Issuu on Google+

Άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ: Ευθύγραμμο τμήμα μήκους το μεσαίο

διαιρείται σε τρία ίσα τμήματα και

αντικαθίσταται από τις δύο πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου στο οποίο

αυτό είναι βάση. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται, δηλαδή σε κάθε βήμα, κάθε τμήμα

αντικαθίσταται από

Σχ. 1

Σχ. 2

Εφ’ όσον το μεσαίο μήκους

(Σχ.1).

αντικαθίσταται από τα δύο σκέλη της γωνίας συνολικού

, μετά την πραγματοποίηση του 1ου βήματος η τεθλασμένη γραμμή που θα

προκύψει έχει μήκος το ευθύγραμμο τμήμα μήκους

. Στο σχ. 2 δείχνεται το πρώτο βήμα: μήκους 1 μετασχηματίζεται στην τεθλασμένη γραμμή

. Με την επανάληψη της αρχικής διαδικασίας, κατά την οποία σε

κάθε πλευρά της νέας τεθλασμένης γραμμής προστίθενται ισόπλευρα «τριγωνάκια» πλευρών μήκους ίσου προς το της πλευράς του προηγούμενου βήματος, όπως δείχνεται στο σχήμα που ακολουθεί, δημιουργούνται πολύ όμορφες, αλλά και πολύ ενδιαφέρουσες από μαθηματική άποψη καμπύλες (συνεχείς που δεν δέχονται σε κανένα σημείο της γραφικής τους παράστασης εφαπτομένη).

Το σχήμα που σχηματίζεται με άπειρη επανάληψη αυτής της διαδικασίας «διαίρεσης και πρόσθεσης» στο αρχικά πεπερασμένου μήκους ευθύγραμμο τμήμα –το σχήμα δεν ολοκληρώνεται σε κάποιο πεπερασμένο πλήθος βημάτων- ονομάζεται καμπύλη Koch προς τιμή του σουηδού μαθηματικού Helge von Koch (1870-1924) ο οποίος την περιέγραψε το 1904, είναι όπως θα αποδειχτεί άπειρου μήκους και έχει την ιδιότητα της αυτοομοιότητας (selfsimilarity, Selbstähnlichkeit). Δύο σχήματα είναι όμοια αν έχουν το ίδιο σχήμα, την ίδια γεωμετρική εικόνα, αλλά διαφορετικό μέγεθος δηλαδή λόγο ομοιότητας . Αυτοομοιότητα έχει το σχήμα που όταν ληφθούν μικρά μέρη του και μεγεθυνθούν, τότε αυτά μοιάζουν με το όλον. Μερικές φορές η αυτοομοιότητα είναι κατά προσέγγιση και άλλες ακριβής. Η καμπύλη Koch είναι 1


παράδειγμα τέλειας ομοιότητας και μπορεί να δοθεί και με άλλο τρόπο, όπως αυτόν με τον οποίο παρουσιάζεται στην άσκηση 11 σελ.140 του σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Α΄ τάξης (βήματα 0 έως 4) η λεγόμενη χιονονιφάδα Koch (snowflake, Schneeflocke)˙ στο σχ. 4 παρουσιάζεται η μετάβαση από το βήμα 0 στο βήμα 1.

Σχ. 4

Άλλα αυτοόμοια σχήματα είναι το τρίγωνο Sierpinski –ονομάζεται έτσι προς τιμή του πολωνού μαθηματικού Waclaw Sierpinski (1882-1969)-, το χαλί του Sierpinski, το σφουγγάρι του Menger [βλ. http://www.youtube.com/watch?v=Tv2SzkmAOMU, http://www.3d-meier.de/tut10/Seite0.html ]. Το τρίγωνο Sierpinski σχηματίζεται όταν από ένα ισόπλευρο τρίγωνο αποκόπτεται (ισόπλευρο) τρίγωνο που έχει κορυφές τα μέσα του αρχικού, αφαίρεση που επαναλαμβάνεται και από τα εναπομείναντα τρία ισόπλευρα τρίγωνα κ.ο.κ. Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται το πρώτο βήμα αφαίρεσης και το αποτέλεσμα μετά από 3 βήματα αφαίρεσης.

Ασκήσεις: i. ΤΡΙΓΩΝΟ SIERPINSKI: 1. Πόσα μαύρα τρίγωνα υπάρχουν στα βήματα 2. Αν το αρχικό τρίγωνο (βήμα 0) έχει πλευρά μήκους , εμβαδό , να υπολογιστούν τα των αντιστοίχως. 3. Το πλήθος όλων των τριγώνων είναι: ii. ΝΙΦΑΔΕΣ KOCH: 4. Αν το αρχικό τρίγωνο έχει περίμετρο και εμβαδό συναρτήσει των αντιστοίχως.

; , περίμετρο συναρτήσει (επαγωγή). , να υπολογιστούν τα

2


Στα σχήματα έχουν ληφθεί:

.

3


Fractals - a theory