Issuu on Google+

έκδοση της ελληνικης μαθημα τικής ςεταιρείας Τριτο

9

15


Έτος κη' Τεύχος

ευκλείδης ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ

3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝ

Σ"ντακτικό Εοιτροοό

rενικά

Γαβρίλης Κ.

Γεωργίου Σπ.

Γ. Χαnκιαδάκnς

Η Ι'εωμετρία σmv Αyιοyραφία

Δάτσικας Χρ. Β. Πonvδovpnς

Ιστορικά Αριθμnnκά Σ"στόματα

Καπετανάς Λ. Καραμανλής Θ.

Το ε~ώφ"λλο

Κολυβάς Σπ. Κυράνας Π.

Σπ. Γεωpyίοv

Μέτρnσn αnοστάσεωv με Τριyωvομετρία

ΛΙάπης Γ.

Μαρκοτzανέτος Αντ.

Α' Τάξη

Μπουρβάρης Π.

Παπαδάκη Μ. Πατρώνης Τ.

fωvίες: Σ\Jvοnτικός nίvακας εννοιών και ορισpώvΑ. Tpιavraφvλλov

Πολυδούρης Β. Πολύδωρος Τ.

Προβλήματα Αριθμnnκός σε θέματα rεωμετρίας Γ. Ωpαιόποvnος

Τσικοπούλου Στ.

Ωραιόπουλος Γ.

~

Πολυδούρης Β., ΛΙακαταίων

14 14

Γ. Ωpαιόποvnος

Αναφορά και κρmκό στις λ\ίσεις

Υοε\ίθ"vοι Σ\ίνταξnς Ωραιόπουλος Γ., Καλλιπόλεως Γαβρίλης Κ., Ανδρίκου

Κ. Γa8p0mς

Οι αρώτες έννοιες mς rεωμει:ρίας

Παποιίλια Κ.

Β' Τάξη

.

27

Υοε\ίθιινοι Έκδοσnς αοό το Δ.Σ. Κολυβάς Σπ.

Σr. Τσικοπο6nοv

Σιιμμετρία

Αvοστοιχίες • Σνναpοiσεις (Αvαδnμοσίεvαη από rov rόμο ΙΘ' Νοεμ.-ΔΕκ.

Μπουρβάρης Π.

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ

Τάξη

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Σταnστικιί (Αvαδnμοσίεvαη από rov rόμο Κ'

Πανεπιστημίοu

Ισότnτα

34- 106 79 Αθήνα 36 17 784, 36 16 532 FAX: 36 41 025

ΤΗΛ.:

Π. Kvpάvaς- Τ. Πσrpώvnς

1985)

ι\. Καπεrαvάς

1986. 1987) Α. Tpιavraφ6λλov

• Ομοιότnτα τριyώvωv

Α. Mapκorzavέroς

Τριyωvομετρικά θέματα

Εκδότnς: Η. Λυπιτάκης Λ\ίι:ες

Διε"θιιντός: Β. Ντzιαχρήστος

Η στόλο το" μαθητή

Σχήματα: Στ. Μαραγκάκης Εοιpέλεια Έκδοσnς: Στ. Μαραγκάκης Τα σκiΊ:σα έφnαξε ο Γ. Καλαφάτης, μαθη­ τής του

• • •

Κ. ΓaBpιίlnς

Τα Μαθnματικά μας διαακεδάzοιιν

ISSN: 1105-7998

51 ου Λυκείου Αθηνών.

Επιμέllεια Τ. Πσrpώvnς Κ. Γα8pιίlnς

Αλλιιλοyραφία Δnμοσκόnnσn στα Αθλήματα

Α4 4°v Γvμvασίοv Πarpώv

Το περιοδικό εκδίδεται από το Σεmέμβριο κάθε χρόνου μέχρι τον Ιοιίνιο τοu επόμενου έrοuς σε

4

διμηνιαία τεύχη.

Τα διαφημιzόμενα βιβλία δεν σημαίνει ότι προτείνονrαι από την Ε.Μ.Ε.

Οι Συνεργασίες άρθρα, προτεινόμενες ασκήσεις, λιίσεις ασκήσεων κ.λπ. πρέπει να στέλνονrαι έγκαιρα, στα γραφεία της ΕΜΕ με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη α ' ". Τ α χειρόγραφα δεν επιστρέφονrαι.

• Για διαφημίσεις στο περιοδικό: Γραμματεfα Ε.Μ.Ε. Υίμn τε\ίχοvς δρχ. 300 Ετήσια σ"vδρομό δρχ. (1.200 + 200 ταχ"δρ.) 1.400. Το ανrίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονrαι στέλνεται με απλή επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. ταχ. γραφείο Αθήνα Τ.Θ.

30044 ή

πληρώνεται με επίσκεψη στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Στοιχειοθεσfα- Σελιδοποίηση: ΚΛΕΙΝΙΑΣ ΕΠΕ

Εκτιίπωση: ΙΝΥΕΡΠΡΕΣ Α.Ε., Ιερά οδός

Γορδίου

Υπειίθ. Τυπογραφεfου: Ν. Αδάκτυλος- τηλ.

1, 171 21

Ν. Σμύρνη- τηλ.

93 34 930

81-83 34 74 654

54


3

Η reωΜΘΤΡΙλ.

CTHN λ.ΓΙΟΓΡλ.ψlλ. Χαλκιαδάκnς Γιώρyος Όσο κι αν ακούγεται παράξενο, τα Μαθπματικά

Στο σχήμα

3

βλέπουμε δυο ίσα τετράγωνα δια­

υπάρχουν παντού. Τα συναντά κανείς ακόμα και μέ­

φορετικού χρώματος (άσπρου- μαύρου συνήθως),

σα στους ιερούς ναούς! Εκεf βλέπουμε διάφορα γε­

που πλέκουν τις πλευρές τους. Έτσι οι πλευρές τους

ωμετρικά σχήματα να συμπληρώνουν τα κενά ανα­

σχηματίzουν οκτώ ίσα ορθογώνια και ισοσκελή τρί­

μεσα στις αγιογραφίες ή να τις πλαισιώνουν, να δια­

γωνα και στο κοινό μέρος των δυο σχημάτων ένα

κοσμούν μεγάλες επιφάνειες του δαπέδου. Τις βρί­

κανονικό οκτάγωνο. Αν παραλείψουμε τα τμήματα

σκουμε ακόμα και πάνω στις πόρτες ή στα εικονο­

των πλευρών τους που είναι στο εσωτερικό, θα δού­

στάσια.

με το σχήμα

Σε πολλές εικόνες υπάρχουν «τριδιάστατοι» σταυροί (σχ.

4,

που συναντάμε αλλού. Είναι ένα μη

κυρτό 16-γωνο. Συχνά στο κέντρο του υπάρχει ένα

1). Σ' αυτούς το επίπεδο που ορίzουν

οκτάκτινο, που οι ακτίνες του σημαδεύουν τις κορυ­

οι πλευρές ΑΒ και ΖΗ τέμνεται κάθετα από το τμή­

φές των ορθών γωνιών των αρχικών τετραγώνων.

μα ΓΔ. Αυτό μας θυμίzει το τριδιάστατο σύστημα αξόνων (σχ.

2).

Έτσι η πλευρά ΑΒ αντιστοιχεί στον

άξονα ΟΧ (των τετμημένων), η ΓΔ στον ΟΨ (των τε­

ταγμένων) και το κεντρικό τμήμα ΖΗ στον ΟΖ (των

κατηyμένων).

Σ

z

χ

(σχ. 1) ψ

(σχ.

2)

(σχ.

3)


γραμμή με τις πλευρές τους εσωτερικού τετραγώ­

4

νου, που ανακυκλώνεται. Άκόμα, έχουμε ένα σταυ­

ρό με πλευρές δυο ίσα ορθογώνια, που σε κάθε κο­ ρυφή υπάρχει ένας κύκλος με ακτίνα όσο το μισό του πλάτους του ορθογωνίου. Οι κύκλοι αυτοί ανά

δυο εφάπτονται και μεταξύ τους, αφού τα κέντρα

τους απέχουν όσο είναι το άθροισμα των ακτίνων. (σχ.

Στο σχήμα

5

4)

βλέπουμε μια συνεχή τεθλασμένη

γραμμή μονοκονδυλιά, της οποίας τα διασταυρού­ μενα τμήματα σχηματίzουν μεταξύ τους ορθές γω­

νίες.

(σχ.

Αν συμπληρώσουμε τα τμήματα που λείπουν,

7)

θα δούμε να εμφανίzονται εννέα ίσα τετράγωνα. Σε ένα άλλο παρόμοιο σχήμα, το

8,

έχουμε πέ­

ντε κύκλους, που σχηματίzονται πάλι από μια συνε­

χή ταινία. Ο μεσαίος είναι μεγαλύτερος, βρίσκεται στο κέντρο ενός τετραγώνου και πλαισιώνεται από

τέσσερις μικρότερους που εφάπτονται μ' αυτόν και με τις γωνίες του τετραγώνου.

(σχ.

5)

Το καταπληκτικότερο όλων είναι το σχήμα

6,

που υπάρχει στο δάπεδο ενος ναού στο Άγιο Όρος.

Έξι ίσα τετράγωνα είναι σε κύκλικο σχηματισμό με κοινές ανά δυο τις κορυφές και δημιουργούν ένα

(σχ.

8)

ακτινωτό εξάγωνο. Πιο κάτω θα δοθεί, μια ερμηνεία

για την κατασκευή του, που αποτελείται από ξύλινα Στο σχήμα

πλακάκια.

9

έχουμε τέσσερις ίσους κύκλους,

που βρίσκονται στο εσωτερικό ενός τετραγώνου και

εφάπτονται με τις πλευρές του και μεταξύ τους. Η πλευρά του τετραγώνου ισούται με δυο διαμέτρους ή με το τετράπλαστο της ακτίνας τους.

(σχ.

6)

Θα δούμε τώρα μερικό σχήματα, που βλέπουμε

(σχ.

9)

στη βάση εικονοστασίων ή σε άμβωνες, όλα ξυλό­ γλυπτα συμπληρωμένα με παραστάσεις κλαδιών με

φύλλα ή σε κάγκελα και πόρτες με σιδερένια κομ­ Στο σχήμα

Στο σχήμα

10

βλέπουμε τέσσερα ίσα τόξα μέσα

σε κύκλο, που σχηματίzουν ένα σταυρό, ενώ στο κέ­

μάτια.

7

έχουμε δυο τετράγωνα, το ένα εγ­

γεγραμμένο στο άλλο, δηλαδή το εσωτερικό έχει

ντρο υπάρχει ένας μικρότερος κύκλος. Παρόμοια είναι και ω σχήματα

11, 12, 13

και

14.

κορυφές τα μέσα των πλευρών του άλλου. Τα τέσ­

Να λοιπόν που και οι αγιογρόφοι και οι διακο­

σερα ίσα ισοσκελή και ορθογώνια τρίγωνα που σχη­

σμητές των ιερών ναών χρησιμοποιούν γεωμετρικά

ματίzονται ανάμεσα τους, συμπί\ηρώνονται με εyyε­

σχήματα. Για να μπορούν να τα κατασκευάσουν

γραμμένους κύκλους, που αποτελούν συνεχόμενη

φαίνεται ότι έχουν και τις ανάλογες γνώσεις!


Τ ώρα θα δούμε το σχήμα

6 και τις λεπτομέρειες

της κατασκευής του.

5 ::ι::

Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ η διαγώνιος ΒΔ σχηματίzει

με την πλευρά ΑΔ τη γωνία Δι

Επίσης Δ2 90° σαν εξωτερική του τετραγώνου, οπότε Δ3 = 45°.

;;;-,

= ~ = ~,

180° -Δι - Δ2 = 180° - 45° - 90° = 45°. Αφού τα ~

(σχ.

10)

έξι τετράπλευρα, που αποτελούν τις ακτίνες είναι

<::

:ι:.

ίσα, συμπεραίνουμε ότι ~, 2 = 60°, άρα~ = 30° (1). ~ Q Από το τρίγωνο ΘΔΙ υπολογίzουμε τη γωνία ΔΘΙ : :ςi ΔΘΙ = 180° - Δ3- ~ = 180°- 45° - 30° = 105° (2). ~ .Δ. i5\ Τότε έχουμε στο τρίγωνο ΑΘΔ:

(αφού η ΔΘΑ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΔΘΙ και

ισούται με το άθροισμα των δυο εσωτερικών Δ3 και~). Στο τρίγωνο ΑθΔ έχουμε εφΑι = ΘΔ!ΑΔ ή ΘΔ = ΑΔ · εφΑι ή (λόγω της (3)) ΘΔ = ΑΔ · εφ15° (4)

k

Αν εφαρμόσουμε στο ΘΔΙ το νόμο ημιτόνων έχουμε: Ε

z (σχ.

11)

(σχ.

12)

(σχ.

ΘΔ

I ημΙι

=ΔΙ

ΔΙ

ΘΔ

I ημΔΘΙ

Από τις

(4)

(1), (2))

ή ΘΔ =ΔΙ. ημ300 (5)

ημ105°

και

τα μέλη ίσα) ΑΔ

ή (λόγω των

15)

·

ημ105°

(5)

έχουμε (αφού έχουν τα πρώ­

εφ15°

=

ΔΙ ημ30°lημ105° ή

ημ300

Μ=ΔΙ·-~--­ εφ150 ·ημ105°

Όμως ημ105° συν

(90° - 75°)

= ημ(180° - 105°) = ημ75° = 15° όποτε έχουμε

=συν

ΔΙ

ΔΙ

ΔΙ

Μ=------=---------

2εφ15ο·συν15ο

2 ημ15ο

συv15

·συν

15 ο

Απ' την τελευταία σχέση μπορούμε να κατα­

σκευάσουμε το τετράπλευρο ΑΔΙΗ (που σημειωτέον έχει ΑΗ (σχ.

13)

(σχ.

14)

=

ΑΔ και ΙΗ

=

ΙΔ), αν ξέρουμε μια μόνο

πλευρά π.χ. την ΑΔ των τετραγώνων. Έτσι είναι κα­ τασκευάσιμο και ολόκληρο το σχήμα.


6

Δvαδικό σvστημα αρίθμησης Τους κανόνες λειτουργίας του 10δικού aριθμ. συστήματος θα μπορούσαμε να τους επεκτείνουμε προς αριθμητικό σύστημα, όχι με βάση τον

2

10, αλλά κάποιον άλλο αριθμό, όπως τον 3 (τριαδικό), τον 5 (πενταδικό),

(δυαδικό σύστημα αρίθμησης) κ.λ.π. Για το Δυαδικό σύστημα αρίθμησης υπάρχει και μια σημαντική

ιστορική ένδειξη νέας γραφής.

Στην Κίνα του 17ου αιώνα εσώzετο ένας Παλαιός πίνακας με

64 σύμβολα,

που έφερε το όνομα

je - Κim*.

Ο πίνακας παρέμενε ανεξήγητος απ' όλους τους λόγιους της εποχής, ακόμα και από τους Κινέιους. Πρώ­ τος ο διάσημος Γερμανός φιλόσοφος και μαθηματικός

W.

Leibηitz έδοσε ερμηνεία των συμβόλων. Ο πίνα­

κας περιελάμβανε σύμβολα των αριθμών από

1 εως 64, γραμμένα σε δυαδική γραφή και με χρήση μόνο 1 [-]. αποτελούσαν 6 επάλληλες γραμμές (παύλες), άλλες ολόκληρες που συμβόλιzαν τον 1

δυο ψηφίων, του Ο [--]και του

Κάθε σύμβολο το

και άλλες διακοmόμενες, που συμβόλιzαν το Ο. Εικόνα των συμβόλων αυτών μαzί με την αριθμητική τους ερμηνεία σε τρέχουσα σύγχρονη γραφή:

1

3

2

4

7

6

5

8

Οι υπερκείμενες διακοmόμενες δεν προσθέτουν αριθμητική αξία και μπορούν να παραλείπονται. Εδώ παρατηρούμε ότι, οι μονάδες των διαφόρων τάξεων α ν ε βαίνουν σκεται στην πρώτη κάτω θέση, το

2

από κάτω προς τα πάνω. Το

στη δεύτερη θέση, ενώ την πρώτη θέση την κατέχει το μηδέν, το

τρίτη θέση, ενώ στις δυο πρώτες θέσεις κατέχουν δυο μηδέν, το

8

1 βρί­ 4 στην

στην τέταρτη θέση, ενώ τις προηγούμε­

νες θέσεις κατέχουν τρια μηδέν. Και προχωρούμε με την ίδια διαδικασία

...

Ειναι φανερό πως βρισκόμαστε στο 2δικό σύστημα αρίθμησης, όπου δvο μονάδες μιας τάξnς αnο­ τελοvν μια μονάδα της αμέσως ανώτερης τάξης. Αξιοσημείωτο είναι το νέο σύστημα γραφής με

χρήση του μηδέν. Στη νέα αυτή γραφή υπάρχει η εξής πρωτοτυπία. Οι θεμελιώδεις μονάδες του συστήμα­ τος δεν εκφράzονται με δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ό

η κάθε μια σύμβολο, όπως είδαμε να γίνεται στα συστήματα

του αρχαίου κόσμου, αλλά εκφράzονται με το ί δ ι ο

α ξ ία

των μονάδων προκύmει από τn θέσn

nov

σ ύ μ β ο λ ο

της απλής μονάδας. Η διαφορετική

κατέχει η κάθε μονάδα μέσα στον αριθμό. Αυτό πε­

τυχαίνει με τη χρήση του μηδέν.

Αν αντικαταστήσουμε τα σύμβολα του

je-kim με τα σύγχρονα ψηφία [Ο και 1], γραμμένα όχι από κάτω

προς τα πάνω, αλλά από δεξιά προς τ' αριστερά, θα προκύψουν οι ακόλουθες αντιστοιχίες:

Γ ραφή

1 1

10

2

100 4

1000

8

10000 16

je-kim

Δυαδική γραφή Δεκαδική γραφή

*'Ή αριθμητική", άρθρο του Νείλου Σακελλαρfου στη Μεγάλη Ελληνική Εγκυκλοπαιδεfα (έrος 1928)


Έτσι, η χρήση του μηδενός μέσα στον αριθμό δεν φανε ώνει απλώς έλλειψη μονάδων, αλλά καθορί­

7

zει και τη θέση των άλλων μονάδων του αριθμού. Ώστε οι ά

ες αυτές μονάδες αποκτούν αξία θέσεως. Οι

§'

αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ των θεμελιωδών μονάδων, θ

εκφραστούν με την τοποθέτηση μονάδος στη

.g ~

θέση που υπάρχει μηδέν.

Παράδειγμα:

Q,

~ ~

3=2+1=~+--=--

= ::!

::ι:: Q,

6=4+2===+~==-=

!"'!

~

-=' Ενδεικτικά παραθέτουμε ένα τμήμα με σύμβολα του παί\ Μέρος αοό τον Πίνακα των

61

σχημάτων αοο ελοvντων το

δια τnς αριθμητικός του δυαδικοv συστόματος υο

..................

~

ού αυτού Κινεzικού πίνακα:

'

le-kim

και ε~nyουμένων

του rερμανοv μαθnματικοv

Leibnitz.

................. ~:~-:-Σ~~Ξ!ii~~~Ξ 63 ;~Ξ;;;~ Ξ=.~=Ξ ο :~:=Χ::=Γ::::::τ 1 ι 'Σ:-;: ... ~iiiii·; 34 .ϊ.ϊϊϊ'ϊΓ ϊiΟΟσσοϊ)ϊ~Γ ··ϊαοιfiο ······· ....... "-··· .•..... ········ ······• ΞΞΞ'Ξt 23 Ξt:cfΞ;}} os ~~Ξ~-..::Ξ~ 2 7.{=/::Γ ..ΞΞ 16 οιοn ι 111010 οοοοιο οιοοοο ..

...... ·······

.

ΗJΔι,~,~ΠΠΠl55 ΣΞ/!:/iΞ;~ 59 :~~iii~:::iΞWf~ 1ι10η

110111

1

οοοιι1

111000

~fff~ΞΨ~~~ 61 ;E;;~~~;~ili 47 [{f{i~l~···ΨΞ~ 111101

~issι~~~~t~~~

101111 25

011001

!Π:~/'));=~}~ .56

4

000100

:ψιω···Σι~ s 001000

...

JξΙ:~::::f.!.Σ~ 38 ::=::::Ξ......ΣΞ}(f) ;;υ~ ~~~~~~ 48 ιοοιω

οοοοιι

ιωοοο

§μ::::y(} .t1 ::~~~~~~ΞΞ~ 37 Ξ{{Γ:ΠΠf 32 (ξι3Ε~Q 101001

1001Ul

100000

Ot;OOOL

Κάθε σύμβολο συνοδεύεται με δυο σύγχρονους αριθμούς. Ο αριθμός που είναι κάτω από το σύμβολο, είναι ο ισοδύναμος δυαδικός με ψηφία [Ο και

1].

Ο αριθμός ο δεξιά του συμβόλου είναι ο ισοδύναμος στο

σύγχρονο δεκαδικό σύστημα γραφής. Δεν γvωρίzουμε αν το παραπάνω σύστημα αριθμητικής γρα

ής ήταν επινόηση κάποιου επώνυμου σοφού

ή επίτευγμα της ανώνυμης λαϊκής σοφίας. Οπωσδήποτε η επιν' ση είναι αποφασιστική και αποτελεί το προ­ ανάκρουσμα του Ινδοαραβικού αριθμητικού συστήματος των

10

ηφίων, ποu χρησιμοποιείται ως και σήμερα.

Το ινδοαρα6ικό σ

Όπως μαθαίνουμε από ης εργασίες των Ιστορικών, το νεότε ο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης που επικρά­ τησε όλων των άλλων παλαιοτέρων συστημάτων και που χρησιμ ποιείται ως σήμερα, έλκει τον καταyωyιί

του αοό τον Ινδία. Η διαμόρφωση του συστήματος και τα δέ α μοναδικά ψnφία που χρησιμοποιεί, Ο.

1.

2.

3.

4.

6.

7.

q_

συντελείται κατά τους αιώνες από 6° ως 10° περίπου μ.Χ. Η μεταφορά και διάδοση του σuστήματος στις χώρες της Άραβες μαθηματικούς, αλλά και εμπόρους, που μετέφεραν το

σογείοu και στην Ευρώπη οφείλεται στους 'στη μα και διάδοσαν τη χρήση του σε όλη

την έκταση της τότε Αραβικής κυριαρχίας, δηλ. Μεσοποταμία, Β ρ. Αφρική, Ισπανία. Έτσι, το νεότερο αυτό

σύστημα πήρε το όνομα Ινδοαpαβικό αριθμητικό Σύστημα, από ους πρώτους που το επινόησαν και το χρη­ σιμοπο!ησαν. Τα χαρακτηριστικά του συσrήματος είναι ότι:

Το σvστnμα είναι δεκαδικό, δηλ. δέκα μονάδες μια τάξης σχηματίzουν μια μονάδα της αμέσως

ανώτερης τάξης (όπως και στα επικρατέστερα αρχαία συστήματ εfναι οι yvωσrές:

).

Οι θεμελιώδεις μονάδες του συστήματος


8

~

f

ι

10.

100.

1000 (= 103). 10.000 (= 104 ). 100.000 (105), ... κ.λ.π.

• Τα ψnφiα nov χρnσιμοnοιεi είναι τα δέκα γνωστά ψηφία που αναφέρουμε. Αυτό θυμίzει το

~

δυαδικό σύστημα je-kim, που όντας δυαδικό, εκφράzεται με δυο μόνο ψηφία. Άρα το Ινδοαραβικό, όντας

10δικό σύστημα, θα πρέπει να εκφράzεται με δέκα ψηφία.

l

~ 'α

Η α~iα των ψnφiωv του συστήματος καθορizεται αnό τn θέση που κατέχουν τα ψηφία στον

αριθμό. Για τον καθορισμό της θέσης πολύ βοηθάει η χρήση του μηδέν (Σύστημα με αξία θέσης). Και εδώ

ι βλέπουμε να αναπαράγεται η αξία θέσης των ψηφίων, όπως ακριβώς και στο δυαδικό σύστημα je-kίm.

Q

Είναι Λοιπόν φανερή η σχέση του παΛαιού Κινέzικου πίνακα, με το νεότερο Ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα. Όμως πρέπει να είμαστε επιφυλακτικοί, γιατί δεν είναι βέβαιο αν το ένα σύστημα επέδρασε στη δια­ μόρφωση του άλλου ή διαμορφώθηκαν παράλληλα. Κατά την llη και 12η εκατονταετία αρχίzει μια zωηρή επικοινωνία, πνευματική και εμπορική, μεταξύ Ευ­ ρώπης, Αραβικού χώρου και Ινδίας. Το νέο αριθμητικό σύστημα γίνεται σύστημα γίνεται αντικείμενο όχ11

απλώς εφαρμογών, γιατί είναι ευκοί\όχρηστο, αλλά και θεωρητικής επεξεργασίας και πολλών εκδόσεων. Ο

Λεοvάρδος αnό τnv Πizα της Ιταλίας, γνωστός με το όνομα Φιμπονότσι, μαθηματικός και λόγιος, κυ­ κλοφόρησε το έργο του

"Liber

Abacί"

(

έτος

1202),

το εκπΛηκτικό είναι ότι, τα χειρίzεται χ ω ρ ί ς

τ η

όπου παρουσιόzει και εξηγεί τα νέα Ινδικό ψηφία και χ ρ ή σ η

τ ο υ

ό β α κ α

.

Έτσι, ο γνώστης του Ινδοαραβικού συστήματος απαλλάσσεται από τη χρήση του Άβακα, που είναι περί­

τεχνη και απαιτεί ειδίκευση (Αβακιστές).

Αντίστοιχη προσφορά για τις χώρες της Βυzαντινής αυτοκρατορίας αποτέλεσε η Αριθμητική του Μά~ι­ μοv Πλαvο\Sδn. Έλλην μοναχός και λόγιος κυκλοφόρησε στις αρχές της 14ης εκατονταετίας το έργο του

με τον τίτλο "Ψηφοφορία κατ' Ινδούς η λεγομένη μεγάλη", όπου πραγματεύεται τα νέα Ινδικό ψηφία και τη χρήση τους.

Φυσικά, τα παραδοσιακό τότε συστήματα, το Ελληνικό και το Ρωμαϊκό είχαν τους πιστούς οπαδούς των,

που αντιδρούσαν στη διάδοση του νέου συστήματος. Βλέπουμε λοιπόν την επικράτηση του Ινδοαραβικού συστήματος μετά την 16η εκατονταετία.

Σχετικά με Λεmομέρεις χρήσης του Ινδοαραβικού συστήματος, νομίzουμε δεν χρειόzεται να επεκταθού­ με. Είναι πολύ γνωστές και από την καθημερινή πείρα και από την πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, η γραφή των αριθμών, η εκφώνησή τους, οι πράξεις τους. Ακόμα, στο πρώτο Μέρος του βιβλίου «Αριθμητική των ακε­ ραίων» του Β. Πολυδούρη παρουσιάσαμε τις θεμελιώδεις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων, μαzί με μια πρώτη επαφή με την «απόδειξη», τον διανοητικό αυτό χειρισμό της Ελληνικής επινόησης, που υπήρξε κα11

εξακολουθεί να αποτελεί το βόθρο της σύγχρονης επιστήμης.

Το ε~ώφυλλο Η φύση ως και στις πιο μικρές εκδηλώσεις της χαίρε­ ται να μας προσφέρει ευχάριστες συμμετρίες. Τις συνα­ ντάμε παντού: στα πολύχρωμα φτερά της πεταλούδας, στα

πέταλα των λουλουδιών, στα φύλλα των δένδρων, στις νι­ φάδες του χιονού, στο πρωτόzωο του εξωφύλλου μας, που

συναντάμε στα νερά του Ειρηνικού Ωκεανού. Όσο για τον άνθρωπο που είναι ένα πλάσμα αξιοση­ μείωτα συμμετρικό θαυμάzει, ίσως ενστικωδώς τα γεωμε­ τρικό σχήματα που υπακούουν σε αυστηρούς νόμους είτε αυτά αποτελούν έργα της φύσης είτε είναι έργα της τέχνης

που δημιουργεί ο ίδιος.


9

~

'g ~

§

s Q,

~ ε

"=

~ ~::!,

§

Η ανάγκη του ανθρώπου για τη μέτρηση του μή­

.,.,s

Αριθμnτικό εφαρμοyό

.ε;

i

κους διαφόρων αντικειμένων και αποστάσεων, τον οδήγησε στην επινόηση ορισμένων μονάδων μέ­ τρησης όπως η παλάμη, το πόδι, το μέτρο κ.α., με

Εκτελέσουμε την παραπάνω διαδικασία με ένα ~ "' νόμισμα των 5 δρχ. Μετρήσαμε την απόσταση ΜΑ .ε;

ης οποίες σύγκρινε το μήκος τους με το μήκος των

του νομίσματος από το μάπ μας και την ακτίνα

ανηκειμένων και έτσι έκανε τη μέτρησή τους.

νομίσματος, και πήραμε ης παραπάνω ημές:

Τι γίνεται όμως όταν αυτή η σύγκριση δεν μπο­

Απόσταση ΜΑ =

ρεί να έχει πρακηκή εφαρμογή, όπως σε αποστά­

Ακτίνα

σεις πλανητών του ηλιακού μας συστήματος ή απο­

στάσεις απλανών αστέρων;

r

r

=

250 cm 1.15cm

Αντικαθιστώντας πς ημές αυτές στην σχέση

(1)

παίρνουμε:

Ας δούμε και ας περιγράψουμε δύο μεθόδους

ΜΟ = 250 cm · 1733 Κm ""376.739 Κm 1,15cm

που μας επιτρέπουν τη μέτρηση τέτοιων αποστάσε­

ων με χρήση της γεωμετρίας και ακόμα ειδικότερα της τριγωνομετρίας.

ημή που είναι πολύ κοντά στη μέση απόσταση Γης

Α) Μια πρακτική μέθοδος για να βρούμε την από­

Σελήνης, η οποία είναι ίση με

384.395

-

Κm.

σταση της Σελήνης από τη Γη είναι η παρακάτω:

Β) Μια βασική σχέση της τριγωνομετρίας θεω­

τοποθετούμε ένα νόμισμα μπροστά από το μάη μας σε απόσταση, τέτοια ώστε η επιφάνεια του νο­

ρείται η παρακάτω:

μίσματος να καλύπτει ακριβώς την επιφάνεια της Σε­ λήνης, όταν αυτή βρίσκεται στη φάση της πανσέλη­

~ = __!_ = _'!_

νου, οπότε φαίνεται από τη Γη σαν ένας μικρός κύ­

ημΑ

κλος. (Σχήμα

ημΒ

ημΓ

1)

Στη συνέχεια μετράμε με προσοχή την απόστα­

που είναι γνωστή σαν νόμος των ημπόνων και

ση ΜΑ του νομίσματος, από το μάη μας στη θέση

ισχύει σε κάθε τρίγωνο, όπου α,β,γ είναι οι πλευ­

που βρίσκεται και την ακτίνα

ρές του τριγώνου και Α,Β,Γ είναι οι αντίστοιχες γω­

r του

νομίσματος.

Γνωρίzοντας τώρα όη η ακτίνα της Σελήνης είναι

νίες του.

= 1733 km, από τα όμοια τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΟΣ,

Η παραπάνω σχέση μας επιτρέπει όταν γvωρί­

μπορούμε να προσδιορίσουμε την απόσταση ΜΟ

zουμε μια πλευρά και δυο γωνίες,να προσδιορίσου­

της Σελήνης από την επιφάνεια της Γης.

με τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου.

R

Η μέθοδος λοιπόν που θα περιγράψουμε στηρί­

Είναι: ΜΔι_ = ΑΒ = _r_ ή ΜΟ = ΜΑ· R (1) ΜΟ

ΟΣ

R

zεται στην παραπάνω εξίσωση.

r

Σ

~M

_ _ _ _ _ Br_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(Σχήμα

1)

~,


Πάνω σmν επιφάνεια της Γης παίρνουμε ένα ορι-

Ο αστέρας σκοπεύεται ανά εξάμηνο, όταν η Γη

"' σμένο μήκος, το οποίο θd αποτελέσει τη βάση ενός 'S!

βρίσκεται στα δύο aντιδιαμετρικά άκρα Α και Β της

~

τριγώνου, στην απέναντι κορύφή του οποίου θα βρί-

τροχιάς της.

~ σκεται το ουράνιο σώμα που ερευνάται. (Σχήμα 2)

~

Γνωρίzοντας τώρα την παράλλαξη προσδιορί­ zουμε την απ��σταση του αστέρα ως εξής:

§.

s"'

Σ

(Σχήμά

2)

Από τα δύο άκρα της βάσης του τριγώνου "σκο­

(Σχήμα

4)

πεύεται" με τηλεσκόπεια ακριβείας (μικρόμετρα δι­ πλών αστέρων όπως ονομάzονται), το ουράνιο σώ­

μα και με αυτόν τον τρόπο εξακριβώνονται οι δύο

Από το σχήμα

προσκείμενες γωνίες στη βάση του τριγώνου.

~=_r_ ή ημπ=?·ημθ (2)

Έτσι, αφού το άθροισμα των γωνιών του τριγώ­ νου είναι

180°,

εφαρμόzοντας τον νόμο των

4

ημιτόνων έχουμε:

ημπ

υπολογίzουμε και την τρίτη γωνία

r

ημθ

όπου α είναι η ακτίνα της τροχιάς της Γ ης και

της κορυφής του.

Τη γωνία αυτή ονομάzουμε παράί\λαξη και είναι

r

η

Η μέγιστη τιμή του π αντιστοιχεί στην τιμή του θ

=

απόσταση του αστέρα.

η γωνία, με την οποία ένα παρατηρητής που θα βρι­

σκόταν πάνω στο ουράνιο σώμα, θα παρατηρούσε

900,

το μήκος ΑΒ.

ναι εφαmομένη της τροχιάς της Γης στο σημείο Γ.

Με εφαρμογή τώρα του νόμου των ημιτόνων,

όταν δηλαδή η οmική ακτίνα προς τον αστέρα εί­ Στην περίπτωση αυτή επειδή η παράλλαξη είναι

αφού yνωρίzουμε τη βάση του τριγώνου και την απέ­

πάρα πολύ μικρή είναι π

ναντι σ' αυτή γωνία του, προσδιορίzουμε τις άλλες

σχέση

(2)

ημπ και ημ90°

=

= 1

η

γράφεται:

πλευρές του τριγώνου, που επειδή τα μήκη τους εί­ α π=­

ναι πολύ μεγάλα συγκριτικά με τη βάση του τριγώ­

r

νου είναι περίπου ίσα.

Το μέσο μήκος τους μας δίνει την απόσταση του

όπου η παράλλαξη π είναι εκφρασμένη σε Επειδή

ουράνιου σώματος από τη Γη.

Για τους aπλανείς όμως aστέρες, των οποίων οι

rad. 1rad = 57° 17' 45" = 206265"

Ο παραπάνω τύπος γίνεται:

αποστάσεις είναι πάρα πολύ μεγάλες και οι διαστά­

π"

σεις του πλανήτη μας μηδενίzονται σε σύγκριση με

= 206265 . ~ r

αυτές, λαμβάνουμε ως βάση τη διάμετρο της τροχιάς

της Γης γύρω από τον ήλιο, μήκους περίπου εκατομμυρίων χιλιομέτρων. (Σχήμα

3).

300

απ' όπου προσδιορίzεται η απόσταση

r

του αστέρα.

Με τον τρόπο αυτό έχουν μετρηθεί οι αποστά­

σεις μερικών εκατοντάδων από τους πλησιέστερους aστέρες, αποστάσεως μέχρι

300

έτη φωτός*.

Πέρα από αυτό το όριο όμως η παράλλαξη που δεν ξεπερνά ποτέ τα

2"

δεν γίνεται πλέον αισθητή

και συνεπώς η μέθοδος αυτή δεν μπορεί να χρησι­ μοποιειθεί.

*Ένα έτος φωτός είναι η απόσταση που διανύ­ Α

ει το φως σε ένα έτος. Γνωρίzοντας ότι η ταχύτητα

του φωτός είναι

300.00 km/sec,

βρίσκουμε ότι:

1 έτος φωτός = 9,5 · 1012 km. (Σχήμα

3)


1.

Από τα φ"σικά σώματα στα yεωμε­

τρικά αντικείμενα Αν εξετάσουμε ένα φυσικό ανηκείμενο, για πα­

ράδειγμα ένα κουτί αναψυκτικού, θα παρατηρήσου­ με διάφορα πράγματα.

-

Θα δούμε όη έχει περιεχόμενο. Ή όη δεν

~··~

έχει.

-

,

Θα αναρωτηθούμε από τί υλικό είναι φηαγμένο.

I

Θα δούμε το χρώμα του ή ης διαφημιστικές

εηκέrες που έχει.

-

Θα δούμε το σχήμα του.

Θα αναρωτηθούμε πόσο χωράει.

Μερικά από τα χαρακτηριστιά αυτά, θα τα παρα­ τηρήσουμε και σε άλλα φυσικά αντικείμενα, ενώ κά­

Το όριο αυτό, το σύνορό του, είναι η επιφά­ νειά του.

ποια άλλα παρατηρούνται μόνο σ' αυτό. Απ' όλα αυτά τα χαρακτηριστικά εμείς θα στα­ θούμε μόνο σε δυο:

-

Όταν παρατηρούμε μια λεκάνη νερό που ηρε­

μεί, εκτός των άλλων «βλέπουμε>> και την επιφάνεια του νερού.

Στο μέγεθος του και στην επιφάνειά του.

Είναι μια λεία, χωρίς ανωμαλίες, επιφάνεια. Αυτή η επιφάνεια ονομάzεται επίπεδο επιφά­

Το μέyεθος

νεια.

Την ίδια επιφάνεια έχει η τεντωμένη σελίδα του

Κάθε φυσικό ανηκείμενο καταλαμβάνει ένα «χώρο». Ένα μέρος δηλαδή από τον γύρω φυσικό

τετραδίου μας, η επιφάνεια του γραφείου μας.

-

χώρο.

Μια μπάλα ποδοσφαίρου έχει διαφορεηκή

επιφάνεια. Αυτή η επιφάνεια λέγεται σφαιρικό.

-Το κουτί του αναψυκηκού, έχει μια επίσης δια­ φορετική. επιφάνεια.

Αυτή λέγεται κ"λινδρική.

Φυσικά δεν είναι μόνο αυτά τα είδη των επιφα­ νειών που συναντάμαι. Είναι όμως τα σπουδαιότερα. Πράγμαη, σ' ένα μεγάλο χάρnνο κουτί δεν μπο­

Τα yεωμετρικά σχήματα

Όταν μελετάμε την επιφάνεια ενός στερεού, με­

ρούμε να βάλουμε όσα κουnά αναψυκτικού θε?ιουμε, διόn κάθε κουτί καταλαμβάνει ένα μέρος σ' αυτό.

λετάμε το σχήμα του.

Δηλαδή, ξεχνούμε το υλικό, το χρώμα και ης άλ­

Την ποσότητα του χώρου που καταλαμβάνει ένα

αντικείμενο ονομάzουμε όyκο του.

λες ιδιότητες, και το φανταzόμαστε νάχει μόνο σχή­ μα.

Η επιφάνεια Όπως αναφέραμε, κάθε φυσικό αντικείμενο κα­ ταλαμβάνει κάποιο χώρο. Δηλαδή δεν εκτείνεται απεριόριστα. Άρα έχει κάποιο όριο.

Φυσικά παραβλέπουμε και όλες ης ανωμαλίες που πιθανόν να έχει η επιφάνεια του στερεού.

Δηλαδή το σχήμα ενός στερεού αντικειμένου το φανταzόμαστε τέλειο.


12

Όπως τα παρακάτω:

[~'

ο

' - - - - - - - - - -_ _ _ _ _ _ _ J

τρίγωνο

ορθογώνιο παραλ/μο

σφαίρα

κύλινδρος t.ι>

~

':3

§-

6

Ένα τέτοιο σχήμα λέγεται yεωμε-.:ρικό σι:ερεό σχήμα.

κύκλος

πεντάγωνο

Φυσικά ένα γεωμετρικό mερεό σχήμα καταλαμ­

Καθ' ένα απ' αυτά τα σχήματα, καταλαμβάνει

βάνει κάποιο χώρο, όπως και το mερεό φυσικό ανη-

ένα μέρος του επιπέδου, και ξεχωρίzει από τ' άλλα

κείμενο.

απ' το όριό του.

Να μερικά γεωμετρικά σχήματα.

Αυτό το όριο, το λέμε και περίμε-.:ρο του επι­ πέδου σχήματος.

Λ

-----------L

κώνος

ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Οι yραμμές και -.:α σπμεία Η περίμετρος ενός επιπέδου σχήματος αποτε­

λείται από yραμμές. η είναι η γραμμή;

Είδαμε ότι το ίχνος ενός γεωμετρικού mερεού σχήματος πάνω

επίπεδο είναι ένα επίπεδο γεω­

mo

Το επίπεδο

μετρικό σχήμα. Αυτό το επίπεδο σχήμα είναι συmα­

τ ο σχήμα πού χει η επιφάνεια του νερού όταν

ηκό mοιχείο της επιφάνειας του κύβου. Και αυτή

ηρεμεί, το ονομάzουμε επίπεδο.

έχει

6

τέτοιες επιφάνειες.

Είναι και αυτό ένα τέλειο σχήμα, χωρίς κυμμαη­ σμούς, χωρίς νησάκια, χωρίς καραβάκια, χωρίς mα­ γόνα νερό. Πάνω κεί μπορούν ν' «αρμενίzουν» κύβοι, πα­

ραλληλεπίπεδα. Πάνω κει μπορούν να κυλούν

-----~

σφαίρες, κύλινδροι.

Έχω ένα κύβο. Ένα κύβο που «πατάει» πάνω σ' ένα επίπεδο. Στο επίπεδο του γραφείου μου. Το πά­

τημά του, το ίχνος του είναι μέρος του επιπέδου.

r----

--+--1-----, I I

~--t-

-

-

-

-

-

....l

~----~

Αυτές οι επίπεδες επιφάνειες για να μας δώ­ Αυτό το «πάτημα» του κύβου πάνω

mo

επίπεδο,

τους είναι μια γραμμή.

είναι ένα νέο γεωμετρικό σχήμα.

Το σχήμα αυτό είναι μέρος του επιπέδου. Κατα­

λαμβάνει δηλαδή ένα χώρο

mo

επίπεδο.

Το σχήμα αυτό ονομάzεται επίπεδο σχήμα και συγκεκριμένα -.:ε-.:ράyωνο. Πάνω

σουν την επιφάνεια του κύβου, τέμνονται. Η τομή

mo

επίπεδο μπο­

ρούμε να συναντήσουμε και άλλα επίπεδα σχήματα.

Δηλαδή η γραμμή είναι η τομή δυο επιπέδων σχημάτων

Η περίμετρος του τετραγώνου αποτελείται από

4

τέτοιες γραμμές, που τις ονομάzουμε ευθt5yραμμα -.:μόμα-.:α.


Αυτές οι γραμμές έχουν κάτι κοινό. Το κοινό αυτό μέρος το ονομάzουμε σημείο.

Αυτό έχει άκρα τα σημεία Α και Β. Δίπλα του

9

Μπορούμε να τοποθετήσουμε νοερά το ΑΒ πά-

~,

Δηλαδή ένα mερεό σχήμα αποτελείται από επί­ πεδα σχήματα, γραμμές και σημεία.

ν ω mo ΓΔ, ώmε το Α να πέσει πάνω mo Γ;

Ένα επίπεδο σχήμα αποτελείται από γραμμές

Και βέβωα μπορούμε.

και σημεία.

Κάθε γραμμή όταν τέμνει μια άλλη την τέμνει σ'

τ ο σχήμα που θα προκύψει είναι πάλι ένα ευ­

σημείο

γραμμή /

I

-----~Α

mo

mo

ΑΒ. Μάλιmα θέλουμε ω Γ να πέσει πάνω

Α. Τότε το ΓΔ θα καταλάβει όλο το ΑΒ και ένα

μέρος του θα περισεύει. Αυτό το μέρος θα ανήκει mην προέκταση του ΑΒ προς το μέρος του Β.

Β

Να ποιά είναι τα συmατικά των γεωμετρικών σχημάτων.

Είναι τα σημεία, εfναι οι γραμμές, είναι οι επί­ πεδες ή άλλες επιφάνειες.

Όπως αυτές:

κυκλι~ή γραμμή

Δηλαδή μπορούμε να προεκτείνουμε το ευθύ­ γραμμο τμήμα ΑΒ προς το ένα μέρος, το Α ή προς

το άλλο μέρος, το Β. Και μάλιmα μπορούμε να το προεκτείνουμε όσο

θέλουμε. Η αίσθηση που έχουμε όταν προεκτείνου­

/

/

/

.......

κυλινδρική

--- ----- -

-- -

επιφάνεια

~.

"

- -"-"- - -

......

"

επίπεδη επιφάνεια σφαιρι~ή επιφάνεια

επίπεδη επιφάνεια

'

με ένα ευθύγραμμο τμήμα, εfναι όη αυτό είναι μέ­ ρος ενός άλλου σχήματος παρα-παρα πολύ μεγά­

λου. Τόσο μεγάλου που δεν έχει άκρα. Αυτό το γε­ ωμετρικό σχήμα το ονομάzουμε ευθεία.

Η ευθεία γραμμή δηλαδή εκτείνεται απεριόρι­ mα. Δεν έχει άκρα.

Τ ο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πάνω mην ευθεία

καταλαμβάνει ένα συγκεκριμμένο μέρος.

Την Ποσότητα του χώρου που καταλαμβάνει πά­ νω mην ευθεία, ονομάzουμε μόκος του ευθυ­ γράμμου τμήματος ΑΒ. κοινό σημείο

rωv δύο επιφανειών

Η ευθεία yραμμό Η πιο απλή γραμμή που μπορούμε να συναντή­

σουμε σε μια επίπεδη επιφάνεια είναι το ευθύγραμμο τμήμα, που είναι η τομή δύο επίπεδων επιφανειών. Ας το απομονώσουμε. Β

Α~-----Δ

Τελικά Την γεωμετρfα ενδιαφέρει να μελεrήσει το σχή­

μα και το μέγεθος των γεωμετρικών σχημάτων. Τα συmαηκά των γεωμετρικών σχημάτων είναι

οι επιφάνειες, οι yραμμές και ΊΟ σnμεία. Υπάρχουν πολλές επιφάνειες. Οι πιο σημαντι­ κές είναι,

n

επίπεδο,

n

σφαιρικό και

n

κυλιν­

δρικό. Τα γεωμετρικά σχήματα διακρίνονται σε ΟΊε­

ρεά, και επίπεδα. τ α γεωμετρικά σχήματα καταλαμβάνουν κάποιο

χώρο. Άρα έχουν κάποιο μέγεθος. Τα mερεά έχουν όyκο, τα επίπεδα εμβαδόν και τα ευθύγραμμα τμήματα μόκος.

i' I'>

Μπορούμε όμως να τοποθεrήσουμε κω το ΓΔ πάνω

~

"'

θύγραμμο τμήμα. Είναι το ΓΔ.

ένα σημείο. Δηλαδή οι γραμμές αποτελούνται από σημεία.

13

έχουμε και ένα δεύτερο ευθύγραμμο τμήμα το ΓΔ.

"'9

"'

~

~I'> -ε:

i5'

"'


Γωνία λέγεται το μέρος του επιπέδου που ορί­ zεται από δύο ημιευθείες Οχ και

(το σημείο

0).

Oy,

π.χ.

φ

με κοινή αρχή

Το σημείο Ο λέγεται κορυφή της γω­

νίας ενώ οι ημιευθείες πλευρές της.

Υ

Τις γωνίες τις συναντάμε σαν μέρη ενός ευθυ­ γράμμου σχήματος (πολλές φορές ονομάzουμε ένα σχήμα βάσει των γωνιών που περιέχει) π.χ. σ' ένα Δ.

τρίγωνο ΑΒΓ βρίσκονται τρεις γωνίες

Προφανώς οι παραπάνω ημιευθείες ορίzουν

Α

συγχρόνως δύο γωνίες, που τις ονομάzουμε ξεκι­ νώντας από μια πλευρά, βάzοντας στη μέση την κο­

ρy_φή το}'ς καταλήγοντας στην άλλη πλευρά δηλ.

xOy

ή

yOx.

~ Για ~α αποφευχθούν συγχίσεις όταν γράφουμε

xOy

ή

yOx

θα εννοούμε την μικρότερη από τις δύο

γωνίες που σχηματίzουν οι Οχ,

Oy.

η οποία και λέ­

γεται κvρ-.:ιί γωνία.

ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΒΓΑ ή σύντομα Α, Β, Γ. Ίσες yωνίες Θα λέμε ότι δύο γωνίες είναι ίσες ή συμπτώσι­

μες όταν μπορεί η μία να μεταφερθεί κατάλληλα πά­ νω στην άλλη και να εφαρμόzουν τελείως (συμπί­

ο

πτουν). Ιδιαίτερο ρόλο στην ισότητα των γωνιών παίzει η Υ

λογική σκέψη με την βοήθεια της οποίας πρέπει να κάνουμε ης κατάλληλες κινήσεις νοητό ώστε να

έχουμε άμεσα μια προσεγγιστική απάντηση αν δύο γωνίες μπορεί να είναι ίσες ή όχι.

Συχνά ονομάzουμε μία γωνία με ένα από τα τε­ λευταία γράμματα της αλφαβήτου

Επίσης η κατάλληλη μεταφορά επιτυγχάνεται με

διαφανές. χαρτί ή δίπλωση προς επιβεβαίωση.


Δ.

Ας σχεδιάσουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΒΑΓ

ισοσκελές με κορυφή το Β και βάση την Α[ Άρ_α

15

ενώνοντας ένα τυχαίο σημείο Α της μεσοκαθέτου

πόλι θα έχει τις yω~ίες ~ς βάp1ς ί5?:ες δηλ. Γ = Α.

~

του ευθ. τμήματος ΒΓ με τα άκρα του Β.Γ.

Αpού ~οιπόν Β = Γ και Γ = Α θα είναι

_

Μπορούμε διπλώνοντας το χαρτί μας κατά την

~'

Α= Β= Γ.

"'

μεσοκόθετο χχ' του ΒΓ να παραηφι}_σουμε ότι οι πλευρές και η κορυφή των γωνιών Β, Γ συμπίπτουν.

Επομένως

Κάθε ισόnλεvρο τρίyωνο έχει τις yω­ νίες τον ίσες.

Ορθό yωνία λεγεται η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι κάθετες Υ

χ' 8'

ο Διαπιστώνοντας το παραπάνω σ' ένα τρίγωνο που κατασκευόzουμε τυχαία μπορούμε να πούμε ότι

χ

Γωνίες μικρότερες της ορθής λέγονται οξείες ενώ μεγαλύτερες αμβλείες

θα ισχύει γενικό:

Οι προσκείμενες yωνίες στn βάσn ενός

Υ

ισοσκελοuς τριyώνον είναι ίσες. Ας σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο κάνοντας τα πα­ ρακάτω διαδοχικό βήματα:

1.

Κατασκευόzουμε ένα ευθ. τμήμα ΒΓ

I

Με κέντρα τα σημεία Β, Γ και ακτίνα την ΒΓ

I

γράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνονται σ' ένα ση­

ο

2.

ι...___..._

____ χ

χ

μείο Α

Τότε το τρίγωνο ΑΒΓ που σχηματίzεται λόγω κα­ τασκευής θα έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ένα τέ­

Η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι αντικείμε­

νες ημιευθείες λέγεται ενθεία yωνία.

τοιο τρίγωνο ονομάzεται ισόnλεvρο.

Υ

χ

ο

Ευθεία γωνία μπορούμε να δημιουργήσουμε περιστρέφοντας μια ημιευθεία Οχ γύρω από την αρ­ χή της Ο μέχρι να συμπέσει με την αντικείμενη ημι­

ευθεία Οχ' I

\~

Δ.

Αν θεωρήσουμε ότι στο ΑΒΓ κορυφή είναι η Α, επειδή ΑΒ

=

ΑΓ θα μπορούσαμε να πούμε κατα­

\

χρηστικά ότι είναι και ισοσκελές τρίγωνο. Άρα λόγω γωνfες της βάσης fσες δηλ. Β = Γ. Δ.

λλλά μπορούμε να φανταστούμε ότι στο ΑΒΓ -

Δ.

κορυφή εfναι η Β. Τότε το ΑΒΓ μπορεί να θεωρηθεί

'J '*; '

του προηγουμένου συμπερ~ματ2ς μας θα έχει τις

\

'

χ'

\

I I

'ΙΙ

ο

I

I I

I

; ..-

lt"_.

;.~

χ


16

Συvεχizοvτας την περιστροφή γύρω από το Ο

ι:ρικό σvμοέρασμα, πρώτα-πρώτα γιατί στην

ς,

μέχρι η Οχ να συμπέσει με την αρχική της θέση

πράξη ποτέ δεν έχουμε "ιδανικό τρίγωνα" και δεύ­

~

σχηματizεται μία γωνία που περιλαμβάνει το επίπε-

τερο γιατί η μέτρηση των γωνιών σrην πράξη γίνεται

δο και λέγεται ολόρnς yωνία.

με ορισμένο βαθμό ακριβείας (π.χ.

'S

1'

ή

1")

Σχέσεις yωνιών

Θ~χ

Δύο εφεξής γωνίες που οι μη κοινές τους πλευ­ ρές είναι αντικείμενες ημιευθείες λέμε όη είναι πα­ ραπλnρωμαηκές επομένως δύο οαραολnρωμα­ ι:ικές γωνίες αφού σχηματίzουν μια ευθεία γωνία θα έχουν άθροισμα

Εφε~ός yωνίες Δύο γωνίες που έχουν την

r-LA

ίδια κορυφή, μία πλευρό κοινή και τις άλλες δύο πλευρές εκατέρωθεν της κοινής ονομόzοvται εφε­ ξής γωνίες.

Γ

ΑΟΒ ο

180 ο

οπότε (;)

=

φ

=

ΒΟΓ = 180° ή (;) 180° - φ 180° - c;;

+

+

φ = 180°

δηλαδή αν ξέρουμε μία γωνία μπορούμε να βρού­

με και την παραπληρωμαηκή της αρκεί να βρούμε

την διαφορά της από τις

Ο, ίδια κορυφή

ΒΓ, κοινή πλευρό

180°

Δύο εφεξής γωνίες που οι μη κοινές πλευρές

ΟΑ, ΒΓ εκατέρωθεν της κοινής (ΒΓ}

τους είναι κάθετες λέμε ότι είναι σvμολnρωμαι:ι­ κές yωνίες.

Η γωνία που σχηματίzεται από την κορυφή Ο και ης μη κοινές πλευρές των εφεξής γωνιών λέγε­

Δ

ται άθροισμα ι:ων yωνιών.

Επομένως για να υπολογίσουμε το άθροισμα

Γ

δύο γωνιών πρέπει να μεταφέρουμε την μια δίπλα στην άλλη ώσrε να γίνουν εφεξής. Προφανώς ή κατάλληλη μεταφορά, προς το πα­ ρόν, μπορεί να γίνει με τα εργαλεία που διαθέτου­

Β

με, δηλαδή την αποτύπωση της μιας σε δαφανές χαρτί και την μεταφορά της μ' αυτό. Επειδή η παραπάνω διαδικασία περιέχει κόποι­ ες δυσκολίες. Βρήκαμε τρόπο μέτρησης των γωνιών

ΒΑΓ

καθορίzοvτας όη μια πλήρης γωνία αποτελείται από

360°

οπότε

(μοίρες)

Έτσι μια ευθεία γωνία είναι γωνία είναι

180°

1ο 1'

90 ο

= 60 ' = 60"

φ

ενώ μια ορθή

Επίσης

πρώτα λεπτό

δεύτερα λεπτό

Με άμεση μέι:ρnσn ι:ων yωνιών δεν μοοροvμε να αοοδεί~οvμε κανένα yεωμε-

(;)

+

ΓΑΔ =

= 90° = 90°

90°

ή ω+ φ = 90ο

- φ - c;;

Επομένως αν ξέρω ότι μια γωνία ω είναι

τε η συμπληρωματική της φ θα είναι φ δηλ. φ = 90°- 35° άρα φ = 55°

35 ο

= 90 ο

τό­ -

ω

Δύο γωνίες που έχουν σαν πλευρές αντικείμε­ νες ημιευθείες ονομόzοvται και:ακορvφόν yω­

νίες


Παράλλnλες ευθείες nου τέμνονται από

ευθεία

~

Αν στο επίπεδο φέρουμε δύο παράλληλες ευ-

θείες ε 1 , ε2 ( συμβολίzεται ε 1

II ε2 ),

Μετρώντας προσεκτικά δύο κατακορυφήν γω­ νίες διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες ακόμη και με απο­ τύπωση σε διαφανές ή δίπλωση ως προς ένα κα­

τάλληλο άξονα. Άρα μπρούμε να καταλήξουμε ότι οι

τότε μπορούμε να πούμε ότι το επίπεδο χωρίστηκε

δύο συγκεκριμένες κατά κορυφήν γωνίες είναι ίσες.

από τις παράλληλες σε τρία μέρη (δύο εκτός των

Αν θέλαμε όμως να διατυπώσουμε γενικά:

παραλλήλων και ένα εντός των παραλλήλων)

καμμία διαδικασία από τις παραπάνω δεν θα μας εξασφάλιzε την αλήθεια της γενικής αυτής πρότα­

Αν, τώρα, φέρουμε και μία τρίτη ευθεία η που να τέμνει ης παράλληλες ε 1 , ε 2 .

σης.

Με την άμεση μέτρηση όπως είπαμε θα είχαμε

δυσκολίες με το βαθμό ακριβείας που θα πετύχου­

με με το μοιρογνωμόνιο. Αλλά ακόμα και αν μπο­ ρούσαμε να μετρήσουμε τις ιδανικές γωνίες που πα­ ριστάνει το σχήμα μας (χρησιμοποιώντας ιδανικά

όργανα). πάλι δεν θα μπορούσαμε να διατυπώσου­ με την πρόταση ότι δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες, γιατί υπάρχουν άπειρες κατακορυφήν γωνίες

και είναι αδύνατον να τις μετρήσουμε όλες. Για να μπορέσουμε να διαπιστώσουμε την ορ­ θότητα της παραπάνω πρότασης ή οποιαδήποτε

ιδιότητας από όλα τα σχήματα μιας κατηγορίας, πρέ­ πει να χρησιμοποιήσουμε την λογική. Δηλαδή να

τότε το επίπεδο χωρίzεται σε δύο επιπλέον περιοχές ως προς την ευθεία η. Επίσης η ευθεία η με κάθε μία από ης ε 1 , ε 2 σχηματίzει γωνίες.

Λόγω της αξίας που έχουν αυτές οι γωνίες στον

παρουσιάσουμε μια δικαιολόynσn nου να στn­

καθορισμό του αν είναι οι ευθείες ε 1 , ε 2 παράλλη­

ρίzεται μόνο σε συλλοyισμοvς και όχι σε

λες, χρειάzεται πολλές φορές να τις προσδιορίzου­

μετρήσεις χρησιμοποιώντας προηγούμενες έννοι­

με με βάση την θέση που έχουν:

ες της γεωμετρίας. Μια τέτοια διαδικασία θα πρέπει

πρώτον ως προς τις nαράλλnλες

να στηριχθεί στον ορισμό των κατακορυφήν γωνιών

δεvτερον ως προς τnν ευθεία που τέμνει

και στα συμπεράσματα που βγαίνουν από αυτόν.

τις παράλληλες

Έτσι παρατηρώντας ότι οι κατακορυφήν γωνίες

Δηλαδή για να καθορίσουμε την θέση δύο γω­

έχουν πλευρές αντικείμενες ημιευθείες μπορούμε

νιών πρώτα προσδιορίzουμε που βρίσκονται σε σχέ­ ση με τις ε 1

να πούl:!..ε ότι:

Η χΟχ

·

είναι ευθεία, άρα οι γωνίες

xOy, y ·Οχ·

θα είναι παραπ~ηρωμαη~ς δηλ

xOy' Όμοια α5Ρού η θα έχουμε

+ yΌχ' = 180°

i

Oy είναι ευθεία yOx + xOy' = 180°

Άρα αφού τα δεύτερα μέλη ίσα θα είναι και τα πρώΤ<:!_

xQk ·

+ y · Qx · = yOx

yΌχ'

=

yOx + x(Zy'

11 ε2 (εντός, εκτός) και μετά σε σχέση με

την η (επί τα αυτά προς το ίδιο μέρος της η), εναλ­ λάξ (εκατέρωθεν της η)

~, '1'\

ει

Δvο κατακορυφόν yωνίες είναι ίσες

17


18 .~

s: ~

Προς το παρόν, με αποτύπωση ή προσεκτική

Οι ισότητες μεταξύ των γωνιών που σχηματίzο­

μέτρηση των εντός εναλλάξ μπορούμε να διαωπώ­

νται από παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μία

σουμε την πρόταση:

τρίτη μας δίνουν την δυνατότητα να "μεταφέρουμε"

Οι εvι:ός εναλλάξ yωνίες δ\1ο παραλλή­

γωνίες από ένα σημείο σ' ένα άλλο.

λων εvθειών ποv τέμνονται από μια τρίτο εvθεία είναι ίσες

χ

ει

ε2

Αποφασίzουμε να μεταφέρουμε όλες ης γωνίες

Χρησιμοποιόντας τα συμπεράσματα των παραλ­

του Τe!_γώνου ΑΒΓ στο σημείο Α. Προφανώς η γω­

λήλων ευθειών που τέμνονται από μια άλλη μπο­

νία ΒΑΓ έχει κορυφή το Α άρα πρέπει να "μεταφέ­

ρούμε να αποδείξουμε με συλλογισμό το παρακάτω

ρουμε" ης γωνίες Β, Γ. Φέρνουμε από το Α μια ευ­

πολύ σημαντικό θεώρημα για τα τρίγωνα

Το άθροισμα των yωνιών ενός τριyώνοv είναι ιsο· Για να μπορέσουμε να βρούμε το άθροισμα των

θεία

xy

παράλληλη προς την ΒΓ. Τότε οι παράλλη­

JI xy τέμνονται από τη~ "ευθεία" ΑΒ οπότε η

λες ΒΓ

γωνία Β θα είναι ίση με την

Επίσης οι ΒΓ 11

xy

yAB σαν

εντός εναλλάξ.

τέμνονται από την~"ευθεία" ΑΓ

γωνιών ενός τριγώνου πρέπει αυτές να ης κάνουμε

άρα η γωνία Γ θα είναι ίση με την χΑΓ σαν εντός

διαδοχικές εφεξής. Ένας τρόπος για να μεταφέ­

εναλλάξ.

f:ποΙ:Lένω__ς Α

ρουμε μια γωνία από ένα σημείο σ' ένα άλλο είναι να βρούμε ή να "κατασκευάσουμε" μια ίση με αυτή

οι

γωνία στο σημείο που θέλουμε.

σμά τους ή

yAB,

Α,

+

Β

+

Γ

xAJ διαδοχικές yAx

= Α + yAB + χΑΓ αλλά εφεξής οπότε το άθροι­

που είναι ευθεία γωνία άρα

180°.


; :

:

•:

~ .·:.

: • •

; :·

"

"

• "

""" 7

~i·,·&tιιιticι•Γre.ιιι•ιι••ι

Α4 4 Σε ορθογώνιο κτήμα με διασrάσεις

40m,

64m. χ

με πλευρά

16m

χ

4m

και βάθος

1, 75 m.

64·7 = --

4

και θα σκαφτεί πισίνα σε σχήμα ορ­

16m

θογώνιου παραλληλεπίπεδου με διασrάσεις της βά­ σης

'Οyκος χωματος , , 64 · 13 πισινας -

θα κτισrεί κατοικία σε τετραγωνικό οικόπεδο

4

64·7 5ψος χώματος _ __1___

64·35

Αν το χώμα που θα βγεί από το σκάψψο της πι­

= ~. m = 5 cm. 20

σίνας τοποθετηθεί κανονικά σrην υπόλοιπη επιφά­

νεια του κτήματος κατά πόσα

cm

Α45 Μια κυρτή γωνία

θα ανυψωθεf αυτή.

xOy

έχει μέτρο

67°

Πόσο θα είναι το μέτρο της μη κυρτής γωνίας

{Ρ'.

xOy.

Ποιο θα είναι το άθροισμα και ποιά η διαφορά των

Λvσn Εμβαδά Κτήματος

μέτρων τους; Να τραπούν όλες αυτές οι γωνίες σε

Εμβαδά

μέρη ορθής.

Εμβαδά

= 64m · 40m = 2560 m2 οικοπέδου = 162 =256m2 βάσης πισίνας = 16 · 4 = 64m2 64

4

11

I

Μη κυρτή

πισίνα

v xOy

360° - 67°30' = 359°60'

67°30' = 292° 30'

16 40

Άθροισμα

~

xOy

Διαφορά

16

v + xOy = 67°30' + 292°30' = 360°.

v ~ xOy- xOy = 292°30' - 67°30' = 225° τροπή σε μέρη ορθής

6γ 30' = 67,5° = 67 ,5 = fJ]5 = 3. ορθής 90° Υπόλοιπη Επιφάνεια κτήματος για επιχωμάτωση

Βάση

·

βάθος =

Άθροισμα 360

= 64 · 1,75 = 112m3. Όγκος πρισματοειδούς χώματος λοιπου κτήματος

·

=

ύψος

:

=

4 ορθές

90

βάση υπό­

Άρα ύψος χώματος = Όγκος Χώματος

4

292 292° 30' = 292 5° = ,5 = 2925 = 31 ' 90 900 4

= 2560- (256 + 64) = 2560- 320 = 2240 m2. Όγκος χώματος πισίνας =

900

Διαφορά 225° = 225 90

βάσης

= 2 45 = 21 ορθ. 90

2

= 112m3: 2240 m2 = 0,05 m. Απλούσrευσn σrις πράξεις

Εμβαδά

Προβλήματα yια λvση:

κτήματος

64 · 40 m2 οικοπέδου 162 = 64 · 4 πισίνες 16 · 4 = 64

Αιι

6

Μια γρήγορη μέτρηση των διασrάσεων ενός ορ­

θογωνίου έχει δόσει τα παρακάτω αποτελέσματα σε μέτρα:

ΥπόΛοιπη επιφάνεια

64 · (40- 4 · 1) = 64 · 35

Όγκος χώματος πισίνας 64 · 1 3. = 64 ·7 Ι 4. 4

4,5 < 2,7 <

Μήκος

Πλάτος

< 4,6 < 2,8


20

Μεταξύ ποιων ορίων θα βρίσκεται η περίμετρος

Α 49 Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: Α =

54°, Β = 68°. Κα­

και το εμβαδό αυτού του ορθογωνιου,και ποιες

τασκευάστε τις τρεις δοχοτόμους των γωνιών

είναι οι μέσες τιμές των δυο αυτών μεγεθών;

του οι οποίες τέμνονται στο_ση με~ Δ. ~πολογί­

mε τα μέτρα των γωνιών ΑΔΒ, ΑΔΓ, ΒΔΓ. Μια νοικοκυρά αγόρασε ένα χαλί σε σχήμα ορ­

θογώνιο του οποίου το μήκος είναι πλάτος τα

4/5

ρω του μια μπορντούρα πλάτους

8

2,5 m

και το

του μήκους. Θέλει να ράψει γύ­

20 cm.

είναι

8

γωνίες που σχηματίzονται

και φέρουμε τις διχοτόμους δυο εντός

72°

μέτρα μπορντούρας θα χρειαστεί κω κατά πόσα

κω επ! τα αυτά μέρη γωνιών που τέμνοντω σ'

τετραγωνικά μέτρα θα αυξηθεί η επιφάνεια του

ένα σημείο Σ, να υπολογιστούν οι γωνίες που

χαλιού;

έχουν κορυφή το Σ.

ι:s

Α 48 Ένα ορθογώνιο γήπεδο είχε μήκος διπλάσιο

οπό το πλάτος. Ένας μαθητής, που κάνει βήματα των

~

τη. Αν μια από τις

Πόσα

ς2]

·Ξ' c

Α 50 Δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τρί­

60 cm mo

λεπτό χρειό?ετοι

6

Α 51 Η μια πλευρά τριγώνου έχει μήκος άλλη

120

λεπτό

O,lOm,

16 cm

και η

ενώ η τρίτη πλευρά είναι διπλάσια

της μιας οπό τις άλλες. Να υπολογιστεί σε παλά­

για να κάνει το γύρο του γηπέδου. Μπορε!τε να

μες

βρε!τε τις διαστάσεις του γηπέδου;

τριγώνου.

(dm}

η τρ!τη πλευρά και η περίμετρος του

Αvαφορά και κριτικό σι:ις λvσεις Το πρόβλημα Α4 έλυσαν οι: Παντελέλης Παντελής (Π.Π.) 3ο Μυτιλήνης Αθανάσης Πα­

ναyιώ"Ιης (Α.Π.) 4ο Μυπλήνης Θεοδωρόπου­ λος Μιχάλης (Θ.Μ.) του 5ου Αχαρνών, Θεο­

δώρου Παναyιώ1:ης (Θ.Π.) 3ο Νικαίας Γιακα­ λής Παναyιώ1:ης (Γ.Π.) του Γυμνασίου

Ay.

Πα­

ρασκευής Λέσβου (Λάθος) Μπαντάς Χρισ"Ιόφο­

δηλ. οι

25 45

1200

τη μέρα μας κάνουν

30.000 το 270.000

μέρες). Έπειτα θα διαιρέσουμε το

μήνα

με το

που είναι συνολικά που δουλεύουν και οι δυο

μαzί 1200 · 25 = 30.000, 300.000 - 30.000 = 270.000, 270.000 : 45 = 6.000 το μεροκάματο του γιού και 6.000 + 1.200 = 7.200 το μεροκάματο του πατέρα»

Παρασκευής Λέ­

Το πρόβλημα Α6 έλυσαν οι: Θ.Μ., Γ.Π.

σβου (χωρίς σκέψη) Βαλαβάνη Ελένη (Β.Ε.) 4ο

(λάθος}, Μ.Χ. (λάθος), Β.Ε., Παπαδοποvλου

Μυτιλήνης,

Χρυσοι5λα (Π.Χ.) (Λιτόχωρο), Ε.Κ., Π.Γ.

ρος (Μ.Χ.) του Γυμνοσ!ου

Ay.

Παναyιω1:όπουλος

Γιώρyος

(Π.Γ.) 2ο Αγρινίου Ρουσόπουλος Γιώpyος

Δημοσιεύουμε τη λύση του Ρ.Γ.

(Ρ.Γ.) 2ο Κηφισιάς (Με εξίσωση και απάντηση λά­

«Εάν τρέχανε με την ίδια ταχύτητα θα συναντιό­

ντουσαν στη μέση της διαδρομής

θος)

Δημοσιεύουμε τη λύση του Ευθι5μιου Κουπή (Ε.Κ.) του Γυμν. Δρυμού Θεσ/νίκης. «Επειδή τα κορίτσια και οι καθηγητές συγκρί­ νονται με τ' αγόρια θα τους φέρουμε στο ύψος των

210: 2 = 105. Ο 80 Km/h και ο άλλος 25 Km/h. Η διαφορά των ταχυτήτων είναι 55 Km/h. Άρα θα συναντηθούν 105 + 55 = 160 χμ από

ένας τρέχει με

την Αθήνα

160 : 80

δηλ.

Το πρόβλημα Α7 η Π.Χ. έλυσε σωστά με μι­

32.

2

άτομα λιγότερα το ποσό θα ήταν

34 - 2

=

Επίσης ον οι καθηγητές ήταν όσα τα αγόρια θα

ήταν

1 () περισσότερα άτομα 32 + 1()

=

μοιραzόντον σε τρίο μέρη

= 14. Άρα τα αγό­

ρια είναι

=

γητές

42: 3 14 τα κορίτσια ] 4 + 2 14- 1() = 4".

16 και οι καθη­

Το πρόβλημα Α5 έλυσαν οι: θ.Π., Μ.Χ.,

Ρ.Γ. (Λάθος}, Ε.Κ., Π.Γ. Δημοσιεύουμε τη λύση της Β.Ε.

«Για να βρούμε το μεροκάματο καθενός θα αφαιρέσουμε από τις

30().()()()

τις

κρό λάθος στη τελευταία διαίρεση.

42. Ώστε

αν καθηγητές, κορίτσια και αγόρια ήταν ίσα θα

.)()_()()()()

(που εί­

ναι τα χρnμαω πο•_; παι'ρνει παραπάνω ο πατέρας,

=

2

ώρες μετά θα συναντηθούν>>.

αγοριών. Αν τα κορίτσια ήταν ίσο με τα αγόρια

----.2 5

··--~80

e--. ·-·--··-·-----------··--·-...- - - - - Λ

Α

Σε

1 ώρα το τρα!νο πλησιόzει το ποδήλατο κατά 80 - 25 = 55 χμ. Για να το φθάσει δηλαδή να καλύ­ ψει τα 210 χμ. που είναι η αρχική τους απόσταση χρειάzονται 210: 55 = 39/11 ώρες= 3,9 χμ. Η από­ σταση της

80 . 39/11 Ε.Κ.

συνάντησης

=

305 5/11

=

από την Αθήνα

305,5»

είναι:

τ ο έλυσε επίσης ο


1 των 200.

Το πρόβλημα Α8 έλυσαν οι: θ.Μ., Μ.Χ. Γ ράψουμε τη λύση του Ε.Κ.

300 να = 10.

<<Αν υποθέσουμε ότι όλα ήταν εικοσάρικα θα εί­

χαμε

44 · 20 = 880 δρχ. Όμως τα λεφτά είναι 1.600 δρχ., δηλ. 1600- 880 = 720 δρχ. παραπά­ νω. Αν αλλάξουμε 1 εικοσάρικο με 1 πενηντάρικο τότε τα λεφτά θα αυξηθούν κατά 50 -- 20 = 30 δρχ. Άρα 720 : 30 = 24 είναι τα πενηντάρικα και τα ει­ κοσάρικα 44- 24 = 30».

Το

Παρασκευής Λέσβου {Λάθος)

διπλάσια των

200

σε

1

των

άρα θα αντικαταστήσουμε

3

200

έχουμε

των

500.

2

300

.gc, AlO έi\υοαν οι: Χ.Μ. (i\άθος), Θ.Μ. (Λά­

;ο;

θος), Β.Ε. (σωστό χωρίς δικαιολόγηση). Σωστά το

§

έλυσε η Τοvλα Δαβιδοvλα (Μαντούδι Ευβοίας)

~ :::,

είναι

των

β) 42 + χ ~- 2(12 + χ) 42 +χ= 24 + 2χ 42-24 = 2χ- χ χ = 18 42 + 18 = 60, 12 + 18 = 30

300 55 500 · 55

Αν και τα

εισιτήρια είναι των

είναι

α. 42 - χ =- 4( 12 - χ) 42- χ= 48- 4χ 4χ - χ = 48 ·- 42 3χ = 6 χ = 2 Πρίν απο 2 χρύvιο 40, 10

Το Α9 έλυσαν οι:

Δίνω τη λύση: Επειδή τα εισιτήρια των

10.500 πρέπει rα 21 200 να είναι 10.500 : 700 = 15 των ~ 30 και των 500 να είναι 55- (15 + 30) -eό

αλλά με εξίσωοη:

Χατzόyλοv Μvρσίνn (Χ.Μ.), του Γυμνασίου

Ay.

Για να ελλωωθεί καrά

εισιτήρια ιων

(μόνο επαλήθευση) όπως και η Β.Ε. η Π.Χ., Ε.Κ.

500 η είσπραξη θα είναι = 27.500 δηλ. 27.500- 17.000 = 10.500 δρχ. πα­ ρακάτω. Τα 3 των 500 κάνουν 1.500 δρχ. το 1 των 200 και τα 2 των 300 κάνουν 1 · 200 + 2 · 300 = 800. Έτσι με αντικατάσταση των 3 του 500 το ποσό των 27.500 ελλατώνεται κατά 1.500-800 = 700 σε

Ο μαθητής Λοvκάς Πετρόκκι1iος (Μαρούσι) μας έστειλε μόνο rις σωστές απανrήσεις στα προ­

βλήμωα Α4,

6, 8, 10.

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ΖΗΤΗ

Π.Δαμιανού . Κ. Κοτσώνη • Β. Κωστόπουλου Α. Μανθογιάννη ·Π. Μουρl'λάτου

Μαβημα1rικά

ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ; ΑΡΜΕΝΟnΟΥΛΟΥ

27 (πίσω από τη Ροτόντα) 'Β' 203·720, FAX: 849·178 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 54635 TEXNIKA

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΕΙ, ΤΕΙ, ΙΕΚ

Α 1 Γυμνασίου (1400 Ασκήσειις και προβλήματα) Β 1 Γυμνασίου (2 ιοο Ασκήσειις και προβλήματα) Γ' Γυμνασίου (2000 Ασκήσεις και προβλήματα)

ΒΙΒΛΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ και τις ΔΕΣΜΕΣ

ΠΛΗΡΕΙΣ ΣΕΙΡΕΣ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΒΟΗΘΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΝΕΟ ΑΝΑΛΥτΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

1994-95

ΜΑΘΗΜΑΠΚΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

του ίι Θανάση Ξένου. Το 6ι6λία αυτό είναι γραμμένο με βάση το νέο αναλυτικό πρόγραμμα και απόλυτα εναρμονισμένο με

το σχολικό βιβλίο. Περιέχει : Συνοπτική θεωρία·

650

παραδείγματα • Σχόλια - 1300 ασκτ]σεις με υποδείξεις και απανττjσεις και Τεστ αξιολόγησης για την καλύτερη

εμπέδωση της ύλης.

+

Θεωvία με τu οί•στημα των Εl•ωτήσcωναπαντrΊσεων

ΒΟΗΘΗΜΑ ΦΥΣΙΙCΗΣ 8' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ του κ. Στέργιου Σαββίδη. Περιέχει: Ερωττjσεις κρίσεως· Ασκτjσεις σε μορφή ερωταπανττjσεων για την κατανόηση της διδασκόμενης

ύλης, για τις γραπτές εξετάσεις και για τα διαγωνίσματα.

• Στους καθηγητές γίνεται έκπτωση 35% 1ιt Ζητήστε να σας στείλουμε τον τιμοκατάλογο του Ιανουαρίου 95 και το πε ιοδικό ε τα αναλυτικά περιεχό ενα των ΒιΒλίων μας

+ Λυμένες ασκήσεις + Μισο ... λψένες ασκηοεις + Προπινόμενες ασκι·ισεις + Επαναληπτικές ασκήσεις Εκδόσεις "Μαυρογιάννη" Ε μ μ. Μπενάκη

43

106 81 Αθήνα Τηλ. 36.07.220-36.21.308

9


Η σvμμετρία στο φvσn Ένα χαρακτηρισηκό γνώρισμα του κόσμου που μας περιβάλλει είναι η συμμεΙρία. Την βρίσκουμε γύρω μας όπου και αν κοιτάξουμε. Πρώτα απ' όλα

mo

ίδιο μας το σώμα. Η αριmερή πλευρά του είναι Λί­

γο -πολύ ίδια με τη δεξιά. 'Οων κοιταzόμαmε mον καθρέπτη τα μάτια, τα φρύδια, τ' αυτιά, τα χέρια και τα πόδια μας απέχουν σχεδόν το ίδιο από μια νοητή ευθεία που διασχίzει το σώμα μας κατακόρυφα. Συμμετρικό είναι ακόμα και το σώμα πολλών zώων (φωτ.

(φωτ.

2)

και εντόμων

1) καθώς και το σχήμα αρκετών φύλλων και λουλουδιών. 3) για παράδειγμα, όλα τα σημεία του

Στο φύλλο του κυκλάμινου, (φωτ.

περιγραμματός του και των νεύρων του είναι ανα δύο σχεδόν συμμετρικά ως προς το κεντρικό του νεύρο. Έτσι που αν διπλώσουμε το φύλλο κατά μήκος του κεντρικού νεύρου τα δυο μέρη του θα συμπέσουν.

Απ' αυτή την ιδέα ξεπηδάει μια βασική ιδέα της γεωμετρίας εκείνη της

αξονικής συμμετρίας. Δηλαδή, ο άξονας συμμετρίας ενός σχήματος εί­

ναι μια ευθεία πάνω mην οποία γίνεται ένα πραγματικό, όπως με το φύλλο του κυκλάμινου, ή ένα νοερό, όπως με το ανθρώπινο σώμα, δίπλωμα έτσι ώmε να εφαρμόzει το μισό του σχήματος

Αλλά αν παρατηρήσουμε και τα (φωτ.

4)

4

mo

άλλο μισό.

πέταλα του λουλουδιού της ορτανσίας

και αυτό όπως και τόσα άλλα λουλούδια γύρω μας, παρουσιάzουv

και ένα ακόμα είδος συμμετρίας εκτός από την αξονική. Αν mρέψουμε το λουλούδι αυτό σιγά

-

σιγά γύρω από το κέντρο του και μισή mροφή, τότε

σε κάποια mιγμή θα δούμε τα πεταλά του να καυτίzονται μ' εκείνα του αρ­ χικού και να σχηματίzεται και πάλι ένα σχήμα ίδιο με το αρχικό.

Στο λουλούδι της ορτανσίας διαπιmώνουμε μια συμμετρία διαφορετική από την προηγούμενη. Δηλαδή μια συμμετρία ως προς ένα σημείο ή όπως συνηθίzουμε να τη λέμε μια κεVΙρικό συμμετρία. Πολλά λουλούδια γύ­ ρω μας εμφανίzουν αυτό το είδος της συμμετρίας.

Οι νιφάδες του χιονιού τέλος όπως αυτή της τελευταίας φωτογραφίας

μας εμφανίzουν όπως και το λουλούδι της ορτανσίας και τα δύο είδη συμ­ μετρίας που προαναφέραμε δηλαδή και αξονική και κεντρική συμμετρία. Το ίδιο και το πρωτόzωο του εξωφύλλου αυτού του τεύχους. Η συμμεΙρία

OID

ΓεωμεΙρία

Επειδή η Γεωμετρία ασχολείται και μελετάει τα σχήματα και επειδή αρκετά από τα σχήματα που βρίσκονται γύρω μας mη φύση είδαμε ότι εμφανίzουv συμ­

μετρία, ήταν επόμενο η μελέτη της συμμετρίας να περάσει και στη Γεωμετρία. Μόνο που π Γεωμετρία αφού πάρει ιδέες από τη φύση τις αναλύει και τις επε­

ξεργάzεται σε βάθος και μας τις επιστρέφει όχι φυσικά τις ίδιες αλλά ξεκαθαρι­ σμένες και τελειοποιημένες. τ ο ίδιο συμβαίνει και με τα δυο είδη συμμετρίες που συναντάμε

mo επίπεδο.

Ας θυμηθούμε σύντομα τις βασικές ιδιότητές τους.


l.

23

Αξονικό σ"μμετρία

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ χαράσουμε τη διάμεσο του ΑΔ. Αν διπλώΑ

σουμε το χαρτί πάνω στο οποίο έχουμε σχεδιάσει το τρίγωνο κατά μήκος

της διαμέσου του ΑΔ θα δούμε τα δύο τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ στα οποία κά­

θε σημείο του ενός απ' αυτά θα συμπέσει μ' ένα άλλο σημείο του άλλου τρι­ γώνου. Θα συμπέσουν έτσι και τα σημεία Β και Γ καθώς και τα ΜΜ' γιατί ισαπέχουν από την ΑΔ. Καταλήγουμε έτσι στα εξής συμπεράσματα:

• Δυό σnμεfα Μ κω Μ' ί\έγοvrω συμμετρικά ως προς άξονα μια ευθεfα (ε), όταν n (ε) εfνω μεσοκάθετος του rμιiματος ΜΜ '. • Δυό σχιiματα συμμετρικά ως προς άξονα εfνω [σα.

2.

Κεντρικό σ"μμετρία

Ένα σχήμα λέμε ότι έχει κέντρο συμμετρίας, αν υπάρχει ένα σημείο τέ­ τοιο ώστε αν στρέψουμε το σχήμα κατά

180° γύρω απ' αυτό, να πάρουμε

ένα σχήμα που να συμπίπτει με το αρχικό.

Καταλήγουμε και πάλι στα εξής συμπεράσματα:

• Δυο σnμεfα Α κω Α ' εfνω συμμετρικά ως προς σnμεfο Ο, όrαν το Ο εfνω μέσο του ευθύγραμμου rμιiματος Μ

'.

τα συμμετρικά ως προς σnμεfο σχιiματα εfνω [σα.

Μετά απ' όλα αυτά ας μελετήσουμε τη συμμετρία σ' ένα γεωμετρικό σχήμα που μας είναι πολύ γνωστό, το τετράγωνο.

Η σvμμετρίο στο τετράyωνο Κατασκευάzουμε από χαρτί, ένα τετράγωνο και χαράσουμε ης μεσοκα­

θέτους των πλευρών του, που είναι όπως ξέρουμε και άξονες συμμετρίας του. Το τετράγωνο χωρίzεται έτσι σε

4

ίσα τετράγωνα (σχ.1)

Σ' ένα από αυτά τα τετράγωνα zωγραφίzουμε ένα σχήμα Α. Διπλώνου­ με το χαρτί πρώτα κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα συμμετρίας και στη συνέχεια του οριzόντιου. Με αποτύπωση παίρνουμε τρια ακόμα σχήματα,

πρώτα το Β και στη συνέχεια το Γ και το Δ, (σχ σχήμα

2).

Τα τέσσερα αυτά σχή­

ματα είναι μεταξύ τους ίσα. Είναι ίσα ακόμα και το Α με το Γ που δεν είναι

1

σ' αυτή τη συμμετρία, κατ' ευθεί~ν συμμετρικά. Το Α ως συμμετρικό με το Β είναι ίσο μ' αυτό, με τη σειρά του το Β, ως συμμετρικό με το Γ, είναι ίσο

Β

Γ

Α

' ' '

Αν είχαμε όμως παρατηρήσει προσεκτικότερα και σχήματα Α και Γ, (σχ.3) θα βλέπαμε ότι αυτά πράγματι είναι ίσα γιατί είναι συμμετρικά ως

προς το κέντρο του τετραγώνου που δεν είναι άλλο από το σημείο τομής

σχήμα

μ' αυτό. Άρα και το Α είναι ίσο με το Γ.

των μεσοκαθέτων του. Γιατί αν περιστρέψουμε το σχήμα Α κατά 180°, γύ­ ρω από το κέτρο του τετραγώνου, τότε θα συμπέσει με το σχήμα Γ. Ένας απλός τρόπος για να καταλάβουμε την κεντρική συμμετρία είναι

να βάλουμε πάνω στο σχεδιασμένο τετραγωνό μας ένα τσιγαρόχαρτο και να

2

aποτυπώσουμε το σχ.2. Στη συνέχεια αν στερεώσουμε με μια καρφίτσα τα

δυό κέντρα των τετραγώνων θα μπορούμε στρέφοντας το τσιγαρόχαρτο να

/ /

/'

Γ' σχήμα

Α

διαπιστώσουμε την ύπαρξη της κεντρικής συμμετρίας.

Όμως το τετράγωνο έχει και δυό άλλους άξονες συμμετρίας, που δεν

είναι άλλοι από ης διαγωνίους του, (σχ.

4).

Αν και πάλι σχεδιάσουμε πάνω

στο τετράγωνο ένα σχήμα Α και βρούμε το συμμετρικό του ως προς ης δια­

γωνίους του, θα πάρουμε και πάλι

ra

Ζ και Γ (σχ.

5).

4

ίσα σχήματα, πρώτα το Ε και κατόπιν

Το σχήμα Α είναι συμμετρικό με το σχήμα Γ και σ' αυτή

την συμμετρία.

3

Οι

4

άξονες συμμετρίας του τετραγώνου το χωρίzουν σε

8

ίσα τρίγωνα.

Ένα σχήμα Α αν σχεδιαστεί σ' ένα απ' αυτά τα τρίγωνα και όπως περιγρά-

::ς !"]

.g "t: ('I

-6

Q'


24 ,S,!

ψομε προηγουμένως με αποτύπωση βρεθούν το συμμετρικά και ως προς

τους

4

άξονες συμμετρίας θα πάρουμε άλλο

7

ίσο σχήματα ένα στο κοθέ­

~ να από τα υπόλοιπα 7 τρίγωνο. :ι.

~ ~

:ι:

Αν τοποθετήσουμε πάνω στο (σχ.

6)

ένα τσιγαρόχαρτο και το οποτυπώ-

σουμε, στρέφοντάς το γύρω οπό το κέντρο συμμετρίας του κατά

180° θα

δούμε το σχήμα Α να τουτίzεται με το Ε, το Β με το Ζ, το Γ με το Η και το Δ με το Θ γιατί είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο του τετραγώνου.

Παρατήρηση: Αν τώρα στρέψουμε το τσιγαρόχαρτο κατά

360°

γύρω

από το κέντρο συμμετρίας του τετραγώνου, θα δούμε το σχήμα Α να τουτί­

σχήμα

4

σχήμα

5

zεται πρώτο με το σχήμα Γ, έπειτα με το συμμετρικό του το σχήμα Ε, κατό­

πιν με το Η και τέλος θα ταυτιστεί με τον εαυτό του. Σ' αυτήν την περιστρο­ φή κατά

360°

παρατηρούμε το σχήμα Α να τουτίzεται

4

το υπάρχοντα σχήματα. Κάθε φορά που στρέφεται κατά

φορές μ' ένα από

90°

(η γωνία γύρω

οπό το κέντρο συμμετρίας είναι μια πλήρης γωνία δηλ. 360ο, άρα

360 : 4

= 90°) τουτίzετοι και μ' ένα σχήμα. Όμως μόνο το σχήμα Ε ονομάzεται συμμετρικό του ως προς σημείο συμμετρίας το κέντρο του τετραγώνου.

8 37

Βάλτε και το δυο σος χέρια ανοικτά πάνω σ' ένα τραπέzι. Βλέπετε

εδώ κανέναν άξονα συμμετρίας; Τώρα ενώστε τις δυο σος παλάμες, έτσι

ώστε να συμπέσουν το αντίστοιχα δάκτυλο και των δυο χεριών. Ένα φύλ­ λο χαρτιού ον τοποθετηθεί ανάμεσα στα δυο σος χέρια θα λειτουργήσει ως

ένα επίπεδο συμμετρίας για τα δυο σος χέρια. Μετά οπΌυτά, παρατηρείστε προσεκτικά την φωτογραφία ενός γλυπτού του διάσημου γλύπτη Ροντέν. Κάτι περίεργο δεν συμβαίνει σ' αυτή; Τι άραγε;


εφ'

8 38 Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των παρακάτω σχημάτων, 25 όσον υπάρχουν. ::r, 8 39 Να βρείτε ποιά απ' αυτά έχουν κέντρο συμμετρίας το οποίο και να

r

ονομάσετε Ο. (αν δεν μπορείτε να ξεσηκώσετε τα σχήματα αυτά σ' ένα δι-

~

κό σας χαρτί, τότε σχεδιάστε του άξονες συμμμετρίας πάνω σ' αυτά που ~, υπάρχουν στο περιοδικό και στείλτε μια φωτοτυπία).

(111) (Ι)

(V)

(IV)

(11)

(VI)

(VIII)

(VII)

8 40 Να

(α)

βρεθούν τα συμμετρικά των παρακάτω σχημάτων ως προς άξο­

να συμμετρίας την ευθεία (ε).

χ

Α

ο Β

8 41 Να βρεθούν τα συμμετρικά των παρακάτω σχημάτων ως προς κέ­ ντρο συμμετρίας το σημείο (0).


26

Ένα οαιχvίδι με σvμμετρία

'S!

Αyώvες αvτοκιvότωv

s. '"

:ι.

~

:t:

Πάνω σ' ένα φύλλο τετραγωνισμένου χαρτιού σχεδιάmε μια πίmα σαν κι' αυτή του σχ. 1. Το φάρδος 4cm.

της πίmας αυτής να είναι mην αρχή, τουλάχιmον

Σχ.

είσοδος

1

τ ο παιχνίδι αυτό παίzεται από δυο παίκτες που διαλέγει ο καθένας τους από ένα μολύβι διαφορεηκού

χρώματος. Αφού αποφασισθεί ποιός θα παίξει πρώτος το παιχνίδι αρχίzει. Για το πρώτο βήμα δεν υπάρχει πρόβλημα. Κάθε παίκτης προχωρά όσα τετράγωνα θέλει το αυτοκίνητο του που σημειώνεται μ' ένα μικρό mαυρό mην γωνία ενός τετραγώνου π.χ. σχ.2.

j

1

'~

I

_l_

I

I

)

) I

\

Σχ.

2

κόκκινο μεrά το

μπλέ αρχή

lo

βήμα

Σε κάθε βήμα, ο κανόνας για να προχωρήσει το αυτοκίνητο είναι πάντα ο ίδιος. Ας υποθέσουμε όη είναι η σειρά του μπλέ αυτοκινήτου να προχωρήσει και πως

mo

προηγούμενο βήμα είχε προχωρήσει κατά ΑΙ

σχ.3. Για να βρεί σε ποιά διεύθυνση και πόσο πρέπει να προχωρήσει σ' αυτό το βήμα, πρέπει πρώτα βα βρεί το συμμετρικό του σημείου Α ως προς το σημείο Ι. Ας ονομάσουμε Β αυτό το συμμετρικό σημείο. Το σημείο Β είναι η κοινή κορυφή τεσσάρων τετραγώνων σχ.

5.

Τ ο αυτοκίνητο μπορεί να βρεθεί λοιπόν ή

Β ή σε μια από ης υπόλοιπες οκτώ κορυφές που βρίσκονται γύρω από το Β.

, - - - - - - - .-----

j

j

I

I

I

I

Α/

I 3

't

--

I

I

11 1/

~-

Σχ.

I

I

L

Ι-

-

f--

I I

4

I --

Α

I Σχ.

L I

I

I

Α/

I

1----

1/

I -

σημείο

---

r----

I

I

I

--

f-- f--

Ι

Β

lj

1/

I

-

/

/

I

I

Σχ.

v

1/

/

/

f-- -

mo

I

I

I I

11

--

5

Με τον τρόπο αυτό το αυτοκίνητο μπορεί να mρίψει, να επιταχύνει ή να επιβραδύνει. Η πρόκληση είναι να επιταχύνει διαρκώς αλλά να μπορεί να διακρίνει ο κάθε παίκτης τον τρόπο με τον οποίο θα βγεί γρήγο­ ρα από την πίmα.

Νικητής είναι βέβαια εκείνος που βγαίνει πρώτος από την έξοδο. Όπως καταλαβαίνεται όσο πιο mενή είναι η πίmα ή όσο πιο πολλές mροφές έχει τόσο και πιο δύσκο­ λο γίνεται το παιχνίδι.

Δοκιμάmε το με τους φίλους σας. Καλή επιτυχία


Πρόβλnμα

δά

1.

β) Η μεταβολή του ενός μεγέθους προκαλεί και

Η επιφάνεια ενός φύλλου λαμαρίνας έχει εμβα­

τη μεταβολή του άλλου μεγέθους και μάλιmα με κά­

1m2, και zυγίzει 50 κιλά (kg). Για να κατασκευά­

ποιο σταθερό κανόνα (νόμο) που μπορούμε

σει ένας βιοτέχνης διάφορα αντικείμενα κόβει τα

(mo

φύλλα λαμαρίνας σε μικρότερα κομμάτια με εμβα­

με με μαθηματικό τρόπο.1η qήλη

συγκεκριμένο πρόβλημα) να τον διατυπώσου­ 2η mήλη

δά 70 dm2, 50 dm2, 30 dm2, 20 dm2, ... κλπ. Πό­ σο zυyίzει κάθε κομμάτι; Λύση. Ο βιοτέχνης με απλή μέθοδο των τριών

βρίσκει ότι τα

70 dm 2 zυγίzουν 35 kg,

γίzουν

κλπ. Για διευκόλυνσή του σχηματίzει

25 kg

τα

50 dm2

zυ­

ένα πίνακα με δύο mήλες mη μία mήλη γράφει το

εμβαδά κάθε κομματιού και mην άλλη το αντίmοι­ χο βάρος, όπως βλέπετε lη mήλη

mo

χ

Υ

100 70 50 30 20

50= 35 = 25 = 30 = 10 =

χ

y

0,5. 0,5. 0,5. 0,5. 0,5.

100 70 50 30 20

πίνακα (Α).

Α

2η mήλη

Επιφάνεια

Βάρος

χ

kg

dm2

100 70 50 30 20

50 35 25 15 10

= 0,5 · xy

Ας δούμε λοιπόν πώς αυτός ο κανόνας διατυ­ πώνεται με μαθηματικό τρόπο. Από τον πίνακα πα­ ρατηρούμε ότι το

το

100

50

(της 2ης mήλης) βρίσκεται από

όταν πολλαπλασιασθεί με το

5Ο =05

100 το

35

'

(της 2ης mήλης) βρίσκεται από το

όταν πολλαπλασιασθεί με το

0,5 ...

70

και γενικά.

Τ ο y βρίσκεται όταν το χ πολλαπλασιασθεί με το

Παρατηρώντας τον πίνακα (Α) διαπιmώνουμε ότι σε κάθε μέγεθος λαμαρίνας αντιmοιχεί ένα ορι­

σμένο βάρος. Ένας τέτοιος πίνακας μας δίνει μία

0,5

δηλαδή

y = 0,5 ·

χ όπου χ τιμής της 1ης mήλης και

ισότητα

νεια» και των τιμών του μεγέθους «Βάρος». Έτσι

τον οποίο διατυπώνεται ο κανόνας.

y = 0,5 · χ είναι ο μαθηματικός τρόπος με

εδώ έχουμε την αντιmοιχία: 1η mήλη

Β

2η mήλη

ημερομηνία

ύψος

Μελετώντας τώρα προσεκτικά τον πίνακα (Α)

lη μέρα/5-6-1974

συμπεραίνουμε ότι: α) Σε κάθε τιμή από τη lη mή­

2η μέρα/6-6-1974

500 100 150 70

λη αντιmοιχεί μία μόνο τιμή από τη 2η mήλη, π.χ. mην τιμή

100

μή

2ης mήλης

50 της

της lης mήλης αντιmοιχεί μόνο η τι­

(100

~

lη mήλης αντιmοιχεί μόνο η

(20

~

10)

κλπ.

50), mην τιμή 20 της τιμή 10 της 2ης mήλη

η

αντίmοιχή της τιμή της 2ης mήλης του πίνακα. Η

αντιmοιχία μεταξύ των τιμών του μεγέθους «Επιφά­

Επιφάνεια ~ Βάρος

y

3η μέρα/7-6-1974

4η μέρα/8-6-194 7

5η μέρα/9-6-194 7

m


Πρόβλημα

28

2.

«Στα μαθηματικά συνήθως μελετάμε συναρτή­

Ένας ορειβάτης για την κατάκτηση της κορυφής

σεις όπως η αντιστοιχία του πίνακα (Α), δηλαδή συ­

του Έβερεστ ανεβαίνει κάθε μέρα και ένα ορισμέ-

ναρτήσεις που έχουν τύπο, διότι ο τύπος διευκολύ­

s~

νο ύψος όπως βλέπετε στον πίνακα (Β).

νει τη μελέτη της συνάρτησης».

~

Μπορούμε να υπολογίσουμε την 5η μέρα πόσο

,~

ύψος θ' ανέβει; Ασφαλώς όχι, διότι δεν μπορούμε να

την αντιστοιχία του πίνακα (Α) λέγεται τύπος της συ­

~

βρούμε τύπο που να εκφράzει αυτή την αντιστοιχία.

νάρτησης. Το χ (που παριστάνει ης τιμές του μεγέ­

"'

'S~

Παρατήρηση: Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι

~

<:(

Η ισότητα λοιπόν

y = 0,5 · χ

που προκύπτει από

θους Επιφάνεια} ονομάzεται ανεξάρτητη μετα­

σε κάθε τιμή της 1ης στήλης, αντιστοιχεί μία μόνο τι­

βλητό και το

μή της 2ης στήλης.

θους βάρους) ονομάzεται εξαρτημένη μεταβλη­

y (που παριστάνει ης τιμές του μεγέ­

τό, διότι το μέγεθος του βάρους, εξαρτάται από το Πρόβλημα

3.

μέγεθος της επιφάνειας.

Ένας οδηγός ταξί σημειώνει στο μπλοκάκι του την ποσότητα βενzίνας που καταναλώνει κάθε μέρα

Γραφικό Παράσταση

και την απόσταση που διανύει κάθε μέρα, όπως

Αν γράψουμε τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα

βλέπετε στον πίνακα (Γ).

(Α) με μορφή διεταγμένων zευγών (χ,

y),

έτσι ώστε

πρώτα στοιχεία στα zεύγη να είναι τα στοιχεία της 2η στήλη

1ης στήλης και δεύτερα στοιχεία τα αντιστοιχά τους

Ποσότητα

Απόσταση

στη 2η στήλη, θα έχουμε το σύνολο των διατεταγ­

lit

Κm

μένων zευγών.

10 7 15 10 5

100 80 140 120 60

{(100, 50), (70, 35), (50, 25), (30, 15), (20, 10) ... }

1η στήλη

Γ

Γνωρίzουμε όμως ότι κάθε διατεταγμένο zεύγος

αριθμών παριστάνεται μ' ένα σημείο με τη βοήθεια δύο ορθογωνίων αξόνων, ως εξής: π.χ. το zεύγος

(20, 10). «Από το σημείο

ράλληλο προς τον

20 του άξονα χ· χ φέρνουμε πα­ άξονα y · y, και από το σημείο 10

του άξονα y ' y φέρνουμε παράλληλο προς τον άξο­ να χ ·χ. Οι δύο παράλληλες τέμνονται στο σημείο Α. Αντιστοιχεί πάντοτε μία ορισμένη απόσταση για

κάθε ποσότητα βενzίνης; Όχι, διότι όπως παρατη­

ρούμε από τον πίνακα, με ρά διένυσε

100 km

1 Ο lit

και την άλλη

Έτσι έχουμε την γεωμετρική εικόνα που βλέπετε στο διπλανό σχήμα>>.

βενzίνη τη μία φο­

120 km.

Σημείωση. Η απόσταση που διανύει ένα αυτο­ κίνητο δεν εξαρτάται μόνο από την ποσότητα της βενzίνης, αλλά και από άλλους παράγοντες, όπως η

ομαλότητα του δρόμου, η κυκλοφορία (πυκνή ή όχι} κ.α. Για παράδειγμα όταν μία διαδρομή είναι aνη­

φορική, το αυτοκίνητο θα καταναλώσει περισσότερη βενzίνη όταν ανεβαίνει και λιγότερη όταν κατεβαίνει

την ίδια διαδρομή. Συνεπώς δεν είναι παράξενο

που ο ταξιτzής με και την άλλη

10 lit τη μία φορά διένυσε 10 km 120 km.

Κάθε αντιστοιχία όπως αυτές που δίνουν οι πί­

τ ο σύνολο των σημείων

{Α, Β, Γ, Δ, Ε,

... }

νακες (Α), (Β) που είναι τέτοια ώστε σε κάθε τιμή

τα οποία βρίσκονται με τον τρόπο που αναφέ­

του ενός μεγέθους να αντιστοιχεί μία μόνο τιμή

ραμε θα το ονομάzουμε yραφική παράσταση

του άλλου μεγέθους, θα την ονομάσουμε σννάρ­

της συνάρτησης και στη συγκεκριμένη περίπτωση,

τnσn.

γραφική παράσταση της συνάρτησης του προβΛή­

Η αντιστοιχία που δίνει ο πίνακας (Γ) δεν είναι

ματος

1,

που έχει τύπο

y = 0,5 ·

χ.

του ενός μεγέθους

Με τον ίδιο τρόπο κάνουμε τη γραφική συνάρ­

αντιστοιχούν δύο τιμές του άλλου μεγέθους, δηλ. το

τηση της αντιστοιχίας του πίνακα (Β) όπως βλέπετε

συνάρτηση, διότι στην τιμή

100

και το

120.

10

στο διπλανό σχήμα.


Εδώ η γραφική παράσωση είναι το σύνολο των σημείων {Ζ, Η, Θ, Ι,

100), ...

... }

με Ζ (1η,

500),

Η (2η,

κ .λ. π.

και συμφέρει η παράστασή της με πίνακα, διότι πληροφορούνται πολύ εύκολα όλοι οι άνθρωποι, είτε

yvωρίzουν, είτε όχι μαθηματικά.

@ ~

αντιστοιχίας (Γ) όπως βλέπετε στο διπλανό σχή­

Απόσταση

μα.

σεΚm

σημείων {Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ,

100),

Μ

(10, 120), ...

... }

με Κ

(7, 8),

Λ

(10,

κ.λ.π.

ΑΘΗΝΑ

-

Αξία

εισιτηρίου δρχ

<:: <:

ΜΕΝΙΔΙ

50 100 250 500

ΑΘΗΝΑ- ΟΙΝΟΗ ΑΘΗ!')JΑ

ΑΘΗΝΑ

-

ΧΜΚΙΔΑ

ΜΡΙΣΑ

~

σόδου. Μπορείτε να κάνετε ένα τέτοιο πίνακα με το εβδομαδιαίο προγραμμά σας; Με βελοειδές διάγραμμα

Με το σχήμα που βλέπετε, δίνει η Ολυμπιακή σταση τα σημεία Λ

(10, 100)

και Μ

(10, 120),

βρί­

σκονται στην ίδια κάθετη ευθεία (ε) στον άξονα χ· χ (δηλαδή έχουν τπν ίδια τετμημένη), κάτι που δεν

συμβαίνει με τις γραφικές παραστάσεις των προη­ γουμένων αντιστοιχιών που είναι συναρτήσεις.

Σ"μοέρασμα: Από τη γραφική παράσταση

μιας αντιστοιχίας μπορούμε να διαπιστώσουμε αν

Αεροπορική Εταιρεία, το διεθνές δίκτυο τc~ν γραμ­ μών της.

Κι εδώ έχουμε μία αντιστοιχία όπου στην Αθή­ να αντιστοΙχούν όλες οι πόλεις του εξωτερικού με τις

οποίες συvδέεται αεροπορικά. Όπως καταλαβαίνε­ τε, στην περίπτωση αυτή εξυπηρετεί το βελοειδές

διάγραμμα.

είναι συνάρτηση ή όχι. Δηλαδή αν δύο τουλάχιστον σημεία της γραφικής παράστασης βρίσκονται στην

ίδια κάθετη στον άξονα χ· χ, τότε δεν είναι συνάρ­ τηση.

Παράσταση αντιστοιχιών και η χρησιμότητά της Όπως βλέπετε μία αντιστοιχία παριστάνεται με

πίνακα με βελοειδές διάγραμμα και με yραφικό οαράσ-.:ασn. Τον αν θα χρησιμοποιήσουμε τον

ένα, ή τον άλλο τρόπο αυτό εξαρτάται από το πρό­

βλημα. Ί'V\1\.οτε εξυπηρετεί ο ένας τρόπος και άλλοτε

3.

Με γραφική παράσταση

Πρόβλημα: Ο καθηγητής των μaθηματικών για να δοκιμάσει τις αντιδράσεις των μαθητών του και

ο άλλος.

για να διαπιστώσει αν καταλάβουν τη σημασία των

γραφικ';Ν παραστάσεων στη λύση προβλημάτων,

Εφαρμοyές.

1)

Όταν μπαίνουμε σε ένα σταθμό τραίνων βλέ­

πουμε πίνακες που μας δίνουν rnν τιμή του εισιτη­

ρίου για την διαδρομή που θέλουμε να κάνουμε,

όπως βλέπετε

mo

διπλανό πίνακα.

Εδώ έχουμε την αντιστοιχία.

Απόσταση σε

km ---;.

αξία σε δρ.

έκανε δύο προτάσεις ...

α) Ν--ι ανεβά~ ~1 όΛους τους βαθμούς κατά

β) Οι βαθμοί κάτω του

13

να γfvουν

13

10%

και άλ­

λοι βαθμοί να μείνουν αμετάβλητοι;

Ποιους μαθητές συμφέρει η (α) πρόταση και ποιους η (β);

.g .;:;

1α) Για το πρόγραμμα των μαθηματικών του

2.

1'1

S,

σχολείου σας εξυπηρετεί πολύ ο πίνακας διπλής ει­

Παρα-.:nρόσεις: Σ' αυτή τη γραφική παρά­

;ι:.

§

Κάνουμε τώρα και τη γραφική παράσταση της

Εδώ η γραφι~ή παράσταση είναι το σύνολο των

29


30 "' 'S~

Υnόδειξn yια τn λvσn:

Προβλήματα

nov

nροτείνοvμε

Κάνουμε τη γραφική παράσταση και των δύο προτάσεων (που είναι αντιστοιχίες) σοτυς ίδιους ορ-

§θογώνιους άξονες, όπως βλέπετε στο σχήμα (γ). :::.

~

Και τώρα η λύση θα τη δώσετε εσείς μελετώντας

841 τ α πάγια τέλη στο λογαριασμό τηλεφώνου είναι

500

δρχ. το δίμηνο. Κάθε μονάδα σε μια τη­

λεφωνική συνδιάί\εξη χρεώνεται

3

δρχ. Φιάξτε ένα

,~ και συγκρίνοντας ης γραφικές παραστάσεις του

πίνακα με τα έξοδα τηλεφώνου, όταν έχουν γίνει

~

σχήματος (γ), κάνοντας σε μιί\ιμετρές χαρτί ης ίδιες

συνδιαλέξεις με

§

γραφικές παραστάσεις με μεγάλη ακρίβεια.

5, 10, 15, ... 40

μονάδες.

α) Είναι η αντιστοιχία

<t:

Μονάδες

-

Κόστος

συνάρτηση; και αν ναι, τότε ποιος είναι ο τύπος αυ­ τής της συνάρτησης;

β) Κάντε τη γραφική παράσταση της πιο πάνω αντιστοιχίας.

8 42

Βρείπ παραδείγματα αντιστοιχιών που εί­

ναι συναρτήσεις και παραδείγματα που δεν είναι συναρτήσεις.

8 43

Ένα λάστιχο με το οποίο ποτίzουμε τα λου­

λούδια μας, έχει μήκος

30m

και zυγίzει

14 kg.

Ένα

άλλο κομμάτι της ίδιας ποιότητας, διατομής κλπ. έχει μήκος

18 m.

Ποιό είναι το βάρος τους; Λύστε

το πρόβλημα γραφικά, δηλαδή με τη βοήθεια της

γραφικής παράστασης της αντιστοιχίας. Μήκος ~ Βάρος

8 44 Διευκρίνηση: Ο βαθμός

δηλ. με την αύξηση

17

με την (α) πρόταση

10% γίνεται 18,7.

Σε τέτοιες πε­

ριπτώσεις που το δεκαδικό ψηφίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το

5

θα στρογγυλεύετε τον αριθμό προς τα

πάνω, ενώ όταν το δεκαδικό ψηφίο είναι μικρότερο του

5

θα τον στρογγυλεύετε προς τα κάτω.

π.χ. το

14

~

17-- 18,7 15,4 = 15.

= 19, το

15 -- 16,5

= 17 το

Οι πλευρές ενός ορθογωνίου παραλληλο­

γράμμου μεταβάλλονται έτσι ώστε το εμβαδό του να

παραμένει σταθερό και ίσο με

(στα διπλα­

12 cm2.

νά σχέδια βλέπετε μερικά τέτοια ορθογώνια).

1ε-·~ ι-ι.:__ε_·_t_ιJ·-

_ __

4ι:ιιt

Οαρατnρήσεις: Εδώ συμφέρει η γραφική

temι..(_ _ _ ___.....E-.•"='t_ιw _____...,

παράσταση, διότι παρουσιάzεται τα εξής πλεονεκτή­

tJem

ματα:

1)

Γνωρίzουμε ότι κάθε zεύγος αντιστοίχων με­

γεθών (διατεταγμένο zεύγος) παριστάνεται με τη

α) Αν χ είναι το μήκος του ορθογωνίου και y το

βοήθεια των ορθογωνίων αξόνων μ' ένα μοναδικό

πλάτος, φτιάξτε ένα πίνακα με μερικές από ης αντί­

σημείο. Και επειδή μια γραμμή έχει άπειρα σημεία,

στοιχες τιμές των χ,

μπορούμε να παριστάνουμε άπειρα zεύγη. Αυτό δεν

y.

β) Είναι η αντιστοιχία αυτή (Μήκος

--

Πλάτος)

είναι δυνατό να γίνει με τους πίνακες ή τα βελοειδή

συνάρτηση; και αν ναι, τότε ποιος είναι ο τύπος της

διαγράμματα.

συνάρτησης;

2)

Μπορούμε να παραστήσουμε στο ίδιο ορθο­

γώνιο σύστημα περισσότερα από μία αντιστοιχίες (όπως κάναμε σrο πρόβλημά μας). Μ' αυτό τον τρό­

πο τις συγκρίνουμε με μεγάλη ευκολία.

γ) Για ποιες τιμές των χ και

y το ορθογώνιο τε­

τράγωνο; δ) Κάντε τη γραφική παράσταση της πιο πάνω αντιστοιχίας.


Πολλές φορές θα ακούτε από τα μέσα μαzικής

διαφέρον ή όχι την συγκεκριμένη εκπομπή, τότε θα

ενημέρωσης, ή διαβάzετε σε εφημερίδες ή περιοδικά

μπορούσε να ξέρει την πραγματική -ακριβή- ακροα­

για τα αποτελέσματα κάποιας "στατιστικής έρευνας" γύ­

ματικότητα της. Κάτι τέτοιο, αν και "θεωρητικά", του­

ρω από την επίδραση του καπνίσματος στην εμφάνιση

λάχιστον, μπορεί να γίνει, απαηεί πολύ χρόνο, χρη­

καρκίνου του πνεύμονα ή για την εξέλιξη του αριθμού

ματική δαπάνη κ.ίΊ.π. γιατί οι τηίΊεθεατές της χώρας

των γεννήσεων σε κάποια χώρα την τελευταία 15-ετία.

πίΊηrnάzουν τα

10.000.000 -πολύ

μεγάλος αριθμός-.

Σήμερα η Στατιστική έχει εξελιχθεί σε επιστήμη

Αφού είναι πολύ δύσκολο να ρωτήσει όλους τους

που με τη βοήθεια των Μαθηματικών (κυρίως της

Έλληνες τηλεθεατές περιορίzεται στο να ρωτήσει με­

θεωρίας Πιθανοτήτων) συλλέγει στοιχεία, μελετά

ρικές μόνο χιίΊιάδες. Πόοες χιλιάδες όμως; Kai Πώς

και αναλύει τα στοιχεία αυτά και διατυπώνει διάφο­

θα διαίΊέξει αυτούς που θα ρωτήσει; Θα είναι όλοι κά­

ρα χρήσιμα συμπεράσματα. ΑΙ\Λά χρήσιμα σε ποιόν;

τοικοι μόνο των μεγάλων πόλεων, ή και των ι.iικρότε­

Αρκετές φορές θα έχετε ακούσει μεγάλους να δια­

ρων κωμοπόλεων και χωριών απ' όλη την Ελλάδα;

μαρτύρονται, ότι οι δρόμοι της πόλης που zείτε είναι

Νομίzω ότι όλοι συμφωνείτε ότι πρέπει να ερω­

στενοί και έτσι είναι δύσκολη η κυκλοφορία των αυ­

τηθούν άτομα απ' όλη την Ελλάδα, ανάλογα με τον

τοκινήτων με αποτέλεσμα χάσιμο πολύτιμου χρό­

πληθυσμό που έχει κάθε πόλη κωμόπολη ή χωριό

νου, μόλυνση περιβάλλοντος κ.ίΊ.π. Ή και σεις ακό­

και να διαλεχτούν άτομα στη "τύχη". π.χ. ρωτά κα­

μη μπορεί να παραπονιέσθε ότι δεν υπάρχουν σχο­

νείς άτομα που συναντά στη κεντρική αγορά της πό­

λικά κτίρια με αποτέλεσμα την λειτουργία των Λυ­

λης σε μια εργάσιμη μέρα, ή εκλέγει τυχαία μερικά

κείων και Γυμνασίων σε κύκλους (πρωΙ-απόyευμα)

σπίτια, όπου ρωτά τους ενοίκους για την εκπομπή.

και ότι φταίει η ποληεία που δεν πρόβλεψε ης ανά­

(Θα μπορούσατε να σκεφθείτε και σεις τρόπους).

Αν ρωτηθούν

γκες σε σχολικά κτίρια, ώστε να τα κατασκευάσει

έγκαιρα και εκεί που θα εμφανισθούν ανάγκες. Όμως πώς γίνονται οι προβλέψεις; Ο άνθρωπος σήμερα έχει στα χέρια του πολλά "ερyαίΊεία" που του προσφέρουν οι επιστήμες, ικανά να τον βοηθήσουν αποφασιστικά για να γίνουν οι προβλέψεις, να βγουν

10.000

άτομα και τα

7.000

απα­

ντήσουν όη βλέπουν την εκπομπή και τους αρέ­

σει, ενώ οι

3.000

απαντήστουν όη δεν τους αρέ­

σει, τότε βyάzουμε το συμπέρασμα ότι ποσοστό

7.αχ> 10.000

=

70 ή 70% των ερωτηθέντων απάντησαν 100 εκπομπής. Το ποσοστό 70% είναι λογικό

συμπεράσματα που θα προσεyyίzουν ικανοποιητικά

υπέρ της

την μείΊίΊοντική πραyμαηκότnτα. Τέrοια ερyαί\εία προ­

να δεχθούμε όπ πλησιάzει πάρα πολύ το πραyμαη­

σφέρει και η Στατιστική και έτσι γίνεται ένας πολύτι­

κό ποσοστό που θα βρίσκαμε αν ρωτούσαμε όλον

μος aρωγός της ποληείας ή ιδιωτών επιχειρηματιών,

τον πληθυσμό. Από κει και πέρα η διοίκηση της

ή επιστημόνων ερευνητών για τον σχεδιασμό του

Ε.Ρ.τ θα πάρει ης αποφάσεις της.

μέλλοντος, ή για την παραπέρα επιστημονική έρευνα.

Το σύνολο των τηλεθεατών λέγεται "πληθυ­ σμός", τον οποίο εξετάzουμε ως προς το αν αρέσει

2.

Προβλιίματα

Στατισι:ικιί

(i)

-

nov

αντιμετωοίzονται με

Βασικές έννοιες.

Η ακροαματικότητα μιας εκπομπής από την τη­

λεόραση. Η διοίκηση της Ελληνικής Ραδιοφωνίας Τηλεο­

ή όχι μια εκπομπή. Και λέμε όπ το χαρακτηριστικό

ως προς το οποίο εξετάzουμε τον πληθυσμό είναι: «Π γνώμη για την εκπομπή». Βέβαια εμείς δεν ρωτήσα­

με όλον τον "πληθυσμό", αλλά ένα τυχαία επιλεγμέ­ νο μέρος του, ή όπως λέμε ένα δείγμα του πληθυ­

ράσεως (Ε.Ρ.Τ.) ενδιαφέρεται να μάθει, αν μια συ­

σμοu. Ο αριθllός

γκεκριμένη της εκπομπή από την τηλεόραση (π.χ. η

ατόμων) λέγεται μέγεθος του δείγματος, και λέμε όπ

10.000

(αριθμός ερωτηθέντων

"Κινηματογραφική Λέσχη", παρακολουθείται από

κάνουμε δειγματοληψία. Αν ρωτούσαμε όλα τα άτο­

πολύ ή λίγο κόσμο, ώστε να αποφασίσει για την συ­

μα του πληθυσμού θα είχαμε κάνει μια απογραφή.

γκεκριμένη εκπομπή π.χ. αν θα την αναμορφώσει,

αν θα την αφήσει όπως έχει, ή θα την καταργήσει.

(ii)

Ενδιαφέρεται δηίΊαδή να μάθει την "ακροαματικό­

σn

τητα" της εκπομπής.

Πώς οιίyε ο τά~n σε μια yραοτιί ε~έτα­

-

οοια τά~n οιίyε καλύτερα.

Α Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει στο

lo

Αν μπορούσε η Ε.Ρ.Τ να είχε την απάντηση από

τμήμα της Γ' τάξης την επόμενη από ένα διαγώνισμα

κάθε τηλεθεατή της χώρας, αν παρακολουθεί με εν-

και οι μαθητές τον ρωτουν εναγώνια πως γράψανε.


32 Ο καθηγητής βγάzει ένα σημείωμα όπου είχε γράψει

θήσει να καταίΊnξουν σε κάποιο συμπέρασμα τους

'g

όλους τους βαθμούς και τους γράφει στον πίνακα,

επεσήμανε ότι το άθροισμα των βαθμών δεν εξαρ­

§;:: όπως τους έχει αντιγράψει από τα γραπτά των μαθη­

τάται μόνο από τους βαθμούς που πήραν οι μqθη­

10, 10, 12, 9, 14, 18, 8, 17, 9, 12, 18, 10, 19, 12, 8, 9, 14, 10,8, 12, 9, 14, 8, 12, 14.

τές, αλλά και το "πόσοι" ήταν οι μαθητές. Αν οι μα­

Οι μαθητές κοιτάzουν τους βαθμούς, αλλά έτσι

μών θα ήταν μεγαλύτερο (αφού οι βαθμολογίες θα

~

τών:

όπως είναι ανακατεμένοι δεν μπορούν να βγάλουν

θητές ήταν περισσότεροι τότε το άθροισμά τω~ βαθ­ ήταν πάλι

συμπέρασμα. Μετά από λίγο κάποιος μαθητής λέει

8, 9, 10, 12, 14, 17, 18, 19).

Θα σήμαινε όμως αυτό καλύτερη απόδοση για

ότι η τάξη δεν πήγε και τόσο άσχημα αφού μόνο

τη δεύερη περίπτωση; Κάποιος μαθητής απάντησε

μαθητές από τους

<<όχι», γιατί θα πρέπει να εξετάσουν το άθροισμα των

25

-δηλαδή περίπου το

έγραψε κάτω από τη βάση

10.

Κάποιος άλλος, όμως

μαθητής διαφωνεί και λέει ότι μόνο ψαν

14

8 1/3-

βαθμών σε σχέση και με το πλήθος των μαθητών.

μαθητές έγρα­

Οπότε έριξε την ιδέα: <<Αν υποθέταμε ότι όλοι οι μα­

και πάνω, ενώ κάποιος άλλος συμφωνεί με

θητές είχαν πάρει τον ίδιο βαθμό, μπορούμε να

8

τον δεύτερο, συμπληρώνοντας ότι ψανε από

17

μέχρι και

19,

4

μαθητές γρά­

που θεωρούνται οι κα­

βρούμε αυτόν τον βαθμό. Θα διαιρέσουμε το άθροι­ σμα των βαθμών

311 με το πλήθος των μαθητών 25 311/25 = 12,44». Όλοι τότε συμ­

λύτεροι βαθμοί. Οπότε κάποιος άλλος μαθητής λέ­

και βρίσκουμε:

γει:

φώνησαν ότι φαίνεται ξεκάθαρα ότι η τάξη δεν πή­

8,

<<Γιατί να μη μετρήσουμε πόσοι μαθητές πήραν

πόσοι πήραν,

9,

πόσοι πήραν

10, 11, ... , 19;»

Η

γε καλά, αφού αν όλοι είχαν την ίδια απόδοση ο βαθμός τους θα ήταν μόνο

12,44.

ιδέα αυτή άρεσε και στην υπόλοιπη τάξη -συμφώ­

Στο παράδειγμα αυτό ο nλnθvσμός είναι το

νησε και ο καθηγητής τους και τους υπέδειξε πως

σύνολο των μαθητών της τάξης. Το χαρακτηρι­

να διατάξουν τους αριθμούς- και μετά από λίγο πα­

στικό που εξετάzουμε είναι η βαθμολογία. Το χα­

ρουσίασαν τον παρακάτω πίνακα:

ρακτηριστικό το λέμε και μεταβλητή και μάλιστα επειδή η μεταβλητή εκφράzεται με αριθμό τη λέμε

Πίνακας Βαθμοί

Ποσοτική μεταβλητή. Οι αριθμοί

1

8, 9, 10, 12, 14,

είναι όλες οι τιμές που παίρνει η μετα­

Αριθμός

17, 18, 19

μαθητών

βλητή. Όλοι οι βαθμοί, όπως γράφτηκαν στην αρχή

8 9 10 12 14 17 18 19

4 3 3 5 4

λέγονται Παρατηρήσεις του πληθυσμού. Καθώς διαβάzουμε τους βαθμούς όπως γράφτη­

καν στην αρχή, τον βαθμό

3

μαθητών

φο­

εκφράzει πόσο συχνά συναντάμε το

3

4

πόσο συχνά συναντάμε τον

χνότητα του χνότητα του

25

4

κλπ. Έτσι το το

φορές, τον βαθμό

συχνά συναντάμε το

Σύνολο

τον συναντάμε

9, 3

8,

2 1

8

ρές, τον βαθμό

12.

9

12, 5

ενώ το

Γι' αυτό το

8, το 3 συχνότητα του 9 12. Η συχνότητα, λοιπόν,

4

φορές

5

πόσο

λέγεται συ­

ενώ το

5

συ­

ενός βαθμού

είναι ο αριθμός που δείχνει πόσοι μαθητές πήραν Όλοι τότε συμφώνησαν ότι έτσι είχαν ανάγλυφη

αυτόν τον βαθμό.

την εικόνα της τάξης τους και εύκολα διέκριναν και

Στο πρώτο παράδειγμα, το χαρακτηριστικό ή η

γενικά δεν πέτυχαν πολλοί μαθητές υψηλή βαθμο­

μεταβλητή δεν μπορεί να εκφρασθεί (να μετρηθεί)

λογία. Κάποιος όμως μαθητής που χαρακτηρίzεται

με αριθμό. Κάθε άτομο που ερωτάται απαντά π.χ.

σαν "ανήσυχο πνεύμα" δεν ήταν και πολύ ικανο­

"ναι" ή "όχι" για την εκπομπή. Γι' αυτό λέμε ότι η

ποιημένος ούτε και μ' αυτή τη παρουσίαση και πρό­

μεταβλητή είναι ποιοτική. Επειδή

7.000

άτομα απά­

τεινε στην τάξη να προσθέσουν όλους τους βαθμούς

ντησαν θετική (ναι) για την εκπομπή η συχνότητα

και να δουν πόσο μεγάλος αριθμός είναι το άθροι­

της θετικής γνώμης (ναι) είναι

σμα των βαθμών. Έτσι βρήκαν

τητα της αρνητικής γνώμης (όχι) είναι

8 . 4 + 9 . 3 + 10 . 3 + 12 . 5 + 14 . 4 + + 17. 3 + 18. 2 + 19. 1 = 311 Μετά άρχισε ένας έντονος διάλογος ανάμεσα

7.000,

ενώ η συχνό­

3.000.

Β. Επανερχόμαστε στη τάξη Γ-1. Μετά τη συzή­ τηση που έγινε για το πως πήγε το τμήμα τους στο

που εκ­

διαγώνισμα οι μαθητές ρώτησαν πως πήγε το 2ο

φράzει το άθροισμα των βαθμών είναι αρκετά μεγά­

τμήμα (Γ-2) στο διαγώνισμα. Ο καθηγητής τους τό­

λος ή μικρός. Ο καθηγητής τους για να τους βοη-

τε τους έδωσε τον πίνακα:

στους μαθητές για το αν ο αριθμός

311


Πίνακας

της μεταβλητής aντιστοιχούμε τη συχνότητα της, λέ-

2

Βαθμοί (χί)

Αριθμός

δηλαδή

μαθητών νί

8 7 8 10 12 15 17 18 19 20

��ακα συχνοτήτων τα μεταφέρουμε σε ορθογώνιο

σύστημα συντεταγμένων. Έτσι για τον πίνακα συ­

4

χνοτήτων

3 3 3 2 1

άξονα 10υς βαθμούς και στον κατακόρυφο ης συ­ χνότητες και βρίσκουμε τα σημεία που αντιστοιχούν στα zευγάρια (βαθμός, αντίστοιχη συχνότητα), όπως φαίνεται στο σχήμα:

30

καλuτερα ως προς 10ν βαθμό αφού τα

17

είναι

που αφορά ης συχνότητες των βαθμών

1

των μαθητών 10υ Γ -1, 10ποθε10ύμε στον οριzόντιο

Τότε ο καθηγητής ρώτησε: <<Ποιό τμήμα πήγε

10

.,

πιο παραστατική αν τα αριθμηηκά δεδομένα 10υ πί-

5 5

Σύνολο

απάντησε ότι

§_

"μοίρασμα" των συχνοτήτων.

10

Η κατανομή των συχνοτήτων μπορεί να γίνει ~::s,

4 4

μαθητών

17;»

Κάποιος μαθητής

ίδιο καλά πήγαν και οι δυο τάξεις,

3

και στο 1ο και στο 2ο τμήμα. Κά­

ποιος άλλος διαφώνησε παρατηρώντας όη

10 2ο τμήμα έχει περισσότερους μαθητές. Οπότε 10 «τρια 17 στους 25>> είναι καλuτερο από 10 «τρια 17 στους 30>>, γιατί _3._ > _3._ 25 30

(/' ω

ο

>

~

6

""

5 4

Δ

Α

/~[

.______,l.

~Β Γ

3 2

8

-

9

10

~

i'f

11

12

13

14

15

16

17

Ιιμές

Όταν, λοιπόν, έχουμε να συγκρίνουμε δυο δείγ­

18

19

μετοβλnτn~

ματα ή πληθυσμούς διαφορετικού μεγέθους, τότε η σύγκριση των συχνοτήτων ημών της μεταβλητής δεν

ΣΧΗΜΑ

επαρκεί για να βγούν συμπεράσματα. τότε πρέπει

Ενώνουμε τα σημεία αυτά μεταξύ 10υς και προ­

να συγκρίνουμε 10υς αντίστοιχους λόγους συχνοτή­

κύπτει μια τεθλασμένη γραμμή που την ονομάzουμε

των προς το μέγεθος των δειγμάτων. Αυτούς τους

Πολύγωνο συχνοτήτων.

λόγους ονομάzουμε σχεηκές συχνότητες των αντι­

Αν τώρα στον κατακόρυφο άξονα 10Ποθετήσου­

στοίχων ημών. Ώστε λοιπόν: Σχετική συχνότητα μιας

με ης σχετικές συχνότητες αντί για ης συχνότητες η

τιμής μιας μεταβλητής, ονομάzουμε 10ν λόγο της συ­

τεθλασμένη γραμμή που θα προκύψει θα ονομάzε­

χνότητα της τιμής αυτής προς

ται Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.

10

μέγεθος 10υ δείγ­

ματος. Έτσι η σχεηκή συχνότητα 10υ βαθμού

17

είναι _3._ = 0,12 για 10 1ο τμήμα (Γ-1), ενώ για 10 2ο

25

100

την σχετική συ­

χνότητα τότε την εκφράzουμε επί 10ις

%.

Δηλαδή οι

προηγούμενες σχεηκές συχνότητες είναι

10%

12%

και

αντίστοιχα. Και εκφράzουν τα ποσοστά των μα­

17

σε κάθε τμήμα.

Άσκηση:

r 59 Συμπληρώστε εσείς ης σχετικές συχνότητες στους πίνακες

1

και

2

και κάνετε τη σύγκριση.

3. Κατανομή συχνοτήτων - Πολύγωνο συχνοτήτων Όταν

κατασκευάσουμε

(ii)

και με ης σχετικές συχνότητες και ας κατασκευά­

λύγωνα σχετικών συχνοτήτων. Τότε θα έχουμε:

30

θητών που πήραν

Ας συμπληρώσουμε τώρα 10υς βαθμολογικούς

πίνακες των δυο τμημάτων 10υ παραδείyμα10ς

σουμε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τα δυο πο­

τμήμα (Γ-2) είναι _3._ = 0,1. Αν πολλαπλασιάσουμε με

πίνακα

33

με ότι έχουμε κάνει την κατανομή των συχνοτήτων,

-όπως

στα

προηγούμενα παραδείγματα-, όπου σε κάθε ημή

Πίνακας

3


34 Πίνακας

~

§

Βαθμοί

(xi)

;:

Αριθμός

Ποσοmά%

μαθητών

s

r....ι

7

σουν ότι όλοι οι μαθητές πήραν τον ίδια βαθμό, που

4

(Vi)

Σχετική συχν.

4 5 5 4 3 3 3 2 1 30

8 10 12 15 17 18 19 20

13.4 16.5 16.5 13.4 10 10 10 6.8 3.4 100

τον βρήκαν διαιρώντας το άθροισμα των βαθμών με το πλήθος των μαθητών.

Αν όμως υποθέσουμε ότι πόλι όλοι οι μαθητές

του 2ου τμήματος πήραν τον ίδιο βαθμό βρίσκουμε αυτόν τον "υποθετικό" βαθμό που είναι:

7·4 + 8·5 +

1σ5

+ 12·4 + 15·3 +

Π3

+ 18·3 + 19·2 + 20-1

30 374 = = 1247 30 ' Έτσι βλέπουμε ότι ο "υποθετικός βαθμός"

mo

1ο τμήμα

(12,44) είναι μικρότερος απ' ότι mo (12,47). Έτσι μπορούμε να πούμε ότι 10

2ο

τμήμα

2ο

τμήμα πήγε ελαφρώς καλύτερα από το 1ο. Έτσι, λοιπόν, φαίνεται η αναγκαιότητα να ορί­ σουμε ένα καινούργιο, μέγεθος, τον μέσο όρο ή μέ­ ση τιμή μιας μεταβλητής χ σαν το λόγο του αθροί­ σματος των παρατηρήσεων προς το πλήθος των πα­ ρατηρήσεων (που είναι

10

μέγεθος 10υ δείγμα10ς).

Ο μέσος όρος της μεταβλητής χ συμβολίzεται με χ και εκφράzει το πόσο θα ήταν κάθε παρατήρηση,

αν όλες οι παρατηρήσεις του δείγματος ήταν ίσες. τ ο χ μπορεί να ταυτίzεται με κάποια παρατήρηση Παρατηρούμε ότι το πολύγωνο σχετικών συχνο­

μπορεί και όχι.

τήτων του 2ου τμήματος είναι μετατοπισμένο προς

Είναι φανερό ότι το άθροισμα των παρατηρήσε­

τα πάνω σε σχέση με το πολύγωνο σχετικών συ­

ων μπορεί να βρεθεί ευκολότερα αν πολλαπλασιά­

χνοτήτων του 1ου τμήματος για ης πολύ μικρές βαθ­

σουμε κάθε τιμή της μεταβλητής με την αvτίmοιχη

μολογίες

(18 (11- 17) εί­

της συχνότητα και προσθέσουμε τα γινόμενα. Η

ναι μετατοπισμένο προς τα κάτω σε σχέση με το πο­

νεται με την κατασκευή κατάλληλου πίνακα όπως

λύγωνο 10υ 1ου τμήμα10ς.

φαίνεται παρακάτω:

20).

(7 - 10)

και για ης πολύ μεγάλες

Ενώ για ης μεσαίες βαθμολογίες

διαδικασία υπολογισμού του μέσου όρου διευκολύ­

Τι συμπέρασμα βγαίνει; Ότι το 2ο τμήμα έχει Πίνακας

μεγαλύτερο ποσοmό αδυνάτων και αρίmων μαθη­ τών σε σχέση με το 1ο τμήμα, ενώ το 1ο τμήμα έχει

ποσοmό μεσαίων και καλών μαθητών μεγαλύτερο

από το 2ο τμήμα.

4.

Μέσος όρος

μεταβλητής

μέση τιμή

Πολύ συχνό ακούτε mην καθημερινή zωή να μι­ λάνε για "μέσο όρο". π.χ. ''ο μέσος όρος zωής" του

ανθρώπου "η μέση μηνιαία θερμοκρασία" μιας πό­ λης ή το 'Ίο μέσο επίπεδο ή κόmος zωής" κλπ.

Όταν θέλετε να βγάλετε τον βαθμό προαγωγής σας όταν πάρετε τον έλεγχο η κάνετε; Προσθέmε όλους

τους βαθμούς σας κο ιτο άθροισμα το διαιρείτε με το πλήθος των μαθημάτων. Ο αριθμός που προκύπτει -που δεν είναι κατ' ανάγκη ακέραιος- είναι η "μέση

βαθμολογία" σας ή ''ο μέσος όρος" των βαθμών. Ας ξαναγυρίσουμε

(Βαθμοί)

(Αριθμός μαθητών)

Τιμές

n

mo

πρόβλημα

(ii) mo

τμήμα

Γ-1. Είδαμε ότι κάποιος έρριξε την ιδέα να υποθέ-

5

Υπολογισμός μέσης βαθμολογίας για το Γ-2

Συχνότητες

Vi

Γινόμενα Τιμών επί συχνότητες

vi · xi

xi

7 8 10 12 15 17 18 19 20

4 5 4 3 3 3 2 1

28 40 50 48 45 51 54 38 20

Σύνολο

30

374

5

~= 374 = 1247 30

,


35

Ισότaιa

CS"

Ο,

Ομοιότaτa τριyώvω,

-

s

s ι

~ 2

Ο,

s

s

-ε: Η γεωμετρία όπως ξέρουμε, εξετάzει τις ιδιότητες των επιπέδων σχημάτων καθώς και των στερεών.

Ωσιόσο σιη γεωμετρία δεν εξετάzονται όλες οι ιδιό­ τητες των σχημάτων. Για παράδειγμα το χρώμα ή το

βάρος ενός τριγώνου δεν ενδιαφέρει το γεωμέτρη. Αυτά που ενδιαφέρουν το γεωμέτρη έχουν σχέση με ης ιδιότητες που έχει το τρίγωνο σαν σχήμα.

Δηλαδή ποιά είναι τα μήκη των πλευρών, τα με­ γέθη των γωνιών, τα ύψη, οι διάμεσοι, τα εμβαδά, ακόμη τα κέντρα και οι ακτίνες των εyyεyραμμένων

1. Όταν yνωρίzουμε κάθε μία από ης τρείς πλευρές του.

2.

Όταν yνωρίzουμε δύο πλευρές και την πε­

ριεχόμενη σ' αυτές γωνία του.

3.

Όταν yνωρίzουμε μια πλευρά και τις προ-

σκεfμενες σ' αυτή γωνίες του. Με άλλα λόγια θα μπορούσαμε να πούμε όπ το

πρόβλημα π.χ. της κατασκευής τριγώνου ΑΒΓ με

πλευρές ΑΒ = 5 cm, ΑΓ 50° έχει μια μόνο λύση.

=3

cm και γωνία BAr

=

(Βέβαια θεωρώντας και το συμμετρικό ως προς

και περιyραμμένων κύκλων. Πως όμως θα μπορούσε κάποιος να χαρακτηρί­

ΑΒ ή ΑΓ θα λέγαμε δύο λύσεις).

σει το σύνολο των ιδιοτήτων των σχημάτων που μας

ενδιαφέρουν στην Γεωμετρία; Όπως αναφέρουμε και παραπάνω, οι ιδιότητες

των σωμάτων που εξετάzονται σιην Γεωμετρία, κα­ θορίzονται από το σχήμα και ης διαστάσεις του

σώματος και δεν εξαρτώνται καθόλου από την θέση του σιο χώρο ή στο επίπεδο. Με άλλα λόγια θα μπορούσαμε να πούμε όη: δι5ο ίσα σχήματα έχοvν τις ίδιες ακριβώς

yεωμετpικές ιδιότοτες Σχ.2

Ειδικότερα δυο ίσα τρίγωνα έχουν τις ίδιες γεω­

μετρικές ιδιότητες δηλαδή έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία ίσα μεταξύ τους. Επομένως για να προσδιορίσουμε ένα κριτήριο που θα μας καθορίzει πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα,

αρκεί να βρούμε πόσα από τα βασικά στοιχεία (πλευρές, γωνίες) ενός τριγώνου αρκούν για να το

κατασκευάσουμε χρησιμοποιώντας τον κανόνα και το διαβήτη.

Α

Β

Σχ.

Γ

Στην πραγματικότητα υπάρχουν φυσικά πάρα

πολλά (ή και aπείρως πολλά!) τρfγωνα, που έχουν δύο πλευρές με μήκη

Σχ.

1

Κοιτάzοντας προσεκτικά ένα τρίγωνο μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι έχουμε δυνατότητα κατα­

σκευής του σε κάθε μια από ης παρακάτω περιπτώ­ σεις:

3

γωνία εfναι

50 ο.

3 cm, 5 cm

ενώ η μεταξύ τους

Βέβαια όλα αυτά τα τρίγωνα εfναι

!σα μεταξύ τους, εμάς όμως μας ενδιαφέρει ένα από αυτά αφού όλα έχουν τις ίδιες ιδιότητες. Ένας άλλος τρόπος για να ορfσουμε την ισότη­ τα ανάμεσα σε δύο σχήματα είναι η παρατήρηση ότι

~'

g


36 τα ίσα σχήματα όταν τοποθετηθούν κατάλληλα το ::>

ένα πάνω στο άλλο συμπίπτουν σ' όλα τα σημεία

~ '~ ;;...

τους. Με άλλα λόγια δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν

Ε!

ένα τρίγωνο να συμπέσει με το άλλο. Λέγοντας κί­

νηση, εννοούμε την παράλληλη μεταφορά κατά ορι-

I I

σμένη διεύθυνση και την στροφή yύρω από ένα ση-

11

μείο Ο κατά μια γωνία φ.

1 Ι II I

§. υπάρχει κίνηση που μπορούμε να κάνουμε ώστε το

S

6' ι

Ε!

'

~--------

1~,~~~ Ι

I

~~'-

I

I I I

s

Ι

I

I I

'C

ο

.!:

Σχ.

6

Ι

Γ

II

I

i

Μπορούμε να πούμε παρατηρώντας τα δύο τρί­ γωνα ότι η ομοιότητα αφού διατηρεί το σχήμα, θα

διατηρεί και το μέyεθος των γωνιών δηλ. ότι: Όrαν δύο τρίγωνα έχουν ης yωνίες τους ίσες θα είναι όμοια και θα έχουν και τις αντίστοιχες πλευρές Σχ.

4

ανάλογες επειδή το άθροισμα των γωνιών ενός τρι­

_....._.,. Β

γώνου είναι

180°

μπορούμε να nούμε ότι:

Όταν δvο τρίyωνα έχο"ν αντιστοίχως

Α

δvο yωνίες το"ς ίσες είναι όμοια και σαν

όμοια θα έχουν τις άντίστοιχες π~ευρές το aνάί\ογες. Έτσι η ομοιότητα πολύ λίγο μεταβάλλει ης ιδιό­ τητες των γεωμετρικών σχημάτων: μετασχηματίzει

5

την περιφέρεια σε περιφέρεια, το τετράγωνο σε τε­

Η έννοια κίνηση δηλαδή είναι ένας κανόνας

τράγωνο, το ισοσκελές τρίγωνο !.ιε γωνία κορυφής

Σχ.

που μας ορίzει πως θα βρεθεί ένα νέο σημείο Α·

50 ο

το ξαναδίνει τρίγωνο ισοσκελές με yωνία κορυ­

όταν η κίνηση αυτή μεταφέρει οποιοδήποτε σημείο

φής

50°

Α του αρχικού σχήματος.

Ένα χαρακτηριστικό των κινήσεων παράλληλη

μεταφορά και στροφή κατά γωνία είναι ότι διατn­ ροvν τον μορφό, και τις διαστάσεις των σχnμάτων.

ο ~Ξ----;---~-:Ξ~ι 1~-Ξac- -~~- · e ~3

Δηλαδή στα ίσα σχήματα που μπορούμε να

H=3cm

~

R = 3 μεγέθυνση

έχουμε, (είτε κατασκευάzοντάς τα με συγκεκριμένα

ρ

στοιχεία πλευρών και yωνιών είτε μεταφέροντας κά­

Σχ.

7

Σχ.

8

ποιο σχήμα παράλληλα ή στρέφοντάς το κατά μία

γωνία), η απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία Α, Β

που "μεταφέρονται" στα Α· δηί\. ΑΒ

= Α. Β.

σχημ.

,

Β· παραμένει η ίδια

(4).

Υπάρχουν όμως κανόνες που διατηρούν την μορφή ενός σχήματος, αλλά μεταβάλλουν ης δια­ στάσεις του.

Δηλαδή υπάρχουν κανόνες που το νέο σχήμα

α

είναι όμοιο με το αρχικό αλλά όχι ίσο. Δηλαδή οι διαστάσεις του νέου σχήματος είναι ίσες με τις δια­

στάσεις του αρχικού πολλαπλασιασμένες με τον ίδιο αριθμό ί\, που Λέγεται Λόγος ομοιότητας. Όμοια σχήματα μπορούμε να πάρουμε αν π.χ. το­

ποθετήσουμε κάτω από μία λάμπα το σχήμα ενός φι­ yώνου κομμένο από χαρτόνι με το επίπεδο του πα­ ράλλπί\ο στην επιφάνεια του τραπεzιού. Στην περίmω­ ση αυτή η σκιά που ρίχνει το χαρτόνι πάνω στο φαπέ­

zι θα είναι όμοια με το σχήμα του χαρτινιού (οχ. 6).

.':1__ = 0,5 σμίιφυνσn α

Σχ.

9


Μπορούμε ακόμη να πούμε όη σrα όμοια σχή­

Έτσι σrο τέλος του περασμένου αιώνα ο Γερμα-

ματα ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τε­

προσδιορίσουμε το λόγο των εμβαδών δύο ομοίων

νός Μαθημαηκός Φελίξ Κί\άϊν πpότεινε οι διαδικασίες που μετασχηματίzουν ένα σχήμα σ' ένα άλλο όπως είναι η ισότηi:α και η ομοιότητα που είδαμε να

~ ~, ~

τριγώνων π.χ. αρκεί να βρούμε το λόγο ομοιότητας

αποτελέσουν την βάση για την ταξινόμηση όλων των

~

συγκρίνοντας τα μήκη δύο αντίστοιχων πλευρών

ιδιοτήτων που έχουν τα γεωμετρικά σχήματα

S2ο,

τράγωνο του λόγου ομοιότητας. Δηλαδή για να

31

Ξ

δηλ. δύο πλευρών που βρίσκοτναι απέναντι από

8

ίσες γωνίες

.ε;

Ασκήσεις (στην ομοιότητα τριyώνων)

~, C§ <::

Γ 59 Να εξετάσετε α) αν δύο ορθογώνιο τρίγω­ να με μια οξεία γωνία ίση, είναι όμοια ή όχι β) αν

δύο ισοσκελή τρίγωνα με μια γωνία ίση είναι πά­ ντοτε όμοια

(2 περιπτώσεις)

Γ60 Να χωρίσετε την πλευρά ΑΒ. ενός τριγώ­ νου ΑΒΓ σε τρία ίσα μέρη ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ. Μετά να φέρετε από το Δ ευθεία παράλληλη προς την ΒΓ η οποία τέμνει την ΑΓ σrο Ζ. Να βρείτε δε τους λόγους

Άρα η ομοιότητα τριγώνων μας δίνε ηην δυνα­

τότητα να βρίσκουμε σχεηκά εύκολα και σrοιχεία για το εμβαδά. Με βάση τα παραπάνω θα μπορού­

ΑΓ

ΔΖ

Ν..

ΒΓ

--,

Γ 61 Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

σαμε να παρατηρήσουμε όη για τα τρίγωνα (γενικό­

ΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΒ

τερα για τα επίπεδα σχήματα) η ισότητα και η ομοι­

Έπειτα να κατασκευάσετε μια ορθή γωνία Δ και να

ότητα είναι δύο διαδικασίες με την βοήθεια των

ορίσετε σε μια από τις πλευρές της σημείο Ε

οποίων ένα τρίγωνο (γενικότερα ένα επίπεδο σχή­

6 cm.

= 3 cm και ΑΓ = 4 cm. : ΔΕ

=

Στην συνέχεια κατασκευάzουμε γωνία ΔΕΖ

μα) μετασχηματίzεται σ' ένα άλλο σrο οποίο διατη­

ίση με την γωνία Β του αρχικού. Να βpείτε το μήκος

ρούνται όλες ή κάποιες γεωμετρικές ιδιότητες του

της υποτείνουσας εξ αυτού του τριγώνου.

αρχικού.

Συγκεκριμένα με την ισότητα διατηρούνται όλες

Γ 62 Σχηματίzουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

οι ιδιότητες που αναφέρονται και σrις γωνίες και σrα

(Α =

μήκη των πλευρών του τριγώνου.

δείξετε όη τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΒΔ είναι όμοια και να

Ενώ με την ομοιότητα διατηρούνται μόνο οι

90 ο)

και φέρουμε το ύψος του ΑΔ. Να απο­

βρείτε τους ίσους λόγους των πλευρών. Επίσης να

ιδιότητες που αναφέρονται σrις γωνίες π.χ. αν μια

δείξετε ότι και τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ είναι όμοια και

γωνία είναι

να βρείτε τους ίσους λόγους των πλευρών. Χρησι­

30°

σrο αρχικό τότε και σrο άλλο η αντί­

στοιχη γωνία θα έιναι

30 ο.

Για τα μήκη των πλευρών με την ομοιότητα δια­ τηρείται σrαθερός μόνο ο λόγος των αντιστοίχων

πλευρών και όχι το μήκος της κάθε πλευράς.

μοποιώντας ης ιδιότητες των αναλογιών σrους λό­ γους που βρήκατε μπορείτε να αποδείξετε όη ισχύ­

ει "Πυθαγόρειο Θεώρημα" δηλ. ΒΓ2

= ΑΒ2 + ΑΓ

2


38

τ ριyωνομετρικά θέματα Αντώνης Μαρκοτzανέτος

8cm Σ' αυτό το άρθρο θα ασχοληθούμε λύνοντας

ημ2 χ

μερικές αντιπροσωπευτικές ασκήσεις, τριγωνομε­

συifχ συifχ , ε--2χ- 2εφχ y=~------ηy= Ψ ' 4εψχ- 3 4 ημ2χ - 3 συifχ

τρίας που ίσως χρησιμεύσουν και για τις εξετάσεις:

Ασκnσn Αν

συifχ

ln

ισχύουν

α=ρημθημφ,

γ=ρσυνθ να δείξετε ότι: α2

β=ρημθ

συνφ,

+ β2 + γ2 = ρΖ.

ήy= 9-6 ήy=_3ήy=_l. 36-3 33 11

Ξεκινώντας από το πρώτο μέλος και υψώνοντας

mo

τετράγωνο τις εκφράσεις που δόθηκαν έχουμε:

ΑΜ

= α2 + β2 + γ2 = = (ρ ημθ ημφ)2 + (ρημθ συνφ)2 + (ρ συνθ)2

----

Ασκnσn

= ρ2 ημ2 θημ2 φ + ρ2 ημ2 θσυν2 φ + ρ2 συν2 θ

-----

Δίνεται παράmαση

2

ρ2 συν 2 θ 2

2

= ρ (ημ θ+ συif θ)= ρ . 1 =

y = ημ6χ + 3 ημ2χ συν2χ + y δεν εξαρτάται από το χ

όποιες τιμές και να πάρει η γωνία χ.

---~ 1

+

3n

συν2χ. Ν' αποδείξετε ότι η

= ρ2 ημ2 θ (ημ2 φ + συν2 φ) + ρ2 συν2 θ ρ2 ημ2θ

συifχ

' 32 -2·3 3 τοτε y = - - 4·32-3

εφχ =

Απάντηση:

=

2ημχ·συνχ

Αοάvτnσn:

v = &.1

Για να φτάσουμε mη λύση πρέπει να θυμη­ θούμε μερικές ήδη γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες,

-~ 1

πάνω mις οποίες θα mπριχτούμε

α2 +β2 =(α+β)2-2αβ (1) Ασκnσn

2n

α3 + β3 = (α+ β)· (α2 - αβ + 62 ) (2)

Αν yvωρίzουμε ότι εφχ

= 3,

Qo

<

χ

< 90°,

να

υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράmασης:

ημ:;_- 2ημχ · συν χ

Υ=

-=-----=----4ηJ2χ-3συJ2χ

y = =

ημ6χ

3ημ 2 χ συν 2 χ

+

(ημ2χ)3

+

(συν2χ)3

συν6χ 3ημ 2 χ συν2 χ

+

+

α= ημ2χ, β= συν2χ, εφαρμόzουμετην

(2)

----

= (ημ2 χ +

συν2 χ) [(ημ2χf- ημ2 χ συif χ+ (συν2χf] +

1

Απάντηση:

Δίνεται εφχ

+ 3ημ2 χ συν2 χ

= 3 τότε συνχ ~ Ο ή συν2χ ~ Ο. Δι­

1 +

αιρούμε και τους δυο όρους της κλασματικής παρά­ mασης με συν2χ ~ Ο

+

3ημ2χ

συν2χ

ημ2 χ-2ημ2χ· συν χ

α

=

συν χ

=

(ημ2χ

2

y=

[(ημ2χ)2

,

----------η

4ηJ2χ-3συJ2χ συvΖχ

·

ημ2χ, β

+

=

(συν2χ)2

συν2χ,

συν2χ) 2

_ ημ2χ

συν2χ]

εφαρμόzουμε την

- 2ημ 2 χ

συν2 χ

-

3ημ 2 χ συν2χ

== 12 - 3ημ2χ == 1.

συν2χ

+

+

3ημ2χ συν2χ

ημ2χ

(1) ·

συv2χ

+


Άσκnσn

Αοάντnσn:

4n

39

ΑΜ Θέλουμε να μετρήσουμε την απόσταση ΑΒ yια

να κατασκευάσουμε μια γέφυρα που θα μας επιτρέ­ πει να περνάμε πάνω από το ποτάμι στα Α,Β. Στα­ θήκαμε από τη μια όχθη του ποταμού και με κατάλ­ ληλα όργανα μετρήσαμε, ΑΓ

= 70 m. Επίσης τρήσαμε δυο γωνίες, ΒΑΓ = 120°, AfB = 15°.

= (1 - ημφ συνφ)(ημφ + συνφ) = = (ημ2φ + συν2φ- ημφ συνφ)(ημφ + συνφ)= = ημ3φ + συν2 φημφ - ημ2 φσυνφ + ημ2φσυνφ + συν3φ- ημφσυν2φ = = ημ 3 φ + συν3 φ = ΒΜ.

με­

ότι ισχύουν οι σχέσεις

:

i. ημ(Α+Β) = ημΓ ii. iii. εφ{Α+Β) = - εφΓ.

συν(Β+Γ)

= -

(i)

(εφχ + αρχ). (-1__ συνχ).

συνΑ

(_1_- ημχ)

συνχ

Αοάντnσn:

συν4χ

Ημηόνων αν δούμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ αποτελούν τρί­ γωνο ΑΒΓ με γνωστές δύο γωνίες και μια πλευρά.

15°

Γ

ημ45°

= 0,1, 0° 180°

0,707

0,707

<χ<

90°,

εφy

=- 0,2,

90° <ψ< 1. Να βρεθούν τα: ημχ, συνχ, ημy, συvy. 2. Να υπολογιστεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: y = ημ 2 yσυνχ- ημ 2 χ συvy. Γ68 Αν ημφ

= 0,258, ημ45° = 0,707.

ΑΒ = __1Q__ ή ΑΒ = 70 . 0,258 ή J ΑΒ = 25,5 m ι 0,258

66 Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της y = 4 · ημ2χ - 1.

Γ 67 Αν εφχ

Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε

ότι: ημ15°

συν2χ

~

ημΑΒΓ

_AEL = ___lQ_ ημ

1

παράστασης

-ΑΒ ΑΓ - - = ---------,ημ 15° ημ(180° -120° -15°)

ή

=

ημχ

(ii) _1_- _1_ = εφ4χ + εqfx

Στον υπολογισμό της ΑΒ θα βοηθήσει ο Νόμος των

η

1)

το συνφ

2)

κ2 -λ2

= - - - , 00 < κ2 + λ2

φ

< 900. Να βρεθούν

Η εφφ, σαν συνάρτηση των κ,λ.

Γ 69 Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α= εφ45° · ημ135° · συν45° + ημ45°·ημ120° ·συν135° ·ημ15Qο.

ί\σκnσn 5ο

Γ70 Αν Α,Β,Γ γωνίες τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει η σχέση ημ2Α = ημ2Β + ημ2Γ, με τη βοήθεια του νό­

Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της πα­

ράστασης

y = 2συν2 χ + 1.

μου των ημιτόνων να δείξετε Α = 90°.

r 71 Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνων ΑΒΓ και α,β,y ΟΙ αντίστοιχες πλευρές του και ισχύει η σχέση β

Αοάντnσn:

Είναι γνωστό ότι -1 ::5 συνχ ::5 1 ή Ο ::5 συν2χ ::5 1 ή 2 · Ο ::ο; 2 συν2χ ::5 2 · 1 ή Ο ::5 2συν2 χ ::5 2 ή Ο + 1 ::5 2συν2χ + 1 ::5 2 + 1 ή 1 ::5 y ::5 3. Τότε μέ­ γιστο y = 3, ελάχιστο y = 1.

ί\σκnσn

ημφσυνφ)·(ημφ

Γ 72 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με α,β,y οι αντίστοι­ χες πλευρές του να δείξετε ότι:

1) βσυνΓ + yσυνΒ =α 2) αβσυνΓ- αyσυνΒ = β2- y2 Γ 73 Αν α,β,y πλευρές τριγώνου με

Υ= -) α2 + β2 + αβ +

συνφ) = ημ3φ

+

συν3φ.

=

2yσυνΑ, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

6n

Να αποδείξετε όπ:

(1 -

~,

a

Γ65 Να δείξετε ότι

ημ15°

Q

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΓ -

~

.g)'

Γ

-

~

0

Γ64 Αν Α,Β,Γ γωνίες τριγώνου ΑΒΓ να δείξετε

Δηmδή: ΑΒ_ =

~

1) 2)

Ποιά είναι η μεγαλύτερη γωνία του; Να υπολογιστεί η μεγαλύτερη γωνία του.


lo Γυμνάσιο Κοροοαλλοc

Ματθαίου Ειιάvyελος Α 28, 33, 35, 38, 39, 40 Μαυρίκος Εμμανουήλ Α

Αλαιzάς Γεώρyιος Α Ασπρά Γεωρyία Α

31, 33, 35, 36,37

33, 35, 38, 42

Βάλμπς ΔιοWσιος Α

30, 33, 35

Βασιλειάδου Χριισοuλα Α

33, 35, 39

Γαzyαλιί Ειιαννελία Α 4, 6,

11, 12, 13, 17, 19, 20, 21,

22,23 Γεροyιάννn Ελένο Α

36, 37, 38, 39, 42

Μπουρλιάσκου Σταυροcλα Α 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43 Νικολαρέλης Δημήτριος Α

33, 35

Ξανθοποcλου Μαyδαληνή Α

Παzαρλόyλου Ελισάβετ Β

Παλλιικαράς Ιωάννnς Α

37, 38, 41

36, 39, 40

Γιαννοcλn Ανεzηνιώ Α

Δελnμπορίδου Δέσποινα Α

27, 28, 31, 32, 33, 35, 36,

27, 28, 29, 30, 31, 32, 33,

36, 37, 38, 39, 40

Παναyιωταρά Πηνελόπη Α

Πασάλιι Ροzαλία Α

Πλιατσικίδου Αναστασία Α

33, 34, 35, 36, 37

Σαμιώτης Χαράλαμπος Α

Δόσχορης Ιωάννnς Α

27, 36

Σερελέα θεοδώρα Α

31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 39,41

Ζήση Δέσποινα Α 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 38,39, 40, 41, 42, 43

Σκορδιάλn Μαρία Α

27

θεοδωρακίδου Λαμπρινή Α

39, 40, 41

Ιωσοφίδης Παναyιώτης Α

Καλαποθάκος Ιωάννnς Α

33, 35, 36, 38, 39,41

33, 35, 36, 38,42

28, 33, 39

33, 35, 36, 39

Κανrzός Αναστάσιος Α

38, 39

35, 38, 39

Καραyιάννnς Γεώρyιος Α

40

27, 28, 31, 32, 33, 36

Κατσαρός Δημήτριος Α

Σοcρλας Αναστάσιος Α

Σπηλάνη Μαρία Α

28, 32, 33, 35, 37, 38,

31, 32, 35, 36, 37, 38, 39,

40, 41, 42

Κανδcλης Θεμιστοκλής Α

Καταyά Μαρία Α

35, 38, 39

41

37, 38, 39, 42

Σιyάλας Νικόλαος Α

35

28, 33, 35, 37, 38, 39, 40, 41,

42,43

Στίyκας Ηλίας Α

30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42

Συριώδη Μαρία Α

35, 37, 38, 39, 40, 41

Τραyάκη Μαρία Α

35

Τραyάκης Δημήτριος Α

35

Τριανταφuλλου Σταυροuλα Α

33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,

27, 29, 30, 31, 32, 33,

35,36,37,38,39, 40 Τσεκερδέκης Κων/νος Α

38

Χαρcπzόπουλος Γεώρyιος Α

27

Χατzηyεωρyίου Μυρσίνη Α

Κατσοcρης Ιωάννnς Α

37

33, 35, 36, 37, 38, 39, 42

Δημουλά Βασιλική Α

Εvyενίδης Παναyιώτης Α

35, 38,41

27

Ροιισσάκης Αyyελιίς Α

37,38,39,40

Κανατά Φιλιώ Α

39

Παπαηλιοποcλου Βασιλική Α

28, 33, 34, 35, 36, 37 Γκέι:ης

Αλέξης Α35

Κανάκης Αρyι)ρης Α

29, 33, 35, 38, 39, 42, 43

34,35,36

Γιαννακάκου Κων/να Α

Γιαννίκου Ελένο Α

Μnέλλης Πέτρος Α

33, 35

27, 31, 33, 35, 36,

37, 38, 39

42,43

Χατzηyιατρουδάκης Ιωάννnς Α

Κατωνίδου Ελισάβετ Α 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 35,

34,35,37,38,39,41,42,43

36 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43

Χατzηλάρη Παρασκευή Α

Κουτσοδόντης Χρήστος Α Κρέστας Φώτης Α

28, 31, 33, 35, 37

Λιάκος Δημήτριος Α

27, 28, 30, 31, 33

Μαρκαντώνη Φανή Α

27, 28, 30

ΜαροVσης Νικόλαος Α

40,41,42,43

38, 39

28, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,

27, 28, 30, 31, 33,

30, 31,32

Αναyνώστου Έλσα 6ο Γuμν. Λαμίας Β

1, 2, 3, 4, 5

Αναyνώστου Γιώρyος 3ο Δημοr. Λαμίας Α

11, 12, 13,

14, 15, 16, 17, 18,19,21,23 Βασίλοyλου Δημήτρης Γuμν. Μόριας Μuηλήνη Α

37,38,39,44,45,46,47,48,49, Β 45, 46, 50, 51, 52, 53, 54, 55, Γ 71, ΜΔ 26, 28, 29

36,


Βοντzο\!λιας Θεόδωρος Πύργοι Θερμή Μιπιλήνης Γ

Λ"κο.,ρέzος θάνος 2ο Γυμν. Ναυπλίου

1,4,5,6, 7,8, 15, 16, 17, 18,20,23,25,26,27,28,29, 30, 31, 32, 33, Λ 2,

14, 15, 16, 17, 18

Γιάνναρο Βίκ" Ηράκλεια Σερρών Γ

1, 4, 5, 6, 7, 25, 26,

28,30,33

Μαρκάκο Ηρώ 1ο Γυμν. ΒούλαςΑ33,

34,35, Β29, 30, 31, 32, 34, 36, 39, 40, 41, Γ 46, ΜΔ 17, 18. Μnτσικάρο Λία Ηράκλεια Σερρών Π,

Γερολιμίνης Νικόλαος 1ο Γυμν. Μεσολοyyίου Γ25,

26,27,28,29,32,33,34,40,44,3,9,46,49,51,52,56, 57.ΜΔ. 7,14 Α11,

Μα.,ρέλιι Ελβίρα Γυμν.

Γκαντάκας Κώστας 13ο Λάρισας Γ

Δασκαλής Νίκος

2

1

Δεμερuιίς Θωμάς Ηράκλεια Σερρών Γ

7

1, 4, 5, 6, 7, 8

Θεοδώρο" Παναyιώτnς 3ο Γυμν. Νίκαιας Α 4, 11, 13, Β 2, 1 Λ3, Γ 15

14, 16, 17, 18, ΜΔ

7, vr·

Παρασκευής Β

1, 2, 4, 5

(i, iii)

Παναyιωτόπο"λος Γεώρyιος 2ο Γυμν. Αγρινίου Α 18Β1,2, Γ1, 9,25,28,27,32

Θεοδωρόοαιιλος Μιχόλιις 5ο Γυμν. Αχαρνών Γ 25,

26,

Πο"λόπο.,λος Δομότρος 8ο Δημοτικό Κορυδαλλού Π, 2, 3, 4, 4', 5, 6, 7, 8

13, 14, 15, 16, 17, Ε ΜΔ 3, 4, 7, 8,

Β1,

11,

13,19,20,21

12,

2

Παπαδοπο\!λο" Χρ"σο\!λα Γυμν. Λποχώριου Α

Καδιανάκο Ειρήνη Πειραματικό Γυμν. Αναβρύπω Α

19,

20,21,22, 11, 15, 16,

Παντελέλλιις Παντελιίς 3ο Γυμν. Μιπιi\ήνης Α11,

27,28,29,30,31

33,

34,35,36,37,38,39,40,41,42,43 Ράπτη Μαρία-Μενέλας Παναyιωτάκος Βαννέλnς

Κο\38αρος Μιχάλης 3ο Γυμν. Μιπιλήνης Α

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20,21,22,23,24,25,27,28,29,30, 31,32,33,34,35 Κατσο.,λάκος Δομήτρος Γυμν. Λίμνης Β 52, Α 49, 48, 45 Κοκόzο ί\ννα Ηράκλεια Σερρών Α

46, 47, 50,

11, 12, 13, 14, 15,

9,22, 19,20,32, 10, 15, 16, 17,18 Η Ράπτο Μ. μόνο Β 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21,27,29,30,31,32,33,34,35.

11, 15,

16, 17,. 18, 19 Σώκος Αλέξανδρος Αμερικ. Κολέγιο Θεσ/νίκης Β5,

Κο\!ρι:οyλο" Στέλλα Λιθότοπος Σερρών Γ Καράλιι Αθηνά Αρσάκειο Ν. Ψυχικού ν

1, 4, 5, 6, 7, 8

Κρέσσο" Παναyιώτο" 15ο Λάρισας Α

9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 24,25,26,27, 2~29,30,31,32,33,3~ Γ1,2,3,~~.5, ~ ~ ~ ~

35, 36, 37, 39,

10, 11, 12, 13, 14, 15, 15', 16, 17, 18, 19, 25,26, 27, 28,29,30,31

1, 12, 13, 14,

Σχοινά Κατερίνα 6ο Γυμν. Λαμίας Α

40, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18

15, 16, 17, 18, 19,20,21,22,23 Kαραywάvvns Εuθvμιοs

Χο.,ρδάκιις Γυμν. Αμκαi\οχωρίου Ηρακλείου Κρήτης Γ

Ρο"σόπο"λος Γιώρyος 2ο Γυμν. Κηφισιάς Α

16, 17, 18, 19,20,21,22,23

lSo Λάρισας Α 11, 12, 13, 16,

ΣιοVι:α Χριστίνα 2ο Γυμν. Τριανδρίας Θεσ/νίκξης Α

44,

45,46,47,48,49

17, 18 Αθανάσος Παναyιώτος 4ο Γυμν. Μιπιi\ήνης Α4,

12, 13, 14, 15, 17, 18, 4, 7

11,

19,20,21,22,23,Β1,2,ΜΔ1,3,

σκευής Γ

4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 11,

12, 13, 14

5.

Ανδρο\!τσος Κων/νος 7ο Γυμν. Αγρινίου Α16,

17, 18.

Αμελακιώτος Νικόλαος Γυμν. Αγ. Παρασκευή Λέσβου

14, 15, 16, 17, 18,

Σο\!λο Αικατερίνη Εί\i\ηνοyαλική Σχολή Αγίας Παρα­

Σταματάκος Γιώρyος Γυμν. Γυμνού Ευβοίας ΜΔ

Αντωνίο" Χριστίνα 13ο Γυμν. Λάρισας Π,

Α11, 12, 13, ΜΔ1,3,4,6

Ay.

Μαντάς Αλέξανδρος 4ο Δάφνης Π

Γυμν. Νέας Σμύρνης ΜΔ

35, 40

Μαλακαzίδο" Εvτέρπο Γυμν. Βαθυλάκκου Κοzάνης Β

1,2,3,4,5

19,20,21,22.ΜΔ.6

2, 4, 5, 6, 7, 8

Μπο\!ρο Αννελικό 1ο Γυμν. Πύργου Ηλείας Α3,

Γιαννακίδnς Δημήτριος Γυμν. Τριανταφυλλιάς Σερρών

12, 13, 15, 16,17,18,

All, 12, 13,

19,20,21,22,23,Β1,2,

Τσάτσαρος Χαράλαμπος 13ο Γυμν. Πατρών Γ

15, 16,

17, 18,19,20,21 Τολίδnς Νίκος Γυμν. Καλαμαριάς Θεσ/νίκης Α

10, 11,

12, 13, 15, 16, 17

Δόμος Γιώρyος Γυμν. Αγίας Παρασκευής Λέσβου Α4,

Φασο\!λας Αθανάσιος Πειραματικό Γυμν. Κοzάνης Α

5,6,8, 10, 11, 13, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20,21,22, 23,ΜΔ6, 7,8, 10

33,34,35,36,37

Θεοδωρόοο"λος Μιχάλης 5ο Γυμν. Αχαρνών Α11,

13, 14, 15, 16, 17, 18,19,20

12, 13, 14, 15, 16, 19,20,21,Β4,3,Γ4,5,6,3,Γ7, 15, 16, 17, 18, 19, ΜΔ 6, 7 Χαιzόyλο" Μ"ρσίνη Γυμν.

Ay. Παρασκευής Λέσβου Α9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19,20,21

Χο.,ρδάκιις Νίκος - Μο"ρι:zάκιις Γιάννος Γυμνάσιο Αρκαi\οχωρίου Π, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 29,

30, 31, 32, 33, 34.

Χατzοσα88ίδο" Ειρήνη Λιθότοπος Σερρών Α

11, 12,

Χατznyιαννίδnς Βαyyέλnς Λιθότοπος Σερρών Γ

4, 5, 6, 7, 8 Χριστόφας Παναyιώτnς 3ο Γυμν. Μυπλήνnς Β

1, 2, 3, 4, 5

'"-


~

'~

] ~

::ι.

'c:l

;s

15 ~

φ

~

16

oc.

ΜΔ

~

Στον παρακάτω πίνακα, zητείται να συμπληρώ-

Έτσι θα έχετε πάρει ένα σχήμα.

Μπορεfτε να

σετε rις σrήλες που εfναι κενές. Έτσι θα έχεrε βρεί

ro

χρωματίσετε ή αν θέλετε να

βρείτε το εμβαδόν του.

rις συvrεrαγμένες όλων των σημεfων Α, Β, Γ, Δ, Ε,

Μπορείτε ακόμα αν θέλετε να δημιουργήσετε

Ζ, Η, Κ, Λ, Μ και Ν. Στη συνέχεια βρεfτε τα σημεfα

και ένα δικό σας και να μας το σrείΛεrε. Εμείς θα

αυτό σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, (τε­

δημοσιεύσουμε.

ro

rραγωνωμένο χαρτn και ενώστε τα σημεία με τον εξής rρόπο:

Α-Β-Γ-Δ-Ε-z-Η-Θ-1-Α και

z-κ-Λ-Μ-Ν

,.

-

Γ----τ~;~~i~

ι

_

1

is Ι

I

·-~nμει~~

χ+2

---~Α;.~ντn-~~-Γ Τετ-α-yμέ~-n-~· I ,. _____J _________~ __ σn._μ_ε_ι_ο_"~

= 5

ήχ

= ;

21 : _7.,-=___:_;-----r-----i-------~

i

i

1

(8+3)·2=;

iΑnάντnσn :Συντεταyμένn Ι Σημείου

I

·

~------~~-- ----~----------·--L-

(1-2_)·9-;

---'~~-----~------τ--------

r 52 + 4 i (12 - 9) · (6 - 4) = ; Ι-Δ- ----εμβaδό~ !εiραγeδ~ου---t-Περίμετι:;σς-·-t--·_:_ο_ρ~θ-._π__._aρ-αλλ~-η-=-λ-.~----'-----τ--~~~r---~--i i. 2 I 1

1

1

1

I

I

ι----

- - - - - · ·-- .. ·-

4 · 5,5 + :

----------

= 45

ιz-1300cm= ... m

~ ~:~:=: ΙΘ

: i

Αυτός ο ακέραιος διαιρεί όσους τελειώνουν

i i ~-----=-=τ- χ2 -=-2=s=-,--c(x->---:O=-,-x-=_____,;)---------τ-----------1 !

1

I1

i

. -·------------------r----c---

I •

σε

ο η'5 .

.-- ι __ -----k2----;-;-)_·_4_-_8_,8---~---~---------1

8·(3-3)=;

!

(~-1~)·~·~·8=;

Ι

----------.. -----~------------r --------~---~---------1 4 +; Ο ! Ο αριθμός των πλευρών

=

f-------=-----:------:::-::------~,-~--------1 εξαyω_'ν_ο_υ_ _ _ _ _ _~-~----'---------1

I I

κ

τ 0 μισό του

Λ

Η μέση rιμ. των aριθμ.

Μ

χ3 = 1000

I Ι IΝ 1

26

10 και 16

χ =;

Τόσες παλάμες έχει το μέτρο

I

----1-

32 + 1

=;

= 21, Ο, χ = ;

I χ2- 100

~ν χ > f

i

[

Ο μικρότερος

διψήφιος περιπός

1 Διαιρεί μόνο Ι όσους τελειώνοuν σε ο

' - - - - - - -- - - - - · - - - - - · - - - - - - __ _ι_ _ _ _ _

-------~----------_j


ΜΔ

43

17

Παρακάτω φαίνεται πως οι φυσικοί αριθμοί

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, zοvται σε 5 ομάδες και οι αριθμοί σε

και

15

1,

χωρί­

κάθε ομάδα

έχουν την ίδια διαφορά με τη σειρά ανά δύο.

11\

12 1

13/

_ι_--- _ι,

Δηλαδή

ΜΔ

8-1 = 15-8 = 7,14-9 = 9-4 = 5,10-6 = 6 - 2 = 4, 7 - 5 = 5 - 3 = 2, και 13 - 12 = 12-11 = 1

Ο αριθμός

7, 5, 4, 2

και

1;

μούς

Κρατείστε

την πρώτη ομάδα του παραδείγματος και βρείτε ης άλλες ομάδες. ΜΔ

18

τ ο παρακάτω σχήμα zητείται να χωριστεί σε

κομμάτια ώστε καθ' ένα να περιέχει

142857 με τους αριθ1, 2, 3, 4, 5, 6 έχουμε τα εξής αποτελέσματα 142857 χ 1 = 142857 142857 χ 2 = 285714 142857 χ 3 = 428571 142857 χ 4 = 571428 142857 χ 5 = 714285 142857 χ 6 = 857142

4

κύκλους και

2

14285 7

ΠοίVzοvτας τον αριθμό

Μπορείτε να χωρίσετε τους ίδιους αριθμούς σε νέες ομάδες με διαφορές

21

Αν τώρα ο ίδιος αριθμός πολ!στεί με τους αριθμούς

8, 9, 10, κλπ θα έχουμε 142857 χ 8 = 1.142856 (142857- 1) 142857 χ 9 = 1.285713 (285714- 1) 142857 χ 10 = 1.428570 (428571 - 1) 142857 χ 11 = 142857 χ 12 = 1) Μπορείτε με βάση τα παραπάνω να συμπλη­

ένα τετράγωνο.

• •

ρώσετε ης δύο τελευταίες ισότητες;

2)

Μπορείτε να εξηγήσετε την ιδιότητα που εμ­

φανίzεται πιο πάνω, να έχει ο αριθμός

142857;

ΜΔ22

ΜΔ

Τα

19

Μπορείτε με

7

σπιρτόξυλα να κατασκευάσετε

9

ισόπλευρα τρίγωνα όπως το παρακάτω;

κέρματα έχουν τοποθετηθεί έτσι ώστε να

σχηματίzοuν

3

σειρές, με

4

κέρματα στην κάθε σει­

ρά. Μετακινώντας μόνο δυο κέρματα σχηματίστε

σειρές με

4

κέρματα στην κάθε σειρά.

ο

ο

()ο

ΜΔ20 Το παρακάτω μπουκάλι έχει μέσα κρασί μέχρι το σημείο που φαίνεται.

Μπορείτε να μετρήσετε τον όγκο του κρασιού που υπολείπεται με μόνη βοήθεια ένα μέτρο;

•-·-·---·--·-

··-·-· •

5


Α.

Το ορόβλnμα με τοιις πειρατές: μερικά σχόλια και μια δικαιολόynσn τος λv­ σnς οοιι βρόκατε.

δημοσιεύτηκε στο περιοδικό μας, παρατηρούμε όη

av δεv υπήρχε n παραΛiα,

μα

ο περΙΟρισμός που Βάzει στο πρόΒΛn­

τότε το πιο "ωκοvομικό" απ' ό?ια τα

σχήματα (δηλ εκείνο που, με δοσμένη την περίμε­

Σrο τεύχος Απριλίου

Μα'ϊου

Ιουνίου

1994

τρο, θα είχε το μεγαλύτερο εμβαδό) θα ήταν ο κύ­

δημοσιεύσαμε την εκφώνηση και μερικές δικές σας

κΛος, και μετά θα έρχονταν τα κανονικά πολύγωνα

-

-

λύσεις του προβλήμαrος, που αντιμετώπισε ο πειρα­

(που όσο πιο πολλές πλευρές θα είχαν, τόσο πιο με­

τής Μισσόν και οι άντρες rου όταν η βασίλισσα της

γάλο θα ήταν και το εμβαδό τους). Τώρα όμως, που

Νήσου Τzοάννα rους επέτρεψε να μείνουν σε μιάν

το σχήμα πρέπει από το ένα μέρος του να φράσσεται

έκταση της παραλίας που θα εκπληρούσε ορισμέ­

από την παραλία, η γίνεται; Εδώ θα χρειαστούμε μια

νους όρους. Με λίγα λόγια, οι όροι αυτοί ήταν οι

απλή βοηθηηκή ιδέα, που είναι η συμμεrρiα (Σχ.

1).

εξής: Η έκταση θα περιοριzόταν, από το ένα μέρος, από την ευθύγραμμη ακτή, και από το άλλο, το μή­ κος του συνόρου της με το υπόλοιπο νησί θα ήταν

200

μέτρα. Οι λύσεις που μας έστειλαν τα παιδιά (δύο από

ης οποίες δημοσιεύτηκαν στη ΣΤΗΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗ ΤΗ εκείνου rου τεύχους) διακρίνονται από μια κοι­

νή στρατηγική: Τα παιδιά κάνουν διάφορες υποθέ­ σεις για

ro

σχήμα της έκτασης που κατέλαβαν οι πει­

ρατές (π.χ. αν

ro

σχήμα αυτό είναι τετράγωνο, ορ­

θογώνιο, κύκλος ή ημικύκλιο) και στη συνέχεια, με

Σχ.

1

την υπόθεση όη το μήκος της περιμέτρου που δεν περιλαμβάνει την παραλία είναι

200 m,

υπολογί­

Στο Σχ.

1

βλέπουμε μια τυχαία μορφή που μπο­

zουν το εμβαδό του σχήματος. Συγκρίνοντας μετά

ρεί να έχει η έκταση που καταλαμβάνουν οι πειρα­

αριθμηπκά τα εμβαδά που βρίσκουν, αποφασίzουν

τές, και μαzί (με διακεκομμένη γραμμή) το συμμε­

όη το συμφερότερο σχήμα για τους πειρατές είναι το

τρικό αυτής της μορφής με άξονα την ευθεία γραμ­

ημικύκλιο, γιατί αυτό έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. Η

μή της παραλίας. Χάρη στη συμμετρία το εμβαδό

στρατηγική αυτή οδηγεί πραγμαηκά στη λύση, αλλά

του σχήματος "πάνω" από τη γραμμή της παραΛίας

δεν δικαιολογεί γιατf το ημικύκλιο έχει το με��αλύτε­

είναι ίσμο με το εμβαδό "κάτω" απ' αυτή τη γραμ­

ρο εμβαδό απ' όλα τα δυνατά σχήματα. Σκοπός

μή. Επομένως, αν θέλουμε το εμβαδό "πάνω" από

όμως του περιοδικού μας είναι να σας δίνει μια

τη γραμμή της παραλίας να είναι όσο μεγα?ιύτερο

απόδειξη, ή έστω μια δικαιολόγηση για κάθε γνώση

γfvεται, τότε και το εμβαδό ολόκληρου του σχήμα­

που εμφανίzεται στις σελίδες του, ώστε να μη φαί­

τος που αποτελείται από το "πάνω" και το "κάτω"

νεται πως αυτή η γνώση "πέφτει από τον ουρανό".

μέρος μαzί (δηλ. του σχήματος που περικλείεται από

Γιαυτό, αφού πρώτα περιμέναμε να πάρουμε όσο το

μια κλειστή καμπύλη γραμμή στο Σχ.

1)

θα είναι κι

δυνατόν περισσότερες απαντήσεις σας, θα πρέπει

αυτό όσο μεγα?ιύτερο γivεται. Αυτό όμως σημαίνει,

τώρα να δώσουμε και από την πλευρά μας μια κά­

σύμφωνα με την πρώτη παρατήρηση που έκανε ο

ποια δικαιολόγηση της λύσης που βρέθηκε.

Ρωμανός-Διογένης, όη το τελευταίο σχήμα θα είναι

Πρώτα-πρώτα, όπως πολύ σωστά γράφει ο Ρω­ μαvός-Διογέvnς MalJJωώσnς στην πρώτη λύση που

κύκ?ιος, άρα το zητούμενο σχήμα θα εivaι nμικύκλιο με διάμετρό του ένα μέρος της παραλίας.


Αντίθετα, αν υποθέταμε ότι το zητούμενο σχήμα ήταν έvας κύκΛος που εφάmεται

arnv παρα?ιία, τό­

του α, β θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα 2α

+

= 28 50

(1)

τε θα είχαμε πολύ μικρότερο εμβαδά απ' όσο κατα­

α· β=

λαμβάνει το παραπάνω ημικύκλιο όπως φαίνεται

Έχουμε από την

καθαρά στο Σχ.

2

(2)

(2):

(όπου διακρίνονται και τα συμμε­

α=50

τρικά των σχημάτων ως προς την ακτή). Από τους αναγνώστες που μας έστειλαν λύσεις, η Ηρώ Μαρ­

κάκn, μαθήτρια Α' τάξης από το 1ο Γυμνάσιο Βού­

β

Αντικαθιστούμε στην

(1)

και παίρνουμε:

λας, υπολόγισε και το εμβαδά του κύκλου που εφά­ πτεται στην παραλία, που είναι περίπου

3215 m2

2α + 2β = 28~250 + 2β = 28~

(ενώ το εμβαδόν του ημικυκλίου είναι περίπου

6370 m2). Στην πραγματικότητα το ημικύκλιο που αποτελεί την οικονομικότερη λύση έχει ακτίνα δι­

πλάσια από την ακτίνα του παραπάνω κύκλου, γιατί όπως έγραψε η Ηρώ, είναι (δες το Σχ.

2πr

= 200 =

2):

β

~ 100 + 2β = 28 ~ 100 + 2β 1

β

= 28 β

β

100 + 2β2 = 28 β~ 100 + 2β2 - 28β

~

β

= ο~

2

2β - 28β + 100 = Ο. Έχουμε rοιπόv:

πR

β= -(-28) ± ,Jt-282)-4. 2 ·100

άρα

2r

1

β

2

= R.

2·2

28 ± ν' 784- 800

4

28 ± Γ-16 4

Επειδή ο ν'- 16 δεν είναι πραγμαηκός αριθμός αλλά φανταστικός, η πλευρά β του ορθογωνίου εί­

ναι φανταστική, και συνεπώς δεν υπάρχει ορθογώ­ νιο με πλευρές α, β, στο οποίο να ισχύει

+

= 28

α·β=50

Σχ.

2

Β. Μια αnάντnσn στο nρόβλnμα "Το φα­ νταστικό ορθογώνιο" (τε.Sχος lovλ.

Avy. -

Σεnτ.

-

1994)

ΓΙώργος ΠαvαγΙωτόποv.ί'ιος, 2ο Γvμvάσ10 Aγρ1vfov: Το φανταστικό ορθογώνιο: Σύμφωνα με το πρόβλημα αν α, β οι πλευρές του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου, τότε η περί­

2a + 2β = 28 dm και to εμβαδόν = 50 dm2. Άρα για να βρούμε ης πλευρές

μετρος θα είναι

του α· β

α

50dm 2

6


Αλλnλοyραφία Εnιμέλεια: Κ. Γαβρίλnς

Αγαπητοί φίλοι,

έχει

3 μπανάνες όσες και ένα τσαμπί Β συν το 1/3 του τε­ ro Β τσαμπί έχει 3 μπανάνες λιγότερες από

λευταίου. Αν Και αυτή τη φορά η στήλη έχει να δημοσιεύσει δικά

το πρώτο, πόσες μπανάνες έχει το Α; Επίσης μας ρωτά αν

σας γράμματα με προτάσεις παρατηρήσεις, κρίσεις για το

κυκλοφορεί Ευκλείδης για το Λύκειο. Και βέβαια. Είναι ο

περιοδικό αλλά και όμορφα λόγια που μας γεμίzουν χα­

ρά. Τα γράμματά σας μας φανερώνουν όrι το περιοδικό πετυχαίνει τον σκοπό του που δεν είνaι άλλος από το να σας φέρει πιο κονrά στα μαθημαrικά. Να σας βοηθήσει

Ευκλείδης Β. -Ο Δnμήτρnς Βασίλοyλοu από το Γυμνάσιο Μό­ ριας Μυrιλήνης προτείνει το εξής πρόβλημα

να γνωρίσεrε αυτόν τον υπέροχο κόσμο τους.

Αλ

Όμως τούτη τη φορά, πριν δημοσιεύσουμε γράμμα­

2)

Ένας ράmης έχει

ω σας που λάβαμε τελευταία, η στήλη έχει να κάνει την

τό κάθε μέρα κόβει

εξής παρατήρηση.

όλο το ύφασμα;

Πολλές φορές έχεrε στείλει γράμμαrα με τα οποία κά­ νετε προτάσεις για το περιοδικό, για την ύλη rου, για την

12

μέτρα ύφασμα. Από αυ­

μέτρα. Σε πόσες μέρες θα κόψει

2

Ο Γιώρyος Παvαyιωτόποuλος από

-

2ο Γυ­

ro

μνάσιο Αγρινίου προτείνει

αργοπορία του. Όμως εκτός από αυτά για τα οποία προ­ σπαθούμε όσο μπορούμε να τα υλοποιήσουμε, υπάρχει

και κάrι άλλο. Θα ξέρεrε ασφαλώς όrι το περιοδικό το δια­ βάzουν, εκτός από τους μαθητές και όλοι 01 καθηγητές

Αλ

3)

Ύ (χ+ 1) (ψ- 1) -Ψ + χ+ 1

των μαθημαrικών της χώρας μας. Έτσι, η γνώμη σας, οι

ιδέες σας, 01 προτάσεις σας, διαβάzονrαι απ' όλους. Κυ­ ρίως η γνώμη σας για τα μαθημαrικά, για τα σχολικά βι­

βλία, για τον rρόπο που παρουσιάzονraι στην τάξη, για την

Αν χ, ψ είναι αριθμοί ετερόσημοι να δείξεrε

όη η παράσταση

δεν παριστάνει πραγμαrικά αριθμό.

φοβία που νιώθουμε πολλές φορές μπροστά στα μαθημα­

Αλ

rικά, και για άλλα τέτοια zητήματα ενδιαφέρουν τους κα­

4) Ν' απλοποιηθεί η παράσταση

θηγητές των μαθημαrικών.

>f-xv-a

Θα ήταν χρήσιμο λοιπόν να έρχονrαι οι γνώμες σας

:>f-1

γι' αυτά τα zητήματα στο περιοδικό και να δημοσιεύονται. Αυrή η παρατήρηση της στήλης είναι μαzί και πρόrαση

Τι \"V(i)μπ ι:·χεν:: για

to.

5ο Γυμνά­

Τι \·'\.'Cδ}..:Jl εi:χεrε νια HJ σχολίr~c:.i βιβ/~iα U))V μαθημαυ--

καθηγητή rου κ. Χρήστο Μπόλη, που rου πρότειναι να

ΕύJ\-'.

γραφτεί συνδρομητής

mo

περιοδικό, προτείνει:

με τον τρ6πn που ω μαθημοηι<(j παpουσκiχο·,..:ιαι (}ίr"l\i

ro

σιο Αχαρνών, που μέσα από το γράμμα του συγχαίρει τον

(JXOf:.":-:io·

Ο θεοδωρόποuλος Μιχάλης από

μαΟnμαπκά που t-\άι.rε:τε στο

'y'!κψχι::J ο φι:iβα~ μιψοοιu οω μοθημarιι<ά: Πω6<; το Η σrήλη προτείνει αυτά τα ερωτήματα να τα θέσετε

στον εαυτόν σας, σrους φίλους σας στην τάξη σας. Και πε­ ριμένει με ανυπομονησία την γνώμη σας.

Και τώρα από

ra

γράμματά σας.

-Ο Παναyιώτnς θεοδώροu από

ro

3ο Γυμνάσιο

Αλ

5)

Να βρεθεί ένας διψήφιος αριθμός που

ro τρι­

πλάσιο του μισού της διαφοράς των ψηφίων rου είναι ίσο με

ro

πρώrο ψηφίο.

Ο Νίκος Γερολιμίνης από το 1ο Γυμν. Μεσολογγίου προτείνει

Αλ

6) Οι αριθμοί χ, ψ mην παρακάτω εξίσωση είναι

Νίκαιας, μας γράφει:

ακέραιοι. Πόσα zευγάρια χ, ψ την επαληθεύουν

«Θα ήrαν καλύτερα να μην γενικεύεις την θεωρία αλ­ λά να rnν εκφράzεις αναλυηκότερα. Κaι να γιατί. Πάω γ·

95, 176,

ή

1, 178,

211;

Η εξίσωση είναι: χ2

+

IΨI =

1995

γυμνασίου και δεν έχουμε κάνει rαυτότητες. Στο κεφά­

Κί\είνονrας, η mήλη ευχαριστεί όλους rους φίλους

λαιο της παραγονrοποίησης ης αναφέρεις. Και έτσι απ' τη

που αλληλογραφούν με το περιοδικό. Επίσης θέλει να

θεωρία που κανονικά έπρεπε να διαβάσω κατάλαβα τα μι­ σά. Θα σε συμβούλευα λοιπόν να κάνεις κανένα επανα­ ληmικό κεφάλαιο με τα ουσιώδη ... »

-

Ο Νίκος Δασακλής απ'

ro

2ο Γυμνάσιο Νέας

Σμύρνης μας προτείνει το εξής πρόβλημα:

παρακαλέσει για τα εξής:

1)

εύθυνσή σας μαzί και

2) Αλ

1)

Ένα τσαμπί Α έχει τόσες μπανάνες όσες και

ένα τσαμπί Β συν το

1/3

του τελευταίου. Αν το Β τσαμπί

Όταν σrέλνετε σrο περιοδικό γράμματα με λύσεις,

με παρατηρήσεις με προτάσεις, να γράφετε την πλήρη δι­

ro

σχολείο σας

Όrαν προτείνετε ένα ή περισσότερα θέματα, να

στέλνετε και τις λύσεις των θεμάτων που προτείνετε.


47

• l

-~i(h ι;ιbι

v5

!Ιλ t;·-ιtrι:z_;

•b

.>

~

1.{([j!l?l ~/U ·/'J.)j:_,

1' (

t

ω+

ro+··.·.

404-1

iLI__I ____.__ t

φ

~


Ευκλείδης α' τόμος κη' τεύχος 15 ιαν μαρ 1995