Page 1

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ

ETAIPEIA

ΕΤΚΛΕΙΔΗ Γ I TPIMHNH

ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑτΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

• •

Σχόλια

-

Γνώμες

- Απόψεις

Η θέση των Μαθηματικών στην Εκπαίδευση από την αβχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα

Μια διδακτική δραστηριότητα για να ασκηθούν οι μαθητές στην εκτέλεση πράξεων

Μερικά ερωτήματα πάνω στο πως θα «διδάξουμε» αυτό που δεν διδάσκεται

ΤΕVΧΟΣ

22

Διδασκαλία με διδακτικούς στόχους (πειραματική έρευνα)

ΑΠΡΙΛΙΟΣ

Κανονισμός έκδοσης Ευκλείδη Γ

ΤΟΜΟΣ

1989 6


--π-ΟΛΙΑ-rΝΩΜΕf-ΑΠδΨΕΙΣ /1

ΣΧΟΛΙΑ

-

ΓΝΩΜΕΣ

-

ΑΠΟΨΕΙΣ

Η στήλη που αρχίζει με αυτό το τεύχος σκοπεύει να παρουσιάζονται οι προβληματισμοί, οι απόψεις, οι προτάσεις κ.α. των συναδέλφων σε θέματα μαθηματικής εκπαίδευσης και γενικά της εκπαίδευσης. Θα φιλοξενούνται ενυπόγραφα και σύντομα

(300-400

λέξεις) κείμενα. Πολλά

πράγματα μπορούν να λεχθούν με λίγες λέξεις. Περιμένουμε λοιπόν ....

Ενδιαφέρον είναι να δούμε δύο ανάλογα κείμενα που δημοσιεύθηκαν σε μαθηματική περιοδικά

της Σοβιετικής Ένωσης. Η επιλογή και η μετάφραση τους έγινε από το μέλος της Σ.Ε. Ελένη Πολιτίδου.

Οι ακρότητες είναι άτοπες (Μπελιακόφ Ε.Α. Μόσχα) Μία από τις βασικές δυσκολίες του σύγχρονου καθηγητή είναι η απουσία σταθε­ ρού διδακτικού βιβλίου μαθηματικών. Όλα τα τελευταία χρόνια όμως, η καταπολέ­ μηση αυτής της δυσκολίας γινόταν μέσω της αλλαγής ενός βιβλίου με άλλο κάτι που

δυσκόλευε ακόμα

περισσότερο τον καθηγητή.

Μαζί μ'

αυτό άλλαζαν εντελώς

οι

οδηγίες διδασκαλίας των μαθηματικών. Χρειάζεται σταθερό διδακτικό βιβλίο, αλλά

δεν φαίνεται ότι το δι'δακτικό βοήθημα που γράφτηκε σύμφωνα με το δημοσιευμένο πρόγραμμα για το

1986-87,

πραγματικά θα καθιερωθεί. Αφού αρχικά επικυρώθηκε το

πρόγραμμα, στη συνέχεια άρχισε η κριτική του και ακόμα είναι άγνωστο αν θα ξα­

ναγίνει, εν τω μεταξύ η πλειοψηφία των καθηγητών είναι αμφίβολο αν θα συμφώνή­ σει με ορισμένες θέσεις του προγράμματος. Πριν απ' όλα φαίνεται περίεργη η υπο­

τίμηση της απαίτησης για αφομοίωση αποδείξεων. Επιδρά αρνητικά στο ίδιο το νό­ ημα της διδασκαλίας της γεωμετρίας. Επίσης, μετά τη συζήτηση στην οποία μεγαλοποιήθηκε η «κατάχρηση θεωρίας συ­ νόλων» οι καθηγητές βρέθηκαν να παρασύρονται στην άλλη ακρότητα, πολύ φανερή στο δημοσιευμένο αναλυτικό πρόγραμμα. Συνίσταται στον αποκλεισμό των συνόλων. Καταδικάστηκαν σαν κάτι άκρως φορμαλιστικό. Στο βιβλίο όμως του Α.Ι. Πογκορέ­

λοφ(Ι) ο φορμαλισμός δεν είναι λιγότερος αν και σ' αυτό η ύλη παρουσιάζεται καθα­ ρά περιγραφικά.

'

Τώρα έγινε φανερό ότι η ανεπαρκώς μελετημένη στάση προς διάφορες αλλαγές,

βασισμένη ίσως στην υπερβολική εμπιστοσύνη προς τις aυθεντίες, οδήγησε στην εξαφάνιση από το σχολείο μιας καλής και χρήσιμης γλώσσας: της θεωρίας συνόλων. Μου φαίνεται ότι οι καθηγητές βλέπουν καθαρά το λάθος αυτής της κατάργησης.

(1)

Σημ. Μετ. Ρώσσος Μαθηματικός, συγγραφέας διδακτ. βιβλίων για τα Ρώσσικα γυμνάσια

και λύκεια.


2j

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'

- ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

Δεν πρέπει υπερβολικά να παρασυρόμαστε από τη συνολο-θεωρητική συμβολική αλ­

λά δεν πρέπει και εντελώς να την απαρνηθούμε. Είχε εισαχθεί για τη διευκόλυνση

της δουλειάς και όπου χρησιμοποιήθηκε κατάλληλα και με μέτρο, εκπλήρωσε τους σκοπούς της. Βεβαίως υπήρχε παλιότερα υπερβολική κατάχρηση συμβολικής, τώρα όμως η άκρως «αριστερή» κατεύθυνση αντικαθίσταται με άκρως «δεξιά>>. Το περιοδικό <Πα Μαθηματικά στο σχολείο» είναι μέσο όχι μόνο πληροφόρησης των καθηγητών αλλά και διαπαιδαγώγησής τους. Γι· αυτό το λόγο έχει μεγάλη ση­ μασία για τους καθηγητές, να δίνει το περιοδικό παράδειγμα υπεύθυνης και πλήρους συζήτησης όλων των καινοτομιών που προγραμματίζονται στη σχολική ύλη ώστε να μην υπάρχουν ακατανόητες και αδικαιολόγητες αλλαγές. Γύρω από μερικά δύσκολα προβλήματα

Με ανησυχεί πολύ η δύσκολη θέση του καθηγητή μαθηματικών στο σχολείο και το γενικό πνευματικό του επίπεδο. Σπάνια κάποιος από τους συναδέλφους μου ενδια­

φέρεται για οτιδήποτε άλλο εκτός από το αντικείμενό του, αλλά και αυτό το ενδιαφέ­ ρον σιγά σιγά εξασθενεί χωρίς υποστήριξη. Ο καθηγητής πρακτικά δεν έχει βιβλία για αυτομόρφωση, ούτε για συμπληρωματική δουλειά με μαθητές.

Οι συνάδελφοι μας βιολόγοι, χημικοί, φυσικοί είναι πολύ πιο, «πλούσιοι» από μας. Έχουν καλά εξοπλισμένα εργαστήρια, εποπτικά μέσα κατασκευασμένα στα εργοστά­ σια, πολλά βιβλία εκλαϊκευμένης επιστήμης. Εμείς ούτε βιβλία με ενδιαφέρον, ούτε

βοηθήματα έχουμε. Επίσης οδηγίες διδασκαλίας δεν φτάνουν σε μας. Έτσι το μονα­

δικό βιβλίο και για τον καθηγητή απομένει το σχολικό.

Αλλά και με τα σχολiκά βιβλία η κατάσταση είναι δύσκολη. Πολύ γρήγορα αλλά­ ζουν. Την «Γεωμετρία

6-8»

του Α.Ν. Κολμογκόροφ, εντελώς καινούργια, τα παιδιά

την παραδίδουν για χαρτοπολτό. Δεν πρόλαβε να βγει η Γεωμετρία 6~10 του Α.Β.

Πογκορέλοφ και ακούμε ότι στο βοήθημα αυτό μερικές ενότητες δεν πρέπει να διδα­ χθούν. Κάθε χρόνο αναγκαζόμαστε να δουλεύουμε με το βιβλίο αυτό διαφορετικά σύμφωνα με τις οδηγίες που έρχονται. Και όμως επί σειρά ετών τυπώνονταν χωρίς αλλαγές σαν να μη συμβαίνει τίποτα.

Τα σχολικά βιβλία εκδίδονται στα γρήγορα, πολλές φορές πρόχειρα. Μι<~-δυο φο­ ρές παίρνεις το βιβλίο στο χέρι και διαλύεται. Οι σελίδες συχνά είναι μπερδεμένες.

Στη δική μας Δημοκρατία την υπόθεση της παιδείας εμποδίζει και η πρακτική που ακόμα συνεχίζεται, χρησιμοποίησης μαθητών στις βαμβακοφυτίες. Δεν είμαι αντίθε­ τος στην εργασιακή πρακτική, όμως δεν πρέπει να aποσύρουμε τους μαθητές για

4

μήνε.ς από τα μαθήματα. Εξ' αιτίας αυτής της κατάστασης το πρόγραμμα περικόπτε­

ται, aλλά και την «κομένψ> παραλλαγή του μόλις προλαβαίνουμε να καλύψουμε, μει­ ώνοντας τις διακοπές, δουλεύονται και στις γιορτές. Πότε ο μαθητής θα μαθαίνει και ο καθηγητής θα ασχολείται με την αυτομόρφωσή; Ζ. Κουζίεφ Ουζμπέκικη ΣΣΔ


ΣΧΟΛΙΑ-ΓΝΩΜΕΣ-ΑΠΟΨΕΙΣ

j3

ΕΚΠΤΩΣΕΙΣ

Ανακοινώθηκε (πρόσφατα) από το υπουργείο η εξεταστέα ύλη :rων Γενικών εξετά­ σεων

1989.

Από τα Μαθηματικά της

IV

Δέσμης, αφαιρέθηκε το Κεφ. της Στατιστικής

που θα διδάσκεται στη Β' Λυκείου. Σtη θέση του όμως δεν προστέθηκε κάτι και­

νούργιο και συγκεκριμένα το Κεφ. της Συνδυαστικής που περιμέναμε. Αυτή η συνεχής ελαχιστοποίηση της ύλης είναι και περίεργη και ανεξήγητη. Περίεργη, γιατί η ύλη των δεσμών υπάρχει για δύο κυρίως λόγους. Ι) Για να απο­

τελέσει υποδομή για όσους θα συνεχίσουν σε ΑΕΙ και

2)

για να αποτελέσει ένα κρι­

τήριο για την επιλογή των ικ;ανοτέρων. Με τις συνεχείς όμως εκπτώσεις και οι δύο λόγοι αναιρούνται.

Ανεξήγητη, γιατί αν υπάρχει και σαν στόχος να μπορεί να αφομοιωθεί από όλους

ανεξαιρέτως τους μαθητές τότε πρέπει να συρρικνωθεί ακόμα περισσότερο ή και να καταργηθεί.

:Ετσι με μια κλήρωση αντί εξετάσεων θα προσφέραμε πράγματι σε

όλους ανεξαιρέτως ~~ίσες ευκαιρίες». ΚΑΙ ΜΙΑ ΚΑΛΗ ΚΟΥΒΕΝΤΑ Οι οδηγίες των Π.Ι. για τη διδασκαλία των Μαθηματικών κυκλοφόρησαν φέτος με

περισσότερη επιμέλεια. Πέρα από τους διδακτικούς στόχους που περιέχουν για κάθε ενότητα της ύλης Α και Β' Γυμνασίου, και για τις άλλες τάξεις είναι περισσότερο κατατοπιστικές. Ιδιαίτερα στην ύλη των δεσμών. Για ορισμένα κεφάλαια υπάρχουν σαφείς οδηγίες με συγκεκριμένα παραδείγματ~ κατάλληλες ασκήσεις για εμπέδωση ή προετC'ιμασία για το νέο.

Για πρώτη

φορά και δείγμα σχεδίου μαθήματος.

Έτσι

μπορεί να πει κανείς ότι για ορισμένες παραγράφους είναι πράγματι το βιβλίο του δασκάλου.

Πολ. Σίδερης Σχολ. Σύμβουλος


4 j ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22

Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα Ε. Κολέζα-Αδάμ Η διδασκαλία των μαθηματικών σε παιδιά, σε σχολικό πλαίσιο, άρχισε να εμφα­

νίζεται σχετικά αργά: στις αρχές μόλις του Ι8ου αιώνα. Τα πρώτα βήματα, δεν έγιναν χωρίς προβλήματα, που οφείλονταν τόσο στο χαμηλό επίπεδο γνώσεων των πρώτων δασκάλων, όσο και σε διάφορες κοινωνικές και πολιτικές συνθήκες. Στις λίγες σελίδες που ακολουθούν θα προσπαθήσουμε να δώσουμε απλά μια

αμυδρή εικόνα για τη θέση των μαθηματικών στην εκπαίδευση από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, στα πλαίσια της Ευρώπης. Ο περιορισμός αυτός υπα­

γορεύεται κυρίως από την σχετικά μικρή και δυσεύρετη βιβλιογραφία γύρω από το θέμα: Οι πληροφορίες μας οι σχετικές με την εκπαίδευση σε διάφορα κράτη εκτός

Ευρώπης είναι αρκετές, μειώνονται όμως αισθητά σε ότι αφορά τη θέση της διδα­ σκαλίας των Μαθηματικών σ' αυτή την εκπαίδευση. Τα βασικά μαθήματα που εδιδάσκοντο στην αρχαιότητα ήταν: η γυμναστική, η μουσική, η ανάγνωση και η γραφή.

Η διδασκαλία των μαθηματικών ήταν εξαιρετικά περιορισμένη και απευθύνετο σε άτομα μεγαλύτερα των

18

ετών.

Ένας αιγυπτιακός πάπυρος των προ Χριστού χρόνων, μας πληροφορεί ότι το μά­ θημα της αριθμητικής περιελάμβανε: αποστήθιση των αριθμών από το Ι έως το

25,

κάποια τέλεια τετράγωνα και αναγνώριση των συμβόλων των τεσσάρων πράξεων. Στην Αρχαία Ελλάδα, κατά την εποχή των Σοφιστών, τρείς μορφές «Παιδείας» προσφέρονταν στους πολίτες:

Η Μαθηματική παιδεία, που έγκειτο στη μελέτη της αριθμητικής, της γεωμετρί­ ας, της αστρονομίας και της μουσικής, και που αντιπροσωπεύετο από τον Ιππία τον Ηλείο.

Η Γλωσσική παιδεία, που στόχευε στη δημιουργία πολιτικών ανδρών και περιε­ λάμβανε: διδασκαλία της γραμματικής, της ρητορικής και της διαλεκτικής και που εκπροσωπείτο κυρίως από τον Πρόδικο από την Κέα, τον Γοργία από τη Σικελία και

τους Ελεάτες φιλόσοφους.

Και τέλος μια μορφή παιδείας που έγκειτο στη διάπλαση χρηστών ηθών, αγαθών


Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΠΚΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

/5

ανδρών, ικανών να κυβερνήσουν σωστά το σπίτι τους και να ευεργετήσουν την πολι­

τεία. Εκπρόσωπος μιας τέτοιας αγωγής ήταν ο Πρωταγόρας από τα

'Αβδηρα που

υποστήριζε ότι το ήθος και η αρετή δεν επιτυγχάνονται με δογματικές διδασκαλίες της μιας ή της άλλης μορφής, αλλά με τη γνώση των πραγματικών αξιών της ζωής.

Ποιές όμως είναι αυ~ές οι πραγματικές αξίες; Κατά τον Πρωταγόρα είναι εκείνες που παραδέχεται η ομαδική συνείδηση, εκείνες που πηγάζουν από την κοινή γνώμη

και που εκφράζονται με τους νόμους κάθε πολιτείας.

Αντίθετα, κατά τον Πλάτωνα, υπέρτατος κριτής των αξιών είναι ο λόγος, το λο­ γικό, αυτή η έμφυτη δύναμη στον άνθρωπο που τον κατευθύνει στην αναζήτηση της αλήθειας και που τον συγκρατεί απο πιθανές ροπές προς το «θυμοειδές» (τα ανώτερα συναισθήματα) ή το «επιθυμητικό» (τα κατώτερα συναισθήματα). Η εκπαίδευση είναι

σύμφωνα με τον Αθηναίο φιλόσοφο, η συμφωνία ανάμεσα στα συναισθήματα και το λογικό, και ως εκ τούτου θεωρείται σαν η πρώτη αρετή. Για το ξύπνημα όμως του λογικού, και την απόκτηση ορθής κρίσης, ο Πλάτω­

νας θεωρεί σαν απαραίτητη προϋπόθεση την καλλιέργεια από το άτομο των μαθημα­ τικών επιστημών:

...

<<Το πλάσμα που δεν είναι ικανό να ξεχωρίσει το «δύο» από το «τρία», ούτε το

μονό από το ζυγό, και δεν έχει την παραμικρή ιδέα για τον αριθμό, δεν θα μπορέσει πο­ τέ να συνειδητοποιήσει αυτά που μόνο με τις αισθήσεις και τη μνήμη απόκτησε ... >>

(1)

Για το λόγο αυτό, ο φιλόσοφος συμβουλεύει:

«. ..

να προετοιμάζουμε... τις φύσεις που έχουν ανάλογες ικανότητες με πολλά

προκαταρκτικά μαθήματα, ώστε να συνηθίζουν σ' αυτά από την παιδική και τη νεανική ηλικία. Για τούτο χρειάζονται οι μαθηματικές επιστήμες ... >> (Ι) Συγκεκριμένα, τα σχετικά με τα μαθηματικά μαθήματα που πρέπει να σπουδάζουν οι πολίτες είναι:

...

«Οι λογαριασμοί και τα σχετικά με τους αριθμούς, ένα μάθημα. Το μέτρημα

του μάκρους, της επιφάνειας και του βάθους, δεύτερο. Και το τρίτο μάθημα, είναι η πορεία των άστρων και οι αμοιβαίες σχέσεις τους κατά την περιφορά ...

'Ο λα τούτα όμως, δεν πρέπει να απασχολούν τους πολλούς με μεγάλη ακρίβεια, αλλά πολύ λίγους ... » (1) Και οι πολλοί όμως, έστω και αν δεν εμβαθύνουν στη μελέτη των αριθμών, έχουν πολλά να ωφεληθούν από μια τέτοια παιδεία:

...

«Για την οικιακή οικονομία, καθώς και για τη δημόσια και για όλες τις τέ­

χνες, κανένα άλλο μάθημα από εκείνα που διδάσκονται στα παιδιά δεν έχει τόση με­ γάλη δύναμη, όσο η μελέτη των αριθμών. Και το σπουδαιότερο είναι, ότι και τον από του φυσικού του νυσταλέο και αμαθή τον ξυπνά και τον κάνει να μαθαίνει εύκο­ λα, νάχει μνημονικό και οξύνοια σε τέτοιο σημείο, ώστε να προοδεύει πάνω από τη

φύση του, χάρη σε μια θεϊκή μέθοδο.»

(1)

'Οσο για το πως θα πρέπει να παρουσιάζονται τα πρώτα στοιχεία των μαθηματι-

_


6 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΙΕΥΧΟΣ 22 κών στα μικρά παιδιά, ο Πλάτωνας συνιστά ένα συνδυασμό μάθησης και παιχνιδιού. Μέσα από το παιχνίδι το παιδί θα οικειοποιηθεί τις καινούργεις γνώσεις:

...

«Και πρώτα-πρώτα, για τους λογαριασμούς, επινοήθηκαν για τα πολύ μικρά

παιδιά, συστήματα τέτοια ώστε να μαθαίνουν ευχάριστα παίζοντας. Δηλαδή μοιρά­ ζουν μεταξύ τους μήλα και στεφάνια, έτσι που ένας ορ,σμένος αριθμός από μήλα και στεφάνια να διανέμεται άλλοτε σε περισσότερα παιδιά και άλλοτε σε λιγότερα ... Ακό­ μα, παίζοντας, οι δάσκαλοι ανακατώνουν αγγεία χρυσά, χάλκινα και ασημένια, κι από διάφορα άλλα υλικά και τα μοιράζουν όλα, όπως είπα παραπάνω, εφαρμόζοντας στο παιχνίδι τη χρήση των αναγκαίων αριθμών ... >> (Ι) Για την εποχή του Μεσαίωνα, οι πληροφορίες μας οι σχετικές για το πως γινό­

ταν η διδασκαλία των μαθηματικών και για το περιεχόμενο μιας τέτοιας διδασκαλίας είναι ελάχιστες.

Για παράδειγμα, ξέρουμε ότι στο περίφημο σχολείο του παλατιού του Καρλομά­ γνου

(742-814)

φοιτούσαν μερικές δεκάδες μόνο μαθητών που δεν μάθαιναν ούτε καν

να διαβάζουν. Αποστήθιζαν μόνο προσευχές που διάβαζε δυνατά ο δάσκαλος. 'Οσο

για τις πανεπιστημιακές σπουδές αυτής της ίδιας περιόδου, ξέρουμε ότι περιελάμβα­ ναν κυρίως δυο κύκλους μαθημάτων, κατά τα πρότυπα της ελληνικής αρχαιότητας: το

trivium

(γραμματική, ρητορική και διαλεκτική) και το

quadrivium

(αριθμητική, γεω­

μετρία, αστρονομία, μουσική).

Αξίζει να σημειωθεί ότι το περιεχόμενο αυτών των μαθημάτων, δεν έχει καμμία σχέση με εκείνο των αντίστοιχων σημερινών. Η αστρονομία λόγου χάρη, δεν παρου­ σιάζετο παρά σαν κάτι μεταξύ μυθολογίας και aστρολογίας. Εξαίρεση, για την εποχή, αποτελεί η Ιταλία. Πιο συγκεκριμένα γύρω από την

Φλωρεντία, κι από τις αρχές ήδη του 8ου αιώνα, εμφανίζονται τα «σχολεία των υπο­ λογισμών»

(Scuo1e d'Abbaco).

Σ' αυτό γίνονται δεκτά από

11

χρονών τα παιδιά των

ευγενών, των εμπόρων, και των χρηματιστών.

Κύριος συντελεστής αυτής της πνευματικής κίνησης, ήταν ο γνωστός μας Λεο­ νάρντο της Πίζας ή

Fibonacci.

Γυιός εμπόρου, πήρε τις πρώτες του μαθηματικές

γνώσεις κοντά σ' έναν 'Αραβα δάσκαλο. Η δημιουργία αυτών των σχολείων σ' αυτή τη χρονική περίοδο, δεν είναι τυ­ χαία. Συνδέεται άμεσα με την «εμπορική επανάσταση», που ήταν το φυσικό επακό­ λουθο της σημαντικής ανάπτυξης της ιταλικής ναυτιλίας. Οι πλούσιοι έμποροι λοι­ πόν και οι ασχολούμενοι με κάθε είδους συναλλαγή, στέλνουν τα παιδιά τους στο

σχολείο για να διδαχθούν τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών. Το περιεχόμενο μιας τέτοιας διδασκαλίας δεν διέφερε πολύ από εκείνη του δημοτικού σχολείου των ημε­

ρών μας: πράξεις κλασμάτων, μέθοδος των τριών, μονάδες μέτρησης, πρακτική γεω­

μετρία. Μόνο στη Φλωρεντία, το 1343 υπήρχαν 6 τέτοια σχολεία, με συνολικό αριθ­ μό μαθητών γύρω στους

1200! Περίπου 2000 γραπτά ντοκουμέντα (βιβλία και τετρά-


Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΊΙΚΩΝ ΣΊΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

/7

δια μαθητών) έχουν βρεθεί. Τα προβλήματα που περιέχουν δεν διαφέρουν από εκείνα που βρίσκουμε στα σημερινά βιβλία της αριθμητικής. Στο

(2)

βρίσκουμε το αντίγραφο μιας σελίδας ενός χειρόγραφου του

1430

που

παρουσιάζει δυο διαφορετικούς τρόπους για την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού. Δε­

ξιά η γνωστή μας μέθοδος. Αριστερά μια βενετσιάνικη μέθοδος «του τετραγώνου»

(modo de quadrato).

Πολλές από τις εκφωνήσεις των προβλημάτων συνοδεύοντα από επεξηγηματικά σκίτσα, όπως αυτά που βρέθηκαν σ· ένα βιβλίο του

1491 (2).

-Αν και αρχικά στα "Scuole d' abbaco" φοιτούσαν κυρίως παιδιά εμπόρων, με το πέρασμα του χρόνου, άρχισαν να εγγράφονται και παιδιά άλλων κοινωνικών τάξεων που διακρίνονται για την εξυπνάδα τους. Τέτοια ήταν η περίπτωση του

Vinci

και του

Leonardo da

Macchiaveli.

Το πρόγραμμα σπουδών επίσης πλαταίνει. Μπαίνουν μαθήματα άλγεβρας, γεωμε­ τρίας του Ευκλείδη, αστρονομίας, και συγχρόνως γίνεται ένα άνοιγμα προς τις καλές


8 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 τέχνες: τα μαθηματικά απευθύνονται στους καλλιτέχνες και αυτοί με τη σειρά τους, τα χρησιμοποιούν στη τέχνη τους.

Αυτό που ξεκίνησε στην αρχή στη Φλωρεντία σαν «πολιτιστική επανάσταση» εξελίχθηκε τελικά σε «κοινωνική επανάσταση». Όλο και περισσότερα παιδιά κάθε κοινωνικού επιπtδου εκδήλωναν την επιθυμία για μόρφωση. Αυτό ήταν κάτι που έβαλε σε σκέψεις τους ανθρώπους που κατείχαν

τα ανώτερα αξιώματα. Το σκεπτικό τους ήταν ότι η ανύψωση της πνευματικής στάθ­ μης του λαού, εγκυμονούσε κινδύνους για τους κυβερνώντες.

Αυτή ήταν η βασικώτερη από τις αιτίες που το Φλωρεντιανό πνευματικό κίνημα άρχισε να παρακμάζει.

Διάφορες εξεγέρσεις των χωρικών γύρω στα

1524

εδραίωσαν την πεποίθηση

στους άρχοντες ότι η μόρφωση του λαού, θάπρεπε να περιορισθεί σε θρησκευτικά θέ­ ματα και οι επιστήμες να αφεθούν για τους λίγους. Επιπλέον, οι άνθρωποι της εκκλησίας άρχισαν να στρέφονται ανοιχτά εναντίον των επιστημών, κυρίως εναντίον των θετικών επιστημών, όπως δείχνει καθαρά το πα­

ρακάτω κείμενο: «Δεν βλέπουμε γιατί η μελέτη των κερδοσκοπικών επιστημών, όπως η γεωμετρία, η αστρονομία και η φυσική θα μπορούσε νάταν τίποτα άλλο εκτός από μια μάταια διασκέδαση ούτε γιατί αξίζουν περισσότερο από την απόλυτη άγνοια που έχει τουλά­

χιστον το πλέονέκτημα να είναι λιγώτερο κουραστικό και που δεν οδηγεί σε μια ανό­

ητη ματαιοδοξία, όπως συμβαίνει μ' αυτές τις γνώσεις τις στείρες και μάταιες ... »

(2)

Από τα τέλη του 14ου μέχρι και το 18ο αιώνα, λοιπόν, η διδασκαλία των μαθη­

ματικών γινόταν σε πολύ περιορισμένη κλίμακα. Και το κυριότερο, δεν απευθυνόταν πια σε παιδιά, αλλά σε άτομα μεγαλύτερα των

Παιδιά

10-18

18

ετών.

ετών, δεν εδιδάσκοντο παρά στοιχεία αρίθμησης. Τα μαθήματα δί­

νονταν στα πλαίσια των κολλεγίων και σύμφωνα με μια μαρτυρία η συχνότητα των παραδόσεων ήταν της τάξης των

45'

την εβδομάδα.

Τα κολλέγια, ήταν ιδρύματα που λειτουργούσαν κάτω από την αιγίδα των θρη­

σκευτικών ταγμάτων. Η διοικητική μεταρρύθμιση όμως του

1463

αύξησε την αυτονομία και τη σπου­

δαιότητά τους. Αυτό ίσχυσε τόσο για τη Γαλλία, όσο και για την Αγγλία και τις Κά­ τω Χώρες. Απλά για να δώσουμε μια ιδέα για το πρόγραμμα των κολλεγίων και για

την ... απουσία των μαθηματικών απ' αυτές αναφέρουμε ότι στα

των

Parniers

1542

στο Κολλέγιο

διδάσκονταν: Φυσική και Ηθική του Αριστοτέλη από ένα δάσκαλο των

Καλών Τεχνών, Βιργίλιος, Κικέρωνας και Οράτιος από έναν ποιητή, και γραμματική και Αρχαίοι από έναν τρίτο δάσκαλο.

Συγχρόνως, διάφορες άλλες αλλαγές συντελούνται στην εκπαίδευση. Αναμορφώ-


Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΠΚΩΝ ΣΙΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

νεται το Πανεπιστήμιο του Παρισιού

(1452),

/9

ίδρυμα απ' όπου πέρασαν πολλο( από

τοΙJς μεγάλους εκείνης της εποχής, και ιδρύονται νέα ιδρύματα, όχι σαφώς καθορισμέ­ νου τύπου, οι Ακαδημtες.

Πέρα απ' αυτά, ένα νέο εκπαιδευτικό ρεύμα δημιουργείται στα μέσα του 16ου αιώνα, από το τάγμα των Ιησουιτών. Ο ιδρυτής του, Ιγνάτιος Λογi.όλα, προτείνει στα

Παύλο 3ο ένα καταστατικό με

49

1541

για έγκριση στον Πάπα

άρθρα που προβλέπει την ίδρυση φροντιστηρίων

που θα ονομάζονται κολλέγια και θα βρίσκονται σε πόλεις που έχουν Πανεπιστήμιο. Εκεί, οι μέλλοντες Ιησουiτες θα μπορούν να αποκτήσουν μια συμπληρωματική θρη-· σκευτική μόρφωση.

Αρχικά, το κέντρο της εκπαίδευpης ήταν το Πανεπιστήμιο του Παρισιού. Μια πρώτη αποκέντρωση έγινε το

1550

με την ίδρυση του Ρωμαϊκού κολλέγιου, που σύμ­

φωνα με αρκετές μαρτυρίες αποτέλεσε «φυτώριο μεγάλων ανδρών>>. Στα τέλη του 16ου αιώνα, οι Ιησουίτες κατείχαν ήδη Μόνο στο Παρίσι, ο αριθμός των μαθητών ανήρχετο σε

κολλέγια στη Γαλλία.

15 1300.

Στη Γερμανία επίσης, την ίδια εποχή υπήρχαν γύρω στα

20

κολλέγια, και αρκε­

τά άλλα ιδρύθηκαν κυρίως στην Ελβετία και Πολωνία. Μέσα σε

2

πλασιάζεται: από

αιώνες ο συνολικός αριθμός των κολλεγίων των Ιησουιτών πεντα­

144

το

1579,

φθάνουν τα

669

το

1749.

Το πρόγραμμα σπουδών σ' αυτά τα ιδρύματα συνίσταται:

«......

στην απόκτηση

σταθερής γραμματικής μόρφωσης με τη μελέτη των «σύντομων επιστημονικών επιτο­ μών», στη σπουδή της λογικής και της φιλοσοφίας που απαιτείται για την κατανόη­ ση των τεχνών, κι Ι)στερα στη διάθεση τριών ή τεσσάρων ετών για τη θεωρητική και θετική φιλοσοφία»

(6).

Πιο αναλυτικά το πρόγραμμα περιελάμβανε: Ένα φιλολόγικό κύκλο (Ρητορία, Ανθρωπιστικά γράμματα και Γραμματική), μύ­ ηση στη Φιλοσοφία και στη μελέτη της Ιστορίας, και διδασκαλία των Φυσικών και Μαθηματικών επιστημών. Ας μείνουμε όμως λίγο περισσότερο στη διδασκαλία αυτού του τελευταίου μαθή­ ματος, αφού αυτό είναι και το κέντρο του ενδιαφέροντος στην ιστορική μας αναδρο-

μ ή.

Η μελέτη της Φυσικής ήταν περισσότερο' φιλοσοφική: στηριζόταν κυρίως στην ανάγνωση των 8 βιβλίων της Φυσικής του Αριστοτέλη και σε συζητήσεις γύρω από τη δημιουργία του κόσμου.

Το κλίμα για τα Μαθηματικά ήταν μάλλον εχθρικό. Παρά την παρουσία μερικών προικισμένων ανθρώπων, καλλιεργείται έντονα, κυρίως από τους δασκάλους της Φι­ λοσοφίας, η άποψη ότι τα Μαθηματικά είναι μια «απατηλή επιστήμη», ένα σύνολο

στείρων γνώσεων, που δεν έχουν σχέση με τα καθημερινά προβλήματα των ανθρώ­ πων.


10/ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 Μια πιο ευνοϊκή στάση απέναντι στα Μαθηματικά παρατηρείται γύρω στα

1"550

στηv Ιταλία. Στα·κολλέγια της Μεσσήνης και της Ρώμης, διδάcrκεται η Ευκλείδιος γεωμετρία και η Αστρονομία. Σύντομα το παράδειγμά τους μιμούνται και τα κολλέγια του Παρισιού.

Η διδασκαλία αυτή αντιστοιχούσε σε τρία χρόνια σπουδών. Ο πρώτος χρόν.ος ήταν aφιερωμένος στην Ευκλείδιο γεωμετρία και σε μερικά θέμα~α κοσμογραφίας, τριγωνομετρίας και γεωγραφίας. Το δεύτερο χρόνο εδιδάσκοντο, μαθήματα εφηρμοσμέ­ νης γεωμετρίας στις μετρήσεις, την προπτική και τη μουσική. Τον τρίτο χρόνο εδιδά­ σκετο η αστρονομία.

Η διδασκαλία αυτών των μαθημάτων διαρκούσε

1

ώρα την ημέρα. Η αντίδραση

των aρνητών των Μαθηματικών μπροστά σ• ένα τέτοίο πρόγραμμα, υπήρξε έντονη. Έτσι, το Σύνταγμα του

μα του

1599

1586

περιόρισε τη διδασκαλία στα

2

χρόνια, και το Σύνταγ­

περιόρισε τη διδασκαλία των θετικών επιστημών μόνο στο δεύτερο έτος

και αποκλειστικά στους μαθητές της Φιλοσοφίας.

Η μειονεκτική θέση των Μαθηματικών, εκείνη την περίοδο, έναντι των άλλων

επιστημών, διαφαίνεται και. από τον αριθμό των μαθητών που παρακολουθούσαν τη διδασκαλία τους: από τους οι

64

12565

μαθητές που φοιτούσαν το

1627

στο Παρίσι, μόνο

σπούδαζαν Μαθηματικά! ~

Εκείνο που διέσωσε τα Μαθηματικά και συνέβαλε στο να κινηθεί γι αυτά το εν­

διαψέρον των ανθρώπων, ήταν η ανάπτυξη του εμπορίου και της ναυτιλίας. Αυτό φαίνεται καθαρά και από το παρακάτω κείμενο του

1630:

«Είναι αρκετό να

κατέχει ο ικανός άνθρωπος από τα Μαθηματικά εκείνο που χρησιμεύει στο καπετά-

.

νι.e για να ενισχύει κανονικά και να συνθέτει τα σχέδια του αγώνα, να προσθέτει, να

αφαιρεί, να πολλαπλαάιάζει και να διαιρεί, ώστε να κάνει εύκολη την άσκηση σχη­ ματισμού των τιημάτων ... Είναι όμως ελάχιστα σπουδαίο να έχει διεισδύσει στα μυ­ στικά της γεωμετρίας και στις λεπτολογίες της άλγεβρας ... » (6)

Ο ίδιος ο βασιλιάς Λουδοβίκος ο Ι4ος ζητά ανθρώπους με μαθηματική μόρφωση, για να αναλάβουν σημαντικές θέσεις στο πολεμικό ναυτικό. Οι έδρες αυτές, από ΙΟ

στις αρχές του Ι 7ου αιώνα, αυξάνονται σε

26

γύρω στα

1762.

Το ενδιαφέρον των εμπόρων για τα μαθηματικά, είχε σαν συνέπεια να γραφτούν βιβλία ειδικά γι' αυτή την· τάξη των ανθρώπων. Από επιστημονικής άποψης το περι­

εχόμενο αυτών των βιβλίων δεν είναι αξιόλογο: δεν παρουσιάζονται παρά τα απαραί­ τητα μαθηματικά για τις συναλλαγές τους.

Να τι περιείχε, για παράδειγμα ένα γαλλικό βιβλίο αριθμητικής του Ι 7Ι 1 που εί­

χε τον εξής ... μακροσκελή τίτλο: <<Η εύκολη αριθμητική, .τόσο περίεργη όσο και χρή­ σιμη για κάθε έμπορο, τραπεζίτη, οικονομολόγο και δημόσιο υπάλληλο.»

Αρχίζοντας με τον ορισμό και τις υποδιαιρέσεις της Αριθμητικής, το βιβλίο πα-


Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΙΙΚΩΝ ΣΙΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

/11

ρουσιάζει τους Αραβικούς και Ρωμαϊκούς αριθμούς και στη συνέχεια μυεί τους ανα­ γνώστες του ... στις τέσσερες πράξεις.

Για την πρόσθεση αφιερώνονται

20

ολόκληρες σελίδες, για το λόγο ότι αναλύο­

νται ξεχωριστά θέματα όπως: πρόσθεση λιρών, δηναρίων και άλλων νομισμάτων, πρό­ θεση μηνών, ημερών, ωρών, πρόσθεση μονάδων μέτρησης κ.λ.π.

Με την ίδια λογική παρουσιάζονται η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η δι­ αίρεση. Ιδιαίτερα κεφάλαια αφιερώνονται λόγου χάρη για το Ιουλιανό και Γρηγορια­ νό ημερολόγιο και το δίσεκτο έτος. Στη

σελίδα

94

παρουσιάζονται για πρώτη

φορά τα κλάσματα (ή

«τετμημένοι

αριθμοί))), οι πράξεις κλασμάτων και οι πρακτικές τους εφαρμογές.

Η «μέθοδος των τριών)) εμφανίζεται στη

220

σελίδα και μέχρι την σελίδα

330

όπου βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα, δεν εκθέτονται παρά εφαρμογές στις καθημε-

ρινές εμπορικές συναλλαγές αυτής της 'μεθόδου.

.

Μόνο 7 σελίδiς αφιερώνονται στην αριθμητική πρόοδο και περίπου 100 σελίδες σε καθαρά εμπορικά θέματα όπως: «Πως πουλιούνται τα κρασιά του Μπορντό στο

'Άμστερνταμ)), «Συναλλαγές ανάμεσα στη Γαλλία και την πόλη του Αμβούργου)) και ακόμα, συναλλαγές της Γαλλίας με

Ένα βιβλίο

470

30

περίπου άλλες πόλεις και κράτη.

περίπου σελίδων, που από καθαρά μαθηματική σκοπιά, θάταν με

τα σημερινά δεδομένα, περιορισμένο περίπου στο έβδομο!

Έχουμε πει όμως, ότι μια πολύ μικρή μειονότητα νέων μεγαλύτερων των

18

ετών

τύχαινε μαθηματικής παιδείας κυρίως στα πλαίσια των ανώτερων σχολών και Πανε­

πιστημίων. Ποια ήταν η ύλη που εδιδ?σκοντο; Μια έμμεση απάντηση στο ερώτημά μας, δίνεται στο

(2)

όπου παρουσιάζονται τα

περιεχόμενα μερικών μαθηματικών βιβλίων εκείνης της εποχής. Έτσι, στην έβδομη έκδοση του βιβλίου του πατέρα

1758,

Lamy

που εμφανίσθηκε το

διαπραγματεύονται θέματα όπως: κωνικές τομές και εγγραφές σε κανονικό οκτά­

εδρο κύβων μεγίaτου όγκου. 'Ε να άλλο εγχειρίδιο της εποχής ήταν τα «Στοιχειώδη μαθήματα αρtθμητικής και γεωμετρίας)) του πατέρα Περιελάμβανε

6

Torne

που κυκλοφόρησε το

κεφάλαια αριθμητικής και

της αριθμητικής περιείχαν τις

4

9

1754.

κεφάλαια γεωμετρίας. Τα κεφάλαια

πράξεις, αναλογίες, προόδους και εξισώσεις πρώτου

βαθμού. Στο τμήμα της γεωμετρίας, εκτός από ,τις στοιχειώδεις γνώσεις, υπήρχε ένα

κεφάλαιο τριγωνομετρίας και ένα κεφάλαιο αφιερωμένο στις κωνικές τομές.

Η χρονική περίοδος από το 14ο έως τα μέσα του 18ου αιώνα, υπήρξε σχετικά δύ­ σκολη για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Σ'

αυτά τα χρόνια η προσφορά του

τάγματος των Ιησουιτών ήταν περισσότερο από σημαντική. Γύρω στα

1763

όμως το

κίνημα άρχισε να παρακμάζει. Αιτία γι' αυτό στάθηκε η σύγκρουση της κατά κάποιο


12 I ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 τρόπο φιλοσοφικής θεώρησης των μαθηματικών από τους Ιησουίτες με το θετικό πνεύμα του Καρτέσιου.

Όπως γράφει ο Ρ.

Mesnard

στο

(6):

«Επειδή επίκαιρα δεν είχαν κάνει αυτό το

καρτεσιανό εμβόλιο, το οποίο έπρεπε να εκμεταλλευτεί το Τάγμα, δεν πρόφτασαν οι Ιησουίτες να κυριαρχήσουν αυτοί στην κίνηση των θετικών επιστημών, ούτε ακόμα και να την παρακολουθήσουν τουλάχιστον από το

1700 ... »

Ως εδώ προσπαθήσαμε να aποτυπώσουμε στο χαρτί τις πιο σημαντικές εξελίξεις

στην ιστορία της διδασκαλίας των μαθηματικών έως το 18ο αιώνα.

·

Υπάρχει όμως ένα σημαντικό σημείο, που δεν θίξαμε ακόμα:' από ποιές παιδαγω­

γικές αρχές διέπετο η διδασκαλία των μαθηματικών κυρίως ανάμεσα στο μεσαίωνα

και το 18ο αιώνα; Αν θέλαμε να είμαστε λακωνικοί στην απάντησή μας, θα λέγαμε ότι η τηρούμενη παιδαγωγική αρχή ήταν κυρίως εκείνη του «πίστευε και μη ερεύνα». Θα τολμούσαμε ακόμα να πούμε, ότι σ' αυτή την περίοδο, τα παιδαγωγικά θέμα­ τα δεν φαίνεται να απασχόλησαν σοβαρά τους ανθρώπους των γραμμάτων. Εκτός βέ­ βαια από μερικές φωτισμένες εξαιρέσεις.

Μια τέτοια εξαίρεση, άγνωστη σε πολλούς, ήταν ο A.C. CLAIRAUT (1713,-1765) (2). Γιός κaθηγητή μαθηματικών, έγινε στα 19 τQυ χρόνια μέλος της Ακαδημίας των Επιστημών. Οι βασικές παιδαγωγικές αντιλήψεις που διατύπωσε, μπορούν να συνο­ ψισθούν ως εξής:

--

Η πλήξη και η αδιαφορία που αισθάνεται κάποιος που διδάσκεται Μαθηματικά,

οφείλεται συχνά στον τρόπο με τον οπ9ίο διεξάγεται η διδασκαλία: στη γεωμετρία λόγου χάρη κουράζουμε το μαθητή με αξιώματα, θεωρήματα και προτάσεις πριν ακό­ μα εκείνος αποκτήσει μια σαφή ιδέα για το τι πρόκειται να του διδάξουμε. Για να μην αποθαρρύνουμε, λοιπόν, τους διδασκόμενους πρέπει να στηρίζουμε

την ~ιδασκαλία μας σε συγκεκριμένα παραδείγματα. Πρέπει να επιμένουμε στη διδα­ σκαλία των «χρήσιμων Μaθηματικών».

~ Η παρουσίαση των Μαθηματικών εννοιών πρέπει να γίνεται ξεκινώντας από συ­ γκεκριμένα προβλήματα και όχι με δογματικό τρόπο.

(Βέβαια για την εποχή του

Clairaut,

που οι διδασκόμενοι ήταν κυρίως αριστοκρά­

τες και έμποροι μια τέτοια ιδέα ήταν επικίνδυνα πρωτοποριακή: μπροστά σ' ένα δύ­

σκολο πρόβλημα υπήρχε ο κίνδυνος οι μαθητές να εγκαταλείψουν την προσπάθεια πριν καν αρχίσουν.

Γι αυτό και συνήθως η εφαρμογή αυτής της αρχής γινόταν από τον

Clairaut

κά­

ιά τρόπο ρητορικό: έλυνε εκείνος ο ίδιος το εισαγωγικό πρόβλημα που παρουσίαζε).

·-

Δεν αρκεί να παρουσιάσουμε στους μαθητές την τελική λύση ενός προβλήματος.

Πρέπει να απλώνουμε μπροστά στα μάτια τους όλους τους δυνατούς τρόπους σκέψης.

Χωρίς να θέλουμε να μειώσουμε στο ελάχιστο την αξία των προηγούμενων αρ­ χών, πρέπει να πούμε ότι δεν εφαρμόζονταν από τον εμπνευστή τους στο απόλυτο,


Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΙΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

/13

αλλά με το φόβο πάντα να μην κάνει του ακροατές τους να πλήξουν, προσαρμόζο­

ντας κατάλληλα στις απαιτήσεις των «ευγενών πελατών»: το προβάδισμα ανήκε στο

δάσκαλο και ο μαθητής δεν ήταν παρά ένας απλός παρατηρητής. Μια άλλη φωτεινή εξαίρεση εκείνης της εποχής ήταν ο μεγάλος τσέχος παιδα­

γωγός

Jean-Amos Komensky

ή όπως τον ξέρουν οι περισσότεροι

Comenious (1592-

1670). Το σπουδαιότερο έργο του είναι η

Didacta Magna, που μπορεί να θεωρηθεί σαν

το πρώτο σημαντικό βήμα για μια συστηματική μελέτη παιδαγωγικών θεμάτων. Ο

Comenius

ήταν από τους πρώτους που διέβλεψαν το σημαντικό ρόλο που μπο­

ρεί να παίξει η εποπτεία στη διδασκαλία των μαθηματικών. «Η χρήση των οργάνων», γράφει, «πρέπει να δείχνεται με την πράξη μάλλον παρά με τις κουβέντες».

Η πράξη όμως, σύμφωνα με τις παιδαγωγικές αρχές της εποχής, εκτελείται απο­

κλειστικά από το δάσκαλο. Οι μαθητές απλώς παρακολουθούν την επίδειξη, μιμού­ νται όσα βλέπουν, και εκτελούν πιστά τις οδηγίες του δασκάλου.

Απουσιάζει, δηλαδή, και το ελάχιστο δείγμα μιας ενεργούς συμμετοχής και πρω­ τοβουλίας των μαθητών κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας. Κι αυτό είναι που κάνει τη διαφορά ανάμεσα στις αρχές του

Comenius

και τις σύγχρονες διδακτικές αντιλή­

ψεις.

Το πόσο ασήμαντος είναι το ρόλος των μαθητών στη τάξη, φαίνεται καλύτερα από τα παρακάτω λόγια του τσέχου παιδαγωγού, που σκιαγραφούν παραστατικότατα

την αυθεντία του δασκάλου.

«0

δάσκαλος δεν θα πλησιάσει ποτέ τους μαθητές του και δεν θα τους επιτρέψει

να τον πλησιάσουν χωριστά ο καθένας. Θα παραμείνει στην έδρα του, όπου θάναι απ'

όλους ορατός, όπως ακριβώς ο ήλιος στέλνει τις ακτίνες του πάνω σε κάθε

πράγμα ... Πρέπει να πεισθούν οι μαθητές ότι το στόμα του δασκάλου είναι η πηγή

απ' όπου αναβλύζουν γι' αυτούς, οι κρουνοί της γνώσης ... » Περισσότερο από δυό αιώνες πριν την μεταρρύθμιση των «μοντέρνων» μαθημα­

τικών, ο

Comenius

ήταν ίσως ο πρώτος που υποστήριξε ότι μπορούμε να 'διδάξουμε

τα πάντα στους πάντες. Το σπουδαιότερο, άλλωστε, έργο του η

Didacta Magna,

φέρει

σαν υπότιτλο: «Η παγκόσμια τέχνη του να διδάσκεις τα πάντα στοΙJς πάντες»>.

Θα ήταν παράλειψη να αφήσουμε τη χρονική περίοδο που μελετάμε σε σχέση με τη διδασκαλία των μαθηματικών χωρίς να αναφέρουμε λίγα στοιχεία σχετικά με το επίπεδο των μαθηματικών γνώσεων των δασκάλων της εποχής.

Ανάμεσά τους υπήρχαν φυσικά εξαίρετοι επιστήμονες, μαθητές κυρίως των κολ­ λεγίων των Ιησουιτών και των Πανεπιστημίων, αλλά το επίπι;δο της μεγάλης πλειο­

ψηφίας ήταν εξαιρετικά χαμηλό. Αναφέρουμε δυο παραδείγματα, όπως τα βρίσκουμε στο

(2):


14 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΙΕΥΧΟΣ 22 Το προφίλ των

1729

4

υποψηφίων για μια θέση δασκάλου σ' ένα γερμανικό -χωριό στα

ήταν: Πρώτος υποψήφιος: υφαντής,

λές, σε

3 γραμμές

κάνει

5

50

ετών. Διαβάζει με δυσκολία, ξέρει τις

10

εντο­

λάθη ορθογραφικά, δεν ξέρει καθόλου να κάνει πράξεις.

Δεύτερος υποψήφιος: ράφτης,

60

ετών. Δεν ξέρει να διαβάζει, και για να μετρή-

σει -χρησιμοποιεί τα δάκτυλα των -χεριών του. Τρίτος υποψήφιος: -χαλκωματάς,

50

ετών. Ξέρει πρόσθεση.

Τέταρτος υποψήφιος: υπαξιωματικός. Ξέρει λίγη πρόσθεση και αφαίρεση. Τελικά εκλέ-χθηκε ο πρώτος υποψήφιος.

Το

1?64

τα απαιτούμενα προσόντα σε σ-χέση με τα μαθηματικά, για μια θέση δα­

σκάλου σε κάποια πόλη ήταν: Να μπορεί να κάνει μια πολύπλοκη πρόσθεση, ένα πολλαπλασιασμό (π.-χ.

1500

χ

1100),

να εφαρμόζει τη μέθοδο των τριών και να λύνει προβλήματα απλών αναλογιών (π.-χ.

να μοιρασθούν τα κέρδη μιας επι-χείρησης στους

4

μετό-χους ανάλογα με ·το αρ-χικό

κεφάλαιο του καθενός).

Προς τα τέλη του 18ου αιώνα συντελείται σε σ-χέση με την εκπαίδευση μια μεγά­ λη κοινωνική αλλαγή σε παγκόμσιι! κλίμακα: η δημιουργία σ-χολείων. Βέβαια σ-χολεία, κυρίως εκκλησιαστικά, υπήρ-χαν από παλιότερα. Κάποιες πλη­

ροφορίες μιλάνε για οργα_ν~μένη εκΠαίδευση στο Κίεβο από τον

lOo

αιώνα. Κυρίως

από τα τέλη του 15ου αιώνα, σαν αποτέλεσμα της διάδοσης της τυπογραφείας η εκ­ παίδευση, όπως είδαμε, αναπτύ-χθηκε περισσότερο. Δεν απευθύνετο όμως σε παιδιά

όλων των κοινωνικών στρωμάτων, και δεν ήταν υπο-χρεωτική. Επιπλέον οι μαθητές ήταν συ-χνά μεγαλύτεροι από

10

ετών.

Στα νέας μορφής σ-χολεία που εμφανίζονται στο 2ο μισό του 18ου αιώνα, φοι­

τούν παιδιά ηλικίας

6-7

ετών, και η απόκτηση στοι-χειώδους επιπέδου γνώσεων σε

πολλά κράτη γίνεται υπο-χρεωτική.

Η δημιουργία σ-χολείων δεν είναι τυ-χαίο γεγονός. Συνδέεται άμεσα με μια ευρύ­ τερη κοινωνικο-οικονομική αλλαγή που επίσης συντελείται εκείνη την εποχή: τη βι­ ομηχανική επανάσταση. Οι νέες μέθοδοι τεχνολογίας -χρειάζονται ανθρώπους με κά­ ποιο επίπεδο γνώσεων, τέτοιο ώστε να μπορούν να εκμεταλλευτούν τις δυνατότητες που παρέχουν τα καινούργια μηχανήμμτα.

Το εμπόριο επίσης, που φυσιολογικά αναπτύσσεται εκείνη τη περίοδο απαιτεί έμψυ-χο δυναμικό με στοιχειώδεις τουλάχιστον αριθμητικές γνώv·εις για τη διεκπε­ ραίωση οικονομικών συναλλαγών. Τα σχολεία γίνονται λοιπόν πραγματικότητα και κατοχυρώνονται με σ-χετικές νομοθεσίες.


Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑθΗΜΑΊΙΚΩΝ ΣΊΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Στη Γαλλία, ένας νόμος που εμφανίσθηκε το υποχρεώνει όλους

38.000

δήμων το

τους

1863,

μόνο

14

και συμπληρώθηκε το

δήμους Ύα δημιουργήσουν δημοτικά σχολεία.

818

1833

Σε σύνολο

δεν ακολουθούν, για διάφορους λόγους το νόμο.

Στην Αγγλία, ένας νόμος του

νουν παιδιά κάτω των

1816

/ 15

απαγορεύει στους εργοδότες να προσλαμβά­

1844,

ετών που δεν έχουν τελειώσει το δημοτικό.

Στη Ρωσία η Αικατερίνη Β' το

1786

συστήνει επιτροπή για την ίδρυση λαικών

σχοΛείων. Η επιτροπή αποφασίζει την ίδρυση στις πρωτεύουσες των επαρχιών τετρα­

τάξιων δημοτικών, ενώ στα επαρχιακά κέντρα αντίστοιχων διτάξεων. Στη Πολωνία συγκροτείται το

1775

μια επιτροπή για τη δημιουργία λαϊκών σχο­

λείων.

Στη Γερμανία, από το σχεδιάζεται. Το

1919

ήδη, η υποχρεωτική εκπαίδευση είχε αρχίσει να

1724

υπάρχουν δημοτικά σχολεία σε κάθε περιοχή της χώρας.

Στην Ελλάδα, η κατάσταση στον εκπαιδευτικό τομέα μετά την απελευθέρωση εί­ ναι απογοητευτική.

Παρά την άμεση προτεραιότητα που δόθηκε στο θέμα, γεγονός είναι ότι «το

1830

υπάρχουν στην Ελλάδα μόνον

που αντιπροσωπεύουν μόλις το Το

1901

το ποσοστό ανέρχεται στο

71

δημοτικά στα οποία φοιτούν

6.000

μαθητές

του συνόλου των παιδιών της σχολικής ηλικίας ...

8%

63% ... » (4)

Παρά το γεγονός, λοιπόν, ότι η δημιουργία οργανωμένης εκπαίδευσης πραγμα­ τοποιείται γύρω στις αρχές του 19ου για τις περισσότερες χώρες, οι πρώτοι καρποί

αυτής της αλλαγής δεν εμφανίσθηκαν παρά σχεδόν έναν αιώνα μετά.

*

Αυτό οφείλεται κυρίως στην έλλειψη ικανών δασκάλων και στο ως εκ τούτου χαμηλό επίπεδο της διδασκόμενης ύλης. Στη Γαλλία λόγου χάρη, στα

1843,

μόνον

ένας απόφοιτος πολυτεχνείου μπορούσε να αντιμετωπίσει μια διαίρεση δεκαδικών. Ειδικά σ' αυτή τη χώρα, μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα, οι μόνοι που διδάσκο­ νταν μαθηματικά, ήταν οι υποψήφιοι του Πολυτεχνείου και των Παιδαγωγικών ακα­

δημιών.

Οι άλλοι μαθητές που δεν ήταν υποψήφιοι για καμμιά σχολή ή που στρέφονταν

σε θεωρητικές κατευθύνσεις αρκούνταν σε ·ένα {πίπεδο που δεν ξεπερνούσε τις 4 πρά­ ξεις και τα απλά προβλήματα αναλογιών. Στα

1809,

στη Γαλλία πάντα, στα λύκεια θεωρητικής κατεύθυνσης διδάσκονταν

2

ώρες μαθηματικά την εβδομάδα ενώ σε εκείνα της θετικής κατεύθυνσης οι ώρες κυ­ μαίνονταν από

5

έως

9,

ανάλογα το χρόνο.

Να μερικά από τα θέματα εισαγωγικών στο Πολυτεχνείο το

-

Να προφέρετε τον αριθμό Να δειχθεί ότι

2

1839 (2):

1234567890

τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ίσες είναι ίσα

Να λυθεί η εξίσωση:

χ 6 - Ι =Ο

Να κατασκευασθούν οι καμπύλες

xy-

Ι =Ο

χ 2 - 2xy - y 3

και


16 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 -

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν μόνο Δεδομένου του

ημα,

5

κανονικά πολύεδρα

να υπολογισθεί η

εφ

1/2

α

Στην Ελλάδα τα μαθηματικά απουσιάζουν εντελώς από το πρόγραμμα του δημο­ τικού σχολείου που ρυθμίστηκε το Φεβρουάριο του

1834.

Σ' αυτό προβλέπεται η δι­

δασκαλία των παρακάτω μόνο μαθημάτων: κατήχηση, στοιχεία Ελληνικής, ανάγνω­ ση, γραφή, γραμμική, ιχνογραφία, μουσική, γεωγραφία και ιστορία.

Το πρόγραμμα επίσης των γυμνασίων δίνει προτεραιότητα στα θεωρητικά μαθή­ ματα που καταλαμβάνουν το

μόλις το

19,2%.

53,2%

των συνe~λικών ωρών, ενώ τα φυσικομαθηματικά

Το πρώτο πανεπιστήμιο που ιδρύεται το

1837

περιλαμβάνει μόνο

4

σχολές:· την ιατρική, τη θεολογία, τη νομική και τη φιλοσοφική. Τα μαθηματικά ... λάμπουν με την απουσία τους. Ο τότε επιθεωρητής δημοτικών σχολείων Ν. Πολίτης γράφει:

...

«Ενώ ουδεμία φροντίς καταβάλλεται προς διδασκαλίαν των πρώτων και απα­

ραιτήτων γνώσεων εκ των θετικών επιστημών, βασανίζεται ο νους του παιδός δια με­ ταφυσικών θεωριών περι των λόγων της υπάρξεως του Θεού ... » (4) Παρά τις συνεχείς παρατηρήσεις πολλών ειδικών εκείνης της εποχής σχετικά με τη θέση των μαθηματικών στην εκπαίδευση, το πρόγραμμα του

προβλέπει:

66

ώρες αρχαία Ελληνι'kά και

22

Κι αυτό δεν θα αλλάξει ούτε και στο πρόγραμμα του καλύπτουν

74

1886

των γυμνασίων

ώρες αριθμητική.

ώρες ενώ τα μαθηματικά μόνον

27

1897:

τα αρχαία ελληνικά

ώρες.

Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας νοοτροπίας φαίνεται στα ποσοστά φοιτητών ανά

σχολή στο Πανεπιστήμιο. Από το

1878 μέχρι το 1911 φοιτούν στη Νομική το 50,2% 15,5% και στη Φυσικομαθηματική το 1,7% ! (4)

των Φοιτητών, στη

Φιλοσοφική το

Βλέπουμε λοιπόν, ότι το 19ο αιώνα, η διδασκαλί11 των μαθηματικών βρίσκεται σε πολύ μειονεκτική θέση σε σχέση με την διδασκαλία των θεωρητικών μαθημάτων. Κι αυτό ισχύει για όλες τις χώρες της Ευρώπης.

Και κάτι ακόμα, που είχε πολύ σοβαρότερες συνέπειες: με τον τρόπο που διδά­ σκονταν τα μαθηματικά στους υποψήφιους των Ανώτατων σχολών, δημιουργούσαν την εντύπωση ότι πρόκειται για μάθημα που πρέπει κάποιος να aποστηθίσει, τον κεν­ τρικό ρόλο παίζει η μνήμη και όχι η λογική.

Gralois: ... «0

Όπως χαρακτηριστικά γράφει ο Ε.

μαθητής ενδιαφέρεται λιγώτερο να μάθει και περισσότερο να περάσει τις

εξετάσεις του ... Πρέπει να μάθει τις μεθόδους που προτιμούν (οι εξεταστές) και να ξέ­ ρει εκ των προτέρων για κάθε ερώτηση και κάθε εξεταστή ποιές_ πρέπει νάναι οι

απαντήσεις του και η συμπεριφορά του. Έτσι, η αλήθεια είναι, ότι εδώ και μερικά

χρόνια δημιουργήσαμε μια καινούργια επιστήμη που αναπτύσσεται μέρα με τη μέρα και έγκειται στη γνώση των επιστημονικών προτιμήσεων ή aντιπαθειών, των ιδιο-


Η ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΊΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

/17

τροπιών και των ψυχικών διαθέσεων των κυριων κυρίων εξεταστών ... »

(2)

Πόσο επίκαιρη, αλήθεια, αυτή η διαπίστωση! Εκείνο που ενδιέφερε, με άλλα λόγια, τον καθηγητή των μαθηματικών, ήταν πως θα, μπορέσουν οι μαθητές του να aποστηθίσουν καλύτερα τα όσα τους παρουσίαζε. Υπήρξαν όμως και κάποιοι που ξεφεύγοντας από τον κανόνα άρχισαν να προ­ βληματίζονται για το πως θα μπορούσαν να οργανώσουν καλύτερα τη διδασκαλία τους, ώστε η γνώση των μαθητών τους να ξεπηδήσει από την κατανόηση και όχι από τη στείρα αποστήθιση.

Η έρευνα αυτή, γύρω από την εύρεση μεθόδων καλυτέρευσης της διδασκαλίας, παίρνει το όνομα «Διδακτική». Από τους σπουδαιότερους παιδαγωγούς εκείνης της

εποχής είναι ο Henri Pestalozzi (1746-1827). Βασικό στοιχείο της θεωρίας του ελβε- · τού παιδαγωγού είναι η αντίληψη ότι: ο σωστότερος τρόπος να διδάξουμε μαθηματι­ κά είναι να πορευτούμε από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο, προσφέροντας συγχρό­ νως στο μαθητή μια πληθώρα απτών παραδειγμάτων. Συγκεκριμένα γράφει: «Ας δίνουμε τα πρωτεία σtη πράξη και δεξιότητα παρά στη γνώση, στην αγωγή παρά στη διδασκαλία ... Κατάρα στις γνώσεις που προσφέ­

ρονται μόνο με τα λόγια ... ». Στην Αγγλία, το

1871

δημιουργείται μια <ωργάνωση για την καλυτέρευση της δι­

δασκαλίας της γεωμετρίας».

Στη Γαλλία επίσης, το κών» και εκδίδει το

1911

1909

ιδρύεται η «Ένωση των καθηγητών των μαθηματι­

το πρώτο τεύχος ενός περιοδικού.

Στη Γερμανία από το

1869

μέχρι το

1943

εμφανίζεται το «Περιοδικό για την εκ­

παίδευση στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες». Το «παγκόσμιο συν~δριο για τη διδασκαλία των Μαθηματικών» νώνε-ι:αι για πρώτη φορά στη Ρώμη το

1908,

υπό την προεδρία του

Το περιοδικό «Η διδασκαλία των Μαθηματικών» αρχίσει να εκδίδεται ήδη από το

(I.C.M.E) Fe1ix K1ein.

οργα­

όργανο· του συνεδρίου είχε

1899.

Μαθηματικοί του ύψους του Η.

Poincare

και Η.

Lebesque,

παίρνουν μέρος στις

πρώτες <-υζηττ1σειc; σχετικά με θέματα διδασκαλίας των μαθηματικών.

Η διδασκαλία των μαθηματικών, που τόσο είχε αγνοηθεί μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, βρέθηκε ξαφνικά στον αιώνα μας στο κέντρο του ενδιαφέροντος. Διάφορες θεωρίες διατυπώθηκαν τόσο σχετικά με το περιεχόμενο αυτής της δι­ δασκαλίας, όσο και για τον τρόπο μετάδοσης στους μαθητές των μαθηματικών γνώ­ σεων.

Οι έρευνες γύρω από τη Διδακτική των Μαθηματικών οργανώθηκαν περισσότερο μετά το

1960.

Και συνεχίζονται μέχρι σήμερα ...


18/

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' · ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ

22

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ι. Πλάτωνος Νόμοι, από τα 'Απαντα Πλάτωνος της Εταιρείας Ελληνικών εκδόσεων. Μεταφ. Γ. Κουχτσόγλου.

2. Glaeser G., Racines histoήques de la didactique des mathematiques, 1984-85 (cours de troisieme cycle), U.L.P. 3. Douady R, Artigue Μ, La didactique des Mathematiques en France, Revue Francaise de Pedagogie, n° 76, 1986 p. 69-84 4. Μπουζάκη Σήφη, Νεοελληνική εκπαίδευση (1821-1985), 1986 εκδόσεις Gutenberg 5. Λέφα Χρ., Ιστορία της Εκπαιδεύσεως, 1942, Ο.Ε.Δ.Β. 6. Οι Μεγάλοι Παιδαγωγοί, Διεύθυνση Ζαν Σατώ, Εκδόσεις Γλάρος.


ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΠΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΣΚΗΘΟΥΝ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΆΞΕΩΝ

/19

ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΣΚΗΘΟΥΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΑΞΕΩΝ Ε. Κόθαλη-Κολοκούρη Σχ. Σύμβουλος Δυτ. Αττικής

Ι. Ξέρουν οι μαθητές μας να κάνουν τις

4

πράξεις;

Οι μαθητές μας δυσκολεύονται πολύ στην τεχνική των πράξεων. Περισσότεροι

από τους μισούς δεν μπορόύν να κάνουν σωστά μια διαίρεση! Από μια εμπειρική έρευνα που κάναμε με συναδέλφους, καθηγητές μαθηματικών

της Αργολίδας το σχολικό έτος νο το

41,68%

1986-87

των μαθητών μας της Α'

διαπιστώσαμε qτι τον Οκτώβριο του

'86

μό­

Γυμνασίου μπορούσε να κάν.ει σωστά μια

απλή διαίρεση, όπως η

1442:14. Μετά από προσπάθεια μιας ολόκληρης σχολικής χρονιάς, το Μάιο του 1987 το ποσοστό των μαθητών που μπορούσε να εκτελέσει τη συγκεκριμένη διαίρεση έγινε 44,51%. Είχαμε δηλαδή μια βελτίωση για τη συγκεκρι­ μένη δεξιότητα σε λιγότερο από το 3% των μαθητών μας (βλέπε Ευκλείδης Γ' τεύχος 17 σελ. 22-32). Πρέπει να αναφέρουμε ότι οι μαθηματικοί των Γυμνασίων προσπα­ θούν πολύ για να βοηθήσουν τα παιδιά να ξεπεράσουν τη δυσκολία στην εκτέλεση των πράξεων διαθέτοντας πολύ χρόνο από τη διδασκαλία τους για το σκοπό αυτό. Τα αποτελέσματα όμως δεν είναι αυτά που περιμένουμε, όπως άλλωστε φάνηκε κι από

την εμπειρική έρευνα στην Αργολίδα. Οι μαθητές δυσανασχετούν όταν τους αναθέτουμε να ασχολούν.Jαι αποκλειστικά

και μόνο με πράξεις. Αν επιμείνουμε δημιουργείται ανία με τελικό αποτέλεσμα την αρνητική στάση των μαθητών μας απέναντι στα μαθηματικά .

.

Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα, ότι για να βελτιωθούν οι μαθητές μας

στην τεχνική των πράξεων είναι αναγκαίο να προγραμματίσουμε «έξυπνες» διδακτικές δραστηριότητες που να κινητοποιούν το ενδιαφέρον τους για τα μαθηματικά και

συγχρόνως να δημιουργ..-:ίται στην τάξη το κατάλληλο συναισθηματικό κλίμα που ευ­ νοεί τη μάθηση.

2.

Σκέψεις από το

ICME 6

Στο 6ο Παγκόσμιο συνέδριο για τη Μαθηματική Εκπαίδευση που έγινε στη Βου­ δαπέστη τον Ιούλιο-Αύγουστο που μας πέρασε, οι περισσότερες εργασίες και ανακοι­

νώσεις ανέφεραν τρόπους και μέσα για να κάνουμε τους μαθητές να ενδιαφερθούν για το μάθημα, με τ~λικό αποτέλεσμα να μάθουν περισσότερα μαθηματικά!


20 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'- ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22 Τα μαθηματικά της «Καθημερινής ζωής» ήταν από τα πολυσυζητημένα θέματα στο συνέδριο. Αναφέρονταν σε εφαρμογές των μαθηματικών πάνω σε χρήσιμα προ­ βλήματα της σύγχρονης ζωής.

Τέτοια θέματα, όμως χρήσιμα για το σύγχρονο άνθρωπο δεν ενδιαφέρουν πάντα

τους μαθητές μας. Σαν παράδειγμα θα αναφέρω μια ωραιότατη εφαρμογή για τον Φ.Π.Α. που έχει το βιβλίο της Α' Γυμνασίου στο ΚεφάλαΊο με τα ποσοστά και που μόλις την είδα ενθουσιάστηκα. Δεν συνέβη το ίδιο με τους μαθητές. Επιδίωξα με επιμονή να παρακολουθήσω τη διδασκαλία της συγκεκριμένης εφαρμογής στην τάξη.

Με μεγάλη μου έκπληξη είδα ότι τα παιδιά δεν έδειξαν κανένα απολύτως ενδιαφέρον για τον Φ.Π.Α. Ο υπολογισμός του φόρου που ενδιαφέρει εμάς, δεν ενδιαφέρει πάντα και τους μαθητές μας. Εκτός από τα μαθηματικά της «καθημερινής ζωής» στη Βουδαπέστη παρουσιά­

στηκαν και θέματα που είχαν σχέση με τα «Εθνομαθηματικ&». Ο όρος αυτός καθιε­ ρώθηκε από τον

U.D'Ambrosio

και αφορά εφαρμογές και θέματα μαθηματικών που

έχουν σχέση με ήθη, έθιμα και γενικά την κουλτούρα της κάθε χώρας. Σε ανακοινό)σεις του συνεδρίου αναφέρθηκε ότι διδάσκοντες από τη

Βραζιλία

τόλμησαν να κινήσουν το ενδιαφέρον των μαθητών τους με εφαρμογές «Εθνομαθημα­ τικών» που περιλάμβαναν διδασκαλία μαθηματικών που περιείχαν τυχερά παιχνίδια

και παράνομα στοιχήματα, μέρος της Κουλτούρας της Βραζιλίας! 'Αλλες εφαρμογές από Εθνομαθηματικά αναφέρθηκαν από τον

το πρόγραμμα

MISP

Alan Rogerson

με

που εφαρμόστηκε στην Αυστραλία, την Μ. Βρετανία και την

Ιταλία.

3.

Μια προσπάθεια στη Δυτ. Αττική Επηρρεασμένοι από όλα τα παραπάνω προσπαθήσαμε στην Δυτ. Αττική να προ­

γραμματίσοyμε διδακτικές δραστηριότητες εφαρμόζοντας τις αρχές των «Εθνομαθη­ ματικών», δηλαδή εφαρμογές μαθηματικών που να σχετίζονται με ήθη, έθιμα και γε­

νικά την κουλτούρα ττ,ς χώρας μας. Προσπαθ>Ίσαμε να μεταφράσουμε και να προ­ σαρμόσουμε διδακτικά

4

ενότητες από το πρόγραμμα

MISP*.

Μια απ' αυτές αναφερόταν στη «Μέτρηση του χρόνου και στα ημερολόγια»**.

Μέρος της ενότητας αυτής ήταν και η γιορτή του Πάσχα που σχετίζεται άμεσα με ήθη, έθιμα,

...

διακοπές και γενικά την κουλτούρα μας.

Η αρχική ιδέα ήταν του καθηγητή κ. Κοσμά Ιορδανίδη, που πρότεινε ότι ο υπο­

λογισμός της ημερομηνίας του Πάσχα με τον τύπο του

Gauss

μπορούσε να ενταχθεί

στην παραπάνω ενότητα και να αποτελέσει μιαν από τις πολλές διδακτικές δραστη­ ριότητες. Έτσι, ο τύπος του

* **

Gauss

αποτέλεσε ένα μικρό τμήμα «στην μέτρηση του χρό-

Επικεφαλής ήταν ο καθηγητής κ. Π. Μποζώνης, σύνδεσμος με τον Α.

Rogerson.

Για την ενότητα αυτή είχαν δουλέψει οι συναδέλφισσες Ειρήνη Ζαχαριουδάκη και η Καίτη Καλαϊτζή


ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΙΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΣΚΗΘΟΥΝ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣτΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΆΞΕΩΝ

/21

νου» και συγχρόνως μια διδακτική δραστηριότητα που μπορούσε να διδαχτεί και ανεξάρτητα σε μαθητές της Α' τάξης. Πιστεύουμε ότι το θέμα αυτό προκαλεί το εν­ διαφέρον των μαθητών και η εφαρμογή του τύπου συμβάλλει ώστε οι μαθητές να ασκηθούν σε πράξεις με ένα τρόπο που να μην τους προκαλεί ανία.

4.

Η Διδακτική Προσαρμογή του τύπου του

Gauss

α. Διδακτικοί στόχοι Για την διδασκαλία της συγκεκριμμένης διδακτικής ενότητας καθορίσαμε τους παρακάτω διδακτικούς στόχους: Οι μαθητές να γίνουν ικανοί: Να υπολογίζουν αριθμητικές παραστάσεις. Να εκτελούν διαιρέσεις. Να κάνουν επαλήθευση σε μια Ευκλείδεια διαίρεση.

Να βρίσκουν τις ιδιότητες του υπόλοιπου μιας διαίρεσης. Να εφαρμόζουν τύπους.

β. Διδακτική στρατηγική Αποφασίσαμε ότι η στρατηγική των μικρών βημάτων ήταν η καταλληλότερη για τη διδακτική προσπέλαση της συγκεκριμένης διδακτικής ενότητας.

Ένα φύλλο ερ­

γασίας θα αποτελούσε ένα καλό διδακτικό υλικό.

5.

Η σύνταξη του φύλλου εργασί«ς Για την σύνταξη ενός φύλλου εργασίας είναι απαραίτητη η δοκιμαστική εφαρ­

μογή του συγκεκριμένου θέματος στην τάξη και μάλιστα αρκετές φορές. Η πρώτη δοκιματική εφαρμογή έγινε σε Γυμνάσιο του Αιγάλεω, την ημέρα που

τα παιδιά επέστρεφαν από τις διακοπές των Χριστουγέννων. Στην τάξη βρίσκονταν εκτός από μένα και οι μαθηματικοί του σχολείου***. Ακολουθήσαμε την παρακάτω διδακτική προσέγγιση. Α. Εισαγωγή του μαθήματος

Σαν εισαγωγή του μαθήματος αντί της παραδοσιακής εξέτασης ρωτήσαμε τα παιδιά αν θα θέλανε να μάθουν έναν τρόπ.ο να υπολογίζουν την ημερομηνία του Πά­

σχα, των επόμενων δηλαδή διακοπών τους! Η λέξη Πάσχα και διακοπές κινητοποίη­ σε το ενδιαφέρον των μαθητών που απάντησαν θετικά στην συγκεκριμένη πρότασή μας και έτσι ξεκινήσαμε το μάθημα, αφού τους δώσαμε το παρακάτω κείμενο φωτο­ τυπημένο.

***

Παντελής Βογάς και Νίκος Σταυρούλης


22/

ΕΥR.ΛΕΙΔΗΣ Γ'

- ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

Β. Υπολογισμός της ημερομηνίας του Πάσχα των Ορθόδοξων Χριστιανών

Γιορτάζαμε το Πάσχα την πρώτη Κυριακή μετά την Πανσέληνο που έχομ~ μετά την εαρινή ισημερία τε το Πάσχα

io

(21

Μαρτίου). Αν η πανσέληνος συμπέσει να είναι Κυριακή τό­

γιορτάζαμε την επόμενη Κυριακή.

Την ακριβή ημερομηνία του Πάσχα μπορούμε να την καθορίσουμε με ένάν τύπο που μας έδωσε ο μεγάλος μαθηματικός

Causs.

I ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΣΧΑ =π= ~3+Δ+Φ) ΑΠΡΙΛΙΟΥ. Για να βρουμε τα Δ και Φ του τύπου κάνομε τους παρακάτω υπολογισμούς: α: υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού του έτους δια

β: υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού του έτους δια γ: υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού του έτους δια Δ: υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 19α+ 16 δια Φ: υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού

6.

2

19 4 7

30

β+4γ+6Δ δια

7

Η εργασία στην τάξη Από την πρώτη στιγμή φάνηκε ότι για να προχωρήσουν οι μαθητές στους υπο­

λογισμούς χρειαζόντουσαν συστηματική βοήθεια από τοv καθηγητή. Έτσι ανέλαβα το ρόλο του διδάσκοντα και οι διδάσκοντες στο σχολείο 1(aτέγραφαν συστηματικά όλες τις φάσεις του μαθήματος.

Χωρίσαμε την διδακτική εργασία σε πολύ μικρά βήματα, ανεξάρτητα μεταξύ τους και αυστηρά ταξινομημένα. Καθοδηγήσαμε τα παιδιά να παρακολουθήσουν αυ­

στηρά τα παραπάνω βήματα που τα aριθμήσαμε για να τα ξεχωρίζουμε. Για την επε­ ξεργασία κάθε βήματος παρακινήσαμε όλα τα παιδιά να εργάζονται στο τετράδιό τους. Μόλις αυτά τέλειωναν τις εργασίες κάθε βήματος η όλη διαδικασία γραφόταν στον πίνακα ώστε να διορθωθούν τα πιθανά λάθη και να συμπληρωθούν οι τυχόν πα­ ραλείψεις.

Δεν προχωρούσαμε ποτέ στην διδασκαλία ενός βήματος πριν διορθωθούν τα λά­ θη και συμπληρωθούν οι παραλείψεις από το προηγούμενο βήμα. Μεγάλη έμφαση δό­ θηκε, ώστε να δημιουργηθεί στην τάξη ένα καλό συναισθηματικό κλίμα που ενισχύει τη μάθηση.

7.

Η τελική επεξεργασία του φύλλου εργασίας

Μετά το τέλος του μαθήματος έγινε συστηματική καταγραφή και ταξινόμηση

όλων των φάσεων του μαθήματος που βοήθησε τους διδάσκοντες να συντάξουν ένα φύλλο εργασίας.


ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΠΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΣΚΗΘΟΥΝ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΆΞΕΩΝ

/23

Το φύλλο αυτό δόθηκε σε άλλο τμήμα της Α' τάξης, βελτιώθηκε και πήρε την τελική μορφή που επιτρέπει:

Την ελάχιστη συμμετοχή του καθηγητή στις διαδικασίες του μαθήματος. Την αυξημένη γραπτή συμμετοχή του μαθητή σ' όλες τις φάσεις του μαθήματος.

Την εvεργητική συμμετοχή όλων των μαθητών. Την εξατομίκευση της διδασκαλίας

8.

Αποτελέσματα

Τα παιδιά παρακ~νήθηκαν να υπολογίσουν την ημερομηνία του Πάσχα για πολ­

λά χρόνια στο ... απώτερο μέλλον.

Έτσι αναγκάσθηκαν να εκτελέσουν αναρίθμητες

διαιρέσεις και γενικά πράξεις με αποτέλεσμα να αποκτήσουν ευχέρεια. Από πληροφορίες που είχαμε, στο σπίτι, ασχολήθηκαν με τον τύπο εκτός από τους μαθητές τους ίδιους, και αδέλφια και γονείς. Κάποιοι θεολόγοι καθηγητές ζή­ τησαν το φύλλο εργασίας για το μάθημά τους.

Παρατηρήσαμε λοιπόν ένα γενικό ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, πράγμα που πιστεύουμε ότι συμβάλλει στην δημιουργία ενός θετικού κλίματος. Παραθέτουμε αυτούσιο το φύλλο εργασίας όπως αυτό διαμορφώθηκε μετά από

εφαρμογές σε διαφορετικά τμήματα της Α' τάξης του 8ου Γυμνασίου Αιγάλεω. Οι συνάδελφοι που θα ήθελαν θα μπορούσαν να το φωτοτυπήσουν και να το χρησιμοποιήσουν πριν ή μετά τις διακοπές του Πάσχα! Πόσες ακόμη δραστηριότητες θα μπορούσαμε να οργανώσουμε με ομαδική προ­ σπάθεια Μαθηματικών, αν ... κινητοποιούσαν και το δικό μας το ενδιαφέρον!

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ ΤΩΝ ΟΡΘΟΔΟΞΩΝ ΧΡΙΣτΙΑΝΩΝ

Την ακριβή ημερομηνία του Πάσχα μπορούμε να την καθορίσουμε με ένα tύπο που

μας έδωσε ο μεγάλος μαθηματικός

GA\JSS:

Ημερομηνία Πάσχα= Π= (3+Δ+Φ) Απριλίου Για να βρούμε τα Δ και Φ του τύπου κάνουμε τους παρακάτω υπολογισμούς: Ι.

-

Κάνε την διαίρεση:

Αριθμός έτους:


24/

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'

- ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

Κάνε την επαλήθευση της διαίρεσης

Διαιρετέος

= διαιρέτης . = 19

πηλίκο

+ υπόλοιπο +

ονόμασε με α το υπόλοιπο

I *α=. 2. -

Κάνε τη διαίρεση:

Αριθμός έτους:

I

I

Κάνε την επαλήθευση της διαίρεσης

Διαιρετέος

= διαιρέτης . =

πηλίκο + υπόλοιπο

4

+ Ονόμασε με β το υπόλοιπο

I*β=. 3. -

Κάνε τη διαίρεση:

Αριθμός έτους:

Ονόμασε με γ το υπόλοιπο

I *γ=. 4.

Υπολόγισε την παράσταση:

19α+Ι6=

5. -

=

Κάνε τη διαίρεση αυτού που βρήκες προηγούμενα δια του

Ονόμασε με Δ το υπόλοιπο της διαίρεσης *Δ= . . .

30


ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΠΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΣΚΗΘΟΥΝ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΙΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΆΞΕΩΝ

/2S

Υπολόγισε την παράσταση:

6. -

2β+4γ+6Δ

=

=

=

Κάνε τη διαίρεση αυτού που βρήκες προηγούμένα δια του

7. -

7

Ονόμασε με Φ το υ7tόλοιπο της διαίρεσης

I* φ = ... Αντικατάστησε το Δ και το Φ στον τύπο

8. -

Ημερομηνία Πάσχα

= Π = (3+Δ+Φ)

Απριλίου

= (... )

Απριλίου

=

= Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ ΤΟΥ ΕΤΟΥΣ. ~

*

. EINAI ..... .

Παρατήρηση: Αν η ημερομηνία του Πάσχα είναι μεγαλύτερη του

30

το Πάσχα

γιορτάζεται την (Π-30) Μαίου.

9.

α. Βρες τη μικρότερη τιμή του Δ β. Βρες τη μικρότερη τιμή του Φ

=... . =... .

Ι γ. Πιο νωρίς ημερομηνία Πάσχα= .... 10.

α. Βρες τη μεγαλύτερη τιμή του Δ= ....

β. Βρες τη μεγαλύτερη τιμή του Φ

= :..

Ι γ. Πιο αργά ημερομηνία Πάσχα= ... 11.

Συμπλήρωσε:

ι

·····.... : :;

HMEPOMHNIA

ΠΑΣΧΑ ::::;

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΙΙ

Να βρεθούν οι ημερομηνίες του Πάσχα των ετών

.

1988, 1990, 1991, 1992, 2000.


26 J ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 Σημείωση: Γιορτάζουμε το Πάσχα την πρώτη Κυριακή μετά την Πανσέληνο που

έχομε μετά την εαρινή ισημερία

(21

Μαρτίου). Αν η πανσέληνος συμπέσει να είναι

Κυριακή τότε το Πάσχα το γιορτάζαμε την επόμενη Κυριακή.

Βιβλιογραφία

1.

Ε. ΚΟΘΑΛΗ-ΚΟΛΟΚΟΥΡΗ: «Μαθαίνουν τα παιδιά Μαθηματικά στο Γυμνάσιο;» Ευκλείδης Γ· τεύχος

2.

17,

σελ.

22-32.

Ε. ΚΟΘΑΛΗ-ΚΟΛΟΚΟΥΡΗ: «Η Διδασκαλία των Μαθηματικών με φύλλα εργα­ σίας», Τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Εκδόσεις Σύγχρονη Εκ­

παίδευση Αθήνα 1987. 3. U.d'Ambrosio, Socio-Cultural Bases for Mathematical Education, Proceedings of the Fifth Ineternational Congress ση Mathematical Education. Μ. Carss, ed., Birkhauser, 61-66. 4. Rogerson Alan: The Human and social context for problem solving modelling and application, the ICME 6 Budepest 88. 5. Rogerson Alan (1980) The teaching the Vector product Backwards; The Mathematical Journal of Meerut University, lndia 1980.


ΜΕΡΙΚΑ ΕΡΩΤΉΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΠΩΣ ΘΑ «ΔΙΔΑΞΟΥΜΕι> ΑΥΙΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΔΆΣΚΕΤΑΙ

/27

ΜΕΡΙΚΑ ΕΡΩΤΉΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΠΩΣ ΘΑ «ΔIΔΑΞΟΥΜΕ» ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΔΑΣΚΕΤΑΙ

Τάσος Πατρώνης

«. ..

μα ο χρόνος ο αληθινός( σαν μικpό παιδί είναι εξόριστος}) Διονύσης Σαββόπουλος

Αφορμή για να γράψω αυτό το μικρό άρθρο μου έδωσε η συχνά εκφραζόμενη

επιθυμία των συναδέλφων για βοήθεια στο πως θα διδάξουν το α ή β κεφάλαιο στην ύλη των μαθηματικών του Λυκείου ή

-

λιγότερο συχνά

-

του Γυμνασίου. Η αιτία

όμως είναι βαθύτερη, και τα ερωτήματα Που θα θέσω εδώ πλανιώνται συνεχώς ανά­ μεσά μας και παρεισφρύουν σε κάθε συζήτηση γύρω απ' τα μαθηματικά του σχολεί­ ου, σχετικά με τους στόχους της διδασκαλίας, το «ανοιχτό» ή «κλειστό» της διαδι­ κασίας, κάθε πείραμα και νεωτερισμό.

Για τα ερωτήματα αυτά δεν διαθέτω ο ίδιος μια ικανοποιητική απάντηση. Νομί­

ζω όμως ότι πρέπει να μας απασχολήσουν σε κάποιο μεγαλύτερο βαθμό συνειδητότη­ τας απ'

όσο μέχρι τώρα, γιατί αλλιώς κάθε συζήτηση θα βρίσκει aπροσπέλαστα

εμπόδια, αφού ο καθένας θα υπονοεί πράγματα και θέσεις που θεωρεί αυτονόητα και για τους άλλους, ενώ δεν είναι.

Στην παρούσα φάση ανάπτυξης της μαθηματικής παιδείας στη χώρα μας είναι χρήσιμο αυτά τα ερωτήματα ν'

απασχολήσουν τους εκπαιδευτικούς ή φοιτητές με

προσανατολισμό την εκπαίδευση όλων των βαθμίδων, από τους νηπιαγωγούς μέχρι τους μελλοντικούς ερευνητές και επιμορφωτές δασκάλω.ν και καθηγητών. Για να μην είναι όμως η συζήτησή μας εντελώς γενική και νεφελώδης, θα χρησιμοποιήσουμε

ένα παράδειγμα που γενικά θεωρείται<Ι) (και είναι) κρίσιμο και βασικό για τα μαθη­ ματικά σ' όλες τις ηλικίες: την έννοια του λόγου και της αναλογίας, και παραπέpα -ή, αν προτιμάτε, πιο πριν

-

τη χρήση «αναλογιών» στη σκέψη, τη

λεγόμενη

«αναλογική σκέψη». Θα ξεκαθαρίσω αμέσως τι εννοώ. Από την εποχή που ο άνθρωπος άρχισε να αναπαριστάνει «εν σμικρώ>> τα διάφο­ ρα φυσικά αντικείμενα για κάποι? σκοπό (προϊστορική τέχνη, μαγεία κ.ά.) έκανε χρή­

ση

-

ασυναίσθητα

-

αναλογιών. Αυτές οι αναλογίές είναι βέβαια «χονδροειδείς»

και «aπλοϊκές» για τα δικά μας μάτια, αλλά για την αντίληψη εκείνων των ανθρώπων για τον κόσμο, και τον τρόπο που θα επέμβαιναν σ' αυτόν, ήταν ό,τι χρειάζονταν. Η


28 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'

-ΤΟΜ ΟΣ

6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

μαγεία π.χ. δημιουργεί για πραγματικές καταστάσεις αναλογικά μοντέλα, με τα οποία επιδιώκει να δράσει από απόσταση και σε χρόνο μηδέν (αχρονική δράση) πάνω στις καταστάσεις αυτές. Δεν συσχετίζει τα γεγονότα με μια «λογική» ακολουθία αίτιου και αιτιατού, αλλά τα συσχετίζει με μια σχέση συγγένειας ή συνάφειας και τα εντάσσει σ' ένα ολικό πλαίσιο ερμηνείας, που στα δικά μας μάτια θα φαίνονταν ακατανόητη, καθώς συσχετίζονται τα λογικά άσχετα και εκμηδενίζεται ή αναστρέφεται η ακολου­ θία του χρόνου. (Αλλά και στη σημερινή εποχή, και στο χώρο της παιδείας, πόσες

καταστάσεις και γεγονότα δε «μαγειρεύονται» και δεν εμφανίζονται με σειρά αντί­ στροφη από τη φυσική; Και πόσο τα θεωρήματα και οι αποδείξεις ή οι λυμένες ασκή­ σεις στα διδακτικά βιβλία μαθηματικών δεν θυμίζουν την πρακτική της μαγείας;!)

Οι αρχαίοι

· Ελληνες

παρίσταναν το λόγο δύο ομοειδών μεγεθών οποιασδήποτε

φύσης με το λόγο δύο ευθυγράμμων τμ'f]μάτων. Αυτό ήταν ένα βήμα πριν από την καθιέρωση των πραγματικών αριθμών- μόνο που αυτό το «βήμα» κράτησε αρκετούς

(και πολύ δημιουργικούς) αιώνες ... Είναι αμφίβολο αν η δημιουργία της γεωμετρίας ως αυτόνομης και αποδεικτικής επιστήμης και ο προβληματισμός με τα παράδοξα

του απείρου θα γίνονταν ποτέ (και θάφταναν εκεί που έφτασαν) αν στον Ελλαδικό χώρο κυριαρχούσαν οι συνθήκες και πραχτικές ανάγκες των παλιότερων πολιτισμών απ' τους οποίους διδάχτηκαv οι Έλληνες

-

και οι οποίοι προχώρησαν πολύ πε­

ρισσότερο απ' τους Έλληνες στη θεωρία του υπολογισμού και των αριθμών. Θάλεγε κανείς πως οι Έλληνες έκαναν ό,τι έκαναν γιατί, όντας έμποροι και θαλασσοπόροι,

πειρατές της σκέψης, αρνήθηκαν να «ωριμάσουν» τόσο γρήγορα όσο οι σοφοί της Ανατολής και κράτησαν στοιχεία από την παιδική ηλικία της aνθρωπότητας, που τα

διαμόρφωσαν σε πιο «λεπτές» μορφές< 2 >. Ειδικά την έννοια της αναλογίpς -

που

στους λογιστές της Βαβυλώνας και της Αιγύπτου δε θα έλεγε τίποτα περισσότερο

ίσως από ένα αριθμητικό κλάσμα, δεκαδικό ή εξηκονταδικό

-

οι Έλληνες τη συ­

νειδητοποίησαν σ' όλες τις εκφάνσεις της και δημιούργησαν τους όρους «λόγος» και

«ανάλογον» για χρήση στα μαθηματικά και τη φιλοσοφία. Ο Αρχιμήδης λίγο αργό­ τερα προήγαγε την αναλογική σκέψη σε μέθοδο ανακάλυψης θεωρημάτων (ή ευρετι­ κή μέθοδο): π.χ. προσδιόριζε το βαρύκεντρο γεωμετρικών σχημάτων χρησιμοποιώντας μηχανικά ανάλογα που κατασκεύαζε. Στη συνέχεια έδινε στις ανακαλύψεις του αυστη­

ρά γεωμετρική απόδειξη, ν-ιώθοντας την ανάγκη να τις εντάξει στο λογικό σύστημα που υπήρχε διατυπωμένο απ' τους Ευκλείδη-Εύδοξο, στο οποίο η αναλογία είχε ο­ ριστεί στην «ακριβή» της μορφή, ως ισότητα λόγων μεγεθών (Στοιχεία, Βιβλίο 5ο). Ύστερα από τα πιο πάνω μπορώ να θέσω τα ερωτήματα, και ... η Αθηνά μαζί μας! ΕΡΩΤΗΜΑ !ο: Τι εμείς θεωρούμε «μαθηματική γνώση»; Ποια είναι η φύση αυτής της γνώσης; (Ποια θεωρούμε ότι είναι;) Ποια η σχέση της με την πραγματικότητα;

ΕΡΩΤΗΜΑ 2ο: Πώς εννοούμε τη «μαθηματικι) σκέψη»; Πότε θα μπορούσαμε να


ΜΕΡΙΚΑ ΕΡΩΤΉΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΙΟ ΠΩΣ ΘΑ <<ΔΙΔΑΞΟΥΜθ) ΑΥΙΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΔΑΣΚΕΤΑΙ

/ 29

πούμε ότι ένας μαθητής (μαθήτρια) έχει ή δεν έχει μαθηματική σκέ­ ψη;

Η 11ναλογική σκέψη είναι μαθηματική σκέψη;

ΕΡΩΤΗΜΑ 3ο: Η μαθηματική γνώση υπόκειται σε εξέλιξη; Και τι είδους εξέλιξη είναι αυτή; Ιδιαίτερα η έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά υπό­ κειται σε εξέλιξη; Τι σημαίνει απόδειξη για το μαθητή; ΕΡΩΤΗΜΑ 4ο: (το βασικό ερώτημα των εκπαιδευτικών στόχων): Τι επιδιώκουμε, κύρια, με τη μαθηματική παιδεία; Να δώσουμε στα

παιδιά γνώσεις ή

να καλλιεργήσουμε

νοητικές

ικανότητες; ή πρακτικές δεξιότητες; ΕΡΩΤΗΜΑ 5ο: Τι σημαίνει ότι οι μαθητές «έχουν κάνει κτήμα τους» μια μαθημα­

τική έννοια; Στο παράδειγμα του λόγου Ιfαι της αναλογίας, πότε θα

λέγαμε ότι οι μαθητές τα «έχουν κάνει κτήμα τους»; ΕΡΩΤΗΜΑ 6ο: Τι σημαίνει να διδάξουμε ένα θεώρημα; ή ένα κεφάλαιο των μαθη­ ματικών; τι νόημα, τι ενδιαφέρον μπορεί να έχουν αυτά για τα παι­ διά; ΕΡΩΤΗΜΑ 7ο: Πώς μπορούμε να «διδάξουμε» τη μαθηματική σκέψη; Πώς μπορού­ με να κάνουμε τους μαθητές να σκεφτούν πάνω στις ενέργειές τους;

ΕΡΩΤΗΜΑ 8ο: Τι εννοούμε λέγοντας «διδασκαλία σε διάφορα επίπεδα (ή ηλικίες)»; Είναι δυνατό ο λόγος και η αναλογία να «διδαχτούν» στο επίπεδο του Νηπιαγωγείου ή της Α' Δημοτικού, στο επίπεδο της Δ' Δημο­ τικού, της Α' Γυμνασίου, της Α' Λυκείου και της Γ' Λυκείου; Τι

στόχους θα είχαμε στο κάθε επίπεδο; ΕΡΩΤΗΜΑ 9ο: Τι ρόλο αποδίδουμε στις ασκήσεις και στα προβλήματα; Πώς τα χρησιμοποιούμε στην τάξη, και γενικότερα στη δουλειά μας.

ΕΡΩΤΗΜΑ

lOo:

Τι ρόλο αποδίδουμε στους μαθητές όταν τίθεται ένα πρόβλημα για επίλυση: Λ.χ. αν δεν τους ενδιαφέρει, μπορούν να αρνηθούν να το

λύσουν; Μπορούν να αλλάξουν τα δεδομένα ή όλη την εκφώνηση του προβλήματος για κάποιο δικό τους σκοπό;

ΕΡΩΤΗΜΑ

llo:

Πώς αξιολογούμε την «απόδοση» μιας τάξης σ' ένα πρόβλημα που τέθηκε για επίλυση: με βάση το αποτέλεσμα ή τη διαδικασία που ακολουθήθηκε; ή με βάση τη δυνατότητα έκφρασης του αποτελέ­ σματος

σε μαθηματική γλώσσα και συμβολισμό;

Στο παράδειγμα

του λόγου και αναλογίας, θα είμαστε ευχαριστημένοι λ.χ. αν οι μα­ θητές μιας Α' Γυμνασίου μας δώσουν ένα αποτέλεσμα στη μορφή «2πλάσιο σε σχέση με ... » αντί για

«2/1))

ή ...

«200%

μεγαλύτερω);


30 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'· ΤΟΜΟΣ 6 • ΊΕΥΧΟΣ 22 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ-ΑΝΑΦΟΡΕΣ

(\)

Στην έννοια της αναλογίας και του λόγου αναφέρονται διδακτορικά και μακροσκελή άρ­ θρα στη Διδακτική των Μαθηματικών, όπως:

(i)

Ευγενία ΚΟΛΕΖΑ-ΑΔΑΜ

«Decalages cognitifs dans \es problemes de proportionnalite (prea\ab1es a toute sequence didactique pour des e1eνes de \0-12 ans)», These presentee pour obtenir 1e Doctorat De 1' Uniν. L. Pasteur, Strasbourg (1987). (ii) L. STREEFLAND «Search for the roots of ratio: some thoughts on the 1ong term 1earning process», Parts Ι and 11, Educationa1 Studies in Mathematics, νοl. 15 p. 327. 348 and νοl. 16 p. 75-94. (2) Μια άλλη σχετική ερμηνεία υπάρχει στο βιβλίο του R. Wi1der «Εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών» (εκδ. Ανοιχτό Πανεπιστήμιο Αγγλίας). Ακόμη δες σχετ. τη μελέτη-διάλεξη του Παρ. Μαρουσάκη «Η γένεση της επιστήμης».


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

/31

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

(ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΉ ΕΡΕΥΝΑ) Θ.Χ. Ιyνατιάδης (lo Λύκ:. Κερατσινίου) Ν.Σ. Μαυρογιάννης (3ο Λύκ:. Ν. Σμύρνης)

1.

ΟΙ ΔΙΔΑΚτΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Τα τελευταία χρόνια είναι συνεχώς στο προσκήνιο η συζήτηση για τους διδα­

κτικούς στόχους. Πολύ συνοπτικά: διδακτικοί στόχοι (ΔΣ) είναι εξειδικεύσεις των πολύ γενικών σκοπών και στόχων της εκπαίδευσης που συνδέουν τα περιεχόμενα

(ύλη) των αναλυτικών προγραμμάτων (ΑΠ) με την διδασκαλία.

1

Οι ΔΣ που αντιστοι­

χούν σε κάποιο περιεχόμενο του ΑΠ (δηλ. στο τι θα διδαχθεί) καθορίζουν επιπλέον τι επιδιώκεται να μπορούν να κάνουν οι μαθητές σε σχέση με αυτό το περιεχόμενο. Ειδικότερα όταν αυτό που επιδιώκεται περιγράφεται με όρους μιας σειράς παρατηρή­

σιμων συμπεριφορών που αναμένεται να εμφανίσουν οι μαθητές, τότε έχουμε αντικει­ μενικούς διδ. στόχους (ΑΔΣ).

Για παράδειγμα το ΑΠ Μαθηματικών της Β' Γυμνασίου αναφέρει: «Γωνία εγγε­

γραμμένη σε κύκλω>, περιεχόμενο για το οποίο το διδ. βιβλίο αφιερώνει 2 σελίδες.

2

Μερικοί ΔΣ που θα μπορούσαν να .τεθούν γιαυτό το περιεχόμενο είναι:

α) Να μπορούν οι μαθητές να σχεδιάζουν μια εγγεγραμμένη γωνία που αντιστοι­ χεί σε δοθείσα χορδή και δοθείσα κορυφή.

β) Να μπορούν οι μαθητές να βρίσκουν την επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί σε δοθείσα εγγεγραμμένη. γ) Να μπορούν οι μαθητές να υπολογίζουν το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας αν ξέρουν το μέτρο μιας αντίστοιχη εγγεγραμμένης κα, κ.α.

2. ΑΝτΙ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗΣ 2.1. Οι συνηγορίες υπέρ της

χρήσης ΔΣ εκκινούν από μία (όχι πάντοτε καλώς ορισμέ­

νη) έννοια αποτελεσματικότητας οπότε οι ΔΣ θεωρούνται ως προϋπόθεση για:

α) αποτελεσματική διδασκαλία, και/ή β) αποτελεσματική (= έγκυρη, αντικειμενική) αξιολόγηση της επίδοσης. 3 Το συνοδευτικό σκεπτικό είναι, σε νενικές γραμμές , το ακόλουθο: Οι ΔΣ είναι εξειδικεύσεις των γενικών και ασαφών σκοπών της εκπαίδευσης. Από τη στιγμή λοι­

πόν που θα διατυπωθούν οι ΔΣ, η επίτευξη των σκοπών ανάγεται στην επίτευξη των


32

j ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ

6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

ΔΣ. Τότε τόσο η διδασκαλία όσο και η αξιολόγηση αποκτούν μια πιο συγκεκριμένη

κατεύθυνση. Την επίτευξη των ΔΣ η πρώτη, και την διακρίβωση του βαθμού επίτευ­

ξης τους η δεύτερη. Η διατύπωση ΔΣ βοηθάει την διδασκαλία ακριβώς επειδή οι ΔΣ

καθιστούν ευδιάκριτες τις επιθυμητές γνώσεις/ ικανότητες πόυ πρέπει να προσεγγι­ σθούν Ι αναπτυχθούν, ενώ παράλληλα η συστηματική χρήση ΔΣ συμβάλλει στη εξα­

σφάλιση της απαιτούμενης υποδομής για τις νέες μαθήσεις που πρόκειται να ακο­ λουθήσουν. Η δε αξιολόγηση με βάση προκαθορισμένους ΔΣ έχει μεγαλύτερα περι­ θώρια να εκτείνεται σε περισσότερες μαθήσεις παρέχοντας ταυτόχρονα αποτελέσματα

λιγότερο αμφισβητούμενα.

2.2.

Κάθε. διδακτική πρόταση συνδέεται αναπόφευκτα με τις διάφορες όψεις και λει­

τουργίες του σχολείου στο οποίο αναφέρεται· στην περίπτωση μας του ελληνικού υπαρκτού σχολείου. Έτσι το «που το πάει» κάθε πρόταση υιοθέτησης των ΔΣ προσ­

διορίζεται από τις συνδέσεις της με το σχολικο γίγνεσθαι, και μάλιστα όχι μόνο με βάση ότι ρητά λέγεται Ι γράφεται αλλά και με ότι αποσιωπάται. Η εμβέλεια κάθε τέ­ τοιας πρότασης, καθώς και η έννοια αποτελεσματικότητας που μεταφέρει, έχει να κά­

νει με τη θέα του εκπαιδευτικού συστήματος που επιλέγει ο προτείνων: από το τι βλέ­ πει και τι παραβλέπει. Οι εκφρασμένοι σκοποί της εκπαίδευσης που διατυπώνονται στο Σύνταγμα και στα διάφορα εκπαιδευτικά νομοθετήματα χαρακτηρίζονται από ένα άξιο προσοχής στοιχείο: επιμελώς απουσιάζουν αναφορές γύρω από το ·αν οι σκοποί αφορούν όλους

τους μαθητές. Με άλλα λόγια οι σκοποί

-

οι «προγραμματικές δηλώσεις» της εκπαί­

δευσης δηλαδή, περιγράφουν μεν κάποια μορφωτικά αγαθά αλλά πουθενά δεν αναφέ­ ρεται αν αυτά τα αγαθά προορίζονται για όλους η μερικούς μόνο μαθητές. Και αυτό

σε πεtσμα του γεγονότος ότι μια από τις μονιμότερες λειτουργίες του σχολείου είναι

να εντείνει την διαφοροποίηση των παιδιών απέναντι στη γνώση.

4

Αυτή δε η λει­

τουργία επιτελείται τόσο πολύ καιρό ώστε είναι, πλέον, απόλυτα θεμιτό να εκλαμβά­ νεται ως ένας πραγματικός σκοπός του εκπαιδευτικού συστήματος. Δηλαδή αβίαστα μπορεί κανείς να λαμβάνει υπόψη του αυτό που πραγματικά γίνεται, και όχι ότι δεχομένως συναρπαστικό

-

-

εν­

έχει κατά καιρούς παρουσιασθεί ως σκοπός του σχολεί­

ου. Επομένως είναι λογικό να αναμένεται από όσους μπαίνουν στον κόπο να προτεί­ νουν την υιοθέτηση του ΔΣ να κάνουν και ένα μικρό ακόμη κόπο: Να συμπληρώ­

σουν τις προγραμματικές δηλώσεις της εκπαίδευσης με τα «ελλείποντα» στοιχεία. Ει­ δικότερα δίνοντας απαντήσεις στο ερώτημα: «η επίτευξη των ΔΣ θα αφορά ή όχι όλους τους μαθητές;». Διότι αν κρίνεται απαραίτητο να πρωταγωνιστήσει το «συγκε­

κριμένο», τότε εξίσου απαραίτητο είναι να τεθούν και οι συγκεκριμένοι όροι εμφάνι­ σης του.

Αναφορικά με αυτό το καίριο κατά τη γνώμη μας ερώτημα οι θεωρητικές αφετη­ ρίες και βλέψεις των συνηγοριών για τους ΔΣ παρουσιάζουν αρκετή ποικιλία. Εδώ επιχειρούμε μια κάπως σχηματική κατάταξη τους. Υπάρχουν προτάσεις υιοθέτησης των ΔΣ όπου οι τελευταίοι εκλαμβάνονται

απλώς ως

μια διδακτική

δεοντολογία.


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΙΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ!

33

Απευθύνονται κυρίως στους διδάσκοντες και σιγούν σ' ότι αφορά την σχολική απο­

τυχία και την ε:ιιτελούμενη

γνωστική

διαφοροποίηση. Σ'

•ιυτές τις απόψεις της

απλής διαχείρισης του υπάρχοντος προστίθενται και προτάσεις που, ενώ ταχυδακτυ­

λουργικά «aποσυνδέουν» την αξιολόγηση της επίδοσης από τη σχολική α:ιτοτυχία, διατυπώνουν το αίτημα της χρήσης ι:ων ΔΣ για να επιτευχθεί πιο αντικειμενική αξι­

ολόγηση5 (= πιο «κοφτερή>> γνωστική διαφοροποίηση, αρτιότερη οργάνωση της κα­ 6 τανεμητικής λειτρυργίας του σχολείου). Από την άλλη μεριά υπάρχουν προτάσεις υιοθέτησης των ΔΣ όπου οι τελευταίοι θεωρούνται ως ένα εργαλείο για την κάμψη της γνωστικής διαφοροποίησης. Σύμφωνα με αυτές τις απόψεις, τις οποίες συμμεριζό­ μαστε και μεις, οι ΔΣ τίθενται για να τους επιτυγχάνουν

(:

ευκταίο· το εφικτό όμως

ορίζεται πάντα με γνώμονα το ευκταίο) όλοι οι μαθητές και σ'

αυτή την λογική

οφείλουν να υποτάσσονται ΑΠ, διδ. βιβλία, διδασκαλία και αξιολόγηση. Βέβαια η γνωστική διαφοροποίηση είναι ένJ κοινωνικό φαινόμενο και μέρος της μόνο επιτε­

λείται στο σχολείο. Για το λόγο αυτό οι ακριβείς όροι ενός εγχειρήματος κάμψης της γνωστικής διαφοροποιησης είναι ένα σε τελική ανάλυση και με την ευρεία έν­

νοια του όρου, πολιτικό ζητούμενο.

7

Ένας όμως κατά τη γνώμη μας εντελώς προφα­

νής όρος, είναι να πάψε: να θεωρείται η σχολική αποτυχία σαν κάτι αυτονόητο, και να γίνει

αντιληπτό ότι την κύρια ευθύνη για την σχολική αποτυχία την φέρει το 8

σχολείο. Ακόμη και αν ενδώσουμε στην (απλοϊκή) ιδέα ότι πολίτης- πολιτεία είναι συμβαλλόμενοι με αμοιβαίες συμβατικές υποχρεώσεις, και τότε είναι σημαντικό οι

υποχρεώσεις του δεύτερου σε σχέση με την εκπαίδευση να καταγραφούν και να εγερ­ θούν αξιώσεις για την τήρηση τους. Διατηρούμε πολλές επιφυλάξεις γύρω από το αν μπορεί να τεκμηριωθεί ή να καταρριφθεί ο ισχυρισμός ότι, μέσω των Μαθηματικών, στον τάδε μαθητή του τάδε σχολείου καλλιεργήθηκε «το αίσθημα του ωραίου και του

ηθικού» και ότι τα Μαθηματικά διήγειραν «το κριτικό (του) πνεύμα».

9

Απεναντίας εί­

μαστε βέβαιοι ότι πιο πεζοί και με λιγότερο οίστρο ισχυρισμοί όπως «αυτό το παιδί πήγε σχολείο και δεν έμαθε να λογαριάζει» μπορούν να υποστούν εμπειρικό έλεγχο που οδηγεί σε συμπεράσματα για την ορθότητα τους ή μη.

2.3.

Η Κριτική που έχει ασκηθεί στους ΔΣ στοιχειοθετείται αφενός με όρnυς ψυχο­

λογίας και αφετέρου κοινωνιολογίας.

10

Στην βιβλιογραφία για τους ΔΣ είναι ευρύτα­

τα διαδεδομένη η άποψη ότι όλα τα περιεχόμενα μάθησης πρέπει να μετατρέπονται σε ΑΔΣ και επομένως η διδασκαλία αποτελεί (εξ ορισμού) συνεχή προσπάθεια εμφά­ νισης

κάποιας

(παρατηρήσιμης)

εστιάζεται κυρίως σ'

συμπεριφοράς.

Η

με

όρους

ψυχολογίας

κριτική

αυτό το σημείο. Ο εγκλωβισμός της διδασκαλίας στο γνωστό

σχήμα της ψυχολογίας της συμπεριφοράς:

μάθηση

= αλλαγή

συμπεριφοράς

που επιχειρείται με τους ΑΔΣ, μεταφέρεί στην τάξη μια αμφισβητούμενης εγκυρότη­ τας θεωρία για τη μάθηση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα (ιδιαίτερα όταν οι ΑΔΣ είναι

δε.σμευτικοί για το δάσκαλο) μια μονομερή (από ψυχολογική άποψη) θεμελίωση της


34 I ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 διδασκαλίας η οποία μπορεί έτσι να αγγίζει τετριμμένες μόνο μαθήσεις. Ουσιώδεις

στόχοι παρακάμπτονται μόνο και μόνο επειδή δεν μπορούν να διατυπωθούν με όρους συμπεριφοράς. Η διδασκαλία κατατρίβεται με την προσπάθεια εμφάνισης τύπων συ­

μπεριφοράς ενώ οφείλει

(:

γνωστικές θεωρίες για τη μάθηση) να υποστηρίξει διαδι­

κασίες μάθησης και μεταφοράς μάθησης, δηλ. όχι απλώς να αλλάξει η συμπεριφοιρά

αλλά να αλλάξει το δυναμικό συμπεριφοράς. Ακόμη η μετατροπή των ΑΠ σε πολ­ λούς αυστηρά ιεραρχημένους ΑΔΣ, κατά τα πρότυπα της προγραμματισμένης διδα­

σκαλίας (η <ψπηχαβιοριστική μεταμφίεση του ΑΠ»), στημα στοχοθεσίας

-

11

,

οδηγεί σε ένα αυστηρό σύ­

αξιολόγησης που αντιμετωπίζει την διδασκαλία σαν τεχνολογία

και αφήνει ελάχιστα περιθώρια στο δάσκαλο για ανάληψη πρωτοβουλίας, και δημι­ ουργική δουλειά. Τέλος στους ΔΣ

-

-

και εδώ κυρίως εστιάζεται ο κοινωνιολοϊικός αντίλογος

η διδασκαλία και η μάθηση δεν συντελούνται ίη νitro αλλά σε μια κοι­

ωνία με τάξεις, ανισότητες, αντιθέσεις. Επομένως οι προτεραιότητες της εκπαίδευ­ σης, ο ρόλος του σχολείου, τα περιεχόμενα των ΑΠ, οι στόχοι και η διδασκαλία πρέ­ πει να συνεξετάζονται. Η συνεξέταση όλων αυτών, και άλλων ακόμα, ξεφεύγει από τα στενά (αλλά και παρελκυστικά) πλαίσια της όποιας ψυχολογικής διαμάχης. Η εκ­ παίδευση δεν είναι θέμα μόνο ψυχολογίας. Απεναντίας μάλιστα, η επιστράτευση μό­ νης της ψυχολογίας προκειμένου να προκρίνει την «αρτιότερη δυνατή» οργάνωση

ΑΠ, τεχνική διδασκαλίας κ.α. οδηγεί σε επιλογές ομοιόμορφα εφαρμόσιμες σε όλες τις περιπτώσεις συμβάλλοντας έτσι στη συγκάλυψη των ευθυνών του εκπαιδευτικού συστήματος σε σχέση με την σχολική αποτυχία. Διότι οι «βέλτιστες» λύσεις αφή­

νουν αρκετούς μαθητές έξω από το λογαριασμό (που εξ'

ορισμού είναι «αποκλίνο­

ντες») και το σχολείο φέρεται απαλλαγμένο έχοντας πλέον κάνει ό,τι είναι <<επιστη­

μονικώς δυνατόν». Επιπλέον συστήματα ΔΣ που εφαρμόζονται ομοιόμορφα αποτελούν τον δούρειο ίππο για τον παραπέρα κρατικό έλεγχο στη διδασκαλία, την χειραγώγη­ ση κ:χι την υποβάθμιση του εκπαιδευτικού.

Κατά τη γνώμη μας σπανιότατα η αλήθεια βρίσκεται «κάπου στη μέση» αλλα στο συγκεκριμένο θέμα θεωρούμε ότι ένα μεγάλο μέρος της κριτικής που έχει ασκη­

θεί στους ΔΣ είναι άδικη για τον απλό λόγο ότι είναι πολύ γενική. Είναι αλήθεια ότι η εικόνα της μάθησης που προβάλλει η ψυχολογία της συμπεριφοράς είναι εξαιρετι­ κά περιοριστική. Ενδεχομένως είναι κατάλληλη για εκγύμναση αλλά σίγουρα είναι

ακατάλληλη για να αποτελέσει οδηγό στο χώρο της εκπαίδευσης (πολύ δε περισσό­

τερο στης παιδείας). Πέρα από το αφελές του εγχειρήματος να αναχθεί η παιδευτική λειτουργία σε ένα κυνηγητό «τελικών συμπεριφορών», εγχειρήματα αυτού του είδους

ιδίως όταν τίθενται (πέρα από το γνωστικό) και ΑΔΣ από τον λεγόμενο «συναισθημα­ τικό τομέα», ενέχουν και άλλους κινδύνους: τα όρια με φασίζουσες εκπαιδευτικές

ιδεολογίες γίνονται ολοένα και πιο δυσδιάκριτα.

12

Όμως η συνάντηση ΑΠ, ΔΣ, δι­

δασκαλίας δεν γίνεται από ένα μονόδρομο πολύ περισσότερο από ένα μπηχαβιορι­

στικό μονόδρομο. Οι όροι της συνάντησης δεν υποδηλώνονται με την απλή επίκλη­ ση του όρου «διδ. στόχοι». Πρέπει να λεχθούν και άλλα πράγματα.


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

I 35

Για παράδειγμα οι γνωστές οδηγίες διδασκαλίας που έχουν εκδοθεί από το τέως

ΚΕΜΕ και νυν Παιδαγωγικό Ινστιτούτο επί σειρά ετών ισχυρίζονται:

«0

μαθητής

που μπαίνει στο Γυμνάσιο γνωρίζει αναμφισβήτητα να επιλύει προβλήματα πρόσθε­

σης ή άλλων πράξεων με φυσικούς αριθμούς».

13

Υποτίθεται ότι η δήλωση αυτή εκ­

φράζει μια συμβατική υποχρέωση του Δημοτικού σχολείου. Για να τηρηθεί η υποχρέ­ ωση αυτή η για να ελεχθεί η τήρηση της, απαιτούνται κάποιοι ΔΣ μερικοί από τους

οποίους αναπόφευκτα θα είναι ΑΔΣ. Και δεν χρειάζεται να είναι κάποιος ορκισμένος μπηχαβιοριστής για να τους καταγράψει. Ας σημειωθεί ότι η ακρίβεια αυτού του

ισχυρισμού έχει ελεχθεί. Πρόσφατη έρευνα σε δείγμα σίου

([30]: 28) έδειξε ότι 6 1442 με τον 14. Ο στόχος

στους

10

1375

μαθητών της Α' Γυμνα­

μαθητές δεν ήταν σε θέση να διαιρέσουν τον

«να μπορούν οι μαθητές να εκτελούν (τέλεια) διαίρεση

4ψηφίου δια 2ψήφιο» είναι ένας ΑΔΣ. Αν δεν υπήρχαν άνθρωποι διατεθειμένοι να

αναλύουν βασικές συμβατικές υποχρεώσεις σε ΔΣ, η όλη προβληματική για την απο­ τελεσματικότητα της εκπαίδευσης θα κινείτο ακόμα στο επίπεδο του «ωραίου και του

ηθικού». Το κατά πόσο οι διάφορες συμβατικές υποχρεώσεις θεωρούνται τετριμμένες (τετριμμένες αραγε σε σχέση με τι;) έχει να κάνει με το ποιές γνώσεις Ι ικανότητες

θεωρούμε θεμελιώδεις, με το πως αντιλαμβανόμαστε την προσέγγιση Ι ανάπτυξή τους και τέλος με το κατά πόσο έχουμε αντιληφθεί ότι η ανεπαρκής προσέγγιση Ι ανά­

πτυξη τους δρά απαγορευτικά στην μετέπειτα γνωστική εξέλιξη.

14

Οι ΔΣ μπορούν να

μπουν στο κέντρο της προβληματικής για την εκπαιδευτική ανισότητα και να αποτε­ λέσουν μέρος μιας διϋποκειμενικής γλώσσας, κατανοητής από όλους, κατάλληλης

για την τήρηση και τον έλεγχο της τήρησης ορισμένων συμβατικών υποχρεώσεων της εκπαίδευσης.

2.4.

Για τους παραπάνω λόγους νομίζουμε ότι προσπάθειες που αποσκοπούν ώστε

α) να αναγορευθούν οι ΔΣ στον χρυσό κανόνα της διδασκαλίας β) να εξοστρακισθούν οι ΔΣ (γενικά ή μόνο οι ΑΔΣ) από την διδασκαλία, χρειάζονται μάλλον ένα πιό συγκεκριμένο πεδίο αναφοράς από εκείνο στο οποίο συ­ νήθως κινούνται. Ειδικότερα σε σχέση με το β) μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι

συνηγορίες υπέρ των ΔΣ είναι δύσκολο να υπαχθούν σε μια ενιαία «σχολή» (ή σε

έyα «επιστημονικό παράδειγμα» όπως χαρακτηριστικά έχει γραφεί)

15

και γιαυτό μια

«εξεφόδου» κριτική αποτίμηση των ΔΣ παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες. Οι θεωρητι­ κές αποτιμήσεις των ΔΣ μπορούν να διαθέτουν διαφορετική ορατότητα, αλλά δεν μπορούν παρά να έχουν κοινό εμπειρικό περιεχόμενο. Αυτό το τελευταίο νομίζουμε ότι μπορεί να διαμορφωθεί με τη διερεύνηση της λειτουργίας των ΔΣ στη διδασκα­

λία. Σ' αυτή τη διερεύνηση ενδέχεται να συμβάλλει η προσπάθεια που παρουσιάζε­ ται στα επόμενα.

3. ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 3.1. Με την έρευνα που παρουσιάζόυμε εδώ επιχειρήσαμε να ελέξουμε εμπειρικά την υπόθεση ότι η χρήση ΔΣ μπορεί να συμβάλλει στην κάμψη φαινομένων σχολικής


36 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 αποτυχίας. Η ορατή πλευρά της σχολικής αποτυχίας είναι αυτή που φανερώνει το

ίδιο το σχολείο: η επίδοση ορισμένων μαθητών χαρακτηρίζεται χαμηλή. Ανεξάρτητα όμως από το τι αποφασίζει επίσημα να δείξει το σχολείο υπάρχει και μια αφανής

αλλά όχι λιγότερο σημαντική πλευρά της σχολικής αποτυχίας: ορισμένοι μαθητές μαθαίνουν λίγα πράγματα (ακριβέστερα: προσεγγίζουν χαμηλότερα επίπεδα γνώσης).

16

Α ν και η σχολική αποτυχία εντοπίζεται στην περιοχή της επίδοσης εντούτοις δεν

μπορεί να αποσυνδεθεί από το όλο μαθησιακό κλίμα. Ανάμεσα στο υποκείμενο που

μαθαίνει (τον μαθητή) και το γνωστικό αντικείμενο (στην περίπτωση μας τα Μαθη­ ματικά) παρεμβάλλεται ένα πλέγμα στάσεων και πρακτικών που επηρεάζονται από

την επίδοση αλλα κg.ι την επηρεάζουν.

17

Δηλαδή για την περίπτωση της αποτυχίας

υπάρχει ένα φαύλο σχήμα κυκλικής αιτιότητας:

.... -

αρνητική στάση -αποτυχία- αρνητική στάση

- ...

που πρέπει να υποστεί ένα ρήγμα και να εκκινήσουν διαδικασίες αντιστροφής των όρων. Γιαυτό η υπόθεση μας δεν περιορίστηκε μόνο στο ότι η χρήση ΔΣ προκαλεί αύ­

ξηση της επίδοσης αλλά και στο ότι βελτιώνει την στάση των παιδιών απέναντι στα

Μαθηματικά. Η διεργασιακή διατύπωση της υπόθεσης,

18

απαραίτητη για τον εμπειρι­

κό της έλεγχο, απαιτεί ένα αριθμό προσδιορισμών που φαίνονται στον πίνακα

I.

ΠΙΝΑΚΑΣ 1 τΎ)ς υπό~ΕΟΎ)ς

Διατύπωση

Ύπό~εο11

Απαιτούμενοι Ποιά; Ποιών;

Η ΧΡ~ΟΎJ

διδακτιχών στόχων προκαλεί

iI

Σε ποιούς;

I I I

Σε σχέσΎ) με τ ι;

αύζΎ)σΎJ της επίδοσης και βελτίωση

Παυ διαχριβώνεται

πως;

Σε σχέση με τι;

της στάο11ς απέναντι Μα~Ύ)ματ ικό. στα

3.2.

προσδωρωμο(

Που χα~ρ(~εται

πως;

Η έρευνα χωρίζεται στις ακόλουθες φάσεις: Ι.

Προετοιμασία (καλοκαίρι

84) 84-85) (καλοκαίρι 85 -

ΙΙ. Διεξαγωγή (Διδ. έτος ΠΙ. Επεξεργασία

3.3.

χειμώνας

87-88).

Κατά την φάση Ι έγιναν οι βασικοί προσδιορισμοί 19 του πιν. Ι (βλ. πιν.

2).

Απο­

φασίσαμε να ελέξουμε την υπόθεση σε δείγμα («δείγμα ευκολίας») μαθητών των σχο­

λείων στα οποία εργαζόμαστε τότε.

( 1ο

Γυμν. Καστοριάς

-

5ο Γυμν. Ν. Σμύρνης)

Κρίνοντας απαραίτητη τη μεσολάβηση κάποιου χρόνου προσαρμογής στο Γυμνάσιο


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΙΙΚΟΥΣ ΣΙΟΧΟΥΣ

j 37

aποκλείσαμε τους μαθητές της Α τάξης, και από τις τάξεις Β και Γ τελικά επιλέξαμε την Β κυρίως για τον εξής λόγο: το (τότε) πρόγραμμα Μαθηματικών αυτής της τάξης αποτελούσε ένα αισθητό μεταίχμιο όπου για πρώτη φορά συνυπήρχαν εκτεταμένες υπολογιστικές

τεχνικές,

αποδεικτικές

διαδικασίες και

πολλεξ

νέες

έννοιες αρκετά

υψηλού βαθμού αφαίρεσης. Η υπόθεση θα ελέγχονταν σε ένα τμήμα της Β από κάθε

σχολείο (πειραματικές ομάδες, στο εξής:

Π) που θα διδάσκονταν Μαθηματικά σε

«περιβάλλον» ΔΣ, και βάση σύγκρισης θα αποτελούσε άλλο ένα τμήμα της ίδιας τά­ ξης για κάθε σχολείο (ομάδας ελέγχου: Ε) που θα διδάσκονταν με τον συνηθισμένο τρόπο. Καθορίσθηκε τα Π-Ε να προέρχονται από τμήματα στα οποία την προηγούμε­ νη χρονιά είχJ.με διδάξει εμείς Μαθηματικά. Οι ΔΣ καθορίσθηκαν με μετατροπή των περιεχομένων του ισχύοντος ΑΠ και των διδ. βιβλίων. Κάθε ΔΣ πλαισιώθηκε από ερωτήσεις

-

ασκήσεις (αρκετές φορές από

το διδ. βιβλίο) που αφενός έδιναν το προφίλ κάθε ΔΣ και αφετέρου αποτελούσαν και κριτήρια επίτευξης του. ΔΣ και κριτήρια θα συγκροτούσαν ένα πρόσθετο διδακτικό υλικό προορισμένο να διανεμηθεί και να χρησιμοποιηθεί μόνο στα Π, όπου διδα­ σκαλία και ως ένα βαθμό η αξιολόγηση θα γίνονταν με βάση τους ΔΣ. Για την διακρίβωση της επίδοσης, που θα είχε συγκριτικό χαρακτήρα, αποφασί­ σαμε να χρησιμοποιήσουμε δύο τέστ τελικής (αθροιστικής) αξιολόγησης (στο εξής ΤΙ, Τ2). Το τι με την έναρξη και το Τ2 με τη λήξη των μαθημάτων της Β (παράρ­ τημα

1).

Αρκετές δυσκολίες συναντήσαμε στο θέμα του καθορισμού της στάσης απέναντι

στα Μαθηματικά. Τελικά αποφασίσαμε να γίνει με ένα ερωτηματολόγιο κλειστού τύ­ που που θα συμπλήρωναν οι μαθητές δύο φορές όπως το τεστ (στο εξής ΕΡΙ. ΕΡ2). Η κυριότερη δυσκολία στη σύνταξη του ήταν ότι λίγο-πολύ έπρεπε να έχουμε στο μυαλό μας μια «ιδεατή» στάση. Χωρίς να συμμεριζόμαστε λογικές του τύπου «ας συ­

ζητήσουμε τι είδους ανθρώπους θέλουμε να φτιάξουμε» καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι κατά τεκμήριο ένας μαθητής θα έχει ευνοϊκή στάση απέναντι στα Μαθηματικά αν:

α) Θεωρεί τα Μαθηματικά εύκολα, ενδιαφέροντα και θέλει να διδάσκεται περισ­ σότερα Μαθηματικά.

β) Διαθέτει χρόνο για τη μελέτη τους και δεν δυσανασχετεί γιαυτό.

γ) Είναι aυτοδύναμος στην μελέτη του και δεν άγχεται όταν πρόκειται να ελε­ χθούν τα αποτελέσματα της εργασίας του.

Από το πλήθος άλλων παραγόντων που επιδρούν στην μαθησιακή διαδικασία αποφασίσαμε να ελέξουμε την επίδραση του παράγοντα «αξιολόγηση» για δύο λό­ γους. Ο ένας είναι διότι το ισχύον σύστημα αξιολόγησης, που μια σειρά διατάξεων

το καθιστά ουσιωδώς ανελαστικό, έχει σοβαρές αδυναμίες. πλέγμα εξέταση

-

βαθμολογία

-

20

Ο δεύτερος είναι ότι το

βαθμός είναι εξαιρετικά φορτισμένο και συχνότα­

τα η όλη εικόνα της διδασκαλίας και της μάθησης διαθλάται μέσα από αυτό. Γιαυτό


38 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22 στα ΕΡΙ, ΕΡ2 συμπεριλάβαμε δύο ερωτήσεις σχετικές με την ικανοποίηση από βαθ­ μούς και τρόπο αξιολόγησης. Τέλος επειδή πέρα από τις οποίες, σωστές, μακροσκοπικές θεωρήσεις του σχο­ λείου, στα όσα διαδραματίζονται μέσα στην τάξη υπεισέρχεται και η αποφασιστική συμμετοχή

συνενοχή του δασκάλου, αλλά και για να ελέξουμε ενδεχόμενη διατά­

-

ραξη της σταθερότητας της παραμέτρου «καθηγητής», προσθέσαμε και μια ερώτηση σχετική με τη ικανοποίηση από τον καθηγητή.

Τα ΕΡΙ, ΕΡ2, που είναι στην ουσία τα ίδια, παρατίθενται στο παράρτημα

2.

Το

ΕΡ2 περιλαμβάνει μια επιπλέον ερώτηση σχετική με την συνολική αποτίμηση της διδασκαλίας. Τέλος αποφασίσαμε η συμπλήρωση των Τ1,2, ΕΡ1,2 να γίνει στο σχολείο, ανώ­ νυμα από τους μαθητές.

Πλαίο ιο

Π I ΝΑΚΑΣ 2 της υη;ό-θ" εσ11ς ελέγχου

Προσδιορισμοί

Ύπό-θ"εσ11

Η διδαmω.λία επ:ί ένα χρόνο σε π:ειραματικές ομάδες γίνεται. με βάσ11 καταλ6γους ΔΣ-κριτ-ηριh>ν επίτευζΊ]ς που δ ι.α νέμονται στους μα-θ"ΊJτές. Η

ι

Χ ρ-η σ

Στα π:λαίσια του διατι-θ-έμενου χρόνου ο ρυ{Jμός διδασΉ..αλίας αΉ..ολc:υ\Jεί το ρυθμό επ:ίτευ\;11ς των ΔΣ.

11

Στο μέτρο ταυ δυνατσJ 11 αζιοΊόγ11011 τ11ς επίδοσης γί, νεται με βάσ1] τους ΔΣ. δ ιδακταών

Προκύπτουν απο μετατροπ:-ή περιεχομένων βιβλίου.

στόχων

ΑΠ,

τιρο-κ.αλε ί

σε π:ειραμαπχ.ες

αύ \;11σ11

σε σχέσ11 με ομάδες ελέγχου τΊ]ς ίδιας τάς11ς, ταυ ίδΙJJΙJ σχολείου, με τον ίδιο κα{Jηγητ-ή, που διδάσ-χ.οvται με τοv'Όυμβατικό" τρόπ:ο.

111ς

Β

ταξ;11ς

σε σχεσί] με ομάδες ελέγχου

και βελτ ιωσί] τ11ς

τ-ης

ττ:ου διωφιβώνεται με τεστ τελικ-ής αζιολόγί]σί]ς

εnι.δοσ1]ς ι

ομαδες

ι

στασ11ς απ:ε-

που -κα-θ"ορίςεται με βάσ11 ένα

ερωτ 11μα τολ &γιο

vαvτ ι σ;;α Μα.:J"Ύ]ματ ικα.

3.4.

Με την έναρξη της φάσης Π φροντίσαμε να αναλάβουμε διδασκαλία σε τμήματα

της Β τάξης όπως είχε καθορισθεί στη φάση Ι. Ετσι διαμορφώθηκε το δείγμα της έρευνας που αριθμητικά στοιχεία του υπάρχουν στον πιν.

3.


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΙΙΚΟΥΣ ΣΙΟΧΟΥΣ

/ 39

3

ΠΙΝΑΚΑΣ

Δείγμα τ-ης έρευνας

Ομάδες

Π ε ιpαματιχές Ομάδες ΔΕΙΓΜΑ

Π1

1

Ε

Π2

ΔΕΙΓΜΑ2

C Ν.

Ελέγχου Δ

1

Ε2

π

Σύ ΥΟ λο

36 Ε

Π1,2 και ΕΙ

η

μεγάλη

67 Δ

59

Στις

56 Δ2

31

Σμυρv-η)

1

28

28

C. Κα σ το ρ ια)

Σύνολο

64

123

πλειοψηφία των μαθητών δεν άλλαξε καθηγητή.

Ατυχώς η Ε2, για λόγους λειτουργικούς του σχολείου, συγκροτήθηκε όχι με το κριτή­

ριο της αλφαβητικής σειράς αλλά με βάση την ξένη γλώσσα και συγκέντρωσε όλους

τους μαθητές της Β που είχαν επιλέξει (έναντι των Αγγλικών) τα Γαλλικά. Έτσι

18

παιδιά της Ε2

(50%)

είχαν διδαχθεί στην Α τάξη Μαθηματικά με άλλο

καθηγητή. Γιαυτό αλλά και για άλλους λόγους (βλ.

6.1)

η Ε2 δε μπορεί να θεωρηθεί

απόλυτα κατάληλη για ομάδα ελέγχου.

Όταν άρχισαν τα μαθήματα δόθηκαν στους μαθητές των Π, Ε τα ΤΙ,

EPI

που

συμπληρώθηκαν στην τάξη. Για την εξασφάλιση της ανωνυμίας μοιράσθηκαν σε ιcά­ θε τμήμα αριθμημένες κάρτες κατά τρόπο ώστε μόνο ο αποδέκτης της κάθε κάρτας­ να γνωρίζει τον αριθμό της, και ζητήθηκε από τα παιδιά να «υπογράψουν» τα ΤΙ,

EPI

(αργότερα Τ2, ΕΡ2) μόνο με τον αριθμό της κάρτας τους. Παράλληλα ενημερώ­

σαμε, σε γενικές γραμμές, τους μαθητές για τον σκοπό που θα εξυπηρετούσε η συγκέ­ ντρωση των στοιχείων και τονίσαμε ότι η διατήρηση της ανωνυμίας ήταν ουσιώδες στοιχείο της προσπάθειας μας.

Μετά τη συγκέντρωση των ΤΙ, EPI άρχισε, στα Π, η τμηματική διανομή του 21 πρόσθετου διδ. υλικού και η ενημέρωση για τη χρήση του. Συνολικά το υλικό αυτό είχε έκταση 135 σελίδων και η κατανομή στόχων- κριτηρίων φαίνεται στον πιν. 4.


40 j

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'

ΠΙ

Κατανομ-ή

- ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

Ν Α

Κ

Α Σ

4

ΔΣ--yφιτΊ)pίων ανά -χ.εψάλα ιο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

14"' γ,

ΑΡΙΘ

69 17 11 14 21 1 6

ΣΥ ΝΟΛΟ

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

ΔΣ "' 3 3 ΑΡΙΘ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ 183 58 29 51 40 45 20 21 22 9 11 6 12

:(~

6

~*

17

18 2

**

5ο

:ΚJ!.

6

* τΊ)ς Α τά~11ς, που δεν είχε διδαχ.{]εί -Η λόγω έλλειψΎ]ς χρόνου, διδάχ.{]Ύ]χαν συνοπτικά Εξηγήσαμε στους μαθητές των Π ότι οι ΔΣ περιγράφουν αυτό που θα πρέπει να μπορούν οι ίδιοι κάθε φορά να κάνουν, και ότι τα κριτήρια (ερωτήσεις, ασκήσεις) θα πρέπει κατ'

απόλυτη προτεραιότητα να αποτελούν τη

βάση της καθημερινής τους

μελέτης. Τελος ενημερώσαμε τους μαθητές σχετικά με τη σύνδεση των ΔΣ με ρυθμό

διδασκαλίας, αξιολόγηση.

Στις Ε δεν δόθηκε το πρόσθετο υλικό και η διδασκαλία ήταν συνδεδεμένη με το βιβλίο. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν θέταμε ΔΣ για τα Ε. Απλώς αυτό δεν συνέβαινε συστηματικά και οι ΔΣ σε καμμία περίπτωση δεν ανακοινώνονταν. Από άποψη αρχι­ τεκτονικής η διδασκαλία ήταν αρκετά διαφοροποιημένη στα Π σε σχέση με τα Ε.

Για παράδειγμα συχνότατα για τη προσπέλαση μιας έννοιας στα Ε aρκεστήκαμε στο

υλικό του διδ. βιβλίου, ενώ στα Π παρεμβάλλαμε πλήθος ΔΣ- κριτηρίων που κατά τη γνώμη μας ήσαν απαραίτητη αναβαθμοί (βλ. και παράρτημα

3).

Στις ομάδες Π καθόλη τη διάρκεια της φάσης ΙΙ χρησιμοποιούσαμε, συνήθως δειγματοληπτικούς, σπανιότερα ολικούς, ελέγχους επίτευξης των ΔΣ.

Όταν διαπι­

στώναμε αδυναμία επίτευξης κάποιων ΔΣ από κάποιους μαθητές προσπαθήσαμε να δίνουμε περισσότερες εξηγήσεις και σε αρκετές περιπτώσεις επαναλάβαμε κρίσιμα σημεία επιβραδύνοντας τον ρυθμό διδασκαλίας. Η πρακτική αυτή πα,ρά το ότι φάνη­

κε αρκετά αποτελεσματική, χρησιμοποιήθηκε με φειδώ γιατί ήταν εξαιρετικά χρονο­ βόρα. Συνολικά, προσπάθειες μας για κάποια μορφή εξατομίκευσης της διδασκαλίας είχαν περιορισμένη έκταση. Πολλές φορές αναγκασθήκαμε να αφήσουμε κάποιους μαθητές που δυσκολεύονταν να τα βγάλουν πέρα μόνοι τους δίνοντας απλώς συμπλη­ ρωματικές οδηγίες για μελέτη. Αξίζει να σημειωθεί ότι σε αρκετές περιπτώσεις επι­ βράδυνσης αντιμετωπίσαμε και φαινόμενα ανοικτής η

συγκαλυμένης

διαμαρτυρίας

απο ορισμένα παιδιά των Π. Η φάση ΙΙ που περιγράψαμε πάρα πολύ συνοπτικά τελείωσε μετά από μάθημα

(μέσης) διάρκειας

110

διδ. ωρών οπότε και δόθηκαν στους μαθητές των Π.Ε τα Τ2,

ΕΡ2.

3.5.

Κατά την φάση ΠΙ οι απαντήσεις από το ΕΡΙ,

2

και οι βαθμοί στα τι,

χθησαν σε πρόγραμμα επεξεργασίας δεδομένων ενός μικρού Η/Υ.

2

εισή­

Οι αριθμοί που

είχαν δοθεί στους μαθητές των Ε, Π μας έδιναν την δυνατότητα να έχουμε σαφή εικό­ να των απαντήσεων και των βαθμών κάθε μαθητή πριν και μετά. Κατα την επεξεργα­ σία οι επιμέρους στάσεις θεωρήθηκαν συνεχείς μεταβλητές από μια διατακτική κλί-


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

/41

μακα ενώ η επίδοση συνεχής μεταβλητή από αριθμητική κλίμακα. Για την βαθμολό­ γηση των ΤΙ, Τ2 που έγινε με ενιαία κριτήρια για τα ΔΙ, Δ2, χρησιμοποιήθηκε αρ­ χικά η εικοσάβαθμη κλίμακα. Κατόπιν η βαθμολογία των ΔΙ, Δ2 εκφράσθηκε σε

z-

βαθμούς22 μόνο που αντί η απόσταση δύο διαδοχικών βαθμών να είναι ίση με μια τυ­ πική απόκλιση

d

καθορίσθηκε να είναι ίση με

της κατανομής δεν υπερέβαινε το

2d

d/ 3.

Σε όλες τις περιπτώσεις το εύρος

και έτσι η κλίμακα

- 6

έως

+6

ήταν αρκετή.

Το Ο αντιστοιχούσε στη μέση τιμή της βαθμολογίας καθενός από τα ΔΙ, Δ2 και πρέ­ πει να σημειωθεί ότι μετά την μετατροπή αυτή οι βαθμολογίες των ΔΙ, Δ2 έπαψαν να

είναι συγκρίσιμες. Περισσότερες λεπτομέρειες για την στατιστική επεξεργασία δίνο­ νται παρακάτω.

4.

ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΤΑτΙΣτΙΚΉ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

Η στατιστική επεξεργασία των στοιχείων στηρίχθηκε αποκλειστικά σε απαραμετρικούς ελέγχους

23

(te-

που δεν προϋποθέτουν ότι το είδος των κατανομών για τις μεταβλητές είναι γνωστό. Η επιλογή αυτή

st)

αποδείχθηκε εξαιρετικά χρονοβόρα γιατί μεταξύ άλλων χρειάσθηκε να σχεδιασθεί όλο το σχετικό λογι­

σμικό (software) δουλεία που απαίτησε' πολλούς μήνες. Θεωρήθηκε όμως απολύτως αναγκαία για τον εξής λόγο: Κατά την στατιστική ανάλυση μια παιδαγωγική υπόθεση μετατρέπεται σε μια στατιστική υπόθεση

που θα υποστεί κάποιο στατιστικό έλεγχο. Αν αυτός ο έλεγχος είναι παραμετρικός τότε εισάγεται, έμμεσα, άλλη μια παιδαγωγική υπόθεση που αφορά το είδος της κατανομής και η οποία με τη σειρά της πρέπει να

ελεγχθεί. Για παράδειγμα η συνήθης χρήση των ελέγχων

son

t, F,

ή του συντελεστή συσχετίσεως

r

του

Pear-

προϋποθέτει μεταξύ άλλων ότι τα δεδομένα προέρχονται από κανονικό πληθυσμό (όπου δηλ. ισχύει η

κανονική κατανομή του Gauss) κάτι που κατά τη γνώμη μας αποτελεί μια πολύ σοβαρή και καθόλου αθώα τεχνική υπόθεση/' και που εν πάσει περιπτώσει πρέπει προκαταβολικά να τεκμηριώνεται προτού 24

εφαρμοσθούν οι αντίστοιχες τεχνικές. Όλες οι κατανομές μονομεταβλητών των

EPI, 2

πριν και μετά υπέστησαν έλεγχο προσαρμογής με το

χι-τετράγωνο" (βλ. και παρακάτω) με μηδενική υπόθεση ότι όλες οι απαντήσεις είναι ισοπίθανες. Ο έλεγ­ χος έγινε για να δούμε αν οι απαντήσεις μπορούν να θεωρηθούν <<τυχαίες». Τα ζεύγη Π-Ε συγκρίθηκαν !'Jζ προς τις απαντήσεις που έδωσαν σε κάθε ερώτηση των ΕΡ/,2 και ως προς την επίδοση πριν και μετά. Η σύγκριση πριν έγινε για να ελεγχθεί κατά πόσον οι πειραματικές και οι ομάδες ελέγχου ήσαν «ισοδύναμες». Η σύγκριση μετά που αποτελούσε και το βασικό σημείο ελέγχου

της υπόθεσης αποσκοπούσε στην ανίχνευση της διαταραχής της ισοδυναμίας των ζευγών Π-Ε προκειμένου να εξεταστεί αν αυτή μπορεί να αποδοθεί στην διαφοροποιημένη διδασκαλία των Π. Για τις συγκρίσεις

αυτές χρησιμοποιήθηκε ο έλεγχος U i-ων Mann-Whitne/ και σ' αυτόν θα αναφερόμαστε πάντα όταν μιλά­ 7

με για σύγκριση Π-Ε. Ο έλεγχος

U

ανιχνεύει κατά πόσο μια ομάδα, σε σχέση με ένα διατάξιμο χαρακτη­

ριστικό, είναι «πάνω» από μια άλλη, και ανιχνεύει «θεαματικέρ> διαφορές μεταξύ δύο ομάδων. Παράλληλα aνιχνεύθηκαν αμυδρότερες διαφοροποιήσεις κάθε μιας από τις Π,Ε συγκρίνοντας την

πριν-μετά με τον εαυτό της. Γιαυτό το σκοπό χρησιμοποιήθηκε ο προσημικός έλεγχος 28 (sign test). Ο έλεγχος αυτός προϋποθέτει σύγκριση κάθε ατόμου πριν-μετά ως προς ένα συνεχές διατάξιμο χαρακτηρι­ στικό και αξιολογεί μόνο τα σθηκαν. Αν π.χ. τα

+ είναι

την αξιολόγηση των

+, -

+

άνοδος της τιμής του χαρακτηριστικού) και τα

- (πτώση) που παρουσιά­ - αυτό σημαίνει άνοδο συνολικά στην ομάδα. Για χρησιμοποιήσαμε τον έλεγχο χι-τετράγωνο. 29 Ειδικά για την επίδοση ο προση­ «πολύ περισσότερα» από τα

μικός έλεγχος έχει το εξής νόημα: Αν π.χ. διαπιστώνεται αύξηση της επίδοσης στην Ε2 τούτο σημαίνει ότι η Ε2 βρέθηκε σε καλύτερη θέση μέσα στην κατανομή του Δ2 από ότι ήταν πριν. Για την ανίχνευση συσχετίσεων μεταξύ δύο διαφορετικών χαρακτηριστικών (π.χ. εκτίμηση ευκολίας

-

ενδιαφέρον) χρησιμοποιήσαμε κατά κανόνα διδιάστατους ελέγχους συναφείας χι-τετράγωνο.

30

Για την


42 I ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜ ΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 κατεύθυνση της συσχέτισης χρησιμοποιήθηκε ο συντελεστής γ

31

ενώ για την απόλυτη τιμή της συσχέτι­

σης πάλι ο γ εκτός από τους 2Χ2 πίνακες όπου χρησιμοποιήθη~ε ο φ 32 • Σε μια περίπτωση (συσχετίσεις με επίδοση) ο χι-τετράγωνο δεν στάθηκε ικανός να δώσει ευκρινή αποτελέσματα. Επειδή παρά την μετατροπή της κλίμακας οι έλεγχοι συσχετίσεων με την επίδοση οδηγούσαν σε πίνακες συναφείας με

26,39

ή και

52

φατνία, δοκιμάσαμε διάφορες ομαδοποιήσεις ως προς την επίδοση. Όμως και πάλι η επίδοση παρουσίαζε

μεγάλη διασπορά μέσα στις ομάδες που δήλωναν την ίδια τιμή στις μεταβλητές στάσεων.' Μια εναλλακτι­

κή αντιμετώπιση που τελικά υιοθετήσαμε ήτνα να συγκρίνουμε με τον έλεγχο U τήν επίδοση των ομάδων που αντιστοιχούσαν στην ·ίδια τιμή μιας μεταβλητής στάσεων. Για παράδειγμα η επίδοση των μαθητών

που θεωρούσαν τα Μαθηματικά εύκολα συγκρίθηκε με εκείνη όσων τα θεωρούσαν κανονικά, δύσκολα κτλ.

tε μερικές περιπτώσεις ελέγχων αυτής της παραγράφου, για .να πετύχουμε ευκρινέστερα αποτελέσματα ομαδοποιήσαμε κατηγορίες. Ειδικά για τους ελέγχους συναφείας χι-τετριiγωνο η ομαδοποίηση γινόταν σε ένα μόνο απο τα ΔΙ,

2

και υπό την προϋπόθεση ότι στο άλλο είχαμε ήδη σαφή αποτελέσματα.

Κατά κανόνα τα συμπεράσματα των στατιστικών ελέγχων αναφέρονται σε επίπεδο σημαντικότητας

5% (p L 0,05).

Εξαίρεση αποτελούν οι έλεγχοι συσχετίσεων της προηγουμένης παραράφου που έγιναν χω­

ριστά στα ΔΙ,2. (βλ. παράρτημα

ως και

33

10% (p b,

6).

Για να μην έχουμε μεγάλη απώλεια πληροφορίας δεχθήκαμε επίπεδα

Ο,Ι) αλλά μόνο υπό την προϋπόθεση ότι αυτό συνέβαινε ταυτόχρονα στις ΔΙ,

τι μεμονωμένα αποδοχή επιπέδου 10% επιτρέΠει λάθος στα συμπεράσματα (σφάλμα τύπου 1)

34

2.

Μολονό­

σε I στις 10

περιπτώσεις, είναι φανερό ότι η διπλή απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης Ηο στα ανεξάρτητα δείγματα ΔΙ, Δ2 μειώνει κατά πολύ την πιθανότητα σφάλματος. Εξαιρετικές δυσκολίες συναντήσαμε με τους ελέγχους χι-τετράγωνο. Λόγω του μικρού μεγέθους των

δειγμάτων οι χαμηλές θεωρητικές συχνότητες αποτελούσαν τον κανόνα. Αυτό είχε σαν συνέπεια να μην

είναι δυνατή 35 η εφαρμογή αυτού του ελέγχου με τη· συνηθισμένη μορφή (υπολογισμός χ', βαθμών ελευθε­ ρίας και εύρεση της ρ από τους πίνακες). Οι δυσκολίες αυτές ξεπεράστηκαν με την κατασκευή προγράμ­

μaτος Η/Υ όπου υπολογίζεται αλγοριθμικά η ακριβής πιθανότητα

p

ώστε υπό την προϋπόθεση ότι ισχύει

η μηδενική υπόθεση να έχουμε χ 2 τόσο μεγάλο όσο το παρατηρηθέν.

36

Η πρακτική αυτή επιβάρυνε πολύ

τον χρόνο επεξεργασίας, αφενός με τη κατασκευή του προγράμματος, και αφετέρου διότι το πρόγραμμα ήταν αΠ'δ άποψη εκτέλεσης αργό.

5.

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΔ ΥΝΑΜΙΕΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Με την έρευνα δεν ελέγχεται η υπόθεση γενικά για οποιουσδήποτε ΔΣ αλλά σε

σχέση με τους ΔΣ που χρησιμοποιήσαμε, και τον τρόπο που χρησιμοποιήθηκαν. Επιλογή δε και χρήση των ΔΣ συναρτώνται απο την συ'γ1(εκριμένη διδ. ύλη και τον

τρόπο που λειτουργεί σήμερα το σχολείο. Ειδικότερα πρέπει να υπογραμμισθεί ότι η μετατροπή της (δεδομένης) ύλης σε ΔΣ έγινε εμπειρικά από μας με όλες τις ατέλειες που μπορούν να συνοδεύουν έν~ τέτοιο εγχείρημα. Η όλη προσπάθεια λοιπόν μπορεί

να θεωρηθεί προσομοίωση της ακόλουθης: του καθηγητή που αποφασίζει να θέσει συγκεκριμένους ΔΣ με δεδομένη την ύλη και τις άλλες συνθήκες διδασκαλίας (κάτι

το οποίο παροτρύνονται να κάνουν οι συνάδελφοι από αρκετούς σχολικούς συμβού­ λους) και ο οποίος είναι ευνοϊκά διατεθειμένος απέναντι στη χρήση ΔΣ. Αυτό το πε­ ρίγραμμα αποτελεί και τον πρώτο περιορισμό στον οποίο υπόκεινται τα συμπεράσμα­ τα.

Ένας δεύτερος περιορισμός αφορά «αβαρίερ> στατιστικού χαρακτήρα· οι κυριό­ τερες είναι:

α) Το. δείγμα περιλαμβάνει μαθητές μόνο από ένα μεγάλο αστικό κέντρο (Δ2) και


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

/ 43

μια αστική περιοχή (Δl) που ασφαλώς δεν αποτελούν «τυπικούς)) εκπροσώπους περι­ οχών της χώρας.

β) Στο ΔΙ σημειώθηκε υψηλό ποσοστό μαθητών που δεν απάντησαν σε ορισμέ­

νες ερωτήσεις ή επέλεξαν ουδέτερες απαντήσεις («δεν ξέρω»). γ) Λόγω του τρόπου συγκρότησης της η Ε2 δεν ήταν απόλυτα κατάλληλη Ύια ομάδα ελέγχου.

Ένας τρίτος περιορισμός που αποτελεί ταυτόχρονα και αδύνατο σημείο τής προ­ σπάθειας είναι ότι υιοθετήθηκαν κλειστές, «στιγμιαίου>> χαρακτήρα τεχνικές. Εκτός

του ότι η επιλογή αυτή είναι ανοικτή στην κριτική που γενικά ασκείται στις κλει­

στές τεχνικές,

37

θεωρούμε και μεις ότι μια λεπτομερέστερη παρακολούθηση των Π,Ε

με ποιοτικές μεθόδους θα αποκάλυπτε πολλά επιπλέον στοιχεία. Παρά το ότι (κάτι που εκτιμήσαμε κατά τον. σχεδιασμό) θα ήταν δύσκολο για ένα μόνο άνθρωπο μέσα. σε μια τάξη να συλλέγει συνέχεια πληροφορίες, κρίνουμε ότι υπήρξαν σημεία που ενώ θα άξιζε δεν φωτίστηκαν καθόλου. Τέτοια είναι ο ρόλος της γλώσσας στη διατύ­

πωση και κατανόηση του ΔΣ, λεπτομέρείς καταγραφές των δυσκολιών επίτευξης ανά ΔΣ, συσχέτιση της λειτουργίας των ΔΣ με την κοινωνική προέλευση κ.α. Τέλος το ένα και μόνο τέστ επίδοσης πριν-μετά εκτός του ότι δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι αγ­

γίζει υψηλά επίπεδα εyκυρότητας περιεχομένου 38 ελέγχεται και ως προς την αξιοπι­ στία39 του υπό την εξής έννοια: δεν είναι ίσως όλα τα παιδιά διατεθειμένα «έτσι στα καλά καθούμενα)), ερήμην σκοπού, να βάλουν τα δυνατά τους για να αποκαλύψουν σε

μια γραπτή (έστω και ανώνυμη) δοκιμασία τι ξέρουν και τι δεν ξέρουν, ιδίως όταν (βλ.

6)

οι δοκιμασίες αυτές δεν είναι ιδιαίτερα δημοφιλείς. Για τους παραπάνω λό­

γους, μολονότι στη διαδικασία συμμετείχαμε και μεις, η συλλογή των στοιχείων έχει ένα «μακροσκοπικό)) χαρακτήρα: Είναι, περίπου, σαν να συγκέντρωνε τα στοιχεία

ένα τρίτο πρόσωπο που

-

υιοθετώντας τις ίδιες μεθόδους

-

επισκέπτονταν

4-5

φορές

το σχολείο. Αν το παράδειγμα αυτό είναι ακριβές, δείχνει και την απώλεια πληρο­ φορίας που συνοδεύει την προσπάθεια μας.

6. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 6.1. Οι μαθητές γενικά επιθυμούν να διατηρηθεί η ύλη στα

ίδια επίπεδα η KL~~ να

μειωθεί και διαφορές στο σημείο αυτό δεν παρατηρήθηκαν μεταξύ των Π,Ε παρά

ορισμένες εσωτερικές αυξομειώσεις (βλ. πιν.

5

και παράρτημα

5).

Η εκτίμηση της

δυσκολίας των Μαθηματικών δεν ήταν διαφορετική στη Π-Ε. Οι μαθητές θεωρούν από άποψη δυσκολίας τα Μαθηματικά «κανονικά». Όμως ενώ μετά την Α τάξη το ποσοστό που θεωρούσε τα Μαθηματικά δύσκολα δε ξεπέρασε το

τη Β κυμάνθηκε μεταξύ

13%-20% .

4%

το ποσοστό μετά

Ο προσημικός έλεγχος έδειξε ότι οι μαθητές των·

Π Ι, Ε2 θεωρούσαν τα Μαθηματικά δυσκολότερα μετά την Β και αυτή ήταν συνολική

εκτίμηση στη Δl

,2.

Τα παιδιά συναρτούν το ενδιαφέρον με ορισμένα κεφάλαια και

δεν παρατηρήθηκαν διαφορές μεταξύ των Π, Ε. Πριν την Β τάξη το πολύ ότι δεν ενδιαφέρεται καθόλου για τα Μαθηματικά.

3%

δήλωσε

'Ομως μετά το ποσοστό αυτό


44/ έφθασε

12%

στψ Ε2 και

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'

10%

- ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22

στο ΠΙ. Υπήρξε γενικά μια μείωση του ενδιαφέροντος

που ήταν στατιστικά σημαντική στα ΠΙ, ΕΙ και σε όλο το ΔΙ.

Η εργασία για το σπίτι ομοιόμορφα από όλες τις ομάδες θεωρήθηκε «κανονική». Τα παιδιά δήλωσαν ότι για την προετοιμασία τους αφιέρωσαν κατά κανόνα λιγότερο

από 2 ώρες ενώ τουλάχιστον 37% αφιέρωνε λιγότερο από I ώρα. Πάνω από το 8i% δήλωσε ότι προετοιμαζόταν χωρίς βοήθεια και διαφορές δεν παρατηρήθηκαν μεταξύ των Π,Ε. Από άποψη ποσοστών η βοήθεια από το σπίτι (που από μερικές οικογένειες μπορεί να προσφερθεί σ' αυτή τήν τάξη) ανταγωνίζεται την βοήθεια του φροντιστη­ ρίου. Παρά το ότι οι μαθητές θεωρούσαν μF.τά την Β τα Μαθηματικά τους δυσκολό­ τερα από πριν, δεν υπήρξε ανάλογη τάση προσφυγής σε βοήθεια από τρίτους. Πράγ­ ματι ο προσημικός έλεγχος δεν έδειξε μείωση της αυτοδυναμίας μετά την Β ενώ στα Ε2, Δ2 σημειώθηκε αύξηση. Οι μαθητές φαίνονται αρκετά ικανοποιημένοι από τον τρόπο εξέτασης

λόγησης (τουλάχιστον

63%)

-

βαθμο­

και τα Π,Ε δεν σημείωσαν διαφορές, αλλά στο εσωτερι­

κό των Π Ι, Ε2, Δ I, Δ2 σημειώθηκαν στατιστικά σημαντικές διαφοροποιήσεις. Το γε­

γονός ότι η πλειοψηφία των μαθητών είναι ικανοποιημένη από τον τρόπο αξιολόγη­

σης μπορεί να οφείλεται στο ότι τα παιδιά δεν έχουν υπ' όψη τους άλλες μεθόδους αξιολόγησης που θα αποτελούσαν μέτρο σύγκρισης. Πρέπει όμως να παρατηρήσουμε ότι αυτή η ικανοποίηση μολονότι σχετίζεται (βλ. 6.3.Ι) δεν συνοδεύει και το «προϊ­

όν» της ~ξιολόγησης. Μετιi την Β, Ι στους

3 μαθητές επιθυμούσε μεγαλύτερους βαθ­

μούς ενώ το ποσοστό των μαθητών που θεωρούσε ότι είχε ήδη βαθμολογηθεί με μεγά­

λους βαθμούς δεν ξεπέρασε το

· Οτι

3%.

έχει να κάνει με την αξιολόγηση

φορτίο έντασης (βλ. και 6.3.Ι) τουλάχιστον

νοιώθει μόνιμα αγωνία

-

I

της επίδοσης συνοδεύεται από κάποιο στους

5

μαθητές

(23%)

δήλωσε πριν ότι

ανησυχία όταν πρόκειται να εξετασθεί γραπτώς, ενώ η αντί­

στοιχος λόγος, μετά την Β έγινε Ι στους

3 (36%). Οι 41%

την προφορική εξέταση αφού τουλάχιστον το

μαθητές είναι πιο «άνετοι>) κατά

δήλωσε ότι δεν ανησυχεί ποτέ.

(Για τον ελεγχο της γραπτής εργασίας το αντίστοιχο ποσοστό ήταν

61 %).

Στα τρία

αυτά σημεία σημειώθηκε μια μόνο διαφοροποίηση μεταξύ των Π.Ε και μερικές εσω­ τερικές αυξομειώσεις.

Όσον αφορά την ικανοποίηση από τον καθηγητή προέκυψε (κάτι που έχει δια­ πιστωθεί και σε άλλη ευρύτερη έρευνα, βλ.

[62])

ότι οι μαθητές αυτής της ηλικίας

δεν κρίνουν τους καθηγητές τους με αυστηρότητα: το ποσοστό αυτών που δήλωσαν ότι δεν είναι ικανοποιημένοι κυμάνθηκε μεταξύ

0%-33%.

Ο ελεγχος

U

δεν aνίχνευσε

στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ Π,Ε πριν ή μετά γεγονός που έχει σημασία για το ζεύγος Π2, Ε2 όπου στην Ε2 το

50%

άλλαξε καθηγητή.

Οι Π, Ε δεν αποτίμησαν διαφορετικά τη [ιδασκαλία κατά τη διάρκεια της Β.

Μολονότι οι προτιμήσεις δεν μπορούν να θεωρηθούν τυχαίες, δεν διακρίνονται σα­ φείς κατευθύνσεις κοινές στα ΔΙ, Δ2. Το μόνο που μπορουμε να συμπεράνουμε απο


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΙΟΧΟΥΣ

/ 45

τα δεδομένα είναι ότι για τα παιδιά δεν φάνηκε να ισχύει ,υ «κάθε πέρσι και καλύ­ τερα».

Τέλος διαπιστώθηκε μια υπεροχή της Ε2 έναντι της Π2 ως προς την επίδοση που δικαιολογείται απο τον τρόπο συγκρότησης της Ε2. Αν και σημειώθηκε (μετά)

(p = 0,09)

μια μη σημαντική

επιδείνωση της θέσης της Ε2 στο Δ2, η υπεροχή αυτή

διατηρήθηκε.

Συvοnτικά

ΚΑ 5 / αnοτελέσματα Ελέγχων υ Χαι ΠρΟΟΊ]μL ΧΟυ (Οι α -θ-μοί δΊ]λώvουv nι~αvότ υ

ΕΠΙθΥΜΙΑ

ΓΙΑ

ΑΕΗΣΗ

ΤΗΣ

ΥΛ~Σ

ΔΥΠ<

Η

Ε

6.2.

Τα συνοψισμένα αποτελέσματα των ελέγχων στον πιν.

5

δείχνουν ότι εκτός από

την μόνιμη διαφορά των Ε2, Π2 ως προς την επίδοση δεν παρατηρήθηκαν άλλες ου­

σιώδεις διαφορές μεταξύ των Π,Ε. Ούτε ο προσημικός έλεγχος έδειξε λιγότερο θεα­

ματικές, αλλά με σαφή κατεύθυνση διαφοροποιήσεις. Τα στοιχεία μας επιτρέπουν, πά­ ντα υπό τους περιορισμούς του

5,

να συμπεράνουμε ότι η συγκεκριμένη χρήση ΔΣ

δεν στάθηκε ικανή να βελ τιώση την επίδοση ή τη στάση απέναντι στα Μαθηματικά και επομένως να θεωρήσουμε ότι η υπόθεση της έρευνας δεν επαληθεύθηκε. Επειδή όμως μας ενδιέφερε η επίδραση της χρήσης των ΔΣ σε αυτούς που πλήτονται από τα

φαινόμενα σχολικής αποτυχίας δηλ. τους μαθητές με χαμηλή επίδοση μορφώσαμε τις υποομάδες Π Ι

',

Π2

',

ΕΙ

',

Ε2' των αρχικών που τις αποτελούσαν μόνο όσοι μαθητές


4ιi

/ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜ ΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22

είχαν επίδοση εισόδου (δηλ. σύμφωνα με το ΤΙ) κάτω από το μέσο όρο του δείγμα­ τος του σχολείου τους. (δηλ. από τους ελέγχους του πιν.

5

-6

έως -Ι). Σ' αυτές τις νέες ομάδες επαναλάβαμε

χωρίς να παρατηρήσουμε διαφορές μεταξύ πειραματικών

υποομάδων και υποομάδων ελέγχου. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η υπόθεση δεν επιβεβαιώνεται ούτε όταν αναφερόμαστε σε μαθητές με χαμηλή επίδοση.

Αν δεχθούμε ότι τα παραπάνω συμπεράσματα έχουν κάποια εγκυρότητα, τότε θα πρέπει να είμαστε αρκετά σκεπτικοί απέναντι σε προτάσεις υιοθέτησης ΔΣ που δια­ τυπώνονται πρόχειρα και αβασάνιστα και δεν υπερβαίνουν τα όρια ενός διδακτικού νεωτερισμού.

Αντίθετα μάλλον θα πρέπει να επανέλθουμε στις παρατηρήσεις που

αναφέρθηκαν στο

2.

Η αποτυχία της μεθόδου οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο όλος διδακτικός χειρι­

6.3.

σμός στις Π ήταν μια μάλλον επιδερμική επέμβαση. Προκειμένου να κατανοήσουμε

καλύτερα τα πράγματα έχοντας κατ' αρχήν ως αφετηρία τα δεδομένα πραγματοποιή­ σαμε ελέγχους συσχετίσεων όλων των μεταβλητών στο εσωτερικό κάθε μιας από τις

τέσσερείς ομάδες. Η εργασία αυτή μας πήρε πολύ χρόνο δεδομένου ότι έπρεπε να γί­ νουν

676

έλεγχος συσχετίσεων διαταυρουμένων πινάκων (συναφείας) με το χι-τετρά­

γωνο έχοντας στη διάθεση μας ένα όχι γρήγορο πρόγραμμα. Τελικά το μέγεθος των ομάδων δεν επέτρεψε να έχουμε ευκρινή ελέγχους στα ΔΙ, Δ2 σε

338

αποτελέσματα γιαυτό επαναλάβαμε τους

πίνακες αυτή τη φορά. Διαπιστώσαμε ότι οί διάφορες

συσχετίσεις ήσαν κατά κανόνα συχνότερες και ισχυρότερες μετά πράγμα που οφείλε­

ται στο ότι μετά την Β οι αντιλήψεις των μαθητών εδραιώθηκαν καλύτερα. Δεδομέ­ νου ότι οι συσχετίσεις μετά απεικόνιζαν πολύ καλύτερα την κατάσταση που επικρά­

τησε στη φάση ΙΙ ασχοληθήκαμε -fελικά με τους Ι82 πίνακες και με την μελέτη -αξι­ ολόγηση μόνο των στοιχείων που προέκυψαν από τα Τ2, ΕΡ2.

στο

'Οπως αναφέρθηκε

4, στις συσχετίσεις μι; !>Πίδοση Παρακάμψαμε τον χι-τετράγωνο και χρησιμοποιή­

σαμε τον υ, σε ορισμένες δε περιπτώσεις έγινε σύμπτυξη κατηγοριών. Όσα αποτελέ­ σματα βρίσκονται σε συμφωνία στα ΔΙ, Δ2 παρουσιάζονται στον πιν.

6.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι η αναζήτηση συσχετίσεων σε επίπεδο ΔΙ, Δ2, είναι

από στατιστική άποψη ορθή υπό των προϋπόθεση ότι τα ΔΙ

= ΠΙυΕΙ,

Δ2

= Π2υΕ2

μπορούν να θεωρηθούν ομογενή ως προς τα μελετώμενα χαρακτηριστικά κάτι που μπορεί να υποτεθεί για το ΔΙ αλλα όχι για το Δ2 εξαιτίας της διαφοροποίησης ως

προς την επίδοση των ΠΙ, Ε2. Το Δ2 λοιπόν έχει προκύψει από την ένωση δύο δια­ φορετικών, ως προς την επίδοση ομάδων και γιαυτό δεν μπορεί να θεωρηθεί αντι­

προσωπευτικό της περιοχής από την οποία προέρχεται. 'Ομως οι επιδράσεις αυτής

της «αβαρίας» στα συμπεράσματα μειώνονται με την διατήρηση μόνο όσων συμπερα­ σμάτων επαληθεύθηκαν και στο Δ2 (δηλ. έχουν ένα «καθολικό» χαρακτήρα). Τέλος

σημειώνεται ότι δεν δοκιμάσαμε ανίχνευση συσχετίσεων στο δείγμα Δ

= ΔΙ υΔ2

διότι

από συγκρίσεις που έγινα με τον έλεγχο υ στα ΔΙ, Δ2 διαπιστώθηκαν ουσιώδεις δι­ αφοροποιήσεις σε αρκετά σημεία.

Αναλυτικά στοιχεία για τον πίνακα

6

υπάρχουν στο παράρτημα

6.


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΏΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

ΠΙ ΝΑΚΑΣ Συσ ετίσειc

/ 47

6

ΕΝΤΑΣΗ:ΕΛΕΓ-

Θ>----ιt~f{{ι~_ΗΣj ;ιιαττ:ό έλεγχο υ


48 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 Στο σημείο αυτό πρέπει να ομολογήσουμε ότι μέχρις ότου καταλήξουμε σε αρ­

6.4.

κετά απ' όσα ακολουθούν και που αντιστοιχούν σε ότι άλλες έρευνες ονομάζουν «ανάλυση και ερμηνεία δεδομένων», αντιμετωπίσαμε -

όχι χωρίς αμηχανία -

τα

εξής προβλήματα:

α) Κατά το χειρισμό των δεδομένων χμειάζεται αρκετή προσοχή ώστε να απο­

<rευχθούν μονοσήμαντες ερμηνείες.

40

Και τέτοιος κίνδυνος υπάρχει είτε εμμένοντας

εμφατικά σε μια «διδακτικίστικψ> λογική σύμφωνα με την οποία όλα εξαρτώνται από κατάλληλες διδακτικές διευθετήσεις, είτε εισάγοντας μια «Κοινωνιολογίζουσω> οπτική όπου όλα παρουσιάζονται ως αναγόμενα (τελικά) στην υφιστάμενη δομή της κοινω­ νίας.

β) Απέναντι μας είχαμε δεδομένα που δεν αφορούν κάποιους τρίτους αλλά.πρό­ κειται για στοιχεία στα οποία εμπλέκεται και η δική μας παρουσία

μερίδιο ευθύ­

-

νης. Επομένως υπάρχει ο κίνδυνος να μην -έχuυμε κατορθώσει να είμαστε αντικειμε­ νικοί. Για

τους

παραπάνω

όπου είναι δυνατό,

λόγους,

εκτός

από

τα

δικά μας

στοιχεία

παρουσιάζουμε,

και άλλα ερευνητικά δεδομένα καθώς και συγκρίσση

με αυτά

ώστε να μπορέσει ο αναγνώστης να μορφώσει τα δικά του συμπεράσματα.

6.4.1.

Από τον πι ν.

6

φαίνεται ότι παρά το διαφορετικό «φορτίο» έντασης κάθε μιας

από τις μορφές αξιολόγησης της επίδοσης, όλες αλληλοσυσχετίζονται θετικά. Όπως φαίνεται από την πιν.

5,

εκτός απο μια περίπτωση στην ΠΙ η ένταση έμεινε αμείωτη

στις πειραματικές ομάδες ενώ παρατηρήθηκε αύξηση της σε δύο περιπτώσεις στις Ε. Τα στοιχεία αυτά όμως δεν επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι η χρήση ΔΣ επέδρασε ευνοϊκά παρά το γεγονός ότι η γνώση των προκαθορισμένων ΔΣ διαλύει αρκετό από

το μυστήριο της «τελετουργίaς» των εξετάσεων. Το ότι οι έξετάσεις συνοδεύονται από ένταση είναι γνωσtό. Από έρευνα σε μαθητές Γυμνασίου προέκυψε ότι οι

231

-

Λυκείου

( [77]: 121).

μαθητές του Γυμνασίου που περιλάμβανε το δείγμα, κατά τα

πρώτα <<κρίσιμα» λεπτα του μαθήματος, οπότε γίνονται συνήθως οι αξιολογικοί έλεγ­ χοι

([53]: 29) αγωνιούν με τις ακόλουθες 53,7%, ποτέ 4%. Είδαμε ότι

κές φορές

συχνότητες: Πάντα

15,6%,

συχνά

26%,

μερι­

η γραπτή εξέταση (που κατά κανόνα είναι

aντικειμενικότερη και οδηγεί σε λιγότερο διαπραγματεύσιμα αποτελέσματα) κάνει τα

Παιδιά να αγωνιούν συχvότερα. Ο πιν.

6

δείχνει ότι η ένταση κατά την γραπτή εξέ­

ταση σχετίζεται θετικά με τη δυσκολία των Μαθηματικών. Επιπλέον όπως προέκυψε

από τις απαντήσεις

926 μαθητών 12 έως 15 ετών (που είναι μέρος μεγαλύτερου δείγ­ [62]) το 86,9% δεν επιθυμεί η αξιολόγηση να στηρίζεται σε συχνά διαγωνίσματα ([62]:189). Ο πίν. 6 δείχνει επίσης ότι η ένταση κατά την προφορική ματος της έρευνας

εξέταση (που είναι πρόσωπο με πρόσωπο επικοινωνία) σχετίζεται αρνητικά με την ικανοποίηση από τον καθηγητή ενώ γενικά κατά τις εξετάσεις οι πιο ψύχραιμοι έχουν υψηλότερη επίδοση. Οι συσχετίσεις του πιν.

6

δεν παρέχουν άλλες «συνδέ­

σεις» της έντασης κατα την αξιολόγηση και επομένως τα δεδομένα δεν επιτρέπουν παρά μόνο έμμεσες και όχι ασφαλείς ερμηνείες. Τα μόνα κατά τη γνώμη μας ασφαλή


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΙΟΧΟΥΣ

/ 49

συμπεράσματα είναι ότι η δυσκολία του γνωστικού αντικειμένου συμβάλλει στη δη­ μιουργία έντασης ενώ ένα καλό κλίμα που μπορεί να καλλιεργήσει ο καθηγητής συμβάλλει στην εκτόνωση της έντασης. Αξιοπρόσεκτο είναι ότι η ένταση κατά την

αξιολόγηση δεν φαίνεται, τουλάχιστον από τα δικά μας δεδομένα, να σχετίζεται ούτε με την ικανοποίηση απο το σύστημα αξιολόγησης ούτε με την επιθυμία για μεγάλους

βαθμούς. 'Αραγε οι μαθητές απαλλάσουν το σύστημα των εξετάσεων απο την ψυχική ταλαιπωρία που υφίστανται; 'Αραγε αυτή η ταλαιπωρία είναι προϊόν του κυνηγητού

του βαθμού; Τα στοιχεία δείχνουν ότι το σύστημα εξετάσεων είναι αρκετά νομιμο­ ποιημένο ως προς το θέμα της έντασης και η τελευταία δεν φαίνεται να απορέει άμε­ σα από την επιθυμία για υψηλότερους βαθμούς, όμως νομίζουμε ότι το σημείο αυτό χρειάζεται παραπέρα διερεύνηση. Ενδιαφέρον είναι ότι τα παιδιά πριν ακόμη έλθουν

στο Γυμνάσιο διακατέχονται ήδη από μια ανησυχία για τις εξετάσεις. Έρευνα σε 50 Ι μαθητές της ΣΤ Δημοτικού και

608

μαθητές της Α Γυμνασίου

τα παιδιά του Δημοτικού είναι αρκετά απαισιόδοξα

( [26]: 96)

(76,8%)

έδειξε το ότι

ενόψει των εξετάσεων

που θα αντιμετωπίζουν μέσα στο Γυμνάσιο και η απαισιόδοξη αυτή πρόβλεψη επιβε­

βαιώνεται μετά. Εντούτοις από την ίδια έρευνα (σ.

125)

προκύπτει ότι κατά

71,2%

τα

παιδιά θεωρούν ότι η αξιολόγηση στο Γυμνάσιο γίνεται καλύτερα από το Δημοτικό,

γεγονός που επιβεβαιώνει σε συγκριτική βάση την εκτίμηση για το σύστημα αξιολό­ γησης που προέκυψε από τα δικά μας στοιχεία. Ενώ το σύστημα αξιολόγησης δεν φαίνεται να «χρεώνεται» για την αγωνία που

περιβάλλει τις εξετάσεις δεν συμβαίνει το ίδιο και με τους βαθμούς. Από τον πιν.

6

φαίνεται ότι η ικανοποίηση απο τον τρόπο αξιολόγησης σχετίζεται θετικά με την επιθυμία για μεγαλύτερους βαθμούς. Συνοψίζοντας τις συνδέσεις του πιν.

πλτει ότι α

)

6

προκύ­

η έκταση της ύλης β) ο τρόπος αξιολόγησης γ) ο ίδιος ο καθηγη~ής,

θεωρούνται από τους μαθηiες, που κατά το

1/3

τουλάχιστον επιθυμούν υψηλούς βαθ­

μούς, εμπόδια για την απόκτηση τους, και η ικανοποίηση από τους βαθμούς σχετίζε­ ται θετικά με την ικανοποίηση από τη διδασκαλία. Ο έλεγχος

U

έδειξε ότι οι πλέον

ικανοποιημένοι από τους βαθμούς της έχουν και υψηλότερη επίδοση, ενώ με τον χι­ τετράγωνο βρέθηκε ότι όσο πιο δύσκολα θεωρούνται τα Μαθηματικά τόσο απαιτού­ νται υψηλότεροι βαθμοί. Ο προσημικός έλεγχος (Πιν.

5)

δεν έδειξε γενικά διαφορο­

ποίηση στην επιθυμία για υψηλότερους βαθμούς. Η μοναδική στατιστικά σημαντική

διαφοροποίηση παρατηρήθηκε στο ΠΙ όπου σημειώθηκε αύξηση της επιθυμίας για μεγαλύτερους βαθμούς. Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε με βεβαιότητα ότι παρά

το γεγονός ότι η έστω μερική σύνδεση ΔΣ με αξιολόγηση προσδίδει στην τελευταία μεγαλύτερη διαφάνεια η σύνδεση αυτή δεν φάνηκε καθόλου πειστική. Ενδεχομένως τα αποτελέσματα να ήσαν διαφορετικά αν είχε προηγηθεί μεγαλύτερης έκτασης aντι­ κειμενοποίηση της βαθμολογίας κάτι που προϋποθέτει όμως ριζική τροποποίηση του

συστήματος αξιολόγησης. Υπάρχουν αρκετά στοιχεία που μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι η εμπλοκή των μαθητών στη λογική του υψηλού βαθμού απορέει απο την υποταγή ακόμα και


50 j

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'- ΤΟΜΟΣ

6- ΤΕΥΧΟΣ 22

της υποχρεωτικής εκπαίδευσης στη λογική της επιλογής. Αν και οι βαθμοί του Γυ­

μνασίου δεν μπορούν να «εξαργυρωθούν» εντούτοις

σχηματίζουν μια αξιολογική

«σειρά προτεραιότητας» που «ορίζει το δικαίωμα πρόσβασης στην επιθυμητή περιοχή

κοινωνικής ιεραρχίας και είναι πιθανολογικψ> Γυμνασίων

-

([10]:

Ι82). Από έρευνα σε μαθητές

Λυκείων όπου ζητήθηκε από τους μαθητές να γράψουν έκθεση με θέμα

«πως αντιλαμβάνεσαι την επιρροή που ασκούν οι γονείς στη διαμόρφωση σχέσεων καθηγητών

-

μαθητών;>> προέκυψε ([Ι]

:

Ι60) ότι οι γονείς ασκούν μεγάλες πιέσεις

στα παιδιά τους για επίτευξη υψηλής βαθμολογίας. Από άλλη έρευνα που αφορούσε παιδιά

του

Δημοτικού

([72]: 97)

διαπιστώθηκε

ότι

οονω από

το

93%

των γονέων

ασκούν κάποιου είδους πίεση προς την ίδια κατευθυνση, και η πίεση αυτή τουλάχι­

στον για το

(το ποσοστό στην εργατική τάξη είναι

10%

λοδαρμό. Η έρευνα θεωρούν

69,5

31 %)

περιλαμβάνει τον ξυ­

έδειξε ότι οι μαθητές ως κίνητρο φοίτησης στο Γυμνάσιο

την συμπλήρωση

(83,9%)

άποψη που κατά

[26]

της μόρφωσης

και την αύξηση

συμμερίζονται και οι γονείς τους

([26] :

Ι35). Στην έρευνα αυτή

υπήρχε η δυνατότητα παράλληλης αναφοράς και άλλων κινήτρων. μαθητές και

Ι στους

5

των γνώσεων,

Έτσι Ι στους

4

γονείς ανέφεραν και τις προοπτικές για «καλύτερο μέλλον>>..

Από άλλη όμως έρευνα σε

294

μαθητές Δημοτικού και Ι70 γονείς όπου τα ερωτήματα

τέθηκαν διαζευτικά, προέκυψε ότι το

46,5%

των μαθητών και το

43,5%

των γονέων,

θεωρεί ότι σκοπός ακόμη και του Δημοτικού είναι η επαγγελματική αποκατάσταση

([ 42]: 19). Ερευνα 40% των μητέρων

σε

μητέρες της περιοχής Αθηνών έδειξε ότι τουλάχιστον το

952

είχε συγκεκριμένες προσδοκίες για το επάγγελμα του παιδιού τους

που περιλάμβαναν πάνω από

87% - 75% για αγόρι - κορίτσι φοίτηση στην τριτοβάθ­ ([40]: 121, 228). Πολύ πιο χαρακτηριστικά ευρήματα πρεοέκυψαν από μητέρες της Ευρυτανίας ([ 46] : 144). Έρευνα με δείγμα 1045 μαθητές ηλι­

μια εκπαίδευqη έρευνα σε

κίας Ι2-Ι5 ετών στην περιοχή Αθηνών επιβεβαίωσε για άλλη μια φορά ότι «τα παιδιά προσανατολίζονται προς

επαγγέλματα

υψηλές θέσεις κοινωνικής ιεραρχίας»

που

τοποθετούν αυτούς

([56]: 592).

Πάνω από το Ι

αυτή την έρευνα δήλωσαν ότι θέλουν να γίνουν επιστήμονες ματίες, ενώ από τα παρατιθέμενα στοιχεία (σ. βλέψεις τουλάχιστον του

54,5%

593)

-

I

που

j3

τα

ασκούν σε

των παιδιών σ'

ελεύθεροι επαγγελ­

προκύπτει ότι οι επαγγελματικές

προϋποθέτουν φοίτηση στην τριτοβάθμια εκπαίδευ­

ση. Λαμβάνοντας υπόψη το μονομερή προσανατολισμό της εκπαίδευσης και τους χρό­

νο με χρόνο aποκλεισμούς γεγονός ότι σε δείγμα

(94,6%)

1031

διαρροές, δεν θα πρέπει να θεωρούμε απροσδόκητο το μαθητών Γ'

Λυκείου της περιοχής Θεσjνίκης οι

δήλωσαν ότι επιδιώκουν ανώτερες σπουδές

975

([19]: 76).

Δεν είναι θέμα αυτού του άρθρου η εξέταση του κατά πόσο οι επαγγελματικές

βλέψεις των παιδιών του Γυμνασίου είναι «δυσλειτουργικές» από οικονομική

νωνική άποψη.

41

-

κοι­

Πρέπει όμως να τονισθεί ότι η (άτυπη) εμπλοκή της υποχρεωτικής

εκπαίδευσης στη λογική της επιλογής είναι δυσλειτουργική αναφορικά με τον υποτι­

θέμενο σκοπό της: την γενική μόρφωση όλων ανεξαιρέτως των παιδιών. Δεδομένως αυτής της εμπλοκής θα πρέπει και. η πίεση για υψηλή βαθμολογία (που θα ασκείται


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

/51

κυρίως στο δάσκαλο) να θεωρείται επίσης δεδομένη. Όπως έχει δειχθεί σε σχετική έρευνα (βλ.

[3])

τα ίδια τα παιδιά από μικρή ηλικία έχουν αποκτήσει σαφή εικόνα

του κctταμερισμού εργασίας.

42

Επομένως είναι δύσκολο μέσω της χαμηλής βαθμολο­

γίας, κι αποδεχθούν το «μήνυμα1> ότι πρέΠει να ασχοληθούν με δουλειές που συνεπά­ γονται πολύ μόχθο αλλά χαμηλή αμοιβή και κύρος. Ιδίως όταν πομπός του μηνύμα­

τος (και μιλάμε για την ελληνική κοινωνία όπου εντονότατα κυριαρχεί το πελατειακό

στοιχείο,

όπου «όλα γίνονται») εμφανίζεται ο ίδιος ο δάσκαλος, λειτουργός ενός

43

κράτους για το οποίο

([56] : 234) 2

στους

3

μαθητές θεωρούν ότι δεν αντιμετωπίζει

ισότιμα τους πολίτες. Αν και είναι βεβαιο ότι βαθμιαία τα παιδιά κυρίως των κατωτέ­ ρων στρωμάτων υφίστανται ως προς τις βλέψεις τους ένα «κοινωνικό πειθαναγκασμό

που του μεταποιούν με σύνεση»

([45] : 80)

πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχουν ενδεί­

ξεις ότι οι Έλληνες έφηβοι έχουν υψηλό αυτοσυναίσθημα

44

που οφείλεται στο οικο­

γενειακό περιβάλλον το οποίο δημιουργεί «μια μη ρεαλιστική «Προπαγάνδα» που θε­

ωρεί πως το κάθε παιδί είναι ανώτερο από τα άλλα και πως θα πετύχει στη ζωή του»

([79]: 27). 587) όπου

Οι ενδείξεις αυτές ενισχύονται από τα αποτελέσματα της έρευνας οι μαθητές κατά

25,8%

[56]

(σ.

κατέταξαν, ως προς την επίδοση, τους εαυτούς τους

στην κατηγορία «πολύ καλός», ενώ στην ιs:ατηγορία «αρκετά καλός + πολύ καλός»

αυτοτοποθετήθηκε το

70%.

Πρέπει τέλος να σημειωθεί ότι δεν φαίνεται πιθανό ότι

μπορεί ο δάσκαλος να απαλλαγεί από την τριβή που προκαλεί η αξιολόγηση απλώς βαθμολογώντας επιεικέστερα. Στην έρευνα

[77]

ζητήθηκε από τους μαθητές να δηλώ­

σουν τη συχνότητα αντίδρασης στις περιπτώσεις που κρίνουν ότι ο δάσκαλος βαθ­ μολογεί

14

αυστηρότητα ή επιείκεια. Χρησιμοποιήσαμε του

αυτής της έρευνας

45

U

έλεγχο στα δεδομένα

και διαπιστώσαμε οτι υπάρχει μια στατιστικά πολύ σημαντική

αύξηση της συχνότητας αντίδρασης στην αυστηρή βαθμολόγηση με το πέρασμα από το Γυμνάσιο στο Λύκει::>. Ενώ δεν σημειώθηκε σημαντική μεταβολή για την περί­ πτωση της επιεικούς βαθμολόγησης παρουσιάσθηκε ένα ποσοστό

22-23%

των μαθη­

τών, διατεθειμένο να περιφρουρήσει την αξιοκρατία όταν διαταράσσεται από την επι­

εική βαθμολόγηση. Μια άλλη όψη αυτού του γεγονότος αποκαλύπτει η έρευνα

[75]

από την οποία προέκυψε ότι όταν μαθητές του Γυμνασίου αξιολογούν συμμαθητές τους, δε' παρουσιάζουν aξιοσημείωτες αποκλίσεις από τον καθηγητή τους.

6.4.2.

Από τα πpοηγούμενα προκύπτει ότι η επιρροή του παράγοντα «αξιολόγηση»

είναι υπαρκτή και αρκετά ανθεκτική, μιας και οι αφετηρίες της βρίσκονται έξω από τη μεμονruμένη σχολική αίθουσα. Ο παράγοντας «αξιολόγηση» επηρεάζει σε μερικά

σημεία τις στάσεις απέναντι στα Μαθηματικά και η επιρροή αυτή διαθλάται, μέσω

της ικανοποίησης από τον καθηγητή, και σε μερικά άλλα. Η ικανοποίηση από τον

καθηγητή που σχετίζεται με τα ουσιώδη σημεία ευκολία- ενδιαφέρον, πρέπει να έχει ένα ,<πανω φράγμα>> απο το οποίο μάλλον δύσκολα ένας δάσκαλος μπορεί να απαλλα­ γεί.

Εντούτοις,

και

προκειμένου

να

αξιολογηθούν

τα

διάφορα

αποτελέσματα της

έρευνας, ενδέχετω να απαιτείται μια καλύτερη προσέγγιση του βαθμού «αποδοχής» του καθηγητή. Γιιι το σκοπό αυτό στο παράρτημα

4

επιγειρείται μια σύγκριση με τα


52 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22 δεδομένα της έρευνας

[62].

Αξιοσημείωτο είναι ότι η ικανοποίηση από τον καθηγητή

δεν φάνηκε να σχετίζεται άμεσα με την ικανοποίηση από την διδασκαλία ίσως διότι

η τελευταία εξετάσθηκε σε συγκριτική βάση. Κατά την υποκειμενική εκτίμηση των μαθητών το ξεκίνημα στο Γυμνάσιο γίνε­

6.4.3

ται με αρκετά αίσιες προοπτικές. Τα παιδιά της Α Γύμν. στο δείγμα της έρευνας

θεωρούν

(75%)

[26],

ότι μαθαίνουν καλύτερα στο Γυμνάσιο, ότι η διδασκαλία στο Γυμνά­

σιο βοηθάει σ' αυτό

(75,4%)

ενώ οι σχολικές εργασίες αν και δυσκολότερες

είναι πιο ενδιαφέρουσες από του Δημοτικού

(86,5%) ([26] : 125).

(73%)

Όμως δεν φαίνεται

ότι πραγματικά οι προοπτικές είναι τόσο αίσιες. Από στοιχεία της ίδιας έρευνας (σ.

151)

προκύπτει ότι το

55, I%

των ερωτηθέντων δασκάλων θεωρεί ότι τουλάχιστον

στους

5

76,5%

των ερωτηθέντων καθηγητών ο λόγος είναι μεγαλύτερος:

I

μαθητές δεν έχει την απαιτούμενη υποδομή για το Γυμνάσιο, ενώ για το

I

στους

3.

Οι εκτιμή­

σεις αυτές όσον αφορά τα Μαθηματικά συμφωνούν με ευρήματα ερευνών που έχουν

πραγματοποιηθεί κατά καιρούς. Τόσο από την έρευνα

300

[85] που έγινε το 1980 μεταξύ - Πειραιά με βαθμό αποφοίτησης 5-7 έρευνα [57] του 1985 με δείγμα 330 aπόφοι­

αποφοίτων Δημοτικού της περιοχής Αθήνας

(τυχαία δειγματοληψία) όσο και απο την

τους Δημοτικού της Δ.Αττικής, προέκυψε ότι τα παιδιά τελειώνουν το Δημοτικό με ουσιώδεις ελλείψεις στον αριθμητικό λογισμό. Τα ίδια αποτελέσματα προέκυψαν και

από ερευνα που έγινε το διδ. έτσι

86-87

σε

1375

μαθητές Α Γυμν. της Αργολίδας που

ας σημειωθεί διδάχθηκαν στο Δημοτικό Μαθηματικά εξολοκλήρου με το νέο πρό­ γραμμα (βλ.

[30]).

Τα παιδιά δεν έχουν ελλείψεις μόνο σε αυτό το σημείο.

προέκυψε από έρευνα σε της περιοχής Αθήνας ονται κυρίως

(40%)

-

817

'Οπως

μαθητές την τριών τελευταίων τάξεων του Δημοτικού

Πειραιά (βλ.

[59])

τα ίδια τα παιδιά θεωρούν ότι δυσκολεύ­

στην κατανόηση των προβλημάτων που αντιμετωπίζουν, στην

εφαρμογή των γνώσεων τους

(27%)

ενώ οι «πράξεις» έρχονται σε τρίτη μοίρα.

Τα στοιχεία αυτά μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι στη «εγγενή» δυσκολία του προγράμματος μαθηματικών του Γυμνασίου σε μικρό ή μεγάλο βαθμό, πρέπι:ι να

προσθέσουμε και δυσκολίες «εκ μεταφοράς» που οφείλονται σε ουσιώδεις ελλείψεις

υποδομής από προηγούμενα χρόνια. Οι ελλείψεις αυτές για μια μεγάλη κατηγορία μαθητών υπάρχουν, το σ:χολείο (όπως έδειξε η έρευνα

[30])

δεν τις συμπληρώνει, με

αποτέλεσμα να αυξάνονται συνολικά οι δυσκολίες που συναντούν η μαθητές και έτσι να αποκτά η σχολική αποτυχία αναδρομικό χαρακτήρα.

Είδαμε ότι τα παιδιά μετά την Β τάξη θεωρούν τα Μαθηματικά πιο δύσκολα από πριν. Ανάλογα συμπεράσματα προκύπτουν από επεξεργασία στοιχείων της έρευνας

[13]

που έγινε σε Γυμνάσιο των Αθηνών. Ζητήθηκε στο μέσον περίπου του διδ.

έτους, από

123 παιδιά που είχαν τελειώσει την Α' (μαθητές της Β') και από 122 παι­

διά που είχαν τελειώσει την Β (μαθητές της Γ), να χαρακτηρίσουν τα Μαθηματικά από άποψη δυσκολίας. Οι δυνατές απαντήσεις ήταν

τερη κατηγορία περιλάμβανε άλλα μαθήματα, δηλ.

« Έυκολω> και «Δύσκολα». Η δεύ­ 5 υποκατηγορίες για συγκριτική κατάταξη σε σχέση με

lo έως 5ο κατά σειρά δυσκολίας. Πραγματοποιήσαμε στα δεδο-


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

μένα αυτής της έρευνας σύγκριση με τον υ έλεγχο

46

/ 53

και διαπιστώσαμε ότι υπάρχει

στατιστικά σημαντική αύξηση της δυσκολίας μετά την Β.

Η εκτίμηση της δυσκολίας παρουσιάζει στον Πιν.

6

τις περισσότερες συσχετί­

σεις, γιαυτό πρέπει να απασχολήσει αρκετά την προσοχή μας. Στην έρευνα

(13]

ζητή­

θηκε από τους μαθητές να απαντήσουν στο ερώτημα «οι έννοιες είναι δύσκολες και

δε τις καταλαβαίνω;». Οι μαθητές που είχαν τελειώσει τις Α,Β αντίστοιχα απάντησαν ΝΑΙ:

5,69%, 11,47%,

ΟΧΙ:

61,78% 36,05%

ενώ οι υπόλοιποι επέλεξαν την απαντηση

ΝΑΙ και ΟΧΙ. Τα ποσοστά δείχνουν καποια μεταβολή, και πράγματι ο έλεγχος

έδειξε στατιστικά σημαντική διαφοροποίηση:

47

U

Οι μαθητές μετά τη- Β θεωρούν τις

έννοιες δυσκολότερες από πρίν. Αν και οι απαντήσεις αυτές πρέπεr να ειδωθούν με

κάποια επιφύλαξη διότι ενδεχομένως ορισμένοι μαθητές να θεώρησαν ότι καταφατική απάντηση

υποδηλώνει κυρίως προσωπική αδυναμία να καταλάβουν, εντούτοις δεί­

χνουν ότι οι μαθητές θεωρούν ότι τυ ίδιο το πρόγραμμα δυσκολεύει. Όμως aποκα­ λυπτικές είναι οι απαντήσεις στην ερώτηση «Ο καθηγητής μου λύνει τις απορίες;»

της ίδιας έρευνας. Σύγκριση με τον έλεγχο υ των ομάδων που προαναφέραμε έδειξε

48

ότι μετά την Β οι μαθητές θεωρούν περισσότερο από πρίν ότι οι απορίες τους δεν λύ­ νονται. Ανάλογο εύρημα υπάρχει στην έρευνα

[59],

όπου διαπιστώθηκε (σ.

94)

ότι οι

μαθητές του Δημοτικού από τάξη σε τάξη ολοένα και περισσότερο θεωρούν ως ση­ μαντικότερο παράγοντα της δυσκολίας των Μαθηματικών, τις ελλείψεις προηγουμέ­

νων χρόνων. Επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι, κατά τ'η σχηματική διάκριση «ειδών» δυσκολίας που προαναφέραμε, το κύριο βάρος έχει η δυσκολία «εκ μεταφο­ ράς». Νομίζουμε ότι τα στοιχεία αυτά είναι αρκετά για να εξηγήσουμε γιατί η συγκε­

κριμένη χρήση ΔΣ δεν ήταν αρκετή για να κάνει τα Μαθηματικά ευκολότερα για τα παιδιά. Οι ΔΣ στηρίζονται στη λογική του τεμαχισμού της διδ. ύλης σε μια αλυσσί­

δα μαθήσεων που κάθε μια αποτελεί, κατα τεκμήρtο, προϋπόθεση για τις επόμενες. Όταν μερικοί μαθητές αδυνατούν να επιτύχουν κάποιους ΔΣ, και περιγράψαμε τις

δυσκολίες που συναντήσαμε στις Π, τότε εφόσον δεν λαμβάνεται πρόνοια γιαυτούς τους μαθητές, η διδασκαλία με ΔΣ είναι εξίσου αναποτελεσματική με τη συμβατική. Ο λίγος σε σχέση με την διδ. ύλη

-

διατιθέμενος χρόνος (η στενότητα χρόνου δεν

είναι «προνόμιο» μόνο του Γυμνασίου αλλά και του Δημοτικού·

([59]: 113)

είναι το

μεγαλύτερο εμπόδιο για να βοηθηθούν κάθε φορά οι μαθητές που δυσκολεύονται.

Όμως η εμπειρία από τη φάση Π (βλ.

3.4)

έδειξε ότι το πρόβλημα δεν είναι να

υπάρξει άνεση χρόνου κατά την κοινή διδασκαλία. Αν και αυτή η άνεση οπωσδήπο­ τε βοηθάει αυτό που απαι:-είται είναι άνεση χρόνου ώστε ο δάσκαλος να μπορεί να

ασχοληθεί, για λίγο και χωριστά, με τους μαθητές που δυσκολεύονται. Κατά τη γνώ­ μη μας ακριβώς σ' αυτή τήν έλλειψη δυνατότητας οφείλεται κυρίως η αναποτελε­ σματικότητα της συγκεκριμένης χρήσης ΔΣ. Γιαυτό νομίζουμε ότι η αποτελεσματικό­ τητα άλλων προτεινομένων προσπαθειών στοχοθεσίας (βλ. εφόσον δεν συντρέχουν και άλλες προϋποθέσεις, οριακή.

(29), [73])

είναι μάλλον,


54/ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'- ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22 Από τον πιν.

6

προκύπτειΈ,,ότι οι μαθητές που δυσκολεύονται περισσότερο έχουν

χαμηλότερη επίδοση και είναι λιγότερο aυτοδύναμοι στη μελέτη τους. Αντίθετα όσοι

δυσκολεύονται λιγότερο, έχουν υψηλότερη επίδο~η είναι περισσότερο aυτοδύναμοι και ετοιμάζονται σε λιγότερο χρόνο. Πρόκειται δηλ. για μια αρκετά πολωτική κατά­ σταση. Από τη μια μαθητές που ανταποκρίνονται άκοπα και με υψηλές επιδόσεις στο

πρόγραμμα, και από την άλλη μαθητές που συναντούν δυσκολίες, έχουν χαμηλή επί­ δοση, χρειάζονται πολύ χρόνο και βοήθεια. Α ν και ούτε απο τα δικά μας δεδομένα ούτε από εκείνα της έρευνας

[13]

προέκυψε στατιστικά σημαντική μεταβολή στο ση­

μείο της αυτοδυναμίας, εντούτοις, πρέπει να θεωρείται βέβαιο ότι ο κύριος λόγος που σπρώχνει τους μαθητές Γυμνασίου σε αναζήτηση βοήθειας έξω από το σχολείο είναι η συσσώρευση των δυσκολιών. Στην έρευνα

[13]

όσοι παρακολουθούσαν φροντιστή­

ριο ανέφεραν ως κύριους λόγους ότι έχουν αδυναμίες που πρέπει να καλύψουν

μετά την Α, 8Ι% μετά την Β) και ότι δεν καταλαβαίνουν τα Μαθηματικά

αντί στο ι χα).

6.4.4.

Από τον πιν.

6

(64% (50%, 33% ·

φαίνεται ότι υπάρχει αργητική συσχέτιση μεταξύ ενδιαφέροντος

και εκτίμησης της δυσκολίας. Η πτώση ενδιαφέροντος που σημειώθηκε (βλ.

6. Ι)

έχει

κατά τα φαινόμενα γενικό χαρακτήρα. Στην έρευνα [Ι3] δόθηκε στους μαθnτές η ερώτηση:

«0 καθηγητής μου κινεί το ενδιαφέρον για το μάθημα;)). Χρησιμοποιήσαμε τον έλεγχο U και βρήκαμε49 οτι υπάρχει στατιστικά σημαντική πτώση ενδιαφέροντος μετά την Β. Η μείωση του ενδιαφέροντος παρακολουθεί την αύξηση της δυσκολίας

όμως η συσχέτιση μεταξύ ενδιαφέροντος

-

δυσκολίας δεν πρέπει να ερμηνευθεί μο­

νοσήμαντα. Τυχόν αύξηση του ενδιαφέροντος προκαλεί και επανεκτίμηση της δυ­ σκολίας υπό την προϋπόθεση όμως ότι η αντικειμενική δυσκολία δεν είναι μεγάλη

([34]: 108).

Πρέπει να σημειωθεί ότι θα ήταν λάθος να θέωρήσουμε ότι τα παιδιά εν­

διαφέρονται για τα Μαθηματικά μόνο ως μορφωτικό αγαθό, και θα πρέπει να υπολο­ γίσουμε ότι ένα μέρος του ενδιαφέροντος οφείλεται στον ιδιάζοντα ρόλο του μαθή­ ματος στ.ο σύστημα επιλογής, και επομένως στις μελλοντικές βλέψεις .των μαθητών. Κατά τη γνώμη μας αυτός είναι ο λόγος που δεν παρατηρήθηκε συσχέτιση μεταξύ ενδιαφέροντος και επίδοσης. Από την πιν

6

προκύπτει ότι η πτώση του ενδιαφέρο­

ντος και η αύξηση της δυσκολίας οδηγούν τους μαθητές να θέλουν να διδάσκονται λιγότερα Μαθηματικά. Αν και εμείς δεν διαπιστώσαμε

επιθυμία )Ιια αύξηση

-

-

γενικά

-

μεταβολή στην

μείωση της ύλης εν τούτοις θα πρέπει να θεωρείται βέβαιο

ότι μια μικρή έστω κατηγορία παιδιών φθάνει στο σημείο να μη θέλει να διδάσκεται

καθόλου. Μαθηματικά: Η έρευνα ποσοστό σοστό

6, Ι 8% 6,5%.

[55]

με δείγμα 5Ι7 μαθητών Γυμν. Λυκείου αναφέρει

ενώ από το σύνολο του δείγμα τος της έρευνας [Ι 3] προκύπτει το πο­

Τα δεδομένα δείχνουν ότι η χρήση ΔΣ όχι μόνο δεν στάθηκε ικανή να προκαλέ­

σει αύξηση του ενδιαφέροντος για τα Μαθηματικά αλλά ούτε κάν να το διατηρήσει. 'Ομως η αναποτελεσματικότητα των ΔΣ στο σημείο αυτό μερικά μόνο μπορεί να

αποδοθεί στους λόγους που αναφέρθηκαν στην περίπτωση της δυσκολίας Η χρήση


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

) 55

ΔΣ, στην καλύτερη περίπτωση, οδηγεί στην καλή τεχνική κατάρτιση στα Μαθηματι­ κά, όμως δεν μπορεί ταυτόχρονα να απαντήσει στο ερώτημα γιατί αυτή η κατάρτιση

αξίζει τον κόπο. Σε μερικά παιδιά, για ποικίλους λόγους, η απάντηση στο ερώτημα

αυτό μπορεί να φαίνεται προφανής, όμως αυτό δεν αποτελεί τον κανόνα 50 . Απαντή­ σεις σ' αυτό το ερώτημα προϋποθέτουν τη δυνατότητα να δοθεί στα παιδιά η ευκαι­

ρία να δουν πως δουλεύουν τα Μαθηματικά, να μυηθούν στην ομορφιά τους, να κα­ τανοήσουν τις σκοπιμότητες που επιβάλλουν τη διαπραγμάτευση των εννοιών κ.α, κ.α. Όλα αυτά απαιτούν αρκετό διαθέσιμο χρόνο, γνώση, και το σπουδαιότερο: επα­

ναπροσδιορισμό των περιεχομένων των ΑΠ με ταυτόχρονη εισαγωγή διαδικασιών που παίζουν ενοποιητικό ρόλο. Κατά καιρούς, έχουν προταθεί πολύ ενδιαφέρουσες

διδακτικές παρεμβάσεις,

51

οι οποίες ως ένα βαθμό μπορούν να αξιοποιηθούν και τώρα

στην τάξη, και αναμφισβήτητα μπορούν να συμβάλλουν στην καλυτέρευση της διδα­ σκαλίας και στην αύξηση του ενδιαφέροντος των μαθητών. Νομίζουμε ότι οι συσχε­

τίσεις μεταξύ ικανοποίησης απο διδασκαλία

-

χνουν ότι τέτοιες προσπάθειες αξίζουν τον κόπο.

ενδιαφέροντος

-

δυσκολίας, δεί­

'Ε χουμε όμως τη γνώμη ότι η δι­

αρκής και με συνέπεια αξιοποίηση αυτών ή άλλων ανάλογης ποιότητας και πνεύμα­ τος παρεμβάσεων προϋποθέτει μερική απελευθέρωση του διδ. χρόνου με ταυτόχρονη (μερική) αυτονόμηση του διδάσκοντα από το ΑΠ, κάτι που προς το παρόν δεν συμ­

βαίνει. Αυτό που μέχρι τώρα έχει επιτευχθεί είναι να σχηματίσουν οι μαθητές μια

διαστρεβλωμένη εικόνα των Μαθηματικών και του ρόλου τους. Από το

[13]

προκύ­

πτει ότι όταν ρωτήθηκαν οι μαθητές αν θέλουν να συνδέονται τα Μαθηματικά με κα­ θημερινά προβλήματα ή άλλα μαθήματα το

53,8%

(σύνολο του δείγματος) απάντησε

αρνητικά. Όπως εύστοχα επισημαίνει ο συγγραφέας «η κλασσική ερώτηση των παι­

διών «γιατί τα μαθαίνουμε όλα αυτά;» βρήκε απάντηση από στραβό δρόμο. Αφού πρέ­ πει να τα μάθουμε, ας τα μάθουμε, αλλά μη μπερδεύετε τ' άλλα αντικείμενα μάθησης μ' αυτά>>.

7. ΛΙΓΟ ΠΙΟ ΠΕΡΛ ΑΠΟ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. 7.1 Τι μαθαίνουν τα παιδιά μετά από 9 χρόνια Μαθηματικής εκπαίδευσης; Η έρευνα [82] που έγινε το 1981 σε 82 αποφοίτους Γυμνασίου με βαθμό αποφοίτησης 12-14 που φοιτούσαν σε τεχνική σχολή, κατέδειξε ότι πάνω από το 50% του δείγματος δεν ήταν σε θέση να χειρισθεί στοιχειωδώς την έννοια της μεταβλητής.

[84])

του ιδίου συγγραφέα, που έγινε ένα χρόνο μετά, με δείγμα

μνασίου (βαθμός αποφοίτησης

10-1 Ι)

'Αλλη έρευνα (βλ.

182

αποφοίτους Γυ­

που φοιτούσαν σε ΤΕΛ, ΤΕΣ έδειξε ότι οι μα­

θητές του δείγματος είχαν ουσιώδεις ελλείψεις στην κατανόηση κλασμάτων και δε­

καδικών. Η έρευνα

(31]

που έγινε σε

328

μαθητές Α τάξης του ΕΠΛ Αιγάλεω αποκά­

λυψε ότι «περισσότεροι από τους μισούς μαθητές δεν θα μπορούν να παρακολουθή­

σουν μαθήματα (Μαθηματικών) του Λυκείου»

([31]: 69).

Έχει σημασία να έχουμε υπ'

όψη ότι η καχεξία της Μαθηματικής εκπαίδευσης εκτείνεται έως και εκείνες τις ομά­ δες μαθητών που συγκριτικά, φέρονται να έχουν αποκομίσει τα περισσότερα οφέλη:


S6 I ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ ο Έρευνα σε

108

-

ΤΟΜ ΟΣ

6 · ΤΕΥΧΟΣ 22

μαθητές Λυκείου της Θεσjνίκης από τους οποίους οι

98

ήσαν μαθη­

τές της Α δέσμης, έδωσε πολύ απογοητευτικά αποτελέσματα σχετικά με τις γνώσεις τους γύρω από θέματα ομοιότητας

-

καθημερινά προβλήματα (βλ.

τέλος διαπιστώθηκε ότι από

[15]).

ομοιοθεσίας, καθώς και τη σύνδεση τους με

τές Μαθηματικών Α ο έτους στο Παν. Πατρών

(1986)

100

περίπου φοιτη­

«Οι μισοί περίπου δεν είχαν σα­

φή αντίληψη του τι σημαίνει η δεκαδική παράσταση του πραγματικού αριθμού ενώ τα

3/4

των ιδίων φοιτητών δεν είχαν «υποψία» απο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο ρη­

τό ή άρρητο»

7.2.

([21]: 258).

Ειδωμένα συνολικά τα στοιχεία που παρατέθηκαν δείχνουν την ύπαρξη ορισμέ­

νων «ενδημικών» χαρακτηριστικών της μαθηματικής εκπαίδευσης, που μένοντας άθι­ κτα, επηρέασαν την τύχη του συγκεκριμένου διδ. χειρισμού, η ορθότητα του οποίου,

κατά τη γνώμη μας, πρέπει να ελεγχθεί με άλλες πλέον προϋποθέσεις (βλ. ντελούμενος μαζικός αποκλεισμός των παιδιών απο τη Μαθηματική γνώση

ναι πλήρως εναρμονισμένος με την εν γένει γνωστική διαφοροποίηση

52

-

8). Ο συ­ - που εί­

είναι πολύ

περισσότερο aνθεκτικός. ο Οπως έχει αποδειχθεί γίνεται κυρίως εις βάρος των προερ­

χομένων από κατώτερα κοινωνικά, στρώματα 53 και δεν ακυρώνεται «αυτοδικαίως», με την χωρίς εμπόδια εγγραφή ω-το Γυμνάσιο, τις διάφορες εξεταστικές «διευκολύνσεις» και άλλα μέτρα (δωρεάν φοίτηση, βιβλία κ.α). Η από όλους απόκτηση των παρεχομέ­

νων μορφωτικών αγαθών δεν εξασφαλίζεται με την απλή φοίτηση. Προϋποθέτει και μια συνεχή ικανότητα προσαρμογής στο σχολικό, κλίμα, αντικείμενα και ρυθμούς μά­

θησης κ.α.

54

Στο [26] (σ.2ll) δείχθηκε ότι η ικανότητα αυτή μειώνεται βαθμιαία και

η μείωση είναι εμφανέστερη σε μαθητές χαμηλής επίδοσης και προερχόμενους από

οικογένειες με χαμηλό μορφωτικό επίπεδο. Για το γεγονός αυτό οπωσδήποτε ευθύνε­ 6.4.3), που στο [59] αποδείχθηκε ότι πραγματικά καλλιεργείται στο Δημοτικό, και εις βάρος των ται και η γνωστική ανετοιμότητα των αποφοίτων του Δημοτικού (βλ.

παιδιών που προέχονται από κατώτερα στρώματα. Ξένες έρευνες έδειξαν ότι η διαφο­ ροποίηση απέναντι στη μαθηματική γνώση είναι ένας πολύ αντιπροgωπευτικός δεί­ κτης δεδομένου ότι η επίδοση στα Μαθηματικά σχετίζεται με τη στάση απέναντι στο σχολείο περισσότερο από ότι η επίδοση στη μητρική γλώσσα

([24]: 157),

και ακόμη

ότι λιγότερο ευνοϊκή στάση έχουν τα παιδιά, που προέρχονται από την εργατική τά­ ξη

([24]: 158). 7.3. Ο συγκεντρωτισμός και η ομοιομορφία που κυριαρχούν στην Α/ βάθμια και Β/ βάθμια εκπαίδευση συχνότατα δικαιολογούνται εν ονόματι της εξασφάλισης κοινής

εκπαίδευσης σε όλους, που φυσικά δεν εξασφαλίζεται.

55

Απεναντίας εξασφαλίζεται η

σε εθνική κλίμακα επιβολή επιλογών που αντιστρατεύονται αυτήν ακριβώς την εξα­ σφάλιση κοινής εκπαίδευσης. Το ενιαίο των

βιβλίων, ωρολογίων και αναλυτικών

προγραμμάτων επέτρεψε την σε σελίδες αύξησης της ύλης Μαθηματικών από την

πριν το

1964 περίοδο έως σήμερα κατά 43,5% ενώ ο διαθέσιμος χρόνος αυξήθηκε μό­ 5%. ([76): 21). Καθηγητές αλλά και εκπαιδευτικοί γενικότερα έτσι κιαλλιώς υφίστανται περιορισμούς στην επιτέλεση του έργου τους ([41] : 63, (51]: 178) όμως ο νο κατά


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ σημαντικώτερος

([41] : 78)

/57

είναι ο έλεγχος της πιστής συμόρφωσης στο ΑΠ, τον

οποίο μετασχηματίζουν σε σχολαστική τήρηση διαταγμάτων και ευθυνοφοβία

(66,6%)

παρά το ότι δηλώνουν

-

κανονισμών

(84,5%)

ότι επιδιώκουν διεύρυνση της

(78,7%)

ανεξαρτησίας τους. Αποτέλεσμα είναι ο καθηγητής «να προσπαθεί απεγνωσμένα να κάνει μετωπική επίθεση μήπως κατορθώσει να βγάλει το μεγαλύτερο ποσοστό της ύλης αυτής»

([76]) : 23)

και ως εκτούτου «υποχρεώνεται να παρακολουθήσει το ρυθμό

μάθησης ενός υποθετικού «μέσου όρου» των μαθητών που στην πραγματικότητα βρί­

σκεται πολύ κοντά στο ρυθμό μάθησης των πιο ευννοημένων μαθητών»

([53): 28).

Ενώ

«τρόπο~ υποστήριξης των μαθητών με χαμηλές επιδόσεις δεν εφαρμόζονται στην πραγματικότητα, ούτε δοκιμάστηκαν η δοκιμάζονται συστήματα διαφοροποίησης της σχολικής εργασίας σύμφωνα με τις ανάγκες του μαθητικού πληθυσμού και της ελλη­ νικής πραγματικότητας»

οφείλει

-

([71 ]: 178),

η

πολιτεία όχι

απλώς δεν εντάσσει

-

όπως

την υποστήριξη των μαθητών που δυσκολεύονται στις προτεραιότητες εκ­

παιδευτικής πολιτικής, αλλά αντίθετα αποτρέπει

-

έμμεσα

-

τυχόν πρωτοβουλίες

προς αυτή την κατεύθυνση. Αυτό επιτυγχάνεται τόσο με την ανελαστικότητα προ­

γραμμάτων και χρόνου (διδακτικού αλλά και διατιθέμενου για την χρήση των σχολι­ κών αιθουσών) όσο και με την μη εξασφάλιση ορισμένων στοιχειωδών προϋποθέσε­ ων που έχουν να κάνουν με το μορφωτικό και οικονομικό επίπεδο των καθηγητών. Το ότι τα πράγματα είναι έτσι και όχι αλλιώς δεν οφείλεται σε «άστοχους» χει­

7.4.

ρισμούς των υπευθύνων για το σχεδιασμό και την άσκηση της εκπαιδευτικής πολιτι­ κής. Απεναντίας η αντοχή στο χρόνο καθώς και η εμμονή

κής

-

-

χωρίς ίχνος aυτοκριτι­

σ' αυτούς τους χειρισμούς επιτρέπουν να διατυπωθεί η υποψία ότι οι χειρι­

σμοί είναι ακριβώς το αντίθετο: εξαιρετικά εύστοχοι προκειμένου να διατηρείται το

ισχύον καθεστώς εκπαιδευτικής ανισότητας. Ειδικά για το θέμα που εξετάζουμε η επίσημη πολιτική σχεδιάζεται σε μεγάλο μέρος της από το Παιδ. Ινστιτούτο (Π.Ι.).

Η ταύτιση επιλογών ΥΠΕΠΘ

- Π.Ι είναι νομοθετικά εξασφαλισμένη δεδομένου ότι

«κατά την άσκηση των αρμοδιοτήτων του το Π.Ι. δέχεται οδηγίες και κατευθύνσεις

από τον Υπουργό Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων)).

56

Το όργανο αυτό είτε με την παρούσα μορφή είτε με την προγενέστερη ως ΚΕ­

ΜΕ, υπηρετεί με συνέπεια την ίδια εκδοχή για τη Μαθηματική εκπαίδευση, εξασφα­ λίζοντας στις «περί πρακτέοω) επιλογές του ΥΠΕΠΘ μια αξιόλογη συνεκτικότητα και διάρκεια καθόλη την περίοδο

75-88. Εκδοχή που σκιαγραφείται με αρκετή καθα­ 57 ρότητα στα κείμενα που κατά καιρούς έχουν συνταχθεί από ΚΈΜΕ-Π.Ι. Απλή ανά­

γνωση τους πείθει ότι οι συντάκτες τους δεν φαίνεται να ανησυχούν για την αναπο­ τελεσματικότητα της μαθηματικής εκπαίδευσης, ενώ είναι εμφανής η προσπάθεια να

παρουσιασθούν τα μαθηματικά μας πράγματα ως «έχοντα καλώς)).

58

Προσεκτικότερη

ανάγνωση μάλιστα δείχνει ότι δια μέσου ψηγμάτων διδακτικής δεοντολογίας, αλλά χωρίς συνεξέταση του αν εξασφαλίζονται οι κατάλληλες προϋποθέσεις, επιχειρείται

η μετάθεση των ευθυνών για την μαθηματική aπαιδευσιά στους ίδιους τους διδάσκο­ ντες.59


58 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 7_5.

Ασφαλώς και είναι λάθος να θεωρηθεί ότι οι εκπαιδευτικοί είναι απαλλαγμένοι

από ευθύνες. Ενώ δεν υπάρχει αμφιβολία ότι «πέρα από τις γενικά αποδεκτές «προδι­ αγραφές» προσδοκωμένης συμπεριφοράς, υπάρχει ένα πεδίο ασαφές που καθορίζεται

από τα ίδια τα άτομα που κατέχουν τις θέσεις εκπαιδευτικού ... » ([62]:

13) εντούτοις

δεν πρέπει να μας διαφεύγει ότι είναι απαραίτητο «να δοθεί, μέσω της σωστής επι­ μόρφωσης, στους εκπαιδευτικούς η απαραίτητη πρωτοβουλία και αυτονομία η οποία όπως όλοι ξέρουμε είναι άμεσα συνδεδεμένη με τις γνώσεις που έχει ο εργαζόμενος στο χώρο του και με τις στάσεις και αντιλήψεις που έχει στα θέματα της δουλειάς

του

([63]: 98). Ενώ πράγματι υπάρχουν περιθώρια για τον δάσκαλο των Μαθηματικών

να κάνει πιο κατανοητό και ενδιαφέρον μάθημα και λιγότερο εχθρική αξιολόγηση,

δεν πρέπει να αποκρύπτεται ότι οι παρεμβατικές δυνατότητες και ικανότητες των εκ­ παιδευτικών υπόκεινται σε περιορισμούς «πλαισίου». Το τελευταίο διαμορφώνεται τό­ σο από την ίδια την πολιτεία (μεταξύ άλλων και απο την υπάρχουσα επιμόρφωση που η ποιότητα και η ισχνότητα της δεν επιδέχονται καμμία απολύτως ωραιοποίη­

ση)60 όσο και από το σύνολο των εκπαιδευτικών.

61 Στο «πλαίσιο» αυτό, όπως είδαμε,

πραγματοποιείται ένας μαζικός αποκλείσμός 'rων παιδιών από τη μαθηματική γνώση που είναι αδύνατο να ακυρωθεί από μεμονωμένες παρεμβάσεις διότι «όταν ο δάσκα­

λος αντιμετωπίζει διαμορφωμένες στάσεις και προσδοκίες του μαθητή είναι πολύ δύ­ σκολο να πει κανείς σε τι συνίσταται η ευθύνη του» ([9] : 130). Γιαυτό ο εντοπισμός της ευθύνης των Μαθηματικών (των εκπαιδευτικών γενικότερα) δεν μπορ~ί να γίνει εκεί όπου υποδεικνύουν οι ιθύνοντες της εκπαιδευτικής πολιτικής αλλά ακριβώς στο

γεγονός ότι η ορθότητα αυτής της πολιτικής παρά τα φανερά αποτελέσματα της, δεν

έχει αμφισβητηθεί επαρκώς και δεν είναι ορατές συνεπείς, συλλογ~κές πλέον, επεμβά­ σεις για την αλλαγή της . 62

8.

ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ Η εθιμοτυπία της παρουσίασης ερευνών μικρών ή όχι, σημαντικών και μη, περι­

λαμβάνει ςrυνήθως και τη διατύπωση προτάσεων για παραπέρα έρευνα. Η πρόταση που διατυπώνουμε δεν απορρέει απο την ανάγκη τήρησης του εθιμοτυπικού. Κατά τη

γνώμη μας λόγος για τη διεξαγωγή ερευνών δε μπορεί να είναι η απλή «περιέργεια»,

και πάνω από κάθε ερευνητική προσπάθεια πρέπει να αιωρείται το ερώτημα «σε ποιό βαθμό η Διδακτική έρευνα αποβλέπει στην αλλαγή της εκπαιδευτικής πράξης;» ([52]: 70). Ούτε τρέψουμε αυταπάτες του τύπου ότι τυχόν συσσώρευση ερευνητικών ευρημά­ των ενημερώνει αρμοδίους, και προκαλεί έτσι επαναπροσδιορισμό της εκπαιδευτικής

πολιτικής. Η μόνη χρησιμότητα που διαβλέπουμε σε τέτοιες προσπάθειες είναι η πρό­ κληση προβληματισμού, και ο εξοπλισμός των (ποικιλότροπα) μαχομένων εκπαιδευ­ τικών, για τη διεκδίκηση μιας καλύτερης εκπαίδευσης που η πείρα έχει δείξει ότι δεν παραχωρείται: κερδίζεται. Αυτούς εξάλλου θεωρούμε και πιθανούς αποδέκτες της πρόταση; μας.

Όπως σημειώσαμε στο

2

οι ΔΣ είναι κατά τη γνώμη μας εργαλείο τήρησης και


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

I 59

ελέγχου της τήρησης βασικών υποχρεώσεων της εκπαίδευσης. Δηλ. χρήσιμοι για τον εντοπισμό των «γνωστικών στηριγμάτων» κάθε νέας μάθησης, έστω και αν χρειάζεται «να δανειστούμε τη μέθοδο ανάλυσης που εφαρμόζουν οι νεομπηχεβιοριστές γαι να

καθορίσουν τη γνωστική ιεραρχία που οδηγεί στην επιθυμητή συμπεριφορά εκμάθη­ σης κάποιας ικανότητας από μέρους του μαθητή»

([76]: 32),

όπως επίσης και για «να

εξειδικεύσουμε τα αποτελέσματα της διδασκαλίας των Μαθηματικών, που είναι και το μοναδηcό κριτήριο επίτευξης των σκοπών της»

((83]: 33).

Γιαυτό νομίζουμε ότι

αξίζει τον κόπο να γίνει μια πληρέστερη και συνεπέστερη διερεύνηση της λειτουργί­ ας των ΔΣ στη διδασκαλία με δύο όμως νέες προϋποθέσεις που ·δεν είχαν εξασφαλι­ σθεί κατά τη δική μας προσπάθεια:

α) πρόνοια και δυνατότητα για συνεχή υποστήριξη των μαθητών που συναντούν δυσκολίες. β) Ύπαρξη ενός δικτύου μορφωτικών συναλλαγών, «εκτός προγράμματος)) που αποσκοπούν στην ανάπτυξη δεσμών των παιδιών με τα μαθηματικά. Ενώ θα μπορούσε να προστεθεί και μια τρίτη: γ) Σχετικά μεγάλη διάρκεια του εγχειρήματος, κατά προτίμηση ίση με τη διάρ­ κεια φοίτησης στο Γυμνάσιο.

Είναι φανερό ότι μια τέτοια διερεύνηση χρειάζεται τρεις και όχι δύο ομάδες μα­

θητών: Δύο ομάδες στις οποίες εξασφαλίζονται οι προϋποθέσεις α) β) από τις οποίες η μία διδάσκεται με ΔΣ και μια τρίτη που ακολουθεί απλώς το συμβατικό πρόγραμ­ μα.

Νομίζουμε ότι δύο τμήματα μαθητών σε κάθε ομάδα αποτελούν ένα λογικό ελά­ χιστο, και ότι για τη δiδασκαλία τρεις καθηγητές με καλούς συνεργατικούς δεσμούς είναι αρκετοί. Όμως μία τέτοια προσπάθεια θα χρειαζόταν την βοήθεια ενός μεγαλυ­ τέρου αριθμού συναδέλφων. Νομίζουμε τέλος ότι η ΕΜΕ θα μπορούσε να αναλάβει

την οργανωτική και οικονομική (με αναζήτηση πόρων) στήριξη του εγχειρήματος. Σχηματικά και χωρίς παράθεση μεθοδολογικών και άλλων λεπτομερειών η πρό­ ταση απεικονίζεται στον 1tιν.

7.


60 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 π

Ν Α Κ Α Σ

I

ΙΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

7

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ

ΕΡΕΥΝΑ Σ)

I

ΟΜΑΔΑ 1 ΟΜΑΔΑ 3 ΟΜΑΔΑ 2 Διαγνωστική αζιολόγηση εισόδου για δια-

κρίβωση υποδομ~ς από το Δημοτικό Ενίσχυσ11 με

..--,[...-J

-

Α

/

ι ,_, 1.--J

~<1

w

ω

Lf)::j_ F XF

111 Β ι:::(

1-

ω

Γ

L._..._

ΔΣ

ο

> ;:::>

;:>χ

[...-JO

tS _, r<ι.--.ι

t$<1

/ ΆτυΠΎJ

Ευκαιριακ~ ενί-

ε ν r~σ χυσ11

σχυση οδηγιών Π:Ι.

~

Πρόσ-\Jετα ελεύ-\Jερα μα-11-ήματα

r~

t$ F __,r< ;:::> ... μ {5 't5

'F ~

,_, ι=

Συμβατικό

μ

Lf)F δpαστ11ρι- tS χ 'Fo ~ C2.. ο ο ω ότ11τες κ.α. ::j_tS ><;:::> ω><

g:i _,

nρόγραμμα

4-4--

t--

;:::>"9 >-9 1.--Jιιο ;:::>>

<1

Ε--

t--

""φροντ ιστ--ήριο"

ΜετρήΌεις ε π ~δοσ11ς, στασεων,

ποιοτικές π:αρατ

11 ρ-ή -

σεις

κ. α.

t--

9.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ι.

Για την ΔΣ βλ.

2.

βλ. ΥΠΕΠΘ Ωρολόγια και αναλυτικά προγράμματα του Γυμνασίου ΟΕΔΒ, ΑΘΗΝΑ,

[6], [7], [32], [33], [58}

και ειδικά για τα μαθηματικά το

[20'

και το

σ.

[27]

335-339. 1980 και

ΠΑ­

ΠΑΜΙΧΑΉΛ Δ. κ.α. Μαθηματικά Β' Γυμνασίου, ΟΕΔΒ, ΑΘΗΝΑ,

1983. 4, [15], [16], [ΙΊ]:κεφ. 3, [27] :

Βλ. παραπομπές σημ. I καθώς και: [2] : κεφ. [83]: κεφ. 3 4. [54] 5. Βλ. π.χ. το [2] που δεν υπάρχει ούτε μια αναφορά 6. [54]. 7. [37]: JX, [54] 8. [4]: κεφ. 8,9, [80], [81]: 87-102, 181-219. 9. [60] ( 1987) : 11

3.

10. 11. 12.

κεφ. Ε,

[36], f37], [61],

στη σύνδεση αξιολόγησης με σχολική αποτυχία.

[16], [17]: 70-72, [27]: 143-145, [39], [48]. [86], [88]: [48]: κεφ. 3,1.

κεφ.

3, [89].

Ιδεολογίες που επιβιώνουν ποικιλόμορφα διεκδικώντας μάλιστα και τον χαρακτήρα επιστήμης. Τυ­ πικό παράδειγμα αποτελεί το παρακάτω που προέρχεται από ένα οπαδό της <<κυβερνητικής παιδαγω­

γικής»:

<< ... συντάσσει

κάποιος σκόπιμα ένα ομοιογενές κοινωνικό περιβάλλον, για παράδειγμα ένα

θρησκευτικό ίδρυμα, και οδηγεί το μαθητή στο περιβάλλον αυτό. Αυτός παραλαβαίνει (σε μεγάλο

βαθμό ακούσια) διαθέσεις και φρονήματα που έχουν δημιουργηθεί στην ομάδα.»

...

«Iδιαίτερα δρα­

στική είναι, ως γνωστό, η ενισχυμένη οριοθέτηση της ιδιαίτερης ομάδας απέναντι σ' άλλες ή η υπο­

τίμηση τους η ο «αφορισμόρ) τουρ).

δης. ΚΑΣτΑΝΙΩΤΗΣ, ΑΘΗΝΑ,

13. 14. 15.

[60) (1986): 18 [37]: VII-VIII, [54) [39]: 67

1984

(CUBE FELIX VON 169).

σ.

Επιστήμη της Αγωγής. Μετ. Κ. Χρυσαφί­


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΊΟΧΟΥΣ

16. 17. 18. 19. 20. 21.

22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 3 Ι. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

[37]: [66:, [67]: [14], [63].

/ 61

VIII [34], [18]: 28-57,62-63, [9]: 3-4, [24]: 145-159, [68]. 26, [70]: 20-24. [67]: κεφ. 1, [68] μέρος Α

Για το σχεδιασμό του, λάβαμε υπόψη τα [20], [33], το [27] σ. 333-339 καθώς και τα: DA VIS Τ.Α., A1gebra and Trigonometry in four programmed νolumes, HARCOURT BRACE JOVANOVICH, Ν.Υ. 1972 DAVIS R.B. Discovery in Mathematics ADDISON WESLEY, 1964 βλ. π. 7 [27]: 206-208. σχετικά βλ. [64]: κεφ. 5, [69]: 30-34 [67]: 8 σχετικά βλ. [35] [64]: κεφ. 14 [69]: Ι 16, [64]: κεφ. 14 [69]: 68, [64]: κεφ. 14 [64]: 208 [69]: 104, [64]: κεφ. 13 Ο υπολογι<'μός του γ έγινε σύμφωνα με το εγχειρίδιο του προγράμαμτος Statistical package for the socia1 sciences [SPSS]. Mc GRA W HILL, 1975: 228 [SPSS]:224 [64]: Κεφ 7 [64]: Κεφ 7 [69]: 46, 109- I \0 Η τεχνική συνοψίζεται στο [38] [8], [Ι 1], [87] [2ί]: 220 [27]: 225 Βλ. [ I 2]: εισαγωγή, [47], [49], [50]: I 22- I 24. Βλ. [54] και από μικρή ηλικία διαμορφώσεων επαγγελματικές βλέψεις ([72]: ι 15)

Βλ. μελέτες των Κ. Τσουκαλά, Ν. Μουζέλη, στο: ΕΛΛΗΝΙΚΉ ΕΤΑΙΡΙΑ .ΠΟΛΠΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗ­

ΜΗΣ, Κοινωνικές και πολιτικές δυναμεις στην Ελλάδα. ΕΞΑΝΤΑΣ, ΑΘΗΝΑ,

44. 45.

Βλ. σχετικά

1977.

[78]

Βλ. πιν. 8 (Στοιχεία από την έρευνα [77], που όταν έγινε ίσχυε η προσμέτρηση του 25% της βαθμο­ λογίας)

ΠΙΝΑΚΑΣ ττ:αy τα (3

ΑΝΤΙΔΡΟΥΝ:

Αυστηρή

Γυμ ναο ιοC Γ)

βαΊJμ.ο λόγηση Λυrιειο ΕτrιειrιΊ)ς

CΛ)

Γυμvαο ιο( Γ)

βα~μο'λόγΊJΟΊJ Λυrιειο

CΛ)

1

54

344 8 38

8

μερ. (ψpρες

τωτε (1)

62 1 12

11 ο 318 43

17 ο

129

594

Ν

Η,:Λ~Γ

226

U=109134

774

221 761

p=O U=83439.5 p=0,57


62 J ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜ ΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 46.

Βλ. πιν.

9

(στοιχεία από

[13])

ΠΙ ΝΑΚΑΣ

Δύσχολα

θεωρούν ότι τα Εύχολα

Μα-θ-ηματσιά είναι: Μετά .τΎ}ν

Α

CIJ

τ~ΊJ:

Β

CΠ)

47.

Βλ. πιν.

10

9

(στοιχεία από

so

(1)

23 4

(2)

24 19

·40 (3) 30 L4) 2° (5)

17 31

35 48

Π ΙΝΑΚΑΣ μετά ΊΎ}ν

Α

CI)

τάςΎJ:

Β

(JI)

Βλ. πιν.

11

,ο

13 17

Ν

(6)

11 3

(στοιχεία από

N,~tl 7 14

"10

ΝΑ~~~οχι

40 64

q~ι 76 44

Ν

ΝΑι,~ρχι

Ο(,) Ι

Ν

μετά τΎJν Ι Α τάςΎJ:

103 84

17 28

3

123 122

12

CI) CΙΙ)

(στοιχεία από

Ε ν διαψ,~οv το

μα

μα

Μετά τΎ}ν Α

I

CI)

CΠ)

τάς -η: 50. 51.

U:9489 Ρ=Ο,ΟΟ

10

Η,:CΠ υ

)_J(I)

=8663

Ρ =0,02

[13])

Π γιά

_J(I )

I ΝΑΚΑΣ 11

Ν,~ι

ΒΛ. ΠΙΝ.

Η,:CΠ)

123 122

Λύνονται οι απορίες

49.

ρ=Ο,Ο4

[13])

Π

IB

U=8489,5

123 122

[13])

Οι έννοΙΕς είναι δύσχολες

48.

H,:(]:)_J(I)

[με σειρά δυσχολίαc:;:

I ΝΑΙ-\ΑΣ 12

ΝΑΙ

ΝΑΙ & ΟΧ/

ΟΧ/

(3)

(2)

(1)

Ν

27 36

8 18

123 122

88 68

H,:CI ).1CΠ) U=8788 p=Οι01

[68] Ενδεικτικά: [α] ΒΑΛΤΑΣ Γ.Δ. Τάξη θ' Γυμνασίου. Το

28

κεφάλαιο ... κ.τ.λ., Ευκλ. Γ', Νο

[β] ΒΕΡΡΟΙΟΥ Κ.Γ. Συνεχής Ανατοκισμός. Ευκλ. Γ, Νο Ι,

2, 1983

1983.

[γ] ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ Δ.-ΠΑΤΡΩΝΗΣ τ. Η ιστορία ενός προβλήματος που μετατρέποταν σε άλλα απλού­ στερα. Μαθ. Επιθ. Νο

31, 1986.

[δ] ΘΩΜΑ-Ι·ΔΗΣ Γ. Η διδασκαλία εννοιών της ανάλυσης με οδηγό την ιστορική εξέλιξη. Ευκλ. Γ' Νο

9, 1985

[ε] ΘΩΜΑ·Ι·ΔΗΣ Γ. Προέλευση και εφαρμογή της θεωρίας διδασκαλίας των Μαθηματικών. Ευκλ. Γ', Νο

13, 1985

[ζ] ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ-ΜΑΚΡΙΝΟΥ Σ. Διμελείς σχέσεις. Ευκλ. Γ' Νο Ι,

1983

[η] ΠΑΤΡΩΝΗΣ ΤΑΣΟΣ Εξερευνώντας την εκθετική συνάρτηση με δεκαεξάχρονους. Ευκλ. Γ', Νο

1987.

14,


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΙΟΧΟΥΣ

/ 63

[θ] ΣΠΑΝΟΣ Δ. Εφαρμογές των Μαθηματικών της Μέσης Εκπαίδευσης. Μαθ. Επιθ. Νο 31, 1986. [ι] ΤΟΥΜΑΣΗΣ ΜΠΑΜΠΗΣ Μια πιο ευχάριστη παρουσίαση μιας μαθηματικής έννοιας. Μαθ. Επιθ. Νο

28, 1985

[κ] ΤΟΥΜΑΣΗΣ ΜΠΑΜΠΗΣ Μια διαφορετική αντίληψη για τη μαθηματική επαγωγή και τη διδα­ σκαλία της. Ευκλ. Γ· Ν ο

10, 1985

[λ] ΤΟΥΜΑΣΗΣ ΜΠΑΜΠΗΣ Χρυσή τομή

52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.

- Fibonacci -Λαγοί 1985. [54] [4], [22], [43], [44], (65], [72], (74], [80], [81] βλ. [10] (ιδιαιτέρως σ. 130-133, & επίλογο), [9]:3.3-3.4.3. [37]: Χ [22]: 61 Ν. 1566/85:άρθρο 24,3

και λουλούδια. Μαθ. επιθ. Νο

29,

οδηγίες διδασκαλίας προλογικά σημειώματα σε κεφάλαια διδ. βιβλίων- ομιλίες εκπροσώπων

Το παρακάτω απόσπασμα (ΒΑΡΟΥΧΑΚΗΣ Ν. κ.α., ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Α' Λ ΥΚΕΙΟΥ, ΑΛΓΕΒΡΑ, ΟΕ­ Δ Β, κεφ.

6)

αποτελεί χαρακτηριστικό δείγμα σκέψης και γραφής: «Η έννοια της σχέσης και ειδικό­

τερα της συνάρτησης που είναι από τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες εμφανίζεται στο σχολικό πρόγραμμα απο την Β· κιόλας τάξη του Γυμνqσίου. Σ' αυτή θεμελιώνεται και ένα σημαντικό τμήμα

του προγράμματος της Γ Γυμνασίου. Στο κεφάλαιο αυτό δεν επιδιώκετάι απλώς μια επανάληψη, απα­ ραίτητη φυσικά, των εννοιών αυτών. Η υποδομή του γυμνασιακού 'προγράμματος (sic) επιτρέπει μια αυστηρότερη και βαθύτερη προσέγγιση τους καθώς και τη λεπτομερέστερη μελέτη τους>>.

59.

Ο καθηγητής που δεν διδάσκει σε

...

προγράμματα αλλά σε μαθητές (μαθητές εξάλλου περιλάμβαναν

τα δείγματα των ερευνών που αναφέρθηκαν στα

6.4.3,7.1)

πρέπει

([60](1987): 12-13, [5] :130)

να πα­

ρουσιάζει κάθε ενότητα ώστε «να εξασφαλίζεται η απαραίτητη υποδομή για την κατανόηση άλλων εννοιών που θα ακολουθήσουν», να επιλέγει ασκήσεις και προβλήματα <<ΠΟυ ανταποκρίνονται στα εν­

διαφέροντα και επιθυμίες των μαθητών για έρευνα>>, και να έχει ως αφετηρία της διδασκαλίας του <<τις καθημερινές εμπειρίες και γνώσεις των μαθητών)) ώστε να εξετάζοτναι <<αρχικά συγκεκριμένες

καταστάσεις και περιπτώσεις μετά θα γίνεται μαθηματικοποίηση τους η οποία θα οδηγεί σε διαμόρ­ φωση αντιποίνων εννοιών και ενδεχομένως επεκταση τους». Ο καθηγητής, που αν δεν το πετύχει θα είναι αυτός και μόνο υπεύθυνος, θα πρέπει <<να φροντίζει ώστε η διδασκαλία να δίνει στους μαθητές

ευκαιρίες για δημιουργία και επομένως τη χαρά που προέρχεται από την ανακάλυψη του νέοω> ενώ παράλληλα πρέπει να καταβάλλει <<προσπάθειες για την ευχερέστερη και ταχύτερη κίνηση της σκέ­ ψης>>

(!!) Με φροντίδα του καθηγητή <<το διδακτικό βιβλίο πρέπει να γίνει σύντροφος του μαθητή>>

αλλά παράλληλα <<επιβάλλεται να ~υμπληρώνει το διδακτικό βιβλίο με ότι στοιχεία κρίκνει ~παραί­ τητω> μιας και <<τα οποία μειονεκτήματα των βιβλίων επαυξάνουν τις προσπάθειες και ευθύνη των καθηγητών».

60.

Όπως π.χ. η ακόλουθη: <<Είναι ευχάριστο ότι η πολιτεία τα τελευταία χρόνια έκαμε σημαντικά βή­ ματα για να βοηθήσει τους συναδέλφους στο δύσκολο έργο τους. Η καθιέρωση της εισαγωγικής επι­

μόρφωσης των υποψηφίων για διορισμό η νεοδιορίστων εκπαιδευτικών πριν από την ανάληψη των διδακτικών τους καθηκόντων, η ετήσια επιμόρφωση για τους εκπαιδευτικούς που έχουν συμπληρώσει

πέντε έτη υπηρεσίας, οι περιοδικές επιμορφώσεις για εκπαιδευτικούς και ο θεσμός του σχολικού συμβούλου είναι μερικά από τα βήματα αυτά» (ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΔΗΜ., <<Βραβείο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ)), Ευ­ κλ. Γ', Νο

61.

12, 1986).

Βλ. ΓΚΟΤΟΒΟΣ Α, ΜΑ ΥΡΟΓΙΩΡΓΟΣ Γ. Η επαγγελματική κοινωνικοποίηση του εκπαιδευτικού: από το θρανίο στην έδρα. στο και: στο

[12] ISAMBERT-JAMAη V. [81] καθώς και σημ. 62.

Οι εκπαιδευτικοί και ο κοινωνικός καταμερισμός στο σχολείο σήμερα.

62. Έχει επισημανθεί ότι κατά ένα μεγάλο μέρος τους οι δάσκαλοι των Μαθηματικών χαρακτηρίζονται


64/

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'

- ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22

απο ορισμένες κοινωνικές <<προδιαθέσεις>> όπως «αποδοχή της ισχύουσας πραγματικότητας, έλλειψη

κριτικής αντιπαράθεσης απόψεων, απουσία ρευμάτων που να αποβλέπουν σε μια οργανωμένη και συ­ νεκτική αμφισβήτηση του κυρίαρχου πολιτισμικού συστήματος μένα πρότυπα

([23]: 85)

-

που να aπομυθοποιούν τα καθιερω­

και πολλά στοιχεία συνηγορούν για την ακρίβεια αυτής της επισήμανσης. Η

κριτική που συνήθως ασκείται σε Α.Π. διδ. βιβλία, και γενικά στη μαθηματική εκπαίδευση είναι κυ­ ρίως τεχνικού χαρακτήρα και η σύνδεση της με το φαινόμενο της σχολικής αποτυχίας είναι αρκετά

σπάνια: οι δάσκαλοι των Μαθηματικών «προσπερνούν» με αρκετή ευκολία το γεγονός ότι κάποια παιδιά από τις πιο φτωχές και λιγότερο μορφωμένες οικογένειες αποκλείονται απο τη μαθηματική γνώση. Είδαμε προηγουμένως ότι η πολιτεία μεταθέτει τις ευθύνες για την αναποτελεσματικότητα της

μαθηματικής εκπαίδευσης στους καθηγητές. Ενας σημαντικός αριθμός εκπαιδευτικών κάνει ακριβώς το ιδιο σε βάρος των παιδιών: ανάγοντας τις διαφορές στην επίδοση σε έμφυτες νοητικές διαφορές. Ο πίνακας

13

του περιέχει σχετικά ευρήματα τριών ερευνών είναι αρκετά aποκαλυπτικός.

ΠΙΝΑΚΑΣ

13

θεωρούν ότι ΊJ εττ:ίδοοΙJ Ν ττ:ροσδιορί~εται αττ:ό

ΔΕΙ ΓΜΑ

'

, fΊΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

εμψυτα χαραχτηριστ ι χα

Δάσmλοι -Κα~γΎJτές

836

Δάσκαλοι

30

304 (36,4%) 1ο (33,3'%)

[51] :183 ΕΠΙΔΟΣ:Η

Σ:ΤΑ

ΜΑ-

θΗΜΑΤΙΚΑ,[.59J: 10ό

'

Γονείς

Γονείς (μόνο α νώτ~~~ς_ ο1Q_ώιΙα αστιχΎ]c; τά

Οι δάσκαλοι του δείγματος της

311

187 (60, 11.)

[72]: 152·153

) 18

6 C33,3"1. )

[7 2]: 152-153

[59]

παρουσιάζουν για το θέμα απόλυτη σύμπτωση με τους γονείς της

αστικής τάξης ενώ οι εκπαιδευτικοί του δείγματος της [51] είναι μάλλον πιο συντηρητικοί (χ

2

= 3,5

ρ

= 0,06) Δεν υπάρχει καμμία αμφιβολία ότι οι αντιλήψεις αυtές ασκούν σημαντική επίδραση στη διδακτική

συμπεριφορά. Σε

78

μαθητές της Γ. Γυμνασίου (βλ.

[25])

τέθηκε η ανοικτή ερώτηση: <<Ποιά είναι κα­

τά τη γνώμη σας τα δικαιώματα και οι υποχρεώσεις ενός μαθητή προς τους καθηγητές του;» Πάνω

από το

70%

κατέγραψε ως δικαιώματα και τα ακόλουθα:

α) <<Να μπορούμε να ρωτήσουμε τον καθηγπττ1 μια απορία και αν πάλι δεν καταλάβουμε να ξαναρωτά­ με»

β) <<Να μη μας λένε ότι είμαστε διανοητικά καθυστερημένα και χαζά».

Τα εμπόδια για μια καλύτερη εκπαίδευση δεν είναι μόνο θεσμικά αλλά και ιδεολογικά: «Παρά τις κα­ λές προθέσεις, τις διακηρυξεις και την πολιτική τοποθέτηση της μεγάλης πλειοψηφίας των εκπαιδευ­ τικών, η κυρίαρχη αστική ιδεολογία για το σχολείο, τη σχολική αποτυχία και τις σχολικές γνώσεις

κάνει θραύση ανάμεσα τους.»

10

([50]: 124).

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ

Συντομογραφίες:

ΟΛΜΕ

3.

Πρακτικά Γ' Εκπαιδευτικού Συνεδρίου ,ΟΛΜΕ, ΟΛΜΕ ΑΘΗΝΑ

1986


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ ΟΛΜΕ ΕΜΕ

ΕΜΕ ΕΜΕ

4. 2. 3. 3.

/ 65

Πρακτικά Δ' Εκπαιδευτικού Συνεδρίου ΟΛΜΕ, ΟΛΜΕ, ΑΘΗΝΑ

1986

Πρακτικά Β' Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, ΕΜΕ, ΑΘΗΝΑ,

1985.

Πρακτικά Γ' Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, ΕΜΕ, ΑΘΗΝΑ ~985. Πρακτικά Γ' Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, ΕΜΕ, ΑΘΗΝΑ,

ΟΙΕΛΕ. Πρακτικά Α' Συνεδρίου Παιδείας ΟΙΕΛΕ, ΤΕΚΜΉΡΙΟ, ΑΘΗΝΑ

1985.

1980

ΣΕΕ. «Σύγχρονη Ελληνική Εκπαίδευση: πραγματώσεις και προοπτικές>> Εκδ. Επιτροπή Παιδείας Νομ. Συμβόυλίου Πιερίας, ΚΑΤΕΡΙΝΗ,

[1].

μόρφωση των σχέσεων καθηγητών-μαθητών ΟΛΜΕ

[2]. [3].

3

σ.

155-163.

ΒΑΛΣΑΜΑΚΗ-ΡΑΛΛΗ ΗΡΑ. Εξέταση και βαθμολογία του μαθητή. ΑΘΗΝΑ

1979.

ΒΑΡΝΑΒΑ-ΣΚΟΥΡΑ ΤΖΕΛΑ κ.α. Αντιλήψεις των παιδιών για τον κοινωνικό καταμερισμό εργασίας. ΣΎΓΧΡΟΝΑ ΘΕΜΑΤΑ, Νο

[4]. BANKS OLIVE. ΤΗΣ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ

[5].

1985

ΑΣΗΜΟΜΥΤΗΣ Β, ΜΩΡΑ·Ι·ΤΗΣ Γ, ΠΑΝΑΓΟΥΛΙΑ Ι. Η επιρροή των γονέων στη δια­

2, 1978

σ.

69-82

Η κοινωνιολογία της εκπαίδευσης. Μετ. Τάσος Δαρβέρης, ΠΑΡΑΤΗΡΗ­

1987.

ΒΑΡΟΥΧΑΚΗΣ Ν. Απόψεις του ΚΕΜΕ για τα αναλυτικά προγράμματα στα.Μαθηματικά.

ΕΜΕ 2 σ. 122-13) [6]. BLOOM B.S. κ.α. Handbook of formative and summatίve evaluation of student learnίng. Mc GRAW HILL, 1971. [7]. BLOOM B.S., κ.li. Ταξινομία διδαχτικών στόχων. Μετ. Αλεξάνδρα Λαμπράκη - Παγανού. ΚΩΔΙΚΑΣ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ, 1986 [8]. ΓΚΟΤΟΒΟΣ Α.Ε. Η ποιοτική έρευνα στις Επιστήμες της Αγωγής. Επιστ. Επετ. της Φιλοσ. Σχολής του Παν. Ιωαννίνων τομ. ΙΒ' 1983 σ. 199-234. [9]. ΓΚΟΤΟΒΟΣ Α.Ε. Παιδαγωγική Αλληλεπίδραση. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΑΘΗΝΑ, 1985. [10]. ΓΚΟΤΟΒΟΣ Α.Ε. Η λογική του υπαρκτού σχολείου. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΑΘΗ­ ΝΑ, 1986. [11]. ΓΚΟΤΟΒΟΣ Α.Ε. «Κλειστές» ερευνητικές τεχνικές και παιδαγωγική πραγματικότητα. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο 29, 1986: σ. 82-87. [12). ΓΚΟΤΟΒΟΣ Α., ΜΑΥΡΟΓΙΩΡΓΟΣ Γ., ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΥ Π. Κριτική Παιδαγωγι­ κή και Εκπαιδευτική πράξη. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 1984. [13). ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗΣ ΣΊΌ Μια έρευνα για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο, ΕΥ­ ΚΛΕΙΔΗΣ Γ, Ν ο 12, 1986, σ. 58-73 [14). CAMPBELL D.T., STANLEY J.C. Σχέδια πειραματικής Ερεύνης Αποδ. Κ.Ι. Τσιμπούκης, ΑΘΗΝΑ, 1974. [15]. ΔΑΓΔΙΛΕΛΗΣ Β., ΜΑΡΚΕΤΟΣ Α, ΤΖΕΚΑΚΗ Μ. Μια άλλη άποψη για τον τρόπο σύντα­ ξης αναλυτικών προγραμμάτων. ΕΜΕ 2, σ. 191-215. [16). ΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ Γ. Οι παιδαγωγικοί σκοποί στο διδακτικό έργο. ΦΙ­ ΛΟΛΟΓΟΣ, Νο 25, 1981, σ. 432-449.

[17]. ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ Γ. Εκπαιδευτική Αξιολόγηση, μέρος 2ο ΠΟΥΡΝΑ­ ΡΑΣ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ, 1983. [18]. ΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ Γ. Ο μαθητής έχει τη δική του αξία. ΓΛΑΡΟΣ, ΑΘΗΝΑ, 1984. [19). ΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ Γ. κ.α. Οι εκπαιδευτικές και επαγγελματικές αποφά-


66 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 σεις των μαθητών της Γ' Λυκείου, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ 1984. [20). FRASER W.G., GILLAM J.N. The principles of objective testing in mathematics. ΗΕΙΝΕ­ ΜΑΝΝ, LONDON, 1972. [21]. ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ Δ., ΠΑΤΡΩΝΗΣ Τ. Α' Λυκείου: Η αρχή της ολοκλήρωσης μιας καταστρο­ φής. ΕΜΕ 3, σ. 254-263 [22). ΗΛΙΟΥ MAPIA Εκπαιδευτική και κοινωνική δυναμική. ΠΟΡΕΙΑ, ΑΘΗΝΑ 1984. [23]. ΗΟΡΕ DIETHER Διαφοροποίηση της σχολικής εργασίας. Μετ. Δεληγιάννη - Κουϊμτζή Βασιλική. ΑΦΟΙ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ, 1982 [24). INGENKAMP KARLHEINZ Παιδαγωγική Διαγνωστική. Μετ. Καψάλης Αχιλλέας Γ. ΕΓΝΑΠΑ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ 1980.

[25). [26].

ΚΑΖΟΥΛΑΣ ΔΗΜ. Παρέμβαση ΟΛΜΕ

3,

σ.

139-142

ΚΑΚΑΒΟΥ ΛΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ κ. Η μετάβαση των μαθητών από την πρωτοβάθμια στη μέση εκπαίδευση. (Διδ. Διατριβή), ΑΘΗΝΑ,

1984.

[27).

ΚΑΣΣΩΤΑΚΗΣ Μ.Ι.

Η αξιολόγηση της επιδόσεως των μαθητών. ΓΡΉΓΟΡΗ, ΑΘΗΝΑ,

[28).

ΚΛΑΟΥ ΔΑ ΤΟΣ Ν. Ιδεολογικές τοποθετήσεις των καθηγητών Μαθηματικών Μ.Ε για το ρό­

1981 λο του μαθήματος και οι ενδεχόμενες επιδράσεις στο σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ, Νο

[29].

ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο

[30).

[32).

σ.

43-96.

30, 1986,

σ.

21-28.

ΚΟΘΑΛΗ ΕΥΠΡΑΞΙΑ Μαθαίνουν τα παιδιά Μαθηματικά στο ·Γυμνάσιο; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ, Νο

[31].

13, 1986,

ΚΟΘΑΛΗ ΕΥΠΡΑΞΙΑ Η διδασκαλία των Μαθηματικών με φύλλα εργασίας. ΣΥΓΧΡΟΝΗ

17, 1987,

σ.

22-32.

ΚΑΘΑΛΗ ΕΥΠΡΑΞΙΑ κ.α. Οι μαθηματικές γνώσεις των μαθητών της Γ' Γυμνασίου. Ευκ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ, Νο

14, 1987,

ΚΟΥΤΣΑΚΟΣ

Σύγχρονη

Ι.Γ.

1980. [33]. MAGER ROBERT F.

63-71.

σ.

Διδακτική.

ΠΑΙΔ.

ΙΝΣΠΤΟΥΤΟ

ΚΥΠΡΟΥ,

ΛΕΥΚΩΣΙΑ

Διδακτικοί στόχοι και διδασκαλία. Μετ. Γιάννης Βρεττός. ΑΦΟΙ

ΚΥΡΙΑΚΙΔΗ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ,

1985.

[34].

ΜΑΤΣΑΓΓΟΥΡΑΣ ΗΛΙΑΣ Γ. Το ψυχολογικό κλίμα της τάξης: Μια έρευνα για το Δημοτι­

[35].

ΜΑ ΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ ΟΣ Σ. Πόσο κανονική είναι η κανονική κατανομή; ΛΟΓΟΣ και

κό σχολείο. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ, Νο

ΠΡΑΞΗ, Νο

[36].

20, 1983,

106-118.

28-49.

23-24, 1984,

σ.

15-28.

ΜΑ ΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ ΟΣ Σ. Από τα αναλυτικά προγράμματα ύλης στα αναλυτικά προ­ γράμματα στόχων. ΕΜΕ

[38].

σ.

ΜΑ ΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ ΟΣ Σ. Αξιολόγηση της επίδοσης και αναλυτικά προγράμματα. ΛΟ­ ΓΟΣ και ΠΡΑΞΗ, Νο

[37].

σ.

44, 1987

2,

σ.

241-262.

ΜΑ ΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΟΣ Σ.

Έλεγχοι χι-τετράγωνο για μικρά δείγματα. (προς δημοσί­

ευση).

[39].

ΜΑ ΥΡΟΓΙΩΡΓΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ. Η περίπτωση των νεων βιβλίων του Δημοτικού σχολείου.

60-92 [40]. ΜΟΥΣΟΥΡΟΥ ΛΟΥΚΙΑ Μ. Οικογένεια και παιδί στην Αθήνα. ΕΣΠΑ, ΑΘΗΝΑ, 1985. [41). ΜΟΥΧΑΓΙΕΡ Χ.Σ. Συγκρούσεις ρόλων στο έργο του εκπαιδευτικού. ΑΦΟΙ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ 1985. ΣΕΕ, σ.


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ j

[42].

ΜΠΑΣΛΗΣ Ι. Ν. Οι αντιλήψεις των μαθητών της ΣΤ'

67

Δημοτικού και των γονέων τους

σχετικά με τους σκοπούς της εκπαίδευσης. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο Ι

[43].

ΜΠΑΣΛΗΣ Ι.Ν. Κοινωνική

βή) ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ, ΑΘΗΝΑ,

[44].

1988.

ΜΥΛΩΝΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ Ν. Η αναπαραγωγή των κοινωνικών τάξεων μέσα από τους σχο­ λικούς μηχανισμούς. ΓΡΗΓΟΡΗ, ΑΘΗΝΑ,

[45).

1982.

ΜΥΛΩΝΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ Ν. Μερικοί από τους παράγοντες που καθορίζουν την «πορεία» του μαθητή στο σχολείο. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ, Νο

[46). [47).

26, 1983.

σ.

71-85.

ΝΑΣΙΑΚΟΥ ΜΑΡΙΑ Μορφωσιογόνος τάση στην Ελληνική ύπαιθρο. ΟΙΕΛΕ σ. Ι42-149. ΝΟΥΤΣΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ. Το σχολικό πρόγραμμα και οι καθηγητές της μέσης εκπαί­ δευσης. ΛΟΓΟΣ και ΠΡΑΞΗ, Νο

[48].

σ.

I, 1983

Γλωσσική διαφοροποίηση και σχολική επίδοση. (Διδ. Διατρι­

-

ΝΟΥΤΣΟΣ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ

13-14, 1981

Διδακτικοί

σ. 3-Ι Ι

στύχοι

και

αναλυτικό

πρόγραμμα.

ΔΩΔΩΝΗ,

ΑΘΗΝΑ- ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 19~3

[49].

ΝΟΥΤΣΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ Κοινωνιολογία και εκπαίδευση. ΔΙΑΒΑΖΩ, Νο Ι

19,

Ι985 σ.

42-47 [50].

ΝΟΥΤΣΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ Ιδεολογία και εκπαιδευτική πολιτική. ΘΕΜΕΛΙΟ, ΑΘΗΝΑ

[51).

ΞΩΧΕΛΛΗΣ ΠΛΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Δ. Το εκπαιδευτικό έργο ως κοινωνικός ρόλος. ΑΦΟΙ ΚΥ­

1986. ΡΙΑΚΙΔΗ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ Ι984.

[52].

ΞΩΧΕΛΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Δ. Διδακτική έρευνα. ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΉ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ, Νο

3, 1985, [53].

σ.

56-72.

ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Μεθόδευση της διδασκαλίας και αξιολόγηση της σχολικής επίδο­ σης στο Γυμνάσιο και Λύκειο. ΠΙ Μαθηματικά. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο σ.

[54].

Ι986,

ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΛΜΕ Παιδαγωγικές αντιλήψεις και πρακτικές για την ισοτιμία χει­ ρωνακτικής και διανοητικής εργασίας. ΟΛΜΕ

[55].

27,

17-31. 4,

Σ. Ι Ι3-Ι36.

ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ Δ.Μ.Ε. Ερευνα για την εν γένει λειτουργία των σχολείων και ει­ δικότερα των γενικών Λυκείων Μ.Ε. ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ και ΕΠΙΣΤΉΜΗ, Ν8

2,

Ι980, σ.

181-

190 [56).

ΠΑΝΤΕΛΙΔΟΥ-ΜΑΛΟΥΤΑ ΜΑΡΩ. Πολιτικές στάσεις και αντιλήψεις στηκν αρχή της εφηβείας.

[57].

GUTENBERG,

ΑΘΗΝΑ

ΠΑΠΑΔΆΚΗ ΜΑΛΒΙΝΑ

-

1987

ΤΣΙΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΤΑΜΗ. Πόσοι μαθητές ξέρουν τις τέσσε­

ρις πράξεις; ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο

[58]. [59].

32, 1987;

σ.

46-51.

ΠΑΠΑ·Ι·ΩΑΝΝΟΥ ΑΝΤΩΝΗΣ Σκοποί και στόχοι παιδείας ΚΥΠΡΟΣ, δοση των μαθητών στα Μαθηματικά. ΕΚΠΑΙΔΕΥτΙΚΆ, Νο

και

[60].

1977

ΠΑΠΑΛΟΗΣ Β,, ΤΣΙΝΤΟΜΗΝΑΣ Μ., ΧΡΥΣΗΣ Φ. Παράγοντες που επηρεάζουν την επί­

9

και

10, 1987, 1988,

σ.

77-88

91-114.

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙτΟΥΤΟ Οδηγίες για τη διδακτέα υλη και τη διδασκαλία. ΑΘΗΝΑ,

1986, 1987. ΚΕΜΕ Οδηγίες για τη διlhικτέα ύλη και τη διδασκαλία ΑΘΗΝΑ

[61].

ΠΑΠΑΝΑΟΥΜ

-

όρια. ΑΦΟΙ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ

[62].

ΠΑΠΑΝΑΟΥΜ

-

1980

έως και

1985.

ΤΖΙΚΑ ΖΩΗ Η αξιολόγηση της σχολικής επίδοσης: δυνατότητες, και

TZIKA

1983.

ΖΩΗ Ο Εκπαιδευτικός και το έργο του απο τη σκοπιά των μα-


68/

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'- ΤΟΜΟΣ

θητών. (Διδ. διατριβή). Α.Π.Θ. ΘΕΣjΝΙΚΗ,

[63]. [64]. [65].

ΠΑΠΑΝΑΟΥΜ-

TZIKA

6- ΤΕΥΧΟΣ 22

1984.

ΖΩΗ Παρέμβαση. ΣΕΕ σ.

97-99.

ΠΑΠΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΚΩΝjΝΟΣ. Η στατιστική εις την εκπαίδευση. ΛΕΥΚΩΣΙΑ

1977.

ΠΥΡΓΙΩΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ε. Κοινωνικοποίηση και εκπαιδευτικές ανισότητες. ΓΡΉΓΟ­ ΡΗ, ΑΘΗΝΑ,

1984.

[66]. ROBINSON W.P.,

ΤΑ YLER

C.A.

Αυτοεκτίμηση, ανία και αποτυχία στους μαθητές της μέ­

σης εκπαίδευσης. στο: ΦΡΑΓΚΟΣ Χ.Π. (επιμ.) Η σύγχρονη διδασκαλία.

GUTENBERG, 1986, σ. 129-139 [67]. ROBSON COLIN Experiment, design, and Statistics ίη Psychology. PENGUIN, 1983. [68]. SCHIEFELE HANS. Κίνητρα μάθησης ως σκοπός και προϋπόθεση για μια αποτελεσματική διδασκαλία. ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΉ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ, Νο 5, 1986 σ. 19-233. [69]. SIEGEL SIDNEY Nonparametric Statistics for the behavioral sciences. Mc GRA W-HILL, 1979 (1956) [70]. ΣΠΟΥΔ. ΚΟΙΝΩΝ. ΠΑΣΠΕ - ΕΚΚΕ Εισαγωγή στη μεθοδολογία και τις τεχνικές τω κοινωνικών ερευνών. Επιμ. Β. Φίλιας, GUTENBERG, ΑΘΗΝΑ 1977 [71]. ΤΕΡΖΗΣ ΝΙΚΟΣ Π. Το Γυμνάσιο ως βαθμίδα της υποχρεωτικής εκπαίδευσης. ΑΦΟΙ ΚΥ­ ΡΙΑΚΙΔΗ, ΘΕΣ/ΝΙΚΗ 1988. [72]. ΤΖΑΝΗ MAPIA Σχολικλή επιτυχία: ζήτημα ταξικής προέλευσης και κουλτούρας. ΑΘΗ­ ΝΑ, 1983. [73]. ΤΖΕΚΑΚΗ ΜΑΡΙΑΝΑ Μια προσέγγιση στο θέμα «πως να διδάσκουμε» με εφαρμογή στα κλάσματα. ΔΙΆΣΤΑΣΗ, Νο 2, 1985 σ. 32-43 [74]. ΤΟΜΠΑ·Ι·ΔΗΣ ΔΗΜ. Ε. Η ισότητα ευκαιριών στη εκπαίδευση. ΓΡΉΓΟΡΗ, ΑΘΗΝΑ, 1982 [75]. ΤΣΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΣΤΑΘΗΣ Ν. Ετεροαξιολόγηση. Προβληματισμός και μεθοδολογία. ΛΟ­ ΓΟΣ και ΠΡΑΞΗ, ΝΟ 22 και 23-24, 1984, σ. 47-57 και 110-126. [76]. ΤΟΥΜΑΣΗΣ ΜΠΑΜΠΗΣ Ενα πρόβλημα της διδακτικής των Μαθηματικών στη μέση εκ­ παίδευση. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' Νο 7, 1985, σ. 17-28. [77]. ΤΣΟΥΚΑΤΟΥ ΣΤΕΛΛΑ - ΧΑΤΖΙΟΓΛΟΥ ΚΟΜΝΗΝΟΣ Ο ρόλος του μαθητή στην ανά­ πτυξη σχέσεων με τον καθηγητή. ΟΛΜΕ 3 σ. 113-128. [78]. ΦΛΟΥΡΗΣ Γ, ΚΟΥ ΛΟΠΟΥ ΛΟΥ Α., ΣΠΥΡΙΔΑΚΗΣ Ι. Το αυτοσυναίσθημα και η παιδα­ γωγική του αντιμετώπιση. ΑΛΚΥΩΝ, ΑΘΗΝΑ, 1981 (79]. ΦΛΟΥΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Σ. Ερευνα - μελέτη για το αυτοσυναίσθημα των Ελλήνων εφήβων. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ, Νο 26, 1983 [80]. ΦΡΑΓΚΟΥΔΑΚΗ ΑΝΝΑ Η κοινωνική ανισότητα στο σχολείο. ΟΙΕΛΕ σ. 136-141. [81]. ΦΡΑΓΚΟΥΔΑΚΗ ΑΝΝΑ Κοινωνιολογία της εκπαίδευσης. ΠΑΠΑΖΗΣΗΣ, ΑΘΗΝΑ 1985. [82]. ΧΑΣΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ν. Παρανοήσεις της μαθηματικής έννοιας «μεταβλητή». ΛΟΓΟΣ και ΠΡΑΞΗ, Νο 17, 1982, σ. 27-30 [83]. ΧΑΣΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ν. Ασκήσεις και προβλήματα Μαθηματικών. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚ­ ΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο 10, 1983 σ. 31-35 και 124. [84]. ΧΑΣΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ν. Προβλήματα κατανόησης βασικών αριθμητικών εννοιών. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο 12, 1983, σ. 54-57 [85]. ΧΑΣΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ν. Οι μαθηματικές γνώσεις των αΠοφοίτων του Δημοτικού σχο­ λείου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ. Νο 5 1984, σ. 61-69. ΑΘΗΝΑ


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

[86).

/ 69

ΧΑΣΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ν. Η οργάνωση του περιεχομένου ενός αναλυτικού προγράμματος Μαθηματικών και οι υπονοούμενες αντιλήψεις για τη γνώση, την επιστήμη και τη εκπαί­

δευση. ΣΎΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Νο

[87].

ΔΕΥΣΗ, Νο

[88].

σ.

28-34.

29, 1986,

σ.

88-91

ΧΕΙΜΑΡΙΟΥ ΕΛΕΝΗ Αναλυτικά προγράμματα: Σύγχρονες τάσεις σχεδιασμού στην Αγ­ γλία. ΑΦΟΙ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗ, ΘΕΣjΝΙΚΗ

[89].

28, 1986,

ΧΑΣΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ν. Η μέτρηση στην παιδαγωγική έρευνα. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙ­

1987.

ΧΡΙΣτΙΑΣ Ι. Γ. Οι διδακτικοί στόχοι στο αναλυτικό πρόγραμμα και τη διδασκαλία. ΣΥΓ­ ΧΡΟΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, Νο

7, 1982,

σ.

73-80.

ΠΑΡΑpτΗΜΑ ι

Τα τεστ τι, Τ2 Το τεστ

Tl

Ι. Βρείτε τα

AUB,

ΑΓΊΒ όταν Α==

{I, 2,3},

Β==

{2,3,4,5}

2. Να γράψετε όλα τα υποσύνολα του συνόλου Χ = {α,β,γ J

3.

Να συμπληριί:ίσετε με ένα από τα σύμβολα>,<= τα κενά: α) δ)

4.

6.

γ)

6 ... 7

6 .... - 6 12 ... 12

ζ)-

ε)-9 ... -5

Να βρείτε τα αποτελέσματα:

2 + 7 =.... ( - 6) ( - 3) ==... (5 + 6) χ 2 =... 5.

β)

5 ... 2 3... 0

2 + (- 7) = ... 12 χ ο= ... 5 χ 4 +3 χ 2 =

2 - 7 = ... 12 + 10 == ...

...

Να βρείτε τις γωνίες χ, ψ στο παρακάτω σχήμα:

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α)

2χ+5=17

β)

7(χ-Ι)=Ι3

Το τεστ Τ2 Ι. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

5 ο 7 == .. . 5-5= .. .

5ο(-

7)

= ...

5- (- 3) == ...


70 j

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'

(--~ Υ+ 3

Α=

- ΤΟΜΟΣ 6 - ΙΕΥΧΟΣ 22

2 5

_7_ _ 1 3 2.

Το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά

4cm.

Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΕΖ, ΖΗ είναι ίσα.

Α..--~----~8

3.

Να υπολογίσετε το εμβαδά του διπλανού σχήματος

4.

Να λύσετε την εξίσωση

+5 2

5.

+I

=3

Α

4

Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΑΓ στο διπλανό σχήμα.

Γ


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

6.

/ 71

Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΒ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ του σχήματος.

Γ

ΠΑΡΑΡ'fΗΜΑ

~· ·

Α

6cm

2

Τα ερωτηματολόγια

EPl,

ΕΡ2

(Οι φράσεις σε αγκύλη υπήρχαν στο ΕΡΙ. Η ερώτηση

11

υπήρχε μόνο στο ΕΡ

Ι. Φέτος [πέρυσι) στα Μαθηματικά διδαχθήκατε μια ορισμένη ύλη σε

4

2).

ώρες τη βδομάδα. Εσείς θα προ­

τιμούσατε:

Λιγότερη ύλη και λιγότερες ώρες

2.

ο

Λιγότερη ύλη και περισσότερες

ο

Την ίδια ύλη και λιγότερες ώρες

ο

Την ίδια ύλη και τις ίδιες ώρες

ο

Την ίδια υλη και περισσότερες ώρες

ο

Περισσότερη ύλη και λιγότερες ώρες

ο

Περισσότερη ύλη και τις ίδιες ώρες

ο

Περισσότερη ύλη και περισσότερες ώρες

ο

Δεν ξέρω

ο

Τι γνώμη έχετε για την ευκολία η δυσκολία των Μαθηματικών όπως τα κάνατε φέτος [πέρυσι).

Ήταν κανονικά

D D

Ήταν δύσκολα

ο

Δεν ξέρω

D

Ήταν εύκολα

3.

Τα Μαθηματικά που κάνατε φέτος [πέρυσι] η νομίζετε ότι ήταν Ενδιαφέροντα

ο

Μερικά μαθήματα ενδιαφέροντα, μερικά όχι

ο

Καθόλου ενδιαφέροντα Δεν ξέρω

4.

ο

Λιγότερη ύλη και τις ίδιες ώρες

D D

Τι γνώμη έχετε για την εργασία που είχατε να κάνετε στο σπίτι για τα Μαθηματικό; "Ηταν λίγη

D

Ήταν κανονική

ο

Ήταν πολλή

D

Δεν ξέρω

ο


72 / .ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 5.

Πόσο χρόνο, συνήθως, αφιερώνατε για να ετοιμασθείτε για το επόμενο μάθημα Μαθηματικών; Λιγότερο από

6.

ο

ώρα

I

Από

I

έως

2

ώρες

ο

Από

2

έως

3

ώρες

ο

Πάνω από τρεις ώρες

ο

Δεν ξέρω

ο

Πως ετοιμαζόσαστε για τα Μαθηματικά; Εργαζόμουν μόνος, (η) μου

ο

Με βοηθούσαν από το σπίτι

ο ο

Έκανα φροντιστήριο

7.

Τι γνώμη έχετε για τον τρόπο με τον οποίο γινόταν η εξέταση και η βαθμολόγηση φέτος [πέρυσι] ~τα Μαθηιlατικά;

8.

Τον θεωρώ καλό

ο

Δεν τον θεωρώ καλό

ο

Δεν ξέρω

ο

Νοιώθατε αγωνία ή ανησυχία: α) Όταν ο καθηγητής σας έκανε ερωτήσεις;

ο

ποτέ

ο

Συχνά

Πάντα

ο

β) 'Οταν ο καθηγητής σας πληροφορούσε ότι θα γράψετε τεστ ή διαγώνισμα;

ο

ποτέ

ο

Συχνά

Πάντα

ο

γ) Όταν ο καθηγητής ζητούσε να δει το τετράδιο σας;

ο

ποτέ

9.

ο

-Συχνά

Πάντα

ο

Τι γνώμη έχετε γενικά, για τους βαθμούς που πήρατε φέτος [πέρυσι] στα Μαθηματικά (Α.' και Β τρίμη­ νο);

Νομίζω ότι έπρεπε να πάρω μεγαλύτερους βιiθμούς

10.

Νομίζω ότι έπρεπε να πάρω τους ίδιους βαθμούς

ο

Νομίζω ότι έπρεπε να πάρω μικρότερους βαθμούς

D

Δεν ξέρω

ο

Είστε ικανοποιημένοι από τον καθηγητή που σας έκανε φέτος [πέρυσι] Μαθηματικά; Ναι

11.

ο

ο

ΟΧΙ

ο

Δεν ξέρω

ο

Τι γνώμη έχετε για τη διδασκαλία των Μαθηματικών φέτος σε σχέση με πέρυσι; Ήταν καλύτερη πέρυσι

ο

Ή ταν το ίδιο με πέρυσι

ο

Ήταν καλύτερη φέτος

ο


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

/ 73

3

Στοιχεία για την διαφοροποίηση της διδασκαλίας στα Π,Ε. (Οι αναφορές γίνονται στο βιβλίο: ΠΑΠΑΜΙΧΑΉΛ Δ. κ. α Μαθηματικά Β' Γυμνασίου, ΟΕΔΒ ΑΘΉ­ ΝΑ εκδ. ι983 και νεώτερες). Ένα καίριο σημείο στον έλεγχο της ερευνητικής υπόθεσης είναι η έκταση της πραγματικής διαφορο­

ποίησης στην διδασκαλία των Π-Ε. Με άλλα λόγια ποιά ήταν η διαφορά ανάμεσα στην άτυπη στοχοθεσία των Ε και σε εκείνη των Π. Διότι ένας οποιοσδήποτε καθηγητής ακόμη και με μικρή διδακτική εμπειρία

έχει ήδη αποκτήσει κάποιους «aυτοματισμούς» ώστε διδάσκοντας ν"σ. επιδιώκει κάποιες minimum μαθήσεις. Ακόμη και όταν η διδασκαλία γίνεται χωρίς συγκεκριμένο γραπτό σχέδιο (σχέδιο μαθήματος, φύλλο ερ­ γασίας κλτ). και πάλι υπάρχει μια «λανθάνουσω> στοχοθεσία που καλύπτεται από ότι ονομάζεται «υπονοού­ μενοι στόχοι διδασκαλίας>>. Επομένως είναι απαραίτητο να καταστεί σαφής η έκταση της διαφοροποίησης στα Π-Ε. Διότι αν η διαφοροποίηση ήταν μικρή η υπόθεση της έρευνας είναι αδύναμη και τα συμπερά­ σματα ταυτολογικά. Στην περ.ίπτωση μάλιστα της δικής μας προσπάθειας αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία

δε­

δομένου ότι υπάρχει ο κίνδυνος να μην τηρήθηκαν επακριβώς οι όροι του ελέγχου: το <<περιβάλλον>> ΔΣ των Π να μεταφέρονταν με άτυπο τρόπο στις Ε. Για τους λόγους αυτούς εδώ επιχειρούμε μια περιγραφή της διαφοροποίησης Π-Ε με αναφορά στο 2ο κεφάλαιο του τότε διδ. βιβλίου. (ισότητα τριγώνων) Το κεφάλαιο αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από δυο μέρη. Το μέρος Ι περιλαμβάνει τις

παραγράφους σεις και

13

2. ι -

έως

2.3

και το μέρος ΙΙ τις

2.4

έως

2. ι 2.

Συνολικά το κεφάλαιο περιλαμβάνει

26

ασκή­

εφαρμογές.

α) Το μέρος Ι περιλαμβάνει, κυρίως με μορφή επανάληψης, τα είδη τριγώνων τα περί αθροίσματος γω­ νιών τριγώνου, την τριγωνική ανισότητα και αναφορά στις διχοτόμους, ύψη, διαμέσους τριγώνου. β) το μέρος ΙΙ περιλαμβάνει τα περί ισότητας τριγώνων, ορισμούς, κριτήρια ισότητα ορθογωνίων, χα­ ρακτηριστική ιδιότητα της διχοτόμου και απλά αποτελέσματα για το ισόπλευρο και το ισοσκελές τρίγωνο και τα παραλληλόγραμμα.

Το 2ο κεφάλαιο ουσιαστικά αποτελεί την πρώτη εισαγωγή των μαθητών σαν απόδειξη. Το γεγονός αυτό επισημαίνεται στις οδηγίες διδασκαλίας οι οποίες όμως δεν περιέχουν κανένα Δ.Σ έστω και γενικό.

Επομένως ο καθηγητής παραπέμπεται στους πολύ γενικούς σκοπούς της διδασκαλίας των μαθηματικών.

Φυσικά ο οποιοσδήποτε καθηγητής που διδάσκει το ·κεφάλαιο αυτό οπωσδήποτε αντιλαμβάνεται ότι το

πρώτο μέρος παρα τον συν.οπτικό του χαρακτήρα περιλαμβάνει αρκετά προαπαιτούμενα' για την διδασκα­ λία της ισότητας (και αργότερα της ομοιότητας). Ακόμη και με μια άτυπη στοχοθεσία θα φροντίσει να

βρει το «χαμένο νημω> από τα μαθήματα της Α τάξης και με ερωτήσεις ασκηθούν οι μαθητές στην χρήση συμβολισμού

-

-

ασκήσεις, θα επιδιώξει ~α

ονοματολογίας, στον υπολογισμό γωνιών, στην σχεδί­

αση τριγώνων και χαρακτηριστικών ευθειών καθrος και στη κατανόηση των αντιστοίχων ευνοιών. Στο δεύ­

τερο μέρος ασφαλώς και θα επιδιώξει την κατανόηση της ισότητας και την χρήση των κριτηρίων για την παραγωγή απλών αποτελεσμάτων. Ανάλογα με την πείρα του θα έχει εντοπίσει κάποια σημεία ελέγχου που

θα του επιτρέπουν λίγο-πολύ να εκτιμήσει αν οι υπονοούμενοι στόχοι έχουν επιτευχθεί από τους μαθητές. Για παράδειγμα (διδ. βιβλίο: παρ.

2.2)

με κάποια ερώτηση θα επιχειρήσει να βεβαιωθεί αν έχουν γίνει κα­

τανοητά; η αντιστοιχία ανάμεσα σε γωνία

-

απέναντι πλευρά, οι ένννοιες περιεχόμενη

-

προσκείμενη

γωνία, η ότι γενικά δύο τρίγωνα με δύο ζεύγη ίσων πλευρrον και ένα ζεύγος ίσων γωνιών δεν είναι ίσα. Η διδασκαλία στις Ε κινήθηκε γενικά σε αυτά τα πλαίσια. Στις Π αντί των «αιωρούμενων>> ΔΣ των Ε υπήρχαν κατάλογοι ΔΣ

-

κριτηρίων επίτευξης με βάση τα

οποία γίνονταν το μάθημα και η δουλειά στο σπίτι. Και μόνο το γεγονός της καταγραφής προκαλεί μια αλλαγή στον προσανατολισμό της διδασκαλίας. Η άτυπη στοχοθεσία αναπόφευκτα έχει ένα ευκαιριακό

χαρακτήρα και λίγο-πολύ στηρίζεται στη καλή μνήμη και στους <<aυτοματισμούς>> του δασκάλου. Είναι βέ­ βαιο ότι κάποιες ουσιrοδεις μαθήσεις παραβλέπονται ή τουλάχιστον δεν αναδεικνύονται σαν τέτοιες. Με


74 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜ ΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 την στοχοθεαία των Π επιχειρήθηκε να οργανωθεί το «συνεχές)) της διδ. ύλης

-

διδασκαλίας σε συγκε­

κριμένους ΔΣ που προσανατολίζουν την μελέτη σε σαφή καθήκοντα επιτρέποντας ταυτόχρονα. την ανάλυ­ ση σύνθετων μαθήσεων σε αλυσσίδα απλών.

Έτσι για το μέρο~ Ι οι ΔΣ στα Π περιλάμβαναν: Την αναγνώριση αναγραφή των κορυφών-πλευρών

εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών τριγώνου και τον καθορισμό των αντιστοιχιών κορυφή

-

γωνία

-

-

απέ­

ναντι πλευρά, την αναγραφή της σχέσης του αθροίσματος γωνιών για διάφορα τρίγωνα, την επίλυση της σχέσης ως προς μια γωνία και τον υπολογισμό της, τον υπολογισμό γωνιών σε απλά σχήματα, την ανα­

γνώριση

-

την αναγραφή της τριγωνικής ανισότητας και τον καθορισμό των ορίων μεταβολής μιας πλευ­

ράς από τις τιμές των άλλων δύο, την σχεδίαση τριγώνων ορισμένου είδους (λ.χ. αμβλυγώνια) καθώς και την σχεδίαση από δεδομένα γραμμικά-γωνιακά στοιχεία, την σχεδίαση διαμέσων τον υπολογισμό γωνιών που σχηματίζονται από διχοτόμους

-

-

διχοτόμων,

-

υψών και

ύψη.

Για το μέρος ΙΙ οι ΔΣ περιλάμβαναν: τον συμπερασμό των υπολοίπων ισο;rήτων στοιχείων σε ίσα τρί­ γωνα, τη χρήση των όρων περιεχόμενη προσκείμενη γωνία, την χρήση των κριτηρίων ισότητας α) για τον συμπερασμό της ισότητας β) για την παραγωγή νέων ισοτήτων στοιχείων, τη διατύπωση και τον έλεγχο

εικασιών για πιθανές ισότητες τριγώνων, την απόδειξη ισότητας τμημάτων ισότητας τριγώνων, την χρήση της ισοδυναμίας Α των ρών

- γωνιών - γωνιών

> Αι

~ α

> αι

-

γωνιών με την βοήθεια της

για τον συμπερασμό ανισοτήτων τμημά­

σε τρίγωνα με ίσες ανα δύο τις άλλες πλευρές, την τοποθέτηση σε σειρά διάταξης των πλευ­ τριγώνου από επαρκή στοιχεία, και την χρήση ιδιοτήτων ισοσκελών τριγώνων και παραλλή­

λων ευθειών.

Ενδεικτικά παραδείγματα κριτηρίων από τα

52

που συνόδευαν τους

17

ΔΣ του κεφαλαίου είναι τα ακό­

λουθα:

• Στα παpακάτω τρίγωνα να δείξετε και να γράψετε τις κορυφές, τις πλευρές και τις γωνίες (ακολουθούν τρίγωνα διαφόρων ειδών και με διάφορα γράμματα στις κορυφές.

Στα επόμενα σχήματα να σημειώσετε τις εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες των τριγώνων (ακολουθούν τρίγωνα)

Για το διπλανό σχήμα:

Α

α) Να βρείτε και να γράψετε όλα τα τρίγωνα ~ου υπάρχουν. β) Για κάθε ένα τρίγωνο να γράψετε τις κορυφές, πλευρές και τις γωνίες.

Β

Δ

Γ

• Στο επόμενο σχήμα υπάρχουν τρία τρίγωνα: τα ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΓΔ. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις:

Β

Δ

Γ

\77 2) Στο τρίγωνο ΑΔΓ απέναντι από την κορυφή Γ είναι η πλευρά ········:·························································


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΊΟΧΟΥΣ

Για τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων να εξετάσετε αν είναι ίσα α) Ζεύγος: Δ

β) Ζεύγος

Α

Δ

Δ

ΑΒΔ,ΑΓΔ

Α

Δ

ΑΒΔ,ΑΓΔ

Στο σχήμα είναι ΑΒ

=

ΑΓ και ΑΔ

=

Γ

Β

Γ

Δ

Β

/ 75

Α

ΑΕ.

Γ

α) Να σημειώσετε με κατάλληλα σημάδια τα δεδομένα αυτά στο σχήμα. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ, ΑΓΔ είναι ίσα γ) Να γράψετε τις ισότητες των υπολοίπων στοιχείων αυτών των ίσων τριγώνων δ) Να σημειώσετε με κατάληλα σημάδια τα συμπεράσματα του γ) στο σχήμα.

• •

Να λύσετε την ασκ.

8

σ.

51-52

του βιβλίου. Να προσέξετε ιδιαίτερα τις περιπτώσεις

4,9.

Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμα ΑΒΓ Δ και τις διαγωνίους του ΑΓ, ΒΔ. Να βρείτε όλα

τα ίσα ορθογώνιιi τρίγωνα που υπάρχουν στο σχήμα. Χρησιμοποιείστε δύο από αυτά για να αποδείξετε ότι ΑΓ =ΒΔ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

4

Σύγκριση με δεδομένα της έρευνας Η έρευνα

(62]

διεξήχθη το

1978

της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

[ 62] σε δείγμα (τυχαία δειγματοληψία κατα στρώματα)

(5%

2000

περίπου μαθητών

του τότε μαθητικού πληθυσμού αυτής της βαθμίδας) και αποτελεί μια

εξαιρετικά αξιόπιστη πηγή στοιχείων για τις στάσεις των μαθητών. Στην έρευνα αυτή διερευνήθηκε και ο βαθμός ικανοποίησης των μαθητών από τους καθηγητές τους αναφορικά με τα ακόλουθα σημεία: α) Διδα­

σκαλία β) Βαθμολογία γ) Συμπεριφορά δ) Προσωπικότητα. Χρησιμοποιήθηκε κλειστό ερωτηματολόγιο που

γιαυτά τα σημεία είχε τις διαβαθμίσεις: Απόλυτη τών (μέρος του δείγματος) ηλικίας

177).

12-15

-

λίγο

-

καθόλου. Αναλυτικά οι απαντήσεις των μαθη­

ετών παρουσιάζονται στον πιν.

14 ([62]:

πίνακες

165, 170, 172,


76 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22 Πr ΝΑ ΚΑΣ ΙrtανσττοίΙ]οη ατιο Ή.α

{}ηγητ-ή ΟΕ ΟΧΕΟΙ] μέ ΑΠΟΛΙΤΑ Δ ι δαοχαλία

4 9 4

17 364 280

Βα~μολογία Συμτιεριψορά

4

Προοωτιιχότψ:α Υποθέτοντας ότι τα Ναι στο ΕΡ

2

14

ΛΙΓΟ

ΚΑΘΟΛΟΙ

34 5 36 8 431 46 4

1 2 99 14 6

Ν

4 9

8 8

ο

88 87

89

4

8 9

ο

περιλαμ~άνουν και τους λίγο ικανοποιημένους ενώ τα

OXI μόνο τους 15 όπου η «ικανοποίηση από τον καθηγητή>> ερ­ κατηγορίες του πιν. 14.

καθόλου ικανοποιημένους έχουμε τον πίνακα σύγκρισης μηνευέται κάθε φορά μονοσήμαντα σύμφωνα με τις

ΠΙΝΑΚΑΣ Δ Ε

I

ΓΜΑ

Δl

ΝΑΙ οχ ι

Αnαντ~οεις στην ερώτηση

10 του ΕΡ2 34 37 "ΘεωρΙ]τ ιχές" συχνόΔ~δαοκαλία τητες nου πρm.ιύτt_τοuv Βα~μολογία 35 από τις χαταvομες

του τιίvαχα

14.

15

Συμτιεριψορά

35

Προο ω τι ι χότΙ]τα

32

χ2

Ρ

Δ2 ΝΑΙ )ΧΙ

60 2 4.74 ο.ο~ 59 4 0.28 0-43 55 4 Q,2f 0-43 55 0,70 0,30 52 7

5

*οτατιστιΉ.ά οημαντιrιές ---,

2

χ2

Ρ

3 0.35 Q,.37 7 ,Q3 (),0~ 7 ~,03 0.03 10 7-63 0,00

..

α ττ:ο11. λίο εις


..~ .,>> ~~ ~ Q

Κα.τανομΜ. σ.νόι;ψι~ι:ι.. μ ir.\ &_,f>lι<OAiα.

Τιίιν ..Μα\1~~α'tιιι<ώΙΙ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ·~

:; ο

">

.,

~- ..-J .r> ::c ~

>

d

~

~

-.9

ιs ·=> ~'<:)

Ρ

I

ί Ι 3,?1 Ι ο,ο~

I

31

I

Ul

Ε::

~>

::: >

=:

I

tτ1

Ε::

t:>

> ~

4 I4

I ο.ο~ I

~

Q Μ Μ

...-j ο

I

51

I

χ

ο ...ς

Μ ~

3 -~ μ

ω

Σ

Ι 5)4 Τορ.L -

Β Ι 5,ι~3

I ο,ο!

I

~ ~


Κa.ταvο~σ.νά?ιο~ι:t. μέ. τ.ιΥιν ι:πι<i}υμία..1{ιά

G F

μ ~

> ··

~ .ξ

a..

~

ΣΤΙ\ΤΙΣΤΙ ΚΟΣ χ ιυ

ΕΛΕΓΧΟΣ προσημιχός

ο Ιt---:------.-----.:....--=:.._.:.....:..:....=

r-<

I

0> τετρα-

2

~ γωνο 11 F\.

I

J""'

·~~ιuιp Ι~Ι+Ι-Ιχ ΙΡ I

I

I

I \..._/

Ι

Ι

Ι

Ι

Ι

~

il Ι 3,21 Ι ο,Ο4 Ι

~

> t'r1

Ε>

4

Ι

! 9/

8 I

Ι

~ο Ι 5)ί4 1 ο,ο!

::ι::

~'

6 1

~ t:;:J

~

!

-ζj I

~. I ..-ι:,ι

11 I'JI

I

.:.J..I

11-.L.I

I j~'l,l ~tί!l J~Z.I

Ι '-':.ι. 11';,11-~ Ι ι-1 ι

ι

ι

I 1- -1 4

μ

ΣI

I -- 11 .. " I .....

1,36

ι»»»Λ>»ιnm;;m,l,,,,JJJ,I Λ ')I ί4

&

I+

0,00

~ ....,


ΚατανομΜ. α.νά.;ι,ο't§λ

με: τό εν&αφιpον ~ιό. τά. Μdcl_Μ~ιΆτιlι<ά.

Διατακτ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ χι-

I

υ

ΕΛΕΓΧΟΣ

I

ττ:ροσημιΧός

+ I-I 3 ι 1~

1

Χ~Ρ

I

5,4 ι o,o.t ι

t> Ε>

> Μ ::><: > >

>

~ Ιl:ι Ι

e,o"t

I ο,οο I

:3:: m

t> Ε>

>

::><:

:::j

5 Ι ~5 Ι !3:>~ Ι ο,οο Ι

1:3 ...: Μ

Μ .....,

ο

6 19 I

w

I

I

>< ο ...:

-.....

Μ

"""

<] -~ μ

ω

Σ


k'α.τανομΜ. οιvά.~ο~οι ~~ τ,.;,ν fΙ<τiμMf.h\. τού

φόρτου ψ~α."ί α.~

ο

-~ :::ι::

>

1

-~

·~ t::'"

t<.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ χ ι- ι υ

ο

τετρ α-

-~

γωvο

>

w

~θ 1 ~Jsl ~ ι

IΡ I I

·~~υ

ΕΛΕΓΧΟΣ τcροσημικdς 2

1~1+1-1 Χ 1 Ρ ,~,

b

t

= ~ tΊ"J

i> ~ '"1 ο

d 9

± 3 -~ μ

ω

Σ

~

~ α.. ο

~

>1 ~

1::$


l<ατα.vo~ril ανά.~~α.. ~i τό Χ()ό\/0

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ χι-

I

I

U

τετρα-

γωvο

Ρ

Διατακτ

I

~

Μ

~

> Ξ:: >

=:::

31

I

1:>1

I

I>

I

ο

!>

> ~

::j ~

=F

IΒ I

I

>< Μ ~

ο

11

Ι 6,~3 Ι ο,οο Ι

>< ο ~

-

~

00

I "5 ~tS

ω

Σ

.14

j

I


Κ~τα.νοtιιΥι α.νά.~~σ.. ψ τ~ν ωιτοrυνcψία. -

§- ' .i.:: ~;

>.lε ~-~ ~ ~

·d {' 6 .,8-~ 9o'r;

.

61~ ~Ε~~~

~ -~:g~~~

0

~

ΣΤ~ΤΙΣΤΙ ΚΟΣ χι ι

ΙΙΛ

I

Γ

, η:ροσημι)ι{Ος

υ

τετρα-

-~ γωvο ·~~ υ

w

ΕΛΕΓΧΟΣ

I

1~1+ Ι-Ι χ2 I Ρ

__L_ _ _ L __ ,_I.\....!I_L

_f _ ____l

Ι

~

3 Ιi

I

I

I

~ ~ tτ'j

;( 14 Ι

Ι

Ι

s: ~

::Ι::

'

d

5 I5 Ι

Ι

Ι

:s:

2

α-

@

~

3f~

·d I

11

ΓJI

I

~~.I ~.I

..._.I

η 11. "\Ω.ΗΙ Ο

I ..

..

I

I

I

,--1

5/.1

2 ....., .....,

ιs'f

O,OQ.

μ

ω Σ

I

1'-L..I

I ~z ,~. I b7, "' .I U"Λ "' . I

I ,...., 11 -.--.. I -

ι7JJJJJjfiJJιmJmrMιbnnιml Λ ?I 9 Ι 3 Ι 3

Ι σ,ο4


ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ

Κοιτανο~ιΥ\. ~νfi?to~σ.. μ f. τιvιν Ε.uχvο~τα.

tνtα&r~~c:. \<α.τά. τΜ.ν

Π\)Ο~ορι~Ι\iι ι:jέτα&Ν\.

·g )(

Is :;>

~~

χι-

ι

I

U

ΕΛΕΓΧΟΣ τtροσημικΟς

τετρα-

γωνο

+ 1-1 Χ

2

ι Ρ ι:>

Ε>'

1 Ι fo

Ι 1.36 Ι ο,οσ Ι

> Μ ~ > >

>

s:: tτ1

f 16 Ι

ι

ι

ι:>

Ε>'

> ~

:::;j

8 1161

I

I

51

I

I

~

....::: Μ

~ >:: ο

....::: Μ

-

~

1-t:S μ

ω

Σ

1~


ΕΛΕΓΧΟΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ

Κατανι:ψ/\\ α:νά~ο~οι μέ -rιήV I!.<Q,VOΠOίM61YL

χι-

ο<nό τόν τρόηο εjέτα.οινιs

I

υ

,

προσημικος

τετρα-

και ι3σ.€μοίlό~ινιι;ινιs

+ 1-1 Χ

γωνο

2

IΡ ~ ~

ο

14- I 4

I ο,οο

ι

m -< ::-:: > m t>

::r:

~

15

Ι

I

I

Μ

'"""'! ' ....., ο

:(, I 9 14 ,{':) I Ο,Οί I

s:: ο

Μ

σ-

'

~

-< :>< ο Μ

"-> "->

~d

I

Γ.JI

ι "'~.ι

.ι:. ι

I

I "'""' 11 JK~ I

ι~-'"'1

1{~~1

OJol

I

ι

11

μ

Σ'

__

ιι

n

-- ... ι

I

I

I


ΕΛΕΓΧΟΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ

Κα.τα.νοι-ιιVι. ανά:>,ογp.. ~ τ-.1 6uχνότr.ττοι ε.νtαε>~S Ι<αtά. "ών c::>ι~~ο ϋ'ίιs

·rS

~

~pα.n1~ εp~ια.s

~

χι-

I

I

U

ττ:ροσημικός

τετρα-

t=-~

+ 1-1 'χ 2 I Ρ

γωνο

!:=;

ι.J. ι

51

I

I

~ Μ :::-::

> :;>

> :s:: lfl41

I

I

8 ι~ 1

I

I

tr1 I>

t>

> :::-:: ::j :::-:: ο

.....:: Μ Μ

d

><

ο

6 I~ I I

11 I'JI

ι .ι~.ι

." .. ι _"' .. Ι

ω Ι

1'--L-.1

I 11:ιk I

::ι_Ί·Ι ~7·

-t:S

I

..ι:ι..

11

ί!'lf

I

11 -τ

I

Ο

I

μ

Σ

I

I _,

ι

I

I

~--,

5

ι

I

I

.....::

-

-

Μ

1

..........ι.......",J,,,,,,,I Λ ')I Α 4 I 1ο

1-2,Hj

o,os

I


Καt~νομΝι .α.ν~ο~ με τινι 6vχνο~τtt

~Vtα.6ινts ι.<.ατcί τιvιv

gραnτιVι ε3έτα.6Μ..

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ χι-

τετρά­ γωνο

I

U

ΕΛΕΓΧΟΣ I

τcροσημι)(.()ς

+ 1-1 Χ

2

IΡ ~

t, I 8 Η

I 4 ι 3Xf

~ ~ > ι-n

ι ο,ο4

~ ....,

-1

~

Hι.iQ

2

σ­

'

~ χ

819 516 ·t:S 1-' ω

Σ

2 ~


Καw.νο\ΑJΥι ι;χνά.~ο~α. ~ί τΜ.ν ΙΙ<QI.VOnoi111.&1'1L

t--λ

______

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ

V1

~

~ ·g_

4

_.ι....::==-+---+--+--+--1

............. ,_...,._

0~----~--~--~--------~~

r<

Χ L-,

_; w

γωνο

ο τετρα-

U

τtpοσημι}{J~,;;)

.

I

ι

Ρ

I

t>

s: >

6,23 1ο,οο 1

Μ

:><::

> >

;; ~

m

3,5'f Ι ο,ο2

Ι

~

> ::>"'<

:::::! ::>"'<

3 11, go

Ι ο,σο Ι

ο

-....:: Μ Μ

~

ο

:χ:

ο

-....:: Μ

~

""' -;ι

ιJ

·t:S

-

Σ

5

ω

I

I I


Κατα.νοrιινι

.

ανά..').,Ο~α.. \A-t TΛtV ι κα.νοποί1116Μ.

α.nό τόν ~ινι~tνΙιΜ..

Διαταχτ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ

χ ι-;

I

U

ΕΛΕΓΧΟΣ

I

I

ττροσημι)(Dς

~~~~- .~~ υ I Ρ ~ I+ ι _, Χ 2 1 Ρ

. gg ~

~

t"r1

...,~ d ;s::

ο Μ

"" ο

~

~ ~

·ts μ

ω

Σ


Jιq r

!-<--1

___,

εηiδΌc:r"'

d ε0

a vo

aνci_.AOι(q \-<ε.

'l:."''v

I

ξ

I -6 -5 -q -3

:Διατακτικόc Βα--\Jμόc_. J. z ~

Q_

c

~

Ι

~ ~ 4ο

s

3

ο

3

i

3

1

6 g

ο

+

4

ι

ο

s

3

'f

2

1

12

ο ο

3

<6

2

ο

1

'Ξ! s s :::~

0

ο

2

1

i

2

1

1

1

2

3

3

ο ο

3

ο 2

ι2 5 2

ο 4

ι;;

I

ι{

I 5

b

ΤΑτιΣτι ΚΟΣ

~

υ

:> I>-Ο ' υ -;:::> ;:::> Q_

Ρ

τιpΟΟΙ]μιrι~ς ι 2 -1::5 + χ I Ρ d ι.ο

ΑΖ

13

w ο~

ι; i

2

2

.i

zrς ~IΠ11 Ν Ι ι ι

2

2

s ι;

2

.i 56

6

~

i

ιι

'2

-1 3

1

4

§ 2

5

I

.

I

° z~

ι 2 14 .4 15~ ο 4 I ο ?,j ~ Π2 4 2. ο 36 I

6 1- 1

1.{.

6

·t:S

~

5

4

2

6

Ο

1

3

3

ιf

Ο Ο 3J Ε2> η~ 13tf ο, Oi

~ Σ

ο ο

3

2

4

ο

6

ε. ι; ~

5

ο 2

9 ο

:s:: ιτι

t>

,

Δ 1 2δ' l21l

1- ,g

s Ί- 4 ~ο ο t- 1ι1 t- LJ

Ε :::: >

ΕΊ Ν Ι4ο.

2

2

~

δ

ο ο 2~

'3 3

1

ΕΛΕΓΧΟΣ

44

Ί- ι 8 2 13 I :J 13 1 I ~ !5 3 I3 5 5 1

3

t-

f

1

2

6

4

.1

i.

5

3

ο

ο

-2 -..1.

I

I

,

~

J

{31{6

ο 6~·E21AoljΞic~.~'3)1Co~o~) 3'

~

< 6f- ~m

Δ2l23l3~

~

§

~ ο χ

§ ~


90 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'- ΤΟΜΟΣ 6- ΤΕΥΧΟΣ 22 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

6

Συσχετίσεις

Δ2

ΔΊ tvτarr~-1:

I

&ντ.ασιιι:

-~

:::.

nρσΦοpιιι~

t

ειtmσ\1

νralJL1:

προΦοeι u~

χ

;:::)

Q

1;::...

I

-w

.....

[Jί'(f~

a

\3"

"""::l ς:ι

·ο

<)

t:'

ι::-

)-

δ'eaη-ι;'\1.)

ερ~σiQj ποτ. ε

'

1

σ-vxva

2

ηdvτq

3

Vi

4 2ι t/5 2 WJ."i 2,ς 2 1 12.1? 02. (;;

15,+

σ ~.~

53 3

2.'(μολο

χ2

5)0

Ρ

γ

ψ

83 3 43

Sλ€~1(.0) ~ρa:n τιλ.l ε:e~aσiaJ

4'f

nοτέ

I

3

συ'l<νci

6 56

nά ντc,

2 3

0,06Lf. )

(

έvιασψ

teqπτι:ι

'ιλ:Ι

1-J ο

ι::

ί5iτι::ισ1.1

~

no z i

Λ

rrvxvό

2

πdvτcι

3

::z.yμo..-{o

'ilr

χ2

221 2

γ

D1 ~Ε~

χ

ο

~

..f3

6-;s "':f-

~ χ

t;::..

~

-ο

"'

t::

)-

b

2 .3 ο

σ

s.g

Οι':f

ιι

ο

Ι5Ί5 Ιu.q

8'

46

b

1..

~

3

γ

ο, (:;06

ψ

32

3 56 ο

)

. nρο~ιιι.,;, [Sireι04 tvτ-ασvι= ί-gi τιισ11

nd v τq :Σ ι μ ο.ιt ο

Η

,

oooi.J

ο,

)

(

ι

·w - <:s 1-J

:;;.

χ

Q

~

(:::

b

~

\J

1-

ο

""' ,_

>

ι(

Q

3

42

3 6

12.

-;ι,~

ο

4(J

-<

4L/ (1/(, 11 2.

3

./4,5 I S?,~ ι, "f

g

8

<;)

t:: ::l.

~eιιηrι1

σvxva

,.,..

.29 Ι"f 2L/ 6 ΙfSJ~ 3,6 qf. ~ ~ 1 Α2 6,3 'ΙιΚ Οι9 .2 1 3 13. i 2& ΟιC. 6

Ρ

noτi

d:t

-ς:s

~

2/,6~~

-13

4':f

.~

f«<.~

(

~

06

.Q6 QS

ψ

~

-11

2/

Ρ

Q

σ

?-

ι=

χ2

a

ο

....

:::.

μ

tvraσ~ι~; (J

-~

Ί..;ι

34 26 5 65

.:Σ ϊ μο Λ ο

ενηισιt:

17pοΦσfΙ ιι-ι1 fJiτaδ\1 tvτaσ~:

qimt1L1

\1

15

ο

22 ~~ 5

22

?Α 26 5 65

χ2

15ι2fl{.

Ρ

γ

όι552

φ

O,D03 (

)


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

/ 91

Δ1

Δ2

έvτa σtνt.:

'ίS'~rιτνi

€5iτaσw

-~

>

tντο.οιιι.:

1-J

~€g.xo~

()

~

ι:

b

4

z

eaπrι-t..)

ερgaσί~

noτ.i συ)< νci naντq

~

3

/Ο,~

ο

06

4ι'-Ι

4,2.

43

Η

i

μ

()

">

'

Q

-<:!

~

ι::

)-

Η

3 2..[

ι

6

πd vτq

3 (, ιι

S~ι.i

)

γ

μ

--c:.

~

'>ο

~

σ

lli\

ΙΥΙΟ''\11 anό

.:s..

ο

ο

:I.

')-

~ι ?5c.ισιια;ia

.<ι

1

ΧfψόLερ~ ~

6

ο

lr4

6 .2.~ 'f 36 i~ιq- ~~iιτte'l1 2 30 6 .:Σ ϊμο.ι( ο 35 f 42 χ2 /,4 Ρ ο,οι..ι ~ γ

~

φ

J.

ι-) ο) ι f3

2.,g 5,2 q I 1 1 4

~~~.25

Ρ

0,54f

φ

Ψ>ae~ol

..... .....

2~

οιιaσιιο.,χi~

χειρότερ~

~

γ

6,

~ Q

')-

Η

~

1

-ι ο

3

6ι1 ~.3

:r

,,,κ

4ΙJι2

:z.~

32

"LΙ

Ρ ψ

a -..:: Q

3

- 0)'-126

6'5

:l

5ι9

~~6

6

ςι..

4 ;z s,t

.Σ'( μο.ιt ο

~2.

5I ο

..::1..

ono

~λιιίτιρ~

)'-

)

(

""'

ΙΥ/σΥ1

χ2

2.

~ '<> jtQ -

Ι~aνοηοι-

iD'ια Ή

~

0)06

-~

ο

""

ο

3

2

45 2g 22

.1"f1JO λΟ χ2

~

43 <3. 11 l[t iM' ~ο 2. ιs,~ ·-1 -; 4

2

.....

ιw ν ο η οι-

ι::

συχνό

ο α-

-c-

b

..ι

:ρχcισ i α_\

'S

'Ρ>αΒ~οί

/, + '?>

.23 56 o,o'f ι

ψ

χ

~

~

·c;

>

~

r(

~tlft fl"t11J

ltf

cl a

)..)

Q

[:

.

tλεgχο~

3_

(')

Ρ

ivιcισΙΑ: (ξΗa~

ηοτ.έ

.2'ι'3

2

ο

'6, OL/ 3

γ

~

Οι':f ο

:z-rμoAo

χ2

χ.

43 1.i

~

έντ.aσn: "I;! 'tρα~τ~ 'w >

Ό"

22

0,051 (

)

~3

l1 36 60


92 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

Δ2

Δ1

Aιvwb~veι~ιq σ~"1

;.

·ο

:Ι.

σι.ο.J

3

γ

([)ι:::

·ε b

'1C b

~

>

~

'Q

~

4

2

~

ιf2

52

ο

Ν

1 fW) ,2ι.ipE:J

ο

1

ο

Α

:Σ 'Π-' ο -1. ο

2

ο

1

3

43 Lf.

-i Ο

3 50

ι18,4'fJ

Ρ

0,05

-0,4 55

ψ

ι

<1ώpq

γ

~

-~ ~

·ος,

Q

~

2

1

.Q9

:;

Η

Q

.25,!! b'2 3~

ό.Ι(-ι

1

'32 og

ο

4

l'f,6 Ι.Μι:.

(-)0,226

Ρ ψ

ι

+J

ΓJ,'t2ι

·;;

~

ο

:l

)-

Η

52. 1 53 Q ~i .., ld

μt:ι1

)'>4

1

,:Σ/ μ Ο..{

Λ2

1

!<.

IIGΙ f1111gl\o'lτ"1

γ

D

- ""' ~

C\ nό

Μσ"ΥJ

χ2

ο

'tfόno

/!ιοιvο ΓΙ οι-

~

21 t 36

μο ..ω

Of./.3

I '3~ l Ιq 0 13'f ι.ι- lJ:, "8 3 21

aJιo~Cι((1)1 σΙΝ.J

ο

-..:: >-

CIΓ/D

ι{ g,

11

)

f.'C>-1

χ2

1

Ρ OJoH

3)122

ano

Ιιcι~i'Ι1τ.,;.,.

1

2

ιιιavο no/'11 σ11

llluvo rιοι- δ'"'~ σ1ι11

.:2

ψ

τ.eόnο

οιιοJόιησ'1

:::s:

51- 4

γ

ΙιιαvοnοίΜ1711

από

"2

Q

~~ >--

·ο

4 12.2'3

""':J.

.:::;~

(;)

ιrιaJ

χ2

<3μ

>-

ηfοh.τοι ~a-

a

'-.J-

Λ

χρόvοj

i

4

·-ξt:....

r

EJH~

"'=: )-

;:;.

στ,_,;

a C)

r-,

Α'Vτο Dvva ~ία

..

Q

1 fWJ QιJpEJ ~ .z ftv;J 3t..iρ!J 3

χ2

σ

rιpοε.~οιμa-

2Ί'ΙJΟ

a..

- - .... -.:;> .::s •'F

χρόvοj

)3ωpεs

_,

I:

' μεJΗΙΙ1

< .i ώρα

()

Q

0

,132

-1

1,'f

οι

~

~3

Ρ

ο,οο ι

φ

ι τ-

~

5.5

J ο, ι.ιg


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΠΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

/ 93

Δ2

ΔΊ ιιωvοnοi"1 σι.ι

I ιιιι 11 Ο f1 D ί 1\1 6"'\.1 από τρόπο

από τεόnο

·-

C(ξ ιο,Λό·

~

~ΙΥΙσι.υ

::l.

,_

BaΘ~oi

~

με~Q.Λ,)τερο1.D

i OLDΊ<J

.2. 1 '3 22. 2 i5433 lbι'f .if- 4

1

Ιιιι':f. 1~.3

χ2

~3

'3ό Β

.!'1μο-ιο

2,434

γ

2./

Ρ

ο> ωιt

φ

Ι- )0ι2L/

ΙrιαυοrιοίΜσι.ι

€~έftιδ11

llll θ"1

χ2

2. ~~~Q_ftVτΣρ~ 3 251 013 ο 2 .29 ;~ΊΟ '}Δ 21?

j.u ιιpό tι ρο~ 2 χ2

2

ό)( Ι

I

γ

1

~

·~

::>

~ ο

·ο

~

c

b

~ )-

~

λ'f

46

ι

·~.~ 2

ιι.ι.~

2.b

_Q

"

ο

2.rLI 22.

.2..

o.q

ACf

•t-

2, 3<33

Ρ

0)036

φ '(

Ρ

0,023

φ

(

)

"<3"

:::.

f ocpop Ι tt-ι1 ~ b ι 5 iUι~ tw

<:>

ι::-

Ι lιCι.Yono ,,

ο.nό

ιi1σι..ι

IUί θ'>1 ~'111- ~ μ Cι

i

' Ι Ο)( :::Ζίf.-'0..{0

χ2 γ

56 \

I

5

3 3CJ

~

~

-.1..

'34

.23

1

.ι!

5~

ρ

':;.

')(

26

jA.112,f ο

f1

1 2 '3

Vc:ι-1

~,60~ -ο> 4 ot-

μ

r:

a'l1 τ 11

:λ '(μσλο

•(.;)

Ν

.2. 1

Cvra. σι.-ι:

ο

aηο

c

.2...Υ_

γ

έvrnσvt : neοΦοριtιιιιί

::ι ,......

χ

t\-ftr~ :J..

'&e~οί

~ Q

-

<:1

Q

-<::>

:L

·-

a:ςι~ό,

~

~

ςs

ς)

3 1 ~otf.

\-.)

~ I-

>

~

ο

"<:';."

()

::l

>-

1 .2 rt 45 4 2 ll!h2 4? lt.J,\ί' ~

1

1

4, '&'

Οι2..

2 46 5 51 Ρ ο,οο8 φ

(-) 0,2'13


94 I ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

ΔΊ ..Δvσιιο)ίq

Δ2 -~ ~

(!

C)

Ν!δ\.1

~

'

~ιι e'Υ\ i"'' t~ μ cιί ι

Οχ ι

:2. "1

χ2 γ

.2 1.

ι1 8 ~.ι ο

3, <=J52 -0, 1-~5

19

2

~

Βeι θ~οί

). σ

(.,...)

~

~ b

'""

-~

~

1 Q 3

ΗεtQ,Αιύrε~

ΊοιοvJ Σ'( μοΛΟ

χ2 γ

6',34 ~ ο 1 ιμ~"f

2 1

.,

11- 5

~.2 ιq ι ιι"t

:1-

3,~

~

40

12,9 111 ι 3

2} (

2

'

i

0)<1 χ2

~

)

2,1-σ,

:l..

)-

go6

42. 4J

2J

(),ιJ

ψ

C"'5 ο

::ιι ~~

Ρ>aθ~tιί.

)fιο VJ

lltl

Q j

..:l"fμΟι\0

χ2 γ

'::f_

'11 (, L406 ":1ι1 ο -1 1

Ο"

μt; ~α.λ ν rιρο!1

~

2 3 4ιl.l

Ρ

t-{

.23

'b

-~

σ ~

Or3

42. L/2. ~

:::ΣΊ'μσι\(.)

ο

ο,ο35

Ρ ψ

Lj.

4

~

>

w

ΔVO"IlOJ\ ίq {)

.::=t

:;:..

.

Qηο

fJ Q i

ς:r

ο

~

> <)

~~

ιιa θ"1~Ι'ΥΙ τ~

γ

)

.....

-~

~σ\.1

31

o,os

:::t

σ-

~

~

Ιιαιvοπ οί-

Ll 6 35

(

~

<) <)

ο τ

'(S

~

~

4 5,3 2.

21

ψ

(!

:l

.2 3

Ρ

Διvσιιο,Αίq

ο

~ >-

Ιθ,6

(f

<

~~

0,9 '2.,/.j

~

μ ο-\ Ο

~

~

~

cιno

ο

\:::)

c

~~

·ςs

Δvι:rιιολil?

~

> ο >

Q

/llQvo π οι-

{)

~

40, 5'fιJ ο, 5':f 3

)-

ti

60 .2.

b2.

( )

•(S

~

~

~

-

:::.. () :::..

~

'ο -~

~ ~

~ q

2

3

16

8

'f

Q

J..

O).i

~

Sιl

Q ~

ι~, ι 3,-:ι-

~5

σ

5.9 21,9

Llι3

41 41

~

Ρ

ο,οοι.ι.

ψ

(

)

.2S

32

60


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

/ 95

Δ2

Δ1 Δ ιιJ O"llOJ iq

ι:ιηι>

τι

cppοντισft-ίριο

3 2 1

:l'Ί' μο . .ω

~

-~

~

~

~. '=l,ιj. 28ιl '1,ι.+

ο

ο.~

3ι3

ψ

AvσιloJ icι

5

~ 5<ι

'ό'

~

"?

:::l

~

9

2

{1

Εν~ιι1φφuιι: 3

~a&ό,ΛοV

i

.2,5 0,5

36 3

L/1 ~

So

γ

-σ,

6

Ρ

2 g~

ψ

'2 2

.2.

ο, ο (

.z

3

ιf-1 σ

Dιr

~

Η

~-

ι.μ.ι.

43.2.- e-;B

62

2.

4

.2. 2.11'

ο~5

GG

46 g

Ρ

ο, οι.ι 8

ψ

(

)

}

'f/

·σ

.,.:::ιι

Ό' Q

tυ~qt?E.eov

.2.

5,

Λ

Q

:::ι.

rl

)-

2.

,

~

q

ο

...q

ι.< ε: ρ ι uiι

χ2

5,01-6 -<? 1 go ~

a

31 5 2'15 6ι5

:::l Υ μο.ιt ο

χ2

::::.!

10ι3

ο

-~

~

~1

~ιμολΟ

γ

::::ι \ι;)

1 9

2 1.

Δvσιιcιλίq

~ ι-

~

IY)

( ιrnϊι;ι cppovtι στι.ipιο)

'Q

~~

I

""' ,_

\:)

Q

> σ

(J

~

)

(

> ~

Ευ ~αΦiροvπ:ι 3

ιι

BC'\t~tιc.

O,Ol../8

ο() ':>

Εν~ιcιΦieο

~fJirf)) ~OVOJ

>

-;:ι

μi q οτ~

~

:.l

Q ~

λνrv~uva-

δ

·.;s

CJ"

43

0.9

'3 34

- 0,662

~

3

.2..

Ρ

ο :λ ')-

4 ο 2,6 ό,+

ο

<J,34t

'

b

ς::ς

11

C)

::::.!

~ 3 2'8 ..6

ο:+

Δ'lι'ΟΊ<~fq

~

::.

~

uόvoj, "1

γ

>Q

~

μ ε Qtr"}

χ2

()

q ~

/Λ iιt Ufl-1

-,..n;

~

~

,ι(νw<δυveι·

'Bo""i θι-ιcι

·-:s ()

11ερ ιιιό

2

rι:ι θό:Λοv

J

.:Σ ϊ μο,{ ο

χ2

~'.f.563

γ ~D,

&' .2 ~

σ-

~

ο

::::1.

-=-

b

).

-~

σ

~

~

ο

•:J

vo

Α

2. 3

{':f.

:L

>-

Η

ο

25

3 2g b 6,3 25.6 5,1 ο ο 3 0,5 2, f ο,ιι

3t 3

ιι,2. Ι'Ι-,3

11

't5

~ 65

ο,οοο

Ρ ψ

3,5

ι

)


ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ'- ΤΟΜΟΣ

96/

6- ΤΕΥΧΟΣ 22

Δ2

Δ1 Λvο-ιιοJι'4 ~vπ:ιιrι.ι:

11οτc

---nc. \Jτ-Q ~

~'(μολο

~

,qz

Α'IJ ιrιιολ i cι

~

2 3

:Ι 11-'Ο.-10

γ

Β, 5ι.f.3 ο) ιt 2 g

3~ 3fl

·~

46

7.Ι 2ι3

()

:::t

~

'(::) -~

i3

ν::.

~

t, !:3 5 f":f cι,g

b

(f,J rι+;g

~ 34 ~

()

~ )-

(

)

6ι5 ο

t<.

2,(

1Ίa VTC,

3

i

8•.3 1,-f :ι. 3 ι.ι ι 06

1~

ΨI

Ρ

0,~56

ψ

ι{

η ο τ t' σvxvcί

11 ci vτcι

2 3

.:Σ'f μο.λο

~) J06

Οι

-~

-· ~

~

)..

C)

ο

4'36

G 1.....-

ςr

~

~

Q b ...... ~ ~ '}-

).

-~

ςs

-~ ~

εΊin::ισVΙ

α

)

(

~

ψι:ιη -Μ

5

46

64 ο, 031

()

fνπ:ισι..ι:

γ

6'

Η

"'

~

3 rt

~ 31

Α

γ

χ2

'

'iJC:> :l >-

31,6

'1 ,q?S

zg

1;:) ":::;)

~.~

χ2

Μ

52 D,o'f1

Ρ ψ

""\

~

a

. σvχιιd ~yμόιtο

2,3

ιιt ο iι2 1ι9

,(

1[0Tf

Y-i 2 3 6 -3- ~3

~5

~

ee~aσίtιj

.Δv~ icι Q

s

~

~ .::t

~ ~

::.t

/(€Q11'ΓιΛ.1

~

>

<3

>

~

€λΕ.~>'Ο)

\!

~

C'S

~

trvxνό

χ2

<r

""->

ί1Dr t

ι--\

ι+-) ο, 165

~

εseτασ/.1

>-

~

Εvταδ\.t·.

6 g lf:3 52 Ρ ()ιΟ5 f

-~

δ'eαnτι-1

.:l.

I

6 1 75

ο

~\ιmσι..ι:

ο

~

~ ο

ψ

γ

ηό vrcι

::.~

ςs'

q

Α

σvχνα-

ο

-..::

()-~

1 ~

€-ρχι:ισ-ίc:i.::!

"13 :=ι

Ξ;:b

~

~Qη τι1J

Δv~ieι

::ιl;::t

~

~6~)ζ0:1

χ2

'.~

σο

σ ~

~

ς)

1 .2 3

Ν

5 'll 1 2,3 9.8 /,9

Ν

ιι,:ι-

,,,s

ό

~ο

6

ιg

4 16,1 ι(1

l/6 e>,

Ρ ψ

(

)

4 3,6 ~~ LJ 1Lf

3ι3

~.

~

ο 56


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΊΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

I 97

Δ2

Δ1

rv~ιι.tΦέρ<'v

~

~

~

Q.ι ~

-eI

~σιιt

~

.....

~

·Ο

<:l.>

([)

ς$

C>O

IΙιcιvottor-

~

απο

ο

σ

ω

~

:::L

οι oασlla~ ict

3 Q

j..

χtι~τ-ε{>νι-

5

.25

q

:ι,"f

.%31

:ι6

"f

~2

ο

iΙΑ

k:Q)

vτ εριη

ι{

~

;Σ.τμο λο

•. (\,i\ r.ι;i~12. 3t 4

ι.ι ~

χ2

5ιΟ61

Ρ

Οι062

γ

Ο,

φ

( }

G llf

ο

'"<

J

Q

Ι ΙWvon οι-

)-

Mσ~tt από

~

cιι~cιO'"ΙLOJi(J

Η

34

Χει ρότεp"1

ι?>ιa

~ιι

p

σ

r,.<;

ιιαιvοnοι-

ιΎΙσ"'

ιιa Θct1X'IIIt-t? /J \

ο

α ί

2

1< ι.

.1

.:::z'(μολο

χ2 γ

.... -~ -< Q) ()

Q.._

<:$

.:l

~

)-

ι

ιkαvοποι

{)fσ~ι~ eι η ό

3

2

!

y1

1.25

~~~

J.

5~

,., Q ί

-2

όJ<ι

2'#ι2 ~ι,~ ο

o,g Ζ5

ιιιι-, ?> g~

Ρ

D1q':f6

ψ

I I <j

~

.f

,, 1

Οι1

33 2 'ο ο, ο.<,~

( )

ιιeι θ~Η ~"" t ι:ι

.:Σ'fμοΛο

( )

g ~ -e-

·

ο 1 σ6

;:::. ο

ο

:::ι

ω

φ

~ν ~ιaιfέροv

t)

~ ..::L

από

Dι045

~ ·ςs

25 gt 3 65

::z.ιμολο

Ο" ~

~ a... -\.i) -e-

~

53

Ύ

Cν~ιaιfiρov

~

.::r

~

Ο)

t)

·ο

:..ι

(L

w

(S 3ι.Ι

~ ..::s..

3

-~ (b

Q J...

~

':!

""'.:t Q

>rf

.!lιι. 1 2 -;,g 226 2ι6 33 2 2 1 ,;2 13.U o.u 5 3 26 3 3g

"

χ2

~ι23

Ρ

Οι03

γ

Οι4<J5

φ

(

)


98 I ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - ΤΕΥΧΟΣ 22

Δ1

Δ2 't"

Ύ'Αr"ι?

~

Ύ Α tY)

<L

~

~

~IJ

~

"<:)

»~ ξ

fv~ιaψipov 11Εe1"-ά-

θό_aοv

4ιf

~

02.

'3, 3 j j

γ

φ

(t )0,~6

·σ ~

<}

~

)' ι<γασιιι:ι.λ iq 1

z

t:Q)ιzίt~~ χ2 γ

μοΑΟ

Cj Ι 'f ~5 -ο,

σ ~

3 ~'f

3

6

~

ο

')-

li

t

3

Ζ5 fl.l 2.. {'(

llι4 #~2. lSιl4

':; 3~

12 3

9 l33 φ

?JJ.L .9

5f

o,ol./3

Ρ (

.i

\

z

3

43

13ιt.l lf1 6 __fi_ Jil

χ2

15 1 '!6

Ρ

γ

Οι53f

φ

ιη

1)10"11

Χc~ό-z;εpιη Ίliιc.

- ιtcι·

~vτεctVJ :Ι Υ /JΟι\0

χ2 γ

4ι43 -ο,

~

<}

"><:) >

~

5.3.2

1 ~

~

ι::::-

)-.

Η

3 ~

2ι.J

D

3t

3

3

g 61/

(3'

~ ~

ο

':;:)

'ο::"

·.:::ι

ι{

~ ~ .Q, 3

1/

11

~ι ~cι σιιCt) iq

ο

\ο;)

"\! .σ

~

I

""

§:_

)

(

ο

nο

ο

g

0 1 005

:w

/ΙtQvonoι-

-ο

5Ίl 2~!1, 'i1_6 ο σ 3 Οι4 22. Οι.Υ._

9

"<

45 1,2 ~6

-

Δvσuοι1 ίq

q.

3

ο

i I 2.

~Qθo,AoV

ο

1 Q 3

Xf;ιpόttpΙYJ

2

ςs-

·~

(.,..)

Η ε.pι ιιά

:z. τ μο.-ιο

><:) ~ \:) > -~

ο

:z. '(

~

σ

rA

......_.

Ε vDιcι Φέeοvτq 3

l/D 52

ο

31 ~

/ιuιvο1101ινtδ"Ι1 a rt ο

~2

Ρ

Δvσιιοι\ ι'q

j, r;, Q

ο

51

(J

,(

3'fιl O,fl

:Ζ. Υ μο..(ο

χ2

ti

ffι5

J._ li/0

Ev~ιao/fpo

~

1 2

εv'Ξ'ιatf>tpoνrq .ι

~ ·ο

ο

t:::-

~

~

"":L

~

)ο--

r

ο

"<:)

F'

Q.... \..;) )..)

Ζι2. 9ι/

!J-

fιfl

-10 3_8_ _5 !!:Ιι~

BG,'3

>11

L/6

Ρ

ο,

φ

(

)

~.2

~

ο :;). )-

Η

13 53

6q

06tif


ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΕ ΔΙΔΑΚΙΙΚΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ

I 99

Δ2

Δ1

Ύ~'Ύ}

<L

-.:ι

[ο

.... f-.'loO

ω

14

<:)

"()

-..:

~

·ο

-

Λii"'l

)-

Η

z

I ι(

~

ι=

-.ς:-

~

.fO

ιι,s Οι5

ο

'Πο:;}~,η

9 6.1-

ο,~

~

51

2

5.3

μολο

'f) 401 -l

χ2 γ

ο

Ο,

Ρ ψ

F Q..\S

14 14 ·ο

•()

f>αeμol

·- ~

)ο

""'

,f

Ί~ι OVJ ::Σ

χ2 γ

1

ιJΟλ.Ο

~,566

2 J.

%5,~

06

16

.,

,, Ei 0,14

Ύ2tYJ

42

lf3

Ρ ι-

4 φ

JO, ιι.Η

γ

-ο,

512.

Η

g

ο

10,6

5~

5 63

ο, (

003

)

<L

-.:ι

ι..,)

-ο

Q

-"""" "'>ο

UεiaλvτtpaιJ ε

6, 216

)-

Q, 3

ο...

~

χ2

~

F

~a θ~οί

ο

ο

t:::--

Ρ

·ο

'f VOλ<J

- &- ""

5

\ο.)

Σ

ο

.

~ι'Ι

J

!-)

Ί ~ιOUJ

~

F

~

{f

i

3

ο

.26

Ό Ό

ο 6 2. g J C>5 16ι9 ~.6 43 3 ~ : l'iOι3 5__.τ 4'f

""

.z

ο

""""

::z 1ΙJΟ..(ο χ2 .f8,S6 γ - ο, 8 4-~

~

~ .,.._ t:::" ti

.2.6

φ

r]o Α~~

ςι_

"')-

-

ι{

~

.... k>

ΗεχQχι>1;ιpο1JJ

)

(

"F

'Υ::)71

05

"Χι

ΦoptoJ }CQVOV/ ιι~

1,2

ι.,

"Q

\1'

Ν

32

ao,a

""

Q.,

'-.I "Q

Λ ι'~~

. 6.2.

:z r

Υ4 fY)

12

~avo'lι"ιι.f ~

g

~

<L

F'

ο

~

)οο

Φόpr 05

f

~

.;Σ

d.

":(3,τ

4 4,~

g Ρ φ

ι:Α

Ίο

Q.._ ~

~

~ .3 (8_ 3 .28 20!~ 3,1

.26 5 _23,5 'ύο3 ιιιι

3.2.

g 60

0 1 OY:J5 ( I


100 / ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ' - ΤΟΜΟΣ 6 - rΕΥΧΟΣ 22

Δ1 :;ι

$atψoi

~

-~

..

όχι

1

γ

3,<J6

ιf

..t2

ι <ι

~3J_6 16ιll

3

ο

~. '+ 14ιG

11

~-: ο

-~

-;;" ~ ·~

ιιαιvοnοιΜσ~

-.:so w

()μ

2

1

::t.. JO

ana

~aθ)tj'Mt~

30

Υcιί

Q 32_ l33_

3

Dχι

1

ιf5 4~ 33

Ρ

-eι ~

..:::s...=:ι

~

Q

)-

~

a..

~

<:)

ι.:;)

~

χ2

ι;ιΟ

::t.

ναί

;:Σ '(ΙJDΛΟ

()

~ -- ":l

anv ~eι θ~ δ'~ τ4

Ι\1σlι1

~

~

'Βαθ~οί

~

Q..> 1-.)

_llιavonoι-

Δ2

ο

ψ (- }OJ35

.2 '(μοΛο χ2

γ

Α,οιt-5

13Ζ.5 3Ζι5 ..ι

ο

i0ι5

Οι5

ο ο """"

,_.:l Υ'(

65 i

33 33 66 'Ρ ψ

ο

(-)ο, t.2.l/


Κα τ -ηγορία

-:r

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ][

I.I ΕΝΤΑΣ:Η: ΠΡ.Ε:Ξ:ετΑΣΗ [" [1: Ε ΝΤΑ ΣΗ ΓΡ.Ε=ΕΤΑΣ Η ΕΝΤΑΣΗ 'Ι ΕΛ.ΓΡ. ΕΡΓ. π:

n:

ΒΑθΜΟ1 ΔΥΣΚΟΛΙΑ

Ι

π:

rr

III.

ΕΙΙΙ'Ολ<Ι- Ι'ανοvι Ι«ί

Avcrιι:.o~ι:t Ποτ; ι

.Iv,c.,..ci-

1

ηciντq

χ .... .οeνιi

&1(4λ'li't δpOVJ Ίiιοvι

E'li ιι:ο~α ltcι~ι ι«:i- A.iOιt4!:\<l

ΕΝΤΑΣΗ: Ποτt Ι ΠΡ.ΕΞΕτΑΣΗ Ir ΣοaιΙC.ιι:ι - Πcivτcι no-c.t ΕΝΤΑΣΗ Ι nα t.<l ΓΡ.ΕΞΕΤΑΗ 1t ΠοΊ:t ΕΝΤΑΣΗ Ι Πά'(rα ΕΛΓΡ ΕΡΓ 1[

1

1:

H&i•H'II't&ρoνJ fofιιcpό'j;fρou~

l]f iίfιow -

1

1

1

1

2 1 5

1

...

ΒΑΘΜΟΙ

2

1

1 1

1

3

1

1

1

17ο'tέ ι-f

-s -4 -3 -2 -1 , , , , , " ,

-6

1

!Ιά"'uι

ποτ ι Ζ:νι<νά

8 α i1μο λογία

1

1

1 4

,

3 2

2 2

1

υ

ο

1 2 3 4 5 6

8

6

4 7

1

6 1 -4 4 2 6 6

5 2 1 :10 1 10 2 4 1 Β

3 4 2 5 7 4 2

5 3 4

1

2 2

6 1 4 4

2

, 1

2 2

6 6

2 2

2

2

7 1 1

2

,

-4

4

3 1 2 2 4

, 1

0.03

-4

504,5

ο, ω

2 2 4

352,5

0,08

1

2

2

6

-"6

~

7

2

2 2 1

7 1

'

1 4

~

1

8 1 3

2

2

3

9

4

7

4

6

2

2 4

4

3 5

2

3

3 2 4 2

1

1 1

5 5

4 3

2 8 2 4 6

Ρ

273,5

10 3 7 2

7 2 5 1

Η1:r~π

~> ;!:: tτ1

I>

119

ο,Ο2

364,5

0,03

381

0,09

831

ΟιΟΟ

242

0,04

210

Οι03

273.5

Ο, ΟΟ

~

g

~

a ~ -~

-


Περιεχόμενα

1. ΣΧΟΛΙΑ-ΓΝΩΜΕΣ-ΑΠΟΨΕΙΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Ε. ΚΟΛΕΖΑ-ΑΔΑΜ. Η θέση των μαθηματικών στην Εκπαίδευση από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3. Ε. ΚΟΘΑΛΗ-ΚΟΛΟΚΟΥΡΗ. Μια διδακτική δραστηριότητα για να ασκηθούν οι μαθητές στην εκτέλεση πράξεων . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Τ. ΠΑΤΡΩΝΗΣ. Μερικά ερωτήματα πάνω στο πως θα «διδάξουμε» αυτό που δεν διδάσκεται . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. Θ.Χ. ΙΓΝΑτΙΑΔΗΣ~Ν.Σ. ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ. Διδασκαλία με διδακτικούς στόχους (πειραματική έρευνα) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6. Κανονισμός έκδοσης Ευκλείδη

r· ..................................

102

Profile for αthε

Ευκλειδησ γ' τόμος 06, τεύχος 22 εμε 1989  

Ευκλειδησ γ' τόμος 06, τεύχος 22 εμε 1989  

Profile for 60712
Advertisement