Issuu on Google+

[

/

/

Ί

τ

11918 - 1988 - 70 χρόνια • • • •

l

ΕΜΕ I

4η Βαλκανιάδα 28η Ολυμπιάδα Η Πληροφορική σήμερα ...

Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά

η:ύχος 1 Τόμος κα'

Οκτώβρης

'87


"ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β"

ΝΕΑ ΣΕΙΡΑ

ΤΟΜΟΣ ΚΑ'

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ τΙΚΗΣ Π ΑΙΡΕΙΑΣ

ΤΕΥΧΟΣ

Αθήνα ~

106 79

'87

Γι' αυτό το τΕύχος συνΕργάστηκαν:

ΤΗΛ.: 3617784-3616532 τΙΜΗ τΕΥΧΟΥΣ ΔΡΧ. 150 ΕΤΗΣΙΑ ΣΥΝΔΡΟΜΗ ΔΡΧ.

(500 + 100 ταχυδρ.) 600

ΤΟ ΑΝΠΠΜΟ ΓΙΑ ΤΑ τΕΥΧΗ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΓΕΛΟΝΤΑΙ ΣτΕΛΝΕΤΑ/ ΜΕ ΑΠΛΗ ΤΑΧΥΔΡΟΜΙΚΉ ΕΠΠΑΓΗ

ΣΕ ΔΙΑΤΑΓΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΠΚΗ ΑΘΗΝΑΣ

ΤΑΧ. ΓΡΑΦΕ/0 Τ.Θ.

1

Λ ΥΚΕΙΟ: Οκτώβρηι;

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Πανεπιστημίου 34

ETAIPEIA

54

30044

Βουρκουτιώτης Γ.

Μπαραλός Γ.

Γιαννακόπουλος Β.

Παξιvόc; Ν.

Γιούσης Θ.

Παπαδόπουλος Κ.

Γ ριμανέλης Π.

Παπαδόπουλος Ν.

Δημάκος Γ.

Πετρέλης Μ.

Δούναβης Α.

Πολύζος Γ.

Ζάνης Ν.

Πολυδούρης Β.

Ζαφεφόπουλος Ν.

Σκούρας Θ.

Ζώτος Β.

Τασσόπουλος Γ.

Καμπούκος Γ.

Τ σιμπουράκης Δ.

Κοντογιάννης Δ.

Τσφίμπης Γ.

Λαμπρόπουλος Αν.

Τσφίμπης Δ.

Μαλαφέκαc; Θ.

ΟΙ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΕΣ ΠΡΕΠΕ! ΝΑ ΠΕΛΝΟΝΤΑΙ ΕΓΚΑΙΡΑ ΠΑ ΓΡΑΦΕΙΑ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΔΕΙΞΗ <<ΓlΑ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β»

ΥΠΕΥΘΥΝΟΙ ΣΥΝΤΑΞΗΣ:

ΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΝΤΑΙ ΠΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΠΗΛΗ

ΤΥΠΑ ΣτΗΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε.

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

ΑΠΕΥΘΥΝΘΕΠΕ

ΣτΗΝ

ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ

293 -

ΚΑΛΛΙΘΕΑ

Ζώτος Βαγγέλης Ελευθερίας

ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ (αποστολές δεμάτων κ.λπ .... ) ΜΕ

ΤΟ

Δημάκος Γιώργος Ελευθ. ΒενιζΕλου

ΤΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΑΦΟΥ ΠΡΩΤΑ ΠΜΟΥΝ ΤΡΙΑ ΑΝΠ

9 -

ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ

Τσιμπουράκης Δημήτρης Βύρωνος

9-

ΑΓ. ΑΝΑΡΓΥΡΟΙ

ΤΗΣ Ε.Μ.Ε.

ΓΙΑ ΔΙΑΦΗΜΙΣΕΙΣ ΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ: (Γραμματεία ΕΜΕ)

Η ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΏΝ ΕΚΛΕΙΣΕ

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΕΣ ΕΙΔΗΣΕΙΣ

ΕΝΑ

ΜΕΓΑΛΟ

ΜΕΡΟΣ

15/7/87

ΚΑΙ

...

ΟΙ

30/8/87 ΤΗΣ

ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΘΑ

ΔΗΜUΣΙΕΥΤΕΙ ΠΟ 2ο ΤΕΥΧΟΣ ΤΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ

ΣΧΗΜΑΤΑ: Σ. ΒΟΓΙΑΠΗΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΥΝΤΑΞΗΣ: Β. ΖΩΤΟΣ

ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ

Τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά στη ζωή (Ευ­

παλίνι:ιο όρυγμα) Δ. Τ σιμπουράκης γή στην Απόδειξη Β. Πολυδούρη

1-6 • Εισαγω­ 7-12 • Πληροφο­

ρική Β. Ηλιάδης

13-15 • 28η Ολυμπάδα και 4η 16-26 • Η στήλη του Μαθητή 26-27 τριωνύμου Β. Πολυδούρης 27-32

Βαλκαvιάδα

• •

Ανάλυση

Τι:τράπλι:υρο και κύκλος Ν. Κισκύρας, Χ. Κισκύ­

ρας, Δ. Τ σιμπουράκης

33-37 • 'Αρρητι:ς ι:ξισώσι:ις 38-43 • Αφορμές ... Β.Ζ. 44 • Πίνα­ κι:ς Λ. Σολακίδης 45-48 • Πι:ρί υπάρξι:ως Θι:ού Δ. Βάθης 48 • Πάτι: τρία σημι:ία βρίσκονται πάνω Γ. Μπαραλόc;

σι: uiα ευθεiα:

λος

49-56 •

Ακέραιο

Γ. Κεραμιδάς

60-62 •

Π. Γοιμαν~ληc:, Τ. Λαμπρόπου­

μέρος πραγμαηκού αριθμού

56-60 • Ασκήσcις Ν. Παπαδόπουλος 62-67 • Λύτι:ς Β. Ζώτος 68-70

Λάβα μι: ...

Το εξώφυλλο του περιοδικού είναι απ' το εξώφυλλο του σχολι­

κού βιβλίου της Ιαπωνίας σε θέματα ίJληc; αντίστοιχης στη χώρα μας μe τη γ' ΛυκΕίου. Το πΕριοδικό θα προσπαθήσΕι να δώσeι και

στο μeλλοv, αvτiστοιχeς αισθητιΙ<~ς αnόψeις ΜαθηματιΙ<ώV ~Φλiωv και περιοδικών και από άλλες χώρες.

Απ' αυτή τη θέση ευχαριστούμΕ την Ιαπωvική πρεσβεία για τη

πολύτιμη βοήθεια που μας προσέφερε.

ΦΩΤΟΠΟΙΧΕΙΟΘΕΣΙΑ: LEGATO Ε.Π.Ε.

Εκτύπωση: ΛΙΘΟ-ΟΦΣΕΊ ΕΛΛΑΣ

Καλλιδρομίου

Κων/νος Αδάκτυλος

49

Τηλ.

3603607

~

3602392

& Σια

Ο.Ε. Τηλ.

Ακαδήμου 13,

5222916 ~ 5238701


Τα αρχαία Ελληνικά μαθηματικά στη ζωή Ευπαλίνειο όρυγμα Δ. Τσιμπουράκης

Από την εποχή που ο άνθρωπος άρχισε να ζει οργανωμένα και να διαμορφώνει το περιβάλλον του, τα μαθημα­ τικά αποτέλεσαν τον αχώριστο σύντροφό του. Τ ον βοήθησαν στις ανταλλαγές των προϊόντων του, στην απαρίθ­ μηση του πλήθους των ζώων του, στην κατασκευή του δομημένου περιβάλλοντός του, στη λατρεία των θεών του και γενικά στην οργάνωση της ζωής του γένους του.

Από τη λίθινη ακόμα εποχή ο προϊστορικός ναυπηγός και αρχιτέκτονας, κάτω από την πίεση των αναγκών της ζωής, ανάπτυξαν τις γεωμετρικές γνώσεις τους και τις έβαλαν στην υπηρεσία του κοινωνικού συνόλου. Στη ναυ­ πηγική κατάκτησσν την αίσθηση της συμμετρίας, ενώ στα κτίσματά τους ανάπτυξαν μεθόδους για να υλοποιούν

την κατακόρυφο ενός τόπου, και το οριζόντιο επίπεδο του· κοντά σε αυτά, από πολύ παλιά, έμαθαν να χαράζουν ορθές γωνίες στο έδαφος. Αδιάψευστος μάρτυρας αυτής της κατάκτησης είναι οι Πυραμίδες της Αιγύπτου. Τα κτίσματα αυτά, του

2600

π.Χ έχουν για βάσεις τους τετράγωνα και όχι ρόμβους.

Οι μαθηματικές αυτές γνώσεις, που εμπειρικά περιέχονταν στα κλειστά επαγγέλματα όλων των πολιτισμών, Πή­

ραν τη μορφή επιστήμης μόνο όταν ανακαλύφθηκi η απόδειξη. Αυτό συνέβηκε τον 7-6ο αι. π.Χ και είναι έργο των ελλήνων σοφών της Μιλήτου. Κατά την παράδοση πρώτος χρησιμοποίησε απόδειξη στις μαθηματικές ασχολί­ ες του ο Θαλής ο Μιλήσιος

(640-546

π.Χ). Αυτό δείχνει ότι την εποχή αυτή είχαν αναπτυχθεί στα ελληνικά παρά­

λια της Μ. Ασίας οι βαmκές αρχές της Λογικής και είχε κατανοηθεί η ανάγκη παραδοχής αξιωμάτων (προτάσεων

αυταπόδεικτων). Ποιά ανάγκη όμως οδήγησε στην ανάπτυξη της απόδειξης μας είναι άγνωστο. Φαίνεται ότι κά­ ποιες πρακτικές γνώσεις κάποια στιγμή συγκρούστηκαν και αυτό δημιούργησε σύγχuση. Τότε ο Θαλής ένιωσε την ανάγκη να αναπτύξει κάποια διαδικασία που με λογικά διαδοχικά βήματα να απορρίπτει τις λαθεμένες και να

υιοθει'εί τις σωστές μαθηματικές γνώσεις που προϋπήρχαν. Δηλαδή μάλλον η αποδεικτική διαδικασία αναπτύχθη­ κε για να ξεκαθαρίσΕΙ το στάρι από το κριθάρι.

Μετά την ανακάλυψη της απόδειξης τα ελληνικά μαθηματικά και ειδικώτερα η Γεωμετρία αναπτύχθηκαν με άλ­ ματα. Από την εποχή του Θαλή μέχρι την αρχή της χρονολογίας μας ανακαλύφθηκαν τουλάχιστον

1500

θεωρητι­

κές προτάσεις. Η θεωρητική Γεωμετρία, λόγω της aφθονίας των πρακτικών γνώσεων που προϋπήρχαν, αναπτύ­

χθηκε ταχύτατα. Ποτέ όμως δεν έπαψε Ο Πυθαγόρας (περίπου

580-500

va

βρίσκεται στην υπηρεσία των αναγκών της ζωής.

π.Χ) οι μαθητές του και ο θαυμαστής της ιδεολογίας τους Πλάτων

π.Χ) πίστευαν ότι η Γεωμετρία είναι το μέσον για την προσέγγιση του «Θείου» και ότι είναι ανίερο

va

(427-347

χρησιμοποι­

είται αυτή για την επiλυση προβλημάτων της ζωής. Το όνομα μάλιστα «Γεωμετρία» (μέτρηση της Γης) ο Πλάτω­ νας το χαρακτήριζε «Σφόδρα γελοίον». Οι δύο αυτοί ιδρυτές των περίφημων Πανεπιστημίων της αρχαιότητας βλέ­ πανε τη Γεωμετρία σαν εργαλείο για τη στήριξη, με ακλόνητες αλήθειες, των φιλοσοφικών τους ακροβασιών· δεν τη θέλανε στην υπηρεσία της ζωής. Από αυτή την αντίληψη δεν μπόρεσε

με αποτέλεσμα

va

va

ξεφύγει και ο μεγάλος δάσκαλος ο Ευ~λείβης (περίπου

350-270

π.Χ),

μην περιλάβει στα περίφημα <<Στοιχεία» του ούτε υπολογιστικές ασκήσεις, ούτε τα θεωρήματα

που δίνουν τα εμβαδά των ευθυγράμμων όχημάτων. Οι απόψεις αυτές όμως, παρόλο που το κύρος των εμπνευστών τους ήταν μεγάλο σε όλη την ελληνική αρχαιό­ τητα, δεν μπόρεσαν

va

εμποδίσουν το σφιχτό αγκάλιασμα της επιστήμης με τη ζωή· και αυτό γιατί η επιστήμη εί­

ναι παιδί της ζωής και γεννήθηκε για

va

την υπηρετεί.

Και πράγματι έτσι έγινε, παρά την αντίθετη επιθυμία των Πυθαγορείων και των Πλατωνικών. Αυτό το βεβαιώ­ νει ένα πλήθος από τεχνικά έργα, που σώζονται σήμερα και τα οποία είναι προϊόντα της εφαρμογής της Γεωμε­ τρίας στις τότε ανάγκες.

Στο σημείο αυτό θα αναφέρω μερικά από αυτά κατά σειρά αρχαιότητας.

Τα πλοία του Αιγαιο-κρητικού πολιτισμού.

Από το

10.000 π .Χ τουλάχιστον οι 'Ελληνες διέσχισαν το Αιγαίο και τη Μεσόγειο. Αυτό ασφαλώς δεν γινόταν με σχεδίες. Το γεγονός το βεβαιώνει ο Πλάτωνας στον «Τιμαιό» του από πληροφορίες του Σόλωνα που αυτ.ός απόκτησε κατά την επίσκεψή του στις αρχές του 6ου αι. π.Χ στην Αίγυπτο. Οι εκεί ιερείς πληροφόρησαν τον Σό­ λωνα ότι πριν από

9.000

χρόνια οι Αθηναίοι βοήθησαν τους Αιγυπτίους να αμυνθούν στην επίθεση των κατοίκων

της Ατλαντίδας.

1


Τ ο γεωμετρικό σχήμα των πλοίων στο βαθύ παρελθόν το απολαμβάνουμε στις άριστα διατηρημένες νωπογρα­ φίες στο ακρωτήρι της Σαντορίνης. Τα πλοία αυτά είχαν κατασκευαστεί τον

16

αι π.Χ ΕΠοχή της Εκρηξης του

εκεi Ηφαιστείου. Αργότερα γύρω στο

700

π.Χ σχεδιάστηκε και κατασκευάστηκε η πρώτη τριήρης στην Κόρινθο. Ο ρόλος του

πλοίου αυτού στους Περσικούς πολέμους είναι γνωστός. Η ταχύτητά και η ευελιξία του ήταν προϊόν της Γ εωμε­

τρίας του. Το πλοίο αυτό σήμερα, μετά από αναπαράστασή του, κατασκευάστηκε στα ελληνιl'\ά ναυπηγεία και καθελκύστηκε πριν λίγες μέρες.

Ο θολωτός τάφος του Αγαμέμνονα στις Μυκήνες

(1410-1300

π.Χ).

Η Γεωμετρία την ύψιστη εφαρμογή της σε ταφικό μνημείο τη βρήκε εδώ. Ο θόλος του τάφου είναι χτισμένος με λαξευμένες πέτρες ίσου ύψους, που σχηματίζουν διαδοχικά δαχτυλίδια με όλο και μικρότερη διάμετρο μέχρι που

κλίνουν στην κορυφή. Η διάμετρός του είναι 14,60 μέτρα και το ύψος του 13,30 μ. Η γεωμετρικότητα στη κατα­ σκευή του είναι άψογη και η θέα του προκαλεί το δέος. Το εκπληκτικό όμως στην κατασκευή είναι το μονολιθικό

υπέρθ1.ψο (πρέκι) της εισόδου· αυτό έχει διαστάσεις

8

χ

5,4

χ

1,2

μέτρα και ζυγίζει γύρω στους

115

τόνους.

τ α ανυψωτικά μηχανήματα

Τα μηχανήματα αυτά ήταν μια άλλη υψίστης σημασίας εφαρμογή της Γεωμετρίας. Τα αποτελούσαν συστήματα

από τροχαλίες ή τροχιλέας, δηλαδή συστήματα τροχίλων, σαν τα σημερινά πολύσπαστα. Σήμερα δεν γνωρίζουμε πότε τα μηχανήματα αυτά επινοήθηκαν και κατασκευάστηκαν· ξέρουμε όμως μια σειρά έργων που έγιναν με τη χρήση τους. Ας δούμε μερικά

1.

Ο Ναός της Αρτέμιδος στην 'Εφεσσο.

Ήταν ένα από τα

7

θαύματα του αρχαίου κόσμου. 'Αρχισε να χτίζεται γύρω στο

560

π.Χ. Στο εκπληκτικό αυτό

έργο ορισμένα επιστήλια (πέτρινα πρέκια που σύνδεαν τις κολώνες μεταξύ τους) είχαν μήκος

6,5

νολιθικά και τοποθετημΕvα σε ύψος τουλάχιστον 10 μέτρων(!). 2. Ο Ναός του Διός στην Ολυμπία Χτίστηκε στο διάστημα 468-460 π.Χ. και φιλοξένησε μέσα του το άλλο από το 7 θαύματα· το του Φειδία. Είχε ύψος 20,13 μέτρα και οι κολώνες του 10,43 μ. Στην κορυφή των κιόνων ήταν μονολιθικά κιονόκρανα με διαστάσεις 2,60 χ 2,60 και βάρος περίπου 12 τόνων.

μέτρα, ήταν μο-

άγαλμα του Διός τοποθετημένα τα

Αυτά και άλλα πολλά εκπληκτικά έργα, που δεν είναι σκόπιμο να αναφερθούν εδώ, μας βεβαιώνουν για την

καθημερινή εφαρμογή της Γεωμετρίας σε έργα δυσκολότατα για τις συνθήκες των εποχών εκείνων.

Το έργο όμως που αποδεικνύει αναντίρρητα την ψηλή στάθμη της Γεωμετρίας τον Ευπαλίνι:ιο

6

αι. π.Χ. είναι το περίφημο

' Ορυγμα.

Ας δούμε όμως περί τίνος πρόκειται.

Σ το τέλος του 6 αι. π.Χ. την εξουσία στη Σάμο πήρε από τους Αριστοκρατικούς ο Πολυκράτης. Αυτός κυβέρ­ νησε το νησί σαv τύραvvος από το

537-522

π.Χ. Κατά τη διάρκεια της τυραννίας του εκτέλεσε μεγάλα έργα όπως

το τείχος γύρω από την πόλη της Σάμου (σημερινό Πυθαγόρειο), το μεγάλο λιμενοβραχίονα μήκους

και βάθους στο άκρο του

36 μέτρων, περίφημο υδραγωγείο της πόλης.<2 )

το ναό της Ήρας διαστάσεων

108,70

χ

52,40

μέτρων με

155

360

μέτρων

κίονες και το

Οι προδιαγραφές που έβαλε ο Πολυκράτης για το υδραγωγείο ήταν:

• Να τροφοδοτείται από το νερό της πλού­ σιας πηγής των Αγιάδων

Να είναι υπόγειο με ΕΠισκέψιμμα τα τμήμα­ τα του αγωγού

Να βγάζει το νερό σε ορισμένο σημείο εσω­ τερικό των τειχών και σε στάθμη ψηλότε­

ρη της τότε πόλης για την αβίαστη διανο­ μή του.

Η πόλη της Σάμου ήταν χτισμένη στο πρα­ νές που σχηματίζει το βουνό 'Αμπελος μέχρι τη θάλασσα. Η πηγή όμως βρισκόταν πίσω (1) Για τα πέτρινα επιατήλια μας πληροφορούν ο αρχιτέκτονας Βιτρούβιος (1 αι. π.Χ.) και ο Πλίνιος (23-79 μ.Χ.) οι οποίοι είχαν στα χέρια τους το βιβλίο που έγραψαν για το ναό οι αρχιτέκτονές του.

(2) Για τα έργα αυτά μας πληροφορεί ο Ηρόδοτος (484-421 π.Χ.) στο έργου του «Ηρόδοτου Ιστορίαι» βιβλίο III 60. Για το ναό ειδικά μας λέει ότι ήταν ο μεγαλύτερος της τότε Ελλάδας.

2


από το βουνό, το οποίο έτσι αποτελούσε με τον όγκο του ανυπέρβλητο εμπόδιο στη ροή του νερού. Έτσι για την ασφαλή, σε περίπτωση πολιορκίας, ροή του νερού, έπρεπε

va

τρυπηθεί το βουνό και

va

κατασκευαστεί μία σή­

ραγγα με δοαμέvα την αρχή και το τέλος της.

Η κατασκευή του έργου ανατέθηκε στον αρχιτέκτονα Ευπαλίνο από τα Μέγαρα. Αυτός αφού έκανε τις ανα·

γκαίες τοπογραφικές εργασίες για τον προσδιορισμό "tης διεύθυνσης και της κλίσης της σήραγγας, άρχισε τις ερ­

γασίες διάνοιξης και από τα δύο προκαθορισμένα άκρα της. Το ότι έτσι άρχισε

va γίνεται πραγματικότητα το

«Ευπαλίνειο όρυγμα» μας το βεβαιώνει ο Ηρόδοτος (111. 60) με τη χαρακτηριστική έκφραση << ... τούτου (του όρους)

όρυγμα κάτωθεν αρξάμενον, αμφίστομον .... ))

.

Τέτοια διάτρηση βουνού δεν είχε επιχειρηθεί ξανά από κανένα πολιτισμό και σε καμιά εποχή πριν από τον Ευ­ παλίνο. Τ ο τόλμημα ήταν εκπληκτικό, κολοσσιαίο και ταυτόχρονα ριψοκίνδυνο, γιατί υπήρχε το ενδεχόμενο οι δύο σήραγγες, από κακή χάραξη, να μη συναντηθούν ποτέ. Τελικά οι δύο σήραγγες συναντήθηκαν με πολύ μικρή απόκλιση από την ευθεία. Το συνολικό μήκος της διά­ τρησης είναι

1035 μ. 420

σήραγγας και τα

(κατά τον Ηρόδοτο

7

στάδια

= 1294

μ.). Από αυτά τα

615

μ. είναι το μήκος της βόρειας

της νότιας. Η απόκλιση από την ευθεία, των δύο σηράγγων ήταν μόλις

σήραγγας είναι περίπου

2,30

μ. και το ύψος περίπου

1,90.

6

μ. Το πλάτος της

Στο δάπεδο της σήραγγας υπάρχει αυλάκι μέσα στο

οποίο ήταν τοποθετημένοι οι πήλινοι σωλήνες που έφερναν το νερό. Η διάτρηση του βουνού διάρκεσε περίπου

6

χρόνια.

.,..

Πnγri

~853----~--L-­

H

πηγή που τροφοδοτούσε το υδραγωγείο βρισκόταν σε απόσταση

853

μ. από το βόρειο στόμιο της σήραγγας.

Σε όλο αυτό το μήκος ο αγωγός ήταν επίσης υπόγειος. Τη δεξαμενή της πηγής ανακάλυψε μόλις λος αρχαιολόγος

GUERIN.

to 1856

ο Γάλ­

Σήιιιερα η στέγη της αρχαίας δεξαμενής αποτελεί το δάπεδο.του vαού του Αγ. Ιωάννη.

Αυτό είναι το περίφημο <ωΦίστομο Ευπαλίνειο Όρυγμα)).

Ενώ όμως η περιγραφή του έργου αυτού προκαλεί την έκπληξη, ταυτόχρονα γεννά και δύο μεγάλα ερωτήματα σχετικά με την κατασκευή του.

• Με ποιές γεωμετρικές γνώσεις κατορθώθηκε η κατασκευή της διεύθυνσης της σήραγγας και η υλοποίησή της στο έδαφος;

Με τι οπτικά όργανα παρακολουθιόταν η διατήρηση της διεύθυνσης και της κλίσης της σήραγγας κατά τη

διάρκεια των εργασιών; Ο Ηρόδοτος, που με θαυμασμό αναφέρεται στο έργο, για το θέμα της χάραξης δεν αvαφέρει λέξη. Το ίδιο και

ο Στράβωνας. :Ετσι σήμερα μας είναι άγνωστη η γεωμετρική διαδικασία που ακολουθήθηκΕ για τη χάραξη της διάτρησης. Αυτό οφείλεται στο ότι τα κατασκευαστικά επαγγέλματα τότε, για λόγους συντεχνιακούς, ήταν κλειστά και οι μαθηματικές γνώσεις που περιείχαν μέσα τους δεν κοινοποιούνταν· απλά πέρναγαν από πατέρα σε γυιό.

Ωστόσο μία μέθοδος διάτρησης βουνών διασώθηκε από τον Ήρωνα τον Αλεξανδρινό

(2-1 αι. π.Χ.). Το σχήμα

και η εκφώνηση του προβλήματος της διάτρησης περιέχονται στο έργο του <mερί διόπτρας)) με τον αύξοντα αριθ­ μό ιε. έχουν δε ως εξής:

(ie)

Όρος διορύξαι επ'

ευθείας των στομάτων

του ορύγματος εv τω όρει δοθέντων· νεvοήσθω του

όρους έδρα η ΑΒΓΔ γραμμή, τα δε στόματα, δι' ων δει ορύξαι, το Β, Δ.

Δηλαδή δίνεται ο λόφος ΑΒΓΔ και θέλουμε να τον τρυπήσουμε με μία Ευθύγραμμη σήραγγα που τα άκρα της

va

είvαι τα προκαθορισμένα σημεία Β,

Δ.

Το πρόβλημα αυτό ουσιαστικά ζητάει την κατα­ σκευή της ευθείας ΒΔ στο έδαφος, ώστΕ να μπορέ­ σουν τα δύο συνεργεία

va

αρχίσουν τη διάτρηση

από τα δύο άκρα και τηρώντας τη διεύθυνση ΒΔ στο σκάψιμό τους,

va

συvαvτηθούν.

Στο πιο πάνω σχήμα, που συνοδΕύει την εκφώνηση, γίνεται φανερό ότι για τον προσδιορισμό της διεύθυνσης ΒΔ ο Ήρωvας ακολουθεί τις παρακάτω εργασίες.

3


, /

_ _ _ γ /

/

/ /

/

/

)_

~

/

~ I ι

I I I

61I I

Κάποιο τοπογραφικό συνεργείο ξεκινάει από το ένα δοσμένο στόμιο της σήραγγας, έστω το Β και κινείται σε μία τυχαία τεθλασμένη πο­ ρεiα ΒΕΖΗΘΚΜΔ, της οποiας όμως οι πλευρές ΒΕ, ΕΖ, ΗΖ, ΗΘ

...

εi­

ναι κάθετες. Η εργασiα γiνεται με μεγάλη προσοχή και τοποθετούνται στις κορυφές Β, Ε, Ζ, Η,

...

πάσσαλοι. Στη συνέχεια μετρούνται με

ακρίβεια τα μήκη των πλευρών της γραμμής και έτσι γίνονται γνωστά τα μήκη των καθέτων πλευρών του ορθογωνiου τριγώνου ΒΔΝ που

έχει σχεδιάσει διακεκομμένα ο 'Ηρωvας. Συγκεκριμμένα είναι

I

= ΒΕ + ΖΗ - ΚΘ - ΔΜ = α μονάδες μήκους και ΔΝ = ΕΖ + ΗΘ + ΚΜ = β μονάδες μήκους.

ΒΝ

tl

I

Ειδικά στο Ευπαλίνειο όρυγμα η ακρίβεια του έργου μας βεβαιώνει ότι η όδευση ΒΕΖΗΘΚΜΔ, για τον υπολογισμό των πλευpών του τρι­ γώνου ΒΔΝ, έγινε με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Φαίνεται ότι, ή γινόντου· σαν πολλές οδεύσεις και μετά βγάζανε τον μέσο όρο των μετρήσεων,

ή κάνανε και δεύτερη όδευση από την άλλη μεριά του λόφου και σύγκριναν τα τρίγωνα ΒΔΝ και ΒΔΝ'. Μετά τον ακριβή υπολογισμό των πλευρών ΒΝ

=

α, ΔΝ

= β του

ΒΔΝ το συνεργείο κάνει το επόμενο βήμα. Κατασκευάζει στο έδαφος την προέκταση της ΝΒ προς τη μεριά του Β και παίρνει πάνω της ένα τμήμα ΒΟ υποπολλαπλάσιο του ΒΝ έστω για παράδειγμα ΒΝ α ΒΟ=-=-.

10

10

..

Με κορυφή το Ο κατασκευάζει ορθή γωνία και στην άλλη πλευρά της

υλοποιεί τμήμα ΟΞ = :0. Η υλοποίηση των σημείων Β, Ο, Ξ στο έδαφος γiνεται με πασάλους. 'Ετσι προκύπτει στο έδαφος το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΞ που είναι ΟΜΟΙΟ με το νοητό ορθογώνιο ΔΒΝ.

Η δΙεύθυνση που ορίζουν 01 πάσσαλοι Ξ, Β είναι η ζητούμενη κω επομένως στην προέκτασή της μέσα στο λό­ φο πρέπεΙ να σκάψει το συνεργείο των εργατών.

Η ίδ10 δουλεΙά γίνετω καΙ στο άλλο δοσμένο στόμιο Δ της σήραγγας κω υλοποιείται καΙ εκεί η διεύθυνση ΠΔ που πρέπει να τηρήσει το άλλο συνεργείο εκσκαφής. Μετά όμως την υλοποίηση της διεύθυνσης ΞΒΔΠ, ο μηχανικός του έργου θα πρέπει να προσδιορίσει και την

κλίση που πρέπει να έχουν οι δύο σήραγγες ώστε να μην περάσουν η μία πάνω από την άλλη. (3) Στο σημείο αυτό είναΙ χρήσιμο να περιγράψουμε τη ΔΙόπτρα· το όργανο δηλαδή με το οποίο γινόντουσαν στην αρχαΙότητα οι πιο πάνω τοπογραφικές εργασίες. Την περιγραφή αυτή δίνει με μεγάλη ακρίβεια κω πολλές λεπτο­ μέρειες ο Ήρωνας στο έργο του «περί Διόπτρας». τ ο οπτικό αυτό όργανο αποτελείται από ένα στέλεχος στα άκρα του οποίου βρίσκονταΙ οι τρύπες-στόχαστρα. Το στέλεχος μπορεί να οριζοντιόνεται με τη βοήθεια συγκοινωνούντων γυάλινων δο­

χείων και να στρέφεται οριζόντια και κατακόρυφα για τη μέτρηση αντίστοιχων γωνιών.

Η Διόπτρα είναι ο aρχαίος πρόγονος του σημερινού Θεοδόλιχοu

και ασφαλώς η εξελιγμένη μορφή του .οργάνου με το οποίο ο Ευ­ παλίνος παρακολουθούσε την πορεία την κλίση της σήραγγάς του.

τ ώρα πώς στην αρχαιότητα βρισκόταν η υψομετρική διαφορά δύο σημείων του εδάφους φαίνεται στο πρόβλημα

16

του έργου

του Ήρωνα. Εκεί γίνεται φανερό ότι ακολουθούσαν την παρακά­ τω διαδικασία.

Τοποθετούσαν στα σημεία, ας πούμε, Β, Τ δύο πασσάλους που

στερέωναν κατακόρυφα. Οι πάσσαλοι αυτοί έφεραν ίδιες ακριβώς υποδιαιρέσεις σε μονάδες μήκους. Τοποθετούσαν στη συνέχεια με-

(3)

ΟυσΙαστικά τα υλοποιημένα σημεία Ξ, Β, Π, Δ δεν είναι συνευθειακά. Απλώς ορίζουν το κατακόρυφο επίπεδο της νοητής σήραγγας.

4


ταξύ τους μία διόπτρα που οριζοντιομένη διάβαζε πάνω σrους πασσάλους διαψορflικές εν&ίξεις. Η διαφορά αυτή των ενδείξεων ήταν η υψομετρική διαφορά των σημείων Β και τ του εδάφους.

Αν τώρα δεν υπήρχε οπτική επαφή ανάμεσα σrα σημεία, υλοποιούσαν με μια σειρά πασσάλους, με τη βοήθεια της διόπτρας και της γνωστής διεύθυνσης ΞΒΔΠ, το κατακόρυφο εrήπεδο ΒτΔ της νοητής σήραγγας και έκαναν διαδοχικές μετρήσεις των υψομετρικών διαφορών των ενδιάμεσων σημείων. Η υψομετρική διαφορά των σημείων

Β, Δ ήταν τελικά το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ενδιάμεσων υψομετρικών διαφορών. Έχοντας τώρα την υψομετρική διαφορά ΔΔ' των δύο σrομίων Β, Δ και το μήκος ΒΔ' (υπολογισμένο από το ορθογώνιο ΒΔΝ του προηγούμενου σχήματος), γνώριζαν ακριβώς το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔ' Δ και έτσι υλοποιού­

σαν πάνω σrο κατακόρυφο επίπεδο της σήραγγας τη διεύθυνση ΒιΒ. Το ίδιο γινόταν και από τη μεριά του σrο­ μίου Δ.

Η υλοποίηση λοιπόν με την πρώτη κmασκευή, της διεύθυνσης ΞΒΔΠ και του κατακόρυφου επίπεδου και στη συνέχεια η υλοποίηση, πάνω σrο επίπεδο αυτό, της κεκλιμένης διεύθυνσης ΒιΒ, επέτρεπαν την έναρξη των εργα­ σιών, από τα δύο δοσμένα σrόμια, για την κατασκευή της σήραγγας.

Έτσι περίπου χαράχτηκε η σήραγγα του «Αμφίσrομου Ευπαλίνειου ορύγματος» και έτσι έγινε η κατασκευή της. Η κατασκευή αυτή, όπως είπαμε, διήρκεσε

6

νώσεις κ.λ.π.) πρέπει να ολοκληρώθηκε σε

10

χρόνια περίπου. Η εκτέλεση και των άλλων έργων (τάφρος, σωλη­ χρόνια περίπου.

τ ο υδραγωγείο του Ευπαλίνου λειτούργησε μέχρι τον σrέρεψε η πηγή. Κατά τον

5 αι. μ.Χ δηλαδή γύρω σrα 1000 χρόνια. Μετά φαίνεται 7 αι. μ.Χ χρησιμοποιήθηκε σαν νεκροταφείο. Μετά έπαψε η συvτήρησή του και κατα­

χώθηκε από χώματα. Η ανακάλυψη και ο καθαρισμός του έγινε μόλις σrα μέσα του περασμένου αιώνα. Η ορισrι­ κή του αποκατάσταση και ο καθαρισμός του από σταλακτίτες και άλλα υλικά έγινε το

1971

από το Γερμανικό

αρχαιολογικό Ινστιτούτο.

'Ο λα αυτά που διαβάσαμε και ειδικά το μαθηματικό μέρος της χάραξης της σήραγγας, είναι βέβαια εκπληκτικά ίσως δε να δημιουργούν και κάποιες απορίες. Δεν είναι όμως είκασίες. το έργο υπάρχει· εκεί, στη θέση του, στο Πυθαγόρειο. Αδιάψευστος μάρτυρας ότι τότε έγιναν όλα αυτά και ότι το έργο ολοκληρώθηκε για να μας βεβαιώ­

νει σήμερα ότι τότε γνώριζαν πολλά· πολύ περισσότερα από όσα εμείς σήμερα γνωρίζουμε για τις γνώσεις της εποχής εκείνης. Μας βεβαιώνει ότι ο Ευπαλίνος, γύρω στο

530 π.Χ. • Το Πυθαγόρειο θεώρημα • τον υπολογισμ_ό τετραγωνικών ριζών< 4> • Τις έννοιες ΛΟΓΟΣ, ΑΝΑΛΟΓΙΑ, ΟΜΟΙΟτΗτΑ.

γνώριζε:

Ειδικά για το τρίτο σημείο της πιο πάνω παρατήρησης ας μου επιτραπεί μία παρέvθεση; Ο ιστορικός Ιερώνυμος

(350-250

π.Χ.) και ο Πλούταρχος

(46-126

μ.Χ.) αναφέρουν ότι ο θολής υπολόγισε το

ύψος των Πυραμίδων της Αιγύmου με τη βοήθεια της σκιάς τους και της σκιάς του μπαστουvιού του, αφήνοντας έκπληκτους τους σοφούς Αιγύππους ιερείς. το γεγονός αυτό

συνέβηκε γύρω στο 565 π.χ.<5>. Συγκεκριμένα ο Θαλής κάποιο μεσημέρι μέτρησε το μήκος Ο

.

~f

'f

της σκιάς της πυραμίδας και το μήκος της σκιά(; που ρίχνει

Λ

μια κατακόρυφη ράβδος ΑΡ. Γνωρίζοντας τώρα ότι τα ύψη

_______ .,..

ιι:

και οι αντίστοιχες σκιές είναι ανάλογα οδηγήθηκε στον υπο-

λογισμό του ύψους ΚΟ της πυραμίδας

ΚΟ

( ΑΡ

=

ΣΟ )<6> ΡΛ

·

(4) Με το Πυθαγόρειο θεώρημα και τη γνώση των τετραγωνικών ριζών πρέπει να έγινε ο ακριβής υπολογισμός της υποτεί­ νουσας ΒΔ του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΝ.

(5) Το γεγονός αυτό συνέβηκε στην αρχή της βασιλείας του Φαραώ 'Αμαση (Βασίλεψε 569-525 π.Χ.).

(6)

Η πιο πάνω μέτρηση πρέπει vάγιvε μεσημέρι ώστε το μήκος ΟΣ της σκιάς vα μπορεί vα μετρηθεί μέτρηση γιvόταv άλλη ώρα η σκιά δεv θα έπεφτε στη διεύθυvαη Ν

-

( ΟΣ =

~ + χ).

Av

η

Β και δεv θα ήταv δυνατός ο υπολογισμός του μή­

κους της του εσωτερικού της πυραμίδας.

5


Το γεγονός αυτό έρχεται να μας βεβαιώσει ότι τα ΟΜΟΙΑ τρίγωνα είχαν μπει στις εφαρμογές της Γεωμετρίας

αρκετά χρόνια πριν την απόπειρα διάτρησης του βουνού από τον Ευπαλίνο. Και αυτό είναι λογικό να συνέβαινε διότι δeν ciναι δυνατόν ο Ευπαλίνος να εφεύρε τα όμοια τρίγωνα για να τα εφαρμόσει στη χάραξη της σήραγγάς του. Το πιθανότερο είναι ότι οι γνώσεις γύρω από τα τρίγωνα αυτά και τις ιδιότητές τους (γωνίες ίσες, πλευρές

ανάλογΕς) θα προϋπήρχαν στα κλcιστά επαγγέλματα και ίσως-ίσως στις διάφορες κλειστές τοπικές τεχνικές σχο­ λές που εκπαίδευαν Αρχιτέκτονες και Ναυπηγούς.

Επίσης δεν είναι πιθανό ο Μεγαρίτης αρχιτέκτονες να είχε εφεύρει το οπτικό όργανο και τη διαδικασία της όδΕυσης που χρησιμοποίησε στη χάραξή του. Βέβαια κάποια ιδιαιτερότητα θα είχαν οι γνώσεις τους, γιατί αλλιώς

ο Πολυκράτης θα χρησιμοποιούσε ντόπιους μηχανικούς. 'Ισως ο Ευπαλίνος να είχε αποπειραθεί, πριν το μεγάλο αυτό έργο, και άλλη διάτρηση βουνού σε άλλη περιοχή της Ελλάδας και να είχε γίνει διάσημος.

'Οπως και νάχει όμως το πράμα το βέβαιο είναι ότι κάθε γεωμετρική γνώση μόλις κατακτιόταν αμέσως έμπαινε στην υπηρεσία της ζωής. Η ζωή τροφοδοτούσε τη Γεωμετρία και η Γεωμετρία τη ζωή. Τα περίφημα γεωμετρικά προβλήματα της ελληνικής αρχαιότητας, ο Τετραγωνισμός του κύκλου, το Δήλιο πρόβλημα και άλλα είχαν την προέλευσή τους σε προβλήματα της ζωής. Ακόμα τα άπειρα τεχνικά έργα με τα οποία ήταν διάσπαpτος ο aρ­

χαίος ελληνικός χώρος μας βεβαιώνουν για την αλήθεια αυτού του ισχυρισμού. Παρόλα αυτά όμως από τους Πυ­ θαγόρειους και τους Πλατωνικούς καλλιεργήθηκαν οι απόψεις ότι η γνώση πρέπει να κατακτιέται για τη γνώση ή για την προσέγγιση του θείου. Οι απόψεις αυτές όμως ήταν εγκεφαλικά κατασκευάσματα που υπηρετούσαν κά­ ποιες σκοπιμότητες και που δεν είχαν καμιά σχέση με τις ανάγκες του τότε κοινωνικού συνόλου.

4ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ τΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία οργανώνει το Δ' Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής

Παιδείας για τη 12χρονη fκπαίδfυση. Τ ο Συνέδριο θα πραγματοποιηθεί σε

2

φάσεις:

Α' Η πρωτοβάθμια εκπαίδευση και Γυμνάσιο

Β' Λύκειο Η πρώτη φάση που θα γίνει στην Αθήνα στις «Στόχοι

21-22-23

Δfκφβρίου

1987

θα έχει θέμα:

της Μαθηματικής Παιοείας στηv πρωτοβάθμια εκπαίοευαη

και

το

Γυμνάσιο και πως θα επιτευχθούν (φιλοσοφία και περιεχόμενο αναλυτικού προγράμματος)». Επειδή ο τελικός στόχος του συνεδρίου αφορά τη 12χρονη εκπαίδευση το συνέδριο θα κλfίσΒ μf συζήτηση πάνω στη γενικώτερη αντίληψη σε ότι αφορά τη Μαθηματική παιδεία που μπορεί να παρέχει, η πρωτοβάθμια και η δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

'Οσοι θέλουν να παρουσιάσουν εργασία στο συνέδριο πρέπει να στείλουν μέχρι 31 Οκτωβρίου

στην Διεύθυνση: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ (Επιτρ. Συνεδρίου)

1987

Πανεπιστημίου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ εκτενή περίληψη της ομιλίας τους. Η περίληψη αυτή θα πρέπει να έχει έκταση τουλάχιστον

μιας πυκνογραμμένης δακτυλογραφημένης σελίδας. Σ την ανάγκη η περίληψη μπορεί να είναι χειρόγραφή όμως οπωσδήποτε πρέπει να είναι εξαιρετικά καθαρογραμμένη και σε μια ισοδύναμη έκταση. Οι εισηγήσεις δε θα πρέπει να περιορίζονται σε κριτική για το τι έχει γίνει μέχρι τώρα αλλά κυρίως με το τι προτείνουμε να γίνει από δω και πέρα. Σε κάθε ομιλητή θα διατεθούν 15' . Επίσης θα υπάρξει χρόνος για συζήτηση πάνω στις εισηγήσεις.

Η Οργανωτική Επιτροπή του Συνεδρίου

6


Εισαγωγή στην απόδΕιξη Β. Πολuδούρης (πρώτο μέρος)

νων γεωμετρών και πρωτοεμφανίζεται στο χώρο της Γεωμετρίας και της Αριθμητικής. Σαν πρώτος που επι­

Οι άνθρωποι απ' την πρωτόγονη κιόλας εποχή,

1.

νόησε και χρησιμοποίησε την απόδειξη, φέρεται ο Θα­

άρχισαν ν' αποκτούν και να συγκεντρώνουν γνώσεις,

λής, από τη Μίλητο της Μ. Ασίας (6ος αιώνας π.Χ.).

που έβγαιναν μέσα απ' την πείρα της ζωής τους. Την

Από κει και μετά, η απόδειξη σαν μέθοδος της επιστή­

πείρα τους, που λέγεται και εμπειρία, την αποκτούσαν με τη βοήθεια των αισθήσεων· της όρασης, της ακοής ...

κλπ., αλλά προ παντός της αφής. Η τελευταία αυτή

μης, παίρνει μεγάλη ανάπτυξη και διάδοση, τροφοδο­

τεί δε όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και τις φυmκές επιστήμες καθώς και τη φιλοσοφία.

αίσθηση, που στην εκφώνηση συνήθως έρχεται στο τέ­

Οι επιτυχίες των μαθηματικών κατά την ιστορική

λος, στη σημασία όμως έρχεται πρώτη, γιατί η αφή-

περίοδο της Ελληνικής αρχαιότητας υπήρξαν εκπλη­

είναι κείνη που καθοδηγεί και πραγματοποιεί την

κτικές. Θα ήταν αδύνατη μια τέτοια λαμπρή ιστορία,

εργασία, την κατασκευή, τη δράση και γιαυτό θεωρεί­

αν έλειπε η χαρακτηριστική εκείνη «επινόηση», που λέ­

ται η αποφασιστικότερη αίσθηση για την απόκτηση πεί­

γεται απόδειξη ή αποδεικτικός συλλογισμός.

ρας. Στον αρχαίο φιλόσοφο Αναξαγόρα αποδίδεται η

* *

έκφραση:

«Δια το χείρας έχειv φροvιμώτατοv ζώωv έστιv άv­ θρωπος»

Μια και

στο σχολείο μας μέχρι τώρα γνωρίσαμε

τους αριθμούς, τα γεωμετρικά σχήματα, τους υπολογι­

(ΜΗάφραση: Ο άνθρωπος έγινε [δtαvοούμεvος] επειδή έχει

σμούς, τώρα ήρθε ο καιρός να γνωρίσουμε και τη νο­

χέρια).

ητική διαδικασία της απόδειξης και που όπως πριν εί­ θα

παμε, συνδέεται στενά με τα μαθηματικά. Ακόμα, θα

δώσει αφορμή στην εξέλιξη και τελειοποίηση του οργά­

Λίγο-λίγο,

πρέπει να τονίσουμε και κάτι άλλο, που ενδιαφέρει

2.

η

νου που λέγεται

αυξανόμενη

ανθρώπινη

πείρα

Η λει­

τον σπουδαστή. Από ψυχολογική πλευρά η απόδειξη

τουργία πάλι του εγκεφάλου, δηλαδή η σκέψη ή η νό­

εγκέφαλος του ανθρώπου.

προσφέρει και μιαν άλλη εκπληκτική υπηρεσία, γιατί

ηση, έρχεται με τη σειρά της να βελτιώσει την ανθρώ­

διασκορπίζει τις αμφιβολίες και μας πείθει για κάτι,

πινη εργασία, με αποτέλεσμα η συγκέντρωση πείρας

ότι είναι σωστό και αληθινό, δηλαδή ότι είναι πραγ­

να γίνεται πιο εύκολα και πιο γρήγορα. Διαπιστώνου­

ματοποιήσιμο.

με λοιπόν μιαν αμφίδρομη σχέση ανάμεσα στην πείρα και τη σκέψη. Η πείρα του ανθρώπου θα στηρίξει και θα βοηθήσει τη σκέψη του. Η σκέψη πάλι μ�� τη σειρά της θα βοηθήσει στην συγκέντρωση νέας πείρας. Θα

πρέπει να τονίσουμε ότι η πείρα και η σκέψη δεν ξε­

Το αξίωμα 5.

Τις προτάσεις των μαθηματικών που μπορούμε

να αποδείξουμε τις λέμε «θεωρήματα». Τις προτάσεις

χωρίζουν εντελώς, αλλά η μια εισχωρεί μέσα στην

πάλι

άλλη.

χωρίς όμως να μπορούμε να τις αποδείξουμε, τις λέμε

3.

Τις ικανότητες που απόκτησε ο άνθρωπος καm

την μακρόχρονη ύπαρξή του πάνω στον πλανήτη, τις

που

αναγνωρίζουμε για

«αξιώματα».

σωστές

Εδώ χρειάζεται

και

αληθινές,

να προσέξουμε!

Τα

αξιώματα που όπως είπαμε δεν μπορούμε ν' αποδεί­

διοχετεύει στο πιο ονομαστό δημιούργημά του, που λέ­

ξουμε, αυτό δεν σημαίνει ότι είναι ιδέες aστήριχτες

γεται «επιστήμη». ~τις επιστήμες λοιπόν, το προχώρη­

και αυθαίρετες. τ α αξιώματα στηρίζονται στην παναν­

μα στη γνώση γίνεται με δυο τρόπους με την πείρα

θρώπινη κοινήν εμπειρία και όλοι μας τα δεχόμαστε

και με τη σκέψη. Τ ο ίδιο ισχύει και στα μαθηματικά.

για λογικά και σωστά. Για παράδειγμα το γνωστότατο

Οι παρατηρήσεις, οι κατασκευές, οι μετρήσεις, τα πα­

ραδείγματα,

όλα αυτά αποτελούν την εμπειρία μας,

1+1=2

απ' όπου αντλούμε χρήσιμες ιδέες. Αυτή η πρώτη φά­

'Ολοι οι' άνθρωποι αναγvωρίζουν ότι η πρόταόη αυτή

ση εργασίας λέγεται επαγωγή. τ ώρα, όσα μάθαμε

είv01 αλήθεια, αλλ' όμως η πρόταση δεν μπορεί ν'

απ' την πείρα, ζητούμε με τη βοήθεια της σκέψης να

αποδειχτεί! Είναι μια αφετηρία της σκέψης και δεν

τους δώσουμε μια γενίκευση, ή άλλιώς ζητούμε στα

υπάρχουν προηγούμενες προτάσεις, που θα μπορού­

όσα μάθαμε από πείρα, να τους δώσουμε γενική ισχύ.

4.

Αυτή η δεύτερη φάση εργασίας λέγεται απόδει­

ξη. Η απόδειξη υπήρξε επινόηση των αρχαίων Ελλή-

σαν να την στηρίξουν. Παρόλο αυτό, η πρόταση είναι λογική και αληθινή, γιατί βγαίνει μέσα απ'

την κοι­

νήν εμπειρία όλων των ανθρώπων και όλων των

7


και σiγουρα εκφράζει την πραγματικότητα.

Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε δuο παραδείγμmα, από

Κατά τηυ άποψη τωυ εγκυρότερωυ φιλοσόφων, πα­

τα πρώτα θεωρήματα της Αριθμητικής, επειδή οι αποδείξεις

λαιών και σύγχρονων, cιαληθιvό civαι το πραγματικό».

τους είvαι απλές και χαρακτηριστικές. Πιο κάτω, όταv λέμε

εποχών

Σ τα «Στοιχεία» του αρχαίου 'Ελληυα μαθηματικού Ευκλείδη και υπό τίτλο «Κοινές Εvνοιες» (βιβλ.

1),

απλώς «αριθμούς», θα εννοούμε τους φυσικούς αριθμούς.

δια­

Πρώτο παράδειγμα

βάζουμε την πρώτη φράση:

α' Τα ίσα προc; το αvτό (πράγμα) και μπαξύ τους είνm ίσα. Αυτή η πρόταση δεv είυαι άλλο, παρά η γνωστή μας μεταβατική ιδιότητα, που με τη σημερινή τρέ­

χουσα διατύπωση λέει: Αν α =

β κm β =

τότε και α =

y,

y.

[α, β, γ.

πραγμ. αριθμοί]

'Ωστε η τόσο γνώριμη μεταβατική ιδιότητα, είυαι Ευα «αξίωμα» ή μια «κοινή έννοια», δηλαδή είvαι μια ιδέα που βρίσκεται σταθερά τοποθετημένη στο vου

7.

θεώρημα

I. «Το άθροισμα πολλώv φυσικών αρι­

θμών μi:vει αμετάβλητο, αν αντικαταστήσουμε δυο (ή περισσότερους) προσθετέους με το δικό τους άθροι­ σμα».

(Η «απόδειξη» της ιδιότητας θα γίvει καλύτερα κmαvοητή, αv

προηγηθεί η «επαγωγή», δηλαδή κάποια παραδείγματα στα οποία vα εφαρμόζεται η ιδιότητα, που εκφράζει το θεώρημα).

Η mαyωyή: Ας πάρουμε μια πρόσθεση με αριθμούς στην τύχη:

όλων μας (Εvνοια), γιατί γεvvήθηκε μέσα από την κοι­

vή και στοιχειώδη εμπειρία όλων των ανθρώπων και

όλων τωv εποχών. Φυοικά, αυτή η πρόταση δεv επιδέ­ χεται απόδειξη, γιατί δεν υπάρχουν προηγούμενες αλη­ θείς προτάσεις απ' όπου θα μπορούσε υα προκύψει

15 + 8

+ 34 + 19

(α)

Και τώρα ας αντικαταστήσουμε δυο απ' αυτούς με το δικό τους άθροισμα (ας πούμε τους σμά τους

8 και 19 με το άθροι­

27):

15

οαυ συμπέρασμα η μεταβατική ιδιότητα. 'Ομως η πρό­

+ 34 + 27

(β)

ταση αυτή είvαι αποδεκτή οαυ μια αλήθεια, για την

Από τηυ πρόσθεση (α) θα βρούμε άθροισμα

οποία δεν χωράει καμιά αμφιβολία!

το ίδιο άθροισμα, δηλαδή πάλι

Τέτοιο νόημα παiρνει το «αξίωμα» στα μαθημα­

τικά. 'ΑΛλωστε είδαμε ότι, ο άνθρωπος από την εμπει­ ρία προχωρεί στην σκέψη.

Ένα άλλο παράδειγμα με αριθμούς πάλι παρμi:vους

104 + 8 + 52 + 11

τελείται από δυο άλλες απλές προτάσεις η μια απ' αυ­

τi:ς λi:γετrn uπόθεση και συνήθως αρχίζει με το

«OV»,

μπέρασμα. Για παράδειγμα ας θυμηθούμε το Πυθαγ. θεώρημα:

ΠολλΕς φορΕς όμως παραλείπονται οι σύνδεσμοι τότε ... » και στην περίπτωση αυτή ο διαχωρισμός

υπόθεσης-συμπεράσματος γίνεται απ' το νόημα. Μπο­

ρούμε το Πυθ. θεώρημα υα το πούμε κι έτσι:

«Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι α = β + Υ »­

2

2

2

Η uπόθεση του θεωρήματος είναι πάντα πρόταση αληθήc;, δηλαδή εκφράζει κάτι που υπάρχει, κάτι που συμβαίνει, με άλλα λόγια εκφράζει μια πραγματικότη­ τα. «Αν τρίγωνο είvαι ορθογώνιο, τότε ... ». ΑΛλά το ορθογώνιο τρίγωνο είvαι υπαρκτό και πάντοτε είυαι

δυvατό υα κατασκευαστεί. Αποκλείεται υα υπάρξει θεώ­ ρημα με υπόθεση ανύπαρκτη ή απραγματοποίητη.

8, 52, 11

104

cιιi = β

+ i»,

είυαι μια νi:α πρόταση και φυσικά δεν ξέρουμε αν εί­ υαι αληθής ή όχι. 'Ομως η απόδειξη που ακολουθεί,

είναι αυτή που μοc; πείθει για την αλήθεια του συμπε­ ράσματος.

8

με το άθροισμα τους

71,

η πρό­

+ 71

(δ)

+ 49 + 35

Από την πρόσθεση (γ) όπως και από τηv (δ), βρίσκου­

259.

Είναι φανερό ότι, με όσα πολλά παραδείγματα και

αν δουλέψουμε, όλα συμφωνούν στο ότι, το άθροι­ σμα πριν και μετά τηυ αντικατάσταση μένει αμπά­ βλητο. ΑΛλ'

όμως, όταν μια πρόσθεση Εχει πάρα

πολλούς προσθετέους και είυαι δύσκολο ή και αδύυα­

το υα βρούμε το άθροισμά τους, τότε πώς θα βεβαιω­ θούμε ότι αυτό το άθροισμα μi:vει αμετάβλητο; Στην περίπτωση αυτή, επειδή δε μπορούμε να βασι­

στούμε στη σύγκριση τωυ αθροισμάτων, γιαυτό θα ακολουθήσουμε μιαν άλλη πορεία σκέψης. Η απόδειξη: Ας πάρουμε πάλι μια πρόσθεση με αριθμούς στην τύχη:

Το συμπέρασμα του θεωρήματος, δηλαδή 2

(γ)

+ 35

σθεση θα yίυει:

με άθροισμα

' 'ορθο' '2_β2+2 τριγωνο ειvαι γωνιο, τοτε α γ».

+ 49

'Οταν αvτικαταστήσουμε κάποιους προσθετέους, ας πούμε τους

η άλλη αρχίζει συνήθως με το «τότε» και λi:γεται συ­

«OV ...

αλλά

στην τύχη:

Το θεώρημα είvαι μια σύνθετη πρόταση, που απο­

«Av

76,

θα βρούμε και από

την πρόσθεση (β).

Το θεώρημα

6.

76,

7 + \ + 11

Av

+

1\+

?

+ 17 + ϊ +

'f

= ;

(ί)

αvτι\αταqτήJ~ε δοο απ' αυτlύς, π.χ. 13/και,, 17 με το \ \ I

άθροισμα

30,

τότe

ι. πρόσθεpη

Ι

(i) θα παροοοιαστει ετσι:

~7 + ~9 + . 11 + 15 J, +~30J, + 19 J. + 22.J, = ;

(ι"ι")

Εδώ παρατηρούμε ότι, καθέυας προσθετέος της πρό-


σθεσης (ί) αντιστοιχεί στον εαυτό του στην πρόσθεση

(ii), έξω από τους 13 και 17 που και οι δυο αντιστοι· χούν στο άθροισμα 30. Αλλά, το 30 αποτελείται από ης μονάδες των προσθετέων 13 και 17 και μόνο απ'

Αλλά και:

(ii). Η πρό­

(ii) είνω η ίδια η πρόσθωη (ί) που όμως περιέχει τη

13

17

και

στον αριθ_

30.

Αν η πρόσθεση

(i)

ήταv γραμμένη σε μαυροπίνακα, θα μπορούσε vα διορθωθεί επιτόπου και να μην χρειαστεί η πρόσθεση

1.

(ii) αποτελείται από τις μο­ νάδες των προσθΕτέων του (i) και μόνο απ' αυτές, άρα άθροισμα (ii) είνm ίσο με το άθροισμα (i). (Στηv σθεση

3

= 21

δηλαδή:

Αφού λοιπόν το άθροισμα

συγχώνευση τωv

χ

ντα θα βλέπουμε το '{1νόμενο να μην μεταβάλλεται,

αυτές, όπως ξέρουμε απ' την πρόσθεση.

πράξη δεν υπάρχουν οι δυο προσθέσεις (ί) και

7

Αν πάρουμε κω άλλα ανάλογα παραδείγματα, πά­

8= 48

6= 48

και

2.

11

χ

13

=

143

και

13

χ

11

=

143

3.

15

χ

26

=

390

και

26

χ

15

=

390

'Ομως αυτό θα συμβαίνει πάντα; 'Η αλλιώς; 'Εχει γενική ισχύ για όλους τους φυσικούς αριθμούς; Η

γενίκευση

του

συμπεράσματος

δεν μπορεί

να

στηριχτεί μόνο στα παραδείγματα, γιατί αυτά δεν τε­

(ii))_

Όσα είπαμε για την πρόσθεση (i) και τη συγχώνευση

λειώνουν ποτέ, κι έτσι δεν μπορούμε να είμαστε σί­

δυο προσθετέων σε ένα, τα ίδια ακριβώς μπορούμε να

γουροι, ότι εκείνα που δεv κάναμε, θα συμφωνήσουν

επαναλάβουμε

για

οποιαδήποτε

πρόσθεση

πολλών

προσθετέων, ακόμα και όταν δεν είναι δυνατή ή επιθυ­

με κείνα που κάναμε. Για να γίνει φανερή η γενίκευση

ανάγκη να περάσουμε στην απόδειξη.

μητή η εκτέλεση της πρόσθεσης. Έτσι το θεώρημα Ι

Η απόδειξη: Ας πάρουμε πάλι ένα παράδειγμα πολ­

αποκτά γενική ισχύ, για όλους τους φυσικούς αριθ­

λαπλασιασμού, αλλά δεν θα εργαστούμε με τον ίδιο

μούς.

τρόπο, όπως προηγούμενα. Εδώ θα αρχίσουμε μιαν άλ­

Παρατήρηση

(1).

Η μέθοδος της απόδειξης χρησι­

μοποιεί βέβαια ένα παράδειγμα, αλλά fiε στηρίζεται σ'

λη λογική πορεία. Ας ξεκινήσουμε απ' τον πολλαπλα­ σιασμό:

αυτό. Στηρίζεται στις σκέψεις (ή τους συλλογισμούς)

6χ4

που γίνονται με την ευκαιρία του παραδείγματος. Το

παράδειγμα μπορεί να μεταβληθεί, η διαδικασία όμως

Θα πρέπει να θυμηθούμε ότι, πολλαπλασιασμός αριθ­

'Ετσι η απόδειξη μπορεί να

μών σημαίνει να προσθέσουμε τον πολ/τέο στον εαυτό

προσαρμόζεται σε όλα τα παρόμοια (τα συναφή) πα­

του, τόσες φορές όσες μονάδες έχει ο πολλαπλασια­

ραδείγματα και γιαυτό δίνει γενική ισχύ στην ιδιότητα

στής. Μπορούμε λοιπόν το γινόμενο να το παρουσιά­

που μελετούμε.

σουμε σαν άθροισμα. Δηλαδή:

της σκέψης παραμένει.

Παρατήρηση

(2).

Η ιδιότητα του θεωρήματος Ι λέ­

γεται προσεταιριστική ιδιότητα της πρά::ιθεσης, από

το «προσεταιρίζομαι» που σημαίνει ότι μαζί με κάποιον ή κάποιους άλλους σχηματίζουμε μιαν εταιρία ή ομά­ δα. Αν στη θέση των προσθετέων χρησιμοποιήσουμε γενικούς αριθμούς, τότε η πρόταση που εκφράζει το

θεώρημα Ι παίρνει τη συμβολική μορφή: α

+

β

+

γ

=

α

+

+

και

Η παρένθεση έχει

το νόημα του ενός αριθμού, σαν να έγινε η σημειωμέ­ νη πράξη. θα

προχωρήσουμε

σ,

ένα

δεύτερο

παράδειγμα

απλού θεωρήματος.

αριθμός

Θεώρημα

11.

ο

μικρότερος παράγοντας είναι ο

4. Φτιάχvουμε με τον 4 δυο αριθμητικές ισότη­

τες, που να είμαστε σίγουροι ότι είναι σωστές και χω­

4+4+4+4=4+4+4+4

(3)

4=1+1+1+1

(4)

και

Σύμφωνα με το πολύ γνωστό «αξίωμα» που λέει «αν

σε ίσα προσθέσουμε ίσα, θα προκύψουν ίσα», βγαί­ νει το συμπέρασμα ότι, τις ισότητες

(4)

μπορού­

4+4+4+4+4=5+5+5+5

(5)

(3)

κω

με να τις προσθέσουμε κατά μέλη, δηλαδή:

Εδώ πρέπει κάτι να εξηγήσουμε. 'Οταν προσθέτου­

Δεύτερο παράδειγμα

8.

(2)

ρίς να υπάρχει καμιά αμφιβολία γι αυτές. Δηλαδή:

ξέρουμε να τους προσθέσουμε, γιαυτό τους τοποθετού­

τ ώρα

4·6= 4+ 4+ 4+ 4+ 4+ 4

γ)

καταστήσουμε τους β και γ με έναν αριθμό, γιατί δεν

+ γ).

(1)

Παρατηρούμε ότι

Επειδή στην παράσταση αυτή δεν μπορούμε να αντι­

με μέσα σε μια παρένθεση (β

6·4=6+6+6+6

με τα πρώτα μέλη των

«Το γινόμενο δυο φυσικών αριθμών

(3)

και

(4),

δεν κάνουμε κανέ­

να προσεταιρισμό, δεν κάνουμε καμιά συγχώνευση

δεν ,μεταβάλλεται, αν αντιμεταθ~σουμε τους δυο αυτούς

δυό προσ6ι:τέων σε ένα. 'Οταν όμως προσθέτουμε τα

αριθμούς».

δεύτερα μέλη κάνουμε προσεταιρισμό. Σε καθένα τεσ­

Και εδώ θα εργαστούμε όπως πριν. Θα προηγηθεί η επα­

Η επαγωγή: Ας πάρουμε δυο αριθμούς σfην τύχη, π.χ. τους

3

και

7.

Ξέρουμε ότι:

3

σάρι του β' μέλους της (3) προστέθηκε μια μονάδα του β' μέλους της

γωγ-ή και θα ακολουθήσει η απόδειξη. χ

7

= 21

(4),

κι έτσι παρουσιάστηκαν τα πε­

ντάρια, που βλέπουμε στο β' μέλος της προσεταιρισμός

προσθετέων

είναι

μια

(5).

Αλλά ο

ιδιότητα

που

9


μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όταν θέλουμε, χωρίς

λέγεται συμπί>ρασμα. Το συμπέρασμα αντλεί την αλή­

αυτό να μεταβάλει το τελικό άθροισμα, σύμφωνα άλ­

θειά του, από την αλήθεια των προκειμένων προτάσε­

λωστε και με το θεώρημα ι

ων. Ακόμα, οι προκείμενες προτάσι:ις δεν είναι παρμέ­

Συνεχίζοντας μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη της ισότητας

(5)

και

(4),

δηλαδή:

ώστε να συνδυάζονται μεταξύ τους και παράλληλα να

w

4+4+4+4+4=5+5+5+5 4= 1+ 1+ 1+ 1

(4)

--------------------

4+4+4+4+4+4=6+6+6+6

Η ισότητα

(6)

~

που βρήκαμε παρουσιάζει στα δυο μέ­

λη της δυο αθροίσματα, που μπορούν να γίνουν γινό­

μενα, σύμφωνα με το νόημα του πολλαπλασιασμού. Έτσι η ισότητα

θα πάρει τη μορφή:

(6)

νες στην τύχη, αλλά είναι κατάλληλα διαλεγμένες, θεμελιώνουν την αλήθεια του συμπεράσματος. Για παράδειγμα ας ξανακοιτάξουμε την απόδειξη του θεωρήματος ι ο πυρήνας της απόδειξης αυτής εί­

ναι ο πιο κάτω συλλογtσμός. Προκείμενες:

α) τ ο άθροισμα πολλών δοσμένων αριθμών αποτε­ λείται από τις μονάδες των προσθετέων και μόvο απ'

4χ6=6χ4

(7)

αυτί:c;. β) Κατά την αντικατάσταση δυο προσθετέων με το

Καταλήξαμε λοιπόν σε μιαν ισότητα, που φανερώνει

δικό τους άθροισμα, αυτό το άθροισμά τους σχηματί­

κείνο που θέλουμε να δείξουμε, ότι δηλαδή: Το γινό­

στηκε από τις μονάδες των δυο προσθετέων που αντι­

μενο

κατάστησε και μόνο απ' αυτί:ς.

δυο

φυσικών

αριθμών

δεν

μεταβάλλεται,

αν

aντιμεταθέσουμε τους δυο αυτούς παράγοντες. Εδώ

θα πρέπει να πούμε ότι, κατά την απόδειξη δεν χρησι­ μοποιήσαμε καθόλου το αποτέλεσμα του πολλαπλασι­

ασμού. Δεν είπαμε

4

χ

6

και

6

χ

4

24,

= 24

αμετάβλητο.

αλλά κάνοντας κάποιους συλλο­

γισμούς, καταλήξαμε στην ισότητα

(7),

δηλαδή στην

ισότητα που μας φανερώνει την αλήθεια της ιδιότητας. Ακόμα, τις σκέψεις που κάναμε με την ευκαιρία του παραδείγματος

6

'Αρα, αφού οι μονάδες όλων των προσθετέων παρα­

μένουν αμετάβλητες, και το αρχικό άθροισμα μwει

= 24

άρα, το γινόμενο δεν μεταβάλλεται. Δεν περάσαμε καθόλου απ' το

Συμπέρασμα:

χ

4,

τις

ίδιες ακριβώς

σκέψεις

μπορούμε να mαvαλάβουμε χρησιμοποιώντας οποιο­

δήποτε άλλο παράδειγμα. 'Ωστε, η απόδειξιfδεν στη­ ρίζεται στο παράδειγμα, αλλά στις σκέψεις ή στους

συλλογισμούς που γίνονται. Ποτέ το παράδειγμα το

ίδιο ή τα πολλά παραδείγματα δεν αποτελούν απόδει-

Φυσικά, κατά την απόδειξη οι προτάσεις του συλ/­ σμού παρουσιάζονται περιγραφικά και αναλυτικά, όσο

χρειάζεται για να γίνουν κατανοητές. Στην πιο πάνω διατύπωση παρουσιάστηκαν συνοπτικά, για να φανεί η

δομή του συλογισμού. Στη συνέχεια ας ξαναδούμε την απόδειξη του θεωρή­ ματος ΙΙ. Είπαμε ότι, για το συλ/μο ξεκινούμε από δυο γνωστές μας και σίγουρα αληθείς προτάσεις. Έτσι η πρόταση· «κάθε πράγμα (αισθητό ή νοητό) είναι ίσο (ταυτίζεται) με τον εαυτό του», σίγουρα είναι μια πρό­ ταση αληθής. 'Αρα:

4+ 4+ 4+ 4= 4+ 4+ 4+ 4

ξη.

Παρατήρηση

(1). Το θεώρημα 11 που πριν δια­

πραγματευθήκαμε, έχει το όνομα «αντιμεταθετική ιδιό­ τητα>> για τον πολλαπλασιασμό. Αποδείξαμε την ιδιό­

τητα για ακέραιους παράγοντες (Πιο κάτω θ"σ ακολουθή­ σει η απόδειξη γ10 κλασματικούς παράγοντες). Επειδή η

ιδιότητα ισχύει για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς, θα μπορούσαμε «ενδεικτικά» να χρησιμοποιήσουμε γε­

νικούς αριθμούς, π.χ. κ και λ. Τότε η ισότητα (7) θα πάρει τη γενική μορφή:

κ

· λ = λ · κ [όπου κ, λ, φυσικοί αριθμοί]

Σύντομη περιγραφή του συλλογισμού

(3)

'Αλλ η τέτοια πρόταση είναι ότι· «κάθε ακέραιος αριθ­ μός αποτελείται από ακέραιες μονάδες». 'Αρα:

4=1+1+1+1 Τις δυο αυτές ισότητες χρησιμοποιήσουμε

σαν

(3) δυο

και

(4)

(4) μπορούμε να τις

προκείμενες προτάσεις.

Μετά, για να συνδέσουμε τις δυο αυτές ισότητες χρη­

σιμοποιούμε το αξίωμα που προαναφέραμε «αν σε ίσα προσθέσουμε ίσα, τότε προκύπτουν πάλι ίσα». 'Ετσι βρήκαμε την ισότητα:

4+4+4+4+4=5+5+5+5

(5)

9. Ο συλλογισμός είναι μέθοδος της ανθρώπινης

Αυτή η ισότητα (5) δεν είναι άλλο παρά το συμτrέ­

σκέψης, που επιτρέπει την εξαγωγή συμπεράσματος. Ο

ρασμα του συλλογισμού, δηλαδή η νέα πρότασrι που

απλός συλ/σμός ξεκινάει από δυο προτάσεις, για τις

προκύmει από τις αρχικές

οποίες είμαστε βέβαιοι για την ορθότητά τους (την

αντλεί την αλήθειά της. Αξιοσημείωτο είναι πως, για

(3)

και

(4)

και απ' όπου

αλήθειά τους), που λέγονται αρχικές ή προκείμενες

να σχηί.Ιri'τίσουμε το β' μέλος της ισότητας (5) χρησι­

προτάσεις, για να καταλήξει σε μια νέα πρόταση, που

μοποιήσαμε την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθε-

10


σης (θεώρημα

1). Μετά, την ισότητα (5) ακολουθούν η (7), που κι αυτές είναι συ­

Η ισότητα

(12)

μας φανερώνει την αλήθεια της πρό­

και η ισότητα

τασης που θέλουμε να δείξουμε, δηλαδή ότι το γινό­

μπεράσματα συλλογισμών.

μενο δυο κλασματικών παραγόντων δεν μεταβάλλεται,

ισότητα

(6)

Αφού η απόδειξη οικοδομείται με συλλογισμούς, έχει

αν aντιμεταθέσουμε αυτούς τους παράγοντες. Είναι φα­

ανάγκη από προτάσεις αληθείς, που θα χρησιμεύσουν

νερό ότι η απόδειξη έχει γενική αξία για όλους τους

για προκείμενΗ; και πάνω σ' αυτές θα στηρίξει τον

φυσικούς αριθμούς, έξω από το Ο (μηδέν) όταν αυτό

πρώτο συλ/μό. Μια τέτοια αληθής πρόταση οπωσδή­

βρίσκεται στη θέση των παρονομαστών.

ποτε είναι η υπόθεση του θεωρήματος. Πάντοτε λοι­ πόν η απόδειξη θα ξεκινήσει απ' την υπόθεση. 'Αλλη ή

άλλες αληθείς προτάσεις

Παρατήρηση

(1).

Στα παραδείγματα που παίρνουν

θα ανα~ητήσουμε στην

μέρος στις αποδείξεις, μπορούμε να χρησιμοποιούμε

προηγούμενη γνώση μας, δηλαδή είτε αξιώματα, είτε

γνωστούς αριθμούς ή γενικούς αριθμούς. Είπαμε άλλω­

θεωρήματα που ήδη έχουμε αποδείξει. 'Ετσι, για την

στε ότι η απόδειξη δεν θεμελιώνεται στο παράδειγμα·

απόδειξη του θεωρήματος

στηριχτήκαμε στην υπό­

ώστε δεν έχει αξία αν οι αριθμοί του παραδείγματος

θεση του θεωρήματος, αλλά κω στην προσεταιριστική

θα είναι γνωστοί ή γενικοί αριθμοί. Η mιλογή ανάμε­

ιδιότητα του θεωρήματος ι

σα σε γνωστούς ή γενικούς αριθμούς θα γίνει ανάλο­

11

γα με την καταλληλότητά τους για κάθε συγκεκρι­ μένη περίπτωση απόδειξης.

Το πόρισμα

10.

Είναι κι αυτό ένα (συνήθως εύκολο) θεώρημα (με

υπόθεση και συμπέρασμα), που ακολουθεί ένα άλλο προ­ ηγούμενο θεώρημα, η δε απόδειξή του γίνεται με στή­ ριξη στο προηγούμενο αυτό θεώρημα. Να, ένα παρά­ δειγμα πορίσματος: «Τ ο γινόμενο δυο κλασματικών αριθμών δεν μεταβάλλεται, αν aντιμεταθέσουμε τους κλασματικούς αυτού(,' παράγοντες». Για την απόδειξη του πορίσματος θα στηριχτούμε στην υπόθεση του πορίσματος και

θεώρημα

11

2)

1)

στο προηγούμενο

της aντιμετάθεσης ακεραίων παραγόντων.

Ακόμα, για την απόδειξη του πορίσματος που είναι πολύ απλή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γενικούς

αριθμούς. Η απόδειξη: Ας πάρουμε δυο τυχόντες κλασματι-

'

θ

'

κους αρι μους τους

και

μ

(όπου κ, λ, μ, ρ

ρ

φυσικοί αριθμοί). Το γινόμενο αυτών των αριθμών θα

είναι: κ

λ

κ. λ

μ

ρ

μ.

Όμως στο θεώρημα

κ

·

λ

·

11

ώστε:

άρα και

ρ

μ

κ·λ

λ·κ

μ·ρ

ρ·μ

Αλλά το β' μέλος της ισότητας

λ

κ

ρ.

ρ

μ

·

ρ

·

μ

(9) (10)

(10)

μας φανερώνει

(11).

ιδιότητα

Ώστε:

ασυμμέτρους. 'Ομως ένα τέτοιο θεώρημα είναι προχω­ ρημένο κω δεν μπορούμε να το διαπραγματευθούμε σ' αυτή την «εισαγωγή».

Το αντίστροφο θεώρημα Είναι πολύ γνωστό το θεώρημα της Γεωμετρίας

11.

που λέει: «Στο ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες της βάσης είναι

μεταξύ

τους

ίσες».

Το

αντίστροφο αυτού του

θεωρήματος θα λέει: «Όταν οι γωνίες της βάσης ενός τριγώνου είναι μεταξύ τους ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές». Με άλλα λόγια,

αντίστροφο θεώρημα

ενός δοσμένου θεωρήματος είναι αυτό που έχει υπόθε­ ση, το συμπέρασμα του δοσμένου και συμπέρασμα, την υπόθεση του δοσμένου.

μα, οπωσδήποτε απαιτεί την απόδειξή του. Θα πρέ­

Για παράδειγμα θα δώσουμε ένα πολύ απλό θεώρημα της Αριθμητικής και μετά θα ακολουθήσει το aντίστρο­ φό του, φυσικά με τις αποδείξεις τους.

Τρίτο παράδειγμα Θεώρημα

111.

«Αν αριθμός είναι άρτιος, το τε­

τράγωνό του είναι πάλι άρτιος και αν αριθμός είναι πε­ ριπός, το τετράγωνό του είναι πάλι αριθμός περιτ­

τός». Εδώ παρατηρούμε ότι το θ. χωρίζεται σε δυο μέ­ ρη. Αρχίζουμε με το πρώτο μέρος. Ξέρουμε ότι, κάθε άρτιος αριθμός διαιρείται με

'Ετσι, ο τυχαίος άρηος Α, θα έχει γενική μορφή

κ

λ

λ

κ

μ

ρ

ρ

μ

του

να ακολουθήσει κω άλλο θεώρημα με παρόγοντες

12.

Αν τώρα συγκρίνουμε τις ισότητες (8), (10), (11) εύ­ κολα καταλάβουμε ότί, το α' μέρος της (8) είναι ίσο

με το β' μέλος της

αντιμεταθετική

έχουν αντίστροφο· άλλα έχουν και άλλα δεν έχουν.

(11) μ

Η

πει να συμπληρώσουμε ότι, όλα τα θεωρήματα δεν

πολλαπλασιαμό δυο κλασμάτων, δηλαδή: λ. κ

(2).

τ ο αντίστροφο θεώρημα, αφού πρόκειται για θεώρη­

(8)

εδείξαμε ότι:

κ,

Παρατήρηση

πολλαπλασιασμού δεν εξαντλείται ως εδώ. Θα πρέπει

(12)

(α είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός ή και

Ώστε:

Α

= 2α

και

Α

2

=4

·a

2.

2 ·

α

0).

2

11


Αλλά, ο αριθμός 4 · α σίγουρα διαιρείται με 2, άρα ο 2 αριθμός Α είναι άρτιος. Έτσι εδείξαμε το πρώτο μέ­

να δεχτούμε για σωστό, για αληθινό, ότι Α

ρος και προχωρούμε στην απόδειξη του δευτέρου μέ­

αποκλείστηκε η πρόταση Α

ρους.

λαθεμένη.

2

Ξέρουμε ότι, κάθε περιττός αριθμός γίνεται από έναν άρτιο, όταν του προσθέσουμε το

1.

Έτσι, ο τυχαίος

περιττός Β θα Εχει γενική μορφή 2β

+

(β είναι

1

και

+1

Αλλά, ο αριθμός 4β

+

Β = 4β 2

2

+

Παρατήρηση

=

=

άρπος.

άρτιος, γιατί

= περιττός σαν πρόταση

(1). Οι αποδείξεις των τριών πρώτων

θεωρημάτων που δώσαμε στα προηγούμενα, ακολου­

θούν τη λογική πορεία απ' την υπόθεση στο συμπέ­ ρασμα. Αυτός ο τύπος απόδειξης λέγεται «άμεση» ή

οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός ή και Ο). 'Ωστε:

Β = 2β

Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα Α

«ευθεία» απόδειξη. Η απόδειξη του θεωρήματος

+1

IV

δεν

ακολουθεί την πορεία της άμεσης απόδειξης, αλλά

4β σίγουρα διαιρείται με 2,

έναν ιδιαίτερο χειρισμό, όπως τον περιγράψαμε και

άρα εiναι άρτιος. Σ' αυτόν τον άρτιο προσθέτοντας το

που καταλήγει σ' ένα «άτοπο». Η τελευταία αυτή από­

1, δηλαδή 4β 2 + 4β + 1, θα προκύψει περιττός. 'Αρα, 2 ο αριθ. 8 είναι περιπόc;. Έτσι εδείξαμε και το δεύ­

συνηθισμένο όμως όνομά της είναι «απόδειξη με απα­

τερο μέρος. Νομίζουμε ότι, δεν χρειάζεται να επαναλά­

γωγή σε άτοπο».

2

βουμε, πως οι αποδείξεις είναι γενικές, δηλαδή ισχύουν

δειξη λέγεται «έμμεση» ή <<Πλάγια» απόδειξη. Το πιο

Παρατήρηση

(2). Είπαμε ότι, την απόδειξη της απα­

για όλους τους φυσικούς αριθμούς. Ο αριθμός Α μπο­

γωγής σε άτοπο την αρχίζουμε με μιαν υπόθεση αντί­

ρεi να είναι οποιοσδήποτε άρτιος ή και Ο, ο αριθμός Β

θετη εκείνου, που θέλουμε να αποδείξουμε. Στο τέλος

μπορεί να είναι οποιοσδήποτε περιττός. Και τώρα ερχό­

καταλήγουμε ότι, η υπόθεση που κάναμε είναι ψευ­

μαστε στο α~τίστροφο του πρώτου μέρους του πριν

δής. 'Ωστε υπάρχουν και υποθέσεις ψευδείς; Φυσικά

θεωρήματος

υπάρχουν και υποθέσεις ψευδείς, αλλά αυτές δεν είναι

111.

υποθέσεις θεωρημάτων.

Τέταρτο παράδειγμα.

13.

Θεώρημα

IV.

«Αν το τετράγωνο αριθμού είναι

άρτιος και ο αριθμός θα είναι άρτιος». Δηλαδή:

Αν

Α2 =άρτιος

τότε και

(Η συνέχεια της «Εισαγωγής στην απόδειξη» στο δεύτερο τεύχος).

Α= άρτιος

ΣΤΑΘΗ ΣΠΑΝΟΥ

Εδώ, αν θελήσουμε να δώσουμε μιαν απόδειξη, όπως αυτές που γνωρίσαμε προηγούμενα, δηλαδή να ξεκινή­

σουμε απ' τη~ υπόθεση και να προχωρήσουμε στο συ­

Γιο την Δ' Δέσμη

μπέρασμα, τότε θα βρεθούμε μπρος σε πολλές δυσκο­ λίες ή και σε πλήρη αδυναμία. Για ν' αποφύγουμε ης δυσκολίες, θα δοκιμάσουμε μιαν άλλη λογtκή πορεία, γνωστή με τ' όνομα «απαγωγή σε άτοπο».

Σ το αvτίστροφο λοιπόν θεώρημα

IV,

μας ενδιαφέρει

να μάθουμε αν ο Α είναι άρποc; ή δεν είναι άρποc;. Τρίτη περίmωση αποκλείεται σύμφωνα με τη λογt­ κή μας, δηλαδή τη λογική που χρησιμοποιούμε στον

καθημερινό μας βίο, αλλά και στις επιστήμες. Επειδή η

έννοια «όχι άρτιος» είναι η ίδια με την έvvοία «Περιτ­ τός», γιαυτό μπορούμε να λέμε ότι, ο αριθμόc; Α θα είναι ή άρποc; ή περιπόc;.

Τώρα, ας δεχτούj..ιε δοκιμαστικά ότι Α

=

περιττός

(δηλαδή το αvτίθετο εκείνου που θέλουμε να δείξουμε). Τότε, σύμφωνα με το δεύτερο μέρος του θ

IV

που

2

πριν αποδείξαμε, i<αι το τετράγωνό του [Α ] θα είναι αριθμός περιπόc;. Αλλά αυτό είναι αντίθετο στην 2

υπόθεση του IV που λέει ότι Α =άρτιος. Όπως εξη­ γήσαμε, η υπόθεση καθενός θεωρήματος είναι πρό­

ταση αληθής. 'Αρα η πρόταση Α = περιττός είναι 2

λάθος ή άτοπο. Στο άτοπο φθάσαμε γιατί δεχτήκαμε δοκιμαστικά ότι Α

=

περιττός.

Έτσι, είμαστε υποχρεωμένοι vα αποκλείσουμε τη λα­ θεμένη πρόταση Α

12

=

'Οπως τονίσαμε, η υπόθεση

ενός θεωρήματος είναι πάvτοτε μια αληθής πρόταση.

περιττός και τότε δε μένει παρά

ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ Ι Πίνακες - Ορίζουσες ματα -Στατιστική.

- Γραμμικά

Συστή­

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ Η Απαραίτητες γνώσεις από τα προηγού­ μενα χρόνια - Συναρτήσεις γενικά - '0ριο, Συνέχεια, Παράγωγος Συνάρτησης.

Πfρtί:χουν:

• • •

τη θεωρία, γραμμένη συνοπτικά και απλά Πλήρη σειρά μεθοδικά λυμένων ασκή­ σεων, με υποδείξεις και παρατηρήσεις Λυμένα τα θέματα των εξετάσεων της

Δ' Δέσμης μέχρι και το 1987 • 'Αλυτες ασκήσεις, με υποδείξεις όπου

χρειάζεται και τις απαντήσεις

• Ακόμη περιέχουν και όλες τις προσθή­

κες στη θεωρία, όπως ισχύουν από φέ­

τος, με τις αvάλογες ασκήσεις

--------------ΚεντρΗΗ'f διάθfσn:

Κουvτουριωτών 2-Χαλάvδρι (τ.Τ.15233) ΤΗΛ. 6830.274 - 6824.150


'' ••• η πληροφορική σήμfρα ..." ΥΠΟΛΟΠΣΤΗΣ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ απαραίτητα για τη λεηουργία του

δικά και μας κάνουν να αισθανό­

Ο μύθος η αλήθι:ια και άλλι:ς ιστορίι:ς υπολογωτή. 'Ε τ σι ο υπολογωτής γι­

μαστε τουλάχιστον χαζοί, που δε μπο­

Χρειάστηκαν

&

40

περίπου χρόνια

νότανε, με την πάροδο του χρόνου,

ρούμε και εμείς να καταλάβουμε.

μία μηχανή όλο κω πω φτηνή, όλο

Μνήμη, μικροεπεξεργαστής,

λει στο χέρω τον υπολογιστή. 'Οταν

Μετά από έρευνες που έγιναν, υπολο­

το

κατασκευάστηκε ο πρώτος

γίστηκε όη, αν η ίδια πρόοδος είχε γί­

ROM, RAM, MODEM, πόρτα επικοινωνίας, γλώσσα προγραμμαησμού, RS232, CENTRONICS, 1/0, κανάλι, διεύθυν­

υπολογιστής, ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), χρησιμοποιούσε 18.000 ηλεκτρονικές λυχνίες, ζύγιζε 30 τόνους, και για να

νει κω στα αυτοκίνητα, σήμερα τα

ση μνήμης, ΒΠ, ΒΥΤΕ και πολλά άλ­

αυτοκίνητα δεν θα στοίχιζαν παρά

λα ακόμα που ακούμε και δεν κατα­

i

για να καταφέρει ο άνθρωπος να «βά­

1946

κω πω ικανή, όλο και πιο γρήγορη.

μόνο μερικά κατοστάρικα.

λαβαίνουμε ή ακόμα χειρότερα μισο­

Σήμερα βρισκόμαστε στην τέταρ-

'

στεγαστεί χρειαζότανε ένα δωμάτιο , τη γενιά των υπολογιστών που χαρα20 μέτρα μήκος κω 10 μέτρα πλάτος. 1 κτηρίζεται από την τεχνολογία της Τι μπορούσε να κάνει αυτό το τέ­

! «μεγάλης 1

καταλαβαίνουμε. Ακόμα ποιά γλώσ­

σα προγραμματισμού να μάθουμε; Εί, ναι αυτή η μάρκα υπολογιστή καλή ή

κλίμακας ολοκλήρωσης

να αγοράσουμε κάποια άλλη; Και η

ζουν όη είναι ειδικοί λες και επειδή

ποιες συγκρίσεις. τ ο τέρας αυτό λοι­

(VLSI)» δηλαδή αυτού που ονομάζου­ με τσίπ (CHIP). Το τσίπ (CHIP) λοιπόν είναι αυτό

πόν, μέσα σε

χρόνια, μίκρυνε και

που έφερε τον υπολογιστή στη ζωή

μα, έγινε αυτόματα και μαθημαηκός.

χώρεσε στους υπολογιστές τσέπης,

μας. Σ το σχολείο, στα καταστήματα,

Καιρός όμως να ξεκαθαρίσουμε τα

που όλοι μας ξέρουμε κω χρησιμο­

στα γραφεία, στις τράπεζες, ακόμα

πράγματα. Σίγουρα δεν υπάρχει τίπο­

ποωύμε καθημερινά για να κάνουμ~

και στο σπίη, παντού βλέπουμε σή­

τα το ιδιαίτερα δύσκολο στο να μάθει

πράξεις.

μερα τον υπολογιστή, αυτή τη μηχα­

κανείς για τους υπολογιστές αρκεί

ρας; τiποτα περισσότερο από ης

4-

πράξεις της αριθμητικής, ίσως και κά­

40

Ι·

σύγχιση συνεχίζεται, και όλοι νομί­ κάποιος έμαθε το Πυθαγόρειο θεώρη­

'Ο λα αυτά τα θαυμαστά πράγματα

νή που είτε το θέλουμε είτε όχι, επι­

όμως αυτό να γίνει με το σωστό τρό­

τα κατάφερε ο άνθρωπος με τη βοή­

δρά στη ζωή μας και επιφέρει αλλα­

πο, όπως και <;πις άλλες επιστήμες,

θεια της Τεχνολογίας και των Επιστη­

γές, τόσο σημανηκές όσο και αυτές

τα Μαθηματικά π. χ. Ποτέ κανείς δεν

μών. Τ εχνολοyία και Επιστήμη, δύο

του ηλεκτpισμού. Είναι καφός λοι­

προσπάθησε να μάθει σε ένα μαθητή,

τομείς που στα τελευταία χρόνια έχει

πόν να γνωριστούμε πω καλά με αυ­

μαθηματικά που είναι του επιπέδου

διαπρέψει ο ανθρώπινος νους. 'Ε να

τόν τον επισκέπτη της ζωής μας, που

του Πανεπιστημίου είτε γιατί δεν τα

από τα εππεύγματαΌυτά είνω και το

από εδώ και πέρα όπως φαίνεται, θα

χρειάζεται, είτε γιατί χρειάζεται προη­

(CHIP), αυτό το θρυλικό κομμα­

μας συντpοφεύει μόνιμα, σε όλα μας

γουμένως κάποιες άλλες γνώσεις για

τάκι από πυρίτιο, δηλαδή από άμμο,

τα βήματα. Μια μηχανή, που προβλέ­

να φτάσει στο επίπεδο αυτό.

πάνω στο οποίο «γράφονταη> ηλεκ­

πεται για τα επόμενα χρόνια η εξοι­

τ ο πρώτο βήμα για τη γνωριμία

τρονικά κυκλώματα και μέσα στο

κείωση μας με αυτή να είναι πολύ με­

μας με τους υπολογιστές είναι να μά­

οποίο χωράνε ακόμα και εκατοντά­

γάλη. Μια μηχανή που θα γίνει τόσο

θουμε σε τι μπορούν να μας χρησι­

δες χιλιάδες τρανζίστορς.

κοινή, όσο το ψυγείο και η κουζίνα,

μεύσουν αυτές οι μηχανές, δηλαδή τι

με δυνατότητες όμως πολύ μεγαλύτε­

μπορούν να κάνουν και αν αυτό εί­

των Επιστημών (Μαθημαηκών, Φυσι­

ρες. Μια μηχανή που αν χρησιμοποιη­

ναι χρήσιμο στη καθημερινή ζωή κω

κής, Χημείας) από τη μια και της

θεί σωστά μπορεί να αποφέρει μεγά­

τη δουλειά μας. Γιατί π.χ. ποιός θα

τεχνολογίας από την άλλη, ο άνθρω­

λος όφελος και βοήθεια στην ανθpω­

αγόραζε ένα αυτοκίνητο αν δεν ήξε­

πος

τον

πότητα. Ολοταχώς λοιπόν για την

ρε σε τι χρησιμεύει, και πολύ περισό­

ENIAC σε ένα υπολογιστή διαστά­ σεων 20 εκατοστών μήκος καιlΟ εκα­

εποχή της Πληροφορικής που μόλις

τερο ποιός θα μάθαινε πως λειτουρ­

τσίπ

τίποτα το μαγικό! Με τη βοήθεια

κατάφερε

να

«χωρέσει»

γεί αυτή η μηχανή, αν δεν επρόκεπο

χαράζει.

ποτέ

va τη χρησιμοποιήσει Ακόμα

τοστών πλάτος. Με τη βοήθεια δηλα­

Τι είναι όμως ο υπολογιστής; 'Οση

δή διαφόρων τεχνικών και εκμετα­

καλή θέληση και αν διαθέτει κά­

λευόμεvος τους νόμους της φύσης,

ποιος, είνω δύσκολο να βγάλει άκρη

κατάφερε ο άνθρωπος να μικρύνει

μέσα από το πλήθος των όρων που

να χρησιμοποιήσουμε τοv υπολογι­

όγκο που καταλαμβάνουν τα

ακούγονται από ειδικούς και μή ή

στή και την πληροφορική γενικότερα.

ηλεκτpονικά κυκλώματα που είναι

που διαβάζονται στα διάφορα περιο-

τ ο δεύτερο βήμα είναι να μάθουμε

τον

με αυτή την πρώτη γνωριμία μας

'

έχουμε να μάθουμε, πώς μπορούμε

13


πώς λειτουργούν οι υπολογιστές και

ρο στόχο πάντα την αναζήτηση και

τους είναι να γράφουν προγράμμα­

πώς μπορούμε και εμείς να φτιάξου­

εκμετάλευση

τα-εφαρμογές.

με «προγράμματα)). Να μάθουμε πώς

Όταν π.χ. λύνουμε μία εξίσωση α'

Ας υποθέσουμε ότι κάποιος διευ­

κατασκευάζονται οι μηχανές αυτές,

βαθμού τροφοδοτούμε τον υπολογι­

θυντής-χρήστης, θέλει να παρακο­

πώς επικοινωνούν με τον άνθρωπο,

στή με τα δι=δομένα του προβλήμα­

λουθήσει την κίνηση (εισαγωγές-ε­

τί είναι οι γλώσσες προγραμματι­

τος και αφού αυτά υποστούν κάποια

ξαγωγές)

σμού και τί σχέση έχουν σαν «γλώσ­

επεξεργασία, έχουμε σαν αποτέλεσμα

επιχείρησής του, με τη βοήθεια ενός

σες)) με αυτή που εμείς οι άνθρωποι

από τον υπολογιστή, τις λύσεις του

υπολογιστή. Κατ' αρχάς θα αγορά­

μιλάμε κτλ.

προβλήματος δηλαδή την πληροφο­

σει το κατάλληλο πρόγραμμα-εφαρ­

ρία.

μογή, που θα έχει κατασκευαστεί

Σ την πρώτη περίmωση έχουμε να

της

πληροφορίας.

των

εμπορευμάτων

της

κάνουμε με ένα χρήστη υπολογι­

Έτσι σύμφωνα με το παραπάνω

σμού ενώ στη δεύτερη περίπτωση με

μοντέλλο, η πληροφορία είναι το

ναλυτές. Στη συνέχεια θα μάθει τον

έναν ι=ιδικό επαγγελματία υπολογι­

χρήσιμο αποτέλεσμα, της επεξεργα­

τρόπο χρήσης της εφαρμογής αυτής,

στών. Σίγουρα δtv ενδιαφέρει όλους

σίας των δεδομένων του προβλήμα­

είτε έπειτα από κάποια εκπαίδευση,

τους ανθρώπους να γίνουν ειδικοί

τος. Μπορούμε να πούμε επομένως

είτε από τις οδηγίες χρήσης. Και τέ­

των υπολογιστών, ενδιαφέρει όμως

ότι, γενικά ακολουθούμε το παρακά­

λος θα χρησιμοποιήσει το πρόγραμ­

πολλούς να μάθουν να χρησιμοποιύν

τω σχήμα σε κάθε εφαρμογή πληρο­

μα-εφαρμογή προς όφελός του, σύμ­

τους υπολογιστές σε μικρό ή μεγαλύ­

φορικής μικρή ή μεγάλη.

φωνα πάντα με το μοντέλλο που ανα-

από

κάποιους

προγραμματιστές-α­

τερο βάθος.

Βλέπουμε. λοιπόν ότι ο υπολογι­

-π (j~f~~o.;c~~~;;.--

[ Ι NF'CίRMiH

στής μπορεί να χρησιμοποιηθεί από

τον άνθρωπο σε πολλά επίπεδα και

ICJN

1

I

----··-··----~ .•. !

με πολλούς τρόπους. Θα μπορούσα­ με επομένως να παρομοιώσουμε τον

Εάν επομένως κρίνουμε τα πράγ­

υπολογιστή με ένα εργαλείο, το οποίο

ματα από το αποτέλεσμά τους, βλέ­

αυτής. Θα τροφοδοτήσει τον υπολο­

μας βοηθά στις διάφορες δραστηριό­

πουμε ότι ακολουθούμε μία διαδικα­

γιστή (το πρόγραμμα δηλαδή με τη

τητες της ζωής μας. Ένα εργαλείο

σία, με στόχο την απόκτηση στοιχεί­

βοήθεια του υπολογιστή-εργαλείου)

το πιο τέλειο ίσως που ποτέ κατα­

ων για την πληροφόρηση μας πάνω

μf τα δεδομένα, τα οποία αφού υπο­

mύξαμε στην αρχή της παραγράφου

σκεύασε ο άνθρωπος και με απρό­

σε κάποιο θέμα. Γίνεται φανερό έτσι

στούν κάποια επεξεργασία θα δώ­

βλεπτες ακόμα τις συνέπειες και τις

ότι ο υπολογιστής είναι το εργαλείο,

σουν (πάλι μέσω του προγράμματος)

επιπτώσεις του στην !_<Οινωνία. Εάν

που μας βοηθάει στην διαδικασία για

τα αποτελέσματα-πληροφορίες που

όμως αναφερόμαστε στον υπολογι­

την

στή παρομοιάζοντάς τον με εργα­

'Αρα μπορούμε να πούμε με δύο λό­

λείο, ο όρος Πληροφορική περι­

για, ότι τα δεδομένα είναι η πρώτη

απόκτηση

της πληροφορίας.

λαμβάνει πολύ περισσότερα πράγ­

ύλη από την οποία παράγεται το

ματα και είναι ευρύτερος σαν έννοια

έτοιμο προιόν, που στην προκειμένη

από

περίπτωση είναι η πληροφορία.

αυτήν

του

υπολογιστή-εργα­

λείου.

Ο χρήστης και η πληροφορική

είναι απαραίτητα στον διευθυντή­ χρήστη. Ο υπολογιστής και αλγόριθμος

Μέχρι

τώρα

όμως

δεν

έχουμε

Χρειάζεται όμως κάποιος, να είναι

αναφέρει τίποτα που να κάνει ο υπο­

ειδικός στους υπολογιστές και την

λογιστής, και να μη μπορεί να το κά­

Πληροφορική, ώστε να τροφοδοτή­

νει και ο ίδιος ο άνθρωπος μόνος

σει τον υπολογιστή με τα δεδομένα

του. Ποιός ο λόγος λοιπόν να αναθέ­

Τι μπορεί να περιμένει κάποιος

του προβλήματος, γιά να πάρει την

σουμε σε μια μηχανή ένα έργο, το

όταν κάθεται μπροστά στον υπολο­

πληροφορία που χρειάζεται μετά από

οποίο ίσως εμείς οι ίδιοι μπορούμε να

γιστή και αρχίζει τη Ι<συνομιλία)) μαζί

την επεξεργασία αυτών των δεδομέ­

κάνουμε καλύτερα, μια που είμαστε

του. Μπορεί να παίξει κάποιο παιχνί­

νων; Σίγουρα όχι. 'Οπως δεν χρειά­

και πιο έξυπνοι από τις μηχανές; Σω­

δι αντιμετωπίζοντας τους «εισβολείς

ζεται κάποιος, να είναι ειδικός, για

στό ή λάθος;

του διαστήματος)) ή να κάνει πράξεις

να μπορέσει να οδηγήσει ένα αυτο­

της αριθμητικής ή να βρίσκει τις λύ­

κίνητο και να πάει στη δουλειά του.

Η απάντηση; και σωστό και λάθος!

Σωστό, γιατί σίγουρα ο υπολογιστής, δεν θα μπορούσε να κάνει ούτε μία

σεις μιάς εξίσωσης β' βαθμού ή να γρά­

Ο χρήστης, όπως λέει και η λέξη,

φει κάποιο κείμενο, ή να καταγράφει

είναι αυτός που θα χρησιμοποιήσει

απλή πρόσθεση σαν το

κάποιες εμπορικές και λογιστικές

κάποιο <mρόγραμμα>), μία εφαρμογή

δεν ήταν ο άνθρωπος αυτός που θα

1 + 1 = 2, αν

πράξεις και ο κατάλογος μπορεί να

όπως λέγεται

έχει

του έλεγε, με κάποιο πρόγραμμα,

συνεχιΟτεί για πολύ ακόμα.

γραφτεί από κάποιον ή κάποιους ει­

πως να κάνει την πρόσθεση. Να του

Πολύ μεyάλο το πεδίο ι=φαρμογής των υπολογιστών σήμερα με απώτε-

14

δικούς

καλύτερα, που

προγραμματιστές-αναλυτές.

Από κάποιους δηλαδή που η δουλειά

έδινε δηλαδή τον αλγόριθμο της πρόσθεσης.


Από την άλλη μεριά όμως, η πρό­

λουθούνται, πρέπει να καθορίζονται

Διαιρούμε το μ με το ν και έστω ρ το

ταση που διατυπώσαμε παραπάνω

αυστηρά και χωρίς αμφιβολία σε κά­

υπόλοιπο της διαίρεσης.

είναι λάθος, διότι ο άνθρωπος είναι

θε περίπτωση.

(Έχουμε

αδύνατο να παραβγεί σε ταχύτητα πχ με τον υπολογιστή.

Ποιός θα

γ) 'Ενας αλγόριθμος δέχεται κα­ θόλου ή κάποια δεδομένα

(data)

σαν

μπορούσε να κάνει μερικά εκατομμύ­

είσοδο (ίnput). Ο αλγόριθμος της

ρια προσθέσεις μέσα σε ένα δευτερό­

πρόσθεσης 3

λεπτο; Ποιός θα μπορούσε να μετρή­

σοδό τους δύο προσθετέους

ΒΗΜΑ

·

και

2.

= e <ν)

2. [Είναι μηδέν;] Εάν το

ρ= Ο, τότε ο αλγόριθμος τελειώνει.

Η απάντηση είναι

+ 2 τi.χ. δέχεται σαν εί­ 3

Ο<

ΒΗΜΑ

3.

ΜΚΔ =ν.

[Αντιμετάθεση] Βάλε το

ν στη θέση του μ, και το ρ στη θέση

σει πόσες φορές υπάρχει μία λέξη σε

δ) Ένας αλγόριθμος παρέχει μία

ένα βιβλίο μέσα σε μερικά δευτερό­

ή περισσότερες εξόδους (output). Ο

Βέβαια ο Ευκλείδης δεν παρουσία­

λεπτα; (Ακόμα θα μας δοθεί ευκαιρία

αλγόριθμος της πρόσθεσης και πάλι,

σε ακριβώς έτσι τον αλγόριθμο του,

σε επόμενα τεύχη να αναφερθούμε

παρέχει σαν έξοδο το αποτέλεσμα

στους

της πρόσθεσης

υπολογιστές

που

χρησιμο­

ποιώντας μεθόδους «τεχνητής νοη­

3 + 2 που είναι το 5.

ε) Ένας αλγόριθμος αναμένεται ειναι

αποτελεσματικός.

του ν, και πήγαινε πίσω στο ΒΗΜΑ 1.

η παραπάνω περιγραφή όμως, μας

δείχνει τον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσαμε να περιγράφουμε αλγό­

μοσύνης» έχουν την ικανότητα να μα­

να

Αυτό

ριθμους προσαρμοσμένους για υπο­

θαίνουν).

σημαίνει ότι όλες οι ενέργειες-βήμα­

λογιστές. Δοκιμάστε να περιγράψετε

Βλέπουμε λοιπόν ότι η συνεργασία

τα πρέπει να είναι βασικές, ώστε να

με την ίδια λογική τον αλγόριθμο του

ανθρώπου-μηχανής μπορεί να απο­

μπορούν να εκτελεσθούν με ακρί­

Ε .Κ. Π.

δώσει σε μεγάλο βαθμό, εφ' όσον

βεια, και σε περιορισμένη χρονική

μελετηθεί και

διάρκεια.

εφαρμοσθεί σωστά.

Κάθε βήμα του αλγόριθμου, ξεκι­ νά με μία φράση σε αγκύλες που πε­

Παραμένει όμως πάντα στη δικαιο­

Από τα παραπάνω γίνεται φανερό

δοσία του ανθρώπινου νου, η επινό­

ότι το θέμα δεν είναι μόνο να βρούμε

ιδέα του βήματος αυτού. Με τις φρά­

ηση του τρόπου επεξεργασίας των

κάποιον αλγόριθμο, αλλά νa βρούμε

σεις αυτές μπορούμε να σχηματίσου­

δεδομένων, των αλγορίθμων δηλρ­

κάποιον «καλό» αλγόριθμο. Ας δού­

με το διάγραμμα ροής του αλγό­

δή, όπως λέγονται με μία λέξη.

με λοιπόν ένα παράδειγμα καλού

ριθμου του Ευκλείδη.

Για παράδειγμα, ο τρόπος με τον

οποίο κάνουμε μια πρόσθεση είναι μια «συνταγή», αποτελούμενη από καθορισμένα βήματα-ενέργειες που

..

[ ~1.

ριγράφει περιληπτικά, την κυρίαρχη

(:-------Ε~ρεσn Ι

.

-~~αλοι_:~_j ---.:·

ακολουθούμε πάντα με τη ίδια σειρά.

Η «συνταγή» αυτή είναι ένας αλγό­ ριθμος.

Ο αλγόριθμος σαν έννοια είναι γνωστός από την αρχαιότητα, πολύ

αλγόριθμου (τον αλγόριθμο του Ευ­

Στο επόμενο τεύχος θα μιλήσουμε

κλείδη για τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέ­

για ης γλώσσες προγραμματισμού,

τη).

τα προγράμματα και για άλλα θέ­

πριν εφευρεθούν οι υπολογιστές. Οι

ματα.

μηχανές αυτές όμως θα μπορούσαμε

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Δίνονταί δύο θετικοί

να πούμε ότι είναι σήμερα το μεγαλύ­

ακέραιοι αριθμοί μ και ν. Να βρεθεί ο

τερο πεδίο εφαρμογής των αλ γορίθ­

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης.

μων. Διότι είτε μιλάμε για τον αλγό­

ΒΗΜΑ

1.

[Εύρεση

Βιβλιογραφία: D. Knuth computer programming.

The art of

Υπολοίπου.]

ριθμο της πρόσθεσης, είτε μιλάμε για

αλγόριθμο που ακολουθεί το πρό­ γραμμα κράτησης θέσεων της Ολυ­

μπιακής, έχουμε πάντα να κάνουμε

Επικαιρότητα ...

με μία «συνταγή», με ένα τρόπο επε­ ξεργασίας δεδομένων. 'Ενας αλγόριθμος έχει πέντε βασι­

κές ιδιότητες: α) Πρέπει πάντα να τελειώνει με­

τά από ένα ορισμένο αριθμό βημά­ των. Ο αριθμός αυτός των βημάτων

μπορεί να

είναι μεγάλος, πρέπει

όμως να είναι πmι:ρασμένος. β) Κάθε

• 4ο πανελλήνιο Μαθηματικό συνέδριο στην Αθήνα 21-23 Δεκέμβρη '87 με θέμα «Τα Μαθη­ ματικά και η Εκπαίδευση».

• Sη Βαλκανιάδα Μαθηματικών την 'Ανοιξη του '88 στην Κύπρο. • 29η Διεθνής Ολυμπιάδα 1988 τον Ιούλιο στην Αυστραλία.

βήμα ενός αλγόριθμου

πρέπει να είναι με ακρίβεια ορισμέ­

νο. Οι διάφορες ενέργειες που ακο-

15


28 OLIMPIADA INTERNACIONAL ΟΕ MATEMATICA ιa Habana, Cuba • Ju1io 5 al

Σ την πρωτεύουσα Αβάνα της Κούβας έγινε από

5-17

16 de 1987

Η επιτυχία έχει μεγαλύτερη σημασία, αν λάβουμε

Ιουλίου η 28η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα. Σ'

υπ' όψη ότι ουσιαστικά η ομάδα μας αγωνίστηκε με

αυτήν πήραν μέρος

μαθητές, αφού ο μαθητής Κ. Ζιάμας, για λόγους ανε­

μετοχή

42

χώρες, ενώ είχαν δηλώσει συμ­

ξάρτητους της θέλησής του δε μπόρεσε να δώσει στην

45.

Σ την ελληνική ομάδα συμμετείχαν οι μαθητές:

·

5

ομάδα βαθμό.

Ταμβάκης Χαράλαμπος (Γ' Λυκείου Αγ. Παρασκευής) Ιβρισημτζής Γιάννης (Β' Λυκείου, Θεσσαλονίκης)

Έτσι η ομάδα μας πήρε την 20η θέση σε ενώ στην 27η ΔΜΟ είχε την 23η σε

Κομπότης Βαγγέλης (Γ' Λυκείου, Ν. Σμύρνη)

40

42

χώρες

χώρες.

Θα πούμε εδώ, ότι σύμφωνα με τις εκτιμήσεις των

Κοντοκώστας Δημήτρης (Β' Λυκείου, Τρίκαλα)

συναδέλφων που δίδαξαν τους μαθητές τής ομάδας

Βλάμος Παναγιώτης (Γ' Λυκείου, Καλλιθέα)

μας, των ίδιων των μαθητών αλλά και των αποτελε­

Ζιάμας Κωνσταντίνος (Β' Λυκείου Λάρισα).

σμάτων τα τελευταία δύο χρόνια, η χώρα μας παρου­

Συνοδός της ομάδας ήταν ο συνάδελφος Δ. Κοντο­ γιάννης και αρχηγός της αποστολής ο συνάδελφος Θ.

σιάζει ομάδα που δεν στηρίζεται σε ένα ή δύο άτομα, αλλά σε έξι λίγο-πολύ ισάξιους μαθητές.

Η προσπάθεια λοιπόν που άρχισε πριν λίγα χρόνια

Μπόλης.

Σ τους μαθητές της ομάδας μας έγινε από την ΕΜΕ

ειδική προετοιμασία, της οποίας υπεύθυνος ήταν ο συ­

η ΕΜΕ για την αναβάθμιση της παρουσίας μας στις ΔΜΟ άρχισε να δίνει καρπούς.

νάδελφος Δ. Κοντογιάννης. Στους μαθητές δίδαξαν

Χαρακτηριστική άλλωστε είναι η γνώμη των μαθη­

και άλλοι συνάδελφοι όπως οι Θ. Μπόλης, Σ. Καλομι­

τών, ότι κάθε χρόνο η ομάδά μας θα γίνεται καλύτε­

τσίνης, τ. Πατρώνης στη Θεσσολονίκη οι συνάδελφοι

ρη.

Γ. Τζίντσιφας, Αχτσαλωτίδης, στα Τρίκαλα ο Γ. Δή­ μος και στο Ηράκλειο ο συνάδελφος Μπατσάκης. Η ΕΜΕ εκφράζει και από τη στήλη αυτή τις ευχαριστίες Η παρουσία της ομάδας μας στην 28η Δ.Μ.Ο. ήταν

6

χάλκινα μετάλια και

111

βαθμούς (τ αμβάκης, Ιβρισημτζής, Κομπότης, Κοντο­

κώστας) ενώ στην 27η Δ.Μ.Ο. είχε πάρει

2

βαθμούς.

και

63

4

μ.μ. όπου μετά μια μiκρή στάση στη

φθάσαμε στη

Μαδρίτη περίπου

στις

10

μ.μ.

Από τη Μαδρίτη αναχωρήσαμε περίπου

κάτι παραπάνω από επιτυχής.

4

Η αναχώρηση έγινε από την Αθήνα το Σάββατο Ιουλίου στις Βαρκελώνη

της στους παραπάνω συναδέλφους.

Έτσι η ομάδα μας πήρε

Τ ο χρονικό της Ολυμπιάδας τώρα.

Κυριακής και μετά από

Αβάνα στις

6

9

4

π.μ. της

ώρες mήση φθάσαμε στην

π.μ. τοπική ώρα.

Στο αεροδρόμιο «Χοσέ Μαρτί» της Αβάνας μας πε­ ρίμεναν μέλη της οργανωτικής επιτροπής της 28ης ΔΜΟ, πού οδήγησαν τους μαθητές στο σχολείο Λένιν

και τους συνοδούς στο ξενοδοχείο «Ριβιέρα» της Αβά­ νας.

Τ ο σχολείο αυτό είναι ένα μοντέρνο κτηριακό συ­

γκρότημα και έξω από την Αβάνα μέσα σε καταπρά­ σινο πάρκο.

Στο σχολείο αυτό υπήρχαν εστιατόριο, πισίνα, κα­ ταστήματα, τηλεφωνικό κέντρο και αρκετά γήπεδα. 'Οπως μας είπαν οι μαθητές μας, η παραμονή τους στο σχολείο Λένιν ήταν κάτι παραπάνω από ευχάρι­ στη, αν εξαιρέσει κανείς το φοβερό καύσωνα (γύρω στους

40° C)

και τη μεγάλη υγρασία.

Ακόμα η οργανωτική επιτροπή είχε προβλέψει για

τους μαθητές και τους συνοδούς τους μια σειρά από εκδρομές σε διάφορες ακρογιαλιές, στο μουσείο Χε­ Οι Έλληνες Μαθητές με το χάλκινο μετάλλιο

16

μινγουέη, στο Ιστορικό μουσείο της Αβάνας, στο βο-


τονικό κήπο, στο μουσείο Βιοτεχνολογίας και Γ εννετι­ κής κλπ.

Τ ην Κυριακή

Ιουλίου η ομάδα μας αναχώρησε

18

από την Αβάνα με προορισμό τη Μαδρίτη, όπου και

έμεινε 24 ώρες. Οι μαθητές της ομάδας μΌς είχαν την ευκαιρία να δουν την Ισπανική πρωτεύουσα και ειδι­ κώτερα το μουσείο Πράντο. Οι fVΠJΠώσεις μας τώρα:

Η 28η Δ.Μ.Ο. ήταν μια από τις πιο πετυχημένες Ολυμπιάδες και στη διαρκειά της πάρθηκαν αποφάσεις καθοριστικές για το θεσμό.

Έτσι π.χ. από την 29η Δ.Μ.Ο. που θα γίνει το

1988

στην Αυστραλία αλλάζει ο τρόπος επιλογής των θεμά­ των. Ενώ δηλαδή μέχρι τώρα ο εκπρόσωπος κάθε χώ­ ρας παρουσιάζει στην επιτροπή τις ασκήσεις και τις λύ­ σεις που είχε προτείνει, από την 29η Δ.Μ.Ο. η επιτρο­

πή θεμάτων θα επεξεργάζεται τις προτεινόμενες ασκή­ Οι ελληνική αvnπροσωπεία σ' ένα χαρακτηρισπκό σηγμιότυ­ πο στη Κούβα.

τ η Δευτέρα

σεις χωρίς τις προτεινόμενες λύσεις, δηλαδή θα πρέπει

η επιτροπή να δίνει λύσεις. Ακόμα οι εκπρόσωποι των

6

Ιουλίου ΟΙ αρχηγοί των αποστολών

μεταφέρθηκαν στο ξενοδοχείο Ιτάμπο,

χωρών

πήραν

απόφαση

να

συζητήσουν

στην 29η

από την

Δ.Μ.Ο. τη μείωση του ορίου ηλικίας των μαθητών που

Αβάνα για την εmλογή των θεμάτων του διαγωνισμού.

παίρνουν μέρος στις Ολυμπιάδες καθώς και τον μfγt­

Την Παρασκευή

40 km

10 Ιουλίου στις 9 π.μ. έγινε στο

στο αριθμό που μπορεί να πάρει μέρος ένας μαθητής.

σχολείο Λένιν η τελετή έναρξης της 28ης ΔΜΟ με την

Τα θέματα της 28ης Δ.Μ.Ο. ήταν τα παρακάτω:

παρουσία του Υπουργού Παιδείας της Κούβας. Σ τις

9.30

άρχισε η πρώτη μέρα του διαγωνισμού.

Τ ο Σάββατο

ΑΒΑΝΑ,

11 Ιουλίου ήταν η δεύτερη μέρα του

10

ΙΟΥΛΙΟΥ

1987

διαγωνισμού και η πρώτη μέρα • της βαθμολόγησης ΠΡΩΤΗ ΜΕΡΑ

των γραπτών που συνεχίστηκε και την Κυριακή και

Δευτέρα. Τ ην Πέμπτη

15

Ιουλίου έγινε η απονομή των βρα­

βείων και το κλείmμο της 28ης ΔΜΟ. Την Παρασκευή

16

Ιουλίου μας επισκέφτηκε στο ξε­

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

1:

Τ ο Σάββατο

17

Ιουλίου με εντολή της κ. Παπαζώη

νητα και δύο 'Ελληνες υπαλλήλους της πρεσβείας που ξενάγησαν την ομάδα μας στην Αβάνα. Τ ο μεσημέρι η

ελλ. πρεσβεία παρέθεσε γεύμα προς τιμή της ομάδας μας.

το πλήθος των μεταθέ­

{1, 2, ... , η} που

η

Σ k Ρη(κ) =η!

Ελισσάβετ Ϊlαπαζώη που μας συνεχάρει για την όλη

η Ελληνική πρεσβεία της Κούβας διέθεσε δυο αυτοκί­

Pn(k)

έχουν ακριβώς κ σταθερά στοιχεία. Ν' αποδειχτεί ότι

νοδοχείο Riviera η Ελληνίδα πρέσβειρα στην Κούβα κ.

παρουσία της ομάδας μας.

Έστω

σεων των στοιχείων του συνόλου

k=O

(Σημείωση: Μία μετάθεση των στοιχείων ενός συνό­ λου

είναι μία ένα προς ένα απεικόνιση των στοι­

S

χείων του

S επί του S. 'Ενα στοιχείο j Ε S λέγεται στα­ f του S αν

θερό σημείο (στοιχείο) μιας μετάθεσης

f(j)

=

j).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

2:

γωνlου τριγώνου

Η διχοτόμος της γωνίας Α ενός οξυ­

ABC

τέμνει την πλευρά

BC

στο ση­

μείο ι και την περιγεγραμμένη περιφέρεια του τριγώ­

νου ξανά στο σημείο Ν. Από το σημείο ι φέρονται κά­ θετες στις πλευρές ΑΒ και

AC

του τριγώνου και οι πό­

δες αυτών των καθέτων εlναι Κ και Μ αντ!στοιχα. Να

δειχτεί ότι το τρίγωνο

ABC

και το τετράπλευρο ΑΚΝΜ

έχουν το ίδιο εμβαδό. ΠΡΟΒΛΗΜΑ

3:

μοί τέτοιοι ώστε

Έστω χι, Χ2 ... , Xn πραγματικο! αριθ-

xi

+

χΞ

+ ... +

χ~

= 1.

Ν' απο-

δειχτεί ότι για κάθε ακέραιο k ;:::: 2 υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί αι, 02, ... , αη όχι όλοι μηδέν τέτοιοι ώστε

jα;j

::::::

κ

- 1

για κάθε

i

και

Χαρακτηριστικό στιγμιότυπο των Ελλήνων μαθητών απ' την Ολυμπιόδα της Κούβας.

17


ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤ ΑΣΗΣ: ΒΑΘΜΟΛΌΓΙΑ:

ώρες.

4 1/2

Έστω ότι ισχύει για

μονάδες το κάθε πρόβλημα

7

"ΣΙ

τηση f :

~Σ'

Ν' αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει συνάρ­

4:

f(f(η))

=

η

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

5:

Έστω η ακέραιος αριθμός, η ;):

για κάθε η ε

k=l

IN - IN (όπου IN = {0, 1, 2, ... }) τέτοια ώστε

+ 1987

("Σ-κ

1

κ=l (κ - 1)!

ΔΕΥΓΕΡΗ ΗΜΕΡΑ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Τότε για

n.

IN.

3.

~ nΣ+Ι ~

("Σ-κ

1 - 1)!

-

= 1~ •

ι!

l)n+l-κ)

(-

-

i!

i=O (-

(- l)n-κ+l = 1)!(η - κ + 1)!

ο ~

-;----'-:-;-;-C"-----;--:-;-;-

k=Ι (κ

1)n+Ι-κ)

(-

i=O

1 ( nΣ:κ - 1)! i=O

k=ι (κ

Ν' αποδειχτεί ότι υπάρχει σύνολο η σημείων του επιπέ­

+ 1 έχουμε αρκεί:

n

1)n-κ ) = Ο~ i!

Ση

(- l)π-κ = - κ)

π!# Ο

ο ~

κ=Ο κ!(η

δου, τέτοιο ώστε η απόσταση οποιονδήποτε δύο ση­

μείων να είναι άρρητος αριθμός και κάθε υποσύνολο τριών σημείων να ορίζει μη εκφυλισμένο τρίγωνο με εμβαδό ρητό αριθμό.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Αν k

6:

Σ

(-

(- l)n-κ

=Ο Σ

1)"-kn! k=O k!(n - κ)!

<9

kc=()

=Ο<* (1 ~ 1)" =Ο

(n ) κ

που ισχύει η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Έστω η ακέραιος αριθμός, η ;):

2. (Β. Κομπότης)

k + η είναι πρώτος για κάθε ακέραια τιμή του k με Ο :::::: k :::::: ν'Π!3, ν' αποδειχτεί ότι ο αριθμός 2

+

+ k + η είναι : : : k :::::: η - 2.

k2 ο

πρώτος· για κάθε ακέραιο k με

θz. 'Εχουμε

1

= ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤ ΑΣΗΣ: ΒΑΘΜΟΛΌΓΙΑ:

7

4 1/2

ώρες

μονάδες το κάθε πρόβλημα

Για τις ασκήσεις

1, 2, 4, 5

οι μαθητές μας έδωσαν

πολύ ωραίες λύσεις που δημοσιεύουμε παρακάτω. Τις ασκήσεις

3, 6

1

2

=

βρίου.

θι. Θεωρούμε αρχικά το σύvολο {1, 2, ... μ}. Θα υπολογί­

ΑΝ ημ

Α

2

Ακόμα είναι (ΑΒΓ) (ΑΚΝΜ)

=

(ΑΒΓ)

· ΑΝ ημ

ΑΚ=ΑΜ

Α

AL ημ 2

Α

2

συν

~ ΑΒ · ΑΓ ημΑ

=

(*)(:)

ΑΝ

έχουμε ΑΚ =

AKL

(2)

ΑΜ

+ ΑΜ) =

(ΑΚ

(Ι)<* (ΑΚΝΜ) =ΑΝ·

σουμε το πλήθος Α(μ) των διατάξεων που δΕν έχουν ούτε ένα σταθερό σημείο. Σύμφωνα με την αρχή εγκλεισμού-απο­

Α 1 2 +2

· ΑΝ η μ

Από το ορθογώνιο

αφήνουμε σαν άσκηση στους αναγνώ­

στες. Θα περιμένουμε λύσεις σας μέχρι τέλος Νοεμ­

ΑΚ

2

+ (ΑΝΜ) =

(ΑΚΝΜ) = (ΑΚΝ)

1

-== 2

· AL

ΑΝ

1

2

(

6)μ! - ( i )(μ -

1)!

+ ( ~ ) (μ

+ ...

<*ΑΝ·

μ

~

μ

η μΑ

=

AL =

ΑΒ

·

ΑΓ

AL

πρόταση αν η

I

Ρπ(κ)

η )

= ( Κ

{1, 2, ... ,

ή}.

AL

= ( _ η

η!

)I Κ .Κ.1

π-κ

Σ

.

ι=Ο

(-

1)

04.

Σ κ η! (Σκ (- ~)π-κ)= n! ~Σ Η

(1)

Για

18

i=O

ι!

·ι

1.

-

α, β Ε

ld

~ α

π-κ (η - κ)! _ άρα η

f

είναι Ι

1 κ=Ι (κ - 1)!

1- 1

(Σκ (- ~)π-κ)= 1(1)

+ 1987 = Ι.

Επίσης

+ 1987) =

i=O

ι!

f(n Η για

+1=

-

1 που ισχύει.

(2) για κ

f(n

κ

1.

IN, f(α) = f(β) ~ f(f(α)) = f(f(β)) ~

Θα δείξουμε επαγωγικά ότι

θα δειχτεί επαγωγικά:

n = 2 γίνεται

Δ

= ALB)

Θα δείξουμε αρχικά ότι η f είναι συνάρτηση 1 -

Πράγματι,

Έτσι η αποδεικτέα σχέση γiνεται:

κ!.

ΑΓ ημΑ

(Π. Βλάμος)

f(n

κ=Ο

·

τη ΒΓ).

Έστω

διαφορετικούς τρόπους. τότε

Α (η- κ)

ΑΒ

(Δ. Κοvτοκώστας)

ότι υπάρχουν κ σταθερά σημεία τα οποία μπορούν να επιλε-

)

AL ημΑ(*)

είναι εξωτερική διχοτόμος της Α (τότε ΑΒΓ

όχι ισοσκελές για να τέμνει η

ι!

Θεωρούμε τώρα το δοσμένο σύνολο

~

(2)

I

ic=()

(

1

2

που ισχύει (από ΑΝΓ

=Σ(- Ι)μ ~-

γούν με

ΑΝ·

(1)

Σημείωση: Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο αποqεικνύεται, η

1)μ ( μ) (μ- μ)! =Σ <- 1)μ (μ- 1)! ( ~) =

... + <-

συν ~

Δ

- 2)!

Α

2

(: )

κλεισμού:

Α(μ) =

=

ΑΚ ημ

·

AL

=

β

+ 1987 ~ α Vn

Ε

=

β,

IN

f(f(f(n))) = f(n)

+ 1987

(1)

V π Ε ΙΝ, V κ Ε IN:

+ κ · 1987) =

f(n)

+ κ · 1987

(2)

= 1 ισχύει (σχέση (1)). Αν ισχύει για κ τότε

γίνεται

+ (κ + 1)

· 1987) = f(n

+ 1987 + κ

· 1987)

~


Θέματα lης Νορβηγικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας

(I)

= f(n + 1987) + κ · 1987 = f(n) + (κ + 1) · 1987,

30

Μάρτη

1987

που ισχύει.

Θεωρούμε τώρα το σύνολο ξουμε ότι

με ~

{0, 1, ... , 1986}.

f(A) "" Α (mod 1987), δηλαδή ότι και

i #- j

f(i) = f(j)

f(i)

Ξ f(j)

~i

· 1987)

= j

"L

~

· 1987

άτοπο.

i "" j (mod 1987),

Έτσι με την

1::1 i, j ΕΞ Α με i, j ΕΞ Α

τότε θα υπήρχε με

(mod 1987)

~ f(j + μ

· 1987

Θα δεί­

Πράγματι αν υπήρχαν

i #- j, f(i) #- f(j) (mod 1987). με

Α=

f ορίζεται μια 1 - 1 και επί απεικόνιση του Α

στον εαυτό του για την οποία σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει Ξ χ

f(f(x))

(mod 1987), 1::1

Διάρκεια Οι.

4

ώρες

δημοσιογράφοι παίρνουν μέρος σε ένα συνέ­

9

δριο. Καθένας από αυτούς μιλά κές γλώσσες και κάθε

γλώσσα. Να δείξετε, ότι

3

το πολύ διαφορετι­

από αυτούς μιλούν μια κοινή

2

τουλάχιστον από αυτούς μι­

5

λούν κοινή γλώσσα.

Ο2. 'Εστω ΑΒCΔ ένα παραλληλόγραμμο. Φέρνουμε R, έναν που να περνά από τα σημεία Α, Β και τον άλλον να περνά από τα Β και C. δυο κύκλους με ακτίνα

χ ΕΞ Α.

Επιπλέον το Α έχει περιπό πλήθος στοιχείων. Μ' αυτές ης

'Εστω Ε το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων.

προϋποθέσεις εύκολα αποδεικνύεται ότι

Υποθέτουμε ότι το Ε δε ταυτίζεται με κορυφή του πα­

ΞJ Χο ΕΞ Α

με

ραλληλογράμμου. Να δείξετε ότι ο κύκλος που περνά

f(xo) "" Χο (mod 1987),

από τα σημεία Α,

δηλαδή:

03. Ξi Χο ΕΞ Α, Ξi ρ ΕΞ Ζ

Αλλά

~

: f(xo)

= Χο

· 1987

(3)

+ 1987 = f(χο) + ρ

(3)

D, Ε έχει ακτίνα R. f : IN - IN μια γνησίως f(2) = α > 2 και

'Εστω

τηση με

= f(χο + ρ

f(f(xo)) =}

= f(m)

f(mη)

(3)

χο

· 1987)

+ 1987 =

χο

(2)

~ χο

+ 2ρ · 1987 ~ 2ρ

'Αρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

· 1987

~

β

α

c

ταγμένες που ανήκουν στην ημιπαραβολή

χ', χ ;?: Ο.

=

y

~

~

~

Σουηδικός Μαθηματικός Διαγωνισμός (τελικός γύρος

Os.

22

Νοέμβρη

1986)

Να δείξετε ότι το πολυώνυμο

Χ6

Θα δείξουμε ότι το απεφοσύνολο αυτό έχει ης αναφερόμενες

χ' + Χ4

_

_

XJ

+ Χ2

Χ+~

_

4

ιδιότητες. Επειδή μια ευθεία τέμνει μια παραβολή το πολύ σε δυο ση­ μεία, τα σημεία του συνόλου είναι ανά τρία μη συνευθειακά. Επιπλέον ανά τρία ορίζουν τρίγωνο με ρητό εμβαδά, όπως

φαίvεται αμέσως από τον τύπο

Ε= ~ I I:: :: ~ jι. γιατί χ; ΕΞ ΙΝ 1::1 ί ΕΞ {1, 2, ... , 6}. χs

χ.

και

δεν έχει πραγματικές ρίζες.

06. Οι διαγώνιες AC και ΒΟ του τετραπλασίου ABCD τέμνονται στο εσωτερικό του σημείο Ο. Τα εμ­ βαδά των ΑΟΒ και COD είναι S, και Sz αντίστοιχα, ενώ το εμβαδά του ABCD είναι S. Να δείξετε ότι .JS.+~:::::..;s

1

Τέλος θα δείξουμε ότι η απόσταση δύο τυχαίων σημείων

Β(β, β ) (α, β ΕΞ Ν) 2

είναι άρρητος αριθμός.

Πράγματι

Ο1.

Έστω Ν θετικός ακέpα10ς (Ν

+ (α

2

-

β ) = y(α - β) [(α - β) 2 2

= Ια - βΙ Υ (α d(A, Β) ff. Q, γιατί ο

2

+ (α

2

+1 + β) + 1

+ 1]

β) 2

2

;): 3),

και

S

το σύ­

νολο όλων των ζευγών (α, β), όπου α, β θετικός ακέ­ ραιος με

d(A, Β)= y(α- β) 2

συνεπώς

IR.

- + - + -::::: - + - + -.

f.

θs. Θεωρούμε το σύνολο των Όημείων με ακέραιες συντε­

2

η ε

'Εστω α, β, c θετικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι α β c α2 βz cz

(Χ. Ταμβάκης, Γ. lβρισιμτζής)

Α(α, α )

m,

Να ορίσετε την ελάχιστη τιμή του α,

04.

άτοπο.

= 1,

f(η), για κάθε

αύξουσα συνάρ­

1 :::::

{(α, β) ε

S

α Ι

< β ::::: Ν. Να δείξετε ότι τα σύνολα β < 2α} και {(α, β) Ε S Ι β > 2α}

έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.

δεν είναι τέ­

Os.

Να δείξετε ότι το σύστημα

λειο τετράγωνο.

3

Χ+ y 2 + z = 3 3 2 y +z +χ = 3 z + χ2 + Υ 3 = 3

(Χ. Τ αμβάκης)

ΘΕΜΑΤΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΩΝ Από ης στήλες αυτές θα δημοσιεύουμε κάθε φορά

εκλεκτά θέματα από διάφορους μαθηματικούς διαγω­

έχει μοναδική θετική λύση την

χ= y

= z = 1.

09. Στον ορθογώνιο ρ Χ η πίνακα πραγματικών α11 αη ... αιn α2ι α22 ... α2k

αριθμών

νισμούς, ώστε οι αναγνώστες μας να εξοικειώνονται

με τέτο10υ είδους ασκήσεις. Με χαρά μας θα δημοσιεύ­ σουμε ης λύσεις που θα μας στείλετε.

αρl αp2

...

αpn

19


η διαφορά μεταξύ του μέγιστου και του ελάχιστου στοι­ χείου κάθε γραμμής είναι το πολύ

d,

όπου

d

> Ο.

Κάθε στήλη επαναδ1ατάσεται κατά φθίνουσα τάξη,

ώστε το μέγιστο στοιχείο της να βρίσκεται στην πρώτη γραμμή και το ελάχιστο στην τελευταία γραμμή.

Να δείξετε ότι και μετά την επαναδιάταξη αυτή, η διαφορά του μέγιστου και του ελαχίστου στοιχείου κά­ θε γραμμής είναι το πολύ

Οιο.

d.

Η ένωση πεπερασμένου πλήθους διαστημάτων

καλύπτει το διάστημα να επιλέξουμε

[0,1]. Να δείξετε ότι μπορούμε -

μεταξύ των διαστημάτων αυτών

-

ανά δυο ξένα διαστήματα που το ολικό τους μήκος να

,

ειναι του

λ'αχιστον -. 1 2 τ fλική Βαθμολογία

νίας

(248), 3.

Σοβ. Ένωση

(235), 4.

Λαϊκή Δημ. Γερ­

μανίας

(231), 5. Η.Π.Α. (220), 6. Ουγγαρία (218), 7. Βουλγαρία (210), 8. Κίνα (200), 9. Τσεχοσλοβακία (192), 10. Μεγ. Βρετανία (182), 11. Βιετνάμ (172), 12. Γαλλία (154), 13. Αυστρία (150), 14. Ολλανδία (146), 15. Αυστραλία (143), 16. Καναδάς (139), 17. Σουηδία (134), 18. Γιουγκοσλαβία (132), 19. Βραζιλία (116), 20. Ελλάδα (111), 21. Τουρκία (94), 22. Ισπανία (91), 23. Μαρόκο (88), 24. Κούβα (83), 25. Βέλγιο (74), 26. Περσία (70), 27. Νορβηγία (69), 28. Φιλλανδία (69), 29. Κολομβία (68), 30. Μογγολία (67), 31. Πολωνία (55), 32. Ισλανδία (45), 33. Κύπρος (42), 34. Περού (41), 35. Ιταλία (35), 36. Αλγερία (29), 37. Κουβέϊτ (28), 38. Λουξεμβούργο (27), 39. Ουραγουάη (27), 40. Μεξι­ κό (17), 41. Νικαράγουα (13), 42. Παναμάς (7).

28ηc; Ολυμπιάδας Μαθηματικών

1.

Ρουμανία

(250), 2.

.f>1φ

~

~

Ομοσπονδιακή Δημ.

Γερμα-

4η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ

3·8 Μαη •s7

Ολυμπιακό Στάδιο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΆΔΑ

~ 4"β.Μ.Ο.

~3

Στην Αθήνα από Σ'

3

ως

8

Μάη

αυτήν πήραν μέρος η

1987

έγινε η 4η Β.Μ.Ο.

διοργανώτρια Ελλάδα, η

Βουλγαρία, η Γιουγκοσλαβία, η Κύπρος και η Ρουμα­ νία.

Χαρακτηριστικό στιγμιότυπο απ' τη τελετή λήξης της 4ης Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας

20


Ν' αποδειχτεί ότι η

Την 4η Β.Μ.Ο. διοργάνωσε η Ε.Μ.Ε.

είναι σταθερά.

f

Την ομάδα της χώtχις μας αποτελούσαν ΟΙ μαθητές:

(Γιουγκοσλαβία)

Ταμβάκης Χαράλαμπος (Αθήνα) lμβρισημτζής Γιάννης (Θεσσαλονίκη)

Λύση:

Ζιάμας Χρήστος (Λάρισα)

Θέτοντας

Κομπότης Βαγγέλης (Αθήνα)

y = Ο, y = α,

Κουτρουμπής Δημήτριος (Αθήνα)

Θεοδοσόπουλος Θεόδωρος (Θεσσαλονίκη) Ακόμα πήραv μέρος στο διαγωνισμό και

12

'Ελλη­

vες μαθητΕς σαv αvαπληρωματικοί. Η χώι:χι μας πήρε

και

4

2

χρυσά (ταμβάκης, Ιμβρισημτζής)

y = Ο, παίρνουμΕ f(α) = 1/2. θέτοντας f(x) = f(α - χ) \f χ Ε R. θέτοντας παίρνουμε f(x) = f(α + χ) Vx Ε R. Έτσι

f(- χ)= f(α- (- χ))= f(α

αργυρά μετάλια, πράγμα που συμβαίνει για πρώ­

γκοσλαβία

Τουρκία δε συμμετέχουν. Τέλος το μοναδικό ειδικό βραβείο που δόθηκε στην

f(x)f(α

f(x - y) =

+ f(x)f(α -

Στη γενική βαθμολογία είχαμε:

(240), Βουλγαρία (215), Ελλάδα (185), Γιου­ (174), Κύπρος (160) ενώ η Αλβανία και η

+ χ)=

f(x) \:1

χ Ε

R,

και επομένως

τη φορα και δείχνει τη συνεχή άνοδο της ομάδας μας.

Ρουμαvία

χ =

παίρνουμΕ

y)

και έτσι με χ =

y

+ y) + f(-

y)f(α

χ) =

+ y)

+ f(y)f(α

-

f(x

χ)+

-

(χ,

y

Ε

R)

παίρνουμΕ

= f(O) = 1/2

f(2x)

f(x) = 1/2 \:1

'Αρα

\:1

χ Ε

χ Ε

R.

R.

4η Β.Μ.Ο. πήρε ο μαθητής μας Ζιάμας Χρήστος για

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

την πρωτότυπη λύση που έδωσε στο 4ο πρόβλημα.

θα πρέπει να πούμε εδώ, ότι στην τελετή έναρξης της Βαλκανιάδας παραβρέθηκε και μίλησe- για το πνεύ­

Έστω χ ;;;:,

1

και

= .JX=l + JY=l b = νΧ+1 + JY+l α

μα της εκδήλωσης ο πρώην Υφυπουργός Παιδείας κ. Παπαδημητρίου, κάτι που γίνεται για πρώτη φορά σε τέτοια διοργάνωση στη χώρα μας. τ ο γεγονός αυτό

2.

y ;;;:, 1

και έστω

ότι οι αριθμοί

και

είναι μη διαδοχικοί ακέραιοι. Ν' αποδειχτεί ότι

δείχνει το ενδιαφέρον της πολιτείας για το θεσμό και

b

την αvαγvώριση του θετικού ρόλου της ΕΜΕ στην προ·

=α +2

και

χ

=y

5/4.

απάθεια αvαβάθμισης της παιδείας μας.

(Ρουμανία)

Τα θέματα της 4ης Β.Μ.Ο. είναι τα παρακάτω. Η Ελλάδα σαv διοργανώτρια χώρα δεν πρότεινε θέματα.

Λύση:

Στο επόμενο τεύχος θα δώσουμε περισσότερα στοι­

χεία για τη διοργάνωση αυτή καθώς και αποσπάσματα απ' τις ομιλίες των ξένων αντιπροσωπειών καθώς επί­ σης και διάφορα χαρακτηριστικά στιγμιότυπα της όλης εκδήλωσης. Θα πρέπει σ' αυτό το σημείωμα να ευχα·

ριστήσσυμε το Υποvρyείο Εμπορίοv και τον Ο.Τ.Ε.

που συνέβαλαν οικονομικά στην 4η Βαλκανική Ολυ­

Έχουμε

Ο

<b-

(99.740

δρχ.) και

(70.000

b'

= α' + 4α + 4 = s + 2 + 2 VP + s + 1

δηλαδή

α2 - s

στολές.

α'

Θέματα 4ης Βαλκανιάδας 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ

1.

Έστω α Ε

IR

ΜΑΗ

και έστω f :

1987

IR - IR

μία συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες

f(x

+ y)

= f(x)f (α - y)

+ f(y)

f(α -

χ)

V χ,

+2=

+ 4α + 2 -

s =

VP- s + 1 και 2 VP + s + 1, α' + 2 2': s. 2

Παίρνοντας τα τετράγωνα και αφαιρώντας έχουμΕ

s = (α 3

(1)

+ 2α + 2α)/(α + 2

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα δίνει

α' :'Ξ:

χ= y

= 5/4.

2.

'Αρα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

y Ε IR

+ 2 VP- s + 1,

α' = s- 2

ρά του γtχιψείου τουρισμού (Ε.Ο.Τ) για τα καλαίσθη­ που είχε τη καλοσύνη να μας δώσει, για τις ξέvες απο­

2

Έχουμε

δρχ.). Επίσης τη προσφο­

τα έντυπα και αφίσσες για τη προβολή της χώρας μας,

=

------- + < 2 y'2 νΓχ+1 + νχ=ι v'Y+l + νΥ=1 (επειδή VX+1 + yχ-=--l ~ VZ. ΕπΕιδή α, b Ε ΙΝ, έπεα = 2. Έστω χ + y = s και xy = p. ται ότι b

μmάδα Μαθηματικών με τα αντίστοιχα χρηματικά ΠΟ· σά

α

2

3.

α

=

1, s

=

1)

s :'Ξ: α 2 + 2, η (1) μας 5/2, p = 25/16 και έτm

Σ' ένα τρίγωνο

ABC

με την ιδιό­

τητα

f(O) = 1/2.

21


όπου α και β είναι οι γωνίες με κορυφές Α και Β αντί­

(Μ.Π.Κ. Σερρών). (θz, θ3, θ4, θs, θ6, θ,, θs, θ9, θιο, θιι)

στοιχα, να βρεθεί ο λόγος

που σε σύντομο χρόνο θα 'χει τη χαρά να δημοσιεύ­

AC/BC. (Κύπρος)

σει απ' τις στήλες του περιοδικού. Σ'

αυτό

Β.Μ.Ο.

Λύση:

το τεύχος

ενώ

θα

δίνουμε

τις λύσεις της

ακολουθήσουν

θέματα

της

3ης

27ης

Δ.Μ.Ο., επιλογές θεμάτων Iberoameήcana. (ημ(α/2)

ημ(β12)] 23 = [συν(α/2)

I

Η ημ είναι λ στο διάστημα

(0,

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Oz και ακήνες 1,

AC/BC

4.

=

συν(β12)] , 48

θ,. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος κύ­

π/2) και η συν 'ί· Αν

> 1 και

το ένα μέλος της ισόrητας είναι α = β και ΕΠομένως

I

το άλλο

<

α # β

κλος του με κέντρο Ο. Έστω ευθεία (ε) που περνάει

'Αρα

από έγκεντρο του ΑΒΓ και τέμνει των περιγεγραμμένο

1.

1.

κύκλο στα Δ και Ε και τον εγγραμμένο στα

Δύο κύκλοι Κι,

Kz

με κέντρο Οι,

αvτίστοιχα τέμνονται σε δυο ση­ μεία Α και Β και ισχύουν Οι Oz = 2. Έστω AC μια

.J2,

χορδή του κύκλου Κ2. Να βρεθεί το μήκος της

AC

(όπου

F

από την μεριά του Δ και

F

και

G

από την μεριά

του Ε). Αν ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύ­

κλου στο ΑΒΓ, δείξτε ότι

ΔF- EG;;::: ρ

αν

το μέσο της κείται επί του Κι.

G

2

Πότε ισχύει η ισότητα; (Βουλγαρία)

Μ. Κεσογλίδης (μαθηματικός- Πολυτ. Σχολ. Ξάνθης)

Λ6ση:

Από τον τύπο του Ήρωνα, το εμβαδό του τριγώνου ΑΟιΟz

είναι

J774

ΑΟιΒΟz ABC

Απόδειξη:

και επομevως το εμβαδό του τετραπλεύρου

= .J7i2 = ~

(ΑΒ) (O,Oz)

= ΑΒ.

Από το σχήμα προκύπτει

Από το τρίγωνο

συνάγουμε ότι

(1)

Επειδή ΒΜ = 2ημφ, BC = 2 η

(1)

-./2 ημφ, όπου φ =

BAC,

μας δίνει

AC 2 = 2 (

~

+ 8 ημ 2φ ) -

4•4

ημ 2 φ = 7/2

δηλαδή AC = (7/2)112 .

Λύσεις στα θέματα της 3ης Βαλκανιάδας

δας που έγινε το χρονιά

86-87)

1986

στο Βουκουρέστι (τι, σελ.

9

καθώς και στα θέματα της 27ης Δ.Μ.Ο.

αυτές που παρουσιάζουν περισσότερο ενδιαφέρον κα­

(1) ΔF

Λύσεις έστειλαν: Π. Μαραγκουδάκης (Χανίά): θι, θ4 (3η Β.Μ.Ο.), Χρ. Αθαvασιάδης (Θεσσαλονίκη) θ4 (3η

Β.Μ.Ο) Κ. Ζιάμας (Λάρισα) Β. Μουρούκος (Αθήνα)

(θ. Βουλγαρίας) θι, θ2, θ1, (α) θι, (β) θι, θ2 θ.(27η θι, θ1, θ4 (3η Β.Μ.Ο.) Α Αθανα­

· EG

(Αθήνα) θJ, θ4 (3η Β.Μ.Ο) Γ. Κυριακόπουλος (θs

Ibe-

roameήcana). Μ. Στεργίου (27η Δ.Μ.Ο. ΘΕΣΣΔ), Γ. Πι­ τσίλκας (Λάρισα): θι, θ2 (27η Δ.Μ.Ο). Π. Θεοδοσίου (Φλώρινα): θι, θ2, θs, θ6, (27η Δ.Μ.Ο.) Γ. Διαμαvτίδης

(Σάμος) θ2 (Π.Μ.Δ.

86-87) και τέλος μια πάρα πολύ

καλή εmλογή με αρκετά κομψές λύσεις και όμορφα σχόλια σε θέματα της 27ης Δ.Μ.Ο. απ' τον Γ. Τζήκα

22

-

= ΙΔ · ΙΕ -

· EG = ΙΔ · ΙΕ - ΔΕ

ΔΕ

:::;:; 2R => -

Οπότε η

(1)

ρ)(ΙΕ

-

ρ)

=>

+ ΙΕ) ρ + ρ •ρ + ρ (ΙΔ

2

=>

2

ΔΕ

·

ρ

;;::: -

2Rρ

γίνεται

(3) ΔF · EG ;::::: ΙΔ · 1Ε - 2Rρ

2

Η δύναμη του σημείου Ι ως προς τον κύκλο

(0, R)

δίνει

σιάδης (Κιλκίς) θι, θ2, θ3, θ. (3η Β.Μ.Ο.) Γ. Νικητάκης

(Σητεία Κρήτης) θι, θJ, θ4 (3η Β.Μ.Ο.) Γ. Δερμιτζάκης

(ΙΔ

Αλλά

(2)

θώς επίσης κm χρήσιμες παρατηρήσεις-σχόλια.

(IBA)

=> ΔF

αχ.

πήραμε από πολλούς αvαγvώστες και δημοσιεύουμε

Δ.Μ.Ο.), θι, θ2,

=

DF · EG

Λύσεις στα θέματα της 3ης Μαθηματικής Βαλκανιά­

ΙΔ · ΙΕ

(4)

= R2 -

012

Είναι όμως

012 = R(R - 2ρ)

(5) Οπότε η

(3)

λόγω των

ΔF · EG ;;::: R2 ΔF

· EG;;::: ρ

2

-

τύη«Η; του Euler

(4) και (5) δίνει

R(R - 2ρ) - 2Rρ

2

=>


'Οπως εύκολα φαίνεται από την (2) η ισότητα ισχύει μόvον όταν η ΔΕ γίνει διάμετρος του κύκλου ΠαρατηρήσΕις:

1.

Στη σελ.

τ4 (σχ. χρ.

265

Η

(2)

87-87)

υπάρχει λύση και απ' τον Ν. Κισκύρα.

ταση:

1

1 1 + Pz + PJ

Ρ= ~

~

1 ( 1 1 1 Pz = ~ + Pz + PJ

)2

έχει άπειρες ακέραιες λύσεις αν

Στη (2) είναι

Από τη (2) προκύπτει εύκολα η ισοδυναμία

.

2 + αv-1 +

2

Από ανισότητα

Έχουμε

άγνωστους διότι σύμφωνα με γνωστή πρό­

(αvαv-1, 1, α~ + α~1) = 1 Λ (αvOv-1, 1) = 1. \

1

c

αχ+ βψ =γ

Μ.Κ.Δ (α, β, γ) = 1 Λ ΜΚΔ (α, β) = 1.

Επειδή

2.

όμως έχει άπειρες ακέραιες λύσεις θεωρώvτας

το λ και

(0, R).

αv

Lagrange-Swartz.

2 ( _!_ + _!_ + _!_ ) = _!_ Ρι Pz PJ Ρ2 2

ρ ~

DF · EG ?:

1 3DF · EG

~

C

= OvOv-1 λ~

Θέτουμε τώρα

οπότε:

αv-1

=

~

1 pi

1

1

ρ~

ρ~

αvOv-1

----'-- = αβ

+ - + -.

β

av =

+ β2 + c

α2

1 - 2 3p

α Λ

α~+ αν+1 + c

= λ

(3)

η (3) γίνεται:

λ.

Α. Αθανασιάδης (Κιλκίς)

(Π. Μαραγκουδάκης)

Bi i =

θ2- Δίνεται τετράεδρο AιAzAJA4 και σημεία

2, 3, 4 πάνω

στις ακμές του τέτοια ώστε

Δείξτε ότι τα

Bi

1,

Αρκετά καλές λύσεις έχουν δώσει επίσης ο Γ. Νικητάκης

και Γ. Δερμιτζάκης (ευθύ-αντίστροφο) που όμως είναί αρκετά μεγάλες μια και είναι πολύ αναλυτικές.

θ4. α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ στο εσωτε­

σημεία ανήκουν σε σφαίρα.

ρικό του, τέτοιο ώστε τα τρίγωνα ΑΡΒ, ΒΡΓ, ΓΡΑ να είναι ισεμβαδικά και ισοπεριμετρικά. Δείξτε ότι το τρί­

Λύση:

γωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

Επειδή Βι και

ΒιΑι

Bz

· ΒιΑz = BzAz · BzAJ άρα τα σημεία

γραμμέvο κύκλο στην έδρα AιAzAJ κέvτρου Οι και συ­ νεπώς απέχουν εξίσου από το κέvτρο του δηλαδή ΟιΒι

ΟιΒz. Εάν το Ο το περίκεντρο του τετραπλεύ­

=

Μ. Κασογλίδης (Πολ. Σχ. !άνθης)

έχουν την ίδια δύναμη ως προς τον περιγε­

ΑπόδΕιξη: α' τρόπος: Αφού είναι

ρου όπως είναι γνωστό η ΟΟι είναι κάθετη στην έδρα

AιAzAJ και

και επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα

ΟιΟΒ 2

θα είναι ίσα και άρα

ΟΒι

ΟιΟΒι

= OBz. Ανά­ OBz = OBJ,

λογα εργαζόμαστε και δείχνονται ότι

ΟΒ 3 = ΟΒ 4 και ΟΒ. = ΟΒι και επομένως τα Rι, Rz, RJ, R4 βρίσκονται επί ομόκεντρης σφαίρας προς

την περιγεγραμμένη ακτίνας

στο τετράεδρο

AιAzAJA4

και

ΟΒι. Α. Αθανασιάδης (Κιλκίς)

θJ. Δίνεται ακολουθία πραγματικών οι

=

α, α2

=

Β

και

αv

Να δείξετε ότι όλοι οι όροι της

(av)

τότε και μόνο τότε όταν οι α, β, και

(ΒΡΓ)

31

(ΑΒΓ) ~

'Εστω τώρα ότι τρίγωvο ΑΒΓ δεν είναι ισόπλευρο

είναι ακέραιοι

γενικότητας υποθέτουμε

+ β2 + c αβ

εί-

ΒΓ <ΓΑ~

(1)

2

2

3

3

ΑΔ>ΒΕ~-ΑΔ>-ΒΕ~

α~+ c

ακέραιος, τότε αυτό, μπορεί να πάρει

α~+ c

--- =

ΑΕ>ΒΡ

(2) τότε θα έχουμε

αv-1

τη μορφη

=

και ας υποθέσουμε ότι ΒΓ =I= Γ Α και χωρίς βλάβη της

Λύση:

,

(ΓΡΑ)

αv-1

ναι ακέραιοι.

Εδώ

=

σων ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ του τριγώvου ΑΒΓ.

+ 1 = ---. 02

=

το σημείο Ρ συμπίmει με το σημείο τομής των διαμέ­

με

α~+ c

(av)

(ΑΡΒ)

αvλ- αv-1

(1)

,

οπου αv, αv-1 και

Δ

Περίμετρος ΒΡΓ = ΒΓ + ΓΡ + ΡΒ <λόγω της (1)

αv-1

λ ακέραιοι διότι από την

(1)

θα έχουμε ισοδυναμία

αvαv-Ιλ- c =α~+ α~1 (2).

ΓΑ+ ΓΡ ΓΑ+ ΓΡ

+ ΡΒ <λόγω της (2) Δ

+

ΑΡ =περίμετρος ΓΡΑ

23


και από την

'Ατοπο αφού από την υπόθεση Δ

=

περιμ. ΒΡΓ

Στο

άτοπο

φθάσαμε

περιμ. ΓΡΑ

υποθέτοντας ότι

προκύπτει

(5)

ΒΡ =

ΑΓ

δηλαδή το

παραλληλόγραμμο ΑΒΓΡ έχει ίσες διαγώνιες, οπότε

Δ

είναι ορβογώνιο. ΒΓ

"#

ΓΑ.

'Αρα είναι

'Αρα Β

δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθο­

= 90°

γώνιο.

=

ΒΓ

(3)

ΑΓ

β' τρόπος: (Γ. Νικητάκης)

ομοίως αποδεικνύουμε ότι

1\ί>ση:

ΑΒ= ΒΓ

(4)

Δ

Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι ΑΒΓ ισόπλευρο. β) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ στο εξωτερικό

του, τέτοιο ώστε τα τρίγωνα ΑΡΒ, ΒΡΓ, ΓΡΑ να είναι ισεμβαδικά και ισοπεριμετρικά. Δείξτε ότι το τρίγωνο

Γ

ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Α

Απόδειξη:

(α) Επειδή

(ΑΡΒ) = (BPC) = (APC) ~ (BPC) = ~ (ΑΒΓ). Εδώ

ΡΗ, ΑΔ

.l ΒΓ

(BPC)

α

α' τρόπος:

Έστω ότι το σημείο Ρ βρίσκεται στο

ημιεπίπεδο που δεv βρίσκεται το Β σε σχέση με την ΑΓ. Από την υπόθεση δίνεται

(ΑΚΒ)

= =

(ΓΡΑ) (ΡΚΓ)

2

Η

= (ΡΒΓ)

(1) μας λέει ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΡΒΓ έχουν

ίσα εμβαδά και επειδή έχουν κοινή βάση θα έχουν ίσα

(ΑΔ)

2

'Ομοια

ΡΙ

ρους του

1

=-

Bl.

3

ΒΓ

ABC.

' δ ιαμεσων ' Απο'θ εωρημα

α2

'

εχω:

(ΒΚΓ)

(ΓΡΑ)

=

=

(ΚΡΑ)

4(~ - μβ) = 3(β

// ΑΡ ~ 4(~

αφαιρώντας το ΡΚΓ προκύπτει

Είναι

~

= (ΑΒΡ)

Η (3) μας λέει ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΡ έχουν ίσα εμβαδά και επειδή έχουν κοινή βάση θα έχουν ίσα ύψη, που σημαίνει ότι

(4) Από τις

Η

ΑΒ

11

ΑΡ

+ ΡΒ + ΒΑ = ΑΡ + ΡΓ + ΑΓ

και αφού το ΑΒΓΡ είναι παραλληλόγραμμο είναι ΑΒ= ΓΡ

24

3(β

2

+ c2 = )

~

c)(β

+

c

-

-

ΑΡ

2

βάσει της (Π) δίνει:

3

4 · -

2

μβ)

= c -

(c - β)(μc

(c - β) [6(μc όμοια και

+-

2

2

2μβ

c)

=

~

+-

2

Ο

(I)

+ PC + CA ~

2

2

c

=

α

β ~ μ.;

CPA

23 (c -

- β)(β

+ c) = Ο ~

+ μβ) + 3(β + c)] = Ο ~ c = τελικά

α

=

β

CPA

ΑΡ και το ίδιο εμβαδά άρα και

- μβ =

+ μβ) + 3 (c

β) Τα τρίγωνα ΑΒΡ και

BPC

2

cz

2Jli,

3 μα + C + 3 μβ = 3 ~ + 3 μ.; + β ~

(I)

ραλληλόγραμμο. Έχουμε τώρα ότι τα ΑΡΒ και ΑΡΓ

-

+ ΑΒ + ΒΡ =

32 (μc -

ΓΡ

(2) και (4) προκύπτει ότι το ΑΒΓΡ είναι πα·

μβ)(~)

-

~

είναι και ισοπεριμετρικά ~

(5)

ΡΑ

προσθέτοντας το ΑΒΚ προκύπτει

(ΑΒΓ)

(3)

I

+ 82 =

β2

α2

Ομοίως από την υπόθεση δίνεται (ΒΡΓ)

3

'Αρα το Ρ είναι το κέντρο βά-

ύψη, που σημαίνει ότι

(2)

(ΑΒΓ) ~

ΡΗ ΡΜ 1 -=-~ΡΜ=-ΑΜ. ΑΔ ΑΜ 3

αφαιρώντας το ΑΚΡ ~

(ΑΒΓ)

(1)

3

αλλά

προσθέτοντας το ΒΚΓ ~

1

=3

~ ..!._ (BC) · (ΡΗ) = ..!._ • ..!._ (ΒΓ) · (ΑΔ) ~ (ΡΗ) = ..!._

Έστω ακόμη Κ σημείο τομής των ΑΓ και ΒΡ.

(ΑΡΒ)

από τη σχέση:

ΑΡ

β) (Π)

β

= c. έχουν την ίδια βάση

// BC.

έχουν την ίδια βάση

PC

Τα τρίγωνα και είναι ισο-


εμβαδικά.

· Αρα

PC // ΑΒ. APCB.

ραλληλόγραμμο

Σχηματίζεται άρα το πα­

Από το παραλληλόγραμο ABCP είναι φανερό όη (ΑΒΡ)

Kat όη

= (BPC)

Αν προσέξουμε όμως το σχήμα, το αποκλεiεταt διόη

<

γεωμετ. Α' Λυκείου): 'Αρα σχέσεtς

Α

y + z

(1) έχουμε

Ρ

y

=

2y

+β+ i

i + β~ 2y =

= 2z +

(ή αφαφώvτας κατά μέλη ης

όμοια βρίσκουμε όη α

+ ΑΡ + ΒΡ

'Αρα τα τρίγωνα ΑΒΡ κω

α

ΑΒ

+ BC + PC.

= ΒΡ

(εφ.

β

=

σελ.

6,

26, z + γ.· Απ' ης

y+β=z+γΛy+γ=z+β~ ~

ΑΒ

+z

y

+γ y+ β = z +β β

=

β

~ Υ

2z

= z

tσότητες).

2

~ β

γ

=

Εντελώς

κι επομένως

= BC = CA

Α

BPC είvαt tσοπερψετρικά. APC είναι ωοπερψετρι­

Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΡ και κά παίρνουμε:

ΑΒ

+ ΒΡ + ΑΡ

= ΑΡ

ABCP

+ AC + PC ~

ορθογώνιο ~

ΒΡ

= AC ~

• Β = goo

3ος τρόπος: Χ. Αθανασιάδης (θt'σσαλονίκη)

Ρ Δ

Eiνat

Δ

'"i:ύμφωνα με τα προηγούμενα απ' τα ΑΒΡ και

Α

έχουμε

γ

+

α

=

χ

+ z

ν γ

τερο όμως απορίπτεται διόη

9α σελ.

27

+ z = χ + α

+ α.

χ

BPC

Το δεύ­ (άσκ.

+ z

γεωμετρίας Α' Λυκείου). 'Αρα α+ γ= χ+

z.

Απ' ης σχέσεις (1) όμως έχουμε

α

χ

+ z =

+

γ.

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε 2α

y+γ = z+

β Λ χ

+γ = z +αΛ χ + β = y+α

Δ

Φ

ACP.

του 'Ηρωνα έχουμε:

γ)(τ

-

y)(τ

-

χ)

~ (τ

-

γ)(τ

- y) =

=

τ(τ (τ

β)(τ

-

-

β)(τ

- z)

~( χ+~+γ -γ)( χ+~+γ

+ i + "/. ~ 2α = 2χ

~ α

= χ,

-

+ γ

ABPC

- z = f. + z - f. = z + β y=z β = y

Φ

=

γ ~

2y

= 2z

~ γ

= z.

= z Λ β = y) ~

είνω παραλληλόγραμμο καt αφού

το ABPC είνω ορθογώνιο ~ Α = 90°.

α

=

χ ~

Καλή λύση έχει δοθεί και αη' τον Γ. Δερμιτζάκη (Αθήνα)

κάνουν μη δημοσιεύσιμη.

z)(τ

-

αλλά ο σύνθετος τρόπος και το μακροσκελές της γραφής τη

= .Jτ(τ- β)(τ- z)(τ- χ)~ -

το

*

Ει= Ε 2 ~ .Jτ(τ- γ)(τ- y)(τ- χ)=

~ τ(τ

Υ

Προφανώς έχουν την ίδtα

περίμετρο τ, κι επειδή είναt tσεμβαδικά από τον τύπο

γ

+

(1)

Δ

Παίρνω τα ΑΒΡ και

=

και με αφαίρεση

~x+y+γ=x+z+β=y+z+α~

~

+ "/. + i

χ) ~

-

~

Κυκλοφόρησε ο

ΑΠΕΙΡΟΣτΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ (τόμοι:; Ι)

-y )=

τωv Σ. ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗ, Σ. ΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ, Ε. ΓΙΑΝΝΑΚΟΥ ΛΙΑ

~ (χ ~

+Υ -

>12_ (y _

- γ=

γ)(χ γ)2

- Υ

+ γ)

= >12_ (z _

± (z -

β) ~Υ

~Υ+ β=

z

= (χ

+z-

β)z ~

(y _

β)(χ γ)2

- z

= (z _

- γ= z - β ν Υ- γ

+γ νy

+ z

+ β)

=β+ γ.

=

β

~

β)z ~

- z~

- 373 -

+ "νί" σελίδες

πληθώρα ασκήσ��ων ιστορικές σημειώσεις

Για φοιτητές, σπουδαστές ΑΕΙ, ΤΕΙ και για καθηγητές Δι:υτι:ροβόθμιας Εκπαίδι:υσης

25


ι ο Ο)(Ολικο ριρΛιο tιεωρειται·το εvαρκτηριο. Ν αvαφορα

του πρωτοτυπου

και μιας άλλης βιβλιογραφίας Ελληvικής ή ξΕvης είvαι κάτι

<άnως διαφορετι­

που αvήκει στα προσωπικά κριτήρια του μαθητή για ΕΠέκτα­

)ΙJ evώ σ' άλλες

nn V\Jώσnc απ' αυτή τηv ηλικkι. Η ελληvικ,t.. uετόψrχJση απ'

:Πι τέτοιο θεωρή­

\1)

ωι παιδαγωγικής

ρόπος θε-

Η στηλη του μαθητη μια καλή 1

1

!ιβλία του

ιθεί ότι υπάρχουv κπαίδευση κάποι­ ες πρώτες

ΧΠ10σμάτωv απ·

Ευκλείδη [όσα βέβαια έχουν σωθεί γιατί λέγεται ότι πολλά έ)(ουv καταστραφεί απ' τηv πυρκαγιά, της αξιόλογης σε πη- ·

ι επαvαληψή του

αγορά και είvαι έvα καλό τόλμημα μελέτης.

Jeιώσεων που θα

Με χαρά

ι κάθε κεφαλαίου

γές, βιβλιοθήκης της Αλεξάvδρειας) σήμφα στηv Ελληvική

η στήλη του

μαθητή,

συνεχίζει τη δη­

μιουργική της προσπάθεια, μετά τη περυσινή της καθιέ­

,

Απο τοv τύπο ημ

2 -ω =

1-συνω

2

2

ρωση στο χώρο της μαθηματικής απόπειρας. 'Εχουν κιόλας προταθεί

14

ασκήσεις από τη περασμένη χρο­

1-

ημ 15 = 2

νιά και η φετεινή διάθεση διαμορφώνει ακόμα καλύ­

y'3 2

2

2

~ ημ15

v2- VI = ± -'------'2

μα θετικής ανταπόκρισης ...

Θυμίζουμε ότι σκοπός αυτής της στήλης είναι να

δώσει ώθηση στις δικές σας απόπειρες γραφής στο χώ­

= 30.

1-2 ~ ημ 15 = - - - - ~

συν30

τερες προοπτικές. Αρκετά γράμματα με ασκήσεις, πα­ ρατηρήσεις, και άλλα σχόλια σκιαγραφούν κιόλας κλί­

έχουμε για ω

Η ημ15

=-

J2-.JJ

απορρίπτεται γιατί ημ15 >Ο.

2

ρο των ασκήσεων και όχι μόνο που θα σκιαγραφήσουν το ενδιαφέρον, το μεράκι, τη πρωτοτυπία, την έξυπνη

Ομοίως από τον τύπο

λύση, και το οποιοδήποτε άλλο χαρακτηριστικό που

2

ω

1+συvω

2

ω

για

συν-=----

θα ήταν καταχώρηση στη δημιουργική σας αυτή πρω­

2

= 30 έχουμε:

τοβουλία.

Έτσι περιμένουμε λύσεις στις προτεινόμενες ασκή­

2

συν 15

σεις, αλλά και αντίστοιχες δικές σας που να μην έ­

συv30ο

1+

=

2

V3

1+

~ συν 15 2

2 = ---- ~

2

χουν όμως δημοσιευτεί αλλού.

Απ' το προηγούμενο τεύχος (τ4) περιμένουμε λύσεις

στις ασκήσεις Α9, Αιο,

Αιι, Αιz, που

~ συv 2 15

έχουν αρκετό

=

2+fi

4

ενδιαφέρον ενώ επιλεκτικά, εκτός σειράς, λύνουμε τις ασκήσεις Αιz, Αι4 και δημοσιεύουμε τις Αι5, Αι6.

Ομοίως η συv 15°

Οι λύσεις των ασκήσεων Αιz, Αι4 δίνονται απ' τον

Β. Παπαδόπουλο (:Ξ:άνθη), ενώ έχουμε πάρει προτεινό­

μενες ασκήσεις ακόμα απ'

τους Δ.

Θεοδωρόπουλο

(Άργος) Γ. Διαμαvτίδη (Σάμο) Β. Πέτσο (;)Δ. Λεριά (Ρόδος) και το μαθητικό περιοδικό «νεανικοί στόχοι»

συvlS >Ο.

με:

Ομοίως ΒΔ διαγώνια; του ρόμβου

Επίσης ΑΓ και ΒΔ δ

~ΑΚ

0,5χ 2

~Χι=

-

Λ Δι =

& = 75°

+Ε=

Ο

$>

ν'Ε

του ρόμβου δίνονται από τους τύπους

26

1).

ημΒι

ημΑz

ΒΚ

ημΒι

δι

ημ75

ημΑz

δz

ημ15

δι

συv15

δι

δz

ημ15

δz

2-

ΚΓΛΒΚ=ΚΔ

..JE (y'E (y'3+ 1), Xz =

..JE (fi-

ΑΚ

1

(y'3- 1).

Συνεπώς πρέπει να δείξουμε ότι οι διαγώνιοι ΑΓ, ΒΔ

και

ΒΚ

~-=---~-

ομούνται

.3Ε χ

ΑΚ

--~-=--~

Az = 15° Λ f, = fz = 15° !5°

VE (y'3 +

1)

,

,

ΒΔ= δz

καθώς και

απορριπτεται γιατι

διδzΔ Α

--=--,~-=

Αιz. Ξέρουμε ότι ΑΓ διαγώνιος του ρόμβου

.

και

2

= 2Ε.

Εφαρμόζοντας το νόμο των ημιτόνων στο ΑΚΒ έχου-

Αλλά θα επανέλθουμε ...

~ Βι = Βι

ΑΓ =δι

v2+VJ = ± -'----=--

Κ το σημείο τομής του. Είναι γνωστό ότι

(Αθήνα) (τι, τz) σε εκπαιδευτική και μαθηματική ύλη.

~Αι =

v2+VJ 2

= -

Έστω

~ συvlS

(Σ)

V3


Αι4· Να βρείτε την τιμή της παράστασης

αν

χ + y+ z = 1 (χ

3

και

+ y + z) 3

Ο)

z

Υ

Δ

3

(χ 3

3

του ΑΕΓ απέ~ει από την ΑΓ απόσταση ΑΒ, βρείτε τις

+ y3 + z 3 ) =

γωνίες του ΑΒΓ.

Κ. Πράσινος (Αθήνα)

~ x(xy + xz + yz) + y(xy + xz + yz) + z x + z y = Ο~

~ (χ

+ y)(xy + xz + yz + z

~ (χ

+ y)(y + z)(z +

~x+y=O Αν

χ

2

+ y)(xy + xz + yz) + z2(x + y) = Ο ~

+ z=

ν

Ο,

χ)

y+z=O

από τη

χ

2

)

z

90° φέρνουμε τη διχοτόμο της = ΒΓ. Αν το ορθόκεντρο

= 3(x 2y + x2z + y2x + y2z + z2y + 2xyz) ~

~ (χ

χ

Α

Α Αι5. Σε ΑΒΓ με Α=

2

+ -1 + -1 = 1

Α και Απαίρνουμε τμήμα ΑΕ

χ + y + z = 1. -

-1 χ

1 1 1 - + - + - (xyz #χ

' κυκλικα' προκυπτει ' οποτε κα'θ ε φορά

Ο ~

ν

z+x=O

+ οο

ή το- οο):

= Ο~

=

Αι6. Να αποδειχτεί ότι η παρακάτω ακολουθία δεν είναι συγκλίνουσα κατ' εκδοχήν (δεν έχει όριο το

αv

=

ημ(1987 · logι9s?V)

+ 1987 · συν(lοgv1987) +

ν 1987

1987v ν=

2, 3, 4, ...

+ y + z = 1 => z = 1 Κ. Πράσινος (Αθήνα)

1 1 1 x+y 1 Ο 1 -+-+-=--+-=-+-= 1 χ y z xy z xy 1

Ανάλυση τριωνύμου Β. Πολυδούρης

Ανάλυση τριώνυμου (με ακέραιους συντελεστέc;)

'Ετσι, με την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού που πα·

σε πρωτοβάθμιου«; παράγονrεc;

ρουσιάζει το πρώτο μέλος, βρίσκουμε ένα άθροισμα,

όπως δείχνει το δεύτερο μέλος της ισότητας

(με ακέραιουc; συντελεστέc;)

(1).

Αλλά,

μια ισότητα δεν οδηγεί μόνο από το πρώτο μέλος

Μέρος πρώτο

στο δεύτερο, οδηγεί και ανrίθετα, δηλαδή από το

Η ανάλυση ενός πολυώνυμου σε παράγοντες είναι μια εργασία ανrίθετη με κείνη του πολλαπλασιασμού

δεύτερο μέλος στο πρώτο. Μπορούμε λοιπόν την ισό­

τητα

(1),

να την γράψουμε κι έτσι:

των πολυωνύμων. Πριν όμως προχωρήσουμε στον πολ­

5 .7

λαπλασιασμό και την ανάλυση των πολυωνύμων, θα

ή

πρέπει να υπενθυμίσουμε δυο ιδιότητες απ' την Αριθ­

μητική πολύ χρήσιμες, γιατί είναι σχετικές με τον πολ­

-

+ 5 . 13 = 5 . (7 + 13) 35 + 65 = 5 . (7 + 13)

Να λοιπόν που ένα άθροισμα, το

λαπλασιασμό αριθμών και την ανάλυση αριθμών σε

γινόμενο, δηλαδή το

παράγοντες.

χει αυτό, οι δυο προσθετέοι,

[5 · (7

+ 65],

έγινε

+ 13)]. Αλλά, για va πετύ­ [35 + 65], καθένας περιέ·

χει μέσα του τον παράγοντα

1.

[35

(2) (3)

5.

Ο παράγοντας αυτός,

που υπάρχει και στους δυο προσθετέους του αθροί­

Η ΕπιμΕριστική ιδιότητα

σματος, λέγεται κοινόc; παράγονταc;. 'Ωστε:

Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού (για

« 'Οταν δυο ή περισσότεροι προσθετέοι έχουv κοιvό

την πρόσθεση) μας μαθαίνει ότι: «Για vα πολλαπλασιά·

παράγοvτα, τότε το άθροισμά τους πάvτοτε μετατρέ·

σουμε αριθμό επί άθροισμα, πολλαπλσσιάζουμε τοv

πεται σε γιvόμενο», όπως φάνηκε απ' το παράδειγμα.

αριθμό με όλους τους προσθετέους του αθροίσματος και τέλος προσθέτουμε τα γιvόμεvα».

Επειδή η ιδιότητα ισχύει για όλους τους πραγματι· κούς αριθμούς, γιαυτό ;ους αριθμούς του παραδείγμα·

Η ιδιότητα ισχύει για τους πραγματικούς αριθμούς, όμως

τος μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με όποιους

τα παραδείγματα που θα ακολουθήσουν, θα χρησιμοποιούν

άλλους πραγματικούς θέλουμε ή και με γενικούς αριθ­

μόνο φυσικούς αριθμούς (θετικούς ακέραιους) για ευκολία

μούς (χ,

και απλότητα.

τήσουμε ένα γενικό αριθμό, ας πούμε τον αριθμό χ,

Ένα' παράδειγμα της επιμεριστικής ιδιότητας:

5 . (7

+

13) = 5 . 7

+

5 . 13

y, ... κλπ). Αν λοιπόν στη θέση του 7 τοποθε­

τότε η ισότητα

(1)

(3) 5 .

θα γίνει: χ

+

65 = 5 .

+ 13)

(4) 27


Αλλά, το πρώτο μέλος της ισότητας

είναι ένα

(4)

ή

(2

πολυώνυμο. Το πολυώνυμο αυτό μπορούμε να το κά­ νουμε γινόμενο, αν εργαστούμε όπως κω στο προηγού­

μενο αρtθμητικό παράδειγμα: 5χ

+ 65

=5 · χ +

13

αν αντικαταστήσουμε το

με γ, τότε η

= 5 · (χ +

13)

(5)

5

(2)

θα γiνεt:

αβ

+ αγ = α

με α, το

7

με β καt το

·

τους αντικαταστήσουμε με όποωυς άλλους πραγμαη­ κούς θέλουμε ή κω με γενικούς αρtθμούς. Αν λοtπόν

στο άθροΙσμα (8) αντικαταστήσουμε τον αριθμό 2 με τον γενικό αριθμό χ και τον

xy +

προσθετέο

του

πρώτου,

+ 28

(11)

2 .7+ 4.5

+4.7

(6)

(6). Αλλά, όπως είπαμε και προηγούμενα,

μια ισότητα οδηγεί προς δυο διευθύνσεις από το πρώ­ το μέλος στο δεύτερο κω αντίθετα, από το δεύτερο

)

« Όταv

• (χ

(12)

+ 4)

τα μοvώvυμα εvός πολυώvυμοο χωρί­

ζοvται σε ομάδες και καθεμιά έχει δικό της κοιvό πα­ ράγοvτα, τότε το πολοώvυμο μπορεί (αλλά όχι πάvτο­ τε) vα γίvει γιvόμεvοι;.

σtασμό. Με την εκτέλεση του πολλαπλασtασμού βρί­

σκουμε ένα άθροΙσμα, όπως δείχνεΙ το δεύτερο μέλος

=

(y + 7) + 4 . (y + 7) =

= (y + 7) Ώστε:

Το πρώτο μέλος της (6) μας δείχνεΙ έναν πολλαπλα­

της ισότητας

+ 4y

xy + 7χ + 4y + 28 χ •

με

και τέλος προσθέτουμε τα γιvόμεvα». ΠαράδεΙγμα:

=2.5+

θα εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο, όπως και στο προη­

όλους τους προσθετέους του δεύτερου αθροίσματος

(2 + 4) . (5 + 7)

τότε το άθροΙ­

y,

Αλλά, αυτό είναι ένα πολυώνυμο. Και αν θέλουμε

tδtότητα της ΑρΙθμητικής μας μαθαίνεΙ καθέvα

με τον

αυτό το πολυώνυμο να το μετατρέψουμε σε γινόμενο,

πολλαπλασιάσουμε δυο αθροίσματα, πολ­

λαπλασιάζουμε

5

γούμενο αριθμητικό παράδειγμα:

ι Αθροισμα Επί άθροισμα

va

Επεtδή η tδtότητα του πολ;'μού δυο αθροΙσμάτων

+ γ)

vτοτε vα μετατραπεί σε γιvόμεvο».

Η δεύτερη

[Βλ. εισαγωγή στην «απόδειξη» σελ ... ]

σμα (8) θα παρουσιαστεί έτσι:

όλα κοιvό παράγοvτα, τότε το πολυώvυμο μπορεί πά­

όη: «Για

+ 7)

ισχύει γtα όλους τους πραγματικούς αρΙθμούς, γ1 αυτό

'Ωστε: « 'Οταv τα μοvώvυμα εvός πολυωvύμου έχουv

2.

• (5

τους αριθμούς του πριν παραδείγματος μπορούμε να

5 · 13

Σ το ίδtο αριθμηηκό παράδεtγμα καt στην Ισότητα

(2),

3.

+ 4)

Για να γίνει γινόμενο ένα τέτοιο πολυώνυμο, θα πρέ­ πει έξω απ' τους κοινούς παράγοντες των ομάδων, να

παρουσιαστεί κι ένας νέος κοινός παράγοντας, όπως ο παράγοντας

(y

+ 7)

του παραδείγματος

(12).

μέλος στο πρώτο. Μπορούμε λοιπόν την (6) να την ξαναγράψουμε, αρχίζοντας από το δεύτερο και καταλή­ γοντας στο πρώτο μέλος:

2 .5

+2

. 7

+4

3.

Συζυγείς διαιρέτες αριθμού

Ένας ακέραιος αριθμός απόλυτος [δηλ. χωρίς πρόση­

.5 + 4 .7

=

(2 + 4) . (5

+ 7)

(7)

Τώρα όμως έχουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα. Αν

ξεκινήσουμε από το άθροισμα

μο αριθμός] μπορεί να είναι ή πρώτος ή σύνθετος. [Πρώτος είναι ο αριθμός που έχει διαιρέτες τη μονάδα και

τον εαυτό του, π.χ. ο

(8)

2·5+2·7+4·5+4·7 πώς θα φθάσουμε στο γtνόμενο (2

Ι. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα

+ 4)

· (5

+ 7);

όμως κοινός παράγοντας κάθε δυο προσθετέους. Μπο­ ρούμε λοιπόν να σχηματίσουμε ένα γινόμενο από τους

προσθετέους και μετά, ένα άλλο γινόμενο από τους άλλους δυό, δηλαδή:

ο αριθμός έχει διαιρέτες το σιάσουμε

(10)

2. Ακόμα παρατηρούμε όη, η παράσταση (10) είναι κοινό παράγοντα τον (5

+

7). Αυτός λοtπόν ο παρά­

γοντας μπορεί να τοποθετηθεί έξω από μtα νέα πα­ αυτά που μάθαμε στην πρώτη

tδtότητα [επψερtστtκ��, Ισότητα

28

. (2

+ 4)

και το

[1 · 5],

5,

5.

Αυτοί οι δυο λέγονται

γιατί αν τους πολλαπλα­

βρίσκουμε τον δοσμένο αριθμό

'Αλλους συζυγείς διαιρέτες δεν έχει ο

5

5.

σαν πρώτος

αριθμός.

γείς διαιρέτες το

(2)], δηλαδή:

1

καt τον εαυτό του, αλλά έχει κι

άλλα ζεύγη συζ. διαιρετών. Παράδειγμα: ο αριθμός

ένα άθροΙσμα με δυο προσθετέους, που καθένας έχεΙ

+ 7)

1

συζυγείς διαιρέτες του

5

'Οταν τώρα ένας αριθμός είναι σύνθετος, έχει συζυ­

2 . (5 + 7) + 4 . (5 + 7)

(5

σύνθετος είναι αυτός που, έξω από

ο 12]. Έτσι:

(9)

(8) δεν έχεΙ κοινό

παράγοντα κω στους τέσσερις προσθετέους, υπάρχει

ρένθεση, σύμφωνα μ'

5,

τη μονάδα και τον εαυτό του, έχει και άλλους διαιρέτες π.χ.

12

έχει τρία ζεύγη συζυγών διαιρετών

6], [3

και

[1 και 12], [2 και

4].

'Οταν πάλι ένας αριθμός είναι τετράγωνος, π.χ.

τότε η τετραγωνική του ρίζα, δηλαδή ο ζευγάρι με τον εαυτό του. 'Ωστε:

9, 3, σχηματίζεΙ


ο αριθμό«;

σουμε ότι το βλέπουμε για πρώτη φορά(!), πώς θα

9

έχει δυο ζεύγη συζυγών διαιρετών·

Συμπί:ρασμα. Κάθε

ακέραιος

[1

και

9], [3

και

3].

απόλυτος αριθμός,

πρώτος ή σύνθετος, έχει ένα ή περισσότερα ζευγάρια συζυγών διαιρετών. Αμέσως πιο κάτω δίνουμε έvο πίνακα μερικών αριθμών μα­ ζί με τους συζυγείς διαιρέτες τους:

1

2 3

4

βαθμού;

Για να προχωρήσουμε στη λύση του προβλήμάτος, είναι ανάγκη να γυρίσουμε λίγο πίσω και να θυμηθού­ με ότι, οι συντελεστές του τριωνύμου (β) έγιναν από τους αριθμούς

δηλαδή τους συντελεστές

1, 2, 3, 5,

των διωνύμων (α). ΑΛλά, οι

9 12 16 17 20

5 6

αναλύσουμε το τριώνυμο (β) σε παράγοντες 1ου

1

και

2

είναι συζυγείς δι­

2

αιρέτες του 2 (συντελεστή του χ ) και οι 3 και 5 είναι

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

συζυγείς διαιρέτες του

1

2

3

2 2 4

5

2 3 6

3 3

2 3 4

2

17

2

ζυγείς διαιρέτες των άκρων συντελεστών του τριώνυ­

9

6 12

4 4 8 16

15,

δηλαδή παρουσιάζονται συ·

μου (β). Εδώ λοιπόν βρίσκεται η πρώτη επινόηση.

4 5 10

απ' τους άκρους συντελεστές τοποθετούμε τους συζυ­

20

γείς διαιρέτες καθενός:

Ξαναγράφουμε λοιπόν το τριώνυμο (β) και κάτω

2χ 2

Και τώρα θα μπούμε στο κύριο θέμα μας, στην παραγοντο­

+ 13χ + 15

ποίηση του τριώνυμου δεύτερου βαθμού.

3 5

2

4.

Πολλαπλασιασμός διωνύμων και ανάλυση τριωνύμου

15

Τα πιο απλά πολυώνυμα είναι αυτά του 1ου βαθμού με ακέραιους συντελεστές. Επειδή αποτελούνται από δυο μονώνυμα, γιαυτό τα λέμε «διώνυμα». Ας πάρουμε λοιπόν στην τύχη δυο διώνυμα με ακέραιους συντελε­ στές, π.χ.,

χ

και

+ 5

(α)

+ 3

Ο πολλαπλασιασμά:; αυτών θα γίνει, όπως θα πολ­

ιτ ώρα ρίχνουμε μια κρυφή ματιά στον πολλαπλασιασμό, που

πριν είπαμε να τον ξεχάσουμε, γιατί απ' αυτόν όλο και κάτι μαθαίνουμε!)

Παρατηρούμε λοιπόν ότι, μπορούμε τώρα να φτιά­ ξουμε το συντελεστή

13

(του χ) από τα ζεύγη των συζ.

διαιρετών { ~ } και { ~ } με τέτοιο τρόπο:

λαπλασιάζαμε «άθροισμα επί άθροιμα», δηλαδή κάθε

μονώνυμο του ενά:; με όλα τα μονώνυμα του άλλου

{

διώνυμου.

~ } ~ { ~ } : 1~ άθροισμα

Διάταξη της πράξης

Ξαναλέμε την εργασία που κάναμε. Πρώτα θα κά­

+3

νουμε μιαν Βηλογή. Διαλέγουμε ένα διαιρέτη του

χ+5

2χ 2

και ένα διαιρέτη του

+ 3χ +

15

+ 15

2

(ας πούμε τους 1 και 3) και μετά

τους πολλαπλασιάζουμε:

10χ

13

1·3

=3

Μετά, βρίσκουμε τους συζυγείς των δυο αυτών διαιρε­

2χ + 13χ + 15

2

(β)

τών (αυτοί είναι οι

2

και 5) και πάλι τους πολλαπλασιά-

ζουμε:

Αυτό που βρήκαμε είναι ένα πολυώνυμο

2ou βαθ­

2·5

= 10

Όταν τα δυο αυτά γινόμενα έχουν άθροισμα,

13

(τον

μού και επειδή αποτελείται από τρία μονώνυμα, γι συ­

συντελεστή του χ), τότε το πρόβλημά μας λύθηκε! τ ο

τό

πώς λύθηκε θα το δούμε αμέσως:

το λέμε

κrριώνυμο».

Αυτό λοιπόν το τριώνυμο,

εκτός απ' τον γενικό αριθμό χ, περιέχει και τρεις συ­

ντελεστές: το

2,

το

13

και το

15.

Οι τρεις αυτοί συντε­

λεστές βρέθηκαν (προέκυψαν) από τους συντελεστές των δυο δυωνύμων, δηλαδή από τους:

1, 2, 3

και

Η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να χωρίσουμε τον

5,

και με πράξεις πολλαπλασιασμό και πρόσθεση.

τ ώρα θα προσπαθήσουμε να λύσουμε το αντίθετο πρόβλημα του πολλαπλασιασμού, δηλαδή αν μας δό­

2

(β)

πώc;; θα μπορiσουμε να το αναλύσουμε στοvc; παρό­ γοντεc; που περιfχει; Με άλλα λόγια, ας ξεχάσουμε

τον τρόπο που βρέθηκε το τριώνυμο κm ας υποθέ-

και

3:

+ (10 + 3)χ + 15

σιασμό:

+ 13χ + 15

10

• Η δεύτερη εργασία Είναι να κάνουμε τον πολλαπλα­

σουν το τριώνυμο 2χ 2

στους προσθετέους

13

2

+ lOx + 3χ + 15

(γ)

• Τώρα το πολυώνυμο (γ) μπορεί να χωριστεί σε δυο ομάδες, που καθεμιά έχει δικό της κοινό παρά­ γοντα:

.

χ

+ 2.5.

χ

+ 3.

χ

+ 3.5=

29


=

.

+ 5) + 3 .

(δ)

+ 5)

Επειδή η παράσταση (~) έχει δυο προσθετέους,

που καθένας περιΕ){ει τον κοινό παράγοντα (χ+

5),

άρα η παράσταση αυτή μετατρέπεται στο πιο κάτω γινόμενο:

και

= 13.

3 + 10

Η πρόσθεση γίνεται, όταν οι άκροι

συντελεστές είναι ομόσημοι (eχουν το ίδιο πρόσημο).

'Ο ταν

'

ομως

'

ειvαι

ετερ

όση μοι

οι

λ εστες, '

'

ακροι

συντε

τότε ανάμεσα στα γινόμενα γίνεται αφαίρεση. Η εξή­ γηση είναι πολύ εύκολη, αρκεί να παρακολουθήσουμε

τον πολλαπλασιασμό των διωνύμων, από τον οποίο (χ

+ 5)

. (2χ

+ 3)

βρήκαμε το τριώνυμο.

Έτσι όμως βρέθηκαν τα δυο διώνυμα απόπου ξεκινή­

σαμε, ή με άλλα λόγια· το τριώνυμο 2χ + 13χ + 15 2

αναλύθηκε στους παράγοντες

(2χ

+ 5) ·

+ 3),

δηλαδή αναλύθηκε σε δυο παράγοντες Ιου βαθμού και με ακέραιους συντελεστές.

v) Ένα ακόμα αξιοπρόσεκτο είναι τούτο: Τους συ­ ντελεστές του τριωνύμου καθώς και τους συζυγείς δι­

αιρέτες τους, τους χρησιμοποιούμε σαν απόλυτους αριθμούς, δηλαδή χωρίς πρόσημο

«+

ή

-».

Τα πρό­

σημά τους θα εμφανιστούν μετά την εκτέλεση των

πράξεων. Κατά το στάδιο της έρευνας είναι μεγάλη ευ­ κολία να εργαζόμαστε με απόλυτους ακέραιους αριθ­

Παρατηρήσεις

5.

μούς, παρά με προσημασμένους.

vi) Η μέθοδος λοιπόν αυτή έχει ανάγκη από μιαν

Εδώ θα πρέπει να ρωτήσει κανείς:

i)

Όταν κάναμε επιλογή, ένα διαιρέτη του

του

15,

γιατί διαλΕξαμε τους

και

1

3

2

κι έναν

και όχι κάποιους

άλλους;

Αν διαλi:γαμε τους

-

2

και

5

θα ήταν το ίδιο πράγ­

μα, γιατί εiναι αντίστοιχα οι συζυγείς των

1

και

3. Αν

όμως διαλi:γαμε κάποιους άλλους, δεν θα λυνόταν το πρόβλημά μας, γιατί δεν θα βρίσκαμε τον

ii)

13. (15, 2) που

Ας πούμε πως διαλi:ξαμε τους

συζυγείς τους

(1, 1).

Εχουν

Κάνοντας τους πολλαπλασια·

σμούς και την πρόσθεση· δηλαδή

2χ 2 + 13χ + 15

2, 4

Το

2

στές). Κατά τη «διερεύνηση» αυτή προσδιορίζουμε πς δυνατές επιλογές και ανάμεσα σ'

όμως καμιά επιλογή δεν δίνει λύση στο πρόβλημα, τό­ τε το τριώνυμο δεν αναλύεται σε παράγοντες, που να i:χουν ακέραιους συντελεστές. Αλλά

και

στην περίπτωση

που

το

τριώνυμο δεν

4

μού. Στη συνέχεια θα ακολουθήσουν παραδείγμστα ανάλυσης τριωνύμου σε παράγοντες με ακέραιους συντελεστές, σύμφω­

να με την προηγούμενη μέθοδο.

2,

4

(τέσ­

μπορεί

διαιρέτες του συ·

6.

Παραδείγματα

Ι. Μας δίνουν προς ανάλύση το τριώνυμο

2χ 2 - 17χ

πάλι σαν διαιρέτης του συντελεστή

+ 15

μπορεί κι αυτός να σχηματίσει επιλογή και με τους

που έχει τους ίδιους άκρους συντελεστές με το προη­

διαιρέτες του

γούμενο, διαφέρει όμως κατά το συντελεστή του χ.

15,

αλλά αυτές συνδυάζονται με τις

Γ ράφουμε

λογές. Μέσα λοιπόν σ' αυτές τις δυνατές

άκρους συντελεστές:

4

επιλογi:ς,

τους

συζυγείς

θα αναζητήσουμε την κατάλληλη που θα λύνει το πρό­

διαιρέτες

2χ - 17χ 2

βλημα.

Για να υπολογίσουμε τις δυνατές επιλογές σε κάθε περίπτωση πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που δεί­

συντελεστών και το γινόμενο το διαιρούμε με το Στο παράδειγμά μας έχουμεστή

2)

ίσον

iv)

επί

4

4

2

1

2

3 5 15

2.

διαιρέτες (του συντελε­

διαιρέτες (του συντελεστή

15),

ίσον

8

δια

δυνατές mιλοyές διαιρετών.

Στο προηγούμενο παράδειγμα μεταξύ των γινομέ·

νων κάναμε πρόσθεση, δηλαδή

1·3

= 3 και 2 · 5 = 10

κάτω

απ'

τους

+ 15

1

χνουν το πλήθος των συζυγών διαιρετών των άκρων

30

αυτές μπορεί να

βρεθεί κάποια, που να δίνει λύση στο πρόβλημα. Αν

προηγούμενες και δεν είναι νέες διαφορετικές επι­

2,

συντελεστών

σε παρά·

σαν διαιρέτης του συντελεστή

να σχηματίσει επιλογή και με τους

15.

άκρων

μάθουμε τη γενική λύση της εξίσωσης του 2ου βαθ·

γοντες, οι δυνατές mιλογές διαιρετών είναι

ντελεστή

των

μιγαδικούς αριθμούς. Αυτό θα το καταλάβουμε, όταν

31

ίίί) Στο προηγούμενο παράδειγμα το σχετικό με την

1

διαιρέτες

και τότε είναι δυνατή η ανάλυση σε παράγοντες, μόνο

(15, 2) πρέπει ν' αποκλειστεί, γιατί δεν οδηγεί στον αριθμό 13. Τ Ο ίδιο πρffiει ν' απο· κλειστούν οι επιλογές (1, 15) και (2, 3).

σερες). Τ ο

συζυγείς

που οι παράγοντες θα έχουν συντελεστές άρρητους ή

Ώστε η επιλογή

ανάλυση του τριωνύμου

στους

ενός δοθέντος τριωνύμου (φυσικά με ακέραιους συντελε­

αναλύεται σε παράγοντες με ακέραιους συντελεστές,

15. 2 = 30 1·1= Ι+ βρίσκουμε άθροισμα

έρευνα ή αλλιώς, από μια διευρεύνηση, ανάμεσα

Τώρα διαλέγουμε δυο διαιρέτες (ένα από κάθε άκρο συντελεστή), που να Εχουν γινόμενο κοντά στο λά μικρότερο από

17,

σθεση. Τέτοιοι είναι οι διαιρέτες ζυγείς τους

(2, 1).

'Ωστε:

17,

αλ­

γιατί θα επακολουθήσει πρό­

(1, 15) που έχουν συ­


=

6χ 2 - 23χ-

1 . 15 15 2. 1 = 2 'Αθροισμα

15

+

2

5·6=30

5

3 6

1·7=7

7 35

17

Τώρα θα αναλύσουμε το συντελεστή σμα

17 στο άθροι­

και θα προχωρήσουμε στηv παραγοντο­

2

διαφορά

ποίηση.

23

Η ανάλυση

χ

.

2

2

(2χ

-

(15 + 2)χ + 15

=

-

15χ

=

6χ 2

- 2χ + 15

- 15) - 1 .

= (2χ

- 15) .

(2χ (χ

- 15)

=

Αν θέλουμε vα κάνουμε επαλήθευση, εκτελούμε τοv

11. Μας δίνουν προς ανάλυση το τριώνυμο 6χ 2 +χ-

2

-

(30 - 7)χ - 35 =

-

30χ

6χ(χ

- 1)

πολλαπλασιασμό (2χ - 15) · (χ - 1) και θα πρέπει 2 vα βρούμε το αρχικό τριώνυμο 2χ - 17χ + 15.

=

-

(6χ

- 5) ·

χικό τριώνυμο

2

1 2 3 6

1 2 3 6

35

35 1 5 7 35

τ ώρα αναζητούμε δυο διαιρέτες, που vα έχουν γινόμε­ νο κοντά στο γινόμενο των συζυγών προς αυτούς διαι­

ρετών. Αυτοί είναι οι διαιρέτες

2

=

3. 7 = 21 2- 5 = 10

14)χ

ν.

α

(21 - lO)x - 35 =

-

21χ

- 7)

1

2

6χ 2

+χ -

+ 5) 35.

Στη συνέχεια θα δόσσυμε παραδείγματα μόνο με αριθμητική επεξεργασία, γιατί η εξήγηση των πρά­

111.

ξεων έχει αναλυτικά διατυπωθεί.

(2χ (3χ

35

=

- 7) =

+ 5)

2

1. 1 = 1 1. 1 = 1

(τέλειο τετράγωνο)

1

2 Η ανάλυση

+ (1 + 1) αβ + β = = α + αβ + αβ + β = = α · (α + β) + β(α + β) = α

- 35 =

· (3χ - 7) και θα πρέπει

+5

- 7) .

(2χ

+ 2αβ + β

άθροισμα

+ 15χ - 14χ - 35 = 3χ (2χ + 5) - 7 (2χ + 5) = = (2χ + 5) . (3χ - 7) (2χ

+ lOx -

1 · α 2 + 2αβ + 1 · β 2 1

Αν θέλουμε να κάνουμε επαλήθευση, εκτελούμε τον

11

Η επαλήθευση θα γίνει με την εκτέλεση του πολλα­

2

2

2

6χ 2

πολλαπλασιασμό

1 5 7 35

-

Η συνέχεια της εργασίας είναι πια γνωστή.

+ (15 -

να δόσει γινόμενο το αρ­

πλασιασμού.

= 15 = 14

Διαφορά

2

3χ (2χ

(3, 5) και οι συζυγείς

(2, 7). 'Ωστε:

6χ 2

+ 7)

διαφορά

2

+ 7)

(6χ

23χ - 35.

-

στές τους συζυγείς διαιρέτες: 6χ +χ-

5) =

6χ 2 - llx- 35

Ιν.

ετερόσημοι, άρα ανάμεσα στα γινόμενα θα κάνουμε

3- 5 2. 7

- 5) .

35 =

Αν η ανάλυση είναι σωστή, θα πρέπει ο πολλαπλα­ mασμός

αφαίρεση. Γ ράψουμε κάτω απ' τους άκρους συντελε­

προς αυτούς οι

+ 7χ 5) + 7(χ -

Εδώ παρατηρούμε πως οι άκροι συντελεστές είναι

να βρούμε

35

= (α + β) νι

2

· (α

+ β) = (α + β)

1 · α2

+ Ο · αβ + 1β

1 1

1- 1 = 1 1. 1 = 1

2

2

1 1

άθροισμα;

31


Επειδή η πρόσθεση δυο απόλυτων μονάδων είναι αδύνατο να δόσει άθροισμα

το δοσμένο διώνυμο

α

2

γ) α4

δΕν αναλόπm σε πρω­

τοβάθμιους παράγοντες με ακέραιους συντ/τές.

_

αι

Vll.

1 ·α

2

1

2

+

· αβ

(διαφορά τετραγώνων)

2

αβ

+

β

2

+ βι + αιβι + β4

AJ.

Απ: (αz

+ αβ + βz) . (αz -

αβ

+ βz)

Μπορείτε να αναλύσετε σε παράγοντες το τριώ­

νυμο 8χ

βι

+

β) αι- αβ

αυτό φανερώνει ότι,

[0], 2

α) α

2

+

102χ - 26; Μπορείτε να φτιάξετε κάποιες

παραλλαγές του προηγούμενου τριώνυμου και να τις αναλύσετε σε παράγοντες;

1. 1 = 1

Παρατήρηση: Η ανάλυση τριωνύμων σε παράγο­

1·1=1

ντες, πολύ θα βοηθήσει στη λύση της εξίσωσης του 2οο βαθμού.

διαφορά Ο

Η ανάλυση

α

+ (1 -

2

2

1) • αβ - β =

+ αβ - αβ - β = α(α + β) - β(α + β) = = (α + β) · (α - β) α

2

2

Δωρεές:

VIII.

1) Μας έστειλαν στη μνήμη Νικολάου Κριτι­

κού ο κ. και η

κ. Πέτρου Κριεζή

10.000

για την

Ε.Μ.Ε. διαμέσου της εφημερίδας ''Εστία".

3 3

9·4=36 1·2= 2

9 άθροισμα

2)

2 4 8

Ο Μιχάλης Βλάμος στη μνήμη του πατέρα του κ.

Βλάμου

μας

έστειλε

10.000

δρχ.

για

τηv

Ε.Μ.Ε.

(23/7/87)

38

Η ανάλυση

9α 9α

2

2

-

9α(α

=

+ 2)αβ + 8β 36αβ - 2αβ + 8β

2

(36

-

4β)

-

-

4β)

=

2

=

2β(α

-

4β) =

(9α

-

2β)

·

Η επαλήθευση θα γίνει με πολλαπλασιασμό των διω­

νύμων που βρήκαμε.

Α.

Σ. Σαββάλα

1. 2. 3.

μηχανική

4.

κυκλώματα συνεχούς· χροvοκvκλώματα RC-RL-

5.

mαγωγή-εναλλασσόμενα · εξισώσεις Maxwell θερμοδυναμική · εντροπία · ταλαντώσεις.

Η προηγούμενη μέθοδος ανάλυσης τριωνύμου σε παρά­ γοντες με ακέραιους συντελεστές, στηρίζεται σε δυο θεωρή­

&

ηλεκτρισμός εν{ργεια

ματα, τα οποία επιφυλασσόμαστε να παρουσιάσουμε στο προ­ σεχές τεύχος, μαζί με εφαρμογές και προβλήματα.

Η. Ζαχαρόπουλου 1. συναρτήσεις

Θί:ματα για εξάσκηση Αι. Πώς θα αναλύσουμε σε γινόμενα τα mo κάτω τριώνυμα;

α) 9χ 2 β) 9χ 2

γ) 9χ

2

-

24χ 25χ

26χ

+ 16 + 16 + 16

Απ: (3χ- 4) 2 Απ: (9χ Απ: (9χ

- 16) • (χ - 1) - 8) · (χ - 2)

2.

ακολουθίες

3.

παράγωγοι άλγεβρα

4.

Γ. Αναγνωστόπουλου Ι.ανόρyανη χημεία

(για τις 6Εσμες)

/..Αυτά τα τριώνυμα είναι παραλλαγές με σταθερούς άκρους όρους).

Κεντρική διάθεση: Σόλωνος

Αι. Είναι δυνατόν να αναλυθούν σε παράγοντες με ακέραιους συντελεστές τα πιο κάτω τριώνυμα; (Διερεύ­ νηση)

32

87-89

(mιένανπ από το Φvσικείο)

106 79 Αθήνα-

τηλ.:

3635629- 3610907


τ ετράπλfυρο και κύκλος Ν.Α. Κισκύρας -Χ.Α. Κισκύρας- Δ. Τσιμπουράκης 'Ε να κυρτό τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σ

έ.να κύκλο όταν οι κορυφές του βρίσκονται στην περι­

ρές τριγώvου, βρίσκοvrαι ατηv περιγεγ{Χlμμέvη περιφέ­

ρεια του τριγώvου.

φέρεια και λέγεται περιγεγραμμένο, όταν οι πλευρές

Α

του εφάπτονται σε περιφέρεια, που βρίσκεται μέσα στο τετράπλευρο. Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ο κύ­ κλος του λέγεται περιγεγραμμένος σ' αυτό, στο δε περιγεγραμμένο, λέγεται εγγεγραμμένος σ'

αυτό το

Σχ.

τετράπλευρο.

2

Στο δημοσίευμα αυτό έχουμε επιλέξει μια σειρά από προτάσεις, που η απόδειξή τους γίνεται με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμέ­ νου τετραπλεύρου και πιστεύουμε ότι, η μελέτη τους

μπορεί ν' αποτελέσει ένα σοβαρό εξοπλισμό.

Στο σχ.

2

παρατηρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ καθώς και

τα ύφη του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ και το ορθόκεντρο Η .. Προε­

Α. Το ΕγγΕγραμμΕνο τπράπλΕυρο Για την περίπτωση του εγγεγραμμένου τετραπλεύ­ ρου θεωρούμε γνωστές τις τρεις βασικές του ιδιότητες,

κτείνουμε το ύψος ΑΔ κατά τμήμα ΔΑι

ii)

γων. ΒΑιΓ

Κάθε εξωτερική του γωνία ι:ίναι ίση με την απένα­ ντί της εσωτερική γωνία.

ΒΗΓ

=

γων. ΖΗΕ

Στο τετράπλευρο ΑΖΗΕ επειδή οι γωνίες Ζ και Ε

γωνΑ

κορυφές του υπό ίσι:ς vω.νίι:ς.

+ γωνΖΗΕ =

2ορθ,

άρα:

γων. ΖΗΕ

Οι ιδιότητες αυτές αποτελούν και «κριτήρια», για

να είναι ένα τετράπλευρο ι:γγράψιμο σι: κί>κλο, δη­ λαδή να υπάρχει κύκλος, στην περιφέρεια του οποίου

Μι:ρικά παραδι:ίγματα: Το ορθογώνιο είvαι εγγρά­

= γων.

είναι ορθές, θα πρi:πει:

iii) Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις δυο απέναντι

να βρίσκονται οι κορυφές του τετραπλεύρου.

ΔΗ. Τα

προς ΒΓ, άρα:

τις οποίες απλώς επαvαλαμβάvουμε:

i) Οι απέvαvτι γωνίες του είναι παραπληρωματικί:ς.

=

τρίγωνα ΒΗΓ και ΒΑιΓ θα είναι ίσα, ως συμμετρικά

= 2 ορθ. - Α = 2 ορθ. - Α ΒΑιΓ + Α = 2 ορθ.

ή

γων. ΒΑιΓ

ή

γων.

Έτσι λοιπόν, το τετράπλευρο ΑΒΑ,Γ παρουσιάζει τις

απέναντι γωνίες του Α και Αι

παραπληρωματικές,

ψιμο. Το ισοσκελές τραπέζιο είναι και αυτό εγγράψιμο.

ώστε το τετράπλευρο αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από τις πλευρές, τα ύφη

Με άλλα λόγια, η περιφέρεια που περνάει από τα ση­

και τα τμήματα ΖΕ, ΕΔ, ΔΖ, σχηματίζονται τα τετρά­

μεία Α, Β, Γ, η ίδια περνάει και από το σημείο Αι.

πλευρα (σχ.

Εδείξαμε λοιπόν όπ: «Η περιγεγραμμένη περιφέρεια

1)

ΑΕΗΖ,ΓΔΗΕ,ΒΖΗΔ,ΒΖΕΓ,ΓΔΖΑ,ΑΕΔΒ

τυχόντος τριγώνου περνάει από το συμμετρικό του ορόκεντρου ως προς ruχούσα πλευρά του τριγώνου>>.

Η επέκταση της απόδειξης για τρίγωνο ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο δεν παρουσιάζει τίποτα το ιδιαίτερο. Οι

αποδείξεις αυτές ας γίνουν απ'

τους μαθητές σαν

άσκηση.

2.

Β Γ

τ α τετράπλευρα είναι εγγράψιμα σε κύκλο, σύμφωνα με τις πιο πάνω ιδιότητες. Και τώρα θα ακολουθήσουν προτάσεις, που απο­

δεικνύονται με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του εγγράψι­ μου τετραπλεύρου.

1. Τα συμμετρικά ταυ ορθόκεvτpσυ προς nς πλευ-

(αντίστροφη πρόταση)

Όταv τα συμμετρικά ση­

μείου προς δυο πλευρές τριγώvου βρίσκοvται ατηv περιγεγ{Χlμμέvη περιφέρεια του τριγώvου, τότε το ση­

μείο αυτό είvαι το ορθόκεvrρο του τριγώvου. Στο σχ-

2

παρατηρούμε τα σημεία Αι και Γι να είναι

συμμετρικά ενός σημεiου Η προς ης πλευρές ΒΓ και ΑΒ, και να βρίσκονται στην περιγεγραμμένη περιφέ­ ρεια του ΑΒΓ τριγώνου. Από τα ίσα τρίγωνα ΒΗΓ και ΒΑιΓ προκύπτει όπ- ΒΗ = ΒΑι. Από τα ίσα τρίγωvα

33


ΒΗΑ και ΒΓ ι Α προκύπτει ότι: ΒΗ ναι:

και τοξ ΒΑι

=

ΒΓ 1• 'Αρα θα εί·

Είναι πια φανερό ότι το σημείο Ε, που βρlσκeται

= ΒΓι

στην περιγεγραμμένη περιφέρεια Ο και στο μέσο του

= τοξ ΒΓι

τόξου ΒΓ, είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύ­

ΒΑι

κλου στο τρίγωνο ΒΙΓ. Με όμοιο τρόπο αν εργαστού­

Από την ισότητα των δυο αυτών τόξων έχουμε: γων. ΒΑΑι

= γων. ΒΑΓι

με με τα τρίγωνα ΒΙΑ και ΑΙΓ αποδεικνύουμε ότι τα (α)

Και από την ισότητα των τριγώνων ΒΑΗ και ΒΑΓ 1 θα έχουμε:

κέντρα των περιγεγραμμένων τους κύκλων εlναι τα σημεία Θ και Ζ.

Σε κάθε τετράπλευρο (εvvοείται κυρτό) οι τέσσε·

4. γων. ΒΑΗ

=

(β)

γων. ΒΑΓι

Από τη σύγκριση των ισοτήτων (α) και (β) γίνεται φα­

ρες κύκλοι που εφάπτονται στις πλευρές του, όταv τις παίρvουμε avά τρεις, έχουv κέvτρα στηv ί5ια περιφέ. ρει α.

νερό ότι: γων. ΒΑΑι

= γων. ΒΑΗ

(γ)

'Αρα το σημείο Α βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΗΑι,

άρα η Μι είvαι η κάθετος στην ΒΓ και φυσικά περιέ­

Δ

χει το ύψος ΑΔ του τριγώνου. 'Ομως το ίδιο συμβαί­

νει και με την ΓΗΓ ι που κι αυτή είvαι κάθετος στην

Σχ.

ΑΒ. Η τομή των δυο αυτών καθέτων Η είvαι τομή των

4

υψών του τριγώνου και το Η είvαι το ορθόκεντρο.

3.

Γ

Σε τρίγωvο ΑΒΓ ας είvαι Ι τσ κέvτρο του εγγε­

γραμμέvου κύκλου, τότε τα κέντρα τωv περιγεγραμμέ­

Στο σχήμα

4

παρατηρούμε το δοσμενο τυχόν τετρά­

vωv στα τρίγωvα Β/Γ, ΠΑ και Α/Β, βρίσκονται στηv

πλευρο. Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Α τέμνονται

περιγεγραμμέvη περιφέρεια του ΑΒΓ και ταυτίζονται

στο Κ, άρα το Κ ισαπέχει από τις πλευρές ΒΓ, ΑΒ,

με τα μέσα τωv αvτίστοιχωv τόξωv ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ.

ΑΔ και είναι το κέντρο του κύκλου που εφάm:εται στις τρεις αυτές πλευρές. Λ

Σχ.

3

Η

, γωνια

ΑΚΒ

= 180° -

= 180° -

2

Λ

2

Λ

-

-

Λ

Η γωνία ΔΜΓ

Λ

-Β = 180° - (Α+Β) --

2

2

Λ

2

Λ

Λ

(Γ+Δ) --

= 180° -

2

Αν τα κέντρα των άλλων κύκλων είναι Λ, Μ, Ν, σχηματίζεται το τετράπλευρο ΚΛΜΝ, του οποίου μπο­

ρούμε να υπολογlσουμε δυο απέναντι γωνίες, δηλαδή: θ

Στο σχ.

3

παρ<r. ρούμε το δοσμένο τρίγωνο ΑΒΓ,

τον εγγεγραμμένο κύκλο

I,

τον περιγεγραμμένο κύ­

κλο Ο. Φέρνουμε την ΑΙ και την προεκτείνουμε ως το

Ε όπου συvαvτά την πε..,ιγεγραμμέvη περιφέρεια. Στο

και

γων. ΒΙΕ

=

γων. ΙΒΓ + γων. ΓΒΕ

= γων. ΑΒΙ +

γων. ΒΑΙ

Β

=2+

Α

2

Β

=2

+

= 180° - ( 180 - -Α+Β) = -Α+Β -

2

• = 180°- { 180ο- -Γ+Δ) = 180- ΔΜΓ = -Γ+Δ •

Α+Β

Γ+Δ

2

2

ΝΚΛ+ΝΜΛ=--+--

2

Επειδή όμως η ΑΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Α, τα

τόξα ΒΕ και ΕΓ θα είναι ίσα, οπότε και οι χορδές θα

2

2

Α

ΕΒ =ΕΙ

2

'Ωστε:

=

Α+Β+Γ+Δ

- - - - - - = 180° 2

'Αρα το τρίγωνο ΒΕΙ είvαι ισοσκελές (έχεr τις παρά

Και αφού δυο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωμα­

τικές, το τετράπλευρο των κέντρων ΚΛΜΝ είναι εγ­ γράψιμο σε κύκλο.

5.

Οι περιφέρειες που γράφονται με χορ5ή μια πλευ·

ρά τριγώvου, τέμvονται από τις άλλες πλευρές κατά ΕΒ=ΕΓ

34

ΑΚΒ

και

. .

την βάση ΒΙ γωνίες ίσες), δηλαδή:

eίvαι ίσες, δηλαδή:

= 180° -

ΝΜΛ

τρ��γωνο ΒΕΙ παρm 1ρούμε ότι:

γων. ΙΒΕ

ΝΚΛ

χορ5ές παράλληλες μεταξύ τους.


τόξο ΦΗ. Από το εγγράψιμο Η1'ΣΥ προκύmει πάλι ότι, γωνία Ητv

γωviα ΗΣΥ (βαίνουν στο ίδιο τόξο

=

ΗΥ).

Τώρα το τετράπλευρο ΡΦΥΣ είναι εγγράψιμο, γιατί η πλευρά ΡΣ φαίνεται από τις κορυφές Φ και Υ υπό

Σχ.S

ορθή γωνία. 'Ετσι: γων. ΦΡΥ

= γων.

ΦΣΥ

γιαή βαίνουν στο ίδιο τόξο ΦΥ. Αλλά:

Στο οχ.

• • = ΦΡΗ = Φlli φiγ = Hiv = Hfv

ΦΡΥ

βλέπουμε το τρίγωνο ΑΒΓ και διάφορες

5

περιφέρειες που γράφονται με χορδή την πλευρά 8Γ του τριγώνου. Οι περιφέρειες τέμνουν ης άλλες δυο πλευρές του τριγώνου, κι έτσι παρουσιάζονται οι χορ­

δές 8ιΓι, 82Γ2, 8JΓJ. Από το εγγεγραμμένο τετρά­

και

φfΗ = Hfy

Συμπέρασμα:

Δηλαδή, η Ητ ή πτ διχοτόμος της γωνίας φty

πλευρο 88ιΓιΓ προκύπτει ότι γωνία 8ι είναι παρα­

του· ορθικού τριγώνου. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε

πληρωματική της Γ. Από το εγγεγραμμένο τετράπλευ­

ν'

ρο 882Γ2Γ και πάλι προκύmει ~τι η .γωνία

ΠΡΣ, τ-α ΡΥ και ΣΦ είναι κι αυτά διχοτόμοι γωνιών

παραπληρωματική της Γ. 'Αρα

= 82,

82

είναι

του ορθικού τριγώνου Φτv.

άρα:

7.

χορδή ΒιΓι παράλληλη Β2Γ2 Και επειδή γων. Α82Γ2 εξωτερική του εγγεγρ. 882Γ2Γ,

προκύmει ότι:

Αλλά και

γων. ΑΒ2Γ2

=

γων. ABJΓJ

= γων. Γ

αποδείξουμε ότι και τα άλλα ύψη του τριγώνου

Οι προβολές κάθε σημείου της περιγεγραμμέvης

σε τρίγωvο περιφέρειας πάvω στις πλευρές του τριγώ­ vου βρίσκοvται επί ευθείας. (Ευθεία

Simson).

γων. Γ

ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο

8Γ3, άρα Α82Γ2

• = Α83Γ3,

άρα:

Σχ.

7

χορδή Β2Γ2 παράλληλη Β3Γ3 Παρατήρηση: Οι

ΒΓ

και

ΒιΓι

λέγονται

αντιπα­

ράλληλες προς τη γωνία 8ΑΓ. Το ίδιο οι 8Γ και 82Γ2

κλπ. Αντιπαράλληλη της 8Γ προς τη γωνία 8ΑΓ είναι και η εφαmομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγ. ΑΒΓ στην κορυφή Α

6.

Στο οχ.

7

βλέπουμε το τρίγωνο ΑΒΓ, την περιγε­

Τα ύψη κάθε οξυγώvιου τριγώvου είvαι διχοτόμοι

γραμμένη περιφέρεια και ης προβολές Ζ, Ε, Δ του τυ­

τωv γωvιώv του ορθικού του τριγώvου. (Δηλαδή τρι­

χόντος σημείου Μ της περιφέρειας, πάνω στις πλευρές

γώνου με κορυφές τα ίχνη των υψών του στις πλευ­

του τριγώνου. Επειδή τα τμήματα ΕΖ και ΕΔ βρίσκο­

ρές).

νται εκατέρωθεν της ΑΓ, αρκεί να δείξουμε ότι οι γω­ π

νίες ΑΕΖ και ΔΕΓ είναι ίσες.

Τ ο τετράπλευρο ΜΑΖΕ είναι εγγράψιμο, γιατί η πλευρά ΑΜ φαίνεται από τις άλλες κορυφές Ζ και Ε

Σχ.

6

υπό σταθερή γωνία

1 ορθής.

'Αρα:

γων. ΑΕΖ= γων. ΑΜΖ

Στο οχ.

6 παρατηρούμε το οξυγώνιο τριγ. ΠΡΣ και

m,

τα ύφη του ΡΥ, ΣΦ, και το ορθόκεντρο Η. Ορθι­ κόν τρίγωνον είναι το Φτv. Το τετράπλευρο ΡΤΗΦ είναι εγγράψιμο οε κύκλο, γιατί έχει τις γωνίες ΡΦΗ και ΡΤΗ ορθές, άρα παραπληρωματικές. Αν φαντα­ στούμε την περιγεγραμμένη περιφέρεια, τότε γωνία

ΦΤΗ είναι ίση με γωνία ΦΡΗ γιατί βαίνουν στο ίδιο

(δ)

Ακόμα, το τετράπλευρο ΜΔΓΕ είναι εγγράψιμο, γιατί δυο απέναντι γωνίες είναί ορθές και άρα παραπληρω­ ματικές, ώστε:

γων. ΔΕΓ

= γων. ΔΜΓ

(ε)

Ακόμα, οι γωνίες ΑΜΓ και ΖΜΔ είναι ίσες, γιατί κα­ θεμιά είναι παραπληρωμαπκή της γωνίας Β, δηλαδή γων. ΑΜΓ

= γων.

ΖΜΔ

35


και αν απ'

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ισότητες αυτές θα έχου­

αυτές αφαιρέσουμε το κοινό μέροc;, την

γωνία ΖΜΓ, θα βρούμε:

με:

(στ)

γων. ΑΜΖ = γων. ΔΜΓ

Από τη σύγκριση των ισοτήτων (δ), (ε), (στ), επειδή τα

ΑΕ ή

+ ΒΕ + Γθ + Δθ = ΑΒ + ΓΔ

ΑΖ

+ ΒΗ + ΓΗ + ΔΖ ΑΔ + ΒΓ

δεύτερα μέλη των (δ), (ε) είναι ίσα (ισότητα στ), άρα

και τα πρώτα μέλη θα είναι μεταξύ τους ίσα, οπότε yων. ΑΕΖ= yων. ΔΕΓ

Ώστε το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο, (ζ)

Η ισότητα (ζ) φανερώνει ότι το τμήμα ΕΔ βρίσκεται

στην προέκταση του τμήμστος ΖΕ, ώστε τα σημεία Ζ, Ε, Δ βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

σύμφωνο με την ιδιότητα

(ii). Μπορούμε όμως vα δεί­

ξουμε και την αντίστροφο πρόταση, δηλαδή:

9. Av

τετράπλευρο είvαι περιγράψιμο σε κύκλο, τό­

τε οι εγγεγρσμμέvοι κύκλοι στα δυο τρίγωvα (που χω· ρίζεται από τη διαγώvιο), εφάπτονται στο ίδιο σημείο

Β. Το περιγεγραμμένο τετράπλευρο Όπως είπαμε απ' την αρχή, ένα τετράπλευρο λέγε­

της 6ιαγωvίου.

Ας σκεφτούμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι περι­ γράψιμο (σχ.

δηλαδή:

8),

ται περιγεγραμμένο σε κύκλο, όταν οι πλευρές του

+ ΓΔ

ΑΒ

είναι εφαmόμενες σε περιφέρεια, που όμως να βρίσκε­

= ΑΔ

+ ΒΓ

(1)

ται μέσα στο τετράπλευρο. Αυτός ο κύκλος λέγεται

και ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τριγ. ΒΑΔ εφά­

εγγεγραμμένος στο τετράπλευρο.

πτεται στη διαγώνιο στο σημείο Ιι, ο δε εγγεγραμμέ­

Για το περιγεγραμμένο τετράπλευρο θεωρούμε γνω­ στές τις δυο βασικές του ιδιότητες, τις οποίες απλώς επαναλαμβάνουμε:

στο σημείο

!2.

Επειδή

i) Επειδή το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου ισαπέ­ χει από τις πλευρές του τετραπλεύρου, είναι κοινό

ii)

νος κύκλος στο τριγ. ΒΓΔ εφάπτεται στη διαγώνιο

Α8

+

ΓΔ =ΑΕ+ 8Ε

+

ΓΘ

ΘΔ =ΑΖ+

+

81 1 +

Δlz +ΓΗ

(2)

σημείο των διχοτόμων των γωνιών του.

κατά τον ίδιο τρόπο αναλύουμε και το δεύτερο μέλος

τ ο άθροισμα δυο απέvαvτι πλευρών περιγεγραμμέ­

της

νου σε κύκλο τετραπλεύρου, είναι ίσο με το άθροι­ σμα των δυο άλλων απέναντι πλευρών οι ιδιότητες

ΑΔ

(1): +

8Γ = ΑΖ

+

ΔΖ

+

αυτές αποτελούν κm «Κριτήρια», αν ένα τετράπλευ­

Αφού τα πρώτα μέλη των

ρο είναι περιyράψιμο σε κύκλο, δηλαδή να υπάρ­

δεύτερα θα είναι ίσα:

χει κύκλος, όπου το τετράπλευρο να περιγράφεται. Στη συνέχεια θα ακολουθήσει μια νέα πρόταση

ΑΖ

8. Av

ή

στα δυο τρίγωvα που το τετράπλευρο χωρί­

Δlι

+ 81, +

ΓΗ

(3)

Έτσι, αν δεχτούμε ότι ΒΙι

ΑΖ

=

+ Δlι + ΒΙ, + ΓΗ

ΔΙ,

+ ΒΙ,

< ΒΙ2,

(4) (4)

η ισότητα

(4)

γρά­

φεται:

οι κύκλοι εφάπτονται με τη διαγώvιο στο ίδιο σημείο,

ΒΔ

τότε το τετράπλευρο είvm περιγράψιμο.

Από την ισότητα

Β

+ ΔΙ,

Βiι

+

(2) και (3) είναι ίσα, και τα

+ Βι + ΔΙ, + ΓΗ =

για το περιγράψιμο τετράπλευρο.

ζεται από μια διαγώvιο, εγγράψουμε δυο κύκλους και

ΓΗ = ΑΖ

+

(5)

-

lιl2

= ΒΔ + Ιιl2

προκύmει ότι πρέπει Ιιl2

δηλαδή ότι τα σημεία Ιι και

l2

(5) = Ο

(6)

ταυτίζονται.

Παρατήρηση: Στον ορισμό του περιγεγραμμένου τε· τραπλεύρου διευκρινίζουμε ότι, οι πλευρές τους εφά­ mονται στον κύκλο και ότι ο κύκλος είναι μέσα στο

Α Γ

τετράπλευρο. Κι' αυτό γιmί όπως βλέπουμε στο σχ.

9,

οι πλευρές του τετραπλεύρου εφάπτονται στον κύκλο, αλλά ο κύκλος είναι έξω από το τετράπλευρο. Σ' αυ­

Δ

Στο σχ.

8

παρατηρούμε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Οι ο

εγγεγραμμένος κύκλος στο τριγ. ΑΒΔ, τα σημεία επα­

τή την περίmωση το τετράπλευρο λέγεται παρεyyρά­ ψιμο σε κύ~.

φής Ε, Ι, Ζ. Οι ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τριγ. ΒΓΔ τα σημεία επαφής Η, Ι, θ.

Είναι γνωστό ότι:

ΑΕ

= ΑΖ

BE=BI=BH Γθ=fΉ ΔΘ =ΔΙ= ΔΖ

36

Α


86.

Ο κύκλος δεν είναι εγγεγραμμένοc;, αλλά παρεγγε­ γραμμένος. Σ' αυτή την περίπτωση αληθεύει η σχέση:

(7)

ΑΔ+ΔΓ=ΑΒ+ΒΓ

Πραγματικά:

ΑΘ

=

ΑΕ ΑΒ

ΑΔ

+

ΔΘ

=

+

ΒΕ

ή

ΑΔ

+

ΔΖ

= ΑΒ +

ΒΗ

ΑΔ

+

ΔΓ

ριγεγραμμένου κύκλου που ενώνουν το κέντρο με τις κορυφές του αρχικού τριγώνου.

Bs.

ΒΓ

+

χθεί ότι:

Δηλαδή καταλήξαμε στην ισότητα (7), που θέλαμε να δείξουμε. Η πρόταση αυτή μπορεί να διατυπωθεί έτσι: 6υο παρακειμέvωv πλευρώv του (στηv εξωτερική γω­

vία τωv οποίωv

βρίσκεται ο κύκλος), είvαι ίσο με

va

το άθροισμα τωv 6υο άλλωv πλευρώv. Δηλαδή δε μπορούμε να πάρουμε τα αθροίσματα

+

Γ Δ και ΑΒ

+

ΑΔ.

Η ΒΜΓ = Λ + ε& η ΓΜΑ =

βρίσκονται

στην

περιγεγραμμένη

περιφέρεια,

νιο.

3

8+

ΔΕΖ

και

Λ

ΑΜΒ =Γ+ ΕΖΔ.

89.

Αν τετραπλεύρου ΑΒΓΔ οι απέναντι πλευρές

ΑΒ και ΔΓ τέμνονται στο Ε και οι ΑΔ και ΒΓ στο ση­ μείο Ζ, να δειχθεί ότι οι περιγεγραμμένες περιφέρειες στα τέσσερα τρίγωνα ΒΓΕ, ΔΓΖ, ΑΔΕ, ΑΒΖ που σχη­ ματίζονται, διέρχονται από το αυτό σημείο.

(Σημείο

Βιο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο Ο

όταν το δοσμένο τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή αβλυγώ­ Στο οχ.

Λ

και η πλευρά του ΒΓ παραμένει σταθερή κατά θέση

Βι. Να αποδείξουμε ότι τα συμμετρικά του ορθόκε­

82.

2)

Miquel)

Ασκήσεις που προτείνουμε

ντρου

1) Οι τρεις περιφέρειες ΕΑΖ, ΖΒΔ, ΔΓΕ διέρ­

χονται από το αυτό σημείο, έστω Μ.

Λ

Σε κάθε παρεγyράψιμο τετράπλευρο το άθροισμα

ΒΓ

Στις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ παίρ­

νουμε τρία τυχαία σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να δει­

ΑΒ

=

αρχικού τριγώνου ή οι πλευρές του ορθικού τριγώνου

81. Να δείξουμε ότι, οι πλευρές του ορθικού τριγώ­

ΓΖ= ΓΗ

'Ωστε

γεγραμμένης περιφέρειας στις αντίστοιχες κορυφές του

νου είναι κάθετες αντίστοιχα προς τις ακτίνες του πε­

ΑΔ +.~Γ+ ΓΖ= ΑΒ + ΒΓ +ΓΗ

αλλά

νου είναι παράλληλες προς τις εφαπτόμενες της περι­

είναι αντιπαράλληλες των πλευρών του τριγώνου.

ή

ή

Να δείξουμε ότι, οι πλευρές του ορθικού τριγώ­

του κειμένου, αν προεκτείνουμε την ΙΕ

κατά ίσο ΕΙα, να δείξουμε ότι το σημείο Ια είναι το κέν­

και μέγεθος, ενώ η κορυφή Α κινείται στην περιφέρεια του κύκλου. Δ είναι η προβολή της κορυφής Α στη

ΒΓ και Ε, Ζ οι προβολές των κορυφών Β και Γ στη κάθε φορά διάμετρο ΑΑ' να δειχθεί ότι το κέντρο της περιγεγραμμένης περιφέρειας του τριγώνου ΔΕΖ πα­ ραμένει σταθερό.

τρο της περιφέρειας που εφάπτεται των πλευρών του

τριγώνου ΑΒΓ εξωτερικά (παρεγεγραμμένης περιφέ­ ρειας στην πλευρά ΒΓ).

BJ.

Στο οχ.

ΠΡΩΤΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

να δείξουμε ότι, η κορυφή Α είναι

3

συμμετρική του Ι ως προς την ΘΖ, η κορυφή Β συμμε­ τρική του Ι ως προς ΘΕ, η κορυφή Γ συμμετρική του Ι ως προc; ΕΖ.

Β •. Να δείξουμε ότι, το κέντρο εγγεγραμμένου κύ­

κλου τυχόντος τριγώνου, είναι και ορθόκεντρο ενός άλλου τριγώνου (τίνος;)

Bs.

Σε τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο, αν με

χορδές τις πλευρές του γράψουμε τόξα, τότε τα

4

ση­

μεία τομών των τόξων είναι κορυφές τετραπλεύρου εγγράψιμου σε κύκλο.

Β

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΑ Τ ΟΥ ΚΑΡΛ ΜΑΡΞ

Α

Εισαγωγή: Σ. Γιανόφσκαγια

Μετάφραση: Μανώλης Κωνσταντινίδης ΝίκοςΛιλής

Γ [Υπόδειξη: ΑΕΖΒ και ΔΘΗΓ είναι εγγεγραμμένα. λ

Γωνία ΖΕΘ Λ

= 180° - ΑΕΖ

= 360° -

+ 180°

Λ

-

λ

ΑΕΖ

ΑΕΘ

-

ΑΕΘ Λ

= ΑΒΖ

= Λ

+ ΑΔΘ]

α Εκδόσεις Γλάρος 37


ΑΡΡΗΤΕΣ Ε:Ε:ΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ

R Γ. Μπαραλός

'Αρρητες εξισώσεις χαρακτηρίζονται εκείνες οι εξισώ­

Απόδειξη:

σεις στις οποίες υπάρχει άγvωστος ή παράσταση αγvώ­

στων κάτω από ριζικό. Σκοπός του άρθρου αυτού εί­ ναι να εξηγήσει τις διαδικασίες που ακολουθούνται για τη λύση τους στο

y

vVa =

Αν

2

και

χ

χ2ν+1 =α

IR.

2

και

}

y2v+1 = lαl = - α

Αναπόφευκτα όμως πριν προχωρήσουμε στην παρου­

ν~ = y τότε:

~ χ2ν+1

+ ~1

χ < Ο,

=ο~

σίασή τους, θα σταθούμε στα παρακάτω δυο ερωτή­ ματα:

1ον) Πόσες και ποιές είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

x2v+ 1 = α,

α

< Ο,

ν ε Ν*

(1)

~x+y=O~x=-y

αφού

2ον) Π ο ιό είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης:

f : f(x) = ~

'Αρα: 2v+-JIQ = -

ν ε Ν* - {1}

σαν:

Πρόταση, ι; Για κάθε φυσικό αριθμό ν ε Ν* και α < Ο υπάρχει έvας ακριβώς πραγματικός αριθμός χ < Ο τέτοιος ώστε: x2n+ 1 = α. Απόδειξη:

λ

α,

x 2n+ 1 -

f : f(x)

<α 2

α < Ο, ν ε Ν*

και

τότε:

1

C R

στην περίπτωση που είναι

α

<

Ο

(ν ε Ν*), και προκειμένου

μόζοντας στην γραφή - 2v\Υϊ01, ν Ε Ν* νόνες λογισμού και όχι στην γραφή 2

~ Ξ3 ξ ε Αυτός ο αριθμός

ριζικών με

έχουμε:

(- λ, Ο),

και όταν

α

<

Ο.

ξ ε

(-

λ, Ο)

< Ο, ν Ε IN*

Για κάθε

α

<

Ο

(1)

ν ε Ν*

g(x) ;;;;. 0}*,

είναι άρτιος ή περιπός αριθ­

της ανάλογης διεθvοίχ;, σύμφωνα με την οποία:

είναι μοναδικός

(-

n {χ Ε R I

βλιογραφία όπως και στην συντριπτική πλειοψηφία*

~ 1 = α.

Την μοναδική αρνηnκή λ6ση τηc;

ν ε Ν*

Ο

σα καταγραμμένη άποψη στην μέχρι τώρα Ελληνική βι­

λ, Ο)

(Από­

*

σvμβολR;οv­

όπου

σεων

*

2.

>

μός κάτι που έρχεται σε αντιπαράθεση με την κρατού­

δειξη;)

α

α

'Οσον αφορά στο δεύτερο ερώτημα τώρα

αδιάφορα αν ο

Bolzano

είναι γνήσια αύξουσα στο

Zv\Y(J,

τους κα­

"% ν Ε Ν*

D(f) = D(g)

f(- λ) - f(O) <Ο

Ξ3 ξ ε(- λ, Ο), f(ξ) = ~ 1 - α= ο~

αριθμό

α;;;;. Ο α < Ο

Στα σχολικά βιβλία αναφέρεται ότι:

Επομένως σύμφωνα με το λήμμα

Πρόταση

2v-ψα,

2v+.JIΊOI,

ότι δεν ισχύουν &α τα θεωρήματα πάνω στο λογισμό

1

~

με με

2v+~

2v+11(]- { v u- -

=-ο> Ο

f

χ = -

αποφεύγονται ενδεχόμενα λάθη μια που είναι γνωστό [-λ, Ο]

• f(- λ)=(- λ) ν+ -α=- λ2ν+ ..:.α =- (λ2ν+Ι +α)< Ο}

αφού η

ν ε Ν*.

(1) έχει μοναδική

για τον λογισμό ριζικών με αρνητικό υπόρριζο, εφαρ­

• f συνεχής στο IR, οπότε και στο

f(O)

α < Ο,

Γ ράφοντας πλέον:

για κάθε

-

2ν\Υί0ϊ,

αρνητική λύση την οποία μπορούμε να σημειώνουμε

παραθέτουμε τις παρακάτω προτάσεις.

λ ε Ν*,

<Ο.

Συνοψίζοντας λοιπόν, η εξίσωση

• Προκειμένου να απαντήσουμε στο πρώτο ερώτημα

Αν

xy

D(f)

f(x)

και

και

D(g)

αvτiστοιχα πεδία ορισμού των συναρτή­

g(x).

Αν και το όλο ζήτημα είναι εννοιολογική(; σημασίας πρέπει

να παρατηρήσουμε ότι η θεώρηση ριζικών περιπής τάξης

μόνο με θετικά υπόρριζα οφείλει την υποστήριξη της κυρίως

στην αδυναμία που εμφανίζουν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και για κάθε φυσικό

ισχύει:

να υπολογίζουν ριζικά με αρνητικά υπόρριζα και εμφανίστηκε

τα τελευταία χρόνια στη Γαλλ ία. Η αποδοχή ή ό)(Ι της θεώρησης αυτής εξαρτάται από την απάντηση που δίνει κανείς στο ερώτημα: «Η μηχανή για τον

(2)

38

άνθρωπο ή ο άνθρωπος για την μηχανή;»


, αν ν= 2ρ + 1, ρ ΕΝ*

D(g) D(f) = {

D(g)Π{xER/g(x)~O}, αv ν=2ρ,ρΕΝ*-{1}

Θεώρημα

Α Φ

Παράδειγμα: Αν

υ

τότε:

D(f)

Αν Αι,

=

,

αν ν=2ρ+ι,ρΕΝ*

χ+ 1 } D(g)n {xEIR/--~0, αν ν=2ρ, ρΕΝ* χ- 1

ή

D={[-3,1)υ(1,2), [- 3, - 1] υ (1, 2),

αν

ν=

αν

ν =·2ρ,

ν Ε Ν*

(4)

τα σύνολα λύσεων των εξισώσεων

Az

και

f(x) = g(x)

f2v(x) = ~v(x),

ν Ε Ν*,

αντίστοιχα τότε:

• Αι C Az

γιατί:

• Az C Αι

γιατί

2i>+l, ρ Ε Ν* ρ Ε Ν*

ρ' Ε Az ~ f2v(ρ') = iv(ρ') ~

Μερικές επισημάνσεις σύμφωνες με την άποψη αυτή

~ (t(ρ') = g(ρ') ν t(ρ') =- g(ρ')) f(ρ')·g(&J>o

είναι: Εξισώσεις της μορφής

1.

= ~v(x) }. f(x) · g(x) > Ο

Απόδειξη:

χ-1

D(g)

f, g συνάρτησης ορισμένες στο

~ { f2v(x)

f(x) = f(x) .

(1, 2) ~ IR με τύπο . χ+ 1 ν~ g(x) = - - και f: f(x) = yg(x)

g: [- 3, 1)

Αν

2.

τότε:

0

2

~)

= α,

δεν έχουν λύση στο

{χ Ε

IR

Ι

Γι(χ) =

~ IR 2

f (χ) =

{

'Αρα:

Αι

= g(ρ')

~ρ' Ε Αι

και η ισοδυναμία

= Az

(4) είναι έγκυρη.

f(x) :::; 0}.

2. Για τον τύπο της αvτίστροφης συνάρτησης f(x) = x 2n+I, ν Ε Ν* δεν γράφουμε 2

f(ρ')

α< Ο, ν Ε Ν*

~

_2~

της

f:

θεωρήματα διαπιστώνουμε

ναμη δεν παίρνουμε εξίσωση ισοδύναμη με την αρχική, κι

αυτό γιατί η προκύπτουσα εξίσωση έχει εκτός από τις ρίζες της αρχικής

(f(x) = g(x)) (f(x) = - g(x)).

χ~Ο χ

τα παραπάνω

σωση ισοδύναμη με την αp)(Ική ενώ υψώνοντας σε άρτια δύ­

αλλά , '

ΣΧΟΛΙΟ: Από

ότι υψώνοντας μια εξίσωση σε περιττή δύναμη παίρνουμε εξί­

<ο

Θεώρημα

3. Δεν υπάρχει για παράδειγμα το lim ...yx-=-1. χ-Ο

4. Δεν δέχεται για παράδειγμα το διάγραμμα f = f(x) = Vx εφατττομένη στο Χο = - }_

Πριν περάσουμε στις ασκήσεις παραθέσουμε τρία πο­ λύ χρήσιμα θεωρήματα:

Δείξτε ότι:

3.

νlfW

Cι της

και της ρίζες της «συζυγούς» της

= g(x) (1)

~{

f(x) = gz(x) } g(x) ~Ο

Απόδειξη: Αν

Α

= D(g) n

{χ Ε

IR / f(x) ~ (1) τότε:

Ο} Φ

0

το σύ­

νολο ορισμού της εξίσωσης Θεώρημα

Α Φ

1.

Αν

f, g

.ις ορισμένες στο

συνυ.

= g(x) ~ f 2n+l(x) = ~+

f(x)

Αν Αι,

(χ),

ν Ε Ν*

(3)

Az τα σύνολα λύσεων των εξισώσεων και

t2v+l(x) = ~v+l(x),

ν Ε Ν*,

"

γιατί

ρ Ε Αι ~ f(ρ) = g(ρ) ~ f 2v+I (ρ) = ~+ 1 (ρ) ~ ρ Ε Az

• Az C Αι

γιατί

ρ' Ε Α2 ~ f2v+ 1 (ρ') = ~+ 1 (ρ') ~ f(ρ') = g(ρ') ~ρ' Ε Α 'Αρα:

Αι

g(x)

Α

έτσι ώστε:

< Ο,

= Az

και η ισοδυναμία

(3) είvαι έγκυρη.

\f

χ Ε Αι

(1) είναι αδύvατη στο Αι

f(x) ~ Ο Λ g(x) ;;:. Ο, (

αντίστοιχα τότε:

C Α2

τότε η

Ο Λ

C

• Αν υπάρχει 0 Φ Az C Α

f(x) = g(x)

Αι

0 Φ Αι

f(x) ;;:. 1

Απόδειξη:

8

• Αν υπάρχει

τότε:

0,

έτσι ώστε:

\f χ Ε Az

τότε:

νlfW = { χ Ε Αι

g(x) }

κι αυτό γιατί

~

ι f(x) f(x)

= g2(x) ] ~Ο

g(x) ;;:,:

~

0

{ f(x) = g2(x) } g(x) ~ Ο

f(x) = g 2(x) ~ f(x) ~ Ο.

Πωc:; εργαζόμαστε για την λύση άρρητων εξισώσεων; Προκειμένου να λύσουμε μια άρρητη εξίσωση εργαζόμαστε ως εξής:

39


Βήμα

Παρατήρηση: Επειδή για

Βρίσκουμε το σύνολο ορισμού Α της εξίσωσης

lo.

που αποτελείται από τους

χ Ε

IR

που δίνουν νόημα πραγ­

6 7'

χ=- χ-1<ΟΛ χ-2<0

ματικού αριθμού και στα δυο μeλη της εξίσωσης. Ειδικώτερα οι παραστάσεις που βρίσκονται σε ριζικά με άρτιο δείκτη θα

θεωρούνται μη αρνητικές ενώ οι παραστάσεις που βρίσκονται

η εξίσωση αυτή δεν έχει λύση για τα σχολικά βιβλία.

σε ριζικά με περιττό δείκτη μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε

πραγματική τιμή. Αν

στο Α ενώ αν

Α ""

Α

3.

= eJ τότε η εξίσωση είναι αδύνατη

Να λυθεί η εξίσωση:

,Υλ

eJ τότε:

+ χ + ,Υλ -

= \f2λ (1),

χ

Βήμα 2ο: Υψώνουμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης στο Ε.Κ.Π. των δεικτών των ριζικών που εμφανίζονται σ' αυτήν

διαδοχικά μέχρις ότου εξαλείψουμε τα ριζικά και οδηγηθούμε

ΛΟΟη: Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το

σε ρητή εξίσωση που αντιμετωπίζεται κατά τα γνωστά. Προ­ σοχή χρειάζεται αυτό κατά την διαδικασία εξάλειψης των ρι­

ζικών ώστε να προκύπτει η εξίσωση ισοδύναμη με την αρχική

Για τη λύση της

(Βλέπε σχετικά θεωρήματα). Πολλές φορές με κατάλληλες αντικαταστάσεις ή τεχνάσματα πετυχαίνουμε γρήγορες και κομψές λύσεις.

λ Ε IR.

IR.

έχουμε:

(1)

(1) ~(\/λ+ χ+ ifλ=X) = 2λ ~

+ χ + 3 \1 (λ + χ) • \/λ - χ + + 3 \/λ + χ . \1 (λ - χ) + λ - χ = 2λ ~ ~ 3 ,yλ+Χ . ,Υλ - χ (~λ + χ + ~) = ο ill ~ λ

2

2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α. Ασκήσεις με ριζικά πφιπής τάξης

1. Να λυθεί η εξίσωση:

~χ 3 + χ - 1 = χ - 1.

Λύση: Το σύνολο ορισμού της εξiσωσης εiναι το

IR

~ χ3

-

= Χ - 1~ Χ + Χ 2χ + 3χ - 1 ~ 3χ 3

2

~ χ(3χ -

2)

χ2

~ 2λ(λ 2

-

χ2 ) ~

if2λ

2

= ο ~ (χ = ο

= (χ - 1) 3 ~ 2χ = ο ~

{ λ=Ο} xEIR (χ

-

{λ#Ο 2

ν

=-

2

χ )

-

λ

λ) ν

2

=

= λ)

ο ~

}~ }

'Ωστε το σύνολο λύσεων της (1) είναι:

1

-

ο ~ 3 V2λ(λ 2

=

xER

1

-

-

~rλ=Ο J ν {λ#ο

και για

τη λύση της έχουμε:

~Χ 3 + Χ

~ 3 </λ 2

R { {-λ,

Α-

ι-

ν χ=: )

λ}

αν

λ= Ο

αν

λ# Ο

Παρατήρηση: Για τα σχολικά βιβλία το σύνολο λύ­

'Ωστε το σύνολο λύσεων της είναι: Αι = { Ο, ~ Παρατήρηση: Επειδή

σεων της εξίσωσης αυτής είναι:

V χ Ε Αι, χ +χ- 1 <Ο 3

Αι'-

η εξίσωση αυτή δεν Εχει λύση για τα σχολικά βιβλία.

2. Να λυθεί η εξίσωση:

vχ=τ + ~χ

2

+ ~χ + 3 =

ο

την γνωστή ταυτότητα του

β

Euler

με

α,

IR.

Από

β, γ Ε

λ

Το σύνολο ορισμού της

R

Α= {χ Ε R

3

+ y3 = 3αβγ ~ ~ (χ

- 1)

+ β + γ = ο ν α = β = γ) 1 + ~χ - 2 + ~χ + 3 = Ο ~ + (χ - 2) + (χ + 2) =

= 3

\1 (χ

- 1)(χ - 2)(χ + 3) ~

και επομένως

~ (3χ)

3

= 27(χ

~χ -

3

-

+ 6) ~ -

+6 =

Για τη λύση της

}

6 = -

7

I

(1)

είναι

(1) 2

1 - χ ;;:;, Ο}=

[-

1, 1]

ξεχωρίζουμε τις παρακάτω πε­

ριmώσεις:

i) Αν

λ

- 2<

Ο ~ λ<

2

τότε φανερά η

(1)

δεν δέ­

χεται λύσεις στο Α.

ii)

ο ~ χ

'Ωστε το σύνολο λύσεωv της, είναι: Αι = { ~ 40

λ< Ο

αv

λ}

4. Να λυθεί η εξίσωση: ~ = λ - 2 (1), λ Ε IR

έχουμε:

+

λ= Ο

αv

Λύση:

Τ ο σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το

3

αν

Β. Ασκήσεις με ριζικά άρτιας τάξης -

Λύση:

α

ι

{Ο}

0 {- λ,

Αν

λ

- 2 ;;:;, Ο ~ λ ;;:;, 2 τότε έχουμε:

(1) ~ 1 - χ 2

=

~ χ2 Για τη λύση της

(λ - 2) 2 ~ χ 2

= (λ

=

- 1)(3 - λ)

(2) iτ.λΕον έχουμε:

1 - (λ - 2) 2 ~

(2)


(λ - 1)(3 - λ)

Αν

{

<ο}

λ~2

~ λ Ε

οο)

(3, +

(2) και επομέvης η ισοδύναμή της (1) δεν έχει λύση στο Α.

(λ - '1)(3 -λ)~ ο

Αν

~ (χ

{

λ~2

.J- λ

=-

2

}~ λ =

+ 4λ - 3 ν χ

=

τότε η

[2, 3]

.J- λ

χ=

~!χ~

2 1 ,_..- 2

~

+ J2α-

1

1

)

2

α>--

α~1

..j2α- 1 ~ 1

(2)

+ 4λ - 3)

3

1 + J2α- 1

τότε η

Η λύση αυτή είναι δεκτή εφόσον υπάρχει

α Ε

R

έτσι ώστε: Ώστε το αύvολο λύσεων της (1) είναι:

~{χΕΑ}~ α-(

Αι = { {_:'.J- λ2 + 4λ- 3, . j.-_- -cλ- .2--+--c4λ--~3 } αv

{

+ οο)

λ Ε (- οο, 2) U (3, [2, 3]

αv

}

αvτίστοιχα

λ Ε

5. Να λυθεί η εξίσωση: ~

=χ-

+ V2α-

1

α~1

~ {α ~

-

1

2 α~1

.J 2α -

1 } ~ { (α - 1) ~ Ο } ~α~1 2

α~1

α~1

1 (1), α Ε R 'Αρα το αύvολο λύσεων Αι της (1) είναι:

Λύση:

Αν

Α

=I= 0

Αν

α

::::;

Ο

τότε το σύνολο ορισμού της

0

(1) είναι

1+J2α-1

και φαvερά δεv δέχεται λύσεις. α> Ο

2

τότε το αύvολο ορισμού της (1) είναι

Α

=

{χ Ε

R I α - χ ~ Ο}

~=χ-1~ {

α - xz = (χ - 1)2 } ~

-

χ-1~0

1

Ο

<α <2

λύση στο Α ενώ με

1 - ~ α 2

Σημείωση: Αν

-

+ 1 - α = Ο }~

6.

χ~1

1-

.J:α-

1 )

ν{ χ= 1 + .J:α-

1

Α

1 + ..j2α- 1

1 - ..jια- 1 χ=

χ~

λ Ε R

(1),

=

{χ Ε

R

I

χ -

χ~

οο, λ]

n

Λ

[3,

λ

- χ ~ Ο)

=

+ οο),

λ

<

3

τότε

Α

= 0

και η (Ι) δεv δέχεται

λύσεις.

Δ ~ο

1

3~Ο

οπότε:

ί) Αν

2

ν

Δ ~ο

οι λύσεις της (2)

1

= .Jλ=Υ.

= (-

2

<1

Λύση:

χ~1

χ=

η εξίσωση (2) δεv έχει

Το σύνολο ορισμού της (1) είναι:

Δ~Ο

~

α~1

Να λυθεί η εξίσωση:

. yX=3

{χ=

αv

1

δεν είναι δέκτες αφού δεv ικαvοποιούν τον περιορισμό: χ~

~ { 2χ

α<

2

και γtα τη λύση της στο Α έχουμε:

2

αv

1

ii) Αν

λ

=3

τότε

Α

= {3}

και φαvερά

Αι= Α= {3}

1 + ..j2α- 1 χ=

1 χ=

+ J2α-

2

1

1 α>-,_.-2

2 ~

2α-1~0

x;?l

~

1

+ Jια2

iii) Αν

λ

της

(1)

> 3

~1

Α

= [3,

λ]

και γtα την λύση

στο Α έχουμε:

J}{=3 = 1

τότε

λ+3

~<=>χ-3=λ-χ~χ=--

Η λύση αυτή είναι δεκτή εφόσον υπάρχει

2

λ

>3

έτσι

ώστε

41


J t + 2t + 1 + J t 2 + t +5 χ=--

6t

+9 =

14

2

'Αρα το σύνολο λύσεων της

αν Αι=

~

(1) είvαι: λ<

t~O

3

{λ; 3 } αv λ~3

7. Να λυθεί η εξίσωση:

J (t

JX-=-1 + ,j2X=l = 5

t

(1)

+5

2

2

{χ Ε

χ

IR I

- 1~

Ο

(1)

είναι το

Λ

- 1~

t + 1 + t + 3 = 14 Ο}

= [1, +

οο)

t

ι

t~O

t=5 t4

2

4(χ - 1)(2χ - 1) = (27 - 3χ) } ~ 27- 3χ ~ο

χ - 150χ + 725 = ο 2

~

{

χ:::;;;9

είvαι το Αι

~χ=5ΕΑ

2 'Ωστε το σύνολο λύσεων της

} ~χ=5ΕΑ.

(1)

+5

χ=--

Αι

9. Ώστε το σύνολο λύσεων της

+5 2

JX-=-1 + ,j2X=l = 5 ~ (JX-=-1 + ,j2X=l)2 = 25 ~ 2 J (χ - 1)(2χ - 1) = 27 - 3χ ~ ~

2

χ=--

και για την λύση της στο Α έχουμε

8.

+ 3) 2 = 14

t~O

Το σύνολο ορισμού της

=

J (t

+ 1) 2 +

χ=--

Λύση:

Α

~.·

2

(1) είvαι:

= {5}

Να λυθεί η εξίσωση:

= {5}.

.Jx + v'x- .Jx - v'x = ~2Vx+v'x ./ χ

Να λυθεί η εξίσωση:

..j χ- 2 + V2x- 5 + J χ+ 2 + 3 V2x- 5 = 7 J2 (1)

(1)

Λi>ση:

Το σύνολο ορισμού της

Α = {χ Ε IR

(1)

είναι:

Iχ~Ο Λ χ-

v'x ~ ο Λ

Λύση:

Το σύνολο ορισμού της

Α

=

{χ Ε

(1)

Χ

είναι:

IR I 2χ - 5

~ Ο

και για τη λύση της έχουμε

-

2 + V2x - 5 +

42

ι

Jχ t~O

2+ t+ 5

=

t2

..j χ + 2 + 3 V2x -

Jχ +

2 + 3t = 7

[1,

+ οο)

2Vx+v'x

5= 7

>}2

v'x)2 -

J2

)χ -

v'x.

)χ +

v'x =

~ v'x ~ 2

3

~x+v'x-~=-v'x~ 2

~χ- ~=_!_Vχ~<Vχ>2- Vχ· .J"X=1 = 2

{ V2x- 5 = t

2χ-

::=

.Jx + v'x - .Jx - v'x = ~ ./.---χ--~ ~ {Jx +

= f Vx- 2 + t + Vx + 2 + 3t = 7 >}2} ~ ~

Ο}

καt για την λύση της στο Α, έχουμε:

Λ

χ - 2 + V2x - 5 ~ Ο Λ χ + 2 + 3 V2x - 5 ~ Ο}

+ Vx Φ

j

~

~ (2Vx- 1)2 =

5 4

25 16

4(vx=1)2 ~ Vx =-~χ= -Ε

Α


Ώστε το σύνολο λύσεων της

(1) είναι:

Αι= { ~~} Να λυθεί η εξίσωση:

10.

.j 3χ

τχ+l=ω] ~ = φ <*

3

2

(1)

= Φ +3 2

χ-

Το σύνολο ορισμού της

(1)

3

= φ2

3

ω 3 - ω 2 - 4 =Ο ω= φ

<*

φ;;:;.ο

Λύση:

χ-

3

φ;;:;.ο

ω= φ

<*

ω=φ

ω=φ

ω - 1

+ 5χ + 8 - .jjx + 5χ + 1 = 1

2

Ι

(1) <*

χ+ 1

φ;;:;.ο

=

φ2

χ-

3

= φ2

είναι:

(ω- 2)(ω +ω+ 2) =Ο 2

2

Α= {χ ε IR

I 3χ +

= { - οο, Αν

0 -:/=

χ ε Αι

.J 3χ

- 5

8;;:;. Ο Λ 3χ 2 + 5χ + 1;;:;. Ο}=

5χ +

~ νΓι3 ] υ ( - 5 ~ Vi3, + οο )

Αι ς;: Α

+ Sx + 8 -

2

+ Sx + 1 = 1, V χ ε Αι (2)

Πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη της

V3χ παίρνουμε:

(.J3x 2

2

(2)

+ Sx

+ Sx + 8 +

.j 3χ ~

~)

2

V3χ

2

(2)

2

V3χ

2

+ Sx + 8 +

.j 3χ

2

{ .J 3χ .J 3χ .J 3χ 2

Να λυθούν στο

2

Βιι.

V4 +

οι παρακάτω εξισώσεις:

2χ- χ =χ- 2

8\2. (λ - 2) ν'Χ+4 = 1 Βι3· .,Υ8χ

+ Sx + 8 - ν/.3χ + Sx + 1 = 1 } W + Sx + 8 + ν/.3χ 2 + Sx + 1 = 7

IR 2

3

+

1 - 2χ

=1

2

2

2

Βι4. 3χ + 15χ + 2

.J xz

+ Sx + 1 = 2

+ 5χ + 8 = 4 ~ 3χ 2 + Sx - 8 = Ο ~

:, 1 }

ς: Αι παίρνουμε: Αι =

Ώστε το σύνολο λύσεων της

:,

1} Βι7.

V4χ +

Βιs .

.J 3xz -

(1)

{ - :, 1 }. Βι9

είναι:

Αι= {- :, 1 } 11. Να λυθεί η εξίσωση:

V4χ -

2χ + 15 +

2- 4

V3χ

)21+χ+)21-χ

. v21 +χ- v21- χ

Bzo.

τχ+ι = y'"X"=3

2 +

2

Λύση:

Το σύνολο όρισμού της

21 χ

J χ + 2 J{=1 + J χ

-

{χ ε

IR I

χ -

3 ;;:;. 0} = [3,

και για τη λύση της στο Α, έχουμε:

+ οο)

2

.J(=1 = χ

-

1

-

ΧΖ

(1)

2+χ

(1) είναι:

2χ + 8 = 7

-

=-

Bzz. \/(χ + λ) 2 +α \/(χ - ν

=

= {7}

Προτεινόμενες ασκήσΒς:

Με την διαπίστωση (Με αντικατάσταση) ότι:

Α

είναι: Αι

V3χ + Sx + 1 ~ + Sx + 1 = 7, V χ ε Αι.

~χ ε {- :, 1 } και επομένως: Αι ς;: {-

{ -

(1)

+ Sx + 1,

χ ε Αι~ 2

φ2

3=

φ2

με

+ Sx + Ι) =

+ Sx + 8 -

=

'Ωστε το σύvαλο λύσεων της

+ 8- )3χ 2 + Sx + 1)()3χ 2 + Sx + 8

V3χ

=

'Αρα:

3

~χ-3=4~χ=7ΕΑ

~

+

~

χ-

το σύνολο λύσεων της (1) και

.J 3χ

χ-

φ;;:;.ο

τότε

2

<*{ω=φ=2 }~

ω=φ

.

BzJ. y'2 2+ y'2+X 2+χ 82•·

:::: (α +

1) yλ

2

2-χ

+ y'22- ..j2=X = -/2 2-χ

y'x-=3 + .,;;;:=-7 =

λ,

λ Ε IR

43


Αφορμές ... Β.Ζ.

Τα θέματα του Πανελλήνιου Διαγωνισμού της ΕΜΕ,

κού Ομίλου για την Ιστορία των Μαθηματικών (θεσ­

έχουμΕ ξαναγρόψΕι κι άλλΕς φορές, δημοσιΕύονται τα­

σαλονίκη) πρωτότυπα και καλοσχεδιασμένα με αισθη­

κτικά σε αντίστοιχα ξένα μαθηματικά περιοδικά. Αυτή

τική άποψη και καλή γραφή σχολίων. Της Πάτρας πε­

τη

φορά

Μάίος

στο

1987,

Καναδέζικο

σiλ.

Crux Mathematicorum

δημοσιεύτηκε λύση του 4ου θέ­

144

ματος του διαγωνισμού ΕΜΕ

ριέχει διάφορα θέματα Μαθηματικών μι: συνθέσεις και

χαρακτικά του

Escher,

ι:vώ της Θεσσαλονίκης βιο·

1983, για την Γ' Λυκεί­ John Morvay, Dallas Te-

γραφίες γνωστών μεγάλων Μαθηματικών σε χαρακτη­

xas, ενώ τα θέματα πάλι του διαγωνισμού της ΕΜΕ 1985* έχουν δημοσιευτεί στο ίδιο περιοδικό τον Ιαvουά­ ριο 1987, σiλ. 81-82 και μάλιστα στη σiλ. 2-3 του ίδιου τεύχους ο R.E. Woodrow (διάδοχος του Μ. Klamkin

στη χώρα μας και αξίζει έστω και καθυστερημένα να

ου. Η λύση δίνεται απ' τον

ριστικές στιγμές. Είναι κάτι που γίνεται πρώτη φορά γίνει αυτή η υπογράμμιση. 8

Διάκριση για τις Βαλκα­

νικές χώρες στην 28η Δ.Μ.Ο. που έγινε, στη Κούβα. Σι:

(42)

συμμετοχές χωρών

είχαμε

Ρουμανία

(1η),

στην Ολυμπιακή στήλη) αρχίζει τη παρουσίαση θεμά­

Βουλγαρία (7η), Γιουγκοσλαβία (18η), Ελλάδα (20η),

των Ολυμπιάδων μι: τα θέματα του διαγωνισμού της

Τουρκία (21η -δι: συμμετέχει στις αντίστοιχες Βαλ­

Ε.Μ.Ε.

1985

της Γ' τάξης του Λυκείου. Αξίζει να ση­

μειωθεί ότι το

Crux

στη ίδια στήλη έχει δημοσιεύσει

κανικές Ολυμmάδι:ς, αλλά μόνο τώρα τΕλευταία στις

Διεθνείς Ολυμπιάδες), Κύπρος (33η), η Αλβανία δε

τα αντίστοιχα θέματα του 1984\ της ΕΜΕ στο τεύχος

συμμετέχει. Η Ελληνική ομάδα έχασε την ευκαιρία με­

του Νοεμβρίου

γαλύτερης διάκρισης μια και δε συμμετείχε ένα μέλος

1984. •

Σχολιάζοντας τα Μαθηματικά

των πανελλαδικών εξετάσεων απ' τη μεριά των απο­

της αποστολής (άρρωστος υψηλό πυρετό) και ανα­

τΕλεσμάτων παρατηρείται:

i) στη α' δέσμη μια mώση σε σχέση με πέρυσι αφού 49,12% έγραψε κάτω από τη βάση (αvτίστοιχα πέρυσι είχαμε 38,63%), ι:vώ 18,5 20 έγραψε το 8,5% (αντίστοιχα πέρυσι είχαμε 13,7%) ίί)

γκαστικά ι:ίχι: ένα μηδενισμό (δηλαδή τη προσφορά

στη δ'

γραμματιστεί οι ΕΠόμι:vι:ς Δυτ. Γερμανία

δέσμη ι:τήσης έχουμε μία πτώση σι: σχέση

από

1-42

βαθμούς), όση δηλαδή ήταν η διαφορά μας

μι: την 12η θέση (Γαλλία). Η ΕΠόμενη Ολυμπιάδα του

1988

θα γίνει στην Αυστραλία, ι:vώ έχουν κιόλας προ­

Σουηδία

(1989),

Κίνα

αλλά θα επανέλθουμε. 8

Εί­

όμως μι: πέρυσι υπάρχει κάποια βΕλτίωση αφού

(1990),

έγραψε κάτω από τη βάση

ναι εύκολο να βρει κανείς μια μαθηματική αναλογία

ενώ το

8,16%

έγραψε από

58,86% (αντίστοιχα πέρυσι 62,20%), 18,5 - 20 (πέρυσι 5,86%).

(1991) ...

που να μην έχει καμμιά σοβαρή σημασία. Αλλά, η

Σημαvτικό στοιχείο στις φετεινές εξετάσεις για τα Μα­

ανακάλυψη μιας σημαντικής αναλογίας προϋποθέτει

θηματικά κρίνεται και η μείωση των αριθμό των ύπο­

τουλάχιστον πείρα και εργασiα. 'Ετm η πρόοδος και

ψηφίων καθώς και τη σχετικά μεγάλη αποχή. Συγκρι­

το κάθετί καινούργιο γι:νvιέται από τη δημιουργική

τικά παρατηρούμε ότι προσήλθαν και υπήρχε αvτί­

συνεργασiα του με την ι:ργασiα. Σήμερα, στην εποχή

στοιχη αποχή για την α' δέσμη:

των μεταλλαγών, περισσότερο από κάθε άλλη ιστορι­

1983 (17501 - 4,2%) 1984 (24.143 - 5,8%), 1985 (27.519 - 7,6%), 1986 (27.044 - 8,5%), 1987 (24.064 8,3%) ενώ για τη δ' δέσμη: αντίστοιχα έχουμε 1983 (42.473 - 5,4%), 1984 (50231 - 8,1%) 1985 (54.146 11,4%), 1986 (47.108 - 14,1%), 1987 (44.158 - 13,7%).

κή περίοδο η κατάκτηση των μαθηματικών γνώσεων,

τα, αποτΕλεί κοινωνική μέριμνα του κάθε πολίτη και

Σ τις φετaνές εξετάσaς συζητήθηκε πολύ το τρίτο θέ­

νωνική παραγωγή 2 , ταυτόχρονα iλέγχονται και εξε­

μα της Φυmκής, καθώς και το θέμα της έκθεσης. Ειδι­

λίσσονται ως αποτέλεσμα της ίδιας της χρήσης τους.

κά για την έκθεση σημειώνουμε ενδεικτικά ότι στο σύ­

Δικαιούμαστε να αναζητήσουμε στις μαθημαπκές ιδέ­

νολο των υποψηφίων

(147.000)

μόνο

434

τουλάχιστον στις γενικές τόυς αρχές και συμπεράσμα­ πιο ειδικά των νέων ανθρώπων. Τα μαθηματικά Ελέγ­ χοντας, βiλ τιώνοvτας και πολλαπλασιάζοντας την κοι­

πήραν άριστα

ες, που είναι αποτέλεσμα ευρύτατης κοινωνικής και ψυ·

Αν και κάπως αργά (Αύγουστος) να το

mκής συνεργασίας στη δημιουργία τους και τον έλεγχό

σχολιάσουμε ... , αξίζει όμως το κόπο. Μιλάμε για το

τους, την αυτοπεποίθηση, το θάρρος, την ευχαρίστη-

ημερολόγιο ή μάλλον για τα ημερολόγια του

ση

....

2.

Κοινωνική εργασία και μαθηματική σκΕψη, Αθήνα

(18,5 - 20) •

1987 του

παραρτήματος Πάτρας της ΕΜΕ και του Εκπαιδευτι· Ι. Τα θΕματα του πανΕλλήνιου διαγωνισμού της ΕΜΕ και

1985

Είχαν σταλΕί στο περιοδικό

Δ. Βάθη (Χαλκίδα.)

44

Crux

1984

απ' το συνάδελφο

Κατσαίτης

1980.

Σ.


ΠΙΝΑΚΕΣ Λ. Σολακίδης

Σ' αυτή τη σύντομη παρουσίαση των πινάκων δίνηαι πε­

α3t α ι

I-

ρισσότερο σημασία στην ιστορική ανάπτυξη και τις ποικίλες

εφαρμογές που παρουσιάζουν τόσο στα μαθηματικά, όσο και

χ=

Ι - βJt β:

Ένα ση­

Οι

021

μαντικό επίσης σημείο που επιχειρείται να αναλυθεί είναι ο

βι

β2

σ' άλλους χώρους επιστημονικού ενδιαφέροντος. ηολλαπλαmασμός και τα διάφορο είδη του.

ι ~ιι =~3: y= 3

Οι πίνακες μπορούν να θεωρηθούν σαν γενικευμένοι

αριθμοί. Μεγάλο πλήθος πληροφοριών μπορεί να βρί'

I;ιι

σκεται αποθηκευμένο σ' ένα πίνακα. Τ ο γεγονός αυτό τους καθιστά εργαλείο στα χέρια του ανθρώπου με εφαρμογές σε πλήθος πεδίων της ανθρώπινης δραστη­

ριότητας.

Για

I

= Οι

t

Πίνακες πρωτοπαρουσιάστηκαν στις εργασίες του

Iρλανδού μαθηματικού και φυσικού

Hamilton (1805-1865),

όταν στα

1837

Sir William Rowan και 1843 επινόησε

το χειρισμό των μιγαδικών αριθμών σαν διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών. Θεωρώντας τον σαν διατεταγμένο ζεύγος τύπου

1

χ

(α, β),

και

α

+

βί

I

χ=

02

βι

02

! β2

;:

β2

I

I β3

Ι

έχουμε:

Ι α3

OJ

!>

1

y=ι

Ι β3

Οι

βι

:.

2

! = /

Οι

βι

οπότε:

δηλαδή σαν πίνακα

ορίζουμε:

2,

+ (γ, δ) = (α + γ, β + δ) + (γ + δί) = (α + γ) + (β + δ)ί

(α, β) γιατί

+

βί)

(α, β) γιατί

+

βί)

· ·

(γ, δ) (γ

= (αγ -

+ δί) =

(αγ

βδ, βγ βδ)

-

και

+ αδ)

το γινόμενο αυτό ονομάζεται «εξωτερικό» και η χρη­ σιμότητά του είναι μεγάλη στη φυσική και στη γεω­

+ (βγ + αδ)ί

μετρία.

'Ωστε το πρώτο είδος πολλαπλαmασμού πινάκων προ­

σαρμοσμένο στη φύση των μιγαδικών αριθμών είναι το [α, β]

·

[γ, δ]

[αγ

=

-

βδ, βγ

(1838 -

1903)

σ'

+ αδ].

Josiah Willard Gibbs

1881-1884

=-

β χ α.

και αφορά διατε­

διανυσματικής ανάλυσης). Μπορεί κανείς να ορίσει σαν

γινόμενο των διανυσμάτων α (οι, (βι, β2, β3)

02,

και β

a.)

τα οποία είναι κοινής αρχής, μη συγγραμ­

ματικά, με συντεταγμένες που αναφέρονται σε τρισορ­

y

θογώνιο σύστημα αξόνων, ένα άλλο διάνυσμα

κά-

θετο στα α και β. ( Αν y (χ, y, z), τότε με χρήση εσωτ~ικού γινομέ­ νου προκύmει το σύστημα

αιχ

βιχ έχει άπειρες λύσεις. Έστω αιχ

+ αzy =

βιχ

+ βzy = - βJt

-

+ Ο2Υ + α3Ζ

+ β2y + β3z =

z = t.

Ο

που

Τότε το σύστημα

δίνει λύσεις:

>

1,

στα

James Joseph Sylvester

1850.

Ο Σκωτοαμερικανός μελετητής των πινάκων J.H.M Wedderbum (1882-1948) θεωρούσε ότι το έργο του Hamilton «γραμμικές και διανυσματικές συναρτήΌεις», του 1853, περιείχε τις aπαρχές μιας θεωρίας πινάκων. Αλλά ήταν ο Artbur Cayley (1821-1895) ο οποίος στο έργο του «ένα υπόμνημα στη θεωρία των πινάκων» του

1858,

πρωτοθεώρησε πίνακες τύπου

m

χ η

σαν

μοναδικές οντότητες που υπόκεινται σε ορισμένους νό· μοιχ; συνδυασμού. Αυτή η προσέγγιση του

Cayley

υπο­

κινήθηκε από τη μελέτη γραμμικών μετασχηματισμών. Αν

03t

η

τ ο όνομα <mίνακας» πρωτοδόθηκε σε μια ορθογώνlΟ

(1814-1897)

θεωρείται ο πατέρας της

με

εξισώσεων.

κες τύπου

3. (0 Gibbs

χ η

έχει τις ρίζες της στη θεωρία συστημάτων γραμμικών

παράθεση αριθμών από τον

χ

η

πρωτοπαρουσιάστηκε στη θεωρία των οριζουσών που

ταγμένες τριάδες πραγματικών αριθμών, δηλαδή πίνα­

1

Επίσης δεν ισχύει η προ­

Η θεώρηση πινάκων τύπου

ένα μικρό φυλλάδιο που μοίρασε

στους φοιτητές του στα

α χ β

σεταιριστική ιδιότητα.

Υπάρχουν όμως και άλλα είδη, όπως αυτό που πα­ ρουσίασε ο Αμερικανός φυσικός

Σ' αυτό δ~ ισχύε~η αvτιμεταθετική ιδιότητα, αλλά

ισχύs

χ'= αχ+ βy

y' = γχ

+ δy

(1) ο μετασχηματισμός του

45


επιπέδου που απεικονίζει τό διάνυσμα με συντεταγμevες

την αvάπτυξη της κβαντομηχανικής, κλάδου της σύγ·

ως προς ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, στο

χρονης φυσικής που μελετά τα υποατομικά σωματίδια.

[ : ].

διάνυσμα και

[:

~ ] δηλάδή

χ"

=

y"

= nx'

εχ· +'ζ!;'

+

~ ]=

[:

[:

: ] · [ ; ] (i)

θy'

ο μετασχημστισμός που

στο

[ x.' ] Y

[ yx·'·' ] δηλαδή

[:

και

ΒΑ

θγ

Με αντικατάσταση της

γινόμενο πινάκων κατά

δηλαδή

eva

κατ' ευ·

[;]

ΑΧΒ=ΑΒ-ΒΑ

Cayley

και συνδοονται με τη σχέση:

Α

· Β = (Α * Β)

(i)

εβ+ζδ ]·[χ] ηβ

θδ

+

(iii)

y

2

Cayley, Jordan

Lie.

σική όπου υπάρχουν όροι όπως: <mίvακας σκεδάσεως», <<Πίνακες των

στη (ίί) και σύγκριση με

spin»,

«Πίνακες εκμηδevισης» και <<Πίνα­

κες δημιουργίας». Στη μελΕτη των

spin των ηλεκτρο­

νίων στην κβαντική μηχανική συναντάμε τους πίνακες

σχολικό βιβλίο, που οvομάζεται πολλjμος

του

Cayley και

Pauli:

Οχ = [ ~ ~ ], με

i2

=-

Oy

= [ ~ - ~ ],

πλασιασμού στηρίζονται σ' αυτόν. το εσωτερικό γιvόμεvο δύο διαvυσμάτων είvαι στην ουσία γιvόμεvο πιvάκων κατά

χ

Cayley.

και

= [ :: ]

1

την ορθοκανονική βάση. Αν με

χ

y

Έστω τα δια-

= [

~~

]

ως

συμβολίσουμε το

Oz

=[~ _ ~ ]

1, για τους οποίους ισχύει:

θεωρείται ο σημαντικότερος, γιατί άλλα είδη πολλα­ Οχ

' Oy

=-

Oy •

Οχ

' Oz

=-

Oz •

Οχ

Oy ' Oz

=-

Oz •

Οχ

Οχ

Η θεωρία της σχετικότητας περιλαμβάνει επίσης πί­

νακες. -Οι

εφαρμογές στην Μηχαvική, που πραγμα­

τεύονται θi:ματα όπως «γωνιακή ταχύτητα και επιτά­

χυνση», «κινούμενα συστήματα συντεταγμέvων», «κύ­

τότε:

χ ο y = 1χ · y = [χι, Xz] • [ ~~ ] = [ΧιΥι + XzYz] 1Χ2

2

Χ

1

1Χ1

με την προϋπόθεση ότι ταυτίζουμε τους πίνακες τύπου

I

1

+ -(Α Χ Β),

σχέση που συνδέει τα γινόμενα, των

δηλαδή το γvωστό πολλαπλασιασμό πιvάκων από το

Ιχ

Marius

είχε ορίσει το γιvόμενο

ρίας πινάκων συναντώνται στην μοντέρνα ατομική φυ­

[~ ~]·[~ :]=[~::~~ ~β:~δ]'

Xz]

Cayley.

Και τα δύο στηρίζονται στον πολλαπλασιασμό του

την (ίίί) i:χουμε:

[χι,

+ ΒΑ),

Μερικές από τις πιο σημαντικές εφαρμογές της θεω­

ηα

R\

(ΑΒ

ριστικό εν γevει. Ο Νορβηγός μαθηματικός

και

[ χ~~]=[εα+ζγ +

νύσματα του

1

= 2

που Εχει εφαρμογή στη μελΕτη των συνεχών ομάδων.

~~ ].

Υ

ΑΒ

Β

τ ο γινόμενο είναι aντιμεταθετικό, όχι όμως προσεται­

(ii),

= (εα + ζγ)χ + (εβ + ζδ)y = (ηα + θγ)χ + (ηβ + θδ)y,

με μετασχηματισμό που απεικονίζει το

όπου

*

Sophus Lie (1842-1899)

τότε με αντικατάσταση των (1) στις (2) i:χουμε:

θείαν στο

μά του:

Α

[>: ]= [ηε ~] . [ :: ] υ"

Pascual Jordan, φυσικός, ιδρυτής της μοντi:ρνας

κβαντομηχανικής, όρισε το γινόμενο που φi:ρει το όνο­

(2)

απεικονίζει το διάνυσμα

χ"

Ο

με τους πραγματικούς αριθμούς.

ριοι άξονες αδράνειας», «κινητική ενέργεια» και «θεω­

ρία ταλαντώσεων» Εχουν οδηγήσει στη δημιουργία. <<ΠΙ­ νάκων

μηχαvικής».

Μεγάλα

τμήματα

της ηλεκτρο­

μαγνητικής θεωρίας τα πραγματεύονται καλύτερα με μεθόδους πινάκων και η σύγχρονη αvάλυση και σύνθε­

ση κυκλωμάτων απαιτεί τη χρήση πιvάκων.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι δεv υπάρχει evaς

Η θεωρία πιvάκων Εχει γίνει απαραίτητη στις μοντi:ρ­

και μόνον τρόπος ορισμού του πολλαπλασιασμού πιvά­

νες στατικές μελέτ.ες και πολλές σπουδαίες εργασίες

κων αλλά το είδος του ορισμού εξαρτάται από το πού

που αvαπτύσσουν τη θεωρία πινάκων Εχουν γραφεί

από στατιστικούς. Στη στατιστική συναντάμε πίνακες

θα χρησιμοποιηθούv οι πίvακες. Από την εποχή του

Cayley,

η θεωρία των πινάκων

Εχει εΠεκταθεί και Εχει βρει εφσρμογΕς σε πάρα πολ­

1925

ο

Heisenberg

αναγvώρισε ότι η θεωρία πι­

νάκων ήταv ακριβώς το εργαλείο που χρειαζόταv για

46

κες και στοχαστικούς πίνακες. Η άλγεβρα των πινάκων είναι το κύριο μαθηματικό

λούς τομείς.

Στα

δεδομi:νων, πίνακες συσχετισμού, συναλλοίωτους πίνα­

εργαλείο της ψυχομετρίας. Οι

κοινωνικές επιστήμες

i:χουν τελευταία βρει στους πίνακες αvεκτίμητη βοή-


θεια καt είναt υπεύθυνες για τη δημ10υργία όρων στη

ναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση, δηλαδή ότι

θεωρία πινάκων όπως «πίνακες επικοινωνίας» και <mί­

το Κ είναι δακτύλιος.

νακες κυριαρχίας».

Χρήση

ί) προσεταιριστική

των πινάκων έχουμε ακόμη

στη Στατική,

στην αεροδυναμική, στην αντιμετώπιση αριθμητικών προβλημάτων με χρήση υπολογισμών, στη μελέτη και

:

Ισχύει στον πολλαπλασιασμό πι·

vάκων.

ii)

μσvαδιαίο στοιχείο: ο πίνακας [ ~ ~ ]

iii)

επιμεριστική

λύση συστημάτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

και στη γεωμετρία. Το μεγαλ{περο μέρος της θεωρίας πινάκων έχει τις ρίζες του σε γεωμετρικές εφαρμογές,

και κωνικοειδών.

είναι αvτιμεταθετικός

iv)

Αντιμεταθετική

α β] [

Οι πίνακες χρησιμοποιούνταt στη θεωρία συναρτή­

σεων και στη μελέτη τετραγωνικών, διγ,ραμμικών και

Ισχύει στους πίνακες

Επειδή ισχύει η αvτιμεταθετική ιδιότητα, ο δακτύλιος

όπως η θεωρία των γραμμικών μετασχηματισμών, η

θεωρία διανυσματικών χώρων και η μελέτη κωνικών

:

[- β α

.

γ δ ] [ αγ - βδ αδ + βγ ] = - δ γ = - (αδ + βγ) αγ - βδ

Ερμιτιανών μορφών. Οι μοντέρνοι aλγεβριστές έχουν

γα

βρει ότι σχεδόν κάθε αφηρημένο αλγεβρικό σύστημα μπορεί να παρασταθεί με πίνακες. Είναι ενδιαφέρον το

γεγονός ότι μπορούμε να δώσουμε μια παράσταση πι­ νάκων στους μιγαδικούς αριθμούς. Παριστάνουμε τον α

+

βί

,

, .2 .2 [

με τον πινακα τυπου

Το σύνολο Κ = { [ _

;

τη δομή σώματος όπως το

Χ

α β]

α

.

<C

δηλαδή τα Κ και

<C

είναι ισόμοpΦα.

[

,[

α β] -β

~ α

2

πρέπει και αρκει

α

+ β 2 Φ Ο δηλαδή

'

' '

α β

[- β

α

-

γ δ]

[

α+γ β+δ]

δ γ = -(β

+

δ) α

] [ γ δ] [ αγ - βδ . - δ γ = - (αδ + βγ)

+

,

στοιχιση

γ

αδ + βγ αγ - βδ

α

]

προσθετική ομάδα:

: Ισχύει στην πρόσθεση πινάκων

ii) αvτιμεταθετική

: Ισχύει στην πρόσθεση mvάκων

Ουδέτερο στοιχείο : Ο πίνακας [ ~ ~ ]

iv) Συμμετρικό στοιχείο: Ο αντίθετος του πίνακα

αβ]

είναι ο

[α -β]

+β.ι

C

β

και

α

Κ

με την παρακάτω αvτι·

αβ β] α

- [ _

.

η οποια

,

ιατηρειται

r-α-β]r β _α ·"\

Σ τη συνέχεια θα δείξουμε ότι ο πολλαπλαrnασμός

είναι προσεταιριστικός, έχει μοναδιαίο στοιχείο και εί-

+

βί)

+

+

δί)

=

+

γ)

+

+

δ)ί

αλλά και

~]+[_~ ~]=[-(;:~) βα++δγ]~

[_;

i) προσεταιριστική

[ _β α

ή

με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό

Πρώτα θα δείξουμε ότι το Κ είναι αvτιμεταθετική

iii)

α Φ Ο

0 0

+ βι

αι

Τα δύο σώματα

[

α

[ο ο] fl. Κ*.

1

πολλαπλαrnαμό:

+

]

Για να δείξουμε ότι το Κ είναι σώμα, αρκεί να δεί­

και δύο εσωτερικές πράξεις, την πρόσθεση και τον

β α

α β

[

δ γ . - β α

-

Ο δε aντίστροφος ως γνωστόν είναι ο

α β]-[ -δΥ γδ]~α-γ και β=δ [ -β α

α β]

γ δ]

[

ξουμε ακόμη ότι κάθε πίνακας του Κ* είναι αντιστρέ­

ισχυει γιατι ο πινακας

Σ το Κ ορίζουμε μια σχέση ισότητας:

[-

]

γα - δβ =

Για να υπάρχει ο aντίστροφος του πίνακα

και τα στοιχεία του συ­

<C,

δβ γβ + δα

-

+ δα)

ψιμος.

~ ]. α ε IR, β ε IR } έχει

μπεριφέρονται όπως εκείνα του

(γβ

= [-

+

γ)

+ βί) · (γ + δί) =

+

(αγ -

+

δ)ί

βδ)

+ (αδ + βγ)ί

αλλά και

[ - ;

~ ] · [ - ~ ~ ] = (_ (α7: ~ -

(αγ

-

βδ)

+ (αδ +

: ~ ~ ]-

βγ)ί

λέμε ότι είναι ισόμορφα, δηλαδή τα στοιχεία του ενός συμπεριφέρεται όπως εκείvα του άλλου.

47


Ο Eίίler, ο

Diderot

και η "απόδειξη" περί θεού Δ. Βάθης Στο τεύχος

3,

Φεβρ.

1987,

σελ.

201,

στη στήλη αλληλογρα­

φίας υπήρχε ερώτημα για τους αvαγvώσπς, μ' αφορμή ένα

γράμμα του Α. Δi:δΕ σχεηκά με την μαθημαπκή «απόδειξη» υπάρξεως του Θεού από τον

Euler. Σ' αυτό το σημείωμα δίνε­

ται ιστορικά η απάντηση ...

Ο

Euler «απέδειξε» την ύπαρξη του Θεού με Μαθηματικά, αλλ' όχι με την σχέση eπi + 1 = Ο. Εξάλλου, καθόσον γνωρίζω, πουθενά στα έργα

να αποδείξει αλγεβρικά την ύπαρξη του Θεού

και ότι θα του την έδινε ενώπιον όλης της Αυλής, εάν ήθελε (ο

Diderot)

να την ακούσει. Ο

Αν και το όνομα του «διαβασμένου Μαθηματι­

κού» δεν το έδινε η διοχετευμένη πληροφορία, αυτός ήταν ο

Euler.

ή σε επιστολές του Euler δεν υπάρχει ακριβώς eπi = - 1.

αυτή η σχέση ή η

π'{ί63

Σε έργο του διαβάζουμε τον τύπο

eΦi

Diderot

ευχαρίστως δέχτηκε.

= συνφ + ίημφ γραμμέvον ως e + F1 = cosu + J+l sinu.

Από την σχέση αυτή ο ίδιος στη συνέχεια βρί­ σκΕΙ τον φυσικό λογάριθμο του

- 1·

συγκεκρι­

μένα, γράφΕι:

1(- 1)

Η προσχεδιασμένη συνάντηση έγινε ο

= ± π FJ._.

προχώρησε προς τον

Η τελευταία ισότητα είναι, βέβαια, ισοδύναμη με

ης

e±πi

=-

1,

Euler

και του είπε σοβα­

Diderot

ρά σε τόνο γεμάτο πεποίθηση:

(1) «Κύριε,

αλλ' ο ίδιος ουδέποτε την έγραψε με την μορφή

α+

b"

άρα Θεός υπάρχει·

=χ·

η

(1). Οι

Bell αναφέρουν το σχετι­ κό επεισόδιο μεταξύ Euler και Diderot και μνημο­ νεύουν ότι το αφηγείται έτσι ο De Morgan στο κλασσικό βιβλίο του Budget of Paradoxes (1η έκδ. 1872, 2η έκδοση 1915): D. Smith

«Προσκεκλημένος από την

-

τσαρίνα

της

την Αυλή της, ο

προσπαθούσε

Απαvτείστε!»

και ο Ε.

την μεγάλη

να

Diderot,

για τον οποίο η

ήταν Εβραϊκά (γράφει ο

D. Smith),

'Αλγεβρα τάχασε και

ταράχτηκε, ενώ ακράτητα γέλια υψώνονται από όλες τις πλευρές γύρω του. Ο

Diderot,

ύστερα απ'

αυτούς το επεισόδιο,

επισκεφθεί

ζήτησε από την τσαρίνα την άδεια να επιστρέψει

βρήκε την ευκαιρία και

αμέσως gτην Γαλλία, η οποία και του χορηγή­

Ρωσσίας

Diderot

Αικατερίνη

Τότε ο

-

προσηλυτίσει

να

τους aυλικούς

θηκε».

Αξίζει να σημειωθεί επίσης ότι:

στον αθεϊσμό. Τότε η Αικατερίνη έπεισε τον

Euler

να κλείσει

Τ ο περιγραφόμενο υπό του

De Morgan

επεισό­

το στόμα του ζωηρού φιλόσοφου. Αυτό ήταν εύ­

διο πρέπει να τοποθετηθεί μεταξύ των ετών

κολο, γιατί όλα τα Μαθηματικά ήσαν Κινέζικα

και

για τον

Diderot

Bell). Diderot την

γιατί το

1763

πληροφορία, ότι

κάποιος διαβασμένος Μαθηματικός ήταν σΕ θέση

δεύτερο μάτι του ο

1763

έγινε αυτοκράτειρα η Αι­

κατερίνη Β', η μεγάλη, ενώ το

(γράφΕΙ ο

Διοχέτευσαν στον

1766,

Euler

1766

έχασε και το

με αποτέλεσμα να τυ­

φλωθεί τΕλείως.

Οι πίνακες έχουν ακόμα εισβάλλει στον κόσμο των

λισμό και διαδικασίες mνάκων. Σημαντική επίσης χρή­

επιχειρήσεων και σε άλλους χώρους όπως στο γραμμι­

ση βρίσκουν στη θεωρία παιγνίων και στη θεωρία γρα­

κό προγραμματισμό που χρησιμοποιούν κυρίως σuμβο-

φημάτων ή δικτύων.

48


Πότf τρία σημfία βρίσκονται στην ίδια fυθfία; Π. Γριμανέληc;- Τ. Λαμπρόπουλοc;

Θα αναφέι:χ>υμε μερικές παι:χπηρήσεις που θα μας

πρόταση), εξαρτάται από τις υποθέσεις και τα ζητούμενα του

βοηθήσουν σrην λύση θεμάτων της μορφής που αναφέ­

προβλήματος και φυσικά από την ύπαρξη όσο το δυνατόν

ραμε αλλά και σrην αντιμετώπιση των άλλων θεμάτων

πιο απλής διαδικασίας που θα γίνει αυτό. Τονίζουμε ότι η έπι­

TO\J διανυσματικού λογισμού.

λογή του α ή και της βάσης {β, y} δεν είvαι μ~vαδική.

Παρατηρήσειι;*

αντικαθιστώντας τα διανύσματα που υπάρχουν σ' αυτή σαv

1)

6) Μια διανυσματική σχέση πολλές φορές απλουστεύεται

Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ

είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει πραγματικός

αριθμός χ ώστε: ΑΒ = xAf (1). Πράγματι από την (I) έχουμε ότι τα ΑΒ και Af είναι γραμμικώς εξαρτημένα άρα οι φορείς των ΑΒ και Af είναι παράλληλοι (με την ευρεία έννοια) και επειδή τα ΑΒ και Af έχουν κοινό το σημείο Α έχουμε ότι τα Α, Β και Γ είναι συ­

διαφορά διανυσμάτων με ικανή αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο.

Παράδειγμα:

Αν για τα σημεία Α, Β, Γ ισχύει:

ΑΒ

+ 2ΒΓ

+ 3rA

=ο

(1)

δείξτε ότι αυτά είναι συνευθειακά.

νευθειακά.

Ειδικά αν το Β και αν

χ = Ο τότε ΑΒ = Ο άρα το Α ταυτίζεται με χ

τότε

= 1

ται με το Γ. Επομένως η mωση όπου

2)

Α ΞΞ Β

ή

ΑΒ

(I)

=

ΑΒ

δηλαδή το Β ταυτίζε­

μας εξασφαλίζει και στην περί­

Απόδl'ιξη:

Έστω Ο τυχαίο σημείο*, τότε η (Ι) γράφεται:

- - - -

Β ΞΞ Γ.

(ΟΒ- ΟΑ)+ 2(0Γ- ΟΒ)

Αν γνωρίζουμε ότι τα Α, Β και Γ είναι συνευθειακά και

Af Φ Ο

τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός χ ώστε: Α8 =

άρα

20Α

ΟΑ

xAf.

3) Για να εκφράσουμε ένα διάνυσμα α σαv γραμμικό συν­

διασμό των διαvυαμάτων μιας βάσης ιβ, y} του διανυσμα­ τικού επιπέδου (ή μιας βάσης {β} της διαvυαματικής ευθείας)

επομένως ΒΑ (0

μπορούμε σταδιακά να τα φέρουμε στη μορφή

Kz, KJ

+ μy

-

= Af.

τη διάμεσο τριγώνου με τις πλευρές που την περιέχουν ή και

κιΟΑ

+ κzΟΒ + K30f Κι+ Κ2 +

και

μού επί διάνυσμα συγγραμμικό προς αυτό.

είναι μία βάση του διανυσματικού ΕΠΙ­

λ = ρ

και

μ = ν

Η πρόταση αυτή μας βοηθάει να βρίσκουμε σχέσεις που

Υποθέτουμε ότι

οι ζητούμειιες.

5) Η επιλογή του

ii

και της βάσης Ιif,

y}

ως προς την

ΟΠΟία θα εκφράσω ΤΟ α (για να εφορμόσω την Προηγούμενη

Κι Φ Ο Κ3

=-

και από την (Π) έχουμε: Κ2- Κι

άρα η (Ι) γίνεται κιΟΑ +

(-

άρα κι(ΟΑ -

δf)

-

OC)

κιΓΑ + κιΓΒ =Ο

+

KzOB + κ 2 (0Β -

και επειδή -

*

Γ

Β

Α

συνδέουν τις συντεταγμένες του α και οι οποίες θα μας χρειαστούν για να δείξουμε το ζητούμενο ή ίσως να είναι και

(Π)

0

Δ

(δηλαδή κάθε

διάνυσμα αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συν­ δυασμός των στοιχείων μιας βάσης).

=

ο

Απόδl'ιξη:

πέδου Ρ και α διάνυσμα αυτού ώστε: α = λβ + μy και τότε

Κ3

=Ο (Ι)

Τότε τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

εκφράζοντας ένα διάνυσμα σαν γινόμενο πραγματικού αριθ­

+ vY

Of

τουλάχιστον διάφορο του μηδενός ώστε να

παραλληλόγραμμου ή με τη διανυσματική σχέση που συνδέει

α = ρβ

6Β = ΟΓ - ΟΑ

ισχύουν οι σχέσεις:

(ή λβ)

Η ανάλυση αυτή μπορεί να γίνει με τη βοήθεια απλών προ­

{β, vΊ

δηλαδή

τυχαίο σημείο) υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί Κι,

τάσεων όπως άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων, κανόνας

4) Αν

-----!

3(0Α- ΟΓ) =Ο

Εφαρμογή 1: Αν για τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ,

αvαλύουμε αυτό ως συνάρτηση άλλων διανυσμάτων τα οποία

λβ

- -

- ΟΒ - ΟΓ

+

Kz-

Κι #Ο

=

Κι)

Of =Ο

Ο δηλαδή

έχουμε ότι:

Kz-

ΓΑ=- -ΓΒ Οι παρατηρήσεις όμως ξεχνιούνται αν δεν τις δούμε να

εφορμόζοvται σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Κι

'Αρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνεQθειακά.

49


φορετικά μεταξύ τους (από την υπόθεση δεν ταυτί­

Παρατηρήσεις:

Η υπόθεση «έvας τουλάχιστον αριθμός από τα Κι, κ 2 , κ 3

είναι διάφορος του μηδεvός» εφ' όσον ισχύει και η υπόθεση κι

+ κ, + κ, =

Ο

είvαι ισοδύναμη με την υπόθεση ιιδύο του­

λάχιστον αριθμοί από τα

κι, κ,, κ,

είvαι διάφοΡοι του μη­

'Εστω τα 68 και δf. Επομένως τα σημεία Β και Γ δεν ταυτίζονται. Επειδή τα διανύσματα ΑΒ και Bf έχουν τον ίδιο φορέα, είναι γραμμικώς εξαρτη­ μένα. Επομένως υπάρχει πραγματικός άριθμός λ ώστε

δενό9>.

ζονται και τα τρία).

Αν έvας από τα

σημεία

Α, Β, Γ

κι, κ,, κ,

είvαι μηδέv τότε δύο από τα

να ισχύει:

ταυτίζονται.

_!Φαρμογή 2: Δίvοvται τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ (Ο τυχαίο σημείο) τέτοια ώστε τα σημξία Α, Β και

ΛΒ =λΒr άρα

ΟΑ = λ(δf -

00 -

-

ΟΑ

Γ να είναι συνευθειακά. Να δείξετε ότι υπάρχουν πραγ­ ματικοί αριθμοί

κι, κ 2 , κ 3

με έναν τουλάχιστον διά­

κι(ΟΒ - λδf + λΟΒ)

και

+

Κι

+

=

Κ3

άρα (κι + κιλ + κ,)ΟΒ +

0.

Τα Απόδι:ιξη:

Επειδή

ΟΒ

τητα γιατί

τα

διανύσματα

ίδιο φορέα (με

Af

ΑΒ

# Ο)

και

ΑΓ

έχουν τον

είναι γραμμικώς εξαρτη­

και

ΟΓ

Β= Γ

ΟΑ

όΒ

= λ(όf

- ΟΑ>

κι

=

λ

- 1,

Κι

=

1

6f =

κι

+

και

Κι +κ,+ Κ3 =Ο.

κ,

= -

(κι

λ

'Αρα Κι

κ3

=

- 1)

+

(κι, κ,, KJ)

Κιλ +κ,= Ο

Αν και τα τρία διανύσματα ταυτι'ζοvται τότε η

Ο.

1 + (-

# (0,

+ κ, + κ 3

+ κ, + κ,)ΟΑ

= Ο

(I)

γίνεται:

γιατί ΟΑ Φ Ο.

Δηλαδή και στη

περίπτωση αυτή η πρόταση ισχύει.

και

+

(11)

Παρατηρήσεις:

+ λΟΑ =ο

τότε έχουμε:

ίί) κι

όμως είναι γραμμικώς ανεξάρ­

Κι + Κιλ + Κ2 = 0

δηλαδή

δηλαδή

Επομένως (λ - 1)0Α + 1 · όΒ + (- λ) Αν θέσουμε

(11)

λΑf

=

ΟΑ - λόf

-

+ κ,ΟΒ + Κ3δf =Ο (- κιλ + KJ)δf =Ο

έχουμε:

{-

-

-

λΟΒ

θείας που περνά από τα Β και Γ. 'Αρα από την

να ισχύει:

άρα όΒ

+

και το Ο δεν είναι σημείο _της ευ­

μένα. Επομένως υπάρχει πραγματικός αριθμός λ ώστε

i.B

-

λΟΓ

-

Επομένως η σχέση (I) γίνεται:

φορο του μηδενός τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:

ίί) Κι

-

ΟΒ·

=

δηλαδή

00)

λ)

=

Η πρόταση δεν ισχύει Ο

με

av

το Ο είvαι σημείο της ευθείας που

περνά από τα Α, Β και Γ. Δηλαδή

av

υπάρχουν πραγματικοί

αριθμοί κι, κ,, κ, με έvav τουλάχιστον διάφορο του μηδενός

Ο, Ο)

ώστε: Παρατήρηση:

• Αν λ = Ο δηλαδή κ, = Ο τότε ΑΒ =Ο άρα Α Ξ Β • Av λ = 1 δηλαδή κι = Ο τότε ΟΑ = Af άιχι Β Ξ Γ

Εφαρμογή 3: 'Εστω τα διανύσματα ΟΑ,

68,

δf

δev έπεται κατ' ανάγκη ότι

Παράδειγμα:

τέτοια ώστε τα σημεία Α, Β και Γ να είναι συνευ­

θειακά, να μη συμπίmουν και τα τρία και το σημείο Ο να βρίσκεται εκτός της ευθείας που περνά από τα

Για τα σημεία

άξονα (0, ϊ)

όπου

κι, κ,, κ,

+ Κ3δf

πραγματικοί αριθμοί και ένας τουλά­

δείξετε ότι ισχύει:

+ Κ2 +

ενός

Ο(ο)

Α(ι)

Β(2)

=Ο (I)

χιστον απ' αυτούς είvm διάφορος του μηδενός, τότε

Κι

0(0), Α(1), Β(2) και Γ(- 3)

ισχύει:

Γ(-3)

Α, Β. Αν αυτά συvδί:οvvτm με τη σχέση:

κιΟΑ + κ,ΟΒ

Κι +κ,+ κ,= Ο.

με

3.

Κι

Αν

+

κ,

+

κ,

= 1+ 1

κι = κ, = Κ3 = Ο

+1=

τότε η

(I)

3

Φ Ο.

ισχύει yια κάθε Α,

Β, Γ.

Κ3

=;

Ο. Σχόλιο:

Απόδειξη:

Δύο τουλάχιστον από τα ΟΑ, 50

00,

δf είναι δια-

Σ τις παρακάτω ασκήσεις δίνουμε τρόπο λόσης που έχει σχέ­

ση με τις προηγούμενες εφαρμογές. Δηλαδή αvάγουμε την


Επειδή ΜΑ = ΜΟ

προς λύση άσκηση σε μία από αυτές τις εφαρμογές. Αυτό γί­

νεται στο

βήμα. Στο 2ο βήμα όπως θα παρατηρήσετε γίνε­

lo

ται ιδία ακριβώς απόδΕΙξη με την ανάλογη εφαρμογή στην ΟΠΟία έχουμε αναχθεί. Προσοχή Τ Ο 2ο βήμα πρέπει να γίνΕΙ

οπωσδήποτε (και όχι απλώς να κάναυμε αναφορά στηΙΙ ανά­ λογη προηγούμενη εφαρμογή) γιατί οι εφαρμογές αυτές δεν περιέχονται σαν θεωρία στο σχολικό βιβλίο.

η

+ ΟΑ και Mf

=

ΜΟ

+ όf

είναι ισοδύναμη με την

(I)

ΟΑ + 3(ΜΟ + ΟΑ>

=-

2ΟΜ + (ΜΟ + δf> + 300

Επομένως 4ΟΑ με

4

+ (-

+ (- l)or + (- 3)00 =ο + (- 3) = Ο.

1)

(Π)

2ο βήμα

· lη ., Ασκηση: Δίvονrαι τα σημεία Ρ, Α, Β που δεν είναι συνευθειακά και

=

Α

Β.

Να βρείτε τη θέση

του σημείου Μ όταν ισχύει η ισότητα:

με κ, λ πραγματικούς αριθμούς με

λ

άρα δηλαδή

κ(λ + 2)ΡΑ - 2(κ + λ)ΡΒ - λ(κ - 2)ΡΜ =ο (I) "# Ο και κ "# 2.

4 =· 3

-

ΓΑ

= -

Επομένως τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 2ος τρόπος:

(I)

έχουμε:

Παρατηρούμε ότι:

κ(λ + 2) ·ΡΑ+[- 2(κ +λ)] ΡΒ + [- λ(κ- 2)] ΡΜ =Ο

<ΟΜ

+ ΜΑ> + 3ΜΑ =

Επειδή

κ(λ

2(κ

+ 2) =

+

λ)

+

λ(κ

- 2)

η (I)

γίνεται

[2(κ + λ) + λ( κ - 2)]ΡΑ- 2(κ + λ)ΡΒ -λ( κ- 2)ΡΜ =Ο

δηλαδή 2(κ άρα

+ λ)(ΡΑ

2(κ

και επειδή

+

λ(2

· ΡΒ)

-

λ)ΒΑ

-

κ)

"#

+ Ο

+ λ(κ -

λ(κ

-

4

- =

(I)

(ΡΑ - ΡΟ) - ΡΟ) +

4

ΜΑ = λ(2 - κ) ΒΑ (11) Επομένως το Μ είναι γνωστό σημείο της ευθείας

που ορίζουν τα Α και Β και προσδιορίζεται από την σχέση

(11).

2η 'Ασκηση:

Για τα σημεία

+ 3ΜΑ

= -

20"Μ

Να δείξετε ότι τα σημεία

Ο, Μ, Α, Β, Γ

ισχύει

+ Mf + 300 ο>

Α, Β, Γ

είναι συνευθεισκά.

Αnόδι:ιξη: Αρκεί (1η εφαρμογή) να βρούμε τρία διανύσματα με κοινή αρχή, έστω το Ο (ή το Μ ή κάθε άλλο τυχαίο ση­

μείο Ρ), τέλος τα Α, Β, Γ και πραγματικούς αριθμούς κ,, κ2, Κ3

κι

+

ΡΜ) =

ΡΜ) + 3(ΡΒ - ΡΟ)

(Pr -

+ (- 3) + (-

1) =

με

ο

3η 'Ασκηση: Δίvovrm τα διανύσματα

ΟΑ = α

+ 3β, όΒ = 20 -

β, όΓ = 30 - sβ.

Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β κm Γ είναι συνευθειακά.

η σχέση:

ΟΑ

+ 2(ΡΑ -

<- 3)ΡΒ + <- 1)Pr =ο

2(κ +λ)-

-

Ο κτλ.

έχουμε:

άρα 4ΡΑ +

έχουμε ότι:

+ (- 3) + (- 1) =

με

Αν θεωρήσουμε σαν αρχή τυχαίο σημείο Ρ, τότε από την

= - 2(ΡΜ

Ο

+ ΜΓ + 3(ΟΜ + ΜΒ>

3ος τρόπος

2)(ΡΑ - ΡΜ) =Ο

2)ΜΑ

- 20Μ

<- 3)ΜΒ + <- l)Mr =ο

άρα 4ΜΑ +

ικαvοποιούνrαι οι συvθήκες της 1ης εφαρμογής,

βρισκόμαστε δηλαδή στο 2ο βήμα της απόδειξης.

και

-

3ΒΑ.

Αν θεωρήσουμε σαν αρχή το Μ τότε από την

Λvση:

· Αρα

+ 1 άρα η (1) γίνεται: (3 + 1)ΟΑ + <- l)όf + <- 3)00 =ο <��Α - &> + 3(0Α - οο> =ο

'Εχουμε

Ασκήσι:ις

με έναν τουλάχιστον διάφορο του μηδενός

κ2

+

Κ3

=

Ο,

ώστε να ισχύει:

κιΟΑ + κ2ΟΟ + κ3όf =Ο (ή ανάλογες σχέσεις αν αρχή είναι το Μ ή το Ρ).

Απόδι:ιξη:

Ι. Αν τα διανύσματα ο και β είναι γραμμικώς εξαρ­ τημέvα τότε είναι παράλληλα (με την ευρεία έννοια)

άρα κάθε γραμμικός συνδιασμός τους είναι διάνυσμα

παράλληλο σ' αυτά. 'Αρα τα διανύσματα ΟΑ, 00, όf είναι· παράλληλα και επειδή έχουν κοινή αρχή, θα έχουν τον ίδιο φορέα δηλαδή τα Α, Β, Γ είναι συ­

νευθειακά.

Π. 'Εστω ότι τα διανύσματα

a

και β είναι γραμμι­

κώς ανεξάρτητα.

Ιος τρόπος

Αρκεί να ιmάρχει πραγμ.ατικός αριθμός λ ώστε:

- -

ΑΒ =λΑΓ

51


4η 'Ασκηση: Αν κ, λ, μ είναι πραγμαηκοί αριθμοί

'Εχουμε:

β) - (α + 3β) = α - 4β

οΓ - ΟΑ = (3α- sβ) - (a + 3β) = 2(a- 4β)

λχ +Υ= λ3

Α8 = οο

Af =

- ΟΑ = (2α -

ανά δύο διαφορετικοί, το σύστημα:

-

1= -ΑΓ. 2

άρα

ΑΒ

2ot;

τρόποt;

-

κΟΑ

κι, Κ2, Κ3

δενός και

Κι

με έναν τουλάχιστον διάφορο του μη­ κ2

+

Κ3

+

Ο

=

και επειδή τα α και β είναι' γραμμικώς ανεξάρτητα έχουμε:

SκJ

-

με ένα τουλάχιστον από τα

Ο

=

Επειδή όμως πρέπει να ισχύει και

κι

κι, κ2,

KJ

κ2

+

+ KJ =

Ο

διάφορο του

μηδενός, το ομογενές σύστημα

βήμα

Επειδή

το σύστημα έχει λύση,

ι

-

κ2

Κι+ Κ2

+

SκJ Κ3

= = 0

1 2 3 3 - 1 - 5 = 1 1 1

D=

Πράγματι

είναι συμβιβαστό,

του επαυξημένου πίνακα του

συστήματος είναι μηδέν (παρατηρήστε όη

~ ~ ι = κ - λ # ο.

Επομένως η λύση του συστήματος είναι μοναδική).

Έχουμε

Κ λ

1 Κ3 1 λ3 3 μ 1 μ

D=

= -

Ο

Επειδή

πρέπει να έχει και λύση διάφορη της μηδενικής.

D

επομένως η ορίζουσα

κι + 2κι + 3κJ = Ο 3κι

(I)

θειακά.

1 Κι

Ο

=

τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευ­

lo

0

δηλαδή (κι + 2κ2 + 3κJ)a + (3κι - κ2- SκJ)β =Ο

-

-

μΟΓ

+

Απόδl'ιξη:

ή Κι(Ο + 3β) + K2(2a - β) + κβa - Sβ) =

2κι

-

λΟΒ

+

ώστε:

κιΟΑ + κ2ΟΟ + Κ3δf =Ο (I)

και

μχ +Υ= μ]

έχει λύση και ακόμα ισχύει:

Αρκεί (1η εφαρμογή) να υπάρχουν πραγματικοί αριθ­ μοί

ι

κχ+y=κ 3

D =

-

κ)(μ

Ο

και

Κ λ - κ μ - Κ

=

-

κ)(μ

κ

#

λ

#

λ)(μ

μ

Κ 3 λ3 - κ 3 3 μ - Κ

1 Ο

0 +

#

κ

λ

+

κ)

έχουμε ότι:

μ+λ+κ=Ο με ένα τουλάχιστον από τα λ, μ, κ διάφορο του μηδε­

Ο

νός (δεν μπορεί να έχουμε

λ

=

μ

=

-

λ

κ

=

Ο

γιατί

κ# λ# μ# κ).

Η μη μηδενική λύση του συστήματος είναι:

2ο βήjια

'Εστω

2ο βήμα

Επειδή

κ2

= -

κι

-

Κ3

= - KJ -

Κ3

άρα

3oc;

(ΟΑ ΒΑ = -

'Εχουμε:

κ

= -

μ

με αντικατά­

00) +

(δf -

λ-

-

ΑΓ=--ΑΒ μ

00) =Ο

5η 'Ασκηση: Αν

Bf.

Ρ

εσωτερικό σημείο της πλευ­

ράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ ώστε 1\Ρ = μΑΒ + νΑf (1), (μ, ν πραγμαηκοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός) να δείξετε ότι

-

ΑΒ = α 4β Af = 2α- 8β

καt

είναι

(1, - 4)

1 -

12

Af και

41 =Ο.

- 8

ν

+ 1

Αντίστροφα αv ισχύει η

= 1.

(I)

δείξετε ότι το Ρ βρίσκεται στην ΒΓ. Α

και επειδή τα α, β είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, απο·

ταγμένες των ΑΒ και

μ

μ+ ν=

Απόδειξη

τελούν βάση του διανυσματικού επιπέδου. Οι συντε­

'Ομως

επειδή

δηλαδή τα σημεία Α, Β, Γ είναι συvευθειακά.

τρόπος

{α, β}

Ο,

#

ή (I) γίνεται:

κJΟΑ - κ3ΟΟ - κ3ΟΟ + κJδf = Ο δηλαδή

μ

σταση στην (Ι) και πρόξεις έχουμε ότι:

ως προς την βάση

(2, - 8) αντίστοιχα. 'Αρα τα ΑΒ,

Af

είναι

loc;

τρόποc;

lo

βήμα

Μ Ρ

Β

Από την

(I)

Γ

έχουμε:

1 · ΑΡ + (- μ)ΑΒ + (- v)ΑΓ =Ο (Π)

γραμμικώς εξαρτημένα οπότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι

και ξέρουμε ότι τα σημεία Β, Ρ, Γ είναι συνευθειακά.

συνευθειακά.

'Αρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις της 3ης εφαρμογής.

52


_}ο J!ήμα ΒΓ

#

Ο

Επειδή τα Β, Ρ, Γ είναι συνευθειακά και

υπάρχει πραγματικός αριθμός χ διάφορος του

μηδενός (γιαή Ρ~ Β) ώστε: ΒΡ =χ· __. ΑΡ

-

δηλαδή

ΑΡ

__..

-

χ)ΑΒ

= (1 -

χ(ΑΓ

=

-

xAf -

(1 - χ)ΑΒ + άρα

(1 -

-

χ

-

και επειδή τα ΑΒ και

= ν(Αf

-

-

νΑf =Ο

-

=

ν)ΑΓ

δύο διανύσματα ΟΑ,

68, δf ώστε ΟΑ + 68 + δf =ο.

Ο

είναι γραμμικής ανεξάρητα

Af

έχουμε:

Αν Αι, Βι και Γι είναι τα σημεία τομής μιας ευθείας (ε)

που δεν περνά από το Ο, με τους φορείς των ΟΑ,

68, 1-χ-μ=Ο

{

άρα

χ-ν=Ο

- ΑΒ) = νΒf.

6η 'Ασκηση: Δίνονται τα συνεπίπεδα διάφορα ανά

.

= (μ - l)AB + νΑf = - νΑΒ + νΑf =

(ffi)

μι\Β

+

μ)ΑΒ

8Ρ = 8Α + Α.Ρ = - .ΑΒ + μΑΒ + νΑf =

άρα

ΑΒ)

-

χΑΓ

+

Bf

__...

~

ΑΒ

-

Επομένως από την (Π) έχουμε:

2oc;

3ικ; τρόπος

μ+ ν.=

δf αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

1

τρόπος

ΟΑ

-

ΟΒ

ΟΓ

ΟΑι

ΟΒι

ΟΓι

-=- + -=- + -=-= Ο. Απόδειξη

Θα εκφράσουμε το ΑΡ σαν γραμμικό συνδιασμό Ar} του διανυ­

των διανυσμάτων της βάσης {ΑΒ, σματικού επιπέδου με δύο τρόπους

-

'Εχουμε

και απόδειξης μ+ ν=

-

ΑΡ

ο

= μΑΒ + νΑΓ ΑΡ = (1 - χ)ΑΒ + xAf (Σχέση (ΠΙ) της άρα μ = 1 - χ και ν = χ επομένως

1. Γ

lικ; τρόπος Παρατήρηση:

lo i)

Η σχέση

προκύπτει και ως εξής:

(ill)

=

+ χ(ΑΓ

ΑΒ

-

ΑΒ)

=

-

ΟΑ

Θέτουμε:

ΑΡ =ΑΒ +ΒΡ =ΑΒ +χΒΓ χ) ΑΒ

+ χΑΓ .

lικ; τρόπος

1

έχουμε:

(ΙΙ)

+ (- μ) + (- ν) = Ο.

2ο βήμα:

Επειδή

ΑΡ

-

μ

ν,

από την

(11) έχουμε:

(1 - ν)ΑΒ - νΑf =Ο

Ar)

επομένως

-

ΒΡ

Α8

-

ΒΡ

=

-

- vA8 + vAf

=

νΒΓ.

-

+

-

-

μΟΓι =Ο

(I)

ν(ΑΓ

-

ΑΒ)

-

ΒιΑι

χ(χ #Ο)

#

Ο

ώστε:

ΒιΓι = χΒιΑι

επομένως ΟΓι- ΟΒι = χ(ΟΑι- ΟΒι) δηλαδή όϊ\ = ΟΒι + χΟΑι - χΟΒι

ΑΡ = μι\8 + νΑf =(Ι- ν)ΑΒ + νΑΓ =

λΟΒι

άρα υπάρχει πραγματικός αριθμός

Και από

δf = Ο έχουμε:

Τα Αι, Βι και Γι είναι συνευθειακά και

τρόπαι:

i3P -

-

μδfιι

νοποιούνται οι υποθέσεις της 3ης εφαρμογής.

δηλαδή τα Β, Ρ, Γ είναι συνευθειακά.

άρα

+

επομένως

ΒΡ = - νfΒ

2oc;

+ 68 +

6f =

2ο βήμα

= 1-

άρα (ΑΡ- ΑΒ) + ν(ΑΒ-

ΟΓι

Τα σημεία Αι, Βι, Γι όμως είναι συνευθειακά άρα ικα­

<- μ)ΑΒ + <- ν>Αf = ο

ι. ΛΡ + με

(I)

-=-=μ.

ΟΒι

κΟΑι Από την

ΟΓ και

ΟΑ= κΟΑι, ΟΒ = λΟΒι και

-

βήμα:

-=-=λ

Επομένως

και rnειδή ΟΑ

Αντίστροφο

lo

ΟΒ

~==κ,

ΟΑ ι

=

-

βήμα:

δηλαδή

(I)

(11)

και (Π) έχουμε:

+ μχ)ΟΑι + (λ + μ -

μχ)ΟΒι :::: Ο

και επειδή τα ΟΑι και ΟΟι είναι γραμμικώς ανεξάρτη­ τα έχουμε:

{

κ+μχ=Ο λ+μ-μχ=Ο

άρα

κ+λ+μ=Ο

53


ΟΑ ΟΒ ΟΓ -=-+ -=-- + -=-- = ΟΑ1 ΟΒ1 ΟΓ1

δηλαδή

Από

Of 1 σαν

γραμμικό συνδιασμό

των διανυσμάτων ΟΑ 1 και ΟΒ 1 που αποτελούν βάση

ι

'Εχουμε:

μΟΓ1

μ(ΟΑ1

=

Α1Γ1)

+

ΟΓ

Επομένως από

{ 7η

μχΟΒ1 +(μ --μχ) ΟΑ1

=

(III)

και

(IV)

μχ=-λ μχ-

μχ

=ο

1

=

~+

1

χ=ν

ν

μ ν=--

μ+1

Θα εκφράσουμε το

Af.

νυσματικού επιπέδου

(IV)

'Εχουμε:

Af. =

Επίσης

κ+λ+μ=Ο

παραλληλόγραμμο

με δύο τρόπους σαν γραμμι­

κό συνδιασμό των διανυσμάτων της βάσης του δια­

{Μ, ΑΒ}.

νΑr = ν( Μ + ΑΒ) = νΜ + νΑΒ (111)

ΑΣ = Μ +

&.

= Μ + yi5P

ΑΔ + y(M + ΑΡ)

=-κ

'Ασκηση: Δίνεται

--1

-:; 1

2ος τρόπος:

=

i:χουμε:

άρα

)ΑΔ=Ο --

~-> >ο δηλαδή ι

(III)

= μ0Α1 + μχΑιΒ; = μ0Α1 + μχ(ΟΒΙ - ΟΑ1) άρα

(χ -:;-1

ΑΡ+

άρα

ΟΓ =- ΟΒ- ΟΑ=(- λ)ΟΒ1 + (- κ)ΟΑ 1 =

1)-

χ

έχουμε:

(Έχουμε θέσει ότι ΟΑ = κΟΑ1, ΟΒ = λΟΒ1 και ΟΓ = μοrΙ)

ΟΓ

έχουμε:

(11)

και επειδή τα ΑΡ και Μ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα

του διανυσματικού επιπi:δου με δύο τρόπους

Επίσης:

και

-:;--:;-~

2ος τρόπος

Θα εκφράσουμε το

(I)

(1

Ο

ΑΒΓΔ

και σημείο Ρ εσωτερικό της ΑΒ ώστε ΑΡ = μΑΒ, Η ΔΡ τi:μνει την ΑΓ στο σημείο Σ. Αν Ai = νΑr, να δείξετε ότι: μ

άρα

=

- yM + yAP

ΑΣ = (1 - y)M + μyΑΒ

(IV)

Επομένως από (III) και (IV) έχουμε:

{

ν=1-y,

{y=1-ν

αρα

ν= μy

,

-

ν= μ(1

μ)

δηλαδη ν

μ

= -μ+

1

ν=--

+1

μ (μ, ν

πραγματικοί αριθμοί με

μ, ν# Ο

και

μ#-

1)

3ος Τρόπος

Θα εκφράσουμε το ΑΡ σαν γραμμικό συνδυασμό Απόδειξη:

Α

Ρ

των Μ, ΑΒ με δύο τρόπους:

Β

ΡΞJ

Δ

Ιος τρόπος

lo βήμα:

Πράγματι

ΑΡ = ΑΣ + ΣΡ = νΑf + χΔΡ

Af

= ΑΒ + Μ

και

ΑΓ

-

=

ο- χ)ΑΡ = νΑf- χΑΔ = ν(ΑΒ +Μ)- χΑΔ = = νΑΒ + (ν - χ)Μ

1-

-ΑΣ ν

και

-

ΑΒ

=

-

v

τα σημεία Σ, Δ, Ρ

και

(I)

είναι συνευθειακά (εφαρμογή

3).

2ο βήμα Επειδή τα σημεία Δ, Σ και Ρ είναι συνευθειακά και

Μ # Ο

υπάρχει πραγματικός αριθμός χ διάφορος

του μηδενός ώστε:

-

ΡΣ

άρα

54

=

-

χΡΔ

ΑΣ = ΛΡ + χ(ΑΔ - ΑΡ) (11)

Αλλά

v-x-

1-χ

-ΑΡ

1ΑΣ -+ (- ~ 1 )ΑΡ - + (- 1) ΑΔ - =Ο -:;

-

ΑΡ =--ΑΒ +--ΑΔ

επομένως

άρα

+ χΜ + χΑΡ

άρα

Γ

'Εχουμε ότι

= νΑf

-

ΑΡ

=

# 1

-

μΑΒ

+

1-χ

γιατί

Ο

·

(V)

Σ ;Ξ Δ)

-

ΑΔ

(VI)

'Αρα από (V) και (VI) έχουμε:

!

ν~χ=Ο --=μ

δηλαδή

μ ν=--

1+μ

1-χ

4οςτρόπος

Τ ώρα θα αλλά..52υμε βάση ως προς την οποία θα εκφράσουμε του ΑΣ.

Έχουμε:


ΛΣ

- + - +-

= νΑf + ο · Α8 (ή ΛΣ = νΑf + ο . Μ)

ν[(ΑΗ

ΗΕ

ΕΒ) + (ΔΗ + ΗΕ

'Αρα η νέα βάση είναι η {Ar, ΑΒ} (ή {Ar, Μ}) Επίσης

ΑΣ

=

- -

ΑΡ

ΡΣ

+

-

μΑΒ

=

+

-

χΡΔ

m) =

= μΑΒ + χΡΑ + χΑΔ = μΑΒ- χμΑΒ + x(Ar + = μΑΒ - μχΑΒ +

{

Επομένως:

χΑΒ =

xAf -

ν= χ μ

-

μχ

-

χ

=

xAf + (μ άρα

ο

ν

8η 'Ασκηση: Δίνεται τετράπλευρο

μεία

Κ

και

ΑΚ

=

νΑΒ

και

ΔΛ

νΔΓ.

= -1

και ση­

αντί­

Να δεί­

ΗΓ

ΗΕ=----

2

1

μ

κο.:_ Ι:'Δ

=

xJAB

= -μ + 1

ΗΒ

'Εχουμε

<IiA

ΑΒΓΔ

Δ_ στις___1;λευρές ~Β

στοιχα ώστε

μχ -

= νΗΕ

-+-

3ος τρόπος

=

+ ΕΓ)]

2

[(ΑΗ

+

ΗΖ

4οςτρόπος

ΕΖ =

ξετε ότι τα μέσα των ΒΓ, ΚΛ και ΑΔ είναι συνευθεια­

+

ΖΚ)

+

-

1 + -ΔΛ

-ΑΜ

+ ΑΒ) + <ΗΔ + ΔfJ 2

ν

ν

2

(ΔΗ

+

ΗΖ

+

-

ΖΛ)]

1= -ΗΖ ν

_ ΕΚ+ΕΛ

2

κά (ν πραγματικός αριθμός διάψοΡ.Ο<; του μηδενός).

= ... = (ν - 1) ΗΕ

Απόδειξη:

Ασκήσεις προς λύση Γι. Δίνεται παραλληλόγραμμο

lος τρόπος

Αν Ο τυχαίο σημείο τότε οι σχέσεις:

ΑΚ = νΑΒ

,

{Μ= νΜ

γραφοvται

{ 6Κ

- ι)Α = νΟ.Β - νΟΑ ΟΛ- ΟΔ = if- νΟΔ

<6Κ + όΛ>- (ΟΑ+ οο> = ν(όΒ + δΓ>- ν(όΑ + οο> άρα 20Ζ - 20Η = 2νΟΕ - 2ν0Η

1 1 -+-= 1 κ λ ' Αντίστροφα αν τα σημεία Ε, Γ, Ζ είναι συνευθΕtακά

(και

ΑΕ= κΜ,

i\2 =

(Ι)

1

Γ2. Δίνεται τρίγωνο

ΗΖ= νΗΕ.

είναι συνωθεωκά.

λΑΒ) 1

δείξτε ότι:

-+-= κ λ

δηλαδή ΟΖ- ΟΗ = ν(ΟΕ- ΟΗ) επομέ\ 'κ

Η, Ζ, Ε

Πάνω στην

να δείξετε ότι τα σημεία, Ε, Γ και Ζ είναι συνευθειακά.

με πρόσθεση αυτών έχουμε:

'Αρα τα

ΑΒΓΔ.

ΑΔ παίρνουμε σημείο Ε ώστε ΑΕ = κΜ και στην ΑΒ σημείοΖ ώστε ΑΖ= λΑΒ (κ, λ E-IR*). Αν

ΑΒΓ

1

και έστω Θ το κέντρο

βάρους αυτού. Μια ευθεία (Ε) που δεν περνά από το

Θ τέμνει τις ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ στα σημεία Αι, Βι, Γι αντί­ στοιχα. Να δείξετε ότι:

Τ ην σχέση

(I)

1 · ΟΖ με

1

+

1)

(v -

ΘΑ

θα μπορούσαμε va την γράψουμε ως εξής:

+ (ν + (- ν)

1)0Η

+ (-

= Ο

και

v)OE =ο

va συνεχίζαμε με το 2ο

βήμα.

ΘΒ

ΘΓ

~+ -=--=-=--=ο. ΘΑι ΘΒι ΘΓι

ΓJ. Τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ, δf

ικανοποιούν την

σχέση:

2ος τρόπος 'Εχουμε: