Page 1

ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Ευ κ

~

ει

,

ης α

~~~~·~M~~~ri ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ~:1~;:ι~ς

'88 τ. Ι κβ' ~;~


Η εικόvα του εξώφυλλου είvαι της μαθήτριας Δήμητρας Ματθαίου

«ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α» ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ Π ΑΙΡΕΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Πανεπιmημίου

τιΜΗ ΤΕΥΧΟΥΣ

175 •

34,

Αθήνα

10677,

ΤΗΛ.:

ΠΗΣΙΑ ΣΥΝΔΡΟΜΗ ΔΡΧ.

του 4ου Γυμvασίου Μυτιλήνης που επιλέχθηκε για το Διαγωvισμό.

3617784 · 3616532

(700

+ 100 ταχυδρ.) 800

ΤΟ ΑΝΠΠΜΟ ΠΑ ΤΑ τΕΥΧΗ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΓΕΛΟΝΤΑΙ ΣτΈΛΝΕΤΑΙ ΜΕ

ΑΠΛΉ ΤΑΧ ΕΠΠΑΓΗ ΣΕ ΔΙΑΤΑΓΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΠΚΗ ΕτΑΙΡΕΙΑ ΑΘΗΝΑΣ54 ΤΑΧ ΓΡΑΦΕ/0

.................. . ΤΘ. 30044

ΟΙ ΣΥΝΕΡΓΑΣΊΕΣ ΠΡΕΠΕ! ΝΑ ΠΕΛΝΟΝΤΑΙ ΠΑ ΓΡΑΦΕΙΑ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΔΕΙΞΗ «ΓlΑ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Α))

ΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΝΤΑΙ ΣτΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΠΗΛΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙ­ ΟΔΙΚΟΥ ΑΦΟΥ ΠΡΩΤΑ ΠΑΛΟΥΝ ΔΥΟ ΑΝΤΠΥΠΑ ΣτΗΝ ΒΙΒΛΙΟ­

Φiλοι Μαθητές

ΘΗΚΗ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε.

Σ ΝΕΑ ΣΕΙΡΑ

-

ΤΟΜΟΣ ΚΒ

-

ΣεπτΣμβρης

Οκτώβρης

-

ΤΕΥΧΟΣ

1' 88

επτέμβριος ο μή~ας των ονείρων, των

προγραμματων,

των

υπο­

σχέσεων. Σεπτέμβριος ο μήνας της

ΓΥΜΝΆΣΙΟ

συνάντησης παλιών γνώριμων φίλων,

Γι' αυτό το τεύχος συνεργάστηκαν: Κώστας Γαβρίλης, Γιάννης Κανά­ κης, Μαίρη Γιαννακάκου, 'Ο λ γα Γιωτοπούλου, Λευτέρης Καπετανάς, Θόδω­

καινούργιων βιβλίων και γιατί όχι και περιοδικών. Σεπτέμβριος ο μήνας της

ρος Καραμανλής, Παναγιώτης Κυράνας, Παρασκευάς Μαρουσάκης, Λεωνίδας

αρχής της σχολικής χρονιάς. Ο μήνας

Μασσοστασής, Κατερίνα Παπούλια, Τάσος Πατρώνης, Βαγγέλης Πολυδούρης,

της επιστροφής στα θρανία!

Παναγιώτης Τελώνης, Στάμη Τσικοπούλου, Παναγιώτης Χριστοφόφου, Ξ. ΨΙ­ ακκή, ΓΙώργος Ωρωόπουλος.

σει και φέτος, όλο το χρόνο. Στα τεύ­

ΥΠΕΥΘΥΝΟΙ ΣΥΝΤ ΑΞΗΣ: Ζάνης Νίκος (Γαρ1βάλδη

13,

Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' θα σας συνοδεύ­ χη του θα ανακαλύψετε:

Αθήνα)

Κισκύρας Χpίστος (ΚυδωνΙών 15, Ν. Σμύρνη) Κλαουδάτος Νίκος (17η Νοεμβρίου

46,

Χολαργός)

Τα σχήματα επψελήθηκε ο Σ. Βογ10τζής

Την επψέλε10 της σύνταξης την είχε ο Γ. Ωρωόπουλος

ότι τα μαθηματικά δεν είναι πλη­ κτικό και απρόσιτο μάθημα.

Σταύρος Παπαmαυρίδης (Πανεπ10τήμω Πάτρας)

ότι μπορείτε να απολαύσετε τους αριθμούς και τιc; ιδιότητές τους.

ότι το Πυθαγόρειο Θεώρημα και η τετραγωνική ρίζα μπορεί να σαc; συναρπάσουν.

ότι η αστρονομία και οι ηλεκτρο­ νικοί υπολογιστές μπορεί να σαc;

ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ

οδηγήσουν σε καινούργιες περι­ οχές, σε άγνωστους κόσμους.

Υπολογιστής: Η δόξα σημερινή, η ιδέα πα~ιά Η Οικογένεια του 'Ηλιου Πώς μετράμε;

Α' τάξη: Η πρόσθεση και η αφαίρεση Το πρόβλημα και η εξίσωσή του

Β' τάξη: Ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων τετράγωνοι αριθμοί και τετραγωνική ρίζα Γ' τάξη: Για τους άρρητους αριθμούς

Από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο. Αλγεβρικές παραστάσεις Στην παραγοντοποίηση λέμε

...

ναι. Αλλά γιατί;

Προβλήματα για όλες τις τάξεις

3 5 8 10 12 15 18 21 25 28 31

Μ~

~

Τ α Μαθηματικά μας διασκεδάζουν

34 36 38 41 45

τ α προβλήματα με εξισώσεις

Αλληλογραφία Στήλη του μαθητή Μαθηματικοί διαγωνισμοί

ότι οι εξισώσεις, τα πολυώνυμα, οι ταυτότητες, οι μονάδες μέτρη­ σης υπάρχουν γιατί μας διευκολύ­ νουν στους υπολογισμούς μας.

ότι η γεωμετρία και οι κατασκευ­

ές μπορούν να αποτελέσουν πη­ γή διασκέδασης.

ότι το σχολείο και η μάθηση τέ­ λος πάντων δεν είναι ξένα από τα παραμύθια, τα παιχνίδια, την από­ λαυση.

ότι τα μαθηματικά είναι για όλους!

Κ α λ ή χρονιά

,

λοιπόν!

Η Σvvτακτική Επιτροπή


ο

γνωστός

(;) σε όλους aρ­

χαίος ελληνικός πολιτισμός

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ

εκτός από τις φιλοφρονή­

σεις και τον γενικό θαυμασμό έχει εισπράξει και κάποιες κα­

η δόξα σημερ1νή

τηγορίες. Μία από αυτές είναι

ότι, ενώ υπήρξε μια αλματώδης ανάmυξη της θεωρίας, δεν συ­

νοδεύτηκε αυτή από ανάλογη εξέλιξη των μηχανικών και τε­

η 1δέα παλ1ά

χνικών κατασκευών. Αυτό βέ­ βαια είναι λάθος. Στην περίφη­ μη εκείνη εποχή, που είχε σαν

επίκεντρό της το υπήρχε

τέτοια

300

θ. Καραμανλής

π.Χ.,

συσσώρευση

γνώσης και σοφίας, ώστε τα πά­ ντα εξελίχτηκαν με απόλυτη ισορροπία. Ακόμα και η παρακ­ μή.

Σκοπός αυτού του άρθρου

είναι να αναφερθούν κάποιες

ώνα. Για την εποχή αυτή έχουμε

ντά στα Αντικύθηρα από Δωδε­

δείγματα ηλιακών ρολογιών

κανήσιους σφουγγαράδες.

στα οποία ο ήλιος ακολουθεί

γεμάτα σκουριά ασβεστοποιημέ­

Τα

την πορεία του σ' ένα τεχνητό

να κομμάτια μπρούτζου, βρέ­

ουράνιο μικρόκοσμο. Εξάλλόυ

θηκαν στο ναυάγιο ενός αρχαί­

οι εργασίες του Αρχιμήδη

ου πλοίου σε βάθος

212

(287-

π.Χ.) προάγουν σε τέτοιο

60

μέτρων

περίπου από την επιφάνεια της

άγνωστες στον πολύ κόσμο κα­

βαθμό τις τεχνικές γνώσεις,

θάλασσας λίγο πριν το Πάσχα

τασκευές (με ιδιαίτερη έμφαση

ώστε να γίνει δυνατή η κατα­

του

στο «μηχανισμό των Αντικυθή­

σκευή παραστατικών σφαιρών,

1900. Σ την αρχή θεωρήθηκε ότι

ρων») για την αποκατάσταση της φήμης των αρχαίων μας

προγόνων. Ο πολιτισμός αυτός δεν ξε­ κίνησε ασφαλώς από το μηδέν.

Δανείστηκε πείρα και γνώσεις από άλλους πολιτισμούς γειτο­ νικούς

και

αρχαιότερους.

Η

δικιά του προσφορά ήταν ότι κα­

τάφερε να τις αφομοιώσει, να τις επεξεργαστεί,

να

τις

πολλα­

πλασιάσει με καταπληκτικό τρό­ πο, με αποτέλεσμα θαυμαστές εφαρμογές για όλες τις γνωστές τότε επιστήμες.

Λέγεται ότι οι πρώτες ουρά­ νιες σφαίρες (που ήταν περισσό­ τερο καλλιτεχνήματα παρά λει­

τουργικές κατασκευές) χτηκαν γύρω στο

600

φτιά­

π.Χ. από

τον Θαλή τον Μιλήσιο. Χάρις

πολύπλοκων υδρορολογιών και

αποτελούσαν τμήμα σπασμένου

στις λεπτομερείς περιγραφές

μοντέλων στα οποία καθορίζο­

αγάλματος. Γρήγορα όμως δια­

του Πλάτωνα και του Εύδοξου

νται όχι μόνο οι θέσεις αλλά και

πιστώθκε, από τα σκαλισμένα

εικάζεται η ύπαρξη στοιχειωδών

οι σχετικές κινήσεις του ήλιου

επιγράμματα αλλά και από την

επιστημονικών

και των πλανητών. Ένα τέτοιο

χρονολογία του ναυαγίου (γύ­

οποία ήταν κατασκευασμένα

μοντέλο είναι ο «μηχανισμός

ρω στο

από σχοινί, μπρούτζο και ξύλο

:ων Αντικυθήρων».

για τον μηχανισμό ενός αστρο­

μοντέλων

τα

κατά τον 4ο π.Χ. αιώνα. Και οι εικασίες γίνονται

βεβαιότητα

προκειμένου για τον 3ο π.Χ. αι-

Τα υπολείμματά του βρέθη­ καν και ανασύρθηκαν το

1900

από το βυθό της θάλασσας κοΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι

I

3

65

π.Χ.), ότι επρόκειτο

νομικού οργάνου. Και ήταν τό­ σο προχωρημένη η διάβρωση και

η

ασβεστοποίηση,

ώστε


χρειάστηκαν επίμονες προσπά­

θε δίσκος τοποθετείτο στην

ζια έχουν αντικατασταθεί σήμε­

θειες ετών και ... φαντασίας για

αντίστοιχη

ρα από τα καλώδια, τα μικρο­

θέση

στην οποία

να σχεδιαστούν τα κομμάτια

βρισκόταν το ουράνιο σώμα,

κυκλώματα και το ηλεκτρικό

του και να περιγραφεί η λει­

που αντιπροσώπευΕ ι:κείνη την

ρeύμα και η ταχύτητα ΕΠΕξΕρ­

τουργία του. Τελικό οι υποθέ­

ημέρα, όπως αυτό ήταν ορατό

γασίας έχΕι πολλαπλασιαστεί,

σεις και οι εικασίες πήραν τέλος

από τη γη. (το ΙΝΡUΤπου θα λέ­

όμως η φιλοσοφία παραμένει

το

όταν με τη βοήθεια της

γαμε σήμερα). τ α διάφορα γρα­

ίδια.

ραδιογραφίας και των ακτίνων

νάζια αναλάμβαναν να υπολο­

Χ περιγράφηκαν λεπτομερώς

γίσουν τη

τα εξαρτήματα και η λειτουργία

στις κινήσεις του ήλιου και της

1971

διαφορά ανάμεσα

σελήνης ως προς το φόντο των

του μηχανισμού. Ο «μηχανισμός των Αντικυ-

σταθερών αστέρων και έτσι προέκυπτε μια από τις ενδείξεις

των

σεληνιακών

φάσεων

(OUTPUI). 'Ολη αυτή η διαδικασία, της του

Δεν είχαν άδικο λοιπόν αυ­

υπολογισμού και της εξαγωγής

τοί που χαρακτήρισαν τον «μη­

του αποτελέσματος, είναι ακρι­

χανισμό των Αντικυθήρων» σαν

βώς η ίδια που χρησιμοποιείται

τον πρώτο φορητό ηλιακό/σε­

εισαγωγής

δεδομένων,

και σήμερα στους Η/Υ. Βέβαια

ληνιακό, ημερολογιακό υπολο­

οι δίσκοι, οι τροχοί και τα γρανά-

γιστή.

Θήρων», όπως αποκαλέσθηκε, αποτελείτο από ένα κουτί με δι­

αστάσεις

16

χ

32

χ

9 cm

περί­

που, με 3 δίσκους στο εξωτερικό και ένα πολυσύνθετο σύστημα

20

οδοντωτών τροχών στο εσω­

τερικό. Ειδικό οι τροχοί, με τον τρόπο που ήταν μονταρισμένοι

έκκεντρα πάνω σ' ένα πλατώ, δημιουργούσαν ένα θαυμαστό διαφορικό σύστημα. Στο κουτί

ήταν προσαρμοσμένα καπάκια τα οποία προστότευαν τους δί­ σκους. Επάνω στις επιφάνειες του κουτιού, των καπακιών και του δίσκου υπήρχαν ελληνικές επιγραφές που περιέγραφαν τη

λειτουργία του οργόνου. Από τους τρεις δίσκους ο

ένας βρίσκονταν στο εμπρός τμήμα και οι άλλοι δυο στο πί­ σω. Ο μπροστινός δίσκος έφερε παραστάσεις με τα σήματα του

ζωδιακού κύκλου σε μια σταθε­ ρή κλίμακα, και ένας κινητός

δακτύλιος έδειχνε τους μήνες του έτους. Οι άλλοι δυο δίσκοι

αναπαριστούσαν τις σεληνιακές φάσεις και τις ανατολές και δύ­ σεις γνωστών πλανητών αντί­ στοιχα.

Η λειτουργία του οργάνου,

με λίγα λόγια, ήταν η εξής: Ο κά-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1

I

4


Η Orκoyέvεra του 'Hλrou ~

~~­ -~/-

Γ. Ωρa!όποuλος

- Π.

Τελώνης

Θρύλοι για τον έναστρο ουρανό

Η

πιο αρχαία επιστήμη

-

η Αστρονομία

-

γεννήθηκε όταν οι άνθρωποι άρχισαν να παρατηρούν

τον ουρανό, να παρακολουθούν την κίνηση που κάνουν τ' αστέρια, να διακρίνουν τους aστερι­ σμούς. Ο ποιητής 'Ομηρος πριν

... κι

3000

χρόνια περιγράφει τις θαλασσινές περιπέτειες του Οδυσσέα

ο ύπνος δεν κατέβαινε στα μάτια του όσο κοίτα

την Πού~ια, το Βοδοζευγά που αργεί να βασιλέψει

και την Αρκούδα

-

κι άμαξα τη λεν

-

που αυτού γυρίζει

και τον Ωρίωνα τηράει, και μόνη αυτή ποτέ της

στα πέλαγα δε λούζεται·εκείνη του 'πε η νύφη να τη φυλάη απ' τη ζερβή μεριά σαν αρμενίζει («Οδύσσεια» ε

271-6

Αργύρης Εφτιαλιώτης)

Και σήμερα ακόμα, με τους φάρους, τις πυξίδες, τις ραδιοσυσκευές οι θαλασσινοί συμβουλεύονται τ' άστρα. Όταν ξέρουν που είναι ο βορράς δεν είναι δύσκολο να προσανατολιστούν. Κοιτάζοντας το Βορρά, δεξιά είναι η ανατολή, αριστερά η δύση και πίσω ο νότος. 'Αλλος ποιητής της Αρχαίας Ελλάδας, ο Ησίοδος αναφέρει τους aστερισμούς φίλους του γεωρ­

γού. Τότε που τον Άτλαvτα οι κόρες οι Πλειάδες προβαίνουν στα ουράνια τότε ν' aρχίζεις το θέρισμα, τ' όργωμα τότε που πάλι χάνονται· μένουν κρυμμένες μέρες και νύχτες σαράντα· κι όταν γυρίσει η χρονιά ξαναφαίνονται τότε που πιάνει

μ' όρεξη πάλι ο γεωργός και περνάει το 6ρεπάνι σ' ακόνι.

(«' Εργα

και ΗμέραΙ» Βασίλης Ρώτας)

Την εποχή εκείνη ο μοναδικός σύμβουλος του αγρότη ήταν τ' αστέρια. Οι Αιγύπτιοι ήξεραν ότι ο Νείλος πλημμυρίζεΙ όταν πρΙν την ανατολή του

'Ηλιου, στις ακτίνες της αυγή ς προβάλλει το λα­ μπρότερο αστέρι του ουρανού, ο Σείριος που τον

έλεγαν Σότη. Σ'.ένα ναό τους είναι σκαλισμένη η επιγραφή:

«0

μεγάλος Σότης αστράφτει στον Ου­

ρανό και ο Νείλος βγαίνει έξω από τις όχτεc; του». Οι Ρωμαίοι τον λέγανε Σίριους και Κανίκουλα (σκυλάκι) και ήξεραν, όταν πρόβαινε στον ορίζοντα

άρχιζαν οι ζέστες, λιγόστευαν οι δουλειές και η κί­ νηση, ήταν οι «μέρες της Κανίκουλαc;» ή «κυνική

εποχή». Την ίδια προέλευση έχει στη γλώσσα μας η φράση «Κυνικά καύματα».

Σ' ένα αρχαίο κινέζικο βιβλίο γράφουν «Αν

ύστερα από το βασίλεμα του 'Ηλιου η ουρά του Τέ­ ου (της Μεγ. 'Αρκτου) είναι γυρισμένη κατά την ανατολή, παντού έχει απλωθεί η άνοιξη· όταν στρέ­

φεται κατά το νότο, έρχεται το καλοκαίρι, όταν κοι­

τάζει κατά τη δύση, έφτασε το φθινόπωρο και όταν είναι γυρισμένη κατά τον βοριά, έχουμε χειμώνα».

Σε μια έρημο του Περού είναι χαραγμένες πελώ­

Από το βιβλίο του Ν. Σάλιβαv:

ριες άσπρες λωρίδες που κατασκευάστηκαν από ΕγΚΛΕΙΔΗΣ Α'

Οι πρωτοπόροι της Αατροvομίας τ. Ι / 5


τοuς Ίνκας. Διαπιστώθηκε ότι στις

22 Ιοuνίοu η

πρώτη ηλιακή αχτίδα φώτισε την πρώτη λοuρίδα. 'Ετσι η μεγαλόπρεπη βεντάλια με τις άσπρες ρίγες

ήταν τα βάλη-δείκτες απ' όπου ανατέλλει ο 'Ηλιος τις μέρες τοu ηλιοστάσιου και της ισημερίας, ακόμα δείχνουν τα σημεία απ' όπου ανατέλλουν κω βασι­

λεύουν οι Πλειάδες, ο Ωρίων και άλλοι αστερισμοi.

· Ητανε λοιπόν για τους

'Ινκας οι μυστηριώδεις λω­

ρίδες ημεροδείκτης για να παρακολουθούν τις επο­

χές του έτους καt τους δείχνανε πότε πρέπει να αρ­ χίζουν τις αγροτικές τους εργασίες.

Ο μύθος της Ανδρομέδας την οποία απελευθέ­ ρωσε ο Περσέας, αφού aποκεφάλισε τη Μέδουσα­ Γοργόνα καt πέτρωσε το θαλασσινό τέρας Κήτος, aποθανατίστηκε στους aστερισμούς για να θυμού­ νται οι άνθρωποι πως: τη νίκη κω την ευτυχία την

κερδίζει όποιος αγωνίζεταt για το καλό των άλλων.

Ο αστροφώτιστος ουρανός ήταν για τους aρ­ χαίους λαούς βιβλίο

- οδηγός

για τις ανάγκες της

ζωής τους, καt για να μπορούν να διαβάζουν το βι­ Από το βιβλίο του !ούλιου Βερv:

βλίο αυτό έφτιαξαν τα αστρονομικά όργανα και τα

Ταξίδι γύρω απ' τη Σελήvη

παρατηρητήρια.

Ο ΗΛΙΟΣ Απ' όλα τα ουράνια σώματα το άστρο της μέρας, η μεγάλη πηγή της ζωής που σκορπίζει θερμό­ τητα καt φως, είχε την πιο μεγάλη επίδραση στη φαντασία των ανθρώπων. Οι αρχαίοι λαοί τον λά­

τρευαν σαν θεό. Ο Όμηρος γράφει ότι ο Υπερίων-Ήλιος κάθε πρωί βγαίνει απ' το ανατολικό ρεύμα του ποταμού Ωκεανού, υψώνεταt πάνω από τη Γ η σκαρφαλώνοντας σιγά-σιγά στον στερεό ουράνιο

θόλο ... Είναt «παντεπόπτης» διαλύει τα σκοτάδια, είνω η αρχή της σοφίας κω της επιστήμης του αν­ θρώπου (Ιλιάδα Γ.

277).

Με εξαιρετικές γιορτές λάτρευαν τον 'Ηλιο στη Ρόδο καt στην Κύπρο.

Από τα πέτρινα σκαλοπάτια πάνω στις ωγυπτιακές πυραμίδες, από τα παρατηρητήρια πάνω στους βαβυλωνιακούς πύργους, από τις ελληνικές βουνοκορφές με τον καταγάλανο ουρανό, οι πρώ­ τοι αστρονόμοι παρακολουθούσαν την κίνηση των άστρων καt προσπαθούσαν να κατανοήσουν τη δομή του Κόσμου. Φαντάζονταν πως η Γη είναt το κυριότερο σώμα στη φύση, ότι στέκει ακίνητη στο κέντρο του κόσμου και πως όλα τ' αστέρια είναt γύρω της για να την υπηρετούν.

Ο Αριστοτέλης υποστήριζε ότι γύρω από τη Γη κινούνται οκτώ ουράνιες σφαίρες. Πιο κοντινή η ουράνια σφαίρα της Σελήνης, ακολουθούσε του Ερμή, πιο μακριά ο ουρανός της Αφροδίτης, πίσω του

η σφαίρα τοu Ήλιου καt μακρύτερα οι ουρανοί του 'Αρη, του Δία και του Κρόνου. Ο όγδοος κω πιο μακρινός από τη Γη ουρανός ήταν ο ουρανός των ακίνητων άστρων όπου βρίσκετω και ο θεός ο οποίος προκαλεί την περιστροφική κίνηση των

Αργότερα ο Κλαύδιος Πτολεμαίος

7 ουρανών. (100-170 μ.Χ.) ύστερα

από σοβαρές μελέτες καt aστρονομικές

παρατηρήσεις εκθέτει μεθοδικά όλες τις γνώσεις των προκατόχων του για την ουράνια επιστήμη στο

βιβλίο του «Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξις» παραφρασμένο από τους 'Αραβες «Αλ Μαγέστη>>. Απομακρύνεταt από τις θεωρίες με τις ομόκεντρες σφαίρες του Εύδοξου κω του Αριστοτέλη κω

προσεγγίζει τις θεωρίες του 'Ιππαρχου. Κατά το Πτολεμαϊκό σύστημα η Γη βρίσκεται στο κέντρο του Σύμπαντος ακίνητη και σφαιροειδής όπως και ο ουρανός στα διάφορα στρώματα του οποίου κινού­

νται τα ουράνια σώματα. Ο Ήλιος και η Σελήνη γράφουν έκκεντρους κύκλοuς γύρω από τη Γη. Επίσης οι πλανήτες διαγράφουν μικρές κυκλικές τροχιές πάνω στους λεγόμενους επίκυκλους, των οποίων τα κέντρα γράφουν έκκεντρους κύκλους. Η Αλ Μαγέστη μεταφράστηκε στα Αραβικά κω Λατινικά, αποτελεί το κειμήλιο της Ελληνικής

Αστρονομίας και κυριάρχησε ως τον 16ο αιώνα που έπεσε το γεωκεντρικό σύστημα.

Ωστόσο κω μερικοί σοφοί της Αρχαιότητας ένιωθαν την αλήθεια. Ανάμεσά τους ο Πυθαγόρειος Φιλόλαος θεωρείται πρόδρομος του ηλιοκεντρικού συστήματος, ιδιαίτεα ο Σάμιος Αρίσταρχος τον ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι

I

6


3ο αιώνα π.Χ. είχε διατυπώσει πέρα για πέρα σωστές προτάσεις για το ηλιακό σύστημα δηλαδή ότι η Γ η περιφέρεται γύρω από τον 'Ηλω και ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω στον άξονά της.

Σχεδόν μετά δυο χιλιετηρίδες ο Πολωνός Νικολάι Κόπερνικ απόδειξε πως η Γη δεν είναι το κε­ ντρικό σώμα, είναι μόνον ένας μικρός πλανήτης γύρω από τον 'Ηλιο όπως και όλοι οι άλλοι πλανή­ τες. Το βιβλίο του Κοπέρνικου «Για την κίνηση των ουράνιων σωμάτων» το κυνήγησαν οι καθολικοί του Πάπα, όπως και τους υποστηρικτές της επιστημονικη(; θεωρίας του. Τον Τζορντάνο Μπρούνο που βροντοφωνούσε άφοβα την αλήθεια τον έκαψαν ζωντανό στην πλατεία που τώρα είναι στημένο το μνημείο του.

Νεότεροι επιστήμονες, ο Γαλιλαίος, ο Κέπλερ, ο Νεύτων κ.ά. μελέτησαν και βρήκαν τους νό­ μους του ηλιακού μας συστήματος.

Ο 'Ηλιος είναι το πω κοντινό σε μας αστέρι από τα πολλά δισεκατομμύρια που υπάρχουν στον Γαλαξία μας. Για την ανθρωπότητα κατέχει ξεχωριστή θέση γιατί σχετίζεται άμεσα με τη Γη, τη ζωή που αναπτύσσεται στην επιφάνειά της και τον άνθρωπο. Με τις φωτεινές και θερμικές ακτίνες του, τα πράσινα μέρη των φυτών, μέσω του μηχανισμού της φωτοσύνθεσης, διασπούν το διοξείδιο του άν­

θρακα της ατμόσφαιρας σε άνθρακα και οξυγόνο. Με τον άνθρακα οικοδομούν το σώμα τους (και αποτελούν την τροφή των φυτοφάγων ζώων που κι αυτά με τη σειρά τους αποτελούν τροφή των σαρκοφάγων), ενώ το οξυγόνο επιστρέφει στην ατμόσφαιρα. Χωρίς τις ηλιακές ακτίνες δεν θα υπήρ­

χαν δάση και βλάστηση αλλά ούτε ακόμα άνθρακας και πετρέλαιο που είναι οργανικά αποθέματα

γεωλογικών περιόδων του παρελθόντος. Η αδιάκοπη εξάτμιση των θαλασσών από τις ακτίνες του

'Ηλιου, ενισχύει την ατμοσφαιρική

υγρασία, προκαλεί την πολύτιμη βροχή που με τη σειρά της εμπλουτίζει το έδαφος με επιφανειακά και υπόγεια νερά. Ο

1

Ηλιος προκαλεί τους ανέμους και όλα τα μετεωρολογικά φαινόμενα, τις εναλλαγές

των εποχών, επηρεάζει το μαγνητικό πεδίο της Γης, προκαλεί εντυπωσιακά φαινόμενα όπως το γνω­ στό πολικό σέλας, επηρεάζει την ανάπτυξη των δένδρων, το ύψος των βροχοπτώσεων και την ανύ­ ψωση της στάθμης των μεγάλων λιμνών. Σαφής είναι ακόμα η επίδρασή του στη φυσική και ψυχική κυρίως κατάσταση των ανθρώπων και πολλών ζώων.

Η μελέτη του 'Ηλωυ γίνεται με ειδικά αστρονομικά όργανα και τηλεσκόπια που τοποθετούνται σε ειδικές περιοχές κατάλληλες για ηλιακές παρατηρήσεις όπως επίσης και με ειδικά εξωγήινα παρα­

τηρητήρια σαν τους διαστημικούς σταθμούς και τους τεχvητούc; δορυφόρους. Ο Ήλιος είναι μια διά­

πυρη σφαίρα από αέρια σε υψηλή θερμοκρασία. Η διάμετρος της σφαίρας είναι

1.400.000 χιλ. περίπου, δηλ. 109 φορές .μεγαλύτερη από τη διάμετρο της Γης. Ο όγκος του Ήλωυ είναι 1.301.200 φορές με­ γαλύτερος από τον όγκο της Γης ενώ η μάζα του είναι 333.500 φορές μεγαλύτερη. Η πυκνότητά του είναι μόλις το 1/4 της μέσης πυκνότητας της Γης. Ακόμα, η βαρύτητα στην επιφάνεια του Ήλιου εί­ ναι 28 φορές μεγαλύτερη από τη βαρύτητα στη γήινη επιφάνεια. 'Ετσι, κάποιος που στη Γη ζυγίζει 55 κιλά, στην επιφάνεια του 'Ηλιου θα ζύγιζε 1.540 κιλά! Ο 'Ηλιος απέχει από τη Γη απόσταση 150.000.000 Km που ονομάζεται aστρονομική μονάδα. Δε­ δομένου μάλιστα ότι το φως τρέχει με ταχύτητα 300.000 Km/sec, το ηλιακό φως, για να καλύψει την απόσταση μέχρι τη Γη μας, χρειάζεται 8 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα. Η μαζα του Ήλιου αποτελείται από 82% υδρογόνο, 17% ήλιο και μόλις 1% από διάφορα άλλα στοιχεία. Η ενέργεια που ακτινοβολεί ο 'Ηλωc; και φθάνει στην περιοχή της Γης είναι σταθερή κι έχει άμε­

ση σχέση με τη βιολογική και κλιματολογική ιστορία της Γης, Η Γη δέχεται μόνο ένα ελάχιστο κλάσμα της ενέργειας του Ήλιου, που αντιπροσωπεύει

47.000

εκατομμύρια κιλοβατώρια το δευτερόλεπτο. Αν

τώρα σκεφθούμε ότι το κάθε κιλοβατώριο μας κοστίζει κατά μέσο όρο τικ του ρολογωύ δεχόμαστε ένα δώρο από τον Ήλιο που αξίζει

μπορεί ο

I

11 δρχ. στη ΔΕΗ, τότε σε κάθε 517.000.000.000 δραχμές! Τώρα, πώς

Ηλιος να εξακολουθεί να στέλνει τόσο μεγάλες ποσότητες ενέργειας και από πού αντλεί

αυτή την ενέργεια; Την οριστική απάντηση έδωσε ο Αϊνστάιν στις αρχές του αιώνα μας. Σύμφωνα με

τη θεωρία της Σχετικότητας, η ύλη και η ενέργεια είναι μορφές της ίδιας οντότητας, και, μια μικρή ποσότητα ύλης οποωυδήποτε στοιχείου μπορεί να μετατραπεί σε τεράστιες ποσότητες ενέργειας. Για παράδειγμα, η ποσότητα του αέρα που αναπνέουμε σε μια εισπνοή, αντιπροσωπεύει τόση ενέργεια που θα ήταν αρκετή να κινήσει ένα υπερωκειάνειο για πολλά-πολλά χρόνια! Στον 'Ηλιο, και σε κάθε

δευτερόλεπτο, 4 εκατομμύρια τόνοι μάζας χάνονται και μετατρέπονται σε 100.000.000.000.000.000. 000 (10 20 ) κιλοβατώρια ενέργειας! Όμως μην ανησυχείτε! Αυτή η απώλεια των 4 εκατομμυρίων τό­ νων είναι τόσο μικρή σχετικά με τη γιγάντια μάζα του

I

Ηλιου ώστε ο προμηθευτής μας μπορεί να συ­

νεχίσει την ακτινοβολία του για χιλιάδες εκατομμύρια χρόνια στο μέλλον! Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣτΟ ΕΠΟΜΕΝΟ

ΕγΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1 / 7


Πώς

σου» προτείνει έναν τρόπο που

θα μας βοηθήσει να καταλά­

Jack Ο

,

μετραμε; Γ. Κανάκης

ο

θα το εννοούμε σαν ζεύγος, θα σας διηγηθώ την ιστορία του

ι επιστήμονες μελετώντας

τις φυλές των ιθαγενών πί­ στευαν ότι επειδή αυτές εί­

χαν λέξεις μόνο για τους αριθ­

μούς «ένα», «δύο» και «πολλά» δεν μπορούσαν να υπολογίσουν πέρα από το δύο. Κατά συνέπεια ήταν αδύνα­

το να εξηγηθεί επιστομονικά η αλλόκοτη ικανότητα των ιθαγε­ νών να φυλάγουν π.χ. ένα κοπά­ δι πρόβατα χωρίς να χάνουν κανένα. Ερευνώντας το φαινόμενο αυτό μερικοί πίστεψαν ότι οι

ιθαγενείς είχαν μια εκπληκτική μνήμη, κρατώντας στο κεφάλι τους την τέλεια μορφή του κο­ παδιού ή ίσως γνώριζαν το κάθε

και της φασολιάς.

βουμε καλύτερα το σύστημα

ζούσε πολύ φτωχικά

αυτό. Χρησιμοποιώντας τα χi:­

σ' ένα αγρόκτημα με τη μητέρα

ρια μας αρχίζουμε με τις γροθιές

του. Μια μέρα μη έχοντας τίπο­

κλειστές γυρισμένες προς τα

τα να φάνc αποφάσισαν να

πίσω και μc τα δάκτυλά μας

Jack

πουλήσουν τη μοναδική αγελά­

προς τα επάνω. Συμφωνούμε

δα που είχαν. Πήρε λοιπόν ο

ότι κάθε υψωμένο δάκτυλο θα

την αγελάδα και πήγαινε

παριστάνεται με το ψηφίο «Ενα»

Jack

να την πουλήσει. Στο δρόμο

και κάθε κλειστό με το «μηδέν».

συνάντησε κάποιον που του

Η αρίθμηση των μονάδων αρχί­

πρότεινε να ανταλλάξει την

ζει από το μικρό δάκτυλο του

αγελάδα του μ' ένα μαγικό φα­

δεξιού χεριού. 'Ετσι ο παράμε­

σόλι. Ο

χωρίς να σκεφτεί

σος του ίδιου χεριού συμβολίζει

πολύ έδωσε την αγελάδα και πή­

τις δυάδες, ο μέσος τις τετρά­

ρε το φασόλι.

δες, ο δείκτης τις οκτάδες κ.λπ.

Jack

'Οταν γύρισε

σπίτι του το φύτεψε και την άλ­ λη μέρα είδε ότι είχε φυτρώσει μια τεράστια φασολιά.

'Οταν

πήγε κοντά και την παρατήρησε

είδε ότι

από τον κορμό της

έβγαιναν δυο κλαδιά, από κάθε

κλαδί δυο φύλλα, από κάθε

Παρατηρώντας το ανωτέρω

φύλλο κρέμονταν δυο λουβιά

σχήμα

και μέσα σε καθένα από αυτά

υπάρχουν μηδέν μονάδες, μη­

υπήρχαν δυο φασόλια.

δέν δυάδες, μία τετράδα, μηδέν

Ο

Jack

σκεπτόμενος κατά­

πρόβατο από το πρόσωπό του.

λαβε ότι η φασολιά είχε ένα ζεύ­

Αργότερα αυτοί ανακάλυψαν

γος κλαδιά, μία τετράδα φύλλα,

οκτάδες,

συμπεραίνουμε

μία δεκαεξάδα,

ότι

μία

τριανταδυάδα και μία εξηντατε­ τράδα, δηλαδή υπολογίζουμε

+ 32 + 16 + 4 = 116

ότι οι ιθαγενείς με το περιορισμέ­

μία οκτάδα λουβιά και μία δε­

νο λεξιλόγιο των αριθμών είχαν

καεξάδα φασόλια. 'Ετσι λοιπόν

περίπλοκους τρόπους υπολογι­

φυτεύοντας τα δεκαέξι αυτά

σμού. Χρησιμοποιώντας τα δά­

φασόλια την άλλη ημέρα μαζε­

κτυλα των χεριών τους, των

ψε περισσότερα. Συνεχίζοντας

ποδιών τους, καθώς και τα άλ­

κατ' αυτόν τον τρόπο, σε λίγο

λα μέρη του σώματός τους, κα­

χρονικό διάστημα, είχε αρκεά

τ ο δυαδικό σύστημα είναι

τάφερναν να μετρούν.

κιλά φασόλια, τα οποία πούλη­

ένα πρωτόγονο σύστημα αρίθ­

το «ένα» και το «δύο» είναι

σε κερδίζοντας χρήματα για να

μησης που χρησιμοποιούσαν οι

αληθινά οι πρώτες αριθμητικές

αγοράσει τα απαραίτητα του

ιθαγενείς της Αφρικής, της Αυ­

έννοιες που κατανοεί ο άνθρω­

σπιτικού του. Από τότε στον

στραλίας και της Νότιας Αμερι­

πος.

Jack

Εκείνο όμως που στην ιστο­

και τη μητέρα του δεν

64

'Αρα ο αριθμός

116

γράφε­

ται στο δυαδικό σύστημα με τον αριθμό

1110100

κής. Σήμερα εμείς το χρησιμο­

έλειψε τίποτα. Εκείνο όμως που

ποιούμε

υπολογιστές.

στους

μοντέρνους

ρία της aνθρωπότητας υπήρξε

πράγματι ωφέλησε τον

τόσο επαναστατικό όσο και η

ήταν ότι αυτός μελετώντας την

Ας μελετήσουμε τώρα το

ανακάλυψη της φωτιάς και της

ανάmυξη της φασολιάς κατανό­

δεκαδικό σύστημα παρακολου­

γραφής, ήταν η ανακάλυψη του

ησε ότι δυο μονάδες κάνουν ένα

θώντας πως οι ιθαγνείς βοσΚοί

μηδέν. Αυτό υπήρξε το αποφα­

ζεύγος, δύο ζεύγη μια τετράδα,

σε μερικές περιοχές της Δυτικής Αφρικής υπολόγιζαν ένα κοπά­

Jack

σιστικό βήμα για την τελειοποί­

δυο τετράδες μια οκτάδα, δυο

ηση της γραφής των αριθμών.

οκτάδες μια δεκαεξάδα κ.λπ. Το

δι. Έβαζαν τα ζώα να περνούν

Προσπαθώντας τώρα

να

αριθμητικό σύστημα που χρηι­

το ένα πίσω από το άλλο. Σ το

αναπτύξω ένα από τα πρωτόγο­

μοποιεί αυτή την αρχή λέγεται

πέρασμα του

να συστήματα αρίθμησης που

δυαδικό σύστημα.

περνούσαν i:να κοχύλι σε μια

χρησιμοποιεί μόνον τους αριθ­

μούς μηδέν και ένα, ενώ το δύο

Ο

πρώτου

ζώου

στο άρθρο

άσπρη λωρίδα, του δεύτερου

του «Πώς να μετράς τα δάκτυλά

ένα άλλο κοχύλι και συνέχιζαν

Frederik Pohl

ΕγΚΛΕJΔΗΣ Α'

τ. Ι /

8


έτσι. Στο πέρασμα του δεκάτου

διακρίνουμε πέντε εκατοντάδες

ζώου ξεπερνούσαν όλα τα κοχύ­

(κόκκινη λουρίδα), τρεις δεκά­

λια από την άσπρη λωρίδα και

δες (μπλε λουρίδα). 'Ετσι αντι­

περνούσαν ένα σε μια μπλε

στοιχίζοντας τον αριθμό

λουρίδα που προοριζόταν για

κόκκινη λουρίδα και γράφοντας

5 στην

τις δεκάδες. Μετά εξακολουθού­

αυτόν στη θέση των εκατοντά­

σαν να περνούν κοχύλια στην

δων, τον αριθμό

3

και στη θέση των δεκάδων και

νούσαν i:να δεύτερο κοχύλι

τον

στην μπλε και συνέχιζαν κατά

των μονάδων έχω τον αριθμό

τον ίδιο τρόπο.

κοχύλια τα ξεπερνούσαν και

περνούσαν

ένα κοχύλι στην

κόκκινη λουρίδα που προοριζό­ ταν για τις εκατοντάδες. Συνε­

χίζοντας έτσι σχημάτιζαν τις χι­

λιάδες κ.λπ. Σήμερα εξακολουθούμε να μετράμε

με τον ίδιο τρόπο,

όμως αντί να χρησιμοποιούμε λουρίδες και κοχύλια χρησιμο­ ποιούμε τα ινδο-αραβικά ψηφία

και μάλιστα σύμφωνα με ένα αυστηρά καθορισμένο κανόνα

534

θέσης και της έννοιας που λέγε­ ται μηδέν.

Η αρχή της θέσης λέει ότι: Η

«5»

διαφορο­

ποιείται ανάλογα με τη θέση που κατέχει μέσα στους αριθ­

μούς π.χ. στον αριθμό

«5»

532

το

δηλώνει πέντε εκατοντάδες

ενώ στο

54 πέντε δεκάδες και

αν γράφεται μόνο του, πέντε μονάδες. Εξάλλου η έννοια του μηδέν μας βοηθά να γράφουμε κάποιο

ψηφίο όταν κάπου δεν έχουμε

Σήμερα το δεκαδικό σύστη­

είναι μεγάλη που δεν μπορεί να βάλει

David Eugene

στις δυσκολίες της έκδοσης του περιο­

στο πρώτο κεφάλαιο της

δικού. Και πιστέψτε μας είναι aξεπέρα­

γονες φυλές. Ο

Smith

«Iστορίας των Μαθηματικών»

που εκδόθηκε το

1923 αναφέρει

ότι, ύστερα από μια παρακολού­ θηση εβδομήντα αφρικανικών

Άonpn

λωρίδα

ήταν να πετύχει μεγαλύτερη δική σας

σύστημα.

πιστεύουμε ότι το πέτυχε.

Οι 38 φίλοι μας που έστειλαν το σχέ­

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

διό τους είναι κατ' αλφαβητική σειρά:

Μελετώντας το δυαδικό και

Ν. Αβραντινής του 2ου Γυμν. Πάτρας,

δεκαδικό σύστημα προσπαθή­

Αποστ. Ανδριανάκης του 3ου.Γυμν. Τρί­

στε να θεμελιώσετε το πενταδι­

δικού συστήματος

7, 13, 17.

Γ ράψτε στο δεκαδικό σύ­

στημα τους αριθμούς του δυα­ δικού συστήματος

10110, 3)

10101,

23,

29.

4 μονάδες

4ου Γυμν. Δάφνης, Λία Ζούλη, του lου

Γυμν. Ν. Ψυχικού, Ρένα Ζούλη, του lου Γυμν. Ν. Ψυχικού, Παύλος Ηλιάδης, απ'

Ελένη Κατηγιάννη, απ' το Πλατύκαμπο Λάρισας, Χριστίvα Κιτσάνα, του lou Γυμν. 'Αρτας, Τασούλα Κουντούρη, του 2ου Γυ­

μν. Σύρου, Δήμητα Κουφάκη, απ' τα Πατή­ σια, Λιβέρης Λυμπεράκης, του 3ου Γυμν.

σίτου, απ' τη Μυτιλήνη, Δημ. Μιχαλόπου­ λος, απ' το Γυμν. Μεσσήνης, Άρης Μπα­

1) Παγκόσμια Ιστορία των αριθμών (Georges Ifrah) Εκδ. Σμυρνιωτάκης. 2) Mathematical Magic Show Marlin Gardier. 3) Σημειώσεις Διδακτικής Μαθηματι­

Στη ΣΤΗΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ αυτού

δεκάδες

Πειραιά, Ρεβέκα Ζαπουλίδου, του 6ου Γυ­ μν. Θεσ/νίκης, Μανώλης Ζουλάκης, του

4ου Γυμν. Μυτιλήνης, Νίκη Μαυροθαλασ­

του τεύχους θα βρείτε μια ενδιαφέρουσα

3

Ελευσίνας, Δέσποινα Ζαρία, του lου Γυμν.

Ξάνθης, Δημήτρης Μαρίζας, του lου Γυμν. Κοντόπευκου, Δήμητρα Ματθαίου, του

Σημείωση

εκατοντάδες

Αγγελική Δήμα, απ' την Αρχαία Κόρινθο, Κωνjνος Δημομελέτης, του 3ου Γυμν.

τη Δράμα, τίvα Καvέλλη, απ' την Αθήνα,

111001

Γ ράψτε στο πενταδικό σύ­

14,

Τασία Γιαλλελή, απ' το Γυμν.

κενάρης, απ' το Γυμν. Τυχερού Έβρου,

Γ ράψτε στο δυαδικό σύ­

στημα τους αριθμούς του δεκα­

2)

Πειραιά,

απ' τα Σέρβια Κοζάνης, Γρηγόρης Δερε­

Ασκήσεις

1)

πολης, Σταμάτης Βαρίνος, απ' τη Νίκαια

Κορώνης, Τασία Γκαργκάσουλα, του 3ου Γυμν. Τρίπολης, Δημήτρης Δαλαγιώργης,

κό σύστημα.

κών Τάσου Πατρώνη.

5

για μας είναι όλοι πρώτοι. Στο κάτω-κά­ τω ο κύριος σκοπός του διαγωνισμού, συμμετοχή στη διαμόρφωσή του. Και

Βιβλιογραφία

Μnλέ λωρίδα

Ευχαριστούμε όλους τους φίλους που έλαβαν μέρος και πρέπει να ξέρουν πως

χρησιμοποιούσαν το δεκαδικό

ρατηρώντας το κατωτέρω σχή­

κόκκινn λωρίδα

στες.

φυλών, ανακάλυψε ότι αυτές

δικού συστήματος

μα

εξώφυλλο του περιοδικού. Η λύπη της

περισσότερα σχέδια. Αυτό οφείλεται

εκατοντάδες

λοιπόν με τα ανωτέρω και πα­

λεξε ένα απ' αυτά, που θα στολίσει το

δεδομένο ακόμα και στις πρωτό­

στημα τους αριθμούς του δεκα­

Σύμφωνα

ρο απ' το άλλο.

Η επιτροπή, με μεγάλη δυσκολία διά­

καθόλου μονάδες ή δεκάδες ή κ.λπ.

Η χαρά μας είναι μεγάλη. Λάβαμε 38 θέματα, ομολογουμένως το ένα καλύτε­

μα είναι σχεδόν παγκόσμια δια­

που διέπεται από την αρχή της

αξία του ψηφίου

στην άσπρη και στη θέση

'Οταν στην

μπλε λουρίδα υπήρχαν δέκα

yια το ε~ώφuλλο

στην μπλε

άσπρη λουρίδα μέχρι που περ­

4

Ο διαyωvισμός

τσιούλας, του 2ου Γυμν. Χαριλάου, Φώτης Μωυσέγκος, του Γυμν. Μετεώρων, Μερό­

πη Παλαιολόγου, απ' το Πολύχvιτο Θεσ­ σαλονίκης, 'Αννα Παπαστεργίου, του lου Γυμν. Αγίας Παρασκευής, Αλέξαvδρος Περίδης, του 2ου Γυμν. Ν. Ιωνίας Βόλου, Ιωάννα Πιμοτοράκη, του Γυμν. Νέας Σμύρνης, Λευτέρης Πινάκης, του 4ου Γυ­ μν. Μυτιλήνης, Γιώργος Προεστ6ς, του

Γυμν. Φίλιας Λέσβου, Μενέλαος Σβήρτος, του Γυμν. Χαλάστρας, Β. Σκαρλάτος, απ'

εργασία συμμαθητή σας σχετικά με τη

τη Νεαχρlστα Χρύσας Ξάνθης, Γαβριήλ Χαλκιώτης, του Γυμν. Καλλονής, Γιάvνης

μετατροπή από το δεκαδικό στο δυαδι­

Χατζηγεωργίου, Αθήνα, Μιχάλης Ψαρρός,

κό σύστημα.

του 4ου Γυμν. Μυτιλήνης.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι /

9


Η Πρόσθεση και

n Αφαiρεσn

Μ. Παπαδάκη

,.... • - -• , _.......... , ,....,.

ο

ταv μαθαίvει καvείς μαθημαηκά, γρήγορα ανακαλύπτει όη τίποτα δεv είvω τυχαίο. 'Οτι, τίποτα δηλαδή δεν λέγεταt στην τύχη, ότι δεν υπάρχει κανένα κενό με τα προηγούμενα ή με τα επόμενα. Οι ορισμοί, οι ιδιότητες, οι κανόνες έχουν σχέση μεταξύ τους.

Ας γενικεύσουμε λοιπόν! 'Οχι μόνο για να μπορούμε να ελέγχουμε τις μηχανές που τώρα πια ολοένα

και περισσότερο χρησιμοποιούμε. Αλλά κυρίως για να εξηγήσουμε επιτέλους αυτά που εμπειρικά ανα­ καλύπτουμε, να πεισθούμε γι' αυτά που μαθαίνουμε και τέλος για να δούμε όη οι αριθμοί που τόσο πολύ χρησιμοποιούμε έχουν ωραίες και χρήσιμες ιδιότητες.

1.

θα τον λέμε μειωτέο και το

Η πρόσθεση

Η πρόσθεση, η πιο βασική αλλά καt πιο γvω­

5

στή μας πράξη, αρχίζει από το μέτρημα:

'Ετσι αν μας ρωτήσουν πόσο κάνει γουρα όλοι θα απαντήσουμε

Μειωτέος

+ 3 σί­

5

8.

2 διαφορά.

δηλαδή

2

ντρώσαμε κάπου όλεc; μαζί τιc; μονάδες από τις οποίες αποτελούvτω οι αριθμοί

5

και

Διαφορά

Μαζί με ης μοvάδες δηλαδή του αριθμού

5,

βά­

3.

+ 1 μονάδα = 6 μονάδες μονάδες + 1 μονάδα = 7 μονάδες μονάδες

+ 1 μονάδα = 8 μονάδες

Συγκεντρώνω, λοιπόν, μαζί με τις μονάδες του

5 Μειωτέος.

έχουν και ιδιότητες α) Όσες προσθέσεις κι αν κάνει κανείς αλ­

1.

λάζοντας τη σειρά των προσθετέων, παρατηρεί ότι βρίσκει πάντα το ίδιο άθροισμα.

Πραγμάτι

πρώτου αριθμού τόσες μονάδες όσες μου λέει ο

δεύτερος, σημαίνει ότι προσθέτω. Τον καινούργιο αριθμό που βρήκαμε τον λέμε

5

3 αφαιρετέος

και

3

Η πρόσθεση και η αφαίρεση

3.

'Ετσι:

άθροισμα, ενώ τους αριθμούς

+ +

3.

λαμε μία μία ης τρεις μονάδες του αριθμού

του λέμε

όρους ή προσθετέους.

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να εξηγήσει κανείς την εργασία για τον υπολογισμό του αθροίσματος

5+ 3= 8 2+ 7= 9 21 + 35 =56

αλλά και αλλά και αλλά και

3+ 5= 8 7+2= 9 35 + 21 =56

Αυτό το έχουμε διαπιστώσει πολλές φορές και

άλλες τόσες τό έχουμε χρησιμοποιήσει όταν έχου­ με να κάνουμε προσθέσεις. Ιδιαίτερα όταν θέλου­

με να βρούμε με το μυαλό ένα άθροισμα συνήθως σκεφτόμαστε:

Και πάλι όλοι μας θα

52+ 15 + 48 αν αλλάξουμε τη σειρά του 15 και του 48, βάλουμε δηλαδή δεύτερο το 48 και τρίτο το 15 θα βρούμε πολύ πιο εύκολα το αποτέλεσμα γιατί 52 + 48 = 100. Και στο 100 μπορούμε γρήγορα μετά να προ­ σθέσουμε το 15. Δηλαδή 52 + 15 + 48 = 52 + 48 + 15 = 100 + 15 = 115

'χουμε κάνει την ίδια εργασία. Αυτή τη φορά χω­

Γιατί είναt όμως έτσι; Μπορούμε να αντιμετα­

με περισσότερους από

2 προσθετέους, Π.)(. 2 + 3 + 5 + 10 προσθέτοντας στους 2 πρώτους τον τρίτο,

στο νέο

άθροισμα τον τέταρτο κ.ο.κ.

2.

Η αφαίρεση

Αν μας ρωτήσουν πόσο κάνει

όλοι θα αrrαντήσουμε

2.

5 - 3,

εύκολα

ρίς και τώρα να το' χουμε καταλάβει, ξεχωρίσαμε

θέτουμε τους προσθετέους ενός αθροίσματος;

τις τρεις μονάδες του αριθμού

Να αλλάζουμε τη σειρά τους;

του αριθμού

3

από τις μονάδες

5.

Ξεχωρίζω, λοιπόv, τόσες

'

3 αφαιρετέος

Εύκολα παρατηρούμε ότι αν προσθέσουμε στη

γασία. Χωρίς να το καταλάβουμε δηλαδή, συγκε­

μονάδες

-

διαφορά τοv αφωρετέο, θα βρούμε τον μειωτέο,

Και βέ:βαια όλοι θα 'χουμε κάνει την ίδια ερ­

5 6 7

τον δεύτερο αριθμό,

3,

θα τον λέμε αφαιρετέο.

Πράγματι, το άθροισμα μονάδες από τοv

ψουμε

3

+5

5

+ 3 = 8 αν

παρατηρούμε ότι οι αριθμοί

το γρά­

5

και

3

πρώτο αριθμό, όσες μας λέει ο δεύτερος σημαίvει

όποιον κι αv γράψουμε πρώτο διατηρεί τις μονά­

όη αΦαιρώ.

δες του. Είτε πρώτος, είτε δεύτερος γραφεί δηλα­

Τον καινούργιο αριθμό 2 που βρήκαμε, θα τοv λέμε διαφορά, το 5, τον πρώτο δηλαδή αριθμό, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

δή ο αριθμός και ο τ. Ι

I

5 πάντα έχει πέντε μονάδες. τ ο ίδιο αριθμός 3. Το άθροισμά τους λοιπόν είναι πά10


ντα το ίδιο, γιατί εξαρτάται από το πλήθος των μονάδων τους.

αν δούμε τη σημασία των ψηφίων των διψήφιων

β) Δεν μπορούμε να πούμε το ίδιο για την αφαίρεση. Στην αφαίρεση

αριθμών και τους σκεφτούμε σαν αθροίσματα, δη­

5-3 δεν είναι ίσο με 3

λαδή

Δεν μπορούμε λοιπόν στηv αφαίρεση να

- 5.

23 = 20 + 3 16 = 10 6 77 = 70 + 7

+

aντιμεταθέσουμε τον μειωτέο με τον αφαιρετέο. Η διαφορά δεν είναι η ίδια. Η ιδιότητα που μόλις περιγράψαμε θα λέγεται

94=90+4

αντιμεταθετική ιδιότητα.

μπορούμε να το γράψουμε:

+ 3 + 10 + 6 + 70 + 7 + 90 + 4

20 α) Σε ένα άθροισμα με πολλούς προσθετέ­

2.

ους μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο ή πε­ ρισσότερους από αυτούς με το άθροισμά τους. Στο

άθροισμα π.χ.

2

+ 3 + 5 + 8 θα

ξεκινή­

σουμε έτσι να προσθέτουμε τους αριθμούς δύο­

Αν τώρα αλλάξουμε τη σειρά τους (αντιμετα­ θετική ιδιότητα) και αν τους προσθέσουμε ανά δύο

κατά τέτοιο τρόπο ώστε να βρίσκουμε πάντα ή

βρεθεί πολύ πιο εύκολα.

90

=

φέραμε πιο πάνω.

2

+ 3 = 5,

+7+3 + 100 + 4.

Η ιδιότητα αυτή λέγεται προσεταιρι­

18.

μια ομάδα για να τους προσθέσουμε. Στο ίδιο παράδειγμα ο προσεταιρισμός, η ομα­ δοποίηση των αριθμών, μπορεί να γίνει και με άλ­ λο τρόπο. 'Ε χουμε ήδη παρατηρήσει ότι το άθροισμα των

καταστήσουμε το άθροισμά τους, τότε το αποτέ­

λεσμα θα βρεθεί πολύ πιο εύκολα και γρήγορα.

2

+3 +5+8 =

10

+8=

18

Πολλές φορές, για να δείξουμε ότι κάποιους αριθμούς

θέλουμε

να

τους

προσθέσουμε

μαζί,

τους βάζουμε σε παρένθεση.

(2

Και εδώ ας θέσουμε το ίδιο ερώτημα: Σε κάθε

άθροισμα με πολλούς προσθετέους μπορούJε να δ'

ι υο ηι περισσοτερους από αυ-

τούς με το άθροισμά τους; Πράγματι στο πιο πάνω άθροισμα

2

+3+5+

8 ο αριθμός 10 που αντικατάστησε το άθροισμα 2

+ 3 + 5 αποτελείται από τις μονάδες των αριθμών 2, 3

και

5

και μόνο αυτές. Το τελικό άθροισμα,

λοιπόν, δεν αλλάζει.

έχει

10

7 - 1 = 6.

πορτοκάλια και το δεύτερο

25

πορ­

35- 10 = 25. Αν την πρώτη ημέρα φάμε (αφαιρέσουμε)

2

πορτοκάλια από το πρώτο καλάθι και δύο από το

δεύτερο τότε στο πρώτο καλάθι θα μείνουν

33

πορτοκάλια και στο δεύτερο έχει

25

πορτοκάλια

8. τ ο πρώτο πάλι θα περισσότερα, αφού 33 - 8 =

= 25. Αν συνεχίσουμε έτσι και τη δεύτερη ημέρα πάλι το πρώτο θα έχει

25

πορτοκάλια περισσότε­

31- 6 = 25.

Αν τώρα στα δύο καλάθια προσθέσουμε

πορτοκάλια το πρώτο θα έχει

2

37 και το δεύτερο

12. Και τώρα το πρώτο καλάθι θα έχει 25 πορτοκά­ λια περισσότερα από το δεύτερο, αφού 37 - 12 = = 25. Αν συνεχίσουμε προσθέτοντας από 2 πορ­ τοκάλια κάθε μέρα, θα έχουμε στο πρώτο καλάθι

39, 41, 43, ...

ενώ στο δεύτερο

14, 16, 18, ...

ντα το πρώτο καλάθι θα έχει

μα πά­

25 πορτοκάλια 39 - 14 = 25 41- 16 = 25 43--;- 18 = 25.

ρισσότερα αφού:

πε-

Σ την πρώτη περίπτωση από ένα αριθμό που

7- 3- 2= 4- 2= 2

όμως αν βρούμε πρώτα τη διαφορά

35

πορτοκάλια. Έτσι το πρώτο έχει

β) Την πιο πάνω ιδιότητα δεν μπορούμε να την

έχουμε

210

τοκάλια περισσότερα από το δεύτερο, αφού

χρησιμοποιήσουμε και στην αφαίρεση π.χ.

=

θα είναι η ίδια. 'Ε χουμε δυο καλάθια με προτοκά­ λια. Το πρώτο έχει

ρα, αφού

+ 3 + 5) + 8 = 10 + 8 = 18

ι αντικαταστησουμε

10

Αν στον μειωτέο και στον αφαιρετέο προσθέ­

Αν πάρουμε λοιπόν μαζί

τους τρεις πρώτους, τους προσθέσουμε και αντι­

Δηλαδή

+

σουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, η διαφορά

+ 3 + 5 + 8 = 5 + 5 + 8 = 10 + 8 = 18

10.

+ 10 + 6 + 4 =

και όχι της πρόσθεσης

ποιους αριθμούς, να τους θεωρούμε δηλαδή σαν

τριών πρώτων είναι

+ 20 100

Μια ιδιότητα της αφαίρεσης

στική γιατί μας επιτρέπει να προσεταιρίζουμε κά­

2

70

5 + 5 = 10, 10 + 8 = 18

Έτσι βρήκαμε το άθροισμά τους δηλαδή τον αριθμό

100

(προσεταιριστική ιδιότητα) το άθροισμα θα

10

δύο με τη σειρά που τους συναντούμε, όπως ανα­ Δηλαδή

+ 16 + 77 + 94

23

ελαττώνεται συνεχώς κατά

3- 2 = 1

θα

τά

Οι δυο πιο πάνω ιδιότητες μπορούν να συνδυ­

2.

αφαιρούμε έναν άλ­

Σωστά, λοιπόν, η μεταξύ τους διαφορά δεν

αλλάζει.

= 25 8 = 25

35- 10

αστούν στο ίδιο άθροισμα. Για παράδειγμα στο

33-

άθροισμα

31- 6 = 25 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

2

λο αριθμό που κι αυτός ελαττώνεται συνεχώς κα­

τ.

1 / 11


Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε να αφαιρέσου­

με από ένα αριθμό που αυξάνεται συνεχώς κατά ένα άλλο αριθμό που επίσης αυξάνεται κατά

2, 2. Πά­

λι λοιπόν οι δυο αριθμοί θα διαφέρουν το ίδιο.

35373941-

10 = 12 = 14 = 16 =

το Πρόβλημα KQ1

25 25 25 25

η Εςiσωσή του Κ. Γαβρiλης

Μήπως αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε από τον μειωτέο ή τον αφαιρετέο μιας διαφοράς έναν άλλο αριθμό, όχι αναγκαστικά τον

2, θα αλλάζει η

διαφορά;

Αν στην ίδια π.χ. διαφορά το

3, 4, 5 κ.λπ.

35 - 10 προσθέσω

και στον μειωτέο και στον αφαιρετ­

έο

ή αφαιρέσω το

τρεις άνθρωποι έφαγαν μαζί σ' ένα εστιατό­

ριο και πλήρωσαν συνολικά

3.424

δραχμές. Ο

δεύτερος πλήρωσε τριπλάσια χρήματα του

πρώτου και ο τρίτος όσα και οι δύο άλλοι μαζί.

38- 13 = 25 39- 14 = 25 3, 4, 5 κ.λπ. 32- 7 = 25 31-6 = 25

Μπορείτε να βρείτε πόσα πλήρωσε ο καθένας τους;

Έτσι ξεκινάει αυτό το άρθρο. Μ' ένα πρόβλη­ μα. Και μια πρόσκληση σε σας: «Να βρείτε πόσα

παρατηρούμε ότι βρίσκουμε πάντα

25.

'Οτι δηλα­

δή η διαφορά δεν αλλάζει.

πλήρωσε ο καθένας τους». Δηλαδή να το λύσετε ...

Τι; Δεν σας αρέσει το πρόβλημα; Το βλέπετε ανόητο; Σας καταλαβαίνω. Ποιον ενδιαφέρει άλ­ λωστε πόσα θα πληρώσει ο καθένας; Ούτε καν

Ασκήσεις

As.

'Ενα πρόβλημα:

τον εστιάτορα. Να το αλλάξω λοιπόν. 'Αλλο πρό­

Να βρείτε σύντομα το αποτέλεσμα:

βλημα:

α)

3 + 16 + 27 + 4 β) 57+ 42 + 11 γ) 72 + 28 +53 δ) 619 + 281 + 374 ε) 320 + 513 + 180 + 177

'Εν ας πατί:ρας άφησε

3.424

στη

διαθήκη

του

χιλιάδες δραχμές να τις μοιραστούν τα

τρία παιδιά του ως εξής: Ο δεύτερος σε ηλικία

να πάρει τριπλάσια απ' τον πρώτο και ο τρί­ τος, ο μικρότερος όσο οι δυο άλλοι μαζί. Μπο­

Α6. Μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των δέκα

ρείτε να βρείτε πόσα πρέπει να πάρει ο καθί:­

πρώτων περιττών αριθμών .

νας τους;

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 με γρήγορα τρόπο;

Α1. Θα έχετε παρατηρήσει ότι όταν ο αφαιρετέος

βρίσκεται κοντά στο

10, 100, 1000 διευκολύνεται

η

αφαίρεση.

420- 98 = 422- 100 = 322 1152 - 994 = 1158 - 1000 = 118 Μπορείτε να εξηγήσετε πώς γίνεται αυτό;

As.

Συμπληρώστε τους αριθμούς που λείπουν:

D

1023

12

Τι λέτε τώρα. Μπορεiτε;

+

Τι; Πάλι δεν σας αρέσει; Δεν έχετε καμμιά

18

D

9

δουλειά μ' αυτή την οικογένεια; Δεν σας ενδιαφέ­

D

ο

8

ρει; Μα το πρόβλημα θέλει εσείς να το λύσετε. 'Οχι εγώ. Να τ' αλλάξουμε; 'Οπως θέλετε.

Α9. Παρατηρείστε τις πιο κάτω πράξεις:

Λοιπόν. 'Αλλο πρόβλημα.

110- 15- 16- 17- 18 = = 110- (15 + 16 + 17 + 18) = = 119-66 = = 44.

Σ' ένα πτηνοτροφείο σε τρεις μέρες μάζε­ ψαν

3.424

αυγά. Τη δεύτερη μέρα μάζεψαν τρι­

πλάσια αυγά απ' όσα την πρώτη και την τρίτη

Μπορείτε να διατυπώσετε την ιδιότητα που χρησι­ μοποιήσαμε;

όσα τις δυο άλλες μαζί. Μπορείτε να βρείτε πό­ σα μάζεψαν κάθε μία απ' τις τρεις μέρες;

Τώρα πρέπει να 'στε ικανοποιημένοι.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι

I

12

(' Οχι!)

Πά-


λι τα ίδια; Τέλος πάντων δεν καταλαβαίνετε πως

για μένα το σημαντικό είναι η λύση του προβλή­ ματος και όχι τι λέει; Και για να τελειώνουμε θα

τότε έχουμε την ισότητα

(Ι πιάτο μακαρόνια)

+ 4 (1 πιάτο

σας δώσω για λύση το τελευταίο πρόβλημα. Θα

'χει μόνο αριθμούς. Έτσι δεν θα 'χετε κανένα

3.424.

μακαρόνια)=

8 · (1 πιάτο μακαρόνια)

= 3.424

ή

Αν ο

1

πιάτο μακαρόνια =

δεύτερος είναι τριπλάσιος του πρώτου και ο

3.424 : 8

ή

τρίτος όσο και οι άλλοι δυο μαζί, μπορείτε σας

1

πιάτο μακαρόνια

παρακαλώ να βρείτε ποιοι είναι αυτοί οι αριθ­

'Αρα ο πρώτος πλήρωσε

μοί;

τερος

Σας έπεισα τώρα;

Α! καταλάβατε ότι δεν την γλιτώνετε κι έτσι

3.424

ή

παράπονο. Λοιπόν: Να και το άλλο πρόβλημα: Τρεις αριθμοί έχουν άθροισμα

+ 3 · (1 πιάτο μακαρόνια) +

= 428 δραχμές

428 δραχμές, ο δεύ­ 3 · 428 = 1284 και ο τρίτος 428 + 3 · 428 = 1.712 δραχμές.

'Ετσι ισχύει

αποφασίσατΕ ν' ασχοληθΕίτΕ.

428

'Εστω κι έτσι ας ξΕκινήσούμΕ.

+ (3. 428) + (428 + 3. 428) =

3.424

Επιτέλους, βρήκατε τη σωστή ισότητα. 'Ομως

Πάντως είδατε πως υπάρχουν πάρα πολλά προβλήματα με τους ίδιους αριθμούς και τις ίδιες

μη νομίσετε πως τελειώσατε. Γ άλλα προβλήμα­ τα παραμένουν.

σχέσεις μεταξύ των αριθμών.

Πώς θα λύσετε το πρόβλημα με την κληρονο­

Πώς είπατε; Τ ο καταλάβατε αυτό κι έτσι απο-

μιά ή με τ' αυγά ή αυτό με τους αριθμούς; Δεν

φασίσατε ν' ασχοληθείτε με το πρώτο πρόβλημα;

φαντάζομαι να επιμένετε να γράφετε μακαρόνια

Αν είναι έτσι ξεκινάμε. Έχετε τον πρώτο λόγο.

και να εννοείτε αυγά ή χρήματα κληρονομιάς ή κά­

Πώς; Θέλετε να κάνετε μια δοκιμή;

ποιο αριθμό;

Ε, νομίζω μπορείτε.

Α! Κάθε φορά θα γράφετε την ανάλογη λέξη, ή

Η πρώτη απόπειρα:

έστω και φράση αν χρειαστεί. Αλλά δεν είναι πρό­

Αν ο πρώτος πλήρωσε

100 δραχμές, ο δεύ­ 3 · 100 = 300 δραχμές και ο 100 + 3 · 100 = 400 δραχμές.

τερος θα πλήρωσε τρίτος

Σύνολο

+ (3

100

. 100)

+ (100 + 3 . 100) =

βλημα κάθε φορά να ψάχνετε να βρείτε την κα­ τάλληλη λέξη; Τι να κάνετε; Να βρείτε μια λέξη, κοινή για όλες τις περι-

πτώσεις.

800

Τι! Το βρήκατε;

δραχμές

Για να δούμε.

Πολύ μεγάλη η διαφορά των τις

3.424

800 δραχμών

απ'

πολύ περισσότερα από

100, 300

και

400

δραχμές,

ο καθένας.

Τι;

Τέταρτη απόπειρα:

δραχμές, δεν νομίζετε; 'Αρα πλήρωσαν

το ποσό που πλήρωσε ο πρώτος. τότε το ποσό

που πλήρωσε ο δεύτερος θα το συμβολίσουμε

Θέλετε να κάνετε και δεύτερη δοκιμή;

'Οπως θέλετε. Η δεύτερη απόπειρα:

Αν ο πρώτος πλήρωσε

500 δραχμές, τερος θα πλήρωσε 3 · 500 = 1500 και ο 500 + 3 . 500 = 2.000.

ο δεύ­

με τρία όμοια σπίρτα αrn Και ΤΟ ΠΟσό ΠΟυ πλήρωσε ο τρίτος με τέσσερα σπίρτα (Hft) τότε έχουμε συνολικά.

i + ΟΗ) + (ΗΗ) = 3.424

τρίτος

Σύνολο

500

!

Ας πούμε ότι αυτό το σπίρτο ~ συμβολίζει

+ (3 . 500) + (500 + 3 . 500) = 4000

δραχμές.

8 μή

Ε! Πιο πολλά τώρα από

3.424.

Σκεφτείτε όμως

κάτι άλλο. Αφήστε αυτέc; τιc; δοκιμές, γιατί ίσως

J=~.424

Και επομένως, το ένα σπίρτο συμβολίζει την τι­

3.428 : 8

= 428 δραχμές.

Ε, μια στιγμή;

Δεν έχετε αυτό το δικαίωμα. Δηλαδή δεν μπο­ ρούμε να συμβολίσουμε ένα αριθμό ή μια κληρο­

χρειαστεί να κάνετε πολλές. Συμφωνείτε;

Ε;;; Θέλετε και τρίτη δοκιμή;

νομιά ή ένα αριθμό αυγών, μ' ένα πιάτο μακαρό­

Μα είναι δυνατόν;

νια και μπορούμε μ, ένα σπίρτο; τ ο σπίρτο είναι

Η τρίτη απόπειρα:

σπίρτο. Είναι ένα αντικείμενο που ανάβει φωτιά

Ας πούμε ότι όλοι έφαγαν το ίδιο φαγητό.

κ.λ.π. Τι δουλειά έχει με την κληρονομιά; Εξάλλου

Για παράδειγμα μακαρόνια. Τότε ο πρώτος

για σκεφτείτε ένα πρόβλημα με σπίρτα; Για παρά­

έφαγε και πλήρωσε

1 πιάτο

δειγμα:

τερος

πιάτο, δηλαδή έφαγε και

3

φορές το

πλήρωσε

3

1

μακαρόνια, ο δεύ­

πιάτα μακαρόνια και ο τέταρτος

ένα και τρία πιάτα, δηλαδή

4

πιάτα.

'Αλλο πρόβλημα:

τρία εργοστάσια παράγουν την ίδια μάρκα

σπίρτων. Σε μια ώρα και τα τρία παράγουν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι /

13


3.424 σπίρτα. τ ο δι:ύτφο παράγι:ι τριπλάσια

ποσότητα σπίρτων απ' το πρώτο και το τρίτο

<άγνωστος>

= 3.424

ή

όσο τα δυο άλλα μαζί. Μπορι:ίτε να βρείτε πό­

<άγνωστος>

σα σπίρτα παράγει σε μια ώρα κάθε εργοστά­

ή

= 3.424 : 8

<άγνωστος>

= 428

σιο;

Τι λέτε τώρα; Μπορείτε με ένα σπίρτο να συμ­ βολίζετε μια ποσότητα σπίρτων;

Τι; Μπορείτε να βάλετε οποιαδήποτε λέξη στη θέση του σπίρτου; Ποια δηλαδή.

Σας βλέπω να χαμογελάτε. Δεν σας άρεσε;

Δεν συμφωνείτε; 'Ε χετε κάτι καλύτερο; Να μη γράφετε ολόκληρη τη λέξη παρά μόνο το πρώτο γράμμα; Δηλαδή;

Α, οποιαδήποτε έχει νόημα άσχετο με το πρό­ βλημα.

Δε λέω, διευκολύνει. Αλλά κάθε φορά θα 'χετε να διαλέγετε και άλλη λέξη ή και φράση ολόκλη­

Έστω α το ποσό που πλήρωσε ο πρώτος. τ ότι: ο δεύτερος πλήρωσι:

3 ·α +

α

= 4·α

+3·α+

α

ρη. 'Ετσι δεν είναι;

3 .

α και ο τρίτος

και όλοι μαζί (α

+ 3 · α) = 3.424 ή

Τι; Δεν σας πειράζει αυτό; Δηλαδή αντί να σκέ­

8

φτεστε, πως να λύσετε ένα πρόβλημα, θα σπατα­

Τότε

λάτε τη σκέψη σας στο πώς θα συμβολίσετε το ζη­

τούμενο;

·α=

3.424

α=3.424:8

ή

α=428

Συμφωνώ. Μ' ένα γράμμα, να συμβολίζουμε

Τι να κάνετε;

τον άγνωστο. τότε η ισότητα στο πλαίσιο γίνεται

Να βάλετε μια κοινή λέξη για όλα τα προβλή­

ΠΙΟ απλή. Λοιπόν, αυτή η ισότητα, όπως και οι προηγού­

ματα.

Ποια;

μενες, που στη θέση του α είχαμε κάτι άλλο, λέγε­ ται εξίσωση. Είναι μια αριθμητική ισότητα στην οποία κά­

ποιος αριθμός είναι άγνωστος, που συμβολίζεται μ' ένα γράμμα.

'Εχει επικρατήσει τον άγνωστο αυτόν να τοv παριστάνουμε με το γράμμα χ ή με το γράμμα

y.

Μπορούμε όμως να χρησιμοποιούμε οποιοδήποτε

γράμμα. Ο αριθμός που παριστάνεται με το γράμ­ μα αυτό λέγεται λύση της εξίσωσης.

Παράδειγμα: Δίνεται η εξίσωση

αριθμός

χ+

56= 12.

Ελέγξτε αν ο

2 είναι λύση της εξίσωσης.

Απάντηση: Για χ

= 2 έχουμε την

δεν είναι ο

2

ισότητα

να βρεθεί. Επειδή Πράγματι

2

+ 5 = 7 και

όχι

12.

'Αρα

αυτός που συμβολίζεται με χ. Αλλά είναι εύκολο

12- 5 = 7 η 7 + 5 = 12.

λύση θα 'ναι ο αριθμός

7.

Θέματα για εξάσκηση

Μα όλα τα προβλήματα έχουν κάτι κοινό. Τη λέξη «άγνωστος». Αν με τη λέξη <άγνωστος> συμβολίσουμε το

Αι ι. Ελέγξτε αν ο αριθμός ση:

Τότε:

3 · <άγνωστος> 3 · <άγνωστος>

3.

+ (3

χ+

5 = 26

σεις της;

+ <άγνωστος>

+ 3 · <άγνωστος> + · <άγνωστος> + <άγνωστος>) = 3.424

1, 2,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Αι3. Δίνεται η εξίσωση χ+

Μπορείτε να βρείτε

5 = 12

2 ή περισσότερα προβλή­

ματα που να έχουν αυτή για εξίσωση;

ή

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

εξίσω­

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύ­

και για τον τρίτο

<άγνωστος>

37 επαληθεύει την

+ 52 = 89.

Αι2. Δίνεται η εξίσωση:

ποσό για τον πρώτο, το ποσό για τον δεύτερο θα

είναι

χ

τ. Ι

I

14


Εισαγωγή Είδαμε στην Α' τάξη όη ο πολλαπλασιασμός

έχει το ίδιο νόημα με την πρόσθεση. Γιατί, αν έναν

αριθμό τον προσθέσουμε με τον εαυτό του πολλές φορές, αυτό είναι πολλαπλασιασμός. Πράγμαπ

Ο Πολλαπλασιασμός των Ακεραίων

5+ 5+ 5 + 5 = 4 . 5 7+7+7=3·7 Μπορούμε ακόμα να δουλέψουμε και ανάποδα και να μετατρέψουμε έναν πολλαπλασιασμό σε μιαν επαναλαμβανόμενη πρόσθεση.

Π.χ.

Σ. Τ σικοπούλοu

3 . 4 = 4 + 4 + 4 = 12 3 Στο γιvόμενο

3·4ο

φορέc;

(ο

σουμε ομόσημουc; αριθμούς κάνουμε πρόσθεση

πολλαπλασιαστής) μαc; λέει πόσεc; φορέc; πρέπει

πρώτος αριθμός, το

και βάζουμε για πρόσημο το κοινό τουc; πρόσημο.

+3

να πάρουμε και να προσθέσουμε με τον εαυτό του

τον δεύτερο αριθμό, το

(τον πολλαπλασιαστέο).

4

Γι' αυτό και το γινόμενο αυτό διαβάζεται το

«3

φορές

4».

3) · (+ 4) μπορούμε να το πα­

ραστήσουμε και γραφικά πάνω στον άξονα. Για το

σκοπό αυτό, θα τοποθετήσουμε, ξεκινώντας από το μηδέν, τρία συνεχόμενα βέλη που το καθένα

Ο πολλαπλασιασμός δηλαδή δεν είναι παρά μια σύντομη γραφή μιαc; πρόσθεσης που επανα­ λαμβάνεται.

Το γινόμενο(+

Επομέvωc;

μπορούμε

έναν

απ' αυτά να παριστάνει μετακίνηση προς τα δεξιά κατά

μονάδες, δηλαδή κατά

4

+ 4.

πολλα­

πλασιασμό να τον αναλύουμε σε πρόσθεση αν κά­ τι τέτοιο σε κάποιες περιmώσειc; μαc; διευκολύνει

+4

να τον καταλάβουμε καλύτερα. ο

+4

+4

+8

+4

Πολλαπλασιασμός ακεραίων αριθμών

+12

+12

Για να προχωρήσουμε στον πολλαπλασιασμό

των ακεραίων αριθμών καλό είναι νά στηριχθούμε

στον πολλαπλασιασμό των φυσικών

αριθμών.

Επειδή όμωc; οι ακέραιοι αριθμοί είναι θετικοί ή αρνηηκοί, θα πρέπει να εξετάσουμε όλεc; ηc; δυ­ νατές περιπτώσεις που είναι οι παρακάτω:

1. Θετικόc; χ θετικό 2. Θεηκόc; χ αρνηηκό 3. Αρνητικόc; χ θετικό 4. Αρνητικός χ αρνητικό

τ ο αποτέλεσμα που το παριστάνουμε με χρω­ ματιστό βέλος είναι

+ 12

όπωc; διαβάζουμε και πά­

νω στον άξονα. 2η Περίπτωση: Ο πρώτος παράγοντας είναι θετικός και ο δεύτερος αρνητικός.

Παράδειγμα: Να υπολογισθεί το γιvόμενο

(+ 4). (- 2) Σύμφωνα με τα όσα είπαμε στην εισαγωγή ο

πρώτος παράγοντας του γινομένου αυτού (το+

4

lη Περίπτωση: Και οι δυο παράγοντες είναι

ή απλά το 4) μας λέει να προσθέσουμε το δεύτερο

θετικοί

παράγοντα'~/2) τέσσερις φορές με τον εαυτό

Παράδειγμα: Να υπολογισθεί το γινόμενο

του. Να φτιάξουμε δηλαδή ένα άθροισμα, με τέσ­

(+ 3). (+ 4)

σερις προσθετέους που ο καθένας απ' αυτούς να

Η περίπτωση αυτή είναι το ίδιο πράγμα με τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών. Γιατί ξέ­

ισούται με- 2. Έχουμε λοιπόν: (+ 4). (- 2) = (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) = - 8

4 φορές

ρουμε όη, έναc; θεηκόc; αριθμός γράφεται και χω­

Και εδώ για να προσθέσουμε και πάλι ομόση­

ρίς το πρόσημο+ μπροστά του. Έτσι για να υπο­

λογίσουμε το γινόμενο

(+ 3) · (+ 4) θα εργασθού­ 3 · 4 των φυσικών

με σαν να είχαμε το γινόμενα

μουc; αριθμούς κάνουμε πρόσθεση και βάζουμε σαν πρόσημο το κοινό τουc; πρόσημο.

Και για να το παραστήσουμε γραφικά στον

αριθμών. 'Εχουμε:

(+ 3) (+ 4) = (+ 4) + (+ 4) + (+ 4) = + 12 3

φορέc;

άξονα θα πρέπει να σχεδιάσουμε, ξεκινώντας από

το μηδέν, τέσσερα συνεχόμενα βέλη που το καθέ­

τ ο αποτέλεσμα της πρόσθεσης βρίσκεται εύ­ κολα αν σκεφτούμε ότι, όταν έχουμε να προσθέεγΚΛΕΙΔΗΣ Α'

να να παριστάνει μετακίνηση προc; τ' αριστερά κατά τ. ι

I

2

μονάδες, δηλαδή κατά

15

+ 2


-2

-2

-2

(-5). (-2) =- (+5). (-2) =- [(+ 5). (- 2)] =

-2

= -[(-2) + -8

-6

-4

-2

(-2) + (-2) + (-2) + (-2)] = φορές

5

ο

= -(-10) = +10

-8 ~---------------

Ο αριθμός

3η Περίπτωση: Ο πρώτος παράγοντας είναι

του

- 10

- (- 10) παριστάνει + 10.

τον αντίθετό

που είναι το

Γ ραφικά έχουμε

αρνητικός και ο δεύτερος θετικός. Παράδειγμα: Να υπολογισθεί το γινόμενο

(- 3). (+ 2) Σ το γινόμενο αυτό ο πρώτος παράγοντάς του (το

- 3)

μας λέει να προσθέσουμε τον δεύτερο

παράγοντά του (το

+ 2) - 3

...-2

-2

-2

-2

-2

-~---4ι--...--..--

-10

-8

-6

-4

-2

ο

+2

+4

φορές με τον εαυτό

του. 'Ομως ένας αρνητικός αριθμός λειτουργεί με

τον αντίθετο τρόπο απ' ότι ένα θετικός. Καταλα­ βαίνουμε λοιπόν ότι ο πρώτος παράγοντας μας λέ­ ει να προσθέσουμε τον δεύτερο τρεις φορές με τον εαυτό του αλλά να πάρουμε για αποτέλεσμα τον

+6

+8

+10

+10

Από τις περιπτώσεις

1 και 4

βγάζουμε το συμπέ­

ρασμα ότι:

Το γινόμενο δυο ομοσήμων ακεραίων είναι θετικός αριθμός.

αντίθετο αριθμό απ' αυτόν που θα βρούμε από την πρόσθεση. Αν δηλαδή γράψουμε το-

τον αντίθετο του+

3,

3

σαν

τον γράψουμε δηλαδή σαν

+ (+ 3) έχουμε (- 3) . (+ 2) = - (+ 3) . (+ 2)

= - [(+ 3) . (+

2)]

=

Ο πολλαπλασιασμός με+

Πολλαπλασιασμός με

3) · (+ 2)

με-

1 και

με Ο

+ 1

Παράδειγμα: Να υπολογισθεί το γινόμενο

Το βάλαμε μέσα στην αγκύλη για να δείξουμε ότι πρώτα θα βρούμε το γινόμενο(+

1,

Ας εξετάσουμε ξεχωριστά την κάθε περίπτωση.

(+ 1) . (- 7)

και

Στο γινόμενο αυτό ο πολλαπλασιαστής μας

στη συνέχεια θα πάρουμε τον αντίθετο αριθμό.

λέει να προσθέσουμε μια φορά τον πολλαπλασια­

Δηλαδή

=- [ (+ 2) + (+ 2) + (+ 2)] =- (+ 6) =- 6 3

φορές

στέο (το

- 7).

Εύκολα καταλαβαίνουμε ότι το

αποτέλεσμα είναι ο ίδιος ο αριθμός

- 7

που τον

βλέπουμε να παραμένει αμετάβλητος και μετά την

Γ ραφικά το παριστάνουμε ως εξής

εκτέλεση της πράξης του πολλαπλασιασμού. Και

+2

+2

επειδή στον πολλαπλασιασμό ο παράγοντας

+2

-4

-6

-2

ο

+2

+4

+ 1

δεν φέρνει καμιά αλλαγή γι' αυτό τον λέμε ουδέ­

--~-~-~

+6

+8

-6

τερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Μπορού­

με λοιπόν αν βρίσκουμε σ' ένα γινόμενο τον παράγοντα+

1 να τον παραλείπουμε. Π.χ. (+ 3). (+ 1). (- 4) = (+ 3). (- 4) =- 12

Τ ο γινόμενο αυτό βέβαια μπορούμε να το υπο­ λογίσουμε πολύ πιο εύκολα αν αλλάξουμε τη σει­ ρά των παραγόντων του, δηλαδή

Πολλαπλασιασμός με

Παράδειγμα 1ο: Να υπολογισθούν τα γινόμενα:

(- 3). (+ 2) = (+ 2). (- 3) = (- 3) 2

+ (- 3) =- 6 φορές

Βλέπουμε ότι βρίσκουμε και πάλι το ίδιο αποτέ­

(- 1) · (+ 4) Λύση:

λεσμα.

Από τις περιmώσεις

2

και

3

- 1

καταλήγουμε στο

συμπέρασμα

Το γινόμενο δυο ετεροσήμων ακεραίων εί­ ναι αρνητικός αριθμός.

4η Περίπτωση: Και οι δυο παράγοντες είναι

και

(- 1) · (+ 6)

(- 1) · (+ 4) = - 4 (- 1) • (+ 6) =- 6

Παρατηρούμε

ότι

όταν

έναν θετικό αριθμό με το

πολλαπλασιάζουμε

- 1 παίρνουμε

σαν γινό­

μενο τον αντίθετό του αριθμό. Παράδειγμα 2ο: Να υπολογισθούν τα γινόμενα:

Λύση:

αρνητικοί

(- 1) · (- 2) και (- 1) · (- 8) (- 1) · (- 2) = + 2 (- 1) ο 8) = + 8 (-

Παράδειγμα: Να υπολογισθεί το γινόμενο

(- 5). (- 2)

Και εδώ παρατηρούμε ότι αν πολλαπλασιά­ σουμε έναν αρνητικό αριθμό με το

Και την περίπτωση αυτή θα την αντιμετωπί­ σουμε όπως και την προηγούμενη. Θα γράψουμε

Επομένως:

δηλαδή τον πολλαπλασιαστή το- 5 σαν-(+ 5) οπότε θα έχουμε:

Ο πολλαπλασιασμός με το αντίθετο αριθμό.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

- 1 παίρνουμε

σαν γινόμενο τον αντίθετό του αριθμό.

τ. ι

I

16

- 1

δίνει τον


82. Πώς μπορούμε να γράψουμε πιο απλά τα

Εφαρμογfς Είπαμε προηγουμένως ότι με

1. ΤΟ

+ 4

αθροίσματα:

- (- 4) συμ­ - 4 που είναι

βολίζουμε τον αντίθετο αριθμό του

α)

δηλαδή;

+4

- (- 4) =

γ)

Αλλά και αν πολλαπλασιάσουμε το

- 1 παίρνουμε

(- 4) + (- 4) + (- 4) + (- 4) (- 2) + (- 2) + (-:- 2) + (- 2) + (- 2) (+7)+(+7)·(+7) (- 6) + (- 6) + (- 4) + (- 4) + (- 4)

β)

- 4 με το

+ 4 δηλαδή: (- 1) . (- 4) = + 4

δ)

και πάλι

Να γράψετε ένα γινόμενο που να εκφράζει το

83.

Όταν λοιπόν συναντάμε το συμβολισμό-(-

καθένα από τα παρακάτω σχήματα

4)

θα καταλαβαίνουμε ότι πρόκειται για πολλαπλα­ σιασμό με το

- 1 και

σαν τέτοιο θα τον υπολογί­

-9

ζουμε. Γιατί

- (- 4) = (- 1) . (- 4) = + 4 Β=-

4- (- 6),

Α=

-8

το χ όταν

χ

-

-6

-4

ο

ΠαράδΕιγμα: Να βρεθεί ποιος αριθμός είναι

2.

+8

2- (+ 3)

4- (- 6) = 4 + 6 = 10 Β=- 2- (+ 3) =- 2-3 =- 5

Λύση:

ο

+4

ο

Π.χ. Να βρεθούν τα εξαγόμενα Α=

-3

-6

2

-2

ο

5

4

3

= + 6.

Λύση: Ζητάμε μ' άλλα λόγια να βρούμε πόσο

84.

Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα

κάνει το χ όταν ξέρουμε πόσο κάνει ο αντίθετός του αριθμός το

χ. Σύμφωνα μ' όσα είπαμε προ­

-

ηγουμένως θα αρκούσε να τον πολλαπλασιάσου­ με με το-

1-sl-6/

Επειδή όμως έχουμε μιαν ισότητα θα

1.

πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τα δυο της μέλη με το

-

- 1.

6

~(-χ).

(- 1) = (+ 6) . (- 1)

+χ=-6

ή

=9

1+61

ο

I l- 6 \- 91

I+91+61

'Εχουμε έτσι:

χ=+

1-21

χ=-6

Αν παρατηρήσουμε προσεκτικότερα θα δούμε

ότι, θα αρκούσε να αλλάξουμε τα πρόσημα στην

Bs.

Να συμπληρωθεί ο πίνακας

αρχική ισότητα για να πάρουμε την τελική. Και

.

αυτό πράγματι θα κάνουμε από εδώ και πέρα

αποφεύγοντας όλες τις ενδιάμεσες πράξεις μόνο

χ

= - 4~+

χ

- 1. = + 4

= + 4

ή

χ

-χ=+5~+χ=-5

ή

χ=-5

-

+2

-8

3

-5

-4 +24 +2

που θα ξέρουμε ότι αυτό σημαίνει ότι πολλαπλα­ σιάζουμε και τα δυο μέλη της ισότητας με το Π.χ.

-6

-7

4

Πολλαπλασιασμός μΕ Ο. Στους φυσικούς αριθμούς ξέρουμε ότι ισχύει:

γιατί

Ο

0·5=5·0=0 = Ο+ Ο+ Ο + Ο +

86. Ο

=

β)

Το ίδιο βέβαια ισχύει και στους ακέραιους ή

Γιατί π.χ.

(+ 5)

ο.

(- 3) ~ (- 3) . ο= ο

χ

γ)

= - 3 = +7

δ)

- χ =+4 - χ= - 8

ε) -χ=

8

ζ) +χ=-4

Β1. Με τι ισούται η παράσταση Α όταν χ και

·Ο= Ο+ Ο+ Ο+ Ο+ Ο= Ο

ΑσκήσΕΙς

8ι. Γράψτε τα παρακάτω γινόμενα σαν μια επα­

8s.

δ)

β)

(+ 4) · (- 7) (- 6) · (- 4)

ε)

(- 4) · (+ 6) (+ 8) · (+ 3)

γ)

(+5)·(-3)

ζ)

(+4)·(+2) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

Α= 3χ-

b) g)

Α=Α

5y + 3 (χ+ y) 2y + 4χ- 3 (2χ- 4y) = 3χ (χ - 2y) + χ (6 - 2χ - y)

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Β

β)

Β

=

-

-

10αβ

I

+ 2

(5α

+

β)

-

(3 -

2α)

Β = - 8α (β - 2) - 3 (5 - α) + 2β - α όταν α

τ. 1

= - 3

y =- 2

α)

α)

ναλαμβανόμενη πρόσθεση α)

χ

-

= (+ 5). ο= ο

ο.

(+ 5)

Να βρεθεί ο χ όταν α)

Ο

17

= - 1

και

β

= 3

-


Α r-------,8

Οι Τετράyωνοι Αριθμοi ΚQΙΩ

.___ _ _ _

Δ

_.Γ

Σχ.

Τετραγωνική Pi~a

1

Ο αριθμός πάλι (και εννοού­ με τον φυσικό αριθμό) είναι ένα

Β. Πολυδούρnς

πλήθος μονάδων. Τις μονάδες αυτές, είπαμε πριν, με τη φα­

ντασία μας μπορούμε να τις κά­

ο πως όλοι μας ξέρουμε, ένας

νουμε

που έκαμε τη διαπίστωση αυτή,

είναι ο aρχαίος 'Ελληνας φιλό­

δες μαζί, ή αλλιώς ειπωμένο,

σοφος Αριστοτέλης, που έγρα­

αρθ.

ένα πλήθος από μονάδες, δη­

ψε ότι, «ο άνθρωπο ς σ κ έ­

2

λαδή:

φτεται

σαν

5

σπουργίτια,

8 κουτιά

παραστά­

σεις».

7 καρέκλες,

Δεν είναι λοιπόν κακό, αντί­

σπίρτα, και άλλα.

θετα είναι πολύ χρήσιμο, όταν

Αυτούς του αριθμούς τους

έχουμε (ή

μας δίνουν) έναν

και

η

ελεύθερη. 'Ετσι, μπορούμε τον

αριθμός είναι πολλές μονά­

με

συγκεκριμένες

εκλογή του αντικειμένου είναι

2 να τον σκεφτόμαστε σαν 3, 3 τετράγωνα κ.λπ., δηλ.

τετράγωνα, τον αριθμό

2 τετραγ. = Ο

3 τετραγ. = Ο

+Ο+Ο

(και το κάθε τετραγωνάκι να έχει πλευ­

λέμε συγκεκριμένους ή ονο­

αφηρημένο αριθμό, εμείς με δι­

ματισμένους. Μετά το ψηφίο

κή μας πρωτοβουλία να τον κά­

του αριθμού υπάρχει και όνομα.

νουμε συγκεκριμένο, για να τον

σκεφτήκαμε τους αφηρημένους

νιώθουμε καλύτερα και χειρο­

αριθμούς,

πιαστά. 'Ετσι, αν μας δώσουν

σουμε με τετράγωνα;

Αλλά υπάρχουν και αριθμοί που

δεν είναι ονοματισμένοι, όπως

τον αριθμό

και πολλοί άλλοι.

5, 7, 8

Οι αριθμοί αυτοί λέγονται

όταν

τους

βλέπουμε

γραμμένους ή όταν τους ακού­ με, παρόλο που δεν είναι ονο­

ματισμένοι και χωρίς να το θέ­ λουμε, το μυαλό μας τρέχει σε

'

'

καποιο ονομα.

'Ε τσι,

πουμε τον αριθμό

7,

'

οταν

βλ'ε-

μέσα στην

οθόνη του μυαλού μας, εντελώς αυτόματα, παρουσιάζονται ή μολύβια, ή

άλλες

7 καρύδια

7 μονάδες.

7

ή κάποιες

ωμετρία, όλο κάτι τέτοια σκέ­

μπροστά μας

7, αν δεν περά­

σουμε από την παράσταση του συγκεκριμένου

τισμένου

ελεύθερη εκλογή του τετράγω­

12 πρόβατα Μα πώς βλέπουμε πρό­

-

βατα, αφού δεν υπάρχουν;

Και όμως τα βλέπουμε!

-

'Οπως ακριβώς στα όνειρά μας

βλέπουμε πράγματα, που δεν υπάρχουν

εκείνη τη

στιγμή

μπροστά μας. Γι' αυτό άλλωστε λέμε «είδα όνειρο», γιατί βλέ­ πουμε

ζωντανές σκηνές, που

στην πραγματικότητα δεν έγι­ ναν.

7,

1.

αρχίσει να παρατηρεί προσεχτι­ κά τον εαυτό του. Και ο πρώτος

Τ ους φυσικούς αριθμούς ας

τους ξεκινήσουμε απ' την αρχή. Ο αριθμός

1,

σύμφωνα με τα

όσα είπαμε παριστάνει τετρά­ γωνο (δηλ.

Ο αριθμός

1 τετράγωνο, σχ. 2). 2 (δηλ. 2 τετράγωνα)

δεν φτιάχνει ένα νέο τετράγω­

νο. Ο αριθμός

3

(δηλ.

3

τετρά­

γωνα) πάλι δεν φτιάχνει ένα νέο

4 (δηλ. 4

νέο τετράγωνο, όπως φαίνεται

Οι τετράγωνοι

στο σχ.

αριθμοί.

2.

Εύκολα καταλαβαί­

νουμε ότι, οι αριθμοί 5,

6, 7 και 8

με τα τετράγωνα που έχει ο κα­ θένας τους, δεν φτιάχνει ένα

7.

να την κάμει ο καθένας μας, αν

πόσο χρήσιμη θα είναι.

τετράγωνα), αυτός φτιάχνει ένα

του ονομα­

Τη διαπίστωση αυτή μπορεί

νου σαν μονάδας των αριθμών,

τετράγωνο. Ο αριθμός

Δηλαδή, είναι

αδύνατο να μπούμε στο νόημα του αφηρημένου

Δεν είναι παράξενο.

Όποιος μπερδεύεται με τη Γε­ φτεται! Σε λίγο θα δείτε, πως η

χαν, και έχει μείνει μόνο το ψη­

μούς

-

να τους παραστή­

συγκεκριμένο και βλέπουμε

θεί το όνομα, που πιθανό να εί­ τ ους αφηρημένους αριθ­

1 cm).

-Τώρα θα ρωτήσετε, πώς

εμείς με τη φα­

ντασία μας τον κάνουμε αμέσως

aφηρημένοι, δηλ. έχει αφαιρε­

φίο.

12,

ρά, ας πούμε

τ ο τετράγωνο είναι ένα γε­ ωμετρικό σχήμα.

' Εχει 4

πλευρές και

ίσες

4 ορθές γωνίες, όπως το ΑΒΓΔ (σχ. 1). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. ι

I

18

νέο τετράγωνο. 'Ομως ο αριθ­ μός να,

9

με τα εννιά του τετράγω-

, φ τιαχνει

νο (σχ. 2).

'

'

ενα νεο τετρ άγ ω·


Αριθ.1

D

Αριθ.4

τότε κάθε τετράγωνος αριθμός

μονάδες, όπως δι:ίχνει το σχήμα

Ε8

μπορεί να σχηματίσει ένα νέο

ΔΕΖ.

τετράγωνο.

τ ο τέταρτο τετράγωνο γίνε­

τ ώρα θα περιγράψουμε και

έναν άλλο τρόπο, για να βρί­

γωνο των

σκουμε τετράγωνους αριθμούς.

(που τώρα παρουσιάζεται με σκιά),

Ο προηγούμι:νος τρόπος (μι:

Αριθ. 9

πολ/σμό), είναι αριθμητικός τρό­ πος. Αυτός που θα πούμι:, ι:ίναι γι:ωμι:τρικός. Ας παρατηρή­ σουμΕ λοιπόν τα πιο κάτω τετρά­ γωνα (σχ.

3).

2

Β

γωνά τους μπορούν να σχημα­ τίσουν ένα νί:ο τετράγωνο, οι Δ

Τα σχήματα ΑΒΓ και ΔΕΖ

και ΗΘΙ, που μοιάζουν με ορθές

αρχαία Ελλάδα, στην πατρίδα

2

Γεωμετρίας.

Μπορούμε

λοιπόν να φτιάχνοi.Jμε τετράγω­ να, χρησιμοποιώντας τους γνώ­ μονες.

'Ετσι, αν έχουμε ένα τετρά­

3

γωνο, ας πούμε το

αριθμός.

16

(δηλ. 16 τε·

τραγ. μονάδες), μπορούμε να το­

4

ποθετήσουμε

σ'

αυτό

έναν

γνώμονα και να σχηματίσουμε

Πως βρίσκουμε

2.

χνει το σχήμα ΗΘΙ.

της

Ε

1

γιατί κι αυτός είναι τετράγωνος

τραγωνικές μονάδες, όπως δεί­

τα αυτά τα λέμε <<γνώμονες»,

αριθμοί αυτοί λέγονται τ ε τ ρ ά -

» , όπως είναι οι αριθμοί 4, 9, 16 ... , αλλά και ο αριθμός 1,

προσθέσουμε επτά ακόμα τε­

γιατί έτσι τα έλεγαν και στην

Γ

γωνοι

τι:τραγ. μονάδων

τραγωνικές μονάδες, τα σχήμα­

Eill

τ ώρα μπορούμε να πούμε

ότι, «ΟΙ αριθμοί που με τα τετρά­

9

γωνίες, αλλά φτιαγμένες με τε­ Α

Σχ.

ται από το τρίτο, όταν στο τετρά­

το τετράγωνο που ακολουθεί,

5

τετράγωνους

z

αριθμούς.

δηλ. το Σχ.

3

τ ο πρώτο τετράγωνο είναι η

25.

Είναι φανερό πως ο

γνώμονας αυτός θα αποτελείται από

9

(τετραγ.) μονάδες.

το δεύ­

Παρατηρούμε λοιπόν ότι, οι

τράγωνους αριθμούς, παίρνου­

τερο τετράγωνο γίνεται από το

γνώμονες που χρησιμοποιήσα­

με τους φυσικούς αριθμούς

πρώτο, όταν στην τι:τραγ. μονά­

με ως τώρα, αποτελούνται από

δα

3 τετρ. μονάδες ή 5 τετρ. μονά­ δες ή 7 ή 9. Μέχρι τώρα λοιπόν

Για να ανακαλύmουμε τε­

2, 3, 4, ...

1,

κ.λπ. και καθένα απ'

τι:τραγωνική μονάδα

1.

(που τώρα παρουσιάζεται με

1

αυτούς, τον πολ/ζουμε με τον

σκιά), προσθέσουμι: τρεις ακόμα

εαυτό του, όπως:

τετραγωνικές μονάδι:ς, όπως

οι γνώμονες φτιάχνονται από

δι:ίχνι:ι το σχήμα ΑΒΓ.

περιττό πλήθος

χ

1

1 = 1,

3

χ

3

= 9,

δηλ. από μονό αριθμό μονάδων.

5χ5=25

2

χ

2 = 4,

4

χ

4 = 16,

6χ6=36

Η

Θ

2

1

3

4

τήσουμε γνώμονα, για να φτιά­

5

γνώμονας θα είναι πάντα πε­

ξουμε νέο τετράγωνο, αυτός ο

Οι αριθμοί:

1, 4, 9, 16, 25, 36,

ριπός αριθμός.

είναι οι τετράγωνοι αριθμοί,

που

Αυτό γίνεται πάντοτε. Σε όποιο

τετράγωνο θέλουμε να τοποθε­

κ.λπ.

...

μονάδων,

,

ζ ητουμε.

Α

,

,

,

6

υτο σημαινει οτι,

να παριστάνουν

7

τετράγωνα

αριθμοί που δεν είναι τετράγω­ νοι. Με αυτούς τους αριθμούς

(φυσικά ίσα μεταξύ ""Ρους), τότε

μπορούμε να φτιάξουμε τετρά­

καθένας τους μπορεί να σχημα­ τίσει ένα νέο τετράγωνο.

'Ομως οι αριθμοί δεν είναι

όλοι τετράγωνοι. Υπάρχουν και

αν σκεφτούμε τις μοvάδες τους

τ ο τρίτο τετράγωνο γίνεται

γωνα; Και με αυτούς τους αριθ­

Ή με άλλα λόγια: Αν σκεφτού­

από το δι:ύτι:ρο, όταν στο τετρά­

μούς μπορούμε να φτιάχνουμε

με ότι, οι μονάδες καθενός απ'

γωνο των

μονάδων (που τώρα

τετράγωνα, αλλά θα περισσεύ­

αυτούς, είναι τετραγωνικές μο­

παρουσιάζεται με σκιά), προσθέσου­

ουν μονάδες, δηλ. θα φτιάχνου­

νάδες (ας πούμε 1 τετραγ. εκατοστό),

μΕ πί:ντε ακόμα τι:τραγωνικές

με τετράγωνα με προσέγγιση.

4

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. _Ι

I

19


4.

Η σημασία τηι; τετραγ.

μενο τον δοσμfνο αριθμό)).

Και

ρίζας

όταν

οι

έχουν ένα χρωματιστό κεφάλι,

τετράγωνοι

αριθμοί είναι μονοψήφιοι ή διψή­

'Ενας τετράγωνος αριθμός,

φιοι, εύκολα βρίσκουμε την τε­

όπως περιγράψαμε προηγούμε­

τρ. ρίζα τους με το νού μας,

να, μετασχηματίζεταt σε ένα τε­

όπως:

τράγωνο σχήμα. Εύκολο λοιπόν είναι να βρούμε την πλευρά (ή τη βάση) του τετραγώνου. Αν

και

τώρα αυτή την πλευρά την πολ/­ σουμε με τον εαυτό της, οπωσ­ δήποτε θα βρούμε γινόμενο τον αριθμό, που από ης τετραγωνι­

κές του μονάδες φηάξαμε το τε­ τράγωνο σχήμα. Αυτό το γινό­ μενο δεν είναι άλλο από το εμ­ βαδόν του τετράγωνου σχήμα­ τος. Έτσι στο σχήμα

3,

το πρώ­

το τετράγωνο έχει πλευρά εμβαδόν

1

χ

1

= 1, το δεύτερο

τετράγωνο έχει πλευρά εμβαδόν

2

χ

2

3

χ

3= 9

3

4

χ

και εμ­

4 = 16.

4

V49 = 7, J8I = 9,

καt

(Οι πλευρές

μετριούνται με «εκατοστά», ενώ τα τε­

αφού 7 χ 7 = 49 αφού 9 χ 9

όμως οι

= 81

δοσμένοι

αριθμοί δεν είναι τετράγωνοι,

τότε ποια θα είναι η τετραγωνι­ κή τους ρίζα; Ας πάρουμε τον αριθμό

27

νους αριθμούς. Ένα μικρότερο

25 Ο

5

5.

Αυτόν

για τετραγ. ρίζα του

27,

αλλά με

την παρατήρηση όη είναι τετρ.

γκεκριμένων αριθμών τα σκεφτόμαστε,

του

είναt η τετρ. ρίζα του

1,

γιατί

5+ 1= 6

υπερβαίνει τον

β = 5

1 ή συμβολι­

κά:

v'I= 1 Ο αριθμός

ρίζα

2

4

έχει τετραγωνική

ή συμβολικά:

V4=2 Ο αριθμός ρίζα

3

9

έχει τετραγωνική

36,

Αν

κ.λπ.

9,

1, μετά τα 3 (σε σχήμα γνώμο­ 5 (σε σχήμα γνώ­

τετραγωνική ρίζα του

δεκάτου

είναt η

3.

Αν θέλουμε να εργαστούμε

με τον 16, παίρνουμε 16 καρφά­ κια καt αρχίζουμε την τοποθέ­ τηση:

1

+3 ++5 +7 =

16,

όπως δείχνει το (3).

Τα καρφάκια τελείωσαν καt

ή

16 είναι

η βά­

ση του τετράγωνου (3), δηλ. ο

4.

τ ώρα ας πάρουμε αριθμό

μεγαλύτερη

π.χ.

9

βάση του τετράγωνου, δηλ.

αριθμός

θέλουμε

παίρνουμε από το κου­

καρφάκια, τοποθετούμε το

9

η τετραγ. ρίζα του

(προσέγγιση μονά­

προσέγγιση,

βάση του τετρά­

Αν θέλουμε να εργαστούμε

27.

όχι τετράγωνο, ας πούμε τον Αμέσως τρέχουμε στο κουτί

εκατοστού κ.λπ., υπάρχει μέθο­

55.

δος, αλλά εδώ δεν θα προχωρή­

καt παίρνουμε τα

σουμε. Εδώ θα πούμε μόνο μια

και μετά αρχίζουμε την τοποθέ­

εύκολη

μέθοδο τετραγωνικής

ρίζας, που δουλεύεταt ακόμα και στο νηπιαγωγείο!

5.

Πρακτική μέθοδοι;

55

καρφάκια

τηση (όπως φαίνΕται στην περιοχή

+ 5 + 7 + 9 + 11 +

= 49

13

'Ετσι χρησιμοποιήσαμε τα καρφάκια και περίσσεψαν

τετραγ. ρίζας

(4)

του σχήματος).

1+3

6,

49 που

δεν αρκούν για να τοποθετήσουμε

ή συμβολικά:

V9 = 3

4 είναι η γωνου, δηλ. 2.

6

που

δας)

αντί πλευρά του τετραγώνου αριθμού. 'Ωστε ο aριθμ. 1 έχει

και το

Συμβολικά γράφουμε:

λέμε τετράγωνος αριθμός και

τετραγωνική ρίζα

ζα του

θα τον δώσουμε

αλλά τα παραλείπουμε).

θα λέμε τετραγωνική ρίζα του

(ή σχήμα γνώμονα), όπως φαί­ νεται στο (1). Η τετραγωνική ρί­

σαν, όπως φαίνεταt στο (2). Η

σέγγιση αυτή είναι μικρότερη

μηηκή, τότε αντί τετράγωνο θα

θετούμε σε σχήμα ορθής γωνίας

μονα) και τα καρφάκια τελείω­

μικρότερος τετράγωνος

τον αριθμό

τα τοπο­

3

να), μετά τα

< 27 < 36

έχει τετραγ. ρίζα

25

και τα άλλα

1

τί

καt ένα μεγαλύτερο, δηλαδή:

4, 4 καρ­

φάκια, τοποθετούμε σε μια τρύ­

πα το

ται ανάμεσα σε δυο τετράγω­

εκατοστά». Τα ονόματα αυτά των συ­

Γεωμετρία να πάμε στην Αριθ­

παίρνουμε από το κουτί

με τον

ρίζα με προσέγγιση. Η προ­

Αν τώρα θέλουμε να κάνου­

Αν θέλουμε να εργαστούμε

αριθμός αυτός σίγουρα βρίσκε­

τράγωνα μΕτριούνται με «τετραγωνικά

με μια μετακόμιση καt από τη

πες του χαρτονιού.

που δεν είναι τετράγωνος. Ο

καt

καt το τέταρτο

τετράγωνο έχει πλευρά εμβαδόν

2

και να στερεώνονται στις τρύ­

με τον τετράγωνο αριθμό

'Οταν

= 4, το τρίτο τε­

τράγωνο έχει πλευρά βαδόν

1 καt

κατάλληλα για να εφαρμόζουν

Η μέθοδος αυτή χρειάζεται

Μπορούμε λοιπόν να πούμε

ένα χαρτόνι ή χάρμποτ σε δια­ στάσεις 40 χ 50 εκατ. περίπου,

ότι: «τετραγωνική ρίζα ενός

που να έχει μικρές τρύπες σε

αριθμού, είναι κάποιος άλλος

όλη του την έκταση, όπως δεί­

αριθμός, που πολjζόμενος με

χνει το σχήμα

τον εαυτό του μας δίνει γινό-

ται ένα κουτί με καρφάκια, που

4.

Ακόμα χρειάζε­

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι

I

20

ένα ακόμη γνώμονα. 'Ωστε, η τε­

τραγωνική ρίζα του

55 είναι η

βάση

του τετράγωνου, δηλ. ο αριθμός

7,

αλλά μΕ προσfγγιση μονάδας. Και αν θέλουμε να μιλήσουμε με τη

γλώσσα των συμβόλων, θα πούμε:

ν'55 =

7 (προσεγ. μονάδας)

--


Ο άρρητος ή aσύμμετρος αριθμός

Για τους

Πρόβλημα: Να βρεθεί το μήκος της διαγωνίου

Άρρητους

ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓ Δ με διαστά­ σεις

3 cm

και

5 cm.

Αριθμούς

Λύση

Μετρούμε με το υποδεκάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ,

Π.Κuράνας

όπως βλέπετε στο σχήμα (α), και παρατηρούμε ότι το μήκος της βρίσκεται ανάμεσα στα

5,8

και

5,9

Από την ισότητα

cm.

(1)

καταλαβαίνουμε ότι, το μή­

κος της διαγωνίου ΑΓ θα είναι ένας αριθμός, του οποίου το τετράγωνο θα μας κάνει

34, δηλαδή θα είναι η τετραγωνική ρίζα του 34 (συμβατικά V34). 2 2 Επειδή όμως (5,8) = 33,64 και (5,9) = 34,8 συμπεραίνουμε ότι, κανείς από τους αριθμούς 5,8 και 5,9 δεν είναι το ακριβές μήκος της ΑΓ, αλλά είναι ένας αριθμός μεταξύ του 5,8 και 5,9, δηλ: 5,8 < (ΑΓ) < 5,9

Από την πρακτική του πλευρά το πρόβλημά μας έχει τελειώσει, γιατί το υποδεκάμετρο δεν μπορεί να δώσει μεγαλύτερη προσέγγιση. Αν όμως επιμέ­

νουμε να πετύχουμε μεγαλύτερη προσέγγιση κατά τη μέτρηση της διαγωνίου ΑΓ, λχ. προσέγγιση εκατοστού ή χιλιοστού ή ακόμα μεγαλύτερη, τότε

Από το σχήμα (α) παρατηρούμε ότι, η διαγώνιος

τι θα κάνουμε;

ΑΓ είναι υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη

cm

και

3 cm.

Είναι φανερό ότι, όχι μόνο το υποδεκάμετρο,

5

αλλά κανένα όργανο όσο ακριβές και αν είναι,

Συνεπώς σύμφωνα με το Πυθαγόρειο

δεν μπορεί να πετύχει μεγάλες προσεγγίσεις. Για

Θεώρημα θα πρέπει:

μεγάλες λοιπόν προσεγγίσεις στα μεγέθη που με­

(ΑΓ) = (ΑΒ) 2 2

+ (ΒΓ)

= sz

+ 3z

(ΑΓ) = 25 2 (ΑΓ) = 34

+9

(ΑΓ)z 2

2

τράμε, είναι ανάγκη να δουλέψουμε με θεωρητι­

κούς υπολογισμούς. Για το πιο πάνω πρόβλημα ο θεωρητικός υπολογισμός θα γίνει με τη βοήθεια

(1)

του Θεωρήματος του Πυθαγόρα.

Με το πιο πάνω παιχνίδι

(4)

(2)ο ~ ο ~:Η~ ο ο~

ο

ο

ο

ο

ο

ο

- -- - - -- -- -- - --:

8 1

μπορούν να παίζουν ως και τα παιδιά του νηπιαγωγείου. Έτσι

iiΙ .: : : 1

4~

ιt

ιιι.

9

11 13

. . . . .

5

7

τα μικρά παιδιά κάνουν τη γνω­ ριμία των αριθμών και των σχη­

μάτων και λίγο-λίγο γίνονται φίλοι. 'Οταν τα νήπια μεγαλώ­ σουν και πάνε στο Δημοτικό,

στο Γυμνάσιο ή και παραπάνω, δεν θα φ ο β ο ύ ν τ α ι πια τους αριθμούς και τα σχήματα (εκτός

(1)

(3)

•••••• περίσσεψαν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. ι

I

21

αν στο Δημοτικό ή στο Γυμνά­ σιο τα φοβίσουν).


Οι αριθμοί με δύο δεκαδικά ψηφία μεταξύ των

5,8

και

5,9

τέλος φθάνουμε σε κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο και ένα τέτοιο κλάσμα το λέμε ανάγωγο

είναι:

5,81 5,82 5,83 5,84 5,85 5,86 5,87 5,88 5,89 Για να είναι λοιπόν ένας από τους αριθμούς αυ­ τούς το ακριβές μήκος τηc; διαγωνίου ΑΓ, θα πρέ­ πει σύμφωνα πάντα με την ισότητα

(1), αν υψώσουμε στο τετράγωνο να μας κάνει 34.

τον

Υψώνουμε επομένως τους αριθμούς αυτούς στο

(δηλ. δεν ανάγεται σε άλλο απλούστερο). Έτσι το κλάσμα γο,

'

δεν απλοποιείται, άρα είναι ανάγω-

5834 1000

5834 , 500

ισο με

τετράγωνο και παρατηρούμε ότι:

(5,83) 2 = 33,9889 και (5,84) 2 = 34,1056 δηλαδή το (5,83) 2 είναι το αμέσως μικρότερο από το 34 ενώ το (5,84) 2 είναι το αμέσως μεγαλύτερο από το 34. Συνεπώς ούτε το 5,83 ούτε το 5,84 είναι

583 100 ' ενω το

απ

'

5,83

5,83

και

< (ΑΓ)

5,84, δηλ.: < 5,84

ίδιο τρόπο δηλαδή να πάρουμε όλους τους δεκα­

5,83

και

5,84,

με τρία δεκαδικά

Ας ξαναγυρίσουμε λοιπόν στο δεκαδικό αριθμό κλάσμα, και αc; του κάνουμε όλες τις δυνατές aπλοποιήσεις, και αc; φανταστούμε πως καταλή­

ξαμε σε ένα κλάσμα α

β

ότι β#-

1).

'Ομως μη ξεχνάμε, ότι το κλάσμα αυτό υψωμέ­ νο στο τετράγωνο κάνει τον ακέραιο

μός απ' αυτούς, υψωμένος στο τετράγωνο, δεν

34.

Αν συνεχίσουμε την ίδια δια­

δικασία, πάντα θα παρατηρούμε να αυξάνουν τα

(

Αφού

κλάσμα

α

β

είναι

ανάγωγο α2

β2

είναι

73

είναι ανάγωγο, άρα και

32 72

9

49

είναι και αυτό ανάγωγο, δηλ. δεν απλοποιείται.

Και τώρα κάνουμε την πολύ λογική σκέψη:

34.

Με άλλα λόγια ξεκινήσαμε να μετρήσουμε τη διαγώνιο ΑΓ του ορθογωνίου.. του σχήματος (α)

και καταλήξαμε σ' ένα δεκαδικό αριθμό, που τα δεκαδικά του ψηφία όλο και αυξάνουν, όλο και πληθαίνουν.

Είναι δυνατό ένα ανάγωγο κλάσμα να είναι

-

ίσο με τον ακέραιο

34;

Φυσικά, αυτό είναι αδύνατον!

-

Φτάσαμε λοιπόν σ' αυτό το αδύνατον συμπέ­

ρασμα (που λέγεται και άτοπον συμπέρασμα), γι­

'Αραγε, το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων

δεν θα τελειώσει ποτέ;

ατί υποθέσαμε ότι τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού

5,83 ...

'Ενα από τα δυο, ή θα τελειώσει ή δεν θα

τελειώσει.

Ac;

όμως το

Το

όμως το τετράγωνό του θα είναι πάντοτε μικρότε­

-

)

ανάγωγο. Παράδειγμα αριθμητικό:

5,83 ...

-

~ = 34 ή ~: = 34

(δεν απλοποιείται), άρα και το κλάσμα

δεκαδικά ψηφία του αριθμού

ρο του αριθμού

δηλ.:

34,

2

34.

Αλλά και πάλι θα βλέπαμε πως κανένας αριθ­ δίνει τον ακέραιο

'

που υποθέσαμε ότι βρήκαμε και αc; τον κάνουμε

ψηφία και να τους υψώσουμε στο τετράγωνο για

να δούμε μήπως κάποιος μας δώσει

'

και γινεται

που ασφαλώς πρέπει να είναι ανάγωγο. (Εννοeίται

Θα μπορούσαμε τώρα να συνεχίσουμε κατά τον

δικούς μεταξύ των

'

2

με

που ετσι εγινε αναγωγο.

το μήκος της διαγωνίου ΑΓ, αλλά κάποιος άλλος αριθμός μεταξύ του

λ οποιειται '

κάπου τελειώνουν. Έτσι λοιπόν φάνηκε

ότι, τα ψηφία του αριθμού αυτού ποτέ δεν τελειώ­ νουν, δηλ το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων είναι

υποτεθεί πως τελειώνουν τα δεκαδικά ψηφία

και ότι βρήκαμε τον δεκαδικό, που υψωμένος στο

τετράγωνο μας δίνει ακριβώς τον ακέραιο

34.

Φυ­

σικά δεν τον βρήκαμε, αλλά τον φανταζόμαστε! Πολλές φορές η φαντασία βοηθάει τη σκέψη του ανθρώπου. Αυτόν λοιπόν τον δεκαδικό αριθμό που φανταζόμαστε πως βρήκαμε, μπορούμε να

τον κάνουμε κλάσμα. Παράδειγμα:

5,83

=

5,834 =

2).

Αυτόν λοιπόν τον δεκαδικό αριθμό, που τα δε­

καδικά ψηφία του ποτέ δεν τελειώνουν, που είναι ατέλειωτα, αυτόν τον αριθμό τον λέμε άρρητο (ή ασύμμετρο). Η έκφραση «άρρητος αριθμός» ση­ μαίνει ότι, ο αριθμός αυτός δεν είναι δυνατόν να ειπωθεί με λόγια, δεν είναι δυνατό να εκφρασθεί ή

να εκφωνηθεί. Γιατί, πώς να εκφωνήσουμε έναν

583 100 5834 1000

ατελείωτο, είναι άπειρον. (Βλέπε παρατήρηση

αριθμό, που τα ψηφία του δεν τελειώνουν; κ.λπ., κ.λπ.

'Οταν όμως τα ψηφία ενός αριθμού τελειώνουν

κάπου, όπως ο ακέραιος, το κλάσμα, ο δεκαδικός

Ξέρουμε ότι, από τα κλάσματα άλλα μπορεί να

που τερματίζει, τότε τον αριθμό αυτό τον λέμε

απλοποιούνται και άλλα όχι. 'Οταν σε ένα κλά­

<<ρητό αριθμό», γιατί είναι δυνατό να τον διαβά­

σμα κάνουμε όλες τις δυνατές aπλοποιήσεις, στο

σουμε ή να τον εκφωνήσουμε με λόγια.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. ι

I

22


Παρατήρηση

1.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΗΖ, εφαρμόζοντας

Η λέξη ρητός παράγεται από

το ρήμα λέγω. Έτσι, ρητός είναι εκείνος, που

το Θεώρημα του Π., έχουμε:

(ΕΖ) 2 = (ΕΗ} 2

μπορεί να ειπωθεί. Για να το καταλάβουμε καλύ­

+ (ΗΖ)

2

τερα, αρκεί να θυμηθούμε την πολύ γνωστή φρά­

Οι κάθετες πλευρές ΕΗ και ΗΖ από κατασκευή εί­

ση «αρχαία ρητά». τ ώρα εύκολα καταλαβαίνουμε

ναι γνωστές, ίσες με

τι σημαίνει η λέξη άρρητοι;.

στη, άρα την συμβολίζουμε με χ. 'Ωστε:

Παρατήρηση

2.

χ2

Η Αριθμητική μας μαθαίνει και

και

κάποιους δεκαδικούς αριθμούς με άπειρα δεκαδι­

κά ψηφία, αλλά τα ψηφία αυτά να επαναλαμβάνο­ νται, με ορισμένη τάξη, όπως ο δεκαδικός αριθ­ μός:

1,

η υποτείνουσα είναι άγνω­

= 12 + 12 = 2 J2

χ=

Αυτήν την τετραγωνική ρίζα του

2

απόδειξαν

ότι είναι άρρητος ή aσύμμετρος αριθμός. Η από­ δειξη που έκαμαν ήταν γεωμετρική, αλλά ποια

ήταν δεν ξέρουμε. Απλώς την υποψιαζόμαστε.

0,296296296 ... Ο αριθμός αυτός λέγεται περιοδικός και είναι ισοδύναμος (δηλαδή είναι ίσος) με κλάσμα. Ο πιο

' ' ειναι ' 'ισος με πανω αρι θ μος

296 . 999

' Ο αριθμος

που αναζητούσαμε προηγούμενα, δηλαδή η

J34,

δεν είναι τέτοιος περιοδικός αριθμός, γιατί θα ήταν ίσος με κλάσμα. Εμείς όμως δείξαμε προηγού­ μενα, πως ο ζητούμενος αριθμός δεν μπορεί να εί­ ναι κλάσμα, άρα δεν είναι ούτε περιοδικός αριθ­ μός.

Ιστορικό σχόλιο. Τους άρρητους αριθμούς (ή aσύμμετρους αριθμούς) τους ανακάλυψαν οι Πυ­

θαγόρειοι, δηλαδή ο Πυθαγόρας

(580-500

π.Χ.

περίπου) και η Σχολή του. Πριν τους ανακαλύ­

ψουν πίστευαν ότι, κάθε κομμάτι ευθείας (ευθύ­ γραμμο τμήμα) μπορεί να μετρηθεί με ορισμένη μονάδα και έτσι να προκύψει ένας ακέραιος ή ένα κλάσμα ή ένας μικτός αριθμός, δηλ. να προκύψει πάντοτε ένας ρητός αριθμός. Δεν εφαντάζοντο

ότι είναι δυνατόν κατά τη μέτρηση ευθυγράμμου τμήματος με μια μονάδα, να μην προκύπτει ρη­

Αργότερα, άλλοι Έλληνες Γεωμέτρες (Θεαίτη­ τος, Θεόδωρος Κορηναίος) απόδειξαν πάλι γεω­

μετρικά, ότι οι J3, J5, ... Jl7, είναι κι αυτές άρρητοι αριθμοί. {' Οπως βλέπουμε σταμάτησαν ως το v'17). Και αυτές οι αποδείξεις χάθηκαν, όπως μας πληροφορούν οι ιστορικοί των Μαθημα­ τικών. Σήμερα ξέρουμε ότι, οι τετραγωνικές ρίζες των ακεραίων αριθμών, που δεν είναι τετράγωνοι, εί­ ναι αριθμοί aσύμμετροι. Δηλαδή οι τετραγωνικές ρίζες των ακεραίων, έξω από τους

1,

4,

9,

16,

25, 36, ... ν 2

•••

είναι aσύμμετροι αριθμοί. Για τους τετράγωνους

αριθμούς που βρίσκονται στην πάνω σειρά, ξέ­ ρουμε ότι έχουν τετραγωνική ρίζα ακέραιη, δηλα­ δή

1, 2, 3, 4, ...

ν

...

Η απόδειξη για την ασυμμετρία της τετρ. ρίζας των ακεραίων είναι εύκολη σήμερα και γίνεται με

την Αριθμητική. Είναι ακριβώς η απόδειξη που δώσαμε στην αρχή, όταν ζητούσαμε να βρούμε

την

.J34.

τός αριθμός, αλλά να παρουσιάζεται ένας «νέου τύπου» αριθμός, που οι κλασματικές του μονάδες όλο και μικραίνουν, αλλά να μην τελειώνουν πο­

τέ! Τέτοιος αριθμός είναι ο δεκαδικός αριθμός που περιγράψαμε προηγούμενα, δηλ.

5,83 ...

Γεωμετρική παράσταση άρρητων

που είναι λύσεις εξισώσεων όπως είναι η χ 2 = α, α ;;;::: Ο και άλλες.

Τ ον τρόπο με τον οποίο εργάστηκαν οι Πυθαγό­

ρειοι για να ανακαλύψουν τους νέους αυτούς αριθμούς, ακριβώς δεν τον γνωρίζουμε, γιατί οι Πυθαγόρειοι aπόφευγαν να γράφουν τα όσα ήξε­

ραν. Οπωσδήποτε όμως αυτή η ιστορία ξεκινάει από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που όλοι ξέρουμε. 'Οπως μαθαίνουμε από άλλους συγγραφείς, το

πρώτο ξεκίνημα ήταν έτσι: Αν φτιάξουμε ένα ορ­

Ενώ με την αριθμητική μέθοδο βρίσκουμε τις τετραγωνικές ρίζες των ακεραίων αριθμών κατά

προσέγγιση, με τη Γεωμετρία μπορούμε να τις κα­ τασκευάσουμε σαν ευθύγραμμα τμήματα.

Ας δούμε λοιπόν πώς μπορούμε να κατασκευά­ σουμε γεωμετρικά τα μήκη

ί)

θογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με τη

μονάδα, τότε πόση θα είναι η υποτείνουσα; Ε

Η

ίί)

J3,

.J6

ίίί)

χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη.

ί) 'Εστω χ το μήκος που εκφράζει η δηλ.

1~

V2,

χ

= V2

~ χ2

=2

~ χ

2

J2.

= 12 + 12

(2)

από την ισότητα (2) και από το Πυθαγόρειο Θεώ­ ρημα καταλαβαίνουμε ότι το μήκος χ είναι υποτεί­ νουσα ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου με κάθε­

τες πλευρές ίσες με τη μονάδα.

z ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1 / 23


Κατασκευή. Κατασκευάζουμε μια ορθή γωνία Λ

χ οΥ

την

'

και πανω στις π λ ευρες της,

κορυφή,

παίρνουμε

'

ξεκωωντας '

μήκη

ΟΑ

=

χ

'

απο

ΟΒ

=

2

2

Εδώ από την ισότητα

~

παρατηρούμε ότι το ζη-

(4)

' I I Ι τουμενο μηκος χ ειναι υποτεινουσα ορ θ . τριγώνου

όπου βλέπετε στο σχήμα (γ) (μονάδα μέτρησης

1

= J6 ~ Χ = 6 ~ χ = 4 + 2 ~ χ2 = 22 + (J2)2 (4)

που η μια κάθετος πλευρά του έχει μήκος

διαλέγουμε εμείς εκτός, εάν μας έχουν προσιδορί­

άλλη έχει μήκος

σει ποια θα είναι). Κατόπιν ενώνουμε το σημείο Α

vf2.

2

και η

'Αρα θα πρέπει πρώτα να

J2

κατασκευάσουμε το μήκος και κατόπιν το μή­ κος όπως δείχνουν τα παρακάτω σχήματα (ε)

με το Β καΙ έτσι σχηματίζεται το ορθ. τρίγωνο

-J6

ΟΑΒ, του οποίου η υποτείνουσα ΑΒ έχει μήκος

και (στ).

J2

και μάλιστα, όπως παρατηρούμε το μήκος ΑΒ = J2 είναι διαγώνιος του τετραγώνου ΟΑΓΒ.

y· Υ

μονάδα μέτρησης

Υ

()

-----,r

Β

I

I

I

χ

I

I ο

ii) 'Εστω

Εφαρμογές. Να κατασκευαστούν τα ευθύγραμμα

Α

χ =

y3 ~

Εδώ από την ισότητα

χ

τμήματα

i) y3 + V2,

χ2 = 3 ~ χ2 = 4 - 1 ~

= 22 - 12

~ χ2

~ χ2

(3)

+ 12 =

22

και από το Πυθαγόρειο

και

της υποτείνουσας

J2.

Vf + .J2 = ΑΔ + ΑΓ = ΑΔι + ΑΓι = ΓιΔι y3- J2 =_ΑΔ- ΑΓ = ΑΔι- ΑΓ 2 = Γ 2 Δι μονάδα μέτρησης

θετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου, το μήκος της

1 και

ii) y3-

'Οπως βλέπετε στο παρακάτω σχήμα είναι:

(3)

Θεώρημα παρατηρούμε ότι, το μήκος χ είναι κά­

άλλης κάθετης είναι

χ'

2

2.

Δ

α

Κατασκευή. Κατασκευάζουμε μια ορθή γωνία Λ

xOy

και πάνω στην πλευρά της Οχ παίρνουμε

ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ= και ακτίνα ίση με

την πλευρά

Oy

2

1.

Κατόπιν με κέντρο Α

γράφουμε κύκλο που τέμνει

Γ1

στο Β, όπως βλέπετε στο σχήμα

Β

Γ

Δ

2

1

Εδώ και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ Δ παρατηρού­

(δ).

με μια άλλη κατασκευή της Υ

μονάδα μέτρησης

~ (V3)2 = (V2)2

I

I

(i)

δηλαδή από την ισότητα (i) και από το Πυθαγό­

.[3

υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου που οι κάθετες

I

I

+ 12

I

ρειο Θεώρημα καταλαβαίνουμε ότι η

I I

J3. Πράγματι:

(V'3) 2 = 3 ~ (y3γ = 2 + 1 ~

α

πλευρές του έχουν μήκη

I 1

ο

Έτσι σχηματίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ

που η κάθετη πλευρά του ΟΒ έχει μήκος

y3.

Από

τρησης το

Γ3. Να κατασκευαστούν τα μήκη

ρά ΑΒ = 2. Δηλαδή σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο

iii) 'Εστω χ ΤΟ μήκος της

μονάδα μέ­

Γz. Να κατασκευαστεί η ~

ναι ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ με πλευ­

i)

= ΓΑ = 2 το

J3.

VlO με

(Υπόδειξη: Βρείτε δυο αριθμοιJς

10).

.J2 είναι πλευρά τετραγώνου, εδώ η y3 εί­

ύψος του έχει μήκος

1 cm.

που το άθροισμα των τετραγώνων τους να κάνει

το σχήμα (δ) παρατηρούμε ότι, όπως προηγουμέ­

ΑΒΓ με μήκος πλευρών ΑΒ = ΒΓ

είναι

J2 και 1.

Γ ι. Να κατασκευαστεί η

χ

Α

y3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

I L----~------~----

νως η

Α

J2 + 3,

ii)

J15 + 2

Γ4. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι.

J6. τότε:

i) ΕγΚΛΕΙΔΗΣ Α'

Vl7, ii) V8, iii) J36, iv) .J48,

τ. Ι /

24

ν) .jili


1.

Τα ψώνια μιας νοικοκυράς

Από το Συγκεκριμένο

Μια ~οικοκυρά βγήκε για ψώνια κάποια μέρα 10.000 δρχ. στο πορτοφόλι της και συγκεκριμένα: 1 πεντοχίλιαρο, 3 χιλιάρικα και 4 πεντακοσάρικα. Ψώνισε πρώτα στο «σούπερ στην αγορά, έχοντας

στο Αφηρημένο:

μάρκετ» και ο λογαριασμός της ανέβηκε στις

5.670

δρχ. 'Εδωσε στο ταμείο

ένα χιλιάρικο

(6.000 δρχ.)

1

πεντοχίλιαρο και

και πήρε ρέστα

330

Αλγεβρικές Παραστάσεις

δρχ.

Στη συνέχεια πήγε στον κρεοπώλη και ψώνισε

2 850 δρχ. το κιλό και ένα κοτό­ 1,5 κιλό προς 345 δρχ. το κιλό.

κιλά μοσχάρι προς

πουλο που ζύγιζε

Λ. Καπετανάς

Ο λογαριασμός της τώρα ήταν:

2. 850 δρχ.+ 1,5. 345 δρχ.= = 1700 δρχ. + 517,5 δρχ. = 2217,5 δρχ. 'Εδωσε τώρα 2500 δρχ. και πήρε ρέστα 2500 δρχ.- 2217,5 δρχ.= 282,5 δρχ. Ας παρακολουθήσουμε τώρα την «κίνηση» του πορτοφολιού της νοικοκυράς:

10000- 6000 + 330- 2500 + 282,5 = 2112,5 Πόσα ήταν τα συνολικά της έξοδα;

κεη> και από το πόσα κιλά αγοράζει από το κάθε είδος. Ας παραστήσουμε, λοιπόν, με ένα γενικό αριθ­

μό τα έξοδα στο «σούπερ μάρκετ» π.χ. με σ, με μ τον αριθμό που δείχνει πόσα κιλά μοσχάρι αγορά­ ζει και με κ τον αντίστοιχο αριθμό για το κοτό­ πουλο. Τότε η παράσταση που μας δίνει τα έξοδα παίρνει την παρακάτω μορφή:

5670 + 2 . 850 + 1,5 . 345

σ

Παρατηρούμε ότι στο 1ο μέλος της ισότητας

που μας δείχνει την κίνηση του πορτοφολιού έχουμε αριθμούς που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων+ και-. Ενώ τα συνο­ λικά έξοδα της νοικοκυράς εκφράζονται από μια παράσταση όπου οι αριθμοί συνδέονται με το σύμβολο

+

και

·.

+

μ

· 850 +

κ

· 345

Αν λοιπόν, μας πουν τι συγκεκριμένες τιμές παίρνουν οι γενικοί αριθμοί σ, μ, κ μπορούμε να βρούμε τα έξοδα της νοικοκυράς.

2.

Τ ο ταξίδι ενός οδηγού από μια πόλη σε άλλη

Και στη μία περίπτωση και στην

άλλη έχουμε παραστάσεις που περιέχουν αριθ­

μούς που συνδέονται με τα σύμβολα

+, -, ·. τέ­

τοιες παραστάσεις τις ονομάζουμε αριθμητικές

Β

Α

.

παραστάσεις.

Ας παρακολουθήσουμε έναν οδηγό αυτοκινήΠαρατήρηση: Είναι δυνατόν σε μια αριθμητική

του που κινείται από την πόλη Α στην πόλη Β.

παράσταση κάποιοι αριθμοί να συνδέονται και με

Την πρώτη μισή ώρα του ταξιδιού του κινείται με

το: π.χ. Το

ταχύτητα α

1,5 που

υπάρχει στην aριθμ. παράστα­

Km/h. Την επόμενη μία ώρα κινείται Km/h. Τις επόμενες 2 ώρες κινείται ταχύτητα γ Km/h και φθάνει στην πόλη Β.

ση που εκφράζει τα συνολικά έξοδα, το σημειώ-

με ταχύτητα β

νουμε ~ ή

με

3 : 2.

Μπορείτε να βρείτε πόση είναι η απόσταση ΑΒ;

Ας παρακολουθήσουμε τώρα τη νοικοκυρά στα ψώνια της μετά μια εβδομάδα. Οι τιμές των

Γνωρίζουμε από τη Φυσική τον τύπο της ταχύ­ τητας:

αγαθών δεν έχουν αλλάξει, αλλά η νοικοκυρά ψωνίζει διαφορετικές τώρα ποσότητες αγαθών.

Ξοδεύει στο «σούπερ μάρκετ»

3

4000

ταχύτητα

=

Διανυόμενο διάστημα

-=..:..:.:.._.::.._:.':....:___:_:__:_.:....:....~__:_

χρόνος

δρχ., αγοράζει

κιλά μοσχάρι και ένα κοτόπουλο

2

κιλών. Τα

συνολικά της τώρα έξοδα θα εκφράζονται από την αριθμητική παράσταση:

απ' όπου έχουμε

' πον,

που

δ ιανυσε I

S =

υ I

· t.

Η απόσταση, λοιI

η απόσταση που διάνυσε την επόμενη

4.000 + 3 . 850 + 2.345 Έτσι, λοιπόν, την τρίτη εβδομάδα τα έξοδα

β

· 1,

Ι

I

την πρωτη μιση ωρα ειναι α·

1 ώρα

δύο ώρες είναι γ

aριθμ. παράσταση:

πόλεων είναι ΑΒ =α· ~ +β+ γ· 2.

από το τι πληρώνει για ψώνια στο «σούπερ μάρ-

εγΚΛΕJΔΗΣ Α'

είναι

ενώ η απόσταση που διάνυσε τις επόμενες

της νοικοκυράς μπορεί να εκφράζονται από την

4500 + 2 . 850 + 1,4 . 345 Δηλαδή τα έξοδα της νοικοκυράς - εφόσον οι τιμές των αγαθών είναι σταθερές - εξαρτώνται

1 2'

· 2.

'Αρα η απόσταση των δυο

Και στα δυο παραδείγματα που αναφέραμε

(έξοδα νοικοκυράς, απόσταση πόλεων) καταλή­ γουμε σε παραστάσεις, όπου υπάρχουν αριθμοί,

τ. Ι /

25


Πράξι:ις μι: μονώνυμα

μερικοί από τους οποίους παριστάνονται με γράμ­ ματα

τους

αφού δεν ξέρουμέ τη συγκεκριμένη τιμή

-

που συνδί:ονται μεταξύ τους με σύμβολα

-

πολυώνυμα

1. Πρόσθι:ση μονωνύμων

πράξεων. Τί:τοιες παραστάσεις γενικά θα τις ονο­

μάζουμε αλγι:βρικές παραστάσι:ις. Μονώνυμα Ξαναγυρίζουμε στον οδηγό του προηγουμένου

παραδείγματος. Δεχόμαστε ότι κινείται με σταθε­ ρή ταχύτητα υ =

70 Km/h.

Μπαίνει τώρα το πρό­

βλημα: Σε τι απόσταση από την πόλη Α θα βρί­ σκεται σε μισή ώρα από το ξεκίνημα, σε ώρα, σε

2

ώρες, σε

2 1/2

1 1/2

ώρες κ.λπ.; Οι απαντή­

σεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Διάστημα

Χρόνος

t (ώρες)

s

=υ·

τον ί:ναν κύβο δίπλα στον άλλο όπως φαίνεται

(Km)

στο σχήμα, οπότε προκύπτει Ενα καινούργιο στε­

t

ρεό (ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο), που Εχει όγκο

35 = 70. 0,5 105 = 70. 1,5 140 = 70.2 175 = 70. 2,5

0,5 1,5 2 2,5

Έχουμε δυο κύβους με την ίδια ακμή α (σχήμα

3). Ο όγκος του καθενός είναι α 3 • Τοποθετούμε

διπλάσιο από τον όγκο καθενός από τους δυο κύ­ βους. Δηλαδή μπορούμε να γράψουμε την ισότη­

α3

τα:

+ α = 2α 3

3

τ ην ισότητα αυτή μπορούμε

να την πάρουμε επίσης με εφαρμογή της επιμερι­

στικής ιδιότητας του πολ/ σμού ως προς την πρό­ Αν, λοιπόν, η απόσταση από την πόλη Α πα­ ρασταθεί γενικά με το γράμμα

s στη

= 70 · t.

Το

μή

t,

τότε θα είναι

s

χρονική στιγ­

s

δίνεται από

μια πολύ απλή αλγεβρική παράσταση που περιέχει

αριθμούς που συνδέονται μόνο μι: πολλαπλασι­ ασμό. Τί:τοιες αλγεβρικί:ς παραστάσεις ονομάζο­ νται μονώνυμα.

σθεση:

α3

= 1·α

3

3

+1· α

3

= (1

+ 1) · α

3

= 2·α • 3

Παρατηρούμε δηλ. ότι το άθροισμα των όγκων των δυο κύβων εκφράζεται με ένα μονώνυμο, το

2α . 3

Παίρνουμε τώρα δυο κύβους διαφορετικής ακ­

μής α και β αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα

(4).

'Αλλα παραδείγματα μονωνύμων

2 cm. Το 22 cm 2 = 4 cm 2 • Διπλασιά­ ζουμε την πλευρά του (4 cm). Τα εμβαδόν του θα 2 2 2 2 γίνει (2 · 2) cm = 2 • 4 cm • Τριπλασιάζουμε τη~ πλευρά του (6 cm). Το 2 2 2 2 εμβαδόν του θα γίνει (3 · 2) cm = 3 • 4 cm • i)

Έχουμε ί:να τετράγωνο πλευράς

εμβαδά του θα είναι

Γι:νικά: αν πολ/σουμε την πλευρά του αρχικού

2v

α3

+ β3

0-~

@

τετραγώνου με ν το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά

β3

α3

β

α

α

θα είναι:

v2 m 2 = 4 · v2 cm 2 • 2 Η αλγεβρική παράσταση 4 · v είναι ί:να μονώ­

στον κύβο με ακμή α, όπως φαίνεται στο σχήμα,

νυμο.

τότε θα προκύψει ένα στερεό με όγκο ίσο με το

(2v) 2 cm 2

=2

2

Αν τοποθετήσουμε τον κύβο με ακμή β πάνω

άθροισμα των όγκων των δυο κύβων. Δηλαδή

α3

+

β3 •

Είναι φανερό ότι το

α

3

+

β3

δεν

μπορούμε να το εκφράσουμε με τη βοήθεια μόνο

του α ή μόνο του β. Βί:βαια το α 3 , όσο και το β 3 εκφράζουν όγκο. Τ ους δυο αυτούς όγκους τους προσθί:τουμε και σημειώνουμε τον όγκο του νέου

στερεού με

α

3

+

3

β ,

χωρίς να μπορούμε να

βρούμε ί:να μονώνυμο που να εκφράζει τον όγκο

~6;;1 ·Ι

αυτό. Και στις δυο αυτί:ς περιπτώσεις μιλάμε για πρό·

ii) 'Εχουμε ί:να κύβο πλευράς α. Ο όγκος του θα είναι α 3 • τ ο α είναι ί:να μονώνυμο. 3

σθι:ση μονωνύμων και το αποτΕλεσμα μπορεί να είναι ένα νέο μονώνυμο ή μια νί:α αλγεβρική παρά-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1 / 26


σταση γενικά. Αυτό εξαρτάται από το γράμμα ή τα

ΓJ. Δίνονται τα πολυώνυμα:

γράμματα των μονωνύμων, καθώς και από τη δύ­

Ρ(χ, y) = 6x 2y - 3xy2 + xy - 2

ναμη στην οποία υψώνονται τα γράμματα.

Π(χ, y)

Μονώνυμα που πφιέχουν τα ίδια γράμματα

x 3y

και

5x 3y.

το αποτέλεσμα είναι ένα μονώνυμο όμοιο με εκεί­ να. Διαφορετικά παίρνουμε μια αλγεβρική πα­

ράσταση, όπου απλώς σημειώνεται η πρόσθεση δυο τριών ή πyρισσοτέρων μονωνύμων, οπότε μι­ λάμε για διώνυμο, τριώνυμο και γενικά για πο­

λυώνυμο. αJ

+

β3,

Π.χ. 4α2

β2

+

'Ωστε λοιπόν:

+

2αβ,

χ4

+

i)

Ρ(χ,

ΓίνΕται πια φα­

νερό ότι μόνο όταν προσθέσουμε όμοια μονώνυμα

2χ3

+

χ2

+

χ

3x2y + 5xy 2 - xy + 1

Βρείτε τα:

και στην ίδιά δύναμη αντίστοιχα τα λέμε όμοια

π.χ. 4α 2 και 2α 2 , ~

=-

y) + Π(χ, y) ii) Ρ(χ, y) iii) 2Ρ(χ, y) - 3Π(χ, y)

Π(χ,

y)

Γ4. Κάντε τις παρακάτω διαιρέσεις και τις δοκιμές τους:

i) (4χ 4 - 6χ 3 + 2χ 2 - 2χ + 2) : (χ- 1) ii) (2χ 3 - 9χ 2 + llx + 1) : (2χ - 3) iii) (- 2y 4 + 5y 3 - 4y 2 - 2y + 11) : (y 2 - 2y + 3) iv) (xV - 2xy3 + 2 + 2x 3y) : (χ - 4)

+ 2

Πολυώνυμο ονομάζεται η αλ γε­

βρική παράσταση nου nροκύπτει από πρόσθεση

Γs. Δίνεται το πολυώνυμο

Ρ(χ)

= (χ +

1) · (χ - 1) · (χ 3 + 2χ 2 - χ + 5) + + (- χ 2 + 4χ - 2) . (χ - 1) + 10 (χ - 4).

δυο ή περισσοτέρων μονωνύμων που δεν είναι όμοια.

Κάντε όλες τις πράξεις και αναγωγές και διατάξτε

Εδώ πρέπει να κάνουμε την εξής παρατήρηση: Στην αριθμητική προσθέτουμε ομοειδή πράγματα,

το κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του χ. Σ τη συνέ­ χεια κάντε την διαίρεση:

f(x) :

- 1).

όπως:

2 βιβλία + 4 βιβλία = 6 βιβλία 1 ποδήλατο + 3 ποδήλατα = 4 ποδήλατα

Γ 6· Βρείτε τα ακόλουθα αναπτύγματα:

i) (χ - 1) 2

'Ετσι λοιπόν και στα μονώνυμα λέμε:

2x3y2 + 4x3y2 = 6x3y2, 2

όπου τώρα το x 3y παίζει το ρόλο του αντικειμέ­ νου που εκφράζει ο αντίστοιχος αριθμός.

2.

ίν) ( ~ χ 3

+

ii) (2 + y) 2

1)

2

ν) (χ 2 - αχ) 2

vii) (-χ+ y) 2

Αφαίρεση -Π ο λ/ σμός- Διαίρεση μονωνύμων

Θα έχετε αντιληφθεί ότι τα μονώνυμα μια και είναι γινόμενα αριθμών, όπου μερικοί από αυτούς πα­ ριστάνονται με γράμματα πρέπει να ακολουθούν, όσον αφορά τον ορισμό των μεταξύ τους πράξεων και τις ιδιότητες, ακριβώς τους ίδιους κανόνες

iii) (4χ - 2y) 2

νί)

(- 3-

β) 2

viii) (-α- γ) 2

ix) [(α- χ) · (α+ χ)] 2 χ) (χ- 9) · (χ+ 9) xi) (χ- y + 1) 2 xii) (- χ+ β- γ) 2 xiii) (- 2χ- 3y- z) 2 χίν) (2 + α) 3 xv) (- 4 + β) 3

xvi) (-χ- y) 3

όπως και για συγκεκριμένους αριθμούς. Δεν θα

αναφερθώ περισσότερο στις πράξεις αυτές, αλλά

Γ7. Δείξτε ότι:

θα σας δώσω ασκήσεις. Μπορείτε εξάλλου να δι­

- 4) . (χ+ 4) + (χ -. 4) 2 + (χ 2 - 1) . (χ 2 + 1) + + 2 (4χ + 1) = (χ 2 + 1) 2

αβάσετε περισσότερα και στο σχολικο σας βιβλίο. Προτεινόμενες ασκήσεις και προβλήματα

Γι. Βρείτε για ποιες τιμές των κ και λ τα παρακά­

τω μονώνυμα είναι όμοια:

i) 4χ 5 και 6χκ+l ii) 2χλ-2 . YJ και iii) α2κ-3 . βλ-4 και

χ4-2λ 6ακ+1

Γs.

Ένα οικόπεδο έχει σχήμα, όπως δείχνει το

κατωτέρω σχέδιο, όπου είναι και σημειωμένα ορι­ σμένα μήκη σε

m.

Κάντε αριθμητική εφαρμογή για α =

. Υκ . β2-λ

m. β

Γ2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Α

= 4χ

5

4

2

+ 3χ 3 - χ + χ - 5, Β = - 3χ + 2χ 4 - 2χ 3 + 4χ + 3χ + 1, Γ = χ 5 - χ 4 + 6χ 2 - 4χ - 2, Δ = - 2χ 4 + χ 3 - 3χ 2 + 1. -

2

5

α

α

Μπορείτε να βρείτε τα:

i)

Α

+ Β iv) Γ -

ii) Δ,

Α

Μπορείτε να εκφράσετε το εμ­

βαδόν του οικοπέδου με τη βοήθεια των α και β;

+ Β+ v)(A -

Γ Β)

+

iii)

Α

-

-

Δ)

α

Β,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι

I 27

8 m,

β =

17


Μ.Κ.Δ.

Στην Παραyοντοποiηση

λέμε . . Ναι Αλλά yrati;

+ 1)

= χ • (χ

(είναι το γινόμενο των

κοινών παραγόντων στη μικρότερη δύναμη).

Ε.Κ.Π. = χ

+ 1)2

(είναι το γινόμενο των

κοινών και μη κοινών παραγόντων στη μεγαλύτε­ ρη δύναμη).

Β. Σ την απλοποίηση κλασματικής παράστασης Στην αριθμητική

Π. Χριστοφόροu

'Οπωc; ξέρουμε, για να aπλοποιήσουμε ένα αριθμητικό κλάσμα πρέπει να μετατρέψουμε τουc;

όρους του σε γινόμενα πρώτω\ι παραγόντων.

Σε τι μας χρειάζεται η παραγοvτοποίηση;

Για παράδειγμα έχουμε:

Παρακάτω θα δούμε μερικές τέτοιες περιπτώσεις.

22 . 3

12

22 . 3 22 3 2 3 • 2 . 5 = 22 . 2 . 5

Α. Στην εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π.

4ο = ~ =

Στην αριθμητική

Στην άλγεβρα

' Οπωc;

ξέρουμε, ένας τρόπος για να βρούμε

τον Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. των αριθμών

36

και

54

είναι να τουc; αναλύσουμε σε γινόμενα πρώτων παραγόντων, οπότε θα έχουμε:

παραγόντων στη μικρότερη δύναμη). 2

=

3 10

Έτσι και για να aπλοποιήσουμε ένα αλγεβρι­

κό κλάσμα πρέπει να παραγοντοποιήσουμε τουc; όρους του.

Για παράδειγμα έχουμε:

36 = 2 2 • 3 2 54= 2. 3 3 2 Μ.Κ.Δ. = 2 · 3 (είναι το γινόμενο των κοινών Ε.Κ.Π. = 2

3 10

= 1.

χ2 χ3

+ 12χ + 40χ 2

= ~.

3 3 (είναι το γινόμενο των κοινών

χ-

χ χ2

. (χ + 12) • (χ + 40)

χ + 12 χ

.

= 1.

χ χ

χ χ2

+ 40)

.

. (χ + 12) . (χ + 40)

χ

+

12

+

40χ

χ χ2

+

12

+

40χ

και μη κοινών παραγόντων στη μεγαλύτερη δύ· ναμη).

Γ. Στην πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Στην άλγεβρα

Έτσι και για να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. και το

Ε.Κ.Π. των πολυωνύμων χ

2

+

χ και χ 3

+

2

+

Στην αριθμητική

χ

'Οπωc; ξέρουμε, για να προσθέσουμε τα κλά-

θα πρέπει να τα παραγοντοποιήσουμε οπότε θα σματα

έχουμε: χ2

+ χ = χ . (χ + 1) χ3 + 2χ2 + χ = χ . (χ2 + 2χ

+ 1) = χ . (χ + 1)2

3 40

και

61

'

πρεπει να ανα

λ'υσουμε

τουc; πα-

ρονομαστές τους σε γινόμενα πρώτων παραγό­ ντων, να βρούμε το Ε.Κ.Π. τουc; και στη συνέχεια να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. 'Ετ σι έχουμε:

3 1 3 1 40 +6=~+2·3 = 3.3 1 . (2 2 • 5) (2 • 5) . 3 + (2 . 3) . (2 2 . 5) 3

'

-

3

-

(γιατι το Ε.Κ.Π. - 2 . 3 . 5) -

9 20 120 + 120 -

29

120

Στην άλγεβρα

'Ε τ σι και για να προσθέσουμε τα κλάσματα

χ

χ2 _

1

1

'

'

και ~ πρεπει να παραγοντοποιησου-

με τουc; παρονομαστές τουc;, να βρούμε το Ε.Κ.Π. τους και στη συνέχεια να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. 'Ετσι έχουμε:

__χ_ +-1__ χ χ2 - 1 χ + 1 - (χ - 1) (χ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1 / 28

+ 1)

+-1_ _ χ +1 -


+

χ (χ

- 1)

+ 1)

ντάς του θα πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν.

1 (χ- 1) (χ

+ 1)

Έτσι αν παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο 2χ

- 1)

2

+

2

= (χ -

(γιατί το Ε.Κ.Π.

·(χ

1)

Sx - 3 η εξίσωση 2χ + 5χ - 3 = Ο. μετατρέπεται

+ 1) )=

χ

στην (χ- ~)·(χ+ 3) =Ο. Για να είναι όμως το

χ-1

-----------+-----------(χ - 1) (χ + 1) (χ + 1) (χ - 1) χ+χ-1

(χ-

1)

2χ-

(χ+

χ2-

1)

γινόμενο (χ - ~ ) · (χ

1 1

πρέπει να είναι οπωσδήποτε ένας τουλάχιστον

παράγοντάς του ίσος με το μηδέν. Αλλά τότε από

την εξίσωση 2χ

Δ. Σ την επίλυση εξισώσεων δευτέρου και

σώσεις χ - ~

ανωτέρου βαθμού Για να επιλύσουμε στο

IR

μια εξίσωση πρώτου

βαθμού με ένα άγνωστο ακολουθούμε όπως ξέ­ ρουμε από τις προηγούμενες τάξεις τη γνωστή μας διαδικασία:

'

αντιστοιχα χ

2

=

+ Sx - 3 =

21

=

2( )

2 . (- 3) 2

κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και

' '

- 3

2

+ Sx- 3 =

'

τιμεc; ομωc; αυτεc;

του χ, δηλαδή οι αριθμοί ~ και -

~ +5 · ~

εκτελούμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού,

= - 3. οι

και χ

2

χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους,

Ο προκύπτουν οι εξι-

Ο και χ + 3 = Ο, που έχουν λύσεις

και της εξίσωσης 2χ

κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών,

• • • • •

ίσο με το μηδέν θα

+ 3)

3,

είναι λύσεις

Ο. Πράγματι ισχύει:

=Ο και

+ 5 . (- 3)- 3 =ο.

διαιρούμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης που

'Ετσι βγάζουμε το συμπέρασμα ότι για να επιλύ­

προκύπτει με το συντελεστή του αγνώστου.

σουμε στο

Για παράδειγμα έχουμε:

3

2

6 . 3 . (3χ - 1) - 6 . χ + 3 = 6 . _!_ (2χ + 3)

2

μια εξίσωση δευτέρου (ή ανωτέρου)

3

~

2

3 . 3 . (3χ - 1) - 2 . (χ + 3) = 3 . Vx-9-2x-6=&+9 ~ 27χ - 2χ - 6χ = 9 + 9 + 6 ~ 19χ = 24 ~

+ 3)

(2χ

να μεταφέρουμε όλα τα μονώνυμά τηc; στο πρώτο μέλος,

3 . (3χ - 1) - χ + 3 = _!_ (2χ + 3) ~

2

IR

βαθμού θα πρέπει:

να μετατρέψουμε το πολυώνυμο που θα προκύ­ ψει σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων,

• •

να μηδενίσουμε τους παράγοντές του και να επιλύσουμε τις απλές πρωτοβάθμιες εξισώ­

σεις που θα προκύψουν. Οι λύσεις τους θα είναι

~

οι λύσεις και της δοθείσας εξίσωσης. Έτσι βλέπουμε ότι με τη βοήθεια τηc; παραγο­

ντοποίησης η επίλυση μιας εξίσωσης δευτέρου (ή

24

ανωτέρου)

χ=19

απλών

βαθμού

εξισώσεων

μετατρέπεται πρώτου

στην επίλυση

βαθμού.

Αυτή

είναι

ίσως και η μεγαλύτερη προσφορά της παραγο­

Πώς θα επιλύσουμε όμως στο

μια εξίσωση

IR

ντοποίησης στην άλγεβρα.

δευτέρου ή ανωτέρου βαθμού; Και φυσικά αν για

παράδειγμα έχουμε την εξίσωση χ

2

=

Ο, είναι εύ­

κολο να βρούμε ότι η λύση της είναι χ = Ο, γιατί

είναι εύκολο να σκεφτούμε ότι 0 = Ο. 'Ισως είναι 2

επίσης εύκολο, αντικαθιστώντας τιμές στο χ, να

βρούμε και τιc; λύσεις της εξίσωσης χ = 1, που εί­ 2 1). ναι χ= 1 (γιατί 12= 1) και χ = - 1 (γιατί (-1)

2

Ασκήσεις που προτείνουμε

Γ9 • Μπορείτε να aπλοποιήσετε τα κλάσματα: α)

χ2

4

=

Για να βρούμε όμως τις λύσεις τηc; εξίσωσης

2χ 2

+ Sx -

+ χ+ 1 3 - Sx - 4χ + 5 9χ 3

και γ)

+

27χ 2

-

,

χ-

β)

χ4

+

2χ3

-

χ2

3

3 = Ο αντικαθιστώντας στο χ διάφορες

τιμές, είναι (όχι μόνο) δύσκολο (αλλά ίσως και ακατόρθωτο). Πώς λοιπόν πρέπει να σκεφτούμε σ' αυτή την περίπτωση; Ξέρουμε ότι ένα αλγεβρι­

κό άθροισμα, όπως είναι το 2χ + 5χ - 3, μπορεί

2

Γ ι ο. Μπορείτε να εκτελέσετε τις πράξεις: α)

να είναι ίσο με το μηδέν, χωρίς όμως να είναι ίσοι με το μηδέν οι όροι του, που στην προκειμένη πε­

β)

ρίπτωση είναι τα μονώνυμα 2χ , Sx και- 3. Αντί­ 2

θετα όμως, όταν ένα γινόμενο είναι ίσο με το μη­ δέν τότε οπωσδήποτε ένας τουλάχιστον παράγοΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

1-

χ2 -

χ2- χχ2-

3 9 +--3-, χ-

6 + 2χ + 1

9 χ+

χ2 +χχ2

χ

2

Sx + 3

+

I 29

3

3χ χ

γ) χ - 5χ 2 + 7χ - 6 + 25χ 2 - 9 + χ 2 τ. 1

-

------.,.-3- - - - - - - χ χ

-1 - 1


Γι7· Δίνεται το ορθογώνιο του κατωτέρω σχήμα­

Γιι. Μπορείτε να εκτελέσετε τις πράξεις:

1

α)

(

[2-

2 5/ - 20 -

χ

1 )] 10χ - 20 .

2

5χ 2 + 6χ -

χ + 2χ 2

2

και

11

2

έτσι ώστε ΓΕ =ΕΖ= ΖΔ =α

του ΑΔ

=

β

των α και β

)

β) (-;+!- χ2 + 2χ + 1 - χ3 + 2χ2 + χ : χ2-

τος ΑΒΓ Δ. Πάνω στη Γ Δ παίρνουμε τα σημεία Ε

χ +χ- 2

cm. Μπορείτε i) το εμβαδόν

Το ύψος

cm.

να βρείτε με τη βοήθεια του σχήματος ΑΒΕΖ;

ii)

το εμβαδόν του μέρους που μένει από το ορθογώ­

νιο αν αφαιρέσουμε το σχήμα ΑΒΕΖ;

4

·---· . χ+ 1' 2

9χ - 6χ

δ)

3

13χ

-

2

+ 1 + 15χ

Α

+6

χ-5

2χ - 3χ

Γ 12 . Μπορείτε να aπλοποιήσετε την τιμή της παρά­

Δ

στασης:

χ- 1 2 --------4 χ

χ-1

2 +-2--1 + χ-

3χ-­

1

; ·

δ)

χ4

(χ 3χ3

-

3χ2

από σανίδι (παρκέ) στα υπνοδωμάτια

2

τις εξισώσεις:

IR

ρείτε να βρείτε το συνολικό κόστος για τα πατώ­ ματα;

+ 3χ 2 - 2χ - 3 = Ο,

~ ) + ~ χ 2 = Ο και

I

Υπνοδωμάτιο

= χ;

I

I I

Δωμάτιο υποδοχnς

CJ'

Γι4. Μπορείτε να επιλύσετε στο β) χ7

χ6

γ)

(3χ - 1) · (χ - 2) = 9 · (3χ - 1)

δ)

χ

-

=

χ

Γιs. Αν

=

- 6) .

φ(χ)

+ 4) +

= - χ 2 +χ,

χ

· ρ(χ) + + 36 . (2χ

2

+ 36

μπορείτε να επιλύσετε στο

ο

a. I()

και

Ό

= ο;

Ρ(χ) = - χ 2

-

Υπνοδωμάτιο

εξίσωση Κ(χ)

Ε I{)

Μπάνιο

:f

I

I _ι

β

=

1-'f-

<]

τ

+ 1 και

2

IR την

α

:::::1.

2) [ (χ + 2) 3 - 1] + 1) - χ

φ(-

+

ο

- 1,

2

.

Υπνοδωμάτιο

τις εξισώσεις:

64χ6

Κ(χ)

χ4,

IR

α)

=

2

για το μάρμαρο και y δρχ./m για το σανίδι. Μπο­

3) - 2 · ( ; +

Γ

πατώματα από μάρμαρο. Αν πληρώνει χ δρχ/m

Γ 13 . Μπορείτε να επιλύσετε στο

γ)

α

το διάδρομο και το μπάνιο σκέmεται να φτιάξει

_!_ χ

β) 2χ 3

Ε

και το δωμάτιο υποδοχής (σαλόνι). Στην κουζίνα,

χ

1+

= χ,

α

Γ 18 • Στο κατωτέρω σχήμα έχουμε την κάτοψη ενός

. πατώταμα

--χ

χ3

αΖ

κτιζόμενου σπιτιού. Ο ιδιοκτήτης του θα φτιάξει

χ

α)

/1

2

+ -χ-χ 2--

3

+

Β

βrs:

χ - Sx 2

2

I

2m

γ

Κουζίνα

..1

J

β

ι

l

I

Ο;

Γι6. Στις παρακάτω παραστάσεις κάντε όλες τις πράξεις και αναγωγές:

i) (χ 2 + 2χ - 1) 2 + χ 2 (4χ + 1) - (χ + 2) 3

ii) (2χ - 4) . (2χ + 4) . (4χ 2 + 16) - (χ 2 + 2χ) 2 + + (χ - 2)3 . (χ + 2)3 •..,. iii) (2χ- y + 1) 2 - (2χ - y) 2 + (2χ + 1) 2 - (y + 1) 2 ίν) (3χ - 2y) 3 - (Sx + 2y) 3 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

Γιg. Έχουμε δυο ορθογώνια ΑΒΓΔ και Α 'Β Τ' Δ' με

' δ ιαστασεις

α,

β

και

1

3α,

3

'

αντιστοιχα.

Μπορείτε να βρείτε το λόγο των εμβαδών τους;

Γzο. 'Ε να τετράγωνο έχει πλευρά α και ένα άλλο

'

'

τετραγωνο εχει π

λ ευραι ιση ι

με

2

3

α.

βρείτε το λόγο των εμβαδών τους; τ.

1 / 30

Μπορειτε ,

να


Πι. Μια αγρότισσα νοικοκυρά

έχει κοτόπουλα και κουνέλια. 'Οταν βγαίνουν από την αυλή μετρά τα κεφάλια τους και τα βρίσκει

27,

μετρά και τα πόδια

τους και βρίσκει ότι είναι

68. Πό­

σα είναι τα κοτόπουλα και πόσα

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

Για όλες τις τάξεις

τα κουνέλια.

Γ. Ωραιόπουλος Λύση

α) Αν κάνουμε μια υπόθεση ότι όλα είναι κοτόπουλα τότε τα

πόδια τους θα ήταν

27 · 2 = 54.

Η υπόθεσή μας λοιπόν ήταν ψεύ­ τικη γιατί τα πόδια όλα είναι

68,

δηλαδή

πε­

68- 54= 14 πόδια

ρισσότερα. Αν αντικαταστήσουμε

1

κο­

τόπουλο με

1 κουνέλι τότε τα 54 4 - 2 πό­ δια. Επειδή όμως θέλουμε τα 54 πόδια να αυξηθούν κατά 14 πρέ­ πει να αντικαταστήσουμε 14 : 2 = 7 κοτόπουλα με 7 κουνέλια. 'Ωστε τα κουνέλια είναι 7 και τα κοτόπουλα 27 - 7 = 20. πόδια θα αυξηθούν και

β) Αλγεβρική λύση: Αν χ τα κοτόπουλα

χ είναι τα

27 -

τα δίδραχμα και δεκάδραχμα κά­

αλλάζει. Αλλά οι

νουν

θίστανται από

450

δρχ.;

Π3. Πληρώνουμε ένα ποσό δρχ. με

505

85 κέρματα της 1 δρχ., 2 10 δρχ. Αν ο αριθμός

δρχ. και

θεί κατά Λύση

και τα

85 μονόδραχμα. Το ποσό 85 δρχ. Θα έχουμε

δίδραχμο και

505- 85 = 420 Τραβάμε

4

δρχ.

68

έχουμε

2 . χ + 4 . (27 - χ) = 68 2 . χ + 108 - 4 . χ = 68 2 . χ - 4 . χ = 68 - 108

ή ή

ή

-

= - 40 ή

χ=

ή

χ

-40

= --

-2

20

Δηλαδή

πουλα και

20 είναι τα κοτό­ 27 - 20 = 7 τα κουνέ­

λια.

Επαλήθευση:

Τα κεφάλια

20 + 7 = 27 και τα πό­ δια τους 2 · 20 + 4 · 7 = 40 + 28 =68. τους είναι

Π2. Μπορείτε να διατυπώσετε και να λύσετε ένα παρόμοιο πρό­ βλημα κατά το οποίο

65

κέρμαΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1

I

31

4

μονόδραχμα με ένα

3

δεκάδραχμα.

'Εχομε λοιπόν

420: 28 = 15.

κέρματα της

την εξίσωση:

28 δρχ. 420 δρχ. τόσες

φορές πρέπει να αντικαταστή­

σουμε τα

χ). Και επει­

δή όλα τα πόδια είναι

περιέχονται στις

λοιπόν πληρώσει λιγότερα

κό πλήθος των κερμάτων δεν

4 · (27-

δρχ.

τότε θα είναι

4 πόδια.

Έτσι όλα τα πόδια εί­

420

'Αρα όσες φορές οι

α) Υποθέτουμε ότι δίνουμε

πλάσια των διδράχμων. Το ολι­

·χ+

δρχ.

δώσουμε;

πόδια εφόσον κάθε κουνέλι έχει

2

32 - 4 = 28

τ ο ποσόν όμως πρέπει να αυξη­

δρχ., αφού τα 10/δρχ. είναι τρι­

ναι

δρχ. αυ­

85

σα κέρματα από κάθε είδος θα

χ)

κουνέλια θα 'χουν

27 4 · (27 -

'Αρα το ποσόν των

ξάνεται κατά τη διαφορά

του αριθμού των δίδραχμων, πό­

χ

έχουν 2χ πόδια και τα

αντικα­

2. 1 + 10.3 = 2 + 30 = 32 δρχ.

των 10/δρχ. είναι τριπλάσιος

1 δρχ. και τα αντικατιστούμε με 1 κέρμα των 2 δρχ. και 3 των 10

κουνέλια. τ α χ κοτόπουλα θα

4 δρχ.

'Ωστε έχουμε δώσει μα,

15 · 3 = 45

85 - (45

15

δεκάδραχμα και

+ 15) = 85 -

μονόδραχμα.

δίδραχ­

60 = 25


β) Αλγεβρική λύση: 'Εστω

χ τα δίδραχμα, τότε 3 · χ είναι τα

ΛΥΤΕΣ

δεκάδραχμα αφού είναι τριπλά­ σια και επειδή όλα τα κέρματα είναι

85 τα

85 -

μονόδραχμα θα είναι

+ 3χ) = 85 -

Οι δρχ. των

δραχμων είναι

4χ.

3 ·χ

Β,.,''·

4χ δρχ.,

των χ δίδραχμων θα είναι δρχ. και των

Ασλανίδου Γεωργ/α (3ο Έδεσσας)

4χ μονό­

85 85 -

χ

δίου)

δεκάδραχμων

= 30 . χ

Επειδή όλο το ποσό είναι

νών)

Θα πληρώσουμε λοιπόν

45

δεκάδραχμα,

15 δί­ 25 μο­

νόδραχμα.

λήνης)

))

25δρχ.

30 ))

)) 450

σύνολο

))

)) 505 ))

του)

121 νομίσματα των 100 δρχ., των 20 δρχ. και των 10 δρχ. αξί­ ζουν 4.300 δρχ. Να βρεθεί πόσα νομίσματα είναι από κάθε είδος,

αν ο αριθμός των δεκαδράχμων διπλάσιος του αριθμού

των εικοσαδράχμων.

Π 5 • Να μοιραστούν

11.680

δρχ.

σε τρία πρόσωπα. τ ο πρώτο παίρνει διπλάσια από το δεύτε­

28,

29,

3ο

ΜΔ21,

"

Α,ο,

21

823

E3s,

Α.3, ••. 47, sι

29

Θαλασσί:λης Ιωάννης (Μυτιλήνη)

θε κοφίνι αν ο ολικός αριθμός

ΜΔι•, ι1

όλων των λεμονιών είναι μετα­ ξύ

500

και

600;

Υπόδειξη: Ε.Κ.Π. των αριθ­

μών

10, 12, 15

Π7.

Καραθανάσης Ανδρέας (2ο Διδυμοτεί­

χου)

Σχ.

1,

Σχ.

Σχ.

2,

Σχ.

3,

Σχ.

4,

5,

Σχ.6,Σχ. 7,Σχ.8

είναι ο αριθμός

Καστάνη Ελένη

(So Χανίων) Πανελ.

Μ.Δ. θέμα 2ο

Κουρεντζή Κατερίνα (2ο Καλύμνου) Γη,

Γαλακτοπώλης αγοράζει

από έμπορο

18

λίτρα γάλα. Για

ε,

34,

•.

36, 37

ΜΔ,3,

,., 28

(Σχ.

1 έως

Σχ.

8),

21

Κανέλλης Γρηγόρης (Γυμν. Παπάδος

Μυτιλήνη)

Βι

Α,,

•. s,

ι, ι8

να ελέγξει αν ο έμπορος το έχει

Κατηγιάννη

νοθεύσει με νερό, το ζυγίζει και

μπου)

βρίσκει το βάρος του

Κουλιουμπής Νίκος (Γυμν. Παπάδου)

18,45

κι­

λά. Γνωρίζοντας ότι ένα λίτρο

Π4.

21,

ο αριθμός των λεμονιών σε κά­

Επαλήθευση:

=

,.,

Ευαγγέλου Δημήτρης (Γυμν. Πολιχνί­

60.

25 κέρμ. της 1 δρχ. 15 » των 2 45 >> των 10

Β,,,

Διαμαντή Ευτέρπη (Γυμν, Μόρια Μυτι­

505

85 - 4 . χ + 2 . χ + 30 . χ = 505 ή - 4χ + 2χ + 30χ = 505 - 85 ή 28χ = 420 ή χ = 420 : 28 = 15

είναι

34, 35, 36, 37

Γεωργακόπουλος Σπύρος (59ο Αθη­

δρχ.

δρχ. σχηματίζουμε την εξίσωση:

85 »

Γ η,

Γ33, 34, 36 3χ

δραχμα,

28

Βούλγαρης Τάκης (Γυμν. Μαντουδίου)

θα είναι

10 .

21,

Αντωνιάδη Ελισάβετ (Γυμν. Μαντου­

γάλα ζυγίζει

κιλά, ανά

1,03

τρο νερό ζυγίζει

1 κιλό,

1 λί­

να βρε­

Α••.

Ει,2,3

Ελένη (Γυμν.

Πλατυκά­

47

ΜΔ1, ιι

Καλύβα Μαρία (Γυμν. Καισαριανής)

Γ. (αβ), 5, 6 (βγ),

11, 12, 13, 1416), 15 (αδ), 16

10,

Καφίρης Γρηγόρης (Γυμν. Ανδρίτσαι­

θεί αν υπάρχει νοθεία και αν ναι

νας)

πόσο νερό έριξε ο έμπορος;

Λύτρα Αργυρώ (Γυμν. Εmαλόφου)

Πs. Ένας μαθητής αγόρασε

Α,3,

18

τετράδια. Μερικά με

75 δρχ. το ένα και τα άλλα με 40 δρχ. το ένα. Αν. του στοίχισαν 965 δρχ. να βρεθεί ο αριθμός των τετρα­

δίων κάθε είδους.

Γ34

ΜΔ,ι,

21, 34, 3>

23,

24, 27

ΜΔι3, 23, ,.,

21

Λαζάρου Ευγενία (6ο Λαμίας) Βι,

(βδ),

,

3, •

(αδ)

1

(βγ) ιο (αβ)

Λουπατσάρης Παναγ. (Γυμν. Μόρια

Μυτιλ.)

Α19, 20, 21,

22, ''· 29,

3ο

Μαρκοπούλου Αθηνά (1ο Μελισσίων)

Γzι,

22,

η,

24, 25, 26, 21,

zs,

29, 30, 31

Μανωλιάδου Κατερίνα (3ο Ελευσίνας) 824, 27, 25, 26, 28, 29, 30

Μπιλλίρης Αντώνης (2ο Γυμν. Καλύ­

ρο και το δεύτερο τριπλάσια

Π9. Θέλουμε να καλύψουμε ένα

από το τρίτο.

μνου)

τοίχο με ορθογώνια επιφάνεια

ΜΔ.ι (μόνο δύο) ΜΔ,. (μπράβο για τους συλλογισμούς!!)

Π6. 'Ε να ς μανάβης έχει

νια που το καθένα περιέχει τον

420 cm 2 με πλακάκια ορθογώ­ νια διαστάσεων 5 cm · 3 cm, τε­ τράγωνα πλευράς 6 cm και ορ­

ίδιο αριθμό από λεμόνια. Πουλά­

θογώνια τρίγωνα με κάθετες

ει τα λεμόνια από το πρώτο κο­

πλευρές

φίνι ανά δεκάδες, εκείνα του

γωνα πλακάκια είναι διπλάσια

λου)

δεύτερου ανά δωδεκάδες και

από τα τετράγωνα και όλα τα

ΜΔ,ι,

του τρiτου ανά δεκαπεντάδες.

πλακάκια είναι

Μετά την πώληση μένουν σε κά­

από κάθε είδος; Μπορείτε να κά­

θε κοφίνι

νετε το σχέδιο;

3 λεμόνια.

3

κοφί­

Ποιος είναι

6 cm, 3 cm.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

25

Αν τα τρί­

πόσα είναι

32

ΜΔ21. ,.

ΜΔ,.

Μπίντση Ελένη (1ο Πτολεμάιδας)

Α.,, 43, ••. 47, 48, so, Επαναλ. 1, 2 Μαλαματίνας Ηλίας (4ο Μυτιλήνης)

Α,, 3, •. s, •· 8, ι ι, ι3, ιs

Βι,, (β), 3 ΜΔ.

:Ξ:υνογαλά Νικολέτα (Γυμν. Μηλέων Βό­

Et9, 2ι, ''· 23, ,, Α,, • Β, •. ,, 23 (μόνο δυο τα δικά μου), ΜΔ,,

Παναγάκος Γρηγόρης (2ο Διδ/χου)

ΜΔι9,

ΜΔ,ι, ι3, ,., "· ,., "

Πινάκης Ελευθέριος (4ο Μυτιλήνης)

Α.,, 43

τ. Ι /

Γη, 34, 3s, 38, 39, 37


Παπαδοπούλου Παρασκευή (2ο Πτο­

Βουραζέρης Στράτος (46ο Αθηνών)

Παππάς Δημήτρης (2ο Γ ρeβeνών)

λεμαίδας)

Γη. 34. 1~. 36,

Ε,, •.

Ει9, 20, 21, 22, 21, 24, 2~. 26,

2, 3, 4, ~- 6 827, 28,

Αι,

21

11

ΜΔ28

1 ...

2~. ,,

Αι9, 20. 21 .... 1ο. 34 ... n. 38 '•· 25, 21, ,,

Γεωργιακάκηc; Πέτρος (23ο Αθηνών)

Βιs.

Παπάζογλου Χρήστος (Βαρβάκειο Γυ­

Γ 33, 34, "· 36, 37

Πίλληc; Δημήτρης (Γυμν. Γραβιάς)

μν.)

Γελαγώτου Μαρία (Γυμν. Μανταμιά-

Πελεκούδαc; Θοδ. (Πειραμ. Κοζάνης)

ΜΔ21. "· "· 21. 28

δος)

Παπαλεκάκοc; Γιάννης (9ο Ν. Λιόσια)

ε~. 6 ... Ι~. 16, 18

Γερογιάννη Σοφία (5ο Λάρισας)

Πινάκηc; Ελευθέριος (4ο Μυτιλήνης)

Ει9, 2ι. 22

Ει9, 20, 21, ''· "· ,., "· ,.,

Παπαβασιλείου Βασίλης (5ο Ζωγρά­

Ειs, 20, 21, 23

τα)

Σελιμάc; Γιώργος (1ο Αγρινίου)

Γ 33, 34, 36, 36, 37

Γη. 34

Γη,

34, 36,

29,

ΜΔι9, ''· 22. , •. 2~. 21. 2s Α,ο, 22, 2~. 26

11

Σιδέρης Αλέξανδρος (Γυμν. Παιανίας) Γ33, 34, 1~. 36,

Ε,,, ''· 21. 2•. 2~. ,.

ΜΔ21. ''· 10

Σαράφογλου Χαραλ. (1ο Καισαριανής) Γ 33,

Β,.

34, 36, 37

ΜΔ,,,

,.,

21

Τάρλαc; Γιάννης (Μαντούδι Ευβοίας)

Γη. 34, 1~. 36, 37 (- 36ω = - 18 ~ω= ~

Β,., 21 (το

ii είναι συνάρτηση), Β,,, ΜΔ21, ,. (45 χειραψίες) ΜΔ21 (δυο πό­

δια πάνε στην πόλη) Τσεκμί:ζογλου Φωτεινή (Γυμν. Παιανi­

ας Αττικής) Βι~ ι ι.~. 1, 1~1. ι•. (χ = 21) Β,, ι, 2, 3, 4, ~. 6, 1

ι9, 20, 21,22

11,

Τζιουβάρα 'Αννα (Γυμν. Μουζακίου

Καρδίτσας) Ε,,, 10, "· 1~ Α~ι. ••. 48, 49, Ε., Α5ο Β, ΜΔ". 12. 34 Τσουκαλάς 'Αρης Γ21, 22, 23,25 (α) ΜΔΙ3, Τmρώνη Μαίρη (4οΑyρινίου)

Γ•.

1,

ιο,

11,

ΜΔ,ο. 21, 21, 2•. 2s

Στράτος Επαμ. (Γυμν. Κατοχής)

Β1ο

Τσιψτσήc; Νίκος (4ο Θεσ/νίκης) Αι9, 20 ...

ΜΔ12. 13, ι•. ι6, ι1

11, 38, 39,

Ει9, "

11, 22, 33 = 66 και όχι 726)

Ε~. 6,

1 ...

ι6, ι1, "

Ε21. 22. 23, , •. 2~.

ΜΔ,ο,

21, 28

Κορυδαλλού)

(Σχ.

Δερεκενάρης Γρηγ. (1ο Τυχερού)

Σχήματα ΜΔ 24 , 25

ΜΔ21, 22, "· ,., "·

τούσαν)

21

Δροσί:λτηc; Αλεξ. (Γυμν. Σερρών)

Ταγαράς Γιώργος (62ο Αθηνών) Γ33, 35,36

ΜΔ1ο, 34, 37, "· 39,

ΜΔι9, 21. 22. "· 28

~- 3ο, 31

813, ι~ (αγδ), ι6, ι9, 21,

Γ 33 , ... 37 (χ= 3, y = 2)

21

(lo

'Αρτας)

Τσεκμί:ζογλοu Φωτεινή (Γυμν. Παιο­

Κατσαραίου Ευγενία (Γυμν. Κατοχής)

νίας)

Γ"· 34,

35,

Τσόπελα Κων/να (Ελλ. Παιδεία)

36,

11

Β,.

41

Κρουσουλούδη Ευφροσ. (Γυμν. Καλλιμα­

Ει9, 20, 21. 22,

21, , •• 25,

26,

21

Λιάππη Δήμητρα (2ο Διδυμοτείχου)

Ει9, 21, "·

28, 29,

25

Λιναρίτηc; Γιαν. (Λεοντ. Πατησίων) 2, 3, 4

24,

Β.., 3ο

σεδ. εξωφύλλου

"· 11

Μπαζούλαc; Θωμάς

Ε2ο, 21, 21. 24, 2~. 26 21

Α,, 3, •

(lo 'Αρτας)

~.30,31

Τμήμα Βι (δουλειά ομάδων): Ασκήσεις

Μπουκουβάλας Λαμπ. (Ίο Καλλιθέας)

Βι-Β~ χρονιάς

Ε2 ι,

22, 23, 24

Τμήματα Γι-Γ, (δουλειά ομάδων): Ασκή­

Μαλινέσκου Μαίρη (2ο Αθηνών)

σεις Γ' τάξης 1ου

Γ3ι (γ), 25 (α, β, δ, ε, η)

- 2ου τεύχους χρονιάς

Μπούρα Ευαγγελία (18ο Αθηνών)

Ανώνυμο

Α••. 47, 48, 49, so, sι

Γ,ι, 22 (α, β), " (α, γ), 24

Αποστολοπούλοu Μαρία (4ο Καρδί­ τσας)

Γ33. 34, "· 36, 37 (Λείπει η επαλήθευση) Αλμπάνη 'Αννα (3ο Έδεσσας)

3

,.

(2

5

13

=

5

και όχι

για τα άλλα κλάσματα)

5

Ε,,

Νικολακοπούλοu Δήμητρα (18ον Α­

θηνών)

23,

Το ίδιο και

Γ,,, 22, 23, 24

Νικολόποuλοc; Αποστ. (Λεοντ. Πα­

τησίων)

Ει9, 20, ''· "·

21

Παναγάκοc; Γρηγ. (2ο Διδυμοτeiχου)

Ε5, 6,

1,

s

Π.Μ.Δ.,,

Α28, 38 (το 37 να ξαναδουλευτεί) • (μισό)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι /

33

34,

Ε21, 22,

21, ,,

ΜΔ"

35,

36, 37

23, ,., "·

26

Γη, 34, 35, 36, 37

Ψαρρού Κούλα 27,

'Αρτας)

ΜΔ,ο, 21,

Χατζηζήσηc; Λαμπ. (Γυμν. Δeσκάτης)

νων)

10, 11

(lo

37

Χατζηαγάπογλου Αvαστ. (9ο Πετραλώ-

λιδιού)

1987-88.

Ε21, 22, "· 24 Γ η.

35, 1•. 11

Γ33, 34, "· ,.

35, 36,

Χαραλαμπίδου Δεσπ. (1ο Γιαννιτσών) Χατζηεμμανοuήλ Δημ. (2ο Καβάλας)

Λαγού Ευγενία (2ο Φιλιατών)

σεις Α' τάξης 1ου

(Συντεταγμένες)

30, 3I

Γ 33, 34,

Μαρκόπουλος Θεοδ. (Γυμν. Πετα­

1986-87

27, 28, 29,

Α••. •1

Τμήμα Αι (δουλειά με ομάδες): Ασκή­

1987-88

26,

Τσιχλάκη Αρετή (62ο Αθηνών)

6ο Γυμνάσιο Θεσ/νικηc;

- 2ου τεύχους χρονιάς

25,

Κατηγιάννη Ελένη (1ο Πλατύκαμπου)

Γ 33, 34, 3~.

ΜΔ", 34

21

Τσάκωνα Ρόζα (Λeοντ. Πατησίων)

31,

Ε~. 6,

12, 11, ι•. ι~. 16,

2•.

Β,.,

ΜΔ1ο,

Μίχοc; Βασίλης (Γυμν. Κατοχής)

11,

25,

Κουκούληc; Τόμης (4ο Καρδίτσας)

Ψαρρόc; Μιχάλης (4ο Μυτιλήνης)

8, 9, ιο,

Β,.,

Α. •. 47, 48, 49, ~ο

Ει9, σελ.

1,

B,g_ 3ο (2χ = 3χ- 30),

Ει9

21

Μωϋσί:γκοc; Φώτ. (Γυμν. Μετεώρων)

ΜΔ, •. ι1 Α••. 47, ~ο. ~ι .•,. 43, ••

31

Α1ο, ''·

ρυδαλλού)

10, "

21

Τρακόλη 'Αννα (1ο Έδεσσας)

Μπαγεώργοc; Λαμ.

25, 29,

Ει9, 21, 24,

Δημομελέτηc; Κωστ. (3ο Ελευσίνας) Ζαρκάδα Αλεξάνδρα

,.,

Τσαρβέvα Αναστ. (3ο Έδeσσας)

Χονδροκούκη Βενετία (6ο Γυμν. Κο­

Β,.,

(Οι γάτες δεν περπα­

Β38, 39, 34, •ι .•,, 43, ••

Αι,

3 - 3/24)

Μ.Δ.3ι

Σταθόπουλοc; Γιώργος (Γυμν. Κοζάνης)

21, 21

Β, •. ''·

Χονδροκούκης Παναγιώτης (6ο Γυμν.

37

ΑΑ~ι. 46, 47, 48, 49, so

Β,•. ''· 26.

Γ 33,

36, 37

JJ

Ει9. 20 [μ.κ.δ. (70, 112) = 14]

''· 21

Χαβιάρα Σοφία (18ο Αθηνών)

3s,

36,

3ο, 31, "·

29.

Σοuλακί:λληc; Μαρ. (Γυμν. Πλωμαρίου)

Λεωνίδου Ελένη (3ο Καβάλας)

34,

Γ 33, 34, 3~.

Β28,

Δεληγιάννη Βίκυ (1ο Πτολεμαίδας)

Γ η. 34,

12, 13, 14, 16, 17, 18

Π.Μ.Δ. ι. 2, 3, •

Γκατζηρούλη Αμαλία (Νίκαια Λάρι­

σιάς)

14, 17

Γ2ι. "· 2•. 33

σας)

Β, •. "· 26, 21. 28

Τραπουζανλήc; Χρίστος (Μυτιλήνη)

φου)

ΜΔ2ι

Ρίβαc; Ιωαv. (Γυμν. Δεσκάτης)

Δρόσος Χρίστος (4ο Δάφνης)

και όχι ω= 2)

,~

Γη. 34 (εξαίρε­

21

Γαρμπή Μαρία (Γυμν. Κατοχής)

(Ε.Κ.Π.

11

Σαράφογλου Χαρίκλεια (1ο Καισαρια-

νής)

Γ25, 26, 31

"· 29, 3ο Μ.Δ.,,,

Αι9,

20, 21, 22.

23,

24,

25,

26,

28,

29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39,

Ψαρρόc; Μιχ. (4ο Μυτιλήνης)

Ει9.

20. 21. 22. 23. 24. 2s. 26

824. 2s

ΜΔι9.

22.21


Η στήλη φίλοι μας, δεν μπορεί ν'

Τα Μαθnμαηκά

αρχίσει αλλιώς, παρά μόνο με

τα θέματα ποu της στέλνετε. Εξάλ­ λου αυτό είναι το ελάχιστο που

μπορεί να κάνει, για να ευχαριστή­

μας διασκεδά~οuv

σει τους τόσους πολλούς φίλους της για την προτίμηση που της δεί­ χνουν.

Αυτή η προτίμηση στα θέματα,

Κ. Γαβρίλnς

δεν είναt ανεξήγητη. Περιέχουν, όπως γράφετε, πρωτοτυπία, χιού­

μορ, μυστήριο και κυρίως είναι έξω

χρήματα για να πληρώσουν το δα­

και μεταξύ άλλων πως μια αποικία

απ' τα καθιερωμένα σχολικά μα­

σμό εισαγωγής, ο Α πλήρωσε το

παράγει κάθε χρόνο τέσσερις και­

θηματικά. Είναι με μια λέξη «δια­

δασμό του με

νούργιες. Με το δεδομένο ότι καμ­

σκεδαστικά».

με

2

Αλλά ας αρχίσουμε.

Η στήλη σας εύχεται κατ' αρ­

και ο Β πλήρωσε με

κιβώτια τσιγάρα και πήρε πίσω

σαν ρέστα

χήν ΚΜΗ ΧΡΟΝΙΑ.

5 κιβώτια τσιγάρα και

400 δραχμές 400

δραχμές. Να βρεθεί

η αξία κάθε κιβωτίου τσιγάρων, κα­

Και όπως έχει πλέον καθιερωθεί «Αγαπητό μου περιοδικό σε δι­

αβάζω με μεγάλη ευχαρίστηση. Σε συγ­

ο Γιάννης ΘαλασσΕλης απ'

χαίρω για τη βοηθητική σου ύλη. Είμω

τη

Χρυσομαλλούσα Μυτιλήνης μας

απ' το Γυμνάσιο Ιτέας Φωκίδος. Πηγαί­ νω Α' Γυμνασίου στο Α.. Δημιούργησα

γράφει:

μια πονηρή και δύσκολη άσκηση και

πρώτα, έχω να σας

αποφάσισα να στη στείλω. Σε παρακα­

πω για ένα δικό μου πρόβλημα. Λοιπόν

λώ στείλε μου την κρίση σου και την

·

νέες;

Ο Γιάννης Τοvλής του

lου Γυμνασίου Κορδελιού Θεσ/κης μας στέλνει την εξής άσκηση: «Κοιτάξτε με προσοχή τι παρι­

στάνουν τα παρακάτω σύμβολα και δώστε την απάντηση.

εντύπωσή σου. Σε παρακαλώ στείλε μου

ακούστε το:

Πρόβλημα: Εξακόσιοι οπλοφόροι

κάτι αναμνηστικό ή διαφημιστικό σου. Φιλικά

φυλάνε ένα φρούριο (σε σχήμα ορ­

Βασίλης Σύρος»

θογωνίου). Ξαφνικά πολιορκήθηκε από ληστές. Για να τους διώξουν,

Η άσκηση

Έχουμε την ισότητα α

πήραν αμέσως τέτοιες θέσεις, ώστε

+ β = γ.

από κάθε πλευρά του φρουρίου να

Με βάση αυτή να λυθεί το μαγικό

μπορούν να ρίχνουν ταυτόχρονα

τετράγωνο που είναι παρακάτω:

200

5 χρόνια πό­

σες aποικίες θα έχουμε, παλιές και

(ΜΔs) (ΜΔJ)

χουν θέματα για δημοσίευση. Έτσι

«Πρώτα

μπορείτε να βρείτε στα

θώς και ο δασμός εισαγωγής του.»

αρχίζει με τα γράμματα που περιέ­

(ΜΔ 1 )

μιά αποικία δεν καταστρέφεταt,

βολές. Πώς όμως έγινε αυτό,

αφού οι οπλοφόροι είναι

600; 7,5

Αυτά είχα να προτείνω προς τον

6,7 -

Φίλε Γιάννη ρωτάς

va

σ' ενημερώ­

αγαπημίΞνο μου «Ευκλείδη».

σουμε σχετικά με την εγγραφή σοιι σαν

(ΜΔ 2 )

ρείς πολύ εύκολα να στει'λεις μια ταχυ-

συνδρομητή του περιοδικού μας. Μπο­ «Αγαπητέ Ευκλείδη

5,3

Σου γράφω για να εκφράσω το θαυ·

4,2

6ρομική επιταγή με το αvτίτιμο των

μασμό μου για σένα ... Η αγαπημένη μου στήλη είναι «Τα μαθηματικά μας δια· σκεδάζουν» θέλω να γίνει πιο πλούσια και μεγαλύτερη ποικιλία προβλημάτων. Γι' αυτό σου στίΞλνω ένα πρόβλημα, να το δημοσιεύσεις. Με αγάπη ο φίλος σου

Γ ρηγόρηc; Παναγάκοc; Α, 2ου Γυμνασίου Διδ/χου

4

τευχών στη διεύθυνση της Ε.Μ.Ε. Πε­

-

τι λέτε φίλοι μας, τοιι στέλ νοιιμε στα

επόμενα τεύχη, μαζf με τη λύση της άσκησης και την κρίση μας και την εντύ­

πωσή μας γι' αιιτή; Θα χαρεί πολύ ο Βασι'λης.

Τώρα άλλα αvαμνηστικά,

εκτός απ' το ίδιο το περιοδικό και τις σχέσεις σοιι μ

'

αυτό δεν έχουμε Βασίλη,

να σου στείλουμε, ούτε δυστυχώς δια­

Πρόβλημα: Δυο φίλοι ναυτικοί Α

φημιστικό. Σοιι υπόσχομαι όμως να το

και Β μπαίνουν με το βαπόρι στο

σκεφτούμε για το μέλλον.

ρισσότερες πληροφορί~ς θα· βρεις στο εσώφυλλο του περιοδικού μας ή απ' τον

καθηγητή σου.

(ΜΔ6)

Η Ανδρεάδοv Μαρία απ'

το Γυμνάσιο Τυχερού Έβρου μας στέλνει τα εξής χιουμοριστικά.

1)

Ποιο είναι το παιδί του πατέ­

ρα σας που δεν είναι αδελφός σας;

2) τίνος η μύτη δεν πιάνει ποτέ

οποίο εργάζονται στο λιμάνι του

συνάχι;

Πειραιά, φέρνοντας μαζί τους, ο Α

(ΜΔ4)

64 κιβώτια τσιγάρα και ο Β 20 κιβώ­

4ου Γυμνασίου Μυτιλήνης μας γρά­

Ο Μιχάλης Ψαρρός του

τια με τσιγάρα της ίδιας αξίας.

φει πως διάβασε σ' ένα βιβλίο, για

Επειδή δεν είχαν μαζί τους αρκετά

κάτι μέλισσες στη Νότια Αμερική,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1

I 34

3)

Τι χρειάζεται για ν' ανοίξει η

πόρτα;

(ΜΔΊ)

Η Αθηνά Αγιασσωτέλη


του Γυμνασίου Μόριας Μυτιλήνης

να είναι ο

μας γράφει στο γράμμα της.

λοιπόν πως διάλεξε τους αριθμούς

«Είναι η πρώτη φορά που σε παίρνω

3487 5672 6392

και εντυπωσιάστηκα. Πραγματικά μου

έδωσες μια εύκολη λύση, στις ελεύθερες

ώρες μου και το πιο καλό αρχίζω να συ­

0574 2005 4782

μπαθώ τα μαθηματικά ακόμα περισσό­ τερο»,

μας στέλνει και το εξής θέμα:

8101 2585

Χρησιμοποιώντας τους αριθ­

μούς

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9

μόνο

μια φορά τον καθένα συμπλήρωσε το τρίγωνο ώστε κάθε πλευρά να 'χει άθροισμα

17.

Αν υποθέσουμε

86.782.

, Εσείς τότε διαλέγετε τους αριθμούς 6790 6512 4327 3607 9425 7994 5217 1898 7414

χη. Οι

φία τους eχουν άθροισμα

86.782 οι 8 τε­

μεγαλύτερο π.χ.

· προστεθούν 19

6790 προκύπτει απ' το άθροι­ 86.782 που θέλετε να βγει προ­ σθέτοντας το πρώτο ψηφίο 8 στο ψηφίο των μονάδων 2.

Και κάτι τέτοιο θα γίνει με το θέμα που ακολουθεί.

86782 - 6782 + 8 = 6790

Δηλαδή

Οι υπόλοιποι στοιχούν στους

8

8

αριθμοί αντι­

που διάλεξε ο φί­

λος σας ως εξής: Στον αριθμό

του φίλου

3487

σας, aντιστοιχίζετε τον αριθμό 6512 ώστε τα αντίστοιχα ψηφία των δυο αριθμών να 'χουν άθροισμα ψηφία μονάδων: ψηφία δεκάδων: ψηφία εκατοντάδων: ψηφία χιλιάδων:

9.

7 +2 = 9 8+ 1=9 4+5= 9 3+6= 9

97.638.745 τότε

3.876.481

+ 5.938.735 +

+ 4.548.367

(διαλεγμένοι στην τύχη απ' το φίλο σας)

+

7.638.754 (προκύmει απ' το 7.638.745 + 9 του αναμενόμενου αθροίσματος) + 6.123.518 + 4.061.264 + 1.263.514 + 5.426.174 + 5.026.157 + 6.920.614 + 7.615.604 + 6.340.261 + 5.451.632 (οι αντίστοι­ χοι των 9 αριθμών του φίλου σας) = 97.638.754. Τώρα ίσως και εσείς να ρωτάτε πώς γίνεται αυτό; Ε, ας αρχίσετε την eρευνα πρώ­ τα με μικρούς διψήφιους αριθμούς.

Ομοίως στον αριθμό

5672 aντι4327, στον 6392 τον 0574 τον 9425 κ.λπ.

στοιχείτε τον

3607,

στον

Τώρα το ότι ο φίλος σας είναι Ζητείστε απ' το φίλο σας να δι­ αλέξει έναν αριθμό με όσα ψηφία θέ­

υποχρεωμένος να διαλέξει ακριβώς

8

τετραψήφιους (το Ο μπορεί να

λει. Για παράδειγμα ας πούμε πως

'ναι ψηφίο οποιασδήποτε τάξης)

διάλεξε τον αριθμό 86.782. τότε του

ωφείλεται στο γεγονός ότι πρώτο

ανακοινώνετε πως παίρνοντας

ψηφίο (των δεκάδων χιλιάδων) του

8

τετραψήφιους αριθμούς, όποιους θέ­

λει αυτός, μπορείτε να βρείτε και εσείς

9

τετραψήφιους, ώστε το

άθροισμα των

17

αυτών αριθμών,

αθροίσματος

86782

είναι το

8.

Αν μας ζητήσει να βγάλουμε το άθροισμα διαλέξει

3

348

θα απαιτήσουμε να

διψήφιους στην τύχη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι

I

35

θα

επταψήφιοι.

+ 8.736.485 + 4.573.825 + + 4.973.842 + 3.079.385 + + 2.384.395 + 3.659.738 +

σμα

νως το στόμα του, και ν' ακούτε

την ερώτηση: «Πώς γίνεται αυτό;».

9. Δηλαδή

π.χ.

9 αριθμοί όμως που θα διαλέ­

βλέπετε το φίλο σας ν' ανοίγει με έκπληξη τα μάτια του και ενδεχομέ­

και

άθροισμα να 'ναι όσο το δυνατόν

τος

ασχοληθείτε. 'Εχει ενδιαφέρον να

+3

χήσετε τους αριθμούς, που τα ψη­

ξετε εσείς δεν είναι τυχαίοι. Ο πρώ­

Είναι ο τίτλος του θέματος που

48

στους τρεις δικούς του θα aντιστοι­

άθροισμα. Ενδιαφeρον eχει το

τραψήφιοι πράγματι είναι στην τύ­

ακολουθεί και που σας προτείνω να

που προκύπτει απ' τον

86.782.

που θέλει να βγει καθώς και

9

51

με την πρόσθεση

μπορeίτε να βρείτε οποιοδήποτε

σας δηλαδή το άθροισμα

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ

348

Και όλοι μαζί έχουν άθροισμα

Οι αριθμοί που διάλεξε ο φίλος

ΠΑΙΖΟΝΤ ΑΣ ΜΕ τΙΣ

Εμείς θα βάλουμε στο άθροισμα τον αριθμό


τα πρgβλήμαrα με εξ1σώσε1ς

μας δ1ασκεδά~οuv 1.

Π. Τελώνης

Τρεις φίλοι ξεκίνησαν την αυγή να πάνε για κυνήγι. Στο δόμο τους

όμως, χρειάστηκε να περάσουν ένα ποταμάκι γιατί από πληροφορίες που εi· χαν, η απέναντι όχθη είχε λαγούς. Αλλά για μεγάλη τους ατυχία, καθώς

περνούσαν το ποτάμι, βράχηκαν οι φυσιγγιοθήκες των δυο της παρέας.

-

Φτού, να πάρει η ευχή, ακούστηκε κι από τους δύο. Τώρα η κάνουμε;

Απλούστατα θα μοιράσουμε τις δικές μου σφαίρες, λέει ο τρίτος.

Και αφού μοίρασαν τις σφαίρες και μόλις που είχαν προλάβει να γεμίσουν τα τουφέκια τους, να και ο λαγός.

Μπαμ, μπουμ, μπαμ, μπουμ, γινόταν χαμός, «Βρε τι κάνεις εκεί, εμένα ση­ μαδεύεις, ο λαγός είναι από εκεί. .. », Μπαμ, μπουμ ... Τελικά ο καθένας τους έριξε από

4

τουφεκιές, σήκωσαν ένα καπνό από σκόνη αλλά ο λαγός δεν

φαινόταν πουθενά.

-

Μπράβο μας παιδιά, τα καταφέραμε να μας ξεφύγει. Πόσα φυσίγγια

έχουμε ακόμα;

Και μετρώντας τις σφαίρες τους, είδαν όη ο συνολικός αριθμός τους, ήταν ίσος με τον αριθμό των φυσιγγιών που είχε ο καθένας τους αμέσως μετά τη μοιρασιά. Πόσα να ήταν άραγε τα φυσίγγια που μοιράστηκαν μεταξύ τους;

2.

Δύο φανατικοί παίκτες τάβλι, ο κ. Γιώργος και ο κυρ-Αντώνης, συμφώ­

νησαν τα εξής: Εκείνος που θα χάσει την παρτίδα να δώσει, εκτός από τους καφέδες (!), τα μισά από τα χρήματά του που έχει εκείνη τη στιγμή και

1

δραχμή ακόμα. Τ η στιγμή που άρχισε το παιχνίδι και όλο το καφενείο είχε μαζευτεί γύρω και

... από

πάνω τους, και οι δύο ταβλαδόροι είχαν το ίδιο

ποσό χρημάτων.

Και η παρτίδα αρχίζει. Αγωνία. Μετά από μισή ώρα σκληρού αγώνα, το σκορ είναι

5-5

και παίζουν πλακωτό. Κάποια στιγμή ο κ. Γιώργος αναγκάζει

τον κυρ-Αντώνη ν' ανοίξει τη «μάνα» αλλά μόνο με

6-5

μπορεί να την «πιά­

σει». Παίρνει τα ζάρια ο κ. Γιώργος, τα κουνάει καλά, καλά, τα κανακουνά­ ει, η αγwνία κορυφώνεται σε όλους και .. τα ρίχνει:

6-5.

Το τι έγινε στο καφενείο δε λέγεται! Ο κυρ-Αντώνης έχασε την παρτίδα, και ήταν και ο πιο νευρικός, και έκανε και δηλώσεις ...

-

Βρε Αντώνη, και συ έλεγες ότι θα τον κάνεις έτσι κι αλλιώς ...

Πυρ και μανία ο κυρ-Αντώνης. Του θίχτηκε η τιμή του ταβλαδόρου. Οπό­ τε στη δεύτερη, τώρα, παρτίδα, ο φανατικός μας παίχτης βάζει τα δυνατά του και καταφέρνει στο τέλος να κερδίσει,

7-4 το

τελικό σκορ.

Ησύχασε το καφενείο. Ήταν δυνατό, έλεγαν, ο κυρ-Αντώνης ... Και μάλι­ στα όταν μέτρησαν στο τέλος τα χρήματά τους, ο κυρ-Αντώνης είχε τα δι­

πλάσια χρήματα από τον κ. Γιώργο! Πόσα χρήματα να είχε πάνω του ο καθέ­ νας στη αρχή του παιχνιδιού;

3. Σε μια άλλη παρτίδα, πόκερ όμως αυτή τη φορά, ένας παίκτης χάνει 3/5 των χρημάτων του αλλά στη συνέχεια κερδίζει το 1/4 των όσων χρημάτων του είχαν μείνει. Τελικά έχει 180 δραχμές. Πόσα χρήματα να στην αρχή τα

είχε άραγε στην αρχή;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1

I

36


4. Ο σκύλος, ο Πλούτο και ο Μπαγκς Μπάvυ, αποφασiζουν να παρα­ 2 πηδήματα το δευτερόλεπτο, ενώ ο Πλούτο, 4 πηδήματα το δευτερόλεπτο. Τη σηγμή όμως που αρχίζει ο αγώνας, ο Μπαγκς Μπόνυ είναι ήδη 30 πηδήματα μπροστά. Μετά από πόσα βγούν στο τρέξιμο. Ο Μπαγκς Μπόνυ κόνει

δευτερόλεπτα θα φτάσει ο Πλούτο τον εξυπνοόλη λαγό μας;

-- ... .

,..

Βρισκόμαστε στο μέσο μιας λίμνης και βλέπουμε το φίλο μας τον Γ κο όφη

5.

να ψαρεύει με το καλάμι του ενώ ο Μίκυ-Μάους έφτιαχνε τα δολώματα.

.......

..

.... ~ ......

Εκείνη τη στιγμή εμφανίστηκε στον ουρανό ένα σμήνος από πάπιες. Πω, πω,

. • ....

λέει ο Γκούφη, εσείς πρέπει να είστε πόνω από χίλιες πάπιες. Κι ο αρχηγός

.....

....

από τις πάπιες του αποκρίθηκε: Είμαστε όσες είμαστε, κι άλλες τόσες να 'μαστε, και οι μισές, και το

-

ένα τέταρτο ακόμα, και συ μαζί, θα ήμασταν

100.

Τώρα μάλιστα! Εσύ, Μίκυ, λες τίποτα;

-

Αρκετά ενδιαφέσουσα απάντηση του αρχηγού Γκούφη μου. Αν έχεις

λίγη υπομονή να περιμένεις θα σου πω σε λίγο. Και βγάζοντας ένα χαρτάκι από την τσέπη του άρχισε κάτι να γράφει.

Μπορείτε εσείς αγαπητοί μας φίλοι να ανακαλύψετε τη σκέψη του Μίκυ;

6.

Στο σχήμα

6,

ο Κύρος ο Γραναζής θέλει να φτιάξει ένα διόλυμα. Στον

ένα δοκιμαστικό σωλήνα έχει υδροχλωρικό οξύ και στον άλλο ίση ποσότητα

νερού. Στην προσπάθειά του να ετοιμάσει το διάλυμα, ρίχνει οξύ από τον πρώτο σωλήνα στο δεύτερο. Κατόπιν, ρίχνει τα ματος του δεύτερου σωλήνα στον πρώτο. Τελικά υπάρχει

4

20 2/3

γραμ. από του διαλύ.

φορές λιγότερο

υγρό στο δεύτερο από ότι στον πρώτο σωλήνα. Μπορείτε να μας βοηθήσετε

να βρούμε πόσο οξύ και πόσο νερό υπήρχε στην αρχή;

ΕΚΔΟΣΕΙΣ Ε.Μ.Ε. • Ευκλείδης α':

δρχ. 175 Υ 4 δρχ

175 " 4

= (700 ~ 100) = 800 ταχυδρομικά = 700 ομαδικές παραγγελiεc

περιλαμβάvετω το

Ευκλείδης β':

Ευκλt:iδηι; γ':

δρχ

200

δρχ

200 " 4

χ

δρχ

400

χ

3%

4 = (800 - 100) = 900 -

4

διάσταση

- ατομικές παpαγγελiεc;

του Φ.Π Α ταχυδρομικά

-

ατομικίος παραγyε/Ιι<οc;

ομαδικές παραγγΕλiεc;

=

800

=

1600

για τα μ~λη

1500

Έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας

δρχ

για συνδρομή ετήσια

• Μαθηματική

δρχ.

400

δρχ.

500

ΕπιθΕώρηση:

ΔΕλτίο:

της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

το τε6χος για τα ΒιβλlΟπωλεία

2 == 1000 γιο το μέλη 900

ετήσιο συνδροuή

δρχ.

500

το ηύχος γιο τα Βιβλιοπωλεiα

800

γιο τα μί:λη

Τα θέματα εξετάσεων στα ΑΕΙ δρχ.

500 · 88 '89

Προσφορά για τα μέλη πΕριοδικέ<; εκδόσειι:;

ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΊΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΊΙΚΩΝ

Τα παί\αιότψα τεύχη όλων των εκδόσεων πωλούνται με τρέχουσες τιμές του

2

Ευκλείδης γ': 4 τεύχη

= 1600 ] ( ~ Μαθ. ΕπtθεWρηση: 2 τεύχη = 1000

'2δΟΟ_ = 2000

• • •

Νέες τάσεις συγγραφής σχολικών βιβλίων των Μαθηματικών Προς μία «ανοιχτή» διαδικασία επίλυσης προβλημάτων Η μάθηση των αριθμών στην εποχή των ηλεκτρονικών υπο­ λογιστών

μόνο

Ένα πείραμα επιστημολογίας στη διδασκαλία των δεκαδικών αριθμών

3 / 8

\

Ευκλείδης γ': 4 τεύχη

πι::ριοδικΕς εκδόσΕις

(

-

= 1600 ) ~ 2 τεύχη = 1000 = μονο 1 τεύχος= 800 2500

Μαθ. Επιθεώρηση:

~Δελτίο:

Γ ρ. Άλγεβρα, Μαθ. Αvάλuση, Διφορικέc; Εξισώσειc; ) G. Muncres

G. Brand

Stephenson

'3zGQ = 2500

μονο

• • •

Συζήτηση

Νέα του παραρτήματος Ε.Μ.Ε.Θ,

Θέματα 4ης Εθνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας Ετήσια συνδρομή μελών:

800

δρχ.

Κωσταρέλης Παναγιώτης (Για τη διάσταση)

Αιολίας ι

( \

2

1988

Ιστορία Μαθηματικών (όλοι ΟΙ τόμοι)

36 • 55132 -

Lorιa

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι

/ 37

Θεσσαλονίκη


ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ Επφέλεfα: Κ. Γαβρίλης

φ

ίλοι μας, το περιοδικό μας νιώ­

άλλο. Έτσι, με το διάλογο θα μά­

πολύ ενδιαφέρον. Το πολύ διασκεδα­

θει μεγάλη χαρά, που καθημε­

θουμε όλοι περισσότερα.

στικό περιοδικό σου, δεν μας συντρο­

ρινά λαβαίνει όμορφα γράμ­

ματα, με κολακευτικά λόγια, με

κρίσεις, με παράπονα, με προτά­ σεις. 'Οχι απλή χαρά, όπως όταν

φεύει μόνο στις ελεύθερες ώρες μας,

Η Ευαγγελία Καρτσούλη (3ο Γι­ αννιτσών) γράφει:

βοηθός και στα μαθηματικά του σχολεί­ ου. Τα θέματά σου τα χαρακτηρίζουν

Αγαπητέ «Ευκλείδη»> γειά σου.

λαβαίνεις ένα γράμμα απ' τον πιο

Με λένε Βαγγελιώ, πάω στην lη Γυ­

καλό σου φίλοι. Νιώθουμε τη χαρά

μνασίου και είμαι κι εγώ μια από τις τό­

της επικοινωνίας και της συνεργα­

σες και τόσους θαυμαστές σας. 'Ετσι

σίας με χιλιάδες παιδιά φίλους μας.

όπως όλοι σε υπερσυγχαίρω για το τόσο

Νιώθουμε τη χαρά της ολοκλήρω­

πανέμορφο και τόσο διασκεδαστικό πε­

σής μας.

ριοδικό σου. Δεν μπορώ όμως, μια και

Ο πιο σπουδαίος στόχος του

είμαστε τόσο καλοί φίλοι, να σου κρύψω

«Ευκλείδη α'», είναι ν' aποχτήσει

ότι έχω ένα (για μένα σημαντικό) παρά­

παντοηνούς φίλους του,

όλους

πονο. Θα ήθελα να aποτελείσαι από πε­

τους μαθητές που περνούν απ' τα

ρισσότερα και πιο χονδρά τεύχη, που να

Γυμνάσια της χώρας μας και όπως

έρχονται στα χέρια μας πιο γρήγορα και

βλέπουμε απ'

τα γράμματά σας,

πιο τακτικά (γιατί μόνο εγώ ξέρω πώς

αυτό μπορεί κάποια μέρα να γίνει

και πώς σε περιμένω για να σε διαβά­

πραγματικότητα.

σω). Για να καταλάβεις την ανυπομο­

'Ε χουμε όμως ένα παράπονο.

νησία μου, σου λέω ότι κάθε φορά στην

Αρκετοί από σας μας γράφετε μόνο

ώρα των μαθηματικών στήνομαι στην

κολακευτικά λόγια. Βέβαια έχουμε

πόρτα και περιμένω να δω στα χέρια

ανάγκη τα καλά σας λόγια, όμως

του καθηγητή μου το μάτσο με τα περι­

πιο πολύ ανάγκη έχουμε την άποψή

οδικά σου ...

σας, τη γνώμη σας, τις προτάσεις

Α!! Πίσω έχω μια ζωγραφιά για να

σας και τελικά την άμεση συμμετο­

δεις πόσο αγαπιέται το περιοδικό σου!!!

χή σας για τις στήλες του περιοδι­

και πως εξηγεί τα (για μερικούς δύσκο­

κού μας. Μόνο έτσι ο «Ευκλείδης

λα) μαθηματικά!!!

α'» θα γίνει καλύτερος. Τώρα τα γράμματα που δημοσι­

εύουμε, ολόκληρα ή αποσπάσματα είναι αυτά που κυρίως περιέχουν

ποιο ξεχωριστό χρώμα.

πρωτοτυπί~, διασκέδαση, ενδιαφέρον αλλά και σπαζοκεφαλιά.

Σιγά-σιγά πιστεύω ότι όλοι οι μαθη­ τές στα σχολεία, αν πάρουν ένα μόνο

τεύχος, θα καταλάβουν τη σημασία του περιοδικού! και κατά τη γνώμη μου είσαι η μόνη λύση

μας

-

μαζί με τον καθηγητή

για το φόβο που έχουν οι περισσό­

-

τεροι μαθητές για τα μαθηματικά! τ ο να μας ενημερώνεις γύρω από διαλέξεις, σεμινάρια, συνέδρια και για

τη ζωή μεγάλων αρχαίων διδασκάλων,

μαθηματικών και φιλοσόφων είναι αρ· κετά ευχάριστο, αλλά και διδακτικό. Η στήλη «αλληλογραφία» είναι πολύ ση­ μαντική, γιατί κάθε παιδί μπορεί να σου

δώσει είτε συγχαρητήρια είτε να πει την άποψή του για τα θέματά σου. Σου ξα­ ναδίνω τα συγχαρητήριά μου και με πολλή αγάπη σου εύχομαι να συνεχίσεις

τις εκδόσεις σου επιτυχώς και να τα χι­ λιάσεις.

Με πολλή αγάπη ο μαθητής

Με πολύ αγάπη και πάλι συγχαρητή­

Χρίστος Τ ραπουζανλής

ρια και αυτή τη φορά μ' ένα μεγαλύτερο

«Γειά σου». Βαγγελιώ!!!

απόψεις ή αυτά που περιέχουν κάτι το χαρακτηριστικό, που δίνουν κά­

αλλά και πολλές φορές είναι χρήσιμος

-

Βαγγελιώ,

το γράμμα σου

μας συγκίvησε. Και μεις θέλουμε

va

Χρίστο, σ' ευχαριστούμε για

-

το ευγεvικό σου γράμμα. Αγγίζεις δυο πολύ σημαvτικά θέματα, που

'Ομως για όλα τα γράμματα,

έχουμε πιο πολλά και πιο χοvτρά

πρέπει

έχουμε την ίδια εκτίμηση και απευ­

τεύχη γιατί έτσι θα επικοιvωvούμε

εμείς πιστεύουμε πως όλοι οι μαθη­

θύνουμε τις ίδιου βάρους ευχαρι­

πιο τακτικά, αλλά δυστυχώς για

τές μπορούv

στίες. Γιατί όλα, ακόμα και αυτά

«τεχvικούς» όπως λέμε λόγους, για

μασία του περιοδικού μας.

'Ομως

πως θα γίvει, όλοι οι μαθητές

va πά­

va

τα σχολιάσουμε.

va καταλάβουv τη

Και ση­

που περιορίζονται μόνο σε μια λυμέ­

τηv ώρα δεv μπορούμε.

νη άσκηση, συμβάλλουν στη βελ­

συμμετοχές τωv αvαγvωστώv στις

ρουv έvα μόvο τεύχος; Δηλαδή

τίωση του περιοδικού.

στήλες είvαι πολλές, φαvτάζομαι

πως μπορούμε vα διαδόσουμε σ'

ότι θα ξεπεραστούv οι δυσκολίες

όλους τους μαθητές, όλωv τωv

Μη διστάζετε λοιπόν να μας γρά­ φετε. Εμείς δεν έχουμε «καλάθια»

Av όμως οι

αυτές.

σχολεiωv το περιοδικό;

αχρήστων ... Εκείνο που θέλουμε μέ­ σα από τούτη τη στήλη είναι η επι­ κοινωνία. 'Οχι μόνο μεταξύ μας, αλλά και μεταξύ σας. Μια άποψη που διατυπώνεται σ' ένα γράμμα,

'Εχεις

εσύ ή οι άλλοι φι'λοι μας κάποιες ιδέ­ Ο Χρίστοι; Τ ραπουζανλήι; απ'

τη Μυτιλήνη, μας γράφει: Αγαπητέ παππού Ευκλείδη

ες γι

'

αυτό; Γράψτε μας. Επίσης

Χρίστο, το περιοδικό και ο καθηγη­ τής είvαι η μόvη λύση για το φόβο τωv μαθηματικώv; Αλήθεια π εivαι

μπορεί να βελτιωθεί μ' ένα άλλο, ή

Είμαι ένας απ' τους χιλιάδες ανα­

αυτό που προκαλεί τόσο φόβο

μπορεί να την αντικρούσει κάποιο

γνώστες σου και σε παρακολουθώ με

για τα μαθηματικά; Να έvα άλλο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. Ι / 38


θέμα για το οποfο περιμένουμε τις

σκολες ασκήσεις ή και εύκολες; τr

απόψεις όλων των φι'λων μας.

γνώμη έχεις; τr γνώμη έχει η φι'λη

Φίλοι μας, τα γράμματα είναι

-

ατέλειωτα.

τr λες, συμφωνείς να ανοίξουμε

σου; Μήπως το «κακό μάτι» ωφεί­

Ευχαριστούμε την Κατερίνα

ένα διάλογο με απόψεις πάνω σ'

λεται και στις «δύσκολες» ασκή­

Κουρεντζή της Γ' Γυμνασίου του

αυτά τα δυο ζητήματα μέσα απ' τη

σεις;

Τα μαθηματικά είναι μόνο

2ου Καλύμνου για τα καλά της λό­

στήλη «αλληλογραφfα»;

ασκήσεις; Τι λέτε και σεις φfλοι μας;

για και που για τρία χρόνια είναι πι­

Ποιος νομίζετε πως ξέρει περισσό­

στή μας αναγνώστρια. Θeλουμe

Kat για ν'

αρχίσουμε από τώρα,

να η γράφει ο Καραθανάσης Αν­ δρέας απ' το Διδυμότειχο. Αγαπημένη μου Μαθημαηκή Εταιρεία Λέγομαι

Καραθανάσης Ανδρέας,

πηγαίνω Α' Γυμνασίου ατο 2ο Γυμνάσιο

τερο τα μαθηματικά. Εκείνος που

Κατeρίνα να συνεχίσεις να παίρνεις

βγάζει δύσκολες ασκήσεις ή εκεί­

το περιοδικό και να επικοινωνούμε

νος που γνωρ(ζει στο βάθος (δηλα­

για πάρα πολλά χρόνια ακόμα.

δή πολύ καλά) τις σκέψεις και τις μεθόδους των μαθηματικών; 'Εχει αυτό σχέση με το φόβο; Κατερίνα, σ' ευχαριστούμε για

Διδυμότειχου. Πριν να πάρω το περιο­ δικό σου φοβόμουν τα μαθημαηκά. Με­

το γράμμα σου.

τά όμως κατάλαβα ότι τα μαθημαηκά την ευγνωμοσύνη μου, σκέφτηκα να

σου γράψω. Το περιοδικό σου δίνει την ευκαιρία σε οποιονδήποτε, ν' ασχολη­ θεί και να διασκεδάσει με τον τρόπο που είναι γραμμένο. Ο αγαπημένος σου αναγνώστης Ανδρέας Καραθανάσης

λιου απ' τα Χανιά: Αγαπητέ μου φίλε Ευκλείδη Με λένε Στέλιο Γκαγκαουδάκη και Χανίων. Φέτος για πρώτη φορά σε πήρα και σε διάβασα. Τα θέματά σου είναι

πρωτότυπα και διδαχτικά, γιατί με τα

στούμε για το γράμμα σου, έχεις τη

ριστα. Τη γνώμη που έχω σχηματίσει για

σχολικής σου ζωής, τα μαθηματικά ήταν ένα διασκεδαστικό παιγνίδι θα τ' αγαπούσες, αντί να τα φοβό­ σουν; Τι λες; Τι λέτε φίλοι μας; Έτσι είναι; Ή νομίζετε ότι υπάρ-

χουν και άλλοι παράγοντες που δημιουργούν το φόβο; Η Κατερίνα Μαvωλrάδοv μας

Αργυρώ Λύτρα απ'

τον

Επτάλοφο Φωκίδας. Ευχαριστούμε για τα καλά σου λόγια. Στόχος μας δεν

είναι

να

σας ξεναγήσουμε

απλώς στον απίθανο κόσμο των μαθηματικών, όπως μας γράφεις,

αλλά να σας βοηθήσουμε να μάθετε

δεν θέλω να σε κολακέψω, αλλά το πε­

μαθηματικά ώστε ο κόσμος των μα­

ριοδικό σου προσελκύει πολλά παιδιά.

θηματικών να γίνει καt δικός σας κό­

Με τα μαθημαηκά δεν τα πάω και πά­ ρα πολύ καλά, αλλά φέτος τα νιώθω

πολύ εύκολα απ'

ότι πέρισυ ... εμένα

προσωπικά με έχεις βοηθήσεις πολύ! Εδώ τελειώνω λέγοντάς σου πως εύ­

σμος, καt φυσικά όχι aπίθανος, αλ­ λά πιθανός καt σίγουρος.

-

ΝrκολΕτα Ξvvογαλά μαθή­

τρια της Β' Γυμνασίου Μηλεών Βό­

χομαι να εκδίδεις και άλλα περιοδικά

λου, δεχόμαστε μ

ατο μέλλον.

καλά σου λόγια. 'Οπως θα διάβα­

'

ευχαρίστηση τα

Με πολλή αγάπη ο φίλος σου

σες στα προηγούμενα γράμματα,

Στέλιος Γκαγκαουδάκης

αρκετοί φίλοι βρίσκουν πως το πε­

Γειά σου!

Είμαι έvα κορίτσι δεκατέσσερω χρο­

ριοδικό μας βοηθάει πολύ στο να

Φίλε Στέλιο, πιστεύεις πως η

πάψει η ιδέα από μερικούς μαθητές

ύλη του περιοδικού είναι αρκετή

και μαθήτριες ότι τα μαθηματικά εί­

-

vώ και πηγαίνω στη Β' Γυμνασίου, στο

ριοδικό σου και με ότι έχει σχέση μ ' αυ­

τεύχη.

σένα είναι όη το περιοδικό σου είναι

Αγαπητέ φίλε Ευκλείδη

Είμαι πολύ ενθουσιασμένη με το πε­

γραμματίζονται και για τα επόμενα

από τα καλύτερα για τα μαθημαηκά και

γράφει:

3ο Γυμνάσιο Ελευσίνας.

Έτσι στους λύτες δεν μπαίνουν

πηγαίνω ατην Γ' τάξη του 2ου Γυμν.

Φίλε Ανδρέα, που σ' ευχαρι·

γνώμη πως αν απ' την αρχή της

μν. Παιονίας, σ' ευχαριστούμε για τα καλά σου λόγια. Τ α γράμματα

όλοι μαζί σ' ένα τεύχος, αλλά προ­

σκίτσα σε διαβάζω πιο εύκολα και ευχά­

-

Τσεκμέζογλου

που παίρνουμε είναι πάρα πολλά.

Και τώρα το γράμμα του Σ τέ­

ήταν ένα παιγνίδι. Έτσι για να δείξω

Φωτεινή

-

που πηγαίνεις στη Β' τάξη του Γυ­

να διαδοθεί το περιοδικό;

ναι ένα τρομερό μάθημα. Οι ασκη­

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι; Και

σούλες και τα προβληματάκια από

για

τό. Αγαπώ πολύ τα μαθηματικά και μου

γιατί δεν τα πας και <mάρα πολύ

παλιά τεύχη πάντα έχουν ενδιαφέ­

αρέσει να λύνω δύσκολες ασκήσεις. Βέ·

καλά» με τα μαθηματικά, τί νομίζεις

ρον. Δεν το ξεχνούμε αυτό.

βαια μέσα στην ύλη σου βρίσκω και τέ·

ότι φταίει;

τοιες αλλά οι περισσότερες είναι σχεδόν

Γ ράμματα με ανΟλογο περιεχό-

εύκολες.

Πάντως το περιοδικό σου είναι αρ­ κετά χρήσιμο για τα παιδιά που έχουν

πάρει με «κακό μάτιιι τα μαθηματικά. Συγκεκριμένα έχω μια φίλη που φο­

βόταν τα μαθηματικά αλλά από τότε που σε διάβασε άλλαξε γνώμη και τώρα μέχρι και ασκήσεις βγάζει μόνη της.

Σε ευχαριστώ πολύ που με άκουσες Με αγάπη

Κατερίνα Μαvωλιάδου

-

Κατερίνα, γιατί η φίλη σου,

είχε πάρει με «κακό μάτι» τα μαθη­ ματικά; Μαθηματικά σημαίνει δύ-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ. 1 / 39


μενο και τους ευχαριστούμε πάρα

που βρίσκει καλό το όη βάζουμε θέ­

Η/Υ, για τη σχέση του με τα μαθη­

πολύ, μας έστειλαν επίσης οι μαθη­

ματα απ' την ιστορία των μαθημα­

ματικά καθώς και πληροφορίες για

ηκών. Επίσης με ικανοποίηση βλέ­

το Διαγωνισμό της Εταφείας μας.

τές:

πουμε να εύχεταt να 'ναt αναγνώ­

Γιάννης Τόρλας Γ' τάξης του Γυμνασίου Μαντουδίου.

Βενeτία

και

Παναγιώτης

στρια του περιοδικού μας για πά­

Φίλε Κώστα, για την ώρα μόνο

ντα. Αγαπητή Ελίζα, τί μπορεί να

γενικές συμβουλές μπορούμε να σας δώσουμε, για την πρώτη δέσμη

σταθεί εμπόδιο σ' αυτό;

Χονδροκούκης του 6ου Γυμνασί­

και για το επάγγελμα που σκέφτε­

Σταμάτης Βαρίνος της Α' Γυ­

ου Κορυδαλλού.

σαι. Δηλαδή περισσότερη μελέτη.

μνασίου Νικαίας.

ΤηλέμαχοςΣταμκόπουλοςτου

Αλεξ. Σιδέρης του Γυμνασίου

Δεν μπορούμε και καταλαβαίνεις

Παιανίας, που πιστεύει, όπως και

φαντάζομαι γιατί δεν μπορούμε, να

Γυμνασίου 'Ανω Κώμης Κοζάνης.

Νίκος Καλλιανιώτης του Γυ­

εμείς Αλέξανδρε, πως οι παρατηρή­

σου γράψουμε για τύπους και μο~έ­

σεις του, στο τελευταίο του γράμμα,

λα Η/Υ. Για το διαγωνισμό θα το

μνασίου Αγρινίου, που πρέπει να ξέ­

μόνο καλό θα μπορούσαν να κά­

διαβάσεις έγκαιρα στο περιοδικό ή

ρει πως κάνουμε όη μπορούμε γtα

νουν στο περιοδικό μας.

μνασίου Καρύστου Ευβοίας. Γιώργος Σεγίμας του lου Γυ­

ρώτα τον καθηγητή σου στο σχο­

τΕλος μας έστειλε ένα μεγάλο

να φτάνουν έγκαφα τα τεύχη, όπως

λείο σου.

καt όη, θα περάσει στους λύτες

γράμμα απ' την Πάτρα ο Κώστας

'Εχουμε λάβει άλλα γράμματα

όταν έρθει η σεφά του.

Σαρόντης, μαθητής Β' Γυμνασίου

φίλοι μας, πάρα πολλά. Στο επόμε­

Ελίζα Αντωνιάδη της Γ' τάξης Γυμνασίου

Μαντουδίου Ευβοίας

και μας ζητάει πληροφορίες για το

νο τεύχος θα αναφερθούμε και σ'

επάγγελμα του Προγραμματιστή

αυτά.

Τώρα και στην Ελλάδα το δοκιμασμένο έργο

20

καθηγητών Πανεπιστημίων της Γερμανίας

Dorn • Bader • Braun • Krieger • Athen • Griesel • Sprockhoff Αρ. εγκρίσεως Υπουργείου Παιδείας 23/1985

έλυσαν το πρόβλημα εκατομμυρίων μαθητών στον κόσμο

μεγάλη φυσική 'Εγχρωμη σε

1 . 200 1. 590

7

πειράματα

-

&

χημεία

τα μαθηματικά σήμερα

πολυτελείς τόμους

1. 300

προβλήματα

-

6 120 πίνακες

εικόνες (τριών διαατάσεων)

• Δημοτική •

Μονοτονικό •

τόμοι

-

έγχρωμοι πολυτελείς

4.906 προβλήματα και ασκήσεις 2.958 εικόνες και σχεδιαγράμματα- 810 πίνακες

Για το Δημοτικό - Γυμνάσιο - Λύκειο - Δασκάλους- Φοιτητές και Καθηγητές.

Το φωτογραφικό uλικό μας tδωcrαν: Πρεσβεία των Ην. Πολιτειών Αμερικής στη Βόννη- Γερμ. Πρακτορείο τύπου Αμβούργου- Γερμ. Μουσείο Μονόχου

-

Γ eρμ. Μετεωρολογική Υπηρεσία

- Οι

εταιρείες

Siemens, Volkswagen

και όλλες χημικές βιομηχανίες και εργοατάσια επιστημονικών οργάνων.

• 'Ενα μνημειώδες έργο στην ελληνική βιβλιογραφία κατά τη γνώμη χιλιάδων μαθητών, δασκάλων και καθηγητών.

[J

ο σύντροφος του μαθη>ή

~ εκδόσειc; Κτίστη Στουρνάρα 36

Αθήνα 104 33 Τηλ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ.l

I

40

52.23.423, 52.21.353


ΣΤΗΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ Επιμέλεια: Γ. Κανάκnς, Τ. Πατρώνnς, Ξ. Ψιακκή

(πλευρά) = 20 · 20 = 400 cm 2

Η στήλη αυτή ελπίζουμε φέτος να αναπτυχθεί και να καλύ­

τ α τέσσερα τρίγωνα είναι ίσα εφόσον έχουν ίσες με­

ψει, μαζί με την Αλληλογραφία, Ενα μεγαλύτερο και σεβαστό­ τερο

...

κλόσμα της ύλης του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Α'. Σιγά-σιγά το πε­

2

ταξύ τους τις κάθετες πλευρές.

ριοδικό θα το γράφετε ΕΣΕΙΣ! Καποιες εργασίες, και ιδιαίτερα

Βρίσκουμε το εμβαδό των τριγώνων συνολικά. Αυτό

εκείνη του Αλέκου Σουρτζή για τις συναρτήσεις, θα δημοσιευ­

θα γίνει αφού βρούμε το εμβαδά ενός από τα τρίγωνα

τούν στο επόμενο τεύχος. Μερικές άλλες αφορούν την ύλη συ­

και το πολ/ σουμε στη συνέχεια επί

γκεκριμένων κεφαλαίων και θα δημοσιευτούν σε αντίστοιχα

να.

~

τεύχη, στην ύλη των τάξεων.

είναι τα τρίγω-

= 10 . 10 = 50 cmz

2

Σπύρος Βασινάκης, Α' τάξη, Γερμαν. Σχολή Αθήνας:

4 που

2

50 cm Χ 4 = 200 cm 2 2

τ ο παρακάτω κείμενο περιγράφει έναν άλλο τρόπο για να μετατρέπουμε έναν αριθμό του δεκαδικού στο

δυαδικό σύστημα. Π.χ. έχουμε το δεκαδικό αριθμό

Αρχίζουμε από το μεγαλύτερο «δυαδικό» που χωράει στο

Το Το Το

Το Το Το Το

Το

Το εμβαδά του τετραπλεύρου ΕΖΗΘ είναι:

400 cm 2

152.

-

200 cm 2

= 200 cm

2

β' τρόπος

Είπαμε παραπάνω ότι τα τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ

152.

τους οπότε και οι υποτείνουσές τους που αποτελούν

128 χωράει στο 152; Ναι, περισσεύει 24. 64 χωράει στο 24; 'Οχι. 32 χωράει στο 24; 'Οχι. 16 χωράει στο 24; Ναι, περισσεύει 8. 8 χωράει στο 8; Ναι, περισσεύει Ο. 4 χωράει στο Ο; Όχι. 2 χωράει στο Ο; 'Οχι. 1 χωράει στο Ο; 'Οχι.

πλευρές του τετραπλεύρου ΕΖΗΘ είναι ίσες.

Ξέρουμε επίσης ότι στο κάθε τρίγωνο οι δυο κάθετες πλευρές είναι ίσες. 'Ετσι μπορούμε να μιλάμε για ισο­

σκελή ορθογώνια τρίγωνα, που οι παρά τη βάση γωνίες είναι

45°

η καθεμιά.

Τώρα αρχίζουμε από πάνω προς τα κάτω. Όπου υπάρχει ναι γίνεται

1,

όπου όχι, Ο. Έτσι έχουμε:

Ναι, όχι, όχι, ναι, ναι, όχι, όχι, όχι που γίνεται

10011000 Δημήτρης Παππάς, 2ο Γυμν. Γρεβενών:

Λύση στο πρόβλημα που θέτει η Ελένη Σταματού­ κου, στο τεύχος 3 (Γενάρης '88):

Δ

α' τρόπος

Ας πάρουμε τώρα

Σύμφωνα με το πρόβλημα σχηματίζουμε ένα τετρά­

γωνο και ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του.

Τ ο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ αποτελεί ευθεία γωνία

Σχηματίζεται ένα τετράπλευρο ΕΖΗΘ και ζητείται το

(180°).

εμβαδό του, που θα βρεθεί με τον εξής τρόπο:

Α

μια πλευρά του τετραγώνου

ΑΒΓ Δ έστω τη ΒΓ.

Στο μέσο του ΒΓ σχηματίζονται τρεις γωνίες Ζι,

Zz,

ZJ.

Ε

Η Ζι και η

Zz είναι 45° η καθεμιά. Το άθροισμά τους 90° μοίρες, που αν τις αφαιρέσουμε από τις 180° τις ευθείας γωνίας βρίσκουμε τις μοίρες της γωνίας ZJ (90°) είναι

που είναι ορθή. Αυτό συμβαίνει για όλες τις γωνίες. 'Επειτα απ' αυτές τις διαπιστώσεις καταλήξαμε στο

συμπέρασμα ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγω­ νο. Ξέρουμε ότι το εμβαδό τετραγώνου δίνεται με τον 2

Δ

Η

τύπο (πλευρά) , και γι' αυτό θα πρέπει να βρούμε τομή­

Γ

κος μιας από τις πλευρές του τετραγώνου που θα απο­ τελεί υποτείνουσα του αντίστοιχου τριγώνου.

Εμβαδά τετραγώνου ΑΒΓΔ

-

(πλην) Συνολικό εμ­

βαδά των τεσσάρων τριγώνων που σχηματίζονται.

Τ ο εμβαδό του τετραγώνου ΑΒΓ Δ βρίσκεται~

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

(υποτείνουσα) 2 = 102 + 102 = 200 cm 2 • 2 Έτσι το εμβαδό του ΕΖΗΘ είναι 200 cm . τ. ι

I

41


Γιάννης Τάρλας, Μαντούδι Εύβοιας: Να συγκριθούν οι αριθμοί:

25 25 ,

19868

Λύση

25 25 = 25 . 25 24 = 25 . (25 3) 8 =

= 25 . 15625 > 15625 > 1986 8

8

8

* * *

τα μαθηματικά σήμερα τώρα ολοκληρωμένα ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜ. ΑΛΓΕΒΡΑ

ΑΝΑΛ. ΓΕΩΜΕτΡΙΑ μετάφραση της Γερμ. έκδοσης

Athen • Griesel • Postel

Ερμής Μαλικιώσης, Α' τάξη, 14ο Γυμνάσιο Θεσ/νίκης. Αγαπητέ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Σου στέλνω ένα πρόγραμμα για τον

6128,

AMSTRAD 464-

σχετικά με το πρόβλημα της Ρούλας Μπλιάσκου

(«Στήλη του Μαθητή», τεύχος

3/88).

Υπάρχουν, όπως αποδεικνύεται, όχι πέντε αλλά

81

συνδυασμοί τιμών κατά μονάδα, που λύνουν το πρό­ βλημα.

3 τόμcιι

Αν χρησιμοποιήσουμε και άλλες υποδιαιρέσεις της δραχμής, εκτός από τη μισή, τότε ο αριθμός των συνδυ­

ασμών αυξάνεται σημαντικά.

• •

Από την ανάλυση του προβλήματος καταδεικνύεται ότι η τιμή κατά μονάδα

0,5

αξία:

7.500 -

[;I

20 AYGA HERMES Ι. MALIKIOSIS 'ΆΥGΑ",

με το' πρωτότυπο και ζωντανό τρόπο διδασκαλίας των πιο μοντέρνων

και γνώσης

μικρότερη από τις τρεις τιμές είναι η μια δραχμή.

CLS: PRINT 'TIMES",

με εγγύηση το κύρος των κορυφαίων επιστημόνων της Γερμανίας

μαθημαηκών θεωριών, εξασφαλίζει ένα ευρωπαϊκό επίπεδο διδασκαλίας

δρχ. είναι υποχρεωτική σε

όλους τους συνδυασμούς, ενώ δεν υπάρχει λύση όταν η

5 6 8 10 15 ·20 25 30 50 60 80 100 110 120 150

έγχρωμοι πολυτελείς

• Για ro Γυμνάσιο - Λύκειο - Φοιτητέι;: - Καθηγητές

0

προσφορά μέχρι

συvτροφος του μοθητή

~εκδόσεις Κτίστη

30

.

Δεκεμβρίου

Στουρνάρα

36 •

Αθήνα

4.700

104 33

Τηλ. 52.23.423, 52.21.353

"XRHMATA"

Τ=τΙΜΕ: Κ=Ο: Α=Ο.5

FOR Β= 1 ΤΟ 9.5 SτΕΡ 0.5 FOR C =Β+ 0.5 ΤΟ 10 STEP 0.5 FOR Χ= 1 ΤΟ 18 FOR Υ=1 ΤΟ 18 2=20-Χ-Υ: IF Ζ<=Ο ΤΗΕΝ 100 IF A*X+B*Y+C*Z=20 ΤΗΕΝ GOSUB 200

Γιάννη Μεϊντάνη

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

Α I ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΝΕΧΤ Υ, Χ ΝΕΧΤ

C, Β ΡΕΝ 3: PRINT "τELOS" ΡΕΝ 2: PRINT: PRINT (ΎΙΜΕ-τ)/300 "SEC": ΡΕΝ 1: END 200 ΡΕΝ 3: Κ= Κ+ 1: PRINT Κ: ΡΕΝ 1 220 PRINT Α, Χ, Α* Χ: PRINT Β, Υ, Β* Υ: PRINT C, Ζ, C*Z 250 PRINT STRING $ (39,154): REτURN 280 300 81 SYNDYASMOI 320 XRONOS = 576.01 SEC 330 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

Πφιίοχει:

700 71 Ο

ΛΥΜΕΝΕΣ ασκήσΗς

άλυτες ασκήσεις - Βασική Θεωρία

Είναι γραμμένο σύμφωνα με το ΝΕΟ ΑΝΑΛ ΥτΙΚΟ ΠΡΟ ΓΡΑΜΜΑ

(1987·1988)

Εκδόσεις «ΑΦοί Παπαδημητρόπουλοη> Σόλωνος

ΕΚΠΤΩΣΗ

τ. ι

I

42

101 -Αθήνα- τηλ. 3612412 50% για ΕΚΠΑΙΔΕΥτΙΚΟΥΣ


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ Ο Πανελλήνιος διαγωνισμός της Ε.Μ.Ε. στα Μαθη­ ματικό, όπως κάθε χρόνο, θσ γίνει φέτος στις

12 Νοε..

'88 στα Γυμνάσια κcιι τα Λύκεια όλης της χώρας.

'Οαοι

μαθητές θσ ήθελαν να συμμετάσχουν να το δηλώσουν

ακριθοόν στον Πανελλήνιο διαγωνισμό. Παρακάτω δημΟΟJξ\)οuμε τα.θέματα τοu Παγκύπρmυ διαγωνισμού

(' 87, '88)

του τοπιι<ού διαγωνισμΟύ του

Παραρτήματος του .Βόλοι> καθtίJς .ι<αι.. του αvτίστοιχόb

έγκαιρα στις Δ/νσεις των σχολείων τους. Οι επόμενες

μαΘt,ματικού διαγωνισμού της Ε.Μ.Ε. της .nερυαιvής

φάσεις του διαγωνισμού είναι

σχολικής χρονιάς

17

Δeκ.

'88

η Εθνική

'87-' 88.

Μαθηματική Ολυμπιάδα, συμμετeχουν αυτο\ που θα δι-

ΠΑΓ:ΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΟΝΙΣΜΟΣ ΣΤΗ Γ. ΓVMNADQV Μαn

17

γ)

87

82.101- 911 χωρίς vα χρησΙμοποιηθεί υτιολοΥJστής.

δ) Χρησιμοποιήστε το πιο κάτω σχήμα ΥΙσ να δη<σιολογή­

σετe τον τύπο (α + 2)z =

αι. α) Ποια από τα πιο κάτω ευθύγρςιμμα σχήματα είναι Κα·

2' +

4α + 4.

τασκευάσιμα και γιατί;

Ι) Ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 5 εκ., 3 εκ. και υτιοτεί· νουσα

εκ.

4

Ι!) Ορθογώνιο παρςιλληλόγρςιμμο με πλευρές 12 εκ., 5 εκ. και διαγώνιο

15 εκ.

111)

Ορθογώνιο παρςιλληλόγραμμο με διαφορά διαστάσε­

ων

4 εκ.,

περίμετρο

52

εκ. και εμβαδό

265

εκ • 2

β) Να βρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων.

Ι) χ γ) Αν χ

6

-

+y =

ραστάσεων

1: χ +1 Il) χ1 + 1 : χ + 1 5 και xy 6 νσ βρεθούν οι τιμές

=

+ =

των πα-

+

χι y1 και χ' y' = 2 5) Αν αημθ =β και ασυνθ =γ δείξτε ότι β +Υ.= α'.

α; Τρεις ποδηλάτες Α, Β, Γ, ξεκινοόν από την αφετηρία κυ­

κλικού στίβου που έχει μήκος

ε) Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς που vα 'χουν γινόμενο

360 μέ'φ<:χ

την Ιδ1α ατιγμή,

κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυν011 και έχουν τσχύ·

210.

τητsς ο Α 9m/sec, ο Β 6m/sec και ο Γ

Sm/sec. Να βρείτε:

α) Πότε και τιού μετά τqν εi<Κίνηοη ο Α θα συvαντήσει

02. Δίνονται τα πολυώνυμα

τον

r για πρώτη φορά.

β) Πότε και τιού θα συvαντηθούν και οι τρεις. μαζi για

χ+-­

χ-2

Χ+ 1

χ3

πρώτη φορά.

Β=-----. χ-1 χ'-χ

4

1+-χ2- 4

γ} Αν ο πρώτος μόλις σιψττληρώαe τrιν πρώτη σrροφfι

γυρίσει προς τα τιiσω με την ίδια tαχότητα τtαυ θα aυc ναντήοει τοv Β.

α) Να υπολογισθούν τα Α και Β στην πιο απλή τους μορ­ φή.

β) Να λυθεί η εξίσωση !. · Α - (χ + 1) ·Β = Ο. α,. Δίνεται η ευθεία {ει)

Αχ

Μαn

15

χ

88 \

+ By = 7. Αν τα σημεία Ρ(3, 2)

Σ(- 1, 4) βρίσκονται πάνω στην ευθεία.

«J.

α) Να υπολογίσετε τα Α και Β.

02

Ναδείξετeόn;

2

+β ={α-β)z +(α+β}• Στηοο2 . 2 . . 2 J.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ευθείας ει.

α +

2

τωv συντεταγμένων Οχ καΙ

Oy.

άθροισμα των τετραγώνων δυο ακεραiwν, αν οι αριθμοί σ

δ) Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου που περικλείεται από την ευθεία Ει και τους άξονες Οχ και

και β είναι και φ δυο ·ακέρ{ιιοι άρτιοι ή και οι δοο σκέρο'Ι·

Oy.

οι περιττοί.

ε) Να βρείτε την εξίσωση μιας άλλης ευθείας ει ποu είναι

παράλληλη προς την ει και πεpvά από το σημείο

0(0, Ο).

a..

Δείξετε ότι

.L

αι. Δίνεται η nv,ση:

• (α 2

2

+β)

-1'

(γ2

2

λογίdfτι: τα + 1) (y2 + 1)-(xy

-σβ

2

η

δ

Q.,n'

.:

δείξετε ότι για κάθe v Ε Ν ισχύει η σχ~:

(~}: χα"+V'(" ++ ωn" β

+ 1}2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

γ

=-=-και οι αρι"""'ι χ,

y, ω από

τους οποίους ένα τουλόχΙσrον vα μην είναι μηδέν. Να.

+ δ ) (σγ + βδ) == (αδ- βγ) 2 •

Χρησιμοποιήσrε την πιο κάτω ταυτότητα για vα υπο­ β) (χ2

lf

νέχεια vα δείξετε ότι· ο/ αριθμός ~ ισούτσι με το

γ) Να βρείτε τα σημεία που η ευθεία ει τέμνει τους άξονες

τ. Ι

I

45

χβ" +yδν

ωθν


Ο3. Δίvοvται οι εζισώσΕις:

+ βV = 5χ --::'. .2y + 6 + αy + 4y == - 12 + 2βχ -

μ8ση ταχύτητα 36

αχ

__:_ 2αχ

βy

J<m

την ώρα και ί:χeι δυο μόν<> θέσεις

επιβατών, εκtός της θέσης τοv οδηγού.

Θι δΙJΟ νεότεροι μπορούν να διανύσουν 6 Km τηv ιίιρα

Να βρείτε ης τιμές τωv α t<αι β, ώστε οι εξ!σώσε.ις. αυτές vα

οδοιπορώντας και οι άλλοι δυο, οι rιιο ηλικιωμ€vοι, μπΌ·

παριστάνουν μόνο μία euθεiα (δύο auθ~:;\eς ταuηζόμεvες)' Χρησιμοιτοιώuτας ης τιμkς τwv α και β ποu &α βρeίτε vσ.

pούν να διανύσουν

4 Km τφ.ι ώρα.

~<άνετε τη γpαψι~<ή παράσταση της wθeiας αuτής και να

Για τη χρησιμοποίηση του αυτοκινήτου έκαμαν την εξής

βρείτε το εμβαδό του τριγώνου που Ο)(ηματlζeται ι:ιnό τοΙJς

σl)μφωνία. Τ<> αυτοκίνητο θ' αναχωρήσει με τοuς δυο

ηλικιωμένους και θα ΤΟΙJς αφήσει ο' ένα σημείο Μ της δι­

άξονες τωv συντεταγμέvωv και τηv euθεiα.

αδρομής ΑΒ, από το οποίο θα αυνεχίσ<>υν οοοιπορώvτας μέχρι την πόλη Β. Το αυτοwlνητο θα επιστρέψει αμέσως

α•. όίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. ΦέρνQΙJμε τις διαγώvιες ΑΓ και ΒΔ οι οποίες τέμvοvται στο α1111είο Ε. Αν ΑΕ

τήσω, για να παραλάβει τους δυο νεότερους, οι οποίοι

=ΕΓ, να

στο μεταξύ οδοιποροόσαν και έφθασαν σε ένα σημείο Σ

δείξετε ότι τα τρlγωvα ΑΜ και ΒΓΔ eivσ.ι ιαι;ι.ιβαδικά.

as.

και θα τοΙJς μεταφέρει στην πόλη Β.

τέσσερα άτομα θέλουν vσ. μεταβούv από μια πόλη Α σε

Να βρεθούν οι αποστάσΕις ΑΜ και ΑΣ ώατε τα τέσσερα

μια άλλη πόλη Β οι οποίες απέχουν

άτομα που ξεκίνησαν ταuτόχpοvα από την πόλη Α, να

66 Km.

Διαθέτουν για

φθάσουν ταυτόχρονα στην πόλη Β.

το σκοπό αυτό έvα μικρό αυτοκίνητο το οηοίο κινείται με

θΕΜΑΤΑ ΤΟΠΙΚΟΥ lUAΓQN[MOY tnς ΕΜΕ Μαyvησiας (Βόλοu)

Να υπολογιστεί το εμβαδόν της προβολής του τριγώνου ΑΒΓ

αι. Δίδονται τα πολυώνυμα

Ρ(χ}

= αχ

+ 2χ2 + βχ + γ,

3

Q(x) = 2χ 3 (α) Να βρεθεί το Ρ(χ)

-

- Q(x),

γχ

+ 3χ -

2

στο

2

(β) Να βρεθο6ν τα α, β, γ ώατe

το Ρ( χ)βαθμός

Q(x) va eίvαι μηδενικό πολυώνυμο, τοΙJ Ρ( χ) - Q(x).

α3 . Να βρεθούν τα κοινά σημεία της παραβολής Υ

= αχ

ποu διέρχeται από το Α (3,

'Ε να ορθογώνιο τρίγwvο ΑΒΓ (Α=

φή Β πάνω σι; επίπεδο

q.

(γ) Να βρεθεί ο

Λ

a2.

1987

1 ορθή) έχει την κορυq. Οι κορυφi:ς Α ι<ιαι r απέχουν από ΤΟ q

9 cm η καθεμία. Τα μέτρα των πλeuρών ΒΑ, ΒΓ, με μονάδα μέ· τρησης το cm, είvαι ρlζξς tηι; εξίσωσης χ2 - 4Οχ + 375 Ο.

=

6)

2

-

+ 3,

με την εuθεία

y

= βχ + γ

που

διέρχεται αrτό το σημείο Β (0, 3) και είναι παράλληλη προς την

2.

Υ== χ+

cιc. Να λυθεί η εξίσωση (χ 2 - 5χ 4)2

+

+ (2χ

2

-

+ 4) 2 ;;; ο.

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΗ Γ. ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

7 αι. Δiνeται το πολυώνυμο

i)

Φ(χ) = 2χ-

Νοεμ.

1

Να λυθεί η εξίσωση

87

α,. α) Αν α=

V4- v'I5

και

J6- .JW,

φ(Ο) + Φ(- 1) + φ(l) + φ(- χ)= χ. ii) Να υπολογιστεί ο αριθμός λ όταν είναι γυωστό ότι

να υπολογίσετε τη διαφορά α

λφ(~)-2φ(~)=3- ~ Λύση:

i) χ

= - 4/3,

λ=-

ii)

β}

α(β

2

a 2• Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ

λ

Φέρvουμε και το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ. Αν Α λ

/t.

1\

;.

Λ

Λ

β 2 • Τι παρατηρείτe;

2

Αν α, β sfναι πραγματικοί αριθμοί με α# β και

+ 1) =

Λύση:

2/5

= ΑΓ, φέρνουμε το ύψος ΓΔ και επί της ΓΑ παίρνουμε σημeίο Ε έτσι ώσre ΓΕ = ΓΔ.

β=

β(α

α)

α

β)

αβ

2

-

2

+ 1), να υπολογίσετε το γινόμενο α· β. β =- Ο, δηλ. α = - β. 2

= 1.

Ο4. Αnό τις παρακάτω τέσσερις προτάσεις μία είvαι ψευδής και οι υπόλοιπες είvαι αληθείς.

= 50", να

1) Ο Αuτώνης είναι μεγαλίπερος από.τον Βασίλη. 2) Ο Βασίλης είναι μεγαλύτερος από τη Γεωργία. 3) Η Γεωργία είναι μεγαλύτeρη από τον Αντώνη. 4) Η ηλικία του Βασίλη προστιθέμενη στην ηλικiα της

Λ

υπολογιστούν οι γωνίες Δ2, Δ,, Γι, Γz, Ει, Ε2 και Β (Βλ. σχήμα).

Γεωργίας ισούται με το διπλάσιο της ηλικiας του Αντιίινη. Α

α) Να βρelτε ποια είναι η ψεuδής πρόταση. β) Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος;

Λ6ση.: α) 'Εστω Α, Β wαι Γ οι ηλικίες του Αντώνη, Βασίλη και

Γεωρyίας αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε ότι η πρόταση (1) είναι ψeuδής (δηλ. Α..;:;; Β), τότε οι ΙJnόλοιπες είvαι αληθείς, δηλ.

Από

Β

Β > Γ, Γ > Α και Β + Γ και Γ Α βλέπουμε ότι

= 2Α.

>

Β+Γ>Α+Γ>2Α

Λύση:

Λ

Δ2

= 70•,

λ

Ει= 70~,

που αντίκειται στην πρόταση (3). Με όμοιο τρόπο απο&ικν6ε­

r

Β λ

Δ3

=200,

Λ

Ez = 110•,

λ

Γι=

25°,

λ

Β

=65"

ται ότι οι προτάσεις (3) και (4) είναι αληθείς. 'Αρα η (2) είναι

r2• == 40•,

ψευδής.

β) Από το μέρος (α) έχουμε

Γ> Α> Β,

η;ρος sίvαι ο Βασίλης και μεγαλύτερη η

ΕΥΚΙ\ΕΙΔΗΣ Α' τ. Ι

I

46

δηλαδή μιι<ιρό­

r εωpγ1α.

Ευκλείδης α' τόμος κβ' τεύχος 1 σεπ οκτ 1988