαδή, ΒΕ

= BC. 11 .\οοι1 <ιuτή. """ 1 '1 δα~ cιιτιi1καμL αιιό i' α Οι !Ι\ ίο ιφοβ\ιjμάτt.Jν, χrψn­ μοιιc>ιt'ί δοο ιnιn\iΌv οιJμεία και εξεΛ

και σιίμονcς ιιροοιιόθcι cς - και yια

αρκετό καιρό ανεnιτuχείς - Upήκα 'lελικδ μr μεy(ιλη χαρά μι α (ιλλη \ί•­

ση. Το μοναδι~ό πράγμα nou με ενο­ χλοίιοc Ιjταν ότι η ,\6οη αυτή ήταν ο­ νu\υιι • ή

( φιyω•ομπpική)

κοι όχι

Η δcύupη .\ύοη. Έοτω :r ω μhρο

της όyvωστης 1ω•·ίσς EDB. Τότε,

160 r. Αnό ιο 1όμο τω• 11μ1161 <οΙ\, <nO lf\ί\W\'0 8ElJ Ε\Οι>με ίηι nι-: ημ( 160' - .t): ημ .t, και (IIIft to ψί\WI'<I flClJ έ,\Ουμε ότι BD: nc· rιιιbΟ-: ημtιι" = 2 · σι·ν ιο• (αφ<>ί> BD(' Ιί>Ο" - 60' - 80°).

BF.D

nn

=

Χρησιμοnοιώvιας την ισότητα που σ•αφέραμε Ιωρ(·ιειιιι, ι ην ΒΕ = nαίρνοuμε ιην rξίοωση

nc,

2ιrι•v40Ό

Ας .\ύοοuμι· την rξίσωnη αυτή:

BC, ύιιuιι ΗΙ F αΥήκει στην ΑΒ . Φ(f""Ψ' 10 (' F. ο••ομόζουμc (; τψ τομή Ίι•JΙ BD .cιι C'F, ~οι φ>.­ ρου μ( το (;F. Τcι ψί)ώΙ'Ο BGC εί­ "" ιψοφω ώς ιοοο~ε.\ές (με HG = GC) ~οι εnομέ~<•.ς ιΟ<ΗΊ\ι·υρο (οφοό DB(' 00 ). Κmό οuΙinεια. ο..αι το

ημ(20" + .f) = 2σι·ιι40" · ημr = 2ιη·ιι( 60" 20") · ημr, ί.φα

20

ημ2(JΟ

· rιμ:r = (σι•ι/20' + ι/3ημ20") · ημχ. άρα ημ?Ο" · σι·ιιr ,/3ημ20" · ημ:r. οπδ1ε EO.t = \ ,/3, ~01 Οι>Ι"ΕΠώι; Χ = 30". Η ψι\ωΗψtψίu εί1uι i.•u 10,\l>pcJ

· σι•ιι.t t

ιτι•ιιw~

κuι ~cιθc> \ι•<'• ψ\ ιι \ι ίο. Άραγε. έχει

ψίΙω•·ο CDF rί10ι εnίuηc ιυόπ\ιυ­ pο . Ι:.ι111ι\ίc>Ι. ιιοριιτηροόμε ότι nεc- - ι'ιi(ι - υc-ε - C'BE=ιgo'

1.0 πρόβλημά μcις ~αμιό 6.\λη yει~με· φ• ~•1 \ί•οη; Εηιιψός ιέτοl(ι \ύrιη υnόrιχιι - •ιιι μι'ιλιιηο. όχι μόνο μίο. Στο•· ελεύθερο χρόνο μου δημιο6ρyη­

- ;,Q' - fiO' - .'ι()' (1η \ '''' ί<ι C Β Ε μnο­

Ι Ο Υ λ \ Ο Σ , ΑΥΓΟΥΗΟΣ 1991

τη θεωρώ οί>τε ιδιαίu· rιn .ιιμψί). τ"''· iι1fl10 aπό ηο\.\ές

ημ( LΙJO•- J')fημr

προς tΙJΙ

54

'"1· n\ \fι δΙ'\

1 ει.ιμι,ι"~'l·

θίιγι><φμο τμήμa Dl-' rιαρά\ \ιι.\ο

f>οίψt 'ιι Η) Ι' unολοyίοοuμε από το Ι);δομέΙ'Ο ισοσκελές rpίyωvo ABC"), κaι ει ιιψt••ως ' 8Ε(' = Ι ΒCΕ. πρόy-

~Η 8a τη• οrιο~(L\ούοα υιιι:pΟο.\u.ά περίη\οκη ή υηερβο.\ικό ει..τετaμέ­

σες), ~ι:ιι uιυμ('Ι c.ις

ι...ίι ... Η\' "Η ι cιφ€ρειε να ιο .\ύοι:1t. Η ιιρt~ιη .\6αη. Σχffiιόζοιψε το ευ­

τiιζει ιιi1 τr διαφορflι~ίι φίΙω•·α.

IJ Σχήμα

1

("

οα ιις δί><> cιιόμε•-ι:ι;. Η τp(ιη \ ύοη. Ώnως και <.πην πρώ-


ιη \ί•οrι :>α ΠfΚ)(Jilu;}ήuω "' ιιιιο&ίξω ίηι Ι] DF ι;, <11

BDr

(Σ\ήμο

I ).

Σχήμα

2

'1 δι\<ηίψος

οι•\\ρό,ως, η Oc δι,οτομrί ιψ· HRD (ιιψηι'• HI:JJ:.=JJBJ:: = 20' ).

ο­

ι (yιcι \11 Ι\ι1 μιοιψ\ ι]cιουμε 10 Ι Οt>­

n\ευρο ψί\ ω' ιι ΠCG). Τώρα έχοuμ< (ι)

JJJJ ( ΊJ (.\uι ω του rιορα.\.\η'"1f'ίψμcιcι) (2) 11/~- f1C' ; C'G (3) Η JJJ:. = ..Η Βλ= _ΒλC = 2U' . ~'" (;(Ό - '-0 - ι;ο - 20· . ~"' ι­ '"'μί" κ. Η HJ-: - GCΌ.

"'"

nιι F C'DG - ιο- 112 [J("D Ι ι2 ..JJJJ D. Σuηπόyετοι ότι η // F. δινηομι ί ι ψ JJH D ~ω

μ• ίο F. Σ\>1\ιlιζοιψι rις DH ""' νrίιrω'λ''· ΜΙΙ δι]μιuυριούμε το πο ρn .\\ιι\ίιyf>ιιμμο Π('[)/1 (Σχήμιι 2). Φrρnιψr ιrJ ( '(; όιιως και σιο Σχfιμο

CGD

επομί'' ως.

η 8DF. ~αι υω οοοίο ιμ))ι)μαμμί ­ ΗΙ ιιtj)Hpίι)ttιJ Du ί\f.:ι ιο..ί' ιρο το Ofl·

CB Ι<Cσι CD.

~οι

~(Jl lψ ηψιι\όμι\Ιι ιω,ίu ίοιc.

HIIC~) t Η.;, \ ιι)\ ίιc.;, \0\t ΟΙ ΙΟίΟυ t)o εί\ Ot

nορό\λη.\ες στιc

BJ::JJ

ιίωι ίοιι, αψοιί έ\ΟU\ δί-ο ΙL\ευρές

HJC Γιο το σκοπό οuτό

8ο δημιουριήσω i,·σ τρίyω,·ο. μίn

flll

{\ρο. τn ψίιωω

H ~--1---lJ

Εnομf,ως. ιο F >ίωι ω •ί' ιρο τού f) \'ει ραμμένοι> στο φίyω' ο ΠDΗ

'ύκ \οι>, "" •ι υ ε ιίωι '1 δι χοτόμος της _BDJJ • Α ι>Ιή η λι)οιι ήτο,· διοφοrεηκfι. n .\ \ι1 r\{ι:-,ιc ιιιι μί.νu ωκολότερr]

οπό τη'' ηρι:ιι '1- 11 ι ιιίψη·ι1 \ί><>•] φοί­ \εΊοι 'ο rf,·oι ΙliC'I rlκι•mική. 11τ{1ιψιη \ι'>αη. θrωρούμε το ση­

μείο Κ τ ψ. ~(' τi

'""'

,:,.η ε

Κ 8('

20-. "'" ω on' οcοιψε με το Β "οι '" 1:.. ιf>riτr τn Σν'ιμιι 31.

QUAN TUII I ΗΟ Μ λΥΡΟ Π ΙΝΑΚΑ 111

55


λ

θt)Κε ο ιοuς uιιοψfιφιοuς για ·rην ομά· δα Διεθνι;,ν ~-fα~)ηματικώ'· Ολυμnιά­ δω,· -ιης Ουκρανίας. Και ') οu.\λογή μοι> εμιι.\ουιίιπηκε με τέσσερις ιωι·

νούργιες .\ύοεις. Έχει ενδιιιφέρc"' ότι στις η>εις ηιιδ uu "'ς χρηοιμa· ιωιείται μια Οοι)θφι~rι κατασκευή ποu Οαοί/;ε-rαι u·ιο σχ•διασμό της δι­ χο ι6μοu ΊΙJς γω,•ίnς fJ του τριγώ,•οu ιΙ RC. Και οι τρεις αποδείξεις :-;μη οι-

/)

. .

~

.

ιριyώνοu ΒΕΤ ιJ ω Τ.

nc

πλεupά, διχσωμεί ΊΙ) γι.,.· ία Ε Βτ, και επομέ­ ''ως το D ισαπέχει από ης εuθείες

(MaΓill (;elbaιιd).

ΠΑ . ΕΠ και ετ· άρα η ED είναι ι1 ε­ ξωτερικιj διχοι(ψο~ ιοι) 'I"Υ~"·ου

CΛJ και . ECM = 2 ιECD = 60 . κιχι ωιψ~νω~ το τρίγωνο CE:\1 εί­ ναι ιοόιιλευρο. ('Μ = Ε .Η. και κατά

Συι αu\'tχειο ... Γιcrιί δε" προσπα­

συνέ11εια το Μ ανήκει στη διχωόμο

θεί~• νn 1),\nκ ληρώοrτr μόνοι οας 1 ψ αιι61\ειξη;

ποu αναφέραμε ιιροηγοιψένως. Τώ­ ρα ηαρι:rι ηι><>ίψε όη το σημείο D εί­ ναι η τομή της μεσοκαθέτοΙJ ιης ΕΜ

Άοχηση 1. Αrιοδείξιι: 6-ιι τσ ευθύ­ γραμμα ψί)μαιn nou είναι σημειω­

και της BD. της διχuιόμοΙJ ιrις γω­ νίας ΕΒΜ ..,,.., 'I" yώνl)ι> ΒΕΜ

'

τφ· αyνωο

01

3 είναι ίοα ""' χρη­ yιu ,.,, urιολογίοε1t· '

\'C.ι)νια.

Μετό την ανaκά.\υφη αuτών των

λί>ι>εω\', αιιέκτψ"' την έμμο,'ι)ιδέα να f!έσω το εν λόγω πρόβ.\ημα

σιοuς μαθητές που θα συμμετείχαν σε κ(ιποιον οο0αρ6 1\ιαγωvισμό μα­ θι)μaιικώv. Πίστωα ότι αυτι'ι ιιι έξυ­ πνα παιδιά θα μιωρούοαν vo <.:ινακ<t­ λύψuι>ν κάη καινο{>ργιο! Κnι ξαφνι,

,,

,

i\116 Ό)\' άλ \ι) όπως έχουμε ιjδη δη, '1 RD

ΒΕΤ ιηο Ε.

Σιιμει~)σιt. με την ει>κnιρίη. (ηι ΊΟ

=

Σχήμα 3

οιμοnοιήστε τα

.4G στο σημείο Τ (Σ>;ίιμα 5). Τό­ τε, _J:.."ΓΒ = LEΠC (γ ιατί;) . Όμως . .Β'ΓC = 180" - 40• - so• = 60•· εrιο­ μ~vως ιΕΙ'D = GO". και η ΤD είν"' •ι

θεία είναι και μι;οοκ{ιθετοc του ευθύ· γραμμοu τμήματος cε (<ιφοί> = ΒΕ). αλλ<ι Η<Ίίι Ί · ίι \λα διοφέ­

Έστω Μ ·ω οιψμπι>ικ6 τοu Ε ως ιψος Ί()\' ΛC' (Σχήμα 4). Τότε Cl:.'

μένα ιτιn Σχήμα

την

διχοτόμος της εξωτφι>.ής γωνίας το"

11 nέμnτη ,\ύση

c

ν ως, ιΕDΒ = LEM Β = lf2LEMC = 30°, >.α ι ιο ιιρόθλημα λύθιjκε. Η έκτη .\ύΟΙJ (Sergey Sapιikίn). Έ­ ιηω ίηι η διχο-ιόμος της LABC τέμvfι

μοποιοu'' το μyΜος οτι αυτη η ευ·

fΗΙU\' t\''LUΠω<JΙCιΚό.

Β

μένr.ς or αυτή'' την nεριφέμtι α και βλέπουν 1:ψ ίδω χορδή, ΒΕ. Επομέ·

,

I'

κα, nptν α ι ιο t\'rt χρονο, το οvειρο

μου βγήκr. n.\ηθι~·ό: το ιφόβλημα τf·

(I ERD = 20"

= Υ2ι ΕΒΜ). Σuνεπά­

D rί,·αι ΊΟ κέvφο τοu παρεγγεyραμμέ· \'Ou κ.ύκλοο σε αητ() το ·ι r)ί\'Cι)νο. Τc~1"' βρίσκουμε ότι LBED = LBJΞT+ ΊΈΟ= LBET--'·180°-/ΒΕ'Γ) ­ !)()• + lf2LBE'Γ = 13/)•, αφού Ι8rΠ

(lf2

=

ιΒCΤ

=

so•. Τε.\ΙJ<ά, αrιό ιο ψίγο>·

η) BED κtctαλήγουμε οε αυιί> ιιοu ζη­ lftμε:

LEDB

= liSIJ"- 1;10" -

20°

yε-ιαι 6υ ΊΟ σημείο

D ανήκει στον πε­ ριγεγραμμένο κύκλο του JJEM (ι;ιγ η

Σ~ο ιελtι)i.αίο μέρος αuτής της α­ rιόδειξης δείξαμε στην ιψαyμαιικ(>­

τομή τοu ιιεριyεyραμμi:νοu κύκλου >.αι τη~ μωοκαθf.<nυ του Ε!ιl ήτα''

τητα τφ· εξής ιδιδ ιη ια -ιοu κέντρου

= Dι Μ ""'

ΗJΙ> ιιαρεyγεγριψμένοu κύκλου, ε· ν6ι.; ιuχαίοu tpιyώvou ε8Γ, ·ιο οιιοίο

' ' οε: ιω ιον τον κu-

6ρiο~ε1αι ε•·ιός ΗJς γωνίας ΕΕΠ:

Ίu uημείο D 1, τότε ED1

' ot εyytyραμμ(νες

κλu γωνί•ς F:flD ι και ιlfBDι (!λ(. πouv τις ίσες χορδές F:Οι και Dιlιl. Άρη. αυτiς οι yων(ες είναι ί σες, πράγμα ποu σιjμαίνει ι'η ι Ίο D1 και ω D Ίηuτίζονται.) Επομέ,•ως, οι γω­

νίες EDB και ΕΜ Β εί,•uι η•y•γr>αμ-

D

, EDB = '/2LEΓIJ (που ισχύει ανε­ ξάρτφα απ6 τις υι.>yκεκριμένες τι­ μξς των γωντών). Η tιJδομη λ6αη (Λieχey Βοι·οdίn). Θεωρίιστε το κέν~ρ<> Ο Ίοu ι>φιγε­ yραμμένοΙΙ ~u• λου τοu τριγώγου

D

R Σχήμα

56

4

Ι Ο ΥλΙ ΟΣ I Α ΥΓΟΥ Η Ο Σ 19 94

=30•.

Σχήμα

5

Σχήμα

6

c


Α

ση (!αοίζε ιαι u ιψ ι δcα να θεωρι] · σουμε το Σ:χίjμα 7 ως μέρος t\•ός κο­ νοηκού δεκηο;.. ιαyώνοu μι:: κέ\ ιpο ιο Α. ~αι 'LΓJ ευθίιγριιμμιι -.μήμrηα CΊ/3. KC!l CBI ως τρεις διαδοχι­

ac:.

κές π.\ωρές τοu. l'<l ι μιjμα~π και

DD

Alan Lightman .L~

..,....,. .._ 'I[ :ο .ι.

.. r

.ιι

..

'·-.;;·τ

...

ι.

..

Υ'-

C 1 Γ>

rίναι τμήματα δύο διαyω-

νι ω,· του

-

πραγ μ α που ηρει ι ει νο α -

ι·ιοδειχθεί, <pL>oι~{,, u.\λ<Ί μας επιψέ­ ιιει ,.., Οροίψε \'ρήyορα τψ άy,·ω· στιι γω,1α.) Ε\ιιίζω ίηι σrις cφεσαν και οι οκτώ .\uοεις. yεμάτες έξυπης κατασ~ειιέc

.. Σχήμα

και χρί]σψες ι διι)ιιμε~ ψιμ;,,.,,)\..

c

IJ

7

EDC. Έχοιψε ιιομέvως

'I

ότι ΕΟ - OC, και ε­ t:υΌείο RO είναι η διχΟ'ιό­

μος της yωνίος EBC ιιου XPIJOψo­

""' ήσcιμε οτις διJο προιιyο6μεvες α­ ποδείξεις.

Άσκηση

2. Ολοκληρώστε την οηό­ τη βοήθειο ιuι> ΣχΙJψ.rιος 6.

Τελειώνοιψε με .:,·ο α~iψι] ιψό· 0.\ ιjμο σχπικ6 με το ίδιο τρίyω,·ο

(το οποίο έχει προτείνει ο μαθφι]ς 111~ Γ' yυμναοίου,

rων ψιyι:ινων Π Ε Γ> και 80D.) Έ,•ας οιιό -ιοuς ιιιο φι>Qι~ούς τρό11ους c"'ιψηώπισης του προβλήμο-

πλευρ<'ι

,

;

20'

- διι.\αδl],

το ένα τρίτο των 60~ - και νn ι φοο­

παθήσουμε να ε~μειuλλ"ιJLούμ• αυ­

τήν 1ην ""l'~'l(lJ>'i'>IJ. Η επόμενη λύ­ οrι ΧΡJlΟψΟιιΟιεί άι>1ή\· 11Κ f>ιβ<~ς Ίfj\' ιδέο.

Η όγδοη λύοη (A lexarιder

Kor-

Θι~ωrιούμε το συμμετρικό ΊΟU δεδομέ\'ΟU τpιy<;)\'01) (Σχήμα 7)

nienko). ως προς

ι\ΒCι )

ΑΒ (και παίρνουμε το

l.IJ"

"'"

ω συμμετρικό ως ι ψος

την .'ΙC(και r!άίρvουμετο

.4CB1). Τό­

AG8 = 30· ,

και ..AC1 B 1

ι r. Ι Λ(:ι τ:;= .

= 60° [aφοί> το ψίγω''Ο Α R ι C1 είναι ιu6ιιλειψο (ΑCι = ΑΒι. ιCιΛΒι = GO")), και επομένως η G'ιΕ διχοτομεί ιη γωνία ΑCι /3 1• πράγμα nou οιιμαί­ νει ότι η CιΕ είναι η μωοκάθr.τος τοu ΑΒ1 • Έχουμε επίσης ότι, AD = BD (γιιηί LABD = LBAD=20°), και BD = B1D (αιι6 κr.rιαuκευή). Ε· ι ιομένως. το D ιοα11έχε.ι οηό 1.0 λ και Β ι ΚΟΙ1 κσιό ου\·έιιεω., α\'ι]ιcει <πφ· ευ­

θεία

C Ε.

Μnοροίιμε τώρα να υπολο­

yίσοuμε Ό] γω,•ία

EDB αιι(ι ·ιο ψίyω· νο C 1 BD, σιο οιιοίο .BC1 D = 8()• -

so• + 20• =

= 50° "αι L.CιlJD = ιοοΌ Βρίσκουμε. λοιπόν, ότι

-30'

-- 100° - ,50°

-

80° --

20Ό Λrψβc'η·ουμε σημείο Ρ 011]''

riG

τέτοιο ώστε

; lJ> = BC.

Βρεί ιε ι η y«ινία Ρ UG'.

(!]

;

το μέτρο ·οις yω,·ίος Α του τριyώνου

ιιου μας δίδεται είναι

Υιιriπ).

3. Σε έ''ά ισοσκε\ές ψί yω· ABC. ωχί>ει ΑΒ = AC ιωι ΙΑ =

,-ο

;

Sergey

Άσκηση

δε.ιξη με (Υπόδειξη: ω ι οδείξιε ~η ν ι ο6τrμο

τος μας εινοι ''ο ιιαρα·ιηρησουμε οτι

-

Φα\"'ιάζ(Jμαι , (ψως, ότι r,ι\'Οpωτιέοτε '11ού ~:ίγrιι η ένατη λύση;» Λοιηό\', σας αφήνω \'Ο τφ• α\ιοι.._ολί>ψΕ'Lf. ε­ οείς!

LEDB

ΟΜ ·JV·

ΑΠΑΝΤΗΣΕFΣ. \'ΠΟΔΕΙΞF.ΙΣ ΚΑΙ ι\ \'ΣΕΙΣ ΣΤΗ Σ. 6 1

:QUANTUM

• «Ουδείς )JJyοτέχνης. φυσικός ή φιλό<Juφιις μα; έχει πραχρέρει ποτέ ιιιcι τ.lσ<> ωτέροχη εικόνcι για το χρόνο ...•

]aιnes G/eick, ουγγρuφέας του βιβλίου Χάος. Μια vfa πrιιmίιιΙJ • «' ε-τειτα ('ut6 πuλύ καιρό είναι η

, Ανακαλύπτοντας την επιστnμn

πρώτη νουβέίλι που με συναρπάζει

• « ... Γεμάτο εξαιρετικά

Sα/mαιι Rιιshdie, <JUγγρ<Jφέα; τοu βιβλίου Σατανικοί rπ[χοι

.

-'- Π0ΑU ' ... » 1\J\JO

θέματα· υπέροχα άρθρα Μαθηματίκών και Φυσικής για σπουδαστές λυκείων και

.

.

'

...••

πονεπιστημιων

Nature

• "... Πρώτης τάξεως περιοδικό... Μ' αuτό aποκτά πρόσωπο η ποιότητα, η φαντασiα ΚΟ\ η γνώση ... ΤΟ

•«Βαθι.'<Πόχαστο. πcιράξεν<>.

χαριτώμt\'Ο και γοητευτικό. έλ-ι.ειοu.ν μuγνήτης t0\1 ανetγ\'ώστη σ' έναν κ6οιω c._)νειρικό .. ,)~ Τ/ιe Nf!fl• York Ίϊme,,

Θέμα του βιβλίου αποτελεί τι ι ανεξιχ,ιίαστο cιι'16 τις θετικ{ς επιστήμες και τη φι).οοοφίcι πρόβλημα του χρ6\'Ου: τι είιιuι ή τι θαμ..τοeοιΊσε ιια t·{νuι () χρdνο;; Ο UgJHιηan ε(\'ΟΙ

γνωι1t6ς uστροφυσικ6ς κcιι διδάσκει φυσικιj στο Μ ιΤ.

συνιστούμε ανεπιφύλακτα ...• Ubraιy Journal

ΔιαΒάστε το Quαntum. Γiνετε σuνδρομητι')ς του και στηρίξτε το.

Σε>..

160. 2.000 bιιχ. ~

ΕΚΔΟΣΕΙΣ κατοπτρο Ισαύ{ιων

10 &

ΔαιrνοιιήJ.η.ΙΙ4 7 1 Αθήνα

Τη)..: 3643272.3645098. t'a.:

364 1864

(Σιφ- ιιρ<>yμι:πικf.ηφα. αυτή Ι] λύ·

QUAN TU MI ΗΟ Μ ΑΥΡΟΠ ι ΝλΚΑ ιιι

57


ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Η ιστορία μιας πόλης Προβλήματα από

rov Διεθvή Μαθηματικο Διαγωνισμό Πό?ιεωv στο Μπιε?ιορετσκ Andy

ο οδικδ δίι.. ι ι>ο μιι ις πό.\ης αnο­ ιε.\εί ωι η11ό μια "'"'Xi\ π\uοί· δα KU>. \ωΙ. l. ι<> ιιrιμείο επαφή<. δL'ο διαδονι..ι:)\ .... ι:,~\ω' cη δρόμοι διαmαupώ' Ο\ ι οι οηοόιιι- ­ δσ. όπως σιο ΙΙuιχiδt.ιψπ ιιοu 6\uιι • τι· nτο Σχήμu Ι. ι ο οιιοίο ιιrφοuσιά­

Ι:rι rην nφί.ιιιωοη ιronfφωv κύι-.\ω1.

Lιu

{ι\,\ι·ς περιnτώοιιι: ()α 1 ο ογομ(ιζοΙJ· μc μι1.._cn·οη~ό. ΕιιιθομοUμι;- \ 't'C Q\'Q-

\ω Ι ισμού είχu•· <>λιι>ωστrί no.\6

Jι..ιι\ύιμουμε μιcι ι._cl\fι

φ<~τiισεΙc ποu οδη\ uί><><ΙΙ οΗιδιαι..ι'ι ω \ί• ΙΙJ <>πιvι..Ιιριιt ι ρc:>ΙΙJ<IfJ· Επιιι.\έ­ '", ίι)ι Hll rκιpόλ\η.\0 MJI {ι\ \rς "\τ•

.. ccι α,·α\ι..αίu

οιΙ\ θή•η ώστε έ' ο ο\uι..\ιu><•ψ>"·" δί· 8tr.H'C) \fι rί,·αι ι..αΗ)' ιιι.t·).

\uτή ήιu1 'I ι..ίψιιι ερώι.ηση οιu ί1 α uιιό 1α n(nc ιψο!Ι\ι]μ<ιω ιιοu ι(θιικοΙ· σιο δωyι.ι•·ιιφc) ωi.\Ι>οιιc;

Ιψοcιι κ <ικι'ι. Χωρίζο, tαΙ οι Ιιο.\.\iς

τιι..t<. εpωιιjσεις. Το nρό(Ι\ημ<ι 110ι• Ιι<ψουσιόζοuμε οι ω(nn ιο ίφθrσ 10 Ι ψ6ιη•·cι~· nι

S. Lokιev >.αι Μ. Via-

Γύf'>4> ω ι {ι 11)1 nό.\ι1 είναι κιιισ · οι..ειΗι<rμr•·ος έ1 ος ιιφιφrρειυι-6~ Ιψι>μος (εξωιφ.-6ς δακτύ.\ωι;) ιιuο

rιροιJλιJμά ι ωl' ο οιιοίιις ί·y ι νε. στο

διασταuρώπ-ται ΟΙΙσόιuοδ<J με ιφ ι­

"'" 1993. Οι δια) ω\Ιζcιμη·α πρσέρ­

\η ιίι ιηυ Πο•·ειcισ ιημίοι· ι\nμονό­ Οώ<p της ~Ιόσχας.

σωτεριι-ή π\υοίδα οι διιiφορο ση· μιίη. t.ε κά3r •σιιμιίο διαα-τη(ψ<•>·

\<>Ι'Ιιn· )(uρίωςαικ>tΙJ' n(>ώφ· !:σ6ιε· τιι..ή ΈΙωΟI], α\\ά υπήρχα• ι..οι uuμ­

θα οp\iσοuμε ιψ [ρι u•·ό μαc με­ \ιtώΙ-τας μερικά μιψδ ο \ο>-..\ηρωμί­

Μιιιi·\uρ~-τοι... οιιι Βccοι..φιοΙ'ή Δlιμο­ >.f>ιιιίο Ίης Ρωσίας. 101 Αύ1ουσισ

μετο,tc ππό τφ• Λ)\ \ίιι,

"I'

Λu­

οΊρίο. τον Κ ονιιδιΊ. ιη Ι 'tρμιη· ίο

l)j. βασίζεται δε uι· i'•·ιι nρόβ.\ημα "'" \' .1. Λ rnold. δια Ι ψtιιοί>ς καθιι·

\ u δίιο υα. Ερώτηση

1. Ποι(J

ιιι ιδ 1 cι ο.\οκ.\η­

μωμtΙ'<ι δίκ;uο ·ιοο r.\ίιματος 3 εί­ ' <cι ι..<-ι\' 0\ ο.η; \Ι ιιοrούμε •·α nαιχιιιιρiισοuμε ότι τυ μη ι..αΙΟΙΙΑΠ δί>. η.'Ο τοο !\ίιμυιuς 3 UfΙCJ1f \oύ\'"t(l\ ωJό l){"() HU\ tοτώοtς. Α \ι1Οrύcι αι>τό )CΙ ι>.Ι>ιψ(ι: ~!ε ά.\ \π

,\ 6\ ιcι, ιιι'>οt> .. και..ό• μιιοι)ι i \'α t>ί,·αι ;.,Η μιι 1\.Ο\'Ο\'ιk.{> δίκιuο:

Σχήμα

Ερώτηση 2. Υπcφχει ο.\οι...\ιιι•ωμ€·

1

'ο fiίιauo

ιιης• -θο ιu οωμι'ιζοιψε •<>ημείο uίJ\ δrσης•-

\lι f>ι>.ι'ι οπό τα ο\ο>. \ιιι~ωμi:τα δί­ .,ι•ο τσυ Σ\ήμοιιχ; 3 ί\Ο<>Ι, σης ά­ ι..pf~ 1ω' εοι,ηtρικώ' cι.\ηοί&.η. ι.: ύ­

οιο ιιαριlδο)μο ιιοο 6\€nε1ε 010

2, 10 οιιοίο ιιιψοuσιάζει μιu

" \οuς \Wρiς σιιμιίu <>ί>Ι•δrιrης. Εί•·αι ' , ι η <Υφcιιρεο ' ' προψα1 ες ο-. Ι J των κιJ·

ιιφίιιι ωση μ; δuο Οι)μείιι ούνδεοης. Στο Σχί1μπ

2 μι·ιορu(ψι να δούμt

όη το ο.\ο>-..\ι1J>ωμ>•·ο δίι..τuο nιιοιε ­ \ι ί ιuι on6 δ(•ο ιιμοιβυίως αηρ<'κ>Ιl<Ι ιμrιματα ... σι δο ιιιιίφχει τρόπος npuοιιέ.\ιισης από το έΙ<Ι ιηο ά\ \σ. Θα ΟΙ'ομάζιιιψt ι..ι'ΙΙΟΙΙ>.ό έΙ<ι ιι\u­

" \ηι>ωμέηι ~

I

δί' ιι•cι

,

nou αnοτε.\ιίιαι ,

,

cι110 μια μ οΗ) Οl>\ Ι (Jτωοα, (\•ω οιΗ.:

58

ΙΟΥΑΙΟ!

Α ΥΓΟΥ ΗΟ! 1914

αιιοιt:· \ιίταt οιιό

τρεις ιj rιφιοο<ηη>tς οι•Ι ιοιι:>οει:

n δtι._ ιί,\ιος OU\ α,,ή.

101 με UJΙ εc>ω ιφωι rι \υσiδα. όrιως Σ\ήμυ

nou ,.u

Σχήμα >.οι

2

"1' Κο.\ομβία. Ήτα• μαι!ιJιi:ς \v-

•είοu που είλu' >ΙΙΙ \t)tί μf Οόοη UJΙ ω ιί>δ<κιή 10uc ιrι<>Ι Λιι Ο\'ή ~1αθημα­ ι ι t..c') Διοyω\·ισμό llc.).\ι ω,·.

Και τα ιιένΗ ι ψιι6V)μοτα τοιι δια-

>. '''" nιηώ,· δο· rπηρεάζfι ''I" κοΙ'Ο·

',..,/nηto. Από το οημιί<J ιιυtό και με­

τά. i:)u θεωρούμι ότι οι tΙ \ό) ω >.ύ­

>.\οι ''""'' πφαιρε&;ί. Οι {(Ι η εσωτε­ f>ι>.ή π \uσίδσ αιιο11 \; ί1οι μό10 αrιό ιίΊοιοι>ς >.ύι...\οuς, ε>.φu.\ίζπuι ιnο ι..t ,{~ ηίΗ Ω\ο. Πά' τως, θu ι·ξrικολου·

Οούμε νο θεωρuίψι· μιι κnΙ'ΟΙ1Κό

ou-


όt

ο στ

α

((}) 10101 (ι) 10111 ω 1101 ) (\) 11 111 . Το εnόμε\'CΙ ιιcιοιi·\εομο ()Q μας ε· ιιηρiψει , .., σ\Cη άΙ οuμε '" ιιιιι>Ιiί)ι<<>· τε ο

κ

.. u, ο' ιλοιιcιιημf,·ο δίιr..1UΟ

ηrιι". τσ ψίσ Ο\ήμο1ο 3ιι. τοη Σχήμα ως

6

ω ιιι{Η)fω\

ω μ

η

ιοι1

ε,ήμmος3. Ερώτηση ~­ Λιιιιδι ίξ11· .Sτι • • >.<ψι<ι cιrιο τις εrιι'ψι- rς ιψι'rξης δ(\ επηρεάζει τη' ι.. ι η ο\ ιι..ό-ιιι­

'" r' Ως ο.\ο~v\η­ fΗ,)μ; \ OU

II:U-

.. \ώμcιτος:

(ο) η προο3ή~ιι δί•u οημι_ίω\ o\n·δr· ιτης σc έ,·ο,· κύ·

ν

ό Σχτ']μα

κλιι ΙΙ)ς ωω ιt·

f""ί)ς u\υοίδαc. (6) Ι) ιιφnίρεσι1 δύσ σημείω\ σύ' δεο ης ω ιύ ί · \ ιη . . ί>κλο "tης t··

ξ

ε

σωτφl"ής ολυ·

3

τό το ολο~ \ιιι><•ψf'"ο δίκτυο πορό\ο

σίδος. Έ,·ο ωι\ι) cι\λά χρήσιμο ιιίψισμn

ΠΩU ο nεριφερειοι..ός δρόμος οι ιοΗ •

ιί\αι

\tί τη μό\ 'J <Jιi\'1<1H~OO. Κιιθι~ς fνδιαφφ6μι1ιπr μόνο yια

σης. Με ΟάιJι) ιru-ι<> 10 πόρισμα. το !:χήμοτο 3δ. 3οι.. 3ι, 3\, 3ν, 3ο. και

τψ >.α\'Ο\Ικίηητrι τω' ο.\ο"'\ηρωμ(· 'ω' δι>.1ΟΟ\', μπορούμε \α"'" αn\n­ ποu)οοuμε με ιιuλ\οί.; τρόπους. Λu· τά ιιuι> ακο~nu3ούν οιιορρέοu\1 <ιn6 nσpοΗ)pήοεις ειιί Ίω\' οrιλ.:"· ιιφι •

3n εί' αι ηuρ.ιίο<ιι..ιιι. Ερώτηση 4 . Αnο&ίΕιι ίηι σε (,·ο

'" Dίμο της mόμεΗ]ς φ<;>11]·

ο\οκ\ηι•ωμ(,ο δίηι•ο μιιιψιιύμε \Ο

με ιuφi·rιοuμ• όλο 10 οι)μι ίcι ού,·δε· οι)ς rνίιc κύκ \ ou τηc εοω ι φι κί)ς α.\ υ·

οίδος υιι)V ίδια π\ευρό ιοι> ε(ωιφι·

... ού δοι.. ιι1 \ίοι>. Έ'ο υιιμοηι,6πρn πι'ιριομα της ε·

ρώτησης 3 ci \'άι ό ιι μιιιψιιίιμε ,-σ υ· nοθέτοuμι· rιως κάθε "ί" \ιιί: Ίης εσω­

ιφ... ής α\uοίδος έχει είιι ''" σημι.ίιι ~ ~·~ " Έ'Cι τειοιο • CJUYut:mις ιιτι ΚΟ\τ\'Ο. o.\o>..\r1f><•>μt"' δίκτυο 3ο 10 Ο\ομcΊ· ζοuμr "'" CΙ\'ι..ιιnοιημέ' ο, ~οι θα 10 παριστάνοιψr. με μια ηκολοuDία οπό

δίtr.1ι>Ο 0\ .. οι μc·)\ Ο

(t\

.,_(IL I} (ΙΡ\LΚή

<ιηιιψfΚ)WΙΙt ί,ι.ι t..O\ ΟΗ.ι..ό δίι..ι ι'ο. Λnοδειt..η)ε ιu.ι U ι ι ι.ί\CJΙ δuγιηόΥ

,·rι 1\ιαπιmώσοuμε

.,,. μιο δι>"δ"il <1· . , , . "· ,n\nυθια Ο\ltιφοοωιιη•ιι •Ι "\'"ο ..rιωηκό δί>. tUO. \ωρίς 'u λ!>Ι ια<τιfί \Ο Γκτε\έσοuμε τη διοδικυοίu α\·ι1· 1"'1<;". ι ης φι:ιιι1σης 6. Θrωιιήιτιι

μιιι

<<"' \ιιut!ίrι ως ομάδες δωδuλ ι·

"ώ' I ιιuι• διολ<•ψίζοησι από μεμο· ,ωμt-·α μηδt, ...ά, Γιu ιιuιι<ιδιι1μα. Ι) 111001101 ιιι1<nε.\είται ωι<ι ιiοσε· ιιις ομάδες διuδοχu(ώ\' I (lj l φι:ι "1 Ο• μ(ιδα έχει ψία I , 11 δεί>τεpt) •ΙtVt\'fl, ']

ψί η ι δίJο ~"' I)

(f

\εu1αία i \11), Ωc f ·

, cι\ \αοοi'>μη ο ίιDροισμα αuτώ' ιω\ αρι::Ιμώ' οpίζ<>tψι: 1<> 3 Ο + 2 - 1 - ~. <αι παρομοίως μιιοιχιίψr ,.,.. ο· JΙfιιιιuμt: lU f\'α.\λΟ<JΟί>μ ι \'() (ι/)f>ΠΙ·

ιιμιι οιιοιαοδί)nοτε ακολουθίας. Ερώτηση 7. Α tι<>δείι-.τε ότι μι ο δunδική ακο\οuθίο α' ιιιιιχκ~ω11εύει έ'·ο ι...α\U\ι.._(» δίι...ιuο U\ ...ω μό\C> α\ ι<> r.•αλλοοο6με,·ο {ιθροιιιμά τηc δt\ 1\ιαι ρεί·ιιιι η11ί> το 3. Εί.-rιι ητuηωσιαι.δ ό ιι Η ι μi:χrι

.

.

,

,

τωρα σuμnεροομuια μnς οφοροι''

μί rιος μ(" ιι ωu προ6.\ήμο ιιις ι ω' Lokιev· Vi<ιl)•j. Σι η ~'-""(ηφη μορ· φι]. ιη'1ικοθωιιι6με τψ ιι(ι\!) μ.- μια

μt\ αλούηu\η c'>ιι<>u '" οδω) δίκτυο δε" Lί\nι μιιι n\uσίδο ο.\.\6 μπορεί. \ΙU nοράδηΙμα, 'α έ\ει 111 μιψφή τοu Σ~ίιμαιος

4.

Ειιίιιης, <>,\Cιtκά με

ω ο.\οκ.\ιΙfι<οψeνιι δίκ<uα μιιοροίψε 'α t>έσοuμt >.οι ά.\\σ Ef'<•" iιμωιι. Ο Η~ηιί)<. ωu ιιρώ1οu βραβείου \ι' οuτό το πρόΟ.\ημα ήtu' ο Clem· c11s Heubeι-gcr, Η.\tι6φnιτος \uκεί· οιι ιr116 ι<> Γκ r•ατς της Λ uστρ(ος.

5. Ποιο αιι6 10 ειιόμοcι ι..Ο\"0\ ltr.OI 101 η μ{ Η"! δί. . lL'(t tί\ 'OL ι...Ο­ \'0\·ι~ό: (ο) 101 (6) 111 (y) 1001 (δ) 10 11 (ε) 1111 (ζ) 100()1 (ι)) 1001 1

\οι..ι-1()0 ωιό ιη ~fc)σ\α.

I.

Ερώτηση

4

ιιι)ς. Ω\"!t>.οΌιστούμε με το 11 ί>\ει; τις uπακολοu/Ίίc.; Η]ς μιψφί)ι, Ι ΟΙ. Λ· ιωδείξιt: ύ ιι '1 cιι..η \ουθία ι ιοοι φο..,{)­ ιηη mιιπροσωnrύει i:HJ tr..Ct\ Η\ ι ... 6

Βρο6ε6τηκο'' cnίσης οι Μ. Alelduιu· \'iCh και ~1. 0>L(O\'S\:\ (οι ΟΙΙ<Ιίοι Οι>• "l'l'iorη~<" I"' ιις \ίοοtις}. ~αι ο I.

Ο κ πι

Σχτ']μα

3.

\ουθίeι~ άψύί(>ί)ύμι ()_\ι ζ 11' οιιn...:ο­ \οι,.')ίες 11)<: μιψφής 00 ~οι 111. Επί·

ό γ

3(1. ί) 3κ

Ερώτηση 6. Λπ(ι μια δι •ubι~ή ιJ,<>·

ζ

β

σε έ' ο

rl""

μcι{)ητές

OUAH YU II ΓΕΓΟ Ν Ο ΥΑ

59

:-.') knno\. Κω ιιι ψεις


Λόπε ΖΩΗ ΜΙ ΙΙ'ΟΙΩΙΙΚό1ΗΙ~ ΠΩ. EJ'I'AOO 00'1 θtAnE

~<ιι εnομί,·ως ι1 οιnόσιιωη ΟΙ'όμιοο

σ• οnοιοuοδήΙΙ<ηε ι..όμ6ουc εί1 uι τοu\6\(Ο1ΟΙ d. Άρη, οι ι..ύ~ \οι μ<

"'

"ί' φο ιοuς ~όμR"uς tοι> n\έjμmός μα~"'"~ tίΙΙΙ ίση με dj'l δεΙ· -ιέμΙ'Ο­ \ Η.ιι: Ο\' δ6ο τί:τοιοι ι..ύ~ο..\οι, με λ.έ­ ,,ρα Α ι..ω

8,

ίλοLΗ1 ~ο.οιη) εσω'te:pι ..

κό orJμrίc:> CΌ ιίιτε Α

< d/2 + ιlj2 Σχήμα

5

Α νε(ίψιητοιι Ππνεrrιστημί­

οι• της ~Ιόο\ος, ο οnnίος τιμήΌη~ε ιιικ><>φ<ιιιι nnό 1ψ Πeιj>.όομια Ομσ· ΟΙΙΙ>Ι δiα FΌη~ώ1 ~Ιαθημιπu.ώ• Δια­

yωY<J μι •ορuφ €ς 0 ((), 0) . .4( 1, Ο). κω JJ( I. J) εί1·ιιι ίnη μι το μισc) του εμ6αliο6 tΙί>ς κί,. .\CΙΙ.' -δη.\cιδή.

πιΡ /'d. Και rιuυ] Ι) rιεριο\ή rί,·αΙ μ(­ ροc μό\1> της 0111 ο\ιο-ήι: εnιφά1 ειnς του ψιj ώΙΙΙι>,

=

ηρόι·Ιiρος Η)ς εnι ψnηής

ι φο6.\ημιiτων τοι> Διαj·ωησμοί> 116\εων, και'' κιrθηjητής Α.Α. Yegorov. διι·tJ0tJΙ ιίις σί•ηrι!;ης ωu Κι•aΙJι.

Κcιι οι δύο ι οι>ς είχαν ιφο ιείvει προ·

6 \ί]μu ω 1·ιeι ιο Ιiιιη ωηομό. Οι rrφιοοίΗι f>fς ομάlitς σuναηή·

θηΜΙ\' ""1 Μόο\u nτις 30 Ιου.\ίου \(JI> f 993 ~01 διrO\lUUI με tpέΙ'Ο 11)1 f.ιιρωιιuι~ή Ρωuία \ι α να φτόσουν έ­ nιnn αιιό 36 ,;φις στο ~Ιπιέ.\ορησ~.

Στη δtcJf>HΙα του ταξιδιού δό&]κα1 OHΙUC δι<ιjωΙΙζύμΕΙ ους j'Ια •ΠpΟ· θέρμα1 ση• 11i1 ι> ιιρσ6λιjμστα. Πο­ ροι•οιάζοιψr οτιJ <JυΙ'έ\εω ένα από

ιωΗ.ι.

Πρόβλημα εξάσκησης. (ο) Έστω ιι και iι ιι~t,•cιιοι και μ ένης πρι~ηος α·

ρ ι θμός. Α ιιοδείξτc ότι ιι -

h {rtt<Jιl

μ) "" ο•

= 11' (mod /).

(0) 'F.οιω ABCD '-'' " πορο\.\ηλό­ jf><ιμμο (!:'iήμιι 5). Ο ιιφιyεφπμμέ­ ως ι..ί>ι.. \ος τοιι ψΙj'ώ\Ου B.4 D, με ~ί1 φο Ο, ιέμ,·ει τις προεκτάσεις τω1 BC..·\('. ~πι .-10 στο οι1· μείο λ' f .11. ~αι ,\', ιιηiστοιχrι. (I) Anoδ<iξ1r ,; .. ιο .\ είναι το κiηρο (()() IΙΙf>lj(jf>ΠμμέΙου ~ι)~ \οι' toU ψιyώ"'υ 1\C.\1. (2) ε... φρόm• το

nc.

μιj~ος ιοι• f,(' ,,. ου1 άιηηση μι τα

ι

2 Jnr{ Ι -

= 21 Vιιι· - 1i' - 2' ~ Επομ{νως.

Λφού το ιf' fί vω α•rρcιιος ( dz

+ 2hrιιrι + f'lι' ), 1

= uιιιz

(χουμε d = 1. οιι6τε

Τι Ο\ ίση έχει. όμως. αuιύ το uιιι'f>Ο·

\Ο :Χώρημο με 101 ~·ennaι ~eιι '"'- Εu­

60

Ι ΟΥΛ Ι ΟΣ ι ΑΥΓΟΥΗΟ! 1994

"(πειίθυνο και nροσε γμένn φγοσfο.

διοiτ~ρr' ;ροοοχr) r.ooovσo ι ou vfu;ου.

= [(p

1)/ 2'!, διοψι·ί·

ιιιι ω ι{) ιn μ, έι<ιι δο εί\οι; Ας ι:φrφ­

μόοοuμε .\οιι ιι'11• το θιώρημιι "''" :νtin­ k<H<Ski υιοιχ: cψιθμο6ς ο - p. b = Ν. ι·= (/12 + ι)/ιι. Το ~),·ώριwα μας .\έει ' ι ι _yισ κcιιιοι ' ' ο οος ακεραιοuς rn κ αι η

opo,~ ~JF ης "MC

φωτοΊροφcος ~c

~\'ilsnn 11011 ω1οδι iξαμε nρσηγοΙψt­ ,.ως. jΙωρίζοι>με ότι ο οριθμύc Λ"'­

ίιΙΙuιι .\'

=

,..t.

Αηό 10 nόιιισμα του \ήμματος τοο

+1,

orrv

M)ρQvtς μ· θ6δας • ε:ξεργοο.ος ~.cu

Ιιτ; Τφ πιο (ιμεση!

Ο•ε:5ιΟCΙJ:χ!

• J )-.F ό ΟΟι.Jός τρ. Jbόοτοιω·.ι οvτι~F ιμl-ι(.)ν

-<ρnο·' ΓRACTΛLS

ιονJιι

• Εξε6 κειμέ•ιο κοι έμϊF ρο ·ρ JΟ(ι;(Ί κό \ ο

ιιιομη ως,

~~'Οτr-~

κi.ς ε:p,J:J\f.ς

Ρ- α= α'rrι' ~ 2ιιlnιιrι-.- (if + 1)n° = - (αιrι ~ lιn) - n1

1

-δη\οδιj, τn p εί1uι 10 ά3ροιομu δύο ιεψnjώΙωΙ'. ί\ρα. 10 3εώριιμα

AJΊANTJ /ΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕJΣ ΚΑΙ

Λ ΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΟΜΕΝΟ 1ΈΥΧΟΣ

ilολuτονικών κε ΙJέvuv

·ιο θεώρrιμιΊ ιοι> Minkowski οιιοδεί· χ3ηΜ.

ΑΠΑΝΤJ-ΙΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕJΞΕΙΣ ΚΑ1

b = L.lf.

ΧnμεΌς

mfl/8 < 1/ 2, ή ιf- <4fπ<2.

αnυliιίχθη•ι ~ια μία ((~όμη φορά! 00

ΜΙΙ

Ουσικnς

πι-vΖιJ)

00

« - 1\ f.

Ξnιστnμονικών σuνγρομμότων Μοθnμοτικών

2ι .ra.;r. ημ(.λ)

Τψ ι κδή\ι><>η τίμηο01· με τη~· nα­ ροuuίιr τοι>ς n καθηγητής :'\ikola)

...; ι~~"-

nou ι\π εμ6uδ<>Ι·

Qωτοστοιχε ιοθεσΌ

I - (0. 1) (08) ημ(_Α) 1

\"'' ισμώ' μr το Βι)()6είο Paul Erdδs. ν

Ann το !:χήμα 2

6\έnοιψ> όιι 'I ιιφιολ•i ι1οu κολu­ πτοιιν αuωί οι κύι...\uι μέσα mo τρί·

Διιφyeι1 ωιής του διeιγι.ιησμοί• ή­ τcιΙ ο ~rιθιηιιιής NiLnla}' Koru;ιanιi­

n<>v tt>ι>

ιl.

n < AC + C'J:J

ΕΚ1ώ:ΠΕ

Λ !'ΣΕΙΣ Σ:Γιι Σ.

GJ

ΝέΑ ι1ΙΕΥθΥΝΣΗ ΨΑΡόΝ ι & ANetoN τlt\.: 9716411


ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , ΥΠΟΔΕΙ:ΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Μαθηματικά

Πιφομοίως, yω κ(ιθr θι ιω) <χκέραιο ιl. 10~6ει

ιιι ι

DQK + ( I U = 180'"'.

=

(k+d )i

(λ·+ d - 1)!

d'

ιf'- 1

ψ· -

d-

ιΡ

.

~

~

~

ο ιιο υ μnοr><>υ μ > Ηι συι· ι.γο1 nυμι

(α) κιη

(6): l · d!

τ-

2( 1 - ιJ)!

tP

Vasilyc''• V.

Η οιιά,τηοη tί\Ctl \ΟΙ. Λν ο ιψώ·

+ .. .

τος nυί>. της διcι.\έξει τρεις διαφορετι· κοός ακφσίους με ι'ιθροιnμn μηδέ,· (ας 11ούμι, Ι. - 3. 2). ιi>tι, U\'tξόρτη· ιιι <ιιι6 τη οειρά ιιοη θα ιοι>ς χρηοι·

ΖlισkΙΙ~)

Έιπω I. το <>ημι·ίο ιιψrις της δια· 1 ω'·ίου BD ιισι του • όι.. \ου Κ JJQ ( !\t}μο 1). Πρέrιει \(I υιιοδείl:.οι.ψε Διι ιυ L u\Ι)ι..ιι .. uι uιο\ δt.ύιιpο ...

u-

ι ο' Κ ΒΡ. Λ ς 3ιωρήσουμε ότι

ιιιιμείο κ και Q ΙΙιοίοκΟ\''101 εκcnr· ρωθεν της BD. Τότε, το f( και το Ρ βρίσκονται σnίι ιrιν ίδω π \ευρό της BD. διότι το ευθuyραμμο τμήμσ PQ 8tι ι•μΗι τψ BD. ΕJιομίιως, ιιι ((t

)W\ίες DQK •αι DLK εί,οι εηε· Ιf><ψμ[,~ς mo\ ίδιο •ί,. \ο, 11\iιιοη\

τφ ίδιο χορδή Dl\ ~αι έχοu,· τις κο­ ρυφές tutJς αιιό τη" ίδια ιιλευρό ιής χορδής- άρα είνσι ίnες. Απ' τφ• άλλη. κο ι αφού DC Α Β. DρJ\ = ;.; Ρ8.

3'

Οnόιι

'>/ο Φ Ι (υφο6 ω )1\ό· με' ο Ριι>ι εί,·αι ηά,'τοτt ίσο με 1/ο). ι\\' οας άρεοε αιηί> "' Ιψί>6\Ιjμα, ιψίο ιι •aι μια nολίι 1110 Οr\τιωμiχη εn~κτασrι. Οι δύο ιιαίκ·ι ες δημιουργού'· μιu

ι ~ίοωuΙJ LΙJς μορφής r 3 i .• r2 .._ •r.._ Ο. Ο πρ4ηος παί•της Ιiια\(yει

'ιι' υpιθμό. Ο δεuτεριχ. υ' ιιι.α3ι.

οτό μt οuτό,· όποιο' ασιφiοι.ο εηι · θuμεί. Σ τη OU\'E\ ει(! ο ι φώτος nαί · κ της διαλέyει €\'Ο\' δεύτερο αριθμό και ο ά.\λος παίκτης τον Ο όζει στη θέ· uΙ) ινός οnί> τους δύιι ιιιιιφίοκσuς

ο nρώιος rιαίκ1ης (η ι

tιu k = Ι , 2, ... , 11 ~ω rψοοθέτσ· ,·ιcις όλες ιις ισίη ηι ες, καταλήγου·

r1 ~ξίu(~Jοη ιιοο

ιιιιc,.ίιιιιει θα έχει τρεις διυφορετι­ κi:ς ιικίr>οιες ρίζες:

μι - μειό ιφ αrιu.\οιφή ιων όρων με αντίθετα ηρόαημα- ατη,· εηόμε· \1} ιαιnό'ιφu:

Μ9 Παρότι το δύο nρ4nιc ιφο6\ήμυ·

= 31

τn ίλ"''' ξ<.\ωριοτές, )Ια ~όθε περί·

2 · ~!

n( n-2)! τ- :~·' + .. ·+ 3"· ·

1"1 ρίζα ι>ι""

nρώΙ<><; ιιuL.ΌJς αηι~υ3ιοιό tO\ tε· \ειιταίο σοτφίοκο με M'moιov οριθ· μό. Υnάρ\tΙ τρόπος \Ιι ιξοοφα\ίοει

Γρόφοντας ό.\ες αυτές τις διαφορές

3• 1 ·31

ο J I-J· I + "> = O) •αι μιαδεότε-

nou ίχnυ\· nnoμrί\rι. Σιο ιi\ος, ο

k(k- 2)! = 3'

(n- 3)! _

μcιιιοιήοει ο δείηερος nαίι.. ΊΙJς, η nρο•ίJητουοα εξίσωση u.ι;Ι ιJ.r+ +"= Ω έ~ει μία ρίζα ρ1 = Ι (Ι' Ι Οl.ί

+

Μ1

•.\o,

Π. Ρ. 1\ "'" L cί' αι ομι.-ι•• \ι.,:ι -δι)· .\οδή. ότι το σημείο Ι. α\'ήκη ι.π<>,. •ύ•.\., 1\ ΒΡ.

Μ8

n(n + d - I ) ! ( n • d)! + d" ι/" - d!. (Ν,

DLI\)

ιιρ(ι1 μα ιιου οημοί' ει ότι το σημεία

Ι )!

ΙΙJV εξής yε,•ίκεuσιJ TW\' προτάσεων

ι,·pfl+ LKLΠ

Σχήμα

1

rrιωΟΙJ, .\ύοεις θο α\"tιμcτωπίοοαμε αιιω~Μας το γειι.ί> 1ψiιΟ\ημα ()). Θιι ιιρχίοοuμε ειο(ιγιl\ ιας μερι·

O U ANT U II I A Ω AN THΣEI Σ

61


σοιψt 6τι η παράλληλη μετcιι(>ιι ιuή

μας μεταφέρει Ία Q,.ι και Qc ο·ια

q= S

QΒ και (J ο.

Λ

και τη διαδρομή 11ου κα­

-ιασκευάσcιμε σε μια διαδρομι\

BD .

Επομένως, το D συνδέεται με το προοεγγίιιιμο σημείο Β.

Φυσικά. η πρόταση ισχύει και για την ποράλλη.\η μειατ6πιοη κατά το ~

ΒΑ.

Και τώρα, ας αηοδεiξουμε ότι για q > 7 κάθε •ύκ.\ος περιέχει ένα προ-

q = fi

ι.ιεγγισιμο σημειο στο εοωτερικο ιου.

Έστω ~ η ακτίνα ιου κύκ.λου κοι έστω Α και Β δί>ο ι υχοίο προσεηίσιμα ση­ μcίιχ. Κmασκευάζουμε το Οιjμείο C

όπως περιγράψαμε σιην πρότασι1 (1). Τότε ΒC'/ΑΒ = λ- = 2 - ηιι(Η!!J'jq)

Σχήμα 2

< 2 · ημ30• = 1. Έπανα.\αμβι'tνον·ιας

κοί>ς συμ6ολωμούς και όροος που θα

μας διευκολύνοον. Έστω Q η σταθερή αρχικlj θέοrιτου κανονικοu πολι>γ,;,.

νου (που υποθέτοημε (!'ι ι. έχει q κορυ·

μα 2. Τα σημεία ποιι σιJνδέ<"'ιω μ• το Ο θα ω ονι>μάl:ουμε npοσεγγ(σι­ μα. Είναι φανερό ότι δίιο ι φοσεγγίσι­ μα σημείο Α κnι Β σι>νδέονται μεταξίι

φές) και έu "'' Ο το κέντι>ο τοη. Θn

Ίους (μnοpοuμε να κα-ι.αοκευrισοιψε

σομβολfζουμε με QΛ ·ιο κανονικ(> πn­ ,\ί>yωΙ'Ο (με κέηρο Α) που προκuπτει

μια διαδρομή αιι6ιο Α στο Ο και κα­

α11δ Ίηl' ιιαρόλληλη μετατόπιση τοι>

τόnιν σιο 8). Αηιστρόφως. κάθε ση­ μείο που συνδέεται μ' ένα ιιροοεy­

κατά το διάνυσμα ΟΑ . Θα λέμε

γίσιμο σημείο Α εί••αι και ουτό προ·

(ηι δύο σημεία Α "'"" Β σuνδiονται όΊ<:τν μι ιοrσύμε να κuλι)σοuμε 10 rιο~ λύγωvο Q, ΟΌ] θέση rού Qrι. Η ακο­ λουθία των διαδοχικώ" θέσεων οε

οeyyίιιιμο (uιιάρχει διιιδr>ομή ηπ6 τ<> Ο Q'ι<> Α, κ<ιι ιιιι6 το Α στο Β).

Q

n

Σπι συνέχεια θα αποδείξοιψε δύο σημαντικές ιδιότητες -ιων προοεπί •

τψ· ίδια κα·ιοοκευή με τα Β και

C

ι:πη θέση τω•· Α και Β, tlα ιι(φουμε ένα ζείιγος ι ψοοεyyίσ ψ ων σημείων και

C

D.

τέτοιο ώστε

CD =

~-BC =

k ΑΒ (ΣΧίJμα 4). Επαναλαμβάvοuμε τηγ κοται»<ευή με τα C και D, και Οι>· 1

νεχίζουμε με τον ίδιο ψδπο μέχρι νσ 6pούμε τα ιφοοι;yyίσιμα σημεία Χ και Υ, (τέτοιο ώστε ΧΥ = k"ΑΒ < ε) ,

καθώς και ιο Ζ, ω επ6μεvο <>ημείο tι]C ακο.\ουθίας Α. 8, C, D, .. . , Χ . ... , (ιέτοιο ώστε ΧΖ = ΧΎ. και

LXYZ = 300, / q).

Εφαρμόl:uν-ιας

αuτi] τη σειρά κυλίσεω1· θα ονομάζε­ ται διαδμιψή AlJ. Παροτηρr]ιrcε 6ιι αν ο q είνοι περιτιt", ιίηε κάθε δια ..

οιμων σιjμείων. ( I) Α ι' το σημεία Α και. Β εί•·σι rψοαεγyίσιμα, και αν ιο nοι\ι))'ωvο

διαδοχικά τψ πpόταοι1 (2} οτο ση­

δρομή ΛΒ nιιοιt:.\είται αναγκαιηικά

Qc·

npοκ6ιιτει με την αεpιο·φοφ(j r

ι\ήλων μετατοnίοεcδ\' κα·ι6 τα διaνύ·

αιιό ιιεριττό ιιλήθος πολυγώνωt• {των QΛ κω Qn σuμnερL\αμβανομέγων),

διότι σε αυτί]'' την ιιφίπτωση έπε ι το από μί.α μοναδική κύλιση το ιιολύγω­ νο :'Jα έχει περιστραφεί κατά ιsο• οε

σχέση με το αρχικό, και ει1ομένως μ<>­ νο με άj>11<> πλήθος κι>λίοεων επανερ­ χόμαο'Ιε m.ον αρχικό προοανατολι­

ομf> του πολuγώΙ•Οι> -δείτε το Σχή-

μεία Χ. !'. Ο. κοι Χ, Ζ, Ο. 6λέποu­ με 6ιι οποιοσδήποτε αριθμός ιιαραλ­

ιοu Qs κι:ιrά 360• ιιφί το Α. τότε το C •·ίναι nροσεγγίσψο.

ομοτα ΧΥ. -χΥ = ΥΧ, ή τα

Πραγματικά, η ιιφι<rιροφή ,. με­ ταφέρει το Q,ι στον εαuτό 101) και

ση κατά ένα διάvυσμο1ιΧΥ + rιι.ΧΖ, (m., n , ακέραιοι) - μειαφέρει ω Οι]·

fq

κάθε διαδρομή .4Β (ιιοu uι ιίφχ.:ι α­

φοίι τα Α και Β cιυνδέονται) σε μια διαδρομή AC (Σχήμα 3). Ειιομcνως το C οuνδέετι11 με ΊΟ πpοσεηίσιμο σημείο Α .

(2) Α ν τα Α, Β. και C εί•·αι npοσεγ· ι1οψα, τ6τε η nαpά.\ληλη μετατόrιιαη ' --'+ t κσισ• το διαvυσμα ΑΒ μe·ιαφέρει ·ιο

C

σ' ένα npοοcyγίσιμιι σημείο

- δηλαδή, μια ιι<ψάλλιjλιj μετατόηι •

μείο Ο σ· ένα ιφοσεγyίοιμο σημείο.

Τα σημεία ουτά σuνθέτοη\' ένα f><>μ· 6ικό ηλέγμu, όιιου η π~ευρά τω•• ρόμ­ βων έχιτ μήκος μικρότερο aιι6 ο (Σχή­ μα

5). Tu κένψ<J

D.

Για •·α αποδείξουμε αυτήν ιη•• ιιρ{ηαοη. σρκεί να κατοσκεuόσοuμε

μια διαδρομή AC και να παρατιjpή·

D

Α

Σχήμα

62

3 ΙΟΥΑΙΟΣ I Α ΥΓ ΟΥΗΟΣ 1994

Σχήμα

c

Β

4

±Xz

Σχήμα

5

τοu δεδομένοιι κί>κλου


('

Λφnύ n "' ,-ί Ι'αι ι ιεριττός, μnοροί>­ μc να υποθέσουμε πω~ οι :r κaι u εί­ \'CΣt nερηιοί, με: χ>

u,

κοι οι

y και

υ

Ell ω αrηισι με y < υ. ετοι ωm.ε οι r ± u •α ι ι• ± y 1ο εί1 αι θετικοί άρ­ •

,

#

τιοι αριθμοί. Τότε το

m

μπορεί Ι'ο

Ιf>Οψτεί ως

Σχήμα

- (Υ ; ι _ ι• 2 y)

6

6ρίοκηοι οτn

,,,,,, ρ.-cι tΙ ός οπό

αυτού<: 100ς ρόμ6οι•ς. •nι rί,.ο\α

διοnιστώωυμι

αυτή η κορυφή 6rιίιω ιιιι μ ίσα σtΟΙ' >.6• \ο, Πf><i\ μα που αηοδε.-vύει Ι ']Ι' rιρό-ιrιοη ι<>ΙΙ ιψο6\ήμυιυς για

q>

ϊ.δι<'ηι (ι\οι οι •όμ6οι ωυ rι\11··

ματος είνeιι προοf\'Vί<ιιμιιι. Για q 5 μrιορο uμε να πrψ<Ηψι δun nρnncyyίoιμu uι]μεfα ..ι κοι νeι περιοτρrψnuμε ·ω lJ γ6ρω αnό ,.

,

= 216° 1

1

nεηίοψό "'lμι·ίο (' (Σλήμυ

6).

ω Ο·

ι ιοίο μιιοροι)με, f\'rt\\ο..,ι1κιΊ. \Η ι-..Ct· τcιοκευi\οουμf Ιlf(>Ι<τψrφον·ιας 10 Π γ6ρω από το Α κrn<i 216' - ΙRΟ'3G• = 360,/10. ΕιιόμtΙως, σε αυτή1•

τ φ πφιητωοη μποpουμr 'ο εφαρ-

μόσουμε ιu nμuιηοuμtΙα επι\tφή· μmu jΙU

q- \0.

Στις πφιιnώσrις q - 3. q - 1. ""

q = 6 εί,·αι φnηpίι ίnι Ι]ιφόταοη δη IΟλuει (σι •υ\ίσι:ις δημιόUpj<>UΙ εξοyωηκό. τn fΚΙ\ '''""ό ή φι 1 ωη­

..ι. n\ί1μο •il'tρω,·, α,,ίεηοι\n). nσμέΙ·ως, η cιπc'11 "1"'1 rί1 οι q 2: 7. (\'. Dubrov>k~)

q

Ε·

=5ή

Υ)

θφδ του r\υτηρίου 1ια μία οrιfίrκι (η οποία εί1αι .\' φορίς η σιn3φό k ό·

.\όκ.\ηρου του ελωηρίου). F.noμ>.

Ο δεδιψέ1σς eιριΟμύ<: >ίΙ<ιι ίοnς με 1.000.009 - :!1 - ι .000". Θα απο­ δείξουμε τφ· εξ;ής γ~'"ή ιφόιuοη: Α,. έvας eικέροισς τn της μrψφής

J'+t.ι

J ' - '(l

2

2

=

(2)

ι·s.

'Έο ιω α ο μέγιστος κο11·ός διπφέ­

ιηc: τωv p και r. Tόιt,JJ = ab. r = ac. όπου οι b και r είναι nρι:ιτσι μεταξύ ιοης. Αι ruιαθιεηώΙ-τπς ιηψ εξίσω­

ση (2) nι•ο•ί>πτει abq = acs. ή bq = c.<. !:υl'tπόj•ετοι 611 ο q διαιρείται ω1ί> ω r - όρο, p =α/, κ οι rπομέ­ ΙωςΙια/- <.'~. bd. Τώρα έχουμε

•1• =

= α 2b2 - rιd' .,. a1r 1

+ b ιl' 1

= (α2 ~ rf )(b~- r 1 ) • Σ"] ιιυμε•ρψέΙ·η περίπτωση •οιι

1.000.009 = ( I ϊ2

+ :ιl)(ϊ1 + ι;s')

= 293 . 3.413. Μπορούμ•· νιι uιιοδείξοuμε μια ι­ υχιιρότερη πρόταση: ο ιψιθμός ιn = -11.· + I ffΙ<Jι ιιρώτος ότα1· ΚΟ\ μί>· νο ό1α" ι1αριο ι6.\·ειαι με μο,·cιδικό

nύνθr~ος. Υ ποθέστr i\τι 2 πι J' ιi' =

ΊΙ'ΙJΧος. (Ν. Vasilyeι•. Ο.

(ι)

αμα των μεταβολώ1• ιrιο μί]•ος κιΗ)ε σπείρας:

ψόιισ ως άθροιομα δuυ cετραγώ­

u2 Ι ,,:ι.

Nk .

,\'

11 συνολ"'ί] μ Είωοη ιο υ μί]• οι>ς

' δ. • 2 rιου ε 11ηι "'" ι>Ι·α μη μ ε τη χ· - u = ,:ι y' και, (nομi:νωι.;, ιοοδύΙ•ομη με "1' εt:.ίοωοη (1).

111

= Mg(j - l) __ ι

του ε.\ατηρίοu ιοοίηω με ω ίιθιιοι·

11.· τ I (σ k 3πικίκ; cι•ί.rιαιος) μπορεί vo ποpοrrιο()εί ως Μlρπιομα τ> φcr· γώ>'ωΙ' με Μσ '1 rιφι οσίηφnι>ς διn· φορcΊι κούς τρόπους, τί>1 ~ Ο ιιι rf Ι'('! Ι

= +

~L J

ιιροβ\ήμωός μας, •ατa.\ήγουμε υιψ rιοροyοηοποίηοι1

Μ9

νως,

.

''.LY v-y _--"2,_2_

Ρ, •αι Ι'Ο με-.αιοιιίοοομε ιιιφύ.\λι] · Ι ()V τro no (IUΙO l)r)(')t..OI Iltl tO ΠpΟ·

2

2

οιμ<>ιιο ι ηοαμε -την ισοιψ.α

ιιιι -

ι). Θεω­

πάl·ω της. ι Ι cι\.\ο1ή στο μήΜ>ς 11]<: cξcιρτό-τοτ απ' ru !Ιάρος Mg(J - ι )/.\' αυτώ1 των οπειρώΙ· (ί>fΗ>ι> .\1 είΙΟΙ η μάζα του ι \crιηρίου) •αι απ(ι ιη στο·

p = (.r + u)/2. q = (τ- ιt)/2. κ. \ιι. Σιοι>ς ΙJιιολοyιομοuς μας Xf"l '

'

>>

(J - l ) σπείρες που 6pίσ..οΙ ιυι αιιό

ί>Ιωυ

yω νυ •

ιο Α κατ6 το δι61·υομα ΡΑ. Μι·

2

1

= p + q + ,:1 -'- s

ιιcφο υμ ε ~"" ιιr ><>ο<γy ι ο ιμ ο οι1μcισ

.\n

"- (''

τ (μ;vy

n.

"' Α κατό 3 · 3GO fq

2

2

ω ιό μια αn' τις >.<ψuφi~ ωι> ρ<>μΟου εί1·αι μι•ρ6ιερι1 αηό . Fηομ>,·ως.

ιου ιιροβ.\ήματος λ

6άpσς (•ατ{ι 1η1 <ιπσυοία του' r pnύ). Η j στη οεφό οπrίrκt (μετρώ­ Ιtας από πn1·ω) υιιοβαοτδζει ιις

_(r;u) + (z;u)'-

6 ιι '1 οιι(κηοοή τοιι

'Έσrω ότι το ε\ατήpιο ιιιισιc\είιαι οπό,\' οιιείρες (από τα δεδομ(Ιιι

ρούμε rιρώτο τη οuμπίcοη ι ου L \ατη­ ρίσu που οφεί\Εlαι στο ίδιό του'"

rιι= (r;u +x;u)'-

Φuσική

Φ6

ΔL = ΣΔL2 = aφοί'

ι\lg

L _ ,. _

2k

2.

Σ(j - Ι)- .\'(.V - Ι)"' ,\' 2 • ι-Ι

Επομένως, ΙΙfΚΙ>.ί>ιιιει όll

.\fg/ k

ι.

Ας εξετ6οσυμε τώrκτ ι φ ιιψίιιιω­ οη όπου"' ΙΕρί> φτό,·ει σε ύψος

l./ 2.

ΑΙ• έχουμε n σm·ίr,.·ς •ά"" αιιό το >τ·

pό, '" "'ιό \οιηες (Χ - n ) Οα βr•ίιι>.<>· ηeιι πά1 ω οrιύ ιφ επιφό~εια. Ας

βrκιύμt τη1 τιμιj του nf \'. Ξε•11άμt

6ρίοκοηος το φορτίο 1"' •ιΊ3ι: 6υδι­

ομb η σπείρα και τη.· ο\ \n\ί] ιnο μί1κοςτης. Στη οι>Ιέλcιa aθροίζσυμr ιις μετα6ο.\ές και rξιοώ10ιιμε το aπστέ­ \εομο με το Lιιf.\' - l./ 2 (<ιι>ιή tίΙaι

η διαφοp6 μπαξύ του μ ή• ους "'" n

οnειρώ1 σtηΙ' >.frιίιιnοση ηprμ(ας •οι οτηv «nάσtaση σuμπίrοης). Το 6όρος lΜΙ 6Βθιομένων ιιrιrι­ ρ<;,,. ε.\αττώνεται \i\yι.> της άνωσης

-.ου νερού. Το ε1·ερyό βάρος •(ιfιι σιιείρος είναι

νων. Γι rι ,\f>ι-ισμέρειες δείη· ιο άρ ­ θJJΟ τοu V. Tikhoτniroν οε 10ίηο -ιο

Fomin)

όποu α= (p- Ρ,ι)fρ. ΕπομίΙως. η

OU AN TU MI Α Π Α ΝΤΗΣΕΙ Σ

63


δύΗψΙJ ιιuu rιιίζει τη- (ι 1 ) uιιtίρα (μεψι:ιηας από τη'' εnιφίι>tιu ιιρος ια κάτω) cί,·αι ιι)

.llg(.Y -

f.- _ , -

_

o,\lgι

.\'

και το {ι3ροιομα ι ω\' μειuflο \ώ,. στα

μήι..η ι ω' (Jι•θισμέ''"'" ιιιιιιΡ.:" εί ωι "

F, _ Mgn(N- ιι)

Σ •=Ο λ:.Υ

o:lfg112

ιοufψοιιία). Υπ' αυτές ΊΙς συνθιjι..tς

ι.. φιι..ί1 δί"'ημη με μι ο ωοδύναμη ιJιι­

μιφιrτοι η τόuι1 Ρ. ο τω'

ριηιι..ί1 δύναμη. ~Ιηοροίψι '" •ό­

ομ(νω,· στμώ'. Και οι δύο pοί_ς μίι­

Υοuμε ι...c'Jυ τέτοιο οιω3Ετο' ι ας {ηι στο ΟΙ] μΙ ίn Ο ΙJΙΙ<l(>\tι μια μάζrι 1/

ζος ιοnύησι μι

ίοιι μι·

των κcκοριuμέ''"'' ι rιμ(~,.. S ιu ι μ · Ι!αδό' ιης εrιιψι"είcις τοu nί•γου, μ '1 Ιf>(ψμομuιιι•ή μάζα ιου ,-cρcιι'ι,

\·pάφοΙJμι '~~1' tpu\'ίι τnυ οωμuιι ­ δίσιι .\l''lοιμοrιοιι:ητης τοιις γ{ιμσuς -ιιιιι Κ Ι·η.\φ. Η ψσχι6 μιιιψt·ί ,.α θc· ωρηUεί ι.ις έ.\ \ειψη ιιιι \ί> μεγά.\11ς ..._. ο

I

.r( l - r ) - 2 = r --2.

/. 2 ι..οι

μιι..ρό ημιίιξιι,<ι

υμέ> ου μίιιοuς τοη μr το μήι..tχ; τω,­ σnεφι:>Ι που

έ\ουμε nό\'tι) αnό τη\ ειιι φ(ι\fΙΟ ιοι) ,·φού:

'""Ο ι..ω σιι]' αρ,ιι..ή θi-ιιη τοu σω­ μ(< ιι/\ίοu.) 11 περίοδος μιας ε\ \>ιιηιι..ήc ψο· \ιός μι μr1·ά.\ο ημιίιt;ΙΙ\ α r εί \CIL ίnη

μι τ φ· ηφίοδu μιtις "'' \ιι..ής τρο­ λιάς αι..τί\<ις Γ. fΙιι>μi \C•Ις, η περί σ· δος 1' ΙΙ]<; ιιφισφοψιjς τοu οωμση· δίιιιΙ 1iiρω r1ιι6 τη μόζrι .\I είνοι:

•1r.2

• L ( Ι - .rι·

111

.-r? o r ι;;

2

- ι.( r:)

3 <<n

(οι ιu ιίt ς τηc έ\\ιιψης ΙΙρίσ•οησι

απ' όιιuυ .\σμβόωυμε .r = I/ /2- α. ' ' ' ι·uκο. .\1 ποροιψ•· τωρα "'' 6ροuμε \σ το """' \ιι..ό μι)ι..ος το ι • • \ιηηρίοιι σ3ροίζο,1t«. ω μήι..οc L / 2 τοu (Jιιθι­

L' _ L ~ f.( l - x) 2

- .

'ε' φ<ηητσc. μι μtγ(ι\n ημιίιξ.,,ο

nr·•

( .Υ- rι ) οuμηιεομi·,-ω,-

ι.ρ"

F:r2

~ - = Gιrι 4nιG

LιfJt, μος εί,οt bo,cnΔ νο nερι·

.llg/ J.· = {, , ιιιιίι>Ι ουμε

2

μας'" ανιιι..α-ιιισυjοοιψr. ιφ· η\ε·

2Α·.\"

ΘέtΟ\'ΙίΙς 11/Ν = :ι:"" ΧΡΙJΟψΟ ·

I

"I" ι ωοο ιι κή με.\έτη

οuμι· σ' οιηrιν

.1/

- ι(~ .\" - 2~)

=

φή<;. 'Fτοι:

.

.

,

;

κ u φu ι ιιιο κο,·τα οι· μια αyω)ψ' 1 ειι ι -

ηεδη ιπιφόvtltl, θα εμφ<Η ιο ιοί" r.ξ ηιοyω) ί1.; φορτίο rι(ινω ι ηι.; ιιοu θα L\ι..ol)\' το Οl•ψιιτίδιο. τ" η \ει.. ψικό πεδίο ιιοu & (1\ωποχ3εί μιιη1;6 τής

rπίnεδι1ς ιιιιφιJπιας "'" ιου σημειο­ κού φοιιι ίου +Q θα <χει 111 ν ίδ ιο μορφή μr ουτό ιιου θα cι"'" ιuοοό­

=

πL /'·'" Q \ 21. .

Ειιt:ιδή

(2r)! =

'ο εnιιnρiιpοιη. !:t ουτή' 1ψ nιρί ·

llltA)Oη η ΙΙίΗΗl Τ~)\ <flμώ\' ιοΟι"\CtΗ

μf "· •. /2.

Λς cκτιμίιοσυμc το χι>ό"σ ιι<>ι> ιι­ πuιη·ίται )ΊΟ ιψ ιι\ήρη εξcιrpωΟ•1 ιnu nόyou. ιΗω3f1Q,,ος ότι έ\οι,ψι μια ορλιι.ίι μάζο ιιίιΙ'>u ιr1 ~ο. 2

Φ8

r· ί\'(1.•.\εισιί> 'δοχείο.

Θιωιιοίψε οιιο\!n\ ότι το ψ6πδό' \IJ<; εyκόροιης τομ ι]ς 10υ ηοτ1ψιιιίι ιί,,cιι s-~Otm 1 • ι·,·ωρίζοuμf 6ιι

ΙΟΥ Α ΙΟ Σ ΑΥ ΓΟΥΣΤΟ Σ 1994

ιιι

= ~

ΙΒ gr/ nιuf: RΓ

6m

--

μ, , · t- · S /G !', .. · S \ ~ιι

"" 15() 5('('. Σ ιφ ιιιιrιyμσ1ι•ίι οι μα. αποιιεί ιuι ιιε­ ρισοότεροι; λρό' ος \ ιcι ''1' εξcιί ρω­ ΟΙ)' mnμi"ω<: ί\ουμι υιιο.\ο1ίσει

• • ι..ωωτφο ψf>U\ μα

\ι α το,-

f,o

• \ρο' ο

ι·

-Ρ..,

σιιnοτ<ιηη ποu δί,.ται στο ιφί>β\ΙJ·

ιu π.\ή~ος

μιι. και επομί' ως ο cιοψ<"·"ύτης !'\α

Ηι)\' μ οριων nφou ιιοι> ιφοοrιιι ιιο ι η,.

ιιωθεί! Χωιιίς "α ξt.\'Ιψι· την Ιψοο>η•· cnική φύση ιι"' υπο\οj ιομώ' μας,

.

στll\ ει ιιφπνεισ

,

. . .

100 ι ιιιyοu uycι

μονcι·

μπορούμε \Η noVμr (ηι ο c:ισtρu\<ιίt· 111ς θα (Πιοτpi ιιιι ι στο διαιηημό­

ιι\nιn τvu οι

.\f>U\0 ι ~ 100 .scc.

φg

-Q

Q

Όια' διιιι..Ι>nτιtοι ιο εξωτεριι..u

Ι.c?

'1 ιJιψuτική ίλl;η μ ετοξι)

k.e:.

· S/Ί .\1, άρα θα διιι,L>οιι tι· πόοτcιοιι d = γ ' '2 ~ 90 rn. Η nηό­ <Ιιιιιιη σοτή ιί\Ιιι uuμpίιιιμη με "1'

J.-Q1

δι)ο ΟΙJμπ ιι•ών μαζών εl;σριόιιιι επί-

64

ίδιο. σ.\.\ό δΗ υπόρ\<>ι'' μόριο"""

..,

οοκεί·ι οι ΟΗ> οωμοτίδιο ι φοt..ί)Ι Ι ιει

I.:Q'

το δοχείn εί,·αι ΙJ\οιχτό. η poιj ι(ι)\' tξιιφnuμΕ\ω\ μιψίω,- πcψιιμ>ηι 11

ο Ιf'""τυτης μιιι; ιιι ιιικτα ει ιι ιιιχυ,· οrJ

- Q και ο (>ς φορτίου - Q σι. nυμμε­ τριι..ή θίοη ω ι; προς "1' ι πιφό' ει α (Σχήμα 7). Συ-επι:ις, η δίJ,ομι1 που

F

ιις έξι διη αιrς κατεο~ιjνοεις. ΌΗιν

Κα~ό>ι; 1·ξοφώ\'CΗJΙ ο nόyος. 11 ιι· • • •

τ αν μετοξ(ι ιιιυ σημει<ιι..οίι φ<ψτίου

από το 'όμο τοu Cοιι1ιιιnb:

1/ fJ φ­

ξ<ιίι>ωοης.

" Γϊ:Γ / =2ι τ =2V2'Gii

Όω,· ιοιιοΟπήοοιψε ί'σ οημ>~α-

μ η μrοη ταχύη)ιιι

μ ηΗί•εται οιι<ι ι '1' επι.\ο) ί] μίας cωό

τ-

με 1n μιοό της ιιφιόδοι• ιτφιιπρο­

Φ7

'3RT

ι··

χριιοοτεί ιο οωμιrιίδιο 1ια ,.α φτά· οει οιrι\ ειιίιιεδη εnιφt"ι\ΗΟ ισοί\lΟΙ

2n) 2(2- a )

Ρ, ,. μ/ fiT ;ί,·αι η ιιuι..γότηrο

τω' μορίω'. Ο ιιιφάyοηος

αιι· 6nou Γο - 2π\ G.Ιι'

.

=

ι.. ω ϊ':.,

7

r: _ /,(3 -

.

ρ...

.._. ι..ιιr>ε­

''· •. ϊ'.'>ι6. nnou

1ια το 'ερ(ι Lί,ηι μ

(lm.\1 .,

Ε(,·ιιι φανερ<> ίηι ο χιιι'ιΗ><; ποu ~α

,

δα χpό\0" ιcκιί>tΟΙ με ιο ηλή~ος "'"

μrψίων πρσίi ιιοu δι r,φεύyουν από ιr1v επι φά-ειιι rοιι ιιίιyοu (δuνιψ ικιj

YOU της αιιίισrσσήc ωιχ;. θα μιιιψοίι­

2

k.\" 2

ιιοιώ\' ιιιι.: -ι ο τψ cξίοωση

οηι.;nπό το ω1iσψοφσ toΙJ ιηρα)<;,.

μη1' , η ιι-.·> nιδίσ. Ι} ιιμή της ,μα) "I"' ~

r •

Σχήμα

7

.

ι..ι1ι; rooyω1 ι-ις τυιι ιιι·φτει σηο

"1" ιφ-

.\Ιhή τιμ1) 13 ιτιn μηδέν. Η μt ια(Jο\ι) tuΙ> μιιyΥητικού ιιcδίοu ειιόμ ι

•J·'•·


ΚL(>ι•(ι f>bίψιι στ ι..άθε δοκ ιί>.\ιο.

ιJιιο.\ογίσοιψε την έν-ιαοι1 ~ου η.\ε­ κψικού f>εύμcηος I 'I'<' ψ·ιι'ι Ίη δια­

τον οριζόπιο άξονrι t:ί ΙΤΙΙ μηδί:ν. Η uιιουοίΗ οuμμε ιρίας τω ι· δuνάμtων οε σχέση με το,· κcιθειtJ άξο,·α ιιου

κοιιή 1.0υ μιη·,ητιιωί> ιιεδίου.

διέρχεται από το κέηρι.ι 1ου αι>ιιτιε­

Ac

Θεωρήστε τοΗλειστό βρόχο AfCbA ιιου ουμrιίιι ω με το,· οριοτεpό

δακτωιο (Σ:Χί)μ a 8)_ Σ:ί>μφω\'Ct μ>' ιο\' ~~:α:ν{η·α 100 Lcnz, '1 φοpό τοu rεύμοτος fίνιη δtξιί>mι>οιpη. Έ:υιω lι(Ι) το ρεύμα σtΟ\' κ\όδο AfC' κnι

/2(1) '" ιιείψο στο,· •.\άδο CbA. Η η­ λεκτρεγφτικίJ δύ1·ιψη nιιι'ι εοαγιοψj ιιοu Ο\'αιηόοοεται ο' οοτό,· το 6ρό ..

ρού δακtιι.\ίοιJ

η δί>vuμη ι οούιιιι με '11] διuφοι>ά α­ ' άμεοα uτις δυνά μεις nou ιιοιο:ω)­ ΥΊαι (JΊο Η">ξο

ΔΙ '

όποu

AfC'

=

ή. λομ βάΙ•οντnς υn6ψη iιυ -ια μί)"'l τω1 τόξων AJC κοι CM tί\'(!1 πι·/3 κuι ~πτ/3, α' ιίuιοιχιι ιιαίρ,·οuμε Gπ-ι·2 ΔΒ(t)

1 1 ( 1) - :;ιlψ ) = --Π

-

Δ

'

ι

η χιψδή -ιου ·ιίιξοu 2r· · ημα/2 = ι·). 11 υ:λι­

F εί,·ω

ιι

Δι ·

r (1) = '

10/?

ΔΙ .

Κάθε στοιχειώδες τμήμα Δf του δη-

• τuλ(ου ποu διαρρέεται από ρεuμα Τ (ι) δέχε-ιαι δύγαμη Laplacile ΔF = J(f) · Δf · B(t), ηοιι eχει τη διείιθul' · •

ση της ακτίΙ'(ις του δακιυλίου. Εξαι­ τίας 1 ψ; διμερούς οιψμειρίας ΟΙJ­ τών τω1· l>uvi'ψr.ω,· σε σχέσrι με το1· οριζόηιο άξονα που σuΙ•δέει τα κέ­

'"'r>α ·ι.c.ι.η' δακ cu.\ίων. Ι} συνολικί) δί>­ \'ΟμΙ] με διεύθυ''"'l κάθετη ο'αυ-ιί11·

κο ι ι:ηομένν)c:, ο Ωακυ}λιος θα αιιο-

.

'

κτησει ταχυΊη-ιn

ι· = !).j3,-' f302 .

( ffi)

1+Τ .

ΣΠαζοκεφαλιές '"'" ημε­ 1'0 ti ναι Ί8: 12 =

ΣιιμΟολίζιΙΙ' ως ΊIJV αηίχηαοη με­ ταξίι της Πι]γι]ς και ιuυ φι,.οu με rι κηι tη\' ωι{ΗτιιΙΟΙ) μι:lu((J ιοο ειδ<i>­

3,

1/ '5 l.ω\' Οι>\'0.\ικών

Αφοίι οι προτάσεις α.\ληλοαηο·­

Φ10

λου και του φακοί> με

εryάτης είγαι το ημεpώ1•.

Σ7

10ιιιR

μιιιψούμε

να \ψ<'χψουμε το' τι}ηο τun• φακών ωc tξής:

J ι " - -:ι-ϊ·

κ.\είο\·τaι, μόνο μία αι ιδ αuιές μιιu­ ιιεί \ ' (! ffγαι αλη/)ΙΙ•ι}. ΔΕ\' μrιορεί \'α εί1•αι όλες τους ψεul>rίς. Ι>ιfηι σε οu­

ι:ήν ·αι'' nερίnτωσιι θα ήταν αληθινή η εκιηοιηr). Αιιτό σημαίνει ότι μόνο

η tΙ'ε"'lΚΟοτή ένατη πρόταση είναι α­

λιjθινή.

ΣΒ Το καυτό ,•ερό σ6r)νει Ί.Ι] φωυά ·ιuχίηερα unό το rφuo. διότι εξαιμf­

Σε μιι..pό XruvιΚ<'J διίιιη t)μΟ ΔΙ η α­

ζεται γρηγορfηψn κ α• ο ιrιμός εμ­

ιι6ιηαοη α,·άμεοα στην nηyή και το

nοδίζει τη" nροσf.\Ί'ι<ΠJ του ιιίφο ' ιιο u συ,τ.ηρει' 111 φωτια.

tΙ'<Ο

'I

=

LΌ • Δt.

οιιόσταοη ανάμεσα στ<> φακι'>

και το είδωλο αυξάl'εται κατι'ι Δ.Ι

= u · cruvo · Δι. τ6τε (l>tίιr. -, ο Σχfιμα 9) 1

(ι- ι 'fΙ Δ/

., - tι. · rrι ·ιιφ · Δ t ,,

ίj

8

1 flι =/~τ \=ιfl+Vl+ ~\ = \ /σι·vο) \

l- πλάσιος τω" φγάοψων ημφι:>ν. Ειιομέvως οι Ιjμέρες ΠΟΙJ δοuλεψε Ο

φοκό μειι:ιvετοι κατά Δα

Σχήμα

J'

ρών nργfας ι φέι ιr.ι

χουμε

1

ο ι /πι·vφ

=-

Έξι ημέρες. Ο αρ•θμίις

A/C,JA:

{ 10π+3.f:i)rZ Δfl(l)

[' -τ- f12, έ­

Σ6

11 (1) ιηψ ιψΟιjγοίψε'η εξίσωση έ ­

]2

α,

Η άσκι}<>η αυ·ιi)ς ιιjς δ61•αμης 11α ένα μικρό χρο•υ:ό διCιοτημα ΔΙ έχtι αι ιο­ ι€\εομο Ό] μεταβο \ή της ορμής τοι1

.

Α Ι'tικαθιστώι-rας αυτήν την τιμή του

= f/

]

δαι,:ruλί ο ο:

_ (2π - 3.f:i)r" ΔΒ(ι) 2R Δι ·

.( ) = _

- +

=!

Με tΟΙ' ίδιο τρόπο γράφουμε το ,·όμο

του Οlη11 Υ'" ιο Ορίψι

t 'u (η ην ι~ι = α 1 Jσuvf!>. Ποί νοντας

1 -)

Ω.f:iι~ Β ' ) ΔΒ(Ι) 5R

Απ{) την π.\ευ-ωfα οχέοη rιροκurιτει πωι; η τοχuιφrι 1.00 ι:ι δ,:ιλοιι llu •οοίηω με τψ ταχύτητα της πηγής

1

κίj έκφrιοοη για Ό] δ6ναμη

F=

9

χnυμε

f. 1c· είi'<<Ι

((.ιι-

Σχήμα

υιιόψη ότι σ••vφ

- lι(t)tAc fJ(t) .

Σί>μφωνα μι:: ιu γ{)μο Η.>ι.> Οlω1 για ivo κλειστό κύκ.\ωμn, rχουμt

_

και σε όσες α ­

F' = Ρι- Fι = lι(t)(Aι·B(t}­

_ __ ΔFI(t ) 1

'''

AfC

σκοίJ,-ται σrο σιψμt1f>ΙΚ6 Ίι'ιξο ιru}' οιιέ,·ω•τι πλεuρά το[) δακτu.\ίοu:

'

ε., -

lι(t)) έχει α­

ποτέλεσμα την εμφάνιση μιας όΙJΙ'Ι­ ιrωμί"ι]ς ιψιζόΙ-τιας δί>ναμη. ι\uτή

χο ει\'flι

_

{1 1(t ) I

'"

ηιΔt

u · σι;μο · Δf

02

J2

1 ο

1

+-J. ι

Σ9

11

αιιίχVΊl]Οη είναι

3&1.

Υποθέστε

όίι αρχίζετε rιεr)νc;nrιuς [0 κορδόνι αιι{ι Ίην δεξιά ψ6πα. Τώρα,

"""'«>

\οιπό1·, μrιορεί·ιc vc:ι10 6γάλετε από οnοιαδήποπ ι'ι \ \rι τρuιrcι εκ1.ός από

'IIJV ιιί-η ω αριστερά - δη~αl>ή, έ.χt'tε \'Ο Ι>ιαλf:ξι:ιt α1·άμεοα σε οκτώ διαφο-

OUANTUM I ΑΠΑΝΤΗΙΕΙΣ

65


>.6 ιου μήκος. 11 μηχο\Ικι] ε,·έργειο nou nαιιίιμτοι οπό μια σοσιn.\ή του μιιίις ιοούιαι μι το 1 ι ,·Ι>με.-ο της δύ­ ,·αμης ιnί ι ο μή~ος tι]ς συστο\ής και, οιομί\ως, εί"'ι 0\·ά.\ο)η μc 10\

~ί>βc> του ΙΡ<ιμμικού με)ίθοuς ιc>u οpjο\ωμού (>.οι ωτίοτοιλα με τη

Σχήμα

10

ρευ •ούς ψόrιους. Στιι οιl\{χεια rιερ­

Ηί:ιι- ιο Μ)fJδύνι απ(, πι'' «cιι ι6·ανl:ι• φύrια •οι κατόrοιv μπορεί~ε \Ο διαλέ­ ξεη "'ι'ιμεοα οι ίξι τρύπες. Εnομf­ •ως, έχουμι μrχρι σι ι yμής 8 . 6 = 48 ψόnουc,. Συ' ιχίί::nΗας με ,ο,· ίδιο

tρόrιο. θο ί\uυμι τέοοι:ρις mι.\ο1ές οιο ηιόμΗο Οήμα, δύο οτο ό\λο,

μάζα ωυ). Η ίδια nοοόιητrι μυϊκής ι-·φγείας u•(ι μο,·uδα μάζος ά\"Ιι · nιοιχεί οιην ίδια δuναμαή ε'έr>rειο στο ονώιερο οημtίο του ύλμαιος. 1::ιιομtνι.κ,, γ>ωμετpικιός Ιl<ψόμοι<ι ζώ­ cι ιιρ~ιιι·ι vcr μιιΟfJΟUν \'Ο ιιηδήξοuν cno ίδιο 6ψος. 3. Όta\' αι.>ξά,-ο, ιιιι οι yρομμικές διαστίιιιιις Ε\'ός ζώ<>u κατύ .:-..,,. πα­

ρά\ "''Ια ιι, ιJ μάζα τού "':ψ ατός ιου u,,ι:,n,ποι ... crt(t [\α, ι ιαράyο\'"tα n 3 . Ας ι•ικ>3ίοοφι ιιως. ότο' σuμ6οί,τι πuτό, το ιιύ\ος τω' 0<11ώ'· οuξά-ειαι

3. ι ι~ 1.000 .

7

9~ ;)<

ι.οοο.-' χ t

(ιιιιο\ο1 ίστε μό"'ι υος τη uuμβο.\ή της μδζας ιοu nοδιοίt), ~οι η ε1 κόρ­ οιο ωμή 10u nσδιuίι :>ο (\rι εμ6οδό,

3 ι ι tiJ. 2: .ι ιοοι1 ' ... - so·' ... cιn. Τε.\ι>.(ι (λοιιμε όιι

50: =

ι ή

z=

ο. 02.

Γlρcιιει 'ιι <ιt]μεΗ:><οοuμε. nάV"Ι ως, ότι Ο\' οuyκρίνaμι ιο μονόnοδη με μια Ο\'tι.\όιιιJ Ο\ ι( yια έ\'U\' ι1"3ρωιιο, θα "ατα.\ιj)ΙΙμf σε t\ ιε\ι:χ; διοφορετικά οrι01ι.\fσμοτα. 5.0πωοδίιιιuιι. μια ημφήοια >.α­ ια,·ά.\ωση ι5-20 κι\ώ, τροφής εί\'αι

έ,u ιrnίθιπο ,<>()μφο ~uι 110 έvο ψί­ \pο' ο ι ιοιδί ~οι 1ιιι τους ο' α1 ,·ώσιες

~cιι ιι \ι~ά & rιφόοοuμε το κορδί"' αnό tη- ιιό,·ω αριιnφό τρι":1f1α. Συ' ο­ .\ι>.ίι, ί"χουμε 8 · 6 · ~ · 2 = 3!>-J τρΟΟοuς Ηι δέσουμε ιο >.ορδόvια.

>.αιίι i\a-· ηορό\"'"'Ο 111. Ι:ιο βαθμό nnu unl)()ί tι>υμt (σι: ουμφω,ία με τις

μας. (Μ φ ξε:ι,' ότε ότι δι_γ πφ~\όβο­

nρα\μ<n"iς σιJ\θή~ει;) όιι η σύ\'θc­ uη ιω' οοιι:ι,. δε\' α.\ \άζει, η nίειιη

τήnης σε ' 'Epi>.) Τςι μ.-ρ<. ηοιδιά

Σ10

οτο' οιrιί ιr1 ιστό (αι·ά μο,.όδο ιγκόp· οιος ιnμής) ιψί'ιιει να ΠΟfΗψεί,·ει

Ι Ιαρατιιρίιιιιε ·ι σ Σ,χ ή μα 10: Το ση­ μείο Λ r.ίvω το μέσο τοο ι6ξου. Τα

δι'ΗJ ιμι)μ(t'Ηt μπορούν "·ο σuμι1έ· οοιιν μr rιφιοτροφή γύρω α11ό

"ιn(ι 15 .

'n ()

Καλειδοσκόπιο ι . Η μη'ι'>.ή δίηπμη εί\Uι m·ά.\ο1η

μι ιο φβι-tδό\' της ΕJ'Κόpσιας τομής ιnυ μuός ~οι ό\'l με ιη μόζα του. Ε­

ιι<>μ(\'ως, "' μειωθnύ'' οι yραμμικές διuοι<~ιοος ι'ός lώou κατά έ'α' no· ρ<; Ι Ο\'tα rι, η μ άΙ::α ιυυ θα μειωθεί >.οιά {,•α, rιαρι'ι)'Οηα n3 • ε\'ώ η δύ•

,

;

#

\' ο μι} ιοu μοΗι >. οτα ._.ο,· ποραyu'' 'ιι 112 • Άρο. ι1 οχετική δίJvομη (διι ­

λαδι], '1 δύναμη ιινά μ<Η•άδα μάζας) ~. <) . • • αυ._α , r ιcιι και ως μειω\'ετιη το μ εyεθος ι ou ζώα υ. Βέ!Jηισ. οε διαφοpε11-

=

ιηιιΟεpή - δηλσδίj, rιJ/nι~ J. Με όλ.\α Μοyιο, 10 '" f.ίνσι ανάλογο με "'

1

Ιt ·''. Όιιως μnορούμε \'α δούμε

στο ιιχίJμα, ο Γα\L\οίuς ί:χrι αυξήσει ιις yριιμμι~ές διαστάσεις >.αιι~ έ\'U\' nαρόyο' ια ίσο με ιu ;ι, Ει10μένως, η μδζα του Ι::ώuι> uuξά, rιnι κατά 33 : 2ί φuιιίς. ΊΌ ιιι()α,·ότερu εί,·οι ότι \10 \ίι)ους σοψιjΗ·ιος Ο Γα.\ι.\οίος

αύξηοε 10 ~ος του οστού στη-· ει.κό­ ' '0 ~ιn(ι f\(t\ ιιtφι'η Ο\'10 ίυο με

27/ 3

=

9 ((1\"tί 1ια 3 ~ ~ ;;. 2). Ί::'α ιmιn.\i-

0\'

σtOt_\tiιι ιιrιiρ ιuu Γο.\ι.\αίου εί,·αι

cnι - nc:φύ το uφά \μο στψ εικό·

μόζα 100 ίδιου ιοο nσδιού. Στους αι-

3ρώιιοι>ς αυτή η ιιίιοη εί' αι rιι;ρίπου

66

ΙΟΥΛΙΟΣ Ι λ ΥΓΟΥΣΤ ΟΣ 19 9C

κτηρίζει 6 \α 1α μικιιά θη.\οοηκό.

Ένα ακόμιι ΙΙUf'ύδιι \'μα -ιης mίδρο­ σηι; του τt.\ ω ι οίοΙ\ IIOJ>όγO"lO μιιn• ρι:ίτε \Ο διί 11 010 ιψόβ\r]μα 9. 6. Το 6ίιpος ο(ις εηόμuu (δη.\ο­

δή, η δύ, ι. μη ιιις βορύιιJτοc nοι• u -

Ο>.είταιι1ά,·ω τοιι) ιί,·οι O\ά\uyo με

το n 1 , >.οι •Ι nίεοη στο' αέρα ιιnu δη­ μιουf>\ rίται με ~ίιθε \ ιί>rιημο του φ1εpού τοιι ι ί Ηιι <η (ι \ο\'η προς 10

εμι!αδc" ιοιι φιφού (ιι1 ) >.αι τη μυϊ­

ρο (δεί ιι ω rιρόf!\ιιμα ι ), δη• το

και το μί1ε()ος tι>υ ζώσu.

και ι ο μή>.ος >.αιn το οποίο οuοτέλ­ ,\ετοι ο μυς είναι ov(L\(>\'0 με ιο ορχι-

ιφο ιιιrιl\ι) i·xouν μεyα.\6τερες ιχιιώ­ ,\ rιις θερμόυ1 ι ας κά ιι ιιιιυ χορα­

ω ωu βιβ.\ίοι.> 1Ul! εί' οι οωστοί. 4. Όn<.Ις >.ω σιιι ι ψιιηyούμενο ιψ60λι]μ a, ιιιιοθέτοιψε C.τι η πίεοιι ' ' ' rιοιι ασκειται οιιιν εyκαρuια τομι)

σ\έοη ο'όμεσα στη O\ttt>.ή δύ,·αμη

εμf!πδό' της ιμ(φοιας ιομής του (δείτι ιο ιψοι]yοί>με\0 ιψ(ιβλημα).

.\ιομοίι τους >.tιι ίοως α~ύμrι πφισοό­

·~ δύνaμιι (ιι>.nμη έ\'ος ιιαpάyων ωu

σμοuς μnσροuμt 'α οjτοησοιψε τη

ιrιύξει f,·uς μ uς εί,αι ανάλογη με το

ψώη μt\ u \ύπρις ιιοσότητες ψο­ φής εξιιι ιίιις τ.ιιιι ια:ι,ί>τεροu μετο6ο­

\U- ό\uι οι unο.\(ψuμοί σιο ~είμε ­

κά ζώα ια yιι~μcψικά χαρακιηρισπ­ >.ίι δΕ\' ff \'(Ι Ι lU ίδιο. α.\.\ δ η εΗίδραοη τω' διαu ιu ιικώ,· παραγό,,ω,, ξεnφ­ ,.ι, «ηό ΙΙu.\ύ ιο ρό\n τω,· cιδικώ,• \Of.ΙU>. ll]f>ι011>.o~\. nρδ)μα nou μυς rnιψί ιιfι 'α <ψίσοuμε μια f.εκό&ρη

2. Η δύΗιμη nuu μπορεί' α α\·α­

με οτοι><; υnο.\οtωμού<; μας τιc αηοι­

τοu ιιοδι ού rί,•ω ίδιο και στο,· ά\'­

θρωnο .ι'! ι στο ψο,·όηοδα•. Η nu"' 6τητο ιuυ σώματος oc ό \ο τα θη Ια­ mικά tί\οι ιιψίnοu 1 y,r/ crn3 . Σε Πα­

.

ρόμοιιιιις nροοι η ισιικοίκ; υnο.\ο1 ι-

.

70U :-ι ι "" . • 2 . 3, Ι •ι ' ι ιι; ι·m')/4- ι r\ιfcιn· (ο'" θρωnος ι ;,.σι δίποδοΙ). Έσιω Cιτι το Ι <ψιΟ:μ είναι z μέτρο. Τότε. το /Ιι'φος το ι> μον(ιrιοδα θrι εί νοι

ιι·). Α' Ηιι η μείωιιr) του μεγέθους h.6νn ένcr ζ<:)() ουytφιτικ(ι δu\'crt61.f·· βοr)θάει or k ι νί1uεις •κι.ιπη\οτικού•

τύnοιι. Γιιι \'Ο ~JιtΗrJθεί στον αέρα, το μ"ρότερο ζι:ιο πρέπει "' αυξήσει ιο\ αρι3μίι 1ω' \ τuιιιιμιnω\'. T n ύ•

.

.

ψος tΟΙΙ ΙJ\OU ΠΟυ IIUfl(t')'HQι ΟΠο τα

φΗ·ρίι ουξάΗιω αντίσ1<>Ι\<Χ- Όοο yια τις μc>Jις nοι> ι'ό\ \ηοα' lo\' Γκιοί•\ι6φ. η ιnijcιη τους θυ ήτΟ\· .\ί-

1o -no\ί> <ιDc'φu6η (Ι ια τη ον()~n"·"

αυτί) 6rιωc; rι>.ριΟι:χ, σχετικό αθόρυ­

βη εί\(ιι η rrιήση τω,· nοu.\ιώ•·. (0 ή­ χος nου α~ ούyrτοι ό ια,· ηετού' τα

nοu.\ιίι ιιr>ά;(\•ε(ται αιιίι ά\,\ ο είδη κί­ \1)CJης τω'' φιεpώ,·.)

Υnάρλει f\ rις ψόιιιις nujoιJς ιιοu 6οσίζι·ωι cιι 'l" nεριοτfJοφή μιας


ιφοnέ.\ος ~οι σιοv οποίο ~σtΟΙο\ι~' ' 1εται n ~ ομη περιοοοΗf>Ι] t\ ψμιο .

\Ef'OU rιpο~α \ι ίΗΙΙ \ό1·ω εε<ιτμιοψ;

Προσποθή01ε 01u1 ε.\εί•θφο ""''ο

φβοδόΙ• αυιής "1ς επιφάl'ειοι: είΗχι

uας 1ι.ι ΙJΠΟ\ογίσtτr πόση μαρμε\ι].

ovό.\oyo με ιιι ιι φίι)ωΙΟ '"'' 1ραμ·

.

δα ιφtιιrι Ι'Ο τρώει ο Karlsson yιο 1(I μη χάνει βάρος ότα1· rιηάcι. (Ο Κω· Ι""" ι:ί1•αι ένας χοριι~ ιι'ιριις rωΙ' ωωι>ιώv τοu Λ. Unιlgιen.) 7' ΊΌ θερμόαιμο ζώο εuδι ί•<>UΙ' οημu1 ιι~ύ ποοό1 ΕΙ ίρμ ι ας για 1 ο 1\ιιιιηροuΙ οτα&:ρή τη {)ερμο~ραοία τους. Αιπί> είναι έ1·ο ιδιοίιφο ιιοβα· ρU ηρόβ\ημο 110 έ1u μ .. ρό ζώο με <ΙU\KpttωJ μt)ίι\ο εμβαδόΙ (Ιιιψn· Ι'Ciος. Το εμ6οδό1· -ιης ιιιιψό1·ειός ΗΗ> rίΙ·qι qΙ·ιιοτρ6φως οΙ· ά.\ οyο

αηί> τη1 επιφάΙtια

1011 ι>ι;,μιnος.

Το

μι~ών διαοτάοεωl' ω11 ζώnu (rι2 ) ε1·ώ ι ο ποσό,• ι ου αn()3ηκεuμένοη σιο

ζι:)ο νει)nύ εί,·οι eιvίιλοyn με τον ό­

d

Υ"" τοu αώμαιύς ιιιu (rι·'). Το οποτέ· \εομο είναι ότι τα μεγα.\ύηρα ζώο !J1WρOU\' \ ' (l /JjOOI)I' ιιφιυοc'>'t<f>Ο ~0·

ιc:n·α \ώ1·οnος ιο ωι(ιξlεμα τοu 'εροί' τouc. Κ ι \ιμωc. unόp\o"' με)ό\εc διαφορές οι ο μί μθος τω1· ζώω1·

της φι]μοu. Πώς μπορούμε 'ο το t ·

Σχήμα

11

μός 1<ι>' ι..ύ6ω'· nou μεtοtr..ιΗ>ύ' ιuι " ,

.

~

αnο μαι• ρο οι οσπρπ τεψΟ\ ω1 ο ι·

Qj) ήοοuμε αυτό: Λnοδεικ 1ύειαι ί>τι

οού1ιιι με "" αριθμό όοω1 μtια.ι·

ιψος ·ι ο τηι>όyωΙ'Ο των γραιιμικr:η

η οu.\.\ο)~στιΙJ] μας μnιψο·ί vo εφαp· μο01εί οε ζι:ιu ιιοu ταξι νομικό σχε1ί·

τοu δι cω ιάσεων. Το μικρίχ ζώα, για

ζοvται (yιιι11αpl'ιδιιγμσ •ι κuμήλcι και

νού' ιοι ωιι'J {ισΠ(Χ) σε μαί)pο. Σvyι.;F­ ~ιιιμ(·, cι. το οuνολικι) ιιλή{)ος tωΙ' κίι· 6ω1· nou αλλόζοt>ν Χf>ώμα τειρογώ·

"' ~ αιοφέροΙJΙ' Ι'α εηιτίιχοuν ιο(ψ· ponίn αν{φεοα στη1· rιιφιη ωyή ι..οι

ο ιίικοuλος) yιιι ιιι ιιιιοία Ι] μείωοι1 τοu με\ έ{)οuς δεν οι>\ ειιίtyποι κοι

uτφ απώλεια θφμότηtος. διrχιrι·

μείωση της δι uιιφοτότητος τοu ι·

ραίJΙ

'"I"I\ί>πρες θφμοψnσίες οώ·

.lt1

ί:ι,ι:ι ,.(,η­

μα 1·ο σι:yιφίΙοιψr ιι~ο3άpιο. οα6·

μcnος.

8. Όtα'

ατού τouc οπό το Ι'tρό.

11ψησιάμε, το~(, ψn βά­

pες και ιιυ11i~"' μr 66οη ~φ αρχή

ι>οι>ι: μας - το οποίο 6ιιiσκηαι 010 ' ' μ ας, κ ιηωτερο τμιιμα τοu κορμοu

της ομοιότητας Ιιιc'ηι οι ιαιnί τους εί­

.

'

αι {)εμε.\ιωδι.ο~ διιιφιφετικοί.

κάτω οφι βώς από τον ομφα\6 - κι · vι·f ιιη κατά μήκος ε1•c'κ; ιύξοu ~ίικλοu

nou έχει

ακτίω ίοrι. κα ι(ι ιιι><ιοeγγι­ οιι . μΕ ιο μήκος tωΙ' ΠΟδΙώΙ μας. Γ1 ωρ(ζοuμε ιιως ότα1· ένα οώμ11 >ι ·

,

,

,

.

l'ιltOI με 10\Utηto L'

lo.OIU

'()ς ιι.ύι.. \nu α~τί,·ας

έλcι ι·ntτό\U\'­

r

μηκος

ι . Σuμβολfζοιιμr μr ~. ο, π, και κ

το ιιλήθος '"'' ~~~·ίισrι,Ι\ Δ. Α. Π, ι..αι Κ, Ο\ϊίσ1οι,\α• ιιοu nnαιτού,"tαι 1ια vα μεταφφθnύμε οπό 10 (0. 0) 010 (m. η ). Τί>ιr, ΙΟ\ύει ότι δ- a =

.

ιιη ,~ f r ποu~σταιθί>Ιτται προς1ο ~•·

m, a..αι:: - κ- rι. t\ωοσυ,·ο \ ικοςα ·

Ι'tpO τοιι κίικλοu. Ότcι1 ιιφικηίιt:ι έ­

ριθμόc ιω" κ η ήσcω,· εί,·οι

' ας m·θρωπος δροu1 nί11 ω ιοιι δοο

.,.,. +κ = τιι +

δu1·6μεις: ιο βάρος ιοΙJ και η δύ,·α· μη ιιυu ιοu ασκεί ι ο δάπεδο ~αθι;ις

2.

γ ΟΙ είς τοι.κ;, α\ \ά, στη1· nροyμιnικό· tιj1U, 10 ψέξιμό τοuς είνω μια διο­

η από1'1ηοη ο ω (α) είΗιι όχι (διι1ιι rι ιιφιιrφοφή ιω1 90' είΙ<ιι δu1ούι μό­ ,.ο με α\\u1ή \pώμσιος). Η αιιά' ιηcιη σι<> (6) tίΙαι επίσης ό:ι,ι, διiηι ί>\α το 1ω1 ιοκό τετpό1ωΙ·α σε μία σιιcιι..ιtρο διασιοοιω,· 3 χ 3 έ);οuΙ' το ίδιο λ/,.;,. μα, κοι rnnμl\rως ηρέηει \U κ<Ινοι,με

Σ ιις rιι(ιμrvις αποΗήσεις θο λi"Ι· ιιιμιιnοιήοοuμε τοuς ουμ6ο \ιομούς α. b, c, ~αι d 1 ι α ηc; κuκ \ι~ο.ές Ιο.ΙΙ ίj· οεις (ιιuu αnοτr\ο6Ι-τοι οπύ 4 ~u\ί­ οεις) 1ύρω οπό το σημείο . I. /J, C, και

D τοu

Σ\ήματος

11 (rιοpόμοιn

Πcιρι.ιδείyμοτα Ίων ζrμο6μεΙ'ωΙ'

-t 2(11

+κ).

ούν ιομων tικολοΗθι(:.,ν από το τε ­

τοu κύβου ιιρος ια ηά,·ω) tίΙοι; η

τερο πόδια και επομένως ι φi'nει vo ιρ(χοuΙ γιο \'Ο nρολcτ6σίνοuν 1011ς

ιωμι.νως.

ιια.\ιJθrίΙιτr ιο1 αριθμό τω1 "" ίιοε­ "'''..\ά6ετε uηόψη και τις α \.\η \οα~ΙJ·

ιι

δύΙ•ομ η - δεν μπορεί. οί1 οuιιιι, να tίi'Οι μrγn\ύτερη οιιύ ιη δύΗιμιι ιης

τοι μc ι• = .;ψ, nou yια έ1 UΙ ίη θρω· ιιο ι σcιίι ιω με 3 m/.cr ιιφίnοu (μ ι α λιιyικι] τιμή). Το ιιοιδιά έΧΟΙΙΙ' μι.ιιίι­

'

Ε

με ό, ιι ~''"ψε σιο όρθr>ι>). Ότο,· ε­

ψάyι.>ν<>

uιιφβοίνει το mg. όnou ιιι είΙΟΙ η μίχ· ζο tΟΙΗ~μαιος). ΕιJομίΙως, η με\ Ο• \{η ι ρη τοχ6τητο βαδίσματος ιοοί>­

,

b ... a+

ιο ν ιJιιοβnστάζη. 1-1 οuνιcιτομtΙ'Ι] ιc.ΙΙ δύο δuΙ·άμεωΙ· - η κcvτρσμ(>.\ος

βαρύτητας (111 mι-'/r δεΙ μιιιφεί Ι'Ο

,

δύο μό1•ο όμοιες ιχλλοyές χρώμrιιος, χωρίς κιιμfcι cιvτίθετη αλ\ογiι.

παιχνιδότσπος

.

νου t-ινα ι παντοτε αρτιο.

(0,

Ο) σε ένα έyχι•ωμο τε·

ψάyωγο (με υι μuf""f"σμέ,·η έδρα

ΠΔ"' Κ 1·ια ιτι ::?; I , ιι = Ο, •Ι ΠΔ'"-2 • Π~ yια ιn ::?; Ί. n - ι. Παρίι­

ρώσεις των ι..ολίοεω,·.

6. (dcba) 3 dc. 7. u'b2 ι~ιJι·d2r 1 d-ι .

8. ιι/ι

•c-

1•

'ιιιΙ- 'cd- 1 αb- 1 αι/ 1r2nb

b 1 d<-bada 1ιl. 9. α 1drlYd 1 α- 2ιΓ 1 ι?bd 1r 1d '·

μοιες αι-ο.\ουθίες l \ οιψι· ~~ο τις πcρι· mώσεις (0. η) ΜΙΙ (1 . τι ) (Ι'ώ )10 11\V

a-•c?.

ιιεpίιηωοη ( rιι. ιι) =( ι. Ι ) έχοuμε τφ· οκο.\οuθίu ~ΠΑ I 1~1\.

ψιiyω,•ο μετοκΙΙ·είται). Εδώ, '1 ~u· τε6θιι,·οη ι ης ιιεpιστροφής ~r, αι n·

3. Οι ψεις ημι οτpο~ιές δiνοv·ιοι

Ψιίθrιη ηιιίι ικείΙ~] τιjς ιιιιοιη·ούμε· VΙJς λύοης.

1

οιιι'> ιις ΔΓΙΑ L<Δ,

2

2

ΠΔ ΚΑ και Π -

Δι<2 Α. 4. Η fl(a- ιb) nαρu) ε ι τη μ ισή στροφή h,. ιοu ~rηρ ικού ι..66οu, ~αι •Ι H (ab 1 ) tηΙ' h, . Και οι δίιu ηρό·

001 ατό I Ο ) fiOU\

με 38 ΚΙ•

10. b'n 1(b 1 α)3οο-2 Κ (το κι~ό τε­

ι ι. ιι

'h•'·

Θεώρημα Fermat-Euler

I. ΑΙ τιι ιι1 - fit είvcιι περιηός

..

δο\ ή ο.\μάτω1· ~οι όχι 11tρισιροφή τοu οι:ψοτί><; ιοuς yύρω οοο 101 ό­ I;QΙ ο ι ou ποδιού. 9. Εφόσον ιο ιιρόβ.\ημο οσλιι\ι ί­

εεις tίΙ·αι

ιοι με ζώcι της ερήμου, μιιιφnύμr ν(Ι unnθέσοuμε rιως rι αn~>.\ tιο ccιιι

Α ν ο κε1·ί>ς λ';,ρος •ηnνέ.\θει τελικό

nομέ1 ως, α 2n, t1·ώ το ό.\.\ο τcφό· )WΙΟ ιί1nι nφιπός. εnομέΙω~ /ι 2k + Ι. Άρα a·i + b2 = -tτι2 +4~.2 + 4~·

mφ· ιψχι κή τοu θέοιι, ιό ιε ο αρι{) ·

+ 1 = IJΙι -1 L, όrιοu m = η4!

Ιήοης.

5. Χρωμαιiζ<>uμε τα τπράγωl'α ά­ οιψu και μαύρ<1, 6ιιως mη m:ακιέρα.

rιpωιιχ:.

~

~

Hnr t'\'0

- ας πούμε,

~

~

ono τα tt.,fΚJ)<·>'n

10 a 2 - εί1·m άρτιος. Ε·

OUANTUII Α Π ΑΝΤΗΣΕΙΣ

+ k~ + k.

67


2.

Γιrι κrι()ι α~έραιο α.

1

<α<

I

μ - Ι, 3εωpοίψε τα μνόμε,·α Ι · σ. 2 · n. I P Ι ) ·α.Ταυπόλοιnαό­

ΕΚJWΔΕΥΙΊΚΑ ΚΟΜΙΚΣ. ΤΑ ΓΝΩΡΙΖΕ'fΕ;

\(ιf\ (ιuιώ' ιω' \ι,ομί.\ω\ μετά τη

διαίρεσή ιοι-ς μι το p εiΗ11 ό\ο διο­ <ρ<ψι ιι-.1 [Ι'Μίηι Ο\ λα = μα tmod p ) . .λ > μ. τότε το (.λ- μ)α :!α διαφrί­

~ ι~ rω•ι

ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ

tCΙι Cιn6 το I'· ιι..(rιι ι ι ου ri\·αι σδύ,·οτο ιιιpού και οι δύο nαpό)·οηες. ο .λ - μ

.

~ε 1\.Ο ΜΙΚΣ

.

(nnι> ti\oι θηι~ός) "'" ο, α, είωι μι, κρο1 rro ι ωιη ι ο 7J, ενω το p ει ναι

Β,

ιφώΊος.] KCJ\"έ\·o αrιό αιηά το yι ν<> ·

μt\'α, \οιι ι6,·, δι\' δι<ιι (Η;:ίιαι με το 7.>, ..,rι, ι·nι)μf\'(1)ς το υπό~οιπο ηοίρνοu,r

τις τψές

1. 2. . . . p-

Ι ω ιό μίο φυ­

ρό. Άρα, 1ια ω δcδυμέ,·ο α ι>nάρχrι f\α μnvοδικc> b, με 1 ::; b::; p- 1, τf. τοιο ι:>οτι nb I (mod p ). Γιο σ = I ~οι n p I, ο οηίοτοιχος οpι8μός b ιοούιοι με α. Για ~ffi')t άλλο n (c>ιιΟI.> 2 ::; α ~ p - 2\, ιοχ(-ει b = α, α­ φού η ιοοιιμία α' = I (mod p ) UL>\E· nuμιιιι CHI ω α2 - I =(α- Ι )(α - I )

=

διαιριίτοι με το b μδνu 6-ιο' α - ι - Ο ίι ίι ι"' ιι - ι - p. Έτσι. cιnοδΕΙ­

" ί,. ιιιι ιιιψώυι nρότcιση. Το .\ι]μ­ μα του

\\lilson

cιηοδει~ vίιετοι διιως

'" f" ι!ι:ις ιτιιοδι:ίξσμε τψ• περίπτωση ρ=

13 στο ίιp8ρο: 2)! - 2-;J .. . . ·

(p

(ιι - 2)

-(··t:t..!). . [p-1(p-") ] -

_

?

?

...

-

ι ( mαtιι),

~οΙ (p - ι )! Ξ p- ι

Σχήμα 12

= 2-EC'D - 60 . διόιι η . EOD εί,·αι rni•rnpη γωνία m.o'' πφιγεγpαμμr·

,.., κί•κ\ο τοιι ψι\ώ,οu CED. ε>·ώ η FCD rίΗη Ε\\t\f'<ιμμέ'η στο' ίδιο ,,;.._\ο, ~ΟΙ 6.\ίηου' ~οι 01 δύο

Ul'

ί­

δια \'ψδιj ΕΠ. Σuμπεροi,·οuμε ότι το tρίyω'ο D.t:O εί,αι ιοόιι.\εuρο II.UI {ηι εD - DO. ΕrιομίΗι.κ;-ιο D (1, , .. fl στη μεσο~ά3ετο p

1.ou ει•8ύ·

\ ρομμοιι ιμίιμιιιο<; EU. r, ωρίζοu· μr • ιιίιιrις ιΊ ιι 'I 8 Π διχοτομεί τη yω­ ,•ία EDO. Λ ν '1 μ κω η DD ήταν δια­

Υ Ι~ΤΟΡΙ Α ΤΗΣ ΒΙΟ:\ΟΠΑΣ

\011

otu 1f>ί)ω\ο ΒΕΟ • ύ•\ου. Σ:r

"1'

αυtιj\ ηφίnτωση. όμως. 8α είχα­ με _J::DO- 1:.80 - lhO . ε>ώ σu]'

ι!IJ (οrι6 cα δεδομ(ω 1ου πrιοfl.\ή­

μένως.

..J::DD - ..BDO = 60· :2 =:!ιJ' .

3. Εφrφμ<'>ζοuμι •rι•· κατασκευή

20' (οπό κατασκεuή), κcιι !\ = 11!0' - 80' - 20° = so•. και

της όyδοης λύσιις με ιις δΟΟ σιψμε­

ε ιι ο μ ~νως = ΒΚ. Είδαμε σtι]V πρώτη \ύοη ότι I:JC' = ΒΕ, ειιομί­

ιpίες (Σχήμιι 12 -οuyκρίvετε με το Σχι)μcι 7 ι οι> όρθροι>). T(,., c, ΛΡ ­

Ι ,,,, οε -

C/Jι ""' ΛΠ

/)!\. Ί\ ρα, και αφοu 1\ ΟΕ - 80 - 20' = 1\0'. "' ψίγω· 10 BEJ\ ιί'uι ιuόn\ι·upn. Επίσης.

nn w·- w

κ = -ιιr = ..svκ <η τε.\ωταία ισότητα αιιοδεί;ι.θη~ε <1\J]' φί ιιι \ύοΙj). ~οΙ επομέ,·ως ΚD = Κ 8 - Κ ι::. !Ία 'α ο \ο• \ηρώσοuμr 1ψ ωιι'>διιl:η. ιψ"ί \Ο nαρατηpή­ οουμε, \ΙΟ παpόδειΙ μα, ότι το Κ εί­ \Οι το ~(, ΙfΧΙ ιοι• ~(·~\uυιιοuδιέr>\;ε· ιιιι αιιίι ιιι Π. F:. και D. Αυτό συνε­

πάγεται ότι

ι.ΕDΒ = 1f2..EKB =

r,o : 2 = :ιΩΌ 2. !:ω Σχίιμο 6τοu 6ρ8pou, EOD

68

ΙΟΥ λ ΙΟΙ Ι ΑΥΓΟΥΗΟΣ Htl

Η ΙΣτΟΡΙΑ τΗΣ ΧΗΜΕlΑΣ

γιιι 'ιι δr(ξιιιψf (ηι το σημείο D C<Ιή· •rι 01() ιόξΙ) Ε() 10\1 ΙΙFρΙ)'t\'(}{Ιμμέ•

ιιρ<'•Ι μο 11011 οημοί~ιι όιι τα ψίyω­ '"" ΠΠΕ •αι ΓΙΓ>Ο εί•·αι ίσο. και. επο­

nc·

ι. Noνelli

Α:τιl την α(.Ιχu(α Alyνπto έω; tα tlλη του 20tιύ αιώνα

ι. Στο r,ήμα3τuu άρ8ροu, οι \W• 'ίει:, ωιι ψι)ώ,·οu CBK εί,·αι .C = Π

C. Ghigliano και

φιψr ιι ~ί-ς ι.ι>θι·ίι:ς, θn μ ιιιψούοσμ•· ,.α εηαvα.\60οuμε το cπιχείριιμα ποιι Χf"]ΙJιμ<>ιιΙιιήοΙψι <> ιt]Ι' ιιiμιιοj \ύ<>ι}

Εννέα λύσεις

μιιιος),

- ι (mnd p \.

ιι

ιιικιψιηι.ιΊτη ι ο αυτό το ά3ροισμα ισοίηαι μt (,()' - 40. = 100' . :-\f>O, Ι) BD >iHJΙ ιι μισο~ό8ετος του ΕΟ,

=

11~

('ι Πι . Χρrισιμοnοιώ­ C 1•

,.τας το yεyοvδς ότι τα σημεία

Β. C και Β1 Ο\ ιjκου\· ό.\α σε έ' α' κί>­ • \ο μr ~t\"tpO ιο ..t, ~οι εφορμόζο· ηας το 3εc;,pημο ιων εηε\ραμμc· '~" )<ol\ιc:l\, \cιμ6("οιιμε C1 BιC-

112-C.AC - .BAC (~οι εnομέ' ως,

ιu \f>ί\ω'υ Cι Βι C εί,αι ίσο με το

ΓI. Ι Ρ). ~οι ΓΙιCιC = 'f2. D;.4C= l0". Λnδ τη1· ισότη co τω\' ιιροη1 ο6με' ω\ ιρψ:'"~' t.\οιψι ΑΒΡ= = 10 . και rnομt,ως PIJC = 80' - ιο·

n,c,c

='·ο· .

(V. Oιιbroνsky)

Τdμοι Α και Β

Τόμοι Α και Β Από τον ·~<ιτοτtλη έοι; τα τrλη τιιυ

20oli ο.ιιΠα

&βλfα με μεyαλη αφηyημαπιαΊ δύναμη και τρuφερη εικονοyραφηση,

nou

πεpιγράφαυν την περιπέτεια της χrιμεrος και της Βιολογ!ος, και συγχρόνως την ιστορία της

aνθρωπότητας. όπως γpόφτηκε τόσο στο διόφορα ερευνητικό κέντρα όσο και μέσο οπό την καθημερινή ζω~ των ονθριίιnων.

• .. Qρofo εισαγωγικά βιβλ!α που ε(ναι αδυνατο να μην προκαλέσουν ευνοϊκό σχόλια οι τόσες καινατομlες τους.• Frιncols Oιgognet, ΚαΒιιrιιτιις ιστορίας των φυσικών επιστημών, Πανεπιστημισ της Λυών

tεl. κάθι tόμοu: 64, 2Ιι 29 ιιc., Εytp, 2.800 δρχ. κάβι tόιιος

ΕΚΔΟΣΕΙΣ κάτοπτρο Ισαύρων 10 και Δαφνσμήλη, 114 11 Αθή\'α Τη).; 3643272, 3645098 Fax:3641864


ΠΑΙΧΝΙΔΟΤΟΠΟΣ

Οι κυλιόμενοι κύβοι

Πaιζοvτας με auτa τα «{αρια» δεv χρεια{εται τuχη για Vladιmιr

r

ιοίηο ιο ίφθρο 8ι1 ιnαφερ-

μΕ 010 tΠρά\ (,)\C) (

m.

η ~ΟΙ

\'Q

βρε·

~ ιί1οι uρ...ετά αn\δ -~66αι,

- n \ ι<ι

ι η cΊοιιpcι 1ttpάyωνα. m..ι...

χρωμnτιπμfγnι ~ μονόχρωμοι, ο.αι ' ' σ~ πιραγω· ' μια επιψαΙ'Cia χ~>rιπμηη

.,...η - 2 \Ιn ηι μι ι\(, tι..<ιι rtί.,...fl --I =

\'U. Η ι ιοικι\ίο των προ6.\ημ(πω,· πά­

το ( !.

Vlως ι--· ίΗ)Ι t~νωι ιωοιιική. Ξεκινάμε μc

μετcικινήσΗς "6ς μο•·οι>ιαίοu ο.όβοu.

Για να •·πιι.\rιθιύ<>c ιc ότι αυτό ι· cιχύει ιιροyμαιικό. πρέπει nr>ώια \'α ιιι:φιη '1 1",1"" ιι 6 ιι u1 >-ι•.\ήσουμε το••

Μοναχικές διαδρομές

kίΙβΟ lfΟΟfρΙς ψιψrς ιψuς Ι ψ' ίδια καπ(\ΩΙ'\'(Jη, Ης ι ξtι\ nι ιάpι;ι lO\' αρχι ­

Αμ\ίίQι>μΕ με έ•·ο 11.\iyμα. τα τετρά·

1''"" ιcκ> οι ισίου το &ωρούμε μο•·σ·

διοίu. ~οι μr ί"" ,.;συ -εηίοης μο­

\ οδωίcι)\ διuσΗίοι.ω\ - ιοrιο3ετημέ·

Ας φο• Ηιιnοί•μΕ ότι ο.ι•\όμ• ""

t-

θ•ί ο ~ίιll<><; μι ιη μορκοριομr"η δρa ιιrσς 10 rιιi\Co> tί•ω ίιιuς με,,+

' υ ι.; ιιου aqκψ α

κερδισετε

Dubrovsky

3οι'\μr m ι ιtιι\1iδιο με ~ύβου<:. Τα u\.-6 τω• ποι\ \11\ιώ• μας

' κο ιιιyιψι' α, 1 'I" ι φω·ιιι

va

G

για το μο••αδ,.ό ~ίψι ν ο ιrψιiγω•·ο.

l).

"ό του nρ<>Ο<ΙΙ<tιο\ιομί> (θα έχει κά· Ηι μια π.\ήρη πφιιrφοφίj). Ε.ιιομέ· Ι'Ιο><;, 01 ( m. η )- ( Jf. 0) ή (0. Ιf),

r-

•ί•6ο αcιό τψ "1'\'~ή ιοι> θίοη μία φορά ΠΙ><><: 1ιι δtξιά. 11 μαρι..aρισμέ­ 'η έδρα 3α rμφανίζι ιαι ιώρ<ι mη δε­ ξιά μεριά τοu και θα πnrπμ•·i··n oc nυτή

1 ι α cιrιοιο•·δήιιοτt αριθμό rn6μεvων "" \ίcι•ων uι ~u ιοο.όρuφη διεύθιιΙCJη. ΣoyκcκρψfVtJ, η•· κc'cvειε μίa μ όνο ..:fνψη1 •ι ψοι; '10 ι ι 6νω» κΩι κσιΔι ιιν οuνεχ(σετε \'ft ι..u.\(ηε: το•• κίι6n nrιος 1ιι δtξιά, ο ~ύ6ος 3a f:.u\(ιltάptι TOV αρχικό 1ΩU ηροσανα­

ι<ι.\ιυμό ίrιειτu αnό ιρεις κι~·ήσF.Ις προς τα διξιcj, ύιιως tιιίσης και intt· ια αιιό 3.,. 11.- κΙΙί]<>ttς (\Ιit οιιοιυδί]­

ΠΟlΕ k). Ειιcιμί•ως. μιtupοίιμε 10 κυ­

•·ο 010 1ωηαο.ό τηp(ηω•ο του ιι\έΙ­ μcτωc.,. Υιιοθίτοuμε όn nέηε έδρες

γουμε ,\' m - η - ~f. Ef101 προ­ φα• ,;,ς ιιδύ1 nτο 'α φτάσουμε σε συ· ιά-τα τεφ(ιjωΙu μι μιψόιψσ αριθ­

του •ύβου ί "'"' \ιuo.c'> :v•ώμa, ο.οι

μό ••• ήοι "'', ~ω είωι εξίσου φα•ε­

•ΙΙήοεις. ι\1 οιιμβο\ίίουμε '\1ς δε­

μί" ίδ1κι cιι> <ή ποι• 6.\έπει προς το n{!\ ω - • ί ω ι \f>ωμu ιιuμέ"] (θα την

ρό ότι δεΙ μποροόμι Ι <ι φ1<'ιοοuμε

Ο\Ομlcζοuμ~ μιφ.ιφιcψέιη). Πρiηεc

ρt"ς ιιιιc~)

cιε ί1 α τετρό1 ωνο (111. ιι ) σε \ιγό1ε·

m f.. n ...,,, ίιοεις.

\'rc ι<uλf)ΟιΗψ~ (O\r ι..{ιι-Jο ί.ως έ''a δε .. δομένο τετράyωνο 1ou 11.\έyμπ-ως ψ ψόπn ι~ο ,.. η μαρκαρισμένο] πλεuρό

"

αιιuΊ Ι] διαδ~αοία. Το ιφόβ\ι]μu δι. εί'αι ο.cιι τόσο δύσ~ο.\ο. Η απά,-τηcτη δίηται Σ.\ί)μιι

<no Ο. I,

I: u• aριθμήσουμε 2. . τις 1 ρaμμiς •αι υ ς σύt\ες τοu ιι \ίj μtι ιικ;, u• ιιστοι\ ίζοηαc; με συ·

tό\' tO\ ψ(ΙΙΙCΙ ίΗι tιί>jος (ηι. ιι ) Ot κάθι ιιψάΙωΙ'Ο του πλέγματος (m και n •fνω οι ιφιθμο( της στή.\ης

και της ΥfJ<ιμμίις,

'" ιίυ~οιχa),

τότε

ο ε.Ιά,rιστος αrιθμόc; .Υ 1ω•· κΙJ.\ίοε, ' (ι)ν ιιοο ωιc__t ι ιοΟ\ ιοι yιο \·α φτοσου

..

....

f.;..,

μ

3

ο

m ~η-

ξιές. ορι<πφί<.. ιι(ΙΙ ''' "" ιΙJ·ις μι: ~.Α . Π •ιιt

Ιl.,..l

•Cn:w ~~~·ή­

1\,01 ιίσωιχu. ' ' ' τη-- αμποrουμf 'ι ι 1/ΙΙΑψοιψε αι,ιψ ο.ο.\οο3ία ~u\(σεω•· ως ~ΠΔ 11 1 (6rιou μ•· Δ* οιψllο.\ίζουμε /.: διcιδοχι­

«•ήαι·ις: Π~ll" . Χρησιμοοοιώηας τη-- ίδια τt\"Ιlκit μ11ιψοίιμι ω .\όοοu­ με το πρό6\ημrι σι ιη Ι n "" ήοεις

I I I

\"ΙΟ οποιοδιjιιοτε τεψiΊΙω•·ο (ιn. με ιιι ~

•I

Ο

Σχήμα

2,

ιι ~

2.

n)

Χριιοιμυι1οιώ• τοc

ιο σομl!ο\ισμό \ΙΟ τις '"ή<ιΗς ικχι ο­

-' ι

Ι ) οι

(m. rι) - (1. Ι() με "' - n - ~I + ι

7

4

= (41.

Πcφίιμοια (~ιιι ουμμιτpικά) μnο· ' ' ' ρουμι: να φιcωcιυμr '"" τεψαyωΙ·ο

~

6 ;

{ιn . ιι)

•ές κ11·ήοrις προς ttt I>•·Ι:.ιι1).

10ι1 I'Q 0\fntΙ tιό.\ι rιpnς '\Ο nn\'4), και Ι<ι ι>ιι<>\cιγίcιuι>με 101 αριθμό τω•· <ι · •·ήοεων (•u\ίοrωΙ) ιιcιu θα ωιαιτ.ήσει

\rjοουμc το• ~ύβο στο τεψόΙωΗ>

ρίοομι: Πj>Ι>η\cιιιμίl..,ς, η αιο\οιιθiα -.ω, ο.ινι)οι:ωΙ που μι 1rιcpiρει 101 ο. ύ­ ι

2 3 4 5 6 7 8

1

'"

βο crιo Ίι:ψiΊΙ ω• ο αυτό. με τη μul"'"' ρισμέ•η έl>rcι ιοιι ιιρuς cα πδ• ω, εί•·nι η ΔΠ'· 1 ΔΙ ΙΔ"' 111. (Δείιε ιο παρι'ι­ δηyμcι γιu το τrτριiyωνυ (nι.

OUAN TU M ' Π ΑΙΧΝ Ι ΔΟ ΤΟΠ ΟΣ

n) =

69


(ϊ.

5) στο Σxrwa Ι - η κύ.\ιση κατά

μιίκος των διακεκομμένω\· \'f>Ομμό)v δεν αλλάζει UJ uχ~:ιι..ι"ι θί:οη ~ης μαρ· καριομέ,ης έδrι1ς.) Στη συνέχεια. μπορείτε εύκu.\r1 \'rι

δείtf ότι 1'11 ~ 11 Κl\'ί}ιJεις δtΥ οrκοίη• για "" φτίωηε στα έηρωμα τεφίι­ γιο>νιr (το μπ.\t και ΤΟ κί1 pι Vu) ΊΟU Σχήματος I. και 6ιι για \'Cι φτάσει ε στο κίψινο -ιεψnγwνο δε,· αρκούν ού ιε ~ = m +η~ 2 -.vtjor.>ς (ι>nάρ· xou,· ιιu.\ι} λίyες δtJ\•ατές διαδρομές

μήκους '" + 11 από τu (0.()) ο·ιο (ιrι. ιι) όταντοrn ή ι uηδr.vείvαιμε· yο,\ίJΗψ<Χ αJΊ() 10 (, και μrιορείιε VO ιι<; r..\ί:γξετε ό.\εc). Πρόβλημα I. Αnοδείξτε ότι αν • • • μιιορεηε να φιιωετε το τετραγωνu

(m. n) σε k κινrίοcι ς, 16τε ο k - (ιn +τι) είωι ένας μη αρνητικός άρυοc αριθμός. ΣύμφωΥα με αιιtό το rιρf>f!λημιι, \'Ιά το μrι\ε ΊtΊfΗ'Ίγων<ι rtnαιτούνται 10υλίιχ ισιον ηι .ι. t1 - 2 κιν()Οεις, ε­

νώ για το κίτρl\'0. (rn, n) =( l. Ι ), α · ποιτο6\'ΤΟι τοu\ίιχιο·ιον ιn -+ ιι ...._ -ι:

= 6 ΚιΥf)ΟCις. Πρόβλημα 2. Βρείτε τις .\ύιιει~ ιων

G και τc:ιΗ· ,, + π + 2 κη·ι)οξων,

yιCtΊQ

κί. ιρι,•u και yια 1α μιιλι: ΙΟfΗ'1γωνο. αν 'Ι ί ο-ι<>ιχcι.

Βόλτες με περιστροφές και κuλίσεις ΌΗ:η' έχουμε έ\·uv κύβο με τις έ­

δρες ιου χrωματισμέvες ό.\ες διπφο· ρετικά, προκί>r ιι ου,· πιο εvδιαφέρο· ηα ιrροβ.\ήμπτα. Μποpοuμε. (ψ" ­ yε. \'(Ι κυλήσοιψε έ\'Ct\' κύβο αηό 'LO τετράγωω ((), ()) <ΠΟ { rιι. n) με ·ι έ· ωιο 1 ρδnο ώοτε ο κί>6ος \'Ο καταλή­ ξει έχογι αCΊψ ίδια ακριΟώς τοιωθέΊ η οη με τηv

• αρχικη ,

-

.

η γεvικοτερα.

μια οuy~cκριμί.~η επιθυμητή τοllοt!έ­ ιηση;

Λnοδεικν6εcαι πως οι δυνcηές ·ιε:\ι· κές θέοεις εξαρτώνται cτιι{) rι ς ουγ­ ιεταyμέγες (πι . π ) ·ι ου Η\ικοu τε­

ψu\'';,' "" - ακριβέστερα, από τψ· ι·

οοτιμί<'Χ ιοu rn, +η.* Λur6 yίvε1αι φανερό

α11i> ι ο Σχfιμσ 2. Σχε· διόζοομε μι α \'(Ι<ψμιj

/

οι· κίχθε έδρα του κίJ· 6ou όπως ψuίνειιιι

<rω οχήμα (οι γραμ · μές στις έδρες ιrοι> • ειδ εν t•ιναι ΟfΗΠf:ς,

Σχήμα

3

Ηιι παrcι\ληλες με τις yραμμές tω'' οπένΟ\'τι εδρ<~ν), και οχ~δι(rζοuμε

.

'

θί)\'Οει ς ι< Η>' μF ιu\ ίδιο τρόnο nou

βρείτε μόνοι οας.

ενα.\.\(ισσοντcιι τα χρι:)ματα [ων

Η σπ(ητηση ο' αυτό το θέμα είνuι ιι εl'.ί)ς: υ11όρχου,· τρεις περιστροφές

yραμμ.:ς οτ(Ι τετροyω,·cι τοu

cc ..

τραγ6η·ωv μιας σκακι έρας. Ί'οιιι>θ>:·

rι)οτε 1ον κύβο or. ένrι τετρ(ιyω,·ο

ιuο ι-ι.\έγματος fτσι ώστε να σuμπί­ mει η yραμμή rιοι> ι>rι(χρχr.ι κ(ι­

'"'1"

ιω έδρα του με τη yραμμή τουτεψα· y(~νot>. Κ υ.\fι•πε ιό.ψ<ι -ιοv κί>6ο. Οι γι><.ιμμές στον κύβο και στο ιιλέγμ<J

θα ταιριάζουν κω rιάλι· το ίδιο θα οιψf!ι:ί και i:πειτα από μια δεύτερη κί1λιση και, γενικότe.ρα, έιrει ((J uιιύ ο­ ποιο"'·δήnοτε αριtlμ6 κoλiot:t.ι)V ιη:· ο­ nοιοδι] ιισι~ κα-ι•:ί>θu,·οη. Αυτό <JΙ) · μαίνει ό~ι μrι<ψ<>ί>με νπ rι ιιιύχουμε μίi\'Ο Ί ις μισές από τις δυνατές τοπο­

θετήσεtς τοu κ6βοιJ <>C έΥCΙ δεδομf.,·ο τετράγωνο κολι~)\...ιrις τον από άλλο δεδομένο τετράγω,·ο. llραyματικά. ο κ66ος μπορεί vo οτιιρίζειαι σε ο·

ποιαδήποτε αιιίι rι ς έξι f.δι>ες ·ιοu

'

' και μι ιιφοιψ~ να τον οιρεψοιψε με

tέοοερις δωφ<>(ΙΕΊ ιωί>ς ιρf>nους γύ· ρω nn6 cιuτήv την έδρα. Εrιομένω<;,

uπόρχοιJν 6 ·.ι = 2.J Η>r1οθετήσης

1ou κί>βου σε (.\'α δεδομέ,·ο ιεΊρόyω· \'Ο, Λ,., όμως. θέλοιψr. να ταφιάζει Ι) yραμμιί ιrι<ι κ(ηω μέρος 10u κύflou μι· τη γραμμή 1.01) ·rεΊ ραyΙ:>νοι>, έχου· με δύο μi)\1 0 η)Ωnnυς \'Ο τον στρέ­

στις έδρες του κί>βου όξnνες (Σχrι·

μα 3α), δύο περιστροφές (12W και

2-10°) yuρω από καθεμία από τις τέσ­ σερις διαγωνίοuc (ΣχίJμC1 3fJ) , κcιι οι (.\ιyότφο ψαΥεpές) περιστροφές (r]

ιιμι<Πf><>φές) γύρω από καSέναv από τους έξι άξο,·ες ΗΟι> διέιιχοv ιιrι αιι6

10 μ εσα t(l)ν '

-'

,

αrιεναντι (tι...μων LΩU

"ui

βου (Σχήμα

3y). Έγοuμε, λοιπόν, 3 · :J ·~ 2 · -Ι • 6 = 23 διαφορετικές ιιεριο1f)(>φ~ς. Αu'ιός ι'ιαυ λείrιει είναι ο ΊιrυΊ.ο1lκός μετασχηματισμός. Η διά ιαξη 1ων yραμμών διατηrείται από τις τρεις rιεριο φοφtς ιων 1!>0

'

.

\' Ο()ώ ι:ο·ιο τους «ε

δ

• •c

ρ ικ()ο ς η...,ονες»,

111ι6 ιις οκτώ περιστροφές γύρω αι ι 6 "1 ι <; διαγωvίους κοι. φυσικά,

.

'

'

απu L<Ι\' ηωιιηικu μnασχrJμnτιομιι.

Αφού "nθr απλή κύ.\ιση αλλάζει τη διεί>θι>ν(>η ιr)ς Υf"ψμής στην κά· τω έδρο ιοι> κ ύβου, οι περιστροφές ποι> διατηροί>ν 1 η δι{rιιrξη Ίων Υf"Ψ ·

,

~

,

' '

μων προκυπτοu\' εηειτα aιιο

O f)

ιιο α·

f>ιθμ6 κυλίσεων. οπότε μποροuμε να υ ς ονομ(ωοuμε άpτrες nεριοτροφi'<;. ΑνΊίιττnιχα, τις uπό.\οιπες δώδεκα

Φα\'lαστείτε τώρα όιι έχουμε κυ· λήσει τον " ύ6u σε κf.ιποιο τετράyω-

ncρ ι .,.ιροφές θα τις ο,·ομόσουμε rιφ1ηές. Αιιό το rφ<'>βλημα I, γvωρί­ ζΌuμε όη ο αριθμός 1.ων ΚΙJ.\ίοtων

-

= 12 -ιοιιοθt:l!jοεις.

.

'

νο και οτι κοτοnι ν τον εnονοφεροο

..

με στφ• α ρ χω\ ιο" θέοr1 χωr>ίς να ων ιτψcψουμε (δη.\αδfι. με μια πα­ f>ίχ.\ληλη μετατόπιση). Τότε, η rελι ­

-

.

ι ψοκυψει

ano

.

~

την αρχ-ικη μ εοω

ψijς. Μιι1 ιιο.\ 6 ιωλr] άσκιιση είναι νtc 1Ιf)Οcπιι·ιθι]σετε να βρείτε ...αι τις

ΙΟΥΛΙΟ Σ Ι ΑΥΓΟΥΗΟΙ 1994

(•αιά 9()' . 180' . "'" 270°) yίψω nn6 καθένα'' από τους τρεις κίιθε LΟΙJς

ψουμε - πράγμα rιΟΙJ μας δίνει ο 2

ΚΗΙΙΟΙΟζ ΟU\' Κtκrημrνης Ι ιtrΗιrιι)()-

70

~αθώς και τις 12 11011 δια'ΙΙ1f>ΙΙύΥ 111

πλ~~yματος t\'Ολ\άοοονι(lς υ<: διευ­

\'U

2

rιφιςπροφές τοu κίJ(Jο.,,

διωθ.;, ψΠ) Ίt,JV Υf>αμμών στις έδρες του κuβου. Προσπαθήστε να ιι<;

"'"

κή τοποθέτφη I.Οι) κuf!ου θα μπορεί , ,

Σχήμα

24 δΙJνοτές

nou απαιτούνται yια να μεταφερθο{}­ με αrι6 to -ιr.ψr1yωνο (Ο. Ο} οιο τε· τρC.yι,η•ι> (ι» , 11) έχει την ίδια ισοτι­ μία με. το rn

+ n, και ειιομtνως nι πε­

ριστροφές ποu προκί>ιι ωΙJν αrιfι ΙΙ)Υ κύλιιιr1 ιου •ύ(lou από το (0. Ο) οΊο ( m. " ) •·ίνα ι όιηιες ή nεριπές αγά.\ο­ yο με το Ο\' το

rn + n είναι άfΗ ι n ι] nε­

ριπό. Σοyκt;κριμένα, <'ηα\· ένας κ66ος α·

*Δύο αριθμοί CχοιΝ τη\· ίδιαισοτιμίο α\ δίvΟΙ)\ ιο ίδιη uιt(•\uωο διcιιρούμηοι με to

κοΧουθεί κλειστή δι αδρομή, κοτcιλf1·

2. (Σ:ι.μ) .

yει στο αρχικο Ίετrαj• ωvσ εχονΊι:rς

-

.

.


rιεpισψαφεί •cψι ιu•. Μ ιιιψοίψι , (ι­

μως, ,.α ε• τε.\έοοuμε •οι τις Ι~ όρ-

.

.

ιιες 11ψωψοφrς μι· """"

,

ψ<>·

""'

no: Η αn\οuατφη • \ειουi διαδρο· μ1j ωιιηι\ιίΗιι αnc> ~ "' ίμιιις σε έ'α ιε~ρίηωιο διαιηι"ισιωι 2 χ 2 (Σ\-ήμο 4). Μπορούμε \Ο δοί•με αμέ· οως ότι outή η •περιφορά• του

•u·

6uιι (\ι' ullutί\ιoμu Ι')\ fllj>ΙCiljH)·

φή ι<>υ •πτά 120 1ίψω πnό τη δια­ yώηο που διrρ\rται από το •ί ιτρο lOU II(CfXΙIHj\(ι) lHfHΙ\(~\Ot} (10 ΟΙ)•

μείο Α στο Σ\ήμα 4α), όπως 6\ίnuu-

120

Σχημα

5

ti)uouμt Π<ΙΙ\ 1ίδιιι μι πυ \ \ο6ς •υ \ιό­ μ" uι>e; •ίιlluι>ς •αι ίω μ ο• αδu.ό t·

ιί\ι μίιι μ'"" >ηιιι•ψΙJ il>ι><ι. !:ι•ω· δευότu' από οδι]! ίες rιοιι u1 έφερα'

\t ί•(}ιpη

Htpά} ω\ η. 'ΕΙ 1'1 ΠΙ'ΙΙ:\\ ίδι οuτής της μορφήc έχοιιμε στο Σχή­

ό11 10 llfHλ \ ίδι μtιOf)Oί)CJf \ Cl λfΗ)ΟΙ·

μtJ 5. Αιιοιι \r.ίιcJι uιι(ι οι..ιώ ύμuιΟL~

'οημοοί•• ης του ποί.τη. Τη μt\ ο.\ύ­ ιψΙ) 6αθμυ\υ1ίu •ίιιδιζι ισ \t}ύμt· ,.ο ·Βπηι\ι~ι.ό rιρci6\rιμn•: ιοιιιι3•· tού,-τσι οι 1iσσερις ... ί~θοι σιις \·<,, ..

t ξιl\ρωμcι~><: •ύβοv<; 1Οnοθ.,rιμf,·οuς ;

,

, ,

#

Οι (\'Ο τετιχηω'ο κουτι με Ε\"Ο\" μο,·ο

•rιό ,,:,ρο <πο •inpo τοι>. Αρχικά. C'·•\οι οι ι..ύΗC)ι tί\tn ιψ4ΗJfr\ffιt)\ιομί­

" Σχήμα

4

μr uτο Σ\ί)μ«

4{1,

Η ψορ(Ι ιης ιιφι·

Οl (Η>ψί)ς ε~rψ ιίιΗιι οn(ι 11) φιψί1 της πφιφορ(ις του • ύΟοu. Μ~ τοι·

ουι~j3ισμέvο σιψβολι σμό μας, Ι) ΙΙL· f>ιφορά στο Σχήμα 4α γράφεται AllΔK. J::φόσοv οι κι νήσεις Δ •ω Κ εί\'(JΙ οι ανιiΟΙfΗ)φt't.. ΙC.ιΗ' Α t..CH

n.

μnοροuμε \'(Ι

111 yρίιψuuμι •ιιι

ως ΑΠΛ • η-ι. flιφίιμοιι <, Ιψiίξι ις (\η''"ίι 11)ς μιφφι')ς ΧΥΧ 1 Υ '· ή nr σuηομnγροφίο. [Χ. Yj) Ο\ ομό­

.

ζοι'ται αηιμετα{)έτες (Τω\ Χ •ι.ιι Υ) κοι

,

ou\ ν ο

,

,

ιιι ιιι Χf>Ι)Ι>ιμι ς ι>ι rιιφο·

μοια προ β \1]ματα με ω οχ ημιιιι· ομώι. Ο'" ιιμι ΙιιθtΙΙ)<. μ, Π] μαζί με τους urιό\οιηοι'Ι(.; ιιι ι(ι α' 11 μc1<1~){. ,ι:·ς 1ων Α . Π. tο.ιιι ltι)\ r&\,ιmpΔφω'

τους ((ΑΠ - ' =ΑΠ - 1 Α -ι Π"' ΑΚ~Ι.

[Π. AJ = DλK..l, •.ο.•) μιι<, δίΗ>υι και τις ο• τώ διαγώηrς πφιοτροφiς τοο ιι..ύ6οιt.

Πpδβ.\ημο 3. Βρεί ιt ης ψrις rιφι· φορrς (6 "" ί)"' "'') ιιιιt> ιιφιιηρi . φουv τn1· κ66ο κατά ΙΙ!U 1uρω αnό ι..οtlέι αι αιιό τυιχ: ιδρ,.οίος tol' ίι!:;u·

ι ες (nιfιοiις ιιοη 6\fnnι

""' !:νjμrι

4α).

~\ε ιιαι><>μοιες ιιφιιριφί~ μιιιψ<Ιύ· με

vo

πετύλ ου με •οι τις διόδε•α 6ρ-

,

'6

"fιι:ς ΙΙΙ:fΗΟΊ f>Οφι·ς ιnι,.) ._U ()ι) """' ΗΕ

,

,

τοι· ι·nοvnφrρουμr ατηι· ορχικη του

θέση.

Πληθώρα κύβων σε στενό χώρο Και τώρα ε(μαΟΊ( ί ιuψυι νu μελι·

ωι μr tοι ίδιο τρόπο έτσι ώατε κάθε ίδρο του τηρο)'ω' ιι..ού •δ<'"τυ.\ίcιυ• 1 α Ε λ ει το ίδιο λj)ώμο. Πρέπει ι·ο κu­ \ήοt· ιt' ιοι;ς .. ()6οος μι ιt:-ιοιο Lf)όJΊo f~•σιr \(1 κcnσ\ήξοt1\' και rιά.\ι με πα·

μοnοιηθεί 110 'α μπρη3rί ο lifί• της

'ίες με ι ι ς f!\Ρ"'μες ίδρrς ιοι•<. ιιρο<. τα ηά\'ω, ι.. οι οι unύ \οιnοι ι.. ύβοι ι ο· rιο3rτούΙ'ιω με τις ίηρι.ομις ίδρε ς

προς τα κότω (αφήΙ·οnας το •ε''τf>Ι· '" 1εψόΙ ωι•ο ι..cι•ό). Πρέπει 'α μηα­ ΚΙ\'ήοετε τους κύβους f"ι<JΙ C:ιιι ιf οι

f)'·

f)(ψοιο ΙΙfΗ)Ο(ι\'CΗΟ\ΙΟμ() - 6,\Ι c)μc,-.ς ί/\ιn μ• τn1 ιψχική. Δvν είνrιι 1\ύn­

χι•ωμες έδρrς ,.α Οprθούι cιιιύ LΙJ'' .,.(ηι.-. μt:.f)Ι 6 tntς )tοι\ ίrς h((l ιrιιΛ 1()'

ι..ολο \'Ο διαηιοτώσοuμε ότι έχοuμε

nά,·ω μεριά ιττοuς uπ<'>\nιποuς

νιr ι·ιιι.\ .ξcιυμc ι ψ• ·1ελική δι ωθέ-ιl)υη των χρωμάτων ανάμεσα σε 23 διο­

llouς. Σίψψω,·α με τις οδηγίες, •Οι' 6ρείτε μια λύση με όχι πφισοιiτι·ρι·ς

φιψ~ ιικίς δΙΙ\'ΙΗ(JΙΙΙ ι>:ς - αρι θμ6ς

αιι<'> 36 "" ήοεις, είοοοιε ιδιοψι>fα.

11011 ωοίηαι με<(> 11.\ήθος τω" μιι I (]ι' LO ι 1t..f:)ν I IL'(HCTI f>Oψc;n 1.00 Κί)6CΗ). Auτn τn nrn6.\ημn tn iχnυν πρσ­ τείΙΕt οι Α. Orj•oιηov •οι G. SIH:~·ιso­

Λ\· όχ•. δε\' αηf:λι:ιε κοι ι ιο.\ύ!• Ο φΟU10\()\ ιι.,(ις 1 ι>όι ι<><; \'{Ι 0\ lψ( •

"~· 'F:Xrι η·Ι\ιοφί-ρη,· η τρ{>πος nnu π·

ποθήσουμε ,.ο 6ρούμr μια ακο \ ou·

"'~(• \11ψω 1ια 'α μιι φεύ1 υuι uιι<'>

θία hu\ίοι.ιιJ\ ι ιοο θα ίλιι ωιοιί\c, , ,

11ς θ€οεις 1011ς οι κi>ι!οι: οι , {,6οι

11ou \Ρηοιμοποιούν f\ ουι• αυλάκια •ιηι'ι μίι.,κ; τ~" ακμ(~,- τους (Σχήμα 6) "-Ot ο ιtάιος 100 ~οι1ιισί1 εί'αι (\α

•v·

τωnίοοuμε nυτι'ι τα προ6.\ι]μnτrι, •οι άλλα nαρόμοια, θα ήτοι 'α ιιpοο·

σμα

111\

f Ι ΙΙ1011()()

I ιι fH01 fωφΙ) f \ ος

μό, ο •66ou, ΕΙ ώ δη 3α εruJpεάζει ό· .\οος τους ά.\ \ους. ~lr αuτόι· το' ψό· ιιυ, βίβ<ιιu. &\ ι\οιψt othC)\oμiethι·

ι ι φόμΗ ο η \έ1 μα διαοτόοεω' 3 Χ 3 ΙΚ>υ <>\'Jμmίζt"l!rl από U'Πtά ξι•­ \οpά•ιο. I α αολόkιο tωΙ ,ί•6ω,·

"~'"'· cι.\\ίι ιιιιίιρ\ει {\U <'L\λu ιι\ε­

προοαρμόl:οηαι ατο ξι• \ορόκια και {ιοι. όιο\ ιr..ι,\6:ιι ί'\<ι\- ι..ύβο 010 )Ει-

φουμε έ•·α,. κόβο με •ά3r δu' ατό τρόπο, 8ο μπορούμε Ι'Ο πετύ,οuμε

10\ Ιtr..O IOO IL Ιf)C.J\{ι)\

ι.ά()r rnιθι•μφιj 1\ιι ι•θf1ψ>η

.

,

'εται•

,

.

Ο. tιttp<)()) tlfι)•

•ή ιιιλύ:

μόθοιψε HJ ιιφιοφί·

rn

ατρέφοηας

,αι...ρι•

11 ως ιι..ιι

ο,•έκτημο - ιι μέ8οδος t\rι •οθο\ι­

f,·o,

111 f>Ι·

έ' α1 τους •66οος.

θα rιtφιιράψc.) δίJu ιι)ιιuο<;. ιφά· ξεω\ που nφιατrrφοuι· r\0\ μόιο

οιι<Η'

θί\ετr. , , Φι•σι • •ο, UΠ<ΊP\QU\

•ύβο. Κοι οι δί•ο μιιοprί ΗΙ r•τr\ε­

ι..ι ίι..\ \ι.~ -..α, ιι·

σtού\

...n: ιαοκf'ι~ς. ό­

or hn .. μιtι..p{)• ιr..οιιιi, διcttrιlc· οεwι :! χ 2. Γιο \όyοuς οαφήηιος, ος uno&oouμr Δυ 10 .._._., 6 ιt: ιιwΊ\ c.•-

ι ιω~ ~-~.e.ιι ι ω.\ \{ι

ι·ο βρίσκεται στο μέσο της μrγα\ίηr­

ο.\ιο3ητι•ές•

cι'όμι1 προ-

Σχήμα 6

f>Ι)ς ιιλωρός του ι..οuτιού (Σχήμα

7).

0.\ίιμιrι α. Γιn πιψά/\ηyμο. nrιv \ίγη κnφή, ΟΙΙJΙ' Ιlολω\'ία. κοτασκεuάατηκε ένα

Κάθε ακο.\οuθίu ι..ο.\ίucω\' ι ω\ ιr..ι).

ιιιιι Χ' ίδι ιr..ι'><ic.~.n uι ω ιε.\οίψενο uι ιδ ο­

θέοη, μrιΟf)Ι'ί 'ιιιιrφtcο1ctθrί Mc.;. ςιt1\·

t..'ι(:> {ψοιοu~ κ(>Οους που ο καDi:,•ας

θω'' σε ο:u1ό ιο κουιί rιou ιι ι<.ηuφί· ρει

'

,

ιοι • εvο χωrιο στηι

<1()\'"1.

ωι>

δυασμός τω ι· τεσοόρων κu•.\,.ι:ιι •ι ·

OUANTUM ' Π λ Ι ΧΝΙΔΟΤΟΠΟΣ

71


δίΗΙ >.υ\ίσεις

-11

>.uι

h - α.\.\η.\οο­

>.υpώ'ο'-ται, και το ίδιο σομβαί,ει με το ουνδυαομό Ιιι n 1 ). Ι::ί ,·οι ε,·διαφέι>ο\' 'ιι fiούμε γιατί

n

μuι>φlις - οι H(a

ιr\είται από 4 "u\(σιις. μειuφέρει

~uι H(b- 1• α) - δε' προσθί:ιοι>\ >.ό11 ι/\ιοίτερο σε ίJοσ iχουμε ήδη: επα­

"υ>.,\ι>.ά (δεξιόστροφο) ιοuς τρεις >.ί•βοιος γύρω ιuιύ ω Α >.ατά μία θf. οη. Οτο,· u ιο' ιι \ιιφ3εί ι ριις φορές.

μrτοφέρει ιοuς κύΟοιις ιπηγ αρχική

Σχήμα

"'"~ θrαη, αφοί> , {n·ou\' ε,·ω· ιιVιf"l

7

ιιες τέσσερις ι ψc'ίξεις rωιής της

τον ι f16πο nu· ιές οι ι φ(ιξεις. Η "ί' ηcιη n, που απσ·

I•·ι ιουρyοί>ν μF- οιηό' Α

σι"διχ,σμούι: ba και a - 1b 1) κnι έτσι rίωι δu,·οτό,· vo u'αxOou'' σε 32 (α­ ,'t{ ) ι ο 40) απλfς κu.\(οεις. Οι unόλοι· 1 •

b), //(α. b- ι ) και

"'<Ι\ τίοωιχcς '"'tlστροφr~ 1/(b.a- • )

'α.\ομ6ά'οu'· οn_\ώς μφι~ίς οπό ης rιψιιrφοφές πσu ιιιψ(ι) ΟΙ>\ οι ιψοη­ \ <>ύμε,·οι αντιμι ιοθέιε.; - nr ~ιyότε' ιως . ΚΙ>Ί)ΟΗ~. ' ptς, IIU\'

Πρόβλημα 4. Ποι>ς ακριUιός ιιφι­

κύ>. .\ο yίψω απ ό το Λ - διι.Ιrιδή. ιι

\'ή<J.-ι,,,- (που Ι] ..uθιμίσ ιιιΊ<.ηε.\είτω από τέσσερι~ >.u\ίσι:ις) )ίψω αnό ιu

α 1 UΊ f)fψf.ι

OL)tOύ" ιuι'ι.; .._ύ0οuς ι..οι(ι 12Q· 1ύρω οηό ΙΙ] δttt)c:n 10 ΙΙΟU διίι>·

οtροφές δrιμιοuρyού' ι ιιι rιπ6 τις

nημείu .I >.αι

χετοι οηό ιις >.opuφiς τ<>uς στο

.-1

ι...uι ιιnό nόσεc ~Η\ίοιις ηnο1 ε.\ο6-

-1). Η ιφ(ιξη lf ε,ερ.

,..,αι μrτά ιις ιιι3ι" ίς α\ \η \ικι>.υρώ­

Κj,Π.\

ωιι Σχήματος

8

i: (ο &ξιοοφοφος >.ύ>..\ος ,.;.

ρι.> από το Α, που 8ο ιu\ συμ6ο.\ί· ζοuμε μι ο) • .-\Kj,JJ (ο δεξιόοψυ·

(δείιι ιο Σ;.;ήμο

μί μι ποf)όμοιο ΙfK>I1<> )ύρω αn(no

πρGξΕΙς Η(α- 1 • b ) ""' 1/ (a. b- 1) .

οειι::

t..tι ού\'1ομες πράξιις για τις επτά ω ιό

οι "'..rίοτροφές ιυu~

οιι~cίο Β. τι οuμ(lιιί\ ι ι μ ε τη,· ιιlΙι rι ·3b- 3 ; Οι liί>o ιφιστεpοί κύΟοι cnρέφο\' ιαι cιπό τφ· α :ι, μι\•ουν cινε·

ιιιψέοστοι από LIJ'

mροφές του ""'. ιρι>.Οί> ~ύιJοu σε ένα

\'Ο το ιιιι6•·6αιώουιψ>. >.οι) ι' cιuι6 ~u δώσω έΗι μι>, ο ηαράδει)·μο : j,KAAfij, ~ j,KAJΙK.\nj, = α · b 1

,,-ί3ετα ωιi> ι η\' ιι-J . ... ω μ(\ OU\• Q\·ε· πι}ρίιl<τιοι αrιό1ψ b 3 . Τε\u.ά. αυιοί '" δύο "ύι\οι, c'"111ως .. αι οι δί'Ο δεξιοί.

- οι διαδη;.;ικές "" ίιι•ης 11 και Κ ο ΙΙ] μι ιιnία παράο-ιαοη α\ \η.\οά>.Uf.Χ:.\'ο·

μi,·ου' <t\tllljpέoσtσι. Γιιυιόχρο,·α.

φος κύ>..\ος

b γύρω

από ιο Π), κtιι

n-• = j,J<ι\n >.cη b 1 = KAIJj,. Λι>τ6 ι·ί, αι είικο.\ο

b\ υφέφοηοι α­

ντcιι. Στη <Juη:χεια 3ο Xf"l'" μοrιοιοί>·

ο "' \οιιικός >.6Uu~ υ116κειται σε διu­ δuχι>.ές πφιιnροφές 12()' yuι•ω αιι6

με αυτό,- τον οι>' ιcψt>yf)οφι>.6 nυμ­

ιι ς διnγω,·ίοΙJς ωΙJ ιιοu δι έρχοηηι

'

'

βο\ιομό - διι\tιδίι. ·ωυς κύκ.\οuς α και /ι- ιητί '"" >.υ\ίσεω' Δ. Α.ΙΙ.

nno' το

.._uι Κ.

\ι~ίJ ιtrιο1έ.\εομα ι η μισή στροφiιιτου 11ψι \ράψαμε ιψ<>η) ouμi.' ως. Ο δcύτερος τύ110ς ιψfιξεω,· πα·

~Ιε '"' t..ι•ι.\u.ό οομ6n\ιομό . .\υι·

116'. ο πρώτος τύηος πράξεω,· θα ιί­

~·ι κuι ιο

π

ι..uι αrιο τις αντι-

σιροφiς ιους, και οι οnι>ίες έχοu\' -ιc­

'

fΗΗ><JΙfιοτηκε uιιό ιοv Johπ Hαrris

•Ηψ>εων α3 •

σε μiα αιι6 ·ιις πρώ > cς διιμοοιεuοεις οχ•·ιικά με τ.οuς κ η.\ιόμr ,·οuς κύ ­

αι πηψrταt!έιις (>.άΙΙοι> -ιο ξn\·οεί· δάμε ιιιl'lόt) ,.,, ψιπ.\ώ\· >ωκ.\ικώ,·

b:l. •αθώς και οι u,·τί­

σψοφοί τους. Συyκι>.ρψέω, με ΤΟ\

(aJ. f11] - a3 bla- Jb

1 οι τέσσερις γω·

'ιω,οί κύβοι μi.' ΟΙ'' στη θέση ιοuς. f\ώ ο κε,ψικό<:

οψοφή (ιιοu

.. ί,(lος ι κτε.\εί

μιοή

111 οιψ6ο\ίζουμε

/ι 1 )

Τf \ικό. έχσιψε ωα>.ολύψει o.\nι­ τι ς ί\· ο'κn μη ταυτοτι>.ίς ι'φτιες ιιφι · ιι\i)μn διοστάοιω' :ι χ 2. l.uμcκρι­ μ(,ο. )tιιtις τρεις ι]μΗηροφές h 1 •

h .. h ,. •α ι \ι α τίοοcρις περισψο­ φές 12()' ι.>ς προς τις δί"' ιιπ6 τις δι ο· yωνίοuς του κί>6οu. Όοον ιιφιψό τις

1>116.\οιιιες τέσι'Jεr>ις πφιστpοφcc; ως ιφος 1ις uπό.\οιηες διnyω,·(οuς, δ.­

\' ωρίζω

κάποιο,· όμuρφο, κομψό

φnno ωίτεuξi'ι<: τοuς

- μιιοrούμε.

nόΥtως. 'α 1.ις α' αιι(Jρηστήσοuμε

ως""' δυοσμούς τω' d.1 >.άΙ do. Γιο rιαρ{ιδιι 1μα. η περιυ φοφή d στ.ο Σλlιμα 7 μnor•cί ''α παροχl!εί με τιι διαδοχικιj εκτέλεση tW\ ι/λ κιΥΙ dιι 1

li •ι \ιιδή, ι/ = ιtAdJj

1

Έ,·ος ""'' "'

βους. l\·Ιιιορ<i \'Ο yρcιψιrί με τη' ε­

μόιrρ<>ς ψόπος ,.ο ε~ ιι \ί οσuμε τη'

Q]<; ) t\ ι>.ί] μ<ψφή:

d r(,αι (I) ,.ο πφιστpiψοι>με τu' >.ε·

1/(r. y) = ry:ryry 1r-•u- r Ύ

1•

' ψ'"ί> κι}6σ (._αι ίοως >.Ut μφι~ούς ηηό τους un(>\oιnouς) ί1σι ώστε ο ά­

no·

(tnou τα r και y υιιοδι1 .\ώ, ouv l.ά α ι...ω h, ή τα αντίο ιrιοφίι: 101)ς, 1(1 n-

r•<'ι\λη.\ος ο Ll ς μ~yά.\ες 11 \εuρές 1 ο{,

ιΙΙ\ΙΙςτης ι/\ α συμπέσει μc 10\' fιξο\·α ιιις. ιις nούμr, d 8 , (2) νπ εκτελέσουμε

1ι οία ει ι ι tρέfJOU\1 ει ιίοης τr1ν περισιρο­

Τη>' ι/n, (3) \'0 •O>. UfH~ <>Ot>μ E• 1 Γ] \'

... ουηού. Σιιι οuνέ χF"ιη, με το' ιι 3 • b- 1] = α Jb1 n~b :ι )' ί>ειπι μισή ιrφοφή (τη σuμ6ο\ίζοομε h,) του >.ε­

ψή t\'ός (Ίου κε\'tpL>.ι)ί!) >. ύ6οu.

rφc'ίξη ( Ι ) - δrι \οδή. d

>.ι~rιμέ,·α, ~έιu' ως noίp' ουμε τψ ιψι'ιξη Η(ο. b)

\'tρι>.ού κ6βσυ )ί'fΗ•> nπό ΤΟ\ άξο\Ο

το' ιtαρ(ι\ \η \ο στις μι<ρές πλειψiς tou ... οuιι ού. κοι ι..ι:ztόιlι\' ο [oJ. b 3]

ο(οο)2 (b-ια · )'b-ι η οιιοία •κτε.\rί tη διαyώ,~ο πεpιutfΗ>φή ds που 6.\ i:nετε σιο Εχήμο 7. llll(fι. α) μος δί·

ιιφιστρέφει

νι· ι την αντί υ ψuφη ιιcρ ιιηρuφή

) ίψω

αιιίJ ι ο\' άξο' ά που είνω

Mnci

Ι8()ο ιο\ Κε\-rρικίι

tuy• (r . yl =(α. b),

rηρί]ιτιι· ότι outί] ιι tt\εuτοίο μιοίι

1 1 ) '"" //(b- • α ') ιιιφάyουν υ ς περιο φοφές dc~ και tl~ ι . (ι,·τίστοιλu· Α\' κaι αuτές οι

στροφή, 'I οuμ6ο\ιζίψ"η ως h, . ιια­

nράξεις ιψίζοηοι ως ο~ιι\ο~ες δi·

f1άyποι ιαιί> ~ 3

"" ~u,\ικώ\' "''iJιι•ω' (όιιοιι η •fιθε >.ί\1jση οrιιη.ι\εί1uι ιιιιi> 4 >.u.\ίσεις). ιιφιfχουv κόιιοιις διαδο~ι ..rς κu\ί·

•ί>βο yuρω cιιι6 10\' κωακcψuφο ό· ξu,·u (τον >.άθιιt> ιπο κοuιί). Παρcι­

cιιις του

.. ύβου,

I

~~ οn.\ίς ι.u.\ί­

ι ,.ώ ο ορι θμc'".ς

1W\' >.uλίοεων στις Ιιι >.οι Ιι, εί,·αι 4fi (έ· λουμc δει όυ c>tιι ο"vδικισμό a - 1b- '

72

Ι ΟΥλΙΟΙ ΑΥΓΟΥΗΟ Ι 199ι

ι/11 1 • Οι Π(α-• . /ι

ιιεις ιιοιι ολ\ηλοακuρι:J\ ι>\'lΠΙ (στου<;

ή

rl ι tι~ . Σ' αυ1ή\· -τη\' nερίnΗ~>ση, \έ μι όιι η d ποριστάηιω ως οulιο­ ΙιΚτης ds (ή ιης d ,-'). 3

1

n3d 11a- 3

Πuι>όμοιες σuζυμiς ηαρασι6σεις

μιιοprί \11 \jlljσψuiiOΙΙjθnύ\' yια \'α ηεριοψέψοuμε •εnιτόι ιιιι•. "'" ξεχω· pιστό. οnοιο,·δήι ιu·ιι οιι6 1οuς yωνιο~ ~οί><: κι\βοuς. Γιο ιιορόδειγμu, ο πό­

" '' ιψιοτερά "ύ6ος ιιι ριστρέφεται με μία nράξη της μσρφιjς nrn- •. ό­ llOU r εf,·αι οrιοιuδή11οιε culό τις πrρ<­ οψι>φίς του >.εηρι.ι>ύ >.ύβου ιιου <· ξrτ ιΊσημε π ρ οΙ]) οιψ( νι,>ς: η α κuλά

ΤΟ\' πάνω "f>Ηττφό κύUο ο ι '1'' •εvιρι ·


κή θέση, η

r

τον περιστρέφει, ι<σι η

a- τον κuλό στην αρχική του θέση. 1

Τr.ψα μ rιοροίψε να αντιμετωπί­ σοuμε οποιοδήποτε πρόβλημα κόλι­ οης κύβων στο οηοίο η •θέση -στό ­

χος• διαφέρει από τψ αρχική κατά

μία ίιρ ιια ιιεριστροφή οε κάθε τε­ τράγωνο, στρέφοντας τοuς κύβους ειιιτόrιια -έναν κάθε φορά. Σχετικά με τα προ6λήμαΊα ιιεριτι.f.ιν ιιφι­ στροφών μnοροόμε να 1\ώσουμε το

Πρόβλημα 5. Σε έ"α κοuτί διαστά­ σεων 3 χ 3, με ένα κενό τετράγωνο σιu κέντρο ι ου. όλοι οι κύβοι είναι χρωματισμένοι με τον ίδια τρόπο

και έχουν τον ίδιο αρχικό προσανα­ Ίολιuμ(>. Είναι δι>ναtόν να εnιτuχοu­ με μια τοποθέτηση όπου (α) ένας κύ­ βος έχει περιστραφεί κατά 90". (6) δ6ο γω,•ιακοί κύβοι έχοuν ιιεριστρα­ φεί κατά 90", ενιiι όλοι οι άλλοι κύβοι

Τα υπόλοιπα πραβλήμαcα αφορούν εξάχρωμαυς κύβοuς. Το ρεκόρ για τα δύο πρώτα ιο έχει ο Α. Panιe­

leyeν, μαθηματικός από τη Μόσχα. 9. Πφιc:τφέψτε όλους τοuς κύβοuς σε έ\•α κουιί διαιnόοεων 3 χ 3 κατά 90" ως προς τον άξονα που είναι πα­

ράλληλος με την κάτω πλευρό τοu κουτιού. (60 κινήοεις) 10. Κάντε ό,τι και στο προηγούμε­

1\ιατηρούν ·ιον αρχικό τοuς προσα­

νο πρόβλημα, αλλά οε έ'•α κουτί δια­

εξής rιαράδειyμα: στp€ψτε όλους

νατολισμό;

στάσεων

τους κύ6ους uε ένα κουτί κατά 900 y6pω αrι6 ιοος κατακόρυφους όξο ­

Ξεπεράστε αυτά τα ρεκόρ

γές τους.

Α ν και οι προηγοuμενες αναλύοεις μάς εnιτρέηοuν να λύσουμε οποιοδή­

προσα>'ατολισμ{ι, τοnοθετημέγοΙJς uε ένα κουτί διαστάσεων 3 χ 2. Κu­ ι\ήοτε 'ιοος έτσι ώστε νο έχετε πέντε

ποτε (επιλ6οιμο) rιρό6λημα κίιλισης

ανόμοια χρι~ματα

.

κύβων, δεν β<.ιrjθιιύν ιδιαί·ιερα όταν θέλοιψε γα λύσουμε το πρόβλημα

απ6 τα αρχικό- στις nό""' έδρες

ναι άσπρο. 11 περιστροφή ενός κύ­ βου είναι •ιιερητij• ίηαν το ιιλί]θος

σε μικρό (ή στον μικρό,φο δυνατό)

6λtjμα'tας, ο V. Rybinsky, μπορεί να το λ6οει σε 14 κινήοεις.)

Φανταστείτε ότι τα τετράγω,•α του

κουτιού είναι χρι.ψατιαμένα άσπrια και μαίψα, όπως ακριβώς μιας οκα-

,

"

.

,

κ ιερας, κα ι οτι το κενο τετραyω,•ο η-

ι<ι)ν κιJλίοεων ιιοu ε~ιελεί ο κ66ος εί­ ναι rιεριπό. Επομένως, σε αυτήν τφ• ' ' ' περιnτωση, μετακινεηαι σεΊετpαγω·

νο διαφορετικού χρώματος (διότι μία κύλιση αλ.V1ζει ·ιο χρι:ψα τ.ου τε­ τραyι;)νοιJ που Βρίοκηαι κάτω από

αριθμό κινήσεων. Παρόμοια προ­ βλή μ ατα θεωρώ ότι είνοι οπό τα

πιο ενδι αφέροντα και πιο δύσκολο - ακολουθούν, λοιπόν, μερικά αrιό uι>·ιό, μαζί με το πλήθος των κινήσε· ων 1.<.ιnr καλύτερων λύσεων που yνω·

ρίζω. Το κε,•ό τ~-.:ρόγω"u ιψέι ιει να

τον κύβο). Όμως, οι κύβοι καταλαμ­ βάνουν αρχικά τρία μαύρα και δύο

παραμείνει <rtΙ] θέσr1 -ι ου σε όλα ·ι σ προβλήματα, εκτός από ένα (βρείπ

όοιιρα τετρόγωνα . ΊΌ πρό6λι)μα φοίνετοι άλuτο μια και .\είnει 6rα ά. ' ' σηρο τετραγωνο για τους ψαυρους

εσείς σε ιιοιο). Προβλήματα Τα τρία πρώτα από τα επόμενα

κ66οuς• Ι Ωστόσο, υr1άρχει λύση,

ιιρο6λήματα προέρχονται oftό το άρθρο του ]oh11 Harι·is οτο περιοδι­

'1ε­

ξής: ,.Zι,2aZ/ilaZK. Δεν αι ιαηήσαμε να μείνει ο ίδιος κενός χώρος, και έτσι, στην τελευταία κί>'ηση έμεινε κενό , " ; '" " ενα μαυρο τετραγωνο, ενω ενας ακομη ψ πύρας κύβος. άλλαξε ·ω χρώμα ποι> βρίσκεται από κάτω του. Πέρα από το τέχγσσμα της μετσκί-

'

'

νιψης τuυ κενου τεψαyωνuι>,

ou·UJ'

Ι)

λύση υποδεικνύει ένον γενικό καν6νη t11ίλυοης ιψο6λι)μ6Η~ν ι<uλισι)<: KU· βων. Κα·ιαρχ(Ις. χριιοιμοιιοιf.Jντας ΊΟ χρωμιηιομδ υις οκιικι έρnς, καθο­ ρί.ζοιψε για ι ιοιοt>ς κίJΙ!οt>ς πρέπει να αλλάξουμε το χρώμα του τετραγώ­ νοu πάνω στο οποίο βρίσκονται. Στη συνέχεια. κυλάμε τους κύβους έ­ τσι ώσu να βρεθούν m.α '\.El ράγωνα

του επιθυμητού χρώματος, χωρίς νο δίνουμε μεγάλη προσοχή σιον ιψο­

σανατολιομό τοι>ς. Έπειτα, μriορού­ με να καταλήξουμε στους εrιιθυμη· τούς προσανατολισμούς εκτελώντας όρηες πψι<rψοφές των κ(ι6ων οτις νέες θέσεις τοuς, χρησιμοποιώγτας

τις nράξεις nου ΓΙΕfΙΙΥf"''Ι"ψε ιιρuη­ γουμένως.

3 χ 2. (45 κινήσεις) 1 I. Έχε..ε ιιέντε κ66οuς, με τον ίδιο

-

διαφορετικό

των κόβω>'. (0 δημιοηργός τοu προ·

ΑΠΑΝΠlΣΕΤΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ Λ \'ΣΕΙΣ ΣτΗ Σ. 61

QUANTUM

κό j<>ιιrna l οΓ ReCJ"eaιional Maιhe­ maόcs, τόμ. 7, αρ. 3. 6. Σε ένα κουτί διαστάσεων 3 χ 3, με το κενό τι-.:ράγωγο <rιο κέντρο, ι>­ nάρχουν οκτώ κύβοι. Οι κύβοι έχουν

χρωμαtιομένη μόνο τt) μία έδρα τους, η οι1οία βρίσκεται αρχικά στην αριστερή πλευρό Ίους. Πρέηει να 1.η μετακινήσετε στη δεξιά τους πλευ­ ρό.

(30 κινήσεις) 7. Ξεκινώντας από την αρχική το·

nοθέτησι) του προηγούμενου ιιρο­ βλήμα·ιος, φέρτε τις έγχρωμες έδρες στην πρόοθι α πλευρά των κύβων.

(44 κινήσεις) (Στο ειιδμενο πρόβλημα ο χρωμα­ τισμός είγαι διαφορε-ιι.κίις.) 8. Αρχικό, όλες οι εξωτερικές έ· δρεςτων κύβω" είναι κόκκη•ες και ό· λες οι κρuμένες άσπρες. Πρέπει να κrιύψ€Ί.έ όλες τις κόκκινες έδρες. κινήσεις)*

*Κατά

tov Manin Gardncr.

ο

(84

Harris

βρήκε αρyόπρα μια λύυη 74 κινήοεω\'.

OUANTU M Ι Π Α Ι ΧΝΙΔΟΤΟΠΟΣ

73

Quantum τόμος 1 τεύχος 2 ιουλ αυγ 1994  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you